Matemáticas
Geometría
Segundo semestre
Unidad 1. Conceptos Básicos
Clave
05141208/06141208
Universidad Abierta y a Distancia de México
Unidad 1. Conceptos básicos
Índice
Presentación .......................................................................................................................... 4
Competencia específica .......................................................................................................... 4
Logros ................................................................................................................................... 5
1.
Conceptos Básicos ........................................................................................................... 5
1.1. Postulados y propiedades básicas _________________________________________________ 5
1.1.1. Introducción ................................................................................................................. 6
1.1.2. Postulados de la geometría _____________________________________________________ 7
1.1.3. Rectas y segmentos de recta ........................................................................................ 16
1.1.4. Propiedades de los ángulos .......................................................................................... 19
1.2. Propiedades de los polígonos y circunferencia ______________________________________ 23
1.2.1. Convexidad ................................................................................................................ 34
1.2.2. Polígonos ................................................................................................................... 36
1.2.3. Circunferencia ............................................................................................................ 43
Cierre de la unidad ................................................................................................................ 47
Recursos didácticos ............................................................................................................... 48
Fuentes de consulta .............................................................................................................. 50
Figura 1. Propósito ........................................................................................................................................ 5
Figura 2. Recta en el espacio ......................................................................................................................... 8
Figura 3. Recta entre dos puntos .................................................................................................................. 9
Figura 4. Rectas en un mismo plano ........................................................................................................... 10
Figura 5. Planos que se cortan entre ellos .................................................................................................. 11
Figura 6. dos planos cortando a una recta .................................................................................................. 12
Figura 7. Puntos fuera de recta y plano ...................................................................................................... 12
Figura 8. Rectas paralelas ............................................................................................................................ 13
Figura 9. Planos paralelos............................................................................................................................ 13
Figura 10. Puntos colineales en una recta................................................................................................... 14
Figura 11. Segmento de recta ..................................................................................................................... 15
Figura 12. Semirrectas ................................................................................................................................. 15
Figura 13. Semiplano ................................................................................................................................... 16
Figura 14. Conjunto convexo ....................................................................................................................... 16
Figura 15. Punto central entre dos rectas ................................................................................................... 19
Figura 16. Vértice ........................................................................................................................................ 20
Figura 17. Ejemplos de ángulos ................................................................................................................... 21
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Unidad 1. Conceptos básicos
Figura 18. Ejemplos de ángulos ................................................................................................................... 22
Figura 19. Ejemplos de ángulos congruentes .............................................................................................. 23
Figura 20. Ángulos congruentes y complementarios .................................................................................. 24
Figura 21. Ángulos suplementarios ............................................................................................................. 25
Figura 22. Ángulos opuestos por el vértice ................................................................................................. 26
Figura 23. Semiplanos ................................................................................................................................. 27
Figura 24. Rectas perpendiculares .............................................................................................................. 29
Figura 25. Dos rectas perpendiculares a una tercera.................................................................................. 30
Figura 26. Rectas que no son perpendiculares........................................................................................... 30
Figura 27. Recta mediatriz........................................................................................................................... 31
Figura 28. Mediatriz representada por la recta R2 ..................................................................................... 32
Figura 29. Intersección de rectas ................................................................................................................ 33
Figura 30. Figura convexa ............................................................................................................................ 35
Figura 31. Línea poligonal............................................................................................................................ 35
Figura 32. Figuras polígonas ........................................................................................................................ 36
Figura 33. Perímetro a la línea poligonal..................................................................................................... 37
Figura 34. Cuerdas del polígono .................................................................................................................. 38
Figura 35. Tipos de polígonos ...................................................................................................................... 39
Figura 36. Tipos de bisectriz ........................................................................................................................ 40
Figura 37. Tipos de Triángulos ..................................................................................................................... 41
Figura 38. Tipos de ángulos ......................................................................................................................... 41
Figura 39. Cuadriláteros .............................................................................................................................. 42
Figura 40. Tipos de trapecios....................................................................................................................... 43
Figura 41. Polígonos regulares .................................................................................................................... 44
Figura 42. Diagonales de un polígono ......................................................................................................... 44
Figura 43. Relación de rectas con la circunferencia ................................................................................... 45
Figura 44. Semicirculos ................................................................................................................................ 47
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Unidad 1. Conceptos básicos
Presentación
La geometría es una disciplina que tiene miles de años de desarrollo, sus bases formales fueron
establecidas por los griegos y su utilidad ha llegado hasta la actualidad con pocos cambios. Si
bien esta asignatura tiene raíces muy antiguas, su uso y su vigencia no se pierden, debido a que
ésta permite desarrollar una capacidad de razonamiento matemático necesaria para toda
persona que desee adentrarse en esta vasta área del conocimiento.
En esta unidad obtendrás las bases axiomáticas y definiciones necesarias para el estudio del
espacio y sus propiedades. Lo que se busca en breve es darle al espacio una estructura
matemática que permita estudiar sus propiedades. Para hacer esto, aprenderás proposiciones
fundamentales que son necesarias para la formación de la estructura matemática.
Competencia específica
Emplear los axiomas y postulados de la geometría plana para clasificarlos en teoremas y
preposiciones, mediante la revisión de las condiciones de congruencias, rectas y circunferencias.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Logros
•
Conoce la importancia de la geometría y su
estructura.
•
Resuelve problemas sobre propiedades y
teoremas de la recta, ángulos
•
Realizan demostraciones sobre convexidad,
polígonos y circunferencia
•
Figura 1. Propósito
Emplea e identifica diferentes teoremas para
realizar demostraciones sobre convexidad,
polígonos y circunferencia
1. Conceptos Básicos
1.1. Postulados y propiedades básicas
La geometría es la primera estructura matemática que se formalizó. Con el fin de tener un
sistema que generalizara los aspectos prácticos de la geometría misma, los griegos desarrollaron
una estructura lógica con la cual se derivan los teoremas y demás propiedades de la geometría.
El fin práctico de este sistema permite a cualquier persona desarrollar un razonamiento
matemático adecuado, que le dará las herramientas suficientes para poder entender, retener,
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Unidad 1. Conceptos básicos
resolver y crear nuevas estructuras matemáticas tanto para la investigación práctica como para
la teórica.
1.1.1. Introducción
Dos de las primeras manifestaciones matemáticas que se desarrollaron fueron la aritmética y la
geometría. La geometría se usó de forma práctica por varios siglos y varias sociedades la
utilizaron sólo con fines de medición y construcción. Los egipcios, por ejemplo, la usaron para
calcular una distribución adecuada de las tierras después de cada inundación del Nilo. Los
agrimensores eran los encargados de llevar a cabo tales mediciones con el fin de darle a cada
egipcio la cantidad de tierra que trabajaría y sobre la cual pagaría un impuesto determinado. La
geometría también se usó para construir las ciudades egipcias.
Los griegos iniciaron el desarrollo formal de la geometría utilizando una generalización que se
fundamentó en la deducción lógica. Este método inició con Tales de Mileto (624 - 546 a.C.), a
quien se le atribuyen los siguientes teoremas:
1. El círculo se bisecta por su diámetro.
2. Los ángulos de la base de un triángulo con dos lados iguales son iguales.
3. Los ángulos opuestos de líneas rectas que se intersectan son iguales.
4. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno son iguales a dos ángulos y
un lado del otro, entonces los triángulos son congruentes.
Proclo (410 ó 412 - 485 d.C.) describe algunas aportaciones de los pitagóricos, según Eudemo y
fuentes deducidas de los Elementos de Euclides. Eudoxio de Cnidos (391 - 338 a.C.) contribuyó
con la teoría de las proporciones y el método por agotamiento, que permiten calcular áreas y
volúmenes.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Los Elementos de Euclides deben su nombre a Euclides de Alejandría (450 - 374 a.C.) y son una
colección de 13 libros en los cuales se compilan y sistematizan los conocimientos geométricos
de su época. Sin duda existen trabajos anteriores semejantes a los de Euclides, pero el uso de
éste se extendió y llegó a convertirse en el texto más conocido y usado para fines académicos.
1.1.2. Postulados de la geometría
La geometría, como todas las estructuras matemáticas, requiere de conceptos fundamentales o
básicos que denominamos axiomas o postulados, los cuales se establecen de forma intuitiva.
Dado que el objeto de estudio de la geometría es el espacio, la noción intuitiva define estas
primeras proposiciones de las cuales se derivan deductivamente todas las demás propiedades,
definiciones, teoremas, lemas y corolarios de esta disciplina. Por ello es importante que la
noción intuitiva del (de la) alumno(a) sobre el espacio se enfoque a la relación que guardan los
conceptos de punto, recta y plano, con los cuales se pretenden desarrollar los primeros
elementos de la geometría.
Los objetos que componen una estructura matemática se definen mediante las propiedades
que se determinan a partir de la misma estructura. Por ejemplo, un libro es un objeto que sólo
se puede catalogar como tal si cubre ciertos requisitos, supongamos que éstos son: estar
compuesto por hojas de papel, tener cierto tipo de encuadernación y por último, su contenido
se debe establecer dentro de la lengua escrita de tal forma que sea legible. Éstas y otras
condiciones se pueden estipular para garantizar que un determinado objeto sea un libro.
En matemáticas ocurre algo análogo. Cuando se define una estructura, los objetos que la
componen deben cumplir con las propiedades que se determinan para tal estructura, de otra
manera, los objetos no forman parte de ella.
Para poder entender el objeto de estudio, que es el espacio, piensa por un momento en el
espacio físico que conoces. Si observas, por todas partes hay figuras geométricas, por ejemplo,
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Unidad 1. Conceptos básicos
las pirámides que construyeron los egipcios. Éstas constan de cinco lados, cuatro triangulares
que son las caras visibles y el quinto que es la base de forma cuadrada. Las superficies planas
por sus características físicas tienen límites y lo mismo ocurre para las líneas que se pueden
trazar en éstas. En particular, un triángulo y un cuadrado se pueden representar sobre una
superficie plana. Por ejemplo, en un pizarrón puedes trazar una recta con un gis. Después
puedes dibujar tres líneas con el fin de representar un triángulo, así con distintas figuras. Por
otro lado, se puede definir al espacio físico de forma abstracta. Si bien las partículas que
componen el universo se pueden describir en cierta forma pero no definir qué son a detalle,
ocurre algo semejante con el espacio en abstracto y no se pueden definir con formalidad los
elementos del mismo, lo que sí se puede describir son las propiedades que tienen estos objetos
que llamaremos puntos. Además, con estos puntos se definen subconjuntos del espacio como
rectas y planos. Entonces se da la siguiente definición.
Definición 1.1 Se llama geometría a un conjunto E denominado espacio cuyos elementos son
puntos, en el cual se contienen dos tipos de subconjuntos llamados rectas y planos y además
cumple con los axiomas que mencionaremos enseguida.
Nota. Se dice que una recta R y/o plano P pasan por o inciden en un punto A del espacio E si
A ∈ R ó A ∈ P.∎
Figura 2. Recta en el espacio
Una vez que se ha definido al objeto de estudio, entonces debes ir descubriendo qué
propiedades guarda este espacio. Como puedes ver en la figura anterior, un plano se puede
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Unidad 1. Conceptos básicos
determinar en el espacio, la diferencia de éste con cualquier plano físico, es que no hay límites
necesariamente para un plano en el espacio E. Lo mismo ocurre con las rectas, éstas a diferencia
de las que se pueden trazar en nuestro universo y son finitas (tienen un inicio y un fin desde la
perspectiva del trazo de una recta), en el espacio E no guardan un límite que sea necesario para
su existencia.
Con esto abordarás cuál es la relación que guardan los puntos, las rectas y los planos dentro del
espacio. Como se dijo anteriormente, una recta y un plano pasan por o inciden en un punto.
Pero deduciendo intuitivamente, una recta está compuesta por una infinidad de puntos. Por
esta razón, el primer postulado o axioma se define como sigue.
Postulado P.1 Dados dos puntos distintos A y B en el espacio E; se afirma que una sola recta
pasa por ellos.
Figura 3. Recta entre dos puntos
Este primer enunciado establece que no puede haber dos rectas diferentes que pasen por los
dos mismos puntos A y B.
Asimismo, la distancia entre dos puntos separados se determina mediante el trazo de una línea
que pase por ambos.
Ya se vio los que ocurre con dos puntos dados, luego, al tener una recta dibujada en un plano,
por la definición anterior y el primer postulado, se puede deducir que ésta pasa por al menos
dos puntos.
Postulado P.2 Toda recta R pasa por dos puntos A y B del espacio E.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Definición 1.2 Sean tres puntos distintos A, B y C del espacio E y por ellos pasa una recta R,
entonces se dice que estos puntos son colineales.
Postulado P.3 Sean dos puntos A y B distintos en el espacio, tales que por ellos pasa una recta R,
entonces la recta R está contenida en un plano P.
Por la definición anterior y el postulado 3 se tiene que la recta que pasa por tres puntos
colineales está contenida en un plano.
Ya se dijo qué ocurre con tres puntos y una recta, si ahora tienes tres puntos A, B y C, pero por
ellos pasan dos rectas R1 y R2, tales que A y B están en la recta R1 y B y C están sobre la recta R2,
entonces se supone que estas dos rectas están contenidas en un mismo plano.
Figura 4. Rectas en un mismo plano
Postulado P.4 Dadas dos rectas R1 y R2 distintas, se determina que un solo plano pasa por ellas.
Como puedes observar en la figura anterior, estas dos rectas tienen al menos tres puntos por
los cuales pasa también el plano, entonces se da la siguiente definición.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Definición 1.3 Sean tres puntos distintos A, B y C en el espacio E, tales que, si se encuentran en
un mismo plano, estos puntos se llaman coplanares.
Se puede observar también que, si se tienen tres puntos no colineales, entonces por ellos pasa
un único plano.
Otro aspecto a interpretar es qué ocurre cuando dos planos se intersecan, como se muestra en
la siguiente figura:
Figura 5. Planos que se cortan entre ellos
En este caso, si dos planos se cortan entre ellos, el conjunto que los une es una recta, de esta
forma se determina el siguiente postulado.
Postulado P.5 Sean dos planos P1 y P2 distintos, tales que exista una recta R que esté contenida
en ambos, entonces los dos planos se intersecan en una recta R.
Ahora, si hay del mismo modo dos planos y dos rectas cada una en un plano, y es el caso que
ambas rectas se cortan en un punto, entonces se puede determinar el siguiente postulado.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Postulado P.6 Sean dos planos P1 y P2 distintos tales que se cortan en una recta R1, entonces
existen dos rectas distintas R2 y R3 sobre P1 y P2 respectivamente tales que se intersecan en un
punto M.
Figura 6. dos planos cortando a una recta
Se han mostrado aquellas propiedades del espacio referente a puntos, rectas y planos que se
encuentran contenidos unos en otros. Pero, ¿qué ocurre con los puntos que no se encuentran
dentro de una recta o un plano? Para esto, se deben definir las propiedades correspondientes.
Figura 7. Puntos fuera de recta y plano
Definición 1.4 Sea un punto A en el espacio E, tal que este punto no está contenido en la recta R
y en el plano P, entonces se denomina al punto A como punto exterior de R y de P.
Propiedades de los puntos exteriores a una recta o plano.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Propiedad p.1 Sean dos puntos A y B distintos por los cuales pasa una recta R de forma que se
tiene un tercer punto C que es externo a R, se cumple entonces que A, B y C no son colineales.
Propiedad p.2 Sean tres puntos A, B y C distintos contenidos en un plano P, tal que dado un
punto D externo al Plano, se dice que los puntos A, B, C y D no son coplanares.
Una característica que se deriva de esto es que, si se tiene un punto externo a una recta, se sabe
que por ese punto pasa otra recta, la cual cumple dos condiciones, cortar a la otra recta en un
punto o en ninguno.
Definición 1.5 Sean una recta R1 y un punto externo A de R1, tales que existe una recta R2 que
pasa por A donde "𝑅" _"1" " ∩ " "𝑅" _"2" = ∅, se denomina a R1 la recta paralela a R2 y se
denota por "𝑅" _"1" "║" "𝑅" _"2" .
Figura 8. Rectas paralelas
Análogamente sucede con dos planos que no tienen puntos en común.
Definición 1.6 Sean un plano P1 y un punto externo A de P1, tales que existe un plano P2 que
pasa por A donde "𝑃" _"1" " ∩ " "𝑃" _"2" = ∅, se denomina a P1 plano paralelo a P2 y se denota
por "𝑃" _"1" "║" "𝑃" _"2" .
Figura 9. Planos paralelos
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Unidad 1. Conceptos básicos
Hay condiciones importantes dentro de la geometría que implica un orden que se puede
determinar de una forma muy intuitiva; por ejemplo, ve la siguiente figura:
Figura 10. Puntos colineales en una recta
En la recta R se encuentran tres puntos que son colineales A, B y C. Como puedes observar en la
figura, el punto C se encuentra entre los puntos A y B. Esto implica que en este caso, el punto A
está a la izquierda de C y B está a la derecha de C. Pero estas nociones intuitivas se pueden
revisar, si giras 180º la recta R, entonces el punto A estará a la derecha de C y B estará a la
izquierda de C. Por ello es importante definir un operador que permita determinar con precisión
una noción de orden.
Definición 1.7 Se define como un operador de orden al símbolo ≤, de forma que la relación
entre dos puntos del espacio AB≤ implica que A y B se encuentran en una recta del espacio E tal
que A está a un lado de B.
Si dados dos puntos se cumple que uno está al lado del otro, entonces no se puede dar el caso
que el mismo punto se encuentre del otro lado. Así, se cumple lo siguiente:
Postulado p.3 Para cada par de puntos A y B en el espacio E, se cumple que AB≤ ó BA≤.
Postulado p.4 Para cada par de puntos A y B en el espacio E tales que AB≤, entonces existe un
tercer punto C tal que AC≤ y CB≤.
Lo anterior nos indica que el punto C está entre A y B sobre la misma recta.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Como puedes ver, entre dos puntos se encuentra siempre al menos un punto. Entonces, al
conjunto de puntos que están entre dos puntos dados se debe dar una denominación.
Definición 1.8 Se denomina segmento recta al conjunto de puntos delimitado por los puntos A y
B dentro de una recta tales que se denota por ̅̅̅̅
𝐀𝐁.
Figura 11. Segmento de recta
Así como se definió al conjunto de puntos que se encuentran entre dos puntos como segmento
de recta, puedes ver que en este caso el segmento de recta está delimitado por los puntos A y
B. Pero puede suceder que una recta o parte de una recta esté limitada por un punto de un lado
y no tener límite del otro lado, entonces, para estos casos se da la siguiente definición:
Definición 1.9 Dada una recta R, ésta se puede dividir en dos partes llamadas semirrectas, tal
que si dados dos puntos A y B en R tales que AB≤, donde para un tercer punto C entre A y B, de
forma que C divide a la recta en las semirrectas denotadas RA y RB.
Figura 12. Semirrectas
Como puedes ver en las rectas, éstas se pueden dividir en semirrectas y pasa algo semejante
con los planos. Recuerda que una recta recorre a un plano de forma infinita, entonces, la recta
divide al plano en dos partes distintas, las cuales se definen a continuación.
Definición 1.10 Sean una recta R contenida en un Plano P, tal que la recta divide al plano en dos
partes llamadas semiplanos PR1 y PR2.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Figura 13. Semiplano
Una consecuencia de esta división de las partes de un plano, implica directamente que varias
rectas en un mismo plano puedan formar un conjunto, como se muestra en la siguiente figura.
Este conjunto puede guardar una característica tal que cada dos puntos en el conjunto se
puedan unir por medio de un segmento de recta que esté enteramente contenido en el
conjunto, entonces se da la siguiente definición.
Definición 1.11 Sea un conjunto de puntos X contenido en un plano P, tal que para cualesquiera
par de puntos A y B en X, el segmento ̅̅̅̅
𝐀𝐁 se encuentra contenido en X. Si esto ocurre, entonces
se dice que X es un conjunto convexo.
Figura 14. Conjunto convexo
1.1.3. Rectas y segmentos de recta
Hasta el momento se han definido diferentes características y propiedades que guardan las
rectas y los planos dentro de un espacio, pero en este punto, apenas conociste cómo lo hicieron
en la antigüedad distintas civilizaciones. Se requiere definir una relación que permita darle un
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Unidad 1. Conceptos básicos
valor numérico a las rectas y los planos, es decir, se necesita definir una relación de medida. Con
esta relación determinarás otra que te de la facultad de encontrar nuevas propiedades de la
recta y el plano y de aquellos conjuntos que se pueden trazar sobre un plano.
Los contenidos de la mayoría de las estructuras matemáticas son aplicables en la vida cotidiana,
para ello se definen ciertas propiedades y relaciones que permiten poner al servicio de los
usuarios las herramientas generadas en estas estructuras. Luego entonces, para aplicar la
geometría es necesario definir una relación que se pueda usar tanto dentro de la estructura
misma de una geometría, como en la vida cotidiana. Por eso se da la siguiente definición.
Definición 1.12 Sean los puntos A y B en una recta, tal que se llama medida del segmento de
recta ̅̅̅̅
𝐀𝐁 a la función m: E →R+ ∪ {𝟎} tal que R+ ∪ {𝟎} es el conjunto de los números reales
̅̅̅̅) = x con x R+ ∪ {𝟎}.
positivos incluido el cero. Entonces, m(AB
Con esta relación, puedes definir la medida de un punto.
Definición 1.13 Sea A un punto en el espacio, tal que el segmento de recta ̅̅̅̅
AA=A, entonces
̅̅̅̅) = 0.
m(AA
Por otro lado, si dos segmentos de recta tienen una intersección vacía, entonces la medida del
conjunto vacío también es cero.
Una vez que has establecido una relación de medida, entonces puedes ahora observar las
relaciones que se dan entre las medidas que guardan segmentos de recta distintos.
Definición 1.14 Sean ̅̅̅̅
𝐀𝐁y ̅̅̅̅
𝐂𝐃 dos segmentos de recta disjuntos en el espacio E, tales que si
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ∩ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ∪ ̅̅̅̅
̅̅̅̅) + m(𝐂𝐃
̅̅̅̅).
𝐀𝐁 ∩ ̅̅̅̅
𝐂𝐃 = ∅ y m(𝐀𝐁
𝐂𝐃) = 0, se cumple que m(𝐀𝐁
𝐂𝐃) = m(𝐀𝐁
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Unidad 1. Conceptos básicos
Cuando defines dos segmentos de recta distintos y resulta que guardan la misma medida,
entonces puedes determinar una relación, que se llama relación de congruencia denotada por
≡. Ésta te permite describir una propiedad que guardan dos segmentos de recta con medidas
equivalentes y es precisamente esta relación.
̅̅̅̅ y 𝐂𝐃
̅̅̅̅ en el espacio E congruentes si m(𝐀𝐁
̅̅̅̅) =
Definición 1.15 Sean los segmentos de recta 𝐀𝐁
̅̅̅̅) y se denota como ̅̅̅̅
m(𝐂𝐃
𝐀𝐁 ≡ ̅̅̅̅
𝐂𝐃.
La relación de congruencia de segmentos es una relación de equivalencia.
Reflexividad. Sea el segmento de recta ̅̅̅̅̅
𝐀𝐁 tal que ̅̅̅̅
𝐀𝐁 ≡ ̅̅̅̅
𝐁𝐀.
Simetría. Sean los segmentos de recta ̅̅̅̅
𝐀𝐁 y ̅̅̅̅
𝐂𝐃 tales que si ̅̅̅̅
𝐀𝐁 ≡ ̅̅̅̅
𝐂𝐃, entonces ̅̅̅̅
𝐂𝐃 ≡ ̅̅̅̅
𝐀𝐁.
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅
̅̅̅̅ y 𝐁𝐂
̅̅̅̅ ≡ ̅̅̅̅
Transitividad. Sean los segmentos ̅̅̅̅
𝐀𝐁, 𝐁𝐂
𝐂𝐃 tales que si ̅̅̅̅
𝐀𝐁 ≡ 𝐁𝐂
𝐂𝐃, entonces
̅̅̅̅ ≡ 𝐂𝐃
̅̅̅̅.
𝐀𝐁
Una vez definida la relación de equivalencia para la relación de congruencia, puedes tomar un
segmento de recta ̅̅̅̅̅
𝐀𝐁 en el cual existe un punto C, tal que este punto divide exactamente en
̅̅̅̅̅. Este punto se define:
dos partes iguales al segmento 𝐀𝐁
Definición 1.16 Se llama punto central al punto que se encuentra dentro de un segmento de
̅̅̅̅̅donde m(𝐀𝐂
̅̅̅̅) =m(𝐂𝐁
̅̅̅̅).
recta ̅̅̅̅̅
𝐀𝐁 , tal que divide este segmento en los segmentos ̅̅̅̅̅
𝐀𝐂 y 𝐂𝐁
Ejemplo: Sean dos segmentos de recta ̅̅̅̅̅
𝐀𝐁 y ̅̅̅̅
𝐂𝐃, tales que se intersecan en un punto E, el cual
es, a su vez, punto central de ambos segmentos ¿cuál es la relación que guardan todos los
segmentos en este planteamiento?
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Unidad 1. Conceptos básicos
Solución:
Como puedes deducir, si E es punto central
de los segmentos ̅̅̅̅̅
𝐀𝐁 y ̅̅̅̅
𝐂𝐃, entonces este
punto está entre los puntos A, B y C, D, tal
que se tienen los segmentos ̅̅̅̅̅
𝐀𝐄 , ̅̅̅̅
𝐄𝐁 , ̅̅̅̅
𝐂𝐄 y
̅̅̅̅, donde por la definición anterior,
𝐄𝐃
̅̅̅̅) = m(𝐄𝐁
̅̅̅̅) y m(𝐂𝐄
̅̅̅̅) = m(𝐄𝐃
̅̅̅̅), entonces
m(𝐀𝐄
Figura 15. Punto central entre dos rectas
̅̅̅̅ ≡ 𝐄𝐁
̅̅̅̅ y 𝐂𝐄
̅̅̅̅ ≡ 𝐄𝐃
̅̅̅̅. Es
los segmentos 𝐀𝐄
decir, los segmentos ̅̅̅̅
𝐀𝐄 y ̅̅̅̅
𝐄𝐁 son
̅̅̅̅
congruentes y los segmentos ̅̅̅̅
𝐂𝐄 y𝐄𝐃
también lo son.
1.1.4. Propiedades de los ángulos
Hasta este momento has trabajado con rectas, segmentos de rectas, semirrectas, congruencias
de segmentos de rectas, planos y semiplanos. Ahora, puedes dar inicio a la definición de lo que
conocerás, de aquí en adelante, como ángulo. Este concepto guarda diversas propiedades, las
cuales verás en esta sección.
Un aspecto que guardan las rectas cuando se intersecan es aquella que se observa a partir del
punto de intersección entre ambas rectas, porque desde este punto las rectas siguen su trazo
en diferentes direcciones. Se puede ver que las rectas se separan o se abren a partir del punto
de intersección, esta abertura se define así:
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Unidad 1. Conceptos básicos
Definición 1.17 Sea un plano P y dos
segmentos de recta R1 y R2, que se cortan
en un punto B. Este punto B se denomina
Vértice y la abertura que se da entre las
rectas R1 y R2 a partir del vértice B se llama
Figura 16. Vértice
el ángulo de R1 y R2. El cual se escribirá
∢R1 R2 .
Dados tres puntos A, B y C no colineales donde se tienen dos rectas que pasan por ellos y dichas
rectas se intersecan en el punto B. En este caso, se forma un ángulo cuyo vértice es el punto B.
̅̅̅̅ se presentan como los lados del vértice B, entonces puedes
Los segmentos de recta ̅̅̅̅̅
𝐀𝐁 y 𝐁𝐂
denotar al ángulo ∢R1 R2 , como ∢ABC donde el vértice se coloca en el centro.
Ahora se define una unidad de medida llamada grados para los ángulos. Esta unidad fue
definida por los babilonios y va del 0º o grado cero a los 360º o trescientos sesenta grados. De
esta manera, se define una función m: E → [0º, 360º], entonces existe una x∈[0°, 360°] tal que
para algún ángulo ∢ABC m(∢ABC)=x.
Lo primero que se plantea ahora es cómo definir las aberturas que los ángulos pueden tomar.
Definición 1.17 Sea el ángulo ∢ABC:
1) Se llama ángulo agudo, si m(∢ABC)=x tal que x es menor a 90º.
2) Se llama ángulo recto, si m(∢ABC)=x tal que x es equivalente a 90º.
3) Se llama ángulo obtuso, si m(∢ABC)=x tal que x es mayor a 90º.
4) Se llama ángulo llano, si m(∢ABC)=x tal que x es equivalente a 180º.
5) Se llama ángulo cóncavo, si m(∢ABC)=x tal que x es mayor a 180º.
Ejemplos de los ángulos.
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20
Unidad 1. Conceptos básicos
ángulo agudo
ángulo recto
ángulo obtuso
ángulo llano
ángulo cóncavo
Figura 17. Ejemplos de ángulos
Una vez que se han clasificado los distintos tipos de ángulos, corresponde ver qué ocurre
cuando sumas o restas ángulos, para esto se da la siguiente definición de operador aditivo.
Definición 1.18 Sean dos ángulos ∢ABC y ∢CBD adyacentes entre sí, tales que al adicionar las
medidas de ambos, se obtiene la medida del ángulo ∢ABD, denotado como sigue:
m(∢ABC)+m(∢CBD)=m(∢ABD).
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21
Unidad 1. Conceptos básicos
Ejemplo: Sean los ángulos ∢ABC y ∢CBD, tales
que m(∢ABC)=36° y m(∢CBD)=54°, entonces
¿cuánto mide la suma de ambos ángulos y cómo
se clasifica el ángulo ∢ABD?
Solución: Por la definición anterior, se cumple
que m(∢ABC)+m(∢CBD)=m(∢ABD). Entonces, se
Figura 18. Ejemplos de ángulos
tienen que m(∢ABC)+m(∢CBD)=36°+54°=90°.
Se sigue de esto que m(∢ABD)=90°. Entonces
puedes decir que el ángulo ∢ABD se clasifica
como un ángulo recto.
Definición 1.19 Sean dos ángulos ∢ABC y ∢ABD, tal que el ángulo ∢ABC está contenido en
∢ABD, se sigue que al restarle al ángulo ∢ABD el ángulo ∢ABC, entonces se obtiene el ángulo
∢CBD. Esto se denota como m(∢ABD) - m(∢ABC) = m(∢CBD).
Ejemplo: Sean los ángulos ∢ABC y ∢ABD, tales que m(∢ABC)=36° y m(∢ABD)=90°, entonces,
¿cuánto mide la resta de ambos ángulos y cómo se clasifica el ángulo ∢ABD ?
Solución. Por la definición anterior, se cumple que m(∢ABD) - m(∢ABC)=m(∢CBD). Entonces, se
tiene que m(∢ABD) - m(∢ABC) = 90° - 36° = 54°.
Se sigue de esto que m(∢CBD)=54°. Entonces puedes decir que el ángulo ∢CBD se clasifica como
un ángulo agudo.
Algo importante que se debe resaltar en este punto es que las definiciones que se acaban de
dar, requieren que los ángulos sean adyacentes, sin embargo, la adición o suma de ángulos y la
sustracción o resta de ángulos, se pueden realizar con cualquier par de ángulos que estén bien
definidos en la geometría.
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22
Unidad 1. Conceptos básicos
Se puede pensar en qué ocurre cuando dos ángulos distintos tienen la misma medida. Para este
caso se da la siguiente definición.
Definición 1.20 Sean dos ángulos ∢ABC y ∢DEF tal que si m(∢ABC)=m(∢DFE), entonces existe
una relación de congruencia entre ambos ángulos denotada por
∢ABC ≡ ∢DEF, se dice entonces que ambos ángulos son congruentes.
Ejemplo: Sean dos ángulos ∢ABC y ∢DEF,
donde m(∢ABC)=45° y m(∢ABD)=45°, entonces
por la definición anterior puedes decir que
ambos ángulos son congruentes porque
m(∢ABC)=m(∢DFE), es decir que ∢ABC ≡ ∢DEF.
Figura 19. Ejemplos de ángulos congruentes
1.2. Propiedades de los polígonos y circunferencia
Las rectas en un plano pueden intersecarse, ello implica que se determinen más propiedades de
los ángulos que se forman de estas intersecciones. Con ello se pueden deducir teoremas y
proposiciones.
Otra propiedad que se puede deducir de los ángulos, es cuando tienes dos ángulos y estos dan
una suma de 90º, cómo puedes nombrar a estos ángulos.
Definición 1.21 Sean dos ángulos adyacentes ∢ABC y ∢CBD, de donde m(∢ABC)+m(∢CBD)=90°.
Estos ángulos se denominan ángulos complementarios.
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23
Unidad 1. Conceptos básicos
En el ejemplo que corresponde a la definición 1.20 puedes observar que se trabaja con ángulos
complementarios.
Hay otro aspecto de los ángulos adyacentes que puedes observar cuando ambos son
congruentes.
Definición 1.22 Sean dos ángulos adyacentes ∢ABC y ∢CBD, si se tiene que m(∢ABC)=m(∢CBD),
entonces se infiere por la definición anterior que ambos ángulos son congruentes. El segmento
̅̅̅̅ es el lado en común entre los ángulos ∢ABC y ∢CBD; a este segmento de recta se
de recta 𝐁𝐂
llamará la bisectriz del ángulo ∢ABD.
Nota. Los valores de los ángulos se van a representar también con letras del alfabeto griego
como α, β, γ, δ, ε, … Por ejemplo, "𝒎(∢𝑨𝑩𝑪) = 𝜶” y si m(∢ABC)=45°, entonces "𝜶 = 𝟒𝟓°" .
Ejemplo: Sean los ángulos ∢ABC y ∢CBD
tales que m(∢ABC)=45°, m(∢CBD)=45°,
donde" 𝒎(∢𝑨𝑩𝑪) = 𝜶, 𝒎(∢𝑪𝑩𝑫) = 𝜷" ,
de forma que son ángulos adyacentes. Por
la definición anterior y la 1.21, ambos
ángulos son congruentes y
complementarios a la vez. Además, como
Figura 20. Ángulos congruentes y complementarios
̅̅̅̅, este lado es
comparten el lado 𝐁𝐂
entonces la bisectriz del ángulo ∢ABD.
Ya observaste los ángulos complementarios, éstos son dos ángulos adyacentes tales que la
medida de ambos da un total de 90º. Pero, ¿qué ocurre cuando tienes dos ángulos tales que su
medida da un total de 180º? Para estos ángulos se da la siguiente definición.
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24
Unidad 1. Conceptos básicos
Definición 1.23 Sean dos ángulos ∢ABC y ∢CBD tales que "𝒎(∢𝑨𝑩𝑪) = 𝜶 𝒚 𝒎(∢𝑪𝑩𝑫) = 𝜷" y
además si "𝜶 + 𝜷 = 𝟏𝟖𝟎°" , se denominan ángulos suplementarios.
Ejemplo: Sean los ángulos ∢ABC y ∢CBD
tales que m(∢ABC)=135°, m(∢CBD)=45°,
donde "𝜶 + 𝜷 = 𝟏𝟑𝟓° + 𝟒𝟓° = 𝟏𝟖𝟎" °, de
forma que ∢ABC y ∢CBD son ángulos
adyacentes. Por la definición anterior,
Figura 21. Ángulos suplementarios
ambos ángulos son ángulos
suplementarios.
Si se tienen dos rectas contenidas en un plano las cuales se cortan en un punto O, entonces se
tienen cuatro ángulos cuyo vértice es el punto O. Los ángulos que no son adyacentes y cuyo
vértice O se encuentra en oposición tienen una estrecha relación entre sí, lo cual da pie para
formular la siguiente definición.
Nota. De aquí en adelante, toma la medida de los ángulos, por ejemplo si tienes el ángulo ∢ABC,
como ya se definió "𝒎(∢𝑨𝑩𝑪) = 𝜶" , entonces te referirás al ángulo ∢ABC como α. Teniendo
en cuenta que se representa a la vez la medida del ángulo. Esto se hace con la finalidad de
simplificar la notación.
Definición 1.24 Sean dos rectas R1 y R2 contenidas en un plano P. Ambas rectas se intersecan en
un punto O el cual es el vértice de los ángulos que se forman de esta intersección. Sean los
ángulos "𝜶, 𝜷, 𝜸, 𝒚 𝜹" donde los ángulos "𝜶 𝒚 𝜸" se oponen entre sí por el vértice O y no son
adyacentes. Estos ángulos se llamarán ángulos opuestos por el vértice.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Ejemplo: Sean las rectas R1 y R2 contenidas
en un plano P donde ambas rectas se
intersecan en un punto O. Los ángulos que se
forman son adyacentes y opuestos por el
vértice. En este caso los ángulos, α y γ, β y δ
no son ángulos adyacentes, entonces por la
definición anterior, estos ángulos son
Figura 22. Ángulos opuestos por el vértice
opuestos por el vértice O.
Ahora, en un plano se tienen dos rectas que se cortan en un punto. Los cuatro ángulos que se
forman suman en total 360º. Con este planteamiento se puede exponer el primer teorema.
Nota. Para demostrar un teorema, debes identificar las dos partes que lo componen. Una son
las hipótesis del teorema; éstas contienen los criterios que se cumplen por parte de los
elementos que se enuncian. La otra parte es la tesis del teorema, que es la conclusión a la que
se llega derivada de las hipótesis. Entonces, se entiende que ambas partes están estrechamente
ligadas. Ve cómo se demuestra el siguiente teorema.
Teorema 1.1 Sean las rectas R1 y R2 contenidas en un plano P, donde ambas rectas se cortan en
un punto O. Este punto O es el vértice de los cuatro ángulos que se forman con la intersección
de las rectas, entonces la suma de los cuatro ángulos es de 360º.
Demostración
Hipótesis. Los elementos de la hipótesis son:
1. Las rectas R1 y R2 están contenidas en un plano P.
2. Las rectas se intersecan en el punto O.
3. El punto O es el vértice de los ángulos "𝜶, 𝜷, 𝜸, y 𝜹" , los cuales generan la intersección de las
rectas R1 y R2.
Tesis. Los ángulos "𝜶, 𝜷, 𝜸, y 𝜹" suman 360º.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Desarrollo de la demostración
Si las rectas R1 y R2 se cortan en un punto O, entonces por la definición 1.9 se tiene que cada una
de estas rectas se divide en dos semirrectas, las cuales llamarás RA para la semirrecta a la
izquierda de O y RB para la semirrecta que está a la derecha del punto O de la recta R1. Para la
recta R2, nombra a la semirrecta que está a la izquierda del punto O como RC y a la semirrecta
que se ubica a la derecha del punto O como RD.
Ahora, tienes a la recta R1 que divide al
plano P en dos partes. Por la definición
1.10, tienes los semiplanos P1 y P2, los
cuales se encuentran a la izquierda y a la
derecha de la recta R1 respectivamente.
Si observas las rectas a partir de un punto
que las divida, en este caso el punto O, se
forma un vértice para un ángulo llano sobre
Figura 23. Semiplanos
la recta R1 o R2, el cual mide 180º.
Tienes a la recta R1, al vértice O y al semiplano P1. Puedes ver que el ángulo llano con vértice O
sobre la recta R1 está constituido por la suma de dos ángulos β y γ, tales que β+γ=180º,
entonces por la definición 1.23 son ángulos suplementarios.
Ve ahora al semiplano P2, aquí tienes que sobre la recta R1 y el punto O se forma otro ángulo
llano, el cual está formado por la suma de los ángulos α y δ, entonces α+δ=180º. Del mismo
modo, estos dos ángulos, por la definición 1.23, son suplementarios; entonces, si tomas "𝜷 +
𝜸 = 𝟏𝟖𝟎° y 𝜶 + 𝜹 = 𝟏𝟖𝟎°" , y si sumas los cuatro ángulos se tiene "𝜷 + 𝜸 + 𝜶 + 𝜹 = 𝟏𝟖𝟎° +
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27
Unidad 1. Conceptos básicos
𝟏𝟖𝟎°" =360º. Por lo tanto, la suma de los cuatro ángulos es "𝜷 + 𝜸 + 𝜶 + 𝜹 = 𝟑𝟔𝟎°" . Con esto
queda demostrado el teorema.
Las demostraciones implican en las hipótesis distintas propiedades que se anteceden, descritas
en axiomas, postulados, definiciones, teoremas, proposiciones, corolarios y lemas. Todas
aquellas propiedades aceptadas y definidas se usan para derivar la tesis del teorema que estés
demostrando. Por ello, es importante atender con cuidado las propiedades que te dan antes de
demostrar un teorema, porque está implícito que las usarás.
Por esto, la geometría es interesante, porque te da la posibilidad de observar en las gráficas que
presentas las afirmaciones que vas deduciendo en cada teorema. Con ello, se establece un
enfoque que te permite desarrollar el razonamiento matemático que buscas.
Ya tienes la demostración del teorema anterior. Ahora, regresando a la definición 1.24, debes
darte cuenta qué pasa con los ángulos opuestos por el vértice. Algo que puedes notar es que de
un lado de la recta los ángulos β y γ son suplementarios, y su suma da 180º; del otro lado de la
recta, los ángulosα y δ suman también 180º y son suplementarios. Esto quiere decir que los
ángulos β y γ son adyacentes y los ángulos α y δ también lo son. Entonces, si los ángulos se
corresponden como sigue "𝜷 + 𝜸 = 𝜶 + 𝜹" , en este caso, como observaste en la definición
1.24, los ángulos α y γ son opuestos por el vértice O; lo mismo puedes concluir para los ángulos
β y δ. Aquí te puedes preguntar, ¿qué pasa con estos ángulos?
En el caso del teorema anterior, para la recta R2, los ángulos α y β se encuentran en un
semiplano, entonces son adyacentes y su suma da 180º. De igual forma para los ángulos γ y δ
que se encuentran en el otro semiplano y su suma también es de 180º. De lo anterior se deriva
que "𝜶 + 𝜷 = 𝜸 + 𝜹" , por lo que "𝜶 + 𝜷 = 𝜶 + 𝜹" , esto se obtiene del hecho que "𝜶 + 𝜷 =
𝟏𝟖𝟎º , " y "𝜶 + 𝜹 = 𝟏𝟖𝟎º" de donde restas de ambos lados de la igualdad α, tal que "𝜶 − 𝜶 +
𝜷 = 𝜶 − 𝜶 + 𝜹" , se sigue que "𝟎 + 𝜷 = 𝟎 + 𝜹" , por lo tanto "𝜷 = 𝜹" ; con este mismo
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28
Unidad 1. Conceptos básicos
proceso puedes deducir que "𝜶 = 𝜸. " Así, has mostrado que los ángulos opuestos por el
vértice son equivalentes.
Ésta es otra forma de mostrar resultados en matemáticas. En varias ocasiones, encontrarás en
los textos matemáticos que se describe una afirmación y que te sirve para mostrar una
propiedad o incluso demostrarla.
Al tener dos rectas que se intersecan en un punto definido dentro de un plano, se puede
suscitar el caso en el que los ángulos sean todos equivalentes. El único caso que permite esto, es
cuando los ángulos miden 90º.
Definición 1.25 Sean las rectas R1 y R2
contenidas en un plano P tales que al
intersecarse en un punto O, si los ángulos
que se forman alrededor del vértice O son
de 90º cada uno, esto implica que las rectas
se cortan en ángulos rectos. Estas rectas se
definen como rectas perpendiculares.
Figura 24. Rectas perpendiculares
Nota. Si dos rectas R1 y R2 son perpendiculares, entonces denota este hecho como R1⊥R2.
Así puedes mostrar el siguiente teorema, dadas dos rectas perpendiculares a una tercera.
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29
Unidad 1. Conceptos básicos
Teorema 1.2 Sean las rectas R1, R2 y R3,
todas distintas, tales que R1⊥R2 y R2⊥R3,
entonces R1"║" R3.
Figura 25. Dos rectas perpendiculares a una tercera
Demostración
Hipótesis
1. Las rectas R1 y R2 son perpendiculares, al igual que las rectas R2 y R3.
2. Las rectas R1, R2 y R3 son distintas entre sí, esto es que R1≠ R2, R2≠R3 y R1≠R3.
Tesis. De la tesis tienes que deducir que R1 y R3 son rectas paralelas.
Desarrollo de la demostración.
Una forma de hacer demostraciones es por
reducción al absurdo, esto es que debes
negar la tesis, en este caso, podrías afirmar
que las rectas R1 y R3 no son paralelas. Esto
significa que las hipótesis se siguen
tomando como válidas o verdaderas, pero
al suponer lo contrario a la tesis, una de las
hipótesis o varias se contradicen, es decir,
concluyes que una de las hipótesis no es lo
que se afirma, sino lo contario. En este
Figura 26. Rectas que no son perpendiculares
caso, debes llegar a la conclusión que las
rectas R1 y R2 no son perpendiculares o que
las rectas R2 y R3 tampoco lo son.
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30
Unidad 1. Conceptos básicos
Ahora, si las rectas R1 y R3 no son paralelas, puedes concluir que existe un punto O en el cual se
intersecan, así R1"∩ " R3 = O. Por este punto pasa una sola recta R2 que es perpendicular a R1 o a
R3, pero no a las dos; porque al pasar ambas rectas R1 y R3 por el mismo punto y si R2 es
perpendicular a ambas, esto implicaría que R1 = R3. Lo que contradice la hipótesis en que las
rectas R1, R2 y R3 son distintas. También puedes concluir que R2 no es perpendicular a R3; por
ejemplo, y esto contradice la hipótesis en que las rectas R2 y R3 son perpendiculares. Al
contradecirse dos de las hipótesis entonces puedes deducir que no es el caso. Si se cumplen las
hipótesis de este teorema, entonces R1 y R2 no se cortan en ningún punto del plano que las
contiene, por lo tanto, R1 y R3 son rectas paralelas. Con esto queda demostrado el teorema.
̅̅̅̅, tal que el punto central divide a este segmento en dos
Si tomas un segmento de recta AB
segmentos congruentes. Si por este punto pasa una recta que sea perpendicular a la recta que
contiene al segmento, entonces se da un nombre especial para esta recta.
Definición 1.27 Sea una recta R1, la cual
̅̅̅. Dentro del
contiene a un segmento ̅AB
̅̅̅̅ existe un punto central O. Por
segmento AB
este puto pasa una única recta R2 que es
perpendicular a R1. A esta recta se
denomina recta mediatriz del segmento
Figura 27. Recta mediatriz
̅̅̅̅.
AB
Algo que puedes extraer de esta definición está relacionado con los puntos que forman la
mediatriz de un segmento de recta; es decir, si tomas cualquier punto de la mediatriz distinto al
punto de intersección entre la mediatriz y el segmento, puedes observar que los segmentos de
recta que se forman de los extremos del segmento inicial al punto de la mediatriz tienen la
misma distancia o equidistan entre sí. Esto se determina en el siguiente teorema.
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31
Unidad 1. Conceptos básicos
̅̅
Teorema 1.3 Sean el segmento de recta ̅̅
AB
y su mediatriz representada por la recta R2.
Sea también un punto C cualquiera sobre la
recta R2, entonces los segmentos de recta
̅AC
̅̅̅ y ̅̅̅
BC son congruentes.
Figura 28. Mediatriz representada por la recta R2
Demostración
Hipótesis
̅̅̅̅.
1. La recta R2 es la mediatriz del segmento AB
2. El punto C está contenido en la recta R2.
Tesis.
̅̅̅̅ y ̅̅̅
Los segmentos de recta AC
BC son congruentes.
Desarrollo de la demostración
Observa el punto C, éste es cualquier punto sobre la recta. Existe un punto sobre la recta, el cual
̅̅̅̅ y se denota por O. Entonces toma este punto O=C. O
es único que interseca al segmento AB
Está también sobre R2, por lo tanto, puede ser C. Ahora, por la definición 1.27 y la hipótesis 1, la
̅̅̅̅, lo que significa que el punto O es el punto central de
recta R2 es la mediatriz del segmento AB
este segmento. Entonces por la definición 1.16, los segmentos ̅̅̅̅
AO y ̅̅̅̅
OB tienen medidas
̅̅̅̅)=m(OB
̅̅̅̅), por lo tanto los segmentos ("𝐴𝑂" ) ̅" ≡ " ("𝑂𝐵" ) ,̅
equivalentes, esto es que m(AO
̅̅̅ y ̅̅̅
como O=C, entonces ("𝐴𝐶" ) ̅" ≡ " ("𝐶𝐵" ) ̅, por lo que los segmentos ̅AC
BC son congruentes.
Con esto queda demostrado que el punto O cumple la propiedad del teorema.
̅̅̅̅ ,
Por lo mostrado anteriormente, se tienen dos triángulos ∆𝑂𝐴𝐶 y ∆𝑂𝐵𝐶 con un lado común 𝑂𝐶
̅̅̅̅ del segundo miden lo mismo. Entonces, debido a que los
cuyos lados ̅̅̅̅
𝑂𝐴 del primero y 𝑂𝐵
ángulos ∢𝐴𝑂𝐶 y ∢ BOC son congruentes por ser ambos rectos, se tiene que los triángulos ∆𝑂𝐴𝐶
̅̅̅̅ del segundo son iguales. Por lo tanto
y ∆𝑂𝐵𝐶 son congruentes y el lado ̅̅̅̅
𝐶𝐴 del primero y 𝐶𝐵
̅̅̅̅ ) = 𝑚(𝐵𝐶
̅̅̅̅ ) y el teorema queda demostrado.
𝑚(𝐴𝐶
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32
Unidad 1. Conceptos básicos
Clasificación de ángulos
Sean las rectas 𝑅1 y 𝑅2 , las cuales son
intersecadas por una tercera recta 𝑅3
dentro de un plano 𝑄. Tal que los puntos 𝑃
y 𝑂 son los puntos de intersección de las
rectas: 𝑅1 ∩ 𝑅3 = 𝑃 y 𝑅2 ∩ 𝑅3 = 𝑂.
Entonces, la intersección de las rectas 𝑅1 y
𝑅3 genera cuatro ángulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 y 𝛿 cuyo
vértice es el punto 𝑃. Para la intersección
de las rectas 𝑅2 y 𝑅3 se generan los ángulos
𝜀, 𝜁, 𝜂 y 𝜃, y su vértice es el punto 𝑂. De
acuerdo con la forma en cómo están
distribuidos estos ángulos se les clasifica de
Figura 29. Intersección de rectas
la siguiente forma.
Ángulos Externos.
Los ángulos externos son 𝛼, 𝛽, 𝜁 y 𝜂. Como puedes observar en la figura anterior, se cumple que
estos ángulos están en el exterior de la región delimitada por las rectas 𝑅1 y 𝑅2 .
Ángulos Internos.
Los ángulos internos son 𝛾, 𝛿, 𝜀 y 𝜃. Como puedes observar en la figura anterior, se cumple que
estos ángulos están en el interior de la región delimitada por las rectas 𝑅1 y 𝑅2 .
Ángulos Alternos Internos.
Los ángulos alternos internos son aquéllos que no son adyacentes, que son internos y que están
en los lados opuestos de la recta 𝑅3 . En este caso, un par de ángulos alternos internos son 𝛾 y 𝜃
y los otros dos son 𝛿 y 𝜀.
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33
Unidad 1. Conceptos básicos
Ángulos Alternos Externos.
Los ángulos alternos externos son aquéllos que no son adyacentes, que son externos y que
están en los lados opuestos de la recta 𝑅3 . En este caso, una pareja de ángulos alternos
externos es 𝛼 y 𝜁 y los otros dos son 𝛽 y 𝜂.
Ángulos Correspondientes.
Son dos ángulos que están del mismo lado de la recta 𝑅3 , no son adyacentes y uno es externo y
otro es interno. Los pares de ángulos correspondientes en este caso son: 𝛼 y 𝜃; 𝛽 y 𝜀; 𝜁 y 𝛾; 𝜂 y
𝛿.
Ángulos Colaterales Internos.
Son dos ángulos que están del mismo lado de la recta 𝑅3 , no son adyacentes y son internos. Los
pares de ángulos colaterales internos son: 𝛾 y 𝜀; 𝛿 y 𝜃.
Ángulos Colaterales Externos.
Son dos ángulos que están del mismo lado de la recta 𝑅3 , no son adyacentes y son externos. Los
pares de ángulos colaterales externos son: 𝛽 y 𝜁; 𝛼 y 𝜂.
1.2.1. Convexidad
Como puedes deducir de la definición 1.11, la convexidad plantea ahora una gama muy amplia
de propiedades que se pueden determinar a partir de esta definición. Porque si un segmento de
recta está enteramente contenido en un conjunto, que a su vez está contenido dentro de un
plano, la pregunta que salta de inmediato es ¿qué ocurre con los distintos tipos de segmentos
dentro de este conjunto? La respuesta se dará a lo largo de toda esta sección en la cual
discutirás las propiedades más importantes que surgen de esta definición de convexidad.
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34
Unidad 1. Conceptos básicos
De la definición 1.11 puedes tomar un conjunto X en un plano P convexo, es decir, que cualquier
segmento de recta que traces para cualesquiera dos puntos dentro de X estará enteramente
contenido en X. Entonces puedes trazar distintas figuras dentro del conjunto X con segmentos
de recta, siempre que los puntos de cada segmento estén dentro de X. Así se da la siguiente
definición.
Definición 1.28 Sea X un conjunto dentro
de un plano P convexo. El conjunto de
segmentos dentro del conjunto X se
denomina como figura convexa.
Figura 30. Figura convexa
Dentro de las figuras convexas puedes definir aquellas que siguen una línea hecha por los
segmentos que componen dicha línea.
Definición 1.29 Sea X un conjunto convexo
en un plano P. Se llama línea poligonal a la
figura convexa compuesta de segmentos
que se intersecan por sus extremos.
Figura 31. Línea poligonal
Las líneas poligonales no son necesariamente figuras que se cierren; es decir, que toda línea
poligonal complete un ciclo, de tal forma que todos los segmentos que estén unidos por sus
extremos a otros segmentos. Si observas la figura anterior los puntos A y F no están conectados
a otros segmentos distintos. Pero al estar dentro de un conjunto convexo, estos dos puntos se
pueden unir por un segmento de recta y con ello cerrar la línea poligonal.
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35
Unidad 1. Conceptos básicos
Definición 1.30 Sea X un conjunto convexo dentro de un plano P. Las líneas poligonales cerradas
se denominan polígonas.
Los polígonos dentro de la geometría y dentro de las matemáticas definen una gran diversidad
de propiedades que se derivan de esta sola definición.
Ejemplo: Las siguientes figuras son polígonas.
Figura 32. Figuras polígonas
Los polígonos son figuras convexas dentro de un conjunto X, que es convexo a su vez dentro de
un plano P. Ahora corresponde ver algunas de las clasificaciones que se pueden hacer con los
polígonos.
1.2.2. Polígonos
Dentro de los polígonos puedes encontrar ángulos, segmentos y vértices. Con ellos puedes
describir algunas características que guardan los polígonos.
Dentro de los polígonos debes tomar en cuenta los ángulos, los vértices, los segmentos de recta
y el perímetro.
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36
Unidad 1. Conceptos básicos
Como has venido trabajando, puedes entonces determinar lo que se llama el interior del
polígono.
Definición 1.31 El interior de un polígono es el conjunto de puntos del conjunto X que se
encuentran encerrados por la línea poligonal que forma el polígono.
De manera similar, puedes decir cuál es el exterior de un polígono.
Definición 1.32 El exterior de un polígono es el conjunto de puntos que están en el conjunto X y
que no están en el interior del polígono.
Una vez que has definido el interior y el exterior del polígono. Entonces puedes definir la línea
poligonal cerrada que lo forma.
Definición 1.33 Se llama perímetro a la línea poligonal que forma al polígono.
Ejemplo: En esta figura podemos ver un conjunto
X representado por una figura elíptica y dentro
de ella tenemos un polígono. El interior del
polígono está representado por la zona
sombreada. El exterior del polígono es la parte
que está entre la línea que encierra al conjunto X
y la línea poligonal cerrada. Por último, el
perímetro del polígono es la misma línea
poligonal que le da forma a éste.
Figura 33. Perímetro a la línea poligonal
Los puntos que unen los segmentos que forman la línea poligonal o perímetro del polígono se
pueden ver como los vértices de ángulos que son internos, si están al interior del polígono o
externos, si están al exterior del polígono. También se pueden definir los segmentos de recta
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Unidad 1. Conceptos básicos
que están al interior del polígono y que se unen por los vértices, así se tiene la siguiente
definición.
Definición 1.34 Sea un polígono dentro de un conjunto convexo X, a los segmentos de recta que
están contenidos en el interior del mismo y cuyos extremos son los vértices del polígono no
adyacentes se les llama las cuerdas del polígono.
Ejemplo: En esta figura puedes observar el
ángulo α cuyo vértice es E y se toma como ángulo
interior del polígono. El ángulo β es un ángulo
̅̅̅ y FD
̅̅̅, FC
̅̅̅
exterior del polígono. Los segmentos FB
son segmentos diagonales de éste.
Figura 34. Cuerdas del polígono
Tipos de polígonos:
Polígono Convexo, es el polígono cuyos ángulos interiores son menores a 180º.
Polígono Cóncavo, es aquel polígono que tiene uno o más ángulos internos mayores a 180º.
Polígono Equilátero, es el polígono donde todos los segmentos de su perímetro son
congruentes.
Polígono Equiángulo, es el polígono que tiene todos sus ángulos interiores congruentes.
Polígono Regular, es el polígono que es equilátero y equiángulo a la vez.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Figura 35. Tipos de polígonos
La clasificación presentada de los polígonos te permite discutir las propiedades de un polígono
en particular.
Definición 1.35 Sea un polígono de tres segmentos. A este polígono se le denomina triángulo.
En la siguiente unidad se discutirá con mayor detalle la mayoría de las propiedades del
triángulo, en esta sección sólo se clasificarán los tipos de triángulos que se pueden presentar.
El triángulo tiene tres lados y se les asocia, a su vez, cuatro tipos distintos de rectas que juegan
un papel importante en las propiedades del triángulo. Éstas son:
Altura. Considerando uno de los lados del triángulo como base, a la recta que pasa por el vértice
opuesto a la base y corta a ésta en un ángulo perpendicular se llama la altura del triángulo.
Dado que el triángulo tiente tres lados y cualquiera de ellos puede ser considerado como base,
todo triángulo tiene tres alturas.
Mediana. Una mediana es la recta que pasa por un vértice del triángulo y corta en el punto
central al lado opuesto de ese vértice. Dado que el triángulo tiente tres lados, todo triángulo
tiene tres medianas.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Mediatriz. A una recta que corta en ángulo recto a algún lado del triángulo en el punto central
se conoce como la mediatriz del triángulo en el lado implicado. Dado que el triángulo tiente tres
lados, todo triángulo tiene tres mediatrices.
Bisectriz. La recta que pasa por un vértice del triángulo y divide al ángulo de este vértice en
ángulos congruentes se denomina bisectriz. Dado que el triángulo tiente tres vértices, todo
triángulo tiene tres bisectrices.
Figura 36. Tipos de bisectriz
La siguiente clasificación de los diferentes tipos de triángulos se debe a las relaciones entre sus
lados y sus ángulos. Esta clasificación te permitirá deducir propiedades que verás con detalle
más adelante.
Los triángulos que se clasifican según las relaciones que guardan sus lados son:
El triángulo equilátero es aquél que tiene sus tres lados congruentes.
El triángulo isósceles es el que tiene dos de sus lados congruentes.
El triángulo escaleno no tiene ningún par de lados congruentes.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Figura 37. Tipos de Triángulos
Los triángulos que se clasifican por sus ángulos se denominan:
El triángulo rectángulo es aquél que tiene uno de sus tres ángulos recto.
El triángulo acutángulo es el que tiene sus tres ángulos agudos.
El triángulo obtusángulo es el que tiene uno de sus ángulos obtuso.
Figura 38. Tipos de ángulos
Después de ver las generalidades de los triángulos, ahora estudiarás otro tipo de polígonos.
Estos polígonos también son sumamente importantes y aquí se describen las generalidades de
éstos y sus clasificaciones principales, posteriormente se darán más propiedades.
Definición 1.36 Todo polígono cuyo perímetro esté compuesto por cuatro segmentos será
denominado cuadrilátero.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Un tipo particular de cuadrilátero es aquél cuyos segmentos que lo forman son rectas paralelas
por pares, es decir, los lados de éstos son paralelos dos a dos; así los definimos.
Definición 1.37 Se llama paralelogramo a todo cuadrilátero cuyos lados opuestos sean
paralelos.
Clasificación de paralelogramos:
Cuadrado es el paralelogramo que tiene todos sus lados congruentes y sus ángulos son rectos.
Rectángulo Es el paralelogramo que tiene sus ángulos rectos y sus lados opuestos son
congruentes.
Los ángulos que no son rectos ni múltiplos de 90º se conocen como ángulos oblicuos. Los
ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Rombo es el paralelogramo que tiene todos sus lados congruentes y sus ángulos son oblicuos.
Romboide es el paralelogramo cuyos lados no son congruentes y sus ángulos son oblicuos.
Figura 39. Cuadriláteros
Al dar una clasificación para estos cuadriláteros llamados paralelogramos, te das cuenta que
guardan cierta regularidad, pero estos casos son particulares, por lo general los cuadriláteros
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Unidad 1. Conceptos básicos
que puedes observar no guardan necesariamente una regularidad como la que acabamos de
clasificar, pero puedes ver otros tipos de regularidades que son también muy importantes para
el estudio de la geometría.
Los cuadriláteros que se clasifican ahora se denominan como trapecios.
Trapecio es el cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos.
Trapecio rectángulo es el cuadrilátero con dos ángulos rectos.
Trapecio isósceles es el cuadrilátero cuyos lados opuestos son congruentes y no paralelos.
Trapezoide es el cuadrilátero cuyos lados opuestos no son paralelos.
Figura 40. Tipos de trapecios
1.2.3. Circunferencia
El problema que se plantea ahora reviste el hecho de tomar un polígono regular e irle
añadiendo lados; por ejemplo, ve las siguientes figuras:
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Unidad 1. Conceptos básicos
Figura 41. Polígonos regulares
Conforme vas agregando lados, los polígonos regulares se van tornando cada vez más parecidos
a lo que conocemos como circunferencia; entre más lados tenga un polígono regular más
semejante resultará ser su forma a la de una circunferencia, pero no se puede decir que un
polígono con dos millones de lados sea una circunferencia, es solamente un polígono con dos
millones de lados. Entonces ¿en qué punto puedes hablar de una circunferencia?
Hay una característica que los polígonos
regulares guardan, la cual tiene que ver con
sus diagonales. En el caso de la figura que
se muestra, las diagonales tienen la misma
longitud, esto implica que al trazarse al
interior del polígono se cortan en un punto
𝑂 que es el punto central para todos los
segmentos que representan las diagonales
del polígono. Ello significa que los
segmentos:
Figura 42. Diagonales de un polígono
("𝐴𝑂" ) ̅" ≡ " ("𝐵𝑂" ) ̅" ≡ " ("𝐶𝑂" ) ̅"
≡ " ("𝐷𝑂" ) ̅" ≡ ⋯
≡ " ("𝐻𝑂" ) ̅
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Unidad 1. Conceptos básicos
Estos segmentos sólo están en relación con las diagonales, entonces, ¿qué ocurre con un
polígono tal que para cualquier par de puntos A y B en su perímetro se cumple que ("𝐴𝑂" ) ̅" ≡
" ("𝐵𝑂" ) ̅ donde 𝑂 es un único punto denominado el centro del polígono? Puedes deducir que
para dicho polígono la longitud del segmento que une cualquiera de los puntos de su perímetro
con el centro 𝑂 es la misma. Esta característica se define:
Definición 1.38 Sea una figura poligonal cerrada tal que existe un punto O en su interior para el
que dados dos puntos cualesquiera A y B sobre su perímetro siempre se da que ("𝐴𝑂" ) ̅" ≡
" ("𝐵𝑂" ) .̅ A esta figura se le llama circunferencia.
Ahora se clasifica la relación que guardan algunas rectas con la circunferencia.
Radio es un segmento de recta que va del
punto central O a cualquier punto de la
circunferencia. Todos los radios miden lo
mismo y su longitud se denota por r.
Diámetro es un segmento de recta que
interseca en dos puntos distintos a la
circunferencia y que pasa por el punto
central O. Todos los diámetros miden lo
mismo y su longitud se denota con la letra
D.
Figura 43. Relación de rectas con la circunferencia
Secante es una recta que pasa por dos
puntos de la circunferencia.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Cuerda es un segmento de recta que tiene
sus extremos en los puntos donde corta
una recta secante.
Tangente se llama a cualquier recta que
toca en un sólo punto a la circunferencia.
Arco es una parte de la circunferencia que está determinada por el corte de una secante sobre
la circunferencia.
Definición 1.39 Sea una recta secante que pasa por el punto O, de modo que divide a la
circunferencia en dos arcos equivalentes, esto se denominan semicircunferencias.
Hay dos aspectos de la circunferencia que se toman en cuenta también, y que son el interior y el
exterior.
Definición 1.40 Se llama círculo al conjunto de puntos que están al interior de la circunferencia
̅̅̅̅) ≤ r.
tal que, para todo punto A y el punto central O, el segmento ̅̅̅̅
AO cumple que m(AO
Definición 1.41 Sea una recta secante a una circunferencia que la divide en dos
semicircunferencias, a las dos partes del interior de circulo que quedan divididos por la secante
se les denomina semicírculos.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Figura 44. Semicirculos
Cierre de la unidad
Has concluido la primera unidad de la asignatura. A lo largo de ésta se abordaron las bases de la
geometría, las cuales debes tener presentes porque con ellas podrás comprender el proceso
que sigue en las unidades subsecuentes. Utilizarás estas bases para justificar cada una de las
deducciones que hagas en las siguientes unidades, por ello es importante que no las descuides
para poder seguir adelante Falta camino por recorrer, pero es importante que te hayas dado
cuenta que tener bien cimentadas las bases de cualquier materia te permitirá abordar los
demás temas con una mayor confianza.
Aprender las bases de la geometría te formará un razonamiento básico para comprender las
siguientes asignaturas y estructuras matemáticas que en el futuro decidas abordar.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Así, la idea general es que aprendas a relacionar los axiomas y postulados de la geometría plana
para clasificarlos y deducir los teoremas, proposiciones y propiedades de la geometría.
Es aconsejable que revises nuevamente la unidad en caso que lo que se acaba de mencionar no
te sea familiar o no lo recuerdes; de no ser éste tu caso, has concluido la unidad, por lo que
puedes ingresar a la Unidad 2. Triángulos. En ésta revisarás algunas propiedades más sobre
ángulos, posteriormente se derivarán nuevas propiedades de los triángulos con los cuales
concluirás con lo que se llama criterios de congruencia de los triángulos definidos en su
momento. Todo esto te servirá para comprender el proceso de deducción del cual se hace uso
en las matemáticas, y para que con él puedas entender el proceso de elaboración de una
demostración con el fin de poder darte la habilidad de abordar los siguientes temas de esta
asignatura y otras con las cuales ésta se relaciona, como el Cálculo diferencial, el Álgebra y la
Geometría analítica.
Recursos didácticos
Aquí podrás encontrar enlaces a páginas en internet cuyo contenido trata sobre geometría de
forma muy visual, en donde las definiciones que se dan en esta unidad se visualizan y te dan una
idea más clara de lo que es la geometría.
Todos estos recursos en línea tienen como principal objetivo apoyarte en el desarrollo de tu
comprensión de las matemáticas, algunas en un nivel muy básico, otras con mayor detalle, pero
lo importante es la intención de darte las herramientas necesarias para que puedas comprender
los fundamentos de las matemáticas.
http://www.aaamatematicas.com/geo.htm
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Unidad 1. Conceptos básicos
En esta liga podrás poner en práctica los temas que has estudiado en esta unidad mediante
ejercicios interactivos y ejemplos.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria
/
En esta liga encontrarás los postulados y propiedades de la geometría con un ejemplo
ilustrativo.
http://www.xtec.cat/~epuig124/mates/geometria/castella/
Esta liga está organizada por definiciones y rompecabezas que te ayudan a comprender las
distintas posibilidades que tienen para solucionar un problema poniendo en práctica las
propiedades de la geometría.
http://www.salonhogar.com/matemat/geometria
/
Este es un recurso aún en construcción, pero que de momento te proporciona los conceptos
básicos como medio de consulta.
http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_4_t_3.html
En esta liga encontrarás recursos interactivos que te invitan a construir, con figuras geométricas,
formas y estructuras divertidas que ponen a prueba tus conocimientos de geometría.
http://www.vitutor.com/geometria.html
Aquí puedes revisar los postulados, definiciones y teoremas de la geometría.
http://miclase.wordpress.com/category/2matematicas/geometria/
Recurso divertido que pone a prueba tus conocimientos sobre las propiedades de los cuerpos
geométricos relacionando definiciones con las formas geométricas.
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Unidad 1. Conceptos básicos
http://aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Temario.htm
Este recurso está constituido en forma de lecciones, adecuado para revisar con más
detenimiento tus conocimientos de geometría.
Fuentes de consulta
Euclides. (1979). Euclid’s Elements. New York: Dover.
Shively, Levi S. (1984). Introducción a la Geometría Moderna. México: Ed. Continental.
Los siguientes libros se pueden descargar de la página web auspiciada por la Biblioteca Nacional
de Francia. Recuperado de: http://gallica.bnf.fr/
Coxeter, H.S.M. (1971). Fundamentos de geometría. México: Ed. Limusa.
Pogorelov, A.V. (1974). Geometría elemental. Moscú: Ed. Mir.
Geltner, P.B., Peterson, D.J. (1998). Geometría. México: Thomson Editores.
Redon Gómez, A. (2000). Geometría paso a paso. México: Tébar.
Golovina, l.I., Yaglom, I.M. (1976). Inducción en la geometría. Moscú: Ed. Mir
Complementarias
Los siguientes libros se pueden descargar de la página web auspiciada por la Biblioteca Nacional
de Francia. Link: http://gallica.bnf.fr/
Smogorzhevski, A.S. (1988). La regla en construcciones geométricas. Moscú: Ed. Mir.
Kostovski, A.N. (1984). Construcciones geométricas mediante compás. Moscú: Ed. Mir.
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Unidad 1. Conceptos básicos
Fetisov, A.I. (1980). Acerca de la demostración en geometría. Moscú: Ed. Mir.
Dubnov, Ya.S. (1993). Errores en las demostraciones geométricas. Moscú: Ed. Mir.
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