第 13 卷 第 1 期
1997 年 3 月
农业工程学报
T a rn saction s of the CSA E
V o l. 13 N o. 1
M ar. 1997
轮式车辆动力传动系自激振动研究 ( g )
——自激振动系统的稳定性分析3
郑联珠①
张友坤 李俊明 葛剑敏
( 吉林工业大学)
提
要
该文建立了整车振动系统 ( 包括整车垂直振动系统、整车纵向振动系统和动力传动系
统) 的力学模型, 对整车振动的非线性运动微分方程在平衡点附近线性化, 根据当量线性化系统
在状态空间中的特征值判断系统的稳定性, 并作出了影响系统在外界参数空间的临界稳定曲
面, 为研究抑制自激振动的措施提供理论依据。
关键词
轮式车辆
传动系统
自激振动
稳定性分析
Research on the Self - Exc ited V ibra tion in W heeled
Veh icle Powertra in ( P a rt g )
—— Stab ility A na ly sis of the Se lf 2Excited V ib ra t ion Sy stem
Zhe ng L ia n 2zhu
Zha ng You 2kun
L i J un 2m ing
G e J ia n 2m in
(J ilin U n iv ersity of T echnology , C hang chun )
In th is p ap er, the m echan ics m odel of veh icle vib ra t ion ( include veh icle vert ica l
vib ra t ion, veh icle long itud ina l vib ra t ion and to rsiona l vib ra t ion of the pow ert ra in ) w a s es2
Abstract
tab lished. T he non linea r d ifferen t ia l equa t ion s of veh icle vib ra t ion w ere linea rized a t the
ba lance po in t and it s eigenva lues w ere ca lcu la ted to judge the stab ility of the veh icle vib ra 2
t ion sy stem. In add it ion, a crit ica l stab ility p a ram eter su rface to show the stab le a rea w a s
d raw n to p rovide a theo ry fo r sup ressing self 2excited vib ra t ion.
Key words W heeled V eh icle
T ran sm ission
Self 2excited vib ra t ion
Stab ility ana ly sis
文献 [ 1 ] 和 [ 2 ] 分析了轮式车辆动力传动系中自激振动产生的机理, 本文从整车振动系
统稳定性的角度分析车辆动力传动系中自激振动产生的条件, 找出影响整车稳定性的外界
因素和结构内部因素及影响规律, 为寻求抑制自激振动的措施提供理论依据。
1 整车振动系统的运动方程及平衡点线性化
本文以 BJ 212 汽车为例进行分析, 首先分别建立动力传动系扭转振动、整车的垂直振动
收稿日期: 1996- 12- 12
3
国家自然科学基金资助项目
① 郑联珠, 教授, 长春市人民大街 142 号 吉林工业大学汽车拖拉机系, 130025
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1997 年
和纵向振动的力学模型, 然后进行综合。 建立的力学模型简图如图 1 所示。
列出整车振动系统的运动微分方程, 为:
¨
α
M X + C’
X + K’
X = F’
( 1)
其中, M 、K ’
和C’
分别为质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵, X 为位移矢量, F ’
为激励力向量
M = d iag (J , M h , M V ) , C ’= d iag (C t , C h , C v ) , K ’= d iag ( K t , K h , K V )
T
T
T
T
X = {q , X h , X V } ,
F ’= {F t , F h , F V }
T
T
T
T
式中 J , M h , M V 分别为传动系扭振系统、
整车纵向振动系统和整车垂直振动系统的
质量矩阵; C t , C h , C V 分别为传动系扭振系
统、整车纵向振动系统和整车垂直振动系
统的阻尼矩阵; K t , K h , K V 分别为传动系
扭振系统、整车纵向振动系统和整车垂直
振动系统的刚度矩阵; q , X h , X V 分别为传
动系扭振、整车纵向振动和整车垂直振动
的位移向量; F t , F h , F V 分别为传动系扭振
系统、整车纵向振动系统和整车垂直振动
系统所受的激励力向量。
其中的具体元素如下:
( a ) 动力传动系力学模型
( b ) 整车纵向振动力学模型
图1
( c) 整车垂直振动力学模型
整车振动力学模型
J = d iag (J 1 , J 2 , J 3 , J 4 , J 5 , J 6 , J 7 , J 8 , J 9 )
M V = d iag (m c , m f , m r , m r , I C , I f , I r )
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( 2)
( 3)
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M h = d iag (m a , m d )
C0 + C1
- C1
- C1
C1 + C2
C 3 + C af + C ar
- C af
- C af
C 4 + C af + C hf
- C af
- C hf
C 5 + C af
- C3
- C5
C5
Ct =
- C ar
- C ar
C 7 + C h r + C ar
- C hr
- C hr
C 3 + C hr
- C3
- C3
C3
C h = diag ( 0, 0)
2 (C 12 + C 13 )
- 2C 12
- 2C 12
2C 12 + C 14
- 2C 13
CV =
- 2 (C 12 l1 - C 13 l2 )
- 2C 13
2C 12 l1
2C 13 + C 15
- 2 (C 12 l1 - C 13 l 2 )
2C 12 l1
- 2C 13 l 2
2
2[ C 12 ( l1 + l 5 2 ) + C 13 ( l 2 2 + l 3 2 ) ] - 2C 12 l 5 2 - 2C 13 l3 2
- 2C 13 l2
- 2C 12 l 52
- 2C 13 l3
- k1 k1 + k2
- k2
- k2
- k6
k2 + k3 + k6
- k3
- k3
k3 + k4
- k4
- k4
k4 + k5
- k5
- k5
k5
Kt=
- k6
- k6
k6 + k7
- k7
k 11
- k 11
- k 11
k 11
2 ( k 12 + k 13 )
- 2k 12
- 2k 12
2k 12 + k 14
- 2k 13
KV =
2C 13 l 3 2
- k1
k1
Kh =
2C 12 l3 2
2
- 2 ( k 12 l1 - k 13 l3 )
k7 + k8
- k8
- k8
k8
- 2 ( k 12 l 1 - k 13 l2 )
- 2k 13
2k 12 l1
2k 13 + k 15
2k 12 l1
- k7
- 2k 13 l2
- 2k 13 l2
2[ k 12 ( l1 2 + l5 2 ) + k 13 ( l 2 2 + l3 2 ) ] - 2k 12 l5 2 - 2k 13 l3 2
- 2k 12 l5 2
- 2k 13 l3 2
q = { Η1 , Η2 , Η3 , Η4 , Η5 , Η6 , Η7 , Η8 , Η9 }T ,
X h = { x C , x d }T ,
X V = {z 1 , z 2 , z 3 , Η10 , Η11 , Η12 }T
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2k 12 l3 2
2k 13 l3 2
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( T 2 + T f 2 ) }T ,
F t = {T a , 0, 0, 0, 0, - ( T 1 + T f 1 ) , 0, 0, -
1997 年
F h = { ( F f + F r) , - F d }T
F V = {0, 0, 0, ( - M C ) , ( - T af ) , ( - T ar) }T
( 4)
将式 ( 1) 右端的力向量中与状态向量有关的线性力 T f 1 , T f 2 , T af , T a r ( 不包括其静态分
力) 移到方程左端的 K ’
矩阵和 C ’
矩阵中, 可得新的运动微分方程
¨
α
( 5)
M X + CX + K X = F
下面讨论在平均滑转率 s0 大于允许滑转率 sm 时, 式 ( 5) 对应的当量线性化系统。设动力
传动系的平均转速为 Ξf , 车辆平均平移速度为 V 0 , 前后车轮的瞬时角速度分别为 Ξ0 和 Ξr ,
水平运动的瞬时速度为 V , 则有
α6
( 6)
Ξf = Ξ0 + Η
α
( 7)
Ξ = Ξ + Η
0
r
9
α
V = V 0 + xc
( 8)
在振动过程中, 前后车轮的瞬时滑转率 sf 和 s r 经线性化后成为
α
V0+ Xc
V0 α
V
1 α
sf = 1 = 1≌ s0 +
Η6 xc
α
(
)
Ξ0 + Η6 r
Ξf r
Ξ0 r
Ξ0 2 r
α
V0+ Xc
V0 α
V
1 α
sr = 1 = 1≌ s0 +
Η9 xc
α
( Ξ0 + Η9 ) r
Ξr r
Ξ0 r
Ξ0 2 r
( 9)
( 10)
式中 s0 为前后车轮的平均滑转率。
将式 ( 9) 和 ( 10 ) 分别代入前后车轮的地面附着系数 Λf 和 Λr 的计算公式 ( 参见文献 [ 1 ]
和 [ 2 ]) , 得
Λf = Λf 0 -
V 0 k Λf α
k Λf α
Η6 +
xc
Ξ0 r
Ξ0 2 r
( 11)
Λr = Λr0 -
V 0 k Λr α
k Λr α
Η9 +
xc
Ξ0 r
Ξ0 2 r
( 12)
从而, 不难得出 ( 4) 式中 F f 、F r、T 1、T 2 与 M c 的表达式, 这里不再一一列出。 于是有:
α
F = F 20 + K r2 x + C r2 x
( 13)
式中 F 20 为力向量中的静态分量
F 20 = {T e , 0, 0, 0, 0, - ( Λf 0 + f )W f r , 0, 0, - ( Λr0 + f )W r r , Λf 0W f + Λr0W r ,
( 14)
- F d , 0, 0, 0, - ( Λf 0W f + Λr0W r ) ( h - r ) , 0, 0}T
α
K r2 为 F 中 X 的系数矩阵; C r2 为 F 中 X 的系数矩阵。
令
则式 ( 5) 成为
K r2
( 15)
M X + C a 2X + K a 2X = 0
( 16)
C a 2 = C - C r2 , K a 2 = K ¨
α
于是, 整车振动系统的稳定性, 就取决于式 ( 16) 所表示的当量线性化系统的稳定性。 下
面根据上式进行整车振动系统的稳定性分析。
2 稳定性分析
根据振动理论[ 5 ] , 当式 ( 16) 在状态空间中的复特征值全部具有负实部时, 车辆振动系统
是稳定的; 当某特征值具有正实部时, 系统是不稳定的有可能产生自激振动。
式 ( 16) 在状态空间中可表示为
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α
( 17)
y = A 2y
式中
y =
A2=
X
X
α
( 18)
On
- M
- 1
En
K a2
( 19)
- M - 1C a 2
式中 O n —— n 阶零阵; E n —— n 阶单位阵。
本文直接利用现成的 M A TLAB 软件求解 A 2 的全部复特征值。
当平均滑转率 s0 等于 37 % ( sm = 30 % ) 时, 利用上述方法可以求出 A 2 的全部特征值,
在表 1 中列出其中主要的几阶 ( 只列出每对复共轭特征值中具有正虚部的那一个; 特征值的
虚部为负数的未列出) , 其余各阶复模态特征值的实部均为负。
表 1 s 0 = 37 % , Ξ0 = 8. 37 radg
s , k Λf = 0. 30, k Λr = 0. 20 的主要复模态特征值
实部
…
- 2. 60
- 2. 45
- 0. 29
- 12. 09
- 19. 25
5. 72
4. 53
- 347. 47 …
虚 部g
Hz
…
1. 50
1. 86
4. 56
7. 74
8. 20
8. 76
9. 20
29. 07 …
3 表中特征值的虚部已被 2 Π除, 单位是频率 (H z) ;
其余各阶特征值的实部均小于零。
从表 1 知, 当平均滑转率等于 37 % 时, 有两对复共轭特征值具有正实部, 整车振动系统
是不稳定的, 其频率分别为8. 76 H z 和 9. 20 H z, 因此, 受到一个初始激励后, 在 8. 76H z 和
9. 20 H z附近振动模态的振幅会随时间增长, 成为不稳定的模态, 则整车振动系统是不稳定
的。 而当平均滑转率 s0 等于 8 % 时, 求出所有的复特征值的实部均为负, 即系统是稳定的。
通过计算, 可以得出上述两阶复特征值所对应的复特征向量, 得知这两阶模态对应动力
传动系的振动。
在下面的分析中, 分别用 a 1 和 a 2 表示 8. 76 H z 附近和 9. 20 H z 附近振动模态的复特征
值的实部。
3 整车振动系统的临界稳定曲面
当平均滑转率 s0 大于 sm 时, 系统的稳定除了受结构因素的影响外, 还受以下几个外界
参数的影响: s0 , sm , Λm , k Λf , k Λr。改变这些外界参数, 可以使 a 1 和 a 2 减小。当这些外界参数达
到一定值时, a 1 和 a 2 减小为零, 此时系统临界稳定, 相应的外界参数即为临界稳定参数。 这
些临界稳定值在外界参数空间中组成临界稳定曲面。下面求汽车振动系统的临界稳定曲面。
Λm 和 sm 的大小对系统的稳定性影响不大, 因此, 在分析系统的临界稳定参数时, 将 Λm
和 S m 这两个外界参数取为常数, 这里只分析 Λm 等于 0. 6, sm 等于 30 % 时的情况。这样就可
以用临界三维稳定曲面的图形来表示 s0 , Ξ0 和 k Λ 对稳定性的影响。
设 k Λf = k Λr = k Λ, s0 的取值范围为 [ 30 % , 90 % ], Ξ0 的取值范围为 [ 5. 58, 9. 76 ]。当 s0 和
Ξ0 分别在上述范围内取一个值时, 就可以由式 ( 16 ) 求出使 a 1 和 a 2 之中的较大值等于零 ( 即
m ax= ( a 1 , a 2 = 0) 时的 k t , 此时系统处于临界稳定状态。 改变 s0 和 Ξ0 , 可以求出相应的使系
统临界稳定的另一个 k Λ。这样, 就可以求出使系统临界稳定的一组 k Λ 值。以 s0 和 Ξ0 为自变
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量, 使系统临界稳定的 k Λ ( 以 k Λt 表示) 为因变量进行多元非线性回归, 可以求出 k Λt 的多项式
函数, 如下式:
k Λt = -
0. 426 + 2. 475s0 - 4. 417s0 2 + 2. 458s0 3 + 0. 0245Ξ0 - 0. 095s0 Ξ0 + 0. 109s0 2 Ξ0
( 20)
Ξ0 ∈ [ 5. 58, 9. 76 ]
s0 ∈ [ 30 % , 90 % ],
经 F 检验, 上述方程在置信度 99 % 下显著, 各
系数均在置信度 90 % 下显著。
根据上述方程, 可以画出系统的临界稳定
曲面, 如图 2 所示。 在图中的临界稳定曲面上,
a 2 等于零, 而 a 1 略小于零。由前面的分析可知,
a 1 和 a 2 随 k Λ增加而增大, 因此, 在外界参数的
取值在临界稳定曲面以上时, a 1 和 a 2 大于零,
整车振动系统不稳定; 而外界参数取值位于临
界稳定曲面以下时, a 1 和 a 2 小于零, 整车振动
系统是稳定的。
利用这个临界稳定曲面可以判断在车辆的
外界参数取为某些值时的稳定性。 若外界参数
的取值点在临界稳定曲面的下面, 则系统是稳
在临界稳定曲面上, a 2 等于零, 而 a 1 略小于零
图2
定的, 若在临界稳定曲面的上面, 则系统是不稳
定的, 就有可能产生自激振动。
3 结
系统的临界稳定曲面
论
1 ) 建立了整车振动系统的力学模型和运动微分方程 ( 包括动力传动系的扭转振动、整
车垂直振动和整车纵向振动) , 并将非线性力在平衡点线性化, 得到了系统的当量线性化系
统, 为研究整车振动系统的稳定性奠定基础。
2) 通过求解当量线性化系统在状态空间中的复特征值和特征向量得知: 由于当滑转率
超过一定值时, 地面附着系数随滑转率的增加而减小的特性, 激发了动力传动系的两阶振动
模态, 从而产生了自激振动。
3) 影响车辆振动系统稳定性的外界参数包括以下几个: k Λf 、k Λr、s0、Ξ0、Λm 和 sm 。 通过计
算和分析, 画出了使整车振动系统临界稳定时上述外界参数的取值所组成的临界稳定曲面。
参
1
考
文
献
郑联珠, 贾建章, 程悦荪. 轮式车辆动力传动系自激振动研究 ( g ). 农业工程学报. 1996, 12 ( 4 ) : 37
～ 42
2
贾建章, 郑联珠, 程悦荪. 轮式车辆动力传动系自激振动研究 ( g ). 农业工程学报. 1996, 12 ( 4 ) : 43
～ 47
3
邓哈陀著 1 机械振动学. 谈峰等译. 北京: 科学出版社, 1961. 13～ 19
4
[ 德 ]M. 米奇克 著. 汽车动力学. 桑杰 译. 北京: 机械工业出版社. 1980. 260～ 271
5
高为柄. 运动稳定性基础. 北京: 高等教育出版社. 1987. 54～ 60
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