‫משפטי פוביני לחישוב אינטגרל כפול על תחום‬
‫מלבני‬
‫משפט‪ :‬יהי } 𝑑 ≤ 𝑦 ≤ 𝑐‬
‫‪ . 𝐷 = {(𝑥,𝑦) | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,‬אם קיים 𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑦‪𝑓 𝑥,‬‬
‫אז‬
‫𝑦𝑑 𝑥𝑑‬
‫𝑏‬
‫𝑦‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝑎‬
‫𝑑‬
‫𝑑‬
‫𝑐‬
‫= 𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑦‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝐷‬
‫𝑏‬
‫= 𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝑥𝑑 𝑦𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝑐‬
‫𝑎‬
‫𝐷‬
‫𝐷‬
‫הגדרה‪ :‬תחום מהצורה } )𝑥(𝑣 ≤ 𝑦 ≤ )𝑥(𝑢‬
‫פשוט‪.‬‬
‫‪ 𝐷 = {(𝑥,𝑦) | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,‬נקרא תחום 𝑦 ‪-‬‬
‫} )𝑦(𝑣 ≤ 𝑥 ≤ )𝑦(𝑢‬
‫‪ 𝐷 = {(𝑥,𝑦) | 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑,‬נקרא תחום 𝑥‬
‫הגדרה‪ :‬תחום מהצורה‬
‫פשוט‪.‬‬
‫משפטי פוביני לחישוב אינטגרל כפול על תחום 𝑦 פשוט ותחום 𝑥‬
‫פשוט‬
‫הגדרה‪ :‬תחום מהצורה } )𝑥(𝑣 ≤ 𝑦 ≤ )𝑥(𝑢 ‪ 𝐷 = {(𝑥,𝑦) | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,‬נקרא תחום 𝑦 ‪-‬‬
‫פשוט‪.‬‬
‫משפט פוביני לתחום 𝑦 פשוט ‪:‬‬
‫יהי } )𝑥(𝑣 ≤ 𝑦 ≤ )𝑥(𝑢‬
‫אם קיים 𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑦‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝐷‬
‫‪.𝐷 = {(𝑥,𝑦) | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,‬‬
‫אז‬
‫𝑥𝑑 𝑦𝑑‬
‫𝑥 𝑣‬
‫𝑦‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝑥 𝑢‬
‫𝑏‬
‫𝑎 = 𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑦‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝐷‬
‫הגדרה‪ :‬תחום מהצורה‬
‫פשוט‪.‬‬
‫} )𝑦(𝑣 ≤ 𝑥 ≤ )𝑦(𝑢‬
‫‪ 𝐷 = {(𝑥,𝑦) | 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑,‬נקרא תחום 𝑥‬
‫משפט פוביני לתחום 𝑥 פשוט‬
‫‪:‬‬
‫יהי‬
‫} )𝑦(𝑣 ≤ 𝑥 ≤ )𝑦(𝑢‬
‫אם קיים 𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑦‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝐷‬
‫‪.𝐷 = {(𝑥,𝑦) | 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑,‬‬
‫אז‬
‫𝑦𝑑 𝑥𝑑‬
‫𝑦 𝑣‬
‫𝑦‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝑦 𝑢‬
‫𝑑‬
‫𝑐 = 𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑦‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝐷‬
‫מעבר לקואורדינטות קוטביות‬
y
r
x  r cos( )
y  r sin( )

x
 f ( x, y) dxdy   f (r cos( ), r sin( )) rdrd
D
D'