Semestrální projekt do předmětu 6KP Metoda konečných prvků a výpočetní systém ANSYS Modální analýza Určení vlastní frekvence a tvarů Vypracovali: Radoslav Guráň Milan Hložek Radovan Chovanec Petra Vavříková Vyučující: doc. Ing. Tomáš Návrat, Ph.D. Číslo zadání: 15 Brno 2016 6. 5. OBSAH 1 Zadání semestrálního projektu – 6KP 4 2 Úvod 6 3 Definice problematiky a pojmů 7 3.1 Kmitavý pohyb 3.1.1 4 5 Mechanický oscilátor 7 7 3.2 Vlastní kmitání 7 3.3 Samobuzené kmitání 8 3.4 Modální analýza 8 VETKNUTÝ PRUT 9 4.1 Výpočtové modely vlastních frekvencí vetknutých prutů 11 4.2 Analytické řešení vlastní frekvence vetknutých prutů 16 4.3 Analýza výsledků 17 VOLNÁ KRUHOVÁ DESKA 5.1 Úvod 5.1.1 Popis a formulace problému, cílů 18 18 18 5.1.2 Informace získané z rešeršní studie – dostupná technická literatura, internet, analytický přístup 18 5.2 Metodika řešení 19 5.2.1 Výpočtové modelování, Popis modelů – materiál, geometrie, vazeb; síť konečných prvků, nastavení analýzy, kontaktů apod. 19 5.3 6 Analýza výsledků 20 KRUHOVÁ MEMBRÁNA 24 Membránový stav napjatosti skořepin 25 6.1 Výpočtové modely vlastních frekvencí kruhové membrány 26 6.2 Analitické rešení vlastní frekvence kruhové membrány 28 6.3 Analýza výsledků 29 6.3.1 Informace získané z rešeršní studie – dostupná technická literatura, internet30 Skořepiny 30 Membránový stav napjatosti skořepin 30 6.4 31 Metodika řešení 6.4.1 analytický přístup 31 6.4.2 Výpočtové modelování, Popis modelů – materiál, geometrie, vazeb; síť konečných prvků, nastavení analýzy, kontaktů apod. 31 6.5 Analýza výsledků 32 32 7 PO OBVODU VETKNUTÁ OBDELNÍKOVÁ DESKA 34 7.1 Úvod 34 7.1.1 Popis a formulace problému, cílů 7.1.2 Informace získané z rešeršní studie – dostupná technická literatura, internet34 7.2 Metodika řešení 7.2.1 Výpočtové modelování, analytický přístup. 34 34 34 7.2.2 Popis modelů – materiál, geometrie, vazeb; síť konečných prvků, nastavení analýzy, kontaktů apod. 34 7.3 Analýza výsledků 34 8 Závěr 35 9 Použité informační zdroje 36 10 Seznam použitých obrázků 38 1 ZADÁNÍ SEMESTRÁLNÍHO PROJEKTU – 6KP Způsob a kritéria hodnocení předmětu: Klasifikovaný zápočet bude udělen na základě hodnocení samostatného projektu, ve kterém musí student prokázat schopnost využít MKP k řešení zadaného problému. Projekt bude zpracován týmově ve vymezených časech výuky odevzdán formou závěrečné zprávy a prezentace prezentován ve výuce. Průběžnou kontrolu postupu řešení zajistí vyučující. Výsledná známka zhodnotí: Aktivní účast ve cvičení (10 %) Kvalitu a obsah závěrečné zprávy (20 %) Kvalitu a obsah prezentace (20 %) Prezentační schopnosti členů týmů a dodržení vymezeného času (20 %) Schopnost reagovat na dotazy prověřující znalosti z přednášek (30 %) Struktura práce: 1. Zadání 2. Úvod a. Popis a formulace problému, cílů b. Informace získané z rešeršní studie – dostupná technická literatura, internet 3. Metodika řešení a. Výpočtové modelování, analytický přístup. b. Popis modelů – materiál, geometrie, vazeb; síť konečných prvků, nastavení analýzy, kontaktů apod. 4. Prezentace a analýza výsledků 5. Závěr Pokyny pro zpracování závěrečné prezentace Každý snímek obsahuje přiměřené množství textu v kombinaci s obrázky, text má být výstižný nejlépe v odrážkách. Dodržujte citace textu a obrázků dle norem ISO. Doba pro prezentaci při obhajobě 15 minut + diskuze. Každý člen ze skupiny bude prezentovat svou odpracovanou část a bude seznámen se všemi úlohami semestrálního projektu. Prezentovat bude vždy celá skupina (pokud bude chybět některý z členů, skupina bude prezentovat v jiném termínu). Prezentace bude probíhat ve 13. týdnu semestru. Zadání č. 15 Formulace problému Určete vlastní frekvence a vlastní tvary pro tyto případy: ● ● ● ● ● Vetknutého prutu (beam, solid model) s konstantním nebo proměnným příčným průřezem Volné kruhové desky Kruhové membrány po obvodu vetknuté Obdélníkové deska po obvodu vetknuté nebo podepřené Volné válcové skořepiny Cíle projektu ● Rešeršní studie ● Tvorba výpočtových modelů ● Srovnání s analytickým řešením 2 ÚVOD Naše skupina se zabývá modální analýzou vetknutého prutu, volné kruhové desky, kruhové membrány, obdélníkové desky a skořepiny. Každý řešený objekt je charakterizován vlastní frekvencí a vlastním tvarem kmitu. Modální analýzu je možno provádět buď analyticky, jako výpočet modálních parametrů pomocí matematického modelu, nebo experimentálně [1]. Většina mechanických soustav a konstrukcí vykonává za určitých okolností kmitavý pohyb. Ten může být zdrojem hluku a chvění. Účinky tohoto chvění jsou nejen nepříjemné, ale i nebezpečné. Mohou způsobovat zvýšené opotřebení, snížení výkonu či totální selhání součásti. Většina problémů spojených s kmitání je spojena s jevem známým jako rezonance. Rezonance vzniká vybuzením vlastních kmitů mechanických soustav. Z důvodu zajištění funkce součástí mechanických soustav se proto provádí jejich kontroly a analýzy. Účinným nástrojem pro zkoumání a modelování chování mechanických soustav je právě již zmíněná modální analýza. Cílem této práce je analyzovat jednoduchý případ volného kmitání zadaných objektů s pomocí softwaru ANSYS vypočítat vlastní frekvence a určit tvary vlastních kmitů. Úkolem je dále takto získané výsledky porovnat s hodnotami získanými přibližným analytickým výpočtem. 3 DEFINICE PROBLEMATIKY A POJMŮ 3.1 KMITAVÝ POHYB Kmitavý pohyb je takový pohyb, kdy se hmotný bod pohybuje po úsečce nebo kruhovém oblouku kolem rovnovážné polohy. Jestliže rovnovážnou polohou prochází v pravidelných časových intervalech, koná periodický kmitavý pohyb [2]. Kmitající body vždy po určité době dospějí do stejné polohy. Periodicky se opakující část kmitavého pohybu nazýváme kmit. Kmity mechanického oscilátoru i libovolného periodického pohybu lze charakterizovat pomocí periody (doby kmitu), nebo frekvence (kmitočtu) f [3]. 3.1.1 MECHANICKÝ OSCILÁTOR Mechanický oscilátor je základním pojmem kmitavého pohybu. Je to zařízení, které vykonává volné kmitání. Avšak aby oscilátor kmital volně je nutno dosáhnout jeho kmitání bez vnějšího působení [2]. Obr. 3.1 Mechanické oscilátory [12] 3.2 VLASTNÍ KMITÁNÍ Vlastní kmity jsou kmity soustav, na které nepůsobí buzení. Vlastní kmity jsou vlastní čísla získaná řešením diferenciální rovnice popisující dané kmitání. Frekvence vlastních kmitů se označuje jako vlastní frekvence (kmitočet). Vlastní frekvence je frekvence, při které kmitající systém klade nejmenší odpor vůči deformaci (amplitudě kmitání). Tvar takového kmitání se nazývá vlastní tvar. Vlastní tvar je tvar deformace, který nastává při vlastní frekvenci. Vlastní tvar nelze prakticky pozorovat či jinak experimentálně registrovat. Je to abstraktní matematický parametr popisující odpovídající deformaci tak, jak by příslušný tvar kmitání existoval sám o sobě, tj. odděleně od ostatních vidů kmitání odpovídající mechanické soustavy. Výsledný kmitavý pohyb vzniká superpozicí těchto dílčích kmitavých pohybů [2]. 3.3 SAMOBUZENÉ KMITÁNÍ Samobuzené kmitání se udrží libovolně dlouho bez působení vnější periodické síly, potřebuje pouze zdroj energie (energie větru, proud vody atd.). Kmitající soustava si z tohoto zdroje energii sama odebírá. Ve většině strojních konstrukcí je samobuzené kmitání nežádoucí jev a snažíme se mu vyhnout (např. u ventilů, lopatek parních turbín, křídel letadla). Existuje však i využitelná forma tohoto kmitání, např. pneumatické kladivo v kombinaci s rotačním vibrátorem nebo dynamické experimenty, při kterých chceme udržet soustavu v intenzivním kmitání při měnících se vlastnostech s časem (růst trhliny v cyklicky namáhaném vzorku). Samobuzené kmitání vzniká často v soustavách, u nichž dochází k suchému tření mezi dvěma částmi [5]. Samobuzené kmitání vzniká díky vnitřnímu mechanismu. Tento mechanismus je schopen vytvoření stálého, neperiodického vnějšího zdroje energie a generování periodické síly během vibrací soustavy takové, která sama podporuje vibrace. Na rozdíl od vynuceného kmitání, které vzniká, působí-li na soustavu periodická síla a kde hlavním parametrem tohoto kmitání je amplituda, dojde-li ke kmitání samobuzenému, roste až do svého maximálního limitu, který je dán soustavou samotnou [4]. 3.4 MODÁLNÍ ANALÝZA Kmitavý pohyb je typický pro většinu mechanických soustav a konstrukcí. Tento pohyb je ale v mnoha případech nežádoucí, protože může způsobovat zvýšené opotřebení součástí, snížení výkonu, apod. Činným nástrojem pro zkoumání a modelování vlastností mechanických soustav je modální analýza. Modální analýza je moderní obor dynamiky, který k popisu kmitavých vlastností a kmitavého chování soustav používá možnosti rozkladu složitého kmitavého procesu na dílčí, tzv. modální (vidové, vlastní) příspěvky. Ůčelem modální analýzy je určení vlastních frekvencí dílu nebo soustavy dílů. Tyto vlastní frekvence slouží k informaci o měřeném objektu, které se potom využívají k hodnocení provozních stavů, kdy by případná rezonance některé z provozních frekvencí s vlastní frekvencí vedla k totálnímu zničení objektu [4]. Modální analýzu lze provést výpočtem (analytická modální analýza), nebo experimentem (experimentální modální analýza). Často se provádí obě analýzy pro porovnání jejich výsledků [3]. Cílem takové analýzy je zjistit vlastní frekvence a vlastní tvary jednorozměrných a dvojrozměrných kontinuí. Mezi jednorozměrná kontinua patří lana, hřídele, nosníky a mezi dvojrozměrná kontinua se řadí membrány, desky, skořepiny [3]. 4 VETKNUTÝ PRUT Prut v mechanice je prvek, u něhož jeden délkový rozměr značně převládá nad rozměry příčnými. Pruty jsou nejjednodušší konstrukční prvky, z nichž lze jejich kombinací vytvořit složitější prutové soustavy – prutové konstrukce [8]. Obr. 4.1 Ocelová konstrukce střechy O2 Arény [7] Prut je nejjednodušším teoretickým modelem reálného tělesa, které splňuje jisté geometrické, vazbové, zatěžovací, deformační a napjatostní předpoklady, všechny jsou souhrnně označeny jako předpoklady prutové [6]. GEOMETRICKÉ PŘEDPOKLADY Prut je určen křivkou γ, tzv. střednicí, a v každém bodě střednice příčným průřezem ψ. Střednice je spojitá a hladká křivka konečné délky. Obr. 4.2 Geometrický prutový předpoklad [6] Příčný průřez je spojitá nebo vícenásobně souvislá oblast, ohraničení obrysem a charakterizovaná charakteristikami příčného průřezu. Délka střednice je řádově minimálně stejně velká jako největší rozměr příčného průřezu. VAZBOVÉ A ZATĚŽOVACÍ PŘEDPOKLADY Vazby omezují posuvy a úlohy natočení střednice. Zatížení je soustředěno na střednici prutu. Projevuje se jako osamělá síla, liniové zatížení či silová dvojice na střed. DEFORMAČNÍ PŘEDPOKLADY Střednice prutu zůstává v procesu zatěžování spojitá a hladká. Obr. 4.3 Obecný prut [8] Vetknutí je vazba, která odebírá tělesu v rovině tři stupně volnosti, v prostoru 6 stupňů volnosti. Znemožňuje tělesu nejen pohyb, ale také rotaci [8]. Na obr. 1.3 je zobrazen nákres vetknuté hřídele s proměnným průřezem (a) a vetknutý nosník s konstantním průřezem (b). a) b) Obr. 4.4 Vetknutá hřídel s proměnným průřezem (a), konzolový nosník a jeho model v deformovaném stavu [9] Ke kmitání prutu může docházet vlivem spojitého zatížení nebo vychýlením bodů prutu ve směru jeho osy podle zadané funkce polohy bodu v počátečním čase popřípadě udělením patřičně směrované rychlosti těmto bodům. Pohyb každého bodu prutu se pak děje ve směru osy prutu [10]. Při řešení vlastního kmitání prutu musí být zohledněny zavedené předpoklady a principy [11]: ● nosník je prizmatický – μ(x) = Aρ = konst, ● podélné přemístění je nulové ● Bernoulli – Navierova hypotéza, ● Hookův zákon. ● d’Alembertův pricip. 4.1 VÝPOČTOVÉ MODELY VLASTNÍCH FREKVENCÍ VETKNUTÝCH PRUTŮ U prutů na jedné straně vetknutých zjistíme pomocí metody konečných prvků vlastní frekvenci, kterou poté porovnáme s hodnotou získanou z analytického řešení. Pruty jsou namodelovány pomocí programu ANSYS dvěma způsoby: - beam model, solid model. Zvolili jsme prut o těchto parametrech: ● poloměr 𝑟 = 10 𝑚𝑚 ● délka l= 200 𝑚𝑚 ● materiál: ocel PRUTY VYMODELANÉ ZPŮSOBEM BEAM Obr. 4.5 Vlastní tvar 1 pro frekvenci f = 350.8 Hz (Beam) Obr. 4.6 Vlastní tvar 3 pro frekvenci f = 2126.4 Hz (Beam) Obr. 4.7 Vlastní tvar 5 pro frekvenci f = 3912,9 Hz (Beam) Obr. 4.8 Vlastní tvar 6 pro frekvenci f = 5673,6 Hz (Beam) Obr. 4.9 Vlastní tvar 1 pro frekvenci f = 352,62 Hz (Solid) Obr. 4.10 Vlastní tvar 3 pro frekvenci f = 2139,4 Hz (Solid) Obr. 4.11 Vlastní tvar 5 pro frekvenci f = 3913 Hz (Solid) Obr. 4.11 Vlastní tvar 6 pro frekvenci f = 5717,2 Hz (Solid) 4.2 ANALYTICKÉ ŘEŠENÍ VLASTNÍ FREKVENCE VETKNUTÝCH PRUTŮ Pro analytické řešení vlastní frekvence platí výpočet: (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) (3.10) 4.3 ANALÝZA VÝSLEDKŮ Tab. 4.1 Maximální deformace a frekvence prutů Frekvence [Hz] Model Beam Solid 1 350,8 352,62 Analyticky 362,85 2 350,8 352,63 362,85 3 2126,4 2139,4 2263,85 4 2126,4 2139,4 5 3912,9 3913 2263,85 6197,53 6 5673,6 5717,2 6197,53 Obr. 4.12 Vlastní frekvence prutů 5 VOLNÁ KRUHOVÁ DESKA Kruhová deska je základní dvourozměrný konstrukční prvek, který se vyskytuje napříč obory. Technickými aplikacemi jsou například piezoelektrické desky, které se používají jako snímače nebo křemíkové kruhové desky pro biologickou analýzu. Ve strojírenství je to například oběžné kolo turbíny, ve stavebnictví se využívá jako stropní deska, případně základová deska s kruhovým půdorysem [1,3,5]. Obr. 5.1 Oběžné kolo turbíny [2] Jedná se o případ rotačně symetrické úlohy, u které se předpokládá izotropní nebo rotačně anizotropní vlastnosti materiálu desky [3]. TVARY KMITÁNÍ Disk neboli kruhová deska má jakožto kontinuum nekonečný počet vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitání. Tvary kmitání jsou charakterizovány uzlovými průměry a uzlovými kružnicemi. Uzlová místa jsou definována jako místa, která jsou na dané vlastní frekvenci trvale v klidu. Existuje ještě jeden speciální vlastní tvar, u kterého je počet uzlových kružnic i průměrů roven nule, tedy d = 0 a současně e = 0. Tento vlastní tvar se označuje jako „umbrella shape“ [2,4,6]. Na obr. 5.2 jsou nakresleny tvary kmitání s uzlovými průměry, kružnicemi nebo jejich kombinací. Obr. 5.2 Tvary kmitání kruhových desek [7] 5.1 VÝPOČTOVÉ MODELY VLASTNÍCH FREKVENCÍ VOLNÉ KRUHOVÉ DESKY Metodou konečných prvků byla zjištěna vlastní frekvence volné kruhové desky. Deska je namodelována v programu ANSYS metodou solid v prvním případě pomocí extrude, poté přes surface from sketches. Zvolené parametry kruhové desky ● poloměr 𝑑 = 200 𝑚𝑚 ● tloušťka h= 20 𝑚𝑚 ● materiál: ocel Obr. 5.3Vlastní tvar 1 pro frekvenci 0 Hz Obr. 5.4 Vlastní tvar 6 pro frekvenci 7,59∙10-4 Hz Obr. 5.5 Vlastní tvar 8 pro frekvenci 2490,2 Hz Obr. 5.6 Vlastní tvar 9 pro frekvenci 4142,5 Hz Obr. 5.7 Vlastní tvar 10 pro frekvenci 5516,7 Hz 5.2 ANALYTICKÉ ŘEŠENÍ VLASTNÍ FREKVENCE VOLNÉ KRUHOVÉ DESKY Pro analytické řešení kmitání kruhových desek se využívá následujícího postupu [2]. Kmitání desek libovolného tvaru je popsáno rovnicí , (5.1) kde w je posunutí ve směru kolmém na střednici desky, h je tloušťka desky, D vyjadřuje ohybovou tuhost desky. Laplaceův operátor je definován vztahem . (5.2) Pro řešení kruhové desky je vhodné použít převodu do polárních souřadnic ve tvaru , (5.3) Odmocněním rovnice (4.3) získáme . (5.4) Vlastní tvary kmitů kruhových desek lze popsat následujícím vztahem , (4.5) kde Am,n a Bm,n jsou konstanty, Jk je Besselova funkce, R vnější poloměr desky a i je imaginární jednotka 𝑖 = − 1. Index d představuje počet uzlových kružnic a index e počet uzlových průměrů. Člen λ𝑚,𝑛 je vyjádřen . (4.6) Pro vlastní frekvenci platí vztah 2 λ 𝑓 = 2π 5.3 ANALÝZA VÝSLEDKŮ Tab. 5.1 Vlastní frekvence volné kruhové desky 𝐷𝑔 4 ν∙ℎ∙𝑟 . (4.7) Frekvence [Hz] Model Solid Analytické řešení 1 0 4 901 2 0 10 230 3 2,3∙10-4 16 770 6 7,6∙10-4 19 120 7 2490,1 - 8 2490,2 - 9 4142,5 - 10 5516,7 - Obr. 5.8 Graf vlastních frekvencí kruhové desky 6 KRUHOVÁ MEMBRÁNA S membránovými skořepinami se setkáváme hlavně ve stavebnictví při zastřešování stadionů, průmyslových hal, nádrží či chladících věží například zastřešení Olympijského stadionu v Mnichově nebo Millennium Dome v Londýně. Vhodně navrženým tvarem dochází k optimálnímu přerozdělení vnitřních sil, což umožňuje překlenout velké rozpony. Obrázek 1: Olympijský stadion v Mnichově Obrázek 2: Millennium Dome v Londýně Předpokládáme-li, že tloušťka skořepiny je velmi malá, nejen ve srovnání s obrysovými rozměry, ale také s (hlavními) poloměry křivosti střednicové plochy, mluvíme o tzv. Technické teorii tenkých skořepin. Uplatňujeme zde předpoklad Kirchhoffovy teorie o zachování ortogonality normál a neměnnosti délek ve směru normály při deformaci. Dále předpokládáme, že je možné zanedbat napětí ve směru normálovém ke střednicové ploše ℎ≪𝑟𝑥, 𝑟𝑦 [2] kde: ℎ – tloušťka stěny [mm] 𝑟𝑥, 𝑟𝑦 – poloměry křivosti střednicové plochy MEMBRÁNOVÝ STAV NAPJATOSTI SKOŘEPIN Stav napjatosti daný tečně působícími silami ke střednicové ploše označujeme jako membránový, který je z hlediska využití materiálu nejvýhodnější. Skořepina v membránovém stavu nepřenáší ohybová a příčná lokální zatížení. Aby byla možná rovnováha membránových sil a spojitého zatížení, musí být splněny následující podmínky: a) b) c) d) Geometrické parametry skořepiny, tj. tloušťka, poloměry křivosti a polohy středů křivosti se nemění náhle. Osamělé síly, zatěžující skořepinu, musí ležet v tečné rovině střednicové plochy. Zatížení skořepiny se nesmí měnit náhle. Uložení skořepiny musí být staticky určité a musí vyhovovat podmínce pro osamělé síly (podmínka b) Nedodržení kterékoliv z těchto podmínek vede ke složitějšímu stavu napjatosti zahrnujícímu ohyb a krut, které dávají špičky napětí na povrchu skořepiny. Tuto situaci nazýváme momentový stav napjatosti. V místě podepření skořepiny dochází k porušení membránového stavu napjatosti a v hraniční oblasti vzniká momentový stav napjatosti. Ten vyvolává účinky, které se výrazně projevují v nejbližším okolí místa vzniku (řádově do vzdálenosti odmocnina z r. h), se označují jako skořepinové. Momentový stav napjatosti se tak s rostoucí vzdáleností od kraje rychle utlumí. Podobně dochází k lokálnímu porušení pouze membránové napjatosti vlivem defektů skořepiny (náhlá změna tloušťky v omezené oblasti, lokální vyboulení apod.) nebo při zatížení osamělými silami a momenty. [3] Membránový stav napjatosti můžeme sledovat v případech, kdy: 1. Dokonale ohebná membrána, která účinkům zatížení vzdoruje jen silami, které působí v rovině tečné k její střednici. S tímto se můžeme často setkávat u textilních materiálů. Obecně lze napsat, že osová tuhost Eh je konečná, zatímco Eh3 se limitně blíží k nule. 2. Ohybově tuhé skořepiny, jež jsou uloženy a zatíženy tak, aby v nich vznikaly síly v rovině tečné k její střednici. V lokálních oblastech – okraje skořepiny, místa nespojitosti v tuhosti či nespojitosti zatížení, nebo oblast se zlomem ve střednicové ploše – může docházet k poruše membránového stavu napjatosti. Tyto poruchy mají, v důsledku Saint-Venantova principu lokálnosti, pouze lokální charakter a v dostatečné vzdálenosti od oblasti poruchy vymizí. [2] 6.1 VÝPOČTOVÉ MODELY VLASTNÍCH FREKVENCÍ KRUHOVÉ MEMBRÁNY U kruhové membrány po obvodu vetknuté zjistíme pomocí metody konečných prvků vlastní frekvenci, kterou poté porovnáme s hodnotou získanou z analytického řešení. Zvolili jsme kruhovou membránu o těchto parametrech: poloměr 𝑟 = 101 𝑚𝑚 tloušťka ℎ = 2 𝑚𝑚 materiál: ocel Obr. 6.1 Vlastní tvar 1 membrány pro frekvenci f = 500,3 Hz (solid) Obr. 6.2 Vlastní tvar 1 membrány pro frekvenci f = 499,03 Hz (shell) Obr. 6.3 Vlastní tvar 1 membrány pro frekvenci f = 500,57 Hz (symetrie) Obr. 6.4 Vlastní tvar 2 membrány pro frekvenci f = 1040,1 Hz (solid) Obr. 6.5 Vlastní tvar 2 membrány pro frekvenci f = 1039,4 Hz (shell) Obr. 6.6 Vlastní tvar 2 membrány pro frekvenci f = 1040,8 Hz (symetrie) Obr. 6.7 Vlastní tvar 4 membrány pro frekvenci f = 1704,5 Hz (solid) Obr. 6.8 Vlastní tvar 4 membrány pro frekvenci f = 1705 Hz (shell) Obr. 6.9 Vlastní tvar 4 membrány pro frekvenci f = 1705,6 Hz (symetrie) Obr. 6.7 Vlastní tvar 6 membrány pro frekvenci f = 1943,4 Hz (solid) Obr. 6.8 Vlastní tvar 6 membrány pro frekvenci f = 1946,9 Hz (solid) Obr. 6.9 Vlastní tvar 6 membrány pro frekvenci f = 1944,4 Hz (symetrie) 6.2 ANALITICKÉ REŠENÍ VLASTNÍ FREKVENCE KRUHOVÉ MEMBRÁNY Pro výpočet první vlastní frekvence kruhové membrány je uvažována kruhová deska. Platí následující předpoklady výpočtu: ● Šířka (rozpětí) 𝑙 je výrazně větší než tloušťka desky ℎ: ℎ/𝑙 < 1/50 (h-tloušťka desky, l-rozpětí) (4) ● Deska je po obvodu vetknutá ● Na desku nepůsobí vnější zatížení ● Uvnitř působí hlavně normálové síly, ohybové momenty jsou zanedbatelné Využitím diferenciálních rovnic z modální analýzy a dosazením správných okrajových podmínek se dostaneme ke konečnému vztahu pro výpočty vlastních frekvencí kruhové desky po obvodu vetknuté: 𝐾 𝑓 = 2π 𝐷𝑔 4 𝑤𝑟 [𝐻𝑧] Kde: 𝐾 – konstanta (pro první mód 𝐾 = 10,2) [-] 𝐷 –desková tuhost 𝑔 – tíhové zrychlení [ms-2] (5) 𝑤 – jednotkové zatížení [Nm-2] 𝑟 – poloměr desky [m] pro druhý mód 𝐾 = 21, 3 pro třetí mód 𝐾 = 34, 9 pro čtvrtý mód 𝐾 = 39, 8 Desková tuhost závisí na použitém materiálu a tloušťce desky, spočítá se podle následujícího vtahu: 3 𝐷 = 𝐸ℎ (5) 2 12(1−υ ) Kde: 𝐸 – modul pružnosti v tahu [Pa] υ – Poissonova konstanta [-] 6.3 ANALÝZA VÝSLEDKŮ Tab. 6.1 Vlastní frekvence membrán Frekvence [Hz] Model Solid Shell Symetrie Analyticky 1 500,3 499,03 500,57 482,4 2 1040,1 1039,4 1040,8 1007 3 1040,4 1039,4 1040,8 1007 4 1704,5 1705 1705,6 1650 5 1704,7 1706,2 1705,6 1650 6 1943,4 1946,9 1944,4 1882 7 2491 2495,8 2492,4 8 2491,1 2496,4 2492,4 9 2693,7 2983,2 2969,5 10 2968,3 2984,6 2969,5 Obr. 6.10 Vlastní frekvence membrán 7 PO OBVODU VETKNUTÁ OBDELNÍKOVÁ DESKA Deska je trojrozměrný prvek, kdy dva její rozměry převažují nad rozměrem třetím. Je určena rovinnou střednicovou plochou, od které jsou body horní a spodní plochy stejně vzdálené [3]. Deska podobně jako tyč nekmitá pouze příčně, ale koná složité ohybové kmity. Na rozdíl od tyče se však její pohyb skládá z ohybových kmitů ve dvou na sebe kolmých směrech, a proto je ještě o mnoho složitější než kmity tyče [1]. Obr. 7.1 deska vetknutá [2] Obdélníková mezi hranoly Obr. 7.2 Schéma obdélníkové desky vetknuté po obvodu [1] 7.1 VÝPOČTOVÉ MODELY VLASTNÍ FREKVENCE PO OBVODU VETKNUTÉ OBDÉLNÍKOVÉ DESKY U obdélníkové desky po obvodu vetknuté byla zjištěna vlastní frekvence a vlastní tvary. Deska je namodelována v programu ANSYS dvěma způsoby: - surface body, solid model. Zvolili jsme desku o parametrech: ● strany 𝑎 = 100 𝑚𝑚, 𝑏 = 200 𝑚𝑚 ● tloušťka h= 20 𝑚𝑚 ● materiál: ocel Obr. 7.3 Vlastní tvar 1 pro frekvenci 9396,9 Hz (Surface body) Obr. 7.4 Vlastní tvar 2 pro frekvenci 11815 Hz (Surface body) Obr. 7.5 Vlastní tvar 3 pro frekvenci 15873 Hz (Surface body) Obr. 7.6 Vlastní tvar 5 pro frekvenci 20396 Hz (Surface body) Obr. 7.7 Vlastní tvar 1 pro frekvenci 9493,8 Hz (Solid) Obr. 7.8 Vlastní tvar 2 pro frekvenci 11935 Hz (Solid) Obr. 7.9 Vlastní tvar 3 pro frekvenci 16015 Hz (Solid) Obr. 7.10 Vlastní tvar 5 pro frekvenci 20559 Hz (Solid) 7.2 ANALYTICKÉ ŘEŠENÍ VLASTNÍ FREKVENCE VOLNÉ KRUHOVÉ DESKY Následující informace jsou čerpány ze zdroje [4]. Celková energie napjatosti kmitající desky je popsána vztahem (9.1) kde D je ohybová tuhost desky [m], E je Youngův modul pružnosti [Pa], h představuje tloušťku desky [m], ν je Poissonovo číslo [-]. Konečný tvar energie napjatosti desky při zadaných okrajových podmínkách má tvar (9.2) Celková kinematická energie desky (9.3) Po integraci a dosazení do rovnice (1.3) dostáváme energii ve tvaru (9.4) Pokud nedochází k disipaci energie, tak pro kmitající desku platí, že energie napjatosti se rovná k velikosti kinematické energie T (9.5) Desková tuhost závisí na použitém materiálu a určí se dle vzorce 3 𝐷= 𝐸ℎ ( 2 12 1−υ ) (9.6) Pro vlastní frekvenci platí vztah (9.7) kde E je Youngův model pružnosti, a je delší hrana obdélníkové desky, γ je hustota materiálu desky, ν představuje Poissonovo číslo. Výpočet: Známé hodnoty 𝑎 = 200 𝑚𝑚 = 7, 874 𝑖𝑛 𝑏 = 100 𝑚𝑚 = 3, 937 𝑖𝑛 ℎ = 20 𝑚𝑚 = 0, 787 𝑖𝑛 Tabulkové hodnoty 𝑎 2 𝑁 = 2, 25 Vlastní výpočet 𝐾 236 λ = 𝑁 = 2,25 𝑎 4 𝑏 ( ) + 12( ) = 12 + 8∙4 + 12∙16 = 236 𝐾 = 12 + 8 𝑏 𝑓𝑁 = 2 λ 2 2π𝑎 3 𝐸ℎ 2 12γ(1−ν ) = 686, 42 𝐻𝑧 7.3 ANALÝZA VÝSLEDKŮ Tab. 7.1 Maximální deformace a frekvence Frekvence [Hz] Model 1 2 3 4 5 6 Surface body 9396 Solid 9493,8 11815 11935 15873 16015 20202 20208 20396 20559 21147 21296 Obr. 7.11 Graf vlastní frekvence vetknuté obdélníkové desky 8 VOLNÁ VÁLCOVÁ SKOŘEPINA Skořepiny jsou plošné konstrukce, jejichž geometrie je určena střednicovou plochou (tj. plocha půlící tloušťku) a tloušťkou (definovanou v každém bodě). Skořepiny mohou být zakřiveny v jednom, nebo ve dvou směrech (výjimkovými případy jsou stěny a desky) [1]. Využití skořepin [2]: • báně • nádrže • válcové skořepiny atd. Tenkostěnné skořepinové konstrukce se aplikují ve stavitelství (betonové konstrukce), strojírenství, dopravních prostředcích atd. A to zejména díky jejich relativně vysoké únosnosti při zachování nízké hmotnosti. Obr. 8.1 Ukázky válcových skořepin [2] Předpokládáme-li, že tloušťka skořepiny je velmi malá, nejen ve srovnání s obrysovými rozměry, ale také s (hlavními) poloměry křivosti střednicové plochy, mluvíme o tzv. technické teorii tenkých skořepin. Technická teorie tenkých skořepin předpokládá, že tloušťka skořepin je malá ve srovnání s obrysovými rozměry a s poloměry křivosti střednicové plochy velmi malá h<<rx, ry. Dále je předpokládána platnost pro Kirchhoffovu technickou teorii desek, tj. zachování přímosti normál před a po zatížení ke střednicové ploše, zanedbání normálového napětí a deformace ve směru normály ke střednicové ploše, nulový pohyb ve směru tečném ve střednicové ploše [2,3]. 8.1 VÝPOČTOVÉ MODELY VLASTNÍ FREKVENCE VOLNÉ VÁLCOVÉ SKOŘEPINY Pomocí programu ANSYS byly zjištěny vlastní frekvence a tvary volné válcové skořepiny. Skořepina byla vymodelována způsobem Zvolené parametry válcové skořepiny: ● ● ● ● průměr 𝑑 = 300 𝑚𝑚 délka l= 1000 𝑚𝑚 tloušťka ℎ = 1𝑚𝑚 materiál: ocel Obr. 8.2 Vlastní tvar 3 pro frekvenci 0 Hz Obr. 8.3 Vlastní tvar 5 pro frekvenci 6.2661∙10-3 Obr. 8.4 Vlastní tvar 7 pro frekvenci 29,167 Hz Obr. 8.5 Vlastní tvar 9 pro frekvenci 30,63 Hz Obr. 8.6 Vlastní tvar 11 pro frekvenci 82,498 Hz 8.2 ANALYTICKÉ ŘEŠENÍ VLASTNÍ FREKVENCE VOLNÉ VÁLCOVÉ SKOŘEPINY Výpočet vlastní frekvence volné válcové skořepiny je definován dle Timošenkova vztahu [4] 2 2 1 2 1 ⎡ 𝐸𝑔 𝑡 𝑛 (1−𝑛 ) ⎤ ⎥ , 𝑓 = 2π ⎢ ρ ⎢ 𝑤 12𝑟4𝑜 1+𝑛2 ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 (1.1) Kde f je vlastní frekvence skořepiny, E Youngův modul pružnosti, ρw je hustota materiálu skořepiny, t představuje tloušťku skořepiny, n je počet obvodových, ro je menší průměr skořepiny. 8.3 ANALÝZA VÝSLEDKŮ Tab. 8.1 Maximální deformace a frekvence Frekvence [Hz] Model 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Solid 0 0 0 3,6192*^-3 6,2661*^-3 7,5368*^-3 29,167 29,167 30,263 30,263 82,498 82,498 Analytické řešení 0 0 0 0 0 0 33,171 33,171 33,171 33,171 93,823 93,823 Obr. 8.7 Vlastní frekvence skořepin 9 POUŽITÉ INFORMAČNÍ ZDROJE [1] Miláček, S.: Modální analýza mechanických kmitů, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1996, 154 stran, ISBN 80-01-00872-X. [2] Encyklopedie fyziky. Fyzika.jreichl [online]. Jaroslav Reichl, Martin Všetička, 2016 [cit. 2016-04-29]. Dostupné z: http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/151-kmitavy-pohyb [3] Kmitání. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2016 [cit. 2016-04-29]. Dostupné z: https://cs.wikipedia.org/wiki/Kmit%C3%A1n%C3%AD [4] MECHATRONIKA. ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE [online]. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, 2014 [cit. 2016-04-29]. Dostupné z: http://www.kme.zcu.cz/download/predmety/298-umm-3a.pdf [5] MODELOVÁNÍ KMITÁNÍ DYNAMICKÉ SOUSTAVY S VÍCE STUPNI VOLNOSTI. Https://www.vutbr.cz [online]. Brno: VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ, 2013 [cit. 2016-04-29]. Dostupné z: https://www.vutbr.cz/www_base/zav_prace_soubor_verejne.php?file_id=63 461 [6] VACULKA, M. Deformačně napěťová analýza rámu lisu na víno. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 2014. 66 s. Vedoucí bakalářské práce Ing. Kamil Novák. (https://www.vutbr.cz/www_base/zav_prace_soubor_verejne.php?file_id=84221) [7] Sazka Aréna. In: Excon: Stavíme na partnerství [online]. [cit. 2016-04-30]. Dostupné z: http://www.excon.cz/cs/realizace-staveb/sazka-arena [8] ŠMILAUER, Vít. Stupeň volnosti a vazby hmotných objektů. In: České vysoké učení technické - Fakulta stavební: Katedra mechaniky[online]. ©2007-2008 [cit. 2016-04-30]. Dostupné z: http://mech.fsv.cvut.cz/~smilauer/teaching/SM1_pred_05.pdf [9] Téma kroucení. In: Fakulta stavební: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava [online]. Ostrava: VŠB-TU, 2016 [cit. 2016-04-30]. Dostupné z: http://fast10.vsb.cz/michalcova/Pruznost11/pr_05_krouceni.pdf [10] VYBÍRAL, Bohumil. Mechanika pružného olympiáda [online]. [cit. 2016-04-30]. http://fyzikalniolympiada.cz/texty/pruznost.pdf tělesa. In: Fyzikální Dostupné z: [11] Vlastní kmitání nosníku. In: České vysoké učení technické - Fakulta stavební: Katedra mechaniky [online]. ©1998-2016 [cit. 2016-04-30]. Dostupné z: http://mech.fsv.cvut.cz/wiki/images/8/83/SP-PRPE-2013-Karas.pdf [12] Kmitanie. KATEDRA TEORETICKEJ FYZIKY A DIDAKTIKY FYZIKY[online]. Bratislava: KATEDRA TEORETICKEJ FYZIKY A DIDAKTIKY FYZIKY, 2012 [cit. 2016-05-02]. Dostupné z: http://www.ddp.fmph.uniba.sk/~koubek/UT_html/G3/kap5/5-1_soubory/i mage004.jpg 10SEZNAM POUŽITÝCH OBRÁZKŮ Obr. 3.1 Mechanické oscilátory Obr. 4.1 Ocelová konstrukce střechy O2 Arény Obr. 4.2 Geometrický prutový předpoklad Obr. 4.3 Obecný prut Obr. 4.4 Vetknutá hřídel s proměnným průřezem (a), konzolový nosník a jeho model v deformovaném stavu (b)