Mecanismos
HAMILTON H. MABIE
Profe$$Orde Engenheria Mecinica
Virginia Polytechnic In8titute
Blacklburg, Virginia
FRED W. OCVIRK
Ex-Profeuorde Engenharia Meclnica
Cornell University
Ithaca, New York
Traduçio de
EDIVAL PONCIANO DE CARVALHO
Engenheiro MeaJnico
RIOD
SÃOPr
Dt LIVROS,'c.ICoS I CIII'ífICoS 1111011
Trllduçlo
lutoriz11d8 de
MECHANISMS ANO DYNAMICS Of MACHINERY,
Copyrlght@1967,
1963, 1975, 1978 by JohnWiley.
Third Edition
Sons, New york. NY. USA
1!' lIdiçlo: 1967
2!' ediçlo: 1980
CIP-Brasil. Catalogaçio-na-fonte
Sindicato Nacional dos Editores de livros, RJ.
M111 m
Mabie. Hamilton .H.
Mecanismos I Hamilton H. Mabie [e] Fred W.
Ocvirk; tradução de Edival Ponciano de Carvalho. -- 2. ed. - Rio de Janeiro: Livros T6cnicos
e Cient(ficos. 1980.
Traduçlo
de: Mechanisms
mechinery
Aptndiees
Bibliografia
ISBN 85-216-0021-6
and dynamics
of
,. Dinâmica das máquinas 2. Engenharia macânica I. Ocvirk, Fred W. 11. Tetulo
CDD CDU -
620.104
620.105
621
62-23
ISBN 85-216-0021-6
IEdiçlo original:
ISBN 0-411-02380-9
John Wiley & Sons, New York)
LIVROS T~CNICOS E CIENTfFICOS EDITORA S. A.
Av. Venezuela, 163
20220 - Rio de Janeiro, RJ
1980
Impresso no Bresil
Prefácio da Terceira Edição
(Unidades SI)
Nesta adiçio. todas as dirrien~es se exprimem em unidades SI com os símbolos correspondentes. AI6m disso, empregou-se. nas seções sobre análise de forças. o conceito de fT1IISIIlI de preferência ao de força da gravidade e constante gravitacional, realçando-se. desse forma. o fato de que o
qullogfllfTNI se deve usar exclusivamente para exprimir a massa.
Nos caphulos sobre engrenagens. introduziu-se o sistema métrico em paralelo com o sistema
inglês. Nos Caps. 4, 5 e 6, apresentam-se os problemas em unidades inglesas e em seguida, separadamente, em unidades métricas.
Sou reconhecido ao Prof. J. Y. Harrison da Universidade New South Wales, da Austrália. e a
V. I. Conley e C. J. Kauffmann do Instituto Politécnico e Universidade Estadual da Virgínia por suas
valloses sugestc5es.
Blacksburu. Virgínia
Junho. 1978
Prefácio da Terceira Edicão
,
Esta edição foi adiada por vários anos devido ao triste e prematuro falecimento do meu co-autor
F. W. Ocvirk em 1967.
As alterações principais nesta edição estão no Cap(tulo 10, "Cinemática das Máquinas" e no
Cap(tulo 11, "Análise de Forças em Máquinas". No Cap(tulo 10, acrescentou-se o seguinte material:
Análise de velocidades e acelerações por cálculo vetorial, solução analftica de equações da velocidade e
aceleração relativas através do cálculo vetorial, extensão da diferenciação gráfica às soluções que uti·
lizam o computador, análise de mecanismos espaciais por números complexos. A análise gráfica de
velocidade e aceleração foi conservada junto com a análise por números complexos.
No Cap(tulo 11, introduziu-se o seguinte assunto: Análise de forças usando componentes transversais e radiais tratadas gráfica e vetorialmente, superposição usando vetores, análise de mecanismos
pelo método dos trabalhos virtuais, análise do movimento de mecanismos empregando o teorema do
trabalho e da energia. Conservou-se a análise gráfica por superposição, assim como a análise por números complexos.
Introduziu-se Unidades do Sistema Métrico nesta edição, com excação dos cap(tulos relativos a
engrenagens. A padronização de engrenagens no Sistema Métrico não existe atualmente.
O autor agradece aos seguintes companheiros do Departamento de Engenharia Mecânica do Virginia Polytechnic Institute and State University por suas sugestões úteis na preparação desta edição:
N. S. Eiss, J. P. Mahaney, H. P. Marshall, L. D. Mitchell, R. G. Mitchiner, L. A. Padis e H. H. Robert·
shaw. O autor agradece também aos revisores deste texto por sua esmerada apreciação.
Blacksburg, Virginia
Janeiro, 1975
Sumário
1.1
1.2
1.3
1.4
1.6
1.6
1.7
1 .&
Introduçlo 80 Estudo de Mecenlll11Ol. 3
MecenIImO. ~uine.
6
Movimento. 7
Cicio. Perfodo e F•• do Movimento. &
P••.•• de Elementos. 9
Peçe. cedel. CI",m6tlce. 9
Inverdo.10
Trensmllllo de Movimento. 10
PROBLEMAS. 13
CAPI'rUlO 2 SISTEMAS ARTICULADOS. 16
2.1
2.2
2.3
2.4
2.6
2.8
2.7
2.&
MecerlIImO de Ouetro-Ber •.••• 16
Mec:enllmO Cunor-Menlvel •• 20
G.rfo EICOCtI. 22
Mec:enllmol de Retorno Npldo. 23
Alevence Artlculede. 26
Junt. de Oldh.m. 26
Mecerllsmol Treçedorn de Retel. 26
Perltógrefo.27
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
Rotores de Cdmara, 27
Junta de Hooke, 29
Juntas Universais Homocinéticas, 30
Mecanismos de Movimento Intermitente,
S(ntese, 39
35
PROBLEMAS,39
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Came de Disco com Seguidor Radial, 46
Came de Disco com Seguidor Oscilante, 48
Came de Retorno Comandado, 50
Came CiI (ndrico, 51
Came Invertido, 51
Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana, 62
Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete,67
Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete, 76
Cames Tridimensionais, 79
PROBLEMAS,82
4.1
4.2
4.3
4.4
Introdução li Engrenegens CiHndricas de Dentes Retos Evolventais, 93
Evolvente. Relações, 96
Particularidades de Engrenagens CiI(ndricas de Dentes Retos, 100
Caraeter(sticas da Ação Evolvental, 102
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
Interferência em Engrenagens Evolventais, 107
Engrenagens Intercambiáveis, 109
Número M(nimo de Dentes para Evitar Interferência, 113
Determinação do Jogo Primitivo, 118
Engrenagens de Dentes Internos, 122
Engranagens Cicloidais, 123
PROBLEMAS, 125
5.1
5.2
5.3
5.4
Teoria das Engrenagens de Dentes Retos Corrigidas, 130
Sistema de Distância entre Eixos Aumentada, 132
Sistema de Saliências Diferentes, 140
Engrenagens de Ação de Afastamento, 142
PROBLEMAS,146
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
Teoria das Engrenagens COnicas, 150
Detalhes das Engrenagens COnicas, 155
Proporções de Dente para Engre~gens COnicasde Gleason, 157
Engrenagens COnicas Angulares de Dentes Retos, 158
Engrenagens COnicas Zerol, 158
Engrenagens COnicas Espirais, 160
Engrenagens Hipóides,161
Teoria das Engrenagens Helicoidais, 162
Engrenagens Helicoidais Paralelas, 167
6.10
6.11
Engrenagens Helicoidais Esconsas, 171
Parafuso Sem·Fim, 173
PROBLEMAS,177
7.1
7.2
7.3
7.4
Introdução a Trans de Engrenagens, 184
Trens de Engrenagens Planetários, 187
Aplicaçaes de Trens Planetários, 197
Montagem de Trens Planetários, 200
PROBLEMAS,204
CAPI"rULO
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.1Q
8.11
8.12
9.1
9.2
9.3
9.4
8
MECANISMOS
DE COMPUTAÇÃO,
220
Computadores Digitais, 220
Computadores Analógicos, 220
Adiçlo e Subtraçlo, 221
Multipliceçlo
e Divisão, 224
IntegraçlÓ,225
FunçtSes Trigonomlttricas, 230
Inversfo, 233
Quadrados, Rafzes Quadradas e Ra(zes Quadradas de Produtos, 233
Cames e Engrenagens de Computação, 235
Sistema Articulado Gerador de Função, 241
Precisfo, 242
Diagramas de Bloco, 242
Espaçamento de Pontos de Precisão, 251
Projeto de uma Articulação de Quatro·Barras para Valores Instantâneos de Velocidades e
AceleraçtSes Angulares, 253
Projeto de Articulaçlo a Quatro·Barras como Gerador de Função, 259
Projeto Gráfico de Articulações a Quatro·Barras corno um Gerador de Função, 267
PROBLEMAS,269
PROBLEMAS - Unidades do sistema métrico dos Caps. 4, 5, 6, I
AP~NDICE 1 - Tabelas de funções evolventais, XVI
AP~NDICE 2 - Método aproximado para o desanho de dentes de perfil evolvental,
fNDICE REMISSIVO. XVIII
XVII
MECANISMOS
Esta obra é complementada pelo livro
DINAMICA DAS MÁQUINAS
dos mesmos autores, também editado pela L Te
FORÇA
I Ib = 4,448 N
I N = 0,2248 Ib
MOMENTO DE INÉRCIA (de massa)
I kg . m2 = 0,7376 slug . pé2
I slug . pé = 1,356 kg . m2
MASSA
I kg = 6,852 X 10-2 slugs
I slug = 14,59kg
Ilb = 3,108 x 10-2 slugs
FREQÜÊNCIA
I ciclos/s = I Hz
COMPRIMENTO
I m = 3,281 pés
I pé = 0,3048 m
I polegada = 2,54 cm
OUTRAS CONVERSÕES ÚTEIS
Ilb' polegada = 11,298 N' cm
Ilb/polegada = 1,751 N/cm
Ilb/polegada2 = ,0,6894N/cm2
Ilb/polegada3 = 0,2714 N/cm3
I milhafh = 1,61kmfh.
Introdução
1.1 Introdução ao Estudo de Mecanismos. O estudo de mecanismos l' muito
importante. Com o enorme avanço realizado no projeto de instrumentos, controles
automáticos e equipamento automatizado, o estudo de mecanismos tomou novo
significado. Mecanismos pode ser definido como a parte de projeto de máquinas
relacionadas com o projeto cinemático de sistemas articulados, carnes, engrenagens
e trens de engrenagens. O projeto cinemático se baseia nos reqQisitos relativos ao
movimento, diferindo do projeto baseado em requisitos de resistência. Será apresentado um exemplo de cada mecanismo, acima mencionado, a fim de proporcionar
uma descrição compreensiva dos componentes a serem estudados.
A Fig. 1.1 representa o esboço de um mecanismo conhecido por mecanismo
cursor manivela. A peça 1 é o suporte e é estacionária, a peça 2 é a manivela, a peça 3
é a biela e a peça 4 o cursor. Uma aplicação comum deste mecanismo aparece no
motor de combustão interna onde a peça 4 é o pistão (Fig. 1.2).
A figura 1.3 mostra o esboço de uma carne com seguidor. A carne gira a uma
velocidade angular constante e o seguidor se movimenta para cima e para baixo,
em movimento alternativo. A elevação do seguidor é comandada pelo excêntrico
e o retorno, por ação da gravidade ou de uma mola. As carnes são usadas em muitas
máquinas e um dos empregos mais comuns aparece no motor de auto~óvel onde
são empregadas duas carnes em cada cilindro para acionar as válvulas de admissão
e de escapamento, também mostradas na Fig. 1.2. Uma carne tridimensional é
apresentada na Fig. 1.4. Neste mecanismo, o movimento do seguidor depende não
somente da rotação da carne mas também de seu movimento axial.
As engrenagens são usadas em muitas aplicações para transmitir movimento
entre eixos com uma razão de velocidades angulares constante. A Fig. 1.5 mostra
algumas engrenagens comumente empregadas.
Em alguns casos, a redução desejada na velocidade angular é muito grande para
ser obtida com somente duas engrenagens. Quando isto ocorre, algumas engrenagens devem ser acopladas para 'formar o que se denomina de trem de engrenagens.
Na Fig. 1.6 vê-se um trem de engrenagens onde a velocidade é reduzida da engrenagem I para a engrenagem 2 e novamente da engrenagem 2 para a 4. A engrenagem
1 é a matriz e as engrenagens 2 e 3 estão montadas em um mesmo eixo. Em muitos
trens de engrenagens é necessário que se possa deslocar as engrenagens acoplando- as
ou desacoplando-as para obtenção de diversas combinações de velocidades. Um
bom exemplo disto é o sistema de transmissão de automóveis onde são obtidas
três velocidades à frente e uma a ré, com o deslocamento de duas engrenagens.
Em dispositivos tais como instrumentos e controles automáticos a obtenção
do movimento correto é de suma importância. A potência transmitida pelos ele
mentos pode ser tão pequena chegando a ser desprezível, o que permite que os
componentes sejam dimensionados inicialmente apenas por seu aspecto cinemático
passando a ter importância secundária o problema da resistência das peças.
Há outras máquinas, entretanto, onde a análise cinemática é somente uma fase
do projeto. Depois que for determinado como as diversas peças da máquina
funcionarão para a realização do trabalho desejado, as forças que atuam nessas
peças devem ser analisadas, permitindo em seguida o dimensionamento de seus
elementos. Uma máquina operatriz é um bom exemplo: sua resistência.e sua rigidez
são mais problemáticas do que os movimentos desejados.
Engrenagens
cih'ndricas de
dentes retos
Engrenagens
"espinha de peixe"
ou cll(ndricas helicoidais duplas
Engrenagens
c6nic:as
Engrenagens
helicoidais em
eixos peralelos
Parafuso semfim e coroa
Engrenagens
helicoidais em
eixos ..-IOS
É importante, nesta altura, definir os termos empregados no estudo de mecanismos, o que será feito nos parágrafos seguintes.
1.2 Mecanismo, Máquina. No estudo de mecanismos estes termos serão
empregados repetidamente e são definidos da seguinte maneira:
Mecanismo é uma combinação de corpos rígidos ou resistentes de tal modo
compostos e ligados que se movem entre si com movimento relativo definido.
Um exemplo é o sistema cursor-manivela de um motor de combustão interna
mostrado esquematicamente na Fig. 1.1.
Máquina é um mecanismo, ou conjunto de mecanismos, que transmite força de
uma fonte de potência para a resistência a ser superada. Um exemplo é o motor
de combustão interna.
1.3 Movimento. Tratando-se de estudo de mecanismos, é necessário definir
os vários tipos de movimento produzidos por estes mecanismos.
Movimento plano. TRANSLAÇÃO. Um corpo tem movimento de translação quando uma reta, definida por dois pontos quaisquer desse corpo, fica
constantemente paralela a si mesma.
I. Translação retilínea. Todos os pontos do corpo têm como trajetória retas
paralelas. Quando o corpo se move desta forma, de um lado para o outro, diz-se
que tem movimento alternativo. Isto está ilustrado na Fig. 1.7, onde a peça 4
desliza altemadamente entre os limites B' e B".
2. Translação curvilínea. As trajetórias dos pontos são curvas idênticas,
paralelas a um plano fixo~
A Fig. 1.8 mostra o mecanismo que era usado na ligação das rodas motrizes
de uma locomotiva a vapor. Neste mecanismo a barra 3 tem translação curvilínea
e todos os seus pontos determinam trajetórias cicloidais durante o movimento de
rolamento das rodas 2 e 4 sobre o trilho I. A peça 5 se move em translação retilínea.
ROT AÇÃO. Se cada ponto de um corpo rígido, em movimento plano, permanece a uma distância constante de um eixo fixo, normal ao plano do movimento,
diz-se que esse corpo tem movimento de rotação. Se o corpo gira de um lado para
o outro dentro de um determinado ângulo, o movimento é de oscilação. Isto é
mostrado na Fig. 1.9onde a manivela 2 gira e a barra 4 oscila entre as posições B' e B".
ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO. Muitos corpos têm movimento que é uma
combinação de rotação e translação. A biela 3 na Fig. 1.7, as rodas 2 e 4 na Fig. 1.8
e a barra 3 na Fig. 1.9 são exemplos deste tipo de movimento.
Movimento helicoidal. Quando um corpo rígido se move de modo que seus
pontos tenham movimento de rotação em torno de um eixo fixo e ao mesmo tempo
possua uma translação paralela a esse eixo, diz-se que o corpo tem movimento helicoidal. Um exemplo deste movimento é o de uma porca sendo atarraxada a um
parafuso.
Movimento esférico. Quando um corpo rígido se move de modo que todos os
seus pontos girem em torno de um ponto fixo, mantendo uma distância constante
desse ponto, diz-se que o corpo tem movimento esférico.
1.4 Ciclo, Período e Fase do Movimento. Quando as peças de um mecanismo,
partindo de uma posição inicial, tiverem passado por todas as posições interme
diárias possíveis e retomarem à mesma posição inicial, essas peças terão completado
um ciclo do movimento. O tempo necessário para completar um ciclo é chamado
As posições relativas de um mecanismo em um determinado
durante um ciclo, constituem uma fase.
período.
instante,
1.5 Pares de Elementos. São as formas geométricas pelas quais dois membros
de um mecanismo são articulados de modo que o movimento relativo entre estes
dois membros seja coerente. Se o contato entre os dois membros for uma superfície
tal como um eixo e um mancal, essa articulação é denominada de par inferior.
Se o contato for realizado segundo um ponto ou ao longo de uma linha tal como
em um rolamento de esferas ou entre dois dentes de engrenagens em contato, essa
articulação é chamada de par superior. Um par que permite somente rotação
relativa é chamado de par rotativo e o que permite somente deslizamento é um par
deslizante. Um par rotativo pode ser onferior ou superior dependendo da articulação empregada, se um eixo e um mancal ou rolamento de esferas. Um exemplo
~ªr
dçsJizante inferior é o existente entre o pistão e as paredes do cilíndro de ym
ffiQtºf.
_
1.6 Peça, Cadeia Cinemática. Uma peça é um corpo rígido que tem doii"ou
mais pares de elementos pelos quais pode ser articulada a outros corpos para
transmitir força ou movimento. Geralmente uma peça é um elemento rígido que
pode ser articulada em cada extremidade a dois ou mais outros elementos. Isto pode
ser estendido de modo a incluir três, quatro ou mais articulações. As Figs. 1.10a, b
e c mostram esses arranjos. Talvez o caso extremo de uma peça com articulações
múltiplas seja a biela mestra de um motor radial de nove cilindros apresentada na
Fig. 1.10d.
Um exemplo bem conhecido de uma peça com três articulações é a alavanca
mostrada nas Figs. 1.Ua e b. Esta peça é usada geralmente para redução de
movimento e pode ser dimensionada para uma determinada relação de deslocamentos com um mínimo de distorção desses movimentos.
Quando um número de peças for ligado através de pares, o sistema resultante
é chamado de cadeia cinemática. Se as peças forem articuladas de tal maneira que
não seja possível haver movimento, esse sistema será denomin.ado de estrutura.
Obtém-se uma cadeia restrita quando as peças forem ligadas de modo que o movimento relativo entre as peças seja sempre o mesmo, independendo do número de
ciclos realizados. É possível também a articulação de peças de modo a resultar uma
cadeia livre, o que significa que o tipo de movimento irá variar dependendo do
atrito existente nas articulações. Se fixarmos uma das peças de uma cadeia restrita,
o resultado será um mecanismo.
1.7 Inversão. Em um mecanismo, se for liberada uma peça que originalmente
era fixa e outra peça passar a ser fixa, diz-se que esse mecanismo está invertido.
A inversão de um mecanismo não altera o movimento relativo entre suas peças,
entretanto modifica seus movimentos absolutos.
1.8 Transmissão de Movimento. No estudo de mecanismos é necessário inv~s·
tigar o método pelo qual o movimento pode ser transmitido de um membro para
outro. Pode-se transmitir movimento de três maneiras: (a) contato direto entre
dois corpos tal como entre um excêntrico e um seguidor ou entre duas engrenagens,
(b) através de um elemento intermediário ou uma biela e (c) por uma ligação flexível,
como uma correia ou uma corrente.
Pode-se determinar a razão de velocidades angulares para o caso de dois corpos
em contato. A Fig. 1.12 mostra a carne 2 e o seguidor 3 em contato no ponto P.
A carne gira no sentido horário e a velocidade do ponto P considerado como um
ponto da peça 2 é representada pelo vetor PM:z. A linha NN' é a normal às duas
superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de transmissão ou
linha de ação. A tangente comum é representada por TT'. O vetor PM:z é decom·
posto em duas componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2• ao longo da
tangente comum. A carne e o seguidor são corpos rígidos e devem permanecer em
contato, por isso, a componente da velocidade de P, considerado como um ponto
da peça 3, deve ser igual à componente normal da velocidade de P considerado
como pertencente à peça 2. Portanto, conhecendo-se a direção do vetor velocidade
P como pertencente à peça 3 e sabendo-se que ela é perpendicular ao raio 03P e
conhecendo-se também sua componente normal, é possível a determinação do
vetor velocidade PM3, conforme mostrado na Fig. 1.12. A partir desse veto r,
pode·se determinar a velocidade angular do seguidor através da relação V = Rw,
onde V é a velocidade linear de um ponto que se move ao longo de uma trajetória
de raio R e w é a velocidade angular do raio R.
------ --
-------
f
Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar-se a velocidade de deslizamento. Da figura pode-se ver que a velocidade de deslizamento
é a diferença vetorial entre as componentes tangenciais das velocidades dos pontos
em contato. Esta diferença é dada pela distância /2/3 porque a componente Pt3
tem direção contrária à de Pt2. Se /2 e /3 estiverem do mesmo lado de P, a velocidade
relativa será dada pela diferença dos segmentos PtJ e Pt2• Se o ponto-º~ºº.!~9
estiver na linha de cent~os~os,,~tºxesPMz-~~~h.serª()jgllais
e, e_Il1.~ºIl§e9üência,
terão a mesma direção. Portanto, as componentes tangenciais serão iguais e a
velocidade de deslizamento será nula. As duas peças terão portanto um movimento
de rolamento puro. AssiJ!l.j:l()d~=.§~jzerqlle a <::ollcliçãopara que e;x;istarolamel1to.
puro é que o ponto de contato permaneça_.sQbre~_JiJ1hª-º~entms.
Para o mecanismo da Fig. 1.12, o movimento entre a carne e o seguidor será
uma combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá
ocorrer quando o ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Enquanto, o
contato nesse ponto poderá não ser possível devido às proporções do mecanismo.
Não poderá ocorrer deslizamento puro entre a carne 2 e o seguidor 3. Para tal
acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites de seu cQ.rso,de:veentrar
em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da outrn l'eª.
É possivel se determinar uma relação de modo que a razão de velocidades
angulares de duas peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade
da construção geométrica delineada acima. A partir dos centros 02 e 03 baixam-se
perpendiculares à normal comum cruzando-a nos pontos e e f, respectivamente.
As seguintes relações são obtidas da Fig. 1.12:
PM2
w2 = O P
2
02Ke
_
e
w3 -
PM3
O P
3
Com a normal comum cruzando a linha de centros no ponto K, os triângulos
e 03Kf são semelhantes também: portanto,
Assim, para um par de superficeis curvas em contato direto, as velocidades
angulares são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha
de centros por sua interseção com a normal comum. Conclui-se então que para
haver uma razão de velocidades angulares constante a normal comum deve cruzar a
linha de centros em um ponto fixo.
-
K _--------------
-
É possível também a obtenção das relações acima para a transmissão de movimento através de uma peça intermediária ou biela e para a transmissão de movimento
por elemento flexível. As Figs. 1.13 e 1.14 mostram os dois casos, respectivamente,
onde a velocidade é dada por:
1.1 (a) Se w2 = 20 rad/min, calcular a velocidade angular da peça 3 para os
dois casos mostrados na Fig. 1.15. (b) Calcular os ângulos máximo e mínimo
entre o seguidor e a horizontal.
1.2 Desenhar em escala o mecanismo do Problema 1.1 e determinar graficamente a velocidade de deslizamento entre as peças 2 e 3. Usar um módulo de
velocidades de 1 em = 10 cm/min.
1.3 Se w2 = 20 rad/min para o mecanismo apresentado na Fig. 1.15, usando
uma construção gráfica, determinar as velocidades· angulares da peça 3 para uma
volta completa da came, empregando acréscimos de 60" a partir da posição em que
w3 = O. Plotar w3 em função do ângulo de rotação 8 da came. Usar os módulos
de Icm = I rad/min para w3 e Icm = 5° para 8.
1.4 Provar que, para o mecanismo mostrado na Fig. 1.13, as velocidades
angulares das peças conduzida e condutora são inversamente proporcionais aos
segmentos determinados na linha de centros por sua interseção com a linha de
transmissão .
. 1.5 Provar que, para as polias e correia mostradas na Fig. 1.14, as velocidades
angulares das polias são inversamente proporcionais aos segmentos determinados
na linha de centros por sua interseção com a linha de transmissão.
1.6 No mecanismo da Fig. 1.13, a manivela 2 tem 1,90 cm de comprimento
e gira a uma velocidade angular constante de 15 rad/s. A barra 3 tem 3,SOcm de
comprimento e a barra 4 tem 2,50em de comprimento. A distância entre os centros
02 e 04 é de 5,IOem. Determinar, graficamente, a velocidade angular da peça 4
quando a manivela 2 tiver girado de 45° no sentido anti-horário, a partir da horizontal. Dizer se w4 é constante ou não.
1.7 Uma polia de 10 em de diâmetro aciona outra de 20 cm de diâmetro
através de uma correia. Se a velocidade angular da polia condutora é de 65 rad/s
e a distância entre os centros das polias é de 40 cm, determinar, graficamente, a
velocidade angular da polia conduzida. Sua velocidade será constante?
Sistemas Articulados
.....•..
••
.
..
.....
2.1 Mecanismo de Quatro Barras. Um dos mecanismos mais simples e mais
úteis é o mecanismo de quatro barras ou quadrilátero articulado, mostrado na
Fig. 2.1. A peça I é o suporte, geralmente estacionária. A manivela 2 é a peça
acionadora que pode girar ou apenas oscilar. Em ambos os casos a peça 4 irá
oscilar. Se a peça 2 gira, o mecanismo transforma movimento de rotação em oscilação. Se a manivela oscila, o mecanismo então multiplica o movimento de oscilação.
Enquanto a peça 2 gira, não há perigo de travamento do mecanismo. Entretanto se a manivela 2 oscila, deve- se tomar cuidado no dimensionamento dos
comprimentos das peças para evitar pontos mortos de modo que o mecanismo não
pare em suas posições extremas. Estes pontos mortos ocorrerão quando a linha
de ação da força acionadora tiver a mesma direção da peça 4, conforme está indicado na Fig. 2.2.
Se o mecanismo de quatro barras for projetado de modo que a peça 2 possa
girar completamente mas a peça 4 seja a acionadora, ocorrerão pontos mortos e
será necessário o uso de um volante para evitar a parada nesses pontos mortos.
Além dos possíveis pontos mortos em um mecanismo de quatro barras, é
necessário considerar- se o ângulo de transmissão que é o existente entre a peça de
ligação 3 e a peça 4, conforme mostrado na Fig. 2.3a como ângulo y .
.•..
z
11
rl
.
.•..
.•...•..
~.11
/
Pode-se deduzir uma equação para o ângulo de transmissão aplicando a Lei
dos Co-senos aos triângulos A0204 e AB04:
Em geral, o ângulo de transmissão máximo não deve ser maior do que 140"
e o mínimo não deve ser inferior a 40" se o mecanismo for empregado para transmitir grandes forças. Se o ângulo de transmissão se tornar menor do que 40°, o
mecanismo tenderá a parar devido ao atrito nas articulações; também as peças
3 e 4 tenderão a ficar alinhadas e podem bloquear o mecanismo. É muito importante verificar os ângulos de transmissão quando o mecanismo for projetado para
trabalhar próximo às configurações correspondentes aos pontos mortos. A Fig. 2.3b
mostra os ângulos de transmissão mínimo e máximo, y' e y", respectivamente,
para um mecanismo de quatro barras. Neste mecanismo, a peça 2 gira e a peça 4
oscila.
o mecanismo de quatro barras pode tomar outras formas como a mostrada
na Fig. 2.4. Na Fig. 2.4a o mecanismo está cruzado, isto é, quando as peças 2 e 4
giram, o fazem em sentido opostos.
Este mecanismo tem o mesmo tipo de movimento que o da Fig. 2.1.
Na Fig. 2.4b as peças opostas têm o mesmo comprimento e, portanto, sempre
permanecem paralelas; as peças 2 e 4 têm movimento de rotação. Este tipo de
mecanismo é característico das rodas motrizes de ·uma locomotiva a vapor. A Fig.
2.4c mostra outro arranjo no qual a peça motriz e a conduzida giram continuamente.
Esta forma de quadrilátero articulado é a base para o mecanismo de manivela
dupla e corrediça, que será abordado no item relativo a mecanismos de retorno
rápido. Se a peça 2 girar a uma rotação constante, a peça 4 terá uma velocidade
angular não uniforme. A fim de se evitar o travamento do mecanismo, deve se
manter certas relações entre os comprimentos das peças:
02A
e
04B > 0204
(02A - 0204) + AB > 04B
(04B - 0~04)
+ 02A > AB
A segunda e a terceira relações se originam dos triângulos 04A' B' e 02A" B",
respectivamente, e do fato de que a soma de dois lados de em triângulo deve ser
maior que o terceiro lado.
A Fig. 2.41 mostra um arranjo onde a peça 4 da Fig. 2.1 foi substituída por
um bloco deslizante. O movimento dos dois mecanismos é idêntico.
O mecanismo de quatro barras é muitas vezes denominado de manivela-balancim
quando a peça 2 gira e a peça 4 oscila conforme mostrado na Fig. 2.4a. Do mesmo
modo, o termo manivela dupla significa que ambas as peças 2 e 4 têm movimento
de rotação como a Fig. 2.4b e c. O termo balancim duplo indica que as peças 2 e 4
têm movimento de oscilação, mostrado na Fig. 2.2.
Pode-se aplicar a Lei de Grashoff como uma maneira de determinar se o
mecanismo irá operar como manivela balancim, manivela dupla ou balancim duplo.
Esta leP estabelece que se ª-.s,ºm.a.. dos comprimentos da maior e da menor peça
fuJ:menor do qUR a soma dos comprimentos das outras duas, o mecanismo formará :
I. Dois mecanismos tipo manivela balancim, diferentes, quando a menor
peça for a manivela e qualquer das peças adjacentes for a peça fixa.
2. Um mecanismo manivela dupla quando a menor peça for a fixa.
3. Um balancim duplo quando a peça oposta à menor for a peça fixa.
Também, se a soma dos comprimentos da maior e da menor for maior do que
a soma dos comprimentos das outras duas, somente resultarão balancins duplos.
Também, se a soma da maior e da menor peça for igual à soma das outras duas,
os quatro mecanismos possíveis são similares aos dos casos I, 2 e 3 acima. Entre
tanto, neste último caso a linha de centros do mecanismo pode ficar alinhada com
as peças de modo que a manivela conduzida possa mudar o sentido de rotação "a
não ser que algo seja feito para evitá-Io. Tal mecanismo é apresentado na Fig. 2.4b
onde as peças podem ficar alinhadas com a linha de centros 0204. Nesta posição,
o sentido de rotação da peça 4 pode mudar a não ser que a inércia desta peça a leve
a ultrapassar este ponto.
2,2 Mecanismo Cursor-Manivela,
Este mecanismo é amplamente utilizado
e encontra sua maior aplicação no motor de combustão interna. A Fig. 2.5a
mostra um esboço em que a peça 1 é o bloco do motor (considerado fixo), a peça 2
é a manivela, a peça 3 a biela e a peça 4 o êmbolo. Sobre a peça 4 atua a pressão
dos gases, no motor de combustão interna. A força é transmitida à manivela,
através da biela. Pode-se ver que haverá dois pontos mortos durante o ciclo, um
em cada posição extrema do curso do êmbolo. Para evitar a parada do mecanismo
nesses pontos mortos é necessário o emprego de um volante solidário à manivela.
Este mecanismo também é usado em compressores de ar onde um motor elétrico
aciona a manivela que por sua vez impulsiona o êmbolo que comprime o ar.
Considerando o mecanismo cursor-manivela, é necessário calcular o deslocamento do cursor e sua velocidade e aceleração correspondentes. As equações
de deslocamento, velocidade e aceleração são obtidas usando-se a Fig. 2.5b.
x = R + L- R cos (J - Lcos </J
= R(l - cos (J) + l.(l - cos </J)
= R(1-
cos (J) + L[l--Jl - (R/L)2 sen2(J]
A fim de simplificar a expressão acima, o radical pode ser aproximado substituindo-o de acordo com a série
onde B = (R/L) sen (J.
Em geral, o uso dos dois primeiros termos da série já possibilita uma precisão
suficiente.
Portanto,
J (R)2
1-
L
- -,
1
sen2(J = 1 - 2
(R)2
L sen
(J
dx = Rw [ sen (J + 2RL sen 2(J]
V = dt
2
A = ddt2x
R cos 2(J]
= RW2 [ cos (J + L
~
~
1
.
(b)
(a)
~
1
.
(e)
É possível fixar-se outra peça, sem ser a peça 1, no mecanismo curso r manivela
e assim obterem-se três inversões, que são mostradas na Fig. 2.6. Na Fig. 2.6a
fixa-se a manivela e todas as demais peças podem se mover. Este mecanismo era
usado em antigos motores de avião e eram conhecidos como motores rotativos
porque a manivela era estacionária e os cilindros giravam em torno da manivela.
Uma aplicação mais moderna desta inversão aparece no mecanismo Whitworth que
será apresentado no item relativo a mecanismos de retorno rápido. A Fig. 2.6b
mostra uma inversão onde a biela é a peça fixa. Esta inversão é empregada em
máquinas a vapor auxiliares e é também a base do mecanismo de plaina limadora,
a ser apresentada mais adiante. A terceira inversão, onde o curso r é a peça fixa, é
usadas, às vezes, em bombas de água manuais.
Pode se conseguir uma variação'do mecanismo cursor-manivela aumentado-se
o diâmetro do moente até que ele fique maior do que o munhão da manivelà. Este
moente aumentado constitui um excêntrico e substitui a manivela do mecanismo
original. A Fig. 2.7 mostra um desenho em que o ponto A é o centro do excêntrico
e o ponto D o seu centro de rotação. O movimento deste mecanismo equivale ao
de um mecanismo cursor-manivela com uma manivela de comprimento DA. Uma
desvantagem séria deste mecanismo, entretanto, é o problema da lubrificação
adequada entre o excêntrico e a biela. Isto limita a potência que pode ser transmitida.
2.3 Garfo Escocês. Este mecanismo é capaz de gerar movimento harmônico
simples. Antigamente era empregado em bombas a vapor, mas agora é usado
como um mecanismo de uma mesa vibradora e como gerador de seno e co-seno
para mecanismos de cômputo. A Fig. 2.8a apresenta um esboço desse mecanismo
e a Fig. 2.8b mostra como é gerado o movimento harmônico simples. O raio r
a uma velocidade angular constante wr e a projeção do ponto P sobre o eixo x
(ou eixo y) se desloca com movimento harmônico simples. O deslocamento, medido
da direita para a esquerda, a partir da interseção da trajetória de P com o eixo x é
dx
V = {[t = rWr sen wrt = rWr sen (}r
Outro mecanismo capaz de gerar movimento harmônico simples é a carne
circular com seguidor radial de face plana, que será apresentado no próximo capítulo.
2.4 Mecanismos de Retorno Rápido. Estes mecanismos são usados em máquinas
opera trizes para dar lhes um curso de corte lento e um curso de retorno rápido
para uma velocidade angular constante da manivela motriz. Em geral são sistemas
articulados simples tais como o mecanismo de quatro barras e o mecanismo cursormanivela. Pode-se usar também uma inversão do mecanismo cursor-manivela
combinado com o mecanismo cursor manivela convencional. No projeto de
mecanismos de retorno rápido, a razão entre os ângulos descritos pela manivela
motriz durante o curso de corte e o curso de retorno é de suma importância e (,
conhecido como razão de tempos. Esta razão deve ser maior do que a unidade e
seu valor deve ser o maior possível para que haja um retorno rápido da ferramenta de
corte. Como um exemplo, no mecanismo da Fig. 2.11, rx é o ângulo descrito pela
manivela durante o curso de corte e p é o correspondente ao curso de retorno.
Supondo se que a manivela opera a uma veloCidade de rotação constante, a razão
de tempos é, portanto, rx/P que é muito maior do que a unidade.
Há diversos tipos de mecanismos de retorno rápido que são descritos a seguir:
Mecanismo de manivela dupla e cursor. Este mecanismo é derivado do mecanismo de quatro barras e está mostrado na Fig. 2.9. Para uma velocidade angular
constante da peça 2, a peça 4 rodará com velocidade de rotação não uniforme.
O cursor 6 irá subir com velocidade aproximadamente constante durante a maior
parte do avanço para dar um curso de avanço lento e um retorno rápido quando a
manivela 2 girar no sentido anti-horário.
Mecanismo Whitworth. É uma variação da primeira inversão do mecanismo
cursor-manivela em que a manivela é a peça fixa. A Fig. 2.10 mostra um esboço do
mecanismo e as peças 2 e 4 fazem voltas completas.
Mecanismo de plaina limadora. Este mecanismo é uma variação da segunda
inversão do mecanismo cursor-manivela em que a biela é a peça fixa. A Fig. 2.11
apresenta este mecanismo onde a peça 2 gira e a peça 4 oscila.
Se a distância 2 4 for diminuída até ficar menor que a manivela, este mecanismo se transformará no Whitworth.
°°
CUl"ID
~
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
de
corte
Manivela deslocada. O mecanismo curso r-manivela pode ter a manivela deslocada conforme mostrado na Fig. 2.12. Isto possibilitará um movimento de retomo
rápido. Entretanto, o efeito do retomo rápido é muito pequeno e o mecanismo deve
ser empregado somente onde o espaço for limitado e o mecanismo tiver que ser
simples.
•
2.5 Alavanca Articulada. Este mecanismo tem muitas aplicações onde se
necessita vencer uma grande resistência com uma pequena força motriz. A Fig. 2.13
mostra o esboço do mecanismo; as peças 4 e 5 têm o mesmo comprimento. À
medida que os ângulos IX diminuem e as peças 4 e 5 se tomam quase alinhadas, a
força F necessária para superar uma dada resistência P decresce conforme indicado
pela seguinte relação
F
P = 2 tglX.
Pode-se ver que para uma determinada força F quando IX tende a zero, P tende
para infinito. Um britador utiliza este mecanismo para vencer um grande resistência com uma pequena força. Este mecanismo pode ser usado estática ou dinamicamente, como se vê em muitos dispositivos de fixação de peças.
2.6 Junta de Olclham. Este mecanismo possibilita um meio de ligarem-se dois
eixos paralelos que possuam um pequeno desalinhamento, de modo que possa
haver transmissão de velocidade angular constante entre o eixo motriz e o conduzido.
A Fig. 2.14 mostra um esboço desta junta. Este mecanismo é uma inversão do
garfo escocês.
2.7 Mecanismos Traçadores de Retas. Como o nome indica, estes mecanismos
são projetados de modo que um ponto de uma das peças se mova em linha reta.
Dependendo do mecanismo, esta linha reta poderá ser aproximada ou teoricamente
exata.
Um exemplo de um mecanismo traçador de retas aproximadas l.'o mecanismo
de Watt, mostrado na Fig. 2.15. O ponto P está localizado de tal modo que os
segmentos AP e BP são inversamente proporcionais aos comprimentos 02A e O 4B.
Portanto, se as peças 2 e 4 tiverem o mesmo comprimento, o ponto P deverá estar
no meio da peça 3. O ponto P descreverá uma trajetória na forma de um 8. Parte
desta trajetória se aproximará muito de uma linha reta.
O mecanismo Peaucellier é um que pode gerar uma linha reta exata. A Fig. 2.16
mostra um esboço onde as peças 3 e 4 são iguàis. As péças 5, 6, 7 e 8 também são
iguais e a peça 2 tem seu comprimento igual à distância 0204' O ponto P descreverá uma trajetória que é uma linha reta exata.
.
Os mecanismos traçadores de reta têm muitas aplicações; entre estas, os mecanismos de indicadores de motores e de disjuntores elétricos são duas aplicações
notáveis.
2.8 Pantógrafo. Este mecanismo é usado como um dispositivo de copiar.
Quando um ponto do mecanismo seguir uma determinada
trajetória, outro ponto
do mecanismo, porém de outra peça, descreverá uma trajetória semelhante à anterior,
em uma escala previamente escolhida. A Fig. 2.17 apresenta um esboço do mecanismo. As peças 2, 3,4 e 5 formam um paralelogramo e o ponto P está situado numa
extensão da peça 4. O ponto Q está localizado sobre a peça 5, na interseção com a
linha que liga O a P. Quando o ponto P descrever'uma
curva, o ponto Q traçará
uma trajetória semelhante, em escala reduzida.
-- --- --
Este mecanismo
encontra
muita aplicação
em instrumentos
copiadores,
particularmente
em máquinas de gravação ou máquinas copiadoras.
Um emprego
desta máquina é a confecção de matrizes ou moldes. O ponto P serve como um
ponteiro e segue o perfil de um gabarito enquanto a ferramenta colocada no ponto Q
usina a matriz, em uma escala menor.
2.9 Rotores de Câmara. Este mecanismo se apresenta sob diversas formas,
que podem se enquadrar em duas classificações.
O primeiro tipo consiste de dois
lóbulos que operam dentro de uma câmara.
O soprador
Roots, mostrado na
Fig. 2.18, é um exemplo deste tipo. Os rotores são ciclóides e são acionados por
um par de engrenagens iguais, acopladas, situadas atrás da câmara. Em uma apli-
cação moderna o soprador. Roots possui três lóbulos em cada rotor: é usado em
superalimentadores de baixa pressão para motores Diesel.
o outro tipo de rotores de câmara tem somente um rotor situado excentricamente dentro da câmara e geralmente é uma variação do mecanismo cursor-manivela.
A Fig. 2.19 mostra um mecanismo deste tipo projetado originalmertte para uma
máquina a vapor, mas sua aplicação atual é em bombas.
Outro exemplo do segundo tipo de rotores de câmara está apresentado na
Fig. 2.20 que ilustra o princípio do motor Wallkel. Neste mecanismo. os gases
em expansão atuam sobre o rotor que gira exentricamente e transmite torque ao
eixo de saída por intermédio do excêntrico que faz parte do eixo. A defasagem
entre as rotações do rotor e do excêntrico é assegurada por um par de engrenagens
composto de uma engrenagem de dentes internos e outra de dentes externos (não
mostradas na figura), de modo que o movimento orbital do rotor é controlado
adequadamente.
2.10 Junta de Hooke. Esta junta é usada para interligar dois eixos que se
cruzam. Também conhecida por junta universal, encontra larga aplicação em
veículos automóveis. Um esboço desta junta está mostrado na Fig. 2.21 e um modelo
comercial é apresentado na Fig. 2.21. Na Fig. 2.21, a peça 2 é a motriz e a 4 é a
conduzida. A peca 3 é uma cruzeta Que li~a os dois garfos Pode-se ver2 que,
embora os dois eixos completem uma volta durante o mesmo tempo, a razão das
velocidades angulares dos dois eixos não será constante, varia!t4º GOITlO uma função
qQ~I1g11JQ-'J~ntrç os eixos e do ângulo de rotação
do eixo motriz. A relação é
dada por
e
cos f3
-I -.senz-p-se-n-1-·O
Fig. 2.22
Junta universal tipo Hookc (Cortesia de Mechanics Universal Joint Division. Borg-Warner
Corp.)
Uma representação
gráfica desta equação em coordenadas
polares para um
quarto de volta do eixo motriz, mostrada na Fig. 2.23, indica claramente o efeito
de um grande ângulo f3 entre os eixos. É possível a ligação entre dois eixos por
intermédio de duas juntas de Hooke e um eixo intermediário. de modo que a razào
de velocidades não uniforme do primeiro acoplamento
será anulada pela segunda
junta. A Fig. 2.24 indica esta aplicação quando os dois eixos 2 e 4, que serão ligados,
não são coplanares.
A ligação deve ser realizada de tal modo que o eixo motriz 2 e
o conduzido 4 façam ângulos iguais P com o eixo intermediário
3. Também os
garfos do eixo 3 devem ser posicionados
de modo que um garfo fique no plano
determinado pelos eixos 2 e 3 e o outro fique no plano dos eixos 3 e 4. Se os dois
eixos a serem ligados estiverem no mesmo plano. entào os garfos du eixo intermediário serão paralelos.
Uma aplicação deste último caso é o sistema Hotchkiss de
transmissão,
usado na maioria dos veículos atualmente.
2.11 Juntas
Universais Homocinéticas.
Engenheiros
pesquisaram
durante
muitos anos uma junta universal capaz de transmitir movimento a uma razão de
velocidades angulares constante.
Diversas juntas, aplicando o princípio de Hooke,
foram propostas e uma delas, surgida em 1870, possuía um eixo intermediário
de comprimento nulo. Entretanto, pelo que se conhece, juntas deste tipo nunca
tiveram emprego comercial.
Com o desenvolvimento da tração dianteira para veículos automóveis, aumentou a necessidade de uma junta universal que fosse capaz de transmitir movimento
com uma razão de velocidades angulares constante. É verdade que poderiam ser
usados duas juntas de Hooke e um eixo intermediário, porém, isto não seria completamente satisfatório. Em uma transmissão do tipo empregado nos veículos de
tração dianteira, onde o ângulo p é, às vezes, muito grande, as condições modificantes tornam-na quase impossível de obter ràzão de velocidades constante. A
necessidade de uma junta homocinética foi satisfeita pela introdução, nos EUA, das
juntas Weiss e Rzeppa e na França, '<.iajunta Tracta. A junta Weiss foi patenteada
pela primeira vez em 1925, a Rzeppa em 1928 e a Tracta em 1933. O funcionamento
destas juntas não é baseado no mesmo princípio da junta de Hooke.
Uma junta Bendix-Weiss está apresentada na Fig. 2.25. Conforme mostrado
na figura, as ranhuras que são simétricas em relação à linha de centros dos eixos,
são formadas nas superfícies dos dentes dos garfos. Quatro esferas são colocadas
entre esses dentes no ponto onde os eixos das ranhuras de um garfo cruzam os eixos
das ranhuras do outro garfo. A transmissão de potência é feita do eixo motriz
para o conduzido, através dessas esferas. Uma quinta esfera, com -um entalhe,
proporciona a montagem das peças em um conjunto assim como suporta as forças
axiais. Em funcionamento, as esferas mudarão automaticamente suas posições
à medida que o ângulo entre os eixos variar, de modo que o plano que contém os
centros das esferas sempre esteja na bissetriz do ângulo formado pelos dois eixos.
Pode-se provar3 que desta condição resultará uma razão de velocidades angulares
constante. A Fig. 2.28 mostra uma fotografia da junta Bendix- Weiss.
Uma junta Rzeppa, tipo sino, está mostrada na Fig. 2.26. Esta junta consiste
de um alojamento esférico e uma pista interna dotados de ranhuras. Seis esferas
de aço são colocadas nessas ranhuras e transmitem o torque do eixo motriz para o
conduzido. As ranhuras são concêntricas em relação ao ponto O, cruzamento das
linhas de centro dos eixos. As seis esferas são conduzidas por uma gaiola cuja
posição é controlada por uma haste. Uma extremidade desta haste se encaixa num
alojamento colocado na extremidade do eixo B e a outra desliza num furo situado
na extremidade do eixo A. Um alargamento esférico no corpo da haste se articula
com a gaiola. Se o eixo Bfor defletido em relação ao eixo A, deverá girar em torno
de O, porque o conjunto tem este ponto como centro de rotação. Através do movimento do eixo B a haste será acionada comandando a gaiola e portanto as esfe~as,
em um giro de aproximadamente metade do ângulo descrito pelo eixo B. Embora seja
possível demonstrar geometricamente que o ângulo entre os eixos~m como bissetor
o plano que passa pelos centros das esferas para um e somente um ângulo (diferente
de zero) entre os eixos. dependendo das proporções do mecanismo-guia, os erros
serão tão pequenos, para outros ângulos até 40° mais ou menos, que serão considerados desprezíveis. POl:tanto. para todos os fins práticos, o plano dos centros das
esferas é o bissetor do ângulo entre os doís eixos e a junta transmite movimento
com uma razão de velocidades angulares constante. A Fig. 2.28 apresenta uma
fotografia da junta Rzeppa.
Uma junta Tracta, mostrada na Fig. 2.29, consiste de quatro peças: dois eixos
com as extremidades em forma de garfo e duas peças hemisféricas, uma delas tem
uma corrediça e a outra uma ranhura para receber a corrediça. Além disso, no
lado hemisférico de cada peça há uma ranhura que permite a ligação com o garfo
de cada eixo. Os dentes dos garfos abrangem um ângulo maior do que 180 de
modo a serem autobloqueantes quando montados. A corrediça e a ranhura que
recebe a corrediça fazem 900 com as ranhuras onde se encaixam os garfos. Através
do encaixe entre a corrediça e a ranhura das peças hemisféricas, quando a junta
está montada, os eixos das peças hemisféricas devem sempre permanecer no mesmo
plano. Com a junta montada, os garfos ficam livres para girar em torno dos eixos
das peças hemisféricas, que estão no plano da corrediça e da ranhura.
Em aplicações industriais a junta é mantida em alinhamento adequado por
meio de dois alojamentos esféricos não mostrados na figura. Com a junta montada,
estes alojamentos proporcionam uma cobertura das peças da junta, articulúvei e
que suporta os eixos de modo que suas linhas de centro sempre se cruzem em um
0
ponto equidistante dos centros das peças hemisféricas. Com este alinhamento a
junta Tracta transmitirei movimento com razão de velocidades constante. A Fig.
2.28 apresenta uma fotografia desta junta.
2.12 Mecanismos de Movimento Intermitente. Há muitos exemplos onde é
necessário transformar movimento contínuo em intermitente. Um dus primeiros
exemplos é o mecanismo de comando do movimento da mesa de uma máquina
operatriz a fim de apresentar uma nova peça diante da ferramenta para usinagem.
Há diversas maneiras de se conseguir este tipo de movimento.
Roda de genebra. Este mecanismo é muito útil na geração de movimento
intermitente porque diminui o choque de acoplamento. A Fig. 2.29 mostra um
esboço onde o prato I, que gira continuamente, possui um pino acionador P que se
encaixa em um sulco na peça conduzida 2. Na figura, a peça 2 gira de um quarto
de volta para cada volta do prato I. O sulco da peça 2 deve ser tangente à trajetória
do ponto P no instante do acoplamento para reduzir o choque. Isto significa que
o ângulo 01 PO 2 será um ângulo reto. Pode-se ver também que o ângulo p é a metade
do ângulo descrito pela peça 2 durante a mudança de estação. No caso, o ângulo
p é 45°.
É necessário um dispositivo de fixação para não deixar a peça 2 girar a não ser
quando acionada pelo pino P. Uma das maneiras mais simples de se conseguir
isso é montando um disco de fixação sobre a peça I. A superfície convexa do disco
coincide com a côncava da peça 2 exceto durante o período de troca de estação.
É necessário cortar uma parte do disco de fixação para permitir o movimento da
peça 2 quando estiver sendo acionada pela peça I. Esse corte, no disco de fixação,
corresponde a um arco de valor igual a duas vezes o ângulo IX.
Se um dos sulcos da peça 2 for fechado, então o prato I dará somente um número
limitado de voltas antes que o pino P esbarre no sulco fechado, interrompendo o
movimento.
Mecanismo de catraca. Este mecanismo é empregado para gerar movimento
circular intermitente a partir de uma peça oscilante ou alternativa. A Fig. 2.30
apresenta os detalhes. A roda dentada 4 recebe movimento intermitente através
do braço 2 e do dente acionador 3. Um dente-retém, 5 impedirá a rotação da roda 4
quando o braço 2 girar no sentido horário preparando-se para outro curso. A linha
de ação PN, entre o dente 3 e os dentes da roda 4, deve passar entre os centros
O e A como indica a figura a fim de que o dente 3 permaneça em contato com a roda
dentada. A linha de ação (não mostrada) entre o dente-retém 5 e a roda dentada
deve passar entre os centros O e B. Este mecanismo tem muitas aplicações, particularmente em contadores.
Engrenamento intermitente. Este mecanismo encontra aplicação em acionamentos onde as cargas são leves e o choque for de importância secundária. A roda
motriz possui um dente e a conduzida um número de vãos de dentes para a obtenção
do movimento intermitente desejado. A Fig. 2.31 apresenta este mecanismo. Um
dispositivo de freiamento deve ser empregado na roda 2 para evitar sua, rotação
quando o dente da engrenagem 1 não estiver acoplado com a peça 2. Um modo
de fixar a peça 2 é mostrado na figura: a superfície convexa da roda 1 coincide com a
superfície côncava entre os vãos de dentes da peça 2.
Mecanismo de escape. Neste tipo de mecanismo uma roda dentada, sujeita a
um torque, tem movimento de rotação intermitente por ação de um pêndulo.
Devido a isto, o mecanismo pode ser empregado como um marcador de tempo e
deste modo encontra sua maior aplicação em relógios. Uma segunda aplicação
é o seu uso como um comando para controlar deslocamento, torque ou velocidade.
Há muitos tipos de escapes, porém, o que é usado em relógios devido à sua
grande precisão é o escape com roda de balanço, mostrado na Fig. 2.32.
A roda de balanço e a mola de cabelo constituem um pêndulo torsional com um
período fixo (tempo de oscilação de um ciclo). A roda_~ es~~_~acionadapor
uma mola mestrª~J!m. _trem de engr~nagens (não mostrado) e possÜrmovimentó
intermiteIlte no ~~Iltido_borÍlriocornandado pela _alayaDca. Para cada
oscilação completa da roda de balanço, a âncora libera a roda de escape para girar
de um ângulo correspondente a um dente. A roda de escape, portanto, conta o
número de vezes que a roda de balanço oscila e também, através da âncora, fornece
energia à roda de balanço para compensar perdas por atrito e de resistência do ar.
A fim de estudar o movimento deste mecanismo durante um ciclo, consideremos a âncora mantida encostada no pino-batente_ da esquerda pelo dente A da
roda de escape atuando sobre a lingüeta da esquerda. A roda de balanço gira no
sentido anti-horário de modo que o rubi se choca com a âncora girando-a no sentido
horário. O movimento da âncora faz com que a lingüeta da esquerda libere o dente A
da roda de escape. Esta roda então gira no sentido horário e a parte superior do
dente A impulsiona a lingüeta da esquerda, ao deslizar por baixo desta. Com este
impulso a âncora começa agora a acionar o rubi, dando assim energia à roda de
balanço para manter o seu movimento.
Depois que a roda de escape girar um pequeno ângulo, voltará ao repouso
novamente quando o dente B topar com a lingüeta da direita que tinha sido baixada
devido à rotação da âncora. Esta âncora bate no pino da direita e pára, mas a roda
de balanço continua girando até que sua energia seja absorvida pela mola de cabelo,
por atrito no mancal e pela resistência do ar.
~~Jºtªçªº
Roda de balanço
e mola de cabelo
(não mostrada)
'1
/
/
Roda de escape
(acionada pela
mola mestra e
trem de engrenagens)
A força do dente B da roda de escape sobre a lingüeta da direita mantém a
âncora bloqueada, de encontro ao pino-batente da direita. A roda de balanço
completa a sua oscilação e inverte o sentido, retomando com movimento no sentido
horário. O rubi agora bate no lado esquerdo do entalhe da âncora impulsionando-a
no sentido anti-horário. Esta ação libera o dente B, que por sua vez impulsiona
a âncora através da lingüeta da direita. Depois de girar um pequeno ângulo a roda
de escape voltará ao repouso novamente quando o dente seguinte topar com a
lingüeta da esquerda.
O escape de roda de balanço é também conhecido como escape de âncora
independente porque a roda de balanço fica livre de seu contato com a âncora
durante a maior parte de sua oscilação. Devido a esta liberdade relativa da roda
de balanço, o escape tem uma precisão de ± 1%.
Para informação adicional sobre mecanismos de escape e suas aplicações
deve-se consultar uma das muitas referências sobre o assunt04•
4 A. L. Rawlings. The Science of Clocks and Watches. 2." ed. Pitman.
1948. T. K. Stecle. "ClockEscapement Mechanisms". Product Engineering. Janeiro, 1957. pg. 179.
2.13 Síntese. Nos sistemas articulados, estudados neste capítulo, eram dadas
as dimensões do mecanismo e o problema consistia em analisar o movimento
produzido pelo sistema. Um assunto completamente diferente, entretanto, é tentar
dimensionar um mecanismo para dar esse movimento. Este procedimento é conhecido por síntese de mecanismos. Indubitavelmente muitos problemas de síntese
têm sido resolvidos por tentativas, mas foi somente nos anos recentes que foram
desenvolvidas soluções racionais.
Muitos métodos de síntese foram propostos, gráficos e analíticos, e somente o
seu estudo já seria uma matéria. No capítulo 9, Introdução à Síntese, são apresentados diversos métodos para ilustrar os princípios envolvidos.
2.1 No mecanismo de quatro barras, mostrado na Fig. 2.1, faça O2 O 4 = 50mm,
02A = 62mm, AB = 38mm e 04B igual a 44mm, 69mm e 19mm. Desenhe os
três mecanismos em escala e determine para cada um se as peças 2 e 4 giram ou
oscilam. No caso de oscilação determine as posições-limite.
2.2 No mecanismo de quatro barras, mostrado na Fig. 2.1, a peça 2 gira e a peça
4 oscila segundo um ângulo de 75°. A peça 4 tem 114mm de comprimento e quando
está em uma posição extrema, a distância 02B 1..'de J02mm e na outra posição
extrema é de 229mm. Determine os comprimentos das peças 2 e 3 e desenhe o
mecanismo em escala, como verificação. Determine os valores máximo e minimo
do ângulo de transmissão.
2.3 Se no mecanismo de manivela dupla, mostrado na Fig. 2.4c, 02A =
= 76,2mm, AB = 102mm e O 4B = 127mm, qual deve ser o comprimento máximo
de 0204 para um funcionamento adequado do mecanismo?
O.A = 2~
mm--r
AB= 75mm
R = 75mm
E
E
N
10
1_
2.4 No mecanismo de quatro barras, mostrado na Fig. 2.33, a guia é fixa e
sua linha de centro é um arco circular de raio R. Desenhe o mecanismo em escala
e, por construção gráfica, determine a velocidade angular do bloco 4, para a fase
mostrada. A velocidade angular 0)2 é 1 rad/s. Indique o sentido de 0)4'
2.5 Considerando o mecanismo cursor-manivela, mostrado na Fig. 2.5h,
deduza as equações para o deslocamento, a velocidade e a aceler.ação do cursor em
função de R, L, O, O) e 4>. Não faça aproximações. Considere O) constante.
2.6 A equação aproximada para o deslocamento do cursor, no mecanismo
cursor-manivela, é x = R( I - cos O) + (R2/2 L) sen2 0, sendo O = wt porque w
é constante. Deduza as equações para a velocidade e a aceleração do cursor se
O) não for constante.
2.7 Escreva um programa de computador para calcular o deslocamento, a
velocidade e a aceleração do cursor do. mecanismo cursor-manivela mostrado na
Fig. 2.5. Use a equação exata e a aproximada. Faça R = 50mm, L = 100mm,
"2 = 2 400 rpm. Calcule o deslocamento, a velocidade e a aceleração, para uma
volta da manivela, com intervalos de 10" para o ângulo O ..
2.8 Um mecanismo cursor-manivela tem uma manivela de comprimento
R = 50mm e opera a 250 rad/s. Calcule os valores máximos da velocidade e da
aceleração e determine os ângulos da manivela em que ocorrem esses máximos.
Use bielas de comprimentos 200, 230 e 250mm. Utilize as equações aproximadas
e considere O) constante.
2.9 Escreva um programa de computador para comparar o movimento harmônico simples do Garfo Escocês (Fig. 2.8) como movimento do cursor do mecanismo cursor-manivela. Use" = I 800 rpm, R = 50mm e L = 100mm para o
cursor-manivela e r = 50mm para o Garfo Escocês. Calcule o deslocamento,
a velocidade e a aceleração para cada valor de O, variando-o de Oa 360" no sentido
anti-horário. Empregue as equações aproximadas para o mecanismo cursormanivela e considere w constante.
2.10 No mecanismo da Fig. 2.34, despreze o efeito da biela (considere infinito o comprimento da biela) e determine uma expressão para o movimento relativo
entre os dois cursores. Esta relação deve ser uma função do tempo e constar de um
único termo trigonométrico.
I
I
~6
j
I
O,A = 75mm
O,B = 125mm
2.11 Se peça 2 do Garfo Escocês, mostrado na Fig. 2.8a gira a 100 rpm, determine a velocidade máxima e a aceleração máxima da peça 4 para um curso de lOmm.
2.12 A Fig. 2.35 apresenta um mecanismo Garfo Escocês modificado, no
qual a linha de centro da guia é um arco circular de raio r. O raio da manivela é R.
Deduza uma expressão para o deslocamento x do garfo (peça 4) em função de lJ, R e
r. Indique o deslocamento no desenho.
4
mm
1
2.13 Considerando o mecanismo de retorno rápido de manivela dupla e cursor
mostrado na Fig. 2.9, determine a velocidade do cursor 6 para uma volta completa
da manivela 2, usando intervalos de 45° para o ângulo de rotação desta manivela.
A velocidade de rotação da peça 2 é de 100 rpm. Use a escala 1:3 para o desenho e
faça 0204 = 76mm, 02A = 114mm, AB = 140mm, BC = 216mm, 04B = 152mm,
04C = 152mm e CD = 470mm. Determine w4 graficamente usando o princípio
da transmissão de movimento e então calcule a velocidade do cursor 6 empregando
a equação do mecanismo cursor-manivela.
2.14 Utilizando as dimensões do mecanismo do problema 2.13, determine
graficamente o comprimento do curso da peça 6 e a razão entre os tempos de avanço
e de retorno (razão de tempo). Use a escala de 1:4 para o desenho.
2.15 Para o mecanismo Whitwortk mostrado na Fig. 2.10, determine o comprimento do cursor da peça 6 e a razão entre os tempos de avanço e de retorno. Use a
escala de 1:4 para o desenho. Faça 0204 = 64mm, 02A = 127mm, 04B =
= 127mm e BC = 457mm.
2.16 Para o mecanismo cursor-manivela, mostrado na Fig. 2.11, determine
graficamente o comprimento do curso e a razão entre os tempos ~deavanço e de
retorno. Use a escala de 1:4 para o desenho. Faça 0204 = 406mm, 02A =
= 152mm, 04B = 660mm, BC = 305mm e a distância de 04 à trajetória de C
igual a 635mm.
2.17 Projete um mecanismo Whitworth que tenha um comprimento de curso
de 3üSmm e uma razão de tempos de 11/7. Use a escala de 1:4 para o desenho.
2.18 Projete um mecanismo de plaina limadora que tenha um comprimento
de curso de 3üSmm e uma razão de tempos de 11/7. Use a escala de 1:4 para o
desenho.
2.19 Para o mecanismo de retorno rápido, apresentado na Fig. 2~36, deduza
uma expressão para o deslocamento x do cursor S em função unicamente do ângulo
() da peça motriz 2 e das distâncias constantes mostradas na figura.
L
O,A = 18,8mm
O.B = 87,5mm
2.20 A Fig. 2.37 representa um mecanismo de retorno rápido no qual a peça 2
é a motriz. A peça 5 se desloca para a direita durante o curso de trabalho e para
a esquerda durante o curso de retorno rápido. Desenhe o mecanismo em escala e
determine graficamente (a) a razão de velocidades angulares W4/W2 para a fase mostrada na figura, e (b) a razão de tempos do mecanismo.
2.21 Deduza as equações de deslocamento, velocidade e aceleração para o
mecanismo de manivela deslocada mostrado na Fig. 2.12. As equações devem ter
forma semelhante às das equações 2.2, 2.3 e 2.4.
C8ntroda
.JL"r manivela
f..-+
'o_o o_o_--J~P
200 mm
-+-curlO = 300 mm-1
125mm.
I
I
ffi-
"
.1
fia. 1.38
2.22 Calcule os comprimentos da manivela e da biela para um mecanismo de
manivela deslocada que satisfaça às condições apresentadas na Fig. 2.38.
2.23 Para o mecanismo de manivela deslocada, mostrado na Fig. 2.39, calcule
(a) o comprimento do curso do bloco 4, (b) a distância 02B quando o bloco estiver
na posição extrema esquerda e (c) a razão de tempos.
02A = 75mm
AB= 175mm
50mm
.L... 1
.
_
2.24 Considerando somente as peças 4, 5 e 6 do mecanismo de alavanca artir
culado, mostrado na Fig. 2.13, escreva um programa de computador para mostrar
as forças desenvolvidas neste mecanismo. Considere F uma força constante de
45 N. Sugestão: Use a equação 2.8 e varie IX de 10" até perto de 0°.
2.25 Plote a trajetória do ponto P do mecanismo traçador de retas de Watt,
mostrado na Fig. 2.15. Faça 02A = 5lmm, 04B = 76mm, AP = 38mm, BP =
= 25mm e as peças 2 e 4 perpendiculares à peça 3.
2.26 Considerando a Fig. 2.15, determine graficamente as dimensões do
mecanismo traçador de retas de Watt para que o trecho reto da trajetória do ponto P
tenha um comprimento de aproximadamente I27mm.
2.27 Prove que o ponto P do mecanismo Peaucellier, mostrado na Fig. 2.16,
traça uma linha reta verdadeira.
2.28 Prove que os pontos P e Q do pantógrafo mostrado na Fig. 2.17 se deslocam em trajetórias semelhantes.
2.29 No pantógra[o representado .na Fig. 2.40, o ponto Q traça um segmento
de reta de 76mm enquanto P traça um segmento de 203mm. Se o valor máximo
da distância OP for 394mm, projete um pantógrafo para dar o movimento desejado
usando uma escala de 1:3 para o desenho. Desenhe o mecanismo nas suas duas
posições extremas e determine os comprimentos das peças.
2.30 Uma junta de Hooke liga dois eixos a 135° (fJ = 45°) conforme mostrado
na Fig. 2.21. Calcule as velocidades angulares máxima e mínima do eixo conduzido,
para uma rotação constante do eixo motriz de 100 rpm.
2.31 Deduza as equações de deslocamento e velocidade angulares da peça
conduzida de um mecanismo Roda de Genebra (Fig. 2.29). O movimento se inicia
quando o pino acionador entra no sulco da peça conduzida e cessa quando o pino
sai desse sulco. Determine fJ = f(rx), dfJ/arx = f(rx) e use (dfJ/drx) (drx/d.) = dfJ/d.
para determinar uma equação para a velocidade angular da peça conduzida.
2.32 Usando as equações deduzidas no problema 2.31, escreva um programa
de computador e calcule os valores de fI e w2 para rx variando de 60° a 0° em intervalos
de 100. Faça rx = 600no primeiro ponto de contato, 0IP = 45mm, 1 2 = 89mm
e nl = 1 000 rpm (constante).
2.33 Desenhe um mecanismo Roda de Genebra para satisfazer às seguintes
condições: a peça motriz gira continuamente enquanto a conduzida gira intermitentemente, completando um quarto de volta para cada volta da motriz. A distância entre os centros das peças motriz e conduzida é de 89mm. O diâmetro do pino
acionador é de 9,5mm. Os diâmetros dos eixos das peças motriz e conduzida são
16mm e 25mm, com rasgos de chavetas de 4,8 x 4,8mm e 6,4 x 6,4mm, respectivamente. Desenhe o cubo de cada peça. O cubo da peça motriz deve aparecer por
trás do prato. Os diâmetros dos cubos são 1,75 vezes os diâmetros dos furos.
Determine os ângulos rx e fJ
°°
Carnes
..:....
000
o
o
o
••••••
As carnes desempenham um papel muito importante na maquinaria moderna
e são extensivamente usadas em motores de combustão interna, máquinas operatrizes, computadores mecânicos, instrumentos e muitas outras aplicações. Uma
carne pode ser projetada de duas maneiras: (a) partindo-se-dQffiOvimentodes.ejildo
para o seguidor.J)IQjelar,l. carne para dar este movimento, ou (b)p,-\tl~~
Jorma 4,! carne. determinar que características de deslocamento, velocidade e aceleração serão __
ºJ'Jidª~pelo .çQlltqmº da .çª-J:!le.
O primeiro método é um bom exemplo de síntese. De fato, projetar um mecanismo de carnes para o movimento desejado é uma aplicação de síntese que sempre
poderá ser resolvida. Entretanto, depois de projetada a carne pode ser difícil a sua
fabricação. Esta dificuldade de fabricação é eliminada no segundo método fazendo
a carne simétrica e usando para o contorno, formas que possam ser geradas.'
Este é o tipo usado na indústria automobilística onde as carnes devem ser produzidas
com precisão e a baixo custo.
.
Somente será abordado o projeto de carnes com movimento específico. Para
os tipos empregados em automóveis onde o contorno é especificado, o leitor poderá
consultar a referência abaixol. As carnes com movimento especificado podem ser
projetadas e;raficamente e em certos casos, analiticamente. Será abordado em
primeiro lugar o método gráfico.
3.1 (ame de Disco com Seguidor Radial. A Fig. 3.1 mostra uma carne de
disco com um seguidor radial de face plana. Quando a carne gira com velocidade
angular constante na direção indicada, o seguidor se desloca para cima de uma distância aproximadamente de 20mm, de acordo com a escala marcada na haste,
durante meia-volta da carne. O movimento de retorno é o mesmo. A fim de determinar graficamente o contorno da carne, será necessário inverter o mecanismo e
manter a carne estacionária enquanto o seguidor gira ao seu redor. Isto não afetará
o movimento relativo entre a carne e o seguidor e o procedimento é o seguinte:
1. Girar o seguidor em torno do centro da carne no sentido oposto ao da
rotação da carne.
2. Deslocar o seguidor radialmente de acordo com o indicado na escala para
cada ângulo de rotação.
3. Desenhar o contorno da carne tangente ao polígono formado pelas várias
posições da face do seguidor.
Infelizmente, para este último passo, não há um processo gráfico para determinar o ponto de contato entre a carne e o seguidor. Este ponto deve ser determinado a olho empregando-se a curva francesa. O comprimento da face do seguidor
deve ser determinado por tentativas. Ocasionalmente pode ser escolhida uma
escala de deslocamentos combinada com o raio mínimo da carne de modo a se
obter um contorno com uma ponta ou aresta. Esta aresta pode ser eliminada modificando-se a escala de deslocamentos ou aumentando-se o raio mínimo da carne.
6
FIg. 3.1 Carne de disco com seguidor radial de face plana.
9
3
Deslocamento
Fig. 3.2
(a) Carne de disco com seguidor radial de rolete. (b) Carne de disco com seguidor deslocado.
de rolete.
A Fig. 3.2a mostra o mesmo tipo de carne com um seguidor de rolete. Com este
tipo de seguidor o centro do role te se deslocará com o movimento desejado. Os
princípios de construção são idênticos aos do seguidor de face plana com exceção
de que o contorno da carne é tangente às várias posições do rolete. Na Fig. 3.2a
pode-se ver, também, que a linha de ação entre a carne e o seguidor não pode estar
ao longo do eixo do seguidor, exceto quando este estiver em repouso (sem movimento
de subida ou retorno). Isto produz uma força lateral no seguidor e pode causar uma
deOexão ou quebra de sua haste. O ângulo existente entre a linha de ação e a linha
de centros do seguidor é conhecido por ângulo de pressão e seu valor máximo deve
ser o menor possível, especialmente em mecanismos de pequeno porte. Atualmente,
esse valor máximo é de 30°. Embora seja possível medir o ângulo de pressão máximo
na construção gráfica de uma carne, muitas vezes é difícil determiná-lo analiticacamente. Por esta razão será apresentado, mais adiante, um nomograma para determinação do ângulo de pressão máxima em projetos analíticos de carnes. O ângulo
de pressão é constante para qualquer seguidor radial de face plana. O seguidor
mostrado na Fig. 3.1 tem a face perpendicular ao eixo da haste, de modo que o
ângulo de pressão é zero e a força lateral exercida sobre o seguidor é desprezível
comparada com a existente nos seguidores com rolete. Pode-se reduzir o ângulo
de pressão aumentando-se o raio mínimo da carne de modo que a trajetória do
seguidor em relação à carne seja maior para a mesma elevação. Isto equivale a
aumentar o comprimento de um plano inclinado para a mesma elevação, a fim de
reduzir o ângulo de inclinação do plano. Também, numa carne com seguidor de
rolete, o raio de curvatura da superfície primitiva deve ser maior do que o raio do
rolete senão a superfície da carne se tornará ponteaguda.
Às vezes, as hastes dos seguidores de face plana ou de rolete são desloca das
lateralmente ao invés de serem radiais conforme mostrado nas Figs. 3.1 e 3.2a.
Isto é feito por razões estruturais ou no caso do seguidor de rolete, com a finalidade
de reduzir o ângulo de pressão no curso de elevação. Deve-se notar, entretanto,
que embora o ângulo de pressão seja reduzido durante o curso de elevação, no curso
de retorno ele será aumentado. A Fig. 3.2b mostra uma carne e um seguidor
deslocado, com a mesma escala de deslocamento e o mesmo raio mínimo usados na
Fig. 3.2a. Se a direção do movimento de um seguidor deslocado, de face plana,
for paralela a uma linha radial da carne, resultará a mesma carne obtida com um
seguidor radial. Entretanto, o comprimento da face do seguidor deve ser aumentado
devido ao deslocamento haste.
3.2 Carne de Disco com Seguidor Oscilante. A Fig. 3.3 mostra uma carne de
disco com um seguidor de face plana, oscilante. Usando o mesmo princípio de
construção empregado para a carne de disco com seguidor radial, gira-se o seguidor
em torno da carne. Ao mesmo tempo o seguidor deve ser girado. em torno de seu
centro de rotação, segundo os deslocamentos angulares correspondentes à cada
posição indicada na escala. Hú diversas maneiras de se girar o seguidor em torno
de seu centro. O método indicado na Fig. 3.3 é usar a interseção de dois arcos de
circunferências (por exemplo, o ponto 3') para determinar um ponto da face do
seguidor em sua nova posição, após girar em torno de seu centro e em torno da carne.
O primeiro desses dois arcos tem como raio a distância do centro da carne até a
posição 3 da escala de deslocamento e como centro de curvatura o centro de rotação
da carne. O segundo arco é traçado com centro de curvatura situado no centro de
rotação do seg~idor após ter girado até a posição 3 e usando para o raio a distância
do centro do seguidor até a escala de deslocamento. A interseção desses dois arcos
será o ponto 3'. Devido ao número infinito de retas que podem passar pelo ponto 3',
é necessário ter-se uma informação adicional para determinar a posição correta
da face do seguidor correspondente ao ponto 3'. Conforme mostrado na figura,
isto foi conseguido por uma circunferência tangente ao prolongamento da face do
seguidor na posição zero. Na figura, houve coincidência dessa circunferência com o
diâmetro externo do cubo do seguidor. Essa circunferência é, então, traçada em cada
posição do centro do seguidor. Para se determinar a posição 3 da face do seguidor
traça-se uma reta que passa pelo ponto 3' e é tangente à circunferência do cub"
do seguidor em sua posição 3. Repetindo-se este processo, obtém-se um poligono
formado pelas diversas posições da face do seguidor. A partir deste polígono
desenha-se o contorno da carne.
A Fig. 3.4 mostra uma came de disco com seguidor oscilante, com rolete. O
procedimento para a determinação dos pontos 1',2',3' etc. é semelhante ao indicado
na Fig. 3.3. Entretanto, neste caso, estes pontos são as posições do centro do rolete
determinadas pela rotação do seguidor em torno da carne. Taçam-se as circunferências correspondentes à cada posição do rolete e o contorno da carne é tangente
a essas circunferências. Deve-se notar que num projeto real seriam usadas divisões
menores de modo a minimizar o erro do contorno da carne. Deve-se mencionar
também que o mesmo procedimento pode ser empregado no projeto de uma carne
com seguidor oscilante, de rolete, como o usado para uma carne com seguidor radial
deslocado.
Embora a maioria das carnes em uso seja dos tipos já mencionados, há muitos
outros, alguns dos quais encontram grande aplicação. Nas seções seguintes serào
abordados três desses tipos.
3.3 Carne de Retorno Comandado. Em uma carne de disco c um seguidor radial.
freqüentemente é necessário que o retorno do seguidor seja comandado pela carne
e não sob a ação da gravidade ou de uma mola. A Fig. 3.5 mostra um mecanismo
deste tipo em que a carne comanda o movimento do seguidor não somente durante
a elevação como também no curso de retorno. Necessariamente. o movimento de
retorno deve ser o mesmo que o de elevação, porém, no sentido oposto. Esta carne
também é chamada de carne de diâmetro constante.
Este tipo de carne pode também ser projetado empregando dois seguidores de
rolete no lugar dos seguidores de face plana. Se for necessário ter-se um movimento
de retorno independente do movimento de elevação, devem-se usar dois discos,
um para a elevação e outro para o retorno. Estas carnes duplas podem ser usadas
com seguidores de rolete ou de face plana.
3.4 Carne Cilíndrico. Este tipo de carne encontra muitas aplicações, particularmente em máquinas opera trizes. Talvez o exemplo mais comum, entretanto,
seja a alavanca niveladora do molinete de vara de pescar. A Fig. 3.6 mostra um
desenho onde o cilindro gira em torno de seu eixo e aciona um seguidor que é guiado
por uma ranhura exist~nte na superfície do cilindro.
3.5 Carne Invertido. Às vezes é vantajoso inverter o papel da carne e do seguidor
e deixar que o seguidor comande a carne. Esta inversão encontra aplicação em
máquinas de costura e outros mecanismos de natureza semelhante. A Fig. 3.7
mostra o esboço de uma carne de placa onde o braço oscila, causando um movimento
alternativo do bloco por ação de um role te dentro da ranhura da carne.
r-
Retaguarda ~
Bloco
Frente
t
'1
Antes de se determinar o contorno de uma came é necessano selecionar o
movimento segundo o qual se deslocará o seguidor, de acordo com as exigências
do sistema. Se a velocidade de operação deve ser baixa, o movimento pode ser
qualquer um dos movimentos comuns, por exemplo, parabólico (aceleração e
desaceleração constantes), parabólico com velocidade constante, harmônico simples
ou cicloidal.
O movimento parabólico possui a mais baixa aceleração teórica para valores
determinados de elevação do seguidor e rotação da came, dentre os movimentos
citados e por esta razão tem sido empregado em muitos contornos de cames.
Entretanto, em trabalhos a baixas velocidades isto tem pouco significado. O
movimento parabólico pode ou não ter intervalos iguais de aceleração e desaceleração, dependendo das exigências do problema. O movimento parabólico também
pode ser modificado para incluir um intervalo de velocidade constante entre a
aceleração e a desaceleração; este movimento é muitas vezes denominado de
velocidade constante
modificada.
O movimento harmônico simples apresenta uma vantagem de, ao empregar
um seguidor radial de rolete, proporcionar um ângulo de pressão máximo menor
do que no movimento parabólico com intervalos de tempo iguais ou no movimento
cicloidal. Isto permitirá que o seguidor tenha apoios menos rígidos e maior trecho
em balanço. Também menos potência será necessária para operar a came. Por
estas razões o movimento harmônico simples é o preferido entre os outros tipos.
Depois de selecionar o movimento do seguidor, é necessário determinar-se
a escala de deslocamentos e marcá-Ia sobre a haste do seguidor, conforme mostrado
na Fig. 3.1. As elevações podem ser calculadas, porém, são determinadas com mais
facilidade gra(icamente, plotando-se uma curva deslocamento-tempo .
..PÍot~
'ofgráfico deslocamento-tempo é necessário determinar primeiro
o ponto de inflexão se o movimento for parabólico ou uma modificação deste.
Para os movimentos harmônico simples e cicloidal, o ponto de inflexão é determinado automaticamente pelo método de geração da curva. O ponto de inflexão
de um movimento parabólico estará no meio da escala de deslocamentos e da escala
de tempos se os intervalos forem iguais. A determinação dos pontos de inflexão
de um movimento parabólico modificado é um pouco mais complicada, como será
visto a seguir.
Consideremos um ponto deslocando-se com movimento uniforme modificado,
onde parte do repouso com aceleração constante, em seguida passa a ter velocidade
constante e finalmente chega ao repouso com desaceleração constante. Os pontos
de inflexão podem ser determinados especificando-se os intervalos de tempo ou de
deslocamento correspondentes a cada tipo de movimento. A Fig. 3.8 indica uma
construção gráfica para determinar os pontos de inflexão A e B quando são dados
os intervalos de tempo. A Fig. 3.9 mostra a construção para intervalos de deslocamento.
Das relações S =
+
At2,
V = At e S = Vt, é possível provar a validade
da construção mostrada nas Figs. 3.8 e 3.9.
0k-.!lJ
I
~'l~,~-Lt;j
I
J
Tempotou
êngulo8dacame
Depois que os pontos de inflexão foram determinados, como por exemplo
na Fig. 3.9, o trecho OA, de aceleração constante,#a curva do deslocamento pode
ser construido conforme indicado na Fig. 3.10, onde o deslocamento L (correspondente a Sl da Fig. 3.9) está dividido no mesmo número de partes da escala de tempo,
neste caso quatro. O trecho desacelerado BC da curva na Fig. 3.9 será construido
de modo semelhante para o deslocamento SJ e o correspondente intervalo de tempo.
}'
o'
1
2
3
Tempo t ou ângulo 8 da came
Fig. 3.10
4
Movimento parabólico.
A Fig. 3.11 mostra o movimento harmônico simples [S = r (1 - cos w,t)]
para um deslocamento L com seis divisões na escala do tempo. Nesta figura deve-se
notar que se a carne gira de meia-volta enquanto o seguidor se move segundo o deslocamento L) a velocidade angular wr do raio girante r se iguala à velocidade angular
W da carne e a equação do deslocamento
do seguidor pode ser escrita como
S = r (1 - cos wt) = r (1 - cos O). Se a carne gira somente de um quarto de volta
para o deslocamento L. wr = 2w e S = r (1 -- cos 20). Portanto, pode-se ver que
a relação entre wr e w é expressa por
wr
w
1800
ângulo de rotação da carne para elevação L do seguidor
2
3
4
5
Tempo t ou ângulo () da came
Uma carne circular (excêntrico) proporcionará um movimento harmônico
simples a um seguidor radial de face plana porque o ponto de contato entre estas
duas peças e o centro geométrico da carne estarão sempre na direção do movimento
do seguidor.
A Fig. 3.12 mostra a construção para o movimento cicloidal
para um deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. O mio do círculo
gerador é L/2n. A circunferência deste círculo é dividida no mesmo número de
partes que a escala de tempo, neste caso seis. Os seis pontos marcados na circunferência são projetados horizontalmente sobre o diâmetro vertical do círculo.
Estes pontos são então projetados paralelamente à diretriz DA até as linhas correspondentes marcadas no eixo do tempo.
Para carnes de alta velocidade a seleção do movimento do seguidor deve ser
baseada não só nos deslocamentos mas também nas forças que atuam sobre o sistema
como resultado do movimento selecionado. Por muitos anos o projeto de carnes
dizia respeito somente ao movimento de um seguidor em um curso determinado,
durante um certo tempo. As velocidades eram baixas de modo que as forças de
inércia eram insignificantes. Com a tendência de uso de velocidades mais altas nas
máquinas, entretanto, tornou-se necessário considerar as características dinâmicas
do sistema e selecionar um contorno de came que minimizasse o carregamento
dinâmico.
Tempotou
ângulo 8 da came
Como um exemplo da importância do carregamento dinâmico, consideremos
o movimento parabólico. Em relação às forças de inércia este movimento pareceria ser desejável por causa de sua baixa aceleração. Entretanto, não se pode ignorar
o fato de que a aceleração cresce de zero a seu valor constante quase que instantaneamente, resultando em uma alta taxa de aplicação da carga. Determina-se a
taxa de variação da aceleração pela terceira derivada do deslocamento, conhecida
por "jerk" ou segunda aceleração. Portanto, o "jerk" ou a segunda aceleração é uma
indicação da característica de impacto do carregamento: pode-se dizer que o
impacto tem a segunda aceleração igual ao infinito. A falta de rigidez e as folgas do
sistema também tendem a aumentar o efeito da carga de impacto. No movimento
parabólico onde a segunda aceleração é infinita, este impacto ocorre duas vezes
durante o ciclo e tem o efeito de uma pancada súbita no sistema, que poderá ocasionar vibrações indesejáveis bem como danos estruturais.
Como um modo de evitar o "jerk" infinito e seu efeito prejudicial em carnes.
um sistema de projeto de carnes foi desenvolvido por Kloomok e Muffley2 que
utiliza três funções analíticas: (a) ciclóide (e meia-ciclóide), (b) harmônico (e meioharmônico) e (c) polinômio de oitavo grau. Os diagramas de deslocamento,
velocidade e aceleração dessas funções estão representados nas Figs. 3.13, 3.14 e
3.15. As curvas têm derivadas contínuas em todos os pontos intermediários.
Portanto, a aceleração varia gradualmente e a segunda aceleração é finita. Evita-se
o "jerk" infinito nos extremos igualando-se as acelerações. Deve-se notar que as
velocidades serão concordantes porque não podem aparecer descontinuidades na
2
M. K100mok e R. V. Muffiey, "Plate Cam Design-with Emphasis on Dynamic Effects", Prod.
1955.
El1g., Fevereiro
curva de deslocamento em função do tempo. Como um exemplo, quando após um
repouso seguir uma elevação, a aceleração nula no final do repouso é igualada
selecionando-se uma curva que tenha aceleração nula no início da elevação. A
aceleração exigida no final da elevação é determinada pela condição subseqüente.
Se imediatamente se segue um retorno, a elevação pode terminar com um valor
moderadamente alto de desaceleração porque este valor pode ser igualado exatamente por uma curva que tenha a mesma desaceleração no início do retomo.
s
~t
c-s
G 1
*
8)
I L S=L ---se"2,..I
2,..
(J
I.-~~
fJ
V.
lU.;_j(1-COS2"'f)
A
r='\:;fJ
A-
~f (se" 2,..f)
Fig.'3.13 Características do movimento cicloidal. S = deslocamento: V = velocidade: A = aceleração. (Fonte: M. Kloomok & R. V. Muffiey, "Plate Cam Design
with Emphasis on Cam Effects,"
Prod. Eng., Fevereiro 1955.)
v= 'lrL
2fj
(cos 'lr8)
2fj
Flg. 3.14 Característícas do movímento harmônico. S = deslocamento; V = velocidade: A = aceleração. (Fonte: M. Kloomok & R. V. Muffiey. "Pia te Cam Design· with Emphasis on Cam Effects",
Prod. Eng., Fevereiro 1955.)
L__
/~-r
['''''''(fj -"'''''o(J'f +.26,73155(*1
hL
II Lt e
./8)7 + 2,56095(8)8J
- 13,6096o\if
li
1---13~
v~
A
~.
t [18,29265(t) ~ 103,90200(t) : 160,38930(f)
2
v ••
,
5
- 95,26755(t) + 20,48760( t) ]
e
A-~
['36,58530(t)-415,60800(~)
- 571,60530(tY
A
-fr [-
+801,946SO(tY
+ 143,41320(t)]
5,26830 + 55.61100(t)3 + 95,11800G)
- 288,87390(~)
5 + 143,41320(t) 6J
Fig. 3.15 Característícas do movimento polínomíal do oitavo grau. S = deslocamento; V = velocidade: A = aceleração. (Fonte: M. Kloomok & R. V. Muffiey. "Plate Cam Designwith Emphasis
on Dynamic Effects,"' Fevereiro 1955.)
A seleção de curvas para atender a exigências particulares é feita de acordo com
os seguintes critérios:
1. A ciçlóide proporciona aceleração nula nos extremos dos trechos da curva.
P"Qnájjto, PJode ser combinada com dois repousos em cada extremidade. Como
-ôângulo de pressão é relativamente grande e sua aceleração retoma a zero desnecessariamente nos extremos, duas ciclóides não devem ser usadas em seqüência.
2. O harmônico proporciona os menores picos de aceleração e os menores
ângulos de pressão das três curvas. Portanto, é a curva preferida quando as acelerações no início e no fim do trecho podem ser igualadas com as acelerações do trecho
vizinho. O meio harmônico pode ser usado onde uma elevação. a velocidade cons-
tante precede uma aceleração, porque a aceleração do ponto médio é zero. O meio
harmônico pode ser combinado com meio-ciclóide ou com um meio-polinômio.
3. O polinômio de oitavo grau tem uma curva de aceleração assimétrica e
proporciona um pico de aceleração e ângulos de pressão intermediário entre o
harmônico e a ciclóide.
Um seguidor de rolete deverá se deslocar, com elevação e retorno, sem repouso,
durante um ciclo. Devido à operação realizada pelo mecanismo, parte da elevação
deverá ser feita com velocidade constante. Determine as curvas dos movimentos
a serem usadas. Referindo-se à Fig. 3.I6a:
AB: Use a meia-ciclóide C-I a fim de proporcionar aceleração nula no início
do movimento e em B onde será feita a ligação com o trecho de velocidade constante.
BC: Velocidade constante.
CD: Use o meio harmônico H-2 que se ligará em C ao trecho de velocidade
constante, com aceleração nula e proporcionará um ângulo de pressão mínimo
durante o resto da curva.
DE: Use o polinômio P2 para combinar a desaceleração do harmônico em D
e proporcionar aceleração nula no fim do retorno em E.
S
D
(a)
O
A
I
I
I
V
I
I
I
I
(b)
J
IE
O
A
(e)
fi
D
Fig. 3.16
Combinam-se as velocidades e as acelerações, de modo a não apresentarem
descontinuidades. Estas curvas estão mostradas na Fig. 3.16b e c. Na Fig. 3.16c,
pode-se ver que não há "jark" ou segunda aceleração em qualquer instante do ciclo.
o método gráfico de projeto de carnes é limitado a aplicações onde a velocidade
é baixa. A fabricação deste tipo de carne depende da precisão do desenho do contorno e do método empregado para seguir este contorno como um gabarito. Por
um lado, pode-se riscar o contorno da carne em uma chapa de aço e cortá-Ia com uma
serra de fita, obtendo a carne. Por outro lado, pode-se usar uma fresadora copiadora
em que o movimento da ferramenta é guiado por um seguidor que se desloca ao
longo do perfil da carne representado em um desenho. Este desenho pode ser
uma ampliação do tamanho real da carne a fim de aumentar a precisão do
copiamento. Em qualquer um dos casos apresentapos o contorno da carne deve ser
acabado manualmente.
O projeto gráfico e o conseqüente método de fabricação por copiamento não
são suficientemente precisos para cames de alta rotação. Por esta razão, voltou-se
a atenção para o projeto analítico de cames e para o método que este projeto oferece
para a geração de cames. Se for possível calcular os deslocamentos do seguidor
para pequenos incrementos na rotação da came, o seu perfil pode ser obtido em uma
fresadora ou em uma furadeira de coordenadas, com a ferramenta fazendo o papel
do seguidor. Se o seguidor a ser empregado no mecanismo for de rolete, o eixo da
ferramenta deverá ser perpendicular ao plano da came e o diâmetro da ferramenta
deverá ser o mesmo do rolete. Se for um seguidor de face plana, o eixo da ferramenta
deverá ser paralelo ao plano da came. Em ambos os casos deve-se conduzir a
ferramenta para a posição correta, correspondente ao ângulo de rotação da came.
Naturalmente, quanto menores forem os incrementos do ângulo de rotação, melhor
será o acabamento da superfície da came. Geralmente, empregam-se incrementos
de 1°, que deixam pequenas saliências ou reentrâncias na superfície da came que
devem ser removidas manualmente. Desenvolveram-se fresadoras automáticas de
controle numérico que possibilitam incrementos inferiores a 1° na rotação de came
e avanços da ferramenta com precisão de jJ.m. Embora a máquina opere em passos
discretos, estes são tão pequenos que dão a aparência de operação contínua.
Espera-se o acabamento superficial da came produzida por uma máquina deste
tipo seja de tal qualidade que permita a eliminação do acabamento manual. Este
tipo de máquina também produzirá uma came muito mais depressa do que a fresadora de coordenadas. quando ambas as máquinas usarem os mesmos incrementos
do ângulo da carne.
Nas discussões precedentes, imaginou-se que a carne que estava sendo gerada
seria usada na aplicação final. Na produção de várias máquinas do mesmo modelo
em que são necessárias muitas carnes iguais, em geral é mais prático fabricar o que
se chama de came mestra e usá-Ia em uma máquina copiadora. A carne mestra é
quase sempre, quanto às dimensões, uma ampliação da came real.
Em certos tipos de carnes é possível projetá-Ios analiticamente, partindo-se
do movimento especificado. Desenvolveram-se métodos práticos de projeto analítico para carnes de disco com seguidor radial de face plana, seguidor radial de
rolete, seguidor" de rolete deslocado, seguidor oscilante de rolete e seguidor oscilante de face plana. Os métodos para os seguidores dé face plana, radial de role te
e oscilante de rolete estão apresentados nas seções seguintes.
3.6 Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana. A abordagem deste
problema permite que o contorno da carne seja determinado analiti~mnente. No
método gráfico, os pontos-de contato entre a carne e o seguidor são desconhecidos
e é difícil determinar sua localização exata quando se desenha d contorno da carne.
Também o raio mínimo da carne, para evitar que seja ponteaguda, somente pode
ser determinado .for tentativas .. No método analítico, que foi desenvolvido por
Carver e Quinn , essas desvantagens são superadas e pode-se determinar três
características valiosas da came: (a) equações para métricas do contorno da carne;
(b) raio mínimo da came para evitar pontas e (c) localização do ponto de contato
que determina o comprimento da face do seguidor. Destas características, a primeira
tem pouca aplicação prática, mas as outras duas dão informações que possibilitam
a produção da came. O desenvolvimento dessas características é apresentado a
seguir.
A Fig. 3.17 mostra uma carne com seguidor radial de face plana. A carne gira
com velocidade angular constante. O ponto de contato entre a carne e o seguidor
tem coordenadas x e y e está a uma distância / da linha de centro do seguidor. O
deslocamento do seguidor em relação à origem é dado pela seguinte equação:
onde o raio mínimo da came é representado por C e 1(0) representa o movimento
desejado para o seguidor como uma função do deslocamento angular da carne.
A equação para o comprimento de contato lpode ser facilmente determinada
pela geometria da Fig. 3.17. Dos triângulos mostrados
o membro da direita da Eq. 3.3 é a derivada em relação a O do membro da direita
da Eq. 3.2. Portanto.
dR
d
/ = diJ = dO (C + 1(0)]
Se o diagrama de deslocamento é dado por uma equação matemática S = /«(});
então R e / são determinados facilmente das Eqs. 3.1 e 3.4. Da Eq. 3.4 pode-se ver
que o comprimento mínimo da face do seguidor independe do raio mínimo da carne.
Também, o ponto de contato está na posição mais afastada da linha de centro do
seguidor quando a velocidade do seguidor é máxima. Quando o seguidor se afasta
do centro da carne com velocidade positiva, I é positivo e o contato ocorre acima do
eixo do seguidor, na Fig. 3.17. Quando o seguidor se move em direção ao centro
da carne, a velocidade é negativa e o valor negativo de / indica que o contato se
realiza abaixo do eixo do seguidor.
Para determinar as equações de x e y para o contorno da carne, é necessário
somente resolver as Eqs. 3.2 e 3.3 simultaneamente, o que resulta
x = (C + /(0)] cosO- [(O) senO
(3.5)
= (C + /(0)] senO + nO) cosO
(3.6)
y
o raio mínimo C para evitar uma ponta ou bico sobre a superfície da came
pode ser determinado com facilidade analiticamente. Uma ponta ocorre quando
dx/dO e dy/dO forem iguais a zero. Quando isto acontece, forma-se uma ponta na
carne conforme mostrado em x, y na Fig. 3.18. Para demonstrar isto, consideremos
que a linha de centro do-seguidor tenha girado de um ângulo O e que o contato entre
a face do seguidor e a ca~e ocorra no ponto (x, y). Mais adiante, quando o seguidor
for girado de um pequeno ângulo dO, o ponto de contato (x, y) não mudará por
causa da ponta, ficando ainda em x, y.Assim pode-se ver que dx/dO = dy/dO = O.
dx
dlJ
:~ = [C
+ f(O) + f"(O)]
cos O
A soma [f(O) + f"(O)] deve ser inspecionada para todos os valores de O para
determinar seu valor algébrico mínimo. É necessário usar o valor mínimo de modo
que C seja suficientemente grande para assegurar que a Eq. 3.9 não se anule para
qualquer valor de O. Essa soma pode ser positiva ou negativa. Se for positiva, C
será negativo e não terá significado prático. Neste caso, o raio mínimo será determinado pelo cubo da carne ao invés de sê-Io pela função f(O).
Pode-se deterniinar os pontos do contorno da carne pelas Eqs. 3.5 e 3.6 que
dão as coordenadas cartesianas, ou calculando R e I para diversos valores de O.
Em geral, o segundo método é mais fácil, mas em ambos os casos os pontos devem
ser ligados com o auxílio de uma curva francesa para a obtenção do contorno da
carne. Na prática, entretanto, raramente é necessário desenhar o perfil da came em
escala. Depois que o raio mínimo C tenha sido determinado e os deslocamentos R
tenham sido calculados, a came pode ser confeccionada. Para tal, o comprimento
da fresa deve ser maior do que o dobro do valor máximo de I. Durante a usinagem,
o eixo da fresa deve estar paralelo ao plano da carne.
Exemplo 3.2
A fim de ilustrar o método de escrever as equações de deslocamento consideremos as seguintes condições: um seguidor de face plana é acionado em um
deslocamento total de 37\Smm. No início do ciclo (deslocamento zero), o seguidor
repousa durante 1r./2 radíànos. Em seguida eleva-se de 37,5mm com movimento
cicloidal (Curva C-S de K.loomok e Muffley) em 1r./2 rad. Depois repousa durante
1r./2 rad e então retoma 37,5mm com movimento cicloidal (C-6) em 1r./2 rad.
A Fig. 3.19 mostra um esboço do diagrama de deslocamento.
s
L
o~,
S= L
[.!P
_1_·sen 21r.(J ]
21r.
P
Deve-se mencionar, ao se escrever a relação S =f«(J), que o valor de S sempre deve
ser medido a partir do eixo das abscissas e o valor de (J a partir do eixo das ordenàdas.
Na equação precedente, entretanto, (J é medido do ponto A e não do ponto O.
Portanto, reescrevendo a equação usando (J' conforme mostrado na Fig. 3.19,
(J'
1
S.A.B = L [ T-Tisen
(J' = (J-~
2
21r.(J' ]
-p-
~~ L [J!J~_ rr/2) __ 1_ sen 2rr(e
P
2rr
S
AB
S
= -75
AB
(
rr
p rr/2) ]
75
e--rr)
--sen(4e-2rr).
2
4rr
e"
L 1- -
[
p
1 sen 2rr -e" ]
+ -2rr
p
e" -- e - ~2
p=~ 2
SCD
= 150--
75e
1t
+ -4751t sen (4e-61t)
Deve-se observar que com as I:ombinações de repouso e movimento cicloidal
usadas, as velocidades e as acelerações são igualadas nas extremidades de cada trecho
não havendo, portanto, segunda aceleração infinita em qualquer ponto do ciclo.
Como um exemplo de como são determinados o raio mínimo C e o comprimento da face do seguidor, consideremos um seguidor radial de face plana que se
eleva de 50mm e retoma, com movimento harmônico simples, durante meia-volta
da carne. Dois ciclos do seguidor ocorrem durante uma volta da carne.
É necessária somente uma equação de deslocamento para especificar o movimento do seguidor do começo ao fim do ciclo4,
4
Também pode ser usada a equação de Kloomok e Muffiey S = (L/2) (1 - cos n()/{3) para o harmô-
nico H-S.
onde r é o raio girante e ()r o ângulo girado pelo raio girante para obtenção do movimento harmônico (ver Fig. 3.11). Para os dados apresentados,
S = f«())
= 25 (1 - cos 2())
f'(())= 50 sen 2()
r
Para se determinar o raio mínimo, a soma C + f«()) + f"«()) deve ser maior do
que zero. Substituindo os valores de f«()) e f"«()) e simplificando,
f"
Como o movimento é simétrico, o comprimento teórico da face do seguidor é o
dobro de Ima• ou seja, lOOmm. Deve-se dar um acréscimo ao comprimento da face
do seguidor para evitar que o contato se realize no bordo da face.
3.7 Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete. A determinacão analítica
da superfície primitiva de uma carne de disco com seguidor radial de rolete não
apresenta dificuldades. Na Fig. 3.20 a posição do centro do rolete em relação ao
centro da carne é dada pela seguinte equação:
onde Ro é o raio mínimo da superfície primitiva da carne e f«()) é o movimento
radial do seguidor em função do ângulo de rotação da carne. Uma vez que se
conhece o valor de Ro é fácil determinar as coordenadas do centro do rolete a partir
das quais a carne pode ser d~lineaºª"
//
/
/
/
/
/
/
/
/
Kloomok e Muffley5 desenvolveram um método para verificar a existência
de pontas em carnes deste tipo, considerando o raio de curvatura p da superfície
primitiva e o raio do rolete R,. Estes valores são mostrados na Fig. 3.21 junto
com o raio de curvatura Pc da superfície da carne. Se na Fig. 3.21 p for mantido
constante e for aumentado R" p. irá decrescer. Continuando-se a aumentar R, até
atingir o valor de p, o raio de cu~vatura da superfície da carne, Pc' se reduzirá a um
ponto e a carne ficará ponteaguda, conforme indica a Fig. 3.22a. Aumentando-se
ainda o raio R, a superfície da carne fica rebaixada e o movimento realizado pelo
seguidor não será o desejado, conforme mostrado na Fig. 3.22b. Portanto, a fim
de evitar o aparecimento de uma ponta ou um rebaixo no perfil da carne, o raio
5
1955.
M. Kloomok e R. V. Muffiey, "Plate Cam Design - Radius of Curvature", Prod. El1g., Setembro
do rolete, R,! deve ser menor do que Pmin' onde Pmin é o valor mínimo do raio de
curvatura da superficie primitiva em um determinado trecho da came. Havendo
diversos tipos de curvas, sobre a superficie da came, pelas quais o seguidor irá
passar, cada trecho deverá ser verificado separadamente. Como é impossível
haver um rebaixo numa parte côncava da superficie da came, somente as partes
convexas devem ser verificadas.
Superf(cle
--),< primitiva
p
"'+,
,,
"\,
\
~
o ra,io de curvatura em um ponto de uma curva, expresso em coorde~ad~r
,\)~,J)},ojo.
r lJlo
...
Polares , e dado por
()
P =
R2
[R2 + (dR/dcf»'J3/2
+ 2(dR/dcf»2 - R(d2 R/dcf>2)
~V:<;
-/
/')1"
~
onde R =f(cf» e as duas primeiras derivadas são contínuas. Pode-se usar esta
equação para determinar o raio de curvatura da superficie primitiva da came.
Para este caso, f(O) = f(cf». Da Eq. 3.10
R = Ro + f(O)
dR
dO
~R
dOr
= f'(O)
= f"(O)
{R2 + [j'(O>]2} 3/2
P = R2 + 2 [f/(O)]2 - R [f'/(O)]
A Eq. 3.11 pode ser calculada para determinar a expressão de p para um tipo
particular de movimento. Entretanto, a fim de evitar pontas e rebaixos no perfil da
carne, deve-se determinar Pmin' Para se obter este valor mínimo, deve-se derivar a
Eq. 3.11 com suas várias funçõe~ o que irá conduzir a equações transcedentais
muito complexas. Por esta razão, são apresentados três conjuntos de curvas que
mostram os valores de P m inl Ro em função de lJ para as diversas relações de LI Ro'
I I I I
/
LlRo = 2,00
1,75 i'.
1,50
1,25
1,4
'"
-
y// :'\
r." w;: ~~
1,2
0
,
~
li-
'11,0
Q.
~
0,8
~
~
/'
::~
ff--
~ll,OO
0,80
,,=~,4O
0,20
/"
--
0,2
°
10
15
20
30
40
60
80 100
Ângulo de rotação da came. 13.graus.
.---;;;~I
/,....-: //~~~
L/Ro.
0°,6
~
1°,5
Q.
04
,
/
,/
/'
-
/'
/
V~
" .". ...•" ~
Fig. 3.23
/ 0 '? ~ t?li'I
/ // J'l /' ~ V
K\ /~ 'h ít' ~ '/
/ X 'l/ ~ ~ ~
--O,OS
0.01 ••...
"-
0,02
0,03•.....
0,04 ~
o,06..•...
v~
V~
.~
'~
~
~~
~
~
~
0,10
...•0,20
~
..•... 0,30
--0,40
r
10
15
20
30
40
60
Ângulo de rotação da came, 13,graus.
80 100
150
Movimento cicloidal. (Fonte: M. Kloomok & R. V. Mumey, Plate Cam Design
of Curvature," Prod. Eng., setembro 1955.)
Radius
./
/'
I--'"
/ / /'
/ / ....I// 1/ ....~
~
LIRo = 2,00 r-1.75
1,SOr-1.25
1.00
1,6
0
~
'i 1,4
~
1,2
/.
0,4
0,2
./
-
°10
15
/.
20
~
~
" \'~
"
,/
--'/;::::
I-
0,80
0,60
0,40
0.20
30
40
60
SO 100
Ângulo de rotaçãO da carne, 13,graus.
0.02 ~
0,03....•••....
200
~~
'7
?;
'/ ~ h
/./
/ '/j ~
~ ~
V
Y / / // '// / I
.e:.0°,6
O,~~
0,06
'i 0,5
~'O,4
~
.~
/ /~
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/' 6( '/ ~ X / /j
// ~ ~ '/ ~&
:ZO,OS
/
/
/
./
V /'
Fig. 3.24
--
/// V
:/
L/RO=O,O~~
I-
I-
h '/
j; V
,
r:;
...- --
~/~ / V....- ....- /A ••.......
/"
0.3
~ 1// / V
/,
1,0
/.v
,/
/~
V~
/h ~ ..- / ~
"'0.10
.......
0,20
.....•
0.40
"'-0,80
-- ---- ~~ ~
~
10
15
20
Ângulo de rotaçio
30
40
60
da carne, 13,graus.
~~
-
80 100
ISO
Movimento harmônico. (Fonte: M. Kloomok & R. V. Muffiey, "Plate Cam Design
of Curvature," Prado Eng., setembro 1955.)
Radius
,/'
/
",......
/ '/
/'"
// '/ ~
/ // '/
LIRo = 2,00 -r-.,
1,75
1,50 -f..,..
1,25
1,00 ...•.•
1,6
0
~
-:s 1,4
.r 1,2
/
/.
~~
~
Iií""
~ ~
15
20
'/
~
/'
h/~7
~
/.- ~
W 0/-- '-0 /" L.--/".A
V_
-
0,80
\~\ 0,60
"
0,40
0,2n
30
40
60 80 100
Angulo de rotaçfo da came, {l, graus.
200
10
80 100
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0
~
1°,5
Q.
0,4
0,3
0,2
0,1
°
Fig. 3.25
5
15
20
30
40
60
Angulo de rotaçfo da came. {l. graus
150
Movimento polinomial de 8° grau. (De M. Kloomok e R. V. Muffley. "Platc Cam Design
- Radius of Curvature", Prod. Eng., Setembro 1955.)
Nestas curvas, P é o ângulo de rotação da carne para cada trecho e L é a elevação
correspondente. A Fig. 3.23 apresenta as curvas para o movimento cicloidal,
a Fig. 3.24, para o movimento harmônico simples e a Fig. 3.25, para o movimento
polinomial de 8° grau. Por meio dessas curvas pode-se determinar se Pmin é maior
ou menor do que R•.
Um seguidor radial de rolete deve mover-se com um deslocamento total de
L = l5mm com movimento cicloidal, enquanto a carne gira de [J = 30°. O seguidor
repousa durante 45° e então retorna com movimento cicloidal em 70°. Verifique
se a carne apresenta ponta ou rebaixo para um raio de rolete R. de 6,25mm e raio
mínimo Ro da superfície primitiva de 37,5mm.
~=2=040
Ro
37,5
'
Será examinada apenas a elevação, d~vido ao seu ângulo f3 menor. Portanto,
da Fig. 3.23, para L/Ro = 0,40 e p = 3~--"
Pmin
Ro
= 022
'
A carne não terá ponta ou rebaixo, porque Pmin > R •.
Conforme mencionado anteriormente, é importante considerar-se o valor
do ângulo de pressão, no projeto de carnes com seguidores de rolete. É necessário
manter o ângulo de pressã9 máximo o menor possível e até hoje este máximo foi
estabelecido arbitrariamente em 30°. Entretanto, são usados ocasionalmente
valores maiores quando as condições permitirem. Embora seja possível desenhar
o contorno da carne e medir o ângulo de pressão máximo, é preferível empregar
os métodos analíticos. Há diversos métodos disponíveis, um dos quais foi desenvolvido por Kloomok e Muftley6, pelo qual pode-se determinar analiticamente o
ângulo de pressão tanto para o seguidor radial de rolete como para o oscilante de
rolete. Aqui será abordado somente o caso do seguidor radial de rolete.
Para a carne de disco e o seguidor radial de rolete mostrados na Fig. 3.26, o
ângulo de pressão OCA é denominado IX e o centro da carne, O. Supõe-se que a carne
estáillfíparada e o seguidor gira no sentido horário da posição C até C' segundo um
pequeno ângulo AO. Da figura,
6
1955.
M. Kloomok e R. V. Muffiey, "Plate Cam Design - Pressure Angle Analysis", Prado El1g .• Maio
oc' = tg-1
C'E
CE
__
Quando !'i() tende a zero, os ângulos OCE e ACC' tendem para 90°. Ao mesmo
tempo o segmento CD tende para o comprimento do arco CF, igual a R!'i() e ambos,
CD e CF tendem para CE. Portanto,
lim oc' = tg- 1 (. ~
~~).
M-O
Como os lados de oc e (x' se tornam, respectivamente, perpendiculares quando MJ
tende a zero, (x' torna-se igual a oco Portanto,
Pode-se determinar uma expressão para a, em qualquer tipo de movimento,
partindo-se da Eq. 3.12. Entretanto, a determinação do ângulo de pressão máximo
é quase sempre muito dificil, porque leva a equações transcedentais complexas.
Por isso, Kloomoke MufOey empregam um nomograma desenvolvido por E. C.
Varnun 7, apresentado na Fig. 3.27; P e L/Ro são parâmetros já definidos anteriormente. Determina-se, usando-se o lndlrograma, o valor máximo do ângulo de
pressão para os três tipos de movimento.
Fig. 3.27
Nomograma para determinar o âllgulo de pressão mâximo.
Barber - Colman Company.)
(Cortesia de E. C. Varnun,
Um seguidor radial de rolete deve mover-se com um deslocamento total de
18,75mm, com movimento cicloidal enquanto a carne gira de 45°. O seguidor repousa
por. 30° e então retornacom movimento cicloidal em 600. Determine o valor de
Ro para limitar o amá. em 300. Será examinada somente a elevação, devi~o ao seu
ângulo jJ __
~enor.
',,-Para
p = 45° e IXmá• = 30°,
?
11 'r)l"",
,
L
R = 0,26
o
18,75
Ro = O,26
= 72mm
Se o espaço não permite tal valor de Ro, f3 pode ser aumentado e a came deve
girar mais rápido para conservar o mesmo tempo de elevação.
3.8 Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete. Na Fig. 3.28 vê-se o
início do traçado de uma came de disco com seguidor oscilante de rolete. O ângulo
de elevação t/J é função do ângulo de rotação da came fJ. Embora a came gire de fJ
para o ângulo de elevação t/J, o raio R gira segundo o ângulo (jJ. Especificando-se
valores de R e (jJ, é possível obter-se o contorno da came8•
------1--
--- ---Circunferência
de base
o ângulo f3 é uma constante do sistema e pode-se obter sua equação usando-se o
triângulo DAD'.
Assim,
(3.15)
onde. S, Ro e / têm dimensões fixas.
O ângulo r é função de R; sua equação pode ser obtida do triângulo OBO' como
cos r =
cos ~ =
S2 + R2 ~p
2 SR
P + S2 _R2
21S
o
e o ângulo '" é o ângulo de elevação para um determinado ângulo de rotação da
carne O. Portanto, das equações precedentes, os valores de R e d> podem ser calculados a partir de valores de O e dos correspondentes ângulos de elevação "'.
No projeto deste tipo de carne, é necessário verUi.c:;~rse há rebaixos e conferir
o ângulo de pressão máximo. As equações do raio de curvatura e do ângulo de
pressão podem ser obtidas com mais facilidade pelo método de variáveis complexas
de Raven9• A Fig. 3.29 mostra o esboço de uma carne de disco e um seguidor
oscilante de rolete, com o raio de curvatura da superfície primitiva p e o ângulo
depressão IX. O ponto O é o centro da carne, o ponto D é o centro de curvatura
e o ponto O', o centro de rotação do seguidor. A elevação angular do seguidor a
partir da horizontal é u, que é dada pela equação
onde f(O) é a elevação angular desejada para o seguidor, a partir de um ângulo de
referência u o (não mostrado na figura). Da Fig. 3.29, o ângulo de pressão IX é dado
por
IX = [u o
+ f( O)] - ;
- y.
9 F. H. Raven, "Analytical Design of Disk Cams and Theree - Dimensional.
Cams by Independent
Posltion Equations", ASME Transactions, Série E, Vol. 26, N." I, pp 18-24, Março, 1959.
A fim de se obter uma expressão para o ânguio y, determinam-se duas equações
de posição, independentes, para o ponto A, centro do rolete. A primeira equação
é obtida seguindo-se o trajeto (O-D-A) e a outra, seguindo-se o trajeto (O-B-O'-A).
b
_____
~
~IB
A equação para o primeiro trajeto é dada por
R = re,d + pe'Y
A equação para o segundo trajeto é dada por
R = a + bi + leia
Separando-se as partes reais e imaginárias das Eqs. 3.2] e 3.22,
r cosb + p cos~ = a + I cosa
(3.23)
+ p sen} = b + I sena
(3.24)
r senb
Derivando as equações 3.23 e 3.24 em relação a O,
db
- r senb ---pseny
dO
dy
--
dO
= -/sena--
da
dO
db,
dy
da
r cosb dO + P cosy dO = I cosa dO
Para uma rotação infinitesimal da carne, p pode ser considerado como constante.
Assim, o ponto D, o centro de curvatura da carne no ponto de contato e r podem
ser considerados como fixos à carne para um acréscimo de rotação dO. Portanto,
o valor de db é igual a dOe como b diminui quando Ocresce, segue-se que db/dO = - 1.
Também, da/dO = [(O). Portanto,
r senb - p seny ~
- r cosb + p cos y ~~
t
_
gy -
= -I [(O) seM
= I [(O) cosa.
I t ir
r senb + I [(O) seM
r cosb + I [(O) cosa
,
I
JJ()hr-,
'
(
ln ( l.-
J •. 11''
Os termos r cosb e r senb podem ser calculados das ijqs. 3.23 e 3.24, dabdo
b + I seM [1 + [«())]
tgy = a + I cosa [1 + [(O)]
~
que, quando substituída na Eq. 3.20, dará o ângulo de pressão IX. Para se determinar IXmax' será necessário o emprego de gráficos semelhantes aos dados por
KIoomok e Muffley na nota de rodapé n.O 6:
Para se calcular o raio de curvatura p, é necessário primeiro derivar a Eq. 3.27
em relação a O. Substituindo dyjdO da Eq.J.26 e com o auxílio das Eqs. 3.19, 3.23
e 3.27, obtém-se a seguinte equação para p:
[C2 + D2 ]3/2
P = -(C-2-+-D-2~)[-I-+-[-(O-)]---(-aC-+-bC)~'
'-[-(-O)-+--(a--se-na---b-co-s-a)-l-rr-'(-O)
C =a + I cosa [1 + [(O)]
D = b + I seM [1 + [(O)]
Para evitar o rebaixo, p deve ser maior do que o raio do rolete. Portanto, é
possível determinar-se Pmin para cada posição do perfil da carne. Para isso, é necessário o emprego de gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley na nota
de rodapé n.O S.
3.9 Cames Tridimensionais. Este tipo de carne é difícil de ser projetado e
fabricado, porém, encontra grande aplicação em mecanismos de direção de tiro.
)' 1
f
A Fig. 3.30 mostra um esboço de uma carne tridimensional, onde a elevação z
do seguidor é função da rotação y e da translação x da carne.
Um problema que pode ser resolvido de modo muito simples, usando-se uma
carne tridimensional, é o de calcular o alcance horizontal de um alvo aéreo sendo
dadas a elevação e a altura do alvo.1o Calcula-se o alcance horizontal usando-se
a relação Ro = Ho cotg Eo, retirada do triângulo mostrado na Fig. 3.31. Esta
expressão é calculada no diretor de tiro por uma carne tridimensional que gira
proporcionalmente à altura H o do alvo e se desloca ao longo de x proporcionalmente
ao alcance horizontal Ro' A elevação do seguidor representa o ângulo de elevação
Eo' Depois que a altura do alvo tiver sido introduzida na carne, por rotação, a
translação da carne produzirá uma elevação do seguidor, indicando o ângulo de
elevação. Quando este ângulo de elevação se igualar com a elevação da linha de
visada, será indicada a distância horizontal correta.
o iretor de tiro ...,;fCfl
do canhlo anti-aéreo
k-----Ro
---(Alcance horizontal)
4000
6000
8000
Alcance (Rol jardas
Para ilustrar o método de projeto de uma carne tridimensional, consideremos
um alvo se deslocando em direção ao diretor de tiro, à altura de 8 000 pés. A Fig. 3.32
mostra o gráfico ângulo de elevação versus alcance horizontal para esta altura.
Se esta curva for usada como contorno de uma carne plana, a translação horizontal
da carne moverá o seguidor de modo a indicar o ângulo de elevação correto do
alvo. Tal carne está mostrada na Fig. 3.33.
i.-- Movimento do seguidor
f
(I1ngulode elevaçlol
8000 pés
(altura I
Para ângulos de elevação correspondentes a alturas diferentes de 8 000 pés,
é necessário traçar curvas adicionais e produzir as carnes correspondentes. Se estas
placas forem colocadas em torno de um eixo, resultará uma carne conforme mostrada
na Fig. 3.34a. A rotação desta carne permite selecionar a placa de acordo com a
altura desejada e colocá-Ia sob o seguidor. Quando o número de placas aumentar
muito, incluindo outras alturas, a carne tornar-se-á tridimensionalll e o seu aspecto
está mostrado na Fig. 3.34b.
Para a determinação do ângulo de pressão e do raio de curvatura da carne tridimensional, o leitor deve recorrer ao trabalho de F. H. Ra ven 12.
1 J "PrincipIes of Operation, Prediction Mechanism, aIi.d Ballistic Cam of Sperry M-7 Antiaircraft
Director", Sperry Gyroscope Company, Dezembro 1946.
12 Ibidem.
(b)
Fig. 3.34
A fabricação de uma carne tridimensional é muito difícil devido às exigências
de precisão ede acabamento manual. Depois de serem especificados os deslocamentos do seguidor para os acréscimos desejados de rotação e de translação da
carne, funde-se um bloco com o formato aproximado da carne desejada. Usando-se
uma ferramenta de corte, do mesmo tamanho e da mesma forma do seguidor,
coloca-se o fundido em uma fresadora de carnes e usina-se a superfície do bloco,
em alguns pontos de referências, até chegar à superfície desejada sobre a carne tridimensional. Através de rotações e translações apropriadas da carne e deslocando-se
a ferramenta de corte até chegar à elevação prevista para cada ponto da superfície
desejada, essa ferramenta simulará o movimento do seguidor em relação à carne.
Deste modo, pode-se localizar com precisão um ponto na superfície da carne. De
acordo com Rothbart13, às vezes, são necessários 15000 pontos com a precisão de
±O,OlOmm. Depois de marcados todos os pontos faz-se um acabamento manual
com lima, seguido de um polimento com lixa de esmeril.
Problemas
3.1 Uma carne de disco girando no sentido horário aciona um seguidor radial
de face plana segundo uma elevação total de 37,5mm, de acordo com os dados
a seguir:
o
30
60
90
0,00
2,50
9,25
270
18,75
28,25
35,00
37,50
35,00
28,25
18,75
300
9,25
330
2,50
0,00
120
150
180
210
240
360
Desenhe a came usando um raio mínimo de 25mm. Determine o comprimento
da face do seguidor (face· simétrica). Depois de achar o comprimento da face, por
tentativas, aumente 3mm em cada extremidade para assegurar um contato adequado.
3.2 Uma carne de disco gira no sentido anti-horário, comandando um seguidor
radial de rolete, segundo uma elevação total de 37,5mm. Desenhe a carne usando
os dados de movimento do problema 3.1 e empregando um raio mínimo de 25mm.
O diâmetro do rolete deve ser 22mm. Determine, por tentativas, o ângulo de pressão
máximo e o local onde ocorre este ângulo.
3.3 Uma carne de disco girando no sentido horário comanda um seguidor
de face plana deslocado segundo uma elevação total de 37,Smm. Desenhe a came
usando os dados de movimento do problema 3.1. A linha de centro do seguidor
é deslocada de 12,5mm para a esquerda, paralelamente à vertical que passa pelo
centro da carne. O raio mínimo da carne deve ser 2Smm. Determine o comprimento
da face do seguidor (face simétrica). Depois de determinar o comprimento da face,
por tentativas, aumente 3mm em cada extremidade para assegurar um contato
adequado.
3.4 Uma carne de disco gira no sentido anti-horário e aciona um seguidor de
rolete segundo uma elevação total de 37,Smm. A linha de centro do seguidor é
deslocada de 12,Smm para a direita, paralelamente à vertical que passa pelo centro
da carne. O raio mínimo deve ser 2Smm e o diâmetro do rolete, 22mm. Desenhe
a carne empregando os dados de movimento do problema 3.1. Por tentativas
determine o ângulo de pressão máximo durante os cursos de elevação e de retorno.
3.5 Uma came de disco gira no sentido horário e aciona um seguidor oscilante
de face plana segundo um ângulo de elevação total de 20", de acordo com os dados
a seguir.
o
0,0
30
1,5
5,5
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
10,0
14,5
18,5
20,0
18,5
14,5
10,0
5,5
1,5
0,0
Desenhe a carne usando um raio mínimo de 30mm. O centro de rotação do seguidor
deve estar a 80mm à direita e na horizontal que passa pelo centro da carne, semelhante
à Fig. 3.3. A distância do centro do cubo do seguidor ao arco da escala de elevações
angulares é de 70mm. Determine o comprimento da face do seguidor. Depois de
achar o comprimento da face, por tentativas, aumente 3mm em cada extremidade
para assegurar um contato adequado.
3.6 Uma carne de disco girando no sentido anti-horário aciona um seguidor
oscilante de rolete segundo um ângulo de elevação total de 20". Desenhe a carne
usando os dados de movimento do problema 3.5 e um raio mínimo de 25mm.
O centro do cubo do seguidor deve estar a 75mm à direita e sobre a horizontal que
passa pelo centro da carne, semelhante à Fig. 3.4. O diâmetro do rolete mede 19mm
e a distância entre o centre do cubo do seguidor e o centro do rolete é de 72mm.
Usando um furo de 16mm, um cubo de 25mm e um rasgo de chaveta de 5 x 5mm,
desenhe o resto do seguidor em; proporções razoáveis.
3.7 Uma carne de retorno comandado gira no sentido horário e aciona um
seguidor de face plana, tipo garfo, conforme mostrado na Fig. 3.5. Os dados para
a elevação são os seguintes:
o
30
60
90
120
150
180
0,00
1,27
4,32
9,65
17,00
23,40
25,40
Desenhe a carne empregando um raio mmlmo de 25 mm. Usando proporções
razoáveis complete o esboço do seguidor.
3.8 Uma carne de retorno comandado gira no sentido anti-horário e aciona
um seguidor, tipo garfo, de roletes. Desenhe a carne empregando os dados de movimento do problema 3.7 para a elevação. O raio mínimo deve ser 25mm. Os diâmetros dos roletes são de 19 mm. Usando proporções razoáveis, complete o
esboço do garfo que suporta os roletes.
3.9 Um seguidor oscilante de rolete move-se segundo um ângulo total de 60"
e aciona uma carne invertida, como a mostrada na Fig. 3.7. Os dados do movimento
são os seguintes:
0,0
4,5
16,0
30,0
44,0
55,5
60,0
0,0
1,5
6,0
12,5
19,0
23,5
25,0
A carne deve deslocar-se para cima e para a direita a um ângulo de 45°, quando o
seguidor girar no sentido anti-horário. O movimento do seguidor é simétrico em
relação à linha de centro vertical. A distância entre o centro do rolete e o centro de
rotação do seguidor é de 75 mm e o diâmetro do rolete é de 16 mm. O bloco da
carne mede 75 mm por 100 mm. Desenhe a ranhura que deve existir no bloco da
carne.
3.10 Prove que é correto o método de determinação dos pontos de inflexão
para intervalos de tempo conhecidos, conforme indicado na Fig. 3.8.
3.11 Prove que é correto o método de determinação dos pontos de inflexão
para deslocamentos conhecidos, conforme mostrado na Fig. 3.9.
3~12 Prove que é correto o método de construção de uma parábola, mostrado
na Fig. 3.10.
3.13 Trace o gráfico deslocamento-tempo para um seguidor que deve ter uma
elevação total de 37,5 mm. O movimento é iniciado com um trecho de aceleração
constante em 67° de rotação da carne, passando à velocidade constante em 90"
e desaceleração constante em 90°: o seguidor repousa em 22,5° e então retoma
com movimento harmônico simples em 90°. Use uma abscissa de 100 mm de comprimento.
3.14 Trace o gráfico deslocamento-tempo para um seguidor que se eleva de
19 mm com movimento harmônico simples em um quarto de volta da carne, repousa
durante 45°, torna a se elevar de 19 mm durante 90°, repousa durante 22,5° e então
retoma 38 cm com movimento parabólico em um quarto de volta, seguindo-se um
repouso de 22,5°. Use uma abscissa de 160 mm de comprimento.
3.15 Trace o gráfico deslocamento-tempo para um seguidor que se eleva de
38 mm em meia-volta da came de modo que nos primeiros 9,5 mm tenha aceleração
constante, nos próximos 19 mm velocidade constante e aceleração constante nos
9,5 mm restantes. O retorno é um movimento harmônico simples em meia-volta
came. Use uma absçissa de 150 mm de comprimento.
3.16 Trace o gráfico deslocamento-tempo para um seguidor que tem uma elevação total de 32 mm com aceleração constante durante 90" e desaceleração constante para 45° de rotação da came. O seguidor retoma 16 mm com movimento
harmônico simples durante 90", repousa por 45° e retoma 16 mm com movimento
harmônico simples em 90" de rotação da carne. Use uma abscissa de 160 mm de
comprimento.
3.17 O seguidor radial de face plana, mostrado na Fig. 3.35, tem movimento
de translação alternativa sob a ação de uma came de disco circular que gira em torno
do eixo 02' (a) determine as expressões para o deslocamento R do seguidor e para
a distância I entre o ponto de contato e a linha de centro, em função do ângulo (J,
do raio r e do deslocamento b. (b) trace um gráfico do deslocamento R em função
do ângulo de rotação (J para uma volta da came. Chame de L a distância entre as
posições extremas do curso do seguidor. Determine o valor de L (c) identifique
o tipo de movimento realizado pelo seguidor.
3.18 Um seguidor radial é comandado por uma came girando a 1 rad/s. O
seguidor parte do repouso e se eleva de 50 mm com movimento harmônico simples
enquanto a came gira de 120°. O seguidor repousa nos próximos 1200 e então
retoma com movimento harmônico simples nos 1200 restantes. Usando uma
abscissa de 150 mm e intervalos de 30" para a rotação da came, trace as curvas de
deslocamento, velocidade, aceleração e segunda aceleração, no mesmo eixo.
/7
, 3.19 Partindo da equação do movimento harmônico simples, deduza a expressão do deslocamento
S da curva H-5 mostrada na Fig. 3.14.
3.20 Deduza expressõcs que permitam o uso das equações de Kloomok e
Muffley na determinação de velocidades e acelerações do seguidor quando a velocidade da carne não for constante.
3.21 Um seguidor deve ter movimento cíclico de acordo com o diagrama de
deslocamento mostrado na Fig. 3.36. As exigências para deslocamentos
e velocidades são as seguintes:
1
Ponto
A
Ponto
B
S=O
V=O
S=L
V=O
Ponto
C
S=L
V=O
Recomende as curvas que devem ser usadas no diagrama de deslocamentos
e a
relação entre fJ I e fJ2 para combinar as acelerações no ponto B e nos pontos A e C.
3.22 Um seguidor partindo do repouso desloca-se de acordo com o gráfico
mostrado na Fig. 3.37 e repousa novamente.
As exigências do movimento são
as seguintes:
Ponto
S=O
V=O
A=O
A
Ponto
B
S=L
V=O
A = AI
Ponto
C
S=O
V=O
A = O
Recomende as curvas que devem ser usadas no diagrama de deslocamento
relação entre fJ I e fJ 2 para combinar acelerações no ponto B.
e a
3.23 Um seguidor partindo do repouso eleva-se com movimento acelerado.
em seguida passa a ter velocidade constante e depois desacelera até ficar em repouso.
conforme indica a Fig. 3.38. As exigências do movimento são as seguintes:
Ponto A
Ponto B
Ponto C
Ponto D
S=O
V=O
A=O
S = LI
S = LI + L2
S = LI + L2
V= VI
A = O
V = VI
A = O
V=O
A=O
+L
j
Recomende as curvas que devem ser usadas no diagrama de deslocamento e a
relação entre /31, /32 e P para combinar velocidades nos pontos R e C.
j
3.24 No diagrama de deslocamento, mostrado na Fig. 3.16a, do exemplo 3.1,
/31 é o ângulo de rotação da carne correspondente ao trecho AR, /32 o ângulo de RC,
/33 o ângulo de CD e /34 o ângulo de DE. Também ~ é a elevação do trecho AR,
L2 a elevação de RC, L a elevação de CD e L4 a elevação de DE. Determine a
relação que deve existir entre /33 e /34 para combinar as acelerações no ponto D.
j
3.25 Determine (a) a relação entre os ângulos Pt e P2 entre as elevações Lt e L2
para combinar uma curva cic10idal C-I com uma curva de velocidade constante e
(b) a relação para combinar uma curva de velocidade constante com uma çurva C-4.
3.26 Estabeleça as equações que relacionam as elevações Lt e L2 e os ângulos
Pt e P2 para a combinação de: (a) movimento cicloidal com harmônico; (b) movimento cicloidal com velocidade constante; (c) movimento harmônico com cicloidal;
(d) movimento harmônico com velocidade constante. A combinação deve ser
feita quando as acelerações forem nulas.
3.27 Determine (a) a relação entre os ângulos Pt e P2 e entre as elevações
LI e L2 para combinar um movimento cic10idal C-I com o harmônico H-2 e (b) a
relação para combinar uma curva H-3 com uma C-4.
3.28 Determine (a) a relação entre os ângulos P1 e P2 e entre as elevações
LI e L2 para combinar um movimento harmônico H-I com um cic10idal C-2 e
(b) a relação para combinar uma curva C-3 com uma H-4.
3.29 Determine (a) a relação entre os ângulos Pt e P2 e entre as elevações para
combinar o movimento harmônico H-I com uma curva de velocidade constante e
(b) a relação para combinar uma curva de velocidade constante com uma curva H-4.
3.30 Um seguidor deve se deslocar com velocidade constante durante um
trecho da elevação e também do retorno. É possível combinar movimentos harmônicos com estas curvas de velocidade constante e não resultar segunda aceleração
infinita? Caso afirmativo, recomende as curvas que devem ser usadas e esboce o
diagrama de deslocamento mostrando as curvas.
3.31 Determine (a) a relação entre os ângulos P I e P2 e entre as elevações
LI e L2 para combinar um movimento harmônico H-5 com um movimento polinomial de oitavo grau P-2 e (b) a relação para combinar o movimento harmônico
H-2 com o polinomial de oitavo grau P-2.
3.32 Escolha uma combinação de movimentos cicloidal, harmônico e polinomial de oitavo grau que não resulte segunda aceleração infinita.
3.33 Determine (a) a relação entre os ângulos P I e P2 e entre as elevações
Lt e L2 para combinar um movimento polinomial de oitavo grau P-I com oharmônico H-6 e (b) a relação para combinar o movimento polinomial de oitavo grau
P-I com o harmônico H-3.
3.34 Escolha uma combinação de movimento harmônico com polinomial
de oitavo grau que não resulte segunda aceleração infinita.
3.35 Um seguidor se desloca com movimento harmônico H-I, elevando-se
25 mm em 7t/4rad de rotação da carne. O seguidor então se eleva de mais 25 mm com
movimento cic10idal C-2, para completar o curso de elevação. O seguidor repousa
e retorna 25cm com movimento cic10idal C-3 e os 25 mm restantes com movimento
harmônico H-4 em 7t/4 rad. (a) determine os ângulos de rotação da carne para os
movimentos cic10idais e para o repouso combinando velocidades e acelerações.
(b) determine a equação para o deslocamento S em função de () para cada tipo de
movimento, tendo como origem das abscissas o ponto O, origem dos eixos coordenados, de modo que o deslocamento possa ser calculado para qualquer ângulo ()
usando-se a equação adequada.
3.36 No diagrama de deslocamento da Fig ..3.39, deseja-se obter uma elevação
total de 37,5 mm com um seguidor radial de face plana combinando o movimento
cicloidal C-I com o harmônico H-2. (a) usando os dados do diagrama, determine
o ângulo P2' referente ao movimento harmônico, a fim de que haja continuidade
de velocidades e de acelerações em B, ponto de transição entre os dois movimentos.
(b) determine o comprimento máximo teórico da face do seguidor necessário para
os dois movimentos.
3.37 Uma carne de disco comanda um seguidor radial de face plana com movimento harmônico simples. O seguidor se eleva e retorna durante uma volta da carne.
Sendo o deslocamento total 50 mm e o raio mínimo 25 mm, determine as equações
paramétricas (x e y) do contorno da carne. Elimine o parâmetro para obter a equação
do contorno da carne. Determine o comprimento teórico da face do seguidor.
3.38 Um seguidor radial de face plana é acionado segundo um deslocamento
total de 40 mm. O seguidor sobe 10 mm com aceleração constante durante 60"
de rotação da carne, 20 mm com velocidade constante durante 60" e os restantes
10 mm com desaceleração constante durante 60". O seguidor repousa em 45° e
retoma com movimento harmônico simples quando a carne completa uma volta.
Para cada tipo de movimento escreva a equação do deslocamento S em função
do ângulo () de rotação da carne, usando como origem o ponto O, origem dos eixos
coordenados de modo que o deslocamento possa ser calculado para qualquer ângulo
() usando-se a equação adequada. Calcule o raio mínimo C e o comprimento
máximo de contato 'máx para cada tipo de movimento. Especifique o raio mínimo
da carne e o comprimento da face do seguidor.
3.39 Um seguidor radial de face plana é acionado segundo um deslocamento
total de 38 mm. O seguidor se eleva de 25 mm com aceleração constante durante
120"de rotação da carne e os restantes 13 mm com desaceleração constante durante
60". O seguidor retoma com movimento harmônico simples em 900 e repousa
durante o restante da revolução da carne. Complete a solução conforme o pedido
do problema 3.38.
3.40 No desenho mostrado na Fig. 3.40, a carne de disco é empregada para
posicionar o seguidor radial de face plana em um mecanismo de cômputo. O
perfil da came deve ser projetado para dar um deslocamento S ao seguidor, de
acordo com a função S = k (}2, partindo do repouso, quando a came girar no
sentido anti-horário. Para 60" de rotação da came, a partir da posição inicial, a
elevação do seguidor é de 10 mm. Determine analiticamente as distâncias R e I
quando a came tiver girado de 45° a partir da posição inicial. Verifique a existência de pontas no contorno da came durante a rotação de 60".
3.41 Um seguidor radial de rolete é acionado segundo um deslocamento total
de 25 mm com movimento harmônico simples durante meia-volta da came. O
movimento de retorno é o mesmo da elevação e também se realiza em meia-volta
r- da came. Usando um raio mínimo Ro da superfície primitiva de 38cm e um diâr- metro do rolete de 19 mm, determine as posições do centro do rolete do seguidor
utilizando intervalos de rotação de 15° para a came. Desenhe o contorno da came
r- e calcule os ângulos de pressão para determinar os pontos de contato.
3.42 Um seguidor radial de rolete se desloca com uma elevação total de 50 mm
em
movimento
cicloidal durante 1800 de rotação da came. O seguidor repousa
rnos próximos 900 e então retorna 50 mm com movimento cicloidal durante 900
de rotação da came. Usando um raio mínimo Ro da superfície primitiva de 25 mm,
calcule com um computador o deslocamento, a velocidade, a aceleração e o ângulo
r'
de pressão do seguidor, utilizando intervalos de rotação de 100 para a came.
3.43 Um seguidor radial de rolete se desloca com uma elevação total de 19 mm
rcom movimento harmônico enquanto a came gira de 30". Verifique a existência
de pontas na superfície da came com raio do rolete de 6,25 mm e raio mínimo da
superfície primitiva Ro igual a 46,875 mm.
3.44 Um seguidor radial de rolete se desloca com elevação total de 6,5 mm
r- com movimento harmônico enquanto a came gira de 45°. O raio Rr do rolete
é 6,5 mm. Determine o valor limite de Ro que ocasione um perfil pontiagudo
durante esse movimento.
3.45 Um seguidor radial de rolete se desloca com uma elevação total de 19 mm
com movimento cicloidal enquanto a came gira de 30°. Determine o raio de curvatura p da superfície primitiva quando f) for igual a 15°. O raio Rr do rolete é 6,25 mm
e Ro é 46,~75 mm.
3.46 Um seguidor radial de role te se desloca com uma elevação total de 19 mm
com movimento harmônico enquanto a carne gira de 300. Determine o valor de Ro
para que o ângulo de pressão máximo seja 300.
3.47 Usando a equação 3.12 e as expressões adequadas de R e dR/df), desenvolva a equação de IX para o movimento cicloidal. Utilizando os dados do
exemplo 3.5 calcule o ângulo de pressão IX quando f) for igual a 22,5°.
3.48 Um seguidor radial de rolete se desloca com uma elevação total de 16 mm
com movimento cicloidal enquanto a carne gira de 300. Supondo Ro = 38 mm,
determine IXmáx' Se IXmáx for muito grande e se as exigências de dimensões não permitirem o aumento de Ro' faça outras recomendações para limitar IXmáx em 30°.
3.49 Utilizando os dados de deslocamento do problema 3.5, calcule os valores
de R e eJ> para uina carne de disco com seguidor oscilante de rolete. A carne gira
no sentido anti-horário e tem um raio mínimo de 25 mm. O diâmetro do role te
é 19 mm e a distância do centro do cubo do seguidor até o centro do rolete mede
72 mm. O centro do cubo está situado a 75 mm à direita do centro da carne. Na
posição inicial, o centro do rolete está na vertical que passa pelo centro da carne.
Desenhe a carne usando os valores calculados de R e eJ> e comprove-os graficamente.
3.50' No problema 3.49, ljI = 0,174 (1 - cosf) radianos, aproximadamente.
Usando esta expressão, calcule o ângulo de pressão na posição 3.
3.51 Usando a expressão de ljIcomo função de f) dada no problema 3.50 e
utilizando os dados do problema 3.49, calcule o ângulo de pressão para a posição
inicial e comprove graficamente.
3.52 Usando a expressão de ljI como função de f) do problema 3.50 e utilizando
os dados do problema 3.49, calcule o raio de curvatura para a posição 2.
3.53 Deve-se projetar uma came tridimensional para resolver a equação
Q = 26,5 ah1/2, onde Q é o escoamento (cm3/s), a é a área do orifício (cm2) e h é
a coluna de líquido (em). A área a deve ser introduzida na came através da rotação
e a altura h pela translação da came. A elevação do seguidor determinará Q. (a)
calcule um conjunto de valores de Q para a variando de 6,5 a f4,5 de décimo em
décimo e fazendo h = 30, 120, 270, 480, 750, 1080 e 1470. (b) usando para Q
m6dulo de 1 em = 2000 cm3/s e para h, 1 em = 100 em trace uma seção axiaI
vertical da came, marcando a posição a = 1 na parte mais .alta da came. (c) trace
duas seções transversais da came, em h = 750 em e h = 1470 em.
Engrenagens Cilíndricas de
Dentes Retos
•••
•• •
•• •:.
•
......
••
4.1 Introdução a Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Evolventais. Consi~~r~dº duas superficie.ss_úrvas em C:º111atodireto pode.:se m-º.S.1Ii!rque a razão
das velocid~des a!!-gulares é inversamente proporcioºªl aos segmeI!~os em que a
linha de c~ntros é cortada- pelªJinh_ª~-'lCãa.ºu
norm!!!.comum às duas sllperficies
em contato. Se a linha de ação seI!1~ intercepta alinha de centros em um ponto
fixo, aXa:zª_odas velocida_des angulares perInªnece constante, Esta é a condi~o
desejada quando ~is dentesg~ engrena2Cns se aco~lam: a razão (jas velocidades
angulares deve ser constante. E possível supor a forma do dente em uma engrenagem e'-pelã' aplicação do princípio acima (a normal comum intercepta a linha de
centros em um pOllto fixo) ~
determinar o contorno dos dentes que se engrenam.
Tais dentes são considerados dentes conjugados e as possibilidades são limitadas
apenas pela habilidade em construí-Ios. Das mujlªs formas pos~iveis, só a ciclóide
e a evolve!1teforam padronizadas. Primeiramente utilizava-se a ciclóide que, depois,
foi substituída pela evolvente em todas as aplicações, exceto em relógios. O dente
com perfil_~a evolvente tem dive]"sas vantagens, as_mais importantes_clllS guais
sua JáciLfubilci!çãoeo fato de que a <iilltância entre centros de duas epgrenagens
eJ9lventaíspoQe variar sem alterara raz_~ode velocidades. O sistemacvQlyental
d~ en~~m~p.~_ é discutido em detallles º()_~parágrafos seguintes. A Fig. 4.1 mostra
um par de engrenagens de dentes retos evolventais.
Çgnsidere dyas polias JigadªS-!2or um fio çrl.l~aº-o como mostra a Fig. 4.2.
É evidente que as duas poliasgira!Jl em direções opostas e qu~_a relação das velocidades angulares é constante, desdt:uQ!l~Q_
fio não desljze, e depeJ)ID:~ razão inversa
dosdjâ..!!1~.
Vê:Se-tª!TÜ>é!ll
que a relação entre a~~~!QEidadesangulares não I1!llda
quando a distância ~e centros é modificada. Por~ºI!v~ni_ê_nciª,suporiha guc um
lado do fio seja remoYi49 e um pedaço~~::::'cartolina é fixado na polia 1 (Fig.-4.3a).
Coloque um lápis nº-E~nto Q, sobre o fiQ.LgUie a polia 2 no sentido an..ti:!J...2rário.
Em relação ao papel; pô'tÚo Q deseJ:e.Y.eJ:á
uma linha reta, enquanto que em reta~o
a polia I, Q traçar~ma
evolvente n(l.cartolina. A mesma evolvente poderia ser
gerada cortando-se o fio em Q e desenrolando-o da polia I, mantendo-o tenso.
~~JJma cartolina é agora fixada na PQliçU (Fig. 4.3b) ~ o processo érepetido"ger~-se
uma evolvente nest'!<;artolina.Se
as cart()linas são agora cortadas ao 10ngoQas
evolventes, forma~se um lado de UII!dente em ambas as polia$.1._~_2. A evolv~nte
da polia I pode serus-ada para impelir~~lvente
da polia 2..~ razão -.<tasvelocidades anguJ,!res será constante por9.l!..e~inha de ação,ql!.~~o
process()de construção é norrri~l1às evolventes no ponto de contato Q, corta a linha de centros em um
ponto fixo. Como no~so das polias com Ofiõ"Cruzado, a relação das velocidades
angulares será inversamente proporcional'aos--<i3Imriros das polias.
'S~ºistªll.çja
entre centros fo~ modificada, a evolvente I aindajl!ill.~
a
evolvent~2, mas um,Lontra parte das duas evolventes estará ªgora em contato.
Enquanto os .diâmetros
a relaçãodas-~e-Iocidãdes
--,._---- das polias_nJo forem modificados,
-,---será a mes~a.
As circunferências usadas como base para a geração dasevºlvent~s.são-coDhe·
cidas como circunferências deb~e, e são o coração do sistema de engrenagens
º
-,
,_.-
-
evolventais. Na Fig. 4.4 o ângulo definido por uma linha perpendicular à linha de
.ação tirada pelo centro 4açirçyn e c' de base ~ uma Ii.MLQ.e O. a
(ou O2
.
h'd.Ç
• I d..~}pcress(I(J
'PEr'
•
•
~
d o ponto d a evo Ivente
e Q) ~Ǻ.Il._~
. ! o como angu.o
e u
Ica
ao
onde está havendo contato. Se na Fig. 4.4, o ponto de interseção da linha de ação
e da linha de centros é chamado de P, a relação das velocidades angulares será
inversamente proporcional aos segmentos em que este ponto dividir a linha de
centros.
a
A
Ângulo de incidência
frontal
Fig.4.4
\
-
É possível traçar circunferências passaJldo por P usando primeiro O, como
<:ent!o e depois 02' cotl!.0mostra a Fig 4 5.. 0 ..ponto P é chamado de ponto [11itllitivo e as circunferências que pa!!!iam-PQr.. ele sãQ~onbecidas como circun(er~ncias
e.rimitivas. Pode-se provar Que Q..uªndoae.vo1YeD~e1 impele a evolvente 2, as duas
puro.
j::ircuºJ~rências primitivas movem-se um.1 em relacão à outra e~IEento
A relação das velocidades angulares é. inversamente proporcional aos raios (lãs
duas circunferências primitivas porque os segmentos em que P divide a linha de
centros agora são os raios destas circunferências. Se.o diâmetro da circunferência
?
primitiva 1 é dI e o da circunferência 2 é d2,
(1)1
(1)2
= d2/dl•
Será mostrado em
outra seção que o número de dentes em uma engrenagem é diretamente proporcional
ao diâmetro primitivo.
Logo, ~
(1)2
= d2/d1
= Z2/Z1
4.2 Evolvente. Relações. Se considerarmos o perfil do dente como sendo
evolvental, devemos saber calcular algumas propriedades da evolvente.
Ângulo de incidência
frontal
A Fig. 4.6 mostra uma evolvente que foi gerada a partir de uma circunferência
de base de raio r b. A evolvente contém dois pontos A e B com raios correspondentes
rA e rB e ângulos de incidência frontal OCA e ocB• É fácil obter uma relação para esses
raios porque a circunferência de base é a mesma para qualquer ponto em consideração.
Então,
r
COS ocB = -Â- COS OCA
rB
Da equação 4.2é possível determinar o ângulo de incidência frontal em qualquer
ponto de raio conhecido sobre a evolvente.
A Fig. 4.7 mostra a Fig. 4.6 completa para incluir todo o dente da engrenagem.
Deste diagrama é possível desenvolver uma equação para determinar a espessura
do dente em qualquer ponto B, dada a espessura no ponto A.
Dos processo
mento BG.
de geração
de uma evolvente,
o arco DG é igual ao compri-
Então
DÔG = DG = BG
OG
OG
BG
tg IXB = OG
"'"
DOG = tgIXB
"'"
"'"
DOB = DOG - IXB
"'"
DOA = tg IX..•~ IXA
A expressão (tg IX- IX)é chamada junção evolvental e é às vezes escrita EvIX.
E fácil calcular a função evolvental quando o ângulo é conhecido; IXé expresso em
radianos. Entretanto, é difícil determinar IXa partir de EvIX, e por esta razão foram
publicadas tabelas de funções evolventais (ver Apêndice 1).
Referindo-se
ainda
à Fig. 4.7,
1
"'"
"'"
TSB
DOE = DOB+--
= EvIX
"'"
B
"'"
rB
S
+ _B_
2r
DOE = DOA +
B
1
TS'"
= EvIX ..• + ~
2r ..•
Através da equação 4.3 é possível calcular a espessura do dente em qualquer
ponto da evolvente, dada a espessura em outro ponto. Uma interessante aplicação
desta equação é determinar o raio em que o dente se torna pontudo.
4.3 Particularidades de Engrenagens Olíndricas de Dentes Retos. A fim de
continuar <> estudo _<i~ engrenagens e'!:91ventais é nec~ssário definir os eIeiIieirtõs
!24_sjcQs-deuma engrenªg~m->-como mostra".! as figs. 4.80 e b. Deve-se também
mencionar que a__menor das duas-e.fli[enagens é chm:mld'Lde piub4o; o pinhão é,
~mgerah_~ engrenagem motora. Se o raio r da circunferência primitiva de uma
engrenagem se torna irifinito, resulta uma cremalheira, conforme as Figs. 4.8c
e 4.9. O perfil dos dentes de uma cremalheira é uma linha reta, que é a forma tomada
por uma evolvente quando gerada sobre uma circunferência de base de raio infinito.
Na Fig. 4.8a o passo base Pb é a distância de um ponto sobre um dente ao ponto
correspondente no próximo den!emedida sobrea circunferênciu de base. Opasso
frontal P, é definido da mesIll~_~aneira exceto que _~_Illedidosobre a circunferência
.Q!imitiva. A altura de cabeça
e a altura de pé b, são distâncias radiais medidas
conforme mostrado. A porção do nanco abaixo da circunferência de base é aproximadamente uma linha radial. A curva do dente é a linha de interseção da superfície do dente com a superfície primitiva.
ª
Saliência ou altura da
cabeça,h.
Superf(cie
Primitiva
Saliência ou altura
to
da cabeça, h.
Profundidade
L,
ou altura de
hf
-Í.
É)nbora seja impossível_mostrar na Fig. 4.8,. o i()-&2.J?rimitivoé uma consideração jmportante em engrenagens. Jogo primiJw é a quantidade pela qual a dimen_são dQ_espaço de um d~?_!_e_e_xc_e_d_e_a_"_es'pessurªdo_dente
que se engrena, medidos na
circunferêncj~ primItiva. Teoricamente, o jogo primitivo deveria ser zero, mas
na prática alg!1ma tolerância deve ser_dada para expansiig-ctérmica e erros de fabri_çação. A não ser que seja especificado, supõe-se o jogo primitivo como zero neste
texto. ~1l1 lima se窺_QQ§terior será abord!ldo Q...!!létodopara calculá-Io em função
de uma variª@Q.~ distâncÜtentre eixo§..
Fig. 4.9
Pinhâo e cremalheira de dcntcs retos cvolventais (Cortesia de IIIinois Oear & Machine
Company.)
4.4 Caracteristicas da Ação Evolvental. Na discussão da geração da evolvente
viu-se que a normal comum às duas superficies evolventais é t§ugenteàs duas
çircunferências de base: Esta normal comum é também chamada de linha de açEg.
O início do contato ocorre quando a linha de acão in.tercepta a circunferência de
:çabeça da en~renagem movida, e o fim do contato, quando a linha de
jnter_~ta a circunferência d~~~ªbecada en~rena~m motora. Isto é evidente na Fig. 4.10
que mostra um par de dentes entrando em contato e o mesmo par prestes a separar-se (mostrado tracejado). O ponto A é o início do contato e o ponto B, o fim.
AJr~tória do pontode contato está ao_longo da linha reta APB. O perfil do de~e
~ngrenagellll) corta a circ~~1!ferênciapriDJ.itiva_.!!º.ponto C no.início do contato e
no fim corta-a.. no ponto C. Os pontos D e f)' são Os co~~ondentes
na en~enagem 2. Os arcos CC e DD'.~ão chamados arcos frontais de transmiss40 ~m
s~r iguaÍs··parã haver rolame.1!!?puro. dªª ..ci.rcunferências primitivas, como já havia
sido mencionado. Os ângulos do movimento são geralmente divididos em duas
partes, como mostra a Fig. 4.10, onde qJF é o ângulo de aproximação e qJ Á o ângulq
d&...ajastqmento.
O ângulo de aproximação não é igual~yg~~aQ
ângulo de afastamento. Para haver transmissão contínua. o aKQ de ~'t(teveJl~.tigyal
ou.major
do Que o passo frontal. Sendo isto verdadeiro, um novo par de dentes el)trará em
ação antes que o par precedente desfaça o contato.
.,
, l'
A relação entre o .arco frontal de transmi~são e o passo frontalOéconhecida
como razão frontal de transmissão: ~ A razão frontal de transmissão para engrenagens evolventais é .!ª-mb.ém igual à 'relaç~o e.ntre a linha~~e movimentação ou
c::pm1!.ri.~~e
transmissão (isto é, a distância do início ao fim do contato medido
sob a linha de ação) ~.O ..pªsso base e geralmente é calculada desta maneira, como
será mostrado posteriormente. Çonsiderada fisicamente.a..xazão frontal de trap~missão é o nÚmero..lllédio..de.dentes em contato. Se, por exemplo, a razão é 1,60,
não significa que há 1,60 dentes em contato. Significa que há altemadamente um
e dois pares de dentes em contato e que ao longo do tempo a média é 1,60. Q...l:ak>r
teóriq)mín!J.!lP da razijo frontal de transmissão é 1.00. É claro que este valor deve
ser aumentado em condições reais de operação. Embora sj(ja dificil especificar
valpt:es devid.Q.àsdiversas situaçõc::.s_~
fatores envolvidos, 1,40 tem sid.o.J1.&adQ\(QQ
lIlíp.Ü!!.<!.luáticoe 1.201!a.rlicasos extremos. Oeve-se notar, entretanto, que quanto
menor a razão frontal de transmissão, maior o grllU de precisão necessário na usinagem dos perfis para assegurar funcionamento silencioso. ,.(~~)
A Fig. 4.10 também mostra um ângulo IX, ~
é formad~Újela litllha de ação e
uma linba perpendjcular à linha. <ie~centros no ponto. primitivo .P_..Es1~.Jngulo é
c.9llhecido comQ ângulo de pressão e deyc::.~erdiferenciad.9 do âll.8~IP.d~illcidência
ir()l1tal em um ponto;,s()12"reli eioÍvente.Quando
,as d~~engrenagen~ estão em
contato no ponto primitivo, o ~ngrilode pressão e 'os ângulos de incidênci~ 'ftbnt~
das duas evolventes são iguais. Estes ângulos podem ser vistos na Fig. 4.11.
Pode ser derivada uma equação para o comprimento transmissão glX, a partir
da Fig. 4.11 onde
ª,ão
!
\'1'
A = início do contato
B = fim do contato
E 1 e E 2 = pontos' de tangência da linha de ação e circunferência de base
=
r"
raio de cabeça
r b = raio base
IX
= ângulo de pressão
a = distância entre eixos
glX
= AB = E1B + E2A - E1E2
\
I
f):.\
~ r/),\M/f'1 M},~
,'y('j)\}}iJ
li.'!'J'
J (r"1)2 - (r bl)2 + J (r"2)2 - (r b2)2 - a sen lX
$~-:=
r b = raio base
z
= número
de dentes
I""
/'
') !
'
.
'I
\
i'
\i I,\, _, \
;;
',-'
A -razão frontal de transmissão
\
\")' . ( ))
\
I
\
MECANISMOS
/ Parte 1
..\-
À 'li \
ccx é então
Se parece estfanho calcular a razão frontal de transmissão dividindo uma medida em linha reta por uma circunferencial, consideremos a Fig. 4.12. Na Fig. 4.12a
são mostrados dois dentes adjacentes de uma engrenagem pertencente a um par.
O passo base P f, está assinalado na circunferência de base de acordo com sua definição. Um segmento sobre a linha de ação é também designado Ph' Do modo
como duas evolventes adjacentes seriam geradas pode-se ver que os dois trechos
chamados de Ph têm que ser iguais. Então o passo base pode também ser considerado como a distância normal entre lados correspondentes de dentes adjacentes.
A Fig. 4.12b ilustra como o passo base é medido em uma cremall.eira.
Exemplo
4.1
Um pinhão de 24 dentes comanda uma engrenagem de 60 dentes com um
ângulo de pressão de 20°. O raio primitivo do pinhão é 1,5000 pol e o raio externo
1,6250 pol. O raio primitivo de engrenagem é 3,7500 pol e o raio externo 3,8750 poI.
Utilizando as Figs. 4.10 e 4.11 calcule o comprimento de transmissão, razão frontal
de transmissão e ângulos de aproximação e afastamento para o pinhão e a engrenagem.
SOLUÇÃO. Da Fig. 4.11
1,6250 pol
r hl = r I cos rx = 1,5000 cos 20° = 1,4095 pol
ra2 = 3,8750 pol
rh2 = r2 cos <p = 3,75 cos 20° = 3,5238 pol
asenrx = (1,50 + 3,75) sen20° = 1,7956 pol
ral
gcx = .J 1,62502 - 1,40952 + J 3,87502 - 3,5238 - 1,7956
= .J 2,6406 - 1,9867 + .J 15,0156 - 12,4172-1,7956
= 0,8099 + 1,6115 - 1,7956 = 0,6258 pol
2n x 1,4095
24
êCX
=
°
0,6258
,3689 = 1,6924
EIB
= .J(ral)2
ElA
= EIB
EIP
= ri sencx = 1,5000 sen 20° = 0,5130pol
- (rbY
= 0,3689 pol
= 0,8099 pol
- AB = 0,8099 - 0,6258 = 0,1841 pol
AP = EIP-
ElA
= 0,5130-0,1841
= 0,3289 pol
PB = AB - AP = 0,6258 - 0,3289 = 0,2969 pol.
A razão frontal de transmissão êa é também igual ao arco de ação CC' dividido
pelo passo frontal. p,
= arco CC' e p = 2 nr1 = 2 n x 1,5000 = 03927 pol
ê
:z
Pr
ZI
24
'
Da Fig. 4.10 sabe-se que o arco DD' deve ser igual ao arco CC' de modo que
arco DP = arco CP e arco PD' = arco PC'. O arco de aproximação CP da engrenagem 1 pode ser determinado da seguinte relação:
AP
arco CP
AB = arcO CC'
arco
CP - AP x arco CC'
-
AB
= 0,3289 x 0,6662 =
0,6258'
°
3501 pol
PB
arco PC'
arco CC'
AB
' = PB x arco CC' = 0,2969 x 0,6662 - O 3161 pol
arco PC
AB
O,6258
'
arco CP
qJPI
=
lfJF2
= ---
rI
arco DP
qJ A I
qJ A2
tn
't'PI
1'2
O 350 I
= 1:5000 = 0,2334 rad = 13,373°
=
03501
3'7500 = 0,0934 rad = 5,349°
,
= arco PC' = 0,3161 = 02107
r1
1, 5000
= arco PD' = 0,3161 = 00843
r
3 , 7500
2
'
ra
d = 12074°
,
ra
d = 4829°
,
+ tn't' AI =. arco,. CC' = 0,6662
= 04441
1 5000
'
I
+ qJA2 = ----
rad
= 25,4470
'
arco DD'
qJF2
'
0,6662
= 37500
1'2
= 0,1777 rad = 10,1790
'
qJFI
+ qJAI = 13,373° + 12,074° = 25,447°
qJP2
+ qJA2 = 5,349° + 4,8290 = 10,178°
É possível também calcular os ângulos de aproximação e afastamento.
A
equação para o ângulo de aproximação
qJF2 da engrenagem
2 é deduzida como se
segue, usando-se a Fig. 4.13.
0=
(iXA
= (iXA
+ Ev iXA) - (iXD + Ev iXD)
+ tg iXA- iXA) -(iXD + tg iXD- iXD)
= tgiXA -tgiXD
fazendo
a substituição
de O
qJF2
= tg iXA-
tg iXD + iXD- iX
Pelo fato de que D é um ponto sobre a evolvente na circunferência primitiva,
IXD = IX
Equações para CPF1' cP AI e cP A2 podem ser desenvolvidas de modo semelhante
utilizado-se figuras apropriadas.
(llrA02H)
E" ClD
('f".D02H)
Ângulo de
eproxlmeçlo
(~D02P)
"'2
*' o ~ o~ ()..-ow..~~ J-t
/)l
t~~"w;A- I
o
108
-k~
()1!+-tl.--~~ .
Jt, I
~_1 NM' N~
I'
(~"-t t.., fO~-h
I~hv-fyI~,
rt
;Y'\~L\) W , .•....
" lUlJ WJ..'
0J\\~
MECAtils'~~~r\e
(1M
1
wo\lifl-n,f (
~u~ O início do con~llto ocorra antescl~ onto
".
cme~~Wt51&~ttdW·
cll!engrenagem mov~da_e_ncontraráum tr~chQ.r(㺠evolvental a engrenagem motora-\-v,
e di.~-~9..ue oco rerá int r erência. Isto está mOstrado-fia Fi . 4.14. E1 e Ez são;~
os pontos de .
_
que deveriam limitar o comprimento de ação. A indica "é\;O início o contato e B o fim. Vê-se que o início do contato ocorre antes do ponto
\
de .
; ~tão há interferência. A extremidade do dente comandado \jJ),). •
cortará o flanco do ente que comanda, como mostra a linha tracejada. Há muitas [~
maneiras para eliminar interferência. -lIma das guais é limitar a altura de cabeça
da engrenagem comandada de modo que a circunferência de cabeça passe pelo
ponto de interferência Ei" proporcionando assim um novo início de contato. Se
isto for feito, neste caso, a interferência será eliminada.
\1
\ \\\-'~t\(
\Jt
!\
\
~\o
(')\)),';
t
\ '(\
.'
\
1.1\ ',I
\ fi(
A interferência é indesejável por vários motivos. A interferência e o cesgaste
~esultante não só .enfraquecem os dents:s do pinhão como p-odem tam.bérn.remover
'\.!W peo..yçnotJ:~o de evoJyentejy.p.ia-ª.circunferêncja de base. o que pode causar
séri;1 w,edução no comprilJ.ll'mto de transmissão.
Agora serão discutidas as condições para interferência entre pinhão e cremalheira. Na Fig. 4.15 são tIÍÕstrados um pinhão e uma cremalheira engrenados.
O ponto de tangência da linha de ação na circunferência de base do pinhão é chamado de ponto de interferência E, como no caso do pinhão e engrenagem. O ponto
de interferência fixa a~tura de ca6e~
para a cremalheira, para o ângulQ
de pressão mostrado. Com a altura de cabeça da cremalheira, como a mostrada na
Fig. 4.15, o contato se inicia em A e ocorrerá adelgaçamento conforme a linha
tracejada. Se a altura de cabeça da cremalheira se estender só até a linha que p~ssa
pelo ponto de interferência E, este ponto se tornará o início do contato e a interferência será eliminada.
.
Pode-se ver na Fig. 4 J 5 que se uma engrenagem de raio finito tendo a mesma
altura de cabeca da cremalheira (a linha de cabeça da cremalheira agora passando
Eeló ponto de interferência) se engrenasse com o pinhão o início do contato ocorreria sobre a linha de aeão em algum lugar entrf; o ponto primitivo P e o oontQ.ile
interferência E. então não ha",ria possibilidade de interferência entre o pinhão
.e a engrenagem. fode-se então concluir que se o nÚmero de dentes no pinhão.i
tal que ele se engrena "Om uma cremalheira sem interferêncja ele se engrenará
g,m interferência com qualquer outra engrenagem que tenha 0!!1esmo ou maior
número de dentes.
~
v-l)r
1<9f' A~,-
C Vl~I~W\..U.A\.u')
01 Engrenagem 1 lmotoral
Embora a interferência evolvental e o adelgaçament
evitados. uma pequena quantidade po e ser to era a se ela não reduzir a razão
frontal de transmissào, para um par de engrenagens, ilbaixo de um valor adequado.
-Entretanto, o problema de determinar o comprimento de transmissão quando
ocorre adelgaçamento é difícil, e ele não pode ser obtido da Eq. 4:4. Foi desenvolvido por Sportts i um método para esta determinação. Pode-se ver da Fig. 4.11
~ Eq. ~4 ~ue se o valor de ~~
radi5al for maior do q...ue ,a,sen 0(, haverá
mterferencla.
-.~~
7"
fell> kUH'K"'I VJ}'
4.6 Engrenagens Intercambiá'~s.
Até aqui nào foi çonsiderada a questão
de engrenagens intercambiáveis:a.discussão
que se segue s~ aplica.a engrenagens
cilíndricas de dentes ~~tos em geral .. Estreitamente ligada com o problema da intercambialidade está a maneira como as engrenagens são usinadas. Há muitos modos
de gerar engrenãiens de dentes retos e os dois mai~ç:omuns sào o método de fresamento e o de Fellows.
'.. -- .
Ct&",
I
M. F. SpOltS "How to Predict Effects of Underculting Hobbed Spur Gear Teeth·'. Machillc
Dcsigll. Abril 19. 1956.
~
.-
Avanço
da fr1lt8
-tr-
Eixo do disco
Linha primitiva dos
dentes da fresa
Circunferência
primitiva de corte
,
'\
\
\
\
/~
Disco//::/'
-~
Estes dois são ilustrados nas Figs. 4.16 e 4.17 respectivamente. Quando estes
métodos de corte forato desenvolvidos procurou-se um modo de classificar as ferramentas e as engrenageIl.~ por elas cortadas. A çla§sificação adotada foi a de espeçificar a relação do D1ínwro de dentes com diâmetro primitivo. A esta relacão foi
dado o nome de, "diametral pitch frontaL"* O "diametral pitch" pode ser expresso
matematicamente do seguinte modo:
.
* o autor refere-se. aqui. à prática americana.
frolltal
A norma brasileira (ABNT-TB-81) indica o módulo
como sendo o quociente do diâmetro primitivo pelo número de dentes, m = ~ . sempre
expresso em milímetros. O "diametral pitch" não é objeto de padronização
nas normas brasileiras.
z = número de dentes
d = diâmetro primitivo
para o propÓ§itQ4e especificar ferramentas de corte, os valores do "diametral
pitch frontal" foram Jomados com0!1úmeros inteiros com éertas excecões. .QL.
diametrais pit"bes seguintes são usados frequentem~:
1, li. lt, I!. 2, 2i. 2t, 2i, 3,'3t,4, S, 6, 7,
8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,
48,64,72,80,96,120
Engrenagem reta
de dentes externos
Ferramenta
pinhlo
.
CIrcunferência primitiva
de corte
Circunferência
primitva
~da ferramenta
Fig. 4.17 Método Fellows para gerar engrenagens de dentes retos evolventais. (Cortesia de Fellows
Gear Shaper Company.)
Os passos menores podem ser especificados por incrementos pares até 200.
Os passos comumente usados em engrenagens de precisão para instrumentos são
48, 64, 72, 80, 96 e 120. para economia de .fe.crilmentas, as en ~renagens geralmente
são Jlsinadas usando um dos ~~~~~QmUDS relacionados acima. É possível usinar
engrenagens que tenham diameí;a; pÜches diferentes dos citadôs. I!to pode reque-
rer uma ferramenta especial mas, geralmente pode ser fejto com uma das ferramentas
ªcima em "ma moptagem especial Isto será discutido no Capítulo 5.
•.
~ndo
»ferralllÇ!l!!§,(oram p~cfrQnjzªdas. foi adotado um ângulo de pressão
~o.
Isto foi uma conseqüência do processo de fundição de engrenagens que
usava 14,5° porque senI4,5° é "aproximadamente 1/4, o que era conveniente na
fabricação do modelo. ~ais tllrde foi adQtadQ,1í;unbém l.l~l ânIDI19 dI: pressão de
19:._~o§...JQram
usadOs.durante muitos anos. mas a tendência. recentemente,
é a de maior utilizacão do de 20". Será mostrado em uma seção posterior quÚ
possível ter-SI: um pinhão com menos dentes e sem adelgacamento QUando se usar
200 em lugar de J 4 5°~Como resultado daten.dência aos ângulQ§ de Dress.ãomaiores,
a AGMA (American Gear Manufacturers Association) adotou ~O" e 25° para
ens de asso frontal grande L~P)
e 20" para os de passo frontil1
Pequeno 2).
~
-
-
enreiiã'
V> ~~
ti)D
~
~1'~ 1'V\Q
Tabela 4. 1 Proporções dos dentes de engrenagens - Retas evolventais
Passo Frontal Grande
(1-19,99 p)
Agosto 1968
20° ou 25°
Dente Normal
1,000
Passo Frontal Pequeno
(20-200 p)
AGMA 207.06
Novembro, 1974
20° Dente Normal
1,000
P
P
1,250
1,200
--
P
p
0,200
Folga no fundo do dente (c)
<hr - ha)
0,250
Altura do trabalho do dente (hk)
(duas vezes a saliência)
2,000
2,000
p
p
Profundidade total (~)
(ha +hr)
2,250
Raio de arredondamento
da cremalheira básica (r)
0,300
p
p
--
p
2,200
--
p
+ 0,002 (mín.)
+ 0,002 (mín.)·
,
+ 0,002 (mm.)
p
1,5708
1,5708
p
p
* Para dentes ou retificador, c = 0,350!P + 0,002 (mín.).
Embora sejam apresentados os últimos padrões da AGMA na Tab. 4.1, ainda há no mercado engrenagens e ferramentas de acordo com a antiga (e agora obsoleta) Norma ASA 8.6-1932. Por esta
razão a Tab. 4.2 apresenta as principais proporções desses sistemas.
141'
Dente Normal
10°
Dente Normal
20°
Dente Rebaixado
1,000
1,000
0,800
p
p
p
1,157
1,157
1,000
p
p
0,157
0,200
Saliência (ha)
--
Profundidade (111')
---
p
Folga no fundo do dente (e)
Raio de arredondamento
(r)
0,157
--
---
p
p
p
0,209
0,239
0,304
p
p
p
1,5708
1,5708
p
p
1,5708
---
Espessura do dente (s)
---
p
Se usinarmos engrenagens com ferramentas padronizadas é possível fazê-Ias
de modo que sejam interc~lmbiáveis. Para isto~ertas condições deye}!!ser observadas:
1. Os diametrais pitches devem ser os mesmos.
2. Os ângulos de pressão devem ser iguais.
3. As engrenagens devem ter as mesmas alturas de cabeça e alturas de pé.
4. A e~pessura dQs-_dentesdeve ser a metade do passo frontal.
O passo frontal foi definido como a distância medida ao longo da circunferência primitiva~e um ponto sobre um dente ao ponto correspondente no próximo. Isto lJode s r escrito matematicamente como:
'f'''l "'"
A\~\
r Pt
=
~~
znd e tambem. PlRj=
n
(4.8)
O termo en~renal:em padronjzada é usado muitas vezes e significa que a
relação entre o número de dentes e o diâmetro primitivo é um dos valores padronizados de diametral pitch, e que a espessura deve ser igual ao vão dos dentes, que
por sua vez é a metade do passo frontal. As engrenagens padronizadas são intercambiáveis.Engrenagens
intercambiáveis podem ser definidas como aquelas que
têm o mesmo ângulo de pressão, mesmo passo e mesmas alturas de cabeça e de pé,
espessura e vão de dentes compatíveis. As engrenagens cilíndricas retas que são
oferec.idas em catálogos de fabricantes são padronizadas. Entretanto, um grande
número de engrenagens não padronizadas é utilizado, principalmente em automóveis
e aviões. 1s pro1'9rcões de engrenagens cilíndricas e~oI,,(lntais de dentes retos, de
f!lesmas alturas de cabeça",padronjzadas, ..eSlãº-ºª-Tabela 4 I (ver Fig. 4.8). 4.7 Número Mínimo de Dentes para Evitar Interferência. O problema da
interferência foi considerado previamente para pinhões e engrenagem e pinhões
-; L'~
l~
Fe I--lú....
J---r~.
10Q (oJiãJ
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tré\W~-t 0Ji MVilLJ
I j\.I.M~ 0.0
J V'
'I""'~
J
e cremalheira. Da discussão da Fig. 4.15 concluiu-se que se não houvesse interferência entre um pinhão e uma cremalheira também não haveT~ interferência entre
este mesmo pinhão e uma engrenagem de dimensões iguais à sua ou maior. Naturalmente isto acontece supondo as mesmas dimensões de dentes para Os dois ca~s.
Qllando considerada uma engrenageD1 Q.adronizada em que as dimensões dos dentes
são as dadas nas Úlbelas, é possível calcular o número mínimo de dentes em "iim
pinhão que se engrt<.º~com
fremalh~irª semínt~rft:!.ência evolvental. Para
solucionar este caso limite, a linha de cabeça da cremalheira deve passar pelo ponto
de interferência do pinhão.
Na Fig. 4.18, são mostradas as características essenciais de um pinbjjo e çrelllaIheira para este ca~o. O ponto primitivo é P e o ponto de interferência é .E.
uma
Unha de cabeça
Linha primitiva
~
Fig. 4.18
1J..IA
Então.
~~
~t:c.\
pl t tA- ~t
rhA.
W~\~
r
\
Também
sen rx ~
\,
~
-(
d-
1r7i
PE
k/p
PE
onde k é uma constante que, quando dividida pelo passo diametral resulta no adendo
\JJi = k/p). Pl1ra o sistema de dentes mnl1)ais k = 1,00 e'p-ara o si:itema de degtes
r.ebaÜados k = O 80 Multiplicando as duas equações por sen rx membro a membro,
P --dZ onde z = número de dentes.
~
~tr
j
PE
sen:>:
02..
2k
sen20( = -
z
-;;, 2k
z = sen20(
Desta equação .pode ser calculado, para qualquer sist~ma padronizado d~
dentes o menor nÚIlll.:rode dentes para _ulll_pinhãoengr~Ilar-se com uma cremalheiLa,
sem interferência. Isto está na Tabela 4.3 para os sistemas comuns.
Tabela 4.3
141°
Dente Normal
20°
Dente Normal
20°
Dente
Rebaixado
25°
Dente Normal
32
18
14
12
z
Devido a estes valores terem sido calculados para pinhão e cremalheira, eles
podem também ser l!sados como mínimos para pinhão e en&renag<.::!!!.
sem peri~o
® interferência. pevitlo à semelhªnça entre a ação dos dentes de uma ferramenta
fresa usinando mp.a engrenal:em de dentes relQs.e a dos dentes de um pinhão em uma
cremalheira os ..números de dentes ta1,)!1Jadosacima sãQtªm~m
os mínimos que
~~1!!_ser usinados por ..Y.~erramenta
€resa, Sk1ILªdelgaçamenw.
~
.se _as eºgrena~ens devem ser fg.bricadas de outro. modo; por exemplo, pelo ,.LI
J!}étodo de Eellqws, Q nÚmero mínimo Jie dentes que duas engrenagens de igual O .uu~tLo
~rnanhQ podem ter sem que haja inte{f~~pcia evolvental.pode ser determinado
através da Eig 4.19. ~este caso a circunferência<it::cabeça de cada engrenage~\
p~ssa_.Eelo ponto de in.!erf~LêEciada.outra.
' OV'lJ
ro
z
r a = r + h a onde r = -2p
z
2p
r~~--+
a
/'oUL
hEz
o~U;
~
"i,o 1.1 \
k
p
z
-1
2p
2k
e h a = ~p
2z
2P sen IX
2z
1 ------2P
sen IX= 2p .J (z + 2k)2 - (z COSIX):l
~'
I' --\1'
J
;:,. -...1..'1,-4;r:/:-\
n
,A.
L
'
--I"':
~_
li
hei -
\'
<\l/,.( -=.:k[ )-;-J ~
, J-
.
J,
_
""\
I
1
\ )~\. "" ':i:. 'iK~-o-\
,)
(4.12)
qesta equação pode_.ser determina,do OIJlenor número de dentes, em gualquer
sistema padronizado,
para, duas en~rena~ens iguais funciQnart:msem
interferência
evolvental.
Estes valores são mostrados na Tabela 44 para os sistemas comnns,
também mostradas as razões frontais de transmissão
(ei).
são'
Quando engrenagens de mesmo tamanho e com número de dentes especificados na Tabela 4.4 são usinadas com uma ferramenta
pinhão, tipo Fellows,
funcionam sem interferência evolvental. Se o nÚmero de º-entes em uma das engrenagens é mantido nos valores dados, é interessªºte
determinar o número máximo
que a segunda pode ter sem causar interferência.
É obvio, comparando
os valores
~abulados na Tabela 4.4 com o número de dentes que se engrenarem com uma crema:..
Iheira-SeRl mteaeIêneia (fàbela 4.3), que a segunda engrenagem não pode tender
para uma cremalheira.
'1 \.
Tabela 4.4 /
20"
Dente Normal
14t
Dente Normal
z
= 1.84)
(€a
= 1.44)
11JI
'1.
.J",
..
20°
Dente Rebaixado
13
23
(€a
(
25°
Dente Normal
10
(€a
= 1,15)
9
(€a
= 1,26)
Podem ser desenvolvidas relacões para este problema com base na Fig. 4.20,
onde a circunferência de cabeça da engrenagem 2 passa pelo ponto de interferência
da engrenagem 1.
r
= r
Q2
2
+ h = !.l+~ =
2p
p
Q
22
+ 2k
2p
Uí'
z
r" 2 = r2 cos IX = -2. 2P cos IX
a = rI + r2 =
+ Z2
ZI
2p
Z
(
1
+ Z2
2p
)2 sen
2
1X
Desenvolvendo e usando a relacão
sen21X + COS21X =
l
. \
(4.f3~
:;(.h
~!lt~_equay'ão pod~ ser~~_ter~i.nada a Inaior engrenagem (Z2) Que pode ser
engrenada com uma dada (z 1) se~interferência.
I;~s valores são mostrados na
T~~...Yliªndo
como z 1 os valores encontrados anteriormeilte para engrenagens
iguais.
141-"
20°
20"
25"
Dente Normal
Dente Normal
Dente
Rebaixado
Dente Normal
e Z2 tende para uma cremalheira tornando-se infinito, o segundo membro da equação tende para zero, obtendo-se a Eq. 4.9 que determina o número de dentes Zl
para um pinhão se engrenar com uma cremalheira sem interferência. E também
interessante observar que, ~e unI V.a.t~4
maior do que Q.5.. da Tabela 4.3 para
engrenamento com ullla cremalheira sem interferência é substituído na Eg. 4.13,
obtém-se um val()t: negativo impossível para z 2 :'\c
4.8 Determinação do Jogo Primitivo. Na Fig. 4.21a é mostrado o perfil de
um par de engrenagens com distância entre eixos de referência
+
Zl
Z2
a = -_._.-
2p
com jogo primitivo zero. As circunferências primitivas com que estas duas engrenagens funcionam sio as mesmas em que foram usinadas e seus raios são dados
por r = z/2p. As circunferências primitivas de corte são também conhecidas como
çircunferências 'primitiva., de referência.
r
,...Gircunfertncie
primitiva
'b
,....-<te reftll'tnclll 2
ldeco",'
Engrenagem 1
Circunf. primitiva de
refertncia
.
Jogo
primitivo i
-
I" Engrenagem 2
~--
CI_.~
referência
Circunf. primitiva de
:'1::2
It
C \
I
1\
!"
:
!1 :cC-
Além da variação nas circunferências primitivas, o ângulo de pressão também
aumenta. O ângulo r:J.' é conhecido como o ângulo de pressão de funcionamento
e é maior do que o ângulo de pressão de corte r:J.. Uma equação para o ângulo de
pressão r:J.' pode ser facilmente derivada da Fig. 4.21b:
,. +,.
b,
cos r:J.'
b2
cos r:J. = cos ~."".....,
= (r1 + r 2 ) ---cos
r:J.'
cos r:J.'
cosr:J.'
a
= -,
a
cosr:J.
Aa = a' - a
cos r:J.
=a--cos r:J.'
-a
=a(~-l)
cos r:J.'
Quando as engrenagens são operadas nas condições da Fig: 4.21b, haverá
jogo primitivo conforme mostra a Fig. 4.21c. A relação das velocidades angulares
não será afetada enquanto as engrenagens permanecerem em contato. Entretanto,
se a direção de rotação for invertida, haverá perda de movimento. Pode ser derivada
uma equilção para o jogo primitivo, pelo fato de que a soma das espessuras dos
, dentes mais o jogo primitivo deve ser igual ao passo frontal, todos medidos na circunferência primitiva de funcionamento:' Da Fig. 4.21c, a seguinte equação pode
ser escrita:
2n r;
2n r~
=--=-ZI
Z2
s' = espessura do dente na circunferência primitiva de funcionamento
ir = jogo primitivo
r' = raio de circunferência primitiva de funcionamento
z = número de dentes.
[~+
s' = 2r'
1
2r 1
1
r'
_1
r
s;
S 1
1
r'
_2_ S -
r
2r' (Evrx' - Evrx)
1
[;:2 +
2r;
2
Evrx - Evrx' ]
Evrx - Evrx' ]
2r'2 (Evrx' - Evrx)
2
espessura do dente na circunferência primitiva de referência (s =' Pt/2 = n/2p)
raio de circunferência primitiva de referência (r = z/2p)
ângulo de pressão de referência (14,5°, 20°, 25°)
ângulo de pressão de funcionamento
Substituindo as Eqs. 4.17, 4.18, 4.19 e 4.20 na Eq. 4.16 e lembrando que
2nr
.
n
-z- = Pr = p'
\ -
\:
v
-~lY'.'J'\
\
/--0
I~;)f('-!-
j, = ~ [;
- (SI
+ S2) + 2u (Evrx' -
s. =S2
P
=
EM)]
(4.2 I)
2" = 2p
1t
e a Eq. 4.21 simplifica-se para
j, = 2,,' (Evrx' - Evrx)
A Eq. 4.21 deve ser usada se as engrenagens não são padronizadas, isto é, se
'!- S2' As engrenagens não padronizadas serão apresentadas no Capítulo S.
Valores recomendados para jogo primitivo podem ser encontrados nos manuais
de engrenagens.
4.9 Engrenagens de Dentes Internos. Em muitas aplicações uma engrenagem
evolvental de dentes internos é engrenada com um pinhão em lugar de duas engrenagens de dentes externos, a fim de obter certas vantagens. Talvez a vantagem mais
importante seja um c(;>njuntomais compacto. Também para as mesmas dimensões
dos dentes, as engrenagens de dentes internos terão maior comprimento de contato,
maior resistência nos dentes e menor deslizamento relativo entre dentes em contato
do que as de dentes externos.
Em uma engrenagem de dentes internos, os perfis de dente são côncavos e não
convexos como em uma engrenagem de dentes externos. Devido a esta forma,
pode ocorrer um tipo de interferência que não é possível em uma engrenagem de
dentes externos ou em uma cremalheira. Esta interferência ocorre entre perfis
inativos quando os dentes entram e saem de contato e não houver suficiente diferença entre os números de dentes da engrenagem de dentes internos e do pinhão.
A Fig. 4.22 mostra um pinhão engrenado com uma engrenagem de dentes internos.
SI
Circunf.
de pé
Circunf. primitiva
Cinrcunf. de cabeça
Eles têm dimensões tão próximas que essa interferência ocorre nos pontos a, b,
c, d ee. Quando uma engrenagem de dentes internos é usinada, usa-se uma ferramenta pinhão, tipo Fellows, com dois dentes a menos do que a engrenagem que
está sendo usinada. Isto automaticamente reduz as extremidades dos dentes para
prevenir interferência nos pontos a, b, c, d e e. Pode haver também interferência
evolvental entre perfis ativos do mesmo modo que nas engrenagens de dentes externos. Isto será discutido no próximo par~grafo.
A Fig. 4.23 mostra dois dentes da Fig. 4.22 em contato com a linha de ação
tangente à circunferência de base da engrenagem no ponto f e tangente à circunferência de base do pinhão no ponto g. Pode-se iniciar no ponto f, um perfil evolvental para a engrenagem, mas a evolvente para o pinhão não pode começar antes
do ponto g. O ponto g é, então, o primeiro ponto possível de contato sem interferência evolvental e determina a altura de cabeça máxima da engrenagem. O
ponto h, interseção da circunferência de cabeça do pinhão e a linha de ação, é o
fim do contato, e o comprimento de ação é gPh. Deve-se mencionar que a relação
p = z/d vale tanto para uma engrenagem de dentes internos quanto para uma de
dentes externos.
,
10 Pin_h~
1
Circunferencia de base
Circunferência primitiva
~ircunf!rência _dece~
'O~ E"!iren89f!m
_
_
4.10 Engrenagens Cicloidais. Embora a engrenagem cicloidal tenha sido
grandemente substituída pela evolvental, o perfil cicloidal possui certas vantagens
dignas de nota. Estas serão discutidas brevemente. Para um tratamento detalhado
.de engrenagens cicloidais o leitor pode procurar uma das muitas referências sobre
o assunto.2
As engrenagens cicloidais não têm interferência e um dente cicloigal geralmente
é mais forte do gue .•pm dente evolventaLl'-ºrgue tem Oanco~ mais separados. em
contraste com os flancos radiais deste último. Os dentes cicloidais têm também
menos desUzamento.k..em consegüência. menos desgaste. A Fig. 4.24 mostra um
dente de engrenagem cicloidal e para comparação, um dente evolvental. Entretanto, uma importante desvantagem do engrenamento ciclojdaJ é o fato de gue
para um par de engrenagens cicloidais há sÓ uma distâncja entre ejxos. teoricamente
~,
e com a qual elas transmitirão movimento a uma relação constante de velocidades angulares. Outra desyaptagept é que, embQrj! seja lJOssíye1o fresamento
de uma engrenagem cicloidal, a ferramenta não é usinada tão facilmente qu'U!.t.o
\lma evolyeptal,po[que os dentes das crem.a1beiras ciçloidais não têm os lados retps
~Qmo os das eyolyeptais. por esta razão as engrenagegs eyolyeptais Podem ser
fabricadas com maior precisão e a cust<U:Vai§ baixo do Jlue as cjcloidais.
As engrenagens eVQlveptais substituiram cOIlll'-I~~ªJ!l~!ll,Ç_
f!.~cloidais
para
transmjs~ãQ de potência. Entretanto,~Lç~?l9.E:i~sãQ
largª.mttnte utilizadas tm
relojº~ri~~S~!!Osj.1.}!tr)J.me.PJ2.§~Qmk,
as quest§.es d~ h.ueLkrlnçllu,.[eSi~1~pcja sio
CJlDSjdera.cãeS
llriorjtárjas. Em relojoaria o trem de engrenagens da fonte de potência aumenta sua relação de velocidades angulares com a engrenagem impelindo o
pinhão. Em um relógio de puls03 este aumento pode ser tão grande quanto 5000 : I.
As engrenagens serão então tão pequenas que, a fim de impedir o uso de dentes
excessivamente pequenos. é necessário usar pinhões (engrenagens movidas, neste
caso) tendo somente 6 ou 7 dentes. O perfil de dente destes pinhões deve também
ser capaz de atuar em uma rotação de 60°. Para este propósito, as engrenagens
cicloidais são preferidas às evolventais. O problema da distância entre eixos e
relação de velocidades angulares não é importante neste caso porque todo o trem,
governado pelo escape pára e parte novamente várias vezes por segundo. A operação do trem envolve assim tão grandes variações de quantidade de movimento que
o efeito da forma do dente sobre esta variação é desprezível. O efeito da forma do
dente na consistência da razão de velocidade não é, assim, intrinsicamente importante.
Para dar corda, acertar e nas reduções minuto-hora, o pinhão impele a engrenagem e ambos os engrenamentos, cicloidal ou evolvental, podem ser usados.
Entretanto, os relógios americanos geralmente usam engrenagens evolventais.
4.1 Uma evolvente é gerada em uma circunferência de base que tem um raio
r b de 4 pol. Quando a evolvente é gerada, o ângulo que corresponde a Evrx varia
deO a 150. Para incrementos de 30 para este ângulo, calcule os ângulos de pressão rx
correspondentes e raios r para pontos na evolvente. Plote esta série de pontos em
coordenadas polares e ligue-os com uma curva contínua para representar a evolvente.
4.2 Escreva um programa de computador para o problema 4.1 fazendo
r = 3,4 e 5 pol. Determine os valores correspondentes de ângulo de pressão rx
e raio r para cada valor de r b'
4.3 A espessura de um dente de engrenagem evolvental é 0,314 pol com um
raio de 3,5 pol e um ângulo de pressão de 14,5 Calcule a espessura do dente e o
raio em um ponto na evolvente que tem um ângulo de pressão de 25
4.4 Se as evolventes que formam o contorno de um dente de engrenagem forem
prolongadas, seus flancos se encontrarão e o dente ficará pontudo. Determine o
raio em que isto ocorre para um dente que tem uma espessura de 0,262 pol em um
raio' de 4 pol e um ângulo de pressão de 20
4.5 A esp~ssura de um dente de uma engrenagem evolvental é 0,196 pol em
um raio de 2,0 pol e um ângulo de pressão de 20 Calcule a espessura do dente na
circunferência de base.
4.6 Os raios primitivos de duas engrenagens acopladas são 2,00 e 2,50 pol,
e os raios externos são 2,25 e 2,75 pol, respectivamente. O ângulo de pressão é 20
Faça um esquema destas engrenagens em escala I : I tal como o mostrado na
Fig. 4.10, e marque o início e o fim do contato. O pinhão é a peça motora e gira
no sentido horário. Determine e mostre os ângulos de aproximação e afastamento
para ambas as engrenagens. Desenhe as evolventes necessárias para determinar
qJF e qJ A pelo método aproximado
do Apêndice.
4.7 Um pinhão de 2,00 pol de raio primitivo gira no sentido horário e aciona
uma cremalheira. O ângulo de pressão é 200 e a altura da cabeça do pinhão e da
cremalheira é 0,20 pol. Faça um esquema, em escala 1 : 1, destas engrenagens, e
assinale o início e o fim do contato. Determine e indique os ângulos de aproximação
e afastamento para o pinhão. Desenhe as evolventes necessárias para determinar
qJF e qJ A pelo método aproximado
do Apêndice.
4.8 Duas engrenagens de dentes retos, iguais, com 48 dentes, engrenam-se
com raios primitivos de 4,00 pol e alturas de cabeças de 0,167 pol. Se o ângulo
de pressão é 14,5 calcule o comprimento de ação ga e a razão frontal de transmissão Ga.
4.9 A razão frontal de transmissão é definida como o arcO frontal de transmissão dividido pelo passo frontal ou como a relação do comprimento de transmissão com o passo base. Prove que
0
•
0
•
0
•
0
•
0
•
0
,
• As normas da AGMA não apresentam engrenagens com unidades no SI. Por esta razão, não há
problemas nos capítulos 4, 5, 6 e 7 empregando essas unidades.
Arco frontal de transmissão
passo frontal
Comprimento de transmissão
passo base
4.10 Descrc;va uma equação para o comprimento de ação g(l. para um pinhão
que comanda uma cremalheira em termos do raio primitivo r; o raio base r b' a altura
de cabeça ha e o ângulo de pressão (1..
4.11 Um pinhão com um raio primitivo de 1,50 pol impele uma cremalheira.
O ângulo de pressão é 14,5°. Calcule a máxima altura de cabeça possível para a
cremalheira sem haver interferência evolvental no pinhão.
4.12 Um pinhão com 24 dentes, passo 12, ângulo de pressão 200, dentes normais, impele uma engrenagem de 40 dentes. Calcule os raios primitivos, raios base,
saliência, profundidade e espessura de dente na circunferência primitiva.
4.13 Um pinhão com 18 dentes, diametral pitch 8, ângulo de pressão 25°,
dentes normais, impele uma engrenagem de 45 dentes. Calcule os raios primitivos,
raios base, alturas de cabeça e de pé e a espessura do dente na circunferência primitiva.
4.14 Um pinhão de 42 dentes, diametral pitch 120, ângulo de pressão 1200,
dentes normais, impele uma engrenagem de 90 dentes. Calcule a razão frontal
de transmissão.
4.15 Se os raios de um pinhão e uma engrenagem são aumentados tal que cada
um se torne uma cremalheira, o comprimento de transmissão, teoricamente, se
torna um máximo. Determine a equação para o comprimento de transmissão
sob estas condições e calcule a razão frontal de transmissão máxima para sistemas
de dentes normais com ângulos de pressão 14,5°, 200 e 25°.
4.16 Um pinhão com 20 dentes, diametral pitch 4, ângulo de pressão 200,
dentes rebaixados, aciona uma cremalheira. Calcule o raio primitivo, raio base,
altura de trabalho, altura total e a espessura dos dentes da cremalheira na linha
primitiva.
4.17 Uma cremalheira de dentes normais, ângulo de pressão de 200, tem uma
saliência de 0,25 pol. Calcule o passo base e mostre-o como uma dimensão da
cremalheira, em escala I: I.
4.18 Determine o número de dentes em uma engrenagem evolvental de dentes
retos, normais, ângulo de pressão 14,5°, tal que os diâmetros das circunferências
de base e de pé sejam iguais.
4.19 Determine para um par de engrenagens de dentes retos: (a) uma equação
para a distância entre eixos a como função dos números de dentes e do diametral
pitch. (b) as várias combinações de engrenagens de dentes normais, ângulo de
pressão 200, 'que podem ser usadas para operar a uma distância entre eixos de 5,00
pol com uma razão de velocidades angulares de 3 : 1. O diametral pitch não deve
ser superior a 12 e as engrenagens não podem ser adelgaçadas. As engrenagens
devem ser fresadas.
4.20 Um pinhão com 30 dentes, normais, ângulo de pressão 25°, diametral
pitch 6, impele uma cremalheira. Calcule o comprimento de transmissão e a razão
frontal de transmissão.
4.21 Um pinhão com 24 dentes, diametral pitch 2, ângulo de pressão 20",
dentes normais, aciona uma cremalheira. Se o pinhão gira no sentido anti-horário,
a 360 rpm, determine, graficamente, a velocidade de deslizamento entre um dente
do pinhão e da cremalheira no início do contato, no ponto primitivo e no fim do
contato. Use uma escala de 1 pol = 10 pés/sego
4.22 Duas árvores, cujos eixos estão afastados de 8,5 pol devem ser acopladas
com engrenagens de dentes retos com uma razão de velocidades angulares de 15 : 1.
Usando um diametral pitch 6, selecione dois pares de engrenagens que melhor se
ajustem aos requisitos acima. Que modificação teria que ser tolerada nos dados
para cada conjunto utilizado?
4.23 Uma ferramenta fresa, dentes normais, diametral pitch 8, ângulo de pressão 14,5°, é usada para usinar uma engrenagem de dentes retos. A ferramenta
tem hélice à direita com um ângulo de 2°40', um comprimento de 3;00 pol e um diâmetro externo de 3,00 pol. Faça um esquema em escala 1 : 1 da ferramenta, usinando
uma engrenagem de dentes retos de 48 dentes. O disco da engrenagem tem I 1/2 pol
de espessura. Mostre o cilindro primitivo da ferramenta sobre o disco de engrenagem com o passo da hélice da fresa em correta relação com o passo frontal do
dente da engrenagem. Mostre três dentes da engrenagem e 1 1/2 voltas da hélice
da fresa: posicione estes elementos por meio do passo frontal. Assinale os eixos da
fresa e do disco da engrenagem, o ângulo de avanço da ferramenta e a direção de
rotação da fresa e do disco de engrenagem.
4.24 Para um ângulo de pressão de 22,5° no sistema de dentes normais, calcule
o número mínimo de dentes para um pinhão engrenar-se com uma cremalheira sem
interferência evolvental. Também calcule o número de dentes em um pinhão para
engrenar-se com uma engrenagem de igual tamanho sem interferência evolvental.
4.25 Um pinhão com 24 dentes, diametral pitch 8, ângulo de pressão 20",
impele uma engrenagem com 56 dentes. Determine o raio de cabeça de modo que
a circunferência de cabeça de cada engrenagem passe pelo ponto de interferência
da outra. Calcule o valor de k para cada engrenagem.
4.26 Duas engrenagens iguais, diametral pitch 5, ângulo de pressão 200,
engrenam-se de modo que a circunferência de cabeça de cada uma passa pelo
ponto de interferência da outra. Se a razão frontal de transmissão é 1,622 calcule
o número de dentes e o raio de cabeça para cada engrenagem.
4.27 Duas engrenagens evolventais, ângulo de pressão 200, são montadas à
distância entre eixos de referência. A circunferência de cabeça de cada engrenagem passa pelo ponto de interferência da outra. Deduza uma equação para k como
função de z, onde z é o número de dentes e k uma constante que quando dividida
pelo diametral pitch é a saliência.
4.28 No esquema de uma engrenagem mostrado na Fig. 4.25, ôs dentes têm
ângulo de pressão de 200 e são normais. Se o diâmetro primitivo é 4,80 pol e o
diametral pitch 5, calcule o raio do pino que fica em contato com o perfil no ponto
principal. Calcule o diâmetro m medido sobre dois pinos opostos.
4.29 Um pinhão com 40 dentes, diametral pitch 10, ângulo de pressão 14,5°,
dentes normais, é montado com uma cremalheira, sem folga. Se a cremalheira é
afastada 0,07 pol calcule o jogo primitivo produzido.
4.30 Um pinhão com 18 dentes, diametral pitch 12, ângulo de pressão 20°,
dentes normais, impele uma engrenagem de 54 dentes. Se a distância entre eixos
com que as engrenagens operam é 3,05 pol, calcule o ângulo de pressão de funcionamento.
4.31 Um pinhão com 36 dentes, normais, diametral pitch 10, ângulo de pressão
14,5°, impele uma engrenagem com 60 dentes. Se a distância entre eixos é aumentada
em 0,025 pol, calcule (a) os raios das circunferências primitivas de funcionamento,
(b) o ângulo de pressão de funcionamento e (c) o jogo primitivo produzido.
4.32 Um pinhão com 24 dentes rebaixados, diametral pitch 4, ângulo de pressão
200, aciona uma engrenagem de 40 dentes. Calcule (a) a distância entre eixos máxima
teórica com que estas engrenagens podem operar separadas para continuar a haver
movimento e (b) o jogo primitivo nas novas circunferências primitivas quando as
engrenagens são separadas da distância calculada em (a).
4.33 Um pinhão com 24 dentes tem uma espessura de dentes de 0,255 pol em
um raio primitivo de 1,50 pol e um ângulo de pressão de 200. Uma engrenagem de
40 dentes tem uma espessura de dentes de 0,230 pol em um raio primitivo de 2,50 pol
e um ângulo de pressão de 200. Calcule o ângulo de pressão e a distância entre
eixos se estas engrenagens são montadas sem jogo primitivo.
4.34 Um pinhão de 15 dentes, diametral pitch 10, ângulo de pressão 25°, impele
uma engrenagem de 45 dentes. Usando um computador, calcule o jogo primitivo
produzido quando a distância entre centros é aumentada de 3,00 para 3,030 pol
em incrementos de 0,001 pol.
4.35 Um pinhão de 34 dentes, diametral pitch 96, impele uma engrenagem de
60 dentes. Se a distância entre centros é aumentada de 0,005 pol, compare o jogo
primitivo produzido utilizando os ângulos de pressão de 14,5°, 20" e 25°.
Engrenagens de Dentes Retos
Corrigidas
•••••
••••••
.
•
•
••••••
5.1 Teoria das Engrenagens de Dentes Retos Corrigidas. O defeito mais grave
do sistema de engrenamento evolyental é.a.QQssibilidadede. interferência entre.Jl
~xtremidade dos dentes da eDl:renagem cgm os f1aDCosdo pinbão, Quando o núm~ro
g.~~~tes deste úl~imo é.m~nor do que o mínimo para o sistemapinhãQ-engrenagem.
Q.uando ocorre in.t~Ifur~cia, o metaLçm.c<xcesso ~ remº_Ylº9_!loJ}~do
e.i-~.~!.Q.,Jl.daj~s:mlltª...Q.Ye~ra..os dentes. Esta remc;>çãode_I!!etalpeIl1J~~a
~ cl;>nneçjdacomo adelgaçamento e normallll~J1!eocorre, a menO~Lq~esejam tomadas
providênciª.§...1?-arapre\ifiii-="!a.Se a ferml,llenta não. removesse este metal, as .!!!tas
ellgrenaglm.s_º~º girariam Quando monlligas porque a engrenagem, devido à interferência, tenderia a penetrar no flanco do pinhão. ~a. re.ªli<1ªgeJ,_ç.l1tre~nto,as
@,grenagenS po.derão girar livrelll~nte porque o flancoºº.pinhão
foi adelgaçadp.
Mas isto não só en~ce
o dente.do pjnhão como tªm~m Qode remOy.eL~a·
pequena parte da evolvente adjaçente à circunferência de base, o que pode ç~r
s~ria reduçª,-o no comprimento .de.transmissão.
A tentativa eara eliminar...a interferência. e seu j;.OJlseqUenteadelgaçamento
!çvouao..dessau::2lyimento de várjQs sistemas não Padronizados de engrenament9,
.a1guns 40s q1.!ais requerem ferramentas espeçjais. Qois des~s ~is!..emastiXCJ:.am
êxito e têm larga. aplicação porq',ieJ)'odem ser usadas ferramentas normalizadas
Para .,gerar os dentes. NQ'primeiro método, guando o pinhª-o está sendo cortado,
a ferramenta é afast.ªºa ~e. uma certa dts..tância da ~bra, ~o
qu~ a ~inha de
cabeça da cremalheira baslca passe pelo ponto de IAtef~a
'00 pmhao. Isto
~liIl1inao adelgaçamento...mas a espessu~acio dente ficará aume.ntada com ~.ms-
mmgente decréscimo no vão .• ste>está ilustrado na F'ig,_5.1, onde (a) mostra os
QenJ~s adelgaçados e lb) QS dentes resultantes quando a ferramenta foi afastada.
Montando-se este pinhão (Fig. 5.th) com sua engrenagem, nota-se que a distância
entre eixos aumenta devido ao 9J~çré~cim()do vão do dente. Elâriao"'p<>de mais ser
êalcuiãdã&retâmente dodiametral pitch e do número de dentes e então é considerada não normalizada. Q ãng\ll()_Qepressão eIt! qp~.~ .~nsrenagens operam também
aumenta. ~C~_JH:~
de eliminar a interferência é conhecido como o sistema
de 'di"rtáucia eptre eixos -~-;"mentada.
Q afastamento da ferramenta não precisa limitar-se ao pinhão mas pode ser
aplica<!Q_a....aJ~lbos,
pinhão e engrenagem, seaLcondições
permitirem.
Uma variação desse sistema é a Prática de avançar a fer~amenta na engrena'gem O l?
~ mesma quantidade que será afastada no pinhão. IMO resultará em uma. saliência
J I
~uI!le.J1tadapara o pinhão e em uma profundidade diminuída P<ir.a.
__
a. engrenagem; N"~
o acréscimo na saliência do pinhão igualará o decréscimo na profundidade da engrenagem. As saliências também se modificarão em ambos de maneira que a altura
de trabalho será a mesma de uma engrenagem sem correção. ~ distância entre eixos
~rmanece a de referência bem como o ângulo de pressão~ ~!c: sistema é conhecido
como o sistema de saliências diferentes.
Devido à modificação nas proporções do deme.,.,aespessura dol:!ente da engreQaOem 'da circunferência primitiva é reduzida e a do pinhão aumentada. Devido
ao fato de que os..Q.entesdo pinhão sãQ mais fracos do que ()s dentes da-engre~
q!!ando ambos são feitos do mesmo material, o sistema de saliências diferentes
tende ªj~alar
a resistência dos dentçs. O sistema de saliências diferentes só pode .
ser aplicado Quando Jl interferência ocorre em uma engren~K~m de um par. Este
sistema I!.ã<:>~odeser aplica<to__quando as engrenagenS são iguais ou aproximada'!!.~I!teiguais em tamanho porque a interferência seria eliminada em uma engrenagem e aumentada na outt;a.
Estes dois métodos foram desenvoLvi.d~inicialmente par.ª eliminar a interferência, entretanw, são usad()~_também largamente para melhorar a razão frontsU
de t~n.smis.~ão, para modi!icªr a forma do dente, a fi1!!.<!~
aumentar a sua resistêu,cia,
m~sIUOse não houver interferência, e pam.montar engrenagen~ ..~J!.ldistâncias entre
eixos
diferentes da de referência.
- .
--'_'_~_"""-~_"-------_'-'
~
Os dois sistemas podem ser aplicados a ~ngrenagens de de.ntes retos, helicoidais
~.cônicas. De fato, o sistema para engrenagens cônicas é um sistema de saliências
diferentes.
Agora serão desenvolvidas fórmulas paraª_ aplicação destes dois sistemas_a
~ngrenagens de dentes retos usinadas com ferramenta fresa.
5.2 Sistema de DistAncia Entre Eixos Aumentada. A Fig. S.la mostra em linha
cheia uma cremalheira cortando um pinhão que tem menos dentes do que o mínimo
permitido para evitar a interferência. A cremalheira e'o pinhão estão montados à
distância entre eixos de referência, com a linha primitiva da cremalheira tangenciando a circunferência primitiva de referência do pinhão. A linha de cabeça da
cremalheira passa acima do ponto de interferência E do pinhão de modo que os
flancos dos dentes do pinhão ficam adelgaçados conforme mostrado. Para o dente
da cremalheira eliminar a folga necessária na raiz do dente do pinhão, sua altura
teria que ser aumentada. Para simplificar o esquema, esta altura adicional é mostrada tracejada em um só dente. A mesma disposição pode ser usada para ilustrar
a ação de uma ferramenta fresa cortando o pinhão, porque cinematicamente os
dentes de uma cremalheira e de uma fresa são idênticos.
Linha primitiva de
referência
Altura adicional
Necesséria para eliminar
a folga
\
\
Linha primitiva de corte ambos os calOS
=
_ Xm~(També~
lin~ primiti"!...~.!!ferência
antes do re.cuo da ferra~nt8
"
Linha primitiva de referência - recuo da ferrementa
/)/1
/
JI/
I
~Pb
Para evitar o adelgaçamento afasta-se a cremalheira de uma distância xm de
modo que sua linha de cabeça passe pelo ponto de interferência E. Esta situação
é mostrada pontilhada na Fig. S.2a, e resulta no corte de um pinhão com dentes
mais largos do que antes. Quando a cremalheira é afastada, o raio de cabeça do
pinhão também deve ser aumentado (usinando-se um disco maior), Pllra permitir
---...
a manutenção da folga entre as extremidades dos dentes do pinhão e as raizes dos
dentes da cremalheira. A mesma folga é usada tratando-se de engrenagem normalizada ou não.
Para mostrar mais claramente a modificação nos dentes do pinhão, a cremalheira da Fig. 5.2a foi afastada para baixo e para a direita objetivando manter o
mesmo perfil esquerdo do dente em ambos os casos. Quando duas engrenagens,
em que uma ou ambas forem geradas com a ferramenta afastada, forem montadas,
a distância entre eixos será maior do que a de referência. Além disso, o ângulo de
pressão em que operarão será maior do que o ângulo de pressão da ferramenta.
Como foi mencionado previamente, quando um pinhão normalizado é gerado
pela cremalheira, a linha primitiva de referência da cremalheira tangencia a circunferência primitiva de corte do pinhão. Neste caso, a linha primitiva de referência
é também a linha primitiva de corte. Quando a cremalheira é afastada uma distância
xm, chamada de correção, a linha primitiva de referência não será mais tangente à
circunferência primitiva de corte do pinhão, portanto não será mais a linha primitiva de corte. Uma nova linha na cremalheira atuará como tal. A Fig. 5.2b mostra
mais claramente as duas linhas primitivas na cremalheira quando ela está cortando
um dente não normalizado. Da Fig. 5.2a pode ser visto que a circunferência primitiva de corte no pinhão permanece a mesma, independentemente do pinhão ser
normalizado ou não.
A espessura do dente do pinhão, aumentada em sua circunferência primitiva
de corte, pode ser determinada a partir do vão do dente da cremalheira em sua
linha primitiva de corte. Da Fig. 5.2b esta espessura pode ser expressa pela seguinte
equação:
A Eq. 5.1 pode então ser usada para calcular a espessura do dente na circunferência primitiva de referência ou de corte de uma engrenagem gerada por uma
ferramenta afastada de uma distância xm: xm será negativa se a ferramenta avançar
sobre o disco da engrenagem.
Esta equação pode também ser usada para determinar quanto uma ferramenta
deve avançar em um disco de engrenagem para resultar um jogo primitivo especificado.
Na Fig. 5.2 a cremalheira foi afastada de uma distância suficiente para que a
linha de cabeça passasse pelo ponto da interferência do pinhão. É possível desenvolver uma equação tal que a correção xm possa ser determinada para satisfazer
esta condição.
xm = AR + DA - DP
k
p
= - + r b cos IX - r
rb
= r cos IX
Z
XIII
=
k
= --r(l-cos21X)
p
1
z
2
p(k - T sen IX).
Há duas equações que foram desenvolvidas na seção 4.2 (Capítulo 4) que encontram aplicação particular no estudo de engrenagens não normalizadas.
Através destas equações é possível determinar o ângulo de incidência frontal
e a espessura de dente em qualquer raio 1'8 se ambos são conhecidos em outro raio r A'
Para engrenagens não normalizadas, a espessura de referência que corresponde à
espessura sAna Eq. 5.4 é a espessura de dente na circunferência primitiva de corte,
que pode ser calculada para qualquer afastamento da ferramenta pela Eq. 5.1.
O ângulo de incidência frontal de referência que corresponde a IXA é o ângulo de
pressão da ferramenta. O raio neste ângulo de pressão é o raio da circunferência
primitiva de corte.
Quando duas engrenagens, engrenagem 1 e engrenagem 2, que foram usinadas
com correções xml e xm2, respectivamente, forem montadas, operarão em novas
circunferências primitivas de raios r~ e r; e com um novo ângulo de pressão IX'. As
espessuras dos dentes nas circunferências primitivas de funcionamento podem ser
expressas como
e
e podem ser facilmente calculadas com a Eq. 5.4. Estas
dimensões são mostradas na Fig. 5.3 juntamente com a espessura dos dentes SI e S2
nas circunferências primitivas de raios r I e I'z.
Agora será desenvolvida uma equação para determinar o ângulo de pressão IX
em que estas duas engrenagens operarão.
s; s;
21"
s
~I-
1 [ 2"1
s
211:1" 1
+ (Eu IX - Eu IX') ] - 2,.' [ ~z_
- (Eu IX - Eu IX') ] = __
2
2"2
Z1
Engrenagem
Circunf.
1
primitiva
de corte
Circunf. primitiva
funcionamento
de
[~2rl + (Ev a - Ev a')J + rir~ [~+
2r2
SI
ZI + Z2
+ S2 = -1tp + ~-~(Ev
p
(Ev a - Ev OOJ = ~
ZI
a' - Ev a).
pt
pt
1t
Z I + Z2
2xml tg a + T + 2xm2 tg a + T = p +
P
(Ev a' - Ev a)
2 tg a (xml
ZI + Z2
+ xm2) + Pt = -1tp + ~-~~(Ev
p
a' - Ev a).
_
xm1 + xm2 -
(Zl
+ Z2) (Ev rx' - Ev rx)
2 t
P g rx
Usando a Eq. 5.7 é possível determinar o ângulo de pressão rx' em que duas
engrenagens operarão depois de terem sido cortadas por uma fresa afastada de xm I
e xm2, respectivamente. Para calcular o acréscimo na distância entre eixos (sobre
a distância de referência a) devido ao ângulo de pressão aumentado, a Eq. 4.15 pode
ser usada e é repetida aqui:
Aa
= a
[ cos rx - 1J
cos rx'
Freqüentenente é necessário projetar engrenagens para serem montadas com
uma distância entre eixos predeterminada. Neste caso, o ângulo de pressão é
fixado pelas condições do problema e é necessário determinar as correções xml
e xm2 da ferramenta. A soma (xm1 + xm2) pode ser determinada pela Eq. 5.7a.
Entretanto deve ser observado que a soma de xm1 e xm2 não é igual ao acréscimo na
distância entre eixos em relação à distância entre eixos de referência. Infelizmente
não há maneira de determinar racionalmente xml e xm2 independentemente.
Por isto os valores são usualmente selecionados supondo um deles através de alguma relação empírica tal como variá-l os inversamente (ou diretamente se xm. + xm2
é negativo) com o número de dentes nas engrenagens, em uma tentativa de reforçar
os dentes do pinhão. Entretanto, este método de selecionar xm1 e xm2 geralmente
não leva os dentes do pinhão e engrenagem a terem resistências próximas. Em uma
tentativa para corrigir esta situação, Walsh e Mabie1 desenvolveram um método
para determinar a correção xm1 da ferramenta a partir do valor de xm1 + xm2
para um par de engrenagens de dentes retos projetado para operar a uma distância
entre eixos diferente da de referência. Usando um computador digital, foi possível
ajustar xm1 e xm2 para várias relações de velocidades e variações na distância
entre eixos de modo que a tensão nos dentes do pinhão fosse aproximadamente
igual à nos dentes da engrenagem.
Devido à complexidade do problema, os resultados tiveram que ser apresentados em forma de gráficos. Estes mostram curvas de xm1/(xm1 + xm2) versus
Z2/ (Zl + Z2) para várias alterações na distância entre eixos. Estes gráficos foram
desenvolvidos para um ângulo de pressão da ferramenta rx de 20°, dentes normais
(k = I) e passo frontal grande. Embora as curvas tenham sido plotadas para dados
baseados em um diametral pitch um, elas podem ser usadas para qualquer diametral
pitch até 19,99 (limite do passo frontal grande). As curvas foram também plotadas
para Z 1 = 18 e Z 2 de 18 a 130 dentes. Quando Z 1 toma outros valores, introduz-se
1 E. J. Walsh e H. H. Mabie, "A Simplified Method for Determining
Hob Offset Values in the
Design of Nonstandard Spur Gears", Proceedings, Second OSU Applied Mechanism Conference.
Stillwater, Oklahoma, Outubro, 1971.
um erro muito pequeno (menos de 4 %). Um exemplo está apresentado na Fig. 5.4
para alterações na distância entre eixos de A C = 1,175 a 1,275 pol, para p = I.
---
í
0,80
+
!
E- 0,70
lo<
0,50
0,50
0,70
z,/(z.
0,75
+z,)
Um pinhão e uma engrenagem de 20 e 30 dentes, respectivamente,
devem ser
cortados por um fresa de ângulo de pressão 20°, diametral pitch 5, para operar em
uma distância entre eixos de 5,25 pol, sem jogo primitivo.
Determine os valores
de xml e xm2 de modo que sejam obtidos dentes com espessura adequada para que
a resistência dos dentes do pinhão seja aproximadamente
igual à dos dentes da engrenagem. A distância entre eixos de referência é dada por:
ZI
a = ---
+ Z2 = 20
----+ 30
2p
2 x 5
= 5,00 pol
Ângulo
de pressão
de funcionamento:
cos rx
,
. a
a'
5O
= - cos rx = -'-
5,25
cos 20°
Va = a' - a = 5,25 - 5,00
= + 0,25 poI.
o valor de Va deve ser multiplicado pelo diametral pitch porque as curvas são
baseadas em p = I.
/ia = Va x p = 0,25 x 5
= 1,25
30
20 + 30 = 0,60
Xn1.
+ Xn12
XI1I.
xm1 + xm2 =
= 0,543
(z 1 + Z2) (Ev a.' - Ev a.)
2p tg a.
(20 + 30) (Ev 26,5° - Ev 20")
2 x 5 tg 20"
XI11.
= 0,543 (Xn11 + Xn12)
= 0,543 (0,29073)
= 0,15787 pol
Embora nào seja prático acompanhar todos os cálculos necessários para encontrar as tensões nos dentes do pinhào e da engrenagem, é interessante observar que
s = 9,959 F"
1
F
Fn = carga normal na extremidade do dente
F = espessura da face do dente.
Além dos gráficos para alterações positivas na distância entre eixos, como ilustrado na Fig. 5.4, o trabalho contém também uma série de gráficos para alterações
negativas na distância entre eixos.
Outro método para a solução do problema da determinação de xm1 e xm2
foi desenvolvido por Siegel e Mabie2. Por este método, xm1 e xm2 são selecionados
para uma aplicação particular a fim de serem obtidas proporções de dentes que levem
a uma relação máxima entre comprimentos de afastamento e de aproximação e,
ao mesmo tempo, a uma razão frontal de transmissão />a de 1,20 ou maior. Este
sistema é baseado no fato de que um par de engrenagens funciona mais suavemente
saindo de contato do que entrando em contato. Então é mais vantajoso ter uma
relação entre comprimentos de afastamento e de aproximação tão alta quanto
possível, especialmente para engrenagens para aplicação em instrumentos.
Não é possível calcular saliência e profundidade de uma engrenagem com a
distância entre eixos aumentada a menos que estejam disponíveis informações
sobre a engrenagem com que ela deve se engrenar. A Fig. 5.5 mostra duas engrenagens que devem se acoplar a uma dada distância entre eixos a'. As engrenagens
devem ~er cortadas com uma fresa que é afastada xm1 no pinhão e xm2 na engrenagem. E necessário calcular o diâmetro de cabeça de cada engrenagem e a profundidade de corte. A linha central da engrenagem 2 foi deslocada para a direita de
forma que um dente da ferramenta possa ser mostrado acoplado com cada disco.
Sabendo-se a distância entre eixos, os raios das circunferências primitivas, as correções, a forma do dente e o diametral pitch da ferramenta, é possível escrever as
equações para os raios de cabeça, como se segue:
,
ra2 = a - ri - xm1
+ -k
p
Deve ser notado na figura que as alturas de cabeça das duas engrenagens não
são iguais entre si nem são iguais ao k/p da ferramenta.
Uma equação para a profundidade de corte pode também ser facilmente
desenvolvida a partir da Fig. 5.5.
h = rll1 + r a2 - a' + c
onde c é obtido nas Tabelas 4.1 ou 4.2
2 R. E. Siegel e H. H. Mabie, "Determination
of Hob Offset Values for Nonstandard Gears Based
on Maximum Ratio of Recess to Approach Action", Proceedings, Third OSU Applied Mechanism
Conference, Stillwater, Oklahoma, Novembro, 1973.
---------+
I
I
I
5.3 Sistema de Saliências Diferentes. Se a ferramenta avança no disco da
engrenagem a mesma distância que é afastada do pinhão, Xnl2 = -Xnll e da Eq. 5.7,
IX' = IX. Assim o ângulo de pressão em que as engrenagens operarão é o mesmo em
que foram usinadas. Porque não há alteração no ângulo de pressão, r; = ri e r~ =
= 1'2' e as engrenagens operarão na distância entre eixos de referência.
A saliência do pinhão é aumentada para k/p + xm e a saliência da engrenagem
é reduzida para k/p - xm. A espessura de dente na circunferência primitiva de corte
pode ser prontamente calculada pela Eq. 5.1, mantendo-se em mente que a espessura de dente da engrenagem diminui da mesma quantidade de que aumenta a
do dente do pinhão. Como foi mencionado previamente, há condições em que
este sistema não funciona adequadamente. A fim de que este sistema tivesse sucesso,
o professor M. F. Spotts, da Northwestern University, determinou que para engrenagens com ângulo de pressão de 14,5°, a soma dos números de dentes deve ser
pelo menos 34. Para ângulo de pressão de 25° o valor mínimo da soma é 24.
As proporções das engrenagens usinadas por uma ferramenta pinhão para
qualquer destes dois sistemas não serão as mesmas que quando cortadas por uma
ferramenta fresa. As fórmulas precedentes aplicam-se só a engrenagens cortadas
por uma ferramenta fresa ou por uma ferramenta cremalheira. Entretanto, podem
ser desenvolvidas fórmulas para engrenagens cortadas por ferramentas pinhão
usando os princípios acima.
Duas engrenagens de dentes retos de 12 e 15 dentes, respectivamente, devem
ser cortadas por uma fresa, ângulo de pressão 20", dentes normais, diametral picth
6 e não devem apresentar adelgaçamento. Determine a distância entre eixos em
que devem operar as engrenagens.
p (k - T sen IX
xm1 = 1
Zl
2 )
no)
= -1 ( 1 00 - -12 sen 2 2u
6'
2
I
15
T sen220"
xm2
= 6"
Ev IX'
= Ev IX + 2p (xm1
1,00 -
Zl
= 0,01490
+ xm2) tg IX
+ Z2
+ 2 x 6 (0,04968 + 0,02045) tg 20"
12 + 15
= 0,01490 + 0,01134
= 0,02624
r-
r 1 cos IX
cos IX'
r-
x 0,9397
0,9135
r-
r~ =
I'"'
r-
r 2 cos IX
cos IX'
1,25 x 0,9397 _ 1 2858
I
09135
'
po
,
e
rr-
Exemplo
5.3
r-
Duas engrenagens de 32 e 48 dentes, normais, ângulo de pressão de 14,5°,
diametral pitch 8, operam à distância entre eixos de 5 pol. A fim de alterar a relação
de velocidades, deseja-se substituir a engrenagem de 32 dentes por uma de 31.
Deve-se manter a espessura de dente na circunferência primitiva de corte da engrenagem de 48 dentes, assim como a distância entre eixos de centros de 5 pol. Determine o valor de xml que dará a espessura adequada de dente para engrenamento
com a engrenagem de 48 dentes.
2P = 2 31x 8 = 1,9 3 7 5 po I
Z2
31
x 5
79
--
r~ =
i~
x 5 = 3,0379 pol
,
r I cos O( 1,9375 x cos 14,5°
cosO( = --=
r'I
1,9621
xml
_ (31 + 48) (0,009120-0,0055448)
+ xm2 2 x 8 x 0,25862
xml
+ xm2 =
79 x 0,003575
16 x 0,25862
0,282425
4,13792
xm 2 = O
.
xml = 0,06825 pol
5.4 Engrenagens de Ação de Afastamento. Outro tipo interessante
nagens não padronizadas
é o de engrenagens
de ação de afastamento,
de engreassim cha-
madas porque a maior parte ou toda a ação entre os dentes acontece durante a fase
de afastamento do contato. O sistema de saliências diferentes é uma forma de
engrenagens de ação de afastamento. Sabe-se que a região de afastamento no
contato de um par de engrenagens é muito mais suave que a região da aproximação.
Foi baseado nisto que forâm desenvolvidas as engrenagens de ação de afastamento
e foi constatado que estas engrenagens duram mais e operam com menos atrito,
vibração e barulho do que as engrenagens com dentes de proporções normalizadas.3
Engrenagens de ação de afastamento podem ser usinadas usando ferramentas
fresa e pinhão normalizadas e sua forma de dente é igual à dos dentes de engrenagens
padronizadas e são montadas na mesma distância entre eixos. Então, um par de
engrenagens de ação de afastamento pode ser usado para substituir um par de
engrenagens de dentes retos padronizados sem alterar a distância entre eixos.
A resistência das engrenagens de ação de afastamento é aproximadamente a
mesma que para as engrenagens normalizadas. Entretanto, uma engrenagem deste
tipo deve ser projetada para operar ou como motora ou como movida; ela não pode
ser projetada para operar como ambas. Entretanto, um pinhão de ação de afastamento pode impelir uma engrenagem em qualquer direção, isto é, ele pode mudar
a direção de rotação durante um ciclo de operação. As engrenagens podem ser
usadas para uma caixa de multiplicação ou redução, mas a potência deve fluir sempre
na mesma direção. Se o fluxo de potência muda de direção durante a operação,
ocorre um escoamento, na área de contato dos dentes, que resulta em atrito e desgaste. Devido a estas limitações, engrenagens de ação no afastamento não podem
ser usadas como intermediárias operando em distâncias padronizadas.
Há dois tipos de engrenagens de ação de afastamento: (a) ação de afastamento
completa onde todo o contato é realizado no afastamento (b) ação de semi-afastamento. A fim de que um par de engrenagens de ação de afastamento tenha uma
razão frontal de transmissão adequada, e pouco ou nenhum adelgaçamento e os
dentes não sejam pontudos, os de afastamento completo têm que ter no mínimo
20 dentes na engrenagem motora e 27 na movida. Para engrenagens de semi-afastamento, entretanto, o número mínimo de dentes na motora é reduzido para 10 e
na movida para 20. As de ação de afastamento completo devem ser preferidas
porque toda a ação é realizada na região de afastamento. Entretanto, o grande
número de dentes necessários muitas vezes limita seu emprego e devem então ser
usadas as de ação de semi-afastamento.
A Tabela 5.1 mostra as proporções para os dois sistemas de engrenagens de
ação de afastamento. Para possibilitar uma comparação entre estas e as engrenagens padronizadas, são mostrados na Fig. 5.6 a altura de cabeça, o passo, a circunferência de base e o comprimento de transmissão para (a) engrenagens padronizadas
(b) engrenagens de ação de afastamento completo (c) engrenagens de ação de semiafastamento. Na Fig. 5.6b para o sistema (b) a circunferência primitiva da engrenagem movida (engrenagem 2) torna-se a circunferência de cabeça porque a saliência
é zero. Então, o comprimento de aproximação é zero, e todo o comprimento de
transmissão está na região de afastamento. A Fig. 5.6c para o sistema (c) mostra a
região de afastamento consideravelmente maior do que a região de aproximação
para este sistema.
Tabela S.1 Proporções dos dentes, Engrell88em da ação de afastamento
(Ãngulo de pressão a = 20°)
Ação de Semi-afastamento
Motora
Movida
Saliência (ha>
Profundidade (hf>
Diâmetro positivo (d)
1,500
0,500
p
p
---
0,796
p
2,000
--
--
1,796
0,296
p
p
--
--
Ação de Afastamento Completo
Motora
Movido
O
p
2,296
--
-p
z
z
z
z
p
p
p
p
z + 3
Raio de cabeça (ra)
---
Espessura do dente (s)
--
2p
+
2p
1,9348
p
z
1,2068
--
p
z +4
z
2p
2p
---
2,2987
--
p
Circunf.d~
A- In{cio do contato
B- Fim do contato
I Engrenagem 2
Fig.S.6a
0,8429
--
p
«Jv'4)lt--"
Engrenagem de ação
de afastamento completo
I
Engrenagem 1 (motora)
.~
()l
A -In{cio do contato
B- Fim do contato
Engrenagem de açio
de serni-efastarnento
A- In{cio do contato
B- Fim do contato
-~
I Engrenagem 2
Alberl. C. D. e F. S. Rogers. Killemalics of Machill<'l',I'. John Wi1ey and Sons, 1931. Buckingham, E.,
Spur Gears. McGraw-Hill Book Company. 1928.
Spotts. M. F .. Desigll ~lMachille E/emellls. first edition. Prentice-Hall. 1948. Steeds, W., Involute Gears,
Longmans. Green and Company. 1948.
5.1 Um pinhào com 12 dentes deve ser usinado por uma fresa de dentes normais,
ângulo de pressào 20". diametral pitch 2. Faça um esquema teórico dos dentes do
pinhão e da cremalheira em montagem padronizada, como mostra a Fig. 5.2a
Desenhe a evolvente do pinhão pelo método aproximado mas não trace os Bancos
do dente do pinhão. Mostre o efeito, no dente do pinhào, de afastar a cremalheira
básica at0 que sua linha de cabeça passe pelo ponto de interferência. Esta disposição deve ser mostrada tracejada e sobreposta ao primeiro esquema com o lado
do dente da cremalheira passando pelo ponto primitivo. Indique a circunferência
de base, a circunferência primitiva de corte, afastamento da ferramenta, ângulo de
pressão e linhas primitivas (de corte e padronizada) da cremalheira.
5.2 Um pinhão de 24 dentes deve ser usinado por uma fresa de dentes normais,
ângulo de pressão 14,5", diametral pitch 10. Calcule a distância mínima que a
ferramenta terá. que ser afastada para evitar o adelgaçamento. Calcqle o raio da
circunferência primitiva de corte e a espessura do dente nesta circunferência.
5.3 Uma engrenagem de 26 dentes deve ser usinada por uma fresa de dentes
normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 7. Calcule a máxima distância que
a ferramenta deve avançar no disco da engrenagem sem causar adelgaçamento.
Calcule o raio da circunferência primitiva de corte e a espessura de dente nesta
circun ferência.
5.4 Uma engrenagem de 20 dentes í: cortada por uma fresa de dentes normais,
ângulo de pressão 14,5°, diametral pitch 4, que foi afastado de 0,10 pol. Determine
se este afastamento t' suficiente para eliminar o, adelgaçamento. Se assim for, cal'cule a espessura de dente na circunferência primitiva de corte e na circunferência
de base.
5.5 Uma engrenagem de 35 dentes deve ser cortada com uma fresa de dentes
normais, ângulo de pressão 14,5°, diametral pitch 4. Calcule a alteração da ferramenta a partir da posição de referência para ser obtida uma espessura de dente de
0,400 pol em uma circunferência para a qual o ângulo de incidência frontal é 20".
5.6 Um pinhão de 20 dentes deve ser cortado por uma fresa de dentes normais,
ângulo de pressão 20°, diametral pitch 6. Qual será a alteração na posição da ferramenta para ser obtida uma espessura de dente de 0,274 pol em uma circunferência
para a qual o ângulo de incidência frontal é de 14,5°?
5.7 Um pinhão de 20 dentes deve ser cortado por uma fresa de dentes normais,
ângulo de pressão 20", diametral pitch 6. Calcule a espessura mínima de dente que
pode ser obtida sobre uma circunferência para a qual o ângulo de incidência frontal
é de 14,5°. O dente não deve ser adelgaçado.
5.8 Um pinhão com 1I e uma engrenagem com 14 dentes foram cortados por
uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20", diametral pitch 8. Para evitar
adelgaçamento a fresa foi afastada de 0,0446 pol no pinhão e 0,0227 pol na engrenagem. Calcule o ângulo de pressão e a distância entre eixos em que estas engrenagens operarão. Determine a diferença entre a distância entre eixos calculada acima
e a distância de referência, comparando-a com xml + xm2•
5.9 Prove que
5.10 Um pinhão de 15 e uma engrenagem de 21 dentes devem ser cortados com
uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 14.so, diametral pitch 6, para operar
em uma distância entre eixos de 3,20 pol. Determine se estas engrenagens podem ser
cortadas sem adelgaçamento para operar nesta distância entre eixos.
5.11 Usando os dados do exemplo 5.2, calcule os raios de cabeça dos discos
das engrenagens, a profundidade de corte e a razão frontal de transmissão.
5.12 Um pinhão e uma engrenagem de 13 e 24 dentes, respectivamente, devem
ser cortados por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20", diametral
pitch 4, para operar em uma distância entre eixos de 4,83 pol. Calcule o ângulo de
pressão em que as engrenagens operarão e os valores de xml e xm2• Faça xml
e xm2 inversamente proporcionais ao número de dentes. Verifique se xml é grande
o suficiente para evitar o adelgaçamento. Determine os raios de cabeça dos discos
das engrenagens, a profundidade de corte e a razão frontal de transmissão.
5.13 Usando os dados do exemplo 5.3 verifique se o valor de xm1 é suficiente
para evitar o adelgaçamento. Calcule os raios de cabeça dos discos das engrenagens,
a profundidade de corte e a razão frontal de transmissão.
5.14 Um pinhão de 12 dentes tem uma espessura de dente de 0,2608 pol em
sua circunferência primitiva de corte. Uma engrenagem de 32 dentes que se engrena
com ele tem espessura de dente de 0,1888 pol em sua circunferência primitiva de
corte. Se ambas as engrenagens foram cortadas por uma fresa de dentes normais,
ângulo de pressão 20°, diametral pitch 7, calcule a correção xm usada para usinar
cada engrenagem e o ângulo de pressão de funcionamento.
5.15 Um pinhão com 35 dentes, não padronizado, tem uma espessura de dente
de 0,188 pol, em um raio de 2,50 pol e um ângulo de incidência frontal de 2Qb.
O pinhão se engrena com uma cremalheira no raio de 2,50 pol com jogo primitivo
zero. Se a cremalheira tem ângulo de pressão de 20", dentes normais, diametral
pitch 7, calcule a distância do centro de pinhão à linha primitiva de referência da
cremalheira.
5.16 Um pinhão de 11 dentes deve acionar uma engrenagem de 23 dentes com
uma distância entre eixos de 2,00 pol. Se as engrenagens são cortadas por uma
fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 9, calcule o valor
de xm1 e xm2 de modo que o início do contato durante o corte do pinhão ocorra no
ponto de interferência do pinhão.
5.17 Um pinhão com 20 dentes, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 10,
aciona uma engrenagem com 30 dentes com uma distância entre eixos de 2,50 poI.
É necessário substituir estas engrenagens por um par que tenha uma relação de
velocidades I 1/3: I e ainda mantenha a mesma distância entre eixos. Usando
a mesma ferramenta que usinou as engrenagens originais, selecione um par de
engrenagens que se afastem o menos possível das engrenagens
padronizadas.
Determine as correções das engrenagens, os raios de cabeça e a profundidade
de
corte.
5.18 É necessário conectar dois eixos cuja distância entre centros é 3,90 pol
com um par de engrenagens de dentes retos tendo uma relação de velocidade de
1,25 : 1. Usando uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 14,5°, diametral
pitch 10, recomende um par de engrenagens cuja relação de velocidades angulares
se aproxime tanto quanto possível de 1,25: 1 sem apresentarem
adelgaçamento.
Calcule as correções das engrenagens,
os diâmetros externos, profundidade
de
corte e a razão frontal de transmissão.
5.19 Um pinhão e engrenagem de 27 e 39 dentes, respectivamente,
devem ser
cortados por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 14,5°, diametral pitch 6,
para serem obtidos dentes com saliências diferentes. A fresa é afastada de 0,03 poI.
Determine para cada engrenagem o diâmetro primitivo, o diâmetro de cabeça,
a profundidade
de corte e a espessura de dente na circunferência
primitiva.
5.20 Um par de engrenagens de saliências diferentes de 18 e 28 dentes é cortado
por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20", diametral pitch 4, com
coneção 0,06 pol. Compare a razão frontal de transmissão destas engrenagens com
a de um par de engrenagens padronizadas
de mesmos passo e números de dentes.
5.21 Um pinhão de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 20,
com 30 dentes, deve engrenar-se com uma engrenagem de 40 dentes, à distância
entre eixos de referência. Sendo necessário um jogo primitivo de 0,004 pol, calcule
quanto a ferramenta deve avançar no pinhão e na engrenagem, para ser obtido
este jogo. Suponha que os dentes de ambas as engrenagens devam ter suas espessuras diminuídas da mesma quantidade.
5.22 Um pinhão com 20 dentes, ângulo de pressão 25°, diametral pitch 8,
deve se engrenar com uma engrenagem de 40 dentes em uma distância entre eixos
de 3,80 poI. Se a ferramenta é recuada de 0,0352 pol quando cortando o pinhão e
0,0165 pol quando cortando a engrenagem, calcule o jogo primitivo produzido.
5.23 Duas engrenagens de saliências diferentes de 18 e 30 dentes, respectivamente, cortadas com uma fresa, ângulo de' pressão 25°, diametral pitch 6, são
projetadas para ter jogo primitivo zero quando a ferramenta é afastada de 0,05 pol.
Calcule os valores de Xn1) e xm2 se estas engrenagens forem modificadas para terem
jogo de 0,005 pol supondo que os dentes sejam estreitados da mesma quantidade.
5.24 Um pinhão de 18 dentes, ângulo de pressão 20", diametral pitch 12,
aciona uma engrenagem de 42 dentes. Sendo de ação de semi-afastamento,
calcule
a relação entre os comprimentos
de afastamento
e de aproximação.
5.25 Duas engrenagens de ação de semi-afastamento
se engrenam sem jogo
primitivo. O pinhão tem 20 e a engrenagem 48 dentes. Se as eng.renagens são cor-
tadas com uma fresa, ângulo de pressão 20", diametral pitch 10, calcule a razão
frontal de transmissão.
5.26 Um par de engrenagens de ação de afastamento deve ser projetado para
funcionar sem jogo primitivo. O pinhão deve ter 20 e a engrenagem 44 dentes e
devem ser cortados com uma fresa, ângulo de pressão 20", diametral pitch 8. Calcule se pode ser obtida uma razão frontal de transmissão de 1,40, usando engrenagens de ação de afastamento completo ou semi-afastamento, ou ambos.
5.27 Um pinhão de 24 dentes, ângulo de pressão 20", diametral pitch 10,
impele uma engrenagem de 40 dentes. As engrenagens têm ação de semi-afastamento e o comprimento de transmissão g(l = 0,468 pol. Calcule a relação entre
os comprimentos de afastamento e de aproximação.
Engrenagens Cênicas, Helicoidais e
Parafusos Sem-fim
•
.•-•....
•
•
•
•
••••••••
6.1 Teoria das Engrenagens Cônicas. ~...s_engrenagensçQ!Iiç_ª~são usadas para
çQll_e<::taL~xºrescujo!' l;Üxºs.sejnterceptam. O ângulo entre eixos é definido como
o ângulo entre as linhas_º-e_cenlrQdas engrepagens em contã!.,o. Embora o ângulo
entre eixos seja usualmente 90°, há muitas aplicações de engrenagens cônicas que
requerem ângulos maiores ou menores do que esse valor.
A superficie primitiva de uma engrenagem cônjca é um cone. Q..uando duas
engrenagens cônicas se en-Menam seus CSlJJ.esfazemcontato (10 longo de uma linha
ÇQlD.Wll. e há um vérti~~ambém
comum onde as linhas de centro das engrenagens
se encontram. Os cones rolam um sobre o outro sem deslizarem e têm movimen"tô
esférico. Cada ponto em uma engrenagem cônica mantém uma distância constante do vértice comum.
A Fig. 6 2 mostra umasecão axial de um PiJrdeengrenagens.cônic(ls engrenadas
çom õS" eixos em ângylo reto. ~.~lação entre as 'y!:.locidade~.mgulares é jnyer~mente.proporcjonal aos diâmetros dali bases dos s..0nes,porq~çº_ºes
primitivos
rolam um sobre o outro sem escorregamento. Estes diâmetros tornam-se os diâmetrós-p~fmitivos das engré~agens. ~ r_e~~<? entre as vel()c.!(l.~º.~.~I!gularespode
entªº.sceL e~1Hessa como w1L03..2.._= d ,]d"; ==".~~!..J'como -no caso de engrenagens
de dentes retos. A relação p = zjd também é válida.
Fazendo um esquema de um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos,
será simples, conhecendo-se os diâmetros primitivos, desenhar as circunferências
prImitivas em sua poslçao correta.
No caso de engrenagens cOOlcas, entretanto,
devem ser considerados os ângulos primitivos bem como os diâmetros primitivos.
As equações para os ângulos primitivQs estão deduzidas a seguir, com R representando o comprimento
da geratriz do cone primitivo.
.
di
sen 01 = ~
2R
~.
= sen (..:..
~ (j )
sen <51
seriTsen-;'
= ~.9~2
2
2
sen <52
~ ~~~
sen r.
_1_ [_s_en_(jl_+ cos I:J = _1_
sen I:
sen (j2
tg (j2
sen (j,
di
-sen (j2 =
I,\-,
d;
I
\.
'I
- -2\
,t h.
(6.1)
Do mesmo mpdo
\ r (V'; ',ll\~ti\\.')
Embora as Eqs. 6.1 e 6.2 tenham sido deduzidas para engrenagens com eixos
em ângulo reto, aplicam-se às engrenagens cônicas com qualquer ângulo entre
eixos.
Fazendo o esboço de um par de engrenagens, a posição de geratriz comum aos
cones primitivos pode ser determinada graficamente se a relação das velocidades
angulares e o ângulo entre eixos forem conhecidos.
Como foi mencionado, os cones primitivos de um par de engrenagens cônicas
têm movimento esférico. Então, a fim de que as extremidades mais espessas dos
dentes de engrenagens cônicas ajustem-se perfeitamente quando engrenadas,
estas extremidades devem permanecer na superfície de uma esfera cujo centro é
o vértice dos cones primitivos e cujo raio é sua geratriz comum. Entretanto, não
é frequente fazer esférica a extremidade de uma engrenagem cônica, e assim ela é
feita cônica como mostra a Fig. 6.3. Este cone é conhecido como cone complementar
e é tangente à esfera teórica no diâmetro primitivo. A geratriz do cone complementar é então perpendicular à geratriz do cone primitivo. Para todos os efeitos
práticos, as superfícies do cone complementar e da esfera são idênticas na região
da extremidade dos dentes de engrenagens cônicas. As distâncias do vértice dos
cones primitivos às extremidades externas dos dentes em qualquer ponto com exceção do ponto principal não são iguais, de modo que as superficies das extremidades
dos dentes engrenados não ficarão bem niveladas. Entretanto esta variação é
pequena e não afeta a ação dos dentes.
Todas as proporções de dente de uma engr~nagem cônica referem-se à extreITlidademais espessa do dente. Isto será discutido em uma seção posterior . .Quando
é necessárro-mostrar Q_contoTOQda extremidade mais espessJldº--9_ente, faz-se uso
do fato de que o perfil do dente da engrenagem cônica corresponde aproximadamente
ao do dente de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos que tenha um raio primitivo igual à geratriz do cone complementar e um diametral pitch igual ao da engrenagem cônica. Esta engrenagem de dentes retos é chamada en.grenagem de dentes
r_e_to_s_e_9_uivalente,
e esta seção na engrenagem cônica é conhecida como §§:ãotrtl_n_sversªl.
Além do tipo geral de engrenagens cônicas visto na Fig. 6.2, há os seguintes
casos especiais:
1. Engrenagens comcas: do mesmo tamanho e ângulo dos eixos 90".
2. Engrenagens cônicas angulares: o ângulo dos eixos é maior ou menor do
que 90". Um esquema é mostrado na Fig. 6.4.
3. Engrenagens de face: o ângulo primitivo é 90° e a superfície primitiva
torna-se um plano. A Fig. 6.5 mostra um esboço.
Até aqui a apresentação tratou fundamentalmente da teori,"l.geral e de tipos
de engr_~nagens cônicas. Consideraremos, agora, a forma dos dentes.
Como foi visto no estudo do Capítulo 4. o perfil f:-voly~ntalde uma en~rena2em
de de~tes retos foi facilmente geradQJLPar1ÍIde lima citcunferêDGia-debase e !OWOIl.í,l
forma de uma evolvente cilíndrica.quando considerou-se a largura da engrenagem.
Entretanto, Jl fºrl).1ª_~_\,ºlyeºtaLTlªo_Usada para engrenagens cônicas porque a
superfície de base seria um cone. Isto significa que, quando um plano rola sobre este
cone base, uma linha do plano gera uma evolvente esférica, que é de fabricação
impraticável.
No sistema de engrenamento cônico que foi desenvolvido os dentes são gerados
conjugados a uma coroa que tem dentes com lados planos. A coroa mantém a
mesma relação para engrenagens cônicas como uma cremalheira mantém para
engrenagens de dentes retos. A Fig. 6.6 mostra o esboço de uma coroa teórica.
Os lados dos dentes permanecem em planos que passam pelo centro da esfera.
...... ""
_-1__
't"--/'
/
I
I
I
//
\
,
........••.••.
"
""
\
\
\
\
Quando a coroa se engrena com uma engrenagem conjugada, a trajetória completa
do contato na superficie da esfera tem a forma de um 8. Por causa disto, os dentes
da coroa e da conju.&.adasão chamadosdentes octóides. Só uma parte da trajetória
é usada, e para dentes com a altura mostrada o contato se dá em APB ou A' PB'.
6.2 Detalhes das Engrenagens Cônicas. Afim de considerar as particularjda~s
de uma engrenagem cônica mostra-se na Fi~ 6.7íLY!!l.nar de en~rena~ens cônjeas
Gleason de dentes retos. - - ---.
-..
O sistema Gleason foi adotado como o padrão para engrenagens cônicas
Como pode ser visto no esboço, as gera trizes do cQne de pé são tracadas pelo vértice
dos cones primitivos. Entretanto, as geratrizes dos cones de cabeça são tracadas
~l!1.elamente às geL~JIg~§._de pé da eMrena.,gem que se a.<:?pla, possibilitando
l!§sim uma folga constante~. eliminando'pºssíy~
interferência D.QjllJ}do do defue
na extremidade menos espessa dos dentes. A eliminação desta possível interferência
per~it;miiõres
raios de aresta nas ferramentas geradoras, o gue allIpentará a resistência dos dentes pelo aUJ!l~to do raio de .a{redondamento. As extremidades mili.s
ê'spessas dos dent~_s..
são dimensionadas de açorC!º_com o sistema de saliências dif~~s,
discutido no Capítulo 5, de modo que ~saliência d(:U~.LI!hãoserá maior do
que a da en2[ena~em. Usam-se saliç.ncias grandes n()pillJlão fundamentalmente
para evitar_R.-ª!k!.g~-ªm~ª-!:a
igu_ªINº_9~ste
e par-ª. ª-!1m~ºtar a resistência
dos dentes. Na seção seguinte veremos a norma Gleason para as dimensões d'"e
engrenagens cônicas de dentes retos. A Fig 6 7b representa O corte AA, mostrando
os perfis dos dentes.
A saliência e a profundidade são medidas perpendicularmente à gera triz do
cone primitivo, na parte externa da engrenagem; então o ângulo de profundidade
é dado por
h
tg {) =.:.:Lj
R
O ângulo de profundidade deve ser determinado indiretamente, porque a
geratriz do cone de cabeça não passa pelo vértice dos cones primitivos. Pode-se
mostrar que o ângulo de saliência do pinhão é igual ao ângulo de profundidade da
engrenagem. Da mesma maneira, o ângulo de saliência da engrenagem é igual ao
ângulo de profundidade do pinhão. Os ângulos de cabeça e de pé são então
{)a
= {) + (Ja
{)j={)-(Jj
(6.4)
(6.5)
Devido ao ângulo complementar ser igual ao ângulo primitivo, o diâmetro
de cabeça de uma engrenagem cônica é
A largura do denteado de uma engrenagem cônica não é determinada pela
cinemática da ação dos dentes, mas por req uisitos de fabricação e capacidade de
.~
Circunf primitiva
Circunf de base
Circunf de pé
I' I
I'
~
o ~
o
~S
#9
I cJ~i"'/'
Cone
complementar
O'
Aj
f(
Fig. 6.7 d = diâmetro primitivo. d. = diâmetro de cabeça. R = comprimento da geratriz. b = largura do denteado. h. = saliência ou altura da cabeça. h/ = profundidade ou altura do pé. 1: = ângulo
entre eixos. ~ = ângulo primitivo. 8. = ângulo de saliência. 8/ = ângulo de profundidade. ~. = ângulo de cabeça. ~/ = ângulo de pé.
#
carga. Se o dente for muito ~rªnc;l~Lemrelação ao com"primento R, haverá dificuldades na fabric~ção, de modo que a largura do denteado é limitada como se segue:
R
b <ToU
tO
p
(aquele que for menor)
(6.7)
Embora sejam usados freqüentemente, ',-ºiametrais pitchs" inteiros em engrenagens cônicas, não há a mesma necessidade para essa restrição nos projetos, uma
vez que o feqamental para engrenagens cônicas não é limitado a passos normalizadgs
como no cas9 de engrenagens de dentes retos.
6.3 Proporções de Dente para Engrenagens Cônicas Gleason. (Para engrenagens
cônicas de dentes retos com eixos em ângulo reto e 13 ou mais dentes no pinhão.)
16 dentes ou mais no pinhão
15 dentes no pinhão e 17 ou mais na engrenagem
14 dentes no pinhão e 20 ou mais na engrenagem
2,00 -h
p
a2
Engrenagem: h
f2
= 2,188
- h
P
a2
2.188
P·10h-ao: IlJI = --p-
Engrenagem:
-
I
I",
pt
S2
= T -(ha1 - ha2) tg Cl (aproximadamente)l
1 Para obter o valor exato, é necessário um conjunto de curvas cuja inclusão aqlJi não é oportuna.
Ver Gleason, Design Manual.
Pinhão:
= pt - S2
SI
.
~7 . Z>~ ~Ol1,)
/'"
6.4 EngrenageM CÔnicas ~ares
)de Dentes Retos. As proporções das
engrenagens cônicas angulares de dentes retos podem ser determinadas das mesmas
relações que as cônicas em ângulo reto, com as seguintes exceções:
1. O número limite de dentes não pode ser tomado do item um na seção 6.3.
Cada aplicação deve ser examinada separadamente quanto ao adelgaçaçamento com a ajuda de um gráfico do Design Manual da Gleason. Este
gráfico mostra o ângulo de saliência do pinhão versus ângulo primitivo.
Há curvas para vários ângulos de pressão.
2. O ângulo de pressão é determinado
de acordo com o item anterior.
3. Ao determinar a profundidade do dente da engrenagem do item cinco na
seção 6.3, é necessário usar uma razão de transmissão equivalente de engrenagens cônicas de 90" em lugar de Z2/Z I'
Para uma cOroa (<5= 90°) esta relação é infinita.
Para engrenagens cônicas angulares em que o ângulo das árvores é maior do
que 900 e o ângulo primitivo de engrenagem é também maior do que 90°, resulta
uma engrenagem cônica interna. Neste caso, os cálculos devem seguir as indicações
da Gleason Works para determinar se as engrenagens podem ser usinadas.
Qa;~L-
6.5 EngrenageM CÔnicas Zerol. Além das engrenagen.s.cônjcas de dentes retos.
há.9\l!!:.,?§_
dois tipos de engrenagens cônicas, um.dos.qua.~ é Q~".
As engrenagens cônicas zerol têm dentes curvos com ângulo de espiral nulo na metade da
largura do denteado, COmomostra a Fig, 6.8 e têm o mesmo empuxo e a mesma a~ão
de dentes que as engrenage!!s cônic.as de dentes retos. Podem ser usadas nas mesmas
montagens. A vantagem da,,_engrenagem zeTQl sohre-JLro~e
dentes retos é
que !l~Il.QÇJ'ficie
de seus den.t_e~
,E0de ser retificada. A engrenagem zerolJ~ms..~to
localizado, isto é, o contato só se realiza sobre a parte central do dente em lugar
'fí~~
~4~~
(,)
. 69
Flg..
(a) Engrenagens
zero I mostrando
l~,lu,do.
d
oo
contato
C(
localIzamostran
'1mcas
d o. (Cortesia
de Gleason
o contatocomflex
.
I
b) Engrenagens
W or.ks)
conicas
e inteiro, enquanto ~ônica de..dentes retos pode ou não ter
contato 10
o de ndend
erador u
. Os modernos
n
1, ~ geradores de en ena ens cônicas de dentes retos produzem dente com contajo
\t1f-í\}y\~localizado, curva
o-os levemente ao lonl:o aõ comnrimento.JkJJlQdo que contato
-\JLó-f ~ se dá próximo ao meio do dente. Uma engrena~lll~C,SL
de dentes retos com
<:,~ª~
..Ç.aracterísticas é conhecida como engrenagem "oniJJa. O cQnt~ locali~do
~!; permite.IDJLlil:eiro ajus!e durante a monta§Ul e all:um deslQCIDUento,Aç~ à
~
deflexào a,ob caria sem concentrar a {Qrçanas extrernidadiôS dos deut",. A Fig. 6.9
mostra fotografias de engrenagens cônicas zerol e coniflex, com contato localizado .
°
.
cc>fOpf ,(t'8
••efstfi"L
0\0 de"
I~---·--
6.6 Engrenagens Cônicas Espirais. O segundo tipo é o da engrenagem cônica
espiral, que tem dentes curvados obliqua~ente. 1Fig. 6.100 mostra lima seci2., de
U1!l.1'llrde dentes em contatQJ: a Fig. 6.lOb mostra a espiral do dente de uma engrenagem. Os dentes têm um ângulo de espiral tal que o ~~2.0 do dente (fig. 6.10b)
seja maior do que o passo frontal, resultando um contato contínuo na linha lUimitiva no planº dos eixos das engrenªge~. Isto possibilita obter Ql2era,ão suav'U'Qm
um menOr númerQ de ºentes no pinhão do que com eD.&renagenscôni~~ de dentes
r~l,
que l!!o_!ªm contato contínuo na linha primitiva. Em engrenagens
i).(0-~ - cônicas espirais o contato entre os dentes iniCIa-se em uma extremidade do de.nte e
V-\~tt \ progride obliquamente através da face. Isto contrasta com a ação dos dentes de
~
engrenagens cônicas de dentes retos ou zerol, onde o contato se dá de uma vez
através de toda a largura da face. Assim, por estas razões, aseJ}grenagens cônicas
Q ~
~\'~~
-.. -
._,
espirais t~m a窺J!1ais sua ve do q\J~.<gl...9~
dentt,:u"eto~_º1L~1 e são especialIl.l.ente
adequadas para tn!balhQt:Il1 altas velocidades. Como mostra a Fig. 6.10a, as engrenagens espirais têm contato localizado n~s dentes que é facilmente controlado
variando o raio de curvatura dos dentes engrenados. As superfícies dos demes
podem também ser retificildils. A Fig. 6.11 mostra um par de engrenagens cônicas
espirais.
6.7 Engrenagens Hipóides. Outrora __~.s engren~~Qs_çºniç~~1?pirais
eram
usa®s-e..~lYSivªmente comº~gr~nagens
motoras das_~rvores trazeiras ÀOsautomóv~ (coroa e pinhão). Em 1925, a Gleason irur.o_duziua engrenagem hipóidr,
que ~l,lbstituiu a cônicª~.ill.irflLI!esta aplicacão. As engrenagens hipóides tê.Ul...a1larência semelhante às cônicas.~_s1'.iI.ª-is,
com exceção dot<i~º do pinhão que é deslocado'n~e modo que não' mais.s..~.~rll~ª com o_eiE().da engrenagem: (y~r Fig. 6.12).
Para sofrer este deslocamento e ainda manter contato em 'inha, a superfície primitiva de uma engrenagem hipóide se aproxima de um hiperbolóide de revolução
em lugar dos cones como nas engrenagens cônicas de dentes retos. Et1!.aplicações
ª~~~~~e
deslocamenJ'? é vantajoso porque permite.-ºé:li",ar a árvore de
tr~~ls!TIis~~o)
.~esultando em uIll<l._.carroceriade silhuetaJ!l.ais baixa. Além disso,
º~inhões hipóides são mais resistentes do que o.s.pinhões cânjços espirais. A razão
disto é que as engrenagens hipóides podem ser projetadas de modo que o ângulo
de espiral do pinhão seja maior do que o da engrenagem, daí r~sultando um piobjo
~-º-i.fulli;1rº maior e ainda maiSJ~.fiistente do que Q.pinMo cônico espiral corresp-ondente. Outra diferença é que as engrenagenshipóid~s~
ação de deslizamswto 1-\').;\
ao \QJ..l,RO
do dente, enquanto que as cônica§. espirais não a têm. As engrenagens
\hipóides operam mais silenciosament(ldo.Jl!l~ª~_cÕriica~pirais
e podeI!! ser usadas ; \\+(~
-,
\
para relações de reducão maiores.
As engrenagens hipóides ta.tn_~m_"'p05!~ ser
reti fic<ld~\~:-
A forma dos dentes para engrenagens cônicas zerol, cônicas espirais e hipóides
é o sistema de saliências diferentes exceto quando ambas as engrenagens têm o
mesmo número de dentes. Eoram desenvolvidas.normas semelhantes às das engrenagens.纺ícas de dentes ret9s pam ..estes sistemas e~contra~s
no
Desig'.!..M anual da Gleason par_a,_~.!lgr~.n,!g~p:~_çônicase.
hipóides.
6.8 Teoria das Engrenagens Helicoidais. ~e sobre um cilindro base for rolado
um plano, uma Ji!!!gu;!este plano, paralela ao eixo d2.SilinQ-t0, gerará a superfície
d~-Y.m..~.nlç.de~agem
cilíndrica de d~~Letoa.eyolventais.
~ha
geraçtoraJofinçJinada em relaç~.()ao eixo, será gera~a~\ superfície de um dente be]jeojdal.
Estas duas situações são mostradas nas Figs.6J19.-U,
respectivamente.
As engrenagens helicoidais são usada..s..12.ü.ú!...ÇQnectar
eixos p<!Jalelos..e !!ão
paralelos que I1ª9._~ jnterceQ.ta.m. As primeiras são chamadas de ~!1N_enagens
belicoj.Qª-is paralelas e as últimas. de belicoidais esconsas ou reversas; (ver
Figs. 6.14a e b.) 10 dell<Dl1!lli!!.j!.S-I!rOpo[ções
dos deE.te~~t:.~~~.':l~e.nagem heliçpidalleja paralela ou esconsa, é necessáriQ çonsiderar.ª _lBªllt:.~r.ª.
cOITl9os deE.tes
vã~.s~...!!~~.
§0l engrenagem vai ser Jresada...Jüdas as .ºim~çs
são a~inaladas.ell1 um plano DrtogQoal à gt:.ratrÍl..12rimitiv'l.do dente e o diametral pitch e o
Capo61 ENGRENAGENS
CÓNICAS, HELICOIDAIS
E-)ARAFUSOS
SEM-FIM
~P
ângulo de pressão são ~s
naquele plano.
Como a ação de
corte de uma fresa ocorre no plano ortogonal, é possível usar a mesma ferramenta
para cortar engrenagens helicoidais e cilíndricas de dentes retos de mesmo passo:
em uma engrenagem cilíndrica~
.1'lano ortogot
e o de rotação são idênticos.
l~.
ti
')
awtiJ
lj+-Uf~
:
-rIo- 'Av
O~t~) X t\QV\V
Jt ~hs'; ,
Fig. 6.14
Engrenagens cilíndricas helicoidais (a) para eixos paralelos e (b) para eixos esconsos ou
reversos. (Cortesia de D. O. lames Gear Manufacturing Company.)
A_Fig. 6.15 mostra o esboçº de uma engrenagem helicoidal com o pas.s.o frontal
lIledido no ..Qlano ortogonal e no planod.~JotaS'ão.
Da Fig. 6.15:
= Pt cos f3 =
n cos f3
P
pitcb no plano de rotação
(também
P",
ondep :=.Jiiametral
pitch transversal).
conhecido
como diametral
Fig. 6.15 p," = passo frontal ortogonal. P, = passo ortogonal no plano da rotação. fJ = ângulo de
hélice.
Quando uma engrenagem helicoidal é cortada por uma fresa, o passo frontal
ortogonal P,,, da Fig. 6.15 torna-se igual ao passo frontal da ferramenta. Por isso
e pelo fato de que p, = n/p pode-se escrever a seguinte relação:
n
PIII=p-
"
onde P" T diametral pitch normal e é igual ao diametral pitch da fresa. Substituindorta Eq. 6.8
Como P = z/d, então,
wk
~\i'-J.
~'l
~
'rf-,\ ~"eM
r'lJ.A, l'
a~h.~-
O
.J
Ml\q~)j~1»A 'w,blh'\Mt ~
LwfU 66:'" l.. ~~ ~Ilt
d =
cs
~ f3
P"
I \. \ ir
'
(6.10)
àt
Jt O
'AiM""~
'ftU, 1\ (J.,.. YJ/JIv
.t ~ M'fIJr'V"
~mbofa nãt"haja intenção de entrar em detalhesconcern ntes
forças que
agem em uma engrenagem helicoidal, é necessário considerá-Ias ao se determinar
a relação entre o ângulo de pressão cx no plano de
e o ângulo<:l.e pressão
ortogonal IX" e o ângulo de. hélice f3.
---Dá Fig. 6.í6, que mostra estas forças,
-fQlªçªº-
tg IX =
tg IX" =
F
F, (plano OABH)
F
OD
(plano ODC)
F
= -'-
cos f3
(plano OADG)
tg lX"
fJ
COS
Fn
Força normal
Força de transmissão = TO~qUe
Fa
Força axial
Fg
Força de separação
Plano de rotação
OABH
OADG = Plano tangeneial
Plano normal ou ortogonal
ODC
Ângulo de pressão no plano de rotação
Ângulo de pressão no plano normal
Ângulo de hélice
Ft
É também interessante considerar o efeito do ângulodehélice
no número de
dentes Q.Y.e
podenLser cortados por uma fresaeIll!!!!1_~ engrenagem:li~J(cºi~m
adelgaçamento. Referindo-se à Fig. 4.17 (engrenagens cilíndricas de dentes retos)
pod.e-se desenvolver a equação para o número mínimo de dentes para engrenagens
helicoidais cortadas por uma fresa, da seguínte maneira:
(iff?
~
pE
_
k/Pn
-[iE
sen2IX = k
rp"
r
z
= 2P
Foi compilada uma tabela pela AGMA (207.05. junho, 1971) que indica o
número mínimo de dentes que podem ser fresados em !lmil engreO'Jgem helicoidal
seth adelgaçamento. Esses números estão indicados na Tabela 6.1 em função do
ângulo da hélice fJ e do ângulo de pressão ortogonal IX , para dentes normais.
\Jr
n
Tabela6.1
CW-v-r Nv~r\
\C-:. 1
( D~):
p( tktJ-J
rtl,()Jj( ~
141
o (engrenagens
Jc~ ~ AO)
32
cilíndricas retas)
5
10
15
20
23
25
30
35
40
45
32
31
29
27
26
25
22
19
15
12
17
17
16
15
14
14
12
10
9
7
12
11
11
10
10
9
8
7
6
5
(Cortesia da AGMA). Extraída do Sistema de Padronização Norte-americano - Tooth Proportions for
Fine-Pitch Spur and Helical Gears (USAS 86.7-1967),
com permissão dos editores. The American Gear Manufacturers Association, 1330 Massachusetts Avenue
N. W. Washington, D. C. 20005.
)
Se for necessário usar um pinhão menor do que os da Tabela 6.1, ele pode ser
cortado sem adelgaçamento afastando-se a ferramenta de maneira semelhante
à mostrada para engrenagens cilíndricas de dentes retos, no Capítulo 5. Pode-se
deduzir uma equação equivalente à Eq. 5.2, para engrenagens helicoidais.
xm = _1_
Pn
[k - z2 sen
J.
cos f3
2
1X
o valor de xm dado pela Eq. 6.13 é a quantidade de que a fresa terá que ser
afastada a fim de que a linha de cabeça da fresa ou cremalheira passe justamente
pelo ponto de interferência do pinhão que está sendo cortado.
Embora em sua maioria as fresas sejam projetadas para ter um valor norma1izado do diametral pitch no plano ortogonal, há fresas que o têm no plano de rotação. Estas fresas são conhecidas como fresas transversais e o passo no plano de
rotação é conhecido como diametral pitch transversal.
Se a engrenagem deve ser cortada pelo método de usina~m Fello~ (ferramenta pinhão), as dimensões são consid(:!:l!das no plano de rotação e o dianu:.tral
p-itch e o ângulo de pressão tçITI.~~!ores..Eormalizados nesse plano .. Quando uma
engrenagem helicoidal 1cortada...por uma ferramenta pinhão, o passo frQ~1 Pr
da Fig. 6.15 toma-se igual ao passo frontal da ferramenta, de modo que yalem jlS
s"ÇguintesrelaCÕes.;
na
=/~
/P
z
\/-.r.J
ti
/)
Z
P=([
No método Fellow~ não pode ser usada a mesma ferramenta para cortar
engrenagens cilíndricas de...4entes retos e helicoidais.
Os.aspectos discutidos..aplicam-se a engrenagens helicoidais paralelas e eSCQD:m§.
Os dois tipos serão agor,! considerados separadamente •..
6.9 Engrenagens Helicoidais Paralelas. Para as engrenagens helicoidajs eugre!lªrem-lle adequadamente, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
1. Ângulos de hélice iguais
2. Passos iguais
3. Hélices opostas, isto é, uma engrenagem com hélice à esquerda e outra com
com hélice à direita.
pode também ser usada para engrenagens
o diametral pitch no plano de rotação.
helicoidais
paralelas
desde que p seja
Em uma engrenagem-!lelicoidal
parale!~._aJilrgura do demeªQo é feita suficient~~~~le..grande tal q~~"para um dado ângulq_de hélice /3, oavªnço-4SL.a.~eja
J:!laiQLg.o..Que o pa.ss<>frontal, como ilustXl!ª Fig 6.J 7. Isto. P9ssibilitatá
cpnlato
contíº.\!Q .•Il,Q plano axial quando a engrenagem
girar. Esta relação (avanço do
dente para passo frontal) pode ser considerada como uma razão frontal de transmissão. Na Fig. 6.17, pode-se observar que para haver avanço da face igual ao
passo frontal, a largua do denteado seria igual a p/tg /3. Para estabelecer uma
margem de segurança, a AGMA recomenda que esta largura do denteado seja
aumentada de, pelo menos, 15 %, do que res)!lliL.~.seglli!!te
eQuação:
1,15p
b > ---'
tg /3
Além da razão frontal de transmissão resultante da inclinação dos dentes, as
engrenagens helicoidais paralelas também têm uma razão frontal de transmissão
no plano de rotação como as engrenagens cilíndricas de dentes retos. A razão de
transmissão total será então a soma destes dois valores e é maior do que o das engrenagens cilíndricas de dentes retos.
Engrenagens helicoidais paralelas têm conta19 em linha, de modo semelhante
à,s cilíndricas retas. Entretanto, nestas últimas, a linha de contato é paralela ao eixo,
enquanto que nas primeiras corre diagonalmente
através da face do dente. As
(A..-o6-ô\"Y_engrenagens helicoidai~L Qaralelas têm açãO.mais suave e, portanto,
apresent~m
I.
1
menos ruído e vibração d(L.~cilíndricas
de dentes retos..e devem.s.er preferidas
,,~,
fIII't> para trabalho em alta velocidade.
A razão para a ação mais suave é que ~tes
»II.q~ - éntramem contato gradualmente, iniciando em uma extremidade do dente e progre~
dindo pela superfície, enquanto que nas cilíndricas de dentes retos o contato se dá
\ simultaneamente
sobre toda a largura do denteado. A desvantagem das engrenagens
h~licoidais paralelas está no esforço axial Produzido pela hélice dQs dent!G§. Se
~A\~M.
este esforço axial for tào grande que nào possa ser convenientemente
suportado
pelos mancais, pode-se contrabalançá-Io
usando duas engrenagens helicoidais de
hélices opostas ou uma ellgrellagell espillha de peixe que é na verdade uma helicoidal
dupla cortada em um só disco. A Fig. 6.18 mostra a fotografia de uma engrenagem
espinha de peixe.
Como um exemplo de engrenagens helicoidais paralelas, considere que a fim
de reduzir o ruído em uma caixa de engrenagens, deve-se substituir engrenagens
cilíndricas de dentes retos, normais, 20°, de 30 e 80 dentes, por helicoidais. A distância entre eixos e a relação das velocidades angulares devem permanecer as mesmas.
Determine o ângulo de hélice, os diâmetros externos e a largura do denteado das
novas engrenagens.
Suponha que as engrenagens helicoidais sejam cortadas com
uma fresa de dentes normais, 20°, diametral pitch 16. Dos dados das engrenagens
cilíndricas de dentes retos,
30 + 80
2 x 16 = 3,4375 pol
Z\ + Z2
p= ----
ou
Observações
P
16
Z2
80
Engrenagens originais
Z2 número não inteiro
Z2 número não inteiro
Satisfatório para uso
15,47
14,93
14,40
77,33
74,67
72
2a
cos f3 = ---.L = 14,40 = O 9000
Pn
16
'
Há outras combinações de número de dentes e ângulo de hélice que satisfariam
às condições, mas a solução encontrada deve ser a escolhida porque tem o menOr
ângulo de hélice.
Os diâmetros de cabeça das duas engrenagens são
p::
+ 2 16 = 2,000 pol
72 + 2 (1)16 = 5,125 pol
= --:--+ 2 (k)
p: = 14,4
Z + 2 ( k ) = 14,4
27
da, = di + 2ha = -:-
da2 = d2 + 2ha
Z
( 1 )
Observe que a saliência foi calculada usando o diametral pitch da fresa (Pn).
A largura do denteado é
b > 1,15p,
tg f3
7t
7t
p
,
- = 144 = 0,2185 pol.
b > (1,15) (0,2185)
> 0,5189 pol
tg 25,84°
9
b = 16 pol.
6.10 Engrenagens Helicoidais Esconsas. Para engrenagens helicoidais esconsa..s.acoplarem-se adequadamente M sÓ um requisito, iMOé, elas d.~vemter o mesmo
diametral oitch ortogonal. Seus passos no plano de rotação não são necessariamente
iguais, sendo usualmentediferentes.
Os ângulos de hélice podem ou não ser iguais
e as engrenagens podern..~. hélice de mesmo sentido ou não. A relação de velocidades é
Se ~ é o ângulo entre dois eixos conectados por engrenag:ens helicoidais esconsas
e PIe p, são os ângulos~as hélices das epg:renag:ens,
Os sinais menos e mais aplicam-se, respectivamente. quando as engrenagens
têm hélices opostas
não. A Eg. 6.19 é ilustrada na Fig. 6.19 que mostra pa~s
de eng:renalWns helicoidais esconsas antes e depoi~do acop1ame1U.0'
A ação das en~nagens h~liçQWais eseoosas.t bastante diferente da a~ãQ.Eas tJ,~J
helicoidais paralel~. ~uelas têm contato pontual. Além disso, há ~o de .9eslizamento ao longo do dents:, o q\fe não acontece nas paralelas. Por estes motivos, {to- r c10
as engrenagens helicoidais esconsas são usadas somente para transmitir "pequenas
potências. Uma aplicação destas engrenagens é o conjunto que aciona o distri- .,~~
buidor de um motor automotivo.
Usando o princípio da velocidade de deslizamento desenvolvido no Capítulo I,
é possível determinar as hélices dos dentes através das faces de duas engrenagens
helicoidais esconsas desde que seja conhecida a velocidade periférica do ponto
primitivo de cada engrenagem. A Fig. 6.20 mostra esta construção, onde VI e V2
O)]
t
são conhecidos e pode-se determinar as hélices dos dentes e os ângulos de hélice
para estas velocidades e o ângulo entre eixos. As duas hélices em contato no ponto P
são paralelas à linha M) M2• Este contato ocorre na parte inferior da engrenagem
I e na parte superior da engrenagem 2.
Engrenagem 1
Hélice ã esquerda
~
li.
\
~-
Engrenagem 1
Hélice à esquerda
Engrenagem 2
Hélice ã direita
M1
Fig. 6.20
Para ilustração, considere um par de engrenagens helicoidais esconsas conectando dois eixos com um ângulo de 60" e com uma relação de velocidades de 15 : I.
O pinhão tem um diametral pitch ortogonal 6, um diâmetro primitivo de 7,75 pol
e um ângulo de hélice de 35°. Determine o ângulo de hélice e o diâmetro primitivo
da engrenagem e o número de dentes em ambos, pinhão e engrenagem.
Para determinar o ângulo da hélice da engrenagem, suponha que ambas têm
hélices de mesmo sentido.
Então,
(7,75) (0,8192) (1,5)
(0,9063)
ZI
= p"dl
ZI
= 38
cos /3. = (6) (7,75) (cos 35°)
(O
Z2 = zl..::::.L = (38)(1,5)
(02
Z2
= 57
6.11 Parafuso Sem-Fim. Se um dente 4~euma engrenagem helicoidal faz uma
r~volução completa no cili~~rimitivo,
a engrenageIll_!~_s_l!lt~fl!e
__é conhecida
como parafuso sem-fim. A engrenagem que se acopla com o parafuso sem-fim é
denominada coroa do sem-fim; entretanto, a coroa não é uma enlUenagem helicoidal. A coroa e parafuso sem-fim são usados para cone~ar _eixos não paralelos
e que não se interceptam, e.9....uee_stão,usualmente, em ângulos ret~s; ver Fig. 6.21.
Fig.6.21 (o) Par coroa e sem fim. (Cortesia de Foote Brothers Gear & Manufacturing Corp.)
Par coroa e sem fim g1oboidal.
(b)
A redução é geralmente muito grande. A relação entre uma engrenagem cilíndrica
de dentes retos ou helicoidal e sua fresa, durante o corte, é semelhante à relação entre
um parafuso sem-fim e coroa. Os parafusos sem-fim, que são verdadeiras engrenagens helicoidais evolventais, podem ser usados para acionar engrenagens cilíndricas de dentes retos ou helicoidais, mas obviamente resulta contato pontual, o
que é insatisfatório do ponto de vista de uska. É possível, entretanto, assegurar
contato em linha acoplando o sem-fim com uma coroa cortada com uma fresa que
tenha o mesmo diâmetro e a mesma forma de dente que o sem-fim. Se isto for feito,
o sem-fim e a coroa serão conjugados, mas o sem-fim não terá dentes evolventais.
A Fig. 6.22a mostra um esboço de um sem-fim onde 1é o ângulo de avanço, fJ o
ângulo de hélice, Pr o passo axial e d o diâmet!.9"'primitivo. O passo axial do sem-fim
é a distância entre pontos correspondentes de fios de rosca adjacentes medida
paralelamente ao eixo.
,'/
r·'
LB~WJf L
li,
.d,
I -JPx~
Considerando as características de um sem-fim, o avanço é de importância
primordial e pode ser definido como a distância axial que um ponto na hélice do
sem-fim se move em uma revolução. A relação entre 0l~vanço e o passo axial é
~
(}=YI
rÓ"""~
fJ\
~
(6.20)
.
.
d
d
\-.> fii-"~'(\)';) 'I' d
",
d
f'
on d e Z I e o numero e entra as ou Iletes no Cl 10 ro pnmltlvo
o sem- 1m,
Um sem-fim pode ser obtido com número de entradas de um a dez,
Se desenrolarmos uma volta completa de um filete de um sem-fim resulta um
triângulo, como mostra a Fig, 6.22b, Da figura pode-se ver que
,
tgA.~~
I
nd!
onde dI é o diâmetro do sem-fim,
O diâmetro de uma cOroa pode ser calculado de
~
W2
= Z 2 = d 2 COS P 2
ZI
di cos P 1
para eixos em ângulo reto.
Para um sem-fim e coroa com eixos em ângulo reto acoplarem-se adequadamente, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
1. ângulo de avanço do sem- fim = ângulo de hélice da coroa
2. passo axial do sem-fim = passo frontal da coroa.
Uma transmissão por sem-fim e coroa pod~ou não ser reversível, dependenQ.o
~a aplic~ão. Quando usada para guincho, é necessário que a unidade seja autotravante e acionada só pelo sem-fim. Entretanto, se a transmissão for usada para
engenhos automotivos, é necessário que seja reversível e que a coroa seja capaz de
acionar o sem-fim. Se o ângulo de a~anco do sem-fim..for maior do que o ângulo
de atrito das superfícies em contato, a tri!nsmi~são será I.eYersíyel. O coeficiente
de atrito J1 e o ângulo de atrito </> são relacionados pela equação /l = tg </>. \Jm
sem-fim e coroa são considerados autotravantesquando
o ângulo de avanço do
sem-fim é ni~nordõ-'Qlle:llr~--'0.
•••••
-_o
Como um exemplo de parafuso sem-fim, consideremos um sem-fim de três
entradas comandando uma coroa de 60 dentes; o ângulo dos eixos é 90" como mostra
a Fig. 6.23. O passo frontal da coroa é 1 1/4 pol, e o diâmetro primitivo do sem-fim
é 3,80 pol. Determine o ângulo de avanço do sem-fim, o ângulo de hélice da coroa
e a distância entre eixos.
Parafuso sem·fim 1
Fig. 6.23
,
I
tg/_ = -d
71: I
=
3,75
3,80
71: x
o ângulo de hélice da coroa = ângulo de avanço do sem-fim.
Logo
= PZ2 = (1,25) (6<2L = 23,9 pol
d
2
71:
dI
+ d2
71:
3,8 + 23,9
a = --2-- = --2--
6.1 Um par de engrenagens cânicas de dentes retos tem uma relação de velocidade W1/W2 e as linhas de centro de seus eixos se interceptam segundo um ângulo .t.
Se considerarmos as distâncias x e y a partir do ponto de interseção, ao longo
dos eixos. prove que a diagonal de um paralelogramo com lados x e y será a
gera triz comum dos cones primitivos das engrenagens.
6.2 Uma coroa cânica de dentes retos tipo Gleason, com 24 dentes, diametral
pitch 5, é acionada por um pinhão de 16 dentes. Calcule o diâmetro e o ângulo
primitivos do pinhão, a saliência e a profundidade, a largura do denteado e o diâmetro primitivo da engrenagem. Faça um corte axial, em verdadeira grandeza, do
pinhão e engrenagem acoplados, usando dimensões adequadas para os cubos e
nervuras como mostra a Fig. 6.7a.
6.3 Uma coroa cânica de dentes retos tipo Gleason, com 48 dentes, diametral
pitch 12, é impelida por um pinhão de 24 dentes. (a) calcule o ângulo primitivo
do pinhão e o ângulo entre eixos. (b) faça um esboço (em escala) dos cones primitivos das duas engrenagens acopladas. Mostre o cone complementar de cada engrenagem e assinale-os, bem como os cones primitivos.
6.4 Um par de engrenagens cânicas com eixos ortogonais, iguais, tipo Gleason,
tem 20 dentes e um diametral pitch 4. Calcule o diâmetro primitivo, a saliência e a
profundidade, a largura do denteado, o comprimento da geratriz, o ângulo de cabeça,
o ângulo de pé e o diâmetro de cabeça. Faça um esboço do corte axial, em verdadeira grandeza, das engrenagens acopladas, usando proporções razoáveis para o
cubo e a nervuracomo mostra a Fig. 6.7a. Faça o desenho com os valores calculados.
6.5 Um pinhão cânico de dentes retos, tipo Gleason, com 21 dentes, diametral
pitch 6, impele uma engrenagem de 27 dentes. O ângulo entre eixos é 90". Calcule
o ângulo primitivo, a saliência e a profundidade e a largura do denteado para cada
engrenagem. Faça um esboço do corte axial, em verdadeira grandeza, das engrenagens acopladas usando dimensões adequadas para o cubo e a nervura como mostra
a Fig. 6.7a.
6.6 Um pinhão cânico de dentes retos, tipo Gleason, com 14 dentes, diametral
pitch 4, impele uma engrenagem de 20 dentes. O ângulo entre eixos é 90°. Calcule
a saliência e a profundidade e espessura do dente para cada engrenagem, e ainda
os raios primitivos e de base das engrenagens cilíndricas retas equivalentes. Faça
um esboço das engrenagens equivalentes, em verdadeira grandeza, mostrando dois
dentes em contato como na Fig. 6.7b.
6.7 Um pinhão cânico de dentes retos, tipo Gleason, com 16 dentes, diametral
pitch 5, aciona uma engrenagem de 24 dentes. O ângulo entre eixos é 45°. Depois
de fazer os cálculos necessários, esboce um corte axial, em verdadeira grandeza,
do pinhão e da engrenagem acoplados usando proporções razoáveis para o cubo
e as nervuras como mostra a Fig. 6.7a.
6.8 Um par de engrenagens cânicas de dentes retos, tipo Gleason, acopla-se com
ângulo entre eixos de 75°. O diametral pitch é 10 e os números de dentes do pinhão
e da engrenagem sào, respectivamente, 30 e 40. (a) calcule os ângulos primitivos
e as saliências e as profundidades do pinhão e da engrenagem. (b) faça um esboço,
em verdadeira grandeza, dos cones primitivos e complementares das duas engrenagens em contato. Assinale os cones primitivos, os cones complementares e os ângulos
primitivos de ambas engrenagens. (c) destaque, no esboço, a saliência e a profundidade do pinhão, assinalando-os claramente.
6.9 Prove, com a ajuda de um esboço adequado, que em uma engrenagem
cânica de dentes retos, tipo Gleason, o ângulo de cabeça do pinhão é igual ao ângulo
de pé da engrenagem e que Ja = J + 8a•
6.10 Uma engrenagem helicoidal de 14 dentes deve ser cortada por uma fresa
de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 10. Calcule: (a) o ângulo
mínimo de hélice que esta engrenagem deve ter a fim de ser cortada, com montagem
padronizada, sem adelgaçamento. (b) quanto terá que ser afastada a fresa para
evitar o adelgaçamento se o ângulo de hélice for 20°.
6.11 Um pinhão helicoidal de 12 dentes deve ser cortado com uma fresa
de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 8. Se o ângulo de hélice
for 20°, calcule quanto a fresa deve ser afastada para evitar o adelgaçamento.
6.12 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos, iguais, com 48 dentes,
largura do denteado de 1 pol e diametral pitch 6, acoplam-se no acionamento
de uma máquina de fadiga. Calcule o ângulo de hélice de um par de engrenagens
helicoidais para substituir as engrenagens cilíndricas se a largura do denteado,
distância entre centros e relação de velocidades devem permanecer as mesmas.
Use as seguintes ferramentas: (a) pinhão com diametral pitch 6, (b) fresa com
diametral pitch 16.
6.13 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos normalizadas foram cortadas
com uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 10, para
terem uma relação de velocidades de 3,5 : 1 e distância entre eixos de 6,75 poI.
Deve-se usinar engrenagens helicoidais com a mesma ferramenta para substituirem
as cilíndricas, mantendo-se a mesma distância entre eixos e mesma relação de velocidades. Determine o ângulo de hélice, números de dentes e largura do denteado
das novas engrenagens, mantendo o ângulo de hélice em um valor mínimo.
6.14 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos devem ser substituídas por
engrenagens helicoidais. As de dentes foram cortadas por uma fresa de dentes
normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 8, têm relação de velocidades de
1,75 : 1 e a distância entre eixos é de 5,5 poI. As engrenagens helicoidais devem ser
cortadas com a mesma fresa e manter a mesma distância entre eixos. O ângulo
de hélice deve ficar entre 15°e 20° e a relação de velocidades entre 1,70 e 1,75. Determine os números de dentes, ângulo da hélice e relação de velocidades.
6.15 Em uma caixa de engrenagens, duas engrenagens cilíndricas de dentes
retos padrQnizadas (diametral pitch 16 e ângulo de pressão 20°, dentes normais)
com 36 e 100 dentes são acopladas à distância entre eixos padronizada. Decide-se
substituÍ-Ias por engrenagens helicoidais com ângulo de hélice de 22° e os mesmos
números de dentes. Determine a variação necessária na distância entre eixos se
as engrenagens são cortadas (a) com uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral picth 16, (b) com uma ferramenta pinhão (Fellows) de 20°,
diametral picth 16.
6.16 Um par de engrenagens helicoidais para eixos paralelos deve ser cortado
com uma fresa, de dentes normais, ângulo de pressão 200, diametral pitch 8. A
relação de velocidades angulares deve aproximar-se tanto quanto possível de 2 : 1.
Calcule o passo frontal e o diametral pitch nô plano de rotação. Determine os números de dentes, diâmetros primitivos e distância entre eixos para satisfazerem às
condições acima.
6.17 Um pinhão cilíndrico de dentes retos com 20 dentes, diametral pitch 10,
aciona duas engrenagens, uma com 36 e outra com 48 dentes. Deseja-se substituir
as três engrenagens por engrenagens helicoidais e mudar a relação de velocidades
entre os eixos das engrenagens de 20 e de 48 dentes para 2 : 1. A relação de velocidades e a distância de centros entre os eixos das engrenagens de 20 e de 36 dentes
devem permanecer as mesmas. Usando uma fresa de dentes rebaixados, ângulo
de pressão 200, diametral pitch 16, e mantendo o ângulo de hélice tão pequeno
quanto possível, determine o número de dentes, ângulo de hélice e seu sentido,
largura do denteado e diâmetro de cabeça para cada engrenagem. Calcule a variação na distância de centros entre os eixos onde originalmente vêm montadas as
engrenagens de 20 e 48 dentes.
6.18 Um pinhão cilíndrico de dentes retos, diametral pitch 12, impele duas
engrenagens, uma com 36 e a outra com 60 dentes. É necessário substituir as três
engrenagens por helicoidais, mantendo as mesmas relações de velocidades e distância entre eixos. Usando uma fresa de dentes rebaixados, ângulo de pressão 20°,
diametral pitch 16 e mantendo o ângulo de hélice tão baixo quanto possível, determine o número de dentes, ângulo de hélice e seu sentido, largura do denteado e
diâmetro de cabeça para cada engrenagem.
6.19 Dois eixos paralelos devem ser conectados por um par de engrenagens
helicoidais (engrenagens I e 2). A relação de velocidades angulares deve ser
1,25: 1 e a distância entre eixos, 5,5 pol. A engrenagem 2 deve impelir uma engrenagem helicoidal 3 cujo eixo faz um ângulo reto com o da 2. A relação de velocidades
angulares entre as engrenagens 2 e 3 deve ser 2 : 1. Usando uma fresa, dentes normais, ângulo de pressão 20", diametral pitch 9, determine o número de dentes,
ângulo de hélice e diametral pitch de cada engrenagem e a distância entre eixos a23.
6.20 Dois eixos paralelos devem ser conectados por um par de engrenagens
helicoidais (engrenagens 1 e 2). A relação de velocidades angulares deve ser 1,75: 1
e a distância entre eixos 2,75 pol. A engrenagem 2 deve impelir uma terceira engrenagem helicoidal (engrenagem 3) com uma relação de velocidades angulares 2 : 1.
Três fresas estão disponíveis para cortar as engrenagens: fresa A (diametral pitch 7,
ângulo de pressão 20", dentes normais), fresa B (diametral pitch 9, ângulo de pressão 20", dentes normais) e fresa C (diametral pitch 12, ângulo de pressão 20°,
dentes normais). (a) escolha a fresa que resulte no menor ângulo de hélice {3.
(b) que fresa permitirá a menor distância entre eixos a23, entre os eixos 2 e 3, mantendo um ângulo de hélice menor do que 35°?
6.21 A fórmula para a distância entre eixos de duas engrenagens cilíndricas
de dentes retos ou helicoidais é dada por a = (Zl + Z2) 2p, onde a depende dos
números de dentes das engrenagens z 1 e Z2 e do diametral pitch P. Mostre que a23
independe de p para três engrenagens (dentes retos, paralelas e helicoidais) acopladas
cujas distância entre eixos a12 e relações de velocidades angulares W1/W2 e W2/W3
são conhecidas.
6.22 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos, ângulo de pressão 20°,
dentes normais, diametral pitch 18, com 36 e 90 dentes devem ser substituídas por
engrenagens helicoidais. A distância entre eixos e a relação de velocidades angulares devem permanecer as mesmas. Se a largura das engrenagens não pode exceder
1/2 pol devido às limitações de espaço, determine um par de engrenagens helicoidais
que mantenha o ângulo de hélice tão pequeno quanto possível. Use uma fresa de
dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 18 e determine os números
de dentes, ângulo de hélice, largura do denteado e diâmetros de cabeça.
6.23 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos, ângulo de pressão 20°,
diametral pitch 18, com 32 e 64 dentes normais devem ser substituídas por engrenagens helicoidais. A distância entre eixos e a relação de velocidades angulares
devem permanecer as mesmas. Se a largura das engrenagens não pode !.1ltrapassar
7/16 pol devido a limitações de espaço, determine qual das seguintes fresas deve ser
usada, mantendo o ângulo de hélice tão pequeno quanto possível: fresa A (diametral pitch 18, ângulo de pressão 20°, dentes normais) ou fresa B (diametral
pitch 20, ângulo de pressão 20°, dentes normais). Determine ainda os números de
dentes, ângulo de hélice, largura do denteado e diâmetros de cabeça.
6.24 Dois eixos paralelos devem ser conectados por um par de engrenagens
helicoidais (engrenagens 1 e 2). A relação de velocidades angulares deve ser 1 1/3 : 1
e a distância entre eixos 3,50 pol. Considerando que há disponibilidade de fresas
com diametral pitch de 6 a li (inclusive), tabule os números de dentes, ângulo de
hélice e largura do denteado para as várias combinações (de Zl e Z2) que satisfaçam
ús condições dadas. Qual é o melhor conjunto para este acionamento'? Por quê'?
Faça o menor número de dentes t 5 para a menor engrenagem quando p" = 6.
6.25 Dois eixos reversos, com ângulo de 90", devem ser conectados por engrenagens helicoidais. A relação das velocidades angulares deve ser 1 1,5 : 1 e a distância entre eixos 5,00 pol. Supondo que as engrenagens tenham ângulos de hélice
iguais, calcule o diametral pitch de uma ferramenta para gerar 20 dentes no pinhão
se ela for (a) uma fresa e (b) uma ferramenta pinhão (Fellows).
6.26 As engrenagens helicoidais abaixo, cortadas com uma fresa de dentes
normais, ângulo de pressão 20", diametral pitch 12, são acopladas sem jogo primitivo.
Engrenagem 1 Engrenagem 2 -
36 dentes, hélice à direita, ângulo de hélice 30°
72 dentes, hélice à esquerda, ângulo de hélice 40"
Determine o ângulo dos eixos, a relação das velocidades angulares e a distância
entre eixos.
6.27 Dois eixos reversos, com ângulo de 90" são conectados por engrenagens helicoidais (engrenagens 1 e 2), cortadas com fresa de dentes normais, ângulo
de pressão 20", diametral pitch 12. Ambas têm hélice à direita e a relação de velocidades angulares é 15 : 1. d2 = 5,196 pol e P1 = 60". Uma modificação de projeto
requer uma redução do diâmetro de cabeça da engrenagem 1 de 0,25 pol para
propiciar folga no fundo do dente para um novo componente. Supondo que a
mesma fresa deva ser usada para cortar qualquer nova engrenagem, mostre que
o diâmetro de cabeça da engrenagem 1 pode ser reduzido sem modificar a relação
de velocidades, o ângulo entre eixos e os números de dentes das engrenagens Z1 e Z2'
O diâmetro de cabeça da engrenagem 2 e a distância entre eixos podem ser alterados
se necessário. Na análise, calcule e compare os seguintes dados para as engrenagens
originais e novas: a12, d1, d2, zl' Z2' Pl' P2•
6.28 Uma engrenagem helicoidal com diametral pitch normal 6 deve impelir
uma engrenagem cilíndrica de dentes retos. A relação das velocidades angulares
deve ser 2 : 1 e o ângulo entre eixos 45°. Determine os diâmetros primitivos para
as duas engrenagens e o ângulo de hélice para a engrenagem helicoidal. Faça um
esboço, em verdadeira grandeza, das duas engrenagens (cilindros primitivos) em
contato, semelhante ao da Fig. 6.20, com o pinhão acima da engrenagem: a largura
das engrenagens deve ser 1 pol. Mostre as geratrizes dos dentes em contato e também
uma geratriz no cone de cabeça do pinhão. Assinale e dimensione os ângulos de
hélice e entre eixos.
6.29 Dois eixos reversos devem ser conectados por engrenagens helicoidais.
A relação das velocidades angulares deve ser 1,5 : 1 e a distância entre centros, de
8,50 pol. Se está disponível uma engrenagem de um trabalho anterior, com 30 dentes,
ângulo de hélice 30" e diametral pitch normal 5, calcule o ângulo entre eixos que
deve ser usado. Ambas as engrenagens podem ter o mesmo sentido de hélice e a
de 30 dentes pode ser o pinhão.
6.30 Dois eixos reversos são conectados por engrenagens helicoidais. A
relação de velocidades é 1,8 : 1 e o ângulo entre eixos 45°. Se d1 = 2,31 pol e d2 =
= 3,73 pol, calcule os ângulos de hélice sabendo que ambas as engrenagens têm o
mesmo sentido de hélice.
6.31 Dois eixos reversos, com ângulo de 90°, devem ser conectados por
engrenagens helicoidais. A relação de velocidades angulares deve ser 1,5 : 1 e a
distância entre centros, de 5;00 pol. Selecione um par de engrenagens cortados
por ferramenta pinhão (Fellows.)
6.32 Dois eixos reversos devem ser conectados por engrenagens helicoidais.
A relação de velocidades é 3: 1, o ângulo entre eixos 600 e a distância entre centros,
10,00 pol. Se o pinhão tem 35 dentes e um diametral pitch normal 8, calcule os
ângulos de hélice e diâmetros primitivos sabendo que as engrenagens têm o mesmo
sentido de hélice.
6.33 Um pinhão helicoidal, com diâmetro primitivo de 2 pol, impele uma engrenagem helicoidal de 3,25 pol como mostra a Fig. 6.20, I: = 30°. A velocidade do
ponto primitivo da engrenagem 1 deve ser representada por um vetor com 2 pol
de comprimento e a da engrenagem 2, por um com 3 pol. Usando uma largura do
denteado de 1 pol, para as engrenagens, determine graficamente a geratriz do dente
no cone de cabeça de cada engrenagem, o ângulo de hélice, o sentido da hélice e a
velocidade de deslizamento.
6.34 Uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 14,5°, diametral pitch 8,
é usada para cortar uma engrenagem helicoidal. A fresa tem hélice à direita com um
ângulo de avanço de 2°40'. um comprimento de 3.00 pol e um diâmetro externo
de 3.00 pol. Faça um esboço. em verdadeira grandeza. da fresa cortando uma engrenagem helicoidal. hélice ú direita. 47 dentes e ângulo de hélice de 20°. O disco de
engrenagem tem 1.5pol de largura. Mostre o cilindro primitivo da fresa sobre
o disco da engrenagem, com a hélice da ferramenta em posição correta com os
dentes da engrenagem. Mostre três dentes da engrenagem e 1,5 voltas do filete
da fresa: posicione estes elementos através do passo frontal normal. Assinale
os eixos da fresa e do disco da engrenagem, o ângulo de avanço da fresa, o ângulo
de hélice da engrenagem e a direção de rotação da ferramenta e do disco da engrenagem.
6.35 Repita o problema 6.34 para uma engrenagem helicoidal com hélice à
esquerda.
6.36 Um parafuso sem-fim de duas entradas, com avanço de 2,00 pol, impele
uma coroa com relação de velocidades de 20 : 1 e ângulo entre eixos de 90°. Se a
distância entre eixos é 9,00 pol determine os diâmetros primitivos do sem-fim e
da coroa.
6.37 Um parafuso sem-fim e coroa, com eixos a 90° e distância entre centros
de 7,00 pol, devem ter uma relação de velocidades de 18 : 1. Se o passo axial do
sem-fim deve ser 1/2 pol, determine o número máximo de dentes no sem-fim e na
coroa e seus diâmetros primitivos correspondentes.
6.38 Um parafuso sem-fim e coroa conectam eixos a 90°. Deduza equações
para os diâmetros do sem-fim e coroa em termos da distância de centros a, relação
de velocidades 0)1/0)1 e ângulo de avanço I,.
6.39 Um parafuso sem-fim e coroa com eixos a 900 e distância entre centros
de 6,00 pol devem ter uma relação de velocidades de 20 : 1. Se o passo axial do
sem-fim deve ser 1/2 pol, determine o menor diâmetro para o sem-fim que pode
ser usado na transmissão.
6.40 Um parafuso sem-fim com quatro entradas aciona uma coroa de 60 dentes
conângulo entre eixos de 90". Se a distância entre centros é 8,00 pol e o ângulo de
avanço do sem-fim 20", calcule o passo axial do sem-fim e os diâmetros primitivos
das duas engrenagens.
6.41 Um parafuso sem-fim com quatro entradas comanda uma coroa de 48
dentes, ângulo de hélice 20" e diâmetro primitivo 7,64 pol. Se os eixos estão em
ângulo reto, calcule o ângulo de avanço e o diâmetro primitivo do sem-fim.
6.42 Um parafuso sem-fim de 6 entradas aciona uma coroa com uma relação
de velocidades angulares de 8 : 1 e ângulo entre eixos de 80°. O passo axial do semfim é 1/2 pol e o ângulo de avanço 20°. Calcule os diâmetros primitivos do sem-fim
e da coroa e o passo frontal da coroa.
6.43 Um parafuso sem-fim de cinco entradas aciona uma coroa de 33 dentes
com um ângulo entre eixos de 90°. A distância entre eixos é 2,75 pol e o ângulo
de avanço 20". Calcule os diâmetros primitivos, o avanço e o passo axial do sem-fim.
6.44 Um parafuso sem-fim e uma coroa com eixos a 90" e distância entre centros
de 3,10 pol devem ter uma relação de velocidades de 7 : 1. Usando um ângulo de
avanço de 20" determine os diâmetros primitivos e os números de dentes para as
engrenagens. Adote uma fração simples para o passo axial.
6.45 Um parafuso sem-fim e uma coroa com eixos a 90" e distância entre centros
de 3,00 pol devem ter uma relação de velocidades de 30 : 1. Determine um par
de engrenagens e especifique os números de dentes, diâmetros primitivos e ângulo
de avanço. Adote uma fração simples para o passo axial.
Trens de Engrenagens
•••••••
•
••
•
••
••
7.1 Introdução a Trens de Engrenagens. Muitas vezes é necessário combinar
diversas engrenagens e assim obter o que é conhecido como um tr~rn de_engreJY;lgens-,
Dada a velocidade angular de entrada é importante saber, determinar facilmente
a velocidade angular de saída e seu sentido de rotação. A relação entre as velocidades
angulares de entrada e saída é conhecida como ':f!..l{lçii.2_tle velºçi4a4g~ _aJIg14lares
e é expressa como we/w •.
_AJ·_igJ1.~ll.\lm
P!.I!hão comanc!l:l!!c:!ouma engr:~I!ªgem_cilindrica extçma
dedentes retos e. uma interna. Em ambos os casos, a relação de velocidades anguTâres é inversamente propor~ional ao número de dentes como indicado. As engrenagens externas giram em sentidos opostos e a interna no mesmo sentido de seu
pinhão. Isto é indicado por um sinal menos na relação de velocidades do primeiro
caso e por ~m sinal mais no segundo. Até aqui não foi necessário~or
um sinal
algébrico à relação de velocidade de um par de engrenagens. Entretanto, quando se
combinam ~ngrenagens para formareID:.JUn_t~JILº~._~Mrenagens, é importante
considerar o sinjil porque ele indica o s~do de rotação~_Isto ~J~specialIll~º!~~deiro __ºl! .ª-nálise_~~s
__<:!~~~!!..a~ns
planetárias.
Ocasionalmente é necessário mudar o sen~®_!,otª~ão
de uma engrenagem
..se.n:lvariar..suavelocidade angu.h!r. Isto pode ser feito colocando uma engrenagem
intermediária entre a motora e a movida. çua:n~mªengrenagem inter~~~(ia-~e_
º._§~ll!iºgA~
_~2.~~ão
_
mas a!.~lação de velocidades perm~nece
a mesma.
w.w, =~w, =_~
w.w, =~=+!!.
Zt
W2
Zt
Pode-se mostrar que a relação de velocidades angulares de um trem de engrenagens, onde todas engrenagens têm eixos fixos de rotação, é o produto dos números
de dentes de todas as engrenagens movidas dividido pelo produto dos números de
dentes das motoras. Esta relação é dada sob forma de equação por
-.!!!L = COmotora
CO.
COmovida
Produto dos números de dentes das movidas
Produto dos números d~ dentes das motoras
Para ilustrar o uso da Eq. 7.1, considere o trem de engrenagens da Fig. 7.2
onde as engrenagens 2 e 3 são montadas no mesmo eixo. A relação de velocidades
é dada por
_CO_e_
= _co_1 =
CO.
co4
+ Z_2_X_Z_4
Z1
X
Z3
o sinal positivo é determinado por observação.
que a equação anterior é correta
~=-~e~=-~
co2
Z1
co4
Pode-se mostrar facilmente
Z3
W3
W2
~
W4
i
22
21
X
24
23
Quando duas engrenagens estão fixas no mesmo eiXO, como as engrenagens
2 e 3 na Fig. 7.2, formam uma engrenagem composta.
Embora a relação de velocidades angulares seja usada para cálculos envolvendo um par de engrenagens, é mais conveniente, com um trem de engrenagens,
usar o inverso desta relação. A razão é que a velocidade angular da motora é obtida
da velocidade do motor e só é necessário multiplicá-Ia por um fator para encontrar
a velocidade da última engrenagem do trem. Este inverso é conhecido como o
)\7
hXl"í
~
Jj, ) (.th') ~1\h) .
"
Wmoyida
COmotora
=
Produto dos números de dentes das"motdras
Produto dos números de dentes das movidas
Em geral, as velocidades diminuem de modo que este valor será menor do que
- 1,00. Um trem de engrenagens típico está ilustrado no redutor de velocidades triplo
da Fig. 7.3.
7.2 Trens de Engrenagens Planetários. A fim de obter uma relação de engre- nagens desejada, é frequentemente vantajoso projetar um trem de engrenagens tal
_ que uma das engrenagens tenha movimento planetário. Com este movimento, uma
engrenagem não só gira em torno de seu centro, como este gira em torno de um outro.
As Figs. 7.4a e b mostram dois trens planetários onde a engrenagem 1 é, às
- vezes, chamada de solar e a engrenagem 2 de planetária. Na Fig. 7.4a o braço 3
impele a engrenagem 2 em torno da engrenagem 1, que é uma engrenagem externa
fixa. Como pode ser observado, a engrenagem 2 gira em torno de seu centro B
~ enquanto este centro gira em torno do centro A. Como a engrenagem 2 rola no
exterior da engrenagem 1, um ponto de sua superficie gerará uma epiciclóide.
A Fig. ".1b mostra o caso em que a engrenagem 1 é uma engrenagem interna.
, Neste caso, um ponto na superfície da engrenagem 2 gerará uma hipociclóide.
Devido às curvas geradas, o trem de engrenagens planetárias é, às vezes, chamado
- de trem de engrenagens epicicloidais.
1"
lhrMrl/fu
i--
y(/tvutib
\\'VI\V~.I\
I
tl,{)r i().
E ixo móvel de rotação
da engrenagem 2
É mais difícil determinar a relação de velocidades angulares de um trem
planetário do que a de um trem comum devido à rotação dupla da planetária.
A relação de velocidades angulares pode ser obtida pelo método do centro instantâneo, ~lo método de fórmula ou pelo método de tabulacão. a método do centro
instantâneo será reservado para o Capítulo 10 e os outros dois apresentados a seguir.
a método de fórmula será tratado em primeiro lugar.
Na Fig. 7.4 pede-se determinar w2!, sendo conhecido W31. Deve-se notar
que W21 é definida como a velocidade angular da engrenagem 2 relativa à engrenagem 1 e W31 como a velocidade angular do braço 3 relativa à engrenagem 1.
Como a engrenagem 1 é fixa, isto é o mesmo que as velocidades angulares da engrenagem 2 e do braço 3 relativas ao referencial fixo. Na solução do problema,
(J)23/(J)31
desempenha um papel importante.
Consideremos que o trem de engrenagens da Fig. 7.4a seja modificado de modo
que o braço 3 fique estacionário em lugar da engrenagem 1. O braço 3 torna-se
então o referencial fixo e resulta um trem de engrenagens comum. A relação
(J)23/(J)13 pode ser então avaliada como - zdzr
Se agora o mecanismo reverte à
sua condição original, isto é, o braço 3 móvel e a engrenagem 1 fixa, a relação
(J)23/(J)13 ainda será - Zl/Z2'
porque Quando um mecanismo é invertido. o movimento
re.ll!~jyoentre as peças não é alterado. Pode-se agora obter uma solução para r/J2 t}
em termos das quantidades conhecidas (J)31 e (J)23/(J)13' escrevendo-se uma equação
para (J)21 e dividindo por (J)31' como segue:
; 1 _ tI
0v':S'\
7
LL
Da comparação das Eqs. 7.3a e b observa-se porque é importante que o sinal
algébrico correto de (J)23/(J)13 seja substituído na equação 7.3.
Consideremos a seguir o caso em que todas as engrenagens, bem como o braço ~
giram. Isto está ilustrado na Fig. 7.5, onde (J)31 e (J)41 são conhecidas e 12ede-se
determinar (J)21' Ao resolver este problema (J)24/(J)34 é a relação-chave porque é
a relação de velocidades das engrenagens referidas ao braço e pode ser calculada
facilmente. Pode-se escrever equações para (024 e (1)34 e combiná-Ias de modo
que a relação (024/(034 apareça. Isto está ilustrado a seguir.
W24 = W21 '-W41
W34
= W31 -'(04;'
W24
= W21
-
W41
W34
W31
-
W41
+ W 41
(1_(
24)
W
34
Na dedução das Eqs. 7.3 e 7.4, viu-se que, em cada caso a relação de velocidades
~ngulares relativas aoJ~r.~Jºiobti~ª_u~I!!.l?r:tI!!~Jro lugar e depois foram escritas e
c.ombinadas._uasequaçôes de velocidades relativas para conterem esta relaçã~.
Embora este método seja básico, significa que deve ser desenvolvida uma novllI
equação para cada sistema planetário encontrado. A fim de evitar repetição, é
possível a dedução de uma equação geral que possa ser aplicada a qualquer trem de
engrenagens planetários.
Eixo móvel de rotaçio
da engrenagem 2
i
E ixo fixo de rotaçio
da engrenagem 3
e do braço 4
I
1,,(\,1)(0.1\ Q)
W24
= W21 - W41
W34 = W31 - W41
.1
'\J/
(024
= (021 -
(041
(034
(031 -
(041
Se na Fig. 7.5 a engrenagem 3 for considerada a primeira e a engrenagem 2 a
última engrenagem, a equação anterior pode ser escrita como
= (Ou-
(OUB
(OPB
(OUL
(OPB
fi""')
= relação
(OB
(Op -
(OB
de velocidades entre a última e a pnmelra engrenagens, ambas
ao braço.
= velocidade angular da última engrenagem do trem, relativa à peça fixa.
(O B = velocidade angular do braço relativa à peça fixa.
(O P = velocidade angular da primeira engrenagem relativa à peça fixa.
(O U
Ao se utilizar a Eq. 7.5, deve-se enfatizar que a primeira engrenagem e a última
devem ser engrenagens que se acoplem com engrenagem ou engrenagens que tenham
movimento planetário. Além disso devem estar em eixos paralelos porque as velocidades angulares não podem ser tratadas algebricamente a menos que os vetores
que as representem sejam paralelos.
Agora a Eq. 7.5 será usada para escrever a equação do trem de engrenagens
da Fig. 7.4a. Considerando a engrenagem 1 como a primeira e a engrenagem 2
como a última:
(VUB
(Vu
-
(OB
wp
-
(V/J
(VPB
'7
(VUB
(V23
~I
(VPB
(V13
22
21
_
- z;- (021 - (031
(021 -
(031
0-(031
= ( :; ) (031
\ \.
fl\~C'
\.
;)))~\
C(~l.~\Gtí
},I,-~"~:L:I
III
L
o que concorda com a Eq. 7.3a. A aplicação da Eq. 7.5 a um trem mais complica~d'
é feita no exemplo seguinte.
Se o braço 6 e a engrenagem 5 da Fig. 7.6 girasse no sentido horário (visto do
lado direito) a 150 e 50 rad/min, respectivamente, determine (021 em intensidade
e sentido. Use a Eq. 7.5 e considere a engrenagem 5 como a primeira e a 2 como a
última.
OJu ----(Op -
(OUB
(OPB
(026
OJB
wB
= (021 - (061
(056
(051
-
(061
20 x 30
25
(026
_ Z5 X Z3
-~.- 28--x 18 - 21
Z4
W56
X
Z2
25 _w21-150
2T - 50 -150
W21
=
;i(-
100) + 150
+ 30,9 rad/min
r
/
Eixo fixo de rotação
da engrenagem 5
E ixo móvel de rotação
das engrenagens 3 e 4
Eixo fixo de rotaç§o
da engrenagem 2
e do braço 6
\.c- -
Como o sinal de W21 é o mesmo que o de WS1 e w61' W21 tem o mesmo
sentido, isto é, sentido horário visto pela extremidade direita.
Ocasionalmente torna-se necessário analisar um trem planetário que não pode
ser resolvido por uma simples aplicação da Eq. 7.5 como foi feito no exemplo 7.1.
Por exemplo, se uma engrenagem)nj~na
fixa 7 é acrescentada ao trem da Fig. 7.6
e se acopla com a engrenage~reoI1Ío
mostra a Fig. 7.7 e pede-se calcular WS1
dado W21, é necessário usar a Eq. 7.5 duas vezes para solucionar o problema. A
primeira aplicação considera as engrenagens 2, 3, 4, 5 e o braço 6 e a segunda as
engrenagens 2, 3, 4, 7 e o braço 6. Isto será ilustrado no exemplo seguinte.
--'-
jEIXO móvel de rotaçfo
das engrenagens 3 e 4
1
Eixo fixo de rot8Çfo
da engrenagem 5
(li-
5(2;-·
tJ
Eixo fixo de
rotaçfo da
engrenagem 2 e
2(18)
do braço 6
) 1. :
l/ (')\ I wl~
Se W21 gira no sentido anti-horário (visto da extremidade direta) a 60 rad/min
determine WS1 e seu sentido de rotação.
Considerando primeiramente as engrenagens 2, 3, 4, 5 e o braço 6, seja a engrenagem 2 a primeira e a 5 a última.
WUB
wpB
wB
wp - wB
= (}Ju -
WS6
= WS1
-
W61
W26
W21
-
W61
21
WS1
-
W61
25 = W21 - W61
_
-
WS1
-
60-W
61
W61
Entretanto, a Eq. (a) não pode ser resolvida porque contém duas incógnitas,
e W61. É necessário considerar agora as engrenagens 2, 3, 4, 7 e o braço 6,
sendo a engrenagem 2 a primeira e a 7 a última.
WS1
W76
= W71
-
W61
W26
W21
-
W61
W76
= _ Z2
X
Z4
18 x 28
W26
Z3
X
Z7
30 x 76 = - 95
21
21 _ W71 - W61
- 95 -
W
21
-
W
61
21 x 15
29
21
25 (60 - 10,86) = WS1 - 10,86
Exemplo
7.3
Considere que no diferencial mostrado na Fig. 7.8, a velocidade angular do
eixo A é 350 rad/min no sentido indicado e que a do eixo B é 2000 rad/min.
Determine a velocidade angular do eixo C.
Use a Eq. 7.5 e lembre-se que a primeira e a última engrenagens selecionadas
para a equação devem acoplar-se com as engrenagens que têm movimento planetáJ;io. Sendo a engrenagem 4 a primeira e a 7 a última:
- wB
WUB
Wu
WP11
wp -
ª- =
(l)B
W7
W71 -
WS1
W48
W41 -
WS1
30 x 24
64 x 18
_
41
W
-
_
31
W
22
B
w
-
= 1000 rad/min,
X ~
ffieSfflO
_
-
2~:J0(M7
20
sentid~
wB
Eixo móvel de rotação das
engrenagens 5 e 6
Eixo fixo de rotação das
engrenagens 3 e 4
edo braço 8
Eixo fixo de rotação da
engrenagem 2
-350
8 - 1000-350
5 _
W71
,/1,\)
(, 7
[,D .
W71
= -
~ (650)
+ 350 -
= - 406,3 + 350
= -
56,3 rad/min, sentido oposto a W A
o método da tabulação é outra maneira conveniente de resolver problemas de
engrenagens pla~tárias.
Para ilustrar sua utilização, considere o trem de engrenagem da Fig. ~U~' e o seguinte procedimento:
4~4Q
1. Desconecte a engrenagem 1 do referencial fixo e prenda-a ao braço 3, juntamente com a engrenagem 2. Agora não pode haver movimento relativo entre as peças
1, 2 e 3.
2. Gire o braço 3 (e as engrenagens 1 e 2) de uma revolução positiva em torno
do centro A.
3. Libere as engrenagens do braço 3. Mantendo o braço 3 fixo, gire a engrenagem 1 de uma revolução negativa. Então a engrenagem 2 gira + z 1/Z2 revoluções.
Os resultados dos passos 2 e 3 entram na Tabela 7.1 junto com o número total
de revoluções féitas por cada peça do trem em relação ao referencial fixo. Pode-se
ver na linha "total" da Tabela 7.1 que com a engrenagem 1 estacionária, a engrenagem 2 gira (1 + Zl/Z2) revoluções para uma rev6iução do braço 3. Isto concorda
com a Eq. 7.3a.
Tabela 7.1
Engrenagem
1
Engrenagem
2
Movimento com o braço em relação
à peça fixa (item 2)
+1
+1
Movimento em relação ao braço
(item 3)
-I
+-
---_.~._--~--
Movimento total em relação à peça
fixa
z,
Braço
3
-----
+1
O
Z2
O
1 + 5-
+1
Z2
Considere que o hraço 4 da Fig. 7.9 gira no sentido anti-horário a 50 rad/min.
Determine W21 em intensidade e sentido. Ver Tabela 7.2
W21_ =
W41
1 + Zl/Z2
1
Uma vantagem notória do método tabular é o fato de poder-se obter mais de
u.rnar~~ç!<?_'!J2.ar!.i~_
de uma solução. No exemplo 7.4, se fosse necessário, o valor
de W31 poderia ser facilmente obtido dos dados da tabela.
Eixo fixo de rotação
da engrenagem 2 e
do braço 4
Eixo móvel de rotação
da engrenagem 3
Engrenagem Engrenagem Engrenagem
1
2
3
Movimento com o braço em relação
à peça fixa
Movimento em relação ao braço
Movimento total em relação à peça
fixa
+1
+1
+1
-I
+-
ZI
ZI
Z,
Z3
O
1+.2Z,
1--
Braço
4
+1
ZI
Z3
o exemplo 7.1 e a Fig. 7.6 serão agora resolvidos pelo método tabular. Como
todas as engrenagens deste trem giram, é mais fácil trabalhar com as velocidades
reais da engrenagem 5 e do braço 6, em lugar de uma revolução como no exemplo 7.4. Como o braço 6 gira a 150 rad/min, este deve ser o número de giros ao qual
o trem inteiro é sujeito quando bloqueado para a linha 1 da Tabela 7.3 (por causa
do zero para o braço 6 na linha 2). Com + 150 para a engrenagem 5 na linha 1,
deve-se inserir - 100 na linha 2 para a engrenagem 5, a fIm de ser obtido o total
correto de + 50. Com o braço 6 estacionário, na linha 2, e a engrenagem 5 girando
uma quantidade conhecida, pode-se facilmente determinar, para esta linha, a rotação
das engrenagens 2, 3 e 4.
150 _ 100 (20 x 30)
28 x 18
150-100
25
x 21
o exemplo 7.3 também pode ser facilmente resolvido usando-se o método
de tabulação.
Engrenagem 3
Engrenagem 2
Engrenagem 4
Engrenagem 5 Braço 6
Movimento com o braço em relação
à peça fixa
Movimento total em relação
à peça fixa
150 -
XZ)
100 (z_5 __ '
Z4
X
Z2
7.3 Aplicações de Trelli Planetários. Os trens planetários encontram muitas
aplicações em máquinas operatrizes, guinchos, caixas de redução para hélices de
aeronaves, diferenciais de automóveis, transmissões automáticas, servo mecanismos
para aeronaves e muitas outras. A Fig. 7.10 mostra um desenho esquemático de um
trem planetário usado como redutor entre o motor e a hélice em um conjunto motor
de aeronave. A Fig. 7.11 mostra a fotografia de um conjunto real. As caixas redutoras, usadas antigamente em aeronaves, trabalhavam com engrenagens cônicas de
dentes retos no trem planetário. Entretanto, foram substituídas por engrenagens
cilíndricas de dentes retos porque, com estas, podem transmitir mais potência em
um dado espaço físico.
Na Fig. 7.10, o motor aciona a engrenagem interna 3. A engrenagem 2 acoplase com a fixa 1 e com a 3, de forma que ela tem movimento planetário. O braço 4,
ou suporte dos planetários, que é conectado à engrenagem 2, aciona a hélice em uma
velocidade inferior à do motor. Pode-se determinar com facilidade uma equação
para a relação das velocidades do motor W31 e da hélice w41' a partir da Eq. 7.5:
Fig. 7.11
Trem
planetário
W31
1 .. W34
W41
W14
usado eomo redutor
Foote Brothers Gear
entre o motor e a héliee de um avião.
& Manufaeturing
Corp.)
(Cortesia
de
É interessante observar que seria impossivel obter uma relação de velocidades
tão alta quanto 2 : 1 porque isto significa que a engrenagem 1 teria que ter o mesmo
número de dentes da engrenagem 3, o que é impossível. Ao.§<:.determinar a rel-ª&.ão
limite para um dado rt.:dutºr, d~ve-se_Q..1?se!va!.Sl!!~J.2s!.ªsªsengI"~IlªKe!!~J~!IUlllt:.l
o mesmo diametral pitch.
Um trem de engrenagens planetárias usado como diferencial em um automóvel
é mostrado na Fig. 7.12. A Fig. 7.13 mostra uma vista do diferencial com a carcaça
aberta. Este mecanismo possibilita a um automóvel fazer curvas sem que as rodas
trazeiras deslizem. Na Fig. 7.12, a engrenagem 2 é acionada pelo motor através
da embreagem, transmissão e árvore de transmissão. A engrenagem 2 aciona a
engrenagem 3, que é solidária ao suporte 7 das planetárias. Se o veículo move·se
Rara a frente em linha reta, as engrenagens 4, 5 e 6 giram como um conjunto_~li.
qário ao suporte 7 e não há movimento relativo entre eles. As engrenagens 3 e 6
acionam os eixos. Quando o veiculo faz uma curva, as engrenagens 5 e 6 não giram
mais com a mesma velocidade e as engrenagens 4 têm que girar em torno de seu
eixo além de girarem com o suporte. É interessante observar que se uma das rodas
for mantida estacionária e deixada a outra livre para girar, esta girará com veloci·
dade igual ao dobro da do suporte. Esta característica é uma desvantagem quando
o veículo está ato lado na neve ou na lama.
Há muitos projetos de trens planetários e uma larga faixa de relações possíveis.
As aplicações mencionadas são só duas de uma grande variedade. Em muitas
circunstâncias se verificará que é possível obter uma maior relação de redução com
uma caixa menor, usando trens planetários em lugar de trens comuns de engrenagens.
7.4 Montagem de Trens Planetários. Quando se projeta um trem planetário,
deve·se considerar o problema de montá-Io com as planetárias igualmente espaçadas. Com o trem ilustrado na Fig. 7.14 é possível que para um dado número de
dentes nas engrenagens 1, 2 e 3 não se possa ter três engrenagens planetárias igualmente espaçadas.
A fim de determinar o número de planetárias que podem ser usadas para um
dado número de dentes nas engrenagens 1, 2 e 3, é necessário determinar o ângulo
AOB na Fig. 7.15a resultante da engrenagem 3 ter sido girada de um ângulo correspondente a um número inteiro de dentes, isto é, o passo angular, com a engrenagem 1
estacionária. O caso deve também ser investigado quando a engrenagem 3 é estacionária e a engrenagem 1 girou de um ângulo correspondente ao passo angular.
Isto resulta no ângulo AOB', como mostra a Fig. 7.15b. O método abaixo foi
desenvolvido pelo professor G. B. Du Bois, da ComeU University.
Considere os números de dentes nas engrenagens 1, 2 e 3 como sendo z l' Z2 e
Z3'
Se (}31 é igual ao movimento angular e a engrenagem 3 depois que ela girou
de um ângulo correspondente a um dente, (passo angular), com relação a engrenagem 1, então
°
31
= - 1 revo 1uçoes
Z3
o movimento angular do braço 4 com relação a engrenagem 1 quando a engrenagem 3 girou de um ângulo correspondente a um dente é dado por
041
= 031 X
W41
W31
revoluções.
Da análise de velocidades do trem planetário da Fig. 7.10, que é idêntico ao
que está sob consideração,
W41
=
Z3
Z3
W31
+ Z1
o ângulo AOB é descrito pelo braço 4 quando a engrenagem 3 se move relativamente à engrenagem 1. Se a engrenagem 3 gira o correspondente ao passo angular,
o ângulo AOB é igual a 041. Este é o menor ângulo possível entre engrenagens
planetárias se lhes for permitida superposição~ Se a engrenagem 3 gira o correspondente a um número inteiro Me dentes c, então
AOB = c (041)
c
=
z3
+ Zl
revoluções
Consideremos a seguir o caso da Fig. 7.15b onde a engrenagem 1 girou o
correspondente ao passo angular com a engrenagem 3 estacionária e pede-se determinar o ângulo AOB/. Se ()13 é igual ao movimento angular da engrenagem 1 depois
que ela girou um passo angular e ()43 é igual ao movimento resultante do braço 4
(ambos relativos à engrenagem 3), então
() 43
.a
= 1713 X
O)'!.L
0)13
0)43
~!_1_
21
23
+
0)13
()43
~1
1
21
X
21
\
21
+ 23
21
\'
+ 23
Comparando as Eqs. 7.5 e 7.7 pode-se observar que o braço 4 gira do mesmo
ângulo indiferentemente se é a engrenagem 3 ou 1 que gira ~umemais passos angulares.
..",. \eU..
Se o ângulo AOB é a fração de uma revolução entre planetárias, seu inverso
será o número de planetárias. Tomando o inverso da Eq. 7.6, é possível obter uma
expressão para o número de planetárias igualmente espaçadas em torno da engrenagem 1. Se n apresenta o número de planetárias, então:
Estas planetárias podem ou não se superporem, dependendo do valor de c.
Agora é necessário determinar o número máximo de planetárias n max que
pode ser utilizado sem superposição. Na Fig. 7.16 os raios de cabeça ra2 das duas
engrenagens planetárias aparecem quase se tocando no ponto c. Da figura,
nmax
3600
1800
= AOB
= AOe
AOe
= sen
-1
Ae
OA
z
k
',,2 = '2 + h" = -22p + -(k
p
Z2
= 1 para dentes normais)
+2
'2=--"
2p
1800
sen -1 (Z2 + 2)/(Z1
+ Z2)
Como , = z/2p para uma engrenagem padronizada e como os passos diametrais das engrenagens 1, 2 e 3 são iguais
Para enwenagens não padronizadas a Eq. 7.9 pode ser usada para dar um valor
aproximado li:: 11 max' Neste caso o valor fracionário de 22 resultante do emprego
da equação padronizada
seria substituído na Eq. 7.9. Como conferência final, deve-se fazer um esboço
do conjunto.
Em um trem planetário, semelhante ao da Fig. 7.14, a engrenagem 1 tem 50 e
a 3 tem 90 dentes. Determine o número de planetárias igualmente espaçadas que
pode ser usado sem superposição. As engrenagens são padronizadas.
22
_
-
2
_ 90 - 50 _ 20
--2-1 - --2--
23 -
1800
sen -1 (20 + 2)/(50 + 20) = 9,8 planetárias
o valor de c deve ser o número de passos angulares entre planetárias tal que
quando dividindo 140 dê um número inteiro n. Para este caso c pode ser 140, 70,
35, 28 ou 20. Portanto,
n = 1, 2, 4, 5 ou 7 planetárias
igualmente espaçadas.
7.1 Na Fig. 7.17 a engrenagem 1 gira no sentido indicado a 240 rpm. Determine a velocidade do pinhão 9 (rpm) e a velocidade (m/min) da cremalheira 10,
indicando o sentido.
7.2 Um guincho é operado por um motor acionando um parafuso sem-fim de
4 entradas que se engrena com uma coroa de 100 dentes. A coroa é enchavetada
em um eixo que também tem um pinhão cilíndrico de dentes retos COm20 dentes.
O pinhão se acopla com uma engrenagem cilíndrica de dentes retos montada na
extremidade do tambor do guincho. Faça um esboço do conjunto e calcule a
velocidade do tambor se o motor trabalha a 600 rpm e o diâmetro do tambor é 12 pol.
10
Cremalheira
2
1(48)
7
1
Parafuso sem-fim
(60) de 2 entradas. hélice â
esquerda
"
"
7.3 Dois rolos A e B, para cortar chapas de metal, são acionados através do
trem de engrenagens da Fig. 7.18. Os rolos devem operar nos sentidos mostrados
em uma velocidade periférica de 45 pol/seg. (a) determine a relação de velocidades
angulares W2/W3 a fim de acionar os rolos na velocidade requerida. A engrenagem 1
gira a 1800 rpm. (b) determine o sentido de rotação da engrenagem 1 e o sentido
da hélice do sem-fim 6 para serem obtidas as rotações necessárias aos rolos.
11
(50)
B, Diâmetro 38,438 em
10
r'
Parafuso sem-fim de
3 entradas. helíce â
esquerda
7.4 No esboço da prensa mostrada na Fig. 7.19, 5 e 6 são parafusos de uma
entrada e de sentidos opostos e 6 é enroscado em 5 COmoindicado. A engrenagem 4
é solidária ao parafuso 5. A placa B é impedida de girar por um rasgo que se encaixa
na coluna. Se o passo de 5 é 6 mm e o de 6 é 3 mm pol, determine o sentido e
o número de voltas do eixo A necessárias para baixar a placa B de 18 mm.
7.5 O trem de engrenagens da Fig. 7.20 mostra os aspectos assenciais da árvore
de transmissão para uma fresadora de engrenagens. O disco da engrenagem B
e a coroa 9 são montados nO mesmo eixo e giram juntos. (a) se o disco da engrenagem B deve ser acionado no sentido horário, determine o sentido da hélice da
fresa A. (b) determine a relação das velocidades angulares w7/WS para cortar 72
dentes no disco da engrenagem B.
7.6 Um trem de engrenagens tem o eixo A ao qual são enchavetadas as engrenagens 1 e 2, um eixo intermediário B com uma engrenagem composta deslizante
3,4,5 e um eixo C ao qual são enchavetadas as engrenagens 6 e 7. As engrenagens
são numeradas da esquerda para a direita e são todas cilíndricas de dentes retos
com distância entre centros de 12 pol e diametral pitch 5. A engrenagem composta
pode ser deslocada para a esquerda para dar uma relação de velocidades de 5: 1
através das engrenagens 1, 4, 3, 6 ou para a direita para dar uma relação de 25 : 9
através das engrenagens 2, 4, 5, 7. Faça um esboço do conjunto e calcule o número
de dentes em cada engrenagem se Zs = Z2'
Parafuso sem-fim
8 rosca.â direita! (16)
rosca simples
7.7 No trem de engrenagens da Fig. 7.21 os parafusos 5 e 6 têm roscas de uma
entrada de sentidos opostos com 8 e 9 fios por polegada, respectivamente. O
parafuso 6 enrosca-se no 5 e este na carcaça. Determine a variação em x e y em
intensidade e sentido para uma revolução do volante no sentido mostrado. As
engrenagens 1 e 2 são compostas e estão solidárias ao eixo do volante.
7.8 A Fig. 7.22 mostra parte de um trem de engrenagens de uma fresadora
vertica,l. A entrada de potência é na polia e a saída na engrenagem 12. As engrenagens compostas 1 e 2. 3 e 4, 10 e 11 podem deslizar para obtenção de vários engrenamentos. Determine todos os valores possíveis do trem entre a polia e a engrenagem 12.
~
1 (26) 2 (23)
11 (32)
10 (46)
~
7.9 A Fig. 7.23 mostra parte de um trem de engrenagens para uma fresadora
vertical. As engrenagens compostas 1 e 2 podem deslizar de modo que ou a engrenagem 1 acopla-se com a 5 ou a 2 com a 3. Igualmente, a 13 acopla-se com a 15
ou a 14 com a 16. (a) estando a engrenagem 2 acoplada com a 3, determine as duas
velocidades possíveis dt;jlrvore para o motor girando a 1800 rpm, indicando os
sentidos de rotação. (b)'féom a engrenagem 13 acoplada com a 15 e uma velocidade
da árvore de 130 rpm, determine os números de dentes das engrenagens 1 e 5 se as
engrenagens 1, 2, 3 e 5 são padronizadas e têm o mesmo diametral pitch.
7.10 A Fig. 7.24 mostra, esquematicamente, uma transmissão automotiva
convencional. A transmissão de potência é feita da maneira seguinte: Primeira
velocidade: a engrenagem 3 é deslocada para acoplar-se com a 6 e a transmissão
de potência é feita pelas engrenagens 1, 4, 6 e 3. Segunda velocidade: a engrenagem 2
é deslocada para acoplar-se com a 5 e a transmissão de potência é feita pelas engrenagens 1,4, 5 e 2. Terceira velocidade: a engrenagem 2 é deslocada de modo que
seus engranzadores acoplem-se com os da 1 e a transmissão é direta. Marcha à ré:
a engrenagem 3 é deslocada para acoplar-se com a 8 e a transmissão é feita pelas
engrenagens 1,4, 7, 8, 3. Um veículo equipado cOm esta transmissão tem uma relação de 2,9 : 1 no diferencial e diâmetro externo do pneu de 65 cm. Determine a
velocidade de rotação do motor do veículo nas seguintes condições: (a) primeira
velocidade a 32km/h. (b) terceira velocidade a 96km/h. (c) marcha à ré a 6,4km/h.
7.11 Na embreagem planetária da Fig. 7.25, o retém 6 pode estar avançado
ou não. Quando avançado, o sistema é um trem de engrenagens planetárias e quando
recuado, um trem comum porque o braço 5 fica estacionário. Se a engrenagem 2
® \)o~ú~u 0~1l\\r, 7 ')
-'T fo~-~
dtU'dlUl\aV- Q~t0o.\
()J~llJJb'
16
(102)
~
Engranzadores
~
2 (21)
3(26)
1 (15)
Para o motor
6 (19)
7 (13)
5(24)
gira no sentido mostrado a 300 rpm, determine (a) a velocidade da engrenagem-anel
4 quando o retém 6 está recuado é (b) a velocidade do braço 5 quando o retém 6
está avançado.
.'
r-'
6
7.12 Considerando um diferencial de engrenagens cônicas, como os usados
em automóveis, prove que quando uma das rodas traseiras do veículo for afastada
do solo, girará duas vezes mais rápida do que o suporte do diferencial.
7.13 Se um caminhão está fazendo uma curva a 24 km/h, determine a velocidade do suporte do diferencial em rpm. O raio da curva é 30 m até o centro do
caminhão e a hitola é 1,80 m. O diâmetro externo dos pneus é 90 cm.
7.14 Para a transmissão de engrenagens cônicas planetárias da Fig. 7.26
determine a relação wJw3 quando a engrenagem 1 for estacionária.
7.15 No rolamento de esferas da Fig. 7.27, a pista interna é estacionária e a
externa gira com um eixo tubular a 1600 rpm. Supondo que há rolamento puro
entre as esferas e pistas, determine a velocidade do anel retentor de esferas 4.
7.16 A Fig. 7.28 mostra um mecanismo conhecido como paradoxo de
Fergusson. Para uma revolução do braço na direção mpstrada, encontre o número
de revoluções das engrenagens 3, 4 e 5 e seus sentidos de rotação. As engrenagens
não são padronizadas.
Braço
6
~
1 (70)
7.17 O eixo A gira, no sentido mostrado na Fig. 7.29, a 640 rpm. Se o eixo B
deve girar a 8 rpm e na direção indicada, calcule a relação de velocidades angulares
Qual deveria ser a relação (1)2/(1)4 a fim de que o eixo B girasse 8 rpm no
sentido oposto?
W2/W4
o
3-
5
Parafuso sem-fim de
2 entradas, rosca à
esquerda
B
Parafuso sem-fim
de 3 entradas, rosca à
direita
11 Parafuso sem
fim de 3 entradas,
rosca à direita
3(40)
Fig. 7.31
7.18 No mecanismo da Fig. 7~
1°
engrenagem 2 gira a 60 rpm no sentido
Determine a velocidade e o sentido de rotação da engrenagem 12.
7.19 Um mecanismo conhecido como engrenagem de Humpage é mostrado
na Fig. 7.31. Determine a relação de velocidades angulares W A/WB'
7.20 No trem de engrenagens planetárias mostrado na Fig. 7.32 determine
a relação de velocidades angulares W2/W7. Compare esta relação com a obtida se
o braço 4 for conectado diretamente ao eixo de saída e as engrenagens 5, 6 e 7
forem suprimidas.
mostrado.
7.21 No trem de engrenagens do problema 7.20 a engrenagem 2 gira a 600 rpm
no sentido indicado e a 1 (e a 6) gira a 300 rpm no sentido oposto. Calcule a velocidade e o sentido de rotação da engrenagem 7.
7.22 Um trem planetário para um redutor de duas velocidades de um superalimentador de uma aeronave é mostrado na Fig. 7.33. A engrenagem 2 é acionada
por uma de 63 dentes (não mostrada) que opera a 2400 rpm. Em alta velocidade a
engrenagem 2 liga-se com o eixo do superalimentador através de engrenamento
adicional. Em baixa velocidade, a engrenagem 7 é mantida estacionária e o eixo B
é conectado ao eixo do superalimentador com a mesma relação de engrenamento
usada entre a engrenagem 2 e este último. Se o superalimentador opera em alta
velocidade a 24 000 rpm, calcule o valor da rotação para baixa velocidade.
Braço
6
7 (19)
4
3
(60) 4
A
2
(22)
Alojamento do parafuso
do servo mecanismo
Fig. 7.34
7.23 A Fig. 7.34 mostra o conjunto de engrenagens planetárias e eixo motor
para um servomecanismo de aeronave. Se o eixo A liga-se com o motor, determine
a relação de velocidades angulares roA/roB'
7.24 A Fig. 7.35 mostra um trem planetário para uma grande redução. (a) se
o eixo A conecta-se com o motor, determine a relação de velocidades angulares
ro)roB• (b) as engrenagens 2, 3 e 4 e as 5, 6 e 7 serão padronizadas ou não? Por
quê? (c) se o número de dentes na engrenagem 3 mudar de 51 para 52, calcule a
relação de velocidades angulares ro A/roB'
7.25 A Fig. 7.36 mostra, esquematicamente, um redutor para hélice de aeronave.
Determine a velocidade da hélice em intensidade e sentido se o motor gira a 2450
rpm no sentido indicado.
7.26 Na unidade redutora com planetárias da Fig. 7.37, a engrenagem 2 gira
a 300 rp.l.11
:iO sentido indicado. Determine a velocidade e o sentido de rotação da
engrenagem 5.
7.27 No trem de engrenagens do problema 7.26, a engrenagem 2 gira a 300
rpm no sentido indicado, e a engrenagem 1 gira a 50 rpm no sentido oposto. Calcule
a velocidade e o sentido de rotação da engrenagem 5.
7.28 No trem planetário, mostrado na Fig. 7.28, a engrenagem 2 gira a 600 rpm
no sentido indicado. Determine a velocidade e o sentido de rotação do braço 6
se a engrenagem 5 gira a 300 rpm no mesmo sentido da engrenagem 2.
Braço ...•...
5
Hélice
Braço
6
3,lt
(46)
7.29 Se no trem de engrenagens do problema 7.28, a engrenagem 2 girar a
1000 rpm no sentido mostrado e a 5 for mantida estacionária, o braço 6 girará a
600 rpm no mesmo sentido da engrenagem 2. Determine a velocidade e o sentido
de rotação que devem ser dados à engrenagem 5 para imobilizar o braço 6 se a
engrenagem 2 continua a girar a 100 rpm.
7.30 Para o trem de engrenagens da Fig. 7.39, o eixo A gira a 300 rpm e o B
a 600 rpm nos sentidos mostrados. Determine a velocidade e o sentido de rotação
do eixo C.
4(42)
3(22)
5(18)
8(18)
2 (38)
7(30)
Fig.7.39
7.31 Na Fig. 7.40 o eixo A gira a 100 rpm no sentido mostrado. Calcule a
velocidade do eixo B e mostre seu sentido de rotação.
7.32 No trem planetário da Fig. 7.41 o eixo A gira a 450 rpm e o B a 600 rpm
nos sentidos mostrados. Calcule a velocidade do eixo C e especifique seu sentido
de rotação.
7.33 O eixo A da Fig. 7.42 gira a 350 rpm e o B a 400 rpm nos sentidos mostrados. Determine. a velocidade e o sentido de rotação do eixo C.
7.34 No trem de engrenagens planetárias cônicas da Fig. 7.43, o eixo A gira
no sentido indicado a 1250 rpm e o B a 600 rpm. Determine a velocidade do eixo C
em intensidade e sentido.
7.35 Para o trem planetário da Fig. 7.33 calcule o número máximo possível
de planetárias sem superposiçào e o número de planetárias igualmente espaçadas
que podem ser usadas no trem.
7.36 Em um trem planetário, semelhante ao da Fig. 7.14, a engrenagem 1 tem
41 dentes, a 2 tem 18 e a 3 tem 78. As engrenagens 1 e 2 são padronizadas e a 3
não. Determine o número máximo de planetárias igualmente espaçadas que podem
ser usadas.
7.37 Calcule o número máximo de planetárias compostas igualmente espaçadas que podem ser usadas no trem de engrenagens da Fig. 7.32.
7.38 Para o trem planetário da Fig. 7.37, calcule o número máximo de planetárias compostas que podem ser usadas.
6(18)
9(36)
1
6(42)
7 (24)
4
B
_
A..-
7.39 No trem planetário da Fig. 7.44, o suporte (peça 4) é a peça motora e a
engrenagem solar é a peça movida. A engrenagem interna é mantida estacionária.
A engrenagem solar deve girar com velocidade 2,5 vezes da do suporte. O diâmetro
primitivo da engrenagem interna deve ser aproximadamente 11,0 pol. (a) projete
o trem de engrenagens determinando os números de dentes das engrenagens interna,
solar e planetárias, usando diametral pitch 10, ângulo de pressão 20", dentes normais
padronizados de engrenagens cilíndricas de dentes retos. Mantenha o diâmetro
primitivo tão próximo de 11,00 pol quanto possível. (b) determine se podem ou
não ser usadas três planetárias igualmente espaçadas.
Mecanismos de Computação
••••
••• •
•
••• •••
· .
•••••
o grande avanço em controles automáticos e a tendência à automação tornaram~se possíveis através do desenvolvimento contínuo de mecanismos e máquinas
de computação.: Estes computadores podem ser divididos em dois tipos: computadores digitais e computadores analógicos.
8.1 (omputadores Digitais. Estes computadores trabalham com quantidades
na forma numérica e calculam em passos discretos o resultado de uma série de
operações matemáticas conforme os dados de entrada. Geralmente os computadores digitais realizam operações matemáticas através de combinação de somas:
a multiplicação é feita por uma soma repetitiva, a integração por um somatório e as
séries convergentes são substituídas por funções trigonométricas.
Fabricam-se
também máquinas calculadoras digitais para uma grande variedade de aplicações
comerciais que vão, desde pequenas calculadoras manuais, até grandes máquinas
de contabilidade. Desenvolveram-se também computadores digitais para funcionamento automático de máquinas operatrizes, máquinas de montagem e equipamento de controle de processos. Isto resultou em aplicações industriais de grande
escala tal como fábricas automatizadas.
8.2 Computadores Analógicos. Estes mecanismos trabalham com grandezas
ao invés de valores puramente numéricos e são essencialmente contínuos, no sentido
matemático. Podem ser aplicados a soluções instantâneas ou contínuas de problemas específicos. As entradas e saídas destes mecanismos são representadas por
quantidades físicas e as leis que regem a operação do computador são análogas às
que regem o processo a ser controlado. Os computadores analógicos podem ser
projetados para realizarem as operações normais de álgebra e cálculo, isto é, adição
e subtração, multiplicação e divisão, integração e diferenciação, resolução de vetores
e, o mais importante, a geração de funções matemáticas ou tabeladas de uma ou
mais entradas independentes. Os computadores analógicos podem ser mecânicos,
elétricos, pneumáticos ou hidráulicos, ou então uma combinação destes tipos.
Apesar do computador analógico ter grande aplicação na solução de problemas
específicos, ele não pode ter um grau de precisão tão grande quanto o computador
digital.
Os computadores analógicos podem ser usados para constituirem grandes
máquinas computadoras para a solução de equações complicadas. Também são
empregados como componentes no equipamento de controle de mísseis guiados,
instrumentos de navegação, unidades de telemetria, equipamento de controle de
tiro, visores de bombardeio e muitos outros sistemas.
Do ponto de vista do estudo de mecanismos, o computador analógico mecânico é de interesse básico. Os itens seguintes apresentam em detalhe os mecanismos
que são capazes de realizar operações matemáticas simples.
8.3 Adição e Subtração. Há diversos mecanismos de adição e subtração,
um dos quais está mostrado na Fig. 8.1. As barras 2 e 3 movem-se horizontalmente
sobre os roletes da barra 4 com rolamento puro. Por causa desta ação, a barra 4
também se desloca e o seu movimento é dado por
Para somar duas quantidades, a peça 2 é ajustada na posição correspondente ao
valor da primeira parcela e a peça 3, na posição da outra parcela. O total é dado
pela peça 4. Pelo fato do movimento da peça 4 ser a metade do movimento de S2 +
+ S3' diz-se que a saída S4 está na escala de 1/2. Para corrigir isto, a escala da peça 4
deve ser o dobro das escalas das peças 2 e 3 que devem ser iguais.
2
+=j--m------ @tf
As barras e os roletes são substituídos por cremalheiras e pinhões se as forças
a serem transmitidas entre as peças forem muito grandes. Para realizar a subtração
marcam-se escalas negativas nas barras.
Outro mecanismo que pode ser usado como adicionador está mostrado na
Fig. 8.2a. Este mecanismo é conhecido como diferencial articulado e embora seja
de uma forma mais simples do que o mecanismo da Fig. 8.1, é um adicionador
aproximado, enquanto que o outro é exato. O novimento da barra 4 é dado pela
relação
Pode-se ver que as angularidades das peças 2 e 3 introduzirão um erro no cálculo.
Se a barra 5 tiver um sulco em cada extremidade e as peças 2 e 3 forem guiadas
conforme indicado na Figo 802b, o erro será eliminado.
3
-------
(a)
3
-------
(b)
Sendo necessano somar rotações ao invés de quantidades lineares, pode-se
usar um diferencial de engrenagens cônicas ou cilíndricas, conforme mostrado nas
Figso 8.3a e b, respectivamente. Do estudo do diferencial de engrenagens cônicas
como o usado em transmissão de automóveis, sabe-se que a velocidade do braço 5
na Figo 8.3a é a média das velocidades das engrenagens 2 e 4. Portanto,
A Eq. 8.2 também vale para o diferencial da Fig. 8.3b. A escala de 1/2
para a saída de 06 pode ser alterada facilmente para 1 acoplando-se a engrenagem
6 com outra engrenagem para dar uma razão de transmissão de 2 : 1.
Os diferenciais de engrenagens comcas são disponíveis comercialmente em
diversos tamanhos para uso em computadores e em controles: uma fotografia
de um diferencial está apresentada na Fig. 8.4. Nas unidades comerciais o braço
é chamado de cruzeta e as engrenagens cônicas, de engrenagens da cruzeta. As engrenagens de dentes retos solidárias às engrenagens cônicas 2 e 4 são conhecidas como
engrenagens estremas e pode se obtê-Ias em uma grande variedade de tamanhos
para constituirem unidades-padrão. Diferenciais de engrenagens de dentes retos
também são disponíveis comercialmente.
Os diferenciais de engrenagens cônicas e cilíndricas têm duas fontes de erro.
Estas são o jogo primitivo e a imprecisão angular da transmissão. O jogo primitivo
é o movimento angular possível entre as duas engrenagens estremas quando uma
delas e o braço ou cruzeta forem mantidas imóveis. Por exemplo, na Fig. 8.3a se a
engrenagem 4 e a cruzeta 5 forem mantidas imóveis, a engrenagem 2 poderá girar
de um ângulo muito pequeno pela aplicação de um pequeno torque. Este movimento
perdido ou jogo primitivo é a soma dos jogos primitivos dos dentes das engrenagens,
folgas nos mancais e deformações nas partes estruturais do diferencial. Atualmente
é possível a aquisição de diferenciais com jogos primitivos de 5 a 10 minutos para
torques de 0.0144 a 0.0432 kgm em diâmetro de aproximadamente 25 mm.
A imprecisão da transmissão é a falta de uniformidade da razão de velocidades
angulares no diferencial. Teoricamente, a razão de velocidades angulares entre
duas engrenagens deve ser constante, nas devido à excentricidade da circunferência
primitiva e aos erros entre os dentes, há uma pequena variação. Esta imprecisão
resulta em um erro de posicionamento.
Outro modo de se obter uma adição é com um diferencial de rosca ou parafuso
diferencial, empregado quando as entradas são angulares e deseja-se uma saída
linear. Também é vantajoso quando atuam grandes forças nas peças. A Fig. 8.5
mostra o desenho de um diferencial de rosca simples onde o ponteiro se desloca
axialmente com o parafuso, porém, não gira. As entradas, em unidades angulares,
são realizadas nas engrenagens 2 e 3 e a soma das duas quantidades é dada em uma
escala linear, pelo ponteiro 4. No caso de uma rosca simples como o mostrado na
figura, o movimento do ponteiro é a soma dos movimentos produzidos pela engrenagem 2 girando enquanto a 3 está fixa e pela engrenagem 2 deslocando-se axialmente sem rotação, enquanto a engrenagem 3 gira. A equação para a saída S4
é dada por
92 e 03 são as entradas angulares, graus
Px = passo axial do parafuso
N = número de filetes no parafuso
8.4 Multiplicação e Divisão. A multiplicação e a divisão podem ser realizadas
de diversas maneiras. A Fig. 8.6 mostra um multiplicador de réguas baseado na
semelhança de triângulos. Na figura, a barra 2 se desloca de uma distância Xl a
partir de 04 (a peça 6 está fixa). Isto moverá a peça 7 de uma certa distância para
cima. A peça 6 é agora movimentada para a direita, para a posição x2 (peça 4 fixa),
o que também moverá a peça 7 para cima. Portanto, devido aos deslocamentos
Xl e x2' a peça 7 estará a uma distância x3 a partir de 04' Por semelhança de triângulos
I
I2
I
~
-~
I
J
A fim de ter uma faixa de emprego suficiente este mecanismo deve ser relativamente grande, o que torna dificillimitar as deflexões das peças a menos que ele
seja muito robusto. Isto aliado à dificuldade encontrada no desgaste e na imprecisão dos cursores limita as aplicações práticas deste mecanismo. Mais adiante
serão apresentados processos de multiplicação mais precisos~
8.S Integraçio. A Fig. 8.7 mostra um integrador. O disco 2 gira acionando
as esferas que são posicionadas pela peça 3. As esferas por sua vez acionam o
cilindro 4. Mantém-se um movimento de rolamento puro entre o disco e as esferas
e entre o cilindro e as esferas. As,variáveis de entrada são o deslocamento angular
do disco 2 e o deslocamento axial r das esferas. O resultado é obtido no cilindro 4.
Portanto, a ação do mecanismo fornece a relação
porque o espaço percorrido pela esfera superior sobre o disco 2 deve ser igual ao
espaço percorrido pela esfera inferior sobre o cilindro 4. Integrando a equação
precedente, vem
onde r é uma função de lJ2• O valor IIR é a constante do integrado,. e é muito
importante no projeto de um sistema integrador. Este mecanismo também pode
ser empregado como um multiplicador fazendo f constante durante cada operação.
O mecanismo então irá gerar
A Eq. 8.5 também pode ser expressa em termos de x, y e z. Seja a rotação lJ2
representada por x, a posição r da peça 3 por y que é igual a f(x) e a saída lJ4
por z. Substituindo estas quantidades na Eq. 8.5
z = -}
fYdX.
Estas quantidades estão mostradas, esquematiclimente. na Fig. 8.8.
No integrador., a entrada x e a saída z são rotações de eixos, enquanto que a
entrada y é li distância das esferas ao centro do disco. Para realizar o movimento
axial correspondente a y, usa-se normalmente um parafuso de avanço. Assim,
a rotação do parafuso, que é proporcional ao deslocamento do porta-esferas, pode
ser usada para representar y. Portanto, a entrada e a saída serão rotações de eixos.
A determinação das escalas em um integrador é mais dificil do que em outro
mecanismo apresentado até agora. A fim de determinar a escala da saída, seja 51
a escala da variável x que entra pelo disco, 52 a escala da variável y que entra pelo
parafuso de avanço e S 3 a escala da variável de saída z. Na determinação da escala
da saída, deve-se levar em conta o fato de que a rotação do parafuso de avanço
representa um deslocamento linear y. Se o parafuso tem n filetes por unidade de
comprimento e possui uma entrada, a posição radial r do porta-esferas é
S y
r = _2_
n
Comparando-se a Eq. 8.5b com a equação a ser calculada, z = f ydx, vê-se que
sendo conhecidos Sl e S2' S3 deve ser dada pela seguinte expressão:
S
=
3
SlS2
Rn
Através desta expressão pode-se determinar a escala da saída.
O integrador é um mecanismo muito preciso e o seu tamanho é designado
pelo diâmetro do disco. Os modelos comerciais disponíveis variam, em tamanho,
de 38 a 130 mm. A precisão usual destas unidades é da ordem de 0,5 % para torques
de 38 mm. Entretanto, um fabricante apresenta em catálogo uma unidade com
precisão de 0,01 % com torque de entrada de 0,0144 kgm e um disco de 38 mm de
diâmetro.
Este tipo de integrador tem dois defeitos inerentes: (a) o torque de saída é
limitado porque o funcionamento do integrador depende do atrito de rolamento
e (b) as esferas deslizam (causando desgaste) quando operam no centro do disco.
Este desgaste pode ser reduzido incorporando-se no projeto do integrador um modo
das esferas girarem quando estiverem no centro do disco.
Além de sua função básica como integrador, este mecanismo pode ser
empregado para realizar outros cálculos que não exijam diretamente a integração.
Em alguns exemplos a constante do integrador l/R foi suprimida para simplificar
a operação. 1
O integrador pode ser usado para dar uma saída proporcional ao quadrado
da variável de entrada. Para tal, a posição y do porta-esferas deve variar linearmente com x, conforme mostrado na Fig. 8.9.
Pode-se obter o produto de duas variáveis independentes usando-se dois integradores e um diferencial acoplados como indica a Fig. 8.9.
rI
UdU+UdL'
-
2
-
~
2
JUdv
b
As funções seno e co-seno podem ser geradas simultaneamente usando-se
dois integradores conforme mostrado na Fig. 8.11. O sinal negativo que resultaria
de J sen 8 d8 é eliminado operando-se os porta-esferas em defasagem de modo que
os cilindros dos dois integradores girem em sentidos opostos.
Além de integração, o integrador tipo disco e esfera pode ser usado para diferenciação aproximada. 2 Embora a diferenciação seja o contrário da integração,
não é possível inverter-se o mecanismo para efetuar esta operação. O integrador
1 G. W. Michalec, "Design Guide Analog Computing Mechanisms", Machine Design, Março 1959.
z Ibidem.
não pode efetuar uma derivação teoricamente correta, mas com a introdução de
um diferencial e dois pares de engrenagens obter-se-ão resultados com precisão
suficiente para muitas aplicações. A Fig. 8.12 mostra o diagrama de bloco para
esse cálculo, onde u é a variável de saída e é aproximadamente igual a dy/dx. O
diferencial é empregado para subtração, resultando a seguinte equação para a saída:
ky- k J udx
u=----2
2u + J udx
y = T
dy
dx
=
2
(~)
+u
k
dx
uz-
dy
dJ:
Pode-se ver que a resposta u não é a derivada exata de y em relação a x, havendo
um erro que é o fator (2/h) (du/dx). Para que a resposta seja correta, du/dx deve
ser igual a zero. Isto é uma condição impossível porque o porta-esferas não deveria
ter movimento. Entretanto o erro pode ser reduzido usando-se um valor de k
o maior possível sem prejudicar o movimento do porta-esferas.
8.6 Funções Trigonométricas. As funções seno e co-sen<>.sendo regulares e
contínuas são geradas facilmente por diversos mecanismos' muito conhecidos.
O Garfo Escocês é um dos mais comuns, mostrado na Fig. 2.7. Pode-se usar um
mecanismo cursor-manivela para gerar uma função seno e co-seno aproximada.
A Fig. 8.13 apresenta o esboço de um trem de engrenagens planetárias projetado
para transformar movimento de rotação em movimentos lineares senoidais ou
co-senoidais.
Na Fig. 8.13 a engrenagem 1, de dentes internos, é fixa. A engrenagem 2 tem
um diâmetro primitivo igual à metade do diâmetro primitivo da engrenagem 1
e é acionada pelo braço 3. Quando a engrenagem 2 se desloca no interior da engrenagem 1, um ponto B situado na circunferência primitiva da engrenagem 2 traçará
uma hipociclóide. Como as duas engrenagens têm uma razão de 2 para 1, a hipociclóide será uma linha reta e o ponto B se deslocará, ao longo do diâmetro da engrenagem 1, com movimento harmônico simples. Portanto, a peça 4 irá gerar uma
função seno ou co-seno.
A Fig. 8.13a mostra a geração de uma função senoidal e a Fig. 8.13b, a de uma
função co-senoidal. Deve-se notar que no primeiro caso a possição inicial está na
vertical, enquanto que no segundo caso está na horizontal.
Os geradores de seno e co-seno do tipo mostrado na Fig. 8.13 são disponíveis
comercialmente com uma precisão de 0,2 %. O diâmetro externo dessas unidades
é cerca de 50 mm e pesam em torno de 60 gramas. A Fig. 8.14 mostra a fotografia
de uma unidade comercial.
Um mecanismo para gerar tangentes e secantes está apresentado na Fig. 8.15,
onde a engrenagem 2 gira de um ângulo de entrada O. A peça 3 desliza em uma
ranhura situada sobre a engrenagem 2 e está articulada com a peça 4 que por sua
vez é obrigada a se deslocar verticalmente. Quando a engrenagem 2 gira, a peça 4
se desloca na vertical e sendo A constante, y medirá o valor de tg O e S, o valor de
de sec e. A 45°. J' será igual a A o que determinará
a escala de y. A 0° S será
igual a A e a 60°. S será igual a 2A. o que determinará
a escala de S. Devido
à descontinuidade
das duas funções. este mecanismo é útil somente em uma faixa
limitada do ângulo de entrada.
Se for exigida uma saída rotacional, será necessário colocar uma cremalheira
na peça 4 para o cálculo da tangente ou no bloco 4 para o cálculo da secante.
Um pinhão engrenado com a cremalheira
àaria a variável de saída.
As funções trigonométricas também podem ser geradas por cames, o que será
apresentado mais adiante.
Um calculador de componentes é um mecanismo que decompõe um vetor r
em componentes ortogonais x e y. Na realidade, é um gerador simultâneo de seno
e co-seno dando as funções
x = r cosO
y = r senO
onde r e O são variáveis independentes. A Fig. 8.16 mostra um esboço de um calculador de componentes. Nota-se que ele é semelhante a um Garfo Escocês duplo.
A única diferença é que no Garfo Escocês r é uma distância fixa, ao passo que no
calculador de componentes r é ajustável através do pinhão 3 e da cremalheira 4.
Quando a entrada O é introduzida no mecanismo, também é necessário introduzir
uma compensação no pinhão 3 de modo que o movimento O não afete r. Se o
pinhão 3 for permanect:r estacionário, a rotação da engrenagem 2 (e portanto a
cremalheira 4) causaria movimento axial da cremalheira e uma variação em r.
Para efetuar esta compensação, colocam-se no circuito um diferencial e um par de
engrenagens, mostrado na figura.
Deve ser mencionado que se forem necessárias saídas rotacionais para x e y,
colocam-se cremalheiras nas peças 6 e 7, engrenadas com pinhões para a saída.
Neste mecanismo a cremalheira 4 e o pinhão 3 podem ser substituídos
fixando-se o pino 5 a uma porca que pode ser ajustada por um parafuso e uma
engrenagem cônica. Em ambos os tipos de mecanismo as unidades são de construção dispendiosa e devido ao grande atrito das peças deslizantes. devem ter
dimensões relativamente grandes.
Teoricamente, este mecanismo pode ser operado de modo inverso para calcular
r e O para valores dados de x e y. Entretanto, geralmente isto não é prático devido
à existência de pontos mortos. Portanto, quando a unidade é usada como um calculador de resultantes, é necessário acrescentar meios para superar esses pontos
mortos.
8.7 Inversão. A Fig. 8.17 mostra um mecanismo para calcular inversos. A
peça 2 gira em torno do ponto 02 e tem em cada extremidade um rasgo para receber
as peças 3 e 5. A peça 3 é articulada com a peça 4 e a peça 5 é articulada com a
peça 6. Quando a peça 2 gira, a peça 4 se desloca horizontalmente a uma distância
constante A medida a partir de 02' enquanto a peça 6 se desloca verticalmente a uma
distância constante B medida a -partir de
2, Por semelhança de triângulos
°
AB
X=--
Y
Este mecanismo também pode ser usado para determinar cosec.(J e cot (J em combinação com os mecanismos das Figs. 8.13 e 8.15.
8.8 Quadrados. Raízes Quadradas e Raízes Quadradas de Produtos. Um
mecanismo para efetuar estas operações é apresentado na Fig. 8.18. A peça 2 articula-se com a peça 7 e tem um rasgo em cada extremidade para receber as peças 3 e 5.
O ângulo ABC é um ângulo reto. A peça 3 articula-se com a peça 4 e a peça 5 articula-se com a peça 6. As peças 4 e 6 são obrigadas a se deslocarem horizontalmente
enquanto a peça 7 se desloca na vertical. Por semelhança de triângulos,
(8.8)
No mecanismo xl' X2 e y são variáveis. Entrando-se com os valores de Xl e x2
no mecanismo, y indicará a raiz quadrada do produto de Xl e x2. Entrando-se
com Xl e y ou x2 e y no mecanismo, a saída indicará o quadrado de y dividido por
Xl
ou x2•
Se fixarmos o ponto A de modo que a peça 4 não se desloque e x2 se torne uma
distância constante D, obtém-se um quadrado e uma raiz quadrada. Portanto,
Entrando-se com y no mecanismo, Xl marcará o quadrado de y. Entretanto, se
a entrada for X l' Y marcará a raiz quadrada de X I.
Um cone e um cilindro podem ser interligados conforme indica a Fig. 8.19
para constituirem outro tipo de mecanismo de elevar ao quadrado. O número
de voltas do cilindro 4 é proporcional ao quadrado do número de voltas do cone 2.
A polia intermediária 3 move-se axialmente em uma distância proporcional ao
número de voltas do cone. Sendo R2 o raio do cone no ponto de contato com a
polia e R4 o raio do cilindro, para uma pequena rotação d()2 do cone, o cilindro
irá girar de:
onde k é uma constante determinada pelo ângulo do vértice do cone e pelo avanço
da polia por unidade de 02' Portanto,
2
2
ke
e - 2R
.
4 -
4
Este mecanismo pode ser operado no sentido inverso para obtenção da raiz
quadrada de uma variável.
Retirando-se a polia intermediária 3 e substituindo-a por dois arames flexíveis,
obtém-se uma variante do mecanismo da Fig. 8.19. São necessários dois arames
para permitir a rotação nos dois sentidos: enquanto um é enrolado o outro
é desenrolado. Os arames são guiados por sulcos existentes no cilindro e no cone.
A Fig. 8.20 apresenta a fotografia de um mecanismo deste tipo.
8.9 (ames e Engrenagens de Computação. As carnes podem ser projetadas
para gerar uma grande variedade de funções. Por esta razão, considerou-se desejável a sua apresentação neste item ao invés de fazê-Io junto com as outras operações
matemáticas.
As carnes dos tipos comuns apresentados no Capítulo 3 são usadas frequentemente para computação. A mais simples é a carne de disco de contorno circular
(excêntrico) que proporciona movimento harmônico simples a um seguidor radial
de face plana.
Há outro tipo de carne cuja aplicação reside em primeiro lugar em projeto
de mecanismos de computação. É conhecido como carne de contorno e está mostrado
na Fig. 8.21. Com este tipo de came as peças rolam uma sobre a outra sem deslizamento. Isto facilita o seu projeto por duas razões: (a) o ponto de contato P
permanecerá sempre sol-re a linha de centros e (b) ambas as superficies rolarão uma
sobre a outra, mantendo a mesma distância entre centros. Usando-se estes fatores,
pode-se deduzir as equações para as distâncias do ponto de contato aos centros
das carnes.
Na Fig. 8.21, Rz e R3 são as distâncias instantâneas do ponto de contato aos
os centros. Se a carne 2 gira segundo um pequeno ângulo dOz e a carne 3 segundo
d83, o ponto de contato sobre a carne 2 se desloca de Rz dOz e o ponto de contato
sobre a carne 3 se desloca de R3 d83• Para rolamento puro,
C
R3 = 1 + (d03/d02)
Essas carnes podem ser usadas para gerar diversos tipos de funções, três das
quais estão ilustradas a seguir.
1. Função Quadrada.
Para gerar a função quadrada
d03 = 2k ()
d02
2
pode-se determinar o contorno das carnes que irão gerar a função quadrada, através
das equações de R2 e R3• Póde-se operar as carnes de modo inverso, para obtenção
de raízes quadradas.
2. Função
Iogaritmica.
Para gerar o logaritmo,
d03
d02
_
-
1
2,303 ()2
~:2
= 2,303 0z
3
c
1+ 2,3030z
R
=
3
2,303 COz_
I + 2,303 0z
Com estas equações pode-se determinar os contornos das carnes que irão gerar o
logaritmo dado. A operação inversa irá gerar antilogaritmos.
3. Função Trigonométrica. Para ilustrar a geração de uma função trigonométrica,
consideremos
dOz
I
zo
= cos Z
dO J = -~
sec z
Para transmissão de grandes torques as carnes podem ser substituídas por engrenagens com superficies primitivas idênticas aos contornos das cames. Esta substituição é possível em virtude da ação de rolamento puro das cames. Tais engrenagens são conhecidas como engrenagens de contorno ou engrenagens não circulares.
Na Fig. 8.22 vê-se a fotografia de um par de engrenagens não circulares.
Com relação às equações de Rz e R3 deduzidas para as três funções é evidente
que em (1) Rz = O quando 0z = O e em (2) R3 = O quando 0z = O. Em (3) R3 = O
quando 0z = 90". Quando um dos raios chega a zero, resulta em um projeto impraticável. Com as funções ilustradas, o fato de que a escala de 0z não pode começar
em zero nos primeiros dois casos e não chegar a 90" no terceiro caso provavelmente
não limitará a geração dessas funções. Há casos, entretanto, onde tais limitações
constituiriam uma desvantagem e deve-se encontrar um meio de eliminar este problema quando necessário. Outro problema que às vezes aparece no projeto de
carnes de contorno é que em certas funções o valor de d03/d02 pode tomar-se igpal
o que acarreta valores infinitos para R2 e R3. Qualquer destes probl~tnas
deve ser evitado se ocorrerem na faixa de trabalho da função. Pode-se conseguir
isto somando-se à função uma constante que pode ser subtraída mais tarde por um
diferencial. Como um exemplo, consideremos a função
a-I,
° °
3
di)
d0 = 2 sen 2 cos 2
2
C (2 sen02 cos02)
2 sen02 cos02 + 1
R3 = -------~ C
1 + 2 sen02 cos02
Quando 02 = O, R2 = O: quando 02 = 135°, d03/d02 = - 1. Para evitar estas
condições, deve-se adicionar à função uma 'constante k02 tal que
dO'
d/
= 2 sen02 cos02
+ k
2
Após a geração da nova função, k02 seria subtraído para dar a função original
03 = sen202· O diagrama esquemático para este cálculo está mostrado na Fig. 8.23.
Camesde
contorno
Dif.
(sub.1
Outro tipo de carne que é usado frequentemente para computação é uma came de
disco com uma ranhura na face. Embora a ranhura possa ter diversas formas,
geralmente é uma espiral. A saída pode ser através da translação de um seguidor
ou, se a ranhura possuir dentes, através da rotação de um seguidor. Este segundo
tipo é conhecido como uma came de engrenagem ou como engrenagem frontal
em espiral. Usando-se uma espiral de Arquimedes para a linha primitiva da engrenagem frontal, obtém-se um dispositivo de elevar ao quadrado. A Fig. 8.24 mostra
um mecanismo onde 82 é a entrada (radianos) e 83 a saída (radianos). R3 é o raio
primitivo do pinhão e K uma constante. Devido ao rolamento puro existente entre
a linha primitiva da espiral e a circunferência primitiva do pinhão,
o _ KO~ .
3 -
2R
3
Deve-se notar que esta equação é semelhante à Eq. 8.10 relativa ao mecanismo
de elevar ao quadrado tipo cone e cilindro.
A principal vantagem deste tipo de came ou engrenagem é que a entrada pode
ser feita com mais de uma volta da engrenagem 3, proporcionando assim alta precisão. De acordo com Rothbart3, têm sido usados mecanismos com até oito voltas
no eixo de entrada e para engrenagens frontais em espiral de Arquimedes, obtivéram-se precisões de uma parte em 3‫סס‬oo.
8.10 Sistema Articulado Gerador de Função. Usa-se, às vezes, um mecanismo
de quatro barras para gerar uma função que pode ser soma, multiplicação, potenciação, cálculo de logaritmos ou geração de funções trigonométricas. A Fig. 8.25
mostra tal mecanismo, dotado de ponteiros para indicar a entrada x na peÇa 2 e a
saída y = f(x) na peça 4. Em operação real, entretanto, a entrada e a saída seriam
provavelmente em forma de rotações de eixos.
Os geradores de fução deste tipo são difíceis de se projetarem, porém, seu
custo de produção é muito menor do que a maioria dos mecanismos de computação
apresentados anteriormente. Os sistemas articulados podem ser feitos com grande
precisão e têm .tta confiabilidade devido ao fato de que as articulações são as únicas
partes onde pode ocorrer um erro. Infelizmente, não há modo, atualmente.
de se determinar com facilidade o tamanho de cada peça de um sistema articulado
para gerar uma função teoricamente correta e todos os pontos da escala. No
Capítulo 9 será apresentado um método com precisão em três pontos. Na referência,4 de onde o método dos três pontos foi retirado, encontram-se métodos para
quatro e cinco pontos.
8.11 Prec~ão. Em elementos de computação, há duas fontes principais de
erro: (a) erros cinemáticos ou teóricos que resultam de uma aproximação na geração
de uma função e (b) erros de fabricação que resultam de tolerâncias de fabricação
e de folgas nas peças das máquinas necessárias para a operação. De todos os mecanismos apresentados, os únicos que têm erros cinemáticos são o adici0nador da
Fig. 8.2a e o sistema articulado gerador de função, da Fig. 8.25. O integrador pode
ter um erro característico de dispositivos de atrito, conhecido por erro de deslizamento. Todos os mecanismos terão erros de fabricação que devem ser mantidos
tão pequenos quanto possível, compatíveis com os custos.
'
8.12 Diagramas de Bloco. Na execução de um projeto de um computador
analógico, deve-se obter a relação entre a entrada e a saída, sob forma matemática.
Conseguido isto, o projetista põe-se a mecanizar a equação usando elementos de
computação padronizados. Na determinação do modo pelo qual certa equação
pode ser resolvida, o projetista determina o que é conhecido por diagrama de bloco.
O diagrama de bloco é feito de um conjunto de símbolos, geralmente quadrados,
ou círculos, nos quais cada símbolo representa um cálculo separado, por exemplo,
adição, multiplicação e integração. Esses quadrados são ligados por linhas que
representamo
fluxo de variáveis de uma operação para a próxima.
Geralmente é possível exprimir-se a equação em mais do que uma forma.
Isto deve ser feito e também o diagrama de bloco para cada forma da equação.
Deve-se selecionar então o diagrama de bloco que parece dar a melhor solução ao
problema. Como um exemplo, consideremos a equação
x
= um multiplicador
--;-= um
divisor
+ = um adicionado r (se for usado um diferencial, a saída será dividida por 2,
o que foi omitido por simplicidade.)
Q = um mecanismo de elevar ao quadrado
Considerando as três possibilidades, pode-se ver que o primeiro e o terceiro diagramas exigem, cada um, quatro elementos, enquanto que o segundo exige somente
três. Também se o valor de x for próximo de zero, o divisor no diagrama da
Fig. 8.26c seria uma fonte de dificuldades. Portanto, o segundo diagrama parece
ser a melhor escolha.
Depois de selecionado o diagrama de bloco é necessário determinar os componentes isolados do computador. Pode haver diversas soluções alternativas para o
mesmo cálculo elementar e pode-se fazer uma escolha baseada na precisão desejada,
nas limitações de peso e tamanho, no custo, na faixa de variáveis, nas exigências de
calibração e em outros fatores.
Há diversas maneiras de se resolver a equação z = xy. A Fig. 8.27 mostra um
diagrama de bloco para a equação usando carnes logarítmicos, um adicionador
(diferencial), um par de engrenagens e carnes antilogarítmicos. Deve-se mencionar
que ocasionalmente omite-se o bloco denominado par de engrenagens, no diagrama
de bloco, para simplicidade, como foi feito na Fig. 8.26.
Desejando-se calcular z = xy sem o uso de carnes logarítmicos ou um multiplicador, a equação pode ser expressa usando-se o princípio dos quartos de quadrados, que estabelece que um quarto do quadrado da soma de dois números menos
um quarto do quadrado de sua diferença é igual ao seu produto. Portanto, conforme
mostrado na Fig. 8.28,
Z
••+y
-2-
= xy =
(X+y)2
4
(X-y)2
- -4--
(•• +y)2
-4-
A fim de mostrar como as diversas unidades são ligadas em um computador,
a Fig. 8.29 apresenta um um diagrama esquemático para o arranjo dos elementos
de computação do Exemplo 8.1
Billings, J. H., Applied Kinematics, 3." Edição, D. Van Nostrand Company, 1953.
Lockenvitz, A. E., J. B. Olipent, W. C. Wilde e J. M. Young, "Geared to Compute". Automation,
Agosto 1955.
Michalec, G. W., "Ana/og Computing Mechanisms", Maehine Design, Março 19, 1959.
Rothbart, H. A., Cams, John Wiley and Sons, 1956.
Soroka, W. W., Ana/og Methods ill Computatioll alld Simll/atioll, Me Graw-HilI Book Company, 1954.
Svoboda, A., Complltillg Mechanisms anel Linkages, Me Graw-HilI Book Company, 1948.
3
Movida
log % + logy
Carnes
logar(tmicos
2
Par de engrenagens
U=O,51
3
Motora
2
Movida
Carnes logar(tmicos
lantilogl
Carnes
logar(tmicos
2
Motora
2
Motora
8.1 Desenvolva uma expressão para determinar o erro no cálculo feito pelo
diferencial articulado mostrado na Fig. 8.2a.
8.2 Para o diferencial de engrenagens cilíndricas mostrado na Fig. 8.3b,
prove que ()6 = «()2 + ()4)/2.
8.3 Em um diferencial de rosca para somas como o da Fig. 8.5, as escalas das
engrenagens 2 e 3 são 45°; equivale a 1 unidade. Calcule a escala de S4 se o passo
axial da rosca é 6 mm e é de duas entradas.
8.4 A vazão de um líquido através de um orifício é dada por
Q = 3,59 x 10-5 a Jh
Q = vazão (m3js)
a = área do orifício (mm')
h = altura da coluna de líquido
(m)
Usa-se um mecanismo semelhante ao da Fig. 8.6 para a multiplicação depois
que
tenha sido calcu~do. Faz-se A igual a 100 mm e Xl é -lh, x2 é a e
x3 é Q. Se a escala de
é 25 mm = 2,08 m e a escala de a é 25 mm = 1440 mm
determine a escala de Q.
Jh
Jh
2
112
,
8.5 No integrador mostrado na Fig. 8.7, se o porta-esferas for acionado segundo
r = f(l),
sendo
~~ constante, mostre que o número de voltas ()4 registrado pelo
cilindro será dado por
()4 =
r
~:
(At
A=~eB=r
+ B)dt
°
t
8.6 Faça um esboço mostrando como interligar dois integradores de modo que
a saída do segundo integrado r seja o inverso da entrada do primeiro integrador.
8.7 Usando dois integradores, interligue-os de modo que a saída do segundo
integrador seja z = xydx.
8.8 Usa-se um integrado r como um mecanismo de elevar ao quadrado, conforme mostrado na Fig. 8.9. Se o disco gira de 30° para uma unidade de deslocamento de x e a escala de y é a mesma, calcule a escala do eixo de saída z. A rosca
tem uma entrada e o seu passo é de 6 mm e o raio R do cilindro é 3,2 mm.
8.9 Projete um mecanismo para gerar as funções trigonométricas seno e co-seno
simultaneamente.
8.10 Prove que o ponto B na Fig. 8.13b se desloca segundo um movimento
harmônico simples, ao longo da linha horizontal que passa por O, quando o braço 3
gira.
8.11 Desenhe um conjunto de escalas para o gerador de tangente e secante
mostrado na Fig. 8.15. Fazendo A igual a 50 mm, determine a escala para a tangente
e para a secante, de O a 60° em intervalos de 10°. Mostre a distância A em cada escala.
8.12 A Fig. 8.30 apresenta uma modificação do mecanismo Peaucellier.
Prove que os deslocamentos x e y dos cursores são relacionados pela equação:
J
y
Fig. 8.30
8.13 Deve-se projetar um mecanismo de elevar ao quadrado tipo cone e
cilindro, conforme mostrado na Fig. 8.19. Se o raio R4 do cilindro é 6,5 mm e o
ângulo do cone é 15°, determine o avanço da polia intermediária por unidade de
2 para gerar a função 04 = O~.
8.14 Determine as equações dos raios R2 e R3 de um par de cames de contorno
para a geração da função 3 = senO + k02• Repita para 3 = ke(J2.
8.15 Determine as equações dos raios R2 e R3 de um par de cames de contorno
para a geração da função 3 = k(J2, onde k > 1. Repita para 83 = loge 2 + k).
8.16 As equações dos raios de um par de cames de contorno são as seguintes:
°
°
°
°
(°
C cos02 + Ck
1 + cos02 + k
R _
3
-
C
1 + cos02 + k
° °
Determine a função que relaciona os deslocamentos angulares 2 e 3 dos eixos
das cames.
8.17 Determine as equações dos eixos R.1 e R3 de um par de cames de contorno
para a geração da função 3 = loge cos02• E possível R2 ou R3 se tornarem nulos
ou infinitos? Caso afirmativo adicione uma constante à função para evitar esses
valores.
8.18 Determine as equações para os raios Ri e R2 de um par de cames de
°
contorno para a geração da função
°=
3
sen ( ~ ).
É possível R2 ou R3 se
tornarem nulos ou infinitos? Caso afirmativo adicione uma constante à função
para evitar esses valores.
8.19 Deve-se projetar um par de cames de contorno para a geração da função
=
O~,onde 2 varia de 1 a 10 unidades. Calcule os raios R2 e R3 para uma dis3
tância entre centros de 75 mm, com 2 variando de,O°a 100°, de 10° em 10°. Desenhe
as carnes em contato na posição 2, de modo semelhante ao da Fig. 8.21, em escala
2 : 1. Faça os cubos com 25 mm de diâmetro.
8.20 Deve-se projetar um par de cames de contorno para a geração da função
0.1 = 10glO02' A distância entre centros é de 75 mm e 2 deve variar de 0° a 360°,
de 20° em 20°. Calcule os raios R2 e R3, começando 2 em 60°, a fim de obter um
valor em radianos maior do que um. Desenhe, em escala 2 : 1, as cames em contato
na posição inicial.
8.21 Deve-se projetar Um par de carnes de contorno para geração da função
0J = tg 2, A distância entre outros é de 75 mm. Calcule os raios R2 e R3 com
02 variando de 00 a 800,de 10° em 10°. Desenhe as cames em contato na posição 2,
em escala 2: 1, de modo semelhante ao da Fig. 8.21.
8.22 A Fig. 8.31 mostra um mecanismo de computação consistindo de um par
de carnes de computação, uma cremalheira e pinhão e um integrador. As cames
foram projetadas para a geração da função 3 = sen 2 + 2, O diâmetro primitivo
°
°
°
°°
°
°
° °
do pinhão é d e o diâmetro do cilindro do integrador é D. (a) determine o ângulo
83, em graus. para uma rotação de 82 = 30". a partir da posição inicial das cames.
(b) determine a distância entre o ponto de contato das cames e o eixo de rotação
de 82, ·para 82 = 30". (c) deduza uma expressão para o ângulo de salda 8z do
cilindro do integrador, em função de d, De 82" Indique o valor de r para o início
da computação quando ()2 = ,o.
Integrador
8z-
,----------,
I
I
I
---
J]D
I
4"
Fig. 8.31
8.23 Deve-se projetar uma engrenagem frontal em espiral para gerar a função
o raio do pinhão 6,5 mm, desenhe a espiral de Arquimedes para a
engrenagem frontal; para () entre 40" e 360°, de 20" em 20". Use para a origem de ()
um eixo vertical orientado para baixo. O ângulo () deve ser medido no sentido
anti-horário.
8.24 Considerando a relação z = (x + y)2 - (2x - y)2, escreva esta equação
soh tantas formas quanto for possível e desenhe o diagrama de bloco para cada
forma da equação.
8.25 Faça os diagramas de bloco para a solução das seguintes equações:
()3 = ()~.Sendo
z =
J (ax + b)2dx
z = sen [~ (x + y)]cos[~
(X-y)]
e -
-
k [
R. + Rc
]
RI + R, + R. + Rc
8.29 Faça um esquema dos elementos de computação necessários para efetuarem o cálculo nQ exemplo 8.2. Use diferenciais de engrenagens cônicas para
adição e subtração e carnes de contorno para elevar ao quadrado.
8.30 (a) faça o diagrama de bloco para a solução da seguinte eqqação:
(b) faça um esquema dos elementos necessários para efetuarem o cálculo. Use
diferenciais de engrenagens cônicas para adição e subtração e carnes de contorno
para elevar ao quadrado. Indique todas as direções de rotação.
Introducão
, à Síntese
.....
· ..
•• ••
•e •••• •
••
Antt:dQr~~nte,2lo estudo dos mecanismo~.1-~_<li~ensõe~4l!Jll!!~MtiÇulaçã_o
~ramdadasçg-.P!Q.blema
consistia em se analizar o movimento produzidº-l!Qr
essa articulação.. É completamente diferente, entretanto, partir de um movimJm!9
d~s~ª-ºº~~.Jentar_c!i.!D:~º~i~1!~_~.J!lm~~ºtsrno __
ess~__mo\,imenJo. Esse
processo é chamado de síntese dos mecanismos .. Como já foi mencionado, projetar
uma carne para Um desejado diagrama de deslocamento é o único problema de
síntese que pode ser sempre resolvido. Na aplicação da síntese para o projeto de
um mecanismo, o problema divide-se em tres partes: (a) olmo de mecanismo a ser
utiliza9-Q, (b) o número de articulações e conexões necessário para produzir o
movimento desejado, e, (c) ~ dirnçpsões ou comprimentos das ligações necessárias.
Essas divisões são frequentemente chamadas de síntese do tipo, do nÍlIDc::rQ_t:Aas
qimensões.
Embora os projetistas tenham se interessado pela síntese durante muitos anos,
talvez o maior impulso desse estudo tenha advindo do desenvolvimento dos mecanismos de computação; é necessário freqüentemente, gerar funções arbitrárias por
meios mecânicos. Em alguns casos, um mecanismo conhecido, já existe para gerar
a função, mas, muitas vezes o projetista não tem essa sorte e deve recorrer à síntese
para resolver seu problema.
Na aplicação da síntese, um fator que deve ser constantemente lembrado é o
da p'recisão exigida do mecanismo. Algumas vezes, é possível projetar uma articulação que, teoricamente, deverá gerar uma dada função. Muitas vezes, contudo,
o projetista deve satisfazer-se com uma aproximação dessa função. A diferença
~\!Ç_º-º~_º~
entre a função desejada e a função que o mecanismo projetado produz é conhecida
como erro estrutural. Além disso, existem os erros devidos à fabricação do mecanismo. Esses erros, resultantes das tolerâncias dos comprimentos das barras articuladas e das folgas dos pontos de articulação, são chamados de erro mecânico.
Métodos para o cálculo desses erros mecânicos são dados por Hartenberg e
Denavit1 e também por Garret e Ha1l2•
No início do desenvolvimento da síntese, os métodos gráficos tiveram um
papel destacado. Isso deve ter sua origem no fato de que alguns desses primeiros
métodos eram, indubitavelmente, baseados em tentativa e erro que mais tarde
evoluiram para métodos mais racionais. Com o contínuo desenvolvimento da
síntese vários métodos analíticos foram introduzidos. Três desses métodos serão
~resentados para ilustrar os princípios envolvidos, as dificuldades encontradas
e a aplica~Q_Êos métod,?~: Um método gráfico também será apresentado.
9.1 Espaçamento de Pontos de Precisão. Ao se projetar um mecanismo para
gerar determinada função, é praticamente impossível reproduzi-Ia com exatidão
a menos de alguns poucos pontos. Esses pontos são conhecidos como pontos de
precisão e devem pois ser localizados de maneira a minimizar o erro gerado entre
esses pontos. Como já foi mencionado anteriormente, o erro produzido é estrutural e pode ser expresso como se segue:
f(x)
= função desejada
g (x) = função reproduzida
Na Fig. 9.1 é mostrado um gráfico da variação do erro estrutural de uma função
gerada em um intervalo 2h com o centro do intervalo em x = a.
r-
IR. S. Hartenberg e J. Denavit, Kinematic Synthens of Linkages, McGraw-Hill Book Company,
1964.
2 R. E. Garrett e A. S. Hall, "Effect of Tolerance and Clearance in Linkage Design," Trans. ASME,
Vol. 91,No.l,fevereiro,1969.
:'
...~CANjSM. O,!
Qrv~ílWCkJ~ Vil
,
Intervalo = 2h
-'---- h---~~I~<----+
h
Intervalo
= 21&
;0-10:
I
Parte'
r.u~t
,
o erro é zero nos pontos a •• a2 e a3, que são os pontos de precisão anteriormente mencionados. Da figura, pode-se observar que o erro máximo eI produzido
pelo mecanismo indo do ponto aI para o ponto a2 é consideravelmente menor do
que o erro ~2' produzido entre a2 e a3• Usando-se uma teoria desenvolvida por
Chebyshev3, é possível locar-se os pontos a •• a2 e a3 da Fig. 9.1, de tal maneira que
eI = e2• A Fig. 9.2 mostra essa localização e a Fig. 9.3 ilustra o método de locação
dos três pontos de precisão pelo espaçamento de Chebyshev. Traça-se uma semicircunferência sobre o eixo x, com raio h e centro no ponto a. Inscreve-se a essa
semicircunferência um semipolígono regular de maneira que dois de seus lados
sejam perpendiculares ao eixo x. As linhas traçadas perpendicularmente ao eixo x,
a partir dos vértices desse semipolígono determinam, no eixo, os pontos de precisão
a •• a2 e a3• A Fig. 9.4 mostra a construção no caso de quatro pontos de precisão.
Pode-se observar que para três pontos de precisão, o polígono é um hexágono e
para quatro pontos, um octógono. ~1!Lºutras palavras, o número de lados do
polígo~o é igual a duas vezes o número de pontos de precisão desejado.
9,2 Projeto de uma Articulação de Quatro-Barras para Valores Instantâneos
de Velocidade e Aceleração Angulares. Um método foi desenvolvido por
Rosenauer4, de modo que uma articulação de quatro-barras possa ser projetada
para que cada ligação dê um desejado valor instantâneo de velocidade angular
e de aceleração angular. Segue-se a descrição desse método.
Uma articulação de quatro-barras é mostrada na Fig. 9.5, na qual as ligações
são representadas por vetores que formam um polígono de origem O. Pode-se
observar que a ligação OA tilz um ângulo (}2 com a horizontal, AB tilz um ângulo
(}3' CB um ângulo ()~e CO um ângulo (}1' Cada um desses ângulos é medido no
mesmo sentido. Se a ligação OA tem um comprimento a, AB um comprimento
b, CB um comprimento c e CO um comprimento d, o polígono fechado pode ser
escrito vetorialmente como
3 R. S. Hartenberg e J. Denavit, Kine11UltieSynthellill of Linkagell, McGraw-Hill Book Company,
1964.
4 N. Rosenauer, "Complex Variable Method for Synthesis of Four-Bar Linkages," AUllt. J. Appl. Sei.,
Vol. 5, No. 4, pp. 305-308, 1954.
Deve-se observar que o vetor c, que representa a ligação BC, é subtraído no
polígono porque o vetor está na direção CR
A maneira de se facilitar o manuseio de vetores, numericamente, é representá-Ios por números complexos. Um número complexo pode ser representado
graficamente por um ponto em um plano onde a parte real é marcada em um
eixo hori2Dntal e a parte imaginária, sobre um eixo vertical. Na Fig. 9.6 vemos
marcado o ponto a + bi, onde i =
Unindo-se o ponto a + bi à origem,
o número complexo pode ser representado por um vetor cujo comprimento r é
igual a .Jfi + bi . Se o ân"gulo entre o vetor e o eixo real é cx, a equação do
vetor pode ser expressa como
Fi.
.2
~'!
w :~
b
Eixo
real
&sa relação pode ser dedruzida de a + bi, pois a = rcos oc e b = rsen oc. Pelo
desenvolvimento em série de Maclaurin de e sen oc e cos cx,
X
,
A relação acima pode ser aplicada aos vetores que representam as quatro
barras.
Portanto,
Se essa equaçào for derivada em relação ao tempo e as velocidades angulares
brem represen tadas por
= O,
d~l
Derivando-se outra vez em relação ao tempo e representando-se
angulares por
dw+
dt
--=iX
as acelerações
dw)
~
dt
= O,
Se as equações 9.3, 9.4 e 9.5 forem agora representadas por suas brmas vetoriais,
teremos:
A solução da5equações 9.6 podem ser obtidas ,usando-se determinantes, como
se segue:
lJ=
1
-d
-1
w2
O
-w*
(ia2 -~)
O
-(ia. ~ _(2) 4
D
1
w2
c=
(ia2 -~)
w3
(i~ -wD
D
Sendo cada vetor multiplicado pelo mesmo fator ~,
=
-.
O
O
=
consideremos
~
= - 1.
Isto é permissível porque a, b e c são todos função de C/. O sinal negativo é utilizado a fim de colocar a articulação no campo positivo. Fazendo-se essa substituição e ordenando-se de maneira que o termo imaginário apareça em último
lugar, temos as seguintes equações
"I =
(1).+(1)3«(1).+
-
(1)3)
bl = (1)2(1).+«(1)2
-
(1).+)
= (1)2(1)3«(1)2
-
(1)3)
C1
d. = C1 - ai -bl
então os vetores são
Uma articulação de quatro-barras deve ser projetada para os seguintes valores
instantâneos:
ai
= 3 . 1(3 - 1) = 6
bl = 6·3(6 - 3) = 54
c1 =6'1(6
-1)=30
d1 = 30 - 6 - 54 = - 30
a =
,J
62 + 252 = 25,71
b = ,J542 + 302 == 61,78
c = ,J302
+ 602 = 67,08
d = ,J302
+. 52 = 30,41.
A Fig. 9.7 mostra a articulação desejada, OABC. A articulação mostrada naFig. 9.7 indica os comprimentos relativos apropriados das ligações mútuas e suas
posições angulares correspondentes, para darem as velocidades angulares e acelerações instantâneas desejadas.
Os comprimentos reais das ligações podem ser alterados desde que suas
proporções mútuas permaneçam as mesmas; entretanto, as posições angulares
não podem ser alteradas.
9.3 Projeto de Articulação a Quatro-Barras como Gerador de Função. Freqüentemente é necessário projetar-se uma articulação para gerar uma dada função,
por exemplo, y = log x. A Fig. 9.8 mostra uma articulação a quatro-barras
preparada para gerar a função ly = f(x) dentro de uma determinada faixa. Como
a ligação OA move-se entre os limites cP1 e cP" com uma entrada x, a ligação BC
dá os valores de y = f(x) entre os limites 1/11 e 1/1". Pode-se perceber que na
articulação existem três razões independentes que definem a proporção da articulação. Também deve ser-considerada a relação (e fatores de escala) entre cP e
1/1 e os ângulos iniciais cP1 e 1/11, Ao todo, existem sete variáveis que devem ser
consideradas ao se projetar a articulação para gerar y = f(x} A magnitude da
tarefa de sintetizar essa função é evidente.
.
Foi desenvolvido por Freudenstein 5 um método, pelo qual uma articulação
a quatro-barras pode ser projetada para gerar uma função e que é preciso para
um número finito de pontos chamados pontos de precisão mas que é aproximada
entre esses pontos. Em outras palavras, a função ideal e' a função real gerada coin- :..~. ,
cidirão somente nos pontos de precisão. Entre esses pontos, a função real ddiRirá ,li, '\1 ((,
da função ideal de um valor que dependerá da distância entre .os pontos e da .
natureza da função ideal. Retomando à Fig. 9.8, a função somente será exata em
1/11 e 1/1" e em um determinado número de pontos entre esses valores.
No desenvolvimento do método de Freudenstein, o primeiro passo é relacionar cP e 1/1 utilizando o número de relações. Esse relacionamento pode ser deduzido considerando-se a Fig. 9.9 onde uma reta paralela à ligação OA foi traçada
pelo ponto B e uma reta paralela à ligação AB foi traçada pelo ponto O, determinando o paralelogramo OABD. As ligações formam uma figura fechada e a
soma das componentes em x dos comprimentos a, b e c devem ser igual ao
Sp. Preudenstein,
1955.
"Approximate
Synthesis of Four-Bar Linkages," Trans. ASME, Vol. 77, p. 853,
ot li
,'í
bcos r:x.=
a2 - b2
b2 + d2 -
+ c2 + ,[2
2ac
cr - 2 - 2accos(.p. - l/J) .
2d
d
+ eCos
d
.p - aCos l/J = COs(.p - l/J).
(9.16)
onde Ri' R']. e R3 são três relações independentes. A equação 9.18 dá a mais
simples relação possível entre tP e l/J.
Usando essa equação, o método poderá ser agora ampliado para projetar-se
uma articulação para gerar uma função que seja exata em três pontos. Para maior
precisão, aproximações para quatro e cinco pontos foram desenvolvidas. Entretanto, esses sistemas são muito mais complicados e não serão aqui incluídos.
Os pares de ângulos (tP, l/J) que correspondem aos pontos de precisão são
substituídos na equação 9.18, dando três equações simultâneas. As relações
podem então ser determinadas para a solução dessas equaçres. Se a articulação
passa por (tPl' l/JI~ (tP2' l/J2) e (tP3, l/J3~ então:
cos(tP1 -l/JI)
-COS(tP2 -l/J2)
Ws
cos(tP1 -l/JI)
-
COS(tP3-l/J3)
= w6
W1
w6 - w2 Ws
W2W3
-
wtw4
onde i = 1, 2 ou 3.
Destas relações podemos determinar os comprimentos das ligações nas
equações 9.17. Na determinação dos comprimentos a e c, um sinal negativo deve
ser interpretado no seqtido vetorial ao se traçar a articulação.
~ ~Jt,c:h\;\,,0i::'1 [\ j ( (, ~ ,H, fJ' ,
Pl '
Exemplo 9.2
~~~~, DjW(~~
~ lMJ\ 1~,fWJl'
'Y\w,.lw.r( !rlftlL IJJ»'lJ.
J
(\..\
'\'"
'Q<HC
~
~C'
.\;-
•
.
Determinar uma articulação a quatro-barras para gerar Y = xl•S, onde x
varia entre 1,0 e 4,0. Utilizar o espaçamento de Chebyshev e os valores: 4>. = 30°,
Á4> =90°, t/J. =90° e j},t/J =90". Supor ti = I,Oem.
Yr = 8,0
YI = 1,317
2,5 - 1,2
3
'\)
4>3 = 4>1
+
3,799 - 1,2
x3 - XI j},4> = 36,03
x 90 = 114,0°
+
3
xl- x.
t/J1 = t/J.
+
YI - Y.
YI - Y.
t/J2 = t/JI
+ Y2 - YI j},t/J = 94,08 +
t/J3 = t/JI
+
j},t/J
= 90 + 1,317 - 1,0 x 90 = 94,08°
8,0 - 1,0
YI - Y.
Y3 - YI j},t/J = 94,08
YJ - Y.
+
3,96 - 1,32
x 90 = 128,02°
7
7,4 - 1,32
7
wI = COS 4>1 -
COS 4>2
= 0,8087 - 0,2583 = 0,5504
w2 = COS 4>1 -
COS 4>3
= 0,8087 + 0,4067 = 1,2154
x 90 = 172,25"
(1)5
=eos(<PI - "'I) -eos(<p2 - "'2) =0,5292 -0,6019
= -0,0727
(1)6
= eos(<pI - "'I) - eos(<p3 - "'3) = 0,5292 - 0,5262 = 0,003
(0,545) ~,003) - (0,920) (- 0,073)
(1,215) (0,545) - (0,550) (0,920)
=
~,550) ~,003) - (1,215) (- 0,073)
(1,215) ~,545) - ~,550) ~,920)
t
...........
..........
..........
..........
.....
..........
.....
.....
.....
.....
.....
.....
30-
ti
a = -Rz
cl
1,0
= -= 1 73 em
0,578
'
1,0
c = R- = 0440
I
'
= 2,273 em
.
.- .- .-
..-
..- ..- .-
.....
.- .-
,,
,,
,
" ,,
,,
,,
,,
"./
,,
./
30· "
./
""
,
""
""
%2
2.5
Um outro método de síntese, usando equações de movimento, foi desenvolvido na obra de Raven.6 Consideremos a articulação de quatro-barras,
conforme a Fig. 9.12, onde 04 varia como uma função de 02' Uma equação
vetorial, em termos de números complexos, para essa articulação pode ser assim
escrita:
6 H. Haven, "Position, Velocity, and Acceleration Analysis and Kinematic Synthesis of Plane and
Space Mechanisms by a Generalized Procedure Called the Method of lndependent Position Equations,"
L.C. Card No. 58-58, Univcrsity Microfilms, Ann Arbor, Michigan, 1958.
li'
A equação 9.21 pode, portanto,
\ 21 VV 'o, )
!:::I ,!'I I ;
ser assim escrita:
(9.22)
Separando os termos reais dos imaginários e resolvendo em funçào de
R3 cos (J3 e R3 sen (J3, temos: __
~~~I
',\- --"
j
O ângulo (J3' desconhecido, pode ser eliminado das equações 9.23, elevando-as
ao quadrado e somando membro a membro:
-
--:>-
':' ) \ :lI
J I I
!
I'
P =tg
I
L
"
cos (J2 - 1)
----R2 sen (J2
-1 (R2
Pela complexidade da equação 9.26 é óbvio que algum outro processo,
além da substituição direta, deve ser utilizado para ajustar a articulação a fim
de gerar (J4' como uma função de (J2'
Um método? que apresenta resultado satisfatocio é o de locar uma série de
curvas de R3 constante em eixos de coordenadas (J2 e 4, para valores dados de
Rz e R4, Essas ~lIrYll~l'ªº
cQl!ht.lcida_s.
como curvas de movimento. Para escolher
°
I
rI.
120-00
180-00
Teta 2
Fig. 9.13 (Reproduzida com a permissão de R. S. Brown & H. H. Mabie, "Application or Curve
Matching to Designing Four-Bar Mechanisms," Journa/ o/ Mechanisms, Volume 5, Number 4, 1971
(Winter 1970), p. 566, Pergamon Press Ltd).
••
18000
ai
~
120-00
60-00
Df' A B C D E -
Ponto
Morto
(Deed
PointJ
~ onnO" 010" OU 170"01~
~ ontro 10" o 20" ou 16Cf 0170·
l' entre 20°. 3If ou 15(f. 16á'
'Yentre 3d. 4ft ou 140". 15(f
'Y maior do que 40" • menor do que 1«f.
60-00
Fig. 9.14 (Reproduzida com a permissão de R. S. Brown & H.H. Mabie, "Application or Curve Matching to Designing Four-Bar Mechanisms," JOllrna/o/ Mechanisms, Volume 5. Number 4, 1971. (Winter
1970). p. 567, Pergamon Press Ltd).
umà~ahiculação a fim de gerar uma dada função, loca-se inicialmente, em papel
transparente, a curva R3 desejada, em função das coordenadas f:}J e 82, Essa
curva é então superposta ao gráfico das curvas de movimento. A curva do gráfico que melhor se adaptar à curva traçada dá a proporção aproximada da
articulação. A Fig. 9.13 mostra um exemplo de curvas de movimento locadas
por computador para RI = 1,0, R2 = 0,7 e R4 = 2,0.
A variação na largura das linhas da Fig. 9.13 indica valores de ângulos de
transmissão de acordo com a legenda dada na Fig. 9.14 onde é mostrada apenas
uma das curvas de desenvolvimento (R3 =1,6~ tirada da Fig. 9.13.
Para se obter um sistema prático, é lógico que é necessário ter-se locado
curvas de movimento para muitas combinações de R2• RJ e R4. Esse sistema de
síntese é conhecido como curvas combinadas e a referência citada nos dá vários
exemplos desse método.
9.4 Projeto Gráfico de Articulações a Quatro-Barras como um Gerador de
Funçio. Existem muitos méto~os gráfl90s de síntese já desenvolvidos. Um deles
será apresentado aqui e outros são dados em uma excelente obra do professor
A. S. HaU, da Universidade de Purdl/::8.
O métod09 a ser discutido é aquele em que as proporções de uma articulação
a quatro-barras, podem ser definidas a fim de darem uma determinada correspondência de movimento de entrada para movimento de saída, em três posições.
A Fig. 9.15 mostra um esquema onde a ligação 2 de comprimento conhecido
passa pelas posições AI' A2 e A3 e leva a ligação 4 (ou um ponteiro a ela ligado)
às posições angulares BI' B2 e B3• A distância 0204 é também conhecidl\ e se
deseja determinar os comprimentos das ligações 3 e 4.
O caminho mais fácil para abordar o problema é o de inverter o mecanismo,
considerando-se a ligação 4 como fixa e a 1 como móvel. Enquanto o mecanismo
passa por seu ciclo, é evidente que o ponto O] descreve uma circunferência de
centro 04 e que o ponto A descreve uma circunferência de centro B Determi8 A. S. Hall, Kinematics
9 I. E. Kass, "Graphic
and Linkage Design, Prentice-Hall, 1961.
Linkage Design," Machine Design, December 10, 1959.
nando-se o centro desta última circunferênc~a, determina-se a posição do ponto
B e, consequentemente, os comprimentos deJ e 4. A Fig. 9.16 mostra a construção
gráfica para determinar o ponto B A ligação 4 é considerada fixa e a ligação 1
gira no sentido anti-horário com centro no ponto O.P passando pelos ângulos
ri e fJ que são iguais*"mas de sentido oposto aos ângulos (J. e {3. O ponto 02
desloca· se para duas posiçres 02 e O; enquanto o ponto A desloca-se para A'2
e A; (posições da rotação de A 2 e A 3)' O ponto A; é a interseção do arco de raio
OzA com centro em 02 e do arco de raio 04A2 girando com centro em 04'
O ponto A'3 é obtido de maneira análoga com o arco de raio 02 A e centro O;
e o arco de raio 04A3 e centro 04' Com os pontos A!, A; e A; determinados,
levantam-se as mediatrizes de AlA; e de A;A;. Sua interseção define o ponto B.
Embora seja possível uma solução geométrica, deve-se ressaltar que não
há meios de se saber, antes que um esquema seja feito, se a solução dará um mecanismo prático. Deve-se examinar seus pontos mortos, reversres e vantagens
mecânicas. Se a solução não for prática, o comprimento ou a posição da ligação
2 ou ainda o comprimento da ligação 1 devem ser mudados e faz-se uma nova
tentativa.
Esse método pode ser aplicado também, para uma articulação tridimensional.
O leitor deve recorrer ao artigo original para encontrar a descrição desse método.
Além dos métodos apresentados, existem muitos outros, analíticos ou gráficos, que podem interessar ao projetista. Segue-se uma lista parcial de referências.
Hrones, ~. A., and G. L. Nelson, Al1a/ysis of lhe Four-Bar Lil1kage. Tcchnology Prcss, M. I: T., and
John Wiley and Sons, 1951.
Pike, E. W., T. R. Silverberg, and P. T. Nickson, "Linkage Layout", Machine Desigl1, Vol. 23 pp. 105-110;
194, November 1951.
Rosenauer, N., and A. H. Willis, Killematics of Mechallisms, Associated General Publications, Sidney,
Australia, 1953.
Shaffer, B. W., and J. Cochin, "Synthcsis of the Quadric Chain Whcn thc Position of Two Mcmbcrs
Is Prcscribed,", ASME Papcr 53-A-I44.
Svoboda, A., ComplIling Mechanisms and Lil1kages, McGraw-HiII Book Company, 1948.
9.1 Utilizando o método de Rosenauer, projetar uma articulação a quatrobarras que dê os seguintes valores instantâneos:
W1
= 6 radjseg
1X1 = Oradjseg1
w3 = I rad/seg
IX.• = 8 rad/seg
w4 = 4 radjseg
IX-+ = 4 rad /seg
l
l
.
Traçar um esboço do mecanismo na escala I cm = 10 unidades.
9.2 Utilizando o método de Rosenauer, projetar uma articulação a quatrobarras que dê os seguintes valores instantâneos:
= 6 radjseg
1X2
= 3 radjsegl
w3 = 1rad/seg
1X3
= 8 rad/seg2
w4 = 3 radjseg
iJ(-+ = 5 rad /seg .
W2
1
Traçar um esboço do mecanismo na escala 1cm = 10 unidades.
/"'"'
9.3 Utilizando o método de Rosenauer, projetar uma articulação a quatrobarras que dê os seguintes valores instantâneos:
Wl
- 3 rad/seg
w3
1 rad/seg
1X3
w4 =
3 radjseg
IX ~ =
1X1 =
Orad/seg2
= 10 rad ;seg1
5 radjseg2•
Traçar um esboço do mecanismo na escala 1cm = 10 unidades.
9.4 Pelo método de síntese, desenvolvido por Rosenauer. um determinado
sistema para certas condições cinemáticas dá as equações vetoriais seguintes
para três das quatro-barras:
a)
Traçar a articulação completa na escala 1 cm = 10 unidades.
b) Escrever a equação vetorial para C em números complexos.
9.S Uma articulação a quatro-barras foi projetada para que os vetores
representativos das ligações possam ser expressos pelas seguintes equações:
Se w2 = 6 radiSeg e !X2 = O, calcular w4 e !X4 utilizando o método de Rosenauer.
9.6 Uma articulação
valores instantâneos:
a quatro-barras
foi projetada
para dar os seguintes
w2 = 6 rad/seg
!X
2
= OradiSeg2
w3 = 1 rad/seg
!X
3
= 10 rad iSeg2
w4 = 3 rad/seg
!X
4
= 5 radiSeg2•
a) Se a barra a for mudada para que sua equação seja a = 6 + 20 i. determinar a equação vetorial da barra b, supondo que os comprimentos e as posiçres
das barras c e d não são alteradas.
9.7 Uma articulação a quatro-barras foi projetada pata que os vetores
representativos das ligações possam ser expressos pelas seguintes equações:
Se w2 = 6 radj'Seg e 1X2 = 3 rad/Seg2, calcular w3, w4'
método de Rosenauer.
1X
3
e 1X4 utilizando o
9.8 Utilizando o método de Freudenstein, determinar a proporção de uma
articulação a quatro-barras para gerar y = tg x quando x varia entre 0° e 45",
Usar o espaçamento de Chebyshev. Tomar </>s = 45°, li</> = 60°, "'. = 135° e
li'" = 90°. Fazer um esboço da articulação com a barra fixa d = 1,0 em.
9.9 Utilizando o método de Freudenstein, determinar a proporção de uma
articulação a quatro-barras para gerar y = 10glOx, quando x varia entre 1 e 10.
Usar o espaçamento de Chebyshev. Tomar </>. = 45°, li</> = 60°, "'. = 135° e
li'" = 90°. Fazer um esboço da articulação com a barra fixa d = 5,0 em e verificar
os pontos mortos.
9.10 Utilizar o método de variáveis complexas, derivar a Eq. 9.15 do método
de Freudenstein.
9.11 O mecanismo de plaina limadora mostrado na Fig. 9.17 pode ser
usado como uma função geradora de lJ4 em função de lJ2• Usando variáveis
complexas, provar que a relação entre lJ4 e lJ2 é dada por lJ4 + R2 sen(lJ2 - lJ4) =
=O
,
onde R
= _r_2_.
2
0204
9.12 Utilizando a relação dada no problema anterior para o mecanismo
de plaina limadora da Fig. 9.17, locar a curva de coordenadas lJ2 e lJ4 para os
valores constantes de R2
= ~ , 1 e 2.
Supor lJ2 e lJ4 variando de - 90° a 270°.
9.13 Em uma articulação a quatro-barras, o comprimento da barra 2 é
de 38 mm e ela gira no sentido horário, partindo de sua posição inicial (posição 1)
a 30° sobre a horizonta~ para 60° (posição 2) e para 90° (posição 3~ Quando
a barra 2 gira da posição 1 para a posição 2, a barra 4 gira de 13°. Quando a barra
2 gira da posição 2 para 3, a barra 4 gira de 20°. Se o comprimento da barra 1
(0204) é de SOmm, determinar graficamente os comprimentos das barras 3 e 4.
Verificar o funcionamento do sistema, desenhando-o nas posições 2 e 3.
9.14 Em uma articulação a quatro-barras, o comprimento da barra 2 é de
SOmm e ela gira no sentido horário, partindo de ~ua posição inicial (posição 1)
a 60" sobre a horizontal, para 90" (posição 2) e para 120" (posição 3). Quando a
barra 2 gira da posição 1 para a posição 2, a barra 4 gira de 10°. Quando a
barra 2 gira da posição 2 para 3, a barra 4 gira de ISO. Se o comprimento da
barra 1 (°2°4) é de 76 mm, determinar graficamente os comprimentos das barras
3 e 4. Verificar o funcionamento do sistema, desenhando-o nas posições 2 e 3.
Problemas
Unidades do Sistema Métrico
Capítulos 4, 5 e 6
Problemas
Unidades do Sistema Métrico
4.1 Uma evolvente é gerada em uma circunferência de base que tem um raio'b de
102 mm. Quando a evolvente é gerada, o ângulo que corresponde a Eva varia de O a 15°.
Para incrementos de 3° para este ângulo, calcule os ângulos de pressão a correspondentes e raios, para pontos na evolvente. Plote esta série de pontos em coordenadas polares
e ligue~s com uma curva contínua para representar a evolvente.
4.2 Escreva um programa de computador para o problema 4.1 fazendo, = 76,2 -- 102 e 127 mm. Determine os valores correspondentes de ângulo de pressão a e raio,
para cada valor de 'b.
4.3 A espessura de um dente de engrenagem evolvental é 7,98 mm com um raio de
88,9 mm e um ângulo de pressão de 14,5°. Calcule a espessura do dente e o raio em um
ponto na evolvente que tem um ângulo de pressão de 25° .
4.4 Se as evolventes que formam o contorno de um dente de engrenagem forem
prolongadas, seus flancos se encontrarão e o dente ficará pontudo. Determine o raio em
que isto ocorre para um dente que tem uma espessura de 6,65 mm em um raio de 102 mm
e um ângulo de pressão de 20° .
4.5 A espessura de um dente de uma engrenagem evolvental é 4,98 mm em um raio
de 50,8 mm e um ângulo de pressão de 20°. Calcule a espessura do dente na circunferência de base.
4.6 Os raios primitivos de duas engrenagens acopladas são 5 1,2 e 63,9 mm e os
raios externos são 57,2 e 69,9 mm, respectivamente. O ângulo de pressão é 20°. Faça um
esquema destas engrenagens em escala 1 : 1 tal como o mostrado na Fig. 4.10, e marque
o início e o fim do contato. O pinhão é a peça motora e gira no sentido horário. Deter·
mine e mostre os ângulos de aproximação e afastamento para ambas as engrenagens. Desenhe as evolventes necessárias para determinar 'PF e 'PA pelo método aproximado do
Apéndice.
4.7 Um pinhão de 50,Omm de raio primitivo gira no sentido horário e aciona uma
cremalheira. O ângulo de pressão é 20° e a altura da cabeça do pinhão e da cremalheira é
5,0 mm. Faça um esquema, em escala 1 : 1, destas engrenagens, e assinaleo início e o fim
do contato. Determine e indique os ângulos de aproximação e afastamento para o pinhão.
Desenhe as evolventes necessárias para determinar 'PF e 'PA pelo método aproximado do
Apéndice.
4.8 Duas engrenagens de dentes retos, iguais, com 48 dentes, engrenam-se com
raios primitivos de 96,Omm e alturas de cabeças de 4,Omm. Se o ângulo de pressão é
14,5°, calcule o comprimento de ação gQ< e a razão frontal de transmissão EQ<'
4.9 A razão frontal de transmissão é definida como o arco frontal de transmissão
dividido pelo passo frontal ou como a relação do comprimento de transmissão com o
passo base. Prove que
Arco frontal de transmissão
passo frontal
Comprimento de transmissão
passo base
4.10 Descreva uma equação para o comprimento de ação ga para um pinhão que
comanda uma cremalheira em termos do raio primitivo" o raio base 'b, a altura de cabeça ha e o ângulo de pressão a.
4.11 Um pinhão com um raio primitivo de 38,Omm impele uma cremalheira. O
ângulo de pressão é 14,5°. Calcule a máxima altura de cabeça possível para a cremalhei·
ra sem haver interferência evolvental no pinhão.
4.12 Um pinhão com 24 dentes, módulo 2 mm, ângulo de pressão 20°, dentes
normais impele uma engrenagem de 40 dentes. Calcule os raios primitivos, raios base,
saliência,profundidade e espessura de dente na circunferência primitiva.
4.13 Um pinhão com 18 dentes, módulo 3mm, ângulo de pressão 25°, dentes
normais, impele uma engrenagem de 45 dentes. Calcule os raios primitivos, raios base,
alturas de cabeça e de pé e a espessura do dente na circunferência primitiva.
4.14 Um pinhão de 42 dentes, módulo 0,2 mm, ângulo de pressão 120°, dentes
normais, impele uma engrenagem de 90 dentes. Calcule a razão frontal de transmissão.
4.15 Se os raios de um pinhão e uma engrenagem são aumentados tal que cada um
se torne uma cremalheira, o comprimento de transmissão, teoricamente, se toma um má·
ximo. Determine a equação para o comprimento de transmissão sob estas condições e
calcule a razão frontal de transmissão máxima para sistemas de dentes normais com ân·
gulos de pressão 14,5° ,20° e 25° .
4.16 Um pinhão com 20 dentes, módulo 6mm, ângulo de pressão 20°, dentes
rebaixados, aciona uma cremalheira. Calcule o raio primitivo, raio base, altura de trabalho, altura total e a espessura dos dentes da cremalheira na linha primitiva.
4.17 Uma cremalheira de dentes normais, ângulo de pressão de 20°, tem uma
saliéncia de 6,Omm. Calcule o passo base e mostre-o como uma dimensão da cremalheira, em escala 1 : 1.
4.18 Determine o número de dentes em uma engrenagem evolvental de dentes
retos, normais, ângulo de pressão 14,5°, tal que os diãmetros das circunferências de base e de pé sejam iguais.
4.19 Determine para um par de engrenagens de dentes retos: (a) uma equação
para a distância entre eixos a como função dos números de dentes e do diametral pitch.
(b) as várias combinações de engrenagens de dentes normais, ângulo de pressão 20° ,que
podem ser usadas para operar a uma distância entre eixos de 120 mm com uma razão
de velocidades angulares de 3: 1. O módulo não deve ser inferior a 2 mm e as engrenagens não podem ser adelgaçadas.As engrenagens devem ser fresadas.
4.20 Um pinhão com 30 dentes, normais, ângulo de pressão 25°, módulo 4mm,
impele uma cremalheira. Calcule o comprimento de transmissão e a razão frontal de transmissão.
4.21 Um pinhão com 24 dentes, módulo 12mm, ângulo de pressão 20°, dentes
normais, aciona uma cremalheira. Se o pinhão gira no sentido anti-horário, a 360 rpm,
determine, graficamente, a velocidade de deslizamento entre um dente do pinhão e da
cremalheira no início do contato, no ponto primitivo e no fim do contato.
4.22 Duas árvores, cujos eixos estão afastados de 216mm devem ser acopladas
com engrenagens de dentes retos com uma razão de velocidades angulares de 15: 1.
Usando um módulo 4mm, selecione dois pares de engrenagens que melhor se ajustem
aos requisitos acima. Que modificação teria que ser tolerada nos dados para cada con·
junto utilizado?
4.23 Uma ferramenta fresa, dentes normais, módulo 3mm, ângulo de pressão
14,5°, é usada para usinar uma engrenagem de dentes retos. A ferramenta tem hélice
à direita com um ângulo de 2°40', um comprimento de 75 mm e um diâmetro externo
de 75 mm. Faça um esquema em escala 1 : 1 da ferramenta, usinando uma engrenagem
de dentes retos de 48 dentes. O disco da engrenagem tem 38 mm de espessura. Mostre o
cilindro primitivo da ferramenta sobre o disco de engrenagem com o passo da hélice
da fresa em correta relação com o passo frontal do dente da engrenagem. Mostre três
dentes da engrenagem e 1 1/2 voltas da hélice da fresa: posicione estes elementos por
meio do passo frontal. Assinale os eixos da fresa e do disco da engrenagem, o ângulo
de avanço da ferramenta e a direção de rotação da fresa e do disco de engrenagem.
4.24 Para um ângulo de pressão de 22,5° no sistema de dentes normais, calcule
o número mínimo de dentes para um pinhão engrenar·se com uma cremalheira sem interferência evolvental. Também calcule o número de dentes em um pinhão para engrenar·se com uma engrenagem de igual tamanho sem interferência evolvental.
4.25 Um pinhão com 24 dentes, módulo 3 mm, ângulo de pressão 20°, impele
uma engrenagem com 56 dentes. Determine o raio de cabeça de modo que a circunferência de cabeça de cada engrenagem passe pelo ponto de interferência da outra. Calcule o valor de k para cada engrenagem.
4.26 Duas engrenagens iguais, módulo 5 mm, ângulo de pressão 20°, engrenamse de modo que a circunferência de cabeça de cada uma passa pelo ponto de interferência da outra. Se a razão frontal de transmissão é 1,622 calcule o número de dentes
e o raio de cabeça para cada engrenagem.
4.27 Duas engrenagens evolventais, ângulo de pressão 20°, são montadas à distância entre eixos de referência. A circunferência de cabeça de cada engrenagem passa
pelo ponto de interferência da outra. Deduza urna equação para k como função de z,
onde z é o número de dentes e k urna constante que quando dividida pelo diametral
pitch é a saliência.
4.28 No esquema de urna engrenagem mostrado na Fig. 4.25, os dentes têm ângulo de pressão de 20° e são normais. Se o diâmetro primitivo é 125 mm e o módulo
5 mm, calcule o raio do pino que fica em contato com o perfil no ponto principal. Calcule o diâmetro m medido sobre dois pinos opostos.
4.29 Um pinhão com 40 dentes, módulo 2,5 mm, ângulo de pressão 14,5°, den.
tes normais, é montado com urna cremalheira, sem folga. Se a cremalheira é afastada
1,27mm calcule o jogo primitivo produzido.
4.30 Um pinhão com 18 dentes, módulo 2mm, ângulo de pressão 20°, dentes
normais, impele urna engrenagem de 54 dentes. Se a distância entre eixos com que as
engrenagensoperam é 73,27 mm, calcule o ângulo de pressão de funcionamento.
4.31 Um pinhão com 36 dentes, normais, módulo 2,5 mm, ângulo de pressão
14,5°, impele urna engrenagem com 60 dentes. Se a distância entre eixos é aumentada
em 0,650mm, calcule (a) os raios das circunferências primitivas de funcionamento,
(b) o ângulo de pressão de funcionamento e (c) o jogo primitivo produzido.
4.32 Um pinhão com 24 dentes J;ebaixados, módulo 6 mm, ângulo de pressão
20°, aciona urna engrenagem de 40 dentes. Calcule (a) a distância entre eixos máxima
teórica com que estas engrenagens podem operar separadas para continuar a haver movi-
mento e (b) o jogo primitivo nas novas circunferências primitivas quando as engrenagens
são separadas da distância calculada em (a).
4.33 Um pinhão com 24 dentes tem uma espessura de dentes de 6,477mm em
um raio primitivo de 37 ~ mm e um ângulo de pressão de 20°. Uma engrenagem de
40 dentes tem uma espessura de dentes de 5,842mm em um raio primitivo de 63,Omm
e um ângulo de pressão de 20°. Calcule o ângulo de pressão e a distância entre eixos se
estas engrenagenssão montadas semjogo primitivo.
4.34 Um pinhão de 20 dentes, módulo 2~ mm, ângulo de pressão 20°, impele
uma engrenagem de 45 dentes. Usando um computador, calcule o jogo primitivo produzido quando a distância entre centros é aumentada de 81,25 para 82,00 mm em incrementos de 0,025 mm.
4.35 Um pinhão de 34 dentes, módulo 0,3 mm, impele uma engrenagem de 60
dentes. Se a distância entre centros é aumentada de 0,127 mm, compare o jogo primitivo produzido utilizando os ângulos de pressão de l4~0, 20° e 25°.
5.1 Um pinhão com 12 dentes deve ser usinado por uma fresa de dentes normais,
ângulo de pressão 20°, módulo 12mm. Faça um esquema teórico dos dentes do pinhão
e da cremalheira em montagem padronizada, como mostra a Fig. 5.2a. Desenhe a evolvente do pinhão pelo método aproximado mas não trace os flancos do dente do pinhão.
Mostre o efeito, no dente do pinhão, de afastar a cremalheira básica até que sua linha
de cabeça passe pelo ponto de interferência. Esta disposição deve ser mostrada tracejada e sobreposta ao primeiro esquema com o lado do dente da cremalheira passando pelo ponto primitivo. Indique a circunferência de base, a circunferência primitiva de corte, afastamento da ferramenta, ângulo de pressão e linhas _primitivas(de corte e padronizada) da cremalheira.
5.2 Um pinhão de 24 dentes deve ser usinado por uma fresa de dentes normais,
ângulo de pressão l4~0, módulo 2~ mm. Calcule a distância mínima que a ferramenta
terá que ser afastada para evitar o adelgaçamento. Calcule o raio da circunferência pri.
mitiva de corte e a espessura do dente nesta circunferência.
5.3 Uma engrenagem de 26 dentes deve ser usinada por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, módulo 3,5 mm. Calcule a máxima distância que a ferramenta deve avançar no disco da engrenagem sem causar adelgaçamento. Calcule o raio
da circunferência primitiva de corte e a espessura de dente nesta circunferência.
5.4 Uma engrenagem de 16 dentes é cortada por uma fresa de dentes normais,
ângulo de pressão 20°, módulo 6 mm, que foi afastado de 0,5000 mm. Determine se
este afastamento é suficiente para eliminar o adelgaçamento. Se assim for, calcule a
espessura de dente na circunferência primitiva de corte e na circunferência de base.
5.5 Uma engrenagem de 35 dentes deve ser cortada com uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, módulo 6 mm. Calcule a alteração da ferramenta a partir da posição de referência para ser obtida uma espessura de dente de 10,2mm em uma
circunferência para a qual o ângulo de incidência frontal é 20°.
5.6 Um pinhão de 20 dentes deve ser cortado por uma fresa de dentes normais,
ângulo de pressão 20°, módulo 4mm. Qual será a alteração na posição da ferramenta
para ser obtida uma espessura de dente de 6,960mm em uma circunferência para a qual
o ângulo de incidência frontal é de 14,5°?
5.7 Um pinhão de 20 dentes deve ser cortado por uma fresa de dentes normais,
ângulo de pressão 200, módulo 4mm. Calcule a espessura mínima de dente que pode ser
obtida sobre uma circunferência para a qual o ângulo de incidência frontal é de 14,50.
O dente não deve ser adelgaçado.
5.8 Um pinhll'o com 11 e uma engrenagem com 14 dentes foram cortados por
uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 200, módulo 3 mm. Para evitar adelgaçamento a fresa foi afastada de 1,0698 mm no pinhão e 0,5434 mm na engrenagem.
Calcule o ângulo de pressão e a distância entre eixos em que estas engrenagens operarão. Determine a diferença entre a distancia entre eixos calculada acima e a distância
de referência, comparando-a com xml + xm2.
5.9 Prove que
(xml +xm2) </::'a para a' <a
5.10 Um pinhão de 12 e uma engrenagem de 15 dentes devem ser cortados com
uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 200, módulo 6mm, para operar em
uma distância entre eixos de 83,50mm. Determine se estas engrenagens podem ser
cortadas sem adelgaçamento para operar nesta distancia entre eixos.
5.11 Usando os dados do exemplo 5.2, calcule os raios de cabeça dos discos das
engrenagens,a profundidade de corte e a razão frontal de transmissão.
5.12 Um pinhão e uma engrenagem de 13 e 24 dentes, respectivamente, devem
ser cortados por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 200, módulo 6 mm, pa·
ra operar em uma distância entre eixos de 115,9 mm. Calcule o ângulo de pressão em
que as engrenagens operarão e os valores de xml e xm2. Faça xml e xm2, inversamente proporcionais ao número de dentes. Verifique se xml é grande o suficiente para evitar
o adelgaçamento. Determine os raios de cabeça dos discos das engrenagens, a profundidade de corte e a razão frontal de transmissão.
5.13 Usando os dados do exemplo 5.3 verifique se o valor de xml é suficiente
para evitar o adelgaçamento. Calcule os raios de cabeça dos discos das engrenagens, a
profundidade de corte e a razão frontal de transmissão.
5.14 Um pinhão de 12 dentes tem uma espessura de dente de 6,624mm em sua
circunferência primitiva de corte. Uma engrenagem de 32 dentes que se engrena com
ele tem espessura de dente de 4,372mm em sua circunferência primitiva de corte. Se
ambas as engrenagens foram cortadas por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 200, módulo 3,5 mm, calcule a correção xm usada para usinar cada engrenagem
e o ângulo de pressão de funcionamento.
5.15 Um pinhão com 35 dentes, não padronizado, tem uma espessura de dente
de 4,604 mm em um raio de 61 ,25 mm e um ângulo de incidência frontal de 200. O
pinhão se engrena com uma cremalheira no raio de 61,25 mm com jogo primitivo zero.
Se a cremalheira tem ângulo de pressão de 200, dentes normais, módulo 3,5 mm, calcule
a distância do centro de pinhão à linha primitiva de referência da cremalheira.
5.16 Um pinhão de 11 dentes deve acionar uma engrenagem de 23 dentes com uma
distância entre eixos de 54,Omm. Se as engrenagens são cortadas por uma fresa de dentes
normais, ângulo de pressão 20°, m6dul0 3 mm, calcule o valor de xml e xm2 de modo
que o início do contato durante o corte do pinhão ocorra no ponto de interferência
do pinhão.
5.17 Um pinhão com 20 dentes, ângulo de pressão 20°, módulo 2,5 mm, aciona uma engrenagem com 30 dentes com uma distância entre eixos de 62,5 mm. É necessário substituir estas engrenagens por um par que tenha uma relação de velocidades
1 1/3: 1 e ainda mantenha a mesma distância entre eixos. Usando a mesma ferramenta
que usinou as engrenagens originais, selecione um par de engrenagens que se afastem o
menos possível das éngrenagens padronizadas. Determine as correções das engrenagens,
os raios de cabeça e a profundidade de corte.
5.18 É necessário conectar dois eixos cuja distância entre centros é 99,06mm
com um par de engrenagens de dentes retos tendo uma relação de velocidade de 1,25 : 1.
Usando uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, m6dulo 2,5 mm, recomende um par de engrenagens cuja relação de velocidades angulares se aproxime tanto quanto possível de 1,25: 1 sem apresentarem adelgaçamento. Calcule as correções das engrenagens, os diâmetros externos, profundidade de corte e a razão frontal de transmissão.
5.19 Um pinhão e engrenagens de 27 e 39 dentes, respectivamente, devem ser
cortados por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, módulo 4mm, para serem obtidos dentes com saliênciasdiferentes. A fresa é afastada de 0,720 mm. Determine para cada engrenagem o diâmetro primitivo, o diâmetro de cabeça, a profundidade
de corte e a espessura de dente na circunferência primitiva.
5.20 Um par de engrenagens de saliências diferentes de 18 e 28 dentes é cortado
por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, módulo 4mm, com coneção
1,524 mm. Compare a razão frontal de transmissão destas engrenagens com a de um par
de engrenagenspadronizadas de mesmos passo e números de dentes.
5.21 Um pinhão de dentes normais, ângulo de pressão 200., módulo 1,25 mm,
com 30 dentes, deve engrenar-se com uma engrenagem de 40 dentes, à distância entre
eixos de referência. Sendo necessário um jogo primitivo de 0,1016mm, calcule quanto
a ferramenta deve avançar no pinhão e na engrenagem, para ser obtido este jogo. Suponha que os dentes de ambas as engrenagens devam ter suas espessuras diminuídas da mesma quantidade.
5.22 Um pinhã"o com 20 dentes, ângulo de pressão 20°, módulo 3 mm, deve se
engrenar com uma engrenagem de 40 dentes em uma distância entre eixos de 90,52mm.
Se a ferramenta é recuada de 0,2271 mm quando cortando o pinhão e 0,1096mm quando cortando a engrenagem, calcule o jogo primitivo produzido.
5.23 Duas engrenagens de saliências diferentes de 18 e 30 dentes, respectivamente,
cortadas com uma fresa, ângulo de pressão 20°, módulo 4 mm, são projetadas para ter
jogo primitivo zero quando a ferramenta é afastada de 1,2700 mm. Calcule os valores
de xm 1 e xm2 se estas engrenagens forem modificadas para terem jogo de 0,1270 mm supondo que os dentes sejam estreitados da mesma quantidade.
5.24 Um pinhão de 18 dentes, ângulo de pressão 20°, módulo 2 mm, aciona uma
engrenagem de 42 dentes. Sendo de ação de semi-afastamento, calcule a relaçã9 entre os
comprimentos de afastamento e de aproximação.
5.25 Duas engrenagens de ação de semi-afastamento se engrenam sem jogo primitivo. O pinhão tem 20 e a engrenagem 48 dentes. Se as engrenagens são cortadas
com uma fresa, ângulo de pressão 20°, módulo 2,5 mm, calcule a razão frontal de transmissão.
5.26 Um par de engrenagens de ação de afastamento deve ser projetado para
funcionar sem jogo primitivo. O pinhão deve ter 20 e a engrenagem 44 dentes e devem ser cortados com uma fresa, ângulo de pressão 20°, módulo 3 mm. Calcule se pode ser obtida uma razão frontal de transmissão de 1,40, usando engrenagens de ação
de afastamento completo ou semi-afastamento, ou ambos.
6.1 Um par de engrenagens cõnicas de dentes retos tem uma relação de velocidade W. /W2 e as linhas de centro de seus eixos se interceptam segundo um ângulo ~.
Se cunsiderannos as distâncias x e y a partir do ponto de interseção, ao longo dos eixos, prove que a diagonal de um paralelogramo com lados x e y será a geratriz comum
dos cones primitivos das engrenagens.
6.2 Uma coroa cõnica de dentes retos tipo Gleason, com 24 dentes, módulo
5,08 mm, é acionada por um pinhão de 16 dentes. Calcule o diâmetro e o ângulo primitivos do pinhão, a saliência e a profundidade, a largura do denteado e o diimetro
primitivo da engrenagem. Faça um corte axial, em verdadeira grandeza, do pinhão e
engrenagem acoplados, usando dimensões adequadas para os cubos e nervuras como
mostra a Fig. 6.70.
6.3 Uma coroa cõnica de dentes retos tipo Gleason, com 48 dentes, módulo
2,12mm, é impelida por um pinhão de 24 dentes. (a) calcule o ângulo primitivo do
pinhão e o ângulo entre eixos. (b) faça um esboço (em escala) dos cones primitivos
das duas engrenagens acopladas. Mostre o cone complementar de cada engrenagem e
assinale-os, bem como os cones primitivos.
6.4 Um par de engrenagens cõnicas com eixos ortogonais, iguais, tipo Gleason,
tem 20 dentes e um módulo 6,35 mm. Calcule o diâmetro primitivo, a saliência e a
profundidade, a largura do denteado, o comprimento da geratriz, o. ângulo de cabeça,
o ângulo de pé e o diâmetro de cabeça. Faça um esboço do corte axial, em verdadeira
grandeza, das engrenagens acopladas, usando proporções razoáveis para o cubo e a nervura como mostra a Fig. 6.70. Faça o desenho com os valores calculados.
6.5 Um pinhão cõnico de dentes retos, tipo Gleason, com 21 dentes, módulo
4,23 mm, impele uma engrenagem de 27 dentes. O ângulo entre eixos é 90°. Calcule
o ângulo primitivo, a saliência e a profundidade e a largura do denteado para cada engrenagem. Faça um esboço do corte axial' em verdadeira grandeza, das engrenagens
acopladas usando dimensões adequadas para o cubo e a nervura como mostra a Fig.
6.70.
6.6 Um pinhão cõnico de dentes retos, tipo Gleason, com t40en
,
dulo
6,35 mm, impele uma engrenagem de 20 dentes. O ângulo entre eixos é 90°. Calc e
a saliência e a profundidade e espessura do dente para cada engrenagem, e ainda os
raios primitivos e de base das engrenagens cilíndricas retas equivalentes. Faça um esboço das engrenagens equivalentes, em verdadeira grandeza, mostrando dois dentes
em contato como na Fig. 6.7 b.
6.7 Um pinhão cônico de dentes retos, tipo Gleason, COm 16 dentes, módulo
5,08 mm, aciona uma engrenagem de 24 dentes. O ângulo entre eixos é 45°. Depois
de fazer os cálculos necessários, esboce um corte axial, em verdadeira grandeza, do
pinhão e da engrenagem acoplados usando proporções razoáveis para o cubo e as nervuras como mostra a Fig. 6.70.
6.8 Um par de engrenagens cônicas de dentes retos, tipo Gleason, acopla-se com
ângulo entre eixos de 75°. O módulo é 2,54mm e os números de dentes do pinhão e
da engrenagem são, respectivamente, 30 e 40. (a) calcule os ângulos primitivos e as
saliências e as profundidades do pinhão e da engrenagem. (b) faça um esboço, em verdadeira grandeza, dos cones primitivos e complementares das duas engrenagens em
contato. Assinale os cones primitivos, os cones complementares e os ângulos primitivos de ambas engrenagens. (c) destaque, no esboço, a saliência e a profundidade do
pinhão, assinalando-os clararnente.
6.9 Prove, com a ajuda de um esboço adequado, que em uma engrenagem cônica
de dentes retos, tipo Gleason, o ângulo de cabeça do pinhão é igual ao ângulo de pé da
engrenagem e que 0a = + 0a'
6.10 Uma engrenagem helicoidal de 14 dentes deve ser cortada por uma fresa
de dentes normais, ângulo de pressão 20°, módulo 2,5 mm. Calcule: (a) o ângulo mínimo de hélice que esta engrenagem deve ter a fim de ser cortada, com montagem padronizada, sem adelgaçamento. (b) quanto terá que ser afastada a fresa para evitar o
adelgaçamento se o ângulo de hélice for 20°.
6.11 Um pinhão helicoidal de 12 dentes deve ser cortado com uma fresa de dentes
normais, ângulo de pressão 20°, módulo 3 mm. Se o ângulo de hélice for 20° , calcule
quanto a fresa deve ser afastada para evitar o adelgaçamento.
6.12 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos, iguais, com 48 dentes, largura
do denteado de 25,4 mm e módulo 4 rnm, acoplam-se no acionamento de uma máquina de fadiga. Calcule o ângulo de hélice de um par de engrenagens helicoidais para substituir as engrenagens cilíndricas se a largura do denteado, distância entre centros e relação de velocidades devem permanecer as mesmas. Use as seguintes ferramentas: (a) pinhão com módulo 4 mm, (b) fresa com módulo normal 4 mm.
°
6.13 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos normalizadas foram cortadas
com uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, módulo 2,5 mm, para terem
uma relação de velocidades de 3,5: 1 e distância entre eixos de 168,75 mm. Deve-se
usinar engrenagens helicoidais com a mesma ferramenta para substituirem as cilíndricas,
mantendo-se a mesma distância entre eixos e mesma relação de velocIãaâes.
rmine
o ângulo de hélice, números de dentes e largura do denteado das novas engrena ens,
mantendo o ângulo de hélice em um valor mínimo.
6.14 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos devem ser substituídas
or engrenagens helicoidais. As retas foram cortadas por uma fresa de dentes'
ais, ângulo de pressão 20°, módulo 3 mm, têm relação de velocidades de 1,75 : 1 e a distância entre eixos de 132 mm. As engrenagens helicoidais devem ser cortadas com a mesma fresa
e manter a mesma distância entre eixos. O ângulo de hélice deve ficar entre 15° e 20° e
a relação de velocidades entre 1,70 e 1,75. Determine os números de dentes, ângulo da
hélice e relação de velocidades.
6.15 Em uma caixa de engrenagens, duas engrenagens cilíndricas de dentes retos
padronizadas (m6dulo 1,5 mm e ângulo de pressão 20° , dentes normais) com 36 e 100
dentes são acopladas à distância entre eixos padronizada. Decide-se substituí-Ias por
engrenagens helicoidais com ângulo de hélice de 22° e os mesmos números de dentes.
Determine a variação necessária na distância entre eixos se as engrenagens são cortadas (a) com uma fresa de dentes norr.lais, ângulo de pressão 20°, módulo 1,5 mm, (b)
com uma ferramenta pinhão (Fello\ 's) de 20° , m6dulo 1,5 mm.
6.16 Um par de engrenagens helicoidais, eixos paralelos, deve ser cortado com
uma fresa, de dentes normais, ângulo de pressão 20°, módulo 3 mm. A relação de velocidades angulares deve aproximar-se tanto quanto possível de 2: 1. O ângulo de hélice
deve ser 20° e a distância entre eixos deve ficar entre 152,40 mm e 158,75 mm. Calcule
o passo frontal e o m6dulo no plano de rotação. Determine os números de dentes, diâmetros primitivos e distância entre eixos.
6.17 Um pinhão cilíndrico de dentes retos com 20 dentes, m6dulo 2~ mm, aciona
duas engrenagens, uma com 36 e outra com 48 dentes. Deseja-se substituir as três engrenagens por engrenagens helicoidais e mudar a relação de velocidades entre os eixos
das engrenagens de 20 e de 48 dentes para 2: 1. A relação de velocidades e a distância
centros
entre os eixos das engrenagens de 20 e de 36 dentes devem permanecer as
m smas. Usando uma fresa de dentes rebaixados, ângulo de pressão 20°, módulo 3 mm,
e antendo o ângulo de hélice tão pequeno quanto possível, determine o número de
)
ntes, ângulo de hélice e seu sentido, largura do denteado e diãmetro de cabeça para
cada engrenagem. Calcule a variação na distância de centros entre os eixos onde originalmente vêm montadas as engrenagens de 20 e 48 dentes.
6.18 Um pinhão cilíndrico de dentes retos, 24 dentes, módulo 2mm, impele
duas engrenagens, uma com 36 e a outra com 60 dentes. É necessário substituir as três
engrenagens por helicoidais, mantendo as mesmas relações de velocidades e distância
entre eixos. Usando uma fresa de dentes rebaixados, ângulo de pressão :'.0°, módulo
1,5 mm e mantendo o ângulo de hélice tão baixo quanto possível, determine o número
de dentes, ângulo de hélice e seu sentido, largura do denteado e diâmetro de cabep para
cada engrenagem.
6.19 Dois eixos paralelos devem ser conectados por um par de engrenagens helicoidais (engrenagens 1 e~2). A relação de velocidades angulares deve ser 1,25 : 1 e a distância entre eixos, 114,3 mm. A engrenagem 2 deve impelir uma engrenagem helicoidal
3 cujo eixo faz um ângulo reto com o da 2. A relação de velocidades angulares entre as
engrenagens 2 e 3 deve ser 2: 1. Usando uma fresa, dentes normais, ângulo de pressão
20°, módulo 2,75 mm, determine o número de dentes, ângulo de hélice e diãmetro primitivo de cada engrenagem e a distância entre eixos Q2 3.
6.20 Dois eixos paralelos devem ser conectados por um par de engrenagens helicoidais (engrenagens 1 e 2). A relação de velocidades angulares deve ser 1,75 : 1 e a distância entre eixos 69,85 mm. A engrenagem 2 deve impelir uma terceira engrenagem
helicoidal (engrenagem 3) com uma relação de velocidades angulares 2: 1. Três fresas
estão disponíveis para cortar as engrenagens: fresa A (módulo 3,5 mm, ângulo de pres-
são 20°, dentes normais), fresa B (módulo 2,75 mm, ângulo de pressão 20°, dentes
normais) e fresa C (módulo 2 mm, ângulo de pressão 20°, dentes normais). (a) escolha
a fresa que resulte no menor ângulo de hélice ~. (b) que fresa permitirá a menor distância entre eixos 023, entre os eixos 2 e 3, mantendo um ângulo de hélice menor do
que 35°?
6.21 A fórmula para a distância entre eixos de duas engrenagens cilíndricas de
dentes retos ou helicoidais é dada por 0= [(ZI + z2)/2]m, onde o depende dos números de dentes das engrenagens Z I e Z2 e do módulo m. Mostre que 023 independe de m
para três engrenagens (dentes retos, paralelas e helicoidais) acopladas cuja distância
entre eixos 012 e relações de velocidades angulares WI /W2 e W2/W3 são conhecidas.
6.22 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos, ângulo de pressão 20°, dentes normais, módulo 1,5 mm, com 36 e 90 dentes devem ser substituídas por engrenagens helicoidais. A distância entre eixos e a relação de velocidades angulares devem
permanecer as mesmas. Se a largura das engrenagens não pode exceder 12,7 mm devido
às limitações de espaço, determine um par de engrenagens helicoidais que mantenha o
ângulo de hélice tão pequeno quanto possível. Use uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, módulo 1,5 mm e determine os números de dentes, ângulo de hélice, largura do denteado e diâmetros de cabeça.
6.23 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos, ângulo de pressão 20°, módulo 1,5 mm, com 32 e 64 dentes normais devem ser substituídas por engrenagens helicoidais. A distância entre eixos e a relação de velocidades angulares devem permanecer
as mesmas. Se a largura das engrenagens não pode ultrapassar 11,11 mm devido a limitações de espaço, determine qual das seguintes fresas deve ser usada, mantendo o
ângulo de hélice tão pequeno quanto possível: fresa A (módulo 1,5 mm, ângulo de pressão 20°, dentes normais) ou fresa B (módulo 1,25 mm, ângulo de pressão 20°, dentes
normais). Determine ainda os números de dentes, ângulo de hélice, largura do dente ado e diâmetros de cabeça.
6.24 Dois eixos paralelos devem ser conectados por um par de engrenagens helicoidais (engrenagens 1 e 2). A relação de velocidades angulares deve ser 1 1/3: 1 e a
distância entre eixos 88,90mm. Considerando que há disponibilidade de fresas com
módulos de 2 a 4mm (inclusive), tabule os números de dentes, ângulo de hélice e largura do denteado para as várias combinações (de ZI e Z2) que satisfaçam às condições
dadas. Qual é o melhor conjunto para este acionamento? Por quê? Faça o menor número de dentes 15 para a menor engrenagem quando mn = 6.
6.25 Dois eixos reversos, com ângulo de 90°, devem ser conectados por engrenagens helicoidais. A relação das velocidades angulares deve ser 1 1,5 : 1 e a distância entre
eixos 127,Omm. Supondo que as engrenagens tenham ângulos de hélice iguais, calcule o
módulo de uma ferramenta para gerar 20 dentes no pinhão se ela for (a) uma fresa e (b)
uma ferramenta pinhão (Fellows).
6.26 As engrenagens helicoidais abaixo, cortadas com uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, módulo 2 mm, são acopladas sem jogo primitivo.
Engrenagem 1 - 36 dentes, hélice à direita, ângulo de hélice 30°
Engrenagem 2 - 72 dentes, hélice à esquerda, ângulo de hélice 40°
Determine o ângulo dos eixos, a relação das velocidades angulares e a distância entre eixos.
6.27 Dois eixos reversos, com ângulo de 90° são conectados por engrenagens helicoidais (engrenagens 1 e 2), cortadas com fresa de dentes normais, ângulo de pressão
20°, módulo 2 mm. Ambas têm hélice à direita e a relação de velocidades angulares é
15 : 1. d2 = 131,64 mm e (31 = 60°. Uma modificação de projeto requer uma redução
do diâmetro de cabeça da engrenagem 1 de 6,35 mm para propiciar folga no fundo do
dente para um novo componente. Supondo que a mesma fresa deva ser usada para cortar qualquer nova engrenagem, mostre que o diâmetro de cabeça da engrenagem 1 pode
ser reduzido sem modificar a relação de velocidades, o ângulo entre eixos e os números
de dentes das engrenagens ZI e Z2. O diâmetro de cabeça da engrenagem 2 e a distância
entre eixos podem ser alterados se necessário. Na análise, calcule e compare os seguintes
dados para as engrenagens originais e novas: a I 2 , di, d 2 , Z I , Z 2 , (31 , (32 •
6.28 Uma engrenagem helicoidal com 21 dentes módulo normal 4 deve impelir
uma engrenagem cilíndrica de dentes retos. A relação das velocidades angulares deve ser
2 : 1 e o ângulo entre eixos 45° . Determine os diâmetros primitivos para as duas engrena·
gens e o ângulo de hélice para a engrenagem helicoidal. Faça um esboço, em verdadeira
grandeza, das duas engrenagens (cilindros primitivos) em contato, semelhante ao da Fig.
6.20, com o pinhão acima da engrenagem: a largura das engrenagens deve ser 25,Omm.
Mostre as geratrizes dos dentes em contato e também uma geratriz no cone de cabeça do
pinhão. Assinale e dimensione os ângulos de hélice e entre eixos.
6.29 Dois eixos reversos devem ser conectados por engrenagens helicoidais. A relação das velocidades angulares deve ser 1,5 : 1 e a distância entre centros de 215,9 mm.
Se está disponível uma engrenagem de um trabalho anterior, com 30 dentes, ângulo de
hélice 30° e módulo normal 5, calcule o ângulo entre eixos que deve ser usado. Ambas
as engrenagens podem ter o mesmo sentido de hélice e a de 30 dentes pode ser o pio
nhão.
6.30 Dois eixos reversos são conectados por engrenagens helicoidais. A relação de
velocidades é 1,8: 1 e o ângulo entre eixos 45°. Se di = 57,735 mm e d2 = 93,175 mm,
calcule os ângulos de hélice sabendo que ambas as engrenagens têm o mesmo sentido
da hélice.
6.31 Dois eixos reversos, com ângulo de 90°, devem ser conectados por engrena·
gens helicoidais. A relação de velocidades angulares deve ser 1,5: 1 e a distância entre
centros, de 125,0 mm. Selecione um par de engrenagens cortados por ferramenta pinhão (Fellows).
6.32 Dois eixos reversos devem ser conectados por engrenagens helicoidais. A relação de velocidades é 3: 1, o ângulo entre eixos 60° e a distância entre centros, 254,Omm.
Se o pinhão tem 35 dentes e um módulo normal 3, calcule os ângulos de hélice e diâmetros primitivos sabendo que as engrenagens têm o mesmo sentido de hélice.
6.33 Um pinhão helicoidal, com diâmetro primitivo de 50,Omm, impele uma engrenagem helicoidal de 84,Omm como mostra a Fig. 6.20, L = 30°. A velocidade do
ponto primitivo da engrenagem 1 deve ser representada por um vetor com 50,Omm
de comprimento e a da engrenagem 2, por um com 72,5 mm. Usando uma largura do
denteado de 26,Omm, para as engrenagens, determine graficamente a geratriz do dente
no cone de cabeça de cada engrenagem, o ângulo de hélice, o sentido da hélice e a velocidade de deslizamento.
6.34 Uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, módulo 3 mm, é usada
para cortar uma engrenagem helicoidal. A fresa tem hélice à direita com um ângulo de
avanço de 2°40', um comprimento de 75,Omm e um diâmetro externo de 75,Omm.
Faça um esboço, em verdadeira grandeza, da fresa cortando uma engrenagem helicoidal, hélice à direita, 47 dentes e ângulo de hélice de 20°. O disco de engrenagem tem
38,Omm de largura. Mostre o cilindro primitivo da fresa sobre o disco da engrenagem,
com a hélice da ferramenta em posição correta com os dentes da engrenagem. Mostre
três dentes da engrenagem e 1,5 voltas do filete da fresa; posicione estes elementos através do passo frontal normal. Assinale os eixos da fresa e do disco da engrenagem, o ângulo de avanço da fresa, o ângulo de hélice da engrenagem e a direção de rotação da
ferramenta e do disco da engrenagem.
6.35 Repita o problema 6.34 para uma engrenagem helicoidal com hélice à esquerda.
6.36 Um parafuso sem-fIm de duas entradas, com avanço de 64,292 mm, impele
uma coroa com relação de velocidades de 19 ~ : 1 e ângulo entre eixos de 90°. Se a
distância entre eixos é 235 mm determine os diâmetros primitivos do sem-fim e da coroa.
6.37 Um parafuso sem-fIm e coroa, com eixos a 90° e distância entre centros de
178,Omm, devem ter uma relação de velocidades de 17,5: 1. Se o passo axial do semfIm deve ser 26,192mm, determine o número máximo de dentes no sem-fJm e na coroa
e seus diâmetros primitivos correspondentes.
6.38 Um parafuso sem-fIm e coroa conectam eixos a 90°. Deduza equações para
os diâmetros do sem-fIm e coroa em termos da distância de centros a, relação de velocidades Wl /W2 e ângulo de avanço À.
6.39 Um parafuso sem-fIm e coroa com eixos a 90° e distância entre centros
de 152,Omm devem ter uma relação de velocidades de 20: 1. Se o passo axial do semfim for 17,463 mm, determine o menor diâmetro para o sem-fim que pode ser usado na
transmissão.
6.40 Um parafuso sem-fim com duas entradas aciona uma coroa de 31 dentes,
ângulo entre eixos de 90°. Se a distância entre centros é 210,Omm e o ângulo de avanço do sem-fim 18,83°, calcule o passo axial do sem-fIm e os diâmetros primitivos das
duas engrenagens.
6.41 Um parafuso sem-fIm com três entradas comanda uma coroa de 35 dentes,
ângulo de hélice 21,08° e diâmetro primitivo 207,8 mm. Se os eixos estão em ângulo
reto, calcule o ângulo de avanço e o diâmetro primitivo do sem-fJm.
6.42 Um parafuso sem-fJm de 4 entradas aciona uma coroa com uma relação
de velocidades angulares de 8 ~ : 1 e ângulo entre eixos de 90°. O passo axial do semfim é 18,654 mm e o ângulo de avanço 27 ,22°. Calcule os diâmetros primitivos do semfIm e da coroa.
6.43 Um parafuso sem-fim de seis entradas aciona uma coroa de 41 dentes com
um ângulo entre eixos de 90°. A distância entre eixos é 88,90 mm e o ângulo de avanço 26,98°. Calcule os diâmetros primitivos, o avanço e o passo axial do sem-fJm.
0
6.44 Um parafuso sem-fim e uma coroa com eixos a 90 e distância entre cen-
tros de 76,20mm devem ter uma relação de velocidades de 7! : 1. Usando um ângulo
de avanço de 28,88 determine os diâmetros primitivos. Selecione números de dentes
para a coroa tomando parafusos com 1 a 10 filetes.
6.45 Um parafuso sem-fim e coroa com eixos a 90 e distância entre centros de
102,0mm devem ter uma relação de velocidades de 16 ~ : 1. Determine vários pares
que possam ser usados com parafusos de 1 a 10 filetes. Especifique os números de dentes e diâmetros primitivos.
0
0
,
Indice Remissivo
A
Ação de afastamento, engrenagens de, 142, 144
Aceleração, determinação,
por cálculo, 20
Adelgaçamento,
carnes, 70-73, 77
engrenagem,
cilíndrica reta, 108, 109
cônica, 154, 155, 158
Afastamento da ferramenta fresa, 132, 134,
136,167
Altura,
de cabeça, 100
engrenagem,
cilíndrica reta, 100, 112, 113, 139, 140
cônica, 155
de ação de afastamento, 144
helicoidal, 170
de dente,
engrenagem,
cilíndrica reta, 112
cônica, 157
de pé,
engrenagem,
cilíndrica reta, 100, 112, 113, 139, 140
cônica, 155
de trabalho,
engrenagem,
cilíndrica reta, 112,131
cônica, 157
Análise,
mecanismo,
cursor-manivela, 21, 22
Ângulo,
de afastamento, 101, 102
de aproximação, 101, 102
de atrito, 176
de cabeça, 155
de cone complementar, engrenagem cônica,
155
de espiral, 158,159,168,177
coroa-parafuso, 173, 175
engrenagem helicoidal, 162-164
de incidência frontal em um ponto, 96
de pé, 155
de pressão,
came,47,48,53,73,
75, 76
de corte, 133, 139
avanço de face, 159, 168
computador digital, 220
deslocamento, determinação analítica em
mecanismo cursor-manivela, 20
diâmetro primitivo,
engrenagem,
cilíndrica reta, 110
cônica, 150, 157
helicoidal, 163, 167
düerencial de automóveis, 199
engrenagens,
cilíndricas, 223
cônicas, 223
empuxo axial, 168
engrenagem,
cicloidal, 93, 123
helicoidal dupla, 168
planetária epicicloidal, 187
solar, 187
excêntrico, 22
carne, 55
fim do contato, 102
geração de dente, processo Fellows, 111,
167
gráfico deslocamento-tempo, 53
largura da face,
engrenagem,
cilíndrica reta, 100
cônica, 157
helicoidal, 168
mecanismo,
de arrasto, 23
de escape, 37-38
de manivela dupla, 19
movimento,
cicloidal, 53, 56, 57
polinomial de oitavo grau, 56, 59
parada de seguidor de carne, 48
parafuso sem-fim cilíndrico, 174
pontos mortos, 17
profundidade de corte, 139, 157
raio de arredondamento,
engrenagem,
100, 112, 113
sistema de distância entre centros modificada, 131, 132
trem de engrenagem epicicloidal, 187
análise,
cinemática, 317
cinética,456
aplicações, 197
montagem, 200
de funcionamento, 120, 133, 139-140
engrenagem,
cilíndrica reta, 102, 111, 112
cônica,157
helicoidal, 162, 164
normal, 162, 164
de transmissão, 17
entre eixos,
engrenagens,
cônicas, 152-153
helicoidais reversas ou esconsas, 171
primitivo, 151
-\rco de ação, 102
Avanço do parafuso sem-fim, 173
Balancim, 19
Bendix-Weiss, junta universal, 32
Cadeia, 9
cinemática, 10
restrita, 10
Calculadores,
de funções trigonométricas, 230
de quadrados e raízes quadradas, 233
Carne, 5, 6, 45
adelgaçamento, 68, 69, 73, 79
ângulo de pressão, 48, 53,73, 77
automotivo,45
cilíndrico, 51
comprimento da face do seguidor, 48, 62,
63
de disco, 5,46
de retorno comandado, 50
diagramas deslocamento-tempo, 53
excêntrico, 22,55
fabricação de, 61
invertido, 51
mestre, 61
movimento,
cicloidal do seguidor, 53, 56, 57
de velocidade constante modificada do seguidor,53
do seguidor, tipos de, 53
especificado do seguidor, 45
harmônico do seguidor, 53, 55, 58
parabólico do seguidor, 53
polinomial de oitavo grau do seguidor, 56,
60
perfil,236-237
especificado, 45
ponta,46,49,62,63
projeto,
analítico, 62
gráfico, 46
raio,
de curvatura, 68, 69,77
mínimo, 46, 62, 66
da superfície primitiva, 68, 69, 79
retorno comandado, 50
seguidor,
deslocado, 46-48
oscilante de face plana, 48
oscilante de rolete, 50, 76
radial de face plana, 5, 46, 62
radial de rolete, 47,48,67
segunda aceleração, 56
superfície primitiva, 47, 48, 50, 67, 77
terceira derivada do deslocamento do seguidor, 56
tridimensional, 5, 79, 80
Carretão, 186
Catraca, 36
Centro,
instantâneo,
de rotação, 234,
Chebyshev, espaçamento de, 253
Ciclo de movimento, 8-9
Cicloidal,
engrenagem, 93,123
movimento, 53, 55, 57
Circunferência,
comprimento,
da face do seguidor, 48, 62, 64
de ação, 102, 103
de base, 94,100,101
de cabeça, 100, 101
de pé, 100, 101
primitiva,
de corte, 110,111,119,132
de funcionamento, 119, 135
de referência, 96,100,101,119
Coeficiente de flutuação de velocidade,
computador analógico, 220
cone,
complementar,
engrenagem cônica, 153
geratriz , 156
primitivo, 152
geratriz, 151
Combinação de curvas, 267
Conicidade, 152
Constante de mola, 261-262
Contato entre dentes localizado, 158
Coroa e parafuso sem-fim, 173
ângulo,
de atrito, 176
de avanço, 175, 176
de hélice, 175
avanço, 175
diâmetro primitivo,
da coroa, 175
do parafuso sem-fim, 175
parafuso sem-fim,
cilíndrico, 174
tipo ampulheta, 174
passo axial, 173-175
transmissão reversível, 176
razão de velocidades, 175
Dente,
de engrenagem, perfil normal, 112
octoidal, 155
Diagrama,
de bloco, 242
DiametraJ pitch transversal, 163
Diâmetro,
externo,
engrenagem,
cônica, 155
helicoidal, 170
primitivo,
engrenagem,
cilíndrica reta, 96, 111
cônica,151-152
helicoidal, 167
parafuso sem-fim, 175
Diferencial articulado, 221
Distância entre eixos,
engrenagens,
cilíndricas retas, 120, 136
helicoidais, 167
Engrenagem,
cilíndrica reta,
ação de afastamento, 142
adelgaçamento, 108, 130
afastamento da ferramenta, 132, 134, 136
altura,
de cabeça, 100,112,113,139
do pé, 100, 112, 113, 139, 140
total, 112
útil, 112, 131
ângulo,
de afastamento, 102
de aproximação, 102
de incidência frontal em um ponto, 96
de pressão, 101, 112
de corte, 133,139-140
frontal de funcionamento, 120, 133,
140
arco de ação, 102
cicloidal, 93, 123
circunferência,
de base, 94, 96, 100
de cabeça, 100-101
de pé, 100-101
primitiva,
r-
fNDICE REMISSIVO
XXI
rrrrrrrrrrrr
rr
r
r
rr
r
r-.
r
r
r
rrrr,r.
rrr
normal, 112
rebaixado, 113
diametral pitch. 110-111
diâmetro primitivo, 96,111
diferencial, 223
espessura do dente, 100, 112, 113,133.
140
envolvente, 96
face do dente, 100-101
fim do contato, 102
f1anco de dente, 100-101
folga no fundo do dente, 112, 113
de corte, 132
de funcionamento, 119,135
de referência, 96,100,119
comprimento de transmissão, 102, 103
cremalheira, 100-101
dente,
função evolvental, 99
geração,
de engrenagem, processo Fellows, 111
por ferramenta fresa, 110
início do contato, 102
intercambiabilidade, 109, 113
interferência,
da envolvente, 108, 130
em engrenagens internas, 122, 123
interna, 122
jogo primitivo, 100-101,118
largura da face, 100-101
linha,
de ação, 93, 102
primitiva,
de corte, 132
de referência, 100, 132
não padronizada, 113, 130
número mínimo de dentes do pinhão, 115,
117,118
padronizada, 113
passo,
base, 100-101, 104, 105
frontal, 100-101
perfil,
do dente, 100-101
evolvental, 93
pinhão,100-101
ponto,
de interferência, 108
primitivo, 96, 102
profundidade de corte, 139
proporções dos dentes, 112, 113
raio,
de arredondamento, 100, 112, 113
Gleason,
adelgaçamento, 155, 158
altura,
de trabalho, 157
total, 157
ângulo,
de espiral, 158, 159
de pé, 155
de pressão, 157
entre eixos, 152
de base, 97,100
de cabeça, 139
primitivo, 100
razão,
de velocidades, 94, 96
frontal de transmissão, 102, 104
sistema,
de distância entre eixos modificada, 131,
132
de saliências diferentes, 131,140
superfície primitiva, 100
variação da distância entre centros, 120,
136
cônica,
espiral, 159
interna, 158
zerol,158
coroa, 152
de contorno, 238
espinha de peixe, 169
frontal, em espiral, 240
intermediária, 184
Miter 152
planetária, 187
solar, 187
Engrenagens,
cônicas, 150
altura,
de cabeça, 155
de pé, 155
angulares, 153
ângulo,
complementar, 155
de cabeça, 155
de pé, 155
cilíndricas retas,
não padronizadas, 113, 130
padronizadas, 113
cone complementar, 152
coniflex, 159
coroa, 154
de computação, 235
diametral pitch, 150, 157
geratriz de cone complementar, 156
primitivo, 151
cone primitivo, 152
contato localizado, 158
de dentes,
espirais, 159
hipoidais, 159
dentes octoidais, 155
diâmetro,
de cabeça, 155
primitivo, 152
espessura do dente, 157
evolvente esférica, 152
geratriz do cone primitivo, 151
internas, 158
Miter, 152
proporções, 157
razão de velocidade, 150
seção transversal, 152
sistema,
de cabeças diferentes, 155
Gleason,155
superfície primitiva, 150
zerol,158
helicoidais,162
parafuso sem-fim, 173
profundidade de corte, 157
esconsas helicoidais, 162, 171
helicoidais, 162
afastamento da ferramenta fresa, 167
altura da cabeça, 170
ângulo,
de hélice, 163, 164
de pressão frontal, 162, 164
de pressão normal, 162, 164
entre eixos, 171
avanço da face, 168
diametral pitch, 163, 167
diâmetro externo, 170
distância entre eixos, 167
duplas, 169
engrenagem espinha de peixe, 169
esforço axial, 168, 169
ferramenta pinhão (Fellows), 167
força, 165
fresa transversal, 167
largura da face, 168
número mínimo de dentes do pinhão,
165,166
paralelas, 162, 167
passo frontal normal, 163, 164
plano,
de rotação, 163
normal,162
razão,
de velocidades, 167, 171
frontal de transmissão, 168
reversas ou esconsas, 162,111
sentido da hélice, 167, 171, 172
usinagem com ferramenta fresa, 162
Engrenagens,
hipóides, 159
intercambiáveis, 109, 113
Engrenamento intermitente, 36
Erro estrutural e mecânico, 251
Espaçamento de Chebyshev, 253
Espessura do dente,
engrenagem,
cilíndrica reta, 100, 112, 113, 133, 140
cônica, 157
Evolvente, 96
Evolvente esférica, 152
Fabricação de Carnes, 61
Face do dente, 100
Fase de movimento, 8
Ferramenta fresa, 167
Flanco do dente, 100
Folga no fundo do dente, 112, 113, 132
Forças,
em engrenagens helicoidais, 165
nos dentes, 165
Função evolventa1, 99
Garfo escocês, 22
Gerador,
de seno e co-seno, 230 231
de tangente e secante, 230
Início do contato, 102
Integra dor , 225-227
de disco e esfera, 225, 226
Interferência,
da envolvente, 108,130
em engrenagens internas, 123
Inversão, 10, 233
do mecanismo cursor-manivela, 21
Jogo primitivo, 100, 118
Junta,
de Hooke, 29
de Oldham, 26
universal, 29
Bendix-Weiss,32
de velocidade constante, 31
homocinética, 30
Rzeppa,32
Tracta,34
Lei de Grashoff, 19
Linha,
de ação, 10,93,102
de transmissão, 10
primitiva, 100
de funcionamento, 132
de referência, 132
Locação de pontos com exatidão, síntese, 251
Manivela, 3, 19-20
Máquina,
definição de, 6
Mecanismo, 6
cursor-manivela, 3, 20
aceleração, 21
deslocamento, 20
inversões, 21
velocidade, 21
de alavanca articulada, 25
de catraca, 36
de engrenamento intermitente, 36
de escape, 36
de Genebra, 35
de manivela,
deslocada,25
dupla e cursor, 23
de movimento intermitente, 35
catraca,36
engrenamento intermitente, 36
escape, 36
roda de Genebra, 35
de plaina-limadora, 23
de quatro-barras, 16
pontos mortos, 17
projeto de,
como gerador de função, 259, 267,268
para velocidades e aceleração angulares
instantâneas, 253
de retorno rápido, 23
Whitworth, 23
excêntrico, 22
garfo escocês, 22
inversão do cursar-manivela, 21
junta,
de Hooke, 29
de Oldham, 26
universal, 29, 30
Bendix-Weiss,32
Rzeppa,32
Tracta,34
juntas universais homocinéticas, 30
pantógrafo, 27
Peaucellier, 26
rotores de câmara, 27
soprador Roots, 27
traçador de retas, 26
de Watt, 26
Peaucellier, 26
Mecanismos,
de computação, 220
adição e subtração, 221
analógicos, 220
biela, 2, 20
cadeia restrita, 10
calculador de componentes, 232
carnes de contorno, 235
constante do integrador, 226
contato, engrenagens cilíndricas retas,
fim do, 102
início do, 102, 103
diagrama de bloco, 242
diferencial,
articulado, 221
de engrenagens,
cilíndricas retas, 223
cônicas retas, 223
de rosca, 224
digitais, 220
engrenagem,
conjugada,93
frontal em espiral, 240
engrenagens
cônicas retas tipo coniflex, 159
de contorno, 238
e carnes de computação, 235
não circulares, 238
fator de escala do integrador, 226 -227
funções trigonométricas, 230
gerador de seno e co-seno, 230,231
integração, 225
integrador de esfera e disco, 226
inversão, 233
juntas universais homocinéticas, 30
Bendix-Weiss, 32
Rzeppa,32
Tracta,34
mecanismo,
de elevar ao quadrado tipo cone e cilindro,234
gerador de função, 241
multiplicação e divisão, 224
multiplicador de réguas, 224
precisão, 242
princípio dos quartos dos quadrados, 244
quadrados, raízes quadradas e raízes geradoras de produtos, 233
razão de contato, 102, 104, 168
de retorno rápido, 23
de manivela,
deslocada, 25
dupla e cursor, 23
plaina-limadora, 23
razão de tempos, 23
Whitworth, 23
espaciais, 361
traçadores de retas, 26
de Watt, 26
de Peaucellier, 26
Método,
de Raven, 264
de Rosenauer, 253
Motor,
aIterna tivo, 4
Movimento, 7
absoluto, 10
alterna tivo, 7
angular,13
ciclo de, 8
cicloidal, 53, 55, 57
de oscilação, 8
de rotação, 8
de translação,
curvilínea, 7
retilínea, 7
de velocidade constante modificada, 53
determinado do seguidor, 45
do seguidor, tipos de,
cicloidal, 53, 56, 57
harmônico, 53, 56-60
parabólico, 53 -55
polinomial de oitavo grau, 56-60
velocidade constante modificada, 53, 54
esférico, 8
fase do, 8
harmônico simples, 23, 53, 55, 58
helicoidal, 8
parabólico modificado, 53
período de, 8
plano, 7
polinomial de oitavo grau, 59-60
relativo, 10
transmissão de, 10
Multiplicação,
e divisão, 224
mecanismo de, 224
Normal, comum, 10
Número mínimo de dentes do pinhão, 115, 11 7,
118,165, 166
Oldham, junta de, 26
Oscilação, 8
Pantógrafo, 27
Par,
de deslizamento, 9
de elementos, 9
inferior, 9
rotativo, 9
Parafuso,
diferencial, 224
sem-fim tipo ampulheta, 174
Passo,
axial,175
base, 100, 105
de hélice, 175
frontal,
engrenagem,
cilíndrica reta, 100, 113
helicoidal, 163
normal, 163, 164
Peça, 9
Perfil do dente, 100
Período de movimento, 8
Pinhão, 100-101
Pistão, 3, 20
Plano,
de rotação, 163
normal,162
Pontas em contornos de carnes, 47,62,64
Ponto,
de interferência, 108
de transferência, 317
primitivo, 96, 102
Princípio dos quatro quadrados, 244
Projeto gráfico de carnes, 46
Proporções no dente, 112, 113
Raio,
base, engrenagem cilíndrica reta, 97, 100
de curvatura,
carne, 68-73,77
superfície primitiva de carne, 48, 67-73,
77-9
externo, engrenagem não padronizada, 140
mínimo,
carne, 48, 62, 66, 67
superfície primitiva da carne, 68-73,79-80
primitivo, 100
Raven, obra de, 264
Razão,
de tempos de mecanismo, de retorno rápido, 23
de velocidade angular, 11
de velocidades, 187
carne e seguidor, 11
coroa e parafuso sem-fim, 175-176
engrenagens,
cilíndricas retas, 96
cônicas, 150
helicoidais,
esconsas, 171
paralelas, 167
mecanismo articulado, 13
trem de engrenagens,
comum, 187
planetário, 187
Rebaixado, dente, 113
Referência,
circunferência primitiva de, 119
linha primitiva de, 132
Relação de velocidades angulares, 185
angulares, 185
Roda,
de balanço e escape, 37
de Genebra, 35
Rolamento puro, 11
Rosenauer, método de, 253
Rotação, 8
Rotor,
cinemática, 276
Rotores de câmara, 27
motor Wankel, 28
soprador Roots, 27
Rzeppa, junta universal, 32
Seção,
axial, engrenagem cônica, 152
transversal, engrenagem cônica, 152
Seguidor,
deslocado, 48
oscilante,
de face plana, 48
de rolete, 47,49,50,76
radial,
de face plana, 6, 46, 62
de rolete, 48, 67
Segunda aceleração, 56-60
Sentido da hélice, engrenagem helicoidal, 167,
171,172
Síntese, 250
concordância de curvas, 265-267
de tipo numérica e dimensional, 250-251
erro mecânico e estrutural, 251
locação,
de Chebyshev, 253
de pontos com exatidão, 251
método,
de Freudenstein, 259
de Rosenauer, 253
gráfico, 267
números complexos, 254
obra de Raven, 264
projeto de mecanismo de quatro barras,
como gerador de função, 259, 267
para valores instantâneos de velocidades
angulares e de acelerações, 253
Sistema,
articulado gerador de função, 241
de saliências diferentes, engrenagem,
cilíndrica reta, 131, 140
cônica, 155
Soprador Roots, 27
Superfície primitiva,
carne, 48, 50, 67,77
engrenagem,
cilíndrica reta, 100
cônica,150
Terceira derivada do deslocamento do seguidor
56
'
Translação, 7
alternativa, 7
curvilínea, 7
retilínea, 7
Transmissão de movimento, 10
Trens de engrenagem,
aplicações dos trens planetários, 197
carretão, 186
comum, 187
diferencial de engrenagens cônicas, 199, 223
epicicloidais, 187
intermediária, 184
método,
de solução por fórmula, 190
tabular, 195, 196
montagem de trens planetários, 200
planetária, 187
aplicações, 197
montagem, 200
relação de velocidades angulares, 184, 185
solar, 187
valor do trem, 187
Velocidade,
angular, 11
de deslizamento, 11
determinação,
por cálculo, 21
Watt, mecanismo traçador de retas, 26
Whitworth,
mecanismo de retorno rápido, 23
Usinagem de engrenagens com ferramenta fresa,
110,162
Composto em Times Roman pelo
processo de Fotocomposição MONOfOTO no Setor de Composição de
LIVROS TÉCNICOS E CIENTIFICOS EDITORA S. A.
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SEDEGRA Imprimiu
RIO