ĐIỆN TỪ HỌC
BÀI TẬP ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS
Ngày 18 tháng 11 năm 2021
Mục lục
Chương 1.
Bài tập 1.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 1.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
Chương 2.
Bài tập 2.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
Chương 3.
Bài tập 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
8
9
9
10
11
12
14
15
17
19
21
23
26
27
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
Chương 1.
Bài tập 1.21.
3
Một không gian mang điện với mật độ điện khối ρ = ρ0 e−αr với ρ0 và α là hằng số
dương. Tìm độ lớn của vecto cường độ điện trường theo r. Khảo sát biểu thức cường độ
điện trường ứng với αr3 ≫ 1và αr3 ≪ 1
Bài làm
• Chọn mặt Gauss là mặt cầu bán kính r, với r là khoảng cách từ tâm vùng không
gian đến điểm đang xét.
• Áp dụng định luật Gauss:
φ=
‹
P
~ A
~=
Ed
ǫ
P0
A
EA =
q
q
ǫ0 P
q
1
E=
2
4πr ǫ0
• Tổng điện tích có trong mặt Gauss.
X
q=
˚
ρdV
ˆ 2π ˆ π ˆ r
3
ρ0 e−αr · r2 sin φ dr dφ dθ
0
ˆ π
ˆ 2π
ˆ r0 0
−αr 3
2
sin φ dφ
dθ ·
e
· r dr ·
= ρ0
=
0
0
= ρ0 ·
−e
−αr 3
0
−1
· 2π · 2
3α
3
−e−αr − 1
= 4πρ0 ·
<0
3α
• Độ lớn vector cường độ điện trường theo r
P
1 | q|
E=
4πr2 ǫ0
3
1
1
| − e−αr − 1|
=
·
·
4πρ
·
0
4πr2 ǫ0
3α
−αr 3
ρ0 | − e
− 1|
=
·
2
3ǫ0 α
r
3
• Khi αr3 ≫ 1 ⇒ e−αr → 0 ⇒ E =
1
ρ0
· 2
3ǫ0 α r
1
Điện từ học
Định luật Gauss
3
• Khi αr3 ≪ 1 ⇒ e−αr → 1 ⇒ E =
Nguyễn Đắc Thu Anh
2ρ0 1
·
3ǫ0 α r2
Bài tập 1.22.
Bên trong một quả cầu mang điện với mật độ điện khối không đổi ρ , có một hốc nhỏ
hình cầu không chứa điện tích. Tâm của hốc cách tâm quả cầu một khoảng a . Tìm vecto
cường độ điện trường E của một điểm nằm trong hốc. Xét trường hợp a = 0 .
Bài làm
• Xét quả cầu đặc mang điện với mật độ điện khối ρ.
– Chọn mặt Gauss là mặt cầu bán kính r ≤ R, với r là khoảng cách từ tâm quả
cầu đến điểm đang xét.
– Áp dụng dịnh luật Gauss:
φ=
¨
~=
E~1 dA
E1 A =
P
ǫ
P0
q
q
ǫ0 P
q
1
E1 =
2
4πr ǫ0
´ 2π ´ π ´ r
ρ 0 0 0 r2 sin φ dr dφ dθ
=
4πr2 ǫ0
ρr
=
3ǫ
– Vector cường độ điện trường do quả cầu gây ra.
ρ
E~1 = ~r
3ǫ
• Xét hốc nhỏ không chứa điện tích. Áp dụng định luật Gauss cho hốc nhỏ.
φ=
¨
~ ′ dA
~=
E
E ′A =
P
ǫ
P0
q
q
ǫ0 P
1
q
E′ =
2
4πr ǫ0
Mà bên trong hốc không chứa điện tích nên cường độ điện trường bên trong hốc
bằng 0.
2
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Cường độ điện trường tại 1 điểm trong hốc gây ra bởi quả cầu mang điện với mật
độ điện tích ρ có khoét một hốc nhỏ hình cầu không chứa điện tích bán kính R0
bằng tổng hợp cường độ điện trường do quả cầu bán kính R với mật độ điện tích ρ
và quả cầu mang điện có bán kính R0 nhưng tích điện trái dấu với quả cầu R.
– Cường độ điện trường tổng hợp tại điểm đang xét.
~ = E~1 + E~2 = ρ ~r − ρ r~0 = ρr (~r − ~r0 ) = ρ~a
E
3ǫ0
3ǫ0
3ǫ0
3ǫ0
– Khi a = 0 thì E = 0
Chương 2.
Bài tập 2.20.
Bài tập 2.21.
3
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
Bài tập 2.22.
Trong hệ toạ độ cầu, một vùng phân bố đối xứng cầu tích điện không đồng nhất với
mật độ điện tích khối có dạng:

ρ(r) = ρ (1 − r/R), r ≤ R
0
Trong đó ρ0 =
3Q
πR3
ρ(r) = 0, r ≥ R
a. Tìm biểu thức E do phân bố điện tích trên gây ra trong các vùng r ≤ R và r ≥ R .
b. Chứng minh rằng khi r ≥ R , điện thế của phân bố điện tích đó giống như điện thế
của một điện tích điểm Q gây ra. Lấy V (∞) = 0 .
c. Xác định biểu thức điện thế trong vùng r ≤ R
Bài làm
a.
• Chọn mặt Gauss là mặt cầu có bán r, với r là khoảng cáhc từ tâm vùng phân
bố đến điểm đang xét.
• Áp dụng định luật Gauss:
φ=
¨
~ A
~=
Ed
E(4πr2 ) =
E=
• Tại vùng r ≤ R.
4
P
ǫ
P0
q
q
ǫP
0
q
4πr2 ǫ
(1)
0
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
– Tổng điện tích trong vùng r ≤ R.
X
q1 =
ˆ
˚
dq1 =
ρ dV
ˆ 2π ˆ π ˆ r r 2
· r sin φ dr dφ dθ
= ρ0
1−
R
0
0
0
ˆ r
ˆ π
ˆ 2π
r 2
1−
sin φ dφ
dθ ·
= ρ0
· r dr ·
R
0
0
0
=
3
r4
r
= ρ0
−
2π · 2
3
4R
3
r4
r
−
= 4πρ0
3
4R
– Từ biểu thức 1, suy ra cường độ điện trường trong vùng này.
4πρ0
E1 =
3
r
3
4
r
− 4R
4πǫ0 r2
3
r
r4
ρ0 r
r2
−
=
−
3
4R
ǫ0 3 4R
ρ0
=
ǫ0 r 2
• Tại vùng r ≥ R.
– Tổng điện tích trong mặt Gauss:
X
q2 =
ˆ
˚
dq1 =
ρ dV
ˆ 2π ˆ π ˆ R r 2
· r sin φ dr dφ dθ
1−
= ρ0
R
0
0
0
ˆ π
ˆ 2π
ˆ R
r 2
sin φ dφ
dθ ·
· r dr ·
1−
= ρ0
R
0
0
r
=
3Q
=
πR3
R3
12
2π · 2
=Q
– Từ biểu thức 1, suy ra cường độ điện trường trong vùng này.
E2 =
Q
4πǫ0 r2
b. Chứng minh rằng khi r ≥ R , điện thế của phân bố điện tích đó giống như điện thế
của một điện tích điểm Q gây ra. Lấy V (∞) = 0 .
5
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Khi r ≥ R, điện trường do phân bố gây ra
E2 =
Q
4πǫ0 r2
• Do đó điện thế tại r
V (r) = −
ˆ r
∞
~ 2 d~s = −
E
ˆ r
Q
Q
dr =
(Øpcm)
2
4πǫ0 r
∞ 4πǫ0 r
c. Điện thế trong vùng r ≤ R.
V (r) = −
ˆ r
∞
ˆ R
~ s
Ed~
~ 2 d~s −
E
ˆ r
~ 1 d~s
E
∞
R
ˆ r ˆ R
ρ0 r
r2
Q
dr −
−
dr
=−
2
3 4R
R ǫ0
∞ 4πǫ0 r
1
ρ0 r 2
r3
R2
R3
Q
−
−
−
−
+
=−
4πǫ0
R
ǫ0 6
12R
6
12R
2
3
2
3Q
r
r
R
Q
−
−
−
=
3
4πǫ0 R πǫ0 R
6
12R
12
3
2
Q
3Qr
Qr
+
=
−
3
2πǫ0 R 2πǫ0 R
4πǫ0 R4
=−
Chương 3.
Bài tập 3.1.
Cho bốn mặt kín và các điện tích −2Q, Q, −Q như hình (các đường màu là các đường
giao của các mặt kín với mặt phẳng chứa các điện tích). Tìm điện thông qua mỗi mặt kín
trên.
Bài làm
6
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
Áp dụng định Gauss ta có:
• Điện thông qua mặt S1 :
φ1 =
P
q1
−2Q + Q
=
ǫ
ǫ0
• Điện thông qua mặt S2
φ2 =
P
q2
=0
ǫ
• Điện thông qua mặt S3
φ3 =
P
−2Q + Q − Q −2Q
q3
=
ǫ
ǫ0
ǫ0
• Điện thông qua mặt S4
φ4 =
P
q4
=0
ǫ
Bài tập 3.2.
Xét một điện tích dương +Q đặt tại tâm của một hình lập phương cạnh 2l. Hãy dùng
định nghĩa điện thông để tính giá trị điện thông của điện trường do điện tích dương này
gây ra xuyên qua hình lập phương.
Bài làm
7
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Định nghĩa điện thông:
φ=
‹
~ A.
~
Ed
A
• Ta có:
~ = k Q r̂ = k Q ~r = k Q (xî + y ĵ + z k̂)
E
r2
r3
r3
~ = dxî × dz k̂ = dxdz · ĵ
dA
• Thế vào 2, ta có:
φ = kQl
dxdz
3
A r
‹
φ=
Bài tập 3.3.
Một điện tích q = 5.8µ C nằm ở tâm của một tứ diện đều (có 4 mặt) như hình.
a. Tính tổng điện thông qua tất cả các mặt của tứ diện.
b. Điện thông qua một mặt của tứ diện.
Bài làm
8
(2)
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
a. Điện thông qua các mặt của tứ diện.
• Áp dụng định luật Gauss ta có:
φ=
5.8 · 10−6
q
= 6.55 · 105 N m2 /C
=
ǫ0
8.85 · 10−12
b. Vì đây là tứ diện đều nên điện thông qua các mặt là như nhau, ta có điện thông 1
mặt:
φ′ =
φ
6.55 · 105
=
= 1.64 · 104 N m2 /C
4
4
Bài tập 3.4.
Các tế bào thần kinh con người mang điện tích âm và được làm từ các chất dẫn điện
tốt. Giả sử tế bào lớn điện tích −8.65pC , tìm độ lớn và hướng (hướng ra hay hướng vào)
của điện thông qua tế bào.
Bài làm
• Áp dụng định luật Gauss, ta có:
φ=
P
ǫ0
q
=
−8.65 · 10−6
= −9.77 · 105 N m2 /C
8.85 · 10−12
• Độ lớn của điện thông:
|φ| = 9.77 · 105 N m2 /C
• Do φ < 0 nên điện thông hướng vào tế bào.
Bài tập 3.5.
Một tấm phẳng hình chữ nhật có chiều rộng là 0.400m và chiều dài là 0.600m . Tấm
phẳng được đặt trong điện trường đều có độ lớn là 75V /m và hợp với tấm phẳng một góc
20◦ (như trong hình). Tính điện thông qua tấm phẳng.
Bài làm
Điện thông qua tấm phẳng:
~ ·A
~ = EA cos θ = 75 · (0.400 · 0.600) · cos 70◦ = 6.16 N m2 /C
φ=E
9
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
Bài tập 3.6.
Điện trường của một điểm nằm ngoài một dây dẫn thẳng dài vô hạn có độ lớn là
λ
. Giả sử có một hình trụ bán kính r = 0.025m và chiều dài l = 0.400m
E =
2πǫ0 r
được đặt đồng trục với dây dẫn trên. Biết dây dẫn tích điện đều với mật độ điện dài
λ = 3.00µC/m.
a. Tính điện thông qua hình trụ.
b. Tính điện thông qua hình trụ khi bán kính hình trụ là r = 0.500m .
c. Tính điện thông qua dây khi chiều dài hình trụ là l = 0.800m.
Bài làm
a. Điện thông qua hình trụ.
• Chọn mặt Gauss đồng trục với dây dẫn, có bán kính r là khoảng cách từ trục
đến điểm đang xét.
• Áp dụng định luật Gauss:
φ=
‹
A
~ A
~=
Ed
¨
~ 1 dA
~1 +
E
¨
~ 2 dA
~2 +
E
¨
~ 3 dA3
E
~ 2 ↑↑ dA
~ 2)
= E2 A2 (do E
= E · (2πrl)
• Theo đề bài: E =
(3)
λ
, kết hợp với 3, ta có:
2πǫ0 r
λ
2πrl
2πǫ0 r
λl
φ=
ǫ0
3.00 · 10−6 · 0.400
φ=
8.85 · 10−12
φ = 1.36 · 105 N m2 /C
φ=
(4)
b. Từ biểu thức 4 của câu a, ta có thể kết luận bán kính hình trụ không ảnh hưởng
đến điện thông qua hình trụ.
c. Khi l′ = 0.800 m, từ biểu thức 4 ta có:
φ′ =
3.00 · 10−6 · 0.800
λl′
= 2.71 · 103 N m2 /C
=
ǫ0
8.85 · 10−12
10
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
Bài tập 3.7.
Một hình trụ đặc dài vô hạn có bán kính R tích điện đều với mật độ điện khối ρ > 0
a. Tìm biểu thức tính điện trường bên trong hình trụ theo mật độ điện khối ρ và
khoảng cách r tính từ trục của hình trụ.
b. Tính điện trường tại một điểm bên ngoài của hình trụ theo mật độ điện dài λ của
hình trụ.
c. So sánh kết quả của câu a và câu b với r = R.
Bài làm
a. Biểu thức tính điện trường bên trong hình trụ theo mật độ điện khối ρ và khoảng
cách r tính từ trục của hình trụ.
• Chọn mặt Gauss là mặt trụ đồng trục với hình trụ đặc, có r bằng khoảng cách
từ trục đến điểm đang xét.
• Điện tích giới hạn bởi mặt Gauss khi r ≤ R.
X
q1 = ρ
ˆ
dV = ρ
V
ˆ l
0
2
dz
ˆ r
rdr
ˆ 2π
dθ
0
0
= ρπr l
• Áp dụng định luật Gauss, ta có:
P
q
~ A
~=
φ=
Ed
ǫ
P0
¨ A
¨
¨
q
~ 3 dA3 =
~ 2 dA
~2 +
~ 1 dA
~1 +
E
E
E
ǫ
P0
q
~ 2 ↑↑ dA
~ 2)
E 2 A2 =
(do E
ǫP
0
q
E=
2πǫ0 rl
‹
(5)
• Từ 5, ta có biểu thức tính cường độ điện trường bên trong hình trụ.
E1 =
ρπr2 l
ρr
q2
=
=
2πǫ0 rl
2πǫ0 rl
2ǫ0
P
(6)
b. Điện trường tại một điểm bên ngoài của hình trụ theo mật độ điện dài λ của hình
trụ.
• Chọn mặt Gauss là mặt trụ đồng trục với hình trụ đặc, có r bằng khoảng cách
từ trục đến điểm đang xét.
11
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Điện tích giới hạn bởi mặt Gauss khi r > R.
X
q2 = λ
ˆ
dl = λl
l
• Từ biểu thức 5, ta có
E2 =
P
λ
q2
=
2πǫ0 rl
2πǫ0 r
c. Khi r = R:
ρR
Q R
Q
=
=
2ǫ0
πR2 l 2ǫ0
2πRlǫ0
λ
Q 1
Q
?? ⇔ E2 =
=
=
2πǫ0 r
l 2πǫ0 R
2πRlǫ0
6 ⇔ E1 =
⇒ E1 = E2
Bài tập 3.8.
Một đĩa tròn bán kính a = 8cm tích điện đều với mặt độ điện mặt σ = 10−3 C/m2 .
a. Xác định cường độ điện trường tại một điểm trên trục của đĩa và cách tâm đĩa một
đoạn b = 6cm.
b. Chứng minh rằng nếu b → 0 thì biểu thức thu được sẽ chuyển thành biểu thức tính
cường độ điện trường gây bởi một mặt phẳng vô hạn mang điện đều.
c. Chứng minh rằng nếu b ≫ a thì biểu thức thu được chuyển thành biểu thức tính
cường độ điện trường gây ra bởi một điện tích điểm.
Bài làm
12
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Ta có vi phân cường độ điện trường tại điểm P.
~ p = dE
~ x + dE
~ y + dE
~z
dE
~ x + dE
~ y = 0. Do đó
• Xét 1 cặp điện tích đối xứng nhau trên dĩa thì ta có dE
~ P = dE
~ z = dE
~ cos θ
dE
• Ta có vi phân cường độ điện trường tại P
dEp = dE cos θ
dq b
=k 2
r r
σ(2πrdr)
= kb 2
(r + b2 )3/2
• Cường độ điện trường tại P do dĩa tròn gây ra
Ep = kb2πσ
ˆ a
0
rdr
(r2 + b2 )3/2
ˆ b2 +a2
du
bσ
2ǫ0 b2
2u3/2
b
b
σ
√ −√
=
2ǫ0
b2 + a2
b2
=
(7)
a. Khi b = 6cm. Từ 13, ta có:
σ
Ep =
2ǫ0
b
b
−√
2
|b|
b + a2
10−3
=
2 · 8.85 · 10−12
6
1− √
2
6 + 82
b. Từ 13 ta có:
b
b
σ
−√
Ep =
2ǫ0 |b|
b2 + a2
σ
b
Ep =
1− √
2ǫ0
b2 + a2
Khi b → 0, √
b
→ 0.Suy ra:
b2 + a2
Ep =
13
σ
2ǫ0
= 22.6 · 106 V /m
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
c. Từ 13 ta có:
b
σ
b
−√
Ep =
2ǫ0 |b|
b2 + a2
b
σ
1− √
Ep =
2ǫ0
b2 + a2
(8)
Khi b ≫ a, ta có:
−1/2
b
a2
1
a2
1 a2
=1− 1+ 2
1− √
=1− q
= 1 − 1 − 2 + ... ≈ 2
2
b
2b
2b
b2 + a2
1+ a
b2
Từ 8, ta có:
Ep =
σπa2 1
Q 1
σ a2
=
=
2
2
2ǫ0 2b
4πǫ0 b
4πǫ0 b2
Bài tập 3.9.
Một vỏ cầu gồm phần rỗng không tích điện bán kính a và phần đặc được tích điện
đều với mật độ điện khối ρ bán kính b. Hãy tính và biểu diễn bằng đồ thị cường độ điện
trường E do vỏ cầu này tạo ra ở các khoảng cách r cách tâm của quả cầu từ 0 đến 30cm.
Biết rằng ρ = 10−6 C/m3 , a = 10cm.
Bài làm
• Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu, bán kính r.
• Áp dụng định luật Gauss:
Φ=
¨
~ A
~=
Ed
EA =
P
ǫ
P0
q
q
ǫ0 P
q
1
E=
2
4πr ǫ0
• Khi r < a = 10cm = 0.1m.
– Điện tích giới hạn bởi mặt Gauss:
X
q1 = 0 ⇒ E 1 =
• Khi 0.1 ≤ r ≤ 0.3.
14
P
q1
=0
2
4πr ǫ0
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
– Điện tích giới hạn bởi mặt Gauss:
X
q2 =
ˆ
˚
dq2 =
ρ dV
ˆ 2π ˆ π ˆ r
=ρ
r2 sin φ dr dφ dθ
0
a
0
4
= πρ(r3 − a3 )
3
– Do đó điện trường khi 0.1 ≤ r ≤ 0.3.
P
q2
1
E2 =
4πr2 ǫ0
3
3
1 ρ4π r −a
3
=
4πr2
ǫ
3 0 3
ρ r −a
=
3ǫ0
r2
3
r − 10−3
3
= 37.7 · 10
r2
• Khi r > b = 0.3m.
– Điện tích giới hạn bởi mặt Gauss:
X
q3 =
ˆ
˚
dq3 =
ρ dV
ˆ 2π ˆ π ˆ b
=ρ
r2 sin φ dr dφ dθ
0
0
a
b3 − a3
= ρ4π
3
– Do đó điện trường khi r > b
P
q3
1
E3 =
2
4πr ǫ0
3
3
1 ρ4π b −a
3
=
4πr2
ǫ0
3
ρ b − a3
=
3ǫ0 r2
979.3
=
r2
Bài tập 3.10.
r
Một quả cầu rắn bán kính R tích điện không đều với mật độ điện khối ρ = ρs , trong
R
đó ρs là một hằng số và r là khoảng cách tính đến tâm của quả cầu. Tính:
15
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
a. điện tích toàn phần trên quả cầu?
b. cường độ điện trường bên trong và bên ngoài quả cầu?
Bài làm
a. Điện tích toàn phần trên quả cầu.
X
q=
˚
ρdV
ˆ 2π ˆ π ˆ R
V
ρs
r3 sin φ dr dφ dθ
R 0
0
0
ˆ R
ˆ 2π ˆ π
ρs
r3 dr
sin φdφ
dθ
=
R 0
0
0
4
ρs
R
=
· 2π · 2 ·
R
4
3
= ρs πR
=
b. Cường độ điện trường của quả cầu.
• Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu, bán kính r là khoảng cách
từ tâm quả cầu đến điểm đang xét.
• Áp dụng định luật Gauss.
φ=
‹
~ A
~=
Ed
A
EA =
E=
P
ǫ
P0
q
q
ǫP
0
~ ↑↑ dA)
~
(do E
q
4πǫ0 r2
• Điện tích bên trong quả cầu.
X
ˆ ˆ ˆ
ρs 2π π R 3
q1 =
r sin φ dr dφ dθ
R 0
0
0
ˆ r
ˆ π
ˆ
ρs 2π
r3 dr
sin φdφ
dθ
=
R 0
0
0
πρs r4
=
R
• Từ 9, cường độ điện trường bên trong quả cầu.
πρs r4 1
ρs r2
q1
=
=
E1 =
4πǫ0 r2
R 4πǫ0 r2
4ǫ0 R
P
16
(9)
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Từ 9, cường độ điện trường bên ngoài quả cầu.
E2 =
q
ρs πR3
ρs R 3
=
=
4πǫ0 r2
4πǫ0 r2
4ǫ0 r2
P
Bài tập 3.11.
Một quả cầu tích điện đều với mật độ điện khối ρ.
a. Tính cường độ điện trường tại một điểm nằm bên trong quả cầu.
b. Một hốc cầu được khoét bên trong quả cầu. Chứng minh rằng điện trường ở tất cả
các điểm trong hốc là đều.
Bài làm
a.
• Điện tích bên trong quả cầu.
X
q=
˚
ρdV
V
ˆ 2π ˆ π ˆ R
r2 sin φ dr dφ dθ
ˆ r
ˆ0 2π 0 ˆ π0
r2 dr
sin φdφ
dθ
=ρ
=ρ
0
0
0
4πρr3
=
3
• Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu, có bán kính r là khoảng
cách từ tâm đến điểm đang xét.
17
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Áp dụng định luật Gauss, ta có.
φ=
‹
~ A
~=
Ed
A
EA =
P
ǫ
P0
q
q
ǫP
0
~ ↑↑ dA)
~
(do E
q
4πǫ0 r2
ρr
E=
3ǫ0
E=
(10)
(11)
• Vector cường độ điện trường tại 1 điểm bên trong quả cầu.
~ = ρ ~r
E
3ǫ0
b. Xét hốc nhỏ không chứa điện tích. Áp dụng định luật Gauss cho hốc nhỏ.
φ=
P ′
q
~ ′ dA
~′ =
E
ǫ
A′
P0 ′
q
E ′ A′ =
ǫ0 P
1
q′
E′ =
4πr2 ǫ0
‹
Mà bên trong hốc không chứa điện tích nên cường độ điện trường bên trong hốc
bằng 0 ⇒ E ′ = 0
• Cường độ điện trường gây ra bởi quả cầu mang điện với mật độ điện tích ρ
có khoét một hốc nhỏ hình cầu không chứa điện tích bán kính R0 bằng tổng
hợp cường độ điện trường do quả cầu bán kính R với mật độ điện tích ρ và
quả cầu mang điện có bán kính R0 nhưng tích điện trái dấu với quả cầu R.(Để
~1 + E
~ 2 = 0)
E
18
Định luật Gauss
Điện từ học
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Cường độ điện trường tổng hợp tại điểm đang xét.
~ = E~1 + E~2 = ρ ~r − ρ r~0 = ρr (~r − ~r0 ) = ρ~a
E
3ǫ0
3ǫ0
3ǫ0
3ǫ0
• Vậy cường độ điện trường trong hốc cầu là điện trường đều.
Bài tập 3.12.
Hai ống trụ dài, mỏng đồng trục với bán kính R1 và R2 (R1 <R2 ) được tích điện bằng
nhau với mật độ điện dài lần lượt là −λ và λ. Hãy tìm cường độ điện trường tại r < R1 ,
R1 ≤ r ≤ R2 , r > R2 ; với r là khoảng cách theo đường bán kính tính từ trục của các hình
trụ.
Bài làm
• Chọn mặt Gauss đồng trục với ống trụ, có bán kính r là khoảng cách từ trục đến
điểm đang xét.
19
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Áp dụng định luật Gauss, ta có:
φ=
‹
P
~ A
~=
Ed
ǫ
P0
A
E2 A2 =
q
q
ǫP
0
~ 2 ↑↑ dA
~ 2)
(do E
q
2πǫ0 rl
E=
(12)
• Khi r < R1 .
– Điện tích giới hạn bởi mặt Gauss.
X
q1 = 0
– Từ 12, ta có.
E1 =
P
q
=0
2πǫ0 rl
• Khi R1 ≤ r ≤ R2 .
– Điện tích giới hạn bởi mặt Gauss.
X
q2 = −λ
ˆ
l
dl = −λl
– Từ 12, ta có.
E2 =
P
q2
−λl
−λ
=
=
2πǫ0 rl
2πǫ0 rl
2πǫ0 r
• Khi r > R2 .
– Điện tích giới hạn bới mặt Gauss:
X
q3 = λ
ˆ
dl = λl
l
– Từ 12, ta có.
E3 =
P
λl
λ
q3
=
=
2πǫ0 rl
2πǫ0 rl
2πǫ0 r
20
Định luật Gauss
Điện từ học
Nguyễn Đắc Thu Anh
Bài tập 3.13.
σ
cường độ điện trường
2ǫ0
trong chân không gây bởi một mặt phẳng vô hạn mang điện đều. Lấy một điểm P, ở cách
xa mặt phẳng một khoảng b (hình vẽ). Lấy chân của P đường thẳng vuông góc hạ từ
điểm P xuống mặt phẳng làm tâm, vẽ một vòng tròn bán kính a. Tìm giá trị của a khi
giá trị của cường độ điện trường P do các điện tích chứa trong vòng tròn trên gây ra bằng
một nửa cường độ điện trường toàn phần. Xác định r ứng với giá trị a đó và góc ϑ tạo
bởi r và b.
Biết rằng từ định lý Gauss dễ dàng thu được biểu thức E =
Bài làm
• Xét điện tích trong vòng tròn có bán kính a như 1 dĩa tròn tích điện đều có mật độ
điện mặt σ.
21
Định luật Gauss
Điện từ học
Nguyễn Đắc Thu Anh
– Ta có vi phân cường độ điện trường tại điểm P.
~ p = dE
~ x + dE
~ y + dE
~z
dE
~ x + dE
~ y = 0. Do đó
– Xét 1 cặp điện tích đối xứng nhau trên dĩa thì ta có dE
~ P = dE
~ z = dE
~ cos θ
dE
– Ta có vi phân cường độ điện trường tại P
dEp = dE cos θ
dq b
=k 2
r r
σ(2πrdr)
= kb 2
(r + b2 )3/2
– Cường độ điện trường tại P do dĩa tròn gây ra
Ep = kb2πσ
ˆ a
0
rdr
(r2 + b2 )3/2
ˆ b2 +a2
du
bσ
2ǫ0 b2
2u3/2
1
bσ
1
√ −√
=
2ǫ0
b2 + a2
b2
=
22
(13)
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
1
1 σ
σ
• Theo đề bài, ta có Ep = E =
=
. Từ 13, ta có
2
2 2ǫ0
4ǫ0
σ
b
b
σ
√ −√
=
4ǫ0
2ǫ0
b2 + a2
b2
b
1
=1− √
2
2
b + a2
√
2b = b2 + a2
4b2 = b2 + a2
a
b= √
3
• Ta có
√
2
3
a
r = a2 + b 2 =
3
√
a
a
tan ϑ = = √ = 3 ⇒ ϑ = 60◦
b
a/ 3
√
Bài tập 3.14.
Một vùng phân bố đối xứng cầu tích điện không đồng nhất với mật độ điện tích khối
có dạng:

ρ(r) = ρ (1 − r/R), r ≤ R
0
Trong đó ρ0 =
3Q
πR3
ρ(r) = 0, r ≥ R
a. Chứng minh rằng tổng điện tích trong phân bố nói trên là Q .
b. Chứng minh rằng cường độ điện trường trong miền r ≥ R tương tự với cường độ
điện trường gây ra bởi điện tích Q đặt tại r = 0
c. Xác định biểu thức cường độ điện trường trong miền r ≤ R.
d. Xác định giá trị của r mà tại đó cường độ điện trường cực đại, và tìm giá trị cực
đại đó.
Bài làm
23
Điện từ học
Định luật Gauss
a.
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Tổng điện tích phân bố trong vùng r ≤ R:
X
q1 =
ˆ
˚
dq1 =
ρ dV
ˆ 2π ˆ π ˆ R r 2
1−
= ρ0
· r sin φ dr dφ dθ
R
0
0
0
ˆ π
ˆ 2π
ˆ R
r 2
1−
sin φ dφ
dθ ·
· r dr ·
= ρ0
R
0
0
r
=
3Q
=
πR3
R3
12
2π · 2
=Q
• Trong vùng r ≥ R.
X
q2 =
ˆ
dq2 =
˚
ρ dV = 0
• Tổng điện tích trong vùng phân bố nói trên.
X
q=
X
q1 +
X
q2 = Q + 0 = Q
b. Chọn mặt Gauss là mặt cầu bán kính r
• Áp dụng định luật Gauss:
φ=
¨
~ A
~=
Ed
EA =
P
ǫ
P0
q
q
ǫ0 P
q
1
E=
2
4πr ǫ0
• Cường độ điện trường trong miền r ≥ R.
P
1
q
E=
2
4πr ǫ0
1 Q
=
4πǫ0 r2
c. Biểu thức cường độ điện trường trong miền r ≤ R.
24
(14)
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Điện tích trong vùng r ≤ R.
X
q1 =
ˆ
˚
dq1 =
ρ dV
ˆ 2π ˆ π ˆ r r 2
· r sin φ dr dφ dθ
= ρ0
1−
R
0
0
0
ˆ r
ˆ π
ˆ 2π
r 2
1−
sin φ dφ
dθ ·
= ρ0
· r dr ·
R
0
0
0
=
r4
3Q r3
=
−
2π · 2
πR3 3
4R
Q(4Rr3 − 3r4 )
=
R4
• Từ 14 ta có.
P
q1
1
E1 =
2
4πr ǫ0
1 Q(4Rr3 − 3r4 )
=
4πǫ0
r 2 R4
3r2
4r
Q
=
− 4
4πǫ0 R3
R
Q
3r2
=
4r −
4πR3 ǫ0
R
d. Xét biểu thức 15.
• Ta có:
E1′ (r) = 4 −
• E1 (2R/3) =
Q
.
3πǫ0 R2
25
6
r=0
R
2
r= R
3
(15)
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Vậy giá trị cực đại của cường độ điện trường do cùng phân bố gây ra
Emax =
Q
3πǫ0 R2
Bài tập 3.15.
Một quả cầu bán kính R = 0.160m có vỏ cách điện và điện tích phân bố đều với mật
độ điện khối ρ = 7.2 · 10−9 C/m3 . Một vật nhỏ được xem là điện tích điểm (điện tích
q = 3.40 · 106 C ) được thả cho chuyển động tự do ngay tại bề mặt quả cầu. Công mà lực
điện trường của quả cầu thực hiện để di chuyển vật ra xa quả cầu là bao nhiêu?
Bài làm
• Chọn mặt Gauss đồng tâm với quả cầu, có bán kính r là khoảng cách từ tâm đến
điểm đang xét.
• Áp dụng định luật Gauss, ta có
φ=
‹
~ A
~=
Ed
EA =
P
ǫ
P0
q
q
ǫ0 P
q
1
E=
4πr2 ǫ0
• Xét 1 điểm bên ngoài quả cầu, điện tích giới hạn bởi mặt Gauss.
X
q=
4
ρdV = πρR3
3
V
˚
• Từ 16, ta có.
E=
ρR3
3ǫ0 r2
• Công của lực điện trường để dịch chuyển điện tích.

∆U = −W
– Ta có:
⇒ W = −q∆V .
∆U = q∆V
– Mà
∆V = −
ˆ
ρR3
~
Ed~s = −
3ǫ0
26
ˆ ∞
R
dr
ρR2
=−
r2
3ǫ0
(16)
Định luật Gauss
Điện từ học
Nguyễn Đắc Thu Anh
– Công của lực điện trường để dịch chuyển điện tích q.
W = −q∆V = q
ρR2
7.2 · 10−9 · 0.1602
= 2.36 · 10−5 J
= (3.40 · 10−6 )
3ǫ0
3 · 8.85 · 10−12
Bài tập 3.16.
Một quả cầu kim loại bán kính R1 tích điện đều với điện tích q = −2nC, được đặt
đồng tâm với một vỏ cầu kim loại có bán kính trong R2 , bán kính ngoài R3 , điện tích vỏ
cầu là Q = 3nC như hình vẽ.
a. Xác định cường độ điện trường tại 1 điểm cách tâm O một khoảng r, với: r < R1 ,
R1 < r < R 2 , R 2 < r < R 3 , r > R 3
b. Xác định sự phân bố điện tích của quả cầu kim loại bán kính R1 , vỏ cầu bán kính
R2 và vỏ cầu bán kính R3 .
Bài làm
a. Xác định cường độ điện trường tại 1 điểm cách tâm O một khoảng r, với: r < R1 ,
R1 < r < R 2 , R 2 < r < R 3 , r > R 3 .
• Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm, bán kính r là khoảng cách từ tâm đến
điểm đang xét.
27
Điện từ học
Định luật Gauss
Nguyễn Đắc Thu Anh
• Áp dụng định luật Gauss, ta có
φ=
‹
~ A
~=
Ed
EA =
P
ǫ
P0
q
q
ǫ0 P
q
1
E=
2
4πr ǫ0
(17)
• Khi r < R1 .
– Do quả cầu kim loại là vật dẫn nên cường độ điện trường tại 1 điểm cách
tâm O một khoảng r < R1 bằng 0.
P
q1
1
17 ⇔ E1 =
=0
2
4πr ǫ0
• Khi R1 < r < R2 .
– Điện tích giới hạn bởi mặt Gauss:
X
q2 = q = −2 · 10−9 C
– Cường độ điện trường tại 1 điểm cách tâm O một khoảng r, với: R1 < r <
R2 .
P
q2
−2 · 10−9
1
=
17 ⇔ E2 =
4πr2 ǫ0
4πǫ0 r2
• Khi R2 < r < R3 .
– Do vỏ cầu kim loại là vật dẫn nên cường độ điện trường bên trong vỏ cầu
bằng 0.
E3 = 0
• Khi r > R3 .
– Điện tích giới hạn bởi mặt Gauss:
X
q4 = Q + q = −2 · 10−9 + 3 · 10−9 = 10−9 C
– Cường độ điện trường tại 1 điểm cách tâm O một khoảng r, với: r > R3 .
P
10−9
q4
1
17 ⇔ E4 =
=
4πr2 ǫ0
4πǫ0 r2
b.
• Do quả cầu kim loại là vật dẫn nên điện tích phân bố trên bề mặt quả cầu và
28
Định luật Gauss
Điện từ học
Nguyễn Đắc Thu Anh
có độ lớn bằng q.
• Vỏ cầu kim loại là vật dẫn nên điện tích phân bố trên bề mặt trong và ngoài
của vỏ cầu.
– Như kết quả ở câu a, cường độ điện trường bên trong vỏ cầu bằng 0, vậy
mặt trong vỏ cầu có điện tích −q.
– Theo đề bài ta có tổng điện tích của vỏ cầu là Q. Vậy điện tích trên bề
mặt vỏ cầu bên ngoài bằng q + Q.
29