ה א ו נ י ב ר ס י ט ה
ה פ ת ו ח ה
20476
מתמטיקה בדידה
חוברת הקורס סתיו 2024א
כתב :ישראל פרידמן
דצמבר - 2023סמסטר סתיו -תשפ"ד
פנימי – לא להפצה.
כל הזכויות שמורות לאוניברסיטה הפתוחה.
תוכן העניינים
אל הסטודנטים
לוח זמנים ופעילויות
מטלות הקורס
א
ג
ה
ממ"ח 01
ממ"ן 11
ממ"ח 02
ממ"ן 12
ממ"ח 03
ממ"ן 13
ממ"ן 14
ממ"ח 04
ממ"ן 15
ממ"ח 05
ממ"ן 16
1
3
4
6
8
10
12
14
16
18
20
אל הסטודנטים,
ברוכים הבאים לקורס "מתמטיקה בדידה".
לפני שתתחילו בלימוד אנא קראו עמודים אלה בעיון.
על חלק מספרי הלימוד וחלק מחומרי העזר של הקורס מופיעים מספרי קורס .20283 ,20276
חומרים אלה הועברו לקורס שלנו מקורס שפעל באו"פ בשנים קודמות.
באתר האינטרנט של הקורס תמצאו חומרי למידה נוספים והדרכה ללמידה .אתר הקורס הוא גם
ערוץ תקשורת אפשרי עם צוות ההוראה ועם סטודנטים אחרים בקורס .אתרי הקורסים נמצאים
בכתובת http://opal.openu.ac.il
.
הסבר על למידה מתוקשבת אפשר למצוא כאן. http://www.openu.ac.il/shoham :
מערכות אחרות של האו"פ זמינות כאן:
.https://sheilta.apps.openu.ac.il/pls/dmyopt2/sheilta.myop
מידע על שירותי ספרייה ומקורות מידע שהאוניברסיטה מעמידה לרשותכם תמצאו באתר
הספריה . www.openu.ac.il/Library :פרטים לגבי נהלי האוניברסיטה הפתוחה מפורטים
בידיעון האקדמי ,באתר הכללי של האו"פ. http://www.openu.ac.il :
מרכז ההוראה בקורס הוא רן לנצט .ניתן לפנות אליו באופן הבא:
בטלפון ,052-5552734בימי א' בשעות .20:00–19:00 בדוא"ל .ranlan@openu.ac.il דרך אתר הקורס. שאילתא -לפניות בנושאים אקדמיים שונים כגון מועדי בחינה מעבר לטווח זכאות ועוד,אנא עשו שימוש מסודר במערכת הפניות דרך שאילתא .לחצו על הכפתור פניה חדשה ואחר כך
לימודים אקדמיים > משימות אקדמיות ,ובשדה פניות סטודנטים :השלמת בחינות בקורס.
המערכת תומכת גם בבקשות מנהלה שונות ומגוונות.
אנו מאחלים לכם לימוד פורה ומהנה.
בברכה,
צוות הקורס
א
שימו לב:
חובה להגיש מטלות במשקל של 10נקודות לפחות.
ללא הגשת מטלות במשקל זה
אי-אפשר לעבור את הקורס.
ראו הסבר בעמוד ה'.
ב
לוח זמנים ופעילויות ( / 20476א)2024
שבוע
לימוד
תאריכי שבוע הלימוד
1
08.12.2023-03.12.2023
יחידת הלימוד
המומלצת
מבוא מהיר
ללוגיקה
מפגשי ההנחיה*
תאריך אחרון
ממ"ח
(לאו"פ)
ממ"ח 01
עד 15.12.23
למשלוח
ממ"ן
(למנחה)
(ו חנוכה)
2
15.12.2023-10.12.2023
ממ"ן 11
עד 22.12.23
תורת הקבוצות:
פרקים .2 ,1
(א-ו חנוכה)
3
22.12.2023-17.12.2023
תורת הקבוצות:
פרקים .3 ,2
4
29.12.2023-24.12.2023
תורת הקבוצות:
פרק .3
5
05.01.2024-31.12.2023
6
12.01.2024-07.01.2024
7
19.01.2024-14.01.2024
קומבינטוריקה:
פרקים .4 ,3
8
26.01.2024-21.01.2024
קומבינטוריקה:
פרקים .7 ,6
9
02.02.2024-28.01.2024
תורת הגרפים:
פרקים .2 ,1
10
11.02.2024-04.02.2024
תורת הגרפים:
פרקים .5 ,3
תורת הקבוצות:
פרק ;4
קומבינטוריקה:
פרק .1
קומבינטוריקה:
פרקים .3 ,2
מועדי בחינות הגמר יפורסמו בנפרד
* התאריכים המדויקים של המפגשים הקבוצתיים מופיעים ב"לוח מפגשים ומנחים".
ג
ממ"ח 02
עד 29.12.23
ממ"ן 12
עד 5.1.24
ממ"ח 03
עד 12.1.24
ממ"ן 13
עד 16.1.24
ממ"ן 14
עד 26.1.24
ממ"ח 04
עד 2.2.24
ממ"ח 05
עד 15.2.24
ממ"ן 15
עד 6.2.24
ממ"ן 16
עד 17.2.24
ד
מטלות הקורס
קראו היטב עמודים אלה לפני שתתחילו לענות על השאלות
פתרון המטלות הוא חלק בלתי נפרד מלימוד הקורס .הבנה של חומר הלימוד דורשת תרגול רב.
מטלות המנחה (ממנ"ים) יבדקו על-ידי המנחה ויוחזרו לכם בצירוף הערות המתייחסות
לתשובות .על מטלות המחשב (ממ"חים) תקבלו רק פירוט תשובות נכונות ולא נכונות.
מבנה המטלות
בכל מטלה כמה שאלות .משקל כל השאלות במטלה זהה ,אלא אם כן צוין אחרת.
אנו מאשרים לכל תלמידי הקורס לשלוח את מטלות המנחה דרך האתר ,בפורמט .PDF
אפשר לשלוח בפורמט זה גם סריקה של כתב יד בתנאי שהוא ברור ומסודר.
כל מטלה חייבת להיות בקובץ אחד( .לא אוסף של קבצים או תמונות).
ניקוד המטלות
בקורס שש מטלות מנחה (ממ"נים) וחמש מטלות מחשב (ממ"חים).
משקלן של מטלות המחשב 01ו 02-הוא נקודה אחת כל אחת .משקל כל אחת מיתר המטלות הוא
2נקודות.
בהגשת כל המטלות ניתן ,אפוא ,לצבור 20נקודות.
דרישות חובה בהגשת המטלות:
חובה להגיש מטלות במשקל של 10נקודות לפחות.
ללא הגשת מטלות במשקל זה לפחות,
אי-אפשר לעבור את הקורס.
תנאים לקבלת נקודות זכות בקורס
א .להגיש מטלות במשקל של 10נק' לפחות.
ב .לקבל בבחינת הגמר ציון 60לפחות.
ג.
לקבל בציון הסופי 60נקודות לפחות.
ה
הערות חשובות לתשומת לבכם!
פתרון המטלות הוא מרכיב מרכזי בתהליך הלמידה ,לכן מומלץ שתשתדלו להגיש מטלות רבות
ככל האפשר ,כולל מטלות שעליהן אתם מצליחים להשיב רק באופן חלקי.
כדי לעודדכם להגיש לבדיקה מספר רב של מטלות ,הנהגנו הקלה כדלהלן:
בחישוב הציון הסופי נשקלל את כל המטלות שציוניהן גבוהים מהציון בבחינת הגמר .ציוני
מטלות כאלה תורמים לשיפור הציון הסופי.
ליתר המטלות נתייחס במידת הצורך בלבד .מתוכן נבחר רק את הטובות ביותר עד להשלמת
המינימום ההכרחי לעמידה בתנאי הגשת מטלות .משאר המטלות נתעלם.
זכרו! ציון סופי מחושב רק לסטודנטים שעברו את בחינת הגמר בציון 60ומעלה והגישו מטלות
כנדרש באותו קורס.
מותר ,ואפילו מומלץ ,לדון עם עמיתים ,וכן עם סגל ההוראה של הקורס ,על נושאי הלימוד ועל
השאלות המופיעות במטלות .עם זאת ,מטלה שסטודנט מגיש לבדיקה אמורה להיות פרי עמלו.
הגשת מטלה שפתרונה אינו עבודה עצמית ,או שלא נוסחה אישית על-ידי המגיש היא עבירת
משמעת.
השאירו לעצמכם העתק של המטלה
האוניברסיטה הפתוחה אינה אחראית
למטלה שתאבד בשל תקלות בדואר.
ו
מטלת מחשב (ממ"ח) 01
הקורס 20476 :מתמטיקה בדידה
מספר השאלות12 :
חומר הלימוד למטלה :החוברת "מבוא מהיר ללוגיקה".
משקל המטלה :נקודה אחת.
מועד הגשה15.12.2023 :
סמסטר2024 :א
את התשובות לממ"ח יש לשלוח באמצעות מערכת שאילת"א
בכתובת http://www.openu.ac.il/sheilta/
הממ"ח נבדק בצורה ממוחשבת .אין לשלוח את פתרון הממ"ח למנחה!
בכל שאלה במטלה זו מופיעות שתי טענות .סמנו:
ב -אם רק טענה 2נכונה,
א -אם רק טענה 1נכונה,
ד -אם שתי הטענות אינן נכונות.
ג -אם שתי הטענות נכונות,
שאלה 1
.1
הביטוי )) xy ( x 2 y 2 ( x y )( x yהוא פסוק
.2
הביטוי ) x y ( x 2 y 2 ( x y )( x y ) 0הוא פסוק
שאלה 2
נתבונן בפסוק "לכל מספר חיובי יש שורש ריבועי"
.1שלילת הפסוק היא" :אם מספר הוא שלילי אז אין לו שורש ריבועי"
.2שלילת הפסוק היא" :קיים מספר חיובי שאינו שורש ריבועי של אף מספר"
שאלה 3
.1
הפסוק101100 0.01(101101 1) " :
1101101 2 או
" 11.12 2 8.88 2 20
הוא אמת.
.2הפסוק 1 : (2 : (3 : 4)) (1 : 2) : (3 : 4) " :וגם " 1 : (2 : (3 : 4)) ((1 : 2) : 3) : 4
הוא אמת.
שאלה 4
.1
הפסוק" :אם לכל xממשי מתקיים , x 2 x 1 0אז
לכל xממשי מתקיים
) " (1 x )(1 x x 2 x 3 x 4 x 5 ) (1 x 2 )(1 x 2 x 4הוא אמת.
.2
הפסוק" :אם קיים x
ממשי כך ש, x 2 x 1 0 -
אז
) " (1 x )(1 x x 2 x 3 x 4 x 5 ) (1 x 2 )(1 x 2 x 4הוא אמת.
1
לכל x
ממשי
שאלה 5
.1הפסוק" :אם ( ) (2 3וגם ) ,( (1 2אז ( " ) 1 1
.2הפסוק:
הוא אמת.
"לכל ( a , b, c, dאם ( ) ( a bוגם ) ,) ( c dאז ( ) ( a bאו ) ")( ( c d
הוא אמת.
שאלה 6
בטבלה מופיעים לוחות האמת של פסוקים ל ו . -מתקיים:
.1
( p q )
.2
(q r )
שאלה 7
.1
( p q) r
.2
) p (q r
שקול טאוטולוגית ל-
שקול טאוטולוגית ל-
r
Q
p
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
) . ( p r ) (q r
) . q ( p r
שאלה ( 8בשאלה זו a , bהם מספרים ממשיים)
.1שלילת הפסוק" :קיימים a , bכך ש a 2 -וגם " b 3
שקולה לפסוק" :לכל , a , b
ab 6או ." a b 5
.2שלילת הפסוק" :לכל a 2 , a , bאו " b 3
שקולה לפסוק" :קיימים a , bכך ש ab 6 -וגם ." a b 5
שאלה 9
.1מתוך הפסוק ) ( ) ( נובע טאוטולוגית הפסוק . (( ) )
.2מתוך הפסוק ) (( ) ( )) (( ) נובע טאוטולוגית הפסוק .
שאלה ( 10בשאלה זו , הם פסוקים)
.1אם מ -נובע טאוטולוגית ) ( אז הוא סתירה או הוא סתירה.
.2אם ) ( טאוטולוגיה אז טאוטולוגיה.
שאלה 11
נתבונן בפסוק" :כל מספר חיובי שקטן מ 1 -הוא גדול מהריבוע שלו"
.1את הפסוק האמור ניתן לרשום כך:
)) . x (( x 1) ( x 0) ( x 2 x
.2את הפסוק האמור ניתן לרשום כך. x (( x 1) ( x 0)) x ( x x ) :
2
שאלה 12
נתבונן בפסוק" :לכל שלושה מספרים ממשיים ,a,b,cאם ac bcואם c 0אז ." a b
.1את הפסוק האמור ניתן לרשום כך. a b c (( ac bc ) (( a b ) (c 0))) :
.2את הפסוק האמור ניתן לרשום כך. a b c (( ac bc ) (( a b ) (c 0))) :
2
מטלת מנחה (ממ"ן) 11
חומר הלימוד למטלה :תורת הקבוצות ,פרק .1
2נקודות
משקל המטלה:
22.12.2023
מועד הגשה:
קורס 20476 :מתמטיקה בדידה
מספר השאלות4 :
סמסטר2024 :א
מטלת מנחה ניתן להגיש באחת הדרכים הבאות (הסבר מפורט ב"נוהל הגשת מטלות מנחה"):
במערכת המטלות המקוונת (קובץ מוקלד .לגבי הגשת קובץ סרוק יש להתעדכן אצל
המנחה\בודק של קבוצת הלימוד שלך) .כניסה מאתר הקורס או משאילת"א
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באופן ישיר למנחה במפגש ההנחיה
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באמצעות דואר ישראל ,לכתובתו של המנחה.
שאלה 24( 1נק')
לכל אחת מהטענות הבאות קבעו האם היא נכונה או לא.
בשאלה זו בלבד אין צורך לנמק :די לרשום בכל סעיף "נכון" " /לא נכון".
א1{1,{1}} .
}}{} {,{1
ה.
ב.
}}1 {{1
ג.
}}{2} {1,{1},{2
ו.
}{1} {N
ז.
|}|{1, N}| |{1, 2
ד.
}}{} {1,{
ח| ({2, }) | 2 | ({}) | .
שאלה 24( 2נק')
יהיו A, B , Cקבוצות .הוכיחו את הטענות הבאות:
א. A \ ( B \ C ) ( A \ B ) ( A C ) .
ב .אם ) { A} P ( Bאז ) . P ( A) P ( B
ג .אם ) P ( A B ) P ( A) P ( Bאז A Bאו . B A
שאלה 24( 3נק')
יהיו A, B , Cקבוצות חלקיות לקבוצה אוניברסלית . Uהוכיחו את הטענות הבאות:
א.
אם , ( A B )c Aאז . A U
ב.
, Ac B ACאז . C B c
ג.
אם , x ( A B) \ Cאז . x ABC
שאלה 28( 4נק')
בשאלה זו Nהיא הקבוצה האוניברסלית .לכל n Nנסמן . An 0,1, 2,3,..., n
עבור כל אחת מן הקבוצות הבאות ,קבעו אם היא שווה או לא לאחת הקבוצות . , N \ {0} , N
נמקו את טענותיכם.
א.
c
An
n0
c
ב An .
n0
ג ( A2 n \ An ) .
n0
3
ד. ( An 1 An c ) .
n0
מטלת מחשב (ממ"ח) 02
חומר הלימוד למטלה :תורת הקבוצות פרקים .2,1
משקל המטלה :נקודה אחת.
מועד הגשה29.12.2023 :
קורס 20476 :מתמטיקה בדידה
מספר השאלות20 :
סמסטר2024 :א
את התשובות לממ"ח יש לשלוח באמצעות מערכת שאילת"א
בכתובת http://www.openu.ac.il/sheilta/
הממ"ח נבדק בצורה ממוחשבת .אין לשלוח את פתרון הממ"ח למנחה!
בכל שאלה במטלה זו מופיעה טענה אחת .סמנו:
ב' – אם הטענה אינה נכונה.
;
א' – אם הטענה נכונה
במטלה זו A, B , Cהן קבוצות R , S ,הם יחסים והאות nמייצגת מספר טבעי.
שאלה 1
}}. {2,3} {{2},{3}} {{2},3} {2,{3
שאלה 2
אם , A B A Cאז . B C
שאלה 3
אם , A B Cאז A Bאו . A C
שאלה 4
אם A, Bקבוצות סופיות זרות ,אז
|| B
2
|| A
. | P ( A) P ( B ) | 2
שאלה 5
)A P ( A
שאלה 6
אם , A B A \ Bאז . B A
שאלה 7
אם , x A B Cאז . x A B
שאלה 8
אם , x A B cאז . x A B
c
שאלה 9
אם , A B Cאז B וגם . C
4
שאלה 10
1
1
1
1
1 n ,2 n 1 n ,2 n
n 1
n 1
שאלה 11
אם כל איבר של Aהוא זוג סדור ,אז קיימות קבוצת B , Cכך ש. A B C -
שאלה 12
אם Rיחס רפלקסיבי וטרנזיטיבי אז . R R
2
שאלה 13
אם יחס Rמקיים R Rאז Rהוא יחס רפלקסיבי וטרנזיטיבי.
2
שאלה 14
אם R Sיחס אנטי-סימטרי ,אז גם R , Sהם יחסים אנטי-סימטריים.
שאלה 15
מספר יחסי השקילות השונים שניתן להגדיר על הקבוצה } {1, 2,3קטן ממספר יחסי הסדר המלא
שניתן להגדיר על קבוצה זו.
שאלה 16
כל יחס רפלקסיבי Rהמקיים R Rהוא יחס שקילות.
2
שאלה 17
אם ליחס שקילות Rעל } {1, 2,3,..., nיש פחות מ n -מחלקות אז . | R | n 2
שאלה 18
אם 1 n mמספרים טבעיים ,אז החלוקה של Zהמוגדרת על-ידי יחס השקילות mהיא
עידון של החלוקה של Zהמוגדרת על ידי יחס השקילות . n
שאלה 19
אם Aקבוצה סדורה (סדר מלא!) ואינסופית ,אז אין ב A -איבר אחרון.
שאלה 20
אם } , A {1, 2,3, 4ואם A, pהוא סדר חלקי שבו קיימים שני אברים מינימליים ושני
איברים מקסימליים ,אז כל איבר של Aהוא מינימלי או מקסימלי.
5
מטלת מנחה (ממ"ן) 12
קורס 20476 :מתמטיקה בדידה
מספר השאלות4 :
סמסטר2024 :א
חומר הלימוד למטלה :תורת הקבוצות ,פרקים .3 ,2
2נקודות.
משקל המטלה:
5.1.2024
מועד הגשה:
מטלת מנחה ניתן להגיש באחת הדרכים הבאות (הסבר מפורט ב"נוהל הגשת מטלות מנחה"):
במערכת המטלות המקוונת (קובץ מוקלד .לגבי הגשת קובץ סרוק יש להתעדכן אצל
המנחה\בודק של קבוצת הלימוד שלך) .כניסה מאתר הקורס או משאילת"א
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באופן ישיר למנחה במפגש ההנחיה
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באמצעות דואר ישראל ,לכתובתו של המנחה.
שאלה 25( 1נק')
על הקבוצה )} P ({1, 2,3, 4נתונים שני יחסים R , Sהמוגדרים כך :לכל )}A, B P ({1, 2,3, 4
ARBאם ורק אם } A {1, 2} B {1, 2ו ASB -אם ורק אם }. A {1, 2} B {1, 2
א .קבעו אם אחד מהיחסים הוא יחס שקילות ואם התשובה חיובית ,מיצאו את מחלקות
השקילות שלו.
ב .קבעו אם אחד היחסים הוא יחס סדר חלקי או מלא ואם התשובה חיובית ,מיצאו את
האיברים המינימליים והמקסימליים בקבוצה הסדורה שגיליתם.
שאלה 25( 2נק')
על הקבוצה } A N \ {0מגדירים שני יחסים R , S ,כך :לכל xRy , x , y Aאם ורק אם
y
y
ו xSy -אם ורק אם קיים מספר שלם jכך ש 2 j -
קיים מספר טבעי i 0כך ש 2i -
x
x
א .הוכיחו שאחד משני היחסים הוא יחס שקילות.
ב .מיצאו את מחלקות השקילות של יחס השקילות שגיליתם בסעיף א'.
ג .הוכיחו שאחד משני היחסים הוא סדר חלקי.
ד .מיצאו את האיברים המינימליים ואת האיברים המקסימליים (אם יש) לגבי היחס האחרון.
6
.
שאלה 25( 3נק')
לכל nטבעי נסמן } An {0,1, 2,..., nובנוסף נסמן . A1 תהי f : N Nפונקציה.
א .הוכיחו ש f -היא חד-חד-ערכית אם ורק אם ] f [ An ] f [ Amלכל }, m, n N { 1
.m n
ב .הוכיחו ש f -היא על אם ורק אם ] f 1[ An ] f 1[ Amלכל }. m n , m, n N { 1
שאלה 25( 4נק')
נתונה פונקציה f : Z Z Z Zהמוגדרת כך :לכל . f m, n 2m 3n ,3m 2n , m, n Z
נסמן ב 1 : Z Z Z -את ההטלה על הרכיב הראשון ( 1 (m, n) mלכל ) m, n Z
א .הוכיחו ש f -היא חד-חד-ערכית ולא על.
ב .הוכיחו ש 1 o f -היא על ולא חד-חד-ערכית.
ג .הוכיחו שהפונקציה g : Q Q Q Qהמוגדרת על-ידי g x, y 2 x 3 y,3x 2 yלכל
x, y Qהיא הפיכה ומיצאו את הפונקציה ההפכית לה.
7
מטלת מחשב (ממ"ח) 03
קורס 20476 :מתמטיקה בדידה
מספר השאלות19 :
סמסטר2024 :א
חומר הלימוד למטלה :תורת הקבוצות ,פרקים .4,3
משקל המטלה 2 :נקודות.
מועד הגשה12.1.2024 :
את התשובות לממ"ח יש לשלוח באמצעות מערכת שאילת"א
בכתובת http://www.openu.ac.il/sheilta/
הממ"ח נבדק בצורה ממוחשבת .אין לשלוח את פתרון הממ"ח למנחה!
בכל אחת מהשאלות הבאות מופיעה טענה.
;
א' – אם הטענה נכונה
סמנו:
ב' – אם הטענה אינה נכונה.
במטלה זו האותיות f , gמסמנות פונקציות.
שאלה 1
עבור כל מספר , n Nהשלשות } x | x R
n
R, R,{ x,1 x x
2
ו R, R,{ 1, n 1 } { x , (1 x n1) (1 x) | x R \{1}} -הן פונקציות שוות.
שאלה 2
אם f : A Bהיא פונקציה ו , C 1 C 2 , C 1 , C 2 A -אז גם . f [C 1 ] f [C 2 ]
שאלה 3
אם f : A Bפונקציה ו , D1 D 2 , D1 , D 2 B -אז גם [ D 2 ]
1
[ D1 ] f
1
.f
שאלה 4
f
[
C
]
C
C
A
f
:
AB
.
מתקיים
היא חד-חד-ערכית אם ורק אם לכל קבוצה סופית
שאלה 5
f : A Bהיא על אם ורק אם לכל קבוצה סופית D Bמתקיים [ D ] D
שאלה 6
אם A, Bתת-קבוצות של קבוצה אוניברסלית , Uאז
1
[{0}] A \ B
B
שאלה 7
אם f : N Nהיא חד-חד-ערכית ,אז fהיא על.
שאלה 8
אם f : N Nהיא על ,אז fהיא חד-חד-ערכית.
שאלה 9
אם , f , g : N Nואם , f o g I Nאז fהיא פונקציה הפיכה.
8
1
1
[{1}]
A
. f
.
שאלה 10
אם f : N Nו f ( n ) n 3 -לכל , n Nאז קיימת פונקציה קבועה g : N Nכך
ש. f o g g o f -
שאלה 11
קבוצת כל המספרים הטבעיים שמתחלקים ב 7-שקולה לקבוצת כל המספרים הטבעיים שאינם
מתחלקים ב.7 -
שאלה 12
אם קבוצה אינסופית Aשקולה לכל קבוצה אינסופית שחלקית לה ,אז . A 0
שאלה 13
אם Aקבוצת הקבוצות החלקיות ל N -ששקולות ל N -ו B -קבוצת הקבוצות החלקיות לN -
שאינן שקולות ל , N -אז Aשקולה ל. B -
שאלה 14
A
אם A R
,אז Aמכילה קטע לא מנוון.
,ואם 0
שאלה 15
)R \ [0, ) R \ [0,1
שאלה 16
הקבוצות
}{1,2
Nו-
}{1,2,3
Nהן שקולות זו לזו( .להבנת הסימונים ,עיינו בפרק ).3.9
שאלה 17
הקבוצות } {1, 2ו {1,2,3} -הן שקולות זו לזו.
שאלה 18
הקבוצות
N
N
}{1,2
N
Nו {1, 2} -הן שקולות זו לזו.
שאלה 19
אם
היא קבוצת כל תת-הקבוצות הסופיות של , Nאז )P ( A
A A
A
9
.
מטלת מנחה (ממ"ן) 13
חומר הלימוד למטלה :תורת הקבוצות ,פרק .4
קורס 20476 :מתמטיקה בדידה
מספר השאלות4 :
משקל המטלה:
2נקודות.
סמסטר2024 :א
מועד הגשה:
16.1.2024
מטלת מנחה ניתן להגיש באחת הדרכים הבאות (הסבר מפורט ב"נוהל הגשת מטלות מנחה"):
במערכת המטלות המקוונת (קובץ מוקלד .לגבי הגשת קובץ סרוק יש להתעדכן אצל
המנחה\בודק של קבוצת הלימוד שלך) .כניסה מאתר הקורס או משאילת"א
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באופן ישיר למנחה במפגש ההנחיה
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באמצעות דואר ישראל ,לכתובתו של המנחה.
שאלה 28( 1נק')
מיצאו את העוצמות של כל אחת מן הקבוצות הבאות .נמקו את התשובות.
ה .קבוצת כל המספרים הממשיים בקטע ) (0,1אשר בפיתוח שלהם כשבר עשרוני אינסופי,
מופיעות לאחר הנקודה רק ספרות אי-זוגיות.
ו.
}{ x y 2 z 3 | x, y , z Q
שאלה 28( 2נק')
(הערה :למדנו שקבוצת המספרים הרציונליים היא בת מניה .ידוע שיש גם מספרים לא רציונליים
כמו למשל , 2 , 3 2 , ,eועוד .ידוע שקבוצת כל המספרים האי-רציונליים אינה בת-מניה.
השאלה שלפנינו מנסה לברר מהי עוצמת קבוצת המספרים שהם בנויים ממספרים רציונליים
בעזרת שימוש חוזר של פעולות חשבון ושורשים .אלה נקראים מספרים אלגבריים).
א .מיצאו את עוצמת הקבוצה . Q nנמקו את התשובה.
n 1
ב .פולינום
ממעלה
n
עם
מקדמים
רציונליים
הוא
ביטוי
מהצורה
, a 0 a1 x a 2 x 2 a n x nכאשר a 0 , a1 , a 2 ,..., a n Qו x -משתנה .מיצאו את עוצמת
קבוצת כל הפולינומים בעלי מקדמים רציונליים (מכל המעלות האפשריות) .נמקו את
התשובה.
ג .הגדרה :מספר ממשי הוא שורש של פולינום a 0 a1 x a 2 x 2 a n x nעם מקדמים
רציונליים אם מתקיים . a 0 a1 a 2 2 a n n 0
הגדרה :מספר ממשי נקרא אלגברי אם הוא שורש של פולינום עם מקדמים רציונליים.
)1
הוכיחו שהמספר 3 2 5הוא אלגברי (הראו ש -הוא שורש של פולינום
ממעלה 6עם מקדמים רציונליים).
10
)2הוכיחו שקבוצת כל המספרים הממשיים האלגבריים היא אינסופית ובת מנייה .תוכלו
להסתמך על הטענה הבאה מבלי להוכיח אותה :קבוצת השורשים של כל פולינום היא
סופית.
שאלה 16( 3נק')
עיגול במישור מוגדר כקבוצת כל הנקודות הנמצאות במרחק קטן או שווה rמנקודה נתונה,
כאשר rמספר ממשי חיובי .נסמן :
Aקבוצת כל הקבוצות של נקודות במישור (שאותו מזהים כרגיל כ.) R R -
Bקבוצת כל העיגולים במישור.
Cקבוצה של עיגולים במישור שזרים זה לזה.
הוכיחו ש. | C | | B | | A | -
תוכלו להסתמך על הטענה הבאה מבלי להוכיח אותה :לכל זוג מספרים ממשיים x yקיים
מספר רציונלי qכך ש"( x q y -בין כל שני מספרים ממשיים יש מספר רציונלי").
שאלה 28( 4נק')
א .סדרת פיבונצ'י מוגדרת באופן הבא , F1 1 , F0 1 :ולכל n 2טבעי. Fn Fn1 Fn2 :
n
הוכיחו באינדוקציה שלכל nטבעי מתקיים. Fi Fn2 1 :
i 0
ב .נסמן ב A -את קבוצת כל הסדרות האינסופיות a0 , a1 , a2 , a3 ...של מספרים ממשיים
המקיימות את התנאי an an1 an 2לכל . n 2
מיצאו את העוצמה של . A
רמז :מיצאו פונקציה הפיכה המתאימה לכל איבר של R Rסדרה ב. A -
ג .תהי Aהקבוצה שהוגדרה בסעיף ב' .מהי העוצמה של קבוצת כל הסדרות מ A -שבהן
מופיעים רק מספרים רציונליים?
11
מטלת מנחה (ממ"ן) 14
קורס 20476 :מתמטיקה בדידה
חומר הלימוד למטלה :קומבינטוריקה פרקים 4,3
מספר השאלות4 :
משקל המטלה 2 :נקודות.
סמסטר2024 :א
.26.01.2024
מועד הגשה:
מטלת מנחה ניתן להגיש באחת הדרכים הבאות (הסבר מפורט ב"נוהל הגשת מטלות מנחה"):
במערכת המטלות המקוונת (קובץ מוקלד .לגבי הגשת קובץ סרוק יש להתעדכן אצל
המנחה\בודק של קבוצת הלימוד שלך) .כניסה מאתר הקורס או משאילת"א
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באופן ישיר למנחה במפגש ההנחיה
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באמצעות דואר ישראל ,לכתובתו של המנחה.
שאלה 25( 1נקודות)
א .מיצאו את מספר הקבוצות החלקיות לקבוצה Aבעלת nאברים המכילות ממש קבוצה
נתונה של kאיברים מתוך . A
ב .לבובספוג יש n 4חברים .בכל ערב הוא מזמין מספר כלשהו k 4של חברים לסעוד אתו
ולאחר מכן הוא תמיד מזמין שלושה מהם לשחק בביתו( .אף אחד לא מסרב!)
ספרו בשתי דרכים את מספר האופציות השונות שיש לבובספוג לבלות עם חברים בערב אחד,
n
n n k
3
k 4 k 3
והוכיחו עבור n 4את הזהות ) (2n3 1בדרך קומבינטורית.
(כלומר ללא פישוט מראש של האגפים).
ג .הוכיחו את השוויון מסעיף ב' בדרך אלגברית (על ידי חישוב ישיר).
שאלה 25( 2נקודות)
נתונה } . A {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9בשאלה זו נתייחס לפונקציות שתחום ההגדרה שלהן הוא . A
א .מיצאו את מספר הפונקציות } f : A {2,3, 4המקבלות כל אחד מן הערכים }i {2,3, 4
בדיוק iפעמים.
ב .מיצאו את מספר הפונקציות } f : A {2,3, 4,5,6המקבלות כל אחד מהערכים 2,3, 4
בדיוק פעמיים.
ג .מיצאו את מספר הפונקציות החד-חד-ערכיות f : A Aהמקיימות את התנאי:
. { f (1), f (2), f (3)} {1, 2,3}
12
שאלה 25( 3נקודות)
נתונה המשוואה . x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 8
א .מיצאו מספר הפתרונות בטבעיים של המשוואה כאשר . x1 x2 x3 5
ב .מיצאו מספר הפתרונות בטבעיים של המשוואה כך ש x2i 1 x2i 2 -לכל . 1 i 4
שאלה 25( 4נקודות)
בשאלה זו נתייחס לכל המילים באורך 10הכתובות באותיות . A, A, A, B, B, C , C , D, D, D
א .מיצאו את מספר המילים שאין בהן שלוש אותיות מאותו סוג הצמודות זו לזו.
ב .מיצאו את מספר המילים שבהן יש לפחות שתי אותיות מסוג Aהצמודות זו לזו.
13
מטלת מחשב (ממ"ח) 04
קורס 20476 :מתמטיקה בדידה
מספר השאלות18 :
סמסטר2024 :א
חומר הלימוד למטלה :קומבינטוריקה ,פרקים .7–1
משקל המטלה 2 :נקודות.
מועד הגשה2.2.2024 :
את התשובות לממ"ח יש לשלוח באמצעות מערכת שאילת"א
בכתובת http://www.openu.ac.il/sheilta/
הממ"ח נבדק בצורה ממוחשבת .אין לשלוח את פתרון הממ"ח למנחה!
בכל אחת מהשאלות הבאות מופיעה טענה.
א – אם הטענה נכונה ;
סמנו:
–
ב
אם הטענה לא נכונה.
בשאלות 3–1האות Aמסמנת קבוצה בעלת 3איברים.
שאלה 1
מספר היחסים שניתן להגדיר על Aהוא .9
שאלה 2
מספר היחסים האנטי רפלקסיביים על Aהוא
6
.2
שאלה 3
מספר היחסים על Aשווה למספר הפונקציות מ A -ל. P ( A) -
בשאלות 11–4נתייחס לקבוצה }. A {1, 2,3, 4,5, 6
שאלה 4
מספר הפונקציות f : A Aהמקיימות } f [{1, 2,3}] {1, 2,3שווה מספר הפונקציות
f : A Aהמקיימות . f 1[{1, 2}]
שאלה 5
מספר הפונקציות f : A Aשהן חד-חד-ערכיות שווה למספר הפונקציות f :{1, 2,3, 4,5} A
שהן חד-חד-ערכיות.
שאלה 6
מספר הפונקציות f : A Aהמקבלות את הערך 1פעם אחת ,את הערך 2פעמיים ואת הערך 3
שלוש פעמים ,גדול ממספר הפונקציות f : A Aהמקבלות פעמיים כל אחד מן הערכים .1,2,3
שאלה 7
מספר הפונקציות החד-חד-ערכיות f : A Aהמקיימות } f [{1, 2}] {1, 2קטן ממספר
הפונקציות החד-חד-ערכיות f : A Aהמקיימות }. f [{1, 2,3}] {1, 2,3
14
שאלה 8
מספר הזוגות הסדורים B, C שבהם | B | | C | 2 , B, C Aו B C -שווה למספר
המילים באורך 6שבהן כל אחת מהספרות 0,1,2מופיעה פעמיים.
שאלה 9
מספר הקבוצות } {B, Cשבהן | B | | C | 3 , B, C Aו B C -שווה למספר המילים באורך
6שבהן כל אחת מהספרות 0,1מופיעה שלוש פעמים.
שאלה 10
מספר הזוגות הסדורים B, C שבהם | B | 2 , C| | ,3B, C Aו B C -שווה למספר
המילים באורך 6שבהן 0מופיע פעם אחת 1 ,מופיע פעמיים ו 2 -מופיע שלוש פעמים.
שאלה 11
מספר יחסי השקילות השונים על Aשהם בעלי שלוש מחלקות בדיוק הוא גדול מ.100 -
שאלה 12
יש בדיוק 78הפונקציות } f :{1, 2,3, 4} {1, 2,3, 4,5המקיימות ]}. {1, 2,3} f [{1, 2,3, 4
שאלה 13
מספר הפונקציות החד-חד-ערכיות } f :{1, 2,3, 4} {1, 2,3, 4,5המקיימות ]}{1, 2,3} f [{1, 2,3, 4
שווה למס' הפונקציות החד-חד-ערכיות } f :{1, 2,3, 4} {1, 2,3, 4,5המקיימות ]}. {1, 2} f [{1, 2,3, 4
שאלה 14
מספר הדרכים לפיזור 12כדורים זהים ב 8 -תאים שונים כך שבשני התאים הראשונים ביחד
יימצאו לפחות 10כדורים ,הוא .396
שאלה 15
הפתרון לשאלה הקודמת הוא המקדם של x12בפיתוח של . x10 (1 x x 2 )8
שאלה 16
מספר הדרכים לפיזור 12כדורים זהים ב 8 -תאים שונים ,כך ששניים מן התאים יכילו לפחות 5
כדורים כל אחד ,הוא .1008
שאלה 17
הפתרון לשאלה הקודמת הוא המקדם של xבפיתוח של ) . ( x x x ) (1 x x
12
8
2
2
7
6
5
בשאלה הבאה נסמן ב P(mn, m) -את מספר כל הפיזורים האפשריים של mnכדורים שונים בm -
תאים זהים כך שבכל תא יימצאו בדיוק nכדורים.
שאלה 18
. P(8, 4) (8!) 2 4
15
מטלת מנחה (ממ"ן) 15
חומר הלימוד למטלה :קומבינטוריקה ,פרקים .7,6
קורס 20476 :מתמטיקה דיסקרטית
מספר השאלות3 :
משקל המטלה 2 :נקודות.
סמסטר2024 :א
מועד הגשה6.2.2024 :
מטלת מנחה ניתן להגיש באחת הדרכים הבאות (הסבר מפורט ב"נוהל הגשת מטלות מנחה"):
במערכת המטלות המקוונת (קובץ מוקלד .לגבי הגשת קובץ סרוק יש להתעדכן אצל
המנחה\בודק של קבוצת הלימוד שלך) .כניסה מאתר הקורס או משאילת"א
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באופן ישיר למנחה במפגש ההנחיה
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באמצעות דואר ישראל ,לכתובתו של המנחה.
שאלה 35( 1נק')
לכל n 1טבעי ,נסמן ב An -את קבוצת המספרים הטבעיים בעלי nספרות ,שבהם מופיעות
רק הספרות 1,2,3,4,5,6אך 1לא מופיע בצמוד ל 1 -ו 2 -לא מופיע בצמוד ל.2 -
למשל 12121 A5ו 33215 A5 -אבל 12114 A5ו. 12256 A5 -
לכל n 1טבעי ,נסמן | , an | Anוכן נגדיר את a0כשווה ל .1 -בנוסף לכך ,נסמן:
= bnמספר המספרים השייכים ל An -שבהם הספרה השמאלית ביותר היא ;1
= cnמספר המספרים השייכים ל An -שבהם הספרה השמאלית ביותר היא .2
א .מיצאו את . a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , c1 , c2
ב .לכל , n 2הביעו את a nבעזרת bn , an 1ו, cn -
את bnבעזרת cn 1ו an 2 -ואת cnבעזרת bn 1וan 2 -
ג .השתמשו בתוצאות של סעיף ב' כדי למצוא יחס נסיגה . a n
ד .פתרו את יחס הנסיגה וקבלו נוסחה מפורשת עבור . a n
שאלה 30( 2נק')
תהי . f ( x ) a i x iנתון ש-
i 0
( 6נק')
1
(1 x ) 3
. f ( x )(1 2 x 2 x 2 x 3 )
א .חשבו את . a 0 , a1 , a 2
( 12נק') ב .מצאו מספרים r , s , tכך ש a n D (3, n ) ra n 1 sa n 2 ta n 3 -לכל
. n 3חשבו את a 7בעזרת הנוסחה הזו.
( 12נק') ג .רשמו פונקציה יוצרת מתאימה לחישוב מספר הפתרונות הטבעיים של המשוואה
. x1 2 x2 3 x3 nמצאו את מספר הפתרונות במקרה ש. n 7 -
(רמז :שימו לב לקשר שבין ) f ( xלבין הפונקציה מסעיף ג').
16
שאלה 35( 3נק')
א .מיצאו פונקציה יוצרת מתאימה לחישוב מספר הפתרונות בטבעיים של המשוואה
xk n
x1 x2 כאשר כל הנעלמים הם מספרים זוגיים שלא מתחלקים ב.3 -
(רמז לפישוט :אפשר להוציא את x 2 x 4כגורם משותף מהסכום האינסופי).
ב .מיצאו את מספר פתרונות המשוואה מסעיף א' כאשר . n 32 , k 10
ג .מצאו פונקציה יוצרת מתאימה לחישוב מספר הפתרונות בטבעיים של המשוואה
yk n
xk y1
x1 x2 כאשר kהנעלמים הראשונים הם מספרים זוגיים
1 x6
שלא מתחלקים ב 3 -ו 0 yi 5 -לכל ( . 1 i kרמז לפישוט:
1 x
ד .מיצאו את מספר פתרונות המשוואה מסעיף ג' כאשר . n 24 , k 10
17
x5
). 1 x
מטלת מחשב (ממ"ח) 05
קורס 20476 :מתמטיקה בדידה
מספר השאלות17 :
סמסטר2024 :א
חומר הלימוד למטלה :תורת הגרפים
משקל המטלה 2 :נקודות
מועד הגשה:
15.2.2024
תשובות לממ"ח יש לשלוח באמצעות מערכת שאילת"א
בכתובת http://www.openu.ac.il/sheilta/
הממ"ח נבדק בצורה ממוחשבת .אין לשלוח את פתרון הממ"ח למנחה!
בכל אחת מהשאלות הבאות מופיעה טענה.
א – אם הטענה נכונה ;
סמנו:
ב
–
אם הטענה אינה נכונה.
שאלה 1
כל גרף פשוט על 6צמתים שבו 11קשתות הוא קשיר.
שאלה 2
אם ) G ( A B , Eהוא גרף דו-צדדי (כמו בהגדרה )1.5אז | . deg G (v ) | E
v A
שאלה 3
אם לגרף Gיש שני מרכיבי קשירות בדיוק ,אז הגרף המשלים Gהוא דו-צדדי.
שאלה 4
אם Gהוא גרף דו-צדי אז לגרף המשלים Gיש שני מרכיבי קשירות בדיוק.
בשאלות G ,9–5הוא גרף שבו קיים מסלול אוילר שאינו מעגל ו G1 -הוא גרף קשיר המתקבל
מ G -לאחר מחיקת קשת אחת המחברת בין שני צמתים שונים של . G
שאלה 5
בגרף G1אין מסלול אוילר שאינו מעגל.
שאלה 6
G1אינו אוילרי.
שאלה 7
G1הוא גרף אוילרי.
18
שאלה 8
אם G1המילטוני אז גם Gהמילטוני.
שאלה 9
בגרף Gקיים מסלול המילטון.
בשאלות 10-14נתייחס לעצים המתוייגים שבהם הצמתים מסומנים במספרים עוקבים 1, 2,3,...
שהם בעלי סדרת פרופר מהצורה ) , (3,3, k ,5,5כאשר kמספר שלם חיובי.
שאלה 10
כל עץ כזה הוא בעל 5צמתים בדיוק.
שאלה 11
מספר העצים המקיימים את התנאים הנתונים הוא .7
שאלה 12
לכל העצים הנ"ל יש אותו מספר עלים.
שאלה 13
כל שניים מן העצים הנתונים הם איזומורפיים (לפי הגדרה .)2.8
שאלה 14
כל שניים מן העצים הנתונים הם לא איזומורפיים (לפי הגדרה .)2.8
בשאלות G 20 – 15הוא גרף פשוט על 6צמתים שבו הדרגה של כל צומת היא .4
שאלה 15
Gהוא גרף אוילרי.
שאלה 16
Gהוא גרף המילטוני.
שאלה 17
Gהוא לא גרף מישורי.
19
מטלת מנחה (ממ"ן) 16
חומר הלימוד למטלה :תורת הגרפים
קורס – 20476 :מתמטיקה בדידה
משקל המטלה:
מספר השאלות3 :
סמסטר2024 :א
2נקודות
מועד הגשה17.2.2024 :
מטלת מנחה ניתן להגיש באחת הדרכים הבאות (הסבר מפורט ב"נוהל הגשת מטלות מנחה"):
במערכת המטלות המקוונת (קובץ מוקלד .לגבי הגשת קובץ סרוק יש להתעדכן אצל
המנחה\בודק של קבוצת הלימוד שלך) .כניסה מאתר הקורס או משאילת"א
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באופן ישיר למנחה במפגש ההנחיה
על דפי נייר ,עם טופס נלווה ,באמצעות דואר ישראל ,לכתובתו של המנחה.
שאלה 33( 1נקודות)
נתון גרף אוילרי פשוט וקשיר ) . G (V , E
א .הוכיחו שלכל קשת e Eהגרף )} (V , E {eהוא קשיר.
ב .הוכיחו שאם קיימות קשתות e1 , e 2 , e 3 Eכך ש (V , E {e1 , e 2 , e 3 }) -אוילרי אז Gהוא
לא גרף דו-צדדי.
ג .הוכיחו שאם n 1 , | V | 2 n 1אז קיימים ב G -לפחות שלושה צמתים בעלי אותה דרגה.
שאלה 33( 2נקודות)
בשאלה זו נתייחס לעצים על 8צמתים המתויגים במספרים . 1, 2,3,...,8
א .מיצאו את מספר העצים שבהם העלים הם חמשת הצמתים 4,5,6,7,8ורק הם.
ב .מיצאו את מספר העצים שבהם קיים צומת בעל דרגה .5
שאלה 34( 3נקודות)
יהי Tעץ על nצמתים שבו יש kעלים.
א .הוכיחו שלכל צומת . deg T ( v ) k , v V
n
ב .הוכיחו שאם 1
2
, k אז הגרף המשלים Tהוא המילטוני.
20
