Marius Burtea
Georgeta Burtea
MATEMATICĂ
Manual pentru clasa a XII-a
M1
Trunchi comun
+
curriculum diferenţiat
„Manualul a fost aprobat prin Ordinul ministrului Educaţiei, Cercetării şi
Tineretului nr. 1262/32 din 06.06.2007 în urma evaluării calitative şi este realizat în
conformitate cu programa analitică aprobată prin Ordin al ministrului Educaţiei şi
Cercetării nr. 5959 din 22.12.2006“
Copertă: Giorgian Gînguţ
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României
BURTEA, MARIUS
Matematică M1 : trunchi comun şi curriculum diferenţiat : clasa a XII-a /
Marius Burtea, Georgeta Burtea. – Piteşti: Carminis Educaţional, 2007
328 p.; il.; 24 cm
ISBN 978-973-123-018-4
I. Burtea, Georgeta
51(075.35)
© Toate drepturile aparţin Editurii CARMINIS
Referenţi: Prof. Gr. I Marin Ionescu, Colegiul Naţional „I. C. Brătianu“, Piteşti
Prof. Gr. I Georgică Marineci, Colegiul Naţional „I. C. Brătianu“, Piteşti
Redactor: Carmen Joldescu
Tehnoredactori: Alina Pieptea, Marius Hîrzoiu
Corectură: Marius Burtea, Georgeta Burtea
Tehnoredactare computerizată: Editura CARMINIS
Tiparul executat la S.C. TIPARG S.A. PITEŞTI
Comenzile se primesc la
tel./fax: 0248/253022, 252467 sau pe adresa: Editura CARMINIS
str. Exerciţiu, bl. D 22, sc. B, ap. 1, cod 110242, Piteşti, jud. Argeş
www.carminis.ro
e-mail: editura_carminis@yahoo.com
ISBN 978-973-123-018-4
PREFAÞÃ
Manualul are la bazã PROGRAMA 1 ºi se adreseazã elevilor de
liceu din clasa a XII-a de la urmãtoarele filiere, profiluri ºi specializãri:
• filiera teoreticã, profilul real, specializarea matematicã-informaticã: 2 ore/sãptãmânã (TC) + 2 ore/sãptãmânã (CD);
• filiera vocaþionalã, profilul militar MApN, specializarea matematicã-informaticã: 4 ore/sãptãmânã (TC).
Acest manual se aplicã ºi la clasa a XIII-a, ciclul superior al
liceului, filiera tehnologicã, ruta progresivã de calificare profesionalã.
El este conceput pe baza noului curriculum orientat pe formarea
de competenþe, valori ºi aptitudini dobândite de elevi în actul învãþãrii,
elemente care-i vor conduce spre înþelegerea diverselor dimensiuni ale
realitãþii cotidiene ºi spre aplicarea metodelor specifice matematicii în
cele mai diverse domenii.
Manualul este alcãtuit din douã pãrþi distincte:
Partea I, ELEMENTE DE ALGEBRÃ, cuprinde urmãtoarele capitole:
Grupuri, Inele ºi corpuri, Inele de polinoame.
Partea a II-a, intitulatã ELEMENTE DE ANALIZÃ MATEMATICÃ,
este formatã din urmãtoarele capitole: Primitive (antiderivate), Integrala
definitã ºi Aplicaþii ale integralei definite.
Partea teoreticã a manualului este redatã într-o manierã directã,
definind noile concepte matematice ºi apoi prezentând aplicaþii care le
impun, sau într-o manierã problematizatã, pornind de la situaþii-problemã
a cãror rezolvare motiveazã introducerea ºi aprofundarea diferitelor
noþiuni ºi metode de lucru.
Partea aplicativã a manualului este constituitã din urmãtoarele
elemente care conferã acestuia o notã particularã, atractivã pentru cel
care îl utilizeazã:
• exerciþii ºi probleme rezolvate, concepute pentru a explica ºi
exemplifica modul de utilizare a noilor noþiuni, diferite metode ºi
procedee de rezolvare;
• teste de evaluare plasate dupã grupuri de teme sau la sfârºit de
capitol;
• seturi de exerciþii ºi probleme propuse, structurate pe grade de
dificultate în trei categorii:
a) Exerciþii ºi probleme pentru aplicarea ºi exersarea noþiunilor
fundamentale dintr-o unitate didacticã, notate cu simbolul „E“,
incluse în setul denumit EXERSARE.
b) Exerciþii ºi probleme pentru aprofundarea noþiunilor fundamentale studiate, notate cu simbolul „A“. Parcurgerea acestui
3
set de probleme dã posibilitatea aplicãrii noþiunilor învãþate în
contexte variate, realizând conexiuni intra- ºi extradisciplinare.
c) Exerciþii ºi probleme notate cu simbolul „D“ din setul
DEZVOLTARE, pentru iniþierea unui studiu mai lãrgit al unor
teme, având un nivel ridicat de dificultate. Exerciþiile de
dezvoltare vizeazã aspecte mai profunde ale unor noþiuni ºi pot
fi folosite pentru pregãtirea olimpiadelor ºcolare, pentru
alcãtuirea de referate ºi comunicãri pe baza unei bibliografii
recomandate.
Pe parcursul manualului sunt întâlnite diferite modalitãþi
complementare de evaluare ºi studiu:
• Temã — care solicitã demonstrarea unor rezultate matematice
urmând modele din cadrul unei anumite lecþii sau conþine aplicaþii
imediate ale unor modele de rezolvare oferite în cadrul exerciþiilor
rezolvate. Acestea pot fi parcurse în clasã, individual sau pe grupe de
elevi.
• Temã de studiu ºi Temã de proiect — care au drept scop
continuarea ºi aprofundarea unor idei iniþiate în cadrul unei lecþii.
Aceste teme de studiu sunt menite sã-i stimuleze pe elevi,
individual sau în grup, în studiul matematicii, în dezvoltarea creativitãþii
ºi capacitãþii de investigare. De asemenea, ele pot constitui subiectul
unor referate care sã completeze portofoliile elevilor.
• Teme de sintezã — destinate sistematizãrii ºi recapitulãrii
principalelor teme din programa ºcolarã, în vederea pregãtirii examenului de bacalaureat.
Manualul se încheie cu INDICAÞII ªI RÃSPUNSURI date pentru
un numãr semnificativ de exerciþii ºi probleme propuse.
Autorii
4
Algebr‘ • I. Grupuri
ELEMENTE DE ALGEBRĂ
I. GRUPURI
1
Legi de compoziţie pe o mulţime
1.1. Definiþii ºi exemple
Din studiul diferitelor operaþii întâlnite pânã acum (adunarea ºi
înmulþirea numerelor, compunerea funcþiilor, adunarea ºi înmulþirea
matricelor etc.) se pot desprinde concluziile:
— existã o mare diversitate atât în ceea ce priveºte natura
mulþimilor pe care sunt definite aceste operaþii (numere, funcþii,
matrice, vectori, ºiruri, perechi ordonate...), cât ºi în ceea ce priveºte
regulile specifice dupã care se opereazã cu elementele acestor mulþimi;
— operaþiile algebrice întâlnite au o serie de proprietãþi comune,
indiferent de natura elementelor asupra cãrora opereazã (comutativitate, asociativitate etc.).
Reþinând aspectele esenþiale ale operaþiilor, în acest capitol se va
face o prezentare a acestora într-o formã generalã prin intermediul
conceptului de lege de compoziþie, concept care dã posibilitatea folosirii
metodei axiomatice în algebrã.
v DEFINIÞII
Fie M o mulþime nevidã.
• O aplicaþie  : M  M  M,  x, y     x, y  se numeºte lege de compoziþie (operaþie algebricã) pe mulþimea M.
• Elementul   x, y   M, care corespunde prin aplicaþia  perechii
ordonate  x, y   M  M se numeºte compusul lui x cu y prin legea
de compoziþie .
 Exemple de legi de compoziþie
 Operaþia de adunare „  “ ºi operaþia de înmulþire „  “ pe mulþimile de numere N,
Z, Q, R, C:
„ + “: N  N  N,  x, y   x  y,
„  “: N  N  N,  x, y   x  y,
„ + “: Z  Z  Z,  x, y   x  y,
„  “: Z  Z  Z,  x, y   x  y, etc.
5
Algebr‘ • I. Grupuri
 Operaþia de adunare „“ pe mulþimea V a vectorilor din plan:
 
 
„  “: V  V  V , a, b  a  b.


 Operaþiile de reuniune „“, intersecþie „“, diferenþã „\“, diferenþã simetricã „“, pe
mulþimea P  M  a pãrþilor (submulþimilor) unei mulþimi M:
„  “: P  M   P  M   P  M  ,  A, B   A  B,
„  “: P  M   P  M   P  M  ,  A, B   A  B, etc.
 Operaþia de compunere „  “ a funcþiilor pe mulþimea F  M   f
f : M  M :
„  “: F  M   F  M   F  M  ,  f, g   f  g.
Legile de compoziþie sunt date în diferite notaþii:
• În notaþie aditivã se scrie   x, y   x  y; elementul x  y  M se
numeºte suma lui x cu y, iar operaþia  se numeºte adunare.
• În notaþie multiplicativã se scrie   x, y   x  y; elementul x  y  M se
numeºte produsul lui x cu y, iar operaþia  se numeºte înmulþire.
Deseori, dacã  : M  M  M este o lege de compoziþie (operaþie
algebricã) pe mulþimea M, în loc de notaþia   x, y  se folosesc notaþiile
x  y, x  y, x  y, x T y, x  y etc.
Exerciþiu rezolvat

 Pe mulþimea R se defineºte operaþia algebricã „ T “, astfel:
T : R  R  R,  x, y   x T y  xy  x  y.
a) Sã se calculeze 2 T 3, 5 T  3  ,  6  T 8  .
b) Pentru care elemente x  R, avem x T 2  8?
c) Sã se rezolve ecuaþia x T  x  1  1.
Soluþie
a) 2 T 3  2  3  2  3  1; 5 T  3   5   3   5   3   17, iar
 6  T 8    6    8    6    8   62.
b) Avem: x T 2  x  2 — x — 2  x — 2. Din egalitatea x — 2  8 se
obþine x  10.
c) Avem: x T  x  1  x  x  1  x   x  1  x 2  x  1. Rezultã ecuaþia
x2  x  2  0 cu soluþiile x1  1, x 2  2. Aºadar:  1 T 0  1 ºi 2 T 3  1.
1.2. Adunarea ºi înmulþirea modulo n
Fie n  N* un numãr natural ºi a  Z. Din teorema împãrþirii cu
rest a numerelor întregi rezultã cã existã ºi sunt unice numerele q  Z
ºi r  0, 1, 2,, n  1 cu proprietatea a  nq  r.
6
Algebr‘ • I. Grupuri
Numãrul natural r care reprezintã restul împãrþirii lui a la n, se
noteazã a mod n (se citeºte „a modulo n“) ºi se numeºte redusul modulo n
al numãrului a.
Aºadar, r  a mod n.
Astfel, dacã n  6, atunci:
15 mod 6  3, 5 mod 6  5,  10  mod 6  2.
Pe mulþimea Z definim urmãtoarele legi de compoziþie:
a)  : Z  Z  Z, a  b   a  b  mod n, numitã adunarea modulo n.
a  b se numeºte suma modulo n a lui a cu b.
b)  : Z  Z  Z, a  b   ab  mod n,
 TEMĂ
numitã înmulþirea modulo n.
Pentru n  6, calculaþi:
a  b se numeºte produsul modulo n
2  5,
2  5,
al lui a cu b.
16  9,
9  4,
Astfel, pentru n  8, avem:
 2   3,
 5   5,
6  10   6  10  mod 8  16 mod 8  0;
 7    9  ,  9     5  ,
7  12   7  12  mod 8  19 mod 8  3;
4  3   4  3  mod 8  12 mod 8  4;
 2  9   3,  3  7   8.
 2   5   2   5  mod 8   10  mod 8  6.
1.3. Adunarea ºi înmulþirea claselor de resturi modulo n
Fie n  N* un numãr natural fixat. Pentru a  Z notãm
  a  nk k  Z ºi r  a mod n restul împãrþirii lui a la n.
a
Din teorema împãrþirii cu rest, rezultã cã existã q  Z astfel încât
a  nq  r.

  a  nk k  Z  r  nq  nk k  Z  r  nh h  Z  r.
Atunci, a
 este esenþial sã cunoaºtem
Aºadar, în determinarea mulþimii a
restul împãrþirii lui a la n.
 se numeºte clasa de resturi modulo n a lui a.
Mulþimea a
Deoarece resturile obþinute la împãrþirea cu n a numerelor întregi
pot fi 0, 1, 2, ... , n — 1, rezultã cã existã numai n clase de resturi
modulo n distincte douã câte douã ºi acestea pot fi considerate
 1,
 2,
 , n

0,
 1.
Mulþimea claselor de resturi modulo n se noteazã cu Z n ºi putem
 1,
 2,
 , n

1 .
scrie Z  0,
n


7
Algebr‘ • I. Grupuri
Pe mulþimea Z n se definesc urmãtoarele legi de compoziþie:
b
  a
a) „  “: Z  Z  Z , a
 b, numitã adunarea claselor de
n
n
n
b
 se numeºte suma claselor a ºi b;

resturi modulo n, iar a
b
  a
b) „  “: Z  Z  Z , a
 b, numitã înmulþirea claselor de
n
n
n
b
 se numeºte produsul claselor a
 ºi b.

resturi modulo n, iar a
 Exemple


  1  3;
 2
 3
  1;
 2
 0
 etc.
 2
 2,
 1,
 3
 . Atunci avem: 2
 Fie Z 4  0,

 2
  0;
 2
 3
  2;
 3
 3
  1.
De asemenea: 2


 2,
 1,
 3,
 4
 avem: 2
  1  3,
 2
 3
  0,
 2
 2
  4,
 4
 3
 2
 etc.
 În Z 5  0,
 2
  4,
 2
 3
  1,
 3
  4,
 4
 3
 2
 etc.
 3
De asemenea: 2
Exerciþii rezolvate

1. Sã se calculeze în Z7 :


 3;
a) 2
Soluþie

  
 4 5
 3.
c) 3
 4
  6;

b) 3

 3 2
 2
 2
 4
 2
  1;

Avem: a) 2


 4
 6
 5
 6
  2;

b) 3
   5   3  3  3  3  5  5  5  2  3  3  4  5  6  3  6  4  6  3.

c) 3
4
3
 2  2x
  0.


2. Sã se rezolve în Z 4 ecuaþia 2x
Soluþie


 2,
 1,
 3
 .
Soluþiile ecuaþiei pot fi doar elemente ale mulþimii 0,
  2x.
 Avem:
Fie f  x   2x
 2
 0
 2
 0
 0
 0
  0;

• f 0
2
 TEMĂ
 
  1  2
  1  2
 2
  0;

• f 1   2
 2
• f 2
   0  2  2  0  0  0;
 2
• f 3
  1  2  3  2  2  0.
Rezolvaþi ecuaþiile:
 5
  0,
 în Z ;
a) 3x
6
 2  3x
  0,
 în Z ;
b) 3x
6
 3  3x
 2
  0,
 în Z .
c) 2x
4
 1,
 3.
 Dupã cum se
 2,
În concluzie, soluþiile ecuaþiei date sunt 0,
observã, ecuaþiile de gradul 2, pe mulþimi diferite de cele uzuale, pot
avea mai mult de douã soluþii.
8
Algebr‘ • I. Grupuri
1.4. Parte stabilã. Lege de compoziþie indusã
Fie M o mulþime nevidã ºi „  “: M  M  M o lege de compoziþie pe M.
v DEFINIÞIE
• O submulþime S  M se numeºte parte stabilã a lui M în raport cu
legea de compoziþie „  “ dacã:  x, y  S implicã x  y  S.
Pentru cazul S  M se spune cã M este parte stabilã în raport cu
legea de compoziþie „  “.
Exemple
 Mulþimile de numere N, Z, Q sunt pãrþi stabile ale lui R în raport cu operaþiile de
adunare ºi de înmulþire a numerelor reale.
 Mulþimile pN  px x  N , cu p  N sunt pãrþi stabile ale lui N în raport cu
operaþiile de adunare ºi de înmulþire a numerelor naturale.
 Fie M n  C  mulþimea matricelor pãtrate cu elemente
din
mulþimea
C.
Submulþimea S  M n  C  a matricelor inversabile este parte stabilã a lui M n  C 
în raport cu înmulþirea matricelor.
Exerciþii rezolvate

 a b 

2
2
1. Fie H  M 2  C  , H  
 a  b  1 . Sã se arate cã H este
  b a 

parte stabilã a mulþimii M 2  C  în raport cu înmulþirea matricelor.
Soluþie
 a b
 x y
2
2
2
2
Fie A, B  H, A  
, B  
 ºi a  b  1, x  y  1. Se

b
a

y
x




ay  bx 
 a b   x y   ax  by
obþine: AB  
 . (1)
  

  b a    y x    ay  bx  by  ax 
Folosind proprietatea det  AB   det  A   det  B  , rezultã cã:

det  AB   a 2  b2
 x  y   1 ºi astfel  ax  by    ay  bx   1. (2)
2
2
2
2
Din relaþiile (1) ºi (2) rezultã cã AB  H, deci H este parte stabilã a
mulþimii M 2  C  în raport cu înmulþirea.

2. Sã se arate cã mulþimea Rn  0, 1, 2, , n  1 este parte stabilã
a lui Z în raport cu adunarea modulo n ºi înmulþirea modulo n.
9
Algebr‘ • I. Grupuri
Soluþie
Dacã a, b  Rn , atunci, din definiþie, a  b ºi a  b reprezintã
restul împãrþirii numerelor a  b ºi a  b la n. În concluzie, a  b ºi a  b
sunt elemente ale lui Rn .
Dacã H este parte stabilã a lui M în raport cu legea de compoziþie
 : M  M  M, atunci pe mulþimea H se poate defini o lege de
compoziþie  : H  H  H, considerând   x, y     x, y  ,  x, y  H.
Legea de compoziþie  se numeºte legea de compoziþie indusã pe
mulþimea H de cãtre legea de compoziþie .
Pentru simplificarea scrierii, se obiºnuieºte sã se foloseascã
aceeaºi notaþie pentru legea de compoziþie pe M ºi legea de compoziþie
indusã pe H.
1.5. Tabla unei legi de compoziþie
Fie M o mulþime finitã, M  a1, a 2 , , a n  ºi  : M  M  M o lege
de compoziþie pe M.
a1 a 2  a j  a n

Legea de compoziþie  poate fi
a1

descrisã printr-un tablou cu n linii ºi
n coloane corespunzãtor elementelor
a2

a1, a 2 , , a n . La intersecþia liniei i cu


coloana j se aflã elementul  a i , a j .
ai
    ai , a j  
Acest tablou se numeºte tabla legii

de compoziþie sau tabla lui Cayley.

Tabla unei legi de compoziþie are
an

un rol deosebit în perfecþionarea calculelor algebrice, precum ºi în verificarea unor proprietãþi ale legii de
compoziþie.




Exerciþii rezolvate



1. Fie H  z  C z 4  1 . Sã se arate cã H este parte stabilã a
mulþimii C în raport cu înmulþirea numerelor complexe.
Soluþie
Ecuaþia z 4  1 se scrie
 z  1 z  1  0,
2
2
de unde se obþine z  1, 1, i,  i  H. Alcãtuim
tabla operaþiei de înmulþire pe H.
10

—1
1
—i
i
—1
1
—1
i
—i
1
—1
1
—i
i
—i
i
—i
—1
1
i
—i
i
1
—1
Algebr‘ • I. Grupuri
Dupã cum se observã din tabla operaþiei, toate rezultatele
obþinute în urma compunerii elementelor aparþin mulþimii H. În
concluzie, mulþimea H este parte stabilã a lui C în raport cu înmulþirea.

2. Sã se alcãtuiascã tablele operaþiilor de adunare ºi de înmulþire
modulo 4 pe R4 ºi de adunare ºi de înmulþire pe mulþimea claselor
de resturi Z 4 .
Soluþie
Având în vedere modul în care s-au definit operaþiile pe mulþimile
R4 ºi Z 4 , avem:

0
1
2
3
+

0
1

2

3

0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2

0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1

0

0
1
1

2

2

3

3


0

0

0
1

0

2

0

3

0
1

2

2

3

3

0

0
1

0

0
1

2

2

0

3

2

3

0
1

2
1

2

3

0

3

2
1
3. Pe mulþimea R se considerã legea de compoziþie x  y  xy  x  y,
 x, y  R. Sã se arate cã mulþimea M   2, 0  este parte stabilã
a lui R în raport cu legea de compoziþie „  “.
Soluþie
Trebuie arãtat cã dacã x, y   2, 0  , atunci x  y   2, 0  . Deoa-
rece x, y   2, 0  , rezultã cã 2  x  0, 2  y  0 sau 1  x  1  1,
1  y  1  1 ºi se obþin inegalitãþile x  1  1, y  1  1. Prin înmulþire,
avem
inegalitatea
 x  1 y  1  1,
care
se
scrie
sub
forma
1   x  1 y  1  1. Dupã reduceri se obþine: 2  xy  x  y  0, deci
x  y   2, 0  .
11
Algebr‘ • I. Grupuri
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
 în Z ;
b) x 2  1  0,
5
E1. Pe mulþimea Z se defineºte operaþia algebricã „“ astfel: x  y  2x 
 2  5x
 2
  0,
 în Z ;
c) 3x
4
 y — 3,  x, y  Z.
a) Sã se calculeze 4  7, 8   1 ,
 3
  0,
 în Z .
d) x 3  2x
5
 8   3 ºi 3   8  .
E6. Pe mulþimea R se definesc operaþiile algebrice x  y  x  y  xy ºi
b) Sã se afle valorile x  Z pentru
care x   3x  1  6.
x T y  x  y  2xy,  x, y  R. Sã
se rezolve:
a) ecuaþia x  x  x T x;
c) Sã se rezolve ecuaþia  x  1  3 


 5  x2  8 .
 x  3y   3  19
.
b) sistemul 
 x  2y  T 2  22
 1 a 

M  
 a  R
 a 1 

definim operaþia algebricã A  B 
 3A  2B,  A, B  M .
E2. Pe mulþimea
E7. Pe mulþimea M   0, 1, 2, 3, 4 se
considerã legea de compoziþie
x  y  x  y ,  x, y  M. Sã se alcãtuiascã tabla operaþiei ºi sã se arate
cã M este parte stabilã în raport cu
aceastã lege de compoziþie.
a) Sã se arate cã I 2  M .
1 3 1 2
b) Sã se calculeze 

.
3 1 2 1
c) Sã se determine a  R, ºtiind cã
2
1 a   1 a 

  I2 .



 a 1   a 2 1 
E8. Sã se alcãtuiascã tabla operaþiei
„“ pe mulþimea M ºi sã se
studieze dacã mulþimea este parte
stabilã în raport cu „“, dacã:
E3. Sã se calculeze:
a) 18 mod 5; 28 mod 6; 17 mod 8;
 3  mod 4;
b) 5  4; 6  11;  2   5;
a) M   x  N x divide 12 ,
x  y  c.m.m.d.c.  x, y  ;
 4  
b) M  2, 3, 4, 5 ,
  13  , dacã n  9;
c) 2  7; 5  8;  3   17;
x  y  min  x, y  ;
 5  
c) M   0, 1, 2, 3, 4 ,
  11 , dacã n  10.
x  y  max  x, y  .
E4. Sã se calculeze:
 21,
 9,
 
a) 23,
3, 
7 în Z ;
E9. Sã se arate cã mulþimea M este
parte stabilã în raport cu legea de
compoziþie specificatã:
a) M   2,    , x  y  xy 
3
  11,
 3
  7,
 5
9
 în Z ;
b) 2
4
   
3
  4
d)  2
    5    3  6  în Z 7 .
  4,
 4
  3,
 3
 3, 5
 4 în Z ;
c) 2
6
 2  x  y   6;

 a 2b 
b) M  
 a, b  R  , în raport
b
a



cu adunarea matricelor;
E5. Sã se rezolve ecuaþiile:
  1  0,
 în Z ;
a) 2x
3
12
Algebr‘ • I. Grupuri
 a 2b 

2
2
c) M  
 a, b  Q, a  2b  1 ,
b
a



în raport cu înmulþirea matricelor.
c) Sã se rezolve sistemele de ecuaþii:
 x  y  1
x  2  y
ºi 
.

 x  1  y  1
y  2  x
E10. Pe mulþimea M  1, 2, 3, 4 se con-

1 a

E11. Fie M   A  
 a  C  ºi legea
0
1




siderã operaþia algebricã „“ a cãrei
de compoziþie X  Y  X  Y  I 2 ,
tablã este datã mai jos:

1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
2
4
3
3
1
3
4
4
3
2
 X, Y  M 2  C  definitã pe mulþimea
M 2 C .
1
2
4
1
Sã se arate cã mulþimea M este
parte stabilã a mulþimii M 2  C  în
a) Sã se determine x  1   2  3  ,
raport cu operaþia de înmulþire a
matricelor ºi în raport cu operaþia
„  “.
y  4   3  2  , z  1  2    3  4  .
b) Sã se rezolve ecuaþiile x  2  4,
4  x  2 ºi x  2  x  1.
APROFUNDARE
A1. Sã se determine mulþimile M  Z 4 ,
bilã în raport cu adunarea ºi înmulþirea;
care sunt pãrþi stabile ale lui Z 4
în raport cu operaþia de adunare.
2

þimii Z  3  în raport cu înmulþirea.
A5. Se considerã funcþiile
f1, f2 , f3 , f4 : R \  0  R \  0 ,
 a 2  a;
b) M   4, 6 , x  y  xy  5  x  y  30;
f1  x   x, f2  x  
xy
.
c) M   1, 1 , x  y 
1  xy
1
, f3  x    x,
x
1
. Sã se arate cã mulþix
mea M   f1, f2 , f3 , f4  este parte
f4  x   
A3. Pe mulþimea M   2,    se considerã legea de compoziþie:
xy  2
xy 
,  x, y  M.
xy3
Sã se arate cã M este parte stabilã
în raport cu „  “.

2
a  3b  1 este parte stabilã a mul-
A2. Sã se arate cã mulþimea M este
parte stabilã în raport cu operaþia
specificatã:
a) M   a,    , x  y  xy  a  x  y  
A4. Se considerã mulþimea

b) mulþimea M  a  b 3 a, b  Z,
stabilã în raport cu compunerea
funcþiilor.
A6. Fie M   2,    ºi legea de compoziþie pe M: x  y  xy  2x  2y  a,
 x, y  M.
a) Sã se determine valoarea
minimã a lui a  R, astfel încât M
sã fie parte stabilã în raport cu „“.

Z  3   a  b 3 a, b  Z .
Sã se arate cã:
a) mulþimea Z  3  este parte sta-
b) Sã se rezolve ecuaþia 4  x  8.
13
Algebr‘ • I. Grupuri

A8. Sã se determine mulþimile finite
M  R, care sunt pãrþi stabile ale
lui R în raport cu operaþia de
înmulþire. Aceeaºi problemã pentru
mulþimea C.
A7. Sã se studieze dacã mulþimea M
este parte stabilã a lui C în raport
cu înmulþirea:


a) M  z  C z 3  1 ;
A9. Fie M o mulþime cu 3 elemente. Sã
se determine numãrul legilor de
compoziþie care se pot defini pe
mulþimea M. Generalizare.
b) M  z  C z  z ;


d) M  z  C Re  z   0 .
c) Sã se rezolve sistemul:
 x  2   y  3  46
, pentru a  50.

 2x  1   y  1  59

c) M  z  C z2  z ;
2 Propriet‘ţi ale legilor de compoziţie
2.1. Proprietatea de comutativitate
Fie M o mulþime nevidã.
v DEFINIÞIE
• Legea de compoziþie „  “: M  M  M,  x, y   x  y se numeºte comutativã dacã x  y = y  x,  x, y  M.
 Exemple de legi de compoziþie comutative
 Adunarea ºi înmulþirea pe mulþimile de numere N, Z, Q, R, C. Avem:
x  y  y  x ºi x  y  y  x,  x, y.
 Reuniunea, intersecþia ºi diferenþa simetricã pe mulþimea P  M  a submulþimilor
mulþimii M:
A  B  B  A, A  B  B  A, A  B  B  A,  A, B  P  M  .
 Adunarea matricelor pe mulþimea M m, n  C  :
A  B  B  A, A, B  M m, n  C  .
 Exemple de legi de compoziþie necomutative
 Scãderea pe mulþimile Z, Q, R, C.
 Scãderea pe mulþimea matricelor M m, n  C  .
 Diferenþa mulþimilor pe mulþimea P  A  .
 Compunerea funcþiilor pe mulþimea F  M   f
douã elemente.
14
f : M  M , dacã M are cel puþin
Algebr‘ • I. Grupuri
 OBSERVAŢII
1. Dacã  : M  M  M este lege de compoziþie comutativã pe mulþimea M
ºi H  M este parte stabilã a lui M în raport cu , atunci operaþia
indusã pe H de legea  este comutativã. Se spune cã proprietatea de
comutativitate este ereditarã.
2. Dacã mulþimea M este finitã, comutativitatea unei operaþii  pe M
poate fi verificatã pe tabla operaþiei. Legea de compoziþie este
comutativã dacã tabla legii este simetricã faþã de diagonala
principalã a acesteia.
Exerciþiu rezolvat

Pe mulþimea Z a numerelor întregi se defineºte legea de compoziþie
x  y = xy  2x  ay .
Sã se determine a  Z pentru care legea de compoziþie este
comutativã.
Soluþie
Avem: y  x  y  x  2 y  ax. Din egalitatea x  y = y  x se obþine
x  y  2x  ay  y  x  2y  ax,  x, y  Z. Din faptul cã înmulþirea ºi
adunarea numerelor întregi sunt legi de compoziþie comutative se obþine
 a  2  x  y  = 0,  x, y  Z, de unde a  2.
 OBSERVAŢIE
• Multe legi de compoziþie se definesc cu ajutorul altor legi de
compoziþie. În asemenea cazuri, în demonstrarea proprietãþilor legii
de compoziþie considerate, intervin în mod esenþial proprietãþile
legilor de compoziþie folosite în definirea acestora.
2.2. Proprietatea de asociativitate
Fie M o mulþime nevidã.
v DEFINIÞIE
• O lege de compoziþie M  M  M,  x, y   x  y se numeºte asociativã
dacã  x  y   z = x   y  z  ,  x, y, z  M .
 Exemple de legi asociative
 Adunarea ºi înmulþirea pe mulþimile de numere N, Z, Q, R, C:
 x  y   z  x   y  z  ºi  x  y   z = x   y  z  , pentru oricare x, y, z.
15
Algebr‘ • I. Grupuri
 Reuniunea, intersecþia ºi diferenþa simetricã pe mulþimea pãrþilor unei mulþimi M:
 A  B   C  A   B  C ,  A  B   C  A   B  C  ºi
A   B  C  =  A  B   C,  A, B, C  P  M  .
 Compunerea funcþiilor pe mulþimea F  M   f
f : M  M:
f   g  h    f  g   h,  f, g, h  F  M  .
 Adunarea ºi înmulþirea matricelor pe mulþimea M n  C :
A   B  C    A  B   C,  A, B, C  M n  C  ºi A   B  C    A  B   C,
 A, B, C  M n  C  .
 Exemple de legi neasociative
 Scãderea pe mulþimile de numere Z, Q, R, C. De exemplu: 2   3  1  0, iar
 2  3   1  2.
 Scãderea matricelor pe mulþimea M m, n  C  .
 Diferenþa mulþimilor pe mulþimea P  M  .
Atunci când este valabilã proprietatea de asociativitate, nu este
necesarã folosirea parantezelor pentru a indica compusul a trei
elemente. În acest caz este suficient sã se scrie a  b  c , iar acest
element se poate determina fie cu  a  b   c, fie cu a   b  c  .
În general, pentru o operaþie asociativã, se pot considera elemente
de forma a1  a 2  ...  a n , acestea având aceeaºi valoare indiferent de
gruparea termenilor cu ajutorul parantezelor.
Elementul a1  a 2  ...  a n se defineºte recursiv astfel:
a1  a2  ...  a n 1  a n =  a1  a2  ...  a n 1   a n .
Pentru o lege de compoziþie „“ asociativã sunt valabile egalitãþile:
• a1  a 2  ...  a n = a1   a 2  ...  a n  ;
• a1  a 2  ...  a n =  a1  a 2  ...  a k 1    a k  ...  a n  , unde 2  k  n.
 OBSERVAŢII
1. Proprietatea de asociativitate este ereditarã, adicã dacã  este lege
de compoziþie asociativã pe M ºi H  M este parte stabilã a lui M în
raport cu , atunci ºi legea indusã pe H de cãtre  este asociativã.
2. Dacã  este lege neasociativã pe M ºi H  M este o parte stabilã a lui
M în raport cu , nu rezultã în mod necesar cã legea indusã de  pe
H este neasociativã.
16
Algebr‘ • I. Grupuri
 Exemplu

Operaþia de scãdere pe Z nu este asociativã, dar este asociativã pe mulþimea
H  0  Z.
Probleme rezolvate

1. Pe mulþimea M 2  Z  se considerã legea de compoziþie „“, datã
de relaþia A  B  A  B  AB.
a) Sã se arate cã legea de compoziþie „“ este asociativã.
1
b) Sã se determine 
0
1
c) Sã se determine 
0
a  1 b 1 c


.
1   0 1   0 1
1  1 2   1 3   1 4 



.
1  0 1   0 1   0 1 
Soluþie
a) Folosind comutativitatea adunãrii ºi asociativitatea înmulþirii
matricelor, avem  A  B   C =  A  B  AB   C = A  B  AB  C 
  A  B  AB   C = A  B  C  AB  AC  BC  ABC. Analog,
A   B  C 
 A   B  C  + A   B  C  = A  B  C  BC  A  B  C  BC   A  B  C  AB 
 AC  BC  ABC.
Aºadar, pentru oricare A, B, C  M 2  Z  ,  A  B   C = A   B  C  ,
deci legea de compoziþie „“ este asociativã.
b) Legea „“ fiind asociativã, folosind a), rezultã:
1 a  1 b 1 c 1 a  1 b 1 c 1 a 1 b


  
=


 


  0 1   0 1   0 1  0 1  0 1  0 1  0 1   0 1 
1 a 1 c 1 b 1 c 1 a 1 b1 c 3 a  b  c





 =


 
3

 0 1   0 1  0 1   0 1  0 1   0 1   0 1  0
 1 a  b   1 a  c   1 b  c   1 a  b  c   7 4a  4b  4c 




=
.
1  0
1  0
1  0
1
7
0
 0

c) Folosind punctul b) rezultã:
 1 1  1 2   1 3    1 4   7 24   1 4   7 24   1 4 



  
=

=


 0 1   0 1   0 1    0 1   0 7   0 1   0 7   0 1 
 7 24   1 4   8 28   7 52  15 80 


=

=
.
 0 7   0 1   0 8   0 7   0 15 
17
Algebr‘ • I. Grupuri

2. Pe mulþimea R se defineºte legea de compoziþie R  R  R,
 x, y   x  y = xy  ax  ay  b.
a) Sã se determine a, b  R, astfel încât legea de compoziþie „“ sã
fie asociativã.
x 
x
 ... 
x , pentru a, bR determinaþi la a).
b) Sã se determine 
n termeni
Soluþie
a) Folosind proprietãþile adunãrii ºi înmulþirii numerelor reale, pentru
 x, y, z  R, avem  x  y   z =  xy  ax  ay  b   z =  xy  ax  ay  b   z 
 a   xy  ax  ay  b   az  b  xyz  axy  ayz  bz  axz  a 2 x  a 2 y  ab 
az  b = xyz  axy  ayz  axz  a2 x  a2 y   a  b z  ab  b. Analog se obþine:
x   y  z  = xyz  axy  ayz  axz   a  b  x  a 2 y  a 2 z  ab  b.
Din egalitatea
 x  y   z  x   y  z  ,  x, y, z  R
se obþine cã
 a2  a  b   x  z   0,  x, z  R. Aºadar, a2  a  b  0 ºi astfel x  y 
 xy  a  x  y   a 2  a sau, astfel scris, x  y   x  a  y  a   a.
b) Vom folosi metoda inducþiei matematice.
Fie t n  x  x  ...  x, compunerea având în total n termeni.
Rezultã t1  x, t 2  x  x  x 2  2ax  a 2  a   x  a   a,
2
t 3 = t 2  x =  x  a  t 2  a   a =  x  a   a.
3
Presupunem cã t k =  x  a   a.
k
k 1
Atunci t k 1  t k  x   x  a  t k  a   a   x  a 
Din principiul inducþiei matematice rezultã cã:
 a.
t n =  x  a   a pentru oricare n  N, n  1.
n

3. Într-un circuit electric sunt legate în paralel douã rezistoare cu
rezistenþele R1 ºi R 2 , mãsurate în ohmi. Rezistenþa echivalentã R
a grupãrii rezistenþelor R1, R 2 este datã de relaþia:
1
1
1


. (1)
R R1 R 2
Sã se arate cã circuitele din figurile 1 ºi 2 au aceeaºi rezistenþã
totalã pentru oricare valori R1, R 2 , R 3   0,    .
Soluþie:
Fie M   0,    mulþimea valorilor rezistenþelor dintr-un circuit.
18
Algebr‘ • I. Grupuri
Relaþia (1) defineºte pe mulþimea M urmãtoarea
lege de compoziþie:
R1R 2
R1  R 2  R 
.
R1  R 2
R1
Rezistenþa totalã a circuitului din figura 1 este
R    R1  R 2   R 3 , iar a circuitului din figura 2 este
R1
R   R1   R 2  R 3  .
Egalitatea R   R  este echivalentã cu egalitatea  R1  R 2   R 3  R1   R 2  R 3  , R1, R 2 , R 3  M.
R2
R3
Figura 1
R2
R3
Figura 2
R1R 2 R 3
R1R 2
 R3 
.
R1  R 2
R1R 2  R1R 3  R 2 R 3
R 2R 3
R1R 2 R 3
Analog, R1   R 2  R 3   R1 

.
R 2  R 3 R1R 2  R1R 3  R 2 R 3
Aºadar R   R . Mai mult, se obþine cã legea de compunere a
rezistenþelor legate în paralel este asociativã.
Avem  R1  R 2   R 3 
Pe o mulþime M se pot defini mai multe legi de compoziþie.
O mulþime nevidã înzestratã cu una sau mai multe legi de
compoziþie, care satisfac un set de axiome date sub formã de identitãþi
sau alte condiþii, formeazã o structurã algebricã.
v DEFINIÞII
• Se numeºte semigrup o pereche  S,   formatã dintr-o mulþime nevidã
S ºi o lege de compoziþie pe S care îndeplineºte axioma de asociativitate:
S1 : x   y  z  =  x  y   z,  x, y, z  S.
• Un semigrup  S,   se numeºte semigrup comutativ sau abelian
dacã legea de compoziþie verificã axioma de comutativitate:
S2 : x  y = y  x,  x, y  S.
 Exemple de semigrupuri
 Perechile  N,   ºi  N,  sunt semigrupuri comutative. Ele reprezintã semigrupul
aditiv ºi semigrupul multiplicativ al numerelor naturale.
 Fie A o mulþime ºi P  A  mulþimea pãrþilor lui A. Perechile  P  A  ,   ,  P  A  ,   ,
 P  A  ,   sunt semigrupuri comutative.
 Fie A o mulþime nevidã ºi F  A   f f : A  A . Perechea  F  A  ,   este semigrup.
Dacã mulþimea A are cel puþin douã elemente, semigrupul  F  A  ,   este necomutativ.
19
Algebr‘ • I. Grupuri
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E4. Pe mulþimea Z se considerã legile
de compoziþie x  y = x  y  4 ºi
x T y = xy  4x  4y  20.
E1. Sã se studieze comutativitatea ºi
asociativitatea legilor de compoziþie
definite pe mulþimea M, în cazurile:
a) M  1,   , x  y  2xy  2x  2y  3;
a) Sã se arate cã
b) M  1, 3  , x  y  xy  2x  2y  6;
sunt semigrupuri comutative.
b) Sã se arate cã x T  y  z  =  x T y  
c) M  Z, x  y = x  y  xy;
d) M  Z, x  y = 7 xy  2x  2y  8;
e) M  Q, x  y = xy  x  y.
  x T z  (legea de compoziþie T este
distributivã faþã de „“).
E2. Sã se studieze comutativitatea ºi asociativitatea legii de compoziþie „“
definitã pe mulþimea M, în cazurile:
xy
;
a) M   1, 1 , x  y =
1  xy
b) M  C, x  y = x  y  ixy;
E5. Pe mulþimea Z se considerã legile
de compoziþie x  y = x  y  3 ºi
x T y = x  y  7.
a) Sã se arate cã
xy=
 Z,   ºi  Z, T
sunt semigrupuri comutative.
c) M  1,    ,
2 2
 Z,   ºi  Z, T
b) Sã se determine a, b  N* , astfel
2
2
x y  x  y  2;
d) M   0,   \ 1 ; x  y = x
ln y
încât funcþia f : Z  Z, f  x  ax  b
sã verifice egalitatea:
f  x  y  = f (x) T f (y).
;
 1 a 

e) M  
 a  R ,
 0 1 

A  B = AB  A  B  2I 2 .
E6. Pe mulþimea Z 5 se defineºte opera  2y
  a,
þia algebricã x  y  xy  2x
 x, y  Z 5 .
E3. Sã se determine constantele reale
pentru care legile de compoziþie
„“ sunt comutative ºi asociative
pe mulþimile M date:
a) M  Z, x  y = cx  ay  b;
b) M  Q, x  y = xy  2x  ay  b;
c) M  C, x  y = ixy  ax  by;
d) M   0,    , x  y =
a) Pentru care valori ale lui a  Z 5


  a  a2 
existã egalitatea 2

 aa
2
2
?
b) Sã se determine a  Z 5 pentru
ax  by
.
1  xy
care operaþia „“ este asociativã.
APROFUNDARE
A1. Fie A   0, 2  . Pe mulþimea A se defi-
b) Sã se verifice cã dacã x, y, z  A
ºi x  z  y  z, atunci x  y.
neºte legea de compoziþie „“ prin:
c) Sã se determine x  A care
verificã ecuaþia x  x  x  0.
4x  4y
, x, y  A.
4  xy
a) Sã se arate cã legea este asociativã ºi comutativã.
xy
(Univ. Babeº-Bolyai, Cluj-Napoca,
2000)
20
Algebr‘ • I. Grupuri

y 
 x
b) M  
 x, y  R  ,
0
x
y




A2. Pe mulþimea R se defineºte legea de
compoziþie x  y  xy  2ax  by,
 x, y  R. Legea este asociativã ºi
comutativã dacã:
1
1
1
b) a  b  ;
a) a  , b  ;
3
2
3
A  B  aAB  bBA;
 0 0 

c) M  
 x  R , A  B 
 x x 

c) a 2  b2  2;
d) a  1, b  2;
1
e) a  b  0 sau a  , b  1.
2
(Univ. Maritimã, Constanþa, 2000)
 0 0
 aAB  
  A  B .
1 1
A5. Fie M o mulþime nevidã ºi operaþia
algebricã asociativã „  “ definitã
pe M. Sã se gãseascã condiþii suficiente asupra elementului a  M
pentru care operaþia „  “ definitã
pe M este asociativã:
a) x  y  a  x  y;
A3. Sã se arate cã urmãtoarele legi de
compoziþie definite pe R sunt
comutative ºi asociative:
a) x  y  max  x, y  ;
b) x  y  min  x, y  .
b) x  y  x  a  y;
A4. Sã se determine a, b  R pentru
care urmãtoarele operaþii algebrice
definite pe mulþimea M  M 2  R  ,
c) x  y  a  x  y  a;
d) x  y  x  y  a.
sunt comutative ºi asociative:
 x y 

a) M  
 x, y  R  , A  B 
0
x



A6. Sã se determine numãrul legilor de
compoziþie comutative definite pe
o mulþime cu n  N* elemente.
 A  aB  bI 2 ;
2.3. Element neutru
Fie M o mulþime nevidã.
v DEFINIÞII
• Legea de compoziþie M  M  M,
 x, y   x  y admite element
neutru dacã existã un element e  M, astfel încât x  e = e  x = x,
" x ΠM.
(1)
• Elementul e  M cu proprietatea (1) se numeºte element neutru
pentru legea de compoziþie „“.
 Exemple
 Numãrul 0 este element neutru pentru adunarea numerelor pe mulþimile N, Z, Q, R, C:
x  0  0  x  x,  x.
 Matricea Om, n este element neutru pentru adunarea matricelor pe mulþimea Mm,n  C :
A  O m, n  O m, n  A  A,  A  M m, n  C  .
21
Algebr‘ • I. Grupuri
 Matricea unitate In este element neutru pentru înmulþirea matricelor pe mulþi-
mea M n  C :
A  In  In  A  A,  A  M n  C  .

 Vectorul nul 0 este element neutru pentru adunarea vectorilor pe mulþimea
vectorilor V din plan sau din spaþiu:
    

v  0  0  v  v,  v  V .
 TEOREMA 1 (unicitatea elementului neutru)
Fie M o mulþime nevidã. Dacã legea de compoziþie M  M  M,
 x, y   x  y , admite un element neutru, atunci acesta este unic.
Demonstraþie
Sã presupunem cã e1 ºi e2 sunt elemente neutre pentru legea de
compoziþie „“. Atunci au loc relaþiile:
x  e1 = x ºi e2  y = y.
Luând x  e2 ºi y  e1, se obþine cã:
e2  e1 = e2 ºi e2  e1 = e1, relaþie din care rezultã
unicitatea este demonstratã. n
cã e1 = e2 ºi
Exerciþii rezolvate

1. Pe mulþimea R se defineºte legea de compoziþie R  R  R,
 x, y   x  y  xy  ax  ay  b. Sã se determine a, b  R pentru
care legea de compoziþie datã admite element neutru e  2.
Soluþie
Numãrul e  2 este element neutru dacã x  2  2  x  x,  x  R.
Din aceste relaþii se obþine 2x  2a  ax  b  x,  x  R, de unde a  2  1
ºi 2a  b  0. Rezultã a  1 ºi b  2, iar legea de compoziþie este
x  y  xy  x  y  2.
 a b 

2. Fie M  
 a, b  R  .
 0 0 

a) Sã se arate cã existã A  M, astfel încât AX  X,  X  M.
b) Existã matricea B  M, astfel încât XB  X,  X  M?
Soluþie
a b
x y
a)
Fie X  
  M. Din egalitatea AX  X se obþine:
  M ºi A  
0 0
0 0

a b  x y   x y 
 ax ay   x y 



 , de unde 

 . Aceastã relaþie se
0 0 0 0 0 0
 0 0  0 0
22
Algebr‘ • I. Grupuri
1 b
verificã pentru oricare x, y  R dacã a  1, b  R, deci A  
 , b  R.
0 0
Rezultã cã existã o infinitate de matrice A cu proprietatea cerutã.
a b
 x y  a b
b)
Fie B  
  M. Din egalitatea XB  X se obþine 


0 0
0 0 0 0
 ax bx   x y 
x y


 , de unde a  1, bx  y.
 sau 
0  0 0
0
0 0
A doua egalitate nu poate avea loc pentru oricare x, y  R.
Aºadar, nu existã B  M cu proprietatea cerutã.
 OBSERVAŢII
1. Fie M o mulþime nevidã ºi „“ o lege de compoziþie pe M.
Dacã existã es  M, astfel încât es  x  x,  x  M, elementul es se
numeºte element neutru la stânga.
Dacã existã ed  M, astfel încât x  ed  x,  x  M, elementul ed se
numeºte element neutru la dreapta.
Din problema rezolvatã rezultã cã existã legi de compoziþie care au
element neutru la stânga, dar nu au element neutru la dreapta.
2. Operaþia de scãdere pe R are elementul neutru la dreapta ed  0, dar
nu are element neutru la stânga. Într-adevãr, x  0  x,  x  R, ºi
nu existã e  R astfel încât e  x  x,  x  R.
v DEFINIÞII
• Perechea  M,   se numeºte monoid dacã verificã urmãtoarele axiome:
(M1) axioma asociativitãþii:
 x  y   z  x   y  z  ,  x, y, z  M;
(M2) axioma elementului neutru:
 e  M, astfel încât x  e  e  x  x,  x  M.
• Dacã, în plus, legea de compoziþie „“ este comutativã, monoidul se
numeºte monoid comutativ sau abelian.
Se observã cã perechea  M,   este monoid dacã este semigrup cu
element neutru (semigrup unitar).
 Exemple
 Perechile  N,   ,  N,  ,  Z,   ,  Z,  ,  R,   ,  R,  sunt monoizi comutativi.


 Perechile M n  C  ,  ,  F  A  ,   sunt monoizi necomutativi.
23
Algebr‘ • I. Grupuri
2.4. Elemente simetrizabile
v DEFINIÞII
Fie M o mulþime nevidã, înzestratã cu o lege de compoziþie M  M  M,
 x, y   x  y, care admite elementul neutru e.
• Elementul x  M se numeºte simetrizabil în raport cu legea de
compoziþie „“ dacã existã x   M, astfel încât x  x   x   x  e. (1)
• Elementul x   M se numeºte simetricul elementului x în raport cu
legea de compoziþie „“.
 Exemple
 Orice numãr real x este simetrizabil în raport cu adunarea numerelor reale. În
acest caz, x    x ºi se numeºte opusul numãrului x.
 Orice numãr real nenul x este simetrizabil în raport cu înmulþirea pe R. Simetricul
1
elementului x  R \ 0 este x  
ºi se numeºte inversul lui x. Numãrul x  0
x
nu este simetrizabil în raport cu înmulþirea numerelor reale.
 Fie Z mulþimea numerelor întregi. Singurele elemente simetrizabile în raport cu
înmulþirea sunt 1 ºi 1.
Dacã legea de compoziþie pe mulþimea M are element neutru, se
noteazã cu U  M  mulþimea elementelor simetrizabile în raport cu legea
de compoziþie.
Deoarece elementul neutru are proprietatea e  e  e, rezultã cã
e  U  M  , deci U  M  este mulþime nevidã.
Mulþimea U  M  se numeºte mulþimea unitãþilor lui M.
 TEOREMA 2 (unicitatea simetricului)
Fie „“ o lege de compoziþie pe mulþimea M, asociativã ºi cu
elementul neutru e. Dacã un element x  M are un simetric,
atunci acesta este unic.
Demonstraþie
Presupunem cã x  ºi x  sunt elemente simetrice ale elementului x.
Din asociativitatea legii de compoziþie „  “ se obþine:
x   x  x    x   x   x   e  x   x , ºi
x   x  x   x    x  x    x   e  x .
Rezultã cã x   x  ºi unicitatea este demonstratã. n
24
Algebr‘ • I. Grupuri
 OBSERVAŢIE
Dacã o lege de compoziþie „“ pe o mulþime M are element neutru, dar
nu este asociativã, este posibil ca un element x  M sã admitã mai
multe elemente simetrice.
 Exemplu
Fie M  e, a, b ºi legea de compoziþie datã cu ajutorul tablei lui Cayley:
 b  b   a  a  a  e,

e
e
e
a
a
b
b
Legea nu este asociativã deoarece:
a
a
e
e
b
b
e
a
Elementul a  M are simetricele a ºi b, deoarece a  a  e ºi
a  b  e  b  a.
iar
b   b  a   b  e  b.
 TEOREMA 3
Fie M o mulþime nevidã înzestratã cu o lege de compoziþie M  M 
 M,  x, y   x  y, asociativã ºi cu element neutru.
a) Dacã x  M este simetrizabil în raport cu legea de compoziþie
„“, atunci simetricul sãu x  este simetrizabil ºi  x    x.
b) Dacã x, y  U  M  , atunci x  y  U (M) ºi  x  y   y   x .
c) Dacã x1, x 2 , , x n  U  M  , atunci  x1  x 2   x n   U  M  ºi
 x1  x 2  ...  x n   x n  x n 1  ...  x1 .
Demonstraþie
a) Deoarece x  x   x   x  e, se observã cã simetricul lui x  este
chiar x, deci  x    x.
b) Sã considerãm z  y   x   M. Avem:
 x  y   z   x  y    y   x    x   y  y    x   x  e  x   x  x   e ºi
z   x  y    y   x     x  y   y    x   x   y  y   e  y  y   y  e.
c) Se foloseºte inducþia matematicã.
Pentru n  1 ºi n  2, proprietatea este adevãratã având în vedere b).
Sã presupunem proprietatea adevãratã pentru k  N* . Avem:
 x  x    x  x     x  x    x   x   x  
1
2
k
k 1
1
2
k
k 1
k 1
  x1  x 2  x k   x k 1   x k  ...  x1   xk 1  x k  ...  x1 , deci proprietatea
are loc ºi pentru k  1.
În concluzie, proprietatea are loc pentru oricare n  N* . n
25
Algebr‘ • I. Grupuri
Probleme rezolvate

1. Pe mulþimea R se considerã legea de compoziþie R  R  R,
 x, y   x  y  xy  ax  by  c.
a) Sã se determine a, b, c  R pentru care legea este comutativã,
asociativã ºi admite element neutru.
b) Pentru valorile a, b, c gãsite, sã se determine U  R  .
Soluþie
a) Din relaþia x  y  y  x se deduce a  b, deci x  y  xy  a  x  y   c.
Legea de compoziþie este asociativã dacã x   y  z    x  y   z, " x, y, z  R.
Se obþine egalitatea xyz  a  xy  yz  zx   a 2 x  a 2 y   a  c  z  ac  c 
 xyz  a  xy  yz  zx    a  c  x  a 2 y  a 2 z  ac  c,  x, y, z  R.
Rezultã cã a  c  a 2 ºi x  y  xy  a  x  y   a 2  a.
Legea de compoziþie datã admite elementul neutru „e“ dacã
x  e  e  x  x,  x  R. Se obþine egalitatea xe  a  x  e   a 2  a  x,
 x  R, de unde  x  a  e   x  a   1  a  ,  x  R ºi, astfel, e  1  a.
În concluzie, b  a, c  a 2  a, a  R.
b) Fie x un element simetrizabil ºi x  simetricul sãu. Se obþine
x   x  e ºi xx   a  x  x    a2  a  1  a, de unde x   x  a   1  a 2  ax.
Se observã uºor cã dacã x  a rezultã x  
 R \ a .

1  a 2  ax
. Aºadar, U  R  
xa
2. Fie „“ lege de compoziþie asociativã ºi cu element neutru pe
mulþimea M. Sã se arate cã dacã x  U  M  , y  U  M  , atunci
x  y ºi y  x nu sunt simetrizabile.
Soluþie
Sã presupunem prin absurd cã x  y  U  M . Atunci existã s  U  M ,
astfel încât
 x  y   s  e  s   x  y  . De aici rezultã
x   y  s   e ºi
y  s  x . Se obþine y  x   s   s  x  ºi y  U  M  , în contradicþie cu
ipoteza.
Aºadar, x  y  U  M  . Analog se aratã cã y  x  U  M  .
26
Algebr‘ • I. Grupuri
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se verifice dacã operaþia algebricã „“ definitã pe mulþimea M
admite element neutru:
a) M  R, x  y  2xy  x  y;
E3. Sã se determine elementul simetric
al elementului s  M, dacã:


a) M  R, x  y  xy  x  y, s  3, 2, 2 ;
b) M  Z, x  y  x  y  13,
b) M  C, x  y  xy  2x  2y  2;
s   1, 0, 3, 11 ;
c) M  Z, x  y  xy — 3x — 3y  12;
c) M  C, x  y  x  y  i, s i,  i, 1  i ;
xy
d) M   1, 1 , x  y 
;
1  xy
  5y
  6.

e) M  Z , x  y  xy  5x
d) M   3, 3  , x  y 
1

s   0,  2, 2,  .
2

7
E2. Sã se determine elementul neutru
pentru operaþia „“ definitã pe M:
E4. Pe mulþimea R se considerã legea
a) M   3,   , x  y  xy  3x  3y  6;
de
b) M   7,   , x  y  xy  7x  7y  56;
d) M   0,    \ 1 , x  y  x
compoziþie
x  y  3 x3  y3 ,
x, y  R.
a) Sã se arate cã  R,   este monoid
xy
c) M   0, 1 , x  y 
;
2xy  x  y  1
9 log 2 y
9x  9y
,
9  xy
comutativ.
b) Sã se arate cã U  R   R.
.
APROFUNDARE
A1. Sã se determine parametrii pentru
care operaþiile date au elementul
neutru indicat:
a) M  R, x  y  xy  ax  ay  2, e  2;
A3. Pe mulþimea C se defineºte legea de
compoziþie z1  z2  z1  z2  i  z1  z2  
1  i, z1, z 2  C. Dacã m este modulul elementului neutru al legii
„“, atunci:
b) M  Q, x  y  x  y  a, e  5;
c) M   2, 3 , x  y 
5xy  12x  12y  a
,
2xy  5x  5y  13
a) m  1;
c) m  2; d) m 
5
.
2
A2. Pe mulþimea Q se considerã legile de
xy
compoziþie x  y 
 2x  2y  24,
4
x  y  x  y  2,  x, y  Q. Dacã
e
3;
e) m  2 2.
(ASE, Bucureºti, 1998)
A4. Pe mulþimea R se defineºte legea
de compoziþie x  y  xy  ax  by.
Sã se determine a, b  R, astfel
încât  R,   sã fie monoid. Pentru
e1 ºi e2 sunt elementele neutre în
raport cu legile „“, respectiv „“,
iar p  e1  e2 , atunci:
a) p  4;
d) p  12;
b) m  5;
fiecare monoid obþinut sã se determine U  R  .
(Univ. Bucureºti, 1986)
b) p  6;
c) p  10;
e) p  16.
(ASE, Bucureºti, 1998)
27
Algebr‘ • I. Grupuri
b) Sã se determine U  M  .
A5. Pe mulþimea M  R  R se considerã legea de compoziþie:
 a, b    c, d    ac  bd, ad  bc  .
A7. Fie Z  i   a  bi
a) Sã se arate cã  M,   este monoid

M  a 2  b2
comutativ.
b) Sã se determine U  M  .
a, b  Z ,

a, b  Z  i .
a) Sã se arate cã  Z  i ,   ,  Z  i ,   ,
 M ,   sunt monoizi comutativi.
 1  x 0

x 



A6. Fie M   0
0
0  x  R .
 x

0 1  x 


a) Sã se arate cã  M ,   este monoid
b) Sã se determine elementele simetrizabile ale fiecãrui monoid.
comutativ.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME RECAPITULATIVE
EXERSARE
arate cã  M ,   formeazã un monoid
1 0 0 1 1 0   0 1
E1. Fie M = 
, 
, 
, 
.
0 1 1 0  0 1 1 0 
Sã se alcãtuiascã tabla înmulþirii
pe mulþimea M ºi sã se studieze
proprietãþile acesteia.
comutativ în care fiecare element
este simetrizabil.
E4. Sã se arate cã mulþimea:
 1 0  1 0   0 i   0 i 
M  
, 
, 
, 
,
 0 1   0 1  i 0  i 0 
E2. Se considerã mulþimea A  1, 2, 3 .
 0 1   0 1  i 0   i 0 

, 
, 
, 

 1 0   1 0   0 i   0 i 
formeazã un monoid comutativ în
raport cu înmulþirea matricelor.
Sã se determine U  M  .
a) Sã se alcãtuiascã tabla diferenþei
simetrice pe mulþimea P  A  .
b)
Sã
se
arate
cã
P  A  ,  ,
 P  A  ,  ,  P  A  ,   sunt monoizi
comutativi.
c) Sã se determine elementele
simetrizabile în monoizii de la b).
E5. Se considerã matricele:
 1 1
 2 1
A 
, B  
 ºi mulþi
2
2


 2 1
 0 0 1


E3. Se considerã matricea A   1 0 0 
 0 1 0



ºi mulþimea M  A
n

mea M  aA  B

a  R* . Sã se stu-
dieze dacã  M ,   este monoid comu-

n  Z . Sã se
tativ ºi sã se determine U  M  .
28
Algebr‘ • I. Grupuri
APROFUNDARE
A1. Sã se dea exemplu de o lege de
compoziþie care este comutativã ºi
nu este asociativã.
b) Sã se determine valoarea de adevãr
a propoziþiei:  x, y, z  N* ,
x T  y  z   x T y   x T z .
A2. Sã se dea exemplu de o lege de
compoziþie neasociativã ºi care
admite element neutru.
A6. Pe mulþimea Z se defineºte legea
de compoziþie „“, astfel:
x  y  axy  bx  by  c, unde a,
b, c  Z. Sã se arate cã:
a) legea de compoziþie „“ este asociativã dacã ºi numai dacã
A3. Fie M o mulþime nevidã ºi  F  M ,  
monoidul funcþiilor definite pe M.
a) Sã se determine care sunt elementele simetrizabile în raport cu compunerea funcþiilor, dacã elementul
neutru este funcþia identicã.
b) În ce caz monoidul  F  M ,  este
b2  b  ac;
b) legea de compoziþie „“ admite
element neutru dacã ºi numai dacã
comutativ?
b  ac  b2 ºi b divide c.
A4. Fie a   0,   ºi fa : R  R,
A7. Se considerã mulþimea M nevidã ºi
„“ o lege de compoziþie pe mulþimea M care este asociativã ºi
admite element neutru. Dacã M
este
o
mulþime
nevidã
ºi
f : M  M o funcþie bijectivã, sã
se studieze proprietãþile legii de
compoziþie „T“ definite pe M :
 ax, x  0
fa  x   
.
 0, x  0
a) Sã se arate cã fa  f b  fab .
b) Sã se arate cã mulþimea
F  fa a   0,   formeazã monoid
în raport cu operaþia de compunere
a funcþiilor.
c) Sã se determine U  F  .

 x, x  Q
A8. Fie fa : R  R, fa  x   
ax, x  R \ Q
*
A5. Pe mulþimea N se definesc legile
de compoziþie:
x T y = c.m.m.d.c.  x, y  ºi
x  y  c.m.m.m.c.  x, y  .



a) Perechile N* , T ºi N* , 

x T y  f f 1  x   f 1  y  .
ºi F  fa
a  Q .
a) Sã se verifice dacã F este parte
stabilã în raport cu compunerea
funcþiilor.
b) Sã se studieze dacã  F ,   este
 sunt
monoizi?
monoid ºi sã se afle U  F  .
29
Algebr‘ • I. Grupuri
TESTE DE EVALUARE
Testul 1
 1. Pe mulþimea G  1,    se considerã legea de compoziþie x  y  7xy 
 7  x  y   8. Mulþimea G este parte stabilã a lui R în raport cu legea de
compoziþie „“?
(3 puncte)
 2. Pe mulþimea E   0, 1, 2, 3, 4 se defineºte legea de compoziþie notatã „“,
astfel: x  y reprezintã restul împãrþirii numãrului x1 y la 5.
a) Sã se alcãtuiascã tabla legii de compoziþie „“.
b) Sã se arate cã legea de compoziþie nu este comutativã ºi asociativã.
(3 puncte)
lg y 1
 3. Pe mulþimea G  1,    definim legea de compoziþie x  y  1   x  1   .
a) Sã se determine 2  2 ºi sã se rezolve ecuaþia 3  x  3.
b) Sã se arate cã pentru oricare x, y  G, x  y  1  10 lg  x 1 lg  y 1.
c) Sã se studieze proprietãþile legii de compoziþie „“.
(3 puncte)
Testul 2

 1. Fie mulþimea M  x  y 7
x, y  Z
 ºi M  x  y 7 x, y  Z, x2  7y2  1 .
a) Sã se arate cã mulþimea M este parte stabilã a lui M în raport cu
înmulþirea.
b) Sã se dea exemplu de cel puþin trei elemente x  y 7  M, cu y  0.
(3 puncte)
 2. Pe mulþimea M   0, 1, 2, 3, 4 se defineºte legea de compoziþie „“ prin:
 x  y, dacã y   x, 2 

x  y   x  y, dacã y  x
.
 y  x, dacã x  3 ºi y > 2

a) Sã se alcãtuiascã tabla legii de compoziþie.
b) Sã se arate cã legea de compoziþie nu este comutativã ºi asociativã.
c) Sã se arate cã legea de compoziþie admite element neutru ºi fiecare
element x  M este simetrizabil.
(6 puncte)
Testul 3
3
4
  5.

 1. a) Sã se calculeze în Z 6 produsul 1  2
3
4
  5.

b) Sã se calculeze în Z 6 suma 1  2
30
Algebr‘ • I. Grupuri
x0
?
c) Câte soluþii are în Z 6 ecuaþia 3
d) Care este cel mai mic numãr natural nenul cu proprietatea cã
2
  2
 
2

  0 în Z 6 ?
n ori
(3 puncte)
(Bacalaureat, iunie, 2003)


a


 2. Se considerã funcþiile fa : R  R, fa  x   log 2  1  2x  1 , a  0 ºi mulþimea


F   fa
a   0,    .
a) Sã se arate cã fa este funcþie inversabilã ºi fa1  f1 .
a
b) Sã se demonstreze cã mulþimea F este parte stabilã în raport cu
compunerea funcþiilor.
c) Sã se arate cã  F ,   este monoid comutativ ºi sã se determine U  F  .
(2 puncte)
 3. Pe mulþimea numerelor complexe se considerã legea de compoziþie „“
definitã prin: x  y  xy  ix  iy  1  i,  x, y  C.
a) Sã se arate cã x  y   x  i   y  i   i.
b) Sã se arate cã legea „  “ este asociativã.
c) Sã se determine mulþimea valorilor lui n  N* , pentru care are loc
egalitatea:
x1  x 2    x n   x1  i   x 2  i    x n  i   i,  x1, x 2 ,  , x n  C.
d) Sã se calculeze E   100i    99i       i   0  i   2i      99i   100i  .
e) Sã se rezolve în C ecuaþia x  x  x  x  1  i.
(4 puncte)
(Bacalaureat, iunie, 2003)
3 Noţiunea de grup. Exemple
not
Fie G o mulþime nevidã ºi
compoziþie pe G.
 x, y     x, y   x  y,
o lege de
v DEFINIÞII
• Perechea  G,   se numeºte grup dacã sunt îndeplinite urmãtoarele
axiome:
(G1) Axioma asociativitãþii:
 x  y   z  x   y  z  ,  x, y, z  G.
(G2) Axioma elementului neutru:
 e  G, astfel încât x  e  e  x  x,  x  G.
31
Algebr‘ • I. Grupuri
(G3) Axioma elementelor simetrizabile:
 x  G,  x   G, astfel încât x  x   x   x  e.
• Un grup  G,   se numeºte grup comutativ sau abelian dacã este
verificatã axioma de comutativitate:
(G4): x  y  y  x,  x, y  G.
 COMENTARII
a) Se observã cã perechea  G,   este grup dacã este monoid cu proprietatea cã fiecare element este simetrizabil. Într-un grup, U  G   G.
b) Elementul e  G, a cãrui existenþã este asiguratã de axioma G2 , este
unic determinat ºi se numeºte elementul neutru al grupului.
c) Elementul x  G, a cãrui existenþã o asigurã axioma G3 pentru fiecare x  G, este unic determinat deoarece legea de compoziþie a
grupului este asociativã.
• Un grup  G,  se numeºte grup finit dacã mulþimea G este finitã.
Un grup  G,  este grup infinit dacã mulþimea G nu este finitã.
 G,  un grup. Se numeºte ordinul grupului G, cardinalul
mulþimii G ºi se noteazã ord  G  .
• Fie
 Exemple de grupuri
1. Din proprietãþile adunãrii ºi înmulþirii numerelor rezultã:
a)  Z,   ,  Q,   ,  R,   ,  C,   sunt grupuri abeliene, numite grupul aditiv al
numerelor întregi, raþionale, reale, respectiv al numerelor complexe.
b)
 Q*,  , R*,  ,  C*,  sunt grupuri abeliene, numite grupul multiplicativ al
numerelor raþionale, reale, respectiv al numerelor complexe nenule.
Grupurile de la a) ºi b) sunt denumite grupuri numerice.
2. Mulþimile de matrice M n  Z  , M n  Q  , M n  R  ºi M n  C  împreunã cu adunarea
matricelor formeazã grupuri comutative.
Exerciþiu rezolvat

Pe mulþimea G   2,    se defineºte legea de compoziþie G  G  G,
 x, y   x  y  xy  2x  2y  6,  x, y  G. Sã se arate cã perechea
 G,   este grup abelian.
Soluþie
Deoarece x  y   x  2  y  2   2,  x, y   2,   
x  y  2, deci x  y  G.
se
obþine
cã
Perechea  G,   este grup abelian dacã sunt verificate axiomele
grupului (G1)-(G4).
32
Algebr‘ • I. Grupuri
(G1) Axioma asociativitãþii:
Avem:  x  y   z   xy  2x  2y  6  z   xy  2x  2y  6  z 
2  xy  2x  2y  6   2z  6  xyz  2  xy  xz  yz   4  x  y  z   6.
Analog se obþine:
x   y  z   x   yz  2y  2z  6   x   yz  2y  2z  6   2x  2  yz  2y  2z  6  
 6  xyz  2  xy  xz  yz   4  x  y  z   6.
În concluzie, axioma asociativitãþii (G1) este verificatã.
(G2) Axioma elementului neutru:
Fie e  G, astfel încât x  e  e  x  x,  x  G.
Se obþine xe  2x  2e  6  x,  x  G, echivalentã cu
e  x  2   3  x  2  ,  x  G.
Elementul neutru este e  3  G.
(G3) Axioma elementelor simetrizabile:
Dacã x  G, notãm cu x  simetricul lui
 TEMĂ
x. Se obþine x  x   3  x   x, relaþie care
Fie  G,   un monoid.
conduce la x   x  2x  2x   6  3.
2x  3
1
Sã se arate cã  U  G  ,  
Rezultã x  
2
  2,    .
este grup.
x 2
x 2
Aºadar,  G,   este grup.
Deoarece x  y  xy  2x  2y  6  yx  2y  2x  6  y  x, pentru
oricare x, y  G, grupul  G,   este grup comutativ.
3.1. Grupul aditiv al resturilor modulo n
Fie n  N* ºi Rn  0, 1, 2, , n  1 mulþimea resturilor obþinute la
împãrþirea numerelor întregi prin n. Pe mulþimea Rn s-au definit
operaþiile de adunare ºi înmulþire modulo n: Rn  Rn  Rn , prin:
a  b   a  b  mod n, respectiv a  b   a  b  mod n.
Elementul a  b reprezintã restul împãrþirii sumei a  b prin n.
Rezultã cã existã numãrul q  Z, astfel încât a  b  nq   a  b  .
(1)
 TEOREMA 4
Fie n  N* . Atunci:
a)  Rn ,   este grup abelian;


b) Rn ,  este monoid abelian.
33
Algebr‘ • I. Grupuri
Demonstraþie
a) Verificãm axiomele grupului:
(G1) Axioma asociativitãþii:
Folosind relaþia (1) se obþine succesiv:
 x  y   z    x  y  mod n   z    x  y   z  mod n.
(2)
De asemenea:
x   y  z   x    y  z  mod n    x   y  z   mod n.
(3)
Deoarece adunarea numerelor întregi este asociativã, din relaþiile
(2) ºi (3) rezultã cã  x  y   z  x   y  z  ,  x, y, z  Rn .
Aºadar, adunarea modulo n este asociativã.
(G2) Numãrul 0 este element neutru, deoarece se verificã imediat cã
0  x  x  0  x,  x  Rn .
(G3) Fie x  Rn \ 0 . Atunci x   n  x  Rn .
Rezultã cã: x  x   0 ºi x   x  0.
Având ºi 0  0  0, rezultã cã oricare x  Rn este simetrizabil în
raport cu adunarea modulo n.


Aºadar, Rn ,  este grup. Mai mult, pentru orice x, y  Rn , avem:
x  y   x  y  mod n   y  x  mod n  y  x, deci grupul
grup comutativ.

 Rn ,   este

b) Analog se aratã cã Rn ,  este monoid comutativ. n
3.2. Grupul claselor de resturi modulo n

 mulþimea claselor de resturi
 1,
 2,
 ..., n

Fie n  N* ºi Z n  0,
1
modulo n. Pe mulþimea Z n s-au definit operaþiile:


def

de f
 b
  a  b
  a

 b, numitã adunarea claselor de
• Z n  Z n  Z n , a,
resturi modulo n;

 b
  a  b
  a

• Z n  Z n  Z n , a,
 b, numitã înmulþirea claselor de
resturi modulo n.
 TEOREMA 5
Fie n  N* . Atunci:
a)  Z n ,   este grup abelian, numit grupul aditiv al claselor de
resturi modulo n;
34
Algebr‘ • I. Grupuri
b)  Z n ,  este monoid comutativ;

 Z
c) U  Z n   k
n
 n, k   1 ºi U  Z n  ,  este grup comutativ,
numit grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n.
Demonstraþie
a) Verificãm axiomele grupului.
(G1) Axioma asociativitãþii:
Avem succesiv:
y
  z  x

x
 y  z  
x  y  z
(1)







 y
  z  x
y

x
z  x
  y  z
(2)
Având în vedere asociativitatea adunãrii modulo n, din relaþiile (1)
y
  z  x
 y
  z ,  x,
 y,
 z  Z .
ºi (2) rezultã x




n
Aºadar, adunarea claselor de resturi modulo n este asociativã.
(G2) Axioma elementului neutru:
  Z , avem: x
 0
x

 ºi 0
x
 0


Pentru oricare x
0  x
 x  x.
n
 este element neutru al adunãrii claselor de resturi
Aºadar, 0
modulo n.
(G3) Axioma elementelor simetrizabile:
 0
  0,
 deci 0
 este propriul sãu simetric.
Avem: 0
  Z * , atunci existã q, r  Z, astfel încât x  nq  r, 0  r 
Dacã x
n
 n  1. Rezultã cã r   n  r  1, 2, , n  1 ºi avem:
  r  r  r  r
 ºi r  x
  r  r  (n


x
 (n  r)  0
 r)  r  0.
 este element simetrizabil, iar simetricul sãu este
În concluzie, x
 se noteazã cu  x.

elementul r. Simetricul clasei de resturi x
 n

 0
 sau  x
n

 x, pentru x
Aºadar, x
 x.
 
Rezultã cã  Z n ,   este grup. Mai mult, el este grup comutativ
y
x


  x,
  x,
 y
 Z .
yy
x  y
deoarece: x
n
b) Verificãm axiomele monoidului comutativ.
 y,
 z  Z , se obþine:
(M1) Asociativitatea. Pentru oricare x,
n






x  y  z  x  y  z   x  y   z,





 y
  z  x
y

x
z  x
  y  z .
(3)
(4)
Deoarece înmulþirea modulo n este asociativã, rezultã cã:
y
  z  x
 y
  z ,  x,
 y,
 z  Z .
x




n
Aºadar, înmulþirea claselor de resturi modulo n este asociativã.
35
Algebr‘ • I. Grupuri
  Z se obþine:
(M2) Existenþa elementului neutru. Pentru oricare x
n
  1  x

 ºi 1  x
  1

1  x
 x  x.
x
Astfel, 1 este element neutru pentru înmulþirea claselor de resturi
modulo n. În concluzie,  Z n ,  este monoid.
y
x


  x,
  x,
 y
  Z , monoidul  Z , 
Deoarece x
yy
x  y
n
n
este monoid comutativ.


 ºi  0, 1  1. Rezultã U  Z   0
 .
c) Pentru n  1, avem Z1  0
1
 Z ,
  U  Z  dacã ºi numai dacã existã q
Fie n  2. Atunci, p
n
n





astfel încât p  q  1. Aceastã relaþie se scrie pq  1 sau pq  1 (mod n).
Rezultã cã existã s  Z, astfel încât pq  sn  1, relaþie echivalentã
cu  p, n   1.


Aºadar, U  Z n   p
 p, n   1 . 
 OBSERVAŢII
1. Dacã n  N* este numãr prim, mulþimea elementelor inversabile în
monoidul  Z n ,  este U  Z n   Z *n .
2. Pentru n  N* numãrul numerelor naturale mai mici decât n ºi
relativ prime cu n se noteazã   n  . Funcþia  : N*  N se numeºte
indicatorul lui Euler.
Rezultã cã grupul U  Z n  are   n  elemente.
 Exemplu
 Sã se determine U  Z12  pentru monoidul  Z12 ,  ºi sã se alcãtuiascã tabla înmulþirii
grupului U  Z12  ,  .
Soluþie:
Conform teoremei 5 elementele inversabile în
 7,
 11,
 deoarece numerele 1,
 5,
Z
sunt clasele 1,
12
5, 7, 11 sunt relativ prime cu 12. Tabla înmulþirii
este datã alãturat. Din tabla înmulþirii se observã
x
  1,

cã pentru  x  U  Z  , existã relaþia x
12

1

5

7

11
1

5
1

5

5
1

7

11

11

7

7

7

11
1

5

11

11

7

5
1
deci fiecare element este propriul sãu simetric
 7
  11,

  11
 7
 ºi
(invers). De asemenea, 5
5
  11
  5,
 adicã produsul a douã elemente distincte diferite de 1 este al treilea element
7
diferit de 1.
36
Algebr‘ • I. Grupuri
 COMENTARII
a) Un grup  K,  , K  e, a, b, c a cãrui tablã a operaþiei este redatã
alãturat se numeºte grupul lui Klein.
e a b c

b) Un grup  K,  cu un numãr finit de elemente
e
e a b c
a
a
e c b
este grup de tip Klein dacã oricare element al
b
b c e a
grupului este propriul sãu simetric (invers).
c
c b a e
c) Grupul U  Z12  ,  este un grup de tip Klein cu
4 elemente.
3.3. Grupul permutãrilor unei mulþimi
Fie M o mulþime nevidã. O funcþie bijectivã f : M  M se numeºte
permutare a mulþimii M. Mulþimea S  M  a permutãrilor mulþimii M
este o submulþime a mulþimii F  M  a tuturor funcþiilor f : M  M.
Considerând operaþia de compunere a funcþiilor, se ºtie cã dacã
f, g  S  M  , atunci f  g  S  M  ºi g  f  S  M  .
Aºadar, mulþimea S  M  este parte stabilã a mulþimii F  M  în
raport cu compunerea funcþiilor.
 TEOREMA 6
Perechea  S  M  ,   este grup.
Demonstraþie
Verificãm axiomele grupului.
(G1) Axioma asociativitãþii. Operaþia de compunere a permutãrilor
pe S  M  este asociativã ca fiind indusã de compunerea funcþiilor pe
F  M  , care este asociativã.
(G2) Axioma elementului neutru. Funcþia identicã 1M : M  M,
1M  x   x, este bijectivã, deci este o permutare a mulþimii M, numitã
permutare identicã a lui M. Deoarece 1M  f  f  1M  f,  f  S  M  ,
rezultã cã permutarea identicã a mulþimii M este element neutru
pentru compunerea permutãrilor.
(G3) Axioma elementelor simetrizabile. Se ºtie cã dacã f  S  M  ,
atunci f 1  S  M  . Rezultã cã orice permutare f  S  M  are un element
simetric ºi anume permutarea f 1.
În concluzie,  S  M  ,   este grup. n
37
Algebr‘ • I. Grupuri
 OBSERVAŢII
1. Dacã mulþimea M are unul, sau douã elemente, grupul S  M  este
grup comutativ.
2. Dacã mulþimea M are cel puþin 3 elemente, S  M  este grup necomutativ.
3.4. Grupul simetric Sn
În cazul în care M  1, 2, 3, , n , grupul S  M  al permutãrilor
lui M se noteazã Sn ºi se numeºte grup simetric de grad n.
O permutare   S n se noteazã astfel:
2
3 ... n 
 1
(1)

.
 (1) (2) (3) ... (n) 
În linia a doua sunt trecute valorile funcþiei .
Deoarece  este o permutare a mulþimii M, rezultã cã
 1 ,   2  , ,   n   1, 2, , n , deci a doua linie a tabelului (1) este
formatã tot din elementele mulþimii M.
Dacã ,   Sn , compunerea (produsul) celor douã permutãri se scrie:
2
3
...
n   1
2
 1
  

 (1) (2) (3) ... (n )    (1)  (2)
2
3
...
n
 1


.
    (1)    (2)    (3) ...    (n) 
n 

 (3) ...  (n ) 
3
...
 Exemplu
1 2 3 4 
1 2 3 4 
 Fie ,   S4 ,   
,   
.
3
4
2
1


2 3 4 1
2
3
4

1 2 3 4  1 2 3 4   1

Avem:     

    1
2
3
4














       
3 4 2 1  2 3 4 1   
2
3
4  1 2 3 4
 1


;
2
3
4










1   4 2 1 3 

1 2 3 4  1 2 3 4   1 2 3 4 
  


.
2 3 4 1  3 4 2 1  4 1 3 2
Ordinul grupului simetric S n este egal cu n!.
În grupul Sn elementul neutru este permutarea
1 2 3  n 
e
.
1 2 3  n 
38
identicã
Algebr‘ • I. Grupuri
2
3

n 
 1
Orice permutare   
  S n admite ele  1   2    3     n  
  1   2    3     n  
mentul simetric 1  
 , numitã permutare
2
3

n 
 1
inversã sau inversa permutãrii .
 Exemple
 Pentru
1 2 3

  S3 ,
3 1 2
permutarea inversã este
3 1 2
 1  
,
1 2 3
sau
1 2 3
ordonând prima linie, 1  
.
2 3 1
1 2 3 4 5 
 Inversa permutãrii   
  S5 este permutarea:
3 5 1 2 4 
3 5 1 2 4  1 2 3 4 5 
 1  

.
1 2 3 4 5  3 4 1 5 2 
• Transpoziþie
Fie i, j  1, 2, 3, , n  M, i  j. Permutarea:
1 2 ... i  1 i i  1 ...
t ij  
1 2 ... i  1 j i  1 ...
transpoziþie.
Pentru transpoziþia t ij se
j 1 j
j 1 i
j  1 ... n 

j  1 ... n 
foloseºte
ºi
se numeºte
notaþia
t ij   i, j .
Transpoziþia  i, j este o permutare particularã care schimbã între ele
numai elementele i ºi j.
1
 t ij , t ij  t ji ºi t ij  t ij  e.
Se aratã uºor cã t ij
• Signatura unei permutãri
Fie   Sn ºi i, j  M  1, 2, , n , i  j.
Perechea
ordonatã
 i, j  M  M se numeºte inversiune a permutãrii  dacã   i     j .
Numãrul tuturor inversiunilor unei permutãri   Sn se noteazã m   .
O
permutare
0  m  
poate
n  n  1
.
2
Numãrul      1
m 
avea
cel
mult
C2n
inversiuni,
deci
se numeºte signatura (semnul) permutãrii .
Permutarea  se numeºte permutare parã dacã
tare imparã dacã      1.
39
     1 ºi permu-
Algebr‘ • I. Grupuri
 Exemple
1 2 3 4
 Pentru permutarea   
  S4 , inversiunile sunt:
4 1 2 3
1, 2  , 1, 3  , 1, 4  ,
deci m     3, iar       1  1. Aºadar  este permutare imparã.
1 2 3 4 5 

Pentru
transpoziþia
t 24  
  S5 ,
1 4 3 2 5 
 TEMĂ
 2, 3  ,  2, 4  ,  3, 4  ,
b)  S 3 ,   .
3
inversiunile sunt
deci
  t 24   1.
Aºadar, transpoziþia t 24 este permutare imparã.
Sã se alcãtuiascã
tabla grupului:
a)  S2 ,   ;
 OBSERVAŢII
1. În general, se poate arãta cã orice transpoziþie t ij  S n este o permu-
tare imparã.
2. Dacã   S n , atunci     
  i     j
.
i j
1 i  j n

3. Dacã ,   Sn , atunci                 .
3.5. Grupuri de matrice
Fie n  N* ºi M n  C  mulþimea matricelor pãtratice de ordinul n
cu elemente numere complexe.
Dupã cum se ºtie, mulþimea M n  C  împreunã cu adunarea matricelor formeazã un grup comutativ, iar cu înmulþirea matricelor formeazã
un monoid necomutativ.
În continuare se vor pune în evidenþã câteva submulþimi ale mulþimii M n  C  , care împreunã cu înmulþirea matricelor formeazã grupuri.
Grupul liniar general de grad n
Fie A  M n  C  . Se ºtie cã matricea A este inversabilã în monoidul
 M n  C  ,  dacã ºi numai dacã det  A   0. Mulþimea unitãþilor monoidului
 M n  C  ,  se noteazã GL n  C ºi avem GLn  C  A  Mn  C det  A   C*.
 TEOREMA 7
Perechea  GL n  C  ,  este grup necomutativ, numit grup liniar
general de grad n peste C.
40
Algebr‘ • I. Grupuri
Demonstraþie
Fie
A, B  GL n  C  . Rezultã cã det  A  B   det  A   det  B   C * ,
deci AB  GL n  C  . Aºadar, mulþimea GL n  C  este parte stabilã a
mulþimii M n  C  în raport cu înmulþirea matricelor.
Înmulþirea matricelor este asociativã ºi admite elementul neutru
In  M n  C  . Deoarece det  In   1  C * rezultã cã In  GL n  C  .
În consecinþã, înmulþirea matricelor pe mulþimea GL n  C  admite
element neutru ºi anume matricea In .

1
 C ºi se obþine cã
 det(A)
Dacã A  GL n  C  , atunci det A 1 
*
A 1  GL n  C  .
În concluzie,  GL n  C  ,  este grup. n
 TEMĂ DE STUDIU
1. Sã se arate cã  GL n  Q  ,   ºi  GL n  R  ,   sunt grupuri.

2. Fie M  C   A  M n  C 

det  A   1 .
Sã se arate cã mulþimea M  C  împreunã cu înmulþirea matricelor formeazã
un grup necomutativ.
Grupul matricelor ortogonale
Fie A  M n  C  .
v DEFINIŢIE
• Matricea A  M n  C  se numeºte matrice ortogonalã dacã t A  A  In .
Mulþimea matricelor ortogonale de ordinul n se noteazã O n  C  .
 OBSERVAŢII
1. Dacã A  On  C  , atunci det  A   1, 1 .
Într-adevãr, din A  O n  C  se obþine cã t A  A  In .
Din relaþia (1) se obþine succesiv:


 
(1)
1  det  In   det t A  A  det t A  det  A    det  A   .
Aºadar, det  A   1, 1 .
2. Existã incluziunea O n  C   GL n  C  .
41
2
Algebr‘ • I. Grupuri
 TEOREMA 8
Perechea  O n  C  ,  este un grup, numit grupul matricelor ortogonale de ordinul n.
Demonstraþie
Fie A, B  On  C  ; rezultã cã t A  A  In ºi t B  B  In .
 AB    AB    t B  t A    AB   t B   t A  A   B  t B  B  In .
Aºadar, AB  O n  C  , iar mulþimea O n  C  este parte stabilã a
mulþimii M n  C  în raport cu înmulþirea matricelor.
Avem:
t
Sã verificãm axiomele grupului.
(G1) Axioma asociativitãþii. Înmulþirea matricelor pe mulþimea
O n  C  este asociativã, fiind operaþie indusã de înmulþirea matricelor pe
M n  C  (proprietatea de ereditate a asociativitãþii).
(G2) Axioma elementului neutru. Deoarece
t
t
In  In se obþine cã
In  In  In , deci In  O n  C  . Rezultã cã In este elementul neutru al
înmulþirii matricelor pe mulþimea O n  C  .
(G3) Axioma elementelor simetrizabile.
Fie A  O n  C  . Din observaþia 1 rezultã cã det  A   1, deci
matricea A este inversabilã în monoidul M n  C  . Din relaþia t A  A  In
se
t
deduce
cã
1
t
A  A
1

A 1  t A.
 A A
t
1
Folosind
este matricea A 1. n
A  O2  R  .
 TEMĂ

Fie O n  R   A  M n  R 
Sã se arate cã
Exerciþiu rezolvat
Fie
relaþie
se
obþine
 A  A 1  In , deci A 1  O n  C  , iar elementul
simetric al matricei A în O n  C 

aceastã
Sã
se
t

A  A  In .
 O n  R  ,   este grup,
numit grupul matricelor ortogonale de
ordinul n peste R.
arate cã existã   R, astfel
 cos  sin  
 cos  sin  
încât A  
 sau A  
.
 sin   cos  
  sin  cos  
Soluþie
a b
Fie A  
  O2  R  .
 c d
42
Algebr‘ • I. Grupuri
 a c  a b 1 0
Din condiþia t A  A  I2 se obþine: 


 sau
 b d  c d 0 1
a 2  c2  1
 2
 a 2  c2 ab  cd   1 0 
2
.
Rezultã
sistemul:


b  d  1 .
 ab  cd b2  d2   0 1 
ab  cd  0



Din ecuaþia a 2  c2  1 se deduce cã existã   R, astfel încât a  cos .
Rezultã c   sin , iar din a treia ecuaþie se obþine b cos   d sin .
Substituind d în ecuaþia b2  d2  1 se obþine b   sin  ºi d   cos .
 cos  sin  
 cos  sin  
Aºadar, A  
 sau A  
.
  sin  cos  
 sin   cos  
 TEMĂ DE STUDIU
 0 1
2 1 1 
a) Fie A  
, B 

 . Sã se verifice dacã A, B  O2  C  ºi dacã
2  1 1 
 1 0 
AB  BA.
b) Sã se studieze dacã pentru oricare n  N, n  2, grupul O n  C  este necomutativ.
3.6. Grupul rãdãcinilor de ordinul n ale unitãþii
Fie n  N* . Se ºtie cã ecuaþia z n  1 are exact n soluþii numere
complexe. Soluþiile acestei ecuaþii se numesc rãdãcini de ordinul n ale
2k
2k
, k  0, 1, 2, , n  1 .
unitãþii ºi au forma: z k  cos
 i sin
n
n
2
2
 i sin
, conform formulei lui Moivre se obþine:
Notând   cos
n
n
z k   k , k  0, 1, 2, , n  1 .
Mulþimea rãdãcinilor de ordinul n ale unitãþii se noteazã Un ºi avem:


U n  z  C z n  1 sau


2k
2k


U n  cos
 i sin
k  0,1,2,..., n  1  1, , 2 , ...,  n 1 (1)
n
n


 TEOREMA 9
Perechea  U n ,  este un grup comutativ în raport cu înmulþirea
numerelor complexe.
43
Algebr‘ • I. Grupuri
Demonstraþie
Sã arãtãm cã U n este parte stabilã a lui C în raport cu înmulþirea
numerelor complexe.
Fie z1, z 2  U n . Rezultã cã z1n  1 ºi z 2n  1, ºi astfel:
 z1  z2 n  z1n  z2n  1, deci z1z2  Un .
Verificãm axiomele grupului.
(G1) Axioma asociativitãþii:
Înmulþirea numerelor complexe este asociativã ºi rezultã cã
înmulþirea indusã pe mulþimea U n este, de asemenea, asociativã
(proprietatea de ereditate a asociativitãþii).
(G2) Axioma elementului neutru:
Se observã uºor cã z 0  1 este element neutru în raport cu
înmulþirea pe U n .
(G3) Axioma elementelor simetrizabile:
n
1
1
1
n
 U n . Din
Fie z  U n . Rezultã cã z  1 ºi    n  1, deci
z
z
z
1
1
z   1 se obþine cã
este elementul simetric al lui z, deci z este
z
z
inversabil în U n .
În cazul în care z   p  U n , simetricul lui z este z    n  p .
(G4) Axioma comutativitãþii:
Din proprietatea de ereditate a comutativitãþii se obþine cã înmulþirea
pe U n este comutativã, fiind indusã de înmulþirea numerelor complexe.
În concluzie,  U n ,  este grup comutativ. Ordinul grupului U n este
egal cu n.
 TEMĂ DE STUDIU
1. Sã se alcãtuiascã tabla grupurilor:
a) U 2 ; b) U 3 ; c) U 4 ; d) U 6 .
2. Fie   U n ºi p, q  1, 2,  , n  1 . Sã se arate cã  p  q   r , unde r este
restul împãrþirii numãrului p  q la n.
44
Algebr‘ • I. Grupuri
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Pe mulþimea C se defineºte operaþia algebricã C  C  C,  x, y  
def
xy 
def 4x  4y
xy
.
ºi x  y 
4  xy
4  xy
Care dintre perechile  G,   ,  G,  
 x  y  x  y  5i.
Sã se arate cã  C,   este grup comu-
este grup comutativ?
tativ.
E6. Se considerã:


ºi G2   x  y 3 x, y  Q , x2  3y2  1 .
E2. Pe mulþimea Z se considerã legile
de compoziþie Z  Z  Z,  x, y  
G1  x  y 3
 x, y  x  y 
 x  y  5. Sã se arate cã  Z,   ºi
 Z,   sunt grupuri comutative.
 x  y  x  y  6 ºi
x, y  Z, x2  3y2  1
Care dintre mulþimile G1 ºi G 2
este grup abelian în raport cu
înmulþirea numerelor reale?
E3. Pe mulþimea M se considerã legea de
compoziþie M  M  M,  x, y  x  y.
E7. Se considerã mulþimea:
 a bi 


G  A  
 a, b  R, det  A   0 .
bi
a




Sã se arate cã G este un grup în
raport cu înmulþirea matricelor.
Sã se studieze dacã  M,   este grup,
în cazurile:
a) M  Z, x  y  x  y  3;
b) M  2 Z, x  y  x  y  4;
c) M  R, x  y  xy  10x  10y  110;
f) M   1,    , x  y  x  y  xy;
 0 0 1  n




E8. Fie M   1 0 0  n  N, n  1 
 0 1 0 




xy
;
2xy  x  y  1
a) Sã se arate cã  M ,   este grup
d) M  C, x  y  ixy;
e) M  C, x  y  x  y  ixy;
g) M   0, 1 , x  y 
 M 3 C .
h) M  C \   i , x  y  xy 
comutativ.
b) Sã se studieze dacã operaþia
 i  x  y   1  i.
algebricã A  B  A 4  B 4 , definitã
pe mulþimea M, determinã pe
aceasta o structurã de grup.
E4. Pe mulþimea R se considerã legile
de compoziþie G  G  G,
def
 x, y   x  y 
x 2  y 2 ºi
E9. Fie
def
 x, y   x  y  3 x 3  y 3 .
Care dintre perechile  G,  ,  G, 
 este permu-
tare parã .
a) Sã se arate cã  A n ,   este grup,
este un grup?
(grupul altern de ordinul n).
b) Pentru ce valori ale lui n grupul
A n este comutativ?
E5. Pe mulþimea G   2, 2 se considerã
legile de compoziþie
A n    S n
G  G  G,
45
Algebr‘ • I. Grupuri
APROFUNDARE
 2x 3y 
A1. Fie G  

 y 2x 
a) Sã se arate cã dacã ,   (0, +),
atunci f  f  f .
x, y  Q,
b) Sã se arate cã  F ,   este un grup

4x2  3y2  1 . Sã se arate cã G este
abelian.
grup comutativ în raport cu înmulþirea matricelor.
A9. Sã se determine a, b  Z*, astfel
încât legea de compoziþie Z  Z  Z,
 x y

A2. Fie G   A  
 x, y  Z3 ,
 y x 

def
(x, y) x  y  ax + by + 1 sã
determine pe Z o structurã de grup.

 .
det  A   1
A10. Fie (G1,  ), (G1, ) douã grupuri ºi E =
= G1  G2. Pe mulþimea E se defineºte
legea de compoziþie E  E  E, (a, b) 
a) Sã se determine câte elemente
are mulþimea G.
b) Sã se arate cã (G,  ) este grup.
def
 (c, d)  (a  c, b  d). Sã se arate cã (E, ) este un grup, numit
produsul direct al grupurilor G1 ºi
G2.
A3. Pe mulþimea E = R*  R se considerã
legea de compoziþie E  E  E,
(a, b)  (c, d) = (ac, ad + b). Sã se
arate cã (E,  ) este grup.
A11. Sã se alcãtuiascã tabla grupului:
a) (Z2  Z2, +);
b) (Z2  Z3, +);
c) (Z3  Z2, +).
 1 x 

A4. Se considerã G = 
 x  R  ºi
0
1



legea de compoziþie G  G  G,
 1 1
 1 1 
(A, B)  A  B = 
 AB 
.
 0 1
0 1 
A12. Pentru un punct oarecare M din
planul P raportat la reperul cartezian
xOy se noteazã cu M1, M 2 , M 3
simetricele acestuia faþã de Ox,
Oy, respectiv punctul O. Fie
funcþiile s i : P  P , i  1, 3 date de
Perechea (G,  ) este grup?
A5. Pe mulþimea G = R \ a se defineºte legea de compoziþie G  G  G,
x  y = xy — 2x — 2y + b. Sã se determine a, b  R, astfel încât  G,  sã
relaþiile: s 0  M   M,
s2  M  M2, s3  M  M3 ºi mulþimea
fie un grup comutativ.
F   s 0 , s1, s2 , s 3  . Sã se arate cã:
A6. Fie fa : R  R, fa(x) = ax + 1 — a ºi
F = fa  a  R*. Sã se arate cã
a) F este parte stabilã în raport cu
operaþia „  “ de compunere a
funcþiilor;
b)  F ,   este grup comutativ,
 F ,  este grup.
A7. Fie a  R ºi funcþiile fa : R  R,
fa (x) = x  ch(a) + 1  x 2 sh(a) .
Dacã F = fa  a  R, sã se arate cã
 F ,   este grup abelian.
A8. Fie f : [1, +)  [1, +),

f  x 

x  x2  1
 

 x  x2  1
(grupul lui Klein).
y
M
M2

s1  M   M1,

O
M3
2
ºi F  fa a   0,   .
46
x
M1
Algebr‘ • I. Grupuri
4 Reguli de calcul într-un grup
4.1. Puterea unui element într-un grup
 G,  un grup în notaþie multiplicativã ºi a1, a 2 , , a n  G,
n  1. În grupul  G,  se defineºte produsul a1  a 2    a n în mod
Fie
recursiv, astfel:
a1  a2    a n   a1  a2    a n 1   a n .
În cazul particular când a1  a2    an  a, produsul a1  a2    a n 
 a  a    a se noteazã a n . Prin convenþie, pentru n  0 se considerã
a 0  e, e fiind elementul neutru al grupului.
 TEOREMA 10
Fie  G,  un grup în notaþie multiplicativã ºi a  G. Avem:
a) a m  a n  a m  n ,  m, n  N;
   a m n ,  m, n  N.
n
b) a m
Demonstraþie
Folosind asociativitatea operaþiei în grup se obþine:
a) a m  a n  (a
 a  ...  a)  (a
 a  ...  a)  (a
 a  ...  a)  a m  n .



m
mn
n
 a
 ...
a)  (a
 a
 ...
a)...(a
 a
 ...
a)  (a

a
 ...
a)  a . n
   (aa ... a)  (a








m n
m
b) a
m
mn
m
n
m
m
m
mn
 OBSERVAŢIE
În notaþie aditivã, proprietãþile anterioare se scriu:
(a
 
a 
 ...  
a)  m  a, ma  na   m  n  a ºi  m  n   a  m   n  a  .

m
Pentru cazul în care n  Z ºi n < 0, puterea a n se defineºte astfel:
 
a n  a 1
n
  , unde a 1 este elementul simetric al elementului a.
 a n
1
 TEOREMA 11
Fie  G,  un grup ºi a  G. Atunci:
    a 1  ,  n  Z;
a) a n
1
n
47
Algebr‘ • I. Grupuri
b) a m  a n  a m  n ,  m, n  Z;
   a mn ,  m, n  Z.
c) a m
n
Demonstraþie
a) Pentru n < 0 rezultã:
 
1
1
 
n
 
 
n 

 1 1 
n
1 n
.
  a 1
   a
 a  a




b) Pentru m, n  N se aplicã teorema 10.
Pentru m < 0, n < 0, putem scrie:
an
   a   a   a
a m  a n  a m  a n
1
 m 1
 n 1
n
 a m
  a
1
 a
 n  m 1
mn
.
Fie m > 0 ºi n < 0. Dacã m  n , atunci existã r  N* , astfel încât m  n  r.


Rezultã a m  a n  a  n  r  a n  a r  a  n  a n  a r  a  n  n  a r  a m  n .
În cazul m  n se obþine m  n  r > 0.
 
 a  ...  a)  a 1
Rezultã: a m  a n  (a

n
1
1
 (a
 a  ...  a)  (a
 a 1
 ...  a 
)


m
 
1
1
 (a
 a 1
 ...  a 
) a

m  n
n
m
1  m  n
 am n.
c) Dacã m, n  N proprietatea este adevãratã. Dacã m < 0, n > 0,
atunci avem:
 a m    a m 
n
n
 a
 m   n 
 a mn . Analog se analizeazã
celelalte situaþii. n
4.2. Legi de simplificare
 TEOREMA 12
Fie  G,   un grup.
a) Dacã x, y, z  G ºi x  y  x  z, atunci y  z, (legea simplificãrii
la stânga).
b) Dacã x, y, z  G ºi x  z  y  z, atunci x  y, (legea simplificãrii
la dreapta).
Demonstraþie
a) Fie x  y  x  z. Compunem la stânga cu simetricul x 1 al lui x




ºi rezultã x 1   x  y   x 1   x  z   x 1  x  y  x 1  x  z  e  y 
 e  z  y  z.
48
Algebr‘ • I. Grupuri
b) Fie x  z  y  z. Compunem la dreapta cu simetricul lui z ºi




rezultã  x  z   z 1   y  z   z 1  x  z  z 1  y  z  z 1  x  e  y  e 
 x  y. n
 OBSERVAŢII
1. În notaþie aditivã relaþiile anterioare se scriu:
x  y  x  z  y  z ºi x  z  y  z  x  y, reprezentând legile reducerii.
În particular, x  x  x  x  0.
2. Dacã  G,  este un grup finit, atunci în tabla lui Cayley a grupului,
pe fiecare linie (coloanã) toate elementele sunt distincte.
Într-adevãr, dacã, de exemplu pe linia i ar fi douã elemente egale, ele ar
avea forma a i  a k  a i  a m . Din legile de simplificare se obþine ak  am,
ceea ce nu se poate.
Exerciþiu rezolvat

Fie mulþimea M  a, b, c, d ºi legea de compoziþie M  M  M,
 x, y   x  y, astfel încât  M,  este un grup. Sã se alcãtuiascã
tabla grupului, ºtiind cã b  a = b ºi b  b = c.
Soluþie
a b c d

Tabla incompletã a grupului, conform enuna
þului, aratã ca în figura alãturatã.
b
b c
Deoarece b  a  b, rezultã b  a  b  e ºi
c
din legea simplificãrii la stânga se obþine a = e.
d
Pe linia a doua a tablei grupului trebuie sã aparã
ºi elementele a ºi d. Dacã b  d  d, ar rezulta b  e  a ºi nu se poate.
Rãmâne numai posibilitatea b  d  a ºi b  c  d.
Astfel, a doua linie este b, c, d, a.
Analog, a doua coloanã este b, c, d, a.
Produsul c  d nu poate fi egal cu c sau d, deoarece acestea apar ºi
pe linia a treia ºi nici cu a, deoarece acesta apare deja pe coloana a patra.
Rezultã cã c  d  b ºi, analog, d  c  b.
Observând elementele de pe liniile 3 ºi 4 se obþine c  c  a ºi d  d  a.
Probleme rezolvate

 0 1
1. Fie A  M 2  Z  , A  
 . Sã se arate cã:
 1 1
a n 1 
 an
*
a) A n  
 , unde a n  Z, n  N .
a
a
n 2 
 n 1
b) Pentru oricare m, n  N* are loc relaþia am  n  am 1  an 1  am  an .
49
Algebr‘ • I. Grupuri
Soluþie
a) Mulþimea M 2  Z  este parte stabilã a lui M 2  C  în raport cu
înmulþirea matricelor.
 a n bn 
Rezultã cã A n  M 2  Z  pentru oricare n  N* . Fie A n  
,
 cn dn 
n  1.
Din egalitatea A n 1  A n  A  A  A n se obþine pentru n  N*:
dn 
 an bn   0 1  0 1  an bn 
 bn an  bn   cn




 sau 

.
 cn dn   1 1  1 1  cn dn 
 dn cn  dn   an  cn bn  dn 
bn 
 an
Aºadar, bn  cn ºi dn  an  bn. Rezultã cã A n  
,
 bn a n  bn 
n  N* , iar din egalitatea A n 1  A n  A
 bn

 a n  bn
bn 1
 a n 1

se obþine 

 b n 1 a n 1  bn 1 
a n  bn 
.
a n  2bn 
a n 1 
 an
Rezultã b n  a n 1 ºi astfel A n  
.
 a n 1 a n  a n 1 
Din egalitatea A n  2  A n  A 2 se obþine:
an 3
a n 1  1 1   a n  a n 1
a n  2a n 1 
 an 2
  an







 a n  3 a n  2  a n  3   a n 1 a n  a n 1  1 2   a n  2a n 1 2a n  3a n 1 
ºi, prin urmare, an+2 = an + an+1.
a n 1 
 an
Aºadar, A n  
.
 a n 1 a n  2 
b) Folosim egalitatea A m  n  A m  A n ºi rezultã:
a m  n 1   a m
a m 1   a n
a n 1 
 am n




 a m  n 1 a m  n  2   a m 1 a m  2   a n 1 a n  2 
a m  a n 1  a m 1  a n  2 
 a m  a n  a m 1  a n 1

.
 a n  a m 1  a n 1  a m  2 a m 1  a n 1  a m  2  a n  2 
Din aceastã egalitate matricealã se obþine relaþia a m  n  a m  a n 
 a m 1  a n 1 pentru oricare m, n  N* .

2. Fie  G,  un grup. Sã se arate cã pentru oricare a, b, c  G,
ecuaþiile ax  b, ya  b ºi azb  c au soluþie unicã.
50
Algebr‘ • I. Grupuri
Soluþie
Sã rezolvãm prima ecuaþie.




Avem succesiv: ax  b  ax  eb  ax  aa 1 b  ax  a a 1b .
Folosind legea de simplificare la stânga se obþine x  a 1b.




Analog ya  b  ya  be  ya  b a 1a  ya  ba 1 a.
Folosind regula de simplificare la dreapta
se obþine y  ba 1.
Pentru ecuaþia azb  c, avem succesiv:
azb  c  a  zb   c  zb  a 1c  z  a 1cb1.
 REŢINEM!
ax  b  x  a 1b
ya  b  y  ba 1
azb  c  z  a 1cb 1
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Pe mulþimea G  C \ 1 se defineºte
b) Sã se determine 4 n ºi x n , n  1,
legea de compoziþie G  G  G,
x  G.
def
 x, y   x  y  x  y  xy.
a) Sã se arate cã  G,   este grup
E4. Pe mulþimea G   4,   se defineºte
legea de compoziþie G  G  G,
comutativ.
b) Sã se calculeze în grupul G:
def
 x, y  x  y  xy  4  x  y  20.
a) Sã se arate cã  G,   este un
1  i 2 , 1  i 2 ºi i5 .
grup comutativ.
b) În grupul  G,   sã se determine
 1 2a 

E2. Fie G  
 a  Z .
0
1



a) Sã se arate cã G este grup comutativ în raport cu înmulþirea matricelor.
5 n ºi x n , n  1 ºi x  G.
E5. Fie  G,   un grup ºi a, b  G astfel
b) Dacã A  G, sã se calculeze A ,
încât ab  ba. Sã se arate cã:
n  N* .
a) a 2 b  ba 2 ; b) a 2 b3  b3 a 2 ;
n
c) a n b  ba n ,  n  N.
E3. Se considerã mulþimea G   0,   \ 1
ºi legea de compoziþie G  G  G,
def
 x, y   x  y  x
log 2 y
a) Sã se arate cã
 G,   este grup
E6. Fie
 G,  
un grup, a, b  G ºi
x  aba 1. Sã se calculeze:
.
a) x 2 ; b) x 5 ; c) x n , n  N* .
comutativ.
APROFUNDARE
A1. Fie
 G,  
un grup ºi a, b  G,
a) a n b  ba n ,  n  Z;
astfel încât ab  ba. Sã se arate cã:
b) a m b n  b n a m ,  m, n  Z.
51
Algebr‘ • I. Grupuri
A2. Fie
 G,  

un grup ºi a, b  G,
astfel încât a  b2 ºi b  a 2 . Sã se
arate cã:
A9. Fie  A,   un grup, A  a, b, c, d, e .
b) dacã x  aba 1, atunci x 3  e.
Dacã ab  d, ca  e, dc  b, sã se
alcãtuiascã tabla grupului.
 G,   se considerã ele-
A10. Fie  G,   un grup. Sã se arate cã
mentele a ºi b, astfel încât ab  e.
Sã se arate cã ba  e.
G este comutativ dacã are loc una
dintre situaþiile:
A4. Fie  G,   un grup ºi a, b  G, astfel
a) x 2  e,  x  G;
b)  xy   x 2 y 2 ,  x, y  G;
încât ab2  e. Sã se arate cã ab  ba.
A5. Fie
 G,  
un
grup
astfel încât x 5  e
ºi
2
x, y  G
c)  xy 
ºi y 2  xyx 1.
 G,   se considerã ele-
f) x 3  e ºi  xy    yx  ,  x, y  G;
2
2
g) xy 1  x 1y,  x, y  G \ e .
1 2 3 4
A11. Fie , ,   S 4 ,   
,
 3 1 4 2
1 2 3 4
1 2 3 4

,   
.
2 1 4 3
2 4 1 3
A7. Se considerã grupul  G,  ºi a, b  G,
astfel încât aba  bab. Sã se arate
a 5  e,
 x 1y 1,  x, y  G;
e) x 3  e ºi x2 y2  y2x2 ,  x, y  G;
mentele a, b, c astfel încât abc  e.
Sã se arate cã: a) bca  e; b) cab  e.
cã
1
d) xy 1  yx 1,  x, y  G \ e ;
Sã se arate cã y 31  e.
A6. În grupul
n
atunci b n  e.
a) dacã x  aba, atunci x 3  e;
A3. În grupul

b) dacã  n  Z*, astfel ca aba1  e,
dacã ºi numai dacã
5
b  e.
A8. Fie  G,   un grup ºi a, b  G. Sã se
Sã se rezolve ecuaþiile:
a) x  ;
b) x  ;
c) x  ;
d) x  x;
arate cã:
a) dacã x  aba1, atunci xn  abna1,
 n  Z;
e) x 2  ;
f) x 2  ;
g)  201  x  407 .
DEZVOLTARE
D1. Fie  G,   un grup cu proprietatea
 m, n   1, astfel încât  xy m   yx m
xy  zx  y  z. Sã se arate cã
grupul G este comutativ.
ºi  xy    yx  ,  x, y  G. Sã se
arate cã G este grup comutativ.
n
D2. Fie  G,   un grup ºi a  G. Sã se
D4. Fie  G,   un grup. Sã se arate cã
arate cã dacã xa 3  ax 3 ,  x  G,
atunci G este comutativ.
D3. Se considerã un grup
 G,   ,
n
dacã existã n  N* , astfel încât pentru oricare x, y  G,
cu
 xy  i  x i y i ,
i   n, n  1, n  2 , atunci grupul
proprietatea cã existã m, n  N* ,
G este comutativ.
52
Algebr‘ • I. Grupuri
5 Morfisme de grupuri
Fie  G1,   ºi  G2 ,  douã grupuri.
v DEFINIÞII
• Funcþia f : G1 G2 se numeºte morfism (omomorfism) de grupuri
dacã f  x  y   f  x   f  y  ,  x, y  G1.
• Funcþia f : G1  G2 se numeºte izomorfism de grupuri dacã f este
morfism de grupuri ºi este funcþie bijectivã.
• Grupurile  G1,   ºi  G2 ,  se numesc
x
f x
grupuri izomorfe ºi se scrie G1  G2 , dacã
f x  f  y
între ele existã cel puþin un izomorfism de x  y
grupuri.
y
f y
 Exemple
 Funcþia f : Z  1, 1 , f  n    1
n
G1
f
G2
este morfism între
grupurile  Z,   ºi 1, 1 ,  .
Într-adevãr, avem: f  m  n    1
mn
  1
m
  1  f  m   f  n  ,  m, n  Z.
n
 R,   ºi
  0,   ,  . Într-adevãr, funcþia exponenþialã f este bijectivã ºi: f  x  y   2 x  y 
 Funcþia
f : R   0,   , f  x   2 x
este
izomorfism
între
grupurile
 2 x  2 y  f  x   f  y  ,  x, y  R.
Aºadar, grupurile  R,   ºi   0,   ,  sunt izomorfe.
 Fie
In  C   M n  C 
mulþimea matricelor de ordinul n, inversabile. Funcþia
f : In  C   C , f  A   det  A  este morfism între grupurile
*
 In  C  ,  ºi  C*,  ,
deoarece f  A  B   det  A  B   det  A   det  B   f  A   f  B  ,  A, B  In  C  .
Problemã rezolvatã

Pe mulþimea Z se considerã legile de compoziþie:
def
Z  Z  Z,  x, y   x  y  x  y  1;
def
Z  Z  Z,  x, y   x  y  x  y  5.
a) Sã se arate cã  Z,   ºi  Z,   sunt grupuri.
b) Sã se determine a, b  Z, pentru care funcþia f : Z  Z,
f  x   ax  b, este izomorfism între grupurile  Z,   ºi  Z,   .
53
Algebr‘ • I. Grupuri
Soluþie
a) Se verificã axiomele grupului.
b) Funcþia f este morfism de grupuri dacã f  x  y   f  x   f  y  ,
 x, y  Z. (1)
Din relaþia (1) se obþine: a  x  y  1  b  ax  b  ay  b  5,  x, y  Z,
relaþie din care rezultã a  b  5.
Aºadar, f  x   ax  a  5.
Pentru ca f sã fie bijectivã este necesar ca f sã fie injectivã ºi
surjectivã.
Din surjectivitatea funcþiei f, pentru y  a  4 trebuie sã existe x  Z,
astfel încât f(x) = a — 4.
Rezultã cã ax  1, de unde se obþine a  1,  1 .
Funcþiile f sunt: f  x   x  4 ºi f  x    x  6, care se constatã cã
sunt bijective.
 TEOREMA 13
Fie  G1,  ºi  G2 ,  douã grupuri cu elementele neutru e1 ºi e2 ,
ºi f : G1  G2 un morfism de grupuri. Atunci:
a) f  e1   e2 ;

 
c) f  x    f  x   ,  x  G ºi n  Z.
b) f x 1   f  x   ,  x  G1;
1
n
n
1
Demonstraþie
a) Avem: f  e1   f  e1  e1 
f morfism
f  e1   f  e1  .

Simplificând cu f  e1  în grupul G2 se obþine f  e1   e2 .
  

b) Avem: f  x   f x 1  f x  x 1  f  e1   e2 ,  x  G.
Din aceastã relaþie rezultã: f  x    f  x  
1
  ºi, aplicând
 f  x   f x 1
legea de simplificare la stânga cu f  x  , se obþine relaþia cerutã,
 
1
f x 1   f  x   ,  x  G1.
c) Pentru n  0 rezultã f  e1   e2 , adicã relaþia a).
Pentru n  N* , avem succesiv:
  



f x n  f x  x n 1  f  x   f x n 1    f  x   f  x   ...  f  x    f  x   .



n
n
54
Algebr‘ • I. Grupuri
Pentru n < 0, avem succesiv:
n
n 
1  n 
n

1
 f  x 
  f  x  . n
f x n  f  x 1
 f x


 
 
  
 OBSERVAŢIE
• În scriere aditivã, relaþiile anterioare se scriu:
a) f  0   0;
b) f   x   f  x  ,  x  G1;
c) f  nx   n f  x  ,  x  G1 ºi n  Z.
 TEOREMA 14
Fie grupurile  G1,  ,  G2 ,  ºi  G3 ,  .
a) Dacã f : G1  G2 ºi g : G2  G3 sunt morfisme de grupuri,
atunci h : G1  G3 , h  g  f este morfism de grupuri.
b) Dacã f : G1  G2 este izomorfism de grupuri, atunci
f 1 : G2  G1 este izomorfism de grupuri.
Demonstraþie
a) Avem succesiv:
h  xy   g  f  xy    g  f  x   f  y    g  f  x    g  f  y    h  x   h  y  ,  x, y  G1.
b) Funcþia f 1 : G2  G1 este bijectivã.
Fie y1, y 2  G2 . Deoarece f : G1  G2 este funcþie bijectivã, rezultã
cã existã x1, x 2  G1, astfel încât f  x1   y1 ºi f  x 2   y 2 .
Avem: f 1  y1  y 2   f 1  f  x1   f  x 2    f 1  f  x1  x 2    x1  x 2 
 f 1  y1   f 1  y 2  .
Aºadar, f 1 este izomorfism de grupuri. n
v DEFINIÞII
Fie  G,  un grup.
• Un morfism f : G  G se numeºte endomorfism al grupului G.
• Un izomorfism f : G  G se numeºte automorfism al grupului G.
Mulþimea endomorfismelor unui grup G se noteazã End  G  , iar
mulþimea automorfismelor lui G se noteazã Aut  G  .
55
Algebr‘ • I. Grupuri
 TEOREMA 15
Fie  G,  un grup. Atunci:
a)  End  G  ,   este monoid;
b)  Aut  G  ,   este grup.
Demonstraþie
a) Din teorema 14 rezultã cã dacã f, g  End  G  , atunci ºi
f  g  End  G  . Compunerea funcþiilor este asociativã, deci ºi compunerea
endomorfismelor lui G este asociativã. Funcþia identicã 1G este
endomorfism al lui G. În concluzie,  End  G  ,   este monoid.
b) Dacã f, g  Aut  G  , din teorema 14 rezultã cã f  g  Aut  G  .
Compunerea funcþiilor pe
Aut  G 
este asociativã ºi admite pe
1G  Aut  G  element neutru. Dacã f  Aut  G  , atunci ºi f 1  Aut  G  ,
având în vedere teorema 14. Aºadar,  Aut  G  ,   este grup. Se observã
cã  Aut  G  ,   este grupul unitãþilor monoidului  End  G  ,   . n
 Exemplu

Fie  Z,   grupul aditiv al numerelor întregi.
a) Sã se determine monoidul  End  Z  ,   .
b) Sã se determine Aut  Z  ºi sã se arate cã grupurile  Aut  Z  ,   ºi  Z2 ,   sunt
izomorfe.
Soluþie
a) Fie f  End  Z  . Rezultã cã f  n   f  n  1  n f 1 ,  n  Z, (teorema 13).
Fie a  f 1 ; atunci un endomorfism al lui Z este funcþia fa : Z  Z, fa  x   ax.
În concluzie, End  Z   fa
a  Z .
b) Deoarece Aut  Z   End  Z  , rezultã cã automorfismele lui Z sunt de forma
fa  x   ax. Dacã funcþia fa este surjectivã, atunci rezultã cã existã x  Z astfel încât
fa  x   1. Din aceastã relaþie rezultã cã ax  1 ºi de aici a  1, 1 .
Aºadar, Aut  Z   f1, f 1 .
 

Definim  : Z 2  Aut  Z  , astfel:  0̂  f1,  1  f 1.
Evident, funcþia  este bijectivã. De asemenea,  este ºi morfism de grupuri,
deoarece:
 0
  0
  f ºi  0
  0
  f f  f ;
 0
    1     1 1 1
  1   1  f ºi  0
 0
   1      1   f1  f1  f1;
  f ºi  1   1  f  f  f .
 1  1     0
 1     1 1 1
Aºadar, are loc izomorfismul de grupuri:  Z 2 ,     Aut  Z  ,   .
56
Algebr‘ • I. Grupuri
 COMENTARIU
f1 f1
a) Cele douã table ale operaþiilor grupurilor 
sunt redate alãturat.
f1 f1 f1 ,
Se observã cã aceste table au aceeaºi f
f1
1 f 1
 e a
ˆ 1ˆ
 0
ˆ 0
ˆ 1ˆ
0
ˆ
1ˆ 1ˆ 0
structurã cu urmãtoarea tablã: e
e a.
a a e
b) În general, douã grupuri cu un numãr finit de elemente sunt
izomorfe dacã tablele operaþiilor lor sunt la fel structurate.
 TEMĂ DE PROIECT
1. Sã se arate cã funcþia f : C*  R*, f(z) = z este morfism între grupurile
(C*,  ) ºi (R*,  ).
2. Se noteazã C (R) mulþimea funcþiilor continue pe R ºi C1 (R) mulþimea
funcþiilor derivabile pe R cu derivata continuã. Sã se arate cã:
a) (C (R), +), (C 1(R), +) sunt grupuri comutative.
b) Sã se arate cã funcþia  : C 1(R)  C (R), (f) = f , unde f  este derivata
funcþiei f, este morfism de grupuri.
c) Sã se determine mulþimea M = f  C 1(R) (f) = 0.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
 
E1. Fie  G,  un grup, unde G = Z, Q, R,
E5. Se considerã mulþimea:


 x x
M   A(x) A(x) = 
 , x  R .
0 x


complexe. Sã se arate cã f : C  C,
f  z   z este automorfism de
grupuri.
Sã se arate cã:
a)  M,   este grup;
b) f : R  M, f  x   A  x  este izo-
 C ,  grupul multiplicativ al
morfism de grupuri între  R,   ºi
*
 M,   .
numerelor complexe. Sã se arate
cã f : C *  C * , f  z   z este automorfism de grupuri.
E4. Notãm
Q

este automorfism de grupuri.
E2. Fie  C,  grupul aditiv al numerelor
E3. Fie
  
b) f : Q 7  Q 7 , f a  b 7  a  b 7
C, ºi a  G. Sã se arate cã f : G  G,
f  x   ax este un endomorfism de
grupuri. În ce caz f este automorfism de grupuri?
E6. Pe mulþimea R se definesc legile de
compoziþie x  y = x  y  a,
x  y = x  ay  1. Sã se determine
a, b  R pentru care f : R  R,
f  x   x  b, sã fie izomorfism între
 7  = a  b 7 a, b  Q .
Sã se arate cã:
  7  ,   este grup comutativ;
grupurile  R,   ºi  R,   .
a) Q
57
Algebr‘ • I. Grupuri
b)  F,   este izomorf cu grupul lui
E7. Fie G   3, 3  ºi legea de compoziþie pe G, x  y =
9x  9y
. Sã se
9  xy
Klein.
E9. Fie F   f1, f2, f3 unde fi : R \ 0, 1 
arate cã:
a)  G,   este grup comutativ;
 R \  0, 1 , i  1, 3
3x
este
3x
izomorfism între grupurile  G,  
f1  x   x,
1
1
, f3  x   1  . Sã se
1 x
x
arate cã:
a)  F,   este grup comutativ;
b) f : G  R, f  x   log 2
f2  x  
ºi  R,   .
b)  F,     Z 3 ,   .
E8. Fie F   f1, f2, f3, f4 unde fi : R*  R*,
i  1, 4 ºi f1  x   x,
ºi
E10. Fie  G,   un grup ºi a  G. Pe G
f2  x    x,
se defineºte legea de compoziþie
G  G  G,  x, y   x  y  xay. Sã
1
1
, f4  x    .
x
x
Sã se arate cã:
a)  F,   este grup comutativ;
f3  x  
se arate cã  G,   este un grup ºi
 G,     G,   .
APROFUNDARE
A4. Pe mulþimea G   3,    se consi-


1 a
A1. Fie G   A  a  = 
 a  R  . Sã
0
1




se arate cã:
a)  G,   este un grup comutativ;
derã legea de compoziþie x  y =
= xy  3x  3y  12.
a) Sã se arate cã  G,   este un grup
b)  G,     R,   .
comutativ.
b) Sã se determine a, b  R, pentru
care f : R *  G, f  x   ax  b este
izomorfism
între
grupurile
  0,    ,   ºi  G,   .


1 0 a 



2
a 



G  A  a =  a 1   a  R .
2




0 0 1 






A2. Fie
A5. Fie
Sã se arate cã:
a)  G,   este un grup comutativ;

ºi G 2  z  C
b)  G,     R,   .
cã

  R


z  1 . Sã se arate
 G1,   ºi  G 2 ,   sunt grupuri
izomorfe.
 0 1 0


A3. Fie A   0 0 1  ºi mulþimea
 1 0 0 



 cos  sin  
G1  

  sin  cos  
 a 2b

2
2
A6. Fie G1  
 a,b  Q, a  2b = 1
 b a 



M  An n  1 . Sã se arate cã  M, 
ºi
este un grup comutativ izomorf
cu un grup multiplicativ de
numere complexe.
2y 2  1 . Sã se arate cã grupurile
G2  x  y 2

x, y  Q, x 2 
 G1,   ºi  G 2 ,   sunt izomorfe.
58
Algebr‘ • I. Grupuri
  
A7. Fie G    ,  ºi legea de compo 2 2
ziþie G  G  G,  x, y   x  y =
este automorfism al grupului G
( fa se numeºte automorfism interior
al grupului G).
= arctg  tg x  tg y  . Sã se arate cã:
A10. Fie  G,   un grup. Sã se arate cã
a)  G,   este un grup comutativ;
f : G  G, f  x   x 1 este automorfism al grupului G dacã ºi
numai dacã G este comutativ.
b)  G,     R,   .
A8. Fie G  1,    ºi legea de compoziþie G  G  G,

2 2
2
 x, y   x  y 
A11. Se considerã funcþia fa : G  G,
 ax, x  0
ºi
fa  x   
 0, x  0
2
x y  x  y  2.
a) Sã se arate cã
 G,   este un

este izomorfism între
  0,    ,   ºi  G,   .
a)  F,   este grup comutativ;
b)  F,      0,    ,   .
grupurile
A12. Sã se arate cã grupurile  G,   cu trei
A9. Fie  G,   un grup ºi a  G. Sã se
arate cã fa : G  G, fa  x   axa

F  fa a   0,   . Sã se arate cã:
grup comutativ.
b) Sã se determine a, b  R, pentru
care funcþia f :  0,  G, f  x  ax  b
elemente sunt izomorfe cu  Z 3 ,   .
1
DEZVOLTARE
D3. Fie (G,  ) un grup abelian. Sã se
arate cã grupurile (Z, +) ºi (Hom(Z,
G), +) sunt izomorfe.
D1. Sã se arate cã:
 
b)  Q * ,     Q * ,   .
a)  R,    R* ,  ;
D4. Sã se determine: a) Hom(Z, Z);
b) Hom(Q, Q), c) Hom(Q, Z).
D2. Fie (G1,  ) ºi (G2,  ) douã grupuri
abeliene ºi Hom(G1, G2) = f : G1 
 G2  f morfism de grupuri. Sã se
arate cã (Hom(G1, G2), +) este un
grup abelian.
6
D5. Sã se arate cã:
a) grupul (Z2  Z2, +) este izomorf
cu grupul lui Klein (K,  );
b) grupul (Z2  Z3, +) este izomorf
cu grupul (Z6, +);
c) (Zm  Zn, +)  (Zmn, +)  (m, n) = 1.
Subgrupuri
Fie  G,  un grup în notaþie multiplicativã ºi H  G o submulþime
nevidã.
v DEFINIÞIE
• Mulþimea H se numeºte subgrup al lui G, dacã perechea
formeazã grup.
59
 H, 
Algebr‘ • I. Grupuri
 Exemple
  Z,   este subgrup al grupurilor aditive  Q,   ,  R,   ,  C,   .

 

   0,    ,  este subgrup al grupurilor multiplicative R*,  ºi C*,  .
 Fie GL n  C  mulþimea matricelor inversabile de ordin n cu elemente numere complexe ºi M mulþimea matricelor de ordinul n cu determinantul egal cu 1. Perechea
 M,  este subgrup al grupului  GL n  C  ,  .
 Fie  K,  grupul lui Klein. Mulþimile H1  e, a , H2  e, b , H3  e, c sunt subgrupuri ale lui K.
 2
 este un subgrup al grupului  Z ,   .
 Mulþimea H  0,
 
4
v DEFINIÞII
• Dacã  G,  este un grup cu elementul neutru e, atunci e ,  ºi
 G,  sunt subgrupuri ale lui G, numite subgrupuri improprii.
• Orice subgrup al lui G diferit de subgrupurile e ºi G se numesc
subgrupuri proprii.
 TEOREMA 16
Fie  G,  un grup ºi H un subgrup al lui G.
a) Dacã e  G ºi e  H sunt elementele neutre în G ºi H, atunci
e  e.
b) Dacã x  H, iar x  ºi x  sunt simetricele lui x în G, respectiv
în H, atunci x   x .
Demonstraþie
a) Folosind proprietatea elementului neutru rezultã e  e  e, în
grupul G, ºi e  e  e în H. Din egalitatea e  e  e  e, cu legea de
simplificare la dreapta, se obþine e  e.
b) În grupul G, avem x   x  e, iar în grupul H existã egalitatea
x   x  e. Rezultã x   x  x   x. Folosind legea de simplificare la dreapta
se obþine x   x . n
Din teoremã rezultã cã elementul neutru al unui grup (G,  ) este
element neutru în oricare subgrup H al sãu, iar simetricul unui
element x  H coincide cu simetricul lui x în G.
 TEOREMA 17
Fie  G,  un grup ºi H o submulþime nevidã a lui G. Urmãtoarele
afirmaþii sunt echivalente:
a) H este subgrup al lui G;
60
Algebr‘ • I. Grupuri
b)  x, y  H  xy 1  H;
c) 1. H este parte stabilã a lui G;
2.  x  H  x 1  H.
Demonstraþie
a)  b) Dacã H este subgrup al lui G, atunci  H,  este grup. Fie x,
y  H. Din teorema 16 rezultã cã y 1  H. Deoarece H este parte stabilã
a lui G se obþine cã xy 1  H.
b)  c) Fie x  H. Atunci x 1  H ºi din b) rezultã x  x 1  H, deci
e  H. Folosind b) pentru x  e ºi y  x 1 se obþine cã x 1  e  x 1  H.
Aºadar, H conþine odatã cu un element ºi simetricul acestui element.
   H.
Fie x, y  H. Atunci y 1  H, iar din b) rezultã cã x  y  x  y1
1
Aºadar, H este parte stabilã a lui G.
c)  a) Sã arãtãm cã  H,  este grup. Din ipotezã rezultã cã H
este parte stabilã a lui G în raport cu operaþia indusã. Proprietatea de
asociativitate a operaþiei grupului G este moºtenitã ºi de operaþia
indusã pe H. Dacã x  H, din ipoteza cã x 1  H rezultã cã e  x  x 1 
 H.
În concluzie, (H,  ) este grup, deci este subgrup al lui G. n
Probleme rezolvate
 1. Fie  G1,  ºi  G2 ,  douã grupuri cu elementele neutre e1 ºi e2 ,
iar f : G1  G2 un morfism de grupuri. Sã se arate cã mulþimile:




Ker f  x  G1 f  x   e2  G1, Im f  f  x  x  G1  G2
sunt subgrupuri ale grupurilor G1, respectiv G2 .
Soluþie
Sã arãtãm cã Ker f este subgrup al grupului G1. Fie x, y  Ker f.


 
Atunci f  x   e2 ºi f  y   e2 ºi se obþine: f x  y 1  f  x   f y 1  f  x  
  f  y 
1
 e2  e21  e2 , deci xy 1  Ker f. Conform teoremei 17 rezultã
cã Ker f este subgrup al grupului G1.
Sã arãtãm cã Im f este subgrup al grupului G2 .
Fie x, y  Im f. Atunci existã x1, y1  G1, astfel încât f  x1   x ºi
f  y1   y.
61
Algebr‘ • I. Grupuri
Din x1  y1  G1 se obþine cã x  y 1  f  x1    f  y1  


1
 
 f  x1   f y11 
 f x1  y11  Im f, deci Im f este subgrup al grupului G2 .
Subgrupurile Ker f ºi Im f se numesc nucleul, respectiv imaginea
morfismului f.
2. Fie  G,  un grup ºi H o submulþime nevidã ºi finitã a lui G. Sã
se arate cã urmãtoarele afirmaþii sunt echivalente:
a) H este subgrup al grupului G;
b) H este parte stabilã a lui G în raport cu operaþia grupului G.
Soluþie
a)  b) Se aplicã teorema 17.
b)  a) Fie H   x1, x 2 , ..., x n  parte stabilã a lui G.
Vom arãta cã dacã x  H, atunci x 1  H. Deoarece H este parte
stabilã a lui G rezultã cã elementele xx1, xx 2 , ..., xx n  H, deci  xx1,
xx 2 , ..., xx n   H. Deoarece elementele xx1, xx 2 , ..., xx n sunt distincte
douã câte douã, rezultã cã  xx1, xx 2 , ..., xx n   H. Din x  H rezultã cã
existã i  1, 2, ..., n , astfel încât x  x  x i . Folosind legea de simplifi-
care la stânga în grupul G se obþine cã x i  e, deci e  H. Atunci existã
j  1, 2, ..., n astfel încât e  x  x i , de unde rezultã cã x 1  H. Conform
teoremei 17 se obþine cã H este subgrup al grupului G.
 3. Fie  G,  un grup ºi H1, H2 , subgrupuri ale lui G. Sã se arate cã
H1  H2 este subgrup al lui G.
Soluþie
Fie x, y  H1  H2 . Rezultã cã x, y  H1 ºi x, y  H2 . Deoarece H1
ºi H2 sunt subgrupuri, conform teoremei 17 rezultã cã x  y 1  H1 ºi
x  y 1  H2 , de unde se obþine cã x  y 1  H1  H2 . Aºadar, H1  H2 este
subgrup al grupului G.
 OBSERVAŢII
• Dacã H1, H2 , ..., Hn sunt subgrupuri ale lui G, atunci H1  H2  ... 
 Hn este subgrup al lui G.
• Dacã H1, H2 sunt subgrupuri proprii ale lui G, atunci G  H1  H2 .
Într-adevãr, dacã presupunem cã G  H1  H2 , fie x, y  G, astfel încât
x  G \ H2 ºi y  G \ H1. Deoarece x, y  G, rezultã cã xy  H1 sau
62
Algebr‘ • I. Grupuri
xy  H2 . Dacã, de exemplu, xy  H1, atunci existã h1  H1, astfel ca
xy  h1. Atunci y  x 1  h1  H1, în contradicþie cu y  G \ H1.
Analog se aratã cã xy  H2 . Aºadar, G  H1  H2 . Rezultã cã orice
grup nu se poate scrie ca reuniune de douã subgrupuri proprii.
Subgrupurile grupului aditiv  Z,  
Fie  Z,   grupul aditiv al numerelor întregi.
 TEOREMA 18
Fie H  Z o mulþime nevidã. Atunci H este subgrup al grupului
 Z,   dacã ºi numai dacã existã n  N, astfel încât
H  nZ = nx
x  Z .
Demonstraþie
„  “ Sã arãtãm cã pentru  n  N, mulþimea H  nZ este subgrup
al lui Z.
• Pentru n  0 rezultã 0  Z  0 ºi se obþine subgrupul nul.
• Pentru n  1 rezultã 1 Z  Z ºi se obþine subgrupul total.
Fie n  2 ºi H  nZ. Dacã x, y  nZ, existã p, q  Z, astfel încât
x  np ºi y  nq. Atunci x  y  np  nq  n  p  q   nZ  H.
Conform teoremei 17, H este subgrup.
„  “ Sã arãtãm cã dacã H este subgrup, atunci existã n  N* ,
astfel încât H  nZ. Dacã H este subgrup impropriu, atunci
H  0  0Z sau H  Z  1Z.
Fie H subgrup propriu al lui Z ºi x  H. Rezultã cã  x  H, deci
mulþimea H conþine ºi numere strict pozitive. Notãm cu n cel mai mic
numãr pozitiv nenul din H.
Deoarece H este subgrup, rezultã cã 0  H, iar din faptul cã n  H
se obþine cã n  p  H, pentru oricare p  Z. În concluzie, nZ  H.
Sã arãtãm incluziunea reciprocã H  nZ.
Fie x  H. Din teorema împãrþirii cu rest, rezultã cã existã p, r  Z
astfel încât x  np  r, 0  r  n  1. Dacã r  0, din relaþia r  x  np  H,
rezultã cã r  H. Deoarece r  n, se contrazice faptul cã n este cel mai
mic numãr pozitiv din H. Aºadar, r  0 ºi x  np  nZ, de unde se
obþine H  nZ.
În concluzie, H  nZ ºi teorema este demonstratã. n
63
Algebr‘ • I. Grupuri
Problemã rezolvatã
 Fie  Z,   grupul aditiv al numerelor întregi. Sã se determine intersecþia subgrupurilor 2Z ºi 3Z.
Soluþie
Fie x  2Z  3Z; rezultã cã x  2Z ºi x  3Z, deci existã m, n  Z,
astfel încât x  2m ºi x  3n.
Rezultã cã 2m  3n ºi se obþine cã n este numãr par, n  2k.
Aºadar, x  6k  6Z, deci 2Z  3Z  6Z.
Sã arãtãm ºi incluziunea reciprocã. Fie x  6Z, deci x  6p, cu p  Z.
Atunci x  6p  2   3p   2Z ºi x  3   2p   3Z, deci x  2Z  3Z.
În concluzie, 2Z  3Z  6Z.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE

E1. Fie M  2 n

b) Sã se arate cã dacã A  Z 6 este
parte stabilã în raport cu adunarea ºi
1  A, atunci A  Z 6 . Generalizare.
n  Z . Sã se arate cã
 M,  este subgrup al grupului  Q*,  .
E5. Fie  G,   un grup. Sã se arate cã:
E2. Se considerã mulþimea
 a 0 

M  
 a, b  R *  . Sã se arate
 0 b 

a) mulþimea Z  G    x  G
 a  G este subgrup al lui G, nu-
cã  M ,   este subgrup al grupului
mit centrul grupului G;
b) G este comutativ dacã ºi numai
dacã G  Z  G  .
 U  M  C   ,  .
2
 a 0 
E3. Fie M  

 0 b 
 a 0 
M 1  

 0 a 

a, b  R*  ºi


a  R*  .

a) Sã se arate cã  M ,   ºi
E6. Sã se determine subgrupurile grupului lui Klein,  K,   , K  e, a, b,
c ºi sã se arate cã grupul K se
poate scrie ca reuniunea a trei
subgrupuri proprii.
 M 1,  
E7. Fie M  Z, M  2x  3y
sunt grupuri.
b)

ax  xa,

x, y  Z .
Sã se arate cã  M,   este subgrup
M 1,  este subgrup al grupului
 M ,  .
al lui  Z,   .


 2,
 4
 .
E4. Fie M  Z 6 , M  0,
E8. Sã se arate cã mulþimile:
 a 2b 

M 1  
 a, b  R  ,
0
0



a) Sã se arate cã  M,   este subgrup al lui  Z 6 ,   .
64
Algebr‘ • I. Grupuri
 a b 
M 2  

 0 c 
det  A   1 .

a, b, c  R  sunt sub

Sã se arate cã  SL 2  R  ,   este sub-

grupuri ale grupului M 2  R  ,  .
grup al grupului GL 2  R  , numit
grupul special liniar.
 a b

E9. Fie SL 2  R    A = 
  M 2 R
 c d

APROFUNDARE
A1. Fie  G,   un grup ºi H1, H 2 douã
A6. Sã se determine subgrupurile G ale
grupului  R,   astfel încât funcþia
subgrupuri ale sale. Sã se arate cã
dacã H1  H 2 este subgrup al lui
f : G  R*, f  x  cos  x sã fie mor-
G, atunci H1  H 2 sau H 2  H1.


fism între grupurile  G,  ºi R*,  .
A2. Fie  G1,   ºi  G 2 ,   douã grupuri ºi
A7. Fie  G,   un grup ºi f : G  G endo-
H  G1, un subgrup al lui G1. Sã
se arate cã dacã f : G1  G 2 este
morfism de grupuri, atunci mulþi-
morfism de grupuri. Sã se arate cã:
mea f  H   f  x 
grup al grupului G;
b) dacã G este comutativ, atunci


a) H  x  G
 este sub-
xH
grup al lui G 2 .
mulþimea
A3. Fie H1 ºi H 2 subgrupuri ale grupului

H1  x  G
f  x   x 1

este subgrup al lui G.
 G,   ºi H  h1  h2
h1  H1 ºi h2  H 2  . Sã se arate
cã  H,   este subgrup al lui G.
comutativ
A4. Fie
 este sub-
f  x  x
A8. Fie f : Z  Zn un morfism între grupurile  Z,   ºi  Z n ,   . Sã se determine Ker f.
 G,   un grup ºi H  x  G
A9. Fie m, n  N* . Sã se demonstreze cã

x 2  e . Mulþimea H este subgrup
nZ  mZ   m, n Z, unde  m, n este
al lui G?
cel mai mic multiplu comun al
numerelor m ºi n.
A5. Fie  G,   un grup ºi H un subgrup
A10. Fie  G,   un grup, H un subgrup
propriu al sãu. Sã se arate cã dacã
f, g : G  G sunt douã morfisme de
al sãu ºi x  G. Sã se arate cã mul-

þimea xHx 1  xhx 1
grupuri, astfel încât f  x   g  x  ,
 x  G \ H, atunci f  g.
subgrup al lui G.
65
 este
hH
Algebr‘ • I. Grupuri
7
Grupuri finite
Fie  G,  un grup. Grupul  G,  se numeºte grup finit dacã mul-
þimea G este finitã. Dacã G  a1, a 2 , ..., a n  , numãrul n  N* se nu-
meºte ordinul grupului ºi se noteazã ord  G  .
Deoarece ord  Z n   n rezultã cã existã grupuri finite de orice ordin.
7.1. Subgrupul generat de un element
Fie
 G,  un grup ºi a  G. Se noteazã a  a n

n  Z mulþimea
puterilor întregi ale elementului a.
Mulþimea a este parte stabilã a lui G.
Dacã x, y  a , atunci existã p, q  Z, astfel încât x  a p ºi y  a q .
   a p  a q  a p  q  a .
Atunci xy 1  a p  a q
1
Conform teoremei 16 rezultã cã a este subgrup al grupului G,
numit subgrupul ciclic generat de elementul a  G.
 Exemple
 e  e ºi este subgrupul nul al grupului G.
 În grupul  Z,   avem: 2  2Z, 3  3Z ºi, în general, n  nZ.


 În grupul C*,  avem: i  1, 1, i,  i  U4 .


  0,
 2,
 4
, 6
 ,
 În grupul  Z 8 ,   avem: 2
 
  0,
 4
 , 1  Z .
4
8
 OBSERVAŢIE
• În oricare grup  G,  avem: x  x 1 .
7.2. Ordinul unui element într-un grup
Fie  G,  un grup ºi a  G.
v DEFINIÞII
• Se numeºte ordin al elementului a ºi se noteazã ord  a  ordinul
subgrupului a .
• Un element a  G se numeºte de ordin finit dacã ord  a   N* ºi de
ordin infinit în caz contrar.
66
Algebr‘ • I. Grupuri
 Exemple

În orice grup  G,  , ord  e   1. Elementul neutru al grupului este singurul element
de ordinul 1.

În grupul Klein  K,  , oricare element x  e are ordinul 2.



  2, ord 3
  4, ord 1  4.

În grupul  Z 4 ,   avem: ord 2
 OBSERVAŢIE
• Dacã a  G se observã uºor cã ord  a  este cel mai mic numãr
natural nenul n pentru care a n  e.

Într-adevãr, dacã ord  a   p  n, atunci mulþimea H  e, a, a 2 , ...,

a p 1 este subgrup al lui G ºi este chiar grupul a . Se obþine astfel
o contradicþie, deoarece ord  a   n  p.
 TEOREMA 19
Fie  G,  un grup, a  G \ e ºi n  ord  a  .
Dacã p  Z, astfel încât a p  e, atunci n p.
Demonstraþie
Fie a p  e. Din teorema împãrþirii cu rest rezultã cã existã q  Z ºi
r  0, 1, 2, ..., n  1 , astfel încât p  nq  r. Dacã r  0 rezultã e  a p 
   a r  e  a r  a r , în contradicþie cu definiþia ordi-
 a nq  r  a nq  a r  a n
q
nului unui element.
Aºadar, r  0 ºi p  nq. Rezultã cã n p. n
Problemã rezolvatã

 Fie  G,  un grup ºi a, b  G. Sã se arate cã ord  ab   ord  ba  .
Soluþie
Fie n  ord  ab  . Rezultã cã  ab   e.
n
Avem ab   ab 
n 1
  ab    ab   ...   ab   a   ba    ba   ...  ba   b.


n 1
n
Folosind legea de simplificare la stânga cu a ºi la dreapta cu b se
obþine e   ba  , (1).
n
Sã arãtãm cã n este ordinul lui  ba  . Fie ord  ba   p. Din teorema 19 rezultã cã p n. Din relaþia  ba   e, se obþine succesiv:
p
ba   ba 
p 1
  ba    ba   ...   ba   b   ab    ab   ..   ab   a, (2).




p 1
p
67
Algebr‘ • I. Grupuri
Folosind legea de simplificare, din relaþia (2) se obþine e   ab  .
p
Deoarece n  ord  ab  , din teorema 19 se obþine n p.
Aºadar, n  p ºi elementele ab ºi ba au acelaºi ordin.
7.3. Teoreme remarcabile în teoria grupurilor finite
Fie  G,  un grup ºi H un subgrup al lui G. Pentru x  G notãm:
xH  xh h  H .
 TEOREMA 20
Fie  G,  un grup finit, H subgrup al lui G ºi x, y  G. Atunci:
a) mulþimile H ºi xH au acelaºi numãr de elemente;
b) xH  yH sau xH  yH  .
Demonstraþie
a) Arãtãm cã H ºi xH au acelaºi numãr de elemente. Definim
funcþia f : H  xH, f  h   xh ºi arãtãm cã f este bijectivã.
• Injectivitatea. Fie h1, h2  H cu proprietatea cã f  h1   f  h2  .
Rezultã cã xh1  xh2 ºi folosind regula de simplificare la stânga se
obþine cã h1  h2 . Aºadar f este injectivã.
• Surjectivitatea. Fie y  xH. Rezultã cã existã h  H astfel încât
y  xh. Atunci avem cã f  h   xh  y, deci f este surjectivã.
Aºadar f este bijectivã ºi astfel card  H   card  xH  .
b) Deosebim cazurile:
• y  xH. Vom arãta cã xH  yH.
Fie z  yH. Rezultã cã existã h1, h  H astfel încât y  xh ºi
z  yh1. Se obþine cã: z  yh1  x  hh1   xH deci yH  xH.
Reciproc, fie z  xH, deci existã h1  H cu z  xh1. Rezultã cã




z  xh1  yh 1 h1  y h 1h1  yH deci xH  yH. Aºadar xH  yH.
• y  xH. Vom arãta cã xH  yH  . Presupunem cã existã
z  xH  yH. Atunci z  xH ºi z  yH, deci existã h1, h2  H astfel încât


z  xh1, z  yh2 . Aºadar, yh2  xh1 sau y  x h1  h21  xH în contradicþie cu ipoteza.
În concluzie xH  yH  . n
68
Algebr‘ • I. Grupuri
 OBSERVAŢIE
• Rezultatul anterior ne aratã cã dacã H este un subgrup al grupului
 G,  , mulþimea G poate fi partiþionatã în submulþimi cu acelaºi
numãr de elemente de forma xH, cu x  G. Aºadar existã elementele


x1, x 2 , , x p  G astfel încât G   x1H    x 2 H     x p H , unde
mulþimile x1H, x 2 H, , x p H sunt disjuncte douã câte douã.
 TEOREMA 21 (Lagrange J.L.)
Fie  G,  un grup finit ºi n  ord  G .
a) Dacã H este un subgrup al lui G,
atunci ord  H  divide ord  G  .
b) Dacã a  G, atunci ord  a  divide
ord  G  .
Demonstraþie
a) Grupul G, având ordinul n, poate fi
scris G  x1, x 2 , , x n  .


Considerãm mulþimea M  xiH i  1, n
ºi fie r  card  M  . Se observã uºor cã G
Joseph-Louis LAGRANGE
(1736-1813)
matematician francez
A adus contribuþii importante în analiza matematicã,
algebrã, teoria numerelor ºi
mecanicã.
este reuniunea mulþimilor x i H, care sunt
elemente ale lui M. Cum card  H   card  x i H  ,
x  1, n, se obþine
egalitatea card  G   r  card  H  , adicã n  r  ord  H  .
Aºadar ord  H  divide n  ord  G  .

b) Dacã a  G, iar k  ord  a  , considerãm a  e, a, a 2 , , a k 1

ºi vom avea cã ord  a  divide ord  G  . Dar cum ord  a   ord  a  , se
obþine cã ord  a  divide ord  G  . n
Probleme rezolvate
 1. Fie  G,  un grup finit cu ord  G   p. Sã se arate cã dacã p
este numãr prim, atunci G nu are subgrupuri proprii.
Soluþie
Fie H  G un subgrup al lui G. Din teorema lui Lagrange rezultã
cã ord  H  divide numãrul p, deci ord  H   1, p . Aºadar, H  e sau
H  G, deci H este subgrup impropriu.
69
Algebr‘ • I. Grupuri
 OBSERVAŢIE


• Grupurile aditive  Z 2 ,   ,  Z 3 ,   , , Z p ,  ,  cu p numãr prim, nu
au subgrupuri proprii.

2. Sã se arate cã toate grupurile care au ordinul un numãr prim p
sunt izomorfe.
Soluþie
Fie  G,  un grup de ordin p. Deoarece p este numãr prim, grupul
G are doar subgrupuri improprii.
Dacã x  G \ e , atunci ord  x   p, deci G  x . Aºadar, grupul
G este grup generat de un singur element x  G, (grup ciclic).


 

Fie G  e, x, x 2 , , x p 1 . Atunci funcþia f : G  Z p , f x k  k,


este un izomorfism de grupuri, fiind funcþie bijectivã, iar f x k  x k1 


   

k
k

 k1 ºi f x k  f x k1  k
 f x k  k1  k
 k1.
1


Rezultã cã grupul  G,  este izomorf cu grupul Z p ,  . Aºadar, toate
grupurile cu p elemente sunt izomorfe cu Z p , deci izomorfe între ele.

3. Fie  G,  un grup de ordinul 4. Sã se arate cã G  Z 4 sau
G  K 4 , unde K 4 este grup de tip Klein cu patru elemente.
Soluþie
Fie a  G \ e . Deosebim situaþiile:


• ord  a   4. Atunci G  a  e, a, a 2 , a 3 ºi rezultã cã f : G  Z 4 ,
 
 este izomorfism de grupuri, (verificaþi). Aºadar  G,    Z ,   .
f ak  k
4
• ord a  4. Din teorema lui Lagrange rezultã cã ord a D4  1, 2, 4 .
Cum a  e ºi ord  a   4 se obþine cã ord  a   2. Aºadar orice element
a  G \ e are ordinul 2, deci G este grup de tip Klein.
 OBSERVAŢIE
• Din problemele anterioare rezultã cã grupurile cu 2, 3, 4, 5 elemente
sunt comutative, deoarece ele sunt izomorfe cu Z2 , Z 3 , Z 4 , Z 5 sau
K 4 care sunt comutative.
70
Algebr‘ • I. Grupuri
4. Fie n  N* . Sã se arate cã dacã a  Z, astfel încât  a, n   1

atunci a    1  0  mod n  . (Teorema lui Euler)
Soluþie
Considerãm monoidul  Z n ,  ºi fie U  Z n  ,  grupul elementelor
 n
inversabile ale acestui monoid.
Deoarece ord U  Z n      n  , pentru  a, n   1, vom avea cã
ˆ ceea ce este echivalent cu a    1  mod n  .
a    1,
 n
 n
 OBSERVAŢIE
• Dacã p  N este numãr prim, atunci pentru a  Z,  a, p   1 se obþine
cã   p   p  1 ºi a p 1  1  mod p  . (Teorema lui Fermat)
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE

E1. Sã se determine subgrupul generat
de elementul x în grupul specificat:
a) x  2 în  Z,   ;

a) Sã se arate cã  M ,   este grup

b) x   1, i în C * ,  ;
comutativ.
b) Sã se determine ordinul fiecãrui
element A  M .
  în  Z 8 ,   ;
 6
 în  Z ,   ;
d) x  3,

18
 4

c) x  2,

 a b
E5. Fie G  
 a, c  R * ºi b  R .
0
c



1 2 3
e) x  
 în  S 3 ,   .
3 2 1
a) Sã se arate cã  G,   este grup.
b) Sã se determine elementele lui
G de ordinul 2.
c) Sã se arate cã matricele
1 2 
1 3 
A 
 ºi B  
 au în
 0 1 
 0 1 
E2. Sã se determine elementele de ordinul m în grupul specificat:


a) Q * ,  , m  2;
b)  Z 4 ,   , m  2;


M  A n n  N* .

c)  Z24 ,   , m  3; d) C * ,  , m  4.
grupul G ordinul 2, dar AB are
ordinul infinit.
E3. Sã se determine ordinul elementelor:
 5,
 6
 în grupul  Z ,   ;
a) 2,
E6. Sã se determine ordinul permutãrii
  S n , în cazurile:
12
 2,
 5,
 6
 în grupul  U  Z  ,   .
b) 1,
11
1
a)   
3
1
b)   
3
0 0 1


E4. Fie A   0 1 0   M 3  R  ºi
1 0 0


71
2 3
;
2 1
2 3
;
1 2
Algebr‘ • I. Grupuri
a) Sã se arate cã  G,   este un grup
1
c)   
4
1
d)   
3
2 3 4
;
3 1 2
2 3 4
;
1 4 2
1 2 3 4 5
e)   
.
5 4 1 3 2
 0

 1
E7. Fie G  

 0
 0

0
0
1
0
0
0
0
1
1

0
0

0 
n
finit.
b) Sã se determine ordinul fiecãrui
element al acestui grup.
a b

E8. Fie G   A  

c d


det(A )  1 .

a) Sã se arate cã  G,   este grup.



n  Z .



 0 1
 1 1
b) Dacã A  
 ºi B  
,
1
0


 1 0 
sã se arate cã ord  A  4, ord  B  6,
iar AB are ordinul infinit.
APROFUNDARE
A1. Fie
 G,  
a) Sã se arate cã
un grup finit necomu-
 G,   este grup
necomutativ ºi sã se alcãtuiascã
tabla grupului.
b) Sã se determine elementele de
ordinul 2 din grupul G.
tativ de ordin n.
a) Sã se arate cã nu existã x  G,
astfel încât ord  x   n.
b) Sã se arate cã pentru oricare
A4. Fie  G,  un grup ºi x, y  G cu propri-
x  G, x n  e.
etatea cã ord  x   3, y4  e, xy  y3x.
 1 0  1 0   0 i   0 i
A2. Fie G  
,
,
,
,
 0 1  0 1  i 0  i 0 
Sã se arate cã dacã y  G \ e ,
atunci ord  y   2 ºi yx  xy.
 0 1   0 1   i 0    i 0  

, 
,
,
 .
 1 0   1 0   0 i   0  i  
A5. Fie  G,   un grup ºi x, y  G \ e
a) Sã se arate cã  G,   este grup.
astfel încât ord  x   2,
Sã se alcãtuiascã tabla grupului.
b) Sã se determine ordinul fiecãrui
element din G.
y 6  e ºi
xy  y 4 x. Sã se arate cã ord  y  
 3 ºi xy  yx.
 1 0   1 0   1 0 
A3. Fie G  
, 
, 
,
 0 1   0 1   0 i 
A6. Fie  G,   un grup finit ºi a, b  G
astfel încât ab  ba, iar ord  a   m,
 1 0  

  M 2  C  .
 0  i  
ord  b   n. Sã se arate cã dacã
 m, n  1, atunci ord  ab  m  n.
DEZVOLTARE
cã  Hom  G1, G 2  ,   este un grup
D1. Sã se arate cã:
a)  Z,     Z  i  ,   ;
abelian.
b)  Z  i  ,     Q  i  ,   .
D3. Fie (G,  ) un grup abelian. Sã se
arate cã grupurile (Z, +) ºi (Hom(Z,
G), +) sunt izomorfe.
D2. Fie (G1,  ) ºi (G2,  ) douã grupuri abeliene ºi Hom(G1, G2) = f : G1  G 2
D4. Sã se determine: a) Hom(Z, Z);
b) Hom(Q, Q); c) Hom(Q, Z).
f morfism de grupuri. Sã se arate
72
Algebr‘ • I. Grupuri
TESTE DE EVALUARE
Testul 1
1.
Fie G  C \ 1 ºi legea de compoziþie G  G  G,  x, y   x  y  x  y  xy.
a) Sã se determine:
Grupa 1
Grupa 2
x  1  i   1  i  ;
x  i  i  i  i.
b) Sã se rezolve în G ecuaþiile:
x  i  x  i  x  i;
x  i  i  i  x .
d) Sã se rezolve în G sistemul:
 x  i  i  y
2  x  y  2
;
.


 x  1  y  1
 3x   y  1
(6 puncte)
Testul 2
1.


 a 2b  
Fie G   A  M 2(Z ) A  
  ºi H   A  G
 b a  


Sã se arate cã:
a)  G,   este monoid comutativ;
 c 0  
A 
 .
 0 c  
b)  H,   este subgrup al grupului  G,   ;
 n 0
n
c) funcþia f : H  Q, f  
    1 , este morfism între grupurile  H,  
 0 n


ºi Q * ,  .
(5 puncte)
2.
Se considerã funcþia f : R15  R 3  R 5 datã prin f  a    a mod 3; a mod 5  .
a) Sã se arate cã f este funcþie bijectivã.

b) Dacã G  f 1   0, y  

y  R 5 , sã se arate cã G este subgrup al grupului
 R15 ,   .
(4 puncte)
Testul 3
1.
Pe
mulþimea
G  G  G,
G  1, 2    2,   
se
defineºte
legea
de
compoziþie
 x, y   x  y   x  1 ln y 1  1. Sã se stabileascã valoarea de
adevãr a propoziþiilor:
a) G nu este parte stabilã în raport cu legea datã.
b) Legea de compoziþie „  “ este asociativã.
73
Algebr‘ • I. Grupuri
c) Legea de compoziþie „  “ admite elementul neutru numãrul e + 2.
d)  G,   este grup abelian.
(6 puncte)
2.
Pe mulþimea R se considerã legile de compoziþie x  y  ax  by  1 ºi
x  y  2xy  2x  2y  c.
a) Sã se determine a, b  R pentru care  R,   este grup abelian.
b) Sã se determine a, b, c  R pentru care  R,   este grup abelian ºi
 x  y   z   x  z    y  z  ,  x, y, z  R.
c) În condiþiile gãsite la b), sã se determine elementele simetrizabile în
monoidul  R,   .
(3 puncte)
Testul 4
1.
def
Fie G   0, 1 ºi legea de compoziþie G  G  G,  x, y   x  y 
axy
.
bxy  cx  dy  1
a) Sã se determine a, b, c, d  R, astfel încât  G,   sã fie grup în care sime1
3
1
2
sã fie
este
ºi simetricul lui
.
4
3
3
4
b) Sã se determine m, n  R, astfel încât funcþia f :  0,      0, 1 , f  x  
tricul lui
xn
, sã fie izomorfism între grupurile
mx  1
valorile a, b, c, d gãsite anterior.

  0,    ,   ºi  G,   , pentru
(5 puncte)
2.

Se considerã mulþimea A  (1 + i) k

k  Z  C.


a) Sã se arate cã  A,   este subgrup al grupului C * ,  .
b) Sã se arate cã  A,     Z,   .
(4 puncte)
Testul 5
1.
Se considerã mulþimea E  R  R ºi funcþia:


a2
fa : E  E, fa  x, y    x  ay 
, y  a.


2


a) Sã se arate cã fa  f b  fa  b ,  a, b  R.
b) Dacã G  fa
a  R , sã se arate cã  G,   este grup.
c) Arãtaþi cã  G,     R,   .
(5 puncte)
74
Algebr‘ • I. Grupuri
2.
1 2 3
1 2 3
1 2 3 
Se considerã permutãrile   
,   
,   
,
2 3 1
2 1 3
1 3 2 
1 2 3
1 2 3

.
,   
3 1 2
3 2 1
a) Sã se determine ordinul acestor permutãri.
b) Sã se arate cã S 6 are un singur subgrup de ordinul 3.
c) Sã se rezolve ecuaþia: 2001  x  2002   2003 .
(4 puncte)
Testul 6
1.
Se considerã mulþimea M 2  C  ºi submulþimea:


 a b
H  M 2  C  , H   A  
 a, b  C  .

b a 

a) Sã se demonstreze cã dacã A, B  H, atunci A  B  H.
b) Sã se verifice cã O2  H.
c) Sã se arate cã dacã A  H atunci  A  H.
d) Sã se arate cã submulþimea H împreunã cu operaþia de adunare indusã,
formeazã o structurã de grup comutativ.
e) Sã se demonstreze cã dacã A  H ºi are determinantul zero, atunci
A  O2 .
(4 puncte)
(Bacalaureat, iunie, 2000)
2.
Pe mulþimea Z se considerã operaþiile algebrice
x  y  cx  cy  a  b.
x  y  ax  cy  b
ºi
a) Sã se determine a, b, c  Z, pentru care perechile  Z,   ºi  Z,   sunt
grupuri.
b) Sã se determine m, n  Z pentru care funcþia f : Z  Z, f  x   mx  n
este izomorfism între grupurile  Z,   ºi  Z,   .
(3 puncte)
3.
Se considerã mulþimea F a funcþiilor f : R  R, derivabile cu proprietatea
cã f   x   f  x  ,  x  R.
a) Sã se arate cã adunarea funcþiilor determinã pe mulþimea F o structurã
de grup comutativ.
b) Sã se arate cã grupul  F ,   este izomorf cu grupul aditiv  R,   .
(2 puncte)
75
Algebr‘ • I. Grupuri
Testul 7
1.
Pe mulþimea numerelor reale R se defineºte legea de compoziþie:
x  y  3xy  6x  6y  14, pentru orice x, y  R.
a) Sã se arate cã legea este asociativã ºi comutativã.
b) Sã se determine elementul neutru.
c) Sã se demonstreze cã pentru oricare n  N* are loc identitatea:
x
 x
  
x  3 n 1   x  2   2, x  R.


n
x de n ori
(4 puncte)
(Bacalaureat, iunie, 2000)
2.
Pe mulþimea G  1,    se defineºte legea de compoziþie x  y  x log 2 y ,
 x, y  G.
a) Sã se arate cã  G,   este grup abelian.
 x   2y   8
b) Sã se rezolve sistemul: 
.
 2x   y  16
c) Sã se arate cã între grupurile   0,    ,   ºi  G,   existã un izomorfism
de forma f  x   a x .
(3 puncte)
(Univ. Craiova, septembrie, 2000)
3.
 x ax  b 
Fie mulþimea M  

1 
 0

x  R*  .

a) Sã se determine a, b  R* , astfel încât  M,   sã fie grup.
b) Sã se arate cã toate grupurile obþinute la punctul a) sunt izomorfe.
(2 puncte)
Testul 8
1.
Pe mulþimea numerelor întregi definim legea de compoziþie:
x  y  6xy  2x  2y  1. Elementul neutru al acestei legi este:
1
a) e  2,
b) e  1,
c) e  1,
d) e  ,
e) nu existã.
2
2.
Pe mulþimea numerelor complexe definim legea de compoziþie „  “ datã
prin relaþia: x  y  x  y  xy. Elementul simetric al numãrului i  C este:
1 i
1 i
d) s 
e) s 
a) s  i,
b) s  1  i, c) s  1,
,
.
2
2
3.
Pe mulþimea numerelor reale se definesc operaþiile x  y  x  y  2
ºi
x  y  x  y  5,  x, y  R. Funcþia f : R  R, f  x   ax  1 este izomorfism
între grupurile  R,   ºi  R,   pentru:
a) a  0,
b) a  1,
c) a  2,
76
d) a  3,
e) a  4.
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
II. INELE ªI CORPURI
1
Definiţii şi exemple
v DEFINIÞII
Fie A o mulþime nevidã ºi legile de compoziþie:
A  A  A,  x, y   x  y;
A  A  A,  x, y   x  y.
• Tripletul  A, ,   se numeºte inel dacã sunt verificate axiomele:
(A1) Axioma grupului:
Perechea  A,   este grup comutativ.
(A2) Axioma monoidului:
Perechea  A,   este monoid.
(A3) Axiomele distributivitãþii:
x  
y  z    x  y    x  z  ,  x, y, z  A;
 x  y   z   x  z    y  z  ,  x, y, z  A.
• Inelul  A, ,   se numeºte inel comutativ dacã legea de compoziþie
„“ este comutativã.
• Grupul  A,   se numeºte grupul subiacent al inelului  A, ,   .
Pentru simplificarea scrierii, atunci când este posibil, pentru cele
douã legi de compoziþie „“ ºi „“ se folosesc notaþiile „+“ ºi „  “. Astfel,
tripletul  A, ,   capãtã scrierea  A, ,  .
• Prima operaþie a inelului se numeºte adunarea inelului, iar a
doua operaþie se numeºte înmulþirea inelului.
• Elementul neutru al adunãrii inelului se numeºte element nul
sau zero ºi se noteazã 0 A sau, mai simplu, 0.
• Simetricul unui element x  A în grupul subiacent  A,   se
numeºte opusul lui x ºi se noteazã „—x“.
• Dacã a, b  A, elementul a    b  se noteazã a  b ºi se numeºte
diferenþa elementelor a ºi b.
• Elementul neutru al monoidului  A,  se numeºte elementul
unitate al inelului ºi se noteazã 1A sau, mai simplu, 1.
• Cu notaþiile „+“ ºi „  “ pentru operaþiile inelului, axiomele distributivitãþii se scriu:
x   y  z   x  y  x  z,  x, y, z  A;
 x  y   z  x  z  y  z,  x, y, z  A.
77
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
• Acestea reprezintã reguli de înmulþire a unui element cu o sumã,
respectiv a înmulþirii unei sume cu un element al inelului.
• Elementele simetrizabile ale monoidului  A,  se numesc elemente inversabile ale inelului A sau unitãþi ale inelului A. Mulþimea
unitãþilor inelului A se noteazã U  A  . Se ºtie cã perechea U  A  , 
este un grup, numit grupul unitãþilor inelului A. Dacã x este inversabil, inversul sãu se noteazã x 1.
 Exemple de inele

 Din proprietãþile adunãrii ºi înmulþirii numerelor rezultã cã tripletele:
 Z, ,  ,  Q, ,  ,  R, ,  ,  C, ,  sunt inele comutative numite inele numerice.
 Având în vedere proprietãþile adunãrii ºi înmulþirii matricelor, rezultã cã tripletele:
 M n  Z  , ,  ,  M n  Q  , ,  ,  M n  R  , ,  ºi  M n  C  , ,  , n  2, sunt inele neco-
mutative. Elementul nul în aceste inele este matricea nulã On, iar elementul unitate este matricea unitate In.
 TEMĂ
1. Activitate individualã
Sã se determine grupul unitãþilor inelelor numerice Z, Q, R, C.
2. Activitate pe grupe
Pe mulþimea Z se considerã legile de compoziþie:
Grupa 1
Grupa 2
Grupa 3
x  y  x  y  1,
x  y  x  y  1,
x  y  x  y  3,
x T y  xy  x  y,
x T y  x  y  xy,
x T y  xy  3x  3y  6.
a) Sã se studieze dacã  Z, , T este inel comutativ.
b) Sã se determine U  Z  .
1.1. Inelul claselor de resturi modulo n

 mulþimea claselor de resturi
 2,...,
 1,


Fie n  N* ºi Z n  0,
n
1
modulo n. Se ºtie cã  Z n ,   este grup comutativ, iar  Z n ,  este monoid comutativ.
Se verificã totodatã ºi axiomele distributivitãþii:

 y
  z  x
y



x
z  x
  y  z   
x  y   x  z  x
yx
z


y
x
  z,
  x,
 y,
 z  Z .
x
n
 y,
 z  Z .



  z  y
  z,
  x,
Analog, x  y  z  x


n
Aºadar, înmulþirea claselor de resturi modulo n este distributivã
în raport cu adunarea claselor de resturi modulo n.
78
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
În concluzie, tripletul (Zn, +,  ) este un inel comutativ, numit
inelul claselor de resturi modulo n.
  Z este inversabil dacã ºi
În monoidul  Z ,  un element p
n
n

 Z
numai dacã  p, n   1. Se obþine cã U  Z n   p
n
 p, n   1 .

 .
În particular, dacã n este numãr prim, rezultã cã U  Z n   Z n \ 0
 TEMĂ
Activitate pe grupe de elevi
1. Sã se determine elementele inversabile în inelele:
Grupa 1
Grupa 2
Grupa 3
Z 2 , Z 6 , Z16
Z 3 , Z 8 , Z18
Z 5 , Z10 , Z 24

2. Sã se determine elementele x din inelul  M, ,   cu proprietatea cã x  x  0,
dacã:
Grupa 1
M  Z16

Grupa 2
M  Z9
ºi sã se arate cã 1  x
Grupa 3
M  Z 25

  U M .
x  M, x  x  0
1.2. Inele de matrice pãtratice
Fie  K, ,  un inel comutativ. Pentru n  N* se noteazã cu M n  K 
mulþimea matricelor pãtratice de ordinul n cu elemente din inelul K.
Pe mulþimea M n  K  se definesc operaþiile de adunare ºi de înmulþire a matricelor, astfel:
 
A  B   a ij  bij  ;
 
Dacã A, B  M n  K  , A  a ij , B  bij , atunci:
n
 
A  B  c ij , unde c ij   a ik bkj .
k 1
De asemenea, pentru matricea A  M n  K  se defineºte determinantul acesteia: det  A         a1 1  a 2  2   ...  a n  n  care este un
Sn
element al inelului K. Proprietãþile determinanþilor sunt aceleaºi ca în
cazul determinanþilor cu coeficienþi în inele numerice.
Modul în care s-a definit adunarea ºi înmulþirea matricelor pe
mulþimea M n  K  face ca proprietãþile acestora sã fie asemãnãtoare cu
cele definite pe mulþimea M n  C  . Astfel, are loc urmãtorul rezultat:
79
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
 TEOREMA 1
Fie  K, ,  un inel comutativ.
Tripletul
 M n  K  , ,  este un inel, numit inelul matricelor
pãtratice de ordin n peste inelul K.
Demonstraþie
a) Se verificã axiomele inelului, având în vedere proprietãþile
operaþiilor în inelul K. Elementul neutru este matricea nulã O n cu
toate elementele egale cu 0 k — elementul nul din inelul K, iar elementul
unitate este matricea In cu toate elementele de pe diagonala principalã
egale cu 1k ºi în rest egale cu 0 k.
b) Inelul este necomutativ, deoarece, luând matricele:
1 0  0
0 1 0  0




0 0  0
0 0 0  0
ºi B  
se obþine:
A 
    
     




0 0  0
0 0 0  0
A  B  B ºi B  A  O n , deci A  B  B  A. n
Urmãtorul rezultat precizeazã care sunt elementele inversabile în
inelul M n  K  .
 TEOREMA 2
 K, ,  un inel comutativ,  M n  K  , ,  inelul matricelor
pãtratice de ordinul n peste inelul K ºi A  M n  K  o matrice.
Matricea A este inversabilã în inelul M n  K  , dacã ºi numai dacã
d  det  A  este element inversabil în inelul K.
Fie
Demonstraþie
Fie A  M n  K  o matrice inversabilã. Atunci existã B  M n  K  ,
astfel încât A  B  B  A  In . Folosind proprietãþile determinanþilor se
obþine cã det  A  B  det  In   1 ºi det  A   det  B   1, deci det  A  U  K  .
Reciproc, fie det  A   U  K  . Ca ºi în cazul inelelor numerice, ma-
tricea A 1, inversa matricei A, se construieºte dupã acelaºi algoritm:
• construcþia matricei transpuse t A;
• construcþia matricei adjuncte A * ;
• matricea inversã: A 1   det  A  
80
1
 A* .
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
Printr-un procedeu analog aceluia din inelele numerice, se aratã
cã A are proprietatea: A  A 1  A 1  A  In . n
1

Grupul multiplicativ U M n  K 
 al matricelor inversabile peste
inelul K se noteazã GL n  K  ºi se numeºte grupul liniar de ordinul n
peste inelul K.


Avem: GL n  K   A  M n  K  det  A   U  K  .
Probleme rezolvate
 1 
3
  M 2  Z 5  este inver2
 3



sabilã, ºi în caz afirmativ, sã se afle A—1.
Soluþie
 2,
 3,
 4
 .
Se ºtie cã U  Z   1,
 1. Sã se verifice dacã matricea A  
5


 3
 2
 1  4
 2
 2
  U  Z  , deci A este matrice inverAvem: det  A   3
5
sabilã în M 2  Z5  .
Conform algoritmului de determinare a matricei inverse, se obþine:
 2

 1   3
 4

3
3
t
 ºi
A 
 ºi A *  

 1 3
 2

 3
  3
 3




 











 
   3 4    4 2 .
 1   3 4   3
A 1  2
3
3
 3

 3
  4
 4




 



 1 1 a 


 2. Se considerã matricea A   2 1 0   M 2  Z 6  . Sã se determine


 1 1 
0



a pentru care matricea A este inversabilã.
Soluþie
 a
  1.

Avem det  A   2
 a
  1  U  Z   1,
 5
 .
Matricea A este inversabilã dacã 2
 
 a
 2
 cu soluþiile a
  1,
• 2
 4;
6
Rezultã cazurile:


  a  1  5
  0,
 cu soluþiile a  0,
 3
 .
• 2


  0,
 1,
 4
 .
 3,
Aºadar, A este inversabilã pentru a
81
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
1.3. Inele de funcþii reale
Fie  R, ,  inelul numerelor reale, M  R o mulþime nevidã ºi
F  M   f
f : M  R .
Pe mulþimea F  M  se definesc operaþiile de adunare ºi înmulþire a
funcþiilor:
„  “: F  M  F  M  F  M ,  f, g   f  g,  f  g  x   f  x   g  x  , x  M,
„  “: F  M   F  M   F  M  ,  f, g   f  g,  f  g  x   f  x   g  x  , x  M.
Referitor la operaþiile de adunare ºi înmulþire a funcþiilor reale are
loc urmãtorul rezultat:
 TEOREMA 3
Tripletul  F  M  , ,  este inel comutativ, numit inelul funcþiilor
definite pe M cu valori în R.
Demonstraþie
Verificarea axiomelor structurii de inel se face având în vedere
proprietãþile adunãrii ºi înmulþirii numerelor reale.
Axioma grupului:  F  M  ,   este grup comutativ.
• Asociativitatea. Fie f, g, h  F  M  . Atunci, pentru x  M, avem:
  f  g   h  x    f  g  x   h  x    f  x   g  x    h  x   f  x    g  x   h  x   
 f  x    g  h  x    f   g  h    x  . Aºadar:  f  g   h  f   g  h  .
• Element neutru. Se observã uºor cã funcþia nulã, f : M  R, f  x   0,
este element neutru faþã de adunare.
• Elemente simetrizabile. Dacã f  F  M  , atunci funcþia f  F  M 
este elementul simetric pentru funcþia f.
• Comutativitatea. Fie f, g  F  M  . Atunci, pentru x  M avem:
 f  g  x   f  x   g  x   g  x   f  x    g  f  x  , deci f  g  g  f.
Axioma monoidului:  F  M  ,  este monoid comutativ.
• Asociativitatea. Fie f, g, h  F  M  . Pentru x  M, avem:
  f  g   h   x    f  g  x   h  x    f  x   g  x    h  x   f  x    g  x   h  x   
 f  x    gh  x    f   gh    x  , deci  fg   h  f   gh  .
• Elementul neutru. Funcþia f  F  M  , f : M  R, f  x   1, x  R, este
element neutru în raport cu înmulþirea funcþiilor.
82
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
• Comutativitatea. Dacã f, g  F  M  ºi x  M, avem:
 f  g  x   f  x   g  x   g  x   f  x    g  f  x  , deci f  g  g  f.
Axiomele de distributivitate
Fie f, g, h  F  M  ºi x  M. Se obþine succesiv:
 f   g  h    x   f  x    g  h  x   f  x    g  x   h  x    f  x   g  x  
 f  x   h  x    f  g  x    f  h  x    f  g  f  h  x  , deci f   g  h  f  g  f  h.
Analog se aratã cã  f  g   h  f  h  g  h.
Aºadar  F  M  , ,  este inel comutativ.
 OBSERVAŢII
1. În cazul în care funcþiile din mulþimea F  M  au anumite proprietãþi,
se obþin inele remarcabile de funcþii reale.


• Dacã C  a, b  f :  a, b  R f continuã , se obþine inelul comu-


• Dacã D  a, b  f :  a, b  R f derivabilã , se obþine inelul
comutativ D  a, b , ,  al funcþiilor derivabile.
tativ C  a, b , ,  al funcþiilor continue.
• Pentru M  f : M  R f mãrginitã , se obþine inelul comutativ
 M , ,  al funcþiilor mãrginite.
• Pentru PT  f : R  R f periodicã de perioadã T  0 , se obþine
inelul comutativ  PT , ,  .
2. Existã inele de funcþii
reale nu numai în raport  TEMĂ
cu adunarea ºi înmulþirea
1. Sã se demonstreze afirmaþiile din obserfuncþiilor.
vaþiile 1 ºi 2.
2. Temã de studiu.
Dacã  G,   este un suba) Dacã P   f :  a, b  R f are primitive ,
grup al grupului aditiv
 R,   , atunci tripletul tripletul  P , ,   este inel?
 End  G , ,  este inel ne-
comutativ (inelul
morfismelor lui G).
endo-

b) Dacã I  f :  a, b   R
f integrabilã
pe  a, b , tripletul  I , ,   este inel?
83
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
x  y  xy  3x  3y  12;
b) x  y  x  y  2,
x  y  2xy  4x  4y  6;
c) x  y  x  y  5,
x  y  xy  5x  5y  30.
E1. Sã se studieze distributivitatea
legii de compoziþie „  “ în raport
cu legea de compoziþie „  “, pe
mulþimea M, în cazurile:
1
a) M  Q, x  y  xy,
2
x  y  2x  2y;
b) M  Q, x  y  xy,
E4. Sã se studieze dacã adunarea ºi
înmulþirea matricelor determinã pe
mulþimea M o structurã de inel,
pentru:
 a b 

a) M  
 a, b  R  ;
0
a



x  y  x  y  1;
c) M  R, x  y  2xy  4x  4y  6,
x  y  x  y  2;
d) M  R, x  y   xy  3x  3y  6,
x  y  x  y  3.
 a b 
b) M  

  b a 
E2. Pe mulþimea Z se considerã opera-

a, b  R  ;

 a 0
0 


0 
c) M   0 b
 0 0 a  b 




a, b  Q  ;


 a 2b 0 




d) M   b a 0  a, b  Q  ;
 0 0 1 




 a  b 4b 

e) M  
 a, b  Q  .
a  b
  b

def
þiile algebrice x  y  x  y  2 ºi
x  y  xy  2x  2y  2.
a) Sã se arate cã  Z, ,   este un
inel comutativ.
b) Sã se determine elementele inversabile ale inelului.
E3. Sã se studieze dacã  Z, ,   este
inel ºi sã se determine elementele
inversabile, în cazurile:
a) x  y  x  y  3,
APROFUNDARE
A1. Pe mulþimea R se definesc operaþiile algebrice:
def
 x, y   x  y  x  y  3x  ay  b.
a, b  Z,
def
Sã se determine
def
încât legea de compoziþie „  “ sã
fie distributivã în raport cu „  “.
R  R  R,  x, y  x  y  max  x, y ;
R  R  R,  x, y  x  y  min  x, y .
Sã se studieze distributivitatea operaþiei „  “ în raport cu operaþia
„  “ ºi a operaþiei „  “ în raport
cu operaþia „  “.
astfel
A3. Pe mulþimea C se considerã opedef
raþiile algebrice x  y  x  y ºi
def
x  y  xy  Im(x)  Im  y  .
a) Sã se arate cã tripletul  C, ,  
A2. Pe mulþimea Z se definesc legile
de compoziþie:
este inel comutativ.
b) Sã se determine elementele
inversabile ale acestui inel.
def
Z  Z  Z,  x, y  x  y  x  y  3;
84
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
A4. Pe mulþimea M   0,    se defi-
A8. Sã se arate cã mulþimea:
 a b 

M  
a,
b,
c

Z

,
2


 0 c 

împreunã cu adunarea ºi înmulþirea matricelor formeazã un inel.
Sã se determine numãrul elementelor acestui inel ºi U  M  .
nesc operaþiile algebrice:
def
def
x  y  x  y ºi x  y  x ln y .
a) Sã se arate cã
 M, , 
este
inel comutativ.
b) Sã se determine U  M  .
A5. Fie a  R ºi mulþimea:

 a 1  a 1 
Ma  A  M2  R A  
 
  A.
 0 a  0 a 


A9. Se considerã mulþimea M  a, b, c .
a) Sã se arate cã  P  M  , ,   este

a) Sã se arate cã M a , ,  este inel.
un inel comutativ.
b) Sã se determine U  P  M   .
b) Sã se determine U  M a  .
A10. Fie  A, ,   ºi  B, ,   douã inele.
A6. Pe mulþimea A  R  R se definesc
operaþiile algebrice:
Pe mulþimea M  A  B se definesc
operaþiile algebrice:
def
 x, y    a, b    x  a, y  b  ,
 x, y    a, b    xa, xb  ya 
a) Sã se arate cã  A, ,   este un
def
 a1, b1    a2, b2    a1  a2, b1  b2 
def
ºi  a1, b1    a2, b2    a1  a2, b1  b2  .
inel.
b) Sã se determine U  A  .
a) Sã se arate cã  M, ,   este un
inel, numit produsul inelelor A ºi B.
b) Sã se arate cã U  M  U  A   U  B .
A7. Se considerã mulþimea:
F  fa : Z  Z fa  x   a  x, a  Z .
Sã se studieze dacã urmãtoarele
triplete formeazã inel ºi sã se afle
U  F  în fiecare caz:
A11. Sã se determine produsul inelelor:
a)  Z 2 , ,   ºi  Z 2 , ,   ;
b)  Z 2 , ,   ºi  Z 3 , ,   .
a)  F , ,   ; b)  F , ,   .
2 Reguli de calcul într-un inel
Calculul algebric cu elementele unui inel  A, ,  respectã toate
regulile de calcul date pentru grup ºi monoid, când sunt implicate
separat adunarea, respectiv înmulþirea inelului. În afarã de acestea,
într-un inel existã ºi alte reguli de calcul specifice, care fac legãtura între
cele douã operaţii algebrice ale inelului.
Fie  A, ,  un inel cu elementul nul 0 ºi elementul unitate 1. Din
definiþia acestora se obþine cã: 0  0  0 ºi 1  0  0  1  0.
85
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
 TEOREMA 4 (înmulþirea cu 0 în inel)
Fie  A, ,  un inel nenul. Pentru oricare a  A, au loc relaþiile:
a) a  0  0;
b) 0  a  0.
Demonstraþie
a) Fie a  A ºi x  a  0.
Se obþine: x  a  0  a   0  0   a  0  a  0  x  x.
Aplicând regula reducerii în grupul  A,   se obþine x  0, deci
a  0  0.
b) Se considerã x  0  a ºi se obþine:
x   0  0   a  0  a  0  a  x  x, de unde rezultã cã x  x  x ºi x  0. n
 OBSERVAŢII
1. Dacã într-un inel  A, ,  avem 1  0, atunci pentru a  A se obþine:
a  a  1  a  0  0, deci A  0 . Inelul în care 1  0 se numeºte inel nul.
În continuare se va presupune cã 1  0 ºi inelul  A, ,   nu este
inel nul.
2. Reciproca teoremei 4 nu este adevãratã, deoarece existã inele  A, , 
în care un produs sã fie egal cu 0 A , fãrã ca unul din factorii produsului sã fie 0 A .
 Exemple
0 0 1 0 0 0
 În inelul de matrice M 2  C  , ,  avem: 


  O2 .
0 1 0 0 0 0
 3
  0,
 3
 4
  0.

 În inelul  Z , ,  avem: 2


6
Divizori ai lui zero într-un inel
v DEFINIÞIE
• Fie  A, ,   un inel cu elementul nul 0 A . Un element d  A \ 0 A 
se numeºte divizor al lui zero dacã existã d  A \ 0 A  , astfel încât:
d  d  0 A sau d  d  0 A .
Dupã cum s-a constatat în exemplele date în observaþia 2, inelele
 M 2  C  , ,  ºi  Z6 , ,  au divizori ai lui zero.
v DEFINIÞIE
• Un inel comutativ nenul ºi fãrã divizori ai lui zero se numeºte
domeniu de integritate sau inel integru.
86
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
 OBSERVAŢII
1. Inelele numerice Z, Q, R, C sunt domenii de integritate.
2. Fie  A, ,   un domeniu de integritate. Atunci x  y  0 A  x  0 A
sau y  0 A .
3. Fie n  2 un numãr natural compus. Atunci inelul  Z n , ,  nu este
domeniu de integritate. Într-adevãr, dacã n  p  q, cu p, q  2, se
n
p
  q,
 deci p
 ºi q sunt divizori ai lui zero.
obþine: 0
4. Orice divizor al lui zero al inelului  A, ,  nu este element inver-
sabil. Într-adevãr, fie a  A, divizor al lui zero. Dacã a  U  A  , existã
b  U  A  , astfel încât a  b  1 ºi b  a  1. Deoarece a este divizor al
lui zero rezultã cã existã c  A \ 0 , astfel încât c  a  0. Din relaþia
a  b  1 se obþine c   ab   c ºi  ca   b  c, deci 0  c, în contradicþie
cu c  0. Aºadar, a  U  A  .
Urmãtoarea teoremã dã o caracterizare a divizorilor lui zero în
inelul claselor de resturi modulo n.
 TEOREMA 5
  Z . Clasa de resturi x
 este divizor al lui zero
Fie n  N* ºi x
n
dacã ºi numai dacã  x, n   d  1.
Demonstraþie
Sã presupunem cã  x, n   d  1. Rezultã cã existã p, q  2, 3, ...,
n  1 astfel încât x  p  d ºi n  q  d.

 este divizor al lui
 q
  
 deci x
pd  q  p
 n  0,
Se obþine: x
 qd   p
zero.
 este divizor al lui zero. Rezultã cã
Reciproc, sã presupunem cã x
 Z \ 0
 , astfel încât
existã p
n

 p
  0.
 Dacã am avea  x, n   1,
x
ar exista r, s  Z, astfel încât
rx  sn  1.
Din aceastã relaþie se obþine:

  sn
  r  x
 0

1  rx
 sn  rx
  U  Z  , ceea ce nu
 deci x
 r  x,
n
se poate. Aºadar,  x, n   1. n
87
 TEMĂ
1. Sã se determine divizorii lui zero
în inelele Z 4 , Z16 , Z 24 ºi Z100 .
 b
Z
2. Sã se arate cã dacã a,
n
sunt divizori ai lui zero, atunci

a
b este divizor al lui zero.

Elementul a
b este divizor al lui
zero în Z n?
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
Regula semnelor într-un inel
Fie  A, ,  un inel. Deoarece  A,   este un grup comutativ, sunt
valabile regulile de calcul specifice grupului. Astfel, în notaþie aditivã,
avem:
•    a   a,  a  A
(1)
•   a  b     a     b  ,  a, b  A
• a  b  0  b   a ºi a   b,  a, b  A
(2)
(3)
Dacã în locul scrierii a    b  se foloseºte scrierea a  b, relaþia (2)
devine:   a  b   a  b, sau, mai general:
  a1  a 2  ...  a n   a1  a 2  ...  a n ,  a1, a 2 , ..., a n  A, n  N* .
În cazul inelelor numerice Z, Q, R, C se regãseºte regula schimbãrii semnului termenilor unei sume dintr-o parantezã, dacã în faþa
acesteia se aflã semnul minus.
 TEOREMA 6 (regula semnelor)
  
Fie  A, ,  un inel. Atunci:
a)  a   b  a    b     ab  ,  a, b  A;
b)  a     b   ab,  a, b  A.
 
  
  
Demonstraþie
a) Fie a, b  A. Se obþine succesiv:
0  0  b  a   a    b  a  b   a   b, deci ab   a   b  0.
Din aceastã egalitate rezultã cã  a  b    ab  .
Analog, se aratã cã a    b     ab  .
a)
b) Rezultã succesiv:  a     b    a    b        ab    ab. n
 OBSERVAŢIE
• În inelul  A, ,  au loc egalitãþile:  1  a  a ºi a   1  a,  a  A.
Problemã rezolvatã

Fie  A, ,  un inel ºi x  A. Sã se arate cã dacã x  U  A  , atunci
x  U  A .
Soluþie
Fie x  U  A  . Rezultã cã existã x   U  A  , astfel încât x  x   1.
88
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
Se obþine:   x     x    x  x   1.
Aºadar,  x  U  A  .
Mai mult, în inelul  A, ,  se obþine:   x 
1
  x 1.
Legi de simplificare în inele integre
Fie  A, ,  un inel. Deoarece  A,  nu este grup, regulile de simplificare în raport cu înmulþirea inelului nu pot fi aplicate în orice inel.
 TEOREMA 7
Fie  A, ,  un inel integru, a  A \ 0 ºi x, y  A.
a) Dacã ax  ay, atunci x  y (legea de simplificare la stânga).
b) Dacã xa  ya, atunci x  y (legea de simplificare la dreapta).
Demonstraþie
a) Din ax  ay rezultã succesiv:
ax   ay   ay   ay   0, (1).
Folosind regula semnelor în inel, relaþia (1) se scrie:
0  ax   ay   ax  a    y   a  x    y   .
Deoarece inelul este integru ºi a  0, se obþine cã x    y   0,
relaþie care conduce la egalitatea x     y   y.
b) Se demonstreazã analog punctului a). (Temã) n
Legile de simplificare sunt utile în rezolvarea ecuaþiilor într-un domeniu de integritate.
 TEMĂ DE STUDIU
Problemã rezolvatã

Sã se arate cã într-un inel comutativ au loc urmãtoarele formule
de calcul:
Sã se rezolve în Z7 ecuaþiile:
  0;

a) x 2  x  2
 2
  0.

b) x 3  3x
Soluþie
a) Ecuaþia se transformã succesiv:
2 
 x  1 x  1  x 1  0

x  1  x  1  0,





 

a)  a  b    a  b   a 2  b2 ;
b)  a  b   a 2  2ab  b2 ;
2
c)  a  b   a 2  2ab  b2 ;
2
d)  a  b  a3  3a2b  3ab2  b3 ;
3
  0.

ºi se obþine x  1 x  2
e)  a  b  a3  3a2 b  3ab2  b3.
Deoarece inelul Z7 este inel
 sau
integru, rezultã cã x  1  0

  0,
 cu soluþiile x  1 ºi x  5.
x 2
n k
 bk ,
f)  a  b    C k
na
3
89
n
n
k 0
 n  N , (binomul lui Newton).
*
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
 
  0.
b) Ecuaþia poate fi adusã la forma:  x  1    x  2
 
 5
 .
Mulþimea soluþiilor ecuaþiei este S  1,

 5
 .
Mulþimea soluþiilor ecuaþiei este S  1,
2
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
 2  ab  bc  ca  .
E1. Sã se determine elementele x  Z n
care sunt divizori ai lui zero, în
cazurile:
a) n  4; b) n  6; c) n  8; d) n  60.
Ce devine aceastã egalitate în Z 2?
Dar în Z 3?
E6. Sã se arate cã în inelul Z 2 au loc
egalitãþile:
E2. Sã se arate cã urmãtoarele inele
nu sunt inele integre:
a)  F  Z  , ,   ; b)
a)  a  b   a  b;
2
 M 2  R  , ,   .
b)  a  b 
E3. Pe mulþimea E  Q  Q se definesc
operaþiile algebrice  a, b    x, y  
  ax  2by, ay  bx  .
2
  b2 ;
b)  a  b   a 2  2ab
a) Sã se arate cã  E, ,   este inel.
4
2
2
3
6
 în Z ºi Z ;
b) x  x  1  0
3
7
4
b)   a     b  c   ab  ac;
2
 0
 în Z .
c) x 6  6
7
c)   a  b    a  b   b2  a 2 , dacã
E9. Fie  A, ,   un inel comutativ ºi a,
ab  ba.
b  A, astfel încât a 2  a, b2  b
E5. Sã se arate cã într-un inel comutativ  A, ,   are loc egalitatea:
 a  b  c
   a 2  b2  .
E8. Sã se rezolve ecuaþiile:
 0
 în Z ºi Z ;
a) x 2  2
E4. Fie  A, ,   un inel. Sã se arate cã:
a)    a  b   a  b;
2

c)  a  b   a2  b2
b) Sã se determine divizorii lui zero
ºi U  E  .
2
 a  b,  n  N* .
E7. Sã se arate cã în inelul Z 4 au loc relaþiile:
2
  b2 ;
a)  a  b   a 2  2ab
  a  x, b  y  ºi  a, b    x, y  
2
n
ºi M  ab, 1  a, 1  b . Sã se arate
cã dacã x  M, atunci x 2  x.
2
a b c 
APROFUNDARE
A1. Sã se rezolve în Z12 sistemele:
A2. Sã se rezolve în Z 8 sistemele:
  2y
  1
  2y
  1
5x
5x
a) 
; b) 
.
  9y
 2

  3y
  1
 4x
 3x
  5y
 2

 2

2x
 x  5y
a) 
; b) 
.
  7y
 6

  7y
 6

 3x
 3x
90
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
A3. Fie  A, ,   un inel ºi a, b  A.
(inelul A se numeºte inel boolean).
Sã se arate cã:
a) x  x  0,  x  A;
Sã se arate cã dacã x  1  ab este
element inversabil, atunci 1  ba
este inversabil ºi 1  ba
1
b)  x  y   x  y,  x, y  A;
c) inelul A este comutativ.
2
 1  bx1a.
A4. Fie  A, ,   un inel ºi a  A, astfel
A7. Sã se arate cã inelul  A, ,   este
încât a 2  0. Sã se arate cã elementele 1  a ºi 1  a sunt inversabile.
comutativ dacã are loc una dintre
proprietãþile:
a) x 6  x,  x  A;
A5. Fie  A, ,   un inel ºi a  A. Sã se
b) x12  x,  x  A.
arate cã dacã existã n  N , astfel
*
A8. Fie  A, ,  un inel ºi a, b  A, n  N*.
încât a n  0, elementul 1  a este
inversabil.
A6. Fie
 A, ,  
Sã se arate cã dacã 1   ab 
inversabil, atunci ºi 1   ba 
inversabil.
un inel astfel încât
2
x  x,  x  A.
n
este
n
este
DEZVOLTARE
D1. Fie  A, ,   un inel nenul.
a)  a  b   a 2  b2 ,  a, b  A;
2
a) Cel mai mic numãr n  N* , cu
proprietatea cã n  1  0 A se numeºte caracteristica inelului A. Sã
se determine caracteristica inelelor
Z 2 , Z 3 , Z 4 . Generalizare.
D3. Sã se arate cã orice inel cu caracteristica 4 are divizori ai lui zero.
zero, dacã pentru oricare n  N* ,
n  1  0 A . Sã se arate cã inelele
D4. Sã se arate cã orice inel integru
are caracteristica zero sau un numãr prim.
numerice Z, Q, R, C au caracteristica zero.
D5. Sã se arate cã într-un inel comutativ
b)  a  b 
2n
n
n
 a 2  b2 ,  a, b  A,
n  N* .
b) Un inel  A, ,   are caracteristica
 A, ,   cu caracteristica p  N* , p
D2. Sã se arate cã într-un inel  A, ,  
numãr prim, existã relaþia:
 a  b  p  a p  bp ,  a, b  A.
cu caracteristica 2 au loc relaþiile:
3 Corpuri
Inelele numerice  Q, ,  ,  R, ,  ºi  C, ,  au proprietatea remarcabilã cã oricare element nenul este inversabil. Pentru aceste inele
mulþimea unitãþilor este Q* , R* , respectiv C* .
91
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
v DEFINIÞII
• Un inel nenul  K, ,  în care oricare element nenul este inversabil,
se numeºte corp.
• Dacã inelul K este comutativ, corpul K se numeºte corp comutativ.
Tripletele  Q, ,  ,  R, ,  ºi  C, ,  sunt corpuri comutative.
 OBSERVAŢII
1. Pentru un corp  K, ,  existã egalitatea: U  K   K \ 0  K * .


Rezultã cã perechea K * ,  este grup.
Aºadar, tripletul  K, ,  este corp dacã verificã axiomele:
a)  K,   este grup comutativ;


b) K * ,  este grup, numit grupul multiplicativ al corpului K;
c) înmulþirea este distributivã faþã de adunare.
2. Un corp  K, ,  nu are divizori ai lui zero.
Într-adevãr, dacã a, b  K * , astfel încât a  b  0, atunci se obþine:
a 1  a  b  a 1  0 sau 1  b  0, deci b  0, în contradicþie cu b  K * .
3. Inelele  Q, ,  ,  R, ,  ,  C, ,  sunt corpuri deoarece oricare element nenul este inversabil. Acestea sunt numite corpuri numerice.
Problemã rezolvatã

Fie d  N* un numãr natural liber de pãtrate ºi Q
 d   a  b d
 

Sã se arate cã  Q  d  , ,  ,  Q  i d  , ,  sunt corpuri comutative

a, b  Q , Q i d  a  bi d a, b  Q .
(corpuri de numere pãtratice).
Soluþie
 d  , x  a  b d, y  u  v d, se obþine:
x  y  a  u   b  v  d  Q  d  ºi x  y  au  bvd   av  bu  d  Q  d  .
Rezultã cã Q  d  este parte stabilã a lui C în raport cu adunarea
Pentru x, y  Q
ºi înmulþirea.


Perechea Q d,  este grup abelian, deoarece adunarea este asociativã ºi comutativã; numãrul 0  0  0 d  Q
92
 d  este element neutru,
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
iar dacã x  a  b d  Q
opusul lui x.
 d  , atunci  x   a    b  d  Q  d  este
  d  \ 0,  este grup comutativ.
Perechea Q
Într-adevãr, înmulþirea este asociativã ºi comutativã, elementul
 d  \ 0 este element neutru.
Fie x  a  b d  Q  d  \ 0 .
Sã determinãm x   Q  d  \ 0 , astfel ca xx   1. Avem:
ab d
1
1
a
b
x  
 2
 2
 2
d  Q  d  \ 0 .
2
2
x a  b d a  b d a  b d a  b2 d
1 1 0 d Q
Se observã cã a 2  b2 d  0, deoarece din a 2  b2 d  0 ar rezulta
a   b d, în contradicþie cu a  Q* .
  d  \ 0,  este grup comutativ.
În concluzie, Q
Deoarece înmulþirea este distributivã în raport cu adunarea, se
  d  , ,  este un corp comutativ.
Analog se aratã cã  Q  i d  , ,  este corp comutativ.
obþine cã Q
În acest corp: x  
1
a
 bi
d Q i d .
 2
 2
2
a  bi d a  b d a  b2 d


 TEOREMA 8
Inelul  Z n , ,  este corp dacã ºi numai dacã n este numãr prim.
Demonstraþie
  Z , x  1, 2, ..., n  1
Fie n numãr prim. Atunci pentru orice x
n
  U  Z  . Aºadar, Z este corp comutativ.
avem  n, x   1, deci x
n
n
Reciproc, fie cã Z n este corp. Dacã, prin absurd, n nu este numãr
prim, rezultã cã existã p, q  N* \ 1 , astfel încât n  p  q. Se obþine
 q
n
  0,
 deci Z are divizori ai lui zero, în contradicþie cu faptul cã
p
n
Z n este corp.
Aºadar, n este numãr prim. n
 OBSERVAŢII
1. Dacã p  N este un numãr prim, atunci existã corpuri cu p elemente.
Un astfel de corp este Z p .
93
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
2. Orice corp finit  K, ,  are p n elemente,
unde p este numãr prim.
În concluzie, nu existã corpuri cu 6, 10,
12 elemente.
3. Orice corp finit este comutativ, (Teorema
lui Wedderburn).
Corpuri de matrice


Inelul de matrice pãtratice M n  A  , ,  ,
unde
corp.
 A, ,  este inel, nu este în general
Într-adevãr, dacã A  R, atunci în inelul
Joseph WEDDERBURN
(1882-1948)
matematician scoþian
A adus contribuþii în
cadrul algebrei moderne.
 M 2  R  , ,  matricea
0 1
0 1 0 1 0 0
M
 , este divizor al lui zero, având 


  O2 .
0 0
0 0 0 0 0 0
Condiþia ca inelul
 M n  A  , ,  sã fie corp este ca  M  M n  A 
sã fie matrice inversabilã, ceea ce revine la faptul cã det  M   U  A  .
 TEMĂ DE PROIECT
1. Sã se arate cã urmãtoarele inele de matrice C , ,   sunt corpuri:
 a b 
a) C  

  b a 

a, b  R  ;

 a bd 
b) C  

 b a 
a, b  Q, d  Q  ,
 a b 
c) C  

  b a 

a, b  C  (corpul cuaternionilor).


d  R \ Q ;

EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Pe mulþimea Q se definesc opera-
E2. Sã se arate cã tripletul
def
este corp comutativ, dacã:
a) M  Q, x  y  x  y  4,
þiile algebrice x  y  x  y  5 ºi
def
x  y   xy  5x  5y  20. Sã se
studieze dacã tripletul
 M, , 
x  y  xy  4  x  y   20;
 Q, , 
3
,
4
x  y  4xy  3x  3y  1, 5;
b) M  R, x  y  x  y 
este corp.
94
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
c) M  R, x  y  x  y  1,
E4. Fie   C o soluþie a ecuaþiei x2  x 
 1  0 ºi mulþimea R     a  b
x  y  2xy  2x  2y  3;
d) M  R, x  y  x  y  2,
xy
a, b  R. Sã se arate cã R    împreunã cu adunarea ºi înmulþirea
numerelor complexe determinã o
structurã de corp comutativ.
1
1
xy   x  y   3.
4
2
E3. Sã se arate cã mulþimea M împreunã cu adunarea ºi înmulþirea
matricelor determinã o structurã
de corp, dacã:
 a b 

a) M  
 a, b  R  ;
  b a 

 a 7b 
b) M  

 b a 
def
a) M  R, x  y  5 x 5  y 5 ºi

a, b  Q  ;

 a  b 4b 
c) M  

a  b
  b
 a 0 
d) M  

 ia 0 
E5. Sã se arate cã mulþimea M împreunã
cu operaþiile algebrice date determinã o structurã de corp comutativ,
dacã:
def
x  y  x  y;

a, b  Q  ;

def
b) M   0,    , x  y  x  y ºi
def
x  y  x ln y .

a  C .

APROFUNDARE
A1. Fie a, b, c  R. Pe mulþimea R se
definesc operaþiile algebrice:
 ax, x  Q
A3. Fie fa : R  R, fa  
.
 0, x  R \ Q
Sã se arate cã adunarea ºi compunerea funcþiilor determinã pe mulþimea F  fa a  Q o structurã
def
x  y  ax  by  2 ºi
def
x  y  xy  2x  2y  c.
Sã se determine a, b, c pentru care
 R, ,  este corp comutativ.
de corp comutativ.
A4. Fie K  0, 1, a, b un corp cu patru
A2. Sã se arate cã adunarea ºi înmulþirea numerelor complexe determinã
pe mulþimea M o structurã de corp,
dacã:
a) M  Q
elemente. Sã se arate cã:
a) ab  ba  1;
b) a 2  b;
 2;
b) M  Q  i   a  bi
c) a 3  1;
a, b  Q ;
d) a 2  a  1  0;
 2, 3   a  b 2  c 3 
 d 6 a, b, c, d  Q .
c) M  Q
e) 1  1  0.
Sã se scrie tabla lui Cayley pentru
operaþiile corpului K.
95
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
4 Morfisme de inele şi corpuri
Fie  A, ,  ºi  B, ,   douã inele.
v DEFINIÞII
• O funcþie f : A  B se numeºte morfism de inele, dacã:
a) f  x  y   f  x   f  y  ,  x, y  A;
b) f  x  y   f  x   f  y  ,  x, y  A;
c) f 1A   1B.
• Funcþia f : A  B se numeºte izomorfism de inele dacã este morfism de inele ºi este funcþie bijectivã.
• Inelele A ºi B se numesc inele izomorfe dacã existã un izomorfism
f : A  B.
Pãstrând notaþiile uzuale „  “ ºi „  “ pentru legile de compoziþie
ale unui inel, funcþia f : A  B este morfism de inele dacã:
• f  x  y   f  x   f  y  ,  x, y  A;
• f  x  y   f  x   f  y  ,  x, y  A.
• f 1A   1B.
Un morfism de inele f : A  B este în particular un morfism de
grupuri. Rezultã cã f are proprietãþile:
a) f  0 A   0B ;
b) f   x   f  x  ,  x  A;
c) f  nx   n  f  x  ,  x  A ºi n  Z.
 Exemple de morfisme de inele

Fie  A, ,  un inel. Funcþia identicã f : A  A, f  x   x este morfism (izomorfism)
de inele.
Un morfism de inele f : A  A se numeºte endomorfism al inelului A. Mulþimea
endomorfismelor inelului A se noteazã End  A  . Un izomorfism de inele f : A  A
se numeºte automorfism al inelului A. Mulþimea automorfismelor inelului A se
noteazã Aut  A  .
 este morfism de la inelul  Z, ,  la inelul  Z , ,  ,

Funcþia f : Z  Z n , f  x   x
n
numit morfism canonic.
96
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
 OBSERVAŢII
1. Dacã inelele  A, ,  ºi  B, ,  sunt inele izomorfe, atunci grupurile
 A,   ºi  B,   sunt izomorfe. Orice izomorfism f : A  B de inele
este în particular izomorfism al grupurilor  A,   ºi  B,   . Reciproca
este adevãratã?
2. Dacã  M, ,  ºi  A, ,  sunt inele ºi M  A, iar f : A  A este automorfism al lui A, atunci restricþia lui f la M este automorfism al lui M.
v DEFINIÞIE
Fie  K, ,  ºi  K , ,  douã corpuri.
• Funcþia f : K  K  se numeºte morfism (izomorfism) de corpuri
dacã f este morfism (izomorfism) de inele de la K la K .
 Exemple
 Funcþia f : C  C, f  z   z este automorfism al corpului  C, ,  .
 Funcþia f : Q
 Q  5  , ,  .
 5   Q  5  , f  a  b 5   a  b 5 este automorfism al corpului
Problemã rezolvatã

 a 3b 

Fie M  
 a, b  Q   M 2  Q  . Sã se arate cã funcþia
 b a 

f :Q
 3   M 2 , f  a  b 3    b
a 3b 
 este izomorfism de la corpul
a 
 Q  3  , ,  la corpul  M, ,  .
Soluþie
 a 3b 
 x 3y 
Fie A  
, B  
 , A, B  M.
b a 
y x 
 ax  3by 3ay  3bx 
 a  x 3b  3y 
Se obþine: A  B  
.
 ºi AB  
ax  3by 
ax 
 ay  bx
b  y
 3  , v  x  y 3  Q  3  , avem:
 a  x 3b  3y 
f  u  v   f a  x   b  y  3   
  A  B  f  u  f  v .
ax 
b  y
Dacã u  a  b 3  Q
97
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
Analog se obþine:
 ax  3by 3ay  3bx 
f  uv   f ax  3by   ay  bx  3  
  A B 
ax  3by 
 ay  bx
 f  u  f  v .


1 3  0
Având f 1  0 3  
  I2 , rezultã cã f este morfism de
1 
0
corpuri. Se verificã uºor cã f este funcþie bijectivã. În concluzie, f este
izomorfism de corpuri.


 TEOREMA 9
Fie  K, ,  ,  K , ,  ,  K , ,  inele (corpuri) ºi f : K  K ,
g : K   K  morfisme (izomorfisme) de inele (corpuri).
Atunci g  f : K  K  este morfism (izomorfism) de inele (corpuri).
Demonstraþie
Deoarece  K,   ,  K ,   ,  K ,   sunt grupuri, atunci funcþiile f ºi g
sunt morfisme de grupuri, deci ºi g  f este morfism de grupuri.
Rezultã cã:  g  f  x  y    g  f  x    g  f  y  ,  x, y  K.
În mod analog, rezultã cã g  f este morfism (izomorfism) între


grupurile K * ,  ºi  K  \ 0 ,  .
Rezultã cã:  g  f  xy    g  f  x    g  f  y  ,  x, y  K.
De asemenea,  g  f 1  g  f 1   g 1  1.
În concluzie, g  f este morfism (izomorfism) de inele (corpuri). n
 TEOREMA 10
Orice morfism de corpuri este funcþie injectivã.
Demonstraþie
Fie  K, ,  ,
 K , ,  douã corpuri, f : K  K  un morfism de
corpuri, ºi x, y  K, astfel încât f  x   f  y  . Dacã presupunem prin
reducere la absurd cã x  y, rezultã cã x  y  0. Atunci x  y  U  K 
ºi existã a  U  K  astfel încât a  x  y   1. Se obþine succesiv: 1  f 1 
 f  a  x  y    f  a   f  x  y   f  a    f  x   f  y    0, în contradicþie cu
1  0. Aceastã contradicþie aratã cã x  y ºi astfel f este funcþie
injectivã. n
98
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
Probleme rezolvate
 1. Sã se determine automorfismele corpurilor Q, R, Zp.
Soluþie
a) Fie f : Q  Q un automorfism de corpuri. Rezultã cã f este
automorfism al grupului  Q, +  , deci f  x   x  f 1 ,  x  Q. Deoarece
f 1  1 se obþine cã f  x   x,  x  Q, este singurul automorfism al
corpului Q.
b) Fie f : R  R un automorfism al corpului R. Vom arãta cã
f  x   x,  x  R. Pentru aceasta vom parcurge urmãtoarele etape:
1. Se aratã cã f  x   x,  x  Q.
2. Se aratã cã f este monoton crescãtoare pe R.
3. Se aratã cã f este funcþia identicã.
1. Funcþia f fiind automorfism al grupului  R, +  , este automorfism ºi al grupului  Q, +  ºi rezultã imediat cã f  x   x,  x  Q.
2. Arãtãm mai întâi cã pentru x  0 rezultã f  x   0.
Într-adevãr, din relaþia f  x  y   f  x   f  y  ,  x, y  R, pentru x  0
se obþine:
f x  f
 x  x    f  x    0.
2
Fie acum x  y. Rezultã cã z  y  x  0, ºi avem 0  f  z   f  y  x  
 f  y   f  x  , deci f  x   f  y  .
Aºadar, f este funcþie strict crescãtoare pe R.
3. Sã arãtãm cã f  x   x,  x  R. Sã presupunem cã existã
x 0  R, astfel încât f  x 0   x 0 .
Fie, de exemplu,
f  x 0   r  x 0 . (1)
f  x 0   x 0 . Considerãm
r  Q,
astfel încât
Din monotonia funcþiei f rezultã cã f  r   f  x 0  .
Dar f  r   r ºi se obþine r  f  x 0  , în contradicþie cu relaþia 1 .
Analog se aratã cã nu putem avea f  x 0   x 0 .
În concluzie, f  x   x,  x  R.
c) Fie f : Z p  Z p un automorfism. Rezultã cã f  x  y   f  x   f  y  ,
 x, y  Z p .
99
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
 
ˆ se obþine f 0
ˆ  0.
ˆ
Pentru x  y  0
Pentru â  Z p \ 0 , avem â  1

 ... 
1 
1 ºi rezultã:


a  ori
 


ˆ
f  aˆ   f 1ˆ  1ˆ  ...  1ˆ  f 1  f 1  ...  f 1  a  f 1ˆ  aˆ  1  a.



a  ori
Aºadar, singurul automorfism al corpului Z p este cel identic.
 2. Sã se determine automorfismele corpului C, f : C  C cu pro-prietatea f  x   x,  x  R.
Soluþie
Fie z  a  bi  C ºi f : C  C un automorfism al corpului C.
Rezultã: f  z   f  a  bi   f  a   f  bi   f  a   f  b   f  i   a  bf  i  .
Aºadar, automorfismul f este bine determinat de elementul f  i  .
 
Avem: f  i   f  i   f i2  f  1  1, de unde se obþine cã f  i    i.
În concluzie, automorfismele lui C verificã relaþiile f  a  bi   a  bi
ºi f  a  bi   a  bi, deci acestea sunt f  z   z ºi f  z   z,  z  C.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Pe mulþimea Z se definesc operaþiile
algebrice x  y  x  y  6, x T y 
4
7
 x  y   , x, y  Q.
3
9
x 1
Dacã f : Q  Q, f  x    , sã se
4 3
arate cã:
a) f/Z este morfism între inelele
x T y  4xy 
 xy  6x  6y  30, x, y  Z. Sã se
studieze dacã f : Z  Z, f  x   x  6
este morfism între inelele  Z, ,  
ºi  Z, , T . Este f izomorfism?
 Z, ,   ºi  Q, , T ;
E2. Pe mulþimea R se definesc operaþiile algebrice x  y  x  y  1,
x T y  2xy  2x  2y  3, x, y  R.
Sã se arate cã funcþia f : R  R,
x
f  x    1 este izomorfism între
2
corpurile  R, ,   ºi  R, , T .
b) f este izomorfism între corpurile
 Q, ,   ºi  Q, , T .
E4. Se considerã mulþimile de matrice:
 a 8b 


M1   A  
 a, b  Q  ,
b
a




E3. Pe mulþimea Q se definesc opera1
þiile algebrice x  y  x  y  ,
3
100
 a b 
M 2  

 8b a 

a, b  Q  .

Sã se arate cã inelele (corpurile)
 M 1, ,  ºi  M 2 , ,  sunt izo-
morfe.
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
E5. Fie
 0 0 
M  

 ia a 

a  C .

x T y  xy  x  y, x, y  Z 5 .
a) Sã se alcãtuiascã tabla operaþiilor „  “ ºi „ T “.
b) Sã se arate cã  Z5, ,    Z5, , T .
Sã se
arate cã  M , ,   este corp comutativ izomorf cu corpul  C, ,   .
c) Care dintre funcþiile fa : Z5  Z5,
fa  x   x  a, este morfism (izomor-
E6. Pe mulþimea Z 5 se definesc ope
raþiile algebrice x  y  x  y  1,
fism) între  Z 5 , ,   ºi  Z 5 , , T ?
APROFUNDARE
a)  Z, ,   ºi  Q, ,   ;
A1. Pe mulþimea R se considerã
operaþiile algebrice x  y  x  y 
1
1
xy   x  y   3,
 2, x T y 
4
2
 x, y  R. Sã se determine a, b  R,
astfel
încât
f  x   ax  b
funcþia
sã
fie
b)  Q, ,   ºi  R, ,   ;
  5  , ,   ;
d)  Q  2  , ,   ºi  Q  3  , ,   .
c)  Q, ,   ºi Q
f : R  R,
izomorfism
între inelele (corpurile)  R, ,   ºi
A5. Fie
 R, , T .
A2. Se considerã d  N* ºi mulþimea
 a b 

Md  
 a, b  Z   M 2  Z  .
db
a



Sã se arate cã:
a)  Md , ,   este inel comutativ;
b) inelul Md are divizori ai lui
zero dacã ºi numai dacã d este
pãtrat perfect;
c) dacã d nu este pãtrat perfect, sã
se arate cã inelele  Md , ,   ºi
  
Z
d , , 

ºi
un inel ºi End  A 
zintã compunerea funcþiilor).
A6. Sã se determine:
End  Z  , End  Q  , End  Z4  , End  Z2  .
A7. Sã se determine morfismele de inele
între:
a)  Z, ,   ºi  Z 4 , ,   ;
b)  Z, ,   ºi  Z 6 , ,   ;
c)  Z 2 , ,   ºi  Z 4 , ,   ;
d)  Z 4 , ,   ºi  Z 5 , ,   .
sunt izomorfe.
A3. Sã se arate cã inelele
 A, ,  
mulþimea endomorfismelor de inel
ale lui A. Sã se arate cã
 End  A  , ,   este inel ( „  “ repre-
 Z  2  , ,  
 Z  3  , ,  nu sunt izomorfe.
A8. Fie d1, d2  N* numere naturale libere de pãtrate. Sã se arate cã inelele (corpurile) Q
Generalizare.
A4. Sã se arate cã urmãtoarele inele
(corpuri) nu sunt izomorfe:
101
 d1  ºi Q  d2 
sunt izomorfe dacã ºi numai dacã
d1  d2 .
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
DEZVOLTARE
D1. Fie  A, ,   un inel în care x 2  1,
D2. Fie  A, ,   un inel în care x 4  1,
 x  A \  0 . Sã se arate cã A
 x  A \  0 . Sã se arate cã A
este izomorf cu unul dintre inelele
Z 2 , Z 3 sau Z 5 .
este izomorf cu inelul Z 2 sau Z 3 .
TESTE DE EVALUARE
Testul 1
1. Pe mulþimea R se considerã operaþiile algebrice:
Grupa 1
Grupa 2
x y xy5
x  y  x  y  2,
x T y  3xy  15x  15y  80,
x T y  xy  2x  2y  2,
 x, y  R.
 x, y  R.
Sã se studieze:
a) ce structuri algebrice reprezintã  R,   ºi  R, T ;
b) dacã operaþia „  “ este distributivã în raport cu „ T “;
c) dacã  R, , T este inel fãrã divizori ai lui zero.
(5 puncte)
2. Sã se rezolve în Z 4 :
Grupa 1
 3  2x
  0;

a) 2x
Grupa 2
ˆ 2  3x
ˆ  0;
ˆ
a) 3x
  3y
  1
2x
b) 
.
  2y
 2

 3x
ˆ y3
ˆ
2x
b) 
.
ˆ  3y
ˆ 2
ˆ
 3x
(4 puncte)
Testul 2
1. Pe mulþimea Z se considerã operaþiile:
x  y  x  y  a, x T y  xy  bx  3y  c, x, y  Z.
a) Sã se determine a, b, c  Z pentru care au loc relaþiile:  2  3  T 1  41,
 2  1 T 3  51 ºi 1 T  2  3   1 T 2   1 T 3  .
b) Pentru valorile lui a, b, c gãsite, sã se precizeze dacã  Z, , T este inel, sã
se afle U  Z  ºi mulþimea divizorilor lui zero.
(5 puncte)
2. a) Sã se determine n  N, n  8, astfel încât în inelul
 Z n , ,   inversul
 sã fie 7.

elementului 3
b) Pentru valorile lui n gãsite sã se determine U  Z n  .
(4 puncte)
102
Algebr‘ • II. Inele şi corpuri
Testul 3
1. Pe mulþimea E  R  R se introduc legile de compoziþie:
 a, b    x, y    a  x, b  y  ;
 a, b    x, y    ax, ay  bx  .
a) Sã se arate cã  E, ,   este inel comutativ. Este acesta corp?
 x y
b) Sã se arate cã aplicaþia f : E  M 2  R  , f  x, y   
 , este morfism
0 x
între inelele  E, ,   ºi
 M 2  R  , ,   .
(6 puncte)
(Univ. Bucureºti)
2. Fie A   0, 1, a, b un inel cu patru elemente. Sã se arate cã:
a) funcþia f : A  A, f  x   1  x este bijectivã;
b)
 f  x   1  a  b ºi 1  1  1  1  0.
x A
c) dacã A este corp, atunci 1  1  0.
(3 puncte)
(Univ. Bucureºti, 1981)
Testul 4
1. Pe mulþimea C definim operaþiile algebrice:
z1  z2  z1  z2 , z1 T z 2  z1  z 2   Im z1    Im z 2  ,  z1, z 2  C.
a) Sã se arate cã tripletul  C, , T este inel.
b) Sã se determine U  C  .
0 1

c) Dacã M   xI 2  y 

 0 0


x, y  R  sã se arate cã  M , ,   formeazã inel.

 x y
d) Sã se arate cã f : C  M , f  x  iy   
 , este izomorfism între inelele
0 x
 C, , T ºi  M , ,   .
(6 puncte)
2. Fie  A, ,   un inel cu proprietatea cã x 2  x,  x  A. Sã se arate cã:
a) 1  1  0;
b) inelul este comutativ;
c) dacã A este corp, atunci A  Z 2 .
(3 puncte)
103
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
III. INELE DE POLINOAME
Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi
1 într-un corp comutativ
În acest capitol se va considera un corp comutativ  K, ,  , unde
K reprezintã una dintre mulþimile Q, R, C sau Z p , p numãr prim.
1.1. ªiruri de elemente din corpul K
v DEFINIÞII
• Se numeºte ºir de elemente din corpul K o funcþie f : N  K.
• Elementul a n  f  n   K reprezintã termenul general al ºirului.
Ordinea de scriere a numerelor naturale induce ordinea de scriere
a termenilor ºirului ºi anume: a 0 , a1, a 2 , ..., a n , ... .
Pentru un ºir de elemente din corpul K se va folosi notaþia
f   a 0 , a1, a 2 , ..., a n , ... sau f  a n  .
Douã ºiruri f   a 0 , a1, ..., a n , ... ºi g   b0 , b1, ..., bn , ... sunt
egale dacã a 0  b0 , a1  b1, a 2  b2 , ..., a n  bn , ... .
v DEFINIÞIE
• Un ºir f   a 0 , a1, ..., a n , ... se numeºte ºir finit dacã existã un
numãr natural p, astfel încât a m  0, oricare ar fi m  p.
Aºadar, un ºir este finit dacã are un numãr finit de termeni
nenuli.
 Exemplu
 f1  1, 0, 0, ..., 0, ... , f2   9, 0, 0, 5, 0, 0, ..., 0, ... , f1, f2 cu elemente din R.
1.2. Operaþii cu ºiruri de elemente din corpul K
Notãm cu K N mulþimea ºirurilor de elemente din corpul K ºi cu
K   mulþimea ºirurilor finite cu elemente din K. Se observã cã are loc
N
incluziunea K    K N .
N
104
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
v DEFINIÞII
Fie f, g  K N , f   a 0 , a1, a 2 , ..., a n , ... , g   b0 , b1, b2 , ..., bn  douã
ºiruri.
• ªirul h  K N , h   a 0  b0 , a1  b1, ..., a n  bn , ... se numeºte suma
ºirurilor f ºi g. Se noteazã h  f  g.
• ªirul h  K N , h   c0 , c1, ..., cn , ... , unde pentru oricare m  N avem
m
c m  a 0 bm  a1bm 1  ...  a m b0   a k  b m  k se numeºte produsul
k 0
ºirurilor f ºi g. Se noteazã h  f  g.
 Exemplu

Fie K  C ºi f  1, 1, 2, 3,  1, 0, 0, ... , g   0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, ... .
Atunci f  g  1, 2, 3, 3,  1, 1, 0, 0, ... , f  g   0, 1, 2, 3, 5, 3, 0, 2, 3,  1, 0, 0, ... .
 TEOREMA 1
Mulþimea K   a ºirurilor finite este parte stabilã a mulþimii K N
în raport cu operaþiile de adunare ºi înmulþire a ºirurilor.
N
Demonstraþie
Fie f, g  K   , f   a 0 , a1, a 2 , ..., a m , 0, 0, ... ,
N
g   b0 , b1, ..., bn , 0, 0, ... astfel încât a m , bn  K \ 0 .
a) Dacã p  max  m, n  , avem a p  bp  0 ºi astfel:


f  g  a 0  b0 , a1  b1, ..., a p 1  bp 1, 0, 0, ...  K   .
N
b) Fie p  m  n ºi f  g   c0 , c1, c2 , c3 , c4 , ... .
m
Rezultã c p   a k  b p  k 
k 0
p
 a k  bp  k . În fiecare sumã factorii
k  m 1
subliniaþi sunt nuli, deoarece a m 1  am 2  ...  a p  0 ºi bp m  bp m1 
 ...  bp  0. Rezultã cã elementul c p  0.


Aºadar, f  g  c0 , c1, ..., c p 1, 0, 0, ...  K   . n
N
 OBSERVAŢIE
• Dacã p  m  n ºi a m , bn  K * , atunci c m  n  a m  bn  K * . Aºadar,
m  n este rangul cel mai mare pentru care elementul cp este nenul.
105
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
v DEFINIÞII
• Orice element al mulþimii K   pe care s-a definit adunarea ºi înmulþirea de ºiruri se numeºte polinom cu coeficienþi în corpul K.
N
• Dacã f  K   , f   a 0 , a1, a 2 , ..., a n , 0, 0, ... , unde a n  K * , elementele
N
a 0 , a1, ..., a n se numesc coeficienþii polinomului f, iar n  N se
numeºte gradul polinomului f ºi se noteazã n  grad  f  .
• Coeficientul a n  K * al polinomului f se numeºte coeficient
dominant. Dacã coeficientul dominant este egal cu 1, polinomul se
numeºte polinom unitar sau monic.
• Polinomul f   0, 0, 0, ..., 0, ... cu toþi coeficienþii zero se numeºte
polinom nul. Polinomului nul i se atribuie gradul .
 TEOREMA 2


Tripletul K   , ,  formeazã un inel comutativ fãrã divizori ai lui
N
zero (inel integru).
Demonstraþie
Verificarea axiomelor de inel este lãsatã drept temã. Elementul
neutru în raport cu adunarea este polinomul nul e   0,0,... , iar faþã
de înmulþire este polinomul f  1,0,0,... .
Sã arãtãm cã inelul este integru.
Fie f, g  K   polinoame nenule, f   a 0 , a1, ..., a n , 0, 0, ... , g 
N
  b0 , b1, ..., bm , 0, 0  , grad  f   n, grad  g   m.
Notãm f  g   c0 , c1, c2 , ... produsul polinoamelor f ºi g. Numãrul
c m  n  a n  bm este element nenul în corpul K, deci f  g este polinom
nenul. Aºadar inelul este inel integru. n
 REŢINEM!
grad  f  g   grad  f   grad  g  .
 OBSERVAŢIE
• Pentru p  m  n avem cp  0.
Rezultã cã: grad  f  g   m  n  grad  f   grad  g  .
 TEMĂ
Sã se determine suma ºi produsul polinoamelor:
a) f  1, 2,  1, 3, 0, 0, ... , g   1,  2, 1, 1, 0, 0, ... , f, g  R   ;
N
b) f   1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ... , g  1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ... , f, g  Q  N  ;




 0,
 1,
 2,
 0,
 0,
 ... , g  2,
 0,
 2,
 1,
 0,
 0,
 0,
 ... , f, g  Z  N  .
c) f  1,
3
106
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
2 Forma algebric‘ a polinoamelor
2.1. Polinoame constante
Sã considerãm mulþimea K1  a polinoamelor de forma:
N
f   a, 0, 0, ..., 0, ... , a  K.
Dacã f   a, 0, 0, ... , g   b, 0, 0, ... , a, b  K, atunci:
f  g   a  b, 0, 0, ... iar f  g   ab, 0, 0, ... .
Rezultã cã mulþimea K1  este parte stabilã a mulþimii K   în
raport cu operaþiile de adunare ºi de înmulþire a polinoamelor.
N
N
Mai mult, funcþia F : K1   K, F  f   a, unde f   a, 0, 0, ... este
N
bijectivã ºi verificã egalitãþile: F  f  g   F  f   F  g  ºi F  f  g   F  f   F  g  .
Aceste proprietãþi ne permit sã identificãm polinoamele de forma
f   a, 0, 0, ... cu elementul a  K. În acest mod mulþimea K1  se
identificã cu mulþimea K.
Polinoamele de forma f   a, 0, 0, ... le vom numi polinoame
constante.
N
Dacã x  K ºi f   a 0 , a1, ..., a n , 0, 0, ...  K   , atunci:
N
x  f   x, 0, 0, ...   a 0 , a1, ..., a n , 0, 0, ...   xa 0 , xa1, ..., xa n , 0, 0, ... , (1).
Relaþia (1) exprimã regula de înmulþire a unui polinom cu un
element din corpul K ºi anume:
Un polinom se înmulþeºte cu un element din K înmulþind fiecare
coeficient al polinomului cu acest element.
2.2. Forma algebricã a unui monom
v DEFINIÞIE
• Un polinom f  K  
coeficient nenul.
N
se numeºte monom dacã are un singur
 Exemple
 f   0, 0, 2, 0, 0, ... , g  1, 0, 0, ..., 0, ... , h   0, 1, 0, 0, ... .
Un rol important în scrierea unui polinom îl are monomul
X   0, 1, 0, 0, ... care se citeºte „nedeterminatã X“.
107
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Definim puterile nedeterminatei X în mod recurent:
X 2  X  X, X n  X n 1  X, n  2.
Se obþine:
X 2   0, 0, 1, 0, 0, ...
X 3   0, 0, 0, 1, 0, 0, ...
....................................
X n  (0, 0, ..., 0, 1, 0, 0, ...)

n zerouri
Se observã cã X 2 , X 3 , ..., X n , ... reprezintã monoame.
Pentru monomul fk  (0, 0, ..., 0, a k , 0, ...), a k  K * , avem scrierea:

k zerouri
fk  a k  (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...)  a k X k .

k zerouri
Aºadar f k  a k  X k , relaþie care reprezintã forma algebricã a
monomului fk .
Numãrul k  N reprezintã gradul monomului fk . Douã monoame
se numesc asemenea dacã au acelaºi grad.
2.3. Forma algebricã a unui polinom
Fie f  K   , f   a 0 , a1, ..., a n , 0, 0, ... , a n  K * un polinom
gradul n.
Folosind operaþiile cu polinoame avem:
f   a 0 , 0, 0, ...   0, a1, 0, 0, ...   0, 0, a 2 , 0, 0, ...  ... 
N
de


  0, 0, ..., 0, a n , 0, 0, ...   a 0  a1 X  a 2 X 2  ...  a n X n .
 

 n zerouri

Aºadar, f  a 0  a1 X  a 2 X 2  ...  a n X n , scriere care reprezintã
forma algebricã a polinoamelor de gradul n în nedeterminata X.
Rezultã cã polinomul f este o sumã de monoame.
Monomul „a n X n “ se numeºte monomul dominant al polinomului f.
Scrierea unui polinom sub formã algebricã este unicã, abstracþie
fãcând de ordinea de scriere a monoamelor.
108
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Fie f, g  K   , f  a0  a1X  a2 X 2  ...  a n X n , g  b0  b1X  b2 X 2 
N
...  bm X m , grad  f   n ºi grad  g   m. Polinoamele f ºi g sunt egale
ºi scriem f  g, dacã au acelaºi grad ºi coeficienþii respectiv egali:
m  n ºi a 0  b0 , a1  b1, a 2  b2 , ... a n  bn . În particular, polinomul
f este egal cu polinomul nul dacã toþi coeficienþii sãi sunt nuli.
Pentru mulþimea K   se va adopta notaþia K  X  pentru a pune în
evidenþã nedeterminata X.
În particular, avem mulþimile de polinoame Q  X  , R  X  , C  X  ,
N
Z p  X  , adicã mulþimile de polinoame în nedeterminata X cu coeficienþi
în corpurile Q, R, C, respectiv Z p .
Se observã cã existã incluziunile Q  X   R  X   C  X  .
2.4. Valoarea unui polinom. Funcþii polinomiale
Fie f  K  X  , f  a0  a1 X  ...  a n X n , a n  K * un polinom de gradul n.
v DEFINIÞIE
• Dacã x  K, elementul f  x   a 0  a1 x  ...  a n x n  K
valoarea polinomului f în x.
se numeºte
 Exemple
 Fie f  R  X  , f  1  X  X 2 ºi x  1, 0, 1 .
Atunci f  1  1  1  1  1, f  0   1  0  02  1, f 1  1  1  1  3.


 Fie f  C  X  , f  2  X 2  X 4 ºi x  i, i 3 .


Atunci f  i   2  1  1  2, f i 3  2  3  9  8.


 0,
  X  3X
 3 ºi x  1,
 2
 .
 Fie f  Z 5  X  , f  2

 

 f 0
  1  3
  1,
 2
 0
 0
  2,
 f 2
 2
 2
 3
 3
 4
 4
  3.

Atunci f 1  2
 OBSERVAŢIE
Dacã f, g  K  X  , atunci au loc egalitãþile:
•  f  g  x   f  x   g  x  ,  x  K;
•  f  g  x   f  x   g  x  ,  x  K;
•  f  g  x   f  x   g  x  ,  x  K.
109
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
v DEFINIÞII
• Fie f  K  X  un polinom nenul. Se numeºte funcþie polinomialã
ataºatã polinomului f, funcþia f : K  K, f  x   f  x  , x  K.
• Funcþia f : K  K se numeºte funcþie polinomialã dacã existã un

polinom g  K  X  , astfel încât f  g.
 Exemple

Funcþia f : C  C, f  z   az  b, a  C* este funcþie polinomialã ataºatã polino-
mului de gradul 1, f  C  X  , f  b  aX.
 2  3x
 2
 este funcþie polinomialã ataºatã polino
Funcþia f : Z 5  Z 5 , f  x   2x
  3X
  2X
 2.
mului f  Z 5  X  , f  2
 OBSERVAŢIE
• Dacã f  K  X  , atunci funcþia polinomialã f ataºatã lui f este unicã.
Reciproca acestei afirmaþii nu este adevãratã.
 Exemplu
 


 0
 ºi f n 1  1.
 Aºadar, pentru

Fie n  N* ºi fn  Z 2  X  , f n  X n . Atunci f n 0
oricare n  N
*
 
  0,
 f 1  1 este funcþia ataºatã pentru
funcþia f : Z 2  Z 2 , f 0
fiecare polinom fn .
În cazul în care nu existã posibilitatea unei confuzii, se va nota cu
f funcþia ataºatã polinomului f  K  X  .
3
Operaţii cu polinoame scrise sub form‘ algebric‘
3.1. Adunarea ºi înmulþirea polinoamelor
scrise sub formã algebricã
Fie p  N ºi f, g  K  X  monoame de gradul p: f  a p X p , g  bp X p .
Având în vedere modul de definire a adunãrii polinoamelor obþinem:
 f  g    a p  bp  X p , (1).
Mai general, dacã f, g  K  X  sunt polinoame de gradul n,
respectiv m:
f  a 0  a1 X  a 2 X 2  ...  a n X n ,
110
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
g  b0  b1 X  b2 X 2  ...  bm X m ,
polinomul sumã se va scrie sub forma:


f  g   a 0  b0    a1  b1  X   a2  b2  X 2  ...  a p  bp X p  ...,
(2),
cu convenþia cã a i  0, pentru i  n ºi b j  0, pentru j  m.
Relaþia (2) ne aratã cã suma a douã polinoame se face adunând
monoamele asemenea din cele douã polinoame.
 Exemple
 f  2  X  3X 2  6X 3 , g  1  2X  2X 2  X 3 .
Avem f  g   2  1  1  2  X   3  2  X 2   6  1 X 3  3  X  5X 2  5X 3 .
 f  1  X  X 2 , g  1  X  X 2  X 3 .
Avem f  g   1  1  1  1 X   1  1 X 2   0  1 X 3  0  2X  0  X 2  1  X 3  2X  X 3.
Fie f, g  K  X  , f  a p X p , g  bq X q douã monoame. Folosind definiþia înmulþirii polinoamelor se obþine: f  g  a p bq X p  q , (3), deci
produsul a douã monoame de gradul p, respectiv de gradul q este un
monom de gradul p  q.
Analog, dacã f, g  K  X  , f  a0  a1X  a2 X 2  ...  an X n , g  b0  b1X 
 b2 X 2  ...  bm X m sunt polinoame de gradul n, respectiv m, vom
obþine, cu convenþia cã a i  0, pentru i  n ºi b j  0 pentru j  m:
f  g  a 0  b0   a 0 b1  a1b0  X   a 0 b2  a1b1  a 2 b0  X 2  ... 
  a 0 bm  n  a1bm  n 1  ...  a m  n b0  X m  n , (4).
Produsul f  g este un polinom de gradul m  n. Relaþia (4), care
dã forma algebricã a polinomului produs f  g, poate fi uºor obþinutã
dacã avem în vedere înmulþirea a douã sume, scriind:

f  g  a 0  a1 X  a 2 X 2  ...  a n X n
 b  b X  b X  ...  b X  ºi
0
1
2
2
m
m
efectuând calculele, având în vedere regulile de înmulþire a douã
paranteze ºi calculele cu sume ºi produse de monoame. De asemenea,
se are în vedere cã adunarea ºi înmulþirea polinoamelor sunt comutative.
 Exemple

f  1  X  X 2 , g  1  X.


Se obþine: f  g  1  X  X 2 1  X   1  X  X  X 2  X 2  X 3  1  X 3 .

f  1  2X  X

  1  2X  X 2 1  2X  X2   1  2X  X 2  2X  4X 2  2X 3  X 2 
2 2
 2X 3  X 4  1  4 X  6X 2  4 X 3  X 4 .
111
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Exerciþiu rezolvat
 Sã se determine polinoamele f, g  C  X  de gradul 1, care verificã
egalitãþile  X  1 f   X  1 g  2X 2  2 ºi f  2   g  0  .
Soluþie
Fie f  aX  b, g  cX  d, a, c  C* . Egalitatea datã se scrie:
 X  1 aX  b    X  1 cX  d   2X 2  2.
Dupã efectuarea înmulþirilor ºi adunãrii se obþine:
 a  c  X 2   a  b  d  c  X  b  d  2X 2  0  X  2.
Egalitatea de polinoame conduce la egalitãþile:
a  c  2, a  b  d  c  0, b  d  2.
Rezultã cã c  2  a, b  a, d  2  a, a    C.
Aºadar, f  X  , g   2    X  2  .
Din condiþia f  2   g  0  se obþine   1 ºi f  X  1, g  X  1.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
a) f  Q  X  , f  2   m  1 X 2 
E1. Sã se scrie sub formã algebricã
polinomul f ºi sã se specifice
gradul acestuia:
a) f  1, 0, 1, 2, 3,  1, 0, 0, ... 

b) f  Z 3  X  , f  1  mX 
 Q  X ;
b)


 m2  m X2 ;
f   0, 0, 0, 1, 2,  1, 0, 0, ... 


c) f  Z 5  X  , f  m2  1 X 3 
 R  X ;
c)

 2m2  3m  1 X 3 ;
f   0, 1, 0, 1, 0, i,  i, 0, 0, ... 
 C  X ;



 X  2;

 m3
d) f  C  X  , f  m 2  1  2X 

 2,
  1,
 0,
 1,
 0,
 0,
 ... 
d) f  1,


 Z5  X .





 mX 2  m 3  m X 3 .
mului f  R  X  :


e) f  C  X  , f  1  m2  1 X 
E2. Sã se determine în funcþie de
parametrul m  R, gradul polinoa) f  m   m  1 X;

 m2  3m  2 X2  m2  4 X 3 ;
E4. Se considerã

2
f  C  X , f  1  X 
3
b) f  2  m2  1 X  m2  3m 
 X  X . Sã se calculeze:
 2  X2 .
a) f 1  i  , f 1  i  , f 1  i 3 ,

E3. Sã se determine gradul polinomului f, în cazurile:
112


f 1 i 3 ;

Algebr‘ • III. Inele de polinoame
b)

 
 

c) f  1  X  X 2  X 3 , g  1  X 
f 1 2 , f 1 2 , f 3  2 2 ,


 X 2  X 3  X 4 , p  2.
f 4 5 ;
1  i 
1  i 
c) f 
f
.
1

i


1  i 
E5. Sã se determine f  C  X  , astfel
încât:
a) f  a  bX, f  i   1, f 1  i   1;
E8. Sã se efectueze produsul polinoamelor f, g  C  X  :
a) f  X 2  X  1, g  X 2  X  1;
b) f  X  1, g  X 2  iX  1;
c) f  1  X  X 2  X 3 , g  1  X;
b) f  a  bX  cX 2 , f 1  f  i  
d) f  1  X   2  X  1  X  ,
 f   i   1  0.
E6. Sã se efectueze suma polinoamelor
f, g  C  X  :
f  1  X  X2  X3 , g  1  X2 
a)
g  1  X   2  X  .
E9. Sã se efectueze produsul polinoamelor f, g  Z p  X  :
 X3  X4 ;
a) f  1  X, g  1  X  X 2 , p  2;
f  1  1  i X  1  i X , g  1 
3
b)
  X  X2 , g  2
  2X
  X2 ,
b) f  2
 1  i  X  1  i  X 3 ;
p  3.
2
f  1  2iX  3X , g  1  iX 
c)
 1  i  X 3 .



  X2 X, p  5.
g  1  3X
E7. Sã se efectueze suma polinoamelor
f, g  Z p  X  :
E10. Sã se determine polinoamele f, g 
 R  X  , f  aX  b, g  cX  d, în
cazurile:
  4X
 2, g  3
  2X
 
a) f  1  3X
2


c) f  1  2X
 X  X2 ,
2
3
 X  X , p  5;


  2X
  X3 , g  5
  4X
 
b) f  2
a) X2  f  X2  1 g  X 3  1;
 3  X 4 , p  7;
 6X
b)  X  1
2
 X  f    X  g  X  X3  1.
APROFUNDARE
A1. Sã se determine parametrii pentru
care polinoamele f ºi g sunt egale:
A2. Fie

f  C  X , f  n2  1   m  n X 
2

a) f, g  Q  X , f  2  3X   m  1 X2,
 m2  1 X2. Pentru ce valori m,
g   2m  4   3X  m  1 X ;
n C polinomul f este polinom nul?


2
3
b) f,g  C  X , f  m  nX   m  n X2,
A3. Se considerã polinoamele f, g  C  X ,
f   a  b  X 3   2a  b  1 X  a  1
g  m 2  n2 X  2X 2 ;
c)


 X
  m 2
f, g  Z3  X , f  m  1
ºi


g   2a  b  1 X3  a2  b2 X 
 1  b. Pentru ce valori a, b  C
polinoamele au acelaºi grad?
 2X 2 , g  n  m2 X  m5 X2 .
113
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
A4. Fie f  C  X  , f  X 2  aX  b. Sã se
A11. Sã se determine f  C  X  , dacã:


2
b) f   X  X  1  X 4  X2  1;
c) f  1  X  1  X2   X 8  1.
determine a ºi b ºtiind cã f 1  2,
a) f  X2  2X  4  X 3  8;
f  2   8.
A5. Sã se determine f  C  X  de gradul 2
dacã f 1  f  2   0 ºi f  3   6.
A6. Sã se determine f  Z5  X de gradul 2
  
A12. Fie
demonstreze cã dacã

Sã se
f 1  z  
 f 1  z  ,  z  C, atunci f este
pãtratul unui polinom de gradul 1.
 

A13. Aflaþi polinoamele f  K  X  , în
cazurile:
 f  x  2  f  x 2  ,
a) grad  f   2 ºi
 x  K;
A8. Fie f  Z 3  X  , f  a  bX  cX 2 . Sã
se determine f ºtiind cã funcþia f
este egalã cu funcþia polinomialã
ataºatã polinomului g  Z 3  X  ,


b) grad  f   2 ºi f x2  1  f 2  x  1,
 x  K;
c) f  x  1  2f  2  x   x2  x  1,
  X  2X
 2.
g2
 x  K.
 
A9. Se considerã polinomul f  1  3X
 3  Z  X  . Sã se deter X 2  2X
5
mine polinoamele g  Z 5  X  , de

grad cel mult 3, astfel încât f  g.
A14. Sã se arate cã urmãtoarele funcþii
nu sunt funcþii polinomiale:
a) f : R  R, f  x   x ;
b) f : R  R, f  x   x 2  x ;
c) f : C  C, f  z   z  z ;
A10. Sã se determine a, b  C , astfel
g  2  bX
2
d) f : C  C, f  z   z 2  z.
f, g  C  X , f 
încât polinoamele
 a  X,
f  a  X  X2 ,
g  b  aX. Pentru ce valori ale lui
„a“ ºi „b“ existã egalitatea:
 g  X2  X  X3 ?
X  1 f  X2  2
 
 2
 ºi f 0
  3.

dacã f 1  f 3
A7. Fie f  1  aX  X 2  C  X  .
f, g  Z 3  X  ,
sã
egalitatea f  g  X  4.
verifice
A15. Sã se arate cã oricare funcþie
f : Z 3  Z 3 este funcþie polinomialã. Generalizare.
3.2. Împãrþirea polinoamelor
Fie  K, ,  un corp comutativ ºi polinoamele f, g  K  X  , g
polinom nenul.
v DEFINIÞIE
• A împãrþi polinomul f la polinomul nenul g în K  X  înseamnã a
determina polinoamele q, r  K  X  , astfel încât:
a) f  g  q  r;
b) grad  r   grad  g  .
114
(1)
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Polinomul f se numeºte deîmpãrþit, g se numeºte împãrþitor, iar
polinoamele q ºi r se numesc câtul, respectiv restul împãrþirii.
Având în vedere egalitatea f  g  q  r, se obþine egalitatea:
grad  q   grad  f   grad  g  .
În legãturã cu împãrþirea a douã polinoame în inelul K  X  se pun
câteva probleme:
• Pentru oricare douã polinoame existã un cât ºi un rest al
împãrþirii?
• Dacã existã câtul ºi restul împãrþirii, atunci acestea sunt unice?
• Prin ce algoritm se pot determina câtul ºi restul împãrþirii?
Rãspunsurile la aceste probleme sunt date de urmãtoarea
teoremã.
 TEOREMA 3 (teorema împãrþirii cu rest)
Fie f, g  K  X  , g  0. Atunci existã ºi sunt unice polinoamele
q, r  K  X  cu proprietãþile:
a) f  g  q  r;
b) grad  r   grad  g  .
Demonstraþie
Unicitatea câtului ºi restului
Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem cã existã polinoamele q1, q 2 , r1, r2  K  X  , astfel încât q1  q 2 , r1  r2 care verificã rela-
þiile: f  g  q1  r1, f  g  q 2  r2 ºi grad  r1   grad  g  , grad  r2   grad  g  .
Atunci rezultã cã f  g  q1  r1  g  q 2  r2 , relaþie din care rezultã
egalitatea g  q1  q 2   r2  r1.
Referitor la grade se obþine:
grad  g   grad  q1  q 2   grad  r2  r1   grad  g  .
Contradicþia rezultatã conduce la egalitatea q1  q 2 , ºi apoi r1  r2 .
Existenþa
Fie n  grad  f  , m  grad  g  . Deosebim cazurile:
1. Pentru n  m, avem f  0  g  f ºi se ia q  0, r  f.
2. Pentru n  m, fie f  a 0  a1 X  a 2 X 2  ...  a n X n , g  b0  b1 X 
 b2 X 2  ...  b m X m .
115
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Considerãm polinomul:
1 n  m
1
1 n  m
g1  a n  bm
X
 g  a n X n  a n bm 1  bm
 X n 1  ...  b0 a n bm
X
.
Rezultã cã polinomul f1  f  g are gradul strict mai mic decât
gradul polinomului f.
Fie f1  c0  c1 X  c2 X 2  ...  c n1 X n1 , n1  n.
1 n  m
• Dacã n1  m, avem f1  f  a n bm X n  m g sau f  a n b m
X
g  f1
1 n  m
ºi se ia q  a n bm
X
ºi r  f1.
• Dacã n1  m repetãm procedeul anterior de micºorare a gradului
1
 X n1  m  g ºi f2  f1  g 2 .
printr-o nouã scãdere, luând: g 2  c n1  bm
Evident n2  grad  f2   n1  n.
Se repetã procedeul pentru perechile de polinoame  f2 , g 2  ºi se
obþin succesiv relaþiile:
f1  f  g1
Deoarece între gradele polinoamelor
f2  f1  g 2
f, f1, f2 , ..., fp , ... existã relaþiile:
f3  f2  g 3
n  n1  n2  ...  n p  ... ºi m  1, 2, ..., n ,
..................
fp 1  fp  g p 1
atunci existã un numãr s  N* , astfel încât
..................
fs  fs 1  g s
s  m.
Adunând relaþiile anterioare, se obþine:
fs  f  g1  g 2  ...  g s , grad  fs   n s  m.
 s

Aºadar, f    g k   fs  g  q  fs , deoarece fiecare polinom g k
 k 1 
verificã egalitatea g k  g    X n k  m , cu   K.
Luând r  fs , teorema este demonstratã. n
 OBSERVAŢIE
• Teorema împãrþirii cu rest oferã un algoritm concret de determinare
a câtului ºi a restului împãrþirii a douã polinoame.
 Exemplu
 Fie f  C  X  , f  X 3  X 2  X  2, g  X 2  X  1.
Construim polinoamele g1  X 3 2  g  X  g  X 3  X 2  X.
Se obþine f1  f  g1  2X 2  2, g 2  2g  2X 2  2X  2 ºi f2  f1  g 2  2X. Cum f2
are gradul mai mic decât gradul lui g, restul va fi r  2X.
Avem f  f2  g1  g 2  f2  Xg   X  2   g  2X ºi astfel q  X  2 ºi r  2X.
116
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Algoritmul sugerat în demonstraþia teoremei poate fi aranjat sub o
formã convenabilã, urmând o cale analoagã împãrþirii cu rest a
numerelor întregi.
Se procedeazã astfel:
• Se împarte monomul dominant al deîmpãrþitului la monomul
dominant al împãrþitorului. Se obþine astfel monomul dominant al câtului.
• Se înmulþeºte monomul obþinut la cât cu împãrþitorul g ºi
produsul obþinut se scade din deîmpãrþitul f. Se obþine polinomul f1.
• Se continuã împãrþirea luând ca deîmpãrþit polinomul f1 ºi se
împarte monomul dominant al lui f1 la monomul dominant al lui g
rezultând al doilea monom al câtului.
• Se repetã procedeul anterior pânã când polinomul fs are gradul
inferior gradului polinomului g.
Polinomul fs va fi restul împãrþirii. Schema de calcul aratã astfel:
 f  : a n X n  a n 1 X n 1  ...  a1 X  a 0
b m X m  bm 1 X m 1  ...  b0
1 n 1
a n X n  a n bm 1bm
X
 ...
1 n  m
a n bm
X
 
  ...


 
al doilea
monom
al câtului
primul monom
al câtului
 f1  :
g
(câtul)
 f2  :
Restul  fs  :
 Exemplu
 Sã se împartã polinomul f  C  X  , f  X 4  X 2  1 la polinomul g  C  X  , g  X  1.
Secvenþele împãrþirii
Monomul dominant al câtului este
X
4 1
Schema împãrþirii
3
 X . Se obþine:
• f1  f  X 3 g  f  X 3  X  1  X 3  X 2  1.
• Al doilea monom al câtului este:
X 3 1  X 2 .
f 
deîmpãrþitul



X4  X2  1
4
X  X
3
3
2
X3  X2
2X
 2X, iar f3  f2  2X  g  2X  1.
• Al patrulea monom al câtului este
2X11  2, iar f4  f3  2g  3  restul.
 f2  2X 2  1
2X 2  2X
2X  1
 f3 
2X  2
3
 f4  
restul
117
g
2
X  X 
 2X 
2

 f1  X  X  1
2 1

X 1
câtul
3
Se obþine: f2  f1  X 2 g  2X 2  1.
• Al treilea monom al câtului este
împãrþitorul
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
 OBSERVAŢII
1. În cadrul algoritmului anterior, asupra coeficienþilor celor douã
polinoame f ºi g se efectueazã numai operaþii de adunare ºi înmulþire
în corpul K. Astfel, va rezulta cã polinoamele cât ºi rest vor avea
coeficienþi în corpul K.
2. Fie f, g  K  X  ºi f  gq  r, unde q este câtul, iar r este restul
împãrþirii lui f la g.
Dacã împãrþim f la g1  ag, a  K, putem scrie f  agq1  r1.


Dar f  gq  r  ag a 1q  r  agq1  r ºi din unicitatea câtului ºi
restului rezultã r1  r ºi q1  a 1q.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
împãrþit la g dã câtul q  X  2 ºi
restul r  1.
E1. Sã se efectueze împãrþirile de polinoame în C  X  :
a) f  X 3  X  1, g  X  1;
E4. Sã se efectueze împãrþirile de polinoame în C  X  :
b) f  X 4  2X 3  X  2,
g  X 2  X  1;
a) f   X  1   X  1 ,
3
c) f   X  1  X  2   X ,
3
g   X  1   X  1 ;
2
g   X  1  X  1 ;
2
c) f   X  1  X  2   X  3   X,
f) f  X4  1  i  X3  i  1, g  X2  i.
g  X  X  1 ;
d) f  X  X  i   X  2i   X  3i  ,
E2. Sã se efectueze împãrþirile de polinoame în Z p  X  :
g   X  i  X  i .
2
  2,
 g  X  3,
 p  5;
b) f  2X 4  3X
E5. Sã se efectueze în Z p  X  , împãrþirile:
 g  X 2  1,

c) f  X 5  X 4  X  1,
  , g   X  1  , p  3;
 X3
b) f   X  2
     X  4  ,
2
g   2X  1  , p  5;
2
2
c) f   X3  X  1  , g   X2  1  ,

a) f  X  2
p  2;

d) f  X 2  1

g  X  1
2
g  X2  X  1;
e) f  X 4  iX 2  X  i, g  X  1;
 g  X  2,
 p  3;
a) f  X  X  1,
2
b) f   X  1  X  2   X  1  X  2 ,
d) f  X5  X 4  X2  1, g  X 2  1;
3
3
  2  X3  2  ,
2
  1, p  3.
2
E3. Sã se determine polinomul g  C  X
p  7.
ºtiind cã f  X3  X2  X  15  C  X ,
118
3
2
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
APROFUNDARE
A1. Sã se determine câtul ºi restul
împãrþirii polinomului f la g:
 4  2,
 g  X 2  3,
 în
a) f  X 6  3X
A5. Sã se determine polinoamele de
gradul al treilea, f  R  X  , ºtiind
cã f împãrþit la X 2  X dã restul
Z5  X ;
r  X  1 ºi împãrþit la X 2  X dã
restul r1  3X  1.
(Univ. Craiova, 1997)
 4  X2  1,
 g  X4  X  1,
b) f  X8  2X
în Z 3  X  ;
 8  2X
  2,
 g  X5 
ˆ 10  3X
c) f  2X
A6. Fie
 în Z  X  .
 X 4  2,
5
f  Q  X , f  X3  3X2  aX  b.
Sã se determine a, b  Q pentru
A2. Sã se determine parametrii pentru
care restul împãrþirii polinomului
f  K  X  la g  K  X  este cel
specificat:
4
a) f  X  X  a, g  2X  1, r  0,
K  C;
care f împãrþit la X  2 dã restul 0
ºi împãrþit la X  1 dã restul 4.
(Univ. Transilvania, Braºov, 2002)
A7. Polinomul f  R  X  are coeficientul dominant 1. Sã se determine f ºi a, b  R ºtiind cã f împãrþit la X  a dã câtul X 2 
 3X  4, iar câtul împãrþirii lui f
b) f  aX 3  bX2  2, g  X2  1,
r  2X, K  R;
la X  b este X 2  4X  2.
c) f  X 3  aX2  bX  1, g  X2 
A8. Un polinom f  R  X  prin împãr-
 3X  2, r  X  1, K  Q;
  1,
 gX
d) f  X 3  aX2  2X
þirea la X  a, X  b, X  c dã câtu-
 r  1,
 KZ ;
 2,
3
rile
5
A3. Fie r restul împãrþirii polinomului
A9. Un polinom f  C  X  împãrþit la
X  1, X  1 ºi X  4 dã resturile
f  C  X , f  X4  X2  1 la polinomul
15, 7, respectiv 80.
a) Sã se afle restul r al împãrþirii
lui f la  X  1  X  1  X  4  .
b) Sã se determine:
r 1  r  2   ...  r  n 
lim
.
n  1  2  2  3  ...  n  n  1
g  X 2  2X  C  X  . Sã se arate cã
nN
este o progresie aritme-
ticã.
A4. Sã se afle restul împãrþirii polinomului f  K  X  la polinomul
 X  a   X  b  , în cazurile:
a) a  1, b  2, K  Q, f 1  3,
f  2   2;
b) a  i, b  1  i, K  C, f  i   i,
f 1  i    i;

Sã se arate cã
 b  a  q1  b    c  b  q 2  c  
  a  c  q 3  a   0.
 3  aX  b, g  2X
 2
e) f  X 4  2X
 r  X  1,
 KZ .
 1,
ºirul  r  n 
q1, q 2 , q 3 .
A10.Sã se determine f  C  X , f  X4 
 aX 3  bX 2  cX  3,
ºtiind
cã
2
împãrþit la X  1 dã restul R1,
împãrþit la X 2  1 dã restul R 2 ºi
R1  R 2  5X 2  28X  15.
(ASE, Bucureºti, 2000)
 
 b  3,
 KZ , f 1
  0,
 f 2
  1.

c) a  1,
5
119
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
A11. Se considerã polinomul f  C  X  ,
f   X  1
10
A12. Fie n  N*, P, Q, T  R  X , P  Xn 
, având forma algebricã
f  a 0  a1X  a 2 X 2  ...  a10 X10 .
a) Sã se calculeze f  0  .
b) Sã se calculeze suma coeficienþilor polinomului f.
c) Sã se arate cã a0  a2  ...  a10  29.
(Bacalaureat, august, 2002)
 X 2n 1  X 3n  2  ...  X n  n 1,
2
Q  X n 1  X n  2  ...  X  1 ºi T
restul împãrþirii lui P la Q. Dacã s
este suma pãtratelor coeficienþilor
polinomului T, atunci:
n  n  1
;
a) s  n 3  2; b) s 
2
c) s  0; d) s  n  5; e) s  16.
(ASE, Bucureºti, 2003)
3.3. Împãrþirea la X  a. Schema lui Horner
Fie f  K  X  , f  a 0  a1 X  a 2 X 2  ...  a n X n un polinom de gradul n
ºi g  X  a  K  X  .
 TEOREMA 4 (a restului)
Restul împãrþirii polinomului nenul
f  K  X ,
la polinomul
g  X  a  K  X  este egal cu valoarea f  a  a polinomului f în a.
Demonstraþie
Din teorema împãrþirii cu rest se obþine:
r  f a 
f   X  a  q  r, grad  r   1, deci r  K.
Rezultã cã f  a   0  q  a   r, de unde r  f  a  . n
Teorema restului este eficientã pentru determinarea restului
împãrþirii unui polinom prin X  a, fãrã a efectua împãrþirea.
Exerciþiu rezolvat
 Se considerã polinomul f  C  X  , f  X 2n  5X n 1  7. Sã se determine restul împãrþirii polinomului f la X  i ºtiind cã împãrþit la
X  2 dã restul 151.
Soluþie
Din teorema restului se obþine cã 151  r  f  2   22n  5  2n 1  7.
Se obþine ecuaþia exponenþialã 22n  10  2n  144  0. Se noteazã 2n  a
ºi rezultã ecuaþia a 2  10a  144  0, cu soluþiile a  8,  18 . Avem
2n  8 cu soluþia n  3. Aºadar f  X 6  5X 4  7. Restul împãrþirii lui f
la X  i este r  f  i   11.
120
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Schema lui Horner
Fie
f  K  X  , f  a 0  a1 X  a 2 X 2  ...  a n X n ,
polinom nenul de
gradul n ºi g  X  a  K  X  .
Notãm q  b0  b1 X  b2 X 2  ...  bn 1 X n 1 câtul împãrþirii polinomului f la g. Din teorema împãrþirii cu rest se obþine:


f   X  a  b0  b1 X  ...  bn 1 X n 1  r  r  ab0   b0  ab1  X 
  b1  ab2  X 2  ...   bn 1  abn  X n , (1).
Identificând coeficienþii celor douã polinoame în relaþia (1) se
obþine:
Aceste relaþii permit deducerea în mod
a n  bn 1
recursiv
a coeficienþilor câtului bn 1, bn  2 ,
a n 1  bn  2  abn 1
..., b1, b0 ºi a restului r.
a n  2  bn  3  abn  2
Avem:
............................
bn 1  a n
a 2  b1  ab2
bn  2  a n 1  abn 1
a1  b0  ab1
bn  3  a n  2  abn  2
a 0  r  ab0
..............................
b0  a1  ab1
r  a 0  ab0
În mod practic, pentru determinarea coeficienþilor bn 1, bn  2 , ...,
b1, b0 ai câtului ºi a restului r se alcãtuieºte urmãtoarea schemã:
a
Coeficienþii lui f în ordine descrescãtoare a gradelor monoamelor
an
a n 1
a n 2
a1
a0
...
bn 1  a n bn 1a  a n 1 bn  2 a  a n  2 ... b1a  a1
b0 a  a 0
r
b n 1
bn  2
bn  3
b0
...
Coeficienþii câtului
Restul
Aceastã schemã de lucru în care se opereazã numai cu elementul
a  K ºi coeficienþii polinomului f se numeºte schema lui Horner.
Schema lui Horner are la bazã relaþia de recurenþã:
bk  bk 1  a  a k 1, k  1, 2, ..., n  1 .
121
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Probleme rezolvate
 1. Sã se efectueze împãrþirea polinomului f la g, dacã:
a) f, g  Q  X  , f  X 4  3X 3  4X 2  3X  1, g  X  2;
b) f, g  R  X  , f  3X 5  4X 3  3X 2  X  5, g  X  1;
c) f, g  R  X  , f  8X 3  2X 2  X  2, g  2X  1.
Soluþie
a) Folosim schema lui Horner pentru a  2. Avem:
a2
1
—3
4
—3
1
1
1  2  3  1
1  2  4  2
22 3  1
1 2 1  3
Câtul împãrþirii este q  1  X 3   1  X 2  2X  1, iar restul r  3.
b) În acest caz avem g  X   1 , deci a  1. Schema lui Horner:
3
a = —1 3
0
3
—4
—1
—5
3·(—1) + 0 = (—3) · (—1) — 4 = (—1)· (—1) + 3 = 4 · (—1) — 1 = (—5) · (—1) — 5 =
—3
—1
4
—5
0
Se obþine q  3 X 4   3  x 3   1 X 2  4 X   5  ºi r  0.
1

c) Scriem g  2  x   . Vom împãrþi mai întâi polinomul f prin
2

1
1
X  . Alcãtuim schema lui Horner cu a  .
2
2
1
a
2
8
—2
1
2
8
2
2
3
Se obþine câtul q1  8X 2  2X  2 ºi restul r1  3. Câtul împãrþirii
1
lui f la g este q  q1  4X 2  X  1, iar restul r  r1  3 (vezi observaþia 2,
2
§3.2.)
 g  X  2.
 5  X 4  2X
 2  mX  1,
 Sã se deter 2. Fie f, g  Z3  X , f  2X

mine m  Z 3 , ºtiind cã restul împãrþirii lui f la g este r  2.
122
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Soluþie
Aflãm restul împãrþirii polinomului f la g prin schema lui Horner.
  1.

Avem a  2



m
0
1
2
1
2


m
0
m  1
a  1
2
1
1
 deci
Restul împãrþirii este r  m  1 ºi se obþine ecuaþia m  1  2,

m  1.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se determine restul împãrþirii
polinomului f  K  X  la X  a 
a) f  X 5  4X 4  3X2  X  2,
g  X  2;
 K  X  , în cazurile:
b) f  2X 4  3X 3  5X2  6X  1,
g  X  3;
a) f  X 3  2007X2  2006, a  1,
K  R;
c) f  3X 6  2X 4  2X2  X  2,
g  X  1;
b) f  2X 8  3X 7  X  1, a  1,
K  Q;
d) f  X 8  X 4  X 2  1, g  X  2;
c) f  X10  2X 4  3, a  i, K  C;
 7  4X
 6  3X
  2,
 a  2,

d) f  2X
e) f  6X 3  2X  2, g  2X  1;
K  Z5.
f) f  X 4  3X2  X  6, g  2X  1.
E2. Sã se determine m  K cu proprietatea cã polinomul f  K  X  , îm-
E4. Sã se împartã polinomul f  K  X 
pãrþit la g  X  a  K  X  dã restul
specificat:
a) f  X 3  mX 2  3X  m, a  2,
la polinomul g  K  X  prin schema
lui Horner:
a) f  X 3  X2  X  1, g  X  i,
K  C;
K  C, r  17;
b) f  X4  X3  X2  X  2, g  X  i,
b) f  X 4  mX 2  2, a   i, K  C ,
K  C;
r  3  i;
 4  2X
 3  mX  1,

 a  2,
c) f  2X
c) f  2X3  X  i, g  X  2i, K  C;

K  Z 7 , r  3.
 3  3X
  1,

 g  X  2,
d) f  X 4  2X
E3. Sã se determine câtul ºi restul
împãrþirii polinomului f  R  X  la
polinomul g  R  X  :
K  Z5;
 5  3X
 3  4X
  4,
 g  2X
 
e) f  2X
 KZ .
 1,
5
123
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
APROFUNDARE
A1. Sã se determine m  R, astfel
încât restul împãrþirii polinomului
f  C  X, la X  i sã fie numãr real,
dacã:
a) f  X 3  mX2  mX  3;
4

2
  1 se obþin resturile
 g  2X
 1,
2
 r  3.

r1  2,
2
A7. Sã se determine restul împãrþirii polinomului f  C  X , f  Xn1  3Xn  4

b) f  X  m  1 X  8i.
la X  2  C  X , ºtiind cã restul împãr-
A2. Sã se determine m  R astfel încât
restul împãrþirii polinomului f 
 R  X  , f  2X 3  mX2  X  7 la
þirii lui f la X  2 este 12.
A8. Împãrþind polinomul f  C  X  , f 
 X m  X n  1 la polinomul X 
 2  C  X  se obþine restul 13 ºi
X  2 sã fie 3.
(Univ. Transilvania, Braºov, 2002)
împãrþindu-l la X  4  C  X  se obþine restul 81. Sã se determine
restul împãrþirii lui f la X  i.
A3. Se considerã polinomul f  R X , f 
 X 4  X 3  aX  6a. Sã se determine parametrul
a  R, astfel
încât restul împãrþirii polinomului
f  X  2  la X  1 sã fie egal cu
—12.
(Univ. Transilvania, Braºov, 2002)
A4. Împãrþind polinomul f  C  X  , f 
 2X 3  mX2  nX  6 la X  3 ºi
X  1 se obþin resturi egale cu 2.
Sã se afle restul împãrþirii polinomului f la X  2.
X  a  K  X
 2  R  X , ºtiind cã restul împãrþirii
ºi
împãrþit
la
X  b  K  X
dã
câturile q1 ºi q 2 . Sã se arate cã
q1  b   q 2  a  .
A10. Sã se determine polinomul f 
 3  X  b,
 Z  X  , f  X 8  aX7  2X
3
 dã
ºtiind cã împãrþit la g  X  2
 iar q îmcâtul q ºi restul r  2,
 dã restul r  0.

pãrþit la g  X  2
A5. Sã se determine câtul ºi restul împãrþirii polinomului f  3 X 3  mX 2 
 15  R  X  la polinomul g  X 
f  K  X
A9. Polinomul
1
1
A11. Se considerã polinomul f  C  X  ,
225
acestuia la 2X  1 este r 
.
8
A6. Sã se determine a, b  Z 5  X  ºtiind cã împãrþind polinomul f 
  b, la po Z  X , f  X3  aX2  4X
5
linoamele g1, g 2  Z 5  X  , g1  X 
124
f  X4  X3  X2  X  2. Sã se determine câtul împãrþirii polinomului f
la polinomul g  X  cos   i sin  


 C  X ,    0,  , ºtiind cã restul
 2


împãrþirii este r  1  i 1  2 .
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
4 Divizibilitatea polinoamelor
4.1. Relaþia de divizibilitate pe mulþimea K  X 
Problemã rezolvatã
 Fie f, g  R  X , f  2X 3  3X 2  3X  2, g  X  1.
Sã se determine câtul ºi restul împãrþirii polinomului f la g.
Soluþie
Aplicãm schema lui Horner ºi rezultã:
2
2
a  1
3
1
3
2
2
0
Se obþine câtul q  2X 2  X  2 ºi restul r  0.


Aºadar f  g  2X 2  X  2 .
Se observã cã la aceastã împãrþire restul este polinomul nul. Ca ºi
în cazul împãrþirii numerelor întregi, împãrþirea cu rest zero constituie
un caz special.
v DEFINIÞIE
• Fie  K, ,  un corp comutativ ºi polinoamele f, g  K  X  .
Spunem cã polinomul g divide polinomul f dacã existã un polinom
h  K  X  astfel încât f  g  h, (1).
Dacã polinomul g divide polinomul f vom scrie g f (se citeºte „g
divide f“) sau f  g (se citeºte „f este divizibil cu g“).
Polinomul g se numeºte divizor al polinomului f, iar polinomul f
se numeºte multiplu al polinomului g.
 OBSERVAŢIE
• Polinomul f  K  X  se divide cu polinomul g  K  X  , g  0, dacã ºi
numai dacã restul împãrþirii lui f la g este polinomul nul.
4.2. Proprietãþi ale relaþiei de divizibilitate
Relaþia de divizibilitate pe mulþimea de polinoame K  X  are
proprietãþi asemãnãtoare cu relaþia de divizibilitate pe mulþimea Z a
numerelor întregi.
125
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
P1. Relaþia de divizibilitate pe mulþimea K  X  este reflexivã
• f
f ,  f  K  X .
Într-adevãr f  1  f, deci f
f.
P2. Relaþia de divizibilitate pe mulþimea K  X  este tranzitivã
• Dacã f, g, h  K  X  , f
g ºi g h, atunci f
h.
Într-adevãr, din ipotezã rezultã cã  u, v  K  X  , astfel încât
g  f  u ºi h  g  v. Se obþine cã h  g  v   f  u   v  f   uv  , deci f
h.
P3. Polinomul nul f  0  K  X  , este divizibil cu oricare polinom g  K  X  , deoarece 0  0  g. Se spune cã f  0 este cel mai mare
element în raport cu divizibilitatea pe K  X  .
P4. Polinoamele constante f  a, a  K* , sunt divizori pentru
orice polinom din K  X  .
P5. Dacã f, g, h  K  X  , astfel încât f
f
g ºi f
h , atunci
 ug  vh  ,  u, v  K  X  .
Într-adevãr, fie ,   K  X  , astfel încât g  f, h  f. Rezultã cã
ug  vh  u   f   v  f  f   u  v  , deci f
 ug  vh  .
v DEFINIÞIE
• Polinoamele f, g  K  X  se numesc asociate în divizibilitate ºi se
noteazã f  g, dacã f
g ºi g f.
 TEOREMA 5
Polinoamele nenule f, g  K  X  sunt asociate în divizibilitate dacã
ºi numai dacã  a  K \ 0 , astfel încât f  a  g.
Demonstraþie
Dacã f  ag, atunci g f ºi cum g  a 1  f, rezultã f
g , deci
f  g.
Reciproc, fie f  g. Atunci f
g ºi g f , deci existã u, v  K  X  ,
astfel încât f  ug ºi g  vf. Se obþine cã f  uvf ºi cum f este nenul,
rezultã cã uv  1. Aºadar u, v  K \ 0 ºi teorema este demonstratã. n
126
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
 Exemple
f, g  C  X  , f  2X 2  X  1

Polinoamele
ºi
g  4 X 2  2X  2
sunt asociate în
 4

g  X 2  3X
sunt asociate în
divizibilitate, deoarece g  2f.
 2  X 3

f, g  Z 5  X  , f  2X

divizibilitate deoarece g  3f.

Polinoamele
ºi
Probleme rezolvate
 1. Fie f  K  X . Sã se arate cã f  U  K  X  dacã ºi numai dacã f  1.
Soluþie
Presupunem
f  1.
cã
Atunci
existã
a  K *,
astfel
încât
f  a  1  a  K , deci f este un element inversabil în inelul K  X  .
*
Reciproc, fie f  U  K  X  . Rezultã cã existã g  K  X  , astfel încât
f  g  1. Atunci grad  f   grad  g   0, deci grad  f   0, ºi cum f este
nenul se obþine cã f  K * . Aºadar f  1.
6n 1
 2. Sã se arate cã polinomul f   X  1
 X 6n  2  R  X  se divide
cu polinomul g  X 2  X  1  R  X  .
Soluþie
Avem g  X 2  X  1 ºi X  1  g  X 2 . Folosind binomul lui Newton
rezultã cã:
 X  16n 1   g  X 2 

2
 C6n
6n 1g   X

6n



 C06n 1g 6n 1  C16n 1g 6n   X 2  ... 


1
2
 C6n
6n 1   X
Aºadar, f   X  1

6n 1
6n 1
6n 1
 g  h  X12n  2 , (1).
 X 6n  2  g  h  X 6n  2  X12n  2  g  h  X 6n  2 



 1   X   1   X  1 X
 X 6n  1  g  h  X 6n  2 X 3n  1 X 3n  1 , (2).
Dar, X 3n


3 n
3n  3
3

 X 3n  6  ...  X 3  1 
 X 3  1  h1, iar din relaþia (2) se obþine cã f  g  h  X 6n  2  X  1 gh1,
deci f este divizibil cu g.
127
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
4.3. Cel mai mare divizor comun al polinoamelor
v DEFINIÞIE
• Fie f, g  K  X  . Un polinom d  K  X  se numeºte un cel mai mare
divizor comun al polinoamelor f ºi g dacã:
1. d este divizor comun al lui f ºi g, adicã d f ºi d g;
2. oricare ar fi alt divizor comun d1 al polinoamelor f ºi g, atunci
d1 d.
Dacã d este un cel mai mare divizor comun pentru f ºi g, el se
noteazã c.m.m.d.c.  f, g  sau, mai simplu  f, g  .
v DEFINIÞIE
• Douã polinoame f, g  K  X  se numesc relativ prime (sau prime
între ele) dacã  f, g   1.
 TEOREMA 6
Fie f, g  K  X  douã polinoame nenule ºi D  d  K  X  d este un
c.m.m.d.c.  f, g  .
Dacã d1, d2  D, atunci d1  d2 .
Demonstraþie
Deoarece d1, d2  D,
atunci d1 d2 , dar ºi d2
condiþiei 2 din definiþia c.m.m.d.c.  f, g  . Aºadar d1  d2 . n
d1 , conform
Teorema 6 ne asigurã cã fiind date douã polinoame f, g  K  X  ,
polinomul  f, g  este unic, abstracþie fãcând de un factor multiplicativ
a  K *.
În continuare vom considera ca polinom care sã desemneze  f, g 
polinomul unitar, iar pentru polinoamele constante, polinomul
constant 1.
Rezultã cã douã polinoame f, g  K  X  sunt prime între ele dacã
 f, g   1.
128
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
 TEOREMA 7
Fie f,g  K  X  polinoame nenule ºi r  K  X  restul împãrþirii lui f
la g. Dacã existã  f, g  ºi  g, r  , atunci  f, g    g, r  .
Demonstraþie
Din teorema împãrþirii cu rest, existã q  K  X  astfel încât
f  g  q  r, grad  r   grad  g  .
• Dacã r  0, are loc relaþia f  g  q ºi  f, g   g   g, 0    g, r  .
• Fie r  0 ºi d   f, g  , d1   g, r  .
 f  gq  , deci d
Deoarece d f ºi d g rezultã cã d
d
r ºi astfel
 g, r   d1.
Din relaþia d1   g, r  ºi f  gq  r se obþine cã d1 f , deci d1 este
divizor comun pentru f ºi g. Rezultã cã d1 d ºi, astfel d1  d. n
Aceastã teoremã oferã posibilitatea calculãrii polinomului  f, g  ,
folosind polinoame de grad mai mic.
 Exemplu
Fie f, g  R  X  , f  X 4  3X 2  2, g  X 3  X.




Avem: f  g  X  2X 2  2 . Rezultã cã  f, g   g, 2X 2  2 . Aºadar problema s-a


redus la a calcula c.m.m.d.c. X 3  X,  2X 2  2 . Avem g  X 3  X  X  X  1 X  1 ºi
r  2  X  1 X  1 . Se obþine cã c.m.m.d.c.  f, g    X  1 X  1  X 2  1.
 TEOREMA 8 (de existenþã a c.m.m.d.c. pentru douã polinoame)
Fie f, g  K  X  . Atunci existã un cel mai mare divizor comun al
polinoamelor f ºi g.
Demonstraþie
a) În cazul f  g  0, polinomul nul este un c.m.m.d.c. al polinoamelor f ºi g.
b) Dacã f  0 ºi g  0, avem  f, g   f, iar dacã f  0, g  0, avem
 f, g   g.
c) Sã considerãm f ºi g polinoame nenule. Din teorema împãrþirii
cu rest, existã polinoamele q1, r1  K  X  , astfel încât:
f  gq1  r1, grad  r1   grad  g  .
129
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Conform teoremei 7 avem cã  f, g    g, r1  .
• Dacã r1  0, atunci  f, g    g, 0   g ºi teorema este demonstratã.
• Dacã r1  0, existã polinoamele q 2 , r2  K  X  , astfel încât
g  r1q 2  r2 , grad  r2   grad  r1  ºi astfel  g, r1    r1, r2  .
Pentru r2  0,  g, r1   r1 ºi astfel  f, g   r1.
În cazul în care r2  0 se continuã procedeul obþinând ºirul de
relaþii:
f  gq1  r1,
grad  r1   grad  q1 
grad  r2   grad  r1 
g  r1q 2  r2 ,
grad  r3   grad  r2 
.............................
grad  rn 1   grad  rn 
.............................
r1  r2 q 3  r3 ,
....................
rn 1  rn q n 1  rn 1,
....................
Deoarece grad  q   grad  r1   grad  r2   ...  grad  rn   ...  0, se formeazã un ºir descrescãtor de numere naturale. Rezultã cã existã p  N
astfel încât rp  0 ºi rp 1  0.
În acest caz se obþine:
 f, g    g, r1    r1, r2   ...   rp 1, rp    rp , 0   rp .
Aºadar, polinomul rp este un
c.m.m.d.c.  f, g  . n
Din demonstraþia teoremei rezultã
ºi un algoritm de determinare pentru
c.m.m.d.c.  f, g  . Acesta este ultimul rest
nenul în ºirul de polinoame:
f, g, r1, r2 , ..., rp , 0.
Acest algoritm poartã numele de
algoritmul lui Euclid de determinare a
c.m.m.d.c. pentru douã polinoame.
Problemã rezolvatã
 Sã se determine
EUCLID din Alexandria
(325-265 î.Hr.)
A fost unul dintre marii
matematicieni ai Antichitãþii,
cu rezultate în toate ramurile
matematicii.
c.m.m.d.c.  f, g 
pentru:
f, g  R  X  , f  X 4  3X 3  X 2  3X  4, g  X 3  1.
130
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Soluþie
Alcãtuim ºirul de polinoame, prin împãrþiri succesive:
f, g, r1  X 2  2X  1, r2  3X  3, r3  0.
 f, g   3  X  1 . Conform convenþiei de a desemna
c.m.m.d.c. prin polinoame unitare, avem  f, g   X  1.
Rezultã cã
 OBSERVAŢIE
• Pentru obþinerea ºirului de polinoame f, g, r1, r2 , ..., rp , 0 conteazã
doar restul împãrþirilor efectuate. Acest fapt permite simplificarea
sau înmulþirea acestora cu elemente din corpul K pentru ca
împãrþirile sã fie mai comode.
Astfel, ºirul anterior poate fi scris:
f, g, r1  X 2  2X  1, r2  X  1 , r3  0.
 TEOREMA 9 (Etienne Bezout)
Fie f, g  K  X  ºi d   f, g  .
Atunci existã polinoamele u, v  K  X  , astfel încât d  uf  vg.
Demonstraþie
Aplicând algoritmul lui Euclid se obþine ºirul de egalitãþi:
f  g  q1  r1
(1)
r1  f  gq1  1f  1g,
g  r1q 2  r2
(1 )
r2  g  r1q 2  2 f  2 g,
(2)
(1)
(2)
(2 )
r1  r2 q 3  r3
(3)
r3  r1  r2 q 3  3 f  3 g, (3)
...........................................
.............................................
rk  rk 1q k  2  rk  2 (k)
...........................................
rn  2  rn 1q n  rn  rn 1q n  d (n — 2)
Prin înlocuire din aproape în aproape se obþine: rk   k  k g, (k ),
ºi în final d  rn   n  f  n  g.
Luând u   n , v  n , teorema este demonstratã. n
131
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
 Exemplu
Pentru f, g  C  X  , f  X 4  3X 3  X 2  3X  4, g  X 3  1, din problema rezolvatã,


rezultã cã d  3  X  1  f    X  2   g  X 2  X  5 .
v DEFINIÞIE
• Fie f, g  K  X  . Un polinom m  K  X  se numeºte un cel mai mic
multiplu comun al polinoamelor f ºi g dacã:
1. f m ºi g m (m este multiplu comun pentru f ºi g);
2. oricare ar fi m1  K  X  , multiplu comun pentru f ºi g rezultã
m m1 .
Pentru un cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f ºi g se
foloseºte notaþia c.m.m.m.c  f, g  sau  f, g  .
Dacã f, g  K  X  sunt polinoame nenule ºi m este un c.m.m.m.c.  f, g  ,
atunci oricare polinom m1  m este un c.m.m.m.c.  f, g  .
Se va considera de regulã cã polinomul  f, g  este polinomul
unitar.
Pentru determinarea  f, g  se foloseºte relaþia:
f  g   f, g    f, g  , (1).
 OBSERVAŢIE
• Se poate defini c.m.m.d.c. ºi c.m.m.m.c. pentru trei, patru sau mai
multe polinoame.
Astfel:  f, g, h     f, g  , h  ºi  f, g, h    f, g  , h  etc.
Problemã rezolvatã
 Sã se determine  f, g  pentru f  X 4  3X 3  X 2  3X  4 ºi g  X3 1.
Soluþie
Din relaþia (1), f  g   f, g    f, g  , având în vedere cã  f, g   X  1 se
obþine:
 f, g    X 4  3 X 3  X 2  3 X  4  X 3  1 :  X  1   X 4  3 X 3 


 X 2  3X  4 X 2  X  1  X 6  2X 5  X 4  5X 3  2X 2  X  4.
132
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se arate cã polinomul f  C  X 
c) f  X 4  4X 3  3X2  4X  4,
se divide cu polinomul g  C  X  ºi
sã se determine câtul împãrþirii lui
f la g:
g  X 3  2X 2  5X  6, K  R;
 2  2,
 g  X2  4,

d) f  X 4  3X
K  Z5;
a) f  X4  X3  X2  X  4, g  X  1;
5
4
  2,
 g  X3  X2 
e) f  X6  X5  2X
3
b) f  2X  X  3X  4X  4,
g  X  1;
 KZ .
 X  1,
3
c) f  X  X  3X  3, g   X  1 ;
7

2
4
E4. Sã se determine parametrul m  K
pentru care polinomul f  K  X  se
   2X2  X  2 
d) f  2X2  X  2
2
2
divide cu polinomul g  K  X  :
 2X 2 , g  X2  1;
e) f  X   X  1 , g  X  X  1.
5
4
2
a) f  X3  mX2  4, g  X  2, K  Q;
b) f  X4  mX3   m  1 , g  2X  3,
E2. Sã se arate cã polinomul f  Z p  X 
K  R;
se divide cu polinomul g  Z p  X  ,

c) f  X 4  X 3  mX  m, g  X  2,
în cazurile:

 g  X2  X  2,
a) f  X 4  X2  1,
K  Z3;
p  3;
  3,

d) f  X 4  m  1 X  3m
 2  4X
  1,

 g  X  3,
b) f  X 4  3X
p  5;
 4  4X
 3  X2 
c) f  X 6  X5  3X


 KZ .
g  X  3,
5
E5. Sã se determine c.m.m.m.c. pentru
polinoamele f, g  K  X  :
  2,
 g  X2  X  3,
 p  5.
 2X
E3. Sã se determine c.m.m.d.c. al polinoamelor f, g  K  X  :
a) f  X 2  1, g  X 2  X, K  Q;
b) f  X 2  1, g  X 2  iX, K  C;
a) f  X 2  2X, g  X 3  2X  4,
K  C;
c) f  X 4  X 2  1, g  X 3  X 2  X,
b) f  X 6  1, g  X 3  X2  X  1,
K  Q;
 g  X4  2,
 KZ .
d) f  X2  X  1,
3
K  R;
APROFUNDARE
A1. Sã se determine a, b  K
pentru
care polinomul f  K  X  se divide
cu polinomul g  K  X  , în cazurile:
 2  aX  2,
 g  X  a, K  Z ;
a) f  2X
3
c) f  X 4  X 3  aX2  X  b,
 KZ ;
g  X 2  1,
3
 g  X2  a,
d) f  X  X  aX2  1,
5
3
K  Z3;
 g  2X
  1,

b) f  X 4  X 3  aX  1,
 g  X 2  bX  1,

e) f  X 4  aX 2  1,
K  Z5;
K  Z3.
133
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
A2. Fie f  R  X  , f  X2  2X  m. Sã se
determine m  R pentru care poli-

nomul g  R  X , g  f X2  2X
A6. Sã se determine polinoamele f 
 C  X  de gradul 3, ºtiind cã se
divid cu X  1, iar la împãrþirea cu
X  2, X  3, X  4 resturile sunt
egale.
 se
divide cu f.
(Univ. Tehnicã Cluj-Napoca, 2000)
A7. Fie f, g  R  X , f  aX3  bX2  cX 
*
A3. Pentru n  N se considerã polinoamele f  X  X  1
2n 1
 d, g  3aX2  2bX  c, a  R * . Sã
se demonstreze cã dacã polinomul
f se divide cu g, atunci f ºi g sunt
puteri ale unui polinom de grad 1.
  m  1 X 
n
 R  X  , g  X2  X  1  R  X . Dacã
M  m  R

f divizibil cu g ºi S 
A8. Fie f, g  R  X  , f  X 3  4X2  X 
 m , atunci:
2
 m, g  X 3  7X  m. Sã se deter-
mM
a) S  1;
d) S  4;
b) S  2; c) S  3;
e) S  5.
(ASE Bucureºti, 2005)
A4. Sã se determine m  R ºtiind cã
polinom de gradul 1.
A9. Se dau polinoamele f, g  Q  X , f 
 X 3  X2  ax  b, g  X 3  X2 
polinomul f  R  X , f  X3  3mX2 

 X  1. Sã se determine a, b  Q

 4 m2  1 X  m3  5 se divide cu
 f, g  are
gradul 2 ºi sã se afle apoi  f, g  .
pentru care polinomul
g  X  1  R  X .
A5. Sã se determine a, b, c  C, astfel
încât polinomul
f  C  X
A10. Fie f, g  Z 3  X  , f  X 3  X 2  a,
 Sã se determine:
g  X 3  X  2.
sã se
dividã cu g  C  X  :
a) valorile lui a  Z 3 pentru care
polinomul  f, g  are gradul 1;
a) f  X 4  3X 3  bX2  aX  b,
b) c.m.m.m.c.  f, g  pentru „a“ deter-
g  X2  1;
minat.
b) f  aX 3  bX2  73X  102,
A11. Sã se arate cã polinomul
g  X2  5X  6;

f  1  X  X2  ...  X n
c) f  aX 3  bX2  37X  14,
2
 X 2  ...  X n 1  Q  X  .
d) f  X4  aX3  iX2  b, g  X2  i;
e) f  X 4  aX 3  bX2  cX  8,
  Xn 
 Q  X  se divide cu g  1  X 
g  X2  X  2;

 f, g  este
mine m  R ºtiind cã
A12. Sã se arate cã polinomul f  C  X 
se divide cu g  C  X  , în cazurile:

g   X  1 X2  bX  8 ;

a) f  X 2  X  1
f) f  X5  aX4  2X3  bX2  3X 

 X2  X  1
 c, g  X 3  1.
134


4n 1
4n 1

, g  X2  1;
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
b) f   X  1
n2
A14. Sã se determine a, b  C ºi pro-
 X2n 1,
dusul polinoamelor f, g  C  X ºti-
g  X2  X  1;
c) f   X  1
2n 1
  X
n2
ind cã
,
 X 4  aX 3  8X  b.
g  X2  X  1;
d) f   X  1
3n  2
A15. Pentru care valori ale lui n  N*
polinoamele f, g  C  X  , f  X  i,
 X  2,
g  X2  3X  3.
g  1  X  X2  ...  X n sunt prime
între ele?
A13. Se considerã polinomul f  X m 
  X  1
m
 f, g   X2  2X ºi  f, g  
 1  R  X . Pentru ce va-
A16. Sã se determine f, g  R  X  , ºti-
lori m  N* polinomul f este divizibil cu g  X2  X  1  R  X  ?
ind cã f  1  3, g  0  1 ºi  f, g  
 X2  1,  f, g   X 4  3X 3  3X2 
 3X  2.
5 Descompunerea polinoamelor în factori ireductibili
5.1. Rãdãcini ale polinoamelor
Fie f  K  X  un polinom nenul.
v DEFINIÞIE
• Elementul   K se numeºte rãdãcinã a polinomului f  K  X  dacã
f     0.
 Exemple

Polinomul de gradul 1, f  C  X  , f  aX  b, are rãdãcina reprezentatã de numãrul
complex   
b
.
a

Pentru polinomul de gradul 2, f  C  X  , f  aX 2  bX  c, rãdãcinile sunt date de
formulele: 1,2 
b  
 b  i 
, dacã   b2  4ac  0, respectiv 1,2 
, dacã
2a
2a
  0.
Urmãtoarea teoremã pune în evidenþã o legãturã între rãdãcinile
unui polinom f  K  X  ºi divizibilitatea polinoamelor pe mulþimea K  X  .
135
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
 TEOREMA 10 (E. Bezout)
Fie f, g  K  X  ºi   K. Atunci:
a)  este rãdãcinã a polinomului f dacã ºi numai dacã f se divide
cu polinomul X    K  X  ;
b) dacã f se divide cu polinomul nenul g ºi  este rãdãcinã a lui
g, rezultã cã  este rãdãcinã a lui f.
Demonstraþie
a) Fie   K ºi X    K  X  . Din teorema împãrþirii cu rest rezultã
cã
existã
h
ºi
r  K X
astfel
încât
f  h   X     r, r  K, (1).
Din teorema restului rezultã cã r  f   
ºi relaþia (1) se scrie f   X     h  f    ,
(2).
Din relaþia (2) rezultã cã dacã  este
rãdãcinã pentru f, atunci f     0 ºi
Etienne BEZOUT (1730-1783)
f   X     h, deci f se divide cu X  .
matematician francez
Reciproc, dacã f se divide cu X  ,
A stabilit unele rezultate
importante în teoria ecuaþiilor
din relaþia (2) se obþine cã f     0.
algebrice ºi teoria numerelor.
b) Dacã f se divide cu g, atunci existã
h  K  X  , astfel încât f  g  h. Rezultã cã f     g     h     0, deci 
este rãdãcinã a polinomului f. n
Problemã rezolvatã
 Fie f, g  C  X  , f  X 3  3X 2  aX  b, g  X 2  3X  2. Sã se determine a, b  C pentru care polinomul f se divide cu g. Sã se afle
apoi rãdãcinile lui f.
Soluþie
Rãdãcinile polinomului g sunt
date de ecuaþia x 2  3x  2  0.
Se obþine x1  2, x 2  1.
Se impun condiþiile f  2   0 ºi
f 1  0.
 TEMĂ
Fie
f, g  K  X , f  X4  X2 
 aX  b. Pentru ce valori ale lui
a, b  K, polinomul f se divide
cu g, dacã:
a) g  X 2  1, K  R;
 KZ ;
b) g  X 2  1,
3
c) g  X 2  1, K  C ?
a  b  4
a  16
cu soluþia 
.
Rezultã sistemul 
2a  b  20
 b  12
136
Algebr‘ • III. Inele de polinoame


Se obþine f  X 3  3X 2  16X  12  X 2  3X  2  X  6  , iar rãdãcinile lui f sunt x1  2, x 2  1, x 3  6.
5.2. Rãdãcini multiple ale unui polinom
v DEFINIÞII
• Fie f  K  X  un polinom nenul ºi m  N* . Elementul   K se
numeºte rãdãcinã multiplã de ordinul m dacã polinomul f se divide
m 1
.
cu  X    , dar nu se divide cu  X   
• Numãrul m se numeºte ordinul de multiplicitate al rãdãcinii .
• Dacã m  1, rãdãcina  se numeºte rãdãcinã simplã. Dacã
m  2, 3, ... rãdãcina  se numeºte rãdãcinã dublã, triplã, ... .
Aºadar, dacã   K este rãdãcinã multiplã de ordinul m,
m
polinomul f se poate scrie sub forma f   X   
g     K * .
m
 g, unde g  K  X  ºi
Problemã rezolvatã

Fie f  R  X  , f  X 3  aX  b. Sã se determine a, b  R, ºtiind cã
  1 este rãdãcinã dublã pentru f.
Soluþia 1 (metoda coeficienþilor nedeterminaþi):
Deoarece   1 este rãdãcinã dublã, polinomul f se divide cu
 X   2 . Avem f   X  12  X  c   X 3  X 2  c  2   X 1  2c   c  X 3 
 aX  b.
Folosind egalitatea polinoamelor, prin identificarea coeficienþilor
monoamelor asemenea, rezultã: c  2, a  1  2c, b  c, deci a  3, b  2
ºi f   X  1  X  2  . Rãdãcinile lui f sunt 1  2  1 ºi 3  2.
2
Soluþia 2
Dacã   1 este rãdãcinã dublã a polinomului f, atunci f se divide
cu  X  1 . Efectuãm prin schema lui Horner împãrþirea polinomului f
cu X  1 ºi a câtului rezultat cu X  1. Avem:
1
0
a
b
a  b  1  r1
 1
1
1
a 1
a  3  r2
 1
1
2
2
137
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Resturile sunt r1  a  b  1 ºi r2  a  3. Punând condiþia r1  r2  0,
se obþine a  3 ºi b  2.
 OBSERVAŢIE
• Considerând funcþia polinomialã asociatã
lui f,   1 este rãdãcinã dublã dacã f 1 
 0 ºi f  1  0. Cu aceastã observaþie se
obþine f 1  1  a  b  0 ºi f 1  3  a  0,
cu soluþiile a  3, b  2.
 TEMĂ
Pentru ce valori a  R
polinomul f  X 3  3X2 
 aX  b  R  X  are rãdãcinã dublã
triplã?
  1?
Dar
5.3. Ecuaþii algebrice
Fie  K, ,  un corp comutativ ºi f  K  X  un polinom de gradul
n, n  N* .
v DEFINIÞIE
• O ecuaþie de forma f  x   0 se numeºte ecuaþie algebricã de gradul n
cu coeficienþi în K ºi necunoscuta x.
Dacã f  a 0  a1 X  a 2 X 2  ...  a n X n  K  X  , ecuaþia algebricã de
gradul n are forma a n x n  a n 1x n 1  ...  a1x  a 0  0, (1).
Numerele a 0 , a1, ..., a n  K se numesc coeficienþii ecuaþiei, iar n
se numeºte gradul ecuaþiei.
Elementul   K cu proprietatea cã f     0 se numeºte soluþie a
ecuaþiei.
În legãturã cu ecuaþiile algebrice sunt studiate câteva probleme
importante.
1. Existenþa soluþiilor în corpul K.
2. Numãrul soluþiilor ecuaþiei în corpul K.
3. Existenþa unor formule generale de rezolvare a ecuaþiilor algebrice de diferite grade.
În cazul corpului C al numerelor complexe au fost demonstrate
câteva proprietãþi generale care rezolvã cele trei probleme puse.
138
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
 TEOREMA 11 (teorema fundamentalã a algebrei)
O ecuaþie algebricã de grad cel puþin 1 cu coeficienþi complecºi
admite cel puþin o soluþie complexã.
Aceastã teoremã a fost datã de cãtre matematicienii J. L. D’Alembert
ºi C. Gauss.
Problema 3 a fost rezolvatã de matematicienii N. Abel ºi A. Ruffini.
 TEOREMA 12 (Abel-Ruffini)
Fie a n x n  a n 1x n 1  ...  a1x  a 0  0,
a n  0 o ecuaþie algebricã de grad
n  5, cu coeficienþi în C. Atunci nu
existã o formulã generalã de rezolvare
a acestei ecuaþii în care sã aparã
numai coeficienþii a 0 , a1, ..., a n  C.
 OBSERVAŢII
• Din teorema fundamentalã a algebrei
rezultã cã o ecuaþie algebricã de gradul
n  N* cu coeficienþi complecºi are exact
n soluþii complexe.
• Deoarece polinomul f  C  X  , de gradul
Niels Heinrik ABEL
(1802-1829)
matematician norvegian
A adus contribuþii importante în teoria ecuaþiilor algebrice, teoria calculului diferenþial ºi integral.
n  N* , are exact n rãdãcini complexe, rezultã cã el nu poate lua
valoarea zero decât de n ori. Astfel, dacã polinomul se anuleazã de
mai mult de n ori, atunci el este polinom nul.
Problemã rezolvatã
 Fie f  C  X , cu proprietatea cã f     f    1 ,    C. Sã se
arate cã f este polinom constant.
Soluþie
Pentru   0, 1, 2, ..., se obþine cã f  0   f 1  f  2   ... .
Notãm a  f  0   f 1  ... valoarea comunã ºi fie g  f    C  X  .
Atunci 0  g  0   g 1  g  2   ..., deci polinomul g are o infinitate de
rãdãcini. Rezultã cã el este polinom nul ºi astfel f    C.
139
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
5.4. Polinoame ireductibile în K  X 
Fie  K, ,  un corp comutativ.
v DEFINIÞII
• Polinomul nenul f  K  X  se numeºte reductibil peste corpul K
dacã existã polinoamele g, h  K  X  de grad cel puþin 1, astfel încât
f  g  h.
• Un polinom f  K  X  cu grad  f   1, care nu este reductibil peste K,
se numeºte ireductibil peste K.
 OBSERVAŢII
1. Orice polinom de gradul 1 din K  X  este polinom ireductibil peste K.
2. Dacã un polinom f  K  X  , de grad cel puþin 2 este ireductibil peste
K, atunci el nu are rãdãcini în K.
Într-adevãr, dacã f ar avea elementul   K rãdãcinã, atunci f se divide cu X   ºi am putea scrie f   X     g, deci f nu ar fi ireductibil.
3. Dacã polinomul f  K  X  are gradul 2 sau 3 ºi nu admite rãdãcini în
K, atunci el este polinom ireductibil peste K.
Într-adevãr, dacã f ar fi reductibil peste K, atunci el s-ar scrie sub
forma f  g  h, unde g sau h ar avea gradul 1. Dacã g  aX  b,


atunci g  ba 1  0 ºi se contrazice ipoteza cã f nu are rãdãcini în K.
 Exemple

Polinomul f  X 2  2  Q  X  este ireductibil peste Q. Dacã f ar fi reductibil peste Q,
atunci el ar avea o rãdãcinã   Q. Dar f     0 conduce la 2  2, deci

   2, 2
 ceea ce nu se poate.



 este reductibil peste Z deoarece f 2

Polinomul f  Z 3  X  ,f  X 3  2
    0 ºi
3
 3 , dar este ireductibil peste Z , deoarece f  a   0,
  aZ .
f  X  2

7
7

Polinomul f  X 2  2  R  X  este reductibil peste R deoarece f  X  2 X  2 .
Dupã cum s-a observat din exemplele anterioare, descompunerea
în factori ireductibili depinde de corpul K în care polinomul are
coeficienþii.
140
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Cazul K  C
Fie f  C  X  un polinom nenul de grad n, n  N* . Dacã n  2, din
teorema fundamentalã a algebrei rezultã cã f are cel puþin o rãdãcinã
  C, iar din teorema lui Bezout se obþine cã f se divide cu polinomul
g  X    C  X  . Aºadar f nu este ireductibil pentru n  2.
În concluzie, un polinom nenul f  C  X  este ireductibil peste C
dacã ºi numai dacã are gradul 1.
Cazul K  R
Dacã f  R  X  este un polinom nenul, el este ireductibil numai în
urmãtoarele douã cazuri:
• f are gradul 1;
• f are gradul 2 ºi nu are rãdãcini reale.
Rezultã cã orice polinom f  R  X  de grad n, n  3, este polinom
reductibil peste R, deci el se poate scrie ca produs de polinoame de
grad cel puþin 1.
Cazul K  Q ºi K  Z p , p prim
În inelele de polinoame Q  X  ºi Zp  X  existã polinoame ireductibile
de orice grad n, n  N* . De exemplu f  X n  2  Q  X  este ireductibil
peste Q.
5.5. Descompunerea polinoamelor în factori ireductibili
 TEOREMA 13
Fie K un corp comutativ ºi f  K  X  un polinom de grad n  N* .
Au loc urmãtoarele rezultate:
a) Polinomul f se descompune într-un produs finit de polinoame
ireductibile peste K.
b) Dacã f  f1  f2  ...  fm  g1  g 2  ...  g k sunt douã descompuneri în
produs de polinoame ireductibile ale lui f, atunci m  k ºi existã
o permutare   S m cu proprietatea cã fi  g   i  , i  1, 2, ..., m .
Demonstraþie
a) Folosim inducþia matematicã.
Dacã n  1, atunci f este ireductibil peste K ºi afirmaþia este
adevãratã.
Presupunem n  1 ºi cã afirmaþia este adevãratã pentru
polinoame de grad mai mic decât n. Dacã f este ireductibil peste K,
141
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
atunci demonstraþia este încheiatã. În caz contrar, existã g, h  K  X 
astfel încât f  g  h ºi grad  g   n, grad  h   n. Din ipoteza de inducþie,
polinoamele g ºi h se scriu ca produs finit de polinoame ireductibile
peste K, deci f  g  h este produs de polinoame ireductibile peste K.
b) Demonstraþia rãmâne temã. n
Teorema anterioarã demonstreazã numai existenþa ºi unicitatea
descompunerii în produs de polinoame ireductibile, dar nu oferã ºi o
modalitate concretã de gãsire a acesteia.
În cazul inelului C  X  existã o legãturã directã între descompunerea în factori ireductibili ºi rãdãcinile polinomului.
 TEOREMA 14
Fie f  C  X  , f  a 0  a1 X  a 2 X 2  ...  a n X n un polinom de grad
n  N* .
a) Dacã 1, 2 , ...,  n  C sunt rãdãcinile polinomului, atunci:
f  a n  X  1  X  2  ...  X   n  .
b) Dacã 1, 2 , ...,  k  C sunt rãdãcinile distincte ale polino-
mului f, cu multiplicitãþile m1, m 2 , ..., m k  N* , atunci:
f  a n  X  1  1  X  2 
m
m2
...  X   k 
mk
.
Demonstraþie
a) Dacã 1  C este rãdãcinã a lui f, atunci f se divide cu X  1,
deci existã g  C  X  astfel încât f   X  1  g.
Deoarece 2 este rãdãcinã a polinomului f, se observã uºor cã
trebuie sã fie rãdãcinã pentru g. Aºadar g se divide cu X  2 .
Rezultã cã existã g1  C  X  cu proprietatea cã g   X  2  g1, iar
f   X  1  X  2  g1.
Se continuã raþionamentul pentru 3 ºi g1,  4 ºi g 2 etc., ºi se
obþine în final descompunerea doritã.
b) Demonstraþia rãmâne temã. n
Dacã f  R  X  , atunci f poate fi privit ºi ca element al inelului
C  X  , deci el va avea rãdãcinile complexe 1, 2 , ...,  n  C.
142
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Fie 1, 2 , ...,  k  R rãdãcinile reale ale lui f. Atunci f se divide în
R  X  cu polinomul g   X  1  1  X  2 
m
m2
...  X   k 
mk
, unde m1,
m 2 , ..., m k  N sunt multiplicitãþile rãdãcinilor 1, 2 , ...,  k . Rezultã
*
cã f se scrie sub forma f  g  h, unde h  R  X  ºi h nu are rãdãcini
reale, ci numai rãdãcini z k  a k  bk i  C \ R. Dar, se observã uºor cã
 
dacã h  z k   0, atunci ºi h z k  0 ºi astfel polinomul h se divide cu


h k   X  z k  X  z k  X 2  2a k X  a 2k  b2k  R  X  .
În concluzie, polinomul f  R  X  va avea urmãtoarea descompunere în polinoame ireductibile:
f  a n  X  1  1 ...  X   k 
m
mk
 X  a X  b  ...  X  a X  b  ,
2
n1
1
2
1
np
p
p
unde m1, m 2 , ..., m k , n1, n2 , ..., n p  N* ºi 1, 2 , ...,  k  R sunt rãdãcinile reale ale lui f, iar polinoamele X 2  a s X  bs , s  1, 2, ..., p nu au
rãdãcini reale.
Probleme rezolvate

1. Sã se descompunã în factori ireductibili peste corpurile Q, R, C,
polinoamele:
a) f  X 4  X 2  1;
b) f  X 5  X 4  X 3  X 2  2X  2.
Soluþie



2


a) Avem f  X4  2X2  1  X2  X2  1  X2  X2  X  1 X2  X  1 .
Aceasta este descompunerea lui f în factori ireductibili peste Q ºi R.


Peste corpul C f are descompunerea f   X    X  2  X  1  X  2  ,
unde  este o rãdãcinã a polinomului X  X  1, iar 1, 2 sunt rã2
dãcinile polinomului X 2  X  1.
b) Se observã cã f  1  0, deci f se divide cu X  1.
Folosind schema lui Horner se obþine:





f   X  1 X 4  X 2  2   X  1 X 2  1 X 2  2 .
Rezultã cã f are urmãtoarele descompuneri:



• f   X  1  X 2  1  X  2  X  2  peste R;
• f   X  1 X  i  X  i   X  2  X  2  peste C.
• f   X  1 X 2  1 X 2  2 peste Q;
143
Algebr‘ • III. Inele de polinoame

2. Sã se determine c.m.m.d.c. ºi c.m.m.m.c. pentru polinoamele:





f, g  Q  X  , f   X  1 X 2  1  X  2  , g  X 2  3X  2 X 2  4 .
2
Soluþie
Vom descompune în factori ireductibili cele douã polinoame.
Avem f   X  1  X  1 X  2  ºi g   X  1 X  2  X  2  X  2  
2
2
  X  1 X  2   X  2  .
Folosind descompunerile în factori ireductibili se obþine:
 f, g    X  1 X  2  (se aleg factorii ireductibili comuni la puterea
2
cea mai micã), iar  f, g    X  1  X  1 X  2   X  2 
comuni ºi necomuni la puterea cea mai mare).
2
2
2
(se aleg factorii
REÞINEM!
Dacã polinoamele f, g  K  X  sunt descompuse în produse de
factori ireductibili, atunci:
•  f, g  este produsul factorilor ireductibili comuni, luaþi la puterea cea mai micã;
•  f, g  este produsul factorilor ireductibili comuni sau necomuni,
luaþi la puterea cea mai mare.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se determine care dintre elementele specificate sunt rãdãcini
ale polinomului f:
a) f  X2  X  1


  1, i, 1  3 ;
5
b) f  X  X  X 3  X 2  X  1 

1  i 3 
 C  X  ,    1,
;
2


  Z  X ,
c) f  X 6  6

4
7
 2X  1 4 ;
  X 2  1 ;
2
3
c) f   X2  X  2   2X2  3X  1 
2
  X 2  1 .
b) f  X 2 X 2  X
a) f  X 3  3X 2  2  C  X  ,

3
3
2
E3. Sã se determine a, b  Z p astfel
încât polinomul f  Z p  X  sã admitã rãdãcinile indicate ºi sã se afle
apoi celelalte rãdãcini ale lui f:

a) f  X 3  X 2  a, p  3,   2;

 2,
 3,
 4,
 5,
 6
 .
  1,
E2. Sã se determine pentru polinomul
f  R  X  rãdãcinile ºi ordinul de
multiplicitate al acestora:
144
 p  5,   3;

b) f  X 4  aX 2  1,
 2  aX  b, p  3,
c) f  X 4  2X
 
 2
 .
  1,
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
E4. Sã se arate cã polinomul f  K  X 
admite rãdãcina dublã indicatã ºi
apoi sã se afle celelalte rãdãcini
ale lui f:
a) f  X 3  3X  2, K  Q,   1;
 22
  Z  X ;
f) f  X 3  4X
7
g) f  X 3  X 2  X  1  Z 3  X  .
E6. Fie f  C  X  , f  X 4   m  n  X 3 
 X 2  mX  n  1. Sã se determine
rãdãcinile polinomului f, ºtiind cã
1  1 ºi 2  2 sunt rãdãcini
ale acestuia.
b) f  X 4  6X 3  13X2  12X  4,
K  Q,   2;
c) f  X 4  2iX 3  5X2  8iX  4,
K  C,   i;
 2  2X
  4,

d) f  X 4  X 3  3X

K  Z ,   2.
E7. Sã se determine c.m.m.d.c.
c.m.m.m.c. al polinoamelor:
a) f   X  1
5

E5. Sã se descompunã în factori ireductibili polinoamele:
g  X2  1
3
ºi
 X  1 4  X  2  X  3  ,
  X  1 5  X 2  4  ,
2
f, g  Q  X  ;
a) f  X 4  3X 3  2X 2  R  X  ;
b) f  X 6  1  C  X  ;
b) f   X  i 
c) f  X 5  X  C  X  ;
g  X2  1
d) f  X 4  3X 2  4  C  X  ;
c) f  X 6  1, g  X9  1, f, g  R  X .

e) f  X  1  Z 2  X  ;
3
 X  i 2  X  12 ,
  X2  1 , f, g  C  X  ;
2
2
APROFUNDARE
a) f   X  1  X  2   X  a  ;
A1. Sã se determine rãdãcinile polinomului f în condiþiile date:

b) f   X  1  X  3   X  a   X  6a  ;

a) f  R  X  , f  2  3 X 3  3X 2 



c) f  X 2  1
 1  2 3 X  3 3, ºtiind cã are o
rãdãcinã raþionalã;
b) f  C  X , f  2X3   i  5 X2  2iX 
 3  1  i  , ºtiind cã are o rãdãcinã
realã;
   X2  a  .
2
2
A3. Sã se rezolve ecuaþiile în C ºtiind
cã au soluþiile indicate:
a) x 3  3x 2  x  2  0, x1  2;
b) x 4  2x 3  4x 2  2x  3  0,
x1  i, x 2   i;
c) f  C  X  , f  1  2i  X 2 
  2m  i  X   3  mi  , dacã m  R
ºi f are o rãdãcinã realã;
c) z 4  3z3  z2  4  0, z1  2 soluþie dublã;
d) f  C  X  , f  X 3   3  i  X 2 
d) z 5  z 4  4z 2  7z  3  0, z1  1
soluþie triplã.
 3X  m  i, dacã m  R ºi f are o
rãdãcinã realã.
A2. Sã se determine a  C ºtiind cã
polinomul f  C  X  admite rãdãcini reale duble:
A4. Sã se determine
145
mR
pentru
care polinomul f  C  X  , f  X 4 
 mX 3  X 2  m  1
are
rãdãcinã
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
dublã   2. Sã se afle apoi celelalte rãdãcini ale polinomului.
A12. Sã se determine polinoamele de
gradul 4 ireductibile în Z 2  X  .
A5. Sã se afle rãdãcinile polinomului
A13. Sã se afle valoarea parametrului „a“
pentru care polinomul f  Z p  X 
f  C  X  , f  X  X  aX  bX  c
5
4
3
este ireductibil:
 3  a2
 X  1,
 p  3;
a) f  2X
ºtiind cã are rãdãcina triplã   1.

A6. Sã se determine a  R ºtiind cã
polinomul f  R  X  are rãdãcinã
realã dublã:
a) f  X 3  5X 2  8X  a;

a) f  X 8  X 4  1  Q  X  ;
c) f  X 3  aX2  7X  3.
A7. Sã se determine parametrii ºtiind
cã polinomul f  R  X  are o rãdãcinã triplã. Sã se descompunã apoi
în factori ireductibili polinomul f:
2
3
2

 p  5.
c) f  X 4  aX2  a  1 X  2,
A14. Sã se descompunã în factori ireductibili polinoamele:
b) f  X 3  2X 2  aX  8;
3

 p  7;
b) f  X  aX  5,
6
  Z  X ;
b) f  X 8  1,
2
c) f  X 9  1  Z 3  X  .
A15. Fie
a) f  X  6X  aX  b;
f  X 3  bX 2  cX  a  Q  X  ,
astfel încât a, b, c  Z ºi ab  ac
este numãr impar. Sã se arate cã f
este ireductibil peste Z.
b) f  X  aX  3X  b;
c) f  X 4  5X 3  9X2  bX  a.
A8. Sã se determine a  Z 3 pentru care
A16. Sã se arate cã polinomul:
f   X  1  X  2   X  3   1  Q  X 
polinomul f  Z 3  X , f  X3  aX2 
este polinom ireductibil peste Z.
 X  a are trei rãdãcini în
 a2
A17. Fie p numãr prim. Sã se descompunã în factori ireductibili poli-


nomul f  X p  a  Z p  X  .
Z3.
A9. Se considerã polinomul f  X 2n 
 4X n 1  5X n  4X  4  R  X  .
Dacã   2 este rãdãcinã a lui f, sã
se determine ordinul sãu de multiplicitate.
A10. Sã se determine f  Z p  X  de gra-
A18. Sã se arate cã polinomul
f   X  1
ductibile f  Z 3  X  , f  aX 3  bX 

 2.
f  Q  X ,
 X  2   ...   X  n  n  1
2
este ireductibil peste Z.
A19. Se considerã polinomul f  R  X 
astfel încât f 1  f  2  ...  f  n  
 n 3 ,  n  N* . Sã se determine
rãdãcinile polinomului f ºi sã se
descompunã în factori ireductibili
peste R.
 este rãdãdul 4, ºtiind cã x  2
cinã triplã în cazurile p  2, 3 .
A11. Sã se determine polinoamele ire-
2
A20. Sã se determine f  R  X  ºi sã se
descompunã în factori, ºtiind cã
 x  3 f  x    x  1 f  x  1 ,  x  R.
146
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
 
 
 3
 .
e) A   0,

 4
 ;
ii) a) B  1  ; b) B  1,

 3
 ; d) B  1,
c) B  2,

  2  ;
 .
e) B   4

 2
A21. Fie f  Z5  X , f  X4  mX3  2X
  1.
 Dacã A  m  Z
 4X
5
 2
 ; d) A  2,
 3
 ;
c) A  1,
f are
douã rãdãcini distincte în Z 5  ºi

B  m  Z5
 4
 are
g  f  3X
rãdãcinã triplã în Z 5  atunci:
 
 
 1 ; b) A  1,
 4
 ;
i) a) A  0,
(ASE, Bucureºti, iulie, 2000)
6 Relaţiile lui Viète
Fie f  C  X  , f  a 0 X 2  a1 X  a 2 un polinom de gradul al doilea.
Dacã z1, z 2  C sunt rãdãcinile polinomului f, atunci acesta are
descompunerea în factori ireductibili:
f  a 0  X  z1  X  z 2  , (1).
Efectuând produsul în relaþia (1) obþinem cã:
f  a 0 X 2  a 0  z1  z2  X  a 0 z1z2 , (2).
Din identificarea celor douã exprimãri ale polinomului f obþinem
relaþiile între rãdãcinile ºi coeficienþii acestuia:
a1

 z1  z 2   a

0
,

a
2
z  z 
 1 2 a 0
(relaþiile lui Viète pentru polinomul de gradul 2).
În mod analog, pentru un polinom de gradul trei, f  C  X  ,
f  a 0 X 3  a1 X 2  a 2 X  a 3 , avem descompunerea în factori ireductibili
f  a 0  X  z1  X  z 2   X  z 3  , unde z1, z 2 , z 3  C sunt rãdãcinile
polinomului.
Din egalitatea a 0 X 3  a1 X 2  a 2 X  a 3  a 0  X  z1  X  z 2   X  z 3 
se obþine cã a 0 X 3  a1 X 2  a 2 X  a 3  a 0 X 3  a 0  z1  z 2  z 3  X 2 
 a 0  z1z 2  z1z 3  z 2 z 3  X  a 0 z1z 2 z 3 , (3).
147
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Din identificarea coeficienþilor se obþin relaþiile:

a1
 z1  z 2  z 3  
a0


a2
, numite relaþiile
 z1z 2  z1z 3  z 2 z 3 
a0


a
 z1z 2 z 3   3
a0

lui Viète pentru polinomul de gradul 3.
François VIÈTE (1540-1603)
Mai general, procedând în mod
matematician francez
analog pentru un polinom f  C  X  ,
Este unul dintre creatorii
f  a0 X n  a1 X n 1  ...  a n 1 X  a n , a0  C* , algebrei având rezultate imporcu rãdãcinile z1, z 2 , ..., z n  C, se obþin tante în domeniul trigonometriei ºi geometriei analitice.
relaþiile lui Viète:
a1

s1  z1  z 2  ...  z n   a
0

a2

s2  z1z 2  z1z 3  ...  z1z n  z 2 z 3  ...  z n 1z n  a
0

.............................................
.
S 
k ak
s  z z ...z  z z ...z
1 2
k
1 3
k 1  ...  z n  k 1  ...  z n 1  z n   1
 k
a0

.............................................

n a
s n  z1z 2 ...z n   1 n
a0

Dupã cum se observã, suma sk este suma tuturor produselor a k
dintre rãdãcinile polinomului f. Rezultã cã suma s k are Ckn termeni.
 OBSERVAŢII
1. Pentru ecuaþia algebricã f  x   0 soluþiile z1, z 2 , ..., z n sunt rãdãcinile polinomului f ºi, astfel, ele verificã acelaºi sistem de relaþii ale
lui Viète.
2. Relaþiile lui Viète se pot scrie pentru un polinom f  K  X  , de gradul
n  N* , care are toate cele n rãdãcini 1, 2 , ...,  n în corpul K. În
caz contrar, nu se pot scrie relaþiile lui Viète.
Astfel, polinomul f  Q  X  , f  X n  2, n  2, nu are nici o rãdãcinã în
Q, deci nu putem scrie sistemul  S  de relaþii ale lui Viète.
148
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Aplicaþii ale relaþiilor lui Viète
1. Relaþiile lui Viète se dovedesc utile în aflarea rãdãcinilor unui
polinom f  C  X  , în cazul când aceste rãdãcini verificã relaþii
suplimentare.
Problemã rezolvatã

Sã se rezolve în C ecuaþia z 3  z 2  z  2  0, ºtiind cã douã dintre
soluþiile sale verificã relaþia z1  z 2  1.
Soluþie
Din prima relaþie a lui Viète, z1  z2  z3  1, se obþine z3  1  z1  z2 
 1   z1  z2   2. Considerând polinomul f  C  X  , f  X 3  X 2  X  2, care
are rãdãcina 2, obþinem cu ajutorul schemei lui Horner descompunerea:


f   X  2 X 2  X  1 .
Rezultã cã ecuaþia algebricã ataºatã se scrie sub forma:
1  i 3
.
 z  2  z2  z  1  0 ºi are soluþiile z3  2, z1,2 
2


2. Dacã sunt cunoscute soluþiile unei ecuaþii algebrice de gradul
n  N* , z1, z 2 , ..., z n , atunci se cunosc sumele s1, s2 , ..., sn ºi ecuaþia se
poate scrie sub forma:
z n  s1z n 1  s2 z n  2  ...   1 s n  0, (1).
n
Probleme rezolvate
 1. Sã se scrie ecuaþia de gradul 3 cu coeficienþi complecºi, care
are soluþiile z1  1, z 2  i, z 3  1  i.
Soluþie
Avem s1  z1  z2  z3  2, s2  z1z2  z2 z3  z1z3  2  i, s3  z1z2 z3 
 1  i. Având în vedere relaþia (1), obþinem ecuaþia:
z 3  2z 2   2  i  z  1  i   0.
 2. Fie f  C  X , f  X 3  X  1 cu rãdãcinile x1, x 2 , x 3  C. Sã se
scrie polinomul unitar de gradul 3 care are rãdãcinile:
y1  1  x1, y 2  1  x 2 , y 3  1  x 3 .
149
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Soluþia 1
Polinomul cãutat este g  X 3  s1 X 2  s2 X  s3, unde:
s1  y1  y1  y 3  3   x1  x 2  x 3   3  s1
s2  y1 y 2  y1 y 3  y 2 y 3  1  x1 1  x 2   1  x1  1  x 3   1  x 2  
 1  x 3   3  2  x1  x2  x3   x1x2  x1x3  x2 x3  3  2s1  s2
s3  y1 y 2 y 3  1  x1 1  x 2  1  x 3   1   x1  x 2  x 3  
  x1x 2  x1x 3  x 2 x 3   x1x 2 x 3  1  s1  s2  s3 , unde s1, s2 , s3 sunt date
de relaþiile lui Viète pentru polinomul f.
Rezultã s1  0, s2  1, s3  1 ºi se obþine s1  3, s2  4, s3  1.
Polinomul cãutat este g  X 3  3X 2  4X  1.
Soluþia 2
Din relaþiile date se obþine:
x1  y1  1, x 2  y 2  1, x 3  y 3  1.
Cu substituþia x  y  1, ecuaþia f  x   0 ataºatã polinomului f se
transformã astfel:  y  1   y  1  1  0, care adusã la forma cea mai
3
simplã devine: y 3  3y 2  4y  1  0. Rezultã cã polinomul g care are
ataºatã aceastã ecuaþie este g  X 3  3X 2  4 X  1.
 3. Sã se rezolve în C sistemele de ecuaþii:
 x  ay  a 2 z  a 3
x  y  z  1


a)  x 2  y 2  z 2  3; b)  x  by  b2 z  b3 , a, b, c  C distincte.
 3

3
3
2
3
x  y  z  1
 x  cy  c z  c
Soluþie
a) Considerãm numerele x, y, z  C ca rãdãcini ale unui polinom f
de gradul 3. Rezultã cã f  X 3  s1 X 2  s2 X  s3 , unde s1  x  y  z  1,
s2  xy  yz  zx ºi s3  xyz.
Din relaþia x 2  y 2  z 2   x  y  z   2  xy  yz  zx  se obþine cã
2
3  1  2s2 , adicã s2  1.
Deoarece x, y, z sunt rãdãcini ale polinomului f, obþinem:
x 3  s1x 2  s2 x  s3  0
y 3  s1 y 2  s2 y  s3  0 .
z 3  s1z 2  s2 z  s3  0
150
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Prin adunarea acestor egalitãþi se obþine:


x 3  y 3  z 3  s1 x 2  y 2  z 2  s2  x  y  z   3s3  0.
Având în vedere sistemul dat rezultã cã s3  1.

 ºi
Aºadar, f  X 3  X 2  X  1  X 2  X  1   X  1   X  1 X 2  1
are rãdãcinile x1  1, x 2  1, x 3  1.
Obþinem cã x  1, y  1, z  1 sau x  1, y  1, z  1 sau x  1,
y  1, z  1.
b) Considerãm polinomul f  C  X  , f  X 3  zX 2  yX  x.
Avem f  a   0, f  b   0, f  c   0, deci a, b, c sunt rãdãcinile polinomului f. Din relaþiile lui Viète pentru f, obþinem:
a  b  c  z, ab  bc  ac   y, abc  x ºi astfel sistemul are soluþia
x  abc, y    ab  bc  ac  , z  a  b  c.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se scrie relaþiile lui Viète
pentru polinoamele f  C  X  :
a) f  3X 3  7X 2  18X  8, z1 
 z2  3;
a) f  X 3  3X2  4X  10;
b) f  5X3  27X2  7X  15, z1  z2  5;
b) f  X 4  3X  1;
c) f  X 3  7X 2  4X  12, z1  3z 2 ;
c) f  X 5  1;
d) f  X 3  10X 2  27X  18, z 3 
d) f  3X 5  X 4  2;
 2z1z2 ;
e) f   X  1  X  2   X  3  ;

e) f  X 4  X 2  12X  36, z1z 2 

d) f  X 2  X  1  X  2  .
 z 3 z 4  0.
E2. Sã se arate cã polinomul f  Z p  X 
are toate rãdãcinile în Z p ºi sã se
scrie relaþiile lui Viète
acesta:
a) f  X 4  1  Z  X  ;
E4. Se considerã polinomul f  C  X  ,
pentru
f  X3  3X2  X  3 ºi z1, z2 , z 3 
 C rãdãcinile sale. Sã se calculeze:
3
a) z12  z 2
2  z3 ;
2
b) f  X 3  1  Z 3  X  ;
c)
c) f  X 5  1  Z 5  X  ;
  Z  X .
d) f  X 3  X 2  X  4
5
d)
E3. Sã se determine rãdãcinile polinomului f  C  X  , ºtiind cã are loc
relaþia specificatã:
151
e)
3
;
b) z13  z23  z 3
1
1
1


;
z1 z2 z 3
1
z12

1
2
z2

1
z2
3
;
z1
z2
z3


.
1  z1 1  z 2 1  z 3
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
E5. Sã se rezolve în C ecuaþiile, ºtiind
cã au loc relaþiile date:
 Dacã
E7. Fie f  Z 3  X , f  X4  X2  1.
a) z3  6z2  az  12  0, z1  z2  z3 ;
1, 2 ,  3 ,  4  Z 3 sunt rãdãcinile
polinomului f, sã se calculeze:
b) z3  11z2  az  36  0, z1  z2z3 ;
2
2
a) 12  2
2  3   4 ;
3
2
1
b) 11  21   31   4
;
c) z  12z  az  60  0, z1  z 2 
 2z 3 .
5
5
c) 15  5
2  3   4 ;
n
n
 4
, n  N* .
d) 1n  2n   3
E6. Se considerã polinomul f  C  X  ,
f  1  X  2X 2  X 3 cu rãdãcinile
z1, z 2 , z 3 . Sã se formeze polinoamele care au rãdãcinile:
a) y1  1  z1, y2  1  z2, y3  1  z3 ;
E8. Se considerã ecuaþia x4  3x2  6x 
 2  0 în C, cu soluþiile x1, x 2 ,
x3, x4  C
c) y1  z2  z 3 , y 2  z1  z 3 , y 3 
 z1  z 2 ;

c) y1  z2 z 3 , y 2  z1z 3 , y 3  z1z 2 ;
d) y1 
ºi S 
1
1


1  x1 1  x 2
1
1

. Atunci:
1  x3 1  x 4
b) S  2;
a) S  2;
d) S  1.
c) S  0;
(Univ. Transilvania, Braºov, 2000)
1
1
1
, y2 
, y3 
.
z1
z2
z3
APROFUNDARE
A1. Dacã x1, x2, x3 C sunt rãdãcinile poli3
2
nomului f  X  2 X  2 X  17 
x1 x 2 x 3
 C  X  ºi   x 2 x 3 x1 , atunci:
x 3 x1 x 2
A3. Sã se rezolve ecuaþiile în C, ºtiind
cã au soluþiile în progresie aritmeticã, pentru m  R :
a) x 3  6x 2  mx  2  0;
b) z 3  3mz2  6z  4  0;
c) z 4  10z 3  mz2  50z  24  0;
a)   0;
b)   4;
c)   1;
d)   2.
(Univ. Transilvania, Braºov, 2000)
A2. Sã se determine rãdãcinile polinomului f  C  X , ºtiind cã rãdãcinile sale verificã relaþia datã:
d) z 5  20z 4  az2  bz  c  0.
A4. Sã se rezolve în mulþimea C ecuaþiile ºtiind cã au soluþiile în
progresie
geometricã,
pentru
m  R:
a) x 3  mx 2  6x  27  0;
a) f  X3  mX2  4X  4, z1  z2  0;
b) 8x 4  30x 3  35x 2  mx  2  0;
b) f  X3  2X2  aX  2, z1  z2  3;
c) f  X 3  2X2  aX  6, z1z 2  3;
c) x 4  14x 3  56x  m  0.
d) f  X3  3X2  4X  a, 2z1  3z2 ;
A5. Se considerã polinomul f  C  X  ,
e) f  X3   a  2 X2   2a  1 X  a,
f  aX 3  bX 2  cX  d, astfel încât
3
2
2


;
z1 z2 z 3
a, b, c, d  R*
4
sunt în progresie
geometricã cu raþia q   0,    .
3
f) f  X  3X  12X  a, z1z2  z3z4 .
Sã se calculeze S n  x1n  x 2n  x 3n .
152
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
A6. Fie f  X 3  aX  b  C  X  cu rãdãcinile x1, x 2 , x 3  C. Sã se arate
cã dacã a, b  Z, atunci:
x1n  x 2n  Z,  n  N* .
A7. Se considerã polinomul
f  X3 
 mX2  aX  m  C  X . Sã se deter-
mine a, m  R ºtiind cã rãdãcinile
lui
f
verificã
relaþia
A8. Sã se rezolve în mulþimea numerelor reale sistemele:
x  y  z  2

a)  x 2  y 2  z 2  6 ;
 xyz  2

x  y  z  2

b)  x 2  y 2  z 2  6 ;
 3
3
3
x  y  z  8
x  y  z  3

c)  x 3  y 3  z 3  3 .
 5
5
5
x  y  z  3
3
13  2

3
 3
3  m .
7 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice cu coeficienţi
în Z, Q, R, C
Teorema lui Abel-Ruffini afirmã cã pentru ecuaþia algebricã de
grad n  N* , n  5, nu existã formule generale de rezolvare. Aceasta face
ca rezolvarea unor astfel de ecuaþii sã fie dificilã în lipsa unor informaþii
suplimentare asupra ecuaþiei.
De asemenea, corpul în care ecuaþia are coeficienþi poate conduce
la obþinerea unor soluþii particulare ºi astfel, rezolvarea ecuaþiei sã fie
redusã la ecuaþii algebrice de grad inferior.
7.1. Ecuaþii algebrice cu coeficienþi în Z
Fie a0 x n  a1x n 1    a n 1x  a n  0, (1), ecuaþie algebricã de gradul
n  N* , cu coeficienþii a 0 , a1, , a n  Z.
Pentru ecuaþia de tipul (1) se pot determina soluþiile din Z ºi Q pe
baza urmãtorului rezultat:
 TEOREMA 15
Fie a 0 x n  a1x n 1    a n  0, ecuaþie algebricã de gradul n  N*
cu coeficienþi în Z.
a) Dacã   Z este soluþie a ecuaþiei, atunci  divide a n .
p
b) Dacã    Q,  p, q   1, este soluþie a ecuaþiei, atunci p
q
divide a n , iar q divide a 0 .
153
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Demonstraþie
a) Dacã   Z este soluþie pentru ecuaþie, rezultã cã: a0 n 


a1n 1    a n 1  a n  0 sau, altfel scris,  a0 n 1    a n 1  a n , (2).
Din relaþia (2) rezultã cã  divide a n .
n
p
p
b) Dacã    Q este soluþie a ecuaþiei, rezultã cã a 0   
q
q
p
 a1  
q
n 1
formele:

p
   a n 1    a n  0, egalitate care se poate scrie sub
q


p  a 0 p n 1  a1  p n  2 q    a n 1q n 1  a n  q n

respectiv,
q  a1p n 1  a 2 p n  2 q    a n q n  a 0  p n .
Deoarece  p, q   1, se obþine cã p divide a n ºi q divide a 0 . n
Teorema oferã o modalitate simplã de a determina soluþiile   Z,
p
respectiv    Q ale unei ecuaþii algebrice cu coeficienþi numere
q
întregi. Astfel:
• soluþiile   Z ale ecuaþiei se cautã printre divizorii termenului
liber a n ;
p
• soluþiile    Q,  p, q   1, se cautã printre numerele raþionale
q
p
de forma , unde p este un divizor al termenului liber a n , iar q este
q
un divizor al coeficientului dominant a 0 .
Problemã rezolvatã
Sã se rezolve în mulþimea C ecuaþiile:
a) x 4  x 3  5x 2  x  6  0;
b) 2x 3  x 2  x  1  0.
Soluþie
a) Cãutãm soluþiile întregi ale ecuaþiei printre divizorii lui 6. Avem:
D6  1,  2,  3,  6 .
154
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Alcãtuim schema lui Horner pentru aceºti divizori:
1
  1
  2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
0
2
3
1
0
5
5
3
1
1
1
1
6
6
12    1 nu este soluþie
2
8
   1 nu este soluþie
3  R  0    2 este soluþie
5    2 nu este soluþie
 R  0    3 este soluþie
Aºadar s-au gãsit douã soluþii întregi
1  2, 2  3. Rezultã cã ecuaþia se
 x  2  x  3   x 2  1  0,
scrie:
ºi
 TEMĂ
Rezolvaþi ecuaþiile:
va
• x 3  3x 2  2  0;
avea soluþiile 1  2, 2  3, 3, 4   i.
• x 4  x 3  x 2  2x  2  0;
• x 4  2x3  3x2  4x  4  0.
b) Se obþine uºor cã ecuaþia nu are
rãdãcini întregi.
Termenul liber al ecuaþiei este 1 ºi are mulþimea divizorilor
D1  1, 1 , iar termenul dominant este 2 cu D2  1, 1,  2, 2 .
Numerele raþionale, care nu sunt în Z, ce pot fi soluþii, aparþin mulþimii
 1 1
S   ,  .
 2 2
Se alcãtuieºte schema lui Horner:
1

2
1

2
2
1
1
1
2
0
1

2
2
2
3
2
 R 0


1
nu este soluþie
2
1
este soluþie
2
1
este soluþie, iar ecuaþia poate fi scrisã sub forma
2
1  i 3
1
1

2
ºi 2, 3 
.
 x   2x  2x  2  0. Se gãsesc soluþiile 1 
2
2
2

Aºadar  


În cazul în care termenii a 0 , a n  Z au mulþi divizori, apar prea
p
 Q care trebuie încercate dacã sunt soluþii. Vom arãta
multe fracþii
q
unele modalitãþi practice de îndepãrtare a unora dintre aceste fracþii.
155
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
• Fie f  C  X  , un polinom de gradul n  N* cu coeficienþi întregi
ºi  
p
 Q,  p, q   1 o rãdãcinã a sa. Rezultã cã polinomul f este diviq
zibil cu X 

p
p
ºi f   X    C  X  sau f   qX  p  C1  X  , unde C1 este
q
q

un polinom cu coeficienþi în Z. Atunci vom obþine: f 1   q  p  C1 1 ºi
f  1   q  p  C1  1 .
Deoarece C1 1 , C1  1  Z, este necesar ca p  q sã dividã f 1 ºi
p  q sã dividã f  1 .
Aºadar, dacã p  q nu divide f 1 sau p  q nu divide f  1 ,
atunci
p
 Q nu este soluþie a ecuaþiei.
q
Problemã rezolvatã
 Sã se rezolve ecuaþia 4x 4  8x 3  11x 2  13x  3  0.
Soluþie
• Cãutãm soluþii întregi printre divizorii lui 3. Va rezulta cã
ecuaþia nu are soluþii în Z.
• Cãutãm soluþii raþionale. Acestea pot fi:
p 1
1 1
1 3
3 3
3
  ,  , ,  , ,  , ,  .
q 2
2 4
4 2
2 4
4
Avem
f  4 X 4  8X 3  11X 2  13X  3
polinomul asociat
f 1  5 ºi f  1  15. Înlãturãm fracþiile care nu pot fi soluþii:
p
q
1
2
1
2
1
4
1
4
3
2
3
2
3
4
3
4
pq
3
1
5
3
5
1
7
1
f  1  15
pq
1
3
3
5
1
5
1
7
f 1  5
ºi
Se observã cã au mai rãmas de probat dacã sunt soluþii numai
p  1 1 3 3 
, ,
fracþiile   ,
.
q 2 4 2 2 
156
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Fãcând proba prin schema lui Horner se constatã cã sunt soluþii
1
3
1 
3

1  , 2  
ºi se obþine ecuaþia:  x    x   x 2  3x  1  0.
2
2
2 
2


Rezultã cã 3, 4 

3 5
.
2
7.2. Ecuaþii algebrice cu coeficienþi raþionali
Fie a, b, c  Q, astfel încât b  0, c > 0 ºi
c  R \ Q.
Numerele reale de forma u  a  b c se numesc numere
iraþionale pãtratice.
Numãrul iraþional pãtratic u  a  b c se numeºte conjugatul
numãrului u  a  b c.
Se observã uºor cã oricare numãr iraþional pãtratic u  a  b c se
poate scrie sub una din formele    sau   , unde ,   Q,
  0,   R \ Q, având în vedere introducerea sau scoaterea factorilor
de sub radicali.
Folosind formula binomului lui Newton, rezultã cã dacã u  a  b

este numãr iraþional pãtratic, atunci u n  a  b
a n , b n  Q, ºi bn  0,
bn  R \ Q. Aºadar u
n
  a  b , unde
n
n
n
este numãr iraþional
n
 
pãtratic. De asemenea se observã cã u  a n  b n  u n .
 TEOREMA 16
Fie f  Q  X  , f  a0  a1X  a2 X 2    a n X n , un polinom de gradul n,
n  N* ºi u  a  b numãr iraþional pãtratic.
Dacã u este rãdãcinã a polinomului f, atunci:
a) u  a  b este rãdãcinã a lui f;
b) u ºi u au acelaºi ordin de multiplicitate.
Demonstraþie
a) Avem succesiv:
  a0  a1  1  1  
 a 2  2  2     a n   n  n   a 0  a1  1  1   a 2  2  2    
 a n   n  n   f  u   0, deci u este rãdãcinã a polinomului f.
 



f u  a 0  a1 a  b    a n a  b
157
n
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
b) Fie m, m1  N ordinele de multiplicitate ale rãdãcinilor u ºi u.
Polinomul f se scrie: f   X  u 
m

 X u
 

m1
 g, (1), unde g  Q  X  ºi
g  u   0, g u  0.

Sã presupunem cã m  m1. Atunci, din relaþia (1), se obþine:
f  X 2  2aX  a 2  b
   X  u
m

Polinomul h  X  u
teoremei se obþine cã

m1  m
m1  m

 g  X 2  2aX  a 2  b
  h, (2).
m
 
 g  Q  X  ºi h u  0. Din punctul a) al
h  u   0,
deci
u  u
m1  m
 g  u   0.
Dar
u  u  0, deci este necesar ca g  u   0, în contradicþie cu g  u   0.
Aºadar nu se poate ca m  m1. Analog se aratã cã nu are loc inegalitatea m1  m. În concluzie m  m1 ºi teorema este demonstratã. n
Problemã rezolvatã
 Sã se rezolve în R ecuaþia x 3  2x 2  ax  b  0, ºtiind cã a, b  Q
ºi cã admite soluþia x1  1  2.
Soluþie
Considerãm f  Q  X , f  X 3  2X 2  aX  b. Polinomul f admite rãdã-
cina x1  1  2, deci conform teoremei
anterioare admite ºi rãdãcina x2  1  2.
Din relaþiile lui Viète se obþine:
x1  x 2  x 3  2 ºi x 3  4.
Aºadar:

f  X 1  2
 X  1  2   X  4  
 TEMĂ
Sã se rezolve urmãtoarele
ecuaþii, dacã:
• x 3  4x 2  3x  2  0,
x1  1  2;
• x 3  5x 2  5x  1  0,
 X 3  2X 2  9X  4 ºi se obþine cã
a  — 9, b   4.
x1  2  3;
• x 4  4x 3  2x 2  4x  1  0,
x1  2  3.
 TEMĂ DE STUDIU
Fie f  Q  X 
a, b  Q *
ºi
a,
un polinom de gradul n  N* ,
cu rãdãcina
x1 
a
b,
b  R \ Q.
a) Sã se studieze dacã numerele a  b,
b  a,  a 
ale polinomului f.
b) Care este gradul minim al polinomului f?
158
b sunt rãdãcini
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
7.3. Ecuaþii algebrice cu coeficienþi reali
 TEOREMA 17
Fie f  R  X  , un polinom de gradul n  N* .
Dacã z  a  bi  C, a, b  R, b  0 este rãdãcinã a polinomului f,
atunci:
a) z este rãdãcinã a polinomului f;
b) z ºi z au acelaºi ordin de multiplicitate.
Demonstraþie (Temã)
 OBSERVAŢII
Fie f  C  X  , un polinom cu coeficienþi reali de gradul n  N* .
• Polinomul f are un numãr par de rãdãcini z  C \ R.
• Dacã n este impar, atunci polinomul f are cel puþin o rãdãcinã realã.
Mai mult, numãrul de rãdãcini reale este impar.
Probleme rezolvate
 1. Sã se rezolve în C ecuaþia z 3  z 2  2  0, ºtiind cã admite soluþia
z1  1  i.
Soluþie
Fie f  C  X  , f  X 3  X 2  2, polinomul
cu coeficienþi reali ataºat ecuaþiei date.
Rezultã cã f are rãdãcina z1  1  i, deci
va avea ºi rãdãcina z 2  1  i. Din relaþiile lui
Viète rezultã cã z1  z 2  z 3  1, deci z 3  1.
 TEMĂ
Sã se rezolve ecuaþia
3
z  z  10  0 ºtiind cã
admite soluþia z1  1  2i.
 2. Sã se determine numerele reale a, b ºi sã se rezolve ecuaþia
z 5  2z 4  2z 3  4z 2  az  b  0, ºtiind cã admite soluþia dublã z1  i.
Soluþie
Deoarece ecuaþia admite soluþia z1  i, ea va admite ºi soluþia
z 3  z1  i, soluþie dublã. Aºadar sunt cunoscute soluþiile: z1  z 2  i,
z3  z 4  i. Din relaþia lui Viète z1  z 2  z3  z 4  z5  2 se obþine cã

  X  2.
z5  2. Aºadar f   X  i    X  i    X  2   X 2  1
2
2
159
2
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Împãrþind polinomul f prin X 2  1 (sau folosind relaþiile lui Viète)
se obþine cã a  1 ºi b  2.
 3. Sã se rezolve ecuaþia x 5  3x 4  x 3  ax 2  bx  c  0, a, b, c  Q,
ºtiind cã admite soluþiile x1  1  i ºi x 2  1  2.
Soluþie
Fie f  C  X  , f  X 5  3X 4  X 3  aX 2  bX  c,
polinomul ataºat
ecuaþiei. Deoarece a, b, c  Q, rezultã cã f admite ºi soluþiile x 3  1  2,
x 4  1  i. Din relaþia lui Viète: x1  x 2  x 3  x 4  x 5  3 se obþine



x 5  1. Rezultã cã f are forma f   X  1  i  X  1  i  X  1  2 X 1  2 



  X  1  X 2  2X  2 X 2  2x  1   X  1 .
Împãrþind polinomul f la
X 2  2X  2 ºi X  1, sau folosind relaþiile lui Viète corespunzãtoare, se
obþine a  3, b  4, c  2.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se determine soluþiile întregi
ale ecuaþiilor:
E4. Sã se rezolve ecuaþiile, ºtiind cã au
soluþia indicatã:
a) x 4  x 3  x 2  x  2  0;
a) x 4  4x 3  4x 2  16x  12  0,
b) x 4  2x 3  3x 2  8x  4  0;
x1  1  3;
c) x 5  3x 4  5x 3  15x 2 
4x  12  0.
b) x 4  2x 3  2x  1  0,
x1  1  2;
c) z 4  7z 3  14z 2  2z  12  0,
E2. Sã se determine soluþiile raþionale
ale ecuaþiilor:
z1  1  3;
a) 2x 3  3x 2  6x  4  0;
d) z 4  10z 3  31z 2  34z  12  0,
b) 4x 4  8x 3  7x 2  8x  3  0;
z1  3  5;
c) 12x 5  23x 4  10x 3  2x  1  0.
e) z 4  z 3  2z 2  3z  1  0,
z1  1  2;
E3. Sã se determine polinoamele
f  Q  X  de gradul 4, care au rãdãcinile:
a) 1, 2, 2  3;
b) 2 dublã, 1  2;
c) 1  3 dublã;
f) 2z 4  7z 3  5z 2  z  1  0,
z1  1  2.
E5. Sã se rezolve ecuaþiile ºtiind soluþia
indicatã:
a) z 4  6z 3  15z2  18z  10  0,
z1  1  i;
d) 2  3 ºi 3  2.
160
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
b) z 4  2z 3  3z 2  2z  2  0,
z1  i;
e) 2z 3  3z2  2z  2  0, z1  1  i;
f) z 4  8z 3  26z2  40z  25  0,
z1  2  i.
c) z 4  z 3  4z 2  z  3  0, z1  i;
d) 3z 4  5z 3  3z2  4z  2  0,
z1  1  i;
APROFUNDARE
A1. Sã se determine a  Z ºi rãdãcinile
d) z 4  4z 3  az2  bz  4  0,
polinomului f  Q  X , f  X  aX 
3
2
 3X  2, ºtiind cã acesta admite
rãdãcini numere întregi.
z1  3  5.
A6. Sã se determine a, b  Q, ºtiind cã
ecuaþia x3  4x2  5x  a  0 admite
A2. Fie f  Q  X  , f  X 3  aX 2  bX  2,
a, b  Z.
soluþia x1  b  2.
Sã se rezolve ecuaþia
f  x   0 ºtiind cã are cel puþin
douã soluþii în Z.
A7. Sã se rezolve ecuaþiile ºi sã se
determine a, b  R, în cazurile:
a) z 4  z 3  az2  z  1  0, z1   i;
A3. Sã se determine a  Z ºtiind cã
polinomul f  Q  X  admite rãdãcini
raþionale:
b) z 4  3z 3  az2  21z  b  0,
z1  1  2i;
c) z 4  2z 3  az2  bz  39  0,
z1  3  2i;
a) f  X 3  aX2  3X  3;
b) f  X 4  aX2  3;
d) z 3  az 2  bz  2  0, z1  1  i.
c) f  2X 3  4X2  aX  6;
d) f  4X 4  12X 3  7X 2  aX  2.
A4. Sã se determine m  Q ºi apoi sã
se rezolve ecuaþiile obþinute ºtiind
cã admit ºi soluþiile indicate:
a) x 3  5x  m  0, x1 
A8. Sã se rezolve ecuaþiile ºtiind cã a,
b  Z ºi cã admit o soluþie dublã
numãr întreg:
a) x 3  ax 2  bx  1  0;
b) x 4  ax 3  bx 2  2x  2  0;
2  1;
b) x4  2x2  64x  m  0, x1  2  3;
A9. Sã se rezolve ecuaþiile urmãtoare,
în condiþiile date:
c) x3  mx2  2m  8  0, x1  5  1.
a) z 5  5z 4  9z 3  7z2  2  0,
A5. Sã se rezolve ecuaþiile date, dacã
a, b  Q ºi admit soluþia indicatã:
a) z 3  2z2  az  b  0, z1 
b) z 6  4z5  4z 4  8z 3  4z 2 
 32z  16  0, z1  z2  1  3;
2  1;
c) z 6  5z5  19z 4  39z 3  38z 2 
34z  20  0, z1  i, z2  1  3i;
b) z 3  4z2  az  b  0, z1  2  3;
c) z 4  2z 3  2az 2  2bz  1  0,
z1 
z1  1  2, z2  1  i;
d) z 5  4z 3  4z2  4z  8  0,
3  2;
z1 
161
2, z 2  1  i.
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
A10. Fie a, b, c, d  Q. Sã se rezolve
ecuaþiile în condiþiile specificate:
a) x 3   m  3  x 2   3m  4  x 
4m  0;
a) x 6  ax 5  bx 4  4x 3  23x 2 
b) 2x 6  ax 5  bx 4  cx 3  x 2  dx 
8  0, x1  5  i 3, x 2  1  2.
A14. Se considerã ecuaþia:
x 6  3x 5  12x 4 
42x 3  19x 2  ax  b  0, a, b  Q.
Sã se rezolve ecuaþia, ºtiind cã
admite soluþia x1  2  5.
A12. Sã se scrie ecuaþia cu coeficienþi
raþionali de gradul cel mai mic n N*,
care admite soluþia x1 în cazurile:
a) x1  2  3; b) x1  2  5;
 p2  1 x 4 

 

  5p2  3  x  2  p2  1  0,
 p2  3 x 3  3p2  1 x 2 
unde
p  C \ R, p  1, cu soluþiile x1, x 2 ,
x 3 , x 4 . Dacã x1, x 2 sunt soluþiile
reale independente
de p ºi
S  Re  x 3   Re  x 4  , atunci:
a) S   0,    ;
b) S   ,  25  ;
c) S   4,  3  ; d) S   2,  1 ;
c) x1  5  3.
e) S   1, 0  .
A13. Sã se rezolve ecuaþiile ºtiind cã
admit soluþii independente de parametrul m  C:
8

 2m 2  2m  0.
x 2  2  5;
A11. Se dã ecuaþia

b) x 3  x 2  m2  m  2 x 
 cx  d  0, dacã x1  3  11,
(ASE, Bucureºti, 2002)
Rezolvarea unor ecuaţii algebrice de grad superior
cu coeficienţi în C
8.1. Ecuaþii bipãtrate
O ecuaþie bipãtratã cu coeficienþi în C este o ecuaþie algebricã de
forma az 4  bz 2  c  0, a, b, c  C, a  0.
Pentru rezolvare se parcurg urmãtorii paºi:
• se noteazã z 2  y ºi se obþine ecuaþia de gradul doi:
ay 2  by  c  0, numitã ecuaþia rezolventã a ecuaþiei bipãtrate;
• se rezolvã ecuaþia rezolventã în mulþimea C obþinându-se
soluþiile y1, y 2  C;
• se scriu ºi se rezolvã ecuaþiile z 2  y1 ºi z 2  y 2 obþinându-se
soluþiile z1, z2 , z3 , z 4 ale ecuaþiei bipãtrate.
162
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
 Exemplu

Sã se rezolve ecuaþiile în C:
4
2
4
a) z  3z  4  0; b) z  1  i  z 2  i  0.
Soluþie
Ecuaþiile sunt bipãtrate.
a) Fie z2  y. Se obþine ecuaþia rezolventã y 2  3y  4  0 cu soluþiile y1  1,
y 2  4. Rezultã z 2  1 ºi z 2  4 cu soluþiile z1  i, z 2   i, respectiv z 3  2, z 4  2.
b) Notând z 2  y se obþine ecuaþia rezolventã y 2  1  i  y  i  0 cu soluþiile
y1  1 ºi y 2  i. Rezultã ecuaþiile: z 2  1 ºi z 2  i. Din prima ecuaþie se obþine
z1  i, z 2   i. Pentru a rezolva a doua ecuaþie considerãm z  a  bi  C, a, b  R ºi se
obþine:  a  bi   i sau a 2  b2  2abi  i. Din egalitatea de numere complexe se obþine
2
a 2  b2  0
1
în prima ecuaþie a sistemului se obþine ecuaþia
sistemul 
. Substituind b 
2a

2ab
1

4a 4  1 cu soluþiile reale a  
2
2
2
. Rezultã cã b  
, iar z 3, 4  
1  i  .
2
2
2
Problemã rezolvatã
 Sã se arate cã cos


5
5 1
.
4
Soluþie
2
3
3
2
 2 3 

 cos
 sin
 cos ,  *  .
ªtim cã 0  sin   sin 
  sin
5 
5
5
5
5
 5

Notând x  cos
ºi având în vedere cã sin 3  3 sin   4 sin3 ,
5
cos 3  4 cos3   3 cos , din relaþia  *  se obþine ecuaþia:
16x  12x  1  x  0.
4
2
5 1
5  1 

,
Rezultã cã x  0, 
.
4
4 

5 1
.
Se obþine soluþia convenabilã x 
4
8.2. Ecuaþii binome
O ecuaþie binomã cu coeficienþi în mulþimea C este o ecuaþie
algebricã de forma: z n  a  0, unde n  N* , a  C. (1)
163
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Scriind ecuaþia binomã (1) sub
forma z n  a, rezolvarea ei se reduce la
determinarea rãdãcinilor de ordinul
n  N* ale numãrului complex a.
Dacã a  r  cos t  i sin t  este scrierea sub formã trigonometricã a numãrului a, atunci se obþine:
t  2k
t  2k 

 i sin
z k  n r  cos
,
n
n 

k  0, 1, 2, , n  1 , (2),
 NE REAMINTIM!
Pentru z  C, se cunosc:
• z  a  bi, forma algebricã;
• z  a 2  b2 , modulul lui z;
• z  z  cost  i sint  , cos t 
sin t 
a
,
z
b
forma trigonometricã;
z
•  cos t  i sin t   cos nt  i sin nt,
formula lui Moivre.
n
(rãdãcinile complexe ale lui z  C).
 Exemplu

Sã se rezolve ecuaþia binomã z
4
 i  0.
Soluþie
Forma trigonometricã a numãrului a  i este: i  cos


 i sin . Având în vedere
2
2


 2k
 2k
2
2
relaþia (2) rezultã soluþiile: z k  cos
 i sin
, k  0, 1, 2, 3 .
4
4
8.3. Ecuaþii reciproce
v DEFINIÞIE
• Polinomul f  K  X  , f  a 0  a1 X  a 2 X 2    a n X n , de gradul n  N*
se numeºte polinom reciproc dacã între coeficienþii sãi existã
relaþiile: a k  a n  k , k  0, 1, 2, , n . (1)
 Exemple
Polinoamele reciproce f  K  X  de gradul 1, 2, 3 ºi 4 au formele:
• f1  aX  a, f2  aX 2  bX  a, f3  aX 3  bX 2  bX  a, respectiv f4  aX 4  bX 3 
 cX 2  bX  a, unde a, b, c  K ºi a  K *.
v DEFINIÞIE
• Se numeºte ecuaþie algebricã reciprocã de gradul n  N* o ecuaþie
de forma f  x   0, unde f  K  X  este un polinom reciproc de gradul n.
Forma particularã a polinoamelor (ecuaþiilor) reciproce de gradul n
conduce la câteva observaþii generale:
164
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
1. Orice ecuaþie algebricã reciprocã de grad impar admite soluþia
x1  1.


Într-adevãr, polinomul f se poate scrie sub forma f  a 0 1  X n 




 a1 X  X n 1  a 2 X 2  X n  2   ºi se obþine f  1  0.
2. Prin împãrþirea polinomului reciproc f de grad impar n la X  1 se
obþine un cât care este polinom reciproc de grad n  1.
1
3. Dacã ecuaþia reciprocã are soluþia , atunci are ºi soluþia .

Rezolvarea ecuaþiei reciproce de gradul 3
Ecuaþia reciprocã de gradul 3 cu coeficienþi în corpul C are forma:


ax  bx 2  bx  a  0. Ecuaþia se poate scrie succesiv: a x 3  1 
3


 bx  x  1  0 sau  x  1 ax 2   b  a  x  a  0. (1)
Forma de scriere (1) aratã cã ecuaþia are soluþia x1  1 ºi alte douã
soluþii date de ecuaþia reciprocã de gradul 2: ax 2   b  a  x  a  0.
 Exemplu

Sã se rezolve în C ecuaþia 2x
Soluþie
Ecuaþia
x 2, 3 
se
scrie:
3
 3x 2  3x  2  0.
 x  1  2x 2  x  2   0
ºi
are
soluþiile:
x1  1
ºi
1  i 15
.
4
Rezolvarea ecuaþiei reciproce de gradul 4
Forma generalã a ecuaþiei reciproce de gradul 4 cu coeficienþi
întregi este: az 4  bz3  cz2  bz  a  0.
Se observã cã ecuaþia nu admite soluþia x  0.
Pentru rezolvare se parcurg urmãtorii paºi:
• Se împarte prin z 2 ºi se obþine: az 2  bz  c 
• Se grupeazã termenii care au coeficienþi egali:
1 
1


a  z 2  2   b  z    c  0.
z
z 


165
b a

 0.
z z2
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
• Se noteazã z 
1
1
 y ºi rezultã cã z 2  2  y 2  2. Se obþine
z
z


ecuaþia de gradul 2 în y: a y 2  2  by  c  0 sau ay 2  by  c  2a  0
numitã ecuaþia rezolventã a ecuaþiei reciproce de gradul 4.
• Se rezolvã ecuaþia rezolventã obþinând soluþiile y1, y 2  C.
1
1
• Se rezolvã ecuaþiile z   y1 ºi z   y 2 care se aduc la forma:
z
z
2
2
z  y1z  1  0 ºi z  y 2 z  1  0. Rezultã astfel soluþiile z1, z 2 , z 3 , z 4  C
ale ecuaþiei reciproce.
Aºadar, rezolvarea ecuaþiei reciproce de gradul 4 se reduce la
rezolvarea a trei ecuaþii de gradul 2.
 Exemplu
4
3
2
Sã se rezolve ecuaþia reciprocã z  z  4z  z  1  0.

Soluþie
Dupã împãrþirea cu z 2 se obþine: z 2 
1
1
1 1
1  

 4   2  0 sau  z 2  2    z   
z
z z
z

z  
1
1
, obþinem z 2  2  y 2  2 ºi ecuaþia rezolventã y 2  y  6  0
z
z
cu soluþiile y1  3, y 2  2.
4  0. Cu notaþia y  z 
Avem ecuaþiile: z 
2
 TEMĂ
1
1
 3 ºi z   2
z
z
2
Sã se rezolve ecuaþiile:
sau z  3z  1  0 ºi z  2z  1  0. Se obþin
soluþiile z1, 2  1 ºi z 3, 4 
3  5
.
2
• 2z 4  3z 3  2z 2  3z  2  0;
• z 4  3z 3  8z 2  3z  1  0.
 OBSERVAŢII
1. Dacã f  C  X  , este polinom reciproc de gradul n  N* , n numãr
impar, atunci rezolvarea ecuaþiei reciproce de gradul n se reduce la
rezolvarea ecuaþiei z  1  0 ºi a unei ecuaþii reciproce de gradul n  1.
 Exemplu

Sã se rezolve ecuaþia x 5  3x 4  2x 3  2x 2  3x  1  0.
Soluþie
Deoarece x  1 este soluþie a ecuaþiei, prin
împãrþirea
polinomului
f  X  3X  2X  2X  3X  1 la g  X  1 obþinem descompunerea f   X  1 
5
4
3

2

 X 4  4 X 3  6X 2  4 X  1 . Rezultã ecuaþia
 x  1  x 4  4x 3  6x 2  4x  1  0. Avem
x1  1, iar celelalte 4 soluþii sunt date de ecuaþia reciprocã x 4  4x 3  6x 2  4x  1  0.
Se obþine x 2, 3, 4, 5  1.
166
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
2. Dacã f  C  X  , este un polinom reciproc de gradul n, n  2k,
rezolvarea ecuaþiei reciproce ataºate se poate reduce la rezolvarea
1
unei ecuaþii de gradul k cu necunoscuta y  z  , ºi a k ecuaþii de
z
1
gradul 2 date de ecuaþiile z   y p , p  1, 2, , k .
z
 Exemplu

Sã se rezolve ecuaþia reciprocã de gradul 6 în mulþimea C:
z 6  5z 5  4z 4  4z 2  5z  1  0.
Soluþie
1
1 
1


 5  z 2  2   4  z    0. Dacã z   y,
z
z


z
z 

1 
1
1
1


atunci z 2  2  y 2  2 ºi z 3  3   z    z 2  2  1  y y 2  3 . Se obþine ecuaþia
z 


z
z
z
Împãrþind cu z 3 se obþine: z 3 
1
3

rezolventã de gradul 3 în y:
y 3  5y 2  y  10  0
 y  2   y 2  3y  5   0. Se obþin soluþiile: y1  2, y 2 
ecuaþiile în z de forma: z 

care se descompune astfel:
3  29
3  29
, y3 
ºi se obþin
2
2
 3  29 3  29 
1
,
 y, sau z 2  yz  1  0, unde y  2,
.
2
2
z


3. În cazul unei ecuaþii reciproce cu coeficienþi într-un corp K se
procedeazã în mod analog.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se rezolve în mulþimea C ecuaþiile bipãtrate:
E2. Sã se rezolve ecuaþiile binome în
mulþimea C:
a) z 4  2z 2  1  0;
a) z 3  125  0;
b) z 4  2z 2  1  0;
b) z 4  625  0;
c) z 4  10z2  9  0;
c) z 3  8  0;
d) 9z 4  10z2  1  0;
d) z 3  125  0;
e) z 4  17z2  16  0;
e) z 4  16  0;
f) 25z 4  26z 2  1  0;
f) z 4  i  0;
g) z 4  z2  2  0;
g) z 6  i  0;
h) z 4  29z2  100  0;
h) z 5  i3  0.
i) z 4  2z2  15  0.
167
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
E3. Sã se rezolve în C ecuaþiile reciproce de gradul 3:
d) 7x 4  x 3  12x 2  x  7  0;
e) x 4  7x 3  12x 2  7x  1  0;
a) x 3  x 2  x  1  0;
f) 2x 4  5x 3  10x 2  5x  2  0.
b) x 3  5x 2  5x  1  0;
c) 2x 3  7x 2  7x  2  0;
3
E5. Sã se rezolve în C ecuaþiile reciproce:
2
d) 4x  x  x  4  0;
e)
a) x 5  x 4  x 3  x 2  x  1  0;
2x 3  x 2  x  2  0;
b) 2x 5  x 4  3x 3  3x 2  x  2  0;
f) 2x 3  5x 2  5x  2  0.
c) 3x5  2x4  5x3  5x2  2x  3  0;
E4. Sã se rezolve în C ecuaþiile reciproce de gradul 4:
a) 6x 4  x 3  14x 2  x  6  0;
d) x6  x5  x4  6x3  x2  x  1  0.
E6. Sã se rezolve în C:
b) x  2x  6x  2x  1  0;
a)  x  1   x  1  82;
c) 2x 4  x 3  2x 2  x  2  0;
b)  x  i    x  i   16.
4
3
4
2
4
4
4
APROFUNDARE
A1. Sã se rezolve ecuaþiile bipãtrate în
mulþimea C:
A4. Sã se rezolve ecuaþiile în mulþimea
numerelor complexe:
a) x 4  x 2  1  0;
a) x 3  ix 2  ix  1  0;
b) x 4  17x 2  16  0;
b) ix 3  1  i  x 2  1  i  x  i  0;
2
c) z 3  z 2  z  1  0,  3  1.
 12 
c) x 2  
  40;
 x 
2
A5. Pentru care valori ale lui a  R,
A2. Sã se rezolve în Z 5 ecuaþiile:
A6. Sã se rezolve în C ecuaþia x 4 
6
d) x     5.
x
2
ecuaþia x 3  ax2  ax  1  0 admite
soluþii multiple?

a) x 4  x 2  1  0;
  a  1 x 3  bx 2  5x  1  0, ºtiind
cã este ecuaþie reciprocã ºi admite
o soluþie dublã.
 4  x2  2
  0;

b) 2x
 4  4x
 23
  0;

c) 3x
A7. Sã se arate cã dacã o ecuaþie reciprocã de gradul 4 cu coeficienþi în
 4  3x
 2  1  0.

d) 2x
corpul K admite soluþia  K*, atunci
ea admite ºi soluþia  1  K. Generalizare.
A3. Sã se determine a, b  R pentru
care ecuaþia

x 4  a 2  b2  2ab 
 2b  23  x   3a  3b  2  x 2 
A8. Sã se rezolve ecuaþiile reciproce în C:
3
  a  b  7  x  3  ab  a  b  1  0,
este ecuaþie bipãtratã ºi sã se
rezolve în acest caz.
168
a) x 6  x 4  x 2  1  0;
b) x 6  x 5  3x 4  6x 3  3x 2 
 x  1  0.
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
A9. Sã se determine a  R ºtiind cã
3
2
ecuaþia z  az  az  1  0
numai soluþii reale.
b)  x  a    x  a   b, a, b  R;
4
are
c)  x  a    x  b   c, a, b, c  R;
4

  1  0;
e)  x  a   x 3  a 3   x 2 , a  R.
x 4  x 2  ax  x  1  0
reciprocã
are toate soluþiile reale?
a) x 4  x 3  2x 2  2x  4  0;
2
A13. Sã se rezolve ecuaþia:
1
1
log 2x 6  log 21    log 1   
x

6
6
x
b) x 4  x 3  24x 2  6x  36  0;
3
 log 6 x   0.
4
(Admitere, ASE, Bucureºti)
c) x 4  x 3  4a 2 x 2  ax  a 2  0.
A12. Sã se rezolve ecuaþiile în mulþimea C:
a)  x  1   x  1  82;
4
4
d) x 2  x  1
A10. Pentru ce valori ale lui a  R ecuaþia
A11. Sã se rezolve în mulþimea C ecuaþiile
de grad superior:
4
4
A14. Sã se calculeze:
2


.
sin
, sin
, cos
10
5
10
TESTE DE EVALUARE
Testul 1
1.
Polinomul
f  X 4  4X 3  4X2  mX  n  Q  X 
se
divide
cu
polinomul
g  X  4X  3  Q  X  , pentru:
2
 m  4
;
a) 
n  3
2.
 m  4
;
b) 
n  4
m  4
m  2
;
.
c) 
d) 
n
3


 n  1

(Univ. Maritimã, Constanþa, 2002)
(3 puncte)
Se considerã polinomul f  X 3  mX2  2X  m  1  R  X  , având rãdãcinile
x1, x 2 , x 3 .
3
a) Sã se arate cã x13  x 23  x 3
3   m  3m  3.
3
b) Sã se determine m pentru care x13  x 23  x 3
 3  x1x 2 x 3  .
2
c) Sã se determine m pentru care polinomul f se divide cu X  1 ºi, în acest
caz, sã se gãseascã rãdãcinile sale.
(Univ. Bucureºti, Facultatea de Matematicã ºi Informaticã, 2002)
(4 puncte)
3.
Sã se rezolve ecuaþia x 4  2x 3  x 2  2x  2  0 în mulþimea C, ºtiind cã
admite ca rãdãcinã numãrul x1  1  3.
(Univ. de Nord, Baia-Mare, 2002)
(3 puncte)
169
Algebr‘ • III. Inele de polinoame
Testul 2
1.
Se considerã polinomul f  X4  X3  X2  X  1, cu rãdãcinile x1, x2, x3 , x4  C.
a) Sã se calculeze f 1 ºi f  1 .
b) Sã se determine a  C, astfel
f  a  X  x1   X  x 2   X  x 3   X  x 4  .
încât
sã
avem
identitatea
c) Sã se arate cã 1  x1  1  x 2  1  x 3  1  x 4   1.
d) Sã se arate cã 1  x1  1  x 2  1  x 3  1  x 4   5.
(Bacalaureat, iulie 2002)
(4 puncte)
2.
Fie f  X 4  7X 3   m  13  X2   4m  3  X  m  C  X  . Sã se rezolve ecuaþia
f  x   0, ºtiind cã m  Q, admite soluþia x  2  3, iar x  2x .
1
3
4
(Univ. Lucian Blaga, Sibiu, 1998)
(3 puncte)
3.
Sã se descompunã în factori ireductibili peste Q, R, C polinomul
1
3
.
f  X 4  X 3  X2  2X  2, ºtiind cã admite rãdãcina z1    i
2
2
(Univ. Babeº Bolyai, Cluj-Napoca, 1996)
(3 puncte)
Testul 3
1.
Sã se determine rãdãcinile x1, x2 , x3 ale polinomului f  X3  mX2  2  C  X ,
dacã x14  x 24  x 34  0.
(Univ. Lucian Blaga, Sibiu, 2002)
(3 puncte)
2.
Ecuaþia x 4  x 3  mx 2  2x  n  0, m, n  R admite soluþia x1  1  i pentru:
a) m  2, n  3;
d) m  1, n  4;
b) m  0, n  2;
e) m  n  0.
c) m  1, n  0;
(Univ. Maritimã, Constanþa, 2000)
(3 puncte)
3.
Se considerã ecuaþia x 4   m  1 x 3  mx 2   m  1 x  1  0.
Fie M  m  R
ecuaþia are douã rãdãcini reale, distincte ºi negative .
Atunci:
a) M   , 0  ; b) M   0,    ; c) M   ,  1 ; d) M   1, 1 ; e) M  .
(ASE, Ciberneticã, 1997)
(3 puncte)
170
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
ELEMENTE DE
ANALIZĂ MATEMATICĂ
I. PRIMITIVE
În clasa a XI-a s-a vãzut cã noþiunea de derivatã a unei funcþii a
fost introdusã pornind de la câteva considerente practice. Astfel, în
domeniul fizicii, viteza instantanee a unui mobil este descrisã de o
funcþie care reprezintã derivata funcþiei „spaþiu“.
Fizica experimentalã ridicã însã ºi problema oarecum inversã celei
de derivatã, în sensul cã impune determinarea proprietãþilor unei
funcþii care modeleazã un fenomen, folosind valori ale derivatei rezultate dintr-un experiment.
Relativ la astfel de situaþii practice a apãrut conceptul de
„integralã“. Denumirea de „integralã“ rezultã din ideea deducerii unei
concluzii asupra întregului, idee formulatã având în vedere concluzii
asupra pãrþilor întregului, (integer = întreg, în limba latinã).
1 Probleme care conduc la noţiunea de integral‘
Problema spaþiului parcurs de un mobil în miºcarea rectilinie
Se considerã un punct mobil M care se deplaseazã rectiliniu, în
acelaºi sens, pe o axã, cu viteza instantanee la momentul x egalã cu
v  x  . Dacã S  x  este distanþa parcursã de mobil de la momentul
iniþial t  0 la momentul t  x, atunci, conform definiþiei vitezei
instantanee, are loc egalitatea v  x   S  x  .
Problema se poate pune însã ºi invers: dacã se cunoaºte viteza
instantanee v  x  în fiecare moment x, atunci se poate determina
distanþa parcursã de mobil în intervalul de timp 0, x  ?
Din punct de vedere matematic, problema revine la a studia dacã
existã o funcþie S care verificã egalitatea S  x   v  x  . Cu alte cuvinte,
problema revine la a determina funcþia când se cunoaºte derivata sa,
determinare care face obiectivul capitolelor urmãtoare.
171
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
Problema ariei unei suprafeþe plane
Se considerã f :  a, b  R o funcþie continuã ºi pozitivã.
Se noteazã cu S funcþia care asociazã fiecãrui x   a, b aria S  x 
a suprafeþei plane mãrginite de curba y  f  x  , axa Ox pe intervalul
 a, x  ºi segmentele  AA ,  MM unde A  a, 0  , A   a, f  a   , M  x, 0  ,
M  x, f  x   , (figura 1).
y
B
M
N
A
B  b, 0 
O A  a, 0  M  x, 0 
xm
xM
N  x  h, 0 
x
Figura 1
Funcþia S, numitã funcþia „arie“, este derivabilã pe intervalul  a, x  .
Într-adevãr, fie N  Ox, N  x  h, 0 , h  0 ºi xm, xM   x, x  h puncte
în care f ia valoare minimã, respectiv valoare maximã pe intervalul
 x, x  h .
Deoarece aria suprafeþei curbilinii  MMNN  este cuprinsã între
ariile dreptunghiurilor cu baza  MN  ºi cu înãlþimile egale cu f  x m  ,
respectiv f  x M  , au loc relaþiile:
h  f  x m   S  x  h   S  x   h  f  x M  . De aici se obþine:
S  x  h  S  x 
 f  x M  . (1)
h
Pentru h  0 avem: lim f  x m   f  x   lim f  x M  .
f  xm  
h 0
h 0
Prin trecere la limitã dupã h  0 în relaþia (1) ºi folosind definiþia
derivatei se obþine:
S  x  h  S  x 
S  x   lim
 f  x .
h 0
h
172
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
Aºadar, funcþia S este derivabilã ºi S  x   f  x  , x   a, b , (2),
relaþie care exprimã derivata funcþiei
„arie“ cu ajutorul funcþiei f.
O problemã care se pune în legãturã cu relaþia (2) este: „Sã se determine aria suprafeþei plane asociate
funcþiei f pe un interval  a, b , în
ipoteza cã se cunoaºte derivata sa.“.
Gottfried Wilhelm Leibniz (16461716) a notat aceastã arie cu simbolul
b
a
f  x  dx, citit „integralã de la a la b
din f  x  dx “.
Rezolvarea deplinã a problemelor
care cer determinarea funcþiei când se
cunoaºte derivata sa se va face introducând noile concepte matematice:
„primitivã“ ºi „integralã definitã“.
Gotffried Wilhelm LEIBNIZ
(1646-1716)
matematician german
Este creatorul calculului diferenþial ºi integral, având contribuþii remarcabile în analiza combinatorie, calculul probabilitãþilor,
aritmeticã ºi mecanicã.
Primitivele unei funcţii
2 Integrala nedefinit‘ a unei funcţii
Fie I  R un interval de numere reale ºi funcþia f : I  R.
v DEFINIÞII
• Funcþia f : I  R admite primitive pe intervalul I dacã existã o
funcþie F : I  R astfel încât:
a) F este funcþie derivabilã pe intervalul I;
b) F   x   f  x  ,  x  I.
• Funcþia F cu proprietãþile de mai sus se numeºte funcþia primitivã
(sau antiderivatã) a funcþiei f pe intervalul I.
• Dacã funcþia F existã, se spune cã funcþia f este primitivabilã pe
intervalul I.
 Exemple
 Funcþia nulã f : R  R, f  x   0, admite primitive pe R.
Într-adevãr, pentru orice numãr real c, funcþia F : R  R, F  x   c este funcþie
derivabilã pe R ºi F   x   0  f  x  ,  x  R.
173
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
 Fie funcþia f : R  R, f  x   x 2 . Funcþiile F : R  R, F  x  
Gx 
x3
3
ºi G : R  R,
x3
 k, k  R, sunt primitive ale funcþiei f pe R.
3
Într-adevãr, funcþiile F ºi G sunt derivabile pe R ºi F   x   x 2  G  x   f  x  ,
 x  R.
 Funcþia F :  0,     R, F  x   ln x este o primitivã a funcþiei f :  0,     R,
1
.
x
De asemenea G :  0,     R, G  x   ln x  1 este o primitivã a funcþiei f pe  0,    .
f x 
Din exemplele de mai sus se observã cã funcþiile alese admit mai
multe primitive pe intervalul de definiþie. Relaþia dintre diferitele
primitive ale unei funcþii pe un interval este datã de urmãtorul rezultat:
 TEOREMA 1
Fie I  R un interval ºi funcþia f : I  R.
Dacã F1, F2 : I  R sunt douã primitive ale funcþiei f pe intervalul
I, atunci existã o constantã c  R astfel încât F1  x   F2  x   c,
 x  I.
Demonstraþie
Funcþiile F1, F2 fiind primitive ale funcþiei f pe intervalul I, sunt
derivabile pe I ºi F1  x   f  x   F2  x  ,  x  I.
Folosind operaþiile cu funcþii derivabile, rezultã cã funcþia F1  F2
este derivabilã ºi  F1  F2   x   F1  x   F2  x   0,  x  I.
Deoarece funcþia F1  F2 are derivata nulã pe intervalul I, din
consecinþa teoremei lui Lagrange rezultã cã existã c  R astfel încât
 F1  F2  x   c,  x  I.
Aºadar F1  x   F2  x   c,  x  I. n
Teorema afirmã cã douã
primitive ale unei funcþii primitivabile pe un interval diferã printr-o
constantã. Dacã F este o primitivã a funcþiei f : I  R, atunci
orice altã primitivã G a lui f este
de forma G  F  c, unde c este
funcþie constantã pe I.
 NE REAMINTIM!
Consecinþã a teoremei lui LAGRANGE
Fie f, g : I  R, funcþii derivabile pe
intervalul I, astfel încât f   x   g   x  ,
 x  I.
Atunci, existã
c  R,
astfel
încât f  g  c. (Funcþiile f ºi g diferã
printr-o constantã.)
174
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
Se deduce astfel cã dacã funcþia f admite o primitivã, atunci
admite o infinitate de primitive.
v DEFINIÞII
Fie I  R un interval ºi f : I  R o funcþie care admite primitive pe I.
• Mulþimea tuturor primitivelor funcþiei f pe intervalul I se numeºte
integrala nedefinitã a funcþiei f ºi se noteazã  f  x  dx.
• Operaþia prin care se determinã mulþimea primitivelor unei funcþii se
numeºte operaþia de integrare.
 OBSERVAŢII
Fie f : I  R o funcþie primitivabilã ºi F o primitivã a funcþiei f pe I.
1. Din teorema 1 se deduce cã mulþimea primitivelor funcþiei f pe
intervalul I satisface egalitatea:
 f  x  dx  F  c c este funcþie constantã.
2. Dacã se noteazã
C  c : I  R c este funcþie constantã ,
atunci
 f  x  dx  F  C .
Precizãri
• Dacã F  I   f
f : I  R ºi F , G  F  I  , se definesc operaþiile:
a) F  G  f  g f  F , g  G ;
b) F  f
f  F  ,   R;
c) f  G  f  h h  G , f  F  I  .
• Pentru mulþimea C a funcþiilor constante pe intervalul I au loc
egalitãþile:
C  C  C ; C  C , pentru   R* .
3. Cu ajutorul notaþiilor utilizate pentru integrala nedefinitã, cele trei
exemple conduc la urmãtoarele egalitãþi:
 0 dx  C , x  R;
2
 x dx 
x3
 C , x  R;
3
1
 x dx  ln x  C , x   0,    .
175
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
3 Propriet‘ţi ale integralei nedefinite
 TEOREMA 2 (proprietatea de aditivitate a integralei nedefinite)
Fie I  R un interval ºi f, g : I  R douã funcþii care admit
primitive pe I. Atunci funcþia sumã f  g : I  R admite primitive
pe intervalul I ºi are loc egalitatea:
 f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx.
Demonstraþie (extindere)
Fie F, G : I  R primitive ale funcþiilor f, g pe intervalul I. Funcþiile
F ºi G sunt derivabile pe I ºi F   f ºi G  g. Folosind operaþiile cu
funcþii derivabile pe un interval, rezultã cã funcþia F  G este funcþie
derivabilã pe I ºi are loc egalitatea  F  G   F   G  f  g.
Aºadar, funcþia f  g admite primitive pe intervalul I ºi funcþia
F  G este o primitivã a acesteia pe intervalul I.
Totodatã au loc urmãtoarele egalitãþi:
 f  x  dx  F  C , (1)
 g  x  dx  G  C , (2)
 f  x   g  x  dx   F  G   C . (3)
Folosind relaþia C  C  C ºi egalitãþile (1), (2), (3) se obþine:
 f  x  dx   g  x  dx   F  C    G  C    F  G  C  C    F  G  C 
   f  x   g  x   dx. n
 TEOREMA 3
Fie f : R  R o funcþie care admite primitive pe I ºi   R. Atunci
funcþia f admite primitive pe I, iar pentru   0 are loc egalitatea
  f  x  dx    f  x  dx, (4).
Demonstraþie
Fie F o primitivã a funcþiei f pe intervalul I. Rezultã cã F este funcþie
derivabilã pe I ºi F   f. Conform operaþiilor cu funcþii derivabile se obþine
cã funcþia F este derivabilã pe I ºi  F   F   f. Aºadar, funcþia f
admite primitive pe intervalul I ºi funcþia F este o primitivã a ei.
176
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
Totodatã are loc egalitatea:
  f  x  dx  F  C .
Din faptul cã C  C ,    R* , se obþine:
  f  x  dx    F  C   F  C    f  x  dx ºi teorema este demonstratã. n
 OBSERVAŢII
1. Pentru   0, egalitatea (4) nu este adevãratã. Într-adevãr, pentru
  0 avem:   f  x  dx   0 dx  C , iar   f  x  dx  0   f  x  dx  0 .
2. Pentru   R are loc egalitatea:   f  x  dx    f  x  dx  C .
 CONSECINÞÃ (Proprietatea de liniaritate a integralei
nedefinite)
Fie f, g : I  R funcþii care admit primitive pe intervalul I ºi
,   R, numere nesimultan nule.
Atunci funcþia f  g admite primitive pe I ºi are loc egalitatea:
  f  g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx.
Exerciþii rezolvate
 1. Sã se determine funcþia f : D  R pentru care o primitivã a sa
este de forma:


a) F  x   e x x 2  6x , x  R;
b) F  x  
2x
1 x
2
c) F  x   arccos
 earctg x , x  R;
1  x2
1  x2
, x  0.
Soluþie
Se aplicã definiþia primitivei unei funcþii, arãtând cã funcþia F este
funcþie derivabilã ºi F   x   f  x  .
a) Funcþia F este derivabilã pe R ca produs de funcþii derivabile ºi

f  x   F   x   e x x 2  6x   e x  x 2  6x  e x   2x  6  , x  R.








Rezultã cã f  x   e x x 2  8x  6 , x  R.
177
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
b) Funcþia F este derivabilã pe R fiind exprimatã cu ajutorul
operaþiilor cu funcþii derivabile.
 2  x  arctg x

Avem: f  x   F  x   
 e

2 
 NE REAMINTIM!

1
x


 f  g   f   g  f  g 
2x


 earctg x 
1  x2
 f  f   g  f  g 
  
x
g2
g
 1  x2  2  x  
1
1  x 2  earctg x 
 u
u  


2 u
1  x2
1
2x
1
 u
 arctg u  
arctg x



e

1

u2
2
1  x2 1  x
1
 u
 arccos u  
1  3x
1  u2
 earctg x 
, x  R.
1  x2 1  x2




c) Funcþia F este derivabilã pe intervalul  0,    ºi:


2
 1  x 2   1  x
2
4x
f  x   F  x  
, x  0.




2 
2
2


2
2
2
1

x
1

x
2
4x


1 x
1  x 
1  
2 

1  x 
1



2. Fie funcþia f : R  R, f  x   e2x  sin x. Sã se determine constantele reale m ºi n astfel încât funcþia F : R  R, F  x   e2x  m sin x 
 n cos x  sã fie o primitivã a funcþiei f pe R.
Soluþie
Din ipoteza cã F este o primitivã a funcþiei f, rezultã cã F este
derivabilã ºi F   x   f  x  ,  x  R.
Se obþine egalitatea:
e2x  2m  n  sin x   m  2n  cos x   e2x sin x,  x  R.

Pentru x  0, se obþine m  2n  0, iar pentru x  , se obþine 2m 
2
2
1
 n  1. Rezultã, în final, cã m 
ºi n   , valori care verificã condi5
5
þiile din enunþ.
178
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
e x ,
x0
2x  m, x  0
 3. Sã se studieze dacã funcþia f : R  R, f  x   
admite primitive pe R, unde m  R.
Soluþie
O primitivã a funcþiei f1 : 0,     R, f1  x   e x este funcþia:
F1 : 0,     R, F1  x   e x  c1.
O primitivã a funcþiei f2 :  , 0   R, f2  x   2x  m, este funcþia:
F2 :  , 0   R, F2  x   x 2  mx  c2 .
Rezultã cã o primitivã a funcþiei f pe R va avea forma:
e x  c1,
x  0,   
F x  
.
2
 x  mx  c2 , x   , 0 
Constantele c1 ºi c2 vor fi determinate astfel încât funcþia F sã fie
derivabilã pe R, în particular sã fie continuã pe R. Astfel, condiþia de continuitate în x  0, lim F  x   F  0  , conduce la egalitãþile 1  c1  c2  c.
x 0
e x  c  1,
x0
Rezultã cã F  x   
.
2
 x  mx  c, x  0
Condiþia de derivabilitate a funcþiei F în x  0 conduce la egalitãþile Fd  0   1  Fs  0   m.
Aºadar, existenþa primitivelor pentru funcþia f depinde de valorile
parametrului m:
• pentru m  1, funcþia f admite primitive pe R ºi o primitivã este
e x  1  c, x  0
funcþia F : R  R, F  x   
;
2
 x  x  c, x  0
• pentru m  R \ 1 , funcþia f nu admite primitive pe R.
 COMENTARIU METODIC
Din problema rezolvatã anterior se contureazã câteva idei care
vizeazã existenþa sau neexistenþa primitivelor unei funcþii.
a) Pentru m  1, funcþia f este continuã pe R ºi admite primitive
pe R.
Mai general, are loc urmãtorul rezultat:
Orice funcþie continuã f : I  R admite primitive pe intervalul I.
179
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
b) Pentru m  R \ 1 funcþia f are discontinuitãþi de speþa I ºi nu are primitive pe R.
Mai general, are loc urmãtorul rezultat:
Orice funcþie f : I  R care are discontinuitãþi de speþa I nu admite primitive pe
intervalul I.
c) Deoarece funcþia f are discontinuitãþi
de speþa I pe R, nu are proprietatea lui
Darboux pe R.
Mai general, dacã o funcþie f : I  R
nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul I, atunci nu are primitive pe I.
 TEMĂ
Au primitive funcþiile
f : R  R:
 1
, x 1

a) f  x    x 2  1
;
 ln ex, x  1

1

 sin , x  0
b) f  x   
;
x
 0,
x 0
1, x  Q
c) f  x   
?
 1, x  R \ Q
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se determine funcþia f : D  R
pentru care o primitivã a sa este
de forma:
E3. Se considerã funcþiile F1,F2 : R  R,
 x 3 x2

 x  1, x  0

F1  x    3
,
2
 x
e

1,
x

0

a) F  x   2x 3  4x 2  5x  9, x  R;
b) F  x  
3
x 2  4x 2 x, x   0,   ;
 x 3 x2

 x, x  0

F2  x    3
.
2
 x
x0
 e  1,
c) F  x   x sin x, x  R;
d) F  x   x  ln x  1 , x   0,    ;
Sunt aceste funcþii primitive ale
funcþiei f : R  R,
x 3  2x
, x   0,    ;
e) F  x  
x 1
f) F  x   e
x
 e x ,
x0
f x  
?
2
 x  x  1, x  0
 x  1  4, x  R;


g) F  x   tg 2 x  tg x, x   0,  .
4


E2. Sã se verifice dacã funcþia F : R  R,
 2x
2
x
, x 1

 ln 2
ln 2
este
F x  
2
3
x
x 1
 2  2x  2 ,
primitivã a funcþiei f : R  R,
E4. Folosind afirmaþia cã o funcþie continuã pe un interval admite primitive pe acest interval, sã se arate
cã urmãtoarele funcþii admit primitive pe domeniul de definiþie:
2 x  1, x  1
f  x  
.
 x  2, x  1
180
a) f  x   x 3  4x 2  x  3, x  R;
 sin x
, x0

;
b) f  x    x
1,
x0
1
 2
 x sin , x  0
c) f  x   
;
x
 0,
x0
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
E5. Pentru funcþia f : R  R, f  x  3x2 
 sin 3x
, x0

d) f  x    x 2  x
;
 3,
x
0


 2x, sã se determine primitiva F
care verificã relaþia F  1  2.
 2x  1  1

, x0
e) f  x   
.
x
1,

x
0

APROFUNDARE
A1. Sã se determine funcþiile f : D  R,
care au primitive de forma:
A2. Funcþiile Fk : R  R, k  1, 2, 3
a) F  x   x ln2 x  ln x 2  1 ,
ºi F1  x  
x   0,    ;





b) F  x   e x 1 x 2  4x , x  R;
x 3
  4x 
 cos  
 , sunt
2 8
3 
6
primitive ale funcþiei f : R  R,
x
9
x
9  x 2  arcsin ,
2
2
3
x   3, 3  ;
d) F  x  


x
x2  1 
2
1
ln x 
2
f) F  x  

x 2  1 , x  R;
x n 1 
1 
 ln x 
 , x  0;
n 1
n  1
  2x 
f  x   cos2  
?
3 
6
A3. Sã se arate cã urmãtoarele funcþii
admit primitive pe domeniul de
definiþie:
 4x 5  5x 4  1
,x  1

;
a) f  x   
 x  12
 2
 7x  4x  1, x  1
 ex2  1

,
x0
;
b) f  x    x 4  x 2
 3
2
x

3x

1,
x

0

 sin  ln x   cos  ln x    x
g) F  x   
,
2
x  0;


 e x  ln x, x   0, 1

c) f  x    1
;
 x x 1 ,
x
1,






h) F  x   arcsin 2x 1  x 2 
2 arcsin x, x   1, 1 ;
i) F  x  

x 3
  2x 
 sin  
,
2 4
3 
6
F3  x  
x  R;
e) F  x  
3 3
 4x 
cos 
,
16
 3 
F2  x  
c) F  x   2x sin x  2 cos x  x 2 ,
x
3
 4x 

sin 

2 16
 3 
 1  cos x2

, x   1, 1 \  0
;
d) f  x   1  cos x

x0
 2,
1
x 1

 ln
2
3 
x  x 1
1
2x  1 
 arctg
 , x  0.
3
3 
e) f  x   lim
n 
181
cos x  x  1 e nx
1  e nx
.
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
A4. Se
considerã
funcþia
f : R  R,
A9. Fie funcþiile f, g :  0,     R,
 e x 1, x  1
f x  
. Sã se arate
2  x, x  1
cã f admite primitive pe R ºi sã se
determine o primitivã F cu pro3
prietatea cã F  2   .
2
f x 
1
 c  bx  a ln  x  1  .
x
Existã valori ale constantelor
a, b, c  R astfel încât funcþia g
sã fie o primitivã a funcþiei
f x
h :  0,     R, h  x  
?
x2

A5. Se considerã funcþia f : R  R, f  x 


 max 1, x2 . Sã se arate cã f admite
primitive pe R ºi sã se determine
o primitivã F care verificã relaþia:
 3
1
4F     3F    3F  2  .
 2
2
A10.Se considerã funcþia f :  0, 3   R,
 x 2  ax  b, x   0, 1

f  x   2x  1,
x  1, 2  . Sã se

x
3a,
x

  2, 3 

determine a, b  R astfel încât f sã
A6. Sã se determine constantele a, b  R
astfel încât funcþia F :  0,    R,
 ln2 x, x   0, e 
F x  
 ax  b, x   e,   
sã
fie
x
 ln  x  1 ºi g  x  
x 1
admitã primitive pe  0, 3  .
A11.Sã se afle constantele a, b  R astfel
încât funcþia f :  0,     R,
primitivã a unei funcþii.
ex 1  ln x,
x   0, 1

f  x   ax  b,
x  1, 2

 3x  2  2 x  2, x   2,  
sã admitã primitive pe  0,    .
A7. Se considerã funcþia F : R  R,
 x 2  ax  3, x  1

F  x    3x  b
.
,
x 1
 2
x  2
Existã valori pentru a, b  R astfel
încât funcþia F sã fie antiderivata
unei funcþii?
A8. Se considerã funcþia f :  0,    R,
A12. Sã se arate cã urmãtoarele funcþii
f : R  R nu admit primitive pe
R, dacã:
x 1
f x 
.
x
Sã se determine constantele a, b R
astfel încât funcþia F :  0,     R,
F  x    ax  b  x sã fie o antiderivatã a funcþiei f.
182
a) f  x    x  ;
b) f  x    x   2x;
c) f  x   sgn x;
 x  1, x  0
;
d) f  x   
 sin x, x  0
 x , x  Q
.
e) f  x    2
 x , x  R \ Q
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
DEZVOLTARE
D1. Se considerã funcþia f :  a, b  R ºi
c   a, b  . Dacã f admite primitive
pe intervalele  a, c ºi  c, b , sã se
arate cã f admite primitive pe
 a, b .
D2. Sã se arate cã urmãtoarele funcþii
admit primitive ºi sã se determine
o primitivã dacã:
a) f  x   x  2 , x  R;
4
b) f  x   x  1  x  1 , x  R.
D3. Fie f : I  R o funcþie care admite
primitive pe I. Dacã a  I ºi
 f  x  , x  I \ a
g : I  R, g  x   
,
 b, x  a ºi b  f  a 
sã se arate cã funcþia g nu admite
primitive pe I.
Primitive uzuale
O problemã esenþialã care se pune relativ la noul concept de
„primitivã a unei funcþii“ este aceea a determinãrii mulþimii primitivelor
pentru o clasã cât mai largã de funcþii.
Fie I un interval de numere reale ºi f : I  R o funcþie care admite
primitive pe I.
Dacã F : I  R este o primitivã a ei, atunci F este o funcþie
derivabilã ºi F   x   f  x  ,  x  I.
Astfel, definiþia primitivei dã posibilitatea determinãrii acesteia în
strânsã legãturã cu folosirea formulelor de derivare învãþate în clasa
a XI-a.
Ca urmare, apar urmãtoarele posibilitãþi:
4.1. Primitive deduse din derivatele
funcþiilor elementare
Ilustrãm acest procedeu prin câteva exemple:
a) Fie f : R  R, f  x   sin x.
Avem  sin x   cos x, x  R, ºi astfel se obþine  cos x dx  sin x  C .
b) Fie f :  0,     R, f  x   ln x.
1
1
Avem  ln x   , x   0,    , ºi se obþine  dx  ln x  C .
x
x
  
c) Fie f :   ,   R, f  x   tg x.
 2 2
1
1
dx  tg x  C .
ºi se obþine 
Avem  tg x  
cos2 x
cos2 x
183
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
Procedând analog pentru alte funcþii, se obþine urmãtorul tabel de
integrale nedefinite.
Nr.
crt.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Funcþia
f : R  R, f  x   x n , n  N
f : I  R, f  x   x r , I   0,    ,
r  R \ 1
f : R  R, f  x   a x , a  0, a  1
1
, I  R*
x
1
f : I  R, f  x   2
,
x  a2
I  R \ a , a  0
1
x  a2
2
7.
f : R  R, f  x   sin x
8.
f : R  R, f  x   cos x
10.
11.
,a  0
12.
ax
C
ln a
1
1
x a
1
1
x
 x 2  a2 dx  a arctg a  C
 sin x dx   cos x  C
 cos x dx  sin x  C
 tg x dx   ln cos x  C
 ctg x dx  ln sin x  C
I  R \ k k  Z
1
,
cos2 x



I  R \  2k  1
k  Z
2


f : I  R, f  x  
x
 a dx 
 x 2  a2 dx  2a ln x  a  C



I  R \  2k  1
k  Z
2


f : I  R, f  x   ctg x,
f : I  R, f  x  
x r 1
C
r 1
 x dx  ln x  C
f : I  R, f  x   tg x,
9.
r
 x dx 
1
f : I  R, f  x  
f : R  R, f  x  
Mulþimea primitivelor
(integrala nedefinitã)
x n 1
n
x
dx

C

n 1
1
sin2 x
I  R \ k k  Z
1
 cos2 x dx  tg x  C
,
1
 sin2 x dx  ctg x  C
184
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
1
f : I  R, f  x  
13.
I   a, a  , a  0
a2  x 2
1
f : I  R,f  x  
,
 a2  x 2 dx  arcsin a  C
,
 x 2  a2 dx  ln x  x  a
1
1
x a
I   ,  a  sau I   a,   
14.
2
1
f : R  R, f  x  
15.
2
x a
2
a0
2
x
2
2
C
 x2  a2 dx  ln  x  x  a   C
1
,
2
2
Exerciþiu rezolvat
 
Sã se determine integralele nedefinite pentru urmãtoarele funcþii
folosind proprietãþile integralei nedefinite ºi tabelul de integrale
nedefinite:
a) f  x   x 3  3x 2  x, x  0;
b) f  x  
cos 2x  3
 
, x   0,  ;
sin x  cos x
 2
c) f  x  
1  x2  x2  6
d) f  x  
x 4  8x 2  17
2

2

x2  6 1  x2
x2  4

, x   1, 1 ;
, x  R.
Soluþie


a) Avem  x 3  3x 2  x dx   x 3 dx   3x 2 dx   xdx 
3  x 2 dx  
x4

4
1
1
1
4
3
2
x
x
x
x4
2
2
3

C 
 x3   x
x dx 
x  C.
1
4
3
1
2
b) Se prelucreazã expresia de la numãrãtor ºi rezultã:
4
3


cos 2x  3  cos2 x  sin 2 x  3 sin2 x  cos2 x  2 cos2 x  4 sin 2 x.
Mulþimea de primitive va fi:
cos 2x  3
2 cos2 x
4 sin 2 x
1
dx

dx

 sin2 x  cos2 x
 sin2 x cos2 x
 sin2 x cos2 x dx  2 sin2 x dx 
1
 4
dx  2ctg x  4tg x  C .
cos2 x
185
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
c) Se distribuie numitorul comun la termenii numãrãtorului ºi se
obþine:


1  x2  x2  6
1
1
1

dx   
dx 
 dx  
 2

2
2 
2
2



x
6
1
x
x
6
x  6 1 x




1
1  x2




dx  ln x  x 2  6  arcsin x  C .
d) Avem: 
x 4  8x2  17
x 4
x
1
x

 4x  arctg  C .
3
2
2
2
 x  4  1 dx  x  4 dx  dx 
dx  
  x 4

x 4
2
2
2
2
2
3
4.2. Primitive deduse din derivarea
funcþiilor compuse
Ilustrãm procedeul prin câteva exemple:
a) Fie I  R un interval, u : I  R funcþie derivabilã pe I ºi
f : R  R, f  x   sin u  x  .
Avem f   x    sin u  x    cos u  x   u  x  .
Rezultã cã sin u  x  este primitivã pentru cos u  x   u  x  , deci
 cos u  x   u  x  dx  sin u  x   C .
b) Fie u : I   0,    funcþie derivabilã pe I ºi f :  0,     R,
u  x 
f  x   ln u  x  . Avem f   x    ln u  x   
ºi ca urmare se obþine:
ux
u  x 
 u  x  dx  ln u  x   C .
În mod analog se pot obþine integralele nedefinite ºi pentru alte
funcþii obþinute prin derivarea unor funcþii compuse.
186
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
Astfel, dacã u : I  J este funcþie derivabilã pe intervalul I, se obţine
urmãtorul tabel de integrale nedefinite.
Nr.
crt.
Integrala nedefinitã
u n 1  x 
1.
n
 u  x   u  x  dx  n  1  C , n  N
2.
 u  x   u  x  dx 
3.
a
4.
 u x dx  ln u(x)  C , u  x   0, x  I
5.
6.
7.
8.
9.
r
u x 
 u  x  dx 
u  x 
u r 1  x 
r 1
 C , r  R \ 1 , u  I    0,   
a  
 C , a   0,    \ 1
ln a
u x
 
u  x 
u x  a
1
dx 
ln
 C , u  x    a,  x  I, a  0
 2
2
2a
u
x  a
u x  a
u  x 
u x
1
dx  arctg
C , a  0
 2
2
a
a
u x  a
 sin u  x   u  x  dx   cos u  x   C
 cos u  x   u  x  dx  sin u  x   C

 tg u  x   u  x  dx   ln cos u  x   C , u  x    2k  1 2 , k  Z, x  I
10.
 ctg u  x   u  x  dx  ln sin u  x   C , u  x   k , k  Z, x  I
11.

12.

13.

14.

u  x 
cos u  x 
2
u  x 
sin 2 u  x 
dx  tg u  x   C , u  x    2k  1
dx  ctg u  x   C , u  x   k , k  Z, x  I
u  x 
a 2  u2  x 
u  x 
u
2

, k  Z, x  I
2
x  a
2
dx  arcsin
u x
a
 C , a > 0, u  I    a, a 
dx  ln u  x   u2  x   a 2  C , a > 0, u  I    ,  a 
sau u  I    a,   
15.

u  x 
u
2
x  a
2
dx  ln  u  x   u2  x   a 2   C , a  0


187
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
În general are loc urmãtorul rezultat:
 TEOREMA 4 (formula de schimbare de variabilã)
u
f
Fie I, J intervale din R ºi funcþiile I  J  R cu proprietãþile:
a) u este funcþie derivabilã pe intervalul I;
b) f admite primitive pe intervalul J.
Dacã F este o primitivã a funcþiei f, atunci funcþia  f  u   u admite
primitive pe I ºi  f  u  x    u  x  dx  F  u  C .
Exerciþii rezolvate
 1. Sã se calculeze 
2x  3
x  3x  4
2
dx, x  R.
Soluþie
7

Alegem funcþia u : R   ,    , u  x   x 2  3x  4, derivabilã pe R.
4


u  x 
2x  3
Se obþine u  x   2x  3 ºi 2

, x  R.
x  3x  4 u  x 
Rezultã cã 
2x  3
x  3x  4
2
dx  
u  x 
u x



dx  ln u  x   C  ln x2  3x  4  C.

3
 2. Sã se calculeze  4x 3 x 4  2 dx, x  R.
Soluþie
Alegem funcþia u : R   2,   , u x  x4  2, derivabilã, cu u x  4x3,

x  R. Rezultã cã 4x 3 x 4  2
  u  x   u3  x  dx 
u4  x 
4
C 
  u  x   u3  x  ºi  4x 3  x 4  2  dx 
3
3


4
1
 x4  2  C.
4
 3. Sã se calculeze  2x  3 x 2  1 dx, x  R.
Soluþie
Alegem funcþia u : R  1,   , u x  x2 1, derivabilã pe R, cu u  x  
 2x, x  R. Rezultã cã  2x  x  1 dx   u  x   u 
3


2
 

4
3
3
  u  x   3  C   x 2  1 3 x 2  1  C .
4
4
188
1
u
x  3 dx  

1
 x  3
1
1
3
1
C 
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
4.3. Primitive deduse din formula de derivare
a produsului a douã funcþii
Fie f, g : I  R funcþii derivabile pe intervalul I, cu derivatele
continue. Atunci  fg   f g  fg . Rezultã cã fg este o primitivã a funcþiei
f g  fg  , iar mulþimea primitivelor verificã egalitatea:
 f   x  g  x   f  x  g  x  dx  f  x  g  x   C sau
 f   x  g  x  dx   f  x  g  x  dx  f  x  g  x   C. (1)
Din egalitatea (1) se obþine:
 f  x  g   x  dx  f  x   g  x    f   x  g  x  dx. (2)
Egalitatea (2) se numeºte formula de integrare prin pãrþi.
Exerciþiu rezolvat
 Sã se calculeze:
a)  x ln x dx, x  0; b)  x sin x dx, x  R; c)  arctg x dx, x  R.
Soluþie
a) Integrala se scrie:
 x 2 
x2
x2
x2

x
ln
x
dx
ln
x
dx
ln
x
ln
x
dx




 ln x 



  2 
2
2
2



x2 1
x2
1
x2
x2
 dx 
ln x   x dx 
ln x 
 C.
2 x
2
2
2
4
b) Avem:  x sin x dx   x    cos x  dx   x cos x   x     cos x  dx 
  x cos x   cos x dx   x cos x  sin x  C .
c) Avem:  arctg x dx   x   arctg x dx  x arctg x   x   arctg x  dx 


2 
1 1 x
 x arctg x  
dx  x arctg x  
dx  x arctg x 
2 1  x2
1  x2
1
 ln 1  x 2  C .
2
x


189
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE

E1. Sã se determine mulþimea primitivelor urmãtoarelor funcþii:
b)  x 2  2x
a) f  x   x 4 , x  R;

5
 x

 21x 4 4 x  dx, x  0;
e)  
3 7

 x

1
1
dx, x  ;
f) 
2
4x 2  1
30
5
g) 
dx, x  ;
2
3
9x  25
8
dx, x  R;
h) 
4x 2  1
18
dx, x  R;
i) 
2
3x  27
x 3 , x  R;

8
e) f  x   x 3 , x  0;
f) f  x   11x 
g) f  x  
1
3
x2
4
x 3 , x  0;
, x  0;
h) f  x   e x , x  R;
i) f  x   2 x , x  R;
1
, x  1;
x 1
1
, x   3, 3  ;
k) f  x   2
x 9
1
, x  R;
l) f  x  
16  x 2
1
, x   ,  2  ;
m) f  x  
2
x 4
1
n) f  x  
, x   2, 2  ;
4  x2
1
, x  R;
o) f  x  
2
x  25
1
, x   0, 6  .
p) f  x  
6  x 6  x

j) f  x  

j)  5 x ln 5  4 x ln16 dx, x  R;
1
k) 
dx, x  R;
6x  24
1
dx, x  3;
2
2x  18
2
l) 
m) 
3
48  3x 2
dx, x   2, 2  .
E3. Sã se calculeze integralele nedefinite:
a)   3 sin x  4 cos x  dx, x  R;


b)  2 sin2 x  3 8 cos2 x dx, x  R;
x
x
cos dx, x  R;
2
2
x
d)  2 cos2 dx, x  R;
2
x
e)  2 sin2 dx, x  R.
2
c)  2 sin
E2. Sã se calculeze integralele nedefinite:


d)  8x 2 x  7x 4 x 3 dx, x  0;
4
 x 5 , x  0;
d) f  x  
3
4
3
 2
c)   3  5   dx, x  0;
x
x
x
b) f  x   8x 7 , x  R;
c) f  x 
 dx, x  R;

a)  5x 4  4x 3  3x 2  6x  1 dx,
x  R;
190
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
APROFUNDARE

5
2
3x  x  x  1
a) 
x3
3
dx, x  0;
4
2x  x
dx, x  0;
x
b) 

c)  x 5 x 
I1  
x 2  x 4 x dx, x  0;
x x  2x
x
3
d) 
24
x
2


 1
f)  

 3  x2

 x  1 4
x2

 dx, x  R;
2 
3x 
x2  4
x2  4  4
x2  4
2  x2 
j) 

k) 
dx, x  2;
dx, x  R.
3
7
x 5  1dx, x  R;
x3  1
dx, x  0;
1 4
ln x dx, x  0;
x
2x  5
dx, x  R;
f)  2
x  5x  7
x 1
dx, x  R;
g) 
2
3x  6x  11
2x
dx, x   1, 1 ;
h)  4
x 1
dx,
dx, x  4.
x2
i) 
dx, x  2;
16  x 6
x
dx, x  R;
j)  2
x 9
x
dx, x  R;
k)  4
x 1
2
x
x

c)   sin  cos  dx, x  R;
2
2


x2
l) 
x 6  25
3
 
dx, x   0, ;
 2
1  cos x
3 cos 2x  1


dx, x   0,  ;
e) 
2
4


sin 2x

x2  1
e) 

sin x  8
m) 
2
n) 



f)  1  tg x dx, x   0,  ;
2

2
dx, x  R;
 x  16   x  16
3x 2
d) 
A2. Sã se calculeze:
1


a) 
dx, x   0,  ;
2
2
2


sin x  cos x
cos 2x


b) 
dx, x   0,  ;
2

cos2 x  sin2 x
d) 
x  x 1
dx, x  R;

 dx, x  R;
5
b)  x 4 1  x 5  dx, x  R;
2 ;
x 2  16
x3  1
2
a)  6x 3x 2  1
dx, x  R;
x2  2
2x  1
x2  x  1
c)  x 4
4  x4
x   2,
x 4  x2  1
A4. Sã se calculeze:
dx, x  1;
x  4 1
i) 
I3  
1
2
h) 
I2  
dx, x  0;
e)  2 x ln 3 4  ln 3  9 x dx, x  R;
g) 
A3. Sã se calculeze mulþimile de primitive:

3



g)  1  ctg 2 x dx, x   0,  .
2

A1. Sã se determine integralele nedefinite:
191
3x
1  9x
x  x3
1  x4
dx, x  5;
dx;
dx, x  R.
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
j)  sin 3 x  cos2 x dx, x  R.
A5. Sã se calculeze:
a) 
b) 
c) 
d) 
6
arctg x
1  x2
cos x
dx, x  R;
dx, x  R;
sin2 x  4
sin x
2
9  cos x
cos x
sin2 x  4
A6. Sã se calculeze integralele nedefinite, folosind formula de integrare prin pãrþi:
a)  x 2 ln x dx, x  0;
dx, x  R;
b)  xe  x dx, x  0;
dx, x  R;



c)  sin2 x dx, x  R;

e)  2x sin x 2  1 cos x 2  1 dx,
d)   x  1 cos x dx, x  R;
x  R;
e)  x 2  25 dx, x  R;


f)  4x sin 2 x  1 dx, x  R;
2

f)  x x 2  9 dx, x  3;



g)  tg 3 x  tg x dx, x   0,  ;
2

cos x
h) 
dx, x  R;
4  sin2 x
sin 2x
i) 
dx, x  R;
sin 4 x  1
g) 
x
cos2 x


dx, x   0,  ;
2

h)  x arctg x dx, x  R.
TESTE DE EVALUARE
Testul 1
1.
Fie funcþiile f, g : R  R, f  x   e x sin x, g  x   e x cos x. Sã se arate cã:
a) f este primitivã a funcþiei f  g;
b) g este primitivã a funcþiei g  f.
(3 puncte)
2.
Se considerã funcþiile


f, F :  0,     R, f  x   x 2  1 ln x
ºi
 x2

 x ax2  1 ln x — x 
 b  . Sã se determine constantele a, b  R
 9



încât F sã fie o primitivã a lui f pe  0,    .


F x 
astfel
(3 puncte)
3.
Sã se determine mulþimea primitivelor pentru f : D  R, dacã:
a) f  x    x  1
b) f  x  
2
1
9x 2  1
 x  1 , x  R;
 x x, x  1;
c) f  x   x 2e x , x  R.
(3 puncte)
192
Analiz‘ matematic‘ • I. Primitive
Testul 2
1.
2.
x0
2x  3,
Sã se arate cã funcþia f : R  R, f  x   
admite primitive
2
 x  6x  9, x  0
pe R ºi sã se determine primitiva F care verificã relaţia F  0   F  3   4, 5.
(3 puncte)
Sã se demonstreze în douã moduri cã funcþia f : 1,     R, f  x   ln 1  ln x 
este o primitivã a funcþiei g : 1,    R, g  x  
1
.
x 1  ln x 
(3 puncte)
3.
Sã se determine integralele nedefinite:
x2
dx, x  R;
a) 
x2  1
b)   x  2  e x dx, x  R;
c)  sin x cos x dx, x  R.
(3 puncte)
Testul 3
1.
Fie f, g : R  R, f  x   x 2  ax, g  x   bxf  x  . Sã se determine
pentru care funcþia g este o primitivã a funcþiei f.
a, b  R
(3 puncte)
2.
3.
1  x 2  e  x , x   , 1

Sã se arate cã f : R  R, f  x    2
admite primitive
ln x

,
x  1,   
 x
2  e  3
.
pe R ºi sã se determine primitiva F care verificã relaþia F  e  F  0 
3e
(3 puncte)
Sã se calculeze:
a)   sin x  cos x  dx, x  R;
2
4  25x 2  1
 2 2
dx, x    ,  ;
 5 5
4  25x 2
1


c) 
dx, x   0,  .
4

cos 4 x
b) 
(3 puncte)
193
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
II. INTEGRALA DEFINITÃ
1 Diviziuni ale unui interval  a, b
Fie  a, b un interval de numere reale, închis ºi mãrginit (compact).
v DEFINIÞII
• Se numeºte diviziune a intervalului  a, b un sistem finit de puncte
   x 0 , x1, x 2 , ..., x n 1, x n  astfel încât a  x 0  x1  ...  x n 1  x n  b.
• Punctele x 0 , x1, ..., x n se numesc puncte de diviziune sau nodurile
diviziunii , iar intervalele  x 0 , x1  ,  x1, x 2  , ...,  x n 1, x n  se numesc
intervale de diviziune.
• Sistemul de puncte    1, 2 , ...,  n  , i   x i 1, x i  , i  1, n se
numeºte sistem de puncte intermediare asociat diviziunii .
 Exemplu
 Se considerã intervalul 0, 1 .

 1 
 1 1 2 
 1
Sistemele finite de puncte: 1   0, 1 , 2   0, , 1 , 3   0, , , , 1 ,  4   0, ,
 2 
 3 2 3 
 4
1 1 2 3 
, , , , 1 sunt diviziuni ale intervalului 0, 1 .
3 2 3 4 
1 3
1 5 7

Sistemele    ,  ºi    ,
,
, 1 sunt sisteme de puncte intermediare
2
5
6
12
12




asociate diviziunilor  2 , respectiv  3 .
 OBSERVAŢII
1. Ca mulþimi de puncte, diviziunile din exemplul dat au proprietatea
1  2  3   4 .
2. Dacã ,  sunt douã diviziuni ale intervalului  a, b ºi   , se
spune cã  este mai finã decât . În acest sens, pentru exemplul
de mai sus se poate spune cã 2 este mai finã decât 1, 3 este mai
finã decât 1 ºi decât 2 , iar  4 este mai finã decât 1, 2 , 3 .
194
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
v DEFINIÞIE
• Fie    x 0 , x1, x 2 , ..., x n 1, x n  o diviziune a intervalului  a, b .
Se numeºte norma diviziunii  cea mai mare dintre lungimile
intervalelor de diviziune  x 0 , x1  ,  x1, x 2  , ...,  x n 1, x n  .
def
Se noteazã   max  x i  x i 1  .
1 i  n
Pentru diviziunile din exemplul anterior avem:
1
1
1
1  1,  2  ,  3  ,  4  .
2
3
4
Se observã cã prin trecere la o diviziune mai finã, norma diviziunii
se micºoreazã.
v DEFINIÞIE
• Diviziunea    x 0 , x1, x 2 , ..., x n 1, x n  a intervalului  a, b se numeºte diviziune echidistantã dacã toate intervalele de diviziune
 x 0 , x1 ,  x1, x 2 , ...,  x n 1, x n  au aceeaºi lungime.
În acest caz,  
ba
.
n
 Exemple

Sistemul de puncte    0, 1, 2, ..., n  1, n  este diviziune echidistantã a
intervalului

Diviziunile
0, n  cu norma 1.

n 1 
1
2
2n  1 2n 
 1 2 3
1   0, , , , ...,
, 1 , 2   0, n , n , ...,
, n
 2 2
n
 n n n

2n
2 

diviziuni echidistante ale intervalului 0, 1 cu 1 
sunt
1
1
ºi 2  n .
n
2
2 Sume Riemann
Fie  a, b  R un interval închis ºi mãrginit ºi urmãtoarele obiecte
matematice:
a) funcþia f :  a, b  R;
b) diviziunea    x 0 , x1, x 2 , ..., x n 1, x n  a intervalului  a, b ;
c) sistemul de puncte intermediare    1, 2 , ..., n  asociat diviziunii .
195
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
v DEFINIÞIE
• Se numeºte sumã Riemann sau sumã integralã asociatã funcþiei f,
diviziunii  ºi sistemului de puncte intermediare , numãrul real
n
  f,     f   i    x i  x i 1  .
i 1
 Exemple
1. Dacã f :  a, b  R, f  x   c, atunci
orice sumã Riemann asociatã este egalã cu
c  b  a.
 1
2. Fie f : 0, 2  R, f  x   x  1,    0, ,
 2
3 
5


1, , 2  ºi    0, 1, , 2  .
2 
4


Bernhard RIEMANN
(1826-1866)
matematician german
4
Atunci    f ,     f   i    x i  x i 1  
i 1
1
1


5 3

 f  0     0   f 1  1    f      1  
2
2


4 2

3
1
1
9
1
1
33


f  2    2    1   2     3  
.
2
2
2 4 2
2
8

Este unul dintre creatorii calculului diferenþial ºi integral. A adus
contribuþii importante în geometria neeuclidianã.
Interpretarea geometricã a sumei Riemann
Fie funcþia continuã f :  a, b  0,    ,    x 0 , x1, ..., x n 1, x n  o
diviziune a intervalului  a, b , iar    1, 2 , ..., n  un sistem de
puncte intermediare asociat diviziunii .
y
Figura 1
f  i 
x 0  a 1 x1
O 2 x 2
x i 1 i x i
196
x n 1 n
b  xn
x
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Mulþimea de puncte din plan delimitatã de curba y  f  x  , axa Ox
ºi dreptele x  a, x  b se numeºte subgraficul funcþiei f ºi se noteazã:

f   x, y   R2

a  x  b, 0  y  f  x  .
Se observã cã suma Riemann asociatã funcþiei f, diviziunii  ºi
sistemului de puncte intermediare  reprezintã suma ariilor suprafeþelor dreptunghiulare cu baza  x i  x i 1  ºi înãlþimea f  i  , 1  i  n,
figura 1. Aºadar,   f,   realizeazã o aproximare a ariei subgraficului
f al funcþiei f.
De asemenea, se poate observa intuitiv cã dacã diviziunea  este
mai finã, atunci aproximarea ariei subgraficului este „mai bunã“.
Integrabilitatea unei funcţii
3 pe un interval  a, b
Fie a, b  R ºi a  b.
v DEFINIÞII
• Funcþia f :  a, b  R se numeºte funcþie integrabilã Riemann pe
intervalul  a, b  sau funcþie integrabilã pe intervalul  a, b , dacã
existã un numãr real I astfel încât pentru orice ºir   n  de diviziuni


ale intervalului  a, b ,  n  x 0  , x1  , ..., x k 1, x k  , cu lim  n  0
n
n
n
n
n
n

n 

ºi orice ºir de puncte intermediare    1  , 2  , ..., k 1, k  ,
n
n
n
n
n
n
n
x i 1  i   x i  , 1  i  k n , n  N, ºirul de sume integrale corespunzãtor este convergent cãtre I.
n
n
n
• Numãrul I se numeºte integrala definitã sau integrala funcþiei f pe
b
intervalul  a, b , se noteazã cu  f  x  dx ºi se citeºte „integralã de
a
la a la b din f  x  dx “.


Aºadar, I  lim  n f,     f  x  dx.
n 
n
b
a
• Simbolul  se numeºte semnul de integrare sau semnul integralei.
197
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
• Numerele a ºi b se numesc limite sau capete de integrare; a este
limita de integrare inferioarã, iar b este limita de integrare superioarã.
• Intervalul  a, b se numeºte interval de integrare.
• Funcþia f se numeºte funcþia de integrat, iar x se numeºte variabila
de integrare.
Variabila de integrare poate fi notatã cu orice literã.
b
b
b
a
a
a
Astfel,  f  x  dx   f  u  du   f  t  dt etc.
Variabila de integrare este independentã de capetele de integrare.
b
b
a
a
Este incorect sã se scrie  f  a  da sau  f  b  db.
 OBSERVAŢII
b
1. Numãrul  f  x  dx este unic determinat, limita unui ºir convergent
a
de numere reale fiind unicã.
2. Integrala definitã a unei funcþii integrabile pe un interval  a, b este
un numãr real, în timp ce integrala nedefinitã a funcþiei f pe
intervalul  a, b este o mulþime de funcþii (mulþimea primitivelor
funcþiei f pe intervalul  a, b  ).
3. Dacã f :  a, b  R este o funcþie integrabilã, atunci, prin definiþie
b
a
b
 a f  x  dx    b f  x  dx ºi a f  x  dx  0 dacã a  b.
4. Orice funcþie integrabilã pe intervalul  a, b este mãrginitã. Aºadar,
existã m, M  R astfel încât m  f  x   M,  x   a, b .
În consecinþã, dacã funcþia
f :  a, b   R
nu este mãrginitã,
atunci nu este integrabilã pe  a, b .
 Exemplu

 Funcþia
1
 , x   0, 1
f : 0, 1  R, f  x    x
este funcþie nemãrginitã deoarece
1, x  0
1
 . Rezultã cã funcþia f nu este integrabilã pe 0, 1 .
x 0 x
lim f  x   lim
x 0
x 0
x 0
 Exemplu de funcþie integrabilã
 Fie f :  a, b  R, f  x   c o funcþie constantã. Funcþia f este integrabilã pe  a, b
b
ºi  f  x  dx  c  b  a  .
a
198
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘

n
n
n
n
Într-adevãr, fie   n  ,  n  x 0  , x1  , ..., x k 1, x k 
n
n
 un ºir oarecare de diviziuni
  un ºir oarecare de puncte intermediare, cu
proprietatea x       x   , i  1, k . Atunci   f,      f      x    x    
ale intervalului  a, b , cu  n  0 ºi  
n
n
i 1
n
n
i
n
n
n
n
 c   x i   x i 1  c  b  a  .
Rezultã
k
i 1
i




cã
ºirul
kn
n
n
n
i
i 1

n
 n f,  
n
i
n
i 1
 este convergent ºi
b
n
lim  n f,    c  b  a    f  x  dx.
n 
a
În concluzie, orice funcþie constantã pe intervalul
a, b este integrabilã pe
b
intervalul  a, b ºi  c dx  c  b  a  .
a
 Exemplu de funcþie care nu este integrabilã
1, x  0, 1  Q
 Fie f : 0, 1  R, f  x   
, (funcþia lui Dirichlet).
0, x  0, 1   R \ Q 
Arãtãm cã funcþia f nu este integrabilã pe 0, 1 .
n 1 
1
 1 2
, 1 o diviziune a intervalului 0, 1 cu  n 
Fie  n   0, , , ...,
 0.
n
n n 
 n n

Alegem douã sisteme de puncte intermediare astfel:
i 1 i 
   1, 2 , ..., n  , i  
,
 Q, pentru care f   i   1, i  1, n;
 n n 
i 1 i 
  1, 2, ..., n , i  
,
 R \ Q, pentru care f i  0, i  1, n.
 n n 

 

n
Avem  n  f,     f  i  x i  x i 1  
i 1

1 
1
1 

 ... 1  1 ºi lim   n  f,    1.

n 
n
n ori


n

1
 n  f,     f i  x i  x i 1    0

 ... 
0 
0   0 ºi lim   n  f,    0.


n 
n
i 1
n ori


Deoarece cele douã limite sunt diferite, rezultã cã funcþia f nu este integrabilã pe 0, 1 .
 
Un rezultat important pentru a construi sau a demonstra cã o
funcþie este integrabilã pornind de la o funcþie integrabilã cunoscutã
este urmãtorul:
 TEOREMA 1
Fie funcþiile f, g :  a, b  R ºi A   a, b o mulþime finitã, astfel
încât:
a) f este integrabilã pe intervalul  a, b ;
b) f  x   g  x  ,  x   a, b \ A.
Atunci g este integrabilã pe  a, b  ºi  g  x  dx   f  x  dx.
199
b
b
a
a
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
 Exemplu
1, x  0, 1
 Fie funcþia g : 0, 1  R, g  x   
.
0, x  1
0, 1.
Sã analizãm integrabilitatea funcþiei g pe intervalul
Pentru aceasta
considerãm funcþia f : 0, 1  R, f  x   1,  x  0, 1 . Funcþia f este integrabilã pe 0, 1 ,
fiind funcþie constantã ºi
1
1
 0 f  x  dx   01dx  11  0   1 (vezi exemplul de funcþie
integrabilã).
Se observã totodatã cã funcþia g se obþine din f modificând valoarea acesteia în
punctul x  1. Prin urmare, aplicând teorema 1, funcþia g este integrabilã pe 0, 1 ºi
1
1
 0 g  x  dx   0 f  x  dx  1.
 OBSERVAŢII
1. Existã funcþii integrabile care nu au primitive.
 Exemplu
1, x  0, 1
 Fie funcþia g : 0, 1  R, g  x   
. Funcþia g este funcþie integrabilã pe
0, x  1
intervalul 0, 1 aºa cum s-a arãtat mai sus, dar nu posedã primitive pe 0, 1 , deoarece
g 0, 1  0, 1  interval, (g nu are proprietatea lui Darboux pe 0, 1 .
2. Existã funcþii neintegrabile care au primitive.
 Exemplu
1
2
1

2x sin 2  cos 2 ,
 Fie funcþia f :  1, 1  R, f  x   
x
x
x
0,

Se constatã cã funcþia f este nemãrginitã pe
 x n , x n 
x   1, 1 \ 0
 1, 1,
1

 0, atunci ºirul  f  x n   , f  x n  
n 
2n  
.
x 0
deoarece luând ºirul
2
 sin   2 2n   
2n  
 cos   2 2n   are limita egalã cu .
În consecinþã, funcþia f nu este integrabilã pe intervalul  1, 1 .
1
 2
 x sin 2 , x   1, 1 \ 0
Totodatã, se observã cã funcþia F :  1, 1  R, F  x   
x
0,
x 0

este funcþie derivabilã pe  1, 1 ºi F  x   f  x  ,  x   1, 1 .
Aºadar, funcþia f admite primitive pe intervalul  1, 1 , dar nu este integrabilã pe
intervalul  1, 1 .
200
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE

Sã se calculeze S n    n f,  n 
E1. Sã se calculeze ºi sã se interpreteze grafic sumele Riemann asoci—
ate funcþiilor f în urmãtoarele cazuri:
a) f :  0, 2  R, f  x   x,
L  lim S n , în cazurile:
n 
n  1
 1 2
a) f  x   x,  n   0, , ,...,
;
n 
 n n
b) f  x   2x  1,
3 
5 
 1

 =  0, ,1, , 2  ,  =  0,1, , 2  ;
2 
4 
 2

b) f :  1, 1  R, f  x   2x  3,
n 1 
1 2
 n    , ,...,
,1  ;
n
n
n


1
1 

 =  1,  , 0, ,1 ,
2
3 

1 1 2
 1
 = , , ,  ;
3 4 3
 2
c) f  x   x 2  x,
n  1
 1 2
 n    0, , ,...,
;
n
n
n 

n 1 
1 2
,1 .
d) f  x   x3,  n   , ,...,
n
n n

c) f :  1, 2  R, f  x   x 2  1,
1 3 

 =  1, 0, , , 2  ,
2 2 

 1 1

 =   , ,1, 2  ;
2
4


d) f :  0, 7   R, f  x  
 ºi
E3. Se considerã funcþia f :  0, 1  R,
 3, x  [0, 1)
f  x  
. Sã se arate cã:
2, x  1
a) f nu are primitive pe [0, 1];
x,
 =  0,1, 2, 3, 5, 7  ,
b) f este integrabilã pe [0, 1] ºi sã
9
25 
1
 =  ,1, , 4,
.
4
4 
4
se calculeze 
E2. Fie funcþia f :  0, 1  R, ºirul de divi-
1
0
f (x)dx .
E4. Se considerã funcþia f :  0, 1  R,
ziuni   n  ale intervalului  0, 1
1 2
n 1 

 n   0, , , ...,
, 1  ºi sisn n
n


temele de puncte intermediare  n .
1, x   0, 1  Q
f x  
.
1, x   0, 1  R \ Q
Sã se arate cã:
a) f nu are primitive pe [0, 1];
b) f nu este integrabilã pe [0, 1].
APROFUNDARE
A1. Sã se calculeze sumele Riemann
  n  f,   în cazurile:
a) f :  0,    R, f  x   sin x,
  3


   0, , ,
, ,
4 2 4


   2 5 
 , ,
,
;
6 
6 3 3
1

b) f : 
, 1  R, f  x   log 2 x,
10


 1 1 2 3 4


, , , , , 1 ,
 10 5 5 5 5

1 
1 1 1 1
 , , ,
,
.
2 42
8 4 2
201
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
b) Este F :  1, 1  R,
1

A2. Fie fn :  0, 1  R, fn  x   ln  x   ,
n

1


n  N* ºi    0, , 1  o diviziune
2


a intervalului
1
 2
 x cos 2 , x  0
F x  
x
 0,
x0

o primitivã a funcþiei f?
 0, 1 . Sã se deter-
mine   0 astfel încât pentru sistemul de puncte intermediare  
A5. Se considerã funcþia f : R  R,
4
 a  8, x  Q
f x  
.
2
10a  1, x  R \ Q
Sã se determine a  R astfel încât
funcþia f sã fie integrabilã pe  0, 1 .
1
1

   ,    sã existe egalita2
2

tea    f1,       f2 ,    ln
77
.
32
A3. Sã se arate cã funcþiile f : D  R
nu sunt integrabile pe D, dacã:
 1
, x   0, 2 

a) f  x    x 2  4
;
 3,
x2

 ln x,
b) f  x   
 e,
 1
2 9  x2 ,
c) f  x   
1,

x   0, 1
x0
A6. Fie funcþia f :  a, b   R, integrabilã pe
 a, b , astfel încât existã
c  R cu proprietatea cã pentru
orice interval  ,     a, b , existã
   ,   pentru care f     c. Sã
;
se arate cã 
x   3, 3  .
b
a
f  x  dx  c  b  a  .
A7. Fie funcþia f :  a, b  R astfel încât
x   3, 3
 ,     a, b ,
existã punctele ,    ,   cu
proprietatea f     2 ºi f     3.
în
A4. Se considerã funcþia f :  1, 1  R,
1
2
1

2x cos 2  sin 2 , x  0
f x  
.
x
x
x
 0,

x
0

a) Sã se arate cã funcþia f nu este
integrabilã pe  1, 1 .
orice
interval
Sã se arate cã f nu este funcþie
integrabilã pe  a, b .
4 Integrabilitatea funcţiilor continue
Se ºtie cã orice funcþie integrabilã pe un interval  a, b  este
funcþie mãrginitã. Reciproca acestei afirmaþii este o propoziþie falsã
(Exemplu: funcþia lui Dirichlet este mãrginitã dar nu este integrabilã pe
nici un interval  a, b  R ).
Pornind însã de la funcþii mãrginite pe un interval de forma
a, b  R ºi adãugând condiþii suplimentare, se pot obþine funcþii
integrabile pe  a, b  .
202
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
O astfel de posibilitate o oferã
urmãtorul criteriu de integrabilitate.
 TEOREMA 2
(Teorema lui Lebesgue)
Fie f :  a, b  R o funcþie mãrginitã. Dacã funcþia f are un numãr
finit de puncte de discontinuitate, atunci funcþia f este funcþie
integrabilã pe intervalul  a, b  .
Acest rezultat este un caz particular al unui criteriu de integrabilitate mai general numit criteriul lui
Lebesgue.
Henri Léon LEBESGUE
(1875-1941)
matematician francez
A obþinut rezultate importante
în teoria mãsurii, a calculului diferenþial ºi integral.
Exerciþiu rezolvat

2x,

Fie funcþia f :  1, 3   R, f  x   1  x,
4,

x   1, 1
x  1, 3  .
x 3
Sã se arate cã funcþia f este integrabilã pe intervalul  1, 3 .
Soluþie
Funcþia f este discontinuã în punctele x1  1, x 2  2 ºi continuã în
rest. Mulþimea valorilor funcþiei este
Im f   2, 2  4 .
Conform
teoremei lui Lebesgue, funcþia f este integrabilã pe intervalul  1, 3 .
 TEOREMA 3 (integrabilitatea funcþiilor continue)
Orice funcþie continuã f :  a, b  R este integrabilã pe  a, b  .
Demonstraþie
Funcþia f este continuã pe un interval închis ºi mãrginit  a, b  .
Conform teoremei lui Weierstrass funcþia f este mãrginitã.
Mulþimea punctelor de discontinuitate pentru o funcþie continuã este
mulþimea vidã, deci este o mulþime finitã.
Aplicând teorema lui Lebesgue rezultã cã funcþia continuã f este
integrabilã pe intervalul  a, b  . n
203
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Exerciþiu rezolvat
5x 3  4x  1, x   1, 1
 Sã se arate cã funcþia f :  1, 3  R, f  x   
log 3  7x  2  , x  1, 3
este funcþie integrabilã pe intervalul  1, 3 .
Soluþie
Se observã cã funcþia f este continuã pe  1, 1  1, 3 , fiind
exprimatã cu ajutorul unor operaþii cu funcþii continue. Totodatã,
lim f  x   2  lim f  x  , deci lim f  x   2  f  2  . Aºadar funcþia f este
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
continuã pe  1, 3 ºi conform teoremei 3, rezultã cã f este integrabilã
pe intervalul  1, 3 .
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se arate cã urmãtoarele funcþii
sunt integrabile pe domeniul de
definiþie:
a) f :  2, 2   R,
E2. Sã se studieze dacã urmãtoarele
funcþii sunt integrabile pe domeniul de definiþie:
a) f :  1, 5   R, f  x   4x  3;
b) f :  0,    R,
 3x  2,
x   2, 1
f  x   2
;
 4x  2x  1, x  1, 2 
b) f :  1, 2  R,
 sin 2x
, x   0,  

f x   x
;
2,
x0
1  3x  4, x   0, 2

f  x    2x  1
;
,
x   1, 0 

3x

2

c) f : 1, 3   R,
 tgx
,x0
 3x
  
c) f :  ,   R, f  x   
;
 3 3
1 , x  0
 3
d) f :  1, 1  R,
 ln  x  1 , x  1, e  1
f x  
.
x   e  1, 3 
 x  2,
 arcsin  x  1
, x   1, 1

f x  
;
x 1
 3,
x
1


e) f :  2, 2   R, f  x   x  1 .
APROFUNDARE
A1. Sã se studieze integrabilitatea funcþiilor:
a) f :  1, 1  R,
f  x   max  x, 2  x ;
b) f :  2, 2  R,


f  x   min x 2  2, x ;
204
c) f :  1, 1  R,
 1 1
x2 , x  0

f  x    x2 e
.

x0
 0,
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
A2. Sã se studieze integrabilitatea funcþiilor:
a) f :  1, 1  R, f  x    2x  ;
 2x  1
 1

,
x   , 0 
 2
2
x  x

?
j  x  
 ln x  2 , x   0, 1 

 2 
 
b) f :  0, 3   R, f  x    x .
A3. Care dintre urmãtoarele funcþii sunt
integrabile:
a) f :  0, 1  R,
A4. Sã se studieze integrabilitatea funcþiilor f ºi f  f :
a) f :  1, 1   1, 1 ,
1, x  Q
f x  
;
 1, x  R \ Q
b) f :  0, 2   0, 2  ,
1

 2

f  x   1  2x  x , x   0, 1 ;
 0,
x0
b) g :  2, 2   R,
x 1
 x,
g x   2
;
 3x  2 x , x  1
 2, x  Q
f x  
.
 3, x  R \ Q
A5. Se considerã funcþia f : R  R,
c) h :  2, 3   R,



 sgn x 2  x , x  Q

f x  
.
 sgn  x 2  x , x  R \ Q

Sã se studieze integrabilitatea funcþiei f pe intervalele  1, 1 , respectiv
 2x x
, x 1

h  x    x2  1
;
 x,
x
1


 1 1
d) j :   ,   R,
 2 2

2, 3  .
DEZVOLTARE
D1. Sã se arate cã orice funcþie monotonã f :  a, b  R
este integrabilã pe
intervalul  a, b .
5 Formula lui Leibniz-Newton
În cele prezentate pânã acum au fost întâlnite puþine funcþii
integrabile a cãror integralã definitã sã poatã fi calculatã folosind
definiþia integralei.
Problema determinãrii integralei definite pornind de la definiþie
este foarte dificilã. De aceea, apare necesitatea gãsirii unor metode
accesibile de calcul al integralei definite pentru funcþii integrabile pe un
interval.
 TEOREMA 4 (Formula lui Leibniz-Newton)
Fie f :  a, b  R o funcþie integrabilã pe  a, b  care admite pri-
mitive pe  a, b  . Atunci pentru orice primitivã F a funcþie f are loc
egalitatea:
b
 a f  x  dx  F  b   F  a  .
205
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Demonstraþie

  n  ,  n  x 0 n  , x1 n  , ..., x kn 1, x  n 
Fie
n
kn
 un ºir de diviziuni ale
intervalului  a, b , astfel încât lim  n  0.
n 
Aplicând teorema lui Lagrange funcþiei F pe fiecare interval
 cu proprietatea
F  x     F  x     F        x    x     f       x    x    , (1).
 x  n  , x  n   , i  1, k ,
n
i
i 1


n
n
i 1
i
se
gãseºte
n
n
i
i

i   x i 1 , x i 
n
n
i 1
n
n
n
n
i
n
i 1
i
Prin urmare, ºirul sumelor Riemann asociat funcþiei f, ºirului de
diviziuni   n  ale intervalului  a, b  ºi ºirului de puncte intermediare
  are termenul general:
n


kn
 

   
(1) k n
n
n
n
n
n
n
  n f,     f i   x i   x i 1    F x i   F x i 1  


i 1
i 1
 F  b   F  a  ,  n  N* .
Deoarece funcþia f este integrabilã pe  a, b , rezultã cã  f  x  dx 
b

a

 lim   n f,    F  b   F  a  , ceea ce trebuia demonstrat. n
n 
n
Precizare
Scrierea F  b   F  a  din formula lui Leibniz-Newton se înlocuieºte
frecvent cu relaþia F  x 
b
a
ºi se citeºte „F  x  luat între a ºi b“.
Exerciþiu rezolvat
 Folosind formula lui Leibniz-Newton, sã se calculeze urmãtoarele
integrale:
a) 
2
1

3x  2x  1 dx;
b) 
x
dx;
2
d)  0
2
c)  2 sin2
0
1
1
1 x 2  9
dx;
x 1
2
 x 2  16
dx.
Soluþie
a) Funcþia f : 1, 2  R, f  x   3x 2  2x  1 este funcþie continuã,
deci este funcþie integrabilã pe intervalul 1, 2 . O primitivã a funcþiei f
este funcþia F : 1, 2  R, F  x   x 3  x 2  x.
206
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Rezultã cã 
2
1
3x  2x  1 dx  F  x 
2
b) Funcþia f :  1, 1  R, f  x  
2
1
 F  2   F 1  5.
1
este funcþie integrabilã pe
x 9
intervalul  1, 1 deoarece este funcþie continuã.
2
Mulþimea primitivelor funcþiei f este 
Alegând primitiva F  x  
1
x 9
2
dx 
1
x 3
ln
 C.
23
x 3
1
x 3
ln
, rezultã cã:
6
x 3
1
x 3 
1 1
1
 1 1
 1 x 2  9 dx   6 ln x  3   6  ln 2  ln 2   6 ln 4 .
1
1
1
x
 
 
c) Funcþia f : 0,   R, f  x   sin2
este integrabilã pe 0, 
2
 2
 2
deoarece este funcþie continuã.
x 1  cos x
, rezultã cã
Folosind formula trigonometricã sin2 
2
2
1  cos x
1
1
2 x
 sin 2 dx   2 dx  2 1dx   cos x dx  2  x  sin x   C .
1
Alegând primitiva F  x    x  sin x  , atunci:
2



x
1
2 sin 2
dx 
0
2
2
 x  sin x 


2

0
1

  1 .
22

d) Funcþia f : 0, 2  R, f  x  
0, 2
x 1
este funcþie integrabilã pe
16  x 2
deoarece este funcþie continuã. Mulþimea primitivelor ei este:
x 1
x
1
x
 16  x 2 dx   16  x 2 dx   16  x 2 dx   16  x  arcsin 4  C .
2
Alegând primitiva F  x    16  x 2  arcsin
2
0

x 1
x

dx    16  x 2  arcsin 
4

16  x 2

  16  arcsin 0  2 3 

 4.
6
207
2
x
, avem:
4
1

   12  arcsin  
2

0
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE

E1. Sã se calculeze integralele definite
folosind formula lui Leibniz-Newton:
c)  2 2 sin
0
 3x2  4x  2 dx;
1
b)   2x 3  3x 2  6x  dx;
2
a) 
c) 
0

1
1
2
0
1
0

3
6 sin

x2 dx;
2
e) 

f) 

2 x
64 
2
cos2
x
2
dx;
 cos2 3x  sin2 3x  dx;
2 
2 x
 1  2 sin
 dx;
2


1
1 


 dx;
3 2 
1  x
x 

3
1
dx;
f) 
0 x2  9
2 3
1
dx;
g) 
2
0
x  36
3
1
h) 
dx.
1 x 2  16
e) 
1
d)  4
1  2x 5 dx;
d)  5 x x 
x
x
cos dx;
2
2
1
g)  4
0 1  sin2 x
dx;

h)  3 tg 2 x dx.
0
E3. Sã se calculeze urmãtoarele integrale:
3
1
dx;
a) 
3
2
3
x

2
E2. Sã se calculeze urmãtoarele integrale:
b) 
3
1
2
2
c) 
0
d) 
0
x 2  16
1
x

a)  6 cos x dx;
0
4

b)  3 sin x dx;
x 1
1
3
6
x2  9
1
dx;
dx;
dx.
APROFUNDARE
A1. Sã se calculeze integralele folosind
formula lui Leibniz-Newton:
1
a)  2
1
1
1
0 4x 2  1
b) 
c) 
0 4x 2  9
3
6
0
1  9x 2
1
0
2
4x  1
0 x2  1
b) 
dx;
1
1
d)  2
dx;
a) 
dx;
dx.
208
e2 1
x3
4
0
7
c) 
2
d) 
0
e) 
0
f) 
A2. Sã se verifice egalitãþile:
4
dx  ln 2;
5
2
1
;
2
x 1
x
dx  1;
2
x 2
x
dx  1;
9  x2
x

dx 
;
4
12
16  x
 ln 2
 ln 2
dx 
ex
1 e
2x
dx 

.
12
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
dx

dx  ;
6
x 4  ln2 x
e13
3
e) 
ln xdx  .
1 x
4
A3. Sã se verifice egalitãþile:
3
a) 
0
b) 
0
3
2x x 2  1dx 
d) 
14
;
3
x 9  x 2 dx  9;

c)  2 cos x sin xdx 
0
e
1
A4. Viteza unui punct material variazã
în funcþie de timp dupã legea v  t  
 0, 01 t 3  m / s  . Ce drum parcurge
punctul în 10 secunde?
2
;
3
6 Propriet‘ţi ale integralei definite
Având în vedere definiþia funcþiei integrabile pe un interval  a, b
ºi operaþiile cu ºiruri convergente, se pot deduce câteva proprietãþi ale
funcþiilor integrabile ºi ale integralei definite.
P1. Proprietatea de liniaritate a integralei
 TEOREMA 5 (liniaritatea integralei)
Fie f, g :  a, b  R funcþii integrabile pe  a, b ºi k  R. Atunci:
a) funcþia f  g este integrabilã pe  a, b ºi
b
b
b
 a f  x   g  x  dx   a f  x  dx   a g  x  dx;
(Integrala sumei este egalã cu suma integralelor.)
b) funcþia kf este integrabilã pe  a, b ºi 
b
a
 k  f  x  dx 
b
 k  f  x  dx. (Constanta iese în faþa integralei.)
a
Demonstraþie (extindere)

a) Fie ºirul   n  ,  n  x 0  , x1  , ..., x k 1, x k 
n
n
n
n
n
n
 un ºir de diviziuni
n
n
n
ale intervalului  a, b cu lim  n  0 ºi i    xi 1 , xi   , i  1, k n , puncte


n 
intermediare.


 
kn

kn
 

Avem: n f  g,     f  g  i  xi   xi 1  f i  xi   xi 1 
kn
n
i 1
n
n
   x   x      f,       g,    .
  g i 
k 1
n
n
n
i
n
i 1
n
n
n
209
n
i 1
n
n
n
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
 a, b rezultã cã
b
b
n
n
lim   f,      f  x  dx ºi lim   g,      g  x  dx.
a
a
n 
n 
Deoarece funcþiile f ºi g sunt integrabile pe
n
n
Folosind
operaþiile

lim  n f  g, 
n 
n
cu
ºiruri
convergente
se
deduce
cã
   f  x  dx   g  x  dx, ceea ce aratã cã funcþia
b
b
a
a
f  g este integrabilã pe  a, b ºi are loc egalitatea:
b
b
b
 a  f  g  x  dx   a f  x  dx   a g  x  dx.
b) Analog se deduce cã funcþia kf este integrabilã pe  a, b ºi
b
b
 a  kf  x  dx  k  a f  x  dx. n
 OBSERVAŢII
1. Afirmaþiile teoremei pot fi restructurate astfel:
Dacã f, g :  a, b  R sunt funcþii integrabile pe  a, b ºi k1, k 2  R,
atunci funcþia k1f  k 2 g
b
este integrabilã pe intervalul
b
 a, b
ºi
b
 a  k1f  k 2 g  x  dx  k1  a f  x  dx  k 2  a g  x  dx.
2. Dacã n  N* ºi k1, k 2 , ..., k n  R, iar fi :  a, b  R sunt n funcþii
integrabile pe intervalul  a, b , atunci:
b n
n

b
k
f
x
dx




 k i   a fi  x  dx.
i i
 a  
i 1
i 1

Exerciþii rezolvate
 1. Sã se calculeze 
Soluþie
Avem: 
 3
 2x
2
1
2
1
1
1
3x 2  4x  2  dx.
3x 2  4x  2  dx   21 3x 2dx   21 4x dx   21 2 dx 
x 2 dx  4 
2 2
2

2
1
x dx  2 
2
1
dx 
3x 3
3

2
4
1
x2
2
 2x 1   8  1  2  4  1  2  2  1  9.
2

210

2
2
1
 2  x 1  x 3
2
1

Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
a
 2. Sã se determine a  R astfel încât   6x  5  dx  2.
0
Soluþie
Avem: 
a
a
a
a
a
6x  5  dx  6  x dx  5  dx  3x 2  5x 0  3a 2  5a.

0
0
0
0
 1 
Din condiþia 3a 2  5a  2 se obþine a   , 2  .
 3 
P2. Proprietatea de aditivitate la interval a integralei
Punerea problemei:
4x  1, x   3, 0 

Se considerã funcþia f :  3, 1  R, f  x    1
, func, x   0, 1
 2
 x 1
þie continuã pe intervalul  3, 1 .
Se ridicã urmãtoarea problemã:
„Cum se calculeazã integrala 
1
3
f  x  dx ?“.
• Un procedeu de calcul ar fi sã se determine o primitivã a funcþiei
f pe intervalul  3, 1 ºi apoi sã se aplice formula Leibniz-Newton (temã).
• Alt procedeu de calcul va fi dat de urmãtoarea proprietate a integralei definite a unei funcþii integrabile.
 TEOREMA 6 (aditivitatea la interval a integralei)
Fie f :  a, b  R ºi c   a, b . Dacã funcþia f este integrabilã pe
intervalele  a, c  ºi  c, b , atunci f este integrabilã pe intervalul
 a, b ºi are loc egalitatea  a f  x  dx   a f  x  dx   c f  x  dx.
b
c
b
Funcþia f consideratã mai sus este continuã pe intervalele  3, 0 
ºi 0, 1 , deci este integrabilã pe aceste intervale. Aplicând teorema 6 se
obþine 
1
3
f  x  dx  
Rezultã cã 
1
 arctg x 0  15 
1
3
0
3
1
f  x  dx   f  x  dx.
f  x  dx  
0
0
1
 4x  1 dx   0
3

.
4
1
x2  1

dx  2x 2  x

0
3

 TEOREMA 7 (ereditatea integralei)
Fie f :  a, b  R o funcþie integrabilã pe intervalul  a, b . Dacã
c, d  a, b, atunci funcþia f este ºi integrabilã ºi pe intervalul c, d.
211
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Exerciþii rezolvate
 x  1,
x   1, 0 
. Sã se arate cã
 x  x, x   0, 1
 1. Fie f :  1, 1  R, f  x    2
funcþia f este integrabilã pe  1, 1 ºi sã se calculeze 
1
1
f  x  dx.
Soluþie
Restricþia funcþiei f la intervalul  1, 0  este integrabilã fiind o
0
 x2

1
funcþie continuã ºi  f  x  dx    x  1 dx  
 x
 .
 2

1
1

 1 2
0
0
Pentru a demonstra integrabilitatea funcþiei f pe intervalul 0, 1
definim funcþia g : 0, 1  R, g  x   x 2  x.
Deoarece g este funcþie continuã pe 0, 1 , ea este integrabilã pe
1
 x3 2

1 2
1
g
x
dx

x

x
dx

 x x    .
0,
1
ºi
  0  

0

3
 3 3
 0 3 3
1
1


2
Se observã cã f  x   g  x  ,  x   0, 1 . Aplicând teorema 1 pentru
funcþiile f ºi g, se deduce cã funcþia f este integrabilã pe intervalul 0, 1
ºi
1
1
1
 0 f  x  dx   0 g  x  dx   3 . Aplicând proprietatea de aditivitate la
interval, rezultã cã funcþia f este integrabilã pe intervalul
integrala sa este:
1
0
1
1 1 1
 1 f  x  dx   1 f  x  dx   0 f  x  dx  2  3  6 .

 1, 1 ºi
2. Fie funcþia f :  1, 2  R, f  x   x 2  x . Sã se arate cã f este
funcþie integrabilã pe intervalul  1, 2 ºi sã se calculeze 
2
1
f  x  dx.
Soluþie
Funcþia f este funcþie continuã pe intervalul  1, 2 (operaþii cu func-
þii continue) ºi prin urmare este funcþie integrabilã pe intervalul  1, 2 .
Legea de corespondenþã a funcþiei f se scrie sub forma:
 x 2  x, x   1, 0   1, 2
f x  
.
2
 x  x , x   0, 1
212
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Din proprietatea de ereditate rezultã cã funcþia f este integrabilã
pe intervalele  1, 0  , 0, 1 ºi 1, 2 .
Aplicând proprietatea de aditivitate la interval a integralei se obþine:
 1 f  x  dx   1 f  x  dx   0 f  x  dx   1 f  x  dx   1  x  x  dx 
2

1
0
0
 x  x  dx  1 
2
2
1
2
0
0
2
1
2
 x3 x2 
 x2 x3 
 x3 x2 
11
x  x dx              .
 3 2
 2 3
3 2

 1 
 0 
1 6
2

P3. Proprietatea de monotonie a integralei
 TEOREMA 8
Fie f, g :  a, b  R funcþii integrabile pe intervalul  a, b .
a) Dacã f  x   0,  x   a, b , atunci  f  x  dx  0,
b
a
(pozitivitatea integralei).
b) Dacã f  x   g  x  ,  x   a, b , atunci  f  x  dx   g  x  dx,
b
b
a
a
(monotonia integralei).
Demonstraþie (extindere)
 un ºir de diviziuni
ale intervalului  a, b , cu lim   0, iar       ,   , ...,   ,    ,

a) Fie ºirul   n  ,  n  x 0  , x1  , ..., x k 1, x k 
n
n
n
n
n
n
n
n
n 
n
1
n
2
n
k n 1
n
kn
n
n
n
i    x i 1 , x i   , i  1, k n , un sistem de puncte intermediare. Atunci




kn
 

 n f,     f i   x i   x i 1  0,  n  N* (s-a folosit cã f  x   0,
n
 x   a, b ).
n
i 1
n
n
 
Deoarece toþi termenii ºirului  n f,  
n
 sunt pozitivi, iar ºirul
b
este convergent, atunci ºi limita sa este pozitivã, adicã  f  x  dx  0.
a
b) Definim funcþia auxiliarã h :  a, b  R, h  g  f. Din proprietatea de liniaritate a integralei rezultã cã funcþia h este integrabilã pe
a, b, iar din proprietatea de pozitivitate rezultã cã  a h  x  dx  0.
b
b
b
Aºadar,  g  x   f  x   dx  0, relaþie din care se obþine  f  x  dx 
a
a
b
  g  x  dx ºi proprietatea de monotonie a integralei este demonsa
tratã. n
213
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Problemã rezolvatã
x
e
e
0
0 x 1
Sã se demonstreze inegalitatea  ln  x  1 dx  

dx, fãrã a
calcula integralele.
Soluþie
Fie f, g : 0, e   R, f  x   ln  x  1 ºi g  x  
Vom demonstra cã f  x   g  x  ,  x  0, e  .
x
.
x 1
Definim funcþia h : 0, e   R, h  x   f  x   g  x  , funcþie derivabilã
pe 0, e  , cu h  x  
x
.
 x  12
Se observã cã h  x   0,  x  0, e  , ceea ce aratã cã funcþia h este
crescãtoare pe intervalul 0, e  ºi 0  h  0   h  x   h  e  ,  x  0, e  .
Aºadar, h  x   0,  x  0, e, adicã ln  x  1 
x
,  x  0, e. Aplicând
x 1
proprietatea de monotonie a integralei, se obþine cã

e
x
0 x 1
e
 0 ln  x  1 dx 
dx.
 CONSECINÞA 1 (proprietatea de medie a integralei)
Fie f :  a, b  R o funcþie integrabilã pe  a, b ºi m, M  R astfel
încât m  f  x   M,  x   a, b .
b
Atunci m  b  a    f  x  dx  M  b  a  .
a
Demonstraþie
Într-adevãr, aplicând proprietatea de
monotonie a integralei pentru funcþia f ºi
funcþiile constante m ºi M pe intervalul
 a, b se obþine:
b
b
b
 a mdx   a f  x dx   a Mdx, relaþii din
care rezultã inegalitãþile din enunþ.
 TEMĂ
Sã se precizeze ce proprietate se foloseºte când se
afirmã cã pentru funcþia integrabilã f :  a, b  R, existã m,
M  R astfel încât m  f  x  
 M,  x   a, b .
 CONSECINÞA 2
Fie f :  a, b  R o funcþie integrabilã pe intervalul  a, b .




Dacã m  inf f  x  x   a, b ºi M  sup f  x  x   a, b , atunci
b
m  b  a    f  x  dx  M  b  a  .
a
214
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Problemã rezolvatã

1
Sã se demonstreze inegalitatea 1   e x dx  e.
2
0
Soluþie
Funcþia f : 0, 1  R, f  x   e x este integrabilã pe 0, 1 fiind
funcþie continuã. Sã determinãm m, M  R, valorile extreme ale funcþiei
2
f pe intervalul 0, 1 . Deoarece f   x   2xe x  0,  x  0, 1 , rezultã cã
2
funcþia f este crescãtoare pe 0, 1 . Aºadar m  f  0   1 ºi M  f 1  e.
1
Aplicând proprietatea de medie se obþine 1 1  0    f  x  dx  e 1  0  ºi
0
problema este rezolvatã.
 CONSECINÞA 3 (modulul integralei)
Fie f :  a, b  R o funcþie continuã. Atunci funcþia f este funcþie
integrabilã pe intervalul  a, b  ºi are loc inegalitatea:
b
b
 a f  x  dx   a f  x  dx.
Demonstraþie
Din ipoteza cã f este funcþie continuã pe  a, b , rezultã cã f este
funcþie continuã pe  a, b , deci integrabilã pe  a, b  . Din proprietãþile
modulului,
avem
cã
 f  x   f  x   f  x  ,  x   a, b
monotonia integralei se obþine  
b
b
a
a
Aºadar,  f  x  dx  
b
a
ºi
b
b
a
a
f  x  dx   f  x  dx  
aplicând
f  x  dx.
f  x  dx. n
Problemã rezolvatã

Fie f :  a, b  R o funcþie integrabilã pe intervalul  a, b  . Dacã
b
f  M, atunci  f  x  dx  M  b  a  .
a
Soluþie
Din consecinþa 3 ºi proprietatea de monotonie a integralei se obþine:
b
b
b
 a f  x  dx   a f  x  dx   a M dx  M  b  a  .
215
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
 OBSERVAŢII
1. Consecinþa 3 este valabilã ºi pentru funcþii integrabile oarecare.
2. Reciproca acestei consecinþe este falsã.
Dacã funcþia f este integrabilã pe  a, b nu rezultã întotdeauna cã
funcþia f este integrabilã pe  a, b  .
 Exemplu
1, x  Q
 Fie f :  a, b  R, f  x   
. Funcþia f nu este integrabilã pe  a, b .
 1, x  R \ Q
este integrabilã pe intervalul  a, b
Avem însã f  x   1,  x   a, b ºi ca urmare f
fiind funcþie continuã.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se arate cã urmãtoarele funcþii
sunt integrabile ºi sã se calculeze
integralele lor:
a) f :  1, 2  R,
E3. Folosind proprietatea de monotonie
a integralei, sã se arate cã:
1
a) 
 2x  3,
x   1, 1
f x  
;
2
 3x  1, x  1, 2 
1
b) 
2 x 5
  
c) f :   ,   R, f  x   sin x ;
 2 2
x 1
3
x  1 dx  
d) f :  2, 2  R, f  x   x  1 .
b) 

sin x
2
dx  0;
0 2  cos x
0
c) 
d) 
1
d) 
0
e 1
dx ;
x2
3
 x  1 dx ;
1
ln 1  x  dx  
b) 0  
1
0
c) —2  
 2x  x2  e xdx  0;
3
3
2 x 3  3x dx
1
3
3
2
1
a) —15  
E2. Fãrã a calcula integralele, sã se
arate cã:
2
c) 
2 x 4
1
e 1
0
x dx .
E4. Fãrã a calcula integralele, sã se
arate cã:
2
a) 
dx  2 
1
b) f :  0, 3   R,
 1
, x   0, 2 
 2
x 4
f  x  
;
1

, x   2, 3
 x2  16
 x2  3x  dx   11 2  2x  dx ;
216
 2x  1 dx  35;
1  2x  3x2  dx  34 ;
0
x2
1 x  1
dx  
1
;
2
d)
1 x3  3
8

dx  4 ;
1 x 3  2
3
e)
3 
< 0;
 x  3x  9x  5  dx  0.
3
2
7
4
x3
dx 
x 1
6.
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
APROFUNDARE
A1. Sã se arate cã urmãtoarele funcþii
sunt integrabile ºi sã se calculeze
integralele acestora:
c)
1
2
1
1

dx 
;
3  0 2  x  x2
2
a) f :  1, 3  R, f  x  max x2, x  2 ;
d)

cos x

 3
dx  .
9  0 1  cos x
6



b) f :  0, e2   R,


x0
0,

f  x  
e

2 ;
min  x  e, ln x  , x  0, e 



A5. Sã se demonstreze inegalitãþile:
0

culeze lim 
c) f :  0, 3  R, f  x  x  1  2x  4 ;
n 
d) f :  3, 1  R, f  x   x 2  2x .
In  
x   x
;
2x  1   x 
c) 
0
d) 
1
e
e
x
 x  1 dx;
dx  
1
1
0
x2  1
ln x dx  
e
1
1
1
e)   x  1 ln  x  1 dx   arctg x dx;
0
f) 
3
1
ln
 x  1
x
c) 
dx;
x2  1
dx;
2
dx  
1
3
b)
4
1
3
2
x arctg x dx ºi
2
1


A8. Fie ºirul (In), In =  ln 1  x n dx .
0
a) Sã se arate cã ºirul (In) este monoton ºi mãrginit.
1
,  n  N,
b) Sã se arate cã In 
n 1
ºi sã se calculeze lim I n .
2
dx.
2x  1
A4. Sã se arate cã:
a) 2 e  
4
1
 2 ln 1  x  dx.
0
3
dx.
x 1
dx;
x
1 
1
x2 
b)  cos x dx ºi   1 
 dx;
0
0 
2 


2
xn
a)  ln x dx ºi 
2 x 1
2 x
e dx 
e dx;
1
1
2 x2
2 2
1
1
0 9  x2
dx ºi
A7. Sã se compare:
A3. Folosind proprietatea de monotonie a integralei, sã se arate cã:
1
0 4  x2
n 
e) f :  0, 3  R, f  x   x  x   x  2 .
1
dx .
Sã se arate cã:
a) In  Jn,  n  N;
1
b) 0  In 
,  n  N;
n 1
c) lim J n  0.
c) f : 1, 4   R, f  x    x   2x;
b)  e dx  
01 x
xn
1
Jn  
b) f :  0, 1  R, f  x    x 2  ;
a) 
1 x 2n
A6. Se considerã integralele:
A2. Sã se arate cã urmãtoarele funcþii
sunt integrabile ºi sã se calculeze
integralele acestora:
a) f :  1, 2  R, f  x    x  2 ;
d) f :  0, 2  R, f  x  
x 2n
1
ºi sã se caldx 
01 x
2n  1
1
n 
2
1 x2
1
e dx  e1 x dx  1  e;
0
0

3
3
x
dx 

2
4
 x  12

A9. Fie ºirul (In), In =  2 sin n x dx .
0
a) Sã se calculeze I0, I1 ºi I2.
b) Sã se arate cã ºirul (In) este
monoton ºi mãrginit.
2;
217
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
A11. Fie f :  0, 1  R funcþie integrabilã
A10. Se considerã funcþiile continue
f, g :  a, b  R. Sã se arate cã
pe  0, 1 ºi I n   x n f  x  dx. Dacã
1
2
0
 b f  x   g  x  dx  
a




b
a
f
2
b
a n  n2  n  n2  1, n  N* , sã se
 x  dx   a g  x  dx.
2
calculeze lim a n I n .
n 
(inegalitatea lui Cauchy-BuniakovskiSchwarz).
(Admitere ASE Bucureºti, 2003)
DEZVOLTARE
D1. Fie f, g :  a, b  R, funcþii continue.
Sã se arate cã:
a) funcþiile min  f, g  ºi max  f, g 
b) 
a
c) 
a
min  f  x  , g  x   dx 
a) Dacã f ºi g au aceeaºi monotonie,
atunci
b
 a f  x  g  x  dx 
1  b
 b

  a f  x  dx    a g  x  dx  .
ba


b) Dacã f ºi g au monotonii diferite,

max  f  x  , g  x   dx 
b
b
 max   f  x  dx,  g  x  dx  .
a
 a

atunci
D2. Dacã funcþiile f, g :  a, b  R sunt
continue, sã se arate cã:
b
2
D3. Fie f, g :  a, b R, funcþii monotone.
b
b
 min   f  x  dx,  g  x  dx  ;
a
a


b
b
(Inegalitatea lui Minkowski)
sunt integrabile pe  a, b ;
b
b 2
 a f  x  dx   a g  x  dx.

 a  f  x   g  x   dx 

b
 a f  x  g  x  dx 
1  b
 b

  a f  x  dx    a g  x  dx  .
ba


(Inegalitãþile lui Cebâºev)
2
TESTE DE EVALUARE
Testul 1
1.
Fie funcþia
f :  0, 1  R, f  x   x 2  2x
diviziune a intervalului  0, 1 .
ºi
1 2
n 1 

 n   0, , , ...,
, 1
n
n
n


o
a) Sã se calculeze sumele Riemann S n    n  f,   ºi Sn    n  f,   , dacã
n
3
2k  1
2n  1 
1 2
 1
   , , ...,  ºi   
,
, ...,
, ...,
.
n
2n
2n 
n n
 2n 2n
b) Sã se calculeze lim S n ºi lim S n .
n 
n 
(4 puncte)
218
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
2.
x 1
 a,
, a  R.
Fie f : R  R, f  x    1 x
, x 1
 e
a) Sã se determine a  R pentru care funcþia admite primitive pe R.
b) Sã se calculeze 
2
 xf   x   f   x   dx pentru „a“ determinat anterior.
1 
(3 puncte)
3.
Se considerã funcþia f : R  R, f  x   x 2  x 2  x  1 . Dacã I  
2
0
f  x  dx,
atunci:
49
5
8
2
(2 puncte)
a) I 
; b) I  ; c) I  ; d) I  .
6
6
3
3
(Admitere ASE Bucureºti, 1999, Facultatea de Comerþ)
4.
Cãldura specificã a unui corp la temperatura t este egalã cu c  t   0, 2 
 0,001t. Ce cãldurã este necesarã pentru a încãlzi un gram din acest corp de
la 0 C la 100 C ?
Testul 2
1.
Sã
se
determine
funcþia
f : R  R, f  x   ax 2  bx  c, a, b, c  R,
care
7
satisface condiþiile f  1  8, f  2   f   2   33 ºi  f  x  dx  .
0
3
1
(3 puncte)
2.
3.
4.
Sã se determine a  1,    astfel încât
a3
1
1 

x 1

 dx  4.
a 1  2
x
(2 puncte)
1
x0
,

. Dacã I   12 f  x  dx,
Se dã funcþia f :  0,     R, f  x    2  1 
x   2  , x  0
2
x 

atunci:
1 1
1  1
1
1
1
1

 ; c) I 
a) I  1; b) I  
 ; d) I 
 . (3 puncte)

33 3
2 8
3 3 8
3 3 8
(Admitere ASE, Bucureºti, 1998, SELS)
1  x, x  Q

Se considerã funcþia f : R  R, f  x    1
.
xR \ Q
 x ,
a) Sã se arate cã f nu este integrabilã pe nici un interval  a, b  R.
b) Sã se arate cã f  f
 a, b  R.
are primitive ºi este integrabilã pentru oricare
(1 punct)
(Olimpiadã, faza localã)
219
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
7 Integrarea funcţiilor continue
Anterior s-a stabilit cã orice funcþie continuã pe un interval este
integrabilã pe acel interval.
În continuare vor fi prezentate câteva rezultate proprii clasei de
funcþii continue.
 TEOREMA 9 (teorema de medie)
Dacã f :  a, b  R este funcþie continuã, atunci existã    a, b
b
1
f  x  dx  f    .

ba a
astfel încât
Demonstraþie
Funcþia f, fiind funcþie continuã pe intervalul  a, b , este funcþie
mãrginitã ºi îºi atinge marginile (teorema lui Weierstrass).

 ºi M  sup f  x  x  a, b, marginile
Fie m  inf f  x  x   a, b
funcþiei f pe intervalul  a, b , iar u, v   a, b , astfel încât m  f  u  ºi
M  f  v  . Deoarece m  f  x   M pentru oricare x   a, b , aplicând
b
proprietatea de medie a integralei, se obþin relaþiile m  b  a    f  x  dx 
a
 M  b  a  , care se mai scriu sub forma: f  u   m 
 M  f  v .
b
1
f  x  dx 

a
ba
Funcþia f este continuã pe intervalul  a, b , deci are proprietatea
lui Darboux pe
f  
 a, b.
Rezultã cã existã
   a, b
astfel încât
b
1
  f  x  dx ºi demonstraþia teoremei este încheiatã. n
a
ba
 COMENTARII
b
1
f  x  dx se numeºte valoarea integralã

ba a
medie a funcþiei f pe intervalul  a, b .
y
Figura 1
2. Interpretarea geometricã a teoremei de medie
Pentru o funcþie f pozitivã pe intervalul f   
a, b, în condiþiile teoremei de medie, existã
1. Numãrul f    
   a, b astfel încât aria subgraficului f sã
fie egalã cu aria suprafeþei dreptunghiulare
cu dimensiunile  b  a  ºi f    , figura 1.
220
O
a

b x
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Problemã rezolvatã
 Sã se determine valoarea integralã medie ºi punctul  în care se
obþine valoarea integralã medie pentru funcþiile:
1
 
a) f : 1, 2   R, f  x  
b) f : 0,   R, f  x   cos x.
;
 2
4  x2
Soluþie
a) Se aplicã teorema de medie funcþiei continue f pe intervalul
1, 2  . Aºadar, existã   1, 2  astfel încât:




f  
2
1
1
dx 

1
2 1
4  x2
1
x
arcsin
2
2 1
1
2

Numãrul  se poate calcula din ecuaþia f    




1


12
12
2 1

12
 2  1 .
 2  1 ºi se obþine

2 2
  36 3  2 2  1, 2  .

 
b) Aplicând teorema de medie rezultã cã existã   0,  astfel
 2

2 2
2
2
2
cos x dx  . Din ecuaþia f     , respectiv cos   ,

 0


2  
se obþine   arccos  0,  .
  2
încât f    
 TEOREMA 10 (de existenþã a primitivelor unei funcþii continue)
Fie f :  a, b  R, o funcþie continuã. Atunci funcþia F :  a, b  R,
F  x    f  t  dt,  x   a, b este o primitivã a funcþiei f, care se
x
a
anuleazã în x  a.
Demonstraþie
Pentru a demonstra cã F este primitivã a funcþiei f pe intervalul
 a, b se vor verifica urmãtoarele proprietãþi:
a) F este funcþie derivabilã pe  a, b ;
b) F   x   f  x  ,  x   a, b .
Funcþia F este derivabilã într-un punct x 0   a, b dacã existã
limita lim
x  x0
F  x   F  x0 
x  x0
 F   x 0   R.
221
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Pentru a arãta acest lucru, fie x, x 0   a, b , x  x 0 , x 0 fixat, dar
oarecare.
x
x0
a
a
Avem: F  x   F  x 0    f  t  dt  

x
x0
f  t  dt  
a
x0
x
f  t  dt   f  t  dt 
a
f  t  dt (proprietatea de aditivitate la interval), (1).
Aplicând teorema de medie funcþiei f pe  x 0 , x  sau  x, x 0  , re-
zultã cã existã  x între x ºi x 0 astfel încât 
Din relaþiile (1) ºi (2) se obþine
x
x0
f  t  dt  f  x   x  x0  , (2).
F  x   F  x0 
x  x0
 f  x  .
F  x   F  x0 
Rezultã cã F   x 0   lim
 lim f   x   f  x 0  (  x este
x  x0
x  x0
între x ºi x 0 , iar funcþia f este continuã) ºi astfel, F este derivabilã în
x  x0
punctul x 0   a, b . Aºadar, funcþia F este derivabilã pe intervalul
 a, b ºi F   f, deci F este o primitivã a funcþiei f pe intervalul  a, b.
a
Avem totodatã, F  a    f  t  dt  0. n
a
Exerciþii rezolvate
2

1. Fie F : R  R, F  x   
x
et
0 t2  1
dt. Sã se calculeze F  0 , F 1 , F  2 .
Soluþie
Funcþia
f : R  R, f  t  
et
2
este continuã pe R, deci are
t2  1
primitive pe R. Fie G : R  R o primitivã a funcþiei f. Aplicând formula
lui Leibniz-Newton se obþine: F  x   G  x   G  0  .
Rezultã cã F  x   G  x   f  x  
Se gãseºte F   0   1, F  1 

ex
2
x 1
2
,  x  R.
e
e
.
, F   2  
5
2
x 2 1
1
et
t6  1
a) Sã se calculeze F   x  , x  R.
b) Sã se studieze monotonia funcþiei F.
222
  f t  dt   f  x 
x
4
2. Fie funcþia F : R  R, F  x   
f continuã
dt.
a
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Soluþie
a) Funcþia g : 1, x 2  1  R, g  t  
et
, este continuã pe intervat6  1
lul 1, x 2  1 , deci admite primitive pe acest interval. Fie G o primitivã


a funcþiei g pe intervalul 1, x 2  1 . Rezultã cã F  x   G x 2  1  G 1



e x 1
2

ºi F   x   2x  G x 2  1  2x  g x 2  1  2x 
 x  1  1
2
6
.
b) Studiind semnul funcþiei derivate F  a funcþiei F, rezultã cã F
este descrescãtoare pe intervalul  , 0  ºi este crescãtoare pe
intervalul 0,    .
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se determine valoarea integralã
medie pentru funcþiile:
 
a) f :  ,   R, f  x   sin x;
6 4
 
b) f : 0,   R, f  x   3 sin x  cos x;
 2
1
c) f :  3, 4   R, f  x   2
;
x 4
1
d) f :  2, 0   R, f  x   2
.
x  4x  6
a) Sã se calculeze F  x , F  2 , F  2 .
b) Sã se studieze monotonia funcþiei F.
E4. Fãrã a calcula integralele, sã se
verifice egalitãþile:

sin x
arcsin t dt   x cos x;
a)  
 0


cos x
b)  
1  t 2 dt  
 0

  sin x  sin x ;
E2. Sã se determine punctul  în care
se realizeazã valoarea integralã
medie pentru funcþiile:
a) f : 1, 4   R, f  x   x;
x
et
2
2

E3. Se considerã funcþia F : R  R,
0
 2  x  2  sgn  x  2  ;
 arccos x

ln 2  3 cos2 t dt  
d)   


 6

1
1

ln
.
3x2  2
1  x2
b) f :  0, 1  R, f  x   x 2  2.
F x  
 x 2  4x

4  t dt  
c)  
 0

 t2  4  dt.
223

Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
APROFUNDARE
A1. Fie funcþia f :  a, b  R, continuã
 0 ln 1  t  t  dt
x2
ºi strict monotonã. Sã se arate cã
existã un singur punct    a, b ,
c) lim
2
x
x0
0


ln 1  t 3 dt
.
b
astfel încât  f  x  dx   b  a  f    .
a
A2. Sã se calculeze lim n2 
n
A3. Dacã I n  
1
n
1 arctg
n 1
A5. Sã se determine funcþiile continue
f : R  R astfel încât:
n1 x3  1
dx.
5
n
x 2
 nx  dx, n  N*
ºi L  lim n  n  1 I n , atunci:
n 

a) L  0;
b) L  ;
4
2
.
c) L  1;
d) L 
2
(Admitere ASE, Bucureºti, 2002)
A4. Sã se calculeze:
x
1
a) lim
  ln 1  t 2 dt;
2
0
x  0 sin x
2x
1
b) lim 3

sin 3 t dt;
x
x0 x  x4

x
a) 
0
b) 
0
x
c) 2 
f  t  dt  x 2 , x  R;
f  t  dt  
x
0
2x
x
f  t  dt, x  R;
e t f  t  dt  
2x
0
f  t  dt, x  R.
A6. Fie f : R  R, f  x  sgn  x . Sã se studieze derivabilitatea funcþiei
g x  
1 x
1 x
f  t  dt, x  R.
A7. Sã se determine funcþiile continue
f, g : R  R care îndeplinesc simultan condiþiile:
b
 a f  x  dx  g  b   g  a  ºi

b
 a x f  x  dx  bg  b   ag  a  ,
 a, b  R.
DEZVOLTARE
D1. Fie f, g :  a, b  R, funcþii integra-
D2. Fie f, g :  a, b  R. Sã se arate cã
bile. Dacã g  x   0,  x   a, b ºi
dacã f este funcþie integrabilã ºi g
este funcþie monotonã, existã
c   a, b cu proprietatea cã:
m  inf f ºi M  sup f, sã se arate
cã existã c   m, M  astfel încât:
b
b
 a f  t  g  t  dt  c   a g  t  dt.
b
 g  b 
224
c
 a f  x   g  x  dx  g  a   a f  x  dx 
b
c
f  x  dx.
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
8 Metode de calcul pentru integrale definite
8.1. Metoda integrãrii prin pãrþi
 TEOREMA 11
Fie f, g :  a, b  R funcþii derivabile cu derivatele f  ºi g  contib
b
nue. Atunci  f  x  g   x  dx  f  x  g  x  a   f   x  g  x  dx, (forb
a
a
mula integrãrii prin pãrþi).
Demonstraþie
Funcþia f  g este funcþie derivabilã pe intervalul  a, b , fiind un
produs de funcþii derivabile ºi  fg   f g  fg . Rezultã cã funcþia fg este o
primitivã a funcþiei f g  fg .
Aplicând formula lui Leibniz-Newton, se obþine:
b
 a f   x  g  x   f  x  g  x  dx  f  x  g  x  a , (1).
b
Din proprietatea de liniaritate a integralei ºi relaþia (1) rezultã cã:
b
b
 a f   x  g  x  dx   a f  x  g  x  dx  f  x   g  x  a , egalitate din care
b
se obþine relaþia din enunþ:
b
b
 a f  x  g  x  dx  f  x  g  x  a   a f   x  g  x  dx. n
b
Exerciþii rezolvate

1. Sã se calculeze urmãtoarele integrale, utilizând metoda integrãrii prin pãrþi:
2
b)  ln x dx;
1
d) 
1
c)  x cos x dx;
0
1
e) 
1  x 2 dx;
0

e
a)  xe x dx;
8
5

f)  3
x x 2  4 dx;
1
cos4 x
4
Soluþie
a) Alegând f  x   x, g   x   e x se obþine f   x   1, g  x   e x .
Conform formulei integrãrii prin pãrþi rezultã:
2
1 xe dx  xe
x
x 2
1
2
2
1
1
  e x dx  xe x
225
 ex
2
1

 
dx.

 2e2  e  e2  e  e2 .
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
b) Se alege f  x   ln x ºi g  x   1. Se obþine f   x  
1
, g  x   x.
x
Aplicând metoda integrãrii prin pãrþi avem:
e
e
1 ln x dx  x ln x 1  1 1dx   e  0   x 1  e   e  1  1.
e
e
c) Fie f  x   x ºi g  x   cos x. Avem f   x   1 ºi g  x   sin x. Cu
aceastã alegere, aplicând metoda integrãrii prin pãrþi, se obþine:




 0 x cos x dx  x sin x 0   0 sin x dx  0  cos x 0  1  1  2.
 COMENTARIU
Dacã s-ar face alegerea f  x   cos x, g   x   x, atunci metoda inte-
x2
grãrii prin pãrþi ar conduce la egalitatea  x cos x dx 
cos x
0
2



0

1
x 2 sin x dx. Se observã cã integrala rezultatã în membrul al doilea
2 0
este mai complicatã decât integrala iniþialã. În astfel de situaþii se face
o nouã alegere pentru funcþiile f ºi g.
x
ºi g  x   x.
d) Alegem f  x  1 x2 ºi g  x  1. Rezultã cã f   x 
1 x2
Aplicând integrarea prin pãrþi se obþine:
1
1
1
1
x
2
 1  x 2 dx  x 1  x 2
1

x
dx

x
 x
dx 


0
0
0
0
1  x2

 2

x2
1
0
1 x
1
1
0
1  x2
 2 
1
0
2
dx  2  
dx  2  
1
0


1 1 x
0
2
  1 dx  2 
 0 1  x dx 

 
1 x
2
1  x 2 dx  ln x  1  x 2
1
2
1
0

1  x 2 dx  ln 1  2 .
Aºadar, 
se obþine 2
1
0
1
0
1  x 2 dx  2  

1
0


1  x 2 dx  ln 1  2 , relaþie din care

1  x2 dx  2  ln 1  2 ºi 
 COMENTARIU
1
0
1  x 2 dx 


1
2  ln 1  2  .

2
Calculul acestei integrale putea fi pornit amplificând radicalul cu
1
1 1  x2
1
1
dx  
dx 
el însuºi, obþinându-se:  1  x 2 dx  
0
0
0
2
1 x
1  x2
226
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘

x2
1
0
dx  
1
1
1
0
dx   x 
0
 1  x dx.
2
1 x
1 x
Din acest moment, prima integralã se calculeazã folosind formula
2
2

lui Leibniz-Newton pentru primitiva F  x   ln x  1  x 2
 iar cealaltã
integralã se calculeazã prin metoda integrãrii prin pãrþi, alegând f  x   x,
x
g  x  
1 x
ºi ca urmare, f   x   1 ºi g  x   1  x 2 .
2


1

1
1
1
Se obþine:  x 1  x2 dx  x 1  x2   1  x2 dx  2   1  x2 dx.
0
Aºadar, 

1
0


1  x 2 dx  ln 1  2  2  

0
0
1
1
0
0
1  x 2 dx, deci 
0
1  x2 dx 

1
2  ln 1  2  .

2
 TEMĂ DE PROIECT
Sã se verifice egalitãþile (în condiþiile de existenþã):
1. 
2. 
3. 
b
a
b
a
b
a

1
x x 2  c2  c2 ln x 
2 
x2  c2 dx 
1
x x2  c2  c2 ln x 
2 
c2  x 2 dx 
1
x
x c2  x 2  c2 arcsin  .
2 
c a


b
x 2  c2  ;
 a
x 2  c2 dx 

b
x 2  c2  ;
 a
b
e) Sã amplificãm funcþia de integrat cu x 2  4.
8
8 x3  4x
8
8
x3
x
Avem  x x2  4dx  
dx  
dx  4
dx 
5
5
5
5
x2  4
x2  4
x2  4
 I1  4 x 2  4
8
5
 I1  4, (1).
Pentru calculul integralei I1 se foloseºte metoda integrãrii prin pãrþi,

x 4 .

x 4

x
dx   x  x  4  dx  x x  4
Se obţine: I   x 
x 4
x
alegând f  x   x 2 ºi g  x  
8
1
 2
8
5
2

8
2
5
x x2  4 dx  11  2
2
5
2
2
5
2
8
2
x x2  4 dx.
Se observã cã I1 conþine integrala de la care s-a pornit.
227
2
8
5

Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
7
.
3
f) Pentru început, se scrie 1  sin2 x  cos2 x ºi apoi se distribuie
numitorul comun la fiecare termen al numãrãtorului. Se obþine succesiv:
8
Înlocuind pe I1 în relaþia (1) se obþine în final 

x x 2  4 dx 



2
2
2
1
3 sin x  cos x dx  3 sin x dx  3
dx 



4
4
2
cos
x
cos
x
cos
x
4
4
4



1
2
3
dx  tg x 3  3 tg 2 x  tg x  dx  3  1  3  1  I1. (2)
 tg x 
2
cos x
4
4
4


1
3
dx 

4
cos
x
4
5







 

Pentru calculul integralei I1 se aplicã metoda integrãrii prin pãrþi
ºi se obþine:
I1  

3 tg 2 x 

4

 tg x  dx  tg3 x 3  2

4
Rezultã cã I1 


3 tg 2 x 

4
3 3 1
, (3).
3
 tg x dx  3 3  1  2I1.

1
Din relaþiile (2) ºi (3) se obþine în final cã  3
4
cos x
4

dx 
6 3 4
.
3
2. Sã se gãseascã o formulã de recurenþã pentru ºirul de integrale

 In  , In   2 sin n x dx, n  N. (Bacalaureat 2002, Sesiunea specialã)
0
Soluþie
Pentru n  0  I0  
Pentru n  1  I1  



2
2 dx  x
 .
0
0
2


2 sin x dx   cos x 2  1.
0
0
Pentru n  2 vom aplica metoda integrãrii prin pãrþi alegând
f  x   sin n 1 x ºi g  x   sin x. Rezultã cã f   x    n  1 sin n  2 x  cos x,
g  x    cos x, iar integrala In devine:
In   sin
n 1
x  cos x

2 
0

2
0
  n  1  sin


0
0
n 2
x  cos2 x dx 


  n  1  2 sin n  2 x  cos2 x dx   n  1  2 sin n  2 x  1  sin 2 x dx 


0
0
  n  1  2 sin n  2 x dx   n  1  2 sin n x dx   n  1 In  2   n  1 In .
228
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Aºadar, In   n  1 In  2   n  1 In , relaþie din care se obþine urmãtoarea formulã de recurenþã: In 
n 1

In  2 , n  N, n  2 ºi I0  , I1  1.
2
n
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se calculeze folosind integrarea
prin pãrþi:
1
a)  xe2x dx;
b) 
0
c) 
e) 
e
x ln x dx;
1
e
2
d) 
ln x dx; f) 
e
1
1
5
x 2  4 dx;
3
16  x 2 dx;
 2x  1 e x dx;
a) 
1
x 2 ln x dx;
b) 
0
c) 
3
e ln x
2
1
1
0
E3. Sã se calculeze folosind integrarea
prin pãrþi:
x
dx.
4
x 2  5 dx;
1
d)  x x 2  1 dx.
0
E2. Sã se calculeze folosind integrarea
prin pãrþi:
a) 

2
0
b) 

3 x sin x dx;
0
 x  1 sin x dx;
E4. Sã se verifice egalitãþile:
1
1
a)  xe x  2dx  2 ;
0
e


1  2
e  1 ;
0

2


1
 1
c)   x  arcsin x  dx 
;
0
2

b)  2 e x sin x dx 

c)  6 sin2 x dx;
0

x
d)  2
sin2 x
4
d) 
dx.
e
1
2e3  1
.
9
x 2 ln x dx 
APROFUNDARE
A1. Sã se calculeze integralele:
a) 
b) 
1
1
e2
1
f) 
x 3 e x 1dx;
2
x ln x dx;


1
c)   x  ln 1  x 2  dx;
0

1

d)  ln x 
0
e) 
e
1

x 2  1 dx;
229
1
g) 
0
h) 
1
i) 
sin  ln x  dx;
e
1
e
 x  x3  ex dx;
2
x n ln x dx, n  N;
3
0
x log 3 x dx;

x ln x  1  x 2
1 x
2
 dx.
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
A2. Sã se calculeze integralele:
A5. Sã se determine a  0 astfel încât:

2 cos 3 x dx;
0
a) 
b) 

0
x sin2
a) 
a 1
a

x
dx;
2
 3x  2  e x  a dx  3;


b)  2 x2  ax  sin x dx    8  3a2 .
0
1
c)  2 x arcsin x dx;
A6. Sã se calculeze integralele:
0
1
a)  x 2 x 2  4 dx;
1
d)  arctg x dx;
0
0


f) 
1 arcsin x
e
dx;
0
x sin
1
b)  x 3 x 2  1 dx.
x
x
 cos dx;
2
2
e) 
0
A7. Sã se calculeze urmãtoarele integrale:

a)  ln x  g  x dx, unde g : 1, 2  R,
2
x
dx;
0 1  cos 2x
g)  4

h)  3
x cos x
3
sin x
6
1

b) 
A3. Sã se calculeze integralele:
1 x arctg x
dx;
a) 
0
1  x2
1 arctg x
b) 
dx;
0 1  x2
c) 
2
2
d) 
e) 
1
2 arcsin
0
3
f)  2
2
2
1  x2 
A8. Fie
3
1
c) 
3
0
Sã
se
n 
arcsin x dx;
A9. Se considerã ºirul  I n  ,


I n   2 cos n x dx, n  N.
x arccos x
1  x2  1  x2
0
a) Sã se calculeze I 0 , I1, I 2 .
b) Sã se studieze monotonia ºirului
 In  .
dx;
c) Sã se gãseascã o formulã de recurenþã pentru I n folosind metoda
integrãrii prin pãrþi.
2
A4. Sã se calculeze:
b) 
1
I n   x n e x dx, n  N.
a) I n  nI n 1  e,  n  N* ;
0
0

arate cã:
2x 1  x 2 dx ;
1
2
e x f  x  dx, unde

g)  2  arcsin x  dx.
a) 
1
b) lim I n  0.
x

2
f :  1, 2  R, f  x   min x, x 2 .
x arctg x 2  1dx;
3
2
0

g  x   max x  1, x 2  1 ;
dx.
x sin x dx;
A10.Fie ºirul  In  , In   1  x2
1

0
 dx,n  N.
x 2  x e x dx;
a) Sã se arate cã
I n   2n  1 
e2 
1
1  ln x 
x

e
n
 2n  I n 1,  n  N* .
b) Sã se determine formula termenului I n .
 ln x   dx.

230
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
c) Sã se arate cã
b) Folosind integrarea prin pãrþi,
sã se arate cã:
1
I n    n  I n 1, n  N* .
e
 1 n
1 1 1 2
C n  C n  ... 
Cn .
3
5
2n  1
n
0
I n  Cn

1
A11.Se considerã ºirul  In  , I0   e xdx
c) Sã se arate cã
n! 
1
1
1 
*
In 

 ... 
e 
,n  N .
e 
0 ! 1!
n!
(Bacalaureat, 2002)
0
1
ºi I n   e  x x n dx, n  N* .
0
a) Sã se calculeze I 0 , I1 ºi I 2 .
8.2. Metoda schimbãrii de variabilã
8.2.1. Prima metodã de schimbare de variabilã
 TEOREMA 12
u
f
Fie J  R un interval ºi funcþiile  a, b  J  R cu proprietãþile:
a) u este funcþie derivabilã cu derivata continuã pe intervalul  a, b ;
b) f este funcþie continuã pe intervalul J.
b
u b
a
ua 
Atunci  f  u  x   u  x  dx  
f  t  dt,
(prima formulã de schimbare de variabilã).
Demonstraþie
Funcþia f este continuã pe J, deci admite primitive pe J. Fie F o
primitivã a ei. Atunci funcþia F  u este o funcþie derivabilã pe  a, b ºi
 F  u   x   F   u  x    u  x   f  u  x    u  x  , x  a, b.
Rezultã cã F  u este o primitivã pentru funcþia  f  u   u. Aplicând
formula lui Leibniz-Newton, avem:
 F  u  b    F  u  a   , (1).
 a f  u  x    u  x  dx   F  u  x  a 
b
b
Pe de altã parte, aplicând formula Leibniz-Newton pentru integrala
din membrul drept al egalitãþii din concluzie, rezultã:
u b
u b
 u  a  f  t  dt  F  t  u  a   F  u  b    F  u  a   , (2).
b
u b
a
ua 
Din relaþiile (1) ºi (2) rezultã cã  f  u  x    u  x  dx  
ºi teorema este demonstratã. n
231
f  t  dt
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
 COMENTARIU METODIC
Prima formulã de schimbare de variabilã se aplicã în mod practic astfel:
u
f
• se identificã funcþiile  a, b  J  R;
• se determinã noile limite de integrare u  a  ºi u  b  ;
• se calculeazã 
u b
ua 
f  t  dt.
Funcþia u se numeºte funcþia care schimbã variabila.
Exerciþii rezolvate

1. Sã se calculeze:
a) 
c) 

2 sin 3 x cos x dx;
0
2
 2x  1 e x  x dx;
0
2
b) 
d) 
1
x2
0 1  x6
dx;
2
x
0
x4  1
dx.
Soluþie
 
a) Se considerã funcþia u : 0,   0, 1 , u  x   sin x, derivabilã,
 2
 
cu u  x   cos x, x  0,  ºi u continuã. Noile limite de integrare sunt
 2

u  0   0, u    1. Funcþia f : 0, 1  R, f  t   t 3 este funcþie continuã
2
pe 0, 1 . În aceste condiþii integrala se scrie:


2 sin3 x cos x dx 
0


2 u3
0
 x  u  x  dx  

u 
2f
u 0
1
 t  dt   t3dt 
0
t4
4
1

0
1
.
4
b) Se alege funcþia u : 0, 1  0, 1 , u  x   x , funcþie derivabilã cu
3
derivata u  x   3x 2 , x  0, 1 , funcþie continuã.
Rezultã cã u  0  0, u 1  1. Funcþia f : 0, 1  R, f  t  
1
este
1  t2
funcþie continuã. Aplicând prima formulã de schimbare de variabilã se
2
1 x
1 1 u  x 
1 u 1
1 1 1



obþine: 
dx
dx
f
t
dt
dt 




0 1  x6
3 0 1  u2  x 
3 u 0 
3  0 1  t2
1
1
1 
 arctg t   .
3
3 4
0
232
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
 1 
c) Se considerã funcþia u : 0, 2    , 2  , u  x   x 2  x, deri 4 
vabilã ºi cu derivata u  x   2x  1, x  0, 2 , funcþie continuã. Funcþia
 1 
 1 
f :  , 2  R, f  t   et este continuã pe   , 2  . Noile limite de
 4 
 4 
integrare sunt u  0   0, u  2   2. Integrala se scrie astfel:
2
 0  2x  1 e
x2  x
dx   u  x  e   dx  
2
u x
0
u2
u0
2
2
0
0
f  t  dt   et dt  et
 e2  1.
d) Se alege funcþia u : 0, 2  0, 4  , u  x   x 2 , funcþie derivabilã
cu derivata u  x   2x, x  0, 2 , continuã. Noile limite de integrare
sunt u  0   0, u  2   4, iar funcþia f : 0, 4   R, f  t  
1
1
este

2 t2  1
funcþie continuã pe intervalul 0, 4  .
În aceste condiþii, integrala datã se scrie:
2
u  x 
u 2 
41
x
1 2
1
 0 x 4  1 dx  2  0 u2 x  1 dx   u 0  f  t  dt   0 2  t2  1 dt 
 

1
  ln t  t 2  1
2

  12 ln  4  17 .
4
0
2. Fie a  0 ºi f :  a, a   R o funcþie continuã. Atunci:
a) 
b) 
a
a
a
a
a
f  x  dx  2  f  x  dx, dacã f este funcþie parã;
0
f  x  dx  0, dacã f este funcþie imparã.
Soluþie
Din ipoteza cã f este funcþie continuã pe  a, a  rezultã cã f este funcþie
integrabilã pe  a, a  . Aplicând proprietatea de aditivitate la interval, se obþine:
a
 a
f  x  dx  
Dar 
0
a
0
a
a
 NE REAMINTIM!
Funcþia f :  a, a  R este
funcþie parã dacã f  x  f  x ,
 x   a, a  ºi este funcþie
f  x  dx   f  x  dx, 1 .
imparã dacã f   x   f  x  ,
a
 x   a, a  .
f  x   
0
0
f  x  dx.
Pentru aceastã ultimã integralã aplicãm schimbarea de variabilã
luând u  x    x, x  0, a  ºi obþinem:
233
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘

a
0
f  x  dx  
a
0
u  x   f  u  x   dx  
u  a 
u0 
a
f  t  dt   f   x  dx 
0
 a f  x  dx, dacã f este parã
 0

, (2).
a
 f  x  dx, dacã f este imparã
 0
Din (1) ºi (2) se obþine, pe rând:
a) 
b) 
a
a
a
a
a
f  x  dx  2  f  x  dx, dacã f este funcþie parã;
0
f  x  dx  0, dacã f este funcþie imparã.
Aplicaþie

Sã se calculeze: a) 

4
2 e x sin x dx;


2
b) 
2
3 cos x dx.
2

3
Soluþie
4
  
a) Funcþia f :  ,   R, f  x   ex sin x este funcþie imparã. Rezultã
 2 2
cã 

2 f


2
 x  dx  0.
 2 2 
b) Funcþia f :  
,
 R, f  x   cos x este funcþie parã. Rezultã
 3 3 
cã 
2
2
2
3 cos x dx  2 3 cos x dx  2 sin x 3  2 sin 2  
2
0
0
3

3

3. Sã se calculeze I   3 x 2  4x  6 dx.

3.
2
2
Soluþie
Expresia de sub radical se scrie sub forma canonicã astfel:
x 2  4x  6   x  2   2.
Pentru integrarea prin metoda schimbãrii de variabilã, alegem funcþia
3 
 1 
u :  , 2     , 0  , u  x   x  2, derivabilã ºi cu derivata u  x   1,
2 
 2 
1
3
3 
x   , 2 funcþie continuã. Noile limite de integrare sunt u     ,
2
2
2 
u  2  0.
2
234
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
 1 
 1 
Funcþia f :   , 0   R, f  t   t 2  2 este continuã pe   , 0  .
 2 
 2 
2
0
În aceste condiþii avem: I   3 u2  x   2  u  x  dx   1 t 2  2 dt 




2
2
0
1
3
t t 2  2  2 ln t  t 2  2 
 ln 2  .
  1
2 
8
2
4. Sã se calculeze integrala I  


1
6
dx.
0 cos x
Soluþie

Metoda 1. Avem I   6

cos x
0 cos2 x
 
1
1
1
t 1
2
dt   ln
2
0 t 1
2
t 1
1
2

cos x
dx   6
0 1  sin 2 x
dx   6
1  tg
 2 
2 3

2
1
t2  1
0
dt   ln
 x 
 tg 
 2  dx 
x
tg2  1
2
t 1
t 1
2 3
 ln 3.
0

5. Sã se calculeze integrala I   4

dx 
 NE REAMINTIM!
x
2tg
2
;
• sin x 
2 x
1  tg
2
x
1  tg 2
2.
• cos x 
2 x
1  tg
2
x
2
ºi avem:
I
0 1  sin 2 x
 ln 3.
0
Metoda 2. Exprimãm cos x în funcþie de tg
2 x
 1  tg

2 dx  2 6
6
0
0
2 x
 sin x 
0
2tg x
4 cos x  sin2 x
2
dx.
Soluþie
Exprimãm sin x ºi cos x în funcþie de tg x ºi avem:
I

 2tg x  1  tg 2 x
4
2
0
4  tg x
 dx   2tg x   tg x  dx 
 04
4  tg 2 x

4t 


dt  
dt  ln  t  4 
4t
4t
1
0
2t
1
2
0
2
2
2
235
1
0
 ln
5
.
4
 NE REAMINTIM!
tg 2 x
• sin2 x 
;
1  tg 2 x
1
• cos2 x 
.
1  tg 2 x
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Folosind metoda schimbãrii de variabilã, sã se calculeze integralele:
2
 x  3 6 dx;
a) 
1
b) 
1
c) 
2
1
1
 2x  13
1
0
e) 
3
4x
1
3
 2x  3 
3
h) 
3
1
1 x
h) 
2
0
k) 
3x 2
2
16  x 6
1
2x

c)  2
d) 
e) 
1
sin 2x
1
1 x 2  1
1
;
3
1
;
2
dx 

;
4
arctg 2 x dx 
3
;
96
3
 1  sin 1 dx  1 ;
2
x
2
x2

3
f)  12
2
1
2
4
1  x  arcsin x
dx 
E4. Sã se arate cã:
a) 
2
0
x2
1
dx.
2
dx.
0 1  sin 4 x
b)  x  3 2x dx;
1
x6  1
4
0
c) 
0

dx;
a)  xe x dx;
1
2 ex
6x 2
b)  2 sin 4x dx  
dx;
E2. Sã se calculeze folosind schimbarea
de variabilã:
1
1
dx;
0
3
1
2
dx;
1
2
4x  3
2
0 x4  1
x6  1

dx;
 3x  5
2x
dx;
2 x4  1
3
2
a)  6 cos 3x dx 
3
i) 
x2
E3. Sã se verifice dacã urmãtoarele
egalitãþi sunt adevãrate:
dx;
x2  1
2x  3
0
3
3
x  1dx;
x
2
g)  3
4
e 1
g) 
4
dx;
x2
1
 dx;
 x  2 dx;
1
f) 
l) 
6x 2 2x 3  1
0
d) 
j) 

1
e 1
1
4
 ln  x  1 dx;
x 1
e
1
dx;
e) 
e x  ln 3 x
0
2x
dx;
f)  1

1  x4
2
d) 
b) 
dx;
236
3
3
e x 1  sin5 x dx  0;
2
2
x 6 arctg x 3
2
x 4  x2  1
dx  0.
63
3
.
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
APROFUNDARE
A1. Sã se calculeze utilizând metoda
schimbãrii de variabilã:
2
x  4x
1
a) 
dx;
1 x 3  6x 2  1
b) 
c) 
d) 
1
x
0
3x 2  1
43
x
1
x
f) 
dx;
ln 2 e x  1
ex  1
ln 2
ex  1

a)  2
e) 
2
1x 1 x
4
0
 dx;
b)  2
dx;
c)  4
1 x
5 2x  1
7
1
 x  2 3
3
1
1
dx;
f) 
3
x x2  1
2
1
2
x x4  1
1
1
1
2 x
m) 
n) 
1
1
5
2
dx;
0

4 x  sin x 2  cos x 2 dx;


g)  2
0
dx;

h)  2
cos x
4  sin2 x
sin 2x
0
x 4  x2  1
dx;

3 tg 3 x  tg x

6

4 ctg 3 x dx;

6
e) 
2
k)  4
d) 
dx;
cos x  sin x
dx;
sin x  cos x
0
dx;
x x2  1
1
j)  2
l) 

 3x  12 dx;
1 4
sin x
0 cos 2 x  3
33
h) 
i) 

2x 2  8
0
cos x
0 sin 2 x  4
0
g) 
dx.
A3. Sã se calculeze integralele:
d) 
f) 
dx;
ln 2
1
2 3  2x dx;
0 2x 2  1

dx;
e2x
1
e) 
dx;
1
2
1 ex  1
sin 4 x  1
1 arcsin x
i)  1
dx;
x2
dx;
x 2  6x  10 dx;
 dx;
dx;
dx;
2

j)  4
2
 x  7x  6 dx.
sin x
dx.
cos 2x
0 cos x
A2. Să se calculeze integralele:
e
ln x
a) 
dx;
1 x  2  ln x 
A4. Sã se calculeze integralele:
1
b)  3 sin 2x  sin 4x dx;
b) 
e
1
x 1  ln2 x
1
1
c) 
dx;
0 1  ex

a)  2 sin x  cos 3x dx;
0

dx;
6
c) 
237
2
0
cos ax  cos bx dx, a, b  N;
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘


d)  6 sin x  sin 3x  cos 2x dx;
0
e) 

0
sin x  cos x  cos 2x  cos 4x 
n 1

g)  8
x dx.

3
1
dx;
sin x
b) 
c) 

1
4
dx;
0 cos 4 x

4

e)  
2
1
sin6 x



sin x

dx;
cos x
I2   2
0 sin x  cos x
dx.
A8. Se dau urmãtoarele integrale:

sin x
I2
0 1  sin x  cos x
cos x
dx.
7  cos 2x
1

1
cos x
J2
0 1  sin x  cos x
dx;
0 1  sin x  cos x
dx,
dx.
Sã se calculeze I  J, I  J, I, J.
A9. Calculând în douã moduri integrala
1
 0 1  x  dx, n  N , sã se arate cã
n
*
C0
C1
Cn
2 n 1  1
n
n
 n  ... 

.
1
2
n 1
n 1
dx;
A10. Calculând în douã moduri integrala


2tg x  tg
4
3
dx;
d) 
0 9 cos 2 x  sin2 x
e) 
;
dx.
0 sin x  cos x
0
sin x
dx;


1
sin x

3
c)  2
2  sin x
I1   2
dx;
0 1  sin x
b) 

0 2  cos x
A6. Sã se calculeze integralele:
a)  3
sin 4 x  cos 4 x
A7. Sã se calculeze integralele:

1
2
dx;

sin 4 x
6
d)  2
dx
0
h)  2
A5. Sã se calculeze integralele:
dx;
cos 4 x  sin2 x
6
...  cos 2
a)  2
1
f)  4
1
 0 x 1  x dx, n  N , sã se arate cã
n
*
C0
C1
Cn
n  2n 1  1
n
n
 n  ... 

.
2
3
n  2  n  1  n  2 

3 1 dx;

tg 6 x
4
238
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
8.2.2. A doua metodã de schimbare de variabilã
 TEOREMA 13
u
f
Fie funcþiile  a, b   c, d  R cu proprietãþile:
a) u este funcþie bijectivã, u ºi u 1 sunt funcþii derivabile cu
derivatele continue pe intervalul  a, b ;
b) f este funcþie continuã pe intervalul  c, d .
b
u b
a
ua 
Atunci  f  u  x   dx  
   t  dt,
f  t  u 1
(a doua formulã de schimbare de variabilã).
Demonstraþie
Funcþiile f ºi u fiind continue, rezultã cã f  u este funcþie continuã
pe intervalul  a, b , deci admite primitive pe  a, b . Fie G o primitivã a
funcþiei f  u pe intervalul  a, b .
Conform formulei lui Leibniz-Newton se poate scrie:
 a f  u  x   dx  G  b   G  a  , (1).
b

Pe de altã parte, G  u 1
  t   G  u  t  u   t   f  u  u  t  
1
1
1
   t   f  t    u   t  .
 
 

Rezultã cã 
f  t   u   t  dt   G  u   t 
 G  b   G  a  , (2).
 
 
 u 1
1
u b
1
1
u a
u b
u a
Din relaþiile (1) ºi (2) se obþine relaþia din enunþ. n
Exerciþii rezolvate
 1. Sã se calculeze 
x
dx.
1 x 1
3
Soluþie
Avem
x

x 1
x
 
x
2
1
 f  u  x   , x  1, 3 .
Alegem funcþiile u : 1, 3  1, 3  , u  x   x, funcþie bijectivã ºi
x
, funcþie continuã.
derivabilã ºi f : 1, 3   R, f  x   2
x 1
Funcþia inversã u 1 : 1, 3   1, 3 , u 1  t   t 2 este funcþie derivabilã cu derivata funcþie continuã.
239
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Aplicând a doua formulã de schimbare de variabilã se obþine:
3
3
u3
3
x
t
1 
1 x  1 dx  1 f  u  x   dx   u 1 f  t   u  t  dt  1 t2  1  2t dt 
3
1 
 
3

dt  2  t  arctg t  1  2  3  1 
 2  1 

.
2
1 
12 
1 t 

 
4


 2. Sã se calculeze  ln 1  x dx.
1
Soluþie
Se definesc funcþiile:
u : 1, 4   2, 3  , u  x   1  x , u 1 : 2, 3  1, 4  , u 1  t    t  1 .
2
f : 2, 3  R, f  x   ln x.
Funcþiile f, u, u 1 satisfac condiþiile teoremei de schimbare de
variabilã ºi ca urmare are loc egalitatea:
4
4
u 4 
3
1 
 ln 1  x dx   f  u  x   dx   f  t   u  t  dt   2  t  1  ln t dt.

1

 
u1
1
2
Ultima integralã se calculeazã prin metoda integrãrii prin pãrþi ºi se
obþine:
3  t  1
2 
2
 2 2  t  1 ln t dt   2  t  1  ln t dt   t  1  ln t 2   2 t dt 
3
 t2

1
 4 ln 3  ln 2    t  2   dt  4 ln 3  ln 2    2t  ln t 
2

2
t


3
4


Aºadar,  ln 1  x dx  3 ln 3 
1
2
3
3
3
 3 ln 3 
2
1
.
2
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Utilizând metoda a doua de schimbare de variabilã, sã se calculeze:
x
 dx;
b)  1 1  3 x
 dx;
1

a)  1 1 
5
4
1

4
E2. Sã se calculeze integralele:
8
1
a) 
dx;
1 1 3x
8
1
b) 
dx;
3 x x 1
c) 
8
c) 
4
1
9
x
1
dx.
dx; d) 
4 2 x
x4
240
4
2
x 1
dx.
x
1
.
2
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
APROFUNDARE
A1. Aplicând metoda a doua de schimbare de variabilã, sã se verifice dacã
au loc egalitãþile:
a) 
64
1
1
x
ln 3
e x  ln 1  e x dx  ln
b) 
ln 2
c) 
1
8
2
2
3
d) 
3
x
dx  11  6 ln


2
;
3
256
;
27e
 x2  1
27
x
1
1 3x
c) 
4
1
cos2 xdx;
d) 
0
a) 

dx  .
2
6
x 2
b) 
A2. Sã se calculeze integralele:
a) 
ln 4
ln 2
3
dx;
sin x  1dx.
A3. Sã se verifice egalitãþile:
x
dx  8;
1  3x
1
b) 
1
x2
1 e
x
1
1
1
dx 
1
;
3
1
dx 
 x  1  e  1 
2
x


ln 2.
8
c)  4 ln 1  tg x  dx 
x
e  1dx;

;
4
0
DEZVOLTARE
D1. Fie f :  a, b  R funcþie continuã.
a) Sã se arate cã 
b
a


a)  x f  sin x  dx   2 f  sin x  dx;
0
f  x  dx 
0


f  a  b  x  dx.
b)  f  sin x  dx  2 2 f  sin x  dx.
b) Dacã f  x   f  a  b  x  ,
D3. Fie f :  a, b  R, o funcþie conti-

b
a
0
 x   a, b , sã se arate cã
b
 a x  f  x  dx 
c)
Dacã
nuã. Sã se calculeze:
ab
f  x  dx.
2 a
b
a) 
2f  x   3f  a  b  x   5,
f x  a
dx;
 x  a  f  b  x
b) I   2
sinn x
0 sinn x  cos n x
b
 a f  x  dx.
f :  0, 1  R
b
a f

 x   a, b , sã se calculeze
D2. Fie
0
J
o funcþie con-
tinuã. Sã se arate cã:
241
2
1
dx, n  N*,
arctg x
dx.
1
arctg 2
x  3x  3
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
TESTE DE EVALUARE
Testul 1
1. Sã se calculeze:
Grupa 1:
a) 

Grupa 2:
 2x  3  sin x dx;
0

4
 3x  1 cos x dx;
b)  3 sin x 10 cos x  4 dx;
0
1
0

b)  6 cos x 6 sin x  1dx;
c) 

a) 
0
x
dx.
x 1
c) 
1
8
1 2 3x
dx.
2. Sã se determine valoarea integralã medie pentru funcþia:
Grupa 1:
Grupa 2:

3 3
1
f :  0,
 x.
f :  0, 2   R, f  x  
  R, f  x  
2


9  x2
x 1
x2  2
.
Testul 2
1. Fie funcþia f :  0,     R, derivabilã ºi cu proprietatea:
x
x
0
f  t  dt   x  1 f  x  ,  x   0,    .
Dacã   f  3   f 1 , atunci:
a)   ln 2; b)   1  ln 3; c)   ln 3; d)   2.
(3 puncte)
(Admitere ASE, Bucureºti, 2003)
2. Sã se calculeze integralele:
a) 
1
0
 x  x3   e x dx;
b) 
2
4
0
1
 x  1 
2x  1
dx.
(3 puncte)
3. Sã se calculeze 
3
4
1
3
2
3
x
1  x3
dx .
(Univ. din Oradea, 1999)
(3 puncte)
242
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Testul 3
1. Se considerã funcþia f : R  R, f  x   
Dacã A   x  R
x
0
et
2
 t3  3t  2  dt.
x este punct de extrem al lui f  , atunci:
a) A   2 ; b) A   2, 1 ; c) A  1 ; d) A  .
(3 puncte)
(Admitere ASE, Bucureºti, 2003)
2. Fie a, b  R ºi funcþia continuã f : R  R care verificã relaþia:
f  a  x   f  a  x   2b,  x  R. Dacã I  
a) I  a  b; b) I  2ab; c) I 
2a
0
f  t  dt, atunci:
ab
ab
.
; d) I 
2
2
(3 puncte)
3. Fie ºirul de integrale  I n  , I n  
e
1
 ln x  n dx, n  N* .
a) Sã se calculeze I1 ºi I 2 .
b) Sã se arate cã ºirul  I n  este monoton ºi mãrginit.
c) Sã se gãseascã o relaþie de recurenþã pentru  I n  .
d) Sã se arate cã lim I n  0.
n 
(3 puncte)
9
Calculul integralelor funcţiilor raţionale
Pânã acum s-a realizat calculul unui numãr suficient de integrale de
funcþii f :  a, b  R, utilizând formula lui Leibniz-Newton, metoda integrãrii prin pãrþi sau metoda schimbãrii de variabilã. În continuare se vor
întâlni ºi alte tehnici de calcul pentru integralele unor funcþii integrabile.
Situaþie-problemã:
Se considerã funcþia f :  2, 1  R, f  x  
a) Este funcþia f integrabilã pe  2, 1 ?
9x  2
x  x 6
2
.
b) Dacã f este integrabilã pe  2, 1 , cum se calculeazã integrala sa?
Soluþie
a) Funcþia f este funcþie continuã pe intervalul  2, 1 fiind rezul-
tatul operaþiilor cu funcþii continue pe intervalul  2, 1 . Ca urmare f
este funcþie integrabilã pe intervalul  2, 1 .
243
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
b) În ceea ce priveºte calculul integralei funcþiei f se observã cã nici
una din metodele folosite pânã acum nu se poate aplica în mod direct.
De aceea va fi nevoie de parcurgerea unui algoritm în care se vor
întâlni în multe cazuri ºi metodele de calcul deja cunoscute.
v DEFINIÞII
Fie I  R un interval de numere reale.
• Funcþia f : I  R se numeºte funcþie raþionalã dacã existã douã
funcþii polinomiale P, Q, astfel încât pentru oricare x  I, Q  x   0 ºi
f x 
Px
.
Qx
• O funcþie raþionalã f se numeºte funcþie raþionalã simplã dacã are
una din formele:
I. f  x   a n x n  a n 1x n 1  ...  a1 x  a 0 , a k  R, k  0, n;
II. f  x  
III. f  x  
A
x  a
n
, n  N* , x  a, A  R;
Bx  C
 ax  bx  c 
2
n
, n  N* , b2  4ac  0, B, C  R.
9.1. Calculul integralei unei funcþii raþionale simple
În acest paragraf se va da procedeul de calcul al integralei definite
a unei funcþii raþionale simple de tipul I, II ºi III.
I. Integrale de forma

  fn  x  dx, fn funcþie polinomialã de
gradul n
Dacã fn :  ,   R, fn  x   an x n  an 1x n 1  ...  a1x  a0 este funcþie
polinomialã de gradul n, atunci, cu ajutorul formulei lui Leibniz-Newton,
se obþine 


 a x  a  x   ...  a x  a  dx 
n
n
n 1
n 1
1
0



x n 1
xn
x2
  a n 
 a n 1 
 ...  a1 
 a 0 x  . 1
n 1
n
2

 
 Exemplu
2
 x6

x4
x3
x2
6
4
 6x  8x  3x  4x  1 dx   6  6  8  4  3  3  4  2  x   x  2x 


1
1
2

5
 x3  2x2  x
3
2


 1  26  2  24  23  2  22  2   16  2 14   13  2 12   1  30  3  27.
2
244
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
II. Integrale de forma 
1. Dacã n  1, atunci 

A

x  a

A
 x a
n
dx, n  N* , a   ,  
dx  A ln x  a


.
2
2. Dacã n  2, atunci se foloseºte metoda schimbãrii de variabilã
ºi se obþine integrala unei funcþii putere:


 n
u   n
A
n
   x  a n dx  A    x  a  dx  A   u  x   u  x  dx  A  u t dt 

A
1
 n 1
n 1 t
u  
u
.
3
Exerciþiu rezolvat

Sã se calculeze urmãtoarele integrale de funcþii raþionale simple:
a) 
e2
3
1
dx;
x 2
b) 
e 1
1
3
dx;
0
3x  1
c) 
5
2
3
2
1
 2x  6 3
dx.
Soluþie
a) Aplicând formula  2  se obþine:
e2
3
1
dx  ln x  2
x 2
e2
3
 ln e  ln1  1.
b) Integrala se scrie succesiv astfel:
e 1
2 1
1 3 1
1 3

 ln x 

dx
dx



1
3
3 0
3 0 x1

3 x  
3
3

1   e 1 1 
1 1  e
1 1
1
  ln 
   ln    ln  ln   ln e  .
3  3
3
3 3  3
3 3
3
Calculele mai pot fi organizate ºi astfel:
e 1
e 1
e 1
e 1
1 3  3x  1
1 3 u  x 
1
1 3
3
3
 0 3x  1 dx  3  0 3x  1 dx  3  0 3x  1 dx  3  0 u  x  dx 
e 1
1
3
dx 
0
3x  1
e 1
3
0
e 1
1
 e 1 
1
1
1
1 u  1
e
   3  dt  ln t 1   ln e  ln1  .
u
0


3
3
3
3
t
245
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
c) Metoda 1.
5
2
3
2
1
  2x  6 
 u  x  dx  
5
dx   32
3
2
3 1
1 2
3
x
3
dx

  32 u 3  x  


8 3
8
5
1
dx 
3
23  x  3 
5
2
2
1

2
5
1
u 

1 1 
1 
4
2
 2  t 3 dt  1
2 3

4     .
 2 
3 t dt 
3
9
9
16 
8 
8  2t  3
u 
2
2

2

Metoda 2.
Aceastã integralã se poate calcula aplicând mai întâi metoda
schimbãrii de variabilã ºi apoi formula (3). Calculele decurg astfel:

5
2
3
2
5
5
5
2
2
2
1 2
2
1 2 u  x 
1 u  2  1
dx
dx
dx
dt 



2  3  2x  6 3
2  3 u3  x 
2  u  3  t 3
 2x  6 3
1
1

1 1 3
1 1 
1 1 1 
2
  
t dt    2 
 .


2 3
2  2t   3 2  2 18 
9
III. Integrale de forma 


Bx  C
 ax  bx  c
2
n
dx, b2  4ac  0, n  1, 2
ºi B, C  R
În funcþie de valorile numãrului natural n ºi a coeficienþilor B, C,
a, b, c apar urmãtoarele tipuri de integrale:
1. Integrale de forma 
 Bx  C
 x2  a2
,a0
Se deosebesc urmãtoarele situaþii:
a) Dacã B  0 ºi C  1 se obþine integrala cunoscutã:

1
  x2  a

dx 
2
1
x
arctg
.
a
a 
b) Dacã B  1, C  0 se obþine integrala:


2
2 
1  2x
1  x a
1  u  x 
dx
dx
dx
dx 



  x 2  a2
2   x 2  a2
2   x 2  a2
2  ux


x
1 u   1
1
dt  ln t

u

2  t
2
u  
u
.
246
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
c) Dacã B  0, C  0, atunci se obþine integrala:
 Bx  C


x
1
  x 2  a2 dx  B   x 2  a2 dx  C  x 2  a2 dx ºi calculul se continuã ca la punctele a) ºi b).
Exerciþiu rezolvat
 Sã se calculeze integralele de funcþii raþionale:
a) 
4
dx
0 x 2  16
dx; b) 
5
x
1
x 7
2
dx; c) 
2 3 3x  2
2
x2  4
dx.
Soluþie
a) Avem: 
4
dx
0 x 2  16

4

1
x
1
  arctg1  arctg 0  
arctg
.
4
4 0 4
16



2
1 5 2x
1 5 x 7
1 5 u  x 
dx  
dx  
dx  
dx 
b) 
2
2
2
1 x 7
2 1 x 7
2 1 x 7
2 1 ux
5

x
1 u 5  1
1
dt  ln t

2 u 1 t
2
32
8

1
1
 ln 32  ln 8   ln 4  ln 2.
2
2
c) Integrala se scrie succesiv astfel:
2 3 3x  2
2 3 3x
2 3
dx
3 2 3 2x
 2 x 2  4 dx   2 x 2  4 dx  2 2 x 2  4  2  2 x 2  4 dx 

2
2 3
1
x
3 2 3 x 4
3 2 3 u  x 
 2  arctg
 
dx  arctg 3  arctg1  
dx 
2
2
2 2
2 2
2 2 ux
x 4



  3 u 2 3  1
 3
 3
 3

dt 
  
 ln t

  ln16  ln8 
 ln2  .
u
2


3 4 2
t
12 2
12 2
12 2
12
8
16
2. Integrale de forma 


Ax  B
x  a 
2
2
2
dx, a  0
Se deosebesc urmãtoarele situaþii:
a) Dacã A  1 ºi B  0 se obþine integrala de forma 



x
x 2  a2
care se calculeazã cu ajutorul metodei de schimbare de variabilã.
Se obþine succesiv:
2
2 

x
1  x a
1  u  x 
  2 2 2 dx  2   2 2 2 dx  2   u2  x  dx 
x a
x a






247

2
dx
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
u 
1 
1 u   2
1 1
t dt   
.
  u  x   u 2  x  dx  


u


2
2
2 t u
b) Dacã A  0 ºi B  1 se obþine integrala de forma 


1
x  a 
2 2
2
dx.
Pentru calculul acestei integrale de funcþie raþionalã se parcurge urmãtorul algoritm:
• se amplificã funcþia de integrat cu a 2 (dacã a  1);
• se adunã ºi se scade x 2 la numãrãtorul fracþiei;
• se desparte integrala în sumã de douã integrale: o integralã este
de tipul III.1.a), iar cealaltã integralã se calculeazã prin metoda
integrãrii prin pãrþi.
Calculele se organizeazã astfel:
 a  x   x dx 
dx

dx




a
a
x  a 
x  a 
x  a 


1
a2
1

2
2 2

1
dx 
2
  x2  a
1

2

a2

2 2
2
x2

1
a2
dx 
2
x  a 
2
2
1

2

2
2
2 2
2

1
a
2
arctg
3
x
1 
x2
dx. (*)
 2
a  a  x 2  a2 2


Ultima integralã se calculeazã folosind metoda integrãrii prin pãrþi
ºi se obþine:
III.2.a) 


x2
x
1
 1







dx
x
dx
x
 2 2 2

   2 x 2  a2  dx 
2
x a
x 2  a2


x
1
  2
2 x  a2




1 
1
x
1
dx    2
 
2
2

2
2 x  a2
x a


1
x
arctg

2a
a 

Înlocuind în egalitatea (*) se obþine:



dx

2
x  a 
2
2
1 1
x
x

arctg  2
 , (4).
2 a
2
a x a  
2a 
c) Dacã A  0 ºi B  0, calculul acestei integrale se reduce la
calculul a douã integrale de tipurile prezentate mai sus.



Ax  B
x
dx
Avem: 
dx  A 
dx  B 
. (5)
2
2
2



x 2  a2
x 2  a2
x 2  a2




248


Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Exerciþiu rezolvat
 Sã se calculeze urmãtoarele integrale de funcþii raþionale simple:
a) I1  
x
3
 x  1
1
2
2
dx; b) I2  
1
3
 x  1
1
2
2
dx; c) I3  
3
1
5x  2
 x  1
2
2
dx.
Soluþie
a) Integrala I1 este de tipul III.2.a) ºi ca urmare se va calcula aplicând metoda schimbãrii de variabilã. Se obþine:

2
3
x
1 3
2x
1 3 x 1
I1  
dx  
dx  
dx 
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
x 1
x 1
x 1









1 3 u  x 
1 u 3  1
1 1
11 1 1
dx  
dt   
    .

2
2
2 1 u x
2 u 1 t
2 t 2
24 2 8
4
b) Integrala I2 este de tipul III.2.b). Pentru a calcula aceastã
integralã se va aplica algoritmul descris la acest tip de integralã.
Avem succesiv:


2
 x2
3
3 1 x
3
1
1
x2

I2  
dx  
dx    2
dx 

2
2
2
1
1
1
2
2
2
x

1


x 1
x 1
x 1


2
3
3
1
x
3

dx  
dx  arctg x 1  J  arctg 3  arctg1  J 
2
2
1 x 1
1
x2  1











 J.
12
Integrala J se calculeazã folosind metoda integrãrii prin pãrþi obþinându-se succesiv:
3
3
3
x2
x
1 
 1
J
dx

x

dx

x



1
 1  2 x 2  1  dx 
2
2
1
x2  1
x2  1





3

x
1
1 3 1
 2
 
dx 
2 x 1 1
2 1 x2  1

1  3 1 1
2 3

 
   arctg x


.
2  4 2 2
8
24
1
 TEMĂ
3
Rezultã cã I2 
Sã se calculeze integrala
I 2 aplicând formula (4).

 2 3
 

3 2
J
 


.
 
12
12  8
24  24
8
249
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
c) Integrala I3 se scrie ca o sumã de integrale astfel:
3 5x  2
3
3
x
1
I3  
dx  5 
dx  2 
dx.
2
2
2
1
1
1
x2  1
x2  1
x2  1






Se observã cã I3  5I1  2I2 .
Înlocuind cu rezultatele obþinute la a) ºi b) se obþine:
1
  1  21  2
I3  5   2 
 
.
8
24
 24 8 
3. Integrale de forma 

Ax  B
 ax2  bx  c
dx,   b2  4ac  0, a  c  0
a) Dacã A  0, B  1, se obþine integrala de tipul 

1
 ax 2  bx  c
dx,
  b2  4ac  0.
Pentru calculul acestei integrale, se scrie expresia ax 2  bx  c
2
b 


sub forma canonicã, anume ax 2  bx  c  a  x 
ºi apoi se
 
2a 
4a

aplicã metoda de integrare prin schimbare de variabilã. Se obþine
succesiv:


1
1
1 
1
dx 
  ax 2  bx  c dx     b 2  dx  a  
2
2
  
b


ax 
 

x 
 
2a 
4a

2a   4a2 

u  
u  x 
1 
1 u 
1
1
t
dx
 


dt
arctg
.
a  u2  x   k 2
a  u   t2  k 2
ak
k u
2
  
b
ºi u  x   x 
, x   ,  . )
(S-a notat k 2  
2 

2a
4a


Exerciþiu rezolvat
 Sã se calculeze integralele:
I
1
1
0 x2  x  1
dx;
1
1
J  1
2 4x
2
 4x  2
dx.
Soluþie
• Pentru trinomul x 2  x  1 se observã cã   3  0, caz în care
2
1
3

acesta se scrie sub forma canonicã x 2  x  1   x    .
2
4

250
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Integrala se scrie:
1
1
1
1
1
1
I
dx  
dx  
dx.
2
2
0 x2  x  1
0
0
2
1
3

 3
1


x   

x   
2
4

2

 2 
Aplicând metoda schimbãrii de variabilã, notând u  x   x 
x  0, 1 se obþine:
I

u  x 
1
0
 3
u2  x   

 2 
2
2t
arctg
3
3
3
2
1
2

2

u 1
u0
1
 3
t2  

 2 
2
3
2
1
2 2
dt  
1
 3
t 

 2 
2
1
,
2
dt 
2    3
.
  
9
3 3 6
• Numitorul funcþiei de integrat are   16 ºi forma canonicã
2
1

4x  4x  2  4  x    1. În acest caz integrala se scrie succesiv:
2

1
1
1
1
1 1
1
J  1
dx   1
 1
dx.
2
2
2
4
1
1
1
2 4x  4x  2
2 
2
4  x   1
x   
2
2
4


1
1 
1 
Alegând u  x   x  , x   , 1 , cu u  x   1, x   , 1 ºi aplicând
2
2 
2 
metoda schimbãrii de variabilã, integrala devine:
2
1 1
J  1
4 2
1
u  x 
1

1 u 1
1
dt   2 arctg 2t 2  .
dx    1 
2
2
4
8
4 u  2  1 
1
2 t   
0
u2  x    
2
2
b) Dacã A  1 ºi B  0 se obþine integrala de tipul 

x
 ax2  bx  c
dx,
  b2  4ac  0.
Pentru calculul integralei se foloseºte metoda schimbãrii de variabilã luând u  x   ax 2  bx  c, cu u  x   2ax  b, x   ,  .
Calculele decurg astfel:

x
1 
2ax
1   2ax  b   b
  ax 2  bx  c dx  2a   ax 2  bx  c dx  2a   ax 2  bx  c dx 
251
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘

1  u  x 
b 
1
1 u   1
b 
1
dx 
dx 
dt 
dx 




2
2
2a  u  x 
2a  ax  bx  c
2a u  t
2a  ax  bx  c
u  
1
b 
1
ln t
dx.



2

2a
2a
ax  bx  c
u 
Ultima integralã obþinutã este de tipul III. 3. a) tratat anterior.
c) Dacã A  0, B  0, atunci integrala se desparte în sumã de douã
integrale de tipul celor întâlnite anterior.



Ax  B
x
1
Astfel, 
dx  A 
dx  B 
dx.
2
2
2
 ax  bx  c
 ax  bx  c
 ax  bx  c
Exerciþiu rezolvat
 Fie funcþia f : 0, 1  R, f  x  
x 1
.
3x  6x  4
a) Sã se scrie sub forma canonicã expresia 3x 2  6x  4.
2
1
b) Sã se calculeze  f  x  dx.
0
Soluþie
a) Pentru expresia 3x 2  6x  4,   36  48  12.
2
b 

2

Rezultã cã 3x 2  6x  4  a  x 
 3  x  1  1.
 
2a
4a


b) Avem:
1
1
x 1
1
x
1
1
 0 f  x  dx   0 3x2  6x  4 dx   0 3x2  6x  4 dx   0 3x2  6x  4 dx 





2
1
1 1
6x
1
1 1 3x  6x  4
 
dx  
dx  
dx 
0 3x 2  6x  4
6 0 3x 2  6x  4
6 0 3x 2  6x  4
 2

1
1
0 3x 2  6x  4
dx 
1
1 1 u  x 
2 1
1
1


dx
dx

ln
t

6 0 ux
3  0 x 1 2  1
6
4


3
1
1
2 3
2
.
 3 arctg  x  1 3   ln 4 
6
9
3
0
252
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
4. Integrale de forma:

Ax  B
dx,   b2  4ac  0, a  c  0
 2
2
ax  bx  c


2

b 
 
b
, x   ,  ,
Dacã ax 2  bx  c  a  x 
 ºi u  x   x 
 
2
2a 
2a
4a 

integrala se transformã astfel:
b  Ab

B
Ax 


1  
Ax  B
2a  2a
dx 
dx  2 
 
2
2
2
2
a 


b

b





a 2  x 
 x 

 
 
2
2a
2a
4a
4a 2 








 Cu  x   D u  x  dx  u Ct  D dt, unde C  A , D  1   Ab  B 


 u   2 2 2

2
2 2
a2
a2  2a


t  k 
u  x  k 
ºi k 2 

.
4a 2
Aºadar, calculul acestei integrale s-a redus la calculul unei integrale de tipul III. 2.
Exerciþiu rezolvat
 Sã se calculeze integrala 
2x  3
0
2

x 2  4x  8

2
dx.
Soluþie
Numitorul se scrie sub forma x 2  4x  8   x  2   4, iar integrala se scrie succesiv sub forma:
0
0
2  x  2 1
0
2u  x  1
2x  3
dx  
 u  x  dx 
I
dx  
2
2
2
2
2
2
u2  x   4
 x  22  4
 x  22  4






u0
2
2
2t  1
2t


dt  
dt  
dt  I1  I2 .
2
2
2
u  2  2
0
0
t 4
t2  4
t2  4
2






Integralele I1 ºi I2 sunt de tipul III.2. Se obþine:

t2  4 

2 v  t 
v 2 1


I1  
dt
dt
dt  
dy 


2
2
2
0
0
0
v
0  y 2
v t 
 t2  4 
 t2  4 
2
2t
2
253
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
8


1
1 1 1

    ; v  t   t2  4 .
y 4
8 4 8
I2  
2
0



2
2
1 2
4
1 2 4t t
dt  
dt  
dt 
2
4 0 t2  4 2
4 0 t2  4 2
t2  4
1







2
1
1 2 1
1 2
t2
1 1
t
1 2 
 dt 
  2

dt  
dt   arctg
t
4 0 t 4
4 0 t2  4 2
4 2
2 0 4  0  2 t2  4 






2


2

1  1
t
1 2 1
 1 1 1 1
t 
   
  2
dt  
     arctg

8 4 4  2 t2  4
2 0 t  4  32 4  8 2 2
2 0 
0


 1 1  

1
.

  


32 4  8 16  64 32
6
În final se obþine cã I  I1  I2 
.
64


EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
Sã se calculeze urmãtoarele integrale de funcþii raþionale simple:
2
E1. a) 
1
 4x3  6x2  8x  3  dx;
 x  3   9x  dx;
1
c)   4mx 3  2px  1 dx;
0
1 
b) 
1 
d) 
E2. a) 
2
1
8
1
2
2

1
d) 
1
dx.
6x 2
1
E3. a) 
1
1
2
 x  2 2
b) 
2
1
3
 x  1 4
c) 
3
1
1
 2x  4 2
d) 
1
24
1
 2x  6 3
e) 
0
16
1
 2x  13
f) 
2 3
dx;
1
dx;
x5
3
1
c) 
dx;
2 3x  12
b) 
4
1
g) 
4
 3x  1  4x  3  dx.
e 3 x  3
1
dx;
3  8x
f)  41
3
1
5
1
4
dx;
1
 4x  3
4
1
e) 
dx;
2 6  x
4
254
1

dx;
dx;
dx;
dx;
dx;
6
3x  3 24

3
dx.
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
c) 
d) 
e) 
1
3
1 x2  3
2 3
1
2
 3 18  2x 2
 2
24x 2  4 6
c) 
5
d) 
 2
c) 
d) 
 x  4
2
2
3x  75
1

1
b) 
c) 

2
dx.
1
dx
2 x 2  6x  10

2

4
3
2
1

2

dx
2
x  6x  10
dx
2
x  4x  5
3 2



2
2
;
;
dx
3
d) 
2
x  2 3x  7

2
.
E8. Sã se studieze dacã urmãtoarele
egalitãþi sunt adevãrate:
a) 
dx;
 3 x 2  4x  5
4

dx;
8  2x 2
1 x 2  x  1
1

2
8
0
dx.
dx;
5
5

2

E7. Sã se calculeze:
3 1
dx
a)  1
;
2
2

x  x 1
2
dx;
2
1
2
0
2

3  2 2 
 x2  1
1
b) 
b) 
1
3
dx
3
0
dx;
1 2
 2 1 x 2 
E6. a) 
dx;
4 6
;
;
x  2 3x  12
5
dx
g) 
;
2 10x  x 2  34
6
dx
h) 
.
0
24x  8  x 2
dx;
0
1
E5. a) 
f) 
4x  16
4
0
0 9x 2  12x  8
dx;
0
dx
e)  3
dx;
4 3 x 2  64
b) 
f) 
2
1
8
E4. a) 
b) 
dx;
c) 
;
x
1
2
0x
5
 x 1
2x
3 x 2  8x  17
 x  2x  5 
2
d)  21

2
2
4x  1
 4x  4x  5
2
2  3  ;
18
dx  4 ;
2x  3
1
1
1
1
dx
2
;
1 4x 2  4x  2

dx  ln 3 
2
dx 
  10
;
64
dx 
3   2

.
20 128
9.2. Calculul integralei unei funcþii raþionale oarecare
În mulþimea R  X  a polinoamelor cu coeficienþi reali, singurele
polinoame ireductibile peste R sunt polinoamele de forma  X  a  ºi
 X  bX  c  , a, b, c  R ºi b2  4c  0.
2
255
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
O funcþie raþionalã oarecare se poate scrie ca o sumã algebricã de
funcþii raþionale simple pentru care calculul integralelor acestora a fost
studiat anterior. Pentru a realiza aceastã scriere se va utiliza urmãtoarea teoremã:
 TEOREMA 14 (de descompunere a unei funcþii raþionale în
sumã finitã de funcþii raþionale simple)
P x
, unde P, Q  R  X  ,
Fie funcþia raþionalã f : I  R, f  x  
Qx
Q  x   0,  x  I.



Dacã Q  x    x  a1  1  x  a 2  2 ... x  a p

 x 2  b2 x  c 2
  x 2  b1 x  c1  
1
p
  ...   x 2  br x  cr  , unde b2k  4ck  0, k  1, r,
2
r
atunci f  x  se scrie în mod unic sub forma:
2

 A 1
A k 
A k k  
k


f x  L x  

 ... 
k 
2

x
a

x
a
x
a


k


k 1 
k
k



2
2


1
1
r
Bk  x  Ck 
Bk k  x  Ck k  
 B k x  Ck
 

 ... 
,
k 
2
2
2
2
k 1  x  b k x  c k

x  bk x  ck
x  bk x  ck


unde L este funcþie polinomialã.
p

 



Mod practic de aplicare a teoremei
Pentru descompunerea unei funcþii raþionale în sumã finitã de
funcþii raþionale simple se procedeazã astfel:
a) Se efectueazã împãrþirea cu rest a polinoamelor P, Q, dacã
grad P  grad Q, rezultând relaþia P  L  Q  R, 0  grad R  grad Q ºi
f x  L x 
R x
Qx
b) Pentru
ISTORIC
.
R x
Qx
se foloseºte
formula de descompunere în sumã
finitã de funcþii raþionale simple
conform teoremei anterioare, unde
coeficienþii A k  , Bk  , Ck  urmeazã
a fi determinaþi.
i
i
i
256
LEIBNIZ ºi Johann BERNOULLI
au iniþiat în 1702 metoda integrãrii
funcþiilor raþionale prin descompunerea în sumã finitã de funcþii
raþionale simple (cazul rãdãcinilor
reale sau complexe simple).
Leonhard EULER a completat
metoda în cazul rãdãcinilor complexe multiple (1748).
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
c) În egalitatea obþinutã la punctul b) se eliminã numitorul comun
Q  x  ºi se ajunge la o egalitate de funcþii polinomiale.
d) Din egalitatea funcþiilor polinomiale se obþine un sistem de
ecuaþii în care necunoscutele sunt coeficienþii A k  , Bk  , Ck  .
i
i
i
Metoda de determinare a coeficienþilor A k  , Bk  , Ck  se numeºte
metoda coeficienþilor nedeterminaþi.
Vom exemplifica utilizarea acestei teoreme în calculul integralei
unei funcþii raþionale pentru diferite funcþii raþionale f :  a, b  R,
i
f x 
Px
Qx
,
Q  x   0, pentru
i
i
x   a, b  , P, Q  R  X  ºi grad Q  4,
distingând între diferite moduri de descompunere a numitorului Q  x 
în produs de factori ireductibili.
1. Numitorul are rãdãcini reale simple.
 Exemplu

Sã se calculeze urmãtoarele integrale:
a) I  
1
9x  2
2 x 2  x  6
b) J  
dx;
2 2x 3  3x 2  4x  2
1
x 2  2x
dx.
Soluþie
a) Considerãm funcþia raþionalã f :  2, 1  R, f  x  
9x  2
x2  x  6
.
Expresia x 2  x  6 are urmãtoarea descompunere în produs de factori ireductibili peste R: x 2  x  6   x  2  x  3  .
Conform teoremei 14, funcþia f are urmãtoarea scriere ca sumã de funcþii
raþionale simple:
9x  2
A
B

, x   2, 1 , (1).
f x  2

x 2 x 3
x  x 6
Se eliminã numitorul comun ºi se obþine egalitatea de funcþii:
9x  2  x  A  B   3A  2B, x   2, 1 , (2).
Identificând coeficienþii expresiilor polinomiale din egalitatea (2) se obþine
sistemul de ecuaþii:
A  B  9, 3A  2B  2 cu soluþia A  4, B  5.
Aºadar, relaþia (1) devine: f  x  
Rezultã cã I  
1 
4
2  x  2

4
5
, x   2, 1 .

x 2 x 3
1
5 
 dx   4 ln x  2  5 ln x  3  2  ln 4.
x  3
 OBSERVAŢIE
Cu aceastã rezolvare s-a rãspuns la situaþia-problemã formulatã la
începutul paragrafului 9.
257
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
b) Considerãm funcþia raþionalã f : 1, 2  R, f  x  
2x3  3x2  4x  2
. Se observã
x2  2x
cã gradul numãrãtorului este mai mare decât gradul numitorului. Aplicând algoritmul
de împãrþire a douã polinoame ºi teorema împãrþirii cu rest a polinoamelor, se obþine cã


2x 3  3x 2  4x  2   2x  1 x 2  2x   2x  2  .
 2x  1  x  2x    2x  2 
2
Rezultã cã f  x  
2
 2x  1 
2x  2
x  2x
x 2  2x
Rãmâne de scris ca sumã de funcþii raþionale simple funcþia:
2x  2
g : 1, 2  R, g  x   2
.
x  2x
2x  2
2x  2
Avem: 2

.
x  2x x  x  2 
.
2x  2
A
B


, x  1, 2 .
x  x  2
x x2
Eliminând numitorul se obþine egalitatea de funcþii polinomiale:
2x  2  x  A  B   2A,  x  1, 2 .
Identificând coeficienþii celor douã expresii polinomiale se obþine sistemul de
ecuaþii: A  B  2, 2A  2 cu soluþia A  1 ºi B  3.
Conform teoremei 14 se obþine
1
3
1
3

,  x  1, 2 ºi f  x   2x  1  
, x  1, 2 .
x x2
x x 2
2
2
1
3 
2
Rezultã cã J    2x  1  

 dx  x  x  ln x  3 ln x  2
1 
1
x x  2
3
27
 2  ln 2  3  ln  2  ln
.
4
32
Aºadar, g  x  


2. Numitorul are rãdãcini reale multiple.
 Exemplu

Sã se calculeze integrala I  
1
2
1
3  2x

x
2
 x  12
dx.
Soluþie
1
3  2x

Se considerã funcþia f :  1,    R, f  x  
.
2
2
2

x  x  1
Aplicând teorema 14, expresia funcþiei f se scrie astfel:
3  2x
D
1
B
A
C


 2

, x   1,   .
2
2
2
2
x
x

1

x
x  x  1
 x  1
Eliminând numitorul comun se obþine egalitatea:
1

2
2
3  2x  Ax  x  1  B  x  1  Cx 2  x  1  Dx 2, x   1,   (1) sau
2

1

3  2x   A  C  x 3   2A  B  C  D  x 2   A  2B  x  B, x   1,   , (2).
2

258
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Identificând coeficienþii aceloraºi puteri ale lui x din cei doi membri ai egalitãþii (2),
se obþine sistemul de ecuaþii: A  C  0, 2A  B  C  D  0, A  2B  2, B  3, cu
soluþia A  4, B  3, C  4, D  1.
3  2x
Aºadar,
x
2
 x  1
2
Rezultã cã: I  

4
3
4
1
1

, x   1,   .



x x 2 x  1  x  12
2

1
4 3
4
2 


2
1  x
x
1
x


1


3
1  2
 dx   4 ln x   4 ln x  1 


x
x  1  1

 x  12 
1
19
3

 4 ln .
6
2
 OBSERVAŢIE
Constantele A, B, C, D din egalitatea (1) se mai pot determina astfel:
• Pentru x  0 se obþine B  3 ºi pentru x  1 se obþine D  1.
• Pentru determinarea constantelor A ºi C se deriveazã egalitatea (1) ºi
se obþine:




2  A 3x 2  4x  1  2B  x  1  C 3x 2  2x  2Dx.
Din aceastã egalitate, pentru x  0 se obþine A  4, iar pentru x  1
se obþine C  4.
3. Numitorul are rãdãcini complexe simple.
 Exemplu
Sã se determine integrala funcþiei f :  1, 0   R, f  x  
16
x4  4
.
Soluþie
Descompunerea în factori ireductibili peste R a numitorului conduce la urmã-

toarea scriere x 4  4  x 4  4x 2  4  4x 2  x 2  2
  2x 2   x 2  2x  2  x 2  2x  2  .
2
Aplicãm teorema 1 ºi obþinem urmãtoarea descompunere în sumã finitã de
funcþii raþionale:
16
Ax  B
Cx  D
 2

,  x   1, 0  .
x4  4
x  2x  2 x 2  2x  2
Aplicând metoda coeficienþilor nedeterminaþi se obþine egalitatea:
16   A  C  x 3   2A  B  2C  D  x 2   2A  2B  2C  2D  x  2B  2D, x   1, 0  .
Identificând coeficienþii aceloraºi puteri ale lui x din cei doi membri se obþine
sistemul de ecuaþii:
A  C  0, 2A  B  2C  D  0, 2A  2B  2C  2D  0, 2B  2D  16, cu soluþia A  2,
B  4, C  2, D  4.
2x  4
2x  4
2x  4
dx 
x  2x  2 x  2x  2
0
0 
0
2x  4
2x  2
2
2x  2


dx     2
 2

 dx   1  2
1 x 2  2x  2
1  x  2x  2
 x  2x  2
x  2x  2 
Aºadar, f  x  
2

2
0
0
1
1 x2  2x  2
ºi  f  x  dx  
259
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘







2
2
0 x  2x  2
0
0 x  2x  2
dx





dx
dx
2

 1 x2  2x  2
 1  x  12  1  1 x2  2x  2 dx 
x2  2x  2 
2
 2
0
dx
1
 x  1  1
2

2
5 dt
2
t
 2
1
dt
2 t 2  1

2 dt
1
t
 2
1
dt
0 t2  1
1
5
 ln t 2  2arctg t 2 
1
 ln t 1  2arctg t 0  ln 5  2arctg 2.
4. Numitorul are rãdãcini complexe multiple.
 Exemplu
Sã se calculeze integrala
1 x 2  3x  2
 1


2
x2  1
dx.
Soluþie
Considerãm funcþia raþionalã f :  1, 1  R, f  x  
x 2  3x  2
 x 2  1
2
.
Aplicând teorema 14 se obþine:
f x 
x 2  3x  2
 x 2  1
2

Ax  B

2
x 1
Cx  D
 x2  1
2
, x   1, 1 .
Metoda coeficienþilor nedeterminaþi conduce la urmãtoarea egalitate:


x 2  3x  2   Ax  B  x 2  1  Cx  D, x   1, 1 , din care se obþine sistemul de ecuaþii:
A  0, B  1, A  C  3, B  D  2 cu soluþiile A  0, B  1, C  3, D  1. Rezultã cã f
se scrie ca sumã de funcþii raþionale simple astfel:
1
3x  1
f x  2
, x   1, 1 , iar integrala se scrie sub forma:

2
x 1
x2  1

1

dx
1
1
 1 f  x  dx   1 x 2  1   1
3x  1
 x  1
2
2
1
dx  arctg x 1  I1 

 I1, (1).
2
Calculãm I1 în felul urmãtor:


2
 x2
1
1 1 x
3 1
2x
1
3 21
I1  
dx  
dx   2 dt  

2
2
1
1
2 1 x 2  1 2
2 2t
x2  1
x2  1

0
1
1
dx

1

x2

 x 2  1  1  x 2  1

1
dx  arctg x 1 
2

 1




1

 1 x  2 x 2  1  dx 


1
1

x
 
2 2 x2  1


1

1 1 dx
 1 1
 1
    arctg x
   , (2).
2  1 x 2  1
2 2 2
4
2
1
Din relaþiile (1) ºi (2) se obþine cã 
1
1
f  x  dx 
260
3 1
 .
4 2
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Aplicaþie în fizicã
Concentraþia unei soluþii apoase a unei substanþe, variazã urmând
10x
legea: C  x  
g / m 3 , x fiind grosimea stratului de soluþie.
x 1
Care este cantitatea Q de substanþã conþinutã într-o coloanã
verticalã de soluþie a cãrei secþiune dreaptã este S  1 m 2 ºi grosimea
variind între 0 ºi 200 m?
Soluþie
Considerãm un strat foarte mic al coloanei
x
de soluþie apoasã cu secþiunea S ºi grosimea dx,
situat la adâncimea x (figura 1).
Cantitatea de substanþã conþinutã în acest
dx
10x
strat este: dQ  C  S dx 
dx. Integrând de la
x 1
0 la 200 se obþine:
200 x
200  x  1  1
Q  10 
dx  10 
dx 
0
0
S
x 1
x 1

 10  x  ln  x  1 

200
 10  200  ln 201 .
0
Figura 1
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se calculeze integralele
funcþii raþionale (numitorii
rãdãcini reale simple):
de
au
f) 
x
1
0
c) 
0
d) 
2
 x  1  x  2 
5x  1
4
x5
0
12
 x  1  x  4 
2
2
a) 
dx;
 x  1  x  2   x  1
1
e)  2
x 2  3x  2
3 x 4  x2  2

x x2  1
2

dx;
dx.
E2. Sã se calculeze integralele de funcþii
raþionale (numitorii au rãdãcini reale
multiple):
dx;
 x  2   2x  1
3
x 3  3x 2  5x
g) 
dx
;
a) 
1 x  x  1
2
b) 
0
2
dx;
dx;
261
1
x
2
 x  1 2
b) 
1
x2
0
 x  2 3
c) 
1
2
1

dx;
dx;
1
x
2
 x  12
dx;
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
d) 
2
2x  1
1
x 2  x  1
1
5x 2  2x  1
e)  2
0
f) 
2
 x  1
2
c) 
dx;
2

E3. Sã se calculeze integralele de funcþii
raþionale (numitorii au rãdãcini complexe simple):
a) 
b) 
e

dx

x x2  1
1
3
0
2x
0
x4  1

dx;
dx.

dx;
 x2  1 x2  4 

E4. Sã se calculeze integralele de funcþii
raþionale (numitorii au rãdãcini
complexe multiple):
3
1
dx;
a) 
2
0
2
x 3

2
x 2
0
b) 
2
c) 
2 2x 2  x  12
dx;
2
0
2
d) 

;
3

2x
x2  1 x2  3
1
d)  2
dx;
3
x4
dx.
1
2
x x2
2

3
 2
 x2  4 
2
dx;
 x  6
0
1
2
1
 x  x  1
2
2
dx.
APROFUNDARE
A1. Sã se calculeze
funcþii raþionale:
a) 
b) 
integralele
2x 2  6
3
2 x 3  2x 2  3x
de
A3. Fie I n  
x4
n
n 1 x 2  3x  2

Dacã   lim n 
dx;
n 
dx, n  N* .

n  3  In,
atunci:
2 x 4  x 3  2x  1
dx;
3
2
1
a)   0;
x  2x  x
2 x 1
c) 
dx.
0
 x  13
c)   e;
b)   1;
d)   e.
(ASE, Bucureºti, 2000)
(Univ. Ovidius, Constanþa, 1999)
A4. Sã se calculeze integralele:
A2. Sã se calculeze integralele:
1
x
dx;
a) 
0 x3  1
(Univ. Bucureºti, 1999)
a) 
x 2  2x  2
b) 
b) 
2
1
 2x  1  x
2
1

dx;
(Univ. Babeº Bolyai,
Cluj-Napoca, 1999)
c) 
1
1
0 x3  x2  x  1
dx.
(Univ. Dunãrea de Jos,
Galaþi, 1999)
262
5 x  3
3
dx;
3  x  1 
2
x  x  1  5
0
x 4  5x 2  6
dx;
c) 
0
x5  x4  4x3  6x2  4x  9
 2
x4  5x2  6
d) 
1 x 5  x 4  2x 3  3x 2  x  1
dx.
4
2
0
x  2x  1
dx;
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
A6. Se considerã funcþia f :  0, 1  R,
A5. Pentru n  N se considerã integrala:
5
2x  3
In  
dx.
4 x  x  1  x  2   x  3   n
f x 
a) Sã se calculeze I 0 , I1 ºi I 2 .
b) Sã se calculeze limitele lim I n ,
n 
respectiv lim nI n .
se
 x  1 n   x  1 n
x2  1
determine n
, n  N. Sã
astfel
încât
1
 0 f  x  dx  Q.
n 
TESTE DE EVALUARE
Testul 1
Sã se calculeze:
Grupa I:
Grupa II:
1

a)  x ln  x  1 dx;
a) 
0
2x  1
b) 
0
c) 
4
x4
3
 x  1 x 2  4
0
3
b) 
1
4x
c) 
2
x2  x  2
1

2
dx;
2
x x  2x  2

dx.
x sin  x    dx;
5
3x  5
x2  4
dx;


dx.
Testul 2
1.
n
1

Fie f :  0,    R, f  x   ln  1   ºi I n   f  x  dx, n  1.
1
x

a) Sã se calculeze I n , n  1.
n
b) Sã se determine a n   I k .
k 1
(3 puncte)
2.
Se considerã funcþia f : R  R, f  x   x 3  mx 2   nx  p.
a) Sã se determine m, n, p  R ºtiind cã funcþia f admite extreme locale în
x  1, x  1 ºi cã 
1
1
f  x  dx  4.
b) Pentru valorile determinate ale parametrilor sã se calculeze 
1
3
2 f
x
dx.
(4 puncte)
3.
Sã se calculeze 
1
x
2
1 e x  1
dx.
(ASE, Bucureºti, 2002)
(2 puncte)
263
Analiz‘ matematic‘ • II. Integrala definit‘
Testul 3
1.
 sin x
 

, x   , 0 
e
2







Se considerã funcþia f :   ,   R, f  x   
.
 2 2
 cos x  2 sin x, x   0,  
 2 


Dacã I   2 f  x   cos x dx, atunci:

2

a) I  e  ;
4
1 
c) I    1;
e 4
e   1
;
4e
 1
d) I   .
4 e
b) I 
(ASE, Bucureºti, 1999)
(3 puncte)
2.
Sã se calculeze:
k
1
dx, k  N* ;
a) I k  
0 x 2  3x  2
n


1
b) lim  n ln   I k  .

n  
2 k 1 
(Univ. de Nord, Baia Mare, 1999)
(4 puncte)

3.


Sã se calculeze  3 ln 1  3tg x dx.
0
(Univ. Lucian Blaga, Sibiu, 2000)
(2 puncte)
264
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
III. APLICAÞII ALE INTEGRALEI DEFINITE
Punctul de plecare al Calculului integral îl reprezintã calculul
ariilor unor suprafeþe plane ºi calculul volumelor unor corpuri de rotaþie.
Încã din Antichitate, Arhimede (287-212 î.Hr.) a dat metode de
calcul pentru aria segmentului de parabolã folosind aproximarea prin
arii ale unor suprafeþe particulare. Johannes Kepler (1561-1630) a
stabilit reguli de determinare a volumului butoaielor prin descompunerea corpurilor în pãrþi foarte mici.
Saltul deosebit în problema calculului ariilor ºi volumelor s-a
fãcut cu precãdere în secolele al XVII-lea, respectiv al XVIII-lea, când
Isaac Newton (1642-1727) ºi Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) au
fãcut prima fundamentare teoreticã a domeniului calculului integral,
aprofundatã apoi de matematicienii Augustin Louis Cauchy (17891857) ºi Bernhard Riemann (1826-1866).
Henri Leon Lebesgue (1875-1941) iniþiazã teoria modernã a
noþiunilor de integralã, lungime, arie.
1 Aria unei suprafeţe plane
În acest paragraf se va defini noþiunea de „mulþime care are arie“
ºi se va arãta cã dacã f :  a, b  R  este o funcþie continuã, atunci sub-
graficul ei  f 
 x, y   R  R a  x  b, 0  y  f  x  este o mulþime
care are arie, iar aria sa se va calcula cu ajutorul integralei definite.
v DEFINIÞIE
• O mulþime
E  RR
se numeºte mulþime elementarã dacã
n
E   Di , (1), unde Di sunt suprafeþe dreptunghiulare cu laturile
i 1
respectiv paralele cu axele de coordonate, iar oricare douã suprafeþe
diferite Di , D j au interioarele disjuncte.
n
Prin definiþie, aria  E    aria  Di .
i 1
 OBSERVAŢII
1. Reprezentarea unei mulþimi elementare sub forma (1) nu este unicã.
265
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
2. Dacã mulþimea elementarã E are douã reprezentãri de forma (1),
n
m
n
m
i 1
j 1
i 1
j 1
 
adicã E   Di , E   F j, atunci  aria  Di    aria F j  aria  E  .
3. Dacã E ºi F sunt mulþimi elementare, atunci E  F, E  F, E \ F sunt
mulþimi elementare.
4. Dacã E, F sunt mulþimi elementare disjuncte, sau care au în comun
cel mult laturi ale unor suprafeþe dreptunghiulare componente,
atunci aria  E  F   aria  E   aria  F  .
5. Dacã E, F sunt mulþimi elementare ºi E  F, atunci:
aria  E   aria  F  ºi aria  F \ E   aria  F   aria  E  .
v DEFINIÞIE
• Fie A o mulþime mãrginitã din plan. Mulþimea A are arie dacã:
a) existã douã ºiruri  E n  ,  Fn  de mulþimi elementare, astfel încât
E n  A  Fn ,  n  N;
b) ºirurile de numere reale pozitive
 aria  En   ºi  aria  Fn   sunt
convergente ºi lim aria  E n   lim aria  Fn  .
n 
n 
În acest caz se defineºte aria mulþimii A, astfel:
aria  A   lim aria  E n   lim aria  Fn  .
n 
n 
 OBSERVAŢII
1. Definiþia mulþimii mãrginite A nu depinde de alegerea ºirurilor de
mulþimi elementare  E n  ºi  Fn  .
2. Dacã mulþimile A ºi B au arie, atunci A  B, A  B ºi A \ B au arie.
3. Dacã A ºi B au arie ºi A  B, atunci aria  A   aria  B ºi aria  B \ A  
 aria  B   aria  A  .
Cu aceste elemente pregãtitoare se va putea arãta când o mulþime
planã mãrginitã oarecare are arie ºi cum se calculeazã aceasta.
 TEOREMA 1
Fie f :  a, b  R o funcþie continuã ºi pozitivã. Atunci:


a) mulþimea f   x, y   R  R a  x  b, 0  y  f  x  are arie;
b
b) aria   f    f  x  dx.
a
266
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
Demonstraþie

Fie   n  ,  n  a  x 0   x1   ...  x k 1  x k   b
n
n
n
n
n
n
 un ºir de divi-
ziuni ale intervalului  a, b cu lim  n  0 . Funcþia f fiind continuã pe
n 
 a, b este continuã pe fiecare subinterval  x i n1 , x i n   . Conform teoremei lui Weierstrass, f este mãrginitã ºi îºi atinge marginile pe fiecare
n
n
interval  x i 1 , x i   , i  1, k n .


 
n
n
n
n
n
În consecinþã, existã ui  , v i    x i 1 , x i   astfel încât f ui  



  


n
n
n
n
n
 m i   inf f  x  x   x i 1 , x i   , f v i   Mi   sup f  x  x   x i n1 , x i n   ,


i  1, k n .
Se considerã dreptunghiurile cu
y
Mi
baza x i   x i 1 ºi înãlþimea m i  , resn
n
Figura 1
n
n
Gi n 
pectiv Mi  (figura 1):
n
n
n
n
n
Di    x i 1 , x i    0, m i   ;

 

n  n n  
n 
G i   x i 1, x i   0, M i  .

 

m i n 
Di n 
x i n1
O
v i n 
def
u i n 
x i n 
x
def
kn
Se constituie mulþimile elementare E n   Di n  , respectiv Fn 
i 1
def k n
kn
  Gi  , care verificã relaþiile En   f  Fn, (1), ºi aria  E n    m i  
n
i 1
i 1

n

kn
 



 x i   x i 1   f ui   x i   x i 1    n f, ui  , respectiv aria  Fn  
n
kn
n

i 1
n

kn
n
n
 
n



  Mi   x i   x i 1   f v i   x i   x i 1  n f, v i  .
i 1
n
n
n
i 1
n
n
n
n
Fiind continuã pe  a, b , f este integrabilã pe  a, b  ºi astfel:
  f,ui   lim   f, v i   aria  En   aria  Fn  . (2)
 a f  x  dx  nlim

n 
 n
b
 n
n
n
Din relaþiile (1) ºi (2) ºi aplicând definiþia mulþimii care are arie, se
b
obþine cã mulþimea f are arie ºi aria  f    f  x  dx . 
a
267
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
Exerciþii rezolvate
 1. Sã se determine ariile subgraficelor funcþiilor:
a) f1 : 0,1  R, f1  x   x 2  x;
b) f2 : 0,   R, f2  x   sin x;
c) f3 : 1, e   R, f3  x   ln x;
d) f4 : 1, 4   R, f4  x   x.
F ig u ra 2
y
Soluþie
Subgraficele funcþiilor vor fi reprezentate în 2
desenele alãturate (figurile 2-5).
 
1
1
0
0
a) Avem: aria f1   f1  x  dx 
 x  x  dx 
f1
2
1
 x3 x2 
1 1 5


    .
 3
3 2 6
2 

0
 
 1  1  2.



0
0
0
 
e
3
1
3
4
x
4
4
1
1
1

3
e
d) aria f4   f4  x  dx 
3 4
2 2
2
 x
 x
F ig u ra 4
f
1
  x  ln x dx  x ln x   x  dx  e  x 1e  1.
1
1
x
1
x

y
1
e
 

2
O
e
1
f 2
1

c) aria  f3   f3  x  dx   ln x dx 
e
F ig u ra 3
y
b) aria f2   f2  x  dx   sin x dx   cos x
x
1
O
x dx  
4
1
O
1
x 2 dx 
2
14
 8  1  .
3
3
1
x
e
F ig u ra 5
y
f
O
1
4
4
x
 2. Sã se determine aria mulþimii f în cazurile:
a) f : 1, e   R, f  x   x ln x;
b) f :  1, 2  R, f  x   x 2  x .
Soluþie
a) Funcþia f este continuã ºi pozitivã pe 1, e  . Rezultã cã mulþie
mea  f are arie ºi aria   f    x ln x dx 
1
x2 
1  e e2  1
.
ln
x


 
2 
2 1
4
 x 2  x, x   1, 0 

b) f  x    x  x 2 , x   0, 1 . Funcþia f este continuã ºi pozitivã pe
 2
 x  x, x  1, 2
intervalul  1, 2 . Rezultã cã mulþimea  f are arie ºi:
268
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
 x  x  dx    x  x  dx    x  x  dx 
2
0
1
1
1
aria  f    f  x  dx  
1
2
2
2
0
2
1
 x3 x2  0  x2 x3 
 x 3 x 2  2 11






.


 
 3
 3
2  1  2
3 
2  1
6


0
Aria elipsei
Fie elipsa
E  caracterizatã de ecuaþia
x2
y2
a
b2

2
 1  0, repre-
zentatã grafic în figura 6.
y
Figura 6
Problema care se pune este:
determinarea ariei suprafeþei deliB  0, b 
Gf1
mitate de elipsa E  folosind intex
grala definitã.
Funcþiile ale cãror grafice A   a, 0 
O
A  a, 0 
descriu curba E  sunt urmãtoarele:
Gf2
B  0,  b 
b 2
f1, f2 :  a, a   R, f1  x  
a  x2 ,
a
b
f2  x   
a2  x 2 .
a
Deoarece funcþiile f1, f2 sunt funcþii pare, rezultã cã aria supra-
feþei delimitate de elipsa E  este egalã cu aria E   4 A1, unde A1 este
aria suprafeþei haºurate din figura 6.
ab
b a 2
a 2  x 2 dx  
a  x 2 dx.
Avem: A1  
0 a
a 0
Folosind tema de proiect de la pagina 227, se obþine:
a
b 1
x
ab
A1    x a 2  x 2  a 2 arcsin  
.
a 2
a 0
4
Aºadar, aria E   ab.
Dacã a  b, elipsa E  devine cercul cu centrul în origine ºi raza
R  a  b. Rezultã cã aria C  O, R    R 2 .
Aria suprafeþelor plane cuprinse între douã curbe
Problemã-suport
Se considerã funcþiile f, g :  2, 1  R, f  x   x 2  1, g  x    x  3.
269
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
a) Sã se ilustreze domeniul plan D mãrginit de curbele reprezentative ale funcþiilor f ºi g ºi de dreptele
y
de ecuaþii x  2, x  1.
A  2, 5
b) Sã se calculeze aria acestui
domeniu.
Figura 7
Rezolvare
a) Imaginea geometricã a graficului funcþiei f este arcul de parabolã
AVB inclus în parabola de ecuaþie
y  x 2  1, cu vârful V  0, 1 ºi care
trece
prin
A  2, 5 
punctele
ºi
B 1,2  , (figura 7). Imaginea geome-
B 1, 2
V  0, 1
2
O
x
1
tricã a graficului funcþiei g este segmentul de dreaptã  AB  , reprezentat
în figura 7. Rezultã cã domeniul plan D este regiunea haºuratã.
b) Se observã cã D   g \  f .
Rezultã cã aria  D   aria   g   aria   f    g  x  dx   f  x  dx 
1
1
2
2
1
 x3 x2


 2x 

   g  x   f  x   dx     x  x  2  dx   
2
2
2
 3
 2
1
1
2
 1 1
 8 4
 9
     2     4   .
 3 2
 3 2
 2
Aceastã problemã sugereazã modul general de determinare a ariei
unei suprafeþe plane mãrginite de graficele a douã funcþii continue pe
un interval  a, b .
 TEOREMA 2
Fie f, g :  a, b  R funcþii continue astfel
încât f  x   g  x  ,  x   a, b . Atunci:
a) mulþimea

y

 f ,g   x, y   R2 a  x  b, f  x   y  g  x 
cuprinsã între graficele funcþiilor f ºi g ºi
dreptele de ecuaþii x  a, x  b (figura 8),


b) dacã g  x   f  x   0,  x   a, b , atunci

 f ,g
a
b x
O
b
are arie ºi aria f ,g    g  x   f  x   dx;
a

Gg
 
aria f,g  aria  g  aria  f  .
270
Gf
Figura 8
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
Probleme rezolvate
 1. Sã se determine aria suprafeþei plane mãrginite de graficele
funcþiilor f,g :  1, 1  R, f  x   2 x , g  x   4  x 2 .
Soluþie
Reprezentãrile geometrice ale graficelor celor
douã funcþii sunt redate în figura 9. Astfel:
y
Figura 9
4
aria   f ,g     g  x   f  x   dx 
1
1
1

x 3 2x 
22
3
   4  x  2  dx   4x 


.
 
1
3 ln2  1 3 ln 4

1

2
x
—2
—1 O
1
x
2
2. Sã se determine aria suprafeþei plane mãrginite de curbele de
ecuaþii y  x 2  3x ºi y  2x  4.
Soluþie
Se determinã mai întâi punctele de intersecþie ale celor douã curbe rezolvând sistemul
 y  x 2  3x
de ecuaþii 
.
 y  2x  4
Figura 10
y
4
1
O
4 x
Se obþin soluþiile 1,  2  ºi  4, 4  care
—2
sunt coordonatele punctelor de intersecþie ale
A Figura 10
celor douã curbe, figura 10. Asociem acestor
curbe funcþiile f, g : 1,4   R, f  x   x 2  3x, g  x   2x  4 .
Din lectura graficã se observã cã g  x   f  x  ,  x  1, 4  .


4
4


Rezultã cã aria f,g    g  x   f  x   dx    x 2  5x  4 dx 
1
1
4
  x 3 5x 2

9


 4x   .
 3

2

1 2
 3. Se considerã funcþia f :  0,     R , f  x   log 1 x.
2
a) Sã se reprezinte grafic funcþia f.
b) Sã se determine aria domeniului plan mãrginit de axa Ox, graficul
funcþiei ºi dreptele de ecuaþii x  1, x  2.
Soluþie
a) Funcþia f este strict descrescãtoare pe  0,    , lim f  x   ;
x 0
x 0
lim f  x   — . Intersecþia curbei logaritmice cu axa Ox este punctul
x 
A 1,0  . Curba logaritmicã este redatã în figura 11.
271
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
b)
g  x   0.
Considerãm
funcþia
Rezultã
aria
cã
g : 1, 2  R,
domeniului
y
Figura 11
plan
cuprins între curbele Gg, Gf ºi dreptele de ecuaþii
x  1, x  2 este:


aria  f ,g  
1
2
 g  x   f  x   dx 
1 
O
2
x
A
2
2
1 2
  f  x   dx   log1 x dx 
ln x dx 
1
1
ln2 1
2


2
1
1 
1
1
2
2

  x  ln x dx 
  x ln x 1   x  dx  
 2 ln 2  x 1 
1
1
ln 2 
x
ln 2
 ln 2
2 ln 2  1
.

ln 2
2

 4. Sã se determine aria suprafeþei plane cuprinse între axa Ox ºi ima-
ginea geometricã a graficului funcþiei f : 0, 3  R, f  x   x 2  3x  2.
Soluþie
y
Figura 12
Imaginea geometricã a graficului
funcþiei f este redatã în figura 12.
Aria suprafeþei plane haºurate este:
A   f  x  dx    0  f  x   dx   f  x  dx 
1
2
3
0
1
2
2
   x 2  3x  2  dx     x 2  3x  2  dx 
1
2
0
1
5 1 5 11
   x 2  3x  2  dx    
.
2
6 6 6 6
3
O
1
2
3
x
 5. O suprafaþã infinitã
Existã suprafeþe plane nemãrginite care pot fi vopsite cu o
cantitate finitã de vopsea?
y
Figura 13
Soluþie
1
Rãspunsul este afirmativ.
Într-adevãr,
fie
funcþia
1
f : R  R, f  x   2
al cãrei
x 1
x
a
a
O
grafic este redat în figura 13.
Axa Ox este asimptotã orizontalã spre  ºi . Pentru a  0, aria
subgraficului funcþiei f pe intervalul  a, a  este:
A a   
a
1
a x2  1
a
dx  arctg x  a  2 arctg a.
272
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
Aria suprafeþei nemãrginite limitate de graficul funcþiei ºi axa Ox
este egalã cu:
A  lim A  a   .
a 
Aºadar, aceastã suprafaþã nemãrginitã are arie finitã.
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se calculeze aria mulþimii  f în
cazurile:
a) f  x   3x  4, x   2, 3  ;
b) f  x  
9  x , x   0, 1 ;
c) f  x  
1
1
x2
, g  x   x  1, x  1, 3  .
d) f  x   e  x , g  x   e x , x   0, 1 ;
2
e) f  x    x  1, g  x  
, x   3, 4  ;
x   0, 3  ;
x2  4
 
d) f  x   cos x, x   0,  ;
 2
1
, x   2, 0  ;
e) f  x   2
x  4x  8
1
, x  1, 2 ;
f) f  x   2
x  8x
g) f  x   xe x , x   0, 1 ;
h) f  x  
c) f  x  
x
x2  9
x  1, x 
f) f  x   0, g  x   2 sin x, x   0,   ;
g) f  x   arctg x, g  x   0, x 
   3,  1 .
E3. Sã se determine aria suprafeþei din
plan, delimitatã de axa Ox ºi imaginea geometricã a graficului funcþiei:
a) f  x   4  x 2 , x   2, 2  ;
, x   10, 5  .
b) f  x   x 2  3, x   1, 1 ;
c) f  x   9  x 2 , x   4, 4  ;
E2. Sã se determine aria mulþimii  f,g
în cazurile:
d) f  x   2x  x 2 , x   1, 3  ;
a) f  x   x2, g  x   4x  1, x  1, 3 ;
e) f  x   sin x, x   0, 2   ;
b) f  x   2x  3, g  x   x 2  1, x 
1  x 2 , x   1, 0 
f) f  x   
.
1  x, x   0, 2 
 3
  0,  ;
 2
APROFUNDARE
A1. Sã se determine aria mulþimii  f
pentru:
a) f  x   x 2arctg x, x   0, 3  ;
b) f  x   x ln2 x, x   e, e2  ;


c) f  x  
4x  x 2 , x  1, 3  ;
d) f  x   x  2 , x   1, 4  ;
e) f  x   x 2  9 , x   4, 5  ;
f) f  x  
x3
 x  6x  5
2
2
, x   2, 4  .
A2. Sã se determine aria mulþimii cuprinse între curbele:
a) y  x 2 , y  8  x 2 ;
273
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
A9. Se considerã funcþia f :  0,     R,
b) y  x 2  4x, y  x  4;
2
2
x0
 e,

1
f x  
.
 x  1 x , x  0
Sã se arate cã aria suprafeþei delimitate de graficul funcþiei, axele
Oy ºi Ox ºi dreapta x  1 este mai
micã decât „e“.
2
c) y  16  x , y  6x;
d) y 2  10x, y  5x;
e) x 2  y 2  4, y 
3  x, x  0.
A3. Sã se determine aria suprafeþei
plane mãrginite de graficul funcþiei
cos x
 3 
f :  0,
 R, f  x  
, axa

4 
1  cos x

Ox ºi dreptele de ecuaþii x  0,
3
x
.
4
f  x    x  5 ºi g : R  R, g  x  


*
aria suprafeþei cuprinse între graficele funcþiilor f ºi g ºi dreptele
x  0, x  1.
A11. Se considerã funcþia f :  0, 2  R,
1
. Sã se determine aria supra2
f  x   2x  x2.
x
feþei cuprinse între graficele celor
douã funcþii ºi dreptele x  1, x  2.
A5. Fie f :  0, 6  R, f  x 

g  x   ln 1  x 2 . Sã se calculeze
f : R  R,
A4. Se considerã funcþiile
2
A10. Fie f, g : R  R, f  x   x arctg x ºi
2
determine
 a a
A12. Fie funcþia f :   ,   R, f  x  
 2 2
 a 2  x 2  x, a  R* . Sã se determine parametrul „a“ astfel încât
aria subgraficului funcþiei f sã fie
A6. Se dã funcþia f : R \ 2  R, f  x  
x2  6 x
. Sã se determine aria
x2
suprafeþei delimitate de graficul
funcþiei, axa Ox ºi dreptele x  6,
x  0.
se
m  R, astfel încât dreapta de ecuaþie y  mx sã împartã subgraficul
funcþiei în douã mulþimi de arii egale.
(Bacalaureat, 1998)
1
.
x  4x  12
Sã se calculeze aria suprafeþei mãrginite de graficul funcþiei, axa Ox
ºi dreptele x  4, x  5.
Sã



egalã cu 3 3  2 .
A13. Fie funcþia f : R  R, f  x  

A7. Se dã funcþia f : R \ 1  R, f  x  
x2  x  2
. Sã se determine aria
x 1
suprafeþei mãrginite de graficul
funcþiei, asimptota oblicã ºi dreptele x  2, x  3.

A8. Interiorul elipsei x 2  4y 2  4  0
este despãrþit de hiperbola de ecuaþie x 2  4y2  2  0 în trei regiuni. Sã se afle aria fiecãrei regiuni.
274
x2  1
, a  R.
x  2x  3
a) Sã se determine valorile lui „a“
astfel încât aria subgraficului funcþiei f pe intervalul  a, a  1 sã ia
2
valoare maximã, respectiv valoare
minimã.
S(a)
b) Sã se calculeze lim
, unde
a  ln a
S  a  reprezintã aria suprafeþei
cuprinse între graficul funcþiei ºi
asimptota acestuia pe intervalul
 1, a  .
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
A14. Fie funcþiile f, g :  2,     R,
f x 
g x 

x2  1
x 1
2
x 1
a) Sã se calculeze aria A  b  a suprafeþei plane delimitate de graficele
celor douã funcþii pe intervalul
 2, b , b  2.
b) Sã se calculeze lim A  b  .
 ºi
3
x  x2  x  5
 x  1
2
b 
.
2 Volumul corpurilor de rotaţie
Din studiul geometriei în spaþiu sunt cunoscute o serie de corpuri
geometrice pentru care se ºtiu formulele de calcul ale volumului:
prisma, piramida, trunchiul de piramidã, cilindrul, conul, trunchiul de
con ºi sfera.
În acest paragraf se va indica o cale de a determina volumul acelor
corpuri obþinute prin rotirea subgraficului unei funcþii continue ºi
pozitive în jurul axei Ox folosind calculul integral, care pentru funcþii
corespunzãtor alese sã conducã la formulele deja cunoscute pentru
corpurile geometrice enumerate mai sus.
Fie f :  a, b  0,    , o funcþie continuã.
v DEFINIÞIE
• Se numeºte corp de rotaþie determinat de funcþia f, corpul obþinut
prin rotirea subgraficului acesteia în jurul axei Ox, figura 1.
Corpul de rotaþie determinat de funcþia f se noteazã Cf ºi

Cf   x, y, z   R3

y 2  z2  f  x  , a  x  b .
y
y
y
r
a
a
O
z
b
O
x
z
Fig. 1
Figura
1
b
x
-r
Figura
Fig. 2 2
Cel mai simplu corp de rotaþie se obþine prin rotirea subgraficului
funcþiei constante pozitive, f  x   r, x   a, b , în jurul axei Ox, figura 2.
Acest corp reprezintã un cilindru cu raza bazei egalã cu r ºi
generatoarea (înãlþimea) egalã cu b  a.
275
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite

Se noteazã Cr   x, y, z   R3

y 2  z 2  r, a  x  b .
Se ºtie cã volumul cilindrului Cr este: Vol  Cr     r 2  b  a  .
Fie funcþia pozitivã f :  a, b  R ºi    a  x0  x1  ...  xn1  xn  b
o diviziune a intervalului  a, b , astfel încât f este constantã pe fiecare
interval  x i 1, x i  , f  x   c i ,  x   x i 1, x i  , i  1, 2, ..., n .
Se spune cã funcþia f este constantã pe porþiuni.
v DEFINIÞIE
• Se numeºte mulþime cilindricã elementarã, orice mulþime care se
obþine prin rotirea subgraficului unei funcþii constante pe porþiuni în
jurul axei Ox, figura 3.
y
Figura 3
z
O
xn=b x
a
x1
xi-1
xi
Volumul acestei mulþimi elementare este dat de formula:
n
Vol  Cf    c i  x i  x i 1 .
2
i 1
Cu ajutorul mulþimilor cilindrice elementare se va defini volumul
unui corp de rotaþie determinat de o funcþie pozitivã.
v DEFINIÞIE
• Fie f :  a, b   R  ºi Cf corpul de rotaþie determinat de funcþia f.
Corpul Cf are volum dacã existã douã ºiruri  G n  ºi  H n  de
mulþimi cilindrice elementare, asociate funcþiilor constante pe porþiuni
g n , h n :  a, b  R, astfel încât:
a) G n  Cf  Hn ,  n  N;
b) lim vol  Gn   lim vol  H n   .
n 
n 
def
În acest caz, volumul corpului Cf este: vol  Cf   .
Cu aceste elemente pregãtitoare, vom descrie o metodã oferitã de
calculul integral pentru determinarea volumului unui corp de rotaþie.
276
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
 TEOREMA 3
Fie f :  a, b  R  o funcþie continuã ºi Cf corpul de rotaþie determinat de funcþia f. Atunci:
a) corpul Cf are volum;
b
b) vol  Cf    f 2  x  dx.
a
Demonstraþie
Fie   n  ,  n  a  x 0n   x1 n   ...  x kn 1  x kn   b

n
n
 un ºir de divi-
ziuni ale intervalului  a, b , cu lim  n  0. Notãm m i  , respectiv Mi 
n
n
n 
marginea inferioarã, respectiv marginea superioarã a funcþiei f pe
n
n
 n  n
 n  n
intervalul xi 1, xi  , i  1, k n . Atunci existã ui  , vi    x i 1, x i  , astfel




     m , f  v    M , i  1, k .
încât f ui
n
n
n
n
i
i
n
i
Pentru fiecare n  N se definesc funcþiile constante pe porþiuni:



 



m n   f un  , x  x n , x n  , 1  i  k
n
i
i
i 1
 i
gn x   
;
 f x i n  , x  x i n  , 0  i  k n

M  n   f v  n  , x  x n  , x  n  , 1  i  k
n
i
i
i 1
 i
hn  x   
.
 f x i n  , x  x i n  , 0  i  k n

 
 
Corpurile de rotaþie Gn ºi Hn generate de funcþiile g n , respectiv
h n sunt mulþimi cilindrice elementare cu proprietãþile:
(1) G n  Cf  H n , n  N;
   x   x      f ,u  ;
vol  H    f  v     x    x       f , v    .
kn
(2) vol  G n    fi ui 
i 1
kn
n
i 1
2
n
2
i
n
i
n
n
i
i
n
i 1
n
n
i 1
n
n
2
i
n
2
i
Funcþia f fiind continuã, rezultã cã ºi funcþia f 2 este continuã,
deci este integrabilã pe intervalul  a, b ºi prin urmare:

 f 2  x  dx  lim  n f 2 ,ui 
b
a
 lim vol  H n  . (3)
n 
n
  lim vol G   lim   f , v   
n 
n
n 
n
n
2
i
n 
Din relaþiile (1)-(3) ºi definiþia corpurilor care au volum, rezultã cã
b
Cf are volum ºi vol  Cf    f 2  x  dx. 
a
277
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
Exerciþii rezolvate
 1. Sã se calculeze volumul corpului de rotaþie determinat de funcþia:
a) f : 2, 4   R, f  x   2x  3; b) f : 0, 3  R, f  x   2x  1  x  1 .
y
Soluþie
a) Corpul de rotaþie Cf determi5
nat de funcþia f este un trunchi de con
(figura 4). Volumul acestui trunchi de
con se calculeazã astfel:
4
4
2
2
vol  Cf    f 2 (x)dx  
 4x 2  12x 
1
O
 x3
 4 62
x2
 9  dx    4
12
 9x  
.
 3

2
3

 2
3x,
x  0, 1
b) f  x   
, iar
 x  2, x  1, 3

3
1
2
4
x
z
Figura 4
3
 1073 .
vol  Cf    f 2 (x)dx     3x  dx    x  2  dx 
0
2
0
2
1
 2. Sã se calculeze volumul corpului de rotaþie obþinut prin rotirea
în jurul axei Ox a mulþimii mãrginite de parabola y 2  2px pentru
x  0, a  (paraboloidul de rotaþie — figura 5).
Soluþie
y
Funcþia care determinã corpul de
rotaþie este f : 0, a   R, f  x   2px.
O
Rezultã cã:
x2
vol  Cf    2px dx    2p
0
2
a
a
 pa .
2
0
Figura 5
a
x
z
 3. Sã se determine volumul corpului obþinut prin rotirea în jurul
axei Ox a semicercului superior cu centrul în origine ºi razã r (corp
sferic — figura 6).
y
Figura 6
Soluþie
Semicercul din enunþ este caracterizat de
ecuaþia x 2  y 2  r 2 , y  0.
—r
r
Funcþia asociatã este:
O
f  x   r 2  x 2 , x   r, r  .
vol  Cf   
r
r
 2
3r


 r  x  dx     r x  x3  r  43r .
2
2
278
3
z
x
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
 TEMĂ DE STUDIU
1. Se considerã funcþia f :  a, b   R  , f  x  
x 2  a 2 ºi C f corpul de rotaþie
determinat de f, numit hiperboloid de rotaþie. Sã se arate cã volumul
 3
hiperboloidului de rotaþie este egal cu vol  C f  
b  2a 3  3a 2 b .
3


2. Sã se arate cã volumul corpului generat prin rotirea elipsei de ecuaþie
x2
a
2

y2
b2
 1  0, a, b  0 (numit elipsoid de rotaþie) în jurul axei Ox este
egal cu vol  C f  
4 ab2
.
3
3. Folosind calculul integral sã se deducã formula de calcul a volumului conului
circular drept ºi a trunchiului de con circular drept.
 4. Sã se calculeze volumul corpului obþinut prin rotirea în jurul
axei Ox a suprafeþei plane delimitate de arcele de parabolã y  4 
 x 2 ºi y  2x  x 2 , cu y  0 ºi axa Ox.
Soluþie
Suprafaþa planã din enunþ este redatã în
figura 7. Volumul corpului de rotaþie Cf generat
prin rotirea acestei suprafeþe este egal cu:
y
4
 4  x  dx   2x  x  dx 
  16  8x  x  dx    4x  4x  x  dx 
V  Cf   
2
2
2 2
2
2 2
2
2
—2
0
2
4
2
2
3
1 2
4
Figura 7
0
2
2

 4x 3
8x 3 x 5 
x5 
496
.
  16x 

 
 x4 

 



3
5 
3
5 
15


2
0
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se calculeze volumele corpurilor
de rotaþie determinate de funcþiile:
f) f :  2, 3   R, f  x   x  1 ;
a) f :  0, 2  R, f  x   4x  x 2 ;
g) f :  0, 3   R, f  x  
b) f :  0,    R, f  x   sin x;
h) f :  a, a  1  R,
  
c) f :   ,   R, f  x   cos x;
 2 2
f  x 
x2  x  a  ;
d) f :  1, 2  R, f  x  
x 2  1;
i) f : 1, 3   R,
e) f : 1, 2  R, f  x  
x 1
;
x 1
f  x 
279
x
 x  2  4  x 
x
.
3
x;
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
E2. Sã se calculeze volumul corpului
obþinut prin rotirea în jurul axei
Ox a curbei definite prin:
1
a) f  x  
, x   3, 3  ;
2
x 9
x
b) f  x  
, x   0, 1 ;
2
x 1
c) f  x  
d) f  x  
1
x2  1
earctg x
1  x2
, x   3, 5 ;
, x   0, 1 .
APROFUNDARE
A1. Sã se calculeze volumul corpului
de rotaþie determinat de funcþia:
 1
a) f :  0,   R, f  x   arcsin x;
 2
 1
b) f :  0,   R, f  x   xe x ;
 2
c) f : 1, e  R, f  x  
A5. Sã se calculeze volumul corpului
obþinut prin rotirea poligonului
ABCD în jurul axei Ox, dacã A 1, 0 ,
B  2, 3  , C  4, 6  , D 10, 0  .
A6. Fie funcþiile f, g :  0, 1  R, f  x  
x ln x;
 arccos x, g  x   x  x 2 .
Sã se determine volumul corpului
de rotaþie generat prin rotirea în
jurul axei Ox a mulþimii delimitate
de graficele celor douã funcþii.
d) f : 1, 4  R, f  x   3x  1  x  3 .
 1 1
A2. Fie f :   ,   R, f  x   1  x2 
 2 2
 x. Sã se determine volumul corpului de rotaþie determinat de funcþia f.
A7. Se considerã curbele de ecuaþii:
A3. Se considerã funcþia
x2
 ln 4 x.
2
Sã se determine volumul corpului
de rotaþie determinat de funcþia f.
f : 1,
e   R, f  x  
A4. Sã se determine volumul corpului
obþinut prin rotirea în jurul axei
Ox a curbei de ecuaþie:  x  4  y 2 
 x  x  3  , x   0, 3  .
y   x 2  3x  4, y  3x  x 2 , unde
y  0.
a) Sã se reprezinte grafic aceste
curbe pe acelaºi sistem de axe de
coordonate.
b) Sã se calculeze aria suprafeþei
plane mãrginite de aceste curbe ºi
axa Ox.
c) Sã se calculeze volumul corpului
de rotaþie obþinut rotind în jurul
axei Ox suprafaþa planã cuprinsã
între cele douã curbe ºi axa Ox.
Calculul unor limite de şiruri
3 folosind integrala definit‘
În clasa a XI-a s-au studiat diferite metode de determinare a
limitei unui ºir de numere reale.
Pentru anumite ºiruri de numere reale calculul limitei se dovedeºte
uneori destul de laborios, antrenând o arie largã de noþiuni ºi tehnici
de lucru.
280
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
 Exemplu
1
1 
 1
Sã se determine lim 

 ... 
.
n   n  1 n  2
n n
Soluþia 1 (folosind elemente de analizã matematicã de clasa a XI-a):
1
1
1
Considerãm ºirul  a n  , a n 
.

 ... 
n 1 n  2
nn
• Studiul convergenþei ºirului  a n  .
a) ªirul  a n  este ºir de termeni pozitivi ºi 0  a n  n 
ºirul  a n  este ºir mãrginit.
b) Deoarece a n 1  a n 
1
 1,  n  N* . Rezultã cã
n 1
1
1
1
1



 0,  n  N*, rezultã
2n  1 2n  2 n  1 2  n  1 2n  1
cã  a n  este ºir strict crescãtor. În concluzie ºirul  a n  este ºir convergent.
• Determinarea limitei ºirului  a n 
Pentru determinarea limitei ºirului  a n  se va folosi ºirul:
 xn , xn 
1 1 1
1
   ...   ln n, n  N* .
1 2 3
n
Pentru studiul convergenþei ºirului  x n  se foloseºte inegalitatea
1
, k  N*, (1), obþinutã prin
k
f :  k, k  1  R, f  x   ln x (temã).
 ln k 
aplicarea
teoremei
lui
1
 ln  k  1 
k 1
Lagrange
funcþiei
(1)
1
 ln  n  1  ln n  0,  n  N* .

n 1
Rezultã cã ºirul  x n  este monoton descrescãtor, deci este mãrginit superior de
termenul x1  1.
Avem x n 1  x n 
Însumând relaþiile (1) pentru k  1, n
se obþine:
1 1
1
  ... 
 ln  n  1 
2 3
n 1
1
1
 ...  , inegalitãþi din care se obþine x n  ln  n  1  ln n  0,  n  N* .
2
n
Rezultã cã ºirul  x n  este monoton ºi mãrginit, deci este ºir convergent.
1
Legãtura între ºirurile  a n  ºi  x n  este datã de relaþia a n  x 2n  x n  ln 2.
Trecând la limitã în aceastã relaþie se obþine cã lim a n  ln 2.
n 
Soluþia 2 (folosind elemente de calcul integral):
Termenul general al ºirului  a n  se poate scrie sub forma:
n
1
1 n 1
1 n k
1
 
  f  , (2) unde f : 0, 1  R, f  x  
.
k n

n
k
n
n
1

x


k 1
k 1 1 
k 1
n
Se observã cã relaþia (2) reprezintã suma Riemann asociatã funcþiei f pe intervalul
1 2
k
n
0, 1, diviziunii  n   0, , , ..., , ...,  ºi sistemului de puncte intermediare
n
n
n
n

k
n
1 2
n   , , ..., , ...,  .
n
n
n n
an  
281
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
Funcþia f este continuã pe intervalul 0, 1 , deci este funcþie integrabilã pe 0, 1 ºi
1
1 1
1 n k
1
 f     0 f  x  dx   0 x  1 dx  ln  x  1 0  ln 2.
n  n k 1  n 
astfel lim
Aºadar, ºirul  a n  este convergent ºi lim a n  ln 2.
n 
 COMENTARIU
Soluþia 2 aratã cã pentru anumite ºiruri de numere reale al cãror
termen general se scrie ca o sumã Riemann ataºatã unei funcþii
integrabile pe un interval  a, b , calculul limitei se poate face folosind
integrala definitã a acesteia.
În acest sens, reþinem urmãtorul rezultat general:
 TEOREMA 4
1. Dacã f :  a, b  R este o funcþie integrabilã pe
an 
1
1 n k
f   , atunci lim a n   f  x  dx.

0
n 
n k 1  n 
2. Dacã
an 
f :  a, b  R
este funcþie integrabilã pe
0, 1 ºi
 a, b
b
k b  a 
ba n 
  f a 
, atunci lim a n   a f  x  dx.
n 
n k 1 
n

3. Dacã f :  a, b  R este o funcþie integrabilã pe


a n   n f,   ,
n
intervalului
unde
a, b, cu
 n 
 a, b ºi
este un ºir de diviziuni ale
 n  0 ºi   un sistem de puncte
n
intermediare corespunzãtor diviziunii  n , atunci:
b
lim a n   f  x  dx.
n 
a
Probleme rezolvate
 1. Sã se calculeze limitele de ºiruri:
a) lim
n 
1p  2p  ...  n p
n p 1
, p  N;
1
2
n
1  n
n
n

b) lim 2 e  2e  ...  ne  .

n  n 


Soluþie
a) Fie ºirul  a n  , a n 
ºi
1p  2p  ...  n p
, p  N.
n p 1
Termenul general a n se scrie sub forma:
282
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
an 
p
p
p
p
n
1  1   2 
1 n k
n  1
k
      ...           f  , unde
n  n   n 
n k 1  n 
 n   n k 1  n 
f : 0, 1  R, f  x   x p este o funcþie integra-
bilã pe 0, 1 . Conform teoremei anterioare,
rezultã cã:
1
x p 1
lim a n   f  x  dx   x dx 
0
0
n 
p 1
1
1

p
b) Fie ºirul  bn  , bn 
1
0
 TEMĂ
Sã se arate cã lim a n 
n 
1

folosind lema lui
p 1
Stolz-Cesaro.
1
.
p 1
2
n
 1
n
n
 e  2e  ...  ne n  .
n2 


1
2
n
k
1 1 n 2 n
n n 1 n k n 1 n k
Atunci bn   e  e  ...  e      e   f  , unde
n n
n
n  n k 1  n 
n k 1  n 


f : 0, 1  R, f  x   xe x . Deoarece f este funcþie continuã pe 0, 1 , deci
integrabilã pe 0, 1 , aplicând teorema 4 rezultã cã lim bn   f  x  dx 
1
n 
1
1
0
0
  dx  xe
  xe x dx   x e
x 
x 1
0

1 x
e dx  e x
0
0
1
 x  1 0  1.
 2. Fie f : 0, 1  R o funcþie integrabilã pe 0, 1 ºi ºirul  a n  , a n 

1 n  2k  1 
*
f
, n  N .
n k 1  2n 
1
a) Sã se arate cã lim a n   f  x  dx.
n 
0
1
1 
 1
b) Sã se calculeze lim 

 ... 
.
n   2n  1 2n  3
4n  1 
Soluþie
k 1 k
n
 1 2
a) Considerãm diviziunea  n   0, , , ...,
, , ...,  , ºi
n
n
n
 n n
*
sistemul de puncte intermediare    1, 2 , ..., k , ..., n  , n  N , unde
k 
2k  1  k  1 k 

,  , k  1, n (mijlocul intervalului).
2n
n
 n
Rezultã cã a n 
1 n
 f  k   n  f,   .
n k 1
Deoarece f este funcþie integrabilã pe intervalul 0, 1 se obþine cã
1
lim a n   f  x  dx, ceea ce trebuia demonstrat.
n 
0
283
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
b) Considerãm a n 
n
1
1
1
1

 ... 
 

2n  1 2n  3
4n  1 k 1 2n   2k  1
1 n
1
1 1 n  2k  1 
1
, unde f : 0, 1  R, f  x  

 f


1 x
2n k 1 1  2k  1 2 n k 1  2n 
2n
este funcþie integrabilã pe intervalul 0, 1 .
Aplicând punctul a) se obþine cã:
1
1  1 1
1 1 1
1
 1

 ... 
  f  x  dx  
lim 
dx  

0
0
n   2n  1 2n  3
4n  1  2
2 1 x
2

 ln  x  1 0  ln 2.
1
 3. Fie f : 0, 1  1,    o funcþie continuã pe 0, 1 ºi ºirul  a n  ,
1 2
n
a n  n f    f    ...  f  , n  N* .
n n
n
 ln f  x  dx
a) Sã se arate cã lim a n  e 0
.
1
n 
1 
2 
n

b) Sã se calculeze lim n 1   1   ... 1  .
n  
n 
n 
n
Soluþie
a) Termenul general al ºirului  a n  se scrie sub forma:
an  e
1 2 n
ln n f   f  ...f  
n n n
e
1
1
2
 n 
ln f    ln f    ... ln f   
n 
n
n
 n 
Considerãm funcþia g : 0, 1  R,
x  a log a x , x  0, a  0, a  1
bilã pe intervalul 0, 1 .
Rezultã cã lim a n  e
lim
1 n
k
 g  n 
n 
 0 g  x  dx
1
e
.
NE REAMINTIM!
g  x   ln f  x  , care este funcþie integra-
n  n k 1
e
1 n
k
 ln f  n 
n k 1
 0 ln f  x  dx
1
e
.
b) Se aplicã punctul a) pentru funcþia f : 0, 1  R, f  x   1  x ºi
se obþine limita:
x
4
x ln x 1 0  
dx
ln
4
 1  2   n 
 ln x 1 dx
0 x 1
lim n 1  1   ...1    e 0
e
e e  .
n  
n  n   n 
e
1
284
1
1
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
EXERSARE
E1. Sã se calculeze limitele ºirurilor
 a n  folosind integrala definitã,
dacã:
a) a n 
1
n
2

2
n
2
 ... 
n
n
2
f) a n 
;

4
4
4
1  1 
 2
 n 
b) an        ...     ;
n  n 
 n
 n  
1
n  n2

n
;
1
g) an 
1  2  3  ...  n
;
n n
n
n
d) a n  2
 2
 ... 
2
n 1
n  22
n
;
 2
n  n2
e
2
c) a n 
n
e2  ...  e n
;
n
1
1

 ... 
2
2
n 1
n  22
n
e) a n 
2
4n  1
1
2
4n  n2
1

2
4n  22
 ... 
.
APROFUNDARE
n2 
;
9n2  9
8n2 
n 1
n2
 2
 ... 
c) a n  2
2
n 1
n  22
nn
 2
;
n  n2
A1. Folosind integrala definitã, sã se
calculeze limitele ºirurilor  a n  ,

dacã:
1
1

a) a n  n  2

 ... 
 1  3n2 22  3n2
1

 2
;
n  3n2 
1
1
1
;
b) an 

 ... 
n  n  1
n  n  2
2n2
c) a n 
1  1
2
n 

 ... 

;
n n  1 n
2n
2n 
d) a n 
1  1
2
n 

 ... 

.
2 n

n
n
2
n  e
e
en 
a) a n 

1  4n2
n
n2  4n2
b) a n 

22  4n2
1 
2007 
ln  1 

n  
n 
2008 
n 


 ln  1 
  ...  ln  1   .
n
n 



A3. Folosind integrala definitã, sã se
calculeze:
n
ºtiind cã:
n
 ... 
d) a n 
A2. Sã se calculeze limitele ºirurilor
 a n  folosind integrala definitã,
n
32
n  k 1
n  2k  1  4n2
2
n
b) lim 4n 
n 
 ... 
2k  1
a) lim 
k 1 4n
1
2
  2k  1
2
;
;
1
1 
 1
c) lim 

 ... 
;
n  3n  2 3n  5
6n  1 
1
1
 1
d) lim 


 ... 
n  n  1 n  3
n 7
;
1  12
22



2
n  9n  1 9n2  4

285

.

n  n 1
1
n
2
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
A6. Se considerã funcþia f : R  R, cu
A4. Sã se arate cã:
1
a) lim 2 
n  n

2
2
n n 1
proprietatea cã f  n  1   n, n  1 ,
 n  2  ...  n  n 
2
2
2
2
n 
1

n

  2  n  ...  n  n   e.
b) lim
 n 1 n
 n  N.
Sã se calculeze:

1
1
a) lim 

 ... 
n   n  f 1
n  f  2

2
 2e2 .


1
2
b) lim 


2n  4  f  2
n  n  1  f 1
A5. Sã se verifice egalitãþile:
1

2
 ... 
a) lim  cos  cos
n  n 
n
n
... 
n 
 cos
  0;
n 
1 n
k 2
 sin n   ;
n  n k 1
dacã:
k2
n

.
2n  f  n  
  ln 4
c) lim 2  k  arctg 2 
;
8
n n k 1
n
1
a) an 
n
k
1 n
k
k
 e n sin 2n cos 2n 
n  n k 1
2
1
2

1
n
2
2
3
1
 ... 
n
n2
n 1
;
1
1


n  1  sin  n  2  sin 
2
1
... 
.

2n  sin
n
d) lim

n
2
A7. Sã se calculeze limita ºirului  a n  ,
b) lim
1

1
;
n  f  n  
b) an 
e
1  sin1  cos1 ;
4
1 n
k 3 3
 tg 2 3n    1.
n  n k 1
e) lim
TESTE DE EVALUARE
Testul 1 (pe douã grupe)
1.
Sã se calculeze aria suprafeþei plane cuprinse între curbele:
1
Grupa 2: y  2x 3 , y  x.
Grupa 1: y  x 3 , y  4x;
2
(3 puncte)
2.
Sã se calculeze volumul corpului de rotaþie generat de rotirea graficului
funcþiei f :  0,    R, în jurul axei Ox:
Grupa 1: f  x   sin2 x;
Grupa 2: f  x   2 sin2 x.
(3 puncte)
286
Analiz‘ matematic‘ • III. Aplicaţii ale integralei definite
3.
Sã se calculeze limitele:
n  1  n  2  ...  2n
;
Grupa 1: lim
n
n n
1
1 
 1
Grupa 2: lim 

 ... 
.
n  n  1 n  3
3n  1 
(3 puncte)
Testul 2
1.
Se considerã funcþia f :  0,     R, f  x   2x  ax ln x. Sã se determine
a  R ºtiind cã aria suprafeþei mãrginite de graficul funcþiei f, axa Ox ºi
dreptele x  1, x  e este egalã cu
3e2  5
.
4
(3 puncte)
2.
Sã se determine volumul corpului de rotaþie C f determinat de funcþia
f :  0, 1  R, f  x  
x  arctg x
1  x2
.
(3 puncte)
3.
1


Sã se calculeze integrala  ln 1  x 2 dx ºi limita ºirului  a n  ,
0
an 

1  n 1
2
2
*
  ln k  n  2  n  1 ln n  , n  N .
n  k 1



(3 puncte)
(Bacalaureat, iunie, 1998)
Testul 3
1.
Se considerã curbele de ecuaþii y  x 2  mx ºi y  x  m, m  R.
a) Sã se determine aria A  m  a suprafeþei plane cuprinse între cele douã
curbe.
b) Sã se determine m  R astfel încât A  m   36.
(4 puncte)
2.
Se considerã n  N* ºi funcþia f :  1, 1  R, f  x   cos  n arccos x  .
Sã se determine:
a) volumul corpului de rotaþie C f ;
b) n  N* pentru care vol  C f  
2
.
3
(3 puncte)
3.
1
1  ln  k  1
 1
Fie k  N* . Sã se arate cã lim 

 ... 
.

n   n  k
n  2k
n  nk 
k
(2 puncte)
287
Teme de sintez‘
TEME DE SINTEZÃ
TEMA 1
— Mulþimi de numere: R, C —
Noþiuni de recapitulat
SETUL 1 DE PROBLEME (MULÞIMEA R )
1.
— forme de scriere;
— parte întreagã;
— parte fracþionarã;
— relaþia de ordine pe R;
— operaþii;
— puteri ºi radicali;
— logaritmi;
— intervale;
— mulþimi mãrginite;
— vecinãtãþi;
— elemente de logicã matematicã;
— tipuri de raþionamente.
Se dau numerele reale:
 3
x  3 
 5
1

0, 8  3   0, 0  3  ºi
2
 7  
4  2
y
   0,125  0, 25   1  .
2 3
a) Sã se determine media aritmeticã, media geometricã ºi media armonicã a numerelor x, y.
b) Sã se calculeze  x  y  ,  y  x ºi
log 33  xy  .
2
4
2.
3.
97n  2
, n  Z*.
2n  1
a) Pentru n  1 sã se calculeze produsul primelor 3 zecimale ale lui x.
b) Sã se determine mulþimea A  n  N x  N .
Se dã numãrul real x 
Sã se determine m  R astfel încât sã existe:
a)
m  m  2  x 2   2  m  x  1 pentru oricare x  R;
b) log 2
m2  4
.
m3
4.
Sã se raþionalizeze expresiile:
1
1
1
a)
; b) 5 ; c)
.
5 3
5 2 3
4
5.
Sã se demonstreze cã:
1
1
1
n 1
,  n  N* ;

 ... 
1
a)
n
1
1 22 1 2 33 2
n n  1   n  1 n
b)
6.
Se
1
1
1
1


 ... 

1
2
3
n
dau
intervalele
de
n,  n  N* .
numere
reale
K  1  x, 3  .
Sã se determine x  R pentru care:
a) K este interval simetric;
288



I  , x 2 , J  x 2  1,  

ºi
Teme de sintez‘
b) K este interval centrat în a  1;
c) J este vecinãtate a punctului a  3;
d) K  I  J.
7.
Sã se aducã la forma cea mai simplã expresiile:
1
2

2   log 1
;
a) log 0,32 
32
5

128


b) log 2 ln e 4  log 8 384  log 8 3 
8.
14 3
9 243 .
3
x 1

Fie mulþimea A  a, b   
x   b,    , b  a  .
x  a

a) Sã se arate cã A 1, 2  este mulþime mãrginitã ºi sã se afle inf A, sup A.
b) Sã se arate cã A 1, 1 este nemãrginitã superior ºi sã se determine
mulþimea minoranþilor.
9.
Se considerã funcþia f : R  R, f  x  
x 1
2
x  x 1
. Sã se determine Im f.
10. Sã se determine mulþimea de adevãr a predicatelor:



a) p  x  : „ x 2  3x  1 x 2  3x  3  5, x  N“;
b) p  x, y  : „  2x  y  2  2   4x  y  5  7  0, x, y  Q“.
1.
SETUL 2 DE PROBLEME (MULÞIMEA C )
Noþiuni de recapitulat
Sã se determine x, y  R pentru care
are loc egalitatea:
 x 1
  y 1

 3yi   
 4xi  
a) 
 2
  3

— forma algebricã;
— forma trigonometricã;
— operaþii cu numere complexe;
— numere complexe conjugate;
— modulul unui numãr complex;
— rezolvarea în C a ecuaþiei de
gradul 2 cu coeficienþi în R;
— aplicaþie în geometrie.
 2  y  x   i;
b)

3  xi
3  2i

 
xy
3  2i

 1;
c)  x  2y  i   y  i    y  x  i   3  4i  .
2.
Sã se calculeze opusul, inversul, conjugatul ºi modulul numãrului complex
z
3.
1  i   3  i 
1 i
.
Sã se determine numãrul complex z în cazurile:
2  4i
a) z 2 
; b) 2z  z  z  4  2i;
c) i z  z  1  1  i.
2i
289
Teme de sintez‘
4.
Fie
S
suma
valorilor
distincte
pe
care
le
ia
an  xn 
1
xn
,
dacã
x 2  x  1  0, n  N* . Atunci:
a) S  4;
5.
c) S  5;
b) S  3;

Fie A   x  C

d) S  8;
e) S  12.
(Admitere ASE, Bucureºti, 1997)

2z  3
 1 . Dacã S   z, atunci:
z  3i

z A
z  z  2,
a) S  1  2i; b) S  3; c) S  1  2i; d) S  
6.
Valoarea expresiei E 
a)  i;
7.
b) 2007;
4 2i

.
5 5
(Admitere ASE, Bucureºti, 2004)
i  i2  i3  ...  i2007
i  i2  i3  ...  i2009
c) 0;
d) d  1.
este:
a) Se considerã ecuaþia x 2  4x  5  0 cu soluþiile x1, x 2 . Sã se calculeze
3
3
4
4
x12  x 2
2 , x1  x 2 , x1  x 2 ,
x12  3

x2  3
.
x12  1 x 2
2 1
b) Sã se formeze ecuaþia de gradul 2 cu coeficienþi reali care are o soluþie
1  3i
datã de z1 
.
2i
8.
9.
Se considerã ecuaþia bipãtratã x 4  2mx 2   m  1  0, m  R. Sã se determine m astfel încât ecuaþia sã aibã:
a) toate soluþiile în C \ R;
b) douã soluþii reale.
2
Se dau numerele complexe z1  1  i 3 ºi z 2  1  i.
a) Sã se scrie sub formã trigonometricã z1 ºi z2 .
b) Sã se calculeze  z1z 2 
10
15
z 
, 1
 z2 
ºi rãdãcinile de ordinul 4 ale numãrului z1.
10. Se considerã punctele A, B, C cu afixele z A  6  5i, z B  7  3i, z C  2  4i.
a) Sã se calculeze perimetrul triunghiului ABC.
b) Sã se determine distanþa dintre centrul de greutate al triunghiului ºi
centrul cercului circumscris acestuia.
c) Sã se determine punctul D  4  bi  ºtiind cã este coliniar cu punctele A ºi B.
290
Teme de sintez‘
TEMA 2
— Funcþii. Proprietãþi —
SETUL 1 DE PROBLEME
1.
Fie funcþia f : R  R, f  x   ax2  bx  2, a, b  R.
a) Pentru a  0, sã se dea exemplu de o
funcþie f care sã fie strict crescãtoare pe R ºi
de alta care sã fie strict descrescãtoare pe R.
b) Dacã b  0, sã se precizeze paritatea (imparitatea) funcþiei obþinute.
c) Dacã a  1, b  3, sã se arate cã funcþia f
este mãrginitã inferior ºi sã se precizeze dacã
este funcþie convexã sau concavã pe R.
2.
 x  m, x  1
Se dã funcþia f : R  R, f  x    2
.
  x  2x, x  1
a) Pentru m  0 sã se arate cã funcþia f este
Noþiuni de recapitulat
— monotonie;
— mãrginire;
— paritate-imparitate;
— convexitate-concavitate;
— periodicitate;
— injectivitate;
— surjectivitate;
— bijectivitate;
— inversabilitate;
— continuitate;
— derivabilitate;
— primitivabilitate;
— integrabilitate.
inversabilã ºi sã se determine f 1.
b) Sã se rezolve ecuaþia 4  f  x   f 1  x    7  7x.
c) Sã se arate cã funcþia f 1 este strict crescãtoare pe R.
3.
Sã se studieze injectivitatea ºi surjectivitatea funcþiei:
a) f : C  C, f  z   2z  5z;
 
b) f : C  C, f  z   2f z  2z  3z,  z  C;
c) f : R \  2  R \ 3 , f  x  
4.
3x  1
.
x2
Fie funcþia f : R  R, f  x   3x  4. Sã se determine funcþia g : R  R cu


proprietatea cã f  g  f 1  x  
3
x  1.
2
5.
Sã se studieze periodicitatea funcþiei:
n n
a) f : Z  R, f  n        ;
2 3
b) f : R  R, f  x   2 sin 3x.
6.
Sã se arate cã:
a) funcþia f : M 2  R   M 2  R  , f  X   X2 nu este surjectivã;
b) funcþia f : S n  S n , f  x   x 1, unde   S n este funcþie inversabilã ºi
sã se calculeze f 1;
c) funcþia f : Z n  Z n , f  x   x2  x  1 nu este bijectivã pentru n  2, 3, 4, 5 .
291
Teme de sintez‘
7.
Câte funcþii f : 1, 2, 3, 4  1, 2, 3, 4 injective, verificã egalitatea:
a) f 1  f  2   4;
b) f 1  f  2   3 ?
SETUL 2 DE PROBLEME
1.
2.
 9ax  4  3 ax 1  12, x  1
.
Fie funcþia f : R  R, f  x   
2
 15x  ax  a, x  1
a) Sã se arate cã pentru a  1 funcþia este continuã.
b) Sã se studieze continuitatea funcþiei f discutând dupã a  R.
 px, x   0, 1

.
Se considerã funcþia f :  0, 2  R, f  x    m, x  1
 3
 x  q, x  1, 2
 p, m, q   R

f derivabilã pe  0, 2  , S 
  p  m  q .
 p, m, q  A
Atunci: a) S  7; b) S  1; c) S  0; d) S  10; e) S  8.
(Admitere, ASE, Bucureºti, 1998)
Fie A 
3.
3

x
x 
Se considerã funcþia f : R  R, f  x    1   x  a     b   3, a, b  R.
2




Dacã A 
 a, b  R
2
 ºi
f este periodicã cu perioada 2 ºi continuã în x  1
  a  b , atunci:
 a, b  A
a) S  2; b) S  1; c) S  0; d) S  3; e) S  4.
(Admitere, Economie generalã, Bucureºti, 2002)
S
4.
 x  1  a, x  2

Se considerã funcþia f : R  R, f  x    b  x 2  9  2, x   2, 4  .

 x  5  bx  4, x  4
a) Sã se determine parametrii a, b  R ºtiind cã funcþia admite primitive pe R.
b) Sã se determine primitivele funcþiei f pe intervalul 1, 4  .
c) Sã se arate cã pentru orice a, b  R, f este integrabilã pe intervalul
 1, 5 .
d) Sã se determine a, b  R astfel încât 
5.
3
1
f  x  dx  14 ºi 
6
4
f  x  dx  39.
Se considerã funcþia polinomialã f : R  R, f  x   x 5  ax 3  85x  2.
a) Sã se determine a  R ºtiind cã f   3   0.
b) Pentru a  30, sã se precizeze intervalele de monotonie ºi convexitateconcavitate ale funcþiei f.
292
Teme de sintez‘
6.
a) Sã se demonstreze cã suma a douã funcþii convexe f, g : I  R (I interval
deschis) este funcþie convexã.
b) Sã se arate cã urmãtoarele funcþii sunt convexe:
f : R  R, f  x   ax 4  bx 2  cx  d, a, b, c, d  R ºi a, b  0;
h :  0,     R, h  x   4x 4  3x 2  5x  7  log 1 x.
5
(Bacalaureat, 1999)
7.
Se considerã funcþia f : R  R continuã ºi a  0 astfel încât:
a x
x
f  t  dt  3,  x  R.
Sã se stabileascã valoarea de adevãr a propoziþiilor:
a) f este periodicã;
b) f este injectivã;
c) f este surjectivã;
d) f este mãrginitã.
TEMA 3
— Ecuaþii, inecuaþii, sisteme de ecuaþii ºi inecuaþii —
SETUL 1 DE PROBLEME
1.
2.
Sã se determine x  R în cazurile:
2x  1  x  1 2x  1 
a)

,
;
3
5 
 2
b) 3x  1   2x, x 2  1 .
Fie funcþia f : R  R,
f  x    2m  3  x 2  2 1  3m  x  7,
m  R.
a) Pentru ce valori ale lui m graficul
funcþiei f intersecteazã axa Ox în douã
puncte distincte?
b) Sã se determine m  R pentru care
graficul funcþiei este situat sub axa Ox.
c) Sã se determine m  R astfel încât
ecuaþia
f  x  0
sã
aibã
soluþiile
negative.
d) Sã se determine m  R astfel încât
soluþiile x1, x 2 ale ecuaþiei f  x   0 sã
Noþiuni de recapitulat
— semnul funcþiilor de gradul I
ºi de gradul II;
— tipuri de ecuaþii, inecuaþii,
sisteme:
• de gradul I ºi II;
• cu parte întreagã ºi parte
fracþionarã;
• cu modul;
• iraþionale;
• exponenþiale;
• logaritmice;
• trigonometrice;
• combinatorice;
• cu permutãri;
• matriceale;
• sisteme de ecuaþii liniare;
• algebrice cu coeficienþi
într-un corp.
verifice relaþia x1  2x 2  3.
3.
Se considerã ecuaþia x 2  x  mx  x  1 , m  R.
Dacã M  m  R
ecuaþia are exact trei rãdãcini reale distincte , atunci:
a) M   ,  1 ; b) M   1, 1 ; c) M   2,    ; d) M  ; e) M  R.
(Admitere ASE, Bucureºti, 1997)
293
Teme de sintez‘
4.


 2x  1 
 3x  1 
Fie A   x, y   Z  Z 
  x  3,  2   y  3  .
4



x
Dacã M 
 , atunci:
 x, y  A y
a) M 
5.
24
49
5
63
; d) M  7; e) M 
; b) M  ; c) M 
.
7
20
8
29
(Admitere ASE, Bucureºti, 2003)
Sã se rezolve:
x4
x  4 11
a)
2

;
x4
x4
3
4  x 2  1  x;
b)

c) 7  4 3
6.
(Bacalaureat, 2002)

3x

 74 3

3x
 14.
Se dã funcþia f : D  R, f  x   4 2  lg x.
a) Sã se determine D.
b) Sã se determine x  D, astfel încât termenul al cincilea din dezvoltarea

binomului 1  x f  x 
 sã fie 15.
6
(Simulare Bacalaureat, 2000)
7.
Pe R se defineºte legea de compoziþie „  “ prin x  y  x  y  1,  x, y  R.
a) Sã se rezolve ecuaþia 2 x  4 x  5.
1
2
b) Sã se rezolve în N* ecuaþia C 0
n  C n  C n  44  n.
c) Sã se rezolve în R inecuaþia x  x 2  1.
(Bacalaureat, 2002)
8.
9.
Sã se rezolve sistemul de ecuaþii:
5
A yx  10 A yx 1, C yx  C yx 1.
3
(Admitere Universitatea Transilvania, Braºov, 2002)
Sã se rezolve ecuaþiile:
a) 2 sin2 x  5 cos x  4  0;
b) sin x  2 sin 3x  sin 5x  0;
c)
3 sin 2x  cos 2x  2.
10. Sã se rezolve sistemele de ecuaþii:
 x 2  2 y  8
 x 2  y 2  5
a) 
;
b) 
;
y 1
 log 2 x  log 4 y  1
 10
 x  2
294
 3x  y  1  3
.
c) 
  x  2 y  10  5
Teme de sintez‘
SETUL 2 DE PROBLEME
1.
Sã se rezolve ecuaþiile:
a)
2.
x
i
1 x i  x

x  i 1 i
1 i
xi
x 1
b)
;
x3
2x  5
x 1
x
2x  6 2x  3
x1
Sã se calculeze determinantul D  x 2
x3
x2
x3
x1
x3
x1
x2
2x  1  0.
x
ºtiind cã x1, x 2 , x 3 sunt
soluþiile ecuaþiei x 3  2x 2  2x  17  0.
(Admitere Universitatea Braºov, 2000)
3.
Sã se determine a  R astfel încât ecuaþia:
2a
a  x x 1
1  x2
x2
1  0 sã aibã o rãdãcinã dublã numãr întreg.
2  a  2x x  a x  2
4.
5.
Sã se rezolve ecuaþiile matriceale:
0 i 
2 3
1 1 1
b) A 2  
a) 
 , unde A  M 2  C  .
X  
;
3
5
0
1
2
 i 2




1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
Fie ,   S6 ,   
,   
 . Sã se determine
3
5
1
2
6
4


 4 3 2 6 1 5
signatura permutãrilor  ºi  ºi sã se rezolve ecuaþiile:
a) 10 x  16 ;
6.
b)  200 y 101    
50
.
2 1 3 


Fie matricea A   1 1 1   M 3  R  .
1 2 m


a) Sã se determine rangul lui A în funcþie de m.
b) Pentru m  1 sã se calculeze A 1.
2x  y  3z  1

c) Sã se rezolve discutând sistemul de ecuaþii liniare  x  y  z  1
.
 x  2y  mz  m

(Admitere Universitatea Craiova, 2004)
7.
Se dã sistemul de ecuaþii liniare:
2x  y  z  t  1

 x  y  az  t  1, a, b  R.
x  y  z  t  b

a) Sã se determine a ºi b astfel încât matricea sistemului sã fie de rang 2 ºi
sistemul sã fie compatibil.
b) Pentru a  1 ºi b  1 sã se rezolve sistemul.
(Bacalaureat, 1999)
295
Teme de sintez‘
8.
9.
Sã se rezolve ecuaþiile:
a) x 4  15x 2  16  0;
c) x 4  8x 3  14x 2  8x  1  0;
b) 3x 3  7x 2  7x  3  0;
d) 2x 4  x 3  4x 2  10x  4  0.
Sã se rezolve ecuaþia în condiþiile date:
a) 4x 3  12x 2  11x  3a  0, dacã soluþiile sunt în progresie aritmeticã;
b) 2x 3   x  4  x 2  7x  2  0, dacã soluþiile sunt în progresie geometricã;
c) x 4  6x 3  2x 2  6x  a  0, a  Q ºi x1  3  2 2.
d) x 4  4x 3  x 2  ax  20  0, a  R ºi x1  2  i.
  b.
10. Fie polinomul f  Z 5  X  , f  X 4  aX 2  2X


a) Sã se determine a, b  Z 5 ºtiind cã f  X  4
  X  2  .
b) Pentru a  b  1 sã se descompunã polinomul f în produs de factori ireductibili.
  1 ºi f
c) Dacã d  Z  X  este c.m.m.d.c. al polinoamelor g  X 3  3X
5

 sã se rezolve ecuaþia d  x   0.
pentru a  b  1,
d) Sã se afle posibilitatea ca polinoamele f ºi g sã aibã cel puþin o rãdãcinã
comunã.
11. Sã se arate cã:
 a b
2
a) dacã A  
  M2  C  , atunci A   a  d  A   ad  bc  I 2  O2 ;
c d
b) existã o matrice M  M 2 C  , pentru care rang  M   rang M 2 ;
c) dacã matricea B  M 2 C  este inversabilã, atunci matricea B n este inversabilã,  n  N* ;
d) dacã matricea D  M 2 C  verificã relaþia rang  D   rang D2 , atunci
rang  D   rang D n ,  n  N* .
(Bacalaureat, 2006)
 
 
 
TEMA 4
— Elemente de geometrie planã —
1.
Fie triunghiul ABC ºi M, N, P mijloacele
laturilor  BC  ,  CA  ,  AB  . Sã se demonstreze cã pentru orice punct O din plan au
loc relaþiile:
 

a) OA  OB  2OP;
     
b) OA  OB  OC  OM  ON  OP.
2.
Se considerã punctele
A  3, 2  , B  8, 4  ,
C  8, 8  , D  3, 6  .


a) Sã se arate cã vectorii AB ºi CD sunt
vectori coliniari.
b) Sã se determine coordonatele punctului
  
M dacã AM  AB  CD.
296
Noþiuni de recapitulat
— vectori în plan;
— operaþii cu vectori;
— vectorul de poziþie al unui
punct;
— coliniaritate, concurenþã,
paralelism;
— funcþii trigonometrice;
— aplicaþii ale trigonometriei
în geometrie;
— dreapta în plan — ecuaþii
ale dreptei;
— calcul de distanþe;
— arii.
Teme de sintez‘
c) Sã se determine coordonatele punctului N astfel încât BCND este paralelogram.
d) Sã se arate cã punctele C, M, N sunt coliniare.
3.
Fie D, E, F mijloacele laturilor  BC  ,  CA  ,  AB  ale triunghiului ABC. Sã se
arate cã:
     
a) AD  BC  BE  CA  CF  AB  0;
     
b) OD  BC  OE  CA  OF  AB  0,  O  P .
4.
Sã se verifice dacã au loc egalitãþile pe domeniul de existenþã:
a)
sin2 x
sin x  cos x

 sin x  cos x;
sin x  cos x
tg 2 x  1




b) 2 sin6 x  cos 6 x  3 sin 4 x  cos 4 x  1  0;
c)
5.
cos  480  tg 570  sin 675
6

 1 
.
cos 660
cos 900
6
Sã se calculeze sin  a  b  ºi cos  a  b  dacã sin a 
3
,
5
sin b  
5
13
ºi
3 



a   ,   , b   ,
.
2 
2


6.
Sã se aducã la o formã mai simplã expresiile:
sin 27x  sin13x
;
a)
cos 41x  cos x
b)
sin2 3x  sin2 7x
cos2 3x  cos2 7x
;
c) sin2 x  2 cos a cos x cos  a  x   cos2  a  x  ;
d) tg
7.
3x
x
 tg x  tg .
2
2
Sã se demonstreze cã pentru oricare a, x  R au loc relaþiile:
a) 1  sin a  x 2  2x cos a  1  sin a  0;
b) sin 4 x  cos 4 x 
1
.
2
8.
Se dã triunghiul ABC în care se cunosc a  12, B  105, C  15.
a) Sã se rezolve triunghiul ABC.
b) Sã se calculeze aria suprafeþei  ABC  .
c) Sã se determine lungimea medianei din A.
d) Sã se determine R ºi r.
9.
Se dau punctele
A  a  1, 2a  1 , B  3a  2, a  1 , C  4, 6  , D 1, 0  ,
dis-
tincte. Sã se determine a  R în cazurile:
a) centrul de greutate al triunghiului ABC este situat pe prima bisectoare a
axelor de coordonate;
297
Teme de sintez‘
3
;
2
c) A, B, D sunt puncte coliniare;
d) dreptele AB ºi CD sunt paralele;
e) dreptele AD ºi BC sunt perpendiculare;
f) punctele A ºi B sunt egal depãrtate de dreapta CD.
b) A  ABC  
TEMA 5
— ªiruri de numere reale. Limite de funcþii —
1.
Fie  a n  o progresie aritmeticã.
a) Sã se determine a1 ºi raþia r dacã
2a 5  3a 2  a10  42 ºi a 2  a 5  112.
n
b) Sã se calculeze suma S n   a k .
k 1
S
c) Sã se calculeze lim n .
n  na n
2.
Fie
 a n  o progresie geometricã în care
a 3 ºi a 5 sunt respectiv cea mai micã ºi
cea mai mare soluþie a ecuaþiei
1
1  log 4  3x  2    log 4 1  10x  11 .
2


9
Noþiuni de recapitulat
— ºiruri monotone;
— ºiruri mãrginite;
— progresii aritmetice;
— progresii geometrice;
— limita unui ºir;
— criterii de existenþã a limitei
unui ºir;
— ºiruri tip;
— cazuri de nedeterminare;
— limita unei funcþii într-un
punct;
— operaþii cu limite de funcþii;
— calculul unor limite de ºiruri
folosind integrala.
Sã se calculeze suma S   a k .
k 1
(Admitere ASE, Bucureºti, 2002)
3.
Dacã numerele pozitive x, y, z sunt în progresie aritmeticã cu raþia r, iar x,
y  2, z  12 sunt în progresie geometricã cu raþia r  1, atunci x  y  z
este:
a) 12;
b) 12;
c) 9;
d) 7;
e) 15.
(Admitere ASE, Bucureºti, 2002)
4. Sã se calculeze limitele:
1
1 
 1
 2
 ...  2
a) lim  2
;
n   n  1
n 2
n  n
1
1
1
1 
c) lim  1   2  ...  n  ;
n  n 
5 5
5 
3n 
 n 1

e) lim 

6n  1 
n   2n  1
5.
b) lim
n 
d) lim
n 
n2
.
Sã se determine constantele reale astfel încât:
 n2  an
bn2 
a) lim 

  3;
n   n  2
n  1 
298
n  cos n
n2  1
;
 n  3n  n  n  ;
2
2
Teme de sintez‘
b) lim
n 
 2n  5n  2  an  bn  c   5 2;
2
2
n2


c) lim  a 

n  
bn2  5n  4 
6.
2n 1

1
.
e
Sã se determine a  R pentru care funcþia f : R  R are limitã în punctul
specificat:
 3x  4, x  1
, x 0  1;
a) f  x   
 3a  1 x  1, x  1
  3a  2  x 2  a, x  1
b) f  x   
, x 0  1.
 2x  1 x  3, x  1
7.
Sã se calculeze:
a) lim
x2  x  3
3  x  2x 2
;
x 1  2x  2   x  3 
;
b) lim
x4
c) lim 4
;
x
2x  1  3
d) lim
x  4x
2
 5x  1
4 7x
;
x 9
x 3
x2  x  6
;
x 3 arctg  x  3 
cos 4x  cos x
;
x  0 sin 2x  sin 3x
f) lim
3x  9
;
x 2 x  2
h) lim
e) lim
g) lim
i) lim
x0
lg 1  6x 
2x 2  x
x0 4x  3x
j) lim
;
ln 1  sin 2x 

c) f  x  
x2
4x
2
x x
2
x 1
;
;
b) f  x  
;
d) f  x  
Sã se calculeze limitele de ºiruri:
1 1
2
3
n 
a) lim 


 ... 
;
n4 n6
n  2n 
n  n  n  2

1 1
1
1

 ... 
n
;


n
n
2
n
n  n
e 1
e  1
 e 1
b) lim
1
1


n  n  n 2  1

c) lim
2
n2  4

 x 2  2x  3 

l) lim 

x  
x2


x2
Sã se determine asimptotele funcþiilor f : D  R:
a) f  x  
9.
;
x  0 ln 1  2 sin 3x
5x  2 

k) lim  1  2

x  
x  x  1
8.
3x  2x
 ... 

.

n2  n 2 
n
299
x3  1
x 2  3x
x2e x
.
x3
;
;
3  2x
.
Teme de sintez‘
TEMA 6
— Derivate. Primitive. Integrale —
SETUL 1 DE PROBLEME
1.
Sã se studieze continuitatea ºi derivabilitatea funcþiei f : D  R:
a) f  x   x x ;
 x 2 sin x, x  0

;
b) f  x   
2
 ln 1  x , x  0


 x  1, x  1
c) f  x   
.
 arcsin x, x   1, 1
2.
Sã se determine parametrii reali astfel
încât funcþia f : D  R sã fie derivabilã:
 x 2  ax  2, x  1, 2 
a) f  x   
;
2
 bx  2x  c, x   2,   
 a arctg x  b, x  0
.
b) f  x   
 2ax  1, x  0
3.
Noþiuni de recapitulat
— derivata unei funcþii într-un
punct;
— reguli de derivare;
— teoremele lui Fermat, Rolle,
Lagrange;
— ºirul lui Rolle;
— regula lui l’Hospital;
— rolul derivatei întâi ºi a doua;
— graficul unei funcþii;
— primitivele unei funcþii;
— integrala definitã;
— calculul ariei ºi volumului cu
ajutorul integralei.
mx  n
, m, n  R. Sã se determine m ºi
x3
n astfel încât punctul A  3,  2   G f , iar tangenta în punctul A sã fie
Fie funcþia f : R \  3  R, f  x  
înclinatã la 45 faþã de axa Ox.
4.
 ln  3  x  , x  2
Fie funcþia f : R  R, f  x    2
.
 ax  x  2a  b   c, x  2
a) Sã se determine a, b, c  R astfel încât f sã fie de douã ori derivabilã în
x  2.
1
ºi b  c  0 sã se scrie ecuaþia tangentei la graficul
2
funcþiei în punctul A care are abscisa egalã cu 18f   0  .
b) Pentru a  
5.
Sã se calculeze derivata funcþiei f : D  R:
a) f  x  
x 2  3x  2
x 2  2x  2
c) f  x   3
6.
x2  2
x2  4
1  x 
b) f  x   x ln 
;
1  x 
;


d) f  x   ln 2x 2  2x  1  4arctg
;
x
.
x 1
Fie f : 1,      3,    , f  x   3 x  x 2  x. Sã se arate cã f este funcþie
  11 ºi  f 1   33  .
inversabilã ºi sã se calculeze f 1
300
Teme de sintez‘
7.
Se considerã funcþia f : R  R, f  x   2 x  a x  5 x  6 x , a  0.
a) Sã se calculeze f  0  ºi f   0  .
b) Sã se determine a astfel încât f  x   0,  x  R.
8.
9.
 ax 2  4x  b  2, x   2, 0 
.
Se dã funcþia f :  2, 4   R, f  x   
2
 x   c  2  x  1, x   0, 4 
a) Sã se determine a, b, c  R astfel încât pentru funcþia f sã fie aplicabilã
teorema lui Rolle.
b) Sã se aplice teorema lui Rolle funcþiei f.
Sã se determine numãrul soluþiilor reale ale ecuaþiilor algebrice:
a) 3x 4  8x 3  9x 2  36x  1  0;
b) 8x 5  10x 4  30x 3  45x 2  m  0, m  R.
10. Folosind teorema lui Lagrange, sã se rezolve:
a) 3 x  10 x  22x  32x ;
b) 7 x  4 x  5 x  6 x.
2x
c) arcsin 2
 2 arctg x  .
x 1
SETUL 2 DE PROBLEME
1.
Folosind regula lui l’Hospital, sã se calculeze:

;
x  ln 1  e2x


ln 1  e 4x
b) lim
a) lim
x 1
1
2
x3
x3
Fie I n  lim
x0
2x n  sin 2x
x3
1  x 2
;
 1

1
d) lim 

.
x 3  x  3
ln  x  4  
c) lim  x  3  e x  9 ;
2.
100  x102  101x101  x
, n  N, ºi p cel mai mic numãr natural pentru care
n
1 

I p este numãr real nenul. Dacã M  lim  1  I p  , atunci:
n 
n  
a) M  e3 e;
3.
b) M   e3 e;
c) M  3e;
d) M  23 e.
(Admitere ASE, Bucureºti, 2004)
Fie f : R  R o funcþia polinomialã de gradul trei.
a) Sã se determine funcþia ºtiind cã are un maxim local egal cu 1 în x  1
ºi minim local egal cu 2 în x  2.
b) Sã se determine intervalele de monotonie ale funcþiei f.
c) Sã se arate cã punctele de extrem local ºi punctul de inflexiune ale
graficului funcþiei f sunt coliniare.
d) Sã se reprezinte grafic funcþia g : R  R, g  x   f  x   1.
e) Sã se calculeze aria suprafeþei plane mãrginite de graficului funcþiei g ºi
axa Ox.
301
Teme de sintez‘
4.
Fie funcþia f : R  R, f  x   2 x  2  x.
a) Sã se verifice cã f  x   f   x  ,  x  R.
b) Sã se calculeze f   x  , x  R.
c) Sã se arate cã f este strict descrescãtoare pe  , 0  ºi strict crescãtoare
pe  0,    .
d) Sã se arate cã funcþia f este convexã pe R.
x
e) Sã se calculeze lim
x 
 0 f  t  dt
f  x
.
(Bacalaureat, 2004)
5.
Se considerã funcþia f : D  R, f  x   ax 
bx 2  cx  1, a  0, b  0.
a) Sã se determine parametrii a, b, c  R, astfel încât dreapta y  2x  1 sã
fie asimptotã oblicã spre , iar y  1 sã fie asimptotã orizontalã spre .
5 5
b) Sã se determine aria subgraficului funcþiei g :  ,   R, g  x    x  1 f  x  .
6 4
6.
 ax 2  bx  c, x  1

.
Se considerã funcþia f :  1, 2  R, f  x   
2
 ln x  3x  3 , x  1
a) Sã se determine a, b, c  R astfel încât funcþiei f sã i se poatã aplica
teorema lui Rolle.
1
b) Pentru a   c  
ºi b  0 sã se calculeze:
2
1  1
2
 n 
lim  f    f    ...  f    ;
n  n   n 
n
 n 

lim

1 
1
2
n 


 f  1  n   f  1  n   ...  f  1  n   .






n  n 
c) Sã se calculeze 
7.
2
1
1

f   1   dx.
x

Fie funcþiile f, g : R  R, f  x   x 2  ax ºi g  x   3ax  x 2 , a   0,    .
a) Sã se studieze poziþia paralelelor corespunzãtoare funcþiilor f ºi g.
b) Sã se calculeze aria suprafeþei plane S, cuprinsã între cele douã parabole.
c) Dacã A este punctul de intersecþie a celor douã paralele, diferit de
origine, sã se arate cã dreapta OA împarte suprafaþa S în douã suprafeþe
echivalente.
8.
Se considerã funcþia fn :  0,     R, fn  x  
a) Sã se rezolve inecuaþia f1  x   f2  x   0.
 ln x  n
x2
.
b) Sã se calculeze aria suprafeþei plane mãrginite de graficele funcþiilor f1 ºi
f2 ºi dreptele x  1, x  e.
302
Teme de sintez‘
c) Sã se calculeze volumul corpului de rotaþie determinat de funcþia
g : 1, e   R, g  x   x x  f1  x   f2  x   .
9.
Se considerã funcþia f : R  R, f  x   x 2006  1.
a) Sã se calculeze f   x  , x  R.
1
b) Sã se calculeze  f  x  dx.
0
c) Sã se arate cã funcþia f este convexã pe R.
f  x  f  0
d) Sã se calculeze lim
.
x0
x
1 n
e) Sã se calculeze lim  sin xdx.
n  n 0
(Bacalaureat, 2006)
TEMA 7
— Structuri algebrice —
1.
Pe R se considerã legile de compoziþie
„  “ ºi „  “ definite astfel:
x  y  x  y  2, x  y  xy  x  y  a,
 x, y  R.
a) Sã se studieze proprietãþile legii „  “.
b) Sã se determine a  R astfel încât
legea „  “ sã fie asociativã.
c) Pentru a  0 sã se rezolve ecuaþiile:
 x2  1   2x  3   6, 2x   2x  1  71.
d) Sã se rezolve sistemul de ecuaþii
pentru a  0 :
 x  1   y  1  6
.

 x  1   y  1  2
Noþiuni de recapitulat
— legi de compoziþie — proprietãþi:
— monoid;
— grup;
— morfisme de grupuri;
— inel;
— corp;
— morfisme de inele si corpuri;
— inele de polinoame.
n1
 2
 ... 
2  2    2  3k ,  n  N*.
e) ªtiind cã  2  3  5, sã se arate cã 2




n ori
2.
k 0
Se considerã mulþimile:
 1 0   0 1   1 0   0 1  
G1  
, 
, 
, 
  M 2 R  ;
 0 1   1 0   0 1   1 0  
 1 2 3 4   1 2 3 4   1 2 3 4   1 2 3 4  
G 2  
, 
, 
, 
  S4 .
 1 2 3 4   2 1 3 4   2 1 4 3   1 2 4 3  
a) Sã se stabileascã tabla înmulþirii matricelor pe mulþimea G1 ºi tabla
compunerii permutãrilor pe mulþimea G 2 .
b) Sã se arate cã
 G1,   este grup comutativ ºi  G 2 ,   este subgrup al
grupului  S 4 ,   .
c) Sã se arate cã  G1,     G 2 ,   .
303
Teme de sintez‘
3.
3a 
 1  5a
  M R .
Se dã matricea A  a    25a
2
 
1  5a 
3


a) Sã se arate cã A  a  este matrice inversabilã, oricare ar fi a  R.
b) Sã se arate cã A  a   A  b   A  a  b  ,  a, b  R.
c) Sã se rezolve ecuaþia A  x  1 A  2   A 1  x  A 3 .
 A 2  x  3y   A  8 
d) Sã se rezolve sistemul de ecuaþii 
.
 A  2x  y  A  3   A  2  A  y  x 

e) Dacã G  A  a 

a  R sã se arate cã  G,   este grup comutativ.
f) Sã se stabileascã un izomorfism între grupurile  G,   ºi   0,    ,   .
4.
Pentru orice n  N*
k

Hn  
k  Z .
n!

se
considerã
mulþimea
de
numere
raþionale
a) Sã se arate cã dacã x, y  H n , atunci x  y  H n .
b) Sã se verifice cã dacã x  H n , atunci  x  H n .
c) Sã se arate cã dacã x  H n , atunci H n  H p .
d) Sã se arate cã pentru orice numãr raþional r, existã n  N* , astfel încât
r  Hn.
e) Sã se arate cã dacã
 G,  
este subgrup al grupului
 Q,  
ºi
1
 G, n  N* , atunci H n  G.
n!
f) Sã se demonstreze cã dacã G1, G 2 , ..., G 2002 sunt subgrupuri ale grupului
 Q,   ºi Q  G1  G 2  ...  G 2002 , atunci existã i  1, 2, ..., 2002 astfel
încât G i  Q.
(Bacalaureat, 2002)
5.
Pe mulþimea A  Z  Z se definesc operaþiile algebrice:
 a, b    c, d    a  c, b  d  ;
 a, b    c, d    ad  bc  2ac, bd  ac  .
a) Sã se arate cã  A,   este monoid ºi sã se determine mulþimea U  A  .
b) Sã se arate cã  A, ,   este inel.
c) Inelul  A, ,   are divizori ai lui zero?
6.
În mulþimea M 2  C 
1 0
 0 0
se considerã matricele I 2  
 , O2  
 ºi
0 1
 0 0
 z
mulþimea G  
  w
complex z.
w

z 

z, w  C  ,

304
unde
z
este conjugatul numãrului
Teme de sintez‘
a) Sã se verifice cã I 2  G ºi O2  G.
b) Sã se arate cã dacã z, w  C ºi z
2
 w
2
 0, atunci z  w  0.
c) Sã se arate cã dacã P, Q  G, atunci P  Q  G.
d) Sã se arate cã dacã D  G, D  O2 , atunci D este matrice inversabilã ºi
D 1  G.
e) Sã se gãseascã o matrice X  G cu proprietatea cã XC  CX, unde
 i 0 
C
.
0 i
f) Sã se arate cã dacã A, B  G ºi A  B  O2 , atunci A  O2 sau B  O2 .
g) Sã se arate cã  G \ O2  ,   este grup necomutativ.
h) Sã se arate cã  G, ,   este grup necomutativ.
(Bacalaureat, 2004)
7.

Se considerã polinomul f  C  X  , f  1  X  X2

10
cu forma sa algebricã
f  a 20 X 20  ...  a1X  a 0 .
a) Sã se determine a 0 ºi a1.
b) Sã se calculeze f 1 , f  1 , f  i  .
c) Sã se calculeze suma coeficienþilor polinomului f.
1
d) Sã se arate cã a 0  a 4  ...  a16   f 1  f  1  f  i   f   i   .
4
(Bacalaureat, 2000)
8.
Fie f  C  X  un polinom de gradul n  N* .
a) Sã se determine f ºtiind cã funcþia polinomialã ataºatã verificã egalitatea
xn
,  x  R, (1).
n!
b) Sã se arate cã dacã f verificã relaþia (1) atunci nu poate avea rãdãcini
reale multiple.
c) Dacã f verificã relaþia (1) sã se calculeze lim f 1 .
f  x  f  x 
n 
d) Sã se rezolve în mulþimea C ecuaþia f  x   12  0 pentru n  4.
Pe mulþimea R se considerã operaþiile algebrice x  y  x  y  1, x
y  2xy 
T
2  x  y   a,  x, y  R.
a) Sã se determine a  R pentru care  R, ,
T
9.
 este inel.
b) Pentru a  R determinat sã se stabileascã U  R  .
între corpurile  R, ,   ºi  R, ,
T
c) Sã se afle m, n  R pentru care f : R  R, f  x   3x  n este izomorfism
.
305
Indicaţii şi r‘spunsuri
INDICAÞII ªI RÃSPUNSURI
— ALGEBRÃ —
CAPITOLUL I. Grupuri
1. Legi de compoziþie pe o mulþime
1.5. Tabla unei legi de compoziþie (pag. 12)
 
 
 ; d) x  2,
 4
 . • E6. a) x  0, 2  .
 2
• E2. a) a  0, a  1,5. • E5. c) x  1,


 3
b) x  2, y  3. • E9. a) Avem x, y  2,    x  2  0, y  2  0   x  2  y  2  
 0  xy  2x  2y  4  0  x  y  2. c) Se are în vedere cã det  A   a 2  2b2  1
ºi det  A  B   det  A   det  B  . • E11. a) card  M   6; b) Se aratã cã A m  A n 
 A mn .
• A2. b) Din x, y   4, 6 se obþine cã x  5, y  5   1, 1 sau x  5  1, y  5 
 x  5   y  5   1 ºi 1  xy  5x  5y  25  1, de unde rezultã cã
4  x  y  6. • A3. Avem x, y  2   x  2   y  2   0  xy  2  x  y   4  0 
 xy  2  2  x  y  3   0  xy  2  2  x  y  3   x  y  2. • A6. a) x  y 
 1. Aºadar
  x  2   y  2   2   a  2   2, pentru a  2,    ; c) x 
17
, y  5.
8
• A8. Fie M  R parte stabilã a lui R ºi x  M. Atunci x n  M,  n  N* . Deoa-
rece M este finitã existã m, n  N* , cu x m  x n sau x m  x n  0. Se obþine cã
x  0 sau x m  n  1. Se obþin mulþimile 0 , 1 , 0, 1 , 1, 1 , 1, 0, 1 . Dacã
M  C avem cã x  0 sau x p  1, deci M poate fi 0 , U n ºi U n  0 , unde
U n este mulþimea rãdãcinilor de ordinul n ale unitãþii. • A9. 39 , respectiv n n
2
legi de compoziþie.
2.2. Proprietatea de asociativitate (pag. 20)
• E3. a) a  c  1, b  Z; b) a  2, b  2; d) a  b  1. • E5. b) a  3b  3   a, b  
  3, 0  ,  0, 1 .
• A1. c) x  0. • A4. a) a  b  0 sau a  1, b  R. b) Deoarece AB  BA, avem
A  B   a  b  AB ºi a, b  R. c) a  R. • A5. a) ax  xa,  x  M; b) a  M;
c) ax  xa,  x  M; d) ax  xa,  x  M. • A6. n
n  n 1
2 .
2.4. Elemente simetrizabile (pag. 27)
 • E2. a) e  2; b) e  8;
• E1. a) e  0; b) e  1; c) e  3; d) e  0; e) e  3.
1
c) e 
1
; d) e  2 9 .
2
306
Indicaţii şi r‘spunsuri
• A1. a) a  1; b) a  5; c) a  30. • A4. a  b  0 sau a  1, b  1.
• A7. U  Z  i   Z  i  , U  M   1, 1  U 2 .
Exerciþii ºi probleme recapitulative (pag. 28)
• A3. a) Dacã f  F  M  ºi f   F  M  cu f  f   1M  f   f atunci f este surjectivã
ºi f  injectivã, respectiv f  este surjectivã ºi f injectivã. Aºadar f este bijectivã.
În concluzie, f este funcþie bijectivã. • A4. c) U  F   F . • A8. Se aratã cã fa 
 f b  fab .
3. Noþiunea de grup. Exemple (pag. 45)
• E5.  G,   . • E6.  G2 ,  . • E8. b) Se aratã cã A3  I3,  A  M ºi A  B  A 
 . • E9. a) Avem                1  1  1, deci  este permutare
 B  2I
3
1
n !, pentru n  2. Grupul este comutativ pentru
2
 1 2 3 4 5 ... n 
n  1, 2, 3 . Pentru n  4, avem   , unde   
,
 4 3 2 1 5 ... n 
parã. b) Avem card  A n  
 1 2 3 4 5 ... n 

.
 3 4 1 2 5 ... n 
4. Reguli de calcul într-un grup (pag. 51)
 1 2na 
2
2
n
• E1. b) 1  i   2, 1  i   2, i5  5  4i. • E2. A n  
 . • E3. b) x 
0
1


 2
log 2 x 
n
. • E4. b) xn   x  4  4. • E5. c) Inducþie matematicã. • E6. c) x n 
n
 abn a 1.
   a ºi cu
• A1. Inducþie matematicã. • A2. a) Rezultã succesiv a  b2  a 2
2
4
legea simplificãrii se obþine cã a3  e ºi analog b3  e. Aºadar x2   aba  aba  
 abbba  ab3 a  a 2 ºi x 3  aba  a 2  ab  a  a 2  e. • A3. Avem ab  e  a 
 b1  ba  bb1  ba  e. • A4. ab2  e  ab  b1  bab  e  ba  b1, deci
ab  b1  ba. • A10. a) x 2  e  x  x 1. Atunci xy  x 1  y 1   yx 
1
 yx.
b) Avem  xy   x 2 y 2  xy  xy  xxyy ºi dupã simplificãri se obþine yx  xy.
2
c)  xy 
1
 x 1 y 1  y 1 x 1  x 1 y 1  x 1  yx 1 y 1  x 1 y  yx 1  yx  xy.
d) Pentru y  x 2 se obþine cã xx 2  x 2 x 1  x  x 1 sau x 2  e.
g) Pentru y  x 2  xx 2  x 1 x 2  x 6  e, iar pentru y  x 1 se obþine x 4  e.
Astfel x 6  x 4 , deci x 2  e etc.
• D3. Din  m, n   1 se obþine cã existã p, q  Z astfel încât 1  mp  nq.
Rezultã xy   xy 
mp  nq

  xy 
   xy     yx     yx     yx 
m p
n q
307
m p
n q
mp  nq
 yx.
Indicaţii şi r‘spunsuri
5. Morfisme de grupuri (pag. 57)
• E6. a  1, b  2. • E10. f  x   ax. • A1. f  a   A  a  . • A2. f  a   A  a  .

• A3. M  I3 , A, A 2
 ºi M  U . • A4. a  1, b  3.
3
 cos  sin  
• A5. f : G2  G1, f  cos   i sin    
 . • A7. f  x   tg x.
  sin  cos  
• A8. a  b  1. • A10. f  xy   f  x   f  y    xy 
1
 x 1 y 1  xy  yx.
• A11. f : R  F , f  a   fa .
6. Subgrupuri (pag. 64)
• E1. Dacã x  M, x  2 n  x   2  n. Dacã x, y  M, atunci x  2 m , y  2 n ºi
  x  1  A. • E7. 0  M, deoarece 2 
xy   2 m  2  n  2 m  n  M. • E4. b) Avem x
  3   3  2  0. Fie z  M, z  2x  3y. Opusul este  z  2    x   3    y  . Dacã
a, b  M, atunci a   b    2x  3y   2    x1   3    y1   2  x  x1   3  y  y1   M.
• A1. Fie H  H1  H2 . Deoarece H este grup, el nu se poate scrie ca reuniune
de douã subgrupuri proprii. Rezultã cã H1 sau H2 sunt subgrupuri improprii,
deci H1  G sau H2  G. • A2. e2  f  e1   f  H  . Fie a, b  f  H  ; atunci existã
x, y  H, astfel încât a  f  x  , b  f  y  ºi ab1  f  x    f  y  


1
 
 f  x   f y 1 
 f xy 1 , deci ab1  f  H  . • A4. e  H, deoarece e2  e. Fie x, y  H; atunci

x 2  e, y 2  e, iar xy 1
  xy xy
2

1
1
poate sã nu aparþinã lui H. Exemplu: G 

0 1
 1 2 
 U M 2  R  , H  A  G A 2  I2 . Avem: X  
, Y  
 , X, Y  H, dar
1
0


 0 1
 1 2 
 0 1
2
XY  
  H. • A5. Fie x  H ºi a  G \ H fixat. Atunci
 ºi  XY   
 2 3 
 1 2 


ax  G \ H ºi f  ax   g  ax  . Rezultã cã f  a   f  x   g  a   g  x  ºi dupã simpli-
ficare, f  x   g  x  , x  H, deci f  g pe G. • A6. Fie  G,   cu proprietatea
cerutã. Pentru x  G, avem: f  x    x    f  0   1, deci f  x   f   x   1 ºi se
 2x  1 
 sin
1  2x  
 1. De aici rezultã cã cos 2x  1 ºi x  Z,
2
2
 ºi f  x   xf 1 . Dacã
deci G  Z, de unde G  nZ. • A8. Avem f  0   0
obþine cã sin

 ºi de aici xf 1  0.
 Pentru x  0 se obþine f 1  0

x  Ker f, atunci f  x   0
ºi astfel Ker f  Z, deoarece f  x   xf 1 .
308
Indicaţii şi r‘spunsuri
7. Grupuri finite (pag. 71)
• A1. a) Dacã existã x  G cu x n  e, atunci G  x
ºi G este comutativ. b) Fie
p  ord  x  ; atunci p
   e. • A4. Rezultã cã
n ºi avem n  pq, x n  x pq  x p
q
 x   x  e ºi  yx   yxyx  y  y x  x  y x  x . Aºadar  yx  are ordinul 3,
2 3
2
6
3
4 2
2
2
iar yx ordinul 6. Dar  yx   yx  yx   yx  x 2  yx 3  y ºi de aici y 2  e. Din
3
2
relaþia datã xy  y 3 x  xy  yx.
CAPITOLUL II. Inele ºi corpuri
1. Definiþii ºi exemple (pag. 84)
• E2. b) U  Z   1,  3 . • A2. b  3  3a. • A4. U  M    0,    \ 1 .
2. Reguli de calcul într-un inel (pag. 90)
1, x  0
0, x  0
• E2. f  x   
, g x  
. Avem f  g  0,  x  Z, respectiv x  R.
0, x  0
1, x  0
  2.

• E3. b) U  E   E \  0, 0  . • E7. Se are în vedere cã 2
• A3. Din relaþiile 1  ab  x 1  1 ºi x 1 1  ab   1 se obþine x 1  1  abx 1 
 x 1ab.
Avem

1  ba  1  bx 1a   1  bx 1a  ba  babx 1a  b  x 1  1 a  1 

 babx 1a  b  abx 1 a  1  babx 1a  babx 1a  1  babx 1a  1.


• A5. Avem
1  1  a n  1  a  1  a  a 2  ...  a n 1 . • A6. a) Obþinem   x    x ºi x 2  x,
2
deci x   x,  x  A, sau x  x  0. b)  x  y   x  y  x 2  xy  yx  y 2  x 
2
 y  xy  yx  0  xy   yx  yx. • A7. a) Avem x 6  x ºi
x   x sau x  x  0,  x  A. Rezultã cã
 20x 3  15x 2  6x  1 sau
  x 6   x, deci
 x  16  x  1  x 6  6x 5  15x 4 
x6  x4  x2  1  x  1  x 4  x2  0  x 4  x2 
 x 6   x 4   x 2 . Dar x 6  x  x   x 2  x  x 2 , deci inelul A este boolean ºi
este comutativ. • A8. Din problema A3 proprietatea are loc pentru n  1.
Presupunem cã 1   ab   U  A  . Atunci 1   ba   U  A  . Arãtãm cã P  n  1
n
este adevãratã. Avem: 1   ab 
n
n 1
 U  A  . Luând x  b  ab   1   ab 
n
 ax  U  A  , deci 1  xa  U  A  . Dar 1  xa  1  b  ab  a  1   ba 
n
1   ba 
n 1
n 1
n 1
1
ºi astfel
 U  A .
• D2. Se are în vedere cã din 1  1  0 rezultã a  a  0,  a  A. • D3. Din ega-
litatea 1  1 1  1  1  1  1  1  0 rezultã cã 1  1 este divizor al lui zero. Dar
1  1  0, altfel ar rezulta cã inelul A are caracteristica 2. • D4. Dacã n nu este
prim, atunci n  p  q ºi avem p  q  n  1  0, deci inelul are divizori ai lui zero,
în contradicþie cu ipoteza.
309
Indicaţii şi r‘spunsuri
3. Corpuri (pag. 94)
• A4. a) Se aratã uºor cã ab  0, a, b , deci ab  1, a  b1, b  a 1. Avem 1 
  ab 
1
 b1  a 1 ºi de aici ba  1. b), c) U  K   1, a, b , deci ord  a   3,
ord  b  3. Rezultã cã a3  1, b3  1. Din relaþia a3  1  a2  a1  b. d) a 3  1 


 a3  1  0   a  1 a2  a  1  0. Cum a  1  0, rezultã cã a 2  a  1  0. Analog b  b  1  0. e) Fie x  1  1. Atunci x 2  1  1  1  1  0. Dar K este corp,
deci rezultã cã x  0, adicã 1  1  0.
2
4. Morfisme de inele ºi corpuri (pag. 100)
• A3. Din egalitãþile f  x  y   f  x   f  y  ºi f  xy   f  x   f  y  ,  x, y  Z  2  ,
rezultã cã f  nx   nf  x  ,  x  Z  2  , n  Z, ºi f  n   nf 1 ,  n  Z.


 2   x  yf  2  . Aºadar izomorfismul este
caracterizat de valorile lui f  2  . Dar 2  f  2   f  2  2    f  2   , deci
f  2    2. Dar  2  Z  3  , deci nu existã f. • A4. a) Avem U  Z   1, 1 ,
Atunci f x  y 2  f  x   f  y   f
2
iar U  Q   Q * , deci inelele nu sunt izomorfe. b) Q ºi R nu sunt cardinal
echivalente. c) Se aratã cã f  x   x,  x  Q, deci f nu este surjectivã. • A7. Fie
f : Z  Z n , n  2, morfism de inele. În particular f este morfism de grupuri,
 rezultã cã f  m   m,
  m  Z.
deci are forma f  m   mf 1 . Deoarece f 1  1,
c) Fie f : Z m  Z n , morfism de inele. Din relaþia f  x  y   f  x   f  y  , x, y 
 

  xf 1 , x  Z .
 Z m , rezultã cã f  px   pf  x  ,  x  Z m , ºi f x
m
CAPITOLUL III. Inele de polinoame
3.1. Adunarea ºi înmulþirea polinoamelor scrise
sub formã algebricã (pag. 112)
• E2. a) Pentru m  1, grad  f   0, iar pentru m  R \ 1 , grad  f   1. b) m 
 1  grad  f   0, m  2  grad  f   1, m  R \ 1, 2  grad  f   2.
  grad  f   0, m  2
  grad  f   2. e) m 
• E3. b) m  1  grad  f   1, m  0
 0  grad  f   1, m  i,  i  grad  f   2, m  C \  i, 0, i  grad  f   3.
• E10. a) f  X  1, g  1.
 b  c  1,
 2b  c 
 g 0
 , f 1  g 1 , f 2
 g 2
 . Rezultã cã a  2,
• A8. Avem f 0
         
 b  2,
 c  2.
 • A9. g  a  bX  cX 2  dX 3 . Din condiþia
 cu soluþiile a  2,
 0,
 a  b  c  d  2,
 a  2b
  4c
  3d
  2,
 a  3b
  4c
  2d
 
de egalitate se obþine a  1,
 a  b  c  d  2.
 Se obþine a  1,
 b  3,
 c  1,
 d  2.
 • A14. a) Dacã f este
 3,
310
Indicaţii şi r‘spunsuri
funcþie polinomialã, atunci ºi f 2  x
2
este funcþie polinomialã. Rezultã cã
f 2  x 2 , deci f are gradul 1. Dacã f  x   ax  b  ax  b  x ,  x  R. Pentru
x  0  b  0 ºi pentru x  1  a  1. Dar f  x   x  x . b) Avem cã x  f  x   x2,
deci x ar fi funcþie polinomialã. c) Dacã f ar fi funcþie polinomialã, atunci ºi
z  f  z   z2 ar fi funcþie polinomialã. Dar dacã g  z   z , atunci pentru x  R,
ar rezulta cã g  x   x este funcþie polinomialã. Fals. d) Dacã  K, ,  este
corp finit atunci orice funcþie f : K  K este polinomialã. Într-adevãr, fie
K  x1, x2 , ..., x n  . Luând f : K  K, atunci alegem polinomul g de gradul
n  1, astfel încât g  x i   f  x i  , i  1, 2, ..., n . Sistemul verificat de coeficienþii
polinomului g, este sistem de tip Cramer, deoarece determinantul sãu este de
tip Vandermonde.
3.2. Împãrþirea polinoamelor (pag. 118)
7
 b  2.

 e) a  0,
; b) a  2, b  2; c) a  2, b  0; d) a  0;
• A2. a) a  
16
• A3. Restul este de forma r  aX  b, iar r  n   an  b care este progresie
aritmeticã. • A5. a  m, b  1, c  2  m, d  1, m  R. • A7. a  6, b  5, f  X 3 
 9X 2  22X  m.
3.3. Împãrþirea la X  a. Schema lui Horner (pag. 123)
• A1. Se pune condiþia f  i   R. Se obþine: a) m  1; b) m  3, 3 . • A4. m 
 b  2.
 • A7. Din f  2   12 se obþine n  4, apoi
 6, n  2. • A6. a  0,
r  76. • A8. Avem 2m  2n  1  13 ºi 4 m  4 n  1  81. Se obþine m  3, n  2
 b  1.
 • A11. Folosind formula
sau m  2, n  3 ºi f  X 3  X 2  1. • A10. a  0,
lui Moivre se obþine cã sin   sin 2  sin 3  sin 4   1  2 ºi cos   cos 2 
 cos 3  cos 4   1. A doua relaþie se scrie cos 2  2 cos2 2  1  2 cos 2 

 cos   1 sau cos 2 1  2 cos 2  2 cos    0 cu soluþia   .
4
4. Divizibilitatea polinoamelor (pag. 133)
65

 d) m  3.
• E4. a) m  3; b) m 
; c) m  2;
38
 2
 ; b) a  0;
 c)  a, b   1,
 0
 , 2,
 1 , 0,
 2
 ; d) a  1;
 e) a  b2 
• A1. a) a  1,
     
 
 • A3. Se pune condiþia ca f     0, unde 3  1,   1. Se obþine m  2.
 2.


X

 bX  cX  d   3aX  2bX  c      ºi apoi b  3a, c  9a , d  27a .
3

• A4. m  0, 1, 3 . • A6. f  a X 3  9X 2  26X  36 . • A7. Se obþine aX 3 
2
2
2
311
3
Indicaţii şi r‘spunsuri

• A8. m  0, 2 . • A11. Avem f  g  X n
  X  g  2gX  X
2
n
aratã cã X 2n  X n  X n  X  1 g. • A12. a) f   g  X 
n
2n
4n 1
 g  X
4n 1

 g  X   Q  2g  Q. b) Deoarece X  1  X 2  g se obþine: f  X2  g
 
 X n ºi se
2

 g  X 
n2
 X2n1 

  X  1 g. d) f   X  3X  3X  1   X  1  X  2   Xg  1   X  2x  1 
 X  2  g  h   X  2x  1  X  2  g  h  g. • A13. f  X   X  g   1  X 
 g  h  X2
n 2

 X 2n 1  g  h  X 2n  4  X 2n 1  g  h  X 2n 1 X 3  1  g  h  X 2n 1 
3
n
2
2
m
2
n
2
2
m
m
 X 2m  g  h  1. Se considerã apoi m  3k, m  3k  1, m  3k  2 etc.
5. Descompunerea polinoamelor în factori ireductibili (pag. 144)
 b) a  2;
 c) a  0,
 b  0.

• E3. a) a  0;

 
 3  Q, implicã
x  2x  3  0 ºi x  1 etc. b) Dacã x  R  f  x   2x  5x  3  i  x  2x  3 
• A1. a) Dacã x  Q, atunci f  x   2x 3  3x 2  x  x 3  2x  3
3
3
2
2
 0, dacã x 2  2x  3  0, deci x  1, 3 etc. c) Rezultã cã x 2  2mx  6  0 ºi
2x 2  x  m  0, de unde 4x3  x2  3  0, x  1  R, iar m  1. • A2. a) a  2, 1 ;
4
5
1 1

b) a  0,  1, 3,  ,  . • A4. m  3. • A5. a   , b  3, c   . • A6. Cu
6 2
3
3

schema lui Horner se obþin relaþiile 3  5 2  8  a  0 ºi 32  10  8  0,
4
  a  1,

cu soluþii 1  2,  2  , etc. • A7. a) a  12, b  8. • A8. Avem f 0
3
 • A9. n  2. • A11. Se
 f 2
  a  1.
 deci a  1.
 Se obþine cã a  1  0,
f 1  1  0,
 



 
 f 2
  0.
 Se obþine a  b  0,
 deci a  1,
 sau
 b2
pune condiþia ca f 1  0,


 b  1.
 • A13. a) a  2;
 2,
 3,
 4,
 5,
 6,
 7
 , polinomul are
 b) Pentru a  0,
a  2,
 • A15. Dacã f ar fi reductibil
soluþii în Z 6 . Rãmâne de analizat cazul a  1.


peste Z atunci am avea cã f   X  m  X 2  pX  q , cu p, q, m  Z, de unde
identificând coeficienþii se obþine b  p  m, c  q  mp, a  qm ºi ab  bc  qm 
  p  q  m  mp  . Dar ab  bc  impar conduce la q ºi m impare ºi p  q  m 
 mp  par ºi egalitatea nu poate avea loc. • A16. Presupunem cã f este reductibil
peste Z. Atunci avem cã f  g  h cu g, h cu coeficienþi în Z de gradul cel puþin
1. Obþinem: g 1  h 1  1, g  2   h  2   1, g  3   h  3   1 ºi de aici rezultã cã
funcþiile polinomiale g sau h au cel puþin douã valori egale cu 1 sau cu 1.
Dar unul dintre polinoamele g sau h are gradul 1, ºi atunci el ar fi constant,
312
Indicaţii şi r‘spunsuri
3
ceea ce nu se poate. • A19. Vom avea cã f  n  n3   n  1  3n2  3n  1,
 n  N* , deci polinomul g  f  3X 2  3X  1 are ca rãdãcini orice numãr
n  N* . Aºadar el este polinomul nul, deci f  3X 2  3X  1.
6. Relaþiile lui Viète (pag. 151)









4
3
5
 .
• E2. a) f  X  1 ; b) f  X  1 ; c) f  X  1 ; d) f  X  1 X 2  4
2

 3

• E3. a)  , 1,  4  ; b)  , 1, 5  ; c) 6, 2,  1 ; d) 1, 3, 6 . • E5. a) Se
3

 5

obþine z 3  6 ºi se foloseºte schema lui Horner. a  5. b) Din z1z 2 z 3  6 se
obþine z1  6, 6 etc. c) z 3  4, a  37. • A2. a) z 3  m. Apoi m  1, z1  2,


z2  2. b) a  5; c) a  5. • A3. a) m  9, x  2  3, 2, 2  3 . b) Din rela-
þiile x1  x 2  x 3  3m ºi x1  x 3  2x 2 se obþine x 2  m. Prin schema lui
Horner se obþine m 3  3m  2  0 cu soluþiile m  1,  2 etc. c) Se considerã
z1  a  3r, z 2  a  r, z 3  a  r, z 4  a  3r. Se obþine cã 10  z1  z 2  z 3  z 4 
5
5
 5
 5

. Din relaþia z1z 2 z 3 z 4  24 rezultã cã   3r     r     r  
2
2
 2
 2

5
25
25





   3r   24 ºi cu notaþia r 2  t se obþine ecuaþia 
 9t  
 t   24. Re2

 4
 4

 4a, deci a 
zultã m  35 ºi x  1, 2, 3, 4 . • A4. a) Avem x1 x 3  x 22 ºi x1 x 2 x 3  27. Se
7  13
. b) Fie a, aq, aq 2 , aq 3
2
1
soluþiile ecuaþiei. Din relaþiile lui Viète se obþine cã a4 q 6  ºi a2 q  q2  2q3 
4
35
1
35 2
4
5
2 3
2
3
4
sau a q  
ºi 1  q  2q  q  q  
q  q 
q . Rezultã cã
8
2
4
1
 1

35
35 2
1
. Cu notaþia q   t
1  q  q2 1  q2  
q sau   1  q    q   
q
q
4
4
q



obþine x 2  3, apoi m  4 ºi soluþiile 3,





obþinem t  t  1 


35
35
 7 5
cu soluþiile t   ,  , respectiv t  t  1  
cu solu4
4
 2 2
 1  i 34 
þiile t  
 etc. • A8. a) Considerãm x, y, z  R soluþii ale ecuaþiei de
2


gradul 3 în t: t 3  2t 2  mt  2  0. Din relaþia x2  y2  z2  6 se obþine cã
 x  y  z 2  2  xy  yz  xz   6 ºi xy  yz  zx  1. Aºadar x, y, z verificã ecuaþia
t 3  2t 2  t  2  0 sau  t  2   t 2  1  0. Se obþine x  2, y  1, z  1 sau
permutãri ale acestora.
313
Indicaţii şi r‘spunsuri
7. Rezolvarea ecuaþiilor algebrice cu coeficienþi în Z, Q, R, C (pag. 160)
• E4. a) Ecuaþia are ºi soluþia x2  1  3. Rezultã cã polinomul f  X 4  4 X 3 

 X  1  3   X  2X  2. Se obþine câtul g  X  2X  6. b) f   X  2X  1 X  1 . d) x  3  5, x  1,
 4 X 2  16X  12 se divide cu g  X  1  3
2
2
2
2
1,2
3
x 4  3.
• A1. Soluþiile întregi pot fi 1, 1, 2,  2. Se obþine cã a  6,  2, 4,  3 .
• A2. Dacã cele douã soluþii sunt simple ele pot fi doi dintre divizorii lui 2, ºi
anume:  x1, x 2    1, 1 ,  1, 2  ,  1,  2  , 1,  2  , 1, 2  . De asemenea putem
avea: x1  x 2  1,1,  2, 2 . • A3. c) Soluþiile raþionale aparþin mulþimii 1, 1,
1 1 3 3
2, 2,  3, 3,  6, 6,  , ,  , . Rezultã cã a  4, 0,  3,  13,  12,  49,  95 .
2 2 2 2
238
1
• A6. a  14, b  3 sau a 
, b   . • A8. Se analizeazã cazurile x1  x 2 
27
3
 1 ºi x1  x 2  1. Se obþine a  b  1 sau a  b  3. Cazul a  b  3 nu
convine deoarece se obþine soluþia triplã x  1. • A10. a) Polinomul ataºat
ecuaþiei se divide cu g  X 4  10X 3  21X 2  14X  2. Se gãseºte a  10, b  22,
c  14, d  2. • A11. Ecuaþia admite ºi soluþiile x2  2  5, x3   2  5, x4 
  2  5 ºi se scrie  x  x1   x  x 2   x  x 3   x  x 4   0. Altfel, fie x  2  3.

Atunci x 2  5  2 6 sau x 2  5
  2 6  , de unde x  10x  1  0.
2
2
4
2
8. Rezolvarea unor ecuaþii algebrice de grad superior
cu coeficienþi în C (pag. 167)
• A3. Condiþia ab  a  b  1  0 conduce la  a  1  b  1  0. Pentru b  1 
 a  8, iar pentru a  1  b2  22. • A5. a  3,  1 . • A11. Se împarte cu x 2
2
6
a
; b) y  x  ; c) y  x  . • A12. c) Se noteazã
x
x
x
ab
ab
4
4
ºi se obþine ecuaþia  y     y    c, unde  
yx
. e) Dupã
2
2
a2
efectuarea produsului se împarte cu x 2 ºi se noteazã y  x 
. • A13. Se
x
noteazã log 6 x  y ºi se obþine ecuaþia reciprocã.
ºi se fac notaþiile: a) y  x 
314
Indicaţii şi r‘spunsuri
— ANALIZÃ MATEMATICÃ —
CAPITOLUL I. Primitive
3. Proprietãþi ale integralei nedefinite (pag. 180)
• E1. Se foloseºte cã F   x   f  x  , x  D. • E2. Se verificã faptul cã F este
derivabilã pe R ºi F   x   f  x  , x  R. • E3. F2 este primitivã a funcþiei f.


• E4. Funcþiile sunt continue. • E5.  3x 2  2x dx  x 3  x 2  C . Dacã F  x  
 x 3  x 2  c, x  R este o primitivã, din condiþia F  1  2, rezultã c  2 ºi
F  x   x 3  x 2  2.
cos x, x  0
. • A4. f este
• A2. F1 ºi F3 . • A3. Funcþiile sunt continue. e) f  x   
 x  1 , x  0
e x 1  c1, x  1

continuã. F  x   
. Din condiþia cã F este continuã în
x2
 c2 , x  1
2x 
2

5
3
9
x  1, rezultã cã c1    c2 ºi din F  2  
rezultã c2   , c1  7.
2
2
2
2
• A6. a  , b  1. • A7. Din continuitatea în x  1 rezultã 3a  b  9 ºi din
e
11
12
derivabilitatea în x  1 se obþine 9a  2b  15. Rezultã a   , b 
.
5
5
2
• A8. a  , b  2. • A9. a  1, b  R, c  0. • A10. a  b  1. • A11. a  3, b  4.
3
• A12. Funcþiile de la a), b), c) nu au proprietatea lui Darboux deoarece: a) f  R  
9
 9
 
 Z  interval. b) f   , 1    2,    1 ; c) f  R   1, 0, 1 ; d) f are
10
5






discontinuitãþi de prima speþã; e) f 2, 3 nu este interval.
• D3. Presupunem prin absurd cã g admite primitive. Rezultã cã funcþia
h  g  f admite primitive pe I. Dar, h  I   0, b  f  a   interval, contradicþie
cu h admite primitive.
4. Primitive uzuale (pag. 190)
x
x
• E3. c) Avem 2 sin cos  sin x ºi integrala este  sin x dx   cos x  C .
2
2
x
2 x
 1  cos x, respectiv 2 sin2  1  cos x.
d), e) Se foloseºte cã 2 cos
2
2
1
sin2 x  cos2 x
1
1



• A2. a) Avem
etc. b) Se folo2
2
2
2
2
sin x  cos x
sin x  cos x
cos x sin2 x
315
Indicaţii şi r‘spunsuri
seºte
cos 2x  cos2 x  sin2 x.
formula
sin 3 x  8
 1  cos2 x
d)

dx  
sin 3 x  8
sin 2 x
dx 

8 

2

   sin x 
 dx   cos x  8 ctg x  C . f)  1  tg x dx    tg x  dx  tg x  C .
sin2 x 

x 4  x2  1
• A3. a)
x2  x  1

 x  x  1 x  x  1  x  x  1 etc. b) Se foloseºte

2
2
2
x2  x  1


 dx    3x  1  3x  1 dx 
x 3  1   x  1 x 2  x  1 . • A4. a)  6x 3x 2  1
  u  x   u  x  dx 
7
u8  x 
2
7
2
3x 1  C. c) x x 1dx  1 5x x 1dx 
C
2
8

8
8
7
43
5
5
43
5
1
1
3x 2
1
1
1  u  x  3

dx 
  x5  1 3 x5  1 dx   u  x    u  x   3 dx  
 C etc. d) 
1
5
5
5
x3  1
1
3

x3  1
u  x 

dx  2  u  x  dx  2 u  x   C  2 x3  1 C.

dx  
3
u x
x 1

 

1




u5  x 
1 4
ln5 x
ln x dx    ln x   ln 4 x dx   u  x   u 4  x  dx 
C 
C.
5
5
x
1 u  x 
1
x 1
1
6x  6
g)  2
dx  ln u  x   C 
dx   2
dx  
6 3x  6x  11
6 u x 
6
3x  6x  11
e) 
 
 

x 

u  x 
1 x2 1
1
1
x
1
C  ln 2
 C. k) 
dx   arctg u  x  
dx  
dx   2
2 x 1
2 x
x 1
  1 2 u  x 1 2

x 

u  x 
x
1
1
1
C  arctg x  C . l) 
dx  
dx  
dx 
3
3
2
x  25
u  x   25

x
25
 

x2
u x  1
u  x 
1
1
2x
2

dx  ln
 ln 3x  6x 11 C. h)  4
dx  
dx   2
2
2
u x   1
6
u  x 1
x 1
x2 1


2
4
2 2
3
2
2
6
3 2
2
x  x3
1
 ln u  x  
3


x2
1
2x
1 4x 3
1
1
1
dx


dx
dx  
dx  arctg x 2 
2  1  x2 2
4  1  x4
2  1  x2 2
4 1  x4
2

arctg7 x
1 sin x  2
1 cos x  3
1
 C ; b) ln
 C; c) ln
 C;
ln 1  x 4  C . • A5. a)
7
4 sin x  2
6 cos x  3
4
etc. n)
 1 x
 
 
 

u2  x   25  C

316
dx  
4
x


x3

1 x

1  x4
dx  
4
1  x4
dx 
Indicaţii şi r‘spunsuri
d)




1
1
1 2
 sin x 
arctg 
tg x  C ;
sin2 x 2  1  C ; f)  cos 2 x 2  1  C ; g)
  C ; e)
2
2
2
2


 x 3 
cos3 x cos5 x
 sin x 
2
.



C
h) arcsin 
x
ln
x
dx
j)

•
A6.
a)
;

C


  3  ln x dx 
3
5
 x 


x3
x3
x3
1
x3
1
  ln x  dx 
 ln x   x 2 dx 
ln x  x 3  C ; b)  xe  x dx 
 ln x  
3
3
3
3
3
9
x 
x
x
x
x
2
  x  e
dx  xe   e dx  xe  e  C . c)  sin x dx   sin x    cos x  dx 





  sin x  cos x   cos2 x dx   sin x  cos x   1  sin2 x dx   sin x  cos x  x   sin2 x dx.
Rezultã 2 sin2 x dx   sin x  cos x  x  C, etc. e)  x 2  25 dx   x  x 2  25 dx 
 x x  25   x 
2
x 2  25

 x  25   25 dx  x x  25 
dx  x x  25 
2
x
2


2
x 2  25
  x 2  25 dx  25 ln x  x 2  25 . Rezultã  x 2  25 dx 


 ln x  x 2  25   C . h)

1
x x 2  25  25 
2 
x2  1
x
arctg x   C .
2
2
CAPITOLUL II. Integrala definitã
3. Integrabilitatea unei funcþii pe un interval  a, b  (pag. 201)
• E1. a)
17
56
201
1 n k  1 n  n  1
1
; b)
; c)
; d) 12. • E2. a) S n   

,L .
2
8
9
32
n k 1 n
2
2n
 n  1
5n 2  6n  1
5
2n  1
1
, L  ; d) S n 
, L  2; c) S n 
,L .
2
2
6
4
n
6n
4n
• E3. a) Im f  2, 3  interval. Rezultã cã f nu are proprietatea lui Darboux,
2
b) S n 
deci nu are primitive pe 0, 1 . b) f diferã de funcþia integrabilã g : 0, 1  R,
g  x   3, în punctul x 0  1. Atunci f este integrabilã pe 0, 1 ºi  f  x  dx 
1
0
1
  g  x  dx  3. • E4. a) Im f  1, 1  interval; b) existã douã ºiruri de sume
0
Riemann cu limite distincte.
21
1

. • A2.   . • A3. Se aratã cã funcþiile nu sunt
• A1. a)
 1  3 ; b) 
20
3
4
mãrginite pe domeniul de definiþie, deci nu sunt integrabile. • A4. a) Se ia ºirul


1






x n   2n    0, iar f  x n   2 2n   sin  2n    2 2n 
 .
2  n 
2
2
2 n 


Rezultã cã f nu este mãrginitã, deci nu este integrabilã pe  1, 1 . b) F este
derivabilã pe  1, 1 ºi F   x   f  x  . • A5. a 4  8  10a 2  1  a  1,  3 .
317
Indicaţii şi r‘spunsuri
• A6. Din condiþia cã f este integrabilã pe  a, b  rezultã cã pentru orice ºir de
diviziuni   n  ,  n  0 ale intervalului  a, b ºi pentru orice ºir de puncte
    corespunzãtor, ºirul sumelor Riemann este convergent.
Alegând   astfel încât f      c, atunci   f,     c  b  a  . Rezultã cã
lim   f,     c  b  a    f  x  dx. • A7. Se construiesc douã ºiruri de
n
intermediare
i
n
n
n 
n
i
b
n
n
n
i
i
i
a
sume Riemann cu limite distincte.
4. Integrabilitatea funcþiilor continue (pag. 204)
• E1. Funcþiile sunt mãrginite ºi au un numãr finit de puncte de discontinuitate. • E2. a), b), c), e) — funcþiile sunt continue, deci integrabile pe D.
d) f este mãrginitã ºi are un punct de discontinuitate, deci este integrabilã pe
 1, 1 .
• A1. a), b), c) funcþiile sunt continue. • A2. a), b) funcþiile sunt mãrginite, cu
un numãr finit de puncte de discontinuitate. • A3. a) f este continuã; b) g este
mãrginitã, cu douã puncte de discontinuitate; c) h este nemãrginitã, deci nu este
integrabilã; d) j este continuã. • A4. a) f nu este integrabilã pe  1, 1 deoarece
existã ºiruri de sume Riemann cu limite diferite;  f  f   x   1,  x   1, 1 , deci
este integrabilã pe  1, 1 . b)  f  f   x   3,  x  0, 2 , deci este integrabilã
pe 0, 2  . • A5. f este integrabilã pe  1, 1 conform teoremei lui Lebesque ºi
este neintegrabilã pe 2, 3 deoarece se gãsesc ºiruri de sume Riemann cu
limite distincte.
5. Formula lui Leibniz-Newton (pag. 208)


1
5
17
1
1
• E1. a) 5; b)
; g)
; h) ln
. • E2. a) ;
; c)
; d) 1; e) 23; f)
18
36
8 21
2
12
2
b)

3 1
; c) 1; d) 4
2


3  1 ; e) ; f) 0; g) 1; h)

3

; b) ln x  x2  1 ; c) ln x  x2  9
3
2
3

x
. • E3. a) arcsin
3
3
  ln 3; d) ln 2.
3
3
2
4
0
1
3
1
3
x
6
2
1

1
1
1

2
ln
ln 5; c) arcsin 3x

 ; b)
• A1. a) arctg 2x
 ;
3
12
12
2
8
3
9
0
0
x
2 0

1
d) ln 1 
2



1
2 . • A2. a) ln x 2  1
2
1


1
; b) ln x 4  1
4
0
318
4
e2 1
; c)
0
x2  2
7
;
2

Indicaţii şi r‘spunsuri
5
d)  9  x 2
; e)
0


3
1
b)   9  x 2 2
3
3
0
1
x2
arcsin
2
4
2
; f) arcsin e x
0
 ln 2
 ln 2
. • A3. a)

2


3
3
2
 x2  1 2
3
;
0
e
e
4
3
 ln x 
; d) arcsin 
  ln x  3 .
 ; e)
4
 2  1
0
1
3
2
; c)   sin x  2
3
6. Proprietãþi ale integralei definite (pag. 216)
• E1. a), b) Funcþiile f sunt mãrginite ºi au un numãr finit de puncte de
discontinuitate. Rezultã cã sunt integrabile pe  1, 2 , respectiv 0, 3 ºi
 1 f  x  dx   1  2x  3 dx  1  3x  1 dx  0, respectiv  0 f  x  dx   0 f  x  dx 
2
1
3
  f  x  dx 
2
2
3
2
0
1
3
  
   ln  . c) f este continuã pe   ,  ºi I       sin x  dx 
8
7
 2 2
2

  2 sin x dx  2. d) f este continuã pe  2, 2 ºi I  
0

2
1
2
1
2
 x  1 dx   1  x  dx 
1
2
2
1
 x  1 dx  4. • E2. Se aplicã proprietatea de pozitivitate a integralei.
2
• E4. Se foloseºte proprietatea de medie a integralei. a) m  3, M  7; b) m  0,
4
4
1
1
6
; c) m  2, M   ; d) m  , M  2; e) m 
,M
.
3
3
3
2
3
3
2
3
83
. b) Se aplicã
• A1. a) f este continuã ºi  f  x  dx    x  2  dx   x 2 dx 
2
1
1
6
M
e
e2  2e
dx 
. c) f este conx
2
1
2
3
15
tinuã, I    3x  5  dx     x  3  dx    3x  5  dx 
. d) f este continuã
0
1
2
2
teorema lui Lebesque ºi I  
ºi I  
2
3
e2
e
 x  e  dx   e ln
0
 x  2x  dx     x  2x  dx    x  2x  dx  4.
0
2
1
2
2
2
0
• A2. a) f este mãrginitã ºi are un numãr finit de puncte de discontinuitate.
 1 f  x  dx   11dx   0 2 dx  1 3 dx  6. e) f este integrabilã pe 0, 3 (teorema
2
0
1
3
lui Lebesque) ºi  f  x  dx  
0
2
1
2
3
 x  2  dx  1  2x  2  dx   2  x  2  dx  4.
0
x 2n
 x 2n ,  x  0, 1 , se integreazã pe
x 1
0, 1 ºi apoi se trece la limitã, dupã n  . Se obþine limita zero. • A6. a) Se
• A5. Se foloseºte inegalitatea 0 
xn
xn
xn
1
.
n 1
4x
9x
1
x 1
c) Avem 0  J n  In 
ºi se aplicã teorema cleºtelui. • A7. a) ln x 
,
n 1
x
aratã cã

2
,  x  0, 1 , n  N. b) 0  
2
319
1
0 x2  4
1
dx   x n dx 
0
Indicaţii şi r‘spunsuri
4
4 x 1
1
1
 x  1, 4  . Rezultã cã  ln x dx  
x
dx. b) Se aratã cã are loc relaþia:


x2
,  x  0, 1 . • A8. a) x n  x n 1,  x  0, 1 , n  N  ln 1  x n 
2
 ln 1  x n 1 ,  x  0, 1 , n  N  In  In 1, n  N, deci  In  este monoton. Avem
cos x  1 




0  In  I1,  n  N* , deci  In  este mãrginit. b) Se aratã cã ln 1  x n  x n ,  x 
1
 0, 1 , n  N. Rezultã cã I n   x n dx 
ºi lim In  0. • A9. b) sin n x 
0
x 
n 1

 


 sin n 1 x, x  0,  , n  N  In  In 1. Din 0  sin x  1,  x  0,  , se obþine
 2
 2
1
cã ºirul  In  este mãrginit. • A10. Din  f  x   t  g  x    0, t  R, x   a, b  ,
2
b
b
b
a
a
a
prin integrare se obþine:  f   x  dx  t 2  2  f  x  g  x  dx  t   g 2  x  dx  0,
1
. Din
n 
2
rezultã cã f este mãrginitã, adicã
 t  R. Punând condiþia   0 se obþine concluzia. • A11. lim a n 
condiþia cã f este integrabilã pe
0, 1
 M  0, astfel încât
f  x   M,  x  0, 1   x n f  x  dx   x n f  x  dx 
Mx n 1
  x  M dx 
0
n 1
1
1

n
0
1
1
0
0
M
 0. Rezultã cã lim a n In  0.
n 
n  1 n 
7. Integrarea funcþiilor continue (pag. 223)

8
1 5
3 3

.
; b) ; c) ln ; d)
 

4 3
2
12

6
2 6
2
196
1
; b)  
. • E3. a) F   x   ex x 2  4 ; F   2  F   2  0. b) Se
• E2. a)  
81
3
foloseºte semnul funcþiei F .
• E1. a) f    
1
  2 sin x dx 


• A1. Din teorema de medie, existã    a, b astfel încât  f  x  dx   b  a  f   .
b
a
b
Presupunem cã existã 1, 1  , astfel încât  f  x  dx   b  a  f  1  . Atunci
a
f     f  1  , relaþie care contrazice strict monotonia. Rezultã cã  este unic.
• A2. Din teorema de medie,  n   n, n  1 astfel încât In  f  n  . Deoarece
n2
n
 1, se obþine lim n2 In  lim 2  2n  f  n   1. • A3. Din teorema de
n 
n  
n   n
n
lim
1
1 
1
 1
1
,
, astfel încât In   

medie, rezultã cã  c n  
 f  cn   2
n n
 n  1 n 
 n n 1
320
Indicaţii şi r‘spunsuri

. • A4. Se
4
aplicã regula lui l’Hospital. a), b) 0; c) 2. • A5. a) f este continuã pe R, deci
 arctg  nc n  . Deoarece lim nc n  1, se obþine L  lim arctg  nc n  
n 
n 
x
admite primitive pe R. Pentru o primitivã F avem:  f  t  dt  F  x   F  0  x2, x  R.
0
Derivând ultima egalitate se obþine f  x   2x, x  R. b) Dacã F este o primitivã
a funcþiei f, atunci F  x   F  0   F  2x   F  x  , x  R. Derivând aceastã egalitate
se obþine în final cã f este funcþie constantã. c) f  x   c  e x , c  R.
2, x   ,  1

• A6. g  x   2x, x   1, 1 ºi se studiazã derivabilitatea.

2, x  1,   
• A7. Dacã a  0 ºi b  x  R, atunci
x
x
 0 f  t  dt  g  x   g  0  ºi  0 tf  t  dt 
 xg  x  . Rezultã cã g este funcþie derivabilã pe R. Se deduce f  x   g   x  ºi
xf  x   g  x   xg   x  , x  R. Substituind g  se obþine xf  x   g  x   xf  x  , de
unde g  x   0, x  R ºi f  x   0, x  R.
8. Metode de calcul pentru integrale definite
8.1. Metoda integrãrii prin pãrþi (pag. 229)
 e2x 
1
1
e2x
• E1. a) Avem:  xe2x dx   x  
dx
x




0
0
2
 2 
1

0
e2 e2x
dx 

2
2
4
1e
0
2x
1

0
1
1
1
1
e2  1

. b)   2x  1 e x dx    2x  1 e x dx   2x  1 e x
  2e x dx  e  1 
0
0
0
0
4
e
2 
2
1
e
e x 
e x
x2
1
e2
 2e x  3  e. c)  x ln x dx   






ln
x
dx
ln
x
dx

1 2 x

1
1
0
2
2
 2 
1

 

e
e
3 
3
e
e x 
e x
x2
e2  1
x3
1
e3

. d)  x 2 ln x dx   
ln
x
dx
ln
x
dx






1 3 3

1
1
4 1
4
3
3
 3 
1
e
e2
e2
e2
e2
x3
2e3  1
1


. e)  ln2 x dx   x  ln2 x dx  x ln2 x
  x  2 ln x  dx 
1
1
1
1
9 1
9
x


e2


e2
x  ln x dx  4e2  2  x ln x 1   1dx   2 e2  1 .
1
1
1


e
e ln x
e
e ln x
e ln x
2
dx    ln x  ln x dx  ln x  
dx. Rezultã cã 2 
f) 
dx 
1 x
1
1 x
1 x
1
 4e2  2
 ln2 x
e
1
e2
ln x dx  4e2  2
 1 ºi 
e ln x
1
x
e2

dx 

1
. • E2. a)  2  x  1 sin x dx   2  x  1  cos x  dx 
0
0
2
321
Indicaţii şi r‘spunsuri







3
. c)  6 sin2 x dx   6 sin x   cos x  dx 
   x  1 cos x 02   2 cos x dx  2. b)  
0
0
0
6 2
  sin x cos x 06   6 cos2 x dx  
0

Rezultã cã

1
6 sin 2 x dx 

0
2

4
4
5
1


x
2
dx 

2
sin
x
4


2x

4
4
5
1
1

1
5
x2  4
x2
5
1
x2  4

1
1x
0
0
 I1  2  1; I1  

dx  2 5  I  4ln x  x2  4
d) I   x x2  1 dx  
 ctg x  dx 

x   x 2  4 dx  x x 2  4
 2 5  I  4

5


 ln  sin x  2   ln 2. • E3. a) I  
x 2  4 dx 
1
4
4
 x ctg x 2   2 ctg x dx 


3 
  . d)
4
6



3
3 
 6 1  sin2 x dx  
   6 sin2 x dx.
0
4 0
4
6
 x  1 dx 
2
x2  1
1
x3
0
x2  1
1
dx   x 2
0

dx  2 5  
5
1
 x  4   4 dx 
2
x2  4
 . Se obþine I  5  2ln13 55 .
5
1
x3
1
 0 x2  1
dx  
1
x
0
x2  1

dx  I1  x 2  1
1

0
1

1
x 2  1 dx  x 2 x 2  1  2 x x 2  1 dx 
0
0
2 2 1
.
3
 2  2I. Rezultã cã I  2  2I  2  1, deci I 
5e4  1
e  1
; c)
; d) ln 1  2  1  2; e) e  sin1  cos1 ;
4
2
2
2 
1
1
1
e
1  x 2 dx  ...  .
f)
; g) Integrala se scrie  2xe x 1  x 2 dx   e x
4 ln 3
2
2
2

• A1. a) 16  2e2 ; b)

h)
nen1  1
 n  1
e) ; f)

 


3 

; d)
 ln 2;
 3  2  3. • A2. a) 23 ; b)  16 4 ; c) 3 48
4
2
. i) 2 ln
2



1
2

1 2
1
1 
3

 e  1  ; g)
dx  ...  
.
  ln
 ; h) I   3 x   

2

24
2 
2 
2
9
3
 sin x 

6
• A3. a)
3

f)  22 

2 
 2
3
5
3 1
2

 ln 1  2 ; b)

; d)
 ln 2  3 ; e)  3  2;
; c)
6
4
12
2
3
32



2
2  3
1

 1. • A4. a)  x sin x dx   x 
  arccos x dx  .... g)
0

2
72
6
1 x 

 sin x  4 . b) I  

0
1
2


 x  x  e dx    x  x  e dx    x  x  e dx. c) I 
2
x
1
0
2
x
3
2
x
1
1
e
e2 
2
1
1
e3  2e  2
 5 
  1   ln x   dx   ln x dx    ln x   dx 
. • A5. a) ; b) a   , 2.
1
e
x
x
e
3
 3 



e
322
Indicaţii şi r‘spunsuri
• A6. a) I  
1
I1   x 3
0
1x
2
 x  4  dx 
2
x4
1
x2
1
dx  I1  4I2 .
 0 x2  4
0
x2  4
x2  4
1


1
x 2  4 dx  x 3 x 2  4  3I  5  3I. I2   x x 2  4 dx 
0


 x x2  4
1

1
0
dx  4 
0
0
x 2  4 dx  5  
x2  4
1
0



dx  5  I2  4 ln x  x 2  4
 .
1
0
x2  4
7
Se înlocuieºte I1 ºi I2 în I. • A7. a) 4 ln 2  ; b) e2  e  2e 1  3. • A8. a) Se
4
I
e
integreazã prin pãrþi. b)  In  este mãrginit, monoton ºi n  In 1  . Se trece
n
n


la limitã în aceastã egalitate ºi se obþine limita zero. • A9. a) I0  , I1  1, I2  .
2
4
 
b) Avem 0  cos x  1,  x  0,  . Rezultã inegalitatea cos n x  cos n 1 x,  x 
 2
n 1




 In 2 , n  2, I0  , I1  1.
 0,  ºi deci In  In 1, n  N. c) In 
n
2
 2
n
2
1
1
2  4  6  ...  2n
. c) In   1  x 2 dx   C0n  C1n x 2  C2n x 2 
• A10. b) In 
0
0
3  5  7  ...   2n  1

0


 
 
C .
   ...   1 C  x   dx  C  13 C  15 C  ...  2n
1
C3n x 2
3
n
2 n
n
n
0
n
1
n
1
2
n

n
n
n

1
1
1
2
5

, I1  1  , I2  2  . b) In   x n  e  x dx  e  x  x n

0
0
e
e
e
1
1
  nx n 1e  x dx    nIn 1. c) Se demonstreazã prin inducþie. Pentru n  1,
0
e
 n 1 !   1
1 
1
rezultã I1 1 , egalitate adevãratã din a). Dacã In1 
e  1   ...
 ,
e   1!
e
 n 1 ! 
• A11. a) I0  1 
din b) rezultã In  

 n !
1
1 n! 
1 1
1
 nIn 1   
 ... 

e  1  
 
e
e e 
1! 2 !
 n  1 !   e



1 1
1
1 
  e  1  
 ... 

 .
1! 2 !
 n  1 ! n !  


8.2.1. Prima metodã de schimbare de variabilã (pag. 236)
4
4
1
1
1

• E1. b)  6x 2  2x 3  1 dx   2x 3  1 2x 3  1 dx   u   x   u 4  x  dx 

1


u1
u 1
0
1
t 4 dt 
u  x 
t5
5
1
 u3

3

1
1



1
244
1 2
1 5
. c) I   u  x   u 3  x  dx   t 3 dt, etc. d) I 
1
5
2
2 3
2
1
 x  dx   3 t 3 dt, etc. e)


2
2
1
1  2 2 ; f)
; g) ; h) ln 3;
3
25
2
323
Indicaţii şi r‘spunsuri
i) ln
e)
3
1
2
1


e 1
; l) . • E2. a)
. j) ln 3; k)
; c) e  e; d) ;
; b)
2
8
9 ln 3
5
4
2
12 3

3
1 32 2
; f)  ; g) ln
; h) 2 ln 1  2 . • E4. a), b) Funcþia este imparã.
6
3
2
2 3

• A1. a)
h) 4
1 4
1
12
  ln 4
ln ; b) ; c)
; e)
; f)
3 3
3
ln 3
8
 3  1 ; i) I  
2  1 
j) I   2    
x
3
alege u  x  
n) I  
5
2
1
x

1
3
1
x
1
1 2
x
2
1
 1
1  
 x
; m) I  
2
2
1
1
dx 
dx  
1
2
 1 
 
 x
3
1
2
 1
1  
 x
33
5 3
;
; g)
5
2
ln
dx  ln
2
1 1


; l) I   1 3 
; k)
6
24
2 x
2 1
3
;
1
1
1
1 2  4
x
x
dx; se
 x  3 2  1 dx; se alege u  x   x  3;
2
25 
7
7
  x   dx; se alege u  x   x  .
4 
2
2
• A2. a) 1  2 ln
f) I  

x
1 e
1 u  x 

2
2e
e 1
;
; b) ; c) I    x
dx  
dx  ln
; d) ln
0
0
e
3
6
u x
e 1
e 1
ln 2
ex  1
ln 2
2x
e x
2x
e
1

dx  ln e x  e2x  1

ln 2
ln 2

ºi se alege u  x   e  x . • A3. a) 
ln 2
1
ln 2
2x
e
1
1
. Se scrie
e
2x
1


1
1
; c) ln 2; d) ;
ln 3; b)
8
4
6 3
1 e

4


e) ; f) 1  ln 2; g) ; h) ln 1  2 ; i)   ln 2  3 ; j) .
3
6
6
4




1
; b) 0;
2
 1
1
3
4
n
c) 0; d)  
 . e) I   0 n  sin 2 x dx, etc. • A5. a) ln 3; b) 2 3; c) ;
83
4 
3
2
• A4. Se transformã produsul de funcþii trigonometrice în sumã. a) 
x
2tg
 13

2
d)  
; e) 
. • A6. a), b), c) Se pot folosi formulele sin x 
,
4 15
2 x
6 2
1  tg
2
2 x
1  tg
tgx
1
2 . d) Se pot folosi formulele: sin x 
cos x 
, cos x 
.
2
2 x
 1  tg x
 1  tg2 x
1  tg
2
324
Indicaţii şi r‘spunsuri
8.2.2. A doua metodã de schimbare de variabilã (pag. 240)
1 
3 
u :  , 1   , 2  , u  x   1  x,
4 
2 
• E1. a) Se alege
bijectivã, derivabilã,
 u   t   2  t  1 ; f :  32 , 2  R, f  x  
2
3  1 
u1 :  , 2   , 1 , u1  t    t  1 ºi
2  4 
1
2
 x . Se obþine I  
5
2 5
3 t 2
2
 t7 t6 
1
 t  1 dt  2    , etc. c) 2    4atctg ;
6 3
2
7
2
4
3
3

1
d) 2 1  2 ln  . • E2. a) 3   ln  ; b) ln .
5
2
2

2
• A1. a) u  x   6 x; b) u  x   e x ; c) u  x   1  3x; d) u  x  
1
x 1
2
.
• A2. a) u  x   e x  1; b) u  x   6 x; c) u  x   x; d) u  x   x  1.
• A3. a) u  x    x; b) u  x    x; c) u  x  

 x.
4
CAPITOLUL III. APLICAÞII ALE INTEGRALEI DEFINITE
1. Aria unei suprafeþe plane (pag. 273)
• E1. a)
7
; b)
2
2
9
1
1 5

1 9
arcsin ; c) ln ; d) 1; e) ; f) ln .
2
3
4 3
8 5
8
 e  1
16
39
16
32
128
20
; b)
; c)
; d)
; b)
; c)
; d) A 
• E2. a)
. • E3. a)
3
8
3
3
3
3
2
2

0
1
 2x  x  dx   2x  x  dx    2x  x  dx  4.
2
2
3
2
0
2
2


• A2. a) Se aleg f, g :  2, 2  R, f  x   x2 , g  x   8  x2 , aria f,g  
 x2  dx 
 2  tg


2


 8  x2 
2 
2
4
64

; c) A1  2  6xdx   16  x 2 dx , A 2  r2  A1, r  4. • A3. 
0
2
3
4
1
1
1
5
3
13
. • A4.
. • A5. A   f  x  dx. • A9. A    x  1 x dx   e dx  e.
4
0
0
8
6
• A11. aria   f  
2  m 
4
, aria  f ,g 
, m  2  3 4. • A12. aria  f   a 2 
3
6


3
 3  2
a 2  2a  6
 
  , a  12. • A13. aria   f   1  ln 2
, a  3, respectiv a  0.
6
a  4a  6
 4
b) 2.
325
Indicaţii şi r‘spunsuri
2. Volumul corpurilor de rotaþie (pag. 279)
 a 1  3  a  a
256
35
3
4
2

; b), c)
; g)
;
; h)
; d) 6 ; e)  1  ln  ; f)
15
3
12
9
2
2


3
• E1. a)
4


 4
2



 10

i) 
; b)  1   ; c) ln ; d)  e 2  1 .
 ln 9  . • E2. a)

2 3
36
4
2 

 3


1
1

2
• A4.
15  16 ln 2  ; • A5. 117. • A6.   0  arccos x  dx    0 x  x 2 dx 
2

  6   13  .
6


3. Calculul unor limite de ºiruri folosind integrala definitã (pag. 285)
1
• E1. lim a n   f  x  dx, unde: a) f  x   x; b) f  x   x 4 ; c) f  x   x;
n 
d) f  x  
0
1
; e) f  x   e x ; f) f  x  
1
; g) f  x  
1
.
1  x2
4  x2
1
1
1
x
; b) f  x  
• A1. lim an   f  x  , unde: a) f  x   2
; c) f  x  
;
0
n
x 3
1 x
1 x
1 x
2
d) f  x   xe  x . • A2. Funcþiile care se integreazã pe intervalul 0, 1 sunt:
a) f  x  
1
; b) f  x  
x2
; c) f  x  
x 1
; d) f  x   ln  x  1 .
x2  1
n
 1 2
• A3. Se considerã f : 0, 1  R,  n   0, , , ...,  , ºi punctele intermediare
n
 n n
2k  1
x
2k  1
1
, f x 
, f x  2
; c)  k 
k astfel: a) k 
b)  k 
2
2n
2n
x 1
1 x ;
x 4
2
9x
2
3k  1  k  1 k 
1

, , f x 
; d)  k 
3n
n
3  x  1
 n
k2  k  1
1
, f x 
. • A4. Se
n
x 1
aplicã exerciþiul rezolvat 3. • A6. a) lim a n  
1 n
1
dx
 ln 2; b) a n  
,
0 x 1
n k 1 1  k

n 
k 
k  f k
2
kn
1
1 n 1
1

k 1 k 
, k   k  sin  

,  , k  1, n. • A7. a) a n  
n k 1 1   k
n
k
n
 n
1 n
1
k2
k 1 k 
k 1 k 
, k 

,  , k  1, n.
,  , k  1, n. b) a n  

n k 1 1   k
n  k  1  n
n
n
 n
326
CUPRINS
Prefaţ‘ ..................................................................................................................................... 3
ELEMENTE DE ALGEBRĂ
Capitolul I. GRUPURI ................................... 5
Capitolul III. INELE DE POLINOAME ......... 104
1. Legi de compoziţie pe o mulţime ................... 5
1. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi
într-un corp comutativ ............................. 104
1.1. Definiþii ºi exemple .............................. 5
1.2. Adunarea ºi înmulþirea modulo n ........ 6
1.3. Adunarea ºi înmulþirea claselor de
resturi modulo n ................................. 7
1.4. Parte stabilã. Lege de compoziþie
indusã ................................................ 9
1.5. Tabla unei legi de compoziþie ............. 10
1.1. ªiruri de elemente din corpul K ....... 104
1.2. Operaþii cu ºiruri de elemente
din corpul K .................................... 104
2. Forma algebric‘ a polinoamelor ................ 107
2.1. Polinoame constante ....................... 107
2.2. Forma algebricã a unui monom ....... 107
2.3. Forma algebricã a unui polinom ...... 108
2.4. Valoarea unui polinom. Funcþii
polinomiale ...................................... 109
2. Propriet‘ţi ale legilor de compoziţie ............ 14
2.1. Proprietatea de comutativitate ........... 14
2.2. Proprietatea de asociativitate ............. 15
2.3. Element neutru ................................. 21
2.4. Elemente simetrizabile ...................... 24
3. Noţiunea de grup. Exemple ......................... 31
3.1. Grupul aditiv al resturilor modulo n .. 33
3.2. Grupul claselor de resturi modulo n .. 34
3.3. Grupul permutãrilor unei mulþimi ..... 37
3.4. Grupul simetric Sn ............................ 38
3.5. Grupuri de matrice ............................ 40
3.6. Grupul rãdãcinilor de ordinul n
ale unitãþii ........................................ 43
3. Operaţii cu polinoame scrise sub form‘
algebric‘ ................................................ 110
3.1. Adunarea ºi înmulþirea polinoamelor
scrise sub formã algebricã ............... 110
3.2. Împãrþirea polinoamelor .................. 114
3.3. Împãrþirea la X-a Schema lui Horner 120
4. Divizibilitatea polinoamelor ..................... 125
4.1. Relaþia de divizibilitate
pe mulþimea K[X] ............................. 125
4.2. Proprietãþi ale relaþiei de
divizibilitate ..................................... 125
4.3. Cel mai mare divizor comun al
polinoamelor ................................... 128
4. Reguli de calcul într-un grup ...................... 47
4.1. Puterea unui element într-un grup .... 47
4.2. Legi de simplificare ............................ 48
5. Morfisme de grupuri ................................. 53
6. Subgrupuri ............................................... 59
5. Descompunerea polinoamelor în factori
ireductibili ............................................. 135
5.1. Rãdãcini ale polinoamelor ................ 135
5.2. Rãdãcini multiple ale unui polinom . 137
5.3. Ecuaþii algebrice .............................. 138
5.4. Polinoame ireductibile în K[X] .......... 140
5.5. Descompunerea polinoamelor
în factori ireductibili ........................ 141
7. Grupuri finite ........................................... 66
7.1. Subgrupul generat de un element ...... 66
7.2. Ordinul unui element într-un grup .... 66
7.3. Teoreme remarcabile în teoria
grupurilor finite ................................. 68
Capitolul II. INELE ŞI CORPURI .................. 77
1. Definiţii şi exemple ................................... 77
6. Relaţiile lui Viète .................................... 147
7. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice cu
coeficienţi în Z, Q, R, C .......................... 153
7.1. Ecuaþii algebrice cu coeficienþi în Z .. 153
7.2. Ecuaþii algebrice cu coeficienþi
raþionali .......................................... 157
7.3. Ecuaþii algebrice cu coeficienþi reali . 159
1.1. Inelul claselor de resturi modulo n .... 78
1.2. Inele de matrice pãtratice .................. 79
1.3. Inele de funcþii reale .......................... 82
2. Reguli de calcul într-un inel ........................ 85
3. Corpuri .................................................... 91
8. Rezolvarea unor ecuaţii algebrice de grad
superior cu coeficienţi în C ...................... 162
4. Morfisme de inele şi corpuri ....................... 96
327
8.1. Ecuaþii bipãtrate ............................. 162
8.2. Ecuaþii binome ................................ 163
8.3. Ecuaþii reciproce ............................. 164
ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
Capitolul I. PRIMITIVE ............................. 171
6. Propriet‘ţi ale integralei definite .............. 209
1. Probleme care conduc la noţiunea
de integral‘ ............................................. 171
7. Integrarea funcţiilor continue .................. 220
2. Primitivele unei funcţii
Integrala nedefinit‘ a unei funcţii ............. 173
8. Metode de calcul pentru integrale
definite .................................................. 225
8.1. Metoda integrãrii prin pãrþi ............. 225
8.2. Metoda schimbãrii de variabilã ........ 231
8.2.1. Prima metodã de schimbare
de variabilã ........................... 231
8.2.2. A doua metodã de schimbare
de variabilã ............................ 239
3. Propriet‘ţi ale integralei nedefinite .......... 176
4. Primitive uzuale ...................................... 183
4.1. Primitive deduse din derivatele
funcþiilor elementare ....................... 183
4.2. Primitive deduse din derivarea
funcþiilor compuse .......................... 186
4.3. Primitive deduse din formula de derivare a produsului a douã funcþii ...... 189
Capitolul II. INTEGRALA DEFINITĂ .......... 194
1. Diviziuni ale unui interval [a, b] ................ 194
2. Sume Riemann ....................................... 195
3. Integrabilitatea unei funcţii
pe un interval [a, b] ................................. 197
4. Integrabilitatea funcţiilor continue ........... 202
5. Formula lui Leibniz-Newton ...................... 205
9. Calculul integralelor funcţiilor raţionale .... 243
9.1. Calculul integralei unei funcþii
raþionale simple .............................. 244
9.2. Calculul integralei unei funcþii
raþionale oarecare ........................... 255
Capitolul III. APLICAŢII ALE INTEGRALEI
DEFINITE ............................. 265
1. Aria unei suprafeţe plane ......................... 265
2. Volumul corpurilor de rotaţie ................... 275
3. Calculul unor limite de şiruri folosind
integrala definit‘ .................................... 280
TEME DE SINTEZĂ ................................................................................................................ 288
INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI .................................................................................................. 306
328