FUERZA CORTANTE EN ELEMENTOS RECTOS
FORMULA DEL ESFUERZO CORTANTE
Problema 1:
El eje solido y el tubo que se muestran en la figura están sometidos a la fuerza cortante de
4kN. Deptermine el esfuerzo cortante que actua sobre el diámetro de cada sección transversal
V := 4kN
D := 2  ( 50mm)
D1 := 2  ( 50mm)
D2 := 2  ( 20mm)
Calculo de las inercias para las dos secciones:
1
4
-6 4
ISolido :=
 π D = 4.909  10  m
64
1
4
4
-6 4
Itubo :=
 π  D1 - D2  = 4.783  10 m


64
Para obtener el esfuerzo cortante en el centro de las dos figuras tomaremos los momentos
estátidos de las areas por encima o por debajo del plano en donde se quiere calcular el
esfuerzo cortante con respecto al eje neutro
y´.NA: es la distancia desde el eje neutro
hasta el centroide de A'
A ' : es el Area de la parte superior o inferior
de la seccion transversal del elemento por
encima o por debajo del plano en donde se
quiere calcular el esfuerzo cortante.
Para el Solido:
4 
D

 2  = 0.021 m
y´NA_solido :=
2
1
D
-3 2
A´Solido :=  π
= 3.927  10 m
2
4
3 π
-5
Qsolido := y´NA_solido A´Solido = 8.333  10
3
m
Para el Tubo:
 D1 

2 

y´NA_D1 :=
= 0.021 m
3 π
 D2 

2 
-3

y´NA_D2 :=
= 8.488  10 m
3 π
4
1
D1
A´D1 :=  π
2
4
2
-3
= 3.927  10
4
2
m
1
D2
A´D2 :=  π
2
4
2
-4
= 6.283  10
2
m
-5
QTubo := y´NA_D1 A´D1 - y´NA_D2 A´D2 = 7.8  10
3
m
Finalmente, el esfuerzo cortante para el solido y el tubo son:
t solido := D
(
)
t tubo := D1 - D2 = 0.06 m
V Qsolido
τsolido :=
= 679.061  kPa
ISolido t solido
V QTubo
τsolido :=
= 1087.2 kPa
Itubo t tubo
Problema 2: Determine de forma generica, la distribución del esfuerzo cortante sobre la
sección transversal de la viga mostrada.
La inercia de la sección transversal
respecto de su eje neutro es:
I=
b h
3
12
El momento estático Q del area por encima del punto en donde se quiere conocer el
esfuerzo cortante respectro del eje neutro es:
y´ = y + 0.5 
- y
h
2

Q = y´ A´ = y + 0.5 

A´ = 
h
2
- y  b
h
2
- y  
h
  2

- y  b = 
 
y
2
+
h h
1 h

 h 
   - y  b = 2   2 + y   2 - y  b
4 2




1 h
2

- y b
2  4

2
Q( y) = y´ A´ =
12 V 
12 V  h
d
τ( y) = 
y = 




3
3 2
dy
b

h
b

h




El esfuerzo de corte
1  h
2 
V   
- y   b
2  4
 
 h2
2
τ=
V Q
I t
=
 b h 3 

b
 12 
 h2
τ( y) :=
4
b h
=
4
2
-y 
(bh3)
V := 40kN
Reemplazando datos:
6  V 
6  V 
 h2

6  V 
τmax =
h := 60cm
b := 30cm
4
2
-0 
(bh3)
 = 3V
2 A
A := b  h
2
-y 

3
τ( -30.cm) = 0  
kgf 
 2
 cm 
τ( -20cm) = 1.888 
τ( -10cm) = 3.021 
τ( 0.cm) = 3.399 
τ( 10cm) = 3.021 
τ( 20cm) = 1.888 
kgf 
 2
 cm 
τ( 30.cm) = 0  
kgf 
 2
 cm 
kgf 
 2
 cm 
kgf 
 2
 cm 
kgf 
 2
 cm 
3 V
kgf
τmax :=  = 3.399
2 A
2
cm
kgf 
 2
 cm 
4 10
5
10
5
5
3 10
τ ( y)
y
5
2 10
-5
5
1 10
0
0
- 0.2
0
y
0.2
- 10
8
- 4 10
8
- 2 10
τ ( y)
0
que resulta de integrar el esfuerzo cortante en toda el area:
 h2
6  V 
4
τ( y) =
b h





 τ( y)  b dy =




2
-y 

3


 h 2 2
 h 2 2

 6 V 
6  V 
-y 
-y 
2
4
  b dy = 
4
 dy =   6  V  -  6 V y  dy
 


3
3
  4 h   4  h 3 
b h
h





6 V 
6 V  1 3 6 V 



 τ( y)  b dy = 
 4  h   ( y) -  3   3  y  = 3  


 4 h 
 h 






y=
y=










y=
y=
h
2
6 V   h  h  1  h    h  -h  1  -h  
 3    4   2  - 3   2   -  4   2  - 3   2  
h 
τ( y)  b dy = 
-h
2
3
2
3
2
y=
y=
 h 2 2
 2

 - y  dy =  6  V    h  y - 1  y3
3
4
3 
4

h 
h
2
6 V   h
h   -h
h 
6 V   2 3
2 3
 
-    - 
+    = 
 h h 
 3   8  24    8


24  
3 8
24 

h
h




τ( y)  b dy = 
-h
3
3
3
3
2
h
2
-h
6 V   2 3
2 3  6 V   4 3
 3    8  h - 24  h  =  3    24  h  = V
h 
h 
τ( y)  b dy = 
2
Se cumple que al integrar el esfuerzo cortante obtenemos la fuerza cortante V
actuante en la sección.
Problema 3:
Una viga de acero W de ala ancha tiene las dimensiones mostradas en la figura. Si esta
sección está sometida a una fuerza cortante V, trace la distribución de cortante que actua en
el área de la sección transversal de la viga.
Solución:
Se determinarán los esfuerzos cortantes en los puntos C, B y B'.
Calculo del momento de inercia de la sección bruta.
t w := 15mm
d := 240mm
b f := 300mm
t f := 20mm
h w := d - 2.t f = 200 mm
2



 hw tf  
1 
1
3
3 
-4 4

I :=    t w ( hw) + 2   bf  t f + ( b f  t f )  
+   = 1.556  10 m
2  
 12 
 12

 2
Cuando el esfuerzo cortante se encuentra en el alma:
  h w  

- y  h
 

h
t
 2
    w - y  t  +  w + f   b  t 
QAlma( y) := y +
( )
2
2 f f

  2
 w  2
-4
QAlma( 0m) = 7.35  10
3
m
 hw 
QAlma
 = 6.6  10- 4 m3
2


 -h w 
QAlma
 = 6.6  10- 4 m3
 2 
Cuando el esfuerzo cortante a hallar se encuentra en las alas
h w  y  h w + tf
  h w
 

+ t f  - y 
 

h




 2
    b   w + t - y
QAla( y) := y +
f
2

f 2

 hw 
QAla
 = 6.6  10- 4 m3
2
 h w 

QAla
 + tf = 0  100 m3
2
 -h w 
QAla
 = 6.6  10- 4 m3
 2 
  h w 

QAla-
 + tf = 0  100 m3
2



 




V := 80kN
La grafica del esfuerzo cortante
τ( y) :=
 V QAla( y) 
  hw

 h w 
 b  I  if - 2 + tf   y < - 2 


 
f


hw
 V QAlma( y) 
  hw 
if -
 y 


t w I
2 
 2 


 V QAla( y) 
 hw
 hw

 b  I  if  2 < y   2 + tf 



f


Tabulando valores
 -h w

- t f  = 0  MPa
 2

τ
 -h w

- 0.01mm = 1.131 MPa
 2

τ
 hw

+ 0.01mm = 1.131 MPa
 2

τ
τ
 -h w 
 = 22.622 MPa
 2 
τ( 0m) = 25.193 MPa
 hw 
 = 22.622 MPa
 2 
τ
τ
 hw

+ t f  = 0  MPa
 2

Graficando los esfuerzos cortantes:
30
25
τ ( y)
MPa
20
15
10
5
0
- 0.16
- 0.12
- 0.08
- 0.04
0
0.04
0.08
0.12
0.16
y
Verificación de los esfuerzos cortantes integrando en toda el area de la sección:

V := 

- 10cm
- 12cm

τ( y)  bf dy + 

10cm
- 10cm

τ( y)  tw dy + 

12cm
10cm
τ( y)  b f dy = 80 kN
Problema 4: La viga mostrada construida con dos tablas. Determine el esfuerzo cortante
máximo en el pegamento necesario para mantener las dos tablas juntas a lo largo del borde en
el que están unidas.
Solución:
Tomando momentos en A
 6.5 kN   ( 4m)  ( 4m + 2m)
 m


R C :=
= 19.5 kN
Tomando momentos en C
 6.5 kN   ( 4m)  ( 2m)
 m


R A :=
= 6.5 kN
8m
8m
Graficando el diagrama de fuerza cortante:
V( x) :=
RA if 0m  x < 4m
V( 0m) = 6.5 kN
RA -  6.5
V( 4m) = 6.5 kN

kN 
  ( x - 4m) if 4m  x  8m
m
V( 8m) = -19.5 kN
Diagrama de Fuerza Cortante
20000
10000
V ( x)
0
- 10000
- 20000
0
2
4
6
8
x
Calculo del centroide de la sección (N.A.)
El Centroide desde la parte inferior de la sección izquierda estará ubicada a:
YN.A.
 150mm   ( 30mm)  ( 150mm) +  150mm + 30 mm   ( 150mm)  ( 30mm)
 2 


2 



:=
= 0.12 m
( 30mm)  ( 150mm) + ( 150mm)  ( 30mm)
Calculo del Momento de Inercia con respecto al centroide de gravedad o eje neutro

Ix1 := ( 30mm) 
( 150mm)
3
+ [ ( 30mm)  ( 150mm) ]  YN.A. -
( 150mm)  
2

12
2



3
2

( 30mm)
30mm 
 
Ix2 := ( 150mm) 
+ [ ( 150mm)  ( 30mm) ]  150mm + 
Y

N.A.
12


 2 

-5 4
I := Ix1 + Ix2 = 2.7  10
m
La tabla superior (ala) se mantiene sobre la tabla inferior (alma) por medio del pegamento, el
cual está aplicado sobre la tabla de grosor de 30mm, en consecuncia, se calculará el esfuerzo
cortante en el plano de union de las dos maderas.
La distancia desde el eje neutro por el area por encima de nivel de union de las maderas es:
Q :=  0.18m -
30mm

- YN.A.  ( 150mm 30mm) = 2.025  10
-4

2
3
m
EL esfuerzo cortante máximo en la zona de union de las maderas será correspondiente a la
fuerza cortante máxima:
V( x)  Q
τmax( x) :=
I ( 30mm)
τmax( 0m) = 1.625 MPa τmax( 4m) = 1.625 MPa τmax( 8m) = -4.875 MPa
τmax( 1m) = 1.625 MPa τmax( 5m) = 0  MPa
τmax( 2m) = 1.625 MPa τmax( 6m) = -1.625 MPa
τmax( 3m) = 1.625 MPa τmax( 7m) = -3.25 MPa
Graficando el esfuerzo cortante maximo en el plano de union de las madera con respecto a la
longitud X de la viga.
4
τ max( x)
MPa
2
0
-2
-4
0
2
4
6
x
L := 7m
L
ΔMax :=
250
ΔMax = 2.8 cm
Δ := ( 1.2cm)  1.8 = 2.16 cm
 ΔMax 
 = 0.458 °
 L 
 2 
ψ := atan
8