第 37 卷
第1期
Vo
l.37 No.1
吉首大学学报(自然科学版)
J
our
na
lo
fJ
i
shouUn
i
ve
r
s
i
t
Na
t
ur
a
lSc
i
enc
eEd
i
t
i
on)
y(
2016 年 1 月
J
an.2016
文章编号:
1007 2985(
2016)
01 0001 06
曲面上的高斯曲率与高斯 波涅公式
∗
邢家省1,杨小远1,罗秀华2
(
1.北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部
重点实验室,北京 100191;
2.平顶山教育学院,河南 平顶山 467000)
摘
要:考虑曲面上高斯曲率计算公式的使用方法问题,给出椭球面上高斯曲率的求法;在曲面正交曲线坐标网下,给出
高斯 波涅公式的证明过程,并指出高斯曲率简化公式的来源;由高斯曲率的曲面积分结果,导出曲面积分的一些几何意义 .
关键词:高斯曲率;测地曲率;正交曲线坐标网;高斯 波涅公式
中图分类号:
O186.
1
DOI:
10.
3969/
cnk
i.
dxb.
2016.
01.
001
j.
j
文献标志码:
A
曲面上的高斯曲率是经典微分几何学中的重要概念 [15].高斯曲率的引入方式和计算公式已经成为经
典知识 [112].多种曲面上的高斯 曲 率 已 计 算 出 来 [17],但 有 些 曲 面 上 的 高 斯 曲 率 求 法 复 杂,文 献 中 鲜 有 记
载 .对椭球面上的高斯曲率,文献[
7]中利用椭球 面 的 参 数 方 程 给 出 计 算 过 程,计 算 量 大,笔 者 发 现 利 用 显
式曲面上的高斯曲率的计算公式,可以给出简便求法 .对正交曲线网下曲面上的高斯曲率的简化公式 [17],
现有文献都是给出验证办法 [17],没有给出是如何 导 致 这 个 发 现 的,笔 者 指 出 了 导 致 高 斯 曲 率 简 化 公 式 的
来源 .利用曲面上高斯曲率的曲面积分结果,给出了一些曲面积分来源的几何动因 .
1 曲面上高斯曲率的计算公式
设曲面 Σ:
r =r(
u,
v)是 C3 类的正则曲面 .曲面 Σ 上一点 P (
u,
v)处的单位法向量为 n.曲面上的第
一基本形式为 [16]
曲面上的第二基本形式为
令
A=
æE F ö
=
[
16]
2
2
,
Ⅰ =d
r·d
r =E (
d
u)
ud
v +G (
d
v)
+2Fd
2
2
Ⅱ =n·d2r =L(
d
u)
ud
v +N (
d
v)
.
+2Md
æru ·ru ru ·rv ö
,
B=
æL
Mö
=
æn·ruu n·rvu ö
èF G ø èrv ·ru rv ·rv ø
èM N ø èn·ruv n·rvv ø
[ , ,]
矩阵 A ,
B 分别称为曲面上的第一基本矩阵和第二基本矩阵 3 5 8 .
=-
ænu ·ru nu ·rv ö
ènv ·ru nv ·rv ø
,
ru ×rv
ru ×rv
.设k2 ,
k1 分别为曲面上一点处的法曲率的最大
=
‖ru ×rv ‖
EG -F2
值、最小值 .曲面上的高斯曲率和平均曲率分别为 [16,8]
曲 面上的单位法向量为n =
de
tB LN - M2
,
K =k1k2 =de
t(
A-1B)=
=
de
tA EG -F2
H=
∗
1
1
LG -2MF + NE
(
k1 +k2)= t
r(
A-1B)=
.
2
2
2(
EG -F2)
收稿日期:
2015 06 29
基金项目:国家自然科学基金资助项目(
61271010);北京航空航天大学校级重大教改项目(
201401)
作者简介:邢家省(
1964—),男,河南泌阳人,北京航空航天大 学 数 学 与 系 统 科 学 学 院 副 教 授,博 士,主 要 从 事 偏 微 分
方程、微分几何研究 .
2
第 37 卷
吉首大学学报(自然科学版)
曲面 Σ:
z =f(
x,
x,
y)((
y)∈ D )上的高斯曲率和平均曲率分别为
2
(
fxxfyy - (
fxy )
fxx -2fxfyfxy + (
fyy
1+f2
1+f2
y)
x)
,
K=
H
.
=
2
2 2
3
2
(
1+ (
fx ) + (
fy ))
2( 1+f2
x +fy )
Ñf
1
容易验证 H = d
i
v
.
2
1+| Ñf|2
定理 1[16]
2
椭球面上的高斯曲率的计算方法
定理 2[7]
x2 y2 z2
椭球面 2 + 2 + 2 =1 上的高斯曲率为
a
b
c
1 æx2 y2 z2 ö -2
K= 2 2 2 4+ 4+ 4
.
a bc èa
b
c ø
1
x2 y2 ö 2
æ
证明
由椭球面的对称性,只须求出上半椭球面Σ1 :
上的高斯曲率 .
z=f(
x,
y)=c 1- 2 - 2
a
b ø
è
直接求偏导数,计算可得:
1
1
yæ
xæ
x2 y2 ö -2
x2 y2 ö -2
,
,
fx =-c 2 1- 2 - 2
fy =-c 2 1- 2 - 2
a è
a
b ø
b è
a
b ø
1
3
3
y2 ö æ
1æ
x2 y2 ö -2
x2 æ
x2 y2 ö -2
x2 y2 ö -2
æ 1
,
-c 4 1- 2 - 2
=c - 2 + 2 2 1- 2 - 2
fxx =-c 2 1- 2 - 2
a è
a
b ø
a è
a
b ø
ab ø è
a
b ø
è a
3
3
x yæ
x2 y2 ö -2
x2 ö æ
x2 y2 ö -2
æ 1
,
,
fxy =-c 2 2 1- 2 - 2
fyy =c - 2 + 2 2 1- 2 - 2
ab è
a
b ø
a
b ø
è b ab ø è
x2 y2 z2
x2 y2 z2
4 + 4 + 4
4 + 4 + 4
b
c
b
c
2
2
2a
2a
,
1+ (
c
=
fx ) + (
fy ) =c
2
2
2
y
x
z
1- 2 - 2
a
b
c2
1 æ
x2 y2 ö
12 2
a2 b2 ø
1
1
2
2 ab è
2
(
)
c
=
=c 2 2 2 2 .
fxxfyy
fxy
x2 y2 ö 3
a b æz ö
æ
1- 2 - 2
a
b ø
è
èc2 ø
于是,
K=
2
fxxfyy - (
fxy )
1 æx2 y2 z2 ö -2
,
=
2
2 2
2 2 2
4 + 4 + 4
(
1+ (
b
c ø
fx ) + (
fy )) a bc èa
1 æx2 y2 z2 ö -2
1
4
故 得椭球面上的高斯曲率为 K = 2 2 2 4 + 4 + 4
0,
0,
0)到椭球面上点
= 2 2 2p .其中p 为点(
a bc èa
b
c ø
a bc
(
x,
z)处的切平面的距离,
y,
p=
1
.
y2 z2
x
+
+
a4 b4 c4
定理 2 中的结果在文献[
7]中是采用对椭球面的参数方程表示进行的计算,计算量较大 .笔 者 采 用 显
2
式方法,给出直接的计算过程 .利用这个方法可得如下一些曲面上的高斯曲率:
例 1[7]
例 2[7]
3
x2 y2 z2
1 æx2 y2 z2 ö -2
单叶双曲面 2 + 2 - 2 =1 上的高斯曲率为 K =- 2 2 2 4 + 4 + 4
.
a
b
c
a bc èa
b
c ø
x2 y2 z2
1 æx2 y2 z2 ö -2
双叶双曲面 2 + 2 - 2 =-1 上的高斯曲率为 K = 2 2 2 4 + 4 + 4
.
a
b
c
a bc èa
b
c ø
曲面正交坐标曲线网下测地曲率和高斯曲率的计算公式
设曲面Σ:
r=r(
u,
v)上的坐标曲线构成正交网,
Γ 是曲面Σ 上的一条曲线,其参数方程
)
,
(
)
,
(
(
)
,
(
)
)
(
)
,
为 u =u(
或
这里
是该曲线的自然参数
s v =v s
r =r u s v s =r s
s
.
定 理3[17,10]
第1期
3
邢家省,等:曲面上的高斯曲率与高斯 波涅公式
令曲线的切方向与ru 的夹角为θ,则曲线 Γ 测地曲率为
Ev
Gu
d
θ
kg = co
sθ +
s
i
nθ,
d
s 2E G
2G E
Ev d
Gu d
d
θ
u
v
,
kg = +
d
s 2 EG d
s 2 EG d
s
( G ) u dv
d
θ ( E )v d
u
kg = .
+
d
s
s
s
G d
E d
设曲面 Σ:
r =r(
u,
v)上的坐标曲线网是正交网,则有
定理 4[27,1112]
1
æ 1
ö
(
(
).
(
Evv +Guu )1)
2 EEvGv +EuGuG +EGuGu +EvGEv
4(
EG )
è2EG
ø
(
1)式在文献[
2 7]中是有的,在其中都指出了随后的简化记忆公式,但没有说明这个记忆公式是如
何发现的 .下面笔者将给出导致发现的过程 .
K =-
定理 5
2
2
,则曲面上曲线r =
设曲面 Σ:
r =r(
u,
v)上的第一基本形式为 Ⅰ = (
d
u)
u,
v)(
d
v)
+G (
d
θ
d
v
1
1
,曲面上的高斯曲率为 K =- Guu + 2GuGu
r(
s)=r(
u(
s),
v(
s))的测地曲率为kg = + ( G ) u
d
s
d
s
2G
4G
=-
1
4
光滑边界单连通区域上的 Gau
s
s
-Bonne
t公式
G
( G ) uu .
设曲面 S:
r =r(
u,
v)是 C3 类正则曲面 .曲面 S 上的高斯曲率为 K ,曲面上的曲线的测地曲率为kg ,
曲面上的面积微元为 dA ,曲线的弧长微分为 d
s.区域 D 的边界记为 ■D .
则有
[ ]
定理 6(
Gau
s
s
-Bonne
t公式)24
设区域 D 是曲面S 上的一个单连 通 区 域,若 ■D 是 一 条 光 滑 曲 线,
∬KdA +∫k ds=2π.
■D
D
(
2)
g
设曲线 C =■D 是曲面Σ 上的一条简单光滑封闭曲线,它所包围的区域 D 是一个单连通区域 .
而 Ω 是 D 对应的(
u,
v)平面上的区域,记平面区域 Ω 的边界曲线为 ■Ω .选取曲面上正交坐标曲线网作为
证明
参数曲线网(
u,
v).设曲线 C 的参数方程是u =u(
s),
v =v(
s),其中s 为弧长参数,
θ(
s)是曲线 C 在弧长
(
)是
处的切向量与
曲线的正向夹角,
可以选取
的可微函数
s
u
θs
s
.
[
, ]
利用正交曲线坐标网下计算曲线测地曲率的 L
i
ouv
i
l
l
e公式 1-5 10
( G ) u dv
d
θ ( E )v d
u
,
kg = +
d
s
s
s
G d
E d
(
3)
将(
3)式两边绕曲线 C 积分 1 周,得
∫
∫ ∫
æ ( E )v d
( G ) u dv ö
u
d
s.
+
C
C
C
s
sø
G d
E d
è
[ ]
现在先考察(
4)式右端的第 2 个积分 .利用第二类曲线积分中的 Gaus
s
-Gr
e
en 公式 13 ,得
kgd
s= d
θ+
∫ èæ
C
( E ) v du
∫
G
d
s
+
( G ) u dv ö
d
sø
E
∫ è-
d
s=
æ ( G )uö
+
æ ( E )vö
è E øu
è
直接求导计算,最后利用(
1)式,得
æ ( G )uö
è
E
øu
+
æ ( E )vö
è
G
øv
=
G
d
s
G
ææ ( E )vö
■Ω
Ω
+
v
+
( G ) u dv ö
E
d
sø
æ ( G )uö ö
è
E
øuø
d
s=
d
ud
v.
这样的式子的问题 .
ö
æ 1
ö
1
(
Gu +
Ev =
Guu +Evv )+
è2 EG
øu
è2 EG
ø v 2 EG
æ
1
øv
( E ) v du
∬è è G ø
æ ( E )v
( G )u ö
d
u+
d
v =
■Ω
G
E
è
ø
这里导致出现需要计算
æ
(
4)
4
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Gu
1
æ
ö
+Ev
è2 EG ø u
1
4( EG )
3
1
1
(
Guu +Evv )=
è2 EG ø v 2 EG
æ
ö
(
Gu (
EGu +EuG )+Ev (
EGv +EvG ))=
- EGK ,
故有
1 ææ ( G )uö
K =-
æ ( E )vö ö
.
EG è è E ø u
è G øvø
对(
5)式的来源,笔者给出的是自然的导出发现过程,而不是后验证过程 .于是,
∬è è G ø
ææ ( E )vö
Ω
∫
+
v
æ ( G )uö ö
E
è
øuø
∫
+
∬K EGdudv =-∬KdA .
d
ud
v =-
Ω
D
∬KdA ,即(2)式得证 .
再由结果 [14] d
θ =2π,因此(
4)式就化为 kgd
s=2πC
(
5)
C
D
对(
2)式,文献[
1]中是用曲面上半测地坐标网下给出的证明过程,给出的推导过程过于繁琐,完全应
该改进 .直接利用定理 5 的结果,就可给出简便的证明过程 .
推 论1[14]
设区域 D 是曲面S 上的一个单连通区域,若 ■D 是一条光滑曲线,并且 ■D 是曲面上的测
∬KdA =2π.
设曲面 S 是一个单连通的封闭曲面,则有 KdA =4π.
∬
地线,即曲线 ■D 上的测地曲率kg =0,则有
推论 2[14]
D
S
用一条光滑的封闭曲线 C 将曲面S 分成 2 个部分 S1 和 S2 .利用定理 6,有
证明
∬ KdA +∫ k ds=2π,
∬ KdA +∫ k ds=2π.
■S 和 ■S 的定向相反,
k | =-k | ,将(
6),(
7)式相加后,得 KdA =4π.
∬
1
例3
设 S 是半径为 R 的球面,此时有 K = ,成立 KdA =4π.
∬
R
y
x
z
例 4 设 S 是椭球面 +
+ =1,曲面上的高斯曲率为 K ,求 KdA .
∬
a
b
c
解
因椭球面 S 是一个封闭地曲面,利用推论 2,故有 KdA =4π.
∬
1
2
S1
g
S1
■S1
S2
■S2
证明
(
6)
g
(
7)
S2
g
[
14]
推论 3[14]
g
S
2
2
2
2
2
2
2
S
S
S
在高斯曲率非正的单连通曲面上,不存在光滑的封闭测地线 .
设曲面S 是一高斯曲率非正的单连通曲面,若其上存在一条光滑的闭测地线C ,则C 的测地曲
∬KdA =2π,这与S 上的高斯曲
率kg =0.设C 在曲面S 所围的区域为D ,由 Gaus
s
-Bonne
t公式(
1),可知
率 K ≤0 矛盾 .
注1
D
推论3中必须要求C 所围成的区域是单连通的,否则命题不成立 .例如在旋转单叶双曲面上(它
的高斯曲率 K <0)存在着一条光滑封闭测地线,即曲面上的最小纬圆 .
5
椭球面上高斯曲率的曲面积分的直接计算
由例 4 中椭球面上的高斯曲率的曲面积分结 果,导 致 出 椭 球 面 上 的 高 斯 曲 率 的 曲 面 积 分 的 直 接 计 算
问题 .
例5
x2 y2 z2
设 p(
x,
z)表示从原点到椭球面 Σ: 2 + 2 + 2 =1(
a ≥b ≥c >0)上点 P (
x,
z)处
y,
y,
a
b c
∬
的切平面的距离,求第一型曲面积分 p4(
x,
z)
dS.
y,
Σ
第1期
5
邢家省,等:曲面上的高斯曲率与高斯 波涅公式
显然 p(
x,
z)=
y,
解
1
y2 z2
x
+
+
a4 b4 c4
2
.记
x2 y2
Σ1 = {(
x,
z)∈ Σ,
x ≥0,
z ≥0},
z =c 1- 2 - 2 ,
y,
y ≥0,
a
b
2
2
y
x
(
x,
x,
y)∈ D = 2 + 2 ≤1,
y ≥0 ,
a
b
{
}
x2 y2 z2
c
+
+
a4 b4 c4
2
dS = 1+z2
z
d
x
d
.
x + y
y=
x2 y2
1- 2 - 2
a
b
由对称性可知,
∬
∬
∬æx
J = p4(
x,
z)
dS =8 p4(
x,
z)
dS =8
y,
y,
Σ
Σ1
D
∫ ∫ ær cosθ r sinθ 1 (
π
2
1
0
0
8 d
θ
2
2
+
a2
è
1
2
2
b2
ö
+ 2 1-r )
c
ø
∫ ∫ æ æ cosθ sinθö (
π
2
8
abc d
θ
0
1
2
0
∫∫
π
2
1
0
0
8
abc d
θ
其中 A =
∬
è è a2
2
+
1
b2
2
2
3
2
c
3
2
x2 y2
1- 2 - 2
a
b
3
2
d
t=
d
t,
c
o
s2θ s
i
n2θ 2 c
o
s2θ s
i
n2θ
1
1
2
,
A
+
=
+
≤ 2 .若 A = 2 ,则a =b =c.显然此时是球面的情形,
a2
b2
a2
b2
c
c
J = p4(
x,
z)
dS =4πa6 .
y,
Σ
下设 A2 <
1
,
c2
∫
I=
1
1
0
1
d
t= 3
A
ö
1
2
-A
A3
c2
1+
t2
A2
è
ø
1
A3
于是,
dxd
y=
abrd
r=
1-r2
1 ö2
1-t )+ 2t2
c ø
ø
1
ö2
2
3
2 -A
A
c
1+
t2
A2
è
ø
2
c
3
2
1
æ
1
y
y öö
1æ
x
1- 2 - 2
+
+
a
b øø
èa4 b4 c2 è
2
æ
A
3
2
s
1+s |
1
2
-A
c2
2
1
2
-A
c2
A
0
A
∫
1
2
-A
c2
1
= 3
A
1
2
-A
c2
A
1
3
(
1+s2)2
0
d
s=
1
2
-A
c2
A
c
= 2,
1
A
cA
A
1
2
-A
c2
∫ cosθ + sinθdθ =8abc∫1+a tanθdèbtanθø =
2
J =8abc
π
2
0
2
a2
1
2
2
b2
æ
æa
öö
8
a2b2c2 a
r
c
t
an t
anθ
è
èb
øø
π
2
π
2
0
ab
2
b2
| =4πabc ,
0
2 2 2
æa
2
ö
6
第 37 卷
吉首大学学报(自然科学版)
∬
即 J = p4(
x,
z)
dS =4πa2b2c2 .
y,
Σ
∬
1 æx2 y2 z2 ö -2
1
4
因为椭球面上的高斯曲率为 K = 2 2 2 4 + 4 + 4
= 2 2 2p ,所以 KdS =4π,即有
a bc èa
b
c ø
a bc
Σ
∬
y
z ö
æx
dS =4πa2b2c2 .
4 + 4 + 4
a
b
c
è
ø
Σ
2
2
2
在文献[
13]中给出如下等式的计算过程:
∬
-2
(
8)
1
æx2 y2 z2 ö -2
(
x +y +z )
dS =4π.
+
+
èa4 b4 c4 ø
Σ
2
2
3
2 -2
(
9)
这里例 5 的计算方法引用了文献[
13]中对(
9)式的计算过程,在此指明了导致(
8)式和(
9)式的来源及其几
何意义 .
参考文献:
[
1]梅向明,黄敬之 .微分几何[M].第 4 版 .北京:高等教育出版社出版,
2008:
82 84;
146 149.
[
2]苏步青,胡和生,沈纯理,等 .微分几何[M].北京:人民教育出版社,
1980:
197 203.
[
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