La gestione a scorta dei
materiali
Prof. Teresa Murino
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1
La gestione a scorta dei materiali
Introduzione
• La gestione dei materiali si propone di
determinare le modalità di rilascio degli ordini di
produzione/acquisto e dei livelli di scorta nelle
varie fasi del sistema produttivo.
• L’obiettivo è quello di garantire, da un lato, il
corretto funzionamento del sistema produttivo
ed il livello di servizio al cliente, dall’altro lato, di
assicurare l’economicità di gestione.
• Gli approcci da utilizzare differiscono a seconda
della configurazione del sistema produttivo.
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La gestione a scorta dei materiali
Le scorte di materiale
• Tipologie di scorte
– Scorte di materie prime e/o componenti: sono scorte
localizzate nella fase a monte del sistema di
produzione. Dipendono dalla modalità con cui
vengono emessi gli ordini verso i fornitori (politiche di
fornitura) e dal livello di servizio che si vuole
garantire al sistema produttivo.
Sono caratterizzate da maggiore standardizzazione, e
quindi minore rischio di obsolescenza, non essendo
ancora entrate nel sistema produttivo e quindi non
avendo ancora subito le trasformazioni dipendenti
dalla personalizzazione richiesta dai clienti.
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La gestione a scorta dei materiali
Le scorte di materiale
– Scorte di prodotti finiti: sono scorte localizzate nella
parte più a valle del sistema di produzione.
Dipendono dalla modalità con cui è gestito il sistema
produttivo (rilascio ordini di produzione) e dal livello
di servizio che si vuole garantire al cliente.
Sono caratterizzate da maggiore personalizzazione, e
quindi sono soggette ad un rischio di obsolescenza,
che comunque dipende dal grado di personalizzazione
e dalla stabilità del mercato di riferimento.
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La gestione a scorta dei materiali
Le scorte di materiale
– Work-In-Process (WIP): sono le scorte in
attraversamento nel sistema produttivo, e
rappresentano materiali che stanno subendo le
trasformazioni.
La quantità di WIP dipende dal tempo di
attraversamento del sistema (vedi Legge di Little) ed
anche dalle scelte che vengono fatte in termini di
compensazione degli effetti della variabilità, e quindi
del livello di bufferizzazione che si vuole garantire ai
flussi nel sistema produttivo.
Il WIP aumenta il suo grado di personalizzazione
mano a mano che ci si sposta da monte verso valle nel
sistema produttivo.
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La gestione a scorta dei materiali
Le scorte di materiale
• Considerando un generico «stock point»,
possiamo classificare le scorte in esso presenti in
base alla funzione svolta.
Working stock (scorta
operativa)
Safety stock (scorta di
sicurezza)
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La gestione a scorta dei materiali
Le scorte di materiale
• Working stock (scorta operativa): è la scorta che
compensa gli scostamenti tra flusso in ingresso e
flusso in uscita coprendo il tempo di
attraversamento del sistema, cioè da quando
emetto l’ordine (verso fornitori o verso il sistema
produttivo) a quando sono consegnati i materiali.
• Safety stock (scorta di sicurezza): è la scorta che
copre le fluttuazioni della domanda durante il
tempo di attraversamento dell’ordine. Dipende
dalla variabilità e dal livello di servizio che si
vuole garantire.
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La gestione a scorta dei materiali
Costi coinvolti nella gestione delle scorte
Costi coinvolti nella gestione delle scorte
• Costo di acquisto: è il prezzo pagato per
l’acquisto del materiale. In genere è costante, a
meno che non vi siano sconti sul prezzo correlati
alla quantità ordinata.
• Costo di emissione dell’ordine: è il costo di tutte
le attività connesse all’emissione dell’ordine ed al
ricevimento della merce.
Ha tipicamente un andamento che dipende dalla
quantità ordinata.
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La gestione a scorta dei materiali
Costi coinvolti nella gestione delle scorte
Comprende diverse voci di costo
– Costi di preparazione ed emissione dell’ordine;
– Costi di ricevimento e controllo della merce ordinata;
– Costi amministrativi per la contabilizzazione dei
materiali;
– Costi di trasporto (se costanti e non inclusi nel prezzo
d’acquisto della merce).
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La gestione a scorta dei materiali
Costi coinvolti nella gestione delle scorte
• Costo di mantenimento a magazzino: è il costo
che si sostiene per conservare la merce a
magazzino. Coinvolge diversi fattori:
– costi degli spazi occupati;
– costi di gestione (es: personale e attrezzature);
– costi energetici (es: celle frigorifere);
– costi si assicurazione;
– costi del capitale immobilizzato.
Questo costo, detto anche «holding cost», è
tipicamente proporzionale alla quantità di merce
stoccata a magazzino.
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La gestione a scorta dei materiali
Costi coinvolti nella gestione delle scorte
• Costo di invecchiamento: sono correlati al fatto
che la merce può perdere valore al passare del
tempo, a causa di:
– invecchiamento naturale
– obsolescenza
Questo costo, a seconda della tipologia di
prodotti che si gestiscono, può essere
proporzionale al tempo medio di permanenza a
scorta, oppure alla quantità che rimane in
magazzino a fine periodo (es: prodotti
stagionali).
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La gestione a scorta dei materiali
Costi coinvolti nella gestione delle scorte
• Costo di «stockout»: è il costo nel quale si
incorre ogni qual volta il livello di scorta del
magazzino va a «zero» e quindi non si riesce a
soddisfare prontamente la domanda del cliente.
Il cliente può, a questo punto, adottare due
comportamenti diversi:
1. il cliente è disposto ad aspettare, quindi la sua
domanda viene soddisfatta in ritardo;
2. il cliente NON è disposto ad aspettare, quindi la sua
domanda viene persa.
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La gestione a scorta dei materiali
Costi coinvolti nella gestione delle scorte
Nel primo caso, si parla di stockout con
backordering, cioè la domanda viene comunque
registrata e quindi soddisfatta in ritardo,
tipicamente pagando una penale in termini di
sconto al cliente.
Nel secondo caso si parla di stockout con lost
sales, cioè la vendita viene persa e si ha una
rimanenza a magazzino che dovrà essere venduta
successivamente. Anche in questo caso si ha un
costo relativo al mancato profitto immediato.
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La gestione a scorta dei materiali
Tecniche di gestione delle
scorte
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La gestione a scorta dei materiali
Tecniche di gestione delle scorte
• Si differenziano a seconda che il prodotto, o
«item», da gestire sia:
– a domanda indipendente;
– a domanda dipendente.
• Gli item a domanda indipendente sono quelli che
vedono direttamente la domanda di mercato.
• Gli item a domanda dipendente sono quelli la cui
domanda dipende, secondo la gerarchia stabilita
dalla distinta base, dagli item nei quali sono
utilizzati per la produzione.
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La gestione a scorta dei materiali
Tecniche di gestione delle scorte
Prodotti finiti, sono a
domanda indipendente.
1
4
1
1
1
x
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y
1
1
z
1
k
1
Componenti realizzati dal
processo di fabbricazione,
sono a domanda dipendente.
Materie prime ad elevato
grado di comunanza (tra
diversi prodotti finiti). Vedendo
una domanda «aggregata»,
funzionano come se fossero a
domanda indipendente.
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La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente:
modelli deterministici
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La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli deterministici
• Si possono applicare per la gestione a scorta di:
– Prodotti finiti: solo nel caso di contesto produttivo
Make-To-Stock (MTS), cioè con prodotti standardizzati
soggetti a domanda stabile e basso rischio di
obsolescenza.
– Materie prime e componenti ad elevato grado di
comunanza: nei contesti produttivi dal MTS al MTO,
ed anche per la gestione delle parti comuni e dei
moduli nel punto di disaccoppiamento dei sistemi
Assembly-To-Order (ATO).
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La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli deterministici
• I modelli deterministici rappresentano la base di
partenza che definisce la meccanica di
funzionamento sulla quale poi si andranno ad
aggiungere gli effetti della variabilità.
• Sono in linea di massima classificabili in due
famiglie:
– Modelli a revisione continua e lotto fisso di riordino
– Modelli a intervallo fisso di riordino
• In generale, questi modelli determinano
– quando ordinare
– quanto ordinare
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La gestione a scorta dei materiali
Modelli a lotto fisso di riordino
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ)
Economic Order Quantity (EOQ)
• Sviluppato da F.W. Harris, 1913.
• Idoneo per i materiali acquistati dai fornitori, in
quanto considera che l’intera quantità acquistata
sia consegnata in un unico istante.
• Il funzionamento prevede che il livello di scorta
sia continuamente monitorato, e che si emetta
un nuovo ordine ogni qual volta il livello scende
al di sotto di una certa soglia detta «livello di
riordino».
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ)
• Si basa sulle seguenti ipotesi:
– Domanda nota, costante e continua.
– Lead time di fornitura noto e costante.
– L’intero ordine viene consegnato in un’unica
soluzione e caricato a magazzino istantaneamente.
– Le rotture di stock (stockout) non sono ammesse.
– La struttura dei costi è fissa.
– Non ci sono vincoli di spazio e di capitale.
– Si considera un unico item.
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ)
Andamento delle scorte in funzione del tempo
quando si adotta il modello EOQ
scorte
on order
Q
Q
on hand
B
reorder
point
t
Lead time
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ)
• La politica EOQ prevede che si emetta un ordine
di dimensione Q ogni qual volta si verifica la
condizione:
stock position = on hand + on order £ reorder point
• L’obiettivo dell’EOQ è quello di determinare la
dimensione del lotto Q ed il livello di riordino B
tali per cui i costi totali del sistema sono
minimizzati.
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ)
• Definiti
R = domanda annua di unità
P = costo di acquisto di una unità
C = costo di emissione dell’ordine
F = costo annuo di mantenimento a scorta
espresso come frazione del costo di unità
H = P × F = costo annuo di mantenimento a
scorta di una unità
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ)
• La funzione di costo può quindi essere scritta nei
seguenti termini
costo annuo totale = costo d’acquisto +
costo di emissione dell’ordine +
costo di mantenimento a scorta
𝑅
𝑄
𝑇𝐶 𝑄 = 𝑃 & 𝑅 + 𝐶 & + 𝐻 &
𝑄
2
Numero di ordini
emessi in un anno
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Giacenza
media
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ)
• Derivando rispetto a Q ed uguagliando a 0
troviamo il lotto che minimizza i costi totali
d𝑇𝐶(𝑄)
𝐶&𝑅 𝐻
=− ! + =0
d𝑄
𝑄
2
∗
𝐸𝑂𝑄 = 𝑄 =
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2&𝐶&𝑅
𝐻
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ)
• Tanto più H è grande e C è piccolo, tanto minore
sarà Q*.
• Si può inoltre calcolare:
𝑅
𝑚= ∗=
𝑄
𝐻&𝑅
2&𝐶
1 𝑄∗
𝑇= =
=
𝑚
𝑅
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numero ottimale di ordini
emessi in un anno
2&𝐶
𝐻&𝑅
intervallo tra gli ordini
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ)
• Il livello di riordino B si determina imponendo di
riuscire a soddisfare la domanda durante il lead
time:
𝐿
𝐵=𝑅&
𝑁
Livello di riordino = lead time demand
dove L è il lead time espresso in giorni lavorativi e
N è il numero di giorni lavorativi all'anno.
• Con questo valore di B l'ordine arriverà
esattamente un attimo prima di esaurire le
scorte.
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ)
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ)
• Si noti come la curva dei costi totali è abbastanza
piatta nell'intorno dell'ottimo matematico.
• Il costo totale annuo in corrispondenza di Q*
vale:
𝑇𝐶 𝑄∗
𝑅
𝑄∗
=𝑃&𝑅+𝐶& ∗+𝐻&
=
𝑄
2
= 𝑃 & 𝑅 + 𝐻 & 𝑄∗
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) - Esempio
Esempio
Un item vede una domanda di 8000 unità all’anno
distribuita in modo stabile sulle 52 settimane. Il
costo unitario è di € 10,00 mentre il costo di
mantenimento a scorta per unità per anno è di
€ 3,00. Il costo di emissione di un ordine è di
€ 30,00.
Si calcolino l’EOQ, il costo totale annuo, il numero
di ordini emessi in un anno ed il livello di riordino
nel caso di lead time pari a 2 settimane.
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) - Esempio
Svolgimento
𝑄∗ =
2$𝐶$𝑅
=
𝐻
2 $ 30 $ 8000
= 400 unità
3
𝑇𝐶 𝑄 ∗ = 𝑃 $ 𝑅 + 𝐻 $ 𝑄 ∗ = 10 $ 8000 + 3 $ 400 = 81200 €
𝑅
8000
𝑚= ∗=
= 20 ordini/anno
𝑄
400
𝐿
2
𝐵 = 𝑅 $ = 8000 $
= 307.7 unità
𝑁
52
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) - Esempio
scorte
400
400
307.7
t
2 settimane
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
• In questo caso consideriamo di avere la
possibilità di andare in stockout, con la garanzia
che il cliente sia disposto ad aspettare a fronte di
uno sconto sul prezzo.
• Il termine "cliente" va inteso in senso lato. Ad
esempio, un magazzino materie prime che
alimenta una linea di produzione vede la linea
come "suo cliente". In questo caso, uno stockout
genera un fermo della linea con conseguenti costi
di fermo produzione.
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
• Dato che il sistema è deterministico, andremo a
modellare un sistema nel quale lo stockout viene
imposto sistematicamente ad ogni ciclo.
• Questa situazione è irrealistica, ma consente di
porre in evidenza il modo con cui lo stockout
interviene sui costi.
• Le ipotesi sono le stesse del modello EOQ
classico, solo che, in questo caso, il livello di
riordino è tale per cui si genera uno stockout ad
ogni ciclo.
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
scorte
Q-J
Q
Q
B
t
quantità in
backorder
Lead time
t1
t2
t3
J
t
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
• Data la presenza di backorders, la politica di
riordino diventa la seguente:
stock position = on hand + on order - backorders £ reorder point
• L’obiettivo dell’EOQ con backorders è quello di
determinare la dimensione del lotto Q ed il livello
di riordino B tali per cui i costi totali del sistema
sono minimizzati.
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
• Si noti come il livello di scorta sia pari a Q - J,
quindi nel sistema vi è una scorta media più
bassa rispetto all'EOQ classico.
• Sono presenti però degli ordini in backorder, che
raggiungono un ammontare massimo pari a J.
• Definiamo quindi:
K = costo medio di una unità in backorder per un
anno
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
• Ragionando su un ciclo:
𝑄
𝑡# =
𝑅
durata di un ciclo
𝑄−𝐽
𝑡$ =
𝑅
durata della fase positiva del ciclo
𝐽
𝑡! =
𝑅
durata della fase di backorder del ciclo
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
• L'holding cost riguarda solo la fase positiva e vale
𝑄−𝐽
𝐻& 𝑄−𝐽 !
𝐻&
& 𝑡$ =
2
2&𝑅
• Il backordering cost è invece dato da
𝐽
𝐾 & 𝐽!
𝐾 & & 𝑡! =
2
2&𝑅
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
• I costi totali in un singolo ciclo sono quindi pari a
𝐻 & 𝑄 − 𝐽 ! 𝐾 & 𝐽!
𝑃&𝑄+𝐶+
+
2&𝑅
2&𝑅
• Considerando che in un anno ci sono R/Q cicli
𝑇𝐶 𝑄, 𝐽
𝑅
𝑄−𝐽 !
𝐽!
=𝑃&𝑅+𝐶& +𝐻&
+𝐾&
𝑄
2&𝑄
2&𝑄
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
• Troviamo il minimo uguagliando a zero le
derivate parziali
𝜕𝑇𝐶(𝑄, 𝐽)
𝑄−𝐽 𝐾&𝐽
= −𝐻 &
+
=0
𝜕𝐽
𝑄
𝑄
𝐻
$
𝑄
𝐽∗ =
𝐻+𝐾
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
𝜕𝑇𝐶(𝑄, 𝐽)
𝐶+𝑅
1
𝐽!
𝐾 + 𝐽!
=− ! +𝐻+
−
−
=0
!
!
𝜕𝑄
𝑄
2 2+𝑄
2+𝑄
!
2
+
𝐶
+
𝑅
𝐻
+
𝐾
+
𝐽
𝑄∗ ! =
+
𝐻
𝐻
• Sostituendo J* precedentemente calcolato, si
ottiene
𝑄∗ =
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2$𝐶$𝑅
𝐻+𝐾
$
𝐻
𝐾
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
• In conclusione
𝑄∗ =
2$𝐶$𝑅
𝐻+𝐾
$
𝐻
𝐾
∗
𝐻
$
𝑄
𝐽∗ =
𝐻+𝐾
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
• Si nota come la presenza dei backorders porta ad
avere un Q* maggiore di quello del modello
senza backorders.
• Inoltre, tanto più K > H, tanto meno si tende ad
andare in backorder.
• Il livello di riordino, nel caso di backorder,
diventa:
𝐿
𝐵 =𝑅& −𝐽
𝑁
dove L è il lead time espresso in giorni lavorativi e
N è il numero di giorni lavorativi all'anno.
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Quantity (EOQ) con backordering
• Il massimo periodo di attesa che il cliente può
trovarsi a dover aspettare è
𝐽∗
𝑅
• Il costo totale minimo è pari a
𝐻&𝐾
∗ ∗
𝑇𝐶 𝑄 , 𝐽 = 𝑃 & 𝑅 +
& 𝑄∗
𝐻+𝐾
∗
𝑇𝐶 𝑄 , 𝐽
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∗
2&𝐶&𝑅
𝐾
=𝑃&𝑅+𝐻&
&
𝐻
𝐻+𝐾
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Production Quantity (EPQ)
Economic Production Quantity (EPQ)
• L'EPQ, a differenza dell'EOQ, considera che
l'ordine sia versato a magazzino a ritmo costante
per un numero di giorni pari alla durata della
produzione.
• Per questo motivo, l'EPQ si applica meglio a quei
casi in cui si vuole determinare il lotto ottimale
da mettere in produzione su una linea.
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Production Quantity (EPQ)
• Si basa sulle seguenti ipotesi:
– Domanda nota, costante e continua.
– Lead time di produzione noto e costante.
– Le rotture di stock (stockout) non sono ammesse.
– La struttura dei costi è fissa.
– Non ci sono vincoli di spazio e di capitale.
– Si considera un unico item.
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Production Quantity (EPQ)
• Definiti
R = domanda annua in unità
P = costo di produzione per unità
N = giorni lavorativi nell'anno
R
unità
r = tasso di domanda =
N
giorno
p = cadenza produttiva in unità/giorno
Q = dimensioni del lotto di produzione
C = costo di setup
H = costo annuo di mantenimento a scorta di una unità
L = lead time per l'avvio della produzione
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Production Quantity (EPQ)
• Ovviamente, deve essere p > r
• La fase di produzione ha una durata pari a
𝑄
𝑝
• Il livello di riordino è pari a
𝑅$𝐿
𝐵=
=𝑟$𝐿
𝑁
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Production Quantity (EPQ)
Andamento delle scorte in funzione del tempo
quando si adotta il modello EPQ
scorte
𝑄
𝑝−𝑟
𝑝
p
r
p-
r
𝑄%
B
𝑡! =
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𝑄
𝑝
L
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t
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Production Quantity (EPQ)
• La funzione di costo può quindi essere scritta nei
seguenti termini
costo annuo totale = costo di produzione +
costo di setup +
costo di mantenimento a scorta
𝑅
𝑄 𝑝−𝑟
𝑇𝐶 𝑄 = 𝑃 & 𝑅 + 𝐶 & + 𝐻 & &
𝑄
2
𝑝
Numero di ordini
emessi in un anno
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Giacenza
media
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Production Quantity (EPQ)
• Derivando rispetto a Q ed uguagliando a 0
troviamo il lotto che minimizza i costi totali
d𝑇𝐶(𝑄)
𝐶&𝑅 𝐻 𝑝−𝑟
=− ! + &
=0
d𝑄
𝑄
2
𝑝
𝐸𝑃𝑄 = 𝑄∗ =
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2&𝐶&𝑅
𝑝
&
𝐻
𝑝−𝑟
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Production Quantity (EPQ)
• Il costo totale annuo in corrispondenza di Q*
vale:
𝑝−𝑟
∗
∗
𝑇𝐶 𝑄 = 𝑃 & 𝑅 + 𝐻 & 𝑄 &
𝑝
• La lunghezza ottimale di un lancio di produzione
𝑄∗
𝑝
• La lunghezza totale di un ciclo
𝑄∗
𝑟
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Production Quantity (EPQ) - Esempio
Esempio
Un item vede una domanda di 20000 unità all’anno
distribuita in modo stabile su 250 giorni lavorativi.
La cadenza produttiva è di 100 unità al giorno, ed il
lead time per il lancio di un ordine è di 4 giorni. Il
costo unitario è di € 50,00, il costo di
mantenimento a scorta per unità per anno è di
€ 10,00, mentre il costo di setup è di € 20,00.
Si calcolino l’EPQ, il numero di lanci di produzione
emessi in un anno, il livello di riordino ed il costo
totale annuo.
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La gestione a scorta dei materiali
Economic Production Quantity (EPQ) - Esempio
Svolgimento
𝑅 20000
𝑟= =
= 80 unità/giorno
𝑁
250
𝑄∗ =
2$𝐶$𝑅
𝑝
$
=
𝐻
𝑝−𝑟
2 $ 20 $ 20000
100
$
= 632 unità
10
100 − 80
𝑅
20000
𝑚= ∗=
= 31.6 lanci/anno
𝑄
632
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57
La gestione a scorta dei materiali
Economic Production Quantity (EPQ) - Esempio
𝐿
4
𝐵 = 𝑅 $ = 20000 $
= 320 unità
𝑁
250
𝑇𝐶 𝑄 ∗
= 𝑃 $ 𝑅 + 𝐻 $ 𝑄∗ $
𝑝−𝑟
=
𝑝
100 − 80
= 50 $ 20000 + 10 $ 632 $
= 1001264 €
100
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58
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
EPQ multiple items
• Questo modello gestisce il lancio di ordini di
produzioni di più prodotti su una linea di
produzione.
• L’obiettivo è quello di determinare la lunghezza
ottimale di un ciclo di produzione, e di
conseguenza derivare i lotti economici di tutti i
prodotti.
• Ad ogni ciclo, tutti i prodotti sono lanciati in
produzione (produzione ripetitiva).
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59
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
Andamento delle scorte di n items
scorte
𝑡!#
𝑡!!
𝑡!"
……
𝑡!$
attesa
t
durata ciclo
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60
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
• Definiti
m = numero di cicli produttivi annui
𝑟# = tasso di domanda dell’item i-esimo
𝑝# = cadenza produttiva dell’item
𝑄# = dimensione del lotto dell’item i-esimo
𝑅# = domanda annua dell’item i-esimo
𝑃# = costo di produzione dell’item i-esimo
𝐶# = costo di setup dell’item i-esimo
𝐻# = costo di mantenimento a scorta dell’item i-esimo
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61
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
• Il tempo di produzione dell’item i-esimo vale
𝑄&
𝑡%! =
𝑝&
∀𝑖 = 1, … , 𝑛
• Per il lotto dell’item i-esimo deve inoltre valere
𝑅& = 𝑚 & 𝑄&
∀𝑖 = 1, … , 𝑛
in quanto, negli 𝑚 cicli annui, deve essere
soddisfatta tutta la domanda 𝑅& .
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62
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
• Ricavando 𝑄& dalle due equazioni ed uguagliando
si ottiene
𝑅&
𝑄& = 𝑝& & 𝑡%! =
𝑚
∀𝑖 = 1, … , 𝑛
• Per ogni item, la giacenza media vale
𝑝& − 𝑟& & 𝑡%!
1
𝑝& − 𝑟&
=
& 𝑅& &
2
2&𝑚
𝑝&
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∀𝑖 = 1, … , 𝑛
63
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
• I costi totali possono quindi essere espressi come
%
%
%
"#$
"#$
"#$
1
𝑝" − 𝑟"
𝑇𝐶 𝑚 = & 𝑃" ( 𝑅" + 𝑚 ( & 𝐶" +
( & 𝐻" ( 𝑅"
2(𝑚
𝑝"
• Si noti che, se 𝑛 = 1, allora 𝑚 =
'
(
e quindi
l’equazione diventa quella dell’EPQ con item
singolo.
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64
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
• Per trovare il numero di cicli ottimale, deriviamo
l’equazione rispetto ad 𝑚 ed uguagliamo a 0
%
%
"#$
"#$
d𝑇𝐶 𝑚
1
𝑝" − 𝑟"
= & 𝐶" −
( & 𝐻" ( 𝑅" (
=0
&
d𝑚
2(𝑚
𝑝"
𝑚∗ =
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𝑝# − 𝑟#
&
∑#$% 𝐻# + 𝑅# +
𝑝#
2 + ∑&#$% 𝐶#
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65
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
• Il lotto economico di produzione di ciascun item
è quindi dato da
𝑅#
𝑄# = ∗
𝑚
∗
∀𝑖 = 1, … , 𝑛
• Si possono infine determinare i costi totali in
corrispondenza dell'ottimo
&
&
𝑇𝐶 𝑚∗ = F 𝑃# + 𝑅# + 2 + 𝑚∗ + F 𝐶#
#$%
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#$%
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66
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
• Osserviamo che il modo con cui è stato calcolato
𝑚∗ ha ignorato
– la capacità produttiva della linea
– gli eventuali tempi di setup per cambio produzione
• Vediamo quindi quali verifiche devono essere
fatte per garantire il rispetto dei due vincoli sopra
riportati.
• Indichiamo con
𝑁 il numero di giorni lavorativi all'anno
𝑇'! il tempo di setup per l'item i-esimo, ipotizzato
indipendente dalla sequenza di lancio.
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67
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
• Per il rispetto delle capacità produttiva deve
almeno essere verificata la seguente relazione
&
𝑅#
𝑁≥F
𝑝#
#$%
• Dividendo per 𝑚∗ entrambi i membri si ottiene la
condizione scalata sul singolo periodo
&
𝑁
𝑄# ∗
≥F
∗
𝑚
𝑝#
#$%
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68
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
• Aggiungendo la necessità di setup si ottiene
&
𝑁
𝑄# ∗
≥F
+ 𝑇'!
∗
𝑚
𝑝#
#$%
• Se l'uguaglianza non risulta verificata, si deve
procedere a ridurre 𝑚 per ridurre i tempi spesi in
setup. Riscrivendo l'equazione rispetto ad un 𝑚
generico
&
&
&
#$%
#$%
#$%
𝑁
𝑄#
𝑅#
≥F
+ 𝑇'! = F
+ F 𝑇'!
𝑚
𝑝#
𝑚 + 𝑝#
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69
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
• Da cui si deriva il limite massimo per 𝑚
&
&
#$%
#$%
𝑅#
𝑁 ≥ F + 𝑚 + F 𝑇'!
𝑝#
* 𝑅&
𝑁 − ∑&)$
𝑝&
𝑚≤
∑*&)$ 𝑇+!
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70
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items
Andamento delle scorte con la presenza di setup
scorte
𝑇"#
𝑡!#
𝑇"!
𝑡!!
𝑇""
𝑡!"
durata ciclo
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……
𝑇"$
𝑡!$
t
attesa
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71
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items - Esempio
Esempio
R
C
P
H
p
N
r
Item 1
6300
82
9
10.8
100
28.64
m*
tciclo
Q
tp
Prof. Teresa Murino
Item 2
3200
82
11
13.2
100
220
14.55
Item 3
4700
82
8
9.6
100
21.36
15.63
14.08
403
4.0
205
2.0
301
3.0
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72
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items - Esempio
Senza tempo di setup
t
Item 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
0
71
143
214
285
257
228
200
171
142
114
85
56
28
0
71
143
214
285
257
228
200
171
142
114
85
56
28
0
Prof. Teresa Murino
Item 2
0
85
171
156
142
127
113
98
84
69
55
40
25
11
0
85
171
156
142
127
113
98
84
69
55
Con tempo di setup
Item 3
0
79
157
236
215
193
172
150
129
108
86
65
44
22
0
79
157
236
215
193
172
150
129
t
Item 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
0
71
143
214
285
257
228
200
171
142
114
85
56
28
0
71
143
214
285
257
228
200
171
142
114
85
56
28
0
Item 2
0
85
171
156
142
127
113
98
84
69
55
40
25
11
0
85
171
156
142
127
113
98
84
69
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Item 3
TS1 = 2 gg
TS2 = 1 gg
TS3 = 2 gg
0
0
79
157
236
215
193
172
150
129
108
86
65
44
22
0
79
157
236
215
193
73
La gestione a scorta dei materiali
EPQ multiple items - Esempio
Item 1
Cicli di produzione e scorte
Item 2
Item 3
300
250
200
150
100
50
0
0
TS1
2
4
TS2
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
TS3
ciclo
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TS1
TS2
TS3
ciclo
TS1
TS2
TS3
TS1
ciclo
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74
La gestione a scorta dei materiali
Modelli a intervallo fisso di
riordino
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75
La gestione a scorta dei materiali
Modelli a intervallo fisso di riordino
• E’ un approccio di riordino periodico.
• Dopo che è trascorso un intervallo di tempo T
prefissato, in base ai consumi che si sono
manifestati si decide quanto ordinare, quindi:
– Quando ordinare: imposto a priori, definendo un
intervallo fisso tra gli ordini.
– Quanto ordinare: dipende da ordine a ordine a
seconda dei consumi.
• Per determinare la quantità da ordinare, viene
definito un livello di stock di riferimento E.
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76
La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Interval (EOI)
Economic Order Interval (EOI)
• Ogni volta che trascorre una quantità di tempo
pari all’intervallo T, si emette un ordine Q pari
alla differenza tra il livello di riferimento E ed il
livello attuale delle scorte.
• Il sistema deve essere inizialmente «fasato»
tenendo anche in considerazione il lead time L.
• L’EOI si propone quindi di determinare l’intervallo
T ed il livello di riferimento E che minimizzano i
costi totali.
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77
La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Interval (EOI)
Andamento delle scorte in funzione del tempo
scorte
E
Q
L
L
T
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L
T
L
T
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t
T
78
La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Interval (EOI)
• Definiti
R = domanda annua di unità
P = costo di acquisto di una unità
C = costo di emissione dell’ordine
F = costo annuo di mantenimento a scorta
espresso come frazione del costo di unità
H = P × F = costo annuo di mantenimento a
scorta di una unità
T = intervallo di riordino (espresso in frazioni di
anno)
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79
La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Interval (EOI)
• La funzione di costo può quindi essere scritta nei
seguenti termini
costo annuo totale = costo d’acquisto +
costo di emissione dell’ordine +
costo di mantenimento a scorta
1
1
𝑇𝐶 𝑇 = 𝑃 & 𝑅 + 𝐶 & + 𝑃 & 𝐹 & & 𝑅 & 𝑇
𝑇
2
Numero di ordini
emessi in un anno
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Giacenza
media
80
La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Interval (EOI)
• Derivando rispetto a T ed uguagliando a 0
troviamo l’intervallo che minimizza i costi totali
d𝑇𝐶(𝑇)
1 1
= −𝐶 & ! + & 𝑃 & 𝐹 & 𝑅 = 0
d𝑇
𝑇
2
∗
𝐸𝑂𝐼 = 𝑇 =
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2&𝐶
𝑃&𝐹&𝑅
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81
La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Interval (EOI)
• Tanto più P×F è grande e C è piccolo, tanto minore
sarà T*.
• Si può inoltre calcolare il numero ottimale di
ordini emessi nell’anno
1
𝑚 = ∗=
𝑇
∗
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𝑃&𝐹&𝑅
2&𝐶
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82
La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Interval (EOI)
• Il livello E di riferimento deve garantire di
soddisfare la domanda nel successivo intervallo T
e per tutto il lead time L:
𝐿
𝐿
𝐸 =𝑅&𝑇+𝑅& =𝑅& 𝑇+
𝑁
𝑁
dove L è il lead time espresso in giorni lavorativi,
N è il numero di giorni lavorativi all'anno e T è
l’intervallo di riordino espresso in anni.
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83
La gestione a scorta dei materiali
Economic Order Interval (EOI)
• Il costo totale annuo in corrispondenza di T* vale:
∗
𝐶
𝑃
&
𝐹
&
𝑅
&
𝑇
𝑇𝐶 𝑇 ∗ = 𝑃 & 𝑅 + ∗ +
=
𝑇
2
= 𝑃 & 𝑅 + 𝑃 & 𝐹 & 𝑅 & 𝑇∗ = 1 + 𝐹 & 𝑇∗ & 𝑃 & 𝑅
• Si può osservare che nella situazione
deterministica l’EOQ e l’EOI si equivalgono:
2+𝐶
𝑄 =𝑅+𝑇 =𝑅+
=
𝑃+𝐹+𝑅
∗
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∗
2+𝐶+𝑅
=
𝑃+𝐹
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2+𝐶+𝑅
𝐻
84
La gestione a scorta dei materiali
EOI multiple items
EOI multiple items
• Si applica nei casi in cui uno stesso fornitore ci
fornisce più item diversi.
• In questo caso può convenire organizzarsi per
emettere un ordine congiunto di tutti gli items.
• Questo consente di risparmiare sul costo di
emissione dell’ordine, potendo eseguire tutte le
attività in una volta sola.
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85
La gestione a scorta dei materiali
EOI multiple items
• Definiti
𝑅# = domanda annua dell’item i-esimo
𝑃# = costo di produzione dell’item i-esimo
𝐶 = costo fisso di emissione di un ordine
𝑐 = costo di emissione dell’ordine associato al singolo
item
𝑛 = numero di item da ordinare assieme
𝑇 = intervallo di riordino
𝐹 = costo di mantenimento a scorta espresso come
percentuale del prezzo dell’item
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86
La gestione a scorta dei materiali
EOI multiple items
• Con l’ipotesi di stockout non ammessi si può
scrivere la seguente funzione di costi totali
&
&
#$%
#$%
𝐶+𝑛+𝑐
𝑇 + 𝑅#
𝑇𝐶 𝑇 = F 𝑃# + 𝑅# +
+ F 𝐹 + 𝑃# +
=
𝑇
2
&
&
#$%
#$%
𝐶+𝑛+𝑐 𝐹+𝑇
= F 𝑃# + 𝑅# +
+
+ F 𝑃# + 𝑅#
𝑇
2
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87
La gestione a scorta dei materiali
EOI multiple items
• Derivando rispetto a T ed uguagliando a 0
troviamo l’intervallo che minimizza i costi totali
*
d𝑇𝐶(𝑇)
𝐶+𝑛&𝑐 𝐹
=−
+ & G 𝑃& & 𝑅& = 0
!
d𝑇
𝑇
2
&)$
𝑇∗ =
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2& 𝐶+𝑛&𝑐
𝐹 & ∑*&)$ 𝑃& & 𝑅&
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88
La gestione a scorta dei materiali
EOI multiple items
• Il livello di riferimento per ciascun item si
determina con la relazione
𝐿#
𝐿#
𝐸# = 𝑅# + 𝑇 + 𝑅# = 𝑅# + 𝑇 +
𝑁
𝑁
∀𝑖 = 1, … , 𝑛
• Il costo minimo totale risulta essere pari a
&
𝑇𝐶 𝑇 ∗ = 1 + 𝐹 + 𝑇 ∗ + F 𝑃# + 𝑅#
#$%
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89
La gestione a scorta dei materiali
EOI multiple items - Esempio
Esempio
Un item vede una domanda di 8000 unità all’anno
distribuita in modo stabile su 250 giorni lavorativi.
Il costo unitario è di € 10,00 mentre il costo di
mantenimento a scorta per unità per anno è di
€ 3,00. Il costo di emissione di un ordine è di
€ 30,00.
Si calcolino l’EOI, il costo totale annuo ed il livello di
riferimento nel caso di lead time pari a 10 giorni.
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90
La gestione a scorta dei materiali
EOI multiple items - Esempio
Svolgimento
𝑇∗ =
2$𝐶
=
𝐻$𝑅
2 $ 30
= 0.05 anni = 12.5 giorni
3 $ 8000
𝐿
10
𝐸 =𝑅$ 𝑇+
= 8000 $ 0.05 +
= 720 unità
𝑁
250
𝑇𝐶 𝑇 ∗ = 𝑃 % 𝑅 + 𝐻 % 𝑅 % 𝑇 ∗ = 10 % 8000 + 3 % 8000 % 0.05 = 81200 €
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La gestione a scorta dei materiali
EOI multiple items - Esempio
scorte
720
400
400
L = 10
T* = 12.5
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t
T* = 12.5
T* = 12.5
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92
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente:
modelli probabilistici
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93
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
• I modelli probabilistici tengono conto della
variabilità tipica che si manifesta nella realtà
attraverso
– variabilità della domanda giornaliera;
– variabilità del lead time.
• Per compensare («bufferizzare») gli effetti della
variabilità, si introducono le scorte di sicurezza.
• I modelli probabilistici determinano quindi i livelli
ottimali di scorte di sicurezza, che si aggiungono
alla scorta operativa calcolata con i modelli
deterministici.
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94
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
Situazione ideale (deterministica)
• La scorta di sicurezza non viene mai utilizzata.
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95
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
Situazione reale
• La scorta di sicurezza mitiga gli effetti della
variabilità.
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96
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
• La scorta di sicurezza, sul lungo periodo, è
«mediamente non utilizzata» in quanto
compensa le variazioni intorno al funzionamento
medio del sistema, che sono di media nulla.
• La giacenza media, su una osservazione di lungo
periodo, è quindi pari a:
𝑄
giacenza media = + 𝑆
2
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97
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
• La scorta di sicurezza costituisce quindi un
impegno costante a magazzino di entità pari a S,
e quindi genera un costo di mantenimento a
scorta.
• D’altro canto, ciclo per ciclo la scorta di sicurezza
riduce la probabilità di stockout, e quindi ne
riduce i relativi costi.
• Anche per la scorta di sicurezza si può quindi
determinare un valore ottimale che riduce i costi
totali del sistema.
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98
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
Aspetti probabilistici
• Le scorte di sicurezza servono a ridurre il rischio
di stockout durante il periodo di lead time, cioè
dal momento in cui si emette l’ordine all’istante
in cui lo si riceve.
• Si deve quindi fare riferimento alla cosiddetta
«lead time demand», cioè alla domanda che si
verifica durante il periodo di lead time.
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99
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
• Si è visto come, nel caso deterministico, il livello
di riordino sia scelto in modo da coprire
esattamente la lead time demand:
𝐿
𝐵=𝑅+
𝑁
• Nel caso probabilistico, la lead time demand è
definita come la somma delle domande
giornaliere durante il periodo di lead time
𝑀 = F𝐷
(
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100
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
• Dove però
D: variabile casuale che rappresenta la domanda
giornaliera;
L: variabile casuale che rappresenta la durata del lead
time.
• La lead time demand M è quindi anch’essa una
variabile casuale, caratterizzata da una media,
una varianza ed una funzione di distribuzione.
• La lead time demand è definita nell’intervallo
[0, +¥).
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101
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
• Valore medio
45
:=<
𝑀
𝑀 $ 𝑓(𝑀) $ d𝑀
3
• Varianza
6
45
𝜎 =<
6
:
𝑀 − 𝑀 $ 𝑓(𝑀) $ d𝑀
3
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102
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
• La probabilità di avere uno stockout sarà quindi
la probabilità che si verifichi, durante il periodo di
lead time, una domanda che supera il livello di
riordino, quindi:
45
𝑃 𝑀>𝐵 =<
𝑓(𝑀) $ d𝑀
7
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103
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
• La quantità media attesa di unità in stockout
(entità dello stockout) sarà invece data da:
45
𝐸 𝑀>𝐵 =<
𝑀 − 𝐵 $ 𝑓(𝑀) $ d𝑀
7
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104
La gestione a scorta dei materiali
Item a domanda indipendente: modelli probabilistici
Determinazione della lead time demand
• La lead time demand può essere determinata, in
termini di media, varianza e funzione di
distribuzione, in due modi:
– modo diretto, utilizzando lo storico delle lead time
demand misurate sugli ordini passati ed eseguendo
un’operazione di fitting.
– modo indiretto, combinando le variabili casuali
domanda giornaliera D e lead time L.
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105
La gestione a scorta dei materiali
Metodi indiretti per la
determinazione della
lead time demand
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106
La gestione a scorta dei materiali
Metodi indiretti per la determinazione della lead time demand
Caso con domanda variabile e lead time costante
scorte
emissione dell’ordine
Q+S
0
B
f(M)
#
M
S
B
t
L
P(M>B)
M
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La gestione a scorta dei materiali
Metodi indiretti per la determinazione della lead time demand
• In questo caso:
𝑀 = F𝐷
⇒
𝑀 = 𝐷 + 𝐷 + ⋯+ 𝐷
(
𝐿 sorteggi indipendenti
• Per il teorema centrale della statistica
I=𝐷
I+𝐷
I + ⋯+ 𝐷
I =𝐿&𝐷
I
𝑀
𝜎!, = 𝜎!- + 𝜎!- + ⋯ + 𝜎!- = 𝐿 & 𝜎!I 𝜎!,
𝑓 𝑀 ~ 𝒩 𝑀,
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La gestione a scorta dei materiali
Metodi indiretti per la determinazione della lead time demand
Caso con domanda costante e lead time variabile
scorte
emissione dell’ordine
Q+S
0
B
f(M)
#
M
S
B
t
L
P(M>B)
L̅
L
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M
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La gestione a scorta dei materiali
Metodi indiretti per la determinazione della lead time demand
• In questo caso:
𝑀 = F𝐷
⇒
𝑀 =𝐷+𝐿
(
• Qui non si applica il teorema centrale della
statistica, perché è un semplice prodotto di una
costante per una variabile casuale
I = 𝐷 & 𝐿Q
𝑀
𝜎 ! , = 𝐷! & 𝜎 ! .
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110
La gestione a scorta dei materiali
Metodi indiretti per la determinazione della lead time demand
Caso con domanda e lead time variabili
scorte
emissione dell’ordine
Q+S
0
B
f(M)
#
M
S
B
t
L
P(M>B)
L̅
L
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M
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111
La gestione a scorta dei materiali
Metodi indiretti per la determinazione della lead time demand
• In questo caso:
𝑀 = F𝐷
⇒
𝑀 = 𝐷 + 𝐷 + ⋯+ 𝐷
(
𝐿, variabile, sorteggi indipendenti
• E’ dimostrabile(1) che
I=𝐷
I & 𝐿Q
𝑀
I! & 𝜎!.
𝜎 ! , = 𝐿Q & 𝜎 ! - + 𝐷
1 Kleinrock, L. (1975). Queueing systems. Volume 1: Theory. John Wiley & Sons, New York,
USA. ISBN: 978-0-471-49110-1
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112
La gestione a scorta dei materiali
Calcolo della scorta
di sicurezza ottimale
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113
La gestione a scorta dei materiali
Calcolo della scorta di sicurezza ottimale
• Esistono due casi diversi di reazione del cliente
quando si manifesta lo stockout:
– Stockout con backorder: il cliente è disposto ad
aspettare ed accetta la consegna in ritardo.
Tipicamente si dovrà promettergli un benefit per
assicurarsi la sua disponibilità ad attendere.
– Stockout con lost sales: in questo caso il cliente non è
disposto ad aspettare e la vendita è persa. Si subisce
un costo pari alla mancata vendita. Inoltre, le unità
non vendute, che comunque erano state ordinate nel
lotto Q, si tradurranno in una rimanenza a magazzino
per il ciclo successivo.
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114
La gestione a scorta dei materiali
Calcolo della scorta di sicurezza ottimale
• Esistono due approcci per calcolare il valore
ottimale della scorta di sicurezza:
– Approcci basati sui costi di stockout: si utilizzano
quando si conoscono i costi di stockout e consentono
una calcolo diretto dell’ottimo economico.
– Approcci basati sul livello di servizio: si possono
utilizzare quando non si ha una conoscenza diretta
del costo di stockout. In questo caso si cercherà di
ridurre al minimo possibile il numero di stockout.
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115
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
Calcolo della scorta di sicurezza ottimale
Politica a lotto fisso di riordino
Approcci basati sul costo di
stockout
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116
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
Caso con backorder: costo di stockout per unità in
stockout
• Nel caso con backorder, i clienti sono disposti ad
aspettare, quindi tutto il materiale viene sempre
consumato.
• Si dovrà però riconoscere loro un «benefit», ad
esempio uno sconto, che si traduce in un costo di
stockout.
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117
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• Definiti
S = scorta di sicurezza (safety stock)
H = costo annuo di mantenimento a scorta di
una unità
A = costo di backorder per unità
R = domanda media annua
Q = dimensione del lotto di riordino
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118
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• La safety stock è ciò che rimane, a partire dal
livello di riordino B, dopo che si è consumata la
lead time demand M.
• Matematicamente, può quindi essere definita nel
seguente modo:
#
𝑆=2
#
#
𝐵 − 𝑀 % 𝑓 𝑀 % d𝑀 = 𝐵 % 2 𝑓 𝑀 % d𝑀 − 2 𝑀 % 𝑓 𝑀 % d𝑀
"
"
"
1
%
𝑆 =𝐵−𝑀
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#
𝑀
sempre valida se c’è backorder
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119
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• L’obiettivo diventa quindi quello di determinare il
valore ottimale di B, e la scorta di sicurezza S ne
deriverà di conseguenza.
• La funzione di costo:
costo annuo totale di S = holding cost di S +
costo atteso di stockout
𝑅
𝑇𝐶' = 𝑆 + 𝐻 + + 𝐴 + 𝐸 𝑀 > 𝐵
𝑄
Quantità media attesa in stockout nel ciclo
Numero medio di cicli ogni anno
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120
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
*
𝑅
U + 𝐻 + + 𝐴 + V 𝑀 − 𝐵 + 𝑓 𝑀 + d𝑀
𝑇𝐶' 𝐵 = 𝐵 − 𝑀
𝑄
)
• Derivando rispetto a B ed uguagliando a 0 si può
ottenere(1) la condizione di minimo dei costi, che
in questo caso rappresenta la probabilità
ottimale di avere lo stockout nel ciclo
𝑃 𝑀>𝐵
∗
𝐻&𝑄
=
𝐴&𝑅
1 Johnson, L.A., Montgomery, D.C. (1974). Operations Research in Production Planning,
Scheduling, and Inventory Control. Wiley, pp. 59-62.
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121
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
f(M)
𝑃 𝑀>𝐵
0
#
𝑀
𝐵∗
∗
#
𝐻<𝑄
= : 𝑓 𝑀 < d𝑀 =
𝐴<𝑅
"∗
M
• Nota la f(M), tramite integrazione inversa si
ottiene B*.
/0(
• Se
> 1, significa che il costo di stockout è così
10'
basso che conviene andare sempre in backorder.
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La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
Osservazione: 𝒇 𝑴 gaussiana
• Se si può assumere 𝑓 𝑀 di forma gaussiana,
allora si può procedere all’integrazione inversa
adottando la «distribuzione normale
standardizzata» 𝒛, avente media pari a 0 e
deviazione standard pari a 1.
I
𝑀−𝑀
𝑧=
𝜎,
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e
𝑓 𝑧 = 𝜎, & 𝑓 𝑀
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La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• Il valore ottimale 𝐵∗ :
∗
I
𝐵
−
𝑀
𝑧∗ =
𝜎,
, da cui
I + 𝜎, & 𝑧 ∗
𝐵∗ = 𝑀
• Nel caso di backorder, abbiamo visto che
I
𝑆 = 𝐵∗ − 𝑀
• Sostituendo il 𝐵∗ sopra calcolato
I + 𝜎, & 𝑧 ∗ − 𝑀
I = 𝜎, & 𝑧 ∗
𝑆=𝑀
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La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• Abbiamo quindi ottenuto
𝑆 = 𝜎8 $ 𝑧
∗
∗
:
:
𝐵 = 𝑀 + 𝑆 = 𝑀 + 𝜎8 $ 𝑧
∗
• Il tutto si riduce nel determinare 𝑧 ∗ .
• Per il caso con backorder e costo di stockout per
unità in backorder
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𝑃 𝑧 > 𝑧 ∗ = 𝑃 𝑀 > 𝐵∗
𝐻&𝑄
=
𝐴&𝑅
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125
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• Se la lead time demand è determinata in modo
indiretto dalla domanda giornaliera D e dal lead
time L, si possono inoltre scrivere le seguenti
relazioni.
• Nel caso di D variabile e L costante
: =𝐿$𝐷
: ,
𝑀
𝜎68 = 𝐿 $ 𝜎69
: + 𝐿 $ 𝜎9 $ 𝑧 ∗
𝐵∗ = 𝐿 $ 𝐷
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126
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• Nel caso di D costante e L variabile
: = 𝐿H $ D ,
𝑀
𝜎 6 8 = 𝐷6 $ 𝜎 6 :
𝐵∗ = 𝐿H $ 𝐷 + 𝐷 $ 𝜎: $ 𝑧 ∗
• Nel caso di D e L variabili
: = 𝐿H $ 𝐷
: ,
𝑀
:6 $ 𝜎6:
𝜎 6 8 = 𝐿H $ 𝜎 6 9 + 𝐷
∗
H
:
:6 $ 𝜎6:
𝐵 = 𝐿 $ 𝐷 + 𝑧 $ 𝐿H $ 𝜎 6 9 + 𝐷
∗
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127
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
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128
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
Caso con backorder: costo di stockout per outage
• Outage significa interruzione.
• In questo caso, si genera un costo che dipende
esclusivamente dal fatto che si vada in stockout,
indipendentemente dalla quantità di stockout.
• Un esempio può riguardare un magazzino che
alimenta grossi impianti produttivi, per cui anche
solo il fatto che avvenga la fermata a seguito di
uno stockout genera grossi costi di riavvio
dell’impianto.
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129
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• Definito
G = costo di backorder per outage
• Ricaviamo la formula dei costi totali
𝑅
𝑇𝐶' = 𝑆 + 𝐻 + + 𝐺 + 𝑃 𝑀 > 𝐵
𝑄
Probabilità di stockout nel ciclo
Numero medio di cicli ogni anno
*
𝑅
U + 𝐻 + + 𝐺 + V 𝑓 𝑀 + d𝑀
𝑇𝐶' (𝐵) = 𝐵 − 𝑀
𝑄
)
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130
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• Derivando rispetto a B ed uguagliando a 0 si può
ottenere(1) la condizione di minimo dei costi
𝐻&𝑄
∗
𝑓 𝐵 =
𝐺&𝑅
f(M)
𝑓 𝐵∗ =
𝐻%𝑄
𝐺%𝑅
0
#
𝑀
𝐵∗
M
1 Starr, M.K., Miller, D.W. (1962). Inventory Control: Theory and Practice. Englewood Cliffs,
NJ: Prentice-Hall, p. 63.
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131
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• Se la lead time demand è gaussiana, ci si può
riferire alla normale standardizzata per trovare il
valore di B*.
I
𝑀−𝑀
𝑧=
𝜎,
𝑓 𝑧
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∗
e
= 𝜎, & 𝑓 𝐵
𝑓 𝑧 = 𝜎, & 𝑓 𝑀
∗
𝐻&𝑄
= 𝜎, &
𝐺&𝑅
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132
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 1
ESERCIZIO 1: caso con backorder e costo di
stockout per unità in backorder
• Dati
C = 30 €/ordine
F = 15 %
P = 2 €/unità
A = 1 €/unità
N = 220 gg/anno
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133
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 1
L = lead time = 10 gg, costante
D = domanda giornaliera, variabile casuale
I = 10
𝐷
𝜎!- = 9
⟹
unità
_
gaussiana
𝜎- = 3
• La domanda giornaliera D è, come variabile
casuale, la stessa per tutti i giorni dell’anno, ma
di giorno in giorno avremo valori di domanda
diversi perché sorteggiati in modo indipendente
dalla variabile casuale D.
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134
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 1
Svolgimento
• Supponiamo di gestire il sistema secondo la
politica EOQ.
• Calcoliamo innanzitutto il lotto ottimale
U = 220 + 10 = 2200 unità/anno
𝑅 =𝑁+𝐷
∗
𝑄 =
2+𝐶+𝑅
=
𝐹+𝑃
2 + 30 + 2200
= 663 unità
0,15 + 2
• Scegliamo di adottare il lotto ottimo Q* calcolato.
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135
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 1
• Determiniamo ora la distribuzione della lead time
demand M in modo indiretto
I =𝐿&𝐷
I = 10 & 10 = 100 unità
𝑀
𝜎 ! , = 𝐿 & 𝜎 ! - = 10 & 9 = 90
𝜎, =
𝜎 ! , = 𝐿 & 𝜎- = 10 & 3 = 9,49 unità
• M è gaussiana in quanto D è gaussiana.
• Possiamo quindi integrare tramite la
distribuzione normale standardizzata.
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La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 1
• Calcoliamo ora la probabilità ottimale di stockout
𝑃 𝑧 > 𝑧 ∗ = 𝑃 𝑀 > 𝐵∗
𝐻 $ 𝑄 ∗ 2 $ 0,15 $ 663
=
=
= 0,0905
𝐴$𝑅
1 $ 2200
• Andiamo quindi a determinare 𝑧 ∗ con la tabella
degli integrali della normale standardizzata,
tenendo però conto che la tabella riporta
𝑃 𝑧 ≤ 𝑧 ∗ , quindi
𝑃 𝑧 ≤ 𝑧 ∗ = 1 − 𝑃 𝑀 > 𝐵∗ = 1 − 0,0905 = 0,9095
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La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 1
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138
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 1
• Otteniamo quindi
∗
𝑧 = 1,34
• Possiamo quindi utilizzare l’equazione
: +𝑆 =𝐿$𝐷
: + 𝐿 $ 𝜎9 $ 𝑧 ∗
𝐵∗ = 𝑀
𝐵∗ = 10 $ 10 + 10 $ 3 $ 1,34 ≅ 113 unità
𝑆 = 10 $ 3 $ 1,34 ≅ 13 unità
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139
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 1
scorte
Q + S = 676
B = 113
S = 13
L
t
𝑇@
• La scorta di sicurezza è piccola perché la 𝜎, è
I
piccola rispetto a 𝑀.
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140
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
ESERCIZIO 2: caso con backorder e costo di
stockout per unità in backorder
• Dati
C = 30 €/ordine
F = 15 %
P = 2 €/unità
A = 1 €/unità
NS = 48 settimane/anno
NG = 5 giorni lavorativi/settimana
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141
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
𝐷+ = domanda settimanale, variabile casuale
U' = 50 unità
𝐷
𝜎 ! +" = 900 ⟹ 𝜎+" = 30 unità
b non gaussiana
𝐿 = lead time, variabile casuale
𝐿f = 40 giorni
𝜎 ! ( = 100 ⟹ 𝜎( = 10 giorni
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b non gaussiana
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La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
Svolgimento
• Supponiamo di gestire il sistema secondo la
politica EOQ.
• Calcoliamo innanzitutto il lotto ottimale
U' = 50 + 48 = 2400 unità/anno
𝑅 = 𝑁' + 𝐷
∗
𝑄 =
2+𝐶+𝑅
=
𝐹+𝑃
2 + 30 + 2400
= 693 unità
0,15 + 2
• Scegliamo di adottare il lotto ottimo Q* calcolato.
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143
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
• Determiniamo ora la distribuzione della lead time
demand M in modo indiretto.
• Prima di tutto dobbiamo determinare la variabile
casuale «domanda giornaliera» 𝐷.
• Ipotizzando che la variabile casuale 𝐷 sia la
stessa per tutti i giorni lavorativi, si può scrivere
,#
𝐷' = F 𝐷#
#$%
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La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
• Per il teorema centrale della statistica:
U' = 𝑁- + 𝐷
U
𝐷
U'
𝐷
U=
𝐷
𝑁-
⇒
𝜎 ! +" = 𝑁- + 𝜎 ! +
⇒
!
𝜎
+"
!
𝜎 +=
𝑁-
⟹
𝜎+ = 13,4 unità
• Si può quindi calcolare:
50
U=
𝐷
= 10 unità
5
900
𝜎 +=
= 180
5
!
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La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
• Possiamo quindi determinare M:
;=𝐷
; ( 𝐿> = 10 ( 40 = 400 unità
𝑀
; & ( 𝜎 & ) = 40 ( 180 + 10& ( 100 = 17200
𝜎 & ' = 𝐿> ( 𝜎 & ( + 𝐷
𝜎' = 17200 = 131 unità
• Il teorema centrale della statistica ci dice che M
tende asintoticamente alla gaussiana.
• Ci chiediamo se in questo caso possiamo
effettivamente supporre che M sia gaussiana.
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146
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
• Esiste un «test di scarto» che consente in questi
casi di verificare se l’ipotesi di distribuzione
gaussiana deve esse scartata.
• Il test si basa sul fatto che 𝑀 è definita in [0, +∞)
mentre la gaussiana è definita in −∞, +∞ .
• Per questo motivo, se la coda negativa della
gaussiana ha un peso significativo, sicuramente si
deve scartare la possibilità che 𝑀 sia distribuita
in modo gaussiano.
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147
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
0.009
0.008
0.007
0.006
𝜎. 1
≤
U
3
𝑀
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
0.009
0.008
0.007
0.006
𝜎. 1
>
U
3
𝑀
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-200
-100
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0
100
200
300
400
500
600
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148
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
I allora la
• Il test dice che se 3 & 𝜎, > 𝑀
distribuzione gaussiana deve essere scartata.
I allora 𝑀 può essere
• Al contrario, se 3 & 𝜎, ≤ 𝑀
distribuita in modo approssimabile alla
gaussiana.
• Nel nostro caso:
Q = 400
𝑀
P ⟹ 3 $ 131 = 393 < 400
𝜎B = 131
• Possiamo assumere che 𝑀 sia approssimabile ad
una gaussiana.
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La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
• Calcoliamo ora la probabilità ottimale di stockout
𝑃 𝑧 > 𝑧 ∗ = 𝑃 𝑀 > 𝐵∗
𝐻 $ 𝑄 ∗ 2 $ 0,15 $ 693
=
=
= 0,0866
𝐴$𝑅
1 $ 2400
• Andiamo quindi a determinare 𝑧 ∗ con la tabella
degli integrali della normale standardizzata,
tenendo però conto che la tabella riporta
𝑃 𝑧 ≤ 𝑧 ∗ , quindi
𝑃 𝑧 ≤ 𝑧 ∗ = 1 − 𝑃 𝑀 > 𝐵∗ = 1 − 0,0866 = 0,9134
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La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
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151
La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
• Otteniamo quindi
∗
𝑧 = 1,36
• Possiamo quindi utilizzare l’equazione
: +𝑆 =𝑀
: + 𝑧 ∗ $ 𝜎8
𝐵∗ = 𝑀
∗
𝐵 = 400 + 1,36 $ 131 ≅ 578 unità
𝑆 = 1,36 $ 131 ≅ 178 unità
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La gestione a scorta dei materiali
Esercizio 2
scorte
Q + S = 871
B = 578
S = 178
𝐿@
t
𝑇@
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La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
Caso con lost sale: costo di stockout per unità in
stockout
• In questo caso il cliente non è disposto ad
aspettare, quindi tutta la domanda che si
manifesta durante un periodo di stockout viene
persa (da qui il termine lost sale).
• Il primo effetto è che tutta la domanda persa si
presenta come rimanenza a magazzino nel ciclo
successivo.
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La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• Di conseguenza, la ciclicità del sistema cambia. Il
'
numero di cicli per anno non è più , bensì
(
diventa pari a
𝑅
𝑄+𝐸 𝑀 >𝐵
• Detto questo, in considerazione del fatto che
𝐸 𝑀 > 𝐵 è significativamente più piccolo di 𝑄,
si assume che il numero di cicli anno possa
'
ragionevolmente essere approssimato a .
(
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La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• La definizione della scorta di sicurezza cambia,
perché in questo caso genera effetti solo per i
valori di 𝑀 ≤ 𝐵. Per tutti i valori di 𝑀 > 𝐵 la
scorta di sicurezza non genera copertura perché
si ha lost sale.
#
𝑆=2
8
𝐵 − 𝑀 % 𝑓 𝑀 % d𝑀 = 𝐵 − 𝑀
Caso con backorder
"
3
𝑆 = j 𝐵 − 𝑀 & 𝑓 𝑀 & d𝑀
Caso con lost sale
2
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156
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
"
"
𝑆=1
𝐵 − 𝑀 5 𝑓 𝑀 5 d𝑀 − 1
!
#
"
"
𝐵 − 𝑀 5 𝑓 𝑀 5 d𝑀
"
𝑆 = 𝐵 5 1 𝑓 𝑀 5 d𝑀 − 1 𝑀 5 𝑓 𝑀 5 d𝑀 + 1
!
!
1
𝑀 − 𝐵 5 𝑓 𝑀 5 d𝑀
#
#
𝑀
• In definitiva, si ottiene
% +𝐸 𝑀 >𝐵
𝑆 =𝐵−𝑀
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157
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• Riprendendo la funzione di costo
𝑅
𝑇𝐶' = 𝑆 + 𝐻 + + 𝐴 + 𝐸 𝑀 > 𝐵
𝑄
• Sostituendo l’espressione della scorta di sicurezza
U +𝐸 𝑀 >𝐵
𝑇𝐶' = 𝐵 − 𝑀
𝑅
+𝐻+ +𝐴+𝐸 𝑀 >𝐵
𝑄
𝑅
U +𝐻+ 𝐻+ +𝐴 +𝐸 𝑀 >𝐵
𝑇𝐶' = 𝐵 − 𝑀
𝑄
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158
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• Derivando rispetto a B ed uguagliando a 0 si può
ottenere(1) la condizione di minimo dei costi, che
in questo caso rappresenta la probabilità
ottimale di avere lo stockout nel ciclo
𝑃 𝑀>𝐵
∗
𝐻&𝑄
=
𝐴&𝑅+𝐻&𝑄
1 Johnson, L.A., Montgomery, D.C. (1974). Operations Research in Production Planning,
Scheduling, and Inventory Control. New York: Wiley, pp. 64-65.
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159
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul costo di stockout
• La scorta di sicurezza in corrispondenza del livello
di riordino ottimo
I + 𝐸 𝑀 > 𝐵∗
𝑆 = 𝐵∗ − 𝑀
• In caso di M distribuita secondo una gaussiana
𝑃 𝑧 > 𝑧 ∗ = 𝑃 𝑀 > 𝐵∗
𝐸 𝑧 > 𝑧∗
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𝐻&𝑄
=
𝐴&𝑅+𝐻&𝑄
𝐸 𝑀 > 𝐵∗
=
𝜎,
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La gestione a scorta dei materiali
Calcolo della scorta di sicurezza ottimale
Approcci basati sul service level
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161
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul service level
• Si adottano quando non si hanno a disposizione
valutazioni attendibili sui costi di stockout,
oppure è troppo dispendioso calcolarli.
• Viene fissato un livello di servizio, e di
conseguenza si determinano i livello di scorta di
sicurezza che lo garantiscono.
• Il livello di servizio (service level), rappresenta la
probabilità di erogare in tempo il servizio al
cliente, e può assumere definizioni diverse.
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162
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul service level
Service level per ciclo
• In questo caso, il livello di servizio assume il
significato di probabilità di non avere lo stockout
durante un ciclo, indipendentemente dall’entità
dello stockout.
numero di cicli senza 𝑠𝑡𝑜𝑐𝑘𝑜𝑢𝑡
𝑆𝐿C =
numero di cicli totali
𝑆𝐿! = 1 − 𝑃 𝑀 > 𝐵
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163
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul service level
f(M)
𝑆𝐿$ = 1 − 𝑃 𝑀 > 𝐵
0
#
𝑀
𝐵
M
• Si nota come, al crescere del livello di servizio
richiesto, il livello di riordino B, e di conseguenza
la scorta di sicurezza S, divergano verso numeri
enormi.
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164
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul service level
• Una volta fissato il livello di servizio desiderato
𝑆𝐿4 ∗ , si può quindi determinare il livello di
riordino 𝐵∗ tramite integrazione inversa della
𝑓(𝑀).
𝑃 𝑀>𝐵
∗
= 1 − 𝑆𝐿J
∗
• Se la 𝑓(𝑀) è gaussiana:
𝑃 𝑧>𝑧
∗
= 1 − 𝑆𝐿J
∗
: + 𝜎8 $ 𝑧 ∗
𝐵∗ = 𝑀
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La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul service level
Service level per unità richiesta - backorder
• In questo caso si considera la quantità in stockout.
• Il livello di servizio, in questo caso chiamato anche
fill rate, è definito come
quantità in 𝑠𝑡𝑜𝑐𝑘𝑜𝑢𝑡 per ciclo
𝑆𝐿G = 1 −
quantità ordinata per ciclo
𝐸 𝑀>𝐵
𝑆𝐿9 = 1 −
=1−
𝑄
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*
∫) 𝑀 − 𝐵
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+ 𝑓(𝑀) + d𝑀
𝑄
166
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul service level
• Una volta fissato il livello di servizio desiderato
𝑆𝐿5 ∗ , si può quindi determinare 𝐵∗ tramite
𝐸 𝑀>𝐵
∗
= 1 − 𝑆𝐿K
∗
$𝑄
• Se la 𝑓(𝑀) è gaussiana:
𝐸 𝑧 > 𝑧∗
𝐸 𝑀>𝐵
=
𝜎,
∗
=
1 − 𝑆𝐿K
∗
$𝑄
𝜎,
: + 𝜎8 $ 𝑧 ∗
𝐵∗ = 𝑀
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167
La gestione a scorta dei materiali
Lotto fisso di riordino: approcci basati sul service level
Service level per unità richiesta – lost sales
• In questo caso la formulazione deve tenere conto
della rimanenza a magazzino del non venduto
𝐸 𝑀>𝐵
𝑆𝐿9 = 1 −
𝑄+𝐸 𝑀 >𝐵
• Da cui
𝐸 𝑀>𝐵
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∗
1
=𝑄+
∗−1
𝑆𝐿9
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168
La gestione a scorta dei materiali
Costi connessi con il livello di servizio
Costi connessi con il livello di servizio
• Il livello di scorte di sicurezza cresce in modo
fortemente non lineare al tendere del livello di
servizio verso il 100%.
• Ciò è dovuto al fatto che la maggiore densità di
probabilità di 𝑓(𝑀) si concentra intorno alla
media per poi generare una coda a bassissima
densità di probabilità che tende all’infinito.
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169
La gestione a scorta dei materiali
Costi connessi con il livello di servizio
f(M)
0
#
𝑀
𝐵
M
#
𝑀
𝐵%.' 𝐵%.( 𝐵%.()
M
F(M)
0.8
0.9
0.95
1
0
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170
La gestione a scorta dei materiali
Costi connessi con il livello di servizio
• Aumentare il livello di servizio implica aumentare
in modo esponenziale i costi connessi con la
gestione della scorta di sicurezza.
• D’altro canto, un livello di servizio troppo basso
rende impossibile lavorare in modo proficuo con
il cliente.
• In altre parole, se il livello di servizio è troppo
basso, non si è ritenuti fornitori credibili dal
proprio cliente, e quindi si perde la possibilità di
operare con il cliente stesso.
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171
La gestione a scorta dei materiali
Costi connessi con il livello di servizio
• Il livello ottimo è un compromesso tra costi e
ricavi.
Ricavi
S
0
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1
Livello di
servizio
0
Livello
critico
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1
Livello di
servizio
172
La gestione a scorta dei materiali
Calcolo della scorta di sicurezza ottimale
Politica a intervallo fisso di
riordino
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173
La gestione a scorta dei materiali
Intervallo fisso di riordino – calcolo della scorta di sicurezza
• Questa politica prevede che il sistema venga
controllato a cadenza costante pari a T, ed un
ordine Q pari alla differenza tra il livello di
riferimento E e la stock position viene emesso.
• Dopodiché, trascorso un periodo pari al lead time
L, l’ordine viene consegnato.
• Ciò significa che la scorta di sicurezza S deve
essere in grado di coprire tutta la variabilità della
domanda D nel periodo T + L, e non solo durante
L come accadeva nella politica a lotto fisso di
riordino.
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174
La gestione a scorta dei materiali
Intervallo fisso di riordino – calcolo della scorta di sicurezza
• In questo caso, quindi, la distribuzione di M deve
tenere conto anche della domanda che si verifica
nell’intervallo T, oltre che durante il lead time L.
Domanda variabile e lead time costante
: = 𝑇+𝐿 $𝐷
:
𝑀
6
6
𝜎 8 = 𝑇+𝐿 $𝜎 9
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175
La gestione a scorta dei materiali
Intervallo fisso di riordino – calcolo della scorta di sicurezza
Domanda costante e lead time variabile
: = 𝑇 + 𝐿H $ 𝐷
𝑀
𝜎 6 8 = 𝐷6 $ 𝜎 6 :
Uguale alla politica a lotto fisso di riordino
Domanda e lead time variabili
: = 𝑇 + 𝐿H $ 𝐷
:
𝑀
6
6
6
H
:
𝜎 8 = 𝑇+𝐿 $𝜎 9+𝐷 $𝜎 :
6
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176
La gestione a scorta dei materiali
Intervallo fisso di riordino – calcolo della scorta di sicurezza
• L’Economic Order Interval è calcolato con i
modelli deterministici, ma in questo caso R
assume il significato di domanda media annua.
𝑇∗ =
2&𝐶
𝑄∗
=
𝑃&𝐹&𝑅
𝑅
• Il livello di riferimento ottimale 𝐸 ∗ si determina
con le seguenti relazioni, ricavata in modo
analogo a quanto visto nel caso della politica a
lotto fisso di riordino.
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177
La gestione a scorta dei materiali
Intervallo fisso di riordino – calcolo della scorta di sicurezza
Costo di stockout per unità in stockout
backorder
lost sales
𝑃 𝑀>𝐸
∗
𝐻+𝑇
=
𝐴
𝑃 𝑀>𝐸
∗
𝐻+𝑇
=
𝐴+𝐻+𝑇
Costo di stockout per outage
backorder
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𝑓 𝐸
∗
𝐻+𝑇
=
𝐺
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178
La gestione a scorta dei materiali
Analisi ABC e
ABC incrociata
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179
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC
• L’analisi ABC, anche detta analisi di Pareto, è una
metodologia generale che si può utilizzare per
analizzare un insieme di dati, purché ordinabili.
• L’analisi ABC consente di mettere in evidenza,
nell’insieme dei dati trattati, quelli che sono gli
aspetti prioritari da affrontare, e di distinguerli da
quelli di scarsa rilevanza.
• In ambito industriale, si utilizza, ad esempio, per
classificare i prodotti finiti in base al fatturato
generato, oppure per analizzare la qualità della
gestione delle scorte.
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180
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC
• L’analisi ABC, anche detta analisi di Pareto, è una
metodologia generale che si può utilizzare per
analizzare un insieme di dati, purché ordinabili.
• L’analisi ABC consente di mettere in evidenza,
nell’insieme dei dati trattati, quelli che sono gli
aspetti prioritari da affrontare, e di distinguerli da
quelli di scarsa rilevanza.
• In ambito industriale, si utilizza, ad esempio, per
classificare i prodotti finiti in base al fatturato
generato, oppure per analizzare la qualità della
gestione delle scorte.
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181
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC
• Vediamo come si effettua un’analisi ABC del
fatturato generato dalla vendita di un certo
numero di prodotti finiti.
• L’obiettivo è quello di rendere evidente come i
diversi prodotti contribuiscono al fatturato totale.
• Definiamo
𝑛 = numero di prodotti
𝜈# = fatturato generato dal prodotto i-esimo
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182
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC
• Il fatturato totale
*
𝑉 = G 𝜈&
&)$
• Calcoliamo ora, per ogni prodotto, il fatturato
specifico, rapportato cioè al fatturato totale.
𝜈&
𝑏& =
𝑉
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∀ 𝑖 = 1, … , 𝑛
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183
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC
• Si ottiene quindi il vettore (non ordinato)
𝑏$ , 𝑏! , 𝑏# , … , 𝑏*6$ , 𝑏*
𝑏#
……………
1 2
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3 4 5 6
7 8 9 10
……………
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𝑛
𝑖
184
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC
• Si procede quindi a ordinare il vettore in modo
decrescente rispetto a 𝑏& , e si riassegnano gli indici
𝑏#
……………
𝑗 →
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4 8
5 2 10 7
1 𝑛
6 3
……………
9
1 2
3 4 5 6
7 8 9 10
……………
𝑛
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𝑖
185
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC
• Calcoliamo ora i valori di fatturato cumulato
rispetto alla serie ordinata
7
𝛽7 = G 𝑏8
𝑘 = 1, … , 𝑛
8)$
• Dato l’ordinamento decrescente di 𝑏8 , la serie
𝛽7 rappresenterà valori monotoni crescenti.
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186
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC
𝛽:
0
1 2
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3 4 5 6
7 8 9 10
……………………………
…
1
……………………………
𝑛
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𝑘
187
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC
𝛽:
1
90 %
60 %
A
0
1 2
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B
3 4 5 6
C
7 8 9 10
……………………………
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𝑛
𝑘
188
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC
• La curva ABC, o di Pareto, può avere un
andamento più o meno marcato.
𝛽$
𝛽$
1
90 %
80 %
1
90 %
60 %
A B
C
A
𝑘
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B
C
𝑘
189
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC incrociata
Analisi ABC incrociata
• Nell’ambito dell’analisi delle scorte, è utilizzata
per verificare la qualità della gestione incrociando
due aspetti principali:
– le scorte medie degli item gestiti a magazzino;
– i «consumi» degli item, cioè i flussi in uscita dal
magazzino.
• Si riesce quindi a evidenziare il comportamento
degli item in termini di immobilizzo (scorte) e di
utilizzo (flussi).
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190
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC incrociata
• Si considerino 𝑛 item gestiti a scorta.
• Si ricavino le analisi ABC rispetto alle scorte medie
e rispetto alla domanda media soddisfatta nel
periodo di riferimento.
• Considerando che ogni analisi ABC genera un
ordinamento rispetto al proprio fattore di analisi,
ogni item potrà trovarsi in «posizioni» diverse
nelle due analisi ABC.
• Per ciascuno dei due fattori di analisi (scorte e
consumi), si determinano le soglie di taglio.
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191
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC incrociata
consumi
scorte
1
90 %
1
90 %
80 %
70 %
A B
C
A
B
items
C
items
item 𝐼*
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192
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC incrociata
• Ogni item apparterrà ad una certa classe A, B o C
rispetto alle scorte, e ad una certa classe A, B o C
rispetto ai consumi.
• A questo punto si può creare una matrice di
incrocio nella quale, in ogni casella, si elencano gli
items che appartengono alle classi specificate di
scorte e consumi.
• È chiaro che gli item gestiti meglio sono quelli che
realizzano grandi consumi con basse scorte.
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193
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC incrociata
consumi
scorte
Zona 1
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
Zona 2
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Zona 3
Zona 4
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194
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC incrociata
• Zona 1: questi item sono in generale gestiti bene,
in quanto le scorte mantenute possono essere
giustificate dai consumi elevati. È però
consigliabile verificare i livelli di scorta di
sicurezza, in quanto potrebbero essere stati
sovrastimati facendosi condizionare dagli elevati
consumi.
• Zona 2: questi item sono sicuramente gestiti bene
perché realizzano flussi elevati con basse scorte.
Si comportano come item gestiti secondo criteri
Just-In-Time.
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195
La gestione a scorta dei materiali
L’analisi ABC incrociata
• Zona 3: questi item sono gestiti male, in quanto
realizzano bassi consumi con scorte elevate. È
necessario indagare le cause di questa cattiva
gestione e risolverle. Ad esempio, possono essere
state poste in essere politiche di acquisto
sbagliate, oppure possono essere item andati in
obsolescenza.
• Zona 4: questi sono item a basso consumo e
bassa scorta. Di per sé non generano problemi,
conviene comunque verificare che non ci siano
situazioni di obsolescenza.
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196
La gestione a scorta dei materiali
Bibliografia
Per approfondimenti
Tersine, R.J. (1994). Principles of Inventory and
Materials Management. 4th edition. PrenticeHall, New Jersey, USA. ISBN: 0-13-457888-0
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