Dynamique des rotors en torsion
Analyse des régimes de fonctionnement
par Henri BLANC
Ingénieur des arts et métiers
Docteur ingénieur agrégé en mécanique
Professeur à l’Ensam Talence
1.
1.1
1.2
1.3
Vibrations libres .......................................................................................
Mise en équations .......................................................................................
Résolution numérique du système aux valeurs propres .........................
Exemple d’adaptation d’une ligne d’arbres ..............................................
BM 5 123 - 2
—
2
—
2
—
3
2.
2.1
2.2
—
—
5
6
2.3
2.4
2.5
2.6
Vibrations forcées ...................................................................................
Identification des paramètres d’amortissement .......................................
Définition de l’importance d’un harmonique du couple produit
par un système bielle-manivelle ................................................................
Mise en équations .......................................................................................
Méthode de résolution ................................................................................
Résultats recherchés....................................................................................
Exemples ......................................................................................................
—
—
—
—
—
8
9
10
10
11
3.
3.1
3.2
3.3
3.4
Régimes transitoires ...............................................................................
Caractérisation des régimes transitoires ...................................................
Expression du système différentiel............................................................
Résolution numérique.................................................................................
Exemple........................................................................................................
—
—
—
—
—
16
16
16
16
17
Pour en savoir plus .......................................................................................... Doc. BM 5 125
et article met en œuvre les résultats de la modélisation des rotors en torsion
pour l’étude des régimes de fonctionnement permanents et transitoires qui
sont représentatifs des conditions réelles d’utilisation des lignes d’arbres. Les
trois analyses usuelles suivantes sont présentées : étude des vibrations libres,
étude des vibrations forcées et étude des régimes transitoires.
Cet article fait partie d’une série sur la dynamique des rotors en torsion :
— BM 5 120 Introduction ;
— BM 5 121Types d’excitations permanentes ;
— BM 5 122 Répartition de l’inertie et de la raideur ;
— BM 5 123 Analyse des régimes de fonctionnement ;
— BM 5 124 Étude des amortisseurs de torsion.
C
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BM 5 123 − 1
DYNAMIQUE DES ROTORS EN TORSION
____________________________________________________________________________________________________
1. Vibrations libres
I1
I2
I3
K1
1.1 Mise en équations
Paramètres
α
de position 1
Dans la majorité des cas (cf. [BM 5 122]), le modèle final obtenu
peut être représenté simplement comme l’assemblage de ressorts
de torsion sans masse dont on connaît la rigidité K et la connectivité. Les extrémités de chacun d’eux sont liées à des disques d’inertie indéformables dont on a identifié le moment d’inertie I. Le
paramétrage caractérise la position et la vitesse angulaire de chaque
disque du modèle. À partir des expressions de l’énergie cinétique et
de la fonction de force écrites en fonction des paramètres de vitesse
et de déplacement indépendants, le formalisme de Lagrange permet d’obtenir le système différentiel représentant les vibrations
libres de torsion.
Ii –1
K2
α2
Ii
Ki
α3
αi –1
Ii +1
In –1
Ki +1
αi
In
Kn – 1
αi +1 αn –1
αn
Figure 1 – Modèle torsionnel générique d’une ligne d’arbres
I1
I2
Pour illustrer le propos, on se place dans le cas d’un modèle non
ramifié composé de n disques (figure 1).
In
Figure 2 – Structure de la matrice de masse du modèle
de la figure 1
L’énergie cinétique Ec et la fonction de force U s’écrivent :
n
1
E c = --- ∑ I i αú i2
2 i=1
nÐ1
1
U = Ð ∑ --- K i ( α i Ð α i + 1 ) 2
2
i=1
K1
– K1
– K1
K1 + K2
– K2
– K2
K2 + K3
– K3
L’équation différentielle obtenue pour les paramètres αi, αú i est :
– Kn – 2
∂U
d  ∂ E c ∂ E c
------  --------- Ð --------- = -------∂ αi
d t ∂ αú i
∂ αi
Si i = 1
Si 1 < i < n
Si i = n
On cherche des solutions non identiquement nulles représentant
à partir des conditions initiales données les vibrations possibles des
disques du modèle soumis à aucune excitation extérieure permanente. Ces solutions sont de la forme :
úú n Ð K n Ð 1 α n Ð 1 + K n Ð 1 α n = 0
In α
L’écriture du système différentiel sous forme matricielle conduit
à:
úú }
{α
úú i ,
vecteur des accélérations α
{α}
vecteur des déplacements αi,
[M ]
matrice de masse diagonale (figure 2),
[K ]
matrice de rigidité symétrique (figure 3).
(1)
Remarque
Dans la mesure où le modèle est ramifié, la démarche de mise
en équations reste identique. La matrice de rigidité [K] obtenue
n’est plus tridiagonale mais, dans tous les cas, elle reste symétrique.
BM 5 123 − 2
Kn –1
1.2 Résolution numérique du système
aux valeurs propres
úú i Ð K i Ð 1 α i Ð 1 + ( K i Ð 1 + K i ) α i Ð K i α i + 1 = 0
Ii α
avec
– Kn –1
– Kn –1
Figure 3 – Structure de la matrice de rigidité du modèle
de la figure 1
úú 1 + K 1 α 1 Ð K 1 α 2 = 0
I1 α
úú } + [ K ] { α } = 0
[M]{α
Kn –2 + Kn –1
{α} = {a} cos ωt
avec
(2)
ω (rad/s) pulsation du mouvement libre.
En insérant ces solutions (2) dans le système différentiel (1), on
obtient le système aux valeurs propres suivant :
− ω2 [M]{a} + [K]{a} = 0
Les solutions obtenues définissent les pulsations propres ωi telles
que :
det ( [ K ] Ð ω i2 [ M ] ) = 0
Pour chaque pulsation propre ωi, le vecteur propre associé {Φi} est
déterminé. Il est solution du système linéaire :
( Ð ω i2 [ M ] + [ K ] ) { Φ i } = 0
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Remarques
Dans la mesure où l’ordre de multiplicité de la pulsation propre est égal à m, il existe m vecteurs propres associés.
La justification mathématique de ces résultats [9], [10] est
déduite des propriétés des matrices [K] et [M] qui sont symétriques, semi-définies et positives.
Il existe des logiciels standards permettant la résolution de tels
problèmes (cf. [Doc. BM 5 125]). Généralement, la mise en données
de ces logiciels est très conviviale. Les données manipulées se résument à la définition de la connectivité des ressorts de torsion puis de
l’inertie des disques et enfin de la rigidité des ressorts de torsion.
Usuellement, seules les premières pulsations propres – les plus
petites – et leurs vecteurs propres associés sont nécessaires en vue
de l’adaptation des lignes d’arbres.
La résolution numérique de ce système aux valeurs propres met
en œuvre en général la méthode d’itération sur sous espace [9] qui,
d’ailleurs, est utilisée de manière très standard dans les logiciels de
calcul par éléments finis. Cette méthode permet de traiter des systèmes de taille très élevée et elle est dédiée au calcul des premières
pulsations propres du système.
Remarque : dans quasiment tous les cas, une ligne d’arbres
possède une (ou des) vitesse(s) de rotation moyenne(s) non
nulle(s). La première pulsation propre trouvée est donc nulle,
elle correspond au mouvement de rotation de corps solide pour
chacun des rotors composant la ligne d’arbres.
1.3 Exemple d’adaptation d’une ligne
d’arbres
1.3.1 Méthodologie de l’analyse
Comme nous l’avons montré, le modèle représentant l’installation étudiée permet le calcul des premières pulsations propres et
des déformées modales associées. Ces résultats permettent une
première prévision du comportement vibratoire de la ligne d’arbres
dans la mesure où, par ailleurs, un bilan des pulsations des excitations extérieures a été réalisé. Pour toutes les vitesses de fonctionnement, il s’agit de confronter d’une part, les valeurs des pulsations
propres trouvées et, d’autre part, les valeurs des pulsations des harmoniques non négligeables des couples excitateurs. En cas d’égalité avec une tolérance de plus ou moins 10 %, on est en présence
d’une vitesse dangereuse qui est égale à la vitesse assurant, pour
l’harmonique de l’excitation extérieure identifiée, l’égalité des pulsations à la tolérance près.
Première
manivelle
Roue
N S0
Seconde
manivelle
N E0
Compresseur C
I1
N S0
V APV Réducteur
R
I2
K1
Paramètres
de position α10
schéma
I3
I4
K2
α20
b
a
K3
α30
(1)
(1)
I5
I6
(1)
K5
K4
α40
Moteur
électrique M
AGV
α50
(1)
α60
(1)
α70
(1)
α80
Figure 4 – Groupe compresseur
compresseur au régime nominal. Après quelques centaines d’heures de fonctionnement, les dents des engrenages présentent une
usure anormale sur chaque flanc. Comme nous allons le montrer,
cela est caractéristique, bien souvent, d’amplitudes vibratoires donc
de couples oscillatoires trop importants au régime de fonctionnement sans charge. Une telle disposition ne permettant pas un fonctionnement correct, il y a lieu d’en modifier certains éléments pour
obtenir un service acceptable.
1.3.3 Résultats de l’étude en vibrations libres
Les tableaux 1 et 2 récapitulent les données nécessaires
(cf. [BM 5 122, § 8.1]).
(0)
Tableau 1 – Valeurs numériques des moments d’inertie
des disques du modèle du groupe compresseur (figure 4)
Disque
no
Moment d’inertie
(N · m · s2)
L’adaptation de la ligne d’arbres par rapport à ce niveau d’analyse,
consiste à modifier la répartition initiale des raideurs et (ou) des
inerties de sorte à déplacer hors de la plage de fonctionnement tout
ou une partie des vitesses dangereuses. Dans certains cas, d’autres
solutions sont nécessaires, elles sont décrites en [BM 5 124].
1
8,25
2
8,25
3
549,5
4
2,75
5
20,07
6
3,52
7
3,52
8
116
On considère l’installation de production d’air comprimé
dont le modèle a été défini en [BM 5 122, § 8.1]. Le groupe compresseur (figure 4) tourne à un régime constant (425 tr/min). Au cours
d’une journée, on peut estimer à 1 h le temps de marche à vide du
(1)
I8
(1)
K7
modèle torsionnel ramené à la vitesse
de rotation du compresseur
Quand elle fonctionne au voisinage d’une vitesse dangereuse,
l’installation est le siège d’un phénomène de résonance qui est, très
souvent, destructeur.
1.3.2 Choix de l’installation étudiée
(1)
I7
(1)
K6
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BM 5 123 − 3
DYNAMIQUE DES ROTORS EN TORSION
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(0)
Tableau 2 – Connectivité et valeurs numériques
des rigidités des ressorts de torsion du modèle du groupe
compresseur (figure 4)
Ressort de
torsion
no
Connectivité
Rigidité
torsionnelle
(N · m/rad)
Longueur
équivalente
(mm)
1
1
2
3,3 x 107
259
2
2
3
2,78 x 107
307
3
3
4
3,6 x 106
2 375
4
4
5
1,52 x 107
561,3
146
5
5
6
5,86 x 107
6
6
7
6,41 x 106
1 335
7
7
8
4,59 x 107
186,5
Amplitude relative
des disques
1
Nœud de vibration
1
0,99
0,98
2
3
4
5
6
7
8
N° des disques
– 1,78
– 2,43 – 2,58
– 3,96
– 4,14
ω1 = 133,6 rad/s
(0)
Tableau 3 – Pulsations propres ωi du modèle du groupe
compresseur (figure 4)
(0)
No du mode
tr/min
rad/s
1
1 276
133,6
2
5 690
595,6
3
11 237
1 176,2
4
25 899
2 710,8
Les longueurs équivalentes (tableau 2) ont été calculées pour un
diamètre équivalent de 180 mm avec un module de cisaillement
transversal équivalent de 8 300 daN/mm2.
Les quatre premières pulsations propres (ou modes propres) ont
été calculées (tableau 3) et on présente les déformées modales
associées (tableau 4 et figure 5).
1.3.4 Bilan des sources d’excitation
Le tableau 5 analyse la pulsation de chaque source potentielle
d’excitation vis-à-vis des vibrations de torsion. Dans la colonne
observation, on repère les vitesses dangereuses pour le groupe
compresseur et pour chacune d’elle, on indique la pulsation propre
concernée.
1.3.5 Adaptation de la ligne d’arbres
De manière générale, il est intéressant de réaliser une étude de la
sensibilité des valeurs de rigidités et de moments d’inerties sur les
pulsations propres intéressantes. Grâce aux logiciels de calcul (cf.
[Doc. BM 5 125]), cette analyse est très rapide d’autant qu’elle est
souvent automatisée. Malgré tout, il est possible d’énoncer quelques règles générales.
1.3.5.1 Influence de la raideur des tronçons
sur les pulsations propres
La modification de la rigidité torsionnelle d’un tronçon n’a
d’influence notable sur les pulsations propres que lorsque ce tronçon subit une relativement grande déformation. Dans ce cas, il est,
en général, le siège d’un nœud de vibration. Pour déplacer une
vitesse dangereuse, il est donc inutile de modifier la rigidité torsionnelle des autres tronçons, ceux qui stockent une énergie potentielle
relativement faible.
BM 5 123 − 4
Figure 5 – Déformée modale du premier mode du modèle
de la figure 4
Tableau 4 – Amplitudes relatives du modèle du groupe
compresseur (figure 4) pour les quatre premières
pulsations propres non nulles
Disque
no
Mode no 1
ω1 =
133,6 rad/s
Mode no 2
ω2 =
595,6 rad/s
1
1
1
2
0,99
3
0,98
4
Mode no 3
Mode no 4
ω3 =
ω4 =
1 176,2 rad/s 2 710,8 rad/s
1
1
0,91
0,65
− 0,83
0,71
− 0,025
− 1,19
− 1,78
− 39,29
− 0,002
1 113
5
− 2,43
− 46,24
0,003 4
− 123,2
6
− 2,58
− 42,43
0,003 3
− 191
7
− 3,96
0,69
0,000 1
− 42
8
− 4,14
6,69
− 0,000 2
2,39
Pour les premiers modes, les nœuds de vibration sont situés près
des disques à grand moment d’inertie ou dans les tronçons de faible
rigidité torsionnelle. Or, généralement, près des disques à grand
moment d’inertie (volants), sont montés les accouplements élastiques de liaison. Les nœuds de vibration sont donc presque toujours
localisés dans les accouplements. Il est possible, en modifiant la
rigidité de l’accouplement, de changer la pulsation propre de la
ligne d’arbres. C’est évidemment, du fait de sa simplicité, la première opération à envisager. D’ailleurs, et d’une façon générale, on
évite que le nœud de vibration du premier mode soit ailleurs que
dans l’accouplement. Si l’on respecte cette règle, le choix de la rigidité torsionnelle de l’accouplement est facile. En effet, dans ce cas,
la pulsation propre varie sensiblement comme la racine carrée de la
rigidité torsionnelle du tronçon situé au nœud de vibration. Cette
propriété est d’autant plus valable que la part de l’énergie potentielle du système vibrant stockée dans l’accouplement est grande.
Enfin, si cette modification n’est pas suffisante pour écarter tout
danger, on agit sur les inerties.
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(0)
Tableau 5 – Bilan des sources d’excitation du groupe compresseur (figure 4)
Vitesse de rotation
(tr/min)
Harmonique
à considérer
Pulsation
de l’harmonique
(tr/min)
Pulsation propre
correspondante
(tableau 3)
Balourd arbre
compresseur
425
1
425
aucune
pas de danger
Balourd arbre moteur
1 485
1
1 485
aucune
pas de danger
Pignon réducteur
1 485
35
(nb. de dents ;
(cf. [BM 5 121, § 1, 2])
51 975
aucune
pas de danger
Roue réducteur
425
Sources de l’excitation
Système bielle-manivelle
Moteur électrique
425
3 000
Observations
51 975
aucune
pas de danger
1
425
aucune
pas de danger
2
850
aucune
pas de danger
3
1 275
1 276
danger (1er mode)
4
1 700
aucune
pas de danger
5
2 125
aucune
pas de danger
6
2 550
aucune
pas de danger
7
2 975
aucune
pas de danger
8
3 400
aucune
pas de danger
............
50 Hz ou 3 000 tr/min
aucune
pas de danger
1.3.5.2 Influence de l’inertie des tronçons sur les pulsations
propres
Il faut noter qu’une modification modérée du moment d’inertie
des disques situés de part et d’autre d’un nœud de vibration a très
peu d’influence sur la pulsation propre. En revanche, tout changement du moment d’inertie d’un disque proche d’un ventre de la
déformée modale entraîne une modification notable de la pulsation
propre. Un tel disque possède une amplitude de vibration relativement grande et stocke de ce fait une grande partie de l’énergie cinétique du système vibrant.
Pour une installation comportant un moteur thermique, on choisit
l’inertie du volant voire la raideur de l’accouplement pour que le
nœud de vibration du premier mode soit dans l’accouplement et
non dans le vilebrequin. Dans la mesure où l’on n’a pas besoin de
mettre sur le vilebrequin un volant de régulation, on peut minimiser
le moment d’inertie de ce volant, à condition de placer un accouplement souple et à fort taux d’amortissement (accouplement caoutchouc) afin de limiter les oscillations de torsion surtout durant les
phases transitoires.
Exemple : application au groupe compresseur
Le tableau 5 fait apparaître que, pour le premier mode, il y a résonance avec l’harmonique d’ordre 3 du couple résistant dû aux systèmes bielle-manivelle du compresseur. L’explication de la détérioration
rapide des dentures devient simple. Lors des marches à vide, quand le
couple moyen transmis est faible, les couples dynamiques sur les
roues dentées du réducteur entraînent l’inversion avec choc du contact
entre dentures.
Pour éliminer ce phénomène qui est à l’origine de la panne, on a
modifié la rigidité torsionnelle de l’accouplement élastique. Nous avons
retenu un accouplement de rigidité K3 = 23,78 x 108 N · m/rad (l’ancien
accouplement avait une rigidité K3 = 3,6 x 106 N · m/rad). Les pulsations propres de cette nouvelle ligne d’arbres sont données dans le
tableau 6. La première pulsation propre n’est plus dangereuse pour le
fonctionnement de l’installation et expérimentalement nous avons
constaté la bonne tenue de la denture.
(0)
Tableau 6 – Pulsations propres du modèle du groupe
compresseur (figure 4) après modification de la rigidité
de l’accouplement
Mode no
rad/s
tr/min
1
197,2
1 883
2
951,3
9 084
3
1 176
11 236
4
3 168
30 268
2. Vibrations forcées
L’objectif principal de ce paragraphe est la détermination des
amplitudes de vibration des disques du modèle pour des conditions
de fonctionnement permanentes, c’est-à-dire une vitesse constante
et des sollicitations périodiques établies. À partir des déformations
trouvées pour chaque ressort de torsion, il est possible de calculer
une estimation de l’amplitude des contraintes de cisaillement qui
existent dans les tronçons du rotor associés.
Le modèle choisi pour cette étude est déduit du modèle utilisé
pour l’étude en vibrations libres. Il est complété par la représentation des phénomènes d’amortissement présents dans l’installation.
On utilise aussi les amplitudes et les phases des excitations périodiques.
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BM 5 123 − 5
DYNAMIQUE DES ROTORS EN TORSION
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Remarque
Le calcul des contraintes induites par les vibrations de torsion
n’est pas chose facile surtout dans le cas de tronçons présentant
des accidents de forme ou dont la géométrie n’est pas axisymétrique. On pourra se reporter aux abaques de l’article [BM 5 122,
figures 6 à 15]. Dans le cas d’un chargement limité à un couple
de torsion pur, ils permettent d’estimer la valeur de la contrainte
de cisaillement maximale qui se situe au point de la section le
plus proche de l’axe et qui est repérée pas une croix sur chaque
schéma des sections. Cette localisation et les valeurs lues supposent des rayons et des congés de raccordement suffisants
surtout au niveau des angles rentrants de la section. On a :
Contrainte
Point de fonctionnement
sans vibration
Déformation
Figure 6 – Comportement d’un matériau viscoélastique
Tf
τ max = -----R3
τmax (Pa) contrainte de cisaillement maximale,
R (m)
rayon de référence de la section défini sur les
abaques,
f
coefficient lu sur l’abaque,
T (N · m) valeur du couple transmis dans le tronçon.
Pour une section circulaire pleine, on trouve f = 2/π.
avec
2.1 Identification des paramètres
d’amortissement
2.1.1 Description des phénomènes physiques mis
en jeu
Les amplitudes réelles de vibration en régime permanent sont telles que, sur une période, l’énergie fournie au système par les phénomènes à l’origine des excitations est équilibrée avec l’énergie
dissipée par les phénomènes irréversibles qui sont en relation avec
les vibrations de torsion (en général, par la cinématique mise en
jeu).
De manière générale, la dissipation de l’énergie de vibration est la
conséquence de la déformation d’un milieu à comportement visqueux ou du déplacement relatif avec glissement de deux surfaces
en contact avec frottement. En conséquence, les paramètres principaux à analyser caractérisent :
— le type de matériau ou le fluide concerné,
Ai
Ki –1
Ki
Ri –1
Paramètres
de position
αi –1
Ri
αi
αi +1
Figure 7 – Représentation d’un amortissement absolu
et d’un amortissement relatif
2.1.2 Principe de modélisation
Ces phénomènes sont en général non linéaires. Malgré tout, étant
donné les faibles valeurs des amplitudes de vibration, il est possible
de linéariser ces comportements très complexes au voisinage du
point de fonctionnement stable.
Pour une composante d’excitation en torsion sinusoïdale, l’action
mécanique représentative de ces phénomènes est un couple de
moment Q de direction l’axe de rotation et s’appliquant sur un disque. Il est en quadrature avec le déplacement vibratoire et proportionnel à la vitesse de vibration. Pour le disque i (figure 7), on définit
le coefficient d’amortissement absolu Ai en relation avec la vitesse
de vibration absolue du disque et les coefficients d’amortissement
relatifs Ri−1, Ri en relation avec les vitesses de vibration mesurées
par rapport à celles des disques connectés au disque i.
— le type de la déformation (traction, compression, cisaillement)
et son amplitude en relation avec les vibrations de torsion,
En isolant le disque i, supposé connecté aux disques i − 1 et i + 1
(figure 7) et en incluant tous les amortisseurs prévus, le moment Q
caractérisant le couple de dissipation visqueuse s’écrit :
— les solutions technologiques et le mode de réalisation des
liaisons entre les pièces constituant les rotors.
Q i = Ð A i αú i Ð R i Ð 1 ( αú i Ð αú i Ð 1 ) + R i ( αú i + 1 Ð αú i )
Le comportement viscoélastique d’un matériau se caractérise par
un déphasage en retard du déplacement par rapport à l’effort. Par
exemple, pour une variation sinusoïdale, la représentation de la
contrainte en fonction de la déformation, montre une boucle dont la
surface hachurée est proportionnelle à l’énergie dissipée au cours
d’un cycle de vibration (figure 6).
Remarque
On envisage dans ce paragraphe, l’étude de l’amortissement
induit « spontanément » par les choix technologiques réalisés
lors de la conception de la ligne d’arbre, sans considérer les systèmes conçus à dessein pour amortir les vibrations de torsion.
Ces derniers sont abordés en [BM 5 124].
BM 5 123 − 6
Les coefficients d’amortissement absolu et relatif s’expriment en
N · m · s/rad.
Un amortissement relatif peut représenter l’effet d’hystérésis
dans le matériau constituant le rotor.
L’amortissement interne introduit par certains accouplements
élastiques est aussi à prendre en compte par ce modèle d’amortissement visqueux relatif. L’amortisseur relatif est placé parallèlement
au ressort de torsion comme l’indique la figure 8.
La dissipation due aux mouvements relatifs infinitésimaux au
niveau des surfaces fonctionnelles des liaisons rotor-rotor peut être
aussi prise en compte par ce type d’amortissement bien que, sur le
principe, le modèle visqueux proposé est inadapté.
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En prenant la valeur moyenne 0,017 pour le taux d’amortissement
critique, on obtient l’approximation suivante :
Éléments
à comportement
viscoélastique
I1
Ki Ii Ii + 1
R i = 0 ,034 -----------------------( Ii + Ii + 1 )
Remarque
Le calcul exact de la matrice d’amortissement à partir de
l’hypothèse d’un amortissement proportionnel est beaucoup
plus complexe [12].
Pour un accouplement qui est en général à proximité ou le
siège d’un nœud de vibration pour un des premiers modes, la
dissipation de l’énergie de vibration est très grande vis-à-vis de
celle mise en jeu par les phénomènes décrits précédemment.
Les informations du constructeur de l’accouplement sont très
utiles pour identifier les coefficients d’amortissement. Malheureusement, elles sont souvent incomplètes.
I2
K
R
Figure 8 – Modélisation d’un accouplement viscoélastique
Ii
Ii +1
Ki
En ce qui concerne le coefficient d’amortissement absolu, il est
possible de l’identifier à partir de la puissance dissipée Pd pour le
point de fonctionnement stable autour duquel on analyse les vibrations de torsion. Si n (rad/s) représente la vitesse de rotation
moyenne du rotor, de manière générale, on a :
Ri
Paramètres
de position
αi
Pd = − (Bnz)n
αi +1
Figure 9 – Éléments intervenant dans le calcul de Ri [6]
L’amortissement absolu caractérise la dissipation de l’énergie de
vibration au niveau des liaisons entre le rotor et le bâti ou au niveau
des éléments moteur et récepteur de la ligne d’arbre.
Bnz représente le module du couple qui s’oppose à la rotation du
rotor.
Exemple : pour une hélice marine ou les pales d’un ventilateur, on
peut prendre en première approximation z = 2.
Le couple résistant Q induit par la vitesse de vibration αú (la
vitesse instantanée du disque i est Ω = n + αú ) s’obtient par développement limité au premier ordre, le petit accroissement de vitesse
étant αú :
Q = Ð Bzn z Ð 1 αú
2.1.3 Identification des paramètres Ai et Ri
En ce qui concerne l’amortissement relatif, en relation avec l’effet
d’hystérésis au sein du matériau constituant le rotor, il est très difficile d’obtenir des valeurs précises génériques. Ces dernières dépendent de la structure intime de la matière et seul un ordre de
grandeur est possible. On estime cette valeur de 1,5 à 2 pour cent de
l’amortissement critique pour le mode propre représentatif de la
solution cherchée. Des identifications plus précises sont possibles
moyennant de s’imposer des études expérimentales dédiées.
D’après Vance [6], on peut obtenir une valeur acceptable en supposant que Ri = βKi (amortissement dit « proportionnel ») et en considérant le mode propre du système formé du ressort i et des
disques connectés numéros i et i + 1 (figure 9).
D’où, pour le disque numéro i représentant par exemple l’hélice,
on obtient :
Ai = Bznz − 1
Le coefficient B peut être déterminé à partir de la connaissance de
la puissance dissipée à la vitesse n par :
Pd
B = Ð -----------nz + 1
2.1.4 Précautions
La pulsation propre du système défini s’exprime par :
ωi =
Ki ( Ii + Ii + 1 )
------------------------------Ii Ii + 1
Le taux d’amortissement critique est approché par :
Ri
β
ξ i = ----------- = --- ω i
2
Ki
2 ----ωi
L’évaluation des coefficients précédents Ai et Ri suppose un comportement correct de la ligne d’arbres, en particulier, il est important
que les liaisons rotor-rotor par adhérence, assurées par vissage ou
frettage, soient sans jeu et maintenues par un effort de précontrainte constant et adapté. On suppose aussi que les liaisons unilatérales, si elle existent, ne présentent pas d’inversion du contact
sous l’effet des quantités d’accélération induites par les vibrations,
dans le cas de marche à faible puissance par exemple.
Il est aussi important de quantifier la sensibilité de la valeur des
coefficients d’amortissement sur les résultats en déplacement des
disques du modèle. Ensuite, en estimant la précision avec laquelle
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BM 5 123 − 7
DYNAMIQUE DES ROTORS EN TORSION
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on connaît ces coefficients, on a une idée plus précise sur la validité
des résultats obtenus.
attelage mobile ainsi que, pour chaque cylindre, un cycle thermodynamique identique et stabilisé.
Remarque
Il est aussi possible d’obtenir une diminution de l’amplitude
des vibrations de torsion par dérivation de l’énergie vibratoire
de la ligne d’arbres étudiée vers un système élastiquement couplé. On utilise cette possibilité pour concevoir des amortisseurs
accordés. Mais, des conditions de fonctionnement plus ou
moins fortuites peuvent recréer ce type d’« absorbeur ». Une
anecdote rapportée par Den Hartog [2] illustre ce point. Ce dernier, mesurant des amplitudes de vibrations de torsion sur une
installation de propulsion marine, constatait qu’il obtenait des
valeurs deux fois plus faibles que celles prédites par le calcul.
Alors qu’il se demandait la raison de cette différence, il fut attiré
par un bruit à l’avant du navire. C’était la chaîne de l’encre qui
vibrait à la fréquence où il mesurait les amplitudes de vibration
de torsion. L’explication devient facile, comme on le verra en
[BM 5 124], la chaîne se comportait comme un pendule accordé
et, sa vibration à la même fréquence, dérivait une partie de
l’énergie de vibration de la ligne d’arbre étudiée. Il est donc délicat d’identifier les causes d’affaiblissement ou d’amortissement
des vibrations et ce cas pose aussi la difficile question de savoir
comment limiter le domaine à modéliser lors des études en
dynamique.
L’importance de l’harmonique d’ordre q, pour la vitesse dangereuse Ω relative à la pulsation propre ωi, est égale au travail
élastique développé par l’ensemble des couples harmoniques
de rang q de chaque cylindre. Ce travail élastique est maximal à
la résonance, il est obtenu à partir du déplacement déduit de la
suite de Holzer associée au mode de pulsation ωi.
2.2.1 Cas d’un monocylindre
Dans les conditions définies précédemment et en choisissant correctement l’origine du temps, le déplacement du disque numéro ,
correspondant au cylindre s’écrit :
α , = ϕ , cos ( qΩt )
(4)
L’expression du travail élastique est :
2π ⁄ ω i
We =
∫
C q cos ( qΩt + β , q ) d α ,
0
En utilisant les expressions (3) et (4), on obtient :
W e = π C q ϕ , sin β , q
2.2 Définition de l’importance
d’un harmonique du couple produit
par un système bielle-manivelle
La valeur maximale de We est obtenue à la résonance pour
β , q = π ⁄ 2 . L’importance relative de cet harmonique est donc :
( W e ) max = π C q ϕ ,
Pour certains types d’excitations dont celles produites par un système bielle-manivelle (cf. [BM 5 121, § 1.1]), il est possible de mesurer l’importance relative des harmoniques dans la réponse
vibratoire globale. On en déduit une classification des nombreuses
vitesses dangereuses que l’on obtient en considérant les harmoniques non négligeables du couple exercé par la bielle sur le maneton.
On considère l’harmonique d’ordre q qui entraîne une vitesse
dangereuse de valeur Ω (rad/s) pour le mode propre de pulsation ωi
(rad/s). On a :
ω i = qΩ
(3)
La déformée modale (suite de Holzer) associée à la pulsation propre ωi est représentée par le vecteur {Φi} tel que :
Remarque : à la résonance, l’excitation et le déplacement sont
déphasés de π/2.
2.2.2 Cas de plusieurs cylindres
Pour éviter des lourdeurs au niveau de la présentation, on suppose que les numéros des disques et des cylindres représentés sont
consécutifs et varient entre 1 et m (indice de sommation , ).
On calcule le déphasage angulaire entre le couple de l’harmonique d’ordre q du cylindre , par rapport à celui du cylindre 1.
L’expression du couple pour chaque cylindre est :
 ϕ1 
 
 ϕ2 
 
{ Φi } =  
 
 
ϕ 
 n
avec ϕ1 = 1.
C 1 q = C q cos ( qΩt + β 1 q )
et
C , q = C q cos ( qΩt + β , q )
La combustion dans le cylindre 1 débute à l’instant t1, alors
qu’elle débute à l’instant t , dans le cylindre , . Les couples délivrés
par deux cylindres étant identiques, on a :
Pour le cylindre numéro , du moteur à m cylindres, le couple harmonique d’ordre q s’écrit :
C , q = C q cos ( qΩt + β , q )
avec
β, q
angle de déphasage.
On suppose que l’amplitude Cq est constante pour tous les cylindres du moteur. Cela impose une géométrie identique pour chaque
BM 5 123 − 8
C1 q ( t1 ) = C, q ( t, )
soit :
C q cos ( qΩt 1 + β 1 q ) = C q cos ( qΩt , + β , q )
On en déduit :
qΩt 1 + β 1 q = qΩt , + β , q
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Enfin :
β , q = β 1 q Ð qΩ ( t , Ð t 1 )
(5)
Le terme Ω ( t , Ð t 1 ) représente l’angle dont a tourné le vilebrequin entre le début de la combustion au cylindre 1 et le début de la
combustion au cylindre , . Cet angle est calculable à partir du
maillage du vilebrequin ainsi que de l’ordre d’allumage. On pose :
β 1, = Ω ( t , Ð t 1 )
Le calcul du travail élastique maximal des couples harmoniques
d’ordre q pour la déformée du mode de pulsation ωi conduit à chercher la valeur maximale de l’intégrale suivante :
We =
∫
2π
--------  m
qΩ
0
d α ,
 ∑ C , q ---------- d t
dt 
, = 1
avec α , = ϕ , cos ( qΩt + B ) .
Pour un mode propre donné, tous les disques vibrent à la même
pulsation et en phase ou en opposition de phase. L’angle B est donc
identique pour tous les disques. Sa valeur, à la résonance, assure le
maximum de We. On obtient :
et
β , q = β 1 q Ð q β 1,
Ainsi, connaissant la phase du couple harmonique d’ordre q pour
le cylindre 1, on peut calculer la phase de tous les couples de même
harmonique pour les autres cylindres. On peut représenter ces excitations qui ont même pulsation par des vecteurs tournants dont la
phase relative est constante. On obtient les diagrammes dits en
étoile caractéristiques d’un harmonique du couple moteur, d’un
maillage du vilebrequin et d’un ordre d’allumage. Par exemple, pour
un moteur quatre temps quatre cylindres en ligne possédant un vilebrequin à plat (maillage 0˚, 180˚, 180˚, 0˚) et pour l’ordre d’allumage
1, 3, 4, 2, on donne les diagrammes en étoile pour les harmoniques
d’ordre 0,5 ; 1 ; 1,5 et 2 (figure 10).
tion
rota
s de oteur
n
e
S
m
du
tion
rota
s de oteur
n
e
S
m
du
41
1
(6)
Remarques
L’importance de l’harmonique q relatif à la vitesse dangereuse
Ω dépend :
— de l’ordre d’allumage et du maillage du vilebrequin ;
— de l’amplitude Cq du couple harmonique d’ordre q ;
— des amplitudes relatives ϕ , de la suite Holzer associé au
mode propre de pulsation ωi = qΩ.
Les importances permettent de sélectionner les harmoniques
associés aux régimes véritablement dangereux et limitent les
calculs en vibrations forcées aux seuls harmoniques dangereux.
2.3 Mise en équations
– 0,5 x 180°
–1
3
80
x1
°
2
4
2 3
harmonique d'ordre 0,5
visualisation
de l'ordre d'allumage
harmonique d'ordre 1
visualisation
des coudes du vilebrequin
on
tati
e ro ur
d
s
e
Sen u mot
d
1
on
tati
e ro ur
d
s
e
Sen u mot
d
– 1,5 x 180°
2
2
m
π Cq  m



( W e ) max = ----------  ∑ ϕ , cos ( qβ 1, ) +  ∑ ϕ , sin ( qβ 1, )
qΩ  , = 1

, = 1

Par rapport au système différentiel obtenu lors de l’étude en
vibrations libres (§ 1.1), il s’agit de tenir compte de l’énergie dissipée
par les amortisseurs relatifs ou absolus ainsi que des couples d’excitation périodiques qui sont appliqués aux disques du modèle.
De manière formelle, il est possible de définir une fonction dissipation D qui est calquée sur l’expression de la fonction de force U
qui, elle, caractérise l’énergie élastique interne des ressorts de torsion. En supposant un amortisseur absolu défini au niveau du disque i (figure 11) et un amortisseur relatif placé entre les disques i et
i + 1, les expressions de la fonction élémentaire de dissipation Dri
pour un amortisseur relatif et Dai pour un amortisseur absolu
s’écrivent :
1
D a i = Ð --- A i αú i2
2
1
D r i = Ð --- R i ( αú i + 1 Ð αú i ) 2
2
2
– 2 x 180°
La fonction dissipation globale est obtenue en sommant, sur tous
les amortisseurs absolus et relatifs définis, les fonctions de dissipation élémentaires. On obtient :
3
32
14
4
harmonique d'ordre 1,5
Figure 10 – Diagrammes en étoile
harmonique d'ordre 2
D = ∑ Dr i + ∑ Da i
Les expressions de l’énergie cinétique Ec des disques et de la
fonction de force U des ressorts de torsion sont identiques à celles
écrites lors de l’étude en vibrations libres.
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BM 5 123 − 9
DYNAMIQUE DES ROTORS EN TORSION
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systèmes différentiels qui se différencient par leurs seconds membres qui sont successivement : {F1}, ... {Fk}, ... {Fp}. Chaque second
membre caractérise un ensemble d’excitations à la même pulsation
Ωk.
Le second membre complexe { F÷ } associé à {F } est tel que
Amortisseur
absolu
Ai
k
(j2 = − 1) :
Ki
Ri
Paramètres
de vitesse
αi
k
jΦ
 C1 k e 1k 


...




{ F÷ k }e j Ωk t =  C ik e j Φik e j Ωk t


...



j Φ nk 
 C nk e

αi +1
Amortisseur
relatif
Figure 11 – Définition des fonctions de dissipation élémentaires
On vérifie bien que :
Dans ces conditions, l’équation différentielle écrite pour le
disque i est :
{ F k } = Re ( { F÷ k }e j Ωk t )
∂U ∂D
d  ∂ E c ∂ E c
------  --------- Ð --------- = -------- + -------- + C i
d t ∂ αú i
∂ αi
∂ α i ∂ αú i
2.4.2 Expression des systèmes linéaires à résoudre
Le couple Ci représente l’excitation périodique appliquée au
disque i.
On considère le système dont le second membre est { F÷ k }e jΩk t . La
solution particulière recherchée est de la forme :
On obtient le système différentiel suivant que l’on présente sous
forme matricielle :
úú } + [ C ] { αú } + [ K ] { α } = { F }
[M]{α
avec
(7)
[ M]
matrice de masse diagonale (cf. § 1.1),
[C ]
matrice d’amortissement symétrique,
[K]
matrice de rigidité symétrique (cf. § 1.1),
{F }
vecteur second membre des couples excitateurs
(cf. § 2.4.1).
 α÷ 1 k 


 ... 


{ α÷ k }e j Ωk t =  α÷ ik e j Ωk t


 ... 
 α÷ 
 nk 
Le système à résoudre en arithmétique complexe s’écrit :
[ Ð Ω k2 [ M ] + [ K ] + j Ω k [ C ] ] { α÷ k } = { F÷ k }
2.4 Méthode de résolution
2.4.3 Reconstruction de la solution
Les hypothèses de modélisation précisent que l’on se place en
régime établi. Cela signifie que toutes les composantes de vibrations non excitées et associées à la phase transitoire précédente ont
disparu à cause des phénomènes d’amortissement. La solution permanente qui est recherchée correspond à la solution particulière du
système différentiel (7) avec second membre.
On choisit de se placer en arithmétique complexe et la solution
physique s’exprime comme la partie réelle de la solution complexe
obtenue.
2.4.1 Expression du second membre complexe
En supposant que le nombre de disques est égal à n, le second
membre est de la forme :
 C 1 k cos ( Ω k t + Φ 1 k ) 


...

p 
p


{ F } = ∑  C ik cos ( Ω k t + Φ ik )  = ∑ { F k }

k=1 
k=1
...


 C cos ( Ω t + Φ ) 
k
nk 
 nk
Étant donné que le problème a été linéarisé, il est possible d’utiliser le principe de superposition. On est donc conduit à résoudre p
BM 5 123 − 10
La solution globale est déduite des solutions complexes { α÷ k }
obtenues après résolution des p systèmes précédents. On obtient :
p


 ∑ α 1 k cos ( Ω k t + ϕ 1 k ) 
k = 1



...




p
p




j
Ω
t
{ α } = Re  ∑ { α÷ k }e k  =  ∑ α ik cos ( Ω k t + ϕ ik ) 
k = 1

k=1



...


 p



 ∑ α nk cos ( Ω k t + ϕ nk ) 
k = 1

2.5 Résultats recherchés
Pour un ensemble de vitesses de rotations Nr de l’installation
appartenant à la plage de fonctionnement, il est intéressant de connaître les résultats suivants.
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■ Amplitudes maximales d’oscillations de certains disques
Elles permettent de réaliser une vérification expérimentale ou de
juger de la perturbation produite dans les mécanismes entraînés.
Pour le disque numéro i, l’amplitude maximale d’oscillation s’écrit :
Cylindres 1 à 4
2
3
p
α i , max =
∑ αik cos ( Ωk t + ϕik )
k=1
1
Frein
max
4
Poulie
Le maximum de l’amplitude est calculé pour l’ensemble des
valeurs du temps t prise sur l’intervalle [0, TM] où TM est le plus petit
2π
commun multiple des p périodes d’excitation ------- .
Ωk
■ Amplitudes maximales de déformation d’un ensemble de
ressorts de torsion
Accouplement
a
Les contraintes de cisaillement dans le tronçon réel associé sont
calculables (voir remarque introductive du paragraphe 2). Elles permettent de vérifier la durée de vie du tronçon représenté (dimensionnement à la fatigue). Pour le ressort de torsion numéro i qui est
connecté aux disques numéro i et numéro i + 1, l’amplitude maximale de déformation s’écrit :
∆ α i , max =
K6 K7
K1
K2
K3
K4
K9 K10
K5
K8
K12K13
K11
K15 K16
K14
I3
I6 I7 I8
I9 I10 I11 I12 I13 I14 I15 I16 I17
p
α ( i + 1 ) k cos ( Ω k t + ϕ ( i + 1 ) k ) Ð ∑ α ik cos ( Ω k t + ϕ ik )
∑
k=1
k=1
I2
I5
max
Comme précédemment, le maximum de l’amplitude de déformation est calculé pour l’ensemble des valeurs du temps t prise sur
l’intervalle [0, TM].
K17
I4
I1
p
schéma de l'installation
b
I18
modèle
Figure 12 – Schéma et modèle en vibrations libres de l’installation
sur banc d’essai
■ Amplitudes maximales du couple oscillatoire de certains disques
Les résultats de la comparaison de ces valeurs au couple moyen
sont très importants au niveau des engrenages et, plus particulièrement pour les moteurs, dans la chaîne cinématique des distributions
comportant des pignons (un couple oscillatoire supérieur au couple
moyen à transmettre est souvent la cause de la destruction rapide
des dentures). Pour le disque numéro i, l’expression de l’amplitude
maximale du couple oscillatoire donne :
p


c i , max = I i  ∑ α ik Ω k2cos ( Ω k t + ϕ ik )

 k=1

max
Comme précédemment, le maximum de l’amplitude du couple
oscillatoire du disque est calculé pour l’ensemble des valeurs du
temps t prise sur l’intervalle [0, TM].
Le moment d’inertie Ie de ce disque équivalent à l’équipage biellepiston s’obtient à partir de la formule (cf. [BM 5 122, § 5.1]) :
1
3
1 I
I e =  --- m p + --- m b + --- ------ R 2
2
4
2 L 2
dans laquelle nous avons :
— la masse du piston : mp = 0,51 kg,
— la masse de la bielle : mb = 0,648 kg,
— le moment d’inertie de la bielle par rapport à un axe passant
par le centre de gravité et parallèle à l’axe du vilebrequin :
I = 0,004 N · m · s2,
— la distance entre l’axe du pied et celui de la tête de bielle :
L = 136,5 mm,
2.6 Exemples
— le rayon de la manivelle : R = 42 mm.
2.6.1 Description et modes propres
de l’installation
Exemple : Il s’agit de l’installation sur banc d’essai d’un moteur
d’automobile quatre cylindres à cycle quatre temps à allumage commandé. Le frein est électrique (Schenck). La liaison entre le moteur et
le frein est assurée par un accouplement élastique. La figure 12 donne
le schéma de l’installation ainsi que le modèle retenu pour l’étude des
vibrations libres en torsion.
Nous avons choisi le modèle à deux disques par coude pour le
vilebrequin. Un troisième disque est ajouté à chaque coude pour
représenter la bielle et le piston qui y sont rattachés (cf. [BM 5 122,
§ 5.2.2]).
Le moment d’inertie I de la bielle a été obtenu en mesurant la
période du pendule constitué par la bielle articulée à son pied.
La valeur du moment d’inertie du disque équivalent à l’équipage
mobile bielle-piston est :
1
3
1 0 ,004
I e =  --- 0 ,51 + --- 0 ,648 + --- -------------------------- ( 0 ,042 ) 2
2
4
2 ( 0 ,1365 ) 2
I e = 0 ,001 5 N ⋅ m ⋅ s 2
Les caractéristiques inertielles et torsionnelles du modèle sont
indiquées dans le tableau 7.
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____________________________________________________________________________________________________
(0)
Tableau 9 – Amplitudes relatives des modes propres
de vibration 1 et 2 du modèle (figure 12)
Tableau 7 – Rigidités torsionnelles et moments d’inertie
du modèle (figure 12)
Disque no
Inertie
(N · m · s2)
Ressort
no
Rigidité torsionnelle
(N · m/rad)
1
0,98 x 10−2
1
0,285 x 106
2
0,14
2
0,285 x 106
3
0,147 5 x 10−1
3
0,21 x 104
4
0,25 x 10−2
4
0,205 x 105
5
0,147 6
5
0,430 2 x 107
6
0,343 x 10−2
6
0,912 x 107
7
0,15 x 10−2
7
0,912 4 x 107
8
0,145 x 10−2
8
0,221 47 x 107
9
0,117 5 x 10−2
9
0,912 4 x 107
10
0,15 x 10−2
10
0,912 4 x 107
11
0,345 x 10−2
11
0,221 47 x 107
12
0,345 x 10−2
12
0,912 4 x 107
13
0,15 x 10−2
13
0,912 4 x 107
14
0,117 5 x 10−2
14
0,221 47 x 107
15
0,145 x 10−2
15
0,912 4 x 107
16
0,15 x 10−2
16
17
0,343 x 10−2
17
18
0,5 x 10−2
Amplitude relative
Disque no
mode no 1
mode no 2
1
1
1
2
0,999 24
0,686 07
3
0,987 64
− 2,704 7
4
− 0,739 75
− 289,44
5
− 0,914 71
3,436 0
6
− 0,914 85
3,755 4
7
− 0,914 91
3,893 1
8
− 0,914 96
4,024 9
9
− 0,915 18
4,544 1
10
− 0,915 23
4,664 7
11
− 0,915 27
4,778 4
12
− 0,915 43
5,178 7
13
− 0,915 46
5,258 0
14
− 0,915 49
5,329 4
15
5,597 8
0,912 4 x 107
− 0,915 59
16
− 0,915 62
5,654 8
0,221 47 x 107
17
− 0,915 63
5,703 3
18
− 0,915 68
5,822 6
Avant de réaliser l’étude en vibrations forcées, on doit commencer par l’analyse en vibrations libres. Les modes propres et les
déformées modales des deux premiers modes ont été obtenus en
utilisant la méthode décrite au paragraphe 1.2. Les résultats sont
consignés dans les tableaux 8 et 9.
(0)
2.6.2 Harmoniques dangereux et vitesses critiques
La plage de fonctionnement de ce moteur est comprise entre 600
et 5 500 tr/min. Nous limitons l’exploration aux dix-huit premiers
harmoniques et aux deux premiers modes.
La figure 13 donne les vitesses et les harmoniques dangereux
pour les deux premiers modes de vibration. Ces résultats sont rassemblés dans le tableau 10.
Tableau 8 – Pulsations propres du modèle (figure 12)
Pulsation propre
Mode no
(rad/s)
(tr/min)
1
148,6
1 420
2
3 021,5
28 868
3
4 591,9
43 871
4
5 416,6
51 751
5
5 615
53 647
6
14 968
143 010
2.6.3 Couple-moteur pour un cylindre
À titre d’exemple, nous donnons sur la figure 14, la courbe représentant le couple exercé par la bielle sur le vilebrequin au droit du
cylindre no 1, en fonction de l’angle de rotation, pour une charge
donnée.
Dans les mêmes conditions de vitesse et de charge, les couples
exercés par les bielles des cylindres 2, 3 et 4 sont identiques mais
décalés en fonction de l’ordre d’allumage (1-3-4-2-1) et du maillage
du vilebrequin.
(0)
Tableau 10 – Harmoniques dangereux et vitesses critiques pour les deux premiers modes du modèle figure 12
Mode no 1 (ω 1 = 1 420 tr/min)
Mode no 2 (ω 2 = 28 868 tr/min)
Rang des harmoniques
dangereux
0,5
1
1,5
2
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
Vitesses critiques (tr/min)
2 840
1 420
946
710
5 248
4 811
4 441
4 124
3 849
3 608
3 396
3 207
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ω (tr/min)
2,5 1,5
3 2
1
C (N . m)
0,5
1 420
400
300
1 000
200
100
0
100
500
300
200
500
400
700
600
α (degrés)
α
angle de rotation du vilebrequin
C couple moteur
Cm = 29,4 N . m
0
600 946 1 420
710
2 840
a
5 500
Ω (tr/min)
mode n° 1
ω (tr/min)
9
8,5 7,5
8
7
6,5
5,5
Puissance = 12 315 W
Figure 14 – Couple moteur pour le cylindre no 1 du moteur
de la figure 12
6
28 868
(0)
5
28 000
27 000
4,5
26 000
Tableau 11 – Vitesses et harmoniques dangereux,
amplitudes des couples correspondants pour les deux
premiers modes du modèle (figure 12)
Mode
25 000
600 1 000
3 207 3 608 4 124 4 811
5 500
3 396
3 849 4 441 5 248
Ω (tr/min)
b mode n° 2
no 1
Figure 13 – Harmoniques dangereux et vitesses critiques
pour les deux premiers modes du modèle de la figure 12
Le tableau 11 donne, pour toutes les vitesses dangereuses et les
harmoniques d’ordre q correspondants, l’amplitude des couples
harmoniques Cq résultant de la décomposition en série de Fourier
des couples exercés par la bielle du cylindre no 1 sur le vilebrequin
et, cela, pour un couple moyen constant du moteur.
Remarque
En toute rigueur, le couple réel appliqué par la bielle sur le
maneton, dépend des paramètres de déplacement α, de vitesse
úú caractérisant les vibrations de torsion du
αú , et d’accélération α
maneton du vilebrequin. On rappelle que la vitesse instantanée
Ω du maneton est :
Ω = n + αú
n (rad/s) vitesse de rotation moyenne du vilebrequin,
αú (rad/s) vitesse induite par les vibrations de torsion
affectant le maneton du vilebrequin.
Le couple appliqué sur le modèle a été linéarisé en considérant sa valeur calculée pour la vitesse moyenne n du vilebrequin
(se reporter au paragraphe en [BM 5 121, § 1.1]).
avec
no 2
Vitesse dangereuse
du moteur
(tr/min)
Harmonique
dangereux
Amplitude Cq du
couple harmonique
(N · m)
710
2
30,57
946
1,5
47,91
1 420
1
63,96
2 840
0,5
59,22
3 207
9
1,57
3 396
8,5
1,67
3 608
8
2,06
3 849
7,5
2,55
4 124
7
3,12
4 441
6,5
3,97
4 811
6
4,78
5 248
5,5
5,64
2.6.4 Importance des harmoniques dangereux
À partir du schéma général de l’installation (figure 12), le cylindre
no 1 correspond au disque no 7, le cylindre no 2 au disque no 10, le
cylindre no 3 au disque no 13 et le cylindre no 4 au disque no 16.
Les amplitudes relatives de vibration de ces disques, pour les
modes no 1 et no 2 sont données dans le tableau 9.
À partir de ces valeurs et de la formule (6), on peut calculer, pour
les modes no 1 et no 2, les importances des harmoniques dangereux. Les résultats sont consignés dans le tableau 12.
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(0)
Tableau 12 – Vitesses et harmoniques dangereux
et importances pour les deux premiers modes du modèle
(figure 12)
Mode
Vitesse dangereuse du moteur Harmonique
(tr/min)
dangereux
no 1
no 2
A
K6 K7
K1
Importance
710
2
2,36
946
1,5
0,000 7
1 420
1
0,000 2
2 840
0,5
0,001
3 207
9
0,0006
3 396
8,5
0,0032
3 608
8
0,0417
3 849
7,5
0,0049
4 124
7
0,0012
4 441
6,5
0,0077
4 811
6
0,097
5 248
5,5
0,011
Pour le vilebrequin du moteur, les vitesses de rotation particulièrement dangereuses de l’installation apparaissent dans le
tableau 12. Elle sont égales à :
— 710 tr/min (harmonique 2) pour le mode no 1,
— 3 608 tr/min (harmonique 8) et 4 811 tr/min (harmonique 6)
pour le mode no 2.
2.6.5 Conditions de l’étude en vibrations forcées
On considère que la plage de fonctionnement est limitée entre
2 500 et 3 000 tr/min. Le couple moteur moyen est constant dans cet
intervalle de vitesse et vaut 98 N · m. On suppose aussi que le couple résistant appliqué par le frein est constant. Il est opposé à la
valeur moyenne du couple moteur. À partir des résultats obtenus en
vibrations libres (§ 2.6.2), la seule vitesse dangereuse appartenant à
la plage de fonctionnement est 2 840 tr/min, elle correspond à l’excitation de l’harmonique d’ordre 0,5.
L’amplitude maximale des oscillations de chaque disque est
recherchée pour cette vitesse dangereuse en considérant seulement
l’harmonique dangereux correspondant. L’influence des autres harmoniques du couple est négligée.
K2
K3
K4
K5
A
A
A
K9 K10 K12 K13 K15 K16
K8
K11
K14
K17
I4
I1
I3
I6 I7 I8
I5
I2
C1
I9 I10 I11 I12 I13 I14 I15 I16 I17
C2
C3
I18
C4
C0
Figure 15 – Modèle pour l’étude des vibrations forcées
de l’installation de la figure 12
attelage bielle-piston. Les paliers hydrodynamiques entre le vilebrequin et la bielle sont principalement à l’origine de ces amortissements. Le coefficient d’amortissement à prendre en compte est
déterminé expérimentalement de la manière suivante :
— relevé expérimental des amplitudes oscillatoires, au niveau du
disque de référence (disque no 1 du modèle), pour chaque harmonique dangereux et au voisinage des vitesses critiques ;
— calcul des amplitudes des oscillations au niveau du même disque no 1 du modèle, pour chaque harmonique dangereux et au voisinage des vitesses critiques en faisant varier le coefficient
d’amortissement A jusqu’à ce que les amplitudes calculées approchent, avec une tolérance donnée, les amplitudes relevées.
2.6.6.2 Couples d’excitation
Les couples d’excitation sont dus au couple harmonique d’ordre
0,5 du couple moteur. Ils sont appliqués au niveau des quatre disques du modèle no 7, 10, 13 et 16 dont les inerties sont égales à
l’inertie moyenne de l’attelage bielle-piston.
Pour le cylindre no 1 représenté par le disque no 7, le couple appliqué est égal à :
C1 = C cos (qnt + β1),
avec
q
ordre de l’harmonique dangereux (q = 0,5),
C
amplitude de l’harmonique d’ordre q du couple
moteur (C = 59,22 N · m),
n (rad/s)
vitesse de rotation moyenne de vilebrequin,
β1
phase du couple au temps initial t = 0 pour le
cylindre 1 (β1 = − 0,63 rad).
Afin de déterminer le maximum de l’amplitude d’oscillation des
disques, nous calculons, systématiquement, la réponse du système
au couple harmonique pour diverses vitesses de rotation voisines
de la vitesse dangereuse.
Pour les cylindres no k (k décrit 2, 3 et 4), le couple appliqué est
égal à :
On suppose que l’amplitude et la phase de l’harmonique d’ordre
0,5, calculées à la vitesse dangereuse, ont des variations négligeables pour l’ensemble des vitesses voisines considérées.
Les valeurs de q, n et C sont indépendantes du cylindre considéré.
Le déphasage βk exprimé en radian est calculé à partir de
l’expression (5). On obtient :
2.6.6 Définition du modèle en vibrations forcées
On rajoute au modèle utilisé pour les calculs en vibrations libres,
les couples extérieurs et les amortisseurs (figure 15).
Ck = C cos (qnt + βk)
β2 = β1 − qβ12 = − 0,63 − 0,5 x 3π
β3 = β1 − qβ13 = − 0,63 − 0,5 x π
β4 = β1 − qβ14 = − 0,63 − 0,5 x 2π
2.6.6.1 Définition de la répartition des amortisseurs
2.6.7 Résultats
Dans ce cas, on néglige les amortissements relatifs pour ne considérer que les amortissements absolus représentés par un amortisseur (coefficient d’amortissement A) placé au niveau de chaque
La figure 16 représente les amplitudes des oscillations de torsion
du disque no 1 relevées expérimentalement, pour des vitesses
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Amplitude
(degrés)
Amplitude (degrés)
0,02
0,02
I
0,015
disque
n° 18
0,015
disque
n° 5
II
0,01
0,01
0,07
2 600 2 700 2 800 2 900
3 000
Ω (tr/min)
0,007
2 650
2 700
I
2 800
2 900
Harmonique 0,5
A = 0,25 N . m . s / rad
Ω (tr/min)
A = 0,25 N . m . s/rad
Figure 17 – Amplitudes des oscillations des disques nos 5 et 18
de la figure 12 au premier mode
II A = 0,3 N . m . s/rad
amplitude relevée
amplitude calculée
Amplitude (degrés)
Harmonique 0,5
Figure 16 – Amplitudes calculées et relevées des oscillations
du disque no 1 de la figure 12 au premier mode
0,04
0,035
de rotation moyennes voisines de la vitesse dangereuse de
2 840 tr/min.
0,03
0,025
Sur ce graphique, nous avons tracé les amplitudes d’oscillation
du disque no 1 pour deux valeurs du coefficient d’amortissement
absolu A. On remarque qu’une faible variation de A modifie d’une
façon importante les amplitudes calculées.
Pour la suite des calculs, nous avons pris la valeur
A = 0,25 N · m · s/rad qui majore légèrement les amplitudes réelles
des oscillations de torsion.
0,02
Tronçon n° 3
0,015
0,01
Tronçon n° 4
Tronçon n° 7
0,005
La figure 17 représente les amplitudes calculées des oscillations
de torsion des disques nos 5 et 18. Notons que l’amplitude du disque
no 5, à la vitesse dangereuse (2 840 tr/min), est plus faible que celle
du disque no 18, car le nœud de vibration, pour le premier mode, est
situé entre les disques 3 et 4 (tableau 9).
Les amplitudes des déformations de torsion des tronçons nos 3, 4
et 7, calculées en fonction de la vitesse de rotation, sont indiquées
sur la figure 18. À la vitesse dangereuse, la torsion du tronçon 3 est
beaucoup plus importante que celles des autres tronçons car, au
premier mode, il est le siège du nœud de vibration.
0
2800
2850
2900
Ω (tr/min)
Harmonique 0,5
A = 0,25 N . m . s / rad
Figure 18 – Amplitudes des déformations des tronçons nos 3, 4 et 7
de la figure 12 au premier mode
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3. Régimes transitoires
Remarque
Dans la situation la plus générale, la distinction entre les
matrices de masse, de rigidité ou d’amortissement peut avoir
une signification physique mais n’est pas nécessaire au niveau
mathématique. On pourrait écrire le système (8) sous la forme
úú , t ) = 0 .
^ ( α, αú , α
3.1 Caractérisation des régimes
transitoires
Tout régime transitoire est limité dans le temps par deux régimes
permanents. Celui qui le précède caractérise les conditions initiales
à partir desquelles le régime transitoire va se développer. Celui qui
le suit représente éventuellement d’autres conditions initiales pour
un régime transitoire ultérieur. De ce point de vue, un régime transitoire « raccorde » deux régimes permanents distincts. Par exemple,
les conditions initiales d’un freinage sont caractérisées par l’état du
système tel qu’il a été défini par une étude en vibrations forcées.
Comme on le verra dans l’exemple traité, pour un démarrage, l’état
initial du système est représenté par la déformée imposée par le
chargement statique existant au début du démarrage.
Les conditions initiales définissent donc les valeurs initiales des
paramètres de position et de vitesse de chaque disque du modèle.
Elles doivent être représentatives de la situation réelle de l’installation à ce moment-là.
En ce qui concerne les variations des couples et efforts extérieurs,
elles sont évaluées pour la durée T du régime transitoire. Dans ce
contexte, on n’utilise plus une transformée en série de Fourier de
ces fonctions qui, de plus, peuvent dépendre de la position, de la
vitesse, et de l’accélération des disques du modèle (c’est le cas pour
le couple moteur d’un cylindre d’un moteur à combustion interne).
Il n’y a donc plus de raison de linéariser les expressions de l’énergie
cinétique et de la fonction de force de l’installation. Il s’en suit que
les matrices de masse, d’amortissement et de rigidité peuvent aussi
dépendre du temps et des paramètres de position, de vitesse et
d’accélération.
Soit [0, T] l’intervalle d’étude du régime transitoire. On considère
une discrétisation de cet intervalle à pas constant de valeur h. Ainsi,
on définit N + 1 points t (i ) tels que :
t (i ) = ih i ∈ [ 0, N ]
T
avec h = ---- .
N
En chacun de ces points de discrétisation, on cherche les valeurs
des fonctions suivantes qui sont solutions du système différentiel
(8) au temps t (i ) :
{α(i)} = {α(t (i ))}
{ αú ( i ) } = { αú ( t ( i ) ) }
úú ( i ) } = { α
úú ( t ( i ) ) }
{α
3.3.2 Schéma numérique
Les schémas numériques permettent d’exprimer la vitesse et
l’accélération au temps actuel t (i ) en fonction du déplacement pris
au temps actuel et du déplacement, de la vitesse et de l’accélération
pris aux temps précédents. De manière générale, on a :
úú ( i Ð 1 ) } ... { α ( i Ð p ) }, { αú ( i Ð p ) }, { α
úú ( i Ð p ) } ) } (9)
+ { L ( { α ( i Ð 1 ) }, { αú ( i Ð 1 ) }, { α
Le système différentiel le plus général que nous considérons
s’écrit :
úú ( i ) } = Γ { α ( i ) }
{α
úú ( i Ð 1 ) } ... { α ( i Ð p ) }, { αú ( i Ð p ) }, { α
úú ( i Ð p ) } ) }(10)
+ { G ( { α ( i Ð 1 ) }, { αú ( i Ð 1 ) }, { α
Γ, ∆
réels,
p
entier,
L et G
fonctions vectorielles.
Dans le cas où Γ = 0 et ∆ = 0, le schéma est explicite à p pas, dans
le cas contraire il est implicite à p pas.
avec
úú } + [ C ( { α }, { αú }, t ) ] { αú } + [ K ( { α }, { αú }, t ) ] { α }
[ M ( { α }, { αú }, t ) ] { α
avec
3.3.1 Principe général
{ αú ( i ) } = ∆ { α ( i ) }
3.2 Expression du système différentiel
úú }, t ) }
= { F ( { α }, { αú }, { α
3.3 Résolution numérique
(8)
{α}
vecteur déplacement des disques du
modèle,
{ αú }
vecteur vitesse
modèle,
du
Nota : nous renvoyons le lecteur aux ouvrages d’analyses numériques [9], [11] et [19]
qui développent en détail tous les schémas numériques disponibles.
úú }
{α
vecteur accélération des disques du
modèle,
[ M ( { α }, { αú }, t ) ]
matrice de masse,
Notre expérience numérique en relation avec les problèmes de
vibrations de torsion des lignes d’arbre nous a conduit à utiliser le
schéma implicite à un pas de Wilson, souvent appelé schéma
θWilson avec θ = 1,4. Pour ce choix, les expressions générales (9) et
(10) s’écrivent (p = 1) :
[ C ( { α }, { αú }, t ) ]
matrice d’amortissement,
[ K ( { α }, { αú }, t ) ]
matrice de rigidité,
des
disques
úú }, t ) } vecteur second membre.
{ F ( { α }, { αú }, { α
Les expressions du vecteur second membre et des matrices de
masse, d’amortissement et de rigidité sont obtenues après une
démarche de modélisation identique à celle développée pour les
études en vibrations libres ou forcées (§ 1 et § 2). Par contre, les
valeurs du déplacement, de la vitesse, et de l’accélération de chaque
disque du modèle ne sont plus forcément des infiniment petits.
BM 5 123 − 16
γ
{ αú ( i Ð 1 + θ ) } = ----------- { α ( i Ð 1 + θ ) } + { L ( i Ð 1 ) }
βhθ
(11)
1
úú ( i Ð 1 + θ ) } = ------------------ { α ( i Ð 1 + θ ) } + { G ( i Ð 1 ) }
{α
β ( hθ ) 2
(12)
avec
{α(i − 1 + θ)} = {α(t (i − 1) + θh},
{ αú ( i Ð 1 + θ ) } = { αú ( t ( i Ð 1 ) + θh ) } ,
úú ( i Ð 1 + θ ) } = { α
úú ( t ( i Ð 1 ) + θh ) } ,
{α
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γ
γ
γ
úú ( i Ð 1 ) },
{ L ( i Ð 1 ) } = Ð ----------- { α ( i Ð 1 ) } +  1 Ð --- { αú ( i Ð 1 ) } +  hθ  1 Ð -------  { α



β
2 β 
βhθ
1
1
1 Ð 2 β úú ( i Ð 1 )
{ G ( i Ð 1 ) } = Ð ------------------ { α ( i Ð 1 ) } Ð ----------- { αú ( i Ð 1 ) } Ð ---------------- { α
},
2β
βhθ
β ( hθ ) 2
P
Câble
supérieur
haut
Moteur 1
1
β = --- ,
6
Moteur 2
1
γ = --- .
2
Accouplement 1
1
1
Dans le cas où β = --- et γ = --- , le schéma est dit de Newmark
2
4
pour lequel, la valeur de θ vaut 1 et l’accélération est supposée constante sur l’intervalle de temps [t (i − 1), t (i)].
Remarque
Pour le schéma de θWilson, l’accélération est supposée varier
de manière linéaire sur l’intervalle de temps [t (i − 1), t (i − 1 + θ)]. Le
choix de θ = 1,4 assure que ce schéma est inconditionnellement
stable [9].
3.3.3 Discrétisation et résolution du système
différentiel au temps t (i − 1 + θ)
Il est possible de développer de manière simultanée les discrétisations obtenues avec les schémas de Newmark et de θWilson.
Comme précisé au paragraphe précédent, les paramètres β et γ ont
des valeurs différentes dans les deux cas. De plus, pour la méthode
de θWilson, on écrit le système différentiel au temps t (i − 1 + θ) =
t (i − 1) + θh avec θ = 1,4, alors que pour le schéma de Newmark, on
écrit le système différentiel au temps t (i), de sorte que θ = 1. En utilisant les expressions (11) et (12), on obtient le système non linéaire
suivant dont les seules inconnues sont {α(i − 1 + θ)} :
1
γ
[ ----------------- [ M ( { α ( i Ð 1 + θ ) } ) ] + ----------- [ C ( { α ( i Ð 1 + θ ) } ) ]
2
β ( hθ )
βhθ
+ [ K ( { α(i Ð 1 + θ) } ) ] ] { α(i Ð 1 + θ) } = { H ( { α(i Ð 1 + θ) } ) }
L’expression générale de la fonction vectorielle H est difficile à écrire
dans le cas général [9].
Pour le schéma de θWilson, la solution est obtenue au temps
t (i−1+θ). On en déduit les valeurs du déplacement, de la vitesse et de
l’accélération au temps t (i ) en utilisant les relations suivantes :
1
(i Ð 1 + θ) } + 1 { G(i Ð 1) }
úú ( i ) } =  1 Ð --1- { α
úú ( i Ð 1 ) } + --------------------{α
--- {α

θ
θ
βθ ( hθ ) 2
h úú ( i )
úú ( i Ð 1 ) } )
{ αú ( i ) } = { αú ( i Ð 1 ) } + --- ( { α
} + {α
2
h 2 úú ( i )
úú ( i Ð 1 ) } )
{ α ( i ) } = { α ( i Ð 1 ) } + h { αú ( i Ð 1 ) } + ------ ( { α
} + 2{α
6
Remarque
Étant donné qu’un schéma à un pas est utilisé, l’intégration du
système différentiel est immédiate à partir des valeurs des
conditions initiales et de l’accélération initiale calculées.
Poulie
Wagon
+
pousseur
Câble
inférieur
Câble
supérieur
bas
Accouplement 2
x
13 m
α
23 m
Tambour de commande
Figure 19 – Schéma de la catapulte
3.3.4 Calcul de l’accélération initiale
Elle est déduite de l’écriture du système (8) au temps initial t (0) = 0
(0)
et des conditions initiales {α(0)} et { αú } . On obtient :
úú ( 0 ) } = [ M ( 0 ) ] Ð1 ( { F ( 0 ) } Ð [ C ( 0 ) ] { αú ( 0 ) } Ð [ K ( 0 ) ] { α ( 0 ) } )
{α
3.3.5 Remarque
Il est possible de transformer le système différentiel du second
ordre (8) en un système différentiel du premier ordre en faisant
apparaître comme inconnues toutes les variables d’état du système.
Cette méthode peut permettre d’utiliser des modules d’intégration
standard qui sont assez courants pour des systèmes différentiels du
premier ordre. Par contre, cette approche alourdit beaucoup la structure du programme de calcul.
Le choix de la longueur du pas de temps demande une analyse
précise. Dans la mesure où le schéma numérique utilisé est inconditionnellement stable (c’est le cas pour les schémas de Newmark et
de θWilson), si Tmin représente la plus petite période de variation
pour la solution, la longueur h du pas doit être telle que [9] :
T min
h < -----------20
(13)
Il est tout de même souhaitable de réaliser des essais numériques
afin de constater l’invariance de la solution trouvée pour des valeurs
du pas inférieure à la valeur calculée par l’expression (13).
3.4 Exemple
La figure 19 représente schématiquement la transmission de
puissance de l’attraction Space Mountain du parc de loisirs EuroDysney. Un ensemble de deux moteurs de masses équivalentes M1
et M2 est accouplé au tambour de commande. La propulsion du
wagon transportant les visiteurs est réalisée par un pousseur qui est
lié au câble supérieur de la rampe. Sur la longueur d’élan fixée à
13 m, le wagon doit être accéléré le plus régulièrement possible,
l’accélération ne devant pas dépasser 0,8 g (avec g accélération due
à la pesanteur). On se propose d’étudier la phase durant laquelle le
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DYNAMIQUE DES ROTORS EN TORSION
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wagon est accéléré jusqu’au début du catapultage quand le pousseur n’est plus en contact avec le wagon.
Pour cette étude, on néglige les effets d’amortissement introduits
par le câble et les accouplements. On se place donc dans une situation défavorable.
L’objectif de cette étude comporte entre autres, la détermination
du diamètre des câbles et la valeur de la prétension P à imposer au
niveau de la poulie. La variation de l’accélération subie par les voyageurs est aussi évaluée ainsi que la durée de la phase d’accélération.
Le couple moteur total est représenté par le graphe de la
figure 21.
Le couple au temps initial équilibre le poids du wagon supposé
chargé. Les déplacements initiaux tiennent compte des déplacements élastiques dus à ces efforts statiques. Dans ces conditions
l’accélération au temps initial est nulle aux erreurs d’arrondi près.
Le modèle retenu pour la ligne d’arbres et le câble de propulsion
est défini par la figure 20. Pour des questions de commodités lors
de l’analyse des résultats, le modèle de la ligne d’arbres est ramené
à des degrés de liberté en translation. Ces derniers sont liés aux
degrés de liberté en rotation dans la mesure où l’on suppose qu’il
n’y a pas patinage au niveau du tambour de commande. On remarque que les rigidités des deux ressorts représentant le câble supérieur sont variables en fonction de la position du pousseur.
Moteur
Moteur Accouplement Accouplement
1
2
2
F (t )/2
F (t )/2 1
1
2
3
K1
M1
K3
M2
M3
x1
Tambour
5
x3
Poulie
6
K5(x6)
M5
x4
7
K6(x6)
M6
K4
M4
x2
Pour la prétension P choisie, on obtient une tension minimale
dans le câble inférieur de 30 000 N (figure 25).
Wagon +
M6 g sin α pousseur
4
K2
La durée calculée de l’accélération du wagon est de 2,15 s. On
présente les évolutions de la position (figure 22), de la vitesse
(figure 23) et de l’accélération (figure 24) du wagon.
+
M7
K7
x5
x6
x7
M1 à M 7 masses
F (t ) effort moteur total
Figure 20 – Modèle de la catapulte
Déplacement
du wagon (m)
Couple (N . m)
14
90 000
80 000
70 000
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
0
12
10
8
6
4
2
0
0,5
1
1,5
2
Temps (s)
Figure 21 – Variation du couple moteur total par rapport
au temps
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2,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Temps (s)
Figure 22 – Variation de la position du wagon en fonction
du temps
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Tension (N)
Vitesse du wagon
(m/s)
160 000
14
140 000
12
Câble supérieur haut
120 000
10
100 000
8
80 000
6
Câble supérieur bas
Tmin
60 000
4
40 000
2
Câble inférieur
20 000
0
0,5
1
1,5
2
0
2,5
0
0,5
1
1,5
Temps (s)
Figure 23 – Variation de la vitesse du wagon en fonction
du temps
2
Temps (s)
2,5
Figure 25 – Variation de la tension dans les trois tronçons de câble
en fonction du temps
Accélération
du wagon (m/s2)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
–1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Temps (s)
Figure 24 – Variation de l’accélération du wagon en fonction
du temps
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