VOLÚMENES DE SÓLIDOS ING. MARIO LÓPEZ MÉTODO DE LAS REBANADAS π¦ ππ ππ = π΄ π₯ ππ₯ π ππ₯ π π = ΰΆ± π΄ π₯ ππ₯ π΄(π₯) π π₯ π π π₯ EJEMPLO 1 Calcular el volumen de una pirámide de base cuadrada, de lado π, y altura β. β π EJEMPLO 1 CONTINUACIÓN… Ubicando la pirámide en el plano cartesiano. β π¦ 1 π¦=− π π 2 βπ¦ − − π¦ = ππ₯ + π π¦= π 2 π₯ βπ₯ π 2 π π π₯+ 2β 2 Recta β βπ¦ βπ₯ π π¦= β π₯+ 2 1 π¦=− π§ ππ₯ π 2 π −2 π 2 π΄(π₯) π₯+ π π π₯+ 2β 2 EJEMPLO 1 CONTINUACIÓN… π π π¦=− π₯+ 2β 2 2 Lado del cuadrado 3 Área transversal π = 2π¦ π΄(π₯) = π 2 π π π=2 − π₯+ 2β 2 π π΄(π₯) = π − π₯ β π π π= − π₯+ β 1 = π2 − 2 π π= π− π₯ β π΄ π₯ 2 π2 π2 2 π₯+ 2π₯ β β EJEMPLO 1 CONTINUACIÓN… 2 2 π π π΄ π₯ = π2 − 2 π₯ + 2 π₯ 2 β β 4 Volumen π= 2 2 π π π 2 β − β2 + 2 β3 − 0 β 3β π π = ΰΆ± π΄ π₯ ππ₯ 2 π π = π2β − π2β + β 3 π β π=ΰΆ± 0 2 2 π π π 2 − 2 π₯ + 2 π₯ 2 ππ₯ β β 2 π= π2π₯ − 2 2 2 3 β π π₯ π π₯ + β 2 β2 3 0 π= 1 2 π β 3 β β 2 2 π π π = π2π₯ − π₯ 2 + 2 π₯ 3 β 3β 0 π π EJEMPLO 2 Calcular el área de la cuña que se muestra en la figura. π π EJEMPLO 2 CONTINUACIÓN… π¦ Usando cortes transversales triangulares. 1 Circunferencia π₯ 2 + π§ 2 = π2 −π π₯ β π −π π π₯ Base del triángulo ππ§ π π₯ = ± π2 − π§ 2 β π§ 2 π π₯ π₯= π2 − π§ 2 EJEMPLO 2 CONTINUACIÓN… π¦ 3 Altura del triángulo β tan π = π₯ β π β = π₯ tan π π₯ Como β= −π β π −π π π₯ π π§ ππ§ π₯ 4 π₯= π2 − π§ 2 π2 − π§ 2 tan π Área del triángulo π΄ = π΅ππ π π΄ππ‘π’ππ /2 ( π2 − π§ 2 )( π2 − π§ 2 tan π ) π΄= 2 (π2 − π§ 2 ) tan π π΄(π§) = 2 EJEMPLO 2 CONTINUACIÓN… 5 Volumen de la cuña π π = tan π ΰΆ± π2 − π§ 2 ππ§ π π = ΰΆ± π΄ π§ ππ§ 0 π π π§3 2 π = tan π π π§ − 3 0 (π2 − π§ 2 ) tan π π΄(π§) = 2 π (π2 − π§ 2 ) tan π π=ΰΆ± ππ§ 2 −π π π (π2 − π§ 2 ) tan π =ΰΆ± ππ§ 2 2 0 π (π2 − π§ 2 ) tan π 0 2 π = 2ΰΆ± ππ§ π = tan π 3 π π2 π − − (0) 3 3 π π = tan π π3 − 3 2 3 π = π tan π 3 EJEMPLO 2 CONTINUACIÓN… π¦ Usando cortes transversales rectangulares. 1 Circunferencia π₯ 2 + π§ 2 = π2 −π π π₯ π π₯ β π −π ππ₯ 2π§ β π§ 2 π§ π π₯ Media base del rectángulo π§ = ± π2 − π₯ 2 π§= π2 − π₯ 2 π§= π¦ EJEMPLO 2 CONTINUACIÓN… π2 − π₯ 2 3 β tan π = π₯ β π β = π₯ tan π π₯ 4 −π β −π π π₯ π Área del rectángulo π΄ = π΅ππ π π΄ππ‘π’ππ π₯ π π΄ = 2π§ β π§ ππ₯ 2π§ β π§ Altura del rectángulo π π₯ π΄ = (2 π2 − π₯ 2 )(π₯ tan π ) π΄ π₯ = 2π₯ π2 − π₯ 2 tan π 5 Volumen de la cuña π EJEMPLO 2 CONTINUACIÓN… π = ΰΆ± π΄ π₯ ππ₯ π π΄ π₯ = 2π₯ π2 − π₯ 2 tan π π π = ΰΆ± 2π₯ π2 − π₯ 2 tan π ππ₯ 0 π π = tan π ΰΆ± 2π₯ π2 − π₯ 2 ππ₯ 0 π’ = π2 − π₯ 2 ππ’ = −2π₯ ππ₯ π π = (−1) tan π ΰΆ± (−1)2π₯ π2 − π₯ 2 ππ₯ 0 π₯=π π = − tan π ΰΆ± π’ ππ’ π₯=0 π₯=π π = − tan π ΰΆ± π₯=0 π’1/2 ππ’ π = −tan π π’3/2 3 2 π₯=π π₯=0 3/2 π₯=π 2π’ π = −tan π 3 π₯=0 π 2 2 2 3/2 π = − tan π [π − π₯ ] 3 0 2 π = − tan π [π2 − π2 ]3/2 −[π2 − (0)2 ]3/2 3 2 π = − tan π 0 − [π2 ]3/2 3 2 π = − tan π −π3 3 2 3 π = π tan π 3