Năm 2006-2007
lớp 8
Ngày thứ nhất
8.1. Cho các số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng ít nhất một ba phương trình: 𝑥 2 + (𝑎 − 𝑏)𝑥 +
(𝑏 − 𝑐) = 0, 𝑥 2 + (𝑏 − 𝑐)𝑥 + (𝑐 − 𝑎) = 0, 𝑥 2 + (𝑐 − 𝑎)𝑥 + (𝑎 − 𝑏) = 0 có nghiệm thực.
Given reals numbers , , . Prove that at least one of three
equations
,
,
has a real root.
8.2. Các số tự nhiên từ 1 đến 100 được đặt ngẫu nhiên vào các ô của bảng 10 × 10, mỗi ô một
viết 1 số. Trong một lần di chuyển, bạn được phép hoán đổi hai ô bất kỳ. Chứng minh rằng
trong 35 lần hoán đổi có thể đảm bảo rằng tổng của hai số bất kỳ trong các ô có cạnh chung là
hợp số.
The numbers
are written in the cells of a
table, each number is
written once. In one move, Nazar may interchange numbers in any two cells. Prove that he
may get a table where the sum of the numbers in every two adjacent (by side) cells is
composite after at most
such moves.
8.3. Một điểm 𝑀 được chọn trên cạnh 𝐵𝐶 của hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷. Các đường thẳng đi qua 𝑀
vuông góc với các đường chéo 𝐵𝐷 và 𝐴𝐶 cắt 𝐴𝐷 tại các điểm 𝑃 và 𝑄 tương ứng. Giải sử rằng
các đường thẳng 𝑃𝐵, 𝑄𝐶, 𝐴𝑀 cắt nhau tại một điểm. Xác định giá trị có thể có của tỷ lệ
𝐵𝑀/𝑀𝐶?
Given a rhombus
. A point
is chosen on its side
. The lines, which pass
through
and are perpendicular to
and
, meet line
in
points and respectively. Suppose that the lines
have a common point.
Find all possible values of a ratio
S. Berlov, F. Petrov, A. Akopyan
.
8.4. Ảo thuật gia Arutyun và trợ lý Amayak dự định thực hiện một màn ảo thuật. Trên bảng
vẽ một đường tròn. Khán giả đánh dấu 2007 điểm khác nhau trên đường tròn đó. Sau đó, trợ
lý của ảo thuật gia xóa một trong những điểm này. Sau đó, khi ảo thuật gia bước vào phòng
lần đầu tiên, anh ta nhìn vào bức tranh và xác định nửa vòng tròn mà điểm đã bị xóa nằm
trên đó. Làm thế nào để ảo thuật gia có thể đạt được sự đồng thuận với trợ lý để màn ảo
thuật được đảm bảo thành công?
A conjurer Arutyun and his assistant Amayak are going to show following super-trick. A
circle is drawn on the board in the room. Spectators mark
points on this circle, after
that Amayak
removes one of them. Then Arutyun comes to the room and shows a semicircle, to which the
removed point belonged. Explain, how Arutyun and Amayak may show this super-trick.
A. Akopyan, A. Akopyan, A. Akopyan, I. Bogdanov
lớp 9
Ngày thứ nhất
9.1. Các tam thức bậc hai một biến 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) thỏa mãn các phương trình 𝑓(𝑔(𝑥)) = 0,
𝑔(𝑓(𝑥)) = 0 không có nghiệm thực . Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình
𝑓(𝑓(𝑥)) = 0, 𝑔(𝑔(𝑥)) = 0 cũng không có nghiệm thực.
Unitary quadratic trinomials
condition:
and
of equations
and
and
satisfy the following interesting
do not have real roots. Prove that at least one
does not have real roots too.
S. Berlov
9.2. Trên bảng viết 100 phân số, trong đó tử số của mỗi phân số chứa mỗi số từ 1 đến 100
đúng một lần, và mẫu số của mỗi phân số cũng chứa mỗi số từ 1 đến 100 đúng một lần. Biết
rằng, tổng của những phân số này là một phân số tối giản với mẫu số là 2. Chứng minh rằng
ta có thể đổi chỗ tử số của hai phân số để tổng trở thành một phân số tối giản với mẫu số lẻ.
fractions are written on a board, their numerators are numbers from to
(each
once) and denominators are also numbers from to
(also each once). It appears that
the sum of these fractions equals to
for some odd . Prove that it is possible to
interchange numerators of two fractions so that sum becomes a fraction with odd
denominator.
N. Agakhanov, I. Bogdanov
9.3. Hai người chơi lần lượt vẽ các đường chéo trong một đa giác đều với (2n+1) cạnh (n>1).
Họ chỉ được phép vẽ một đường chéo nếu đường chéo đó gặp (tại các điểm bên trong) một số
chẵn đường chéo đã được vẽ trước đó (và chưa được vẽ trước đó). Người chơi thua là người
không thể thực hiện nước đi tiếp theo. Ai sẽ chiến thắng khi chơi đúng luật?
Two players by turns draw diagonals in a regular
-gon (
). It is forbidden
to draw a diagonal, which was already drawn, or intersects an odd number of already
drawn diagonals. The player, who has no legal move, loses. Who has a winning strategy?
K. Sukhov
9.4. Một đường phân giác 𝐵𝐵1 được vẽ trong tam giác 𝐴𝐵𝐶. Đường vuông góc từ 𝐵1 đến 𝐵𝐶
cắt cung nhỏ 𝐵𝐶 của đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 tại điểm 𝐾. Đường vuông góc từ 𝐵
đến 𝐴𝐾 cắt 𝐴𝐶 tại điểm 𝐿. Chứng minh rằng 𝐾, 𝐿 và trung điểm của một cung 𝐴𝐶 (không chứa
điểm 𝐵) cùng nằm trên một đường thẳng.
is a bisector of an acute triangle
smaller arc
of a circumcircle of
from to
meets
in a point .
collinear.
V. Astakhov
. A perpendicular from
to
meets a
in a point . A perpendicular
meets arc
in . Prove that , , are
lớp 10
Ngày thứ nhất
10.1. Các mặt của một khối lập phương kích thước 9×9×9 được chia thành các ô vuông đơn
vị. Khối lập phương được bọc bằng các dải giấy kích thước 2×1 mà không có sự trùng lắp (các
cạnh của các dải đi dọc theo cạnh của các ô vuông). Chứng minh rằng số lượng các dải giấy
được gấp không trùng lắp là một số lẻ.
Faces of a cube
pasted over by
is odd.
are partitioned onto unit squares. The surface of a cube is
strips
without overlapping. Prove that the number of bent strips
A. Poliansky
10.2. Cho một đa thức 𝑃(𝑥) = 𝑎0 𝑥 𝑛 + 𝑎1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥 + +𝑎𝑛 . Đặt 𝑚 = min{𝑎0 , 𝑎0 +
𝑎1 , … , 𝑎0 + 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 }. Chứng minh rằng 𝑃(𝑥) ⩾ 𝑚𝑥 𝑛 với 𝑥 ⩾ 1.
Given polynomial
. Put
that
for
A. Khrabrov
. Prove
.
10.3. Một đường phân giác 𝐵𝐵1 được vẽ trong tam giác 𝐴𝐵𝐶. Đường vuông góc từ 𝐵1 đến 𝐵𝐶
cắt cung nhỏ 𝐵𝐶 của đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 tại điểm 𝐾. Đường vuông góc từ 𝐵
đến 𝐴𝐾 cắt 𝐴𝐶 tại điểm 𝐿. Chứng minh rằng 𝐾, 𝐿 và trung điểm của một cung 𝐴𝐶 (không chứa
điểm 𝐵) cùng nằm trên một đường thẳng.
is a bisector of an acute triangle
smaller arc
of a circumcircle of
from to
meets
in a point .
collinear.
V. Astakhov
. A perpendicular from
to
meets a
in a point . A perpendicular
meets arc
in . Prove that , , are
10.4. Một ảo thuật gia cùng với trợ lý của mình đang dự định thực hiện một màn ảo thuật.
Một khán giả viết một chuỗi gồm N chữ số lên bảng. Trợ lý của ảo thuật gia che hai chữ số
liên tiếp bằng hai dấu tròn màu đen. Sau đó, ảo thuật gia bước vào phòng. Nhiệm vụ của anh
ấy là phải đoán được cả hai chữ số bị che (và thứ tự của chúng). Với giá trị N nhỏ nhất nào thì
ảo thuật gia có thể đảm bảo thỏa thuận với trợ lý để màn ảo thuật sẽ thành công?
Arutyun and Amayak show another effective trick. A spectator writes down on a board a
sequence of
(decimal) digits. Amayak closes two adjacent digits by a black disc. Then
Arutyun comes and says both closed digits (and their order). For which minimal
they
may show such a trick?
K. Knop, O. Leontieva
lớp 11
Ngày thứ nhất
11.1. Chứng minh rằng với 𝑘 > 10 ta có thể thay thế một hàm cosin trong tích dạng:
𝑓(𝑥) = cos𝑥cos2𝑥cos3𝑥 … cos2𝑘 𝑥
3
bằng hàm sin để thu được một hàm 𝑓1 (𝑥) thỏa mãn bất đẳng thức |𝑓1 (𝑥)| ⩽ 𝑘+1 với mọi số
2
thực 𝑥.
Prove that for
Nazar may replace in the following product some one
that the new function
would satisfy inequality
by
so
for all real .
N. Agakhanov
11.2. Đường tròn nội tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 tiếp xúc với các cạnh 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 tại các điểm 𝐴1 , 𝐵1 , 𝐶1
tương ứng. Đoạn 𝐴𝐴1 cắt đường tròn nội tiếp lần thứ hai tại điểm 𝑄. Đường ℓ đi qua 𝐴 và
song song 𝐵𝐶. Các đường 𝐴1 𝐶1 và 𝐴1 𝐵1 giao nhau với ℓ tại các điểm 𝑃 và 𝑅 tương ứng.
Chứng minh rằng ∠𝑃𝑄𝑅 = ∠𝐵1 𝑄𝐶1 .
The incircle of triangle
touches its sides
,
,
at the points
,
,
respectively. A segment
intersects the incircle at the point
.A
line through is parallel to
. Lines
and
intersect at the
points and respectively. Prove that
.
A. Polyansky
11.3. Một ảo thuật gia cùng với trợ lý của mình dự định thực hiện một màn ảo thuật. Một
khán giả viết một số có N chữ số lên bảng. Trợ lý của ảo thuật gia che hai chữ số liên tiếp
bằng hai dấu tròn màu đen. Sau đó, ảo thuật gia bước vào phòng. Nhiệm vụ của anh ta là
phải đoán được cả hai chữ số bị che (và thứ tự của chúng). Khi nào N nhỏ nhất thì ảo thuật
gia có thể đảm bảo thỏa thuận với trợ lý để màn ảo thuật sẽ thành công?
Arutyun and Amayak show another effective trick. A spectator writes down on a board a
sequence of
(decimal) digits. Amayak closes two adjacent digits by a black disc. Then
Arutyun comes and says both closed digits (and their order). For which minimal
they
may show such a trick?
K. Knop, O. Leontieva
11.4. Trong một dãy vô hạn, (𝑥𝑛 ) có số hạng đầu tiên là 𝑥1 −số hữu tỉ lớn hơn 1 và 𝑥𝑛+1 =
1
𝑥𝑛 + [𝑥 ] với mọi số tự nhiên 𝑛. Chứng minh rằng dãy số này luôn tồn tại một số nguyên.
𝑛
An infinite sequence
is defined by its first term
and the relation
contains an integer.
A. Golovanov
, which is a rational number,
for all positive integers . Prove that this sequence
lớp 8
Ngày thứ hai
8,5. Khoảng cách giữa Maykop và Belorechensk là 24 km. Hai trong ba người bạn cần đến
Belorechensk từ Maykop và một người bạn khác muốn đến Maykop từ Belorechensk. Họ có
một chiếc xe đạp, ban đầu được đặt ở Maykop. Mỗi người bạn có thể đi bộ (với tốc độ không
quá 6 km/h) và đi xe đạp (với tốc độ không quá 18 km/h). Bạn không thể bỏ xe đạp của mình
trên đường. Chứng minh rằng trong 2 giờ 40 phút cả ba người bạn đều đến đích. (Chỉ có một
người có thể ngồi trên xe đạp vào cùng một thời điểm).
The distance between Maykop and Belorechensk is
km. Two of three friends need to
reach Belorechensk from Maykop and another friend wants to reach Maykop from
Belorechensk. They have only one bike, which is initially in Maykop. Each guy may go on
foot (with velocity at most kmph) or on a bike (with velocity at most
kmph). It is
forbidden to leave a bike on a road. Prove that all of them may achieve their goals
after hours
minutes. (Only one guy may seat on the bike simultaneously).
Folclore
8.6. Qua giao điểm 𝐼 của các đường phân giác của tam giác 𝐴𝐵𝐶 vẽ một đường thẳng lần lượt
cắt các cạnh 𝐴𝐵 và 𝐵𝐶 tại các điểm 𝑁, 𝑀. Tam giác 𝐵𝑀𝑁 là tam giác nhọn. Chọn các điểm 𝐾,
𝐿 trên cạnh 𝐴𝐶 sao cho ∠𝐼𝐿𝐴 = ∠𝐼𝑀𝐵, ∠𝐼𝐾𝐶 = ∠𝐼𝑁𝐵. Chứng minh rằng 𝐴𝑀 + 𝐾𝐿 + 𝐶𝑁 = 𝐴𝐶.
A line, which passes through the incentre of the triangle
, meets its
sides
and
at the points
and
respectively. The triangle
points
are chosen on the side
such
that
and
. Prove that
S. Berlov
is acute. The
.
8.7. Với mỗi số tự nhiên 𝑛 > 3 ta sẽ biểu thị 𝑛? bằng tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn
𝑛. Giải phương trình 𝑛? = 2𝑛 + 16.
For an integer
equation
denote by
.
the product of all primes less than . Solve the
V. Senderov
8,8. Trên một bảng kích thước 10x10, các số từ 1 đến 100 được xếp như sau: hàng đầu tiên
chứa các số từ 1 đến 10 từ trái sang phải, hàng thứ hai chứa các số từ 11 đến 20 từ trái sang
phải, và tiếp tục như vậy. Andrei dự định cắt bảng thành các hình chữ nhật có kích thước 1x2,
tính tích của các số trong mỗi hình chữ nhật và sau đó cộng tất cả lại để có tổng nhỏ nhất.
Anh ấy muốn cắt bảng sao cho tổng này là nhỏ nhất có thể. Anh ấy nên cắt bảng như thế nào
để đạt được điều này?
Given a matrix
,
. Andrei is going to cover its entries
by
rectangles
(each such rectangle contains two adjacent entries) so that the sum
of
products in these rectangles is minimal possible. Help him.
A. Badzyan
lớp 9
Ngày thứ hai
9,5. Mỗi đỉnh của hình lồi 100-đỉnh chứa hai số khác nhau. Chứng minh rằng có thể gạch bỏ
một số ở mỗi đỉnh sao cho các số còn lại ở hai đỉnh liền kề bất kỳ là khác nhau.
Two numbers are written on each vertex of a convex
-gon. Prove that it is possible to
remove a number from each vertex so that the remaining numbers on any two adjacent
vertices are different.
F. Petrov
9.6. Cho một tam giác nhọn 𝐴𝐵𝐶. Điểm 𝑀 và 𝑁 là trung điểm của các cạnh 𝐴𝐵 và 𝐵𝐶, điểm 𝐻
là đáy của đường cao hạ xuống từ đỉnh 𝐵. Các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác 𝐴𝐻𝑁 và
𝐶𝐻𝑀 cắt nhau tại điểm 𝑃(𝑃 ≠ 𝐻). Chứng minh rằng đường thẳng 𝑃𝐻 đi qua trung điểm đoạn
𝑀𝑁.
Let
be an acute triangle. The points
and
are midpoints
of
and
respectively, and
is an altitude of
. The circumcircles
of
and
meet in where
. Prove that
passes through the
midpoint of
.
V. Filimonov
9,7. Trong bảng 10×10, các số từ 1 đến 100 được sắp xếp như sau: hàng đầu tiên chứa các số
từ 1 đến 10 từ trái sang phải, hàng thứ hai chứa các số từ 11 đến 20 từ trái sang phải, và tiếp
tục như vậy. Andrei dự định cắt bảng thành các hình chữ nhật có kích thước 1×2, tính tích
của các số trong mỗi hình chữ nhật, và sau đó cộng tất cả lại để có tổng nhỏ nhất. Anh ta
muốn cắt bảng sao cho tổng này là nhỏ nhất có thể. Anh ta nên cắt bảng như thế nào để đạt
được điều này?
Given a matrix
,
. Andrei is going to cover its entries
by
rectangles
(each such rectangle contains two adjacent entries) so that the sum
of
products in these rectangles is minimal possible. Help him.
A. Badzyan
9,8. Dima đã tính giai thừa của tất cả các số tự nhiên từ 80 đến 99, tìm nghịch đảo của chúng
và in các phân số thập phân thu được trên 20 dải băng vô tận (ví dụ: số được in trên dải băng
1
cuối cùng 99! = 0, ⏟
00 … 00 10715 …. Sasha muốn cắt ra một mảnh gồm 𝑁 chữ số liên tiếp từ
155 нулей
một trong các tờ giấy mà không có dấu phẩy. Với giá trị 𝑁 lớn nhất nào mà Dima không thể
đoán được Sasha đã cắt đoạn từ dải băng nào?
Dima has written number
on
infinite pieces of papers as
decimal fractions (the following is written on the last piece:
, 155 0-s before 1). Sasha wants to cut a fragment of
consecutive digits from one of pieces
without the comma. For which maximal
he may do it so that Dima may not guess, from
which piece Sasha has cut his fragment?
A. Golovanov
lớp 10
Ngày thứ hai
10,5. Cho một tập hợp 𝑛 > 2 các vectơ. Gọi một vectơ là dài nếu độ dài của nó không nhỏ hơn
độ dài của tổng các vectơ khác của tập hợp. Chứng minh rằng nếu mọi vectơ trong một tập
hợp đều dài thì tổng của tất cả các vectơ trong tập hợp đó bằng 0.
Given a set of
planar vectors. A vector from this set is called long, if its length is not
less than the length of the sum of other vectors in this set. Prove that if each vector is long,
then the sum of all vectors equals to zero.
N. Agakhanov
10.6. Hai đường tròn 𝜔1 và 𝜔2 cắt nhau tại điểm 𝐴 và 𝐵. Giả sử 𝑃𝑄 và 𝑅𝑆 là các đoạn tiếp
tuyến chung ngoài của các đường tròn này (điểm 𝑃 và 𝑅 nằm trên 𝜔1 , điểm 𝑄 và 𝑆 −trên 𝜔2 ).
Biết rằng 𝑅𝐵 ∥ 𝑃𝑄. Tia 𝑅𝐵 cắt 𝜔2 lần thứ hai tại điểm 𝑊. Tìm tỉ số 𝑅𝐵/𝐵𝑊.
Two circles
and
intersect in points
common tangents to these circles (points
appears that
. Ray
and
and
intersects
. Let
lie on
in a point
and
be segments of
, points and lie on ). It
. Find
.
S. Berlov
10.7. Trong một đa diện lồi, một đỉnh A có bậc là 5, và tất cả các đỉnh khác đều có bậc là 3
(bậc của một đỉnh là số cạnh nối tới nó). Một cách tô màu cạnh của đa diện được gọi là tốt
nếu đối với mỗi đỉnh có bậc là 3, tất cả các cạnh ra khỏi nó được tô màu khác nhau. Biết rằng
số lượng cách tô màu tốt không chia hết cho 5. Chứng minh rằng trong một trong số các cách
tô màu tốt, có ba cạnh liên tiếp ra khỏi A được tô màu cùng một màu.
Given a convex polyhedron . Its vertex has degree , other vertices have degree . A
colouring of edges of is called nice, if for any vertex except all three edges from it have
different colours. It appears that the number of nice colourings is not divisible by . Prove
that there is a nice colouring, in which some three consecutive edges from are coloured
the same way.
D. Karpov
10.8. Dima đã tính giai thừa của tất cả các số tự nhiên từ 80 đến 99, tìm nghịch đảo của
chúng và in các phân số thập phân thu được trên 20 dải băng vô tận (ví dụ: số được in trên
1
dải băng cuối cùng 99! = 0, ⏟
00 … 00 10715 …. Sasha muốn cắt ra một mảnh gồm 𝑁 chữ số liên
155 нулей
tiếp từ một trong các tờ giấy mà không có dấu phẩy. Với giá trị 𝑁 lớn nhất nào mà Dima
không thể đoán được Sasha đã cắt đoạn từ dải băng nào?
lớp 11
Ngày thứ hai
11.5. Mỗi đỉnh của hình lồi với 100-đỉnh chứa hai số khác nhau. Chứng minh rằng có thể gạch
bỏ một số ở mỗi đỉnh sao cho các số còn lại ở hai đỉnh liền kề bất kỳ là khác nhau.
11.6. Có số 𝑎, 𝑏, 𝑐 khác 0, sao cho với mọi 𝑛 > 3 tồn tại đa thức có dạng 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 + ⋯ +
+𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, có đúng 𝑛 nghiệm nguyên (không nhất thiết phải khác nhau)?
Do there exist non-zero reals , ,
polynomial
such that, for any
, there exists a
, which has exactly
(not necessary
distinct) integral roots?
N. Agakhanov, I. Bogdanov
11.7. Cho một tứ diện. Lesha muốn chọn hai cạnh chéo của nó và sử dụng chúng như là
đường kính để dựng hai quả cầu. Liệu Lesha luôn có thể chọn một cặp cạnh như vậy sao cho
mọi điểm trên tứ diện đều nằm ít nhất trong một trong hai quả cầu đó không?
Given a tetrahedron . Valentin wants to find two its edges
with no common vertices
so that is covered by balls with diameters
. Can he always find such a pair?
A. Zaslavsky
11.8. Ở trong một quốc gia có N thành phố. Một số cặp thành phố được kết nối bằng các
tuyến bay hai chiều không có trung chuyển. Biết rằng đối với mọi k (2⩽k⩽N), số lượng tuyến
bay giữa các thành phố này không vượt quá 2k-2. Chứng minh rằng tất cả các tuyến bay có
thể được phân phối cho hai hãng hàng không sao cho không có tuyến bay nào tạo thành một
chu trình đóng trong đó tất cả các tuyến bay thuộc về cùng một hãng.
Given an undirected graph with
vertices. For any set of vertices, where
, there are at most
edges, which join vertices of this set. Prove that the edges may
be coloured in two colours so that each cycle contains edges of both colours. (Graph may
contain multiple edges).
I. Bogdanov, G. Chelnokov
XXXIV Vòng thi Olympic Toán học Toàn Nga dành cho Học sinh Phổ thông.
2007-2008
lớp 9
Ngày thứ nhất
9.1. Có hay không 14 số tự nhiên mà nếu tăng mỗi số lên 1 thì tích tất cả các số sẽ tăng đúng
2008 lần?
Do there exist
positive integers, upon increasing each of them by ,their product
increases exactly
times?
9.2. Các số 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho phương trình 𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 có ba nghiệm thực. Chứng
minh rằng nếu −2 ⩽ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ⩽ 0, thì ít nhất một trong các nghiệm này thuộc về đoạn [0,2].
Numbers
that if
are such that the equation
has three real roots.Prove
,then at least one of these roots belongs to the segment
9.3. Trong một tam giác đều 𝐴𝐵𝐶, lần lượt các điểm 𝐻 và 𝑀 − là chân của đường cao và
đường trung tuyến. Qua các đỉnh 𝐴, 𝐵 và 𝐶 vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường
thẳng 𝐴𝑀, 𝐵𝑀, 𝐶𝑀. Chứng minh rằng giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác tạo
bởi các đường thẳng này nằm trên đường thẳng 𝑀𝐻.
In a scalene triangle
and
are the orthocenter an centroid respectively.
Consider the triangle formed by the lines through
and perpendicular
to
and
respectively. Prove that the centroid of this triangle lies on the
line
.
9.4. Một số nhà nghiên cứu làm việc tại NIICHAVO. Trong ngày làm việc 8 tiếng, nhân viên
có thể đến căng tin nhiều lần. Được biết, cứ hai nhân viên thì tổng thời gian mà chính xác
một người trong số họ có mặt trong bữa tiệc buffet ít nhất là 𝑥 giờ (𝑥 > 4). Số lượng nhà
nghiên cứu lớn nhất có thể làm việc ngày hôm đó tại NIICHAVO là bao nhiêu (tùy thuộc vào
𝑥)?
There are several scientists collaborating in Niichavo. During an -hour working day, the
scientists went to cafeteria, possibly several times.It is known that for every two scientist,
the total time in which exactly one of them was in cafeteria is at least hours (
).
What is the largest possible number of scientist that could work in Niichavo that day,in
terms of ?
lớp 10
Ngày thứ nhất
10.1. Có hay không 14 số tự nhiên mà nếu tăng mỗi số lên 1 thì tích tất cả các số sẽ tăng đúng
2008 lần?
10.2. Cho một bảng 𝑛 × 𝑛 có các cột được gán nhãn từ 1 đến 𝑛. Các số được đặt trong các ô
của bảng 1, … , 𝑛 sao cho trong mỗi hàng và mỗi cột tất cả các số đều khác nhau. Chúng ta gọi
một ô là tốt nếu số trong ô đó lớn hơn số gán nhãn của cột chứa ô đó. Trong điều kiện nào
của 𝑛 thì có sự sắp xếp sao cho tất cả các hàng đều có số ô tốt như nhau?
The columns of an
board are labeled to . The numbers
are arranged in
the board so that the numbers in each row and column are pairwise different. We call a cell
"good" if the number in it is greater than the label of its column. For which is there an
arrangement in which each row contains equally many good cells?
10.3. Một vòng tròn 𝜔 có tâm 𝑂 được nội tiếp góc 𝐵𝐴𝐶 và tiếp xúc với các cạnh của nó tại các
điểm 𝐵 và 𝐶. Một điểm 𝑄 được chọn bên trong góc 𝐵𝐴𝐶. Có một điểm 𝑃 trên đoạn 𝐴𝑄 sao cho
𝐴𝑄 ⊥ 𝑂𝑃. Đường thẳng 𝑂𝑃 cắt các đường tròn 𝜔1 và 𝜔2 nội tiếp các tam giác 𝐵𝑃𝑄và 𝐶𝑃𝑄, tại
các điểm thứ hai là 𝑀 và 𝑁. Chứng minh rằng 𝑂𝑀 = 𝑂𝑁.
A circle with center is tangent to the rays of an angle
at
taken inside the angle
. Assume that point on the segment
that
. The line
intersects the circumcircles
and
triangles
and
again at points
and . Prove that
and . Point
is such
of
.
10.4. Dãy số (𝑎𝑛 ) và (𝑏𝑛 ) được xác định bởi các điều kiện 𝑎1 = 1, 𝑏1 = 2, 𝑎𝑛+1 =
𝑏𝑛+1 =
1+𝑏𝑛 +𝑎𝑛 𝑏𝑛
. Chứng minh rằng 𝑎2008 < 5.
𝑎𝑛
The sequences
Show that
are defined by
is
1+𝑎𝑛 +𝑎𝑛 𝑏𝑛
và
𝑏𝑛
and
.
lớp 11
Ngày thứ nhất
11.1. Các số 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho phương trình 𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 có ba nghiệm thực. Chứng
minh rằng nếu −2 ⩽ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ⩽ 0, thì ít nhất một trong các nghiệm này thuộc về đoạn [0,2].
Numbers
that if
are such that the equation
has three real roots.Prove
,then at least one of these roots belongs to the segment
11.2. Petya và Vasya đã được tặng những bộ tạ giống hệt nhau gồm 𝑁 quả tạ, trong đó khối
lượng của bất kỳ hai quả tạ nào khác nhau không quá 1,25 lần. Petya đã chia tất cả các quả tạ
trong bộ của mình thành 10 nhóm có khối lượng bằng nhau, còn Vasya đã chia tất cả các quả
tạ trong bộ của mình thành 11 nhóm có khối lượng bằng nhau. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất có
thể của 𝑁.
Petya and Vasya are given equal sets of
weights, in which the masses of any two
weights are in ratio at most
. Petya succeeded to divide his set into
groups of equal
masses, while Vasya succeeded to divide his set into
groups of equal masses. Find the
smallest possible .
11.3. Cho một tập hữu hạn các số nguyên tố 𝑃. Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên 𝑥 sao
cho nó có thể biểu diễn dưới dạng 𝑥 = 𝑎𝑝 + 𝑏 𝑝 (với các số tự nhiên 𝑎, 𝑏) cho 𝑝 ∈ 𝑃 và không
thể biểu diễn dưới dạng này cho bất kỳ số nguyên tố 𝑝 ∉ 𝑃 nào.
Given a finite set of prime numbers, prove that there exists a positive integer such that
it can be written in the form
(
are positive integers), for each
, and
cannot be written in that form for each not in .
11.4. Mỗi mặt của tứ diện có thể đặt trong một hình tròn có bán kính 1. Chứng minh rằng
3
toàn bộ tứ diện có thể đặt trong một hình cầu có bán kính 2 2.
√
Each face of a tetrahedron can be placed in a circle of radius . Show that the tetrahedron
can be placed in a sphere of radius
.
lớp 9
Ngày thứ hai
9,5. Khoảng cách giữa hai ô trên bàn cờ vô hạn được định nghĩa là số bước đi tối thiểu của
quân vua giữa hai ô đó. Trên bàn cờ có ba ô được đánh dấu, khoảng cách giữa mỗi cặp trong
ba ô này đều bằng 100. Có bao nhiêu ô có khoảng cách từ ô đó đến cả ba ô đã đánh dấu đều
bằng 50?
The distance between two cells of an infinite chessboard is defined as the minimum nuber to
moves needed for a king for move from one to the other.One the board are chosen three
cells on a pairwise distances equal to
. How many cells are there that are on the
distance
from each of the three cells?
9.6. Đường tròn nội tiếp của tam giác 𝐴𝐵𝐶 tiếp xúc với các cạnh 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 tại các điểm 𝑋 và 𝑌
tương ứng. Điểm 𝐾 −là trung điểm của cung 𝐴𝐵 của đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶.
Biết rằng đường thẳng 𝑋𝑌 chia đoạn thẳng 𝐴𝐾 làm đôi. Số đo góc 𝐵𝐴𝐶 có thể là b𝑎𝑜 𝑛ℎ𝑖ê𝑢?
The incircle of a triangle
. Let
that
touches the side
and
at respectively at
be the midpoint of the arc
on the circumcircle of
. Assume
bisects the segment
. What are the possible measures of angle
and
?
9,7. Một số tự nhiên được viết trên bảng. Nếu số 𝑥 được viết trên bảng thì bạn có thể thêm số
𝑥
2𝑥 + 1 hoặc 𝑥+2. Tại một thời điểm nào đó số 2008 xuất hiện trên bảng. Chứng minh rằng nó
đã có (trên bảng) ngay từ thời điểm ban đầu.
A natural number is written on the blackboard. Whenever number
is written, one can
write any of the numbers
and
. At some moment the number
on the blackboard. Show that it was there from the very beginning.
appears
9,8. Chúng ta có 32𝑘 đồng xu không phân biệt được bằng mắt thường, trong đó có một đồng
xu giả - nó nhẹ hơn một chút so với đồng xu thật. Ngoài ra, chúng ta có ba chiếc cân hai đĩa.
Được biết rằng hai trong số các cân là chính xác, còn một chiếc thì hỏng (kết quả cân của nó
không liên quan đến trọng lượng của các đồng xu đặt lên nó, tức là nó có thể cho ra kết quả
đúng hoặc sai bất kỳ lúc nào). Tuy nhiên, không biết cái nào chính xác và cái nào hỏng. Làm
thế nào để xác định đồng xu giả bằng 3𝑘+1 lần cân??
We are given
apparently identical coins,one of which is fake,being lighter than the
others. We also dispose of three apparently identical balances without weights, one of
which is broken (and yields outcomes unrelated to the actual situations). How can we find
the fake coin in
weighings?
lớp 10
Ngày thứ hai
10,5. Tìm tất cả các bộ ba số thực 𝑥, 𝑦, 𝑧 sao cho 1 + 𝑥 4 ⩽ 2(𝑦 − 𝑧)2 , 1 + 𝑦 4 ⩽ 2(𝑧 − 𝑥)2 ,
1 + 𝑧 4 ⩽ 2(𝑥 − 𝑦)2 .
Determine all triplets of real numbers
satisfying
10.6. Trong một tam giác nhọn không cân 𝐴𝐵𝐶, vẽ các đường cao 𝐴𝐴1 và 𝐶𝐶1 , 𝐻- giao điểm
của các đường cao, 𝑂- tâm của đường tròn ngoại tiếp, 𝐵0 - trung điểm của cạnh 𝐴𝐶. Đường
thẳng 𝐵𝑂 cắt cạnh 𝐴𝐶 tại một điểm 𝑃 và các đường thẳng 𝐵𝐻 và 𝐴1 𝐶1 cắt nhau tại một điểm
𝑄. Chứng minh rằng các đường thẳng 𝐻𝐵0 𝑣à 𝑃𝑄 song song.
In a scalene triangle
the altitudes
and
intersect at
is the
circumcenter, and
the midpoint of side
. The line
intersects side
at
, while the lines
and
meet at . Prove that the lines
and
are parallel.
10.7. Đối với những số tự nhiên 𝑛 > 1 nào thì có những số tự nhiên 𝑏1 , … , 𝑏𝑛 (không phải tất
cả đều bằng nhau) sao cho với mọi số tự nhiên 𝑘 thì số (𝑏1 + 𝑘)(𝑏2 + 𝑘) … (𝑏𝑛 + 𝑘) đều là lũy
thừa của một số tự nhiên? (Số mũ có thể phụ thuộc vào 𝑘, nhưng phải luôn lớn hơn 1.)
For which integers
do there exist natural numbers
not all equal such
that the number
is a power of an integer for each natural
number ? (The exponents may depend on , but must be greater than )
10.8. Trên mặt phẳng đã vẽ một số hình chữ nhật với các cạnh song song với các trục tọa độ.
Biết rằng mọi cặp hình chữ nhật có thể cắt nhau bằng đường thẳng dọc hoặc ngang. Chứng
minh rằng có thể vẽ một đường thẳng ngang và một đường thẳng dọc sao cho mọi hình chữ
nhật đều cắt qua ít nhất một trong hai đường thẳng này.
On the cartesian plane are drawn several rectangles with the sides parallel to the
coordinate axes. Assume that any two rectangles can be cut by a vertical or a horizontal
line. Show that it's possible to draw one horizontal and one vertical line such that each
rectangle is cut by at least one of these two lines.
lớp 11
Ngày thứ hai
11.5. Các số từ 51 đến 150 được sắp xếp vào một bảng 10 × 10. Có thể xảy ra trường hợp với
mỗi cặp số 𝑎, 𝑏 nằm trong các ô liền kề theo chiều dọc hoặc chiều ngang, mà ít nhất một trong
các phương trình 𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 có hai nghiệm nguyên?
The numbers from
to
are arranged in a
array. Can this be done in such a
way that, for any two horizontally or vertically adjacent numbers and , at least one of
the equations
and
has two integral roots?
11.6. Một nhà ảo thuật đoán diện tích của một đa giác lồi gồm 2008 đỉnh 𝐴1 𝐴2 … 𝐴2008 nằm
sau một tấm bức. Anh ta chọn hai điểm trên chu vi của đa giác; khán giả đánh dấu những
điểm này, vẽ một đường thẳng qua chúng và báo cho nhà ảo thuật diện tích nhỏ hơn của hai
phần mà đa giác 2008 đỉnh được chia bởi đường thẳng này. Trong quá trình này, nhà ảo
thuật có thể chọn hoặc một đỉnh hoặc một điểm chia cắt một cạnh theo tỉ lệ mà anh ta chỉ
định. Hãy chứng minh rằng trong 2006 câu hỏi, nhà ảo thuật có thể đoán được diện tích của
đa giác.
A magician should determine the area of a hidden convex
-gon
. In
each step he chooses two points on the perimeter, whereas the chosen points can be vertices
or points dividing selected sides in selected ratios. Then his helper divides the polygon into
two parts by the line through these two points and announces the area of the smaller of the
two parts. Show that the magician can find the area of the polygon in
steps.
11.7. Cho một tứ giác lồi 𝐴𝐵𝐶𝐷. Đặt 𝑃 và 𝑄 − là giao điểm của các tia 𝐵𝐴 và 𝐶𝐷, 𝐵𝐶 và 𝐴𝐷
tương ứng, và a 𝐻 là hình chiếu 𝐷 lên 𝑃𝑄. Chứng minh rằng tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 ngoại tiếp khi và
chỉ khi các đường tròn nội tiếp của tam giác 𝐴𝐷𝑃 và 𝐶𝐷𝑄 nhìn từ điểm 𝐻 với các góc bằng
nhau.
In convex quadrilateral
, the rays
meet at , and the
rays
meet at .
is the projection of on
. Prove that there is a circle
inscribed in
if and only if the incircles of triangles
are visible
from
under the same angle.
11.8. Trong một giải đấu, có 2n+3 kỳ thủ cờ vua tham gia. Mỗi người chơi gặp những người
chơi khác đúng một lần. Một lịch trình được tạo ra để các trận đấu diễn ra liên tiếp nhau, và
sau mỗi trận đấu, mỗi người chơi được nghỉ ít nhất n trận. Chứng minh rằng một trong
những người chơi tham gia trận đấu đầu tiên cũng tham gia vào trận đấu cuối cùng.
In a chess tournament
players take part. Every two play exactly one match. The
schedule is such that no two matches are played at the same time, and each player, after
taking part in a match, is free in at least next (consecutive) matches. Prove that one of the
players who play in the opening match will also play in the closing match.
XXXV Всероссийская математическая олимпиада школьников
2008-2009
lớp 9
Ngày thứ nhất
9.1. Mẫu số của hai phân số tối giản là 600 và 700. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của mẫu số của
tổng hai phân số đó (ở dạng tối giản).
The denominators of two irreducible fractions are 600 and 700. Find the minimum value of
the denominator of their sum (written as an irreducible fraction).
9.2. Một đường phân giác 𝐵𝐷 được vẽ trong tam giác 𝐴𝐵𝐶 (điểm 𝐷 nằm trên đoạn 𝐴𝐶). Một
đường thẳng cắt 𝐵𝐷 đường tròn Ω ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 tại các điểm 𝐵 và 𝐸. Một đường
tròn 𝜔 với đường kính 𝐷𝐸 cắt đường tròn Ω tại các điểm 𝐸 và 𝐹. Hãy chứng minh rằng đường
thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD chứa trung tuyến của tam giác
ABC.
Let be given a triangle
and its internal angle bisector
. The
line
intersects the circumcircle of triangle
at and . Circle with
diameter
cuts again at . Prove that
is the symmedian line of triangle
.
9.3. Cho tự nhiên 𝑛 > 1. Số 𝑎 > 𝑛2 sao cho trong số các số 𝑎 + 1, 𝑎 + 2, … , 𝑎 + 𝑛 có bội số của
một trong các số 𝑛2 + 1, 𝑛2 + 2, … , 𝑛2 + 𝑛. Chứng minh rằng 𝑎 > 𝑛4 − 𝑛3 .
Given are positive integers
integers
numbers
and so that
, and among the
one can find a multiple of each of the
. Prove that
.
9.4. Có 100 chiếc nắp nằm úp thành một vòng tròn. Dưới một trong số chúng có một đồng
xu. Mỗi lượt, được phép lật bốn chiếc nắp và kiểm tra xem đồng xu có nằm dưới một trong số
chúng hay không. Sau đó, chúng được trả về vị trí ban đầu và đồng xu sẽ di chuyển sang một
trong những chiếc nắp liền kề với nó. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu lượt để chắc chắn tìm thấy
đồng xu?
There are n cups arranged on the circle. Under one of cups is hiden a coin. For every move,
it is allowed to choose 4 cups and verify if the coin lies under these cups. After that, the cups
are returned into its former places and the coin moves to one of two neigbor cups. What is
the minimal number of moves we need in order to eventually find where the coin is?
lớp 10
Ngày thứ nhất
10.1. Tìm tất cả các số tự nhiên 𝑛 sao cho với một số số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 khác 0, đa thức
(𝑎𝑥 + 𝑏)1000 − (𝑐𝑥 + 𝑑)1000
sau khi khai triển và nhóm các số hạng tương tự, thì đa thức này có đúng 𝑛 hệ số khác 0.
Find all value of for which there are nonzero real numbers
expanding and collecting similar terms, the polynomial
exactly nonzero coefficients.
such that after
has
10.2. Một đường phân giác 𝐵𝐷 được vẽ trong tam giác 𝐴𝐵𝐶 (điểm 𝐷 nằm trên đoạn 𝐴𝐶). Một
đường thẳng cắt 𝐵𝐷 đường tròn Ω ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 tại các điểm 𝐵 và 𝐸. Một đường
tròn 𝜔 với đường kính 𝐷𝐸 cắt đường tròn Ω tại các điểm 𝐸 và 𝐹. Hãy chứng minh rằng đường
thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD chứa trung tuyến của tam giác
ABC.
10.3. Hàm số:
𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ⋅ cos
đổi dấu bao nhiêu lần trên đoạn [0,
𝑥
𝑥
𝑥
⋅ cos ⋅ … ⋅ cos
2
3
2009
2009𝜋
]?
2
How many times changes the sign of the function
at the interval
?
10.4. Trên một vòng tròn có 2009 số nguyên không âm, mỗi số không vượt quá 100. Cho
phép cộng thêm 1 vào hai số kề nhau. Tuy nhiên, với bất kỳ hai số kề nhau nào, thao tác này
được thực hiện không quá k lần. Tìm giá trị nhỏ nhất của k để đảm bảo có thể biến tất cả các
số thành các số bằng nhau?
On a circle there are 2009 nonnegative integers not greater than 100. If two numbers sit
next to each other, we can increase both of them by 1. We can do this at most times. What
is the minimum so that we can make all the numbers on the circle equal?
lớp 11
Ngày thứ nhất
11.1. Trong một quốc gia, một số cặp thành phố được kết nối bởi các con đường không giao
nhau ngoài thành phố. Mỗi thành phố có một biển chỉ dẫn, trên đó ghi độ dài tối thiểu của
tuyến đường đi từ thành phố đó đi qua tất cả các thành phố khác trong quốc gia (tuyến
đường có thể đi qua một số thành phố nhiều hơn một lần và không cần phải trở lại thành phố
ban đầu). Chứng minh rằng bất kỳ hai con số nào trên các biển chỉ dẫn đều không chênh lệch
quá 1.5 lần.
In a country, there are some cities linked together by roads. The roads just meet each other
inside the cities. In each city, there is a board which showing the shortest length of the road
originating in that city and going through all other cities (the way can go through some
cities more than one times and is not necessary to turn back to the originated city). Prove
that 2 random numbers in the boards can't be greater or lesser than 1.5 times than each
other.
𝑘
11.2. Xét dãy số 𝑎1 , 𝑎2 , … sao cho 𝑎1 ∈ (1,2), 𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 + 𝑎 với mọi số tự nhiên 𝑘. Chứng
𝑘
minh rằng dãy số này không thể chứa nhiều hơn một cặp số hạng có tổng là số nguyên.
Consider the sequence of numbers
,
positive integers
(
(
) defined as follows:
). Prove that there exists at most one pair of distinct
such that
is an integer.
11.3. Trong một hình chóp tam giác 𝐴𝐵𝐶𝐷, tất cả các góc phẳng ở các đỉnh không phải là góc
vuông và giao điểm của các đường cao của các tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐵𝐷, 𝐴𝐶𝐷 đều nằm trên cùng
một đường thẳng. Chứng minh rằng tâm của hình cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trong mặt
phẳng đi qua trung điểm các cạnh 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷.
Let
be a triangular pyramid such that no face of the pyramid is a right triangle
and the orthocenters of triangles
,
, and
are collinear. Prove that the
center of the sphere circumscribed to the pyramid lies on the plane passing through the
midpoints of
,
and
.
11.4. Trên mặt phẳng đã được đánh dấu tất cả các điểm có tọa độ nguyên (𝑥, 𝑦) sao cho 𝑥 2 +
𝑦 2 ⩽ 1010. Hai người chơi tham gia một trò chơi (lần lượt thực hiện các nước đi). Trong
nước đi đầu tiên, người chơi đầu tiên đặt một quân cờ vào một điểm được đánh dấu bất kỳ và
xóa điểm đó. Sau đó, mỗi lượt tiếp theo, người chơi di chuyển quân cờ đến một điểm được
đánh dấu khác và xóa điểm đó. Điều kiện là khoảng cách giữa các điểm di chuyển phải tăng
lên; ngoài ra, không được phép di chuyển từ một điểm đến điểm đối xứng của nó qua gốc tọa
độ. Người chơi nào không thể thực hiện nước đi là người thua. Người chơi nào có thể đảm
bảo chiến thắng, dù đối thủ của anh ta chơi như thế nào?
Given a set
of points
with integral coordinates satisfying
. Two
players play a game. One of them marks a point on his first move. After this, on each move
the moving player marks a point, which is not yet marked and joins it with the previous
marked point. Players are not allowed to mark a point symmetrical to the one just chosen.
So, they draw a broken line. The requirement is that lengths of edges of this broken line
must strictly increase. The player, which can not make a move, loses. Who have a winning
strategy?
lớp 9
Ngày thứ hai
9,5. Các số 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa mãn:
(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) = 𝑎𝑏𝑐
(𝑎3 + 𝑏 3 )(𝑏 3 + 𝑐 3 )(𝑐 3 + 𝑎3 ) = 𝑎3 𝑏 3 𝑐 3
Chứng minh rằng 𝑎𝑏𝑐 = 0.
Let , ,
be three real numbers satisfying that
Prove that
.
9.6. Có thể tô màu các số tự nhiên thành 2009 màu sao cho mỗi màu xuất hiện vô hạn lần và
không tồn tại bất kỳ bộ ba số nào, mỗi số trong bộ ba có một màu khác nhau, đồng thời tích
của hai số trong bộ ba không bao giờ bằng số còn lại trong bộ ba đó không?
Can be colored the positive integers with 2009 colors if we know that each color paints
infinitive integers and that we can not find three numbers colored by three different colors
for which the product of two numbers equal to the third one?
9,7. Chúng ta gọi tám ô vuông trên một đường chéo của bàn cờ là hàng rào. Quân xe di
chuyển xung quanh bàn cờ mà đứng trên cùng một ô hai lần và không đứng trên các ô có
hàng rào (các ô mà quân xe đi qua không được tính là đã đứng trên). Số lần nhảy qua hàng
rào nhiều nhất mà quân Xe có thể thực hiện là bao nhiêu?
We call any eight squares in a diagonal of a chessboard as a fence. The rook is moved on
the chessboard in such way that he stands neither on each square over one time nor on the
squares of the fences (the squares which the rook passes is not considered ones it has stood
on). Then what is the maximum number of times which the rook jumped over the fence?
9,8. Tam giác 𝐴𝐵𝐶 và 𝐴1 𝐵1 𝐶1 có diện tích bằng nhau. Có phải luôn luôn có thể dựng được
một tam giác 𝐴2 𝐵2 𝐶2 bằng tam giác 𝐴1 𝐵1 𝐶1 và sao cho các đường thẳng 𝐴𝐴2 , 𝐵𝐵2 , 𝐶𝐶2 song
song bằng compa và thước kẻ?
Triangles
and
always construct triangle
, and
are parallel?
have the same area. Using compass and ruler, can we
equal to triangle
so that the lines
,
lớp 10
Ngày thứ hai
10,5. Trong một dãy số nguyên dương tăng ngặt vô hạn, mỗi số chia hết cho ít nhất một trong
các số 1005 và 1006, nhưng không có số nào chia hết cho 97. Hơn nữa, cứ hai số liền kề thì
có hiệu số tối đa là 𝑘. Tìm giá trị nhỏ nhất của 𝑘?
Given strictly increasing sequence
of positive integers such that each its
term
is divisible either by 1005 or 1006, but neither term is divisible by . Find the least
possible value of maximal difference of consecutive terms
.
10.6. Trong vương quốc có 𝑁N thành phố, một số cặp trong số đó được kết nối bởi các con
đường không giao nhau với giao thông hai chiều (các thành phố trong cặp như vậy được gọi
là láng giềng). Hơn nữa, người ta biết rằng từ bất kỳ thành phố nào cũng có thể đi đến bất kỳ
thành phố nào khác, nhưng không thể xuất phát từ một thành phố và di chuyển qua các con
đường khác nhau mà trở lại thành phố ban đầu.
Một ngày nọ, Nhà vua đã tiến hành một cuộc cải cách: mỗi trong số 𝑁N thị trưởng của các
thành phố đã trở thành thị trưởng của một trong số 𝑁N thành phố, nhưng có thể không phải
là thành phố mà họ đã làm việc trước khi cải cách. Người ta phát hiện ra rằng bất kỳ hai thị
trưởng nào, làm việc ở các thành phố láng giềng trước khi cải cách, cũng đã ở các thành phố
láng giềng sau khi cải cách. Chứng minh rằng hoặc có một thành phố mà thị trưởng sau cải
cách không thay đổi, hoặc có một cặp thành phố láng giềng đã trao đổi thị trưởng cho nhau.
Given a finite tree
vertex such that
,
.
and isomorphism
. Prove that either there exist a
or there exist two neighbor vertices , such that
10.7. Đường tròn có tâm 𝐼 tiếp xúc với các cạnh 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 của tam giác không cân 𝐴𝐵𝐶 tại
các điểm 𝐶1 , 𝐴1 , 𝐵1 tương ứng. Các vòng tròn 𝜔𝐵 và 𝜔𝐶 nội tiếp các tứ giác 𝐵𝐴1 𝐼𝐶1 và 𝐶𝐴1 𝐼𝐵1
tương ứng. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung trong của 𝜔𝐵 và 𝜔𝐶 , khác với 𝐼𝐴1 , đi qua điểm
𝐴.
The incircle
of a given scalene triangle
touches its sides
,
,
at
,
, , respectively. Denote
,
the incircles of
quadrilaterals
and
, respectively. Prove that the internal common
tangent of
and
different from
passes through .
10.8. Cho các số tự nhiên 𝑥 và 𝑦 thuộc đoạn [2,100]. Chứng minh rằng với một số tự nhiên 𝑛
𝑛
𝑛
thì số 𝑥 2 + 𝑦 2 −là hợp số.
Let , be two integers with
some positive integer .
. Prove that
is not a prime for
lớp 11
Ngày thứ hai
11.5. Cho 1 < 𝑎 ⩽ 𝑏 ⩽ 𝑐. Chứng minh rằng
log 𝑎 𝑏 + log 𝑏 𝑐 + log 𝑐 𝑎 ⩽ log 𝑏 𝑎 + log 𝑐 𝑏 + log 𝑎 𝑐
Prove that
for all
.
11.6. Trên một số ô của bảng 10×10, người ta đặt 𝑘 quân xe, sau đó đánh dấu tất cả các ô bị ít
nhất một quân xe tấn công (được tính cả ô mà quân xe đang đứng). Với giá trị 𝑘 lớn nhất nào
mà sau khi loại bỏ bất kỳ một quân xe nào, vẫn có ít nhất một ô đã được đánh dấu mà không
bị quân xe nào tấn công?
There are rooks on a
chessboard. We mark all the squares that at least one rook
can capture (we consider the square where the rook stands as captured by the rook). What
is the maximum value of so that the following holds for some arrangement of rooks:
after removing any rook from the chessboard, there is at least one marked square not
captured by any of the remaining rooks.
11.7. Các điểm 𝐴1 , 𝐶1 được chọn trên các cạnh 𝐴𝐵 và 𝐵𝐶 của hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷. Các đoạn
thẳng 𝐴𝐶1 và 𝐶𝐴1 cắt nhau tại điểm 𝑃. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác 𝐴𝐴1 𝑃, 𝐶𝐶1 𝑃 cắt
nhau lần thứ hai tại một điểm 𝑄 nằm bên trong tam giác 𝐴𝐶𝐷. Chứng minh rằng∠𝑃𝐷𝐴 =
∠𝑄𝐵𝐴.
Let be given a parallelogram
and two points
,
on its sides
,
, respectively. Lines
and
meet at . Assume that the circumcircles of
triangles
and
intersect at the second point inside triangle
that
.
. Prove
𝑛
11.8. Cho số tự nhiên 𝑥, 𝑦 ∈ [2,100]. Chứng minh rằng với một số số tự nhiên 𝑛 thì số 𝑥 2 +
𝑛
𝑦 2 là hợp số.
Tài liệu vòng chung kết OLYMPIAD TOÁN
TOÁN TOÀN NGA XXXVI DÀNH CHO
HỌC SINH HỌC SINH
năm học 2009-2010
Ngày thứ nhất
Maykop, ngày 25-30 tháng 4 năm 2010
Bộ sưu tập chứa các tài liệu cho giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga XXXVI dành cho
học sinh môn toán. Các nhiệm vụ được chuẩn bị bởi Ủy ban Phương pháp Toán học Liên
bang của Olympic dành cho học sinh toàn Nga
Tuyển tập được biên soạn bởi: N.Kh. Agakhanov, A.Ya. Belov-Kanel, V.V. Astakhov, S.L.
Berlov, I.I. Bogdanov, S.G. Volchenkov, A.A. Gavrilyuk, A.I. Garber, AA Glazyrin, A.S.
Golovanov, O.Yu. Dmitriev, V.L. Dolnikov, LA Emelyanov, R.G. Zhenodarov, R.N. Karasev,
P.A. Kozhevnikov, M.A. Kozachok, P.Yu. Kozlov, A.N. Magazinov, Yu.S. Meshin, MV
Murashkin, O.K. Podlipsky, A.A. Polyansky, A.M. Raigorodsky, I.S. Rubanov, V.A. Senderov,
S.I. Tokarev, B.V. Trushin, A.I. Khrabrov, D.G. Khramtsov, K.V. Chuvilin, V.Z. Sharich, V.A.
Shmarov
Tên tác giả được ghi trong ngoặc đơn sau mỗi bài toán.
Sắp chữ máy tính: K.V. Chuvilin, I.I. Bogdanov.
Chúng tôi chúc bạn làm việc thành công!
Các tác giả và người biên soạn bộ sưu tập
Nghiêm cấm xuất bản hoặc đăng lên Internet các điều kiện hoặc lời giải cho các bài toán của
Olympic.
(c) Tác giả và người biên soạn, 2010 (c) K.V. Chuvilin, I.I. Bogdanov, 2010, bố cục.
ĐIỀU KIỆN CỦA BÀI TOÁN
lớp 9
9.1. Có 24 cây bút chì có 4 màu - mỗi màu có 6 cây bút chì. Chúng được phát cho 6 em, mỗi
em nhận được 4 cây bút chì. Hỏi số học sinh nhỏ nhất luôn có thể được chọn là bao nhiêu để
đảm bảo các em có đủ bút chì đủ màu, bất kể việc phân phối bút chì như thế nào?
There are
different pencils, different colors, and pencils of each color. They were
given to children in such a way that each got pencils. What is the least number of
children that you can randomly choose so that you can guarantee that you have pencils of
all colors.
P.S. for 10 grade gives same problem with
pencils,
of each color and
children.
(I. Bogdanov, O. Podlipsky)
9.2. Có 100 cặp số khác nhau được đặt xung quanh một vòng tròn. Chứng minh rằng có thể
chọn 4 số liên tiếp sao cho tổng hai số ngoài cùng của bốn số này lớn hơn tổng các số ở giữa.
There are
random, distinct real numbers corresponding to
points on a circle.
Prove that you can always choose consecutive points in such a way that the sum of the
two numbers corresponding to the points on the outside is always greater than the sum of
the two numbers corresponding to the two points on the inside.
(S. Berlov)
9.3. Các đường tiếp tuyến với đường tròn 𝜔 tại các điểm 𝐴 và 𝐵 cắt nhau tại điểm 𝑂. Điểm 𝐼tâm 𝜔. Trên cung nhỏ 𝐴𝐵 của đường tròn 𝜔 chọn 𝐶 khác với trung điểm của cung tròn.
Đường thẳng 𝐴𝐶 và 𝑂𝐵 cắt nhau tại điểm 𝐷 và đường thẳng 𝐵𝐶 và 𝑂𝐴 cắt nhau tại −điểm 𝐸.
Chứng minh rằng tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác 𝐴𝐶𝐸, 𝐵𝐶𝐷 và 𝑂𝐶𝐼 nằm trên một
đường thẳng.
Lines tangent to circle in points and , intersect in point . Point is the center of
. On the minor arc
, point is chosen not on the midpoint of the arc.
Lines
and
intersect at point . Lines
and
intersect at point . Prove
that the circumcentres of triangles
,
, and
are collinear.
(A. Polyansky)
9.4. Trong căng tin có 100 quả táo với tổng trọng lượng 10 kg, mỗi quả nặng không dưới 25g.
Người phụ trách căng tin cần cắt chúng thành các phần và chia cho 100 đứa trẻ, mỗi đứa
100g. Chứng minh rằng cô ấy có thể làm điều đó sao cho bất kỳ phần nào của quả táo đều
nặng không dưới 25g.
There are 100 apples on the table with total weight of 10 kg. Each apple weighs no less than
25 grams. The apples need to be cut for 100 children so that each of the children gets 100
grams. Prove that you can do it in such a way that each piece weighs no less than 25
grams.
(K. Knop, I. Bogdanov)
lớp 10
10.1. Có 40 cây bút chì có 4 màu - mỗi màu có 10 cây bút chì. Chúng được phát cho 10 em,
mỗi em nhận được 4 cây bút chì. Hỏi số học sinh nhỏ nhất luôn có thể được chọn là bao
nhiêu để đảm bảo các em có đủ bút chì đủ màu, bất kể việc phân phối bút chì như thế nào?
(I. Bogdanov, O. Podlipsky)
10.2. Có 100 cặp số khác nhau được đặt xung quanh một vòng tròn. Chứng minh rằng có thể
chọn 4 số liên tiếp sao cho tổng hai số ngoài cùng của bốn số này lớn hơn tổng các số ở giữa.
(S. Berlov)
10.3. Qua tâm 𝑂của đường tròn ngoại tiếp một tam giác nhọn không cân 𝐴𝐵𝐶, vẽ các đường
thẳng vuông góc với các cạnh 𝐴𝐵và 𝐴𝐶. Những đường này cắt đường cao 𝐴𝐷của tam giác
𝐴𝐵𝐶tại các điểm 𝑃và 𝑄. Điểm 𝑀là trung điểm của cạnh 𝐵𝐶và 𝑆là tâm của đường tròn ngoại
tiếp tam giác 𝑂𝑃𝑄. Chứng minh điều đó ∠𝐵𝐴𝑆 = ∠𝐶𝐴𝑀.
Let be the circumcentre of the acute non-isosceles triangle
. Let and be points
on the altitude
such that
and
are perpendicular to
and
respectively.
Let
be the midpoint of
and be the circumcentre of triangle
. Prove
that
.
(D. Prokolenko)
10.4. Trong mỗi ô đơn vị của một hình vuông kích thước 100×100, ghi một số tự nhiên bất
kỳ. Một hình chữ nhật có các cạnh song song với các cạnh của hình vuông được gọi là "tốt"
nếu tổng các số trong tất cả các ô của hình chữ nhật đó chia hết cho 17. Người ta cho phép tô
tất cả các ô trong một hình chữ nhật tốt nào đó. Một ô đơn vị không được tô hai lần trở lên.
Hãy tìm d lớn nhất sao cho ta có thể đảm bảo tô ít nhất d ô, bất kể các số được sắp xếp như
thế nào?
In each unit square of square
write any natural number. Called rectangle with
sides parallel sides of square
if sum of number inside rectangle divided by . We
can painted all unit squares in
rectangle. One unit square cannot painted twice or
more.
Find maximum for which we can guaranteed paint at least points.
(P. Zusmanovich, F. Petrov)
lớp 11
11.1. Tồn tại hay không các số thực 𝑎1 , 𝑎2 , .., 𝑎10 khác 0, sao cho:
(𝑎1 +
1
1
1
1
) ⋅ … ⋅ (𝑎10 +
) = (𝑎1 − ) ⋅ … ⋅ (𝑎10 −
)?
𝑎1
𝑎10
𝑎1
𝑎10
Do there exist non-zero reals numbers
(N. Agakhanov, I. Bogdanov)
for which
11.2. Bảng ca rô 𝑛 × 𝑛(𝑛 ⩾ 4) chứa 𝑛 dấu “+” được đặt trong các ô của một đường chéo và dấu
“-” trong tất cả các ô còn lại. Người ta cho phép trong một hàng hoặc một cột nào đó, đổi tất
cả các dấu sang dấu đối lập. Chứng minh rằng sau bất kỳ số lượng thao tác nào như vậy, bảng
sẽ còn ít nhất n dấu cộng.
On an
chart, where
, stand " " signs in the cells of the main diagonal and "
" signs in all the other cells. You can change all the signs in one row or in one column,
from to or from to . Prove that you will always have or more signs after
finitely many operations.
(P. Karasev)
11.3. Một tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 nội tiếp trong một đường tròn 𝜔 và các đường chéo của nó cắt nhau
tại một điểm 𝐾. Điểm 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 , 𝑀4 là trung điểm cung 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴 (không chứa các đỉnh
khác của tứ giác). Các điểm 𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 , 𝐼4 lần lượt là tâm của các đường tròn nội tiếp các tam
giác 𝐴𝐵𝐾, 𝐵𝐶𝐾, 𝐶𝐷𝐾, 𝐷𝐴𝐾. Chứng minh rằng các đường thẳng 𝑀1 𝐼1 , 𝑀2 𝐼2 , 𝑀3 𝐼3 , 𝑀4 𝐼4 cắt nhau
tại một điểm.
Quadrilateral
is inscribed into circle ,
intersect
in point . Points
,
,
,
-midpoints of arcs
,
,
, and
respectively. Points , , ,
-incenters of triangles
,
,
, and
respectively. Prove that
lines
,
,
, and
all intersect in one point.
(P. Kozhevnikov)
11.4. Cho một số tự nhiên 𝑛 ⩾ 3. Phát biểu sau đây đúng giá trị 𝑘 nhỏ nhất nào ?
Với mọi 𝑛 điểm 𝐴𝑖 = (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng và mọi số
thực 𝑐𝑖 (1 ⩽ 𝑖 ⩽ 𝑛) đều tồn tại một đa thức 𝑃(𝑥, 𝑦) có bậc không lớn hơn 𝑘 sao cho 𝑃(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) =
= 𝑐𝑖 với mọi 𝑖 = 1, … , 𝑛.
(Đa thức hai biến là hàm số có dạng
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑎0,0 + 𝑎1,0 𝑥 + 𝑎0,1 𝑦 + 𝑎2,0 𝑥 2 + 𝑎1,1 𝑥𝑦 + 𝑎0,2 𝑦 2 +
+ ⋯ + 𝑎𝑘,0 𝑥 𝑘 + 𝑎𝑘−1,1 𝑥 𝑘−1 𝑦 + ⋯ + 𝑎0,𝑘 𝑦 𝑘
Bậc của một đơn thức khác 0: 𝑎𝑖,𝑗 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 là 𝑖 + 𝑗; Bậc của đa thức 𝑃(𝑥, 𝑦) là bậc cao nhất của
đơn thức chứa trong nó.)
Given is a natural number
. What is the smallest possible value of if the following
statements are true?
For every points
on a plane, where no three points are collinear, and for
any real numbers (
) there exists such polynomial
, the degree of
which is no more than , where
for every
.
(The degree of a nonzero monomial
is
, while the degree of
polynomial
is the greatest degree of the degrees of its monomials.)
( Φ. Petrov)
LỜI GIẢI CHO CÁC BÀI TOÁN
lớp 9
9.1. Đáp án. 3 bạn.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng luôn có thể chọn 3 bạn sao cho họ có đủ bút chì của tất cả các
màu. Vì mỗi màu có 6 bút chì và mỗi người được nhận 4 bút chì, nên có ít nhất một người sẽ
có bút chì của ít nhất hai màu khác nhau. Sau đó, ta chỉ cần thêm hai bạn khác, mỗi người có
bút chì của hai màu còn lại.
Bây giờ, chúng ta sẽ chỉ ra cách phân chia bút chì sao cho bất kỳ hai người nào cùng nhau
cũng chỉ có bút chì của không quá ba màu. Ta sẽ cho một bạn 4 bút chì của màu thứ hai, một
bạn khác 4 bút chì của màu thứ ba, một bạn khác 4 bút chì của màu thứ tư, một bạn khác 2
bút chì của màu thứ nhất và thứ hai, một bạn khác 2 bút chì của màu thứ nhất và thứ ba, và
cuối cùng là một bạn khác 2 bút chì của màu thứ nhất và thứ tư.
9.2. Giả sử ngược lại. Gọi các số của chúng ta là 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎100 ; chúng ta sẽ coi rằng 𝑎100+𝑛 =
𝑎𝑛 . Khi đó, bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+3 ≥ 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2, hoặc 𝑎𝑛+3 −
𝑎𝑛+2 ≥ 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 với 𝑛 = 1,2, … ,100. Điều này có nghĩa là 𝑎100 − 𝑎99 ≥ 𝑎98 − 𝑎97 ≥ ⋯ ≥ 𝑎2 −
𝑎1 ≥ 𝑎100 − 𝑎99 , nghĩa là tất cả các bất đẳng thức này trở thành các đẳng thức.
Vậy, 𝑎2𝑛 − 𝑎2𝑛−1 = 𝑘 với mọi 𝑛 = 1,2, … ,50, và tương tự 𝑎2𝑛+1 − 𝑎2𝑛 = ℓ với 𝑛 = 1,2, … ,50.
Tổng cộng tất cả 100 đẳng thức này, ta được 0 = 50𝑘 + 50ℓ, từ đó 𝑘 = −ℓ. Nhưng khi đó
𝑎3 − 𝑎2 = ℓ = −𝑘 = −(𝑎2 − 𝑎1 ) = 𝑎1 − 𝑎2 , tức là 𝑎1 = 𝑎3 . Điều này mâu thuẫn với điều kiện
đề bài.
9.3. Lời giải đầu tiên: Giả sử 𝑀 là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp của các
tam giác 𝐴𝐶𝐸 và 𝐵𝐶𝐷 (nó tồn tại vì nếu chúng tiếp xúc, các đường thẳng 𝐴𝐸 và 𝐵𝐷 sẽ song
song). Chúng ta cần chỉ ra rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác 𝑂𝐶𝐼 cũng đi qua điểm 𝑀,
bởi vì trong trường hợp này, các tâm của cá ba đường tròn trong đề bài sẽ nằm trên đường
trung trực của đoạn thẳng 𝐶𝑀.
Hình. 1
Giả sử ∠𝐶𝐴𝐵 = 𝛼 và ∠𝐶𝐵𝐴 = 𝛽; không mất tính tổng quát, ta có thể cho rằng 𝛽 > 𝛼. Theo
tính chất của góc giữa dây cung và tiếp tuyến, ∠𝑂𝐵𝐸 = 𝛼, tương tự ∠𝐷𝐴𝐸 = 𝛽 (xem hình 1 ).
Trong tứ giác 𝑂𝐵𝐼𝐴, các góc 𝐴 và 𝐵 đều vuông, do đó nó là tứ giác nội tiếp; nghĩa là, ∠𝑂𝐼𝐴 =
∠𝑂𝐵𝐴 = 𝛼 + 𝛽. Do đó, ∠𝐶𝐼𝑂 = ∠𝐶𝐼𝐴 − ∠𝑂𝐼𝐴 = 2∠𝐶𝐵𝐴 − (𝛼 + 𝛽) = 𝛽 − 𝛼.
Để chứng minh rằng điểm 𝑀 nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác 𝑂𝐶𝐼, ta cần chỉ ra
rằng ∠𝐶𝑀𝑂 = 𝛽 − 𝛼.
Vì các tứ giác 𝐴𝐸𝐶𝑀 và 𝐷𝐵𝑀𝐶 là tứ giác nội tiếp, ta có ∠𝐵𝑀𝐸 = ∠𝐵𝑀𝐶 + ∠𝐶𝑀𝐸 =
(180∘ − ∠𝐶𝐷𝐵) + ∠𝐶𝐴𝐸 = ∠𝑂𝐷𝐴 + ∠𝐷𝐴𝑂 = 180∘ − ∠𝐸𝑂𝐵, nghĩa là tứ giác 𝐸𝑂𝐵𝑀 cũng là tứ
giác nội tiếp, và ∠𝑂𝑀𝐸 = ∠𝑂𝐵𝐸 = 𝛼. Do đó, ∠𝐶𝑀𝑂 = ∠𝐶𝑀𝐸 − ∠𝑂𝑀𝐸 = ∠𝐶𝐴𝐸 − 𝛼 = 𝛽 − 𝛼,
điều này cần phải chứng minh.
Chú ý: Điểm 𝑀 là điểm Miquel của tứ giác được tạo thành bởi các đường thẳng 𝐴𝐶, 𝐵𝐶, 𝐴𝑂 và
𝐵𝑂, nghĩa là điểm 𝑀 sẽ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác được tạo thành bởi bất
kỳ ba trong số bốn đường thẳng này. Do đó, điểm 𝑀 không chỉ nằm trên các đường tròn
ngoại tiếp của các tam giác 𝐴𝐸𝐶, 𝐵𝐶𝐷, 𝐸𝑂𝐵 như chúng ta đã chứng minh, mà còn nằm trên
đường tròn ngoại tiếp của tam giác 𝐴𝑂𝐷..
Giải pháp thứ hai: vì ∠𝑂𝐴𝐼 = ∠𝑂𝐵𝐼 = 90∘ , tứ giác 𝑂𝐴𝐼𝐵 nội tiếp trong một đường tròn Ω
Hình. 2
Hình. 3
Gọi 𝑆𝐴 và 𝑆𝐵 là các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác 𝐴𝐶𝐸 và 𝐵𝐶𝐷, và 𝑀 là điểm giao thứ
hai của chúng. Vì 𝐵𝑂 là tiếp tuyến của 𝜔, ta có ∠𝐴𝐵𝑂 = 180∘ − ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴𝐶𝐸. Vì các góc này
trong các đường tròn Ω và 𝑆𝐴 được tạo bởi các dây cung 𝐴𝑂 và 𝐴𝐸, nằm trên cùng một tia 𝐴𝑂,
theo định lý về góc giữa tiếp tuyến và dây cung, các tiếp tuyến của Ω và 𝑆𝐴 tại điểm 𝐴 trùng
nhau. Tương tự, các tiếp tuyến của 𝑆𝐵 và Ω tại điểm 𝐵 cũng trùng nhau.
Giả sử các tiếp tuyến của Ω tại các điểm 𝐴 và 𝐵 cắt nhau tại điểm 𝐾 (xem hình 2 ). Từ tính đối
xứng, 𝐾 nằm trên đường thẳng 𝑂𝐼. Khi đó, điểm 𝐾 là tâm đối xứng của các đường tròn 𝑆𝐴 , 𝑆𝐵
và Ω, do đó nó nằm trên đường thẳng 𝐶𝑀. Nhưng khi đó 𝐾𝑀 = 𝐾𝐶 = 𝐾𝐴2 = 𝐾𝑂 ⋅ 𝐾𝐼, nghĩa là
điểm 𝑀 nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác 𝑂𝐼𝐶. Điều này có nghĩa là tâm của
đường tròn này, cũng như tâm của các đường tròn 𝑆𝐴 và 𝑆𝐵 nằm trên đường trung trực của
dây cung chung 𝐶𝑀, điều này cần chứng minh.
Nếu các tiếp tuyến của Ω tại các điểm 𝐴 và 𝐵 song song (xem hình 3 ), thì đường thẳng 𝐴𝐵
chứa các đường kính của các đường tròn 𝑆𝐴 và 𝑆𝐵 , và cũng là đường trung trực của 𝑂𝐼, tức là
chứa tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác 𝑂𝐼𝐶.
9.4. Tất cả các trọng lượng trong lời giải sẽ được đo bằng gam. Ta sẽ gọi một miếng táo (hoặc
quả táo) là lớn, nếu trọng lượng của nó không nhỏ hơn 25 gam. Chúng ta sẽ chứng minh
bằng phương pháp quy nạp theo 𝑛 rằng 𝑛 quả táo lớn có tổng trọng lượng là 100𝑛 có thể
được cắt thành các miếng lớn và chia đều cho 𝑛 đứa trẻ.
Cơ sở quy nạp: Khi 𝑛 = 1, điều này là hiển nhiên. Giả sử rằng 𝑛 > 1. Xét hai quả táo nặng
nhất; giả sử trọng lượng của chúng lần lượt là 𝑎 và 𝑏. Lưu ý rằng 𝑎 + 𝑏 ≤ 200 (nếu không,
trọng lượng trung bình của một quả táo sẽ nhỏ hơn 200/2 = 100 ). Bỏ hai quá táo này ra
khỏi tập hợp và thêm vào đó một quả táo có trọng lượng 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 − 100 ≤ 100. Theo giả
thiết quy nạp, tập hợp mới này có thể được cắt thành các miếng lớn và chia đều cho 𝑛 − 1
đứa trẻ. Nếu trong quá trình này, có một miếng táo mới nào lớn hơn 50 , ta sẽ cắt nó thành
hai miếng lớn. Sau một số lần cắt như vậy, chúng ta sẽ đạt được tình huống mà quả táo mới
được chia thành các miếng có trọng lượng 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑘 không lớn hơn 50 . Gọi 𝑠𝑑 = 𝑐1 + ⋯ +
𝑐𝑑 với 𝑑 = 1,2, … , 𝑘 và đặt 𝑠0 = 0.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra cách cắt tập hợp ban đầu. Tất cả các quả táo, ngoại trừ 𝑎 và 𝑏, được cắt
giống như trong tập hợp mới. Lưu ý rằng 𝑎 ≤ 200/2 = 100. Gọi 𝑡 là chỉ số nhỏ nhất sao cho
𝑎 − 𝑠𝑡 ≥ 75 và cắt từ 𝑎 các miếng 𝑐1 , … , 𝑐𝑡 , và từ 𝑏 các miếng 𝑐𝑡+1 , … , 𝑐𝑘 . Lưu ý rằng 𝑎 − 𝑠𝑡−1 >
75, do đó từ 𝑎 còn lại miếng 𝑎′ = 𝑎 − 𝑠𝑡 = (𝑎 − 𝑠𝑡−1 ) − 𝑐𝑡 sao cho 75 ≥ 𝑎′ > 75 − 𝑐𝑡 ≥ 25. Từ
𝑏 còn lại miếng 𝑏 ′ sao cho 𝑎′ + 𝑏 ′ = 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 100, do đó 25 ≤ 𝑏 ′ ≤ 75. Vậy, ta có thể cho
𝑎′ và 𝑏 ′ cho một đứa tré, và chia các miếng còn lại cho các đứa trẻ còn lại như đã thực hiện
trong tập hợp mới.
Lời khẳng định đã được chứng minh.
Lưu ý: Trong mệnh đề đã chứng minh, số 25 không thể thay thế bằng một số lớn hơn, không
phụ thuộc vào 𝑛.
lớp 10
10.1. 3 bạn.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng luôn có thể chọn ba bạn sao cho họ có đủ bút chì của tất cả các
màu. Vì mỗi màu có 10 bút chì và mỗi người được nhận 4 bút chì, nên có ít nhất một người
sẽ có bút chì của ít nhất hai màu khác nhau. Sau đó, ta chỉ cần thêm hai bạn khác, mỗi người
có bút chì của hai màu còn lại.
Bây giờ, chúng ta sẽ chỉ ra cách phân chia bút chì sao cho bất kỳ hai người nào cùng nhau
cũng chỉ có bút chì của không quá ba màu. Ta sẽ phân chia như sau: hai bạn nhận mỗi người
4 bút chì của màu thứ hai, hai bạn nhận mỗi người 4 bút chì của màu thứ ba, hai bạn nhận
mỗi người 4 bút chì của màu thứ tư, một bạn nhận 4 bút chì của màu thứ nhất, một bạn nhận
mỗi người 2 bút chì của màu thứ nhất và màu thứ hai, một bạn nhận mỗi người 2 bút chì của
màu thứ nhất và màu thứ ba, và cuối cùng là một bạn nhận mỗi người 2 bút chì của màu thứ
nhất và màu thứ tư.
10.2. Xem cách giải bài toán 9.2.
10.3. Giả sử 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶 (xem hình 4). Gọi 𝐿 là trung điểm của đoạn thẳng 𝐴𝐵. Lưu ý rằng
1
∠𝐴𝑂𝐿 = 2 ∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐴𝐶𝐵. Từ đó suy ra ∠𝐵𝐴𝑂 = 90∘ − ∠𝐴𝑂𝐿 = 90∘ − ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐶𝐴𝐷.
Các cạnh của tam giác 𝑂𝑃𝑄 vuông góc tương ứng với các cạnh của tam giác 𝐴𝐵𝐶, do đó △
𝑂𝑃𝑄 đồng dạng với △ 𝐴𝐵𝐶 : nó được tạo ra từ △ 𝐴𝐵𝐶 bằng cách quay 90∘ và phép vị tự với
một tỉ lệ 𝑘 - Vì 𝑂𝑆 và 𝐴𝑂 là các đoạn thẳng tương ứng trong các tam giác 𝑂𝑃𝑄 và 𝐴𝐵𝐶, nên
𝑂𝑆 ⊥ 𝐴𝑂 và 𝑂𝑆 = 𝑘 ⋅ 𝐴𝑂. Tiếp theo, đoạn thẳng 𝑀𝐷 bằng với chiều cao của tam giác 𝑂𝑃𝑄 kẻ
xuống cạnh 𝑃𝑄, do đó 𝑀𝐷 = 𝑘 ⋅ 𝐴𝐷. Vì vậy, các tam giác vuông 𝐴𝑂𝑆 và 𝐴𝐷𝑀 đồng dạng, do
đó ∠𝑆𝐴𝑂 = ∠𝑀𝐴𝐷. Cuối cùng, ∠𝐵𝐴𝑆 = ∠𝐵𝐴𝑂 + ∠𝑆𝐴𝑂 = ∠𝐶𝐴𝐷 + ∠𝑀𝐴𝐷 = ∠𝐶𝐴𝑀.
Hình. 4
10.4. Đáp án. 9744 = 1002 − 162 ô.
Bổ đề: Giả sử một dải 1 × 𝑘 được điền các số tự nhiên. Khi đó, có thể tô một số hình chữ nhật
tốt không chồng lấn nhau, chứa không ít hơn 𝑘 − 16 ô.
Chứng minh: Quy nạp theo 𝑘. Khi 𝑘 ≤ 16, không cần tô bất cứ ô nào. Giả sử 𝑘 > 16. Xét 17 ô
bên trái, chứa các số 𝑎1 , … , 𝑎17 . Trong các số 0, 𝑎1 , 𝑎1 + 𝑎2 , … , 𝑎1 + ⋯ + 𝑎17 , sẽ có hai số cho
cùng một số dư khi chia cho 17. Khi đó, hiệu của chúng, có dạng 𝑎𝑖 + 𝑎𝑖+1 + ⋯ + 𝑎𝑗 , sẽ chia
hết cho 17. Ta sẽ xóa các ô từ ô thứ 𝑖 đến ô thứ 𝑗 khỏi dải. Các ô còn lại sẽ được coi là một dải
có độ dài 𝑘 − (𝑗 − 𝑖 + 1). Áp dụng giả thiết quy nạp vào dải này, ta sẽ tô một số hình chữ nhật
tốt sao cho còn lại không quá 16 ô chưa được tô. Khi đó, trong dải ban đầu, ta có thể tô các ô
giống như vậy, cũng như các ô từ 𝑖 đến 𝑗 (chúng hoặc tạo thành một hình chữ nhật tốt mới,
hoặc nằm bên trong hình chữ nhật cũ).
Chuyển sang bài toán. Chúng ta sẽ chứng minh rằng có thể để lại không quá 162 = 256 ô
chưa được tô. Xét dải 1 × 100, trong đó các ô được ghi tổng các số trong các cột của hình
vuông ban đầu. Áp dụng khẳng định của bổ đề vào dải này, chúng ta sẽ tìm được một số hình
chữ nhật tốt. Khi đó, trong hình vuông ban đầu, ta có thể tô các hình chữ nhật tương ứng có
chiều cao 100 . Sau đó, còn lại không quá 16 cột chưa được tô. Áp dụng bổ đề này cho từng
cột riêng lé; trong mỗi cột còn lại không quá 16 ô chưa được tô, tức là tổng cộng không quá
256 ô.
Còn lại là đưa ra ví dụ về cách sắp xếp mà không thể để lại ít hơn 256 ô chưa được tô. Sắp xếp
trong một hình vuông 16 × 16 các số 1 , và trong tất cả các ô còn lại là số 0 . Xét một hình chữ
nhật tùy ý 𝑃; nếu nó chứa số 1 , thì nó giao với hình vuông theo một hình chữ nhật 𝑎 × 𝑏 (với
1 ≤ 𝑎, 𝑏 ≤ 16 ); nhưng khi đó tổng các số trong 𝑃 sẽ bằng 𝑎𝑏, không thể chia hết cho 17 . Do
đó, không một ô nào có số 1 được tô, nghĩa là, ít nhất 256 ô sẽ không được tô.
LỚP 11
11.1. Trả lời. Không tồn tại.
1
Hãy xem xét các số thực khác 0 tùy ý 𝑎1 , … , 𝑎10 . Lưu ý là các số 𝑎𝑘 và 𝑎 có cùng dấu. Do đó,
𝑘
ta có:
|𝑎𝑘 +
1
1
1
1
> max (|𝑎𝑘 |,
) ⩾ |𝑎𝑘 − | ⩾ 0
| = |𝑎𝑘 | +
|𝑎𝑘 |
|𝑎𝑘 |
𝑎𝑘
𝑎𝑘
Nhân các bất đẳng thức này lại với nhau, ta thu được:
|𝑎1 +
1
1
1
1
| ⋅ … ⋅ |𝑎10 +
| > |𝑎1 − | ⋅ … ⋅ |𝑎10 −
|
𝑎1
𝑎10
𝑎1
𝑎10
nghĩa là, đẳng thức yêu cầu không thể xảy ra.
11.2. Lời giải thứ nhất: Đánh số các hàng từ 1 đến n từ trên xuống, và các cột cũng từ 1 đến
n từ trái sang phải. Một ô được ký hiệu bằng cặp số hàng và số cột của nó; và các ô trên
đường chéo chứa các dấu cộng có tọa độ là (i, i) với i=1,...,n.
Chú ý rằng nếu bốn ô nằm ở các đỉnh của một hình chữ nhật với các cạnh song song với các
trục tọa độ, thì mỗi phép biến đổi sẽ không thay đổi dấu trong các ô này, hoặc thay đổi dấu
đúng hai trong số bốn ô. Đặc biệt, tính chẵn lẻ của số lượng dấu cộng trong bốn ô này không
thay đổi; do đó, nếu ban đầu có chính xác một dấu cộng trong số chúng, thì sau đó cũng sẽ có
ít nhất một dấu cộng. Bây giờ chúng ta chọn n nhóm bốn ô không giao nhau như vậy trong
bảng của chúng tôi; theo như đã nói trước đó, sau mọi phép biến đổi, trong mỗi nhóm sẽ có ít
nhất một dấu cộng, do đó, tổng số dấu cộng sẽ ít nhất là n. Với i=1,2,...,n−2 chúng ta chọn các
nhóm bốn ô {(i, i), (i, i+1), (i+2, i), (i+2, i+1)}, cũng như các nhóm bốn ô {(n-1, n-1), (n-1, n),
(1, n-1), (1, n)} và {(n, n), (n, 1), (2, n), (2, 1)}. Dễ dàng thấy rằng chúng thỏa mãn tất cả các
yêu cầu. Trong hình 5, các nhóm bốn ô như vậy được đánh dấu khi n=5.
Hình. 5
Lời giải thứ hai. Chú ý rằng dấu trong một ô sẽ thay đổi khi một số lượng lẻ các phép biến
đổi được thực hiện trên ô đó. Giả sử có chính xác 𝑟 hàng và chính xác 𝑐 cột mà mỗi hàng và
mỗi cột đều có một số lẻ các phép biến đổi được áp dụng (ta gọi chúng là hàng và cột lẻ). Khi
đó, số dấu đã thay đổi sẽ chính là 𝑟(𝑛 − 𝑐) ô nằm ở giao điểm của các hàng lẻ với các cột chẵn
và 𝑐(𝑛 − 𝑟) ô nằm ở giao điểm của các hàng chẵn với các cột lẻ. Bây giờ dễ dàng nhận thấy
rằng, nếu chúng ta thay vì các phép biến đổi ban đầu áp dụng một phép biến đổi đến tất cả
các hàng và cột chẵn, kết quả sẽ vẫn giống nhưng số 𝑟 và 𝑐 sẽ thay đổi thành 𝑛 − 𝑟 và 𝑛 − 𝑐
tương ứng. Do đó, chúng ta có thể giả sử 𝑟 + 𝑐 ⩽ 𝑛.
Tiếp theo, trong số các dấu đã thay đổi 𝑟(𝑛 − 𝑐) + 𝑐(𝑛 − 𝑟) không có nhiều hơn 𝑟 + 𝑐 dấu
cộng (tối đa 𝑟 trong mỗi hàng và tối đa 𝑐 trong mỗi cột); điều đó có nghĩa là ít nhất 𝑟(𝑛 − 𝑐) +
𝑐(𝑛 − −𝑟) − (𝑟 + 𝑐) dấu trừ trở thành dấu cộng, và ít nhất 𝑛 − (𝑟 + 𝑐) dấu cộng vẫn là dấu
cộng. Như vậy, tổng số Dấu cộng mới 𝑃 không nhỏ hơn 𝑟(𝑛 − 𝑐) + 𝑐(𝑛 − 𝑟) − (𝑟 + 𝑐) + 𝑛 −
(𝑟+𝑐)2
, chúng ta thu được 𝑃 ⩾ (𝑟 +
2
(𝑟+𝑐)2
𝑟+𝑐
𝑟+𝑐
𝑛
𝑐)(𝑛 − 2) −
+ 𝑛 = (𝑟 + 𝑐) (𝑛 − 2 −
) + 𝑛 ⩾ 𝑛 (với 𝑛 − 2 −
⩾ 𝑛 − 2 − ⩾ 0), đó là
2
2
2
2
(𝑟 + 𝑐) = −2𝑟𝑐 + +(𝑟 + 𝑐)(𝑛 − 2) + 𝑛. Bây giờ, vì 2𝑟𝑐 ⩽
điều chúng ta cần chứng minh.
11.3. Lưu ý rằng điểm 𝐼1 nằm trên các đường phân giác 𝐴𝑀2 và 𝐵𝑀4 của các góc 𝐵𝐴𝐶 và 𝐴𝐵𝐷
do đó 𝐼1 = 𝐴𝑀2 ∩ 𝐵𝑀4 (xem Hình 6). Tương tự như vậy 𝐼2 = 𝐵𝑀3 ∩ 𝐶𝑀1 , 𝐼3 = 𝐶𝑀4 ∩
𝐷𝑀2 , 𝐼4 = 𝐷𝑀1 ∩ 𝐴𝑀3 . Vì AM1 + CM3 = BM1 + DM3 nên đoạn thẳng M1M3 tạo thành các góc
bằng nhau với 𝐴𝐶 và 𝐵𝐷; do đó, đường thẳng 𝑀1 𝑀3 song song với đường phân giác của góc
𝐴𝐾𝐵, tức là đường thẳng 𝐼1 𝐼3. Tương tự, 𝑀2 𝑀4 ∥ 𝐼2 𝐼4 ⊥ 𝐼1 𝐼3(vì các đường phân giác ngoài và
phân giác trong vuông góc với nhau).
Nếu các đường thẳng 𝐼1 𝐼3 và 𝑀1 𝑀3, cũng như 𝐼2 𝐼4 và 𝑀2 𝑀4 trùng nhau thì
Hình. 6
Hình. 7
phát biểu của bài toán là hiển nhiên. Giả sử điểm 𝐼1 không nằm trên một đường thẳng 𝑀1 𝑀3.
Ký hiệu 𝐴′ = 𝐷𝑀1 ∩ 𝐵𝑀4 , 𝐵′ = 𝐴𝑀2 ∩ 𝐶𝑀1 , 𝐶 ′ = 𝐵𝑀3 ∩ 𝐷𝑀2 , 𝐷 ′ = 𝐴𝑀3 ∩ 𝐶𝑀4 . Chúng ta có
∠𝐵𝑀1 𝑀2 = ∠𝐶𝑀1 𝑀2 và ∠𝐵𝑀2 𝑀1 = ∠𝐴𝑀2 𝑀1 , do đó các tam giác 𝑀1 𝑀2 𝐵 và 𝑀1 𝑀2 𝐵′ đối xứng
nhau qua đường thẳng 𝑀1 𝑀2. Từ đó suy ra 𝑀2 𝐵′ = 𝑀2 𝐵. Tương tự 𝑀2 𝐶 ′ = 𝑀2 𝐶, và từ 𝑀2 𝐵 =
𝑀2 𝐶 ta có 𝑀2 𝐵′ = 𝑀2 𝐶 ′ . Vì ∠𝐴𝑀2 𝑀4 = ∠𝐷𝑀2 𝑀4, nên đường thẳng 𝑀2 𝑀4 là đường phân giác
(và do đó là đường cao) của tam giác cân 𝑀2 𝐵′ 𝐶 ′ . Do đó, 𝐵′ 𝐶 ′ ⊥ 𝑀2 𝑀4 , nên 𝐵′ 𝐶 ′ ∥𝑀1 𝑀3 ∥𝐼1 𝐼3.
Giả sử đường thẳng 𝑀2 𝐼2 cắt các đoạn 𝐵′ 𝐶 ′ , 𝐼1 𝐼3và 𝑀1 𝑀3, tương ứng tại các điểm 𝑋, 𝑌, 𝑍 (xem
𝑀1 𝑍
𝐵′ 𝑋
𝐼 𝑌
= ′ = 1 . Gọi 𝑃 = 𝑀1 𝐼1 ∩ 𝑀3 𝐼3. Nếu
𝑀3 𝑍
𝐶 𝑋
𝐼3 𝑌
𝑀 𝑍′
𝐼 𝑌
′
đường thẳng 𝑃𝑌 cắt 𝑀1 𝑀3 tại điểm 𝑍 , thì từ phép tịnh tiến với tâm 𝑃 ta thu được: 1 = 1 .
𝑀3 𝑍
𝐼3 𝑌
Vậy 𝑍 ′ trùng với 𝑍. Điều này có nghĩa là điểm 𝑃 nằm trên đường thẳng 𝑀2 𝐼2. Tương tự, 𝑃
Hình 7). Xét phép tịnh tiến với tâm 𝐼2 và 𝑀2 , ta có:
nằm trên đường thẳng 𝑀4 𝐼4 , tức là cả 4 đường thẳng 𝑀1 𝐼1 , 𝑀2 𝐼2 , 𝑀3 𝐼3 , 𝑀4 𝐼4 đều cắt nhau tại
điểm 𝑃.
Ghi chú 1. Các điểm 𝐴′ , 𝐵′ , 𝐶 ′ , 𝐷 ′ lần lượt
là tâm của các đường tròn nội tiếp các hình tam giác 𝐴𝐵𝐷, 𝐵𝐴𝐶, 𝐶𝐵𝐷. 𝐷𝐴𝐶
Ghi chú 2. Ở đoạn cuối của lời giải, về cơ bản, chúng ta sử dụng định lý về ba phép tịnh tiến
(đối với các phép tịnh tiến chuyển các đoạn thẳng 𝐵′𝐶′B′C′, 𝑀1𝑀3M1M3, 𝐼1𝐼3I1I3 thành
nhau).
11.4. Trả lời. 𝑘 = [𝑛/2].
Bổ đề. Đối với bất kỳ các điểm 𝐴𝑖 = (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )(1 ⩽ 𝑖 ⩽ 𝑛) trên mặt phẳng, không có ba điểm nào
thẳng hàng thì tồn tại một đa thức 𝑃(𝑥, 𝑦) bậc không lớn hơn [𝑛/2], sao cho 𝑃(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 1 và
𝑃(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) = 0 với 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1.
Chứng minh. Chúng ta nhận thấy rằng tồn tại 𝑑 = [𝑛/2] các đường thẳng, mà điểm 𝐴𝑛 không
nằm trên bất kỳ đường nào trong số chúng, và mỗi điểm 𝐴1 , … , 𝐴𝑛−1 nằm trên ít nhất một
đường (đối với 𝑛 lẻ, đây là những đường thẳng 𝐴1 𝐴2 , 𝐴3 𝐴4 , … , 𝐴𝑛−2 𝐴𝑛−1 và đối với 𝑛 chẵn, là
các đường thẳng 𝐴1 𝐴2 , 𝐴3 𝐴4 , … , 𝐴𝑛−3 𝐴𝑛−2 , 𝐴𝑛−2 𝐴𝑛−1 ). Giả sử 𝑘𝑖 𝑥 + ℓ𝑖 𝑦 + 𝑚𝑖 = 0 là hệ số của
phương trình đường thẳng thứ 𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝑑). Khi đó đa thức
𝑄(𝑥, 𝑦) =
(𝑘1 𝑥 + ℓ1 𝑦 + 𝑚1 ) … (𝑘𝑑 𝑥 + ℓ𝑑 𝑦 + 𝑚𝑑 )
(𝑘1 𝑥𝑛 + ℓ1 𝑦𝑛 + 𝑚1 ) … (𝑘𝑑 𝑥𝑛 + ℓ𝑑 𝑦𝑛 + 𝑚𝑑 )
là đa thức cần tìm.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng số 𝑘 = [𝑛/2] thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Với mỗi 𝑖 = 1, … , 𝑛
Theo bổ đề, chúng ta hãy tìm một đa thức 𝑃𝑖 (𝑥, 𝑦) triệt tiêu tại mọi điểm 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 ngoại trừ
𝐴𝑖 , và 𝑃𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) = 1. Khi đó đa thức 𝑃(𝑥) = 𝑐1 𝑃1 (𝑥, 𝑦) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑃𝑛 (𝑥, 𝑦) nhận các giá trị mong
muốn tại tất cả các điểm 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 .
Bây giờ, chúng ta cần chỉ ra rằng khi 𝑘 < [𝑛/2] phát biểu là không đúng. Xét các điểm
𝐴𝑖 (𝑖, 𝑖 2 ) (𝑖 = 1, … , 𝑛) nằm trên parabol 𝑦 = 𝑥 2 và đặt 𝑐1 = ⋯ = 𝑐𝑛−1 = 0, 𝑐𝑛 = 1. Vì parabol cắt
đường thẳng ở nhiều nhất hai điểm nên các điểm 𝐴𝑖 thỏa mãn điều kiện. Giả sử rằng có một
đa thức 𝑃(𝑥, 𝑦) bậc không vượt quá 𝑘, sao cho 𝑃(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) = 𝑐𝑖 . Chúng ta hãy đặt 𝑄(𝑥) =
𝑃(𝑥, 𝑥 2 ); thì bậc của 𝑄(𝑥) không vượt quá 2𝑘. Theo giả thiết của chúng ta, 𝑄(1) = 𝑄(2) =
⋯ = 𝑄(𝑛 − 1) = 0 và 𝑄(𝑛) = 1. Do đó đa thức 𝑄(𝑥) không bằng 0 và có 𝑛 − 1 nghiệm, tức là
bậc của nó không nhỏ hơn 𝑛 − 1; vì vậy 2𝑘 ⩾ 𝑛 − 1. Điều này có nghĩa là 𝑘 ⩾ [𝑛/2]
Tài liệu vòng chung kết OLYMPIAD TOÁN
TOÁN TOÀN NGA XXXVI DÀNH CHO
HỌC SINH HỌC SINH
năm học 2009-2010
Ngày thứ hai
Maykop, ngày 25-30 tháng 4 năm 2010
Bộ sưu tập chứa các tài liệu cho giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga XXXVI dành cho
học sinh môn toán. Các nhiệm vụ được chuẩn bị bởi Ủy ban Phương pháp Toán học Liên
bang của Olympic dành cho học sinh toàn Nga.
Tuyển tập được biên soạn bởi: N.Kh. Agakhanov, A.Ya. Belov-Kanel, V.V. Astakhov, S.L.
Berlov, I.I. Bogdanov, S.G. Volchenkov, A.A. Gavrilyuk, A.I. Garber, AA Glazyrin, A.S.
Golovanov, O.Yu. Dmitriev, V.L. Dolnikov, LA Emelyanov, R.G. Zhenodarov, R.N. Karasev,
P.A. Kozhevnikov, M.A. Kozachok, P.Yu. Kozlov, A.N. Magazinov, Yu.S. Meshin, MV
Murashkin, O.K. Podlipsky, A.A. Polyansky, A.M. Raigorodsky, I.S. Rubanov, V.A. Senderov,
S.I. Tokarev, B.V. Trushin, A.I. Khrabrov, D.G. Khramtsov, K.V. Chuvilin, V.Z. Sharich, V.A.
Shmarov.
Tên tác giả được ghi trong ngoặc đơn sau mỗi bài toán.
Bố trí máy tính: K.V. Chuvilin, I.I. Bogdanov. $ \qquad $ $ \qquad $ Chúng tôi chúc bạn làm việc thành công!
Tác giả và người biên soạn bộ sưu tập
Nghiêm cấm xuất bản hoặc đăng lên Internet các điều kiện hoặc giải pháp cho các vấn đề của
Olympic.
(c) Tác giả và người biên soạn, 2010
(c) K.V. Chuvilin, I.I. Bogdanov, 2010, bố cục.
lớp 9
9,5. Cho các số thực 𝑎, 𝑏 khác nhau, sao cho phương trình:
(𝑥 2 + 20𝑎𝑥 + 10𝑏)(𝑥 2 + 20𝑏𝑥 + 10𝑎) = 0
không có nghiệm. Chứng minh số 20(𝑏 − 𝑎) không phải là số nguyên.
Let
for . Prove that
(P. Kozlov)
such that
is not an integer.
has no roots
9.6. Mỗi trong số 1000 chú lùn đều có một chiếc mũ, bên ngoài màu xanh và bên trong màu
đỏ (hoặc ngược lại). Nếu chú lùn đội mũ đỏ, chú ta chỉ có thể nói dối, còn nếu đội mũ xanh,
chú ta chỉ có thể nói thật. Trong suốt một ngày, mỗi chú lùn đều nói với mỗi chú lùn khác
rằng "Bạn đang đội mũ đỏ!" (trong khi đó một số chú lùn trong ngày đã lật ngược mũ của
mình). Hãy tìm số lần lật ngược mũ ít nhất có thể. (I. Bogdanov)
Each of
elves has a hat, red on the inside and blue on the outside or vise versa. An elf
with a hat that is red outside can only lie, and an elf with a hat that is blue outside can only
tell the truth. One day every elf tells every other elf, “Your hat is red on the outside.” During
that day, some of the elves turn their hats inside out at any time during the day. (An elf can
do that more than once per day.) Find the smallest possible number of times any hat is
turned inside out.
9,7. Gọi một số tự nhiên 𝑛 là số không may mắn nếu nó không thể biểu diễn được dưới dạng
𝑥 2 −1
𝑛 = 𝑦2 −1, với số tự nhiên 𝑥, 𝑦 > 1. Số lượng số không may mắn là hữu hạn hay vô hạn? (V.
Senderov)
Let us call a natural number
numbers
. Is the number of
if it cannot be expressed as
with natural
numbers finite or infinite?
9,8. Trong tam giác nhọn 𝐴𝐵𝐶, đường trung tuyến 𝐴𝑀 dài hơn cạnh 𝐴𝐵. Chứng minh rằng
tam giác 𝐴𝐵𝐶 có thể cắt thành ba phần tạo thành một hình thoi. (S. Volchenkov)
In a acute triangle
cut triangle
into
, the median,
, is longer than side
. Prove that you can
parts out of which you can construct a rhombus.
lớp 10
10,5. Cho các số thực 𝑎, 𝑏 khác nhau, sao cho phương trình:
(𝑥 2 + 20𝑎𝑥 + 10𝑏)(𝑥 2 + 20𝑏𝑥 + 10𝑎) = 0
không có nghiệm. Chứng minh số 20(𝑏 − 𝑎) không phải là số nguyên.
Let
for . Prove that
such that
is not an integer.
has no roots
(P. Kozlov)
10.6. Bên trong tam giác 𝐴𝐵𝐶 lấy một điểm 𝐾 nằm trên phân giác của góc 𝐵𝐴𝐶. Đường thẳng
𝐶𝐾 cắt đường tròn 𝜔 ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 lần thứ hai tại điểm 𝑀. Đường tròn Ω đi qua
điểm 𝐴, tiếp xúc với đường thẳng 𝐶𝑀 tại điểm 𝐾và cắt đoạn 𝐴𝐵 lần thứ hai tại điểm 𝑃 và cắt
đường tròn 𝜔 tại điểm 𝑄. Chứng minh rằng các điểm 𝑃, 𝑄 và 𝑀 nằm trên cùng một đường
thẳng.
Into triangle
gives point
lies on bisector of
circumcircle of triangle
at
. Circle
, touch
at
and intersect segment
at
Prove, that , ,
lies at one line.
(L. Emelyanov)
. Line
passes through
and at
intersect
.
10.7. Cho 𝑛 ⩾ 3 các cặp số nguyên tố cùng nhau. Biết rằng khi chia tích của bất kỳ 𝑛 − 1 số
nào trong chúng cho số còn lại thì thu được số dư 𝑟. Chứng minh rằng 𝑟 ⩽ 𝑛 − 2.
Given
pairwise different prime numbers
any
that
residue by division of
. Given, that for
by
equals one number . Prove,
.
(V. Senderov)
10.8. Trong nước, một số cặp thành phố được kết nối bằng các chuyến bay thẳng hai chiều.
Hơn nữa, từ bất kỳ thành phố nào, bạn có thể bay đến bất kỳ thành phố nào khác (có thể
bằng chuyển tuyến). Được biết, nếu bạn chọn bất kỳ tuyến đường kín nào từ một số chuyến
bay lẻ và đóng tất cả các chuyến bay này thì sẽ không thể đi từ thành phố này đến thành phố
khác được nữa. Chứng minh rằng có thể phân chia tất cả các thành phố thành 4 quốc gia sao
cho mọi chuyến bay kết nối các thành phố từ các quốc gia khác nhau. (Một số quốc gia có thể
không chứa thành phố.)
In the county some pairs of towns connected by two-way non-stop flight. From any town
we can flight to any other (may be not on one flight). Gives, that if we consider any cyclic
(i.e. beginning and finish towns match) route, consisting odd number of flights, and close
all flights of this route, then we can found two towns, such that we can't fly from one to
other.
Proved, that we can divided all country on regions, such that any flight connected towns
from other regions.
(V. Dolnikov)
Lớp 11
11.5. Cho tự nhiên 𝑛 > 1. Chứng minh rằng tồn tại 𝑛 số tự nhiên liên tiếp sao cho tích của
chúng chia hết cho tất cả các số nguyên tố không vượt quá 2𝑛 + 1, và không chia hết cho bất
kỳ số nguyên tố nào khác.
If
prove that for every you can find consecutive natural numbers the
product of which is divisible by all primes not exceeding
, but is not divisible by any
other primes.
11.6. 4 tâm đường tròn nội tiếp các mặt của một tứ diện có thể nằm trong cùng một mặt
phẳng không? (I. Bogdanov, O. Podlipsky)
Could the four centers of the circles inscribed into the faces of a tetrahedron be coplanar?
(vertexes of tetrahedron not coplanar)
11.7. Một đa thức 𝑃(𝑥) bậc 𝑛 ⩾ 3 có 𝑛nghiệm thực 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 , và 𝑥2 − 𝑥1 < 𝑥3 − 𝑥2 <
⋯ < 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 . Chứng minh rằng hàm số 𝑦 = |𝑃(𝑥)| với x trên khoảng [𝑥1 , 𝑥𝑛 ] đạt cực đại tại
một điểm thuộc khoảng [𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 ]
Polynomial
that
function
with degree
where
has
real roots
, such
. Prove that the maximum of the
is on the interval
, is in the interval
.
(I. Bogdanov)
11.8. Trong một trường học nội trú, có 9 môn học, 512 học sinh và 256 phòng (hai người
trong mỗi phòng). Đối với mỗi học sinh, có một tập hợp (một phần của 9 môn học) các môn
học mà học sinh quan tâm. Mỗi học sinh có một tập hợp các môn học mà họ quan tâm khác
nhau, (có đúng một học sinh không có môn học nào họ quan tâm). Chứng minh rằng cả
trường học có thể sắp xếp thành một vòng tròn sao cho mỗi cặp bạn cùng phòng đứng kề
nhau, và những cặp học sinh đứng kề nhau nhưng không phải bạn cùng phòng, có những đặc
điểm sau. Một trong hai học sinh quan tâm đến tất cả các môn học mà học sinh kia quan tâm,
và chính xác một môn học nữa.
In a board school, there are 9 subjects, 512 students, and 256 rooms (two people in each
room.) For every student there is a set (a subset of the 9 subjects) of subjects the student is
interested in. Each student has a different set of subjects, (s)he is interested in, from all
other students. (Exactly one student has no subjects (s)he is interested in.)
Prove that the whole school can line up in a circle in such a way that every pair of the
roommates has the two people standing next to each other, and those pairs of students
standing next to each other that are not roommates, have the following properties. One of
the two students is interested in all the subjects that the other student is interested in, and
also exactly one more subject.
(D. Von Der Flaass)
LỜI GIẢI CHO CÁC BÀI TOÁN
lớp 9
1
9,5. Hãy giả sử điều ngược lại. Giả sử 𝑏 > 𝑎; thì 20(𝑏 − 𝑎) ⩾ 1, tức là 𝑏 − 𝑎 ⩾ 20.
Định thức của tam thức thứ hai trong phương trình ban đầu là dương, có nghĩa là 100𝑏 2 −
1
1
10𝑎 < 0. Vì vậy, 10𝑏 2 < 𝑎 ⩽ 𝑏 − , hoặc 10𝑏2 − 𝑏 + < 0. Nhưng điều này là không thể, vì
20
định thức của tam thức bậc hai 𝑓(𝑏) = 10𝑏
2
20
1
− 𝑏 + 20 cũng âm và hệ số bậc cao nhất là dương.
9.6. Đáp án là 998 lần lật mũ.
Chúng ta gọi một chú lùn là màu đỏ hoặc màu xanh nếu chú lùn đó đang đội mũ màu tương
ứng. Lưu ý rằng một chú lùn có thể nói câu yêu cầu cho một chú lùn khác khi và chỉ khi
chúng có màu khác nhau: chú lùn xanh sẽ nói sự thật trong khi chú lùn đỏ sẽ nói dối. Bây
giờ, nếu ba chú lùn nào đó không lật mũ, thì hai trong số họ sẽ cùng màu và họ sẽ không thể
nói cho nhau điều cần thiết, điều đó là sai. Điều này ngụ ý rằng không có nhiều hơn hai chú
lùn như vậy, và có ít nhất 1000 - 2 = 998 lần lật mũ.
Chúng ta nói rằng hai chú lùn đã trò chuyện nếu mỗi chú lùn nói câu cần thiết cho chú lùn
kia. Hãy mô tả cách mà có thể xảy ra chỉ 998 lần lật mũ, ví dụ, ban đầu, chú lùn Vasya là màu
xanh và các chú lùn còn lại đều màu đỏ. Vào đầu ngày, mỗi chú lùn đã trò chuyện với Vasya.
Sau đó, các chú lùn màu đỏ lần lượt lật mũ của họ. Sau mỗi lần lật mũ, tất cả các chú lùn màu
đỏ đã trò chuyện với chú lùn đã thay đổi màu của họ. Khi chỉ còn lại một chú lùn màu đỏ, bất
kỳ cặp chú lùn nào cũng đã trò chuyện với nhau (khi một trong số họ thay đổi màu), điều này
đã xảy ra 998 lần thay đổi màu.
Lưu ý: Có thể tạo ra một ví dụ với 998 lần thay đổi màu bắt đầu từ bất kỳ tình huống nào mà
không phải tất cả các chú lùn cùng màu.
9,7. Trả lời. vô hạn
Chúng ta sẽ chứng minh rằng bất kỳ số nào có dạng 𝑛 = 𝑝2 , trong đó 𝑝là số nguyên tố lẻ, đều
không thể là số không may mắn. Hãy giả sử điều ngược lại, tức là
(𝑦 2 − 1)𝑝2 = 𝑥 2 − 1
(1)
với các số tự nhiên 𝑥, 𝑦 ≠ 1. Khi đó hoặc 𝑥 + 1, hoặc 𝑥 − 1 chia hết cho 𝑝.
Giả sử 𝑥 + 1 ⋮ 𝑝. Khi đó 𝑥 − 1 = (𝑥 + 1) − 2 không chia hết cho 𝑝, Do đó từ (1) ta thu được
𝑥 + 1 ⋮ 𝑝2 , tức là 𝑥 = 𝑘𝑝2 − 1 đối với một số tự nhiên 𝑘 nào đó. Thay vào (1), ta được 𝑦 2 =
𝑥+1
(𝑥 − 1) + 1 = 𝑘(𝑘𝑝2 − 2) + 1 = 𝑘 2 𝑝2 − 2𝑘 + 1. Tuy nhiên ta có 𝑘 2 𝑝2 > 𝑘 2 𝑝2 − 2𝑘 + 1 >
𝑝2
𝑘 2 𝑝2 − 2𝑘𝑝 + 1 nghĩa là (𝑘𝑝)2 > 𝑦 2 > (𝑘𝑝 − 1)2 điều này là không thể.
Nếu 𝑥 − 1 ⋮ 𝑝, thì tương tự ta thu được 𝑥 = 𝑘𝑝2 + 1, 𝑦 2 = = 𝑘 2 𝑝2 + 2𝑘 + 1, (𝑘𝑝)2 < 𝑦 2 <
(𝑘𝑝 + 1)2 , điều này một lần nữa cũng là không thể.
9,8. Gọi 𝑁 là trung điểm của cạnh 𝐴𝐶, và 𝐾 là một điểm trên đường thẳng 𝑀𝑁 sao cho 𝑀𝐾 =
𝑀𝑁. Khi đó các tam giác 𝑀𝑁𝐶, 𝑀𝐾𝐵 đối xứng nhau qua 𝑀 và do đó bằng nhau. Chúng ta vẽ
một đường cắt dọc theo đường trung tuyến 𝑀𝑁; di chuyển tam giác 𝑀𝑁𝐶 sao cho nó trùng
với △ 𝑀𝐾𝐵, chúng ta thu được hình bình hành 𝐴𝑁𝐾𝐵 (xem Hình 1). Nếu 𝐴𝑁 = 𝐴𝐵, thì tứ
giác là một hình thoi.
Hình. 1
Hình. 2
Hình. 3
Giả sử 𝐴𝑁 < 𝐴𝐵 (xem Hình 2). Chúng ta vẽ một đường tròn có tâm tại điểm 𝐴 và bán kính
𝐴𝐵. Khi đó điểm 𝑁 nằm bên trong đường tròn trong khi điểm 𝑀- nằm bên ngoài do đó
đường tròn cắt đoạn thẳng 𝑁𝑀 tại điểm 𝑃. Sau khi cắt từ hình bình hành 𝐴𝑁𝐾𝐵, chúng ta thu
được tam giác 𝐴𝑃𝑁 và di chuyển nó sao cho cạnh 𝐴𝑁 trùng với 𝐵𝐾, chúng ta sẽ thu được một
hình thoi.
Cuối cùng, giả sử, 𝐴𝑁 > 𝐴𝐵. Vì tam giác 𝐴𝐵𝐶 nhọn nên chân 𝐻 của đường cao 𝐶𝐻 nằm trên
đoạn thẳng 𝐴𝐵 (xem Hình 1). Tiếp theo, chân 𝑇 của đường vuông góc hạ từ 𝑁 tới 𝐴𝐵 là trung
điểm của đoạn 𝐴𝐻; do đó, 𝐵𝑇 > 𝐴𝑇, và do đó 𝐵𝑁 > 𝐴𝑁. Điều này có nghĩa là một đường tròn
có tâm tại một điểm 𝐵và bán kính 𝐴𝑁sẽ cắt cạnh 𝐴𝑁tại một điểm 𝑆, vì điểm 𝑁nằm bên ngoài
và điểm 𝐴nằm bên trong đường tròn này (xem Hình 3). Bằng cách cắt một hình tam giác từ
một hình bình hành 𝐴𝐵𝑆và di chuyển nó cho đến khi các cạnh thẳng hàng 𝐴𝐵với cạnh 𝑁𝐾,
chúng ta sẽ có được một hình thoi.
Bình luận. Người ta có thể chứng minh rằng bất kỳ tam giác tù nào cũng có thể cắt được theo
cách yêu cầu. Thật vậy, nếu góc 𝐵tù và 𝐴𝐵 ⩾ 𝐵𝐶, thì đường trung tuyến 𝐴𝑀chính xác dài hơn
cạnh 𝐴𝐵, đồng thời 𝐴𝑁 < 𝐴𝐵.
lớp 10
10,5. Xem lời giải cho bài toán 9.5.
10.6. Gọi là 𝑅 giao điểm thứ hai của đường tròn Ω và đoạn thẳng 𝐴𝐶 (xem Hình 4). Từ tính
chất tiếp xúc và sự bằng nhau của các góc nội tiếp cùng tựa trên một cung, ta có:
∠𝑀𝐾𝑃 = ∠𝐾𝐴𝑃 = ∠𝐾𝐴𝑅 = = ∠𝐾𝑃𝑅, Do đó, 𝑃𝑅 ∥ 𝐶𝑀. Tiếp theo, ∠𝐶𝑀𝑄 = ∠𝐶𝐴𝑄 = ∠𝑅𝐴𝑄 =
∠𝑅𝑃𝑄, vì vậy các đường thẳng 𝑀𝑄, 𝑃𝑄 trùng nhau. Đây là điều phải chứng minh.
Bình luận. Dễ dàng chứng minh rằng điểm 𝑄 luôn nằm trên cung 𝐴𝐶 không chứa điểm 𝐵.
Hình. 4
10.7. Nếu 𝑟 = 0, thì khẳng định của bài toán rõ ràng là đúng. Giả sử 𝑟 > 0. Gọi 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 là
các số đã cho; đặt 𝑃 là tích của tất cả các 𝑎𝑖 , tức là 𝑃 = 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 . Khi đó, số 𝑃𝑖 cho số dư 𝑟 khi
chia cho 𝑎𝑖 .
Xét số 𝑆 = 𝑃1 + 𝑃2 + ⋯ + 𝑃𝑛 − 𝑟. Lưu ý rằng:
𝑆 = (𝑃1 − 𝑟) + (𝑃2 + 𝑃3 + ⋯ + 𝑃𝑛 )
Số hạng đầu tiên chia hết cho 𝑎1 và tổng của các số hạng còn lại cũng chia hết cho 𝑎1 . Do đó,
𝑆 chia hết cho 𝑎1 . Tương tự, 𝑆 chia hết cho 𝑎𝑖 với mọi 𝑖 = 1, … , 𝑛. Vì các 𝑎𝑖 đôi một nguyên tố
cùng nhau, ta có 𝑆 chia hết cho 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 = 𝑃.
Vì 𝑆 > 𝑎1 − 𝑟 > 0, ta có 𝑆 ≥ 𝑃. Do đó,
𝑃1 + ⋯ + 𝑃𝑛 = 𝑆 + 𝑟 > 𝑃
𝑃
Điều này có nghĩa là tồn tại một 𝑖 sao cho 𝑃𝑖 > , từ đó suy ra 𝑎𝑖 < 𝑛, hoặc 𝑎𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Nhưng
𝑛
khi đó, 𝑟 < 𝑎𝑖 ≤ 𝑛 − 1, tức là 𝑟 ≤ 𝑛 − 2.
10.8. Xét đồ thị 𝐺, trong đó các đỉnh là các thành phố, và hai đỉnh được nối bằng một cạnh
nếu giữa các thành phố có đường bay. Khi đó, chúng ta biết rằng đồ thị là liên thông, nhưng
nếu loại bó tất cá các cạnh của bất kỳ chu trình lẻ nào, điều kiện này sẽ bị phá vỡ; tuy nhiên,
cần chứng minh rằng các đỉnh của đồ thị có thể được tô màu đúng cách bằng 4 màu. Chúng
ta sẽ sử dụng bổ đề đã biết sau đây.
Bổ đề: Giả sử trong đồ thị không có chu trình độ dài lé. Khi đó, các đỉnh của đồ thị có thể
được tô màu đúng cách bằng hai màu.
Chứng minh: Rõ ràng rằng chỉ cần chứng minh bổ đề cho đồ thị liên thông. Khoảng cách giữa
hai đỉnh 𝑋 và 𝑌 được định nghĩa là độ dài ngắn nhất của đường đi nối chúng.
Cố định một đỉnh 𝐴, và tô màu tất cả các đỉnh nằm ở khoảng cách lẻ từ 𝐴 bằng màu đỏ, và các
đỉnh còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng cách tô màu này là đúng. Giả sử ngược lại
rằng có một cạnh nối các đỉnh màu đỏ 𝐵 và 𝐶. Xét các đường đi ngắn nhất 𝐴 =
𝐵0 , 𝐵1 , … , 𝐵2𝑛−1 = 𝐵 và 𝐴 = 𝐶0 , 𝐶1 , … , 𝐶2𝑚−1 = 𝐶 dẫn từ 𝐴 đến 𝐵 và 𝐶. Chọn chỉ số lớn nhất 𝑖
sao cho 𝐵𝑖 = 𝐶𝑖 , ta được một chu trình độ dài lẻ 𝐵𝑖 , 𝐵𝑖+1 , … , 𝐵2𝑛−1 , 𝐶2𝑚−1 , … , 𝐶𝑖 = 𝐵𝑖 . Mâu
thuẫn.
Giả sử trong đồ thị có một chu trình; loại bó một trong các cạnh của chu trình này. Khi đó, rõ
ràng đồ thị vẫn sẽ liên thông. Tiếp tục quá trình này cho đến khi không còn chu trình nào
trong đồ thị. Ký hiệu 𝑉 là tập hợp tất cá các cạnh bị loại bỏ, và 𝑊 là tập hợp tất cả các cạnh
còn lại. Lưu ý rằng đồ thị còn lại vẫn liên thông. Điều này có nghĩa là không tồn tại chu trình
lé mà tất cá các cạnh đều thuộc 𝑉; thực tế, nếu có một chu trình như vậy, thì khi loại bó tất cả
các cạnh của nó khỏi 𝐺, các cạnh thuộc tập 𝑊 vẫn còn, và đồ thị vẫn sẽ liên thông.
Bây giờ, xét hai đồ thị 𝐺𝑉 và 𝐺𝑊 , trong đó các đỉnh là các đỉnh của đồ thị 𝐺, và tập hợp các
cạnh là 𝑉 và 𝑊 tương ứng. Khi đó, trong đồ thị 𝐺𝑊 không có chu trình (nghĩa là các đỉnh của
nó có thể được tô màu đúng cách bằng các màu 0 và 1 ), và trong 𝐺𝑉 theo chứng minh đã cho
không có chu trình lẻ (nghĩa là các đỉnh của nó có thể được tô màu đúng cách bằng các màu 0
và 2 ). Bây giờ, gán cho mỗi đỉnh tổng các màu của nó trong các cách tô màu này. Khi đó, nếu
hai đỉnh được nối bởi một cạnh trong đồ thị 𝐺, thì chúng được nối bởi một cạnh trong một
trong hai đồ thị 𝐺𝑉 hoặc 𝐺𝑊 ; do đó, như dễ thấy, các màu của chúng khác nhau, nghĩa là cách
tô màu nhận được (bằng các màu 0,1 , 2,3 ) là đúng.
lớp 11
11.5. Giả sử số 𝑛 + 1 là hợp số; ta sẽ chứng minh rằng các số 𝑛 + 2, … ,2𝑛 + 1 phù hợp. Rõ
ràng, tích của chúng chia hết cho tất cả các số nguyên tố trong đoạn [𝑛 + 2,2𝑛 + 1], nhưng
không chia hết cho các số nguyên tố lớn hơn 2𝑛 + 1 (vì tất cả các thừa số không vượt quá
2𝑛 + 1 ). Đối với bất kỳ số nguyên tố 𝑝 ≤ 𝑛, một trong số 𝑝 số liên tiếp sẽ chia hết cho 𝑝; do
đó, một trong số 𝑛 số của chúng ta cũng sẽ chia hết cho 𝑝.
Giả sử bây giờ số 𝑛 + 1 > 2 là số nguyên tố; khi đó nó là số lẻ, và số 𝑛 + 2 > 2 là số chẵn và do
đó là hợp số. Trong trường hợp này, các số 𝑛 + 3, … ,2𝑛 + 2 phù hợp. Thật vậy, vì những lý do
tương tự, tích 𝑃 của chúng chia hết cho tất cả các số nguyên tố trong các đoạn [1, 𝑛] và [𝑛 +
3,2𝑛 + 2 ], nhưng không chia hết cho các số nguyên tố lớn hơn 2𝑛 + 1 (vì số 2𝑛 + 2 là hợp
2𝑛+2
số). Ngoài ra, 𝑃 chia hết cho 𝑛 + 1 = 2 .
11.6. Trả lời. Không thể
Gọi 𝐼𝐴 , 𝐼𝐵 , 𝐼𝐶 , 𝐼𝐷 lần lượt là tâm của các đường tròn nội tiếp của các tam giác
𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐶𝐷, 𝐴𝐵𝐷, 𝐴𝐵𝐶. Giả sử rằng chúng nằm trên cùng một mặt phẳng. Khi đó hoặc chúng
tạo thành một tứ giác lồi, hoặc một trong những điểm này nằm trong tam giác được tạo bởi
ba điểm còn lại.
Hình. 5
Hình. 6
Trường hợp 1. Giả sử không mất tính tổng quát, 𝐼𝐴 , 𝐼𝐵 , 𝐼𝐶 , 𝐼𝐷 là một tứ giác lồi: khi đó các đoạn
thẳng 𝐼𝐴 𝐼𝐶 và 𝐼𝐵 𝐼𝐷 giao nhau. Gọi 𝑀, 𝑁, 𝐾, 𝐿 lần lượt là trung điểm của các cạnh 𝐴𝐵, 𝐴𝐷, 𝐶𝐷, 𝐵𝐶
(xem hình 5). Xem xét tam giác 𝐴𝐵𝐶. Vẽ qua điểm 𝐵 một đường thẳng ℓ song song với 𝐴𝐶;
khi đó đường tròn nội tiếp của tam giác này nằm giữa các đường thẳng ℓ và 𝐴𝐶, tiếp xúc với
𝐴𝐶 nhưng không tiếp xúc với ℓ. Điều này có nghĩa là các điểm 𝐼𝐷 và 𝐵 nằm ở hai phía khác
nhau của đường trung tuyến 𝑀𝐿 (xem hình 6). Tương tự, ta có các điểm 𝐼𝐵 và 𝐼𝐷 nằm cùng
phía của mặt phẳng 𝑀𝑁𝐾𝐿, còn các điểm 𝐼𝐴 và 𝐼𝐶 nằm ở phía còn lại. Do đó, các đoạn thẳng
𝐼𝐵 𝐼𝐷 và 𝐼𝐴 𝐼𝐶 không thể giao nhau, điều này dẫn đến mâu thuẫn.
Trường hợp 2. Còn lại cần chứng minh rằng điểm 𝐼𝐴 không thể nằm trong tam giác 𝐼𝐵 𝐼𝐶 𝐼𝐷 .
Điều này xuất phát từ thực tế là các điểm 𝐼𝐵 , 𝐼𝐶 , 𝐼𝐷 nằm hoàn toàn về một phía của mặt phẳng
𝐵𝐶𝐷, trong khi điểm 𝐼𝐴 nằm trong mặt phẳng này.
11.7. Lưu ý rằng hàm số |𝑃(𝑥)| không thể đạt cực đại tại điểm 𝑥𝑖 , bởi vì |𝑃(𝑥𝑖 )| = 0. Xét một
điểm bất kỳ 𝑎 ∈ (𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ) với 𝑖 < 𝑛 − 1; đặt 𝑡 = 𝑎 − 𝑥𝑖 , 𝑏 = 𝑥𝑛 − 𝑡. Lưu ý rằng 𝑏 ∈ (𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 ),
vì 𝑥𝑛 > 𝑏 > 𝑥𝑛 − (𝑥𝑖+1 −−𝑥𝑖 ) > 𝑥𝑛 − (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ) = 𝑥𝑛−1. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng |𝑃(𝑏)| >
|𝑃(𝑎)|; từ đó, rõ ràng suy ra được mệnh đề của bài toán.
Theo điều kiện 𝑥𝑘+𝑚 − 𝑥𝑘 < 𝑥ℓ+𝑚 − 𝑥ℓ với 1 ⩽ 𝑘 < ℓ ⩽ 𝑛 − 𝑚. Vì chúng ta biết 𝑛 nghiệm của
đa thức 𝑃(𝑥), nên ta có 𝑃(𝑥) = 𝑝(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 ) trong đó 𝑝 − là số cao nhất của đa thức
𝑃(𝑥). Lưu ý rằng |𝑏 − 𝑥𝑠 | = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑠 − 𝑡 > 𝑥𝑖+𝑛−𝑠 − −𝑥𝑖 − 𝑡 = |𝑥𝑖+𝑛−𝑠 − 𝑎| với 𝑖 + 1 ⩽ 𝑠 ⩽ 𝑛 −
1. Ngoài ra, |𝑏 − 𝑥𝑟 | = 𝑏 − 𝑥𝑟 > 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑟 > 𝑎 − 𝑥𝑟 = |𝑎 − 𝑥𝑟 | với 1 ⩽ 𝑟 ⩽ ⩽ 𝑖 − 1. Nhân tất
cả các bất đẳng thức thu được với đẳng thức 𝑝|𝑏 − 𝑥𝑛 ||𝑏 − 𝑥𝑖 | = 𝑝𝑡(𝑥𝑛 − 𝑥𝑖 − 𝑡) =
𝑝|𝑎 − 𝑥𝑖 ||𝑎 − 𝑥𝑛 |, ta thu được
𝑃(𝑏) = 𝑝|𝑏 − 𝑥1 ||𝑏 − 𝑥2 | … |𝑏 − 𝑥𝑛 | >
> 𝑝|𝑎 − 𝑥1 ||𝑎 − 𝑥2 | … |𝑎 − 𝑥𝑛 | = 𝑃(𝑎)
Q.E.D.
11.8. Chúng ta sẽ chứng minh mệnh đề bài toán trong trường hợp tổng quát hơn, với 𝑛 ≥ 2
đối tượng và 2𝑛 đứa trẻ, được chia ngẫu nhiên thành 2𝑛 − 1 cặp hàng xóm. Lưu ý rằng có
đúng 2𝑛 tập hợp gồm 𝑛 đối tượng; do đó, mỗi tập hợp đối tượng chỉ quan tâm đến một học
sinh.
Chứng minh bằng quy nạp theo 𝑛 :
•
Cơ sở quy nạp: Với 𝑛 = 2, dễ dàng kiểm chứng mệnh đề trực tiếp.
•
Giả thiết quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với 𝑛 − 1.
•
Bước quy nạp: Giả sử 𝑛 > 2; xem xét bất kỳ hai hàng xóm nào, chọn một đối tượng
mà họ có sở thích khác nhau (giả sử, môn Vật lý), và chia tất cả trẻ em thành hai
nhóm mỗi nhóm 2𝑛 − 1 đứa: nhóm 𝐴 gồm những đứa trẻ có hứng thú với môn Vật lý,
và nhóm 𝐵 gồm tất cả những đứa còn lại.
Di chuyển nhóm 𝐴 sang một trường nội trú khác, với 2𝑛 − 2 phòng. Giữ các cặp hàng xóm cũ
còn là hàng xóm. Các cặp còn lại (theo sự lựa chọn đối tượng) có số lượng chắc chắn là chẵn,
chia chúng thành các cặp hàng xóm mới.
Theo giả thiết quy nạp, nhóm 𝐴 có thể được sắp xếp theo vòng tròn 𝐾 với các điều kiện thỏa
mãn. Giả sử (𝑥1 , 𝑥2 ), … , (𝑥2𝑘−1 , 𝑥2𝑘 ) là tất cả các cặp mới theo thứ tự đi theo chiều kim đồng
hồ của vòng tròn này (với 𝑥2𝑖−1 đứng trước 𝑥2𝑖 ; chúng ta sẽ coi 𝑥2𝑘+1 = 𝑥1 ). Gọi 𝑥𝑖′ là hàng
xóm gốc của người 𝑥𝑖 (theo cấu trúc, 𝑥𝑖′ nằm trong nhóm 𝐵 ), và công bố các cặp
′
′
′
(𝑥2′ , 𝑥3′ ), … , (𝑥2𝑘−2
), (𝑥2𝑘
, 𝑥2𝑘−1
, 𝑥1′ ) là các cặp mới trong nhóm 𝐵. Rõ ràng, các cặp mới này,
cùng với các cặp cũ, tạo thành sự chia nhóm 𝐵 thành các cặp hàng xóm.
Bây giờ, áp dụng giả thiết quy nạp cho nhóm 𝐵 với sự phân chia này, sắp xếp chúng theo
vòng tròn thóa mãn các điều kiện.
′
′
) một đoạn của vòng tròn 𝐾
Cuối cùng, chèn giữa bất kỳ tré em nào trong cặp mới (𝑥2𝑖
, 𝑥2𝑖+1
từ 𝑥2𝑖 đến 𝑥2𝑖+1 . Không khó để thấy rằng bây giờ tất cả các trẻ em đứng trong vòng tròn, và
sự sắp xếp thóa mãn tất cả các điều kiện.
XXXVII Всероссийская математическая олимпиада школьников
2010-2011
lớp 9
Ngày thứ nhất
9.1. Một tam thức bậc hai 𝑃(𝑥) có hệ số bậc cao nhất thỏa mãn các đa thức 𝑃(𝑥) và
𝑃(𝑃(𝑃(𝑥))) có nghiệm chung. Chứng minh rằng 𝑃(0) ⋅ 𝑃(1) = 0.
A quadratic trinomial
that
and
with the
coefficient of one is such,
share a root. Prove that
.
9.2. Cho một tam giác nhọn 𝐴𝐵𝐶. Một đường tròn đi qua đỉnh 𝐵 và tâm 𝑂 của đường tròn
ngoại tiếp của nó lần lượt cắt các cạnh 𝐵𝐶 và 𝐵𝐴 tại các điểm 𝑃, 𝑄. Chứng minh rằng giao
điểm các đường cao của tam giác 𝑃𝑂𝑄 nằm trên đường thẳng 𝐴𝐶.
Given is an acute angled triangle
. A circle going through and the triangle's
circumcenter, , intersects
and
at points and respectively. Prove that the
intersection of the heights of the triangle
lies on line
.
9.3. Trên bảng có vẽ một đa giác lồi 2011 cạnh. Petya lần lượt vẽ các đường chéo trong đa
giác sao cho mỗi đường chéo mới vẽ cắt qua không quá một trong các đường chéo đã vẽ
trước đó tại các điểm bên trong đa giác. Hỏi Petya có thể vẽ nhiều nhất bao nhiêu đường
chéo?
A convex 2011-gon is drawn on the board. Peter keeps drawing its diagonals in such a way,
that each newly drawn diagonal intersected no more than one of the already drawn
diagonals. What is the greatest number of diagonals that Peter can draw?
9.4. Có hay không ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau mà bình phương của mỗi số chia hết
cho tổng của hai số còn lại?
Do there exist any three relatively prime natural numbers so that the square of each of
them is divisible by the sum of the two remaining numbers?
lớp 10
Ngày thứ nhất
10.1. Trong mỗi ô của một bảng gồm n hàng và 10 cột, một chữ số được viết. Được biết rằng
đối với mỗi hàng A và bất kỳ hai cột nào, luôn có thể tìm thấy một hàng khác có các chữ số
khác với A chỉ tại đúng hai cột đó. Chứng minh rằng n≥512.
In every cell of a table with rows and ten columns, a digit is written. It is known that for
every row and any two columns, you can always find a row that has different digits
from only when it intersects with two columns. Prove that
.
10.2. Chín tam thức bậc hai rút gọn được viết trên bảng: 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 , 𝑥 2 + 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 , … , 𝑥 2 +
𝑎9 𝑥 + 𝑏9 . Sao cho, dãy số 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎9 và 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏9 − tạo thành một cấp số cộng. Biết rằng,
tổng của tất cả chín tam thức có ít nhất một nghiệm thực. Số lượng lớn nhất có thể của các
tam thức ban đầu không có nghiệm thực là bao nhiêu?
Nine quadratics,
are written on the
board. The sequences
and
are arithmetic. The sum of all nine
quadratics has at least one real root. What is the the greatest possible number of original
quadratics that can have no real roots?
10.3. Gọi một công ty là k-không thể chia nếu với bất kỳ cách chia công ty thành k nhóm nào,
trong ít nhất một nhóm sẽ có hai người quen biết nhau. Một công ty 3-không thể chia, trong
đó không có bốn người quen biết lẫn nhau từng đôi một, được cho trước. Chứng minh rằng
có thể chia công ty này thành hai công ty sao cho một trong hai công ty là 2-không thể chia và
công ty còn lại là 1-không thể chia.
The graph is not -coloured. Prove that can be divided into two
graphs
and
such that
is not -coloured and
is not -coloured.
V. Dolnikov
10.4. Chu vi của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là 4. Điểm 𝑋 𝑌 được đánh dấu 𝐴𝐶 và 𝐴𝐵 sao cho 𝐴𝑋 = 𝐴𝑌 = 1.
Các đoạn thẳng 𝐵𝐶 và 𝑋𝑌 cắt nhau tại điểm 𝑀. Chứng minh rằng chu vi của một trong các
tam giác 𝐴𝐵𝑀 và 𝐴𝐶𝑀 bằng 2.
Perimeter of triangle
is . Point
is marked at ray
ray
such that
. Line segments
and
. Prove that perimeter of one of triangles
or
is
and point
is marked at
intersectat point
.
lớp 11
Ngày thứ nhất
11.1. Các số tự nhiên 𝑑 và 𝑑′ , 𝑑′ > 𝑑 −là ước của một số tự nhiên 𝑛. Chứng minh rằng 𝑑′ >
𝑑2
𝑑+ 𝑛.
Two natural numbers
that
and
, where
, are both divisors of . Prove
.
11.2. Chọn một điểm 𝑇 trên cạnh 𝐵𝐶của hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷(∠𝐴 < 90∘ ) sao cho tam giác
𝐴𝑇𝐷 nhọn. Giả sử 𝑂1 , 𝑂2 và 𝑂3 là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác 𝐴𝐵𝑇,
𝐷𝐴𝑇 và 𝐶𝐷𝑇 tương ứng (xem hình). Chứng minh rằng giao điểm các đường cao của tam giác
𝑂1 𝑂2 𝑂3 nằm trên đường thẳng 𝐴𝐷.
On side
of parallelogram
( is acute) lies point so that triangle
an acute triangle. Let
,
, and
be the circumcenters of triangles
,
, and
respectively. Prove that the orthocenter of triangle
lies on line
is
.
11.3. Có 999 học giả trong Viện Hàn lâm Khoa học. Mỗi chủ đề khoa học được chính xác ba
viện sĩ quan tâm và cứ hai viện sĩ có chính xác một chủ đề mà cả hai viện sĩ đều quan tâm.
Chứng minh rằng có thể chọn 250 chủ đề từ lĩnh vực nghiên cứu chung của họ sao cho mỗi
viện sĩ chỉ quan tâm tối đa một chủ đề.
There are 999 scientists. Every 2 scientists are both interested in exactly 1 topic and for
each topic there are exactly 3 scientists that are interested in that topic. Prove that it is
possible to choose 250 topics such that every scientist is interested in at most 1 theme.
A. Magazinov
11.4. Trên một con đường cao tốc, các ô tô đang di chuyển cùng một hướng. Con đường này
đi qua một số địa điểm dân cư. Mỗi chiếc ô tô di chuyển với một tốc độ cố định trong khu
đông dân cư và một tốc độ cố định khác ngoài khu đông dân cư. Đối với các ô tô khác nhau,
các tốc độ này có thể khác nhau. Dọc theo con đường có 2011 lá cờ. Biết rằng mỗi chiếc ô tô
đã đi qua mỗi lá cờ, không có vụ vượt nào xảy ra gần các lá cờ. Chứng minh rằng có hai lá cờ
mà các ô tô đã đi qua theo cùng một thứ tự.
Ten cars are moving at the road. There are some cities at the road. Each car is moving with
some constant speed through cities and with some different constant speed outside the
cities (different cars may move with different speed). There are 2011 points at the road.
Cars don't overtake at the points. Prove that there are 2 points such that cars pass through
these points in the same order.
lớp 9
Ngày thứ hai
9,5. Với 2011 số tự nhiên, tất cả các tổng của chúng theo cặp (tổng số cặp là 2010x2011/2)
được viết lên bảng. Có thể xảy ra tình huống mà chính xác một phần ba các tổng viết ra này
chia hết cho 3, và chính xác một phần ba còn lại khi chia cho 3 sẽ dư 1 không??
For some 2011 natural numbers, all the
possible sums were written out on a
board. Could it have happened that exactly one third of the written numbers were divisible
by three and also exactly one third of them give a remainder of one when divided by three?
9.6. Trong sổ tay của Peter và Nick, mỗi người viết hai số. Ban đầu, hai số này là 1 và 2 cho
Peter và 3 và 4 cho Nick. Mỗi phút, Peter viết một đa thức bậc hai , có hai nghiệm là hai số
trong sổ tay của mình, trong khi Nick viết một đa thức bậc hai , có hai nghiệm là các số trong
sổ tay của mình. Nếu phương trình f(x) = g(x) có hai nghiệm khác nhau, một trong hai cậu bé
sẽ thay thế các số trong sổ tay của mình bằng hai nghiệm này. Nếu không, không có gì xảy ra.
Nếu Peter đã làm một trong hai số của mình trở thành 5, số còn lại trong sổ tay của anh ta sẽ
trở thành bao nhiêu?
In the notebooks of Peter and Nick, two numbers are written. Initially, these two numbers
are 1 and 2 for Peter and 3 and 4 for Nick. Once a minute, Peter writes a quadratic
trinomial
, the roots of which are the two numbers in his notebook, while Nick writes a
quadratic trinomial
the roots of which are the numbers in his notebook. If the
equation
has two distinct roots, one of the two boys replaces the numbers in
his notebook by those two roots. Otherwise, nothing happens. If Peter once made one of his
numbers 5, what did the other one of his numbers become?
9,7. Cho 𝐴𝐵𝐶 là một tam giác đều. Trên cạnh 𝐴𝐶 lấy một điểm 𝑇, và trên các cung 𝐴𝐵 và 𝐵𝐶
của đường tròn ngoại tiếp của tam giác, lấy các điểm 𝑀 và 𝑁 tương ứng, sao cho 𝑀𝑇 ∥ 𝐵𝐶 và
𝑁𝑇 ∥ 𝐴𝐵. Các đoạn thẳng 𝐴𝑁 và 𝑀𝑇 cắt nhau tại điểm 𝑋, và các đoạn thẳng 𝐶𝑀 và 𝑁𝑇 cắt
nhau tại điểm 𝑌. Chứng minh rằng chu vi của đa giác 𝐴𝑋𝑌𝐶 và 𝑋𝑀𝐵𝑁𝑌 bằng nhau.
Let
be an equilateral triangle. A point is chosen on
and on
arcs
and
of the circumcircle of
,
and
are chosen respectively, so
that
is parallel to
and
is parallel to
. Segments
and
intersect
at point , while
and
intersect in point . Prove that the perimeters of the
polygons
and
are the same.
9,8. Trong một bảng có kích thước 100x100, có một số ô được đặt một viên bi. Một ô được
gọi là đẹp nếu có một số chẵn các viên bi trong các ô kề cạnh nó theo các hướng trên, dưới,
bên trái và bên phải. Có thể có đúng một ô trên bảng đã cho được xem là đẹp không?
There are some counters in some cells of
board. Call a cell nice if there are an
even number of counters in adjacent cells. Can exactly one cell be nice?