'(h)!J~rp~
JL&i~CG
ibD-uoQ,~'
-
CALCULO,
UFC6-
Com Geometria Analitica
((ea..; 0 2017 -1 d 3'-t 6
fill
If
I
, 'it
'eQUro.-
'r~'· )~~
.
'Volume 1
~<:L~~'
2~ Edic;ao
EariW. SWOKOWSKI
Trad,ll;iio
AJfredo Alves de Farias
Professor adjunto (aposentado) da UFMG
Com a colabora~iio dos professores
Vera Regina L. F. Flores e
Marcio QlIintiio Moreno
da UFMG
Revisiio
TecTlica
Antonio PERTENCE Junior
Professor e Engenheiro Tecnico
Membro efelivo da Sociedade Brasileira de Matematica
Licenciado em Matematica
MAKRON Books do Brasil Editora Llda.
Rua Tabapua. 1.348. Itaim-Bibi
CEP 04533-004 - Sao Paulo
(OIl) 829c8604 e (OIl) 820-6622
:
1
Rio de Janeiro'
Juan'Santiago
Lisboa ' Bogotr/ ' Buenos Aires'
Guatema
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.
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.
Mexico' New York' "l/IWII/r/
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Auckland' Hamburg· Kuala Lumpur' Lendon • Milan ' ~ontreal • New Delhi: Pari, • Singarorc • Sydncy •
Tokyo'Toronto
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..
Do original
Calculus - Fifth Edition
Copyrighl
Copyrighl
Copyright
© 1991, by PWS-Kenl, uma divisao da Wadsworth,
© 1995, da Makron Books do Brasil Editora Uda.
© 1983, da Editora McGraw-Hili do Brasil, Uda.
Inc.
Nenhuma parte desla publica<;ao podera ser reproduzida,
guardada pelo sistema "retrieval" ou lransmitida de
qualquer modo ou por qualquer oulro meio, seja este eIetr6nico, meciinico, de fotoc6pia, de grava<;ao, ou oulros,
sem previa autoriza<;fio, por eserito, da Editora.
Gereme Editorial: Daisy Pereira Daniel
Prodll/ora Editoriol: Monica Franco Jacinlho
Produtor Grafteo: Jose Rodrigues'
Capa: Layout: Jose Roberto Petroni
;,
Editorar;iio Eletrolliea e F%li/os:
ERJ lnf;~;\lica
Llda.
min/w miie 'meu
I'll
Sop/lia e John SwOkOW.I'kl,
Dados Internaclonais de Catalogal<ao oa Publlc3l<aO (CIP)
(Camara Brasllelra do Livro, SP, Brasil)
Swokowski, Earl William, 1926. Calculo com geometria analitiea / Earl W.
Swokowski
: tradu<;ao Alfredo Alves de Faria, com a
colabora<;!o dos professores Vera Regina L.F. Flores
e Marciq Quintao Moreno ; revisao tecnica Antonio
Pertence Junior. -- 2. ed. -- Sao Paulo:
Makron
···Books,1994.·--··-:··-,-·····
Publicado vol. 1.
1. Calculo 2. Geometria
analitica
I. Titulo.
BIBLIOTECA DO DivlEIUFCG
""1"f-jDil~
ZELE . O~~
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EV\TE MUlTl\S
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<·~i.f,.; ~ ~'-.:'~';',,;·:7!(,··'~':·;i{)~{';;:',
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1. CaIculo,e
.geom'~ti-fa·an'aiitic-~ sis·.ls
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n'\,.";.,J
ENTREGANDO-QS EM D\A
I
F6RMULAS DE DERIVADAS -.
F6RMULAS DE INTEGRAlS
2D.(u+v)~D.u+D.v
1
2Iundu---un+1+C
3 D. (uv) ~ uD. v + v D. u
n+l
1
(!!.) ~ v Dx u- u Dx v
x
4 D
3
v2.
V
'
n;<-1
.
f;; du - In III I+ C
1
5 Ian dll =--a" + C
In a
7 D. e" ~ e" D. u
8 D.d'~d'lnaD.u
7
I cos u du sen u + C
=
8 Iscc2 Udu - tg u + C
10 D log lul~_I_D
x
U In a
a
u
x
11 D.senu~eosuD.1l
12 D.eosu~-senuD.u
13 D. tg u ~ see2 U Dx u
12 Ilgudll--1nlcosu!+C
14 D.cotu~-CSC2UDxu
13
15D. see u ~ see u tg it D. u
16 Dx ese u ~ -csc u cot u D. u
17 Dxsen-lu=_~D
18 D.eos-lu~~D
u
vl-rl'""
.r
vI - U"
•
19D.tg-lu~_I_D
1 + u2
u
I cot u du = In I sen u I + C
14 Iscc u du = In I see u + tg ul + C
15
I csc du ~ In lese u - cot u I + C
16
r~
17
1
1
u
du ~ - tg-t - + C
I -,--,
a- + u·
a
a
u
II
du =sen-1!i + C
a
va- -II""
x
III-~r-r--r a sect -ua + C
19 I-,-L,
2-ln I!!.:!:.E.I + C
2a
II-a
18
20 D,scc-t u= _~D
u vu· - 1
•
u
dll ~ -
UVU--((
dll ~
lr-U-
20
I__
~ du -In III + ~
vu .. G'"
I+ C
Area A; circunfercncia
C; volume V; area de uma
superficie curva S; altura h; raio T.
~
b
A~!(a+b)h
2
P!USMA
CiRCULO
o
Dw
/} )
b
,,'3~-
t~{)' :.
it
/t· / ~Ji\'
rI.~
ALGEBRA
I
1'01'1'111'
1',ll
/I"'".
H"' I M
,,1,./ .. _ V;;m •. (~/a)m
)
lj~!·j
Vnl-Vn'VTJ
1,,1,)'
11"/1'1
~."fJ
1"
(;:r
If"j
n'·
0"
"vV;; ~ n"v;
I,ll
II'"
a-II"",-
"
GEOMETRIA ANALITICA
Ill( 'AtS
I
FORMUlA
Se 0 " 0, as raizes de ax2 + bx + C = 0 sao
d(P" P2) = "{x2 -xlF
-b ± ,fliC4iiC
x =
y = log. x
20
significa a'I • x
log. xy = log. x + log. Y
10g.0= 1
log! = log x -Iog.y
'y
•
FORMA COEFICIENTE
ANGULAR-INTERCEPTO
EQUA<;Ao DE UM CIRCULO
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
y
TEOREMA BINOMIAL
(x + y)" _ x" + ( ~ ) x" -1 Y + ( ~ ) x" - ~y2 +
1111I IIJ I (desigualdade do triangulo)
I,,' ""'1"1
... +
yy
log. 1 = 0
"01( AIJSOl.UTO (d> 0)
I" IIII
+ (Y2-
Y
a"
III ,I
I, I tI
DA DISTA.NClA
(nX"-k yk + ... + yO,
onde (~) = k!(nn~ k)!
y,-y,
m=-_
X2-XI
FUN<;OES TRIGONOMETRICAS
Ill' ANGULOS AGUDOS
,;p
op
o
~
senO=~
eos8=~
adj
Ig8=~
I (11+1')= IgII+lgv
g
I -tg IIIg v .
ese 8 _!JiQ
op
h"
see ()-~
hip
hip
eOI8-~
ad)
SUMARIO
sen (II - v) = sen II cas v - CDSIIsen v·
eos (II - v) = cos II CDSV + sen u sen v
I (11-1')= 19l1-lgv
g
1 + tg II 19 v
op
liE ANGULOS ARBITRARIOS
sen 8 = ~
eseO-/;
eos 0 =!:'.
see (}_l:
r
,.
r
x
~
b
IgO =-;;
r
a
eol8 =!:'.
b
19211- ~
I -Ig
y
sen I = Y
eos I = X
x
19l=l'..
x
ese I --
1
Y
1
see I =x
x
colI-Y
II
I "1~
sen
2
Ill~ NUMEROS REAIS
2
-
I "1~
eos
--2-
2
II I - cas II
tg2-~=
sen II
l+eoslI
21-eos211
sen 11=--2--
=
--2-
,1+eos211
cos- II "'"--2--
i
CDSII sen v = i[sen (II+ v) - sen (II- v))
sen II eos v = [sen (II+ v) + sen (II- v))
CDSII cas v = ~ [eos (II+ v) + eos (II- v))
sen IIsen v
vv1,
/~~
2~1
VALORES ESPECIAISDE
TRIGONOMETRICAS
V3
~~?:.~~.i:s1·~s~n~efCri'5"'a:~'(g
t. cot 8' see 8 csc 8
II1IWflOADES TRIGONOMETRICAS
8
O·
0
0
.!!
6
.1
V3
V3
2
2
3
.!!
4
V2
V2
2
2
.!!
3
V3
1
2
30·
1
45·
N
••
-
CDS I
I
60·
('1111·I~t
sen(-I) ~ -sen I
I Ig2
( _
scc2 (
I COl2,_csc2t
COS(-I)= COSI
tg(-I) = -tg I
FUN<;OES
8.
I
l~'f--scn t
M'l,;f_
=i [eos (u - v) - cas (II+ v))
90·
.!!
2
2
0
0
V3
I
V3
2V3
2
3
V3
3
0
{f
V2
2
2V3
3
INDICE
XXV
Capitulo
1 - Revisiio prc-ciilculo
.•..••..•..•.......•.•......•..••......••......
1,1
Algebra,
, , . , , , .. , , . , . , , , , . , ,
1.2
Func;6es , , , . , . , , ... , .. , , .. , , , , . , ....
1
, .. , . , . ,
,
,.,
, , . , , .. , .. , . , , , , , ,
2
, , . , ... , . , , , , , .. , , , , .
17
33
Capitulo
2 - Limites de func;oes ...•..••.••..•..........•.................••....•
2.1
Introdu~ao ao conceito de limite.
2,2
Definic;ao de limite,
',,----
2,3
2.4
",
2,5
49
, , . , , . , , . , ... , . , , , . , ....
,,
,,,
Tecnicas para a delerminac;ao de limites
.. ,
" ....
Limiles que envolvem infinite
,.,."
Func;6es continuas
, , .. , .. , . , , . ,
"',
.".,
... " ... ,.",
, . , , ....
, , . , .. ,
, , .. , . ,
,.,.,
.. " .. "."",.
:, , , .. , ., , , . , , , , ,
,
".,
.
.. "".,
.....
50
64
73
,,,,.
86
,.
98
,
2.6
110
113
3,1
Retas langentes e laxas de variac;ao "',
.. ,.,",.".,.,.",.""".",."
3.2
Definic;ao de derivada
",
,.,.,
.. "
.. "
,.,
114
,
"",.,
124
138
xv
0.;..-
:::(
16l
A regra da cadeia
174
.
CapItulo
.'
436
. 186
Diferencia~ao implfcita
445
4 - Aplica~oes da derivada
. . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . • . • . . . •. . . . •. •. . •. •. . •. .
211
4.1
Extremos das fun«oes
212
7.1
4.2
225
'/...7.2
A fun«iio logaritmica natural
.
4.3
o teorema do valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o teste da derivada primeira ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
233
><>,3
A fun«iio exponencial natural
.
4.4
Concavidade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
243
/.7.4
Integra~ao
.
4.5
Resumo dos metodos graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
254
X7.5
Fun~oes exponenciais e logarftmica gerais
.
Problemas de otimiza«iio
264
7.6
Leis de crescimento e decaimento
.
7.7
Exerdcios
j
X4.6
e 0 teste da derivada segunda
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4.7
Movimento retilineo e outras aplica«oes
279
4.8
Metodo de Newton
294
de revisao
:
Capitulo 8 - Fun~Oes trigonometricas
4.9
CapItulo
A 5.1
5.4
5 - Integrais
Antiderivadas
•
indefinida
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
\,5.5
Propriedades da integral definida
A~.6
0 teorema fundamental
do calculo
350
361
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Integra~iio numerica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . .. . ..
375
5.8
Exerclcios de revisiio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
. 385
;(8.2
Derivadas e integrais
8.3
Fun«6es hiperb6licas
inversas
e hiperb6licas
..••..•...........•....
inversas
Capitulo
~
9 - Tecnicas de integra~ao
J.l
Integra«iio por partes
f 9.2
Integrais trigonometricas
••........•.••...•••...•..•..................
..
:
.
.
A9.3
~.4
6 - Aplica~oes da integral
.1
Area.
6.2
S61idos de revolu«iio
'6.3
Fun«6es trigonometricas
.
339
5.7
Capitulo
~"
e integra~ao
A integral definida
~~f,'
~
..•.•••.....•.••••.•......•....•....•.....•...............
18.1
: .. : .. :
(,
definida
/
Volumes por aneis cilindricos
~: .. '.. '
j"'.
387
•...••.........•....•.....•.•.•.....•.
.'
..............................•...........
'
;
~
-
-,
9.5
.
388
Substituic;6es diversas
.
400
. Tabuas de integrais
.
411
\ ;.
.-
Exerclclos de reVlsao
; .. ;
...............................................••••
..
: .................•
,
. ,, ,•,•,
, 1111Illu 1Il
1111
III
IIIIII11
III \
1111111111'\'111 lill1iles de inlegra<;ao infinitos
III ,
1111'111'
II t:1l111 Irllcgrandos
IllIh.\
""li1lcm{,lica
111"1111~ IlIdclcrminadas
.....
0
descontinuos
•••
00
0
••
0
0
•••••
.....
•••••••••
0000
0.000
0
•••••••
0
0
0
••
0
•
000
0
••
0
0
•••••••
•••••••••
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••
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0.0
••
•••
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o'
III
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II
1'('(lIl
oI1II1S
0
sohre limitcs, derivadas e integrais
•••••••
.....
0
0.0
•••
00'
••••••
•••
0
:
•••
00'
0
•
00.
A revisao da cdi<;ao original deslc livro foi empreendida
~.
com
tres objetivos em mente. a primeiro e tomar 0 Iivro mais voltado
para 0 estudanle, ampliando discussiies e proporcionando maior
Dllmero de cxemplos e i1ustra<;iies para melhor esclarecer os
conceitos. Para auxiliar ainda mais 0 Icitor, foram acrescentadas,
em muitas se<;iiesdo texto, sugestiies para a resolu<;ao de
problemas. 0 segundo objelivo e enfalizar a utilidade do calculo
por meio de aplica<;iies atualizadas de derivadas c integrais. a
terceiro objetivo - tomar 0 livro tao livre de erros quanto possivcl
- foi alcan<;ado por meio de um exame cuidadoso do texlo
explicativo, aliado a uma verifica<;ao minuciosa de cada exemplo
e exercicio.
/
I MODIFICAC;6ES
PARA ESTA EDIC;Ao
SugeSliies diversas, oferecidas por professores e revisores, rcsultaram na ncccssidadc de recscrcvcr c rcorganizar a obra. Indicamos a seguir as principais modifica<;iies.·
CAPITULO 1
a niimero de se<;iics de revisao foi reduzido
de seis para tres, e demonstra<;iies de resultados do pre-calculo
foram SubSliluidas por exemplos sobre desigualdades, equa<;iics
e graficos.
CAPITULO 2
Ha maior enfase na significa<;ao griifica dos
limitcs. Utilizam-se uma aplica<;ao ffsica e afirrna<;iies niio muilo
rigorosas para motivar a dcfini<;ao f.-o. Na Se<;iio 2.4 sao
estudados os limites que envolvem infinito (co).
N.P. Para facililar 0 IfabaJho do aluno, 0 livro original [oi dividido em dais volumes. 0 primeiro volume conh~m as cOIpftulos
1 a 10 e 0 seguodo, 11 a 19. Ambos coolem Prefacio. Apendices e Indice Analitico.
CAPiTULO 12
Incluem-se aplicac;oes adicionais do calcu10 envolvendo
se<;oes c6nicas, de modo que 0 estude nao se
limite simplesmenle a uma revisao de 16picos de pre-calculo.
CAPiTULO 3
As interpretaltoes da derivada como coeficiente angular da tangente e como taxa de variac;ao de uma
func;ao foram consideradas simultaneamente,
e nao em sec;oes
separadas. Na Sec;ao 3.2 foram introduzidos a regIa da potencia
para numeros racionais e 0 conceito de derivada de ordem
superior. Deu-se maior eiJfase ao uso de diferenciais como
aproxima<;oes lineares de valores de func;oes.
CAPITULO 13
pIos e exercicios
CAPiTULO 14
Para faci!itar a visualizac;ao eo esbo<;o de
superficies, muitos exemplos ilustram 0 trac;o da superficie em
cada plano coordenado. 0 estudo das coordenadas ciHndricas e
esfericas passa para 0 Capitulo 17.
CAPiTULO 4
A definiC;ao de concavidade foi modificada
de modo a to mar mais facH estabelecer a relaltao entre 0 sinal
de uma derivada e a forma de urn grafico. Vma nova sec;ao,
intitulada Resumo dos Me/ados Grtificos, indui uma !ista de
passos, ou estagios, para esboc;ar 0 gnlfico de uma fun<;ao.
CAPiTULO 15
A introduc;ao as func;6es com valores vetoriais foi reescrita e integrada a noc;ao de curva no espa<;o.
Deu-se proeminencia a utilizac;ao do comprimento do arco como
parametro.
CAPiTULO 5
Antiderivadas
e inlegrais indefinidas sac
estudadas nas duas primeiras sec;oes, em lugar de em capitulos
diferenles. Ha quinze novos exemplos relativos a integrais
definidas.
.
CAPiTULO 16
Dezesseis novas figuras contribuem para
dar maior enfase aos graficos e a interpretac;ao geometrica das
fun<;6es de diversas variaveis. Na Seltao 16.4 explica-se 0 metoda
de Newlon para urn sistema de duas equa<;oes nao-lineares.
Ampliou-se 0 estudo sobre os multiplicadores de Lagrange.
CAPiTULO 6
Quase todos os exemplos sobre aplicac;oes
de integrais definidas foram refeitos, de modo a substituir limites
formais de norm as por urn metoda mais intuitivo utilizando
diferenciais. Dao-se sugestoes sobre estrategia para determinac;ao de areas e volumes.
CAPiTULO 17
A definic;ao de integral dupla e metodos
de calculo eslao englobados em uma sec;ao, em lugar de duas.
o estudo da integral trip!ice em coordenadas ciHndricas e
esfericas e feito em duas sec;6es separadas.
CAPiTULO 7
A demonstrac;ao da f6rmula da derivada de
uma func;ao inversa e dada na primeira sec;ao e nao na ultima.
As integrais da tangente, da co-tangente,
da secante e da
cos-secante sao estudadas na Seltao 7.4 (e nao no Capitulo 8).
CAPiTULO 8
Os t6picos considerados restringem-se
fun¢es lrigonometricas e hiperb61icas inversas.
CAPiTULO 18
Ha uma exposlc;ao mais detalhada dos
campos vetoriais conservativos e da tecnica de determinaC;ao de
uma func;ao potencial a partir do gradiente. Em dois novos
exemplos aplicam-se 0 teorema de Stokes e 0 conceito de
circulac;ao a analise dos ventos no interior de urn tornado.
as
CAPiTULO 9
Foram melhoradas as explicac;oes e as sugestoes referentes aos metodos de inlegrac;ao.
CAPiTULO 10
Para facilitar a referenda, as defmiltoes e
notac;oes para form as indeterminadas sac apresentadas em tabelas.
estudo da formula de Tayler foi transferido para 0 Capitulo 11.
Foi acrescentado e incorporado a exemde oriell/a~ao de uma curva.
0 conceito
CAPiTULO 19
A Ultima seC;ao e dedicada as solu<;6es de
equa<;6es diferenciais por meio de series.
,
II
II CARACTERISTICAS
DO TEXTO
o
CAPiTULO 11
Deu-se maior enfase as diferenltas entre
seqiiencias, somas parciais, somas de series infinitas e ao fato
de que os testes de convergencia nao determinam a soma de
uma sene. Foi completamente reorganizado 0 material sobre a
represenla'tiio de funlt0es por series de potencia e series de Taylor.
".
APLlCAC;OES
A edi<;ao original continha exemplos d'
aplicaC;ao abrangendo areas como engenharia, ffsica, qufmicll,
biologia, economia, fisiologia, sociologia, psicologia, ecologill,
oceimografia, meteorologia, radioterapia, astronaulica e transpol'te. Esta. lista, ja por sI bastante
extensa, foi acrescida d'
exemplos e exercicios que incluem aplicac;oes modern as do
calculo ao planejamento de computadores, analise de graus d
lempe~~tura e medida da' espessura da camada de ozonio, efcilO
estufa, circulao;;ao dos'ventos
dentro de urn tornado, energia
liberada pelos terremotos, densidade da atmosfera, movimento
dos brao;;osde urn robo e efeitos do gas radon sobre a saude.
EXEMPLOS'
Exemplos bem estruturados apresentam soluo;;oes de problemas analogos aos que constituem as Iistas de
exercfcios, Muitos exemplos contem gra£icos, quadros ou tabclas
que auxiliam 0 estudante a compreender
os processos e as
soluo;;oes, Ha tambCm illistrar;6es legendadas, que constituem
breves dernonstrao;;oes do usa de definio;;oes, leis ou teoremas,
Sempre que viavel, incluem-se aplicao;;oes que indicam a utilidade de urn topico,
EXERCiclOS
As list as de exerdcios comeo;;am com problemas de rotina e progridem gradativamente ate exercicios mais
complexos, Muilos exercicios con tendo gra£icos foram acrescentados a esta edio;;ao,as problemas aplicados geralmente vem no
fim das listas, para permitir ao estudante ganhar confiano;;a em
manipulao;;oes e ideias novas antes de tentar questoes que exijam
analise de situao;;oes praticas. Uma caracterfstica desta edio;;ao e
a inclusao de mais de 300 exercicios marcados com 0 simbolo
(9 ,destinados especificamenle para serem resolvidos com 0
auxilio de uma calculadora cientifica ou urn computador. Exi-'
gem-se recursos gra£icos para alguns desses exercicios (veja
observao;;oes contidas no t6pico Calculadoras),
RESPOSTAS
A seo;;ao de respostas na parte final do livro
contem as respostas da maioria dos exercicios de numero impar.
Consideravel esforo;;ofoi desenvolvido para tomar esta seo;;aourn
instrumento de aprendizagem e nao urn simples reposit6rio de
dados para conferir resposlas, Para ilustrar, se uma resposta e a
area de uma superficie ou 0 volume de urn s61ido, da-se uma
integral definida adequada juntamente
com seu valor. Para
muitos exercicios numericos, as respostas sac dadas tanto na
forma exata como em forma aproximada, Incluem-se gnlficos,
provas e sugestoes sernpre que forem convenientes,
CALCULADORAS
Como os estudantes podem ter acesso
a diversos tipos de calculadoras ou computadores, nao procuramos categorizar os exercicios marcados com (9, a enunciado de
urn problema deve proporcionar
informao;;ao suficiente para
indicar ou sugerir 0 tipo de calculadora ou computador disponivel para obter uma soluo;;ao numerica, Por exemplo, se urn
exercicio indica que se deve aplicar a regra trapezoidal com
n = 4, qualquer calculadora e adequada, desde que a funo;;ao nao
seja muito complicada. Ja para n = 20, e recomendavel uma
calculadora programavel ou urn computador. Se a soluo;;ao de urn
exercicio envolve urn grMico, pode ser adequada uma calcula-
dora que imprima grMicos; todavia, funo;;oes ou superficies
complicadas podem exigir um equipamento computacional sofisticado. Como a precisao numerica depende tambem do tipo
de disposilivo computacional utilizado, algumas respos(as aparecem arrcdondadas para dm\s casas decimais; em oulros casos,
a precisao pode chegar a oito casas decimais.
PLANEJAMENTO DO TEXTO E DAS AGURAS
0 texto
foi completamente reestruturado de modo a tomar as discussoes
mais faceis de seguir e a enfatizar conceitos importantes, Todos
os gra£icos foram refeitos. as graficos de funo;;oes de uma ou
duas variaveis foram gerados em computador e desenhados com
alto grau de precisao, utilizando a mais modern a tecnologia.
FLEXIBILIDADE
As instituio;;oes de ensino que utilizaram
as edio;;oes anteriores do livro atestam a flexibilidade do texto.
Seo;;oes e capitulos podem ser reordenados de diferentes maneiras, dependendo dos objetivos e da durao;;ao do curso.
Earl W. Swokowski
..,
AO ESTUDANTE
o calculo Coi descoberto no seculo XVII como instrumento para
investigar problemas que envolvem movimento. Para estudar
objelos que se movem a velocidades conslanles e ao longo de
lrajel6rias retiHneas ou circulares, a algebra e a trigonomelria
podem ser suficienles;
mas, se a velocidade varia ou se II
Irajel6ria
irregular, 0 calculo torna-se necessario. Uma descri«ao cuidadosa de movimenlo exige defini<;6es precisas de
velocidade (espa«o percorrido na unidade de tempo) e acelerafao (taxa de variae;ao da velocidade). Estas definie;ties podem
ser oblidas utilizando-se urn dos conceilos fundamenlais
do
calculo - a derivada.
e
Embora 0 calculo lenba se desenvolvido
para resolver
problemas de fisica; sua potencia e versatilidade levaram ao~
mais diversos campos de estudo. As aplicae;5es aluais till
derivada incluem a investigae;ao da taxa de crescimenlo d
baclerias em uma cultura, a predic;ao de resultados de uma rcae;. ()
qufmica, a mensura«ao de variae;ties instanl1ineas na COrrcnl
eletrica, a descrie;ao do comportamento de particulas atomiclIR,
a eslimaliva da evolu«ao de urn tumor na terapia radioativa, I
previsao de resultados economicos e a analise de vibra«ties Illlln
sistema medinico.
A derivada lambem e utilizada na resoluc;ao de problcl1llll
que envolvem valores maximos ou minim os, tais como Cub,
car uma caixa retangular de volume dado e pete menor Cnsh),
calcular a distancia maxima a ser percorrida por urn [ogn II I
obler 0 f1uxo maximo de trafego atraves de uma POIlIt I
determinar 0 numero de po«os a perfurar num campo petrol(
fero de modo a obter a produc;ao mais eficienle, delcrrnillil I
ponlo enlre duas ConIes luminosas no qual a iluminat;fiv
)11
\ \ II
I ,fl, III"
"l/', 1/"11111",111 ""~/::.II;;:IC:,:,"
--,:,,...~.,...._
maxima e maximizar 0 lucro na fabricac;ao de certo produ't~: as
male maticos freqtientemente utilizam derivadas para dete~lnar
langentes a curvas e para auxiliar na analise de graficosde
func;6es complexas.
. . Outre>""conceito
fundamental
do calculo
-
Capitulo
1
.. .
a inlegral
·REVISAo PRE-cALCULO
'deji;,ida - e motivado pelo problema da determina<;ao de areas
de regi6es com fronteiras curvas. Tanto quanta as derivadas, as
inlegrais definidas sac tambem utilizadas nos mais diversos
campos. Veja algumas aplica<;6es: determinar 0 centro de massa
ou 0 momenta de inercia de urn solido, determinar 0 trabalho
necessario para mandar uma sonda espacial a outro planeta,
calcular 0 fluxo sangtiineo at raves de uma arteria, esti~ar a
depreciac;ao do equipamento
de uma fabrica, determinar a
qllantidade de diluic;ao de urn corante em certos testes fisiologicoso Utilizamos tambem integrais definidas para investigar
conceitos tais como area de uma superficie curva, volume de urn
solido geometrico ou comprimento 'de uma curva.
Ambo~ os cOIic~ito~' de derivada e integral sac definidos
por process os de limites. A noc;ao de limile e a ideia inicial que
separa 0 calculo da matematica clemen tar. Sir Isaac Newton
(1642-1727) e Goltfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) descobriram independentemerite a conexao entre derivadas e integrais, e
a inven<;ao do calculo e atribuida a ambos. Muitos outros
matematicos deram importantes contribui<;6es ao desenvolvimen to do calculo nos ultimos 300 anos.
As aplica<;6es do calculo aqui mencionadas sac apenas
algumas dentre as muitas que serao estudadas neste livro.
Certamente nao poderemos disclItir todas as aplica<;6es do
calculo, inclusive porqlle sempre novas aplica<;6es vem sendo
desenvolvidas 11 medida que a tecnica avan<;a. Qualquer que seja
o campo de interesse do esludante, 0 calcuJo qllase que certamenle sera utilizado em alguma investigac;ao pura ou aplicada.
Talvez 0 proprio estudanle venha a desenvolver mais uma
aplica<;ao para este ramo da ciencia.
..
INTRODUCAo
Nest~ '~apit~lo serao revistos t<Spicosda matematica pre-calculo, essenciais ao estudo do
calculo. Apos rapida discussao de desigualdades, equac;6es, valores absolutos e graticos,
voltamos nossa atenc;ao para as fum;iies. Dizer que 0 conceito de func;ao e importanle na
malematica e simplesmente minimiza-lo. Tal
conceito e 0 fundamento do calculo e 0 esteio
de todo 0 assunto. 0 leitor encontranl a
'palavrajim~ao
e 0 simbolo / ou f(x) utilizado
em quase todas as paginas deste livro.
Nos cursos pre-calculo,
estudamos
propriedades de func;6es utilizando a algebra
e metodos graficos que incluem a marca<;iio
de pontos, a detemlinac;ao de' simetrias e as
translac;6es horizontais ou verticais. Eslas
tecnicas sao adequadas para se obter urn
rapido esboc;o de urn grafico; todavia, 0
calculo torna-se necessario para determinar
precisamenle
onde os graficos de fun<;6es
crescem ou decrescem, as coordenadas exalas
de pontos maximos e minimos, coeficienles
angulares de tangentes, e muitos oulros dados
uteis. Problemas de aplicac;ao que nao podem
ser resolvidos com auxflio da algebra e da
geometria ou trigonometria, em geral podem
ser abordados represenlando-se
quantidades
ffsicas em termos de fun<;6es e aplicando-se
enlao os recursos desenvolvidos no caJculo.
Levando em conta as observa<;iies precedentes, 0 estudante deve ler cuidadosamente a Sec;ao 1.2. A boa compreensao dos
assuntos ali tratados e essencial antes de
iniciar a leitura do proximo capitulo.
1.1 ALGEBRA
Valem propriedades analogas invertendo-se' os sinais de
desigualdade. Assim, se a < b e b < c, enlao a < c; se a < b,
entao a + c < b + c elc.
Esta SeliaO contem t6picos de revisao de algebra que conslituem
pre-requisitos para 0 calculo. Enunciarernos falos importanles e
resolveremos
exemplos sem justificar delalhadamenle nosso
lrabalho. Uma abordagem mais ampla desles assuntos po de ser
enconlrada em textos de matematica pre-calc;ulo.
lal = { a se a " 0
-asea<O
e
Todos os conceilos do calculo baseiam-se em propriedades
do conjunto ~ dos numeros reais. Ha uma correspondencia
biunivoca entre ~ e os pontos de uma reta real (reta coordenada)
·1 conforme ilustrado na Figura 1.1, onde e a origem. 0 numero
(zero) nao
nem positivo nem negativo.
o
a
e
. -2. . . ..0
, I
-1.5 -I I
NUMEROS
...-
II
••
1-1 I? 11 1
-3
Se a
a coordenada do ponto A na reta coordenada da
Figura 1.1, entao lal e 0 numero de unidades (iSIO e, a distancia)
entre A e a origem O.
REA1S
f'O'EGATlVQS
I
_\111
2
.. 4. n5.. Bi> Aa.
I
s
1-31 = -(-3) = 3
101 = 0
13-
n/= -(3 -
Jt~ = Jt -
3
Vi 2.331t
NI,h.tEROS
REA1S
I'OSITIVOS
'Proprledades
do valor
''absoYuto (b > 0) (1.2)
e
Se a e b sac reais, ent.ao a> b (a maior que b) se a-b'
equivalente e b< a (b e menor que
a). Referindo-nos ii reta coordenada da Figura 1.1, vernos que a
> b se e somente se 0 ponto A correspondente a a esla a direita
do pontoB correspondente a b. Outros tipos de desigualdade sac
a s b, que significa a < b ou a ,; b, e a < b s c, que significa
e positivo. Uma afirmativa
131 = 3
a < be b's c:
Uma equaliiio (em x) e uma afirma<;ao tal como
x2 = 3x - 4 OU 5x3 + 2 sell x -
vx = 0
Uma solUliiio (ou raiz) e urn numero a que transfomla 1IequlIl,; \I
em urna identidade quando x e substituido por a. Resolv 'r 1/1/1/1
equa~iio e achar todas as suas solu<;6es.
ILUSTRA~Ao
5>3
(-3f > 0
Demonstra~-se
Propriedades
deslgualdades
das
(1.1)
as s~guintes propriedacles:
(a) Fatorando
0 membro
esquerdo vem:
x(J..2 + 3x - 10) = 0, ou x(x - 2)(x + 5) • 0
19ualando cada falor a zero, oblemos as sohl<; rs 0.' t
(b) Usando a f6rmula quadratica
-b ± flY
x=
2/1
-
/Ie
'I
:"'5 ± ·./25 - 4 . 2. (-6)
x=
4- 3x
-5 s2---< 1
2.2
(multiplicando
(subtraindo
por 2)
4)
Uma desigualdade
(em x) e uma afinnaC;ao que contem
ao menos urn dos simbolos <, >, :s, ou ~, lal como
As noc;6es de soluc;ao de uma desigualdade, e resolver uma
desigualdade, SaD an~logas aos conceitos correspondentes para
equac;6es.
I (I.,t'''':!:,']I·
o -}
DEt1Nlc:;AO
(a,b)
{x:a<x<b}
[a,b]
{x:asxsb}
[a, b)
--(
_._---_.-
,
-_.,.
--(
(a,b]
{x: a < xsb}
--(
(a,oo)
{x:x>
[a ,00)
{x:x~a}
(-oo,b)
{x:xsb}
( -oo,b]
{x:xsb}
( -00,00)
If!
·
·
·
-
roo 3x-IO > b
(subtraindo
(x - 5)(x + 2) > 0
(fatorando)
2:
x .. 5:
0"
~
I
'I---~
b
II
b
'
)--~ I
~
~
I
I I
Examinamos em seguida os sinais dos Catores x - 5 ex + 2,
conforme Figura 1.3, Como (x-5)(x-2) > 0 se ambos os fatores
tern 0 mesmo sinal, as soluc;6es SaD os numeros reais na uniao
(-00, -2) U (5, (0), conforrne ilustrado na Figura 1.3.
b
..
-"
•
Ocorrem com freqiiencia
envolvem valores absolutos.
(a) [t -
-5 s 4 - 3x,< 1
2
I
0
I
5
(
5
•
l
t
0
Figura 1.3
b
(
3x)
Sinal do Fator
- - - + +
- - - - I
I I
I I
-2
I I )
-2
I---~
...
semi-aberto
r -10> 3x
x+
b
· -
·
........
no intervalo
(~,¥]. 0 grafico esta esboc;ado na Figura 1.2.
GllAFJco
{x:asx<b}
a}
Logo, as soluc;6es SaD os numeros
(b)
Freqiientemente referir-nos-emos a illlervalos. Nas definic;6esque seguem utilizamos a notac;ao de conjuntos {x: }, onde
o es'pac;o ap6s os'dois pontos e usado para especificar restric;6es
sobre a variavel x. Em (1.3) designamos (a, b) urn intervalo
aberto, [a, b] urn intervalo fechado, [a, b) e (a, b] intervalos
semi·abertos,
e intervalos definidos em terrnos de 00 ou _ce,
intervalos infinitos.
NOTAc:;AO
1-
31 < 0,5
SOLu(:Ao
(a) [" -
31 < 0,5
("--...
no calculo
desigualdades
que
.-----o
I
2
(I)
3
I
4
-
•.•.•...... ••..
__ .....
_-- -----.,.------
_
...
-D,S < x - 3 < D,S
(propriedade
2,5 < x < 3,5
(somando 3)
Demonstra-se
do valor absoluto)
As solu~6es sao numeros reais do intervalo
conforme se ve na Figura 1.4.
Formula da
distfmcla (1.4)
que:
A distiincia entre PI e P2
e
d(P!, P0 = V(x2 - XI)!
aberto (2,5; 3,5),
+ (y! - y1J2
2x> 10 (somando 7)
)
I
I
(
x> 5
I
(dividindo por 2)
23456
As solu~6es sao dad as por (-00, 2) U (5, 00). Veja 0 grafico na
Figura 1.5.
e
Urn sistema de coordenadas retangulares
urna correspondencia entre pares orden ados [a, b] e pontos de urn plano,
conforme ilustrado na Figura 1.6. 0 plano e charnado plano
- coordenado ou plano-xy. Note que, neste contexto, (a, b) nao e
urn intervalo aberto. Deve-se sempre ·deixar claro se (a, b)
representa urn ponto ou urn intervalo.
Formula do
ponto medio (1.5)
o ponto medio do segmentado
PI p! e
M(X':X2, Y':Yl)
!y
b ----~(a, b)
I
I
I
I
• (5,2)
I
I
a
•
(-5, -3)
(0, -3) (5:-3)
(n) d(A, lJ)
SOLUC;AO
( S POIIIllS
,'II'
'SI
II IlIl1f '1Ilns
(I,ll) I) (I" ), 01\(1)1111\
.11.
:
111'"111
I, I, \I
","10 1\ Ii 111111111
(b)
M(-2 2+ 4 '2,3 + (-2») =M(l 1)
','2
Uma equa~ao em x eye
1
2
(a)y=-,r
uma igualdade como
2x + 3y = 5, Y =,r - 5x + 2 ou T + sen x = 8.
sOLUC;Ao
Uma solu~ao e urn par ordenado (a,b) tal que toma a equa~ao
uma identidade quando substituimos x por a e y por b.O gnitIco
da equa~ao consiste em todos os ponlos (a, b) em urn plano que
correspondem a solu<;ao. Admitiremos que 0 \eitor ja tenha
experiencia em esbo~ar graficos de equa<;6es basicas·em x e y.
Certos graficos apresentam simelrias, conforrne se ve em (1.6),
onde sao indicados testes que podem ser aplicados a uma
equa~ao em x e y para determinar uma simetria.
(ii) eixo - x
(iii) Origem
y
AY
Pelo teste de simetria (i), 0 grafico de y = !,r e simetrico
(a)
...
em relac;ao ao eixo-y.
griifico:
0
y
(4, 8)
r
1
1
0
(1, 1
2
.2
Damos a seguir alguns pontos do
2
3
4
2
9
2
8
A Y
(2, 2)
(9, 3)
(4,2)
(.>;y)
/L;
'11'1.11' (I):
::lll':lllllli~;'io de x
pili
X conduz a
Illll llllt! cql1a~50
Teste (ii):
Substitui~ao de x
pOl' -x conduz a
mesma equa~iio
Teste (iii):
Substitui~ao de x por
-x e y por -y conduz
a mesma equa~ao
Os testes de simetria saG uteis no proximo exemplo, porque
permitem esbo<;ar apenas a metade de urn grafico, refletindo-a
em lomo de urn eixo ou da origem, conforme ilustrado em (1.6).
Marcaremos varios pontos em cada grafico para ilustrar solu~6es
da equa~ao; todavia, 0 principal objetivo ao fazermos 11mgnifico
e obter !Ill! esbo~o preciso sem necessitar marcar mllitos (011
qllaisqller) pontos.
A marcac;ao de pontos, 0 trac;ado de uma curva suave pelos
pontos e a utilizac;ao da simetria nos perrnitem fazer 0 esboc;o
da Figura 1.8. 0 grafico e uma parabola com vertice (0, 0) e
eixo ao longo do eixo-y. As parabolas sao estudadas em detalhe
no Capitulo 12.
(b)
Pelo teste de simetria (ii), 0 grafico de y2 = X e simetrico
em relac;ao ao eixo-x. Os ponlos acima do eixo-x sao dados
por y =.fi. Alguns desses pontos sao (0, 0), (1, 1), (4, 2)
e (9, 3). Grafando e usando a simetria obtemos a Figura
1.9. 0 grafico e uma parabola com vertice (0, 0) e eixo ao
longo do eixo-x.
Pelo teste de simetria (iii), 0 grafico de 4y = x' e simetrico
em rel~c;aQ a origem. Alguns pont os do graficlniio (0, 0).
(1, ~) e (2, 2). Marcando
obtemos
0 grafico
os pontos e usanclo a sil1lclrill
da Figura 1.10.
A Figura 1.11 ilustra urn circulo de centro CCh, k) e raio
r. Se P(x, y) e urn ponto arbitrario do circulo, entao, pela f6rmula
da distancia
(1.4), d(P, C) = r, au [d(P,C)]2
(II) Forma Ponto-Coeficienle angular
= r 2. Isto conduz 11
(ill) Forma Coeficienle
-Inlerceplo
angular-
equa«ao
\"(X':':h)2+(Y-k)2=,i'
EquagBo de urn circulo (1.7)
Se 0 raio do circulo e 1, 0 circulo e charnado circulo
unitario. A equa«ao do drculo unitario de centro na origem e
Determinar a equa«ao do circulo de centro CC-2, 3) e que passa
pelo ponto D(4, 5).
o circulo est a ilustrado na Figura 1.12. Como De urn dos pontos
do drculo,
0 raio r
(1.9) da alguns tipos especiais
angulares.
e d(C, D), ou seja,
r=-I(_2_4)2+(3_5)2
de retas com seus coeficientes
=-136+4 =V40
Usando a equa«ao do drculo com h = -2, k = 3 e r = V40 ternos
(x + 2)2 + (y - 3)2 = 40,
(i) Vertical: m nao-definido
Horizontal: m = 0
(i1) Paralelas:
mI
No calculo, costurnamos considerar retas em urn plano
coordenado. Suas equa«6es SaD dadas pel as seguintes f6rmulas.
._."Esbo~e_ a.reia definida para cad a par de pontos e determine
(C. epef\ciente angular.
.
sell
(c)
A(4,3)
e B(-2,3)
(d)
Podernos usar as coordenadas deA ou deB para (xl' Yt) na forma
"ponto-coef.angular'~. (1.8)(ii). Usando A(I, 7) temos:
A(4,-I)eB(4,4)
SOLUC;Ao
y-7
I, 'I)
IIII
x
I
B~~2:
~)"'-l-+:+~+~'+-13!-J:)IHI+1 .~
-H-++r1' .
.
r:'~
t(4'
-1)
=~ (x-I),
(a)
Determine
0 coeficiente
angular da reta 21: - 5y = 9.
(b)
Determine as equa,,6es das retas por P(3, --4), paralela e
perpendicular 11 reta (a).
I
SOLuC;Ao
(a)
2 -4
-2
3-(-1)
=4""=-2
5-(-1)
2-(-2)
6
Escrevendo a equa"ao como 5y = 2x - 9 e dividindo ambos
os rnernbros por 5, obternos
1
2
9
y=sxs
Cornparando
3
-4"="2
3-3
0
4- (-2)
=(; =0
esta equa"ao
vernos que 0 coeficiente
(b)
com a equa"ao
geral y = mx + b,
angular e m = ~
Por (ii) e (iii) de (1.9), a reta por P(3, --4) paralela 11 reta
(a) tern coeficiente
angular
~ e a perpendicular,
_~. As
2
(d)
m=
4 - (-1)
5
-,
4-4
=O,quenaoe
d fi 'd N
eml o. otequearetae
'
equa,,6es correspondentes
y +4=
vertical.
e
y +4 =
~ (x -
san
3),
ou 2r - 5y = 26
-% (x - 3), ou 5x + Zy = 7.
Urna equa~ao linear em x eye uma equa~ao da forma
m: + by = C (ou ax + by + d = 0), com a e b nao simultaneamente
nul os, 0 grafico de urna equa"ao linear e uma reta.
Esboce os gnificos de 4x + 3y = 5 e 3x--Zy = 8, e ache 'sell puntu
de intersec"ao.
7-2
1 - (-3)
As duas equa,,6es sao lineares, logo, os gr('ficos s;,o rclas, I'ara
tra"ar os graficos podernos usar os ioterccplos-x e us ;nterceptos-y, obtidos fazendo-sc x = 0 e y m 0 respcctivalll 'lite.
As coordenadas do ponto P de intersec<;ao sao obtidas como
solu<;ao do sistema:
9
4x+ 3y =5
{ 3x- 2y = 8
15x2 - 12 = -ax
10 15x2 - 14 = 29x
11 2x(4x + IS) = 27
12 x(3x + 10) = 77
Exeres. 13-16: Resolva a equa~ao ulilizando a f6rmula quadnitiea.
13 x2 + 4x + 2 = 0
14 x2 - 6x ~ 3 = 0
49 y = x3 - 8
50 y = _x3 + 1
15 2x2 - 3x - 4 = 0
16 3x2 + Sx + 1 = 0
51 y=Yx-4
52 y = Yx- 4
Exeres. 17·38: Resolva a desigualdade e exprima a
solu<;aoem termos de intervalos, quando possive!.
17 2x + 5 < 3x-7
2x-3
193"-S-<7
Para eliminar y do sistema,
por 2 e a segunda por 3:
multiplicamos
a primeira
20 -2 < 4x + 1 ,,0
3
,
{ 9x- 6y = 24
obtemos:
Esta e a coord en ad a x do ponto de intersec<;ao. Para determinar
a coordenada y de P, fazemos x = 2 em 4x + 3y = 5, obtendo
55 Y = - v"f6:XT
56 y=¥4=XT
Exeres. 57-60: Determine a equa~ao do cueulo que
satisfaz as condi~6es indieadas.
57 Centro C(2, -3), raio S.
21 x2 -x - 6 < 0
22x2+4x+3>:0
23x2-2x-S>3
24 x2 - 4x - 17" 4
25 x(2x + 3) >:S
26 x(3x-I)"
27~>2
2x-3
28 x-2 ,,4
3x+S
29 _1_>:_3_
x-2
x+l
2
30 2x+3"
31 ~ + 31< 0,01
32 ~ - 41" 0,03
62. Passa por A(-I, 4), coeficiente angular
33 ~ + 21>: 0,001
'...'
34 ~ - 31> 0,002
63 Intercepto-x 4, interceplo-y -3.
35 12x+ 51 < 4
36 13x - 71>:S
64 Passa por A(S, 2) e B(-I, 4).
3716 - Sxl" 3
381-11-7xl
58 Centro C(-4, 6), passando por P(I, 2).
4
Exeres. 61-66: Ache a equa<;aoda rela que salisfaz
as eondi¢es indicadas.
2
x-5
61 Passa por A(5, -3), coeficiente angular -4.
>6
I
(e) y < 0
(I) ~I"
(c) x >: 0
i.
65 Passa por A(2, - 4) e e paralela 11rela Sx - 2y " 'I.
Exercs. 39·40: Descreva 6 conjunto de ponios
f(x, y) que satisfazem a condi<;ao indicada.
~9 (a) x = -2 (b) y = 3
59 Tangente a ambos os eixos, centro no segundo
quadrante, raio 4.
60 Extremos de um diiimetroA(4, -3) e B(-2, 7).
equa<;ao
8x+ 6y = 10
Somando membra a membra,
18 x- 8> Sx + 3
53 (x + 3)2 + (y - 2)2 = 9 54 x2 + (y - 2)2 = 2S
(d)xy > 0
2 e 1>'1" 1
40 (a) y = -2
(b) x = - 4 (e) x/y < 0 (d) xy = 0
.. (e) y > 1
(I) Ixl >:2 e 1>'1>: 3
66 Passa por A(7, -3) e e perpendicular 11 reta
2x - Sy = 8,
i
Exercs. 67-68:\Determine a equa<;ao da bisseclt rll
perpendicular de ~:-.,
.
-----:-
Exeres. 69·72: Trace os graficos das relas e d Ic,
mine seu ponto de intersec<;ao.'
Exeres. 41·4: Determine (a) dCA, B) e (b) 0 ponto
~edio de AB.
'
Exeres. 1-8: Reesereva, sem usar 0 simbolo de valor
,ab~oluto.
1 ' (a) (-5)13 - 61
(b) I--6V(-2)
(e) 1-71+141
2
(b) 5/1-21
(e)
(b)ln-41
(e) IY2 - 1,51
(a) (4)16- 71
3 (a) 14 -It I
HI+I--91
4
(a)1v'3 -1,71
(b)II,7-v'3f
(c)
11-~1
5
13+x1 se x < -3
6
15- xl se x > 5
7
12- xl se x < 2
8
17 + xl se x >:-7
Exeres. 9-12: Res:olva por faloramento.
43 Mostre que 0 triangulo com vertices A(8, S),
B(I, -2) e C(-3, 2) e retiinguto, ~ calcule sua area.
44 Mostre que os pontos A ('-4, 2), B(I, 4), C(3, -I)
., e D(-2, -3) sao vertices de um,quadrado.
,
.'
";~
"I
.70 4x + Sy = 13;
3x + Y =-4
71 2x + Sy = 16;
3x - 7y = 24
72 7x - By
= 9;
4x + 3y = -10
1£J73Aproxime as coordenadas do pOlliO do 1111 Irl (
<;aodas retas
.
distancia p da lente e menor que a distiineia focal
- 0.1 )x + (0.1l)\''Y = 1/,[5
(2,51)\"x + (6,27 - ..[f)y = V2
174 I\proxime
a menor raiz da seguinte
112Os produtos famaceutieos devem especificar as
dosagens recomendadas para adultos e crian~as.
Duas formulas para modifica~iio da dosagem de
adulto para uso por crian~as san:
.
f. A amplia~ao linear Mea razao do tamanho da
equa~ao:
x2 _ (6,7 x 106)x + 1,08 = O. Para evitar caleular
liln zero dessa raiz, escreva a formula quadnl.tiea
imagem para 0 tamanho do objelo. Mostra-se em
fisiea que M = f /(f-p). Se f = 6 .cm, a que
distancia dalentedeve
ser coloeado 0 objeio de
modo que sua imagem seja nominimo Ires vezes
o objeto?
on de a de nota a dose de "ciullO (elll lIlillgrllnll"l)
eta idadc da crian~a (em anos).
(a) se a = 100, fa~a 0 gnifieo das dllas c<Jua~<I's
lineares no mesmo sistema de eixos para
Os t s 12.
(b) Para que idacle as duas formulas especificam
a mesma dosagem?
omo
2c
x~ -b±~
,•••• r-~~"~---"----C_-_"'~j~..~....'.'
75 A radIo na qual urn comprimido de vitamina C
ome~a a dissolver-se:depeilde da area da superffcie do comprimido. Urna marca de comprimido
I '111forma ciHndr';ca, cornprimento 2 cm, com
11'misferios de diametro 0,5 em cad a extremidade
(veja a figura). Uma segunda marca de compriIlli lu vai ser fabricada em forma cililldric~, com
H,~ cm de altura.
l
Objel~"'"
;
; l..-p_:"
>--/----1
,
','.
'---_.~
.
A oo<;ao de funr;'ii~ 6 fundamental
para todo nosso trabalho
calculo. Definimos urna fun<;ao como segue:
-;,;
78 A medida que a altitude de uma nave espacial
aumenta, 0 peso do astronauta diminui ate atingir
urn est ado de imponderabilidade. 0 peso de urn
astronaut a de 60 k, a uma altitude de x quilometros acima do mar, e dado por
·:'j.l·'
III) Del'lmine 0 djametro do segundo comprimi,Ill de modo que a area de sua superficie seja
111'1111
1\do primeiro comprimido.
(10) Ill'lennine
0 volume
de cada comprimido.
/I, \1111Iltllli ""lle <Je latas deseja fabricar uma lata
I "' 111111111
lle cilindro circular reto com 20 cm de
111111111
cO I,HOO ellf de capacidade (veja a figura).
I I, 1I'IIIIIne u raio interior r.
79 A distancia de frenagem d (em melros) de urn
carro correndo a v km/b e dada aproximadamente por
d = v + (1'2120). Delennine veloeidades que resultem
em distiincias de frenagem inferiores a 25 m.
80 Para que um remedio produza 0 efeito desejado,
sua coneentra~ao na corrente sanguinea deve
estar acima de urn certo valor, 0 /Iivelteropelltico
minima. Suponhamos que a concentra~ao de urn
remedio t horas apos ser ingerido seja dada por
c ;: 2011(12 + 4) mgfL. Se 0 nive! terapeutico
minimo e 4 mg/L, determine quando este nlvel e
exeedido.
81 A resislcneia eletrica R (em ohms) para'um fio
de metal puro est a relaeionada com sua temperatura T (em "C) pela formula R. = Ro (1 + 01').
para constantes positivas a e Ro.
(a) Para que temperatura se. tem R = RO?
(b) Supondo que a resistencia seja O. ,(zero) se
T = -27~. "C (zero absoluto), determine o.
II /I Ilil"'" 11\(,,111''"11 vidro de aumento simples,
IHIP '11ndu "'11 1I111:lIcntc cOllvcxa. 0 objeto a ser
11\111\
nilltill "!ll~ Ill'alizadu de maneira que sua
(c) Urn fio de praia tern uma resistenda de
1,25 ohms a O_°c. i..' que temperatura a
resi~tencia c igual a 2 ohms?
".'·i_~··,. J
I it
\
•..•
;
y
o elemento y de E e 0 valor de f em x e se denota pOI f(t)
!.<. : ;/'
,
A que altitude 0 peso do astronauta sera inferior
a 2k?
; 1/'
"'Uiria'ruii~aofdeum
conjun1o D em. urn ·conj un to E e uma
;~ !:brr6spOlidenCiaAue
.assoCi'a· a cadi elementox
de D
ex~tamentei.imelemCtito
de E.
(le-se
W=60(~)2
6400+x
:.
em
J'
-'./.
'L
"f de x"). 0 conjunto D e 0 domfnio da fun<;ao. 0
f e 0 subconjunto de E que consiste em todos
< contradominio
os valores
possiveis
f(x) para x em D.
.
Em geral ilustramos fum;oes como na Figura 1.15, onde os
coojuntos DeE sao representados
por pontos dentro de regiaes
do plano. As setas curvas indicam que os elementos f(x), f(lV) ,
fez) e f(a) de E correspondem aos elementos x, IV, z e a- de D.
E importante notar que a cada x em D esta associrido exOjomellte .
um valor f(x) em E; todavia, diferentes elementos de I/, tais
como w e z na Figura 1.15, podem originar 0 mesmo valor da
fun<;ao em E. Nos Capitulos 1-14, a expressao "f Ii umoftlllr;iio"
indica que 0 dominio e 0 contradominio
de f san conjuntos de
numeros rea is.
Usualmen(e
definimos
lima 'fun<;ao f enunciando
uma
fonnula
o~ ~egra para a:h.ar f(x),· tal. como f(x) = {x - ~.
Supae-se entao que.o dommlO seJa 0 'conJunto de todos os reals
tais que f(x) seja real. Assim, para f(x) ~~,
0 dominio e
o intervalo infinito [2, 00). Se x esta no dominio, dizemos que f
defioida em x, ou que f(x) existe. Se oS urn subconjunto do
dominio, entao f e definida em S. A expressao f oao e definida
em x significa que x nao esta no dominio'Qe
f.
e
c
f(x)
Deve-se construir urn tanque de ac,;o,para armazenagem de gas
propano, na forma de urn cilindro circular reto de 3m de altura
com urn hemisferio em cada extremidade. 0 raio r deve ser aind~
determinado. Expresse 0 volume V do tan que como func,;ao de r.
= ';4 +x
I-x
lr-
,
~
(
') =
1-
Determine
0 dominie
X
Determine
f(5), f(-2),
~1f.~~}1P~~!~m~sf::·~~~~~.---~~
f.
f(-a)
e - f(a),
..
.
~-.--3m --~
----,-
~,
SOLUI;Ao
,)
)
(a)
1()
)
I
de
- 1,0
,)
J , ,)
-
~
'j~
0 tanque.
~
'o?
@(nl.2)
0 volume da parte cilindrica
x ;,;-4 ex;"
e
"'?'.
~~nr
considerados
em conjunto
1.
Logo, 0 dominio e [--4, 1) U (1, 00).
'J
-,
Note-se que f e real se e somente se 0 radicando 4 + x e
nao-negativo e 0 denominador 1 - x e diferente de zero.
Assim, f(x) existe se e somente se
ou, equivalentemente,
':
I
l
dado por
Os dois hemisferios das extremidades,
tern como volume
,.......,_1
::: ')
A Figura 1.16 ilustra
(b)
Para achar valores
de
f, substitufmos x pelos valores
v = _4n,-3
3 + 3nr = ~3 nr (2r + 15)•
dados:
f(5) = ';4 + 5 = ..f9 =_1
1-5
f(-2)=
-4
4
fG]=2Y
..fI
1-(-2)
3
f( -a) = v'4+""(-iiI _ ';4 - a
1-(-a)
l+a
Esta formula exprime V como func,;ao de r.
ty
y = f(x)
r--'-------Co"n~om'o,,1 P( a. f( a))
-f(a)=-
';4+a
I-a
=
';4+a
a-I
Muitas formulas que ocorrem na matematica e nas ciencias
detemiina'm func,;oes. Porexemplo, a formula A = nl da area A
de urn drculo'de raio r associa a cada real positivo r exatam~nte
urn valor de A. A letra r, que represenia urn numero arbitnirio
do. dominio, e uma varhivel independente.
A letra A, que
representa '0 contradomfnio, e uma variavel dependente, pois
seu valor depellde do valor atribuido a r. Quando duas variaveis
reA estao relacionadas desta maneira dizemos que A e fWI~iio
de r. Outro exemplo: se urn automovel viaja a uma velocidade
uniforme de 50 km/h, entao a distilncia d (em quil6metros)
percorrida no tempo t (em horas) e dada por d = SOt; logo, a
distiincia d e uma fun~ao do tempo t.
"1'_ J_
I
I
-"1
I
I
I
I
i
.
1
:
!fta) 1
''-----t_~
I
a
I x
I
I
~-
Domlnio
de f - ~
$e f e uma func,;ao, utilizamos urn graftco para ilustrar a
variac,;ao do valor funcional f(x) quando x varia no dominio de
f. Por deftnic,;ao, 0 grafico de uma func,;iio e 0 graftco da
equac,;iio y = f(x) para x no dominio de f. Conforme a Figura
1.17, costurI)a-se rotular f(x) 0 graftco de uma func,;ao. Note-se
que se pea, b) esta no graftco, entao a coordenada-y b e 0 valor
funcional f(a). A figura exibe 0 dominio de f (conjunto de
valores possiveis de x) e 0 contradominio de f (val ores correspondentes de y). Conquanto tenhamos considerado 0 dominie e
o conlradominio intervalos fechados, eles podem ser intervalos
infinitos ou quaisquer conjuntos de reais.
E importante notar que, como hi! exatamente urn valor f(a)
para cada a no dominio, somente urn ponto no grafico tern
coordenada-x a, Assim, cada vertical intercepta 0 grafico de uma
func,;iiono maximo em urn ponto. Conseqiientemente, 0 gn\fico
de uma func,;ao nao pode ser uma figura tal como urn drculo,
que pode ser cortado par uma vertical em mais de urn ponto.
CIIJ!. J
Os inlerceplos-x do gnifico de uma funltao f sao as solultoes
daequaltao
f(x) c 0. Tais niimeros sao os zeros da funltao. 0
inlerceplo-y do gnifico e f(O), se existir.
Se f e uma fun~iio par - isto e, se f(-x) c f(x) para lodo
x no dominio de f -entao 0 grafico de f e simetrico em relaltao
ao eixo-y, pelo teste de simetria (i) de (1.6). Se f e uma fun~ao
impar - isto e, se f(-x) c -f(x) para to do x no dominio de f
- entao 0 grafico de f e simetrico em rela<;ao 11 origem, pelo
tesle de simetria (iii). Grande parte das funlt0es no ciilculo nao
sao nem pares nem imp ares.
.
-+
+
f
FUN<;:Ao
GRAFf
,IJ
f(x) = x
f(x)= X
IIJ
'A ilustraltao que segue contem esbo<;os de griificos de
algumas funlt0es comuns. 0 leitor deve verificar em cada caso
a simelria, 0 dominio e 0 contradominio indicados.
'\
f;
'-f-~
f(x) =
__._U_~
(!
x
Sl!v!ETRIA
DOMiNIO
eixo • y
D= ( .00, ee)
R = [0, 00)
origem
([un~iio imparl
D=
R =
eixo • y
([un~iio par)
I xl
GRAFICO
eixo-y
(fun~iio par)
CO
~;
D
D,
(
-00,
ee)
(
.00,
(0)
Ucvisllo jJ,.~.(,tltellllJ
1.1
CONTRADOMfNIO
II
D = ( _00, ee)
R = [0, (0)
= [0,00)
C
R, = [0, 00)
.
+
f(x) =.!
x
origem
([un~iio imparl
,x
D = ( _00, 00)
R = [0, 00)
D =
R=
(
_00,
(
_00,
0) U (0, (0)
0) U (0, 00)
Hii funlt0es que sao definidas por mais de uma expressao,
como no exemplo a seguir.
origem
(fun~iio imparl
D = ( -00, 00)
R = ( -00, 00)
_
·J··~
t
.••••••
_~
._.
~'_'
.•.
•••
'
:.
••
_._
.0
•.•
_
••••••
•
2x+3
f(x)=
~2
\
°
se x <
seOsx<2
se x 2: 2
Se x < 0, enlao f(x) = 2x + 3, e 0 griifico de f e parte da rela
y c 2x + 3 (Figura 1.18). 0 pequeno circulo indica que 0 ponto
(0, 3) nao eslii no griifico.
°
Se
s x s 2, f(x) =x , e 0 grafico e parte da parabola
y = i. Note que (2, 4) nao est a no gnlfico.
c (positiva au negativa) a cada valor funcional. A Figura 1.21
ilustra transla<;oes horizontais.
Se x •• 2, os valores funcionais sao sempre I, e 0 grafico
As vezes podemos obter 0 grafico de uma fun<;ao aplicando
uma transla<;ao a urn grafico conhecido, conforme mostram as
Figuras 1.22 e 1.23 para f(x) = x2•
2
e uma semi-reta horizontal com extremidade (2, 1).
Se x e urn numero real, definimos
[[x))
entao
o grafico de y = c f(x) pode ser obtido multiplicando-se
por c a coordenada-y de cada ponto do grafico de y = f(x). Se
c < 0, os graficos de y = cf(x) e y = I c If(x) sao chamados
retlexiies de cad a urn deles em rela<;ao ao eixo-x. As Figuras
[[xl] como segue:
= n, oode II e 0 maior inteiro tal que liS X.
Se identificames
IR com pont os numa reta coordenada,
II
0 primeifo
inteiro 11 esquerda de x, ou igual a x.
1.24 e 1.25 ilustram alguns casos especiais com f(x), = x2•
e
Transla<;jo
Vertical, c > 0
[[0,5]] = 0
• [[1,8]] = 1
• [[V5]]=2
[[3]] = 3
• [[-3]] = -3
• [[-2,7]] = -3
[[- v'3 ]] = - 2
• [[-D,S]] = -1
Transla<;ao
Horizontal,
c > 0
c >
X
a - c
Figura 1.20
-2sx<-1
-1 sx < 0
Osx<l
Isx<2
2sx<3
a + c
Figura 1.21
:.~
i.
:.l.
".
7-
A}
-
A y.
,
Y = x + 4
Y
Y
= x'
, -2
= (x + 2)'
y=
x'
Y = (x - 4)'
Y = x
,Sempre que x estiver entre inteiros sucessivos, a parte correspondente do grafico sera urn segmento de reta horizontal., Parte
do grafico est a esbo<;ada na Figura 1.19. 0 grafico continua
indefinidamente
11 dire ita e 11 esquerda.
Os graficos da Figura 1.20 ilustram transla<;oes verticais
do grafico de y = f(x) resultantes da adi<;ao de uma constante
a
x
Figura 1.22
x
Figura 1.23 "
x
(',1/(',,10 com Gcome/ria
Analf/ica
Cap. 1
(1)
g
«:7
(3x+ 1) ,
(x).:
y = 4x'
y
= ~x'
Uma fun<;ao f e uma fun<;ao polinoniial
polinomio, isto e, se
se
fix)
c urn
= onX' + 0".!X"'+ ... + 0IX + 00'
, fix)
onde os coeficientes 00' a" ... , an saD numerus reais e os
expoentes saG ,inteiros nao-negativos. Se an " 0 entao f e de grau
n. Veja alguns casos' especiais (onde
0):
°"
Se f e g saG fun<;6es, definimos a soma f + g, a diferen<;a
f - g, 0 produto fg e 0 quocicntc fig como segue:
grau 0:
fix) ,; °
fun<;ao constante
grau 1:
fix) = ax + b
fun<;ao linear
(f + g)(x) = fix) + g(x)
= a.r2 + bx + c
fun<;ao quadratica
Vma fun<;ao racional e 0 quociente de duas fun<;6es
(f - g)(x) = fix) - g(x)
polinomiais. Mais adiante utilizaremos metodos para invesligar
graficos de fun<;6es polinomiais e racionais.
(fg)(x)
= f(x)g(x)
(~)iX) =~~
o dominio de f + g, f - g e fg e a illiersecr;iio dos dominios
de f e g - isto e, os numeros comuns a ambos os dominios. 0
dominio de fig consiste de todos os numeros x na intersec<;ao
tais que g(x) " O.
Sejam fix) = v'4=7 e g(x) = 3x + 1. Determine a soma, a diferen<;a, 0 produto e 0 quociente de f e g e indique 0 dominio
de cada urn.
grau 2: .,
fix)
Uma fi.lli<;aoalgebrica e uma fun<;ao que pode ser expressa
em terrnos de som'as, diferen<;as, produtos, quocientes ou potencias racionais de polinomios. Por exemplo, se
f()
5 4
x = x -
(f + g)(x) =";4 - x2 + (3x + 1),
(f - g)(x) = ~
-
(3x + 1),
(fg)(x) =";4 - x2 (3x+ 1),
x(r + 5)
x + ..fX'+7X
entao f e uma fun<;ao algebrica. As fun<;6es que nao SaD
algebricas SaGditas transcendcntes.
As fun<;6es trigonomelricas,
exponenciais e logaritmicas, estudadas mais adiante, SaD exempI os de fun<;6es transcendentes.
No restante desta se<;ao veremos como, a parlir de duas
fun<;6es f e g, poderemos obter fun<;6es composlas fog
ego
f. A fun<;ao fog e definida como segue:
A fun~'o 'compo'slaj;"
o dominio de f e 0 intervalo fechado [-2, 2] e 0 dominio de g e
R Conseqiientemente, a inlersec<;ao de seus dominios e [-2,2] e
obtemos:
2 Vi
g e definida como'
"·i:·}I:;~:'.I{{;:;,~/,Cf.,g)(x) = f(g(x»
0
;~. ·-:';;".,f:!
n;'~:'i!";:'::\ : ;;;):''':~q.
'.
.
",0 dorn!nio,de;/ 0 g.e p;cohjunlo de lodos os x do domimo
, cie'g'iai 'q~!~'glx)'est~'no dorninio de f
A Figura] ,26 ilustra rela<;6es entre f, g e fog. Note que,
para x no dominio de g, primeiro determinomos g(x) (que deve
estar no dominio de 1) e entao, em segulldo lugar, determillamo.l'
f(g(x»,
Para a fum;ao composta g
I, invertemos a ordem,
determinando primeiro I(x) e, em seguida g(f(x». 0 dominie
de g I e 0 conjunto de lodos os x no dominio de I tais que
,I(x) esta no dominio de g.
0
0
Primeiramente note que 0 dominio de I e ~ e que 0 dominie de
0 conjunto de todos os reais nao-negativos
- isto e, 0
intervalo [0, oc). Procedernos como segue:
g
e
.
(a)
defini<;ao de log
I(Vi)
defini<;ao de g
=
Se f(x) = r - 1 e g(x) = 3x + 5, determine
= (Vi)2 -
(a)
(I
(b)
(g 0 f)(x) e 0 dominie de g 0 f.
0
g)(x) e 0 dominio de log.
(f
0
definil$ao de log
g)(x) = f(g(x»
= f(3x + 5)
definil$ao de g
=(3x +5f-1
definil$ao de f
(b)
defini<;ao de g
f)(x) = g(f(x»
0
I
simplificando
(g 0 f)(x) = g(f(x»
o dominio tanto de I como de g e R Como para cada x
em ~ (0 dominio de g) 0 valor g(x) esla em ~ (dominio de I),
o dominio de log e tambem R
(g
defini<;ao de
Se consideriissemos apenas a expressao final x - 16,
poderiamos ser Ievados a crer que 0 dominie de log fosse ~,
pois x -16 e definirla para todo real x. Todavia, tal nao e 0 caso.
Por defini<;ao, 0 dominie de log e 0 conjunto de todos os x em
[0, <Xl) (dominio de g) tal que g(x) est a em ~ (dominio de f).
Como g(x) = Vi estii em ~ para todo x em [0,00), segue-se que
o dominio de log e [0, x).
=9r + 30x+ 24
(b)
16
= x -16
SOLUc;Ao
(a)
.
(f og)(x) = I(g(x))
0
I
defini<;ao de g
defini<;ao de
=g(r-16)
0
I
I
=YXCI6
Por defmi<;ao, 0 dominio de g
0
I e 0 conjunto de todos os
2
=g(r-1)
definil$ao de I
x em ~ (dominio de f) tal que I(x) = x - 16 estii em [0, 00)
(dominio de g). A afirma<;ao i -16 estii em [0,00) e equivalente
=3(~.2-1)+5
defini<;ao de g
a cad a uma das desigualdades
=3r}2
simplificando
-\.2 _
Como para cada x em ~ (dominio de f) a fun<;ao f(x) estii
em ~ (dominio de g), 0 dominio de go I e ~.
Pelo Exemplo fi. ve-se que I(g(x»
sac a mesma~ f.r ::, ~ ~ I.
0
e g(f(x»
,,'.
16" 0,
r" 16, e Ixl" 4
Assim, 0 dominio de g I e a uniao (-00, -4] U [4, 00). Note
que e diferen'le dos 'do'minios de leg.
0
-..•
nem sempre
,,,'
Se duas fun~oc' I <: g tern ambas dominio ~, 0 dominio de
ego I e tambem R Este fato e ilustrado pelo ExempIo 6. 0
proximo exemplo mostra que 0 dominie de uma fun<;ao composta
.pode ser diferente dos dominios das duas fun<;6es dadas.
log
EXEMPLO
7
Se f(x) = r - 16 e g(x) = Vi, d~termine
..
\.
(a)
(f
o'g)(;) e 0 do~nio
(b)
(g
0
de log
f)(x) e 0 dominio de g
0
I
Para certos problemas no ciilcuIo, coslumamos Inverter estc
procedimento, ou seja, dado y = hex) para alguma fun<;ao ".
determinamosuma forma funcionalcompostay=
I(lI) e 1I = g(x)
tal que hex) = I(g(x» .
I
1 Se f(x) = -.Ix- 4 - 3x, ca1cule f( 4), f(8) e f(13).
2
Suponha que, para urn numero real x, queiramos ca1cular (2x + 5)8
usando uma ca1culadora. Primeiro calculariamos 2x + 5 e em
seguida elevariamos 0 resultado a potencia 8. Isto sugere fazer
x
'..
Se f(x) = x _ 3' ca1cule f( -2),f(0)
Exeres. 3·6: Se a e Iz sao reais, determine e simplifique (a) f(a), (b) fe-a), (c) -f(a), (d) f(a + h), (e)
f(a + It),- f(a) ,
f(a) + f(It), e (I)
It'
desde que It '" 0.
f'.
(\..!J f(x)
.
o metoda usado no exemplo precedente pode ser aplicado
a outras fun~6es. Em geral, suponha y = h(x). Para escolher a
expressao interior It = g(x) em uma forma funcional compost a,
fa~a a seguinte pergunta: se estivesse us an do uma calculadora,
que parte da expressao h(r) seria calculada primeiro? Isto conduz
em geral a escolha adequada de It = g(x). Ap6s escolher u, recorra
a h(x) para determinar y = f(u). A ilustra~ao que segue contem
problemas tipicos.
ILUSTRAC;Ao
e f(3,01).
@)f(x)
21 I(x) = (x - efJ3 + 2;
e = 0, 4, :-3
22 f(x) = ~r- Ij1/3 - e;
c = 0, 2, -1
Exercs. 23-24: 0 grafico de uma fun~ao f com
dominio 0 ,; x ,; 4 e exibido pela figura. Esbocc 0
grafico da equa~ao dada.
(a) y = I(x + 3)
(b) y = f(x - 3)
= 5x - 2
= x2 -
X
4 f(x)
+3
(e) y
= 3 - 4x
(d) y
6 f(x) = 2x2 + 3x - 7
(e) y = -3f(x)
Exercs. 7·10: Determine 0 dorninio de f
7 f(x) = ...!.±.l
j
x3-4x
4x
(I) Y
(g) y
'
10 f(x) = -.l4x-3
x2-4
Exeres. 11-12: Determine se f e par, impar ou nem
par nem impar.
(b) f(x)
EscolllU de II = g(x)
• y = (x3 - 5x + It
(a) Y = f(x-
=
12 (a) f(x)
• y=,h.2_4
~rl-3
-.l3X4 + 2rl - 5
(I) Y = -1f(x)
= 6x5 - 4x3 + 2x
(g)y=
-f(x+
4)-2
(h)y=
f(x-4)
+ 3
=
(b) f(x)
2
2
• y= 3x+7
y=-
II
(c) f(x)
= x(x - 5)
A forma funcional composla nunca e iinica. Considere, por
exempl~, a primeira expressao da ilustra<;ao precedente:
Exercs. 13-22: Esboce, no mesmo phino coordenado, os graficos de f para os val ores dados de e.
(Utilize simetrias, transla~oes verticais, transla~oes
horizontais, alongamento ou reflexao.)
Sendo n urn inteiro arbitrario nao-nulo, poderiamos escolher
13 f(x) = ~rl + e;
II
= (x3 -5x + 1)" ey = 1/4/••
Assim, ha urn niimero ilimitado de formas funcionais compostas.
Geralmente, nosso objetivo e escolher uma forma tal que a
expressao resullante para y seja simples, como fizemos na
ilustra<;ao.
Ix - cl;
14 f(x)
=
15 f(x)
= 2vx + e;
16 f(x)
= .;g.::xr + e;
e = 0, 1,-3
2-.1x-e;
e = 0, 1,-2
17 f(x)=
2)
= f(x+ 2)
(e) y = f(x) - 3
(d) Y = f(x) + 3
(e) y = -2f(x)
(b) Y
(c) f(x) = (8x3 - 3X2)3
1I=.~-5x+l
= -31(x)
= . fix + 2) - 3
(h) y = f(x - 2) + 3
. 8 f(x) = 6x2 + 13x _ 5
11 (a) f(x) = 5x3 + 2x
Valor do FIlIlfrIO
= I(x) + 3
= f(x) - 3
18 f(x) = -2(x - e)2;
e = 0, 1,-2
19 f(x)
e = 1,3,-2
25 f(x)
=
{
X
= d4 _Xl;
26 I(x) =
{
20 I(x) = (x + c)3;
e = 0,1,-2
sex,;-I
X+2
x3
-x+3
se Ixl < 1
sex>: 1
1
sex,;-2
_;2
se -2 < x < 1
-x + 4 se X" 1
X2
27 I(x) ~
{
-
x2 -
28 I(x) =
{
I
2 -x
se x •• 2
1
se x - 2
= [[x + 2]]
(e) f(x)
1
.~!'(x2 + 3x - 5j3
W
50 Y= 1 + Tx"
(e) f(x) = 2[[x]]
30 (a) f(x)
y
4
= [[x - 3]]
29 (a) f(x)
=
48
--sex ••
-l
x +1
2
se x --1
= ~[[x]]
= [[x]] - 3
(d) f(x)
= [[2x]1
(b) f(x)
= [[x]] + 2
(d) f(x)
= [[~x]]
Exercs. 31-34: (a) Determine if + g)(x), if - gK~),
ifg)(x) e if Ig)(x). (b) Determine 0 dominie de f + g,
1- g,fg e fIg.
31 f(x) = VX+ 5;
32 f(x)
= ~3 - 2x;
33 f(x)
2x
=-;
x-4
x3-x+l
e g(x) =~,
vx.
if a g)(2,4) e (g 01)(2,4).
.
aproxlme
@ 51 Se I(x) = ~
(b) f(x)
vx + 5
g(x) = vx + 4
g(x) =
f
45cm
= R+1 -I, aproxime f(O,OOOI). Para
evilar ealcular urn valor zero para f(O,OOOI),
reescreva a formula de f como
~
@ 52 Se f(x)
Xl
f{x)-
R+T + 1
53 Deve-se construir uma caixa aberta com urn
peda~o retanguJar de cartoJina de 50 x 76 em,
cortando-se uma area x em cada canto e dabrando-se as lados (veja a figural. Expresse a volume
V da caixa como fun~lio de x. ,
55 Urn baliio de ar quente e Jiberado 3 Ih da tarde e
sobe verlicalmenle 11 razlio de 2 m/s. Urn ponto
de observa~lio est a situado a 100m do ponto do
chlio direlamenle debaixo do ballio (veja a figural.
Sendo t 0 tempo em segundos, apos 1 da tarde,
exprima a distancia d do ballio ao ponto de
observa~lio em .fun~lio de t.
3x
g(x) = X + 4
\
\\
58 0 trianguloABC esta inscrito em urn semicfrculo
de diametro 15 (veja a figural.
(a) Se x e 0 comprimento do lade AC, expresse
o comprimenlo y do lado BC como fun~ao de
x, e indique seu dominio. (Sugestiio: 0 angulo
ACB e reto.)
(b) Expresse a area do triangulo ABC como
fun~iio de x.
~
A
15
B
Exercs. 35-42: (a) Determine if a g)(x) e 0 domfnio
de fog. (b) Determine (g a I)(x) e 0 dominio de g of.
35 f(x)
= x2 - 3x;
g(x) =
vx + 2
vx - 15;
37 f(x) = vx - 2;
g(x) = x2 + 2x
38 f(x) = v3 -x;
g(x) = vx+ 2
36 f(x)
=
g(x) = VX+ 5
39 f(x)
= v25 -xl;
g(x) = vx-3
40 f(x)
= v3 -x;
g(x) = VXC16
/1
x} .
/
.
__________
?
'
,..,
.. "
/1
.:./
'~"-""''''''''
41 f(x) = _x_.
3x+2'
2
g(x)= -x
3
g(x) = ~
Exercs. 43-50: Determine uma forma funcional composta para y.
43 Y
= (x2 + 3x)1f3
1
45 Y= (X-3)4
54 Urn aquario aberto em ci!Jla, de. 15 em de altura;
deve ter Urn volume de rio It: Sejam x 0
comprimento e y a largura (veja'a figural.
(a) Expriinir y como fun~o de x.
'.
(b) Exprimir em fun~lio de x· a area total de vidro
necessario.
56 Deve-se construir urn lanque de a~o em forma de
urn ciJindro circular relOde 3m de altura com dois
hemisferios nos extremos. 0 raio r ainda eSla par
determinar. Expresse a area S da superficie do
tanque em fun~lio de r.
57 De urn ponto exterior P que esta a It unidades de
urn cfrculo de raio r, tra~a-se uma tangente ao
cfrculo (veja a figural. Seja y a distancia do ponto
P ao ponto de tangericia T.
(a) Expresse y como fun~o de It. (Sugest5es: Se C
e 0 centro do circulo, PT e perpendicular a CT.)
(b) Se reo raio da terra e It e. a altura de urn
foguete, entao podemos deduzir uma formula
para a distancia maxima (3 terra) que urn
astronauta pode ver da nave. Em particular,
se It = 321.800m e r = 6.436.000m, de uma
aproxima~lio para y.
59 As posigaes relativas de uma pista de aeroporto
e de uma torre de controle de 6,1m de altura sao
iJustradas na proxima figura. A cabeceira da piSlll
esta a uma distiincia perpendicular de 100 metros
da base da torre. Se x e a distancia percorrida nil
pista par urn avilio, expresse a distancia d enll'
o aviiio e a torre de controle como fun~lio de x .
\ "2
C
.)'
:1\ , \'
-:: >'
) •• "
" . r,-;, "J':
Wllslru;r urn abrigo retangular aberto
ern 2 lados verticais 'de 1,20m de
hilI \1111 f 11111 I '10 plano, anexo a urn armazem ja
I ,IHII 1111'. Ido plano deve ser de lala· que
III III
"II
",,:.Iro quadrado, e as dais lados
III Villi ,,'I de c,)mpcnsado, que custa $ 2 por
If
11111
I II<1U
<a) Utilize a semeJhan~ de trianguJos para expressar y como fun~ao de h.
(b) Expresse a volume do lionco em fun~o de h.
<c) Se a = 2m e b = 1m, para ~ue valor de h a
volume do tronco e de 20m ?
'
111111111111111""<10.
II ) '"
11I/11'1I111O
I KI'"\/I/10
0
/,
~
Na geometria, urn angulo fica determinado por duas semi-retas
com mesma origem 0, 0 vertice do angulo. Sc A e B sao pontos
das retas I. e 12 na Figura 1.27, temos 0 anguloAGB ou L AGB.
Costumarnos de no tar urn anguJo por uma letra grega n, f3 ou e.
Na Irigonometria tambem pod cmos interpretar L AGB como
uma rotac;ao do raio II (lado inicial do angulo) em tomo de 0
ate uma posiC;ao especificada por 12 (0 lado terminal).
A
quantidade
a direc;ao de rotac;ao sao arbitHlrias; podemos fazer
II darvarias vollas em qualquer das duas direc;6es ein tomo de
antes de parar em 12, Assim, infinitos angulos podem ter os
rnesmos lados inicial e terminal.
/,
o
de $ 400 para a conslru\Vao,
comprimento y em fun\Vao da
e
11111111' \,
o
I.
Lado
Inicial
62 Urn cilindro circular reto de raio r e altura h esta
inserito num cone de altura 12 e raio da base 4,
eonforme a figura.
III 1\ 1'1 1111 III 1I/lIlOlIavedo programa Apolo tinha a
11111111\ II 11111 1I'll "';0
de cone circular relo. Na
III 11111, II III liS <IllSbases a c /) ja foram delermi11111111
<a) Expresse h como fun\Vaode r.
x
lntroduzindo
urn sistema retangular de coordenadas,
a
posiC;iio padriio de urn angulo 8 e obtida tomando a origem
como vertice e 0 lado inicial ao longo do eixo-x positivo (veja
a Figura 1.28). 0 angulo 8 e positivo para uma rotac;ao
anti-horaria, e negativo para uma rotac;ao horaria.
A magnitude de urn angulo pode ser express a seja em graus
ou em radianos. Urn angulo de medida em grallS, I" corresponde
a ~ de uma revoluc;ao completa na direc;ao anti-horaria. Urn
minllto
(b) Expresse 0 volume V do cilindro em fun~ao
de r.
(1') e cl; de urn grau, e urn segundo (I") e cl; de urn
minuto. No calculo, a unidade de medida angular lIlais importante e 0 radiallo. Para definir urn radiano, consideremos
0
drculo ullitario U com centro na origem de urn sistema
retangular de coordenadas, e seja 8 urn angulo na posiC;ao padrao
(veja a Figura 1.29). Fazendo 0 eixo-x rodar ate coincidir com
o Iado terminal de 8, seu ponto de intersecc;ao com U percorre
uma certa distancia tate chegar a sua posiC;ao final P(x; y). Se
t e considerado positivo para uma rota~ao anti-horaria e negativo
para uma rotac;aQ horaria, entao 8 e urn angulo de 1 radianos, e
escrcvemos 8 = I. Na Figura 1.29, t e 0 comprimento do area
AP. Se 8 1 (isto e, se 8 e urn angulo de 1 radiano), entao 0
comprimento do arco AP em U e 1 (veja a Figura 1.30).
=
Como a circunferencia
do circulo unitariohn,·segue-se
Urn angulo central de urn circulo e urn iingulo 6 cujo
vertice coincide com 0 centro do circulo (Figura 1.31). Dizernos
entao que 0 arcoAB subtende 0 lingulo 0 ou que 6 e sub ten dido
por AB. Da-se a seguir a rela<;ao entre 0 cornprirnento s de
AB, a rnedida em radianos de 0 e 0 raio do circulo r.
Se urn areo de comprirnento s nurn circulo de raio r subtende
urn angulocentra1de
rnegida 6 em radian os, entao
180).
(
1 radiano = ~
Se Sl e 0 cornprirnento de qualquer outro arco do circulo, e Sc
61 e a rnedida em radianos do lingulo central correspondentc,
entao, pela geornetria plana, a razao dos arcos e a rnesma que II
razao das rnedidas angulares; isto e, S/Sl = 6/61' donde S = S,
0/61, Se considerarrnos 0 caso especial em que 6,= 2n:, enlno
SI = 2Jtr, e obternos S
2Jtr6/(2n:)
r 6.
=
Utilizarernos
=
rnais adiante
0 pr6xirno
e
Se 6
amedida em radianos
circl!l~ derai6'rAseA
e~~rea
result ado.
de urn iingulo central de "'11
do setor circular dcfinido po,'
~~.~~J~<};\:.~:~;:i~>:~~};~t·~)d
~'j,
~
.<;,~\~;.~\~
b . ::~>':~;:.--\';;;
)
"; ':-J,"~:i;:~;";:.;;.!';- :,:,':~:.
Quando se dd a medida em radian os, nao se indicu
unidade. Assirn, se urn lingulo tern rnedida em radianos 5,
escrevernos 6 = 5 em lugar de 6 = 5 radianos. Quando se trata
de rnedida em graus,escrevernos
6 = 5'.
Radianos
Graus
7rc llrc
4
6
~
~
~
~
6
4
3
2
2rc
3
O'
30'
45'
60'
90'
120' 135' 150' 180' 210' 225" 240' 270' 300' 315' 330' 360'
5rc
6
rc
7rc
6
5rc
4
4rc
3
3rc
2
5rc
3
";
>:~'. .:4.::.!. rie
2
A Figura 1.31 exibe urn lingulo tfpico e 0 corresponLlcl11 . r, 'io,
circular. Se 6 e qualquer outro iingulo central eA I a arCH <1\1 '1\lilll
correspondente;
entao, pel a geornetria plana, A/A, •• 0/01 1111
A = AI6/61• Considerando 0 caso especial 6, = 2Jt cntUuA I 1I11
e A = nr6/(2Jt) = ,!/26.
2
0
3rc
4
j
.
2J1:
A tabua acirna exibe a rela<;ao entre rnedidas em radianos
e em graus, para varios lingulos usuais. Os valores podern ser
verificados utilizando-se 0 Teorerna (1.13).
As seis fu~<;oes trigonometricas sao 0 SCIIIl, 0 1''''Nllllll, II
tangente, a co-secante, a secante e a co-tanI,:Cllfl', I I pllll VII
mente .. PodernosdefiniT as fun<;oes trigonol11ctri liS 1111111111 I
de urn iingulo 60ude urn nurnero realx. H:\ dois m~IO"llrll'lIdl
,que utilizarn linguI9s:,
.
1.
Se 6 e agudo (0 < 6 < n/2), poclemos ut illl.lIl'
retlingulo.
'"11 II
11111111
ft
I ,II, Ifill '.'111 (Irln"t1I,I"
A",,'_"_(i_cn__ C~ap~,_l
_
2: ,Se f) e qua/quer angulo (em posi<;ao padrao), podernos
utilizar 0 ponlo pea, b) em que 0 lado lerminal
intercepta 0 eir~ulo xl + y2 = r.
.,
..
,
'."1,'
.\
Observa-se a partir de (ii) da Defini<;ao 1.16 que 0 dominio
de sen e eos cons isle em todos os angulos e. Como tan e e sec
e nao sac definidos se a = 0 (isto e, se 0 lado terminal de 0 est a
no eixo-y), 0 dorninio de tan e see consiste em todos os angu)os
exceto os de medida em radianos (r/2) + nil, onde t! e um numero
inteiro. 0 dominio de cot e csc consiste em todos os iingulos
exceto os de medida em radianos 1ft!, pois cot 0 e csc e nao sao
o,,finidos se b = O.
de f)
ff!
,Nas defini<;oe,S'que seguern, as abreviaturas adj, op e hip
sac usadas para d~;;ignar os cornprirnenlos do lado adjacente, do
lado oposto e da hipotenusa de urn triangulo retangulo tendo f)
como angulo.
De (ii), nola-se que
filII
Isen 01 :s 1, Icos 01 :s 1, Icsc 01 ",Ie
I111111t1111 IrlCBS (1.16)
Isee 01 "' 1
para todo 0 no dominie destas fun<;oes.
Indicamos a seguir algumas rela<;oes importantes 'entre as
fun<;oes lrigonometricas, Lembremos que uma expressao tal
como sen2 0 significa (sen e)(sen 8).
Ideqtidades
fundamentais
(1.17)
·.''''.r:'
I
6,
'cos6 =-.'sec6
=_
J.f' ...,...fl.····"B 'cosO
see e = cos f)
cot
(~~.\fV;'i';~";{~li'}ht"
;"".:'a :;t..
'C',
tg'
6 = ~
,;'cot
6 =
'~,; ·:~:!:~.:~i:,';.t:~,lY,;:r,(;"
o valor de lima filllfiio' Irigonomelrica para 11mmlmero
real x e ~eu valor em urn anguli> de x radianos ..
Note, por (iii), que nao ha diferen<;a entre fun<;oes trigonornelricas de angulos medidos em radianos e fun<;iies trigonometricas de um nurnero real. Por exernplo, podernos inlerpretar
sen2 como 0 'Seno de urn angulo de 2 radianos ou como sendo
o seno do numero real 2.
TlIdos
posilivQS
();O--~
t'c~,\
'ee 0> 0
1,. - &:> .' 1 + eot2 e = csc2 f)
1
(iii) De urn nurnero 'real X:t
Os val ores das fun<;oes trigonornetricas de angulos agudos
em (i) sao razoes de lados de urn lriangulo retangulo, logo, sao
numeros reais positivos. Para 0 caso geral (ii), 0 sinal do valor
da fun<;ao depende do quadrante que contern 0 lado terminal de
0, Por exemplo, se 0 esta no quadrante II, entao a < 0, b > 0 e
dai sen f) = blr > 0 e csc e = rib> O. As oulras quatro fun<;oes
sao negativas. A Figura 1.32 indica esquernaticamente
estes
falos. 0 leitor deve verificar os sinais nos quadrantes reslantes.
= sen f)
))~
,
Cad a identidade fundamental pode ser demonslrada
rendo ao item (ii) da Defini<;ao (1.16). Por exemplo:
r
1
cscf)=-=--=-b (blr)
I
g
,
recor-
1
sell e
e = !!. = 1!?ld = sell e
a
(air)
cos 0
As identidades fundamentais sao uteis para mudar a forma
de uma expressao que envolva fun<;iies trigonometricas,
Para
iluslrar, como cos1 e = 1 - sen1 e,
e
sell 0
sell
Ig e = cas 0 = ± "II - sell" e
'No Capitulo 9 utilizaremos substilrtifoes trigOIlOllllftriclI.I'
do tipo ilustrado no proximo exemplo.
E possivel aproximar, com qualquer grau de precisao, os
valores das fun<;6es trigonometricas para qualquer angulo. A
Tabua A do Apendice III da aproxima<;6es de alguns valores
com quatro decimais.
Se a > 0, ex pre sse ~
ell! termos de uma fun<;ao lrigonometrica de 0 sem radicais, fazendo a substitui<;ao trigonometrica
x = a sen 0 para _!:!. '" 0", !:!.
2
2
As calculadoras cientificas tern teclas SIN, COS e TAN
que pod em ser usadas para obler essas aproxima<;6es. Os valores
de csc, see e cot pod em ser obtidos utilizando a tecla de inverso
1/x. A lites de usar a ca/cu/adora para achar va/ores de ftlllf;oes
Fa<;amos x = a sen 0:
qlle correspolldem em radiallos, certifiqlle-se de qlle a ca/cll/adora esta IlOmodo radiallo. Para va/ores de fum;oes elll graltS,
a ca/cll/adora deve estar IlOmodo grall.
.,ja2- xl = .,ja" - (a sen OJ!
= .,ja"_ (a2 sen" 0)
Como ilustra<;ao, para achar sen 3D' numa calculadora
lipica, coloque-a no modo grau, entre 0 numero 30 e aperte a
tecla SIN. Obtera sen 3D' = 0,5, que e 0 valor exato. Utilizando
o mesmo processo para 60' obtemos uma aproxima<;ao decimal
de ..[3/2, como, por exemplo, sen 60' = 0,8660254. Do mesmo
modo, para achar urn valor tal como cos 1,3, onde 1,3 e urn
numero real ou a medida em radianos de urn angulo, colocamos
a calculadora no modo radiano, entramos 1,3 e apertamos a tecla
COS obtendo cos 1,3 = 0,2674988.
= .,ja" (1 - sen" 0)
=
.,ja" cos" 0
=
a cos 0
A ultima igualdade e verdadeira porque, primeiro, yar = a se a > 0,
e segundo,
se -n12 '" 0 '" n/2, entao
cos 0 '" 0 e dai
VCQS2ll = cos O.
Para determinar valores exatos de fun<;6es trigonometricas
para urn angulo 0 em (ii) da Defini<;ao (1.16), as vezes utilizamos
o angulo de referenda
de e - isto e, 0 ilngulo agudo OR que
o lado terminal de e faz com 0 eixo-x. A Figura 1.34 ilustra 0
angulo de referencia OR para urn angulo em cad a quadrante.
Ha varios metodos para achar valores de fun<;6es trigonometricas. Para certos casos especiais podemos referir -nos a6s
trHingulos retangulos da Figura 1.33. Aplicando (i) da Defini<;ao
(1.16) obtemos:
Angulos de
referencia
Va/ores especiais das fum;6es trigonometricas (1.18)
Graus
~
6
~I
~
30°
2J1
V3
45°
1
Figura 1.33
4
~
3
30'
sen 8
.l
2
CDS
Vf
2
45'
Vf
2
Vf
60'
Vf
2
.l
2
2
8
tg 8
Vf
3
cot 8
Vf
2Vf
3
Vf
1
Vf
see 8
Vf
3
2
csc e
2
Vf
2Vf
3
Duas raz6es para enfatizarmos esses valores especiais saD
(1) que eles saD exatos e (2) que eles ocorrem com freqiiencia
na trigonometria. Em vista de sua importilncia, e conveniente,
se nao memorizar a tabua, pelo menos ser capaz de determina-Ios
rapidamente com auxilio dos triangulos da Figura 1.33.
Mostra-se que, para achar 0 valor de uma fun<;ao trigono'metrica em 0, podemos determinar seu valor para 0 angulo de
referencia OR de 0 e entao prefixar 0 sinal adequado referindo-a
.•. ao quadrante que contem 0 (veja a Figura 1.32).
e = 5lt
unitario uma vez no senlido anti-horario. Observando a coordenada-y, sen e, de P, obtemos os seguintes fatos nos quais as setas
sao usadas para indicar as variac;oes de e sen
(Por exemplo,
o ....,.lt/2 indica que e aumenta de 0 a lt/2, e 0....,. 1 significa que
sen e aumenta de 0 a 1).
6
e
A Figura 1.35 ilustra 0 angulo e seus angulos de referencia.
Utilizando vaiores funcionais de angulos especiais (1.18), obtemos:
o ....,.~ ....,.It ....,.3lt ~ 2lt
2
"
:.~
5lt
It
cos (; = -cos
=
V3
''lI1!,'
"6 -2
~~:
.. \
.~
5lt
It
V3
Ig (; = -lg"6 = -3
(b)
sell 315· = -sell 45· = _ Y2
2
cos 315" = cos 45" = Y2
Se P continua a percorrer U, 0 mesmo padrao se repete a
intervalos [m, 4lt] e [4lt, 6ltJ. Em geral, os valores de sen
se
repctem em todos os intcrvalos sucessivos de amplitude 2lt. Uma
func;ao f com dominio D e periodica
se existe urn. numero
positivo real k tal quc x + k esla em D e f(x+k) = f(x) para todo
x em D. Isto implica que 0 griifico de f se rcpete a interval os
sucessivos de amplitude k. Se existe urn menor numero real
posilivo k, e chamado 0 periodo de f. Segue-se que a func;ao
seno e peri6dica com periodo 2lt. Utilizando este fato e grafando
diversos pontos, lomando val ores especiais de
tais como lt/6,
lt/4 e m/3, oblemos 0 graft co da Figura 1.37(i), em que
utilizamos l:J = x como variavel indcpendente
(medida em
radianos ou numeros reais).
e
o
Se usarmos uma calculadora para aproximar val ores de
fllnc;oes, os angulos de referenda
tornar-se-ao desnecessarios.
Como ilustrac;ao, para achar sen 210·, colocamos a calculadora
no modo grau, inserimos 0 numero 210 e apertamos a tecla SIN,
obtendo sen 210· = --0,5, que e 0 valor exato. Usando 0 mesmo
processo para 240·, obtemos a aproximac;ao decimal
Para achar 0 valor exato de sen 240·, nao se deve usar uma
calculadora. Neste caso, achamos 0 angulo de referencia 60· de
240· e usamos 0 teorema sobre angulos de referencia juntamente
com resultados conhecidos sobre angulos especiais, obten~o
sell 240· = -sell 60· = _V3
2
II)
1/
Para trac;ar 0 griifico do seno e do co-seno, podemos estudar
a variac;ao de sen
e cas
quando
varia, usando urn cfrculo
unit,hio U em (ii) da Definic;ao (1.16). Fazendo r = 1, as formulas
cos e = aIr e sen e = blr tomam as formas mais simples cos e = a
e sen e = b. Logo, 0 ponto pea, b) em U pode se denotar por
P( cos e, sen ll), conforme ilustrado na Figura 1.36. Fazendo e
aumentar de 0 a 21t, 0 ponto P(cos e, sen e) percorre 0 cfrculo
e
e
2
e
2
II
e.
e
e
gr:\fico de y = cos
pode ser obtido 'de modo ana logo,
estudando a variac;ao da coordenada-x, cos e, de P na Figura
1.36 a mcdida que e cresce. 0 lei tor deve verificar os griificos
restantcs da Figura 1.37. Note que 0 periodo das func;oes tangente e co-tangente e It.
Uma equa ••iio trigonometrica
e uma equac;ao que contem
expressoes trigonometricas. Cada identidade fundamental e um
exemplo de equac;ao trigonometrica,
onde cad a numero (ou
allgulo) no dominio da variavel e uma soluc;ao da equac;ao. Se
uma equac;ao trigonometrica
nao e uma identidade, em geral
oblemos soluc;oes utilizando tecnicas analogas
usadas para
equac;oes algebricas. A principal diferenc;a e que primeiro
resolvemos a equac;ao trigonometrica em relac;ao a sen x, cos
elc., e em seguida achamos os valores de x ou e que salisfac;am
a equac;ao. Se nao se especifica a medida em grollS, entao as
soilll;oes de lima eqlla~ao Irigollometrica devem ser expressas
em radianos (011;llimeros reais).
as
e
(iii) Y = tgx
(ii) Y = cosx
Y
t 5rt
8r =286 +2 rtll e
Y
=
..
(5 + nil para todo mteno
11
t
--m-__
~'Irt_7x\:;i1 :DJ3~"1;;;J
1
'yi
~n~~
6
6
6
I
y = 2"
y = sen B
hnv
6
6
6
Uma solu~ao griifica alternativa envolve a determinar;ao do
ponto em que 0 griifico de y = sen intercepta a reta horizontal
y =
con forme ilustra a Figura 1.39.
u
e
1,
Dada uma equa<;ao trigol1ometrica tal como sen 8= 0,6635,
podemos aproximar
usando uma calculadora ou uma liibua.
Cerlas calculadoras tern uma tecla SI~l ou ASIN para este fim.
Com outras, e preciso apertar INV e entao SIN. Essas nota<;6es
baseiam-se nas" fWII;oes Irigollol/lI!lricas illversas, que serfio
estudadas na Se~ao 8.2. Como veremos, hii uma fun<;iio denotatla
por sen -I, ou arcsen, tal que
e
rt
rt
sen-I (sen e) = 8 se -"2 s e s"2 (ou -90· s e s 90")
Note que "esta formula indica que, aplicando sen-I a sell II,
obtemos 8, desde que 8 satisfa<;a as restri~6es indicadas.
"0 proximo exemplo ilustra 0 uso de uma calculadorll
- ies?lu~ao deuma equa<;iio trigonometrica.
EXEMPLO
Se sen =
4
Se sen 8 = 0,5 e 8 e um angulo agudo, use Ul11l1'alcllladlll'lI iJllIll
apr.oximar a. medida de 8
SOLu<;Ao
(a)
Ill!
t, .entad 0 angulo de referencia para 8 e rt/6. Se
considerarmos 8 como urn angulo na posi~ao padrao, entao,
como sen 8 > 0, 0 Iado terminal de
estii no quadrante I
ou no quadrante II (veja a Figura 1.38). Assim, hii duas
solu~6es para 0 s 8 < 2rt:
e
.sOLu<;Ao
•
(a)
••
" •• 0£
Coloque a calculadora no lI1odo grllll:
(vllillf d ' ~~II II)
(11ll"1lillll"'II 11.1111'1
II II
/""(b)
(b)
Como a fun~ao seno tein periodo 2rt, podemos obler todas
as solu~6es adicionando multipJos de 2rt a rt/6 e 5rt/6. Oaf
vem
"'"
Coloquc a calculadora 110l11odo IlIdlllll":
-,,:'''"'""
fnsira 0,5:
11,5
(vld'lI 11\ iI'li 0
o ultimo numero e uma aproxima«ao
decimal para urn angulo
de medida n/6 radian os.
E imporlanle nolar que ha muitos va)ores de 0 tais que
sen 0 = 0,5, todavia, uma calculadora dii apenas 0 valor entre 0
e n/2 (ou entre O· e 90·). Da mesma forma se sen B = _ 0 5 a
calculadora darii uma aproxima«ao do v~lor 0 = -n/6' (~u
= -30·) entre -n/2 e 0 (ou entre -90· cO·).
o = 360· -.oR - 360· --:24,S·,
ou 0 - 335,2·
Urn metodo ·de resolu«ao que nao envolve angulos de
referenda consiste em usar 0 fato de que a fun<;:ao tangenle tem
perfodo n, ou ISO·. Assim, ap6s obter B - -24,S·, podemos achar
angulos apropriados entre O· e 360· somando ISO· e 360·, C0l110
segue:
-24,S· + ISO·
o
= 155,2·
-24,S· + 360· = 335,2·
Na Se«ao S.2 dcfiniremos tambem fun«6es denotadas por
cos- , ou arcos, e tan-I, ou arctg, com as seguintes propriedadcs:
I
I
cos- (cas B) = B se O:s 0 :s lt (ou O· :s 0 :s ISO·)
Ig-I (Ig 0) = e se -~ < B < ~ (ou -90· < B < 90·)
Estas fun«6es podem ser cmpregadas da mesma forma que
S)N""I (islo e, INV SIN) usada no Exemplo 4. Ao utilizar uma
calculadora para achar 0, devem-se observar as restri«6es quanto
a B. Por exemplo, hii muilos (infinilos) valores de 0 tais que tg
o = -1; todavia, uma calculadora dii apenas 0 valor que estii '
entre -n/2 e 0 (ou entre -90· eO·). Se se desejam outros valores,
pode-se proceder como no excmplo seguinte.
Se 19 0
Existem muitas rela<;:6es importantes
entre as fun<;:6es
trigonometricas. As formulas para as negalivas sao
sen (-ll) = -sen u
csc (-II) = -CSCII
= cos u
see (-u) = see u
eos (-u)
= -tan II
cot (-u) = -cot Ii
tan (-II)
Essas f6rmulas moslram que 0 seno, a tangente, a co-secanle e
a co-tangente sao fun<;:6es impares, e 0 co-seno e a secanle
fun<;:6es pares, conforrne tamhem indicado pelas simetrias de
seus griificos na Figura 1.37.
As formulas de adi(;iio e SUblra(;iio para 0 seno e 0 co-seno
= -0,4623 e O· :s 0 < 360·, delermine 0 a menos de 0,1".
SOLU<;A.O
Se estamos utilizando uma calculaclora (modo grau) para achar
quando tg 0 e negativa, enlao a medida em graus est<\ no
intervalo (-90·, 0·). Em particular, temos:
o
Insira -0,4623:
-0,4623
(valor de 19 0)
Aperte INV TAN:
-24,S11101
(um valor de 0)
Assim, a aproxima«ao
em graus e = -24,S·.
Como desejamiJs ohler valores de Bentre O· e 360·, us·amos
o angulo de referencia (aproximado) OR~ 24,S·. Hii dois valorcs
posslveis de 0 tais que tg 0 e negativa - urn no quadrante II,
outro no quadrantc IV. Se 0 cslii no quadrante II e O· :s 0 < 360·,
temos a silua<;:ao da Figura 1.40, e
0= 180· - OR = ISO· - 24,S·,
Se 0 estii no quadranle
Figura 1.41,
ou 0 = 155,2·
IV e O· :s 0 < 360·, entao, conforme
As formulas do lingulo melode sao
sen2 u = l=..~os2u
2
?
cos- u =
Estas e outras f6rmulas
inicio deste livro.
1 + cos 2u
2
uleis no calculo estao relacionadas
Illl
Exercs. 33-38: Fa~a 0 grMico de f. utilizando
gamento, reflexao ou lransla~ao.
Exercs.
1-2: Ache
a medida
exala
do aogulo
em
radianos:
1 (a) 150'
(b) 120'
(c) 450'
(d) ....QO·
2
(b) 210'
(c) 630'
(d) -135'
(a) 225"
Exercs.
3-4:
Ache
a medida
exala
do angulo
11 reta por A(5. 12) e B(-3. -3)
16 IV; perpendicular
graus:
e
3
4
6
(c) 3lt
4
(d) _ 7lt
2
Exercs. 17-20: Se
e urn angulo agudo, use identidades fundamentais
para escrever a primeira expres.san em termos da segunda.
(b) 4lt
3
(c) lIlt
4
(d) _ 5lt
17 (a) cot 8. sen 8
(b) sec 8. sen 8
18 (a) tg 8. cos 8
(b) csc 8, cos 8
(a) 2Jt
(b) 5lt
3
(a) lIlt
6
e
d.
e = 50';
d = 16
(; e = 2,2;
d = 120
. 5
34 (a) fix)
= sen (x - lt/2) (b) fix) = sen x -
36 (a) f(~) = ~ cas x
(b) cos 8. cot
(b) fix)
= tg (x - 1t'-l)
(b) f(x) = tg (x + 3:(/4)
38 (a) fix) = ~ tgx
39-42:
Escreva
y em forma
It
;
It
[(x+ il)h- [(x) = cosx (COS
--,-,
44 Se j{x)=sen
h -- 1) - sen x (sen
h)
-h-
x. mostre que
[(x + h)h - [(x). = sen x (COS
--'-Ih -45-54: Verifique
Exercs.
1) +
';25 +x2
46 see ~ - cas ~
';x + 4 .
47
J
,;xZ - 9 .
e
e.
e = cot2 8
•
57 2 sen! u = 1 - sea u
58 eos 0 - sea 8 = I
=0
cas x
[gExercs.
65-70: Aproxime. a menos de 10'. as snlll
<;6es da equa<;ao que estao em l0'. 360').
65 sea e = --D,5640
66 eos
67 tg 8 = 2.798
68 cot 8 = --D.960J
(sen h)
-it-
69 see 8
= -1.116
e = 0,7/190
70 cse 0 = 1.485
[g 71 Grafe y = (sea x - eos nx)/eos x para -.I
e estime os intereeptos-x.
[g 72 Aproxime
a soluc;ao da equac;iio x - ~ ens
zaado 0 processo
III I
abaixo:
(1) Grafar y = x e y =
i
eos x nos mcsmo
·1 (1/
l+ese(?
,,see p
cot (? = cas (?
(2) Usar as graticos em (1) para obler 11Il1h
primeira aproxima~ao x. da solu~ o.
(3) Determiaar aproximac;6es sllccssivllS
I'
x3 •••.• empregaado as f6rmulns Xl - I ''lIt1 • I'
e
Exercs. 13-14: Se esta ria posi~ao padrao. e Q esta
no lado terminal de e, ache os valores das fun~6es
trigon~melricas
de
'm
coordenados.
Exercs. 9-12: Ache as valores das fun~6es trigonometricas se
e urn angulo agudo.
12
2
cse
1 + tg28
49
e =.1-
= tg 13 sen ~
2
x
11 tg
.,.
a identidade.
4S (1 - sen! 1)(1 + tg! I) = 1
23 __ x_
25
57-64: Ache as soluC;6es da equa~iio
[O.2lt).
42 y = esc ';x - It
X2
x2
56 2 sen 38 + V2 - 0
de fun~ao
43 Se fix) = cos x. mostre que
x = 4 sen e, para - 2" s e s 2"
24
55-56: Ache todas as solu~6es da cqlla~ o.
40 y = cot3 (2x)
41 Y = see (x + lt/4)
Exercs. 21-26: Volte ao Exemplo 1. Fa<;a a substitui<;ao trigonometrica
indicada
e use identidades
fundamentais
para obler uma expressao trigonometrica simplificada
que nao contenha radicais.
22 ';9 _x2
Exercs.
55 2 eos 28 - {3 = 0
(b) fix) = -3 cos x
= 4 tg x
39 y = ';Ig! x + 4
e
.
= 2 cas x + ;(
54 sen' 2x = 1 -' 1. cos 4x + ! cos 8x
8 2
8
composta.
(b) sen 8. see 8
e
2
:ll
Exercs.
37 (a) fix)
Exercs.
19 (a) tg 8, sec 8
20 (a) cot 8, csc
= ~ sen x
59 2 tg 1 - see! 1
2
Exercs.
5-6: Ache 0 comprimenlo
do arco que
subtende urn lingulo cenlral em urn drculo de diamelro
=1
53 cos4 (8/2)·= -8 + ~ cas 8 + 1. cos 20
_
8
33 (a) f(x)
35 (a) f(x) = 2 cas (x + It) (b) fix)
11 reta 2y - 7x + 2 = 0
52 2 sen! 2/ + cos 4/
3
e
Exercs. 15-16: Seja
na posi<;ao padrao, com lado
terminal no quadrante especificado
e satisfazendo a
condi~ao dada. Determine
os valores das fun<;6es
trigonometricas
de 8.
15 Ill; paralela
em
alon-
27 (a)
sen (2ltl3)
(b)
28 (a)
cos 150'
(b) cas (....QO·)
29 (a)
tg (5lt/6)
(b) tg (-lt/3)
sen (-,-5"'4)
30 (a)
cot 120'
(b) cot (-ISO')
31 (a)
see (2lt/3)
(b)
32 (a)
ese 240'
(b) ese (-330')
see (-"'6)
x3 = ~ cos x2 ••..• ale abler lImll I' c i~ ') ii,
sex!a decimal.
Capitulo 2
MAKRON
Books
,.,
LIMITES DE FUN<;OES
a conceito de limite de uma fum.ao f e uma
das ideias fundamentais que dislinguem 0
c:ilculo da algebra e da trigonomelria. No
desenvolvimento do calculo no seculo XVlII,
o conceito de limite foi tralado intuitivamente, tal como fazemos aqui na Se<;ao 2.1, on de
supomos que 0 valor de f(x) tende para urn
cerlo numero L quando 7tende
para urn
numero a. au seja, quanta mais pr6ximo deL estiver 0 valor de f(x), mais pr6ximo de a
estara x. a problema desta defini<;ao esta na
palavrafE?:Tin~'7Um
cientisla pode co~s~derar 0 resultado oe uma,~n~ra
ao proximo
de urn valor exato L quando esliver a 10-6 cm
de L. Urn corredor profissional pode eslar
pr6ximo da meta quando esliver a 50 melros
do final. Urn aSlronomo
vezes mede a
proximidade em ano-Iuz. Assim, para evilar
ambigtiidade, e preciso forrnular uma defini- .
<;ao de limite que nao contenha a palavra
proximo. Faremos isso na Se<;ao 2.2, enunciando 0 que e tradicionalmenle
chamado
fA.fJlnir;iio E-O de limite de lima fimr;iior A
defini<;ao e precisa e aplicaveI a qualquer
silua<;1ioque queiramos considerar. Mais ad iante nesle capitulo discutiremos propnedades que
possibililam calcular muilos limites de modo
facil, sem apelar para a defini<;ao E-O.
as
lNa Ultima se<;ao utilizamos limites para definir
fimr;iio continlla, urn conceito largamente
( empregado em todo 0 calcuio.
I
2.1 INTRODUC;Ao AO CONCEITO DE LIMITE
No calculo e suas aplica<soes interessam-nos em geral valores
f(x) de uma fun<sao f que estejam proximos de urn numero a,
mas que nao sejam necessariamente iguais a a. De falo, hii muilos
casos em que a nao esta no dominio de f, islo e, f(a) nao e
definida. A titulo de ilustra<sao, consideremos
Xl-u
f(x)=
Em geral, se uma fun<sao f e definida em todo urn inlervalo
aberlo con tendo urn numero real a, exceto possivelmente no
proprio a, pod em os perguntar:
1. A medida que x estii cad a vez mais proximo de a (mas
x '" a), 0 valor de f(x) tende para urn numero real L?
2. Podemos tornar 0 valor da fun<sao f(x) tao proximo de L
quanto queiramos, escolhendo x suficientemente proximo
de a (mas x '" a)?
3x-6
com a = 2. Note que 2 nao esta no dominio de f, pois, fazendo
x = 2 obtemos a expressao indeterminada 0/0. A tabela seguinte,
obtida com uma calculadora, reJaciona alguns valores (com oito
decimais) para x proximo de 2.
, i : :... ~" . r. '.
'.'j(;j".~"
x
·:,,;f(x): ..• :'
'0
1,9
1,20333333
2,1
1,47000000
1,99
1,32003333
2,01
1,34670000
1,999
1,33200033
2,001
1,33466700
1,9999
1,33320000
2,0001
1,33346667
1,99999
1,33332000
2,00001
1,33334667
1,999999
1,33333200
2,000001
1,33333467
Parece que, quanta mais proximo de 2 esla x, mais proximo de
~ estii f(x);' entretanto, n~o podemos ter certeza disto, porque
calculamos apenas alguns valores da fun<sao para
2. Para obtermos 'um argumenlo mais convincenle,
numerador e 0 denominador de f(x):
x proximo de
e dizemos que 0 limite de f(x), quando x tende para a e L, ou
que f(x) se aproxima de L quando x se aproxima 'de a. Podemos
usar lambem a nota<;ao
f(x)
-> L
quando
Islo significa que 0 ponto (X, J(x» do grafico de f se aproxima
do ponto (a, L) quando x se aproxima de a. Usaremos as
expressoes proximo e se aproxima de maneira intuitiva. Na
proxima se<;ao daremos uma defini<siio formal de limite, que evita
esta terminologia. Utilizando esta nota<sao de limite, podemos
denotar 0 resultado de nossa iluslra<sao como segue:
lim Xl - 2.l..2 = i
x_23x-6
3
o quadro seguinte resume a discussao precedente e da ulna
iluslra<sao grafica.
fatoremos 0
x2(x - 2)
f(x) = 3(x _ 2)
Se x '" 2, podemos cancelar 0 falor comum x - 2; verificaremos
que f(x)
dada por xl. Assim, 0 grafico de f(x) e a parabola
k
e
y = ~xl com
0 ponto
(2,~) omilido, conforme se ve' na Figu~a .
2.1. E evidenle que, geomelricamente, quanta mais proximo d~
2 estiver x, mais proximo de eslara f(x), conforme indicado na
i
tabela precedenle.
.
x -> a
Podemos tomar f(x)
laG proximo
de L
quanlo quisermos,
escolhendo
x suficientemente proximo
de a epr",a)
. Se f(x) se aproxima de um certo niimero (que nao sabemos
qual seja) quando x se aproxima de a, escrevemos Iim,_.a f(x)
Referindo-nos
conjectura: .
a tabela ou ao grMico, chegamos 11 segllillte
existe.
o gnifico de f exibido no quadro anlerior ilustra apenas uma
forma como f(x) pode aproximar-se de L quando x se aproxima
de a. ~ao exibimos u~ ponlo com a coordcnada x igual a a porque,
~o utlhzar 0 conceito de limite (2.1), sempre supomos x " a; isto
e,o valor f(a) da fun9io e completamenle irrelevante. Como veremos
f(a) pode ser diferente de L, pode ser igual a L, ou pode mesmo nao
existir, dependendo da natureza da fun~ao J.
.
~~ nosso estudo de f(x) = (r - 2r)/(3x - 6) foi posslvel
slmphflcar f(x) fatorando 0 numerador e 0 denominador. Em
muitos casos, tal simplifica~ao algebrica e impossive!. Em
parlic.ular, ao considerarmos derivadas de fun~oes trigonometricas mais adiante, deveremos responder a seguinte pergunta:
. senx
.
I1m-eXlste?
x-o
X
I
y = &l!..J
x
"._~
I
-1--+-I
x
Note que fazendo x = 0 obtemos a expressao indelerminada 0/0.
A tabela da pagina seguinte, oblida corn uma calculadora
rel~c.iona algumas aproxima«oes de f(x) = (sen x)/x para ;
proxImo a 0, onde x e ulIIlllllllero real ou a medida de urn angulo
em radianos. A Figura 2.2, ao lado da tabela, e urn grMico de.f.
Jim sen x = 1
x
x-o
Como dissemos, fizemos apenas uma conjeclura quanto 11
resposta. A tabela indica que (sen xl/x eSla cada vez mais
pr6ximo de 1 quanto mais proximo x esla de 0; todavia, nao
podemos estar absolutamente certos dislo. Poderia ser que os.
valores da fun~ao se afastassem de 1 se x estivesse mais proximo
de 0 do que os valores indicados no quadro. Embora uma
calculadora possa auxiliar-nos na suposi«ao da existencia do
limite, ela nao pode ser usada como demonstra«ao. Voltaremos
a este limite na Se«ao 3.4, quando provaremos que nossa
suposi«ao e correia.
E faeil achar lim, _ a f(x)se f(x) e uma expressao algebrica simples. Por exemplo, se f(x) = 2x -3 e a = 4, e evidente que
quanto mais proximo de 4 estiver x, mais proximo de 2(4) - 3 = 5
estara f(x). Isto nos da 0 primeiro limite da ilustra~ao seguinte.
Os dois limites restantes podem ser oblidos da mesma maneira
intuitiva.
.f(x) = sen x
,. x· ., .
....
".,'
X
±2,0
0,454648713
±I,O
0,841470985
±O,5
0,958851077
±O,4
0,973545856
±0,3
0,985067356
±O,2
0,993346654
±O,1
0,998334166
±O,OI
0,999983333
±O,OOI
0,999999833
±O,OOOI
I
0,999999995
:
lim (r + 1) = (_3)2 + 1 = 9 + 1 = 10
.%--3
Na ilustra«ao precedente 0 limite quando x -+ a pode ser obtido
simplesmenle substituindo-se x por a. Trata-se de uma propriedade que e valida para fun«oes espcciais chamadas jlmr;oes
contlnuas, a serem estudadas na Se«ao 2.5. A proxima iluslra~ao
moslra que esta tecnica nao e apliciivel a toda fun~ao algebrica
J. Na ilustra«ao, e importante notar que
r
+ x - 2 (x - 1)(x + 2)
---=
1
= x + 2, desde que x " 1.
x-I
x-
.
(Se X" 1, enlao x-I" 0, e e permitido cancelar 0 falor comUI1l
no numerador e denominador.) Segue-se que os grMicos
das eqlla~oes y = ().2 + X - 2)/(x - 1) e y = x + 2 sao os mesmos
exceto parax = 1. Espeeificamenle, 0 ponto (I, 3) csla no grflfico
de y = x + 2, mas nao esla no griifico de y = (r + x - 2)/(x -- '1),
conforme iluslrado.
x-I
ILUSTRA<;Ao
EXEMPLO
1
r
Sef(x)=
2l -5x+2
5Xf-7x-6'
o numero 2 nao esta no dominio de f,.pois, se fizermos x = 2,
obteremos a expriss~o indeterminada
rador e 0 denominador, obtemos
0/0. Fatorando-se
0 nume-
~- 2)(2x-1)
f(x) = (x - 2)(5x + 3)
Nao podemos cancelar 0 fator x - 2 neste momento; todavia, se
tomarmos 0 limite f(x) quando x ~ 2, tal cancelamento
15
permitido, porque, por (2.1) x •• 2 e, dai, x - 2 •• O. Assim,
· f()
I' 2x.2- 5x + 2
I1m
x = 1m 5.2 7'
6
x-2
x-2
X xx' +x-2
g(x)=--x-I
= lim (x - 2)(2x - 1)
x-2
(x - 2)(5x + 3)
= lim 2x - 1 =
x-2
EXEMPLO
Seja f(x)
se x;t 1
sex= 1
5x + 3
1..
13
2
=;/_93
(a) Ache Lim f(x).
x-9
Na ilustra~o
precedente,
0 limite
'(b)
Esboce'o gra'fico de f e ilustre graficamente
. parte. (~).
.
(a)
Note qu'e 0 n6m'ero 9 nao esta no dominio de f. Para achllr
o limite, modificaremos a forma de f(x) racionalizando 0
.. denominador como se segue:'
.. '.
0 limite
da
de cada fun«ao, quando
x se aproxima de 1 153, mas no primeiro caso f(l) = 3, no
segundo caso g(l) nao existe e no terceiro 11(1) = 2 •• 3.
Os dois exemplos seguintes ilustram como manipula«6es
algebricas podem ser usadas para determinar certos limites.
SOLu<;:Ao
"':1:<" (X -9)(v'X + 3)
x-9
=1llI
x-9
Detcrminemo~
Por (2.1),ao investigarmos 0 limite quando x -> 9, supornos que
x •• 9. Logo x - 9 •• 0, e entao podemos dividir numerador e
denominador
o que d~
/tl) •• V-•
'I
,
: Jim f(x)
.~_.__.~__._•... :.x"""'!'9 .•,
I'
(b)
(9.('~
-!..,.:-:
M:
I I
por x - 9; isto e, podemos callce/ar
16 jf(x)
I 111I I I-H-H-I-t-H--I->x-> I<-.x
x
9
0 fator
x./
e
Os dois proximos exemplos envolvem fun<;oesjlue nao tcm
limite quando x se aproxima de O. As solu<;oes sao intuitivas por
natureza. Demonstra<;oes rigorosas exigem a defini<;ao formal
de limite, dada na proxima se<;ao.
caracteristicas
os interceptos-x,
x
Yeja alguns interceptos-x:
• __
..x_9·
Se racionalizarmos 0 denominador de f(x) como em (a),
veremos que 0 grafico de f
0 mesmo que 0 gnifico da
equa<;ao y = v'X + 3, excelo para 0 pOllIO (9, 6), con forme
ilustrado na Figura 2.3. Conforme x aproxima-se de 9, 0
ponto (x, f(x» no gnifico de f aproxima-se do ponto (9,6).
Note que f(x) nunca atinge efetivamente 0 valor 6; todavia,
f(x) pode tomar-se tao proxinlo de 6 quanta desejarmos,
bastando tomar x suficientemente proximo de 9.
algumas
do grHico de
nolcmos que,
.~
1
1
sen - = 0 se e somente se - = lUI, OU X = -
x - 9,
= lim (v'X + 3) ~ Y9 + 3 ~ 6.
primciro
y = sen (llx). Para deterrninar
para todo inteiro n,
nil
.
1
1
1
1
±~, ± 2Jt' ,± 3n'''''± lOOn'
Fazendo x tender para 0, a distancia entre interceptos-x
vos diminui e, de fato, tende para O. Analogamente,
1
sucessi-
1
sen:; = 1 se e somente se x = (n/2) + 2nll
1
1
sen:; = -1 se e so mente se x = (3n/2) + 2nll '
onde n e um inteiro arbitrario. Assim, quando x tende para 0, os
valores da fun<;ao sen(l/x) oscilam entre -1 e 1, e as "ondas"
'corresponden'tes tornam-se cada vez mais "c~mpr~midas", como
se vc na Figura 2.5. Logo limx_osen (llx) nao eXlste, porque os
valores funcionais nao tendem para um numero determinado L
quando x,se aproxima
de O.
I~'\~l
;~~I-I-H-1\JI
l
· 1 .
Mostre que I1m
- nao eXlste.
x-OX
!(xl:sen
rh
~"~
A Figura 2.4 esbo<;a 0 gnifico de f(x) ~ 11x. Observe que
podemos fazer If(x)1 tao grande quanto quisermos, bast an do
escolher x suficientemente proximo de 0 (mas •• 0). Por exemplo,
se quisermos f(x) = -1.000.000, escolhcremos x = -0,000001.
Para f(x) = 109, escolheremos x = 10-9• Como f(x) nao tendc
para urn numero especifico L quando x se aproxima de 0, 0 limite
nao existe.
·
1 .
Mostre que I1m
sen - nao eXlste.
x-o
X
~
H-H-+-;
1
/,/----------.-
''',\
o teorema que segue estabelece
laterais e limites.
As vezes utilizamos \imites laterais dos tipos ilustrados no
quadro a seguir:
Limites laterais (2.2)
_, x-a'
., INTUITIV A_
Podemos tomar f(x) tao
proxima de L quanta quisermos, bastando escolher x
suficientemente proximo de
a, e x < a.
Podemos tomar f(x) tao
proxima de L quanta quisermos, bastando escolher x
suficientemenle proximo de
a, ex> a.
(limite
maximo)
y = f(x)
y
f(x)i~:
:
:.L.x~a
x-a-
x
~
Li
Se f(x) = W, esboce 0 grafico de f e ache, se possivel,
x
:f(x)
Para urn limite 11 esquerda, a fun"ao f deve ser definida
em (ao menos) urn intervalo da forma (c, a), para algum numero
real c. Para urn limite 11 direita, f deve ser definida em (a, c),
para algum c. A nota"ao x - a- significa que x tende para a
pela esquerda, ex -'-+ a+ significa que x tende para a pela direita.
lim f(x)
(b)
%_01+."
y
(b)
lim f(x)
x ....•0-
z-2'
.
o teorema precedente (que pode ser demonstrado usandose as defini<;6es da Se"ao 2.2) nos diz que 0 limite de f(x),
quando x se aproxima de a, existe se e somente se ambos os
limites laterais direito e esquerdo existem e sao iguais.
(3)
: (a)
entre limites
'" .i~-}(~)~::L se e 'somente- s'e liIn f(x) = L = iim j(x)_
SIGNIFICAGAo
(limite
minimo)
a rela"ao
lim f(x)
x-2~
lim f(x)
x-o+
A fun"ao f nao e definida em x = O. Se x > 0, entao Ixl = x e
f(x) = xIx = 1. Logo, para x > 0 0 grafico coincide com a reta
horizontal y = 1. Se x < 0, entao Ixl = - x e f(x)
-xIx = -1.
Isto nos dli a Figura 2.7. Referindo-nos ao grafico, vemos que
=
(a)
!im f(x)
x-o·
=-1
(b)
lim f(x)
x-o'
=1
(c) Como as limites laterais 11 direita e 11 esquerda sao difer 'ntes, decorre do Teorema (2.3) que Ilm,_J
(x) nao exist·.
(a)
Se x > 2, entao x - 2 > 0 e, dai, f(x)
real; ista e, f(x) e defmida. Assim,
= YX- 2 e urn numero
(b) 0 limite 11esquerda nao existe porque f(x)
urn numero real se x < 2.
No proximo exemplo consideramos
uma fun<;ao' definlil \
por partes.
= YX- 2 nao
e
Esbace
0 grafico
da fun"ao f definida por
3 -x se x < 1
f(x) = 4
se x· 1
.
x?- + 1 sc x > 1
\
(c) 0 limite nao 'existe porque f(x) = YX- 2 nao e definida
em urn intervalo aberto contendo 2.
Ache 11mf(x),
.•.....• 1"
tim f(x),
x-.
l'
e lim J(x) .
x--
I
SOLu<;Ao
A Figura
o limite 0,3 representa 6 volume no qual a subSlancia cOlflc<;a
a se transformar
2.8 exibe 0 g~~ri~o. Os Jimites laterais sao
(c) limp_loo
Jim fix) = Hm (3 -x) = 2
. x-f
.1'-1-
nao existe, po is os timites laterais 11 direita e a
esquerda em (a) e (b) sao diferentes. (Em P = 100, as
formas gasosa e Iiquida coexistem em equilibrio, e a
substancia nao pode ser classificada seja como gas ou como
Iiquido.)
lim fix) = Hm (,r + 1) = 2
x-I"
de liquido em gas.
x-I"
Como os limites laterais direito e esquerdo sao iguais, decorre
do Teorema (2.3) que
Note que 0 valor da fun<;ao f(l)
determina<;ao do limite.
= 4 e irrelevante
para a
2 lim (x2 + 2)
.-3 J~
4 lim(-x) x--3
Urn gas (tal como vapor d'agua ou oxigenio) e mantido a'
temperatura conslante no pistao da Figura 2.9. A medida que 0
gas e comprimido, 0 volume V decresce ate que atinja uma certa
pressao critica. Alem d~ssa pressao, a gas assume forma Iiquida.
Use 0 grMico da Figura 2.9 para achar e interpretar.
(3)
lim V
(b)
P-IO!f
Jim V
P-1OO'
..
"".<~~
tj
·:.rt':A
~~
;.~.r ..;'! ....••
:·:·
(3) Vemos pela Figura 2.9 que, quando a pressao P em (torrs)
e baixa, a substancia e urn gas e 0 volume V (Iitros) e
grande. (A defini<;ao de torr, unidade de pressao, pade ser
encontrada em textos de fisica.) Se P se aproxima de 100
por valores inferiores a 100, V decresce e se aproxima de
0,8; isto e,
Jim V=0,8.
.~~
J
.-----~
DO
0 limite 0,8 representa
a se transformar
0 volume no qual a substancia
de gas em Ifquido.
P-IOlJ'
V= 0,3.
9
x+5
26 J{x) = Ix + 51 ;
.-s
Jim .!~
• __ 12t+1
10lim
11 Jim (x + 3~--=-il
(x+3)(x+
x--3
13 lim
x-2
1)
-4
x-2
x2
( 15 im ---- ?-r
.!'-
I
2? + 51' - 7
come'"a
~
(b) Se P > 100, a substancia e um Iiquido. Se P se aproxima
de 100 por valores superiores a 100, 0 volume V aumenta
muito lenlamente (pois os liquidos sao quase incompress!_
veis), e
lim
:lcO
a =- 6
27 J{x) = >Ix + 6 + x;
. J? - 16
171~.Yk_2
P-lOO'
!' (101'1')
.-7
'7
x+2
x-4
""-1-
'1
Exercs. 11·24: Use uma simpJifica<;iioalgebrica
para achar 0 Jimite, se existe.
SOLu<;Ao
r.
6 lim 100 '"
j'
3
12 lim (x + 1)(x2 + 3)
.--1
x+ 1
14 Jim 2~-&2+x-3
.-3
x-3
16 Jim
? + 21' - 3
,--3 ? + 71'+ 12
18 Jim {X -5
._25x-25
r
19Iim(x+1If-
11
h-O
21 Jim
3
il
+8
h- -2 il + 2
z-4
231im --'_-2l-2z-8
241im
z- 5
,-sl-lOz+25
tvf:, .
Exercs. 31-40: Use 0 grafico para determinar cada
limite, quando existe:
(a) limJ{x) -
(b) Jim J{x)
x-2-
x-2'
(d) lim f(x)
x-o-
(e) lim fix)
x-o'
(b) Se II e urn inteiro maior do que I, determine:
Jim C(x) e lim C(x)
Exercs. 41-46: Esboee 0 grafieo de f e ache eada
Jimite se existe:
41 f (x) ~
(c) Jim f(x)
x-I·
x-I·
{i!-
1 se
se
x<1
x:.l
se
xsl
x>1
~
{ 3-x
se
43 f(x) ~ {3X -1 se
3-x
se
44. f (x) ~ {' x-II
1
se
se
4.5.J(X)
.'.
(b) Jim F(I) e lim
'-3,5-
4-x
42 f(x) ~
(b) lim f(x)
49 A pr6xima figura e urn grafieo das for~as-g
experimenladas por urn astronauta durante a decolagem de uma nave espadal com dois lan~adores de foguete. (Uma for~a de 2g's e duas vezes
a for~a da gravidade, 3g'~ de tres vezes a for~a
da gravidade etc.) Se F(t) denota a for~a-g aDs t
minutos de voo, determine e interprete
J~
F(t}
'-3.5'
x s1
x>1
X"
x~1
1
x<1
+1
.... Ii!
lx+ 1
46 f(x) = ;
~.:.
x-2
:~
se
x~1
x>1
se
se
x<1
se
x~ 1
x>1
41 Urn pais taxa em 15% a renda de urn individuo
ate $20.000 e em 20% a renda aeima daquele
limite.
50 Urn paciente em urn hospital reeehe uma do~o
inicial de 200 miligramas de om remedio. A 'lIdll
4 horas reeebe uma dose adieional de JOOmg. A
quantidade [(t) do remedio presentc nil eo,rellt
sanguine a ap6s t horas e cxibida 1111 fiB"llt.
Determine e interprete Jim [(I) clint 1(1). (Yr'.!11
'-8~
,-..8'
:.' (a) Determine uma fun~iio T definida por partes
para 0 imposto total sobre uma renda de x
d6lares.
lim
r-
20,OCXf
T(x) e lim
T(x}.
400
x-20.000·
48 Uma eompanhia telefOniea debita 25 centavos
.: pelo primeiro minuto de liga~iio interUrbana, e
15 centavos para eada minuto adidonal.
.
(a) Determine uma fun~iio C definida por partes
para 0 euslo tolal de uma liga~iio de x
minutos.
300
-
200'
100 -
.;
i
.
N
•
I -
I
4
tl
I
I'
~
I
I
I
,(,I ~11
I( hll',,~)
Ilo:~cl·cS. 51-56: 0 limite indicado pode ser verificado
1"11 IIIClOdosdcsenvolvidos posteriormente no te~to.
('(llllirll 0 rcs\lllado substituindo x por ntimeros reais
IIdCljlllldos.Pur que isto naD prova a existencia do
.
5511m
x-o
(41X1 + 9IXI)I~XI
--2--
Ao utilizarmos este eq\liparnento de laborat6rio, nao esperarlamos que a pressao permanecesse exatamente em L por urn
longo periodo de tempo. Em lugar disso, nosso objetivo poderia
ser forc;ar y a permanecer muito proximo de L restringindo x a
valores pruximos de a. Emparlicular, se € (epsilon) denota urn
numero real posilivo pequeno, suponhamos que ele seja suficienle para que
(i)
-6
Prcssao
x
Inle0l3
I IIdle?
[g 57 (a) Se f(x) = cos (1/x) - sen (1/x),
investigue limx_ 0 f(x) fazendo primeiro
x = 3,1830989 x 10-/1para n = 2, 3, 4 C em
seguida fazendox = 3 x 10·/1para II = 2, 3, 4.
(b) Qual e 0 limite em (a)?
1
[g 58 (a) Se f(x) = x /100 - 0,933, investigue
lim f(x) fazendo x = 10·/1para II = 1, 2, 3.
,,1 lilll 2' - 2. _ 1 39
l
•
I
x-I
n-O+
J
(b) Qual parece ser 0 limite ern (0), equal e 0
limite efetivo?
~.2 DEFINIQAo DE LIMITE
A Definil;iio (2.4) desta sec;ao da 0 significado preciso de limite
de uma func;ao. Porque a definic;ao e apenas abstrata, comecemos
com uma i1ustrac;aofisica que po de tornar facil a compreensao.
Os cientistas frequentemente estudam a maneira como quantidades variam, e se elas se aproximam de valores especificos sob
certas condi~6es. 0 aparelho ilustrado na Figura 2.10(i) e usado
para estudar 0 fluxo de IIquidos ou gases. Consiste em urn tubo
Venturi (urn tuba cilindrico com uma constricc;ao estreita) e dois
medidores que medem a pressao de urn IIquido ou gas nas partes
nao-constrictas do tubo. (Outros tipos de medidores podem medir
a velocidade do fluxo de IIquido ou gas ao percorrer 0 tubo.)
Suponhamos que 0 Iiquido enlre no tuba pela esquerda,
com uma certa velocidade. (A noc;ao de velocidade sera definida
no Capitulo 3.) 0 medidor de pressao interna acusa uma medida
x da pressao na parte nao-constricta do tubo. Ao passar 0 IIquido
pela constri~ao, sua velocidade aumenta, e a pressao decresce
ate urn valor y, conforrne indicado pelo rnedidor de pressao
constricta. Fixemos nossa atenc;ao nos dois medidores, conforme
ilustrado na Figura 2.l0(ii). Utilizaremos esses rnedidores para
dar urn significado preciso a afirmac;ao y se aproxima de L
quando x se aproximo de a, ou simbolicamente,
a-b
[jfa
~~a+b
£--0
L + •
conforme indicado no medidor de pressao constricta na Figura
2.10(ii). Urna afirmac;ao equivalente, utilizandu valores absolutos, e
,
Se essas desigualdades san validas, dizemos que y tern toleranCia-E e~ L. Por exemplo, a afirmac;ao y tem tolerilncia-O,Ol em
L significa IY - LI < 0,01; isto e, y esla a menos de 0,01 unidade
de L. Esta tolerlincia pode ser suficientemente precisa para fins
experimenlais.
Analogamente, consideremos urn pequeno numero positivo
o (delta) e definamos toleril/lcia-O em a no medidor de pressao
interna na Figura 2.10(ii). Em nosso estudo posterior de fun~6es,
e importante que x '" a. Antecipanda esta restric;ao, dizemos que
x tern tolerancia-o em a se
Dado E > 0 arbitrario, existe urn 0 > 0 tal que, se x telll
tolerancia·b em a, entao y tern tolerlincia-E em L? Se a res posta
e afirmativa, escrevemos lirn y = L.
E importante nolar que, se lim,_" y = L, entao /lao illlporia
quao peque/lo seja E, podelllos sempre achor 1/111 b > 0 lal que,
se x e restrito ao intervalo (0 - b, II -I- b) no rnediclor de prcssflO
interna (e x '" a), enlao y eslara no intervalo (L - E, L + e) no
medidor de pressao conslricla.
Esta c uma interprela~flo mais precisa do conceito de limile
do que a usacla na Se~;\o 2.1, onde empregamos palavras tais
como IIIlIis proximo e se aproximo. Reforrnulando a ultima
queslao e sua resposta CI11 term os de desigualdades, obtemos a
seguinte arinnac;ao
Se f(x) tem um limite quando x ten de para a, entao tal
limite e ll/lico. A dernonstra<;iio e dada no principio do Apendice 11.
que significa,
para todo I'. > 0, existe urn & > 0 tal que
se 0 < Ix -
al < &, entao IY - LI <
I'.
Eslarnos agora a urn passo da formula"ao da defini"ao de limite
de urna fun~ao f. Basta fazermos y
f(x) na discussao
precedente. Isto nos da a defini<;iio seguinte, que contern tarnbern
as condi~oes irnpostas 11 fun"ao f.
=
Ao utilizar as Defini~oes (2.4) ou (2.5), para rnostrar que
Iirn,_a f(x) = L, da maxima importallcia ter presente a ordem
em que cOllsideramos os lllimeros I'. e &.Devernos sernpre seguir
os dois passos abaixo:
e
Passo 2
Mostrar que existe urn & > 0 tal que se x tern
tolerancia-& em a, entao f(x) tern tolerancia-f. em L.
Definlt;ao de {{mite
de uma fungao (2.4)
o
e
nurnero & no limite nao
unico, pois, achado urn &
especifico, .entao qualquer nurnero positive &1mellor do que &
tarnbern satisfara as exigencias.
Antes de considerarmos exernplos, reforrnulernos a discussao precedente em term os do griifico da fun~ao f. Em particular,
para I'. > 0 e & > 0, ternos a seguinle inlerprela"ao griifica das
tolerancias, em que P(x, f(x») denota urn ponto no griifico de f.
A desigualdade 0 < I x - al < & e por vezes chamada
toledincia-& e a desigualdade If(x) - LI < f., tolerlincia-€.
Se quisermos dar 11 DefiDi~ao(2.4)
uma forma que nao .
contenha 0 sfmbolo de valor absoluto, basta no tar que
·~~~~~§.~~T~i~ra~cia.
';. IDterpreta~iio Grafica
f(x) tern tolerancia-f. em L
P(x, f(x»
horizontais
X tern tolerancia-& em a
esta entre as retas
= L ~ I'.
x esta no intervalo (a - &, a "'"
&) no eixo-x, ex", a
(i) 0 < I x - al < & equivale a a - & < x < a + & ex •• a
:-t_.
i
L
L .••
Definigao alternativa
de {{mite (2.5)
(ii) If(x) - LI < I'. equivale a L - I'. < f(x) < L + I'.
Os dois passos para mostrar que Iirnx_. f(x)
agora interpretados graficamente como segue:
A Figura 2.11 representa graficamente as desigualdades (i)
e (ii) em urna reta real. Podernos reformular como segue a
Defini"ao (2.4).
Passo
1
Para I'. > 0 arbitnirio, considere as retas hori:Gon·
tais y = L ~ E (exibidas na Figura 2.12).
= L podem
s 'r
Passo
2
Mostre que existe urn & > 0 tal que se x cst nO
intervalo aberto (a - &, a + &) ex", a, entao P(x, f(x» CSI~ 'Ill,
as retas horizontais y = L ~ I'. (isto e, dentro da rcgiao rctllll/llllril
hachurada da Figura 2.13).
;'
u<lx':'41
<b
(afirma<;ao de toleriincia-b)
0<lx-41
<1.E
(escolha de b ,,; ~ E)
0<3lx-41
<E
(multiplica<;ao por 3)
°
3
< 13x - 121 < E
0< I (3x - 5) - 71 < E
(propriedades
do valor absoluto)
([orma cquivalente)
o proximo exemplo ilustra como 0 proccsso gcometrico
exibido nas Figuras 2.12 e 2.13 pocle scr aplicaclo a uma
delerminada fun<;ao.
Use a Defini<;ao (2.4) para provar que lim (3x - 5) ~ 7.
x~4
SOLUc;:Ao
Fazendo, na Defini<;ao (2.4), f(x) = 3 x - 5, a = 4 e L = 7,
devemos mostrar que para E > 0 arbitnirio, podemos achar urn
b > 0 tal que
(*)
se 0 < I x - 41 < b,
enlao
Consideremos 0 casu a > 0. Aplicaremos a clefini<;ao alternativa
(2.5) com f(x) = x'- e L = a2• Assim, daclo E > 0 arbitrario,
clevemos achar b > 0 tal que
1(3x - 5) - 71 < E
(*) se x est a em (a - b, a + b) ex •• a, entao x'- esta em (a2 - E,
Na resolu<;ao de problemas de desigualdade des Ie lipo, podemos
em geral obter uma escolha adequada de b examinando a
afirma<;ao de toleriincia-E. Is to conduz as seguintes desigualdades equivalentes:
I (3x - 5) - 71 < E
(afirma<;ao de toleriincia-E)
I3x - 121 < E
(simplifica<;ao)
13(x - 4) I < E
(fator comum 3)
31x- 41 < E
(propriedades
Ix-41
(multiplica<;ao por~)
A desigualdade
<~E
desigualdades
do valor absolulo)
final acima nos da a chave necessaria.
ficamente, escolhemos
2
0
a-o
Especi-
b tal que b ,,; ~ E e obtemos as seguintes
equivalentes:
la\a+o
+ E).
A chave para a escolha adequada de b est a no exame das
interpreta<;6es graficas das afirma<;6es de toleriincia. Assim, tal
como no passo 1 da pagina 67, consideremos as retas horizontais
y ~ 02 ± E. Conforme a Figura 2.14, est as retas interceptam,o
grafico de y = x'- em pontos com coordenadas-x
~
e
+ Eo Notemos que se x esta no intervalo aberto (~,
+ E), entao 0 ponto (X, ,y2) do grafico de f esta entre as retas
horizontais. Se escolhermos urn numero positivo b menor do que
va" + E - a e a -~,
com a2 - E > 0, conforme i1ustrado na
Figura 2.15, cntao quandoxtem
toleriincia-b em a, 0 ponto (x, x'-)
est a entre as retas horizontais y = a2 ± E (istoe, x'- tern tolcriincia-E
em a2). Isto prova (*). Conquanto tenhamos considerado apenas
o caso a > 0, argumento semelhante e aplicaclo se a ,,;O.
va"
va"
Os dois pr6ximos exemplos, ja discuticlos na Se<;ao 2.1,
indicam como 0 processo geometrico ilustrado na Figura 2.13
pode ser usadl'l para mostrar que certos limites nao cxistcm,
EXEMPLO 3
o gn\fico de f esla esbo,<ado na Figura 2.17. Se considerarmos
· 1 .
Mostre que Iun
- nao eXlste.
qualquer par de retas horizontais y = L ± E, com 0 < E < 1, entao
sempre haven! pontos do grafico que nao eslao entre essas retas.
Na Figura 2.17 ilustramos 0 caso L > 0; todavia nossa prova e
valida para qualquer 1. Como nao podemos achar urn 0 > 0 tal
que 0 passo 2 da pagina 67 seja verdadeiro, 0 limite nao existe.
x-OX
lim.!.=L
x-oX
para algum numero 1. Consideremos urn par arbitrario de retas
horizontais y = L ± E conforme iluslrado na FIgura 2.16. Cf\'TlO
estamos supondo que 0 limite existe, deve ser possivel achal Llm
intervalo aberto (0 - &, 0 + &) ou equivalentemente
(-0, &), tal
que, se -0 > x > & ex •• 0, entao 0 ponto (x, l/x) do grafico esta
entre as retas horizontais.
Mas como
I~I
pode tornar-se
tao
grande quanto queiramos, bastando tomar x pr6ximo de 0, alguns
pontos do grafico estarao acima ou abaixo das linhas. Logo,
nossa suposi,<ao e falsa; iSIO e, limx_o (l/x) •• L para qualquer
numero L. Assim, 0 limite nao existe.
J(x)=
y
-
;::::W!.
Y = L - f
;i Se Jiin:' ,. f(x) = L e L > 0, entao existe urn intervalo
.' , ab~rto (;;a_ &, a + 0) contendo a tal que f(x) > 0 para todo
.f!xem(a-
0, a + ,&), exceto possivelmente
Se L > 0 e fizermos
y
x
L + f
o teorema seguinte afifl11a que se lima fwu;ao f tem limile
posilivo qualldo x lellde para a, ell/ao f(x) e positiva em algllm
intell'alo aberlo colllelldo a, com possive! exces;ao do proprio a.
= 12 L, entao as retas horizontais y = L ±
estao acima do eixo-x, conforme ilustrado na Figura 2.18. Peln
Defini,<ao (2.5), existe urn 0 > 0 tal que, se a - & < x < a + & c
x •• a entao L - E < f(x) < L + E. Como f(x) > L - EeL - E > 0,
segu~-se que f(x) > 0 para esses valores de x.
.,.,.
1
-0
E
se x = a.
0
x
,
-1
'.':;: ....•
.
"
Se f(x) =
kl, mostre que lim f(x) nao existe.
x
x-o
Pode-se tambem provar que se f lelll 11/1/ /ill/;I' 111'111/1
iltJ
quando x tellde para a, enlao exislc 11/11 ill lerva 10 0/)1:1'111 COllI/lilt/II
a'lal que.f(x) < 0 para lodox 110illlcrvlllo. cOIII/Josslvl'! '·.\I'r~ II
do proprio x = a.
Podem-se fonnular defini<;6es formais para limites laterais.
Para 0 limite a direita x --+ a+ substilu[mos
a condi<;ao
0< Ix < 0 na Defini<;~o (2.4) por a < x < a + O. Em termos
na Defini<;ao (2.5) alternativa,
restringimos x a metade direila
(a, a + 1\) do intervale (a .:.-1\, a + 1\). Da mesma forma, para 0
limite a esquerda x --+ a- substitufmos
0 < 1 x - al < 1\ em (2.4)
por a - 1\ < x < a. 1510 equivale a restringir x a metade esquerda
(a -1\, a) do intervalo (a - 1\, a + 1\) em (2.5).
al
39 Dc urn excillplo de \IIIIa (un<;"o I dcfinida elll ",
tal que lilllx -'" Ilx) existe e li01,-. n Ilx) ••f( a).
40 Se I c a fU\I<;iiomaior inteiro (veja Exemplo 4 ua
Se<;iio 1.2) e (I cO 11111 inteiro arlJitrario, Illostre que
limx_" II x) niio ex isle.
2.3 TECNICAS
I':•• ·•.•'N. 1-2: Expresse a cODdi~ao de limite na forma
I(x) ~
Mostre que Jim, ->n f( x) nfio existe para nenhum
IIllmcro real II.
42 Par que nfio podcmos invcstigar lilllx
:luxilio da Defilli<;fio (2.4)1
PARA A DETERMINA<;Ao
(II) till I»lilli<;ao (2.4) e (b) da Defini~ao Altemativa
( 'I).
o se x e racional
{ 1 se x e irracional
0
Vi com
DE L1MITES
Seria excessivame~te
laborioso verificar cada limite por meio
das Defini<;6es (2.4) ou (2.5). 0 objetivo desla se<;iio e introdllzir
teoremas que perrnilam simplificar
problemas
que envolvam
liroites. Antes de enllnciar 0 primeiro teorema, consideremos
os
limites de duas fun<;6es muilo simples:
11:.'·''C'N. :\·6: Expresse a condi~ao de limite lateral
1<1'mn semethante (a) 11da Defini<;ao (2.4) e
(II h <IIIJ)efini<;ao Alternaliva (2.5).
fll,'
(i) A fun<;iio conslanle
f dada por f(x)
= c
(ii) A fun<;iio linear g dada pOl g(x) = x
o
e
gnlfico de f a reta horizontal
2.19 para 0 caso c > O. Como
I/(x) - el = Ie - cl = 0 para lodo x
":.""','.7-12:
Para limx~af(x) = LeE dados, use
II 1\1~lkll <IeI para achar 0 maior b, tal que se
II I, al < b, entao !fIx) - LI < E.
4"'~_::2~ 6'
'7 ","
••
111.
/_f - 3
'
H
J "'
,.'/,,3.r+2
g(x) '" x
.y
Exercs. 25-30: Use " mctodo grafico ilustrado no
ExempJo 2 para,verificar 0 limite para'a > O.
I
.
~
25 lim xl
9x2-4
---
~ a2
!
26 Jim (x2~·1) ;= a2 + 1
x-a
~
-4'
'
\"
(X)
27Iimx3=a\
x
Exercs. 31-38: Use 0 mctodo i1uslrado nos Exemplos 3 e 4 para mostrar que 0 limite nao existe.
31 Jim
.• ~3
k.=1I
x-3
32 lim
x- -2
331im 3x + 3
x--lr<+11
34lim
35 Jim ..;
x-o r
361im
x- 5
x+ 2
Ix + 21
~
~<-
I',~'·II'N. t.l-24: Use a Defini~ao (2.4) para pravar que
" I IIt1II' ·.,isle.
y = e esbo<;ado na Figura
x~4
_7_
x-4
51
c
-, _,.. -,;\/"'>1
. Se lim f(x) e Jim g(x) existem ambos, entao
~<:~~.
~uli:;;.~.,} ~.:.:/.~'
e como 0 e menor que qualquer E > 0, decorre da Defini"ao (2.4)
que f(x) tern 0 limite c quando x tende para a. Assim,
~:r
(;)l:im "rf(~) + g(x)} = \im f(~) ~ lim g(x)
Constuma-se
indicar estelimite
dizendo
IUlla collstante e a pr6pria constante.
que 0 limite de
o gnHico da fun"ao linear g dada em (ii) esta esbo"ado na
Figura 2.20. Quando x ten de para a, g(x) tende para a; isto e,
lim g(x) = lim x = a
;(-Q'
X;'Q
Pode-se deterrninar 0 limite precedente tambem por meio
da Defini"ao (2.4). Indicamos estes fatos para referencia no
pr6ximo teorema.
Podemos enunciar como segue as propriedades do Teorema (2.8):
(i)!;limc=t
- -- (i) 0 limite de uma soma e a soma dos limites.
'<l~~~~~*
f~' '';'
(ii) 0 limite de urn produto e 0 produto dos limites.
(iii) 0 limite de urn quocienle e 0 quociente dos limiles, desdc
que 0 limite do denominador seja diferente de zero.
Como veremos, os \imites do Teorema (2.7) podem servir
de base para a determlmi"ao de -limites de express6es assaz
complicadas.
(iv) 0 \imite de uma constante vezes uma fun"ao
constante vezes 0 limite da fun"ao.
(v) 0 limite de uma diferen"a
c igua'l 1\
e a diferenca dos limitcs.
No Apendice II encontram-se provas de (i) e (iii), bascadlls
na Ddini"ao (2.4). A parte (iv) do teorema decorre dirclalllclIl .
da parte (ii) e do Teorema (2.7)(i):
;~ [cf(x)] =
(~~Qc] b~/(x)l~c [~~~/(x)]
Para prmiar (v), podemos escrevcr
Muitas fun,,6es podem ser expressas como somas, diferen"as, produtos e quocientes de outras fun,,6es. Suponhamos as
fun,,6es f e g, e L e M numeros reais. Se
f(x) - g(x) = f(x) + (-1) g(x)
e usar, (i) e'(iv) com c = -1.
Usaremos
I
o pr6ximo teorema mostra que esta expectativa
da resultados
e verdadeira
analogos para .produtos e quocientes.
e
seguinte.
os teoremas
prcccdcnlcs
pilm
'slllh'II"'(\I
II
Prove que lim);3 = aJ.
x-a
Em vista de (i) e (iv) do Teorema (2.8):
Jim (mx + b) = Jim (mx) + Jim b
=m
(limx)+b
Jim xl "':lim (x. x. x)
x-a
x-a
=ma+b
= (Jimx).
(Iimx).
x-a
Pade-se provar este resultado tambem diretamente
x-a
(Jimx)
x-a
pela
J
=a.a.a=a
Defini~iio (2.4).
ILUSTRAC;Ao
E foleil achar 0 limite do proximo exemplo aplicando-se os
Teoremas (2.8) e (2.9). Para melhor avaliarmos 0 poder desses
teoremas, poderiamos tenlar verificar 0 limite usando apenas a
Defini~iio (2.4).
Determine
o metodo usado no ExempJo 2 pode ser estendido ax· para
qualquer inteiro POSilivo n. Basta escrevermosx" como 0 produto
x.x .... x. de n fatores e tomar 0 limite de cada falor. Islo nos dol
(i) do pr6ximo teorema. A parte (ii) pode ser provada de
maneira anolloga apelando para 0 Teorema (2.8)(ii). Outro metodo de prova consiste em utiJizar a indu~iio matemollica (ver
Apendice I).
Jim 3x + 4
x_25x + 7
; ;r~i{~._.a.f:qI1f)]"'7{xli~a fiX)] n,
0" .
.:.",,:'
:.d~sde·q~'e Ijrnfix) exista
x-a
Pelo Teorema (2.9), sabemos que os Jimiles do numerador
denominador existem. A1em disso, 0 limite do denominador
diferente de zero. Logo, pelos Teoremas (2.8)(iii) e (2.9),
Jim (3x+ 4)
lim 3x + 4 =
x_25x+
7 hm (5x+ 7)
e
e
Determine Jim (3x + 4)5.
x~:--~2~__3(2) + 4
10
= 5(2) + 7 =17
.T-2
x-2
SOLUc;:Ao
Aplicando os Teoremas
o Teorema (2.8) pode ser eSlendido a limites de somas,
diferen~as, produtos e quocientes que envolvam um niimero
arbitrario de fun~6es. No proximo exemplo utilizamos (ii) para
o produlo de Ires fun~6es (iguais).
(2.1O)(ii) e (2.9), temos
.
lim (3x + 4f
5
(3x + 4) ]
.- [:~
x-2
= [3(2) + 4]5
\
.Jim q(x) = q(a)
= 105 = 100.000
Como q e uma fun<;ao racional, q(x) = f(x)/h(x), em que f e "
sac polin6mios. Se a esta no dominie de q, enlao h(a) ;< O. Os
teoremas (2.8)(iii) e (2.11) nos dao
Jim (5x3 + 3r - 6).
Determine
.
.1'--2
:~a
f(x)
.fM
hmq(x)=-J'/()=/()=q(a)
1m 1 x
1a
••.....• (1
lim (5)..3+ 3r - 6) = lim (5x3) + Jim (3r)
- Jim (6)
x--2
.1'--2
x--2
x--2
r
= 5 Jim (x3) + 3 lim (r) - 6
x--2
x~
x--2
5r-2x+1
4x3-7
= 5(_2)3 + 3(-2)2 - 6
= 5(-8)+
3(4).- 6 = -34
Aplicando
o limite no ExempJo 4 eo mlmero obtido pela substitui<;ao _
0 Corolario
.
5)...2 - 2x + 1
:~
4x3 - 7
(2.12), vem
5(3)2 - 2(3) + 1
=
de x por -2 em 5x3 + 3r - 6. 0 pr6ximo teorema afuma que 0
fato e verdadeiro para todo polin6mio.
'.
.
'j
,-.i ,~: ..
<.: :\\~i <':"~;·"i'.:q;<~,~·':~~l~'·,~",
:-.',
".',
iSeI~'um#un<;aijpolinomial
~
a e urn numero real, entao
·:·····.~y,;(.1E·i\y)\:~!~;J~,/(x)=f(a): ".
,
;. ..
. .. .'):
..:.,~
.
.;'.: ~:--~.,
= b/
o pr6ximo leorema afirma que, para raizes inlciras J ONII
vas de x, podemos determinar urn limite por substitui<; o. Nil
Apendice II encontra-se uma prova, usando a Dcfini<;f1o ( /I).
:,'1; ~¥,~~:~.2·~!J.~9jir~;t6~o·~~~itiVO,
Como f e uni~ fun~ao polinomial,
f(x)
x: + ... +bo
+ b" _ 1
-I
Jim f(x) = lim (b/) + Jim (b,,_,x"-')
x-a
=
x-a
+ ... + lim bo
x-a
b" lim (x") + b,,_, Jim (x"-') + ... + lim bo
x-a
x-a
ou sc II sac
1/ '
11111
;a),n!~H'?P,<!~l,t,l~?,
}~p'~r '. ~ntao
~~i3!~'Q11tf::;i:;;;');:\;:;)';);<"ii~
Vi = va
.. , •..
x-a
4(3)3 - 7
45 - 6 + 1 40
108 -7 = 101
,',:- x-a
~
Se III e /I sac inteiros
Teoremas (2.1O)(ii) e (2.13),
x-a
Jim( V'X
x-a
positivos
r= (limii..)m (va )'"
=
x-a
c {/
0,
'111 ",
I'I'III~
.. ".,
. I'.
D
etennme x~
lim (xl', + 35)
!im [4 - (16/x))
Teorema do Sandufche (2.15)
... ., '. ,,- ..'.... :.,~:..
0,.G",
y = g(x)
'L
Y = 1(x)
l-l------~-x
.Se uma funCSao f tern. urn linJite'q~~ndJitende
entao
~ ".'., .:. .:'>: ~,::,~_
.. ' .".
"
,~.~
para
0
~~ah(x) = L. .....
·,·x-a
4 + 6V2 = 2 + 3V2
4-2
n~·<;;~:<~~nf':..
a,e}{ceto possivelrnente
i~~(~]\:!;j;&;;;;2,L>~i;0~").'rtl'O
4 - (16/8)
=
'~sJ~a'hb.hiiiJ~~%~)
ih(xY:s'g(~fpa;alod~ x eni uIll
..:'iIit6iValo"i1berto'conlendo
8'~+3Y8
';"T;
=4
x-8
!im x'" + lim 35
'desde
.
e ,(2.11), obtemos
o proximo teorema diz respeito a tres funcsoes f, h e g tais
que h(x) esteja entre f(x) e g(x), ou seja, "imprensada" entre
f(x) e g(x), Se f e g tern urn limite comum L quando x tende
para a, entao, confonne afirma 0 teorema, h deve ter 0 mesmo
limite.
",
x-8
.:,~'._~:
'," ~i . " .. ,
x'" + 35
4 - (16/x)'
, xl', + 35
hm
x-84 - (16/x)
.. _
,,, ... :, ..,.
lim {I30? - 4x + 9= ~lim 3>.-2- 4x + 9
x-s
x-s
= ~~7~5--~2~O-+-9~
= ~
Pode:nos proceder como segue (de. as razoes):
~.";.'
,,,,.'
PeiosTeorcmas(2,14)
Esta fonnula de limite pode ser estendida a expoentes
negativos escrevendo-se x·r = 1/:( e utilizando 0 Teorema (2.9)(iii),
.. x-a
....
Se f(x) s hex) s g(x) para todo x em urn intervalo aberto
contendo x, entao 0 grafico de h estara entre os graficos de f e
g naquele intervalo, confonne ilustrado na Figura 2.21. Se f e
g tern 0 mesmo limite L quando x tende para a, entao, pelo
grMico, h tern 0 mesmo limite L. No Apendice II e dada uma
demonstracsao deste teorema, baseada na definicsao de limite.
para a,
.
',"\,.-)
Use 0 1,'eorema (2.15) para provar que
=V'x!i:.?~,t~x),.;' .
,.·~~_·~;:-:--·;~~-:'--~::/-t· ·;,·:;/:··~:.·.;·>:.:-',·,·
..i~.t.~~{,
':·Y-r·~:-"';'··'.~:·:··
que Ii 'sejauiI), inteiro posiiivo)mpar' ou n~!,cja urn
lim ),2 sen ~
x-o
X
..
'mteiropositivopa?c'jiID7(x»0: ".'
.'."
~._
=0
x-a
o teorema precedente sera demonstrado na SeCSao2.5. Par
enquanto, usa-Io-emos sempre que aplicavel, para adquirir experiencia na detenninacsao de limites que envolvam raizes de
expressoes algebricas.
. -1 s sen
;?1 s 1
para todo x'" 0, Multiplicando
obtemos
Determine
Jim ~3X! - 4x + 9
x-5
por.r
(que c pOSilivll
SC .~ ••• 0),
Esta desigualdade implica que 0 gn'ifico de y • :x? sen(l/:x?)
esta entre os graficos das parabolas y = -:x? ey =:x? (veja a Figura
2.22). Como
IY
i
1
lim (-:x?) = 0 e Iim
x-o
x-a
~,C;
r = 0,
x
I
Podem-se demonstrar, para limites laterais, teoremas analogos aos estudados nesta se<;ao. Por exemplo,
lim.!J(x) + g(i)] = lim f(x) + (im g(x)
x-a
x-a
~>
Seja c a velocidade da luz (aproximadamente 3,0 x loB mis, ou
300.000 km/s). Pel a teoria de Einstein (teoria da relatividade), II
fOrmlll? de contra<;ao de Lorentz
_1 __
Iim :x? sen 1, = 0
x-o
x-
-+--+----~
;..-L---..:
especifica a rela<;ao entre (1) 0 comprimento L de urn objeto quc
se move a uma velocidade v com respeito a urn observador c
(2) seu comprimento Lo em repouso (ver Figura 2.24). A f6rmula
implica que 0 com prim en to do objeto medido pelo observador
e menor quando 0 objeto est a em movimento do que quando
est a em repouso. Determine e interprete limy_c' L, e cxpliquc
por que e necessario urn limite lateral esquerdo.
z-a+
com as restri<;6es usuais sobre a existeDcia de limites e ralzes
de ordem II. Val em resultados analogos para Iimites laterais
esquerdos.
Determine
lim (1 + .,Ix - 2)
x-2+
A Figura 2.23 e urn esbo<;o de f(x) = 1 + .,Ix - 2 .. Por meio de
lirnites laterais, obtemos
lim (1 + .,Ix - 2) = Jim 1 + lim "(x - 2)
,1'-2+
.
x"-i+
.x-2+
Note que nao M limite lateral a esquerda, ou limite quando
x tende para 2-, po is .,Ix - 2 nao e urn Dumero real se x < 2.
Assim, se a velocidade de urn objelo plld '55' "!l'IIX ""11
da velocidade da luz, seu comprimenlO, II'cciido pill 11111 nil "
vador em repouso, tenderia para zero. Est· f 'S\lllacill pll' VI II
utilizado para justificar a teoria de que II v '101'1111111' tlii lill
II
ultima (ou absoluta) velocidade no lJllivl:ISlI; 1111 111'111, Iii IIhlllll
objeto pode adquirir Ilma vclocidade qllo Sil 11\11111
nil I!PI II I
velocidade da luz,' c.
Faz.se
necessario
porque, sc v> c, entao
considefnf
II 111111
1- (v /c~) n"
1111 1111 ,"qll'
.11\1 1111111111 II \II
lilt,
, Ilfl ,~/" ''''''
(I,'tN/it·t""
I\",I/("eo
Cap. 2
--'----'------------~-------54 J(x) " n se n ,,;x < /I + 1 .
I IIII~.
1 "11: t INC OS' teo~cnias .~~- "
,
4_~_ 6x + '3'
1111 IIntllll" plllflil
ICI'minar0 limite 20 lun 16.~ 8x' 7
IllhOHlu
~lh'
"
x ---1/1
+.-
38 h-O
lim (1)'
( ~ -1)
h vI +'n
'''~,
IIn\ I',
21 lim
2~+5x - 3
{I
x-1/2
W - 7x + 2
•
11111 V
221im
\\
x-2
11111 ,
\
•
,
J
1111 ,
1111,(
•
•
x--2
~
+ 5x + 6
42 Jim V3fCl'+4
k-2
x4-16
60 J(x) = [[x]]- x'
x-I6
Exercs. 61-64: Use 0 Teorema (2.15) para verificar 0
limite.
27 lim (l/x) - (112)
I
x-16VX-4
1
-I(x - 3?
4:>- I'un--, x-3
x-J
II
46Jim
x +3
x- -3 (l/x) + (1/3)
28 Jim
)"
1)\
1111111(\'
29 lim
J
II 1 11\ ( II
1)1'"
, .\
30 Jim
11111(-1\
x --
1)\1)
1
(vx + J)
48 lim
.,_,'
6
VI _ (v2/c")'
1111111(11'
II"
7)
x+ 4
4
64 lim x sell(11 ~)
x-o
Exercs. 49-52: Determine cada limite, se existir:
(a) limJ(x)
(b) limJ(x)
x-a
32 I'
16?J
1m
413
x--84-x
•
33 lim
?? - 5x - 4
{jx-a
36 Jim
x + It
1'\
I
'I
37Iillli-v')6+1~
I. -.
0
h
(a) Investigue lin} q.
p~f'
65 Se 0 " J(x) ,,; c para algum real c, prove que
Jimx"'o x2 J(x) = O.
limx_a
51 f(x) = ~;
a = 1
52 f(x) = .?J;
a = -8
Exercs. 53-56: Seja /I Urn inteiro
arbitr;hio. Esboce 0 gnifico de J e
determine Jim J(x) e Jim f(x).
X-I1"
(b) Que acontece com a inmgem quando p ..• J+?
66 Se Jim x-a fix) = L " 0 e limx -a g(x) = 0, prove
a =2
J:--oonIII
11111 ,
(Sugestao: veja Exemplo 8.)
=~;
50 fix)
.\2 _ 1
- 0
a=5
49 f(x)=v'5-x;
1 1
Conforme a figura "baixo, p deve ser maior do
que f para que os raios sejam convergentes.
que Jim x- a [J(x)lg(x)] nao existe. (Sugestao:
Suponha que ex isle urn n6mero' M lal que
Jimx _ a [J(x)lg(x)] = M e considere
x---4
\12 + 5x- 3.r'
1
-+-=P q f
=0
(Sugestao: Use J(;) = -Ixl e g(x) = ~tl.)
~x'-16
Vi + 5
J
(b) Por que e necessario urn limite 11 esquerda?
71 Uma lenle coovexa tern dislancia focal J cm. Se
urn objeto esla coJocado a p cm da lenle, entao a
distancia q cm da imagem 11 lente esta relacionada
com p e J pela eqlla~ao da lente
x-o
vx
31 I·
x-16
63 Jim x sen(l/x)
x-I
2vx +rn
1m
-4--
'/11
62 lim
Ixl
=0
x-o -Ix' + 4x' + 7
(Sugestao: Use f(x) = 0 e g(x) = Ixl.)
1W
47 Jim 1 + v'2t=lO.:
x-5'
X+3
x-I
x-I
x+IO
x--IO'''';(-<+
(L__
1_)
(Sugestao: Use lim (lxl + 1) = 1.)
-..- x-o
61 lim (x' + 1) = 1
x-a
x-2
IInl ( 11,
1
,
mo
m=
x-5'
II
llfl
II
58 J(x) = x - [[x]]
59 J(x) = -[[-x]]
43Jirn(~+3)
261irn
IIln \
t
~3k + 2 '
(b) Por que e necessario urn Jimite 11 direita?
70 De acordo com a teoria da relatividade, 0 comprimento de urn objeto depende de' sua veJocidade v
(veja 0 Exemplo 10). Einstein tambem provou que
a massa m de urn objelo est a relacionada com v
pela formula.
57 J(x) = [[x]]
,
5
J 'II 1.1
I
• ,
'I
/I
J
1111,
II
T = -273 "C e 0 zero absollltO.
/I
Exercs. 57-60: Denoiemos por [[ ]] a fun~ao maior
inteiro, e seja n urn inteiro arbitrario. Determine
(x-2)
r +8 ,
251im
1,1)
1 sex"
---2-
x - -2 x'
~)
It
{O sex =
xl-I
40 I'· x -7x+ 10
;r~~
x6_64
r-8
241im'
II
x-I
o sex"/I
56 J(x) =
39 lim x' + x- 2
2
x-2
~
~
.,'
55 J(x) = {X sex=n
23 J.x'..,;-2
',1m
, x-2
1'\
I "' ("
~_.,
•.,. ..•...;-.. ..'....
69 A lei de Charles para gases afirma que se a pressao
pennanece constante, enta~ a reJa~o entre 0 volume
V que um gas ocupa e sua temperatura T (em "C)
e dada por V = Vo(l + 2\;-1). A lemperatura
fix) = Jimx_a
,
(x sen 1)
" (Jim .~) (Iim sen 1).
x
\1'-0
'
!...- p--~:'~-q--,..:
67 ExpJique por que
Jim
x-o
.
i-f-+-r...!
[g(x)·f(x)lg(x)].)
'(-0
(1 x) "
68 ExpJique por que lim
+
x-a x
X
lim !- + lim
x-ox
x~o
x.
que 0 limite de 1/(x-2) e igual a 00, nao eslamos dizendo que
1/(x-2) esteja cad a vez mais pr6ximo de urn numero real, ou
que Jimx_z+ [1/(x - 2)] existe.
(b) Investigue Jim M e expJique 0 que est a
p-f
acontecendo ao tamanho da imagem quando
72 A figura exibe urn vidro de aumento simples,
consist indo em uma Jente convexa. 0 objelo a ser
arnpJiado esta posicion ado de modo que sua
distiincia p em rela"iio a lente seja menor do que
a distiincia focalf. A ampJia"iio linear Mea raziio
do tamanho da imagem para 0 tamanho do objeto.
Por meio de triiingulos· semelhantes, obtemos
M = q/p, onde q e a distiincia entre a imagem e a
Jente.
p-r.
o simbolo _00 (menos infinito) e usado de modo analogo
para indicar que f(x) decresce sem limite (tomando valores
negativos muito grandes) quando x se aproxima de urn numero
real. Assim, para f(x) = 1/(x-2) (veja a Figura 2.25) escrevemos
..,'L .•..
..~:::.::::::::::::::.
Imagem
Objet;;"
L-jP-::
(a) Determine Jim M e expJique por que se loma
p-O'
necessario urn limite a direita.
Jim -x-2'
'~----q----~
= -00
1
-+ 00
quando x -.. 2
_
A FigllTa 2.26 contem graficos (parciais) tipicos de funC;6cs
arbilrarias que tendem para 00 ou _00 de varias maneiras.
Consideramos a positivo, mas podemos ler tambem a :s O.
f(x), pode ocorrer
[(x) ~ J
limx_._
ou --
'x-2
que, ao tender x para a, 0 valor f(x) da fum;iio ou aumente sem
limite, ou decresc;a sem limite. Como ilustrac;ao consideremos
Ao investigannos
fix) ou limx-':.'
1
x-2
quandox ~ a-
. 1
f(x)=-
x-2
A Figura 2.25 esboc;a 0 grafico de f. Pode-se mostrar, como
no Exemplo 3 das Sec;6es 2.1 e 2.2, que
.
1
.
I1m --2 nao eXIste
x_2X-
Veja alguns valores funcionais
x> 2:
de x pr6ximos
de 2, com
2,1 2,01 2,001
2,00001
2,00001
2,000001
10
10.000
100.000
1.000'.000
Consideraremos tambem Jimites bi-Iaterais illlstrallos
Figura 2.27. A rela x = a nas Figuras 2.26 c 2.27 C'hflll\lIt111
assintota
(i) lirnf(x) =00, ouf(x)~ooquandox-H
x-t1J
J(x)
100
1.000
Quando x se aproxima de 2 pel a direita, f(x) aumenta sem
limite, no sentidode que 'podemos tomar f(x) arbitrariamente
grande, escolhendo x suficielllemente p~6xim~ de 2 e' x > 2.
Denolamos
este fato escrevendo
11·
Jim x _ 2 = 00, ou x _ 2·-" 00 quando x -.. 2+
x-2'
o simbolo 00 (infinito) nao representa urn numero real. E
apenas uma notac;ao para denotar 0 comportamento
de. ·certas
func;6es. Assim, embora digamos que quando x se aproxima de
2 pela direira, 1/(x-2) se aproxima de 00 (ou tende para 00), ou
vertical
do grafico de f.
(ii) limJ(x)=-oo, ouJ(x)-)
.1 ....• Q
\~
a:
lit
I (\)
I
( -2)'
y
Note que, para que f(x) tenda para ·00 quando x tende para
-00. Para
que f(x) tenda para ....00, ambos os Iimites latera is devem ser
-00.
Se 0 limite de f(x), de urn lado de a, e 00 e do outro lado
de a e....oo(Figura 2.25), dizemos que 0 lim J(x) niio exisle.
a; ambos os limites a direita e a .esquerda devem ser
.
f(x)=
I
(b) Se x est a proximo de 4 ex> 4, entao x - 4 e urn numero
positivo pequeno e; dai, 1/(x - 4? e urn numero positivo
grande. Assim,
J
(x-4)
y
l~
E possivel estudar muitas fun<;6es algebricas que tendem
para 00 ou -00 raciocinando intuitivamente, como nos exemplos
seguintes. No final desta sec;ao daremos uma definic;ao formal
que pode ser utilizada para demonstrac;6es rigorosas.
.
1
lim
. . x
lim ( ~4)3 nao existe
x-4
Determine
X
o gnlfico de y = !I(x - 4)3 est a esboc;ado na Figura 2.29. Areta
x = 4 e uma assintota vertical.
!~2(x ~ 2)2' se existir.
Se x esta proximo de 2 mas x " 2, entao (x - 2? e positivo e
proximo de zero. Logo, l/~ - 2)2 e grande e positivo. Como
podemos fazer l/(x - 2)2 arbitrariamente grande eseolhendo x
sufieientemente proximo de 2, vemos que 0 limite e igual a 00.
Assim, 0 limite nao existe.
. A Figura 2.28 esboc;a 0 griifico de y = !I(x - 2f
x = 2 e assintota vertical do griifico.
(x _ 4)3 = 00
x-4+
Areta
R
C
V
Certas formulas que· representam quantidades fisicas podem conduzir a limites que envolvam infinito. Obviamente, uma
quantidade fisiea nao pode tender para infinito, mas uma analise
de uma situa<;ao hipotetica em que tal fato pudesse ocorrer, pode
sugerir usos para outras quantidades relacionadas.
Considere,
por exemplo, a lei de Ohm na teoria da eletricidade, que afimla
que! = VIR, onde Rea resistencia (em ohms) de urn condutor,
Ve a diferen<;a de pOlencial (em volts) atraves do condutor e I
e a correnle (em amperes) que passa pelo condutor (veja a Figura
2.30). A resistencia de certas ligas tende para zero quando a
temperatura se aproxima do zero absoluto (aproximadamente
-273 'C), e a liga se toma urn supercondutor de eletricidade. Se
a voltagem Ve fixa, entao, para esse supercondutor,
.
.
hm! =hm
R-O'
V
.
-=00
R_O-R
isto e, a corrente aumenta sem limite. Os supercondulores
permitem que grandes correntes sejam usadas em usinas geradoras au motores. Eles tern tambem aplicac;6es no transporte
terrestre a alta velocidade, no qual 0 forte campo magnetico
produzido por magnetos supercondutores permitem que os trens
levitem, nao havendo essencialmente fric<;ao enlre as rodas e os
trilhos. Possivelmente a utiliza<;ao mais importante para os
supercondutores
esta nos circuitos para computadorcs,
porquc
esses circuilos produzem pouquissimo calor.
(a) Se x est a proximo de 4 e x < 4, entao x - 4 esta proximo
de 0 e e negativo, e
lim __ 1__ = _00
x_.4.(X
-
4)3
Consideremos a seguir fun<;6es cujos valores Icnd '111 p:1I11
urn numero L quando Ixl sc toma muito grande. $cja
I
f(x)!" 2 +.
x
f(x)
= 2+
I
x
Se limx_. j(x) = L dizenios que 0 limite de f(x), quando
o grafico de f consta na Figura 2.31. Na tabela seguinte
relacionamos alguns valores de f(x) para x grande.
x
100
1.000
10.000
100.000 1.000.000
. f(x).
2,01
2,001
2,0001
2,00001
x tende para 00, e L, ou que f(x) tende para L quando x tende
para 00. Costumamos escrever
01(-1
E possivel dar uma int'erprela<;ao gr3fica de Jim f(x)
2,000001
duas retas horizontais y = L ± e. (Figura 2.32).
De acordo com a Defini<;ao (2.16), se x 6 maior do que algum
numero positivo M, 0 ponto P(x, f(x» no gr3fico esla entre essas
duas retas horizontais. Intuitivamente sabemos que 0 grafico de
f fica cada vez mais pr6ximo da reta y = L, li medida que x cresce.
Areta y = L e chamada assfntota horizontal do grafico de f.
Conforme iJustrado na Figura 2.32, um grtifico pode interceptor
uma ass!nlOta horizontal. Areta y = 2 na Figura 2.31 e uma
assfntota horizontal para 0 grafico de f(x) = 2 + (l/x).
Consideremos
Podemos tornar f(x) tao pr6ximo de 2 quanto quisermos,
escolhendo x suficientemente grande. Denota-se este fato por
Mais uma vez lembramos que 00 nao e urn numero real e,
assim, nenhuma variavel x jamais pode ser substitufda por 00. A
terminologiax se aproxima de 00, ou x tende para 00, nao significa
que x fique cada vez mais proximo de algum numero real.
Intuitivamente, imaginamos x crescendo sem limite, ou tomando
valores arbitrariamente gran des.
Se x decresce sem limile - isto e, se x tom a valores
negativos muilo grandes - entao, conforme indicado na pon,ao
= L.
x-~
y= L + E
L
y= L-E
do terceiro quadrante do grafico da Figura 2.31, 2 + (l/x)
novamenle se aproxima de 2, 'e escrevemos
Hm (2 +.!)x. 2
=
X--«I
Antes de considerarmos exemplos adicionais, fo.nnulemos
defini<;6es para tais limites que envolvem infinilo, usando
lolerancia-e. para f(x) em L. Quando consideramos lim f(x) L
x-a
na Se<;ao 2.2, impusemos If(x) - LI < e. sempre que x eslivesse
pr6ximo de a ex",
a. Na situa<;ao presenle, queremos
If(x) - LI < E quando x e suficientemente grande, islo e, maior
do que qualquer numero positivo M qado. Islo resulta na
defini<;ao seguinte, em que supomos f definida em urn intervalo
infinito (c, (0) para urn numero real c.
Na Figura 2.32 0 gr3fico de f lende para a assfnlota y = L
por baixo - isto e, com f(x) < L. Urn gr3fico pode lambem
tender para y = L por cima - ou seja, com f(x) > L - ou ainda
de outras maneiras, com f(x) lornando-se alternadamente maior
do que L e menor do que L, quando x -- 00.
A proxima defini<;ao aborda 0 caso em que x e grande
negativamente. Admitiremos f definida em urn intervalo infinito
(-eo, c) para algum real c.
Se lim f(x) = L, dizemos que. 0 limite de f(x), quando x
lende para
para -co.'
--oo;'€:L, ou que f(x)
tende para L quando x tende
A Figura 2.33 iJuslra a Definit;ao (2.17). Se considerarmos
retas horizontais y = L ± e, entao todo ponto P(x, f(x» do grafico
estara entre essas retas se x for menor que certo numero negativo
N. Areta y = L e uma assintata horizontal para 0 grafico de f.
Podem-se estabelecer teoremas analogos aas da Set;ao 2.3,
para limites que envolvam 0 infinito. Em particular, 0 Teorema
(2.8) relativo a Iimites de somas, produtos e quocientes e
verdadeiro para x ....•co ou x ....•-co. Analogamente, 0 Teorema
lim (2-?)
x-~
=--------
(2.14) sobre 0 limite de VJ(X'j vale se x ....•co ou x --> -co. Pode-se
mostrar tambem que
Jim 2-lim
z--oo
No Apendice II encontra-se
ma, usando a Defini~ao (2.16).
uma prova do pr6ximo teore-
= Iim3+1im
x-.....::m
~
X_-4:J
x_-ooX
.!.+lim
~
X--3)
~;b~r~~:
:n~~e~~
:.~;~:~a;;~~s,~:i~;~,f~~~,~~~~~.?O~~~~.
'0'
':;."
;':\:';"~.'
.. :0 ; •.••..
'. ,.,".
,:.
. 'c,' Hm
X_OIl
":.r-'-f"~::.:~~::'"
'.:;'::".. :'_:.
·c·'.
.;.'
c"'.
t = 0 e limt=
0,
X
.%--(1')
X
desde que ~ seja se~p~e d~fillido.
o Teorema (2.18) e litil para 0 estudo de limites de fun~oes
racionais. Especificamente,para
achar lim,_~ f(x) ou limx_.~
f(x) para lima fl/l/(;oO racional f, primeiro dividimos nllmerador
e denominador de f(x) por ),", em que n a mais alIa potcncia
de x qlle aparece no denom'illOdor, e em seguida aplicamos os
teoremas sobre limites. Esta tecnica e iluslrada nos Ires pr6ximos
exemplos.
U-5
Determine Jim 3x' + x + 2
x-=
e
EXEMPLO 3
. I'
2r-5
DctermIne 1m 3?
2
z--=
.l-+X+
A mais alia polencia de x no denominador e 2. Logo, pela regra
CIllII! iilda 110 parflgrafo prccedcnte, dividimos numerador e
d '1I011lilllldorpar .\' . aplicamos os teorcmas sobrc·limitcs. Assim,
Como a mais alta pOlencia de x no denominador e 4, primciro
dividimas numerador e denominador por x', obten~o
Determine
lim
v',il (9 + ~)
2i3-5
3,il + x + 2
"'9r + 2 = I·1m
I·lITI--z-~ 4x + 3
z-~
4x+3
_
#1/9 + 1,
Como a mais alta potencia de x no denominador e 2, primeiro
dividimos numerador e denominador por x2, obtendo
=Iim
4x+3
z-~
. r
Se x e positivo, entao # = x, e dividindo por x 0
numerador e 0 denominador da ultima fra<;ao, obtemos
. "'9,,2 + 2
IIm---
Como cada termo da forma c/xX tende para 0 quando x -> 00,
vemos que
Jim
z-~
(2x - 2)
,il
= 00
z-~
4x+3
e
(b) Se x egrande
e negativo, entao # = -x. Seguinclo os
mesmo passos cia parte (a), obtemos
. V97+2
hm--~4x+3
z __
EXEMPLO
~
·
= I1m ---z--~
4x+3
,il
6
~
(-4";9 + '4.
...
:Se f(x) = 4x + 3 ,determme
=Iim
x
z--~
4x+3
·
-v'9+~x
= I1m
z--~
.
3
4x+x
f(x) = "'9,,2 + 2 _ 3x = 14x+3
4x 4
f(x)
Podemos tambem consiclerar 0 caso em 'Ill tanto.
tendem para 00 0..1 -00. Por exemplo, a igilalcllld·
..x Jim
f(x)Q
__ oo
Isto sugere que !~f(x)
pod em os escrev. r
=~. Para uma demonslra<;ao
O?
rigorosa,
significa que f(x) aumenta sern limite qllalldn •. d l'f' II'
limite, como seria 0 caso para J(x) = ,il.
('011111
Os lipos dc limite envolvendo 00 ocorrcm nas aplica<;iics.
A tilulo de i1uslra<;lio, pode-se enunciar a lei da gravila<;lio
universal de Newton como: Toda parlieu/a no universo alrai
loda oulra part£eu/a eOIlluma [on;a proporciona/ ao produlo de
suas massas e inversamenle proporciona/ ao quadrado da
distancia enlre as parlieu/as. Em simbolos
e
em que F a for<;a que alua em cad a particula, Ill) e 1Il2 slio as
massas das parllculas, rea
dislancia entre elas e G e uma
conslante gravitacionaL Supondo IIll e /Il2 conslantes, obtemos
1Il)1Il2
I
lim F = Jim G -.
r-OO
x-oo
r
2-
Exercs.l·10: Para af(x) dada, expresse cada urn dos
seguintes limites como "', _00 ou NE (nao existe):
1 f(x)=~;
x-4
a=4
5
2 f(x) = 4~x;
a=4
8
3 f(x) = (2<+ 5)3 ;
a~-- 5
2
Exercs. 25·26: Investigue 0 limite, fazendo
x ~ 10" para /I = 1, 2, 3 e 4.
[925 Jim
-4
4
Concluiremos esla se<;lio dando uma defini<;lio formal de
lim [(x) = 00. A principal diferen<;a em rela<;lio ao nosso tra-
f(x) = 7x+3 ;
x-
1Xl
3
a =--
7
5 f(x) = (x ~~8)2;
(I
+ b
x-oo'
6
3X2
f(x) ~ (2x _ 9)2 ;
=
2~
:;.T.;:l
9
a=2
5x
28 f(x)
= 4-X2
30 f(x)
= }-~
.r-+ 1
1
32 f(x) = .~ -x
31 f(x) = x3 + ~ _ 6x
2~
7 f(x)=--;
X2-x-2
..;x sen lx
16 -X2
a --1
33 f(x)=~+3x+~
X"
35f(x)=~
1
34 f(x)=~-5x
+ 2r - 3
X" -
Ix-a 1< fl, entaoJ(x)
conveniente (a - fl, a + fl) ex.,.
estao acima da reta horizontal.
Exercs. 37·40: Vma fun<;ao f satisfaz as condic;6es
indicadas. Esboce urn grafico de f, supondo que ele
nao corte uma assintota horizontal.
>M
Jim f(x) = - 00;
Jim f(x) = 00
x-3-
x_J
t
14 lim (3x + 4) (x - 1)
x--~
(2<+ 7) (x+ 2)
a, os pontos do grafico de f
151im
x __
2~ - 3
~4.~+5x
16 lim 2~ - x + 3
.~+ 1
lim f(x) = 00;
Jim f(x) ~ - 00
x-2-
x_2
t
Para definir lim f(x) = -00 basta alterar a Defini<;ao (2.19),
.
caso, consideramos uma rela horizontal arbitraria y = N (com N
negativo), e 0 gr3fico de f estara abaixo desta reta sempre que
x estiver em urn intervalo conveniente (a - fl, a + fl) ex.,. a.
171im
x-.e
-x3+2x
2~-3
X2 + 2
181im
x __
x-1
<x
lim
f(x)
= 00;
x-)-
19 Jim
x __
2-X2
oox+3
25
~-16
> 0, ex isle urn fl > 0 lal que
/~~--~--; substituindo M > 0 por N < 0 e f(x) > M por f(x) < N. Neste
1\
26 Jim
a =-S
29 f(x)
Para uma interprela<;ao griifica da Defini<;lio (2.19), consideremos uma rela horizontal arbitnlria y = M, conformeFigura
2.34. Se Jim j(x) = 00, entao sempre que x esta em urn intervalo
/I
l)
tan (~ _
2
x
27f(x)=_I-
-1
10 f(x) = (x+ If;
~k~-
X
Exercs. 27·36: Ache as assintotas verticais e hori·
zontais do gnifico de f.
9 f(x) = x(X-3)2;
se 0 <
l
~-4
balbo na Se<;lio 2.2 e que, em lugar de mostrar que If(x) - LI < E
sempre que x esta pr6ximo de a, considcramos qualquer numero
grande posilivo M e mostramos que f(x) > M semprc que x esta
pr6ximo de a.
signlfica que; para cadaM
4x-3
;(->_7:>,/2- + 1
=0
Islo nos diz que a medida que a dislancia entre as particulas
aumenla sem limite, a for<;a de atra<;ao lende para O. Teoricamen Ie, sempre ha alguma atra<;lio; enlrclanto, se r e muito
grande, a atra<;lio ja nlio po de ser medida com 0 equipamento dc
laborat6rio convencional.
221im
lim I(x) - - 00
x- - I
lim
f(x) = 00:
:c-3'
lim I(x).
),'-.- I'
00;
40 lim f(x)=3;
lim f(x)=3;
(b) EstabeJe~a uma f6rmula para a concentra~ao
c (/) de sal (em kJlt) ap6s / minutos.
Jim f(x) - - 00;
(c) Que ocorre a c (/) por urn longo perfodo de
. tempo?
x--iX:
Jim f(x)
= 00;
x-f·
x-I
lim f{x) = _00;
x--2-
lim f{x)
x-
Qefin/fBa (2.20) ~
- .-
~:t·~,!~ri:;,;;:';·'~}i':,'"~,,.~::··-,,:, .
e
.:.,:Ui:jlafuIi~ao f contmua
·W!seID!i~tes.eOndi~6es:
.
Urn problema importante na pesca e predizer
a popula~ao procriadora adulta do pr6ximo
ano (recrutas) para urn nurnero S presentemente em desova. Para certas especies (como
o arenque do Mar do Norte) e a rela~iio entre
ReS e dada por R = as! (S + b), com a e b
constantes positivas. Que acontece quando 0
numero de procriadores aumenta?
../
-2+
41 Vma concentra~ao de agua saJgada na base de
50 g de sal por litro de agua corre para urn tan que
que contem inicialmente 50 Iitros de agua pura.
(a) Se 0 fluxo de agua salgada para 0 tanque e
de 5 It por rninuto, determine 0 volume
V (/) de agua e a quantidadc A (I) de sal no
tanque ap6s / rninutos.
;
: .•
:
:":1'~i~;~}~~)'~ ~efinida .
...
= 00
!)'
em urn numero e se satlsfaz as
"
'.
~
':~:', ,
Ao utilizar est a defini~ao para mostrar que uma fun~ao
f
e continua em e, basta verificar a terceira condi~ao, porque se
Jim f(x) = fee), entao fee) deve ser definida e tambem
x-c
:~J(x)
deve existir; ou seja, as duas primeiras condi~6cs estao satisfeitas
automaticamente.
2.5 FUNGOES CONTINUAS
Na Jinguagem .9uotiQia~a dizemos que 0 tempo e continuo, uma
vez que ele decoITe de maneira ininterrupta. 0 tempo nao salta,
digamos, de Ih para Ihlminda
tarde, deixando urn lapse de urn
minuto. Deixando-se cair
objeto de urn balao, encaramos seu
movimento subseqiiente como continuo. Se a altitude inicial
de 500 metros, 0 objeto passa por todas as altitudes entre 500 m
e 0 ill antes de atingir 0 solo.
mn
e
Em mateimitica usamos a expressao fum;iio continua ernurn 'sentido semelhante. Intuitivamente, consideramos contipua
uma fun~ao cujo gniflco nao tern interrup~6es. A titulo de
i1ustra~ao, nenhum dos gnificos da Figura 2.35 represent a uma
fun~ao continua no ponto c.
I
(I)
(ii)
y
/
(ill)
y
y
y = J(x)
.----..-------./
c
,
x
x
c
x
Se uma (ou mais) das tres condi~6es da Defini~ao (2.20)
nao for(em) satisfeita(s), dizemos que f e descontinua em c, ou
que {tern uma descontinuidade
em e. Cert~s t~pos de desc?ntinuidades tern nomes especiais. As descontlnUidades em (I) e
(ii) da Figura 2.35 sao deseonrinuidades
relQo.ri.~~ porque
podemos remove-his definindo adequadame.nte 0 valor f(c) .. A
descontinuidade em (iii) do tip~o,
asslm chamada devldo
11 aparencia do gnifico. Se f(x) tende para 00 ou -.00 qu~ndo x
teride para e de urn ou de outro lado, como em (IV), dlZellloS
e
c
em e.
Na i1ustra~ao seguinte reconsideraremos
algumas fun~6cs
especlficas ja abordadas nas Sec~6es 2.1 e 2.2.
'\Zl
""-
y = J(x)
a
que f tern uma ~t.~~~~
(Iv)
y
Intuitivamente sabemos que a condi~ao (iii) implica que, 11
medida que x se torn proximo de e, 0 valor f(x) da fun~ao se
torna proximo de fee). Mais precisamente, podemos faze~ f(x)
tao pr6ximo de f(e) quanto quisermos, escolhendo x suficlentemente proximo de e.
x
Figura 2.35
-(
Note que, em (i), f(c) nao e definida. Em (ii), f (e) e
definida, mas lirnz_c r(x) •• fee). Em (iil) Iimz_c f(x) nao existe.
Em (iv) f(c)
nao
e definida 'e, alem disso, lirnx_cf(x)
- 00. 0
grafico de uma fun~ao f nlio sera de nenhum dos tipos acima
se f satisfizer as tres coIidi~6es relacionadas na' proxima
. definj~ao.
Nenhuma, pais para lodo
Hm J(x) = c + 2 = f(c)
z-c
/llfl
I ,Iii 1/'1/' ,"" (,"'/)1I/'_Hr_il_' A
__"a_Ii_/i_ca__ C~ap_._2
_
__-
;::-::::.:=[)EMON_STRAl;AO
~
(i) Se-f e uma fun<;ao polinomial e c urn numero rea!, enlao,
pelo Teorema (2.11), limx_j(x)
= fee). Logo f e contrnua
c = ! pois gel) e indefinido
(descontinuidade
removivel)
em todo ponto real.
(ii) Se gee) '" 0, enlao c est a no dominio de q = fIg e, pelo
Teorema (2.12), limx_c q(x) = q(c); isto e, q e continua em c.
EXEMPLO
1
Se f(x) ~ Ix I mostre que f e continua em to do numero real e.
sex,", !
sex=!
o grafico de j esla esbo<;ado na Figura 2.36. Se x> 0, entao
f(x) = x. Se x < 0, enlao f(x) = -x. Como x e -x sao polinomios,
decorre do Teorema (2.21) (i) que f e continua para tod(j rea!
diferente de zero. Resta mostrar que f e eonlinua em 0. Os limites
laterais de f(x) em
sao
°
I
• 1,\,)_x
lim Ix I = lim x =
=
c
0 po is h(O) nao existe
e tambem Hm hex) DaD existe
'x-o·
x-o
(desconlinuidade
x-o·
°
I I x_o
lim x = Jim (- x) =
infinita)
x-.o~
v
OI1lUus lilllites Jaterais direito
decarre. do Teorerna (2.3), que
lilll I x 1- 0 -I
x _ •. II
c = 0 pois p(O) e indefmido
e lambem
°
e esquerdo
sao iguais,
J(O).
Hm p(x) nao existe
x-o
(descontinuidade
tipo saito)
o
proximo leorema afirma que as fum;6es polinomiais e
as fum;6es racionais (quocientes de polinomios) sac cont(nuas
em todos os pontos de seus dominios.
(i) Utri~·.fun<;ao polinomial
° 1-
e
j e eonlinuapara
Sc J'(x) -
x1_
I
.
- delcrnune
_' +x~ - 2(
.
.
as deseonunUidades
de f.
lodo
J C lllmi fun<;ao raciona!, segue-se do Teorema (2.21) que
as (micas dcsconlinuidades
ocorrem nos zeros do denominador
.\-, + x2 - 2x. Falorando, oblemos
C0ll10
··rF!5roreal.c:;;
.(ii) Umlfuiii;ao
""nuoi~r?
"'-'.'
raclonal
eiccetonos
,,;,c~~,,'t"(':;';
q~'fice coniiIi'iJa e~iodc:i'
e tais que' g(e).= O.
numeros
Igualando a zero cad a fator, vemos que as descontinuidades
de f sao 0, -2 e 1.
Se uma fun~ao f e continua em todo ponto de urn intervalo
aberto (a, b), dizemos que f continua no intervalo
(a, b). Da
mesma forma, uma fun~ao e continua em urn intervalo infinito
do tipo (a,oo) ou (-co, b) se e continua em todo ponto do
intervalo. A proxima defini~ao inclui 0 caso de urn intervalo
fechado.
Estritamente falando, a fun~o f do Exemplo 3 e descontinua
em tod~ ponto c exterior ao intervalo [-3,3], porque f{c) nao
e urn numero real se x < -3 ou x > 3. Todavia, nao e costume
usar a expressao descontinua em c se c esta em urn intervalo
aberto no qual f nao 6 definida.
e
Podemos tambem definir outros tipos de intervalo.
Por
exemplo, f 6 continua em [a, b) ou [a 00) se e continua em todo
numero maior do que a no intervalo e, a16m diso, e continua 11
direita em a. Para intervalos da forma {a, b]ou (-oo, b], exigimos
continuidade para todo numero inferior a b no intervalo e
tambem continuidade 11esquerda em b.
'
Utilizando fatos en unci ados no Teorema
provar 0 seguinte:
Se a fun~ao f tern urn limite 11direita, ou urn limite 11
esquerda do tipo indicado na Defini~ao (2.22), dizemos que f
continua
direita em a ou que f
continua
esquerda em
b, respectivamente.
a
e
e
a
Se f{x) = ";9 - r, esboce 0 grafico de f e prove que f
no intervalo fechado [-3,3].
e continua
(2.8), pode-se
, Se j egsaoc,ontinuas
em c,entao san tamMm continuas
em ~:.:.!: .. :··DJ:;,~~.H.JJ,D,8
:~C~!Jr~~~t
:~,~r~{
k (ii) ii dif~ren~f';: g~~;;;
c~~l";
.;~ii!~·1{j~T
,'C:bt{>j;t/iJ'
}y(iii):9 produ(o. fg~J.' fIl)
,.", ~:, .,'"
"':,,'
,e..•,:',.:: ...,
"
.,' .","'"
;i:(ry),'(fq~9dente'flg;~desde
que g(c) •• 0
o griifico de r + T = 9 e urn cfrculo com centro na origem e
raio 3. Resolvendo
em rela~ao a y, temos y = ±~
griifico de y =";9 - reo
2.37).
semicfrculo
e dai 0
superior (veja a Figura
Se -3 < c < 3, entao, com auxflio
obtemos
do Teorema
(2.14),
Logo, f e continua em c pela Defini~ao (2.20). Resta apenas
verificar os extremos do intervalo [-3, 3] utilizando limites
latera is como segue:
Jim f{x) = lim
x--3·
~
=~
= 0 = f{-3)
~
=v9-9
=0=j(3)
'lim {f + g) (x) = lim [f(x) + g(x)]
x-c
x--3'
= f(c) + g(c)
Jim j(x)=lim
x-3-
z-)-
Assim, f e continua 11direita em -3 e continua 11esquerda
3. Pela Defini~ao (2.22), f e continua em [-3,3].
~ (f+g)
em
Ista iJrova que f + g 6 continua
,demonstradas de maneira aniiloga.
(c)
em c:' A~ pa';tes (ii).(i'~)
Se
f e g sao coDtinuas
em urn intervalo,
entao
f + g,
f- g e fg sao continuas no intervalo. Se, alem disso, gee) •• 0
para todo e no intervalo, fIg e tambem continua no intervalo.
; Seja f(x) =
Yx. Aplicando 0 Teorema (2.24), que afirma que
Esses resultados podem ser estendidos a mais de duas
fum;6es, is to e, somas, diferen<;as, produtos ou quoeientes,
envolvendo urn numero arbitriirio de fun<;6es continuas SaD
tambem continuos (desde que nao ocorram zeros no denominador).
!~cf(g(x))
!im
=f
(~~ g(X))
Vgrxr = "tim g(x)
x-c
A ~a.rt~ (i) do pr~ximo t~orema decorre do Teorema (2.24)
e da deflDl<;ao de fun<;ao contmua. A parte (ii) e um reenunciado
de (i) utilizando a fun<;ao composta fog.
~
Se k(x) = 3x4 + 5.r + l' prove que k e continua
no intervalo
[-3, 3].
Sejam f(x) = '1/9 - r- e g(x) = 3x4 + 5.r + 1. Pelo Exemplo 3, f
e continua em [-3,3], e pelo Teorema (2.21) g e continua para
todo numero real. Alem disso, g(e) •• 0 para todo e em [-3,3].
Logo, pelo Teorema (2.23) (iv), 0 quociente k = fIg e continuo
em .[-3,3)
13.r - 7x - 121, mostre que k e continua para todo
Se k(x) =
numero real.
No Apendice 11 encontra-se uma demonstra<;ao do proximo
resultado sobre 0 limite de uma fun<;ao composta fog.
f(x)
=
Ix I e g(x) = 3x2 - 7x - 12,
entao k(x) = f(g(x)) = (f 0 g) (x). Como f e g SaDcontinuas (veja
Exemplo 1 e (i) do Teorema (2.21)), segue-se de (ii) do Tcorcl11a
(2.25) que a fun<;ao composta k = fog e continua em e.
A demonstra<;ao de outros teoremas constitui a principal
utiliza<;ao do Teorema (2.24). A titulo de ilustra<;ao, utilizemos
o Teorema (2.24) para provar 0 Teorema (2.14) da Se<;ao 2.3,
em que supomos que lim g(x) e as ralzes enesimas indicadas
,Jimygw = V'lim. p(x)
.J:-c
_ ..
A demonstra<;ao da propriedade seguinle das fun<;6cs
continuas pode ser encontrada em textos de calculo mais
avan<;ados.
Teorema do valor
intermediario (2.26)
e
Se f
continua em:·urn intervalo fcchado [a, b] c SC 1\1 6
umnumero
entre f(a) e f(b), entao cxistc ao mCllos 11111
niJmero e em [a, b) tal que fee) = IV •
o",o±l'.
y
ftb)
w
f(a)
1--
--,
!f(C)
I'
I:
i
,
:
w
o teorema do valor interrnediario afirrna que, quando x
varia de a a b, a flllll;iia eantinua f tama todos os va/ores entre
f(a) e f(b). Se considerarmos 0 grafico da fun<;ao continua f .
como ininterrupto, dos ponlos a (a, f(a») a (b, f(b», conforme
i1ustrado na Figura 2.38, entao, para qualquer numero w entre
f(a) e f(b), a reta horizontal com intercepto-y igual a w
interceptara 0 grafico em pelo menos urn ponto P. A coordenada-x e de P e urn numero tal que fee) = w.
Uma conseqiiencia do teorema do valor intermediario
e que
se f(a) e f(b) tern sinais opostos, entao existe urn numero e enlre
a e b la/ que fee) = 0; islo e, f lem um zero em e. Assim, se 0
ponto (a, f(a» do gnifico de uma fun<;ao continua esla abaixo
do eixo-x e 0 ponto (b, f(b» esta acima do eixo-x, ou vice-versa,
entao 0 grafico corta 0 eixo-x em um ponto (e,O), para
a < e < b.
f(l) = 1 + 2 - 6 + 2 - 3 =-4
f(2)
= 32 + 32 - 48 + 4 - 3 = 17
Como f(l) e f(2) tern sinals opostos, segue-se do teorema do
valor inlerrnediario que fee) = 0 para ao menos urn numero real
e entre 1 e 2.
o Exemplo 6 ilustra urn esquema para a localiza<;ao de
zeros reais de urn polin6mio. Utilizando urn metoda de apraximar;6es sueessivas podemos aproximar cada zero com qualquer
grau de precisao, bastando enquadra,lo em intervalos cada vez
menores.
Outra conseqiiencia util do teorema do valor inlerrnediario
e a seguinte. 0 intervalo ali referido pode ser fechado, aberto,
semi-aberlo ou infinito.
~:':~: ;<l..:::;j.,~ ~!r:/~::!~.~:;
..~:.;
'.~..';\i -,"':l,~ -:'. '.(; :.' !'~f~:~,~:
.r.,:: ~.-'~; ~~-;~.,~';, ,,;.:~~::'~';...: -.'~';',:' '''~;''
':'.',Se uma,:fun<;ao,c f;·e., contmua e nao, tern. zeros em' urn
I
'i!iiervai6;''Ciit~o':o\J!{f(x)';;'6 ~u'j(~j-;;6pira:"'tQ'do"x" nb"'
... intervalo,.;,',;·,
',
····<··',:"\ih<:'
A conclusao do teorema afirrna que, sob a hip6lese dada, f(x)
tem 0 mesmo sinal em todo 0 intervalo, Se est a conclusao fosse
fa/sa, entao haveria numeros, Xl e X2 no intervalo tais que
f(xl) > 0 e f(x2) < O. Pel as observa<;6es precedentes, isto, por sua
vez, implicaria fee) = 0 para algum e enlrexl e X2' conlrariamente
11 hip6tese. Assim, a conclusao deve ser ver.dadeira.
No Capitulo 4 aplicaremos 0 Teorema (2.27) 11 derivada de
uma fun<;ao f para deterrninar a maneira como f(x) varia em
diversos intervalos.
Exercs. 1-10: E dado 0 gn\fico de uma fun~ao f·
Classifique as descontinuidades de f como removiveis, tipo saIto, ou infinitas.
Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de
f como removlveis, tipo saito, ou infinitas.
{Xl -
se
se
31
se X" -2
se x =-2
13 f(X)=W+
14 f(x)
15 f(x)
11 se x"l
= {~X -
=
x:s:1
x>l
sc x=l
{~2+
se
x>l
16 f (x) {~Xl ~~ x<l
x=l
=
x- 2
9
;+3
=
27 f(x)
=.{1o sese
28 f(x) =
se x>l
43 f(x)=_~
.
[Q]29 f(x)
45 [(x)=~
se x =-3
47 f(x)
33
48 f(x):
X"
X=
se x •• 3
se x = 3
sen x
x
se
{o
se
I - cos x
31 f(x)
20 f(x)
22 f(x)=--;
1
v -x
2x-
8)
VT9V257
x-4
= v9-x
a=0
se x=O
5
32 [(x)
Xl+x-6
= x2 _ 4x _ 12
f (x) = .2..::l...
x-4
34 f(x) - -Xl---x---1-2
Exercs. 35-38: Mostre que f e contInua no intervalo
dado.
~Xl+2;
=
21 f(x)=3..?+7-_~;
J'
+3x;
4x-7
(x + 3)(Xl+
se x •• 0
Xl +x-2
19 f(x)=v2x-5
5
1
(x-1)33
46 [(x) = /
x- + 1
52 f{x) = cot:?
3
= scn (.,2 -,1)
vI _x2
vx-6
Exercs. 31-34: Determine todos os mumeros para os
quais [e descontinua.
[Q] 18 f(x)
~,.!--.,
= ;,? -Xl
49 f{x) =
50 f{x)
[Q]30 f(x) = --x-
{1
44 f (x) =
x+9
se X" -3
x-3
{1
=
x-I
vXl-l
se x=3
k::ll
x<l
1 ~~ x=l
x +1
26 f(x)
.
x •• 3
se
;-3
11 J. (x) =
1 se x< 1
..
4 -x
se x;,l
12 f(X)={x3
3-x
.rr-
9
25 f(x)-
[4,8);
36 f(x) = v16 -x;
38 f(x)
=
1
~1;
(1, 3)
Exercs. 55-58: Verifique 0 teorema do valor interrnediario (2.26) para f no intervalo indicado (a, b)
rnostrando que se f{a):s: IV:S: f(b), cntao f{c) = IV
para algurn c em (a, b].
55 f{x)-x3+1;
56 f{x) - -x3'
[-1,2]
[0,2]
57 f(x) = Xl - x; [1,3]
58 f{x)=2x-Xl'
\~e
[-2,-1]
f{x) - x3 - 5x2 + 7x - 9, use 0 teorema do valor intermediario (2.26) para provar que cxistc
urn nurncro real a lal que f(a) = 100.
(-00,16)
60 Prove que a equa~ao x5 - 3X' - 2Xl- x + 1 ~ 0
tern uma solu~iio entre 0 e 1.
~
2<+ 1
Exercs. 23-30: Explique por que f nao e contInua
em u.
Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais
f e continua.
I-f-~~
x
23 f(x)=_3_;
x+2
39 f(x)
=
~x-5
2x"-x-3
.
24 f(x)=_l_;
x-l
42 f(x)
x
=-rr==
'Ix-4
[Q] 61 Em modelos de queda livre, costuma-se supor que
a acelera~'iio gravitacional g e a conslantc
9,8 m/seg2• Na verda de, g varia com a aliilllcic.
Se El e a latitude (em graus), cntao:
onde It e a altitude (em metros, adma do nive!
do mar). Use 0 teorema do valor intennediario
para mostrar que a agua ferve a 9S·C a uma altitude entre 4.000 e 4.500 metros.
Use 0 leorema do valor intermediario para mostrar que g ~ 9,8 em algum ponto entre as Jatitudes 35" e 40·.
1£]62 A temperatura T (em .C) na qual a agua ferve
e dada aproximadamente pela formula
34 Seja f definida como segue
I
f(x)
= { -I
se x e radonal
se x e irracional
Moslre que Jim f (x) nao-existe para nenhum numero
Exercs. 39-42: Ache todos os numeros para os quais
f e continua.
+1
39 f(x)
= 2>:4 -
40 f(x)
= v'(2 +x)(3
~
-x)
v'9 - xl
Exercs. 27-32: Esboce 0 grafico da func;aof definida
por partes e, para 0 valor a indicado, determine cada
limite, se existir.
4 Jim (x-v'16-xl)
x-4-
se xs 2
se x> 2
3X
7 Jim
x-2
27 f(x) = xl
4
x -16
r-x-2
.
1
9 hm .1
x-o· vx
.
(/n\.
1
x-3'
x-3
10lim
{
se x s 2
:(1/x) - (1/5)
se
x-5
&3-1
11 hm -2
x--l/2
8 Jim
:(-
1
29 f(x)
=
{2 \x
. v'x +
14 Jim ..fX - Vi
.%-2
x-2
3-x
~_~,13-xl
x> 2
se x< -3
2 se x;,-3
se xs-3
4
15 lim (a + 1t)4 - a
h-O
It
17 Jim
x--3
19 Jim
V
x+3
~+27
(2): - 5)(3x + I)
(x+7)(4x-9)
21 lim
6-7x
(3 + 2>:)4
231im ~
x_2I3,4-9r
16 Jim
k-O
18 Jim
3
(2 + Itt
It
-
3
T
(v'5 - 2>:- xl)
x-5/2-
30 f(X)={~
4+x
se x>-3
4-xl
se x<1
se x=1
se x>1
x
se
x ••O
se
x=O
31 f(X)=f
a=1
20 lim 2>: + 11
x-oo
22 Jim
v'X+T
x-IOO
.%-3/5
32 f(x)~
v'xl + 100
24 Jim _ 5X~3
35 f(x)J~-161
.r - 16
42 f(x) = xl -1
xl - 2t
(3 + 2>:)'
x--2
41f(x)=x4_16
36 f(x)=_Ix2 -16
..fX
37 f (x) = xl - x - 2
6 -7x
:3 lim (2): - v'4r + x)
Exercs. 35-38: Ache todos os numeros para os quais
f e des~_ontinua.
a~O
~
r+
33 Use a Definic;ao (2.4) p~ra provar que
Iim _
(5x-21)=9
x 6
43 f(x)=v'5X+9;
44 f(x) =
a=8
V -4; a ~ 27
~
~IAKRON
. Books
- ,_Capi~u~o,3,1
""':
",1
;(•••
,_.' ....• ,
.:
..•..
A DERIVADA
INTRODUc;Ao
Iniciamos este capitulo considerando dois
problemas aplicados. 0 primeiro consiste em
determinar 0 coeficiente angular (inclina<;ao)
da reta tangerite em urn ponto do grafico de
uma fun<;ao, e 0 segundo, em definir a velocidade de urn objeto em movimento retilineo.
E digno de nota 0 fato que est as dmis ~plica<;6es, aparentemente tao diversas, conduzam
ao mesmo conceito de derivada. Nosso estudo proporciona uma visao do poder'~' 'da
generalidade da matematica. Especificamente, na Se<;ao 3.2, abandonaremos os aspectos
fisico e geometrico dos dois problemas e
definiremos a derivada como 0 limite de uma
expressao que envolve uma fun<;ao f. Isto
permite, em se<;6es posteriores, aplicar 0
conceito de derivada a qualquer quantidade,
ou grandeza, que possa ser representada por
uma fun<;ao. Como grandezas dessc lipo ocarrem em quase todos os ramos do conhecimento, as aplica<;6es da derivada sao numerosas
e variadas - mas, em cada caso, esta sempre
em jogo uma taxa de variar;ao. Assim, voltando aos dois problemas do come<;o, 0 coeficiente angular da reta tangente pode ser
usado para indicar a taxa it qual 0 grafico de
uma curva sobe (ou desce), e a velocidade e
taxa it qual a distancia varia em rela<;ao ao
tempo.
a
Nosso objetivo neste capitulo e introduzir 0
conceito de derivada e esfahelecer regras para
o respectivo calculo sem apelar para Iimites.
Consideraremos
algumas aplica<;6es aqui e
muitas outras em capftulos subsequentes.
I
3.1 RETAS TANGENTES E TAXAS DE VARIAc;AO
t':/
/Pf],o.
,.
As retas tangentes a graficos tern muitas aplica<;6es no calculo.
Na geometria a reta tangente I em urn ponto P de urn cfrculo
pode ser interpretada como a reta que intercepta (toea) 0 cfrculo
em apenas urn ponto, conforme ilustrado na Figura 3.1. Nao
pod em os estender esta interpreta<;ao ao grafico de uma fun<;ao
f qualquer, pois a reta pode "tocar" (tangenciar) 0 grafico de
f em urn determinado ponto P e intercepta-Io novamente em
outro ponto (Figura 3.2).
Nosso intuito 15 defmir 0 coeficiente angular da tangente
em P, po is, conhecido 0 coeficiente angular, podemos estabelecer
uma equa<;ao para I usando a forma ponto-coeficiente-angular
(1.8)(ii).
Para definir 0 coeficiente angular da reta tangente I no
pontop(a, f(a» do grafico de f, escolhemos priineiro outro ponto
Q(x, f(x» (veja a Figura 3.3(i)) e consideramos a reta por P e Q.
Esta reta 15 chamada secante do grafico.
Utilizamos
Q
Se f e continua em a, pod em os fazer Q(x, f(x» tender para
fazendo x tender para a. Isto motiva a seguinte
defini<;ao do coeficiente angular l1la de I em p(a, f(a»:
p(a, f(a»
°
. f(x) - f(a)
m =hm---a
X - a
a nota<;ao seguinte:
desde que 0 limite exista.
IpQ: A secante por P e Q
mpQ: 0 coeficiente angular de IpQ
E conveniente
°
ma: 0 coeficiente angular qa tangente I em P(a, f(a»)
passando-se
<;ao de m tr AIem disse, 15 de se esperar que esta aproxima<;ao
em
melhore quando Q se aproxima de P. Com isto
mente,
fazemos Q tender para P - isto 15 (intuitivamente) fazemos Q
ficar cada vez mais pr6ximo de P - mas Q " P. Se Q tende paora
P pel a direita, temos a situa<;ao da Figura 3.3(ii), onde as linhas
tracejadas indicam possiveis posi<;6es de IPQ' Na Figura 3.3(iii),
Q tende para P pel a esquerda. Poderiamos fazer Q tender para
P de outras maneiras, por exemplo, tomandoaltemadamente
pontos 1i esquerda e iI direita de P. Se mPQ tern urn valor limite
o
is to 15, se m PQ se aproxima de algum numero qua~d~ Q se
aproxima de P - entao esse numero 15 o· coeficiente
:l1la da reta tangente
I.
angular
Reformulemos esta discussao em termos da fun<;ao de f.
Referindo-nos
iI Figura 3.3 e utilizando as coordenadas de
p(a, f(a)) e Q(x, f(x», vemos que 0 coeficiente angular da reta
secante I 15
PQ
f(x) - f(a)
mPQ= --x---a--
usar uma forma alternativa
de ma obtida
da variavel x para uma varHivel h, como segue.
0
Se Q esta pr6ximo de P, parece que m PQ 15 uma aproxima-.
-
:'
p.
Fazer h = x - a ou, equivalentemente,
x = a + h. Apelando
para a Figura 3.4 e considerando as coordenadas p(a, f(a» c
Q(a + Jr, f(a + h), vemos que 0 coeficiente angular lIJJ'Q till
secante e
f(a + h) - f(a)
mPQ=
h
fIn
('fflrlt/u
'com Geometria
Ana/(tica
Cap.
3
Como x ---. a equivale a h ---. 0, nossa defini~ao de coeficiente. angular ma da tangente I pode ser formulada como segue:
,)il.9c~~~,~ci:~nf~Il~.I:it
.,;~~data\nge~te:ao
(IesM·que'b'limite"'i;'xigt~.-'.. '
{,"'.
":/';:"!
'i'
,:,,'.',: '\
,
pod em os
grafico de uma
:}1r~1~if~l~(~l~i(f]:1?;(u:,r
"'
..'...•...
,., ...
Utilizando a f6mula ponto-coeficiente
angular (l.8)(ii),
escrever a equae,iio da tangenle como
Se 0 limite na Defini~ao (3.1) nao exisle, entao 0
coeficiente angular da tangente em p(a, f(a)) nao e definido.
o limite da Defini~iio (3.1) surge em diversas aplica~Qes; uma
das mais familiares e a delerminae,iio da velocidade de urn move!.
Consideremos 0 caso do movimento retilineo, em que 0 movel
percorre uina rela. Para determinar a velocidade media vm em
urn intervala de 'ten;po, utilizamos a formula d = rt, onde rea
taxa, t e 0 coinprimento do intervalo de tempo, e d e a distiincia
percorrida. Resolvendo em rela~ao a r obtemos a seguinte
definie,ao.
Seja f(x) ~ xl, e seja a urn numero real arbitrario.
(a)
Determine 0 coeficiente
fern P(a, a2).
angular da tangente ao grafico de
SOLu<;Ao
(a)
~ Figura 3.5 exibe a grafico de y = xl e urn ponto tipico
p'(a, a2). Aplicando a Defini~iio (3.1'), vemos 'que 0 coefiClente angular em P e
Como ilusira~iio, se urn autom6vel deixa a cidade A 11Ih,
percorre uma estrada retilfnea, e chega 11 cidade B a 240 km de
A as 4h (veja a Figura 3.6), entao, pel a Defini~ao (3.2), com
d = 240 e t = 3 (horas), a velocidade media durante 0 intervalo
de tempo [1, 4] e:
v ~ 240 = 80 kmlh
m
. f(a + h) - f(a)
m =hm-----Ii-O
h
Q
, (a+lzf-az
=lim----
h
h-O
= lim a2 + 2alz + 1z2 _ aZ
h-O
Iz
= Hm 2alz + h2
h-O
(b)
II
0 coeficiente angular da tangente no ponto R(-2, 4) e urn
caso especial da formula ilia = 2a com a = -2; iSla e
3
Esta e a velocidade que, se mantida constante durante 3 horas,
permitiria ao movel percorrer as 240 km de A a B.
A velocidade media nada nos diz sobre a velocidade em
urn dado instante. Por exemplo, as 2h30 min 0 velocfmetro
poderia registrar 60 ou 45, ou 0 aulomovel poderia ale mesmo
eslar parada. Se quisermos deterrninar a taxa a qual 0 ~6vel esta
viajando as 2h30 min, precisamos conhecer seu movimento ou
posi~ao proxima a este instante. Suponhamos por exemplo, que,
as 2h30 min 0 automovel estivesse a 120 km e as 2h35 min a
126 km de A, conforme ilustrado na Figura 3.7. 0 intervalo de
tempo de 2h30 rnin a 2h35 min e de 5 minutos, ou 1/12 da hora,
e a distancia d e de 6 km. Levando estes valores em conta na
Defini~ao (3.2), obtemos a velocidade media naquele intervalo
de tempo:
v = ~=
m
1
12
48 km/h
Suponhamos' que'!um ponto P percorra uma reta coor\; denada' 1 de modo que sua coordenada no instante 1 seja
. s(I). A veIocidade v~ de P no instante a e
Este resultado ainda nao constitui uma indica~ao precisa da
velocidade as 2h30 min pois, por exemplo, 0 autom6vel poderia
estar trafegando muito devagar as 2h30 min, aumentando em
seguida consideravelmente a velocidade para chegar as 2h30 min
ao ponto a 126 Ian deA. Evidentemente, obteremos uma melhor
aproxima~ao usando a velocidade media durante urn intervalo
de tempo menor, digamos, de 2h30 a 2h31 min. Parece que 0
melbor seria tomar intervalos de tempo cada vez menores na
vizinhan~a de 2h30 miD e estudar a velocidade media em cad a
intervalo. Isto conduz a urn processo de limite analogo ao das·
retas tangentes.
o
~
e
Varia9ao na
posi9ao de P
o
a+~
•
•
o s(a) s(a + h)
•
v
varia~ao no tempo
:-1 . ,"
"V =
.
s(a + It) - s(a)
lim-----,
It
h-O
o limite na Defini<;ao (3.3) e tambem chamado velocidade
instantanea
de P no instanle a.
Se s( I) e medida em centimetros e 1 em segundos, entao a
unidade de velocidade e centimetros por segundo (cm/seg). Se
S(I)
em milhas, e I em horas, a velocidade e milhas por hora.
Naturalmente, pod em tambem ser usadas outras unidades de
e
medida.
Voltaremos ao conceito de velocidade no Capitulo 4, onde
mostraremos que, se a velocidade e positiva em um dado inlervalo de tempo, enlao 0 ponto se move na dire<;ao positiva em
I. Se a velocidade e negativa, 0 ponlo se move na dire<;ao
negativa. Conquanto estes fatos nao ten ham ainda sido provados, utiliza-Ios-emos no exemplo seguinle.
De urn balao a 150 m acima do solo, deixa-se cair urn saco de
areia. Despreza~do-se a resistencia do ar, a distancia s(t) do solo
ao saco de areia em queda, ap6s t segundos, e dada por
s(t) = -4,9P + 150
.
Deterrninar
I
a velocidade do saco de areia
(a) . quando 1= a segundos
-,----
It,··',
Definimos assim a velocidade como urn limite, quando It tende
para 0, de v m' conforme a defini<;ao seguinte.
!.
desde que ~.limite exista.
media de P entre os
Como anteriormente, admitimos que quanto mais pr6ximo de
" zero estiver It, mais pr6xima de P no instante a estaTiI v m'
..•.• ,:
.~
i i~":".
":,':'~:
.1'
= varia~ao na distancia _ s(a+ It) - s(a)
m
""""'i'
g
Para definir a velocidade de P no instante a, primeiro
determinamos a velocidade media em urn (pequeno) intervalo
de tempo pr6ximo de a. Consideramos assim, instantes a e
a + It, on de It e urn numero real (pequeno). As posi~6es correspondentes sao s(a) e s(a + It) conforrne ilustrado 'na Figura
, - 3.9. A varia~ao na posi~o deP e s(a + h) - s(a). Este numero
pode ser positivo, negativo ou zero. Note que s(a + It) ~ s(a) nao
e necessariamente a distancia percorrida por P entre os"instantes
a e a + h, pois, por exemplo, P pode ter ultrapassado 0 ponto
correspondente a s(a + It), retomando em seguida aquele ponto
no in stante a.
Pel a Defmi~ao (3.2), a velocidade
instantes a e a + It e
"."
••
Para maior precisao, representemos a posi~ao de urn objeto
em movimento retilineo por urn ponto P em uma reta coordenada
I. Referimo-nos as vezes ao movimento do ponto P, ou ao
movimento de urn objeto cuja posi~ao e especificada por P.
Admitiremos conhecida a posi~ao de P a cada instante do
intervalo de tempo dado. Se S(I) denota a coordenada de P no .
in stante I, entao a fun~ao sea fun~iio posi~iio de P. Registrando
o tempo por meio de urn rel6gio (Figura 3.8), entao, para cad a
I, 0 ponto P estara a S(I) unidades da origem.
Tempo
Varia9ao
no tempo
" .
L .
•
,..
150m
_--~-
(b)
quando t = 2 segundos
(c)
'no instante em que ele toca 0 solo
(a)
Conforrne a Figura 3.10, consideramos 0 saco de ••rcia
movendo-se ao longo de uma coordenada vertical I CUll'
origem' no solo. Note que no instante em que 0 SilCO .
J
r----1
S(I)
jogado, t = 0 e
s(O) = -:4,9(0) + 150 = 150
Para, achar a velocidade do saco de areia quando t = a,
aplicamos a Defini<;ao (3.3) obtendo
. '5(a + h) - s(d)
~.
=l1m----• h-O
h
.
[-4,9(a + h)2 + 150] - [-4,9a2 + 150]
h-O
h
= IJm--------------
= lim -9,8ah
h-O
t=2
+ 4,9h2
h
v2 = (-9,8)(2) m/s = -19,6 m/s
t2 = 150 = 30 61
4,9
'
Usa rem os indiscriminadamente
as expressoes
riar;iio e taxa illSlantanea de variar;iio.
taxa de va-
Se, Da Defini<;ao (3.4), considerarmos
casu especial
0
x = t (tempo) e y = s(t) (posi<;ao em uma reta coordenada),
obteremos a seguinte interpreta<;ao do movimento
Ha muitas outras aplica<;oes que exigem limites semelhantes as abordadas em (3.1) e (3.3). Em algumas, a variavel
independente e 0 tempo I, tal como na defini<;ao de velocidade.
Por exemplo, durante certo tempo, urn quimico po de estar
interessado na taxa a qual certa subsHincia se dissolve na agua;
urn engenheiro eletricista pode desejar saber a taxa de varia<;ao
da corrente em parte de urn circuito eletrico; a urn biologo pode
interessar a taxa a qual as bacterias se desenvolvem ou se
reduzem em uma cultura, Pod em os considerar taxas de varia<;ao
em rela<;ao a outras quantidades que nao 0 tempo. Por exemplo,
a lei de Boyle, para urn gas confinado aruma que se a temperatura pennanece constante, entao 0 volume v e a pressao p
estao relacionados pela formula v = clp para alguma constante
c. Se a pressao varia, urn problema tipico consiste em achar a
taxa a qual 0 volume varia por unidade de varia<;ao na pre'ssao.
Esta taxa e conhecida como taxa inslanlanea de variar;iio em
rela<;ao a p, Para estabelecer metodos gerais que possam ser
aplicados a diferentes problemas deste tipo, utilizaremos x e y
como variaveis e suporemos que y = f(x) para alguma fun<;ao f.
(Na ilustra<;ao precedente, y = v, x = p e f (x) = clx.) Definimos
a seguir as taxas de varia<;ao de uma v{uiavel y em rela<;ao a
uma variavel x.
retilineo:
taxa media de varia<;ao de s em
rela<;ao a I em urn intervalo de
tempo.
taxa instantanea de varia<;ao de s
em rela<;5.o a I no instante a.
Para inlcrprclar (ii) da I)crinir;ilo (3.'1) gcol1lctricamentc,
imaginclTlos um ponto T' PCI 'orrcnclu 1I grMico dc y = f(x) na
Figura 3, II, tin csqucrda p,Ha ;' dircita, 1\ taxa inslantanea de
varia<;iio dc y Clll rcla<;i\o a x nos inl'unna sobre a maneira como
o gnlfico sobe ou desce por unidade de varia<;ao de x. Na Figura
3.11, mu (0 coeficiente angular da reta tangente em A) e menor
Assim, quando R = 20, a corrente est a decrescendo
do que m b (0 mesmo coeficiente
de ampere por ohm.
em B), e a taxa Yu' na qual y
a taxa de ~
varia em reJa<;ao a x, e inferior a essa mesma taxa em B. Note
tambem que, como me < 0, 0 coeficiente angular da tangente em
C e negativo, e y decresce
a medida que x cresce.
o exemplo que segue da uma aplica<;ao ffsica da Defini<;ao
(3.4).
:,'Exercs. 1-6, (a) Use a Defini<;ao (3.1) para obler 0
:' eoeficienle angular da langenle ao grafico de
fern pea, f(a». (b) Determine a equa<;aoda tangente
; ~lnP(2, f(2)).
A voltagem em certo circuito eletrico e de 100 volts. Se a corrente
(em amperes) e I e a resistencia (em ohms) e R, entao, pela lei
de Ohm, 1= 1OOIR. Se R est a aumentando, ache a taxa instantanea de varia<;ao de I em rela<;ao a Rem:
(a)
qualquer resistencia R.
(b)
uma resistencia
;3 f(x)=x3
4 f(x)=x4
f(x) - 3x + 2
,
P(2, ~)
Exeres.1l·12 (a) Esboee 0 grafieo da equa<;aoe das
tangentes nos pontos de eoordenadas-x, -2, -1, 1 e
2. (b) Determine 0 ponto em que 0 eoeficiente
angular da tangente e m.
100
100
----R+h
R
h
= lim 100R - 100(R + h)
h-O
h(R +h)R
=Jim
-IOOh
h_oh(R + h)R
=lim~=_100
h_ 0 (R + h)R
R2
o sinal negativo indica que a corrente estll decrescendo.
Aplicando
a f6rmula IR = -1001R2 da parte (a), obtemos a
taxa instantanea
R=20:
P(2,P
I
=Jrm ----h-O
P(-8, -2)
I
h-O
.
P(4,2)
feR + h) - f(R)
de varia<;ao de I em rela<;iio a R para
11 y=x2;
m =6
12 y-x3;
m =9
2Q2.4
(a) Ache a velocidade do projetil para / = 2,
/ - 3 e / = 4.
(b) Quando 0 projetil atinge 0 solo?
(c) Ache a velocidade no momento em que ele
atinge 0 solo.
17. No videogame da figura, os avi6es voam da
esquerda para a dire ita segundo a trajet6ria
y = ] + (] I x), e podem disparar suas balas na
dire<;iio da tangente contra pessoas ao longo do
eixo-x em x = ], 2, 3,4 e 5. Determine se alguem
sera atingido se 0 aviiio disparar urn projetil
quando estiver em
18 Urn alleta percorre uma pista de 100 m de modo
que a distancia set) percorrida ap6s / segundos e
15 Urn balonista deixa cair, de urn 'baliio, urn saeo
de areia de ]60 m acima do solo. Ap6s / segun".'
,
.. "....
.... ,..
dos, (, saeo de areia esla a ]00 -4,9/.
,20
solo?
Exercs. 13-14 A fun<;iioposi<;ao s de urn ponto P
que se move em uma reta eoordenada P e dada por
/ em segundos e s(t) em eentfmetros. (a) Ache a
velocidade media de P nos seguintes intervalos de
tempo: [1; 1,2] [1; 1,1] e [I; ],01]. (b) Determine a
vdocidade de P em / =.1.
.
, ... "'"
" j'= ~ 100 = _ !
(b) Com que velocidade 0 saeo de areia atinge 0
]6 Urn projetil e lan<;adoverticalmente do solo com
uma velocidade inicial de ] 12 mis, Ap6s I segundos, sua distancia do solo e de 112/ - 4,9 /
metros.
6 f(x) = 4 - 2x
Usando
a Defini<;ao (3.4) (ii) com y = I, x = R e
feR) = 100/R, obteremos a tfxa instantanea de varia<;iio de
I em reJa<;ao a R para uma resistencia de R ohms:
IR = Jim
(b)
2 f(x)=3-2x2
,;:1:, ..
Exercs. 7-10: (a) Use a Defini<;ao (3.1) para obter 0
coeficiente angular da tangente ao gratieo da equa<;ao
no ponto com eoordenada-x. a. (b) ESlabeJe<;a a
, equi<;ao da tangente em P. (c) Esboee 0 grafico da
. euiva e da tangente em P.
de 20 ohms.
SOLUf;Ao
(a)
1 f(x)=5x2-4x
(a) Ache a veloeidade do saeo de areia em
/ = 1.
2
'
do solo.
dad~ por S(I) =
i + 8/ m (veja a Figura). Deter-
mine a velocidade do atleta.
(II) 11'''"11101- 5 se,
(b) Use a Defini~o (3.1) com h = '" 0,0001 para
obter uma aproxima~ao do coelicienle anguJar em (a).
(I) III' Irlll final
.
.
@] 24 Fa~a 0 ~raficO de f(x)
= 102cos x em [-2, 2).
x +4
(a) Use 0 grafico para estimar 0 coeficienle
angular da tangente em P( -0,5; f( -0,5».
[3; 3,5)
o
sfmbolo l' na Definj~o (3.5) le-se "f linha". II importante
notar que, ao determinar f'(x), consideramos
x urn numero real.
arbitrario e o'limite quando 11 tende para zero. Obtida l' (x), po<lemos
determinar 1'(a) para urn certo a substituindo x pOl' a.
(b) Use a Definic;iio 3.1 com h = '" 0,0001 para
aproximar 0 coeficienle angular em (a) ..
I' ~ ll'~, 1').21) (a) Ache a laxa media de varia~iio de
\' 111111\11I~0 II X no inlervalo dado. (b) Ache a taxa
1,,~lu,,1 111'11
tic Vlll'ia,ao de y em rela~iio a x no ponto
I ~I"'IIIO
sqll 'rllo do intervalo.
(e) Determine uma eqtia~ao (aproximada)
tangente ao grafico em P.
.
da
A afirma~ao 1'(x) existe significa que 0 limite na Dcfini~ao
(3.5) existe. Nesse caso, dizemos que f diferenciavel
em x, ou
que f tem uma derivada
em x. Se 0 limite nao existe, enUio f
nao e diferencHivel em x. As express6es diferenciar f(x) ou achar
a derivada de f(x) significam deter:ninar 1'(x).
e
@] 25 A posiC;iio de urn objeto em uma rela coordenada
e dada pOl'
[2; 2,4)
I 1\ Icy ", Boyle afirma que se a temperatura
tll'''"l1l1ece conslante, a pressiio pc 0 volume v
II '"11 gr.s confinado estiio relaeiomidos pOl'
I'M "/0" para alguma conslanle c. Se, para cerlo
1\ • (' 200 e vesta aumentando, determine a
IUxll IIISllIlIliillea de varia~iio de p em re)a~ao a v
1111111
.
cos2 t + 12 sen I
S(I) =
12 + 1
on de S(I) e em metros clem
Aproxime sua velocidade em t = 2 usando a
Defini~iio (3.3) com h = 0,01, 0,001 e 0,0001.
M
@] 26 A fun~ao posiC;iio S de urn objeto em movimento
ao longo de uma reta coordenada
\ 1111111,,",,
esfcrico esla sendo inflado. Ache a laxa
II"1111111'11de varia,ao da area S da superficie
II., hllllill III rela~ao ao raio r.
\ 1'11,,11
II 1',IMico de f(x) = sen 1tX em [0, 2).
(II) I i," lJ grMico para estimar 0 coeficiente
111'/,,111111'
da tangenle em P(l,4; f(1,4».
Ocasionalmente
sera conveniente
utilizar a seguinte
altemativa da Defini~ao (3.5) para achar 1'(a).
segundos.
e
Defini9{10 alternativa
da derivada (3.6)
S(I) = !-- 12 sen 1
12 + 1
(a) Fac;a 0 grafico de S para
°
As aplica~6es
sao reenunciados
das Defini~6es
(3.1) e
(3.4)(ii) utilizando f'(x). Estas interpreta~6es
da derivada sao
muito importantes
e serao usadas em muitos exemplos
e exercicios em todo 0 texto.
s I s 10.
(b) De uma aproximac;iio dos intervalos de lempo em que a velocidade e positiva.
Aplica96es da
derivada (3.7)
. .(i) TailgeiJt~~"o'~oeridenteangulardatangente
'fis<> de'-y'C!(x)lloji<:into(a,}(a))
(ii). 'f~~a
, "yaria:~ao
'1: D F1NIl:;Ao DE DERIVADA
f(a + h) - f(a)
Na se~ao precedente
usamos
0 limite
lim -----h-O
equivalenlemenle
forma
ou
h
f(x) - f(a)
lim
x _a
' em varias aplica~6es
rentes. Este limite e a base de urn dos conceitos
do calculo, a derivada, definida a seguir.
dife-
fundamentais
'd~~a~i~'~'~o-:seY=
deyem
rela~ao
aogr~:
~1'(a).
'f(~),::a~tax:i~~taht5ne.a
ef'(a).
.
de
axema
Corrio caso especial de (3.7)(ii), recordemos,
da Defini~ao
(3.3), que se x = t denota 0 tempo e y = S(I) e a posi~ao de urn
ponto P em uma reta coordenada,
entao S'(I) e a velocidade
P
no instanle a.
Uma fun~ao e diferenciavel
em um inten'alo
aberto (a,
b) se 1'(x) existe para todox em (a, b). Consideraremos
tambem
fun~6es diferenciaveis
em urn intervalo infinito (a, (0), (-00, a)
au (-00, (0). Para intervalos
fechados,
usaremos
a seguinte
convcn~ao, analoga 11defini~ao de continuidade
em urn intervain fechado dad a em (2.22).
': Uma fUiJ~aor~ diferenciavel
[a/b]se j e difereociavelno
, os seguinteslimiies
existem:
vamente. Como os coeficientes
em urn intervalil fechado
ioiervalo aberio (a; b) e se
,:.~::,)~:§~~~::~~::;~~:~)
h,~~
,e hl~- f(b +
angulares de 11e 12sao diferentes,
f(a) nao existe. 0 grafico de f tern um. ponto, anguloso e~
p(a, f(a» se f e continua em a e se as denvadas a es~uerda e a
direita de a existem e sao diferentes, ou se urna das denvadas em
a existe e If(x) 1--+ 00 quando x -- a- ou x -- a+.
f(b)
/1
y
Os limites laterais da Defini«ao (3,8) costumam ser design';90s' por del"ivada a direita e derivada
a esquerda de
t,
respectivamente.
Note que, para a derivada 11direita, 11 -- 0+ e
a + h tende para a pela direita. Para a derivada a esquerda,
11 -- 0" e b + h tende para b pela esquerda.
Se f e definida em urn intervalo fechado [a, b) e nao e
definida em nenhum outro ponto, entao as derivadas 11direita e
, 11esquerda definem os coeficientes angulares das tangentes nos
pontos p(a, f(a» cR(b, f(b», respectivamente, conforme Figura
3.12. Para 0 coeficiente angular da tangente em P, tomamos 0
valor limite da secante poc P e Q quando Q se aproxima de P
pel a direita. Para a tangente em R, 0 ponto Q se aproxima de
R pela esquerda.
A difereociabilidade
em um intervalo da forma [a, b),
[a, (0), (a, b] ou (_00, b] se define de maneira analoga, utilizan,do-se 0 limite lateral em urn extremo.
o doininio da derivada f consiste em todos os pont os,
ou numeros, para os quais f e diferenciavel, e tambem, possivel mente,
pontos extr~mos do dominio de j, sempre que
existam os limite;; hiterais; tal como indieado na Figura 3.12.
em
Coef. ang. =
=lim[(a+II)h-O',
Coef. ang. =
= Jim !(b + II) - [(b)
_
h
f(a) c
h
h-O
a
I
I
a +11
(h > 0) ,
b+ h
(II < 0)
Se f e definida em urn' intervalo aberlo que contem a, entao
f(a) existe see sornellte Sl! as derivadas tl direita e tl esquerda
aiste/n' e ''sliD iguais. As' fun«oes cujos graficos se acham
esbo«~dos n~ FigUra 3:13'teJri derivadas a direita e 11esquerda de
Ii; as quais sa~ '6~'Coeficiehtes angulares das retas 11e 12 respecti-
Con forme indicado na pr6xima defini«ao, pode oeorrer
uma tallgellte vertical em p(a, f(a» se f(a) nao existe.
q'&rafico d~[m~a}un~aO f tern u~a tangente vertical
x = cl no pontI? P(a, f(a» se f e contmua em a e se
,.,
"~'J_.~~~
..!
I
lim f'(x)
I =00
'
x-a
Se P e urn ponto extrema do dominio de f, podemos enunciar
defini«ao semelhante utilizando a derivada 11direita ou 11esquerda.
A Figura 3.14 ilustra alguns casos tipicos de tangente ve~ical.
Confonne indicado na pr6xirna defmi~o, 0 ponto P, na Figura
3.l4(iii) e chamado POlitOde reversiio ou pOlltO cuspidal.
;lJmpootdP(a;'f(~)rdo'gr~fi(j()<1e
uriiafun~ao f 6 chainado
.. p;g~iiid~hvefSiio;;'~,rpont~:ciispid!,l,se
j e continua em
,: 'a ~'~ff~~e~f~.~~~:d,u,~!$~~~9.~~s,
~egu~?tes:
;f'(i)lf'(i)'¥.+'oorquaiidox
teode parap por, urn lado.
....@ fJxt-::"::::~ql1~ll.Qq,,~y~ndepara
~ pelo oulro lado.
~OLUl;A~.
(a)
Se 'i(x) ~ 3r - 12x + 8, entao par (3.7) (i) e a Excmplo .I,
o coefieiente
angular
da tangentc
em (x, f(x»
c
,J'(x) = 6x - 12. Em particular, 0 coeficiente angular cm
P(3, -1) e
(b)
Como a tangente
horizontal se 0 coeficiente angular
f'(x) e zero, resolvemos 6x - 12 0, obtendo x
2, 0
valor correspondente
de y
-4. Logo, a tangente
horizontal em Q(2, -4).
SOLUl;Ao
(a)
Pela DefiniC;ao (3.5),
f(x) ~ lim f(x+
10-0
h) - f(x)
h
e
2
= lim [3(x + h)2 - 12(x + h) + 8]- (3x - 12x + 8)
h
10-0
.
= )1m
10-0
.
= )1m
10-0
e
(3x2 + 6x1l + 3112- 12x - 12h + 8) - (3x2 - 12x + 8)
=
=
e
'. A Figura 3.15 exibe os graficos de f (uma parabola) e das
tangentes em P e Q. Note que 0 vert ice cia parabola e 0 ponto
Q(2, -4).
h
EXEMPLO 3
6x1l + 3112- 1211
h
Se f(x)
= lim (6x +3h-12)
10-0
= 5,
(a)
Fac;a 0 grafico de f.
(b)
determine f(x) e 0 dominio de f.
SOLUl;Ao
f(4)
~ 6(4) - 12 ~ 12,
(a)
A Figura 3.16 exibe 0 grafico de f. Note que 0 dominio
de f consiste em todos os nllmeros nao-negativos.
(b)
Como x = 0 e urn ponto de parada do domlnio dc f,
examinaremos separadamente as casas x> 0 ex = O.
f'(-2) ~ 6(-2) -12 = -24,
f(a)
(c)
= 6a - 12
Como f(x) = 6x - 12, a derivada existe para todo numero
real x, Logo 0 dominio de f' e ~.
Se x > 0, enUio pela DefiniC;ao (3.5),
'()
r: YX+7i - 5
f x = hl~O
h
EXEMPLO 2
Se y ~ 3i' - 12x + 8, use 0 resultado do Exemplo 1 pa;~'determinar
(a)
(b)
0 coeficiente
angular de tangente ao grafico desta equac;ao
no ponto P(3, -1).
a ponto do grafico em que a tangente
c horizontal.
.
Para achar 0 limite, primeiro racionalizamos
do quociente e em scguida simplificamos:
'()
a numeraclor
YX + 11 - 5 YX + II + x
. --=--"
h
x+II+{X
I'
f x = Jm ---10-0
.
= IJm
.
x+II)-x
"(Yx+"
10-0
~ Jim
+ {X)
--1--
0"
10--0
.--
+{X
Cap. 3 A deril'ada
1
131
1
~VX+VX=2VX
Como x = 0 e urn ponlo de parada do dominio de f,
devemos usar urn limite lateral para determinar se
existe.
Usando a Defini«;ao (3.8) com x = 0, obtemos
reO)
I·1m f(O+II)-[(O)
-0·
II
h
I'
';O+II-YO
= 1m ----_
II
h-O.
· -=
YJi
= Iun
h-O·
II
I'1m -_00
1
h-O.
['(~) = lim
YJi
.
Como 0 limite nao 'existe, 0 domfnio de reo
conjunlo dos
inteiros reais positivos. 0 ultimo limite mostra que 0 gr:lfico de
f tem tangente vertical (0 eixo-y) no ponto (0, 0).
x-a
[(x) - [(a)
x-a
escrever
f(x) em uma forma que contenha
[f(x) - f(a)] / (x - a) como segue desde que x;< a:
Podemos
f(x)
= f(x)
- f(a) (x - a) + f(a)
x-a
lim f(x) = lim f(x) - f(a)
x-a
x-a
x-a
. lim (x - a) + Iim f(a)
x-a
.(-a
reO)
A Figura 3.17 da 0 grafico de f. Podernos provar que
nao
existe mostrando que as derivadas 11 direita e 11 esquerda SaD
diferentes. Utilizando os limites da Defini«;ao (3.8) com a = 0 e
b = 0, temos
· f(O+h)-[(O)
Ilm
h-O·
h
Tm f(0+h)-1(0)
. 1 _
h-O
Assim
h
10+111-101
= I'1m --~~Ji-o.
h
.
Ih'
h-O.
h
= Ilm l.!.!J
Utilizando limites laterais, pod em as estender 0 Teoreina
(3.11}"a fun«;oes que SaDdiferenciaveis em urn intervalo fechado.
=1
o
~rocesso de dete~ina«;iio de uma derivada por meio da
Defmi«;iio (3.5) pode ser cansativo se f(x) e uma expressao
complicada. Felizmente, e posslvel estabelecer formulas e rcgras
gerais que nos permitem achar ['(x) sem rccorrer a limites .
. r
10+111-101
r ill
= Im_
h
= 1m 11' =-1
h-O
h-O·
x
reO) nao existe e f nao e diferenciavel em O.
Note que 0 grafico de y = Ix I (Figura 3.17) tern urn ponto
anguloso em P(O, 0) e, por conseguinte, nao tern tangente ai.
A fun«;ao f no Exemplo 4 e continua em x = 0 (veja
Exemplo 1 da Se«;ao 2.5); entretanto,
nao existe. Assim,
nem toda fum;ao contfnua e diferencidve/. Em contraposi«;ao,
o pr6ximo teorema rnostra que tada fum;ao diferencidve/
continua.
reO)
e
Derivada de uma fUn/;ao
linear (3.12)
Se f e uma fun«;iio linear, entao f(x) = mx + b para reais
m e b. 0 grafico de f e a reta de coefi.ciente angular 111 e
intercepto-y b (veja a Figura 3.18). Como indicado na Figura, a
tangente / .em urn ponto P Coincide com 0 gra.fico de f e,
conseqiientemente, tern coeficiente angular 111. Asslm, par (I) de
(3.7), ['(x) = m para todo x. Pode-se provar isto diretamentc da
Defini«;ao (3.5). Ternos assim a seguinte regra.
I I II
I 1//1
Se 11 e negalivo ex •• 0, podeinos 'entao fazer
positivo, ASsiin . -.• -....
- -._,' . _ ..
t( I rf
It/lit
lima
(3.13)
(
f'(x) = lirnX+
o resultado precedente e tambem evidente no grafico,
porque 0 grafico de uma fum;ao constanle e uma reta horizontal
que tern coeficiente angular O.
h-O
A ilustra~ao que segue da alguns casos especiais de (3.12)
e (3.13).
J)'k
/I a -;k,
k
Ir
Como anteriormente, utilizando 0 teorema binomial para desen. volver'(x + h)\ simplificando e tom an do 0 limite, obtemos
ILUSTRA<;Ao
~},I t. ,.
J~x.) , 3x-7
,J:(x) ,
-4x+2
3
7x
-4
x
7
13
0
1
Vto
112
Se /I a 0 ex"
0
0
0, a regra da pOlencia ainda
neste caso f(x) =xo = 1 e, par (3.13), f'(x)
-"
.-',..
i
11· ~
' .•
".i:"(~:j'<'~'
:f(iY r .x3
:,:Seja.II"\inteiro.
'
~:~"
:~e.!(x) =.X', entao f'(x) =,Jo.1, desde que
,')(;"0 qiian'do'll;;O":;"'U"':'~" ~,:" ... ':,~',.:., ':."
-0;"
"
.:~'
..'~~~,i,:
;
x4
f~P~~:T"~~:'
f~(x) 2x 3r 4x3
..
'.-'.'"
"
·x1OO
,,',
.
10Qx'J9
x·1 =
(-1).r2
1
x
x·2 =
1
=-?
,,~o
h) -
Ir
fu2
se f(x) =xt/",
r'yn+1L\"n-JIJ+~)..n-2h2+ 1\
(x + h)" pelo
/1(/1-
I
•
!In.
h-U
-10x-1l
x
10
=- XII
entao
f'(x)=.!.x(l/nl.t
11
h
Se /I e urn inteiro positivo, podemos desenvolver
teorema binomial, oblendo
f(x)=
2
-?
1
= 10
I
= lim (x+h)"-x"
,,~o
x'lO
Podemos estender a regra da potencia ao caso de expoentes
racionais, Em particular, no Apendice 11mostraremos que; para
todo inteiro positivo /I,
Pela Defini~iio (3.5),
= lim f(x+
1
?
_2x.3 =
DEMONSTRA9AO
f'(x)
e valida, pois,
= 0 = 0 .xO-l.
A proxima ilustra~iio da alguns casos especiais da regra da
potencia.
'
Muilas expressiies algebricas contem uma variavel x elevada a uma potencia 11.0 proximo rcsuitado, chamado regra da
palellcia, constitui uma formula simples para achar a derivada
quando .II e intciro.
••.
+llxhn-1+""]_xri
. '.
desde que essas expressiies sejam definidas. Aplicando regras
demonslradas nas Se~iies 3.3 e 3.4, podemos entao moslrar que,
para qualquer numero racional mIll,
sef(x)=x",/",
entao
f'(x)=!!!.x(mlnl.l
11
-----------------'--h
No Capilulo 7 provaremos que a regra da pOlencia c valida
para lodo numero realn, A iluslra~ao seguinle da alguns casos
especiais da regra da polencia para expoenles racionais.
Como cad a lermo denlro dos colchctes,
contem uma polencia de h, vemos que
exceto
0
rex) = Izx" -I.
primeiro,
.
,.~:.~~~~'~;~.:
•.:
..'
-k
-x
I
;~'~
Justificaremos a nota"ao dy/dx na Se~ao 3.5, onde se define 0
conceito de diferencial.
f(x)
A proxima
!x-1/2 __ 1_
2
-2£
2
3
2
3 \IX
ilustra~ao apresenta alguns exemplos
da utili-
za"ao de (3.16) e (3.15).
ILUSTRAGAo
-x-I13=-3F
~XI/4=~
4
1
1
-113
- 3x
Xl/3 =X
4
--413
3 -5/2
-Zx
VX
1
= - 3X4/3
3
=-7jX1T2
Com 0 mesmo lipo de demonslra"ao usado para a regra da
potencia, podemos provar, para qualquer real c.
Em palavras, para diferenciar
cienle c pelo expoell/e II e reduzimos
Concluiremos
para a derivada.
D, ( ~ 1l2) = ( ~. 12)/11 = 6/11
~ (4x312) = (4. %lx1/2 = 6x1/2
Note
que em (3.16), DxY'
cX', mulliplicamos 0 coefide uma ullidade.
nota"oes adicionais
Ex
dx
Dx(x3)]
x-s
=
D (9X4/3)]
Dxf(x)';'i!.-
f(x) = Jim [(HII) - f(x)
dx
II
h-O
A letra x em Dx e dldx denota a variavel independente. Se
utilizarmos outra vari<ivel independente, digamos I, escreveremos
f(l) = D f(l)
I
= i!- f(/)
dl
Cada urn dos sfmbolos Dx e dldx e chamado operador
diferencial.
Isoladamente, Dx ou dldx nao tern significa"ao
pratica; seguidos de uma expressao 11 direita, entretanto, denotam
uma derivada. Dizemos que Dx ou dldx opera sobre a expressao,
e chamamos DxY ou dyldx a derivada de y em rela~ao a x.
y' e dyldx sao sfmbolos
da
1 ,[D~],_ •. [~1
ou
dx
x-a
[
Todas essas nota~oes sao usadas na matematica e aplica"oes e 0 estudanle deve familiarizar-se com as diferentes formas.
Assim e que, agora, podemos escrever
8
r
derivada de y em rela~ao ax. Se quisermos indicar 0 valor da
derivada DxY, y' ou dyldx para algum numero x = a, costumamos
utilizar urn colchete simples ou duplo, escrevendo
0 expoellle
esta se"ao introduzindo
=.-
d
_ (2r--4) = 2(-4)r-5
dr
x
x-8
3x2]
x-a
2
x-s
=3(5 )=75
= 12(81/3) = 24
= [12l:1131.
.. x-8
Podemos tamMm considerar derivadas de derivadas. Especificamente, se diferenciamos uma fun"ao f, obtemos outra
fun"ao f'. Se f' admite uma derivada, esta e denotada por f" (f
duas lillhas) e e chamada derivada segunda de f. Assi~
f"(x)
Conforme
= D.Jf'(x)]
indicado,
= D,
usa-se
derivada segunda. A derivada
derivada segunda. Assim
0
[D,f(X»] = D; f(x)
operador
terceira
sfmbolo
D; para a·
f''' de f e a derivada da
De modo geral, se Il e urn numero inteiro positivo, cnlfio
f (n) den"ota a derivada de ordem 11 de f, e se obtem partindo
de f e difcrcnciando sucessivamente Il vczcs. Em nota~ao de
operador, f (n)(x) = D~ f(x}.
f (n)(x).Resumimos
derivadas
0 inteiro Il e a ordem de dcrivadll
a seguir as diversas nota,,6cs usadas pam
de ordem superior, com y = f(x).
II pnrn
NIIIII
"/'
f
I/lr
derlvadas
18 Se y;;' 3x + 5,determine
(3.17)
') fl.:;j
,I
.
- •.
,:"-,.,:
D~ y. '
••
19 Se y = -4x + 7, determine,
tb.
4
20 Se z = 64
a
Exercs. 33-36: Use derivadas
direita e 11 esquer,la
para provar que f nao e. diferenciliveJ em a ..
•
dx3'
33 f(x)=lx-51;
d2z
34
'fI3, determine dii .
fix) = Ix + 21;
35 fIx)
, EXEMPLO 5.'.;
:',
Ache as qualm ~rimeiras derivadas de f(x) = 4x 3/2.
Exercs. 21-22:
Explique.'
f e diferenciavel
..
no intervalo
.
=1/x
(a) [0,2]
(b) [I, 3]
, (a) [-1, I]
(b) [-2, -1]
21 fIx)
11
'.
dado?
V'x
.1
Exercs. 23-24: Utilize 0 grMico de f para determinar
se f .d,iferenciiivel no intervaJo dado.
Aplicamos (3.15) qualro vezes:
rex) = (4. Ox
l12
,f"(x)
c
= 6xl/2
23f(x)="'4-x
= (6.~)x -112 = 3x-1/2
F"(x)'= 3(- ~)x·3/2
= _ ~ X·312
2~f(~) .~";4 -
.102
..
(a) [0,4)
(b) [-5, 0]
(a) [-2,2)
(b) [-1,1]
28 j(x)
';:X1/4
27 f(x) =x215
= 5x3/2
30 f(x) = 7x1/3
Exercs. 31-32: Estime
quando existirem.
II. II
• 1·4: (a) Use II Defini~ao
(3.5) para achar
(It IHcrmine
0 dominio de f. (c) Escreva a
I'IIII.~II till IlIllgellle ao grafico de f no ponlo P. (d)
lit 11'"111111: liS plllllOS do grMico em que a tangente
hlll/lllltlli.
7 fIx) = 37;
P(O, 37)
8 fIx) = rc2;
P(5.rc2)
9 fIx) = 1/ x3;
P(2,t)
P(-I, -11)
10 f(x)
= 1 / xl;
P(I,I)
P(2,4)
11 f(x)
= 4x 1/4;
P(81,12)
\ HI) - ,'1'1 x;
P{1,2)
12 fIx) = 12~1/3;
I / ( I ) - \ I - 4x;
P(2, 0)
f(-I), 1'(1), f'(2),
2x
37 fIx) = {x2
de f para determinar
se x"O
se x> 0
38 fix) = {x22~- I se X" 1
se x> I
X2
f(x) =X5/3
29 fIx)
36 f(x) = [Ix)) - 2 ;
39 f(x)
Exercs. 25-30: Determine
se f tern (a) tangente
vertica( em (0,0) e (b) ponto de reversao em (0,0).
25 f(x)':'xI/326
[Ix - 2]) ;
Exercs. 37-40: Use 0 grMico
o dominio de f'.
: •..•. ; ""
22 f(x)';
=
= { ~n3
se x<-1
se x>:-I
2
40 fix) = {x - 2 se x < 0
-3
se x>: 0
e
Exercs. 41-42: eada figura
0 grafico
de uma
fun~ao f. Esboce 0 gnlfico de I' e determine onde f
nao
diferenciavel.
..
e
e f'(3)
/,(.)
e
H') _. ',,2 .• 8.<+ 2;
/(,)-.1'
-2x-4;
~·12: (a) lIse (3.12) a (3.15) para achar
(I.) I) 'lcI'IlI;ne 0 domin;o de f. (c) Escreva a
I'IIII'~II till I m!lClllc ao gnlfico de f em P. (d)
III1
11(' ."
"Ollios em que a tangente
horizontal.
.' ~l\l'~.
"~(I)
'"1
(I
e
13 H~)=3x6
14 fIx)
= 6x4
15 fIx)
=9
Exercs. 43-44: Dada a fun~ao posi~ao s de urn
ponto P em movimento sobre uma reI a coordenada I, determine os inslantes em que a velocidadc
tern 0 valor k.
«;i
/(1)-'11-2;
P(3,25)
16 fIx) = 3x 7/3
I I) -
P(-2.11)
17 Se z = 25t 915, determine
41"13;
P(-27, -36)
43 srI) = 3t 213;
k=4
44 sit) = 4t 3;
k = 300
D~ z.
45 A rela,ao entre a temperaturaFna escala Fahrenheit e a temperatura C na escala Celsius e dada
por C = % (F - 32). Determine a taxa de varia,ao
(c) Se [(x) = 1 / x2, use a formula de aproxima••ao para estimar f(l) com il = 0,1, 0,01 e
O,OOL
de F em rela••ao a C.
(d) Determine 0 valor exato de ['(1).
46 A lei de Charles para os gases afirma que se a
pressao permanece constante, enlao a rela••ao
entre 0 volume V que urn gas ocupa e sua
temperatura
T (em
·C»
e dada por
V = Vo (1 +
1). Determine a taxa de varia••ao
52 Use a formula de aproxima ••ao do Exercicio 51
para mostrar que se il - 0, entao
["(a) _ [(a + il) - 2[~) + f(a - il)
il
2h
de T em rela••ao a V.
(b) Se [(x) = 1 / x2, use a parte (a) para estimar
f"(l) co~ h = 0,1; 0,01 e 0,001.
47 Mostre que a taxa de varia ••ao do volume de uma
esfera em rela••ao ao seu raio e numericamente
igual it area da esfera.
48 Mostre que a taxa de varia,ao 'do raio de urn
cfrculo em rela••ao it sua circunferencia e independente do tamanho do cfrculo.
ciaveis, c, III e b sac numeros reais e /I e urn numero racional.
As tres primeiras partes do teorema seguinte foram demonstradas
na Seliao 3.2 e sac reenunciadas aqui por uma queslao de
complelude.
(i) Dxc=O
",
(ii) Dx (mx + b) = Ill'
_,'
.. - "ll
'~M'
.';'
_/
.'.1
r
oSlre que h ~o
,_
[(a + il) - f(a - ill
2il
.•..••:'.
,,"'"
g(x)] = D. f(x) - D. g(x)
19 Exercs. 53-54: Use a tabela seguinte, que da 0
numero aproximado de metros s(t) que urn carro
percorre em t segundos para atingir uma velocidade
de 90 km/h em 6 segundos
DEMONSTRA<;Ao
(iv)
Aplicando a cf(x)
c
D. [ f( x )] =
a definiliao de derivada,
r
iI
= lim c f(x + i1) - f(x)
h-O
iI
.
f(x+ i1) - [(x)
I
"-0
I
= c lun
54 Use 0 Exercicio 52 para aproximar a taxa de
varia ••ao da velocidade do carro em rela,ao a t em
=cD.f(x)
(v)
= Ix5 ..:2x4 + 3x3 - x + 11
no intervalo [-1,1) e estime onde f nao e
diferenciavel.
19 55 Fa,a 0 grafico de f(x)
Aplicando a f(x) + g(x) a definiliao da derivada,
tcmos
. If(x+ i1) + g(x+ h)L:_
D [f(x) + g(x)] = hm
iI
x + ()J
x
h-O
= hm
h-O
19 56 Fa••a 0 gn\fico de f(x) = x4 - 3~ + 2x -1 no
intervalo [-1,3) e estime as coordenadas-x dos
pontos onde a tangente e horizontal.
[[(X+h)-[(X)
I
= Jim f(x+
h-O
['()
=
a
I
I
e aplicar (v) e (iv).
Esta SeliaO contem algumas regras gerais para calcular derivadas.·
Essas regras sac formuladas,em
lermos do operador diferencial
D x' onde Dx f(x) =
em que f e g denotam funl$oes diferen-
rex),
II
-8(')1
i1) - [(x) ~. lim8(o':.:I. i1)
"
[(x) - g(x) = f(x)
DE DIFERENCIA<;Ao
x+II
+
"·.Il
Podemos provar (vi) d~ maneira an~log"
3.3 TECNICAS
temos
cf(x + h) - cf(x)
/~o
.
(a) Interprete esta formula graficamente.
(b) M
,,_,_
','
(c) Determine 0 valor exato de f"(1).
50 Urn balao esferico esta sendo inflado. Determine
a taxa na qual seu volume V varia em rela••ao ao
raio r do balao para
h);, (a - il)
'
(vi)D.[f(x):-
53 Use 0 Exercfcio 51 para aproximar a velocidade
do carro em
f'(a) ~ f(a +
i., ," ;,~,~i 1"1
"(iv)D: [cf(x)] ';cD~f(X)
; (v)'px [f(x).+.8(~)] = D. f(x) + D. g(x)
49 Uma mancha de oleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa na qual a area A da superficie
da mancha varia em rela••ao ao raio r do cfrculo
para
51 Em algumas aplica ••oes, os valores funcionais
f(x) pod em ser conhe'"cidosapenas para alguns
valores de x, proximos de a. Em tais situa,oes,
f(a) costuma ser aproximada pela formula
..
(x") = /lx·-1,;,
(iii)D
-I-
(-J )g(x)
Oil
8(·1)
"
'Ilt
l) , I'll
V I
Utilizando 0 operador diferencial d/dx em lugar de D ' as
x
regras do Teorema (3.18) tomam as seguinles form as:
d ..
d
dxc=O
dx(mx+b)=m
-
d
dx
!!Y- =!!... (fu213) _.!f. (4x"12)
dx
dx
dx
d
dx
As partes (v) e (vi) do Teorema (3.18) podem ser enunciadas como segue:
A derivada de lima soma
_ 4X-112
[cf(x)] = c -- f(x)
d
d
d
dx [f(x) ± g(x)] = dx f(x) ± dx g(x)
(v)
y = full3
Para achar 0 coeficiente angular da tangente em P(I, 2), calculamos dy/dx em x
I:
=
e a soma das derivadas.
(vi) A derivada de lima diferelll:;a
e a diferell~a das derivadas.
Estes resultados pod em ser estendidos a somas ou diferen<;asde urn numero arbitrario de fun<;6es. Como urn polinomio e
uma soma de term os da forma cx", onde c e urn numero real e
n urn inteiro nao-negativo, podemos utilizar resultados sobre
somas e diferen~as para obler a derivada, con forme iluslrado no
exemplo seguinle.
Utilizando a forma ponto-coeficiente
escrever a equa~ao da tangente como
angular,
podemos
y - :2 = 6(x - 1), ou 6x - Y = 4
e
As formulas para derivadas de produtos e quocientes sac
mais complicadas do que as formulas para somas e diferen<;as.
Em particular, a derivada de lIIn prodllto nao igllal ao prodllto
das derivadas. Jlustremo-Io com 0 produto x2 .x5:
e
D (x2.x')=D (x7)=7X'
D (J..2).D (x5) = (2x). (Sx4) = lOx'
x D ();x5);"D (X2-).D)x5)
x
x
A derivada de qualquer produto f(x) g(x) pode expressar-se
em termos das derivadas de f(x) e g(x) conforme a regra abaixo.
DEMONSTRAC;Ao
Determine a equaC;ao da tangente ao grafico de
Sejay = f(x)g(x). Aplicando a defini~ao de derivada, escrevemos
3
y=6N--
4
em P(J,2)
Vi
Expressamos primeiro y em termos de expoenles racionais e, em
seguida, calculamos dy / de
.
DxY = hm
f(x + II) g(x + II) - f(x) g(x)
II
h-O
Para mudar a forma do quociente, de modo que 0 limite possa
ser calculado, subtraimos e adicionamos ao numerador a expressac f(x + II) g(x). Assim
D Y = Jim f(x+
.r
h)g(x
+hhJ(x
+ f(x +h)g(x)-
+h)/:(x)
h-O
SOLU<;AO
f(x)g(x)
II
[f( x+ I)
·
= I1m
"-0
I·
g(x + h) - g(x)
.
Pela regra do produto (3.19),
(a)
(
+gx).--
f(x +h) - f(x)
f'(x)
__
(f(X + 11) . Jim g(x +,11)- g(x) + Jim g(x). Jim f(x+ II) - ftx).
= Jim
h-O
II
11-0
=X113
Dx (r - 3x + 2) + (x2 - 3x + 2)Dx (x 113)
=XI13
(2x - 3) + (r- 3x + 2) (~X-2I3)
II
h
It-O
II
h-O
3x(2t - 3) + (r - 3x + 2)
Como f e diferenciavel
em x, e continua em x (veja
Teorema 3.11). Logo, lim f(x + Il) = f(x). Outrossim, Jim g(x)
h-O
= g(x), pois x
3x2l3
h-O
e fixo neste processo
de limite. Finalmente,
a definic;ao da derivada a f(x) e g(x), obtemos
aplicando
(b)
DxY = f(x) g'(x) + g(x) f'(x).
A tangenle ao grafico de f e horizontal se seu coeficiente
angular e zero. Fazendo f'(x) = 0 e aplicando a formula
quadratica, obtemos
A regra do produlo pode ser enunciada como segue: A
derivada de um prodllto e igllal aDprimeiro fator vezes a derivada
do segundo fator, mais 0 segllndo fator vezes a derivada do
primeiro.
X
12±Vf44=56
2
Vemos que
0
= 12±v'88 =6+Y22
2-
denominador
3x 213
de
f'(x)
e zero em
x = O. Como f e continua em 0 e Jim If'{x) I = co, segue-se da
x-o
Definic;ao (3.9) que 0 grafico de f tem uma tangente vertical em
x = 0, islo e, no ponio (0,0) (a origem).
Obteremos a seguir uma f6rmula para a derivada de
urn quociente. Note que a derivada de um qllociente nlio
igual 00 quociente das derivadas. Ilustramos este fato com 0
a regra do Produto (3.19), temos
Utilizando
e
DxY = (.0 + 1) Dx (U + 8x - 5) + (:b.2 + 8x - 5) D (.0 + 1)
x
quociente
= (x3+ 1)(4x + 8) + (2x2 + 8x - 5)(3x2)
4
= (4x
x?/i:
+ 8x3 + 4x + 8) + (&4 + 24x3 _ 15x2)
= lOx4 + 32x3 - 15x2 + 4x + 8
Se f(x)
= X 113(r
- 3x + 2), determine
(a)
f'(x)
(b)
a coordenada-x
dos pontos
horizontal ou vertical.
em que a langente
de f
e
A derivada de qualquer quociente f(x) / g(x) pode expr 'ssar-se em termos das derivadas de f(x) e g(x) de acordo c 111 n
seguinte regra:
DEMONSTRAl;AO
4x" + 14x - 5
(4r+5)
Seja y = f(x) / g(x). Pel a defini<;ao de derivada,
f(Hh)
fu2
g(x + h) - g(x)
DxY= Jim
h
Fazendo f(x) = 1 na regra do quociente (3.20), entao, como
D x( 1) = 0, obtemos a seguinte regra recfproca:
h-O
=
lim g(x)f(x + h) - f(x)g(x + h)
hg(x + h)g(x)
. [ 1]
h-O
Sublraindo e somando g(x)f(x)
quociente, obtemos
D
xY
= lim
h-O
= lim
.
h-
g(x)f(x + h) - g(x)f(x) + g(x)fN-:1(x)g(x
hg(x + h)g(x)
·1
+'2 - f(x) ] _ f(x) [ g(x +'~)- g1:!2]
1
DX3r-5x+4
_
e do denominador,
=-
t!Y..
se y =
3.~-x+2
(Lt
Pela regra do quociente
t!Y.. _ (4.~ + 5)Dpr
I
I
I
I
I
I
[
[
-x + 2) - (3.\2 -x + 2)Dx(4.~ + 5)
(4.\2+5)(6x-l)
- (3r -x+
2)(8x)
(4.\2 + 5)"
(24x
3
-
=f'g~fg'
g-.
I
I
I
I
I
l-f ..•••..
J-~
I
I
Concluiremos
regra do quociente.
esta se<;ao com urna aplica<;ao que utiliza a
k---q----....
Figura 3.19
(4r+5)
lit -
I
I
I
I
e (;)'
Pode ser util memorizar estas formulas. Para obter a regra do
quociente, basta trocar 0 sinal + pelo sinal - na formula de
(fg)', e dividir por
7
4r+5
(3.20),
Dp.~- 5x + 4)
6x _ 5
(3x"-5x+4)"
=- (3r-5x+4)2
Utilizando esta nota<;ao para as regras do produto e do quociente e ao mesmo tempo comutando alguns dos fatores que
aparecem em (3.19) e (3.20), obtemos
(fg)'=f'g+fg'
.
1
r
a
obtemos a
A regra do quociente pode ser enunciada como segue: A
derivada de um quociente e igua' ao dellomillador mllltiplicado
pe/a derivada do llumerador, menos a numerador mllltiplicado
pela derivada do denominador, tudo dividido pelo qlladrado do
denominador.
DetermIne.1.
D)g) .
[g(x)F
As formulas de diferencia<;ao em (3.18) estao enunciadas
em termos dos valores funcionais f(x) e g(x). Se quisermos
formular tais regras sem referencia
variavel x, podemos
escrever
g(x + h)g(x)
Tomando 0 limite do numerador
regra do qUociente.
D)x)
D -=---=-., X
(X)2
g(x) [ f(x
h- 0
=-
+ h)
+ h) - f(x)] - .t<:ill8i.x + h) - gM
hg(x + h)g(x)
-------.-------
Dx g(x)
do Ultimo
Mrf(x
0
= Jim
ao numerador
4.~ + 30x - 5) - (24x) (4r + 5)2
sr + 16x)
A Figura 3.19 exibe urna lente convexa de distiincia focal f. Se
urn objeto esta a distancia p da lente, entao a distiincia q da lcnlc
iJ imagem esta relacionada com p e f pel a eqllac;iio da lelltc
'-11..
(a)
uma formula gem P,:UO a taxa de varia~o de q em relac;ao a p.
(b)
a taxa de varial$iio de q em relal$iio apse
Lj.L
, '" '1
'6&
'f
(a)
17h(z)Q~
.J'lJc
D
=
pq
--
OU
l=.Ll=~
q2p
(P-2)D
(2p)-(2p)D
p
-4
Cj- ..••.-
~:o,~
= (p _ 2)2
.1 "i-
f"
• ~)
F=~
18 f(w)-
2w
w3-7
u3 -1
19 G (u) Q u3 + 1
20 f(l) _
8/ + 15
/2_2/+3
(P- 2)2
(P-2)
p
:::~;
::ti~~
:~:t
~2-:~~
"b"moo
1
23 f(x) = 1 + x + x2 + x3
24 p(x) " 1 +
7
25 h(x) = x2 + 5
6
26 k(z) Q z2 + Z _ 1
27 F(I) " 12 + ~-
28 s(x)Q2x+"h
29 K(s) = (3s)-l
30 W(s) = (3S)4
31 hex) Q (5x - 4)2
32 Sew) = (2w + 1)3
33 g(r) = (5r - 4)-2
34 Sex) = (3x + 1)-2
do grafico de y - x3 + 2x2 - 4x + 5 em que
tangente e
3/(51)-1
35 ft.1) - (2//2) + 7
4/ Z2
36 N(z) - (3/ z) + 2
(a) horizontal, (b) paraleJa 11reta 2y + 8x
x1 + Xi1 + Xi1
1
h(z)=8z3/2
10 hex) = x 213 (3x2 - 2x + 5)
3
f(;) = 15 - s + 4s2 - 5s4
11 her) = r2(3r 4 - 7r + 2)
5 f(x)=3x2+
U
6 g(x)=x4-
~
= 3x + 4
x+ 1
52
y
_ x+3
2x+3
Exercicios 53-54: Determine a equa.,iio da tangenle
ao grafieo de f em P.
5
2;
+x
53 f(x) =-1
55 Determine as eoordenadas-x de todos os pontos
Q
II
5.
57 Ache os pontos do grafico de y = x 3/2 - x 1/2 el'll
que a tangente e paralela 11reta y - x = 3.
38 T(z) • 5z4 +~ - 2z
58 Ache os pontos do grafico de y _ x 5/ 3 -I- X I / •
em que a tangente e perpendicular h rell'
2y+x=7.
39 f(x) " Jx2 - 5x + 8
6''1 e:.. 6/-
41 Y = Zx3 - 3xl - 36x + 4
.-.'42 Y = 4x3 + 2lx2 - 24x + 11
Exercs. 59-60: Esboce 0 grafico da cqua.,fio e u·
termine as tangentes verticais.
.r
59 y = yx -4;
.t:;-"*? . 61 Urn baliio meteorol6gieo e solto e sobe ve,llclil
mente de modo que sua distaneia 5(/) UO $010
durante os 10 primeiros segundos de vl)o e " IIIiI
por s(l) = 6 + 21+ 12, na qual 5(/) e eOlllliuliell'
metros e I em segund05. Determine a v '10 'ldll,1!
do baliio quando
12 k(v) = v3(-2v3 + v - 3)
13 g(x) = (8x2 - 5x)(13x2 + 4)
14 H(z) = (zS - 2z3)(7z2 + z -,8)
7 .g'(~) = (x3 - 7)(2):2 + 3)
Y
56 Determine 0 ponto P do grafico de y = x em que
a tangente tern intereepto-x 4.
37 M(x) _ Zx3 - 7X\+ 4x + 3
x
Exeres. 41-44: Resolva a equa.,iio D.y = O.
2
51
3
40 h(l) " 31 + 2t
5
. 9 f(x)=xl12(x2+x-4)
R
22 f(x) " Zx2 _ 4x + 8
7
8 k(x) = (2x2 - 4x + 1)(6x - 5)
2x 3
+
50YQ
_21 g(J) = 31_ 5
5
4 fell Q 12 - 314 + 416
Exercicios 47-50: Calcule dy / dx (a) utilizando a
regra do quoeiente, (b) a regra do produto e (c)
simplificando algebriearnente e aplieando (3.18).
3x - 1
47 y=-2
/2
Assim, se
distancia da imagem q esta decrescendo
a taxa de Ii;; cm por centimetro de varial$iio em p.
1 ge,) = 6/5/3
11
YX
2p
(P - 2)(2) - (2p)(1)
(P _ 2)2
1f.{ Cr
-1-.2.J
8-z+3z2
"W
q = 2.P...p-2
.:JCj
3{;
Bx2-6x+
x-1
x
Por (3.7)(ii), a taxa de varial$iio de q em relal$iio ape dada
pela derivada Dpq. Se f = 2, entiio a equal$iio da lente da
1 1 1
-=-+-,
2 p q
Q.
16 h(x) =
p = 22 cm.
SOLu<;Ao.
1/ -:16'
.
4x-5
15 f(x) " 3x + 2
45 Y = ~
+ 24x3 - 540xl + 7
46 y=6xS-5x'-3Ox3+
1lx
(b) no instanle em que 0 balfio eSl6 II I) III
do solo.
1111
62 Uma bola desee urn plano inc\inudu UO 11111\111
ill1
a distiincia (em) qllc cia pereo",o '111( II'tllllldll
I
fI, "I,. I "III f hlllUlrlll1l
AIl(t!ftica
Cal'. 3
----------------------Exercs.
67-70: Se f e g sao fun~6es tais que
f(2) = 3, f '(2) = -1, g(2) = -5 e g '(2) = 2, calcule
a
1111 I II I. II II ItII II vI'I"ddnde
lit! I III Ijlll
"lllille
da bola em 1=2.
n velocidade
C 30 cm/s?
expressao.
(b) (f - g)'(2)
(c) (41) '(2)
(d) (fg)'(2)
(e) (JIg)'(2)
(0 (I1J)'(2)
I) '(2)
(c) (4g) '(2)
(c) (gg)'(2)
(d) (fJ) '(2)
1=0 e 1=2. Qual e a taxa de fluxo quando
volume
11.250 m3?
r(2)
(_J_
(d)
;;2 a+ x2;
e
use a rcgra
do
+ f(x)g '(x)h(x) + f '(x)g(x)h(x)
Como corolario,
fa~a f - g = h para provar que
de quatro fun~6es
I, f{l,
de 1'(1) do que 0 eoeficienle
ma,ao
angular
de 11 .
1£]82 (a) Se f(x) _x2/3
+ 1, aproxime f '(0) usando
Exercicio 51 da Se,ao 3.2 com h ~ 0,1.
= f(x)g(x)h'(x)
72 ESlenda 0 Exereicio
C (I,
12 por (0,9, f(O, 9) e (I, 1».
(c) Determine f '(1) e explique por que 0 eoefidenle angular de 12 constilui melhor aproxi-
)'(2)
f+g
71 Se f, g c h sao diferenciaveis,
produto para provar que
pea, a/2)
I), e a secante
79 Joga-se uma pedra em uma piscina, ocasionando
ondas circulares conecDlricas. Se, ap6s I segundos, 0 raio de uma das ondas
401 em, ache a
taxa de varia~ao, em rela~ao a I, da area do cireulo
causado pel a onda quando
(b) (5/g)'(2)
(c) (61)'(2)
y - f(x), a secante 11' por (I, f(l»
0
e
D .•U(x)g(x)h(x)]
J
y.
rela~ao ao
reservatorio.
(~) ( f ~ g
70 (a) (3f - 2g)'(2)
e
tempo
a laxa de 111«0 para 0
Ache a taxa de fluxo nos instantes
(b) (glf)'(2)
(b) (5f + 3g) '(2)
69 (a) (2f - g)'(2)
I' •• ". I. \ M I I) "oNe" eq"a~ao de uma curva chisI. I' • NI" HI 111'0 p"rll conslantes positivas a e b.
(I ""~I,III II KIWI c1' II. 'omelria analitica para mais
,It Iitlill .) I )nl,·, lid" . 0 coefieiente angular da tanII lit. 111'1"11110 I'.
[£]81 (a) Se fix) -x3 - 2t + 2, aproxime !'(I) ulilizando 0 Exercieio
51 ua Se<;iio 3.2 com
h - 0,1.
e
67 (a) (f + g);(2),
68 (a) (g -
78 0 volume V (em m3) de agua em urn pequeno
reservatorio durante 0 de!\jlo da primavera
dado
por V = 5000 (t + 1) para I em meses e
0" I ,,3. A taxa de varia,ao do volume em
80 A lei de Boyle para os gases conflIlados aflffi1a
que se a temperatura permanece coostante, entao
pu = C, onde pea pressao, \J 0 volume e c uma
constante. Suponha que no instante I (minutos) a
pressao
seja 20 + 21 em de mereurio
para
0"
I "
10. Se 0 volume
(b) Grafe
varia
sislema
de coordenadas:
y - fix), a secante por (0, f(O» e (0,1, f(OI»
e a secante por (-D,I, f(-D,I»
e (0,1, f(O,I».
(c) Por que razao os coeficientes
angulares das
secantes em (b) nao constituem uma aproxima,ao de f 'CO)?
e de 60 cm3 em I = 0,
determine
a taxa na qual 0 volume
rela,ao a I quando 1,= 5.
no mesmo
0
em
71 11 derivada de urn produlo
e cstabele~a
uma formula para
Dx [J(x)]4.
Exercs.
abx
)' = ~ + x2'
.
pea, b!'2)
73-76:
71 para achar dy/rLt ..
Use 0 Exercicio
Para obter
74 y = (3x4 - lOx2 + 8)(2t2
e necessario
-
10)(6.<+ 7)
77 Ao scr inflado
em)
apos
para
primeiro
derivadas
provar
que nos referirmos
envolvendo
sen
represenla
de funt;oes
varios
a limites
trigonometricas,
resultados
sobre
de expressoes
e, cos t, tg x etc., slIporemos
a medida
limites.
trigonomeqlle cada
de urn ling 1110em radianos
all II/n
urn balao esferico, seu raio r (em
I minetos
e dado por r = 3 ij( para
o "I " 10. Ache a laxa de varia,ao em rela~ao a
I = 8:
(b) do volume
Denotemos
(el a area da superffcie
S do baliio
e urn angulo
de coordenadasretangulares
unitario
Una Figura 3.20. De acordo
e co-seno,
0, sen 8). Parece
V do baHio
por
sistema
seno
(a) do raio r
II (,(,: I )elc'lIIi"c as eqlla~6es das retas por
1'111111',/1111'"
III't:,Mk" da equa~ao.
tricas
formulas
1lI1mera real.
I quando
I _",.,
Sempre
variavel
76 y = 4x(x - 1)(2t - 3)
~
DE FUNc;OES TRIGONOMETRICAS
73 y = (8x - 1)(x2 + 4x + 7)(x3 - 5)
75 Y = x(2t3 - 5x - 1)(6.<2 + 7)
~-x
3.4 DERIVADAS
Islo sugere
as coordenadas
que se
0 seguinte
na posi<;ao
em
urn
0 cfrculo
com a defini<;ao
das fun<;oes
do ponto
P sao (cos
0 e cos 0 - 1.
indicado
e - 0, entao sen 0 -
tcorema.
padrao
e consideremos
Como Jim e = 0 e Jim 0 ~ 0, segue-se do Teorema
0-0-
(2.15)
0-0-
que Hm sen e = o.
0-0-
(ii)
vI -
Como sen' e + cos2 e = 1, obtemos cos e = ±
sen! 8.
Se -1t/2<
8< 1t/2,
enliio
cose
e positivo
e
cos =
sen2 8. Consequentemente,
e vI -
Jim cos e = lim
0->1J
vI - sen:! e = v Jim (1 - sen:! 6)
0-0
0-0
Na Se<;ao 2.1 utilizamos uma calculadora e urn grafico para
estimar 0 limite do proximo teorema. Daremos agora uma
demonstra<;ao rigorosa.
, .' . Jim' sen II 1
=
II
0-0
DEMONSTRAc;Ao
..
Mostremos primeiro que lirn sen 6 = O. Se 0 < 0 < 1t /2,
(i)
0-0'
entao, referindo-nos
Se 0 < 6 < 1t/2, ternos a situa<;ao ilustrada na Figura 3.21,
onde U e urn circulo unitario. Note que
11Figura 3.20, vemos que
O<MP<
Ai",
MP = sen II
onde MP denota 0 comprirnento do segrnento de reta que
une MaP e Ai" denota 0 comprirnento do arco do circulo
entre A e P. Pela defini<;ao da rnedida em radianos de urn
lingulo (veja a Se~ao 1.3), Ai", eassirii a desiguaJdade
precedente podeser escrila
e
AQ = tg II
y
0< sen II < II
Como lirn e = 0 e Jim 0 = 0, segue-se
8-
o·
do Teorerna
(2.15)
0- 0+
que lim sen 0 = O.
0-0'
Para cornpJetar
limsenll=0.Se-1t/2<
,a-o-
a prova de (i), basta rnostrar que
II<O,entaoO<
-6<
1t/2 edafpela
"'f.. ~'.
Figura 3.21
, prirneira parte da prova
· Pela Figura, vem?s que
Utilizando a identidade trigonornetrica
e rnultiplicando por -1, vern
e < sen 0 < 0
sen (-6) = - sell e
.irea do.6AOP<
area do selorAOP<
area doL'.AOQ
Da geometria e pelo Teorema (US),
t
t
t
area do L'. AOP = bh = (I)(MP) = sen e,
• to, H/I' "fll'
U"III"I1I,
II AI/olftic"
Cap. 3
---------------------1 - cos 6
22,
1.- cos 0
1 .•.cos 0
--0-- = --0-- 'l~os
=! tg 6
do LlAOQ =! biz = !(l)(AQ)
0
I
Logo, a desigualdade
1 - cos2 6
precedenle pode escrever-se
a(l + cos 6)
~ sen 6 < ~ 6 < ~ tg 6.
sen2 6
sen 6
sen 6
=--.--6(1 + cos 6)
6
1 + cos 0
Ulilizando a identidade tg 6 = (sen 0) / (cos 0) e dividindo
por
t sen 6 chegamos as seguintes desigualdades equivalentes:
1<_0_<
sen 0
_1_
cos 0
sen 0
1> -0->
cosO
Jim 1 - cos
6
e. = Jim (sen 6 . ~en
6-0
6
l+cosO
0_06
)
- (Jim se'!..Q)
(lim ~)1 + cos 6
0
-
0- 0
0_ 0
sen 0
cos 0< -0- < 1
=1.(_0_)=1.0=0
1+ 1
A ultima desigualdade tambem IS verdadeira se -11; /2 < 0 < 0,
pois, iJeste caso, temos 0 < - 0 < 11;/2 e dai
cos (-0) <
sen (-6)
-0
< ~1
Usando as idenlidades cos( -0) = cos 0 e sen (-0) = -sen 0, obtemos novamente
cos 6<
sen 0
6-0
corre do Teorema (2.15).
Ulilizaremos
tamb€m
Derivada das fun90es
trigonometricas (3.25)
-0- < 1.
Como lim cos 0 = 1 e Jim 1 = 1, 0 enunciado do leorema de-
0-0
Podemos agora eSlabelecer as formulas constantes do
teorema seguinle no qual x denota wn nllmero real au a medida
em radiallos de wil angulo.
0 seguinle
resultado:
Aplicando a Definil;ao (3.5) com f(x) = sen x e usando a formula
de adil;ao para a funl;ao seno, oblemos
D
senx
x
r
= 1o~0
r
sen(x+h)-senx
h
(senx
r
cos/~+cosx
= h~O
.
= Jim senx
10-0
Fazendo 6 = 0 na expressao (1 - cos 0) / 6, obtemos 0/0. Logo,
devemos modificar a forma do quociente. Recordando, da
trigonometria, que 1 - cos2 e = sen' 6, multiplicamos 0 numerador e 0 denominador da expressao por 1 + cos 0 e simplificamos
enlao como segue:
=
Pelos Teoremas
Jim
1.-0
'
senh-senx
Iz
(cosh-1)+cosx
h
senh
. [ senx (COS
l~
--'-Ih -- 1 ) ...cosx (sen-hIz ) ]
(3.24) e (3.23)
(COS" - 1 ) = 0
"
. (sen
11m
--- h ) = 1,
h
1,-0
I-cosO
do lIAOQ =! bh = !(I)(AQ)
222
I-cosO
l+cosO
--0-- = --0-- 'l~os
=! tg 0
0
I
Logo, a desigualdade
precedente pode escrever-se
isen 0 < ~ 0 < ~ tg e.
sen2 0
sen 0
0(1 + cosO) =-0-'
Utilizando a identidade tg 0 = (sen 0) / (cos 0) e dividindo
por 4 sen e chegamos as scguintes desigualdades equivalentes:
1<_0_<
sen 0
_1_
cos 0
sen 0
1> -0->
cosO
cosO<
Conseqiienlemenle,
lim 1 - cos 0 = Jim (sen 0 . ~~
0
0-0
0
l+cosO
=
-0
Usando as idenlidades cost -0) = cos
temos novamente
cosO<
sen e
-0-<
e e sen (-0) = -sen 0, ob-
8-0
tambcm
0 seguinte
(!~o
1 :e~o~ 0 )
Podemos agora eSlabelecer as formulas constantes do
leorema seguinte no qual x denota um Ill/mero real Oil a medida
em radianos de III" angulo.
Derivada das fun90es
tr;gonometricas (3.25)
l.
corre do Teorema (2.15).
Utilizaremos
se~ 0 )
< -1
Como lim cos 0 = 1 e Jim 1 = 1, 0 enunciado do teorema de8-0
(J~o
=1.(_0_)=1.0=0
1+1
A ultima desigualdade tambem c verdadeira sc -n / 2 < 0 < 0,
pois, oeste caso, temos 0 < - 0 < n/2 e dai
sen (-0)
)
8-0
sen 0
-0< 1
cos (-0) <
sen 0
1 + cos 0
resultado:
Aplicando a Defini<;ao (3.5) <;om f(x) = sen x e usando a fomlUla
de adi<;ao para a fun<;ao seno, oblemos
r
D
x sen
x = " ~o
sen(x+h)-senx
h
· (senx
= Iun
r
cos h\+ cosx
'
h-O
= lim senx
"
(cosh-l)+cosx
h-O
a
Fazendo
= 0 na expressiio (1 - cos 0) / 0, obtemos 0/0. Logo,
devemos modificar a forma do quocicnte. Recordando, da
lrigonometria, que 1 - cos2 a = sen2 0, multiplicamos 0 numerador e 0 denominador da expressao por 1 + cos 0 e simplificamos
entao como segue:
=
Pelos Teoremas
senh
h
. [ senx (cas
1~0
--,-, h -- 1 ) + cosx (sen
-hh ) ]
(3.24) e (3.23)
lim (cas h - 1 ) = 0
h
',-0
'
sen h - senx
, (senlr)
11m
---/'-0
Ir
= 1,
senx
1
senx
= CDS2x = cos x cos x
=secx
Mostramos que a derivada da funltao seno IS a funltao
co-seno. De maneira analoga podemos obler a derivada da
funltao co-seno:
D cosx = Jim CDS (x + 11) - cosx
'.
.-0
x
.
cos x cos h - sen x sen 11- cos x
h
=
lim cosx(cosll-1)-senx
h
senh
1.-0.
I·
= h~
[ cosx
(COS
h - 1 ) -senx
--11--
(sen
-h- h ) ]
.
senx
Determme y' se y = 1 + cos x
= (cos x)(O) - (sen x)(1) = - sen X.
Assim, a derivada
seno.
da funltao co-seno
As demonslralt0eS das formulas para Dx col x e Dx csc x
ficam como exercicio.
Pod em os ulilizar (3.25) para obler indica<;oes sobre a
continuidade das funlt0es trigonometricas. Po'r exemplo, como
as fun<;oes seno e co-seno sao diferenciaveis para todo niimero
real, segue-se do Teorema (3.11) que essas fun<;oes sac conlinuas
em lodo ~. Quanlo 11tangenle, IS continua nos intervalos abertos
(-1t/2,
1t/2), (1t/2, 31t/2) etc., po is e diferenciavel em cada
ponto desses intervalos.
11
.-0
= )un
tgx
IS 0 Ilegativo
da funltao
Pela regra do quociente e por (3.25),
Para achar a derivada da funltao langente, partimos da
idenlidade fundamenlal Ig x = sen x / cas x e aplicamos a regra
do quociente como segue:
x (Dx CDS x)
cos x +
cos2 X
CDSX+
cos2 x
Dxcosx
cos2 X
-senx
= - cos2 X
+ sen2 x
1
(1 + COSX)2
cos2 X + sen2 x
1
2
cos2 X
= cos2 X = sec x
Para
a _ [unltao
secante,
escrevemos
secx = 1/ cos x e aplicamos a regra recfproca (3.21):
CDS2X
(1+cosx?
= cos x (CDS x) - sen x (- sen x)
=-
x?
(1 + cosx?
cos x (Dx sen x) -sen
(_1_)
'" cosx
(1 + CDsx)(D sen x) - (sen x)D (1 + cos x)
x (1 + cos
x
(1 + cos x)(cos x) - (sen x)(O - sen x)
D tgx =D (senx)
"'.
'" cosx
D",secx=D
y' =
1
=1+cosx
primeiro
Na solu<;ao do Exemplo 1 utilizamos a idenlidade fund,,me~tal cos x2 + sen2 x = 1. Esla e outras identidades lrigollllll'
tricas sac usadas freqlientemente para simplificar probl'llIl1s fill
envolvem derivadas de funlt0es trigonometricas.
I ~1l/11" "'/1111"(/1111,,11,, AllnI.~I(_Ic_/I_(_:/I~p_. 3
_
g'(x) = (sccx)(Dx tgx) + (tgx)(D
x
= (secx)(see2
x) + (tgx)(secx
sccx)
Os coeficientes angulares nos ponlos indicados cons lam da
seguinte tabela.
tgx)
= sec3 x + see x ti x
0
= sec x (sec2 x + tg2 x)
A expressao g'(x) pode ser escrita de varias outras maneiras. Por
exemplo, como
2
sec x = tg2 X + 1, ou tg2 X = sec2 x - 1,
1
.11:.
.11:.
3
2
1
0
2
2rt
3
re
-21
-1
(b)
A Figura 3.22 exibe a parte do griifico de y = sen x e das
tangentes referidas na parte (a).
(c)
Villa tangente e horizontal se seu coeficiente angular e zero.
Como 0 coeficiente angular da tangente no ponto (x, y) e
y', devernos resolver a equa<;ao
podemos escrever
Poderiamos aplicar a regra do produto como no Exemplo 2;
entretanto, e mais simples modificar primeiro a forma de y
utilizando identidades fundamentais como segue: .
e
1 cos
1
y = sec e cot e = --= -= csc e
cos e sen e sen e
Aplicando
(3.25) vern
Ex
= ~
csc e = -csc e cot e
dB de
y' = 0;
isto
e,
cosx
=0
Assim, a tangente e horizontal se x = ± re/ 2, x = ± 3re / 2,
e, de modo geral, se x = (re /2) + rell, para qualquer II inteiro
arbitrario.
(a)
Determine 0 coeficiente angular das tangentes ao griifico
de y = sen x nos pontos de coordenadas-x 0, re/3, re/2,2re/3
e re.
Se I e difereneiavel,
(b)
Esboce os grafico de y = sen x e das tangentes da parte (a).
(c)
Para quais valores de x a tangente
e horizontal?
SOLUl;Ao
(a)
0 coeficiente angular da tangente ao ponto (x, y) do grafico
da equa<;ao y = sen x e dado pela derivada de y' = cos x.
entao a rela 1I0rm01l elll urn ponto
p(a, I(a)) do griifico de I e a reta por P perpendicular a
tangente, conforme ilustrado na Figura 3.23. Se F(a) '" 0, entao,
por (1.9)(iii), 0 coeficiente angular dOl normal e -lIf'(a). Se
{(a) = 0, entao a tangente e horizonlal e, nesse casu, a normal
e vertical e tern por equa<;ao x = 1I.
•
Como f (4)(X) = sen x, segue-se que, se continuarmos
renciando, 0 padrao se repetira, isto e,
Determine a equa<;ao da normal do gn\fieo de y = tg x no ponto
P(n / 4,1); Hustre grafieamente.
f (5)(X) = cos X
f(7)(x)
/
Como y' = sec2 x, 0 coeficientb
e assim 0 coeficiente
= -cosx
f(6l(X)
dife-
= -senx
f (8l(X) = sen x
angular m da tangente em P e
angular da normal
e -1 / m = -1 /2.
Empregando a forma ponto-coefieiente
eserever a equa<;ao da normal como
angular, pod em os
Exeres. 29-30: Determine as equa<;6es da tangente
e da reta normal ao gratico de f em (1[/4, f(lt/4).
Exeres. 31-34: Vemos a seguir 0 grafteo da fun<;ao
f com dominio restrito. Determine os pontos em que
a tangente e horizontal.
7 f(8)
8g(a)_1-cosa
= sen 8
8
A Figura 3.24 da 0 grafico de y = tg x para -3n / 2 < x < 3n / 2
e da reta normal em P.
a
10 1'(r) = r2 see r
= 13 sen 1
.9 g(l)
11 f(x) = 2x cot x+x2
tgx
G
Quando estudarmos as series de Taylor no Capitulo 11,-·
teremos de calcular derivadas de diversas ordens das fun",6es.
No proximo exemplo veremos que, para a fun<;ao seno, eSsas
derivadas sao faceis de calcular.
13 "(z) = 1 - eos z
.
l+eosz
14R(';')=~
1- sen w
20 g(1) = cse 1 sen 1
so LUl;Ao
Aplicando
. f(x) =D, senx=
f"(x)
1 +r
22 "(8) ~ 1 + see 8
1 - see 8
23 k(u) = ese u
seeu
24 q(l) _ sen 1 see 1
21 f(x)=~
(3.25)
cosx
= D. cas x = - sen x
@g(X) = sent-x) + eos(-x)
r'(x) =D (- senx) = -D (senx)
.x
.
x
= - cosx
'.>
26 s(z) = Ig(-z) + see(-z)
27 H(cjJ) ~ (cot cjJ+ cse cjJ)(lgcjJ- sen cjJ)
28 f()
x
1 + see x
+ senx
= tgx
(a) as coordeoadas-x 'de todos os pontos do
grafico em que a tangente e perpendicular il
reta
1
\ )
y=-x+4
V3
(h) a equa,ao da tangente do grafico no ponto
em que este corta 0 eixo-y.
i
[9 39 Fa~a 0 graJico f(x) = 1 sen2 x - cos x sen ( nx)1
no intervalo 10,5] e estime onde f nao e diferenciavel.
1- 1-'---1---1--n
x
2
':'Nesta seC;ao introduzi~o;
notac;ao e terminologia adicionais que
serao us'adas em'problemas
envolvendo diferenciac;ao. A nova
notac;ao permitira encararmos dy/dx como urn quociente em lugar
:ap~nasum
simbolo para a derivada de y em relac;ao a
Utiliza~la-emos tamlJem para estirna.r variac;iies de quantidades.
:Ae
x.
!i ,Seja~.equac;ao
y = J(x), onde J e'uma func;ao.S~·a v~ri~~~I
xternUIn.
valoriIlicial
Xo e toma em seguida urn 'valor XI; a
diferenc;a x I - Xo e chamada
.tr'adiciomil
[9 40 Fa~a 0 grafico de f(x) = -16 ~2x
no inter-'
sen
-x
valo 10, 4] e estime as coordenadas-x dos ponlos
em que a tangente <- horizontal.
denotar :urn
incremento
incremento
de x. No ca!culo
de x pelo
simbolo
e
6x
(de~~a;j.Asslrri '
--;,)t
Exercs. 41-42: Urn pontoP em movirnento sobre
uma reta coordenada J tern a posi~ao s dada. Quando
e que sua velocidade <- igual a O?
Exercs. 43-44: Urn ponto P(x,y) se move da esquerda para a direila ao longo do grafico da equac;ao.
Quando e que a taxa de varia,ao de y em relac;ao a
x e igual ao mimero dado a?
43y=x312+2.,
I I I I I I Ii
I'
.\
I
!!
!!
4
2
x
a=8
45 (a) Ache as quatro primeiras
f(x) = cos x,
derivadas
de
, '0 grafico da Figura 3.25 ilustra urn casu em que ambos os
incrementos san positivos; todavia, 6x pode ser positivo ou
negativo, e /!"y pode positivo, negativo ou zero.
Nas aplicac;6es
numericamente.
6x e /!"y san em geral muito pcquenos
(h) Ache P""\x).
I >t'l' ~ I .llI: (n) Ache as coordenadas-x de todos
II. I"IIIIIIH,III 1'.'(,fico de f em que a tangenle <llilllllllllill (10) !:screva a equa~ao da langente ao
I ","
tll- I rIll J',
\ I( I) ~ , 1 ,,'OSX;
P(O, f(O»
HI I(I) ~ \ 1 ,,''''.r;
P(n /2, f(n /2))
46 Calcule f"(x)
se f(x) ~ cot x.
47 Calcule D~)' se y = tg x.
£I
48 Calcule dx3 e y = sec x.
(II) 1,Iilil',lis COOl (Ienadas-x de todos os pontos do
1\' 1,,"11 'IIi 'Ine a taogenle <- paralela 'il rela
I' - oj I ,5,
(II) II "Ij\'''~
I Ilill
()
till
tangenle ao grafico no ponto
~POltl·nllda-.r
rr/6.
(Sugestiio: sen 2< = 2 sen x cos x.)
52 Dx cos 2t =' -2 sen 2x
Hepresellilldo
dCllle, 11 d 'fillj~ III d
I'or.
II vlIl,"
ini 'i,,1 Xu dn vari:ivcl indepen-
A)' 11)11111 1I scgllintc fonna,
Em (3.28)(i) vemos que, para a variolvel independente x,
nlio ha diferelJ(;a entre 0 incremento !:ix e a diferencial de dx.
Todavia, para a variavel dependente y em (ii), a valor de dy
depende tanto de x como de dx.
A notac;ao de incremento pode ser usada na defmic;ao da
derivada de uma func;ao, bastando substituir h por /!,x em (3.5):
Definigao incremental
de derivada (3.27)
·!$~;~lfJti3;}f.)iJ:1wQi·~~;~~;~~i:{f:)i\?
i~~;~~;;;ii~};;:B(t2~
Se f e diferenciolvel, entao, confonne
A discussao
seguinte f6nnula:
nos dol a
Formula de Aproximagao
para /!,.y (3.29)
ilustrado na Figura
Pela Definic;ao (3.28)ii, dy = f'(x)dx. Dividindo por dx
ambos os membros desta equac;ao, obtemos 0 seguinte, que
juslifica a notac;ao de quociente dy/dx introduzida em (3.16) para
a derivada de y = f(x) em relac;ao ax.
3.26, /!,.y//!,xeo coeficiente angular mpQ da secante por Pe Q, e
quando /!,x ten de para zero, /!"y/!:ixtende para 0 coeficiente
angular f'(x) da tangente em P; isto c,
~ - f'(x) se !:ix- 0
que precedeu a Definic;ao (3.28)
:-~{~t~~~~!g5ti'
~ ~~f(1,N:~Yf(x)~.,.
Derivada como quociente
de diferenciais (3.30)
dx
~
E importante reconhecer a distinc;ao graftca entre dy e /!"y.
Se I a tangente no ponto p(x,y) do gnlfico de y = f(x), entao,
por (3.30), 0 quociente dy/dx e 0 coeficiente angular de I. Logo,
conforme i1ustrado na Figura 3.27 (com !:ix > 0), dy significa
quanto a tangente em P sobe ou desce quando a variolvel
in de pendente varia de x para x +!:ix. Isto contrasta com a
quantidade /!,.yque 0 graftco sobe (ou desce).
c
(iii)
(i)
Y
Y
I
P(x. y)
.
,"j
dy
: /!,y
J.
.. :•. J ..
dx=/!,x
P~~dYJ~y
\';=f(X)
Y=f(x)
-t---4 -- -t+-/!,x-;----.o;x
x x
x + dx
Daremos a ['(x) !:ix urn nome especial em (ii) da pr6xima
definic;ao
.
Iljljl\~)1~
dx = /!,x
: .~.
i. ,.,
Reescrevendo
a f6nnuhi em (3.26) como
e usarido /!,.y"';dy, obtemos a seguinte f6nnula.
Formula de aproximagao'
linear (3.31)
i,i''i·"·.<.:"",,,:~,.,,'.',i'''iiY
iii'_, C," -.:., .
'i"i'iii~{diferedciaver
:e:/!"x cUm incremento
'~'~"'''''''
•.C, •••
• ';
i·
-,,,,<,"
de
~'i~!~¥~~f~;~j~~~J~~;:~;r:,{-:
. -":
h'
, ,II, ,11111111'1
fI(ftn"I'I"_"_A_'f(_'II_lic_o
__
CI~'p_. _3
.
_
A formula em (3.31) e ehamada aproxima~ao
linear
paraJ(x + &) porque, con forme i1ustrado na Figura 3.27, podemos aproximar 0 valor funcional f(x + &) utilizando 0 ponto
(x + &, y + dy) da tangente, em lugar de usar 0 ponto
(x + &, Y + 6y) do grMico de f. Assim, para pontos pr6ximos
de (x, y), podemos aproximar 0 grafteo de f por meio da
tangente.
(a)
6y
(e)
6y - dy (d)
(b)
dy
0 valor de 6y - dy se x = 1 e & = 0,02
SOLU({AO
Seja y = 3x2 - 5 e seja 6x urn incremento
(a)
de x,
(a)
Estabele~a formulas gerais para 6y e dy.
(b)
Se x varia de 2 para 2,1, determine
...ay_ ~"r
Aplicando
(3.26) com f(x) = r obtemos
6y = f(x + 6x) - f(x)
=(x+6xj3-x3
os valores
de 6y e
= x3 + 3.~(&)
SOLUC;AO'"
(a)
Se y = f(x) = 3x2 - 5, entao, pela Defini~ao (3.26),
(b)
Pela Defini~ao (3.28)(ii),
6y = f(x + 6x) - f(x)
+ &)2 - 5] - (3x2
= [3(x
2
= [3(x
+ 2x(&) + (&f)
dy = f(x) dx = 3x2 dx = 3x2(&)
-
5)
(c)
Pelas partes (a) e (b),
6y - dy = [3x2(6x) + 3x(&j2 + (&)3] - 3x2(&)
- 5] - (3x2 - 5)
= 3X(&)2 + (&)3
= 3x2 + 6x(6:.:) + 3(&)2 - 5- 3x2 + 5
=
(d)
6x(6x) + 3(&)2
dy = f'(x)dx
= 6x dx
Qllcremos determinar 6y e dy sex = 2 e & = 0,1. Fazendo
a substitui~ao na formula de 6y em (a), obtemos
Assim, y varia de 1,23 quando x varia de 2 a 2,1.
Pocleriamos lambcm achar 6y direlamenle como segue:
6y = f(2,1) - f(2)
= [3(2,1)2 - 5] - [3(2)2 - 5] = 1,23
!\II:1lug:llllcntc,
usando
a formula
x w 2 c ri\- = 6x = 0,1, oblemos
Fazendo:.: = 1 e & = 0,02 na parte (c), obtemos
6y - dy = 3(1)(0,02j2 + (0,02)3 = 0,001
Para aehar dy, utilizamos a Defini~ao (3.28)(ii):
(h)
+ 3x(&)2 + (&)3 - xl
= 3x2(&) + 3x(&j2 + (&)3
Isto mostni que se dy e usa do para aproxirnar 6y quando
x varia de 1 para 1,02, entao 0 erro causado e aproximadamentc
0,001.
Se y = f(x), entao por (3.29), dy pode ser usado como
aproximaC;ao da variac;ao exata 6y da variavel dependente,
correspondenle a uma pequena variac;ao & Da variavel x. Esla
observac;ao e util ern aplicac;oes onde se deseja apenas uma
estimativa da variac;ao de y.
dy = 6x dx, com
(a)
Use "iferenciais para aproximar a variac;ao de sen 8 quando
8 varia de 60" para 61".
(b)
Determine
uma aproximac;ao linear de sen 61 '.
SOLu<;Ao
(a)
Se y = sen 0 = f(O), entao
Mede-se como 12 em 0 raio de urn balao esferico, com erro
maximo de ± 0,06 em. Aproxime 0 eno maximo no calculo do
volume da esfera.
dy = f(O) dO = cos 0 dO
Quando utilizamos derivadas ou diferenciais de fun~6es
trigonometricas de angulos, devemos empregar a medida em
radianos. Por isso, fazemos
Come<;amos considerando as f6rmulas gerais que envolvem
e v~ume. Assim, chamando
raio
x = valor medido do raio
dx = t.x = eno maximo em x
dy = (
(b)
COS}) ( 1~0 )
Empregando
= ( ~ )(
1~0 ) = 3~0 = 0,0087
a formula (3.31) de aproxima~ao
linear com
x = 0 e y = sen 0, temos
e supondo
t.x positivo, tern os
x - t.x s raio exato s x + t.x
I I
sen (8 + tl8) = sen 0 + dy
Fazendo 0 = 60', <'.8 = 1', e dy = 0,0087 (veja a parte (a»,
obtemos
13
=2+0,0087
Se tlx: e negativo, pod cmos usar t.x em lugar de tlx. A Figura
3.28 ilustra a se~ao transversa do balao, indicando 0 eno posslvel
t.x. Se 0 volume V do baHio e calculado com auxflio do valor
medido x, enllio V = ~ 1U3.
Seja tl V a varia~ao de V conespondente a tlx. Podemos
interpretar tl V como 0 erro no edleulo do volume ocasionado
pelo erro t.x. Aproximamos <'.V por meio de dV como segue:
tl V = dV = (D x V)dx = 4rr.x2 dx
= 0,8660 + 0,0087 = 0,8747
Utilizando uma calculadora, obtemos sen 61' = 0,8746,
com 4 decimais. Logo, 0 erro decorrente do emprego de aproxima~ao linear e da ordem de 0,0001.
Pode-se perguntar: Por que utilizar diferenciais no Exemplo
3 quando uma calculadora e mais eficiente e da resultados mais
precisos? A resposta e que nosso objetivo era 0 de demollstrar
o uso de diferenciais em um problema elemental'. Achar 0 valor
numericode sen 61·.e secundario. Freqiientemente agimos assim
em matematica para ilustrar novos conceitos. AJem disso
devemos ter em menie que ha certos tipos de problema em qu~
as diferenciais sao mais eficientes do que as ealculadoras.
o pr6ximo exemplo ilustra 0 usa de diferenciais na estimativa de erros que podem ocorrer em razao de aproxima~ao d9
medidas. Conforme indicado na solu~ao, e importante eonsidd,
rar primeiro formulas gerais que envolvem as varidveis em jogo.
As variaveis nao devem ser substitufdas por valores especfficos
senao nos estagios finais da solu~o.
Finalmente, atribufmos valores especfficos a xed>:. Se x = 12 C
se tlx = dx = ± 0,06 em, entao
Assim, 0 eno maximo no calculo do volume devido ao erro nil
medida do raio e aproximadamente ± 109 cm3.
A medida do"raio no Exemplo 4 aclisou 12 em, com erru
maximo de 0,06 em. A razao de 0,06 para 12 e ehamada erru
medio na medida do raio. Assim
12
erro me'd' 10 = ± 0,06 = ± 0 ,005
A significa<;ao deste numero e que 0 erro na medida do ra i~)
em media, 0,005 em por em. 0 erro pereell(ual e definido CUll,n
o erro medio multiplicado por 100%. Em nosso caso,
erro percentual
= (± 0,005) x (100%) = ± 0,5%
Damas a seguir a defini~ao geral destes conceitos.
, ,fit U'" , ;Im ~ f II;Hf'II I" Allllifl
i U
'"
J.
J
--'-------------------(a)
0 erro
na estimativa do peso (a menos de 0,1 ton.metr.);
(b)
os erros medio e pereentual.
SOLu<;Ao
Em terroos de diferenciais, se w represenla uma mensurac;iio com erro possivel de dw, enlao 0 erro medio e (dw)/w.
Naturalmente, se dw e uma aproximar;iio do erro em w, entao
(dw)/w e uma aproximar;iio do erro medio. Estas observac;6es
sao ilustradas no proximo exemplo.
Denotemos por I:iL 0 erro na estimativa de L, e seja I:i W 0 erro
correspondente no ealeulo do valor de W. Esses erros podem ser
aprox'imados por dL e dW.
(a)
Aplkando
a Definic;ao (3.28) temos
I:iW ~ dW = (0,005823)(3,18)L 2.18dL
o raio de urn balao esferico e 12 em, com eITOmaximo de medida
de ± 0,06 em. Aproxime 0 eITO medio e 0 erro percentual no
ealculo do valor do volume.
I:iW ~ (O,005823)(3,18)(10)2.18(± 0,06) ~ ± 1,7 tons. metricas
(b)
Peia Definic;ao (3.32)(i),
I:i W
(Ver Figura 3.28). Seja x a medida do raio do balao e I!:.x 0 erro
maximo em x. Denotemos por V 0 volume ealculado e por I:iV
o erro em V causado por I!:.x. Aplicando a Definic;ao (3.32)(i) ao
volume V ~ j ;cy3, vem
,.
3 dx
erro medlO
= -I:iV ~ -dV ~ 4~ dr ~ __
V
Vi
jnx3
x
erro 'medio
=
dlV
W ~lV ~
(O,005823)(3,lS)L 2,I8dL
(O,005823)L 3,18
":
3,18 d.L..
L
erro me'd' 10 ~ 3,18(±0,6)
10
~ ± 019
,
No caso especial x ~ 12 e dx = ±O,06, oblemos
Pela Definic;ao (3.32)(ii),
0,06) = ± 0015
crro me'd' 10 ~ 3(± 12
,
erro percentual ~ (±O,19) x (100%) ~ ±19%
Pela Definic;ao (3.32)(ii)
erro percentual ~ (± 0,015) x (100%) = ± 1,5%
Assim, em media, ha urn erro de ± 0,015 por cm3no calculo do
volume. Note que is to conduz a urn erro percentual de ± 1,5%
do volume.
Uma baleia e a\istada pela tripulac;ao de urn navio, que estima
seu eomprimento L em 10 m, com um erro maximo possivel de
0,6 m, Sabe-se que 0 peso W (em toneladas metricas) esta
relacionado com L pel a formula W = 0,005823 L3,18. Use
diferenciais para aproximar
As estimativas da tensao vertical do vento tern grande
importancia para os pilolos de aeronaves durante as decolagens
e as aterrissage~s. Admitindo que a velocidade do vento v a uma
altura I acirna do solo e dad a por v = f(h), onde f e uma func;ao
diferenciavel,
entao a tensiio vertical (escalar) do vento e
definida como dv/dh (taxa instantiinea de variac;ao v ern rela<;ao
a h). Como e impossivel saber a velocidade do vento v a cada
altura h, a tensao do vento deve ser estimada por meio de apenas
urn numero finito de valores funcionais. Consideremos a situa<;ao
ilustrada na Figura 3.29, on de sao dadas apenas as velocidades
do vento Vo e VI as alturas ho e hi' respectivamente. Uma estimativa da tensiio do vento a altura hi' pode ser dad a pela formula
aproximada
dV]
VI -
dh
h_h,~
Vo
hI -ho
Exercs. 1-4: (a) Estabele~a f6rmulas gerais para
bye dy (b) Se, para os valores dados de a e !'u, x
varia de a para a +!'u, ache os valores de liy e dy.
Pode-se empregar tambem a relac;ao empfrica
na qual 0 expoente P e determinado pela observac;ao e depende
de varios fatores. Para ventos fortes, costuma-se tomar 0 valor
P=t·
(b) Use a equa~ao obtida em (a) para aproximar
f(0,43).
1 Y = 2x2 - 4x + 5;
a = 2,
!'u = - 0,2
(e) Use (3,31) com x = 0,4 para aproximar
f(0,43).
,2 Y =x3 - 4;
a =-1,
!'u = 0,1
(d) Compare as duas aproxima~6es (b) e (c).
'3 y = I/x~
fl. •. ·.
a =3,
lix = 0,3
a =0,
!'u = - 0,03
Exercs. 21-24: Denotemos por x uma mensura~o
com erro maximo !'u. Aproxime, por meio de diferenciais, 0 erro medio e 0 erro pereentual no valor
caJculado de y.
0',1
1
.
'4y=--'
.
2+x'
Exeres.
5-10: Determine
(a)
liy, (b) dy e
21 y=3x1;
x=2,
lix = ±0,01
22 y=x3 + Sx;
x-I,
Ax= ±O,I
8 Y = 4 - 7x - 2".2
23 y=4vx
x •.•4,
lix = ±0,2
10 Y = l/x2
24 y=6~;
x-8,
!'u = ±0,03
(e) dy - by.
Suponha que 11 altura de 6 m acima do solo a velocidade do
vento seja de 45 km/h. Com base na discussao precedente (com
P=
t), estime a tensao vertical do vento a 60 m acima do solo.
. 7 y=3x2+Sx-2
6 Y = 7x + 12
=
b = 1,03
a=4,
b = 3,96
a = 1,
b =0,98
14 f(x) = xl - 3xJ + 4x2 - 5;
a =2,
b = 2,01
~,~fee) = 2 sen 0 + eos 0;
a =30·,
b=27·
16 f(ljl) = csi.:ljl + cot ljl;
a =45·,
b=46·
= see a;
a =60·,
b=62"
18 f(~) = tg ~;
a =30·
b-28"
=
VI
e substituindo
12 f(x) = -3x3 + 8x-7;.
:::1
13 f(x) = x4;
:::,i, I .~.
17 f(a)
~.
Assim, a uma altura de 60 m, a tensao vertical
aproximadamente 0,31 (kmlh)/m.
do vento
e de
+3x;
(1'-
ilJ(x) 4xS - 6x4 + 3x2 - 5; a I,
o = 45
V
Resolvendo (vr/vl) = (hr/hl)P em relac;ao a
valores, obtemos
.
=4 - 9x
Exercs. 11-18: Ache uma aproxima~ao linear para
J(b) se a variavel independente varia de a para b.
Com a notagao anterior, fagamos
!lo = 60,
;5y
19 (a) Se f(x) = sen (Ig x -'I)/estabele~a uma equa@]
~ao (aproxiinada) da tangente ao grafteo de
',,,',
fern (2,5, f(2,S», usando 0 Exercfcio 51 da
d.·
Se~lio 3.2.
t;:, (b) Aproxinle f(2,6) por .heio da equa~~ obtida
;':r"
'em·(a).
.'
....; '.'
..
(e) Use (3.31)eomx = 2,5 para aproximar f(2,6).
(d) Compare as duas aproxima~6es obtidas em
(b) e (c).
@]
20 (a) Se f(x) ~ x3 + 3x2 - 2x + 5, ache uma equagao (aproximada)' da tangente. ao gnifico de
f em (0,~>!(0,1)':
25 Se A = 3x2 -x,
dx - 0,1.
determine
dA para
x =2 e
26 Se P = 61'})3 + 12, determine dP para 1 = 8 e
dl = 0,2.
27 Se y - 42 e 0 erro maximo pereentual em x e
±IS%, obtenha uma aproxima~lio do erro medio
maximo emy.
28 Se z - 40q-;; e 0 erro medio maximo de
we ± 0,08, obtenha uma aproxima~ao do erro
medio maximo em z.
29 SeA = 15 ~
e 0 erro medio maximo tolwlvel
em A deve ser ± 0,04, determine 0 erro medio
maximo toleravel em s. .
30 Se S = IOni e 0 erro pereentual maximo loleravel em S deve ser ±10%, determine 0 eHO
percentual maximo toleravel em x.
31 0 raio da lampa de urn po~o circular e estimado
em 40 em, com erro maximo de 0,15 em. COIll
auxilio de diferenciais, estime 0 erro maximo 110
ciJculo da area de urn lado da lampa. Aproximc
os eHOSmedio e percelltual.
32 0 eompiimcnto do lado de urn azulejo quadrado
e de 30 em, com erro' maximo de ±O,IS em. Pur
III '" ,I ,111'1, II' III , ,'/11'" " effO IlIflximu IIU
"11111 Iltl II II till "'"kjll,
OiJlcllha uproxi"' '" Ih'~ IIIII~ III tllli " PCI' clIllIIII.
39 A lei de atra~ao gravitacional de Newton .afirma
que a for~a F de atra~ao entre duas partfculas de
'. mass~s ml e m2 e dada -POI'F'= G;III;"'~;i,o~de
l'ill hili, 1"11 11111
II tI,' till'U1'llciais, 0 IIl1menlo
III 111111111
II, 1111111,1'0,I IIClIlIlI'filllenlodecuda
I I
111111II, 101'111 1"11" 10,'1 CIlI, Qual a
II, II I ~IIln till vIII'"11"?
G e uO!a co~st~~te ,e s .ea distariCia, entr~ as
partfeulas. Se s = 20 cm, use diferenciais para
aproximar 'a varia~ao' de s que aume'nte F em
'I 1111111111II I _II' I II 1'/,1 sClldu infilldo com gas.
I III 111111'tI, .1 Ir"HIl'IIIls, al'mxillle 0 uumento da .
I II 1111.lIp' II I, do ""I (I 'Iualldu 0 diallletro
IIlhllh 11111'111111,01 Ill,
40 A f6rinula T = 2.nIiii relaciona 0 comprimento
I de urn pendulo com seu periodo T; g e uma
constante gravitaciona!. Que varia~ao percentual
do comprimento I corresponde a urn aumento de
30% no periodo Ti
111111111
It1 Ih 1111111
,'ISII ICIll II fOflllato de urn
'111I,ltllltllllll III11dl' 1"" '"11 lriangulo equilatero,
I II 1111111111111111110
till hllsc C de 5 m, com erro
III .111111tI 0,01 Ill, cafelll<: II afea do lado,Use
,,1/111111II ~ 1'"'" milimilf (l Cfm maximo no cal,"111 "IIIIIX 1'"10 ",,"mcdio
e 0 efro percentua!.
""11111111'1liiN "III Illedilh,s de dirnens6cs de gran,I, .111I" ~II"N,Olll'""wl"l'f.l', podelllief efeito grave
111'1'" vlllillll"S \',dellilldos, Urn silo tern a forma
Ih 11111
I IlIllto .'Ii '111111'
encilllado pol' urn hemisI 1'"
illll"" II., dlilldm C cxnlamente 15 metros.
111'11111"IIII'III11dll cil' ",,1' 'renein da base e estima:
1111'III 111,". ,',1111 'lln dc :1:0,15cm = :1:0,15 m.
I "ii 1I1i II v"lillll' dn silo C IISCdiferenciais para
• 1111111'"1111III XIIlIOno dilculo, Aproxime 0 eno
1111" Ij I n t lHi
lOll' '1I111nl.
1
/(1([:".~,.
•••••
'I·.,
- '~!/,
:.\~,,
" 1\ III Ii, 'I"r
V",," de urn dep6sito vai formando
IIl1ln 1'111111
I' IIi 'II cujn allura e sempre igual ao
(',111
l:crlo instante, 0 raio e 10 em,
"1"I1XIIII", 1'01',"eio de difel'enciais, a varia~ao do
11111
''1"11 I'III1SI:IlIlIn varia~ao de 2 cm3 no volume
Jill 1'111110
11I11I 1111\
III 1111'" 1Ip,1I11!
is\\sc"'es tern os lados iguais com
~ 'Ill "lIdll, Se 0 flllglJlo 0 entre esses lados
11111111'11111
tic 31)" para 33', use diferenciais para
I'I""K 111111
II vlll'inc;iiu da area do triangulo.
10%,
44 Mostraremos mais adiante, no segundo volume,
que, se urn projetil e lanc;ado com velocidade
inicial vo a urn angulo a com a horizontal, sua
altura maxima h e 0 a!cance R sao dados pOI'
vii sen2 a
2vi1 sen a cos a
h=--e R=----2g
41 A constric;ao de arteriolas
e uma das' causas de
pressao elevada. Verificou-se experimentalmenle
que, quando 0 sangue flui pOI' uma arterlola de
comprimento fixo; a diferenc;a de pressao entre
as duas extremidades da arteriola e inversamente
proporcional i qu~rtapotencia
do raio, Se 0' raio
de uma arteriolu diminlli de 10%, ealcule, pOI'
meio de diferenciais, a variac;ao percentual na
dif~renc;a de pressao.
..
42 A resistencia eletrica R de urn fio e diretamente
proporcional ao seu comprimento e inversamente
proporcional ao quadrado do seu diametro, Se 0
eomprimento e fixo, qua'l deve ser a precisao da
medida do diametro (em termos de erro percentual) para manter 0 erro percentual de R entre
-3% e 3%?
43 Se urn objelo pesando W quilos e puxado ao longo
de urn plano horizontal pOI' uma forc;a aplicuda a
uma corda amarrada ao objeto e se a corda faz
urn angulo 0 com a horizontal, entao a magnitude
da forc;a e dad a por
F(O)-
llW
~l sen 0 + cos
e'
onde J.l e uma constante chamada eoeficiente de
fricc;ao. Suponhamos uma caixa de 40 kg puxada
ao longo do assoalho, e que ~l = 0,2, Se e"varia
de 45" para 46", use diferenciais para aproximar
a variac;ao na forc;a que deve ser aplicada,
g
Suponhamos vo = 30 rn/s e g = 9,S m/s2, Se a
aumenta de 30" para 30"30', estime, pOI' meio de
diferenciais, as variac;6es em heR.
48 Quando urn foco luminoso percorre uma traj~toC,
ria semicircuiar, confonne a figura, a i1umina\lchi
E na superficie e inversamente proporcional ao
quadrado da distancia s do foco e diretam'ente
propol'cional ao co-seno do iingulo 0 entre a
direc;ao do fluxo luminoso e a nonnal 11superficie,
Se 0 diminui de 21" para 20" e s e const'1J1te,
aproxime, pOI' meio de diferenciais, 0 aumento
percentual da iluminancia,
45 Em urn ponto situ ado a 6 m da base de urn poste,
o angulo de elevac;ao do topo do poste acusa uma
medida de 60", com erro posslvel de :1:15". Use
diferenciais para aproximar 0 erro na altura
ca!culada do poste,
46 Urn laborat6rio espacial circunda a terra a uma
altura de 240 km, Quando urn astronauta olha
para 0 horizonte, 0 angulo da figura e de 65,S",
com urn erro maximo possivel de :to,S", Use
diferenciais para aproximar 0 erro no ca!culo do
raio da terra feito pelo astronauta,
A
.'j:fC
~
, 240 km
47 A Grande Piramide' do Egito tern uma base
quadrada de 230 m (veja a figura), Para estirnar
a altura h da piramide, urn observador se eoloca
no ponto medio de 'um dos lados e olha para 0
vert ice da piramide, 0 angulo de elevac;ao observa do <jJ e 52". Qual deve ser a precisao desta
medida para que 0 erro em h fique entre -1 m e
1 m?
49 A lei de Boyle afirma que, se a temperatura e
constante, a pressao p e 0 volume v de urn gas
confinado
estao relacionados
pela formula
pv = c (c constante)
ou, equivalentemenle,
p = clv, com v '" 0, Mostre que dp e dv estao
ligados pel a formula p dv + v dp = O.
50 Na eletricidade
a lei de Ohm afirma que
I a VIR, onde I e a corrente (em ampere), Ve a
forc;a eletromotriz (em volts) eRe a resistencia
(em ohms). Mostre que dI e dR estao reJacionados
pel a formula R dl + I dR a 0,
51 A area A de urn quadrado
de lado s e dad a pOI'
A = i, Se s e aumenlado
M - eM geometricamente.
de lis, ilustre dA e
52 0 volume V de urn cubo de aresta s e dado pOI'
V = s3, Se s e aumentado
- dV geometricamente,
de !J.s, ilustre dV e !J.V
E importante notar que dy/du e a derivada em rela<;ao a u quando
As regras de deriva<;ao obtidas em se<;6es anteriores tern objetivo
limitado porque s6 podem ser usadas para somas, diferen<;as,
produtos e quocientes queenvolvem.\JI, sen x, cos x, 19x etc. Nao
hi regra que possa ser aplicada diretamellte a express6es como
sen 2x ou 'l/x2 + 1. Note que
Ex du
du dx
e tratarmos as derivadas como quocientes
Dx sen 2x •• cos 2x
pois, aplicando
produto,
y e considerado como fun<;ao de u e que dy/dx e a derivada em
rela<;ao a x quando y e considerado como uma fun<;ao (composta) de x. Se considerarmos 0 produto
cOllduz a derivada correta
cosx)
de y = sen 2x,
y = sen u e u= 2x
= 2[sen x (Dx cos x) + cos x (Dx sen x)]
= 2[ sen x (-sen x) + cos x (cos x)]
2
e aplicarmos a regra, obteremos
dv = Ex -du = (cos u)(2) = 2 cos u = 2 cos 2x
=
dx
2
du dx
x + cos x)
= 2( -sen
2~
Como essas manipula<;6es sao bastante trabalhosas, vamos
procurar urn metoda mais direto para achar a derivada de
y = sen 2x. A chave consiste em' encarar y como uma fun<;ao
composta de x. Assim, para fun<;6es f e g,
se y = f(u)
du dx
pois, se escrevermos
= 2Dx (senx
=2cos
dx
Note que esta regra
cosx)
cnlao
Ex = Ex du = f(u)g'(x)
a identidade sen 2x = 2 sen x cos x e a regra do
Dxsen2x=Dx(2senx
de diferenc.iais,
o produto sugere a seguinte regra:
e ~ = 8(x),
Conquanto nao tenhamos provado que esta regra e valida,
ela toma plausivei 0 pr6ximo teorema. Supomos as variavcis
escolhidas de tal forma que a fun<;ao fog seja definida, e que
se g tern derivada em x, entao f tern derivada em g(x).
enlao y = f(g(x)),
desde que g(x) esteja no dominio de f. A fun<;ao dada por
y = f(g(x)) e a fun<;ao composta fog definida na Se<;ao 1.2. Note
que y = sen 2x pode ser expiessa desta forma porque
se y = sen u e II = 2x, entao y = sen 2x
Se pudermos achar uma regra geral para diferenciar y = f(g(x)),
entao, como caso especial, podemos aplica-Ia a y = sen 2x e, na
verdade, a y = sen g(x) para qualquer fun<;ao diferenciavel g.
Para ter uma ideia do lipo de regr~ que advira, voltemos
as equa<;6es
, Seja lix urn incremento tal que tanto x COJ;110 x + lix estcjam 110
dominio da fun<;ao composta. Como Y = f(g(x)),
0 incrcmento
correspondente
de y
e dado por
t>y = f(g(x
+ lix)) - f(g(x))
Se a fun~ao coni posta tern derivada em x, cntao, por (3.27),
Ex = lim Qx
dx
Consideremos
~=f'(u),
:
=g'(x),
e ~=(fog)'(x)
.•••-0 lix
'emseguida
.de u q_~e,c()rres~?~~e a ~;
u = g(x) e seja D.u 0 incrclll 'nlO
isto e,
t>u = g(x + lix) - g(x)
g(x + &").; g(x) + lJ.u = u + lJ.u
podemos expressar a formula lJ.y = f(g(x
+
&"» - f(g(x» como
lJ.y = f(u + lJ.u) - f(lI)
EJ:.=f(lI)=
Nao podemos achar dy/dx utilizando formulas prcvias de diferenciaC;,ao, todavia, aplicando a regra da eadeia (3.33), tern os
, . EJ:.= EJ:. du = (1. U-1n)(2x) = ~
. dx dll a'(
2
{Ii
lim ~
du
6.<-0 lJ.1I
du
'()X = I'1mlJ.1I
-=g
dx
6.<-0&"
Suponhamos que exist a urn intervalo aberto I con tendo x
tal que, sempre que x + lJ.x esta em I e lJ.x •• 0, entao lJ.1I•• 0.
Nesse caso, podemos escrever
\
EJ:.= lim 0'.. = Jim (~lJ.1I)
dx
11.,-0 lJ.x
6.<-0
lJ.1I lJ.x
= (Iim
0'..) (Iim lJ.U)
11.,-0 lJ.x
11.,-0 lJ.x
No Exemplo 1, a func;ao composla era dada por uma potencia de XZ + 1. Como as potencias de func;6es ocorrem com
frequencia no calculo, e conveniente estabeJecer uma regra geral
de diferenciac;ao que possa ser apJicada a tais casos. No que
segue admitiremos que 11 seja urn numero racionaJ qualquer, g
uma func;ao diferenciiivel, e que nao ocorram zeros no denomi~dor.Veremos
mais adiante que esla regra pode ser aplicada
para qualquer numero realn.
.
desde que os Jimites existam. Como g e difereneiavel em x, e
continua em x. Logo se lJ.x ~ 0, entao g(x + lJ.x) tende para g(x)
e, port anto, lJ.u -+ 0. Segue-se que a ultima formula de limite
pode ser escri la
EJ:. _ (Iim ~)
dx -
lJ.u
(Jim lJ.1I)
lJ.x
(:)
= f(lI)g'(x)
6.-0
= (~)
Regra da Potencia para
funyoes (3.34)
11.,-0
= f(g(x»g'(x)
que e 0 que queriamos provar.
Em muitas aplicac;iies da regra da cadeia, 1I = g(x) tern a
propriedade de que, se lJ.x •• 0, eotao lJ.u •• 0, 0 que supusemos
no inkio do paragrafo precedeote.
Se g nao satisfaz esla
propriedade, enlao todo intervalo aberto con tendo x con tern urn
numero x + lJ.x, com lJ.x •• 0, tal que lJ.u = 0. Nesle caso, nossa
demonstrac;ao nao e valida, pois lJ.u aparece em urn denom"fiiador.
Para construir uma demonslrac;ao que leve em conta fuoc;iies
desle tipo, sao necessarias tecnicas adicionais. No Ape1ldice If
enconlra-se lIIna demo1lslrm;ao comp/ela da regra da cadeia.
.
..
-
~
se y = {Ii e 1I = x2 + 1.
D~ [g(x)]" = ll[g(X)J"-1 Dxg(x)
DEMONSTRAGAo
0:. EJ:.
dll
.
at = du -=nu"-ID
dx
EXEMPLO
Determinar
",
ou equivale~temente;
. --_ .._~~.... '~"'-':"-:-":"'.~'~'~:;~':;:"
x
lI=ll[g(x)]"-ID
2
Determinar f(x) se f(x) = (xl- 4x + 8)7
x
g(x)
10x-1
Aplicando a regra
Jl =7, temos
da patencia
= 3 V(5x'!-x+4)'
(3.34) com u = x5 - 4x + 8 e
f(x) = Dx (xs - 4x + 8f
EXEMPLO
5
Determinar
F '(z) se F(z) = (2z + 5)3(3z _1)4
= 7(xs - 4x + 8)6 Dx (xS - 4x + 8)
= 7(xS - 4x + 8)6 (5x4::- 4)
Aplicando primeiro a regra do produto, em seguida a regra da
potencia e fatorando 0 result ado, obtemos
F '(z) = (2z + 5)3 D. (3z _1)4 + (3z _1)4 D, (2z + 5)3
= (2z + 5)3 . 4(3z -1)3(3)
Determinar
:
+ (3z - 1)4 . 3(2z + W(2)
= 6(2z + 5)2(3z - 1)3[2(2z + 5) + (3z - 1)]
se y = (4x'! + ~ _ 7)3
= 6(2z + 5j2(3z - 1)3(7z + 9)
Escrevendo y = (4x'! + fix - 7>-3 e aplicando a regra da potencia
com u = 4x'! + fix - 7 e n = -3, temos
= -3(4x'!
+ fix _7)-4 ~ (4x'! + fix-7)
= -3(4x'!
+ fix -7)-4(8x + 6)
EXEMPLO
6
Determinar
y' se y = (3x + 1)6 V2x - 5
SOLUc;Ao
Como y = (3x + 1)6(2x - 5)112,temos, pelas regras do produto e
da potencia
--6(4x + 3)
= (4x'! + fix _7)4'
y' = (3x + 1)6i(2x - 5)-112(2) + (2x - 5)1I26(3x + 1)5(3)
= (3~
v2x-5
+ 18(3x + 1)5 ';2x - 5
(3x + 1)6 + 18(3x+ 1)5(2x - 5)
V2x-5
. (3x ~ 10)5(39x - 89)
V2x-5
=
Escrevendo
f(x) = (5x'!-x
com u = 5x'!-x
+ 4)1/3e aplicando a regra da potencia
o
+ 4 en =~, obtemos
f(x) =t(5x'!-x
+ 4)-2I3D. (5x'!-x
= (~) (5x'!-~
+ 4)213 (lOx -1)
+ 4)
(
e
pr6ximo exemplo
interessante porque ilustra 0 falo de
que, ap6s aplicar a regra- da potencia a [g(x)]', pode ser necessario
~plica-la nova~ente para achar g'(x).
EXE~PLO 7
Deterrninar
f(x) se f(x) = (7x + -..Ix'! + 6)4
Aplicando
f(x) = 4(7x + yxl+ 6)3 Dx (7x + v7+6)
a regra da potencia, temos
= [-sen
Dx ..f7+6 = [)x(xl + 6)1/2 = ~ (xl + 6tl/2 Dx (x2 + 6)
1
2 vxr+6
(3.35)
com
[Dx (7x) +Dx v7+6]
= 4(7x + vxr+6)3
Aplicando novamente
para Dx cos II do Teorema
a f6rmula
II =5i' lemos
= [-sen (5i')] (15i')
= -15i' sen (5i')
(2x)=_x_
fXl+6
f(x) = 4(7x + R+6)3 (7 +
(5x3)] Dx (5i')
Para achar D;y,
Dx y = -15x1 sen (5x3).
diferenciamos
Usando a regra do produto e 0 Teorema
,;/+ 6 )
~y
=
(3.35), obtemos
-15i' Dx sen (5x3) + sen (5x3) Dx (-15A2)
1 'cos (5x3) D (5x3) + [sen (5x3)](-30x)
x
= -15x
Como outra aplical;3o da regra da cadeia, demonstra-se
seguinte.
,Sc:u = g(x)t;
/! ••
·:-'.:::_-,/(}j-:10;.,LlC~~·.,-
Dxtgu=(secZII)Dxu'"
..•.
·1•..•:J\r-··;+,.-7fE~:.:'···.(···;littK;
".
Dx sec'u" (see lI,'tg II)Dx u
'.
.
.
-
30x sen (5x3)
!
,....
=
-225x4 cas (5x3) - 30x sen (5x3)
~g-e '~iie!~~ci~Vtel; e?l~oT;,',:'_ ,,:,,,'.::;:';.~·.'t:·(;::"
-J··:t.(.)t;~J.~~~.?;'...:.~Hi~l'~:~·~_~~
..;.l(·:;:·~:':<·->';:~~~
... :"
Dxs~nu';;(cosu)Dxli
Dxcos'u;'(-senu)D~'I/'"''
':
= -:-15x1[cos (5x3)](15x1)
0
,.,
.;; ..•. '.,.
'~;
r,· ',."
-' I,
_:
~
:;.
;'1'::
~l
',,,:.
.r~,.~"'~:;~~'"
DxColu=(-eseZII)Dxu':',' _ ",' . ":' _~'-..~
' Dx csc I/'';;'(-esc II eof iI) Dxll
,.T,
,.
EXEMPLO
9
':
Achar f'(x) se f(x) = Ig3 4x
" .
Fazendo y = sen II, enlao, por (3.25)
Note primeiro que f(x) = ti 4x = (tg 4X)3. Aplicando
produto com II = Ig 4x e n = 3, Iemas
a regra do
~=eosll
dl/
Aplicando a regra da cadeia (3.33), obtemos
Em seguida, pelo Teorema
(3.35),
2
~ = ~ du = COS II D II
dx du dx
x
As formulas reslantes podem ser obtidas de maneira analoga.
Note que 0 Teorema
(3.35) com 11= X.
(3.25)
e 0 caso especial do Teorema
Dx Ig 4x = (see 4x) Dx (4x) = (see2 4x)(4) = 4 sec2 4x
Assim
f'(x) = (3 tg2 4x)(4se2 4x) = 12 tg2 4x sec2 4x.
0, 1t, 21[, 'ht/3,
Escrevendo
obtemos
y ~ (sen 6x)II' e aplicando
a regra
41t/3.
da potencia,
As duas solu~iies x ~ 0 e x ~ 2",' nos dizem que as tangentes sac
horizontais nos pontos extremos do intervalo [0, 2n]. As solu<;iies restantes 2lt/3, 1t e 41t/3 sao as coordenadas-x dos pontos P,
Q e R nlostrados na Figura 3.30. Usando y ~ cos 2x + 2 cosx,
vemos que as tangentes horizontais ocorrem nos pontos
Em seguida, pelo Teorema (3.35),
Dx sen Ii\: = (cas 6x) Dx (6x) ~ (cos 6x)(6) ~ 6 cas 6x
. COllseqiientemente,
Se quisermos apenas solu<;iies aproximadas,
um decimo, obtemos
y' ~ ~ (sen 6x)-112 (6 cos 6x)
entao, a menos de
3 cas 6x
3 cos 6x
~ (sen 6X)112 ~ "'sen 6x
.
A Figura 3.30 exibe a grMico de y ~ cos 2x + 2 cas x para
o s x s 2Jl. Determine as pontos em que a tangente e horizontal.
d
Exercs. 1-6: Use a regra da eadeia para aehar ~
15 F(v) = (17v _ 5)1.000
e
16 S(I) = (4t5 - 3t3 + 21)-2
expresse a resposta em termos de x.
17 'N(x) = (& - 7)3(8x2 + 9)2
Y = II';
~.J.i. :
18 f( ••.) ~ (2~ - 3w + 1)(3w + 2)4
2 y=~;
6
19
A tangente e horizontal quando seu coeficiente
0, isto e, se
angular DxY e
4)
x'
y = tg 311;
II =
6 y = 1/ sen 1/;
1/ = x3
21 k(r) = ~8fJ + 27
...' Exercs. 7:62: Calcule a derivada ..
a f6rmula do angulo duplo sen 2x = 2 sen x cas x,
22 h(z) = (222 - 9z + 8)-m
7 f(x) = (x2 -3x + 8)3
I~l.l
:
.
5
23 F(v) = \fyS _ 32
8. f(x) = (4x3 + 2x' -x - 3)2
9
ou, equivalentemente,
3
20 5(1) = (31 +
61-7
\
Aplicando
temos
g(Z)=(Z2~~)
o
g(x) = (8x - 7)-5
~
'io k(x) = (5x2 - 2x + 1)-3
g(w) =
Assim, au
27 li(x)
x'-3x'+ 1
(2x + 3)'
13 f(x) = (8x3 - 2x2 + X - 7)5
rl' _ .. :,.,,;
.
·14,g(w)=
.' '~',
,'.,.
(wI-8w' + 15)4
'.
.
1
= o,f3s _ 4
~-4w+3
w3!2.
2x+3
x
.~lJ(x) = (x2 _1)4
}~. g(x) ~
24 k(s)
.
..
= o,f4x' +9
29 k(x) = sen (xl + 2)
30 f(1) = cos (4 - 3r)
31 li(O) = cos5 30
32 g(x) = sen4 (,r3)
33 g(z) = see (21 + 1)2
34 k(z) = ese (z2 + 4)
35 li(s) = cot (sJ - 25)
36 f(x) - tg (2x' + 3)
1/11 1.1""1,,, "", (/"'II1/1',rI"
iI_I_'"_II'_i,_,,,
__ C...,,"J'-',_3
II 1(')
, OI~ ( "
II I III)
I ~,J
I'll
40 M(x) c see (l/x2)
H II)
,'till 'II
42 G(s) ~ s cse (S2)
')
:Ix
, ('liS
/1(11)
11'11 n,llI
N(l)
('HIll
38 g(w) ~ tg3 6w
Exercicios 75-76: Use diferenciais para obter uma
~proxill1a,ao do valor.
75 'V'65
,'OS 5x)~
't\
_
@]85 Seja" = f 0 gllma funt;ao diferenciavel. A tabela
a seguir reJaciona alguns valores de f e g, Use 0
Exercicio 51 da Se,ao 3.2 para obter uma aproxima,ao de h'(l, 12).
(Sugeslao: Tomar y = ~)
76
48 g(r) = sen(2r + 3)4
77 Se urn objeto de massa m tern veloeidade v, enlao
(a) Use a regra da cadeia para estabelecer uma
formula para a taxa de crescimenlo no peso
em rela<;ao ao tempo t.
sua energia sinetiea K e dada por K _ ~ mv2, Se
jll h(II') ~
\ \/'1 ~,"
I
50 fIx)
'hv
1t.'11
I(,)~I",' 7 \
=
sec 2x
1 + tg 2x
S 'e 2.W
"(Iii) ~ (11\ 7'"
1(('~IHi;,
'x
V "II 1/ cosii"
I (,)-V,",
IgV?+T
6400
W= 150 ( 6400+x
/I "(.II) _ "01411'
,fll' "\
~ I"'c v'1x+J
II AI(,)
III III \) - vII , 'sc· 3x
60 F(s) = v'cse 2s
62 f(t) - sen2 21v'eos 21
I ~lll"~, (,,1.6H: (II) Delermine equa,6es da langente
,
1111 1111111,"1
It"
gr['fieo da equa,ao em P, (b)
11,1, ,,,III1l' II 'oorrlellada·x no gratieo em que a
h," i,olliai.
1111111 lit"
(,\ "
(.1,
It!
"-
(I
I' ~ (,
'1(1
I' -
K•..• 3)";
, 1)"';
(
~f
v),.' ,:"1';
P(2,81)
P(l,l)
P(l,32)
P(-l,V3)
(,I I' - II , Sell Jx;
P(O, 0)
loll " - \ , ('os 2T;
P(O, 1)
I
"II'~,
@]86 Seja" = jog um~ funt;ao diferendavei, As tabelas seguintes relacionam alguns vaJores de f e g.
Use 0 Exercicio 51 da Sec,ao 3,2 para obler uma
aproximat;ao de h'(-2).
79 Ao ser lan,ada no espa,o uma nave espacial, 0
peso de urn astronauta decresce ale alingir urn
estado de imponderabiJidade. 0 peso W de urn
astronauta de 150 lb a uma altitude de x quiJ6metros acima do nivel do mar e dado por
A(II) ~ 1\",1 v.1 -HiT
II .(1)
ve fun,ao do tempo I, use a regra da eadeia para
estabeleeer uma formula para dK/dt.
S 'c3 2<
78 Ao ser infJado um baliio esferico, seu raio r e
fun,ao do tempo I. Se V e 0 volume do balao,
use a regra da cadeia para estabelecer uma
formula para dV/dl,
M·74: Calcu!c a primeira e a segunda de-
i1vlltlllll,
)2
Se a nave se afasla da terra a razao de 6 km/s, a
que taxa decresee W quando x = 1.000 km?
80 A rela,ao comprim ento-peso de certo peixe do
Pacifico e dada por W = 10,375 L 3, onde Leo
comprimenlo em melros eWe
0 peso em
quilogramas, A taxa de crescimenlo do comprimento dL/dl e dada por 0,18 (2 - L), onde I e 0
tempo em anos,
(a) Eslabele,a uma formula para a taxa de crescimento no peso dW/dl em terrnos de L.
(b) Use a formula em (a) para estimar a taxa do
crescimenlo do peso de urn peixe que pes a
20 quiJogramas.
81 Se K(x) = f(g(x»
e se f(2) = -4, g(2) c 2,
f'(2) = 3 e g'(2) = 5, determine k(2) e k'(2),
82 Sejam p, q e r fun,6es tais que p(z) = q(r(z». Se
r(3) = 3, q(3) = -2, ,,(3) = 4 e q'(3) = 6, determine
p(3) e p'(3).
70 k(s) = (s2 + 4)213
83 Se ](1) = g(h(l)) e se f(4) = 3, g(4) = 3, "(4) = 4,
1'(4) = 2 e g'(4) = -5, calcule "'(4).
72 fIx) = ~lOx + 7
84 Se II(X) = v(w(x») e se ~{O)= -1, w(O) = 0,
11(0)= -I, v'(O) = -3, e "'(0) = 2, calcule w'(O).
',:carn(voros ,aquaticos;'tais como foeas e morsas,
cujos pes evoluem para nadadeiras. A rela,ao
comprimento-peso durante 0 cresci menlo fetal e
dada por W = (6 x 1O-5)L2,74, ondeL e 0 comprimento em centimetros eWe 0 peso em quilogramas.
m
46 p(v) c sen 4v csc 4v
89 ()S 'pinipedes saouma subordem,dos mam([eros
-8,46000
-8,46000
87 Se f e diCerenciavel, use a regra da cadeia para
provar que
, (b) Se 0 peso de uma foca e de 0,5 kg e varia a
razao de 0,4 kg por mes, qual a laxa de
varia,ao do comprimento?
90 A formula para a expansao adiabatica do ar e
pvlA _ c, onde pea
pressao, v 0 volume e c uma
constante. Estabele<;a uma formula para a taxa de
varia.,ao da pressao em rela.,ao ao volume.
91 A area da superffcie curva de urn cone circular
relo de altura h e raio da base r e dada por
S = 1U' v;r:;:;;r. Para urn certo cone, r = 6 em. A
altura e medida em 8 centfmetros, com urn erro
maximo de medida de ±O,l centimetros.
(a) Calcule S a partir das medidas e use diferenciais para estimar 0 erro maximo no calculo,
(a) se f e par, entao I' e impar
(b) se f e impar, enlao I' e par.
Use funt;6es polinomiais para dar exempJos de
(a) e (b).
88 Use a regra da cadeia, a formula da dcriva,ao
para Dx sen II, junlo com as identidades
cosx=sen(~-x)
e senx=cos(~-x)
para obler a formula para Dx cos x
92 0 perfodo T de urn pendulo simples de comprimenlo I pode ser calculado pela formula
T = 21t Ilii, onde g e uma constanle gravitacional. Use diferenciais para obter uma aproxima,iio
da varia,ao de I que resulte em urn aumenlo de
1% em T.
Os gnlficos de f e g sac os sernidrculos superior e inferior,
respectivarnente,do drculo uniUirio(veja a Figura 3.31(i) e (ii)).
Para achar outras fun"oes implicitas, podemos considerar urn
numero arbitrario a entre -1 e 1 e defin/. a fun"ao k por
"';1-2
k(x) =
costumamos dizer que y e uma fum;ao explicita de x, pois
podemos escrever
y = f(x)
com f(x)
42-2y=
= 2x2 -
3
\
(i)
se-1
xsa
-"';1-2 sea
xsl
(iii)
(ii)
6
define a mesma fun"ao f, pois, resolvendo em rela"ao ay, temos
-2y = -42 + 6, ou y = 22- 3
:ara ,o.caso 42- 2y = 6, dizemos que y (ou f) e uma fun<;iio
Imphclta de x, ou que f e a definida implieilamenle pela equa"ao.
Substituindo y por f(x) em 4x2 - 2y = 6 obtemos
4.•.2 - 2f(x) = 6
A Figura 3.31(iii) da urn esbo"o de k. Note que h:l uma
descontinuidade tipo saito em x = a. A fun<;ao k e definida
implicitamente pela equa"ao 2 + 1= 1, pois
42-2(22-3)=6
42-
42 + 6 = 6
A ultima equa<;ao e uma identidade, pois e valida, para todo x
no d~mi~io d.e.f- Esta e urna caracteristica de toda fun"ao f
~efm!~a Imphcltarnente por uma equa"ao em x e y; isto e, f Ii
lmphezta se e somenle se a substitui/.;lio de y por J(x) eonduz' a
um.a identidade. Como (x, f(x)) e urn ponto do grafico de f, a
t11~m~afirma"ao implica que 0 grafteo da fulll;lio imp/(cila
eomelde com uma parle do (ou lodo 0) grafteo da equar;iio.
••.2
+ [k(x)f
=1
para todo x no dominie de k. Dando a a diferentes valores,
podemos obter tantas fun"oes implicitas quantas quisermos.
Muitas outras fun"oes sac definidas implicitamente por
••.2 + y2 = 1, e 0 grafico de cada urna e uma parte do gr:lfico da
equa"ao.
. No proximo exemplo mostrarernos que uma equa"ao em x
e y pode defmir mais de uma fun"ao implicita.
Quantas fun¢es distintas sac definidas implicitamente pela
equa"ao 2 + y2 = I?
o grafico de 2 + y2 = 1 e 0 cfrculo unitario com centro na
origem. Resolvendo em rela"ao a y em termos de x, obtemos
y=±v'1- .•2
~
Duas fun"oes f e g definidas implicitamente pela equa"ao sao
f(x)
=
vr=xr e g(x) =-vr=xr
para todo x no dominio de f; todavia, nao existe uma maneira
6bvia para resolver em rela"ao a y em termos de x de forma a
obter f(x). E possive! dar condi"oes sob as quais uma fun"iio
implicita existe e e diferenciavel em pontos do seu dominio;
entretanto a dernonstra"ao exige metodos mais avan"ados e ~
omitida. Nos exemplos que seguem admitiremos que a equac;ao
dada em x e y define ul1)'!fun~o difereilciavel f tal que se y 6
substituido por f(x), a equa~o se toma uma identidade para todo
x no dominio de f. Pode~se"entao achar a derivada de f pelo
I·
,
",
'/
.',
.....•..•:....'~.:
_ ....•.
mClodo ua dircrcncia~ao
implicita, segundo
IlIUS cada Icrmu ua cqua~ao em rela~ao a x.
0 qual
diferencia-
I
Au aplicar a diferencia~ao implicita, e muitas vezes necess~rio considerar Diy') para alguma fun~ao desconhecida y de
x, t1igamos y ~ f(x). Pela regra da potencia (3.34) corn y = 11,
potlcmos escrever D.(yn) em qualquer uma das seguintes formas:
D (yO) = /1'1' -I D y ~ /1'1' -1y' = 1Iy" - I ~l.
•
f
•
f
~
Como a varia vel dependenle y representa a expressao f(x),
eS.l'ellcia[ multiplicar nyn -I pela derivada y' aD difereociarmos
el11rela<;ao a x. Assim,
e
y
'. As duas iiltimas equa<;6es na solu~ao do Exemplo 2
evideneiam .uma desvantagem
da uliliza~ao do metodo da
diferencia~ao implicita: a f6rmula de y' (ou f' (x» pode conler a
pr6pria expressao y (ou f(x». Mesmo assim, essas f6rinulas
podem ser muito iiteis para a analise de f e seu grafico.
No proximo exemplo utilizamos a diferencia<;ao implicita
para determinar 0 coeficiente angular da langente em urn ponto
p(a, b) do grafico de uma equa<;ao. Em problemas desle tipo
admitirernos que a equa<;ao define uma fun~ao implicita f cujo
grafico coincide com 0 grafico da equa<;1io para lodo x em algurn
interValoaberto contendo d. Note que, como p(a, b) e urn ponto
do grafico, 0 par ordenado (0, b) deve ser uma solu~ao da
. cqua~ao ..
Determine
0 coeficiente
angular da langente ao grafico de
Supondo que a equa~ao l + 3y - 4.i' ~ 5x + 1 defina, implicitamente, uma fun~ao diferenciavcl f lal que y = f(x), determine
sua derivada.
y4 + 3y - 4xl = 5x + 1
Consideramos y como urn simbolo que denota f(x) e a equa~ao
como uma identidade para todo x no dominio de f. Como as
derivadas de ambos os membros sao iguais, ob!emos:
o ponto P(l, -2) esta no grafico, pois fazendo x = 1 e y = -2,
vem
D. (y4 + 3y - 4.i') = D. (5x + 1)
o coeficieote
D, (y4) + D. (3y) -D. (4xl) = D. (5x) + D, (1)
41 y' + 3y' - 12r = 5 + 0
,
y ~
angular da tangente em P(l, -2), e 0 valor da
derivada y' quando x = 1 e y = -2. A equa~ao dada e a mesma
que a do Exemplo 2, onde obtivcmos y' = (1~ + 5)/( 4y3 + 3).
Subslituindo x por 1 e y por -2 obtemos 0 seguinte, onde
y'](I,-2) denota 0 valor de y' quando x = 1 e y = -2:
12\"2 + 5
41 +3 '
desde que 4y' + 3 '" O. Assim, se y = fix), enUio
.
12~ +5
f (x) = 4(f(x))J
+3
Se y = f(x), onde f e definida
.~ + l = 1, determine y'.
implicitamente
pel a equa~ao
SOLuGAo
No Exemplo 1 mostramos que ha urn numero' ilimitado
fun~6es implicitas
definidas por x2+ y2 = 1. Tal como
de
no
Exemplo 2, diferenciamos
rela<;ao a x, obtendo
ambos os membros da equa<;ao em
Dx (x2) + D)y2)
2x+2yy'
Agrupando os termos que contem y' e transpondo
termos para 0 membro direito da equa<;ao, temos:
os outros
=Dx (1)
=0
,
y
=
5 - 3r + 2xy - 4r
12xy2-r
12xy2-r '"
O.
y' =-~ se y '" 0
y
o metoda da diferencia<;ao impHcita da a derivada de
qualquerfun<;ao diferenciavel definida por uma equa<;ao em duas
i
variaveis. Por exemplo, a equa<;ao x2 +
= 1 define muitas
funct6es implicitas (veja 0 Exemplo 1). Pelo Exemplo 4, 0
coeficiente angular da tangente no ponto (x,y) em qualquer doS-.,
graficos da Figura 3.31 e dado por y' = -x/y, desde que a derivada
exista.
Diferenciando ambos os membros da equa<;ao em rela<;ao a x c
usando a regra do produto, obtemos
DxY =r Dx (seny) + (seny)D)r)
Diferenciando
temos
ambos os membros
Como y = I(x) para alguma functao (impHcita)
Teorema (3.35),
I, temos, pdo
Usando
= 2x,
da equactao em rela<;ao a x
esta equactao e 0 fato de que Dx (r)
reescrever
y , = (r cos y)y' + 2x sen y
Finalmente,
resolvemos
em rela<;ao a y' como segue:
= 4x(3y2y') + r(4)
y , - (r cos y)y' = 2x ;en y
= 12xy')!' + 4r
(1_x2 cosy)y'
Dx (x')!) =~:ZDxY+ yDx (r)
mON
DxY = (r cos y) DxY + (sen y)(2x),
Como y denota I(x) para alguma functao f, deve-se aplicar a
regrado produto a Dx (4~y3) eDx (x2y). Assim
Dx (4~y3)= 4x Dx (y3) + r Dx (4x)
pod
a primeira equactao da nossa solu<;ao como
= 2x seny
2x sen
Y'=1-x2cosy
= x')! , + y(2x)
Substituindo essas express6es na primeira equactao da soluctao e
diferenciando os out~os term os, obtemes
No proximo exemplo calcularemos
uma fun<;ao impHcita.
a dcrivadll S 'l\II,lIIU tli
EXEMPLO
7.
.Cai~~le},sei+3y-4xl=5x+
1
A equac;ao ja foi estudada no Exemplo
que
2, na qual verificamos
, lU + 5
Y = 41 +3
Y
"=D
•
(y') =D
Aplicamos agora a regni do quociente,
mente como segue:
•
(12r
41 +35)
+
diferenciando
Exercs. 23-28: Determine 0 coeficiente
tangente ao griifico da equa<;ao em P.
implicita-
23 xy + 16 = 0
P(-2,8)
24 y2_4x2=5;
P(-I,3)
angular
da
P(2,-3)
P(I,21I:)
P(2,3)
(41 + 3)(24x)- (IU + 5).121
Exercs. 29-34: Admitindo que a equa~ao defina urna
fun<;ao [ tal que y = [(x), ca1cule y", se existir.
(41 + 3)(41 + 3j2(24x) - 12/(IU + 5)l
(41 + 3)3
30 5x2 - 2y2 = 4
32 x2y3 = 1
34 cosy
Exercs. 35-38: Quanlas
nidas pela equa~ao?
1,", I lij:i\ulllilindoqneaequa~aodetennineuma
lilili. "illl"Il'lIri"vcl
f lal que y = f(x), calcule y '.
Iii' I \,1 _ III
10 2t-vxy + y3 = 16
11 senz 3y = x + y - 1
12 x = sen (xy)
/37
17
~,'
,)' II'~_()
tl,'lil,,),I.\,yJ+2x=O
+ ';sen y - yl = 1
sao defi-
x2 + y2 + 1 = 0
39 Mostre
infinilo
14 y2 +) =xz'secy
x2
func;6es irnplfcitas
35 XI + y4 - 1 = 0
9 x2+vxy =7
15 y2 = x cosy
=x
i
que a equa<;ao
= x define
de fun<;6es implfcitas.
urn niirnero
16 X)' = tgy
18 sen
40 Use a diferencia~ao
vy - 3x = 2
Exercs.
19-22: Dau-se a equa~ao de uma curva
c1assica e seu gr8rico, para conslantes
posilivas
a e b. (para maiores delalhes consulte qualquer livro
de geornelria
analitica.)
Determine 0 coeficiente
angular da tangenle no ponto P, para os valores dados
de a e b.
Pc
implfcila
para rnoslrar
que,
i i, entao a
se
urn ponto do circulo x2 +
=
tangente em P perpendicular
a OP.
22 Cone/wide de Nicomedes:
(y - a)l(xz + y2) = b2yl;
e
41 Suponha
que 3x2 - x2y3 + 4y = 12 defina urna
fun~iio diferenciavel
1 tal que y = f(x). Se
1(2) = 0, ulilize diferenciais
para aproxirnar a
varia<;ao de I(x) se x varia de 2 a 1,97.
l
42 Suponha que x3 +xy + = 19 determine uma
fun~ao diferenciiivel f tal que y = f(x). Se
P(1,2) e urn ponto do griifico de f, aproxime,
por meio de diferenciais, 0 valor b da coordenada-y do ponto Q(l,l; b) do gnifico.
como Metodo de Euler, pode ser repetido
para obter aproxima~6es de outros pontos do
grafico.)
~ Suponha que sen x + y cos y = -2,395 defina uma
fun~o diferenciavel f tal que y - f(x).
2
@ 43 Suponha que x + xy3 _ 4,0764 determine uma
fun~ao diferenciavel f tal que y = f(x).
(a) Se P(1,2; 1,3) e Q(1,23; b) estao no gnifico,
use (3.31) para aproximar b.
(b) Aplique 0 metodo de (a), com Q(1,23; b),
para obter uma aproxima~ao da coordenada-y
de R(l,26; c). (Este processo, conhecido
Duas variaveis x e y sao fun~6es de uma variavel t e estao ligadas
peta equa~ao
f-2j'+5x=
16
(a) Se p(2,1; 3,3) e uma aproxima~ao de urn
ponto do griifico de f, use (3.31) para obter
uma aproxima~ao da coordenada-y
de
Q(2,12; b).
Se dxldl = 4 quando x = 2 e y = -1, determine dyldl.
(b) Aplique 0 metodo de (a), com Q(2,12; b),
para obter uma aproxima~ao da coordenada-y
de R(2,14; c).
Diferenciemos
implicitamente
a equa~ao em reta~ao a I como
segue:
d
d
d
d
- (f) -(2y2) + -d (5x) = -d (16)
dl
dl
I
I
dx
dv
3r--4y=+5-=0
dl
dl
dx
dl
(3x2 + 5) dx = 4y tJJ:
dt
dl
2
tJJ:_ 3x + 5 dx
dl 4y
dl.
Por (3.7)(ii), podemos interpretar as derivadas dxldl e dyldlcomo
as taxas de varia~ao de x e y em rela~ao a I. Como casu especial,
se f e g sao fun~6e!> positivas para pontos que se movem em
uma rela coordenda, entao dtldl e dyldl sao as velocidades desses
pontos (veja (3.2». Em outras situa~6es essas derivadas pode~
representar taxas de varia~o de quantidades ffsicas.
.
Em certas aplica~6es, x e y podem eslar relacionadas
uma equa~ao como x2 Diferenciando
I,oblemos
A ultima equa~ao e uma formula geral que relaciona dx/ilt
dyldt. Para 0 casu especial dxldl = 4, x = 2 e y = -1, oblemo~
tJJ:=3(2f+5.4=_17
dt
4(-1)
por
i -2x + 7/ - 2 = O.
est a equa~ao implicitamente
em relal;iio a
d
d
d
d
d
d
. - (r) -- (I) -- (2x) +- (7/) -(2) =- (0)
dt
dl
dt
dl
dt
dl
Aplicando a regra da potencia
independente, temos
(3.34) com I como
Vma escada de 6 m de comprimento esta apoiada em unHI pilr'lI
vertical. Se a base da escada come~a a deslizar horizontall1l 'IIte,
11 razao de 0,6 mis, com que velocidade 0 topo da escada per 'oro
a parede, quando esta a 4 rn do solo?
varhivel
Comecemos por esbo~ar a posi~ao geral da escada confOl111 11
Figura 3.32, onde x denota a distancia da base da paretic
1111{
da escada e y denota a dislancia do solo ao 10po da c~ 'iltl I,
As derivadas dxldl e dyldl sao chamadas taxas relacionadas,
porque estao relacionadas por uma equa~ao. Tal equa~ao pode
ser usada para achar uma das taxas, quando se conhece a outra.
Os exemplos seguintes dao varias itustra~6es.
Consideremos a seguir 0 problema abaixo, que envolve as
laxas de varial;ao de x e y .em relal;ao a t:
dx
dt ~ 0,6 mls
~
quando y ~ 4 m
Diretrlzes para resolver ,.
problemas de taxas .
relaclonadas (3.36)
······lti~;;'J~~~
···fl~llllil'i~~
:-.J3}'&creve'j: todcis" os fatos conhecidos,
expressando as
.'. '.'·;'~'ta~~,"'C'
'iles~0I1hecidas' 'c~moc i:Ier'ivadas' das '
h~cidas'\e'
Pode-se obler uma equal;ao relacionando x eye aplicando
o leorema de Pilagoras ao lriangulo relangulo formado pela
parede, pelo solo e pela escada (veja a Figura 3.32). Obtemos
x2+l~36
Diferenciando ambos os membros da equal;ao implicitamenle
em relal;ao a t, lemos:
d ,
d(y,) - ~_
d(..36 )
-(r)+dt
dt
dt
"Um erro comum consiste em antecipar a introdw;iio de
valores numericos espeC£ficos para as taxas e quantidades
variaveis. Tenha em mente que se deve, primeiro, obter uma
formula geral que relacione as taxas de varial;ao, em urn instante
arbilrario t. Os valores nunll!ricos s6 devem ser introdllzidos 110
estcfgio final do processo de resohlfiio do problema,
dx
dy
2-.: di + 2y dt' ~ 0
!!y.
dt
x ,h
~-y dt
desde que y •• O.
A lIltima equal;ao e uma formula geral relacionando as duas
laxas de varial;ao dxldt e dy/dl. Consideremos entao 0 caso
especial y ~ 4. 0 valor correspondente de x pode ser dado por
x2 + 42 ~ 36 ou x2 ~ 20
Assim, x ~ VJ15 quando y •. 4. Levando em conla esses valores
na formula de dy/dt, obtemos
dy ~ _ VJ15 (0 6) = _ 0 67 mls
dt
4'
,
A 1h 0 navio A esta a 25 mil has ao sui do navio B. Se 0 navio
A esla navegando para 0 oeste a razao de 16 milh e 0 navio B
esta navegando para 0 sui a razao de 20 milh, determine a razao
na qual varia a dislancia enlre os navios a 1h30 min.
Denotemos por to numera de horas ap6s 1h, Na Figura 3.33, P
e Q san as posil;oes dos navios a Ih, x e y san os numeros de
milhas por eles percorridas em t horas, e z e a distancia enlre os
navios apos t horas. Nosso problema pode ser enunciado como
segue:
:~16milh
Eis algumas diretrizes para resolver problemas
relacionadas do lipo ilustrado no Exemplo 2.
e ~~20mi/h
e
de laxas
di
dt quando
t ~ ~ Iz
Aplicando 0 teorema de Pitagoras ao trifmgulo da Figura
3.33, obtemos a seguinte equal;ao geml ligando as variaveis x,
y e z:
Diferenciando implicitamente
em rela«;ao ate
regras da potencia e da cadeia, obtemos
d
d
aplicando
as
Em seguida:
~~ = 0,001
d
3
m /min
Iii (r) ~ Iii (r) + Iii (25 - yj2
dll
2z ~~ ~ 2x ~
dz
- dx
(O-~)
+ 2(25 -y)
z dt = x dt +
(y
)ft
di quando II = 1 m
a volume V de iigua no tanque correspondente
didade II e
a profun-
- 25 dt
A Ih30 min. os navios viajaram meia hora e
Esta formula de V relaciona V, r e II. Antes de diferencim
implicilamente em rela«;ao a t, expressemos V em termos de uma
unica variiivei. Atentando para a Figura 3.34 e utilizando
semelhan«;a de trilingulos, obtemos
Z2 = 64 + 225
= 289,
ou
Z =
V289 = 17
II
au r=2
Levando em conta a ultima equa«;ao que envolve dz/dt, temos
17 ~ = 8(16) + (-15)(20)
(h)2 h 12'1 nll
V = -1 n 3
2
dz
172
dt =-17=-1O,12milh.
=-
3
a sinal negativo indica que a distlincia entre os navios estii
diminuindo 11 Ih30 min.
Diferenciando implicitamente a Ultima equa«;ao em rela«;ao a t
obtemos a seguinte relac;ao geral entre as taxas de varia«;ao de
V e de II no instante t:
autro metoda de resolu«;ao consi.ste em escrever x = 16t,
Y = 20t, e
-
dV = lrrN dll
dt 4
dt
z = [r + (25 - yj2r12 = [256P + (25 - 20tj2PI2
dh
Pode-se entao achar a derivada dz/dt, e a substitui«;ao de t por
~ dii a taxa de varia«;ao desejada.
4 dV
di = nh2 di
fazendo II = 1 e dV/dt = 0,001
Finalmente,
m3/min, obtemos
dlz
4
.
-d = -( )2' (1) = 1,27 nnlmm
t
nIl
·I>o,ooi
Urn tanque tern a forma de urn cone circular reto invertido, com
4 de altura e 2 m de raio da base. Se a iigua entra no tanque 11
razao de 0,001 m3/min, calcule apriiximada,mente a razao na qual
-0 nivel da iigua estii sub indo quando a profundidade
e de 1 m.
Come«;amos fazendo urn esbo«;o da situa«;ao (Figura 3.34), com
r denotando 0 raio da superffcie de iigua quando a profundidade
e II. Note que tanto r como II sao fun«;6es do tempo t.
Urn farol girat6rio faz uma revoluc;ao em 15 segundos. a farol
estii a 60 m do ponto mais proximo P em uma praia retilfnca.
Determin-e a raz30' na qual urn taio de luz do farol esta sc
movendo aolongo da praia em urn ponto a 150 m de P.
:-
••!l.
L
A Figura 3.35 e urn diagrama do problema. B denola a posi~ao
do farol e ljl e 0 angulo entre BP e 0 raio de luz ate 0 ponto S
na praia a x unidades de P.
SOLuQAo
(a)
Denotando
ljl 0 angulo BAC da Figura
pela geometria
plana, ljl=90'-B=~n-B.
dljl/dt = dO/dt, ljl deeresee
3.36,
entao,.
Como
a mesma razao 11 qual ljl eresee.
No triangulo BAC, vemos que
.L
sen ljl= 10'
y = 30 sen ljl~ 30 sen (~ n - B)
ou
Difereneiando
implieitamente em rela~ao ate
identidade cos(~ n - 0) = sen 0 vem
Como 0 farol faz 4 revolu~6es por minuto, 0 angulo ljlvaria
11 raz30 de 4.2n: radianos pOT minuto; isto e, dljl/dt ~ 8n. Do
triangulo PBS temos:
tgljl=~
dt
(b)
60
,
dt
dt
Transformando
em radianos: IS' = 15(lt/180) = n/12 rd.
Fazendo dB/dt = n/12 rd/h e B = 30' = n/6 na expressao de
dy/dt, obtemos
dt
2
(1)2 (.2!...)
12 8'
= ~ •••-0393
mlh
.
~ = 60 see ljl ~~ = (60 see ljl)(8n) ~ 480 see ljl
Se
2
x = 150, BS = v602 + 1502 = Y26,100 ~ 10V26f c
see ljl= 10Y26f = V26f
60
6
Logo,
dx
261
.
dt ~ 480 n see ljl= 480 n 36 = 3.480 •••10.933 rn!mm
Execs. 1-8: Adrnita que tad as as varhiveis sejam
fun,6es de t.
dt
1 Se A = x-7 e dr
= 3 quando x = 10,
.
dw
d etenmne d!'
5 Se x2 + 31 + 2y = 10 e ~ = 2 quando x = 3 e
delennine dA.
dt
A Figura 3.36 mostra urn painel solar de 3 m de largura equipado
com urn ajustador hidraulieo. A mcdida que 0 sol se eleva, 0
painel e ajuslado automaticamentc de modo que os raios do sol
ineidarn perpcndieularmenle
nele.
(a)
Determine a rela~ao entre a taxa dy/dt 11 qual 0 painel deve
ser abaixado e a taxa dB/dt 11 qual 0 angulo de ine]jna~ao
dos raios au menta.
a
El = 3 eos (In - B) (0 - dO) = _ 3 sen B dO
El = _ 3
2
usando
y = -1, determine
~7'
dz
dS
2 Se S = z3 e -d = - 2 quando z = 3, delermine-.
t
dt
3 Se V = _5p3f2 e dV = -4 quando V = -40,
de
quando x = -2 e y = 1, determine ~.
dt
determine tiE
dt'
7
dP
Se 3x2y + 2t = -32 e
4 Se P = 3/w e di = 5 quando P = 9,
.
dx
Y ~ -3, determIne dr'
!fft = -4 quando x 2 e
=
8 Se _X2y2
-
19 Uma pessoa que solta urn papagaio segura a corda
a 1,5 m do solo; a corda e liberada 11razao de
0,6 mls na medida em que 0 papagaio se move
horizontalmenle a uma altura de 33,5 m. Supondo
que a corda fique sempre lensa, detennine a taxa
11qual 0 papagaio esta se movendo no instante
em que foram Iiberados 38 m de corda.
4y ~ -44 e !!:! = 5 quando x = -3 e
dr
. tJl'y = 2, detennme dr'
\
9 Ao ser aquecida uma chapa circular de melal, seu
diametro varia 11razao de 0,01 em/min. Delermine a taxa 11qual a area de uma das faces varia
quando 0 diametro esla em 30 em.
22 Urn cabo de 30 m de comprimento e 10 cm de
diametro e submergido em agua do mar. Em
virtude da corrosao, a area da superficie do cabo
decresce 11razao de 4.500 cm2/ano. Ignorando a
corrosao nas extremidades do cabo, ache a taxa
11qual 0 diametro esla diminuindo.
23 As extremidades de um cacho de 2,5 m de camprimento slio triiingulos equilateros cujos lados tern 60
em de comprimento (veja a figura). Se a agua esta
entrand~no cocho 11razao de 142 Vmin, detemlinc
a taxa em que 0 nivel da agna esta subindo quando
a profundidade da agua e de 20 em.
10 Urn ineendio em urn campo aberto se alastra em
fonna de drculo. a raio do dreulo aumenla 11
razao de 1 mlmin. Detennine a taxa 11qual a area
ineendiada esta aumentando quando 0 raio e de
20m.
11 Gas esla sendo bombeado para urn balao esferieo
11razao de 0,1 m3/min. Ache a taxa de varia<;ao
do raio quando este e de 0,45 m.
12 Suponha que uma bola de neve (esferica) esteja
se derretendo, com 0 raio decrescendo 11razao
constante, passando de 30 em para 20 cm em 45
minulos. Qual a varia<;ao do volume quando 0
raio esta com 25 cm?
13 Uma escada de 6 m de comprimenlo esta apoiada
em uma parede vertical. Se a base da eseada
come<;a a deslizar horizontaJmente 11razao de
1 mis, com que velocidade 0 topo da eseada
percorre a parede, quando csta a 2,5 m aeima do
solo?
16 Um homem em urn cais puxa urn bote por uma
eorfa amarrada 11proa do mesmo a 0,5 m acima
do nivel da agua e passando por uma polia
simples localizada na beira do cais a 2,5 m acima
do nivel da agua, Se ele puxa a corda 11razao de
0,5 mIs, com que velocidade 0 bote esta se .
aproximando do cais quando a proa esta a 8 m
de distancia de urn ponto direlamente abaixo da
polia?
.\
'I'"
" 20 Urn balao de ar quente sobe verticalmente 11
r:i' medida que uma corda, amarrada 11sua base, e
r:',liberada 11razao de 1 mlm. 0 carretel que libera
a cordaesla a 6,5 m da platafonna onde os
passageiros embarcam (veja a figura). A que taxa
o baJao esta subindo quando tiverem sido Iiberados 150 m da corda?
\
--~~
~\
2,5m
24 Fa<;a 0 Exerdcio 23 no casu de as extremidllcl 'S
do cocho terem a foima do graftco cley - 2x cntre
os pontos (-1, 2)'e (1, 2).
25 A area de urn triangulo equilatero cleeres'c b
razao de 4 cm2/min. Detennine a taxa na qUlll 0
comprimento do lado esta variando quando a ~rcll
do triangulo e 200 cm2.
'
14 Uma pessoa parte do ponto A em dire<;aoleste a
3 mls. Um minuto depois, outra pessoa parte de
A em dire<;ao norte a 2,5 m/s. A que taxa esta
'variando a distaneia entre elas 1 minuto ap6s a
partida da segunda pcssoa?
15 Uma luz esta no alto de urn poste de 5 m. Um
menino de 1,6 m se afasta do poste 11razao de
1,2 mls. A que taxa se move a ponta de sua
sombra quando ele esta a 6 m do poste? A que
taxa aumenta 0 comprimento de sua sombra?
.
60cm
,.
,
,
17 A parte superior de urn siRNem a fonna de um
hemisferio de 1,5 m de raio' e eSla revestida
unifonnemente de uma camada de gelo. SC--{
espessura da camada de gelo decresce 11razao de
0,6 cm/h, 'qual a taxa'de varia<;aodo volume de
gelo quando a camada tern 5 em de espessura?
18 A areia que vaza de urn dep6sito fonna uina pilha
conica cuja altura e sempre igual ao raio. 'Se a
altura da pilha aumenta 11razao de 15 c:m/min,
delennine a laxa 11qual a areia esta escoando
quando a altura da pilha e 25 cm.
,
., ;~;.~J
;,-.:.:': ..•.
.~;,!;.~:;;~~~"
21 A lei de Boyle para gases confinados afirma que,
,'" se a temperatura pennaneee constante, entao
.:. pv = C, onde pea pressao, v 0 volume e e uma
"'.,constante.
A, cerlo instante, 0 volume e
;<;'.l,2:J0·cm3, a pressao de 206 k/cm2 e a pressao
'; ',decresce 11razaq de 1 kmlcm2. Em que taxa esta
i;>,varando 0 volume nesse instante?
'
i
26 Gas escapa de urn balao esferico 11razao (I
0,28 m3/h. Qual a taxa de varia<;fio do rllio
quando 0 volume esta em 11 m3?
27 Jnga-se uma pedra em u~ Jago, produzindo Ollth.
circulares cujos raios aurnentaJTI a uma ru, 1I
conslante de 0,5 m/seg. A que taxa esta aUI'''OIi
tando a circunferencia de uma onda quando 0 rllll!
e de 4 m?
28 a campo de certojogo tcm a forrna de L11l1
qLllldlllllu
de 20 m de lado. Um dos vertices e 0 pOllIO1I
partida, e os nutros san as bases. Se LIllijoulIlilli
esta correndo da segunda para a tcrecim bll~o II
8 mis, a que taxa 'sua distfincia da origem Nt
varian do quando ele esta a 6 rn da tcrccim
h", '/
I) Olllllilio dois
resist ores RI, e Rz sao ligados em
11111111010
(vcja a figura a seguir), a resistencia total
/I cllI~[lpela equa~ao lIR '= (i/RI) + (I/Rz). Se
/II I' Uj, cslao aumentando as taxas de 0,01 ohm/s
, lI,m, ohm/s respectivamente, a que taxa varia R
1111IInllllllCCIlIqueR] = 30 ohms eRz e 90 ohms?
III 1\ I .l11l1ln dn expansao adiabatica do ar e
111,1.'1. C, ondc pea
pressao,'v 0 volume e e C
1111111
wllshante. Em certo instante a pressao c
'Ill lIllI/'III' e estii aumentando a razao de
2
\ tllli/ nl por segundo. Se, no mesmo instante,
3
" vllilime C de 60 em , determine a taxa de
VIIIIII~
I" ~o volume,
\ I Sl~tllII 11IIIqUCesferico de raio a contem agua a
1111111
prol'lIll1Jidade miixima h, entao 0 volume V
I
2
"" ~",1I1l110tanque C dado por V = 3" rrh (3a - h),
:i1l1'0llhIlIllOSque urn tanque esferieo de 5 m de
Ill" cslcjn sendo enchido a razao de 4 m3/min,
I) 11I1I1l
al'roxima~ao da taxa a qual 0 nivel de
/llill sl~ slibindo quando h = 1,5 m.
\ 1111"'p6,ilo csferico estii recoberto uniformeIII\,nl' por lima camada de gelo de 5 cm de
11"1'"slIrn. ;... medida que 0 gelo derrete, a taxa
1111
'111111
n volume de gelo diminui e diretamente
1""1"11'ional i\ taxa em que a area da superficie
11,'\"'S 'C, Mostre que 0 diametro extemo esta
",'c'Il'S 'cndo a uma taxa constante.
\ \ 1)11h'lrn de 11mrochedo 60 m acima de urn lago
11111
III'nillO deixa cair uma pedra e, dois segundos
Ill' II, Ii 'ixa cair outra pedra da mesma posi~ao.
I>I/IC'1I111
IItaxa na qual a distancia entre as pedras
VIIIIIItlllnllile 0 proximo segundo, (Admita que a
III"' II'i" percorrida em I segundos por urn objeto
IIIqllcda livre e 4,9 t2 m.)
\,1 11"," vllrn ~e mctal lem a forma de urn cilindro
, II'lIll1rreio. 1\0 ser aquccida a vara, seu comI" IIIC"'OIlIlInenla de 0,005 cm/min e seu diame1111111""'1I1ade 0,002 cm/min. Qual a taxa de
VIIIIIl~nO
do volllme da vara quando seu compriIII 11111
C de '10 cm e seu diametro 3 cm?
35 Urn aviao estii voando a uma velocidade con'stan~
..:, te'de580 km/h~ subindo a urn lingulo' de 45·.';
". No momento em que ,ele estii a uma alhira de'
3,2 Ian,' passa diretamente sobre uina torre' de "
controle·no'solo. Aehe'a taxa 'de·varia~ao da' ;
distancia do aviao a to~e urn minuto mais tarde . .f:.
(Ignore a altura da torre.),"
36 Uma rodovia Norte-Sui A e urna rodovia LesteOeste B se cruzam em urn ponto P. As 10 horas':;
da manha urn hutomovel passa por P em dire~ao ':,
norte pel a rodovia A a uma velocidade de'"
80 kmIb. No mesmo instante, urn' aviao voando i.i·"
para leste a 320 km/h, a altitude de 8.500 m, esta ;.
diretamente acima do Ponto da rodovia B a···..
160 km a oeste de P. Se 0 autom6vel e 0 aviao
mantem constantes as suas velocidades e dire· .,
~oes, qual a taxa de varia~o da distancia entre>
eles as 10h15. min da manha?
"
'
,
37 Uma ta~a de papel contendo agua tern a forma
de urn tronco de cone circular, reto 15 cm de '
altura e 3 cm e 6 em de raios das bases inferior U
e superior, respectivamente. Se a agua vaza iiil :'
ta~a a razao de 50 em31b,'qual a taxa de redu~ao "
do nivel da agua 'quando a profundidade da'~gua '.
na taxa e de 10 cm? (0 volume V de urn tronco .
de cone circular reto de altura h e bases a e b c
40 No Exercicio 16, seja a oangulo que a corda faz
' .. com a hol1zontal.'Dete'mine anizAo a' qual a
, .varia quando B e 30'.
' ..','
".
41 Urn triangulo isosceles tern os lados iguais com
15 cm cada urn. Se 0 lingulo a entre eles varia a
razao de 2' por minuto, detennine.a varia~ao da
area do triangulo quando a e3(r,
42 Uma escada de 6 m de comprimento est a apoiada.
em uma parede. Se a base"da escada co~e~a a
deslizar horizontalmente. it,' r~ao de 0,6 m' por
segundo, qual a taxa de varia~ao' do' 'angulo entre
a escada e 0 solo quando 0 topo da escada esta
a 3 m do solo?
39 Urn aviao a uma altitude de 3.000 m voa em
velocidade constante segundo uma reta que 0
levarii a passar diretamente acima de um observador no solo, Se, em dado instante, oobservador
nota que 0 lingulo de eleva~ao do aviao e 60' e
esta aumentando a raziio de I' por segundo,
determine a velocidade do aviao.
velocidad~;d~.~~~,r.r;r<~;;;:';'::
"i::::;, .
46 Urn missil e lan~ado verticalmente, de urn ponto
que cst a a 8 kin de uma i:sta~o de raStreamento;
e a mesma altura desta. Durante, os prirrieiros 20
segundos de voo, seu angulo d'ee1eva~iiqe varia
a razao constante de 2' po'r segundo, 'D,etemline
a velocidade do missil quando 0 angttlo de
eleva~ao e 30'. '. .' .
. ,~
43 A figura aim:se~i~'~ posi~~'o rel~iiva da pist~ de
',' um'aeroporto e de~inaiorii: de controle de 6 m
ii, de'·al~ra.'
Acab~ci:ira'da'
pi~lh:~tii'a
uma
i' distancia de 906
da base da torie': Se
aviao
:: atinge a~bl~cidad~~e'160knilh
ipos percorrer
'; 100 In dapista,deiermine u~;a 'aproxim,a~~o da
- taxa na qual esta aiim'eniando' a distaitcia entre 0
aviao e a torre de controle.
m
i
urn
I
V = 11th(a2 + b2 + ab)),
38 Uma piscina tem a forma retangular com 20 01
de comprimento e 10 m de largura. 0 fundo da
piscina varia uniformemente de 1,20 m a 2,70 m
por uma distilOcia horizontal de 12 m, pemlanecendo constante dai por diante, (A ilustra~ao
mostra 0 corte transversal da piscina.) Se a
piscina estii sendo enchida de agua a razao de
50 IImin, aproxime a taxa de eleva<;ao do myel
da iigua quando a altura desta na parte mais
profunda e 1,20 m.
lingulo de·el~v~~a({deia.~iaei:~30:~eesiriru~::~;.';r
tando a razao d~O,5:Pi?r segundo. ;D,ei~nnine' a
44 A velocidade do som no ar a O'C (ou 273·K) e
de aproximadamente 360 mis, mas essa velocidade aumenta na medida em que a temperatura
se eleva. Se Tea temperatura em 'K, a velocidade
do som v a essa te'mperatura e dada por
v e v//273. Se a temperatura aumenta a razao de
3'C por hora, de uma aproxima~ao da taxa na
qual a velocidade do som esta aumentando quando T = 30'C (ou 303'K).
45 Urn aviao voa a velocidade e altitude conslantes
segundo uma reta que 0 levara a passar diretamente sobre uma esta~ao de radar no solo. No
instanle em que 0 aviao esta a 18.000 m acima
da esta~ao, urn observador na esta~ao nota que 0
47 A figura mostra a montagem do pedal d~.,uma
bicicleta de 70 cm (28 pols).'Determlne ~'rei;i~ao
enlre a velocidade angular dO/dl (em rd/s) da
montagem do pedal e a velocidade da bicic1eta
(em kmlh).
.
48 Urn foco luminoso de 100 velas esta localizado
6 m acima de urn palco (veja a figura a seguir),
A iluminancia E(em pes/vela) na pequena area
iluminada do palco e dada por E = (l cos o)li,
onde I e a intensidade da luz, S a distancia que a
luz deve percorrer e 0 0 angulo indicado. Determine a rela~ao entre a taxa de varia~ao de
iluminancia dE/dl e a taxa de varia~iio dO/dt.
3:9' EXERCicIOS DE REVISAo
. ~:iercs.
1-2: CalculI' f'(x)
diretamente
a partir
da
Vi -sen
35 g(x) = (cos
~
defilli~ao de derivada.
x
36 f(x) = 2x + secz x
37 G(u)=~
cot u + 1
sen <I>
!~::'
38 k(<I»= cos <I> - sen <I>
39 F(x) = sec 5x tg 5x seD 5x
40 H(z) = VsenVz
6
49 Urn pelldu/o cOllico consiste de uma massa III
presa a uma corda de comprimento
fixo /, que
percorre um circuJo de raio r velocidade y (veja
figural· Quando a velocidade da massa aumenta,
aumentam tambem 0 raio reo angulo 6. Sabendo
que y2 ; rg tg 6 (g e a constante gravitacional),
determine a rela~ao entre as taxas
a
(a) du/dt
I'
_ (b) .~u/dt
I'
IQ] 51 0 DavioA navega para 0 norte e 0 navioS
navega
f(w)=
para 0 oeste. Utilizando urn plano coordenado xy,
o radar registra as coordenadas (em km) de cada
•
'-, :. .
t(min)
1,25
2,50
3,75
5,00
x(laD)
1,77
1,77
1,77
1,77
y(k~) 2,71
3,03
3,35
3,67
:'1
ii·.,
[ZZ + (ZZ
"1.' I '
+ 9)ln]ln
+
v'Y+l=y
47 xyZ = sen(x + 2y)
48 Y = cot(xy)
Exercfcios
49-50: Determine equa~oes
e da normal ao grafico de f em P.
49 Y - 2x-
•
46yz-Vx;+3x=2
da tangenllJ
4
vx ;
t(IJii~)
1,25
3,75
5,00
x(iqUf
5,24
5,52
5,80
6,08
50 xZy - y3 = 8;
j(brif
1,24
1,24
1,24
J,24
51 Ache a coordenada-x
de todos os ponlos do
grafico de y = 3x - cos 2x DOSqnais a tangenle 6
perpendicular
11 reta 2x + 4y = 5.
t e eSlao relacionadas
" 19 k(s) = (15Z - 3s + 1)(9s - 1)4
pel a formula
. rz;;;s
23f(w)~V~
'se
+y-I = 1
2,50
IQ] 52 Duas variaveis x e y sao fun~oes de uma variavel
50 A agua pinga de urn filtro cOnico de papel em
uma ta~a, conform I' a figura. Sejam x a altura da
agua no filtro, I' y a altura da agua na ta~a.
':'Deterrninea
reia~ao eDtre dy/dt I' dx/dl quando
poem 15 cm3 de agua no filtro.
43 5x3 - 2xZyz + 4y3 - 7 = 0
VX 1
17 F(x) = (x" + 1)5 (3x + 2)3
~
Exercs. 43·48: Admitindo que a equa~ao defina lima
fun~o diferenciavel f tal que y - f(x), determine y '.
45
(w-l)(w-3)
16 g(w) - (w + 1)(w + 3)
gee) = tg4 ( W)
41
42 f(x) = csc3 3x cotZ 3x
44 3xz_xyz
5
8s2 _ 4)4
t~~s)= ( 1-l)3
:ii~'k(z) =
NavioB:
10 H(x) = (3xl; 1)4
~:P $(X) = V\3X+2jf
..
NavioA:
6
-
V3W2
,;'4!'(r) = (r2 - rZ)-Z
....,.- :,
dr/dl
t
9 G(x) = -Z--)4
:i,:'."
(3x -1
navio a interval os de _1,25 minutos, conforme
tabelas abaixo. Determine aproximadamente
a
taxa (em km/h) 11 qual a distancia entre os Davios
esta variando quando t ; 5.
d6/dl
1
h(t) = v6t + 5
Se dy/dt- 3,68 quando x - 1,71 e y_ 3,03, deter'. mine uma aproxima~ao do valor correspond en Ie
de dx/dl.
52 Se f(x) = sen 2x - cos 2x para 0" X" 2n, delermine as coordenadas-x dos ponlos do gnlfico d
f nos quais a langenle horizontal.
e
Exercs.
'i 24 Set) = -.ft!'+I+l \'41- 9
53-54:
Determine
53 Y = 5x3 + 4vx
y " y ", e y '''.
54 Y = 2xz - 3x - cos 5x
"
25 g(r) = VI + cos 2r
26 ~z) ~ csc (~) + se~ z
27 f{x) = senZ (4il)
28 H(I)
-h + seD 3t)3
29 h(x)-(secx+tgx)5
30 K(r)-
~,.J+csc6r
31 f(x) = xZ cot 2x
32 P(6)
:= 6z tgZ (8)2
1-,
33 K(e);'
sen 2e
1 + cos 2e
1
34 g(t) = 1 + cosz 2u
55 Sex2 + 4xy
implfcila.
-l = 8, calculI' y " por difercncill~
II
56 Se f(x) = x3 -xl - 5x + 2, determine
(a) as coordenadas-x dos pontos do gr{tlien (I
em que a tangente
paralela
1\ r'llI POI
At--3, 2) I' 8(1, 14).
c
'(b) 0 valor de f" em cada zero de f,
68 Sejam V e S 0 volume e a area da superffcie
esferica de urn baHio. Se 0 di~metro
de 8 em e
a. volume aumenta em 12 cm3, aproxime, par
rneio de diferenciais, a varia~iio de S,
e
/I '10 }I ~ ,~./(.
'1 I), delermine dye lIse sell valor
111111111111\"
1111111
IIproxima~ao de y quando x varia
=
1,91l. Qual (; a varia~ao ex ala de y?
II, ll'"11
Ij 1111Iti" d \ '"llrinlgulo
equilatero e estimado em
1111111,,'11111'lrO maximo de ±0,08 em, POI' meio
,II Ililolrl,dllis,
eslime 0 eno maximo no caicuio
,III • II II" I.lAngulo. Obtenha uma aproxima~ao
Iltl "" pr,ceullllI\.
vr+T
II '., •• 1,'1 •
e r = 13 + 12 + J, aplique
IIjlll tin \'lId ·ill pllra calcular dsldl em 1=1.
I.
,I 1"II'lIdlll, para aproximar a varia~ao
CI\. ) 11"1111(10 varia de -1 a -1,01.
1\11' 1Iltll, I'll' m 'io de difereneiais
1I111~
II I II III do
1'( J). II,
I
(11)(
uma aproxi-
tais
que
-2, g(2) = -3,
I, ('III ule pan. x = 2;
''(1).
J"().
IH)' (1o)(2f
- 3g)"(e) (fg)'
(,,) (~)'
(I) (;)"
(,I) /( )"
em
V64,2.
J C N fll,,~6es
II' • "1","1"1
f(2) = -1,
=2 e
g'(2)
1iI1I~III fllllllll e f! "ma fUfI(;ao par tais que
I \). I, f'(.I). 7, g(3) = -3 e g'(3) = -5. Cal1111, (I" 1/)'( I) ,
0 /)'(3).
VI
I It 111111III lIl1d' 0 grafico
de /
tern
tangente
VI ,,11111,," 1'''"111 tie I'eversiio.
III
(II)
/(1)-
(II)
1(') •. (1
1(. I 1)113_4
8) /3_1
x,,2
'iln /(' • (7r_I)3
•
1,,111111IIr s\' J
I
3.lx - 61
diferenci:\vcl
x<2
em 2.
1./ ,\ II I,ll' SI!'IIIII 1I\lIt/,nla"" afirtna que a energia
o,tilllllil !'lItilidll p'" lima unidade de area de
_"1"1111 I '"'gOI . dllda pOI' R ~ kT4, onde Rea
III II d,
"' "', \I pll! IIlIidade de area, Tea
II 1111'11111111'11
"III ("K) eke
IIlIla conslante. Se 0
'""
ti, ""'",.II'"~
II lllll
lit
/I
jllll\
l'lIlllal
III de
do foco, delermine, por meio de diferenciais,
a
varia~ao percentual na distiincia que aumenta em
10% a intensidade.
r c de 0,5%,
I 'slIllanlc
71 As extremidades de urn cocho de agua horizontal
de 8 m de comprimento
siio trapczios is6sceles
de bases de 2 m elm.
A altura do cocho e de
a
0,6 m. Se 0 nlvel da agua esta subindo
razao
de 0,1 em/min, quando a profundidade da agua e
de 0,3 m, com que velocidade
a agua esta
entrando no cocho?
72 Dois carros se aproximarn de urn cruzamenlo de
duas eslradas perpendiculares.
0 carro A viaja a
20 kmlh e 0 carro B a 40 kmlh. Se, em certo
instante,A est a a 0,25 km do cruzarnento e B esta
a 0,5 km do mesmo, determine a taxa de aproxima~ao dos dois carras naqueJe instante.
1,1 I .11111111
Iix'lI '('llI R7 dll Se~ao 3.6. Sejam / uma
n
70 A inlensidade de i1umina~ao de urna fonte luminosa e inversamente proporcional ao quadrado da
distiincia da fonte. Se urn estudante esta Irabalhando em uma mesa que csta a cerIa distiincia
eg(x)=x5+4x3+2x,
III I /(.)-).).'! li-x".1
"'
a
69 Urn cone circular reto tern altura h 8 m e 0 raio
r da base esta aumenlando.
Ache a taxa de
varia~ao da area de sua superffcie S em rela~ao
a r quando r ~ 6 m,
no ca1culo
determine
do valor
73 A lei de Boyle afirrna que pv = c, onde pea
pressao, v 0 volume e c uma conslante. Estabele~a
lima formula para a laxa de varia~iio de p em
rela,ao a v.
74 Uma pontc esta a 6 m acima de urn rio e em
ilOgulos retos com ele. Um hornem em urn trem
a 60 kmIh pass a pelo centro da ponte no rnesmo
instante em que outro homern em urn barco a
motor passa sob 0 centro da ponte a 20 kmlh (veja
a figura). Com que velocidade os doi!l. homens
estiio se afastando urn do outro 10 segundo's mais
larde?
75 Urna roda-gigante tem 30 m de diamelro e atinge
33 m acima do solo (veja a figura). Cada revolu~iio da roda leva 30 segundos.
(a) Expresse
a distiincia
II de urn assenlo
em
rela~ao ao solo, eomo fun~ao do tempo I (em
segundos), se 1=0 corresponde
ao instante
em que a assenlo est a na base.
(b) Se urn assento esta se elevando, qual a taxa
de varia~o d~ distiincia M quando II = 16 m?
76 Urn pistao esta anexado a urn virabrequill1 conforme a figura. A haste de conexao AB tern 15 cm de
comprimento e 0 raio do virabrequim tern 5 em.
(a) Se 0 virabrequim
faz <luas rota~6es por segundo no sentido anti-horado,
estabe,e~a' formulas para a posi~ao do ponlo II aos t
segundos apos A ter as coordenadas
(2,0).
(b) Estabele~a uma formula
ponto B no instante I.
para a posi~iio
do
(c) Com que velocidade
B esla se movendo
quando A tem coordenadas
(0,2)?
~~"",lIIii:'''-' -----~-------~---
1//<:"·
Capitulo 4
MAKRON
Books
..•
,APLICAf;OES DA DERIVADA
Neste capItulo utilizaremos derivadas para
obter detalhes imporlantes sobre valores funcionais J(x) quando x varia em urn intervalo.
Tais dados nos permitirao tra«;ar 0 grafico de
uma fun«;ao e descrever com precisao onde
ele cresce ou decresce - algo que em geral
nao pode ser obtido com os metodos do
pre-ciilculo. Da maior importancia
a determina«;ao dos pontos altos e baixos do griifico,
jii que eles correspondem
aos maiores e
menores valores da fun«;ao. A determina«;ao
desses valores extremos desempenha. papel
relevante em aplical;oes que envolvem tempo,
temperatura, volume, pressao, consumo de
gasoMa"poluiliiio do ar, lucros em neg6cios,
despesas de uma companhia e, de modo geral.
qualquer quantidade que possa ser representad a por uma fun«;ao. Tais problemas
de
otimizat;iio sao considerados na Se!;iio 4.6,
ap6s termos desenvolvido a teoria que relaciona derivadas e val ores extremos. Este
relacionamento se obtem com 0 emprego de
urn dos mais imp0rla\ltes resultados do calculo: 0 teorema do valor media. demonstrado
na Sel;ao 4.2. Este teorema e tambern empregada de rnaneira crucial no Capitulo 5, onde
introduzimos outro conceito fundamental do
ciilculo - a integral definida.
e
Encerrarnos este capitulo com 0 metoda de Newlon, urn' instiumento para obler
aproxima«;ao de solul;oes de equa«;oes. E
facilmente programiivel para usa com calculadoras ou compuladores e constitui uma das
tecnicas biisicas no campo de matemiitica
conhecida como alliilise /lumerica.
Se uma fun~ao e decrescente, seu grafico cai quando X cresce.
Se a Figura 4,1 eo grafico de uma fun~ao f, entao f e crescente
nos intervalos
[a, cl), [cl' cJ) e [c4' csJ. E decrescente em
Suponhamos que 0 grafico da Figura 4.1 tenha sido feito por urn
instrumento registrado que mede a varia~ao de uma quantidade
fisica. 0 eixo-x representa 0 tempo e 0 eixo-y representa mensura~6es tais como temperatura, resistencia em urn circuito
e1etrico, pressao sangliinea de urn individuo, quantidade de urn
produto qufmico em uma solu~ao, ou contagem de bacterias em
uma cullura.
,:
~
,
,
- c'
a
J
'--'-------~~c
c
C c
b
cl
J
s
4
6
[el' cl), [cy c4) e [cs' cJ
A fun~ao e constante
no intervalo
[c6' b].
A proxima defini~ao inlroduz a terminologia que sera usada
para os maiores e os menores valores de fun~6es.
(ii) Fun~50 decrcscentc
(iii) Fun~ao conslante
y
y
"1
/!!(X
0
..
! !(x
x
I)
j
o
gnlfico indica que a quantidade aumentou no intervaJo
de tempo [a, cl), decresceu em [cl' c2), aumentou em [c , c ),
2
decresceu
intervalo
em [cJ, c4) e assim por diante. Restringindo-nos
[CI'
J
ao
c4), vemos que a quantidade toma seu maior valor
(ou maximo) em cJ e seu menor valor (ou minima) em c ' Em
2
outros intervalos verificarn-se diferentes valores maximos e
mfnimos. Em lada 0 intervaJo [a, b), 0 maximo ocorre em C e
s
o minimo em a.
A terminologia para descri~ao de quantidades
usada tambem para fun~6es.
fisicas e
~~t~:::~I~:~ru,~",~~m.~:~~"/:
::::!:~x,.,'
'i W ..J~~~escente
'(ij;'f'6~'ecr~c~N~;em
(iii)f
e constante
em [ se f(xl)
< f(xl)
quando XI < Xl
'[;sU<x >'t(xi)qtia?dd X;'<
)
I
em [se f(xl)
= f(x;)
Xl
para todos Xl e Xl
e
Vtilizaremos indiferentemente as expressoes f crescellie
ou f(x) e crescellle. 0 meSillO ocorre para decrescellle. Se uma
fun~ao e crescente, entao seu grafico se eleva quando X cresce.
As Figuras 4.3 e 4.4 ilustram val ores de maxlmos e
minimos. Nestas figuras S e urn intervalo fechado; todavia, a
Defini~iio (4.2) pode aplicar-se a OUlrOStipos de intervalos ou
conjuntos de reais. Cada grafico apresentado tern urn maximo ou
urn rnfnimo f(c) com a < c < b; mas esses valores podem tambem
ocorrer em ponlos exlremos de intervalos ou domfnios de fun~6es.
Se f(c) e 0 valor maximo de f em S, digamos que f lama
seu valor maximo em c. 0 ponlo (c, f(c» is a ponto mais elevado
no grafico de f. Se f(c) e 0 valor minima de j, dizemos que f
lama seu valor minima em c, e (c, f(c» e 0 ponto mais baixo
do grafico de f. Os valores maximo e minimo sao as vezes
chamados val ores extrcmos, ou cxtremos, de f. Vma fun~ao
pode tomar urn valor maximo au minimo mais de uma vez. Se
f e uma fun~ao conslante, enlao f(c) e lanlo urn valor maximo
como urn valor mfnimo de f para lada real c.
·,
n
J(e)
Valor maximo
(i)
y
i
,,
,,
f(x) = 4-1
(a)
Y~f(x)
,,
,
./
: : J(x): J(e):
::
I
:
'
/TK
,
(e) (1,2]
Y
y
, ,,
,,
,,,
,,
,,
,
,
x
,
,, '.
,
,
,,
x
Mh:J(O) = 4
Mfn:J(-2) = 0
Valor mfnimo
(i)
(d) (1,2)
Y
Y
;f(e)!
j J(X);
:
(b) (-2,1)
Y = f(x)
,,
., ,
,
[-2,1]
-+-x
,
,,
,,,
x
Max: nenhum
Mfn:J(2) = 0
J (e)
e
(Hi)
Y
W M 0d1
:Y=f(X)
,, ,,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
i i f( e) i J(x) i
•
I,
I
I'
,
,
,
,
,
,,
I
,
i 1J(x)j J(e)
"
Nao hi! minima de f em (b); se e urn numero qualqucr
em (-2,1), podemos achar urn numero a em (-2,1) tal quc
f(a) < fee). Da mesma forma; nao h:i maximo em (c), e nern
maximo nem minimo em (d).
I
•
,
I
i j{e)!
I'
,
1M !
Seja f(x) =~. Determine os extremos de f em
Se De 0 dominio de f, entao os valores maximo e minimo
de f em D, se exist em, sao cham ados maximo absoluto e
minimo absoluto de f
A Figura 4.6 exibe partes do grafico de f e os extremos
intervalos dad os. Note que f nao e continua em O.
1
f(x)
Seja f(x) = 4-x2.
intervalos:
Determine
os extremos
~?
de f nos seguintes
(a) [-2, 1]
SOLu<;Ao
.A Figura 4.5 esbo ••a o.grafico de f (uma parabola), no qual a .
parte cheia corresponde aos intervalos (a)-(d). Os extremos em
cada intervalo (denotados por Max. e Min.) acham-se indicados
embaixo de cada gr:ifico.
)~
Max.: ncnhum
I·
Min.:J(2)=.
no
Os exemplos precedentes indicarn que a existencia de
valores maximos ou minimos podem depeoder do tipo de
intervalo e da continuidade da fun<;ao. 0 proximo teorema da
condi<;6es sob as quais uma fun<;ao toma urn valor maximo ou
minimo em urn intervalo. Para demonstra<;ao pod em ser consultados textos de calculo mais avan<;ados.
I
I
,
Min.::
local: ,
,
Toorema do Valor
xtremo (4.3)
:, Max.: local
I
I
I
I
I
,e
iMin.: local
I
x
e
A importancia deste teorema
que ele garante a existencia
de extremos se f e continua em urn intervalo feehado. Todavia,
os extremos podem oeorrer em intervalos que oao sao feehados
e para fun<;6es que nao sao continuas.
Interessam-nos
como segue.
tambem os extremos loeais de f, definidos
Os extremos locais em urn intervalo podem nao incluir 0
maximo ou minimo de f. Por exemplo, na Figura 4.1, f(a) e 0
minimo de f em [a, b], mas nao e urn minimo local, pois nao
ha nenhu~ intervalo aberto I contido em [a, b] tal que f(o) seja
o menor valor de f em f.
Em urn ponto correspondente a urn extrcmo local da func;ao
cujo grafico est a na Figura 4.7, ou a tangente e horizontal ou 0
grafico tcm urn bico. As coordenadas-x
desses pontos sao
numeros em que a derivada ou e zero ou nao existe. 0 proximo
teorema mostra quc isto e verdadeiro, de modo geral. A demonstrac;ao pode ser encontrada no fim desta Se<;ao.
:1~~:ti~~
fu~~9j te~:'lcil.~!,ir~~Q
:em um.iniervalo
Usa-se 0 termo local porque localizamos nossa aten<;ao em
urn intervalo aberto suficientemente pequeno contendo c tal que
f tome seu maior (ou menor) valor em c. Fora daquele intervalo
aberto, f pode tomar valores maiores (ou menores). As vezes
usa-se 0 termo relativo em vez de local. Cada maximo ou minimo
local e chamado urn extremo local de f, e sua totalidade constitui
o que chamarnos extremos loeais de f. A Figura 4.7 ilustra
varios exemplos de extremos locais. Como se ve, possivel urn
minimo local ser maior do que urn maximo local. __,
e
Neste texto, sempre que empregarmos as express6es maximo de f e mfnimo de f, sem incluir 0 adjetivo local, estaremos
nos referindo aos val ores funcionais da Defini<;ao (4.2). Se
quisermos indiear os extremos da Defini<;ao (4.4), acrescentaremas sempre 0 adjetivo local.
eXlste:' .. " "
• : ~;:~ . ", ';'i" ,,:;'. "
eSe'he)
iocal'e~ rim ~u'u;ero ,e,,'
aberto;'enlab'ou
f(e)';' 0 ou f(e)nao.
' "i\ II:·..'·
.
; .
• " :.
eJdste e'J'(e) ,,0, erit~o f(i;) 'i'uioe e!ctremo loCal d<i· '
fun~ol:.'\· ;".
'.
,',
.
Resultado semelhante ao do Teorema (4.5) e vaIido para os
valores maximo e minimo de uma func;iio quc e continua em urn
intervalo fechado [a, b], desde que os extremos ocorrarn no intervalo
oberto (a, b). 0 tcorema pade ser enunciado como segue.
..~~ u:nia.furi~ao
J e conti~~a
em urn intervalo
fechado
:;)~,.~].e)q~~;~~u,
inaxiplOou minimo em urn ponto e do
intervalo
aberto (a, b), entao ou f'(e) = 0 ou f(e) oao
~'existe:
..
.. '
A demonstra~lio do Teorema (4.7) e a mesma que de (4.5),
com a palavra local omitida.
Decorre dos Teoremas (4.5) e (4.7) que os numeros em
que a derivada ou e zero ou nlio existe, desempenharn papel de
relevo na pesquisa de exlremos de uma fun~lio. Por est a razlio
esses numeros tern urn nome especial.
Se c e urn nurnero"critico de f tal que f(c) = 0, entao c
deve estar em urn intervalo aberto do dominio de f, porque 0
limite na Definic<lio (3.6) existe, com a = c. Urn numero critico
c tal que f(c) nlio existe pode oeorrer em urn ponlo extremo do
dominio de f.
Referindo-nos ao Teorema (4.7), vernos que se f e continua
em urn intervalo fechado [a, b], entlio 0 valor maximo e 0 valor
minirno de f ocorrem ou em urn ponto critico de f em (a, b) ou
nos extremos a ou b do intervalo. E possivel tarnbem que um
numero critico c seja urn dos pontos extremos do intervalo
[a, b]. Se f(a) ou f(b) e urn extremo de f em [a, b], e chamado
extremo terminal. Este conceito esta ilustrado na Figura 4.8.
y
y
~.
I
,
:j(a)
:
I
I
b
a
Mln·:f(a)
x
b
Max.: f(a)
~
I
I
:
: f(b)
:
I
a
b
Min·:f(b)
:
: f(b)
I
I
I
I
:
x
b
M:Ix.:f(b)
Utilizando as Diretrizes (4.9), come~amos por deterrninar os
numeros eriticos de f. Diferenciando,
Como a derivada existe para todo x, os unicos numeros criticos slio
aqueles em que a derivada e zero - isto e, -2 e 2. Como f e continua
em [-3, 5], segue-se de nossa discusslio que os valores maximo c
minimo estlio entre os numeros f(-2), f(2), f(-3) e f(5). Calculando
esses valores (ver Diretrizes 2 e 3), obtemos 0 seguinte quadro
''.'.:.<'.':',,<.','" ,.: ".:,
!
"',
.'.
".•....•. ".:..• "
Valor de x: .: .. Classificac<lio de x
-2
Numero critico de f
Valor de f(x)
f(-2)
= 16
f(2)
= -16
-3
Extremo de [-3, 5]
f(-3) - 9
5
Extremo de [-3, 5]
f(5)
= 65
Segundo a Diretriz 4, 0 valor minirno de f em [-3,5] COOl 'lIor
valor funcional f(2) = -16, e 0 valor maximo C 0 ponlo 'xlr'lIlll
f(5) = 65.
y-f(x)
'~
Se f(x) = x3 - 12x, determinar os valores maximo e minimo de
f no intervalo fechado [-3,5] e esboc<ar 0 grafico de f.
x
Por vezes e bastante laborioso detenninar
os numeros
crfticos de uma fun"ao. Nos dois pr6ximos exemplos detenni,narernos esses numeros para fun"ocs mais complicadas do que
as consideradas ate agora. Poderiamos novamente usar as Diretrizes (4.9) para determinar extremos em urn intervalo fechado,
mas assim estanamos sendo repetitivos. Nas Se"oes 4.3 e 4.4
discutimos metodos para dctermina"ao de extremos locais de
uma fun~o, utilizando numeros crfticos e derivadas.
2
f'() X =32('x- 1)-113= 3(x-1)\/3
Para achar os numeros crfticos, notemos que f'(x) " 0 para todo
x e que f'(x) nao existe em x = 1. Logo 1 e 0 unico numero
crftico em [0, 9].
Determine os numeros crfticos de f se
,:r!Y~9f;4~~:'J;:
;'t~qi\i~iW~~~~t<h~#5;i:
Y1iM:d~J(i)'::.,
1
N6rnero cntico de f
f(l)
=2
o
Extremo de [0, 9]
f(O)
=3
9
Extremo de [0, 9]
f(9)
=6
Assim, pelas Diretrizes (4.9), f tern urn minimo f(l)
maximo f(9) = 6 no intervalo [0, 9].
,(9,6)
,
Diferenciando
f'(x)
= 2 e urn
f(x) = (x + 5)2(X - 4)113, obtemos
= (x +
sf ~(x - 4) -213+ 2(x + 5)(x - 4 )\13
I
I
)
:Mfix.:
1[(9) = 6
I I I I I
I-I-+-+-~
(I,
MIll.:
/( I) •• 2
lim f'(x)
x-l-
=..:..00
e
3
f(x) = (x + 5)2 Vx-4
f'(x) =
tim f'(x) = 00
x-I'
x
3~:~~~~
+ 2(x + 5)(x ---4)113
(x + 5f + 6(x + 5)(x - 4)
3(x-4)213
Como f e continua em x = 1,0 gnHico tern urn ponto dc reversao
em (1, 2) pel a Defini"ao (3.10).
(x + 5)[(x + 5) + 6(x- 4)]
3(x-4)213
Ve-se do Teorema (4.5) que se uma fun"ao tern um extremo
local, entao deve ocorrer em urn numcro crftico; entretanto, nem
todo numero crftico conduz a urn extremo local, 'conforme
ilustrado no exemplo seguinte.
(x + 5)(7x-19)
3(x-4)213
Logo, f'(x) = 0 sc x = -5 ou x = ~. A derivada
f'(x) nao existe
em x = 4. Logo, f tern tres numeros criticos -5, ~, e 4.
o gra~co de f consta da, Figura 4.11. A dcrivada e f'(x) =?r, ~,
Se f(x) = 2 sen x + cos 2x, determine
que estao no intervalo [0, 2:rc].
que eXlste para to do x e e zero somente para x = O. Consequen;-~;
temente, 0 e 0 unico numero crftico. Todavia, se x < 0, entao 'e
negativa, e se x> 0, entao f(x) e positiva. Assim, f(O) nao e nem
maximo nem minimo local. Como urn extremo local deve oconer
em um numero crftico (veja 0 Teorema (4.5), seguc-se que f
nao tern extremos locais. Note que a tangente e horizontal e corta
o grMico no ponto (0, 0).
Diferenciando
os numeros
,
f(x), temos
f'(x) = 2 cos x - 2 sen 2x
Como 's~n_?,~= 2 sen x cos x, podemos escrever
crfticos de f
= 2 cos x- 4 senx CDSX
f(x)
= 2 cos X (1- 2 sen x)
A derivada
existe para to do X, e f(x) = 0 se sen X = ~ ou
CDSX = O. Logo os numeros erftieos de f no intervalo [0, 2n] SaD
Exeres. 1-2: Use 0 grMieo para estimar 0 maximo
absoluto, 0 minima absoluto e os extremos loeais
de f.
n/6, 5 n/6, n/2 e 3n/2. Na Sel$aO 4.4, Exemplo 7, voltaremos a
est a funl$ao e esbol$aremos
0 seu
gn\fieo.
Suponhamos que f tern urn extremo local em e. Se f(e) nao
existe, nao ha mais nada a demonstrar. Se f(e) existe, entaD
oeorren\ preeisamente urn dos easos seguintes:
(i) f(e)
>0
(ii) f(e)
<0
(Hi) f(e) = 0
Chegaremos a (iii) provancto que nem (i) n~m (ii) podem oearrer.
Assim, suponhamos f'(e) > O. Aplieando a Definil$ao (3.6), vem
= Hm f(x)
f(e)
.r-c
e dai, pelo Teorema
con tendo e tal que
- fee)
x-c
> 0,
(2.6), existe urn intervalo
4 (a) [-2,2]
(b) (0,2)
(e) (-1,1]
(d) [-2, -1)
aberto (a, b)
f(x) ... fee) > 0
x-e
para todo X em (a, b) diferente de e. A ultima desigualdade
impliea que se a < X < b ex'" e, entao f(x) - fee) e x - e SaD
ambos positivos ou ambos negativos:
f(x) - fee) < 0 sempre que x - e < 0
f(;)' ....fk) ;; 0 sempre que x - C> 0
Equivalentemente,
se x esta em (a, b) ex", e,
f(x)
< fee)
sempre que x < e
. j(;) ';-f{c) sempre que x> e
Segue-se que fee) nao e nem '~aximo local nem minimo local
de f, eontrariamente
hip6tese. Conseqiientemente, (i) n~o pode
ocorrer. De modo analogo, a suposil$ao de que f(e) < O·leva a
uma eontradil$ao: LOgo (ill) deve prevaleeer, e 0 teorema esta
demonstrado.
a
~
".:.); ~;;
Exercicios 3-4: Use 0 gn\fieo para estimar os extremos de f em cada intelValo.
3 (a) [-3,3)
(e) [-,13,1)
(b) (-3, ,13)
(d) [0,3]
Exeres. 5-6: Esboce 0 grafieo de f e delermil\u IJS
extremos em cada intelValo.
(a) [0,5]
(b) (0,2)
(e) (O~4)
(d) [2,5]
II
It') _ (,:- 1)213_ 4
(II) Ill. QI
(b) (1,2]
(,') ( 7.2)
(d) [0,1)
29 f(x) ~ 1 + sen x
l-sen x
30 g(O) = 7:'!30 + sen 40
I' •• I .7·111: i\che os exlremos de f no intervalo
,1",111
It') - ~ . ux2 _2x3;
[-3,1]
II HI)'" ),). _. lOx + 7;
[-1,3]
31 Aill) = U - tg u
32 p(z) ~ 3 tgz-4z
33 H{~)~cot~+csc~
34 g(x) ~ 2x+ colx
36 s(t) = see t + 1
see t-l
:?/J;
HI) - 1
[-1,8]
III 1(\) -.\ 4 - 5x2 + 4;
I"
[0,2]
11·36: i\chc os numeros criticos da fUo<;30.
I" ••
1I/(,)_4.,,2.3x+2
,'+12_201+4
j,1 A(,)~4?'
Si-42z+7
37 (a) Se f(x) = xJ(.l, prove que 0 e 0 unico Dumero
critico de f C que f(O) nao e extrcmo local.
-
III AI(.)-
l
\/.1'2_.1'-2
Iti /1(1) - (2., - 5)R="4
J,vv2-16
11/(11)-('111"
I 1/(1) - "
'Jri=5
2
1/(') - (, - 3)V9 _x
) \ (;( \) _ 7 \ -2.\ -9
41 (a) Prove que urn polinomio de f grau DaOtern
extremos DOintervalo (-00, (0).
'
(b) Discuta os exlremos de f no intervalo fechado [a, bl,
42 Se f e uma fun~ao CODstantee (a, b) urn intervalo
aberlo, prove que f(c) e tanto urn extremo local
como urn extremo absoluto de f para lodo numero c em (a, b).
II I (,) - t{ 'US,I X - 3 SCIl 2, - 6x
51 f(x) = l~x3+i-x-l'sl;
[-3,2]
52 f(x) = x sen2 x cos2 x;
[-2,2]
y = f(x)
/\
.
..
: f(b)
:!(b)
b
b
x
43 Se f e a fun~ao maior inteiro, prove que lodo
nurnero e urn numero critico de f .
45 Prove que uma fun~iio quadn\tica tern exatamcnte
urn numero crftico em (--<0, (0).
/ 11'(11)
- 'CII 20 + 2 cos 0
grafico para estimar os numeros crilicos de f.
A determina<;ao dos i1umeros ou ponlos criticos de uma fun<;ao
pode ser as vezes extremamente dificil. Na realidade,. nao ha
garanlia de que os numeros critieos sequer existam. 0 pr6ximo
teorema, atribuido ao matematico franees Michel Rolle (16521719), da condi<;6es suficientes para a existencia de urn numero
critico. 0 teorema refere-se a uma fun<;ao f que e continua em
urn intervalo fechado [a, b], diferenciavel no intervalo aberto
(a, b) e satisfaz a condi<;ao f(a) = f(b). A Figura 4.12 exibe
alguns graficos de fun<;6es deste tipo.
Exercs. 39·40: (a) Prove que f DaOtern exlTemos
loeais. (b) Esboee 0 grafico de f. (c) Prove qoe f e
continua em (0, 1), mas DaO tern maximo Dem
minimo ai. (d) Explique por que (c) DaOcontradiz 0
Teorema (4.3).
44 DefiDarnos f pelas condi~6es: f(x) - 0 se x e
racional e f(x) - r se x e irracional. Prove que
todo numero e numero crftico de f.
I, 11(1)- II SCII:' I + 312 cos2 1
@ Exercs. 51-52: Grafe f no intervalo dado e use 0
(b) Se f(x) = x213, prove que 0 e 0 iinico niimero
criticode f e que f(O) e urn minimo local de f.
40 f{x) =2
x
V 2_ 16
[-n, 1]
dado e use-o para estimar os extremos de f.
i
II/It)
50 f(x) = ~os
3x ;
sen 2x-x + 2
48 Prove que uma fun~ao polinomial de grau II pode
ter no maximo n -1 extremos locais em
(-00, (0),
38 Se f(x) = Ix I, prove que 0 e 0 iinico Diimeio
critico de f, que f(O) e minimo local de f e que
o grafico de f DaOtern tangeDte em (0, 0).
I' 1/(I ) - 7_t·, S
1\ \(1)-
!
[-1,1]
2
© Exercicios 49-50: Fa~a 0 grafico de f Do'i"tervalo
1-"
'/
'49f(~i=X6_X5+3x3_2'+I;
47 Seja f(x) = x" para urn inteiro positivo n. Prove
que f tern urn ou nenhum extremo local em
(-00, (0) dependendo de II ser par ou impar,
respectivamente; esboce urn grafico ilustrando
cad a caso.
46 Prove que uma fuD~aOpolinomial de grau 3 tern
dois, urn ou nenhurn nurnero crftico em (-00,00),
e esboce urn grafico que ilustre como cada urn
desses casos pode ocorrer.
Pelos esbo<;os da Figura 4.12 e de esperar-se que exist a
pelo menos urn numero c entre a e b tal que a tangente em
(e,f(e))
seja horizontal, isto e, f(e) = O. Esta e precisamente a
conclusao do tcorema de Rollc.
Se f
c
enia.~
f'(~>:~,~
p~~a'
continu~-emum
ini~rvalo fechado ta~b]e ,.
difer~rici~~~l'n'o.'in't;e'iv;l1oaberto
(a, b) e se J(a) ",,'f(b),"
¥!neno~.um
num~ro'~e~(a.d2~;::;'J;):
A fun<,;ao f deve enquadrar-se
categorias seguintes:
em pelo menos
uma das tres
(i) f(x) ~ f(a) para /Odo x em (a, b). Neste caso, f e uma
fun<.;aoconstante e, dai, f'(x) = 0 para todo x. Conseqiienlemenle, lodo niimero c em (a, b) e urn niimero critico.
(ii) f(x) > f(a) para a/gum x em (a, b). Neste caso, 0 valor
maximo de f em [a, b] maior do que f(a) ou f(b) e,
assim. deve ocorrer em algum numero c no intervalo aberlo
(a, b). Como a derivada existe em todo (a, b), concluimos,
do Teorema (4.7), que f'(c) = O.
e
(Hi) f(x) < f(a) para a/gum x em (a, b). Neste caso, 0 valor
minimo de f em [a, b] e menor do que f(a) ou f(b) e
deve ocorrer em algum numero c em (a, b). Tal como em
(ii), f'(c) = O.
A Figura
4.13
e 0 grafico
de
f
(uma
parabola).
Como
f( % ) = 0, a tangente e horizontal no vertice ( % ' 4).
Conquanto 0 teorema de Rolle seja interessante por si
mesmo, sua principal aplica<,;ao consiste na demonstra<,;iio de urn
dos mais importanles teoremas do calculo: 0 teorema do valor
medio. Mais adiante usaremos este teorema para estabelecer
muitos resultados fundamentais do cilculo. Para mostrar a
significa<,;ao grafica do teorema do valor medio, seja f uma
fun<,;ao arbitraria continua em [a, b] e diferenciavel em (a, b)
(possivelmente f(a),. f(b». Consideremos os pontos P(a. f(a»
e Q(b, f(b» no graft co de f. conforrne ilustrado em qualquer
dos esbo<,;os da Figura 4.14.
Se f nao existe em algum niimero c de (a, b), entao, pela
Defini<,;ao (4.8), c e urn numero crftico. Altemativamente,
-se
f' existe em todo 0 (a, b), entao, pelo teorema de Rolle, existe
urn numero critico._
Seja f(x) ~ 4i2 - 20x + 29. Mostre que f salisfaz as hip6teses do
teorema de Rolle no intervalo [1,4], e determine todos os
niimeros reais c no intervalo aberto (1,4) tais que f(c) = O.
I1ustre os resultados graficamente.
Como f e uma fun<.;ao polinomial, e contfnua e diferenciavel
para todo x. Em particular,
continua em [1,4] e diferenciavel
em (1,4). Alem disso, -
e
f(l)
= 4 - 20 + 29 = 13
f(4)
~ 64 - 80 + 29 = 13
e, daf, 1(1) ~ f( 4). Assm;, f verifica ~~ hip6~es~; do teore~a
Rolle em [1,4]., ,--
Se f' existe em todo 0 intervalo aberto (a, b), entao tudo
indica que existe ao menos urn ponto T(c, f(c» no grafico em
que a tangente / e paralela a secante /PQ por P e Q. Em term os
de coeficientes angulares,
f'(c) ~ f(b) - f(a)
de
Q-a
Multiplicando ambos os membros da ultima equa<,;iio pOTb - a.
obtemos a segunda f6rmula do teorema do valor medio.
,
do
IIl/kl/o (4.12)
1111111/
'/1/11/
AJem
disso, ;.,por substitui«ao
direta,
vemos
que
g(a) = g(b) ~ 0 e, claf, a fun~iio g satisfaz as hipoteses do teorema
de Rolle. Conseqiientemente,
existe um numero c no intervalo
aberto (a, b) tal que g'(c) = 0, ou, equivalentemente,
f' (c) - .fi!il.=jJr!l
b-a
=0
A ultima equa~iio pode ser escrita nas formas
conclusiio do teorema.
Para x arbitrario no intervale [a, b], seja g(x) a distfmcia vertical
(com sinal) da secante lPQ ao grafico de f, con forme ilustrado
na Figura 4.15. (A expressao distdncia com sinal significa que
g(x) e positiva ou negativa, conforme 0 grafico de f esteja acima
ou abaixo de [PQ' respectivamente.)
Parece que, se T(c~ f(c») e um ponto em que a tangente 1
e paralela a lpQ' entaoa distancia g(c) e um extrema local de g.
Isto sugere a pesquisa de numeros crfticos da fun~ao g.
Podemos obter uma formula para g(x) como segue. Prime iro, pela forma "ponto-coeficiente
angular", urna equa«iio da
secante [PQ e
Se f(x) ~
indicadas
na
* x + i, mostre que f verifica as hipoteses do leorema
2
do valor medio no intervalo [-1,4], e determine urn numero c
, em' ("':1, '4) que 'satisfa~a a conclusao do leorema. Ilustre os
resultados graficamente.
e
A fun«ao quadratica f continua em [-1,4] e diferenciavel em
(-1,4); logo, pelo teorema do valor medio, existe urn numero c
em (-1,4) tal que
f(4) - f(-l)
_ f'(c)
4 - (-1)
y- f(a) ~ i(b)--f(a)
(x-a),
b-a
Com f(4) = 5, f(-l)
~ ~ e f(x) = ~ x, temos
5 -~
y ~ f(a) + ilil=1(a)
b-a
Con forme ilustrado na Figura 4.15, g(x) e a diferen~a entre as
distancias do eixo-x ao grafico de f e a reta [PQ' islo e,
g(X)~f(X)-[
f(a) + f(bi=~(a)
(x-a)]
1
-5-~2c
(x - a)
"-
au
0' grafico de f (uma parabola) esta esbo«ado na ·Figura
4.16. Os pontos P(-l, ~) e Q(4, 5) correspondem aos pontos
extremos do intervalo [-1, 4]; 0 pont~ T( ~'
*)
c ~ ~ e e a ponto em que a tangente 1 e paralela
e obtido fazendo
a secante lpQ'
Aplicaremos 0 teorema de Rolle para achar urn numero
crflico de g. Notemos primeiro que, como f e continua em
[a, b] e diferenciavel em (a, b), a mesmo e verdade para a fun«ao
g. Difcrenciando, obtemos
g'(x) = f(x) _ f(b) - f(a)
b-a
Se f(x) = x3 - 8x - 5, mostre que f satisfaz as hipoteses do
teorema do valor media no intervalo [1,4] e determine um
numero c no intervalo aberto (I, 4) que satisfa«a a conclusao do
teorema.
'<=""d<n,..dWk,",4k-a;.;mlfkili.'7'~~J4~.$%1~~)~~r~~*~~r:f~f
-'~-'----"_.~ ..~ .~.,,_.".-.-~
...---,-_._':':;'':''''.~
-~-~·.t.''''''
•.
e
e
Como f
uma fun~ao polinomial,
continua e diferenciavel
para todos os numeros reais. Em particular, e continua em
(1,4] e diferenciavel no intervalo aberto (1,4). Pelo teorema do
valor medio, existe urn numero c em (1,4) tal que
Podemos admitir que 0 autom6vel esteja se movendo ao longo
de uma estrada retilinea com os dois marcos quilometricos A e
B conforme ilustrado na Figura 4.17. Seja 1 otempo (em horas)
decorrido ap6s 0 autom6vel passar por A, e S(I) sua distancia de
...'.;~A (em quilometros) no instante t. Como 0 autom6vel passa em
B no instante 1 = .1i = -!s h, a velocidade media durante 0 percurso
deA a Be
Como f(4)
= 27, f(l)
= -12 e f(x) = 3.r - 8, islo equivale a
27-(-12)
3
Assim, c2 = 7, ou C = ± fl. Como - fl nao esta no intervalo
(1,4), a numero procurado
c = fl.
Supondo s uma fun ••ao diferenciavel, e aplicando 0 teorema do
valor media (4.12) a s, com a = 0 e b = -!so mostra-se que ha urn
e
instante c no intervalo (0, -!s ] em que a velocidade do autom6vel
s'(c) e de 75 kmIh. Note que a velocidade emA ouB e irrelevante.
o teorema do valor media e tambem chamado leorema da
media. Em estatistica, 0 lermo media designa 0 elemento
representativo
de uma cole ••ao de numeros. A palavra tern
conota ••ao semelhante na expressao leorema do valor media.
Como iluslrac;ao, se urn ponlo P se move numa rela coordenada
e se S(I) denota a coordenada de P no instanle I, entao, pela
Defini ••ao (3.2), a velocidade de P durante a intervalo de tempo
(a,b] e
~-(n:'rm;'!i"
v _ s(b) - s(a)
m-
b-a
.
'Exercs. 1-2: Use 0 grafico de f para estimar as
mimeros em {I, 10] que verificam a conclusao do
ieorema do valor medio.
Pelo teorema do valor media, est a velocidade media e igual 11
velocidade s'(c) em algum instante c entre a e b.
o velocimetro
de urn autom6vel registra a velocidade de 50 krnIh
quando ele passa por urn marco quilomelrico
ao longo da
rodovia. Quatro minutos mais tarde, quando a autom6vel passa
par urn segundo marco a 5 quilomelros do primeiro, a velocimetro regislra 55 km/h. Use 0 teorema do valor medio para
provar que a velocidade excedeu a 70 kmIh em algum instante
enquanto 0 autom6vel percorria a distancia entre os dois marcos.
Exercs. 3-8: Mostre que f satisfaz as hip6teses do
teorema de Rolle em [a, b] e determine lodos os
niim~ros c em (a, b) tais que f(c) - O.
3f(x)
4
:.:3,,2 -12x + 11;
f(x) - 5 -12x - 2.,,2;
(~; f;~) ~x~'~ 4>+'1;
[0,4]
II' J •
I
/1'1
" III)
[-I,IJ
"
~, II
rO,nJ
I,
J\
I II
(.'(1/1 .t:;
t '.
[O,2n:]
'I ,I I), h\I'" III' N f Nalisfuz "s hip6leses do
I 11111111 ;1'1 VIIIII' '" <II•• '111 rfl, IJJ C, cm caso "firma"
II, III Ii, III<III~ O'j ,"1"1 ros C CIIl (a, b) tais que
,
/
.
~\J
III I(I)
\,1 ,
"
I;
I
II;
[1,5]
I
II f( I)
[0,2J
I)' '
(I
\ I \
I(
11,3]
[-2,3]
'J.;
II /(.).,"';
[-1,4]
1('
[1,4]
, 1(11/');
III /(,) •• \, ~ I :" I "
I
'1,2 I
[-1,1]
x-' J;
[-I, I]
I,ll.,;
01 J (.) •• I
II I V.,
1'1/.)
15x;
III /(1)" (I I :1) /.I;
[-1,6]
I
, I;
[-2,4]
If,) ••• 1', 'ii;
[-3,6]
f(')·'
1\ 1(.) -,'''"
.,;
II') -1/>,1;
[0, n:/2]
[0, n:/4]
t", {(')-Ixl.
mostre que f(-I)
~f(I)
mas
/ '(I) •• {I pura lodo nurncro C no intervalo aberto
( I, I), I'or qllc isto nao contradiz 0 teorema de
Ilollu"
II :'"
If.)·· 5 .•.J(x -1)2/3,
mostre que f(O) = f(2)
"""1 {,(,,) ,. II para todo niimero C no intervalo aberto
(II, ) 1',1/ (file isto nao contradizo teorema de RoUe?
I 1:1' f (\) •• ~/x, prove que nao ha nenhum niimero
11,,,1 (' Iltl que f(4) - f(-l) = f(c)[4 - (-1)]. Por
1m•.•llfio cOillradiz 0 teorema do valor medio
111'1 '1110 ItO intcrvalo [-1, 4]?
'I""
30 Se f e uma fun~ao quadratica e [a, b] e un;!
intervalo fechado, prove que precisamente urn
niimero c no intervalo (a, b) satisfaz a conclusao
do teorema do valor medio.
31 Se f e uma fun~ao polinomia! de grau 3 e
[a, b] e urn intervalo fecbado, prove que no
maximo dois niimeros em (a, b) satisfazem a
conclusao do leorema do valor medio. Generalize
para fun~6es polinomiais de grau arbitrario n.
32 Se f<x) e urn polinomio de grau 3, use 0 teorema de
Rolle para provar que f tern no m3ximo Ires zeros
reais. Estenda 0 resultado a polinomios de grau II.
Exercs. 33·40: Use 0 teorema do valor medio.
33 Se f e continua em [a, b] e se f(x)
0 para todo
x em (a, b), prove que fIx)
k para a1gum numero
real k.
g
[-8, -I]
[1,5]
j
29 Se f e uma fun~ao linear, prove que f satisfaz as
hip6tcses do teorema do valor medio em todo
intervalo fechado [a, b] e que lodo numero c
satisfaz a conclusao do teorema.
g
J;
38 A carga eJetrica Q em urn capacitor aumenta de 2 rQ] 40 Prove que ..rr:+1i <1 + ~ IJ para IJ > O. (Sugesliio:
milicoulombs para 10 milicoulombs em 15 milis· '
Aplique
0 ieorema
-do valor medio com
segundos. Mostre que ~ corrente / = dQ/dl excedeu
fix) = Vf+X).
! ampere em aIgum mstante durante esse curto
2
.
~
intervalo de tempo. (NOla: 1 ampere = 1 coulomb/s.)
[-8,8]
Il') -I ' II:
II /(1).,
28 Se I e a fum;ao maior inteiro e se a e b sao reais
tais que b - a ~ 1, prove que nao h3 nenhum
numero real c tal que fIb) - f(a) ~ f(c)(b - a):
Por que isto nao contradiz 0 leorema do valor '
medio?
... ,-
34 Sefeconlinua
em [a,b] e sef'(x)ac
para todox
em (a, b), prove que fIx) = cr + d para algum real d.
(Sugesliio: Aplique 0 teorema do valor medio
com fIx) = senx.)
Exercs. 41-42: Grafe nos mesmos eixos coordenados
y ~ fix) para 0,; x,; 1 e a reta por (0, f(O)) e
(I, f(I)). Use 0 gr3fico para estimar os niimeros em
[0, I] que satisfazem aconclusao do teorema do valor
medio.
42 f(x)"= sen 2x + cosx
2 + cos lTX
4,3 0 TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA
Nesta sec;ao mosira~emos
como 0 sinal da derivada f pode ser
usado para determinar
onde uma fun<;ao f e crescente e onde e
decrescente .. Esta 'informa<;ao permitini c1assificarmos os exlremos locais da fun<;ao.
o grillco de y = f(x) na Figura 4.18 indica que, se 0
coeficiente angular da tangente
positivo em urn intervalo aberto
I (isto e, se f(x) > 0 para todo x em 1), entao f e crescente em
I. Da mesma forma, se 0 coeficienle angular e negativo (islo e,
se f(x) < 0), entao f e decrescente.
e
y
35 Uma estrada retilinea de 50 km liga duas cidades
A e B. Prove que e impossfvel viajar de A a B de
autom6vel, em exatamente uma hora, sem que 0
velocfmetro registre 50 kmJh ao menos uma vez.
36 Seja Ta temperatura (em "F) no instante I (em borns).
Se a temperatura eslJi decresoendo; enta~ tfJ/dl e a
laxa de resfriamenro. A maior varia~o de tempera.
tura durante urn periodo de 12 borns ocorreu em
Montana em 1916, quando a temperalur'l caiu de
44'F para -56"F. Mostre que a taxa do resfria.
menlo excedeu -S'F/b em algum instante durante
o periodo de varia~ao.
37 Se W denota 0 peso (em quilos) de urn indivfduo
e I denola 0 tempo (em meses), entao dW/dl e a
taxa de ganho ou perda de peso (em kglmcs). 0
recorde de perda de peso e uma redu~o de
220 kg para 60 kg durante urn perfodo de 8
meses. Mostre que a taxa de redu~ao de peso
excedeu 20 kg em algum tempo durante 0 periodo
de oito meses.
,
,
,'.
o
•
•
-; x
J'.
f' (x) > 0 : f' (x) < 0 : f' (x) > 0:
f'(x)
f crescente
f decrescente
f decrescente
f crescente
fato de essas observa<;6cs inluitivas
uma conseqiiencia
do seguinte teorema.
< 0
serem verdadeiras
e
f'(x)
= 3r + 2x - 5 = (3x + 5) (x - 1)
Pelo Teorema (4.13), basta achar os intervalos
em que
f(x) > 0 e os em que rex) < O. A forma fatorizada de f'(x) e os
numeros criticos - ~ e 1 sugerem
os intervalos
abertos
(-oo,-~), (-~, 1), e (1, (0). Em cada urn desses intervalos, f' e
continua e nao tern zeros; portanto, rex) tern 0 mesrno sinal em
todo 0 intervalo. Este sinal pode ser determinado por urn valor
de teste adequadamente escolhido.
Para provar (i), suponhamos que f(x) > 0 para todo x em
(a, b) e consideremos numeros arbitriirips xl' x2 em [a, b] tais
que XI < x2• Queremos mostrar que [(XI) < [(x2). Aplicando 0
A tabela a seguir exibe nosso lrabalho. Os valores de k
foram escolhidos de acordo com a conveniencia. Escolhemos
k = -2 em (-00, - ~), mas poderiamos ler escolhido qua/quer
teorema do valor medio (4.12) ao intervalo [xl' x ] temos
outro numero, como -3 ou -10.
2
para algum c no interv~lo
aberto (x ,x)
I
2·
Como X -x
2
I
>0 e
como, por hip6tese , f'(c) > 0, 0 aumento direito da equac;ao
previa e positivo; isto e, f(x2) - [(x) > O. Logo f(x ) > f(x ), que
2
e 0 que. queriamos
l
mostrar. A demonstrac;ao de (ii) e aniiloga.
Pode-se tambem mostrar que se f(x) > 0 em todo urn
intervalo infinito (....ro, a) ou (b, (0), entao f e crescente em
(....ro, a] ou [b, (0), respectivamente,
desde que f seja contfnua
nesses intervalos. ResuItado aniiiogo vale para func;oes decrescentes se f(x) < o.
Para apiicar 0 Teorema (4.13), devemos determinadntervalos em que f(x) e ou sempre positiva ou sempre negativa.
Para tanto, 0 Teorema (2.7) e uti\. Especificamente, se a derivada
f' e continua e nao tern zeros em urn intervalo entao ou
f'(x) > 0 ou I(x) < 0 paratodo x no intervalo. Assi~, se escolhermos qua/quer numero k no intervalo e se f'(k) > 0, entao
f'(x) > 0 para todo x no intervalo. Da mesma forma, se
f'(k) < 0, entao f'(x) < 0 em todo 0 intervalo. Denominamos
f'(k) urn valor de teste de f'(x) para 0 intervalo:·
EXEMPLO
Se f(x)
1
= Xl + xl - 5x - 5,
f e crescente
f e decrescente
f e crescente
em (-oo,-p
em[-~,l]
em [1, (0)
(b) Como auxHio para 0 trac;ado do griifico de f, determinaremos os interceptos-x resolvendo a equac;ao f(x) = O. Como
f(x) =Xl +r -5x-5
=xl(x+
1)-5(x+
= (xl - 5)(x
1)
+ 1)·
vemos que os interceptos-x sao -IS, --IS e -1. 0 intercepto-x e
f(O) = -5. Os pontos correspondentes aos numeros criticos sao
(- ~ , ~) e (1, -8). Grafando esses seis pontos e usando a
informac;ao da tabela, tem-se
0 griifico
de f (Figura 4.19).
(a) determine os intervalos em que f e crescente e os intervalos
em que f e decrescente.
Virnos na Sec;ao 4.1 que, se uma func;ao tern urn extremo
local, enlao este deve ocorrer em urn numero critico; entretanto,
nemtodo nuinerd ··ciitico eonduz a urn extrema local (veja 0
Exemplo 5 da Sec;ao 4.1). Para achar os extremos locais,
comec;amos por determinar todos os numeros crilicos da func;ao.
"Em'segliida; testamos todos os nllmeros enticos para determimii: c
a ocOrrencia,oll nao, de umextremo local. Ha varios metodos para,
reaii.Z~; dste teiie: 0 ;ie6i:k~a seguinte baseia-se no teste do sinal
'da d~riva'dapruiieira' de'f. No enunciado do teorema, a expressao
f' jJassa de' Positivii:pa~anegativa em c significa que existe urn
intervale aberto (a, b) contendo c tal que f(x) > 0 se a < < c e
f' (x) < 0 se, C < x < b., Significado amllogo aplica-se as express6es'
f'passp tierzegativ(l a positiva em c e f nao muda de sinal em c.
(i)
,"
y
,
f'(x) < 0
x
,
f'(x) > 0
,~
I
:
a
I:
:f(c) I
c
b
x
F,ig~.~~}:2~r-.:[riiJ!l;;
.~?c~~f(c).
I f I, ria dcr/vada
1ll1l1/tlm (1/.14)
,'(i) ,
yi
DEMONSTRA<;Ao
Se f passa de positiva a neg~iiva em c, entao ha urn intervalo
aberto (a, b) contendo c tal que f(x) > 0 para a < x < c e
f(x) < 0 para c < x < b. A1em'disso, podemos escolher (a, b) tal
que f seja continua em [a, b]. Logo, pelo Teorema (4.13), f e
crescente em [a, c] e decrescente em [c, b]. Assim, f(x) < f(c)
para todo x em (a, b) diferente de c; isto e, f(c) e urn maximo
local de f. Isto prova (i). Demonstra<;5es analogas valem para
(ii) e (iii).
"
Para lembrar 0 teste da derivada primeira, considere os
graficos das Figuras 4.20 e 4.21. Para urn maximo local, 0
eoeficiente angular f(x) da langente em P(x,j(x» e positivo se
x < C e negativo se x> c. Para urn minimo local, oeorre 0
eontrario. A Figura 4.22 ilustra (iii) de (4.14).
(i)
Esta e a fun<;ao eonsiderada no Exemplo 1. Os numeros criticos
sac -~ e 1. Vemos, pela tabela no Exemplo 1, que 0 sinal de
f(x) passa de positive a negativo quando x aumenta passando
por -~. Logo, pelo teste da derivada
local em -~. Este valor maximo
prirneira,
f tern maximo
e f(-~) = ~ (veja a Figura 4.19).
(Ii)
Em 1 ocorre urn minimo local, pois 0 sinal de f(x) passa
de negativo para positive quando x aumenta passando por 1. Este
valor minimo
f(l) = -So
'
e
Se f(x)=xll3(8-x),
grafico.
determine
0 extremo
local de f e trace 0
Como f e continua em x = 0, 0 grafico tern tangente vertical em
(0,0) pela DefiniC;ao (3.9).
f'(x) QxI/3(_1) + (8 -x)!x-W
3
-3x+(8-x)
3m
Q
4(2.,..x)
3xw
Logo, os numeros criticos de f sao 0 e 2. Como no Exemplo 1,
isto sugere que eonsiderarmos 0 sinal de f' (x) em cada urn dos
intervalos (--00, 0), (0,2) e (2, 00). Como f' e continua e nao tern
zeros em nenhum desses intervalos, podernos determinar 0 sinal
de f'(x) empregando urn valor de teste adequado f'(k). Nao e
preciso ealcular efetivamente f'(k); tudo 0 que necessitamos e
eonheeer seu sinal. Assim, se eseolhermos k = 3 em (2, 00), entao
e podemos dizer, sem ca/cu/ar, que 0 numerador e negativo e 0
denominador e positivo. Logo, f'(3) < 0, conforme se pode ver
pela tabela seguinte.
,
f e creseente
f e crescente
f e decreseente
em (--00, 0]
em [0, 2]
em [2, 00)
Pelo teste da derivada primeira, f tern maximo local em 2,
pois f' passa de positiva a negativa em 2. Temos, pois,
'( ) = 213(2x) (_2 _ 8)( ~ -113) = 6xl + 2(xl - 8) = 8(.l..2- 2)
f x x
+ r
J x
3Xl/3
3xl13
Os numeros criticos sao as solUl;6es de xl - 2 = 0 e xl13 = 0, isto e
-Y2,0 e Y2. Isto sugere determinarmos 0 sinal de f'(x) em cad a
urn dos intervalos (-.00, -Y2), (-Y2, 0), (0, Y2) e(Y2, 00). Tabulando nosso trabalho como em exemplos previos, obtemos:
f e decrescente
f e crescente
em (--00, - V2)
em [-Y2,0]
f e crescenle
f e deerescente
em [0, Y2]
em [Y2,00)
Pelo teste da derivada prime ira, f tern minimos locais 'III
-Y2 e Y2 e maximo local em O. Os val ores funcionais emr', •
pondentes nos dao os seguintes resultados.
Max. 10eal:f(0) = 0
Min, 10eal:f(Y2) = f(-Y2) = -6 ~ - -7,6
lim f'(x)
Para trac;ar 0 griifico, grafamos prirneiro os pontos correspondentes aos numeros criticos. De f(x) = x1/3(8 - x) vemos que
os interceptos-x do grafico sao 0 e 8. 0 grafico est a esboc;ado
na Figura 4.23. Note que
lim f'(x)
.r-o
= 00
e
x-o-
lim f'(x)
o·
=_00
;c ...•
e como f e continua em x = 0, 0 grafico tern ponto
em (0, 0), pel a Definic;ao (3.10).
A Figur~ 4.24 apresenta
0 grMieo
de f.
lI'
,"V
I
II
Recordemos de (4.9) que, se uma fun.,ao f e continua em
urn intervalo fechado [a, b] e se quisermos os val ores maximo
e minimo, entao, alem de determinarmos os extremos locais,
devemos calcular os valores f(a) e f(b) nos pontos extremos de
intervalos [a, b]. 0 maior nfunero, entre os extremos locais e os
valores f(a) e f(b), e 0 maximo de f em [a, b]. 0 menor desses
numeros e 0 minimo de f em [a, b]. Para ilustrar essas observa.,6es, consideraremos a fun.,ao discutida no exemplo previo e
restringiremos nossa aten.,ao a certos interval os.
Note que, em alguns intervalos, 0 valor maximo ou valor minimo
de f e tambem urn extremo local; em oulros intervalos; ista nao
ocorre.
A Fig~.1fa 4.26 e 0 grafico de y = ~x + sen x para -2rc ,;;x,;; 2rc.
x
..Determine. as coordenadas dos pontos A, B, C e D, que correspondem a extremos locais.
.
Se f(x) = x;W (x2 - 8), determine os valores maximo e minimo
de f em cada urn dos seguintes intelYalos:
o grafico na Figura 4.24 indica os extremos locais e os intervalos
em que f e crescente ou decrescente. A Figura 4.25 ilustra a
parte do grafico de f que corresponde a cad a urn dos intervalos
(a), (b) e (c).
(b) [-1,3]
As solu.,6es da ultima equa.,ao em [0, 2rc]sao 2rc/3e 4n/3. Estas
san as coordenadas de C e D. Por simetria (em rela.,ao a origem),
as coordenadas-x de A e B sao -4/3 em -2rt/3.
Poderiamos agora aplicar 0 teste da derivada primeira;
todavia, pelo grillco, e evidente que os pontosA e C correspondem
a maximos locais e os pontosB eD correspondem a minirnos locais.
A tabela seguinte da as coordenadas desses pontos.
Com base nas figuras acima, obtemos a seguinte tabela (verifique
cadadado).
-
[-q]
°
f(-1)=-7
frO) =
f(-I2) =-6h
f(3) =w
2rc Y3
-3+2~-1,2
A
_ 4n ~-4 2
3
'
B
2rc
-3~-2,1
C
2n~21
3
'
IT
Y3
3+2~1,9
D
4n ~ 42
3
'
2" + (_ Y3) ~ 1 2
3
2
'
_~+(_ Y3)~_19
32'
..
[-1,3J
[-3;-2]
.
3
f(-2) =-4 0f
f(-3)=W
1'(-2) - 1'(2) = 0; f(x) > 0 se -2 < x < 0 ou x > 2;
f(x) < 0 se x < -2 ou 0 < x < 2
Exeres. 1·16: Determine os extremos loeais de f e
os inlervalos em que f e creseente ou decreseente;
esboce 0 griifico de f.
1 f(x) = 5-7x-
2 ' f(x) - 6x2 - 9x + 5
3
31 f(x)=2tgx-tix;
[-nl3, n/3]
~ f(x) > 0 se x < 3 ou x> 5; f(x) < 0 se 3 < x < 5
32 f(x)=tgx-2seex;
[-n/4, n14]
37 f(3) = 5; f(5) = 0; 1'(3) = 1'(5) = 0;
Exercs. 33-34: A figura exibe 0 grafieo da equa<;ao
para -:at :sx:s :at. Determine as eoordenadas-x dos
pontos correspondentes a extremos locais.
f(x) - :zx3 + x2 - 20x + 1
4 f(x) _x3 _x2 - 40x + 8
19 Exeres. 41·42: Grafe f em [-2, 2]. (a) Use 0 grafieo
36 f(3) = 5; f(5) = 0; 1'(5) nao-definida, 1'(3) = 0;
4x2
"/33
;:"/
y=!x+eosx
para estimar os extremos locais de f.
(b) Estime onde f e ereseente ou deerescente.
41 f(x) _
f(x) > E.se x < 3 ou x> 5; f(x) < 0 se 3 <x < 5.
'38 f(O) = 3; f(-2)
2
x ~ 1,5x + 2,1
O,3x + 2,3x + 2,7
42 f(x) = 10 ~os 2x
x +4
= f(2) = - 4;
:. 1'(-2) - 1'(0) - 1'(2) - 0;
19 Exeres. 43-44: Grafe I' em [-I, 1]. Estime as eoordenadas-x dos extremos locais de f e classifique cada
extremo local.
2
f(x) > 0 se -2 < x <0 ou x > 2;
5 f(x) _x4 _8x2 + 1
6 f(x) - 4x3 _3x4
7 f(x) - lax3(x _1)2
8 f(x) = (x2 _lOx)4
39 f(-5) = 4; f(O) = 0; f(5) = - 4;
'/9 f(x) _ x 4/3 + 4xl/3
10 f(x) = X(X - 5)1/3
f'(-5) = 1'(0) - 1'(5) = 0;
12 f(x)=?\8-x)
f(x) >0 se Ix I> 5; f(x) < 0 se 0 < Ix I < 5
11 f(x) = x2l3(x - 7)2 + 2
40 f(a) = a e f(a) = 0 para a - 0, j: 1, j: 2, j:3;
f(x) > 0 para todo outro x.
, f(x) < 0 se x < -2 ou 0 < x < 2
,>~3 f'{x) -x - cos!tX - sen x
44 rex) =
w - 32 - l,3x + 0,5
13 f(x)_x2~x2_4
14 f(x) = 8 - ~ x2 - 2x + 1
15 f(x) ~ xYx2 - 9
Na se«ao preeedente utilizamos 0 sinal da derivada f para
determinar onde uma fun«ao f era erescente e onde era deeres·
eenle. Analogamente, podemos usar 0 sinal da derivada segcmda
f" para determinar onde a derivada f' e erescente e onde e
decreseente. Espeeifieamente,
se f"(x) > 0 em urn intervalo
aberto!, entao f(x)
erescente em!; iSlo 0 coeficiente angular
da tangenteao grafieo de f aurnenta corn x (veja a Figura 4.27).
Diz-se entao que 0 grafieo e COllcaVD para cima.
16 !(x)=xY4-x2
Exeres. 17-22: Determine os extremos loeais de f
em [O,:at] e os subintervalos em que f e ereseente
ou deereseenle.
0 grafico de f.
Y3
34 y=Tx-senx
Fa,.a
117 f(x) - eosx + senx
18 f(x) - cosx- senx
19 f(x) = ix-senx
20 f(x) -x + 2 eosx
21 f(x)=2eosx+sen2x
22 f(x)-2cosx+cos2x
e
y
V
Exeres. 23·28: Aebe os extremos loeais de f.
'3
23 f(x) = Vx3 - 9x
24 f(x)-W+4
25 f(x) • (x - 2)3(x + 1)4
26 f(x) _ x2(x - 5)4
27 f(x).
-a:3
x2
rex) > 0:
28 f(x).L
f' crescente
Yx+7
Exercs. 29-32: Aebe' os extremos loeais de f no
interValodado.
,. ... ..,
1
29 f(x) = see 2 x;
e,
Exercs. 35·40: Esboce 0 grafico de uma fun<;ao
diferenciavel f que satisfa<;a as eondi<;6es dadas.
rex) < 0:
f'deerescenle
Figura 4.28 Grafieo ciincavo para baixo.
Se f"(x) < 0 em urn intervalo aberto J, enliio 'j'(x) e
decrescente em J. Neste caso, 0 coeficiente angular da tangente
ao grafico de f decresce quando x cresce (veja a Figura'4.28).
Diz-se ent~o que 0 grafico e concavo para baixo em J.
Estes fatos acham-se i1uslrados na Figura 4.29, onde P eo
ponto de coordenada-x -~.
para cima
Y x3+r-Sx-S
Q
Pode-se provar que, no caso da concavidade para cima em
urn intervalo, 0 grafico esta acima de toda tangente (veja a Figura
4.27) e, a concavidade para baixo, 0 grafico esta abaixo de toda
tangente (veja a Figura 4.28).'
.
o
e
Figura 4.29
Se f(x) = sen x, determine onde 0 grafico de f e concavo para
cima e onde e concavo para baixo, e ilustre os resultados
graficamenie.
proximo teorema
urn novo enunciado,' em terrnos de
concavidade, do que dissemos acerca do sinal de f"(x).
f'(x)=cosx,
Se f(x) = x3 + A:J. - 5x -'-5, determine intervalos em que 0 grafico
de f e concavo para cima ou concavo para baixo, e ilustre os
resultados graficamente.
r(x)=-senx
Como r(x) = -f(x), vernos que r(x) < 0 sernpre que f(x) > 0;
logo, pelo teste da concavidade (4.16),0 grafico e concavo para
baixo quando est a acima do eixo-x. Analogamente,
r(x) > 0
sernpre que f(x) < 0, de modo que 0 grafico e concavo para cirna
quando esla abaixo do eixo-x. Estes detalhes eslao i1uslrados na
Figura 4.30, onde as abrevia<;6es CB e CC indicarn, respectivamente "concavo para baixo" e "concavo para cirna".
A fun<;ao f ja foi considerada nos Exernplos 1 e 2 da Se<;ao
precedentee
esla represenlada
na Figura 4.29. Como
f'(x) = 3i! + 2x - 5,
r(x) = 6x + 2 = 2(3x + 1)
Logo, r(x)
["(x)
< 0 se 3x + 1 < 0 - islo e, se x < - ~ . Analogamente,
> 0 se x > _1
3
Cada ponto do grafico de f onde a concavidade
charnado pOlliO de illflexiio. A defini<;iio
e:
rnuda e
Y P(c,
fee»~
['(c) =
°
M
Se r(e) = 0, nao se pode aplicar 0 teste da derivada segunda
Em tais casos, deve-se aplicar 0 tesle da derivada primeira.
Costuma-se abreviar 0 enunciado (ii) da Definic;ao (4.17),
dizendo que a e01leavidade muda em pee, f(e».
o ponto P na Figura 4.29 e urn ponto de inflexao. Na Figura
4.30, todo ponto penn, 0), 11inteiro, e ponto de inflexao. A Figura
4.31 exibe pontos de inflexao tipicos no grafico de uma func;ao.
Note que urn "bico", ou ponto de reversao, pode ou nao ser urn
ponto de inflexao.
Se f(x) = 12+ 2r - xl, use 0 teste da derivada segunda
determinar os extremos locais de f. Discuta a concavidade,
os pontos de inflexao e esboce 0 grafico de f.
~
P(c, f(e»
I
I
I
I
:-CC-:'-CB-i-CC~CB
I
X
I
Se f(e) = 0, entao a langente ao gnlfico em P(e, f(e» 6 horizontal.
Se, al6m disso, r(e) < 0, entao 0 grafico. t'c6ncavo pa;.a,baixo em
c e, assim, ha urn intervalo (a, b) contendo e tal que 0 grafico esta
abaixo das tangentes. Segue-se que fee) 6 urn maximo local para
f, conforme ilustrado na Figura 4.32. Isto prova (i). Prova amlloga
pode ser dada para (ii), conforme Figura 4.33.
\
f'(e) =
°
f'(x) = 4x - 4xl = 4x(1-x2)
2 = 4(1 '-.:3x2)
=
rex) 4 -12x
A expressao de f'(x) permite achar os numeros criticos 0, 1 e
-1. Para esses nurneros os valores de
saD
r
.: •• :.
.:
CD CC
Pelo teste da concavidade (4.16), se a derivada segunda f"
muda de sinal em urn numero c, entao 0 ponto P(c, fee»~ e urn
ponlo de inflexao. Alem disso, se
e continua em e, devernos ter
. r(e) = O. Entretanto, 6 possivel que r(c) nao ex isla em ponlo de
inflexao. Assim, para delenni1lar POIIIOSde illjle:xiiO,eomefamos
para
ache
Logo, pelo teste da derivada segunda, a func;ao tern minimo local
em 0 e rnaximos locais em 1 e -1. Os valores correspondentes
da func;ao, saD f(O) = 12 e f(l) = 13 = f(-l). A tabela que segue
resume Iiossa discussao.
r
por aehar os zeros de f" e os lIt1meros para os quais f" lliio exisle.
Tesla enta~ cada urn desses nlimeros para verificar
coordenada-x de urn ponto de inflexao.·
o teste que segue, para extremos
locais,
Max. local f(-l)
se 6 uma
baseia-se
= 13
Min. local f(O) = 12
na
Max. local f(l)
= 13
derivada segunda.
Teste da derivada
segunda (4.18)
Para localizar possiveis pontos de inflexao, resolvemos a
equac;ao f"(x) = (is to e, 4(1- 3r) = 0), obtendo as soluc;6es
. --./3/3 -./3/3. Examinemos a seguir 0 sinal de f" (x) em cada
'urn dos intervalos
e
°
. (~;." -V3/3),
(--./3/3, -./3/3),
e
(-./3/3, co)
Como f" e continua e nao tern zeros em nenhum dos intervalos,
, podemos usar os valores de teste para determinar 0 sinal de
f"(x). Disponhamos nosso trabalho em forma labular, como
segue. A Ultima linha e conseqiiencia de (4.16).
..,'. Como f"(0) = 0, nao se pode aplicar 0 tesle da derivada
segunda em 0; aplicamos; assim, 0 teste da derivada prirneira.
Pode-sernoslrar,
usando valores de tesle, que se -V3 < x < 0,
enlao f'(x) < 0, e se 0 < x < V3, entao f(x) < O. Como f'(x) nao
muda de sinal, nao ha exlremo em x= O.
Para achar possiveis ponlos de inflexao, consideremos a
equa<.;ao f"(x) = 0, isto
10x(2X - 3) = O. As solu<.;6cs, em
ordem de grandeza, SaG -V6/2, 0 e V6/2. Tal como no Exemplo
3, conslruimos uma'tabela.
e,
I
Como f"(x) muda de sinal em -V3/3 e V3/3, os ponlos
corresponden!es (±V3/3, 119/9) no grafico sao ponlos de inflexao. Sao os ponlos em que a concavidade muda. Con forme se
ve na labela, 0 grafico e concavo para cima no inlervalo aberto
(-V3/3, V3/3) e concavo para baixo fora de [-V3/3, V3/3]. 0
grlifico acha-se esbo<.;ado na Figura 4.34.
o sinal de f"(x),muda em -V6/2, 0 e ..[6/2, donde decorre
que os ponlos (0,0), (-V6/2, 21..[6/8) e (..[6/2, -21..[6/8) sao
ponlos de inflexao. 0 grafico consla da Figura 4.35, com escalas
diferenles para os dados eixos x e y. Os interccplos-x SaG 0 e
Se f(x) = x5 - 5x3, determine os extrernos locais de f. Analise a
concavidade, determine os pontos de inflexao e esboce 0 grafico de f:
f(x) = 5x' - 15r = 5r(r - 3)
f"(x)
= 2Qx3-
-30V3
o
o
Vf
30V3
Em todos os exemplos precedentes f" e conlinua. E
possivel, enlrelanto, (c, f(c)) ser urn ponlo de in!1exiio mesmo
no caso de f(c) ou f"(c) nao exislir, confonne i1uslrado no
proximo exemplo.
30x = lOx(2x2 - 3)
Resolvendo a equa<.;aof(x) = 0 obternos os numeros criticos 0, -V3 e V3. Tal como no Exemplo 3, temos a label!l;Seguinle
(verifique cada dado).
'
-V3
±..f5 - 2,2.
Se f(x) = 1_x11J, delermine os exlremos locais, analise a concavidadc, ache os ponlos de inflcxiio e esboce 0 grllfico de f.
A primeira derivada nao existe em x - 0, e 0 e 0 unico ponto
crftico para f. Como f"(0) nao e definida, nao se pode aplicar 0 teste
da derivada segunda. Todavia, se x •• 0, entao x?i3 > 0 e
f'(x) = -1/(3x2i3) < 0, 0 que significa que f decrescente em todo
seu dominio. Conseqiientemente, f(O) nao urn extremo'local.
e
Utilizando
e
val ores de teste, construimos a seguinte tabela.
Como 0 teste da derivada segunda nao e apliciivel em
c = 0, utilizemos 0 teste da derivada primeira. Par meio de
valores de teste, vemos que 0 sinal de f'(x) mud a de - para +
em c = O. Logo, f lem minimo local em (0, 0).
Para determinar
a concavidade,
que
em
seguida 0 sinal de f"(x) nos casos x < 0,0 < x < 1 ex>
1.
Utilizando valores de teste para f" chegarnos 11 tabela seguinte.
,'~~~~i~'~~;}7:\E
(-00,
:
e
t
\
o grafico estii esbo<;ado na Figura 4.36. Note que hii uma
tangente vertical em (0, 1), pois f e continua em x = 0 e
I
lim f'(x)
x-o
primeiro
(0, 1)
0)
"~i~%$rjl:~~~;'~
A concavidade mtrtla em x = 0 e f
continua em 0, de
modo que o-ponto (0, 1) e ponto de inflexao.
nolamos
f" (x) = 0 em x = 1 e f" (x) nao existe em x = O. Examinamos
:';S~~~;i@?~::::-,
para baixo
I
(1, (0)
'
..
-
+
para baixo
para cima
~
Vemos, pela tabela, que 0 griifico de f tern ponto de
inflexao em (1,6) mas nao em (0,0). 0 grafico esta esbo<;ado
na Figura 4.37. Note que
1=00.
lim f'(x) = - 00
x-o-
e
lim f'(x) = 00
x-o+
Como f e continua em x = 0, 0 grafico tern ponto de revcrsao
em (0,0) pela Defini<;ao (3.10).
Se f(x) = r'3(5 + x), determine os extremos locais, analise a
concavidade, ache os pontos de inflexao e esboce 0 grafico de f.
SOLUc;-,~O
Escrevendo
f(x)
= 5x?i3 + x!'f3 e diferenciando
, f'(x)';
103
x-1f3
+ ~x?i3 = ~
3
3
duas vezes temos:
(2x+ X)
SOLuC;Ao.
l13
-1)
"(·')·····
• 10 -'lf3 10 -1f3 10 (X
. f x =-9'x
+9'x
=9' xlf3
. '-:
Se f(x) = 2 se'n'+ cos 2x, determine os extremos locais e fa<;a 0
grafico de f no intervalo [0,2Jt].
Diferenciamos
f(x) duas vezes:
f'(x) = 2 cosx-2
sen 2x
'
Atentando para f'(x), vemos que os numeros criticos para f sao
-2 e O. Aplicamos entao 0 teste da derivada segunda, conforme
. a tabela a seguir.
Max: local:
f(-2) = (-2)2/3(3) ~ 4,8
f"(x)
= -2 sen x - 4 cos 2x
No Exemplo 7 da Se<;ao 4.1 vimos que os numeros crfli '0'
de f no intervalo [0, 2Jt] sao 1t/6, 51t/6, 1t/2 e 31t/2. Levando 'Sill:
numeros criticos em f"(x) obtemos
Aplicando 0 teste da derivada segunda, vemos que hii maximos I '/1',
em 1t/6 e 5n/6 e minirnos IOcais ern 1t/2 e 31t/2. Temos assino
Min.
local:
f(n/Z) = 1
':C~m'es'iesdados
esbo~o
CIa eurva
e
e grafando
eonforme
f(3n/Z) =-3
alguns
Figura
oulros
ponlos,
oblcmos
0
Exercs.
31-38:
continua
f qlle verifique lodas as condi<;6es iJldieadas.
Esbocc
gralico
0
flln<;iio
37 Se /I e urn inteiro impar, enlao f(/I) = 1 e
1'(/1) ~ 0; se /I e urn inleiro par, eniao f(/I) ~ 0 e
f(/I) nao existe; se /I e urn inleiro qualquer, entao
= f(2) = 0;
31 frO) = 1; f(2) = 3; f'(0)
4.38.
de lima
rex) < 0; se Ix -1\ > 1;
f(x) > 0 se x-I
rex)
I '111_
I I HI Del 'rmille
11-1111111111 II 11111
c1"tle.ivlltln
os cxlremos loeais de f
scgunda quando apHeave!.
,Ii, "_ IIle, VIIIIISerll que 0 grUfieo de f e eoneavo
1111/11 I '"11 Ill' pilln
hllixo, e determine as eoordena1111\ IIIIN1IIIlIIIIIId' inllexao. Fa<;a 0 grafico de f.
1/(,)
~2 ., x + I
\1
/(1) ~ ,\ ,10
, /(1) ~ 1,4
_lgL x;
[-nl3, n/3]
= 19x-
2 seex;
[-n/4, n/4]
28 f(x)
segunda
> 0 sc x < 1; rex)
< 0 sex>
32 frO) = 4; f(2) = 2; f(5) = 6; f(O)
f(x)
Exercs. 29-30: A figura exibe urn grafico de equa<;ao
para "':21<s x s 21<. (veja os Exercfcios
33-34 da
Se<;ao 4.3.) Use 0 lesle da derivada
delerminar os exlremos loeais de f.
>0
se lx-II>
1;
f(x) < 0 se Ix-I
I < 1; .
(b) f'(x) < 0 sc 211- 1 < x < 2/1
1
= f(Z)
~ 0;
1.1) + G
f(x) = 0 se x - -I, 4, 6 ou 8;
rex)
< 0 se x < I ou se \ x - 41 < 1
r(x)
>0 se IX-21<1
para
Oil
se x>5
f(x)
< 0 em lodo (_00, -I), (4, 6) e (8, (0);
f(x)
>0 em todo
H, 4) e (6,8);
r(x) > 0 em tndo (_00, 0), (2, 3) e (5,7);
4 f(x) ~ ax1 _ 2x4
f'(x) > 0 se x < 0; f'(x) < 0 se x> 0;
rex)
-(,r'\
6 f(x)-3x5-5)
I I( I) ~ (II
. I)"
8 f(x) =x4 _4x3
V, - I
. (c) 1"(x) < 0 so 2/1 < X < 211 + 2
38 f(x) = x sc x ~ - I, 2, 4 Oil 8;
+ 25x-50
/(1) ~ ,,"
II I ( I) ~
27 f(x) = 21gx
(a) f'(x) > 0 se 211< x < Z/I + 1
< 1;
+ 10
I
< 0 sc 1x < 2; f'i(x) > 0 se
34 f(I)=4;
f'(x»0
se x<l;
rex) > 0 para lodo
10 f(x)-Z-~
X"
f"(x)
Ix 1>Z
f'(x)<O
se x>l;
1
< 0 em lodo (0, 2), (3,5)
c (7, (0)
39 Prove que 0 gnlfico de uma fun~iio quadraliea
nao tern ponlo de inflexao.
eondi<;oes para qlle
o grafico seja sempre
De
(a) concavo
para cima
(b) concavo
para baixo
1
II
I(, ) - V,
I
(3.<+ 10)
1\ 1(,) - ,/(lr-5)1/3
I
1(1)-II, I/J +x4/J
I 1/(,)
- \
?h _XL
12 f(x) _ xl13(I_x)
14 f(x) = x~3x
+2
16 f(x) ~ 6x1/1 + x312
18 f(x)
= d4::;r
I, ,•• \ . I ~.2ll: Use 0 leste da derivada segunda para
11,1,111 11.< llXlrel1lOS loeais de f no inlervalo
[0,21<].
I' I IlX,Ir ·reios sao os mesmos Exercfcfos 17-22 da
'II.\, I' '1..\ ClIl que 0 metoda de resolu<;ao envolvia 0
II ~I' 1111 d', iVlIda primeira.)
1(1) -lx-senx
II
40 Prove que 0 grafico de uma fun<;ao polinomial de
grau 3 lem exalamenle urn ponlO de inflexao.
f(x)
> 0 em todo (-<Xl, 2) e (6, (0);
f'(x) < 0 se Ix -
[Q] Exeres.
41 < 2;
rex) < 0 em lodo (-<Xl, 0), (4,6) e (6, (0);
rex) > 0 em lodo (0,2) e (2,4)
36 f(O) = 2; f(2) = 1;f(4)
= f(10) = 0; f(6)
= -4;
f(2) = 1'(6) = 0;
f'(x) < 0 em lodo (-00, 2), (2,4), (4,6) e (10, (0);
41·42:
42 f(x)
- (x - O,1)l
(a) ESlime onde
v't,os - O,9xL
[Q] Exercs. 43·44: Grafe 1" em [0,3]. (a) Eslime onde
o grillco de f e coneavo para cima ou concavo para
baixo. (b) Estime a eoordenada-x de eada ponlo de
infIexiio.
f'(x) >0 em lodo (6, 10);
22 f(x) -x + 2 eosx
1'(4)
e f'(1O) nao existem;
43 f"(x)
rex)
> 0 em todo (-<Xl, 2), (4, 10) e (10, (0);
44 f"(x)-2,!
I,.•• '. ,'s. 2S·28: Use 0 tesle da derivada segunda para
III11l1l11< 'xtrclllOs locais de f no intervalo dado. (veja
" I "',d 'ins 29-32 da Sec<;ao 4.3.)
f em [-1,1].
41 f(x) - 4.~ + x4 + 3xL - 2x + 1
20 f(x) - eos x - sen x
I (I) - 2 cos x + sen 2<
Grafe
o grafico e concavo para cima ou concavo para baixo.
(b) ESlime a coordenada-x lie cad a ponlo de inflexao.
= x4 - 5x3 + 7,57x2 - 3,3x + 0,4356
sen1tX+ l,4cosx-O,6
-------,~·
••..•I.i~ii,.F
Cap. 4
Ap/ica,oes
da derivada
tI
255
Uma das fun~iies rnais simples de grafar e a fun~ao
polinomial f; todavia, se 0 grau de f grande, pode ser bast ante
trabalhoso achar os zeros d~ f, fer.
Toda derivada de f e
continua; port an to, 0 grafico tern uma aparencia suave e possivelmente muitos pontos altos e baixos, conforme ilustrado na
Figura 4.39. Cada numero crftico e determina urn extremo local
f(e) ou urn ponto de inflexao. Ja consideramos graficos de varias
fun~iies polinomiais em numerosos exemplos anteriores, e assim
nao acrescentaremos mais nenbum exemplo.
e
Muitas aplica~iies do calculo baseiam-se no comportamento dos
valores f(x) de uma fun~ao f quando x varia em urn conjunto
de numeros reais. Urn dos caminhos mais indicados para estudar
este comportamento
esbo~ar 0 gratico de f, porque 0 grafico
revela propriedades que, de outra forma, poderiam permanecer
. ocultas ou nao c1aras. Ate aqui temos analisado varios t6picos
ute is para 0 tra~ado de graficos. Como essa analise se acha
dispersa pelos quatro primeiros capitulos, procuramos resumi-la
aqui e daremos varios exemp'los adi~ionais.
e
•
Dlretrlzes para 0 tragado
greiflco de y = f(x) (4.19)
de
x
Recordemos
que
uma
fun~iio f e raeional
se
f(x) = g(x)/h(x), onde g e h san fun¢es polinomiais. Se g e h nao
tern fatores comuns, entao para todo 0 zero e do denominador hex)
e
a retax = c uma assintota vertical. No proximo exemplo usaremos
as Diretrizes (4.19) para tra~ar 0 gnifico de uma fun~o racional.
Se f(x)
= 9
z:-.~,
analise e esboce
0 grafico
de f.
Diretriz 1
0 dominici de f consiste em todos os reais COlli
exce~ao de -3 e 3.
. Diretriz 2
A'fun~ao f tern descontinuidades infinitas em e 3 e e continua para todos os outros numeros reais.
Diretriz 3
Para achar os interceptos-x, resolvemos a equa~iio
f(x) = 0, obtendo X= O. 0 intercepto-y e f(O) = O. PorlanlO. 0
gnifico intercept a os eixos x e y na origem.
e uma fun~ao par c grflfi
II
Como f(x) = 0 se x = 0,0 e urn numero critico. as nuul 'ms
e 3 nao san numeros crfticos porque nao esiao no domiuin d
f.
Diretriz 4
simetricoem
e
.'.,
Como f( -x) = f(x), f
rela~ao ao eixo-y.
" ",
it,
Os ~'l,lo~esde. teste nos dao a seguinle tabcla:
0
TI
fe
fe
fe
fe
decrescente
decrescente
crescente
crescente
o griifico de y = f(x) no exemplo precedente nao apresenta
ponlos de inflexao. Muitas vezes e dificil achar os ponlos de
inflexao, quando eles existem, para 0 griifico de uma fun~ao
raciona\. A razao e que a regra do quocien Ie e usada para achar
f'(x) e novamente para achar f"(x). Por isso, para achar f'(x) e
nova mente para achar f"(x). Por isso, para achar as solu~6es de
f"(x) = 0, pode ser necessario resolver uma equac;ao poli'1omial
de grau superior a 2. As solu~6es de tais equa~6es costumam ser
aproximadas pelo metoda de Newton ou pelo uso ~e um
computador. Em virtude dessa dificuldade, no proximo e~ernplo e
na maioria dos cxercicios nao determinaremos os pontos de jn.l1exao,
nem analisaremos a concavidade dos griificos de fimC;6esracionais.
o sinal da derivada f'(x) passa de negativo para positivo
em
x = 0, de modo que, pelo teste da primeira derivada',
f(O)
= 0 e urn minimo local de
f.
"( ) = (9-r)2(36) - (36x)(2)(9 -r)(-~)
f
~-rr
x
= 108(x2 + 32
~-rr
Sc f(x) =~,
..•-x-2
o numerador e sempre positivo,
de modo que 0 sinal de j"(x)
e deterrninado por (9 -r)]. Usando valores de teste, obtemos
esboce c analise 0 griifico de f .
Diretriz 1
0 denominador e igual a (x - 2)(x + 1),de modo
que 0 dominio de f consiste em todos os numeros exceto -1 e 2.
Diretriz 2
A func;ao tern descontinuidade
2 e e continua em todos os outros numeros.
y
,,,,,,,u I""'"
:·_~:---~r---··
..
.
,
,
\
.
,
:
,
- ~ .,
~- ,
••
M
~
infinilas em -1 e
Diretriz 3
Para achar os intcrceptos-x, resolvemos a equa~ao
= 0, obtendo x = O. 0 intercepto-y e f(O) = O. Assim, como
no Exemplo 1, 0 grafico intercepta os eixos x e y na origem.
Como f nao e continua em -3 ou 3, nao hii pontos de
inflexao. Como verifica~ao dos extremos locais (veja a Diretriz
5), notemos que 1"(0) > 0 e dai, pelo teste da derivada segunda,
f(O) = 0 e minimo loca\.
f(x)
Diretriz 4
Como f nao e par nem impar, 0 griifico nao e
simetrico nem em relac;ao ao eixo-y nem em relaC;ao 11 origem.
Diretriz 7
Para achar as assintotas horizontais, utilizamos os
melodos da Se~ao 2.4, obtendo
:
.
2x2
2
I'
2x2
2
Jim 9 ....
>2
e ~__
Inl 9 _ x.:1 = x- = -
,X •.••
::EI
CI;I
As ass intot as verticais corrcspondem
nador 9-x', e saox=-3
c x= 3.
Resolvendo f(x) = 0 obternos os numeros criticos 0 e -4. Os
zeros do denominador, -1 e 2, nao saD numeros criticos, pois
f(-1) e f(2) nao existem. Com auxilio dos valores de teste
construimos a seguinte tabela.
aos zeros do denomi-
Utilizando os resultados das diversas diretrizes e rcferindo-nos a tabela elaborada da Diretriz 5 para estudar 0 comportamento de f pr6ximo das asslntotas verticais (x = ± 3), obtemos
o esbo<;o da Figura 4.40.
fe
fe
fe
f e
fe
decrescente
crescente
crescente
dccrescente
decrcscente
Pelo teste da derivada primeira, f tern minima local f(-4) = ~ e
maxuno local f(O) = o.
quando x -- co ou x -- - 00. Para estabelecer este fato, podemos
usar a divisao para exprimir f(x) na form<l
,
Diretriz 6
Nao analisaremos a concavidade nem pontos de
inflexao. 0 leitor pod era verificar que
f(x)=M
(xl-x-2)
"J::l'
,
.
,
,
,
,,
= (ax + b) +
1!l
hx'
em que ou rex) = 0 ou 0 grau de rex) e men or do que 0 de hex).
Segue-se que lim._~ r(x)/h(x) = 0 e limx__ ~ r(x)/h(x) = O. Con-
rex) = 2(i! + 6X2 + ;)
, Para resolver a equal;ao
, cubica'
hex)
seqiientemente, f(x) <lproxima-sede ax + b qU<lndox se <lproxima
de co ou - 00. Se 0 grafico de f tern uma <lssintot<lobHqua, entao
nao tern <lssintot<lhorizont<ll.
r (x) = 0, devemo!\J:j:s61ver a equal;ao
,
,
,
,,
,
-f - -- -~---- --
Pode-se mostrar que esta equal;ao tern uma raiz real r. A menos
de urn decimo, r - -6,1. 0 ponto de inflexao e aproximadamente
(-6,1; 0,9), ligeiramente adma do ponto (minimo) (-4, ~ ~.
r
•~
xl
xl-x-2
r
xl
e .~~
r-x-Z
1
=
Se f(x)
= ~~~
analise 0 grafico de f.
Diretrizes 1 e 2
0 dominio de f consiste em todos os reais
exceto x = 2, onde existe uma descontinuidade infinita .
1
Diretriz 3
f(O)=~.
, As assintotas verticais sao obtidas das solu<;oes da equal;ao
xl-x-Z=O,esaox:--1ex=2.
'
Utilizando os' resultados precedentes e referindo-nos' 11
tabela elaborada na Diretriz 5 para conseguir 0 comportamento
,_de f nas proximidades das assintotas verticais, obtemos 0 esbol$O
da Figura 4.-41.
- 4x + 9
f'()x = xl2(x
_ 2)2
f"( )
5
x = - (x _ 2)3
rex) ,.
Como
0 para todo x,. 2, nao h3 extremos locais
(veja 0 Corolario (4.6».
o grafico Intercepta a assintota horizontal y = 1. Para achar
a coordenada-x do ponto de interse<;ao, resolvemos a equal;ao
'f(x) = 1 como segue:'
'
xl
--=1
xl-x-2
e
Como rex)
> 0 se x < 2 e rex)
< 0 se x > 2, 0 grafico d'
f e c6ncavo para cirna em (- 00,2) e c6nc<lvo pam baixo cm
(2, (0). Nao ha ponto de inflexao.
x
Diretriz 7
0 gr<lUdo numer<ldor xl - 9 e uma unid'ldc maior
do que 0 grau do denominador 2x - 4, de modo que ha IInlll
assintota obliqua; por divisao, expressamos f(x) como scgtlo:
, Pela analise que precede estc exemplo, a reta y = ~ x + l ( UIIIII
Se f(x) = g(x)/h(x) para polin6mios g(x) e h(x),e se 0 grau
de g(x) e wna unidade maior do que 0 grau de hex), entao 0 grafico de f tern urna' assintota obIlqua y -'ax + b;: isto, e; 'a
_ distaneia'vertical entre :est<lretaeo'grafic'o
de f. tende para Q
assintota obliqua.
"'
.-,.;,
Como 0 grafico tern uma assintota obliqlla, nao h~ lIsslnlOlll
'horizontal. Ha uma assfntota vertical x - 2 corrcspOlltl'lll
III
zero do denominador 2x - 4.
Rcprcscntando as assfntotas por retas tracejadas, grafando
os inlerccplos, e utilizando outras inforrnal;6es obtidas das
dirctrizes, chcgamos ao esbol;o da Figura 4.42.
, Ha uma assintota horizontal y = 2 (na parte do, griifico no
primeiro quadrante) e uma assintota horizontal y ;.,'-2 (n~'p~rt~
do griifico no terceiro quadrante)., _ '
Em sw;;oes anteriores consideramos express6es f(x) que
contcm potcncias racionais tais comoxl/3 e (xl - 9)312, ou a forma
cquivalente que apresenta radicais. Em alguns cas os, 0 grafico
de f tern uma tangente vertical em algum ponto P, possivelmente
com urn ponto de reversao em P (veja as Figuras 4.23 e 4.24).
o proximo exemplo iluslra 0 fato de que as tangentes horizontais
tambem podem a<:orrer quando hii radicais em jogo.
Nos ex em pIos considerados ate aqui nesta sel;ao, 0, numerador e 0 denominador de urn quociente nao apresentam fatores
comuns. Quando hti urn fator comum, digamos p(x), 0 griifico
de f tern um "buraco" em cada ponto correspondente
a urn zero
de p(x). A titulo de ilustral;iio, se
2x(x-l)
f(x) = R+T(x
2x
Se f(x) = -.lxl + l' analisee
- 1)'
entao 0 griifico de f seria 0 mesmo da Figura 4.43, com uma
excel;ao: haveria urn buraco em (1, Y2) (veja os Exercicios 25-28).
esboce 0 griifico de f.
o proximo exemplo envolve valores absolutos.
Diretrizes 1e 2
numero real.
o intercepto-x e 0 e 0 intercepto-y e f(O) = O.
Diretriz 4
Como fe-x) = -f(x), a fun~o
grafico e simetrico em relal;ao 11 origem.
f(x) =
Diferenciando
e fmpar; logo,
0
2~
duas vezes
(.r + 1)112
Uma maneira dificil de proceder
IS usar 0 fato de que
I a I =..[(iT para escrever y = -.I ( 4 - x"), e entao utilizar derivadas
para achar extremos locais e pontos de inflexao. uin processo
mais simples consiste em esbol;ar 0 grafico de y = 4 - xl, conforme
Figura 4.44(i). Este griifico IS0 mesmo que 0 de y =
-xli se
-2 s x s 2. Se x> 2 ou x < -2, entao 4 - x2 < 0, e 0 grafico de
y = 14 - x2 I e a reflexiio do griifico de y = 4 - xl em relal;iio ao
eixo-x, conforme mostra a Figura 4.44(ii). as extremos, concavida de e pontos de inflexiio evidenciam-se por si mesmos.
14
,
(xl + 1)112(2) - (2x)( ~ )(xl + 1)-112(2x)
2
xl + 1
= (xl + 1)312'
f (x) =
f"( x ) = (xl -fix
+ 1)512
Como
(-
f(x) > 0 para todo x, a funl;ao f e crescente
00, 00)
em
e nao hii numeros criticos.
rex)
rex)
x
Como
> 0 para x < 0 e
< 0 para
> 0, 0 griifico
e concavo para cima em (--eo, 0) e concavo para baixo em
(0, -00), com ponto de inflexao em (0,0).
lim ~=2
x-m -.li1 + 1
e lim ~=-2
x--mv?+T
f(x)
Exercs.1-18: Determine os extremos e fac;a0 grafico
de f.
29 f(x)=lx2-6x+51
2x-5
1 f(x)-
f
:u 3
2f(x)=3-x
x+2
31 f(x)-
= 0 se x = 5 ± 3V2 (aprox. 9.24; 0.76);
••( ) _ -~
x
+ 120i -168x + 424.
2
/
(x +x-12)
3
'
30 f(x)r.}8+2x-x21
32 f(x) = I; -x
Ix3 + 11
I
4 f(x)-
2
5 f(x) = ;x -6x
x -x-12
2X2
7 f(x)=2x +I
6 f(x) =
4x
x2-4x+3
_2x2 + 14x - 24
x-3
x-3
35 f(x) = x2 -1 = (x + I)(x -I);
x-I
8 f(x) =-2x +I
10 f(x)-
(x2 _1)2
Vi
V2
x
-3x
11 f(x) = ,,;T;4
+4
12f(x)-~
2
13 f(x) = x - x - 6
x+1
x2
15 f(x) = x + I
14 f(x) =
16 f(x) =
4_x2
x+3
18 f(x)---
(x + 8)2
20f(x)=--
r(x)=2x
x +x+2
3
-18x
2
(x2 _1)3
rex) = Osex= 2n
x-2
36 f(x) = x + 4
x2_4
2x2
e pontos de
3x2
(2x_9)2
,
x +4
(x+2)(x-2)'
f'{x)
23 f(x)-x
2
22 f(x)--2x +I
27
r(x)
-2
x
de f.
2
x-I
27 f(x) =--2
_,. . , I-x
.2
26 f(x) _ x -x2
x -2x-3
6
- 0 se x ~ -4 ± 2V3 (aprox. --D,54,-7,46);
= 0 sex=-m
2
f(x) = 3x + 42x + 27;
(x2 _9)2
a/
(a) P = b +/
-2m - 'iI5O -7 --19,80;
3
2
"
40 Os biomalematicos tern propoSIO varias func;oes
diferentes para deserever 0 efeito da luz sobre a
taxa a que se processa a fotossinlese. Para que a
func;lio seja reaUstica. deve exibir 0 e{eilo de
fOloinibit;iio; islo e. a taxa de produc;ao P de
fotossintese deve deerescer para 0 a medida que
a inlensidade da luz / alinge altos niveis (veja a
figural. Qual das seguintes formulas para P onde a e b saD conslantes - deve ser usada?
Justifique sua resposla.
2
f"{x) = -6; -126x -162x-378;
(1-- 9)3
3
P
(fotossintese relativa)
f(-19,80) - -2.90
39 A lei de Coulomb afirma que a forc;a de alrac;ao
,'.../ :' F enlre duas particulas carregadas e diretamente
proporcional ao produlo das cargas e inversamenIe proporcional ao quadrado da distiincia entre as
particulas.
(a) Mostre que a forc;aresultante que atua sobre
a particula de carga +1 e dada por
2
-m -4--11.04;
- -0,93; f(-7,46) - -0,07;
f(-11,04) - -0,06
2
-3(H 2)(x - It
(x+3)(x-3)
•
-1
(')~
x
~
6
8
(inlensidadc
10/
d. Iuz)
Suponha uma particula com carga +1 colocada @] Exercs. 41-42: Fa~ 0 grafico no intervalo illuiclldo.
:." em uma reta coordenada entre duas particulas' de ,
(a) Estime onde 0 grafieo de f e cOllcavo para cillln
carga -1 (veja a figural .
ou c6ncavo para baixo. (b) Estirne a coordcnarlll-
2
f(-0.54)
Exercs. 25-28: Simplifique f(x) e esboce 0 grafico
25 f(x) = ~ +x-6
x +3x+2
.
rex) _ 2x + 24x + 24x + 32;
(x2 _ 4)3
-4
Xl + 1
+ 3 - 8.69;
f'(x) = -x -8x~4;
. (Xl-4)
3
21 f(x)=~
+ 2~
f(8:69) - 0,08 ,
8 _x3
1--9
2L.-+ 1 F,
(')
f( - 0,68) - - 0.78; f(-13.32) - -2,89;
f(5.83) - 0.09; f(0,17) -2,91;
-x2-4x_4
x+1
"
r(x) _0 sex =
+6x-6;
2x2_x_3
Exercs. 19-24: Determine os extremos
inflexao. e fac;a 0 grafico de f.
19f(x)=~
'
f'(x) = 0 se x = 3 ± 2V2 (aprox. 5.83; 0,17);
2x
2
3"8f(x) _ -'--3x- 3H 6
f'{x) _ 0 se x = -7 ± 2'/iO (aprox. -0,68 - 13.32);
2
f'{x) = -x + 6x-l.
=.1
9 f(x) = x + 4
17 f(x)-
x2 + 2x
Exercs. 35-38: Use as informac;oes dadas para esboc;ar 0 gnlfico de f.
\
-1
o
3W + 5 -13.75;
r(x) = 0 sex = V'36 +
f(9,24) -1,79; f(0,76) - 0,41; f(13.75) -1.82
3 f(x) = Xl ~ x - 6
x -I
(b) Fa~a k - I e esboce 0 grafieo de F para
0<x<2.
37 f(x)=2x
-2x-4=2(HI)(x-2),
Xl+x-12
(x+4)(x-3)'
de cada ponto de infIexao.
3
41
{(x) _ O,5x + 3x + 7,1;
6-1-
[-2.2]
42
f(x) = 1- ~ 2x + I ;
0.7x -x+ 1
[-6.6]
F(x)=_~+_k_
x2 (x_2)2'
Nas aplicac;6es, uma quantid~defisica
ou geom~trica costuma
ser descrita por meio de alguma f6rmula Q ~ f(x), na qual f e
uma func;ao. Assim, Q pode ser a temperatura de uma substancia
no instante x, a corrente em urn circuito eletrico quando a
resistencia ex, ou 0 volume de gas em urn balao esferico de,raio
x. Naturalmente, usamos tambem outros simbolos para variaveis '
tais como T para temperatura, t para tempo, I para corrente, R
, para resistencia, V para volume e r para raio. Se Q = f(x) e'f
diferenciavel, entao a derivada D
f(x)pode ser util na
pesquisa de maximos e minimos de Q. 'Em aplicac;6es, esses
valores extremos saD as vezes chamados valores 6timos, porque
sao, em certo sentido, os melhores ou mais favoraveis valores
da quantidade Q. A tarefa de determinar esses valores constitui
urn problema de otimizac;ao.
J2 =
.,
t
Se urn problema de otimizac;ao e enuDciado em palavras,
entao e necessario converter 0 enunciado em uma f6mlUla
adequada como Q = f(x), a fim de acharmos os Dumeros criticos.
Na maioria dos casos existe apenas urn numero critico c. Se,
al6m dissO, f e continua em urn intervalo fechado [a, b) con tendo
c, enlao, pelas Diretrizes (4.9), os extremos de fsao 0 maior e
o mt;j1or dos valores f(a), f(b) e f(c). Por isso e, em geral,
desnecessario aplicar 0 teste da derivada. Entretanto, se for facil
caJcular r(x), aplicamos 0 teste da derivada segunda para
verificar urn extremo, conforme ilustrado no exemplo a seguir.
De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura
deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente
a folha. Quantos centimetros devem ser dobrados de cada lado
de modo que a calha tenha capacidade maxima?
A calha esta i1ustrada na Figura 4.45, onde x de nota 0 numero
de centimetros a ser dobrado de cada lado. A largura da'base da
calha e 30 - 2x cm. A capacidade da calha sera maxima quando
a area do retangulo de lados x e 30 - 2x for maxima. Denotando
esta area por f(x), temos
Como 0 ~ 2x ~ 30, 0 dominio de f e 0 s x s 15. Se x = 0
ou x = 15, nao se forma nenhuma calha (a area do retangulo seria
f(O) = 0 = f(15».
de onde
0 unico
f"{x)";-4
<0, f(7,5)
devem ser dobiados
capacidade ma~ima:',
"\,',
'"J
ex
numero
crilico
= 7,5 .. Como
e' maximo local para f. Segue-se que
7,5 cm de cada lado para obtermos a
i
, .
Como 0 numero de tipos de problemas de otimizac;ao e
, ilimitado, (diffcil esta!Jelecer regras especificas para obter as
respectivas soluc;6es. Todavia, podemos desenvolver uma estrategia geral para abordar' tais problemas. Poderao ser uteis as
seguintes 'diretrizes .. Ao emprega-Ias,
0 leitor nao deve se
desencorajar se naoconseguir resolver rapidamente urn determinado problema. Em geral e necessario multo esforc;o e pratica
para uma pessoa se tomar proficiente na resoluc;ao de problemas
de otirnizac;ao. Continue tentando!
Diretrizes para a resolufiio
de problemas de otimizafiio
(4.20)
2
EXEMPLO
do dominio dao 0 valor minimo V = O. Para 0 numero
crftico x ~ 7,47, obtemos V = 15,537 cm', que
urn valor
maximo. Consequentemente,
deve-se cortar um quadrado de
7,47 cm de lado, de cada canto da folha de cartolina, para
X ~ 20
•
/
D eve-se construu .. uma calxa d e base retangular,
com uma folha
de cartolina de 40 cm de largura e ~2 cm de comprimento,
retirando-se urn quadrado de cada canto da carlolina e dobrando-se perpendicularmente
os lados result antes. Determine 0
tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa
de volume maximo. (Desprezar a espessura da cartolina.)
e
maximizar
0 volume
da caixa.
Nos exemplos restanles, nem sempre explicitaremos
as
diretrizes utilizadas. 0 leilor deve ser capaz de identifica-Ias,
estudando as solu<;6es.
Diretriz 2
Fazer urn esbo<;o da caixa como na Figura 4.46(i),
introduzindo uma varia vel x para denotar 0 lado do quadrado a
ser cortado de cad a canto.
Urn recipiente cilfndrico, aberto em cima, deve teI a capacidade
de 375 n cm3. 0 custo do material usado para a base do recipiente
e de 15 centavos por cm2 e 0 custo do material usado para a
parte curva de 5 centavos por cm2• Se nao hi[ perda de material,
determine as dimens6es que minimizem 0 custo do material.
e
','.'"II
III'" .-'
_ -!'
} :'
.'
;
t,
0
" x
~..,'
~ 52-Z.<
"'f
>
;.:.
~
•.•••. ~.AO - Z.<
~.
T~.,,::"
~
.
.
g' :' '
J
.~
'.:~
'.
Come<;amos fazendo urn esbo<;o do recipiente (Figura 4.47),
denotando por r 0 raio da base e por h a altura (ambos em
centimetros).A quantidade a minimizar
0 custo C do material.
Como os custos, por centfmetro quadrado, da base e da parte
curva san 15 centavos e 5 centavos, respectivamente, temos, em
e
termos de cruzeiros,
Diretriz 3 Dobrando-se a cartolina ao longo das linhas Iracejadas no esbil<;oda Figura 4.46(ii), a base da caixa obtida lera
dimensoes 52 - lxe' 40 - lx.
Diretriz 4· '. A quantidade a ser maximizada
Corn base ria F~.~.46
e ovolume V da caixa
(ii), expressamos V oomo fim<;30de x:
V =x(40-.lx)(52- lx) = 4(520x-46r +x3)
;:
C = 15(nr) + 5(inrh)
C = 5n(3r + 2rh)
Podemos expressar C como fun<;ao de uma variavel, r,
escrevendo h em term os de r. Como 0 volume do recipiente e
375 n cm3, vemos que
'. "," .~.:i
Como 0 s lx s 40,0
y; -:-'.'''.
~:J;~. :"
domfnio de x eO sx s 20.
nrll = 375n
ou II = 375
.;.
. Diretriz 5 '.1, Para achar os niimeros critiCos da fun<;ao, diferenciamosVem
rela<;ao ax.
Sub~tituindo h por 375/~ na ultima forma de C, tern os
C = 5n(3r
Fazendo Dx V = 0, obtemos
as rafzes (aproximadas)
23,19
e 7,47, que san possiveis numeros criticos. Como 23,19 est a fora
do domfnio de x, 0 unico niimero critico e 7,47.
Diretriz 6
Como V e continua em [0,20] utilizaremos as
Diretrizes (4.9) para determinar os extremos. Os pontos x = e
°
r
+ 2r . 3~5).= 5n (3r + 7~0)
o domfnio de C e (0, co).
.- :Para a~'oo~ ri6rriei1)s'.6ltioos, diferenciamos C em rela<;3oa r:
'.':
750) =3On (125)
D,c~5n 6r-7
r-7
.
(
-,2-
=3On (r3 - 125)
Como D,C =0 sc r ='5, vemos que 5 e 0 unieo numero eritieo.
E eoino D,C' <::'0se r <5
e D,C > 0 se r >5, segue-se do teste da
Vma rodovia Norte-SuI intereepta outra rodovia Lesle-Oeste em
;um ponlo P. Urn aUlorn6vel passa por P as lOh, dirigiJido-se
parao leste a 20 kmlh. No mesmo instante, outro autom6vel esla
a 2 km ao norte de P e sc dirige para 0 suI a 50 krnlh. Deteqnine
o inst.ante em' que os autom6veis eslao mais pr6ximos UDl do
outro, e aproxime a distancia ~inima entre eles.
'
d'ciivada primeiraqhe'C
tern seu minimo quando 0 raio do
eilin~ro e de 5 em. 0 valor eorrespondente da altura (obtido de
h=
e
15 cin:._
7) ¥t...;'
•
..
I
:-..r- : :
•...•
-4->-!
I,
:
,1,
~
Determine 0 volume maximo de urn eilindro circular reto que
pode ser inserito em urn cone de 12 em de altura e 4 em de raio
da base, se os eixos do eilindro e do cone eoineidem.
A Figura 4.48 da urn esbo<;o do problema, onde (ii) e uma se<;ao
transversa segundo 0 eixo comum. A qualltidade a ser maximi.
zada If a volume V do cililldro. Da geometria,
•.
A Figura' 4.49 ihistra 'as posi<;6es tipicas dos dois a~iom6v~is.
Se t denota '0 numero; de horas ap6s 10h, entao 0 veiculo mais
lento 'esla a 20t kID leste de P. 0 veieulo mais rapido est a a
SOt km ao Su'l de suap'osi<;ao as lOh e, assim, sua distancia de
P e 2 - SOt. Pelo teorema de PiHigoras, a disti\ncia d entre os
autom6veis e
a
d = '~/(2- SOt? + (20t?
.= ";4 - 200t + 2.5002 + 4002
I
•..•
-
..
r I
•.•
~-4~
I
I
Exprimimos em seguida V em termos de uma variavel,
estabeleeendo urna rela<;ao entre r e h. Considerando a Figura
4.48(ii) e usando a semelhan<;a de triangulos, vemos que
= ';4 - 200t + 2.900t'
Queremos achar () inst~nte t em que d tern seu mellor valor. Isto
ocorrera quando 0 radicando for minimo, porque d aumenta se
e somente se 4 - 200t + 2.900f! aumenta. Assim, podemos,
simplificar nosso trabalho fazendo
Se r = 0 OUr = 4, vemos que V = 0; logo, 0 maximo nao e
urn extremo correspondente
as eXlremidades. Basta, porlanlo,
pesquisar maximos locais. Como V = 31t( 4,-2- ,3),
200
1
t = 5.800 = 29
Alem disso, j"(I) = 5.800, de modo que a derivada segunda e
sempre positiva. Portalito, f tern minimo local em t =~, e
f(~) =~. Como 0 dominio de t e [0, (0) e como f(O) =4, nao ha
2
V=Jt
8)
256Jt
"3 (4)=-9-~89,4em,
3
(
maximo nem'minimo nas extremidades. Conseqtientemente,
os
aut~m6veis estarao mais pr6ximos urn do outro a f,; horas (ou
aproximadamente
que, pclas Diretrizes
cilindro inscrilo.
(4.9), e urn maximo
2,07 minutos)
ap6s lOh. A distancia minima
para 0 volume do
';f(f.) = V[ - 0,74 km
e
",
.~,
'.
:~:.:~;
',
:.", ,-;-.
..
.;,,';
Vma pessoa se acha em urn bote a 2 km de distancia do ponto
mais pr6ximo em uma praia retiHnea, e deseja atingir uma casa
a 6 km praia abaixo. Se a pessoa pode remar 11 razao de 3 krn/h
e andar razao de 5 krii/h, determine 0 tempo minimo que lev ani
," para atingir a casa. '
DTc-_x __
x
3(x2 + 4)112
a
1
5'
Para determinar os numeros criticos, fazemos DJ = 0,0 que nos
da as seguintes equaltoes:
x
3(XI+ 4)1l2
A Figura 4.50 ihi'sfra o'problema: A denota a posi.;ao do bote,
B 0 ponto ,mais pr6ximo na praia, C a casa, D 0 ponto em que
, ',0
bote ati,rige a praia'e x a distancia entre BeD.
Pelo teorema
) . de Pitagoras, a distancia entre A e D Y.?+4, onde 0 :s X :s 6.
Aplica~doa f6rmula.
'
5x = 3(XI + 4)112
"
25.\J = 9(x2 + 4)
e
t
empo =
1
5
distancia
t;;;;Assim, ~ e 0 unieo numero critico. D tempo T correspondente
a
x =~2 e
Tempo para remar de A a D
".>c
distancia de A a D
= tempo
d
e remagem
, , , , ' . :I:t:mpo para andar de 1)3 C =
••••••
,
,.".('",
,I"
•.
"
,',
distiincia de D a C
.
tempo de camillhada
- --6-x5,
ou seja, 1 hora e 44 minutos.
Ja vimos que os val ores de T nos extremos do dominio sao
1 hora e 52 minutos e aproximadamente 2 horas e 7 minutos,
respectivamente. Logo, 0 tempo minimo de 1 hora e 44 minutos
oeorre em x =~. Portanto, 0 barco deve aportar em D, l~
, .;j ,.JL:-l.<'_.i~jr.-~ :l \A·;:;·, ;; ;..::',:-;'.:;..
; <:).ogo,otempo
t()taIJ,do
,:i,V'
percurso e
,;;;':,ii'1, ',' T
R+4 6-x'
= --3-'+ -5-'
1
, L:,; 01l_eq~iv!l'7~~el1le~~e,c', .. T = (XI + 4)° + ~-
quilOmetros de B, a fim de minimizar T. Para urn problema
analogo, em que ocorre tempo minimo nas extremidades do
dominio, veja 0 Exercicio 6.
¥.
,;..,.... " : .' Desejamas achar a valar minima de T. Note que x = 0
cOrresponde 11 situa.;ao extrema em que a pessoa rem a direta- ,
mente' a B, em seguida faz, por terra, 0 percurso de B a C. Se
x = 6, entao a pessoa rema diretamente de A a C. Estes nillneros
'li ;
pod em seT eonsiderados como pontos extremos do dominio de
'L;?( f. Se x"; 0, entao, pel a formula de T,
=.
.' ; .•.. ';' ~- -I.,
.• ",: ..:,
:'.
;,,;i~'i.r:
,.
.. _.__
_._..
__
..
.
.. '
_ ..
,.-:1:.'.:,
_.
. ::' que:e
Iho.~~:
e52 m.i?,utos. Se x = 6, entao
".' ...• ~ b..
,_,
"Ill''',
';1
;:
=~U __
?~F9xim~~amente
2 horns e 7 minutos;
~~~~~:~cian..9? ~..f~~ufa
geral de T, vemos que
Corta-se urn pedalto de arame de 1,50 rn de eomprimento em
duas partes. Com uma das partes forma-se urn circulo, e com a
outra, urn triangulo equilatero. Dnde deve ser cortado 0 arame
de modo que a soma das areas do circulo e do triiingulo seja
minima? maxima?
6.:
',."
.G
'Y::
s.
:~n~~~:Opor
x 0 comprimento de urn dos pedaltos do arame,
o cornprimento do outro peda~o sera 1,50 -x. Formemos 0
circulo' de ~aio',- com 0' pedaltQ de comprimento x; entao,
2J1:r= x, OU r = x/(2J1:) (veja a Figura 4.51). Se com 0 peda'to
rest ante formamos urn triangulo equilatero de lade S, enlaO
;",1-·
'C,
";
""
1 50 -x
3s = 1,50 - x, ou s = -'-3-'
. . .
. .
Assim, 0 valor maximo deA oeorrera se 0 arame nao forcortado
sendo usado em todo 0 seu eomprimento para'for~ar 0 dreuIo:
Queremos mmlmlzar e maXlmlzar
a somaA das areas do dreulo e do trifmgulo. Pela Figura 4.51"
vemos que
';,
lIr
)2
1
'liS ,20n]!;)'
{3 (1,50
4
3
_X)2 = {3 (1 50 _ )2
36'
'co';';
6;tg"
1 ,
= 11 211 = 411r
( X
EXEMPLO 8
.l:
x
Logo, a soma A das areas e
1 , {3'
,
A = 411x- + 36 (1,50 -x)-
/"
Cl
;::;::://" b'"
q
!;)
~'/~
II
';/~~~/
-~.
Urn e~rtaz de 6 m de altura esta eoloeado no alto de urn ediffcio,
Cl ~
com sua parte inferior a20 m acima do nivel do olho do observador,
Cl i;fS eonforme Figura 4.52(i)',A que distaneia diretamente abaixo do
!;) ;.}
eartaz deve eoloear-se urn observador de modo a maximizar 0
Cl
angulo 8 formado peIas Iinhas de visao do topo e da ba~e do eartaz?
!;) -:':;\ (Este angulo deve resultar na melhor visao do eartaz.)
t:J
l>< -
,
"
,1
_
.' .'
:"'"
".'
~l:
;.:,
0'
'-
•
'
.
SOLUC;Ao
A Figura 4.52(ii) e urn esbo<;o do problema. Utilizando
triangulos retangulos AOe e BOC com lado eomum
e~mprim~nto (variiivel) x, ve-se que
os
oe de
,
tga=-
26"
",r,
X
20
e tg~=X
o &ngulo 8 = a -'~e fun<;ao dex e
8
tg
,
1,50 {3/18
0,14434
x = 1/211+ V3/18 = 0,15915 + 0,09623 = 0,565
=tg(a-~)=
x
tg
que e positiva. Logo, 0 numero eritieo da urn valor minima para
A, e 0 arame deve ser eortado a (aproximadamente)
56,52 em
de uma extremidade. 0 valor minima aproximado de A e
A = 2. (5652)2 + V3 (150 - 56 52)2
411'
36
'
x
8 1 (2x6) (~O)
=
+
Os extremos de 8 eorrespondem
tg a-tg
l+tgatg~
20x
lL
6x
xl + 4.800 = xl + 520
a D,8 = O. Difereneiando
impli-
eitamente em rela<;ao a x e usando a regra do quoeiente, temos
see
28 D 8 _ (xl + 520)(6) - (6x)(2x) _ 3.120 - 6.y2
., (r + 520j2
- (r + 520)2
I
Como nao ha outros numeros eritieos, 0 maximo de A deve
oeorrer em uma das extremidades do intervalo de varia<;ao de x.
Se x = 0, todo 0 arame e usado para formar 0 triangulo e
_fl (1,50 )2 _- 1.OS?-, 5 3em 2.
A - 36
Pode-se verifiear que 0 sinal de D,8 passa de positivo a negativo
em V5W e, assirn,
=22,8 m.
A = -L (l,50j2 = 1.790,49 em2
411
0
valor maximo de () oeorre em x = V5W
12 Para construir uma ta••a em fonma de cone circu, lar relo, remove-se urn setor de uma folha circular
de carlolina de raio a, e unem-se as duas margens
retilineas do corte (veja a figura). Determine 0
volume da maior ta••a que pode ser construfda.
1 Vma caixa da base quadrada, sem tampa, deve
ter 1 m3 de volume. Determine as dimensaes que
exigem 0 minimo de material. (Desprezar a
espessura do material e as perdas na constru«ao
''z\. ..
da caixa.)
______
0a~l!~Q..E1I.eL<;l!;.ilLLJ1a!1Ll!mlU;ajXa_c_O!1JJ.ampJl,,
_.
_
\.
'de c~pacidade. Se nao h:\ perdas na constru«iio,
ache as dimensoes que exigem 0 minimo de
material. (Comparar com 0 Exemplo 3.)
4 Se a base circular do recipiente do Exercfcio 3 e
corlada de uma folha quadrada de metal, desprezando-se as sobras, delermine as dimensaes que
exigem 0 minimo de material.
~'"
o'\.
&00
m de gradeado vao ser usados para construir
seis jaulas para um zool6gico, conforme figura.
Determine as dimensaes que maximizam a area
cerca.da, (Sugestiio: Primeiro expresse y como
uma !iJn«ao de x; e entao expresse A como uma
fun••ao de x.)
.
...
',,'
~
.._:' __ Q.m?':~~eve-.~~~~~pont~~-JL
..- _..
dlstantes 3 k.m urn do Qulro e Situ ados em
';'{d';:;;){it,,;
margens opostas de urn rio de 1 km de largura.
. ,ii:
Parte do oJeodulo ficara submersa, de A e C, e
parte acima do solo, de CaB. Se 0 custo de
opera ••ao do oleodulo sob a agua e quatro vezes
em
fazendeiro tern 500 melros de cerca para
o custc, da opera••ao no solo, delenmine a locali"
envolver urn terreno relangular. Urn celefro sera
za«ao de C que minimize 0 cuslo de opera«ao do
usado como parte de urn Jado do campo (veja a
oleoduto. (Desprezar a inclina••ao do lcito do rio.)
figura). Prove que a area do terreno cercado sera
maxima quando 0 terreno for urn quadrado. '
~E{~t~·~l~~jr~~~\
3 Urn recipiente ~ilindrico sem tampa deve ter 1 m3
8 Vma janela t~m a forma de urn retangulo encimade por urn semicfrculo. Se 0 perimetro da
janela e de 6 m, determine as dimensaes que
maximizem a entrada de luz.
(V;m muro tern 3 m de altura, e paraleJo ii parede
de urn ediffcio, e esta a 0,30 m desta. Determine
o comprimento da menor escada que va do chao
ii parede do ediffcio, tocando 0 muro. (Sugestiio:
Use triangulos semelhantes.)
14 Com referencia ao Exerdcio 13, suponha que 0
fazendeiro queini que a area retangular tenha
A m2. Prove que a extensao necessaria de cerci!
sera minima quando a area for urn quadrado.
15 Urn 'hotel que cobra $ 80 a diaria, da desc~ntos
.
I
I
-i>-i
,.';;
6 Com referencia ~o Exemplo 6, se uma pessoa esta
em urn barco a motor que pode navegar a
15 kmJh, que, rota deve fazer para ehegar ii casa'
em tempo minimo?
0:
1:00 da' tard~ 0 navio A est a a 30 mi ao sui do
navio B e navega rumo Norte a 15 mith. Se 0
navioB navega para 0 Oeste a 10 mith, detenmine
o inslante em que a distancia d entre os dois
navios e minima?
A.
~ma
I
I
'--0,30 m
\
pilgina de Iivro deve ter uma area de
580 cm2, com margens de 2,5 em em baixo e dos
lados e 1,25 em em cima. Determine as dimensaes da paglna com maior area impressa.
11 Urn construtor deseja construir urn dep6sito com
capacidade de 30 m3, teto plano, base relangular
cuja Jargura e tres quartos do comprimento. 0
custo por metro quadrado do material e de
36.000,00 para 0 chao, R$ 204.000,00 para os
lados e R$ 102.000,00 para 0 telo. Que dimensaes
minirniz~rao 0 custo?
, .especiais a grupos que res~rvem entre 30 e 60
quarlos. Se sac' reservados mais de 30, 0 pre«o
de cada quarto e reduzido de uma quantia igual
a uma vez o· n"mero de quartos reservados .
Nessas condi••oes, quanlos quartos, devem ser
reservados para que a receita diaria seja maxima?
, /~eterrninar
~~ dimens6~s do r~tangulo de area
~axima
que pode ser inscrito em urn semicirculo
de raio a, se seus vertices estao sobre 0 diamctro
(veja a Figura).
i6 'COmreferencia ao Ex~rcfdo '15, ~~poncio que
cada quarto aJugado acarrete uma despesa diaria
de $ 6 de Iimpeza e niamiten•• 'quantos quartos
devem ser alugados para produzir a receila diaria
maxima?
~o,
i'7 Deve-se consiruir urn tanque para aririi\zenamen"to de gas propano em Conmadecilindrocircular
'reto com dois hemisferios nas' extremi'dades. 0
: - custo do metro, quadrado dos he~isi~rios ',e 0
. dobro do 'cUSIOda pait'e' cilfndrica. Se' a capaci-
d~~lO~
:.;:d~de d~ 'tanque deve';er
~3,~q~~di~ensaes minimizarao,o cust~.da ~~!1stru«ao? ,.>..
20 Deterrninar as dimenstles do retangulo de area
maxim'a que pode ser inserito em urn lriangulo
equilalero de Jado a, se dois vertices do retangulo
estao sobr~ urn dos lados do triangulo.
21 De todos os cones circulares retos que podem ser
insc'ritos em uma esfera de raio a, determine 0
volume do' cone de volume maximo.
Iii It 111111[1II~ dimellsoes do cilindro circular relo
ill vnllllllc III~ximoque pode ser inscrito em uma
I ,.11 In II\' IIlin fl.
Q'm
~e
\} ,Ii, 111'1111111
do grMico y = / + 1 mais proximo
Iriangulo isosceles tem basc b e lados iguais
comprimenlo
a cad a urn. Determine 0 relangulo de area maxima que pode ser inscrilo no
triangulo, se um lado do retangulo jaz sobre a
base do triangulo.
11111""1111(.\. I).
1\1 Ii,' " 1'11"'" cia grafico
11111""111.(11,0).
31 Uma janela tem a forma de urn relangulo endmado pOI' um triangulo equilatero. Se 0 perimetro
da janeJa deve ser de 4 melros, determine as
dimensoes
do ret~nguJo que proporcione
area
_,m~~!m~,para ,a..janela.
,_...__,
.. _.
_
.., _ .
32 Dois pastes verticais de 2 m e 2,50 m de altura
distam 3 m um do outro. Determine 0 comprimento
do menor cabo que, partindo do tapa de um poste,
3
de y = x mais proximo
i\ I'" 'Mllrill de urna viga retangular e direlamen" 1"111"11'11111111
aO produ!o-'de-sua-I'a:rgmrpe1o"-"-"""·--'1,",,11lid" de IIltura da se~ao transversa. DetermiIII II dill, ·"s()cs da viga mais resistente que pode
_, I ,,,' ",d" de 11m 101'0 cilindrico
de raio a (veja
'h
II 1111'1111).
Prove que 0 relangulo de perfmetro dado p e area
maxima e 0 quadrado.
34 Um cilindro circular reto e gerado pela rola~ao
de um retangulo de perimetro p em lomo de um
de seus lados. Que dimensoes deve IeI' 0 retangulo
para gerar 0 cilindro de volume maximo?
I, A 11\11"1111<;,
II de uma fonle luminosae
diretamen-
1\ 111111'111
lanai i. intensidade da fonle e jnversa1111'111('
1""l'orcional
ao quadrado da distancia da
1111111'Sl' dllas fonles luminosas 51 e 52 dislam
"11'11 01" Olllra eI onidades,
em que ponto do
'/',111('111" relilfnco que une as duas fontes a
IIU~ 0
emi,le'!1 part!~ulas na fuma~a, quep~luem
a area
entre, elas. Suponha que 0 ,n~m~ro de partlculas
emilidas pOI' cada, fabrica seja di~elaJllente 1'1'0porcional ao cuba da distancia da fabrica. Se a
fabrica A emite duas vezes mais fuma~a do que
a fabrica B, em que ponlo entre A e B apolui~ao
minima?
.. ',
.,
'
40 Um campo petrolifero lem 8 po~os que pr~.i~~____
------um-Iotal
de 1~600Darrisae pefr6leopOr-dia.
Para
e
cada poo;o adidonal
perfurado
pOI' po~o decresce
de 10 barris diarios.
po~os adidonais
zar a produ~ao?
a produ~ao
media
c minima?
J I 1111111I1'\'adisla vende lenis a $ 20 0 par, para
,"',11"", d' mcnos de 50 pares. No caso de
1III"'lI,'IIlbs de 50 pares ou mais (ale 600), 0
I'""." 1"" par sofre uma redu~ao de 2 centavos
v""'" " ""lIIcra de pares encomendados.
Qual
",'v,- ·.n II qllantidade eneomendada
que proporI Ollt' 11Illinr rcccita 30
atacadista?
11"v,' 'Y' fat.er uma lao;a de cartolina em forma de
""'" dlcular rclo, dc volume de 600 em3. Determine
'" oI"",''''''\<:s '!ue 'exigem menor quantidade de
1111""11"1,
(I\;,preze eventuais pcrclas na confeco;ao,)
'I 11111I'I'oI,,<;nde arame de 36 cm de comprimento
Ilrvl' 'In nrtado em duas partes. Com uma delas
tltl
'I(' 11111
lriflOglllo equilatero, e com a outra, urn
III 11\"In clljo comprimento
e 0 dobra da largura.
()lId,' S' dcve cortar 0 arame de modo que a area
1111111
01,) 1,;;illgulo e do retangulo seja (a) minima,
(II) ",("illla?
35 0 proprietario de um pomar de ma~as estima que,
planlando 24 pes por acre (~40~7 m\ cad a pe
de ma~a adulto produzini 600 mao;iis por anO. Para
cada arvore plantada par acre a!em de 24 haveni
um decrescimo de produo;ao de 12 mao;as par ano.
Quantas arvores devem ser plantadas de modo a se
obler 0 numero maximo de mao;iis par ano?
distfmcia minima urn do oulro?
~arro
0 volume
(b)
V loma seu valor maximo quando x e igual
Y2 vezes 0 comprimento
de parada
(em metros)
av km/h e aproximadamente
Se d"" D,005 .,2, determine
maximiza
0 fluxode
de um
0,015 .,2.
a velocidade
que
lfMego na ponte.
3,5 m
~,
da barraca e V=ixV52-x4
(a)
I
I
-+! d
I"
I
1'90:'
,~
j~[¢:~b{;l--
do posle.
44 Prove
que a menor distancia
de um ponto
(XI, YI) ao grMico de uma funo;ao diferenciavel e
medida ao longo de uma normal ao grMico - isto
e, uma reta perpendicular
a !angenle.
45 Deve-se constroir uma linha de estrada de ferro
da ddade A a cidade C, passando pOI' B (veja a
figura). Em razao das montanhas enlre A e C, a
ponto de ramifica~ao B deve ficar pelo menos a
20 km a leste de A. Se 0 cusio da construo;ao e
de $ 50.000,00
'POI' km entre A e B e de
$ 100.000,00
en Ire B e C. determine 0 angulo
e
37 Um pacote pode ser enviado pelo reembolso
poslal desde que a soma de seu comprimenlo mais
altitude de 8.800 melroS passa par um ponln na
rodovia B a 160 km a oesle de P, Se 0 aulomovel
e 0 aviao mantem constantes suas velocidades e
dire~oes, ~m que instante eles eSlaraO a uma
podem estar sobre a ponte em um dado
in~tantee
[[1.500/(3,5-:- eI)]l, onde [[ II de: nota a fun~ao maior inleiro.
,,: .
_ _~___
._..:...
' -,--,
-'----(0) Se a velocldade
de ,c~da carro e de v ~mlh,
A distiinda
41 Deve-se construir uma barraca de lona em forma
de uma piramide de base quadrada. Urn poste de
a~o fincado no cenlro da barraca serve de apoio
(veja a figura). Se dispomos de 5 metros quadrados de lona para as qualro lados, e, se x e a
comprimento de urn dos lados da base, moslre que
a
pOI' uma pan Ie de, 1,5 km de
F,~ [[1.500 v (3,5+ d))l
devem ser aberlos para maximi-
se obler renda mensal maxima?
38 Uma rodovia Norte-Sui A e uma rodovia LcsteOesle B se cruzam em um ponto P. As 10,00 hs
da manha,passa
pOl' P um automovel em dire~ao
norte a 80 kmlh. No mesmo instanle, um aviao
voando em direo;iio !este a 310 km/h a uma
passam
. extensao. Cada carro tern 3,5 m de comprimento
"e deve ficar a,uma distancia de eI metros do carro
" imedialamenle
em frente (veja a figura).
".
,"
(a) Mostreq' ue'o maior numero de carros que
mostre que a taxa m~xlma de fhLXO,de trafego
e dadaP9r
36 Uma imobiliaria,.possui
180 apartamenlos
tipo
economico,
que eSlao lodos alugados pOl' $300
mensa is. A imobiliaria estima que, para cad a $ 10
de aumenlo no alugue!, 5 aparlamentos ficmao
vazios. Qual a aluguel que deve ser cobrado para
o perfmetro da base nao exceda a 2,5 m. Determine as dimensoes do pacote de volume maximo
que pode ser enviado, se a base e quadrada.,_
43 Automoveis
F (e~ ,c~rr~slhora)
Quantos
toque 0 solo e lennine no topa do Dutro paste.
~
Iltllll
39 Duas fabricas A e B dislam 4 km uma da outra e
de ramifica~ao
42 Urn barco deve percorrer 100 km rio acima,
conlra uma corrente com veloddade de 10 kmlh.
Quando a velocidade do barco e de v kmlh, 0
numero de gaJoes de gasolina consumidos a cad a
hora e direlamente proporcional a v2.
(a)
Mantida
uma
velocidade
conslante
de
v kmlh, mOSlre que 0 numero
lolal y de
galoes de Ijasolina consumidos
e dado par
y
100 kI'-/(v - 10) para v > 10 c uma
conslante positiva k.
=
Delermine
a velocidade
que
numero de galoes de gasolina
duranle a viagem.
mtnlm,ze
0
consumidos
tro~ao.
que minimize
0 custo
da cons-
46 Deve-ser fazer uma calha de uma longa folha de
metal de 0,30 m de largura, dobrando-se as
extremidades de modo a formarem urn angulo de
120 m em rela<;ao 11 folha. Quantos centimelros
devem ser dobrados de modo que a calha lenha
capacidade maxima?
47 Com referencia ao Exerdcio 12, determine 0
anguJo central do setor que maximize 0 volume
da ta<;a.
48 Urn quadro em forma de quadrado de 60 cm de
lado esta pendurado em uma parede a uma altura
tal que sua ba~e esta a 1,80 m do soJo. Se uma
pessoa, cuja linha de visao esta a 1,50 m do solo,
olha para 0 quadro, e se e e 0 iingulo formado
pelas linhas de visao do topo e da base do quadro,
determine a distancia a que a pessoa deve eslar
da parede para que e tome seu valor maximo.
49 Deve-se fazer urn ciJindro a partir de urn retangulo de material elastico, unindo as bard as AD e
Be (veja a 'figura). Para refon;ar a estrutura,
coloca-se urn arame de comprimento fixo L ao
longo da diagonal do retangulo. Determine 0
angulo e que permita construir urn cilindro de
volume maximo.
(a) Mostre que F=O'quando
1=-rr/(2b) e
1= rr/(2b). (0 tempo 1- -rr/(2b) corresponde
ao instante em que 0 pe toca 0 solo e 0 peso
do corpo recai todo sobre 0 outro pe.)
(b) Moslre que a for<;a maxima ocorre quando
2
1 = 0 au quando sen bl = (9a- 1)/(12a).
(e) Se a
-1, expresse a for<;amaxima em termos
deA.
'~4 A luz se propaga de urn ponto a outro segundo
5j(, uma trajetoria que requer tempo minima. Supo'lll" nha que a Juz tenha velocidade VI no ar e V2na
, agua, onde VI > Vl. Se a luz vai de urn ponto P
no ar a urn ponto Q na agua (veja a figura), moslre
f. :', que a Irajet6ria exigira tempo minimo se
C'
(Este e urn exemplo da lei de refra~iio de Snell.)
P
(d) Se 0 < a :s ~ expresse a for<;a maxima em
termos deA.
51 Uma bateria de voltagem fixa V e resistencia
intern a fixa r eSla ligada a urn circuito de resistencia variavel R (veja a figura). Pela lei de Ohm,
a corrente I no circuito e 1- VI(R+ r). Se a for<;a
resultante e dada par P = PR, mostre que a for<;a"
maxima ocorre se R = r.
SS Urn cilindro circular de raio R e encimado par
,
urn cone (veja a figura). As extremidades do
"', ' cilindro sao abertas e 0 volume total do solido
deve ser uma constante especificada V.
(a) Mostre que a area total S da superficie e dada
por
'
S=~
56 No cli\ssico problemada colmeia, um prisma
hexagonal de raio (e lado) fixe e encimado par
tres trapezios identicos que se encontram em urn
vertice comum (veja a figura). A base do prisma
e aberta, e 0 volume tOlal deve ser uma constante
especificada V. Urn argumento geometrico mais
elaborado do que 0 do Exercfcio 55 estabelece
que a area total da superficie e dada por
4.r.V
32
3Y3 2 csc e
S--v3 --- R cot e + --R
3
R 2
2
Mostre que S e mInima quando e - 54,7'. (f:.
digno de nota 0 fato de as abelhas conslruirem
suas colmeias de maneira que a quantidade de
cera S seja minima.)
+~2(csce-~cote)
Mostre
que S e minimizada.
e -48,2'.
quando
52 A potencia P de uma bateria de autom6vel e dada
Pr,
50 Quando uma pessoa anda, a magnitude F da for<;a
, vertical de urn pe sobre 0 solo (veja a figura) pode
ser aproximada por F -A(cas bl- a cas 3bl) para
o instante 1 (em segundos), com A> 0, b > 0,
O<a<1.
par P - VI para uma voltagem V, corrente
I e resistencia interna r da bateria. Que corrente
corresponde 11 potencia maxima?
53 Dois corredores de 1 me 1,2 m, respeclivamente,
de largura, encontram-se em angulo reto. Determine 0 comprimento da maior vara rigida que
pode ser transportada horizontalmente na quina
dos corredores, conforme mostrado na figura.
(Ignorar a espessura da vara.)
': 4,7 MOVIMENTO
RETILINEO
E OUTRAS APLlCAQOES
Nesta se<;iioulilizaremos derivadas para descrever varios tipos
importantes de movimento que ocorrem em situa<;6es fisiC<ls.
Veremos tambem como aplicar derivadas a problemas de e o·
nomili.
'.'
"c.- \ '" Recordemos que se urn ponlo P se move ao longo de 1111111
reta I, seu movimento e reti/ineo (veja a Se<;ao 3.1). Alcm disso.
se / e uma rela ordellada, e se a coord en ad a de P no instulliu 1
I IIII'''
II
I
C 05(1), conforme i1ustrado, na Figura 4.53, entao 05 e a fum;iio
posi~iio de P. Pela Definic;ao (3.3), a velocidade de P no instante
I - isto
SOLUl;;AO
v(l) = s'(I) = 312- 241 + 36 = 3(t - 2)(1- 6)
e, a taxa de variac;ao de P em relac;ao a I - e a derivada
I
05'(1).
Diferenciando,obternos
a(l) = V'(I) = 6t- 24 = 6(t - 4)
A acelera~iio a(l) de P no instante I se define como a taxa
de variac;ao da velocidade em relac;ao ao tempo: a(l) = v'(t).
Assim, a acelerac;ao e a derivada segunda D, [S'(I)) = S"(I). Tudo
Determinemos quando v(l) > 0 e quando v(t) < 0, pois isto
nos dira quando P se move para a direita e para a esquerda,
respectivamente. Como V(I) = 0 em 1 = 2 e 1 = 6, examinaremos
os seguintes subint.ervalos de tempo de [-1,9):
isto esta resumido na proxima definic;ao de modulo de veloddade
(speed) de P.
(-1,2),
(2,6) e (6,9)
Podemos determinar 0 sinal de v(l) utilizando valores de teste,
conforme indicad9 na tabela (verifique cada dado):
:;::.-' t};,U;':3:':~: ,)£?n~5i':'I~~~f)
:l..,
Intervalode
tempo.' .. "
,'J:~ ·\1.1' •..•.111 IJ-.tf:':;Ji~ •. "I.,dr;,:
"",
Designaremos
func;ao acelerac;ao
por \) a func;ao velocidade de P e pot a a
de P. Costuma-se usar a notac;ao
dv
e aadl
Se 1 e dado em segundos
e s(l) em centimetros,
7
36
'"y.~Mf~~~~i1tUY6~~~;'
-9
15
-
+
esquerda
direita
+
c:f;~,"~.~'_8?!;:~~~~f"f
:~
direita
jl.i;~i~~.
do'moVlme!!-!9 ..
,...-. ~..,-.-.~.~
..,.:
enlao
v(t) e dada em cm/seg e 0(1) em cm/seg2 (centimelros por
segundo por segundo). Se 1 e em honis e S(I) em quil6metros,
entao V(I)
pot hora).
(6, 9)
(2, 6)
;~,,~j;i:~,.j~;~~:l;;4~~{gm;.4f];I~~·:
0
3
";\~in~~I~,d.~\(i)~~~,;~i;:;;?~i;
ds
v=dl
(-1, 2)
A proxima tabela relaciona os valores das func;6es posic;ao,
ve10cidade e acelerac;ao nos extremos do intervalo de tempo
[-1,9) e os instantes em que a velocidade ou a acelerac;ao zero.
e em km/h e 0(1) e em km/h2 (quil6metros por hota
e
Se V(I) e positiva em um intervalo de tempo, 05'(1) > 0 e,....-c
pelo Teorema (4.13), S(I) e crescenle; isto e, 0 ponto P se move
na direc;ao positiva em I. Se v(t) e negativa, 0 movimento
processa-se na direc;ao negativa. A velocidade e zero em urn
ponlo onde P muda de direc;ao. Se a acelerac;ao 0(1) = v'(I) e
positiva, a velocidade e crescente. Se 0(1) e negativa, a velocidade e decrescente.
A func;ao posic;ao S de um ponto P em uma reta coordenada
dad a pot
com I em segundos e s(l) em centimetros. Descreva 0 movimento
de P durante 0 intervalo de tempo [-1,9],
e
..
I
;'y
'):::i };'1("
";''2'
4
6
9
-69
12
-4
-20
61
63
0
-12
0
63
-30
-12
0
12
30
,",
s(/)
:'j!
:V(I);
"
a(i)
'.,
E conveniente representar esquematicamente 0 movimento
de P, como na Figura 4.54. A curva adllla da rela coordellada
nao Ii a trajeloria do pOlito, e sim um esquema para evidenciar
a maneira como P se move sobre a reta I,
1= 9
1=
1 = -1
•
S
•
1= 2
I
I
I
I
I
I
I
-60
-40
-20
0
20
40
60
A velocidade negativa indica que 0 projetil est a se movendo
na dire<.<aonegativa (para baixo) no instante em que toca
o solo. 0 n6dulo da velocidade (speed) nesse instante e
Figura 4.55
Con forme indicado pelas tabelas e pela Figura 4.54, em
/ ~-1 0 ponto esHi a 69 centimetros a esquetda da origem e est a
se movendo para a direita com uma velocidade de 63 cm/seg.
A acelera<;ao negativa -30 cm/seg2 indica que a velocidade esta
diminuindo a razao de 30 em cada segundo. 0 ponto continua
a se mover para a direita, com velocidade cada vez menor
tendendo para zero em / = 2,12 centimetros a direita da origem.
o ponto P reverte a dire<;ao e se move ate que, ern / = 6, esteja
a 20 centfmetros a esquerda da origem. Reverte al novamente a
dire<.<aoe passa a se mover para a direita pelo restante do intervalo
de tempo, com velocidade crescenle. A dire<;ao do movimenlo
e indicada pel~s setas na curva da Figura 4.54.
.....
(b) A altitude maxima ocorre quando a velocidade e zero isto e, quando s'(/} = -9,8/ + 120 ~ 0, OU / = 12,24 m. A
altitude maxima e
o tipo seguinte de movimento envolve fun<;6es trigonometricas .
.l.Jm projetil e lan<;ado verticalmente'para
cima com uma velocidade de 120 rn/seg. Pela fisica, sabemos que sua distilncia
acima do ~olo ap6s / segundos e s(/} ~-4,9fl + 1201.
(a) Determine em que instante e com que velocidade
atinge 0 solo.
0 projetil
(b) Determine
a altura maxima alcan<;ada pelo projetil.
. ,(c) Deteffiline
a acelera<.<aoem urn instante arbitrario
o movimento harmonico simples pode tambem ser definido
exigindo-'se que a acelera<.<ao o(/} satisfa<;a 'a condi<;ao
I.
0[
. S(I~ = -4,91' + 1201
(a) Representemos
a' trajetoria do projetil em uma reta coorctenada vertical I com origem no solo e dire<;ao positiva
para cima, conforme ilustrado na Figura 4.55. 0 projetil
est a
no
solo
quando
-4,9P + 1201 = 0,
ou
-/(4,9/120) = 0, 0 que da / = 0 ou / = 24,S. Logo, 0
projetil alinge 0 solo ap6s 24,S segundos. A velocidade no
instante 1 e
para todo /. Pode-se mostrar que esta condi<;ao e equivalente
Defini<.<ao(4.22).
a
No moviinento h'armonico simples 0 ponto P oscila entre
os pontos de I com coordenadas -k e k. A amplitude
do
moviinento e 0 deslocafQento maximo I kj do ponto em rela<;ao
a origem. 0 perfodo e 0 tempo 2:It/w necessario para uma
osciJa<.<iiocom pi eta. A Creqiiencia wl2:It e 0 numero de oscila<;6es
por unidade de tempo.
,
0 movimento harmonica simples ocorre em muitos tip
'diferentes ,de onda, tais como ondas de agua, ondas sonoras}!
ondas de radio, ondas de luz e ondas de distor~o presentes em'
corpos em vibra~o: Func;6es do tipo definido em (4.22) tambeni'
oCO/Tem naan:ilise de circuitos eletricos que contem uma forc;a
e corrente eletromolriz altemada.
. Como oulro exemplo de movimento harmonica simples, ,,"
conslderemos uma mola com urn peso anexo, que oscila verti- i',
calmente em rela~o a uma reta coordenada, conforrne Figura:
4.56. 0 numero S(I) representa a coordenada de urn ponto fixo
P no peso; supomos que a amplitude k do movimento seja'
constante. Neste caso, nao ha nenhuma forc;a de atrito que retarde
o movimento. Se houver atrilO, a amplitude decresce com 0 ",
tempo, e 0 movimento
amorlecido.
.
A velocidade
e 0 em 1 = 0, 1 = 6 e 1= 12, pois
sen [(:n:i6)lr~0'para
estes valores de I. A acelerac;ao e zero fi:m
1 = 3 e t = 9, pois, nestes cas os, cos [(It/6)1] = O. Os instantes !lm
que a velocidade e a acelerac;ao sao 0 levam-nos a examinar os
intervalos de
(0,3), (3,6), (6,9) e (9,12). A tabela que
segue exibe as principais caracterfsticas do movimento. Os si'1ais
de v(l) e a(l) nos intervalos podem ser determinados utilizando-se
valores de t~ste (v<;rifique cada dado).
temp'o
I I
e
...
(0,3)
" para baixo
(3,6)
para baixo
(6,9)
+
pa.ra cima
(9, 12)
+
para cima
decrescente
crescente
+
crescente
decrescente
+
crescente
crescente
decrescente
decrescente
It
s(I)=10cos'61
e
Note. que se 0 < 1 < 3>a 'velocidade v(t)
negativa e
'd'ecresceriie; ista
V(I) se tom a mais negativa. Logo, 0 valor
absoluto I v(l) I,"~0 , modulo da velocidade, e crescenle. Se
3 -< t < 6,a velocidade
negativa e crescente (V(I) se toma menos
negativa); isto e, 0 m6dulo de velocidade de P e decrescente no
intervalo de tempo (3, 6). Cabem observac;6es semelhantes
,quanto aos intervalos (6, 9) e (9, 12).
e,
onde 1 e expresso em segundos e S(I) em centfmetros. Discuta 0
movimento do peso.
I'ill
l-r
S~()
() o-_L
Comparando a equac;ao dad a com S(I) = k COS(WI + b) da Definic;ao (4.22), obtemos k = 10, W = It/6 e b = O. Isto nos da:
e
de P como segue: Em
a 10 centfmetros acima da origem
O. P move-se entao para baixo, ganhando velocidade ate atingir
a origem 0 em I"C 3. P passa entao a diminuir a velocidade ate
atingir urn ponio a 10 centimetros abaixo de 0 ao cabo de 6
segundos. A direc;ao do movimento e ai revertida, e 0 peso se
move para cima, ganhando velocidade ale atingir 0 em t = 9,
apos 0 que perde velocidade ate relornar 11posic;ao original ao
fim de 12 segundos. A direc;ao do movimento e novamenle
revertlda, repetindo-se 0 mesmo padrao indefinidamenle.
Podemos
resumir
0 movimento
1 = 0, .1(0) = 10 e 0 ponto Pesta
perfodo:
freqiiencia:
2Jt 2lt
-;;;- = It/6 = 12 seg
~
= 11 oscilac;ao/seg
2
Examinemos 0 movimento durante 0 intervalo de tempo
[0, 12). As func;6es velocidade e acclerac;ao sao dadas por:
V(I) = S'(I) = 10 (- sen ~
6
I) .~6
= - .~ sen ~ 1
3
2
6
It) . -It = - -5lt cos -It 1
a ( 1) = v ,(I) = --' 5lt ( COS-I
3
6 6
18
6
o c:ilcuJo tomou-se urn irnporlanle inslrurnento para a
resoluc;ao de problemas que ocorrem na economia. Se ulilizarnos
uma func;ao f para descrever certa entidade economica, emprega-se 0 adjetivo marginal para especificar a derivada f'.
Se x e 0 numero de unidades de urn produlo, os economistas
costumam usar as func;6es C, c, R e P, que se definem como:
Fun~iio custo:
Fun~iio custo medio:
C(x) = custo da produ~iio de x
unidades
C(1.000) = 22.000
(custo de fabrica«ao de 1.000 unidades)
c(1.000) = 22
(custo medio de uma unidade)
c(x) = .9!2 = custo medio da
R(1.000) = 20.000
(receita total da venda de 1.000 unidades)
P(1.000) = -2.000
(result ado da venda de 1.000 unidades)
x
produ~ao de uma unidade
Fun~iio receita:
Fun~iio lucro:
R(x) = receita proveniente
de x unidades
Note que 0 fabricante tern urn prejuizo de$ 2.000 se produzir
apenas 1.000 unidades.
da venda
(c) 0 ponto de ~quilibrio corresponde ao lucro zero -' isto e,
quando tivermos 8x - 10.000 = 0, ou x = 1.250.
P(x) =R(x) - C(x) lucro na venda de
x unidades
Para aplicar as tecnicas do calculo, encaramos x como urn
numero real, mesrno que esta variavel s6 possa tomar valores
inteiros. Supomos sempre que x c: 0, pois a produ~ao de urn
numero negativo de unidades nao tern significado pratico.
Urn fabricante de toca-fitas tern urna despesa fixa mensa I de
$ 10.000,00, urn custo de produ~ao de $ 12 por unidade, e urn
pre«o de venda de $ 20 por unidade.
Desta forma, 0 fabricante deve produzir no minima
unidades para nao tei prejuizo.
As derivadas C, c', R' e P' sac chamadas custo marginal,
custo rnedio marginal,
receita marginal e lucro marginal,
respectivamente.
0 valor C(x) e chamado custo marginal
associ ado 11 produ«ao de x unidades. lnterpretando a derivada
como uma taxa de varia«ao, entao C(x) e a taxa na qual 0 cuSIO
varia em rela«ao aonumero x de unidades produzidas. 0 meSJl10
pode dizer-se de c'(x), R'(x) e P'(x).
Se C e uma fun«ao custo e n urn inteiro positivo,
pela Defini«ao (3.5),
(c) Quantas unidades
equilibrio?
devem
ser fabricadas
para manter
h-O
c(x) =.9!2
x
= 12 + 10.000
x
R(x) = 20x
P(x) = R(x) - C(x) = 8x -10.000
enHio,
'()
I' C(1l + II) - C(n)
C n = 1m
I
0
(a) 0 custo de fabrica«iio de x unidades e 12x. Como' ha
tarnbemuma despesa fixa de $ 10.000, 0 custo total mensal
de fabrica«iio de x unidades e
1.250
I
Quando 0 numero n de unidades fabricadas
economist as costumam fazer II = 1 na ultima
apro~iinar 0 custo marginal, obtendo
e grande, os
f6rmula purll
0 cuslo marginal associado a prodll<;I;Ode IJ
unidades e (aproximaddmenle) 0 wslO da produ<;iio de 1I/0;S 11/1111
unidade.
Neste contexto,
Algumas empresas acham que 0 custo C(x) da prOtlllC;0
de x .unidades de urn artigo deva ser dado por uma f6rrnllill I ,)
como:.
.. A constan\e, a representa uma sobrecarga fixa para atender a
despesas admioistrativas' (aluguel, l~z, calefa"ao etc.) que san
independentes'do numero de unidades produzidas. Se 0 custo da
produ"ao deuma unidade fosse b cruzeiros e nao houvesse
outros fato'resa considerar, entao 0 segundo termo da formula
representaria 0 custo da produ"ao de x unidades. Se x se torn a
muito grande, eotao os termos dx2 e Jcx3 podem afetar significativamente os custos da produ"ao ..
Uma empresa de eletronica estima que 0 custo (em unidades
monetarias) da produ"ao de x pe"as utilizadas em brinquedos
eletronicos e dado par
(a) Determine 0 custo, 0 custo medio e 0 custo marginal de
produ"ao de 500 unidades, 1.000 unidades e 5.000 unidades.
(b) Compare 0 customarginal da produ"ao de 1.000 unidades
com 0 custo da produ"ao da 1.001~ unidade.
. ,.
.
C(1.00i)
= 200
-
.
+ 0,05(1.001) + (0,0001)(1.001)2
= 350,25
Logo, o·custo da produ~ao da 1.000 unidade e
6
Urn fabricante de moveis estima que 0 custo semanal da
fabrica"ao de x reprodu,,6es (manuais) de uma mesa colonial e
dado por C(x) = x3 - 3r - 80x + 500. Cada mesa e vendida por
2.800 unidades monetarias. Que produ"ao semanal maximizara
o luyro? Qual 0 maximo lucro semanal possivel?
SOLUQAO
Como a receita obtida com ~ vend'a de x mesas e 2.800x, a fun"ao
receitaR e dada por R(x) =2.80Ox. A fun"ao lucroP e a diferen"a
entre a fun<;ao receita Rea fun<;ao custo C - isto e,
SOLUl;AO
P(x) = R(x) - C(x) = 2.80Ox - (r - 3r - 80x + 500).
(a) 0 custo medio da produ"ao de x componentes
e
ou
P(x) =
-r +
3A.2
+ 2.88Ox - 500.
C(x' 200
c(x) =
= - = 0,05 + O,OOOlx
x
x
=
o leitor deve verificar os dados da tabula seguinte, onde os numeros
nas Ires ultimas colunas representam unidades monetarias.
o que da x = 32 ou x = -30. Como a solu<;ao negativa e estranha,
basta verificar x = 32.
·:tiIM~~~>·
;iieiisi~~;-:~.:C~sto medio Custo marginal
S:'iF'lxiql%:,:
''''CCW.'i(l'
~(i).; C(x)
C'(x)'Y
'~
"',:'.; , ...:'......
500
,
, 11111'\'i'I\I~'f!\
r;n nrvr!"rjPFf(
'L' ~
~L. '-/ ~ 1.000
,
I 1_",.
J
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'r · ~j""
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••
j:
'1" ,!~'
;..
;.
,. .•
4'
••••
~
';
x
250,00
0,50
350,00
0,35
2.950,00
0,59
\
I
, 5.000
"..
._".'.;.•..,.~
.-,)}..,
;.~:\
~
N1\~£(~t\T'\Ui}"OS. ENl
I
I
Assim, pelo teste da derivada segunda, obtcm-se 0 lucro maximo
se forem fabricadas e vendidas semanalmentc 32 mesas. 0 lucro
semanal maximo e
P(32) = - (32f + 3(32)2 + 2.880(32) - 500 = 61.964
",'
Muilos fatores devem ser levados em conI a por uma
empresa ao fIxar 0 prelSo de venda de cada produlO. Alem do
cuslo de produlSao e do lucro desejado, a empresa deve ler em
conta a realSao da demanda a eventuais aumenlos de prelSo. Para
cerlos produtos h:'i uma procura conslante, e as varialSoes de
prelSo pouco afelam as vendas. Para arligos nao de .primeira
necessidade, enlrelanlo, urn au menlo no pre<;o provavelmente
levani a uma diminuilSao nas vendas. SuponhamQs que uma
empresa saiba pela experiencia anterior, que pode vender x
unidades quando 0 pre<;o unitlirio e dado por p(x), para algurna
funlSao p. Costurnamos dizer que p(x) e 0 pre<;o unitario quando
ha uma procura de x unidades; cham am os entao p de func;ao
procura para 0 produto. A receita tolal e 0 numero de unidades
vendidas mulliplicado pelo prelSo unitario, islo e, x . p(x). Assim,
A derivada p', e a func;ao procura
v'12.000, ou, aproximadamenle, $ 109,54, e quando 0 prelSo de
venda esta proximo de 0 a procura esla proxima de 6.000.
A fun<;ao procura marginal p' e dada por
o sinal negalivo indica que uma redu<;ao no pre<;o esta associada
a urn aumento na procura.
A fun<;ao receita R e dad a por
R(x) = xp(x) = ~-v'12.000 - 2x
Diferenciando
nal R':
e simplificando,
oblemos a fun<;ao receila margi-
R'()
12.000 - 3x
x am.OOO-2x
marginal.
Se S = p(x), enlao S e 0 prelSo de venda unilario associ ado a uma
procura de x unidades. Como uma unidade de S em geral esla
associ ado a urn au men to de x, uma funlSao procura p e, em geral,
decrescente; isto e, p'(x) < 0 para todo x. As funlSoes procura
coslumam ser defInidas irnplicilamenle por uma equalSao envolvendo Sex, como no proximo exemplo.
(b) Urn numero
crftico
para a funlSao receita
R e
x=12.000/3=4.000.
Como
R'(x) e pOsltlva
se
x < 4.000 e negativa se 4.000 < x < 6.000, a receila
maxima ocorre quando se produzem e se vendem 4.000
unidades. Isto corresponde a urn prelSo unitario de venda
de
o ,;:
(c) A receita maxima, oblida com a venda de 4000 unidades
a $ 63,25, e
A procura por x unidades de urn produlo esta relacionada com
urn pre<;o de venda S pela equa<;ao 2x + S 2 - 12.000 = O.
(a) Ache a fun<;ao procura, a funlSao procura marginal, a fun<;ao
receita e a fun<;ao receita marginal.
(b) Acbe 0 nllinero de unidades e 0 pre<;o unitario que produzem receila maxima.
6.000
x
(unidades) .
(a) Como S 2 = 12.000 - 2x e S e pOSilivo, vemos que a fum;ao
procura p e dada por
o dornfnio de p consisle em lodos os valores de x lais que
12.000 - 2x > 0, ou, equivalenlemenle,
2x < 12.000. Assim,
o ,;:x < 6.000. A Figura 4.57 e urn esbo<;o do grafico de p.
.. Teoricamenle, nao havera vend as se 0 pre<;o de venda for
Exeres. 1-8: Urn ponto em movimento sobre uma
reta tern uma fun••ao posi••ao s. Aehe a velocidade e
a aeelera ••ao no instante I e desereva 0 movirnento
do ponto durante 0 intervalo de tempo indieado.
!lustre 0 movimento por urn diagrama do tipo exibido
na Figura 4.54.
[0,5]
[-2,2]
4 5(1) = 24 + 61_13;
[-2,3]
5 5(1) = _213 + 1512- 241- 6;
[0,5]
6 set) = 213-12?
[-1,6]
7 s(t) = 214 - 6t 2;
3
.8 s(t) a 21 _ 6r;
+ 6;
[-2,2]
[-1,1]
Exercs. 9-10: Urn- autom6vel desee uma ladeirn
pereorrendo 5(1) metros em 1 segundos. (a) Ache"
v,I,'1 iI",le '1l1alldoI ~ 3. (b) Apos quantos segundos
II v.llidillldc sera de k m/s?
'/
(3) Aproxime 0 nivel da agua y 1'01 nieio de uma
f
com I = a correspondendo a meia-noite,
III \(r) - 312 + 7;
I':.I(I'I.'N. J 1-12: Um projetil e lan~ado vertical mente
11l1l1ll'i1Jl1I
COlliuma velocidade inicial de vo/s, e suas
111111111
IIdma do solo (em metros) apos I segundos e
1111,111
I'"r -'(I). Ache (3) a velocidade e a acelera~ao
II,,(I~IN ·[lIIIIOOS.
(b) A altura maxima atingida, e (c)
II i1llril~0 do voo.
4,
1, ~ e 2.
y =' a sen (bl + c) + d,
\(1) - .~?
+ 2;
(3) Ache a velocidade da rolha quando 1= 0,
.,expressiio da forma
(b) Em quais intervalos de tempo a rolha esta
subindo?
(b) Qual a velocidade aproximada da eleva~iio
do nive! da agua aD meio diq?
19 Exercicios 27-28: Urn ponto em movimento sobre
uma reta coordenada rem fun~iio posi~ao s. (a) Grafe
y = 5(1) para O:s I s 5. (b) Aproxime' a p'osi~iio, a
velocidade e a acelera~iio dos ponto em 1=0, 1, 2,
3,4 e 5.
27 5(1) = 10 sen I
2
1 + 1
.•.
5tg(ll)
28 S(I)~--'2t + 1
Exercfcios 29-32: Se C e a fun~ao custo de urn
determinado produto, determine (3) 0 custo da produ~iio de 100 unidades e (b) as fun<;6es custo medio,
custo marginal e seus valores para x = 100.
It '111l - 144; -,(I) ~ 1441-1612
12 '10- 192; 5(1) = 100 + 1921-162
E~•.•.cs. D-16: Uma particllla em movimento har1111\111
(1simples tem fun~iio posi~o 5, eo tempo I e
dlllill '01 segundos. Ache a amplitude, 0 periodo 5 e
II ['°'111nci:\.
2Jt
I, ,'(I)M6sen"31
17 A f(1r~a cletromotriz V e a corrente I em 11m
'ircuito de corrente altemada siio dadas por
29 C(x) ~ 800 + O,04x + 0,0002x2
I I I I I I I I I
481248
Manha
MeioDia
Tarde
•
I
(horas)
20 Urn Isunami e uma onda gigantesea causada por
urn terremoto submarino. Essas ondas podem ter·
mais de 30 metros de altura e caminhar a grandes
velocidades. as engenheiros costumam representar os tsunamis por uma equa~iio da forma
y = a cos bl. Suponha que uma dessas ondas lenha 8m de altura e periodo de 30 minutos, e esteja
caminhando a 60 mlseg.
(3) Se (x, y) e urn ponto da onda representada na
/- 20 scn (360ltl- ~)
figura, expresse y como fun~iio de I se
y = 8 m quando 1=0.
Ache as laxas de varia~iio de Vel em rela~iio ao
I. 'mpo quando I ~ l.
I') 0 grafico da figura abaixo exibe a varia~iio da
mare na baia de Boston durante certo periodo de
24 horas.
31 C(x) = 250 + 100x + 0,001x3
x
(n) Qual 0 tempo necessano para a parlfcula
complelar uma vibra~iio?
(b) Determine a velocidade da partfcula em
1= 1, 1,005, 1,01 e 1,015.
Exercs. 23-24: Mostre que 5"(1) = -w2s(t).
23 s(t) = k cos (WI + b)
24 s(t) =.k sen (WI + b)
l
em volta do cfrculo x2 + = a2. Prove que a
proje~iio Q(x, 0) de P sobre 0 eixo-x descreve um
movimento harmonico simples.
5(1) = a cos WI + b sen WI
ollde I e dado em meses, corn I ~a correspondendo a J 2 de janeiro. Aproxime a taxa em que a
tClJlperatura eSla variando quando 1=3 (12 de
IIbril) e 1= 10 (12 de novembro).
30 C(x) = 6.400 + 6,5x + 0,003x2
32 C(x) = 200 + O,Oh + 100
26 Se urn ponto P se move em uma reta coordenada
de modo que
+ 10,
Em que momento do ano a temperatura varia
mais rapidamente?
e I e em segundos.
25 Urn ponto P(x, y) se move a uma taxa constante
(b) Com que velocidade a onda esta subindo (ou
descendo) quando y ~ 3 m?
III !I. varia~ao anual da temperatura T (em 0c) em
Vllncover (Canada), pode ser aproximada pe!a
f6rmula
1"-14,8 sen [~(1-3)]
22 Uma particula em uma mola vibranle move-se
vertical mente, de modo que sua dislancia 5(1) de
urn ponto fixo na reta de vibra~iio e dada por
s(t) ~ 4 + -i5 sen 10OnI, onde s(t) e em centimetros
33 Um fabricimte de pequenos motores estima que
o cuslo da produ~o de x motores pOI dia e dado
1'01 C(x) = 100 + 50x + (loo/x).
Compare 0 custo marginal da produ~iio de cinco
motores com 0 custo da produ~iio do sex to motor.
34 Uma companhia faz urn teste pilolo para a
produ~iio de urn novo solvente industrial e verifica que 0 custo da produ~ao de x de cad a tesle
e dado pela formula C(x) = 3 + x + (lO/x).
Compare 0 CUSIOmarginal da produ~iio de 10
litros com 0 custo da produ~iio do 112 litro.
Exercs. 35-36: Para as fun~6es procura e custo
dadas, determine (n) a fun~iio procura marginal, (b)
a furi~ao receila, (c) a fun~iio lucro, (d) a fun~iio lucro
marginal, (e) 0 lucro maximo, e (I) 0 custo marginal
quando a procura e de 10 unidades.
mostre que P descreve urn movimento harmonico
simples,
(3)
21 Urna rolha flutua em um lago, movendo-se para
cirna e para baixo. A distiincia do fundo do lago
aD centro da rolha no instante t" 0 e dada por
5(1) ~ cos ltl + 12, onde s(t) e em ccntimetros e I
e em segundos (veja a figural.
usando a observa~iio que segue a Defini~iio
(4.22).
(b) usando
apenas rnelodos trigonometricos.
(SlIgesliio: Mostre que s(t) ~A COS(WI-C)
para conSlantes A e c.)
37 Uma agencia de viagens eSlima que, para vender x pacotes de viagem, deve cobrar um pre~o,
por paeote, de 1.800 - 2, unidades monetarias,
para 1 :s X s 100. Se 0 custo da agencia para x
pacotes e 1.000 + x + 0,01x2
rias, determine
unidades; moneta-
(h) a fun<;ao lucro
processo
de pimenta por dia e 500 + 0,02x + Q,00lx2. Se
cada moinho e vendido por $ 8 determine
utilizando
a tangente
em (x2' f(x2».
Se f(x2)
0
0,
••
obtem-se uma terceira aproximat;ao x3 dada por
(a) a produ<;ao que maximiza 0 lucro
(d) 0 lucro maximo
38 Urn fabricante determina que x unidades de urn
produto seiam vendidas se 0 pre<;o de venda e
400 - 0,05x; cruzeiros par unidade. Se 0 custo de
produ<;ao de x unidades e 500 + lOx, deterinine
(a) a fun<;ao receita
. (hi a fun<;aolucro
(c) 0 numero de unidades que maximiza 0 lucro
(d)
Tomando x2 como segunda aproximat;ao de r, pode-se repetir
39 Uma loia de artigos para cozinha verifica que 0
cuslo de fabrica<;ao e embalagem de x moinhos
(a) a fun<;ao receita
(h) 0 lucro diario
40 Uma companhia que promove excurs6es constata
que, quando 0 pre<;omedio era de $ 9 por pessoa,
o numero medio de clientes era de 1.000 por
semana. Ap6s reduzir 0 pre<;opara $ 7 por pessoa,
o numero medio de clientes aumentou para 1.500
por semana. Admitindo que a fun<;aoprocura seia
linear, que pre<;odeve ser cobrado para obter a
receita semanal maxima?
Continua-se 0 processo ate atingir 0 grau desejado de precisao.
Esta tecnica de aproximalf6es sucessivas de zeros reais e chamada metoda de Newton, que pode ser enunciado como segue:
.. "S~jaMlma flr~~~.q:difeieht~~Y~i,:~;~Jp6rili~osci~~r
0 pre<;ounitario quando a receita marginal e
~~ja;;"
del', entao a
umZer9 real de}. Se xneumi(apio~iniat;ao
·~,·;;~:f+,;::%~[\i\~~~tj~,;:~;:~:&~~:a~:~;\§r,:/;~;.?:;?.: ,:',~:~':
.. :.':.'"_',..
300
..
-." . - Xn+l
..•....,.•....";"'--'--": '.
\'-"c:~£,.~~"~';. ,,'.~. ::~':.;",.::
~Xn:'"
..
f(xn)'
\
-
,""
"- ' .
~~~~~qu.~
f(x,>" 0, '.
o metoda de Newton nao .garailte que xn + seja uma meI
Ihor aproximar;ao de r do que xn para todo n. Em particular,
devemos ter cuidado na escolha da primeira aproximat;ao
"'
•:J:
.. ',.
nao esta suficientemente
Xl
Ne~ta Set;ao mostraremos como' utilizar derivadas para obter
. uina aproximat;ao de urn zero real de uma funt;ao diferenciavel
f. Para usar 0 metodo,'comet;amos
por fazer uma primeira
aproximat;ao xl' do zero r. Como f(r) = 0, 0 numero t e urn
intercepto-x do grafico de f, a aproximat;a~ XI pode as vezes ser
feita 'por inspet;ao do grafico. Se consideramos a tangente I ao
graficode
f no ponto (xl; f(xl» e se Xl esta suficientemente
pr6xirno de 1', entad, conforrne. ilustrado na Figura 4.58, 0
inlf~rcepto-x, x2' de Ideve ser uma melhor aproximat;ao de r.
pr6ximo
e possivel
Xl' Se
que a
Figura 4.59. E evidente que nao devemos escolher urn numero
x . xn tal que f'(x) esteja pr6ximo de 0, porque entao a tangente I
seria quase horizontal.
Pode-se . mostrar
que se
. viZinhant;a de ·r~.e..9ue se f(r)
e continua
na
x2'
I'
e se
f"
•• 0, entao as aproximat;oes
XI ~
x3'. '.~: ~t~nde~ rap~~allle_nte para r, com a precisao
j"
quase que
duplicando com cad a aproximat;ao sucessiva. Se f(x) tem um
fator (x - r)l com k> 1 e se xn •• r para cad a n, entao as
tangente e
aproximat;oes tendemmais
que'
1',
segunda aproximat;ao Xi seja pior que Xl' con forme ilustrado na
.:'C6m'o 0 coe,~cien.\e angular d~.1 e f(xl), aequat;~o da reta
o iriterceptor-x x2 de I corresponde
de
lentamente para r, porque f(r)
Q
0.
,. Usaremos a seguinte regra ao aplicar 0 meiodo de Newton:
Se se deseja lima aproximar;ao com k decimais, aproximaremos
cada um dos numeros x2' x3' ••• , ate k decimais, continllando 0
ao ponto (x2' 0) se I, de modo
:J
processo ate qlle dllas aproximar;oes conseclltivas
Os exemplos que seguem ilustram este processo.
:
·····.;-;c.·c·!
~'..,;
1J~···~ ~f;~,;
-
sejam igllai.l'.
f
; EXEMPL01:""'~
',J
·':'•.iu.'
f:'i.:.-..-,;
,!
.:. " , '·"'l;. Us~ o:l)letodo de Newton para obter uma aproximat;ao de V"f
,.~,,::
'.".,,-:"i, corn cinco d~(;imais.;,.:"I.."
+1
x3-3x
II\".~~~
x"'
o probleri-J'a eq'uivale aO da aproxima<;ao do zero real positivo
jy=
de f(x) ~x2-7.
A Figura 4.60 e urn esbo<;o do gnifico de f.
Como f(2) = -3 e f(3) = 2, decorre, da continuidade de f, que
2 < r < 3. Alem disso, como f
crescente, s6 pode haver urn
zero no intervalo aberto (2, 3) ..
x-7
I =
e uma aproxima<;ao de r, entao, por (4.23), a .'
aproxima<;ao seguinte x •• 1e dada por
x2'
Eseolharnos
f(x)
XI
=X
"
---
r(x)
3(1,5)2_3
"
---
= .2,5 como primeira
Aplicando novamente
ma<;ao seguinte,
_
,-
=
5333 _ (1,5333)3- 3!l2?33) + 1 = 1'5321
1,.
: 3(1,5333)2 _ 3
.'
.;
x
2x"
=
1,5321
4
aproxima<;ao. Aplican-
Q2)2_7
2(2,5)
(1,5321)3- 3(1,5321) + 1 = 1 5321
3(1,5321)2 - 3
'
Assim, a aproxima<;iiodesejada e 1,5321.As duas raizes reais restantes
podem,~r aproximadas de maneira aniiloga (veja 0 Exercfcio 17).
= 2,65000
a f6rmula (com II = 2), obtemos a aproxi-
x3 - 2,65000
_ (2,65000)2 - 7 ~
7
2(2,65000)
2,645 5
_
(2,64575? -7.. =
x. - 2,64575 - 2(2,64575)
2,64575
Como do is valores consecutivos
de x" san 0 mesmo (com 0 grau
de preeisao desejada), temos que ..;=r = 2,64575. Pode-se mostrar
que, com 9 decimais, ..;=r = 2,645751311.
Desejamos achar urn valor de x tal que cos x = x. Isto coincide
com a coordenada-x do ponto de interse<;ao dos graficos de
y = cos x e y = x. Pel a Figura 4.62, parece. que XI = 0,8 e uma
primeira aproxima<;ao razoavel. (Note que a figura tambem
indica que ha apenas uma raiz real da equa<;ao dada.)
Fazendo f(x) = x - cos x, entao
do metodo de Newton e
Ache a maior raiz real positiva
decimais.
de x3 - 3x + 1 = 0 com quatro
rex)
= 1 + se~ x e a f6rmula
x -cosx
xn .• 1 =xn
"
1 + senx
n
n
x = 08:'" 0,8 - cos 0,8 = 0,740
2
'
1 + sen 0,8
x = 0 740 _ 0,740 - cos 0,740 = 0739
3'
1 + sen 0,740
'
0739
Fazendo f(x) = x3 - 3x + 1, 0 problema e equivalente a achar 0
maior zero real positivo de f. 0 grafico de f acha-se esbo<;ado
na Figura 4.61. Note que f tern tres zeros reais. Desejamos
determinar 0 zero que esta entre 1 e 2. Como
= 3x1- 3, a
f6rmula de x
no metodo de Newton e
rex)
n' I
= 1 5313
~-7
=X
do a f6rmula de X".I com II = 1, obtemos
x2 = 2,5 -
como segue:
= 1 5 _ (1,5)3- 3(1,5) + 1
x3
".1
n
3x2..: 3
ao grHico, tomamos x I = 1,5 como primeira
aproxima<;ao e procedemos
x
"
"
. Referindo-nos
e
Se x"
xn -
x4 =
,
0,739 - cos 0,739 = 0,739
1 + sen 0,739
28' Se f(x) = xll3, mostre que 0 metodo de Newton
falha
16 Use 0 metodo de Newton para os Exercicios
Exercs. 1·2: Obtenha
decimais.
uma aproxima<;ao
.
+'1-
0;
@Exercs.
com quatro
X
(a)
(b)
[2,3]
5
x5 +xz -9x-3
[-2,-:1]
0 .que acontece
6
sen x+x
CDS X-
CDS X;
7
f(x)=x4-11i-44x-24
8
f(x)=x3-36x-S4
Exercs. 9-12: Oblenha
com duas decimais.
9':'A
com as aproxima<toes
dramatico
do fenomeno
com quatro
aproxima<;oes
do zero de g sao mais precis as do que
'29 f(x) = (x - J)3(xZ - 3x + 7);
de
g(x) = (x - 1)(xz - 3x + 7)
da resso·
dJ'sua voz para quebrar urn copo. Fun<toes dad as
por f(x) = ax cos bx ocorrem na analise matematica de tais vibra<toes. A ligura exibe urn grafico
de f(x)·. X cos 2x. Use 0 metodo de Newton para
'aproxirriar, com tres decimais, 0 numero crilico
de.j que esta entre 1 e 2.
iniciais XI e xz para usar
29-30: As fun<;oes f e g tern urn zero em
(a) Fa't3 Xl = J,1 em (4.23) e determine
de n.
'._- '". nancia ocorre quando urn cantor ajusta a altura
[0,1]
Exercs. 7-8: Obtenha uma aproxima<tao,
decimais, do maior zero de f(x).
aproxima<toes
dois valores
este metodo (chamado metoda da secante). Use
o metodo da secanle para aproximar,
com tres
casas decimais, 0 zero de f que esta em [0, 1].
xz, x3 e x4 para cada fun<tiio. (b) Por que razao as
= 6?
26 Urn exemplo
= 0;
= J.
Exigem-se
32 fix)
Ache as cinco primeiras
Xl
x 4 - 5xz + 2x - 5 = 0;
aproxima<tao
as do ze!? de f?
Xl =3.
(1,2]
4
primeira
xI"O.
Exercs. 3-6: Oblenha uma aproxima<;ao, coil] qualro
decimais, da raiz da equa<tao que estl\ no intervalo.
3
qualquer
1-24.
25 Podem-se obter aproxima<toes de n aplicando 0
metodo
de Newton
a f(x) = sen x e fazendo
x4 + 2x3 _5xz
para
i 30 f(x)
= (x - J)Z v.;+7;
g(x) = (x - 1)
@Exercs.
31-32: Se e diffcil ca1cular
em (4.23) pode ser SUbslituida por
v;.;:7
rex), a formula
1
- --Z-- 5vx; Xl = 0,4, Xz -0,5
cos x-x
@ Exercs.
33-34: Grafe f e g nos mesmos
eixos
coordenados.
(a) Estime, com uma decimal, a coordenada-x Xl do ponto de intersecc;ao dos graficos. (b)
Use 0 metodo de Newton (4.23) para aproximar
coordenada-x
em (a) com duas decimais.
a
f(xn)
Xn+1 =xn---,
m
onde
m _ AXn) - f(xn - I) ~ r(x.)
Xn-Xn-l
uma
aproxima<tao
.
da raiz, ..
;....
raiz de x3 + 5x - 3 = 0 .
Exercs.
dado.
1·2: Ache os ext rem os de f no intervalo
':; fix) = (4 _x)x113
-i + 6x-S;
8 f(x)=Vx'-9
1 f(x) =
Exercs. 13-20: Obtenha uma aproxima<tao
decimais de todas as raizes da equa<;ao.
2 fix) = 3x3 +i;
com duas
27 Segue-se 0 graftco de uma fun<;ao f. Explique
por que 0 metodo de Newton falha ao tentarrnos
" 'aproximar 0 zero de f se Xl = 0,5.
~~
(1,6)
Exercs.
9-12: Use 0 teste da derivada
segunda
(quando aplic:\vel) para achar os extremos locais de
f. Determine os interval os em que 0 grafico f concavo
para cima OUcOncavo para baixo, e acba as coordenadas-x dos ponios de inflexao. Esboce 0 grillco de f.
(-1,0)
e
3 f(x) = (x + 2)3(3x_ 1)4
. 4 fix) = ix-::T (x _ 2)3
'-9) fix) =
Exercs. 5-S: Use 0 teste dli primeira derivada para
achar os extremos locais de f. Determine os inlervalos em que f e crescente ou decrescente,
g,r:lfico de f.
Exercs. 21-24: Aproxime, com duas casas decimais,
as coordenadas dos pontos de intersec<tao dos graftcos das equa<toes.
..
.
: 5 j(x) = - 4~ +
Y.;~x+.~ '~__:.~'..~~'.'._:~:_~_....__~_.~
...__~_
y = 7 _xz
6 f(x) =_1_
i+ 1
9i + 12x
e esboce 0
Vs
_x3 .
Hi fix) = - x3 + 4xz - 3x'
1 .
11 f(x) = -z-.
.
x +1
12 fix)
= 4Ox3-- x6
r'> '
,.
.-
\13j,Se f(x) ,. 2 sen x - cos 2x, ache os extremos 10...•. cais e esboce 0 graftco de f para 0 " x " 2)(.
1,\ ~. J(x) - 2 sen x - cos 2.x, ache as equa~oes'
11111/\
'1I1e e da normal
ao grafico
da
de f no ponto
(J,g" 1/2).
Exo-res. 15-16: Esboce 0 grafico de uma fum.ao
\ ,1111(111111
J que satisfa~ todas as cODdi~oes indicadas.
que dimensoes
construir'uma
Ihe darao a area m~inJa?!
cobert a reta~gular
32 Em bioquimica,
\~j'
aberta
de 1,50 m de profundidade, ligada a uma estrutura
ja existente (veja a figural. 0 teto e feito de lata
que custa $ 5 0 metro quadrado. Os dois lados
J'(-2) - 1'(0) = 1'(2) = 0;
1'(1') > 0 se -2 < x < 0;
san feitos de compensado, ao pre~o de $ 2 0 metro
quadrado. Se dispomos de $ 400 para a conslru;
~ao, que dimensoes maximizarao 0 volume da
ou x> 0;
1'( -3) - 0;
= f(3)
37 Uma fabrica de equipamento
eletronico
estima
que 0 cuslo da produ,ao
de x caleuladoras
por
dia e
a
e
(b) a fun~ao
33 A fun~ao posi~ao de urn ponto em movimento
sobre uma reta coordenada e dada por
(e)
lucro
a produ~ao
diaria que maximiza
0 lucro
(d) 0 lucro diario maximo.
38 Urn pequeno escrit6rio deve ter 50 m2 de area
util. A figura e urna planta simplificada.
Se as
Determine a velocidade e a acelera~ao nO instante
/, e descreva 0 movimento do ponto no intervalo
< 0 se -1 <x < 1 ou x> 2
1(, J(O) = 4; f(-3)
a curva gera] de resposta e dada
por R = kS" /(S" + a"), onde Rea resposta quimica que corresponde
a uma concentra~ao de S
de,'uma substancia, para constantes positivas K,
II e.n. Urn exemplo e a lax a R na qual 0 figado
remove 0 aleool da corrente sangUinea quando
concenlra~ao
de aleool
S. Mostre que R e uma
fun~ao crescente de S e que R = k e uma ass[ntola
horizontal da curva.
coberta?
1"(x) > 0 se 1'<-1 ~u 1 < x < 2;
1"(x)
cerca,
26 Desej'a-se
I~ J(l) - 2; J(-2) - f(2) = 0;
1'(1') < 0 se 1'<-2
25 Urn homem deseja cercar urn campo retangular
e em seguida subdividi-lo
em Ires relangulos
menores colocando duascercas
paraJel<is a urn
dos lados. Se ele s6 dispoe de 1.000 metros de
paredes custam $ 100 por metro corrido, e se se
despreza a parte das paredes acirna das port as.
de tFmpo [-2, 2).
= 0;
34 A posi~ao de urn ponto em movimento
reta coord en ad a e
f'(0) e indefinida;
sobre uma
1'(1') > 0 se -3 < 1'< 0;
1'( ) < 0 se x < -3 ou x > 0;
1"(x) > 0 se x < 0 ou 0 < x < 2;
II;x ·reS. 17-22:
Ache
27 Deve-se
os extremos
e fa~a 0 gn\-
construir
uma calha em forma de V com
duas folhas retangulares
de metal de 25 em de
largura cada. Determine 0 angulo enlre as folhas
que maximizem a capacidade da calha.
lien dc.f.
i
18f(x)=--
31'2
17 J(.I')--2-
(1'_12)
91' -25
1'1 J(x) _ 1'2 + 2<-8
1'+3
II J(x)-
1'-3
i+2.x-8
4
20 f(x)=x
-16
1'3
22 f(x)
x
= _r--;Yx+4
.l.l S' J(x) - 1'3 + 1'2 + x + 1, ache urn numero que
s"tisra~a a conclusao do valor medio no intervalo
Ill,41·
'\ II vclocidade
fixada para uma estrada dos EUA.,
II' 125 milhas de exlensao sujeila a pedagio, e de
(I~ mi/h, Quando
urn aUlom6vei chega ao guiche
,Ii' petl:igio, 0 motorista recebe urn tiquete em que
I'sl!, impressa a hora exala. Se 0 motorista completa 0 percurso em 1 hora e 40 minulos ou
IIICIIOS,ele e nOlificado ao pagar 0 pedagio. Use
(I lemem.
do valor medio para explicar por que
se jllslifica esta notifica~ao.
para constantes a, b, k e m. Prove que a magnitude
da acelera~ao e diretamente proporcional i\ disliincia da origem.
(b) ache as assintotas verticais e obliquas
o griifico de C(x) para x > O.
e fa~a
35 Urn fabricante dc fomos de microondas constat a
que 0 custo da produ~ao de x unidades e dado por
28 Determine a altura de urn cilindro circular reto
com a area da superficie curva maxima, que po de
ser inscrilo
em uma esfera de raio a.
29 0 interior de uma pista de meia milha de comprim en to eonsiste em urn retangulo com semidrculos nas extremidades
opostas. Delermine
as
dimensoes que maximizem a area do retfmgulo.
30 U ma companhia de televisao a cabo atende presentemente
a 5.000 lares, cobrando de cada urn
$ 20 por meso Uma pesquisa de mercado indica
que cad a redu~ao de $ 1 por mes na taxa
individual acarretara urn acrescimo de 50.0 novos
clientes. Delermine a taxa mensal que resu'lie na
receita
mensal
maxi.ma.
31 Urn arame de 5 metros de comprimento deve ser
cortado em duas partes. Com uma faz-se um
cfrculo, e com a outra urn quadrado. Determine
onde se deve cortar 0 arame de modo que a soma
das areas do circulo e do quadrado seja
Compare
fornos
0 custo
marginal
de produ,iio
com 0 cuSIO da produ~ao
36 A fun~ao custo para fabricar
microprocessador
de 100
do 101' forno.
urn componente
de
e dada por
19 39 Use 0 metodo
Se se fabricam 2.000 unidades, determine 0 custo,
o custo medio, 0 custo marginal e 0 custo
marginal medio.
19 40 Use 0 metodo
de Newton para aproximar a raiz
da equa~ao sell x - x cos x = 0 entre n e 3n/2, com
tres decimais.
4
xima~ao
de
de Newton
para obter urna apro-
V5 com tres decimais.
Capitulo 5
MAKRON
Books
INTEGRAlS
Os dois mais import antes instrumentos do
calculQ sao a derivada, jii considerada em
capitulos anteriores, e a illtegral defillida,
estabelecida na Set;ao 5.4. A derivada foi
motivada por problemas de determinat;ao do
coeficiente angular de uma tangente e de
definit;ao de velocidade. A integral definida
surge de modo natural quando consideramos
o problema da determina<;ao da iirea de uma
regiao do plano .ly. Esta e, entretanto, apenas
6ma das aplicat;6eso Como veremos posteriormente, a utilizat;ao das integrais definidas
e tao abundante e variada como a das derivadas. 0 resultado principal estabelecido neste
capitulo e 0 teoremafundamental
do calculo,
demonstrado na Set;ao 5.6. Este relevante
teorema possibilita achar valores exatos de'
integrais definidas utiJizando uma antideriva-'
da ou integral indefinida. Estes conceitos sao
definidos na Set;ao 5.1; 0 processo pode ser
encarado como 0 inverso da determinat;ao da
derivada de uma funt;ao. Assim, alem de
constituir urn import ante processo de ciilculo,
.0 teorema fundamental mostra que existe uma
rela<;ao entre derivadas e integrais
urn.
o resultado-chave para 0 ciiICulo.
o capItulo se encerra com urn estudo
dos metodos de illtegra,.iio numerica, utilizados para aproximar integra is definidas que
Dao podem ser calculadas por meio do teorema fundamental. Tais metodos sao faciJmente
programiiveis para uso em calculadoras e
complJtadores, e tern ampla aplicat;ao
nos
1,Uaisdiv,ersos campos.
o. ..
..
.1 I\N IDERIVADAS E INTEGRAc;AO INDEFINIDA
~.:;-.
,e ,~. , '~.
Em capftulos anteriores resolvemos problemas do tipo: Dada. lima
fWII;iioj, deiemlilJar a derivada j'. Estudaremos agora urn problema
relacionado: J)ada lUna fimr;iio j, achar lima fwu;iio F tal qtie
F' ,;,j. Na proxima defini~o daremos a F urn nome especial. "
DEMONSTRAc;Ao
S~ F e 'G sao'~tiderivadas
Chamaremos tambem F(x) uma antiderivada de f(x). ,a'
processo de determina~ao de F, ou F(x), e chamado antidire~'
rencia~iio.
' ,;.
Para ilustrar, F(x) = x2 e uma antiderivada
..porque
de f(x) ;. 2x
"',
de f, seja H a fun~ao definida por
para todo x em I. Mostraremos que H e uma fun~ao conslante
em I; 'isto e, G (x) - F(x) = C para algum C, ou, equivalentemente, G(x) = F(x) + C.
Sejam a e b numeros em I tais que a < b. Para mostrar que
He constante em I, basta provar que H(a) = H(b). Como F e G
san antiderivadas de j,
de 2x, tais como x 2 + 2, x2 -,
Ha muitas outras antiderivadas
t ;;
x + V3. De modo geral, s6 C e uma constante arbitraria, enia,~ ,
x 2 + C e uma anliderivada de 2\', porque
2
Assim, ha lima familia de alltiderivadas de 2x da forma
F(x) = x2 + C, onde C e uma constante arbitraria. A Figura 5.1
e urn esbo~o de varios membros desta familia.
'
e
e
para todo x em I. Como H(x)
diferenciaveI, H continua, pelo
Teorema (3.11). Aplicando 0 teorema do valor medio (4.12) a
H no intervalo [a, b], existe urn numero c em (a, b) tal que
H'(c)= H(b) -HJEl
b-a
A proxima ilustra~ao contem outros exemplos de antiderivadas, C sendo uma conslante arbitraria.
ILUSTRAc;Ao
a
Referindo-nos
constante C no Teorema (5.2) como uma
constante arbitraria.
Se F(x) e uma antiderivada de f (x), enlao
todas as antiderivadas de f(x) podem ser obtidas de F(x) + C
fazendo C percorrer 0 conjunto dos numeros reais. Empregaremos
a seguinte nota~ao para uma familia de antiderivadas deste tipo.
4
sen x, sen x + 9' sen x + C
Tal como na ilustra~ao precedente, se F(x) e uma antiderivada de f (x), entao tambem 0 e F(x) + C para qualquer
constante C. 0 proximo teorema afirma que tada antiderivada e
desta forma.
f f(~)dx=F(x)
,.
+C,
onde F' (x) ';J (x) e C e uma coDstante arbitraria, denota a
familia de todas as antiderivadas de f (x) em urn intervalo I.
" 0 sf~boloJ
Cbamamos
usado na Definic;ao (5.3) e 0 sinal de integral.
J f (x) dx a integral indefinida de f (x). A expressao
f (x) e 0 integrando
e C e a CODstante de integrac;ao.
de determinac;ao
de F(x) + C, quando
designado como integrac;ao
indefinida,
se 0 adjetivo indefinida porque
..d d',.·.
de antiderivadas, e nao uma func;ao especifica. Mais adiante,
quando estudaremos as integrais definidas, daremos razoes para
I> uso do sinal de integral e da diferencial dx que aparece it direita
do integrando fIx). No momento nao interpretaremos, fIx) dx
como 0 produto de fIx) pela diferencial dx; encararemos dx
simples mente como urn simbolo que especifica a variavel
independente x, que designamos como varia vel de integrac;ao.
Utilizando uma variavel de integrac;ao diferente, tal como I,
escrevemos
.'
;\"j'~-.';.-.
:,,'
,.
JDx[f(x)] dx =f(x) + C
\" ,'"
(1) II dx= I dx=x+ C
xr + 1 )
Dx ( r+I
{~':.~\
INTEGRAL INDEFINIDA'
Dx(x) = 1
f (x). Usa-
J f (x) dx represent a uma familia
... ,'
,./.:
;, \"DERIVADA
, , Dx[f(x)]
0 processo
J fIx) dx e dada, e
ou integrar
'rabela sumaria de integrais
indefinidas (5.4)
X"I
Ix' dx r + 1 + C (r >' -1)
(3) I cos x dx sen x + C
(2)
=x'(r>'-I)
, Dx(senx)=cosx
=
=
(4) I senx dx = -cosx + C
(5)
I sec x dx tg x + C
2
=
(6) I csc2 xdx = -colx
Dx(secx)
= secx 19x
+C
(7) I secx tgxdx = secx + C
A Formula (2) e cbamada regra da palencia para a inlegra~tia i/ldefUlida. Como se ve na ilustrac;ao a seguir, freqiientemenle
e preciso niodificar a forma de urn integrando para aplicar a regra
da potencia ou uma das formulas trigonometricas .
. J ~o~:udu sen u + C
porque
=
," Note que, em geral,
1
1
X-hI
3dx--=--2
. J-dx=Ixx3 , -3 + 1
2x
+C
J[D j(x») dx = fIx) + C
•.i,' ,'.'.'I;6r~h~,
f' (x) = D j(x).
Isto permite usarmos
qualquer
formula
, de. derivada paraobter uma formula correspondente de integral
indefinida, conforme ilustrado na proxima labela. De acordo com
a Formula (1), costuma-se
abreviar J 1 dx por J dx.
•
i&...!. .
I
sen x'
dx= cosx---dx
cosx
- I sec x
=
I
senx dx = -cosx
+C
E uma boa ideia verificar as integrac;oes indefinidas (como
as da i'lustrac;ao precedente) diferenciando a expressao final para
ver se obtem 0 integrando ou uma forma equivalente do mesmo.
o
proximo teorema indica que diferenciac;ao e integrac;ao
indefinida san processos inversos porque, de certo modo, um
desfaz 0 outro. Em (i) admite-se que f seja diferenciavel, e em
(ii), que f tenba uma antiderivada em algum intervalo.
Jf(~) dx + Jg(x) dx F(x) + C + G(x) + Cz
=
(i) jii foi demonstrada. Para demonstrar (ii), seja F uma antiderivada de f e escrevamos
D.
[J
f(x)dx]
+ C] = F'(x) + 0 = f(x)
=D)F(x)
1
para constantes arbitnhias C1 e Cz. Estas constantes nos dao a
. mesma familia de ailtiderivadas, pois, para qualquer caso especial, podemos escolher'os
valores das constantes tais que
C = C\ + Cz. Isto prova (ii).
EXEMPLO 1-
SOLU9AO
(i) Diferenciamos
primeiro x Z e, em seguida, integramos
JDx(xZ)dx
=J2xdx
=xz+ C
UtiJizamos primeiro (ii) e (i) do Teorema
formulas de (5.4):
(5.6) e, em seguida,
(ii) Primeiro integramos x 2 e entao diferenciamos:
2
DxJx dx=D.
(!i+c
2
)=x
4
=5(X4 +C\ )+2(Senx+cz)
o proximo teorema e util no ciilculo de muitos tipos de
= ~X4
+ 5Ct + 2 senx + 2Cz
integrais definidas. Supomos ali que f(x) e g(x) tenham antiderivadas em urn intervalo J.
. (i)J
cf{x) dx ~cff(x)ili:para
qualquerconstante
c
-~~( ~::.::l·,~~
:£.:~:,:~,T.-_::,~.f\~:'
'~:;:\l;1/,t -',: --~;,. ',.' ,':_,;.:;,:'-" . ,;.~
(ii)- flf(xi~-t_;H:l:)]dx~Tf(~)
g(x) dx,.
~H
(iii)}~(~)Si(~;]
'\
\.
~,~jf(X)~.
-
,0;
.' .•.••. '~-,,:,:;:
-f~(x)dx
.'.
Provaremos (ii). As demonstra<;6es de (i) e (iii) sao aniilogas_ Se
F e G sao antiderivadas de f e g, respectivamente,
No Exemplo 2 somamos as duas constantes 5C1 e 2Cz para
obter uma constante arbitriiria C. Pod em os sempre manipular
constantes arbitriirias desta mane ira, 0 que tom a desnecessiiria
introduzir uma conslante para cada integra<;ao indefinida, como
fizemos no Exemplo 2. Em vez disso, se urn inlegrando e uma
soma, integramos cada termo da soma sem introduzir qua/quer
cOllstante, e 110filial acrescelltamos lima constante arbitrtiria.
E costume tambem omitir 0 passo
EXEMPLO 3
Calcule
J( 8t
3
-
6V1 + ~ )
dt.
Utilizamos identidades trigonometricas para modi.ficar a forma do
integrando e em seguida aplicamos a f6rmula (7) da Tabela (5.4):
SOLu<;Ao
Primeiro achamos uma antiderivada parta cada urn dos tres
term os do inlegrando. e em seguida acrescentamos uma constanle
arbitraria .~.; .Escrj:ve.mos VI como t 112 e 1/t 3 como r3 e
aplicamo,sa regrada potencia para integracsiio:
J(~t3- 6~:~Mdt J(813 - 61 + r3)dt
112
a
= 8. ~
4
312
_ 6. t
2
+r +C .
~-2
2
EXEMJ=lLO4
Calcule
J~
X-2
dx.
E necessario primeiro modificar a forma de integrando, porque
o grau do numerador niio e inferior ao grau do denominador.
Achamos entiio uma antiderivada para cada termo e acrescentarmos uma con stante arbitraria C ap6s a Ultima integfacsiio.
J cos u1cot u du=Jsec u tg u du
Urn problema aplicado pode ser enunciado em termos de
uma equa~iio diferencial - isto e, uma equacsiio que envolve
derivadas de uma funCSiioinc6gnita. Uma funcsiio Ie uma soluC;iio
de uma equa«iio diferencial se verifica a equa«iio -' isto e, se a
substitui«iio da fun«iio inc6gnita por f resulta em uma afirmacsiio
verdadeira. Resolver uma equacsao diferencial significa achar
todas as suas solu«oes. Em alguns casos, alem da equacsiio
diferencial, podemos conhecer certos valores de I, cham ados
condi~oes iniciais.
As inlegrais indefinidas siio iiteis para a resolucsiio de certas
equacsoes diferenciais, porque, dada uma derivada l' (x) , podemos integra-la e usar 0 Teorema (5.5.)(i) para obler uma equacsiio
envolvendo a fun«iio inc6gnila I:
Dada uma condi«iio inicial para I, e possivel
explicitamenle, como no exemplo a seguir.
EXEMPLO 6
'.:U·-;r.':l>:.
Resolva a equa«iio diferencial
.
Calcule
. 1
fcos'u Cot~ du;
determinar
I (x)
para algum numero C. (E desnecessario acrescentar uma constante de integra~ao a cada membro da equa~ao.) Fazendo x = 0
'e utilizando a condi~ao inicial f (0) = 2, tern os
f' (0) = 5 sen 0 - 2 cos 0 + C
4 = 0 - 2 . 1 + C ou C = 6
Logo, a solu~ao f da equa~ao diferencial, com a condi~ao
inicial f (0) = 2, e
A equa~ao dada po de tambem ser escrita em termos de
diferenciais de y = f (x):
~
= 6x2+x-5,
.If' (x) dx ~ I (5 sen x - 2 cos x + 6) dx
ou dy = (6x2 +x - 5) dx.
f (0) = -5 cos 0 - 2 sen 0 + 6 . 0 + D
3 = -5 - 0 + 0 + D ou D = 8
Portanto, a solu~ao da equa~ao
iniciais dadas e .
Se tivermos uma segunda derivada f"(x), devemos fazer
duas integra~6es indefinidas sucessivas para achar f (x). Primeiro
aplicamos 0 Teorema (5.5)(i) como segue:
f" (x) = 5 cos x + 2 sen x
sujeita as condi~6es iniciais f(O)
com as condi~6es
Suponhamos urn ponto P em movimento numa reta coordenada,
com velocidade vet) e acelera~ao a (I) no inslante t. Pela
Defini~ao (4.21), aCt) = v'(t) e dai
Analogamente,
conhecid'a vet), en lao, como V(I) = S' (I),
onde sea
fun~ao posi~ao de P, podemos obler uma formula
que envolva s (t), por integra~ao indefinida:
= 3 e f' (0) = 4
I f" (x) dx I (5 cos x + 2 sen x) dx
=
f'(x)
diferencial
= 5 senx
- 2 cosx + C
para algumas condi~6es D. No proximo exemplo usaremos esta
lecnica para achar a fun~ao posi~ao para urn objelo que se move
sob a influencia da gravidade. A compreensao do problema exige
o conhecimento
de urn falo da fisica. Sobre urn objeto na
superficie da lerra ou pr6ximo dela atua uma for~a - a gravidade
- que produz uma acelera~ao constanle, denolada por g. 0 valor
aproximado de g, usado na maioria dos problemas, e 9,8 m/s2,
ou 980 cm/s2•
(c) A pedra atingira 0 solo quando set) = 0, istoe, quando
Joga-se urna pedra vertical mente para cima de urn ponto situado
a 45 m acirna do solo e com velocidade inicial de 30 m/s.
Desprezando a resistencia do ar, determine
-4,9t2
+ 30t + 45 = 0
(a) a distancia da pedra ao solo ap6s I segundos.
(b)
0 intervalo
de lempo durante 0 qual a pedra sobe.
(e) 0 instante em que a pedra atinge 0 solo, e a velocidade
nesse instante.
o movimento da pedra pode ser represenlado par urn ponto numa
coordenada vertical/com origem no solo e diret;ao positiva para
cirna (veja a Figura 5.2).
(a) A distiincia da pedra ao solo no instante I e s (t) e as condi<;i5es
iniciais sao 5(0) = 45 e v(O) = 30. Como a velocidade e
decrescente, v' (I) < 0, islo e, a acelerat;ao e negativa. Logo,
pelas observa<;6es que precedern este exernplo,
aCt) = v'(t)
= -9,8
f v' (t) dl =f -9,8 dt
donde t = -1,24 ou t = 7,36. A solut;ao -1,24 e estranha, po is t
e nao-negativo. Resta t = 7,36 s, que e 0 tempo apos 0 qual a
pedra atinge 0 solo. A velocidade nesse instante e
Nas aplicat;6es 11econornia, se se conhece urna fun~ao marginal
enlao podemos usar a inlegrat;ao indefinida para achar a funt;ao,
conforme iluslrado no proximo exernplo.
Urn fabricante constata que 0 cuslo marginal (em cruzeiros) da
produt;ao de x unidades de urna componente de copiadora e dado
. por 30 - 0,02x. Se 0 cuslo da produt;ao de urna unidade e $ 35,
determine a funt;ao custo e 0 custo de produt;ao de 100 unidades.
SOLUc;~O
para algurn C. Substituindo t por 0 e em vista do fato de que
v(O) = 30, vem 30 = 0 + C= C e, conseqiienternente,
Se C e a funt;ao custo, entao 0 cuslo marginal e a taxa de variat;ao
de C em relat;ao a x - isto e,
vet) = -9,8 + 30
Como s'(t)
= v(t),
obtemos
5' (i) = -9,8t
+ 30
f C' (x) dx =f (30 - 0,02x) dx
C(x) = 30x = - 0,Olx2 +K
set) = -4,9t2 + 30t + D
'. paraalgurn
D. Fazendo t = 0, e como 5(0) = 45, ternos
45 = 0 + 0 + D, ou D = 45. Segue-se que a dislancia do solo 11
pedra no inslante t'e dadapor
.
s(t) = -4,9t2
+ 30t + 45
(b)' ~ pednisubir<i ale que vet) = 0, islO e, ate que
".,::: --9,81+30=00ut-3.
".:)
_
..
para algum K. Com x = 1 e C(I) '" 35, obternos
35 = 30 - 0,01 + K, ou K = 5,01
59 Urn projetil elanc;ado verticalmente para 'cima
com uma velocidade de 500 mls. Desprezando a
resistencia do ar, determine
36 fDz~x32 f(4x~-&x+
I(,1, ;'1) dz
6
dl
Z4
(b) a velocidade ao cabo de 3 segundos. '
dx
I ;,~ ) du
Exercs. 43-48: Calcule a integral para a e b constantes.
I( 'I' I (iv 1/4+ 3v- )dv
'I
60 Deixa-se cair urn objeto da altura de 300 m.
Desprezando a resi.stencia do ar, determine
. f (4--.,.-+z
7 ) dz
z
7
4
I'
vlt:l)dv
III /(11"
43fa2dx
Uf(3x-l)2dx
:)
. )(3x'+ 1) dx
~ I.t. ( \
III
j I
iI
~dx
"1
"
\,'
I
2'~d<
\ - 2
'
I (II, .I)' I
I
/
n
,/
111'1/1
till
Exercs. 49~56:Resolva a eqllac;aodiferencial slljeita
as condic;6e,sdadas.
'
'
x •• 1
x •• 2
{;;'J- t
49 f'(x) = 12x2 - 6x + 1;
f(l)
50 f'(x)':9x2+x-8;
f(-l) = 1
=5
52 .'2: = 5x -.13.
dt
'
sen u du
24f-1_dx'
4 secx
II.
HI
1'1'111 \J See
III / (., I " 11\ ',,) dv
1 !lftO:1
IllV
'WII
H'
I III' II,
III
W
f
= 4x -
54 f"(x)
= 6x - 4;
55 ~
dx
28 f-12-dl
sen 1
II, ••,
53 f"(x)
1;
f'(2) ~ -2; f(l) = 3
f'(2) - 5;
f(2) = 4
d?
26 f (Iftr - sen I) dl
=
62 Uma constante gravitacional para 'objetos pr6ximos da superficie da Lua e 1,62 m/s.
(a) Se urn astronauta na Lua joga uma pedra
diretamente para cima com uma veJocidade
inicial de 20 m/s 'determine a altura maxima'
atingida.
(b) Se, apos sua volta a Terra, 0 astronallta lanc;a
a mesma pedra diretarnente para cima com
a mesma velocidade inicial, determine a
altura maxima atingida.
51.'2:=4x·12•
dt
'
13
I""/ ,I,
It
48 f (b - a 2) du
20 f(v't + 2) 2 dl
/ (V, I "O~ /) d/
J I
47f(a+b)du
dx
(b) quando ela atinge 0 solo.
)dl
,-"
,,:
I (,
15 f&x-5
/
,
"
46 f(:21
17r-1dx
x-1
VI
I"
45 f (al+. b) dl
~
61 Joga-se uma pedra diretamente para baixo com
uma velocidade inicial de 5 m/s. Determine
(a) sua distancia do solo ap6s 1 segundos.
13 f x(2x + 3) dx
3
I,
II.
d'
(el quando 0 objelo atinge 0 solo.
44 f abdx
',>
I(,
(a) ,Se a bola nao tern velocidade inicial, que
distancia percorrera em 1 segllndos?
dt
(b) ~ltuni 'maxima atingida.
42 ~fcos~
/ ('V"
37 f ~ (sen~)
l)dx
_12+ 31-7)
®f(213
8 dx
3 sen x - 4 cos x;
64 Uma bola rola por urn plano inclinado com uma
acelcrac;ao de 61 cm/s2.
63 Se um projetil e lanc;ado diretamente para cima
de lima altura de S metros acima do solo, com
uma velocidade v mis, prove que, se a resistencia
do ar e desprezada, sua distancia S(I) do solo apos
1 segundos e dada por S(I) = ~g12 + VOl + so' onde
g e uma eonstante gravitacionaL
(b) Qual deve ser a velocidade inicial para que
, a bola percorra 30 metros em 5 segundos?
65 Se urn automovel parte do repollso, qual a aceleraC;ao,constante que Ihe permitira percorer 150
melros em 10 segundos?
66 Se urn carro anda a 96 kmlh, que acelerac;ao
(negaliva) constante permitirii que ele pare em 9
segundos?
67 Urn pais tern 100 bilh6es de metros ciibicos de
reserva de gas natural. Se A (I) denota 0 total de
gas consumido apos 1 anos, entao dAldl e a laxa
de consumo. Se a taxa de conSlImo e previsla em
5 + 0,01/ bilhiies de metros ciibicos por ano, qual
o tempo aproximado (em anos) ern que as reservas estarao esgotadas?
68 Veja 0 Exercfcio 67. Com base em estatislicas do
Departamento de Energia dos EUA, a taxa de
consumo de gasolina nos EUA (ern bilh6es de
galiies por ~no) e de cerca de dA/dl =
= 2,74 - 0,111 ~ 0,01/2, com 1 = 0 correspondendo ao ano de 1980. Estime 0 consumo de gasolina, em galiies, entre 1980 e 1984.
69 Urn fabricante de blusas de esporte determina que
o custo marginal de fabrica~ao de x unidades c
dado por 20 - 0,015x. Se 0 custo de fabrica~ao
de uma unidade e $ 25, determine a fun~ao custo
e 0 custo de produc;ao de 50 unidades.
70 Se a fun~iio custo marginal de urn produto e dada
por 21xl13 e se 0 custo,de produ~iio de 8 unidades
e $ 20, determine a func;ao custo e 0 custo de
produ~ao de 64 unidades.
2
56
d
9
2 cos x - 5 sen x;
dx
=
v) dv
31 fsec
33 f(l
IV sen w dw
cos w
2
+cot z)cotz
cscz
35fD;/x'+4dt
dz
Exercs. 57-58: Se urn ponto se move em uma reta
coordenada com a acelerac;ao a(l) e as condic;6es
iniciais dadas, determine S(I).
57 a(l)=2-61;
58 a(l) = 312;
As f6nnulas para integrais indefinidas da Tabela (5.4) tern
objetivo lirnitado, porque nao podernos usa-I as diretamente para
calcular integrais como
Nesla sec;ao desenvolveremos urn metoda simples mas poderoso
para mudar a variavel de inlegrac;ao de modo que essas inlegrais
(e muilas oulras) possam ser calculadas por meio das formulas
da Tabela (5.4).
Metoda de substltuig8a (5.7)
;":·Se.f:'e~m;{a£tidtrivada'de
f, entao'
'J:i'.(' :.1 ~-;il i!,'.:.;!~..:·1 Ci! .l\!.~~n;:.
Jf(H~~):((:~:~,~~~;~~x)) + C
'. _". ,J
Para juslificar esle melodo, aplicaremos a formula (i) do
Teorema (5.5) e uma func;ao composla. Prelendemos considerar
diversas func;6es f, g e F, de forma que nosso Irabalho sera
simplificado se enunciarmos a formula em lermos de uma funl$ao
h como segue:
'
~'.'J' 1_" .I'A,:..• "'
,Se u = g(x)'e
.J _
.d._" .1:
'dJ=' g! (x) dX, enlao
'f f(U)~~.dJ;(u)i:; C:l'<3
Apos fazer a subsliluic;ao u = g(x) conforme indicado em
(5.7), po de ser necessario inserir urn fator constanle k no
integrando para ~btermos uma forma adequada
Sejam F uma antiderivada de uma funl$ao f e g uma
funl$ao diferenciavel lal que g(x) esta no dominio de F para
lodo x em algum inlervalo. Denolando por h a funl$ao composla
de Fe g, enlao hex) = F(g(x)) e dai
Aplicando
a regra da cadeia (3.33) ao inlegrando
lembrando
que F' = f, oblemos
DxF(g(x))
f f(u) duo Deve-
mos enlao multiplicar por 11k para manter a igualdade, con forme
exemplo a seguir.
e
Fal$amos u = 5x + 7 e calculemos
du:
u = 5x + 7, du = 5 dx
Como
f f(u)du
qu .c()nlel1! 0 fator 5, a inlegral nao esla na forma
exigida por (5.7), Entretanto,
falor 5 no inlegrando,
desde que mullipliquemos
islo e aplicando (i) do Teorema
Podemos utilizar
esta formula:
0 seguinle
arlificio para ajudar' a rememorar
0
por ~. Fazendo
f .,IS; + 7 dx f .,ISH 7 ( ps dx
=
Sdx
Fazemos agora substituil$ao e us am os a regra da potencia
inlegral$ao: '
,;J.,ISH 7 dx = tf Vii du
Esta integral lem a mesma forma que a da Definic;ao (5.3);
lodavia, ,u, repr~senla aqui uma fum;ao, e nao, uma variavel
independente x;como anteriorinenle. Islo sugete que'g'(x) dx
em (*) pode ser encarado como 0 produlo de g'(x) e dx. Como
a variavel x foi subSliluida por uma nova variavelu, esta maneira
de calcular integrais indefinidas e conhecida como mudaDl;a de
variavel, au metoda desubsliluil$3o.
Podemos resumir nosso
estudo como segue, onde supomos que f e g tenham as
propriedades descritas previamenle.
ill/roduzir
(5.6), lemos
=~f"Sx+7
Nole que, uma vez inlroduzida a variavei u = 'g (x), a diferencial
du de li fica deterininada por (ii) da Definil$ao (3.28). Subs/ill/in·
do forma/mente na iillimaformula
de inlegral$aovem '
podemos
para
Daqui por diante, ap6s im;eriJ: 0 fator k em urn integrando;
como no Exemplo ( simplesmente multiplicaremos a integral
por 11k, omitindo 0 trabalho interinediario de escrever primeiro
(l/k)k e trazer entao 11k para fora - isto e, para a esquerda do
sinalde integral.
Calcular
I cos 4x d.x
Se 0 inlegrando envolve uma expressao elevada a uma pot~ncia
como (2xl + 1) 7, costumamos substituir a expressao por 11.
Assim,
Como d1l con tern 0 fator 4, ajustamos 0 integrando multiplicando
por 4 e, para compensar, multiplicamos a integral por ~ antes de
substituir: .
A compara<;ao de d1l = 6x2 dx, com x2 d.x da integral sugere a
introdu<;ao do fator 6 no integrando, compensada pela multipli. ca<;ao da integral por
i:
I cos 4i d.x = ~J(cos 4x)4 d.x
=~Jcos1ldu
=!sen1l+C
4
=! 4 sen 4x + C
Nem sempre e facit decidir a substitui<;ao 11= g(x) necessaria para transformar uma integral indefinida em uma forma
que possa ser facilmente calculavel. As vezes e precise ten tar
varias possibilidades diferentes ate achar uma substitui<;ao adequada. Na maioria dos casos, nenhuma substitui<;ao simplificara
propriamente 0 integrando. Veja algumas diretrizes.
II/I I Ir/X08 para mudar
l111IIvols em integrais
III/If flnldas (5.8)
1 .. Decidirpor
u\Iia substitui<;ao favoravel u = g(x).
:;~;::~;\~~~~!f~~~j,~:~~~~~~~f~~;>,':,."
. ." .
3 ': Com lUlXiliode Ie 2,transformar a integral em uma
:";E'{\formaque
en\iolva.a~nas
iI. variavel u. Se necessaria,'
• introduzir
urn' fatorci)D'stante
k no integrando,
'·.,compensand{)cOilla
mtiItiplica<;ao da integral por 11k.. ,
'". '; :'Se"lq~'alquer"p~e
~?I(~tegr~do ~esu]t3~te ainda ..J.i
contiver a vanavj:1
usaf uma substitui<;iio diferente
, eIill.· '" .. . . .,.
:,. '..
.
x,
'Calclilar""a'mtegral
:obtida em."3,
" 'antiderivada envolvendo u. ':
obtendo
S~bsti~i~ ~ por g (~)~:a'ariti&rivada obtida na diretriz
-4. O,resultado [mal deye'contar apenas a variavel x.
FreqUentemente hiimais de uma maneira de fazer uma
substilui<;ao em uma integral indefinida. Para itustrar, outro
metoda de calculo da integral no Exemplo 3 consiste em
considerar
.
Note que 0 integrando conlem 0 lermo x dx. Se 0 fator x estivesse
ausente, ou elevado a uma pOlencia mais alta, 0 problema seria
mais complicado. Para inlegrandos que envolvem urn radical,
em geral substiluimos a expressao sob 0 sinal de radical. Assim,
Em seguida introduzimos 0 fator -12 no integrando, compensando com a multiplica<;ao da integral por e procedemos
f"
1
1
--
15 (x3 - 3x + 1)5
+c
-'J- Calcular ICOSvxvx dx
l'
como segue:
3
= - .lI\fU
i
12
1
=-
(u
du = - .lIu
12
413
12 4/3
= - i~ (7 -
)
2
113
du
1 413
+ C = - 16 u + C
6x )U4/3
lntroduzindo
0
fator
1 no integrando e compensando-o
+C
VX dx=2 I COSVX (1
2'vxi) dx
fcoSVX
=2
I cos u du = 2 sen u + C
= 2sen
2
-' ) du = - .lIVii
I?i7 - 6x x dx =IViI (-. ,12
12
EXEMPLO
vx + C
du_
5
A forma do integrando sugere utilizarmos
2
-.%:- calcular.,f ( 3 x - 1 ) 6 ;
'J x -3x+1
SOLuC;Ao
Fa<;amos u =x3 - 3x + 1, du = (3x2 - 3) dx = 3(x2 -1) dx
e procedamos
como segue:
pela
multiplica<;1io da integral por 2, obteremos
a regra da pOlencia
I u3 du = ~ u4 + C. Fa<;amos po is
A forma de du indica que devemos introduzir 0 falor -5 no
integrando, multiplicar a inlegral por'- ~ e integrar como segll .:
I cos 5x sen 5x dx
3
~fcos 5x(-5 sen 5x) dx
-Hu du
3
==
3
Exercs. 53·56: Calcule a integral (a) pelo metodo
de substitui~ao e (b) desenvolvendo 0 integrando.
Como diferem as conslantes de integra~iio?
3
, ,II • '.H: ('lIlcule a inlegral por meioda subslitlli~ao
1111111
11I1i'.
(; 'xprcssc a rcsposta em lermos de x.
dl
30 fCOS YV dv
53J(~+4)2dx
~
f c()s 3.dsen 3x dx
3
31
I (. I~) dx;
J
I'
't\
,I / V,
.
"3dx;
I
I. /'
+ 3)2 dx
. ,YX
56 f(1 +~
(~. II)
34
(Sugestiio:
37fsenx~.4 u..
cos x
10 dx;
39
sen 20 = 2 sen 0 cos 0)
38f
~52x~'
sen "-"see
U.r
f (1 -cossen I) dl
I
2
harmonico simples (veja a Defini~ao 4.22).
..
..
/v\.
• eLr
II / ~nl I S''/I
1'( II I I)"' dz
1\
.;".1-\ <Iv
/ "I
10 f~a
42 fesc 2r eLr
sen 2r
+ 5 dx
44
12 f V4~ 51 dl
14 f(2.z2_3)5Zdz
f tg 4x 1sen 4x cLr
45f_l_, - eLr
sen' 5x
16fv~dv
III
J\
I' vi \.?,' -dx
18 f(3
1(\ I , 1) 2,/"
20 f (3 - s 3) 2 S ds
/ (v, • :1)'\ dx
v,'
22 f(1
I (II
I \
(
59 Urn reservatorio fornece agua para uma comunidade. No verao, a demandaA de agua (em m3/dia)
varia
de
acordo
com
a f6rmula
(a) Se a taxa maxuna de f1uxo e 0,6 Uscg.
eslabele~a uma formula dV/dt = a sen bl que
corresponda a inforrna~ao dada.
(fo ltI)para
0 tempo I
(em dias). com 1 = 0 correspond endo ao inicio do
verao. Estime 0 eonsumo total de agua durante
90 dias de verao ..
60 0 bombeamento do cora~ao consiste da fase
sistolica, lIa qual 0 sangue corre do ventrkulo
esquerdo para a aorta, e da fase diastolica, durante
a qual 0 musculo cardiaco relaxa. 0 gnifico da
figura costuma ser usado para modelar urn cicio
completo do processo. Para urn individuo em
fll'1It1\·t!x
'.1 \"..(". - 3) dx
dx
Exercs. 49·52: Resolva a equa~ao diferencial sujeita
as condi~oes indicadas.
tern uma taxa maxima de fluxo dV/dl de 8 Umin.
onde V e 0 volume de sangue no cora~ao no
instante I.
(a) Mostre que dV/dl = 8 sen (240711)Umin.
+~
2
")
~ --dl
'II + 3)3
_X4)3X3
24
1
f(:2)'h
+I
(4 - 3/2 - 2(3)4
26 f 4 cos
4 x dx
28 f sen (1 + 6x) dx
(b) Estime a quantidadc total de sangue bombeada para a aorta durante uma fase sist6lica.
50 ~ = x v'?+5;
dt
51 f" (x) = 16 cos 2r - 3 sen x;
1(0) = -2;
f' (0) = 4
52 I" (x) = 4 sen 2r + 16 cos 4x;
1(0) = 6;
f' (0) = 1
I
61 0 processo ritmico da respira~ao consiste em
periodos altern ados de inala~ao e exala~ao. Para
urn adulto, urn cicio completo ocorre normal mente a eada 5 segundos. Se V denota 0 volume de
ar nos pulmoes nO instapte t, entao dV/dt e a taxa
de fluxo.
.
particular, a fase sist6lica dura ~ de segundo e
1/,
: t (segundos)
58 A acelera~ao de uma part kula que se move em
uma
reta
coordenada
e dada
por
a (I) - k cos (WI + cj» para constantes k, 00 e cj> e 0
tempo I (em segundos). Mostre que 0 movimento
e harmonica simples (veja a Defini~ao 4.22).
dA/dt = 4.000 + 2.000 sen
'1
~dx
no
sen 28 = 2 sen 0 cos 0)
f sen
4x dx
cosa
f
57 Uma partkula carregada se move segundo uma
reta coordenada em urn campo magnetico tal que
sua velocidade (em cm/s)
instante I e dada por
v(/) =,~ s~n (3/- ~71).Mostre que 0 movimento e
+ cos x) 2 dx
(Sugesliio:
'
55 f(YX
54 f(~2 + 4)2 xeLr
:;
33. f(senx
/ '- )
_dV (Iitrosmm'
dl,
dV
(b) Use (a) para estimar a quantidade de ar
inalada durante urn cicio.
62 Muitas popula~oes animais fluluam por ciclos de
10 anos. Suponha que a taxa de crescimento de
uma popula~ao de coelhos seja dada por
dN/dl = 1.000 cos q ltI) coelhos/ano, ollde N de·
nota 0 numero na popula~iio no instante 1 (em
anos) e 1 = 0 corresponde ao come~o de urn cicio.
Se a popula~iio apos 5 anos e estimada em 3.000
coelhos, determine uma formula para N no instante 1 e estime a popula~iio maxima.
63 Mostre, por trcs proeessos diferelltes, que
f sen x cos x eLr= 4 sen 2 x + C
4
L k2(k-3)= 2: i (i-3)= 2: /U-3)-10
2
.1:.1
j •.•l
Nesta sec;ao lanc;aremos as bases para a definic;ao da illtegral
defillida. De infcio, e virtualmente impossivel vislumbrar qualquer'relacionamento
entre integrais definidas e integrais indefinidas.Na
Sec;ao 5.6, entretanto, mostraremos que existe urn
relacionamento bastante estreito: As illtegrais illdefillidas podem
ser utilizadas pa~a"calcular illtegrais definidas.
,"
'I'
,
:.
".
'..
2:
j ...1
ak - al + a2 = c + c = 2c =
C
32
L
ak=al+a2+'a3~c+c+c=3c=
L
,k-!
"
k- 1
:".
No estabeleCimento
da integral definida utilizaremos
somas de muitos' n'6nieros. Para expressar tais soma's de
maneira compacta',
(conve'niente
utilizar a notalfao de
somalfiio. Dada uma colec;ao de numeros {ai' a2, •• "
0
2:
t-I
k.1
C
aJ.
simbolo
k;.1 Ii; representara a sua
soma como segue .
,'.
.'
,.:"
",
o dominio da va~avel
sempre em 1. Por exemplo,
. i\letra
"J~ ",ki:n"'l
~}b (i.lrr:5r:;h.;·" ....:.
1(;q
1.~.;j~L
:'f",:,;
r.j ::c:
,J ••
~~
"
. "t:,;tl ;J~'··;.bfi·~~
.f.!!:;, . ·(,':·;!~;'''f.. '.~.
r"o) , :;)eu:",,:;
,.;Gb~',.:
(;iXJ ",:,'~
"': ',,,r.':,:"
(1::
:.:>.r,
,,:,1,.<'.' ;~,,; ,'.;" .C.·,'
;::Lf"'7:1:
k (sigma) indica uma soma, e ak
grega maiuscula
:'. represent a 0 k~o te.TIDoda soma, f.If<tra k e 0 Indice de somalfao,
ou variavel de somslfao, e tomavaiores inteiros sucessivos. OS
"',"
inteiros 1" e II indicam os'valores
extremos da variavel de
. ''1',
••• _
••••
." :A' ~: ".;.;
.
i~
:~. \L'\/):,
3
1
fii:
\..
Calcule,
t,YG!'';"!
.'.
0
k
L (k~ 1)
k·O
:.::~l.t-l
on
:. 2«J
':
.,
,:,:',::1, C~.~~(±
P(k'~'~)::;:;:i ''''', " ';'-'
.',
ak=a4+aS+a6+a7+aS
.
:,-.!,t);: _-:.:::.~L.~~i:r.:
.'
)'
1:'4
;~.oim,~cs~p
.
,,'I':,""',' ,EXEM.PLO
;:'''{,::n;ji.'::'
'..1:0
~;:)
~.r',;;
.1"
> "'", ;.
Compar'ando
..
com (5.9), vemos que ak ~k2(k - 3) e
II = 4. Para achar a"i8iria;\~~:;bitltUiI;lOs' k 'por I,' 2,: 3 e 4 e
somamos os-resiJltacloS.; Assim"'D (ro,,'" ,'~ i,,;r :"
,.. """"2k2(k
a soma
- 3) =
1 (1 ~ 3) + 22Ci - 3)+ 3 (3 - 3) + q4 - 3)
2
de somac;ao nao precisa comec;ar
2
k-l
14~: LI'.i~\Lr.:.'~~.
.f i :/JI!Jff'::",>~-.
Podem-se usar outras letras que nao k para a variavel de
somac;ao. Para ilusirar:
100
cai~cul~
1.:1 k e
SOLu<;Ao "
2: (a b
k +
k) =
(al + bl) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + ... + (an + bJ
Aplicando (i) e (ii) do Teorema (5.12), obtemos
1·1 ' '
JOO
2:k= 1 + 2 ... + 100 - 100~1O1) 5.050
=
k-J
2: (a
1 + b1) = (al
1- I
+a2 + a3 + ... + aJ + (bl + b2 + b3 + ... + bJ
20
2: k
2
=
12+22+
2:
(k2 - 4k + 3) em termos de n.
... +202-
20(2~)(41)
=2.870
1-1
)'
f.'l
(cak) = caJ + ca2 + ca) + ... + can
Para demonstrar
aplicamos
(i) e (ii).
I.J
(iii), escrevemos
a1 - b = a + (-1)b
1
1
e
1
2:
I-I
As formulas do teorema seguinte serao uteis mais adiante,
e podem ser demonstradas
por induC;ao matematica (veja,
Apendice I).
2
(k -4k+3)=
2:
<-I
2
k _4
2: 2:
k+
<-I
_ n(n + 1)(2n + 1)
6
3
I-I
4~
2
+ 3n
A defini<;ao de integral definida (a ser dada na Se<;ao 5.4)
esta estreitamente relacionada com as areas de certas regioes do
plano coordenado. Podemos calcular facilmente a area se a
regiao e delimitada por retas. Por exernplo, a area de urn
retangulo e 0 produto do seu comprimento pela sua altura. A
area de u~ triangulo e 0 semiproduto de uma altura pel a base
correspondente. A area de qualquer polfgono pode ser obtida
subdividindo-o em triangulos.
Se II e urn inteiro positivo arbitrario, dividamos 0 intervalo
/I subintervalos,
todos de mesmo com prim en to
!u = (b - a)/n. Podemos
obter isto escolhendo
numeros
[a, b) em
o' Xl' x2' •• o,Xn, com a =Xo' b =Xn, e
X
x -x
k
k -I
b-a
=--=!u
II
Para calculiu areas de regioes cujas fronteiras envolvam
graficos, entre tanto, devemos utiJizar urn processo de limite e
metod os do calculo. Em particular, consideremos uma regiao R
em urn plano coordenado, delimitada por duas retas verticais
x = a e x = b e pelo grafico de urna fun<;ao f continua e
nao-negativa no intervalo fechado [a, b]. A Figura 5.3 ilustra
uma regiao deste tipo. Como f(x) •• 0 para lodo x em [a, b], 0
grafico nao tern parte alguma abaixo do eixo-x. Por conveniencia,
referir-nos-emos
11regiao R como a regiao sob 0 grafico de f
de a e b. Queremos definir a area A de R.
:
Uk
: X.t_1
Xi
:....-l1X= -b-a
,
A fun<;ao f e continua
n
em cada subintervalo
[xk_
I'
xl'l, .
daf, pelo ieorerna do valor extremo (4.3), f lorn a um vllior
minimo para algum numero Uk em [Xk_I,Xkl
Para cadll k,
construamos urn retangulo de largura!u
a
Para chegarmos
lima defini<;ao satisfat6ria de A, consideraremos, muitos retangulos de iguallargura e tais que cada urn
esteja' completamente
abaixo do gn\fico de f e intercepte 0
grafico em pelo menos urn ponto, confonne ilustrado na Figura
5.4. A fronteira da regiao formada pel a totalidade desses retangulos e chamada urn pollgono retangular inscrito. Usaremos a
seguinte nota<;ao:
ApI = area
11distancia minima
= xk -
xk _ 1 e altum iS1I1I1
f (Uk) do eixo-x ao grafico de f (veja a Figlllll
e f(uk)!u· A area ApI do pOlfglllll'
e a soma das areas dos n ret5ngulos, iS10
5.5). A area de k~~retangulo
retangular inscrito
de urn polfgono retangular inscrito.
.'
Se a largura dos retiingulos na Figura 5.4 e pequena, enta~ parece que
ApI =
2: f(ul)!u,
k-I
Apl~A
Isto sugere fazerrnos a largura dos retangulos tender para zero
e definir A como urn valor limite da soma das areas ApI dos
polfgonos retangulares inscritos. A nota<;iio apresentada
nos permitinilevar
avante 0 proeesso rigorosamente.
a seguir
;i.
_Se II e muito grande ou, ,equivalentemcntc, sc Ax 11111 Ii!
pequepo, e.ntao, a,som,\ ApI das areas rctangularcs uevu IIplll
mar-se da area da regiao R. Intllilivamcnlc,
sub 'mOil !I" ,
":;;'
,','
"e~i~te ~m"'~6~e;?'~\al
0"
",
que
L.". /(u.) lix
quando Ax se aproxima de."O(mas lix •• 0), podemos considerar
A como'a area de R e escrever
A = lim ApI ~ Jim
""-0
L f(u.) lix
.u-0._1
Se f e c<iiltimiaerii[ a", b], moslra-se, em textos mais avan91dos,
que existe efe~vamente urn lIUrneroA que satisfaz a Defini~o (5.13).
ChamaremosAa
:'ireasob 0 gnilico de f de a a b.
:;
J.'. ,<r·i.."··i·~;::c::~! :·,;~L:"'>..kJ
Pode-se ,obler a area A lambem 'por meio de reliingulos
circunscritos
do lipo' 'i\uslrado na Figura 5.6. Neste caso,
escolhemos 0 numero VA' em cada intervalo [x
, x] tal que
,
:...
.' ..-.,'
..
_
f (v.) e 0 valor maximo
.- I
•
de f em [x. _I' x.] .
. 0 sig~ifi~a:do deste'limite"de somas nao e 0 mesmo que 0 'do":
, limite de uma fun~ao, inlroduzido no Capitulo 2. Para elimin:u
as palavras use aproxima" e chegar a uma defini~ao satisfat6ria '
de A, adotemos urn ponlo de vista ligeiramenle diferente. Se,4"
de nota a area da regiao R, entao a diferen~a
,,
e a area da pon;ao da Figura 5.5 que est a sob 0 grafico de f e :"
inscrito. Este numero pode ser ,':,
encarado 'como 0 erro decorrente da utiliza~ao da area do'~,;
poligono retangular inscrito para aproximar A. Devemos poder~':
tomar este erro tao pequeno quanta passivel, escolhendo a ~,:
, amplitude lix dos retangulos suficientemente pequena. Esta e a:
moliva"iio para a defini~ao seguinte da iirea A de R. A nota~ao .
e a mesma que usamos na discussao precedente.
acima do poligono retangular
~lix
2: !(u.)lix:sAs .-1
:L
.~1
Em (5.13) define-se
Se A e 0 limite indicado e se fazemos E = 10 -9, entao a
Defini~ao (5.13) afirma que, utilizando retangulos suficiente~
mente pequenos com largura fj"x, podemos tornar a diferen~a
entre A e a area do poligono inscrito inferior a urn bilionesimo
de uma unidade quadrada. Do mesmo modo, se E = 10 -12,
podemos tornar esta diferen~a inferior a urn trilionesimo de uma~
unidade quadrada. De modo geral, a di[eren~a pode ser tornada
inferior a qualquer E prefixado.
modifica"ao
0
f(v.)lix
limite de Apc quando lix ~ O. A unica
e que impomos
ja que queremos que est a diferenc;a seja nao-negativa. Pode-se
mostrar que se obtem 0 mesmo numero A, quer se utilizem
retangulos inscritos ou circunscritos.
"0':" ••~..."
.. "...__ ._ ,__ . ._J._'-._
Sejam f(x) = 16 _x2, eRa regilio sob 0 gTilfico de f de 0 a 3.
Obtenha uma aproxima<;lio da area de R, utilizando
Se f(x) = 16- x2, determine a area da regilio sob 0 grafico de f
de 0 a 3.
-...._----
A regilio ja foi considerada no Exemplo 5 e e represent ad a na
Figura-'5:9;-Eliv idindo·se-o-in tervalo-[ O;--:Y]-em-n subinterval os
iguais, 0 comprimento de cada subintervalo e 3/n. Empregando
a nota<;lio usada naFigura 5.5 com a = 0 e b = 3, temos
(a) A Figura 5.7 exibe 0 grafico de f eo poligono retangular
inscrito com 11X = ~ (com escalas diferentes para os eixos
x e y). Note que f e decrescente em [0, 3J, e, dai, 0 valor
minimo f(uk) no k~o subintervalo ocorre no extremo direito
3 3k
Como fix = 3/n., x = k fix = k - =k
n
n
do subintervalo. Como ha seis retangulos
fomlUla de ApI e
Como f e decrescente em [0, 3J, 0 numero uk em [Xk_I' Xk] em
a considerar,
a
quef tom a seu valor minimo e sempre 0 ponto extremo direito
do subintervalo; isto e, Uk = Xk = 3k/n. Assim,
6
ApI =
x
Xl
2: f (Uk) fix
•
.
k-l
f(u)
k
=f
2
(3k)n
(b) A Figura 5.8 exibe 0 grafico de f e 0 poligono retangular
circunscrito. Como f e decrescente em [0, 3], 0 valor
maximo f(vk) ocorre no extremo esquerdo do k~o subin-
= 16 _
(3k)n = 16 _ 9kn 2
2
~ ± (16 _
~~22 )
k-l
tervalo. Logo
onde a Ultima igualdade decorre de (ii) do Teorema (5.11). (NUl'
que 3/11 nao contem a variavel de soma<;lio k.) Usamos ~JI'
seguida os Teoremas (5.11), (5.10) e (5.12) para obter
6
Apc =
2: f(vk) fix
k_l
±
±
f(Uk)fix=~(
k-l
16- ,~2
k-l
=~[n.16_1..n(n
Segue-se que 36,25 <A < 41,125. No proximo exemplo
rernos que A = 39.
mostra-
+ 1) 2n + 1)]
6
n2
n
± p)
k-l
= 48 _ ~ (n + 1)(2n + 1)
2
112
Para achar a area da regilio, fazemos fix -> O. llJllll
fix = 3/n, basta f~~rr:no~ ncrescer sem limite. Conqu31110 nOIoNO
estudo de limites env'olvendo infinito na Se<;ao 2.4 diga res!' 110
a uma variavel real x, vale discusslio analoga se a variav I . JlIII
:> ,
inteiro n. Supofi'dij'isio\"erdadeiro
e admitindo
substituir tu -+ por n -:.00, obtemos
°
que possamos
Como f
e uma funl<ao crescente,
[Xk_I'Xk]
k
maximo.
°
f{v )
no
bk
n
k3=~:[n{n2+1)r
b4 n2{n+1)2
=4
o pr6ximo
exemplo iJustra a utilizal<ao de
para a deteilI!inal<ao de urna area.
Se f{x) =x3, determine a area sob 0 grafico de f de
b > arbitrario.
n
k
=~:JI
Pode-se obter a area no exemplo precedente utilizando
poligonos retangulares circunscritos. Neste caso, escolhemos em
cada subintervalo [xk _I' xkl 0 numero vk = (k - l){3ln) em quef
circunscritos
maximo
ocorre no extremo direito; isto'e
b
v =X =ktu=k-=-
toma seuvaJor
0
k
. intervalo
°
n4
on de aplicarnos 0 Teorema (5.12){iii). Fazendo 6..>:-+ 0, entao n
cresce sem limite e a expressao envolvendo n tende para 1.
Segue-se que a area sob 0 griifico c
a b, para
Subdividindo 0 intervalo [0, b] em n partes iguais (veja a Figura
5.10), obtemos urn poligono retangular circunscrito tal que
6..>: = bIn e xk = k tu.
Se f(x) = x 3, determine
i a 2.
No Exemplo 7 obtivemos
3
de y = x de
A2,oblemos
°
.1'
2
Figura 5.11
24
A =4-4
a area A da regiao sob 0 griifico de f de
0 valor
~ b4 para a area, sob 0 grafico
i
a b. Portanto, tomando b = com AI e b = 2 com
W4
1
=4- 64=3,98.
x2
x3
181+x+2+3+'''+~
k(k-:-1)
4
i-O
~
(k-2)(k-3)
i"O'
'
'.
19 f(x)-3-x;
a- -2,
b-2;
lix-1-
20 f(x)-x+2;
a =a -1,
b-4,
lix-I
1. A funr;ao f e continua no intervalo fechado [a, b]
21 f(x)-x2+1;
a - I,
b-3;
lix-!
2. f(x)
22 f(x) - 4 _x2;
a -0,
b-2;
lix-!
@]23 f (x) - "sen x;
a -0,
, b -1,5;
lix - 0,15
'"
@]24f(x)---;
a-O,
JO
[1 + ("';1)n]
5 ~
n-l
50
1.000
7 ~
j •.•
10
l
8
2:
2
1·1
Exercs. 9-12: Expresse a soma em' termos de /I (veja
o Exemplo 4).
'.'
1
," vxr+T
~:; .,r'~
i-I
12'2: (3k3-+k)··
i.1
E;l'er':S, IH~;oExpresse~~.,!ota~ode,
131+.5+9+13+17
b-4
26 f (x) '7 8 - 3.>:;
b- 2
27 f(x)-9-x2;
b-3
_'.
soma~ao.;'
J
.
,:,':."
"-
.-'
28 fM-x2;
..29j(x) .,.x3 + 1;
4. 0 numero
Wi
~ miniino(ou
comprimen-
e escolhido de modo que f(wi)
seja sempre
:
0 m~imo)
de f em [Xk ... !'xi]·
;.
,Ha muitas aplicar;oes, que envolvem este tipo de limite, em que
'nem todas as condir;oes acima saD satisfeitas. Assim, e conve ...
niente introduzir as seguintes modificar;oes em 1...4:
1'. A funr;ao
'[a,bj:
f pode ser descontinua
' .
em algunspontos
'
2'.
i(x) pode s'er n~gativapara algum r em [a, b].
3'.
Os comprimentos
b-5
dos subintervaills
diferentes."'''
-_. '
0 numero
Wi' pode
[Xk_I'
de
Xi] podem ser
b- 2
:_,'",:"~.,:'J,_: ~_;.;-:
~O 'f(x):" 4x+x3;
[Xi_I' Xi] tern 0 mesmo
to I:!.x.
~,
, -.; ; ',/
._
3. Todos os subintervalos
2
.
25 f(x)-2x+3;
.-.. _-_.-------.- -----.
'
e nao-negativa para todo x em [a, b].
2
Exercs. 25-30: Exemplos 6 e 7. Determine a area
sob 0 griifieo da fun~ao dada f de 0 a b usando
(8) retiingulos inseritos e (b) retangulos circunserilos.
1r~-(k3+2e-k+4)-
f
Exercs.19-22: SejaA a area sob 0 graftco da fun~ao
dada f de a a b. Obtenha uma aproxima~ao de A
dividindo [a, b] em subintervalos de igual comprimento lix e usando (a) API e (b) ApC'
5
. 3 ~
Na Ser;ao 5.3 definimos a area sob 0 grafico de uma funr;ao
de a a b como urn limite da forma
XII
4'.
b=2
.-'
).;;:.'
',l.j ;.~.
" ';'Note
. 'c!)
ExercS. 31-32: Veja 0 exemplo 7. Detennine a area sob
o grafteo de f eorrespondente ao intervalo (8)
[1,3] e (b) [a, b].
i
-'
, I:~, I,
ser qualquer numero em [Xi ...!' x].
".
Jr.
:
q~e;-se 2' e'verdadeira, parte do grMico est a abaixo clo
e assim 0 limite 'oao e mais a area sob 0 grafico de f.
dxo-x;
'. _".; .. p.'.·',In;'rOd~a'mo~ )lma terminologia
e <notar;ao novas.
Uma
~-.. ~~)'-"'·:1~·::~.;·'~p~·rti~~o.
p ~e:um.inte~,al0 fechado {a, b] e qualquer decolnpo ..
", ; '<:"
---:'-.-
'f',.
tii, bl.'emsubintervalos
G""':":si~~(rde
~_IJ.
('~:;'"
","
)
••••.•
~J,,;~
.-,i.i~·.
.
,I
"-'~
".,
[xo; XI]' [xl' x2],
<:' para"hminteiro
::,'
," );:/:'
'J
'.;;,)
;';;'"
[x2, x,], .. , [xx _ I' XI]
positivo n e numeros xk lais que
!/=:xo <
,. 0 compr\mento
da forma
•
XI <x2
< x3 < ... < xn_1 <xn
k~ .subiniervalo
!;''.
[Xi ...I' Xi]
(,\ ~i ~. ~J"'iito06~1!1U')(1
. L,-J.' r _.~!-J if],').'\. :)~l(s.\i1i~htl:nu uo t~ll:i-I.i;fn
i \ .1i l! (,:n5lilil(ifG'i:J :::J c!:::~,:;tuk = Xk - Xl_1
t'
=
b
sera clenolaclo
A Figura 5.12 ilustra umapartic;a()tipic~ de [a, 1?YO iJ1aior·d.()~
"numeros ATj, AT2;-;;;; AT.e a norma da partic;ao P e se denota
por l!Pl!.·
.."
ilustrado na Figura 5.13,'oretangulo
pode nao ser neminsc~ito
nem circunscrito, AIem disso, como f(x) pode ser Ii'egaiiva
tambem opodem
ser cerlos termos da soma de Riemann R :
.-:,
.'
Conseqiientemente,
~
r
."
~.;.
• -
p
R p nem sempre represenla
uma so~a
.
de
areas de retangulos.
I.
A soma
a = Xu
de Riemann
interprelac;ao geometrica.
tru~mosum
Rp em (5.14) admite a seguinte
Para cad a subintervalo [Xk _ l' Xk]' cons-
segmento horizontal pelo ponto (wk,!(wk»,oPtendo
assirn uma colec;aode retangulos. Se few) e positiva, 0 retilngulo
Os numeros {I; 1,7; 2,2; 3,3; 4,1; 4,5;5; 6} determinam uma
partic;ao P do intervalo [1,6], Determine os comprimentos
AT., AT2, .•. , AT. dos subintervalos em Pea norma da partic;ao.
esta acima do eixo-x, conforme nlOslram os relangulos mais
claros da Figura 5.14, e 0 produto f(wk) ATk e a area des Ie
retangulo. Se f (wk) e negativa,
0 retangulo
que Rp e a soma das areas dos relangulos
Obtem-se
os comp~imentos
numeros sucessivo~'em
dos subintervalos
tUk
sub train do
esla abaixo 'do eixo-x,
coino os retangulos mais escuros da Figura 5.14. Neste caso, 0
produto, f(wk) ATk e 0 negalivo da area do retangulo. Decorre
que estao acima do
eixo-x e dos negativos das areas dos retangulos que estao abaixo
daquele eixo.
P. Assim
o conceito que segue, cuja designac;ao e em homenagem ao
matematico G. F. B. Riemann (1.826 -1.866), e fundamental
para a definic;ao de integral definida.
Seja f definida em urn intervalo fechado [a, b], e seja P
uma partic;ao de [a, blUma soma de Riemann de f (ou
f (x» p~ra P e qualquer expressao R da forma
Sejam f(x)
= 8 - ~X2,
tervalos determinados
Determine
e P a partic;ao de [0,6] nos cinco subinpor
a norma da partic;ao e a soma de Riemann R se
p
w. = 1, w2 = 2, w) = 3,5, w4 = 5,
Na Definic;ao (5.14), f(wk)
nao e necessariamenle
maximo ou urn minimo de f em [Xi -1' Xk]. Se conslruimos
reHingulo de comprimenlo
I f(w
k)
urn
I e largura AT", con forme '
s = 5,5
W
;,
o grafico de f esta esb~ado
na Figura 5.15, onde exibimos tambem
os pontos que correspondem a W k e os retiingulos de comprimentos
Sejam f definida em urn intervalo fechado
numero real. A afirmac;ao
lim
IIPII-o
If(wk) I para k = 1, 2, 3, 4 e5. Assim,
f{wk)
IUk
.
=L
k
significa que, para todo 10 > 0, existe urn Ii > 0 tal que se P
e uma partjc;ao de [a, b] com "P II < Ii, entao
IUI = 1,5, 1U2 = 1, 1U3 = 2, 1U4 = 0,5, IUs = 1
If~
II P II da partic;ao e 1U3, ou 2.
A nonna
l:
[a, b) e L urn
!{Wk)lUt-L
para qualquer -es~lha
[Xl_'I'
dos numeros
I
<10
wk nos subintervalos
Xl] de P. 0 irumero L e urn limite de somas (de
Riemann).
IUI + f(w2)
= f{wl)
= f{I){I,S)
+ f(2){I)
1U2 + f(w3)
1U3 + f(w4)
+ f{3,S)(2) + f(5)(0,5)
1U4 + f{ws)
IUs
+ f{5,S){I)
= (7,5){I,5) + (6)(1) + (I,875){2) + (-4,S)(0,S) + (-7,I2S)(1)
= 116,25
Nem sempre especificaremos 0 numero n d. . bintervalos
em uma partic;ao P de [a, b). Vma soma de Riemann (S.I4) se
escrevera enlao
c·-
Rp =
2: f{w
)
k
k
e admitiremos
que os termos
IUk,
da forma f{wk)
Conseqiientemente, a cada partic;ao P podemos associar urn
numero infinito de somas de Riemann. Todavia, se 0 limite L
existe, entao, para qualquer 10 > 0 cada soma de Riemann eSla a
menos de 10 unidades de L, desde que se escoUla uma norma
suficientemente pequena. Embora a Definic;ao (5.IS) difira da
definic;ao de limite de uma func;ao, pod em os dar uma demonstrac;ao amHoga a do teorema da unicidade no Apendice II, para
mostrar que, se 0 limite L existe, e unico.
Definimos a seguir a integral definida como 0 limite de
uma soma, onde wk e IUk tern os rnesmos significados
da
.
somados sobre todos os subintervalos
Para cada Ii> 0 existem infinitas partic;oes P de [a, b) com
111'11 < O. Alem disso, para cada uma dessas partic;oes P M
infinitas maneira~ de escolher 0 numero wk em [Xk_I' Xk).
IUk devem ser.
Definic;ao (S.lS).
[Xk_I' Xk) da partic;ao P.
Seguindo as mesmas linhas da Definic;ao (S.B), definimos
a seguir
f
Sej:~ detfuida ~m~'rr; intervalo fechado [a, b]. A integral
definida de j. de
0,;
-
.....1
a a b~'denotada por f: f (x) dx, e
: .. '
·'f.f{w) IU = L
;.\
lim:: ...~
;. "IIPII-o
"
.•...•..•
;.;>
para urn numeio ieal L. ' .',
.
i
k
k
/
desde que 0 Iimit~; exista ..
'Se 0 limite na Definic;ao (5.16) existe, enlao f e intcgnivel
em [a, b), e dizemos que a integral definida
f: f{x) dx existe. 0
processo de determinac;ao do limite e chamado calculo da
integral. Note que 0 valor de uma integral definida.e urn Illimero
real, e nao uma familia. de antiderivadas, como ocorria com a
integral indefmida.
o sinal de integral na Definic;ao (5.16), que po'de'.set
encarado como uma letra S alongada (a primeira letra da
palavra soma) tern por finalidade indicar a conexao que existe
entre as integrais definidas e as somas de Riemann. Os
numeros a e b sao os Iimites de integra~ao;
a e 0 limite
inferior
e b C 0 limite superior.
Neste contexto, limite
refere-se ao menor ou ao maior numero no intervalo [a, b] e
nao esta relacionado com as definioes de limite dadas anteriormente. A expressao f (x) que aparece
direita do sinai de
integral, e 0 illtegrando, tal como no caso das integrais
indefinidas. 0 simbolo diferencial dx que segue f(x) esta
associ ado ao incremento !'ix. de uma soma de Riemann de f. ' -
Sempre que se' utiliza urn intervalo [a, b], supoe-se a< b.
'C~nseqtient~ine~te;a
Definic;ao (5.16) nao leva em c~~ia'~s
casos ern cjue o limite inferior de integrac;ao nao e menor do que
o limite superior. A definic;ao pode ser ampliada de modo a
incluir 0 caso em que 0 limite inferior e maior do que 0 limite
superior, como segue:,
a
Esta associaC;ao sera uti! em aplicac;oes posteriores.
.
A Definic;ao (5.17)
pode ser enunciada
A proxima 'definic;ao abrange
inferior e superior sao iguais.
Expresse 0 seguinte limite de somas como uma integral definida
no intervalo [3,8]:
.
como
segue: A
perm uta do's limites de integral(uo acarreta a mlldanl(a do sinal
da integrai. '
.
~
';,:; ..~:.'.~\ .\
',~"
::. :'.,
:Se f (d) e~iste, entao {
caso em que os limites
0
.
f (x) dx = 0
Se f e iniegravel, entao 0 limite da Definic;ao (5.16) existe
para toda .escolha de
em [x•• I' x.]. Isto permite particulari-
onde w e 6x sao os mesmos da Definic;ao (5.15).
"~
-
w.
zarmos'w. se quisermos. Podemos, por exemplo, escolher sempre
Wk como 0 menor numero Xk•1
no subintervalo,
ou como 0 maior
numero xk' ou com'o 0 ponto medio do subintervalo,
numero
que
sempre
,da
0 -valor
maximo
ou como
ou minimo
0
em
[xk_1' x.]. Alem disso, como 0 limite c independente da partic;ao
P de [a; b] (desde que II PII seja suficientemente
pequena),
podemos restringir nossas parti~oes ao caso em que todos os
subintervalos [x. -I' x.] tern 0 rnesmo comprimento 6)(:. Uma
partic;ao deste tipo chama-se uma parti~lio regular.
8
I (5x +vX -4senx)dx
3
" 3
Se uma partic;ao regular de [a, b] cantem n subintervalos,
entao !'ix = (b - a)ln. Neste caso, a simbologia liP 11-> 0 e equivalente a 6x -> 0 OU n -> 00, e a Definic;ao (5.16), toma a forma
b
Podem-se usar outras tetras que naox na nota~ao da integral
definida. Se f c integravel em [a, b], entao
b
.
b
b
f f(x) dr = f .f(s) ds = f .f(l) tit etc.
Por esta razao, a letra x na Definic;ao (5,16) e chamada variavel
muda.
I f(x)dx~
a
lim
n-CI)
o teorema que segue e uma prirneira !!plicac;ao destas
somas de Riemann especiais. Muitas outras aplicac;6es serao
abordadas no Capitulo 6.
'
Se f e integravel e f(x);" 0 para todo x em [a, b], entao a
area A da regiao sob 0 grafico de f de a e b e
4
I ~
Calcular
b
A =
dx
-4
I f(x)dx
a
Da se«ao precedente, sabemos que a area A e urn limite de somas
2:
k
f(uk)
l1x, on de f(uk)
e 0 valor minima de f em [XK_1,Xk].
Como se trata de somas de Riemann, a conclusao
Defini«ao (5.16).
Se f(x) =~,
entao 0 grafico de f e 0 semicfrculo da
Figura 5.18. Pelo Teorema (5.19), 0 valor da integral e numericamente igual
area da regiao sob este semicirculo, de x =-4
a
ax=4.
Logo,
decorre da
o Teorema (5.19) esta ilustrado na Figura 5.16. Tenha ern
mente que a area e nossa primeira aplica«ao da integral definida.
Ha muitas instundas
J: f (x) dx nao represema a area
em que
de uma regiao. De fato, se f(x) < 0 para algumx em [a, b], entao
a integral definida pode ser negativa ou zero.
Se f e continua"ef(x);"
0 em [a, b], entao0 Teorema (5.19)
pode ser usado para caJcular
J: f(x) dx, desde que possamos
achar a area da regiao sob 0 grafico de f de a a b. Isso e
verdadeiro se 0 grafico de f e uma reta OU parte de urn cfrculo,
como nos exemplos seguintes. (Consideraremos integrais definidas mais complicadas adiante.) Ao calcular uma integral
definida usando esta tecnica ernpirica, tenha em mente que a
area de urna regiao e 0 valor dil integral san numericamente
iguais; isto e, se a area e A unidades quadradas,entao
0 valor
da integral e 0 numero A.
-4
(a)
4
I ~dx
(b)
4
4
-4
I ~
I YI6=X2' dx
4
dx=-
4
I YI6=X2' dx=-8n
-4
4
I JI6=?dx=O
4
4
Calcular
'
I (~x + 3) dx
-2
Se f(x) = ~x + 3, entao 0 grafico de f e a reta esbo«ada na Figura
5.17. Pelo Teorema (5.19), 0 valor da integral e nurnericamente
igual a area da regiao sob esta reta de x = -2 a x = 4. A regiao
e urn trapezoide com bases paralelas ao eiXo-y de comprimento
2 e 5 e altura 6 no eixo-x. Aplicando a formula da area de urn
trapezoide, obternos
"
o proximo teorema afinna que as fun«6es continuas em
urn interValo fechado san integraveis. Este fato desempenha
papel relevante na demonstra«ao do teorema fundamental do
calculo na Se«ao 5.6.
A demonstra«ao do Teorema (5.20) pode ser encontrada
em texto.s mais avan«ados de cakulo.
4
I (!x+3)dx=~(2+5)6=21
-2
2
-
As integrais definidas de func;Oes descontinuas podem
existir ou nao, dependendo do tipa de descontinuidade.
Em
particular, fimr;i5es que tem descontinuidades infinitas em 11/11
illterva 10 fechado llao sao illtegraveis ai. A titulo de i1ustra<;ao, '
consideremos a fum;ao f definida por partes, com domfnio'
[0,2], tal que
0 se x = 0
fix) = 1
1
se 0 < x s 2
-
x
-
•
2
x
I _
X
+
= 00. Se M
;
O
e qualquer numero positivo (grande), entao no primeiro subin-
3 {-3; -2,7; -1; 0,4; 0,9; I}
tervalo [xo' x)] de qualquer partic;ao P de [a, b] podemos somar
urn numero WI tal que few)) > M/!ixp ou, equivalentemente,
4 { 1; 1,6; 2; 3,5; 4}
few)) &1 > M. Segue-se
que
existem
somas
de Riemann
Lk f(wk) Ii\ que san arbitrariamente grandes, e por is so limite
0
na Definic;ao (5.16) nao pode existir. Assim, f nao e integnivel.
Argumento semelhante vale para qualquer func;ao que tenha uma
descontinuidade infinita em [a, b]. Conseqiientemente,
se uma
fimc;ao f e integrtivel em [a, b1 elltao f e limitada em [a;b];
isto e, existe urn IIllmerOreal M tal que I f (x) IsM para todo x
em [a,b].
Como exemplo de uma func;ao descontfnua que e integravel, consideremos a func;ao definida por parte f, com domfnio
[0, 2] tal que
f(X)J4
lx
3
o grafico de f esta esboc;ado na Figura 5.20. Note que f tern
uma descontinuidade tipo saito em x = O. Pelo Exemplo 7 da
Sec;ao 5.3, a area sob 0 griifico de y = x3 de 0 a 2 e 24/4 = 4.
Assim,
pelo Teorema
mostrar que
I: f
(5.19),
I:
Exeres. 13-16: Use a Defini~ao (5.16) para expressar qda limite como uma integral definida no intervalo dado [a, b].
1 to; 1,1; 2,6; 3,7; 4,1; 5}
.
A Figura 5.19 e urn esboc;o de f. Note que lim f(x)
-1-·----.
.-
.'
Exeres.·1-4: as numeros dados definem uma parti9io Pde urn intervalo. (a) Determine 0 comprimento
de cad a subintervalo de P da parti.;ao. (b) Aehe a
norma II P II da parti~ao:
x3 dx = 4. Podemos
tambem
(x) dx = 4. Logo, f e integravel.
Acabamos de mostrar que uma func;ao que e descontfnua
em urn intervalo fechado pode ser ou nao integravel af. "Entretanto, pelo Teorema (5.20), func;6es que saD cOlltilluas em urn
intervalo fechado sao sempre integraveis af.
Exeres. 5-6: Seja P a parti~aode [1, 5] definida por
{I, 3,4, 5}. Ache uma soma de Riemann Rp para a
fun~ao dada f eseolhendo, em cad a subintervalo de
P, (a) 0 ponto extremo 11direita, (b) 0 ponto extremo
11 esquerda e (c) 0 ponto media.
2:
[2,3]
2:
[0,4]
14
Jim
n(w; - 4) ,uk;
IIpU-o k-!
15
2nwk (1 + wk3) Ii"k;
lim
IIPU-o k-!
16
lim
IIPII-o
n
2: (VW; + 4w
3
'
k) ,uk;
[-4, -3]
k-l
Exeres. 17-22: Dada
r. Yx = ¥ '
dx
calcule a inte-
gral.
7 Sef(x)=8-~x2
ePe
a parti~ao regular de
[0,6] em seis subintervalos, acheuma soma de
Riemann Rp de f eseolhendo 0 ponto medio de
4
1
18
nfVidx
4
cad a intervalo.
19
f Vi dt
20
1
8 Sef(x)=8-~x2
e Pea
parti~ao de [0,6]
f ..fS cis
1
4
4
1
4
4
f ,rx dx + f Vi
4
1
!
4
f Vi tix+ f Vi dx
4
f Vi dx
definida por to; 1,5; 3; 4,5; 6}, determine uma
soma de Riemann Rp de f escolhendo os numeros
21
1, 2, 4 e 5 nos subintervalos de P.
Exeres. 23-26: Expresse a area da regiao na figura como uma integral defmida.
tit
22
4
=x3 e Pea parti~ao de [-2; 4] definida
por {-2, 0, 1, 3,4}, ache uma soma de Riemann
Rp de f escolhendo os numeros -1, 1,2 e 4 nos
9 Se'f(x)
/i
subintervalos de P.
10 Se f (x) =,rx e Pea parti~ao de [1, 16] determinada por {I, 3, 5, 7, 9, 16}, ache uma soma de
Riemann Rp de f escolhendo
os numeros
1,4, 5, 9 e 9 nos subintervalos de P.
[£]11 Se f (x) = x 2,fcos x e Pea
parti<;ao regular de
[0,1] em 10 subintervalos, ache uma soma de
Riemann Rp de f eseolhendo 0 ponto media de
cada subintervalo de P.
[£]12 Se f(x) = sen(eosx) eP e a parti~ao de [-1,1]
determinada por, {-I; -0,65; -0,23; -0,51;
-0,85; I}, ache uma soma de Riemann Rp de f
escolhendo os numeros -0,75; -0,5; 0; 0,6; 0,9
nos suhintervalos de P.
'-I
L
.'-
!\
L f(w.)!:u. = L c 6x. = c L 6x. = c(b - a)
•
•
•
e verdadeira porque a so~a ~
(A Ultima igualdade
!:u
LJ.
•
ea
amplitude do intervalo [a, b}. ) Conseqiicntemente,
\f
f(w.)!:u.
- c(b - a)
II
= c(b - a) - c(b - a)
I~ 0,
e
que
menor do que qualquer numero positivo E, independenlemenle do tamanho de IIPII. Assim, pela DefinilSao (5.15),
comL=c(b-a),
L f(w.)!:u.
lim
I\PII-O
k
= lim
I\PI\-O
L c!:u = c(b - a)
k
k
Exercs. 27-36: Caleule a integral definida enearaodo-a como a area sob 0 grafteo de uma fun~ao.
5
27
3
f 6 dx
28
-I
2
29
f -3 (2x + 6) dx
30
f -2 4dx
f
32
f
34j
3S
J
2
(7.-3x)dx
(3 + v'4=7) dx
4
Ixldx
-I
o
.
J:
~dx.a>O
2
f(x)dx
do retangulo
e c(b - a).
,
36f
-2
b
Q
Note que se c> 0, entao 0 Teorema (5.21) concorda com
o Teorema (5.19). Conforme i1ustrado na Figura 5.21, 0 grafico
de f e a reta horizontal y = c, e a regiao sob 0 gTilfico de a a b e
urn retangulo com lados de comprimentos c e b - a. Logo, a area
-I
3111x-11dx
o
b
Q
J f(x)dx= J cdx=c(b-a)
(3..,.~)dx
-2
,
3
Calcular
.
J '7 dx
-2
Esta selSao conh~m algumas propriedades fundamentais da integral definida. As demonstralSoes sao, em sua maioria, diffceis, e
constam do Apendice II.
Se c e urn numero real, entao.
.. ;;.\:
.
'" ~:~ ":'
3
,I
J 7dx=7[3-(-2)]=7(5)=35
..'~; •.•
" J c'dx;;; c(b - Ii)" ,;
'"
.
Q
•
,I .. ~,'.,
•
'-",.
-2
<;.1'
.
.. -
.
Se c = 1 no Teorema (5.21), abreviamos
'x
Seja fa funlSao constante, defmida por f(x) = c pa~~'l'odo
em
[a, b]. Se P e uma partilSao de [a, b], ei)tao para todasomade
Riemann de f ,
segue:
b
J dx=b-'a
Q
0 inlegrando
'Olll()
Se uma fun<;ao f e integravel em [a, bJ e c e urn numero
real, en lao, pelo Teorema (5.11) (ii), podemos escrever uma
soma dc Riemann da fun<;ao cf como
b
fa [fl (x) + f2(x) + ... + f,,(x)J dx
b
2: cf(w t..\=c 2: f(WI)M
l)
b
b
=fa fl (x) dx + fa f2(x) dx + ... +~ f,,(x) dx
k
I
k
Pode-se provar que 0 limite das somas it esquerda da Ultima
equa<;ao e igual a c vezes 0 limite das somas it direita. Isto nos
da 0 proximo teorema, cuja demonstra<;ao ~c:. enco!ltra _np
Apendice]f.---~---------
2
f
c
o
2
x3dx=4
e f
e
Se f integravei em [a, bJ e c urn numero real arbitrario,
entao cf e integravel em [a, bJ e
xdx=2
0
2
.
(5x3 - 3x + 6) d,.
Use estes resultados para calcularJ
. 0
b
f
b
cf(x) dx = c f
a
f(x) dx
SOLuC;Ao
a
Podemos
Costuma-se
enunciar
0 Teorema
(5.22) como segue: Um
fator constante c do integral/do pode ser removido para fora do
sinal de il/tegra(;iio. Niio e permitido remover para fora do sinal
.
pro ceder como segue:
2
f
o
2
(5x3-3x+6)dx=f
2:
+ g(wk)J t..'l = k f(wl)
t..'l +
2:
k
Se f continua
e
Se f e g integraveis ern [a, bl, entao f + g e f - g sao
integniveis em [a, bJ e
(jlJ (f(x)+g(xl]dx=f
a
b
(ii) J
a
"Q
b
f(x)dnJ
b
[f(x) - g(xl] d, = f
a
g(x)d,
.
b
f(xl d, - J
a
g(x) dx
o Teorema (5.23) (i) pode ser eslendido a um numero'
arbitrario, finito, de fun<;oes. Assim, se f 1)2' ... , f" sao inte- .
graveis em [a, bJ, enlao tambem
0 e a sua
r
o
?
x3dx-3
xd,+6(2-
0)
0
soma e
em [a, bJ e f(x) ;;,0 para todo x em [a, bJ,
entao, pelo Teorema (5.19), a integral
f: f
(x) dx e a area sob 0
grMico de f de a a b. Da mesma forma, se a < c < b, entao as
integrais
f(x) dx e
f(x) dx sao as areas sob 0 grMico de
J:
f.'
f de a ace
de cab, respectivamente,
con forme ilustrado na
Figura 5.22. Como a area de a a b e a soma das duas areas
menores, temos
b
f
c
f(x)dx=f
a
b
6dx
g(wl) Mk
Se f e g sao integraveis, entao 0 limite das somas it .esquerda se
obtem somando os limites das duas somas it direita. Esta
propriedade
enunciada em fomla de integral em (i) do proximo
teorema. Para demonstra<;ao, ver Apendice II. Resultado analogo •
para diferen<;as consta de (ii) do teorema.
.
b
r
?
=5
Se duas fun<;oes f e g sao definidas em [a, bJ, entao, pelo
Teorema (5.11) (i), pode-se escrever uma soma de Riemann de
f + g como
';' [j(wl)
2
3xdx+f
000
de integral expressoes que envolvam variaveis.
.,.,
2
5x3dx-f
b
f(x)dx+f
a
f(x)dt
c
o proximo teorema mostra que a igualdade precedente e valida
sob uma hipotese mais gerai. A demonstra<;ao encontra-se
Apelldice II.
no
7
f
7
f(x) dx - J f(x) dx.
2
5
Em primeiro lugar permutamos os Iimites da segunda integral,
utilizando a Definic;ao (5.17); em seguida aplieamos 0 Teorema
(5.25) com a = 2, b = 5 e c = 7:
Se a < c < be se f e iniegravel tanto em [a, c) como em
[c, b), entao f integravel em [a, b) e
e
b-
,".
," '"
e
ff(;) dX ~ f
._
G
;"
.
c'
•
•
do Teorema
entre a e b.
b
se'J e g sao integraveis
em [a, b]e f(x) ~ g(x) para lodo
" :x: em [a, b),entao'
r
b
f(x)dx+f
c
f(x)dx,
•
Q
.
tcorema e uma generalizac;ao deste fato para func;6es arbitrarias
integraveis. A demonstrac;ao esta no Apendiee II.
Sc f iintegra~ei'
em ta, b) e f(x) ~ 0 para todo x em
' .. " ",:,
..·,L.'.J,'·
..
, [a, b), enta~
'
b
.-<I f(x) dx = ...J f(x) dx + I f(x) dx
a
Se f e g sac eontfnuas em [a, b) e f(x) ~ g(x) ~ 0 para todo
x em [a, b), entao a area sob 0 griifico de f de a a be no minimo
igual 11area sob 0 grafico de g de a a b. 0 corolario do pr6ximo
f(x) dx
c
•
f(x)dx=f
f(x)dx
7
2
Se a, b, c sao todos diferentes, entao ha seis maneiras possiveis
de dispor esses numeros. 0 teorema deve ser verifieado para
cada easo e tarnbem para os casos em que dois ou todos os tres
numeros sao iguais. Verificaremos
urn caso. Suponhamos
c < a < b. Pelo Teorema (5.24),
b
2
5
f(x) dx +f
c
5
C
b
5
f(x)dx+J
=J f(x)dx
Se f e integravel em'urn intervalo f~ehado e se a, b, c sa~
numeros arbitr~rios no intervalo, entao
b
7
f(x)dx=f
f(x) dx
o resultado seguinte e uma generalizac;ao
(5.24) ao easo em que c nao esta neeessariamente
f
J2
7
f(X)dx-f
b
f(x) dX+ f
Q
._-:--.
"f f(x)'dx=J
7
c
•
c
Pelo Teorema
f - g e integravel.
(5.23),
AJem disso,
011111
f(x) '" g(x), f(x), - g(x) '" 0 para todo x em [a, b). Logo, P'lo
Teorema (5.26).
A eonclusao do teorema deeorre agora do fato de que a
permuta dos limites de integrac;ao aearreta a troea de 'sinal da
integral (veja a Definic;ao (5.17»).
"r.
"','
b
'"
,
'
(f(x) - g(x)) dx '" 0
, Ap'licando 0 Teor;~a
"
(5.23) (ii) ehegamos 11conclus50 d's Jill \,
2
Mostre que
I (x + 2) dx«
2
-1
r
[a, b). Como f nao e uma fun~ao constante, m < f (x) < M para
algum x em [a, b]. Logo, pela observa~ao que precede este teorema,
'
(x -1) dx
b
b
b
I.mdx<1 .f(x)dx<1 .Mdx
-1
Aplicando
A Figura 5.23 exibe os graficos de y = x 2 + 2 e de y = x - l.
Como
v
0 Teorema
(5.21), observa-se
b x
.. __.
b.
m_(b:-_a)_<};;f-.(x) dx_<M(b - a).--------
1
--I
f(x) dx < f(v)
b- a •
b
feu) <
Suponhamos, no Teorema (5.26), que fseja continua e que, al6m
da condi~ao f(x)« 0, tenhamos fee) > 0 para algum e em
[a, b]. Neste caso, Iim._c f(x) > 0, e, pelo Teorema (2.6), existe
urn subintervalo [a', b'] de [a, b] no qual f(x) 6 positiva. Se
f(u) 6 0 minimo de f em [a', b'] (veja a Figura 5.24), entao a
area sob 0 grafico de f de a a b e no minimo Hio grande como
a area f(u) (b' - a') do retangulo figurado. Conseqtientemente,
f: f(x) dx
> O.Segue-se agora, como na demonstra~ao
>
Utilizaremos
decorre do teorema do valor interrnediario
numero z, com u < z < v, tal que
f(z)=-1
1
e f(v),
(2.26), que existe urn
b
b- a •
(X)dT
de (5.27),
que se f e g saD continuas em [a, b), se f(x)« g(x) em todo 0
[a,b],esef(x»g(x)
para
algum
x em [a, b), entao
f: f(x) dx f: g(x) dx.
Como [1/(b - a)]1: f(x) dx 6 urn numero entre f(u)
Multiplicando
ambos
concl usao do teorema.
os membros
por b - a chegaremos
11
este fato na demonstra~ao
do proximo teorema.
111111111" I da valor
11111 /f lIs
definidas
media para
(5.28)
Se f 6 continua em urn intervalo fechado [a, b], entao existe
urn numero z no intervalo aberto (a, b) tal que
o numero z no Teorema (5.28) nao 6 necessariamente
unieo; 0 que 0 teorema garante, entre tanto, e que existe ao menos
urn nllmero que da 0 resultado desejado.
b-
I.f(x)dT=f(z)(b-a)
o teorema do valor medio
geometrica interessante,
se f(x)«
admite uma jnterpreta~ao
0 em [a, b]. Neste caso,
0 gracieo
de f de a a b. Se tra~ar)llos
f: f (x) dx 6 a area sob
y
= lex)
Se f 6 uma fun~ao constante, entao f(x) = c para algum i16mero
c, e pelo Teorema (5.21),
b
I. f(x)dT=1.
~
"
(t'li
b'
b
x
uma reta horizontal pelo pontoP(z, fez)), conforrne Figura 5.26,
entao a area da regiao retangular delimitada por esta reta, 0 eixo-x
e as retas x = a ex = b 6 fez) (b - a); tal area, de acordo com 0
Teorema (5.28), 6 a mesma area sob 0 grafico de f de a a b.
b
edT=e(b-a)=f(z)(b-a)
para todo numero z em (a, b).
Suponhamos em seguida que f nao seja uma fun~ao constante
e que Tn e M sejam os valores minimo e maximo de f em
[a, b]. Sejam feu) = III e f(v) = M para u e v em [a, b]. (veja a
Figura 5.25 para 0 caso em que f(x) e positiva em to do 0
Decorre dos resultados
da Se~ao 5.6 que
numero z que satisfa<;a a conclusao
(5.28) para esta integral definida.
f:
x 2 dx = 9. Ache urn
do teorema do valor m6dio
Isto mostra que podemos encarar 0 numero f(z) no teorema do
valor medio (5.28) como urn limite de medias aritmeticas dos
valores funcionais f(wt). f(w), ...• f(x.>. quando I! aumenta
o grafico de f (x) = X 2 para 0 s x s 3 esta esbo9ldo na Figura 5.27.
Pelo teorema do valor medio, existe wn numero z entre 0 e 3 tal que
sem limite. Esta e a motival<ao para a pr6xima definil<ao.
3
fo x dxmf(z)(3-0)mz (3)
2
2
Seja f contfnua em a. b
f
0 valor medio
de f em
m
[a. b] e
fm=-b
As soluc;Oes da ultima equal<aO SaD z = :t- /3 mas -/3nao est a
em [0,3]. 0 numero z = /3 satisfaz a conclusao do teorema.
1
b
-a
a
-f f(x)dx.
.'
Note que. pelo teorema do valor medio
definidas, se f e continua em [a, b], entao
Se considerarmos a reta horizontal por P(/3. 3), entao a
area do reHingulo delimitado por esta reta. 0 eixo-x e as retas
x = 0 ex- 3 sera igual a area sob 0 grafico de f de x" 0 a
x = 3 (veja a Figura 5.27).
para integra is
3
Dado
1a e bastante conhecido 0 significado da expressao media
aritmetica usada em estatfstica para representar urn conjunto de
numeros. Assirn, a media aritmetica de dois numeros a e b e
(a + b)/2, a media aritrnetica de tres numeros a.ln e e
(a + b + e)/3 etc. Para evidenciar a relal<ao entre medias aritmeticas e a palavra media usada no teorema do valor medio.
escrevamos a conclusao de (5.28) como
-
_1_J
f(x) dx
b -a
Jo x dx 9, determine
2
0 valor medio de fern
=
[0.3].
.
Pela Definil<ao (5.29), com a = O. b = 3 e f(x) =x2•
f
1
1
=-I
x dx=9=3
3-0
3
3
m
2
0
b
f(z) =
a
,
No intervalo [0,3]. os valores funcionais f(x) = x2 variam d'
f(O) ~ 0 a f(3) m 9. Note que a funl<aO f toma seu valor 111 dill
3 para 0 numero z = /3.
,
'
e expresseinos a integral definida como urn limite de somas. Se
particularizarmos a Defmil<ao (5.16) usando uma partil<ao regular
P com n subintervalos. entao
para
qualqu~r
numero'
wk no
k.mo subintervalo
Ax = (b - a)/l!. Como Axl(b - a) m 1/n. obtemos
de P e
2
4
If
5<1x
f 3th
3
f
-3
<Ix
4
5
f
f(z)-lirn
"-CO
f(W1)
[
+ f(w,)
n
+ ... + f(W)]
n
1
1
<Ix
-I
4
2
1
6
f l00th
8
2
f (6x-I)d\
1
2
Exercs. 7-10: Decorre dos resultados na Se~o 5.6
que
4
6
-2
4
4
I x2th=21 ef xth-ll
4
9
I (2 - 9x - 4x 2) dx
1
Excrcs.1l-16: Verifique a desigualdade sem calcuI~r as integrais.
2
2
(3x2+4)dx
11 f
(2x2+S)dx
~ f
I
3
1
4
<a) Aehe urn numero z que verifique a conclu- :
sao do teorema do valor media (S.28). (b) Ache a .
valor media de f em [a, b].
.
2
4
l2f
(2x+ 2) dx sf
(3x+l)dx
I
1
-1
f o 3x d:x = 27
23
f
25
4
f (x -6x+8)dxsO
24f
-4
3
-dt_2
x2
Esta se<;ao con tern urn dos mais importantes teoremas do calculo.
Alem de ser util no c~lculo de integra is definidas, ele evidencia
a rela<;ao entre derivadas e integrais definidas. Este teorema,
apropriadamente chamado teorema fundamental do ealel/lo, foi
descoberto independentemente
por Sir Isaac Newton (16421727) na Inglaterra e por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
na Alemanha. E ern raZao dessa descoberta simultanea que se
alribui a ambos a inven<;ao do calculo.
4
I
(x2+ l)dt=6
-2
2
13
3
2
-I
4
f (5x -x+
2
14
2
l)dt '" 0
8
.
f 3vx + I dx = 54
27
f o (l + sen x) dx '" 0
f
f e continua
(2+3Vx)dx=20
I
integravel
-n13
J(x) dx + f
f(x)
5
-3
I
4
f(x)
usando as resultados da Se~ao 5.6. Use a metoda de
Newton para aproximar, com tres dccimais, urn
numero z que satisfa<;a a conclusao do teorema do
valor media (5.28).
dx + f
f(x)
dx
31
d-c
f
3
-2
,I
c
n/4
c
e
19f J(x)doff(x)dt
32
6
f(x)dx
-2
J(x)dx-f
J(x) dt - {
f(x)
(1 - eos 4x) dt -12+ 8
b
Como ilustra<;ao especifica, consideremos f(/) = t3 com
a = 0 e b > 0 (veja a Figura 5.29). No Exemplo 7 da Se<;ao 5.3
mostramos que a area sob 0 grafico de f de 0 a b e ~ b 4. Logo,
b
f(x)
do
g(x) dt
df
a
a
a area de 0 a x
dx
d
23-20:
Para obter uma interpreta<;ao geometrica de G (x), suponhamos que f(t) '" 0 para todo t em [a, b]. Ve-se, neste caso"'pelo
Teorema (5.19), que G(x) e a area da regiao sob 0 grafico de
f de a a x (veja a Figura 5.28).
V3
1t
a
c
c
n/6
Pode-se
verifiear
a integral
If:J(X)dt
I
sf:
f J(x) dx usando as resultados
da Se~ao 5.6.
(Sugesliio:
e
If(x)ldt
/.
'"
dl
+ 3x - I) dx = 132,5
[cJ(x) + dg(x)] dt = c f
f
f(x)dx
c'
Exercs.
f e
define uma fun<;ao G com dominio [a, b], pois, cada x em
[a, b], corresponde urn tinico numero G(x).
•
b
h
r·•.h
Z2 {'
(5.20),
a
33 Sejam J e g integ:nlveis em [a, b]. Se c e d sao
reais arbitrarios, prove que
2
J(x)rL-c-f
-2
f
G(x) = {f(t)
.
(&t3
6
.Wf
em [a, x]; portanto, pelo Teorema
em [a, x]. Conseqiientemente,
a formula
@] Exeres. 31-32: Pode-se verifiear a integral dada
5
;\
J: f(t) dt. Se fe contmua em [a, b] e a sx s b, entao
a bpor
30f
1
(see x - 2) dx s 0
17 f
21f
Para evitar confusao no que segue, usaremos t como
variavel independente e denolaremos a integral definida de f de
=
3
-2
4
(4x3-1)d:x=14
nI3
I
IK f
f-' xJL dx -3
2
29f
Iii
28
-1
2a
15
(3x2-2x+3)dx-32
26 f
-I J(x) I s f(x)
s
Isto nos da uma forma explicita
Note que, nesta ilustra<;ao,
If(x) I·)
para a fun<;ao G se f (t) = t 3.
Assim, pela Defini<;ao (5.1), G c uma antiderivada de f Este
resultado nao e acidental. A parte 1 do proximo teorema
evidencia 0 falo notavel que, se f e qualquer fun<;ao conlinua e
a = 0
Figura 5.29
G(x) =
s:
f(t) dl, enlao G e uma antiderivada de f· A parte II
do teorema
mostra
b
achar
0 valor
de
como
utilizar
fa f(x) dx.
qualquer
antiderivada
para
Teorema fundamental
calcufo (5.30)
do
$)Jponhlimos fcontfnua
em urn inte~alo
fechado [a, b].
G(x+ 11)- G(xL
G(x) =
,
f(t) dt
X+h
[a, b], entao G e uma antiderivada de f em
.i [a; b] ..··.;·:,,·j·,····,
.
f
i. >
.•:".
:;,':.
__,
".",
G(x + 11)- G(x) = fez)
..
:~.:,:"":;':"~,'
J jix)'dx=F(b)
.'
,
:
h
':,
, . b
, ~.
f(t) dt = f(z)1I
x
P,arte II Se F e qualquer antiderivada de fern [a, b], entao
'.'jTln
x
Se /z > 0, entao, pelo teorema do valor medio (5.28) existe um
numero z no intervalo aberto (x, x + 11) tal que
l.
para' todo'xem'
;;'··/:;y·"':I·:
1. {+h f(l) dt
II
/z
Il
-F(a)
.,
"...
Para estabelecer a Parte I, devemos mostrarque
[a, b}, entao G' (x) = f(x); isto e,
h-O+
lim G(H 11)- G(x) = f(x)
.
11
Antes de darmos uma demonstra<sao formal, consideremos
alguns aspectos geometricos deste limite. Se f(x) •• 0 em todo
la, b], entao G(x) e a area sob 0 grafico de f de a a x, conforme
ilustrado
na Figura
5.30. Se 11 > 0, entao a diferen<sa
G(x + h) - G(x) e a area sob 0 gTiJ.fico de f de x a x + h, e 0
numero h e a amplitude do intervalo [x, x + 11]. Mostraremos que
fez)
algum numero z entre x e x + 11. Aparentemente,
se
11--+ 0, entao z --+ x e fez) --+ f(x), que e 0 que queremos provar.
para
Os dois \imites unilaterais
G'()
X
G(x + 11)- G(x) =f
.
'.
.
f(t) dt- f f(t) dt
Q
f(t)dt+ff(t)dt
•
=
f
r
G(x+ h) - G(x)
=h~O
11
Para provar a Parte II, seja F uma antiderivada dc f e s 'jll
G a antiderivada especifica defmida na Parte L Pelo TeorcllI \
(5.2) sabemos que existe uina con stante C tal quc
{f(t)dt=F(X)+C
.x
para
J:
todo x em [a, b]. Fazendo
f(t)dt=O,
obtemos
x = a c considcrallclll
O=F(a)+C,
ou C=-F(a).
qiientemente,
Hh
f(t)
x
f(x)
x
x+h
=f
precedentes imp\icam que
Isto completa a prova da Parte L
Daremos agora uma prova rigorosa de que G'(x) = f(x).
Se x e' i + 11 estao em (a, b], entao, usando a defini<sao de G
juntamente com a Defini<sao (5.17) e 0 Teorema (5.24), temos
x-t h
h-O+
lim G(x + h) - G(x) = f(x)
h-oh
h-O
G(x+1I) - G(xL
11
= lim fez) = f(x)
lim G(x + h) - G(x)
·11
se x esta em
dt
f: f(t) dl = F(x) - F(a)
11"1
'OIlNt
Como is to e uma identidade
substituir x por b, obtendo
para todo x em
Vma antiderivada de 6x2 -5 e F(x) = 2x3-5x.
Corolario (5.31), obtemos
b
fa f(t) dt = F(b) - F(a)
Substituindo
Aplicando
0
a variavel t por x, temos a conclusao da Parte II.
denotar a diferen<;a F(b) - F(a) por F(x)];
Costuma-se
por [F(x)];
A parte II do teorema
enunciar-se
como segue.
Se f e continua
entao
em [a,b]
fundamental
ou,
= [54 - 15] - [-16 +10] = 45
e F e uma antiderivada
de f,
Note que, us an do F(x) + Cern lugar de F(x) no Corolario
(5.31), chegamos ao mesmo result ado, pois
b
f
= [2(3) 3 - 5 (3] - [2(-2) 3 - 5 (-2)]
pode entao'
f(x)dx=F(x)]:=F(b)-F(a)
a
b
[F(x) + C]a = F(b) + C] - [F(a) + C]
A formula do Corolario (5.31) tambem
Se a > b, entao, pela Defini<;ao (5.17),
b
f
e valida se a ~ b.
b
= F(b) - F(a) = [F(x)]a
a
f(x) d •• =
a
-f f(x) dx
b
= - [F(a) - F(b)]
=F(b) -F(a)
s:
b
f(x)dx=
O=F(a) -F(a)
o corolfuio (5.31) pennite calcularmos facilmente uma integral "
definida, desde que saibamos achar uma antiderivada do integrando.
Por exemplo, como uma antiderivada de Xl e x4 temos
±
Os que ainda duvidem da importiincia do teorema fundamental
devem comparar este calculo assaz simples com 0 calculo do .
limite de somas no Exemplo 7 da Se<;ao 5.3.
3
Calcular
f (6x
2
-2
-
5) dx
fa f(x) dx= [ff(X)
b
dx].
o Teorema (5.32) afirma que uma integral definida pode
ser calculada por meio do calculo da integral indefinida conespondente. Tal como em casos anteriores, ao utilizarmos 0
Teorema (5.32) e desnecessario
acrescentar a constante de
integra<;ao C da integral indefinida.
Determine a area A da regiao entre 0 gnlfico de y = sen x e 0
eixo-x de x = 0 a x = It.
A regiiio esta delineada na Figura 5.31. Aplicando
(5.19) e (5.32) vem:
os Teoremas
A ~I: sen x dx ~ [I sen x dx] :
~ [-cosx(
Comec;amos por modificar a forma do integrando, de modo que
possamos aplicar a cada termo a regra da potencia. Assim
o
=-(-1)+1=2
Pelo Teorema (5.32), podemos utilizar qualquer f6rmula
de integrac;ao indefinida para obter uma formula para integra is
definidas. Como ilustrac<ao, utilizando a Tabela (SA), obtemos
I.b x' dx [Xr+I)b
r + 1. se r). -1
= [~(4)2_~
=
b
_[.L ±
b
I. sen x dx [-cosx].
=
b
236
.
•
2
I (x + 1) dx
3
2
-I
Desenvolvemos primeiro 0 quadradodo integrando e, em seguida, aplicamos a'cada termo a regra da potencia:
2
I
o metodo da substituic;ao estabelecido para integrais indefinidas pode tambem ser usa do para calcuJar uma integral
definida. Poderfamos aplicar (5.7) para achar uma integral
indefinida (isto e, uma anliderivada) e em seguida 0 teoreli1a
fundamental do calculo. OUlro metodo, as vezes mais rapido,
consiste em mudar os lirnites de integrac;ao. Utilizando (5.7)
juntamente com 0 teorema fundamental, obtemos a seguinte
formula, com F' = f:
L
b
I.
2
(x3+1)2dx=I
-16) = 259
b
f sec2xdx=[tgx]
Calcular
(4)3/2 _.~~]_
b
f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))
(x6+2x3+1)dx
-I.
-1
g(b)
F(g(b»-F(g(a»=F(ul]g{)=
7
24
= 2-.+2.-+2
4
[ 7.
) -
[i=!l2
+2 ~7
4
+(-1) )
.
•
• g(b)
I
g(.)
b
..~e .u.=-g(x) •.en!ao I
a
f(u)du
g(b)
f<8(x»g' (x) dx =
Ig{.l f (u) du
o Teorema (5.33) afirma que, apos fazer a substiluic; 0
Calcular
II 5x - 2 vx + x32) dx
4 (
.
3
u = g(x) e du='g'(x) dx, podemos utilizar os valores de g lIlI
correspondem a x = a ex = b, respectivamente, como limiles dll
integral que envolve u. E, pois, desnecessario vollar a vorl6v ·1
original x apos integrar. 0 proximo exemplo iluslra estu l~ nl I.
Calcular
to
f
2
3
-ISx -1" dx
o integrando
sugere
a regra da potencia
J.b 1I3 dll
= [~ 1I4]:
Fazemos assim
A forma de dll indica
inlegrando e multiplicar
1
10
3J --dx
2
-ISx-1
que devemos introdu2:ir 0 fator 2 no
a integral por ~ • como segue:
n/4
fo (1+sen2x)3cos2xdx=~f
n/4
(1+sen2x)32cos2xdx
0
Calculamos em seguida os valores de II = 1 + sen 2x que conespondem aos limites de integrac;ao x = 0 e x = rr/4:
A forma de dll sugere introduzirmos 0 falor S no integrando.
compensando pel a multiplicac;ao da integral por
como segue:
i.
(ii) Se x = ~, entao
to
1
3
to
II
= 1 + sen ~ = 1 + 1 = 2
1
3J2 --dx=-J
--Sdx
-ISx-1
S 2 -ISx-1
Calculamos em seguida os valores de 1I = Sx - 1 que correspondem aos limiles de inlegrac;ao x = 2 ex = 10:
Subslituindo
obtemos:
no integrando
e mudando os limites de integrac;ao,
1t/4
f o (1 + sen 2t) 3 cos 2x d, =!J
2
Substituindo na integral e mudando
conforme Teorema (5.33), vem
10
1
3
1
to
3
n/4
Calcular
49
1
9
Vll
-J
S
113 dll
J
os limites de integrac;ao
3J2 --dx=-J
--Sd,
Y5X="T
S 2 -ISx - 1 =
2
-TCC
3
dll =
o leorema seguinte ilustra uma tecnica ulit para 0 calculo
de certas integrais definidas.
49
-sf 9 lI-lf1du
f o (1 + sen 2,) 3 cos 2, dt
Seja f contfnua em [-a, aj
I
(i) Se f e uma funl{ao par,
f (x4 + 3x2 + 1) dx
(3)
I
f (x +3x +x)dx
5
(b)
3
1
-I
5
J (2x + 3x + 7x) dx
(c)
2
3
-5
{
....
f(x)dx~O
.
(3) Como 0 integrando e uma fun<;ao par, podemos
Teorema (5.34) (i):
aplicar 0
Demonstraremos (i) Se f e uma funl{ao par, entao 0 grafico de
f simetrico em rela<;ao ao eixo-y. Como caso especial, se
f(x)." 0 para todo x em [0, aj, temos uma situa<;ao analoga a
Figura 5.32, e daf, a area sob 0 grafico de x = -a a x = a IS duas
vezes a area de x = 0 a x = a. Isto nos da a formula de (i).
e
Para mostrar que a formula e valida se f(x) < 0 para algum
x, procederemos como segue. Usando sucessivamente 0 Teorema
1
f. (x5+3x3+x)dx=0.
(5.24), a Defini<;ao (5.17) e 0 Teorema (5.22), tern os
•
0
•
-Q
0
f f(x) dx f f(x) dx + f f(x) dx
=
-a
=-
-I
(c) A funl{ao dada por 2x3 + 7x e fmpar, mas a fun<;ao 3x2
par; aplicamos pois 0 Teorema (5.34) (ii) e (i):
I....
f(x)dx+ / f(x)dx
o
..
5
=J ...•f(x)(-dx)
o
{
f(x)dx=J
~
3
5
2
5
+/ f (x) dx
0
.
0
Se, na primeira integral a direita, fazemos u = -x, du = -dx e
observamos que u = a quando x = -a, obtemos
f(X)dx={f(u)du+/f(x)dx
...•
0
0
As duas ultimas integrais 11 dire ita san iguais, pois as variaveis
san varitiveis mudas, e assim,
.
A tecnica de defini<;ao de uma fun<;ao por meio de 11111 I
integral definida, como na Parte I do teorema fundamcIIlll1 1111
calculo (5.30), tenl uma aplical{ao muito importantc no lip 111\0
7, quando estudiumos fun<;6es logarflmicas. Record ·1l10~, II
(5.30), que se f e contfnua ern [a, bj e G(x) -
f(x)dx=Z{
...•
0
f(x)dx
f f(l) tll
11 1111
a
a s x s b, entao G e uma antiderivada
de f;
INlo
D G(x) = f(x).Este
fato pode ser enunciado sob foll111 I II
x"
{
5
3
2
5
...•f(-x)(-dx)+/f(x)dx
0
{
5
J_ (2x + 3x + 7x) dx = J_ (2x + 7x) dx + f_ 3x dx
0
".
!.•!
integral eomo~segue:
Dz
f.
f(l) dl = J(x)
Pela Defini~ao (5.29), com f ~ v,
Seja f continua em [a,.b]. Se as c s b, en lao, para todo
x em[a,b)!
'
1
~-f
v(t)dt
b-a
•
b
v
m
f(r) dt ~ f(x)
Dz {
c
Se sea fun~ao posi~o de P, cntao s' (t) ~ v(t); ou seja, s(t) e uma
antiderivada de v(t). Logo, pelo teorema fundamental do calculo,
f. v(t) dt ~ f. s' (I) dt s(t) • ~ s(b) - s(a)
b
b
] b
=
Dx
s:
f(t) dt ~ Dx [F(x) -F(c))
~ Dx F(x) - DT F(c)
= f(x)
v
= s(b)
m
- 0 ~ f(x)
f -1t dt ex> 0, calcule G' (x)
- s(a)
b- a
z
Se G(x) ~
Resultados analogos ao do Exemplo 9 ocorrem no estudo da
acelera~o media, do custo marginal medio, da renda marginal media,
e muitas outras apliCa~6es da derivada (veja os Exercfcios 45-40).
I
Aplicarcmos 0 Teorema (5.35) com c ~ 1 e f(x) ~ l/x. Se escolhermos a e b tais que 0 < a s 1 s b, enlao f sera continua em
[a, b). Logo, pelo Teorema (5.35), para todo x em [a, b),
4
1
1
f -dt~t
.T
G'(x)=D
x
1
J (xl- 4x - 3) dx
I
X
I
2
I
3
-2
(5 + x - W) dr
12
L-. (x--)x dx
-I
3
Ern (5.29) definimos
0 valor
media
f m de uma fun<;ao f
-2
(8?+3z-1)dz
12
5
em [a, b) como:
I
l
J dx
7
4!
6I
(Z4 -
o
20
2?) dz
21I
-I
8dx
6
5
-3
lx-41th
-I
1
=-f
f(x)dx
b-a •
2
b
m
o proximo exemplo indica por que esta lerminologia
ern aplica~6es.
7
5
II -;,dr
.
-6
4
f
22II2.<-3Idx
23J
4
Sf ~dx
~dr
I
24!
V2r-l
dx
I
I
e adequada
,I !..::l. dr
9
8
11
13
I
I- 2rr- 7 dr
2
3
_I
l
I (i{7 + 2) ds
-8
Suponha que urn ponto P em rnovimento sobre uma rcta
coordenada tenha uma fun~ao velocidade continua v. Mostre que
o valor medio de v [a, b) e igual a velocidade media durante 0
intervalo de tempo [a, b).
10
4V1
Io SLellS - vs) ds
27
I -_I-dr
(3 _ 2.<)2
29
II ,fX(,fX1 + 1)3
31
t
l
12
I
0
26I
o
28I
.~dr
o vxl+9
4
I
o
(2.<+ 3)2 dr
-1
IS! xl-I dr
l x - I
2
14
4
J (4x-
5 -
5x4) dx
1
nJ2
r
I
30
Io (3 _x
32
Io 3 sen (~x) dr
4)3 x3 dr
nJ2
cos (ix) dr
v2
~dl'
-2 (IT -2)
33
f
;</3
nl4
'5.7 INTEGRA<;Ao NUMERICA
que vm = ~ Yo'
nl4
34f
(b) Se Vo e a velocidade')oa superffcie, mostre.
(4 sen 28 + 6 cos 38) d8
(l-cos48)d8
f
35
nl6
nl6
(x + sen 5x)dx
-nl6
36f;</3 ~dx
o cos2 X
Exercs. 37-40: (a) Ache urn numero z que satisfa~a
a conc\usao do teorema do valor medio (5.28) para
b
a integral dada
f. fIx) dx. (b) Determine
48 No circuito eletrico exibido na figura, a corrente
alternada ] e dada por ] ~ JMsen WI, onde I e 0
tempo e ]Mea corrente maxima. A taxa P na qual
o calor e produzido no resistor de R ohms e dada
por P ~ ]2R. Calcule a taxa media de produ~ao
de calor sobre urn cicio completo (de t = 0 a
I = 2Jc/w). (Sugestiio: Use a formula da metade do
angulo para 0 seno.)
0 valor
Para calcular
uma integral
definida
J: f
(x) dx por meio
do
teorema fundamental do dlculo, necessitamos de uma antiderivada de f. Se nao pudermos achar essa antiderivada, devemos
entao recorrer a metodos numericos para aproximar a integral
com a precisao desejada. Por exemplo, se a norma de uma
particsao de [a, b] e pequena, entao, pela Defini<sao (5.16) a
integral definida pode ser aproxirnada por qualquer soma de
Riemann de f. Em particular, com uma particsao regular com
6x = (b-a)/n, enlao
medio de f em [a, b].
b
4
37
39
f
o
f o .~dx
vx2 + 9
38
f. ¥;;4dx
40t
-2
f f(x)dx-
3
YX+Tdx
a
onde Wk e urn numero arbitrario no Je:'" subinlervalo [xk_l'
2
o
V6-xdx
49 Deixando-se cair uma bola de uma altura de So
!.
41 Dx
43 D
x
vx2+ 16 dx
42 Dx
o
f.
_1_ dl
01+ I
44 D
x
l
o
xVx2 + 4 dx .
f. .~dl'
vI - r
0
2:f(wk)6x,
k .•• l
Ixl < 1
45 Urn ponro se move em uma reta coordenada com
fun~ao acelera~ao continua a. Se ve a velocidade,
entao a acelera~iio media em urn intervalo de
tempo [11.12] e
metros acima do solo, e desprezando-se a resisten cia do ar, entao a distancia que a bola percorre
em I segundos e de 4,9 12 m. Use a Defini~ao
(5.29) para mostrar que a velocidade media para
o percurso da bola ate 0 solo e de 4
m/s.
Vi;;
50 Urn meteologisla estabelece que a'temperatura
T (em oF) em urn dia de invemo e dada por
T = t (t - 12)(t - 24) onde I e 0 tempo (em
ii
envolvido na aproxima<siio e numericamenle 0 mesmo que a area
da regiao sob 0 grafico de f e acirna dos retangulos inscritos.
Fazendo
wk = Xk"1
46 Se uma fun~ao f tern derivada continua em
[a, b], mOSlreque a taxa media de varia~ao de
f(x), em rela~ao a x em [a, b] (veja a Defini~ao
(3.4» e igual ao valor medio de f' em [a, b].
47 A distribui~o vertical da velocidade da agua em
urn rio pode ser aproximada pOTv = c(d _ Y )U6,
onde ve a velocidade (em m/s) a uma profundidade de y metros abaixo da superffcie, d e a
profundidade do rio e c e uma constanle positiva.
(a) Estabele~ uma formula para a velocidade
media "m em termos de d e c.
Dx
f
f
f(t) dl = f(g(x»g'(x)
[X _1,
k
no ponlo
xk]), entao
= Xk (iSIO e, se f e calculada no ponto direito extr '1110
Fazendo
W
de [Xk_1,
xk]), entao
k
2:f(xk_,)6x
t.ol
g(x)
f(t) dl = f(g(x»g'(x)
- f(k(x»k'(x)
k(x)
Exercs. 53-56: Use os Exercfcios 51 e 52 para
achar a derivada.
t
. r:-r-;; dl
2 vr + 2
1
x'
53 Dxf
a
g(x)
a
e, se f e calculada
b
I f(x)dx-
51 Se.g e diferenciavel e f e conlinua para todo x,
prove que
Dx
(ist~
esquerdo extremo de cada subintervalo
hOTas)e t = 0 corresponde 11 meia-noite. Ache a
temperatura media entre 6 h da manha e meio'dia.
Mostre que a acelera~o media e igual ao valor
medio de a em [11' t2].
xk]da
particsao. Naturalmente, a precisao ~a aproximacsao depende da
natureza de f e da magnitude de 6x. Pode ser necessario fazer
6x muito pequeno para obter 0 grau desejado de precisao. Isto, por
sua vez, significa que II e grande e que a soma precedente contem
urn grande numero de termos. A Figura 5.5 ilustra 0 caso em que
f(wk) e 0 valor minima de em f em {Xk_l, Xk). Neste caso 0 erro
55 Dx /
(~
3x
+ 1)10 dl
Pode-se obter outra aproximacsao em geral mais prcci~a 11111111111
do-se a media das duas ultimas aproxima~6es - isto
~[~I
3
f o ~dt
X
!(Xk_l) 6x+~/(Xk)~]
54Dx
56 Dx
t
IJx
'.
y-'1-4-+-r-+-4 dl
a;m
.
. I
ex~csao de f(x)
e f(x),
cada valorfuncional
I( .) Ilpllllll
. duas vezes e assim podemos escrever a ultima expr
R 0 l'OIlIIl
6x
2 f(xJ +
[
A
n-
1
]
Estimativa do erro na regra
do trapezio (5.37)
2f(x.) + f(x)
Seja·· f continua em [a, b]. Definindo-se uma partic;ao
iegularde [a,~] pora =xo>x1, ••• xn = b entao
b
.
b'..;'a ;: .... :..:
fa f(x} dx ~7;;
[f(xo} + 2f(xl} + 2 f(x)
+ ... + 2f(xn_l)
+
Use a regra do trapezia com Il = 10 para obter uma aproximac;ao
J
d e 21dxE'
-
+ f(xn}]
1
x
.
.,
.
stlme 0 eITOmaXImo na aproxlmac;ao.
o termo trapezoidal provem do caso em que f(x} e
nao-negativa em [a, b]. Conforme ilustrado na Figura 5.33, se
p. eo ponto com coordenada-x x. no grafico de y = f (x), enlao,
Convem dispor nosso trabalho como segue. Cad a f (x.) foi obtido
para cada k= 1,2, ... ,n, os pontos do eixo-x com coordenadas-x x'_1 ex. juntamente com p._1 e p. ' sao vertices de um
corn uma calculadora e a precisao e de nove casas decimais. A
coluna III con tern 0 coeficiente de f(xk) na regra do trapezio
(5.36). Assim, III = 1 para f (x) au f (x) e Ill."" 2 para os restantes
trapezoide
!(xk)·
Xo
Xl
Xz
~f!x
~k-I
Xl
•...•
-
A soma das areas desses trapezoides e a mesma que a soma na.
Regra (5.36). Logo, em terrnos geometricos, a regra do trapezio
nos da uma aproximac;ao da area sob 0 grafico de f de a e b por
meio de trapezoides em lugar de retiingulos associados as somas
de Riemann.
o proximo resultado nos informa sobre 0 eITOmaximo que
pode ocorrer ao utilizarrnos a regra do trapezio para aproximar
uma integral definida. Omitimos a demonstrac;ao.
1,000‫סס‬OO00
1,000000000
0,909090909
1,818181818
0,833333333
1,666666666
0,769230769
1,538461538
0,714285714
1,428571428
0,666666667
1,333333334
0,625‫סס‬OO00
1,250000000
0,588235294
1,176470588
0,555555556
1,111111112
0,526315789
1,052631578
0,500‫סס‬OO00
0,500000000
A soma dos niimeros na ultima coluna e 13,875428062.
Como
b- a
2 - 1 = 120
7;; = 2(10)
decorre de (5.36) que
f: ~
dx ~ ;0 (13,875428062)
~ 0,693771403
Pode-se estimil[ oerro na aproxima,.ao por meio de (5.37).
Como f(x) = l/x, temos f'(x) = -1/x2 e 1" (x) = 2/x3• 0 maximo
de f"(x) no intervalo [1,2] ocorre em X= 1, porque f" e uma
fun<;ao decrescente. Logo
Como as coordenadas
de Po (-h'Yo),PI(O,y),eP2(h,y2)
san
solu<;6es de Y = (X2 + dx + e, tern os, por substitui,.ao
Yo = eh2 -dh+e
If" (x) I s (1~3 = 2
Y1 =e
(5.37) com M = 2, vemos que 0 erro maximo
Aplicando
nao supera
Y2 = eh 2 + dh + e
2(2-l)3 __ 1_
12(10)2 - 600 < 0,~2
No Capitulo 7 veremos que a integral no Exemplo 1 e igual
ao logaritmo natural de 2, denotado por /11 2, que e igual a
0,693147181 com 9 decimais. Para obtermos est a aproxima,.ao
pela regra do trapezio, necessitamos de urn valor muito grande
de II.
A regra seguinte costuma ser mais precisa do que a regra
do trapezio.
'"I
b
.'
..
f. f(x)dx-
horizontalmente
os pontos po. P, e P2, con-
XI - Xo = x2 - XI'
r
Sejam
continua 'em [a, b] e II urn inteiro par. Definida
uma parti<;iio regular por a =xo'xl, ••• , x. = b, entao
.
Transladando
forme ilustrado na Figura 5.35, a area sob 0 grafico permanece
a mesma. Conseqiientemente,
a f6rmula precedente para A C
verdadeira
para quaisquer
pontos Po' PI e P2 desde que
. Se f(x) '" 0 em [a, b], entao a regra de SinJpson se oblCm
considerando a integral definida como a area sob 0 grafico tic
f de a a b. Seja, pois, II urn inteiro par, eh = (b - a)/II. Dividamos
[a, b] em II subinterval os, cada urn de amplitude h, escolhendo
nurneros a =xo' xl' ... ,x. = b. Seja Pt(xt,yt) 0 ponto do grMico
.
b·
~a
[f(xo) + 4f(xl) + 2f(X2) +.4f(X3) + ...
de f com coordenada -X, xk' conforme iluslr~do na Figura 5.36.
A ideia por tnis da prova da regra de Simpson e que, em
lugar de utilizar trapez6ides para aproxirnar 0 gr:\fico de f,
utilizamos
por,.6es de gnificos de equa<;6es da forma
Y = (X2 + dx + e, com e, de e constantes; ou seja, utilizamos
por,.6es de parabolas ou retas. Se Po (xo' Yo), PI (Xl'yl),
e
P2 (x2, Y2) sao pontos da parabola tais que Xo < XI < x2, entao
levando
em conta
as coordenadas
de Po, PI e P2,
respecti-
vamente, na equa<;ao Y = ex 2 + dl: + e, obtemos tres equa<;6es
que podem ser resolvidas em rela<;ao a e,d e e. Como caso
especial, suponhamos h, Yo,YI e Y2 positivos, e consideremos os
pontos Po(-h ,yO>, PI(0, Y), e P2(h, y2), conforrne
Figura 5.34.
ilustrado
na
~
Se 0 area por PO'p1 e I!2
e aproximado pelo gnlfieo de Uni<
equa~aoy ='cx2 + dx + e, entao, comovimos,
de f de Xo a x2 aproximada por
e
Se utilizarmos
0 arco
..
'.
por P2, P3 P4, entao a area sob 0 griifico\
de f de x2 a x4 sera aproximadamente
Continuamos
~.
a area sob 0 griifico,
0 proccsso
.
..'
ate atingirmos 0 ultimo terno de pontos .
correspondente
da area sob o·
Pn-2, Pn-1 Pn e a aproxima~iio
gnifico:
"
,.
"l'-
k
.,
l·i:
:<xk'
m
. " ;f(xk)
m!(xk)
, .
0
1,0
1,000000000
1
1,000000000
1
1,1
0,909090909
4
3,636363636
2
1,2
0,833333333
2
1,666666666
3
1,3
0,769230769
4
3,076923076
4
. 1,4
0,714285714
2
1,428571428
5
1,5
0,666666667
4
2,666666668
6
1,6
0,625000000
2
1,250000000
7
1,7
0,588235294
4
2,352941176
8
1,8
0,555555556
2
1,111111112
9
1,9
0,526315789
4
2,105263156
10
2,0
0,500000000
1
0,500000000
b-a
2-1
~=30
que e 0 mesmo que a soma em (5.38). Se e negativa para algum
utilizar negativos de areas para:
estabelecer a regra de Simpson.
x em [a, b], entao podem-se
/ ; (h ~ (;0) (20,794506918) ~ 0,693150231
f(x)
I. rlmntlva do erro para a
, ( rn de Simpson (5.39)
Aplicaremos (5.39) para estimar 0 erro na aproxima~ao. Se
= 1/x, pode-se verificar que f(4)(X) = 24/x5. 0 maximo de
f (4) (x) em [1,2] ocorre em x = 1, e dai
Se f(4) e continua e se Meum
numero real positivo tal
que If (4)(X) IsM para todo x em [a, b], entao 0 erro
decorrente da utiliza~iio da regra de Simpson nao supcra
M(b - a)5
Aplicando (5.39) com M =24, vemos
aproxima~ao nao supera.
180n 4
24(2-1)j
180(lW
que 0 erro maximo
na
2
= 150.000 < 0,00002
Use a regra de Simpson com II = 10 para obter uma aproxima~ao"..
2
de
f 1.x dx. Estime
".'
0 erro
maximo
da aproxima~ao.·
I
Esta integral e a mesma considerada no Exemplo 1. Disponha;;
mos nosso trabalho como segue. A coluna m contem 0 coefi-';
cienle de f(xk) na regra de Simpson (5.38).
.
Note que este erro estimado e muito menor do que 0 obtido com
a aplica~ao da regra do trapezio.
Urn aspecto importante da integra~ao numeriea e que eta
pode ser usada para aproximar a integral definida de uma fun~ao
"OC'H'~'=_~~'
"bd. "" om W'fi" A "ill!, "
J
i
ilustra<;ao, suponhamos que duas quantidades
jam relacionadas conforrne a tabela seguinte:
fisicas x e y este-
x
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Y
3,1
4,0
4,2
3,8
2,9
2,8
2,7
"', 1.3(1
13
2
1)
6
x
360 x + 60 ~ d.-;
"
12
0
15
J
3
4,69
3,75
5,44
4,00
7,52
x
y
12,1
2,2
11,4
2,4
9,7
2,6
8,4
2,8
6,3
3,0
6,2
3,2
5,8
3,4
5,4
~. E~ercs. 21-24: Suponha que a tabela de valores de
y tenha sido obtida empiricamente. Supondo
y = f(x) e f uma func;lio continua,
aproxime
. x" e
3,6
5,1
3,8
5,9
'.'
4,0
5,6
/3
1
2
1
18f --d..1 120x2
'
4
J f(x) dx -10,3
4
I
1
f -dx;
x
I
19
e par, de modo que poderiamos
a integral tambem por meio da regra de Simpson.
Exercs.I-12: Obtenha uma aproximac;lio da integral
defmida para 0 valor indicado de n, utilizando (a) a
regra do trapezio e (b) a regra de Simpson. (Use
quatro decimais para aproximar cada f(xk), e arredonde as resposlas para duas casas decimais, sempre
que apropriado).
!
(x2~ l)dx;
n~4
J VI
+x3 dx;
Y
1
[£) 9
f 04+x----"dx
[Q]10
fo V4-~
I
1
--dx'
,
1.6
3.2
n=6
[£)5 J • -1 dx;
I x
[Q] 12
n=6
.
'
:",.
n=8
~.:
'.'
2,5
3,0
3,5
4,0
3
2
4
3
5
I
x
2,0
3,0
4,0
Y
5
4
3
[£)25 Use a regra do trapezio com (b - a)ln = 0,1 para
mostrar que
2.7 !. dx < 1 <f2.8 !. dx
JI X
I X
[£)26 Decorre do que vimos no CapItulo 8 que
lIlt
JO~+ldx=4
Use este fato e a regra de simpson com n = 8 para
Obleruma aproximac;liodo valor de It com 4 decimais
n=6
I
f 2 qx+l)dx;
2,0
. u .
0.6
(2x -1) dx;
f2 f(x) dx par meio (a) da regra do trapezio e (b)
.:x"
2
5
n~4
4
pela regra de Simpson.
I
2 J x3 dx;
1/2
3
[£)8
2
J I:
[£)6 J-dx:
o 1.,+x J
3,50
J 8uS dx;
(x) dx - 0,25 [3,1 + 2(4,0) + 2(4,2) + 2(3,8) + 2,(2,9)+ 2(2,8) + 2,7]
aproximar
4
3,94
4,15· ....
2,0
o numero de subdivis6es
3 J
'-3,3""
8
17
Figura 5.37
1
3,58
3,00
IX-
Exercs. 17-20: Delermine 0 menor inteiro n tal que
o erro na aproximac;lio da integral definida seja
menor do que E (a) pela regra do trapezio e (b) pela
, regra de Simpson.
I
2
3,21
2,75
1
2dx;
5
eo gt-afico"dos"p1rnl6s'(x;y): ConsidetanMy comofun<;ao de x, digamos y = f{x) com f continua, entao a integral
definida
f(x) dx pode representar uma quantidade fisica.
J •f
3,76
2,50
3
'-'-AFigura5~37
Neste exemplo, a imegral pode ser aproximada sem se conhecer
uma forma explicita de f(x). Em particular, pela regra do
trapezio (5.36) com n = 6 e (b - a)/(2n) = (4 -1)/12 = 0,25, entao
4,12
2,25
. 14'f 3( - --1 x· +-2)x3 dx;
•
f:
2,00
fX sen Vi dx;
o
Exercs. 13-16: ESlime 0 erro maximo na aproximaC;lioda integral definida para 0 valor indicado de n,
usando (a) a regra do trapezio e (b) a regra' de
Simpson.
27 Se f(x)
e urn polinomio de grau inferior a 4,
prove que a regra de Simpson da 0 valor exato
.
b
de fa f(x) dx.
.
II "I'U"IIII I (111111111". f C f" ambas niio-negativas
11111111111
I","II'I(IVC
que I,;f(x)dx
1
vx= . .. k
c inferior'a
f v(y) dy
k
I9Exercs. 33-34: Use a regra de Simpson com n m 8
para. a.proximar 0 valor medio de f no intervalo dado.
0
I'lu~II"II~ U tllI<l1Ipcla regra uo trapezio.
II II " lit II 0111II/:IIrll I'oi rcgistrado pOl' urn instruIII' 11111
II~IIt11111"11'lIIedir uma quantidade ffsica.
I 111111
II~11'"ld 'III1UIIS-YUOSpontos do graftco e
1'11' It,", II "11 ua regi'IO sombreada usando
(111111
II· (I) (II) II regm do trapezio e (b) a regra
lit IIIII'~III"
(veja a Defilli~ao S.29). Com 0 metodo dos se4
pontos, fazem-se leituras da velocidade na superfieie, nas profundidades de O,Zk, 0,4k, 0,6k e 0,8k;
e pr6ximo no leito do ria. Usa-se entao a regra
do trapezio para estimar x' Com os dados da
tabela, estime x'
v
v
-----
"
..
-" -y(m).
. v(y)(ni Is)
- .,-
-- . -- ..
0
-1'
"
0,6k
0,8k
+ 1;
f(O) = 1
36 f(x) = YiiX;
f(O) = 2
35 fIx)
'.
'II
I9Exercs. 35-36: Se f c determinada pel a equa~ao
diferencial dada e pela condi~iio inicial f(O), apro-
k
1
Lm
26
II &X'-4x+S
dx
x4
III
2
f (3x5 + al - x) d~
I 100dx
4
f
5
I (i;: If dx
6
f ~Sx+ 1 d~
8
f 10jiil£ix
(l-V)Jxdx
I Vi(1 1+Vi)- tL~
11
I (3 - 2x - S.~) dx
14
?
•
10
f (xl+4)2d~
121
(X+X-I)2dt
" 1I111t'II~\1 tic dildos conrhlveis sabre 0 f/11XO
,III 1'"/"/1(", 'Ille e a numero de metros cubicos
I'lI/j~IIIII1'101'"ma se~ao transversa da corrente
till III. () p';II,eiro passo neste calculo e a
lit It '"I 1I11~II till vclocidade media a uma distan1111,II· \ "'CII"s ua margem do rio. Se k e a
1,,"1111111
tllld' till correnle em urn ponlo axmelros
till IIII1IHr," e I\}') C a vclocidade (em m/s) a uma
1,,"IIIIlIlhl Ille de y metros (veja a figura), entao
3
6
9
IXl cos (al) dx
32 I sen~lIx) dx
33
0
O,SI
0,73
1,61
2,11
v.r(m/s)
0
0,09
0,18
0,21
036
18/
.n
I ';2<+ 7 dx
1
.t(m)
IS
18
21
24
h(x)(m)
2,02
l,S3
0,64
0
v.r(m/s)
0,32
0,19
0,11
0
2
22
I r+2
d~
xl
?
1
36
f
I 3xl R+X dt
1
o
n/4
(sen x + cas X)2 dx
><14
37
f o sen 2x cos x dx
38
f
40
f o D (x senl x) d~
fo \f8XT dt
!
23!.
21
x+ 1
_~clx
1 vxl+2t
2
><14
><16
(see x + tgx)(1 - senx) d~
xl~
.n
d~
o
I
24
_
f o cas x >13 + S sen x dt
x+2
9
20
_.
35
xl - x - 6d~
I
'I"'
f cas 3x dx
sen33x
r
.,.12
h(x)(m)
(x+ 1)(x+2)(x+3)dx
30
I ~1 - ~lIx) dx
17
0
I
0
1
(2x - Vi) dx
I 3
x(m)
4
1 V3X.(Vi +v3) dx
27
-1
xl'S
Vi
9
I (xl + 1)2 dx
-I
28
3
71
1932 Com referencia ao Exercieio 31, 0 fluxo de
corrente F (em mll s) pode ser aproximado pela
formula
onde h(x) e a profundidade da corrente a uma
distancia x metros da margem e Leo comprimenlo da se~ao transversa. Com os dados da
tabela abaixo, use a regra de Simpson para
estimar F.
I I \ I 1I"III~I"'I'11I iml'Orlllnle na administra~iio da agua
= xl
com
..
III
Ii'jll
Vi
a regra. do trapezio
0,28 0,23 0,19 0,17 0,13 0,02
III
HI 11111iiI/III 1111111
illl tern a forma da figura, com
1111
II 'III" S C111lidistantes de 6 m. Use a regra
1111Itlll' ,In 1"lll' estimar a area da superfieie do
utilizando
-'- .. -
--.-
O,Zk 0,4k
33 f(x) =_1_;
x4 + 1
xi me f(l)
n ~ 10.
I
25
f o (2~- 3)(SX+ I) d~
x
Exeres. 43-44: Resolva a equa~o difereneial sujeita
as eondi~iies dadas.
43
6
tb..2 = 6x - 4;
(b) Determine a velocidade apos 5 segundos.
(e) Determine quando a pedra atinge 0 solo.
4
y = 4 e y' = 5 se x = 2
52 Dado
.
Exeres. 45-46: Seja f(x) ~ 9 -:>? para -2 s x s 3, e
seja P a parti~ao regular de [-2,3] em cinco subintervalos.
45 Determine a soma de Riemann Rp se f e avaliada
no ponto medio de cada subintervalo de P.
f-- (x + 2x - 5) dx, determine
2
I
(a) urn numero z quesatisfa~a a eonclusao do
teorema do' valor medio para integrais (5.28).
f.o ..f[X'f dx
10
l£]53 Caleule
(a) a regra do trapezio com II = 5.
Exercicios 47-48: Verifique a desigualdade sem
caJcular as integrais.
47/
:>? dx ••
o
49
j J? dx
0
f
f(x) dx + /
f
f(x)dx-
!
f(x) dx-
f(x) dx -
Qed
C
50
(b) a regra de Simpson com II - 8.
(Use aproxima~iies com quatro decimais pam
f(xk) e arredonde as respostas para duas caSaS
decimais.)
o
f(x) dx
!
!
!
f
f(x)dx-
f(x)dx'
g
I
+
!
l£]54 Para controlar a polui~ao tcrmica de urn rio, UIII
biologo registra a temperatura (em OF) a cada
hora, de 9 horas da manha as 5 da tarde. Os dados
cons tam da tabela abaixo.
f(~) dx +
m
f(x) dx
I
51 Joga-se uma pedra diretamente para baixo de uma
altura de 300 metros com velocidade inicial de
10 m/s.
(a) Determine a distancia da pedra ao solo ap6s
Isegundos.
Use a regra de Simpson e a Defini~lio (5.29) para
estimar a temperatura m,sdia L:d figua entre 9 cia
manha e 5 da tarde.'
Capitulo ...6
MAK.il.ON
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APLICA<;OES
DA INTEGRAL DEFINIDA
Neste capitulo abordaremos algumas aplica<;oes da integral definida. Come<;aremos reconsiderando a aplica<;ao que m~tivou a
dcfini<;ao deste conceito matematico' a
determina<;ao da area de uma regiao do plano
xy. Em seguida, usaremos integrais definidas
para calcular volumes, comprimcntos de graficos, ~.J!e
s6lidos,.!!.abalho
realizado por uma forca variavel, momentos
e centro de massa (ponto de equilibrio) de
uma chapa plana. A razao da aplicabilidade
da integral definida e que cada uma dessas
quantidades e exprcssavel como urn limite de
somas. AJem disso, diante do grande numero
de outras quantidades que podem expressarse desta maneira, nao ha urn fim para os tipos
de aplica<;ao. Na ultima se<;ao ilustraremos a
vcrsatilidade da integral definida, considerando uma diversidade de aplica<;6es que incluem: deterrnina<;iio da for<;a exercida pelo
petr6leo sobre a parede de urn tanque, avalia<;ao do desempenho cardiaco e fluxo sangiiineo nas arterias, estima<;ao do patrimonio
futuro de uma empresa, calculo da espessura
da camada de ozonio, determina<;ao da quantidade de gas radon em uma casa e determina<;ao do consumo de calorias em urn
exercicio em bicicleta.
A medida que avan<;a neste capitulo, e
. sempre que a lei tor enrontrar integrais defi',- nidas em cursos aplicados, deve ter em mente
as nove palavras: limite. de sl2!!!!!s,~
Sf)l~,
-----..
limite de somas.
,
.,
b"
'.
=J tI(~); g(x)]dx
I e co~tinua e I (x) " 0 em [a, b], entao, pelo
a area da i'egiaosobo grafico de I de a a b e
,
b
dada pela integral definida
I (x) dx. Nesta seC;ao,,considerare-
Se um,a~u '<li
Teorem 5.19
,
1.
mos a regiiio que esta entre os graficos de duas func;6es,
,
Se I e g SaDcontinl!as e I(x)" g(x) " 0 para todox em [a, b],
entao a area A da regiiio R, limitada pelos graficos de
I, g, x = a ex = b (veja a Figura 6.1), pode ser calculada sublraindo-se a area da regiao sob 0 grafico de g (fronteira inferior de R )
da area da regiiio sob 0 grafico de I (fronteira superior de R), como
segue:
'
,
,
b
A =
b
J I (x) dr --J g(x) dx J [I(x) -- g(x)] dx
tI
a
_
=
•
a
Esta f6rmula para A_,tambem e valida. seJ ou g e negativa para
algum x em [a,~]. Para verifiCar, w:olhamoS-1l!IL!!~
!!egptivo djnferior a!Lv~o.!:__
!!~Ll)iJl1Q,J!qu;,i;JL[q,!1.con forme
i1ustrado na Figura 6.2(i). Em seguida, considereinos as func;6es '
II e gl' definidas como segue:
y = g(x), :~
:'
.'
b,
I (x) + Idl
gl (x) = g(x) - d = g(x) + I d I
A f6rmula de A no Teorema (6.1) pode ser interprelada
como um limite de somas. Fazendo h (x) = I (x) -- g (x) e se IV
esta em [a, b), entao h (w) ~ a distilncia vertical entre os 'graficos
de leg para x = w (veja a Figura 6.3). Tal como em nosso
estudo das somas de'Riemann no Capitulo 5, sejaP uma parti<;iio
de [a, b) determinada pora = xO' XI' ••. , xn = b. Para cada k, seja
=xk -Xk_l;
e seja Wk urn numero arbilrario no f('0 subintervalo [Xk _ " xk] de P. Pela defini<;ao de h,
&k
II(x) = I (x) -d=
que e a area A do relilngulo de comprimento I(wk)
largura &k exibido na Figura 6.4.
"bY
\
"
..•... '
G""
IL
/ IV.\
X.I:_1
/
c:
\,." .
"
',-'l '\
\
.~,'\
'y~
'
, ...•.
Xl
Os graficos de I, e gl' podem ser obiidos deslocando-se verticalmente os griificos de I e g de uma distfmcial d I, Se A e a
area da regiiio na Figura 6.2 (ii), entiio
A = {(J,(X)
J. {(J(x) -- dJ - [g(x) -- dJ} dr
b
=
-:-gl(x)] dr
2:
k
h(wk) tlxk =
2:
k
[I(wk)
-
g(wk)]
&k
--
g(wk)
e
e a soma das areas dos retangulos na Figura 6.4 e e, assim, uma
aproxima<;ao da area da regiao entre os graficos de f e g de a a
b. Pela defini<;ao de integral definida,
lim
IIPII-o
2:
>«J
f(.:) ·.. 1 Y=.
b
(h wk) !:>xk =
f h (x) dx
~
a
k
:
Como h(x) = f(x) - g(x), obtemos
. Teorema (6.1).
0 seguinte
.
' " "'\ '.:. .:
'}., ..
:
y = g(x)
:
'1
,':,
"'.'
:Y
<\
= g(x)
;
corolario do
y= f(x)
\>
2.
Use f(x) - g(x)
para 0 comprimento
f(wt)
- g(wt)
.. 1
'.'·1
,;:.,.'t',
Podemos utilizar 0 seguinte metoda intuitivo para lembrar
esta f6rmula de limite de somas (veja a Figura 6.5).
~: y = g(x)
j."
-'.
:
do
retangulo.
As seguintes
problemas.
b
3.
Encare 0 simbolo
i como urn operador que lorn a urn limite
diretrizes
podem
auxiliar
a resolur;flo
de
a
[f(x) - g(x)] dx.
de somas das areas retangulares
Esle metodo nos permite interpretar
Teorema (6.1) como-segue:
a formula da area no
Diretrizes para aehar a area
de uma regifio Rx (6.3)
b
.
. .A =
limite ~mprimento
de somas
fa [f(x) - g(x)] dx~
de
urn retangulo
Largura de
urn retangulo
Ao usar esta tecnica, visualizamos a soma<;ao de areas de
retangulos verticais, percorrendo a regiao da esquerda para a
direita. Mais adiante nesta se<;ao consideraremos tipos diferentes
de regioes, ao determinarmos areas utilizando retangulos IIO~izontais e integrando em rela<;ao a y.
Designemos por regiao Rz uma regiao (para integra<;ao em
rela<;ao a x) que esteja entre os graficos de duas equa<;oes
y = f(x) e y = g(x), com f e g continuas e f(x):2: g(x) para todo
x em [a, b], onde a e b sao, respectivamente, a menor e a maior
coordenada-x dos pontos (x, y) na regiao. As regioes exibidas
nas Figuras 6.i a 6.5 sao regioes Rz• Varias outras regioes estao
esbo<;adas na Figura 6.6. Note que os graficos de y = f(x) e
y = g(x) podem interceptar-se uma ou mais vezes; entre Ian to,
f (x) :2: g(x) em lodo 0 intervalo.
Achar a area da regiao delimitada
y=K- ey
=vx.
pelos graficos das cqllilr; ·r.
Seguindo as diretfizes 1-3, esbo<;amos 0 grMico, rollllando II
re'gia<i; exibirn<i~ urn retangulo vertical lipico (vcja a I'Il\nlll
6.7). Os ponlos (0,0) e (1,1) em que os graficos se inlcr Cplllll'
e'
podem ser achados resolvendo-se simultaneamente
a figura, oblemos:
y = r e y = y'\,_Referindo-se
f [(6 -r) - (3 - a)]dx
-1
3
=
.
f (3 -·r + a) dx
-I
dx
YX - r
(YX - r) dx
do retangulo:
area do relilngulo:
Recorremos
3
A=
y = Vi
y =r
fronleira superior:
fronleira inferior:
largura do relangulo:
comprimenlo
as equa~oes:(;
: .,./
•
em seguida
a direlriz
4 com
1
I~mbrando
que a aplica~ao
de
.
f.
0
significa lomar 0 Ilmile de somas de areas de relangulos verticais,"
.Islo nos da
o
e
exemplo a seguir mostra que as vezes
necessano
subdividir uma regiao em varias sub-regioes R e utilizar entao
mais de uma integral definida para achar a are;.
Achar
a area
y - x = 6, Y -.~
Achar
y +r
a area da reglao
= 6 e y + a - 3 = O.
delimilada
pelos
A Figura 6.8 representa a regiao e urn relangulo lfpico. as pontos
de interse~ao (-1,5) e (3, -3) dos dois graficos podem ser
obtidos resolvendo-se simultaneamente as duas equa~oes dad as. i;
Para aplicar a direlriz 1, designamos por y = f(x) e y = g(x) as'
fronteiras superior e inferior, respectivamente. Resolvemos entao :
cada equa~ao em rela~ao a y em termos de x, conforme Figura'.
6.8. Isto nos da:
.
fronteira superior:
fronteira inferior:
largura do retangulo:
comprim~nto do relangulo:
area do retangulo:
r
y =6 y = 3 - 2~
dx
(6 - r) - (3 - 2~)
[(6 -r) - (3 - a)] d~
.
Aplicamos em seguida a diretriz 4 com a = -1 e b = 3,
admitindo
como urn operador que toma urn limite de somas
f:.
de areas de retangulos.
Assim
da reg\ao
R delimitada
pelos
grRficos
de
= 0 e 2y + x = O.
A Figura 6.9 exibe os graficos e a regiao. Cada equa~ao foi
resolvida em rela~ao a y em termos de x, e as fronteiras foram
rotuladas de acordo COJ)1 a dir~triz 1. Sao observados retangulos
verticais tipicos estendendo-se da fronteira inferior a fronteira
superior de R. Como a: fronteira inferior consiste em por~oes de
dois graficos diferentes, nao se pode obter a area ulilizando
apenas uma integral definida. Todavia, dividindo
R em duas
sub-regioes R" R1 e R2, conforme Figura 6.10,
possfvel deter-
e
minar a area de cada uma e soma-Ias.
trabalho como segue.
Disponhamos
nosso
REGIAOR\
REGIAO R1
y =x + 6
y=x+6
frooteira inferior: y = -~ x
y =x3
fronteira superior:
largura do
retangulo:
dx
comprimento do
relangulo: (x + 6) - (-~x)
area do retangulo:
[(x + 6) - (- ~x)] dx
(x + 6) _x3
[(x + 6) - x3] d,
·'~_~;i·-"i~-s;::':;:.;L_:;":;_j.2:1.,..,
.
.".~'~, :"(
-)I'·
ramos retangulos
o
A
horizontais
de areas [f(wt)
- g(wt)] !:J.y•• con-
forme i1ustrado na Figura 6.13. Isto conduz a
=I [(x + 6) - ( -~x)]
dx
-
'-4
A=lim
11/'11-0
2:
d
[J(wt)-g(wk)]fJ.Yk=I
k
[f(y)-g(y)]dy
C
LlY.
2
A2 =
fo [(X + 6) -xl] dx
_..1
y, .._....._... _.. _.....
y,.,w, ---------_ .._-/
\f
(f(w.), WI)
(g(w.), IV,)
y,
c = Yo
Agora que ja calculamos muitas integrais semelhantes as
do Exemplo 3, poderemos algumas vezes apenas es/abe/ecer a
integral, isto e, expressa-Ia na forma adequada sem determinar
seu valor numerico.
Ao considerarmosuma
equa~ao da forma x = f(y),continua
para c s y s d, estamos na realidade inver/endo as papeis de x e
y, admitindo y como a varitive/ independen/e e x como a varitivel
dependenle. A Figura 6,11 exibe urn grafico tipico de x = f(y).
Note que, se se atribui urn valor way,
entao few) e uma
coordenada-x do ponto correspondente do grafico.
Vma regiao Ry e uma regiao que esta compreendida
x
Podemos utilizar !imites de somas para achar a area A de
uma regiao Ry' Come~amos por escolher pontos do eixo-y com
coordenadas-y
c = Yo' y I:'" Yn = d, obtendo
intervalo -[c, d] em subintervalos
Para cada k escolhemos
Diretrizes para achar a area
_de uma reg/aD Ry 6.4)
entre
os graficos de duas equa~oes da forma x = f(y) ex = g(y), com
f e g continuas, e f(y) '" g(y) para todo y em [c, d], on de c e
d sao, respectivamente,
a menor e a maior coordenada-y dos
pontos da regiao. A Figura 6.12 ilustra uma tal regiao. 0 grMico
de f e a fronteira direita da regiao, e 0 grafico de g e a fronteira
esquerda. Para qualquer yo numero J(y) - g(y) e a distancia
horizontal entre essas fronteiras, conforme Figura 6.12.
x = J(y)
Utilizando nota~ao ana)oga a das regioesRx' representamos
a largura fJ.Yk de urn retangulo horizontal por dy e 0 comprimento
J(wk) - g(wk) do relangulo por J(y) - g(y) nas diretrizes seguintes.
uma parti~ao
do
de amplitude
fJ.Yk= Yk - Yk-,'
urn numero wk em [Yk-"
Yt] e conside-
.:t,_'APB~r
o,opera~orlimiie
·;;'\'dir~t~)e:c·~).~u'lar'a:integral;.-
de sOlll3s
I. -a expressao na
--~.:- ,
Na diret'riz 4 visualizamos a soma~ao de areas de relangu los
horizontals movendo-se do ponto mais baixo da regiao para 0
ponto mais alto."
a
Achar
area di!'regiaodeiimitada
2y2 = x + 4 e y2 = x.
intervalo
[c, b]. A Figura 6.16 ilustra este. fato, com
f(x) ;"g(x) em [a, c] eg(x) ;"f(x) .em [c,b]. A'area A e dada
pelos griificos das equac;oes'
por
.,
A =A1 + A2 =
A regiao esta ilustrada nas Figuras 6.14 e 6.15. A Figura 6.14'
i1ustra 0 uso de retangulos verticais (integrac;ao em relac;ao a x),
e a Figura 6.15 ilustra 0 usa de retangulos horizontais (integrac;ao'
em relac;ao a y). Com relac;ao it Figura 6.14, vemos que sao'.
. necessarias varias integrac;oes em relac;ao ax para calcular a area.'.
Todavia, pel a Figura 6.15, necessitamos de apenas uma integra-'
c;ao em relac;ao a y. Aplicamos assim as diretrizes (6.4) e
resolvemos cada equac;ao em relac;ao a x em termos de y.
Referindo-nos 11Figura 6.15, obtemos:
fronteira direita:
fronteira esquerda:
largura do retangulo:
"j
(4,2)
comprimento
area do retangulo:
x= /
II I
do retangulo:
2/-4
Poderiamos
x = y2
x = 21- 4
dy
l- (2y2 - 4)
[l- (21- 4)] dy
500
Esfor~o (percenlual)
agora usar a diretriz 4 com c = -2 e d = 2, obtendo
J. a [l- (2y
2
A pela aplicac;ao
do operador
.
2 -
4)] dy. O\ltr~-:
2
metodo consiste em utilizar a simetria da regiao em relac;ao ao
eixo-x e achar A duplicando a area da parte situada acima do .
eixo-x:
A=!
[y2-(2r-4)]dy
-2
2
=2f
o
b·
a
c
Se os graficos se cruzam mais de lima vez, podem ser necessarias
varias integra<;oes. Problemas em que os griificos se interceptam
aparecem nos Exerdcios 31-36.
( ~,O)
x=
c
I [f(x) - g(x)] dx + I [g(x) - f(x) dx
(4- r)dy
Em toda esta sec;ao admitimos que os griificos das func;oes
(ou equac;6es) nao se interceptam no intervalo considerado. Se
os griificos de f e g se cortam em urn ponto P(c, d), com:
a < c < b, e se desejamos achar a area-delimitada pelos graficos
de x = a a x = b, entao os metodos estabelecidos nesta se<;ao
ainda podem ser utilizados, mas serao necessarias duas integra- ..
<;oes - uma correspondente
ao intervalo [a, c] e a outra aD
.~i
t
:~
Figura 6.17 Diagrama tensao-esfor~
para material elastico.
Em pesquisas cientificas, uma quantidade fisica costuma
ser interpretada como uma area. Urn exemplo disto ocorre na
teoria da elasticidade. Para testar a resistencia de urn material,
o pesquisador registra os valares da tensao que correspondem a
diferentes cargas (esfor<;os). 0 esboc;o da Figura 6.17 e urn
diagrama tipico tensao-carga para uma amostra de urn material
elastico como borracha vulcanizada. (Note que os val ores da
tensao estao na direc;ao vertical.) Atentando para a figura, vemos
que, it medida que a carga aplicada ao material aumenta, a tensao
(indicada pelas set as na parte pontilhada) aumenta ate que a
distensao do material atinja seis vezes 0 seu tamanho. A medida
que a carga decresce, 0 material elastico volta ao seu comprimen to original, mas nao percorre novamente 0 griifico 'original,
obtendo-se, em seu lugar, 0 grMico de Iinha continua. Este
fenomeno e chamado histerese elastica. (Fenomeno ana logo
ocorre no estudo de materiais magneticos, onde e chamado
histerese maglU!tica.) As duas curvas da figura constituem urn
la~o de histerese para 0 material. A area da regiao delimitada
por este la<;o e numericamente igual it energia dissipada dentro
do material el:istico (ou magnetico) durante 0 teste. No caso da
borracha vulcanizada, quanta maior e a area, melhor e 0 material
para absorver vibra<;oes.
-----------------------·---'------r-'·'
ik
l
Exercs. 31-36: Ache a area da reglao entre os
graficos de f e g para x restrito ao intervale dado,
31 f(x) = 6 - 3i;
Exercs. 1-4: Estabele~a uma integral que possa
ser usada para determinar a area da regiao sombreada,
", ,Exercs. 23-24: Ache a area da regiao, entre os
graficos das duas equa~6es de x = 0 a x = n.
:(~vy - sen4x; y = I + cos ~x
,.
33 f(x) = x
1
-
32 f(x)=x -4;
3
", 24 y = 4,-I:_cos2x; y = 3 sc'! x
.;
2
Exercs. 25-26: Estabele~a somas de integrais que
sirvam para achar a area da regiao sombreada,
integrando em rela~o a: (a) x e (b) y.
-
4x + 2;
,g(x) = 3x;
[0,2]
g(x) =x + 2;
[1,4}
g(x) = 2;
[-1,3]
3
34 f(x) =x2;
g(x) =x ;
[-1,2}
35 f(x) = sen x;
g(x) = cosx;
[0,2n}
36 f(x) = sen x;
g(x) =~;
[0, n/2]
Exercs. 37-38: Seja R a regiao delimitada pelo
grafico de f e 0 eixo-x de x = a a x = b, Estabele~a
uma soma de integrais, que nao contenha 0 sfmbolo
de valor absoluto, para calcular a area de R,
37 f(x) = Ii-6x + 51;
a = 0,
b=7
@f(x)=I-xz+2x+31;
a=-3,
b=4
39 A figura exibe urn diagrama especffico carga-)ensao (veja 0 Ultimo paragrafo desta se~ao).
, (1, 1)
/
x=/
Carga
(esfor~o)
Exercs. 5-22: Esboce a regiao delimitada pelos gnificos das equa~es e calcule sua area,
5 y _ x2;
Y _ 4x
13 l
= 4 + x;
?
6 x+ y - 3;
Y +x2 _ 3
14 x=y";
x-y=2
7 y=}+
y-5
IS x=4y-l;
x=O
I;
8 y _ 4 _x2;
9 Y= 1/i;
3
10 Y = x ;
16 x-y
Y= -4
2
y = _x ;
x= 1;
x = 2,
;
x=y
17 y=x 3 -x;
y=O
y=J-xz-6x;
y=O
',18
2
Y =x
2J3
=-x;
x - y = 4;
Y =,::-1; y=2
19 x=l
, 12' x=y; 2'
Y -x = 2;
y= -2; y=3
20 x=9Y-l;
11 l
,;,
l +x = 2
+ 2l-,3y;
x-O
x=O
;
\
2
, Exercs. 27-30: Estabele~a somas de integrais para
achar a area da regiao delimitada pelos graficos das
equa~6es, integrando em rela~aoa: (a) x e (b) y.
Estime as coordenadas-y e aproxime a arca dll
regiao delimitada pelo la~o de histerese, usa",1o,
com n = 6,
(a) a regra do trapezio
(b) 'a regra de Simpson
y=x-l
x=~l +3
,
"2
',', :,'
x=2y, -4!
41l Suponha que os valores funcion~i's de f c II th.
. , tabela abaixo ten,hamsido obtidos empiric!11I1'II'
, te., Admitindo f e g contfnuas, obtcnhll 1111111
, , '" 'aproxima~ao da area entre seus grl1ricos d
,,';x'= 1 a' i = 5, usando, coin /I - 8,
,: ,';;. t ~ .! ~
: . \.1
r ern do trapezio
© 41 Fac;a 0 grafico'de f(x) = 12 - 0,7; - 0,8x +1,3',
(11) II ,. 'Wn 'de Simpson
em [-1,5; 1,5). Estabele~a uma soma de integrais;:
que nao contenba 0 sfmbolo de valor absoluto,-e
que permita apr\lximar aarea da regiao deJjmjta~'
da pelogrMicdde
f, pelo eixo-x e pelasrehi~.
x=-1,5 ex= 1,5.
::"
(II)
II
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
2,5 3
4 3,5 2,5 2
2
3
_.
2
2
1,5
1
0,5
1
1,5
1
© 42 Grafe,
nos
3
mesmos
eixos,f(x) =, sen x'
e.
. '"
para -Zsxs2.
Estabele",
uma soma de integrais que permita obter
aproxima~ao da area da regiao delimitada pelos
grMicos:
"
' .> "
g(x)=x
-x+O,Z
a forma indicada em (ii) da figura. Come<;ando com a Figura
6.23, removeremos partes dos s6lidos de revolu<;ao para auxiliar
na visualiza<;ao de por<;6es geradas por retangulos tipicos. Com
respeito a essas figuras, e bom lembrar que 0 solido se obtem
por uma n:volu<;ao comp/eta em tomo de urn eixo, fl nao por
uma revolu<;ao parcial.
uma'
,500 x
Esfo~~
Note que 0 k'!'O retangulo gera urn disco circ\jlar (urn
cilindro circular) com raio da base f (w» e altura (e&pessura)
(percentual)
!uk = xk - xk_ r 0 volume desse disco e a area da base vezes a
isto e, n[f(wk>y !uk. 0 volume do s6lido exibido na
altura -
Figura 6.l9(ii) e a soma dos volumes de todos esses'dlscos.
(.
S6UDOS DE REVOLUQAo
o volume de urn objeto desempenha
papel importante ern muitos
problemas nas ciencias ffsicas,tais
cpino determina<;ao de
centros de. massa e de momentos de inercia.' (Estes conceitos ,~,
serao estudados mais adiante.) Como e diffcil determinar 0
volume de urn s6lido de forma irregular, come<;aremos corn
objetos que apresentam formas simples. Incluidos nesta categoria
estao os s6lidos de revolu<;ao, estudados aqui e na pr6xima se<;ao.
Esta soma pode ser vista como uma soma de Riemann para
II P II da parti<;ao esta proxima de zero,
entao a soma deve estar proxima do volume do s6lido. Assirn,
e natural defininnos 0 volume do s6lido de revolu<;ao como urn
limite de tais somas.
• it[f (x >y. Se a norma
-..;
y
Se uma regiao revolve ern tomo de uma reta no plano, 0
s61ido result ante e urn solido de revolu<;ao; dizemos que 0 s6lido
e gerado pela regiao. Areta
e urn eixo de revolu<;iio. Ern
particular, se a regiao R exibida na Figura 6.18(i) revolve ern
tomo do eixo-x, obtemos 0 s6lido ilustrado ern (ii) da figura.
Como caso especial, se f e uma fun<;ao constante, digamos
f (x) = k, entao a regiao c retangular e 0 s6lido gerado e urn
cilindro circular reto. Se 0 grafico de f e urn semicirculo corn
extremidades de urn diametro nos pontos (a, 0) e (b, 0), entao 0
. s61ido de revolu<;ao e uma esfera. Se a regiao e urn triangulo
retangulo corn base no eixo-x e dois, vertices nos pontos
(a, 0) e (b, 0), corn 0 angulo reto em urn desses pontos, 0 s6lido
gerado e urn cone circular reto.
Se urn plano perpendicular ao eixo-x intercepta 0 s61ido da
Figura 6.18(ii), obtem-se uma se<;ao transversa circular. Se,
conforme indicado na figura, 0 plano passa pelo ponto do eixo-x
corn coordenada w, entao 0 raio de circulo e few), e dai a sua
area e n[f(w)f
Chegaremos a uma defini<;ao do volume de urn
tal s6lido de revolu<;ao utilizando somas de Riemann.
Particionemos 0 intervalo [a, b], como fizemos para areas
na se<;ao precedente, e consideremos os retangulos na Figura
6.19(i). 0 s6lido de revolu<;ao gerado por esses retangulos tern
;-'-6x,t
= [(x):
".:,
'~ej{febritinuael]l
[a, b), e seja R a regiao delirnitada pelo
grafit"o d~"jpelo eiXo~x epelas ,retas verticais x =0 e x = b.
.0 y~iu;n~)'-d~s6Ii((qde
revolu<;iiogerado pela revolu<;ao de
Reintomh'doeixo':ix~
,.J:_I
,·;,;,;;.:.~~,;·.:;r,:~:··:~.
:
b
,,':Y~'Ii~\2:':~Jj(wk)j2
&k= f n[f(x)? dx
,II pll...;. ° ,
a
.
""'!",
k
':-'"
.
o fato de que 0 limite de somas nesta defini~ao e igual a
b
fa n[f(xlf
dx decorre da defini<;ao de integral definida. De modo
gera!, nao especificaremos
as unidades
de medida de volume.
Se a medida linear e polegada, 0 volume sera dado em polegadas
cubicas. Se x e medido em centfmetros, entao V sera expresso
em centfmetros cubicos (cm3) etc.
A exigencia f(x);o
0 foi omitida intencionahnente
na
DefinilSao (6.5). Se f e negativo para alguns valores de x, como
na Figura 6.20(i), e se a regiao delimitada pelos grMicos de
f. x = a ex = b, e a eixo-x revolve em tomo desse eixo, obtemos
a s6lido exibido em (ii) da figura. Este s6lido e a mesmo que a
s6lido gerado pel a revoJulSao. em tom a do eixo-x, da regiao sob
a grMico de y = f(x) de a a b. Como If(xW = [f(x)f.
a limite
da DefinilSiio (6.5) nos da a volume.
Invertamos agora os papeis de x eye falSamos a regiao
Ry da Figura 6.21(i) girar em tomo do eixo-y, gerando a s6Jido
ilustrado em (ii) da figura. Particionando a intervalo-y [c, d] e,
usando relangulos horizontpis de largura t>.y-k e comprimento'
g(wk), a mesmo tipo de raciocfnio que ariginOli' (6.5) conduz-nos
a seguin Ie definilSao.
Volume V de um
disco circular (6.7)
Ao lidarmos com problemas. aplicaremos a metoda intuitivo desenvolvido na SelSao 6.1, substituindo t>.xk au tiYk par dx
au dy etc. Sao uteis as seguintes diretrizes.
a'ser
Dlretrlzes para achar 0
volume de um solido de
revolUt;ao utillzando discos
EsbOlSMa,regiao·R
.
.revolvi_d.~Le rotular as
fronleir<\s:~-Exibir: urn. reia~gUlo ~tfpia;' vertical de
largura',~;ou umretangulo
hori2;ol)tal.4e larg~ra dy,
(6.8).
~b~'o's6Iido'gerado
•
3
par R
·~o.discJigerado
pdo
rei~,~~I~~:~~:d.ir~triz 1. . ,-,
·.L:?_;;;/<~::-~~'.;i.·'
.
,;Expr~lIr 9..~~!9d.P d..iscOem terI¥0sde x(),u,Y ~onforme
J~jl;~~t~fl~~~lf[
A regiao delimitada pelo eixo-x, pelo grafico da equalSiio
y = X? + 1 e pelas retas x = -1 e x = 1 gira em tomo do eixo-x.
Determine a volume do s6lido resultante.
Como podemos fazer uma regiao girar em tomo do eixo-x.
do eixo-y au de qualquer outra reta, nlio If acollsellllivel memorizar simplesmente as formulas de (6.5) e (6.6). E preferfvel
memarizar a seguinte regra geral para achar a volume de urn
disco circular (veja a Figura 6.22).
Conforme a diretriz 1, esbolSamos a reglao e exibimos urn
retangulo vertical de largura dx (veja a Figura 6.23(i». De acorclo
com a c1iretriz 2, esbolSamos a s6lido gerado par Reo
dis 0
gerado pelo retangulo (veja a Figura 6.23(ii). De acordo com as
diretrizes 3 e 4, observamos a seguinte:
espessura do disco: dx
raio do disco: x2 + 1
volume do disco: n(r + 1)2 dx
till
Poderfamos em seguida aplicar a diretriz 5 com a = -1 e b = b = 1,.··
..
I
para obter 0 volume Yconsiderando
.
II urn operador que loma uIii
limite de somas de volumes de discos. Outro metodo consiste em
usar a simetria da regiao em rela<;1ioao eixo-y e achar Vaplicando
I
.
I a n(x2 + If dx e duplicando 0 resultado. Assim,
o
... Consideremos em seguida uma regiiio R do tipo ilustrado·
na Figura 6.25(i}. Se esla regiiio gira em lomo do eixo-x, obtemos
o s61ido i1ustrado em (ii) da figura. Nole que, se g(x) > 0 para
lodo x em· [0; b), ha uma abertura alraves do solido.
o volume V do solido pode ser oblido sublraindo-se 0
volume do solido gerado pela menor regiao do volume do solido
gerado pela maior regiiio. A Defini<;iio (6.5) nos da
1
V =I
n(x2 + Ifdx
-
b
.
V = I n [f(x)f
-I
.
a
b
b
dx - I n [g(x)J2 dx = I n {[f(X)J2 - (g(xm
. •
a
'.
dx
Q
I
n(x4 + 2x2 + 1) dx
= 2f
o
~I
,...;-
II
tU
k
1
A regiiio delimitada
pelo eixo-x e pelos graficos
de
y = x3, y = 1e y = 8 gira em tome do eixo-y. Determine 0 volume
do solido resultante.
A Figura 6.24 e urn esbo<;o da regiiio e do solido, apresentando
tambem urn disco gerado par urn retangulo horizontal tipico.
Como desejamos integrar em rela<;ao ay, resolvemos a equa<;iio
y = x3 em rela<;iio a x em termos de y, obtendo x = ylfl. Note os
seguintes fatos (veja as diretrizes 3 e 4):
espessura
do disco:
dy
raio do disco:
ill
volume do disco:
n(ylJJf dy
FiniiImente, aplicamos a diretriz 5 com c = 1e d = 8, considerando
A ultima integral admile uma inlerprela<;1io interessante como urn
limite de somas. Conforme ilustrado na Figura 6:25(iii), um relangulo
vertical que se estende do grafico de g ao grafico de f, pelos pontos
com coordenada-x wk' gera urn anel sOlido cujo volume e
Somando os volumes de lodos esles aneis e tomando 0 limite,
obtemos a integral definida desejada. Ao resolver problemas
deste tipo, e convenienle usar a seguinte regra geral:
f~urn operadar que toma urn limite de somas de discos:
V=
II8 n(Y
l/3f
dy = nIl
8
;:1
dy = 1t
[T5~]8
I
Urn erro comum na aplica<;ao de (6.9) consiste em tomar
o quactrado da diferen<;a dos raios em lugar da diferen<;a dos
quadrados. Note que
volume de urn anel '" n[(raio ext)
- (raio int)f.
(espessura)
Podern-se estabelecer diretrizes semelhantes a (6,8) para
problemas que envolvem aneis. As principais diferen<;as sao que
na diretriz 3 deterrninamos expressiies para 0 raio exterior e 0
raio interior de urn anel tipico. e na direlriz 4 ulilizarnos (6.9)
para achar uma formula para 0 volume do anel.
A regiao delimitada pelos gnuicos das equa<;iies, xl = y - 2 e
2y - x - 2 = 0 e pelas retas verticais x = 0 e x = 1, gira em lorno
do eixo-x. Detennine 0 volume do solido result ante.
A regiao e urn retilngulo vertical tipico estao reesbo<;ados na
Figura 6.27(i). juntamente com 0 eixo de revolu<;3O y = 3. 0
solido e urn anel gerado pelo retilngulo estao ilustrados em (ii)
da figura. Notamos 0 seguinte:
3-(!x+l)=2-!~
2
2
3 - (xl + 2) = 1 - xl
raio interior:
n [(2 - ~X)2 - (1 - xl)2] dx
volume:
y
A Figura 6.26(i) e urn esbo<;o da regiao e exibe um retilngulo
vertical tipico. Como desejamos integrar em rela<;ao a x, resolvemos as duas prirneiras equa<;iies em rela<;ao a y em tennos de
x. obtendo y = xl + 2 e y = ~x + 1. 0 solido e urn anel gerado pelo
retilngulo estao i1ustrados em (ii) da figura. Aplicando
obtemos 0 seguinte:
.espessura do anel:
Usamos
dx
raio exterior:
x2 + 2
raio interior:
~x + 1
volume:
urn limite
(6.9).
n[(xl + 2)2 - (~x + 1)2] dx
de somas
de volumes
de aneis' apli-
1
cando
Io:
1
Aplicando 0 operador limite de somas
1
+ 2)2 - (!x + 1)2] dx
V =J.n[(xl
o
Io ,obternos
0 volume:
I'
2
V =J
o
n((2 - ! x)2 - (1 - xl)2] dx
2
1
= nJ
(x + II xl - x + 3) dx
4
o
;IS
4
is
(i')
;\.2
.]
=n -+- - --+3x
[ 5
4 3
2
1
0
79n
20
.
=-=124
'
Calcular 0 volume do solido gerado pela rota<;ao da regiao
descrita no Exemplo 3em torno da reta y = 3.
=It
[3x-xl+"4
9
(i')3" -5xS]'
SIn
0=2"0=8,01
A regiao do primeiro quadrante delimitada pelos gnlficos lie
y = ~i' e y = 2x gira em tomo do eixo-y. Determine 0 VOhlIlH':
do solido resultante.
SOLuC;Ao
A Figura 6.28(i) exibe a regiao e urn retangulo horizontal tipi~~;
Desejamos integrar em, relal;ao aye
assim resolvemos ~s'
equal;oos em relalSiio a em termos de y, obtendo
'
10 y = 1/x,
x
x=~y
11 x = 4y
(3,4)
e X= 2yll3
x=.f25-y'
y = 1,
-l, ~..-o;
12 y =X,
Y =3,
15 y=x;
x+y=4,,;X=O
A Figura 6.28(ii) ilustra 0 volume gerado pela regiao e 0 anel,
gerado pelo retangulo. Temos:
dy
espessura do ane!:
raio exterior:
2yl/3
raio interior:
iy
16 y = (x - 1)2 + 1, y = -(x' - 1)2 + 3;
-
q y)2J dy = n(4y'1J3 - * i) dy
volume:
n[(2yll3)2
0 operador
limite de somas
8
Aplicando
1
19
0
x-y =2;
20 x + y = 1,
8
V
x=l,
=J o n(4y
'1J3
_1
x-y=-I,
x.;, 2;
i) dy
4
I'; "('('S. 1-4: Estabelec;a uma integral que 'possa ser
22 y = 1 + cos 3x,
x=2tc,
I
x=O,
y=O;
23 y = senx,
y = cosx,
x=O,
x-n/4;
IIMllllnrnm caleular 0 volume do solido obtido rela
Illilli; " cia area sombreada em tome do eixo indica24 Y = sec x,
x = Jt/4;
illl
..
1
.Y="iX
2
+
2
(2,4)
Exercs. 5-24: Esboce a regiao delimitada pelos
graficos das equac;6es e caleule 0 volume do solido
gerado pela revoluc;ao de R em torno do eixo
indicado.
5 Y = lIx,
X= 1,
x=3,
6 y=V;
x-4,
y=O;
7 y =x2 - 4x,
y=O
8 y =x3,
X= -2,
y=O;
y=O;
Exercs. 25-26: Esboce a regiao delimitada pelos
graficos das equac;6es e ache 0 volume do solido
gerado pel a revoluC;aode R em tome da reta dada.
(a) y =4
(b) y=5
(c) x = 2
(d) x~3
eixo-x
eixo-x
y=O,
26 y=vx,
eixo-x
(a)x=4
eixo-x
(c)y=
(b)x=6
2
(d) Y = 4
x=4
Exercs. 27-28: Estabele~a uma integral que permita achar a volume do solido gerado pela
revolu~iio da area sombreada em tom a da reta
(a) y = -2, (b) y - 5, (cl x = 7 e (d) x = - 4.
Exercs. 35-40: Use uma integral definida para estabelecer uma f6rmula do volume do s61ido indicado.
@Exercs. 43-44: Grafe f e g nos mesmos euos
coordenados, para 0 s x S !t. (a) Estirne as coordenadas-x dos pontos de intersec~iio dos graficos. (b) Se
a regiiio delimitada pelos graficos de f e g gira em
torno do eixo-x, use a regra de Simpson com II = 4
para obter uma aproxima~iio do volum~ do sOlido
resultante.
36 Urn anel ciHndrico de altura 11, raio exterior R e
raio interior r
37 Urn cone circular relo de altura 11 e raio da
base r.
39 Urn lronco de cone circular de altura ", raio da
base inferior R e raio da base superior r.
40 Urn segmento esferico de altura 11 em uma esfera
de raio r.
f,
41 Se a regiiio exibida na figura gira em tomo do
eixo-x, use a regra do trapezio. com n - 6 para
obter uma aproxima~iio do volume do s6lido
resultante.
l--'J~
I
I
~r----+:-'ii 1
I
.~I_~r
---f
I
11
__
J
Na se"30 precedente calculamos volumes de s61idos de revolu"30 usando discos circulares, ou aneis. Para cerlos tipos de
s6lidos e convenienle utilizar cilindros circulares ocos, iSIO e,
finos aneis cilindricos do tipo ilustrado na Figura 6.29, onde
1"1 e 0 raia
exterior,
1'2 e 0 ·raio illterior,
/r e a altura e
/).1'= 1'1- - 1'2 e a espessura
I' = ~ (1'1
'do ane!. 0 raio medio do ane! e
+ 1'2) Podemos achar 0 volume do anel sub train do 0
interior do volume n~h do cilindro
volume nr;/r do cilindro
exterior. Fazendo islo e mudando
tante, obtemos
(2,4)
y= x '
?t
a forma da express30
resul-
n~/r - nr;/r = n(~ - I~)h
= n(rl + 1'2)(1'1- r2)/r
Exercs. 29-34: Esboce a regiiio R delimitada pelos
graficos das equa~6es. e estabele~a integrais que
permitam calcular a volume do s61ido gerado pela
revolu~iio de R em tomo da reta dada.
42 Se a regiiio exibida na figura gira em tomo do
eixo-x, use a regra de Simpson com n = 8 para
obler uma aproxirna~o do· volume do s6lido
resultante.
Volume V de um anel
cifindrlco (6.10)
29y=x3,
Y = 4X;
y=8
30y=2,
y - 4X;
x=4
do eixo-y, oblemos a s6lido i1ustrado em (ii) desta figura.
y+~=3;
x=2
x - Y = 1;
y=3
Seja Puma parti"30 de [a, b] e consideremos 0 retiingula
vertical tipico na Figura 6.30(iii), onde wk e 0 ponto media de
31 x+y=3,
2
32 y = l_x ,
2
33 x +l=
34 y -x?J3,
1;
x=5
y_x2;
y=-1
Se fizermos a regiiio R% da Figura 6.30 (i) girar em tomo
[X~_l' xk]· Se fizermos esse retiingulo girar em tomo do eixo-y,
obteremos
urn anel ~illndrico
de raio medio wk' altura f(wk)
e
espessura /).xk' Logo, de acordo com (6.10), 0 volume do ane! e
-'.'
~.'.'r .
2Tcwkf(wk)/llk
,,--)' ;
Diretrizes para sehar 0
volume de um solido de
revolufBO ussndo sm§is
eilindricos (6.12)
Fazendo girar 0 poHgono retangular formado par todos as;
retangulos determinados por P, obtemos 0 s61ido ilustrado ~.~ :
Figura 6.30(iv). 0 volume deste s6lido e uma soma de Riemann;
Quanto menor for a norma II P II da partic;ao, mais a soma
aproximani 0 volume V do solido exibido na Figura 6.30 (ii).i,
)sto e 0 que motiva a definic;ao seguinte.
'
A regiao delimitada pelo grafico de y = 2x - XZ e pelo eixo-x gira
em tomo do eixo-y, Determine 0 volume do solido result ante.
A regiao esta esboc;ada Da Figura 6,31 (i), juntamente com urn
retiingulo vertical tfpico de largura dx. A Figura 6.31 (ii) exibe
o anel cilfndrico gerado pela revoluc;ao do retiingulo em tomo'
do eixo-y, Note que x e a distancia do cixo-y ao ponto medio do
rctiingulo (0 raio medio do anel), Referindo-nos
a figura e
aplicando (6.10), obtemos a seguinte:
espessura do anel:
dx
raio media:
x
altura:
volume:
Pode-se provar que, se as mctodos da Sec;ao 6.2 tambem
forem aplicaveis, enlao ambos as rnetodos conduzern a mesma'
resposta. Podemos tarnbCrn considerar s6lidos obtidos pela ~
revoluc;ao de uma regiao em tomo do eixo-y ou de outra reta.
IU III lIP'!')
I,C:~nn ~)t;ii.f,1/;r;
lem as seguintes diretrizes.
J'.j
,.ilJt!, UFrc
.
I.
; l' ~.; ~ " }::
[~';
I j'f
-".~
•.' ',." ;.,':
. •....
·:.f ~.;~{~) S
.::.~~
.. ~::~. ~." ~
f',: ;\~ tj L'( ,'.~
,~1
I Nil l:GANDO-OS
'E~lDIA
2x - XZ
2=(2x - XZ) dr;
Para somar todos esses aneis cilfndricos, caminhamos da esquerda para a direila atraves da regiao de a = -I, a b = 2. Logo, a .
2
limite de somas e
V=
,
J 2n(3 - x) (x + 2 - x2) dx
-I
Para somar todos esses aneis cilfndricos, caminhamos da esquerda para a direita alraves da regiao, de a = 0 a b = 2 (Illia somar
de -2 a 2). Portanto, 0 limite de somas e
2
V=
A regiao do primeiro quadrante delimit ad a pelo grlifico da
equalSao x = 2y-l e pelo eixo-y gira em tomo do eixo-x.
EstabelelSa uma integral para. 0 volume do solido resultante.
2
fo 2m: (2x - ).2) dx 2Jt f (2x -,il) dx
2
=
= 2Jt [2(t)
-
~]:=8;~
0
8,4
o volume V pode ser obtido tambem utilizando-se aneis; mas os
clilculos seriam muito mais complicados,
pois a equalSao
y = 2x - x2 leria de ser resolvida em rela<s3oa x em termos de y.
A Figura 6.33(i) exibe a regiao, juntamenle com urn relangulo
horizontal tipico. A parte (ii) da figura mostra 0 anel cilindrico c
o s6lido que sao gerados pel a revolu<s3o em tomo do eixo-x.
Reportando-nos 11 figura e aplicando (6.10), obtemos:
espessura do anel:
dy
raio medio:
y
altura:
volume:
2y-l
2Jty(2y- y4) dy
Faz-se revolver em lomo da reta x = 3 a regiao delimitada pelos
grlificos de: y = x2 e y = x + 2. EstabelelSa uma integral para 0
volume do solido resultante.
A regiao esta esbo<sada na Figura 6.32(i), juntamente com urn
retangulo vertical tipico, estendendo-se da fronteira inferior y = x2
11 fronteira superior y = x + 2. A figura eXlbe tambeID 0 eixo de
revolu<s3ox = 3. Em (ii) da figura iluslramos nao s6 0 anel cilindrico
como 0 solido gerado pela revolu<s3o do retangulo e ,da regiao em
tomo da reta x = 3. E importante notar que, como x e a distfuu;.ia
do eixo-y ao retangulo, 0 raio do anel cilindrico e 3 - x. Reportando-nos 11 Figura 6.32 e aplicando (6.10), obtemos:
espessura do anel cilfndrico:
raio medio:
altura:
dx
3"':'~'
(x + 2) - x2
Para somar todos esses aneis cilfndricos, caminhamos pant inlll
at raves da regiao, de c = 0 a d = 2. Logo, 0 limite de somas
2
v=
,
Exercs. 5-18: Esboce a regiao R delimitada pelos
graficos das equa~oes, e calcule 0 volume do solido
gerado pela rota~ao de R em lomo do eixo indicado.
fo 2JCy(21-l)dy
E digno' de nota qu~, no exemplo
precedente, tenhamos"
sido fOfl;ados a usar aneis cilindricos e integrar em rela<;ao a y,
pois 0 usa de antis (arruelas) e a inlegra<;ao em rela<;a. a x
exig'iria a resolu<;ao da equa<;ao x - 21-l em rela<;ao a y em
lermos de x, larefa assaz dificil.
eixo-y
Exercs. 27-30: Seja R a regiao delimitada pelos ':,
graficos das equa~oes. Estabele~a integrais que
permitam calcular 0 volume do solido gerado
quando R gira em lorno do eixo !Jado, usando
(a) aneis cilindricos e (b) discos ou aneis (arruelas).
eixo-y
27 y"" 1/-..&,
x-I,
i~&;
eixo-y
28 y = 9 -:I,
x= 0, x.-2,
i-2x;
eixo-y
29 y =x2 + 2,
~=O, x = 1, y=O; eixo-y
30 y=x+1,
x .• 0, x = 1, y=O; eixo-y
5 y=-"&,
x-=--4,
y= 0;
6 y - 11x,
x = 1,
x=2,
7 y =:1,
8 16y =x2,
y= 0;
9 2x- y= 12, x-2y=3,
X=
4;
eixo-y
10 y =x3 + 1,
x+ 2y - 2,
x= 1;
eixo-y
II~' nn6is cilindricos para cada exercicio.
11 2x - Y = 4,
x= 0,
y=O;
eixo-y
1')xcrcN.1-4: Estabele~a uma integral que permila
"dlllr 0 volume do solido obtido pela revolu~ao da
i )11I) sombreada em tome do eixo indicado.
12 y =:1-
y=O;
eixo-y
13 x = 4y,
y=4;
eixo-x
14l
=x,
y=3,-
x=O;
eixo-x
15 y = 2x,
y- 6,
x=O;
eixo-x
16 2y -x,
y- 4,
.x= 1;
eixo-x
17 y=Yx+4,
y=O,
x=O;
eixo-x
x - y - -4,
y=O;
eixo-x
5x,
2
18 y = -x;
x- 4, y=O,
eixo-x
y=O; eixo-x
31 Se a regiao exibida na figura gira em lomo do
eixo-y, use a regra do trapezio, com 11 = 6, para
obter uma' aproxima~ao do volume do solido
resultante.
Exercs. 19-26: Scja R a regiao delimitada pelos
griificos das equa~oes. Estabele~a uma integral que
permita calcular 0 volume do solido gerado pela
rota~ao de R em tome da reta dada.
(a)x=3
32 Se a regiuo exigida na figura a seguir gira em lama
do eixo-y, use a regra de Simpson, com 11 = 8, para
obter uma aproxima,ao do volume do sOlidoresultante.
(b) x--l
20y=4-x2,y=0
(a) x = 2 (b) x = -3
21 y=x2,
y=4
(a) y = 4 (b) Y= 5 (c) x = 2 (d) x = -3
22 Y = -..&,
y = 0,
x =4
(a) x = 4 (b) x = 6 (c) Y = 2 (d) Y- -4
~'
..
x
,
y I ) /,7 ri
23 x+y=3,
Y +x2 _ 3;
24y=1-x2,
x - y = 1;
25 x2 + i-I;,
26'y =x2l3,
x=2
y~3
x=5
y=x'
2'
y= -1
x
(a) Use 0 metoda de Newton para obter uma
Para achar 0 volume de urn solido nao-cilindrico do tipo
ilustrado na Figura 6.36, come«;amos com uma parti«;ao P de
[a, b]. PIanos perpendiculares ao eixo-x em cada Xl na parti«;ao
aproxima!;ao, com duas casas decimais, das
coordenadas-x dos pontos de intersec!;ao dos
gnlficos.
cortam 0 s6lido ern pequenas fatias. Escolhendo urn numero
arbitrario wt em [xt_ \' xk], 0 volume de uma falia tipica po de
(a) Estime os interceptos-x do gnlfico.
(b) Fazendo a regiao delimitada pelos gnlficos
(b) Se a regiao delimitada pelo gnifico de f e
pelo eixo-x gira em tomo do eixo-y, eSlabele!;a uma integral que permita aproximar 0
volume do solido resultante.
girar em tomo do eixo-y, use a regra do
trapezio com n = 6 para obler uma aproxima!;ao do solido resultante.
ser aproximado pelo volume A (Wk) !'uk do cilindro mais escuro
da Figura 6.36. Se Ve
pequena, entao
0 volume
do solido e se a norma
II Pile
[g 34 Grafe, nos mesmos eixos coord en ados,
f(x)=cscx e g(x) =x+ I· para a <x<rc.
Como eSla aproxima«;ao melhora a medida que
definimos 0 volume do solido por
V= Jim
IPU-O
Se urn plano intercepta urn solido, a regiao comum ao plano e
ao solido e uma set;iio transversa
do solido. Na Se«;ao 6.2
utilizamos sec«;oes transversas circulares e em forma de aneis
para achar volumes de solidos de revolu«;ao. Consideremos agora
urn solido que tenha a seguinte propriedade (veja a Figura 6.34):
Para todo x em [a, b], 0 plano perpendicular ao eixo-x em x
intercepta 0 solido em uma se«;ao transversa, cuja area e A (x),
onde A e uma fun«;ao continua em [a, b].
2:
k
II P II diminui,
b
A (wk) !'uk =
I A(x)dl:
•
onde a Ultima igualdade decorre da defini«;ao de integral definitla.
Podemos resumir nosso estudo como segue:
Volumes por sect;6es
transversas (6.13)
Resultado ao<llogo vale para urn intervalo-y
uma area por sec«;6es transversas A (y).
[c, (IJ C purll
Ache 0 volume de uma piramide reta de base quadrada dc lutll\
a e com altura h.
o solido e urn cilindro se, conforme ilustrado na Figura
6.35, uma reta paralela ao eixo-x que tra«;a a fronteira da se«;ao
transversa correspondente a Ii tambem tra«;a a fronteira da se«;ail'
transversa correspondente a todo x em [a, b). As se«;oes transversas determinadas pelos pianos x = a e x = b sao as bases do
cilindro. A distancia entre as bases e a altura do cilindro. Por
Defini«;iio, 0 volume do cilindro e a area de uma base multiplicada pela altura. Assim, ovolurne do solido na Figura 6.35 e
A(a). (b -a).
De acordo com a Figura 6.37(i), tomemos 0 vcrlice tla pir. 11Iid
como origem, com 0 eixo-x passando pelo centro till hll'l
quadrada, a uma distancia It de O. As secc<oes lransvcrslIs IHlI
pIanos perpendiculares ao eixo-x sao quadrados.
I\. FiB"I"
6.37(ii) e uma vista .lateral· da piramide. Como 2y C 0 -c ,np,
mento do lado da scc«;3o transversa quodrada corrcsplJlltI 'III I.
x, a area por sec«;6es transversas A (x) c
,
,
>
;~
V=!
Exercs. 1-8: Seja R a regiao delimitada pelos gnificos de x = lex = 9. Determine 0 volume do solido
que tern R como base, se toda sec~ao transversa por
urn plano perpendicular ao eixo-x tern a forma dada.
Urn solido tern, como base, a regiao circular do plano xy
delirnitada pelo grafico de;(l + y 2 = a2 com a > O.Ache a volume
do solido, se tad a sw;ao transversa par urn plano perpeogicular
ao eixo-x e urn triangulo equilatero com urn lado na base.
A Figura 6.38(i) ilustra uma sec~ao transversa triangular por urn
plano a x unidades da origem. Se 0 ponto P(x, y) esta no drculo
e se y > 0, entao os comprimentos
dos lados deste triangulo
equilatero sao 2y. Reportando-nos a (ii) da figura, vernos, pelo
teorema de Pitagoras, que a altura do triangulo e
---.f..--- y ~
V3(a2-;(l)dx
A(x)dx=!
-Q
y
-a
,
14 Urn solido tern como base a regiao do plano xy
7 • Urn trapezio com base inferior no plano xy,
base superior igual a III do comprimento da base '
inferior, e altura igual a V4da base inferior
l-
delimitada pelos gnificos de y = x e
x. Ache
o volume do s6lido se toda se~ao transversa por
urn plano perpendicular ao eixo-x e urn semicirculo com diametro no plano xy.
15 Urn solido lem como base a regiao do plano .l.y
l
delimitada pelos graficos de
= 4x e x = 4. Se
toda sec~ao transversa por urn plano perpendicular aoeixo-y e urn semicirculo, ache 0 volume do
solido.
16 Urn solido tern como base a regiao do plano xy
delimitada pel os graficos de x2 - 16y e y = 2
Toda sec~ao transversa por urn plano perpendicular ao eixo-y e urn relangulo, cuja altura e duas
vezes a do lado no plano .l)'. Ache 0 volume do
, solido.
8 • Urn paralelogramo com base no plano xy e altura igual a duas vezes 0 comprimento da base
20 As sec~es transversas de urn s6lido em forma
de trompa por pIanos perpendiculares ao seu eixo
sao circulos. Se uma sec~ao transversa que est:\
a s cm da menor eXlremidade do s6lido tern urn
diametro de 6 +
to i cm e se 0 comprimento do
solido e de 60 cm, determine seu volume.
21 Urn tetraedro tern tres faces mutuamente perpendiculares e tres arestas mutuame'nte perpendiculares de comprimenlos 2, 3 e 4 cm. Ache seu
volume.
'
22 Teorema de Cavalieri Este teorema afirma que se
dois sOlidos tiverem alturas iguais e se todas as
se~es
trnnsversas Por planos para1elos a suas
bases e 11mesma distlincia dessas bases tiverem
areas iguais, entao os sOlidoslem 0 mesmo volume
(veja a figura), Prove 0 teorema de Cavalieri.
17 Urn toro em forma de urn ciJindro circular reto
'~l!: de raio a esta apoiado sobre urn lado. Remove-se
do toro uma cunha fazendo-se urn corte vertical
,e outro corte a urn angulo de 45°; ambos os cortes
se interceptam no centro do toro (veja a figura).
Ache 0 volume da cunha.
9
23 A base de urn s6lido e urn triangulo ret;lngl110
isosceles, cujos Jados iguais tern comprimento II
Determine 0 volume, se as se~ocs transver~IIN
perpendiculares 11base e a urn dos !lIdos igl1llis
,sao semicirculos.
Urn solido tern como base a regiao circular do
l-
pl~o' iy deli~itada peio gr~fieOdexz +
aZ
com a > O.Determine 0 volume do'solido se toda
'se~otians~ersa
por um'plano perpendicular ao
, ',,' eixo~.i e urn quadrado;
,
;;; : :'")\';
r",: .>_ i.
J ';
24 Fa~a 0 Exercfcio 23, se as sec~oes transvcrsas sfio
hexagonos regulares com urn lado sobre a bas'.
25 Mostre que os melodos do disco e do IIl1el
estudados na Se~ao 6.2 s'~o casos especiais d
(6.13).
10 Fa<;li"o Exercfcio 9 'se toda seCl;liotransversa e
urn trilingulo isosceles com base no plano xy e
altura igual ao comprimento da base.
6, - Umt!iangulo
com altura igual a: ~ do compri-
mento'da base
,
....
~
~':y
.. --~
'.
II" uin 's6lido tern como base a regiao do plano xy
-deli~i"tada pelos graficos de y = 4 e y = xZ. Ache
o volume do s6lido' se toda sec<;3otransversa por
urn plano perpendicular ao eixo-x e urn trilingulo
retlingulo is6sceles com hipoteousa 00 plano xy .
. .',
,i. :-:.;;.~
..:
J'
'.
"
•
:
-->-
12 Fa~"o Exercfcio 11 se (oda seCl;liotraosversa e
urn quadrado.
-" .......
.
."
}3 Ache 0 volUipe de ,uma pirlimide do tipo ilustrado
,
na Figura 6.37 se a altura e /I e a base e urn
reilingulo, de dimensoes a e 2a.
18 Os eixos de dois"cilindros circulares retos de raio
a se interceptam em angulo reto. Ache 0 volume
do solido delimitado pelos cilindros.
19 A base de umsolido e a regiao circular do plano
xy delirnitada pelo grafico de XZ +
l-
aZ com
voltime'dil solidosetoda se~o
transversa por urn plano perpendicular ao eixox e urn tnangulo is6sceles de altura conslante h.
a;"0: Adiea
(SlIgestoo: Interpretar
.
area.)
.
f VaZ - <if" cOmo uma
xZ
-Q
':"
...
~26 Uma piscina circular tern 10 m de difl\"clro. A
profundidade da agua varia de 1 m no ponto ;\
em urn lado da piscina ate 2,75 m cm I1IllPOIIIII
B diametralmente oposto a A (veja a figllrll).
Tomam-se medidas "(x) da profundidlldc ( III
metros) ao longo do diilmetro An, clljos vaIni"
constam da tabela 'seguinte, onde x C a (1i~IOn 10
(em metros) de A.
0
,4· , 8
12
16
20
2'1
2M
1 1,25 1;5' 1'.75'2,0 2,25 2, . 2,7~
I
II
I
I
"regra
do trapezia. com n = 7, para
Nil""" 0 volume de agua na piscina. Aproxime
"" ,,,era de gal6es de agua cantidos na piscina
(I 1111\ - 3.7861itros).
Vma fun«ao f e suave em urn intervale se tern uma
derivada f' continua em todo 0 intervalo. Intuitivamente,
isto
significa que uma 'pequena varia«ao em x acarreta uma pequena
varia«ao flo coeficiente angular f'(x) da tangente ao graflco de
f. Assim. 0 grafico nao tern pontos angulosos nem pontos de
reversao. Definiremos 0 eomprimento
do area entre do is pont~s
A e B no gn'ifico de uma fun«ao suave.
IIN
II
;c.;
I
Se f e suave' em urn intervalo fechado [a, b], os pontos
A(a, f(a» B(b. f(b» sac chamados extremos do grafico de f.
Seja P a parti«ao de [a, b] definida
por a -xo' xl'x2 ••••
x. = b, e denotemos
por Qk 0 polito com coo~denadas
(xk• f(xk» no gnifico de f, conforme Figura 6.40. Un indo cada
e
,
(.
;q
Em algumas aplica«oes devemos determinar 0 comprimento ,do.
gn'ifico de uma fun«ao. Para chegar a uma formula conveniente,'
Q•· empregan;mos urn processo amilogo ao que poderia ser usado:
Q.
para aproximar 0 comprimento de urn arame encurvado. Irnaginemos 0 arame dividido em muitas partes pequenas por meio 'de;'
pontos em Qo' Qt' Qz ... Q •• conforme Figura 6.39. Podemos"
A
Q.
I"
-
COMPRIMENTO DE ARCO E SUPERFICIES DE REVOLUyAO
(,I, Q,
obter uma aproxima«ao
do comprirnento
do peda«o entre Q._I
Qk-I a Qk por urn segmento de, comprimento d(Qk_I'Qk)'
comprimento Lp dalinha quebrada resultante e
0
";'2: d(Q._1' Q.)
Lp
.-1
e
Qk (para cada k) medi~do a distancia d(Qk_I,Q.) com uma regu;:
A soma de todas essas distancias e uma aproxima«ao do'.
comprimento total do arame. Evidentemente, quanto mais pr6~
ximos uns dos oulros estiverern os pontos. melhor a aproxima-.
«ao. 0 processo que utilizarernos para 0 grafico de uma fun«ao'
e semelhante; apenas aqui determinaremos 0 comprimento exato
tomando urn limite de somas de comprimentos de segmentos
relilineos. Este processo conduz a uma' integral definida. Para
garantir a existencia da integral, devernos impor restri"oes 11
fun«ao. como se indica a seguir.
I,' I
w. no intervalo aberto (x
para algum nurnero
k•
f(x.) - f(xk_t)
na
tuk = x. -Xk_I'
obtemos
f6rmula
d(Q •. t' Q.) = ';(tu/ + [1' (w.)
f:'t
x.). Substituindo
e
tuk
';1 + [f'(wk)?
tuk
Note que Lp e lima soma de Riemann
fazendo
tu.f
+ [f'(w.)j2
= ';\
Lp = )'
I'
precedente
para g(x) = ';1 + [f'(x)f.
Alem disso, g e continua em [a, b], pois f' e continua, Se a
norma IIPile pequena, entao 0 comprimento
Lp da linha
quebrada tende para 0 comprimenlo do grafico de f de A a B.
Esta aproxima"ao deve melhoTar -a medida que II P II diminui;
definimos assim 0 comprimento (tambem chamado eomprimento
do area) do gnlfico de f de A a B como 0 limite de somas Lp .
I
Como g = VI+1f')T c uma func;ao continua,
0 limite
igual
.
a integral definida J vI + [f'(X)]2
dx.Denotaremos
L21
8
por
L: este comprimento de arco.
=-J32 ~
21
existe e e
b
8
(21)
--
3 xl13
dx
Calculamos em seguida os valores de u = x2I3 + 4, que correspondem aos limites de integrac;ao x = 8 ex = 27:
Substituindo no integrando e mudando os limites de integrac;ao
obtemos 0 compriinento do areo:
A Definic;ao (6.14) sera estendida a graficos mais comuns
no Capitulo 13. Se uma func;ao f e definida implicitamente por
uma equa~o em'x e y, entao tambcm estaremos referindo-nos
ao eomprimento de areo do grafteo da equa!:iio.
A permuta dos papeis de x e y na Definic;ao (6.14) nos da
a seguinle f6rmula para integrac;ao em relac;ao a y.
Se f(x) = Jx2I3 - 10, determine 0 eomprimeDto do arco do grafico
de f do ponto A(8, 2) a B(27, 17).
f' (x) = 2x-113
=~
,
x1l3
vI
vI
Os integrandos
+ [f'(X)]2 e
+ [g'(y)f nas f6rmulas
(6.14) e (6.15) freqiientemente resultam em express6es que nao
admitem antiderivadas 6bvias. Em tais easos, pode-se utilizar a
integrac;ao numerica para aproximar 0 comprimento de areo,
eonforme ilustrado no pr6ximo exemplo.
(a)
Estabelec;a uma integral para achar 0 comprimento
da equac;ao
y - x = 0 de A(O, -1) a B(6, 2).
do arco
1-
=J V.x2 +4-dxx 1
21
(b)
Aproxime a integral em (a) utilizando a regra de Simpson
(5.38) com n = 6, e arredonde a res posta para uma cas a
decimal.
(3)
Como a equac;ao nao est a na forma y = f(x), a Def1l1ic;ao
(6.14) nao pode ser' aplicada diretamente. Todavia, se
escrevermos x =
y, poderemos empregar (6.15) COlli
g(y) =
y. A Figura 6.43 e 0 grMico da equac;iio. Utilizando (6.15) com e = -1 e d = 2 obtemos
13
l13
8
,
,
2
2 1
u =.x213 + 4 ,du = -x-l13 dx = - - dx
,
3
3 xl13
';'
",!,
;;
.
.Estll integral pode ser postil em forma apropriada para integrac;ao,
introdu#ndo-se
0 fator ~ no integrando e multiplicando a integral
por ~:
1-
1-
Mudando
2
L:I =
f vI + (31-1)2 dy
-1
=
= y -y
f V9y
4-
6y 2 + 2 dy
-1
B(6,2)
I -, 1-1 I
I
(b)
, •
x
Para
aplicar
a
.
regra
de
sex) em lugar de
urna funl;ao com dominio
0 simbolo
la, b], poi.s a'cada x em. la, b] corresponde urn tinico num'ero
sex). De acordo com'aFigura 6.44, sex) e 0 comprimento dQ arco
do grafico de f de A(a, f(a» a Q(X, f(x». Conforme a proxima
definil;ao, chamaremos s a fU/lI;iio comprimento de areo para 0
2
,
a notal;ao e utilizando
L;, entao s pode ser considerado
Simpson,
fazemo"
6;
f(y) = V9/+ 2 e dispomos nosso trabalho como' .
Sel;ao 5.6, obtendo a seguinte tabela.
grafico de f.
i~{irt.~l~Y{?lj
0
4
1
2
1,4142
2
3
1,0308
4
4
1,0
2,2361
2
5
1,5
5,8363
4
6
2,0
11,0454
1
Se sea
funl;ao
comprimenlo
de arco, a diferencial
do comprimento
de ai-co.
f6rmul~s p'ara determinar ds.
ds = s'(x) dx e chamada diferencial
o pr6ximo teorema especifica
'.I~r?Jt~~~~~j'~W~i~i;ii
Jf:,'_-{iJ~}~1:~
Asoma dos mJm~ros na Ultima coluna e 52,1737. Aplicando:~
a regra de Simpson com a = -1 e b = 2, e n
6 obtemos
=
/1
V9y4 - 6y2 + 2 dy = 2 ;(~)1)(52,1737)
= 8,7
DEMONSTRA9AO
Pela Definil;ao (6,16) e pelo Teorema (5.35),
Uma funl;ao f e parcialmellie suave em seu dominio se 0
grafico de f po de decompor-se em urn numero finilo de partes,'
cada uma das quais e 0 grafico de uma funl;ao suave. 0
comprimento do arco do gnifico e entao definido como a soma
dos comprimentos dos arcos parciais.
Para evilar confusao no estudo que segue, denolaremos por
I a variavel de inlegral;ao. Neste caso, a f6nnula do comlji'imento
."
do arco na Definil;ao (6.14) se escreve
;') -tQ
II!
'.::
"
"
'l
I.
:~=f(X)
L: =
f. VI
~
b x
+ [f'(t)F dt
Se f e suave em la, b], entao f e suave ern [a, x] para lodo x em
[a, b] eo comprirnenlo do grafico do ponlo A(a, f(a») ao ponlO
Q(x, f(x))
e
1 VI + [f'(xW
=
a Definil;ao (3.28),
ds = s'(x) dx = VI + [f'(x)f
dx
Isto prova (i).
de (i), obtendo
(dS)2
:
'
Aplicando
dt
Para provar (ii), elevamos ao quadrado ambos 05 membros
.
,
,,
vI + [f'(t)f
s'(x) = DJs(x)] =Dx~
=
{I + [f'(xW}(dx)2
= (dx? + [f'(x) citf
= (dx? + (dy?
o Teorema (6.17) admite uma interpreta«;ao geometrica
interessante e uti!. Consideremos y f(x) e seja /ix urn incremento x. Denotemos por !1y a varia«;ao de y, e por M a varia«;ao
do comprimento de arco correspondente a /ix. A Figura 6.45
ilustra incrementos tipicos; ali I e a tangente em (x, y) (compare
com a Figura 3.27). Como (dsj2 (dX)2 + (dy)2, podemos considerar ds como 0 comprimento da hipotenusa de urn triangulo
retangulo de lados Idrl e Idyl, conforme se pode ver na figura.
Note que se /ix e pequeno, enlao pod em os usar ds para aproximar
o incremento M do comprimenlo de arco.
Se 0 grilfico de f e 0 segmento de reta da Figura 6.47, enta~
a superffcie gerada e urn tronco de cone de raios de bases
e
'1 '2
Q
e altura inclinada s. Pode-se mostrar que a area da superficie e
n(r] + r2)s= 2,.
Q
~
. tJ
tJ
o Ieitor podera rememorar esta formula como segue.
Area d;superffcie de urn
tronco de cone (6.18)
Seja ! uma fum,ao suave nao-negativa em [a, b), e consideremos a superficie gerada pela revolu«;ao do grilfico de f em
torno do eixo-x (veja a Figura 6.46). Queremos achar uma
f6rmula para a area S desta supeficie. Seja Puma parti«;ao de
[a, b] deterrninada por a ~ xO,xI' ... ,xn = b, e para cada k denote-
6y
-----rdy
tu
l
Este fato sera utilizado na discussao a seguir.
::::::::-r
t
ds~--------T
r + r,)
(2 s
mos por Qk 0 ponto (xJ(xk))
no graftco de f (veja a Figura
6.48). Se a norma \I P \I e pr6xima de zero, entao a linha quebr'ada
lp ,obtida ao Iigarrnos Qk-] a Qk para cada k, e uma aproximm;50
do grilfico de j, e dai, a area da superffcie gerada pel a revolur;50
de lp em torno do eixo-x deve aproximar-se de S. 0 segmenlo
de reta Qk-lQk
Utilize diferenciais para aproximar 0 comprimento
gnHico de y
+ 2xdeA(I, 3) a B(I,2; 4,128):
Q.r
do arco do
Seja f uma fum,ao nao-negativa em todo urn intervalo
fechado [a, b). Fazendo-se 0 graftco de f girar em to~o do ..•.
eixo-x, obtem-se uma superffcie de revolu~iio (veja a Figura
6.46). Por exemplo, se f(x)
para uma constante
pO,sitiva r, 0 graftco de f em [-r, r) e 0 semicirculo superior de
x?-+ y2 TJ., e uma revolu«;ao em tome do eixo-x gera uma esfera
de raio r e area 4nr.
Q.,r,:r::xr
Q
gera urn tronco de cone com raios de bases
!(Xk_l) e !(xk) e altura inclinada d(Qk_I'Qt)' Por (6.18), a area
de sua superffcie
e
Somando os term os desta expressao de k = 1 a k = n obtemos a ,
area Sp da superficie gerada pela linha quebrada lr Se aplicarmos:-
Tal como em nosso trabalho nas se<;6es 6.1 a. 6.3, a -aplica<;ao
b
de
a expressao d(Qt_I' Qt) da pagina 442, entao
-,
fa
~ -
~
po de ser considerada como equivalente a tomar urn limite
dessas areas de troncos de cone. Assim,
b
S=
b
f 2rtf(x) ds f 2JtY ds
=
a
a
onde xt_1 < wt < xt. Definimos a area S da superficie de revolu.~
_
~'l.
o grafico de y = -Ii de (1,1) a (4, 2) gira em torno do eixo-x.
I<aocomo
Determine
f.
2rt L(x); fIx)
a area da superficie resultante.
A Figura 6.50 ilustra a superficie. Usando a Definil<ao (6.19) ou
a discussao anterior, temos
vI + [f'(x)f dx f. 2rtf(x) vI + [f'(x>f dx
=
4
S=
f 2rtyds
I
A demonstral<ao exige calculo avan<;ado e e omitida aqui. A
definil<ao seguinte resume nossa discussao.
=
f
4
I
2lu1f2
= ~[(4x
Se f e negativa para algumx em [a, b], entao podemos usar
a seguinte extensao da Defini<;ao (6.19) para achar a area da
superficie S:
.
S =/ 2rtlf(x)
4
.......-- 4X
= 1t I
1
+ 1)3f2]~ = ~ (17)f2 - 53(2) ~ 30,85 unidades quadradas.
'
1',11 + [f(x)jZ dx
(6.18) e util para lembrar a 16rmula de S na DefiDi<;ao
(6.19).Tal como na Figura 6.49, denotemos por (x,y) urn-ponto _
arbitrilrio no grafico de f e, como no Teorema (6.17) (i),
consideremos a diferencial do comprimento de arco
Em seguida, consideremos ds como altura inclinada de urn troDCO
de cone de raio medio y = fIx) (veja a Figura 6.49). Aplicando
(6.18), a area deste tronco de cone e dada por
_rT
V ~4
dx
f v 4x + 1 dx
Se, na discussao precedente, permutarmos os papeis de x e y,
poderemos obter uma formula aniiloga a (6.19) para integra<;ao
em relal<ao a y. Assim, se x = g(y) c se g e suave e nao-negativa
em [c, d], entao a area S da superficie gerada pela revolul<ao do
grafico de g em tomo do eixo-y (veja a Figura 6.51) e
S=
f:
2rtg(y)
VI + [g'(y)f dy
16 Ache
0
Exeres. 29-32: 0 graftco da equa~ao, de A a B gira
em tomo do eixo-x. Determine a area da superficie
resultanle.
comprimento do areo do gnifico de
3}+5
•
113
ye
30x3 de (1, ,) a (2, 240)'
Exercs. 1-4: Estabele~a uma integral para ealcular 0
eomprimenlo de areo do gratieo de A a B integrando
em rela~ao a (3) x e (b)y.
17 f(xt:-:yl
Exercs. 19·20: Use diferenciais para aproximar 0
comprimento do areo do grafieo da equa~ao A de
B(-l,1)
y=L/
Exercs. 5·12: Aehe 0 eomprimento
gn\fico da equa~ao de A a B.
Gy=ix2/3;
A(l,i),
6 (y + 1)2 = (x - 4)3;
.
.----;;:
~y=r
,
4
16
2l- 7y + 2x = 8;
141lx-4x3-7y=-7;
A(D,2),
B(3,4)
33 y =-}.[x;
-1,331)
34 x=4VY;
Exercs.
35-36:
Se
0
menor areo do drcu 10
b = 31lt/18D
2 + l = 25 entre os pontos (-3,4) e (3, 4) gira em
b = rrJ9D
tomo do eixo dado, determine a area da superficie
gerada.
'
23 y=2+x+3;
A(-2,5),
B(2,9)
24 y=x3;
A(D,O),
B(2,8)
25 y=senx;
A(D,O),
B(rrJ2,l)
A(D, D),
B(rrJ4,l)
38 Urn segmento esferico de altura II em uma esfera
, de raio r.
B(¥.!;,2)
Aproxime 0 eomprimento do areo do grafieo
de f(x) = sen x de (D,O) a (re, D), usando
A(i;-2),
B(-&, -1)
2: dk(Qk~ I'Qk)'
4
k-l
onde Qk e 0 ponto (~rrk, f(~rek)).
2: dk(Qk ~ I'Qk) se compara com eompri·
0
B(4,O)
k-l
41 Se 0 grafteo da Figura 6.49 gira em tomo do
eixo-y, mostre que a area da superficie resullanle
e dada por
/2rcxYl + [f'{x)))2dx
@ 28' (3) Estabele~~ uma integrai para o·co~prim~nto
.
40 Mostre que a area da superficie de uma esfera de
raio a entre dois pIanos paralelos depende apenas
da distlincia entre os pianos. (Sl4gestiio: Use 0
Exerdcio 38.)
,. ,
m~nlo exato do' areo?
B(O,l)
15 Ache 0 comprimento do areo do grafico de
x2f3 + y2f3 _ 1. (Sugestiio: Use a simetria em
rela~ao 11 rela y - x.)
'..
Exercs. 37·39: Use uma integral definida para estabelecer uma f6rmula para a area da superficie do
s6lido indieado.
37 Urn cone circular reto de altura h e raio da
base r.
A(f;,l),
A(1,2),
32 y = 2v'x + 1;
B(l,l;
B(3,W)
A(3,2),
B(2,W)
A(l, -I),
A(2,*),
Exeres. 13·14: Estabele~a uma integral para achar 0
eomprimenlo do arco do grafieo da equa~ao
de A e B.
13
A{1,i),
B(2,1; 4,41)
1
2l'
31 BY=,2x4 +x-2;
A(2,4),
para aproximar 0 comprimento de arcO do grafico da
. equa~ao de A a B. (Arredonde a resposta para duas
casas deeimais.)
B(27,9)
12x=L+_.
B(2,8)
:: @ Exercs. 23-26: Use a regra de Simpson com n = 4
7 y=S-W;
. .
A(B, 4)
A(l,l),
20 y +x3 = D;
B(B,8,~)
A(S, 0),
30 yex3;
19 y =x2;
Exercs. 21·22: Use diferenciais para aproximar 0
comprimento do areo do grafteo da equa~ao entre os
pontos com coordenadas -x, a e b.
de areo do
BO,2)
Exercs. 33·34: 0 graftco da equa~ao de A a B gira
em tomo do eixo.y. Detennine a area da superficie
resultante,
B.
A( -4,1'6 )
A(D,D),
294x=i;
Exercs. 17·18: (a) Determine sex), onde s e uma
fun~ao comprimento de arco para 0 grafico de f.
(b) Se x aumenta de 1 a 1,1, determine 6S e ds.
'.
~.'~.'... ,: de areo.': ,',do Exerdcio: 27(a).
'. .
~,~
'"
'
'
(b) Use a regra do trapezio com n ••'4 para apro·
ximar integral em (a).'
.
a
•
42 Use 0 Exerddo 41 para achar a area da superficic
. gerad~ peJa revolu~o do grafteo de y - 3~
A(l, 3) a B(8, 6) em tomo do eixo-y.
de
I 1.1.\ 0 (lrHico de f(x) = 1_x3 de (0,1) a (1,0) gira
III lorno do eixo-x. Aproxime a area da superficie
r 'sultllnle usando
(Q) 44
(a) Estabele<;auma integral para a area da super-'
ficie gerada no Exercicio 43..
Urn N-m (Newton-metro)
Pode-se mostrar que
e lambem chamado joule (J).
(b) Use a regni de Simpson com n = 4
aproximar a integral em (a).
Para simplificac;ao, nos exemplos e. na maior parte dos
exercicios quase sempre serao utilizadas as unidades SI,' 0 que
pod era tornar necessario considerar uma con stante gravitacional
a (9,81 m/s~ e usar a segunda lei do movimento de Newton,
F = ma, para transformar uma massa m (em kg)em uma forc;a
F (em N).
o conceito de forc;a pode ser associ ado ao ato de puxar ou
empurrar urn objeto. Por exemplo, e necessaria uma forc;a para '.
puxar ou empurrar uma mesa no chao, para levan tar urn obj~io "
do chao, para distender ou comprimir uma mola ou para mover '
uma particula atraves de urn campoeletromagnetico.
"
Se urn objeto pesa 10 quilos, entao, por definic;ao, a forc;a
necessaria para levanta-lo do chao, ou para mante-lo no chao, 'e .
10 quilos. Uma forc;a deste tipo e uma forc;a coostaote, po is sua
magnitude nao se aHera enquanto ela e aplicada ao objeto.
o conceito de trabalho surge quando uma forc;;aatua atraves
de uma distancia. A definic;ao que segue abrange 0 easo mais
simples, em que 0 objeto se move ao longo de uma reta na mesma
direc;;aoda forc;;aaplicada.
A tabela que segue apresenta as unidades de forc;a e trabalho
no sistema ingles e no sistema internacional SI. Em unid'aoes SI,
Newton e a forc;;a necessaria para imprimir uma acelerac;ao de
1 m/s2•
Sistema
Uoidade de
'fOl'c;a
Unidade de'- . "UDldadede":'
-,.distaD'da' ": ( ":-:~trab'aIIJ.~_c::!if
Ingles
libra (Ib)
pe (ft)
polegada (in)
p6-libra (ft-Ib)
JX;ll-libra(in-lb)
metro (m)
N-m Goule)
Deterrninar 0 trabalho realizado ao empurrar urn automovel por
uma distancia de 6m ao longo de uma estrada plana, exercendo
a forc;a de 400 N ..
A Figura 6.52 Hustra 0 problema. Como a forc;;a constante e
F = 400N e a distancia que 0 carro percorre e d = 6 m, decorre
da Defmic;ao (6.20) que 0 trabalho realizado e
Qualquer pessoa que tenha empurrado urn automovel (ou
qualquer outro objeto) sabe que a forc;a aplicada raramente e
con stante. Assim, se 0 motor de urn carro "morre" e ele para, Ii
necessario uma forc;a maior para movimenta-Io do que para
mante-Io em movimento. A forc;;apode variar lambem em func;ao
do atrlto, po is parte da estrada pode ser bem pavimentada elisa,
e parte nao. Uma forc;a que nao e constante e uma forc;a varia vel.
Estabelecemos a seguir urn metodo para deterrninar 0 trabalho
realizado por uma for~a variavel ao deslocar urn objeto segundo
uma trajet6ria retiHnea na mesma direc;ao da forc;a.
Supo~hamos que uma forc;a fac;a urn objeto mover-se ao
longo do eixo-x de x = a a x = b, e que a forc;a em x seja dada
por f(x), com f continua em [a, b). (A expressao fort;a em x
signifiea a forc;;aque atua no ponto de coordenada x.) Conforrne
Figura 6.53, comec;amos por considerar uma partic;ao P de
[a, b)
fut I
,'+--+,
I
Se l!. Wk e 0 incremento
do trabalho
trabalho realizado de xk _, a xk -
-
entao
E necessaria uma for~a de 40 N para distender uma mol a de seu
B
111-+111
I + )/
comprimento natural de 15 crn para 20 em. Calcular
realizado ao distender a mala.
xn_1xn=b
0 trabalho
isto e, a quantidade de
0 trabalho
W realizado
SOLUl;A.O
de a a b e a soma
(a)
l¥= Mil, + l!.W2 + ... + l!.Wn = \'
f.-',
Para aproximar
l!. Wk, escolhemos
[xk-1' xk] e consideremos
l!.Wk
urn numero arbitn\rio
a for~a f(Zk) em Zk' Se a norma
~
Distensaoxcm~
~x~
Zk
em
.~~J~~~~i\~\~
\j \j 'J \1\fT
~P
II Pile
pequena, entao sabemos que os valores funcionais variam muito
pouco em [xke l,xk]; isto e, f e quase constante neste intervalo.
t \~:r~"~
•
I
Figura 6.54
Aplicando a Defini~ao (6.20), obtemos
Introduzamos urn eixo-x conforme Figura 6.54, com uma
extremidade da mala fixa em ponto 11 esquerda da origem,
e a extremidade a ser puxada localizada na origem. De
acordo com a,lei de Hooke, a for~ f(x) necessaria para
distender a mala x unidades alem pe seu comprimento
natural e f(x) = lex, para certa constante k. Como e necessaria urna for~a de 40 N para distender a mala 5 em alem
de seu comprimento natural, temos f(5) = 40. Fazendo
:c = 5 em f(x) = kx:
40 = k . 5 ou k = 8
l!.Wk - f(Zk) l!.xk
Aplicando a Defini~ao (6.21) com a = 0 e b = 10, podemos
determinar 0 trabalho realizado ao distender a mola 10 cm~
Como esta aproxima~ao
deve melhorar
11 medida que
IIP 11- 0, definimos W como urn limite de tais somas, a que
nos conduz a uma integral definida.
10
IV~
..
(b)
10
f 8x dx = 4x f = 400 joules
2
0".
,.',
0
,
Aqui tamhem utilizarnos a for~a f(x) = 8x achada em (n).
Pela Defmi~ao (6.21), 0 trabalho realizado ao distender II
mala de 2,5 em para 7,5 em
w= f
1,5
1,5
8x dx =
3,5
,
4r f = 200 joules
2,5
Em algumas aplica<;iies devemos determinar
Defini~ao amlloga vale pani urn intervalo no eixo-y, substituindo-se x par y em todo 0 contexto.
...•
A Defmi~ao (6.21) pode ser usada para achar a trabalho
realizado ao distender ou comprimir uma mala. Para resolver
problemas deste tipo, e necessario aplicar a seguinte lei da ffsica:
Lei de Hooke:
A for~a f(x) necessaria para distender uma
mala x unidades alem de seu comprimento natural e dada por
f(x) = lex, onde k e uma constante charnada constante da mola.
0 trabalho rcnli:wdl\
ao bombear urn f1uido de urn tanque ou levantar um objcto, 1111
como uma corrente·ou urn cabo que se estende verticallll'lIt
entre dais pontos. A Figlira 6.55 ilustra urn situa~ao comull' III
que urn s6lido se estende ao longo do eixo-y de y - C 1I Y •• 11•
Querernos elevar verticalrnente todas as particulas do s6lido III
o nivel do ponto Q. Consideremos uma parti~ao P (11: I ',dl
imaginemos ,0 s6lido dividido em fatias por meio d' \1011\1
perpendiculares ao eixo-y em cada numero Yk da pllrtic;fio. I)
acordo com a figura, l!.Yk=Yk-Yk_l
Introduzamos
a nota~ao
e Sk represellta
'
a k':"
r,l \.
Zk =
distancia (apr~ximada)
Mk =
forc;a (aproximada)
e
Se 1\Wk
0 trabalho
Definic;ao (6.20),
percorrida por Sk
distancia percorrida:
A aplicac;ao de
;
I\W -I\F·z
k
.I\F,Jl
=Z
k.
k
k
',~
Definimos 0 trabalho W realizado para elevar todo 0 s6lido
urn limite de somas,
do trabalho:
10 - y (m)
(10 - y) (2,5) dy
10.
ao levanlar Sk '
realizado
k
incremenlo
necessaria para levanlar Sk ,.
~
somas de incrementos
i1;;":"
ro
fo
corresponde
a obter urn limite de
de trabalho. Logo,
10
10
10
wcoo=I (10 - y) (2,5) dy = I 25 dy - I (2,5) Y dy =
I,i
0
;, .
= 125 joules(N-m)
o trabalho total realizado e
J,".'
o limite conduz a uma integral definida. Note a difereri~a
entre este tipo de problema e 0 da nossa discussao anterior.P~ia.
obter (6.21), consideramos incrementos de disttincia !'uk e a fo~~a;.
f(zk) que atua atraves de !'uk' Na situac;ao presenle, consideran'io'S;
inerementos' de fort;a Mk e a distancia Zk' atraves da qual iF k'
atua. Os dois pr6ximos exemplos ilustram esta tecnica. Tal como"
na sec;ao precedente, representaremos por dy urn incremento
tipico I\Yk e por y urn numero em [e, dJ.
Urn cabo uniforme de 10 m de comprimento e pesando 25 kg
pende verticalmente de urn sistema de poliano cimo de urn
edificio. Uma viga de ac;o de 225 kg est a presa 11 extremidade
inferior do cabo. Calcular 0 trabalho realizado ao levar a viga
ate 0 cimo do edificio,
Denotemos
por W. 0 trabalho
para elevar
!! viga e por We 0
trabalho para elevar 0 cabo, Como a viga pesa 225 kg e deve
percorrer uma distancia de 10 m, temos, pel a definic;ao (6.20).
Urn tanque em forma de cone circular reto de 6 m de altura' e 1,5
m de raio de base tern eixo vertical e vertice no solo. Se 0 tanque
esrn cheio de agua, cuja densidade e 1.000 kg/m3, determine 0
trabalho realizado ao bombear toda a agua pela bor(Ja do tanque.
Comec;amos por introduzir urn sistema de coordenadas conforme
a Figura 6.58. 0 cone intercepta 0 plano xy segundo a reta peJa
origem do coeficiente angular 4, cuja equac;ao e
y=
Imaginemos a agua dividida em fatias, ou discos, por pIanos
perpendiculares ao eixo-y, de y = 0 a y = 6, represenlando por
dy a largura de urn disco tipico, seu volume pode ser aproxinJado
pelo disco circular exibido na Figura 6.58. Tal como na sec;ao
6.2 para volumes de revoluc;ao, tern os:
W. = (225) . (10) = 2,250 joules (N-m>-~
o trabalho necessario
para elevar 0 cabo pode ser achado pelo
metodo usado para obler (6.22). Consideremos urn eixo-y com'
a extremidade inferior do cabo na origem e a extremidade
superior elJ1 y = 10, conforme a Figura 6.57. Denotemos por
dy urn incremento no comprimento do cabo. Como cada metro
do cabo pesa 2,5 kg, 0 peso do incremento dy (e, portanto, a
forc;a necessaria para levanta-lo) e 2,5 dy. Denotando por y a
~istancia de 0 em urn ponto no incremenlo, temos:
4x ou x=:V1
volume do disco = 7t.rdy = 7t(~ f)dy
Como a agua pes a 1.000 kg/m3, a forc;a necessaria
disco e 1.000
f)dy. Temos, pois,
.0
n(T.
incremento
da forc;a:
distancia percorrida:
incremento
do trabalho:
para elevar
1.000n(T. f)dy
6- Y
(6 - y). 1.000
n(T. f)dy
6
Aplicando
0 operador
In ,obtemos
for<;a contra a
cabe<;a do pistiio:
6
w =J o (6 - y) 1.000 n (1.. l)dy =
16
= 1.~~0 n [2/-
distiincia percorrida pela
cabe<;a do pistao:
6
1000
16
nJ (6/ -/)dy =
0
incremento de trabalho:
~]: = 1.~~0 n (108) ~ 21,206 N - m
p(n?)
h
(pltl.2) h = (pltl.2) -l., dv = P dv
Jtr
b
Aplicando
o
f. ao incremento de trabalho, obternos
para quando 0 gas se expande de v = a a v = b:
e
pr6ximo exemplo
outra iIustra<;ao de como 0 trabalho
pode ser ca1culdo por meio de urn limite de somas - isto e, por
uma integral definida.
b
.
w= f pdv
Urn gas confinado tern pressao p (em Nlm2) e volume (em m3).
Se 0 gas se expande de v = a para v = b, mostre que 0 trabalho
(em joules) e dado por
Urn gorila de 180 kg de peso sobe em uma arvore
de 5 m de altura. Determine 0 trabalbo realizado
se ele cbega ao topo da arvore em
b
.
w= f pdv
2 Ache 0 trabalho realizado ao levanlar urn saco de
areia de 36 kg a uma altura de 1,20 m.
Uma mola de 25 em de comprimento natural
sofre uma distensiio de 3,8 em sob urn peso de
35 N. Ache 0 Ilabalbo realizado ao distender a
mola.
Como o. trabalho independe da forma do recipiente, podemos
admitir .9 gas confinado a urn cilindro circular reto de raio r, e
que a: expansao se processe contra a cabe<;a de urn _pistao,
conforme ilustrado na Figura 6.59. Seja dv a varia<;ao de volume
correspondente a uma varia<;ao de h metros na posi<;iio da cabe~a
do pistao. Assim,
dv = Varia~ilodo volume
----+
r
_!.
:h
= Varia~ao da posi~iio
8 Urn operario de constru<;iiolevanta um motor de
23 kg do chiio ate 0 cimo de urn edificio de 18
m de altura, usando uma corda que pesa 0,338
N - m. Ache 0 trabalho realizado.
9 Urn balde de agua e i<;adoverticalmente a raziio
constante de 45 em/s por meio de uma corda de
peso desprezivel. A medida que 0 balde sobe, a
agua vaza a raziio de 100 grls. Se 0 balde cheio
de agua pesa 11 kg no momento em que come~a
a ser ic;ado, determine 0 trabalho necessario para
i<;a-Ioa uma altura de 3,6 m.
10 No Exercicio 9, determine 0 trabalho realizado ao
ic;ar0 balde ate que tenba vazado metade da agull.
(b) de 28 em para 33 em
4 Exige-se uma for<;ade 11,5 kg para eomprimir
. uma mol a, eujo eomprimento natural e 24,5 em,
para 23 em. Aebe 0 Irabalbo realizado ao comprimir a mol a para 21 em.
S Se uma mola tern 30 em de comprimento, compare 0 trabalho WI, realizado ao distende-Ia de
30 para 32,5 em, com 0 trabalbo W2, realizado
ao distende-Ia para 35 em.
6
I+- da cabe~a do pistiio
Denotando· por p a pressao em urn ponto no incremento de
volume exibido na Figura 6.59, entao a for<;a contra cabe<;a do
pistao e 0 produto de P pela area n ? da cabe<;a do pistiio. Ternos,
po is, para 0 incremento indicado:
0 trabalho
E necessario um trabalbo de 0,113 joules para
distender uma mola de 15 em para 17,5 em, e urn
trabalho de 0,226 joules para distende-Ia de 17,5
para 20 em. Ache a constanle da mol a e seu
comprimento.
7
Urn eJevado~ que pesa 1.368 kg pende de urn
cabo de 3,65 m que pesa 21 kg por metro linear.
Aproxime 0 tlabalho necessario para fazer 0
elevador subir 2,75 m.
.
11 Urn aquario tern base retangular de 0,6 m de largura
e 1,2 m de cornprimento, e lados retangulares de
0,9 m de altura. Se 0 aquario esta cheio de aguu
pesando 1.000 kg/n?,determine 0 trabalho realizado
ao bombear tada a agua pela parte de dma do balde.
12 Generalize 0 Exemplo 4 desla se~iio para 0 ea 0
de urn tanque cDnico de altura h e raio da base (I
metros, cbeio de agua pesando 1.000 kg/m).
13 Urn lanque ciHndrieo vertical de 1 m de dififllelro
e 2 m de altura esla eheio de agua. Aehc 0
Irabalho necessario para bombear loda a agua
(b) atraves de. urn tubo que se cleva II 1,20 fIl
acirna ·da parte superior do lanque.
14 Fa<;a 0 exercicio 13 no caso de 0 Innqllc 'sIIl'
cheio apenas pela metade.
IS As extremidades de urn cocho de agua de 2,5 m
de cornprimento sac triangulos equilateros de
0,6 rn de lado. Se 0 coeho esta cheio de agua,
ache 0 trabalho realizado ao bombear loda a agua
pela parte superior do cocho.
16 Urna cisterna tern a forma de urn hernisferio de
5 rn de raio. Se a cisterna est a cheia de agua, ache
o trabalho necessario para bombear loda a agua
ale urn ponto 4 m acima do topo da cisterna.
17 Conforme Exerdcio 5 desta Se~ao. 0 volume e
u pressao de cerlo gas variam de acordo com a
lei pvl,2 = 115; onde as unidades sac polegadas
c libras. Ache 0 trabalbo realizado quando 0 gas
20 No estudo da eletricidade, usa-se a f6nnula
F = kq/r2 (onde k e uma constante) para aehar a
for~a (em Newtons) corn que uma earga positiva
Q com for~a de q unidades repele uma carga
positiva unitaria localizada a r metros de Q.
Determine 0 Irabalho realizado ao mover urna
carga uoitaria de urn ponto situado a d centimetros de Q para urn ponto a ~ d em de Q.
Nesta se<sao abordaremos alguns topicos que envolvem a massa
de urn objelo. Os termos massa e peso pOl' vezes se confundem
urn com 0 outro. 0 peso e determindo pel a for,a da gravidade.
[QIExercs. 21-22: Suponha que a labela abaixo tenha ':
sido obtida experimenlalmeote para uma for~a f(x) ,
atuando em urn ponto de coordeoada-x em uma reta "
coordeoada. Use a regra do trapezio para aproximar.'
o trabalho realizado no intervalo [a, b], onde a e b "
sao 0 menor e 0 maior valor de x, respectivamente.
se expande de 32 poll para 40 poll.
III Conforme Exemplo 5. 0 volume e a pressao de
urnu quanlidade de vapor confinado estao reIacion ados pel a f6rmula pv1.14 = C, onde C e urna
constante. Se ~ pressao e 0 volume iniciais sac
po e vo, respectivamente, eSlabele~a uma f6rmula
para 0 trabalbo realizado quando 0 gas se expande
para 0 dobro do seu volume.
19 !I. lei de gravita~ao de Newton afirma que a for~a
F de atra~o enlre duas particulas de massas 1111 e
v
e dada pol' F = G1II11II i, onde G e urna
constante gravilacional e sea distancia entre as
pa!'ticulas. Se consideramos a massa 111I da terra
concentrada em seu centro e se urn foguete de massa
1112 esla na superficie (11 distancia de 4.000 milhas
do centro), eslabel~a urna formula gem) para 0
trabalho realizado ao disparar 0 foguele verticalllIente ate uma altitude h. (veja a ~gura.)
1112
0
0,5
1,0
1,5
2,0
7,4
8,1
8,4
7,8
6,3
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,9
6,8
7,0
8,0
9,2
1
2
3
4
5
125
120
130
146
165
150
143
140
678
157
POl' cxemplo, 0 peso de urn objeto na Lua e aproximadamente urn sexto de seu peso na Terra, porque a for,a da gravidade
la e me~or. Mas a massa e a mesma. Newlon usou 0 termo massa
como sinonimo de quantidade de materia e relacionou-p com a
for,a atraves de sua segunda lei do movimento, F = ma, onde
F denota a for<sa que atua sobre urn objeto de massa m que tern
acelera,ao a. No sistema ingles, costumamos aproximar a pOI'
32ft/S2 e usaI' 0 slug como unidade de massa. Em unidades SI,
a - 9,81m/s2, e 0 quilograma e a unidade de massa. Pode-se
mostrar que
Nas aplica,6es, costuma-se admitir que a massa de urn
objeto esla concentrada em urn ponto; referimo-nos entao ao
objeto como massa-ponto, ou massa pontual, independentemente de seu tamanho. POI' exemplo, tomando a Terra como
referencia, podemos considerar urn ser hurnano, urn automovel
ou urn edificio uma massa pontual.
9
Em experimentos de fisica elemental' consideramos duas
massas ponluais m1 e m2 presas as extremidades de urna vara,
23 A for~a (em Newton) com que dois eletrons se>
repelem e inversamenle propo!'cional ao quadrado da distancia (em metros) entre eles.
(a) Se urn eletron e mantido fixo no ponto (5,0);
ache 0 Irabalho realizado ao mover urn segundo eletron ao lunge do eixo-x da origem
ao ponlo (3, 0).
conforme Figura 6.60, e procuramos determinar 0 ponto P em
que deve ser colocado urn fulcro de modo que a vara fique em
equilibrio. (Esla silua,ao c analoga ao equilibrio de uma gangorra
com uma pessoa sentada em cada extremidade.) Se as distancias
de m, e 1n2 aP sao dl e d2, respectivamente,
pode-se mostrar
experimentalmente
que P e 0 ponto de equilibrio se
-;:'",
(b) Se dois eJetrons san mantidos fixos nos' :
pontos (5, 0) e (-5, 0), respcclivamente, ache'
o trabalho realizado ao moverurn lerceiro
elelron da origem ale (3, 0).
24 Se a fun~ao for~a e constante, rnostre que a .
Defini~ao (6.21) se reduz 11 Defini<;ao (6.20):
Para generalizar este conceilo, introduzamos urn eixo-x
conforme ilustrado na Figura 6.61, com Inl e m2 localizados em
pontos com coordenadas
,~
equilibrio
XI
e x2. Se a coordenada
ex, entao, pela formula In, d, = In, d"
_
In, XI
X=
nil
+ m2x,
+m2
do ponto de
Se uma massa III esta localizada em urn ponto do eixo com
coordenada x, entao 0 produlO mx e chamado momento Mo da
a
lIlassa em relafYiio
origem. Pela nossa formula de X, vemos
que; para determinar a coordenada do ponto de equilibrio,
devemos dividir a soma dos momentos em relac;ao 11origem
pel a massa total. 0 ponto com coordenada
e chamado cell/ro
de massa (ou centro de gravidade) das duas massas pontuais.
A proxima definic;ao estende a presente discussao a varias
massas pontuais Iocalizadas em urn eixo, conforme se ve na
Figura 6.62.
.. . .
mtJn2"'3
Xl
Xl
X3
x
Consideremos em seguida uma massa pontuaI III Iocalizada
em P(x, y) em urn plano coordenado (ver Figura 6.64). Defmimos
os momentos M. e My de m em relac;ao aos eixos coordenados
x
---------;
'" P(x, y)
,
:y
I
I
,
como segue:
momento em relafYiio ao eixo-x:
M.=my
lIlomento em rela~iio ao eixo-y:
M y =mx
Em paIavras, para deterrninar M. multiplicamos
m pela coorde-
nada-y de P e para determinar My multiplicamos
m pel a coorde-
nada-x. Para deterrninar
M. e My para urn sistema
pontuais, somamos os momentos
de massas
individuais, conforme
(i) e (ii)
da proxima definic;ao.
o ponto de coordenada x eo ponto de equilibrio do sistema
S, no mesmo sentido de nos sa iIustrac;ao da gangotra.
Tres massas pontuais de 40, 60 e 100 quilogramas
estao
Iocalizadas em -2, 3 e 7, respectivamente,
sobre urn eixo-x.
Deterrninar 0 centro de massa.
Por (iii) desta definic;ao,
mX =My e my =M.
my
"',=40"'2=60
+ 0II
-2
Figura 6.63
I +3
"',=100
"
I I +7 x'
Denotando
as tres massas por ml, 1Il2 em), temos
a situac;ao
iIustrada na Figura 6.63, com XI = -2, Xl = 3 ex) = 7. Aplicando
a Definic;ao (6.23) obtemos a coordenada
x do centro de massa:
40(-2)+ 60(3) + 100(7) = 800 = 4
40 + 60 + 100
200
Como mx e
sao os momentos em rela<;flo "0 cixo10
eixo-x, respectivamente, de uma massa pontual m 10 ·"11,,, III\ III
(x, y), podemos interpretar 0 cenlro dc maSsa 011100 pOllio \'111
que a massa total deve conccntrar-sc para ol>l-r os 111\\111\'1110
M y eM • de S.
'Podemos imaginar as n masslls ponlullis t1' ( ,,' ~ I" II
ao centro de massa P por varas impond 'r~v 'is, 1111
\'OIlHIill III iI~
de um.i roda sc prcndcl1l ao centro till 11I 'Sill I, () rl 1,11111111
"
entraria em cquilibrio se ,apoiatlo POI' 1111111
'01\111Pi \ I I',
conformc FigllTa 6.65.' A apar Ilia S'rlil H'1I1\'lhIUlit II Iii,
"m6bilc" com todos os seus 01 j 'IIIS Ill) In'SII1O pll'"1111111 lillllill
Massas pontuais de 4, 8,.3 e 2 quilogramas estao situadas em
(-2,3), (2, -6), (7, -3) e ,(5, I), respectivamente. Determinar
Mx' My e 0 centro de massa do sistema.
"',: 4
(-2,3)
As massas estao ilustradas na Figura 6.66, onde tambem anted-.
pamos a posic;ao de (i, y). Aplicando a Definic;ao (6.24)
obtemos
m. = 2
• (5,1)
.
(x,ji)
m2 = 8
mJ=
Consideremos urna lamina de densidade de area p e forma
da regiao. Rx da Figura 6.68. Como ja temos ampla experie~cia
na utilizac;ao de limites de somas de Riemann para definic;6es
nas Sec;6es 6.1 a 6,9, passemos diretamente ao metodo de
representar a largura do retangulo na figura por dx (em lugar de
tJ. x), obtendo
3
Mx = (4) (3) + (8) (-6) + (3) (-3) + (2) (1) = -43
My = (4) (-2) + (8) (2) + (3) (7) + (2) (5) = 39
•
. (2,-6)
_ M
39
x=-x=-_23
m
17
'
- Mx
43
e y = -;; = - 17 - -2,5
Mais adiante consideraremos objetos s6lidos homogeneos,
no sentido de que a massa esta distribufda uniformemente por
todo 0 s6lido. Em fisica, a densidade p (rho) de urn s6lido
homogeneo de massa m e volume Ve definida como p = mlV.
Assim, densidade e igllal a massa par lInidade de voilime. A
unidade SI para densidade e kg/mJ; todavia, usa-se tambem
g/emJ• A unidade inglesa de densidade e Ib/ftJ ou Ib/inJ•
Nesta sec;ao restringiremos nossa discussao a Himinas ;,
homogeneas (placas finas, planas) que tern densidade de area
(massa por unidade de area) p. A densidade de area e medida
em kg/m2, Ib/ft2 etc. Se a area de uma face da lamina e A e a
densidade de area e p, entao a massa m e dada por 11/ = P A.
Queremos definir 0 centro de massa p de tal modo .que, se a
ponta afiada de urn lapis fosse colocada em P, con forme 'Figura
6.67, a lamina se equilibraria em posic;ao horizontal. Tal como
em (ii) da figura, admitiremos que a centro de massa de lima
lam ilia relongular e a ponlo C em que as diogonais se inlercep'
lam, Chamamos C 0 cenlro do retangulo. Assim, para problemas
que envolvem massa, admitimos que uma lamina retangular seja
uma massa pontual localizada no centro do retangulo. Esta ,
hip6tese e a chave de nossa definic;ao de centro de massa de urna '
lamina.
;,
r----Mx)
+ g(x)]
, 1
b
fa
como urn
operador que 10ma limites de somas, chegaremos
definic;ao de massa m, da lamina:
11 seguinte
Se, como em sec;6es anteriores, considerarmos
.
b
In =
f p (f(x) - g(x)] dx
Admitiremos em seguida que a Himina retangular da Figura
6.68 seja uma massa pontuallocalizada
no centro C do retangulo.
Como, pela formula do ponto medio (1.5), a distancia do
eixo-x aCe ~ [f(x) + g(x)] , obtemos 0 seguinte resultado para a
A Figura 6.69 esbo<;a a regiao e urn retangulo tlpico de largura
do ebw-x ao
centro C do retangulo e ~y, e a distancia do eixo-y aCe
x.
\',dx e altura y. Como se vI: na figura, a distancia
Logo, para a lam ilia retallgular, temos:
massa:
lamina retangular:
momento em relac<ao ao eixo-x:
py dx = p(x2 + 1) dx
~ y py dx = ~ p{;Cl + 1fdx
Us an do agora limite de somas dessas express6es pela aplica<;iio
b
Considerando Iirnites de somas mediante a aplicac<ao de
fa ' so-
I
do operador
mos conduzidos 11 seguinte definic<ao.
f o ' obtemos:
=f ! P (xl + 1)2 dt =! pI (x" + 2x" + 1) dx
I
M
~
I
02
2
I
M =f
,
0
I
px{x2+1)dx=pf
0
(x3+x)dl"
0
Para achar 0 centro de massa (x, y), utilizamos (iii) da Dcfini<;50
(6.25).
Definic<ao amlloga po de ser dada se L tern a forma de uma
regiao R, e as integra<;6es sac feitas em rela<;ao a y. Podemos
tambem obter formulas para momentos em rela<;ao a outras retas
que nao os eixos x ou y;todavia,
e aconselMvel memorizar a
tecllica para determina<;ao de momentos - multiplica<;ao de uma
massa por uma disHlncia a urn eixo - em vez de memorizar
formulas que abranjam todos os casos posslveis.
" ,;
,lIm,a lamina de densidade de area p tern a forma da regiao
delimitada pelos graficos de y =;Cl + 1, x = 0, x = 1 e x = O. Determine 0 centro de massa.
Quando determinamos (x, y) no Exemplo 3, a constanlc
p foi cancelada no numerador e no denominador. Isto oeoll .
sempre que se trata de uma lamina homogenea. Logo, 0 c:,nl r~
de massa e independente da densidade de area p; isto c, x . y
dependem apenas da forma da lamina. Por est a razao, refcrinll\'
nos as vezes ao ponto (x, y) como 0 centro de massll de 111111\
regiiio do plano, ou como'a centr6ide da regiao. Podcmos obI -r
formulas para momentos de centroides fazendo p = 1 C /1/ ~ 1\
(area da re,giao) em nosso estudo previo,
Ache 0 centr6ide da regiao
y = 6 - xl e y = 3 - 2x.
delimitada
pelos
gnHicos
de
A regiao e a mesma considerada no Exemplo 2 da Se ••iio 6.1 e
esta reesbo ••ada na Figura 6.70. Para achar os momenlos e 0
cenlr6ide consideramos p = 1 e m = A. Referindo-nos ao retangulo tfpico com centro C exibido na Figura 6.70, obtemos:
Poderiamos ter achado 0 cenlr6ide utilizando a Defini ••ao
(6.25) com f{x) = 6 -xl, g(x) = 3 - 21:, a = -1, e b = 3, mas
isto eslaria apenas ensinando a substiluir, e nao a pensar.
Se uma lamina homogenea tern a forma de uma regiao que
admi'te um eixo de simetria, entao 0 cenlro de massa dev~ eslar
sobre esse eixo. VaJemo-nos disto no proximo exemplo.
Ache 0 centr6ide da regiao semicircular
area do
retangulo:
[(6-x2) -(3 - 2x)) dx
distancia do
eixo-x a C:
1[(6 - xl) + (3 - 2x)]
momenta em
rela ••ao ao eixo-x:
e 0 grafico de y =
Ya
2 - ~
com
delimitada
pelo eixo-x
a > O.
A Figura 6.71 iJustra a regiao. Por simetria, 0 centr6ide esta
sobre 0 eixo-y; isto e, = O. Logo, basta determinar
Consideran do 0 retanguJo na figura e p = 1, lemos:
1 [(6 - xl) + (3 - 2x») . [(6 - xl) - (3 - a)) dx
x
distancia do
eixo-ya C: x
y.
momenta em
rela ••ao ao eixo-y: x[{6 - xl) - (3 - 21:)) dx
Em
seguida,
tomamos
0 limite
de somas
aplicando
0
3
operadorf
:
-1
r 1[(
3
M, =
6 - xl) + (3 - 2x)) . [(6 - xl) - (3 - 2x») dx
1
.=!/
_ M,
~a3 4a
y=-=--=-~042a
2
111
~ no
31t
'
[{6 - xl)2 - (3 - 2x)2) dr
2 -I
1r
3
=
l
(.0 - 16x2 + 12x + 27) dx = W-
Assim, 0 centr6ide
e 0 ponto
(0,3: a)
3
M
y
=f -1 x[(6-~)
=f
- (3- 2x))dr
3
(3x + U -Xl) dx =
Concluiremos esta se ••ao enunciando um teorema util sobre
s61idos de revolu ••ao. Para ilustrar um caso especial do teorema,
consideremos uma regiao R do tipo R, exibido na Figura 6.68.
¥
-I
Com A =
tr6ide
¥ e (iii) da Defini ••iio (6.25), determinamos
0 cen-.
Com p = 1 em = A (a area de R), obtemos
rela ••iio ao eixo-y:
b
M =
Y
0 momento
f x [f{x) - g{x)] dr:
a
de Rem
Se fizermos R revolver em lomo do eixo-y, utilizando
cilindricas, obtemos 0 volume V do s6lido resultanle:
cascas
b
V=
J. 2rrx If(x) - g(x)J dx
Exercs. 1-2: A tabela relaciona massas pontuais (em
quilogramas)
e suas coordenadas (em metros) sobre
um eixo-x. Determine Ill, Mo e 0 centro de massa.
:. '~L'·,:
1
M=~
y
~
80
70
delimitada
2Jt
coorderiada
-3
2
(V/2Jt)
x=
=---=-III
A
V
2rrA
50
100
50
coordenada.
-10
2
3
da regiao no primeiro
pelo circulo
quadrante
i + y 2' = 02 e os eixos
coordenados.
16 Seja R a regiao do primeiro quadrante
pela parabola
2
-
100
15 Ache 0 centr6ide
4
delirnitada
i = ex, com c > 0, ~ixo-x e a reta
0
verticalpelo
ponto (a, b) da parabola, cOf'J'orme
figura a seguir. Ache 0 centr6ide de R.
Exercs. 3-4: A tabela relaciona massas pontuais (em
quilogramas)
e suas localizac;6es (em metros) em um
plano xy: Determine Ill, Mx, My, e 0 centro de massa
do sistema.
Como X" e a disHlncia do cenlr6ide de R ao eixo-y, a Ultima
f6rmula afirma que 0 volume V do s6lido de revoluc;ao pode ser
determinado multiplicando-se
a area A de R pel a distancia
2JtX" que 0 cenlr6ide percorre quando R faz uma revoluc;ao em
lomo do eixo-y. Afirmac;ao analoga vale se R faz uma revoluc;ao
em lomo do eixo-x. No Capitulo 17 demonstraremos 0 seguinte
teorema mais conhecido, devido ao matematico Pappus de
Alexandria (C. 300 A.D.).
/:'::;r~<~::;f:~;~1~r,~:::;~:~\~:··:;:.;~;~~}>.:·.
:;-,'.-._,..;-. ;< -',~(~.(>;. > ':,":- "~'·'::;,,~..::'cL.:.: ,_'~;'(·, ....
1 ~\':'~'~."~';
localiZac;ao
os pont os P, Q, ReS das coordenad"s
(-b,O), (-a,O), (a,O) e (b, 0), respectivamente
com 0 < a < b. Ache 0 centr6ide da regiao deJi-
18 Sejam
mitada
,~,~:~,~:>:
~eJif~, ~~~i¢giao. :dy,uD1plan,~ inlei.ra~e!1le ~ituada~Qbre un]
:,l~,~g~~;V§~XeJMiWB!~l!S':,
$t:.B f~,~_iil,a·r~yo!~~~.¥~plel~':
em t<irnod~ 1;'0 vo!umedo
·~f;t.~[~)~la·1isfali~ia
17 Uma regiao tern a forma de urn quadr2.do de lado
2a encimado por urn semicirculo. Ache 0 centroide. (Sugestiio: Use 0 Exemplc 5 e 0 fato de 'que
o momento da regiao e a soma dos momentos do
quadrado e do semicirculo.)
,'~·~·f··-·--:;ih-;:
mas~a: ';;_;..,~.
'solidii resu!lanle6 0 -pibduloda
per<;Brrida peio~e#tr6idedet;'::'"
A regiao delimitada por urn cfrculo de raio a revolve em tomo
de uma reta I situada no plano do cfrculo, a qual esta a distancia
b do cfrculo, com b > a (veja Figura 6.72). Ache 0 volume do
s6lido resultante. (A superffcie deste s6lido em forma de urn
pneu e chamada toro.)
A regiao delimitada pelo cfrculo tern area :rca2 e a distancia
percorrida pelo centr6ide e 2Jtb. Logo, pelo teorema de Pappus,
Exercs.
graficos
y =
5-14: Esboce a regiao delimitada
pelos
das equac;6es e determine Ill, Mx, My, e 0
pelos
grHicos
de
y=Vb2_x",
U-::;Z, e os segmentos PQ e RS. (Suges/{jo:
Use 0 Exemplo
5.)
centr6ide.
19 Prove que 0 centr6ide
5 y=x3,
Y =0,
x=1
6 y=vx
y=O,
x=9
7 y=
4 _x2,
8 2x+ 3y = 6,
?
9 y-=x,
2y=x
10 y =.i,
y=x3
11 y = 1-,.J·
x-y=1
12 y=x2,
x+y=2
·13 x=i.
x-y=2
x=O
21 SeW R a regiao retangular com vertices (1. 2),
(2,1), (5,4), e (4, 5). Ache 0 volume do solido
gerado pela rotac;ao de R em tomo do eixo-y.
".
x+y=3
coincide
20 Uma regiao tern a forma de urn quadrado de lado
a encimado por urn triangulo equilatero de lado
a, 'Ache 0 centr6ide da regiao. (Sugestiio: Veja
o Exercicio
19 e a sugestao
dada para 0
Exercicio 17.)
y=o
y=O,
de urn trianguJo
com a intersecc;ao
das medianas.
(Sugestiio:
Tome os vertices nos pontos (0,0),
(a, b) e
(0, c), com a, bee positivos.)
, ..y .'
22 Seja R a regiao triangular
de vertices
(1, I),
(2; 2); e (3, 1). Ache 0 volume do solido gerado
pela revoluc;ao de R em tomo do eixo-y.
~ \ A 'he 0 ccntr6ide da regHiono primeiro quadrante
(a~ Estabele ••a uma integral para apro~imar .~
-:massa da lamina.
.
" Ihnllndo pclo gnifico de y = v;;z-=;z e os eixos
\'oordcllados.
(b) Use a regra de Simpson com n - 4 para
'.
),il A 'he () ccnlr6ide da regHiotriangular de vertices
O(D, 0), A(O, a) e B(b, 0), para numeros positivos
/I • b.
I Il
.egiao
delimitada
pelos
J(') - vi cosx I
"' SIIIOS eixos coordenados.
e g(x) =x2.
graficos
.
.
a
'::,:
192i; Use a regra de Simpson com n - 4 para aproximar
\ JI1II1 lfimina de densidade de area p tern a forma
0111
aproximar a integral em (a).
Se urn tanque retangular, como urn aquario, esta cheio de
agua (veja a Figura 6.74), a for<;a total exercida pela ag]Ja sobre
base po de ser caleulada como segue:
o centr6ide da regiao delimitada pelos gnificos
de y = 0, y = (senx) Ix, x = 1 ex = 2.
p = 1.000 kg/rn3 e 11 = 2 m
de
Grafe f e g nos
obtendo for<;a na base = (2.000 kg/m3)
ISla corresponde
se<;ao transversa
,.8 OUTRAS APLlCA<;OES
E evidente, do q~e vimos neste capitulo, que se uma quantidade
pode ser aproximada par uma soma ~e muitos ter,?os, enta.o ~Ia.
e candidata 11 representa<;ao por uma Integral defimda. A eXlgen-:
cia principal e que, quando 0 numero de termos a~~enta,.a so~a
tenda para urn limite. Nesta se<;ao abordaremos vanas. apllca<;oes
da integral definida. Comecemos com a for<;a exerclda por u~ ,
liquid,? sobre urn objeto submerso.
.
Na fisica, a pressiio pauma profundidade h em urn fluido
se define como 0 peso do fluido contido em uma coluna de altura'
h e area de se<;ao transversa igual a uma unidade quadrada. A
pressao tambem pode ser considerada como a for<;a por unidade
de area exercida pelo fluido. Se urn fluido tern densidade p, entao
a pressao p para a profundidade h e dada por
Segue-se uma ilustra<;ao para a agua com
• (12m2)
= 24,OOOkg.
a 12 colunas de agua, cad a uma com area da
de 1 m2 e cad a uma pesando 2.000 kg.
E mais complicaclo achar a for<;a exercida sabre urn dos
lados do aquario, porque a pressao nao e constante ai, mas
aumenta com a profundidade. Em vez de abordar este problema
particular, consideremos a seguinte situa<;ao rnais gera!'
Suponhamos uma placa submersa em urn fluido de densi:
. dade p tal que a face da placa seja perpendicular 11 superficie do
fluido. Introduzamos urn sistema de coord en ados conforme a
Figura 6.75, onde a largura da placa se estende pelo intervalo
[c, d] no eixo-y. Suponhamos que, para cada yem [c, d], a
profundidade correspondente do fluido seja h(y) e 0 comprimento da placa seja L(Y), tendo 11 e L como fun<;6es continuas.
Empregaremos a tecnica padrao que consiste em considerar
urn retangulo horizontal tipico de largura dy e comprimento
L(y), conforme ilustrado na Figura 6.75. Se dy e pequeno, entao
a pressao em urn ponto qualquer do retangulo e aproximadamentepll(y). Assim, a for<;a sobre urn lado do retangulo pode
ser aproximada por
p = 1.000 kg/m3 ou (p = 62,51b/fe).
for<;a sobre a retangulo
~ (prcssao)
. (area do retangulo)
au
ILUSTRA<;Ao
Densidade p (kg/m~
Profundidade
Ir (m) Pressao p = p Ir (kg/m)
1.000
2
2.ooii'
Tomando
1.000
4
4.000
do operador
1.000
6
6.000
o principio
de Pascal na ffsica afirma que a pressao. pa~a a'
profundidade h em urn f1uido e a mesma em toda.s as dlre<;o:s.,
Assirn, se urna placa plana e submersa em urn flUldo, a pres~~o ..
em urn lado da placa que esta a h unidades abaixo da supe~I~I~
e ph, quer a placa esteja sub mer sa verticalrnente, quer honzo~talmente au obliquarnente (veja a Figura 6.73, onde a pressao
nos pontos A, Bee e ph).
:.[.
a limite das somas dessas for<;as mediante aplica<;ao
d
Ie
somas lev ados 11 seguinte defini<;ao.
A: fOl:~a~_C~~~~~da:porum
Ouida de densidade constante.
~olJr~ u~ 1~l:\.o._4l::um!ueiiaostibDlersa
do tipo ilustrada na
Figura 6.75 e
.
',' .:;-'\':'.:,, '
:,.~;:::~:tl:·:i~;~;h~;:;·r~jl:f~jl.~:11
~)"~Y'~:~~
.".f·
Se uma regiao mais complexa e dividida em sub-regioes
do tipo ilustrado na Figura 6.75, aplicamos a Defini<;ao (6.27) a
cada sub-regiao e somados as for<;as resultantes. 0 sistema de
coordenadas pode ser introduzido de varias maneiras: No Exemplo 2 escolhemos 0 eixo-x ao longo da superffcie do Iiquido e a
dire<;ao positiva de eixo-y para baixo.
Urn tanque para armazenagem de oleo de 2 m de diametro e ~e
3,5 m de com prim en to jaz horizontalmente em urn plano. Se 0
ianque estii com oleo ate a metade, e se 0 oleo pesa 800 kg/m3,
estabele<;a uma integral para a for<;a exercida pelo oleo sobre
uma extremidade do tanque.
As extremidades de uma cacho de agua de 2,40 m de comprimento
tern a forma de trapezios isosceles cam 1,20 m de base menor, 1,80
m de base maior e 1,20 m de altura. Ache a for<;atotal sobre uma
das extremidades quando 0 cacho esta cheio de agua.
Introduzamos urn sistema 'coordenado tal que a extremidade do
tanque seja urn drculo de 1m de raio com centro na origem. A
equa<;ao do cfrculo e x2 + y2 = 1. Es:olhendo a. dire~ao po~itiva
:10 eixo-y para baixo, entao, pelo retangulo honzontal daFlgura
6.77, temos 0 seguinte:
comprimento:
A Figura 6.76 ilustra uma extremidade do cocho superposta a
urn sistema de coordenadas retangulares. A equa<;ao da reta por
(0,60;
0) e (0,90; 1,20) e y = 4x - 2,4, ou equivalente,
1
x ="4 (y + 2,4).
area:
proflmdidade:
pressao:
for<;a:
Referindo-nos
dy, tern os:
11 Figura 6.76, para urn retangul0 de altura
comprimento:
area:
profundidade:
Usando
Iimites
2x = ~ (y + 2,4)
~ (y + 2,4) dy
1,20 - Y
pressao:
1.000 (1,20 - y)
for<;a:
1.000 (1,20) - y)
de somas
com
i(y + 23,4) dy
a aplica<;ao
do operador
1,2
fo ,obtemos:
F =
2
I)
c
c
I 500(1,2 - y) (y + 2,4) dy 500 I (2,88 - 1,2 Y - i) dy
No exemplo precedente, 0 comprimelllo
do cocho foi
irrelevante ao considerarmos a for<;a sobre uma extremidade. 0
mesmo se diga para 0 tan que de oleo do proximo exemplo.
2x = 2 ~
2~dy
y
BOOy
BOOy . 2 ~
dy
constante,
velocidade
(0 sinal negativo indica que Q esta decrescendo).
entao, pela tcoria dos liquidos em movimento,
vCr) elJl uma camada de raio medio r e
a
onde Reo raio da arteria (em centimetros), 1 e 0 comprimento
da arteria (ern centimetros), Pea diferen<;a de prcssao e[1tre as
. duas extrcmidades da arteria (em din/ern') eve a viscosidade
do sangue (ern din-s/cm'). Note que a formula da velo~idade
zero se r=R, e velocidade maxima PR'/(4vl)
medida que r
tende a zero. Se 0 raio da J(';" camada e r k e a espess\lra da
Se T e 0 in stante em que todo 0 isotopo saiu do tanque,
entao Q(T) = 0 e, pelo teorema fundamental do calculo,
a
ITo Q' (I) dl = Q(I) ]T = Q(T) - Q(O)
0
camada
e !irk' entao, por (6.10), 0 volume
do sangue
nessa
camada e
T
I
o
T
T
Q' (I) dl = I [ - F . e (I)) dl = - F I e(l) dl
0
Se ha n camadas, entao 0 fluxo total na arteria par unidade de
tempo pode ser aproximado por
0
"6rmllla da concentrar;iio
tltl fllIxo (6.28)
Em geral nao se conhece uma forma explicita de e(I); tem-se
apenas uma tabela de valores funcionais. Utilizando a integra<;ao
numerica, podemos obter uma aproxima<;ao da taxa F de fluxo
(veja os Exerdcios 11 e 12).
Para estimar 0 fluxo total F (volume de sangue por unidade de
tempo), consideramos 0 limite dessas somas quando n cresce
indefinidamente.
Isto conduz a seguinte integral definida:
R
2rtrP (R' -?) dr
4vl
F =I
o
Consideremos em seguida outro aspecto do fluxo dos Iiquidos.
Se urn Hquido fiui atraves de urn tuba cilindrico e se a velocidade
e uma constante vo' entaD 0 volume de liquido que passa por urn,'
ponto fixo por unidade de tempo e dado por vif\, onde A e a area
de se<;ao transversa do tuba (veja a Figura 6.79).
= n; P
e
Ja para estudar 0 fluxo sanguineo em uma arteria
necessario uma formula mais complicada. Em tal caso, 0 fluxo
se processa em camadas conforme ilustrado na Figura6.80,
a,
seguir. Na camada mais proxima da pare de da arteria, 0 sangue
tende a se fIxar na paredc, e sua velocidade entao pode ser
considerada zero. A velocidade aumenta a medida que as .
camadas se aproximam do centro da arteria.
Para fins de calculo, podemos considerar 0 fluxo sanguineo
consistindo ern finas cascas cilindricas que deslisam umas sob!~
as outras, com a can;Jada exterior fixa e a velocidade de cada,'
camada aumentando a medida que diminui 0 raio respectlvo (veja.
a Figura 6.80). Se a velocidade em cada camada e considerada
2vl
[2
RZr _
2
2 4]
/
R
0
n; P R4
,=---cm3
8vl
Esta formula dc F nao e exata, porque a espessura das camadas
nab pode ser tomada arbitrariamente pequena. 0 limite inferior
e a largura de uma celula vermelha do sangue, ou seja, aproximadamente 2 x 1O-4cm. Podemos admitir, nao obstante, que esta
formula de uma estimativa razoiivel. E interessante notar que
uma pequena varia<;ao no raio de uma arteria produz uma grande
varia<;ao no fluxo, pois F e diretamente proporcional a quarta
potencia de R. Uma pequena varia<;ao na diferen<;a de pressao
tern efeito menor, pois Pesta na primeira potencia.
Ern muitos tipos de emprego, urn funcionario deve desempenhar a mesma tarefa repetidas vezes. Por exemplo, urn operario
de uma fabrica de bicicletas deve montar, novas bicicJetas.
Conforrne ele monla urn numero cada vez ~aior de bicicJetas,
e de se esperar que 0 tempo de cada montagem va diminuindo
ale atingir urn tempo minimo. Outro exemplo desse processo de
aprendizagem mediante repetil1ao e 0 de urn processador de
dados que deve inserir, em urn computador, informal16es contidas
-------"-~----"'--'--,
Consideremos uma situa\ao comum, em que certa tarefa
deve ser repetida muitas vezes. Suponhamos que a experiencia
, indique que 0 tempo necessario para realizar a tarefa pel a k"!"
vez possa ser aproximado por f(k), sendo f uma funl12.:Jcontinua
decrescente em urn intervale adequado. 0 tempo total para
realizar a tarefa n vezes e dado pela soma.
2:
f(k)
= f(l)
+ f(2) + ... + f(n)
Atentando para 0 grafico da Figura 6.81, ve-se que a soma
precedente e igual 11 area do poligono retangular inscrito,
podendo; p.orta'nto, ser aproximada pela integral definid_a
,.f
f(x) dx. Evidehtemente,
. O.
.'\
a aproximal1ao diferira muito pouco
•
x da soma efetiva se f decresce lentamente em [0, II]. Se f varia
rapidamente com a varial1aO unitaria de x, entao nao se deve usar
uma iptegral como aproximal1ao.
,Uma empresa que faz pesquisas por via telefOnica constata que
'0 tempo gasto por urn empregado para completar uma entrevista
depende, do numero de entrevistas que ele ja tenlla realizado
, previamente. Suponhamos que, para certa pesquisa, 0 numero
de minutos necessarios para completar a k"!" entrevista seja dado
por f(k) = 6(1 + k)-lIS para Os k s 500. Use uma integral definida paraaproxunar
0 tempo necessario para que urn empregado
..,' 'compleie"100 entrevistas e 200 entrevistas. Se urn entrevistador
, ~.recebe $ 4,80 por hora, estime a diferenl1a entre as despesas com
..• , dois empregadOidazendo
.cada urn 100 entrevistas, e corn urn
. o'
, •..•
,'_
: unico,empregado
fazendo200 entrevistas.
,.)
• ;', ;.:,
.•.•
_' • .' t I,. ,
,,;: • ".".
_
... ' ~.,;
::'::>;':~.f :J;: .r", ~.-:.l";;~)
.
".' " •. :::.J;"' ",':'
I
:~;1 (rl'4';
necessario para 100 entre-
",~
~;,,[.;,,"
<\ ·;t)
·:·~··~~i
~.; ;;, :,'
-;.'~f:;l::,!r;IJ
~;;'·:!;>1·:.•.
-\; )'i~i":i~~i\;:!~"'
.."~
200
f o 6(1 +
.1'
X)""I/S
dx = 514,4 min.
Como um entrevistador recebe $ 0,08 por minuto, 0 cuslO de
urn empregado fazendo 200 entrevislas e aproximadamente
(0,08) (514,4) = $ 41,15. Se dois empregados fazem cada um
100 entrevistas, 0 custo e 2(0,08) (293,5) = $ 46,96, que e $ 5,81
a mais do que 0 custo de urn empregado. Lembre-se, enlrelanto,
de que, com a utilizal1ao de do is empregados, M uma economia
de tempo de cerca de, 221 minutos.
Utilizando
k- 1
.J.
0 tempo
erii-{ormul1i'ios api'oiinados. 0 teniponecess~rroparaPr0cessar'-"-
cada dado deve diminuir 11 medida que 0 numero de dados
:processados au menta. Como ilustral1ao final, 0 tempo exigido
por uma pessoa para percorrer urn labirinto deve melhorar com
a pratica.
'I."i';.":+ ,"; i:,r>'_!1
Pela discussao precedente,
vistas e aproximadamente
um computador,
2:
temos
100
6(1 -+ k)""lIs = 291,75
k-l
200
2:'
6(1 + k)-IIS = 512,57
k- I
Logo, os resultados obtidos por integral1ao (area sob 0 gr5fico
de f) sac superiores em 'aproximadameote dois minutos ao valor
da soma correspondente (area do poligono retangular inscrilo).
Em economia, 0 processo utilizado por uma empresa pam
aumentar seu ativo e chamado formac;1io de capital. Se 0
montante K do capital no instante t pode ser aproximado por
K = f(t) para uma funl11io f diferenciavel, a taxa de varial1ao de
Kern relal1ao ate
chamada nuxo lfquido de investimenl,o.
Logo, se I denota 0 fluxo' de investimento, entao
1= dK = f'(t)
dt
Reciprocamente, se I e dada por g(t) para uma funl1ao g contflluf'
em urn intervalo [a, b], enlaO 0 aumento de capital Ilcsse
intervalode tempo e
.
b
f g(t) dt f(b) - f(a)
=
"
;'\
Suponhamos que uma empresa deseje ter seu fluxo liquido de
investimento aproxim~q() por g(l) = 11/3, para 1em anos e g(l) elll
milh6es de unidades monel arias por ano. Se 1= 0 correspondente
ao tempo presente, estime 0 montante da forma«ao de capital
durante os pr6ximos oilo anos.
Urn objeto se move segundo uma trajet6ria retilinea e sua
velocidade V(I) (em m/s) no instante 1 e registrada para cada
segundo, durante 6 segundos., Os resultados constam da tabela
abaixo.
.
0 1 2 3 4 5
:~::~~~t.:~~;:
Em decorrencia~oaumento
dado por
de capital flds pr6ximosoito
".~~jY:
anosr;
=
1
1 /3 dl = ~14/3
0
de
Os pontos (I, V(I» estao grafados na Figura 6.84. Admitindo que
v seja uma fun«ao continua, entao, conforme discussao prece-
Qualquer quantidade suscelivel de ser interpretada como a ..'"
area de uma regiao pode ser estudada por meio de uma integral '
definida. (Veja, por exemplo, 0 estudo da histerese no fim da
Se«ao 6.1.) Reciprocamente,
a integral definida permite-nos
representar quantidades fisicas como areas. Nas ilustra«oes que _
seguem, uma quantidade
lI11mericamellle igllal 11 area de uma .
regiao; isto
desconsideramos
llnidades de medida como
centlrnelros, metro-kg etc.
b
x (dislancia)
lotal percorrida
em [a, b], qucr
intervalo
de tempo
[v(O) + 4v(l)
3·
+'2v(2)
+ 4v(3) + 2v(4) + 4v(5) + v(6)]
1. [1 + 4 . 3 + 2,4 + 4.6 + 2·5 + 4 . 5 + 3] = 26 m
3
.
[a, b]. Esbo«ando 0 gratico de f con forme ilustrado na Figura
6.85 observa-se que 0 trabalho e numericamente igual 11 area sob
o grafico de a a b.
Se V(I) > 0 em lodo 0 intervalo de tcmpo [a, b] isto diz que a
arca sob 0 grafico da fun«ao v de a a b representa a distancia
que 0 objeto percorre, conforme ilustrado na Figura 6.82. Esta
observa«ao e uti! para urn engenheiro ou fisico, que pode nao
dispor de uma forma explicila para v(I), mas alienas de urn
grafico (ou tabela) indicando a velocidade em diferentes instantes, A distancia percorrida pode ser entao estimada mediante
aproxima«ao da area sob 0 grafico.
V(I) seja positiva quer negativa.
=
6-0
,
a
que f:1 v(l) I dl e a distancia
0
x = a a x = b, como W = fa f(x) dx, Suponhamos f(x) '" 0 em todo
=
e dada por II V(I) Idl. Segue-se
duranle
Em (6.21) definimos 0 trabalho realizado por uma for«a
variavel f(x) que alua ao longo de uma reta coordenada de
f v(l) dl = f S'(I) dl S(I)]: s(b) - 5(a)
, percorrida durante esse tempo
f o'. v(1) dl. Aproxirnernos esta integral definida por meio
v(t)dr~6-
b
Se v(1) < 0 em certos instantes em [a, b], 0 grafico de v
pode assemelhar-se ao da Figura 6.83. A figura indica que 0
objelo se moveu no sentido negativo de 1 = C a 1 = d. A distancia
a distilncia percorrida
[0, 6] e
to .
Seja v(1) a velocidade, no instante I, de urn objelo que se
move em urna reta coordenada. Se sea fun«ao posi«ao, entao
5'(1) = v(1) e
=
dente,
da regra de Simpson com II = 6:
e
e,
a
5' 5 3
)8 = 12
Conseqiientemente, 0 montante da forma«ao
12.000.000 de unidades monetarias. '
b
6
.'
f8o g(l) dl f8o
b
r
(tempo)
1 3"4
6
.
5 10 15 20 25 x (distancia)
Urn engenheiro obteve 0 grafico da Figura 6.86, que mostra a
for«a (em kg) que atua sobre uma pequena carreta a medida que
ela percorre 25 metros em urn terreno plano horizontal. Estime
o trabalho realizado.
Figura 6.86
Supondo
que, a for«a
seja
uma
0,. x ,. 25, trabalho realizado e
0
fun«ao
continua
f
para
25
w=
J o f(x)dx
A partir de 9h, comeesa-se a bombear oleo para urn taoque de
armazenagem
11razao de (150/1/2 + 25) gallh, para 0 tempo t (em
horas) apos 9h. Quantos galoes terao sido bombeados
para 0
tanque 111h?
Nao dispomos de uma forma explicita de f(x); todavia, podemos
estimar val ores funcionais a partir do grafico e aproximar W par
meio de uma integraesao numerica.
Apliquemos a regra do trapezio com a = 0, b = 25 e II = 5.
~aseando-nos
no grafico para estimar val ores funcionais, obtemos a seguinte tabela:
",-,.k);';,! .::.~k,' !(Xk)
m:
mf(xk)
0
0
45
1
45
1
5
35
2
70
2
10
30
2
60
3
15
40
2
80
4
20
25
2
50
5
25
10
1
10
SOLuC;Ao
Considerando
mos:
4
fo (1501 /2 + 25)dl (100?/2 + 25/]
Jo f(x) dx ~ 2,5(315) - 790 m-N
Para maior precisao,
de II na regra de Simpson.
poderiamos
utilizar
1
Urn aquario tern 1 rn de cornprimento e extremidades quadradas de 0,3 m de Jado. Se 0 tanque
esta cheio de agua, ache a foresa exercida peJa
agua
urn valor maior
5
(a) sobre urna extrernidade
Suponbamos que a quantidade de urn ente fisic~ como oleo
agua, foresa eletrica, montante de dinheiro, (;ontagem de bacteria~
ou fluxo sangufneo seja crescente ou decrescente
de alguma
forma, e que R(I) seja a taxa na qual a variaesao se processa no
instante I. Se Q(I) e a quantidade presente 110 instante t e sl': Q
e diferenciavel,
entao Q'(I) = R(I). Se R(I) > 0 (ou R(I) < 0) em
urn intervalo de tempo [a, b), entao a quanlidade de crescimento
(ou decrescimo)
entre 1 = a e 1 = b e
b
Q(b) - Q(a) =
,. ,.
;'
_
f
2
Se uma das extremidades quadradas do tanque do
Exercicio 1 e dividida em duas partes por uma
diagonal, 'ache a for<;a exercida sobre cada parte.
3
As extremidades de urn cocho de 2 m de comprimento tern a forma de triangulos is6sceles de
lados iguais com 0,6 m cad a e 0 terceiro lado
com 1 m, no topo do cocho. Ache a for<;a exercida
pela agua sobre uma extremidade, quando 0
cocho esta:
b .
Q' (I) dl
a
Esle numero pode ser apresentado
plano ty delimitada
pelos graficos
=
precedente,
4
0 = 900
obte-
gal
Demos apenas algumas ilustraesoes da utilizaesao das integrais definidas. 0 lei tor interessado encontrara muitas outras em
livros sobre ciencias fisicas e biologicas, economia e administraesao, e tambem em areas como ciencia politica e sociologia.
25
W=
R(t) = 15011/2 + 25 oa discussao
(a) cheio de agua, (b) cheio ate ametade.
=f R(I) dl
Q
como a area da regiao de urn
de R, t = a, t = bey = O.
4
As extre~idades de urn cochode ~gua lem a
forma da regiao delimilada pelos graficos de
y = xZ e y'= 4, com x e y medidos em metros. Se
o cocho esta cheio de agua, ache a foresa exercida
sobre uma extremidade.
";".'
.
Urn tan que ciJindrico para armazenagem de 61eo
tern 2 rn de diametro e 2,50 m de comprimcnto,
e esta deitado sobre seu lado. Se 0 tanque estr.
cheio de 61eo ate a meta de e 0 6leo peslI
960 kg/m3, ache a for<;a exercida pelo 61co soh,
uma extremidade do tanque.
6 A comporta retangular de uma represa tcm J.5 III
de comprimento elm de altura. Se a compo, tn
e vertical e sua parte superior e pamlelll
superficie da agua e esta 1,80 m abaixo delll. IIl'h
a for<;a da agua contra a comporta.
7
Urna chapa plana tern a forma de urn Irnp 'l I)
is6sceles com base superior de 4 m e base illhlu,
de 8 rn, e est a submerso verticalmente em allll I,
com as bases paralelas 11superficie da a&"I1.. '
as distancias da superffcie da agun ~s h III
inferior e superior sao 10 rn e 6 m, respe ,Iv,
mente, ache a for<;a exercida pel a agun sob, "III
lado da placa.
8 Urna chapa circular de 2 rn dc raio e. tr. 11101 II
verticalmente na iigua. Se a distflllcill dll NUll If
cie da agua ao centro da chapa e 6 Ill. a ./, II rlll~1I
exercida pela agua sobre um lado dll ·hllJ1l1.
Cap. 6
I)
IIII.u dlllpa re.angular de 1 m de largura e 6 m
Iii C'OllIprllllenlo esta imersa verticalmente em
M 0 ("IIJa densidade e de 800 kg/m~ com seu
ludo "' nor paralelo a superficie e 2 m abaixo
,lilli,
; J:(rirl~): ;f~t:(i)(mWLr
0
0
1
0
2
0,15
(II) A,'h a for~a lolal exercida sobre urn lado da
1'1, 'pll.
3
0,48
4
0,86
(It) ,', a chapa c dividida em duas partes por uma
"11Ip,nnlll,ache a for~a exercida sobre cad a
5
0,72
6
0,48
7
0,26
I. I III I lilli' 'hara de forma irregular esla imersa verli-
8
0,15
ildll'elll . em agua (veja a figural. A tabela abaixo
II II~ IIledidas de sua largura, tomadas as profun,I d.d N com inlervalos de 0,5 m. .. .. _.
9
0,09
10
11
0,05
0,Dl
12
0
111I"e.
3
3,5 4
4,5 3,5.0
fl.1I1 III
a for~a sobre urn lado da chapa, utilizan- 6,
110, ('om"
(II) II legra do trapezio
(It) a ,cgm de Simpson
@) 12 Consulte (6.28). Jogam-se 1.200 kg de dicrornalo
de s6dio em urn rio no pontoA e extraem-se, a cada
30 segundos, amostras da agua em urn ponto B rio
abaixo. A concentra<,;1ioC(I) no instante I esta
registrada na tabela abaixo. Use a regra do trapezio,
com n = 12, para estimar a taxa de f1uxoF do rio.
.t(s~g( "eM (;;iliJr;i:!m') ;
0
0
30
2,14
60
3,89
90
5,81
120
8,95
150
7,31
180
6,15
210
4,89
240
2,98
I I I I ('OIlS"Ilc (6.28). Para eslimar 0 desempenho car-
270
1,42
d II '0 f' (n(llnero de Iitros de sangue que 0 cora<,;lio
Itllllllteiu por minulo atravts da aorta), injeta-se
.1I1111
duse de 5 miligramas de is610po numa
1I,Irlill pulmonar e mede-se, a cada minuto, a
I I "Icenlrn~lio do' is610po, e(I), em uma arteria
pc, if 'ral pr6xima da aorta. Os resultados constam
,iiI Illueb abaixo. Use a regra de Simpson, com
/I - 12, para eslimar 0 desempenho cardfaco.
300
0,89
330
0,29
360
0
13 Urn industrial eslima que 0 !empo necessario para
urn operario montar delenninado ilem depende
do numero de itens montados previamenle. Se 0
tempo (em minutos) necessario para montar 0
k ~o item e dado por I(k) = 20(k + 1)-<),4 + 3,
aproxime, a menos de 1 minuto, por meio de uma
integral definida, 0 tempo necessario para a
montagem de
(a) 1 item (b) 4 itens (c) 8 ilens (d) 16 itens
Aplicq,oes da integral definida
469
14 0 Dfunero de minutos necessarios para uma
pessoa atravessar urn labirinto e estimado em
112
1(k) = 5k- , onde k e 0 Dumero de tentalivas
previas realizadas. Por meio de uma integral
defmida, aproxime 0 tempo necessario para completar 10 tentativas.
15 Urn processador registra dados relativos a estudantes coin base em forrnularios preenchidos. 0
Dumero de minutos necessarios para 0 kn!O_
re.gistro
e dado' aproximadamente
po,
I(k) = 6(1 + krl/3. Use uma integral definida
para estimar 0 tempo necessario para uma pessoa
(b) duas pessoas digitarem 300 registros cada
16 Se no Exemplo 4, a taxa' de investimento e
aproximada pOT g(l) = 2t{31+ 1), com g(l) em
milhares de unidades monetarias, use uma integral defmida para aproximar 0 montanle de
fonna<,;lio de capital DOS inlervalos (0,5] e
[5,10].
1 2
21 Obleve-se a tabela que segue registranclo a for<,;a
fIx) (em Newtons) que atua sobre uma purtieula
ao mover-se 6 metros ao longo de \lma reta
coordenada, de x = 1 a x = 7. Estime 0 trabalho
realizado utilizando
(a) a regra do trapezio com n ~ 6
(b) a regra de Simpson com n = 6
20
Exercs. 17-18: Use uma inlegral definida pura aproximar a soma, e arredonde 0 resultado para 0 inteiro
mais pr6ximo.
100
200
2 k (k2 + 1)-1/4 18 2 5k(k2 + lOrl13
k~l
3 4 5 6 7 8
tempo
(segundos)
2
3
4
5.
6
7
23
25
22
26
30
28
22 Urn motociclista sobe uma colina, regislrando a
velocidade vIr) (em m/s) ao fim de cada dois
segundos. Com base nos resultados registrados
na tabela a seguir, utilize a regra do trapezio para
aproximar a distlincia percorrida.
ka 1
@) 19 A velocidadc
(em kmlh) de urn autom6vel ao
percorrer uma auto-estrada durante urn perfodo
de 12 minutos esta indicada na Figura. Aproxime,
por meio da regra do trapezio, a distaneia percorrida a menos de 1 km.
23 Urn barco a molor consome gasolina a razlio de
( ~
gallh. Se 0 motor come~a a funcionar
em t - 0, quanta gasolina tera sido consumida em
2 horas?
24 A popula<,;liode uma cidade vem aumen lando,
2
4
6
8
10 12 Tempo
(minutos)
@ 20 A acelera~lio (em m/s2) de urn autom6vel durante
urn periodo de 8 segundos esla indicada na Figura.
Use a regra do trapezio para avuliar a varia~lio
Ifquida de velocidade duranle esse periodo de
tempo.
desde 1985, a taxa de 1,5 + 0,3Vt + 0;006 (2 miIbares de pessoas, por ano, onde 1e 0 numero de
anos ap6s 1985, Supondo que esta taxa pennane~a, e que a popula~lio era de 50.000 em 1985,
estime a popula<,;lioem 1994.
25 A Figura exibe urn dispositivo lerrnoeletrico, em
que 0 calor e Iransformado em energia eJetriea.
Para delerminar a carga total Q (em coulombs)
transferida para 0 fio de cobre, registram-se os
valores (em amperes) a cada
segundo; os
i
resultados constam da tabela a seguir.
o
o
0,5
I,D
0,2 0,6
1,5 2,0 2,5 3,0
0,7 0,8 D,S
0,2
Com base no fato que [ = dQ/dt, use a regra do
trapezio, com II 6, para estimar a carga total
transferida para 0 fio de cobre durante os tres
primeiros segundos.
q
aproximada por V'(t) = 12.45011:sen (30ltt), A
inala<;ao e a expira<;ao correspondem
a
V' (t) > 0 e V· (t) < 0, respectivamente. Supondo
que urn adullo viva em uma casa que tern uma
concentra<;ao de energia radioativa devido ao
radon, de 4,1 x 10-12 jaules/cm3.
(a) Aproxime 0 volume de ar inalado pelo adulto
em cada inspira<;ao.
(b) Se a inala<;ao de mais de 0;02 joules de
energia radialiva por ano e considerada perigosa, deve a pessoa permanecer na casa?
6.9 EXERCICIOS
E~ercs.1-2: Trace 0 grMico da regiao delimitada
pelos graficos das equa<;oes,e ache a area integrando
em rela<;ao a (a) x e (b) y.
15 Ache 0 comprimento do arco do' grafico de
2
3
3
(x + 3) = 8(y . 1) de A( -2'2) a B(5, 3).
i -8
16 Um s6lido tem por base a regiao do plano .ry
delimitada pelos graficos de = 4:<ex = 4. Ache
o volume do s6lido, se toda sec<;ao'transversa por
um plano perpendicular ao eixo-x e urn triangulo
retangulo is6sceles com urn dos lados iguais na
base do s6lido.
y
p (x) dx. A tabela a seguir da valores de p (x)
a
obtidos experimentalmente.
x =
,.p(i)(primiivern),el:
0
0,0034
6
0,0052
12
0,0124
18
0,0132
24
0,0136
30
0,0084
36
0,0034
42
@] 27
"
0,0017
',5{i)"( ou·t'riiio) .
I
I
I
I
I
!
I
I
0.0038
0,0043
0,0076
0,0104
0,0109
0,0072
0,0034
0,0016
a gas radon pode constituir serio risco quando
inalado. Se Vet) e 0 volume de ar (em cm3) nos
pulmoes de urn adulto no instante I (em minutos), entao a taxa de varia<;ao de V pode ser
l
x + 2y = 1
l, x + Y = 1
Y = _x3,
Y = .fX,
7x + 3y = 10
Ache a area da regiao entre os graficos das
equa<;oes y = cos x e y = sen x, de x = n/3 a
i
A regiao
y =
delimitada
pelo
grafico
de
vI + cos 2x e 0 eixo-x, de x = 0 a x = nl2,
gira em tome do eixo-x. Ache 0 volume do s6lido
gerado.
Suponha que um individuo se exercite por 16
minutos, com L = 3 para 0,,; 1 s 8 e com L = 2
para 8.,,; 1 ,,; 16. Ache 0 numero total de calorias
queimadas durante 0 exercfcio. 29 A tabela a seguir da a taxa de crescimento R (em
cm/ano) de um menino media no de t anos, para
10,,; I,,; 15
'
(a) Estime, pela regra do trapezio, a espessura da
camada de ozonio entre as altitudes de 6 e 42
km, na primavera e no outono.
x(km}
Y=
fExercs.3:4: Ache a area da regiao delimitada pelos
graficos das equa<;oes.
@] 26 Seja p (x) a densidade (em cmJkm) de ozonio na
!
= _x2,
l = 4 -x,
'2
28 Uma bicicleta fixa para exercfcios e programada
de fomla que possa ser ajustada para diferentes
niveis de L de intensidade e tempos de realiza<;ao
T. Ela registra 0 tempo decorrido I (em minutos),
para 0 ,,; I,,; T e 0 numero de calorias C(/) consumidas por minuto no tempo I, onde
atmosfera a uma altitude de x quilometros acima
do solo. Por exemplo, se p(6) = 0,0052, entao, a
uma altilude de 6 km, ba efetivamente uma
espessura de 0,0052 em de ozonio para cada
quilometro de atmosfera. Se p e uma fun<;ao
continua, a espessura da camada de ozonio entre
as alturas a e b pode ser obtida calculando-se
DE REVlSAo
10
11
12
13
14
15
5,3
5,2
4,9
6,5
9,3
7,0
Use a regra do trapezia, com II = 5, para obter
uma aproxima<;ao do crescimento (em centimetros) do menino entre seu 10' e 15· aniversarios.
30 Para determinar 0 numero de plancton numa parte
do oceano com 80 metros de profund'dade, um
bi610go marinho extrai amostras sucessivas de 10
metros, obtendo a tabela a seguir, onde p(x) e a
densidade (em numero/m3) de plancton a uma
profundidade de x metros.
o
10 20 30 40 50 60 70 80
o
10 25 30 20 15 10
5
0
Use a regra de Simpson, com n = 8, para estimar
o numero total de plancton em uma co/una de
2
agua de 1 m de sec<;iiotransversa, estendendo-se
da superficie ate 0 fundo do oceano.
Exercs.7-10: Esboce a regiao R delimitada pelos
graficos das equa<;oes, e ache 0 volume do s61ido
gerado pela revolu<;ao de R em tome do eLxo
indicado.
17 Uma piscina construida acima do solo tem a
forma de um cilindro circular reto de 12 pes (4 m)
de diametro e 5 pes (1,50 01) de altura. Se a
profundidade da agua na piscina e de 4 pes
(1,20 m), determine 0 trabalho necessario para
bombear a agua pelo topo da piscina.
18 Ao se i<;arum balde por UDladistancia de 30 pes
(9 m) do fundo de urn pOlio,'a agua vaza a uma
razao constante. Ache 0 trabalho reafizado se 0
balde contem originalmente 24 libras (11 'kg) de
agua e urn ter<;oda agua vaza. Admita que 0 balde
vazio pese 4 libras (1,8 kg) e despreze '0 peso da
corda.
Y = 0,
X= 0,
8 y=x4,
Y = 0,
x
= 1;
eixo-)'
9 y=x3 + I,
x= 0,
Y = 2;
eixo-)'
19 Uma chapaquadrada de 4 pes (1,22 m) d,e lado
esta submersa verticalmente em .agua de tal
modo que UDladas diagonais e paralela a superffcie da agua. Se a distancia da superficie ao
centro da chapa e de 6 pes (1,83 m), ache a for<;a
exercida pela agua sobre urn Jado da chapa.
10 y=\rx,
y =.fX;
eixo-x
20 Use diferenciais para aproximar 0 comprimento
iiI"
,7 y=v4x+
..
1
x
= 2; eixo-x
l
Exercs.n-12: A regiao delimitada pelo eixo-x e 0
grafico da equa<;ao dada, de x = 0 a x = b, gira em
tome do eixo-y. Ache 0 volume do s6lido result ante.
,
2
11 y = cosx ;
.
do arco do grafico de y = 2 sen 3x entre os pont os
de coordenada-x n e 91n/90.
Exercs. 21·22: Esbocc a regiao delimitada pelos grnficos das equa<;6es e ache m, Mx, My e 0 centr6idc.
12 y = xsen x3;
13 Ache 0 volume do s61ido gerado pela revolu«,ii0
da regiao delimitada pelos graficos de y = 4x' e
4x + y = 8 em tome (a) do eixo-x (b) x = 1 (c)
Y = 16
14 Ache 0 volume do s6lido gerado pela revoluro
da regiao delimitada pelos graficos de y = x , x
= 2 e y = 0 em tome (a) do eixo-x (b) do eLxD-)'
(c) x = 2 (d) x = 3 (e) y = 8 (0 y = -1.
23 0 gnlfico
da equa<;ao 12y = 4x3 + (3/x)
de
A(l l-) a B(2, fil ) revolve em tome do eixo-x.
, 12
24
Ache a area da superficie resultante.
24 Obtem-se a forma do refletor de urn holofote
revolvendo-se urna parabola em tOIDOdo seu
eixo. Se , conforme a figura, 0 refletor tern 4 pes
(1,22 rn) de abertura e 1 pe (30 em) de profundidade, ache a Mea de sua superfide.
(1,L
NJ
,
,
~
(a) Use a regra de -Simpson para estimar .0
consurno total durante este perfodo de uma _
hora.
' ':'.\
(b) Se 0 medidor aensa 48.792 kwlh no corne~~
da experiencia e 48.953 DOffm, qual deve ser
a conclusao do e1etridsta?
30cm
27 Interprete
25 A velocidade v(t) de UIIj foguete que caminha
diretarnente para drna consta da tabela a seguir.
Use a regra do trapezio para aproximar a distancia
pcrcorrida pelo foguete de t = 0 a t = 5.
I 26 Urn eletridsta suspeita que urn medidor de luz
que acusa urn consurno total de Q kw/b nao esteja
funcionando correntamente. Para testar a exati·
dao, 0 eletricista mede a taxa de consumo R a
cada 10 minutos, obtendo os resultados da tabela
abaixo.
f.o 2m- dx:
1
4
(a) como area de uma regiao do plano-xy
(b) como volume de urn s6lido obtido pel a rev~lu~ao de urna regiao em torno
.
(c) como urn trabalbo realizado por uma for~a:.
'I;
con' ,
28 Seja R a regiao semicircular do plano-xy
extremidades do diametro em (4, 0) e (10, 0). Use
o teorema de Pappus para achar 0 volume do
s6lido obtido pela revolu~ao de R em tOIDOdo
eixo-y.
Capitulo 7 --.
MAKRON
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FUNQOES EXPON,ENCIAIS
E LOGARITMICAS
Na matematica pre-calculo esboc;amos graficos das equac;6es como y = tr para a > 0
sem definir a" no caso de x ser irracionaI.
Apenas admitimos que existam numeros rea is
como a" e air, e que 0 grafico sobe se
a > 1 ou desce se 0 < a < 1. Admitimos, alem
disso, que as leis dos expoentes sejam validas
para todos os exponentes reais. Em seguida,
definimos log. x, utilizando nossas ex press6es exponenciais niio-definidas e "provamas" propriedades de logaritmos aplicando
leis nao- demonstradas de expoentes! Embora
tal procedimento seja ace itavel na algebra
elementar, e insatisfat6rio no calculo, no qual
o padrao de rigor mate matico e mais elevado.
Nosso enfoque neste capitulo consiste
em empregar uma integral definida para introduzir 0 logaritmo natural. Valemo-nos em
scguida de tal func;ao para definir a fimr;iio
exponencial natural. Finalmente, damos significac;ao precisa a a' e log. x. Voce podenl
achar estranho tal procedimento, mas Ii a
maneira mais simples de tratar estes t6picos
com rigor. Alem disso, tal enfoque permitenos estabelecer mais facilmente resultados
sobre continuidade, derivadas e integra is, e
provar as leis dos exponentes admitidas na
matematica pre-calculo_
o capitulo conlem muitas aplicac;6es
d,
[""" I'g.<i'm'", , "''"""'''''.1
Como essas func;6es sao inversas urn as das
oUlras, comec;aremos estudando
geral de func;ao inversa.
0 conceito
Uma fun<;ao f pode ler 0 mesmo valor para diferenles n~rneros
em seu dominio.
Por exemplo,
se f(x)
entao
f(2) •• 4 •• f( -2), mas 2 •• -2. Para defmir a inversa de lima
fll/If;lio, e essencial que diferenles numeros no dominio sempre
correspondam a valores diferenles de f. Tais fun¢es sac
charnadas fwu;6es ll/n-a-llm.
~r,
Pode-se usar 0 teorema seguinle para verificar se uma
funl$ao g e a inversa de f.
o diagrama da Figura 7.1 iJuslra urna fun<;ao urn~a-um,
porque cada valor da fun<;ao no conlradorninio R corresponde
exatamente awn elemento do dominio D. A fun<;aoiluSlrada no
grafico da Figura 7.2 nao e um-a-urn, porque a •• b, mas
f(a) •• f(b). Note que a rela horizontal y •• f(a) (ou y •• f(b))
intercepla 0 grafico em rnais de urn ponto. Assim, se qualquer
reta horizontal intercepta 0 graftco de uma fll/lI.lio f em mais·
de um pOlitO, entlio f nlio If um-a-um. Toda fun<;ao crescente
um-acurn, porque, se a < b, enlao f(a) < f(b), e se b < enl~o
f(b) < f(a). Assirn, se a •• b, entao f(a),. f(b). Analogamente,
e
a,
loda fun<;ao decrescenle
e urn-a-urn.
..".'
"..
..
Se f e uma funl$ao um-a-urn com dorninioD eCo"ntrado~'
minio R, entao, paracada nurnero y em R, existe' exalamenfe 'uii!
numero x em D tal que y •• f(x), conforrne ilustrado pel" seta na
Figura 7.3(i). Como x e ullico, podemos defini~urna fun<;ao g,
de R em D por meio da regra x = g(y). Como
ve ria' Figllril
7.3(ii), g reverte a correspondencia dada por
Chamamos'g·a.
funr,;lio inversa de f, conforrne definil$ao seguinte·.·.
,;,,->.,."
r
se
I.
"
,"
Provemos primeiro que, se g e a funl$ao inversa de' f, entao as
condil$oes (i) e (ii) sao validas. Pel a definil$ao de funl$ao inversa,
" ;' •. ~!- -'\'1; .'~
I
I
I
I
y = f(x)
se e somenle se x = g(y)
para lodo x em D e lodo y em R. Substituirido y por f(x) na
equal$aox ~ g(y), obtemos a condil$ao (i): x •• g(f(x)). Da mesma
forma; substiluindo x por g(y) na equal$ao y •• f(x), oblemos a
condil$ao (ii): y = f(g(y)). Assim, se g e a funl$ao inversa de f,
entao as condil$oes (i) e (ii) sac verdadeiras.
Reciprocainenle, seja g uma fun<;ao com dominio R c
conlradorninio D, e suponharnos verdadeiras as condil$oes (i) c
(ii)~ Para rnostrar que g e a inversa de f, devemos provar que
y = f(x)
se e somenle se x = g(y)
: f(b)
I
I
: . ;:' para lodox em [j e todo y em R.
":. Suponhamos prirneiro que y = f(x). Como (i) e verdadeirll,
g(f(x)) = x; islo e, g(y) •• x. IslO mostra que se y = f(x), cnl,O
I' x=g(y).
'
,:~,;;":~,. C\
.' ;:
.'! ~ .
""Suponham~s em seguida que x=g(y). Como (ii) e vertJn
deira, f(g(y));' y; islo e, f(x) = y. Islo rnoslra que se x -g(y)
entao y ,;.f(x); 0 que complela a. prova .
'~";!~.
",_'..:'j~!.f-J
_ ~i·. "i:/;:')
~)Of~~';')
, ,~,. :ii.
.. um'~'fu~'«i~;~~~:L~f
s6'pode ler uma fuol$ao iov ." n.
As eoodi¢es (i)"e (ii)d<?Teorema (7.3) implicam quc, s· IJ I
fum,ao inversa de f, entao f e a fum.ao inversa de g. Dizemo('
que f e g slia fUllfOes 'illversas lima da autra.
Se uma fum,ao f Item uma fun~ao inversa g, coslumamos
denotar g por f-t. 0 -1 usado nesta nota~ao nao deve ser :"
confundido com urn expoente; isto e, f-I(y) lllio significa '!
1/[f(y)], A reciproca 1/ [f(y)] pode ser denotada por [f(y)]-t. E
importante conheeer as seguintes rela~6es.
'
Seguiremos as tres diretrizes. Primeiro, notemos que 0 grafico
da func;ao linear f e uma reta de coeficiente angular 3. Como f
e crescente em todo 0 ~, f e um-a-um, logo, existe a func;ao
inversa I,t. Alem disso, como 0 dominio e 0 contradominio de
f sao ambos ~, 0 mesmo e verdadeiro para I't.
Dominios e contradomfnios
de f e f-1 (7.4)
Quando estudamos fun~6es, denotamos por x urn numero'
arbitnirio no dominio. Assim, para a fun~ao inversa I't, podemos .:
considerar I'I(x), allde x esta 110 damlllia de I-t. Neste caso, as
duas condi~6es do Teorema (7.3) se escrevem como segue:
(i)
I'l(f(x»
=X
Oi)
I(r(x»)
=
X=
y +5
3
x
Em alguns casos podemos achar Q inversa de uma fui1~ao
um-a~um resolvendoa eqitac;aoy = f(x) em rela~ao axem termos
de y,' obtendo uma equa~ao da forma x = g(y). Se as duas
condi~6es g(f(x)) = x e I(g(x») = x sao verdadeiras para todo x
no dominio de leg, respectivamente, entao g e a func;ao inversa
I'I procurada, As diretrizes seguintes resumem 0 procedimento.
Na diretriz 2, antecipando a determina~ao de I-t, escreveremos'
x = f'I(y) em lugar de x = g(y).
Como 0 simbolo usado para a variavel
tambem eserever
-
e irrelevante, podemos
Verificamos
(i) r(f(x»)
I(f'l(x»
(i)
I't(I(x»)
Direrrizes para achar j-l em
casos simples (7.5)
.:
em seguida
as condi~6es
= x e (ii)
= x:
= f-t(3x
- 5)
(defini~ao de f)
_ (3x- 5) + 5
3
~..
2 .r!(Resoi~er\reqJa~aii~Y ':"f(x) em rela~ao'~ x em Ie
Uiiiafeijuac;ao daforma x =rt(y).
; :'~de'y"'Obienao
3:.v#?fi~i/asduas&~di~6es,
" "
(ii)
o sucesso deste metoda depende da natureza da equac;ao
y = f(x), pois devemos resolver em rela<;ao a x em temlOS de y.
Por esta razao, referimo-nos a casas simples no titulo das
diretrizes.
f(f,t(x»
=I
(X; 5)
=3(X;5)_5
Assim, pelo Teorema
f'I(X) = (x + 5) / 3.
(7.3), a fun~ao inversa de I e dada por
figural observa-se que os graficos de Ie j"1 coincidem. Os dois
graficos SaD reflexoes urn do outro em rela"ao 11reta y = x. Isto
tipico de toda fun"ao I que tern uma fun"ao inversa j"1 (ver
e
Exercicio
14).
y
A Figura 7.4 e 0 grafico de f. 0 dominio de I e [0,00), e 0
contradominio e [-3,00). Como I e crescente, e tambem um-aurn e, entao, tern uma inversa I-I que tern como dominio
[-3,00) e contradominio [0,00].
que, resolvida em rela~ao a x, da
x=±vy+3
v;+3
Como x e nao-negativo, rejeitamos x = e fazemos
I-I(y) =..;y + 3 ou, equivalentemente, j"1(X) = vx + 3.
Finalmente,
v'erificamos
que (i) I-I(J(x))
= x para x 'em
[0,00) e (ii) I<rl(x)) =x para x em [-3,00):
(i)
j"1(J(X)) = r(x2 - 3) = v(xl - 3) + 3 =..;xr = x
se x« 0
(ii)
J(f-I(X»
= I(vx + 3) = (vx + 3 )2- 3 = (x + 3) - 3 = x
se x «-3
Assim, a fun"ao inversa
A Figura 7.6 ilustra os graficos de uma fun~ao um-a-um
arbitraria f e de sua fun~ao inversa j"1. Conforme indicado na
figura, (e, d) esta no grafico de f se e somente se
e) esta no
grafico de j"1. Assim, se restringirmos 0 domlDlo de f ao
intervalo [a, b], 0 dominio de
ficara restrito a [f(~), f(b)]._Se
f e continua, entao 0 grafico de I nao apre~enta lDterrup~oes
nem aberturas, e isto e igualmente verdadelfo para 0 grafico
(refletido) de I-I. Ve-se, assim, intuitivamente e, que se f e
continua em [a, b], entao
e continua em [f\a), f(b)]._~ode-se
mostrar tambem que, se f e crescente, tambem 0 e f . Estes
fatos constituem 0 pr6ximo teorema. Para demonstra~ao, con-
5~'
e dada por I-l(x) = vx + 3 . para
x« -3.
r
r
Ha uma rela"ao interessante entre 0 grafico de uma fun"ao
Ie 0 grafico de sua fun~ao inversa j"1. Notemos primeiro que
b = I(a) equivale a a = I-1(b). Estas equa,,6es implicam que a
POlltO (a, b) esta llO grafteo de f se e somente se a pall to
(b, a) 'esta llO grafteo de f-I.
Como ilustra"ao,
no Exemplo 2 vimos que as fun"oes
suite 0 Apendice
II.
Ie
I-I dadas por
Prova-se
saD fun"oes inversas uma da outra, desde que x seja convenientemente restringido.
Veja alguns pont os do grafico de I:
(0, -3), (1, -2), (2, 1) e (3, 6). Os pontos correspondentes
no
grafico de I-I saD (-3,0), (-2, 1), (1,2) e (6, 3). Os graficos de
f e j"1 estao esbo"ados no mesmo plano coordenado na Figura
7.5. Dobrando-se a pagina ao longo da reta y = x, que bisseciona
os quadrantes I e II (conforme indicado pela linha tracejada da
resultado
analogo substituindo-se
creseellte por
deereseellte no Teorema (7.6).
o pr6ximo
teorema
oferece
derivada' de uma run"ao inversa.
um metodo
para achar
a
Se f(x) = x!' + 2x - 1, prove que f tern uma fun<;ao inversa g, e
determine 0 coeficienle angular da langente ao grafi~o de g no
ponlo P(2, 1).
Como f'(x) = 3x2 + 2 > ,0 para lodo x, f e crescenle e, assim~
um-a-um. Assim, f lem uma fun<;ao inversa g. Como f(1) = 2,
segue-se que g(2) = 1, e conseqiientemenle
0 ponlo P(2, 1) esta
no grafico de g. Seria dificil achar g ulilizando as direlrizes (7.5),
porque lerfamos de resolver a equa<;ao y = xl + 2x. - 1 em rela<;ao
a x em lermos de y. Entrelanlo, mesmo nao podendo achar ,g
explicilamenle,
podemos
determinar
0 coeficienle
angular
g'(2) da langenle ao grafico de g em P(2, 1). Assim, pelo
Teorema (7.7),
g'(c) = tim ~kl
x-c
x-c
Sejam y = g(x) e a = g(c). Como f e g sao fun<;6es inversas uma
da oUlra,
g(x) = y
se e somenl~ se
f(y)
=x
g(c) = a
se e somente se
f(a)
=c
,
Como f e diferenciavel, e lambem continua e, daf, pelo '
Teorema (7.6), lambem 0 e a fun<;ao inversa g = l• Assim, se
x -> c, enlao g(x) -> g(c); islo e, y -> a. Se y -> a, enlao'
f(y) -> f(a). Podemos, po is, escrever
r
g'(c) = Jim g(x) - g(c)
x-c
y-.
= tim
-
Vma maneira facit de relembrar 0 Corolario (7.8) e fazer
y = f(x). Se g e a fun<;ao inversa de f, enlao g(y) = g(f(x)) =X.
Por (7.8),
y-a
f(y)-f(a)
g
'(y)
1
= f'(g(y»
=
1
f'(x)
1
f(y) - f(a)
dx
y-a
1
dy = (~)
1
f(y) - f(a)
y-a
Islo mostra que, ern cerlo senlido, a derivada
da fun<;ao inversa
da Uliliza<;ao
das duas Ultimas formulas e que nenhuma delas e expressa em
lermos da variavel independenle para a fun<;ao inversa. Para
iluslrar, no Exemplo 3 scja y = x!' + 2x -1 ex = g(y). Enlao
g e a redproca da derivada de f. Vma desvantagem
dx
1
1
dy = dy/dt = 3.t" + 2
g
'(y)
1
1
= 3x2 + 2 = 3(g(y)f + 2
(b) Indique 0 dominio de f -I. (e) Use 0 CoroHirio
(7.8) para achar Dxf -lex).
'(x) _
1
g
- 3(g(X»2 + 2
21 f(x) = v2x + 3
/
Conseqiientemente, para achar g'(x) e necessario
tal como no Corolario (7.8).
/y=x
conhecer g(x)
',-
(0,1) //
'
23 f(x) = 4 - x2,
/
/
24 f(x)~/-4x+5,
/
/
/
25 f(x)
Exeres. 1-12: Detennine rl(x).
1 f(x) = 3x + 5
y
15
=.!.,
x
/
(2,4)
2 f(x) ~ 7 - 2x
/
/
/
/
3 f(x) __
/
13x-
2
Exercs. 27-32: Use f' para provar que f tern uma
func;ao inversa. (b) Determine 0 coeficienle angular
/
4 f(x) =_1_
/
/
x+3
/
/
/
5 f(x)-
3x+2
2x-5
6 f(x)-~-
//'
Y = x
.1'-2
/
/
/
7 f(x) - 2 - 3x2,
.1'sO
8 f(x) - 5x2 + 2,
x:.O
da reta tangcnte em P ao gnifico de f-t.
Grafe f no intervale dado. (a) ESlime
o maior intervale [a, b] com a < 0 < b no qual f c
um-a-um. (b) Se g e a func;iiocom dominio [a, b] tal
que g(x) = f(x) para a :s x s b, eSlime 0 dominio e 0
@] Exercs.19-20:
/
/
/
/
/
/
27 f(x)=;+32+2x-l;
28 f(x) - 2 -x _x ;
x
/
19 f(x) - 2,lx3 - 2,98./ - 2,1lx + 3; [-1,2]
11 f(x) -
20 f(x)
Osx;"2
tx- + 1
P(-8,2)
contradominio de g-I.
/
/
9f(.1')-V3-x
10f(x)-~,
P(5,1)
3
16
12 f(x) = (x3 + 1)5
= sen (sen (l,lx»;
1-2,2]
Exeres. 21-26: (a) Prove que f lem uma fun<;iio
inversa.
Y
29 f(x) - -2x + (8Ix\
x>O;
P(-3,2)
30 f(x) = 4; - (1/x\
x>O;
P(3,1)
3
31 f(x) =x + 4x - 1;
P(15,2)
32 f(x)=x5
P(2,1)
+x;
13 (a) Prove que a func;ao linear deftnida por
f(x) - ax + b com a,. 0, tern uma inversa, e
detennine f -lex).
(b) Uma func;ao constante tern inversa? Explique.
14 Mostre que 0 graftco f -1 e ,a reflexao do gniftco
de f em relac;ao 11 rela y = x, verificando as
condi<;6es seguintes:
pea, b) eSla no graftco de
, Q(b, a) esta no graftco de f -1.
(i) Se
f, entao
Y
.
J: f(l) dl
;: Area sob 0
grafico de!
(ii) 0 ponto medio do segrnento PQ esla na reta
y=x.
Seja
(iii) Areta PQ e perpendicular 11 reta y = x.
/
/
/
Exercs. 15-18: A figura e 0 gniftco de uma func;iio
/
/
f urna fun<;ao continua
em urn intervalo
fechado
do
[a, b]. Tal como na prova da Parte I do teorema fundamental
calculo (5.30), pod em os definir uma fun<;ao F por
/
f um-a-um. (a) Use a reflexiio para trac;ar 0 grafico
de f -I. (b) Ache 0 dominio e 0 conlradominio de
f· (c) Ache 0 dominio e 0 contradominio de f -I ..
F(x) =
Na introdu<;iio ao capitulo explicamos por que e necessario
adotar, para as fun<;6es logarftmica e exponencial, um enfoque
diferente do usado na matematica pre-calculo. A primeira vista,
voce podera achar estranho definir uma fun<;ao logarftmica como
uma integral definida; mais adiante, entretanto, veremos que a
fun<;ao obtida obedece as leis familia res dos logaritrnos estudadas
em cursos pre-calculo.
/
/
/
/
/
/
/
F(x)
={
.
f(l) dl
para x em [a, b]. Se f(l) '" 0 erntodo [a, b), entao F(x) IS a area
sob 0 grafico de f de a a x, conforme Figura 7.7. Para 0 caso
especial f(l) = 1", onde n IS urn numero racional e n,. -I,
podemos achar uma forma explicita para F. Assim, pela regra
da potencia para integrais,
F(x)=f
,
•
t"dt=
f , (1)
- dl I -1 dl,
[1;+1]'
1
=-
I
1
, I
-
n+1.
a integral
e 0 negalivo da area da reglao sob 0 grafico
de
y = 1/1 de t = x e 1= 1 (veja a Figura 7.8(ii». Isto mostra que III
e
x negativo para 0 < x < 1 e posilivo para x > 1. Note tambem,
pel a Definic;ao (5.18), que
Como indicado, nao podemos utilizar I -1 = III para 0 integrando,
po is 1/(11+ 1) nao e definida se n = -1. Ate aqui nao tivemos
meios de determinar uma antiderivada de 1/x - is to uma func;ao
F tal que F'(x) = 1/x. A proxima definic;ao suprira est a lacuna.
In 1
=J -1 dl =0
D
1
1
J, -dl=x
1
1 I
e,
,
I
1
J~(1/I) dl par In x, obtemos
para todo x > O. Substituindo
0
seguinte teorema.
A expressao In x (Ieia-se ele-elle de x) e chamada loga.
ritmo natural de x. Usamos esta teffi1inologia porque, como'
veremos, In tern as mesmas propriedades que as func;6cs logaritmicas estudadas nos cursos pre-calculo. A rcstric;ao x> 0 e
necessaria porque, se x s 0, 0 integrando tern uma descontinuidade infinita entre x e 1 e, assim,/
(1/t) dt nao existe.
e
Pelo Teorema (7.10), In x uma anliderivada de 1/x. Como
In x e diferenciavel e sua derivada 1/x e positiva para to do
x> 0, segue-se dos Teoremas (3.11) e (4.13) que a ftmr;iio
logarllmica natural
conllllua e crescellte em todo 0 sell
domlllio. Note tambCm que
e
1
D2x1nx=D
Se x > 1, a integral definida {(lIt)
I
como a area da regiao sob
(veja a Figura 7.8(i».
0 griifico
x
(D x Inx)=D
x
(1)=_-;
x
""-
dt pode ser interpretada
de y = III de 1= 1 a I = x
.
que e negativa para todo x > O. Logo, por (4.16), 0 gratico da
funC;ao logarHmica natural e concavo para baixo em (0, (0).
Esbocemos 0 griifico de y = In x. Se 0 < x < 1, entao
In x < 0 e 0 griifico csta abaixo do ei:xo-x. Se x > I, 0 griifico csta
acima do eixo-x. Como In 1 = 0, 0 intercepto-x e 1. Podemos
aproxirnar coordenadas-y de pontos do griifico aplicando a regra do
trapezio ou a regra de Simpson. Se x = 2, enmo, pelo Exemplo 2 da
Sec;ao 5.7,
I
I
I
dt=lnx
r
d/=-Inx
J -1 dt ~ 0,693
2
In 2 =
I
I
Mostraremos no Teorema (7.12) que, se a> 0, entao In a'.= r
para todo numero racional r. Usando este resultado, lemos 0
seguinte:
!!l. !!l.du 1
D Inu=
=
-=-D
•
dxdudxu'
In 4 = In 22 = 21n 2 = 2(0,693) = 1,386
In 8 = In 23 = 3 In 2 = 2,079
(ii)
In ~ = In 2 -1 = -In 2 = 0,693
Se u > 0, entao I u I = u e, pela parte (i),
1
Dxln III I =D.ln u =~D.II
In ± = In 2-2 = -2 In 2 = -1,386
i= In 2-3 = -3 In 2 = -2,079
In
Se u < 0, entao
Grafando os pontos que correspondem as coordenadas-y
que calculamos e pelo fatode que In e continua e crescente,
temos 0 gr:ifico da Figura 7.9.
que
III I= -u >
°
e, pela parte (i),'
,
1
D 1n11l1=D In(-u)=-D
A Tabua C do Apendice III da uma lista de logaritmos naturais
de muitos outros numeros, com tres casas decimais. Podem ser
usadas tambem calculadoras para estimar valores de In.
No fim desta se<;ao provaremos
u
x
-ll
x
1
x
(-u)
1
=--(-I)D
u
1I=-D
U
x
x
u
Nos exemplos e exercfcios, se uma fun<;ao e definida em
terrnos de uma fun<;ao logaritmica natural, seu dominio nao
costuma ser explicitado. Em lugar disso, admiliremos lacilamellIe que x restrilo a va/ores para os quais a expressiio /ogarilmica
lellha selltida. Assim, no Exemplo 1, supomos x2 - 6 > 0, isto e,
Ix I > Y6. No Exemplo 2, supomos x + 1 > 0.
e
lim In x = co e lim In x = -co
o primeiro
destes resultados nos diz que y = In x cresce sem
limite quando x ~ co. Note, entretanto, que a laxa de vaTia~iia
de y em rela<;ao a x e muito pequena se x grande. Por exemplo,
se x = 106, entao'
e
d
~
]
• 106
=-
1] '1
x 106
EXEMPLO 1
rex).
Se f(x) = In (x2 - 6), determine
SOLu<;Ao
= 106 = 0,000001
Fazenoo u
Assim, a tangente e quase horizontal no ponto do grafica com
coordenada-x 106, e 0 gr:ifico se apresenta muito achatado na
vizinhan<;a deste ponto. 0 fato de que lim In x = -co nos mostra
x-o'
que a reta x = (0 eixo-x) e uma assintota vertical do grillco
(veja a Figura 7.9).
=r - 6 no Teorema (7.11)(i), obtemos
rex) D.tn (r - 6) = r 1_6 D. (r - 6) .l?Ix_ 6
=
=
°
o proximo resultado generaliza
0 Teorema
(7.10).
EXEMPLO 2 .
,r-:-T d
Se y = In vx + 1,
.!!l.
etermme dx
SOLu<;Ao
!!l.= .E..
In 6+T
dx dx
'
= _1_.E..
6+T = _1_
VX+T dx
VX+T
.1. (x + 1)-112
DEMONSTRA<;Ao
(i)
Fazendo y = In u e u = g(x), entao, pela regra da cadeia e
pelo Teorema (7.10),
=_1_.1._1
vx+ 1 2 6+T
1_,'-
- 2(x+ 1)
2
(ii)
Aplicando a formula In p+ In. q = In pq com p = l/q, vemos
......•.
..._ ..... _"-_ ...
que
_--_
In
,
.
ql' + In q = In'(1)q' q = In 1 = °
\
Usando
0
Teorema (7.1l)(ii)
f(x) =Dx In 14 + 5x-V
com 1I = 4 + 5x - V,
obtemos
1
In - =-In
q
I
q
Conseqiientemenle,
=4
5
+x-
1
VD
x
5-6r
4 +x5 V
(4+5x-V)-
In E. = In (~ . !) = In p + In! = In p - In q
q
q
q
o proximo resultado afirma que os logaritmos
satisfazem as leis dos logaritmos
matemlitica pre-clilculo.
naturais :,
em cursos de
estudadas
(iii) Se r e urn numero racional ex> 0, entao, pelo Teorema
(7.11) com u = x',
(!)
D .(lnx') = 1- D (x') =.!. rx,-l = r
=!..
x
x' x
x'
x
x
, Pelos Teoremas
(3.18)(iv)
e (7.7), podemos tambem escrever
D (rlnX)=rD(lnX)=r(!)=!..
x
x
x
Como In x' e r In x sac ambos antiderivadas
Teorema (5.2) que
para alguma
obtcmos
D Inpx=x
1
px
1
constante
C. Fazendo
x
de r/x, decorre do
x = 1 na ultima formula,
1
D (px) =- P =0x
px
x
Assim, Inpx e lnx sao ambos antiderivadas
Teorema (5.2),
de l/x e entao, pelo
lnpx=lnx+C
Como In 1 = 0, vemos que C = In p, e portanto
In px = In x + In p
,,'c
'
Na Se<;ao 7.5 estenderemos
esta lei aos expoentes
irracionais.
Como veremos na ilustra<;ao seguinte, as vezes e conveniente aplicar as leis dos logaritmos naturais allies de diferenciar.
I(>;) AP6s
f(x)
~[T:T
Se y = In V ~
APLICAR AS LEIS DOS
LOGARITMOS
f'(x)
In [(x + 2)(3x - 5)]
_1_+_1_'3=
x + 2 3x - 5
In x+2
3x-5
_1
In (x2 + 1)5
51n (xl + 1)
1
Zln (x + 1)
fix + 1
(x + 2}(3x - 5)
1_'3=
x +2
5._1-.2x=
xl+1
lOx
xl+1
1
1
1
Em primeiro lugar aplicamos as leis dos logaritmos para mudar
a forma de y:
-11
(x + 2)(3x - 5)
3x - 5
y=ln
xl_1)1/3 =-In-1 (r-1)
-3
xl'+l
(:\.2+1
=1 [In(r-1)-ln(r
Z . x + 1 = 2(x + 1)
Podemos ver uma vantagem em aplicar as leis dos logaritmos antes de diferenciar, comparando 0 metodo da determinal$ao
de Dx In vX+T na ilustral$ao precedente com a solul$ao do
Exemplo
~
, determine dx
(_1_.
2x( 1
~ =1.
dx
2.
3 xl-I
=3
Nos dois proxlmos exemplos aplicaremos as leis dos
logaritmos a expressoes complexas antes de diferenciar.
2x __ 1_.
xl+1
+ 1)]
2x)
1)
r-1-xl+1
2x[ (r-1)(xl+1)
2 ] =3(xl-1)(r+1)
4x
=3
Dada y = f(x), podemos
as vezes achar DxY por diferen-
cial;iio logarftmica.
Este metoda e especialmente uti! quando
f(x) envolve produtos, quocientes ou potencias complicados. Nas
diretrizes a seguir supoe-se f(x) > 0; todavia, veremos que se
pode usar 0 mesmo processo de f(x) < O.
Primeiro ~screvemos v6x - 1 = (fix _1)1/2 e em seguida aplicamos as leIS dos logaritmos (i) e (iii):
I(x) = In [(fix -1)1/2(4x + 5)3]
= In (fix _1)1/2 + In (4x + 5)3
Diretrizes para diferenciaqao
logaritmica (7.13)
=tln (6x-1) +310 (4x+5)
rex) (1..
_1_. 6)+ (3.__1
.4)
2 fix-I
4x+5
=
3
12
=--+-fix-I
4x+5
84x+ 3
(fix - 1)(4x + 5)
Naturalmente,
para completar a solul$ao, devemos c1ifcrenciar In f(x) em algum estagio apos a diretriz 3. Sc
f(x) < o para algum ;c, entao a diretriz 2 nao e valida, pois
, In f(x),nao
definido.,Neste caso podemos substituir a dirctrll
e
I y 1:-1 f(X. ).. 1.,~ .u\i1izar
In I y I =)n !I(x) 1·,/,
'
1 por
logaritmos
natura is, oblcndo
.~~:~:~~;~f
Difereodan'aoeni~(fiinplicitameote
e aplicaodo 0 Teorema'
,(7.11)(ii),.chegamos
oovameoteii
diretriz 4. Assim, valores"
oegativos de J(x) oao iovalidam 0 resultado, e oao precisamos'
oos preocupar com 0 fato de f(x) ser positiva ou oegativa. Nao '
se deve usar 0 metoda para achar f'(a) se f(a) = 0, pois In 0 oao\'
e defioido.
':1, •
'"
"
EXEMPLO
EXEMPLO
7
; ',"
, h(x) pode ser aproximada
_ • ,h(~l
(a)
:':~;;~'ftR~\t~:i?:~
.
I', .
por
'
~ 7~~22~ + 5,104x
+ 9,222 In x
,
i
t
Preveja a altura e a taxa de crescimento quando uma cri~-nfSa
atmge a idade 2.
-- '
i
""".~"M""'!"_
para
DxY
;
a '-::;:
'altura de 'uma' crianfSa em idade pre~escolar. Se h(x) deno~a a ,:,"
altura (em centimetros) na idade x (em anos) para ~ s x s 6, 'entao
6
(5x-4)3
d'f'
- I
.
Se' ,Y ~ ,v2x
+ 1 ' use a I erenclafSao ogaritmlca
.:
o modelo Count e uma formula empirica usada parapredizei
, (hj' 'Quando
a ta~a deciescimento
e maxim~?
SOLu<;Ao
. J:
,j'';'
'./.
Como na diretriz 2, comefSamos por usar 0 logaritmo natural de'
, cada membro:
'
'r ';',
i
iI'
Iny = In (5x-4)3-lo
v2x+ 1
j.,
=31n (5x- 4) -pn
(2x+ 1)
h'(x) = 5:104 + 9,222 (~)
Aplicaodo as diretrizes 3 e 4, diferenciamos implicitamente
em relafSaO a x e ulilizamos entao 0 Teorema (7.8), obtendo
lD
Y=(3._L'5)_(1._1_.2)
Y
5x- 4
2 2x + 1
x
Fazendo x ~ 2, temos
Logo, a taxa de crescimento
e de cerca de 9,7 cm/ano.
25x+19
(5x - 4)(2x + 1)
(h)
Finalmente, como na diretriz 5, multiplicamos ambos os membros da Ultima equafSao por y (isto e, por (5x - 4)3 !V2x + 1),
obtendo
no segundo aniversario
da crianfSa
Para determinar 0 valor maximo da taxa de crescimento
h'(x), achamos primeiro os numeros criticos de h'. Dife"
renciando h'(x), obtemos
h"(x) = 9,222 (_ ~) = _ 9,~2
_~±..12.-.
D
(5x-4)3
v2x+1
Y-(5x-4)(2x+1)
X
Como'
(25x+ 19)(5x-4f
(2x -1)l!2
Pode-se verificar
quocicnte.
este resultado
aplicando
h"(x)
e negativa para todo x em [~, 610 h' nao iem
numeros criticos em (~, 6). Decorre do Teorema
decrescenle
a y a regra
do
No proximo exemplo mostraremos uma aplicafSao dos '
Iogaritmos naturais a processos de crescimento. Muitos outros
problemas aplicados envolvendo In aparecerao em oulros exem- ,
plos e exercicios deste capitulo.'
em (~, 6). Conseqiientemente,
ocorre em x = ~, isto e, a taxa de crescimento
~4.13) que h' e
0 maximo
de h'(x)
e maxima na idade
de 3 meses.
Concluiremos est a SefSaOinvestigando In x quando x -+ 00
e quando x -- 0'. Se x> 1, podemos interpretar a integral
{
(l/t) dt = In x como a area da regiao exibida na Figura 7.10.
I
A soma das' areas dos tres retangulos da Figura 7.11 e
48 A figura e urn grafico de y = In (x2 + I). Determine os pontos de inflexao.
e In 4, vemos
Como a area sob 0 grMico de y = 1/1 de t = 1 a t = 4
311nlsecxl
321nlsenxl
I
33 In see x + tg x
que
Exercs. 35-38:
calcular y'.
1
I
I
34 In csc x - cot x
Use a diferencia<;ao
implfciia
I
para
--dl=lnx
I
35 3y - x2 + In xy = 2
36
Se x > 4M, entao,
como
In
e uma fun<;ao crescente,
- 37 xlny-ylnx=
Isto prova
que podemos
fazer
In x arbitrariamente
x suficientemente
I
38l + x2 In y = 5x + 3
Inx>ln4M>M
que tomemos
i -i--tn (x/y) - 4x =-3
grande;
isto
grande,
desde
e,
Exercs. 39-44: Use a diferencia<;ao
achar dy/dx.
logaritmica
para
39 y = (5x + 2)\6x + 1)2
40 Y = (x + 1)2(x + 2)3(x + 3)4
SO A rela~~o
de Ehrenberg,
In W = In 2,4 +
0,0184h, e uma formula empirica que relaciona
a altura II (centfmelTos) com 0 peso W (em
quilogramas)
de crian<;as de 5 a 13 anos. Esta
formula, com pequenas modifica<;6es nas constantes, tern side verificada em varios paises. Ache
a rela<;ao entre as taxas de varia<;ao dW/dt e
41 Y =v4x+ 7(x- 5)3
42 y= V(3x2
Figura
x-o·
7.11
Quando
x
x
x-o
(ende para zero por valores
-7
1)
lim In x = lim.(-In
,I
+ 2)Y6x
49 Pode-se obter uma aproxima<;ao da idade T (ern
anos) de uma baleia azul femea a partir de uma
medida L (em pes) do seu comprimento,
apJicando a formula T = -2,5710 [(87 - L)/63]. Uma
baleia azul e avistada par urn navio e seu come
primento e estimado em 80 pes. Se 0 erro maximo
na estimativa de L e :t2, use diferenciais
para
aproximar 0 erro maximo de T.
dhldt, para 0 tempo t (em anos).
positivos,
limite e, assim, 0 mesmo ocorre com In (l/x).
te, -In (1/x) decresce sem limite; isto
l/x ere see sem
Conseqiientemen-
e
45 Ache
a equa<;ao
da tangente
ao grafico
de
51 Um foguete
y = x2 + In (2x - 5) no ponto P(3, 9).
46 Ache a equa<;ao da tangente
ao grafico
de
y = x + In x perpendicular
reta da equa<;ao
2x+6y=5.
'47 A figura e urn grafico de y = 5 In x -
2
1 In (9x + 4)
2 In (x4 + 1)
3 In (3x2-2x+I)
4In(4x3_x2+2)
17 In [(5x - 7)\2x
19 10 ";x + I
(9x _ 4)2
t x. Ache as
coordenadas do ponto mais alto, e mostre
grafico e concavo para baixo para x > O.
16~
Inx
III 1
e, abastecido
com
de massa 1112, que sera queimado a
uma razao constante de b kg/so Se 0 combustivel
e expeJido do foguete a uma taxa constante,
a
distancia set), em metros, que 0 foguete percorreu
apes t segundos e
a
15 -l. + In.!
Inx
x
de massa
combustivel
que 0
c
(1111
s(t)=ct+ (IIII+1112-bt)ln
b
+1II2-bl)
1111+1112
para uma constante 'c > O.
5 In
13 - 2x I
6ln14-3xl
7 In
12 - 3x 15
8InI5x2_1-,3
l
+ 3)3]
18 In [~4x - 5(3~ + 8)2]
(a) Ache a velocidade
inicial do foguete.
2
20 In x (2x - 1)3
(x + 5)2
(b) 0 combustivel
9 InY7-2x3
10 In ~6x+ 7
llxlnx
,12 10 (lox)
H; 'in Y; + VI;;';
2llnyx -l
x2+ I
2
14 in ~3 + (l~ x)3
2310 (X+ Yx
-I)
22Iny4+~
4-x
24 In (x+
v'~ + I)
25 In cos 2x
26 cos (In 2x)
C§ In 33x
28 In cot (xl)
tg
se esgota
Ache a velocidade
tanle.
l
- ",,'-
inicial
e a acelera<;ao
quando
t = 1112 / b,
e a acelera<;ao neste ills-
52 Urn metodo de estimativa
da espessura
do
camada de oz6nio consiste em utilizar a f6nnll-
: _'r'\ ,Ia In (1110)= -~T, on de 10 e a intensidade
de lIlH
~" :, deterrninado comprimento de onda de luz do sol
• antes de atingir a atmosfera, 1 e intensidade do
fIlcsmo coniprimenl6 de "bnda apOs pasSar :por. 1955 Use'o'metodode Newton para aproximar,a r;t
limn camada de .ozonio;de. T,'cenlimelnis' de
real de In + x ;. 0 com tres decimais.
"1-;.00< ! ..: ~.':
spcssura, e II e n coeficienle de abs~r~iiopara 0 .
56 Mostre que x> In x para todo x > o.
comprimenlo de onda. S~ponha que para urn com- "
!. i: 111.:,; .. 'S" :.",:::. j ;d .~",
! .'.;{: ~.. :. \'.'
primcnto de onda de 3.055 x 10-8 cenlimetros 19S7 Seja J(x) -10 (x4) e g(x) = Vi.
..q .•It.'; -Fi;: ;JL;',lf;;",,: ,'.:
,•. .;, ~
om, 11-2,7, se teoha I~1l~2,3.
(a) E f(x) :>: g(x)
[1, 2]?
(II) Aproxime ~ espessura da"camada de ozonio
(b) E f(x) :>: g(x) em [3, 64]? "
a menos de 0,01 cm.....
..,
x
em
± 0,1,
use diferenciais para aproximr 0 erIO
max~o. no.~v~o: ~!>~id9em (a).
"~
(Sugesliio: Est~e liInx~~ [f(x)ig(x)].)·
: ' apro~ip,1af
S4 Esboce os graficos de ,'".:
"
,,(II)
. '!.
,"
.. '"
";"
' ..
'",;
1.,1,
-
- --- ....•.
--.-,
.,C._
,.,·.:
.::).i£!·~:,:;/:·,
•...;,;;.
. (;",
.... (',,::
DecorIe do Teorema (7.14) que 0 contradomfnio do loga~":',y
ritmo natural e IR. Como In e uma fun~ao crescente, e um-a-um"
e, assirn, admite urna fun~ao inversa, a qual daremos urn nome
especiaL
,. '\<
19 58 (a) Use a regra do trapezio' com n'» 4
: ~:.
'.
tal que Iny =x.
(c) Ha urn inteno positivo M tal que f(x).:>:g(x)
em [M,oo)?
. . '.
.,'
.. ")
(b) Se 0 erIO maximo na medida do valor 10I Ie
S3 Dcscreva' a dife~e~~a entre os graficos de
:,y ':"In (xl) ey _ 2In£:' .. ;..i·C'
., "..'
.e, como anteriormente, ha· exatamente urn oumero y entie b~ 1 :,::,,··[:,;,0,'
.Ii I~(xl) dx.
A raziio do terrnoexponencial nesta defini~ao logo. se
t~mara clara. Como exp e a inversa de In; seu dominio e IR' e'
seu contradomioio e (0, (0). Alem disso, como em (7.2),
(b) Estime 0 erro em (a) aplic.aodo (5:37).:,'1;0,;:
: ..
!",
Y :,\Id:",I;:,':(b)r Ilnx I.n.;:
7.3 A FUNC;AO .EXPONENCIAL
.':j
onde x e urn oumero real arbitrario e y > O. Pelo Teorema
podemos tambem e.screver
.
NATURAL
(7.3),
.
Na Se~ao 7.2 vimosque
Conforme observarnos na Se~ao 7.1, .se duas funCioes.sao
'. inver~as urna da outra, enUio sells g:iificos saoreflex<ies~~in
rela~ao ;eta y ~~. Logo, 0 grafico de y = exp x para ser obtido
refletindo-se 0 grafico de y = In x em rela~ao a· esta reta,
conforme ilustrado na Figura 7.12. Note que
..,,;: Jim In x = 00 e Jim In x = -00
a
lim expx = 00 e lim exp x = 0
Notemos primeiro que, se x = 0, entao In 1 = O. Alem disso,
como In e uma fun~ao crescente, 1 e 0 unico valor de y tal que'
Pelo Teorema (7.16), existe exatameote urn numero real
positivo cujo logaritmo e 1. Este numero e denotado por e~ 0
matematico suf~o Leonhard Euler (1707-1783)
foi urn dos
primeiros a estudar extensivamente as propriedades desse numero.
Iny=O.
Se x e poslhvo,
positivo b tal que
entao
podemos
escolher
urn
Na Se~ao 7.2 calculamos 0 valor de varios
Pode-se mostrar, pela regra do trapezio, que
Como 10 e continua, utiliza todos os val ores eotre 10 1 e In b
(vcja 0 teorema do valor intermediario (2.26». Assim, ha urn .
numero y entre 1 e b tal que In y = x. Como In e uma fun~o
crescente, existe apenas urn numero como esse.
Fioalmente,
b> 0 tal que
se x e negativo,
entao existe
2,1
1
1
lIt
logaritmos.
1
I - dl < 1 <I - ell
2.8
(Veja 0 Exercicio 25 oa Se~ao 5.7). Aplicando
(7.9) e (7.16), obtemos
as Defini~oes
ILUSTRA<;Ao
Mais adiante, no Teorema (7.32), mostraremos
e",
que
In erx+! '" vX+T
Jim (1 +h)lIh
11-0
e~n5 =
Esta formula limite da a aproxima~ao de e com qualquer
grau de precisao. Na SeC<iio7.5 obteremos a seguinte aproxima~ao com cinco casas decimais.
5
e3 In> = (elnx)3 ",.\J
e1nrx+!
'" YX + 1
If Inx '"
(eln xl '"xl'
o Apendice III, Tabua B, apresenta valores de e" e e-x•
Para obter valores aproximados de e" com uma calculadora
cientifica, utilizamos a tecla
ou a sucessao IINV
Outra maneira
utilizarmos a tecla
com y = e - 2,71828.
0
e
0
I~ ,
'0 proximo teorema afirma que as leis dos expoentes
validas para potencias de e.
saD
Pode-se usar a formula In e' '" r para motivar uma defini~ao de
e" para todo numero real x. Especificamente,
defilliremos e'
como 0 numero real y tal que In y '" x. Veja abaixo uma forma
conveniente' para memorizar esta defini~ao.
DEMONSTRA<;Ao
Pelos Teo~emas (7.12) e (7.19), obtemos
In e!' tfI '" In e" + In eq '" p + q = In e!' + q
Como a fup~ao logaritmica natural
e um-a-um,
e"tfI=eJ+q
Isto prova (i). As provas de (ii) e (iii) saD analogas. Na se~ao
7.5 mostraremos que (ill) tambem e valida para r irracional.
e" '" exp x para todo x
Esla e a razao para chamarmos exp uma fun~ao exponellcial
e referirmo-nos a ela como fUllI,ao exponencial
de base e. 0
gr<lfico de y = eX e 0 mesmo que 0 de = exp x, ilustrado na
Figura 7.12. Daqui por diante escreveremos e" em lugar de exp
x para dellotar valores da fulll;iio expollellciaillatural.
y
o fato de que In (exp x) = x para lodo x, e exp (Ill x) '" X
para todo x > 0 po de ser agora escrito como:
Pelo Teor~ma (7.7), a fun~ao inversa de urna fun~ao
diferenciavel e diferenciavel
e, assim, D x e"exisle. 0 proximo
,
teorema afirrna,que
~-e sua pr6pria derivada.
DEMONSTRA<;Ao
Por (i) do Teorema (7.19)
, Serao apresentados
na ilustra~ao seguinte.,
alguns casos especiais
deste teorema
Diferenciando cada membro desta equa~ao e usando
(7.11)(i) com u '" e", obtemos
D.cln e") '" D (x)
x
0 Teorcma
e"=1
. .lD
e"
%
••.•.
'xe~
=
EXEMPLO 1
vx2 + 1
Se f(x) = re", calcule f(x).
,
'1"'.'
•
f(x) =r(D%e") + e"(D%r)
= re'
+ e"(2x) = xe'(x + 2)
o pr6ximo resullado e uma generalizaC;ao do Teorema
(7.21).
Af~nc;a~:f
definida'por
f(x)=e-Jfl aparece no ramo da
malematica chamado probabilidade. Determine os extremos
· locais de f, eslude a'conc'avidade, ache os ponlos de inflexao e
· esboce 0 grafico de f.
SOLuc;Ao
Pelo Teorema (7.22),
.., .(r)
,( 22x) =
,f(x) = e-·fl D. - 2' = e-·n
-
,
_xe-xfl
Como e-Jn e sempre positiva, 0 unico numero crflico de f e O.
Se x < 0, entao f(x) > 0, e se x > 0, entao f(x) < O. Decorre do
leste da derivada primeira que f lem maximo local em O. 0
maximoe f(O) = e-o = 1. .
Aplicando
Fazendo y = e" com 1/ = g(x) e utilizando
Teorema (7.21), temos
a regra da cadeia e 0
dx
dll
dx
r(x) = -x D e-Jn + e -in D (-x)
x
D e" = !!l = !!l dll = e" D II
%
a regra do produlO a f(x), obtemos
%
•
= -xe -J/2( -2x/2) _ e -In
= e-Jn(x2 -
1)
e assim a derivada segunda e zero em -1 e 1. Se -1 <x < 1,
entao r(x) < 0 e, por (4.16), 0 grafico de f e concavo para baixo
no intervalo aberlo (-1,1). Se x<-l ou x>l, r(x) > 0 e,
porlanto, 0 grafico e concavo para cima em lodos os inlervalos
· infmilos (-00, -1) e (1,00). Conseqiientemenle,
P(-l, e-lI2) e
Q(I, e-lI2) SaD ponlos de inflexao. Pela expressao
1
f(x)=-z-
e' /2
e evidente que, quando x cresce numericarnenle,
=
e...;T;; ~ (x2 + 1)112
dx
=
e...;T;; (!)z (r + 1) -1!2(2x)
f(x)
tende para
O. Podemos provar que lim f(x) = 0 e lim f(x)
'7 0; islo e, 0
eixo-x e uma assinlota horizontal.
-do grafico de f.
e urn esboc;o
A Figura.7.13
Vemos que j"(x) = 0 se 1- 2e-b = 0 (isto
As func;oes exponenciais desempenham urn papel importante
no campo da radioterapia
- 0 tratamento de tumores pela
radiaC;ao. A frac;iio de celulas em urn tumor que sobrevive a urn
tratamento, chamada fra<;iio sobrevivente, depende nao s6 da
energia e natureza da radiaC;ao, mas tambem da profundidade,
tamanho e caractensticas do proprio tumor. A exposic;iio 11 radiac;iio .
pode' ser cosiderada como uma sene de eventos potencialrnente
danosos, ern que se exige apenas urn acerto para matar uma celula
do tumor. Suponhamos que cada celula tenha exatamente urn
alvo que deve ser acertado, ou atingido. Se k denota 0 tamanho
medio da ceJula de urn tumor e se x e 0 numero de eventos danosos
(a dose), entao a fraC;ao sobrevivente f(x) edada por
equivalentemente,
e, se e-kx = 1 ou,
-kx = In 1= -In 2). Isto dlf
Pode-se verificar que se 0 s x < (11k) In 2, entao j"(x) < 0 e,
assim, 0 grafico e concavo para baixo. Se x> (11k) In 2, entao
j"(x) > 0 e 0 grafico e concavo para cima, Isto implica a
existencia
de urn ponto de inflexao
com coordenada-x
(11k) In 2. A coordenada-y desse ponto e
f(iln
2)= 1-(1- e-1n2)2
kx
f(x) = e-
= 1 - (1 -1)2 = ~
Suponharnos em seguida que cada ceJula tenha n alvos e que
o fate de atingir cada alvo uma vez resulte na morte da celula.
Neste caso, a frar;iio sobrevivente urn alvo-um acerto e dada pOT
Figura 7.14 Fra<;iiosobrevivente de
celulasdo tumorap6surn
tratamento por radia9io.
A Figura 7.14 e 0 grafico para 0 caso k = 1. 0 om bra na curva
proximo ao ponto (0, 1) representa a natureza limiar do tratamento; isto e, uma pequena dose result a em uma eliminac;ao
muito pequena do tumor. Note que, se x e grande, entao urn
aumento da dosagem tern pouco efeito sobre a frac;ao sobrevivente. Para determinar a dose ideal a ser adrninistrada a urn
paciente, os especialistas em terapia de radio devem tambem
levar em conla 0 numero de celulas sas que serao morlas durante
o tralamento.
Se cad a celula de urn tumor tern dois alvos, entao a fraC;ao
sobrevivente dois alvos-um acerto e dada por
onde k e 0 tarnanho medio de uma celula. Analise 0 grafico de
f para determinar 0 efeito do aumento de dosagem x sobre 0
decrescimo da fraC;ao sobtevivente das celulas do tumor.
E~ercs. 1·30: Determine f(x) para f(x)
expressao dada.
1 e-5x
3 e
Notemos primeiro que, se x = 0,. entao f(O) = 1; isto e, se nao ha
dose, entiio todas as celulas sobrevivem. Diferenciando, obtemos
f(x)= 0 - 2(1- e-kx) DJ!- e-kx)
=-2(I-e-lx)(ke-h)
Como f(x) < 0 para todo x> 0 e f(O) = 0, a funC;ao' f e
decrescente e 0 graficotem
uma tangente horizontal no ponto
(0, 1). Pode-s~, veri~icarque
a derivada segunda e
j"(x)=
2Jil e-b (1 - 2e-b)
2 e3x
3x'
4 e
l-i
5~
6 1/(ex + 1)
7eYx+!
8 xe-x
. 9 x2e-2x
10vix+2x
11 ~/(i+
12 x/et:/'
13
igual 11
1)
(e4X _ 5)3
14 (e3x _ e - 3x)4
/i +U
15 eUx + (Vex)
16
17 ~_e-x
18 ~ lnx
25 e3x 19 Vi
26 see e-2x
.,fi\ec2 (e-4x)
28 e-xllx
t_-",
~,!,:
29 xeC01X
30 In (cse e3x)
Exercs. 31-34: Use a diferenciar;ao implfcita para
obler y'.
31 tfY - x3 +
32
31 = 11
xe + 2x -In (y + 1) = 3
33 ·~,coty·~.xe2Y .. ·
~ +e-x
35 Ache '.a. equar;~o da tangenle ao grafico de
y = (x - 1)e' + 3 10 x + 2 em P(I, 2).
36 Ache a equa~ao da taugente ao grafico de
Y ~ x - eO' paralela a re!a 6x - 2y ,. 7.
Excrcs. 37-42: Ache os extremos locais de f. Determine onde f e crescente ou decrescente, discuta a
oncavidade, ache os poutos de iuflexao e esboce 0
gr:\fico de f.
37 f(x) =xe'
38 f(x) = l-e-2x
39 f(x) = e1/x
40' f(x)
4J f(x) = x In x
42 f(x)
= xe-x
= (1 - In x)2
43 Uma s~bstiincia radioativa decai de acordo com
a f6rmula q(t) = qoe,a, onde qo e a quanlidade
inicial da substancia, c e uma constante positiva,
e q(l) e a quantidade remanescente ap6s 0 tempo
t. Mostre que a taxa na qual a substancia decai e
proporcional a q(I).
.
44 A corrente I(t) em urn circuito eJetrico no instante
t e dada por 1(1) = loe-R11L,onde Rea resistencia,
'. para ~ s x s 6, entao h(x) pode ser aproximada
.'por :h(x) = 79,041 + 6,39x - e3•261 cO.993 •• (Compare com 0 Exemplo 7 da Se~ao 7.2).
50 0 numero relativo 'de molcculas de gas em um
recipiente que se movem a uma velocidade de v
.cm/s pode ser calculado por meio da distribui~ao
de ve/ocidade
de Maxwell-Boltzmann,
(a) Preveja a altura e a taxa de crescimento
quando uma erian~a atinge a idade de 1 ano.
F(v) = c~e-mv'/(21n, onde T e 'a temperatura em
(h) Quando e maior, e quando e menor a taxa de
crescimento?
(OK), mea
moJecula e c e k san constantes
positivas. Mostre que 0 valor maximo de F
ocone quando v = ';2kTlm .
48 Para uma popula~ao de elefantas africanas, 0 peso
W(t) (em quilogramas) e a idade I(em anos) pode
ser aproximado por uma fun~tio de crescimenlo
de Bertan/anIfy W tal que
51 Urn mode/o de densidade urbana e uma f6rmula
que relaciona a densidade populacional (em numero/km2) com a .distancia r (em quilometros) do
centro da cidade. E considerada apropriada para
W(I) = 2.600(1 _ O,51e'O,o75')3 .
(a) De uma aproxima~ao do peso e da taxa de
crescimento de urn reccm-nascido.
(b) Supondo que uma elefanta adulta pese 1.800
kg, estime sua idade e sua taxa de crescimen- .
to presente.
L a indutiincia e 10e a corrente no instante I ~ O.
(c) Ache e interprete lim,_=
Mostre que a taxa de varia~ao da corrente no
instante t e proporcional a 1(1).
(d) Mostre que a taxa de crescimento e maxima
entre as idades de 5 e 6 anos.
45 Se uma droga e injetada em uma corrente sanguinea, sua concentra~ao I, minutos depois, e
dada por
49 As distribuic;oes gamma, importantes em estudos de controJe de trHego e teoria das probabilidades de trHego' e teoria da probabilidade,
sao determinadas por f(x) = c:i'e-ax para x> 0,
urn inteiro positivo n, uma constante positiva Ii;
e c = an + I/n!. A figura exibe graficos correspondentes a a ~ 1 para n - 2, 3 e 4.
'
C(I) = _k_ (e -bI _ e'01)
a-b
para constantes positivas a, b e K.
W(t). .
";'
J
(a) Em que instante ocorre a concentra~o maxima?
(a) Mostre que f ternexalamenteurn miiximo local.
(h) Que se pode dizer sobre a concentra~ao ap6s
urn longo periodo de tempo?
(h) Se n = 4, determine onde f(x) cresce mais
rapidamente.
46 Se urn raio de luz de intensidade k e projetado
vertical mente para baixo na agua, entao sua
intensidade I(x) a profundidade de x metros e
l(x) = ke-l,~,.
(a) A que taxa de intensidade esta variando em
rela~ao a profundidade a 1 metro? A 5
metros? A 10 metros?
(b) A que profundidadea intensidade e a metade de
seu valor na superficie?Urn decimo de seu valor?
47 0 mode/olenss
e considerado geralmente como
a formula mais precisa para predizer a altura de
uma crian~a em idade pre-escolar. Se h(x) denota
a altura (em centimetros) na idade x (em anos)
~ertas cidades a f6rmula D _ ae-b' + u', com a, b
e c constantes positivas. Determine a forma do
grafico para r " O.
52 0 efeito da I,;,zsobre a taxa de fotossfntese pode
ser descrito por
para x > 0 e constantes positivas a e b.
para numeros reais J! eo> 0 (!' e a media e de a varioncia da distribui~ao).
. ...
Ache os extremos locais de f e determine onde
f e crescente ou decrescente. Discuta a conca vidade, ache os pontos de inflexao, determine
lim. _ = f(x) e lim. __ = f(x), e esboce q grHico
de f (veja 0 Exemplo 3).
1£156 A integral
f. e'.'
tit tern aplica¢es
em estafistica.
Use a regra do trapezio, com n = 10, para aproximar esta integral se a = 0 e b = 1.
57 Os impulsos nervosos no corpo humano caminham ao longo de fibras nervosas que consislem
em urn axOll, que transporta 0 impulso, envolvido'
por uma camada mielilla (veja a figural. A fibra
nervosa e semelhante a urn cabo cilindrico isolado, para 0 qual a velocidade v de urn impulso e
dada por v = -k(rIRj2 In (rIR), onde reo raio do
cabo eRe 0 raio de isolamento. Aehe 0 valor de
r/R que maximize v. (Na maioria das fibras
nervosas, rlR - 0,6.)
(a) Mostre que f tern maximo em'x;" 1.
(h) Conclua
que, se xo> 0 e Yo> 0, entao
g(x) = yo!(xlxo) tem maximo em g(xol = Yo'
53 A taxa de crescimento R de urn tumor esta
relacionada com seu tamanho x pela equa~ao
R = rx In (Klx), onde r e K san constantes positivas. Mostre que 0 tumor cresce mais rapidamente
quando x = e-! K.
54 Se P denota 0 pre~o de venda (em cruzeiros) de
urn artigo e x e a procura correspondente (em
numero de artigos vendidos por dial, entao a
rela~ao entre p e x pode ser dada por p = poe-ax
para constantes
positivas Po e a. Suponha
p = 300e-O,02'. Determine 0 pre~o de venda que
maximize a receita diaria.
55 Em estatfstica, a fun~ao de densidade de probabilidade para a distribui~ao normal e definida por
f(x) = __ 1_ e-/12
o..;z;;
com
z =:!..::..~
0
R
t···
t
"'f
t r
58 Fa~a 0 grafico da fra~ao sobrevivenle tipo tres
aivos-llm
acerto
(com k=l)
dada por
f(x) = 1 - (1 - e'·)3 (veja 0 Exemplo 4).
1£1Exercs. 59-60:
Use 0 metodo de Newton para
aproximar a raiz real da equa~ao com duas casas
decimais.
Outra tecnica consiste em substituir a expressiio x dx na integral
por dll e integrar.
i
Podem-se usar formulas de diferencia~iio de In para obter
formulas de integra~iio. Em particular, pelo Teorema (7.11),
1
Dx In I g(x) 1= g(x)g'(x)
4
Calcule
1
f 9 _ 2x dx
2
f g(~) g'(x) dx In I g(x) I + C
=
=
Como 1/(9 - 2x) e continua em [2,4], a integral definida existe.
Urn metoda de calculo consiste em utilizar uma integral indefinida para achar uma antiderivada de 1/(9 - 2x). Fazemos
II = 9 -
2x,
dll = -2d.'C
Naturalmente, se II > 0, 0 sfmbolo de valor absoluto pode ser
omitido. Caso especial do Teorema (7.23) e
t
4
Cal~ule
I
4
2
f 3;/- 5 d.1:
=_1-dx=_12
9-2x
[In\9-2x\
= - ~ (In 1 - In 5) = ~ In 5
Outro metodo consiste
em fazer a mesrna substitui~iio na
integral defillida e mudar os limites de iDtegra~ao. Como
II = 9 - 2x, obtemos 0 seguinte:
(i)
Se x = 2, entao II = 5
(ii)
Se x = 4, enta~ II = 1
sugere a aplica~ao do Teorema (7.23) com II = 3x2 - 5. Fazemos
assim a substitui~ao
f
Introduzindo
(7.23) temos
0
fator 6 no inlegrando
e aplicando
0
1
4
=2
9-2x
1
dx = - -
2
Teorema
f 9 12x (-2) dx
4
2
1
-f
-1 du
2
1
= -
5 U
x
If 1
Ifl -;;dll
f 3r-5
dx=6 3.\2_56xdx=6
=
i In III I + C = i In !3r - 5 I + C
-
1
= - -
2
]1
[In 1111 5
EXEMPLO
3
v'fiiX
f -x-
Calcular
tiT
1
fillx
-
f
x2
somos levados a ulilizar
mos, pois, a subslitui~ao
dx =ffillx
-
xl
tit
(7.24) com 11= 3/x. Faze-
0 Teorema
1
dll=-dx,
u=;;
x
. YIilX tiT =fv'Ii1X·
f--'
X
1
- dx =
X
f
U1f2
113f2
dll = -
3/2
- dU=:;O~dt
o integrando pode ser posto na forma proposta em (7.24),
introduzindo-se
0 fator -3. Feilo iSIO e compensando
com a
+C
multiplica~ao
par -
t ' optemos:
A substitui<;ao u = YIilX, que tambem pode ser us~da,
conduz a manipula~6es algebricas mais complex as.
A formula
da derivada
Dxe8(') = e8(x)g'(x) da a seguinte
formula de integra~~o para a fun~ao exponencial
natural,
(b)
Ulilizando a anliderivada achada em (a) e aplicando
teorema fundamental do calculo, lemos
0
Podemos lambem calcuJar a integral aplicando 0 melodo
substitui<sao.
Tal como
em (a), fazemos
II = 3/x,
du = (-3/xl)dx, e observamos que, se X = 1, enlao 11=3 e, se
da
x = 2, entao II =~. Conseqiienlernenle,
1
2 fillx
2
f -dx=--!3
I
)..2
I
=_1/
(3) aT
filf.' ---:;
x-
2
3
(a)
f
e3fx
xl dx
= _1
J
.:;
[e"]
e" dll
3/2
3
= _1 (fil/2 - fil) = 5,2
J
A integral
f e dx, com a,. 0, ocorre freqiientemente.
QX
Pode-se mostrar que
Ache a area da regiao delimitada pelos graficos das equa"oes
y = e', y = Vi, x = ex = 1.
°
seja usando 0 Teorema (7.24) seja moslrando que (l/a)e"" e uma
antiderivada de eO<.
x
A Figura 7.15 exibe a regiao e urn ret5.ngulo do tipo considerado
no Capitulo 6. Temos:
.
dx
largura do retangulo:
e' - Vi
comprimenlo do retangulo:
(e' - Vi) dx
area do retangulo:
No proximo exemplo resolveremos uma equul,;ao diferencial que conh~m expressoes exponenciais.
Usamos em seguida um limite de somas dessas areas retangulares
aplicando
0 operador
Yo :
Jo (e' -..;x) dx= J (e' _x
I
I
l12)
dx
0
Resolver a equal,;ao diferenc~al
1
=
dy = 3e2" + 6e-3.r
dx
Tal como no Exemplo 6 da· Se~ao 5.1, podemos
ambos os membros da equa~ao por dx e int~grar:
multiplicar
[e' - ~,il12]o = e - ~~ 1,05
No Capitulo 5 estabelecemos formulas de integra~ao para
o seno e 0 co-seno. Nao podemos, entretanto, aquela altura,
considerar as quatro fun~oes trigonometricas rest antes, porque,
como'veremos
a seguir, suas integrais depend em de funl,;oes
logaritmicas. No teorema supomos u = g(x), com g diferenciavcl
em to do 0 campo de defini~ao da fun~ao.
dy = (3e2r + 6e -1<) dx
Levando em conta a condi~ao inicial y = 4 se x = 0, obtemos:
4 = ~ eO - 2e0 + C = ~- 2 + C
Basta considerar 0 caso II = x, pois as formulas
decorrem do Teorema (5.7).
Para achar ftgx
trigonomelrica
dx, iJtili:l;amos primciro
para
/I -
g(x)
uma idcnlidnu'
para expressar tg x cm temlOS de scn x e ()'
:
I tg~l ~1~'],~~~
~dx = I co~ x sen x ~
A forma do integrando
a direita sugere a substitui<;ao
Para
...
1
J tg x dx I-;;
dv
=-
Se cos i ••
0, entao, pelo Teorema
obter a forma
(7.1l)(ii),
11=
r,
I x cot).2 dx H(eot xl)2x dx
=
I tg x dx = -In I v I + C = -In I cos x I + C
Pode-se obter de modo am\logo uma f6rmula para
f cot II dll, fazemos a substitui<;ao
dll = 2xdx
f cot x dx,
Como
II =
xl e dll = 2x dx,
escrevendo cot x = (cos x)/(sen x).
Para achar uma f6rmula para
f see x dx, come<;amos como
segue:
I secx dx= Isee x see
x + tgxdx
secx+ tgx
=Isec2 x + see x tgx dx
.
secx+ tgx
=1
n!2
Calcular
X
1 Ig"2 dx
0
1
(secxtgx+sec2x)dx
secx + tgx
x
11=2'
Isecxdx=
I~dv
I I+ C
= In I see x + tg x 1+ C
= In v
nf.!xl
n!2
f 02xtg - dx = 2 f 022tg - . - dx
n/4
= 2 I~4 tg II dll = 2 [In see 11]0
Demonstra<;ao amlloga vale para (iv).
Utilizando
cos II = l/sec II, sen II = l/csc II e In(l/v) =
= -In v, entao as f6rmulas (i) e (ii) do Teorema (7.25) podem
ser escri Las como
No caso presente podemos desprezar 0 sinal de valor absoluto
do Teorema (7.25)(iii), pois see II e positiva para II entre 0 e
11/4. Como In see(1I/4) = In V2 = ~ In 2 e In see 0 = In 1 = 0, segue-se que
nfZ
1
X
f o tg -2 dx 2 . -2 In 2 = In 2 ~ 0 '69
=
Exercs.37-38:
Determine a regiao delimitada
gnlficos das equa~6es dadas.
pelos
1/8
o
(b)L tg2xdx
llt/4
(b)Jo
coqxdx
3n/2
~lt/3
(b)J_
cscixdx
"
,l'iJ7
(b)
X
In
o
sec 3x dx
llf2 -
dx
x -4x+9
2
39 y = c-x ,
40 y ~ sec x,
Exercs. 41·44: Resolva a equa~ao diferencial
as condi~6es dadas:
3
2
Exercs.39·40:
Determine 0 volume do solido gerado
pel a rota~ao da regiao delimilada pelos gnificos, em
torno do eixo indicado.
12f+-dx
x -5
sujeita
./
41 y'
= 4e2x + 3e -2x;
y = 4 se x = 0
43 y" = 3e-x;
15 lnxdx
16f_l_2dx
x
18
2x
x(lnx)
44 y" = 6e
Vi
Exercs. 45-46: Uma fun~ao nao-negativa f definida
em urn intervalo fechado [a, b] is chamada full,ao de
f~ dx
;
dellsidade de probabilidade
19
SOLUl;AO
J<cscx
2 .
3 sen x dx
1 + 2 cosx
20
f sec x dx
1 + tgx
-If dx=f<csc2 x - 2 cscx + 1) dx
22f-e'-dx
(e' + 1)2
=f csc2 x dx - 2 f csc x dx + f dx
23
fe' _c-x dx
.
X
e' + 1
25 fcotYX
express6es
outros
rnetodos
para
vz:
integrar
x +4
47 Uma
cultura
de bacterias
cresce
na
(a) Quantas baclerias novas estarao
apos as primeiras cinco horas?
x
cos
ex
45 f(x)~-2- para Osxs3
taxa
de
dx
trigonornetricas.
27f~2
seja uma
3eo,21por hora, corn t em horas e 0 s t s 20,
3
9 estudaremos
fa f(x) dx = 1. Deter-
24f-Ldx
e' + e-
No Capitulo
e
mine e de modo que a fun~ao resultante
fun~ao de densidade de probabilidade.
dx
na cullura
(b) Quantas bacterias novas sao inlroduzidas
sexta hora a diScima quarta horas?
da
-J.<
29r~dx
3 (a)
1
2x + 7 dx
1 (a)
f
2 (a)
f 4 ~ 5x dx
(b)
[2 2x 1+ 7dx
(b)! __
I_dx
-14 - 5x
(c) Para que valor aproximado
conteni 150 bacterias novas?
3x
e
4x
f --dx
~-9
31 fCOS
2
2
x dx
32f~dx
sec 2x
senx
48 Urn inveslimenlo
ano, capitalizado
investimento
4 (a)f~dx
~+4
33 fcos~senx
cos x-I
(b) /. e -4x dx
1
dx
de t a cullum
de $ 500,00 da juro de 7% aO
continuamente,
e apos t anos u
valera 500e 0,07'.
(a) Aproximadamenle,
valera $ 1,000,00?
quando
0
inveslimcnlo
(b) Quando 0 valor do investimento
cstara creScendo a razao de $ 50,00 par ano?
,1'1 lllllltl' especifico c de urn metal como a prata e
, III1~tllllt' II temperaturas T acima de 200 oK" Se
III lI'p'rulll'" do melal aumenta de T1 a T2, a area
Se 0 pais utiliza apenas seus proprios recursos,
estime em quanta tempo as 'reservas 'estarao
exauridas.
~lIh IIc",vny - c/Tde T1 a T2 e chamada varia,lio
53 Uma partlcuJa esferica muito pequena
lan~ada
no ar com velocidade inicial de Vo mis, mas sua
",. ~1I,roJlin 65, que e uma medida da desordem
"II,It'clllnr do sistema. Expresse 6S em telll10S de
I, I' '1'2'
(I (. Irl,ell1Oto de 1.952 em Assam leve uma magII Illde de 8,7 na escala de Richter - a maior ja
111\1'llIlId,,1(0 terremoto de Sao Francisco de
I lill') OCIISOUmagnilude de 7,1.) Os sismologos
1I,II'II11innram que, se 0 maior terremoto em dado
111'"tem magnitude R, entao a energia E (em
'"Ilks) liberada por todos os terremotos naquele
1\11" 'estimada
pel a formula
R
I': - 9,13 x 1012
f e
°
l,25x dx
I!m IIIn circuito composto de uma bateria de 12
vlIIIs UIll resistor e urn capacilor, a corrente 1(1)
4r
'"' Instnnte 1 e prevista em 1(1) = 10e- amperes.
SU Q(t) e a carga (em coulombs) do capacitor,
rill II 1- dQ/dl.
(II) Se Q(O) = 0, determine
Q(I).
(h) Determine a carga no capacitor apos urn
longo periodo de lempo.
!JII' pals que tern presentemente uma reserva de
~() mil hoes de toneladas de carvao, gastou 6,5
Inncladas durante 0 ana passado. Com base em
1',"jc~6es de popula~ao, a taxa de consumoR (em
Illilhoes de ton/a no) deve crescer de acordo com
1\ f6rmula R = 6,5e°,o1.1, on de Ie 0 lempo em anos.
e
velocidade decresce em razao das fOCl,as de
arrasUio. Sua velocidade apos 1 segundos e dada
por V(I) = voe -Ilk' para uma conslanle positiva k.
(a) Expresse a distancia percorrida pela' particula
. como fun<;ao de I.
(b) A dislanda de parada e a distancia percorri'da pel a partlcula anles de entrar em repouso.
Expresse a distiincia de parada em terrnos de
Vo e k.
54 Se a lemperatura. pernlanece constante, a pressao
p e 0 volume v de urn gas em expansao sao
relacionados pela equa~ao pv = k para a1guma constante k. Mostre que 0 trabalho realizado quando 0
gas se expande d~ v~ a v I e kIn (v /v 0)' (Sugesllio:
Se f(x) = rr, entao f e a run~ao exponencial
com base a,
Como Ii' e posiliva para lodo x, tarnbtrn 0 e rr. Para aproximar
val ores de a', podernos' uiilizar urna calculadora
ou consuItar ,
labuas de fun<;6es logaritmicas e exponenciais.
Podemos agora provar que a lei dos logarilrnos enunciada
no Teorema (7.12)(iii) vale tambern para expoentes irracionais,
Assirn, se u e urn numero real arbitrario, enlao, pel a Defini<;iio
(7.26) e pelo Teorema(7.19)(i),
Veja 0 Exemplo 5 da Se<;ao 6.6.)
© Exercs. 55·56: Se T2 e T4 sao aproxima~6es de uma
integral definida obtida pela regra do lrapezio com
II _ 2 e n - 4, respeclivamenle,
enlao pode·se moslrar
que R _ ~ (4T4 - T2) e, em geral, a melhor aproxima-
o pr6ximo teorema·afiIma que as propriedades de expoentes racionais da algebra elernentar sao tambem validas para
expoentes reais.
<;ao. Determine T2, T4, TlO e R para a integral dada,
e decida se R ou T 10 e a melhor aproxima<;ao.
55
j e -x' dx _ 0,746824
o
56!.
(1n x)2 dx - 0,188317
1
Para mostrar que aUaV = aU + ", valemo-nos
(7.26) e do Teorerna (7.20)(i):
7.5 FUNc;OES EXPONENCIAIS
E LOGARITMICAS
da Defini<;ao
GERAIS
Em toda esla se<;ao a denotara
urn numero
real posiliv;o;
Comecemos por definir a' para todo numero realx. Se 0 expoente
e urn numero radonal r, entao, aplicando os Teoremas (7.19)(ii)
e (7.12)(iii)
obtemos
Para provar que (au)" = a''", aplicamos
(7.26) com aU em lugar de a e v = x:
primeiro
a Defini<;iio
· Levando em conta que In aU = u In a e aplicando a Defini~ao (7.26), obtemos
Se u = g(x), e importante distinguir entre expressoes da
forma aUe ua• Para diferenciar aU,aplicarnos (7.28); para ua, vale
a regra da potencia, conforme iIustrado no pr6ximo exemplo.
Como de costume, na parte (ii) do pr6ximo
u = g(x), com g diferenciavel.
teorema,
Aplicando
a regra da paten cia e 0 Teorema (7.28), obtemos
y'= lO(r + 1)9(2x) + (l0'" + I III lO)(2x)
it f6rmula de integraliao em (i) do pr6ximo teorema pode
ser verificada mostralldo-se que 0 integrando e a derivada da
expressao nomembro direito da equa~ao. A f6rmula (ii) decorre
do Teorerna (7.28)(ii), on de u = g(x).
Como e" Ina = a', isto nos da a f6rmula (i):
D,a' ~ a' In a
A f6rmula (ii) decorre da regra da cadeia.
Note que se a = e, entao 0 Teorema
(7.21), pois In e ~ 1.
'"
(7.28)(i)
se reduz a
ILUSTRAc;AO
Dx 1(f = 10" In 10
D 3Vx = (3Vx In 3) D 5 = (3Vx b 3) (_1_)
'"
,
2vx
Vx
=3
In 3
25
I3 d!: (I; 3) 3 + C
x
D, lOs<nx= (lOs<nxIn 10) D, sen x = (10sen, In 10) cos x
(b)
x
=
Para aplicar (ii) do Teorerna (7.29), fazemos a substitui~50
Se a> 1, entao In a > 0 e, assim, D,a' = a' In a > O. Logo,
a' e crescente no intervalo (-00,00) se a > 1.
Se 0 < a < 1, entao In a < 0 e Dxa' = a' In a < O. Assim, a'
e decrescente para todo x se 0 < a < 1.
,j X3(,2
As Figuras 7.16 e 7.17 san os graficos de y = 2'e
y = (it = 2 -x. 0 grafico de y = a' tern 0 aspecto geral ilustrado
na Figura 7.16 ou 7.17, conforme
respectivamente.
se tenha a> Iou
e prcicedemos como segue:
0 < a < 1,
i'I 3';2) (2x) d!: ~I 3 du
, p= 1. (_1,_)'3u + C'= (_1_)
.\'
2 In 3
2 In 3
)'dx=
=
u
3(,2) +
C
',,' ":;:'.;,;:·i;;!:'i;::,?&~tf.f~f#tj:
.
I'
,-
_
-'~.'~iJ..;d':;'{'t;I;~;,,¥j0
c.p. 'F~¢d
e
".• __
'
, urn prob'lema U:Uportante 'na oceanografia consiste na determina~ao da' intensictade d~ 'Iuz em diferentes profundidades' do
oceano, A Lei de Beer-Lambert afirma que, a uma profundidade
de x (metros), a iIitensidade da luz J(x) (em calorias/cm2/s) e
dada por J(x) = loa', on de 10 e a sao constantes positivas,
(a)
Qual e a intensidad.e da luz na superfici:?
(b)
Ache a taxa de variac;ao da intensidade da luz em reJac;ao
a profundidade, a urna profundidade de x metros,
'
Se a •• 1 e f(x)='w, entao f
uma func;ao um-a-um. Sua' ',{i,'.}:,i','
fun~ao inversa, denotada por log. x, chamada func;iio logarit. ,:.::'0:.;;":''-'
esta relac;ao
A expressao log x,' e chamada logaritmo
"
(c) 'Sell = 0,4 e 10 = 10, determine
e
mica de base a. Outra'JTIaneira de enunciar
"
~
"
-
;'
.
e
de i: na base a.
Nesta temiiiJologia, os logaritmos naturais sao logaritmos
e; ,isto
c
de base
a intensidade media da I~
entre a superficie e uma profundidade
de x metros.
,,,'
Val em para logaritmos
de base a leis analogas
as do Teorema
(7.12).
Para
(a)
Na superficie, x =
°
obler
a relac;ao entre
y = log. x ou, equivalentemente,
e
log.
e In; consideremos
x = aY• Tomando
0 logaritmo
natural de ambos os meinbros da ultima equac;ao, obtemos
In x = y In a, ou y = (In x)/(ln a). Isto prova que
1(0) = loa 0 = Jo
Inx
log. x = In a
Logo, a taxa de varia~ao 1'(x) a profundidade x e direlamente
proporcional a I(x), e a constanle de proporcionalidade
e In a.
(c)
Diferenciando ambos os membros da ultima equac;ao, somos
conduzidos a (i) do proximo teorema. Utilizando .a regra da
cadeia e generalizando para val ores absolutos como no Teorema
(7.11), obtemos (ii), onde U = g(x).
Se I(x) = 10(0,04)', entao, pela Definic;ao (5.29), 0 valor
medio de I no intervalo [0,5J e
'
1
1m = 5 _
oIo 10(0,4)' dx 2 ~ (0,4)' dx
5
5
=
5
=2
[In (~,4) (0,4>1
= In (~,4) [(0,4)5- (0,4)~
= -1,97952 ~ 216
In (0,4)
(d)
,
Aplicando a Defini~ao (7.26), oblemos
I(x) = loa' = Ioe'ln. = Ioeh,
Os logaritmos de base 10 saG uteis para certas apJicac;6es
(veja os Exercicios 48-51 e 53). Chamamos esses logaritmos de
logaritmos comuns e utilizamos 0 simbolo log x como abreviatura de loglO x. Esta notac;ao e usada no proximo exemplo.
/V
Escrevemos primeiro f(x) = log (2x + W13• A lei log l! =
= r log u e valida somente se u> 0; mas como (2~ + 5)213 =
= 12x + 51213, podemos proceder como segue:
f(x)= log (2x + 5)213
Como 0 expoente em x:' e uma variavel, nao podemos aplicar a
regra da potencia. Da mesma forma, 0 Teorema (7.28) nao e
valida, pois a base a nao e urn numero real fIXo. Todavia, pela,
Defini<>ao(7.26), XX = exlnx para todo x > 0 e, entao,
= log 12x + 5 1]/3
= ~ Jogl2x + 5
I
2Inl2x+51
=3
=
eX
I••
(x (~) + (1) Inx)
In 10
= x:'(1 + In x)
,
2
1
1
4
f (x) ="3 . In 10 . 2x + 5 (2) = 3(2x + 5) In 10
Agora que definimos expoentes irracionais, podemos considerar a fun~iio potencia generalizada f dada por f(x) = r
para ,qualquer numero real c. Se c e irracional, entao, por
deflDi~ao, 0 dominio de f e 0 conjunto de numeros' reais
positivos. De acordo com a Defini<>ao (7.26) e os Teoremas
(7.22) e (7.11)(i), temos
Isto 'prova que a regra da potencia evaHda.tanto para expoentes
racionais como irracionais. A regra da potencia para fun<>6es
pode ser estendida a expoentes irracionais.
Dx (1 + e2x)" = n(1 + e2x)"-1 D)1 + e2x)
2z
= n(1 + e )"
-
1(2e
2x)
= 2n e (1
2z
+ e2.<)"-1
Outra maneira de resolver este problema e utilizar 0 metoda
da diferencia<>aologaritmica introduzido na se<>aoprecedentc.
Neste caso, tomamos 0 logaritmo natural de ambos os membros
dil equa<>aoy = x:' e diferenciamos implicitamente:
Dx(lny)
= Dx(x In x)
1
-D y=I+lnx
y x
Concluiremos esta se<>aoexpressando
limite.
0 numero e COl1l0
11111
Aplicando a defini<>~ode derivada (3.5) a f(x) - In x . !IN 111(111
as leis dos logaritmos, obtemos:
r
f'"()
x=/~o
In(x + h) - Inx
h
="
lim'!
oh
In x,," "
. 1" ,'j "'~;1'K)'<;'i
hie,
(h)l1h
= lim - In 1 + - = lim In 1 + .. ,!rC1<,h-,O,
"iK, ~~;~-o
45 Urn economista preyS: que ;o:;poder,aquisitivo .'
'B(t) d~ uma moeda.·em tanos a contarde agora,'
diminuira.
de aeordo" com a formula
B{t) ,:,(0.;95)'. ,::.,
x
Como f'(x) = 1/x, tern os, para x = 1,
,~.,;-~.,:;'
,.":;,:>;;;:..
~f'\~."1
<."',,' 1 ,;"iim In (1 + h)lIh
(a) A'qu~ taxa, aproximiiilam~nte:diara opoder
aquisitivo diminuido daqu! a dois,~nps? ""
h-O
Observamosem
!~
seguida" pelo Teorema
.;; .•-: f,
.:; 0' • -
•
(7.19), que
:'r.'~i ;::",-. "
(b) Estiine opoder aquishi~o mgdi~aess4moed~
I/h
.- ", r:> (l.th)lIh
Como. a fun~ao exponencial
do Teonima (2.25) que
'n~'~f~6xini'os~Oi~i ~n~"~L·Jff~:1/;:~·
..:·:.:l.:....; ,,\.:.
= e1n(1 +h)
natural
e continua em 1, segue-se
27 (a) J7' d~ .
,
(
lim (1 + h)lIh = lim [eln 1 +
h-O
h)'Ih
(b)j
-2
rd~
]
28 (a)J3xm
h-O
0
(b)J
3x d~
-I
29 (a)
hto ,estabelece a parte (i) do teorema. 0 limite na parte (ii) pode.
ser obtido mediante a mudan~a de variilvel n = 1/h com h >. 0, \;.
I,
IS-2x ~
':H';'r(l +h)lIh
0,01
2,704814
- 0,D1
2,731999
0,001
2,716924
- 0,001
2,719642
0,0001
2,718146
- 0,0001
2,718418
0,00001
2,718268
- 0,00001
2,718295
2,718280
- 0,000001
31 JlO3x m
33 J x(T
'j'!
35J~m
, 2< + 1
37 J_1_m
xlogx
cOSX
11 log(3.l + 2)5
12 log v'7+1
13 3 logs
15 log lnx
I~:~~I
34 JV;' ~ iJ2 d~
Vi
senx m
Slgx
40J-2-'d~
cos x
41 (a)J n" d~
(b)Jx4 d~
(c)JX"d~
(d)J rt d~
42 (a) J e' d~
(b)Jx5 d~
(c)
1410g/l-x231
2 - 5x
3x
36J--d~
1/:/ + 4
38 JlO''X d~
2,718283
10 (I(t + lO,x)1O
32 JS'5xm
ZX
39 J3
.;s
J~' d~
(d) J ("51' d<
43 Ache a area da regiiio delimilada pelos graficos
de y = 2\ x + y = 1 e x = 1.
16 In log x
17 x' + e"
.q
a
,
44 A regiao sob· 0 grafico de y = 3-' de x = 1 a
x = 2 gira em torno do eixo-x. Determine 0
volume do s6lido resultante.
.~,
,
47 Mil trUla~d~ urn an~'deiciade siioi~troduzidas
' em umlago.Onolmero d~ trutas',,'ivas ap6s t anos
e dado por N{tf= =l.Oo.Q.i6;9)1";,'~,~::·
(a) De uma aproxima~iio da taxa de mortalidade
dNldt nos tempos t= 1 e t = 5. A que taxa a
popula~aoesi~ de'crescendoquandoN = 500?
. -.-.-,,'.: - L; ..:".
) dx
\
9 (J + 1)101/x
23x-1m
-1
x2
1 (1;:.:Jh)lIh,;,.
(b>f
'J
46 Quandouina 'pessoaingere oralmente'UIU com"primido anti-asmatico de 100 iniligramas; a taxa
R na .qu~1a droga, entra na~orre1Jle. s8.lJ&lifneae
previstaem R = 5(0,9S)' mg/min. Se corrente
sangiHnea nao contem nenhum tra~o de dioga
quando se toma 0 romprimido, determine 0 lempo
necessiirio (em minutos) para que 50 miligramas
entrem na corrente sangiiinea.
(b)~S-:2x dx
,
30 (a) J23x.,~1 m
As f6rmuias'no Teorema (7.32) sao algumas vezes usadas\
pa;~definir 0 numerqe, Voce sem duvida aehanl interessante '.'
calcular (1+ h)lIh pani''\'alores numerieamente pequenos de h.
Sao demonstrados a' seguir' alguns valores aproximados.
0,000001
':'
:": :
~; ',":":'::~',. " _~_!:
,'C.J:!
(b) Espera-se que 0 peso W(t) (em Iibras)
aumente
de acordo com' a formula
Wet) = 0,2 + I,S t.· Ap6s quanlos anos, aproximadamente, 0 numero total.de Iibras de
truta no lugar e 0 maximo?
48 A pressao P do vapor (em psi), uma medida da
volatilidade de urn Iiquido, esta relacionada rom
sua temperatura pela equa<;ii'o de 'Antoine:
log P = a + [bl(e + 1)) para constantes a, bee. A
pressiio do vapor aumenta rapidamente com 0
incremento da temperatura. Determine as rondi~6es
sobre a, bee que garantarn que P e uma fun~ao
'cresCentede T.
.
49 as quirnicos usam urn numero denotado por pH
para deserever quantitativamente a acidez ou a
basicidade
de solu~6es.
Por defini~ao,
pH = -log [H +], onde [H + ] e a eoncentra~ao de
fontes de hidrogenio em mols por Iitro. Para certa
marca de vinagre estima-se (com erro percentual
maximo de ± O,S%) que [H +] _ 6,3 x 10-3• Calcule 0 pH e use diferenciais para estimar 0 erro
pereentual maximo no calculo.
50 A magnitude R (na escala Richter) de urn terremoto de intensidade 1 pode ser obtida mediante
a f6rmula R = Jog (/110), onde 10 e uma certa
intensidade minima. Suponha que a inlensidade
de urn terremoto seja estimada em 100 vezes 1 ,
53 Se urn principal de P cruzeiros e investido em
uma poupanc;apor I anos a laxa anual r (expressa
como decimal), e a taxa e composta /I vezes por
ano, 0 montante A apos , anos e dado pela
f6rmula do juro composlo A - P[I + (r//I)]"'.
0
Se 0 erro percentual maximo na estimativa e
use diferenciais para aproximar 0 erro
percentual maximo no calculo do valor de k
± 1%,
51 Seja R(x) a rea<;aOde urn individuo a urn eSllmulo
(a) Seja Jr = r/n; mostre que
de intensidade x. Por exemplo, se 0 estfmulo x e
a salinidade (em gram as de sal/litro), R(x) pode
ser a eSlimativa do indivfduo quanto ao grau de
salobridade em uma escala de 0 a 10. A formula
de Weber-Fechner R = a log (x/xo)' com a cons-
(b) Fac;a /I ••• 00 e use a expressao da parte (a)
para estabelecer a formula A = Pe" da chamada capilaliza~ao COni//lua.
tante positiva, foi proposta como uma fun ••ao
para reJacionar R com x.
(a) Mostre que R = a para
x=xo'
0
54 Estabelec;a 0 Teorema (7.32)(ii) utilizando 0
limite na parte (i) e a mudanc;a de variavel
I! = 1/1l.
eSlllllulo limiar
(b) A derivada S = dR/dx e a sensitividade ao
nivel x de estimulo e mede a capacidade de
detectar pequenas varia ••6es no nivel de esllmulo. Moslre que S e inversamente propbrcional a x, e compare Sex) com S(2x).
52 A altura de urn som, experimentada pelo ouvido
humano, baseia-se no nivel de intensidade. Uma
formula usada para acbar 0 nivel de intensidade
alfa que corresponde a uma intensidade I do som
e a = 10 log (l/lo) decibeis, onde 10 e urn valor
especial de I, que e 0 som'mais fraco perceptivel
pelo ouvido bumano em certas condic;6es. Ache
a taxa de varia<;aode a em relaC;aoa I se
h = x/I! e aplicando 0 Teorema (7.32)(i).
[Q]
56 Fazendo ,,- 0,1, 0,Q1 e 0,001, preveja qual.das
seguintes express6es da a melhor aproximac;ao
de e para pequenos valores de ,,:
(1 +,,)1/11, (l +"+1/)1/11,'
(1 + Il +tl?)1/h
[Q]
57 Grafe, nos mesrnos eixos coordenados, y = 2-x e
y = log2x.
'
para alguma constante c. 0 numero de baclerias em certas
culturas se com porIa desta maneira. Se 0 numero de baclerias
q(t) e pequeno, entao a taxa de crescimento q'(I) e pequena;
entrelanto, 11 medida que 0 numero de bacterias cresce, a laxa
de crescimenlo tambem aumenta. 0 decaimento de uma substancia radioativa tambem obedeee a uma lei analoga;' 11 medida
que a quantidade de materia diminui, a taxa de deeaimento - isto
e, a quantidade de radial$ao - tambem decresee. Como ilustral$ao
final, suponhamos que se deixe desearregar urn condcnsador
etelrico. Se a carga no eondensador e grande no inkio, a laxa de
descarga tambem e graride; mas, conforme a carga diminui, 0
eondensador descirrega mais lenlamente.
Em problemas aplieados eostuma-se expressar a equa~iio
q'(I) = cq(t) em lermos de difereneiais. Assim, se y = q(I), podemos eserever
4l'. = cy
(a) Estime a coordenada-x do ponto de intersec••ao dos graticos.
(b) Se a regiao R delimitad~ pelos graficos e pela
reta x = 1 gira em tomo do eixo-x; estabelec;a
uma integral que permita aproximar 0 volume do solido resultante.
(e) I e 10.000 vezes maior do que 10,(Este e 0
nivel de intensidade da voz media.)
Suponhamos que uma quantidade fisica varie com 0 tempo e que
a magnitude da quantidade no instante t seja dada por q(r), q
sendo diferenciavel e q(t) > 0 para lodo I. A derivada q'(I) e a
taxa de varial$ao de q(l) em relal$ao ao lempo. Em muitas
aplica~oes esta taxa de varial$ao e diretamente proporcional 11
magnitude da quantidade no tempo I; isto e,·
dl
Dividindo
obtemos
ou
dy = cy dt
ambos os membros
da ultima equa<;ao por y,
1
- dy =c ell
Y
(e) Use a regra de Simpson, com I! = 4, para
aproximar a integral em (b).
Como e possive! separar as variaveis y e I - no sentido de
que eJas podem ser eoloeadas nos lados opostos do sinal u'
igualdade - a equal$ao diferencia! ely/dl = cy e uma eqllll~ 10
diferencia! separavel. Mais adiante estudaremos detalhadam '11_
Ie tais equal$oes, e mostraremos que e posslve! obler SOIIIl;( S
integrando
ambos os membros
da equa<;iio "sep:lr:lt!/I"
(l/y) dy = c dl. Assim,
Como y = 1.800 quaodo
equivalenles:
y = e"+d = lfe
Cf
Se Yo denola
0 valor
(= 2,
chegamos
as seguintes equa~6es
ini~ial de y (islo e, 0 valor correspondente
a t = 0), enlao fazendo t = 0 na ultima equa~ao, obtemos
y = 600(3ln)',
Yo= If eO = If
"e as;i~a
(b)
solu~ao y = If 'ee' pode ser escrita como
FazendoC.:.4
OU
Y = 600(3)'12.
e~y:-600(3)'I2,
oblemos
, y = 600(3)412 = 600(9)= 5.400
~~J~
y'~~~;fu~~aq diI~re~ciavel de t tal que y > 0 para todo
t, e seja,Yo'o, yalordey,
constante
C, entao.<:
f'
o radio decaiexponen~ialmenle
e tern meia-vida de aproximadamenle 1.600 anos; isto" e, dad a uma quantidade arbilraria,
metade ira desintegrar~se' em 1.600 anos.
em t = O. Se dyldt = cy para alguma
c";:, •
Eslabele~auma
formula para a quantidade y remanescenle
de 50 miligramas de radio puro ap6s I anos.
o teorema precedente afirma que, se a taxa de variafiio
de y = q(t) em relafiio ate direlamenle proporcional a y, enliio
y pode expressar-se em termos de lima fllllfiio exponencial. Se
y aumerita com I, a formula y = yoe" e uma lei de crescimento,
e se y decresce,
lemos uma lei de decaimento.
(b)
Quando restarao apenas 20 miligramas?
(a)
Fazendo y = q(I), enta~
Yo = q(O) = 50 e q(1.600)
= ~(50) = 25
o numero de baclerias em uma cultura aumenla de 600 para
Como dyldl = cy para algum c, decorre do Teorema (7.33) que
1.800 em duas horas. Supondo que' a taxa de aumenlo seja
direlamenle proporcional ao numero de baclerias presentes,
delermine
y = 50ee,
(a)
uma formula para 0 numero de baclerias no inslante I.
(b)
0 numero
de bacterias ao fim de qu'atro horas.
SOLuC;Ao
(a)
/
Denolemos por y = q(t) 0 numero de baclerias apos I horas.
Assim, Yo = q(O) = 600 e q(2) = 1.800. Por hipolese,
!!J: = cy
(b)
ell
Seguindo precisamenle os mesmos passos da demonslra~ao
Teorema (7.33), oblemos
y = yoe" = 600e'"
y = 50(2.'11.600)' ou Y = 50(2)" 1/1.600
do
Em visla de y = 50(2)""1.600, nolamos que 0 valor de I em
que y = 20 e uma solu~ao da equa~ao
20 = 50(2)" '/1,600OU 2'/1.600= %
-':-,:-~""~
.• n':".i'~.?'
...,.•..~t?!1"'"
Considerando
-.-_._
que y = 100 quando t = ~ , somos levados as
seguintes relac;6es equivalentes:
-t-=ln2=ln~
1.600
2
1.600 In ~
t=~
Substituindo
~ 2.115 anos
A lei do resfriamenlo de Newton afirma que a taxa na qual urn
: obi eta se resfria e diretamente propocional a diferenc;a de
temperatura entre a obieto e 0 meio ambiente. Se urn objeto se
resfria de 125°F a JOO°F em meia hera, quando a temperatura
do ar ambiente e de 75°F, determine sua temperatura no termino
da pr6xima meia hora.
eC por ~.em y = SOecl + 75, obtemos uma f6rmula
para a temperatura
ap6s t horas:
Em biologia, usa-se as vezes a func;ao G definida par
G(t) = ke (_MB,)
\
Denotemos por y a temperatura do obieto ap6s t horas de
resfriamento. Como a temperatura do meio ambienle Ii 75", a
diferenc;a de temperatura e y - 75 e, entao, pel a lei de resfriamenta de Newton,
1l = c(y -75)
dt
para estimar 0 valor de uma quantidade no instante t. A func;ao
G e chamada func;ao de crescimento de Gompertz. Tal func;ao
Ii sempre positiva e crescente, mas tern urn limite quando
t -+ 00. 0 grafico de G Ii a chamada curva de crescimento de
Gornpertz.
Discuta a func;ao de crescimento
griifico.
G de Gompertz e esboce
0 seu
J
--dy=cdt
y-7S
Notemos primeiro que 0 intercepto-y e G(O) = ke-A
G(t) > 0 para todo t. Diferenciando duas vezes, obtemos
e que
G'(t) = ke<-Ae·B,) D, (-Ae-B')
=ABk(-B+ABe-
Como y = 125 quando t = 0,
125 - 75 = ebeO = eb,
ou eb = 50
B
')e-
~
,-A.
Como G'(t) > 0 para todo t, a func;ao G 'e' crescente
A derivada segunda G"(t) Ii zero se
.~I'~
'.·P9 t
_ _ .....: .•...-•.. _ .
I
..';'
.~.
'~''!'~·i.'''~'·';':~.~:,
',..~-..•..
~:~\
••
,:-,.•f ••
--~"-'-----~""'-
-8'
em [0,00).
Resolvendo :a ultima equac;ao em relac;ao a t, oblcl110.
t = (liB) InA, que e urn numero critico da func;ao G'. Deixanll)
como exerdcio
mostrar que, neste instante, a taxa de crescimento
11k/e. Po de mostrar tambem que'
, : G' 10ma 0 yalqrmax.i~o
','
·,
~In A
Logo, 11 medida que t aumenta, a taxa de crescimento tende para
p e 0 grafico de G tern como assinlota horizontal a reta y = k. A
, Figura 7.18 e umgrafico
tipico da fun<;ao G. 0 ponto P no
grafico, correspondente a / = (liB) InA, e urn ponto de inflexao,:
e a concavidade muda de sentido em P.
, Logo, durante um.longo periodo de tempo, a quantidade
radon decresce, tendendo para O.
de gas:
JJ
,
No proximo exemplo consideramos uma quantidade fisica
que aumente ate atingir urn maximo e em seguida decresce,
tendendo assintoticamente para O.
ou
ce-<l/c:ce-eZ',
I
. ," ,,2
.
c
e(c2-Cl)t=~
,.,
C
1
•
c
(c .:. c )/ = In.-2 = In c -In c
,
2'.
ICI
2.,
I
Quando 0 uranio se desintegra em chumbo, uma fase do processo
e 0 decaimento radioativo do radio em gas radon. 0 gas radon
entra nas casas difundindo-se at raves do solo, e causa problemas
de saiide quando inalado. Se uma quantidade Q de radio presente
apos / anos e dada por
'
onde c1 = l.~
Este valor de / corresponde ao valor maximo de A. Substituindo os valores de c. e (;2' 'obtem~s a aproxima«iio
.
In 2 e c2 = 0 O~05 In 2 sac as cOlls/anles de decai-
,
menlO para 0 radio e 0 gas radon, respectivamcnte.
(a)
Ache a quantidade de gas radon presente
apos urn longo perfodo de tempo.
inicialmente
e
1 0 niimero de bacterias em uma cultura aumenta
de 5.000 para 15.000 em 10 horas. Supondo que
a taxa de aumeoto seja proporciooal ao niimero
de bacterias preseotes, estabele~a uma f6rmula
para 0 niimero de bacterias na cultura no instante
t. Estime 0 niimero 00 termino de 20 horas.
Quando sera 50.000 0 numero de bacterias?
20
Mtopo de polomo 21OpO tern uma meia-vida
de aproximadamente 140 dias. Se uma amostra
pesa 20 miligramas inicialmente, quanto restanl
ap6s t dias? Quando restara, aproximadamente,
ap6s duas semanas?
3
Se a temperatura e constante, cntao a taxa de
varia~ao da pressao barometrica p em rela~ao a
altura" e proporcional a p. Se p = 76 em ao nlvel
do mar e p = 74 cm quando" = 305 m, determine
a pressao a uma altilude de 1.525 m.
4 A popula~ao de um'a cidade aumenla a taxa de
5% ao ano. Se a popula~ao atual e de 500.000 e
a taxa de aumento e proporcional ao numero de
pessoas, qual sera a popula~ao daqui a 10 anos?
5 Os agronomos estimam que seja necessario 1/4
de acre para produzir alimenlo para uma pessoa,
e que ha 10 bilhoes de acres araveis no mundo.
Logo, se nao houver outra fonte de recursos, s6
poderao ser sustentadas 40 bilhoes de pessoas. A
popula~ao do mundo 00 come~o de 1.980 era de
4,5 bilhoes. Supondo que a popula~ao aumente a
taxa de 2% ao ano, e que a taxa de aumento seja
proporcional ao numero de pessoas, quando sera
atingida a popula~ao maxima?
6 Uma chapa de metal aquecida sc resfria de 180'F
para 150'F em 20 minutos, quando exposta ao ar
a temperatura de 60'F. Use a lei do resfriamcnto
de Newton (veja 0 Exemplo 3) para dar uma
aproxima~ao da temperatura
uma hora de resfriamento.
temperatura
sera lOO'F?
7
Urn termometro
extemo
da ch"apa ao cabo de
Quando e que a
registra uma temperatura
de 40'F. Cinco minutos ap6s ser introduzido em
uma sala onde a temperatura
e de 70'F, 0 termometro registra 60'F. Quando registrara 65'F?
8
A taxa na qual 0 sal se dissolve na agua e
diretamente
proporcional
11 quantidade que permaneee nao dissolvida. Se sao colocados 5 quilos
de sal em uma vasilha com agua e se 2 quilos se
dissolvem
em 20 minutos, quanto tempo sera
necessario para que mais 1 quilo se dissolva?
9
De acordo com a primeira lei de Kirchhoff para
circuitos
eletricos,
V = Rl + L (dI/dt), onde as
constantes V, R, e L denotam a for~a eletromotriz
11 resistencia e 11 indutancia,
respectivamente,
e
I denota a corrente no instante I. Se a for~
eletromotriz e interrompida
no instante 1=0 e se
a corrente e 10 no instante da interrup~ao, pro\'e
que 1= Ioe-RIIL.
10 Urn fisico
acha que uma substancia
radioativa
desconhecida
registra 2.000 contages por minuto
em urn contador
Geiger. Dez dias de po is a
substancia registra 1.500 contagcns por minuto.
De uma aproxima~ao
po,o nlvel de radioatividade
seja 2,5 vezes 0 nivel
de seguran~a S. Durante quanlos anos, apoximadamente, 0 campo permanecera contaminado?
14 a is6topo
radioativo
artificial
51Cr, com meia-
vida de 27,8 dias, pode ser usado em testes
medicos para locaJizar a posi~ao da placenta em
mulheres gravidas. a is6topo deve ser encomendado a urn lahorat6rio medico. Se sao necessarias
35 unidades para urn teste, e se a entrega pelo
laborat6rio leva do is dias, estime 0 numero minimo de unidades a serem encomendadas.
15 as
veterinarios
usam
0 pentobarbital
de s6dio
para anestesiar animais. Snponha qne, paraanestesiar urn cachorro, sejam necessarios 30 miligramas para cada quilo de peso do animal. Se 0
pentobarbital
de s6dio e eJiminado exponencialmente da corrente sanguinea,
e se a metade e
eliminada em quatro horas, indique aproximadamente a dose necessaria
para anestesiar por 45
minutos urn cachorro de 20 quilos.
16 No estudo da fisiologia pulmonar,
usa-se a seguinte equa~ao diferencial para descrever 0 transporte de uma substancia
atraves de uma parede
capilar:
de sua meia-vida.
11 A pressao do ar P (em atmosferas) a uma altitude
de z metros acima do nivel do mar e uma solu~o
da equa~ao diferencial
dP/dz = -9,81p(z), on de
p(z) e a densidade do ar na altitude z. Admitindo
que 0 ar obede~a 11 lei ideal dos gases, esta
equac;ao
diferencial
pode
ser
escrita
dP/dz = -O,0342P/T,
onde Tea temperatura (em
'K) 11altitude z. Se T = 228 - O,Olz e se a pressao
e de 1 atmosfera ao nlvel do mar, expresse P
como fun~ao de z.
12 Durante 0 primeiro mes de crescimento de produtos como milho, algodao e soja, a taxa de
crescimento
(em gramas/dia)
e proporcionaJ ao
peso presente W. Para determinada
especie de
algodao, dW/dl = 0,21 W. Preveja 0 peso de uma
planta no temino de urn mes (t - 30), se a planta
pes a 70 miJigramas no inlcio do meSo
13 a estroncio-90
radioativo,
9OSr, com meia-vida
de 29 anos, pode causar cincer 6sseo em seres
humanos. A substancia e transportada pel a chuva,
penetra no solo e passa 11.cadeia de produtos
alimentfcios. Estima-se que, em determinado earn-
onde h e a concentrac;ao de hormonio no sangue,
I e 0 tempo, V e a taxa maxima
de transporte,
Q e 0 volume do capilar eke uma constante que
mede a afinidade entre os hormonios
e enzimas
que facilitam 0 processo de transporte, Determine
a solu~ao geral da equa~ao diferencial.
cos. Este
metodo
combustive!
e v(dvldr)
= -ky -2, ondey
no fato de que 0
4C) esta presente
e
plantas
assimilam
ocasiao da queima e Vo e a velocidade
correspon-
dente, expresse
de y.
de N02 em mols por Jitro, entao, a
600 oK, y(t) varia de acordo
f(II)=3+20(1-e.j),ln).
quantidade de 14C que resta em urn especime, e
posslVel deterrninar quando 0 organismo morreu.
Suponha
que urn osso fossil acuse 20% da
fossil.
20 (Ref. Exerdcio
19.) a is6topo
de hidrogenio
iH
tern uma meia-vida de 12,3 anos; e produzido na
atmosfera pelos raios cosmicos e trazido 11 terra
pela chuva. Se 0 madeiramento
de uma velha casa
contem
10% da quantidade
madeiramento
ximadamente
de
apro-
a1gum k > 0, e expresse V como uma func;ao de I.
da radiac;ao do Sol e I a intensidade depois de
percorrer uma distancia x na atmosfera. Se p (h)
e a densidade da atmosfera na altitude h, entao a
e f(x) = k {
.
p(h) dh, on de k
e
processos
ilustrados
com a lei de rea~ao
de segunda ordem dy/dl = -0,05 Y 2 para 0 tempo
I em segundos. Expresse y em termos de I e da
concentra~ao
inicial Yo'
"
Exercs.
1 f(x)
de aprendizagem
pelo grafico
pod em ser
de f(x) =.a + b(l- e-cX)
nal a [q(t)] 2.
.
(b) Mostre que
lim,_~ G'(t) = 0 e lim,_
.
. 2 f(x)
(e) Esboce
B=1.
~ G(t) = k
2'
= 9 - 2x ,
0
grafico
de G se k = 10, A = 2 c
(£J 26 Grafe a fun~ao de cresci men to de Gompertz
no intervalo
Exercs.
f -lex).
1-2: Determine
= 10 - 15x
24 No Teorema (7.33) admitimos
que a taxa de
varia~ao de uma quantidade q (I) no instante t seja
diretarnente proporcional
a q(t). Determine q(t)
se sua taxa de varia~o e diretamente
proporcio-
0
uma constante
de absor~o
e I e dada por
1= Ioe-ftx). Mostre que dI/dx = -kp(x)I.
22 Certos
(b) Esboce 0 gn\fico de f, de II = 0 a II = 30.
(Graficos deste tipo sao chamados wrvas de
aprelldizagem, e sao utilizadas com freqiiencia na educac;ao e em psicologia.)
superffcie da celula. Mostre que dV/dt = kV213 para
"21 A 'atmosfera da Terra absorve aproximadamente
32% da radia~ao proveniente
do Sol. A Terra
tambem emite radiac;ao (a maior parte em forma
de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente
93% dessa radia~ao. A diferen~a entre a radia~ao
que entra na Terra e a que sai e chamada
efeito-estufa.
Modificac;oes neste equilibrio podem afetar 0 c1ima da Terra. Seja 10 a intensidade
olica
no
23 Uma celula esferica tern volume V e area de
superffcie S. Urn modelo simples de crescimento
de celulas antes da rnitose, admite que a taxa de
crescimento dV/dt seja proporcional
11 area da
iH presente no
de uma casa nova, determine
a idade da casa velha ..
.
(a) Estime 0 numero de unidades produzidas
quinto dia, no 24' dia e no 30· dia.
quantidade de l4C presente em urn osso dos dias
atuais. De uma aproximac;ao da idade do osso
18 A temperaturas elevadas, 0 dioxido de nitrogenio,
N02, se decompoe
em NO e 02"Se
y(t) e a
concentra~ao
ate atingir urn maximo. Suponha que no II ~o dia
de lrabalho, 0 nurnero f(1I) de unidades produzidas seja dada aproxirnadamente
pel a formula
carbono da atmosfera;
quando morrem 0 14C
acumulado come~a a decair, com uma meia-vida
de aproximadamente
5.700 anos. Medindo-se a
e a dis-
tan cia do centro da Terra eke
uma constante
positiva.Se Yo ea distancia do centro da Terra por
v como uma fun~ao
baseia-se
carbono-14,
isotopo instavel
no CO2 na atmosfera.
As
espeSSllra
17 Uma sonda espacial e lan~ada da Terra. Desprezando-se
a resistencia
do ar, uma equac;ao
diferencial para a velocidade
apos a queima do
para constantes positivas a, b e C. Urn industrial
estima que urn empregado
novo pode produzir
cinco' unidades de determinado artigo no primeiro dia de trabalho. Na medida em que 0 empregada adquire pratica, a produ~ao diaria aumenta
19 Usa-se a tecnica do carbono-14 para determinar
a idade de especimes arqueologicos
ou geol6gi-
3-4:
G
[0, 5] para k = 1,1, A = 3,2 B = 1,1.
Mostre
inversa, e determine
a dado.
que
f admite
[Dx f -l(x)]x.
uma
funG- 0
a para () "'lnl 'ro
";":':"
: " .,:"
..•',....
..~~
..
,-;.".
..:-.'.;:". ;':,1 ...
Cap. 7
(b)!X4-x',i;,
o
2
810gI2-9~
I-x
.
"I
, n- (3x+2t~
,
10 In
.8x-7
II
47 Ixtgidx
48
.50
51J_1_dx
x-xlnx
(7.2+3)
D ..!.-
J cot (x+~) dx .
4
V 3xx+5 49 Ix' dx
1
III
I
.
46 (B)IX,'+ldx
.
}+3x'
"
J 7 :5Xdx
16 In cv'X
17 In (e4x+ 9)
19 10" log x
2053" + (3x)5
81 Uma partkula se move sobre uma reta coordenada com uma acelerac;ao, no instante I, de
e'n. em/52• Em 1 = 0 a partkula est ••na origem e
sua velocidade e 6 cm/s. Determine a extensao
do percurso da partlcula no intervalo de tempo
[0,4J.
52fx~x~
2
56
IX x+1+ 1 dx
41x'
57 J~dx
x
25
Ye3x + e - 3x
26 (x2 +
2R 71n Ix I
Il"
59
29 x'n x
4
,
c;aoy = xell.T + In 12 - xli no ponto P(l, e).
~
dx
+1
85 A regiao delimitada pelos graficos de y _ e4\
x = -2, x = -3 e y = 0 gira em torno do eixo-x.
Ache 0 volume do solido gerado.
cot e-a
65J_1_dr
xVlogr
Jo:Kcrcs.39·40: Use a diferenciac;ao impHcita para
dClcrminar y'.
2
69J~dx
1 + cotx
EKcrcs. 41-42: Use a diferenciac;ao logaritmica para
II 'har dy/dx.
4 t y.
84 Ache a area da regiao delimitada pelos graficos
das equac;6es y = eb, y = x/(xl + 1), x - 0 ex = 1.
32 In csc vx
1
38-- - 3x
(
sen1e-
<+ 2)413(x- 3)3/2
l,:xcrcs.~~:
,13 (II)J----rx
vx e
Vx
dr
71
70
I cos r + sen x dr
senx-
cosx
J 1 -cos2 sen21' 2:r dr
42 y _ ~(3x - I) "21' + 5
Calcule a integral.
1
I
1
vx ev'X
(b)J--
dx
e - 3x+ 2 dx
(b) /
o
I cos 2r 21' dr
78 Isenx+ 1 dx
cosx
76
4
82 Ache os extremos locais de f(x) = xl In x para
x >..0. Discuta a ~oncavidade, ache os pontos de
inflexao e esboce 0 grafico de f83 Ache a equaC;aoda tangente ao gr"fico da equa-
30 (In r)lnx
Jlllljtgx-secxl
33 csce-a
Ix +
e logarltmicas
"K/" :!C,1{h\;r.
87 Uma substancia radioativa tern vida de 5 dias? ...':'~:",.
Quanto tempo levan\ para que uma q~antidade .~:-::~'.~":;"
A se desintegre ate restar apenas 1% de A?
88 A equaC;aode determinac;ao de data pelo carbo·
no-14 T = -8.310 In x, e usada para prever a idade
T (em anos) de urn fossil em termos d~.porceqtagem IOUI' de carbono ainda presente:nlJespecie
(veja 0 Exerdcio 19, SeC;ao7.6). ' '
(a) Se x = 0,04, estime a idade do fossil h3
aproximadamente 1.000 anos.
14 Inx
x
III X
80 No crescimenlo populacional salol/ai, a populac;ao q(l) no tempo I (em anos) aumenta durante a
.primavera e 0 verao, mas diminui no outono e no
invemo. Uma equac;ao diferencial, as vezes usadas .para descrever este tipo de fenomeno de
crescimento, e q'(t)/q(l) = k sen 2n1, onde k > 0 e
1 = 0 corresponde ao primeiro dia da primavera.
Fun,oes expon.nciais
CSC
79 Resolva a equac;ao diferencial y" - _e-3x sujeita
as condic;oes y - -I, e y' - 2 se x = o.
86 A estimativa da populac;ao da india em 1.980 foi
de 651 milh6es, e a populac;ao tern crcscido a
uma taxa de aproximadamente 2% ao ano, com
a taxa de crescimento proportional ao niimero de
habitantes. Se I denota 0 tempo (em anos) apos
1.980, ache uma formula para N(I), a populac;ao
(em milh6es) no tempo I, Supondo que esta
elevada taxa de crescimento continue, estime a
populac;ao e a taKa de crescimento populacional
para 0 ano 2.000.
(b) Se 0 erro maximo na estimativa de x na parte
(a) e ± 0,005, use diferen.ciais para aproximar
o erro maximo em T.
89 A taxa na qual 0 ac;ucar se dissolve na ••gua e
proporcionaJ a quantidade ainda nao dissolvida.
Se 5 quilos de ac;iicar sao colocados em uma
vasilha com agua a 1 hora da tarde, e metade se
dissolve ate 4 horas da tarde,
(a) Quanto tempo levara para que mais 1 quilo
se dissolva?
.
(b) As 8 horas da noite, dos 5 quilos iniciais
quanto eslara dissolvido?
90 Pela lei do resfriamento de Newton, a taxa na
qual urn objeto se resfria e diretameote proporcional a diferenc;a de temperatura enlre 0 objeto
e 0 meio ambiente. Se f(l) denota a temperatura
00 tempo I, mostre que f(l) = T +[f(0) -1]e - b,
onde Tea temperatura do meio ambiente eke
urna constante positiva.
91 A bacteria E. coli sofre uma divisao de celulas a
cada 20 minutos. Partindo de 100.000 celuJas,
determine 0 numero de celulas ap6s 2 horas.
92 A equa<;ao diferencial p dv + cv dp = 0 descreve
a mudanc;a adiabatica de est ado do ar para a
pressao p, 0 volume v, e uma con stante c. Resolva
em relac;ao a p em lermos de v.
Capitulo
..• 8
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FUNQOES
TRIGONOMETRICAS
INVERSAS E HIPERSOLICAS
o capitulo
come'fa com uma reVlsao das
fun 'foes trigonometricas
inversas estudadas
nos cursos de trigonometria.
Em seguida
aplicam-se metodos do calculo para obter
f6rmulas de derivadas e integrais. Como os
valores funcionais podem ser vistos como
angulos, isto nos permite considerar aplical<6es tais como a mensura'fao da taxa .de
varia'fao do angulo de eleva'fao quando uma
pessoa observa um objeto em v60, achar a
taxa na qual gira urn farol, deterrninar urn
angulo que minimize a perda de energia
quando 0 sangue flui atraves de urn vaso
sang!JfIieo.
As fun'foes hiperb6licas, definidas na Se'fao
8.3, sao usadas em ciencias fisicas e engenharia para descrever a forma de urn fio flexivel
'susperiso pelas extrernidades, para determinar
a velocidade 'de urn objeto em urn meio
resistente como 0 ar ou a agua, e para estudar
a difusao do gas radon atraves de uma parede.
o capitulo termina com urn estudo das fun'foes hiperb6licas inversas. Tais fun'foes sao
utilizadas principalmente para calcular certos
tipos de integrais.
..>;:- '•..
-~~(:·:~::}~r··
.
~, \ "i-
".
'=senx
,,1--
'.
- 2
I
n ~..
'.
f-~
-1-
"
I
'I,'
It
1t "X
"2
"
.:. /; "'~ '\.; .:::;. '\ ,",.'J
Comoas funl;oes' lrigonometricas nao sap um-a-um, nao admitern furil;oes inv'eisa's (veja a Sel;ao 7.1). Todavia, restringindo
convenientemenle'seus
dominios, podemos obler funl;oes urn-a. urn que t~nha~ os me~m'o.s valor~s das funl;oes lrigonometricas
e que ten ham funl;oes'inversas nesses domfnios reslrilos.
',,:,,'1' ; ,._.~
'. ,<
Consideremos primeiro 0 grafico da funl;ao seno, cujo
domfnio e IR e cujo contradomfnio
e 0 intervalo fechado
[-1,1] (veja a Figura 8.1). A funl;ao seno nao e um-a-um, po is
uma rela como y = intercepta 0 grafico em mais <Ieurn ponto.
f
~-~.~
,;
~':~
~~".'~
~::::
~'
"
1,,·
n
1
~eny = '2 e -1:sy
11,
~2'
n i.
.
.. :.}"~. :' ',c"'( 1)"_
,.(.,.'~ ~v~~_~~~~~:'~_',
~~~'_f~.~ao
_ =-21 -"2 ~2
n
seny
'Logo, y = - ~ .
•.
,:1;;;
Assim, numeros como 11,/6,5n/6 e -7n/6 origin am 0 mesmo vaio~
:.
t . Mas se restringirmos 0 domfnio a [-n/2, n/2], en lao,
r,"
i'"
e
n
~y
.
6
'L .p~ . :.:J_~'·i.;'~~.::,
::!;-,f)J)
i,: ~
,),;,.. '",
t
funcional,
'
Logo,y='6'
_
conforme ilusirado pela parte s61ida do grafico da Figura 8.1',
obtemos uma funl;aocrescente
que toma cada valor da funl;ao
seno uma e somente uma vez. Esta' nova funl;ao, com domfnio
[-11,/2,n/2] e contradominio [-1,1], e continuae crescente'e
assim, pelo Teorema. (7.6), ad(riite uma funl;ao inversa que
tambem e contfnua e crescente. Esta fUDl;ao inversa tern domiriio
[-1,1] e contradominio
[-11,/2, n/2]. Isto nos leva
seguinte
definil;ao.
- .
.
. ?f:~,~~~e.!l'2,:~n,~~~
I;.
• -.,
lJ
t,
Usando ometodo introduzido na Sec>ao 7.1 para esboc>ar 0
grafico de uma func>ao inyer~~,. ~~d.~~o~ .trac>ar 0 grafico de
y = arcsen x refletindo a p(lfc>aos6lida da Figura 8.1 em relac>ao
reta );;.
jsto pi-oduz a FiguraTi"Podei-iaiiiostamb6m'
usar
x.
,'.- a
a equa!;ao y = sen y, com -1t/2s
gr~fico. :.. ···';;'1,
u, ~,,' .
y s n/2, para obler ponlos do
,
.
As r~lal;oes 'f(f"l(X»
-x e f-l(f(X»
=x, validas para
qualquer fu'Dl;ao inversa f - 1, dao as seguintes propriedades:
. .
a
.
Propr(edad~~ ide.
arcsen x (8.2) ,
E importante notar que 0 -1 ern sen -I x nao deve ser
. considerado .como expoente:e sim uma simples notal;ao.
seD ( arcsen ~ ) = ~
o inverso da funl;ao sen x e _1_
, diferenle de arcsen ~:
senx
arcsen ( sen
%) = %
arcsen ( sen ~
y
)
pois
-1 < ~ < 1
pois - ~ <
) ~ arcsen ( ';
% <~
) =~
E preciso cautela ao utilizar (8.2). Na terceira parte da
ilustral;ao precedenle, 2Jt/3 1llia esta entre,-rt/2 e 11,/2e, assim,
nao podemos aplicar (ii) de (8.2). Em lugar disso, ulilizamos
propriedades de iingulos especiais (veja a Sel;ao 1.3) para
calcular prirneiro sen (2Jt/3) e achar em seguida arcsen (Y3/2).
/
/
Podemos tambem definir funl;oes trigonornelricas inversas
das outras cinco funl;oes trigonomelrica~.
~e, reslringirmos '0
dominio da funl;ao co-seno a [0, n] (veja a parte s6lida da Figura
8.3), obterernos uma funl;ao continua decrescente que tern uma
funl;ao inversa
definil;ao.
continua
decrescente.
Isto conduz
a seguinte
Como cos e arccos sac funl;oes inversas uma da outra,
obtemos as seguintes propriedades:
o dominio da funl;ao inversa do co-seno e [-1, 1) e 0
contradominio e [0, It). A expressao y = arccos x elida como
"y igual a arco co-seno XU ou "y e 0 angulo cujo co-seno e xu ..
.
pOlS -
2lt)
I
: y = tgx
I
I
I
I
I
I
I
1
1
Se y = arccos 2 ' entao cos y = 2'
Logo,
It
y=3
• sey=arccos(-~),entaocosy=-~
Logo,
e
OsySlt.
2lt
y="3
Pode-se obter 0 gnifico da ftlnl;ao inversa do co-seno
refletindo a parte s6lida da Figura 8.3 em relal;ao ao eixo y =~.
Isto origina 0 esbol;o da Figura 8.4. Poderiamos tambem aplicar
a equal;ao x = cos y, com 0 s y s It, para acbar pont os do grafico.
arccos
cos"3
(
arccos [cos (-
2lt
="3
1
<
. 0
pOlS
-21 < 1
2lt
<"3 < It
%) ] = arccos (V;) = %
Note que na terceira parte da ilustral;ao precedenle, -lt/4
lIao est a entre 0 e It e, assim, nao podemos utilizar (ii) de (8.4) .
Em lugar disso, calculamos primeiro cas (-lt/4) e, em seguida,
achamos arccos (V2/2).
Restringindo 0 dominio da funl;ao tangente ao intervalo
aberto (-It/2, lt/2), obtemos uma funl;ao continua crescente (veja
a Figura 8.5). Usamos esta nova funl;ao para definir a flllll;ao
illversa da tangellte.
y
o dominio da funl;ao arco tangente e IR e 0 contradominio
e 0 intervalo
aberto (-lt/2, lt/2). Obtem-se 0 grafico de
y = arctg x na Figura 8.6 refletindo-se 0 grafico da Figura 8.5
em relal;ao a reta y = x.
y
________ . n
= aretgx
= tg·1x~__
:2
Se consideramos' 0 gnlfieo de y = see x, veremos que ha
muitas maneiras de restringir x de modo a obter uma fun<;iio
urn-a-urn que tome todos os valores da fun<;iio seeante. blao ha
acordo universal a respeito. E eonveniente restringir x aos int~rvalos
[0, nl2) e [n, 3n/2), eonforrne indieado pela parte s6lida do WMieo
de y = see x na Figura 8.8, em Jugar dos intervaJos "rnais milurais"
[0, nl2) e (nl2, n], porque a formula de difereneia<;aopara a inversa
da secante €, mais siinples. Mostraremos nit proxima se<;ao que
Dx arcsenx ;")!(x~ -). Assim, 0 coeficiente angular ~a reta
tangente ao grafico de = arcsee x e negativo se x < -1 e positivo
se x > 1. Para os intervalos mais natura is, 0 eoefieiente 1\ll1?ulare
sempre positivo; terfarnos Dx aresee x = 1I( Ix I ';xl· 1).
y
e
y = seex '
y
:y = see x
,..
II
I
I
I
I I
II
II
II
I I
1\
I
\
I
\
: '..• I
I
Se y = arelg (-1), entao
Logoy=-~
4
tg (tg -I 1.000) = 1.000 por (8.6)(i)
( n) n . n
n n
tg - I tg 4" = 4" pOlS - 2: < 4" < 2:
arelg (tg n) = aretg 0 = 0
i2j,
3n
y~2
Fazendo y = aretg ~, entao Igy = ~. Queremos see y. Como
-n/2 < aretgx < nl2 para todo x e tgy> 0, segue-se que
0< y < n/2. Assim, podemos eonsiderar y a medida, em radianos,
de urn angulo de urn trianguJo retangulo tal que tg y = t ' eonform~
iluSlrado na Figura 8.7. Pelo teorema de Pitagoras, a hipotenusa e
';32 + 22 = ill. Referindo-nos ao triangulo, obtemos
A fun<;ao inversa da co-tangenle, arecot, e a fun<;ao inversa
da eo-seeante, areeossee, podern ser definidas de maneira analoga (veja os Exercfcios 31-32).
Os exemplos seguintes i1ustrarn algumas manipula<;6es que
podem ser feilas com fun<;6es trigonomelricas inversas.
'
~-~
cos (arcsecx) = cosy;= --1-
Determine as solu~es
intervalo [-rr./2, It/2].
Queremos achar sen (u:- I!). Como u e v estao no intervalo
(0, rr./2), pod em ser considerados como medidas em radianos de
iingulos agudos, e podemos referir-nos aos triiingulos retiingulos
na Figura 8.10, 0 que nos da
~l
= V1-A-
de 5 sen2 1+ 3 sen 1- 1 = 0 que estao no
A equac;ao pode ser considerada como uma equa<;ao quadratica
em sen I. Aplicando a f6rmula quadratica, obtemos
2
1
sen II = Y5'
2
cos u = VS'
senv=S'
3
4
cos v =S
senl-
- 3± Y9+2O
10
- 3 ± -fIlf
=-lil
Usando a defini<;ao da fun<;ao seno inversa, arcsen, obtemos as
seguinles soluc;6es:
1 4
1 ;= arcsen To (-3 + -fIlf) ~ 0,2408 .
2 3
=VSS-Y5S
1 = arcsen To (-3 -..fI9)
~ -0,9946
2
2Y5
=- 5VS=-2j
EXERciCIOS
Se -1 s x s 1, escreva cos (arcsen x) como uma expressao algebrica em x.
.
8.1
Exeres. 1-18: Determine 0 valor exato da expressao,
quando for defillido.
(a) arcsen ( -
Querem6s
expressar
cosy em termos
-rr./2 s y s rr./2, segue-se que cos y ;" 0, e entao
de
V; )
2
(a) arcsen ( - ~ )
(c) arctg 1
6
(b) arccos ( -
(b) arccos 2"
(a) arcsen"3
(b) arccos ( - ~ )
(e) arctg (-VI)
x. Como
11:
11:
.5
V;)
It
(a) arcsen 2"
(e) arctg ( -
cosy=Y1-sen2y",V1-x2
11:
(b) arccos 3"
V;)
(e) arctg (-1)
VI
..J 1-x2
Figura 8.11 .
A. ultima identidade tambem pode ser visualizada geometricamente, se 0 < x < 1. Neste caso, 0 < y < rr./2, e podemos
collsiderar ya medida em radianos de urn iingulo de um triiingulo
retlirigulo tal que sen y = x, conforme Figura 8.11. (Acha-se 0
Indo de comprimento VI - xl peIo teorema de Pitagoras.)
rindo-nos ao trilingulo, temos.,~,:.
Refe-
3 (a) arcsen '2
..fI
(b) arccos '2
7
(e) tg (arctg 14)
1
(c) arctg V3
8
4
(a) arcsen 0
(c) arctg 0
1
(a) sen [arcsen (- :0 ) (b) cos ( arccos ~ )
(a) sen ( arcsen ~ )
(b) arccos (-1) .
(c) tg [arctg (-9)] .
(b)cos [arccos (- ~)
l
OJ
(1I;1Ir 'sen ( sen ~ ):,
(h)arcxos
( eos
56")
(to) IIrelg [ tg ( - ~) ] -"
III (II) IIr~sell [sen (-
«(.) III' 'Ig ( tg
I'
% )]
;
21 sec (arcsen
3)
22 cOl (arcsen!)
x
7:)
,
(b) arccos
(4") '3
cos
7;)
I , (II) sell [arccos
arccot
restringindo
0
ao inlervalo
[O."J.
dominio
da
(- ~ )]
(,.) Ig [arcsen
(-I)J
(II) sell (nrctg
¥3)
«(.) Ig (arccos
0)
38 Urn critico de arte, cujo nivel de visao esta a 1,8
m acima do solo, olha pa'ni urn quadro pendurado
de 3 m de altura, cuja base est:! a 1,2 m acima
do solo (veja a Figura).
(a)
Defina arcxsc x reslringindo
0 dominio
da
fun~ao co-secante a [-"/2, 0 U (0, "/2].
(b)
(II) col ( arcsell ~ )
(b) sec [ arclg (- ~ ) ]
i)]
(- ~ )]
Use a formula
mostrar
(c)
( -
Se 0 crilico est:! a x m da 'parede, expres~e
lingulo de visao
em termos de x.
39 A unica fuD~ao trigonometrica
inversadisponivel
, em algumas linguagens de compulador
e arctg.
Na linguagem BASIC, esla fun~ao
denotada pOI'
ATN(X). Expresse em termos de arctg:
e
0
e
32 (a)
I t, (II) 'ot [arcsen
algebri-
x
fun~ao tangente
C<') csc [arccos
t)]
(b) arccos ( cos 54" )
31 (a) Defina
I.'
arcsen ( -
Exercs 19-22: Escreva como uma expressao
ca em x para x > O.
1)
It (II) lll'~sell ( sell ~ )
(I') IIr~lg ( Ig
t-
(b) arccos (cos 0)
(II) IIresen ( sen 54~)
«(.) IIrclg ( tg
(c) tg [ arccos
que
da adi~a(o p;~
a t)angente para
e - arctg :r?- _ 16
Para que valor de x,
(a) aresen x para
Ix I < 1
(b) arccos x para
Ix I < 1 ex" 0
40 Se
-1 :s x :s 1, e sempre
possivel
aehar
aresen ("rcrn
x) utilizando
a seqiiencia
de
teelas
INV
SIN duas vezes? Em easo nega.
tivo, indique os valores permitidos de x.
e = 45°?
I
Exercs. 33-36: (a) Use fun~6es Irigonomelrieas
inversas para achar as solu~6es das equa~6es que
eslao no intervalo indicado. (b) De as solu~6es com
quatro casas decimais.
.
I
(b) sec ( arclg ~ )
t)
"(\""('=+'='0 )
(c) ese ( arccos
(1/ eos ( arclg ( - ~ ) - arcsen ~ ]
(c) Ig ( arelg ~ + arccos
8
1 7)
37 Conforme a figura, urn navio segue urn curso em
linha rela I. A menor disliincia de uma esta~ao de
raslreamento T ao curso do navio e d milhas. A
medida que 0 navio avan~a, a esta~ao registra sua
dislflllcia k de T e sua dire~ao
em rela~ao a T.
lingulo a especifica a dire~ao do navio.
e
o
III (II) sen [ arcsen
5
1 3- arccos ( _ ~ ) ]
(II) cos ( arcsen ~ + arctg ~ )
(b) Estime a a menos de 1 grau se d = 50 milhas,
k = 210 mi e = 53,4·.
e
Nesta
se<;;ao abordaremos
tangente
e secante.
derivadas
e para
tricas
inversas;
valores
para
as funs-fies inversas
0 pr6ximo
integrais
da f6rmulas
que resultem
em funs-fies
ali, II = g(x)
os quais
do seno,
teorema
e diferenciavel
as express6es
se surpreenda
que,
tenham
embora
restrilo
sentido.
Voce
talvez
usado
funl;fies
trigonometricas
para deflnir
fUIls-fies trigon ome-
tricas
inversas,
suas
sao funs-fies
algebricas.
derivadas
ao constatar
suas
trigon ome-
e x esta
indicadas
co-seno,
para
tenhamos
a
.
Conseqiientemente,
1
D aretg x = D y = --2x
x
see y
1
Dx aretgx = 1 + x2
para y em (0, rr./2) ou (rr.,3rr./2). Difereneiando
tamente, obtemos
see y = x implici-
Consideraremos apenas 0 caso especial II = x, pois as f6rmulas
para II = g(x) podem ser obtidas aplicando-se a regra da cadeia.
Como 0 < y < rr./2ou rr.< y < 3rr./2, segue-se que see y tg y " 0 e,
entao,
Fazendo f(x) = senx e g(x) = arcsenx no Teorema (7.7),
segue-se que a funl$ao inversa do seno
e diferenciavel se
Ix I < 1. Usa rem os a diferencial$ao impHcita para acbar g'(x).
Notemos p.rimeiro que as equal$6es
i
D arcsecx=D
x
x
1
y=---see y tgy
tg y = vsee' y - 1 = v'X'=T, obtemos
SaD equivalentes se -1 < x < 1 e - rr./2 < y < rr./2. Diferenciando
sen y = x implicitamente, temos
~
x~
x
para I'x I > 1. A funl$ao inversa da seeante nao e diferenciiivel
ern x = ± 1. Note que 0 grafico tern tangentes verticais nos ponlos
com essas eoordenadas-x (veja a Figura 8.9).
1
D arcsenx=D
x
D arcseex=-_l--
y=-cos y
Como - rr./2 < y '< rr./2, cos y e positivo e, portanto,
cosy=Y1-sen2y
=~
ILUSTRAc;Ao
rex)
1
Dx arcsen x = Y1-:2
para I x I < 1. A funl$ao seno inversa nao e diferenciavel em
± 1, 0 que e evidente pela Figura 8.2, pois ocorrem tangentes
verticais nos pontos terminais do grafico.
.
. Obtem-se de maneira analoga a f6rmula para Dx arccosx.
Decarre do Teorema (7.7) que a funl$ao tangente inversa e
diferenciavel para todo numero real. Consideremos as equal$6es
equivalentes
y = arctg x
e
1
V1-(lnx)2D
1
Inx=-~~
__ 1__ D elx = 2elx
1 + (elx)2 x
1 + e4r
1
X2~
D (x2) = __ 2_
x
:>"-Yx4 - 1
tg y = x
para -rr./2 < y < rr./2. Diferenciando tg y = x implieitamente, temos
see2yDxy=1
!
Dx (3x) = v~ 9x2
~
Lanl;a-se urn foguete vertical mente com velocidade inicilll 0; 0
foguete consome combustivel a uma taxa que produ1. '"1111
s
,a~~le~~c<ao,.~~s~a~.tY.A:e'f5qrn/s2 para 0 s I 5,com 0 tempo t
,,'
'·em'segundds.'CoiiforiIie
Figura 8.12,um observador a 400 m
... _ .. da plataforma de lanc<ainento acompanha a trajetoria do foguele.
y," ,,"
, '1 (~).'Y~x;;~:~~
r~\':A~';I~I~.:
'l'
i', de t.
"'\"
~O
-
: Observador
(21)
32t
16 = 256 + t 4
dt ~ :1,~ (P/l6)2
i,. ,'\ :-', i" .C', "::
elevac<ao B do foguele como func<ao
J
.·.>'\8
:'i"~B :""'{
,';:!:;~!,: ~:;X.:)i.):l;;:j,~',::;'~;,:;,':
:,,~j.'.!:,! ",'"
'
(b,) 0ob~e,ry~~orc~nsl~la que 0 foguele,se e~eva mais de'pre~sa
., '''quando''d8/dt
e malor. (Naturalmenle, Islo e uma l1usao,
, pois 0 crescimenlo da velocidade
eSlacionario.) Delermi... , ne a velocidade do foguele no momehlo em que 0 obser-
e
:~---4bo
m --~~
vador conslala velocidade
Como ,desejamos achar 0 yalor maximo de d8/dl, come<;amos
por determinar os numeros criticos de dB/dt. Pel a regra do
quocienle oblemos
.
~.
,
._:..- j
I,.
;
. !!.. (dB) = d2 B = (256 + t 4)(32) - 32t( 4t 3) = 32(256 - 31") .
dt
(256 + 14)2
dl2
dt
(256 + 14)2
maxima ..
Fazendo
Segue-se
d2
B/dF = 0, obtemos'
do tesle da primeira
4
numero crilico t = ";256/3.
(ou da segunda) derivada que
0
4
(a) Seja 5(t) , a altpra do foguele no inslante t (veja a Figura
8.12). Conio a acelera~ao
sempre 50, lemos a seguinle
equac<ao diferencial
e
.: ';'';'~:.
com'as condic<oes iniciais s'(O) = 0 e s(O) = O. Integrando
relac<ao a t, oblemos
em
,
dB/dl tern maximo em I = ";256/3 ~ 3,04 s. A altura atingida pelo
foguele nesle inslante e '
".:.:
Podemos usar as formulas de diferencia<;ao (i), (ii) e (iv)
do Teorerila (8.7) para obter as seguintes formulas de integra<;ao:
'J"';1~u2,du=arcsenu+c
du = arclg u + C
I~
1+ u
'
para uma conslanle C. Fazendo
= 50(0) + C, OU C = O. Logo,
1=0
e como s'(O) = 0, temos
o
du arcsec u + C
I u J-=-r
u--1
=
S'(I) = 501
Estas formulas
para a > O.
podem
ser generalizadas
como
segue
f S'(I) dl =JSOt dl
S(I) = 25F +D
para uma 'co~slanle D. Fazendo 1=0 e como s(O) = 0, obiemos
0= 25(0)
D, ou D = O. Logo,
+
S(I) =25F
Provemos (ii). Como de costume,
u = x. Comec<amos escrevendo
basta
considerar
dx- l.J
1
dx
J_1a +r
- a
1 + (x/a?
2
2
0
caso
Em .seguida, fazemos a substitui<:;ao v = x/a, dv = (l/a)dx. IntTOduz~do ~ fator 1/a no integrando, compensando pel a multiplica~ao da mtegral por a, e aplicando a f6mlUla (2) anterior a este
teorema, obtemos 0 seguinte:
A integral pode ser escrita como na segunda f6rmula do Teorema
(8.9), fazeodo a2 = 5 e usando a substitui~ao
=lJ_l_dY
2
a
1+ y
="3IJ (..f5f1 + u2 du
I
I
u
="3 . ..f5 arctg ..f5 + C
=;I arctg; x + C
..f5
A.3
= 15 arctg ..f5 + C
Calcular
//
A integral pode ser escrita como na primeira f6rmula do Teorema
(8.9) fazendo a = I e usando a substitui<:;ao
f x ,,;xi- 9 dx
A integral pode ser escrita como no Teorema (8.9)(iii) fa:t.clltill
a2 = 9 e usando a substituj~ao
Jntroduzimos 0 fator 2x no integrando multiplicando 1111
merador e denominador por 2x, e procedemos como scgll ':
-1-dx-J
J x~
2xdx
I
-
2x·x~
=lJ
I
dll
211~
1
6
~
+C
3
= - arcsec -
2
Calcular
J 5 x+ X' dx
do cartaz na qual urn observador
para rilaXiID~ar 0 aDg~~entre
33 j : s~nx
Vi
1 arcsen
12 aresen In x
aresenx
arctg (xl)
16 arcl<
U-
. Y36-1
42J
J
para
1
dt
44L~dt
V4-.r
45 0 chlio de urn gal plio tern a forma de urn triiingulo
·retiingulo.
As medidas dos eomprimentos
dos
lados opostos adjaeentes a urn iingulo agudo 6 do
triiingulo siio 3 m e 2,1 m, respeetivamente,
com.
erro possivel de ± 1,27 em na medida de 3 m.
Use a diferencial de uma fun~iio trigonometrica
19 3arescn (x')
4
aresen ~ )
inversa para aproximar
2t
0 erro
no valor calculado
de 6.
22 __ e __
aresen 5x
24 (sen 2x)(arcsen
46 Use diferencias para aproximar 0 comprimento
de arco do gn\fico de y - arctg x de A (0, 0) a
2t)
27·28:
.
,
a------
j4
I
,~11~
1
t__:
I
I
de urn ponto
aehar
a velocidade
e 30
do missil
quando
0
0
•
52 Quando 0 sangue flui atraves de urn vaso sanguineo causa uma perda de energia devido 3 fric~lio.
De acordo com a lei de Poiseuille, essa perda de
e
E-
e
energia E dada por
kl/,4, on de , 0 raio do
vaso sanguineo, I e seu comprirnento
e kuma
constante.
Suponha que urn vaso sanguineo de
raio rz e comprirnento
11 se ramifique, a urn
[2]53 Use a regra de Simpson, com n - 4, para apro'ximar 0 comprimento
de arco do grafico de
y - arcsen x de A (0,0) a B{1/2, n/6).
iingulo 6, de outro vaso de raio '1 e eomprimento
grafico
de y _4arctg(x2)
de A(O,O)
a
B(l, n) gira em torno do eixo-x. Use a regra do
trapezio, com n - 8, para aproximar
a area da
1], conforme
superficie
figura, onde as setas brancas
[2]540
indi-
resultante.
earn a dire~lio do fluxo sanguineo. A perda de
energia e entao a soma das perdas individuais;
isto e
B (0, I, arctg 0,1).
6 (arctg 4x)e3Ictg4x
Excrcs.
_~d~
xvx-l
iingulo de eleva~lio
_¥e2t_ 25
e ache 0
-. situ ado a 8 quil6metros
de uma esta¢o
de
rastreamento
e 3 mesma altura desta. Durante os
primeiros
20 segundos de voo, seu iingulo de
observa~ao'
varia '3 laxa constante de 2'" poi
. segundo. Use as fun~6es lrigonometricas inversas
40J_x-dt
x +9
43
~ ~
+ (cosx) - J x + arccos x
18 x arccos "4x + 1
20
41J-!-dt
14 arccos cos e"
13 (1 + arccos 3x)3
0S (x-I)
J x Y~x-4 d~
de a, ben,
a perda de energia.
e (1 + r)'" I m/s.
51 Urn missil e lan~ado verticalmente
39
iingulo que minimize
Se 0 ponto esta na origem quando t - 0, determine
,sua posi~ao no instante em que a acelera~ao e a ,
, velocidade t~m mesmov~or
absoluto.
0
h e /1 em termos
Expresse
t, de urn pooto que se
no instante
move em uma reta coordenada
Vi(l+x)
%arcsec5x
1
8
50 A velocidade,
1-dt
8 arctg sen 2x
9 arcsec~
I~n
';9 - sen1 x
do topo e da' base do 'c~rtaz (veja 0 Exemplo'8
, da Se~ao 4.5).
dt
6 "aresec 3x
7 xl arctg (Xl)
11
cosx
f0-_
\:J
4 arctg(l)
5 e-x.aresece-x
dt
J
cos x+ 1
2 aresen ~x
3 arctg (3x - 5)
34
deve colocar-se
as linbas dC vi~ao .
47 Urn ~viiio a uma altura constante
velocidade
observador
Ache y'.
de 8 Ian e uma
de 800 lanlh voa afastando-se de urn
no solo. Use as fun~6es trigonometri-
cas inversas para aehar a taxa na qual 0 iingulo
de eleva~iio varia quando 0 aviiio est a sobre urn
ponto a 3,2 Ian do observador.
29 (a)
I x +1-16 dx
4
e"
30 (a)I ~dt
j ~dt
(b)
l+e
01+e
I J:':''''-'
vI-x·
48 Urn
<it
\
(b)
~
x
f.l ,;I-xx dt
4
111
I xvx··-l
dt
(b)I
rz-:- dt
2/-/3 xvr-l
32 (a)
J7--~
farol ·localizado
a ~ km do pOnlo
mais
proximo P em uma estrada e focalizado sobre urn
autom6vel viajando na estrada a 50 krnIh. Use
Umz
t
31 (a)
1
(b)f. -l-dt
Ox + 16
-1-
aparecem
em aplica«oes
avan«adasdo
calculo.
Suas
as de sen
x e cos x. Mais
fun~6es . trigonometricas
inversas para achar a
taxa na qual 0 farol gira quando 0 auto move I esta
des sao, em muitos'aspeclos,
analogas
adianle
sao chamadas
a ~ Ian de P.
e ca-sello de x.
49 Urn cartaz de 6 m de altura esta colocado no topo
de urn edificio com sua borda inferior a 18 OJ
acima do nivel de vista de urn observador. Use
as fun~6es lrigonometrieas
inve~as para deterrninar a distlincia de urn ponto diretameote debaixo
veremos
por que elas
proprieda.
sella hiperb6/ico
e
catella, cadeia). Inlroduzindo urn sistema de coordenadas, conforme Figura 8.15, pode-se moslrar que a equa<;iio correspondenle a forma do cabo e y = a cosh (x/a) para urn numero real a.
o grafico de y = cosh x pode ser obtido por adi~ao das
coordenadas-y.
Notando que cosh x = ~ If + ~e-', esbol{amos
primeiro
os gnificos
de y = ~ If e y = ~ e -. no mesmo plano
coord en ado, conforme exibido pel as linhas traeejadas da Figura
8.13. Somamos entao as coordenadas-y de pontos desses iraticos, obtendo 0 gnifico de y = cosh x. Note que 0 contradominio
de cosh e [1, (0).
A funl{iio co-seno hiperb6lico lambem pode aparecer na
analise do movimento em urn meio resistente. Deixando-se cair
urn objelo de uma delerminada altura, se a resislencia do ar e
desprezada, enlao a dislancia y percorrida na queda em t
segundos e y = ~gP, onde g e uma constanle gravitacional.
Enlrelanlo, nem sempre se pode desprezar a resistencia do aT.
A medida que a velocidade do objelo aumenta, a resislencia do
ar pode afelar significalivamente
seu movimento. Por exemplo,
se a resislencia do ar e direlamente proporcional ao quadrado da
velocidade, enlao a distancia y que 0 objeto percorre na queda
em t segundos e dada por
y=A In(coshBt)
y
y
= cosh x
para constanles A e B. No Exemplo
2 desta sel{ao damos outra
aplical{ao.
Valem para as fun«oes seno hiperb61ico e co-seno hiperb6lico muilas idenlidades analogas as eSlabelecidas para as
fun«oes trigonomelricas.
Por exemplo, se cosh2 x e senh2 x
denolam, respeclivamenle,
(coshx? e (senhx?, temos a seguinle idenli!lade.
DEMONSTRAC;Ao
Podemos achar 0 grafico de y = senh x somando coordenadas-y dos griificos y = If e y = ~ e -', confofme Figura 8.14.
Pela Defini«ao (8.10),
1
Algumas calculadoras cientificas tern teclas que permitern achar diretamente
valores de senh e cosh. Podemos
tambem alribuir valores a x na Defini<;ao (8.10), como na
ilustra<;ao que segue.
.
(If+e-X)2
cosh2 x - senh2 x = --2--
(e_e- )2
X
- --2-e2t_2+e-2x
e2x+2+e-2x
4
ex
+ 2 + e-2x
4
- ex
+ 2 - e-a
4
e-esenh 2= --2- ~3,63
2
A fun<;iio cos-seno hiperb6lico pode ser usada para descrever a forma de urn fio f1exivel suspenso pelas suas eXlremidades
na mesma altura. Conforme iluslra a Figura 8.15, as linhas de
telefone ou de energia eletrica podem ser distendidas entre os
posIes desta maneira. A forma do fio pareee sugerir uma
parabola, mas e, na realidade, uma cateDllria (da palavra latina
o Teorema (8.11) e analogo a idenlidade trigonometrica
cosl x+ sen2 x·=·l. Oulras identidades hiperb6licas aparecem
nos exercfcios. Para verificar uma idenlidade, basta expressar
as funl{oes hiperb6licas em lermos de exponenciais e mostrar
que urn membro da equa«iio pode ser Iransformado no outro,
conforrne iluslrado na demonslra«iio do Teorema (8.11). As
identidades hiperb6licas sao anaJogas (mas nem sempre as
mesmas) a certas identidades trigonometricas; as diferen~as em
geral dizem respeito a sinais dos termos.
,,
,
"
\
\
\
\
\
\
\
,,
y
\ y = coth x
Se 1 e um numero real, ha uma rela~ao geometrica
interessante entre os pontos P{cos I, sen I) e Q(cosh I, senh I)
em um plano coordenado. Consideremos
os gnificos de
+ =1e
= 1, esbo~ados nas Figuras 8.16 e 8.17.0
grafico da Figura 8.16 e 0 cfrculo unitario de centro na origem.
grafico da Figura 8.17 e uma hiperbo/e (As hiperboles e
suas' propriedades
serao estudadas no Capitulo 12.) Note
primeiro que, como cos2 t + sen2 1 = 1, 0 ponto P(cos I, sen I)
esta no circulo
+l ~
1. Em seguida, pelo Teorema (8.11),
cosh2 1- senh2 1 = I, e dai 0 ponto Q(cosh t, senh I) est a na
hiperbole
-l = 1. Estas sao as raz6es para nos referirmos
a cos e sen como fun~6es cirCII/ares, e a cosh e senh como
fun~6es hiperb6/icas
.
r T
-----------~
r -T
o
r
r
Ha uma outra maneira de relacionamento entre os graficos
das Figuras 8.16 e 8.17. Se 0 < t < rc/2, entao 1 e a medida em
radianos do angulo POB da Figura 8.16. Pelo Teorema (1.15),
a area A do setor circular sombreado e A = ~ (1)2 1 = ~ 1 e, en lao,
t = ZA. Da mesma forma, se Q(cosh I, senh t) e 0 ponto da Figura
8.17, enlao 1= ZA para a area A do setor hiperb6lico sombre ado
(veja 0 Exercfcio 47).
As analogias marcantes entre as fun~6es seno e cos.~seno
rrigonometricas
e hiperboJicas motivam-nos a definir ourras
fun~6es hiperb61icas que correspondam as restantes fun~6es
trigonometricas.
Definem-se como segue as fun~6es tangente
hiperb6lica,
co-tangente hiperb6lica, secante hiperb61ica e
co-secante hiperb6lica,
denotadas, respectivamentc, por tgh,
coth, sech e csch.
Dividindo por cosh2 x ambos os membros
cosh x - senh2 x = 1 obtemos
da identidade
2
Com as defini~6es de tgh x e sech x temos (i) do pr6ximo
teorema. A formula (ii) po de ser obtida dividindo-sc par
senh2 x ambos os membros de (8.11).
SOLuC;Ao
Aplicando
0 Teorema
Notem-se as analogias e diferen<;as entre (8.13) e as identidades
trigonometricas anatogas.
(8.14)(i) com u =
r + 1, obtemos
f'(x) = senh (r + 1) . Dx (r + 1)
o proximo teorerna, onde u = g(x) e g e diferenciavel,
estabelece formulas para as derivadas de fun<;6es hiperb61icas.
= 2x senh (r + 1)
o gas radon difunde-se rapidamente atraves de materiais s61idos
como tijolo e cimento. ,Se a dire<;ao da difusao em uma parede
de porao e perpendicular 11 superffcie, conforrne ilustrado na
Figura
8.19, entao a concentra<;ao
de radon f(x) (em
joules/cm3) nos poros cheios de ar deDtro da parede, a uma
distancia x da superffcie externa, po de ser aproximada por
f(x) = A senh (qx) + B cosh (qx) + k,
Como de babita, considerarnos
Dx e" = e" e Dx e-X =_e-x,
apenas
x
D coshx=D
x
caso u = x. Como
0
d
dj_
q y+q2k=O
2v
2
e" + e=---=
2
e'+e-X),
---
e"_e-x
=---=senhx
e' - e-
X
D senhx=D
---
(
x
x (
onde a constante q depende da porosidade da parede, da
meia-vida do radon e de urn coeficiente de difusao; a constanle
k e a concentra<;ao maxima de radon nos poros cheios de ar; e
A e B sac constantes que.dependem de condi<;6es iniciais. Mostre
que y = f(x) e Ulla solu<;ao da equar;iio de difusiio
)
2
2
X
2
cosh x
.
Para diferenciar tgh x, aplicarnos a regra do quociente, como segue:
D t hx=D senhx
x g
x cosh x
.;
= qA cosh (qx) + qB seah (qx)
~
= q2A senJl (qx) + q2B .cosh (qx)
Como y =A senh (qx) + B cosh (qx) + k, lemos
q2 y = q2A senh (qx) + q2B cosh (qx) + q2 k
cosh2 X - senh2 x
cosh2 x
= __ 1_ = sech2 x
cosh2 x
EXEMPLO 1
Se f(x) = cosh (r + 1); ache f'(x).
I
I
I
~
I
I
I
}+-x
I
I
Subtraindo
as express6es
de d2 y/dx2 e q2 y, obtemos
~dx2 - ~y=-~k
As f6rm~las' ~e iniegra~lio correspondenles
derivadas no Jeorema (8.14) slio:
:: . ..~::: ,<." .:~/,
as f6rmulas de
22 eot)l32x "
24,~sech (~~ 1)
(8) De uma aproximac;iio da area aberta total sob
o arco.
(h) De uma aproximac;iio do comprimento total
do arco.
50 Se 'uma bola de ac;o de massa m e Jiberada na
agua e a forc;a da resistencia e diretamente
proporcional ao quadrado da velocidade, entiio a
distimcia y que a bola percorre em t segundos e
dada por
43 Ache a area da regiiio deJimitada pelos graficos
de y = senh 3x, y = 0 ex = 1.
44 Ache 0 comprimento do arco do grafico de
y = cosh x de (0, 1) a (I, cosh 1).
45 Ache os pontos do grafico de y = senh x onde a
tangente tern coeficiente angular igual a 2.
46 A regiiio delimitada
pelos graticos
de
y = cosh x, x = -I, x = 1 e y = 0 gira em lomo do
eixo-x. Determine 0 volume do s6lido resullante.
(II) sClIh4
(h) cos In 4
(c) :gh (-3)
(II) colli 10
(e) sech 2
(0 csch (-1)
1. (II)sClIh In 4
(h) cosh 4
(c) Igh 3
(e) sech (-2)
(0 csch 1
(II) coth (-10)
9 coth.!
x
10~
2
4 senh (x + 1)
7 Vi Igh Vi
5 cosh (x3)
8 arctg 19b x
19__ 1_
tgh X+ 1
m.~+-(~) =mg
d2
1 d
dt2
k dt
2
51 Se uma onda de comprimento L caminha na agua
COmuma profundidade 11 (veja a figura a seguir),
a velocidade Y, ou celeridade, da onda csta
relacionada com L e h peJa formula
11 sech (x)
cotx
2
'0,
x +1
18 1 + cosh x
1- cosh x
2
47 Se A e a regiiio da Figura 8.17, prove que
t=2A.
onde g e uma constante gravitacional e k > O.
Mostre que y e uma soluC;iioda equac;iio diferencial
-l
48 Esboceografico
de x2
= 1 e mostre que,
quando t varia, 0 ponto p(cosh t, senh t) descreve
a parte do grafico nos quadrantes I e IV.
49 0 Gateway Arch em St. Louis tern a forma de
uma catenaria .invertida (veja a figural. Com uma
altura dc 630 pes (192 metros) e uma largura, na
base, de 630 pes (192 metros), sua forma pode
ser aproximada por
(a) Determine limk _ '" y2 e concliJa que
v - "!gLl(br.) em agua profunda.
(h) Se x - 0 e f e uma func;iio continua, e~tiio,
pelo ·teorema do valor medio (4.12),
f(x) - f(O) - f '(0) x. Com base nisto, mostre
que y - vgJi se hlL - O. Conclua que a velocidade da onda e independente do comprimen to da onda em agua rasa.
19 54 Grafe,
nos
mesmos
eixos
coordenados,
8.4 FUN<;6ES
HIPERSOLICAS
INVERSAS
y - cosh2 x e y = 2.
(a) EstabeJe~a integrais para estimar 0 centroide
da regiao R delimitada pelos griificos.
(b) Use a regra de Simpson, rom n = 4, para
aproximar as coordenadas do centroide de R.
52 A figura exibe uma bolba de sabao fomada par
dais aneis concentricos paralelos. Se as aneis nao
estao muito distantes urn do outro, pode-se mos!Tarque a func;aot, cojo grafico gera esla superficie
de revolu~ao, e uma solu~ao da equa~ao "diferencial yy" = 1 + (y,)2, onde y = f(x). SeA e B sac
constantes positivas, mostre que y = cosh Bx e
soluc;ao se e somente se AB -1. Conclua que 0
grafico e uma catenaria.
57 senh (-x) = -senh x
e
A funltao seno h)perboliCO continua e crescente para todo x e,
por conseguintejpelo Teorema (7.6), admite uma funltao inversa
continua, crescente, denotada por argsenh x'. U-se: "Argumento
seno hiperb6lico de r'. Como senh x e definida em termos de
e', e de se esperar que argsenh x possa expressar-se em termos
da inversa, In, da funltao exponencial natural. 0 pr6Jiimo teorema
mostra que isto realmente se comprova.
58 cosh (-x) = cosh x
59 senh (x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y
60 cosh (x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
61 scnh (x - y) = senh x cosh y - cosh x scnh y
62 cosh (x - y) = cosh x cosh y - senh x senh y
63 t h (x + ) = tgh x + tgh Y
g
Y
1+tghxtghy
64t h(x- )=~g!lL
g
Y
1-tghxtghy
Para provar (i), notemos inicialmente
y •• argsenh x
65 senh 2x = 2 senh x cosh x
que
x = senh y
se e somente se
A equae<aox •• senh y pode ser usada para estabelecer
explicita para argsenh x. Assim, se
19 53 Grafe,
nos mesmos
eixos
coordenados,
67 senh2:!. = posh x - 1
2
2
eY - e- Y
x = senh y = ~-2~,
y ~ tgh x e y = sech2 x, para 0 s x s 2.
70 t h:!.= senh~
g 2 1 + cosh x
(a) Estime a coordenada-x do ponto de intersec~ao dos graticos.
69tgh2x~
(b) Use 0 metoda de Newton para aproximar a
com tres casas decimais.
71 (cosh x + senh x)" = cosh nx + senh nx para todo
inteiro positivo 1/ (Sugestiio: Use 0 Exercicio 55).
1 + tgh2 x
72 (cosh x - senh x)" = cosh IIX - senh nx para tad a
intciro positivo n.
Aplicando a fOllllula quadratica, vem
"
eY =
BIBLIOTECA DO DME/UFCG
ZELE os UV;;:tOS
E-\jT"j""iC ~!i~LkL.-r[\S
p •• -
~
~
""
ihr.•
ENTREGA\\IPn~f){"; r:'l\r~DIA
-
IJ
•.•••••
,Il .•••.•'
.•.•
'+0.."
L_'\I~
2x±~
_~
ou eY = x ± vr + 1
. 2
»..
~.. In(x-l' v'X2'+.1)'
'".'
.
:.
":
., ~.
uma forma
V/+1)
x+k(1+
Obtem-se de, maneira analoga as formulas (ii)-(iv). Tal
como no caso Cia;;'fu~~5es trigonometricas, algumas funl.<0es
inversas existemsomentese
0 dominio for restringido. Por
exemplo, seo dom,fuio de cosh
restringido ao conjunto de
numeros reais nao-negativos, a funl.<ao resultante e continua e
crescente, e sua funl.<aoinversa argcosh se define como
e
y ~ argcosh
x" 'see' somente se
Utilizando 0 processo aplicado
lev ados a (ii). Da mesma forma,
y ~ argtghx
se e somente se
cosh y ~ x, Y 2: 0
para argsenh x, somos
Y.?+l +x
= (x+VXZ+1)Vx2+1
1
=
vX2+1
Esta formula pode ser estendida a Dx argsenh II aplicandose a regra da cadeia. Demonstram-se
de maneira analoga as
formulas restantes.
I
tghy ~x para Ix < 1
Utilizando a Definil.<ao (8.12), podemos escrever tgh y ~ x como
Finalmente, se restringirnos 0 dominio de sech a numeros
nao-negativos, 0 resultado e uma funl.<ao um-a-um, defmimos
Eldx= ~
tg x+ l'
~ tg x ~ __ 1_
vsed x
sec2 x
1
secx
~-I--llsecxI2=lsecxl
, _ Novamente,
a (iv),
introduzindo
a forma exponencial,
somos levados
No proximo teorema, II ~ g(x), onde g e diferenciavel
e restringido convenientemente.
Pelo Teorema (8.16)(i),
Dx argsenh x ~ Dx In (x + R+T)
ex
Pode-se verificar 0 teorema seguinte diferenciando
bro direito de cada formula.
0 mem-
Se utilizarmos 0 Teorema (8.16), entao cada uma das
formulas de integral.<ao no teorema precedente pode expressar-se
em termos da funl.<ao 10garHmica natural. Para ilustrar,
1
f va-+u.~
dll = argsenh
II
- +C
a
-----_.~==----'--_._'- _.------------------------""'~-
Fazendo u = ex,du = e' dx e aplicando 0 Teorema (8.18)(iii) com
a =4, temos
f~va- + uc du = In (u +U+i7)
+D,
ondeD e uma constante. Na Sec,;iio9.3 estudaremos outro metodo
para calcular ~s integrais do Teorema (8.18).
1
u
="4 argtgh "4 + c
IIrgtgh-+e' C
=-
f
1
4\
dx
Podemos expressar a integral na forma do Teorema
medilinte a substituic,;iio
.
(8.l8)(i)
Como du cont€rn' 0 fator 3, ajustamos 0 integrando multiplicando-o por 3 e compensando pela multiplicac,;iio da integral por 1
,
,
antes de substituir:
1 (a) argsenh 1
(b) argcosh 2
i
(e) argtgh (-~)
(d) argseeh
2 (a) argsenh(-2)
(b) argcosh 5
(e) argtgh ~
(d) argsech ~
1
= "3 argsenh 5 + c
1
3x
3
5
= - argsenh -
' e'
f 16 _ t?' dx
3 argsenh 5x
4 argsenh If
5 argeosh Vi
6 v'arg,cosh x
7 argtgh (-4x)
8 argtgh sen 3x
9 argsechx2
10 argsech..[l::;
11 x argsenh !
x
12
13 In argcosh 4x
14 argcosh In 4x
15 argtgh (x + 1)
16 argtgh2
17 argse~h Vi
18 (argsech x)-I
u
+C
1
argsenhx2
22
21f~dx
25f
f
senx
VI + cos x
dx
2
49 - 4.•
23f
Calcular ,
4
'~
~dx
e -16
/
x 9-x
dx
4
26
fV 1
2x dx
5-e
27 Urn ponto se move ao longo da reta x ~ 1 em 11111
plano coordenado, com lima velocidade dirclumente proporcional a Slladistancia da origem. So
a posi<;aoinicial do ponto e (1,0) e a velocidadc
inicial e de 1 mis, expresse a coordenada y do
ponto como fun<;ao do tempo t (em segundos).
28 0 sistema coordenado retangular exibido JIll 11gura ilustra 0 problema do cachorro em busell U
seu dono. 0 cachorro, inicialmenlo no POlito
(1,0), ve seu dono no ponto (0.0). 0 uono
comec,;aa caminhar ao longo do eixo-y n u,"r,
2x
vclocidade con stante, e 0 cachorro passa a eaminhar scmpre em direc;ao aodono. Se a velocidade
e
e
28f~e'
29f_x-dx
30f
.
do cachorro
duas' vezes a do dono, pode-se
I11nstrar que a trajet6ria do cachorro
dada por
y - f(x), onde y e soluc;ao da equac;ao diferencial
27f_~~
'.
vl- e-
2xz' = ~
para obter z - i [v'X - (l/v'X)]. Finalmente,
_r:--:; Dx It,
u V 1_112
Vll
y' -
i[v'X - (1!vX)].··
37
1
1
J 2'2du=-argtgh-+C,
a
a
31f
V 2
_ r:;--;;- dll = --
Exeres.
Vl-x2.
1
Iu I
argsech L:.J + C,
a
a
39-.41: Estabelec;a a f6rmula (veja Teorema
(8.16).
II = __
3Sf
36fvx
_~dx
V9 - 4x2
37
f
39
J
~'
f
1
xV9-4~
dx
38
x
dx
40f
1
40 argtgb x =
1
V25x2 + 36
e paralela a reta por A (2, -3) e
e
16 In senhx
Illrctg~
2 arctg (In 3x)
3 x2 arcsee (x2)
4_1_
6 (1 + arcsec 2x)ofI
1-~
8--
9 arcsen~
10 Varcsen
II (tg + aretg x)4
12 arclg Vtg 2-c
1
24 ;tgh;
2S f_1_2dx
4 + 9x
Ache as coordenadas-x
das extremidades
(h) Aproxime'as coordenadas-x
duas casas decimais.
arccos x
14 e4x arcsec e4x
2x.
de
f para 0 0: X 0: bt.
senh x
cosh x - senh x
(1 _ x2)
= e -x(}. sen
f
26f~dx
4 + 9x
de
ascensao. Se 0 balao sobe
taxa eonstante de 2
mIs, use as fun"oes trigonometricas inversas para
aehar a taxa na qual 0 angulo de elevac;ao d" linba
de visao do observador esta variando no in>lante
em que 0 balao esta a uma altura de 100
m.
(Desprezar
a altura do observador.)
visao' esta alSO
cm do chao se aproxima do
quadro
razao de 60 em/s. Se [) 0 angulo que
a Iinha de visao faz com 0 topo do quadro,
a
na parte (a) com
e
determine
(a)
ey-O.
e
f(x)
19
pelos graficos
4S As oseila"oes amortecidas sao oscilac;oes de magnitude deereseente, que ocorrem quando se consideram for"as de atrito. A figura a seguir
0
grafieo das oscilac;oes amortecidas
dadas por
(a)
arccos x
7 In aretg (.1)
13 aretg (aretg x)
x
do grillco
48 Urna pintura quadrada de 60 em de lado est a
pendurada em uma parede com a base a 180em
acima do assoalho. Uma pessoa cuja linha de
43 Ache os extremos
loeais de f(x) = 8 sec x + ,
+ csc x no intervalo (0, rrJ2) e descreva onde
f(x)
ereseente ou decreseente no intervalo.
,dey=xl(x4+1),x=1
arco
a
dx
42 Ache os pontos de inflexao e di,seuta a eoneavidade d~ grafico de y = x arcsen x.
x
do
x = la x = 2.
~e
47 Solta-se urn balao do mvel do solo a 500 metros
de distancia 'de uma pessoa que observa sua
B(4,7).
1+x
2' In ~'
comprimento
0
y ':' In tgh ix,
1
dx
xV 4x2 - 9
44 Ache a area da regiao delimitada
S 2"dg 2x
46 Ach~
dx
9-4~
41 Ache os pontos do gr;ifieo de y = arcsen 3x nos
1+..[]::7
41 argseeh x = In ---,
1
__ Dx u
dx
x
f senh ~Inx) dx
quais a tangente
.1.1 IJx '''gcosh
cosx
2
l+sen
o
V25~ + 36
30 y = ar7'::~sh x
32 y = argsech x
f rcI2
a
-II
J "Va2 _ ,,2
33
u
32
--dx'
-1/2
'
1
1
1(}.
u
du - argeosh - + C,
u _ a2
a
J
38
.
.~dx
xvx -1
sech (~)
1
36
resol:
dx
1
3S Dx argseeh u =
2 'y" - VI + (y .)2. Resolva esta equac;ao fazendo
pril11ciro z = dy/dx e resolvendo
· 2x
1 -e
(h)
e
a taxa na qual
esta variando
pessoa esta a 240 em da pare de.
a distancia
da parede
quando
a
na qual [) tom a seu
valor maximo.
49 Urn duble de acrobata salta de urn baHio que
paira sobre urn lago a uma altitude de 30 metros.
Uma camera cinematografica
na margem, a 60
metros de urn ponto diretamente abaixo do balao,
registra a queda do duble (veja a figural. A que
taxa 0 angulo de eleva"ao da camera esta variando 2 segundos
da camera.)
ap6s 0 saito? (Desprezar
a altura
pessoa queime CI calorias por milha nadando, e
c calorias por milha andando, com Cl > C2,
(a) Estabele~a uma f6rmula para 0 numero lotal
c de calorias queimadas durante todo 0
percurso.
SO Uma pessoa em uma ilhola I a k milhas de
distancia do ponto mais pr6ximoA, em urna praia
em linha reta, deseja chegar a urn acampamento
que est:! a d mjlhas distante de A, na praia,
nadando ale urn ponto P na praia e andando 0
resto do percurso (veja a figura). Suponha que a
Capitulo 9
MAKRON·
Books
TECNICAS DE INTEGRAQAo
Em capitulos anleriores obtivemos formulas
para 0 calculo de varios tipos de integra is.
Muitas constam da conlracapa deste livro.
Discutimos tambCm 0 metodo de substituifao, usado para transformar uma integral
complicada em outra que possa ser facilmente
calculada. Neste capitulo consideraremos outras maneiras de simplificar integrais, entre
elas a integrar;iio por partes. Este poderoso
dispositivo permite-nos obter integrais indefinidas de In x, arctg x e outras expressoes
transcendentes importanles. Em se<;5es posleriores desenvolveremos tecnicas para simplificar integrais que contem potencias de
func<oes trigonometricas, radicais e expressoes racionais.
Na Sec<3o 9.7 explica-se a utilizlic<ao de
uma tabua de integrais. Tais tabu as sao sempre incomplelas, sendo, por vezes, necessario
usar da babilidade obtida em sec<oes anteriores. 0 mesmo se diz de program as de computadores para calcular varias (mas nao todas)
integrais indefinidas.
Para aplicac<oes que envolvem integrais
definidas, pode ser desnecessario achar uma
antiderivada e aplicar 0 leorema fundamental
do calculo, porque a regra do trapezio ou a
regra de Simpson perrnite-nos obter aproximac<oes numericas. Em tais casos e inestimavel urn eomputador ou uma calculadora
programavel, os quais podem chegar a urna
aproximac<ao em questao de segundos.
.•..
\~;'\~):;~a
'f''''
> ",
!.
Ate esteporit6:nao)emos
.J,':
condi~es
~
0"',
,'"'
de calcular integrais 'Como
.'
'1·"r.'
,;''1~'
..'
·1
,:-,:-:;
..,-~j~';:
, "Jlnx'dx',fx<:dx,Jx2"serixdx,f
.,. <'~;,
to,,,
'."~.. ,
-:.
'~:"~'~;:::'
arctgxdx".~
A lista seguinte con tern lodas as escolhas possiveis de (Iv:
~.~":P'<.~",,,\.,,,;. "
A proxima formula possibilita-nos calcular nao somente" estes
como muitos outros tipos de integniis,
'
, c~,
,,[
",J
"
~•••
..: • -,
e 2r dx,
x dx,
::<...(_;....-~,..';:".
xe 2r dx
A mais 'complexa destas expressiies que pode ser integrada
'rapidainente e e 2r th. Assim, fazemos
de Integrayao por
(9.1)
/lwl0
111111
dX,
.",
j'
'--'dv
= e2r dx
A parte restante do integrando e u - isto e, u = x, Para achar II,
integramoSdv,
obtendo v = ~e2r• Note que, nesleeslagio
da
DEMONSTRAC;;Ab
I
resolul$iio, nao se acrescenla nenhUIPa conslanle arbitraria. (No
Exercicio 51 voce podera provar que, acrescenlando-se uma
;'constante ay; chega-se ao mesmo resultado final.) Se u eX, enmo
, du = dx. Para facilidade de referencia, disponhamos estas express6es como seghe:
, Levando esias'expre~siies
na Formula (9.1) -
is to e, integrando
por partes, -'obtemos
fxe2rdx=x(~e2r)Pelo Teorema (5.5)(i), a primeira integral a direita e igual a
f(x)g(x) + C. Como se obtem outra constante de integrallao na
segunda integral, podemos omitir C ria formula, isto e,
Como dv = ii'(x) dx e du = rex) dx, podemos escrever a formula
precedente como em (9.1).
Ao aplicar a Formula (9.1) a uma integral, 0 primeiro passo
e fazer uma parte do integrando corresponder a dv. A expressao
que escolhermos para dv deve incluir a diferencial dx. Apos a
escolha de dv, denotamos a parte restante do integrando por u,
e calculamos duo Como este processo implica em separar o'
integrando em duas parte~, referimo-nos ao uso de (9.1) como
integra"iio
por partes. E importante a escolha adequada de
dv. Em geral, fazemos dv representar a parte mais complicada
do integrando que possa ser prontamente integrada. 0 exemplo
a seguir ilustra este metoda de integrallao.
f~e2rdx
Podemos calcular a integral it direita como na SellaO 7.4, obtendo
fxe dx
2r
=!
2
xe 2r - ! e 2., + C
•...
4
E necessario consideravel pralica para fazer uma escolha
adequilda de dv. Para ilustrar, se livessemos escolhido dv = x dx no
Exemplo 1, teriasido necessario fazer u = e2', donde
a
Como 0 expoente associ ado a.x aumentou, a integral
direila
tomou·se mais complexa que a integral original. Isto indica uma
'escolha incorrela de dv.
nJ3
(b)
Io xsec xdx
2
SOLUl;Ao
(a)
As· escolhas possiveis de dv saD
dx, x dx, secx dx, x secx dx, sec2 x dx. x sec 2x dx
A mais complexa destas express6es que pode ser prontamente
integrada e sec 2x dx. Fazemos, pois,
I
i
As vezespode ser necessario aplicar a integral;lio por partes
mais de uma vez no mesmo problema, confonne se ilustra a seguir.
Integrando por partes, obtemos
~
f x sec 2x dx ~ x tg x - f tg x dx
~ x tg x + In I cos x I + C
(b). A integral indefinida obtida na parte (a) e uma 'antiderivada
de x sec 2x. Aplicando 0 teorema fundamental do caIculo
(e omitindo a conslante de iniegra«;ao C), obtemos
nJ3
fo x sec 2x dx ~ [x 19 x + In 1cos x I]
~ ( ~ 19 ~ + In
nJ3
0
I I)cos ~
e integramos por partes:
f x e ipx ~
(0 + In 1)
2 2z
X2(~
e2x)
f (~i") 2x dx
~ ( ~ V3 + In ~ ) - (0 + 0)
~
7!:..
3'
V3 - In 2 ~ 1 12
,
Para calcular a integral no membro direito da ultima equat;fio,
devemos novamente integrar par partes. Procedendo exatamcn·
, te como no Exemplo 1, temos:
Se, no Exemplo 2, tivessemos escolhido dv = x dx e
...!:u~sec2x, a integra«;ao por partes pela Formula (9.1) teria
uzido a uma integral mais complexa. (Verifique!)
::-::::::-::-:::-==-"7'"-:-
3IBLIOTECA :Gn DIVIE/UFre
Z E L r::. 0 S L.( V H 0 S
\ .~u.:"',...
E,:,Jggt: ~~i~l:i~_f;J~~
!'.'. r.·
'.,
•.... ,..• '"
No proximo ~xe~plo aplicamos a integra«ao por partes
par achar uma anl1denvada da fun«;ao logaritmica natural.
=NTREGANDf>OS EM DIT-«
MPLO 3
Calcular
Jlnxdx
o exemplo que segue iIustra outra maneira dccalcular 1111111
integral aplicando duas vezes a f~rmula de integra«;ao par pari's.
: .",~f, j '; ;...-..
EXEMPLO
5
:~-'.;~
•.'i -;r~(i
";< ,'':.' i;:,
Podemos fazer tanto dv = cos x dx, como dv = eX dx, pois qualquer
UIDadessas duas express6es e facilmente integravel. Escolhamos
dv=cosxdx
Dev'emos esclilher cuidadosamente
as substitui<;iies ao
c~lcular uma integral do tipo dado no Exemplo 5. Suponhamos
que, no calculo da integral a direita da equa<;ao (1) da solu<;ao,
tivessemos escolhido
u..!ex
·t
e integre:uos por partes como segue:
A inieira.<;.a.opor partes entao conduziria
J eX cosx dx = eX sen x - J (sen x)ex dx
,"'JeXsenxdx=(senx)e
Jexcosxdx
X
a
Aplicamos em seguida a integra<;ao por partes
integral no
membro direito de (1). Como escolhemos uma forma trigonometrica para dv na primeira integra<;ao po~ partes, escolheremos
tambem uma forma trigonometrica na segunda. Fazendo
Se substituimos
a
-
i
em (1), obtemos
Je~eOsxdx~exsenx-
[exsenx-
Jexcosxc4]
que, se reduz a
e integrando por partes, temos
J e' sen x dx = eX( -cos x) - J (-cos x)eX dx
Embora se trate de umll afirma<;ilP verdadeira,
mente urn eel/culo da integral dad~.
nao e evidente-
J eX senxdx = -eX cosx + J eX cosx dx
Utilizando a equa<;ao (2) para fazer a substitui<;ao no membro
direito da equa<;ao (1), obtemos
J eX cosxdx
ou,
= e'senx-
Jexcosxdx=exsenx+excosx-
Somando
[ -ex cosx+ J eX cosx dx ]
Jexcosxdx
J eX cos x dx a ambos os ryembros da ultima equa<;ao,
obtemos:
Finalmente, dividindo ambos os membros
a constante de integra<;ao, obtemos
por 2 e adicionando
As escolhas posslveis de dv saG
dt,
sec x dt,
sec 2 x dt,
sec) x dx
A expressao mais complexa que pode ser integrada
'e se2 x dx. Fazemos entao
facilrnente
e inlegramos por partes:
J sec) x dx = sec x tg x - J sec x tg 2 X dx
Poderiamos tambem ter calculado a integral utilizando
dv = eX dx para a primeira e para a segunda aplica<;ao da fun<;ao
integra<;ao por partes.
Em lugar de aplicar outra integra<;ao por partes,' mudemos a
forma da integral
direita valendo-nos
da identidade
1 + tg 2 X = see 2 x, 0 que nos d<i
a
J see) xdx
= seex
tgx - J secx (see 2 x -1) dx,
ou
I see3 xdx = seex tgx - I see3 xdx + I see'xdx
Adicionando
obtemos
J see x dx a ambos os membros da ultima equattiio,
Aplique
3
a formula de redu<siio do Exemplo
7 para ealcular
4
I sen xdx.
2 I see 3 x dx = see x tg x + I see x dx
Calculando agora
J seex dx e dividindo ambos os membros da
equattiio resultante por 2 (e aerescentando
integrattiio), obteinos
entiio a eonstante de
Aplicando a formula de redu~iio, com /l = 2, para a integral
direita, temos
I see 3 x dx = ~ see x tg x + pn I see x + tg x I + C
Isen2xdx=-~cosxsenx~I
a
dx
A integrattiio por partes pode as vezes ser usada para obter
formulas de redu~iio para integrais. Utilizamos tais formulas
para escrever uilia integral que eDvolve poteneias de urna
expressiio, em termos de integrais que envolvem poteneias
inferiores da mesma expressiio.
E evidente que, mediante apliea~oes reiteradas
do Exemplo 7, podemos calcular
positivo
/l,
J sen
porque essas redu~oes
nX
da formula
dx para qualquer inteiro
sueessivas
teiminam
J sen x dx ou J dx, ambas imediatamente integraveis.
I seD x x dx ,= -cos x sen n -1 X + (/l - 1) I seD n'- 2 X eos 2 x dx
Como
cas 2 x = 1 - sen 2 x, podemos eserever
i·Ji" f arctg x dx '
o membro esquerdo
da equa~iio se reduz a /l
Isen x dx. Divi-
diDdo ambos os membros por /l, obtemos
I senn xdx.
= - -1.cas x senn-1
n
n
x + --
i3\J x e
2
3x
dx
\J
@:{x cos 5x dx
-II
senn~2 xdx
n
D
f
I I\'L x secx tgx dx
I In\r 2
\ \~ x rosxdx
f i Inxdx
;(~f Vi In X,dx
15 f x csc dx
14
17 f~-xsen~dx
18
f
20
io
2
X
~
f9
fsenxlnrosxdx
16J x arctg x d:r
3x
e
ros 2x dx
x3 e-x' dx
em
1/, •• ',,, .•.
J
1
V _,/x
1\ /
24 I sen III x dx
de coordenada-x
em uma reta coordeDada
dada' por f(x)
VX3+1. Determine
49 Determine
"
J
II
.r
,I
f \ I "cnh dx
28I ..•
/
I-x
t le m/s. Se 0 ponto esta na origem
t - 0, ache sua posi~ao no instante t.
Z
R'II 5xdx
30 I x cos (x ) dx
(III
)Z ,/x
32 Ix 2' dx
51 Ao aplicar
38 I (x + 1)IO(x ~ 2) dx
inlegra~ao
m2
sec - xtgx
,/x ~ ----+
m-l
I sec m-Z x dx
53 Discuta
m-2
-m-l
Dada
por partes em
por partes
a seguinte
f.• 1t[f(x)j2 dt.)
aplica~ao
da F6rmula
(9.1):
EDtaO
./
I~dt = U )x - Ix( - ~ ) dt
41 para ealeular
I (In x)4 dx.
'I~ Se f(x) - sen Vi, ache a area da regiao sob
0
p,rnfico de f de x ~ 0 a x = Itz.
11(, A regiao delimitada
EXEMPLO
~<.
1
,
f sen x dx
5
=
I (llx) dx, seja dv = dt e u = Ilx, de modo
que v =X e dll = (-11 xZ)dt.
II,' Use 0 Exerdcio
e
delimitada pelos graficos de f,x = aex = b, entao
obtemos 0 inesmo volume V, quer usemos 0
metodo dos discos, quer 0 metodo das ciscas.
(SlIgestiio: Sejag a fuo~iio inversa de f, e use a
\II II·"t!,/x-Xmi'-mIxn·1i'dx
X
de integra¢o
sen x dx
e
"Illhol 'cer n f6rmula de redu¢o.
m
a f6rmula
1X
integra~ao por partes para mostrar que, se f
diferenci<ivel
e I'(x) > 0 em
[a, b] ou
I'(x) < 0 em [a, b], e se Ve 0 volume do s6lido
obtido pela rota~ao em tomo do eixo-x da regiao
'·S. 39-42: Use a integra~ao por partes para
f seC
=
Caleu!ar
11:~11l
.Il
Jsen " x dx f sen ~-
Como 0 inteiro n - 1
par, podemos utilizar a iclentidade
trigonomeirica sen 2 x'; 1 - eos 2 x para ehegar a Uljl~ f6rmula
fiicil de integrar, eonforme exemp!o seguinte.
'
52 Na Se~ao 6.3, a discussao da determina~ao de
volumes por ~eio de cascas cillndricas ficou
incompleta, porque nao mostramos que 0 metodo
dos discos conduz ao mesmo result ado. Utilize a
36 I arctg 3x dx
II II" '"\JS x ,/x
!ad~s sem reeorrer a integra<;ao por partes. Se II e UID inteiro
positivo impar, eome<;amos por eserever
quando
(9.1), mostre que se, ap6s a escolha de dv,
escrevermos v + C em lugar de v, chegaremos ao
mesmo resultado.
34 I(x+ 4) cosh 4x dx
x ,/x
pelos
y = e, y ~ 0, x - 0 e
1J
H~\
CIl.
da regiao delimitada
equa~6es
uma f6rmula de redu<;iio
f ~en " x dx. In tegrais desse tipo pod~m tambCm ser ealeu-
e
dx
3
3
X
, .r
No Exemplo 7 da Se<;ao 9.1 obtivemos
50 A velocidade (no instante t) de urn poDto que se
move ao longo de uma reta coordenada
S
1./ \(111''3)9') dx
II centr6ide
'graficos
das
x = In 3.
26 Ix secZ 5x dx
'Nell 2t dx
'I
I seja
0 trabalho
para
nIl
I
= x5
0 ponto
realiza~1I ao mover urn objeto de x ~ 0 a x = 1.
\ J ., 1
"
que a for~a f(x) atuando sobr:
,'48 Suponba
22 I seeS xdx
pelo gnifico de y = x >lsen x e
" eixo-x de x - 0 a x = 1t/2 gira em tomo do eum-x.
Detemune 0 volume do sOlido resultante.
1\7 A regiao delimitada pelos graficos de y = In x,
y = 0 e x = e gira em lomo do eixo-y. Ache 0,
volume do s6lido resultante.
54 Se u = f(x) e v = g(x), prove que a analoga
F6rmula (9.1) para integrais definidas e
fa
b
[]b
U
dv = uv a - fa
b
V
du
da
f (1- 2
CDS 2 X
+ CDS 4 x) sen x dx
Se 0 integrando e sen n X ou cos" x e n
podemos aplicar a formula de angulo-tnetade
2
sen x=
1- cos 2x
2
ou
2
cos x =
e par, entao
Diretrizes para calcular
CDS n x dx (9.2)
f sen m x
l+cos2x
2
Integrais que envolvem apenas produtos de sen x e cos x
podem ser calculadas mediante as seguintes diretrizes.
Para integrandos
anaJogas as (9.2).
da forma. tgm x sec" x, valem dirclrlz·
1'1" 11//,08 para calcular
1111 /II, OC n x dx (9.3)
Sao calculadas
de maneira
analoga
integra is da forma
f cat x csc" x dx.
m
Finalmente,
se urn integrando
tern uma das formas
cos mx cas nx, sen mx sen nx ou sen m~ COS llX, utiliza-se uma
forma produto-soma para facilitar 0 calculo da integral, conforme
exemplo a seguir.
9.3 SUBSTITUI<;OES
TRIGONOMETRICAS
No Exemplo
1 J eos3 x dx
2 J sen2 2xdx
3 J sen2 x eos2 x dx
4J cos? xdx
5 J sen 3 x eos2 x dx
6 J sens x cos3 x dx
7 J sen6 x dx
8 J sen 4 x cos2 x dx
9 Jtg,3xsee xdx
10 J see6 xdx
11 JIg3 x see2 x dx
12 JIgS xseexdx
13 Jtg6xdx
14 J cot4 xdx
15 J vsen x eos3 x dx
16J~dx
Vsenx
17 J(tgx+eolx)2dx
18 J cot3 x ese3 x dx
4
.
19
20
io
33 A velocidade (no instante I) de um ponlo em
movimento sobre uma reta eoordenada e
co ~nl m/s. Qual a distaneia pereorrida pelo
ponto em 5 segundos?
~.
34 A acelera~ao (no instante I) de urn ponto em
movimento sobre uma rela eoordenada e
sen2t cos 1IIIIS'. Em 1= 0, 0 ponto esta na origem
e sua velocidade e 10 mls. Determine sua posi~iio
no instanle I.
22
a
x = a sen B. Podemos adotar proeesso analogo para ~
e
Esta teeniea e uti! para eliminar radieais de certos tipos
de integrando. Veja as sllbstitui<;6es:
Substituir;6es
trigonometricas
(9.4)
Ao fazer lima substitui<;iio trigonometriea, admitimos que
B esteja no eontradom!nio da fun<;ao trigonometriea inversa
eorresponilente. Assim, para a substituic;ao x = a sen e, temos
-n/2 s B s n/2. Neste easo, eos B ;" 0 e
=Va2_azsenzB
~
tg2 (1m) x dx
4
. "'4
21 J sen 5x sen 3x dx
como transformar
expressao
com a > 0, em lima expressao lrigonometriea sem radieais, utiliz<J,ndo a substi/lli~iio lrigollomerrica
3
n/4
f.0 sen3 x dx
1 da Se<;ao 1.3 mostramos
var:::xr,
32 A regiao entre os graficos de y = tg2 X e y = 0 de
x = 0 a x = rr/4 gira em torno do eixo-x. Determine 0 volume do solido resultante.
J0 eosx eos 5x dx
(b) Obtenha f6rmulas amilogas as da parte (a)
para provar que
nf2
23
f.0 sen 3x cos 2x dx
Se y;;r::xr apareee
24 J sen 4x eos 3x dx
4
4
+ veosx)2seDxdx
25 J ese x COl x dx
26 J(l
27J~dt
2 - senx
2
28J~dx
sec2 x
2
29J~dx
(1 + tgx)2
.
em urn denominador,
restri<;iio Ix I,. a ou, equivalentemente
30 J seex 'dx
cotS x
31 A regiao delimitada pelo eixo-x e pelo griifieo de
y = eos2 x de = 0 a x = 2n gira em torno do
eixo-x. Determine 0 volume do s6lido resultante.
acreseentalUos
a
-n/2 < B < n/2.
36 (a) Use a parte (a) do Exercicio 35 para provar
que
f sen
-n
(i)
r
r
-n
x
(ii)
-n
Int
I
seD/IX dx = {O
1t
sen = eos /IX dx
1
dx
X2~
o integrando con tern v'I6'=?, que e da forma Va 2 - X r
a = 4. Logo, por (9.4), fazernos
x = 4 sen e para -rt/2"
cos = eos IIX dx
0 < rtI2.
Segue-se que
V16-x'
=V16-16sen'e
=4V1-sen'e
=4Veos'e
=4eosO
COlli
Como x = 4 sen e,temosID: •• 4 cos
gral dad~, obiemo;··::·,.:~~·.::.:'.,.:,;;::,·
e de. Substituindo na inte-~
"
.'
.. , ,,,
." ; 1'>'"''''
1
' I x2.ff6=7d.x,=I (~6 sen 2 e)4 cos 8 4 cos 8 d8
Ap6s substituir e ealcular a integral trigonometrica resultante, e
necessario voltar 11 variavel x. Pode-se fazer isto aplicando a formula
tg 8 = xla e considerando 0 trilingulo retlingulo da Figura 9.2 .
00'"
':
=iJ
1 '
scn28 d8
I "';4 1+x dx
2
XI' cse2 8 d8
.. 16
'=
= -.Lcot 8 +C
"
Como
16,
. '
Devemos agora voltar 11 varia vel de integra~o original, x.
8 = arcsen (xI4), poderiamos escrever - 10 cot 8 como
o denominador
- 10 cot arcsen (xI4), mas esta expressao e de manus~io dificil.
Como' 0 lntegrando contem V16=?, e preferivel que a forma
0 triangulo,
;I.~dx=I-2
,
...;ar+Xi com
1 82see2ed8
sec
y4+x'
obtemos
-..fI6=XT
cot 6 ---
tern a forma
·dx = 2 sec 2 e d8
x = 2 tg 8,
calculada tambem contenha este radical. Ha urn metodo geometrico
que garante a ocorrencia Wsso. Se 0 < e < nl2 e sen'8 = x14,
podemos interpretar e como um lingulo agudo de urn trilingulo
retlingulo ,com comprimentos x e 4, os quais correspondem,
~espectivamente, ao lado oPosto do lingulo e 11 pr6pria hipotcnusa
(veja a Figura 9.1). Pelo teorema de Pitagoras, 0 comprimento do
lado adjaccnte e v'16 _x2• Considerando
do integrando
a = 2. Logo, por (9.4), fazemos a substitui<;ao
= In I sec 8 + tg 81 + C
x
Pode-se mostrar que a ultima forma tambem e verdadeira se
-n12 < e < O. Assirn, a Figura 9.1 pode ser us ada, quer 6 seja
positivo quer ncgativo.
•
Como tg e =xI2, esbo<;amos
obtemos
.
0
triangulo da Figura 9.3, donde
v'4+x~
see 8=--2-
Substituindo cot 8 por v16 _x2 Ix em 00550 c3.Iculo, obtemos
-dx
I--f4+XT
1
1
Se um integrando eontem ..r;;r:;xr para a > 0, entao,'por
(9.4), aplicamos a substitui~ox = a tg e para e1iminar 0 radical.
Ao usar esta substitui~ao, admilimos que 6 esteja no conlradominio da fun~ao inversa da tangentc, isto e, -n12 < 6 < n12.
Neste caso, sec 6 > 0 e
~
=v'a +a tg 6
2
2
2
=v'a2(I+tg28)
= v'a2 see2 8
= a see 8
In
Como
sirnbolo
I \V4+X
=n
2
y;;:;xr2 +x I +C=ln I'~
y4+x-
~I
C
+2+
+x
I-ln2+C
\
y;;:;xr + x > 0 para to do x, toma-se desneeessario
de valor
absoluto.
Fazendo
tambem
obtemos
r~
v4+x-
dx= In ("4 +x2 +x) +D
0
D = -In 2 + C,
Se urn integrando contem ~,
entao, de acordo com
(9.4), fazemos a substituic;ao x = a sec 0, on de 0 e escolhido no
contradomfnio
da funC;ao secante
inversa;
isto e, ou
o s 0 s nl2 ou 1t S 0 < 31t/2. Neste casq, tg 0 « 0 e
2
dx=3"';x -9
3
fVX~-9
-3arCSeC(~)+C
= "';x2 - 9 - 3 aresec ( ~ ) + C
=
:2j
x
Va 2(sec2 0 - 1)
=~
Como veremos no proximo exemplo, podemos usar substitui<;6es trigonometricas para ealcular cerlas integrais que envolvem (a 2 - x2)n ,(a 2 +x2) n, ou (X2 - a 2)n, nos easos em que
=a tgO
n =~.
ece=~
EXEMPLO
..Jx2 - a2
sec 0 =-
B
a
4
x
a
Calcular
f
(I_X2)312
x6
dx
podemos recorrer ao triangulo da Figura 9.4 ao passar da variavel
o para a variavel x.
SOLu<;Ao
o integrando contem a expressao 1 - x2, que e da forma
a 2 - X 2 com a = 1. Aplicando (9.4), substituimos
Calcular
fv'x ~- 9 dx
x = sen 0,
dx = cos 0 dO
Assim, 1- x 2 = 1- sen 2 0 = cos 2 0, e
(
o integrand6
con tern v'x2_ 9, que e da forma ~
a = 3. De acordo com (9.4), fazemos a substituiC;aQ
x = 3 sec 0,
f 1 -xx6
coin
2)312
dx
=f ( cos 20)312
cos OdO
6
sell
0
=ICOS40 do=Icos40
._I_dO
sen 6, 0
sen 4 0 sen 2 0
dx = 3 see 0 tg 0 dO
=Icot40csC20pO
= _~cot5
f~'
3
03secOtgOdO
f~---dx=
x
'
see
:2j
," ece=J
x
,
..J x2-9
e
3
'
n'
"-.
Para voltar 11 variavel x, observamos que sen 0 = x = xII <;
recorremos
ao triangulo retangulo da Figura 9.6, oblendo
cot 0 = ~/x.
f(I-X2~dx=_.!.("';1-X2)
x
5
dO
que tg 0 = ~/3
retangulo
X
(1-x2~
=-
+C
Como sec 0 = x13, podemos reeorrer aotriangulo
Figura 9.5. Considerando
obtemos
+C
6
Figura 9.6
= 3 tg 0 -30
Logo,
5
-./1 - x'
= 3 f (sec 20 - I)dO = 3 f see 20 dO - 3 f
0+C
5x
5
+C
da
e 0 = arcsee (i),
Apesar de dispormos agora de tecnicas adieionais d.e intcgl'1lC;ao, e conveniente relembrar' sempre os metodos antenores. PQr
exemplo, a integral
,
f (x~)
dx poderia ser calculada I ·In
,
substituis:ao trigQnometrica oX = 3 tg 6. Todavia, e mais simples
utilizar asubstitUis:ao algebrica u = 9 + X 2 e du = 2x dx, pois,
neste caso, ~ integraltoma
a forma
Hu
-lfl, que e imediatamente
integravel pel a regra da pcilencia. Os exercicios a seguir induem
integrais que podem ser calculadas por meio de tecnicas mais
simples do que as substituis:oes trigonometricas.
Recorde
que, se q e 'uma funs:ao racional,
entao q(x) =
onde f(x)" e g(x) sao polinomios.
Nesta ses:ao
estabeleceremos regras para 0 calculo de q(x) dx.
= f(x)/g(x),
I
Consideremos
verificar que
r
I
I
(
-tI(
4-x 2
\
I
.l
2
dx
I _ '-dx.
1)312.
• (,
'
I2"2dx
II /
Exercs. 25·26: Resolva a equa<;iiodifererlcial sujeita
'. 11 condi<;iioinicial dada.
)
-dx
()+)1
--dx
J' , l-ry--Vx'-25
I)
2
I
r
24 Ache a area da regiiio delimitada pelo grmco de
y = x3(10 - x2)-II2, pelo eixo-x e pela reta x = 1.
V4-~
2 f --dx
x
, (1/".')
' ,
It J
V'i -4x
./~tlx
1
4f
dx
\ ..~V~+9
'--------
1
x3V~_25
6f
dx
8Jxth~
•.
=Vx -16 dx;
26 Vl_x2
. Vy
II)
"
2+49
f
1
dx
(16 _ x2)512
1
dll= -lln
2
II Va +112
a
1
dx
xV25)1 + 16
I
--dx
3
30
decomposiriio
I q(x) dx, integra-
mos cada uma das fra<;oes que constituem
oblendo
a decomposi<;ao,
2
J --dx+
1
Jx--dx
-1
J --dx=
x _1
x-I
+1
2
2
I V;;Z;;; I
Z _~
+a
X-l/
=.In --
I x+l
+C
Teoricamenle
e possivel escrever qualquer expressao
f(x)/g(x) como uma soma de expressoes racionais cujos denominadores envolvem polencias de polinomios
de grau nao
superior a 2. Especificamente, se f(x) e g(x) sao polinomios e
se 0 grau de f(x) inferior ao grau de g(x), entao pode-se provar
que
e
+C
II
a4
II
f
1
1 -~
----dll=--Va~-II'+c
112 VaZ_ IIZ
aZIi
vi_az
31f---
f~dx
Vl-x2
r"g,ao delirnitada
pelos gr3ficos de
y - x (x 2 + 25) -lfl, Y = 0 e x = 5 gira em tomo
II•• "ixo-y. Ache 0 volume do solido resultante.
1'1\
e chamada
em fraroes parciais de 2/(x2 - 1). Para achar
8" (211 - a ) V a~ - II' + 8 arcsen -;;+ C
, ," 1;2_
/
A expressao 11 esquerda da equas:ao
dy =x3 dx;
27 fVa2 + 112 dll=
14f-l_zd(
49+x
18
1
-1
2
--+--=-2x-I
x+l
x-I
Exercs, 27-32: Use urna substitui<;iiotrigonometrica
para estabelecer a formula. (Veja as Formulas 21,
27,31,36,41 e 44 no Apendice IV.)
28 f
q(x) = 2/(x 2 - 1). E filcil
2
II
3
~dx
1"1'
caso especifico
.
IOfd=xdx
4x -25
12f
2Sxdy
0
II
-~
ou
.~
Ax+B
(ax2+bx+c)"
e
a
dll= VII~ - a' - a arccos - + C
II
para reais A e Ben inteiro nao-negativo, onde ax 2 + bx + c
irredutivel no senti do de que este polinornio quadriitico nao tern
zeros (is to e, b 2 - 4ac < 0). Neste caso, ax 2 + bx + c nao pode
expressar-se como 0 produto de dais polinomios do primeiro
grau com coeficientes reais.
A soma F I + F 2 +, .. F,r
e a decomposi<;iio
em fra~oes
, e cada Fk e uma fra<;iio parcial.
Nao
provaremos este resullado algebrico, mas estabelecerep10s
trizes para obter a decomposi<;ao.
dire-
parciais
de f(x)/g(x)
As diretrizes para achar a decomposic;ao em frac;6es parciais
de f(x)/g(x) devem ser ap!icadas somenle s~Of(x) liver grau inferior
ao de g(x). Se isto nao ocorrer, teremos de recorrer a divisao para
chegar a forma adequada. Por exemplo, dada
+ 5x - 3
x2 -1
Xl - 6x2
Xl
+ 2x2 - 3x =x(x2 + 2x - 3) =x(x + 3)(x - 1)
Cada fator lem a forma indicada na Regra a de (9.5), com
In = 1. Assim, ao falor x corresponde uma frac;ao parcial da forma
A/x. Analogamente, aos fatores x +3 e x,-1 correspond em
frac;6es parciais B/(x + 3) e C/(x - 1), respectivamente. Porlanto,
a decomposic;iio em frac;oes parciais lem a forma
Passamos entao a decomposic;ao de (6x - 9)/(x2
parciais.
-
1) em frac;oes
--------
Multiplicando pelo minimo denominador com urn, oblemos
(*)
Diretrizes para a decomposigiio de f(x)/g(x) em frag6es
parciais (9.5)
4x2+13x-9
ABC
x(x + 3)(x -1) - ~ + x + 3 + 'x - 1
4x2+ 13x-9=A(x+3)(x-l)
+Bx(x-1)
3)
+Cx(x+
Em casos como esle, em que os falores sac todos !ineares e nao
repetidos, os valores de A, B e C pod em ser oblidos pela
SubslilUic;aode x por val ores que anulem os varios fatores.
Fazendo x = 0 em (*), lemos
Fazendo x = 1 em (*), obtemos
ou
8 =4C,
4x2+13x-93
-----=X(X + 3)(x - 1)
C= 2
-1
2
- +-- +-x x + 3 x-I
Integrando e denolando por K a soma das conslantes de inlegrac;ao,lemos
I4x2+13x-9
x(x+3)(x-l)
dx
I
3 dx
= ~
+
J x+3-1 dx + J x-I2 dx
=31n lxi-in
=
+ 2inlx-11+K
in Ix 1-ln Ix + 31 + In Ix _11
=In
"'=.""
Ix+31
3
'
I
2
X3(X
+K
_1)21
x+3
+K
..
Dutra tecruca para deterrninar A, B e C e desenvolver 0
..'membra direilo de (*) e agrupar os lerrnos de mesma polencia
..de x, como segue>, ,:"".
4x2 + 13x";';~9;;;':(A+B + C)x2+ (2A - B + 3C)x- 3A -
A +B+C=4
; coefic!enies de x:
2A - B + 3C~ 13
,."
Pode-se verificar
"
Finalmente, compimimos
fazendo x = 0, 0 que nos dii:
que a solm;ao deste sistema de equal10es
que tern a soluc;ao C = -3. A decomposic;ao
e, portanto,
3X3_18x2+29X-4
f . (x+ 1)(x-2)3
I
I
I
21n x + 11+ In x -
Pela Regra a de (9.5), ha uma fral1ao parcial da forma
A/(x + 1) que corresponde ao fator x + 1 no denominador de
integrando. Para 0 fator (x - 2) l aplicamos a Regra a (com
m = 3), obtendo uma soma de tres frac;oes parciais B/(x - 2),
C/(x - 2)2 e D/(x - 2)3. Conseqiientemente,
a decomposic;ao em
fral10es parciais tern a forma
3x3 -18x2 + 29x-
2
em fra¢es
parciais
-3
2
(X-2)2
(X-2)3
1
--+--+---+--x+1
x-2
ABC
--+--+---+--x+ 1 x-2
(X_2)2
21 + x _ 2 - (x _ 2) 2 + K
com K igual a soma das quatro constantes
resultado pode ser escrito na forma
3
In[(x+1)2Ix-2Il+
x-2
de integral1ao. Esle
1
- (X_2)2+K
D
(X-2)3
X2
(*)
na equac;ao
Para obter a integral dada, integramos cada urni! das frac;oes
parciais do membro direito da ultima equac;ao, obtendo
dx
·31
3xl-18x2
+ 29x - 4
(x + 1)(x - 2) 3
-4 = -SA + 4B - 2C + D
e
.
3x3-18x2+29x-4
(x+1)(x-2)3
Ca1cular
constante& de (*)
os termos
Levando os valores jii achados para A, BeD
precedente, temos
1"-
A = 3, B = -1 e C = 2.
Como A = 2, segue-se que B = l.
termoscollstanles:
.c~eficientesdex2:
,;
de Xl: 3 =A +B
coeficientfs
Valemo-nos agorad~ de fato que, se dois polino~i~s sap iguais:enlao os coeficientes de iguaispotencias
de x sap os mesmos. E
conveniente disp6r nosso trabalbo da seguinte mane ira, a qual
cbamamos~ompara~iio
de coeficientes de x.
-x- 21
Ca1cular
f 2x3 _ x2 + 8x _ 4 dx
Aplicando
a Regra b de (9.5) ao fator quadriitico
4 =A(x - 2)3 + B(x + 1)(x - 2)2
+ C(x + 1)(x - 2) + D(x + 1)
Duas das constantes incognitas podern ser determinadas facilmente. Fazendo x = 2 em (*), obtemos
-- ...-
Da mesma forma, fazendo x = -1 em (*), temos
-54=-27A
ou
A =2
As demais constantes podem ser obtidas por comparac;ao dos
coeficientes. Atenlando para 0 membro direito de (*), vemos que
o coeficiente de x3 e A + B. Este coeficiente deve ser igual ao
coeficiente de x3
esquerda. Assim, por comparac;ao,
a
irredutivel
x 2 + 4, vemos que uma das frac;oes parciais tern a forma
(Ax + B)/(x 2 + 4). Pela Regra a, hii tambem uma frac;ao parcial
q(2x - 1) correspondente ao falor 2x - 1. Conseqiientemente,
x2-x-21
2x3-x2+8x-4==
Ax+B
x2+4
C
+2x-l
---~~-~----I_-------_
•.•.......
Pode-se achar facilmente uma constante. Fazendo x = ~ em (*),
obtemos
AS demais constantes podem ser achadas por compara"ao
coeficientes de x em (*);
.
coeficiell1es de x 2:
1 = 2A + C
coeficientes de x:
-1 = -A + 2B
termos constantes:
-21 = -B + 4C
x2-x-21
2x -x2+8x_4
coeficientes
de x 3:
5 =A
coeficienles
de x 2;
-3 = B
coeficientes
de x:
7 =A +C
lermos cOllslanles:
.-3 = B + D
de
Temos assim A=5,
Port an to,
0
membro
Exercs. 1-32: Calcular a integral.
2x2 - 25x - 33
11 -----dx
(x + 1)2(x - 5)
f
Ax+B
=x2+1
Cx+D
+(x2+1)2
pelo m~nor divisor comum
3x
(x2 ~
1) 2 temos
+ 7x - 3= (Ax +B)(x2 + 1) + Cx+D
2
14 f5x + 30x + 43 dx
. (x + 3)3
2
4x + 54x + 134 dx
(x-l)(x+ 5)(x+ 3)
3
lsfx +62+3X+16dx
x3+4x
5x3 - 3x2 + 7x- 3 =Ax3 +Bx2+ (A + C)x+ (B +D)
2
19x
6 f- 2 + 50x - 25 dx
x (3x- 5)
7 f
x+ 16
~+2x-8
2
- 12x + 4 dx
x3_42
dx
6x
5 f -lldx
(x _ 1)2
a Regra b de (9.5), com Il = 2, tcmos
f 2x
x+34
dx
(x- 6)(x+ 2)
37-1lx
f(X+1)(x-2)(x-3)
4 .f
-
3
5
2x-1
3
5x
5x
x3
12
2
+~
(x 2 + 1) 2
X 2
2x
+ 7x- 3 dx= lln (x2+ 1) _ 3 arctgx--/+K
I5 _3X2
(x2+1)2
2
x +1
2 f
3
+1
= 5x-3
Integrand.o, vem
5x 12
dx
1 f x(x - 4)
Multiplic~do
e D=-3-B=O.
3x + 1
-5
--+-x2+4
2x-1
Pode-se agora calcular a integral dada integrando
direito da Ultima equa"ao, 0 quc nos d<l
5x3-3x2+7x-3
(x2+1)2
C=7-A=2
= X 2 + 1 - X 2 + 1 + (x 2 + I) 2
3x
1
=--+----x2+4
x2+4
Aplicando
B=-3,
5x3-3x2+7x-3
(x 2 + 1) 2
Como C = -5, segue-se de 1 = 2A + C que A = 3. Da mesma
forma, utilizando os coeficientes de x com A = 3, temos
-1 = -3 + 2B ou B = 1. Assim, a decomposi~o
do integrando
em fra"oes parciais e
3
_.- _ .... -----_.
---.............
dx
8 f
16
f 12+7;
dx
~+6x+9
llx+2
11:{
2x2_ 5x-3-·
f 5~+llx+17
17
~+52+4x+20
dx
20J~dx
(~+1)3
4
22JX
24
'
-.,'"
+ U + 4x + 1 dx
(x2 + 1)3
",
4
2
JX + 2x + 3 dx
x3 :"4x
39 Se a regiiio descrita no Exercicio 38 gira em tomo
do eL'to-x,ache 0 volume do solido gerado.
40 Na lei logfstica de crescimento admite-se que, no
instante I, a taxa de crcscirnento f(l) de uma
quantidade
f(l)
seja
dada
por
f(1) ~ Af(t)[B - f(I)], com A e B constantes. Se
f(O) ~ C, mostre que
Jh
J/I
r
5i + 4& + 98 dx '
(i+x _12)2
3
f 21
A substitui,ao
inlegravel.
dx
ax + bx
2
1\ -Jx -3x +3x+1 dx
i(x+ 1)3
·
BC
C + (B - C)e-AB/
41 Como altemativa ao metodo das fra,Des parciais,
mostre que uma integral da forma
I-
"
e
'
f(I)-
JI
A'decomposi,ao
em fra,6es parciais pode conduzir a integrandos que. con tern uma expressao quadnitica irredutiyel como
ax2 + bx+ c. Se' b ¢ 0, necessario as vezes complctllr 0 quadrado como s~g'ue:
EXEMPL01
-..illiL dx
f 0+ (blx)
Calcular
x
+9x+l
,'111
III /
-2--dx
I
x" - 2\3 + 4x2 - 15x + 5 dx
(.l + 1)2(x2 + 4)
I"~"I .'~. 33-36: Use fra,Des parciais para calcular a
'""WIlI (vcja as F6rmulas 19, 49, 50 e 52 da tabua
II. "'l'grni~no Apendice TV).
'
". /
.\
I
. ? -I
J
34J_l_du
u(a +bu)
'2du
II - U
I
U (II
+/JII)
36
J u(a +bu)
1
du
2
1'1.'.~ J( d - x/(x2 - 2x - 3). ache a area da regiao
'oil u griifico de f de x ~ a a x - 2.
III A
Icgiao delimitada
pelos ,graficos
de
y - I/(x - 1)(4 - x), Y ~ O. x ~ 2 e x - 3 gira em
"" "" do cixo-y. Determine 0 volume do solido
1t~~\Iltantc.
x2_
43 Suponha que g(x) - (x - c.)(x - c2) ••• (x - cn)
para urn inteiro posilivo n e reais distintos
cl' c2 •••• , cn' Se f(x) e urn polin6mio de grau
inferior a II, mostre que
f(x) =~+~+
g(x) x - C1
x - C2
com At c f(ct)/g'(c.)
du
Not~ que a expressao quadratica x 2 - 6x + 13 irredutivcl, po is
b2 - 4ac = -16 < O. Complctamos 0 quadrado como segue:
f_l_dx
axn + bx
(i_9)2
\
2x-1
6x + 13 dx
2 _
e
II r\\'13i+3X+63dx
!AI'
I
SOLu<;Ao
· ~< ,·3x +x
•
u = x + b/(2a) pode eolao conduzir a uma forma
... ;~
x - Cn
para k = 1,2, ... , II. (Trata-
se, na realidade, de urn metodo para obter a
decomposi,ao em fra,oes parciais quando 0 denominador pode ser favorito em fatores line,ares
distintos.)
44 Use 0 Exercicio 43 para achar a decomposi,ao
em fra,Des parciais de
2\4 _ x3 - 3'; + 5x + 7
x5_5x3+4x
6x + 13= (x2-6x)+
13
- (x2 - 6x + 9) + 13 - 9 = (x - 3)2 + 4
5
x-3
= In (x2 - fix + 13) +:2 arctg -2-
SOLuGAo
+C
Completamos
0 quadrado
da expressao quadratica como segue:
x 2 + 8x + 25 = (x 2 + 8x) + 25
Podemos lambem empregar a teenica de eompletar 0
quadrado quando uma expressao quadnitica apareee sob 0 sinal
do radical. '
Calcular
f../ 8+2x-x
1
=(x2+
-16
=(X+4)2+9
dxf
1
f ";x'+8x+25
2 dx
=
1
../(X+4)2+9
dx
Fazendo a substituic;ao trigonometrica
SOLUl;Ao
Completamos
8x+ 16)+25
x + 4 = 3 tg G,
0 quadrado
8+2x-x2=
8 -(x2_2x)
=8+
1- (x2-2x+
1)
dx -f- ";9-(x-l)2
1
=Y9tg2G+9
../(X+4)2+9
=9-(x-l)2
1
f ../8+2x-x
2
dx = 3 sec 2 G dG.
da expressao 8 + 2x _x2 eom~ segue:
-f
=3~
=3secG
1
dx=f-l- 3 see2 G de
";x' + 8x + 25
3 see e
dx
=
f see G dG
= In
I see e + tg G I + C
Para vol tar a variavel original x, utilizamos
0 triangulo
Figura 9.7, obtendo
tane
1
f ../8+2x-x
2
dx-f-
1
../9-(x-1)2
dx
~
= arcsen !! + C
3
+C
No pr6ximo exemplo faremos uma substituic;ao trigonometriea ap6s eompletar 0 quadrado.
1
f ";x +8x+25
2
dx
3
I'
f ";x"+8x+25
dx
=
../x2+8x+25
x+4
In \ -----+-3
3
=1n1";x2+8x+25
= In
=f_l_du
x-I
= arcsen -3-
x+4
=_._-
\
+C
+x+41-lnI31+C
'../x2 + 8x+ 25 +x + 41 +K
da
......
"
.;
_Sup~tl1Unos .~gora ,como segue: __
~'-'~':J::'\:;'
~:"
t
.::'
2 - ." '.. -.
f ~dx=
f-3-X-.xdx
V?+4 ,;/, 1vxr.t4 .
Excrcs. 1-18: Calcule a integral.
1
5--dx
(x+l)2+4
3
5
7
<)
5J-4x+81
2
dx
4
5-dx
Y4x-J
5 h+3
5"';16 - 1(x - 3)2 dx
52 1
14
6
dx
5 2x
Y9-8x_x2
5 (J+4x+1 5)2 dx
eX
15
5
1
.. Y7+6x-x2
17 /J-4X+6
2 J-4x+5
dx
dx
18fl~dx
o J+x+
1
'.
1,-,
'Substitiindo
9x +6x+17
.
dx
e +3e"+2
dx
5 2 x+5
8
h
5--- dx
Jt.+ h+5)2
dx
x -h+2
1
.~>:~
. ~.... \: :,.>.
por II a expressao sob a radical, entao
19 Ache a area da regiiio delimitada pelos graficos
de y = 1/(x2 + 4x + 29), y - 0, x = -2 ex = 3.
5 (x2 _ 6x1+ 34)312dx
10
20 A regiiin delimitada
pelo graficn. de
y = 1/(x2 + h + 10), ns eixos coordenados e a
rela x = 2 gira em lomo do eixo-x. Ache 0 volume
do solido resultanle.
lI=x2
+4
'.oJ ~dx';'
I J'n;
3.
.' "
J
••
, ••
f -?--.Xdx
2
,."
-
EXEMPLO
Calcular
U-4
-113'
II
If
1 du = -
f
-
2
2
(11113 -
4u -113)du
= ~(tu SI3- 6u 213) + C = foU 213{U-
Nesta sec;ao estudaremos substituic;oes uteis para 0 calculo de
certos tipos de integrais. 0 primeiro exemplo mostra que, se uma
10) + C
+ 4)2I3{x2 - 6) + C
= ~(X2
entao uma das
substituic;oes u = ':,fJ(x) ou u = f{x) pode simplificar
. ',.
\1?+4
DIVERSAS
integral contem uma expressao da forma ~,
=u-4
'T.~e~t~ c~;s~! ~~qemo~ esqrever
V?+4
9.6 SUBSTITUlc;OES
x2
au
0 calculo.
1
Calcular _.
X3
-3--
f \1?+4 dx
"x
3
A substituic;ao
valentes:
II =
Usando a diferencial
obtemos
2
f __l- dx
" 'VX +?x
+ 4 conduz as seguintes equac;6es equi-
de cad a membro
da ultima
equac;ao,
Para
obter
uma
vx =
X1fl
?x = x
e
denominador
substituic;ao
que elimine
fazemos II = xll., onde
comum de e }. Fazemos assim
1l3,
i
as dais
LOgo,
dt=6I1sdu,
X1fl={U6)lfl=1I3,
radicais
n e a minima
XI13_(1I6)II3=U2
u3
6u du 6 J--1 du
J_evx+vx dx =J-3--2
u +u
u+
1
1
)e
5
=
1
dx
4 sen - 3 cas x
Se 0 integrando e uma expressao
cas x, entao a substitui<;ao
u = tg
1
J4senx-3eosxdx=
racional
transfonnanlo integrando em uma expressao raeional (algebrica)
em 11_Para prova-Io, notemos primeiro que
x
2
x
2
sen-=tg-eos-
1
VI + tg 2 (x/2)
=--~
4(
em sen x e
2:x para -Jt < x < Jt
x
1
cas-=---=
2 see (x/2)
J
1
2dll
2u -)_3(I_U2)01+1I
2
2
1+11
1+11
=J 8u-3(1-1I2 2)
du
= 2f
du
1
3112 + 8u - 3
2
1
x
1
= u--2
v'I+U"T
_1_)dll
f 4 sen x -1 3 cas x dx-!- 5 J(_33u: 1 - 11+ 3
1
= 5" (In 1311- 1 1- In III + 3 I ) ~
sen x = 2 sen :: cas :: = ~
2
2
1+112
311
2u21_112
eos X = 1 - 2 sen -2 = 1 - --2
= --2
2X
l+u
1+11
+ 1 I +, c
'.=!
5nI 1 11+3
= 1. In
5
dx=_2_du
1 + u2
Ill&
(x/2) -
tg(xl2)+3
1_\ +
o Teorema (906) p'ode ser usado para qualqucr inlcnrlllltio
que seja uma expressao racional em sen x e cos x; lollllVIIi,
importante tambem cansiderar substitui<;6cs mais simploN. (;1\/1
forme exemplo a seguiro.o:
~'"
.;.
I
-
31J~dt
4 -- 3tgx
~
cosx 'dx'
1 + sen2 x
32
,
J
1
dt
sen x v'3 cos x
Exercs.33-34: Use 0 Teorema (9.6) para estabelecer
a formula.
~3Js~c'~dx=1n
34
111+tg~X \ +C
-tg;:x
1+cosx )+C
J cscxdt=Zln1 (I-COSX\'
9.7 TAsUAS DE INTEGRAlS
Matematicos e cientistas que utilizam integrais em seu trabalho
costumam recorrer a tabuas de integrais. Muitas formulas contidas nessas tabu as podem ser obtidas mediante aplica~oes de
metodos ja estudados. Em geral, as tabuas de integrais devem
ser usadas somente apos adquirir experiencia com os metod os
padroes de integrac;ao. Para integrais cOOlplexas e freqUentemente ,necessario fazer substituic;oes ou utilizar frac;oes parciais,
integrac;ao por partes, ou outras tecnicas para obter integrandos
aos quais se possa aplicar a tabua.
-~dx=I-l_du
I 1 + sen 2 X
1+U2
as exeOlplos a seguir ilustram a utilizac;ao de vanas
f6rmulas constantes da pequena tabua de integrais do Apendice
IV. Como precauc;ao contra passive is erros no manuseio das
tabu as, convem verificar sempre as resultados par diferenciac;ao.
Jx
2 J x2,f2x+ 1 dt
x+9dt
2
20J_x--dt
(3x + 4)10
J
_x-dt
4 J
V:1x + 2
J
1
-dt
'1 IX +4
5x
dt
(x + 3)213
21J
f25 --dtI
.'1
6
o~
23J!
7 J
'I
J
IX
8 h--1-}dt
vx+vx
dt
I+~
1
(x+ 1),fx-2
III(x+'~dt4)113
dt
senx
dt22f
cosx(cosx -1)
10
25
J
l
2<+ 3 dt
0..11+ 2x
xll3+1
12J-1I3--dt
x -1
26 J
e
-1
cosx
dt
sen2 x - sen x - 2
24J_l_dt
i' + e-x
dt
2 seD 2x
sen x-2senx-8
dt
Em seguida aplicamos a Formula 84 com n = 2, e a Formula 83,
obtendo
'
senx
dt
5 cosx + cos2 x
Exercs. 27-32: Usar 0 Teorema (9.6) para calcular
a integral.
2x
I.lJI::\'~d>:
e
14J--dt
+ex
1
'
27J--d>:
2 + senx
h
l.
f
7-<
dt
C_
" +4
16 J
sen 2x
..II +senx
d>:
29
Em primeiro lugar utilizamos a F6rmula de reduc;ao 85 da tabua
de integrais, com n = 3 e u = x, obtendo
28
f 3+2cosx
1
dx
J l+senx+cosx
1
dt
30
f tgx+ 1sen x dt
Calcular
f x v3 +Sr dx para x > 0
Calcular
2 _~
sen 2x
f v3 - S cosx dx
o integrando sugere utilizarmos a parte da tabua referente 11
forma ~.
Especificamente,
f
a Formula 28 afirma que
tlu
~
sen 2x
C
f v3 - S cos x
+
a2u
U2~=
(Nas tiibuas, a diferencial e colocada no numerador, e nao 11 direita
do integrando.) Para utilizM esta formula, devemos ajustar a integral
dada de modo a faze-Ia coincidir exatamente com a formula. Fazendo
dx _f2
-
sen x cos x dx
v3 - S cos x
Como nenhuma formula da tabua tem esta forma, tentarernos a
substitui~ao u = cos x. Entao till = -sen x dx e a integral pode scr
escrita
?f
-
senxcosx
dx
2f
cosx
(
)
-Y:::3=-=S=co=s=x=
=-Y:::3=-=S=c=0=s=x
-sen x dx
entao a expressao sob 0 radical esta sendo tratada; entretanto,
tambem necessitamos de
(ii) du no numerador
u du
f va+bu
Podemos obter (i) escrevendo a integral como
sf
1
Sx2v'3+5X2
dx
-2f
S If
. V5
JF
Sx 2 ..f3+5X'X v S dx
A ultima integral coincide exatamente com a da Formula 28 e,
portanto,
.
f x Y3+Sx1
2
2
V3~SU
dU=-2(
sen 2x
1
dx = V5 [_ Y3 + S~: ] + C
3(fu)
=_ Y3+Sx2
2
=3b2(bu-2a)Va+bu
+C
3x
4
+C
.
f V3 _ S cos x dx = 75 (S cos x + 6)V3 - S cos x + C
Estudamos varios metodos de ciilculo de integrais illd·Jl
nidas; todavia, os tipos de integrais considerados constlill '111
apenas uma pcquena parcela dos que ocorrem nas aplicll~ 'II,
Seguem-se cxemplos de inlegrais indefinidas para as C[UUlll ()
inlegrando nao pode ser expresso em term os de urn numero fill 10
de fun<;6es algebricas ou transcendentes:
. f~x2+4X-I
Conforme 0 exemplo seguinte, pode ser preciso fazer uma
substitui~ao de algum tipo antes de utilizar a tabua para 0 calculo
de uma integral.
~S )(-SU-6)V3-S11
, I 1
dx, f Y3cos2 x+ 1 dx, f e~x' (L~
. .
.j
No Capllu 0 1 estudaremos melodos que envolVCll1SOIIlIlI
infinitas uleis no calculo de tais integra is.
Cap, 9
Tecnicas de integra~iio
63 f cot6 x dx
I •• 0' _ I 1111 Use a tabua de integrais do Apendice
IV 1""" ,"it'"I"r a integral.
IV.I, 'hI. lix
,
,I
,J.) \/2ax
(If,
2 f
1
dx
x";2 + 3xl
4 fx1V42-16
dx
65
17f+dx
5.1 - 3
18 f cosxVsen2x-~
19 fell: arccos ,f dx
20 f sen2 x cos3 x dx
dx
v
I \
~\ lix
I_11th
f 312112
dx
x +.1
30 f
22f~dx
V2-x
31
J,f sec,f dx
32 f x tgx2 dx
70
71J
I\ I ,f
II rica 2x fix
\
dx
24f~-dx
V4+3secx
26 fVS;
dt
27 f-I-3-dx
x{4 +
12 f 2 arctgx dx
fix
28f
vx)
2x
1
3/2
2dx
+5.1
39
,
2
f
x
40 J
dx
1
xV3x-2x2
30
f
cot x
43 J x cot x csc x dt
dx
V4-csc2x
3.1+2 , dx
.12+ 8x +25
Y4i+25
42
dx
f .12(8 - .13)113 dx
47 f..;x sen ..;x dx
45
15
I \ 'lie nxdx
r
3
- 21h: - 63.1-198
dx
51
f
76
f 4
79
J---V9-2? dx
1
x V16-2
dx
dx
46
f x (In .1)2 dx
48
J x V5 - 3.1 dx
4
3 -IS? - 6< + 81 dx
80 4t
-.---,------.14 - 18.12 + 81
f
81 J (5 - cot3x)2 d~
f2- ..;x+
4X 3
d
J cos x
3
~
52
vI + senx
//
dx
84f_x-dx
col4x
J
I In (I ~x) ,h
'II
53fV
", III1
6 fcos4xd~
III \ /I'"
8 ftgx
r VII_x2
II
x
r
'.13
0
r 7.r sen2 2x dx
r s xdx
t
dx
'I r
, (,1..,25)3/2
II
4 !/xdx
-,L~
.1"~dt
• 1(' _ 1)3
55
10 f
3
sec6 x dx
1
x2V16_x2
19
dx
f cos (In x) dx
J sen cos
24
f cot2 3.1 dx
26
f
25r~d~
Y4-2
14f~dt
.1+.1
1 - 2x
dt
.12+ 12x+35
54 J--x-2dx
25 - 9.1
56
f 2_ 6<+
7
dx
18
.1
86
22
3x
f
dx
2
d~
21 fell: sen 3.1dt
23
12f_x-dx
(.12+ 1)2
f'l
x;8
16 -x
3 x dx
1
xV92+4
f_4x_2_-_fu-_'_+_4_
dx
(x2 + 4)(.1 _ 2)
2
87f~dt
(25 +x-t
dx
61
.14
44 J (1 + CSC 2x)2 dx
49 J-e-d~
1 +,f
x - 81
4.1-12~-10
f (x - 2)(.12- 4.1+ 3)
f V 1 2 dx
7+5.<
62
f~+ 3 dx
x +4
d~
J; Vx3 + 1 dx
72 l~+7X
---
dx
2
_.1
75
J sen2 x cos5 x dx
3x
2 f sec3 (3.1)dx
coSX
36 f sen 3.1cot 3.1dx
- 32 dx
14 fx51nxdx
16 f
3
Vll-1Ox
34 f sen 2x cosx dx
J sen3 x cos1/2 x dx
35
V9 2x
25 f :
7J.,
V~,
I
sen 2x
4+9senx
33 f .12sen 5.1dx
f (sen x)lO
68 f x cosh x dx
(x + 5)
10 f sen 5.1cos 3.1dx
n X dx
ail's
66
------wo dx
29
3
21Jx3V2+xdx
23 f
8 f x cos5 (xl) dx
h tlx
I \", ·1 \ tlr
I I I,
+ 2x dx
J} V xl - 25 dx
2x+1
\
6 fxlV5
64 f co~ x cscx dx
67 f (2 - sech2 4.1)dx
1
617
dx
90J--X -dx
V4+9i
2
97J~dx
'!2x+ 3
92
J
senx
dx
(1+cosx)3
98
J 1 -calxse"2 dx
Capitulo 10
MAKRON
Books
FORMAS INDETERMINADAS
E INTEGRAlS IMPROPRIAS
o primeiro limite import ante estudado no
Capitulo 3 foi a formula da derivada
f'(a) ~ lirn I(x) - I(a)
x-a
X - a
Se 1 e continua em x = a, entao, tomando 0
limite do numerador e do denominador separadarnente, obtemos
f'(a) ~ I(a) - ((a) = Q
a-a
0
uma expressao indefinida. Todavia, sabemos
que as derivadas nem sempre saD indefinidas.
Voce record ani que, para chegarmos a cad a
regra de derivac;ao, utilizamos uma simplifi,cac;ao algebrica ou trigoDometrica, a qual era
por vezes acompanhada de uma manipulac;ao
engenbosa ou um argumento geometrico.
Neste capitulo estudaremos tecnicas que lios
permitem proceder de maneira mais direta ao
considerarmos problemas analogos sobre Iimiles. 0 resultado mais importante que abordarernos e a regra de L 'Hopi/ai, usada para
deterrninar limites de quocientes em que ambos, numerador e denorninador, tendem para
0, ou ambos tendem para 00 QU -00.
Na Sec;ao10.2 estudaremos oulras forNas duas ultimas se«5es
abordaremos integrais definidas que tern integrandos deseontinuos ou limites de integra"ao infinitos.
mas indeterminadas.
. ' Os ' topicos, estudados nes,te, capitulo
tern ~uitaS aplica,,6es na matematica e, na'
fisica. Para nos, a aplicac;ao mais importante
ocorrera no Capitulo 11 do VolumeI( quan~
do estudarernos as series infinitas.
. No Capitulo 2 tratamos de limites de quociente
,
i
".
"",
'! ;::".'~_.:~;.~ i."'
_c,:_,;~
) ..~
;"-".
,':
tais como
Isto e equivalente
o principal instrumento para 0 estudo destas formas
indeterminadas e a regra de L 'Hopital. A prova desta regra
utiliza a formula seguinte, que leva 0 nome do rnatematico
frances Augu'stin Cauchy (1789-1857).
o
':·'t·'::~';._'_"'~': .\_.~., - ". ,;" .'·.L~r··."
, ')j'~;~.)
..,
[f(b) - f(a)] g'(w) - [g(b) - g(a)] f(w)
Em cada caso, tomando os limites do numerador e do denominador,
obtemos express6es indefinida~ 0/0. Dizemos e~tao que, os quo~.
cientes indicados tem a forma indelenninada
% em x = 3 ex;';'
0, respectivamente. Ja usamos anteriormente metodos algebrici:>s,
geometricos e trigonometricos para ~alcular iais limites. Nesta'
se9io estabeleceremos outra tecni~ que utiliza as derivadasd~
numerador e do denominador do quociente. Consideraremos tambem a forma indeterminada 00/00, na qual tanto (, numerador como
o denominador tendem para 00 ou _00. A tabela seguinte apresenta
as deflni~iies das formas que serao estudadas.
:!
·":i:~.
,j"\:-:
.
x2
; lim -9',e
lim senx
i-,.3X-3
.., ·-.~O'
x-
..•.-;;.
, para todo x em [a, b]. Segue-sif qlie-h econtinua
em [a, b] e
diferenciavel em (a, b) e que h(a) = h(b). Pelo Teorerna de Rolle,
ex isle urn numero w em (i!' b) lal que h'(w) = 0; islo e,
~ ,•...".:'.',.,,:;;
tc:inlinuasiem'[a/b]
'edifer~ncjaveisen!(a:j);i
, )"~ 01lar~ 1odoxem:(ci"b),;_~iitao;existeiUrn:~0"
=0
a formula de Cauchy.
A formula de Cauchy.e generaliza~ao do teorerna do valor
rriedio (4.1?), p~is, faz~~-do g(x) = x em (10.1), obternos
f(b) - f(a)
b-a
=
i1.!Y2 = f(w)
1
o proximo resullado constitui 0 principal
formas indeterminadas .•
teorema
sobre
• G. L'H6pital (1.661-1.704) foi urn "
nobre fiances que publicou 0 primeiro
livro de caJculo.
.
A regni apareceu naquele livro; todavia,
ela foi efetivamente descoberta pelo matematico sui~o Johann Bernoulli (1.6671.748), professor de L'H6pital, que Ihe
comunicou 0 resultado em 1.694.
Suponharnos que f(x)/g(x) tenha a forma indeterminada % em
e que lim._c
[f(x)/g'(x)] = L para algurn nurnero L.
x=c
Queremos pro,:ar que lim._c
m~t'~I~~~~l~~~':'~6'
.
[f(x)/g(x») =L. Introduzamos duas
fum.oes F e G como segue:
Nolemos primeiro que g(b) - g(a) •• 0, porque, de outra forma,
g(a) = g(b) e, pelo Teorema de RoUe (4.10), existiria um nurnero c
em (a, b) tal que g'(c) = 0, contranamente a nossa hipotese sobre g'.'
F(x) = f(x)
se x •• c e F(c) = 0
G(x) = g(x)
se x •• c e G(c) = 0
e
e
a Cum.ao F continua em c e, dai, continua em todo 0 intervalo
(a, b). Analogamente, G e continua em (a, b). Alern disso, em
todo x •• c temos F'(x)
f'(x) e G'(x) = g'(x). Segue-se da
formula de Cauchy, aplicada ao intervalo [c, x] ou ao intervalo
[x, c], que existe urn numero w enlre c e x tal que
=
c < w < x:
x < w < c:
I
c
I
x
I
w
I
c
I
w
I
x
.
F'(w)
few)
G'(w) = g'(w)
F(x) -F(e)
G(x) - G(e)
As vezes e preciso aplicar a regra de L'Hopital varias vezes
no mesmo problema, como se ve no exempJo seguinte.
Como F(x) '" f(x), G(x) '" g(x), e F(e) '" G(e) '" 0, obtemos
Figura 10.1
.ful L~
•
eX + e-x - 2
hm
.
l-cos2x
Achar
g(x) = g'(w)
x-o
Como w est a sempre entre e e x (veja a Figura 10.1), segue-se
que
Jim
x-c
.ful =lim ~
g(x)
x-c
g'(w)
=lim
w-c
f.~ =L
g'(w)
o quociente dado toma a forma indeterminada
de L'Hopital,
,
x
lim _e_x_+_e_--_2_
_,
Argumento
analogo vale se limx_c
(f'(x)/g'(x)]
= 00. A
prova para a forma indeterminada 00/00 e mais diffcil e pode ser
eneontrada em textos de ciilculo avam;ado.
::II
1 - cos 2x
x _ 0
0/0. Pela regra
lirn _ex_-:-_e_-_x
x _ 0 2 sen 2x
desde que 0 segundo limite exista. Como 0 ultimo quocienle tern
afoima indeterminada 0/0, aplicamos a regra de L'Hopital mais
uma vez, obtendo
eX_eUrn --x-o 2sen2x
A regra de L'Hopital e usada as vezes incorrentamenle,
aplicando-se a regra do quociente a f(x)/g(x).
Tendo em vista
que (10.2) afinna que as derivadas de f (x) e g (x) SaD tomadas
separadamente,
ap6s 0 que entao e que se pesquisa 0 limite de
X
eX+e-x
x-o 4cos2x
,
= hm ---=-=-
2
1
4
2
f '(x)/g '(x).
A regra de L'Hopital e valida tambem para Jimites unilaterais conforme se ve no exemplo seguinte.
Achar
r cosx + 2x -I
x~'
3x
Achar
lim
x-(nIW
Tanto
0 numerador
como 0 denominador
~
1 + secx
tern limite 0 quando
% em
x -- O. Logo, 0 quociente tom a a forma indelerminada
x '" O. Pela regra de L'Hopital (10.2),
A forma indeterminada
Jim cos x + 2x - 1 = lim -sen x + 2
x-o
3x
x-o
3
·
I1m
~
x _ (nI2r 1 + sec x
o ultimo quociente
. -senx + 2 2
I1m
'
=x-o
3
3
'Jim cosx+2x-I_~
x-o,
3x
X
=
e 00/00. Pela'regra
=
I'1m
de L'Hopilal,
2
4sec x
---
x -'(nI2r sec x tg x
=
I'1m
x _ (nI2r
4secx
tg x
--
tern ainda a forma indeterminacla
00/00
'111
n/2; todavia, aplicac;6es adicionais da regra de L'J I pll,1
sempre resultam na forma 00/00 (verifique este fato), Neste as("
pode-se achar 0 limite utilizando identidades trigonol11cld ~
pa!a modificar 0 quociente como a seguir:
3
_4_s_'ec_x_
= 4/cos x
tg x
sen x/cos x
:Ix
Achar
li
e
x-~?
se existir.
Pode-se provar outra forma da regra de L'Hopital para
x --+ 00 ou x -> - 00, Daremos uma prova parcial deste fato,
Suponhamos que
e3x
;'
,
llill 2
x
= lim
x-oo
X-XI
3e3x
-21:
o ultimo quociente tern a forma indeterminada
00/00; aplicamos
assim a regra de L'Hopital uma segunda vez, obtendo
3e3x
,
•
hm -2x
= hm
X_OJ.
Hm ful = lim ipM. = !im
x-=
g(X)
a-D'
g(l/u)
x-=
(x)
g (X)
Referimo-nos a este result ado tambem como regra de L'Hopital.
Os dois proximos exemplos i1ustram a aplica~ao da regra 11forma
X-XI
ge3x
--=00
2
E extremamente imporlante veriftcar se'lim dado qllociente
tem a forma indeterminada % au 00/00 antes de aplicar a regra
de L 'Hopital, Se ap!icarmos a regra a uma forma que nao e
indeterminacta, poderemos chegar a uma conclusao ineorreta,
como se ve no proximo exemplo,
00/00.
Achar
Achar
.
eX+e-X
x-o
X
..
hm --2-
se eXlslIr.
lim lnx.
x-
= ..fi
o quociente nao, tern nenhuma das formas indeterminadas 0/0
ou 00/00 em x = 0, Para investigar 0 lin1ite, eserevemos
,
eX + e -x,
( 1)
hm --2,= ,llill (eX + e-X) 2"
x.-o
.
x.
x-a
I
~
_
•
!im (eX + e-X)
=2
.x-o
A ultima expressao tern a forma indeterminada 0/0, Mas a
aplica~ao reiterada da regra de L'Hopital conduz novamente a
0/0 (verifique este fato) ,
Se, em lugar disso, simplificarmos a expressao algebrieamente,
poderemos aehar 0 limite como a seguir:
,
1/x
I1m --,x-= 1/(2YX)
= I'1m -2..fi
x-=
x
= I'lill - 2 = 0
x-=
..fi
.
eX+e-x
llill --2x-o
X
e linI 1, = 00
x-o x-
= 00
Se tivessemos omitido 0 fato de que 0 quoeiente nao tern
nenhuma daquelas fonnas indeterminadas, e tivessemos (incorretamente) aplicado a regra de L'Hopital, teriamos obtido
Como 0 ultimo quociente tern a forma indeterminada
aplicariamos novamente a regra de L'Hdpital, obtendo
(b) Se V, LeI
sac constantes eRe
variavel, entao I tern a
forma indeterminada % em R = O. Aplicando a regra de
L'Hopital, (emos
0/0,
1 _ e-Rl/L
Jim 1=VJirn --R-
\'
Jim eX - e -x = lim eX + e -x = 1 + 1 = 1
x-o
2x
x-o
Teriamos assim chegado
existe e e igual a 1.
2
11conclusao
R - 0+
. R - 0+
2
.
0 - e-Rl/L( -I/L)
i
= Vhm
(errdnea) que 0 limite dado
R_OT
= V[O - (1)(-I/L)]
o pr6ximo exemplo ilustra a ap!ica<sao de uma forma
indeterminada a analise de urn circuito eletrico.
=
V
L
1
Isto pode ser interpretado como segue: Quando R ~ O+, a
corrente / diretamente proporcional ao tempo I, com a constante
de proporcionalidade V/L. Assim, em 1 = I, 3 corrente e V/L, em
1 2, e (V/L )(2), em 1 3 (V/L )(3) etc.
e
=
= e
o diagram a esquematico
da Figura 10.2 ilustra urn circuito
eletrico consistindo de uma for<sa eletromotriz V, um resistor R
e urn indutor 1. A corrente I no instante I e dada por
Aplicada a voltagem (em I = 0), 0 indutor op6e a taxa de aumento
de corrente e I e pequena; todavia, na medida em que 1 aumenta,
I tende para VIR.
(a) Se Lea
limL_O+I.
unica
(b) Se Rea
limR_O+l·
unica
variavel
independente,
17 lim
determine
3 lim
x-5
vx::T -2
2
x -25
x-(n/2)
2£
2 Jim
x-o
tgx
-3--x-4y'x+4
-2
independente,
determine
5 lim 2x> 5x + 2
x - 2 5x- - 7x - 6
3
x-3x+2
7 hm 2
x-l x -2x-1
.
(3) Se considerarmos V, ReI
variavel, entao a expressao
r-
-=--=--=-=:-:::::::-:::::-:L~= O. Aplicando
como constantes e L como
de I nao e indeterrninada em
teoiemas sobre !imites obtemos
J9 lim senx-x
x-o tgx-x
.
?+2x-3
6 \1m
0
x - -3 2x- + 3x - 9
2
8 r
x -5x+6
2x2_x_7
x~2
In senx
• In sen 2x
*
V
24lim1o(x-1)
x-2
x-2
x 3x
-x
26 Jim 2e - 2 - e
x-o
x
x-o x-tgx
.
=
Jim ~
0 arclgx
x-
eX _ e-x _ 2 senx
23lim-----x-o
x senx
Y+3x.f:1
27 hm '2"
ZEL~E:()~~ L[\lF~OS
22
101im~
BIBLIOTECA DO DMEIUFCG
E \1 i"r t:: ~~il
U L.'·[~~~S
ENTREGANDQ.·OS Erv1DIA I
x-o
20 Jim lox
2
x-co x
nx
x-oo
2llim
variavel
x-o
f-
19lim
x-4
4Jirn
18 lim l!!..:£
.•.cot x
2+secx
_ 3lgx
x-co
"
5x +~+4.
3x
Rl L
/ )
14 Hrn
x-n./2
(1 - lim eL-O+
V
=R (1- 0) = R
Assim, se L - 0, entao a corrente pode ser aproximada
dt; Ohm I = VIR.
pela lei
1 - senx
1 + seox
16 Hm cosx
cos2 x
• x
x-o
30lim:'-~__ CD Inx
cosx
31lim
X-DO
~
x'
e.
11 >0
33lim lo(x-1),,
x-2' (x_2)2
e'
32 Jim
x-
-,11
00
xn
>0
'
".
sen2x+2cosx-2
34 hm
2
x-ocos x-xscn
- I
56 Se uma bola de alto dc massa m e liberada na
, " agua e a for~a de resistencia
diretamente
proporcional
ao quadrado da velocidade, entao a
distfmcia s(t) que a bola percorre no tempo I
36 lim In (In x) ,
x-lXI
lnx - .
':IS Jim arcsen 2x
• -.0 arcsen x
e
tg x - sen x
•17 Im- 3
"
x-.o
x tgx
3
2
2x - 5x + 6x - 3
,m 3
2
1 x -2x +x-1
-5x
.-.IX
"
f
3
1111
4
+9x -7x+2
3
I~ I' x
; • \ I~r~
3/2
46lim~
x-
2e
1111
"00
(00 -
.Jg£
(0 "
MO&,treque
~,
61,seja
-llx
50 lim- -
+X
x-o+
e
R a regiao
Na se<;ao precedente
as fonnas
2
x_cex +1
x
53-54:
I'l1los valorcs
Preveja
indicados
0
,-.0' V1n(i+
IIru
., .01-
ap6s substituir
x
x=lO-k
~I'imln(tgx+cosx);
~I'
limite
%
Iimites
de quocientes
que tern
ou
Os
tambem
00/00.
indetenninada
produtos
0 . 00, como
se define
na
,
(cas lilt - cos 1Il0t),
OJ
,
urna constante
k e com
aumentam
em magnitude.
Em exerdcios
nada
interpretam
como 0 niimero maximo de individuos que 0 ambiente
pode sustentar. Ache
lim, _ 00 y(r) e lim! _ 00 y(r), e discula a significa~ao grafica
desses Jimites.
0·00
para
0
consideraremos
tambem
caso x --+ 00 ou x -+ -
00.
a forma
Valem
indetermias seguintes
direlrizes.
Os ecologistas
denominam
k a
de Sllsrento (carryng capaciry) e 0
Y (0)] / y (0).
para k = 1, 2, 3 e 4.
estudamos
indetenninadas
Ache Jim", _ "'0 s, e mostre que as oscila-
capacidade
I I':xcrcs.
g(x) ~ e{.t2).
10.2 OUTRAS FORMAS INDEIERMINADAS
=
•• 00
JX1 I" dl ooJx1 rl dl
lim'
"--I
f(x)'OOfo e<~) dl . e
58 0 modele logislico de crescimento pop~lacional
preve 0 tamanho y(l) de uma popula~iio no
instante 1 por meio da formula y(r)
k/(1 +ce-''),
onde r e k sao constantes
posilivas e c = [k -
X
52 lim x + cosh x
~lllnl~
\
.
=
podem levar
fonna
seguinte tabela.
'
Vkf/iI para
1Il0"
1Il0'
~6es resullantes
+ 1nx
3x
2
C
os vaJores
a
senx
x-(nI2)
3x
I" ,.
0 x-
_ cot2~
arcsen x
•• 0)
ao Exercicio
por
AOJ2
S = -2--2
48 lim
---
~ I" dt ~ [tn+1 / (n + 1)]~.
sob 0 grillco de C de x = 0 a x
1, e seja V 0
volume do s6lido gerado pela revolu<;ao de R em
a sua posi~iio inicial no instante 1 e dada
rela<;ao
com
V2+1
47 Hili
=
-x
441im
e
x
x_o:.l+e-
+5x-4
x In x
entao
C(x)
e
2
,1,1 liru x - arctg x
\ •. 0 x sen x
\
a uma bola suspensa a partir de urn suporte. 0
peso
posto em movimento
movendo-se 0 suporte para cima e para baixo de acordo com a
f6rmula h A cos OJI, onde A e III san constantes
positivas e 1 e 0 tempo. Se as for<;as de atrito sao
dcspreziveis, entao 0 deslocamento
s do peso em
- 5x ,+ 9x - 7x + 2
• • Ix
I.,
e
2
63 Seja x> O. Se n ,,-1,
60, use a regra
-
(Q] 62 Com referencia
a
57 Com referencia
Defini<;ao (4.22) de rnovimento
harmonico simples, veja urn exernplo do fenomeno da ressonancia. Urn peso de massa m preso
x
x 4 +x 3 -3x 2 -x+2
.
IL ,
ao Exercicio
=
;
(b) Grafe C em [0, 1] utilizando
achados em ( a).
gravitacional.
Jim! _ O' s(I).
40 lim 2_tf_;-X
x-01-cos
Com referencia
V por meio da regra
tomo do eixo-x. Apro~ime
de Simpson com n 4.
Jim C(x) -x
x-o
x
J
~2 + 5x- 2'
x4 -x 3 -.)X
4
e uma constante
onde k > 0 e g
3 - 3x
.W lim -•• _005_5x
(a)
(b)
lim®
x-o
de Simpson com n = 4 para aproximar
113
para x ~4' 2' 4' e 1.
Determine
,II 1m
&6i
dada por
I" I'
.0
(a)
e
Diretrizes para investigar
Jim x - c (f (x) 9 (x)) para a
forma 0.00 (10.3)
1)
59 0 SellO integral Si(x)
2
tg (arcsen x)
.
cos[ln (1 + x)]'
,
x = ±lO-k
fun~ao especial
=f.x0 [(sen 11)/11] dll e uma
da matematica
aplicada.
Deter-
mine
~~ Ilcix"-se cair dc urn balao urn objcto dc massa
1/1. Sc a for~a da rcsistencia
do ar dirctamente
e
a
I'roporcional
velocidade
v(t) do objeto no instnntc t, entao podc-se mostrar que
A escolha
(a)
mostra
Jim~
x-o
x
que
60 0 co-seno integral de Fresnel
"ndc k > 0 e g
e uma constante
Ache lim! _ 0 + v(t).
C(x)
gravitacional.
= f cos 112 e usado nas am\lise da difra<;ao
o
dll
da luz. Determine
na diretriz
que a utiliza<;ao
g(x)/[l/f(x)]
1 nao e arbitniria.
de f(x)/[l/g(x)]
leva a uma expressao
0 exemplo
seguinte
nos d6 0 limite,
enquanto
mais
complexa.
eO" 00. Aplicando a diretriz 1 de ~10"3),
A forma indeterminada
escrevemos
A forma indeterminada e 0.00. Aplicando a diretriz 1 de (10.3),
come<;amos por escrever
2x-n
(2x - n) see x = --
2
Inx
x In x = 1/x2
Como 0 quociente
l/sec x
a direita tern a forma indeterminada 00/00 em
x = 0, podemos aplicar a regra de L'H6pital
Como a ultima expressao
lim
----zp
tern a forma indeterminada 00/00; mas
aplica<;ao reiterada da regra de L'H6pital conduz novamente a
00/00. Neste caso, simplificamos 0 quociente algebricamente e
achamos 0 limite como a seguir:
3
l/x
I·1m--3=
• -2/x
.r- O
2
1"lID --=
x
J'lID-=
x
• -2x x-a • -2
x-O
Se, ao aplicar a diretriz 1, tivessemos
cos x
tern a forma indetermiiJada
%
em
x = n/2, pod em os aplicar a regra de L'H6pital como segue:
·
lnx I'
l/x
I1m
x 2In x = I'lID J2
= lm
x-o'"
x o .•.1x
x-o'" - x
o Ultimo quociente
2x-n
= --
x _ (n/2l'
2x-n = fim _2_
=1.. =-2
cos x x _ In/2l' -sen x -1
As form as indeterminadas definidas na tabela abaixo podem surgir na pesquisa de limites que envolvem express6es
exponenciais.
0
escrito a expressao
~.r r~rDN;;;f;r.:biy:~j-rrU
,,:,;.'
.'.~:
•• '!.
como
2
X
x2
x2
Inx=--=--1/ln x (In X)-I
entao a forma indeterminada
de L'H6pital,
result ante teria sido 0/0. Pela regra
Nos exercfcios
consideraremos
tambem
casos
em que
x -+ 00 ou x ----+ -00.
=lim [_2x2(lox)2}
x-o'"
e
A expressao -Y(ln X)2 mais complexa do que ;(l'n x, de modo
que esta escolha na diretriz 1 oao nos da 0 limite.
Determinar
Jim (2x - n) secx
x-(>f/2)-
Se a forma indeterminada e O' ou 00', entao a forma indeterminada para In y e 0.00, que pode ser facilmente resolvida pclos
metodos anteriores. Da mesma forma, se y tern a forma 1=, ent;lo
a forma indeterminada para In y e 00.0. Segue-se que
se !im In y = ~ ( li~ y ) = L, logo lim y = e L
,x-c
x-c
x-c
Jim (1 + 3x)I/(ZrJ = Jim y = e3fl
x-,o.+
x-o·
IJ/rotrlzes
para investigar
IImx c !(X)9(X) para as
(ormas 0·, 1 00 e 00· (10.4)
A ultima forma indeterminada
abaixo:
Urn erro comum consiste em parar ap6s mostrar que
limx _ c In y = L e conduir que a expressao dada tern 0 limite L.
Deve-se ter em mente que queremos achar 0 limite de y. Assim,
se In y tern 0 limite L, entao y tern 0 limite rf. As diretrizes
podem ser usadas tambem se x
00 ou se x ~ -00 para limites
uniJaterais.
~o
Achar
Ao investigar 00 - 00, procuramos transformar a forma
f(x) - g(x) em urn quociente ou produto e aplicar entao a regra
de L'HopitaJ ou outro metoda de calculo, confoffile se ve no
pr6ximo exempJo.
Achar
lim.
x-o
(ex ~ 1 - ~)
A forma e 00 - 00; mas, escrevendo a diferen~a como uma fra~iio
unica, entao
Jim (1 + 3X)I/(2')
x-o·
lim 1---( ef:-1
x.:.....o+
A forma indeterrninada e 1"'. Aplicando as diretrizes (10.4),
procedemos como a seguir:
1
Iny= 21:Jn(1 +3x)=
In(1+ 3x)
2x
Diretriz 3:
A ultima expressao tern a forma indeterminada
0/0 em x = 0, de modo que ao apJicarmos a regra de L'HopitaJ:
J.1m In y = I'1m In (12x+ 3x) = J'1m 3/(12+ 3x) = 1
2
x-D·
x-·o·
a considerar e definida
x-D·
1) = J'un x - eo' + 1
x
x-D.
xex-x
Isto nos da a fomla indeterminada 0/0. E necessario aplicar a
regra de L'Hopital duas vezes, pois a aplica~ao pela primeira
vez conduz it forma indetcrminada 0/0. Assim,
lim x - eX + 1 = lim
1 - eX
x-o· xex-x
x-a. xe·t'+e·'t:_l
= Jinl
x-o
_e't'
.xex+2eo'=-Z
1
39 Jim (x + cas 2x)csc 3x
1 5x
A velocidade
dada por
v de urn impulso
eletrico
em urn cabo isolado
e
13 Jim (1 +-)x
14 lim (ex + 3x)11 x
x-o'"
x-co
40
x-o·
lim
see x cos 3x
x-(nI2f
15 lim (If - It
x-o·
18 Iim
onde k e uma con stante positiva, reo raio do cabo eRe a
distiincia do centro do cabo a parle externa do isolante, conforme
ilustrado na Figura 10.3. Determine
(b)
19 Ihn'
x-
e
variiivel.
e
25 Jim
x-a
2
lim.v=-k
lim.(~) In(~)=-k(1)2ln1=-k(0)=0
R-r
R-r
21
22 lim (l + 3x)csCX
x-o'"
-"-2 )
x+l
(1 __
_x
x-o
(x-2f
. •(Jx-I
24 hm
-----
x-I
26 Jim
1_)
senx
1 )
Inx
(secx-tgx)
x- (nl2f
27 lim (1 _ x)ln x
x-I
e
Se R [um ere variiivel, entao a expressao de v toma a
forma indeterminada
0 .. 00 em r = 0; transfonnamos,
assinl,
a expressao algebricamente,
como a seguir:
29 Jim (_1 __
x-o'" U+1
2)
30 Iim (cot2x - csc2 x)
35 Jim (1 + cas x)tgx
36 lim(l + ax)b I x
x-o'
x-(nI2f
x--3-
(2
x
+2x-3
Ilx
(x + J
tgx
») ; [-0,5; D,S]
Exercs.45-46:
(a) Ache as extremos locais e discula
o comportamenlo de f(x) na vizinhan<;a de x = O.
(b) Ache as assintotas horizontais, se exislirem.
(c) Esboce a grafico de f para x > O.
4S f(x)
= xl/x
46 f(x)
= x'
47 A media geollllilrica de dois numeros reais positivos a e b e definida como VGb. Use a rcgra de
L'Hopital para provar que
l/X
..1:_00
x-o
37 Jim
lln
l/
VGb = Hm' (a--- + b ')'
33 Jim (cot2 x - e-x)
quociente tern a forma indeterminada
00/00 em r = 0,
de modo que podemos aplicar a regra de L'Hopital, obtendo
44 j(x) =
x-o
x
31 Jim cot 2x arctgx
x-o'"
o ultimo
[-1, I]
43 j(x) = (x tgx)(x ;
23 lim .2
_x__
(
x_oox-1
(a) A notaltao de limite implica que r e flxo eRe
Neste caso a expressao de v nao
indetenninada,
[g]Exercs. 43-44: Grafar f no intervalo dado e USar a
grafico para estimar Jim fIx).
x-2+
x-o·
R-O"
(b)
20 Jim
(tgxf
(nl2f
21 lim (2x + 1)COI X
Lim v
(tg x)cosx
x-(nI2f
_4_)
2
48 Se uma quantia P e apHcada 11 taxa de juros de
100r % ao ana, composta m vezes por ano, enl:;\)
o principal, ao cabo de I anos, e dado par P( I +
rm-1)m'. Considerando m como urn numero real c
fazendo m crescer indefiniqamenle, diz-se qnc II
taxa e composta cOlltinua,;,ente. Use a regra d'
L'Hopital para mostrar que, neste caso, 0 principal apos I anos e Pe".
49 Com referencia ao Exercicio 55 da Se«aol O."
na formula da velocidade
x+3
m represent a a massa do objClo em qued". A 'lie
Jimm _ = Vel) e conclua que 1'(1) e "proximadll-
2 Hm
tgx In senx
7 Jim senx In senx
8 Jim
x-o·
x-oo
x(i -
arctgx)
x-(nI2f
9limxsen.!.
x·
12 Jim (cos x)r+ I
5 Jim e-x sen x
x-o
x-o
mente proporcionalmente
e muito grande.
ao tempo
I sc it lI\aS~
I
Seja f uma fun"ao continua e nao-negativa em urn intervalo
infinito [a, (0) e limx_ ~ f(x) = O. Se t > a, entao a areaA(t) sob
{f(X)
Determine se a integral converge ou diverge; se convergir,
seu valor.
o grafico de f de a a t, conforme Figura 10.4, e
dx
(b)
f"" -L dx
2
y
A(t) =
I~f(x) dx
como a area da regiao sob 0 grafico de f, aeima do eixo-x e 11
direita de x = a, conforme ilustrado na Figura 10.5. Usa-se 0
.
simbolo { f(x) dx para denotar este numero. Se Jim, _ ~A(t) =
.
= 00, nao podemos atribuir uma area a estaregiao
x- 1
SO LuC;Ao
Se lim,_ ""A(t) existe, entao 0 limite pode ser interpret ado
.
ache
(a) Pela Defini"ao
(10.5)(i)
~ --- 1
= Jim
I2 (x-1)2
dx
'1 ---
,_~I2
(x-I?
= lim
--
,_~ t-1
~
1
-dx
f 2.x-1
+ -2-1
]'
2
0+1= 1
1
t
= Jimf
,_~ x-I
( -1 1) =
(ilimitada).
A parte (i) da proxima defini"ao generaliza as observa,,6es
precedentes para 0 caso ern que f(x) pode ser negativa para
algum x em [a, (0).
dx = Jim [ ---1
-d~
,_~2x-1
,-~[In(X-1)]:
= liro
f. f •
(x) ,Lt
y
Se f(x) ., 0 para todo x, entao 0 limite na Defini"ao
x (10.5)(ii) po de ser encarado como a area sobre 0 grafico de f,
acima do eixo-x e 11esquerda de x = a (veja a Figura 10.6).
As expressoes na Defini~ao (10.5) sac integrais i1T!proprias. Elas diferem das integra is definidas pelo fato de urn dos
limites de integra"ao nao ser urn numero real. Diz-se que urna'
integral impropria converge se 0 limite existe; 0 limite e entao
o valor da integral impropria. Se 0 limite nao existe, a integral
diverge.
A Defini"ao (10.5) e util em muitas aplica"oes. No Exemplo 4 utilizaremos uma integral impropria para calcular 0
trabalho exigido para projetar urn objeto da superficie da terra
a urn ponto situado a1cm do campo gravitacional da terra. Outra
aplica"ao importame ocorre no estudo das series infinitas.
As Figuras 10.7 e 10.8 exibem os graficos das duas fun"oes
dadas pelos integrandos no Exemplo 1, juntamente com as
regioes (ilimitadas) sob os graficos para
2. Note que, embora
os do is graficos tenham a mesma forma geral para
2, podernos
atribuir uma area 11regiao sob 0 grafico da Figura 10.7, mas nao
sob 0 grafico da Figura 10.8.
x.,
x.,
1
x-I
y=--
Se uma das integra is a dire ita em (10.6) diverge,
entao que
o grafico da Figura 10.8 apresenta urna propriedade
interessante. Fazendo·sc a regiao sob 0 grafico de y
1/(x - 1)
girar em tomo do eixo-x, obtem-se urn s61ido (ilimitado) de
revoluc;ao, conforme Figura 10.9. A integral impr6pria
diz-
f(x) dx diverge. Pode-se mostrar que (10.6) nan
depende da escolha do numero real a. Mostrar-se
=
x
f:
tambcm
qll
-
f f(x) dx nao e necessariamente a mesma que lim, .• oof'~
oo
f(x) dx (considere f(x) = x).
1
I n--dx
(x - 1)
2
1
y=-x-I
2
1
=
po de ser vista como 0 volume deste s6lido. De acordo 'com (a)
do Exemplo 1, 0 valor desta integral impr6pria en' 1, ou n. Isto
nos da 0 fato curioso de que, embora nao possamos atribuir uma
area a regiao da Figura 10.8, 0 volume do s61ido de revoluc;ao
gerado pela regiao (veja a Figura 10.9) e finito. (Situac;ao analoga
.¢ descrita no Exercicio 35.)
Calcular
roo 1+x2 dx
Esboc;ar 0 grafico de f(x) = _1_, e interpretar
1 +x-
II jlll gllli
em (a) como uma area.
Atribua uma area a regiao sob 0 grafico de y "7 e', acima do
euo-x e a esquerda de x = 1.
A Figura 10.10 e urn esbo«a da regiao delimitada pelos graficos
de y = e', Y = 0, x = 1 e x = r, para t < 1. A area da regiao
ilimitada a esquerda de x = 1 e
f= ~
Jo l+x
dx = Jim
f,
1
--2
,_oo ol+x
[1'
dx = lim arcil~
, =
= lim (arctg t _ arclg 0) _!t
,_oo
Analogarnente,
..
_ I) •• ,,:
'}.
pode-se mostrar, por meio L! • (10 ..') II, lilll
1 .
o
y= 1+X!
Uma integral impr6pria pode ter os dois !imites de integraCiaoinfinitos, eonforme definic;ao a seguir.
2
Il
1
roo 1+x2dx='2
n
Consequenternente,
a integral impr6pria t1;u.b 'onv III { 1111111
valor (n/2) + (n/2)
= n.
(b) 0 grafico de y = 1/(i + x~ e a Figura 10.11. Tal como em
nossa diseussao previa, a regiao ilimitada sob 0 gnifico 'e
acima do eixo-x pode ser eonsiderada como uma area de
11: unidades quadradas.
f(x)
Concluamos esta se<;ao com uma aplica<;ao fisica de uma
integral impropria. Se a e b sao as coordenadas de dois pontos .
A e B em uma Tela coordenada I (veja a Figura 10.12) e se f(x)
e a for<;a que alua no ponto P com a coordenada x, entao, pela
Defini<;ao (6.21), 0 lrabalho realizado quando P se move de A
ate B e dado por
= 45 '103•
1.786.050
x2
w =I.~ 45· 103• 1.786;050dx = 45· 103• 1.786.050f~·dx".
.
x·
6.300
6.300
x2
b
w=
J f(x)dx
a
=
De modo analogo, a integ~al impropria
J~f(x) dx pode ser usada
[_.!]
45 . 103 • 1.786.050 lim
,_w
X
r
6300
a
para definir 0 trabalho realizado quando P se move indefinidamente para a direita (nas aplica<;6es, usa-se a terminologia P se
move em dire<;iioao infinito). Por exemplo, se f(x) e a for<;a de
atra<;ao entre uma partfcula fixa em A e uma partfcula (m6vel)
em P e se c> a, entiio
J f(x) dx representa
= 45 . 10 3 1.786.050 I~~
[-
~
+ 6.;00 ] =
45· 103• 1.756.050 . '1' I
k
6.300
= qUI orne ros- g
0 trabalho necessario
c
.
para mover P do ponlo com eoordenada
c ale 0 infinito.
Exercs. 1-24: Determine se a integral converge ou
diverge; no caso de convergencia, ache seu valor.
Seja I uma reta coordenada com origem 0 no centro da Terra,
conforme a Figura 10.13. A for<;a gravitacional exercida em urn
ponto de I a distancia x de 0 e dada por f(x) = k/x 2, para alguma
constante k. Tomando 6.300 krn para 0 raio da terra, determine
o trabalho necessario para projetar urn objeto de 45 quilos ao
longo de I, da superficie da lerra ate urn ponto fora do campo
gravitacional da Terra.
SOLuC;Ao
2/
7 f'" e-2x dx
o
Teoricamente, ha sempre urna for<;a gravitacional f(x) a~~ndo
sobre 0 objeto; entre tanto, podernos cogitar de lan<;ar 0 objeto da
superficie ate 0 infinito. Pelo que precede, querernos determinar
w= f
~
6.300
a
'"
x
'"
x
-4-d~
-'" x + 9
r",
In'"
.·;13\f
s
<! dx
x
f'"1 --z-zdr
(1 +x)
12
~dx
14/ +dx
~ ..' 01 +sen2 x
19
r",
n/Z
f'" cosxd~
20
o
@r:
cosz x dx
'" 1
-z-d~
3 x -1
ISJ
sen 2~ dx
sechxdr
-"'x +4
23/
1
-"'J-3x+2
d~
Exercs. 25-28: Se f e g sao continuas e 0 s f(x) s
8(x) para todox em [a, 00), entao valem os seguintes
testes de comparGl;iio para integrais
(i) Se {
impr6prias:
g(x) dx converge, entaD {
f(x) dx
converge.
k
45 = f(6.300) = (6.300)2
r:
o
(x- 8)2/3
-00
Por defini<;ao, f(x) = k/x 2 e 0 peso de urn objeto que esta
distancia x de 0 e, entao,
(x - 1)
10{3.;1
dx
o
x+l
UfO __ I_dx
f(x) dx
_1-3dx
-'"
4f --zdx
o 1+x
(;f
16
f~g(x) dx diverge.
f (x) dx diverge, enta~
(ii) (
•
a
Determine se a primeira integral converge, comparando-a com a segunda integral..
'"
1
25J -dx;
1
4
1 +x
'" -dx
1
f zW
27
1
f z'" -dx;
Inx
28
J'" e-/
21t(1 I x)'h + (1 I x4) dx.
{
I
Use urn teste de compara~aa (veja as Exercfcios. 25-28) earn f(x) = mix para mostrar
que esta integral diverge. Assim, naa podemos atribuir uma area a superficie, embora
a volume da trombeta seja finito.
30 R = {(x,y): x " 1,0 '" Y '" 1M}
31 R = {(x,y): x " 4,0 '" Y '" x -3/2}
32 R = {(x,y): X"
213
8,0 '" y '" x·
}
33 A regiao i1imitada II direita do eixo-y e entre os
graficos de y = e -x' e y = 0 gira em torno do
eixo-y. Mostre que se pode atribuir urn volume.
ao s6lido resultante; ache 0 valume.
36 Uma espa~onave leva urn carregamento de combustivel de massa m. Como medida de conserva~ao, a capitao decide queimar combustlvel ii
razao de R(i) = mke·kl gis, para uma constanle
positiva k.
(a) Que represent a a integral
{
o
impr6pria
R(I)dl?
(b) Quando se esgotarii 0 combustivel?
34 0 gratico de y = e'X para x " 0 gira em tarno do
eixo-x. Mostre que se pode atribuir uma area a
superficie resultante; ache a area.
35 0 s6lido de revoJu~ao canhecido como trombera
de Gabriel e gerado fazendo-se rotacionar em
tomo do eixo-x a regiao sob a grafico de y = 1/x,
x " l(veja a Figura).
38 Urn dipolo elelrico consiste em cargas opostas
separadas por uma pequena distancia d. Suponha
que as cargas +q e -q unidades estejam localizadas em uma reta coordenada I a ~d e -ld,
(a) Mostre que a trombeta de Gabriel tern urn
volume finito de 1t unidades .cUbicas.
respectivamente (veja a figural. Pel, lei de
Coulomb, a for~a liquida que atua em uma carga
unitaria de -1 em x > ~d e dada por
(b) Mostre que a area da superficie da trambeta
de Gabriel e dada por
m(1/x)
I
40 Uma quantia e depositada em uma conta que paga
juro a 8% por ano, composto continua mente (veja
o Exercfcio 48 da se~ao 10.2). Daqui a T anos, 0
dinheiro sera retirado a laxa de fluxo de capital
de f (x) unidades monetarias por ana, continuando indefinidamenle. Para a renda futura a ser
gerada a esta taxa, a quantia minima A que deve
ser depositada, ou seja, 0 valor arual do fluxo de
capital, e dada pela integral impr6pria A =
j f(l)e~O.08I. Ache A se a renda desejada daqui a
(e) Mostre que a area da superfieie da trombeta
de Gabriel e dada par
F clf{x)J = { J{x) cas sx dx
o
para todo niimero real s para 0 qual a integral
impr6pria seja convergente. Ache Fc[e""'] para
a> O.
Exeres. 43-48: Na teoria das equa~oes diferenciais,
se [e uma fun~ao, entao a lrans[ormada de Laplace
L de f(x) e definida por
para todo niimero real s para 0 qual a integTltI
impr6pria seja convergente. Ache L[j{x)] para"
J{x) dada.
49 Aftl1l~tio
gaTIIllla r e defmida Como
f(n) = { xn-I e-X dx
20 anos e
o
(a) 12.000 unidades monetiirias por ana.
para todo real positivo n,
(b) 12.000eO.041 unidades monetiirias por ana.
(a) Determine r(I), f(2), e [(3).
41 (a) Use a integra~ao por partes para estabelecer
a f6rmula
(b) Prove que [(n + 1) = n[(n).
~2
Jo
2
x e-ax d~ = --
IJ~" e-" du
2fiJ /2
0
(b) 0 niimero relativo de moleculas de gas em
urn recipiente que viaja a uma veloeidade de
v cm/s pode ser delerminado pela velocidade
de dislribui~tio
F de Manvel/-BollzTllann:
F(v) = cv2e-m.'/(2J<n,
para uma constante positiva k se a > ~d, ache 0
trabalho realizado ao mover a carga unitaria ao
longo de I de a ate 0 infinito.
(c) Use a indu~o matemiitica para provar qu . 'I
n e urn inteiro positivo, entao r(n + 'I) • III
(Isto mostra que os fatoriais sao vnlUl~
especiais da fun~ao gamma.)
Pode-se mostrar que 0 valor desta integral e
Vii./2.
v'f + (1Ix4) dx. Use em teste de
compara~o (veja Exercfcios 25-28) com
fix) = 21t/x para mostrar que esta integral
diverge. Assim, nao podemos atribuir uma
area a superficie, embora 0 volume da trombeta seja [mito.
42 A Transformada de Fourier e uti! para resolver
certas equa~oes diferenciais. A Irons[ormada do
co-seno de Fourier de uma fun~lio [ e definida
por
T
37 A for~a (em joules) com que dois eIetrons se
repelem mutuamente e inversamente proporcional ao quadrado da distancia (em melros) entre
eles. Se, na Figura 10.12, urn eletron e fIXo em
A, ache 0 trabalho realizado se outro eUtron e
repelido ao longo de I, de urn ponto B que esta a
1 metro de A, ate 0 infinito.
(
•
(b) E possivel fabricar urn produto para 0 qual
R(I) = 1/(1 + I)?
1
29 R = {(x,y): x " 1,0 '" y '" l/x}
medio e dado por { (-t)R'(t) dl.
(a) Para muitos produtos de primeira qualidade,
R(I) tern a forma e·kJ para uma constante
positiva k. Ache uma expressao, em termos
de k, para 0 lempo medio de servi~o antes
do primeiro reparo.
dx;
Exercs. 29-32: Atribua, se possivel, urn valor (a) a
area da regiao R e (b) ao volume db s61ido gerado
pela revolu~ao de R em torna do eixo-x.
39 A confiabilidade R(I) de urn produlo e a probabilidade de ele naa exigir reparos por ao menos
t anos. Para elaborar urn certificado de garantia,
urn fabricante deve conhecer 0 tempo medio antes
do primeiro reparo de urn produto. Este tempo
onde Tea temperatura (em oK), III e a massa de
uma moleeu!a e c e k sao constantes positivas. A
constante c deve ser eseolhida de modo que
{ F(v) dv = 1. Use (a) para expressarcem termos
o
de k, Te m.
50 (Ref. Exercfcio 49.) AS fun~oes dadas por J~\) •
de'ax,
com x > 0 sao chamadas dis'ri/ml{ .w
gamma e desempenham pape! relevante na I ")1 ,
das probabilidades. A constante c deve ser s"
Ihida de modo que { f(x) d~ = 1. Expresse
'Ill
o
termos das constantes positivas k e a e a flnl~ 11
gamma r.
~Exercs. 51-52: Aproxime a integral impr6pria fn "
do a substitui~o u = 1/x e aplicando entfio II r'Il' ,.
de Simpson com II = 4.
51{_I_dx
z Vi+x
52J
. .
-10 -fOOL
VIEt rl
-'" x3 + 1
Se f econtinua
•
Teorema
e~ urn i~tervalo'
.',
(5.2), a integral
definida
fechado
'b
[a, b], entao, pelo
f. f(x) dx existe. Se f tern
uma descontinuidade
infinita em algum numero do intervalo, ainda assim sera eventualmente
possivel atribuir urn
valor a integral. Suponhamos,
por exeroplo, que f e naonegativa
no intervalo'
semi-aberto
la, b) e que
lim,_ b' f(x)" = 00. Se a < t < b, en'tao a ar~a A(t) sob 0 griifico
de f de a a t (veja a Figura
10.14 na proxima
pagina)
e
t
A(t) =
f. f(x) dx
Se lim,_ b-A(t) existe; entao 0 limite pode ser interpretado como
a area da regiao ilimitada sob 0 grafico de f, acima do eixo-x,
e entre x
= a e x = b. Denotaremos
b
este numero por
f. f(x) dx.
Tal como na sec;ao precedente, as integrais definidas em
(10.7) sao chamadas integrais improprias; elas convergem se 0
limite existe. Os !imites sao os va/ores das integrais impr6prias.
Se os limites nao exislem, as integrais impr6prias divergem.
Para a situac;ao ilustrada na Figura 10.15, lim,_ a+ f(x) = 00,
.
b
e definimos
b
f .f(x) dx como 0 limite de f f(x) dx quando t -+ a+.
f.t
b
(x) dx
y
.:'
,,:','-:'-,"."
.':)t~~·~~'0i'.i
~ "_'A
'jntegi-~li¢pr~piia:JJ(x)dx
easomados
...':~\'E~~·;\-:'.),t'(:::':.'.4.;·;',:,~;;:~~.,,~.~·-i).r:';·' "' ...'"-,-.. '. -'"
H"
dois valores.)/
"',"
",:.-.'~.-:..->.,.
A Figura 10.16 e 0 griifico de uma func;ao que satisfaz as
condic;6es da Defmic;ao (10.8).
Vale definic;ao analoga a (10.8) se [tern urn numero finito
de descontinuidades em (a, b). Por exemplo, suponhamos que f
tenha descontinuidades em c1 e c2' com c1 < c2' sendo continua
em todo outro ponto de [a, b]. A Figura 10.17 ilustra uma
possibilidade. Neste caso escolhemos urn numero k entre c1 e c2
b
e expressamos
impr6prias
J. f(x) dx como uma soma de qualro integrais
sobre os interval os [a, clL [cl, k], [k, c2] e [c2; b],
b
respectivamenle.
Por definic;ao,
J. f(x) dx converge se e somente
se cada uma das quatro integrais improprias na soma converge.
Pode-se mostrar que esta definic;iio c independente do nurnero k.
~
646
Ctilcula cam Geamelria Aliallrica
Y)I~\
I
Cap. 10
e
Finalmente, se f
cOI)tlnua em (a, b) mas tern descontinuidades infinitas em a e b, enlao novamenle definimos
b
f. f(x) dx por meio de (10.8).
o integrando nao e definido em x = 3. Como este numero estii
no intervalo (0,4), utilizamos a Defini.;ao (10.8) com c = 3:
4
,
1
3
1
1
4
fo ex - w dx fo (x _ 3) dx + f (x _ 3j2 dx
=
1
3
f --dx
';3 -x
Q
infinita em x = 3,
Como 0 integrando tern uma descontinuidade
aplicamos a Defini.;ao (10.7)(i) como segue:
3
1
3
lim.[ -2';3 -
1
.
1
1-3
0
1
Jim
---1 ]'
[ x-3
0
Io (x _3)2dx= hm.I -(x _ 3 )2dx
fo';3 _;dx= /~~Jo';3
-x dx
=
3
Para que a integral a esquerda seja convergente,
ambas as
integrais do membro direito devem convergir. Equivalentemente,
a integral a esquerda diverge se uma das integrais a dire ita
diverge. Aplicando a Defini.;ao (10.7)(i) a primeira integral a
direita, obtemos
1
1
2
x]~
,-3'
1-3
=
lim
(-2...[3::1 + 2V3)
lim
Determinar se a integral impr6pria
f 1.
-1
----
1-3' ( 1-3
t-r
dx converge oil diverge.
oX
1) =00
3
E importante notar que 0 teorema fundamental do ciilculo
nao pode ser aplicado a integral no Exemplo 3, pois a fun.;ao
dad a pelo integrando nao e continua em [0,4]. Se tivessemos
aplicado (incorretamente)
0 teorema
fundamental,
terlamos
obtido
SOLUc;.A.O
o integrando
nao
e definido em x = O. Aplicando
(10.7)(ii),
obtemos:
f. - dx = lim J - dx = lim
I
1
1
,-0
oX
t
1
X
1-0.
[)
In x
I
Este result ado e obviamente
e negativo.
incorreto, pois 0 integrando
.
nunca
t
= lim (0 - In I) = 00
1
1-0·
1
f -(x + 1)213dx.
-2
4
Determine
se a integral
'.
diverge.
impr6pria
I -(
1)2 dx converge Oll
x- 3
0
o integrando nao e definido em x = -1, que estii no intervalo
(-2,7). Assim, aplicamos a Defini.;ao (10.8), com c = -I:
r2
1
1
(x + 1)213 dx =
r2
-I
1
(x + 1)213 dx +
r
1
1
1 (x + 1) 213 (Lx
Investigamos a seguir cada uma das integrais no membro direito
desta equal$ao. Aplicando (10.7)(i) com b = -1 vem:
-1
1
f -2 --dx(x + 1) 1/3
'1
limf--dx
-2 (x + 1) 1/3
a
- , _ -1
L
= IimJ3(x+l)113
1--1
3 limJt+
Integraisimproprias
dos tipos considerados
nest a sel$ao
surgem em problemas de aplical$ao fisica. A Figura 10.18 e 0
desenho esquernatico de uma mola com urn peso anexo, que
oscila entre os pontos de coordenadas -c e c ao longo d~ uma
reta coordenada-y (para c1areza, 0 eixo-y foi colocado
dlreita).
o periodo T e 0 tempo necessario para uma oscilal$ao corppleta
- isto e, duas vezes 0 tempo necessario para percorrer 0 illte.rvalo
[-c, c]. 0 proximo exemplo mostra como surge uma i~tegral
impropria quando procurarnos estabelecer uma formula para T.
1)113_(_1)113]
1--1
7
1
7
1
--dx=
tim] --dx
f_dx+l)1/3
'--1' (x+l)1/3
L
7
= lim,[3(x+l)113
1--1
J<W13- (t + 1) 113]
= 3 lirn
1--1
Como ambas as integrais convergem,
e tern 0 valor 3 + 6 = 9.
a integral dad a converge
Denotemos pOTv(y) a velocidade do peso na Figura 10.18 quando
ele esta no ponto de coordenada-y em [-e, c]. Mostre que 0
periodo T e dado por
c
1
T=2f -dy
-c v(y)
Vma integral impropria pode ter tanto urna descontinuidade
no integrando como urn limite de integral$ao infinito. Estudam-se
integrais deste tipo expressando-as como somas de integrais
improprias, cada uma das quais tern uma das formas previamente
definida. Para ilustral$ao, como
0 integrando
de { (Vii)
dx e
o
" ..
descontinuo em x = 0, escolhemos qualquer numeromaior
que 0 - digamos 1 - e escrevemos
do
Particionemos [--e, c] na maneira usual e denotemos por !J.Yk =
Yk - hI a distancia que 0 peso percorre durante 0 intervalo de
tempo Mk• Se wk ~ urn n~mero arbitrario no subintervalo [Yk-l'
yk], entao V(Wk) e a velocidade do peso quando ele csta no ponto
de coordenada Wk' Se a norma da parti~ao e pequena e se
admitimos v uma fun~ao continua, entao a distancia !J.Yk po de
ser aproximada pelo produto u(wk)Mk, iSIO e,
!J.Yk = v(wk) Mk
Pode-se mostrar que a primeira integral a direita da equal$ao
converge e que a segunda diverge. Logo (por deflllil$ao), a
integral dada diverge.
Logo,
0 tempo
pode
ser aproximado
necessario
para 0 peso percorrer
a distancia
b
l1Y k
b
Se fa g(x) dx converge,
(i)
fa f(x) dx
entao
por
for~as de atrito, a velocidade v do peso e uma
solu~ao da equa~ao diferencial
converge.
b
_
fa j(x) d~ diverge,
(ii) Se
dv
mvTy+kY=O.
b
fa g(x) dx
entao
(a)
diverge.
Testes
am\logos
valem para a continuidade
em
em x = b.
Determine se a primeira integral converge OU
diverge, comparando-a com a segunda integral.
[a, b) com uma descontinuidade
Considerando
de integral
das somas
a direita e aplicando
concluimos
que
0 limite
definida,
a defini~ao
31
32{4~cx
x3
a
Note-se
que
v(c) = 0 e v( -c) = 0, de modo
que
a integral
e
impropria.
'
o
Ie
Ie
3"
cosh x dx'
- 0 (x _ 2)2 '
(b) Ache 0 periodo T da oscila~ao.
=
{41-dx3
dx'
=
44 Urn pendulo simples consiste em urn peso de massa
m anexo a uma corda de comprimento L (veja a
figural. Desprezando 0 peso da mola e na ausencia
de oulras for~ de atrito, a velocidade angular v
flo-.fX
dx
f a senx
dx'
Vi '
Use a separa~ao de variaveis (veja a Se~ao
7.6) para mostrar que v2 = (k/m)(c -1).
(Sugesliio: Recorde que, pelo Exemplo 5,
v(c) = v(-c) 0.)
dO/dl e uma solu~o da equa¢o
x
v dv +.8: sen 0 = 0
dO L
dx
1
diferencial
a (x_2)Z
onde g e uma constante gravitacional.
(a) Se v = 0 em 0 = ±Oo' use a separa<;ao de variavcis
34 i
e~: dx;
Ox
Exeres.
Exercs. 1-30: Determine se a integral converge
diverge; se convergir, ache 0 seu valor.
ou
18
17iXlnxd~
a
fl2 tgZ x dx
2[-ldx
oTx"
3
5
oVi
0
4
(2
a
6
1
7/- -dx
O(4_x)3/2
1
9/-- -dx
O(4-xl/3
nI (x + dx
"
13/
__ l_dx
-2Y4-1
15
f_I Idx
x
1
dx
-Z (x+2)5/4
/5
oVi
23
25
+-dx
1 x -1
fl'
2cos-d~
-1 x
f
dx
cosx
22/
_l_dx
I/e x{ln x)2
ft
1
x
24 secx
dx
0
dx
o .,11-senx
4
27
j x-413dx
-I
14/
2x-2
Zx -5x+4
26
i
29
bdx
-2 4 _ x2
1
16/-z- -dx
Ox -x-2
IOxZ- 4x + 3 d~
1
Io'"--2d~
(x-4)
28f
-I
30!
V xZ _ 1d~
X
_l_dx
_oox+2
Exercs. 31-34: Sejam f e g continuas e 0 s f(x) s
g(x) para todo x em (0, b]. Se f e g sao descontinuas
em x = 0, entao podem ser demonstrados os seguintes
lesles de comparQl;iio:
;
=
feeos 0 - cos 00)
o
(b) 0 periodo T do pendulo e 0 dobra do tempo
necessario para 0 passar de -00 a 00, Mostre que
T e dado pel a integral impr6pria
o
Exercs. 37-40: Atribua, se possivel, urn valor (a) a
area da regiao R e (b) ao volume do s6lido gerado
pela revolu~ao
T=
a
2VIfl
, __
1__
dO
g
v-co-s-O---co-s-O0
o
de R em tomo do eixo-x.
~~~tW~~1U~':i;\~~~
37 R = {(x, y): 0 s x s 1,0 s y s 1/-.fX}
38 R= {(x, y): 0 s x s 1,0 s y s
,
,
,
":'
INx}
I
I
I
40 R = {(x, y): 1 s x s 2,0 s Y s 1/(x - I)}
o.vx=T
3
que
39 R = ((x,y): -4 sx s 4,0 sy s l/(x + 4)}
[-2= dx
1
de n para os
36 i x" 1nxdx
x" dx
. _ de II eosx
Vi dx fazen-
1941 Obtenha uma aproxlma~ao
1O!
12
21/
!!.- dx
8{I~dx
o >Ix+ 1
?
_l_
-2
1)3
0
l
j -3 ~dx
x
secZ x dx
r
20 /12 ---dx1
o 1-cosx
19{2 tgxdx
35-36: Ache todos os valores
para mostrar
quais a integral converge.
'35
1[-.Ldx
~x;13 dx
trapezio
.
com n
[£) 42 AproXlille
em x
0
u = Vi e aplicando
do a substitui¢o
a regra do
= 4.
I-dx removendo a desconl1nUldade
o x
lrenx
..
= 0 e apliCaodo a regra de Simpson com n = 4.
43 (Ref. Exemplo
5). Se 0 peso da Figura 10.18 tern
massa m e se a mola obedece a lei de Hooke (com
con stante da mol a k > 0), entao na ausencia de
45 Quando
uma dose de Yo miligramas
de 11111
remedio
injetada na corrente
sangufnen,
0
tempo medio T que uma molecula permancce 110
e
sangue e dado por T = (l/yo)
f.'
I dy para 0 t 'lIlpO
o
t em que ainda estao presentes y miJigramils.
(a)
kt
Se y = Yo e- para uma constaille positivll k,
explique por que a integral para T e ill1pr6pI ll.
(II) Sc '( C a meia-vida do remedio no sangue,
em uma coorte e dada por T = (l/Nol
mostre que T = '(/1n 2.
Icsllllnm de uma reprodu~iio anual e conhecida
0 numero N de peixes ainda
vivos "p6s I anos e dado em geral por uma fun~ao
cxpollenei,,!. Para 0 hadoque do Mar 'do Norte,
{'om a tamanho No inicial de uma coorte. N =
N"rO,21. A esperali'Sa media de vida T (em anos)
'·,HIIO urn coortc.
(a) Ache 0 valor de T para ci hadoque'do Mar
do Norte.
(b) E possivel haver uma especie lal que N =
NrJ(l + kNrJ) para alguma constante positiva
k? Em caso afirmativo, determine T para tal
especie.
19 (,x~2
I 'I III
••
(1
J +c
2x
Xl + 2x + 3
.\ 11111 -'-(--1)
"00
II
x+
/., - e-2, _ 4x
11111---- -3
,·0
x
2 I1m
X
21j
~
-8
x-a
0
2
x-a
4 Jim
20 f'" senx dx
dx
sen 2x - Ig 2x
arc Igx
arcsenx
o
1
22f '-4 t!.1:
-4 x+
dx
Vi
f __
23,( __ x_dx
0(x2_1)2
6 lim
.!&.£
x _ (IT/2)' see x
24
"00
8 lim
t/
2St-'" e'
_l_dx
+ c-x
cosx In cosx
27
x - (n/2)'
x-o
,
.
-1
26 (", xC dx
j U Inx dx
28
in
csc x t!.1:
0
X
10 lim arc tg x csc x
l_dx
I xYx2
x<
7 lilll
I
·
'
0
o lempo t em que precisamente N peixes ainda
estao vivos.
ill. Nil ciencia da pesea, a eole~ao de peixes que
In (2 -x)
N
1 t dN para
Exercs. 29-30: Aproxime a integral impr6pria fa-
19 zendo a substitui<;ao u = 'l/x e usando a regra de
Simpson 11 = 4.
II lim ('J + 8i)1Ix'
, •u
12Iim(lnxt-1
'"
29 fe-x'
x-l'
(-L _!.)
14 lim
x-o + 19x
,
30 f'" e-x sen Vi dx
dx
1
I
x
31 Ache lim _ ~ f(x)/g(x) se f(x)
•
VT;1
ISlim--\'_"
en
X
16 lim 3" + 21:
x_oox3+1
Exercs. 17-28: Determine se a integral converge
diverge; se convergir, ache seu valor.
.111
'18(_1
4
xVX
dx
~f'(sen tfIJ dt
1
e g(x) = x2•
32 A
integral
do
erro
de
Gauss
erf'
(x) = (2Hit){ e'·' du tern larga aplica~ao na
o
leoria da probabilidade. Goza da propriedade
especial lim._~ ert(x) -1. Ache
tim. _= e<") [1 - ert(x)],
MAKRON
APENOICE·
Books
o
metoda de prova conheeido como indurriio matematica pode
ser usado para mostrar que certas afmna~6es au formulas SaD
verdadeiras para todos os nfuneros inteiros positivos. Por exemplo,
se n e urn numero intciro positivo, dcnotcmos por Po a afirmat;jio
onde x e y SaD n6mcros reais. Assim, PI representa a afirmat;jio
P2 denota (xy)2 =rr'P3
e (xy)3 =x3y3 etc. 13 faeil
mostrar que PI' P2 eP3 sao afirmaljies verdadeiras. Mas, como 0
(xy)I_XIy',
conjunto de numeros inteiros positivos e infinito, toma-se impassivel .
verificar a validade de Po para todos os numeros inteiros positivos.
A prova de que Po e verdadeira requer 0 principio seguinte.
Principia da induyao
matematica
Para compreender
rnelhor este principia,
uma cole~ao de afirma~6es
.
que satisfazern
as condi~6es
consideremos
(i) e.(ii). Por (i), PI e verdadeira.
Por (ii), sempre que uma afirma~ao Pk e verdadeira,
afirma~ao
Ph 1 tambern
P2 tambern
0 e, por
e verdadeira.
a proxima
Como PI e verdadeira,
(ii). Mas, se P2 e verdadeira, en lao, par (ii),
vemos que tambem a sera a proxima afirrna«ao P3• Mais uma
vez, se P3 e verdadeira, entao P4 tambem a e. Continuando
desta
maneira; pode-se argiiir que se n e urn inteiro particular, entao
Pn e verdadeira, pais podemos usar a condi<;ao (ii) passo a pass 0,
atingindo eventual mente Pn' Conquanto
' 6- 6
1 + 2 + 3-- 3(3 2+ 1) '.. IS t a e,
-
este tipo de raciocfnio
nao prove efetivamente a princfpio da indu<;ao matematica,
certamente a toma plausivel. 0 princfpio e demonstrado em algebra
avan<;ada par meio de postulados para as nomeros inteiros.
Ao aplicar a princfpio da indu<;ao matematica,
seguimos as dais passos abaixo:
sempre
1 + 2 + 3 + 4 = 4(4;
1) ; isto e, 10 = 10
E desnecessfu-io (embora possa ser instrutivo) verificar a validade
de P para varios val ores de /I, como fizemos. Basta aplicar
n
processo dos dais passos que antecede este exemplo.
mas, pais, como segue:
o passo
provamos
2 costuma causar confusao. Note que nao
que Pk e verdadeid\ (exceto para k= 1). Em lugar
disso, mostrarnos
Pk•1
que, se Pk e' verdadeira,
tamMrn e verdadeira.
Chamamos
Passo 1
Fazendo
,
cant ern apenas
'1
0 numero
11 = 1 em
0 .
Procede-
Pn' entao a membra esquerdo
.
b d' . ,lli...±.1l
e a mem to Helto e
2
' que
tambem e igual a 1. Logo, PI e verdadeira.
entao a afirma<;ao
hip6tese
de induc;ao a
Passo 2
indu«ao e
suposi<;ao de que P k e verdadeira.
k(k + 1)
1 +2+ 3 + ... +k=--2Prove que, para todo inteiro positivo
inteiros positivos e
/I,
a soma dos 11 primeiros
lI(n + 1)
1+2+3+
... (k+1)=-
(k+ 1)[(k+ 1) + 1]
2
2
Pela hipotese de indu<;ao, ja temos uma formula para n
soma dos k primeiros iDteiros positivos. Logo, para achar umn
formula para a soma dos k + 1 primeiros inteiros positivos, basi a
adicionar (k + 1) a cada urn dos membros da hipotese de indu<;flo
1+2+3+
... +11=
/1(11
+ 1)
2
Pk' Obtemos assim
1+2+3+
k(k + 1)
2
+(k+l)
... +k+(k+l)=
_ k(k + 1) + 2(k + 11
-
2
1
1_
..
t
' 1.=1
- (1+1)
2
,IS a e,
1+2+3+
... +k+(k+l)=
(k + l)(k + 2)
2
(k+ l)[(k+
2
1)+ 1]
Mostramos que Pi; 1 e verdadeira, e assim a prova par indu<;ao .
matemalica esta completa.
Como a > -1, vemos que 1 + a > O. Logo, multiplicando por
1 + a ambos os membros da hip6lese de indu<;ao, 0 sinal da
desigualdade nao se altera. Esta multiplica<;ao conduz as seguinles desigualdades equivalentes:
..,
Seja j urn inteiro positivo, e suponhamos
que a cad a
inleiro n '" j esteja associ ad a uma afirma<;ao p.' Por exemplo,
(1 + a)k (1 + a) > (1 + ka)(1 + a)
se j = 6, enlao as afirma<;6es sac rotuladas
P6' P7' Ps, .... 0
principio da indu<;ao matematica pode ser estendido de forma
a abranger tambem esta silua<;ao. Para provar que as afirma-'
<;6es p. saD verdadeiras para 11 '" j, consideramos
os dois
(1 + a)k + 1 > 1+ ka + a + ka2
(1 +a)k+l > 1 + (k+ l)a +ka2
passos seguinles, da mesma forma como fizemos para 11 = 1.
1+ (k + l)a + ka2 > 1+ (k + l)a
I \1111/ 0 do prlncipio da
Imlll 10lIlatematica para
I'A, k J
(1+ a)<+1 > 1+(k+
l)a.
Seja a urn numero real diferente de zero, tal que a > -1. Prove
que
Exercs. 1-22: Prove que a afirmac;iio e verdadeira
para lodo inteiro positivo n.
SOLU9Ao
2 + 4 + 6 + '" + 2n ~ /1(/1+ 1)
Para cada i~teiro positivo n, denotcmos
por p. a desigualdade
(1 + a)· > 1 + na. Note que PI e falsa, pois (1 + a)1 = 1 + (1)(a).
Todavia,
podemos
moslrar que p. e verdadeira
para
11
'"
2,
ulilizando a extensao do prindpio da indu<;ao com j = 2.
Passo 1
Nolemos primeiro que (1 + a)2 = 1 + 2a + a2.
Como a;o' 0, tern os a2 > 0 e, porlanto, 1 + 20 + a2 > 1 + 20, ou
(1 + a)2 > 1 + 20. Logo, P2 e verdadeira.
Passo
2 1 +4 +7 +
+ (311- 2) =
/1(3/1-1)
2
3
1+ 3 +5 +
+ (2n - 1) = n2
4
3+9+15+
+(6n-3)=3/l
5 2+7+
12+
11 _1_ + _1_ + _1_ + ... + __ 1_ = _n_
1 ·2 2·3
3·4
n(n + 1) /1+ 1
9 1 +_1_+_1_+
\,,12/th
2.3·4
3.4·5
... +
1
n(n + 3)
4(11 + I)(n + 2)
13 3 + 32 + 33 +
3
\~~: 1 + 33 + 53 +
+(5n-3)=~/I(5n-l)
+ 3· = ~(3· - I)
+ (2/1- 1)3 = 112(2n2 -1)
15 n < 2"
2
indu<;ao e
8 (_1)1 + (_1)2 + (_1)3 + ... + (_1)/1= (-1~ -1
n + 1
18 Se ri <a < b, enlao (~)
10 13 + 23 + 33 + ... +113 = [n(/I 2+ 1)]
=
1I(/I+l)(n+2)
2
19 3 e urn falor de n3 - n + 3.
20 2 e urn fator de n2 + /I.
< (~)
n
.•
'I
'
31 Prove que se a e urn inteiro real maior do que 1,
enlao d' > 1 para todo inteiro positivo fl.
21 4 e urn fator de 5" - l.
22 9 e urn fator de 10" + 1 + 3 . 10" + 5.
32 Prove que
Exercs. 23-30: Ache 0 menor inteiro positivoj para 0
qual a afirma••ao e verdadeirn. Use a extensaodo principio
da indu,.ao matematica para provar que a f6rmula C
verdadeirn para todo inteiro maior do que j.
a + ar + ar2 +
+ ar" -I = aO - -.C2
...
1- r
para IOdo inteiro positivo fI e lodos os reais a e
r com r" 1.
33 Prove que a - b e urn fator de d' - boo para todo
inteiro positivo fl.
(SlIgestiio:
ak+1 _ bk+l
. ~%~f
f#
';,l.t)
!/r'
~t·
; , .~:
'1"""
'. 'il"::~>
~~~
b) + (ak _ bk)b.)
= ak(a-
34 Prove que a + b e urn fator de a 2n -1 + b 2" - I para
todo inteiro positivo fl.
'-
,Ii
£Ste apendice con tern as demonstra ••6es de alguns teoremas
enunciados no texto. 0 sistema de numera ••ao corresponde ao
"90S capitulos previos.
,I:
I
I
DEMONSTRACfAo
lim
x
(i)
_ a
g(x) = M.
De acordo coin a Defini ••ao (2.4), devemos
mostrar qll',
para todo E> 0, existe urn /) > 0 tal que
Podemos
E
L1 <L2•
admitir
que
e
consideremos
< ~(L2-Ll)
Escolhamos
os
E
intervalos
tal
L' (veja
nao se
interceptam.
Pel a defini ••ao (2.5),
(3)
\f(x) + g(x) - (L - MJI s If(x) - LI + Ig(x) - MI
que
~(L2 - L1) estes dois intervalos
E <
Se 0 < Ix - al < Ii enUio If(x) + g(x) - (L + M)I < E
abertos
(L1 - E, L, + E) e (L2 - E, L2 + E) na reta coordenada
Figura 1). Como
(1)
existe urn (\ > 0 tal que,
sempre que x esta em (a -1\, a + /)) ex •• a, entao f(x) est a em
(L1 - E, L1 + E). Analogamente,
x esta
em
(a -/)2' a + /))
existe /)2 > 0 tal que, sempre que
~~r
ex
..~l'
•• a, entao
(L2 - E, L2 + E). Veja ilustra ••ao na Figura
f(x)
esta
em
1, com /)1 < /)2' Se
escolhermos
urn x que
esteja
simultalleamellte
(a -/)1' a + /)1) e (a -/)2' a + ,\), entao f(x) estara
em
em
(L, - E, L1 + E) e tambem em (L2 - E, L2 + E), contrariamente
ao
fato de que esses dois intervalos nao se interceptam. Logo, nossa
suposi ••ao original e falsa e, conseqiientemente,
L1 = L2•
wit
~
I
Como lim f(x) = L e lim g(x) = M, os numeros If(x)
x-a
e '\g(x) -Ml podem tomar-se arbitrariamcntc
pC!l'l""H
escolhendo-se x suficientemente proximo de a.
t.i
Em particular, eles podem lomar-se menores do que E/2.
. Assim, existem 1\1> 0 e 1\2> 0 tais que
Jim [g(x) - MJ = 0,
Como
segue-se
de
(5),
com
k(x) = g(x) - M, que lim f(x)[g(x) - M] = O. Alem
disso,
x-a
Se 0 < ~ - al < 1\1entao If(x) - LI < E/2 e
x-a
lirn MIf(x) -L] = 0 c enliio, por (8), lim [f(x) g(x) -LM]
(4)
Se 0 < ~l"- al < 1\2'entao Ig(x) - MJ < £0/2.
= O. A iiJtirna afirmac;ao e equivalente a lim f(x)g(x)
= LM.
Denotando por 1\0 mellor dos dois niimcros 1\. e 1\2'entao, sempre
que 0 < ~l"- al < 1\, as desigualdades em (4) envolvendo
g(x) sao ambas verdadeiras.
Conseqiientemenle,
< ~ - al < 1\, entao por (4) e (3),
o
f(x) e
(iii) Basta moslrar que lim 1/g(x) = 11M, porque,
se
resultado desejado pode ser obtido
produto f(x) . l/g(x). Consideremos
If(x) + g(x) - (L +M)I < E/2 + £0/2 = £0/2
(9)
que e a afirmacrao (1).
(ii)
Ig~x)
aplicando-se
(ii) ao
-~I I~;ft)1=
Como
Mostremos primeiro que, se k e uma fum,ao e
feit9 iSlo, 0
lMll~(x)1 ~x)-MJ
=
lim g(x) = M,
existe
urn
1\1> 0 tal
que
se
x-a
o < ~ - al < 1\1'enlao \g(x) - MJ < lM1/2. ConseqiientemenIe, para lodos esses x,
Como limx_a f(~) =L, segue-se da definic;ao (2.4) (com
£0 ~ 1) que exisle urn 1\1> 0 tal que se 0 < ~ - al < 1\1'enlao
lMl = \g(x) + (M - g(x))l
:s Ig(x) 1+ 1M -g(x)
If(x) - LI < 1 e daf tambem
<; Ig(x)
If(x)1 = If(x) - L + LI :s If(x) - LI + ILl < 1 + ILl
(7)
Se 0 < ~ - al < 1\2' entao Ik(x) - OJ< 1 : ILl"
1
1I
g(x) -];I <
(10)
I
+ IMI/2
1M2 121g(x) - M I, desde que 0 < ~l"- al < 1\}
1
Denotando
por 1\ 0 menor dos niimeros
al
1\1 e 1\2' entao,
sempre que 0 < ~ < 1\, ambas as desigualdades
(7) sao verdadeiras e, conseqiientemente,
If(x)k(x)1 < (l + ILl>. 1 : ILl
(6) e
Novamenle,
como limx_ag(x)=M,
£0 > 0, exisle
urn 62> 0 lal que
segue-se
(11) Se 0 < ~l"- al < 1\2'entao Ig(x) - MI < ~
que para
todo
E.
Denotando por 1\ 0 menor dos niimeros 1\1e 1\2' enlao ambas as
Se 0 < ~ - al < 1\, enlao If(x) k (x) - 01 < £0,
desigualdades
(10) e (11) sao verdadeiras.
Ig~)-~I
o que prova (5).
SeO<lx-al<62,entao
Consideremos
o que significa que limx->a 1/g(x) = 11M.
em seguida a idenlidade
<£0
Assim,
.' i-'! : .. j ••.• l'-:
I"
t.··. ,.~.o'"., .. ,: .. ' .
"'.i. '.:':'.
"
.
.
....
•
Sea"> 0 e ,,·etim mteiro positivo, ou· se a ;,;0 e·n e urn .
int£ii:~pq~itiY~,1,wpar; eiltiib;::>··'
"Teorema do sandufche"
(2.15)
Sejarn a > 0 e II urn inteiro positivo. Devernos rnostrar que, para
todo E > 0, existe urn Ii > 0 tal que
3
Basta provar (1) se E < va, porque, se existe Ii sob esta condi"ao,
entao 0 rnesrno Ii pode ser usado para qualquer valor maior que
Assim, no restante da prova, '!fa - 10 e considserado urn numero
positivo menor do que E. Sao equivalentes as desigualdades
abaixo:
Se 0 < I x - a I dil, entao I f(x) - LI < E. e
Se 0 < Ix - a I < 62,entao Ig(x) - LI < E.
E.
Denotando por Ii 0 menor dos numeros iii e 1i2, entao, SCOlPI'
que 0 < I x - a I < Ii, ambas as desigualdades em (1) CJ"
envolvern E san verdadeiras; isto e,
-E<f(x)-L
(':fa - E)" < X < ('!fa + E)"
("va - E)" - a < x - a < ('!fa + E)" - a
Se Ii denota
0
< E e - E<g(X) -L < 10
Conseqiientemente, se 0 < I x - a I < Ii, entao L - E < f(x) II
g(x) < L + E. Como f(x) s h(x) s g\x), se 0 < I x - a I < 0, ellt II
L - 10 < h(x) < L + E ou, equivalentemente, I h(x) - L I < 10, COI1l(\
queriamos provar.
menor dos dois ultimos numeros POSJlIVOS
a - ('!fa - E)" e (':fa + E)" - a, enta~, sempre que -Ii < x - a < Ii, a
ultima desigualdade na rela~o e verdadeira e, pol' conseguinte,
tambem 0 e a primeira. Isto nos da (1).
Suponharnos
em seguida a < 0 e II urn inteiro pOSltlVO
frnpar. Neste caso, - a e ':f::a san positivos e, pel a primeira parte
da ·demonstra"ao, podemos escrever
DEMONSTRAGAo
Para aplicar (2.16) na demonstra"ao
de que lirn (e/.I) •• 0,
devemos rnostrar que, para todo E > 0, existe urn nurnero posilivl\
N tal que
\?-o\
< E sernpreque
x>N.
Se c '" 0, qualqu'er N > 0 serve. Se c •• 0, as quatro desigUa;d~d~~
seguintes saG equivalentes para x > 0:
' :f'
\}-O I
.
x>(~)
<E, j~>~!'lxlk>~,
z';' g(x) em (2), segue-seque
E~ particular, f~~do.
(3)
s61 g(x) - bf< [,:; entao
I f(g(x»
Em seguida,voltando
nossa
- f(b)
I < E.
Ilk
aten!<ao para
0 intervalo
(b -iii' b + Ii) em /' e usando a defini!<ao de lim,_c
A Ultima desigualdade nos da uma chave para a escolha de N.
Fazendo N = (I C I/E)IIk, vemos que, sempre que x > N, ~qua~ta
(e, assim, a primeira) desigu2ldade e verdadeira, que e 0
queriamos mostrar. Demonstra-se de maneira analoga a segunda
parte do teorema.
'qilb
tal que
(4)
g(x) = b,
ao fato ilustrado na Figura 4 - que existe urn Ii> 0
chegamos
'
I
I
se 0 < x - c < Ii, entao
.....
'
;
".
-'
Ig(x) - b I<1\
o < I;...:
c I< Ii, entao If(g(x» - f(b) I< E,
•
(~
•
.1.•
A fun!<ao composta f(g(x» pode ser representada geometricamente por meio de tres retas reais i, I' e i", conforme Figura 2.
A cada coordenada - x na reta i corresponde 11 coordenada
g(x) em I' e, por sua'vez, f(g(x» em i". Queremos provar que
f(g(x» tern 0 limite f(b) quando x tende para c. Em termos da
Defini!<ao (2.4), devemos mostrar que, para todo E > 0, existe
• urn Ii> 0, tal que
~.
I I
J(g(x» J(b)
/"
(1)
se 0 < I x - c I < Ii, entao
I f(g(x» 1- f(b) I < E.
Consideremos
Comecemos considerando 0 intervalo (f(b) - E,f(b) + E) em
/", exibido na Figura 3. Como f e continua em b,
lim. _ b fez) = f(b) e entao, con forme i1ustrado na figura, existe
a identidade
u. _ V' = (u _ v) (u" -I + u' -2V + ... + uV' - 2 + V' -I)
u- v
1
u" _ V' = u' - I + un- 2y + ... + uV' - 2 + V' - I
urn numero iii > 0 tal que
. Fazendo u = (X + 1t)lIn e v =x1/n, obtemos
(X + It)/n
_x"
n
_
(x+It)-x
1
(x + It)(n -IYn + (x + hin -2)lnxlfn + ... + (x + 1t)lInx(n - 2Yn + xln -IY·
I
J (") - E
Figura 3
I
I
I
f(z)
f (b)
J(b) + E
I"
I
b-o,
I
I
b
g(x)
b + 01
/'
rex) J2.n=
Figura 4
1
1)ln + xln-I)ln
_
1
-
11X1-llln)
+ ... + xln -1)ln + :xln IYn
= .!. xl"n) - 1
n
"fi
~
~rI
~I
;i~~k~~t~~~i1:(~\f{~~~x,!;~~~[0;;\¥f;::
l1u ~ g(x + 6x) -g(x)
.':~~i~1At?;;y~,~·~~~}.~~tS~~;~~·4~~Ja'
....
~~·~.£eY;;~~;
por y =j(g(x)) tern'
entao afunt;aocompostadefinida
,
~~.
, ,{~
l1y = feu + l1u) - feu)
Como dy/du existe, podemos
iildependente, para escrever
ulilizar (3) com u como variaveJ
para uma fun~ao 1'] de l1u tal que, por (2},
linl 11(l1u) = 0
DEMONSTRAC;Ao
(6)
Se y ~ f(x) e 6x - 0, entao a diferen~a en Ire a derivada f(x) e a
razao l1y/6x e pequena numericamenle. Como esta diferen~a
depende do tamanho de 6x, represenla-Ia-emos
pela notat;ao
1'](6x). Assim, para cada 6x •• 0,
AJem disso, T] e continua em l1u ~ 0 e (5) e verdadeira se
l1u = O. Dividindo ambos os membros de (5) por I1x, obtemos
AII-O
I1v
l1u
l1u
~ ~ f'(x) 6x +T](l1u) . 6x
1'](6x) = ~ +f'(x)
Tomando
Note que 11(6x) niio represenla 0 produtolte 1']e 6x, mas afirma
que 1'] If uma fum;iio de 6x, cujos valores sao dados por (1). AJem
disso, aplicando (3,27), vemos que
.
Jim 1'](6x) = Jim (~-
""-0
",,-0
f(X») ~ 0
agora
:Ii
E2'-
~ I':~&'
A fun~ao 1'] foi definida apenas para valores de 6x diferentes de
zero, Convem estender a defini~ao de 11 de modo a incluir
, 6x = 0, fazendo 1'](0) ~ O. Segue-se enlao de (2) que 11 If COli t£1I ua
em O.
Multiplicando ambos os membros
pondo os lermos, oblemos
o
f'(x)
que
e verdade,
= 6x ~ dy, segue-se
Consideremos
teorema,
quer 6x •• 0,
de (3) que
de (1) por 6x e red is-
quer
6x~0.
Como
agora a situa~ao mencionada na hip6tese do
y = f(~) = f(g(x»
isto e, y e uma i:un~ao de x. Se dermos a x urn incremento 6x,
haven! um incremenlo l1u de u e, por sua vez, urn incremento
l1y de y ~ f(u). Assim,
quando 6x lende para zero e considc-
~;;
I
LM
0 limile
rando que
I
if~i
dx
~.~."
'~_"'i
.~{;
:I~r
.li~i~
'c,~
du,
du
dx + lun T](l1u)' dx
",,-0
Como feu) = dy/du, podemos complelar a prova mostrando que
o limite indicado na ultima equa~ao eO. Para tanto, observemos
que, como g e diferenciavel, e continua e enlao
linl [g(x + Ilx) - g(x)] ~ 0
~'
I
'I
= f(u)
",,-0
Em outras palavras, l1u tende para 0 quando 6x lende para O.
Considerando este fate, juntamenle com (6), obtemos
lim T](l1u) = Jim 1'](l1u)= 0
",,-0
hu-O
e 0 leorema esta demonslrado.
Pode-se eSlabelccer qll
linl'
1'](l1u)= 0 tambem por meio de urn argumenlo do lipl)
••••
-0
E - /) ulilizando
(2.4).
tal que wl esteja ern [Xk~ l' Xl] para todo k. Queremos
mostrar
que, para todo E > 0, existe urn b > 0 tal que, sempre que
II P II < b,l Rp - (II + 1) I < E. Aplicando 0 Teorema (S.ll)(i),
podemos escrever (1) na forma
DEMONSTRA9AO
Rp = ~ f(wl) &1 +
Se c ~ 0, 0 ~esuItado decorre do Teorema (5.21). Suponhamos:
portanto, c •• O. Como!
e integnlvel,!.
subintervalo[xl_l'x]
de P. Queremos'
Redispondo
os terrnos e usando a desigualdade
(2)
IRp -(II +12) I =
S
&1 -
cI
<E
1
para todo wl em [Xl _I' Xl)' Fazendo
E' =
ell c L entao, como f e
integravel, existe urn b> 0 tal que, sempre que II P II < b ,
Pela integrabilidade
I(f
\f
2:
lim
cf(wl)
IPII-O 1
1
=
cI = c
f f(.1:) dx
•
Wl
b
b
Q
(f
+ \fg(Wl)
g(wl) &1
[Xl _I' Xl]'
-Ill
Denotando
< E' = E/2
por b
e entao, por (2),
2
parti<;ao de [a, b] e denotemos
&1-12 \
f(wl) &1 -I, \ < E' = E/2
f f(.1:) = dx = 11 e f g(x) dx = 1
Seja Puma
g(wl) &1 - I2)\
0
menor dos
numeros b1 e b2, sempre que II P 11 < b, ambas as desigualdades
em (3) sao verdadeiras
Q
-11) +
que 111'11 < bl e 111'11 < b2,
If
para todo em
&1
de f e g, se E' = €/2, entao existem b. > 0.
e b2> 0 tais que, sempre
pOT I c I,
b
t1.1:
f(wl)
!(Wl) &1-11\
\f
MuItiplicando ambos os membros desta desigualdade
somos conduzido a (1). Logo
do triangulo,
obtemos
mostrar que, para todo E > 0, existe urn b > 0 tal que, sempre que
2: cf(wl)
g(wl) &1
f(x) dx -1 para algum
numero 1. Se P e umaparti<;ao de [a, b), entao cada soma de"
Riemann Rp para a fun<;iiocf tern a forma ~l cf(wl) &1 tal que,'
para todo k, wl e 0 ~o
f
por Rp uma soma de
Riemann arbitraria para f + g associada a P; islo e,
c
(1)
f.!(x)dx=I,
b
e f/(x)dx=I2
.~,
~~
r .J;,I
Denotemos uma partic;ao de [a, c] por PI' de [c, b] por P2 e de
[a, b] por P. Denotaremos por Rp, RIo e R , somas de Riemann
,
,
p
arbitrarias associ adas a PI' P2 e P, respectivamente. Devernos
mostrar que para lodo 10 > 0 existe urn Ii> 0 tal que se
II P II < iii entao I Rp - (I, + 12) 1<10.
10
10 10
4
4
<-+-=-
2
Segue-se de (3) e (4) que
Fazendo 10' = 10/4, entao, por (1) exislern numeros positivos
iiI e 1i2 tais que se II PI II < iiI e II P211 < 1i2, entao
IRp-(Rp, + Rp,) 1=lf(w) - f(c)
I /ixd
W·'
I
~lt·
Denolando por Ii 0 menor dos nurneros Ii, e 1i2, enHio arnbas as
desigualdades em (2) sao verdadeiras sernpre que II P II < 5. Alern
disso, como f e inlegravel em [a, c] e [c, b], e lirnitada em ambos
os intervalos e, entao, existe um-numero M tal que I f(x) IsM
para todo x ern [a, b]. Admitiremos agora que /) lenha sido
escolhido de modo que, alem da exigencia previa, tambern
tenhamos /) < E/( 4M).
Seja Puma partic;ao de [a, b] tal que 11 P II < O. Se os
nurneros que definem P sao
W:
'J,~'
'I
, f~,
d- I
(3)
Rp =
Denotemos
2:
,-I
f(w,) t>x, + f(w) t>xd +
2:
,'I.
~~.
'ld'
,~,
por
segue-se entao de (6) e (5) que, sempre que 11 P II < 6,
~.,;
I Rp-(II
l~
,I~
~~.~.'i~,j
.~~~!
'I
-X'_I)
k-I
:~¥i'
2:
s IRp - (Rp,+Rp}1 (Rp, + Rp,) - (II + 12) I
+12) I «E!2)
+ (10/2) = 10
· :~(
~~.
dOl
Rpz = f(C)(Xd - c) +
I
, 1.{
{a,xl' .:.,Xd_1,C},
por P2 a partic;ao de [c,b] determinada par
{c, xd' .. " xn_l' b}, e consideremos as somas de Riemann
f(Wk) 6.xk+ f(c)(c
+1)
· \ 'J$~.
por PI a partic;ao de [a, c] ,determinada
2:
(I; +12)1 = IRp-(Rp, + Rp,) + (Rp, +Rp,)-(II
'1'\
few,) t>x"
k-d+1
Rp1 -
IRp-
· ~l
,
entao ha urn unico intervalo semi-aberto da forma (xd.l' xd] que
contem c. Se Rp = 1:;_1 few,) t>x" podemos escrever
desde que II P II < 6. Escrevendo
-.11;
f(w,) Ak
k-d+1
ii~§~t-)'it~'~~\"ii~~l'reu{[~,'b]
e.f(x):oO pa~a todo x em
J~t~;~~j,.;;~;,/;';;;aj'
"
IT'
b
Daremos' uma demonstrac;ao indireta. Seja
I, f(x) dx = J c
supollhO.mos que I < O. Consideremos uma partic;ao qualquer P de
[a, b] e seja Rp = 1:,;f(w,) t>xk, uma soma de Riemann arbilr;\ria
associada aP. Como f(wk):o 0 para todo wk em [Xk•l, xk], segue-s'
':0 O. Fazendo 10 = - (112), entao, de acordo com a Defini~.rIO
"que R
I (Rp + Rp) - (II + 1 I = I (R
2)
I
~
I'
I
II) + (Rp - I)
2
I
"
. ,Jf
.."·,fti":
,.l~
I'
\.
,
(5.15), sempre que liP 11 for suficieotemente pequeno,
IRp-JI
<10=-2
I
Segue-se que Rp < J - (J/2) = 1/2 < 0, uma conlradic>ao. Portanto, .
a suposic>ao J < 0 e falsa e, enlao, J;,: O.
As· setas de um eixo para 0 outro representarn valores
funcionais. Para provar (l), consideremos urn intervalo arbilrario
(Xo - E, Xo + E) para· E > O. Basta achar urn intervalo
(yo - 5, Yo + 5), do tipo esbo~ado na Figura 6, tal que, quando
y esta em (yo - 5, Yo: 5), f-I(y)
esla em (xo - E, Xo + E). Podemos
admitir que Xo - E e Xu + E estejam em [a, b]. Conforme a Figura
7, sejam 51 = Yo - I(xo - E) e 52 = f(xo H) - Yo' Como
Se I e crescente, entao I e um-a-um e, entao, I-I existe. Para
provar que I-I crescente, devemos mostrar que se WI < W2 em
. que correspondem
[I(a), I(b)],
em (xo - E; Xo + E). Denolemos
e
entao f-I(w) < r(w2)
em [a, b]. Daremos
uma
e crescente, segue-se que I(j"I(W » s fW1(w » e,
entao, W2 s WI' 0 que e uma contradi~ao. Conseqiientemente,
I-I (WI)
2
a numeros em (yo - 51' Yo+ 52) deven! estar
por 5 0 menor dos numeros
51 e 52' Segue-se que, se y esta ern (yo - 5, Yo+ 5), entao f-I(y)
prova indireta deste fato. SuponJramos j"1(W2) S f"1(WI).
Como I
I define
uma correspondencia um-a-um entre os numeros nos inte;rvalos
(xo - E; x~ + E) e (yo - fll' Yo + 52)' os valores funcionais de I-I
est a e~ (xo - E, Xo + E), que e 0 que queriamos provar.
l
< j"1(W2).
.
Provamos em seguida que j"1 e continua em [I(a), I(b)].
Lembremos que y = I(x) se e somente se x = I-I(y). Em particular, se Yo esta em urn intervalo aberto (f(a), f(b», denotemos
(a, b) tal que Yo = I(xo)' ou,
=
f"1(y).
Queremos
mostrar que
o
por Xo 0 nurnero
no intervalo
equivalentemente,
X
A Figura 5 exibe uma representa~ao geometrica de I e de
sua inversa j"1. 0 dominio [n, b] de I e representado por pontos
no eiJw-x e 0 dominio [f(a), f(b)] de I-I, por pontos no eixo-y.
-~.~'~
r:;;-::'-I"; ;::.i;,' .:::1
f(a}
}'o = f(xo>
;~,~
I.
f (a)
I.
Yo
f(b}
A continuidade nos pontos exlremos I(a) e I(b) do dominio
de f"l pode ser provada de maneira analoga, utilizando-se limites
laterais.
PM
Comecemos escolhendo G(x, y) tal que aG/ax = F. Aplicando
teorema de Green (18.19) com G = N, obtemos
(1)
IIF(x,y)
dxdy
= II :x [G(x,y)] dx dy =
R
du+Ndv
K
0
M=GEY.. e N=Gi}):
au
av
P G(x, y) dy
C
R
PM
dll+Ndv
K
Por nossas hipoteses sobre a lransforma«ao,
metricas para a curva C no plano -I.y sao
as equa«6es para-
={I(~~
x = f(u, v) = f(<jl(t), ljJ(I»
- ~~)dUdV
-J.J(Gk+aGaY_G
- s
au av
au av
A_aG~)dUdV
avau
av au
y = g(u, v) = g(<jl(t),ljJ(t»
para a oS t oS b. Pod em os, portanto, calcular a integral curvilinea
pG(x, y) dy em (1) por meio de substitui«6es formais para
c
=J.J aG (ax i}): _ EY.. ax) dll dv
x e y. Para simplificar a nota«ao, seja
s
ax
au av
iJu av
Levando em conla 0 fato de que iJG/ax = F(x, y), juntamente
a Defini«ao (17.34) do Jacobiano, temos
Ex = ~Y.. du + EY.. dv = EY.. <jl'(I) + ~
dx
au dl
av dl
Prdu + N dv IIs f(J(u, v), g(u, v» :~~: ~~ du dv
"(I).
au 1J
au
=
Combinando
desejado.
=
COli)
est a formula com (1) e (3), obtemos
0 rCSlllllll!o
I H(I) [a-~au <jl'(I) + E.!:'ava ljJ'(I) ] dt
b
a
Como du = <jl'(t)dl. e dv = ljJ'(I) dt, podemos considerar a Ultima
integral curvilfnea como uma integral curvilfnea ao longo da
. curva K no plano-liv. Assim,
.-
ell G(x,y)dy=±eIlG
Jc .
Jk
~EY..
au.
du+G
av
dv
POI simplicidade, usamos G como abrevia«ao de G(J(u, v),
g(u, v». Para a escolha do sinal + ou do sinal~, fazemos t variar
de a a b e observamos se (x, y) descreve C no mesmo sentido
ou no senti do oposto, respectivamente,
em que (u, v) descreve K.
A integral curvilfnea
a direita de (3) tern a forma
::-~ifl~oiJ'
~.~~(i;~t~F~1
!t·~1~~;:~!
,i .
-rM;;.·i~:·j;~~,.;L
.;ii~i~ii]':
Riidianos ·;·:1;!~AJt.;
"W,lt
M"
;-!."
If,"·'''':n·
,;:t
:
;'.::
~~'i:~;
0
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1
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6
7
8
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1,000
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1,000
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28,64
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tl(,
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K
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~/I
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_-
1,431
_ ..
Il~
9
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~;\~11~(
\{~{9.,~~t1~1!~~~t~~
Tabua B ,Func;6es Exponencials
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1,0000
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54
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0,90
37
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Apendice
1,40
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4,90
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3
Jdll
-=Inlul+c
II
4
Jeudu=eu+C
5
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lna
6
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II
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= arcsen - + C
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17
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4
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10
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2,361
2,370
2,380
2,389
+ C,
u +C
..•.
15 J ese II dll - In I cse II- cot u I + C
..-#.
f 22
dll
= -1 aretg -u + C
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8
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9
2
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10
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1
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I
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0,0009
7
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a
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1
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1
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22
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23
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u
24
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u
II
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II
25
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27
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J
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I
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679
2
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2
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u
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2
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I+c
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I
II
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b
.,
.~
2
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2
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15b
55
2
.\'/
'W
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2
.~
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2
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2
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u"va+bu
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2
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2
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66
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68
3
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70
71
1
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73
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2
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91
2u2_1
I u arccos u du = --4- arccos
92
i+1
fu arctgII du - -2- arclgu
-2u + c
93
1 ["+1
fUll arcsen udu- n+1
II
arcsenu-
94
fun arccos u au - -- 1
n+l
9S
fun arctg u du - -n+l
u du = II arclg u -
1
II -
u~
--4-- + C
Ir1dU]
V1-u
'
n;< -1
1 du ] •
I-II
n;< -1
2
[n
u + 1 arccos u + Ir ~
~ + 1 du ] .
arctg u - f---2,
[" + 1
u
n au
1 n au n
f U e au - ;; u e -;;
1+11
CO;(~ll++~)U
+C
Iu
n-l
e
DUd
u
au
+C
eau sen bu du __ e__ (a sen bu - b cos bu) + C
i+b2
'7
'L
./
f
:;Y.
'\
au
au cos bu du = _e __
fe
/~)
I
I u cas II du - cos u + u sen II + C
}\
'\
/,
i+b2
(ll cos bu + b sen bll) + C
.~.
, ~'tti
0
-V
(]
'4{7
n+1
!fl~~
'j
-
}~'ti'"
i:~
~.~~
f
Ull
u cosm.-
+C
fuel'" du = ~ (au _1)eau + C
a
- 2 u du
u cos
inversas
89
'-.
n_2
n+m
u du
(a -l!E
sen (a + b )u
- 2(a+b)
+C
I·senllllsenbudu_ -sen2(a-b)
I cosaucosbudu_
Formas
f.f
3
I Ig u du = ~ tl u + In Icos u I+ C
In
sen
I
(2 + sen2 u) eos u + C
67
69
I
- tg u - u + C
3
I
In u du __ 1_' __
(n + 1)2
[(n + 1) In u - I] + C
Il;<
-1
In
II du
2 Udll
1
.
J--u In du -In Iin u 1+ c
II
.
10,1
J scnh u du - cosh u + C
Ill"
Jcosh u du = senh u + C
IOS
f1gh u du = In cosh u + C
IUI,
f colh u du = In Isenh II I + C
W7
f ~ch u du - arclgh senh u + C
IIlIl
f csch u du= In 11gb ~ II I+ C
W'/
fSCCh udu = Igh u + C
1111
fCSCh udu = - coth u + C
III
Jscch u Igh u du - -sech u + C
II
J csch u coth u du = - csch u + C
2
2
2
u - a "200 - ,,1 +"2
a arccos (a-a-_ U) + C
J ";2nu - u2 du - -2-
3;
J,,";Zau - u2 dll Z,,z - au6
. .,l "2
a3
(a - u )
arccos -a+C
=
"21111 -
r;::----r
(a- u )
~ aarccos -a+C
J --,-, -,,1 du= _vZall-rr
";21111 -
2
J";2nu-u
,/
---
J
---- d1l
";21111 -
u2
J .r.:---ruII d1l
VZIUI
d
II - -
2~
u
= arccos
=-
_
2
II d1l
V2n1l-U-
= -
r;:;---r
(a- u)
v 2nu - u- + a arccos -.
(II + 3al.r;:;---r
2
+
C
(a-- -a ") + C
-
J . r.:---r
a
2
+C
3a
(a- II )
v 2nu - 1/- + - arccos -+C
2
a
dll
~
J {2lUl
_ u2 = lUl
1/
(a-u)
arccos -a
+C
RESPOSTAS DOS
EXERCICIOS DE
NUMEROIMPAR
MAKRON
Books
(d) Todos pOnlOsdos quadrantes I e ill.
Nao sao dadas as respostas de exercfeios que exigem
demoilstrac;iies loogas.
(e) Todos os ponlos abaixo do eixo-x.
(I) Todos os ponlos inleriores ao relangulo
-2s xs 2e-ls
ys 1.
41 (a) V29
(b)
(s, - ~ )
43 d(A, C)2 - d(A, B/ + d(B, C)2; area = 28
EXERCiclOS 1.1
1 (a) -IS
(b)-3
(e) 11
3 (a) 4 - It
(b) 4-1t
(e) 1,5-V2
5 -x-3
7 2-x
9 _£,~
5 3
11 _2.,1
2 4
13 -2±V2
151 ±!.v'4f
4 4
17 (12,00)
19 [9,19)
21 (-2,3)
23 (- 00,-2) U (4, 00)
45
47
y
x
25 ( - 00,- % ] U [1,00)
49
27 (~'~)
29 (- 00,-1) U (2,t]
31 (-3,01; -2,99)
33 (- 00,-2,001) U [-1,999; 00)
35
;'
(-~'-t)
37 [ ~'~]
39 (a) A paraJela ao eixo-y que intereepla 0 eixo-x
em (-2,0).
(b) A paralela ao eixo-x que inlereepta 0 eixo-y
em (0, 3).
(e) Todos os ponlos sobre 0 eixo-y e 11 direita
dele.
x
51
y
y
x
x
53
55
Y
Y
9[~'4)U(4,00)
U (a) Impar
(b) Par
(e) Nem par oem impar
57 (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25
y
29
(a)
59 (x + 4)2 + (y - 4)2 = 16
61 4x + y = 17
63 3x - 4y = 12
65 Sx - 2y = 18
67 Sx - 7y - -IS
y
~
0-0
0-0
0-0
X
0-0
0-0
17
.-0
0-0
0-0
X
0-0
0-0
0-0
19
•..
X
e-o
0-0
0-0
0-0
Y
y
(b)
0-0
Y
Y
y
(c)
y
, (d)
0-0
0-0
0-0
X
0-0
0-0
~
X
X
0-0
73 x-0,4I;
y-O,JS
0-0
.
Ult
3
It
75 (a) 1 em (b) Capsula: % em ; lablete: "8 em
77 4 " P < 6
v
79 0 " v < 30
1
(b) 273
3
31 (a) 2vx + S; 0; x + S; 1 (b) [-S, 00); (-S, 00)
33 (a)
(e) I63,S'C
2
2
3x + 6x ; - x + I4x
;
(x - 4)(x + S) (x - 4)(u S)
2x2
(x-4)(x+S)'
(b) Todos as reais exeeto -S e 4; lodos as "Id'i
exeelo -S, 0 e 4.
1 -12; -22; -36
3 (a) Sa - 2
(d) Sa + Sh - 2
2
5 (a) a - a + 3
2
(e) _a + a - 3
.2x+IO
~
35 (a)x+2-3Vx+2";
(e) Sa + S/z - 4
(0 S
2
(b) Yx
(b) a2 + a + 3
(d) a2 + 2ah + I? - a - h + 3
-
[-2,00)
3x+ 2; (- 00,1) U [2,00)
37 (a) Y..;x:;s - 2; [-1,00)
(b)Yvx-2
+S; [-2,00)
v S-=X; [3,28] (b)YV25-x2-3;
(n
\1/
,II (n) ..L.;
[-4,4]
vIsenseDa2 a
17 (8) cot a =
,...
(b) sec a =
lodos as reais exceto _3 e 0
x,.3
(b) sen a ~
"sec2a -1
seca
l~;'''±; lad os as reais exceto - ~ e 0
(lo)
21 4 cas a
23 seD a
45 u =x - 3 ' Y ~ 14
u
27 (8) V3
2
(b) V2
2
u-2
421u=vx+4,y=-'--'
'u+2
29 (a)-3'
.':XI'ITS,
43-50: As resposlas nao sao unicas.
-1\ II -
2 + 3x, y ~ u1/3
~
2
-2x +5, y-u
I' II-X
-
. ./'
"
S',~
V3
.1+1 cos a + Icos 28
1
8
;/1 -sea2 a
'.
41 u=x- ,
It
4
y=secu
59 ~, 51t
4 4
cos x cosh -' sen x sen h .:.cas x
h
cosxcosh-cosx
h
(b)-V3
= cosx(COS~
8
It
lIlt
.
55 12 + 1lJl, 12 + Itll, onde 11denola urn inteiro.
43 I(x + h) - I(x) = cos(.•..•h) - cas x
h
,.
25 seD a
2
senxscnh
h
- 1) _ senx (se~ 11)
63 0, It 65214'20',325'40'
67 70'20', 250'ZO'
69 153'40',206'20'
31 (0)-2
2
(b)V3
Exercs. 45-54: Diio-se verifica~6es lipicas.
21)
71 - 07, 0,4
45 (1- seD2t)(l + Ig2 t)) = (cos2 t)(sec
~1 (n) y • ..fi1+2h;
2
2
2
47 ~
= csc 8 ~ lIsen a _
2
1+1l8
scc 8 1/cola-
f - V~O,400 + x2
')
= (cos2 l)(lIcos2 I)) = 1
(b) 1.280,6 mi
bh
1.1 (II)Y-
2
cos a
Il-b
= seD28 ~
(II) V ~ _lt h(a2 + ab + b2)
3
(c) 200 m
7lt
49
(b) 2lt
(c) 5lt
3
2
(,
(d) _ ~
3
;-;;e ~cot 2 a
1 +cscll
.
1
cscll
- colli = -+
- COlli
sec II
sec II sec II
= cas
1 (n) 52£
(C.OSH)
II + cas II - colli = cas II
sen II
51 seD3u "scD(211+ II) = seD211cas II + cos2u seDII
= (2seDUCDSu)cos II+ (1 -
2. ,eD2 u)seDII
. ~ 2 seDu .cos2 U + seDII - 2 se~3 II
s ,OJ(
•
.
Y
1':xI'l'('S.9-16: As respostas estao na ordern seD, cas,
= 2 seD U -
Ig, \.'01, see, csc.
554
343
2
53 cos % =
4
.11 ~
IZ
5
1:1' 13' 12'
J
,1
3
12
5'
4
13 13
12' 5
5
(coli) = C
272
5
&&
JIT'-&'"2.'7'-2'7
2
2,1
NE denola "Nao Existen,
1 -7
34
57
71t
9 -3
112
2
134
15 1
9
17 32
192x
21 12
23 NE
25 (a) -1
27 (8) NE
(b)-6
(e) NE
29 (a) NE
(b)NE
(e) NE
(b) 1
(e) NE
+ ~os 8)
1+2cos8+cos2a
(e) NE
(d) 2
(e) 2
(I) 2
33 (0) 1 (b) 1
(e) 1
(d) 3
(e) 3
(I) 3
35 (a) 1 (b) 0
(e) NE
(d) 1 (e) 0
31 (~) 3
(b) 1
4
5'5'-4'-3'4'-'3
"I
2 seD3u + sen u - 2 sen3 II
• 3 seD U - 4 sen3 II = sen u(3 - 4 seD3 u)
i, 2-, 2-
EXERciclOS
I.
= 2 seDII (1 - seD2u) + sen II- 2 sen3 II I
') :1 • i, l,
CAPITULO 2
= 1 + 1 cas a + 1 (1 + cas 28 )
4
2
4
1
1
1
2
1
= 4 + 2 CDS8 + "8 + "8 cos 2a
37 (a) NE
(b)NE
(e) 0
(I) NE
(c) NE
(d)NE
(I) NE
(c) -1
39 (a)-l
(d)NE
57 (a) Valores aproximados: 1,000, 1,0000, 1,0000;
-1,2802,0,6290, -0,8913.
(0 NE
(a) 0
(b) 3 (c) NE
31 Todo intervaJo (3 -1), 3 + 1) contern numeros
para os quais 0 quociente e igual ale
outros
numcros para os quais 0 quocienle e igual a -1.
33 Todo intervalo (-I -Ii, -1 + 1) eontem numeros
para os quais 0 quociente e igual a 3, e outros
numeros para os quais 0 quoeiente e igual a -3.
35 Podemos fazer l/.t2 tao grande quanto quisermos,
_" escolhendo x suficientemente pr6ximo de O.
-
. ....•.
existe urn Ii > 0 que se 0 < I I - c I < Ii, entao I V(I) -KI < E.
(b) lim v(1) = K signifiea que para todo E > 0
I-C
existe urn Ii > 0 tal que se 1esta no intervalo
aberto (c -Ii, c + Ii) e 1 '" c, enlao \/(1) esta no
intervalo aberto (K - E, K + E).
3 (a) Jim g(x) = C signifiea que para todo E> 0,
37 Podemos fazer lI(x + 5) arbitrariamenle grande
(positiva ou negativamente) escolhendo x suficientemente pr6ximo de -5.
'
39 Ha mnitos exempJos; urn deJes e
f(x) = (x2 - l)/(x - I) se x '" I e f(l)
= 3.
41 Todo intervalo (a -Ii, a + 1) contern numeros lais
que f(x) = 0 e outros numeros tais que f(x) = 1.
65 SlIgesliio: Fac;a g(x) - ci.
67 Porque 0 Teorema (2.8) s6 e aplicavel qU<Uldoos
limites individuais existem, e Jim sen 1nao existe.
x-o
x
x-p-
existe urn Ii > 0 tal que se p -Ii < x < p,
entao I g(x) - C I < E.
(b) lim g(x) = C signifiea que para todo E> 0,
x-p-
.
existe urn 1) > 0 tal que se x est a no intervalo
aberto (p - 1),p), entao g(x) esta no intervalo
aberto (C - E, C + E).
\115
110
3 -2
exisle urn 1) > 0 tal que se I < z < 1.+ Ii,
entao I f(z) - N I < E.
(b) Jim f(z)
47 (a) T(x)
c
0,15X
{ O,2Ox _ 1000
sex"
sex>
20.000
20.000
(b) $3:000; $3.000
49 (a) 2g's, a forc;a-g na deeolagem.
(b) Limite a esquerda de 8-a forc;a-g imediatamente antes do Janc;amento do segundo foguete; limite a direita de I-a forc;a-g
imediatamente ap6s 0 lanc;amento do segundo foguete.
(c) Limite a esquerda de 3-a forc;a-g imediatamente antes de os rnotores serem cortados;
limite a direita de o-a forc;ag irnedialarnente
ap6s os rnotores serem cortados.
Exercs. 51-56: Uma ealculadora nao pode provar
resultados. Pode apenas sugerir que certos lirnites
existem.
=N
signifiea que para todo E> 0,
58
13 -13
155/2
17 n:-3,1416
23 NE
25
31 72
7
33 -2
_1
existe urn 1) > 0 tal que se z esta no intervalo
aberto (t, 1 + 1), entao j(z) esta no intervalo
aberto (N - E,N + E).
7 0,005
(9) v'i6,i"
-4
11 1(3,9)2 - 161 = 0,79
- 20
49 (a) 0
51 (a) 0
43 3
(b)NE
(b) 0
292
37 _1
8
/'
41 -810
(b) A "imagem esta se movendo mais pam II
direita.
21'-7
35 -2
45 1
(c) NE
0 volume Ve negalivo, 0 quo.
981
27 _1
4
8
I-'+
(b) Se T < -273'C,
e urn absurdo.
5
19 -23
5 (a) lim f(z) = N signifiea que para todo E > 0
z-f
,2
391
5
471
EXERC[CIOS 2.4
1 (a) - 00
(b)00
(c)NE
3 (a) - 00
(b)00
(c) NE
5 (a) - 00
(b)- 00
(c) - 00
7 (a) 00
(b)- 00
(c) NE
9 (a) 00
(b)00
(c) 00
8
(c) 0
53 (_1)"-1; (-1)"
13"Dado E arbitrario, escolher 1)" ~!5.
11~
2
13 _1
3
15 0
15 Dado E arbitrario, escolher 1)" E/2.
19 00
211
23 NE
17 Dado E arbitrario, eseolher 1)~ E/9.
19 Dado E arbitrario, escolher 1)" 2E.
21 Dado E arbitrario, seja 1) urn numero positivo
arbilrario.
23 Dado E arbitrario, seja 1) urn numero positivo
arbitrario.
17 -
25 0,996664442, 0,999966666, 0,999999666,
0,999999996 0 limite parece ser 1.
31 x=-3,x=0,x=2,y=0
33 x=-3,x-1;y=
1 37 x=4;y=O
41
[~,oo)
45 {x:
a
X" -9}
47 {x:x=O,
5~
1
9 (a) 2
1
(b)y = - 4x + 1
I}
{x:u~+~n}
55e=~w-l
59 f(O) = - 9 < 100 ef(lO) = 561> 100. Como f e
continua em [0, 10], existe ao menos urn numero
a em [0, 10] tal que f(a) ~ 100.
•j I (II)
V(t) ~ 50 + 51;A(I)
(to)
e(l) ~ 1/(101+ 100)
61 g(35·)-9,79745 < 9,8eg(40·)-9,80180
> 9,8.
Como g e continua em [35", 40·], existe ao menos
uma latitude e entre 35" e 40· tal que g(8) = 9,8 .
= 0.51
41 [-3, -2) U (-2, 2)'U (2, 3]
43 linJf(x) = 7 = f(8)
x~8
(e) e(l) lende para 0,1
113
5
900
113
13 -1
19 ~
2
210
23-00
27
Ll
3 -4-V14
I
13 In emls (a)
7 32
3
8
3
15 4a
15 In m/s
25 - 00
(b) -32 v'IO
300
21 (a)pv=--z
(a) 6
(b) 4
1)
(c) NE
1
1 (a) lOa - 4
(b) y = 16x - 20
3 (a) 3az
(b)y= 12x-16
5 (a) 3
(b) y = 3x + 2
1
7 (a) 'l;{;;
(b)y=.!x+
4
(a)
39{X:X"-I,~}
(a) -32
(b) 11
17.!
3
11,11 f(x) ~ 19 - .M = f(-2)
, • -2
v2
.17 See >0, limf(x)=-\~f(e)
x-c
c
11,8; 11,4; 11,04
1
11
(b) -1
(e) NE··
(e)
1
(a) -1
(b) - 0,9703; - 0,9713
---~--------·
1 (3) -IQx+8
(b)1R
(e)y=18x+7
3 (3) 3i+
1
5'
26)
5
(b)1R
2
(d) Nenhum
2
(d) Nenhum
5 (a) 9
(b)1R
(e) y = 9x-
7 (a) 0
(b)1R
213
3 -20s3 + 8s - 1
1 10/
(e) y = 37
5 & + ~xll3
65 y = 2x - I, y = 18x - 81
(d) Nenhum
-3
9 (3)
(i
(d)
(e) y c 4x-
.._.__
•.._.u
.•.
7 IOx4 + 9x2 _ 28x
(b) (- <Xl, 0) U (0, <Xl)
x4
+ ~xll2 _ 2x-1/2
2
(;\~x3/2
\!.J
2
67 (a) 1
(b) -3
(e) -
1- (I)'!
25
(e) y =
_1.-x + .!
16
2
(d) 11
9
(d) Nenhum
(d) _.!
4
1
11 (a) 3M
(b) (- <Xl, 0) U (0, <Xl)
x
(c)yc1-x+9
15_2_3_
17 -271+112+70
(3x+ 2)2
(2 - 9z)2
(d) Nenhum
27
13 18x5; 90x4; 360x3
17 36/-1/5
(b) Sim, porque
(8x - 1)(2x + 4)(~ - 5) +
21
19-~
(v3 + 1)2
f n50 e diferenciavel
3/ + 10
8(x2 + 4x + 7)(~ - 5)
3
3v7(3/- 5)2
15 &-113; _2x-4I3; ~x-7/3
3
75 x(2x
1+2x+3x2
(l+x+x2+x3)2
190
N50, porque
73 (8x - 1)(x2 + 4x + 7)(3x2) +
2
23-
21 (a)
(e) - 4
(U - 5x - 1)(&2 + 7)
em x = O.
f ex isle para lodo numero
77 (a) ~ em/min
em
(1,3).
23 (a) Niio
(b) Sim
25 (a) Sim
(b) Niio
27 (a) Sim
(b) Sim
29 (3) Niio
(b) Niio
33 -=!L
(5r - 4)3
45 Fcc'!.
.
5
31 f'(-I) c I, f(l) ~ 0,
f'(2) nao e definida, f(3) = -1
33 As derivadas
em a=5.
a direita e a esquerda sao diferenles
35 As derivadas
em a= 2.
a direita e a esquerda sao diferentes
- 5x - 1)(l2x) + x(6x2 _ 5)(&2 + 7) +
(b)
A formula da uma aproxima~iio do coefieienIe angular da tangente em (a, f(a)) utilizando
o eoeficiente angular da secante por
Sublrair e somar f(a)
derar do is Jimites.
no numerador
(e) -2,0406;· -2,0004; -2,0000
53 (3) 53,2 m/s
5(2 + 7/2)2
39
(b) l.OOOlt ft21ft
51 (a)
35 _21/2 - 20/ + 6
(b) 88,3 mls
e cons i-
t(&-
5)
43 0, 4· 45 -5, 3 47 -3x + 2
x3
49 4x-
3
3V7
2
55 (a) -2, 3
51_2_
53 y=±x+.!.l
5
(x+ 1)3
4
(b)-3'0
57
(!,-
5
2~). (1, 0)
=.
(sen x){- sen x) - (eosx)(cosx)
sen2 x
7
.0
53 eos Vi + eosx
2 Vi
2Ysen x
51 Dxsen2x=Dx(2senxeosx)
x) + cosx eosx]
= 2[sen x(-sen
= 2(cos2 x fill II'
(I II
o.
. 55 8eosY3 - 80 sen>"3 - 80
sen2 x) = 2 cos 2x
>"3 - 80
15 -cse x(1 + 2 COl2x)
rr-:1 + xtg
VT;T
57 x see 2.YX-+
_~
. _.
. vx- + 1
,)1
\ I.' I \
If
'se3 x + eolx2
esex eOL2x
1 (a) (4x - 4)~ + 2(6x)2; (4x - 4)dr
2
21 see x + x see2 x - 2x 19x
(1 +x2)2
'II \
• I J I'
47 - 9 coL2(3w + 1) cse2 (3w + 1)49\ i' . 4 .
'I - sen 4w
51 6 Ig 2x see22x (Ig 2x - see 2x)
6cos6-sen6
2
II
49 Sugestiio: Moslre que vdp = - £. dv. .
v
3 5 ese >{1- v col v)
•• II ,
592 see Y4x + 1 Ig Y4x + 1
Y4x + 1
(b) - 0,72; - 0,8
3 (a) - (2x + 6x) ~ ; _1. dx
x2«x + 6x)2
x3
25 -eos x - sen x
7
3
1
-3
2(3x _ 2)312
'! >l 1
\I (:;,VI )(~l.,- 12)
I
tll)
JL,
I,
1111.
II
II (11)'1121111.
33 (~, 2
(b) y = x + 2
711 21111
7+
(b) y-4=vJ
III , ~ 0,"; 2,'1; 3,7
5 (a) -9 6x
(b) -9 dx
(c) 0
.
(b) (6x + 5) dx
(x- 11)
6
11 -3,94
1.
(b) - x2 dx
13 0,92
13 5(axJ - zi
~
15 1,80
17 2,12
y
II = 0,001, y ~ - 0,98451 - 0,27315(x - 2,5)
(b) -1,011825
15 17.000(l7v _ 5)999
17 2(6x -7)2(8i
19
12(i
+ 9)(168x2 -112x + 81)
II
21 8r (8r3 + 27r2/3
2
-~)
(e) -1,011825
27
23 ±O,04;±4%
29 ±O,06
1
25 w + 4w - 9
2w512
6(3 - Zx)
35 35,82 m2; ±0,00419; ±O,419%
71 20(4r + 7)4; 320(4r + 7)3
73 3 sen 2 x cas x; 6 sen x eos 2 x - 3 sen 2 x
1
75 4 48
37 -6x sen (3x2) - 6 cas 3x sen 3x
39 -1 em
2
39 -4 cse 24>eOI24>
41 40% aumenlo
43 1,228 N
43 2 Ig 0 see5 6 + 3
5
87 (a) Sugestiio: Difereneiar ambos os membros de
fe-x) = f(x) usando a regra da eadeia.
35 (2 - 3s2) ese2 (s3 - 15)
1
37 511em ~ 0,00637 em
77 dK =mv~
dt
dt
79 - 0,1819 Ibis
83 -~
(4x2 + 9)3/2
.33 4(2z + 1) see (2z + 1)21g (2z + 1)2
33 1000 em3; 1.030,30 em3
3
;_
9
2(32 + 1)112 4(3z + 1)3/2
2
31 -15 cos436 sen 36
5Jl
eos
.11) /I ,'or x -D
-- X) =
•
x ( sen x
y--6x
3
-~nz
(d) Sao iguais porque a aproxima~ao pela tangenie equivale a usar (3.31).
II (, ' ),(11.' G + mil
67 (a)y-6x;
+ x - 7)\24...z - 4x + 1)
23 _5v4(v5 _ 32r6/5
27 ±45%
' 2
65 (a) y = 32; x = 1
69
(e) x2(x + 6x)
19 (a) Com
21 ±O,02; ±2%
2
(e) -3(6x)2
-~
9 (a) x(x + 6x)
2
11-~
(...z _1)5
7 (a) (6x + 5) ~ + 3(6x)2
12)
5 11 + 2Jtn
6
(b)
7 3(x2 - 3x + 8)2(2x - 3)
V -v: (x-~}Y-V2=-h(X-~)
2
3 cse 3x cot 3x
v'4 + esez 3x
1
63 (a) y - 81 = 864(x - 2); y - 81 = - 864 (x - 2)
(b) - 363 - - 0,01928; - 45 = - 0,02
I'
61
41 2z eOl52 - 5i ese2 5z
II 6 see3 6
45 25(sen 5x - cas 5x)4(eos 5x + sen 5x)
(b) Sugestiio: Difereneiar ambos as membros de
fe-x) = -f(x) usando a regra da eadeja.
89 (a) d~1::= (1 644 x 10-4)£ 1,74dL
dr'
dt
(b) 7,876 emlmes
91 (a) 601t em2; ±1,508 rm2
-----,------------!!!!!!I!!I!!!!~!!!!!!!!!!!!';a ••nJ'l
I
dv
dB
49 (a) 2v dt = g' (1 + sec2 B)
di
-8x
5 lOx-y
1Y
dv
(b) 2v dt = g 19 B (1 + sec2 B)
x+8y
L
7-V-Ii
9-4xvxy - Y
d,
53 15x2 +~;
30x -;.,.;
vx
vx'
S5 5(y2_4xy_x2)
(y - 2xj3
dI
51 30,97 Icm/h
11
1
1
=
6 seD 3y cas 3y - 1
-y eOl (xy) esc (xy)
15
4x VseiiY
4y Vseny - cosy
-36
23
9 Min.: f(8)
(b) 6x dx
27-7
cos Y
x seny + 2y
-24x
1 (3x2 + 2)2
5_3_
V6t+5
2(7z - 2)
7
19 _ V2
144x
3(7z2 - 4z + 3)213
5
(d) 21
(e) -14
m
9
27
9 - (3x2 -1)5
11 _ 4(,+ ,-3)
(~_ ,-2)3
31 _ 2x
y5
39
sen y
(1 +cosy)3
35 Infinitos
.
SeJaf,(x)
37 Nenhurn
{IX-IX sex>c
'
parae>O
43 (a) 1,28
(b) c - 1,25
seO,;x,;c
=
41 0,09
37 (a)
73 ~=_I!.
dv
v
(1 - 9s3)5
17 3(x6 + 1)4(3x + 2)2(33x6
2112x+2x2
25 _
__ 4_
3x513
~
4
(b)
-53
U2w + 5)(7w - 9)3
sen 2,
17
17 90.572,3 cm3/h
-fk -
1,764 rnls
23 23,6 em/min
0,2149 em/min
11
29 1.600 0,006875
3
3
3
3
35 _ (cos YX - sen Y'Xf2 (cas YX + sen YXl
y;i
ohm/s
37 cscu(l-cotu+cscu)
(cot u + 1)2
43 4xy2 - 15x2
3S 569,65
37 0,8733 em/h
3969,8
41 6,82 em /min
2
max.:
nenhum
(b) Min.:
neDhurn;
max.:
f(-l) = 2/3
(c) Min.:
nenhum;
max.:
i(-I) = 2/3
(d) Min.:
f(1) = -2/3;
max,:
f(3) = 6
(c)
31 0,009 m/min
33 19,6 m/s
12y2
kmIh
rnls
47
-
1
45
4x2y
IX(3vy +2)
cos (x + 2y) - y2
2xy - 2 cas (x + 2y)
43 113,38 kmIh
9
49 y='4x-3;
45 1130,4 km/h
.
175 dB
47 VeJOCIdade no soJa:
m/s
88 di
Como
para k= 1, 2,3, ...
f'(x) =
7lt
4
70
Y=-:gx+g
lIlt
51 12 + rrll, 12 + M
t.r
2l3, f'(O)
nao
exisle.
Sc
e
0 unieo numero edtieo
0, pelas mesll1n,
raziies da parte (a). 0 numero frO) ~ 0 6
minima local, pais f(x) > 0 se x " O.
Ha urn numero eritieo, 0, mas frO) nno
extrema local, pais f(x) < frO) se x < U
f(x) > frO) sex> O.
'
y
1 Max. de 4 em 2; min. de 0 em 4; max, local em
x=2,
6,; xs 8; min.
local
em x-4,
6 < x < 8, x = 10.
3 (a) MiD.: f( -3) = 6;
27 It m/s
3rr
2+1""
33 Nenhum
(b)
19 1,112 m/s
21 82,4 em/min (aument)
25 -
39 (a)
7 _ 24
15 0,564 m/s;
29
e
295 seex (see x + tgx)S
31"5
5lt + mil 3lt + 2w1
' 6
' 2
e
+ 39)
23
mil
a" 0, entao f(a) " O. Logo 0
a Illlico
numero erftieo de f. 0 numero frO) = 0 1\ Cl
extrema local, pais f(x) < 0 se x < 0 .
f(x) > 0 se x > O.
20x5 + 3)
VI + cas 2,
13 2,18 m/s
'!. + 2M
35 0,:!:vklt-1
13 5(3x + 2)1/5
19 (9s - 1)3(108s2 -139s
27
31 ltll
12
15 1024s(z.,2 - 1)3(18s3 - 27s + 4)
33
4rr
'!:'"3 + 2M'"3 +
6
vertical em (-1, - 4)
15 5
210'7'2
25.
(0 _19
(e) _10
65 (a) Tangenle
195 +vT53""2
8
61 - 0,57
(b)-7
= - 3; max.: frO) = 1
(e) -3(1ll)2
(b) Ponlo de reversao em (8, -1)
29 _2,
4y3
_It
-.
= frO) = 5
5
13 -2, '3
(y - 2xp
em2; :!:1,5%
63 (a) 2
3 sen 6y - 1
1 + x cot (xy) csc (xy)
'25
7 Min.: f(-2) = f(l) = -3; max.: f(-3)
=_~
S7 (a) 6x III + 3(1ll)2
59 0,693
17
_~
2vx'
x
X
13
30 +
(a) Min.:
max.:
(b) MIn.:
max.:
f(2)
x (e) Min.:
f(2) = -2;
max.: nenhurn
(d) MIn.:, f(2) = -2;
'!lax·:f(5)
tao f(xt) < f(x2) e, assim,
nem mInima em (0, 1).
= -2;
nenhurn
nenhurn;
nenhurn
= 5/2
e
A fun~ao
contInua para tooo I11lmero II, pili
Iimx_.f(x)=f(a).SeO<xt<x2<
1.1\
(d)
Isto nao eonlradiz a Teorema
intervalo (0, 1) aberto.
e
41 (a) Se f(x) = ex + d e c "0,
Logo, nao ha numeros
(b)
nao h~ nl. XI"111
(4.3)
pili
'I""
II
entao J'(.I') •• I' •• 0,
edticos.
Em [a, b] a fun~ao tern cxtrcmns
em a e b.
nh~')hlln
, -"
llliciro, cntao fin) nao eicisle. Caso
1II,f'(x)-Oparatodox
•• n..
I
111111.
3 Max.: f(-2) = 29; min.: f
1(,) - Itr 2 .•. bx .•.c e a'" 0, entao f'(x)11"
III
I
I I,. I."go, -b/(2a) I', 0 unico n6mero critico
23 0 numero c tal que ~os c - 2/lt
II I IIIIII.}'( ) -Il,,,-I,
0 unico numero crftico pos- 0 c f(O) - O. Se 11 e par, entao
1(' ) (I s . x ,., 0 c, assim, 0 I', minimo local. Se
1/
111'1'111, elllao 0 nao 'I', extremo, po is fIx) < 0
"
0 ') fIx) > 0 se x > o.
_Ivil
(1)3
9 Min·:f(-I) = -,3;crescente em [-1, co);
decrescente em (- co,-1]
= _ 548 ;
27
crescente em (- co,-2] e [~, co)
(e,.. 0,88).
25 f(-1);' f(I) - 1. f'(x) -1 se x >0, f'(x) - ~1 s~
x < 0, e f(O) nao existc. Isto nao contradiz 0
teorcma de Rolle porque f nao e difcrcnciavel e~
todo 0 intervalo aberto (-1, 1).
. '0'.,.,
decrescente em [-2,~]
27 Sugestiio: Mostre que c2 = - 4.
29 Sugestiio: Fa~a fIx) = px .•.q.
",,\l~
31 Sugestiio: Se f I', de grau 3, entao f'(x)
polin6mio de grau 2.
e. urn
,
11 Max.:
33 Sejax urn numero em (a, b]. Aplicandoo teorema
do valor medio ao intervalo [a, x] obtemos
fIx) - f(a) - f'(c)(x - a) - O(x - a) = O.. Assim,
fIx) = f(a) e dal f e uma fun~ao conSlante.' "
x
35 Sugestiio: Use 0 metodo do Exemplo 4.
f
(7)4' =16V16
441 + 2,.. 42,Q3;
J{'lIg'
f(O) - f(7) = 2; crescente em
5 Max.: f(O) = 1; mIn.: f(-2) = f(2) = -15; crescente em [-2, OJ e [2, co); decresccnte em
(- co, -2J e [0, 2]
[o,~]
e
decrescente em (- 00,0] e [~, 7)
, 37 Sugestiio: Mostre que dW/dt < - 44 klmes.
Mil.: f(0,48) - 0,36;
"' K.: f(-1) " f(l) " 2
13 Max.: f(O) = 0; min.: f( - v3) = f(Y3) = -3; crescente em [- v'3;' 0] e [Y3, co); decrescente em
(- "", - Y3] e [0, Y3]
7 Max.: f (~) = ~~ ,..0,35; mIll.: f(l)
, (7)- '8 16129.' crescente em (7]- co,- '8 '.
1 Max.: f
=
ccnte em
decrescenle em [- ~ ' 00)
7 ~,3n
4 4
[~d]
(-co,~]
= 0;
cres-
e [1,00); decrescente
em
15 Niio M extremos;
crescente
[3,00); crescente em
em
(- 00, -3]
. .. f (It)-6 =-_.
3V3 . f (51t)
2'
.. -6
e
21 Max'
mm'
[0, ~
1 [5:, 2lt);
e
3V3 cres-
= --_.
3 Como /"(l) = 12 > 0, f(l}
2 '
vo para cima em (dccrescente
em
em [
C:)
em [-1,31,2]
"4'"451t]
em [1t
5 Como /,,(0) = 0, use 0 teste da dcrivada prim 'I'!I
25 Mix.:
min.:
fH}
5)
V6v3
43 Max. em x - -0,51;
y'
concavos
x - 0,49
min. em
= 0;
3
[5;,2rc]
em [0,
j]
que
f(O}
=0
e maximo;
~Ollil'
pa,a
(~,oo);
4
cima
em
(~oo,- vr)
concavo
9 12
= 11
6
f (~) = 1
(-~,~);
29 Min.: f(O) = 1
ll1t
71t!!
33 -6'-6'6'6
roordenadas-x
51t
de PI: ±
Yf.
Y
; (51t) 51t V3 mm.:
•
(1t) 1t V3
19 Max.: f 3" =6+2;
f "3 ="6-2;
decrescente
mostrar
f (±V2) = 96 > O. f(± V2) = - 8 sao miniltllll:
f ("7 =-"77--18,36
27 Max.: f(4)
31 Max.:
p~ra
V6v3 - 2,18;
min.: f(V3) = -
[j,5;}
.j.
= -V2; crescente
23 Max.: f( -V3} =
em
de PI: 0 c
em [-2, -1,31];
decrescente
1t] e [51t
0'"4
-4' 2rc] ; decrescente
crescente
00, 0) e (~ , 00) ; c6ncavo para
(a) Max.: f(-1,31) -10,13
(b) Crescente
f (~) = V2; min.: f
e minimo; conca-
5
baixo em (0, ~) ; coordenada-x
Y
17 Max.:
a
e
1 Como
f"
como f"(I)
.
(t)
= -2
< 0;
f
(j)
= ~~ e maximo;
= 2 > 0, f(l) = 1 e minimo;
para clma em
(2)3"
00
;
-
concavo para
concavo
b.
alXO em
c
(-
00, ~);
coordenada-x
de PI: ~.
7 ~mo
/,,(0) - - 4 < 0, f(O) - I rnf,xitllll;
1'1111111
f (±1) = 8 > O. f(±I) = 0 sao mrniml)~; rllIlI'IIVI,
paracimaem(-oo.-ylf)c(Vr,:r.J:·
111'11
vo para baixo
(-Yf'Yf);
coordcnadas-x
de PI: ±
vr.
3
Respostas
dosexerc£cios:~n2:~r
e maximo;
como
C7 ) > 0, I (170) ~ -1:82 e minimo.
Fa~a
f"(O)
13 Como
f"
< 0, f(O)
=0
0
a = 20 - 5 V2 _ 0 92 e b _ 20 + 5 V2-.. 1 93
14'
14'
.
COncavo para cima em
(a,~)
para baixo em (- 00, a) e (~,
, II II II oxlrCmos locais; concavo
(
"',0);
para cima em
cllncllvo para baixo em (0,00);
coordenada-,x
e (b, 00); concavo
b);
f"(~)
19 Como
5 '
de PI: a'"3' e b.
= - V2 < 0, I (~)
= V2
e maximo;
comof"
1t
1t
C4 ) = V2 > O,f C4 ) - - V2 em3xirno.
21 C omo
f " ('51t)
- = - -V3 < 0 f (51t)
- = -51t + -V3. e
3
2
'
3
6
2
maximo;
como
- = -V3
f" (It)
3
2
> 0
23 Como f" (~) = -3V3
'
f (It)
- _-It - -V3
3
< O,f
6
2
(~) = 3';;
e maxi-
e
15 Como f"(-2)
> 0, f( -2) - -7,55
minimo; concavo para cima em (- 00, 0) e (4, 00); concavo para
baixo em (0,4); coordenadas-x
de PI: 0 e 4.
II ('''III''
J" (-~)
< 0,
I(-~)-
m~;. como
mlnlmo.
7,27
1t
J'f6 ) = 3V3 >0. I (5 1t)= - 3';; e
6
e maximo;
25 Como f"(O) =
''''II'' !,,(O) ~ 0, use 0 teste da derivada primeira
11111 IIIIluSlrar que 1(0) = 0 minimo; concavo para
i
> 0, 1(0) = 1
e minimo.
e
11111
elll
(j,
concavo
para
baixo
(a)
Concavo
para dma se a > O.
(b) COncavo para baixo se a < O.
27 Como f" (~)
00);
39 Se f(x) - tr(2 + bx + c, enlao r(x) = 2a, 0 que
nao muda 0 sinal. Assim,
nao h" ponto de
inflexao.
= -8 < 0, I (~)
= 1 e maximo.
em
29 C omo
f" (-6lIlt)
V3
- I" (It)6" =-"2<
O.
41 (a)
Concavo
para cima em (- 0,48, 1);
COncavo para baixo em (-1, - 0,48)
.'Il,,"lenada-x
de PI:
f (- 1~1t) - -2,01
2
"3'
17 Como f"(±V6)
como
f"(O)
< 0, f(±V6) - 10,4 sao maximos;
f(O) - 0 e minimo.
Fa~a
sao maximos
e f (~) -1,13
locais, Como
> 0,
a = - ~ Y27 - 3ill
- - 1.56 e b - -a.
Concavo para cima em (a, b); c6ncavo para baixo
em (-3, a) e (b, 3); coordenadas-x
de PI: a e b.
r(_761t)--2.70ef(5;)_O,44
sao minimos
locais.
ResposlQS dos exercfcios
43 (3) Concavo para cima em (0, 3).
Vi
17 Max.: f(-3 + V5) -1,53;
(b) Nenhum ponlo de inflexao em (0, 3).
min.: f( -3 - V5) -10,47
!
""
,
~iY
"
,"I'
,
I
707
25
I
I
,
de mlmero (mpar
'
I
------,
I
I
19 Max.: f(8)
= ;2
;
ponlos de infJexao: (16, 11 )
2
'\
/1
I
I
-----1-I
21 Max.: f(l) - ~; mfn.: f(-l)
pontos de infJexao:
3 Max.: f(5 + 2V6) -1,05;
29
y
2
31
x
.•.x
= - ~;
(±V3'±~V3) (0,0)
33
35
y
y
y
min.: f(5 - 2V6) - 5,95
It
X
5 Max.: f(12 - 2V30) - 0,25;
37
23 Nao M extrema.
Ponto de infJexao: (± 3, 6)
mfn.: f(12 + 2V30) - 2,93
15 Max.: f(-2) = - 4;
mfn.: f(O) = 0
)1 YjL
I
I
I
01
I
2:
x
I
)!
I
----,---
y=x-l
~
)'
x
...•.... ~
(."
(
II,'IIVI)
,ll'IIV(l
pllra cima em (- 0,43, 2);
baixo (-2, - 0,43}.
35 37
37 0,417 m; 0,417 m; 0,833 m
[111m
39 __ 4 __
III)
1i;1.l
2,17
5 v(t) ':':- 6(1':"1)(1"'::4);a(l) 7-:6(2t :.:5);
esquerda em [0, 1); direita em (1, 4);
esquerda em (4, 5)
_4fT
l+y
2:
t-5·
43 (e) 35,24 kmlh
45 60'
~(6)
47 2rt (1 -
radianos - 66,06'
1'1'
'I"'f"-'-~
49 tg e - ~
53 Ig e -
c!!?
-25
1=4
1-1
I
1-0
I
I
,
-20 -10
I
0
I
I
'I'
lO
; e - 35,3'
7 v(t) - 41(21- 3); a(t) - 12(2l = 1);
}14
V'3 ; e -47,74;
esquetda em
4
3
L - sen e + eos,e - 8,10 m
3
13
1111111
till buse - V2ri1; altura -"2 V2 m
.
esquerda em
[-2,- VTI;
(0, ~;
direita em (-
direita em
55 (b) cos e - ~ ; e - 48,2'
1
I Itll II 1111ollse - altura - 3r. Vre
2;22 :48
II ('I\'"l'dlllenIO = 4,31 m; largura = 3,23 m;
n'III"'. 2,15 m
-3
4
5
0
4,21
1,82
0,14
--{),45 --{),37
10
-1,51
-2,29
-1,07
--{),18
0,25
1,11
1,12
0,66
0,20
I"d'!
°
-5,40
(b) e(x) - 800 + 0,04 + 0,0002x;
x
C'(x) - 0,04 + O,0004x;
e(100) = 8,06; C' (100) = 0,08
1 V(I) = 6(t - 2); a(l) = 6;
esquerda em [0, 2);
dire ita em (2, 5)
31 (a) 11.250
250
(b) e(x) = ~ + 100 + O,OOlx2;
1- 5
1-2~)
II I\n II - ~
(4, 2]
I"
2
1
°
4,0); ?~~:~
;::..~,;;:
29 (a) 806
\ - 'Iii ,,,; y - 37,5 m
I "I"lIxirllllulllllente
.~ild
m;eomprimento do eilindro - 2 m
•
'---+-- 1- 0
I
I
I
r
I
-lO
I
0
I
,
C'(x) -100 + O,003x2;
e(100) = 112,50; C' (100) = 130
••
I
lO
33 C'(5) = $46; C(6) - C(5) - $46,67
1'1 ('''"'1" illlClito da base - V2a; altura - ~V2il
3 v(t) = 3(l- 3); a(l) - 61;
direita em [-3, - -13);
esquerda em (- -13, -13);
direita em (V3, 3)
J I \1 Jill 1
III
2
I I "'11"111- -I3a; altura I') (II) IJsc
;~YJs-
2V2
-13 a
9 (a) 9,14 m/s
1=0,
16,71 ein para 0 reHingulo
11 (a) v(t) = 16(9 - 21); a(l) - -32
(b) 98,75 ill
13 5' 8' .!
, '8
27 500
(
(b) 2,8 s
(e) 9 s
15 6' 3' .!
, '3
(b) 50x - 0,lx2
(d) 48 - 0,2x
3
(e) 5.750
(e) 100
II
I IIIIi'"'1I
-
4
6 _ -13 - 0,937 m;
I
I
I
I
I
,
-S-4048
I
I
t
I
I
= 4,5 sen
(b) $15.420,10
(~I_
5;) + 7,5
1 1,2599
G - 2Vf
1111'"" - G _ -13 - 0,594 m
(I) 2
(d) $158,800
I-
1=-3~
(e) 48x - 0,1x2 - 10
37 (a) 1.8oox - 2x2 (b) 1.799x - 2,Olx2 - 1.000
39 (a) 3.990 moinhos
0~-V3
° )
1-
35 (a) -0,1
(b) 1,178 ftlhr
3 1,3315
5 -1,7321
7 4,6458
90,56
11 1,50
13 ±3,34
15 -1; 1,35
21 (a) In cmls 0, -re, 0, re, 0
.17 -1,88;
0,35; 1,53
19 2,71
21 -1,16; 1,45
25 (a) 3;3,1425465; 3,141927;
3,1415926; 3,1415926
(b) Tendem
27 (a)
3-2,-1'3
5 Max.: f(2) = 28; min.:f ( _ ~) = _ ~ ;
para 2rr
f (~)
= 0 e assim
a expressao
de
X
z
tangente
crescente
ao
gnifico
de
f
em
xI
c6ncava
>/3, 00):
para baixo em (- ~ >/3, ~ >/3): ascoor-
em [- ~ , 2];
denadas-x
de PI sao '" ~ >/3.
(0,4;
frO, 4)) inlercepla 0 eixo-x negativo. Logo, a
tangente em (x.' f(x.» para n > 1 tambem
intercepta 0 eixo-x negativo.
29 (a) f:
vo para cirna em (- 00, - ~ >/3) e (~,
seria
indefinida.
(b) A
1
em (- 00, - ~]
decrescente
e [2, 00)
= 1,1; x2 = 1,0664~5,
x3 = 1,044237, x4 = 1,029451
g: XI = 1,1; x2 = 0,998347,
x3 = 0,9999995, x4 = 1,000000
(b) Porque
f(l)
= O.
31 x6 = 0,525
crescente
em (- 00,1];
decrescente
em [1,00)
9 Como f"(0)
da derivada
13 Max.:
f(~)-3 f(3;) __
,
3
f 6 - f 6 --"2
mID.:
e
= 0 e f"(2) nao definida, use n teste
prirneira para mostrar que nao h3
extremos.
Concavo
para cima em (- 00, 0) e
(2, 00). Concava para baixo em (0, 2). As coordenadas-x dos ponlos de inflexao sao 0 e 2.
e
I;
(711) (1111)
23V61-1
3
29 Raio do semicirculo:
1... mi
811
.
compnmen
'
t 0 d 0 reta.ugu
0_
I0: 8"
1 m, .
31 (a) Use todo 0 ararne para 0 circulo.
511:
(b) Use
,
4 + rr para 0 clrculo
e 0 TcSIO po. II II
quadrado.
33 v
(/)
3(1 - il)
- (/2 +
6t(il - 3)
Ii aCt) - (t + 1)3; csquortlll
2
[-2, -1); direita em (-1,.1); esqllcrdll
ill
"" (I, ~J,
35 C'(I00) - 116; C(lOI) - C(IOO) -JIll.'ll
(b) -o,oll + 12x - 500
37 (0) 1&
(e) 300
(d) $1300
63 Resolva a equa~iio diferencial S"(I)'- -:g para
;;,>-r ,; , '" ,. - -- "".
",'." I
-·'sel).·· :-,
653 m/s2
39 4,493
j (3x
15 fa 2m(1 + x3) dx
17 _ 14
19 14
3
3
21 _ 14
3
dx
25!
2 -
-I
2ax -
69 C(x) O,0075x2 + 5,0075;
C(50) - $986.2~ ,
(b) lx31Z + 6x + 1&112+ C . C = C + 18
3
2' 2
J
4
2.1: +'5) dx
13
: ,67 19,62
23
f: (- 5)
~x+
I 2.1:2+ 3x + C
3 3t3 - 212 + 31+ C
5 _...L+~+C
72u31Z+2u\J2+C
2z2 Z
8
9
24 S 4
v / - v-3 + C
5
9 - v9/4 + -
3 ..!..(3x3 + 7)4f3 + C
12
61 (a) ~
1
5 '2 (1 + Vi)4 + C
2
7 3senYxT +C
63 Sugesliio: (i) Fazer II = sen x (jj) Fazer II = cos x.
(iii) Usar a formula do angulo duplo para 0 seno.
As tres respostas diferem por conslantes.
9 l(3x - 2)312+ C
9
11 .l..(81_5)4f3
32
13 1~(3Z + 1)5 + C
15 l(v3 - 1)312+ C
9
1
2
195'sS+3s3+s+C
2
21 5'(Yx' + 3)5 + C
1
23 - 4(12_ 4/ + 3)2 + C
:11 see w + C
.15 VXZ+4 +C
37 seD~
.19x3~
41 cotx3
2
1
93(,,2 + 6/1+ 20) 11
1
27 4' seD(4x - 3) + C
I
5
31 l(sen 3x)4f3+ C
4
4
2: (4k-3)
19/
152: 3/-1
k_1
k-t
~
Q
-3 seDx + 4 cos x + 5x + 3
23 (a) V3.
tot
4
43 Qlx + C
37 _1_ - + C
3 x
3 cos
39 __ 1_ + C
1 - seD 1
41 31 tg (3x - 4 ) + C
43 lsec23x+C
6
(b) 2!
4
23 (a) 1,04
(II
(II) S(I)
(II) I
Q
Q
-1612 - 16/ + 96
2s
21
f
f(x) dx
h
(b) 9
25 (a) -1
(b) 6
29 (a)
-0J
49 f(x) = 4(3x + 2)4f3 + 5
1
53 (a) 'j'(x + 4)3 + Ct
(b) 14
33 Use (5.22) e (5.23)(i).
(b) 1,19
1 -18
3 265
2
55
7 31
32
9 20
3
11 352
5
13
13
3
15 _2
2
170
19 10
3
21 53
2
23 14
3
250
271.
3
5
29 36
1
51 [(x) - 3 sen x - 4 cos 2~ +x + 2
(b) 2
EXERCiclOS 5.6
57 /2 _ /3 - 5/ + 4
59 (n) sell - -1612 + 5001
f(x)dx
+h
f(x)dx
XU
1
45 -5'cot5x+C
55 y
.
17 1 + L. (-I)k 2k 19 (a) 10
+C
47 (0 + b)u + C
1
12,,(3//3 + 14//2+ 9// + 46)
17f
21 (a) 35
-15 "20/2 + bl + C
35 12 + 2:rt
130
1
1
33 x-"2cos2.l:+C
33 -cscz+C
33 9lt
4
.
9 _ 291
13
29 - cot v + C
(b) ~ = 0,95 L
29 25
-3
2
25 3rJ1Z+ seD1+ C
1
29 - "2cos(v2) + C
= 0,6 sen
27 36
+C
17 - ~(1- 2.l:2)2f3+ C
3
25 -4cos4x+C
27 tgl+C
(Z; I)
1 ..!..(2x2+ 3)11+ C
44
V9- (x - 2)1dt
-I
59 474,592 ft3
1 (a) 1,1; 1,5; 1,1; 0,4; 0,9;
"p" = 1,511
3 0,3,1,7, 1,4,0,5,0,1;
1/ P 1/ = 1,7
5 (a) 42
(b) 30
(e) 36
7 49
4
9 79
31 ~(V3 -1)
(e) -80 fl/see
331-Y2
350
11 0,28
37 (a) V3
(b) 1.
2
544
39 (a) 225
(b) 38
15
Respostas de exercfcios de numero lmpar
47 (a) §. cd 1/6
7
43 _1_
x+1
l_+C
6 sen2 3x
33
,;r
3S fs(16v'2 - 3v'3)
132J
51 SlIgestiio: Use a Parte 1 do Teorcma (5.30) c a
regra da eadeia.
491.
51 (a) -16t2 - 30t + 900
2
1 (a) 10,75 (b) 10"3 - 10,67
3 (a) 0,96
(b) 0,96
7 (a) 0,88
(b) 0,88
11 (a) 2,24
(b) 2,34
i
S (a) 1,41
(b) 1,39
9 (a) 0,39
(b) 0,39
(b) 3.125 -1 02
3.072
'
1
15 (a) '2 = 0,5
1
(b) 6" - .•0,17
17 (a) 6.416 (b) 54
19 (a) 41
(b) 8
21 (a) 6,5
23 (a) 8,65
(b) 8,59
29 (a) 127,5 (b) 131,7 31 0,174 m/s
33 0,28
53 (a) 341,36
I
7 - ..!.(1 - 2x2)4 + C
16
2
u+C
13 l.-(4x2 + 2x - 7)3 + C
16
19 .!
6
25 _ 37
6
1
31 15 sen5 3x + C
(b) 334,42
-2
f [(_3y + 4),.. y3J dy
2
-2
1
29Seos(3-5x)+C
(b) -190 m/s
[(x2 + 1) - (x - 2)] dx
1/
3
9-1+
f(x)dx
15 2
3S 1,48
1
5 16(2x + 1)8+ C
[(2-i)-(y2_4)]dY=8v'3
15
(e) 16(-1+¥65)-6,6s
3 ( 2.625
1 a) 256. - 10,25
(b) 6
o
i
o
[(4y - y3) - 0] dy = 8
7J 5
19!
-3
[(y3 + 21-
3y) - 0]dy +
29 (8){ [(x+3)-(-V3-X)dx+2!
-6
~
[0 - (y3 + 21-
3y)) dy ~ 7 1
6
(b)
f
v3-x
-1
dx
4
7nf
o
(x2-4xj2dx=-
5121t
15
[(3 - y2) - (y - 3)) dy
-3
31 9
37
35 4V2
33 12
j o (x2 - 6x + 5) dH!
- (x2 - 6x + 5) dx +
I
-11
41
J ' _(x
3 - 0,7x2 - 0,8x + 1,3) dr +
-1,5
f
l
17 nJJ(2y)2_(y2)2]dy=o
9 n/. (vy)2 dy ~ 21t
o
1,5
-1,1
(x3-O,7x2-O,8x+l,3)dx
llnf
4
(4y_y2j2dy=_
o
5121t
15
19 n
f
[(y + 2)2 - (y2)2J dy ~-
-I
y
x= 4y- y2
1
23 "2(21t + 3-13) - 5,74
25 (a)j (3x-x)dx+!
o
[(4-x)-x)dx
In((~x2+2fdt
1
4
3 2 on
4
27 (a)
f [yx - (-x)) dx
I
-1
(b)f
[4-(-y))dy+
-4
j (4 -1) dy +! (4 - y2) dy
-1
1
64n
15
f o [(V25 - y2j2 - 32) dy
n
1
21 nJ, (sen 2x)2 dr = -n2
o
2
721t
5
--------:-~""= ••.....
-_-.
----
rc
4
23 rc( 0
[(COSx)2_(senx)2]dx=Z
.....•
----~--
•• !!!!!'I!!!!!!!!!!!'lII!!!!!!'!!!!!!!'!!!!!!!'!!!!II!!I.=
o
[(8-4x?-(8_x3)2dx+
29n:J
-2
11
f.o
41 6311
2
2
[(8 - f)2 - (8 - 4x)2] dx
i
43
161t
112n:fx[0-(2x-4)]dx=o
3
Y
I
. I.
Y
:'.
(~,8)
.".
x
y=
I··
i'
13 2 - 2rt
f o4 y-14y dy = -512rt
5
II
1 2rt
f 2 x Vx - 2 dx
32rtJi(-tY+3)dY
y
Exercicio 25
31n:!. {[2-(3-y)]2-[2-V3-Yf}dy
y
2
y=vx
.
(4,2)
l-.fir
7 2rtJ"x(v8x
o
2
(a)2-n:f
o
f.
(b) 2 - n:
o
512rt
(4-X2)2dx=[(5 _x2)2":
24rc
-x2)dx=5
15
(5 _ 4)2] dx = 832rt
_
15
128n:
Jo {[2 - (-vy)F - [2 - vyf} dy = -3-
(e) n:
4
.
4
(d) 11
Jo {[3 - (-vyW - [3 - vy]2} dy 64rc
=
2
27 (a) 11
\
.
J: {[(- tx + 2) - (-2)] - [0 - (-2)]2} dt
/
x
x-
135n:
J [(12" x - 2"3) - (2x - 12)] dx = -2-
Vl-y
9 2rt 47 X
x--'v"l7
2
(b)~J:{(5-W-[5-(-tX+2)]
(e)
1lf.o
(d) 11
f.
o
}dx
(b) 2rt
{(7 - 0)2 - [7 - (-2y + 4)j2} dy
{[(~2y
37n:~
35n:~r2dy=n:r2h
2
+ 4) - (-4)]2 - [0 -(-4)j2) dy
39 11 ~
(R; r X + r ) dx
t
f.
o
[x - (-I)j(x2
+ 1) dx
(*x)2dx=i"r2h
rth(R2+ Rr + ~2)
4
(b) 2 - 2rt
f o (5 - y) vy dy
••
-
(2-x)(4-x2)dx
1<') 211/
7
-2
('I) lie /
[x - (-3)](4 - x2) dx
(3 -x)J dx
_x2)]_
o
9
a
=
33 2n I: ~y3
Y[(lIy2)-I]dy
f
- 2~ ~ [~(4
112
.
(Jx
X(X2
led lw dx = ~
dx
13
+ 2) dx
151 -nt'-dy=
1
J
f
2
-X )]
)J [~(4
3_
3)
(2:) (T,)
'
VI
2
+ (~Y2) dy =
35 2n~ v25 - y2 vI + [(-y)(25 - y2)-112j2dy = IOn
37 2n
({1)2 - (Vy - 2)2] dy
4
3
+ 2,21x - 3,2lx
xl-x
13 ~
2
+ 4,42x - 2) <1<
x)V + (!..)2
f..o (!..II
1
dx = nrvll2
II
21/
d
i
1
bh dx =
23Ie"2llt'-dY~
VI
41 Sugestiio: Considere ds como a altura inclinada
de urn tronco de cone de raio medio x.
+ (~ _ 3y2 ) 2dy
I:~ (~x)(%
f.0"2"
1 [1
2
81 vI + [( -x- )(1 1I3
onde a =
x) dx = 4 cm3
"2(a-y)
X2l3)112]2
a
(i)
dx = 6,
312
1 .
17 (a) s(x) = 27 [(9x213 + 4)312- 13312]
]2 dY=24na3
1 (a) e (b) 900N-rn
5 w2 =3w 1
(3) (a) 507 J
7 4.052 J
25 As areas de sec<;6estransversas de discos e arruelas
tipicas siio n[f(x)]2 e n {[f(x)2 - [g(x)j2}, respectivamente. Em cada caso 0 integrando representa
A (x) em (6.13).
ill .0 1207
30
'
17 575
-
nV5
21 360 - 0,0195
I':x." ~S. 1-26: A primeira integral representa uma
!leral para 0 volume. Nos Exercicios 1-8, a
vertical entre os gnificos de y = Vi e
vi 6 [vx - (-Vi)], denotada por 2Vi.
"11111111"
II '., lid"
,/
,
l
.,7 tlx - 1.. (2vxj2 dx = 162
I
0
II
'.I(/, 2.t 2<lx-Jn-2,,(Vi)2dx4
]U
II
81n
0
('..['. !.
"
1 (a)! vI + (3x1)" dt
.\.2 d< -
0
13
. 8113
- (2Vi)2 dx = -4
2
-I
3 (a)
I vI + Hxj2 dt
-3
23 9,80
25 1,91
27 (a) 3,79
(b) E rnenor
(i -
40-115) in.lb.
Gnrl'm h
.
19 w = ---~~-- 2
(4.000)(4.000 + Ir)
21 36,85 ft-Ib .
3
23 (a) 10 KJ, K constante
(b) 253,3 J
9 38,16 kg-m
(b) i7{[9{1,1j213 + 4p12_13312} _ 0,1196;
J
+,2 .
I
a 1
. r:-r--r
1
=1 -[va'-x2_(-Vll"-X-)]hdY="2nah
-02
I
dt =.
dx = ia211
15
I' -
2
2
,J.H
0,68
VI +
= 2!..(8(37)312 - 13312]_ 204,04
27
.
\,\ (II) O,G!:!; 1,44
(h) 2J'),
2
+
dx = 11~8
2.
e
(1)2 dy +"
2
-X
d 1
II
o
X4
111 -bhdt=
e 2
II
f
1
= 16.911n _ 51 88
0
1
y(4-1)dy:t-2nf
J7 (1I)21eJ
)C
1) ./ (x. 4....1·
I (4 1 8....1.024
(5-x~dx
112
(h)lC/
16
=3a3
1
d
-I
(h)"
~(2Vi)J [%(2¥X)]dx _ 2:3
f s2dt 2J [VQT:XT-(-Val-x2)]2dy
d
e
''he!
J.'I (II)
+
31 2n
It}" (2 -x)(3
J I
= ~ ~ [2Vi
-2
,
Iedl"2(B + b)h dx =
9
(b) 40 KJ
15 (4a , 4a)
14; -27; -46;
5 .!; l... ).~
4 14 5
(i ,l)
5 7
l-7' '14
23 27)
7 32. 256 . 0 . (0 ~)
3 ' 15' , 'S
3lt 3lt
17 Com 0 centro do circulo na origem,
0 centr6ide
6 (O'-3(~~lt))
19 Mostre
que 0 centr6ide
e
(~a,
~(b + C))
21 (2lt· 3)(V2 v'I8) ~ 36lt
23 (4a , 4a)
3lt 3lt
1
9
9 34 .4'3' . 3215'. (85' 1)
3
5Y's
b
J
•
[(l-y)-y2]dY=-6,ondea--(-I-{5)e
2lt
f x[2 - (x3 + 1)] dx ~ 3:n:
o
5
1
2
1
(a) p f
11 2.. 27. 2..(.!
2'-10'-4'-2'-5
b = 2(-1 + Y's)
0,89
(VfCOsXT -
x2)
dx
cO,89
1)
1
1 (a) SOO kg
13 (a) It
(b) l,S00 kg
J [(-4x + 8)2 _ (4x2)2] dx
-2
3 (a) 848 N
(b) 106 N
= l.IS2J,!
5
1
(b) 2lt
5 l§. (60)N
3
J (l-x)[(-4x
-2
+ 8) - 4x2] dx *
411
I
13 Em min:
(a)
(e) It t{(l6
18 (b) 66
15 (a) 9[(601)213- 1] - 632 min
5
- 4x2J2 - (16- (-4x + 8)]2J
f n( sen x - cos -21)x dx = -21
nI3
(b) 2· 9[(301)1/3 -1] -790 mill
17 666
19 11
SY's
13 9 . 9 . 36 . (8
2'4'5'
1)
5'2
23 9 - -3- - 5,27 gal
21 (a) e (b) ISO J
25 '1,45 coulombs
15
(Vl+[~(X+3>-~r
1
1/30
27 (a)
fo
dx = 27 (37312-
12,450lt sen (30m) de = 830 cm3
e
(b) Nao
seguro, pois sac inalados
mente 0,026 joules.
10312) - 7,1 III
4
aproximada-
17
Jo
(5-y)(62,5)lt(6)2dY-432lt(62,)1'I
Iii
~
o
•.,d'o (6-y)2(V8 -y)dy+pJ
-,f8
.
(6':"'y)2(y+V8)
f e crescente em (-~, 00) logo, fum-a-um
21 (a)
dy ~ 96(62,5) Ib
(b) [0,00) (c)
x-5
3
2x+1
3x
3
7
2t
x- VS-y
_1. \"6 - 3x
5
5x+2
2x - 3
9 3 - x2, x>: 0 11 (x _ 1)3
3
41 (14x + 112(x .~ 5)2
\"4x + 7
x
43 (19x2 + 20x - 3)(x2 + 3)4
2(x + 1)3/2
1
(b) (-00,4] (e) -2\"4 -x
f e decrescenle em (-00,0) e (0,00), logo e
25 (a)
39 (5x + 2)2(6x + 1)(15Ox + 39) __.
47 (10,5 In 10 - 5) - (10, 6.51) y" = -(5/x2) < 0 implica que 0 grafico e concavo para baixo para
x>O.
um-a-um
13 (a) 0 gratico de f e uma reta de coeficiente
angular a" 0 e, assim, e um-a-um.
(b) Todos os numeros reais exceto zero (e) _.;
x
x-b
f-l(x)~-a-
'
51 (a) s'(O) = 0 m/s; s"(O) - ~
27 (a) f e decrescente, pois f'(x) > 0 para todox
1/11
1
,(m
2
(b) 16
Y
y~~/
(b) [-1, 2J;
(2,4)//
f /(4,2)
(c)
//'1-1
1
(2' - 1)
[1' 4]
(b)s - ) =cln
b
29 (a) f e decrescente, pois f'(x) < 0 para x ; 0
(b) -~
[1,4} [-1,2J
,
7
+m2
(m---;sm
J +
2)
"
m/s2
(m-
2)
b
/II,
be
=_
/II} ./
..
53 Os graficos coincidem se x > 0; mas 0 gratico de
y - In (x2) contern pontos com coordenadas x
negativas.
, 31 (a) f e crescenle, pois fIx) > 0 para todox.
x
1
(b) 16
17 (a)
y_~/
y
(b) [-3,3]; [-2, 2]
(c) [-2,2]; [-3,3]
(2,3)/
,1
.I "II,2 (~X3 + ~ X-I)
tit c
VI (X2_ ~ 2)2
+
r
,..-
r/(3,2)
f
(-3, -2) /1
r'
///'(-2,
-3)
17 (II) A area sob 0 grafico de y - 2m"
(II) (i) 0 volume
obtido pela revolu~ao de
y ~ -.,ff x2 em tomo do eixo-x
3
2(3x - I)
3x2-2x+1
15
3x -2
9
3x2
2x3 -7
x
7
(a) [-0,27; 1,22]
15 -~ [(ln1 + 1]
19
17~+_6_
5x-72<+3
19 _x __ ...JL
x2+19x-4
25 e3x
21_x
x2_1
x_
x2+1
27 9 csc 3x see 3x
0 volume oblido pela revolu~ao de
y - x3 em tomo do eixo-y
(ii)
(r) () lrabalho realizado por uma for~a de magnilude y ~ 2m" ao mover-se de x = 0 a
x-I.
2
2x-3
13 ...!.. (1+_1_)
vTriX
x)2
(b) [-0,20; 3,31];
[-0,27; 1,22]
5
eJl·r
X
15 ---ex2
2<
515n _ 25 3
64
'
1. I)UO11/
1 _9_
9x+4
29 e"""(l
+ 3 Ig
23 e-' tg e-X
v'X)
- x csc2 x)
31 3x2 - ye'Y
29 ~
In see 2<
12
ce;~
e5'
27 -8e--4x sec2 (e-4x) tg (e--'\')
23 __ 1_
Yx2-1
35 y(2x2 x(3y + I)
C2x(~- 2 In x) 21 5es, cos
xe'}' + 6y
37 y2_xy Iny
x2-xylnx
33?
eT coty _ e2y
?
2xe'Y + e' csc- y
37 MIn.:
f( 'Ie) = _e-1 ~ -0,368;
crescente
em
[-I, (0); decrescente em (-00,-1];
concava para
cima
em (-2, (0); concava
para baixo em
(- 00, -2); ponlos de inflexao:·
49 (a) f (~)
51
(b)Emx
1
11 Z In 1x2 - 4x+ 91 + C
- ~
a
D
13
(-2, _2e-2) ~ (-2, -0,271)
19 (x + 11 [x : 1 + In (x + 1)] 21 2stn' X(sen 2x) In 2
1
Z x2 + 4x + 4 In ~I + C
23 xlgx(sec2xlnx+~)
(e) (l + 2lnx)xl
3
_.,19
-"2 In 11 +2cosxl+C
21 e'+2x-e-x+C
27 (a)
23 In (e' + e-x)+ C
f(l-I) = aI2ii; crescente
55 Max.:
39 Decrescente
cima em (-~,
em (-00,0)
e (0, (0); concava
0) e (0, (0); c6ncava
(_00, ~); ponlos de inflexao:
1
1
27 zln
em (-00,1-1]; de-
crescenle
em [1-1,(0); concava para cima em
(-00, J.1- a) e (J.1+ a, (0); concava para baixo em
para
para baixo em
(:~a,:+~);
!tmltes
(_~, e-2)
29
(c) 15xofS- 1
(b) 5x4
25 (a) 0
25 3 In Isen ~
7x
J;7 + C
+C
+.,'
342
(b) 491n 7
_5-a
12
103.<
(b) 625 In 5 31 3 In 10 +
29 (a) 2 In 5 + C
Isec 2x +tg 2~1 + C
35 In (2x + 1)
-31 In Isee e-3.<1 + C
In2
+C
3
39 -~+C
COSX
PI: (I-I±a.~}
ambos
Iguals a zero.
os
31 In Icscx - cot xl + cosx + C
33 In Icscxl + C
35 x+2Inlseex+tgxl+tgx+c
374
xn .• '
(c)--.,
11+1
L
2
45 In (13/4) ~ 1,697
(b) IimQ(I) = ~ coulombs
e-I];
cente em (0,
concava
nao h:i pontos de inflexao
47 (a) em !rutas/ano:
95; 62; 53
53 (a) S(I) = hoo(l-
em [e-I, (0); decres-
51 (b) S
e-t/k)t - = (b) Jim S(I) = kv
1-=
(b) 9,36
±0,1%
=!, onde k = _a_.
x
In 10'
Six) = 2 S(2x) (duas vezes mais scnSlvcl)
2
I-co
= -e-I; crescente
(b) $ 0,95
49 pH~2,201;
51 (a) ~ (1 - e--4t)
41 Min.: f(e-I)
45 (a) $ 0,05/ano
o
53 (a) Com n = r/II,
para cima em (0, (0);
InA =In[p(1
+h)"lhj=lnP+rtln(J
+11)'1.
(b) Como h - r/lI, n'" 00 se e somenlc so" - > {)',
Assim, InA -lim[lnP+l1ln
(l +11)'11'1
EXERCICIOS 7.4
11-0·
1
1 (a) zln
12x + 71 + C
3
(a) 2 In 1x2 - 91 + C
5
(a)
7
_1. e--4x+ C
(b) In 25
64
(b)
4
(a) -z
1
43 q'(I) = -Cq(I) 45 (a) I: ~a/:) (b)tl~~ C(I) _ 0
9
(b) In 13
(a) 2 In
_1. (e-12 _ e--4)
4
In lcos 2x1 + C
I
(b)iIn2
c~c ~ x - cot ~ x
(b)21n(2+13)
I
= In P + 11In e - In (1'(:")
1 7x In 7
5
4x3 + fu(x4 + 3x2 + 1) In 10
9
- (x2 + l)lOUx (In 10) x2
+ (2x)lOUx
11
30x
(3x2 + 2) In 10
e
3 8" + 1(2x In 8)
7
53x - 4(3 In 5)
13(_6 _
6x+4
A =Pe"
55 Seja h = x/no Enlao
lim (1 + ;)" = Hm (l + h11h = Jim [(I +
n_co
__2 _)
-2x-3
h-O'
h-(J'
-!...
InS
1,32
(b)nf
[(2-xJ2-(I(JHl.~)~I"\
I
+C
15
1
x Inx In 10
")'''1' ..., .
X
(c) 0,145
1
5
8
79 Y - -9 e-3.r + 3"x - 9
I
q(t) = 5.000(3)'/10; 45.000; 10~n310 _ 20,96 h
J
30(;~)
5
In (40/4,5)
.
0,02
-109,24 anos apos 1.1.1980
5
83 y-e--2(1
-4x
11 (2x2 + 3)[ln (2x2 + 3)j2
- 25.32 in.
4e4x
17 e4.r + 9
13 Inx-l
(In xj2
(Mar<;o29, 2089)
+e)(x-l)
87 5 In (111002_ 33 2 <Ii
In (1/2)
,as
89 (8)
19 ~
+ 10'(ln 10)logx
x In 10
814e2 + 12 - 41,56 em
31n (3/102'
In (1/2) - 5,2 hr au 2,2 horas adicionais
21 __ I_
4xv'JOv7X
(b)1O[1-(~t]-4kg
91 (8) 100.000(2)6 - 6.400.000
3.42
II 1"(z) = (288 ;8~,OIZ
)
IJ
29 2 In x (x1ux)
x
27 101nx In 10
x
291n 2/5
In (1/2 - 38,33 anas
CAPITULO 8
35 -161g 4x
-3/16
15 600(~)
17
37 (sen x)<'u (cas x cot x - sen x In sen x)
-683,27mg
39 _l.
V(Y)-V2k(-L.l.)+ vij
Y
Yo
I" ~'-IooIn 0,2 _ 13 235
J
In (1/2)
,anos
21 Use 0 Teorema (5.35).
41 [_4_
3(x + 2)
x
1
23 Vet) = 27 (kt + Cj3
+
_3_](X
31 (8) Y - cot-1 x se e somente se x _ cot y
para 0 <y < It.
+ 2)413(x _ 3)312
2(x - 3)
EXERC[CIOS 8.1
43 (a) -2e-.fi + C
(b) 2(e-1 - e-2) - 0,465
4-X2
45 (a) - 21n 4 + C
3
(b) 8 In 4 - 0,271
1 (a) _!!.
4
(b) 2Jt
3
(c) _!!.
xe+1
49;.;I+
3
(a) !!.
3
(b)!!'
4
(c) !!.
6
7
3
(a) -10
(b) 1
2
(c) 14
9
(a) !!.
3
(b) 51t
6
(c) _!!.
6
(b) 3n
4
(c) _!!.
13 (a) V3
2
(b) V2
2
(c) Niia-definido
15 (a) V5
2
(b) V34
5
(c) ill
17 (a) V3
2
(b) 0
(c) _77
36
19-x-
21-3-
1
47 -2" In leas x21+ C
C
3
53 _1 e-2x - 2e-X +x + C
2
-
1
59 - 2(x2 + 1) + C
n
11 (a)-4"
(5e}'
63 In (5e) +C
67 cas r' + C
III-x
71 -~ In 11- 2sen 2tl + C
69 -In 11+ cot xl + C
73 -rn Icos eXl + C
15
,
I tI 'crcscenle, pois f'(x) < 0 para -1 '" x'" 1;- ~
75 _1 cot 3x + ~ Inlcsc 3x - cot 3xl + x + C
3
3
1
1
77 9 In Isen 9xl + 9 In lese 9x - cot 9xl + C
R+T
~
4
1
33 (a) arctg "4(-9
35 (a) arccos
(b) 0,6847,
± V57)
(b) -1,3337, -0,3478
(± k VIS} arccos (± ~ V3)
2,4569,
0,9553,
i
(b) 40°
37 (a) a - 6 - aresen
2,1863
4
x
vr=xr
se ~I< 1
l-x
vr::xr se 0 < x < 1 e
(b) arccos x - arctg -x-
39 (a) arcsen x - arctg
2
"fl-x2
cos-1 X - arctg- -+
x
nse -1 <x <0
._~--------"..;~
-~--~~::--:=----_
7
...
__
._
..
_
._
-..
.1_ (IX sech21X + tgh IX)
57 senh (-x) =
_ e-X - e~-x) = e-X - eX = -(eX
21X
3
3
5 ~-
7
9x2 _ 30x + 26
.
13 -12 cseh2 6x eoth 6x
11 V1-x2(sen-1
9(1 + CQS-l 3IT
2x
)'eX
-
31
6
35
IX)
23 _1_
(-1+ arcsec
21X Vx - 1
2x - aresen y
x
I;~8j-)
29 (a) 1. arelg
4
+C
7
45 ± 3.576 rad
eX +Y _ e~Z+ y)
4
2
35 2 arelg
(!.)4
Q
+C
43
Q
11 - _1_x_1 - + argsenh
xVf+X'Z"
15__ 1_
x2 + 2x
argcosh 4x
1
17_
2xv1 x
)+c
19 ~argsenh(~x
21 1~ argtgh
(~x )+
C
23 argcosh
(~)
+C
2
6"
2S - 1 argsech
29
(x3" + C
)
y
coshy + senhx senhy
e 0 denominador pelo produto
eosh x cosh y para obler
xl + C
65 Fac;a y - x no Exerelcio
.! senh2 x + C ou 1. cosh~ x + C
2
2
67 Pelo Exerelcio
tghx + Ighy
1 + Igh x 19b y
59
66
cosh 2y - eosh2 y + senh2 y
- (1 + seoh2 y) + seim2 y
1(eosh 3 - 1) - 3,023
3
= 1 + 2 senh2 y,
e eotao
seo
1
JCOSh'_~
(eosh I)(senh I) vr -1
2
I
/fA 1
Q"':
dx
h2
cosh 2y -1
Y 2
2:
012
69 Fac;a y = x no Exercfcio 63
sf.
51 (a) Jim v2 =
h-=
2Jt
eu + e-nz
(b) 455 m
71 eosh nx + senb nx - --2--
(b) Sugesliio:
33 Fa"a U x no
argcosh u.
Teorema
(8.15)
e diferCllci
35 Fa"a u= x no
argseoh u.
Teorema
(8.15)
e difer'lI
Q
37 Diferencie
Fac;a }' = ~ para obler a ideotidade
+C
43 tarcsec(f)+c
4
~
senh x cosh y + cosh x senh y
3
Q
13
(1.)
x
seoh (x + y) _
eosh(x+y)
eoshx
divida 0 numerador
47 Mostre que
IX + C
)
y
_1 seeh 3x + C
(b) ~
39 ~ arcsee (~)
- senh (x + y)
~ senhx cosh (-y) + cosh x senh (-y) (Exere. 59)
senh x eosh y - cosh x senh y (Exercs. 57 e 58)
"3 tgh 3x + C
49 (a) 26.623
41 ~ln(x2+9)+C
2e' +Y - 2e-x -Y
=----"-'--- -
631gb (x +
equedi
37 arcsen (~)
Q
1-x2
45 (In (2 ± V3), ±V3)
31 (a) ~ arcsen (x2) + C
(cos x) + C
21 ~
3
A
. 33 -arelg
2
-seeh x
(tghx + 1)2
1. senh (x3) + C
39 In Isenh
41
V1- y2 - eX
29 (b) ~
19
4
(
V1~X2
(arCIgX cot x see2 x +
25 (tgx)""gx
27
27
vI _ x
21 1 - 2x arclg x
(x2 + 1)2
-
15 2 colh 2x
61 seoh (x - y) - senh (x + (-y»
(l + x4) arctg (x2)
17 (~)sen(;)+secxtgX-
19 3,,=n « ).
x)2
15--------
Yl-9x2
J~
17 4x senh v;Ix2+3
V4x2 + 3
1
1)rxr:2
13
59 senh x cosh y + cosh x senh y
(eX - e-x)(eY + e-Y) (eX + e-x)(eY - e-Y)
4.
+
4
(e'e, +e--'-e-~"-e"'l-')+(e-"' +ez-'_e-z., -e-"-"2
2x3
1 +x4 + 2x a~ctg (x2)_
(x2 _
(~ ) eseh (; ) coth (; )
-2~ seeh (x2)[1 +(x2 + 1) 19h (x2)]
11
(x2+1)2"
x
9
9
e-Xarcsec e-X
Ve-2x - 1 \-.--
- e-X) _ -senh x
222
enx _ e-nz
0 membra
direito.
39 Use
processo
argsenhx.
analogo
ao
do
lexta
plOli.
41 Use processo
argsenhx.
analogo
ao
do
texla
1'1"11
+ --2--
= en' = (eX)" = (cosh x + senhx)n
Seja f(h) _ v.2
47 - ~
rad/s 49 21,12 m
1.044
1 __ 1_
1 (a) 0,8818
(b) 1,3170
(e) -0,5493
(d) 1,3170
5
V25x2 + 1
(a) 27,2899
(b) .2,1250
(c) -0,9951
(d) 1,0000
(e) 0,2658
(I) -0,8509
4
7 16x2 _ 1
55 cosh x +senhx
eX + e-X.
eX _ (;x
2~vx:I
ctg2x( 21n2
5 2 ••.
9
/
+ 2x "rcsec (x2)
3 ~
~
7
)
1 + 4x2
3 __ 5_
2x
(1 + x4) "rClg ( 2)
1
2VX~
9
-x
Vx2 (I-xl)
2_
xV1=?"
'/
11 4(lg x + arelgxj3
(see2 x +
1;
x2 )
•
Q-2- +2--eX
13
.1
(1 + x2)[1 + arclg x)2]
15 -5c ..5x s "" " ,~
17 _e-x (e-' cosh eo' + senh e-')
13 ~ xlf2 (3 In x, - 2)+ C
..9..
I~ (cosh x - senh x)-2, ou e'lx
".
.
21 v'x;:' 115 -xcotx+lnlse~xl+C
2S
i
arctg(~ x ) + C' ,
.1
29 2" senh (x2) + C
'I
(2)3x +C 37 -3argsech
1
(231x I) +C
Min: I(e)
D
515; crescente em
[e, ~ } decrescente em (0, e)
23 ! (2 - V2) - 0,20
3·
23 1
25
557
3,80,
5,38
33 ~
2
(b)fsen mx cas m dx
2~ lox + 2x + C
3x2 senh x + 6x cosh x-
6 seohx + C
3S 2 ¥i seD ¥i + 2 cas"IX + C
41 Seja II = (In xjm
e'T(x5 -
+ 20x3 - 6Ox2+ 120x - 120) + C
47 !! (e2 + 1)
2
D
I
I
13,18
4171
I
7 3 In x -
sen(m + "k
2(171+ n)
-
sen(m - 11k C
2(171_ n) + se m '" n
= !+~+C
24m
ROD _ -0,31 rad/s
2.581
1 !In
2
3 !In
3
5 _!cas3x
3
~
I
1
•.sen 5x 25 cos 5x+ C
7, seex-lnlsecx+tgxl+C
7
i (%x -
1
1
94ttx+6tg6x+C
I~_
15 x + 41n I x I + In (x2 + 4) - ~ arctg (~) + C
2
v'4-X /
x
+C
I 1x +9 _11
+C
x
2
17 In (x + 4) + ~ arctg ( ~) + 31n Ix + 51 + C
2
x
v'x2 - 25
5 ---+C
25x
x
sen3 2x) + C
._11 4;2 [arctg (~ ) + x2 ~ 36
13 arcsen (~3X ) + C
J+C
+1 +
x +
C
1
23 Z x2 + x + 21n Ix I + 21n 1 x-II
+C
15 _(_1__ , + C
216-x-)
11 !sec5x-!sec3x+C
17 ...L (9x2 + 49):>2 _ 49 19x2 + 49 + C
243
.
81
13 !tg5X-!tg3x+tgx-x+C
5
3
19 (3 + 2x2),;xq
27x3
3
2
19 - ~ In (x + 4) + ~ arctg ( ~ ) + ~ In (x2 + 1) + C
21 In (x2 + 1) -
i
Ix- 2/ + 4ln Ix + 21+ C
,
1
115lnlx+ll-x+I-3Inlx-51+C
2
3
1
13 5 In I x 1- :; + 2x2 - 3xi + 4 In 1x + 3 I + C
.
5
21- 2 In 1x + 41 + C
9 21n Ix I-In
sem=n
+!cos5x+C
5
2 scn 2~ + ~ sen 4x' +
3 4 In I x + 1 1- 5 In 1x - 21 + In I x - 31 + C
.
5
56In1x-11+ _ +c
x 1
sem-/1
-~+C
-
Respostas expressas como somas que correspondem
11decomposic;lio em fra<;6es parciais. Logaritmos
podem ser comb inados. Assim, uma resposta equivalente do Exercicio 1 e In Ix 13(x _ 4)2 + C.
1 31n Ixl + 21n Ix - 4/ + C
cos(m + n)1I cos(m - /I)x C
_ - 2(m+n)
- 2(m-n)
+ sem;o!n
-
39 Seja II = xm
,17 1_ •..•d/s _ 0 22·/s
(,U '
,
.
31 Seja 1I=.a se~ e.
35 (a) Use as f6rmulas trigonometricas produtosoma
33 x3 cosh x~
43
27 Sejall=atge
_! cotS x - ! cot' x + C
4
31 x(lnx)2-
5x4
25 Y = v'x2 - 16 - 4 arcsec ~
29-_1_. +C
1 + tgx
It
2,23,
)
25 !!
37 x arccos x - vr=? + C
I
,15 (Il) 2 arclg 4 + Z n para /I = 0, I, 2, 3
(II) 0,66,
cot x I + C
.
.
cotx-i-! In Icscx.._.2_.....
29 1.. e4' (4 sen 5x - 5 cas 5x) + C
41
'11 ( ± 1~ , aresen ( ± ~ ) )
i·
1
27 _1_
(2x + 3)IOO(20Ox
- 3) + C
40.400
.19 I v25x1 + 36 + C
••.\ S 'jn e = arctg
1(1
5
6VZ-O,08
21 2" Z sen 2x - 8' sen 8x + C
19 casx(I-lncosx)+C'
21 - !cscx
_ .. 2_..
.15 2:1rcsen
2
193-
17 _! e-X (sen x + cos'x) + C
2
1
11
728
25 3x3-9x-9x-zln(x2+9)+"27arctg
6
(X)3 +c
5
27 21n 1 x + 41 + x + 4 - x _ 3 + C
C
+
29 2 In I x - 41 + 2 In Ix + 1/-
....---- ,.......
3
2(x + 1)2 + C
I·."
-~.-_-,~
-- _.-._-----------( ~
6
6
7 '7 x1/6 - S xS/6 + lxl12- 6x1l6 + 6 arctg (x1l6) + C
9 .2-- Ig-1
1
3; ~ (In I a + u 1- In I a - u i) + C a
=-lln I'!.:!:..!!. I +C
2a
..f3
,p -3 2 + C
bIb
a_-l+~ln
au a2
I
la+bu
u
1
37 2 In 3 - 0,55
+C
39 27 (41n 2 + 3) - 0,67
23 ! sen4 x - ! sen6 x + C
13e2'(2sen3x-3cos3x)+C
+C
4
IV5X -..f3\ + C
1
17 4 v'IT In V5x2 +..f3
13 ~ (1 + e")112- i (l + e")512+ ~ (1 + e")l12+ C
7
5
3
1
1
~9 '4(2e2' -1) arccose" -'4e"~
19 137
320
21 In I coo x I-In (1 - cos x) + C
6
1
1
1 23
27 "3x3 - x2 + 3x - '4 In 1x 1- 2x - 41n 1x + 21 + C
+C
29 2 arctg v'i + C
2
17 2 sen "x + 4 -2 "x + 4 cos "x + 4 + C
Jt
.~
5
5-1&
15 v5x - 9x2 + '6 arccos -5-
3
9
11 S (x + 4)SI3 - 2: (x + 4)213+ C
15 e"-4In(e"+4)+C
1
21
2
a-u
35 - di In I u 1-;; + di In I a + bu 1+ C =
1
13 13 e-Jr (-3 sen lx - 2 cos lx) + C
31 In I see e" + tg e" I + C
1
21 315 (35x3 - 6Ox2 + 96x - 128)(2 + x)312+ C
33 125 (lOx sen 5x - (25x2 - 2) cos 5x) + C
2
23 8i (4 + 9 sen x- 41n 4 + 9 sen x I ) + C
35 ~ cos112x - ~ cos312x + C
7
3
V9+2i
-31 + C
1
1
23 "21nle"-II-2:ln(e"+I)+C
25 2 "9 + lx + 3 In ";9 + lx + 3
4
2
25 "3ln(4-senx)+"3In(senx+2)+C
27 '43 In ~
2
2 19 (x/2) + 1 C
27 ..f3 arctg
..f3
+
29 Vl6-sec2x
37 ~ (1 + ",)312 + C
3
1
I Vi' I
1
39 16 [lx V4x2 + 25 - 25 In (v4x2 + 25 + lx)) +
+C
-41n 14+VI6-sec2x
secx
I
+C
43 -x cscx + In 1cscx - cot x I + C
29 In Itg ~ + 1 I + C
5 sen-I x - 2 + C
2
31 -
i
In 12tg ~ ..;1 I +
i
45 _! (8 - X3)413 + C
4
In I tg ~ + 21 + C
1 .! x2 arcsen x - .! arcsen x + .! x
2
1[
x+2
9 '2 tg -I (x + 2) + x2 +
4x + 5 ] + C
11
-21n
!2+V;x+9X21+c
15 In (e" + 1 ) + C
e" +2
1
.~
x
3 - '8 (lx2 - 80) v 16 - x2 + 96 arcsen '4 + C
9
13 21n Ix - II-In
1
5
7 - 18 sens 3x cos 3x - 72 sen3 3x cos 3x -
xV1=?
arcsen x +--4--
x
I x 1- (x _1)2 + C
15 -5 In Ix - 31 + 21n Ix+ 31 +
~-~~
17 - v'4 + 4x-x2
3
27
1 '7 (x + 9)113 - 4 (x + 9)413+ C
lx2-1
11 -4-
x
+C
25 Vx2 + 25
1
x
+ 2 In (x2 + 9) +"3 arctg "3+ c
.5'
48 sen 3x cos 3x + 16 x + C
3 2.- (3x + 2)9/5 _ 2.- (3x + 2)4/S + C
81
18,
sen3 lx - -l sens lx + C
10
1
5 - 135 (9x + 4)(2 - 3x)3f2 + C
5
6
vr:::xr + C
2 -...[4::X'l I - r;--->;
x
+v4-x"+C
1121n
2
6
5!
7 Ssec5x +C
x
5 2 + 81n '7 - 0,767
4
3 2 In 2 - 1 _ 0,39
1 V4+9x2
x+3
+C
4vx2 + 6x + 13
4
+ 2 arcsen
x-2
VB + C
19 3(x + 8)113+ In [(x + 8)113- 2]2+C
In I (x + 8)213+ 2(x + 8)113+ 416
..f3 arctg
(x + 8)113+ 1
..f3
+ .c
1
49 2 e2' - e" + In (1 + e") + C
51 ~ xSl2_~ x3f2 + 6x112+ C
5
3
53 ! (16 - x2)312- 16(16 - x2)lf2 + C
3
11
15
55 2' In 1x + 5 1- 2' In I x + 71 + C
1
57 x arctg 5x -10 In (l + 25x2)+ C
1
61 V5 In I "7 + 5x' + ili
I+ C
1
1
63 - S cotSx + "3cot3 x - COl., - X'"
65 ! (x2 _ 25)512+ 25 (x2 _ 25))/2 .,.
5
3
S9 e'"
I
•
Resposlos de exercicios de mimero fmpar
I Xl e--Ix - .! xe-'\< _..!. e-4< + C
' - 1
8
32.
19
00
21
c
25
CXl
27
2
33
00
('J
"71 311fCSCII~.:!:J. +
•
6
31
Y9 - 4x2 - 2 aresen (23" x) + C
',')
---x-
0
4
4 -
2x2
3
5
41
-3
43
0
45
00
47
00
2
.
:s)-~
arctg (
i)
+ In (xl + 4)
+C
49 gt
0
3
7
0
9
13
e5
19
CXl
25
0
31
37
15
50
7 D
9 C;3~
110
13 C-!!
,2
15 0
17 C,_,!
' 4
190
21 D
23 0
25 C;O
270
290
31 C
33 D
35 n >-1
37 (a) 2
(b) Impossivel
39 (a) Impossivel
(b) Impossivel
EXERCiclOS 10.3
9
27
(2~+3)513+_(2x+3):?I3+C
20
16
9
3D
~
.ix512 + C
25
3
1 C;6
x
1
I
lim xlix = 0
x-o"
y
1) + C
6
elle -1,44;
61 (a) 0,2499; 0,4969; 0,7266; 0,9045
')'1 I el,l) (xl_
1.1
Q
1
(b) - 18
59 (a) 1
EXERCICIOS 10.2
0
(b) SlIgestao: Fa,a II = x" e integre por partes.
1
57 2 A Old sen Olat
__
7
47 _1_.s>O
s-a
49 (a) 1; 1; 2
45 (a) Max.: fIe)
1
M -
I
s
45 s1+ 1 ,s>O
51
55 gt
1
40
1
2
00
5
15
21
5
0
11
0
9
17
,;.
23
27
29
-00
33
35
e
41
00
I
Ij
.!
2
39
el13
C;3
3
0
5
0
7
C· _.!
, 2
11
0
13
0
15
17 0
2
I
3
13
j
1
1
11
17
C indica que a integral, converge; 0 indica que
diverge.
0
737
)3/2
51 0,49
'17 . (2r+3)!lI3
2
..;x 2kT
+ 4 In I x 1+ c
.
2
41 (b)c=- 4 ( .!!!.....
4
+ 4ln (v.:< + 1) + C
'I~ 2 t5/2 In ~ _
•
2
39
(b)
I
').1 1
35
NE
vT+cosx + C
J3' arctg (
00
53 0,9129; 0,9901; 0,9990; 0,9999;
limite previs[vel: 1
H7 - __ x__
+ ..!. arclg ~ + C
2(25 + x2)
10
5
'II
29
1
I sen 3x 1- 3" cot3x + C
11.1-In x - ~
H5 -2
. 0
37
49
10
HI 21x - 31n
5
23
1
2
•
1
3
"
A·~i';lb~t
19 0
21
C;1t 23
C,.!
,2
27
0
29
(a) Impossivel
31
(a) 1
It
(b) 32
33
It
1
39 (a) k
k
Se F(x) =;Z'
5.!!
3
70
9 -00
11 e8
Be
15 1
17 D
19 0
21 c·_2
• 2
23 0
25 C-!!
' 2
27 D
29 0,14
310
C;ln2
C
(b) Nao 37
300
C;O
25
35
1
1 21n 2
(b) It
entao W = k.
(b) Nao, a integral impropria diverge.