Institut Sup´ erieur des
Études Technologiques de Rad`
Département de G´
enie Électrique
Électronique de Communication
Support de cours
et exercices corrig´
es
3ème niveau G´enie Électrique
Option Électronique
Dr J.Y. Hagg ège
Ing´enieur ENIT
Ag r´eg´edeGénie Élec trique
Technologue` a l’ISET de Rad` es
2004
es
ii
ISET Rad` es
cours d’´ electronique de communication
HAGG ÈGE, 2003
Table des mati` eres
1 Les signaux
1.1 D´efinitions. ...................................1
1.1.1 Signal ..................................1
1.1.2 Représentation math´ematiqued’unsignal ..............1
1.2 Classificationdessignaux............................1
1.3 Lessignaux p´eriodiques ............................2
1.3.1 D´efinitions................................2
1.3.2 Signaux sinuso¨ıdaux ..........................2
1.4 Spectre d’un signal p´eriodique .........................3
1.4.1 Développ ement en s´eriedeFourier ..................3
1.4.2 Repésentation sp ectrale d’un signal p´eriodique............4
1.4.3 Exemple de calcul du spectre d’un signal p´eriodique.........5
1.5 Gén´eralisationdelanotiondespectre.....................6
1.5.1 Sp ectre d’un signal non p´eriodique ..................6
1.5.2 Exemple de calcul du spectre d’un signal non p´eriodique ......7
1.5.3 Calcul de la puissance d ’un signal`
a partir de son sp ectre. . . . . .
1.5.4 Spectredes signaux utilisés en tél´ecommunications .........8
1.6 Filtragedessignaux...............................9
1.6.1 Principe .................................9
1.6.2 Exemplesdefiltres ...........................9
1
8
2 La mo dulation d’amplitude
11
2.1 Butd’unemodulation ............................. 11
2.2 La modulation AM Double Bande Sans Porteuse. . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Principe ................................. 13
2.2.2 Cas d’un signal modulant sinuso¨ıdal.................. 13
2.2.3 Cas d’un signal modulant quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Gén´erationdusignalAMDBSP........................ 15
2.3.1 Utilisation de circuitint´ egrés sp´
ecialis´es ............... 16
2.3.2 Modulateurenanneau ......................... 16
2.4 D´emodulationdessignauxAMDBSP..................... 19
2.4.1 Principe ................................. 19
2.4.2 Repr´esentationspectrale........................ 20
2.4.3 Probl`emedelad´emodulationdusignalAMDBSP .........20
2.5 LamodulationAMDoubleBandeAvecPorteuse .............. 21
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cours d’´ electronique de communication
ISET Rad` es
iv
Table desmati` eres
2.5.1 Principe ................................. 21
2.5.2 Représentation temp orelle du signal AM DBAP. . . . . . . . . . .
2.5.3 Représentation sp ectrale du signal AM DBAP. . . . . . . . . . . .
2.5.4 Puissanced’unsignalAMDBAP ................... 23
2.6 Gén´erationdusignalAMDBAP ....................... 24
2.6.1 M´ethodedirecte............................. 24
2.6.2 Utilisation d’unenonlin´ earit´e ..................... 24
2.6.3 Amplificateur `againvariable ..................... 26
2.7 D´emodulationdessignauxAMDBAP ....................27
2.7.1 Démodulation coh´erente ........................ 27
2.7.2 Démo dulation AM par d´etectiond’enveloppe............. 28
2.8 La mo dulation AM`a BandeLat´eraleUnique................. 30
2.8.1 Principe ................................. 30
2.8.2 Caract´eristiquesdusignalBLU.................... 31
2.8.3 Génération du signal BLU par filtrage passe-bande . . . . . . . . .
2.8.4 Génération du signal BLU par la m´etho de du d´ephasage ...... 33
2.8.5 D´emodulationdusignalBLU..................... 34
2.9 La mo dulation AM`a Bande Latérale R´esiduelle ............... 34
2.10 Exercices..................................... 35
2.10.1 Mo dulateur AM`a non linéarit´ecubique ............... 35
2.10.2 Mo dulation d’amplitude en quadrature (QAM) . . . . . . . . . . .
2.10.3 D´emodulationquadratique....................... 38
2.10.4 Co dage et d´
eco dage st´
er´eophonique .................. 39
2.10.5 Cryptageparinversiondespectre................... 40
2.10.6 Puissanced’unsignalAM ....................... 41
21
22
31
36
3 La mo dulation de fr´ equence
43
3.1 D´efinitions.................................... 43
3.2 Caractéristiques de la mo dulation de fr´equence................ 44
3.3 AnalysespectraledusignalFM ........................ 45
3.3.1 Développ ement en s´eriedeFourierd’unsignalFM.......... 45
3.3.2 Les fonctions de Bessel de p remi`
ere esp`ece .............. 45
3.3.3 Représentation sp ectrale du signal FM. . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.4 OccupationspectraleutiledusignalFM............... 49
3.3.5 Gén´eralisation.............................. 50
3.4 Gén´erationdusignalFM............................ 50
3.4.1 Principe ................................. 50
3.4.2 M´ethode par variation de param`etres ................. 51
3.4.3 Modulateurd’Armstrong........................ 53
3.5 D´emodulationdessignauxFM......................... 55
3.5.1 Discriminateur ............................. 55
3.5.2 Boucle`averrouillagedephase..................... 57
3.6 Les récepteurs `a changement de fr´equence .................. 59
3.7 Lamodulationdephase............................ 60
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Table des mati` eres
v
3.7.1 Principe ................................. 60
3.7.2 Occupation spectrale du signal PM. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8 Exercices..................................... 61
3.8.1 M esure de la sensibilit´
e d’un mo dulateur de fr´equence........ 61
3.8.2 Mo dulateur FM `adiodevaricap .................... 62
3.8.3 D´emodulateurFMquadratique.................... 65
3.8.4 Synth`esed’unePLL ..........................68
Bibliographie
HAGG ÈGE, 2003
71
cours d’´ electronique de communication
ISET Rad` es
vi
ISET Rad` es
Table desmati` eres
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Chapitre1
Les signaux
1.1
Définitions
1.1.1
Signal
Un signal est le supp ort physique d’une information. Exemples:
– signauxsonores: fluctuations de la pression de l’air transp ortant un messageà notre
oreille;
– signaux visuels : ondes de lumi`
ere app ortant une informationà notre œil.
En t´elécommunications,on app elle signal tout ph´enomène´electromagn´
etique, généralement de faible niveau, qui constitue le supp ort d’une information. Exemple: tension
mo dul´
ee en fréquenceou en amplitude.
1.1.2
Repr´esentation math´ ematique d’un signal
Un signal est représent´
e p ar une fonction d’une ou plusieurs variables.enéralement,
G´
une
le
temps
seulevariable est utilis´ee:
car l’information transp ort´ee par un signal est la
variation d ’une grandeur au cours du temps.
Notation des signaux : x(t), y (t), s(t), ...
Exemples de signaux:
– x (t)= A (signal constant)
– y(t)=at +b
αt
– s(t)=s 0e
Ces fonctions constituent uneidéalisation mathématique des signaux eels.
r´
1.2
Classificationdes signaux
Les signaux peuventêtre class´
es en deux cat´
egories:
– signaux déterministes:
- analogiques : amplitude et temps continus, images exactes des informations`
atransmettre;
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2
Chapitre 1.
Les signaux
-num´eriques: amplitude et temps discrets, obtenu s par passage de l’information
par un convertisseur analogique/nu m´
erique ou signaux naturellement nu m´
eriques
provenant d’un calculateur.
– signaux al´eatoires: étudiés en utilisant la th´ eorie des probabilit´es et des pro cessus
aléatoires. Ils p ermettent de mieux repr´
esenter les signaux eels.
r´
Conséquence : il y a deux typ es de transmission des signaux : transmission analogique et
transmission numérique.
1.3
Les signauxp´ erio diques
1.3.1
Définitions
Un signal x(t)estp´ erio dique s’il existe une dur´
ee T telle que x(t + T )=x(t).
Exemples:
signal carré
signal en dents de scie
y(t)
x(t)
T
T
A
t
A
Unsignalp´ eriodiquex(t)estcaract´ eris´epar:
–sonamplitudeA;
–sap´ eriodeT(ensecondes)ousafr´ equencef=
–sapuissancemoyenneP=
1
T
T
1
T
(enHertz);
2
x(t) dt;
0
–savaleurmoyenne(composantecontinue):X
1.3.2
t
1
m =
T
T
x(t)dt.
0
Signauxsinuso¨ ıdaux
Lessignauxsinusoı̈daux(ouharmoniques)sontdessignauxp´ eriodiquestr`esimportants.
Cesontlessignauxdelaforme:
x(t)=A
0 sin(2πf 0 t+ϕ
0)
avec:
–A 0 :amplitude;
–f 0 :fr´equence;
–ϕ 0 :phase`al’origine(oud´ ephasageouphase);
–2πf 0t+ϕ 0 :phaseinstantann´ee.
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coursd’´ electroniquedecommunication
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1.4. Spectred’unsignalp´
eriodique
3
A2
Puissanced’unsignalsinuso¨ıdal:P=
2 .
Représentationtemporelled’unsignalsinuso¨ ıdal:
T0
A
t
ϕ
0
Autrerepr´esentationd’unsignalsinuso¨ıdal:c’estlarepr´esentationspectrale:
amplitude
A
spectre d'amplitude
A0
f
f0
phase
ϕ
spectre de phase
fréquence
ϕ
0
f
f0
1.4
Spectred’unsignalp´
1.4.1
Développementens´
eriodique
eriedeFourier
Soitx(t)unsignalp´ eriodiquequelconque(nonsinusoı̈dal)dep´ eriodeT(oudefr´ equence
1
f= T ). Onmontrequex(t)peuts’´ ecriresouslaformed’und´eveloppementens´ eriede
Fourier,c’est-`a-direunesommedesignauxsinuso¨ıdauxdefr´ equencesmultiplesentiersde
f:
∞
a0
an cos2πnft+b n sin2πnft
x(t)=
+
2 n=1
avec:
T
a0
1
=
x(t)dt
T
2
0
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coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
4
Chapitre1.
et ∀n ≥ 1,
an = 2
T
bn = 2
T
Lessignaux
T
x(t)cos2πnftdt
0
T
x(t)sin2πnftdt
0
Lesignalsinuso¨ıdaldefr´ equencefestappel´ efondamental etlessignauxsinuso¨ıdauxde
fr´equencesnf,n ≥ 2sontappel´esharmoniques.
Si x(t)estimpair(c’est-` a-direx( − t)= − x(t)), alors ∀n>0, an =0,etsix(t)estpair
∀n>1,b n =0.
(c’est-`a-direx(− t)=x(t))alors
1.4.2
Rep´esentationspectraled’unsignalp´
eriodique
Led´eveloppementensériedeFourierd’unsignalp´ eriodiquex(t)peut´ egalements’écrire
souslaforme:
a0
x(t)=
2
avec:
∞
+
A x (n)cos(2πnft+ϕ
x (n))
n=1
A x (n)=
a2n +b 2n
et:
bn
ϕ x (n)= − arctan
an
A x (n)etϕ x (n)repr´ esententrespectivementlespectred’amplitudeetlespectredephase
dex(t).Cesontdesspectresderaiesouspectresdiscrets:unsignalp´
eriodiquenepossède
decomposantesspectralesquepourdesfr´ equencesmultiplesentiersdufondamental.
Représentationgraphique:
spectre d'amplitude
A x (n)
A x (1)
A x (2)
A x (3) A x (4)
f
ϕ (n)
x
2f
3f
4f
A x (5)
5f
fréquence
spectre de phase
ϕ (1)
ϕ (5)
x
x
ϕ
(4)
ϕ (2)
x
x
f
2f
3f 4f
ϕ (3)
5f
fréquence
x
Enpratique,lespectred’unsignalestvisualis´
ISETRad` es
eaumoyend’unanalyseurdespectre.
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1.4. Spectred’unsignalp´
1.4.3
eriodique
5
Exempledecalculduspectred’unsignalp´
eriodique
Onconsid`ereunsignalcarr´ ebipolaire:
x(t)
T
A
T
2
x(t)estimpair
⇒
⎧
a
⎪
⎨ 0
-A
=0
2
⎪
⎩∀ ≥
1,a n =0
n
bn =
t
T
2
T
T
2
0
− cos2πnt
T
=
T
2
T A 2πn
=
− A [( − 1)n − 1]
=
2A
− ( − 1)n ]
πn [1
πn
0si
=
T
2πnt
Asin T dt
4A
πn
+
T
2
0
2 −
2πnt dt
Asin
T T
T
2
−
T
2
T A 2πn
+
A
πn
− cos2πnt
T
T
T
2
[1 − ( − 1) ]
n
n=2p
sin=2p+1
Finalement,led´ eveloppementensériedeFourierdex(t)est:
∞
x(t)=
4A
1
2π(2p+1)t
sin
π p=0 2p+1
T
Représentationgraphique:
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Chapitre1.
Lessignaux
A x(n)
4A
π
4A
3π
4A
5π
4A
7π
4A
9π
f3f5f7f
9f
1.5
Gén´eralisationdelanotiondespectre
1.5.1
Spectred’unsignalnonp´
fréquence
eriodique
Soitx(t)unsignalquelconque,enparticuliernonp´
eriodique.Onmontredanscecasque
lespectredex(t)estunefonctioncontinuedelafr´
equence,c’est-`a-direquex(t)poss`ede
descomposantesspectrales`atouteslesfr´equences.Lesignalx(t)peutalorss’´ ecriresous
laforme:
x(t)=
avec:
+∞
0
A x (f)cos(2πft+ϕ
A x (f)=2 |X(f) |
ϕ x (f)=argX(f)
o`uX(f)estlatransform´
: spectred amplitude
: spectredephase
eedeFourierdex(t)d´
X(f)=
x (f)df
+∞
−∞
efiniepar:
x(t)e
− j2πft
dt
Contrairementauxsignauxp´ eriodiques,lessignauxnonp´ eriodiquespossèdentdoncun
spectrecontinu:
ϕ
Ax (f)
x(f)
spectre d'amplitude
spectre de phase
f
f
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1.5. G´enéralisationdelanotiondespectre
1.5.2
7
Exempledecalculduspectred’unsignalnonp´
Soituneimpulsionx(t)dedur´
eriodique
eeτetd’amplitudeA:
x(t)
τ
A
t
+∞
X(f)=
=
A
j2πf
−∞
τ
x(t)dt=
− j2πfτ
1− e
=
0
A
Ae
− jπfτ
j2πf
A
dt= −
j2πf
− j2πft
e
jπfτ
e
τ
− j2πft
= −
0
e
A
− j2πfτ
e
j2πf
A − jπfτ
= πf e
sinπfτ=Aτ
− e− jπfτ
−1
sinπfτ − jπfτ
πfτ e
Ainsi:
A x (f)=2
et:
|X(f) | =2Aτ
sinπfτ
πfτ
− πfτ
ϕ x (f)=argX(f)=
Représentationgraphique:
A x(f)
2Ατ
ϕ (f)
x
1
τ
2
τ
3
τ
f
f
0
−π
−2π
−3π
−4π
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4
τ
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
8
1.5.3
Chapitre1.
Calculdelapuissanced’unsignal`
Lessignaux
apartirdesonspectre
Lapuissanced’unsignal est´egale`alasommedespuissancesdescomposantesdeson
spectred’amplitude.
Danslecasd’unsignalx(t)p´ eriodiquedontled´ eveloppementensériedeFouriers’´ ecrit:
x(t)=
∞
a0
+
2
A x (n)cos(2πnft+ϕ
x (n))
n=1
lapuissancemoyenneest:
P=
1
T
T
0
a20
2
x(t) dt =
4
domainetemporel
∞
+
A x (n) 2
n=1
(´egalit´edeParseval)
2
domainespectral
Danslecasd’unsignalnonp´ eriodiques’´ecrivantsouslaforme:
x(t)=
son´energieest:
E=
+∞
0
+∞
−∞
A x (f)cos(2πft+ϕ
1 +
x(t) dt =
2 0
2
domainetemporel
1.5.4
Spectredessignauxutilis´
∞
x (f)df
A x (f) 2 df
domainespectral
esent´ elécommunications
Lessignauxtransmisparunsyst` emedet´ elécommunicationssontdessignaux` abande
étroite. Cessignauxposs`edentunspectrenul endehorsd’unintervalledelargeurB,
appeléelargeurdebandeouoccupationspectraledusignal.
Cetintervalleestg´enéralementcentréautourd’unefr´ equencef0 appeléefréquencecentrale
dusignal.S’ilestdelaforme[0,B],alorslesignalestappel´
esignal enbandedebase.
Ax (f)
Ax (f)
signal à bande étroite
signal en bande de base
B
f0
f
0
B
f
Laconnaissanceduspectred’unsignalpermetdedimensionnerlescanauxdetransmission.
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
1.6. Filtragedessignaux
9
1.6
Filtragedessignaux
1.6.1
Principe
L’opérationdefiltraged’unsignalconsiste` amodifierlespectredecesignaldemani` ere`a
affaiblircertainespartiesduspectreet/ou`aenamplifierd’autres.
Dansledomainespectral,lefiltragesetraduitparlamultiplicationduspectred’amplitude
dusignal parunefonctiondelafr´
equenceetdel’additiond’uneautrefonctiondela
fr´equenceauspectredephasedusignal.
SoitunfiltredefonctiondetransfertH(f)(H(f)estunefonctioncomplexedef).
e(t)
s(t)
H(f)
Si oninjecte` al’entr´eedecefiltreunsignal
e(t)dontlespectred’amplitudeestA
etlespectredephaseestϕ e (f), alorslesspectresd’amplitudeetdephasedusignal
sorties(t)sontrespectivement:
et
1.6.2
A s (f)=
|H(f) |· A e (f)
ϕ s (f)=ϕ
e (f)+argH(f)
e (f)
de
Exemplesdefiltres
Filtrepasse-bas:
symbole
fonction de transfert
H(f)
1
0,71
f
fc
Filtrepasse-bande:
symbole
fréquence
de coupure
fonction de transfert
H(f)
bande
passante
1
0,71
fc1 f 0
fc2
f
fréquence centrale
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
10
ISETRad` es
Chapitre1.
coursd’´ electroniquedecommunication
Lessignaux
HAGG ÈGE,2003
Chapitre2
Lamodulationd’amplitude
2.1
Butd’unemodulation
Soitlemontagesuivant:
I
l
transformateur
A
Générateur
sinusoïdal
de fréquence
f = constante
tige métallique de
longueur variable
Enfaisantvarierlalongueurl
delatigem´ etallique, onconstatequepourunelongueur
l0, lecourantd´ ebit´eparleg´enérateurdevienttr` essupérieuraucourantconsomm´eparle
primairedutransformateur` avide:toutsepassecommesilesecondairedutransformateur
étaitconnect´eàunecharge.
I
courant en charge
du transformateur
courant à vide
du transformateur
l0
Ilyadoncun´
HAGG ÈGE,2003
l
echanged’énergieentreleg´enérateuretlemilieuambiant.Cet´
coursd’´ electroniquedecommunication
echangese
ISETRad` es
12
Chapitre2.
Lamodulationd’amplitude
faitsousformederayonnement´ electromagn´etique.Latigem´ etalliquejouelerˆ oled’une
antenne´ emettrice.
Onconstate´ egalementquelalongueurl 0 pourlaquellelerayonnementestmaximal est
li´ee`alafr´equencefdug´ enérateurparlarelation:
λ
l0 =
2
c
avec: λ= f =longueurd’ondedusignalproduitparleg´
enérateur,c´ etantlavitessede
lalumi`ere.
Exempledecalcul:sionveuttransmettreunsignalaudiodontlespectresesitueautour
de10kHz,lalongueurdel’antennedoitˆ
etre:
c
3 · 108
l=
= ×
=15000m
2f
2 10 · 103
L’antennedoitavoirunelongueurtr`
esgrande: difficileenpratique. Pourdiminuerla
longueurdel’antenne,ondoitaugmenterlafr´ equencedusignal`atransmettre:oneffectue
und´ecalagespectral versleshautesfr´ equencesdusignal:c’estlamodulation.
Exemple:sil’´ emissionsefait`alafr´equencef=10MHz,lalongueurdel’antennedevient:
c
3 · 108
l=
= ×
=15m
2f
2 10 · 106
C’estuneantenner´ ealisablepratiquement.
Alar´ eception,lesignalHFdoitˆ etreramen´everslesbassesfréquences:d´ecalagespectral
verslesbassesfr´ equencesdusignal:c’estlad´emodulation.
Ainsi,lessignauxbassefr´ equence(signauxaudio)nepeuventpasˆ etredirectementtransmisenbandedebasecarilsn´ ecessitentdetropgrandesantennes.Lebutd’unemodulation
estdoncded´ ecalerlesignal`a´emettreversleshautesfr´ equencesafind’avoirdesantennes
émettricesdedimensionsraisonnables.
Lafr´ equence`alaquellesefaitl’´ emissionenHFestappel´ eefr´equenceporteusecarelle
transportel’informationBF.LesignaltransmisenHFestappel´
esignal modulé.
Onend´ eduitlesch´emasynoptiqued’unechaˆınedetransmission:
messag
signal
signal
signal
^
e m(t)
émiss(t)
reçur(t)
démodulé
m(t)
sourc
e
d'informatio
n
modulateu
r
canal
de
transmissio
n
démodulateu
r
destinatair
e
H
H
B
B
F
F
F
F
signal
signal
signal
signal
à
à
en de
en de
bande
bande
bande
bande
étroite
étroite
base
base
Lam´ethodelaplussimpledetranspositionspectraleestla modulationd’amplitude(ou
modulationlin´ eaire),not´ eeAM(AmplitudeModulation).
C’estlam´ ethodeutilis´eepour
lespremi`erestransmissionsradio,danslesann´ ees1920.
Ilyaquatretypesdemodulationsd’amplitude:
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
2.2. LamodulationAMDoubleBandeSansPorteuse
13
–AMDoubleBandeSansPorteuse(DBSP):utilis´
eepourlemultiplexagefr´ equentielet
lecryptageanalogique;
–AMDoubleBandeAvecPorteuse(DBAP):utilis´
eeenradiodiffusion;
–AMBandeLat´ eraleUnique(BLU):utilis´ eepourlemultiplexagefr´ equentiel,lat´eléphonie,
lesradiocommunicationsmilitairesetmarines;
–AMBandeLat´ eraleR´esiduelle(BLR):utilis´ eepourl’´emissiondessignauxdet´elévision.
2.2
LamodulationAMDoubleBandeSansPorteuse
2.2.1
Principe
Soitunsignal sinuso¨
ıdal hautefr´equencep(t)=cos2πf 0t,appel´eporteuse. Lemessage
m(t)` atransmettreestappel´ esignal modulant.
LesignalAMmodul´ eenamplitudeDoubleBandeSansPorteuse(DBSP)s’´ ecrit:
s(t)=p(t) · m(t)
2.2.2
Casd’unsignalmodulantsinuso¨
ıdal
Onconsid`ereunsignalmodulantsinuso¨ ıdalm(t)=Acos2πf
AMs’´ecritalors:
s(t)=cos2πf 0t · Acos2πf m t
Représentationtemporelle:
m tavecf m
f 0.Lesignal
p(t)
1
t
-1
m(t)
A
t
-A
s(t)
A
t
-A
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
14
Chapitre2.
Lamodulationd’amplitude
Représentationspectrale:pourd´ eterminerlespectredes(t),ilfautd´
ecomposers(t)en
unesommedesignauxsinuso¨ıdaux.Ona:
A
A
s(t)=cos2πf 0 t · Acos2πf m t=
cos2π(f 0 +f m )t+
cos2π(f 0 − f m )t
2
2
Lespectred’amplitudedusignalmodul´ es(t)estdoncconstitu´ededeuxraiessym´ etriques
situéesauxfr´equencesf0 − f m etf 0 +f m .Deplus,iln’yapasdecomposantespectrale`
a
lafr´equencef 0 delaporteuse.L’allureduspectred’amplitudedusignal
modul´ejustifie
l’appellationDoubleBandeSansPorteuse.
Am
(f)
signal
modulant
A
f
fm
signal
modulé
As
(f)
A
2
A
2
f0 - f m f 0 f0+ f m
f
Lesignal moduléestunsignal àbande´ etroite, centr´eautourdelafr´ equencef 0 dela
porteuse. Lebutdelamodulationestatteint:
lesignal BFesttransform´eenunsignal
HF.
2.2.3
Casd’unsignalmodulantquelconque
Représentationtemporelle:
m(t)
t
s(t)
t
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
2.3. G´enérationdusignalAMDBSP
Représentationspectrale:
Am(f)
15
signal modulant
A
f
Bm
signal modulé
As(f)
Bs = 2 B m
A
2
f0 - Bm
f
f 00 f + Bm
bande latérale
supérieure (BLS)
bande latérale
inférieure (BLI)
Lespectred’amplitudedusignal
AMDBSPavecunsignal
modulantquelconqueest
constitu´ededeuxbandessym´ etriques,centréesautourdef 0 :labandelat´ eraleinf´erieure
(BLI)etlabandelat´ eralesup´erieure(BLS).
L’occupationspectraledusignalAMDBSPest:
B s =2 × B m
Latransmissiond’unsignalenmodulationAMDBSPn´
doubledecelledusignalmodulant.
2.3
ecessitedoncunelargeurdebande
Gén´erationdusignalAMDBSP
Pourproduireunsignal AMDBSP, il fauteffectuerleproduitdusignal
modulantpar
laporteuse.Lesyst` emequieffectuecetteop´ erationestappel´emultiplieuranalogiqueou
modulateurouencorem´ elangeur.
multiplieur analogique
(ou modulateur, ou mélangeur)
m(t)
s(t)
p(t)
Ilexistediff´ erentesréalisationspossiblesdumodulateur.
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
16
2.3.1
Chapitre2.
Utilisationdecircuitint´
Lamodulationd’amplitude
egr´essp´ecialis´es
Onutilisedescircuitsint´ egrésspécifiquesbas´
essurleprincipedel’amplificateurdiff´ erentiel:
circuit
AD633
MC1496
MC1596
MC1495
MC1595
SO42P
constructeur
AnalogDevice
Motorola
Motorola
Motorola
Motorola
Siemens
fréquencemaximale
1MHz
1MHz
1MHz
10MHz
10MHz
200MHz
Exempledemiseenœuvre:
8,2 kΩ
8,2 kΩ
signal modulant
4
porteuse
5
6 10
+ 15 V
11
1
MC 1595
9
2
3 kΩ
10 µF
3,3 kΩ
8
3,3 kΩ
réglage d'offset
12
14
3
1,8 kΩ
13
7
sortie signal AM
10 µF
- 15 V
2.3.2
Modulateurenanneau
Leproduitm(t)cos2πf 0tpeutˆ etreobtenuenmultipliantlesignalmodulantm(t)parun
signalcarr´ebipolairec(t)defr´ equencef 0 eteneffectuantunfiltragepasse-bandecentr´ e
surf 0 .
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
2.3. G´enérationdusignalAMDBSP
17
m(t)
t
1/f 0
c(t)
+U
t
-U
u(t) = m(t) c(t)
t
Spectredusignalu(t)=c(t)
· m(t):
∞
4U
1
c(t)= π
cos2π(2n+1)f
n=0 2n+1
0t
∞
u(t)=c(t)
· m(t)=
4U
1
π n=0 2n+1 m(t)cos2π(2n+1)f
0t
4U
4U 1
4U 1
= π m(t)cos2πf 0 t+ π m(t)cos2π(3f 0 )t+ π m(t)cos2π(5f 0)t+ ···
3
5
Apr`esfiltragepasse-bandeautourdef
s(t)=
HAGG ÈGE,2003
0 ,onobtientunsignalAMDBSP:
4U
t
π m(t)cos2πf 0
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
18
Chapitre2.
Lamodulationd’amplitude
A m(f)
A
f
Bm
filtrage
passe-bande
A u(f)
1
4U
π A
2
4U A
3π 2
f0
4U A
5π
2
5f 0
3f 0
f
A s (f)
4U
π A
2
signal AM DBSP
f0
f
Lamultiplicationdusignal
modulantm(t)parlesignal
carrébipolairec(t)revient` a
−
multiplieralternativementm(t)par+1oupar
1.Lar´ ealisationpratiquedumodulateur
enanneauestbas´eesurlefaitquecettemultiplicationestunecommutationdesigne,ce
quisetraduitparuneinversionp´ eriodiquedusensd’uncourantoud’unetension.Pour
réalisercetteop´eration,onutiliselemontagesuivant,appel´ emodulateurenanneau:
D1
m(t)
n
D2
n
n
n
n
D'2
n
D'1
u(t)
s(t)
f0
c(t)
Lesignal c(t)commandel’ouverturedesdiodesdispos´ eesenanneau(d’o`ulenomde
± 1:sic(t)=+U,lesdiodes
modulateurenanneau)etassureainsilamultiplicationpar
− U,
D 1 etD 1 conduisentetlesdiodesD 2 etD 2 sontbloqu´eesetu(t)=m(t);sic(t)=
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
2.4. DémodulationdessignauxAMDBSP
19
lesdiodesD 2 etD 2 conduisentetlesdiodesD 1 etD 1 sontbloqu´eesetu(t)=
c(t) = +U et m(t) > 0
D1
m(t)
L
L
L
L
L
U
− m(t).
c(t) = -U et m(t) > 0
L m(t) m(t)
L
L
L
D2
D'2
L
U L
L -m(t)
D'1
c(t) = -U et m(t) < 0
c(t) = +U et m(t) < 0
D1
m(t)
L
L
L
L
L
U
L m(t) m(t)
L
L
L
D2
D'2
L
U L
L -m(t)
D'1
2.4
DémodulationdessignauxAMDBSP
2.4.1
Principe
s(t) = m(t) cos 2πf0t
^
m(t)
v(t)
passe bas
cos 2πf t : porteuse locale
0
2
v(t)=s(t)cos2πf
2πf 0 t
0 t=m(t)cos
1
1
1
=m(t) · (1+cos4πf 0t)=
m(t)+
m(t)cos4πf 0 t
2
2
2
Apr`esfiltragepassebasdev(t),onobtientlesignald´
emodul´e:
ˆm(t)=
HAGG ÈGE,2003
1
m(t)
2
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
20
2.4.2
Chapitre2.
Lamodulationd’amplitude
Repr´esentationspectrale
Am(f)
signal modulant
A
f
As(f)
Bm
signal modulé
A
2
f
f 00 f + Bm
f0 - Bm
Av(f)
A
2
filtrage
passe bas
A
4
f0 - Bm
f 00 f + Bm
f
Am^ (f)
A
2
signal démodulé
f
Bm
2.4.3
Probl`emedelad´
emodulationdusignalAMDBSP
Silaporteuselocaleestaffect´ eed’und´ ephasageϕ,ona:
v(t)=s(t)cos(2πf
=
Apr`esfiltragepassebas:
0 t+ϕ)=m(t)cos2πf
1
m(t)cosϕ+
2
0t
· cos(2πf 0 t+ϕ)
1
m(t)cos(4πf 0t+ϕ)
2
1
m(t)cosϕ
2
Onconstatequ’ilyaatt´ enuationdusignald´ emodulé,d’o`ulan´ecessit´
equelaporteuselocalesoitenphaseaveclaporteusere¸cue:d´emodulationcoh´ erenteousynchrone.Solution:
transmissionséparéed’uneporteuseder´ eférenceappeléefr´equencepilote.
LamodulationAMDBSPn’estpasutilis´ eepourlaradiodiffusionmaispourdestechniques
demultiplexagefr´ equentiel : transmissiondeplusieurssignauxsurunmˆ
emesupport,
chaquesignal´etanttransmissuruneporteusediff´ erente.
ˆm(t)=
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HAGG ÈGE,2003
2.5. LamodulationAMDoubleBandeAvecPorteuse
21
2.5
LamodulationAMDoubleBandeAvecPorteuse
2.5.1
Principe
Soitp(t)=Acos2πf
s’écrit:
0 tlaporteuseetm(t)lemessage`atransmettre.LesignalAMDBAP
0t
s(t)=(A+m(t))cos2πf
Danslecasd’unsignal
devient:
modulantsinusoı̈dal m(t)=A
s(t)=(
A+A
m cos2πf m t)cos2πf 0 t
Am
A
=A(1+
m cos2πf m t,lesignalAMDBAP
cos2πf m t)cos2πf 0 t
=A(1+kcos2πf
m t)cos2πf 0 t
Am
aveck= A :indicedemodulation(outauxdemodulation)=rapportentrel’amplitude
dusignalmodulantetcelledelaporteuse.
Pourunsignalmodulantquelconque,l’indicedemodulationestd´
efinipar:
k=
2.5.2
|m(t) |max
A
Repr´esentationtemporelledusignalAMDBAP
m(t)
Am
signal modulant
t
-Am
s(t)
1,5 A
k<1
(k = 0,5)
A
0,5 A
-0,5 A
A
-1,5 A
s(t)
smax
smin
t
2A
k=1
enveloppe
2,5 A
du signal
A
t
A
0,5 A
A
-0,5 A
A
2A
-2,5 A
s(t)
k>1
(k = 1,5)
t
Sik ≤ 1,l’enveloppedusignalmodul´ es(t)poss` edeexactementlaformedusignalmodulant. Si k>1, l’enveloppedusignal modulénecorrespondplusausignal modulant: la
≤ 1.
signalAMestsurmodul´ e.Enpratique,ondoittoujoursavoirk
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coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
22
Chapitre2.
Lamodulationd’amplitude
Déterminationdel’indicedemodulation k`apartirdelarepr´
esentationtemporelledu
signalAMDBAP:
− s min
s max =A(1+k)
⇒ k= s max
−
s min =A(1
s max +s min
k)
Autrem´ ethodeded´ eterminationpratiquedel’indicedemodulationd’unsignal
AM
DBAP:m´ ethodedutrap` eze.Ontracelesignalmodul´ es(t)enfonctiondusignalmodulantm(t):
s(t)
s(t)
N
smin = A (1-k)
smax - smin
M
smax = A (1+k)
k>1
M
smax + smin
k<1
P
m(t)
m(t)
-smin = -A (1-k)
-smax = -A (1+k)
N
P
s max − s min ⇒
MN
k= s
k=
max +s min
MP
2.5.3
Repr´esentationspectraledusignalAMDBAP
m t)cos2πf 0 t
s(t)=A(1+kcos2πf
=Acos2πf
0 t+kAcos2πf
=Acos2πf
0 t+
kA
2
m tcos2πf 0 t
cos2π(f 0 − f m )t+
kA
2
cos2π(f 0 +f m )t
Lespectredusignal AMDBAPposs` ededoncuneraied’amplitudeA`alafr´
equencef 0
kA
delaporteuseetdeuxraieslat´ eralesd’amplitude 2 auxfr´equencesf0 − f m etf 0 +f m .
As(f)
A
kA
2
kA
2
f0 - fm f0 f0 + fm
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
f
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2.5. LamodulationAMDoubleBandeAvecPorteuse
23
Casd’unsignalmodulantquelconque:
As(f)
band
e
latéral
e
inférieur
e
A
band
e
latéral
e
supérieur
e
f
f0 - Bm f0 f0 + Bm
OccupationspectraledusignalAMDBAP:
B s =2B m
2.5.4
Puissanced’unsignalAMDBAP
Onalesrelationssuivantes:
⎧
⎪
⎨ Ps =P porteuse +P BLI +P BLS
⎪
⎩
PBLI =P BLS
d’o`u:
Ps =P porteuse +2 × PBL
Danslecasd’unsignalmodulantsinuso¨ ıdal:
kA
A 2 k 2A 2
( 2 )2
×
Ps =
+2
=
+
=
2
2
2
4
A2
Ainsi:
Ps =
1+
k2
2
1+
k2
A2
2
2
Pporteuse
Eng´enéral,lesignalAMtransmisnedoitpasˆ
etresurmodul´e:k ≤ 1.Pourk=1(valeur
maximale),onadonc:
Ps = 3 Pporteuse ⇒ Pporteuse = 2Ps
2
3
Doncseul untiers(aumaximum)delapuissancedusignal
AMcontientl’information
utile.C’estuninconv´ enientdelamodulationAMDBAP:gaspillagedepuissance.
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
24
Chapitre2.
Lamodulationd’amplitude
2.6
Gén´erationdusignalAMDBAP
2.6.1
Méthodedirecte
m(t)
Σ
s(t)
A
cos 2πf0t
Cettem´ethodeesttr` espeuutilis´ ee.
2.6.2
Utilisationd’unenonlin´
m(t)
earit´e
x(t)
Σ
s(t)
y(t)
NL
f0
p(t) = A cos 2πf0t
Exemple:onconsid` erelanonlin´ earit´edéfiniepar:
0 +a 1 x+a
y=F(x)=a
2x
2
Lesignaly(t)s’´ ecritalors:
y(t)=F(m(t)+p(t))
+p(t) 2 +2m(t)p(t)]
0 +a 1 [m(t)+p(t)]+a
=
a0 +a 1m(t) +a 1p(t) +a 2m(t) 2 +a 2 p(t) 2 +2a 2m(t)p(t)
0
Bm
2 [m(t)
2
=a
f0
2B m
2f 0
Apr`esfiltragepassebandedusignaly(t)autourdelafr´
s(t)=a
=[
1 p(t)+2a
f0
equencef 0 ,onobtient:
2 m(t)p(t)
a1 +2a 2 m(t)]p(t)
C’estbienunsignalAMDBAP:
filtrage
passe bande
autour de f0
Ay(f)
a0
a1p(t)
a2p(t)2
a1m(t)
2a2(m(t)p(t)
a2m(t)2
Bm
ISETRad` es
2Bm
f0
coursd’´ electroniquedecommunication
f
2f0
HAGG ÈGE,2003
2.6. G´enérationdusignalAMDBAP
25
Applicationpratique:
+Vcc
impédance Z
R
L
C
s(t)
ic
Cl
Rb
iHF
ib
VCE
iBF
LA
BF
signal
modulant
HF
porteuse
l (imp´edancefaibleauxhautesfr´ equences,
Danscecircuit, lecondensateurdeliaisonC
élevéeauxbassesfr´ equences)etl’inductanced’arrˆ et L A (imp´edanceélevéeauxhautes
fr´equences,faibleauxbassesfr´equences,appel´
ee´egalementselfdechoc)permettentl’aiguillagedescourantsHFetBFverslabasedutransistorsansquelesdeuxsources
(porteuseetsignalmodulant)neseperturbentmutuellement.Onaainsi:
i b =i HF +i BF
Lepointdefonctionnementdutransistorestchoisi
ractéristiqueI C − VCE :
IC =
βI
B
Vcc
R
danslazonenonlin´ eairedesaca-
IC coude de saturation
= non linéarité
point de
fonctionnement
IB
Vcc
variation de
ib = iHF + iBF
VCE
variation de
VCE = f(iHF + iBF)
Ainsi,latensionV CE estbienunefonctionnonlin´
représent´
eesouslaforme:
eairedei b =i HF +i BF ,pouvantˆ etre
VCE =a 0 +a 1 i b +a 2 i 2b + ···
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
26
Chapitre2.
Lamodulationd’amplitude
Lefiltrageautourdelafr´
equencef 0 delaporteuseesteffectu´eparlecircuitRLCse
trouvantdanslecircuitdecollecteurdutransistor.Eneffet,l’imp´
edanceducircuitRLC
est:
1
Z(f)=
1
1
2πfC − 2πfL
R +j
etsafr´ equenceder´esonnanceest:
fr =
Celle-ciestchoisietellequef
√1
2π LC
r =f 0 .
Z(f)
R
fr = f0
f
f 0 ouf
f 0),Z ≈ 0etV CE =V cc =constante.Ala
Endehorsdelar´ esonnance(f
résonnance,Z=RetonaalorslesignalAMDBAPsurlecollecteurdutransistor.On
adoncbienunfiltragedelaporteuseetdesbandeslat´
erales.
2.6.3
Amplificateur` againvariable
p(t) = A cos 2πf0t
(porteuse)
Ampli
HF
commande
de gain
s(t)
m(t)
(signal modulant)
jϕ 0
Alafr´ equencef 0 delaporteuse, l’amplificateurHFaungainG(f
.Pour
0 )=G
0e
uneentr´eep(t)=Acos2πf
0 t,onas(t)=AG
0 cos(2πf 0 t+ϕ 0 ). LegainG 0 dépenddes
polarisationsdumontage, onpeutdoncfairevarierG
0 enfonctiondem(t)enagissant
surcespolarisations.Ainsi,legaindevient:
G=G
0 +αm(t)
Lesignalmodulantm(t)varielentementparrapport`alaporteused’o`u:
α
s(t)=A[G 0 +αm(t)]cos(2πf 0t+ϕ 0)=AG 0 1+
m(t) cos(2πf 0 t+ϕ
G0
0)
C’estbienunsignalAMDBAP.
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
2.7. DémodulationdessignauxAMDBAP
27
Exempleder´ealisationd’un´ emetteurAM27MHz:
+12 V
BD158
entrée
modulation
10 nF
antenne
+12 V
10 nF
12 kΩ
L2*
5-65
pF
L1*
10 nF
L3*
100 pF
7-100
pF
27 MHz
2N2218
6,8 kΩ
7-100
pF
2N3053
220 Ω
47 Ω
47 nF
* L1 : 10 spires, fil diamètre 1 mm, noyau ferrite diamètre 9 mm
L2 : 15 spires, fil diamètre 1 mm, noyau ferrite diamètre 9 mm
L3 : 12 spires, fil diamètre 0,4 mm, noyau VK200
2.7
DémodulationdessignauxAMDBAP
2.7.1
Démodulationcoh´ erente
s(t)
^
m(t)
v(t)
passe bas
cos 2πf0t
(porteuse locale)
HAGG ÈGE,2003
suppression
de la composante
continue
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
28
Chapitre2.
Pourunsignalm(t)telque
Lamodulationd’amplitude
|m(t) |max =1,ona:
0t
v(t)=s(t)cos2πf
=A(1+k
· m(t))cos 2 2πf 0t
· m(t))(1+cos4πf
=
A
2 (1+k
=
A
k ·A
2 + 2 m(t)+
0 t)
k ·A
t
2 m(t)cos4πf 0
A
2 cos4πf 0 t+
Apr`esfiltragepasse-basetsuppressiondelacomposantecontinue:
k·A
ˆm(t)=
m(t)
2
Lad´emodulationcohérentepr´esenteleprobl`emedelasynchonisationdelaporteuselocale
aveclaporteuse`al’´emission.Unem´ethodeded´emodulationplusefficaceestlad´etection
d’enveloppe.
2.7.2
DémodulationAMpard´
etectiond’enveloppe
Principe:mesuredel’enveloppedusignalpourr´
ecupérerlesignalmodulantm(t):
s(t)
enveloppe = m(t)
t
Détecteurd’enveloppe:
suppression
de la composante
continue
cellule RC
redresseur
C'
s(t)
ISETRad` es
R
C
coursd’´ electroniquedecommunication
R'
^
m(t)
HAGG ÈGE,2003
2.7. DémodulationdessignauxAMDBAP
29
Fonctionnement:lesignalAMestredress´ eparladiodeafindegarderseulementl’alternancepositive.LesignalAMnedoitpasˆ
etresurmodul´epourquel’enveloppedusignal
redress´
esoitproportionelleausignalmodulant:
signal AM
redressé
t
Pendantl’alternancepositivedusignal
AMo`uladiodeconduit,
lecondensateurCse
charge. Lorsqueladiodesebloquependantl’alternancen´
egative, lecondensateur se
décharge`atraverslar´esistanceRavecuneconstantedetempsτ=RC.Sicetteconstante
detempsestsuffisammentgrande,latensionauxbornesducondensateurreproduitapproximativementlaformedel’enveloppedusignalAM.
tension aux bornes
du condensateur
t
Apr`es´eliminationdelacomposantecontinue,onobtientlesignald´
emodul´e:
^
m(t)
t
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
30
Chapitre2.
Lamodulationd’amplitude
1
Siτestdel’ordredelap´ eriodeT m = f m dusignalmodulant,lecondensateursed´ echarge
troplentement → lesignald´emodulénepeutpassuivrelesvariationsdusignalmodulant:
Tm
t
1
f0
Siτestdel’ordredelap´
eriodeT 0 =
delaporteuse,lecondensateursed´ echargetrop
rapidement → lesignald´ emodul´eprésenteuneforteondulationhautefr´ equence:
T0
t
Pouruned´ emodulationcorrecte,ondoitdoncavoir:
T0
τ
Tm
c’est-`a-dire:
1
f0
RC
L’avantagedelamodulationAMDBAPestlasimplicit´edelar´ ealisationdud´emodulateur.
LamodulationAMDBAPesttr`
esutilis´eepourlaradiodiffusion.
fm
2.8
LamodulationAM`
2.8.1
Principe
aBandeLat´ eraleUnique
EnmodulationAMdoublebande,
avecousansporteuse, lespectredusignal modulé
présentedeuxbandeslat´ eralessymétriquesautourdelafr´ equencedelaporteuse. Ces
deuxbandeslat´ eralessed´eduisentl’unedel’autre, doncellescontiennentchacunela
mêmeinformation.Leuroccupationspectralevautledoubledecelledusignalenbande
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
2.8. LamodulationAM`
aBandeLat´ eraleUnique
31
debase. Il yadoncungaspillagedelapuissancedel’´
emetteuretdelabandepassante
ducanaldetransmission.
PrincipedelamodulationAM` abandelat´eraleunique(BLU):supprimerl’unedesdeux
bandeslat´eralesdusignaltransmispourunemeilleureexploitationdelapuissanceetde
labandepassante.
LamodulationBLU(ouSSB:
SingleSideBand)
est principalement utilis´eeenradiot´eléphoniemilitaireetmarine.
2.8.2
Caract´eristiquesdusignalBLU
Am(f)
signal modulant
f
Bm
As(f)
As(f)
signal BLU
bande latérale
inférieure
signal BLU
bande latérale
supérieure
ou
f
f0 - B m f0
f0 f0 + B m
f
OccupationspectraledusignalBLU:
B s =B m
2.8.3
Gén´erationdusignalBLUparfiltragepasse-bande
passe bande
s(t)
m(t)
f0 + B m
2
(BLS)
f0 - B m
2
(BLI)
ou
cos 2πf t
0
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
32
Chapitre2.
As(f)
Lamodulationd’amplitude
filtrage de la
bande latérale
supérieure
f0
f0 + B m
f
Problèmeposéparcettem´ ethode: réalisationd’unfiltrepasse-bandeavecunecoupure
netteenf 0 (penteinfinie) → lespectredusignal modulantnedoitpascontenirde
fr´equencestrèsbassespourpouvoirutiliserunfiltrepasse-bander´ ealisable.
Enpratique,onsupprimelesfr´ equencesdusignalmodulantcomprisesdansunintervalle
[0∆f]` al’aided’unfiltrepassebandeavantd’effectuerlamodulation(∆ f=300Hzpour
lat´eléphonie):
signal BLU
2∆f
signal modulant
Am(f)
∆f
As(f)
f
Bm
f0 - ∆f f0
filtrage
passe-bande
réalisable
f0 + ∆f
f 0 + Bm
f
Pouraugmenterencore∆fafindepouvoirutiliserunfiltrepasse-bandeavecunefaible
pente,onpeutr´ ealiserunedoublemodulationBLU:
Am(f)
signal modulant
∆f
première
modulation
BLU
f
Bm
f1 + ∆f
deuxième
modulation
BLU
f1 f1 + ∆f
f
m(t)
signal BLU
2(f1 + ∆f)
f2
filtrage
passe-bande
à faible pente
f
s(t)
cos 2πf1t
ISETRad` es
As(f)
cos 2πf2t
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
2.8. LamodulationAM`
2.8.4
aBandeLat´ eraleUnique
Gén´erationdusignalBLUparlam´
33
ethodedud´
ephasage
cos 2πf0t
m(t)
+
Σ
π
−
2
filtre
déphaseur
s(t)
+ (BLS)
− (BLI)
sin 2πf0t
m1(t)
Lefiltred´ ephaseur(oufiltredeHilbert)pr´ esenteungain´egal`a1etintroduitund´ ephasage
π
de − 2 danslabandedefr´ equences[0Bm ](B m :occupationspectraledusignalmodulant):
H(f)
1
Bm
f
H(f)
Bm
−
Pourunsignalmodulantm(t)=A
s(t)=m(t)cos2πf
=A
=
f
π
2
m cos2πf m t,ona:
0t
± m 1(t)sin2πf 0t
m cos2πf m tcos2πf 0 t ± A m sin2πf m tsin2πf
Am
2
cos2π(f 0 +f m )t+
Am
2
0t
cos2π(f 0 − f m )t
± A m [cos2π(f 0 +f m )t − cos2π(f 0 − f m )t]
2
=
A m cos2π(f 0 +f m )t (+:BLS)
A m cos2π(f 0 − f m )t ( − :BLI)
Lar´ealisationpratiquedufiltred´ ephaseurrestecependantd´elicate.
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
34
2.8.5
Chapitre2.
Lamodulationd’amplitude
DémodulationdusignalBLU
Lad´emodulationd’unsignalBLUsefaitpard´
emodulationcoh´erente:
^
m(t)
v(t)
s(t)
passe bas
cos 2πf t : porteuse locale
0
PourunsignalBLUs(t)=A
m cos2π(f 0 +f m )t,ona:
0t
v(t)=s(t)cos2πf
=A
=
m cos2π(f 0 +f m )tcos2πf 0 t
Am
2
cos2πf m t+
Am
2
cos2π(2f 0 +f m )t
Apr`esfiltragepasse-bas,onobtientlesignald´ emodul´e:
ˆm(t)=
2.9
Am
2
LamodulationAM`
cos2πf m t=
1
m(t)
2
aBandeLat´ eraleR´ esiduelle
LamodulationAM` aBandeLat´ eraleR´esiduelle(BLRouVSB:Vestigial
SideBand)est
utilis´eelorsquelessignaux`atransmettrepr´ esententdescomposantesspectralesimportantesauxtr` esbassesfréquencesquinepeuventdoncpasˆ etre´eliminéescommedansle
casdelamodulationBLU.
Exemplecaract´eristique: lessignauxvid´ eo. Lamodulation
BLRestunetechniqueinterm´ ediaireentrelesmodulationsdoublebandeetBLU.
Principe:
Am(f)
symétrie
locale
signal modulant
filtrage
signal BLR
As(f)
modulation
double bande
sans porteuse
Bm
f
f0 - Bm
f0
f0 − αBm
f0 + B m f
f0 + B m f
L’occupationspectraledusignalBLRest:
B s =(1+α)B
m
avec0<α<1(α=0
,15eng´ enéral)
Onmontrequelad´ emodulationd’unsignalBLRpeutsefairepard´
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
etectiond’enveloppe.
HAGG ÈGE,2003
2.10. Exercices
35
2.10
Exercices
2.10.1
ModulateurAM`
anonlin´ earit´ecubique
Lesch´emablocsuivantrepr´ esenteunmodulateurd’amplitudeo`u p(t)=Acos2πf
0t
·
|
|≤
représentelaporteuseetm(t)=b
x(t)lesignalmodulantavec
x(t)
1.Lecircuitnon
3
·
v
lin´eaireestcaract´eris´eparl’´equationv s =a
e o`uvs désignesasortieetv e sonentr´ee.
m(t)
Σ ve(t)
+
++
NL
vs(t)
Σ
s(t)
filtre
passe bande
e(t)
:2
+
diviseur
de fréquence
p(t)
1. Donnerl’expressiondessignauxv e (t)etv
s (t).
2. Quelleestlaconditionsurlefiltrepassebandepourobtenirunsignal
ensortie?Donneralorsl’expressiondes(t).
AMDBAP
3. Déterminerl’indicedemodulationkdusignal
AMsi A=1,a=2etb=0
Donnerlarepr´ esentationtemporellepuisspectraledes(t).
,2.
Correction:
1. Ona:
v e (t)=m(t)+e(t)
=bx(t)+Acos
ω0 t
2
avecω0 =2πf 0
et:
v s (t)=av
e (t)
3
ω0 t
3
3
=a bx(t)+Acos
2
ω0 t
ω0 t
3
2
2 ω0 t
=ab x(t) +3abx(t)A cos 2 +3ab 2x(t) 2 Acos 2 +aA 3 cos3 2
ω0 t
1
1
=ab 3 x(t) 3 +3abx(t)A 2 2 + 2 cosω0 t +3ab 2 x(t) 2Acos 2
ω0 t
3
1
3ω0 t
+aA 3 4 cos 2 + 4 cos 2
f0
3f 0
2. Lesignalv s (t)poss`ededescomposantesspectralesauxfr´equencesf0, 2 et 2 .La
composante`alafr´equencef 0 correspondauproduitdex(t)parlaporteuse.Ilfaut
doncgarderseulementcetermepourobtenirlamodulationsouhait´ ee:lefiltrepasse
bandedoitainsiposs´ ederunefr´equencecentralef c =f 0.Alasortiedufiltrepasse
3
abA 2x(t)cosω 0t.Lesignals(t)s’´ ecritalors:
bande,ilneresteplusqueleterme
2
s(t)=Acos2πf
0 t+
3 abA 2
x(t)cos2πf 0t=A
2
1+
3abA
x(t)
2
C’estbienunsignalAMDBAPdontl’indicedemodulationest k=
a |x(t) |≤ 1.
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
cos2πf 0 t
3abA
2
puisqu’on
ISETRad` es
36
Chapitre2.
3. PourA=1,a=2etb=0
Lamodulationd’amplitude
,2,ona:
k=
3abA
3 × 2 × 0,2 × 1
=
=0 ,6
2
2
Représentationtemporelle(casd’unsignalmodulantsinuso¨ ıdal):
amplitude
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
Représentationspectrale:
5
10
temps
15
amplitude
1
0,3
f0 − fm
2.10.2
f0 + fm
f0
fréquence
Modulationd’amplitudeenquadrature(QAM)
Onveuttransmettredeuxmessagesm 1 (t)etm 2(t)dontl’occupationspectraleestrespectivementB m 1 etB m 2 surunemˆemeporteusedefr´ equencef 0 .Pourcela,onutilisele
systèmedemodulationsuivant:
m1(t)
cos 2πf0t
+
π/2
s(t)
Σ
sin 2πf0t
+
m2(t)
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
2.10. Exercices
37
1. Ecrirel’expressiontemporelledusignals(t)` atransmettre(signalQAM).
2. Représenterlespectredes(t)enfonctiondeceluidem
1 (t)etm 2 (t)danslecaso`u
m 1(t)etm 2(t)sontdessignauxsinuso¨ ıdauxdefr´ equencesrespectivesfm 1 etf m 2 .
3. Donnerl’occupationspectraledes(t)etconclure.
4. Proposerund´emodulateurquipermetd’extrairelessignauxm 1(t)etm 2 (t)dusignal
s(t).
Correction:
1. D’apr`eslesch´emasynoptiquedumodulateur,ona:
1 (t)cos2πf 0 t+m
s(t)=m
2 (t)sin2πf 0 t
Lesignals(t)estlasommedessignauxAMDBSPm
1 (t)cos2πf 0 tetm 2 (t)sin2πf 0 t.
2. Lespectredusignal QAMs(t)estlasommedesspectresdesdeuxsignauxAM
DBSP:
signaux modulants
Am1
Am2
f
fm1
f
fm2
signaux modulés en amplitude DBSP
Am1
2
Bm1 = 2 fm1
Bm2 = 2 fm2
Am2
2
f0 − fm1 f0 f0 + fm1
f
f0 − fm2 f0 f0 + fm2
f
signal s(t) transmis
Bs = 2 max(Bm1,Bm2)
A m1
2
Am 2
2
f0 − fm2 f0
−f
m1 f0 f0
+f
m1 f0
+f
m2
f
3. D’apr`eslespectredes(t),ona:
B s =2 × max(B m 1 ,B m 2 )
LesignalQAMcontientdeuxsignauxmodulantsetdoncdeuxinformationsdiff´ erentes.L’occupationspectraledecesignalest´ egaleàcelled’unsignalAMDBSPquine
contientqu’unseul signal. DonclamodulationQAMpermetdetransmettredeux
foisplusd’informationquelamodulationAMDBSPenutilisantlamˆ
emebande
passante.
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
38
Chapitre2.
Lamodulationd’amplitude
4. Onpeututiliserled´ emodulateursuivant:
^ (t)
m
1
v1(t)
s(t)
π/2
cos 2πf0t
sin 2πf0t
^ (t)
m
2
v2(t)
Eneffet,ona:
v 1(t)=s(t)cos2πf
0 t=m
1 (t)cos
2
2πf 0t+m
2 (t)sin2πf 0 tcos2πf 0 t
1m
1m
1 (t)(1+cos4πf 0 t)+
2 (t)sin4πf 0 t
2
2
1
1
1
= m 1(t)+ m 1 (t)cos4πf 0 t + m 2(t)sin4πf 0t
2
2
2
=
2f 0
Lefiltrepassebaspermetd’´
donc:
eliminerlescomposantes`alafr´ equence2f 0 etona
ˆm1 (t)=
Demˆeme:
v 2(t)=s(t)sin2πf
2f 0
0 t=m
1m
1 (t)
2
1 (t)cos2πf 0 tsin2πf 0 t+m
2 (t)sin
2
2πf 0t
1m
1m
− cos4πf 0t)
1 (t)sin4πf 0 t+
2 (t)(1
2
2
1m
1
− 1 m 2(t)cos4πf 0t)
=
1 (t)sin4πf 0 t + m 2 (t)
2
2
2
=
2f 0
Lefiltrepassebaspermetd’´
donc:
2f 0
eliminerlescomposantes`alafr´ equence2f 0 etona
ˆm2 (t)=
2.10.3
1m
2 (t)
2
Démodulationquadratique
Onconsid`ereunsignal s(t)modul´ eenamplitudeDBAP.
ledispositifsuivantpermetded´ emodulers(t):
s(t)
m(t)
(.)2
Quadrateur
ISETRad` es
Déterminer`aquellecondition
Filtre
passe-bas
Suppression
de la composante
continue
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
2.10. Exercices
39
Correction:
Pourunsignalmodulantm(t)telque
|m(t) |≤ 1,ona:
0t
s(t)=A((1+km(t))cos2πf
etdonc:
2
s(t) =A
=
A2
2
A2
2
2
cos 2πf 0t
2
(1+cos4πf
((1+km(t))
2
1+2km(t)+k
m(t)
2
2
0 t)
2
2
2
1+cos4πf 0t+2km(t)+2km(t)cos4πf
m(t) +k m(t) cos4πf 0t
0 t+k
2
Apr`esfiltragepassebaset´ eliminationdelacomposantecontinue,onobtient:
=
ˆm(t)=kA
2
k 2A 2
m(t)+
2
m(t)
2
Pourquelesignald´
emodul´em̂(t)soitproportionnelausignalmodulantm(t),ilfautque
k2A 2
2
leterme 2 m(t) soitfaibledevantletermekA 2m(t):
k 2A 2
2
kA 2m(t)
⇒| km(t) |
2
2
m(t)
Commeona |m(t) |≤ 1,laconditions’´ ecrit:
|k |
2.10.4
Codageetd´
2
ecodagest´ eréophonique
Lesignalcompositest´ eréophoniquec(t)poss`edelespectresuivant:
Ac(f)
Gauche + Droite
Sous-porteuse
Gauche − Droite
0
15 kHz
19 kHz
23 kHz
38 kHz
53 kHz
f
Ilcontientlesvoiesdroited(t)etgaucheg(t)parmultiplexagefr´
equentiel.Lasommeg(t)+
−
d(t)esttransmiseenbandedebase,ladiff´ erenceg(t) d(t)esttransmiseenmodulation
DBSP`alafr´ equencef0 =38kHz.Onajouteenplusunesous-porteuse(fr´ equencepilote)
`a19kHzpourfaciliterlasynchronisationdud´ emodulateur`alar´ eception.
1. Justifierlechoixdusignalcompositeutilis´
e.
2. Donnerl’expressiondusignalcompositec(t).
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
40
Chapitre2.
Lamodulationd’amplitude
3. Proposerunsch´emaded´ecodeurstéréophoniquepermettantd’obtenirs´ eparément
lessignauxg(t)etd(t).Onutiliserauned´
emodulationcoh´erenteetdesfiltres.
Correction:
1. Lesignalcompositeutilis´ epermetdetransmettreunsignalst´ eréophonique,c’est-àdirecontenantunsignal « gauche» g(t)etunsignal « droite » d(t),sansaffecterla
réceptionmonophonique.Eneffet,unr´ ecepteurmonophoniquedoitˆetrecapablede
recevoircorrectementune´ emissionstéréophonique.Pourcela, onnetransmetpas
directementlessignauxg(t)etd(t)maisplutˆ
otlesignalg(t)+d(t)quiconstituele
signalmonophoniqueetlesignalg(t) − d(t)modul´esurunesous-porteusede38kHz
situéeau-del`aduspectredesfréquencesaudibles.Unrécepteurmonophoniquereçoit
doncseulementlesignalg(t)+d(t)tandisqu’unr´
ecepteurstéréophoniquereçoiten
pluslesignal g(t) − d(t). Ler´ecepteurst´eréophoniquepeutainsi reconstituerles
signauxg(t)etd(t)` apartirdusignalcompositere¸ cu.
2. D’apr`eslespectredusignalcomposite,ona:
− d(t))cos2πf 0 t+cos2π f 0 t
2
c(t)=g(t)+d(t)+(g(t)
avecf 0 =38kHz.
3. Schémad’und´ ecodeurstéréophonique:
0 - 15 kHz
g(t)
g(t) + d(t)
+/−
23 -53 kHz
0 - 15 kHz
c(t)
g(t) − d(t)
d(t)
38 kHz
19 kHz
x2
multiplicateur
de fréquence
2.10.5
Cryptageparinversiondespectre
Onveutcrypterunmessagem(t),
une´emissiondet´elévisionparexemple, dontl’occupationspectraleestB m . Proposerlesch´emadeprinciped’unsyst` emequi effectueune
inversiondespectre:
Am(f)
A'm(f)
cryptage
f
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
f
HAGG ÈGE,2003
2.10. Exercices
41
Correction:
Pourr´ ealiserlecryptageparinversiondespectre,
onpeuteffectuerunemodulation` a
bandelat´eraleuniqueenconservantlabandelat´ eraleinf´erieurequi estsym´etriquepar
rapport`alabandelat´ eralesupérieurepuisd´emodulercesignal:
Am(f)
A'm(f)
signal en "clair"
Bm
2.10.6
modulation
BLU
Bande
Latérale
Inférieure
f
f0 − Bm
démodulation
signal crypté
f
f0
f
Puissanced’unsignalAM
Sachantqu’unsignal AMdoublebandeavecporteuseest´
1000W,compl´eterletableausuivant:
Indicedemodulation
1
emisavecunepuissancede
Pporteuse (W)
PBLI (W)
734,6
956,9
21,9
PBLS (W)
87,2
Correction:
Premièrelignedutableau:
2
Ps = 1+ k2 Pporteuse ⇒ Pporteuse =
Ps
k2
1+ 2
Ps =P porteuse +2P BL ⇒ PBLI =P BLS =
=
1000
1,5 =666,7W
P s − P porteuse
2
=
1000− 666,7
=166,7W
2
Deuxièmeligne:
2
Ps = 1+ k2 Pporteuse ⇒ k=
2 P porteuse − 1 =
Ps
Ps =P porteuse +2P BL ⇒ PBLI =P BLS =
P s − P porteuse
2
2×
=
1000 −
1
734,6
=0 ,85
1000− 734,6
=132,7W
2
Troisièmeligne:
2
Ps = 1+ k2 Pporteuse
Ps =P porteuse +2P BL
⇒
P BL
P porteuse
=
k2 ⇒
k=2
4
⇒ 1+ k 2 Pporteuse =P porteuse +2P BL ⇒ k 2 Pporteuse =2P BL
2
2
P BL
P porteuse
=2 ×
21,9
956,9 =0 ,3
PBLS =P BLI =21 ,9W
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
42
Chapitre2.
Quatri`emeligne:
Ps
Pporteuse =
k2
⎫
⎪
⎬
1+ 2
⎪
Pporteuse =P s − 2PBL ⎭
⇒
Ps
1+
k2
2
Lamodulationd’amplitude
=P s − 2PBL ⇒ k=
P BL
4 Ps
P BL =
1− 2 s
P
4 × 1000
87,2
1− 2×
87,2
1000
=0 ,65
Pporteuse =
Ps
1+
k2
2
=
1000
1+
2
0,65
2
=825,6W
PBLS =P BLI =87 ,2W
Onaainsi:
Indicedemodulation
1
0,85
0,3
0,65
ISETRad` es
Pporteuse (W)
666,7
734,6
956,9
825,6
coursd’´ electroniquedecommunication
PBLI (W)
166,7
132,7
21,9
87,2
PBLS (W)
166,7
132,7
21,9
87,2
HAGG ÈGE,2003
Chapitre3
Lamodulationdefr´
3.1
equence
Définitions
Soitunsignals(t)=Acos(2πf
-laphaseinstantan´
0 t+ϕ(t)).Ond´
efinit:
ee:
Θi (t)=2πf
0 t+ϕ(t)
-lafr´ equenceinstantan´ ee:
Fi (t)=
1 dΘi (t)
1 dϕ(t)
=f 0 +
dt
2π
2π dt
Lamodulationdefr´ equence(FM:FrequencyModulation)estlatransformationdumessagem(t)` atransmettreenvariationsdelafr´
equenceinstantanéedusignal s(t)quiest
transmissurlecanaldetransmission.Latransformationestlin´
eaire:
Fi (t)=f
· m(t)
0 +k f
Onend´ eduitl’expressiondusignalmodul´eenfr´ equence:
Θi (t)=2π
t
0
Fi (u)du=2πf
t
0 t+2πk
f
0
m(u)du
d’o`u:
s(t)=Acos
HAGG ÈGE,2003
2πf 0t+2πk
t
f
0
coursd’´ electroniquedecommunication
m(u)du
ISETRad` es
44
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
Représentationtemporelle:
m(t)
signal modulant
t
s(t)
signal FM
t
3.2
Caract´eristiquesdelamodulationdefr´
equence
LaFMposs` edeunetr` esbonner´esistanceaubruit(perturbations):elleestutilis´
eepour
laradiodiffusionhautefid´ elit´eetlestransmissionsparsatellites.
C’estunemodulation` aenveloppeconstante,d’o`u:
A2
- puissanceconstante: PFM = 2 ,ind´ ependantedusignal modulantm(t), cequi
faciliteledimensionnementetlar´ ealisationdes´emetteurs;
-r´ esistanceauxnonlin´ earités:
s(t)
u(t)
NL
signal FM
u=a
0 +a 1 s+a
s(t)=Acos(2πf
u(t)=m+ncos(2πf
0 t+ϕ(t))+pcos(4πf
2s
2
+a 3s + ···
3
0 t+ϕ(t))
0 t+2ϕ(t))+qcos(6πf
0 t+3ϕ(t))+
···
Unfiltragepassebandepermetder´
ecupérerlesignal FM: ncos(2πf 0 t+ϕ(t)).
Onpeutainsi utiliser, pourl’amplificationdessignauxFM,
desamplificateursde
puissancefonctionnantpr` esdelasaturation(zonefortementnonlin´
eaire), donc
avecuntr` esbonrendement: amplificateurs`aT.O.P(tubes`aondesprogressives)
pourlestransmissionssatellitesetlesfaisceauxhertziens.
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
3.3. AnalysespectraledusignalFM
45
3.3
AnalysespectraledusignalFM
3.3.1
Développementens´
eriedeFourierd’unsignalFM
SoitunsignalFM:
2πf 0t+2πk
s(t)=Acos
t
f
m(u)du
0
Onnesaitpascalculerlespectredes(t)pourunsignalmodulantm(t)quelconque.On
effectuelecalculdanslecasd’unsignalmodulantsinuso¨ ıdal:
m(t)=A
m cos2πf m t
Danscecas,lafr´ equenceinstantanéedusignalFMest:
Fi (t)=f
0 +k f A m cos2πf m t
0 +k f m(t)=f
Fi (t)variedemani` eresinuso¨ıdaledansunintervalle[f
∆f=k
0
− ∆f,f
0 +∆f]avec:
f Am
∆festappel´ eexcursionmaximaleenfr´
equence. C’estunegrandeurproportionnelle` a
l’amplitudedusignalmodulant.
Onend´ eduitlaphaseinstantan´ eedusignalFM:
Θi (t)=2π
t
0
Fi (u)du=2πf
0 t+
kf A m
mt
f m sin2πf
Ond´efinitl’indicedemodulationdusignalFM:
β=
kf A m
∆f
=
fm
fm
LesignalFMs’´ ecritdonc:
s(t)=Acos(2πf
0 t+βsin2πf
m t)
C’estunsignalp´ eriodique.Onmontrequesond´ eveloppementensériedeFouriers’´ ecrit:
+∞
s(t)=A
o`uJn (β)estlafonctiondeBessel
3.3.2
n= −∞
J n (β)cos2π(f 0 +nf m )t
depremi`ereespèced’ordren.
LesfonctionsdeBesseldepremi`
ereesp` ece
LafonctiondeBesseldepremi` ereespèced’ordrenestd´ efiniepar:
π
J n (x) = 1
exp(jxsinθ − jnθ)dθ
2π − π
d´ef
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
46
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
Ellepeutˆ etred´eveloppéeens´eriepar:
J n (x)=
+∞
( − 1) ( 2 ) n+2m
m!(n+m)!
m=0
m
x
Ellepossèdelespropri´etéssuivantes:
J n (x)=( − 1)n J − n (x)
J n (x)=( − 1)n J n ( − x)
J n − 1(x)+J n+1 (x)= 2n J n (x)
x
xn
Pourx
1,J n (x) ≈ n
2 n!
π
nπ
2
Pourx
1,J n (x) ≈ πx cos x − −
4
2
+∞
n= −∞
J n2 (x)=
+∞
+∞
n= −∞ m= −∞
J n (x)J m (x)=1
Représentationgraphique:
1
J0(β)
J1(β)
J2(β)
J3(β)
0.5
0
0
2
4
J4(β)
6
8
10
12
14
16
18
20
-0.5
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
β
3.3. AnalysespectraledusignalFM
47
TabledesfonctionsJ n (β)pourdiff´ erentesvaleursdel’indiceβ:
n\ β
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
1.000000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
n\ β
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
0.22389
0.57672
0.35283
0.12894
0.033996
0.0070396
0.0012024
0.00017494
2.218e-005
2.4923e-006
2.5154e-007
2.3043e-008
1.9327e-009
1.4949e-010
1.0729e-011
7.183e-013
4.506e-014
n\ β
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
HAGG ÈGE,2003
0.2
0.99002
0.099501
0.0049834
0.00016625
4.1583e-006
8.3195e-008
1.3869e-009
1.9816e-011
2.4774e-013
2.753e-015
2.7532e-017
2.5031e-019
2.0861e-021
1.6048e-023
1.1463e-025
7.6424e-028
4.7767e-030
3
-0.26005
0.33906
0.48609
0.30906
0.13203
0.043028
0.011394
0.0025473
0.00049344
8.4395e-005
1.2928e-005
1.794e-006
2.2757e-007
2.6591e-008
2.8802e-009
2.9076e-010
2.7488e-011
8
0.17165
0.23464
-0.11299
-0.29113
-0.10536
0.18577
0.33758
0.32059
0.22345
0.12632
0.060767
0.025597
0.0096238
0.0032748
0.0010193
0.0002926
7.8006e-005
0.4
0.9604
0.19603
0.019735
0.0013201
6.6135e-005
2.6489e-006
8.8382e-008
2.527e-009
6.321e-011
1.4053e-012
2.8116e-014
5.1136e-016
8.5248e-018
1.3118e-019
1.8744e-021
2.4996e-023
3.1249e-025
0.6
0.912
0.2867
0.043665
0.0043997
0.00033147
1.9948e-005
9.9956e-007
4.2907e-008
1.611e-009
5.3755e-011
1.614e-012
4.4047e-014
1.1018e-015
2.5439e-017
5.4536e-019
1.0911e-020
2.0465e-022
4
-0.39715
-0.066043
0.36413
0.43017
0.28113
0.13209
0.049088
0.015176
0.0040287
0.0009386
0.00019504
3.6601e-005
6.2645e-006
9.8586e-007
1.4362e-007
1.9479e-008
2.4717e-009
9
-0.090334
0.24531
0.14485
-0.18094
-0.26547
-0.055039
0.20432
0.32746
0.30507
0.21488
0.12469
0.062217
0.027393
0.01083
0.0038946
0.0012864
0.0003933
10
-0.24594
0.043473
0.25463
0.058379
-0.2196
-0.23406
-0.014459
0.21671
0.31785
0.29186
0.20749
0.12312
0.06337
0.028972
0.011957
0.004508
0.0015668
5
-0.1776
-0.32758
0.046565
0.36483
0.39123
0.26114
0.13105
0.053376
0.018405
0.0055203
0.0014678
0.00035093
7.6278e-005
1.5208e-005
2.8013e-006
4.7967e-007
7.675e-008
11
-0.17119
-0.17679
0.13905
0.22735
-0.01504
-0.23829
-0.20158
0.018376
0.22497
0.30886
0.28043
0.20101
0.1216
0.064295
0.030369
0.013009
0.00511
coursd’´ electroniquedecommunication
0.8
0.84629
0.36884
0.075818
0.010247
0.001033
8.3084e-005
5.5601e-006
3.1864e-007
1.5967e-008
7.1092e-010
2.8478e-011
1.0368e-012
3.4597e-014
1.0655e-015
3.0465e-017
8.1294e-019
2.0335e-020
1
0.7652
0.44005
0.1149
0.019563
0.0024766
0.00024976
2.0938e-005
1.5023e-006
9.4223e-008
5.2493e-009
2.6306e-010
1.198e-011
4.9997e-013
1.9256e-014
6.8854e-016
2.2975e-017
7.1864e-019
6
0.0.15065
-0.27668
-0.24287
0.11477
0.35764
0.36209
0.24584
0.12959
0.056532
0.021165
0.006964
0.0020479
0.00054515
0.00013267
2.9756e-005
6.1917e-006
1.2019e-006
12
0.047689
-0.22345
-0.08493
0.19514
0.1825
-0.073471
-0.24372
-0.17025
0.045095
0.23038
0.30048
0.27041
0.19528
0.12015
0.06504
0.031613
0.013991
7
0.30008
-0.0046828
-0.30142
-0.16756
0.1578
0.3479
0.3392
0.23358
0.12797
0.058921
0.023539
0.0083348
0.0026556
0.00077022
0.0002052
5.059e-005
1.1612e-005
13
0.20693
-0.070318
-0.21774
0.0033198
0.21928
0.13162
-0.11803
-0.24057
-0.14105
0.066976
0.23378
0.29269
0.26154
0.19015
0.11876
0.065644
0.032725
ISETRad` es
48
3.3.3
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
Repr´esentationspectraledusignalFM
D’apr`eslespropri´etésdesfonctionsdeBessel:
- lespectredusignalFMmodul´ eparunsignalsinuso¨ıdaldefr´equencefm estconstitu´e
d’uneinfinit´ederaiesdistantesdef m ,situ´eesauxfr´equencesf0 ± nf m ,d’amplitude
A · J n (β);
-lesraiessym´ etriquesauxfr´equencesf0 +nf m etf 0 − nf m ontmˆemeamplitudemais
n
n (β)=( − 1) J n ( − β);
sontenoppositiondephasepournimpaircarJ
- lenombrederaiesestinfini,maisJ n (β) → 0quandn →∞ donclesignalFMpeut
êtreconsidérécommeunsignal` alargeurdebandelimit´ ee;
- lorsquel’indicedemodulationestfaible,c’est-` a-direβ
1,ona:
β
J 0 (β) ≈ 1,J 1 (β) ≈
etJ n (β) ≈ 0pourn>1
2
donclespectreestconstitu´ ed’uneraie`alafr´ equencef 0 delaporteuseetdedeux
raieslat´eralesauxfr´ equencesf 0 − f m etf 0 +f m : il ressemble`aunsignalAM
doublebandeavecporteusesaufquelesraieslat´ eralessontenoppositiondephase
carJ − 1 (β)= − J 1 (β).Untelsignalestappel´ esignal FM`abande´ etroite(NBFM:
NarrowBandFM).
0.99
β = 0,2
0.1
0.1
f −f
f0 f0 + fm
0
m
β=1
f
0.76
0.44
0.44
0.11
f − 2f
0
0.11
f −f
m 0
f0
m
f0 + fm f0 + 2fm
f
β=3
0.01 0.04
f0 − 5fm
f0 − 6fm
0.49
0.49
0.34
0.34
0.31
0.31
0.26
0.13
0.13
f0
f0 − 3fm
f0 − 4fm
f0 − 2fm
0.39 0.36
β=5
−f
m
f0
0.33
f0 + fm
0.33
0.36
0.26
0.02
0.13
0.05
f
0.39
0.26
0.18
0.05
0.05
f0 − fm
f0 − 7fm
f0 − 5fm
f0 − 3fm
f0 − 8fm
f0 − 6fm
f0 − 4fm
f0 − 2fm
ISETRad` es
0.04 0.01
f0 + 3fm
f0 + 5fm
f0 + 2fm
f0 + 4fm
f0 + 6fm
f0
f0 + fm
0.13
0.05
0.02
f0 + 7fm
f0 + 3fm
f0 + 5fm
f0 + 2fm
f0 + 4fm
f0 + 6fm
f0 + 8fm
coursd’´ electroniquedecommunication
f
HAGG ÈGE,2003
3.3. AnalysespectraledusignalFM
3.3.4
49
OccupationspectraleutiledusignalFM
Lesignal FMposs`edeth´eoriquementuneoccupationspectraleinfinie(nombrederaies
infini),iln´ ecessitedoncuncanaldetransmissionposs´ edantunebandepassanteinfinie:
irr´ealisableenpratique.
LatransmissiondusignalFMsefaitdoncenremarquantque,pourunevaleurdonn´
eede
l’indicedemodulationβ, l’amplitudedesraiesspectralesdevientdeplusenplusfaible
lorsqu’ons’´eloignedelafr´ equencedelaporteuse.Onpeutdoncn´ egligerlesraiesdontle
rangestsup´erieur`aunecertainevaleurquireste`ad´ eterminerenfonctiondeβ.
SoitN(β)lenombrederaiessignificativesdepartetd’autredelaporteuse.L’occupation
spectraleutiledusignalFMestdonc:
B s =2N(β)f
m
Il existediff´erentscrit`eresded´eterminationdeN(β), parexemplelar` egledeCarson:
pourmesurerN(β),onnegardequelesraiesdontlasommedespuissancesconstitueau
moins98%delapuissancetotaledusignalFM.
Enutilisantled´ eveloppementens´eriedeFourierdusignal FM, lapuissancedecelui-ci
s’écrit:
∞
+∞
+∞
· J n (β)] 2
A2 +
A2
[A
2
PFM =
J n (β) =
J n (β) 2 =1)
=
(car
−∞
−∞
−∞
2
2
2
n=
n=
n=
LenombreN(β)
l’in´egalit´e:
deraies significatives selonlar` egledeCarsonest
A2
+N(β)
2 n= − N(β)
J n (β) 2
+N(β)
n= − N(β)
ouencore:
J 0(β) 2 +2
2
A
0,98 ·
2
≥
98%delapuissancetotale
puissancedesraiessignificatives
c’est-`a-dire:
doncd´efini par
J n (β) 2 ≥ 0,98
N(β)
n=1
J n (β) 2 ≥ 0,98
n
− n (β)=( − 1) J n (β)doncJ − n (β) 2 =J n (β) 2 .
car,pourn>1,onaJ
EnutilisantlatabledesfonctionsdeBessel,ontrouveque:
N(β)=β+1
d’o`u:
Puisqueβ=
∆f
f m ,ona´
B s =2(β+1)f
m
f m =2(∆f+f
m )=2(k
egalement:
B s =2
∆f
+1
fm
f A m +f m )
L’occupationspectraledusignalFMd´ ependdoncdedeuxgrandeurs:
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
50
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
- l’excursionenfr´ equence∆f,proportionnelle` al’amplitudedusignalmodulant;
-lafr´ equencef m dusignalmodulant.
Danslecasd’unsignal FM` afaibleindice(β
1), onaB s =2(β+1)f m ≈ 2f m :on
retrouvel’occupationspectraled’unsignalAM.
Danslecasd’unsignalFM` agrandindice(β
1),onaB s =2(β+1)f m ≈ 2βf m =2k f A m
doncl’occupationspectraled’unsignalFM` agrandindicedemodulation(appel´esignal
WBFM: WideBandFM)estproportionnelle`
al’amplitudedusignal
modulant. Ce
dernierr´esultatestconnusouslenomdeth´ eorèmedeWoodward.
3.3.5
Gén´eralisation
Danslecasd’unsignalmodulantm(t)quelconque,onpeututiliserpourd´
eterminerl’occupationspectraleutiledusignalFM,ler´ esultattrouv´edanslecasd’unsignalmodulant
sinuso¨
ıdalend´ efinissantl’indicedemodulationg´ enéralisé:
k f |m(t) |max
∆f
β=
=
Bm
Bm
avec:
-∆ f=k f |m(t) |max :excursionmaximaledelafr´ equenceinstantanée;
- B m :occupationspectraledusignalmodulant.
Lar`egledeCarsondonne:
B s =2(∆f+B
m)
Exempledecalcul:enradiodiffusionFMdanslabande88–108MHz,ona∆ f=75kHz
etB m =15kHz(normeHI-FI:hautefid´
elit´e).Danscecas,ona:
∆f
75
β= B =
=5
m
15
et:
B s =2(∆f+B
m )=2
× (75+15)=180kHz
Lavaleurainsid´ eterminéeconstitueuneestimationdeB
desmesurespourchaquecasparticulier.
3.4
Gén´erationdusignalFM
3.4.1
Principe
s .Ilresten´
ecessaired’effectuer
Générerunsignal FMconsiste` atransformerdesvariationsdetensionenvariationsde
fr´equence.Latransformationtensionu → fr´equencefdoitˆ etrelin´eaire:
f(u)=f 0 +k f · u
Pouru=0,f=f
elivrelaporteusenonmodul´ ee, k f estappel´e
0 :lemodulateurFMd´
sensibilit´edumodulateur(enHz/V)etmesurelavariationdefr´
equence∆fproduitepar
unevariationdetension∆u.
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
3.4. G´enérationdusignalFM
3.4.2
51
Méthodeparvariationdeparam`
etres
Lesignal FMestobtenuenfaisantvarierlafr´
equenced’unoscillateurLCenagissant
surlavaleurdelacapacit´equid´ eterminelafr´ equenced’oscillation.L’´elément`acapacité
variableutilis´eestunediodevaricapplac´ eeenparall`eleaveclacapacit´educircuitLC:
Cl
LA
m(t)
C
DV
L
oscillateur
Ladiodevaricapsecomportecommeunecapacit´ edontlavaleurd´ ependdelatension
inverseVp appliquéeentresesbornes.Lacapacit´ ed’unediodevaricapest:
C0
C(V p )=
o`uC0, V0 etnsontdesconstantes.
V0 =700mVetn=0
,7.
Vp
1+ V0
n
Parexemple, pourladiodeBB909A:
C 0 =30pF,
C (pF)
30
25
20
Vp
DV
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Vp (V)
LecondensateurdeliaisonC l ,d’imp´edancenégligeableenhautefr´equence,permetd’éviter
quel’inductanceLnecourt-circuitelesignalmodulantm(t).L’inductanced’arrˆ
etL A (self
dechoc),d’imp´ edancenégligeableenbassefr´equence,présenteuneimp´edanceélevéeen
hautefr´equenceafindenepascourt-circuiterlesignal
del’oscillateurparlasourcedu
signalmodulant.
Lafr´equencedel’oscillateurest´ egale`alafr´equenceder´esonanceducircuitLCdonc:
1
f(V p )=
2π L[C+C(V
α ≈
Enutilisantl’approximation(1+x)
V0 ,ona:
faibleamplitudeV p
C(V p )=
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C0
1+
Vp
V0
n
p )]
avecVp =m(t)
1+αxpourx
=C 0
Vp
1+ V
0
1,avecunsignalmodulantde
−n
coursd’´ electroniquedecommunication
≈ C 0 1 − nV p
V
0
ISETRad` es
52
Chapitre3.
donc:
f(V p ) ≈
=
1
2π L C+C
0
1
nC 0
2π L(C+C 0) 1 − (C+C 0 )V 0 Vp
=
1
≈
2π L(C+C
Ainsi:
=
nV p
1 − V0
0)
Lamodulationdefr´
1
2π L C+C
1
2π L(C+C
1+
equence
0)
nC 0
2(C+C
0 )V0
1−
0
− nC 0 Vp
V0
−1
2
nC 0
(C+C
0 )V0
Vp
Vp
f(V p ) ≈ f 0 +k f Vp =f 0 +k f m(t)
avec:
f0 =
1
2π L(C+C
et
kf =
0)
nC 0f 0
2(C+C
0 )V0
Lafr´equencedel’oscillateurestunefonctionlin´ eairedusignalmodulantm(t).L’oscillateurd´elivredoncbienunsignalFM.Unteloscillateurestappel´
eoscillateurcommand´ e
entensionouVCO(VoltageControlledOscillator).
Application: onveuttransmettreunsignal
d’amplitudeA m =10mVsuruneporteuse
defr´equencef0 =98MHzavecuneexcursionenfr´ equence∆f=75kHz.D´ eterminerles
valeursdeLetCdanslecaso`uunediodevaricapBB109Aestutilis´
ee.
∆f
75
f A m ,d’o`uk f = A m = 10 =7 ,5kHz/mV.
Ona: ∆f=k
Desexpressionsdef 0 etk f
trouv´eesprécédemment,ond´eduit:
L=
1
4π2 f 02C 0
et
C=
2kf V0
1 − nf
0
C0
≈
nf 0 −
1
2k f V0
≈ 74,4nH
5,42pF
Avantagedecettem´ ethode: ellepermetd’obtenirdesexcursionsenfr´ equenceimportantes.
Inconvénient:lescaract´ eristiquesdel’oscillateurvarientavecletemps` acauseduvieillissementdescomposants,desvariationsdetemp´erature...d’o`uuned´erivedelafr´ equence
delaporteuse.
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coursd’´ electroniquedecommunication
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3.4. G´enérationdusignalFM
3.4.3
53
Modulateurd’Armstrong
Cettem´ethodeestbas´eesurlag´ enérationd’unsignalFM` afaibleindicedemodulation
β 1 telqueβ 1
1.
SoitunsignalFM:
s(t)=Acos(2πf 1 t+ϕ(t))
avec:
t
ϕ(t)=2πk
f
0
m(u)du
Danslecasd’unsignalmodulantsinuso¨ ıdalm(t)=A
1 sin2πf m t
ϕ(t)=β
Siβ 1
1,alors:
m cos2πf m t,ona:
|ϕ(t) | = |β 1 sin2πf m t |≤ β 1
ainsi:
|ϕ(t) |
1
1
LesignalFMpeuts’´ ecrire:
s(t)=Acos2πf
Puisque |ϕ(t) |
1 tcosϕ(t)
− Asin2πf
1 tsinϕ(t)
1,onpeutfairelesapproximationssuivantes:
cosϕ(t) ≈ 1
sinϕ(t) ≈ ϕ(t)
d’o`u:
s(t) ≈ Acos2πf 1 t − Aϕ(t)sin2πf
1t
Onend´ eduitlesch´emafonctionneld’unmodulateurpermettantd’obtenirunsignalFM
`afaibleindicedemodulation:
modulateur de fréquence à faible indice
m(t)
2πkf
ϕ(t)
−
intégrateur
A sin 2πf1t
−
Σ
s(t)
+
π
2
A cos 2πf1t
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ISETRad` es
54
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
Lesignal FM` afaibleindiceg´ enéréparcemodulateurposs` edeunefr´ equenceporteuse
f 1 etuneexcursionenfr´ equence∆f 1 =β 1f m ,doncsafr´ equenceinstantanéevariedans
l’intervalle[f 1 − ∆f 1,f 1 +∆f 1 ].
Pourobtenirunindicedemodulationβdonn´
e,onmultiplielafr´ equencedusignalFM`a
faibleindiceparunevaleurn.Ainsi,lafr´
equenceinstantanéedusignalFMestramen´ ee
−
,nf
dansl’intervalle[nf 1 n∆f 1
1 +n∆f 1 ]doncsonexcursionenfr´ equencedevient∆f=
n∆f 1.L’indicedemodulationdusignalFMdevientalors:
∆f
n∆f 1
β=
=
=nβ 1
fm
fm
Lafr´equenceporteusedusignalFMainsiobtenuest nf
1 .PourobtenirunsignalFMde
fr´equenceporteusef0 donnée,oneffectueunchangementdefr´equenceparunemodulation
d’amplitudedoublebandesansporteuseavecunefr´ equenceporteusef 2.LesignalFM
obtenupossèdealorsunefr´ equenceporteusef 0 telleque:
f 0 =f 2 ± nf 1
Eneffectuantunfiltragepasse-bande,
onpeutconserverl’unedesdeuxcomposantes
f 0 =f 2 − nf 1 ouf 0 =f 2 +nf 1 .
Ainsi, enchoisissantconvenablementlesvaleursdenetf
2 , onpeutobtenirunsignal
FMdefr´ equenceporteuseetd’indicedemodulationquelconques.
UnmodulateurFM
fonctionnantselonceprincipeestappel´ emodulateurd’Armstrong.
Schémafonctionneldumodulateurd’Armstrong:
filtrage
passe bande
changement
de fréquence
m(t)
modulateur de
fréquence
à faible indice
f1
∆f
1
multiplicateur
de fréquence
par n
n f1
n ∆f
− n f1
f0 = f 2 +
∆
n f
1
1
f0 = f 2 + n f 1
ou
f0 = f 2 − n f 1
s(t)
n ∆f1
fréquence
centrale = f 0
f1
f2
Application:lemodulateurdefr´ equence`afaibleindiced´elivreunsignalFMdefr´ equence
porteusef 1 =0 ,5MHzetd’indicedemodulationβ
1 =0 ,1.OnveutobtenirunsignalFM
defr´equenceporteusef 0 =98MHzetd’indicedemodulationβ=5.Calculdenetf
2 :
β
5
β=nβ 1 ⇒ n= β =
=50
0,1
1
−
×
f 0 =f 2 ± nf 1 ⇒ f 2 =f 0 ∓ nf 1 = 98 50 × 0,5=73MHz
98+50
0,5=123MHz
Onchoisiteng´ enérallafr´ equencelaplusfaible,donconpeutprendre f
2 =73MHz.Le
filtrepassebandedoitavoirunefr´ equencecentralef c =f 0 =98MHz.
L’avantagedumodulateurd’Armstrongr´ esidedanslefaitquelesoscillateursutilis´ espour
générerlesfr´equencesporteusesf1 etf 2 possèdentunefr´equenceconstante,pouvantdonc
êtrefix´eeavecunegrandepr´ ecisionenutilisantparexempleunquartz,
d’o`uunebonne
stabilit´edelafr´ equenceporteusedusignal FMaucoursdutemps,
contrairement`ala
méthodeparvariationdeparam` etresutilisantunediodevaricap.
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3.5. DémodulationdessignauxFM
55
3.5
DémodulationdessignauxFM
3.5.1
Discriminateur
SoitlesignalFM:
s(t)=Acos(2πf
0 t+ϕ(t))
avec:
t
ϕ(t)=2πk
f
0
m(u)du
Siond´erivelesignals(t),onobtient:
ds −
dϕ
A 2πf 0 +
=
dt
dt
or:
sin(2πf 0t+ϕ(t))
dϕ
f
dt =2πk m(t)
donc:
ds
−
f
dt = 2πA[f 0 +k m(t)]sin(2πf 0 t+ϕ(t))
ds
Lesignal dt estunsignalFMdontl’enveloppeestunefonctionlin´ eairedusignalmodulant
m(t). Uned´etectiond’enveloppepermetder´ ecupérerm(t). Onend´ eduitlesch´ emade
principed’undiscriminateur:
s(t)
signal
FM
filtre
dérivateur
ds
dt
s(t)
signal FM
ds
dt
détecteur
d'enveloppe
^
m(t)
enveloppe
^
m(t)
signal
démodulé
signal démodulé
t
t
t
Réalisationpratiquedufiltred´
erivateur: l’opérationded´ erivationcorrespond` aune
multiplicationparj2πf
dansledomainefr´ equentiel. Lafonctiondetransfertd’unfiltre
dérivateurestdonc:
H(f)=j2πf
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ISETRad` es
56
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
H(f)
e
pent
π
=2 f
f
Enpratique,onr´ ealiseuneapproximationlin´ eaireautourdelafr´ equencef 0 enutilisant
uncircuitr´ esonnant:
H(f)
R
linéarisation
autour de f0
C
s(t)
L
u(t)
f0
f
fr
fréquence du signal
FM à démoduler
fréquence de résonnance
du circuit RLC
OnchoisitlesvaleursdeR,
LetCdemani` ere`aavoirlapartielin´ eairedelacourbe
der´esonancedansl’intervalle[f 0 − ∆f,f 0 +∆f], ∆f´ etantl’excursionenfr´ equencedu
signal FM`ad´emoduler. Lad´emodulationdusignal FMsefaitsurleflancdelacourbe
der´esonance.
Pouraugmenterlaplagedelin´
résonnantsentˆete-bêche:
earitédufiltred´ erivateur, onpeutmonterdeuxcircuits
H(f)
H1(f) + H2(f)
H1(f)
^
m(t)
s(t)
fr1
f0
circuits
résonnants
détecteurs
d'enveloppe
fr2
f
H2(f)
Lesdeuxcircuitsr´ esonnantsdefr´equencesder´esonancefr1 etf r2 relativementproches
restentcependantd´elicats`ar´egler.
Inconvénientdelad´ emodulationFMparlediscriminateur:
d’amplitudeparasitesdusignalFMpuisquelamodulationdefr´
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sensibilitéauxvariations
equenceesttransform´ee
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3.5. DémodulationdessignauxFM
57
enmodulationd’amplitudeavantd’ˆ etred´emoduléecommeunsignalAMparled´ etecteur
d’enveloppe.Pourr´esoudreceproblème,onfaitpr´ ecéderlediscriminateurparunlimiteur
quipermetd’´ eliminerlesvariationsd’amplitudeparasitessansperturberlamodulation:
s(t)
^
m(t)
discriminateur
limiteur
3.5.2
Boucle` averrouillagedephase
Laboucle`averrouillagedephase(BVPouPLL: PhaseLockedLoop)estutilis´
eelorsque
lesconditionsder´ eceptiondusignalFMsonttropdifficiles,pourlesquelleslediscriminateurnesecomporteplusdemani` eresatisfaisante,parexempledanslecasdescommunicationsparsatellites.
UnePLLestunsyst` emeboucl´econstituéd’uncomparateurdephaseetd’unoscillateur
command´eentension(VCO):
s(t)
+
y(t)
−
r(t)
comparateur
de phase
VCO
Onnote:
- s(t)=Acos(2πf
t
0 t+ϕ(t))avecϕ(t)=2πk
f
m(u)du,lesignalFM`
0
ad´emoduler;
- y(t),lesignald´ elivréparlecomparateurdephasequirepr´ esentelasortiedelaPLL;
t
- r(t)=Bcos(2πf
y(u)du,lesignaldesortieduVCO
0 t+ψ(t))avecψ(t)=2πk
0
0
quiconstituelesignalderetourdelaPLL.
Lecomparateurdephaseestundispositifquid´ elivreunetensiony(t)proportionnelleau
déphasageentrelessignauxd’entr´ee:
y(t)=K · [ϕ(t) − ψ(t)]
o`uKestlasensibilit´ educomparateurdephase.
LeVCOestunmodulateurFMdontlafr´
equenceporteuseestf 0,´egale`alafr´ equence
porteusedusignal`ad´ emoduler,etlasensibilit´eestk 0 .
Latensionensortieducomparateurdephaseest:
y(t)=K
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· [ϕ(t) − ψ(t)]=K
· 2πk f
t
0
m(u)du − 2πk 0
coursd’´ electroniquedecommunication
t
0
y(u)du
ISETRad` es
58
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
End´erivantcetteexpressionparrapportautemps,onobtient:
dy
− 2πk 0Ky(t)
f
dt =2πk Km(t)
ouencore:
dy
f Km(t)
dt +2πk 0Ky(t)=2πk
C’estune´equationdiff´erentiellelin´eairedupremierordre.Onpose:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ τ=
1
:constantedetempsdelaPLL
2πk 0K
⎪
⎪
kf
⎪
⎪
⎩ G=
:gaindelaPLL
k0
Ainsi,l’´ equationdelaPLLs’´ ecrit:
τ
dy
+y(t)=Gm(t)
dt
RéponseindicielledelaPLL:
m(t)
y(t)
∆m
∆y = G ∆m
t
t
τ
Enr´egimepermanent,c’est-`a-direpourt ≥ 3τ,ona:
dy ≈
0 ⇒ 2πk 0 Ky ≈ 2πk f K∆m
dt
⇒ y ≈ k f ∆m=G∆m
k0
Lesignaly(t)ensortiedelaPLLpr´ esentedoncunevariationproportionnelle`alavariation
∆mdusignal modulant. Doncsi lesignal modulantvarieassezlentementpourquela
PLLpuisseatteindresonr´ egimepermanent`atoutinstant,onabienuned´
emodulation
dusignalFM.
Enpratique, onins`eredanslachaˆ ıned’actiondelaPLLunfiltrepasse-basqui
permet
der´eglersesperformances(tempsder´ eponse,gain,d´epassement,...):
s(t)
+
y(t)
comparateur
− de phase
filtre
passe-bas
r(t)
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VCO
coursd’´ electroniquedecommunication
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3.6. Lesr´ecepteurs` achangementdefr´
3.6
equence
59
Lesr´ecepteurs` achangementdefr´
equence
Lafonctiond’unr´ ecepteurradioestderestituerlemessagetransmis` apartirdusignal
HF(porteuse)re¸ cuauniveaudel’antenne.G´ enéralement,ler´ecepteurdoitrecevoirplusieurs´emissions`adesfréquencesporteusesdifférentes.Orled´ emodulateurdur´ ecepteur
doitfonctionner`alafr´ equencedelaporteuse.Ilfaudraitdoncautantded´
emodulateurs
qued’´emissions`arecevoir: difficile`ar´ealiserenpratique. Deuxsolutionsexistentpour
résoudreceprobl`eme.
Lapremi`eresolutionconsiste`achangerlescaract´ eristiquesdud´ emodulateur: c’estle
casdesr´ecepteurs` aconversiondirecte. Onpeut, parexemple, fairevarierlafr´ equence
centraledelaPLLd’und´ emodulateurFM:
FM
+
BF
comparateur
− de phase
VCO
f0
Cettesolutionrestecependantd´ elicate`amettreenœuvretechniquement.
Ladeuxi`emesolutionconsiste`achangerlafr´ equencedusignalre¸cupourl’adapter`aun
démodulateurdontlescaract´ eristiquesrestentfixes: c’estlecasd’unr´ ecepteur` achangement defr´ equenceour´ ecepteursuperh´ etérodynedontlafr´ equencedud´emodulateur,
appeléefr´equenceinterm´ ediaire(FI),resteconstante.
Schémafonctionneld’unr´ ecepteursuperhétérodyne:
antenne
HF
FI
HF
ampli
HF
ampli
FI
démodulateur
filtre FI
à bande étroite
filtre HF
à large bande
étage à fréquence intermédiaire
étage HF
BF
ampli
BF
BF
filtre BF
étage basse fréquence
oscillateur
local
convertisseur
de fréquence
Fonctionnement: lesignal HFestmultipli´ eparunsignal sinuso¨
ıdal délivr´eparunoscillateurlocal defr´equencef OL . Onobtientdeuxsignauxauxfr´ equencesfOL − f HF et
f OL +f HF .Lesignal` alafr´ equencefOL +f HF est´eliminéparlefiltreFI`abande´ etroite.
Onobtientlesignal`afr´ equenceintermédiairedefr´ equencef I =f OL − f HF .
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ISETRad` es
60
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
Pourgarderlafr´ equencefI constante,onfaitvarierf OL demani`ere`aavoirf OL =f HF +f I .
Ainsi,pourchoisirl’´ emission`adémoduler,onagitsurlafr´ equencedel’oscillateurlocal.
Enpratique,onaf I =10 ,7MHzpourlar´ eceptionFMetf I =455kHzpourlar´ eception
AM.
signal HF
f
fHF
signal FI
filtre FI
fI = fOL − fHF
Exempledecalcul:pourlar´
96+10,7=106,7MHz.
f
fOL + fHF
fOL
eceptiond’unsignal FM`a96MHz,ondoitavoirf
3.7
Lamodulationdephase
3.7.1
Principe
OL
=
Soitunsignals(t)=Acos(2πf
0 t+ϕ(t)).Enmodulationdephase(PM:PhaseModulation),led´ ephasageϕ(t)estproportionnelausignalmodulant:
ϕ(t)=k
p m(t)
s(t)=Acos(2πf
0 t+k
LesignalPMadoncpourexpression:
p m(t))
Pourg´enérerunsignalPM,onpeututiliserunmodulateurFMdontlesignald’entr´
lad´erivéedusignalmodulant:
m(t)
dérivateur
dm
dt
modulateur
FM
eeest
s(t)
Eneffet:
s(t)=Acos
2πf 0t+2πk
C’estunsignalPMaveck p =2πk f .
LesmodulationsFMetPMsontappel´
ISETRad` es
f
t dm
0
du
du =Acos(2πf
0 t+2πk
f m(t))
eesmodulationsangulaires.
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
3.8. Exercices
3.7.2
61
OccupationspectraledusignalPM
Danslecasd’unsignalmodulantsinuso¨ ıdalm(t)=A
s(t)=Acos(2πf
0 t+k
m cos2πf m t,lesignalPMdevient:
p A m cos2πf m t)
Onnoteβ PM =k p A m l’indicedemodulationdusignalPM.Celui-cis’´
s(t)=Acos(2πf
0 t+β
PM
ecritalors:
cos2πf m t)
D’apr`eslar` egledeCarson,ond´ eduitl’occupationspectraled’unsignalPM:
B PM =2(β PM +1)f m =2(k p A m +1)f m
3.8
Exercices
3.8.1
Mesuredelasensibilit´ed’unmodulateurdefr´
Soits(t)unsignalFM,defr´
f m =1kHzetd’amplitudeA
equence
equencecentralef 0,modul´eparunesinuso¨ıdedefr´ equence
m.
1. Tracerlespectredes(t)lorsqueA
2. QuedevientcespectrelorsqueA
m
m
=0.
augmente?
3. Commentvariel’amplitudedelaraie`alafr´
equencef 0 ?
4. Ondonnelestroispremi` eressolutionsdel’´equationJ(x)=0:x
1 =2 ,4;x 2 =5 ,5;
x 3 =8 ,7. End´ eduireunem´ ethodepratiquedemesuredelasensibilit´
ek f du
modulateur.
5. Onmesurek f =0 ,5kHz/mV.D´ eterminerl’occupationspectraledes(t)pourA
30mV.
m
=
Correction:
1. LorsqueA m =0,lemodulateurFMd´
unsignalsinuso¨ıdalpur:
As(f)
elivrelaporteusenonmodul´ ee, c’est-`a-dire
A
f0
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coursd’´ electroniquedecommunication
f
ISETRad` es
62
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
2. LorsqueA m augmente,lesraieslat´eralesapparaissentautourdef 0 :
As(f)
A.J0(β)
...
...
f
f0
3. D’apr`eslespectredusignal
FM, laraie`alafr´ equencef 0 delaporteusevarie
proportionnellement`alafonctiondeBesselJ 0(β):
A s (f 0 )=A
· J 0(β)
4. Lorsquelaraie`alafr´ equencef 0 delaporteuses’annule,onaalors:
⇒ β=2 ,4 ⇒ k f A m =2 ,4 ⇒ k f =2 ,4 · f m
fm
Am
J 0(β)=0
Ilsuffitdoncd’injecter`al’entr´ eedumodulateurFMunsignalmodulantdefr´ equence
f m donnéeetdefairevariersonamplitudeA
m `apartirde0toutenobservantle
spectredusignalFMsurunanalyseurdespectre.Onrel`
evealorslavaleurdeA m
pourlaquellel’amplitudedelaraiecentraleduspectres’annuleunepremi`
erefois
etonend´ eduitlavaleurdelasensibilit´ ek f dumodulateur`apartirdeladerni` ere
égalité.
5. D’apr`eslar` egledeCarson,ona:
B s =2(∆f+f
3.8.2
m )=2(k
ModulateurFM`
f A m +f m )=2
× (0,5 × 30+1)=32kHz
adiodevaricap
Onconsid`erelecircuitr´ esonnantLCsuivant,utilis´edanslar´ ealisationd’unoscillateur:
C
LA
L
Cd
+
_ Vp
Ladiodevaricapsecomportecommeuncondensateurdecapacit´ eC d =
K
oùK
(V0 +V p ) 0,5
etV 0 sontdesconstantesetV p estlatensiondepolarisation.Cettediodeestutilis´ eedans
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coursd’´ electroniquedecommunication
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3.8. Exercices
63
lecircuitr´ esonnanto`uLA estuneselfd’arrˆ etd’imp´edancenégligeableenbassefréquence
et´ elevée`alafr´ equenced’oscillationf 0. Ondonne: L=0 ,32µH, C=10000pF,
V0 =0 ,36V.PourV p =0V,onaC
d =1500pF.
1. Exprimerlafr´ equenced’oscillationf 0 ducircuitetmontrerqu’ellesemetsousla
p ) 0,5 .Donnerlesvaleursnum´eriquesdeA,BetD.Tracer
formef 0 =A B+(D+V
legraphedef 0 enfonctiondeV p lorsqueVp varieentre0et12V(´ echelle:1V/cm
et1MHz/cm).D´ eterminerlavaleurdeV p pouravoirunefr´ equencef 0 =15MHz.
2. LatensionV p estlasommed’unetensioncontinueV=7Vetd’unetensionsinuso¨
ıdalev(t)d’amplitudeV m =0 ,2Vetdefr´ equencef m =20kHz.Montrerque
l’oscillateurestmodul´esinusoı̈dalementenfr´equence.Donnersafr´equencederepos
f 0 etsasensibilit´ ek f .D´eterminerl’indicedemodulationβdusignal
FMobtenu,
ainsiquelabandepassanten´ ecessairepourtransmettrecesignal.
Correction:
1. Lafr´equenced’oscillationducircuitLCest:
f0 =
f0 = 1
2π
C+C d
LCC d
1
2
avec C éq =
−
1 C+K(V 0 +V p ) 0,5
−
=
2π LCK(V 0 +V p ) 0,5
√1
=
2π LK
avec: A=
1
2π LC éq
√1
,B
2π LK
(V0 +V p )
K
= C
0,5
1
2
K
+ C
et D=V
=A
1
2
CC d
C+C
d
1 C(V 0 +V p ) 0,5 +K
=
LCK
2π
B+(D+V
1
2
p ) 0,5
0
−
√K
PourV p =0,onaC d =1500pF ⇒ 1500 · 10 12 = 0,36 ⇒ K=1500
− 12
=900 · 10 .Onadonc:
1
√
· 6
A=
−6 ×
− 12 =9 ,378 10
×
·
·
2π
0,32 10
900 10
− 12
900 · 10
−
B=
=0 ,09
10000 · 10 12
· 10− 12 × 0,6
D=0 ,36
Ainsi:
f 0 =9 ,378 · 0,09+(0,36+V
p)
0,5
1
2
(enMHz)
Pourrepr´esenterf 0 enfonctiondeV p ,oncalculequelquesvaleurs:
Vp (enV)
f 0 (enMHz)
HAGG ÈGE,2003
0
2
4
6
8
10
12
7,79 11,96 13,84 15,16 16,19 17,06 17,80
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
64
Chapitre3.
18
Lamodulationdefr´
equence
f0 (MHz)
16
14
12
10
8
6
Pouravoirf
0
2
4
6
0 =15MHz,onpeutd´
f 02 =A 2
10
Vp (V)
12
eterminerV p graphiquementouparlecalcul:
p)
B+(D+V
⇒ Vp =
8
1
2
⇒ Vp =
152 −
0,09
9,3782
2
2
f 02 −
B
A2
−D
− 0,36=5,73V
|v(t) |max =V m =0 ,2V
2. OnaV p =V+v(t)avecV=7Vet
V. Pourmontrerquel’oscillateurestmodul´esinuso¨ ıdalementenfr´equence,onpeuteffectuerun
développementlimit´eaupremierordredef 0 (Vp )autourdeV p =7V.
Rappel :led´ eveloppementlimit´eaupremierordred’unefonctionf(x)autourd’un
pointx 0 s’écrit:f(x) ≈ f(x 0)+f (x 0 )(x − x 0).
Ona:
1
0,5 2
f 0 (Vp )=A B+(D+V
p)
Onend´ eduit:
f 0 (Vp )=A × 0,5 B+(D+V
=
p)
0,5
− 0.5
0,25A 2
f 0(Vp )(D+V p ) 0,5
Ainsi:
f 0(Vp ) ≈ f 0(V)+
× 0,5(D+V p ) − 0.5 =
car
B+(D+V
0,25A
p ) 0,5 (D+V
B+(D+V
p ) 0,5 =
f 0(Vp )
A
0,25A 2
· p − V)
f 0 (V)(D+V p ) 0,5 (V
v(t)
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
p ) 0.5
3.8. Exercices
65
Donc:
f 0(Vp ) ≈ f 0 (V)+k
f v(t)aveck
f
= f
0,25A 2
p ) 0,5
0 (V)(D+V
Latensionv(t)´ etantsinusoı̈dale,lafr´ equenceinstantanéef 0 (Vp )variesinuso¨ıdalementautourdef 0 (V),doncl’oscillateurestmodul´eenfr´ equence.
Lafr´equencedereposdel’oscillateurest:
f 0(V)=A
B+(D+V)
0,5
=9 ,378 ×
0,09+(0,36+7)
0,5
=15 ,7MHz
Sasensibilit´eest:
kf =
0,25A 2
0,25 ×√ 9,3782
f 0 (V)(D+V p ) 0,5 = 15,7 × 0,36+7 =0 ,516MHz/V
L’indicedemodulationdusignalFMest:
k f Vm
0,516 · 106 × 0,2
β=
=
=5 ,16
fm
20 · 103
Labandepassanten´ecessairepourtransmettrelesignalFMest:
B s =2(β+1)f
3.8.3
m
=2 × (5,16+1) × 20=246,4kHz
DémodulateurFMquadratique
Soitled´ emodulateurFMsuivant,appel´ed´ emodulateurquadratique:
multiplieur
s(t)
^ (t )
m
v(t)
filtre
déphaseur
u(t)
filtre passe-bas
s(t)estlesignalFM`ad´
emoduler,donnéparl’expressions(t)=Acos(2πf
t
0 t+ϕ(t))avec
m(θ)dθ. Lefiltred´ ephaseurestcaract´eriséparunefonctiondetransfert
⎧
⎨ |H(f) | =H 0 =cste
−
≤
≤
π −
f
f 0 +∆f:
H(f)telleque,pourf
∆f
,
0
⎩ H(f)=
α(f − f 0)avecα>0
2
o`u∆festl’excursionmaximaleenfr´ equencedes(t).
1. Tracerl’allurede |H(f) | et H(f). Commentpeut-onr´ ealiserenpratiqueuntel
ϕ(t)=2πk
f
0
filtre?
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es
66
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
2. Donnerl’expressiondelaphaseinstantan´ eedusignal déphas´
eu(t)etend´
l’expressiondusignalv(t)ensortiedumultiplieur.
3. Donnerl’expressiondeˆm(t)ensortiedufiltrepasse-bas.End´
surαpourqueˆm(t)soitproportionnel`
am(t).
eduire
eduireunecondition
Correction:
1. Allurede |H(f) | et H(f):
H(f)
H(f)
pente = −α
H0
π
2
f
f0 − ∆f f0 f0 + ∆f
Réalisationpratiqued’untelfiltre:
f0 − ∆f f0
R
L
u(t)
Enposantω=2πf,lafonctiondetransfertdecefiltres’´
jLω
R+jLω+
f
C
s(t)
H(ω)=
f0 + ∆f
1
jCω
ecrit:
jLω
=
R+j
LCω 2 − 1
Cω
Led´ephasageintroduitparcefiltreest:
π −
H(ω)=
2
arctan
LCω 2 − 1
RCω
√ 1
Onposeω=ω 0 +∆ωavecω 0 = LC (fr´equencederésonancedufiltre)et∆ω
Onaalors,enn´ egligeantlestermesen∆ω 2 etsachantqueLCω 02 =1:
LCω 2 − 1 LC(ω 02 +2ω 0∆ω+∆ω
=
RCω
RC(ω 0 +∆ω)
≈ 2L∆ω
R
∆ω
1− ω
0
2
) − 1 ≈ LCω 02 +2LCω 0 ∆ω − 1
2L∆ω
=
∆ω
RCω 0 1+ ω0
R 1+ ∆ω
ω0
=
2L∆ω − 2L∆ω 2 ≈ 2L∆ω
R
Rω 0
R
⇒ H(ω) ≈ π − arctan 2L∆ω ≈ π − 2L ∆ω
R
R
2
2
(cararctanx ≈ xpourx
ISETRad` es
ω0 .
1) ⇒ H(ω) ≈
si
2L∆ω
R
1c.` a.d ∆ω
R
2L
π − 2L −
π − 4πL −
ω0)=
f 0)
(ω
R
R (f
2
2
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
3.8. Exercices
67
Donc,onabien:
π −
H(f) ≈
α(f − f 0)avecα=
2
4πL
R et∆f
R
4πL
Demˆeme,ona:
|H(ω) | =
Lω
≈ √ L(ω 0 +∆ω)
2
2
−
R 2 +4L 2∆ω 2
R 2 + LCωCω 1
car
LCω 2 − 1 ≈
2L∆ω
Cω
or,ona:
∆ω
R ⇒ 2 2
4L ∆ω
2L
L
≈ Lω0 = |H(ω 0 ) |
(ω
0 +∆ω)
R
R
R 2 ⇒| H(ω) |≈
ω0 .
car ∆ω
Ainsi,onabien:
|H(f) |≈| H(f 0 ) | =H 0 =constante,
pour ∆f
R
4πL
OnpeutdoncutiliseruntelfiltreRLCenchoisissantR,LetCtelsque:
√1
=f 0
2π LC
et
R
L
4π∆f
2. Laphaseinstantan´eedes(t)est:
Θs (t)=2πf
0 t+ϕ(t)
Laphaseinstantan´eedeu(t)est:
Θu (t)=Θ
s (t)+
H(f s (t))
o`uf s (t)estlafr´ equenceinstantanéedes(t):
1 dΘs
1 dϕ
=f 0 +
=f 0 +k f m(t)
2π dt
2π dt
⇒ H(f s (t))= π − α[f 0 +k f m(t) − f 0 ]= π − αk f m(t)
2
2
Ainsi,laphaseinstantann´ eedusignald´ ephas´
eu(t)est:
f s (t)=
Θu (t)=2πf
0 t+ϕ(t)+
π −
2
αk f m(t)
Lesignalu(t)adoncpourexpression:
u(t)=H
HAGG ÈGE,2003
0 Acos
2πf 0t+ϕ(t)+
coursd’´ electroniquedecommunication
π −
2
αk f m(t)
ISETRad` es
68
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
Ainsi,lesignalv(t)ensortiedumultiplieurest:
v(t)=s(t)
· u(t)=Acos(2πf
π −
· H 0Acos 2πf 0 t+ϕ(t)+
0 t+ϕ(t))
2
⎡
H 0A 2 ⎢
π −
⎢
⎢cos
αk f m(t)
=
⎣
2
2
+cos 4πf 0t+2ϕ(t)+
π −
2
αk f m(t)
⎤
⎥
⎥
αk f m(t) ⎥
⎦
composanteHF´ elimin´eeparlefiltrepassebas
3. Apr`esfiltragepassebasdusignalv(t),onobtient:
ˆm(t)=
H 0A 2
2
cos
π −
2
αk f m(t)
Lesignal démodul´em̂(t)estproportionnel
que:
αk f |m(t) |max
1c.` a.d α∆f
=
H 0A 2
sin[αk f m(t)]
2
ausignal modulantm(t)` acondition
1cark
f |m(t) |max
=∆f
Cetteconditionestbienv´ erifiéecarona:
α=
4πL
R
1
∆f
d’aprèslaconditionsurlefiltred´ ephaseur.
Onpeutainsi appliquerl’approximationsinx ≈ xpourx
ment:
H 0A 2αk f
≈
ˆm(t)
m(t)
2
3.8.4
1. Onobtientfinale-
Synth`esed’unePLL
Onconsid`erelaboucle`averrouillagedephase(PLL)repr´
s(t)
+
comparateur
_ de phase
esent´
eeparlesch´emasuivant:
ε(t)
u (t )
filtre passe-bas
r (t )
ISETRad` es
oscillateur
commandé
en tension
VCO
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
3.8. Exercices
69
CettePLLestutilis´ eepourd´emodulerunsignalFMs(t)=Acos
2πf 0t+2πk
t
f
0
m(θ)dθ ,
aveck f =75Hz/V. Lecomparateurdephaseposs` edeunesensibilit´eK=0 ,1V/rad,
lefiltrepasse-basestunfiltredupremierordre,caract´
eriséparunefonctiondetransfert
G
H(f)=
,leVCOposs` edeunesensibilit´ek 0 =50Hz/V.Onnoteε(t)lesignal
1+j2πfτ
délivréparlecomparateurdephase,u(t)lesignaldesortiedufiltrepasse-basetr(t)le
signalproduitparleVCO.
1. Donnerlesrelationsentrelessignauxε(t),
u(t)etm(t).
sontli´esparune´ equationdiff´erentielledelaforme:
Montrerquem(t)etu(t)
1 d2u 2ξ du
ω02 dt 2 + ω0 dt +u=αm(t)
dontonexprimeralesparam` etresω0,ξetαenfonctiondek
estlasignificationphysiquedecesparam` etres?
0 ,k f ,K,Getτ.Quelle
M=cste>0sit
2. Lesignalmodulantm(t)´ etantdonn´epar:m(t)=
0sit<0
l’alluredeu(t)pourξ<1,ξ=1etξ>1.Quepeut-ondiredeu(t)?
≥ 0
,tracer
3. D’apr`escequipr´ ecède,pr´eciserlerˆoledufiltrepasse-basetcalculerlegain Getla
constantedetempsτdecefiltreafind’assurer`
alaPLLunamortissementξ=0
etunepulsationnaturelleω 0 =100rad/s.
,8
Correction:
1. Ona:
t
s(t)=Acos(2πf
0 t+ϕ(t))
avec ϕ(t)=2πk
r(t)=Bcos(2πf
0 t+ψ(t))
avec ψ(t)=2πk
f
m(θ)dθ
0
t
0
0
u(θ)dθ
D’apr`eslafonctiondetransfertdufiltrepassebas:
H(f)=
u
G
=
ε
1+jωτ
⇒ u+τ du =Gε(t)
dt
D’autrepart:
t
0
m(θ)dθ − 2πk 0
du
1
u+τ
G
dt
− ψ(t))
ε(t)=K(ϕ(t)
⇒ K 2πk f
⇒ ε(t)=
t
0
u(θ)dθ =
du
1
u+τ
G
dt
End´erivantcetteexpressionparrapportautemps,onobtient:
2πk f KGm(t)
− 2πk 0KGu(t)=
du
d2 u
+τ
dt
dt 2
2
⇒ τ d u + du +2πk 0 KGu=2πk
dt 2
dt
HAGG ÈGE,2003
coursd’´ electroniquedecommunication
f KGm(t)
ISETRad` es
70
Chapitre3.
Lamodulationdefr´
equence
d2 u
du
kf
1
+
+u=
k 0 m(t)
2πk 0KG dt 2
2πk 0KG dt
2
⇒ 1 d u + 2ξ du +u=αm(t)
ω02 dt 2
ω0 dt
kf
2πk 0KG , 2ξ
1
2
avec: ω0 =
=
et
α=
τ
ω0
k0
2πk 0KG
Lesparamètresω0 ,ξetαsontrespectivementlapulsationnaturelle,l’amortissement
etlegaindelaPLL.
2. Pourm(t)telque:
≥ 0
M=cste>0sit
m(t)=
0sit<0
⇒
τ
onobtientlar´ eponseindicielledelaPLL:
u(t)
2π
ω0 1 − ξ2
ξ<1
ξ=1
ξ>1
αΜ
t
Apr`esextinctiondur´ egimetransitoire,ona:
u(t) ≈ αm(t)
Ainsi, si ladur´eedur´ egimetransitoiredelaPLLestsuffisammentfaible,
celle-ci
permetbiended´ emodulerlesignalFM.
3. Lefiltrepassebaspermetd’ajusterlar´ eponseindicielledelaPLLpourobtenirles
performancesdésiréesentermedetempsder´ eponse,ded´epassement,...
Ona:
ω0
2ξ
1
⇒ G=
=
ω0
2πk 0KG
4πk 0 Kξ
KG ⇒
ω0
2πk 0 KG
2πk 0K
1
ω02 = 2πk 0
τ=
=
τ
ω02
ω02 4πk 0 Kξ = 2ξω0
Pouravoirunamortissementξ=0 ,8etunepulsationnaturelleω 0 =100rad/s,on
doitavoir:
100
≈ 2
G=
×
×
4π 50 0,1 × 0,8
et
1
τ=
=6 ,25ms
×
2 0,8 × 100
ISETRad` es
coursd’´ electroniquedecommunication
HAGG ÈGE,2003
Bibliographie
[1] P. Clerc etP. Xavier . Principesfondamentauxdest´ elécommunications. Ellipses,
Paris,1998.
[2] E. Fernandez etM. Matthieu . Lesfaiseauxhertziensanalogiquesetnum´
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Dunod,Paris,1991.
[3] P. Fraisse ,R. Proti ère ,etD. Marty-Dessus . T´elécommunications1–Transmissiondel’information.
Ellipses,Paris,1999.
[4] D. Ventre . Communicationsanalogiques.
HAGG ÈGE,2003
Ellipses,Paris,1991.
coursd’´ electroniquedecommunication
ISETRad` es