第1章
质点运动学
物理学是研究物质运动中 最 基 本、最 普 遍 运 动 形 式 的 规 律 的 学 科,物 质 运 动 的 形 式
包括机械运动、分子热运动、电 磁 运 动、原 子 和 原 子 核 运 动 以 及 其 他 微 观 粒 子 的 运 动 等 .
运动学的任务是描述物体的空 间 位 置 随 时 间 变 动 的 规 律,不 涉 及 产 生 某 种 运 动 的 原 因,
即物体之间的相互作用 .本章讨论最常见、最简单的运动形式———机械 运 动,其 基 本 形 式
有平动和转动 .
我们所面对的世界错综复杂、五彩缤纷 .为了抓住其中最本质的内容,必 须 根 据 研 究
需要适当地建立“理想模型”,通过对理想模型行为的描述,揭示自然规律 .本章所 讨 论 的
质点就是一种理想模型 .一般说 来,物 体 的 大 小 和 形 状 的 变 化 对 物 体 运 动 的 影 响 是 很 大
的 .如果在所研究的问题中,物 体 的 形 状、大 小 不 起 作 用,或 者 物 体 本 身 的 大 小 比 所 考 察
的线度小很多时,可将物体看成只有质量而没有大小和形状的点,即质点来处 理,这 会 使
所研究的问题大大简化 .
把物体当作质点是有条件的、相对的,需对具体情况做具体分析 .看起 来 很 小 的 物 体
不一定能当作质点,在有些问题 中 大 如 恒 星 亦 可 视 作 质 点;在 另 一 些 问 题 中 小 如 原 子 亦
须考虑其形状大小 .同一物体在 一 个 问 题 中 可 当 作 质 点,在 另 一 问 题 中 却 不 能 视 为 质 点
处理 .如研究地球绕日公转时,由于地球至太阳的 平 均 距 离 约 为 地 球 半 径 的 104 倍,自 转
引起的各局部运动的差别不需考虑,其形状大小无关紧要,地球可以看作一个 质 点;汽 车
行驶时,发动机和传动机构的运 动 非 常 复 杂 .如 仅 研 究 它 跑 多 远、快 慢 如 何,则 其 内 部 运
动、刹车时的前倾以及转弯时的侧倾等均不需考虑,可把汽车看作质点 .
应当指出,把物体视为质点 这 种 抽 象 的 研 究 方 法,在 实 践 上 和 理 论 上 都 是 有 重 要 意
义的 .当所研究的运动物体不能视为质点时,可以把整个物体看成是由许多质 点 所 组 成,
弄清这些质点的运动,就可以弄清楚整个物体的运动 .所以,研究质点的运动是 研 究 物 体
运动的基础 .
1.
1 质点运动的描述
1.
1.
1 参考系
自然界中,小到原子、电子,大到恒星、星系,无一不在运动 .运动 的 这 种 绝 对 性,要 求
·1·
大学物理(上册)
在描述物体运动时必须总是相对其他物体而言的 .比如,你乘坐和谐号列车,看 到 周 围 的
旅客和你面前的茶杯都是静止的,仅有乘务人员往返走动,这是相对列车而言 的 .但 就 地
面上的人来看,旅客和茶杯却在以每小时 300 千米的速度沿着铁轨运动 .可 见,一 个 物 体
是运动还是静止是相对其他参考物体而言的 .把被选择作为描述物体运动的参考 物 体 称
为参考系 .
选定了参考系,就可以定性 地 判 断 物 体 是 运 动 的 还 是 静 止 的 .要 定 量 描 述 运 动 还 必
须在参考系上建立起坐标系,例如直角坐标系、极坐标系、柱坐标系等 .
通常选择地球为参考系,而实验室常固定在地球上,故又称实验室参 考 系 .有 时 选 择
空间点和有方向的直线构造参考系和坐标系,例如研究人造卫星的运动时常以地 心 为 坐
标原点,自地心向恒星建立坐标轴,这种参考系称作地心—恒星参考系 .当 研 究 行 星 运 动
时,又常以日心为坐标原点 并 自 日 心 向 恒 星 引 出 坐 标 轴,这 种 参 考 系 称 为 日 心—恒 星 参
考系 .
1.
1.
2 位置矢量
运动方程
位移
1.位置矢量
前面已经指出,描述物体的运动必须选定参考系 .在参考系选定的情 况 下,为 定 量 地
描述质点的位置和位置随时间 的 变 化,有 时 须 在 参 考 系 上 建 立 一 个 坐 标 系 .常 用 的 坐 标
系有直角坐标系、极坐标系和自 然 坐 标 系 等 .要 描 述 物 体 的 运 动 情 况 首 先 须 能 确 定 物 体
的空间位置,先用比较熟悉的直角坐标系 来 描 述 .在 如 图 1
1 所 示 的 直 角 坐 标 系 中,在 时
刻t ,质点 P 在坐标系里的位置可用位置矢量r 来表示 .位置矢量简称位 矢,它 是 一 个 有
向线段,其始端位于坐标系的原点 O ,末端则与质点 P 在时刻t 的位置重合 .从图1
1中可
以看出,位矢r 在 Ox 轴、Oy 轴和 Oz 轴上的投影(分量)分别为 x 、y 和z .所以质点 P
在 Oxyz 的直角坐标系中的位置,既可用位矢r 来表示,也可用坐标 x 、
y 和z 来表示 .若
取i 、
j 和k 分别为沿 Ox 轴、Oy 轴和 Oz 轴的单位矢量,则位矢r 可写成
r=x
i+y
k
j +z
图1
1 位置矢量
·2·
(
1.
1)
第1章
质点运动学
其大小为
r= r = x2 +y2 +z2
位矢r 的方向余弦由下式确定:
y
c
o
s
β=r
x
c
o
s
α=
r
z
cos
γ=
r
式(
1.
1)中α 、
β 和γ 分别为r 与 Ox 轴、Oy 轴和 Oz 轴的夹角 .
2.运动方程
当质点 P 运动时,确定其位置的坐标和位矢r 都是时间的函数,即
( ) +y(t)j +zt
( )k
r=r(t) =xti
(
1.
2)
t)
ïìx =x(
ï
t)
íy =y(
ïï
t)
îz=z(
(
1.
3)
式(
1.
2)叫做质点的运动方程 .它的分量形式为
式(
1.
3)中第一式表示质点沿 x 轴方向的分运动;第二式表示质点沿 y 方向的分运
动;第三式表示质点沿z 轴方向的 分 运 动 .由 式 (
1.
2)可 知,质 点 的 运 动 是 由 三 个 分 运 动
叠加而成的 .这就是运动的叠加原理 .
知道了运动方程,质点的整 个 运 动 情 况 就 可 以 很 清 楚 地 描 述 了 .所 以 运 动 学 的 主 要
任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程 .
质点运动时在空间所经历的 路 径 称 为 轨 迹 或 轨 道 .运 动 轨 迹 为 直 线 时,称 为 直 线 运
动;运动轨迹为曲线时,称为曲线运动 .
由式(
1.
3)可知,分运动 是 以 时 间t 为 参 数 的 三 个 独 立 运 动 .但 是,由 于 受 到 轨 道 约
束,这三个分运动是非独立的 .轨 迹 表 示 质 点 在 空 间 所 经 过 的 位 置 的 集 合,不 显 示 时 间 .
所以,将式(
1.
3)中的时间参数t 消去即可得到
x,
z)=0
f(
y,
(
1.
4)
式(
1.
4)即为质点运动的轨迹方程 .应当注意,运动方程的分量方程中的参 数 并 不 一
定总是时间t ,也可能是其他参数,如角度θ 等 .
3.位移
设如图 1
2 所示的直角坐标系中,有一质点沿曲线从时刻t1 的点 A 运动到时刻t2 的
点 B ,质点由相对原点 O 的位矢rA 变化到rB .
A 、B 两点的位矢分别为rA 与rB ,质点在
时间间隔 Δ
t(=t2 -t1 ) 内的位置变化可用从 A 点到 B 点 的 有 向 线 段 Δr 表 示 .Δr 称 为
质点在 Δ
t 时间内的位移矢量,简称位移,即
Δr=rB -rA
若质点是在 Oxy 平面内运动,则由式(
1.
2)可知,位矢rA 与rB 可分别写成
(
1.
5)
·3·
大学物理(上册)
rA =xAi+yAj
rB =xBi+yBj
于是,位移 Δr 亦可写成
位移的大小为
Δr= (xB -xA )i+ (yB -yA )j=Δx
i+Δy
j
Δr =
(Δx ) 2 + (Δy) 2
位移的方向可由其与 Ox 轴正方向的夹角θ 确定,即
Δy
θ=a
r
c
t
an
Δx
(
1.
6)
(
1.
7)
(
1.
8)
图1
2 位移矢量
若质点在三维空间中运动,则在直角坐标系 Oxyz 中其位移为
Δr= (xB -xA )i+ (yB -yA )j+ (zB -zA )k
此时,位移的大小为
Δr =
(Δx ) 2 + (Δy) 2 + (Δz) 2
位移的方向则需由方向余弦来确定 .
(
1.
10)
应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量,它表示位置变化的实 际 效 果,并 非 质
点所经历的路程 .在图 1
2 中,曲线所示的 路 径 是 质 点 实 际 运 动 的 轨 迹,轨 迹 的 长 度 为 质
点所经历的路程,而位移则是 Δr .当 质 点 经 一 闭 合 路 径 回 到 原 来 的 起 始 位 置 时,其 位 移
为零,而路程则不为零 .所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念,位 移 是 矢 量,而
路程是标量 .只有在 Δ
t→0 的极限情况下,位移的大小 d
r 可以视为与路程 d
s 相等,或
者单向直线运动中,位移的大小与路程相同 .
在国际单位制中,位矢、位移和路程的单位均为米(m).
1.
1.
3 速度
在力学中,只有当质点的位矢和速度同时被确定时,其运动状态才能 被 确 知 .所 以 位
矢和速度是描述质点运动状态的两个物理量 .
设质点相对某参考系作曲线运动 .在时刻t ,它处于点 A ,位矢 为r1 (t) ;在 时 刻t+
·4·
第1章
质点运动学
Δ
t ,它处于点 B ,位矢为r2 (t+Δ
t) ,如图 1
3 所示 .定义质点的位移为 Δr=r2 -r1 与发
生这段位移所用的时间 Δ
t 的比值叫做质点在这段时间内的平均速度,即
r2 -r1 Δr
v=
=
Δ
t
Δ
t
(
1.
11)
由于 Δr 是矢量,而 1/Δ
t 是标量,故平均速度 v 是矢量,且与 Δr 的方向相同 .
显然,平均速度只能描述一 段 时 间 内 位 移 的 平 均 变 化 情 况 .为 了 描 述 质 点 在 某 一 时
刻或某一位置的运动情况,在式(
1.
11)中令 Δ
t →0,即可得在某一位置的瞬间速度,称为
瞬时速度,简称速度 .其定义式为
v =l
im
Δ
t→0
Δr d
r
=
Δ
t d
t
(
1.
12)
图1
3 平均速度和瞬时速度
速度是矢量 .它的方向就是 Δ
t→0时 Δr 的极限方向,也就是质点运动轨道在 A 点的
切线方向,并指向质点运动的方向,如图 1
3 所示 .这在日常生活中是经常可以观察到的 .
拴在绳子上作圆周运动的小球,如果绳子突然断开,小球就会沿切线方向飞出 去 .速 度 的
大小叫速率,用v 表示 .即
Δr
d
r
=
Δ
t
d
t
(
1.
13)
Δ
s
Δ
t
(
1.
14)
v= v =l
im
Δ
t→0
若用 Δ
s表示 Δ
t时间内质点轨迹所经历的路程,定义 Δ
s与 Δ
t的比值叫平均速率 .即
v=
平均速率和速度的值一般不相等,只有在 Δ
t →0 的极限情况下,瞬时速 率 才 与 速 度
的大小相等,即
d
s
d
r
v= =
d
t
d
t
在国际单位制(
S
I)中,速度的单位是米·秒 -1(m·s-1 ).
(
1.
15)
1.
1.
4 加速度
前面已经指出,速度是描述质点运动状态的矢量,无论是速度的数值 发 生 改 变,还 是
其方向发生改变,都表示速度发生了变化 .为衡量速度的变化,还需要加速度的概念 .
设质点相对某参考系作曲线运动 .在时刻t ,质点位于点 A ,其速度为 v1 ,在时刻t+
·5·
大学物理(上册)
Δ
t ,质点位于点 B ,其速度为 v2 ,如图 1
4 所示 .在时间间隔 Δ
t内,它的速度增量为 Δv=
v2 -v1 ,则质点在这段时间内的平均加速度定义为
a=
Δv v2 -v1
=
Δ
t
Δ
t
(
1.
16)
Δv dv d2r
=
= 2
Δ
t d
t d
t
(
1.
17)
当Δ
t →0 时,平均加速度的极限,即速度对时间的变化率,叫做质点在时刻t 的瞬时
加速度,简称加速度,用a 表示为
a=l
im
Δ
t→0
图1
4 速度的增量
加速度也是一个矢量 .加速度的方向就是 Δ
t→0时,平均加速度a 或速度增量 Δv 的
极限方向,因而加速度的方向与 同 一 时 刻 速 度 的 方 向 一 般 不 一 致,即 加 速 度 方 向 一 般 不
沿曲线的切线方向 .由图 1
4 可以看出,在曲线运动中,加速度的方向指向曲线的凹侧 .a
的数值是 Δv/Δ
t 的极限值,即
a= a =l
im
Δ
t→0
Δv
Δ
t
在国际单位制(
S
I)中,加速度的单位是米·秒 -2(
m·s-2).
(
1.
18)
描写质点运动的物理量有位矢、位移、速度和加速度等,而质点在某时 刻 的 运 动 情 况
主要由位置和速度所确定,通常说的“质点运动状态”指的就是由它的位矢和速度确 定 的
状态 .质点的运动方程包含了质 点 运 动 学 的 所 有 信 息,由 运 动 方 程 可 以 确 定 质 点 在 任 一
时刻的运动状态 .概括说来,求解运动学问题大体可分为两类:一类是已知质点 的 运 动 方
程求质点在任一时刻的速度和 加 速 度;另 一 类 是 已 知 质 点 的 运 动 速 度 求 运 动 方 程,或 已
知加速度求速度和运动方程 .显然,第一类问题通过求导即可得出结论;第二类 问 题 则 是
第一类问题的逆问题,需要在给 定 初 始 条 件 (如 初 始 时 刻 质 点 的 位 矢 和 速 度)的 情 况 下,
用积分的方法求解 .读者在阅读例题和求解习题的过程中对此应予以留意 .
1.
1.
5 速度和加速度在几种常用坐标系中的表示
在运动学问题的求解过程 中,有 时 须 根 据 问 题 的 性 质 而 采 用 不 同 的 坐 标 系,这 样 往
往可以使问题的求解过程简化 .常 用 的 坐 标 系 有 直 角 坐 标 系、平 面 极 坐 标 系 及 自 然 坐 标
系等 .这里,将介绍速度和加速度在常用坐标系中的表示形式 .
·6·
第1章
质点运动学
1.直角坐标系
直角坐标系是最熟悉、最常用的一种坐标系 .在直角坐标系中,各坐标 轴 的 方 向 确 定
不变 .因此,各坐标轴方向的单位矢量i 、
1.
12)和式(
1.
1)可知
j 和k 均是常矢量 .由式(
d
r d
v = = (x
i+y
k)
j +z
d
t d
t
(
1.
19)
v =vxi+vyj +vzk
(
1.
20)
根据矢量求导的运算规则可得
y、
dx 、
d
d
z
其中,
vx =
vy =
vz = 分别为速度v 在 Ox 轴、Oy 轴和 Oz 轴的分量 .若
d
t
d
t
d
t
以 vx 、vy 、vz 分别表示速度v 在 Ox 轴、Oy 轴和 Oz 轴上的分速度矢量,则有 vx =vxi
、vy =vyj 和vz =vzk ,式(
1.
20)亦可写成
v =vx +vy +vz
(
1.
21)
2
2
v= v2
x +vy +v
z
(
1.
22)
速度的大小为
方向则须用速度矢量的方向余弦来确定 .
显然,质点在平面直角坐标系中的速度为
v =vx +vy =vxi+vyj
2
大小为v= v2
方向可由速度与 Ox 轴正向的夹角θ 确定,即
x +vy ,
vy
θ=a
r
c
t
an
vx
(
1.
23)
d
vx
d
vy
d
vz
d2x
d2y
d2z
a= i+ j + k = 2i+ 2j+ 2k
d
t
d
t
d
t
d
t
d
t
d
t
(
1.
24)
a=axi+ayj +azk =ax +ay +az
(
1.
25)
由式(
1.
17)和式(
1.
19)可得加速度在直角坐标系中的表达式应为
或
其中
vx d2x
ïìax =d
= 2
d
t d
t
ï
ïï
d
vy d2y
íay =
= 2
d
t d
t
ï
ï
vz d2z
ïïaz =d
= 2
d
t d
t
î
分别表示加速度a 在 Ox 轴、Oy 轴和 Oz 轴上的分量,
ax ,
ay 和az 则为各坐标轴上的分
矢量 .加速度的大小为
2
2
a= a2
x +ay +a
z
方向则须用加速度矢量的方向余弦来确定 .
·7·
大学物理(上册)
显然,质点在平面直角坐标系中的加速度为
(
1.
26)
a=axi+ayj =ax +ay
2
其大小为 a= a2
方向可由加速度与 Ox 轴正向的夹角θ 确定,即
x +ay ,
ay
θ=a
r
c
t
an
ax
例 1.
1 某质点作曲线运动,运动方程为r(
t)=acosωt
i+bs
i
nωt
j
(
1)质点的运动轨迹;
(
S
I).求:
(
2)质点在第 2s内的平均速度;
(
3)质点任意时刻t 的速度和加速度 .
解
(
1)从运动方程可得分量参数方程为
x =acosωt
从上式 x,y 表达式可得
i
nωt
y =bs
y
x
c
osωt= ,s
i
nωt=
a
b
两式平方相加得
x2 y2
+ =1
a2 b2
这就是质点的运动轨迹,为椭圆 .
(
2)由平均速度的定义式(
1.
11)得第 2s内的平均速度为
v=
Δr r(
2)-r(
1) [
s
2ω -c
o
s
ω]
i+b[
s
i
n2ω -s
i
nω]
=
=a co
j
Δ
t
2-1
d
r
(
3)由速度的定义 v = 可得
d
t
v =-aωs
i
nωt
i+bωcosωt
j
由加速度的定义a=dv =dr
得
d
t d
t2
2
(
S
I)
(
S
I)
2
a=-ω2 (acosωt
i+bs
i
nωt
j ) =-ω r
由此可见,质点加速度与位矢成正比,但方向相反 .
(
S
I)
例 1.
2 如图1
5 所示,A 、B 两物体由长为l 的刚性细杆相连,A 、B 两物体可在光
滑轨道上滑行 .若物体 A 以恒定的速率v 向下滑行 .求:
(
1)当θ=30
° 时,物体 B 的速度为多少?
(
2)设 M 为细杆上一点,且 MA =a ,MB =b ,求点 M 的轨迹 .
解
(
1)在图 1
5 所示的直角坐标系中,物体 A 的速度为
y
d
vA =vy = j =-v
j
d
t
式中“- ”号表示物体 A 沿 Oy 轴负方向运动,而物体 B 的速度则为
·8·
第1章
质点运动学
dx
vB =vx = i
d
t
图1
5 例 1.
1图
由图中几何关系可知
x2 +y2 =l2
因细杆是刚性的,
l 为常量 .上式两端对时间t 求导可得
2x
即
y dy
dx
=d
t
x d
t
于是,物体 B 的速度为
y dy
vB =i
x d
t
因为
所以
y
dx
d
+2y
=0
d
t
d
t
y
y
d
t
θ=
=-v ,co
d
t
x
vB =vco
t
θ
i
当θ=30
° 时,物体 B 的速度为
方向沿 Ox 轴正方向 .
vB = 3v
i
(
2)由图 1
5 可知,点 M 的坐标为
x =as
i
n
θ
{
θ
y =bcos
上式即为点 M 运动方程的分量方程,消去参数θ 即可得点 M 的轨迹方程为
x2 y2
+ =1
a2 b2
由此可见,点 M 的轨迹为椭圆 .M 为细杆上的任一点,所以细杆上任意点(A 、B 两
·9·
大学物理(上册)
点除外)的轨迹均为椭圆,可以利用这一特点来画椭圆 .图 1
5 所示的装置叫做椭圆规尺 .
例 1.
3 如图 1
6 所示,在地球表面附近从坐标原点 O 以初速v0 抛出一物体,v0 与
水平面上 Ox 轴正向所成的角度为α .忽略抛体在运动过程中空气阻力的作用,求抛体的
轨迹方程和最大射程 .
图1
6 例 1.
3图
解
由题意知,抛体以恒定加速度a=ay =g=-gj 作斜抛运动 .在t=0 时刻抛体位
于原点 O ,其位矢为r0 =0.初始条件为
x0 =0,
y0 =0
(
1)
{
v0x =v0cos
α,
v0y =v0s
i
n
α
加速度在两坐标轴上的投影为
ax =0,ay =-g
用定积分可求得两个速度分量分别为
∫
v =v + a d
∫ t=vsinα-gt
t
vx =v0x + axd
t=v0cos
α
0
(
2)
t
0y
y
进一步得运动方程为
0
0
y
∫
1
y =y + v d
∫ t= (vsinα)t- 2gt
t
x =x0 + vxd
t= (
v0cos
α)
t
0
t
0
写成矢量形式为
0
y
0
2
(
3)
1 2ù
é
) + ê (v0s
i
n
α)t- g
t új
r= (v0cos
α
ti
2
ë
û
由以上的计算过程及结果可以看出,竖直平面内的二维抛体运动可以看 成 是 水 平 方
向和竖直方向两个独立运动的 合 运 动 .水 平 方 向 由 于 不 受 力 作 用,分 运 动 为 匀 速 直 线 运
动;竖直方向上受到重力作用,分运动是加速度等于重力加速度的匀变速直线 运 动 .这 是
通常所说的运动叠加原理的典型例子 .上式也可写成
1 2
r=v0t+ g
t
2
可见,抛体运动又可看成是 v0 方 向 上 的 匀 速 直 线 运 动 和 竖 直 方 向 自 由 落 体 运 动 的
· 10 ·
第1章
质点运动学
合成 .
由式(
3)中消去时间参数t ,可得抛体的轨迹方程为
轨迹为抛物线 .
g
an
α- 2
x2
y =xt
2
v0 cos2α
(
4)
当抛体落回水平面上时,y =0.若把抛体落地点与原点 O 间的距离d0 称为射程,则
由式(
4)可得
2
v2
v2
0
0
d0 = s
i
n
αcos
α= s
i
n2
α
g
g
在给定初速 v0 的情况下,射程 d0 是抛射角α 的函数 .由最大射程的条件,有
dd0 2
v2
0
o
s
2
α =0
= c
d
α
g
得
α =π/4
2
即,当α =π/4 时,抛体的射程最大,其值为 d0m =v0 .
g
实际物体在空气中飞行时由于物体速度、形状、大小而造成的阻力,将 使 其 轨 道 偏 离
抛物线而实为“弹道曲线”.
2.平面极坐标系
设质点在如图 1
6 所示的 Oxy 平面内运动,某时刻此质点位于点 A .质点在点 A 的
位置可由其到原点 O 的距离r 及位矢r 与 Ox 轴之间的夹角θ 来 确 定 .这 种 以 (r,
θ) 为
坐标的坐标系称为平面极坐 标 系 .在 平 面 直 角 坐 标 系 中,点 A 的 坐 标 为 (x,
y) .这 两 种
坐标系之间的变换关系为
x =rcos
θ,y =rs
i
n
θ
图1
7 平面极坐标系
角坐标θ(t) 随时间的变化率 d
θ/d
t ,叫做角速度,用符号 ω 表示,则有
d
θ
ω=
d
t
角速度 ω 随时间的变化率 dω/d
t ,叫做角加速度,用符号α 表示,则有
(
1.
27)
· 11 ·
大学物理(上册)
dω
α=
d
t
(
1.
28)
在平面直角坐标系中,把描述质点运动的各矢量沿 Ox 轴和 Oy 轴分解的 .在平面极
坐标系中,必须把各矢量分解为沿着位矢r 和垂直于位矢r 的两个方向的分量 .设沿着位
矢r 方向和垂直于r 方向的单位矢量分别为er 和eθ (指向θ 增加的方向),则位矢r 在平
面极坐标系中可写成
r=r
er
(
1.
29)
应当注意,平面极坐标系中的单位矢量为分别为er 和eθ ,它们随着质点的运动是变
化的量(大小不变,方向改变),与直角坐标系中的单位矢量i 和j 不同 .
根据速度定义式(
1.
12)可得速度在极坐标系中的表达式应为
d
er
d
r d
d
r
v = = (r
er ) = er +r
d
t d
t
d
t
d
t
(
1.
30)
d
r
由式(
1.
30)可以看出,速度 v 有两个分矢量,式中第一项 er ,是由于质点到 O 点的距离
d
t
变化而引起的,其方向为er 的方向,即 沿 着 径 向 的 方 向 .因 此,这 项 速 度 分 矢 量 称 为 径 向
速度,用 vr 表示,有
d
r
vr = er
d
t
(
1.
31)
r ,称为速度的径向分量
其大小为vr =d
.
d
t
d
er 才能知道
至于式(
1.
30)中第二项,必须先求出径向单位矢量er 随时间的变化率
d
t
其物理意义 .设质点沿着图 1
8(
a)中 的 轨 迹 运 动,在 时 刻t ,质 点 位 于 点 A ,径 向 单 位 矢
量 为er1 ;在时刻t+Δ
t ,质点位于点 B ,径向单位矢量为er2 .在 Δ
t时间内,径向单位矢量
转过的角度为 Δθ ,其增量则为 Δer=er2 -er1 .由于单位矢量的大小为1,即 er2 = er1 =
1,因此,从图 1
8(
b)可知 Δer =Δθ×1=Δθ .当 Δ
t→0 时,Δθ 亦趋于零,这时 Δer 的方
向趋于与er1 的方向垂直,即沿着横向单位矢量eθ1 的方向 .那么,当 Δ
t→0 时,Δer/Δ
t的
极限值为
Δer d
er d
θ
=
= eθ =ωeθ
Δ
t d
t d
t
(
1.
32)
Δeθ d
eθ
d
θ
=
=- er =-ωer
Δ
t d
t
d
t
(
1.
33)
l
im
Δ
t→0
同理可得,横向单位矢量eθ 随时间的变化率为
l
im
Δ
t→0
这样,式(
1.
30)中第二项可以写成
d
er
r
ωeθ
=r
d
t
这个速度沿横向方向,故叫做横向速度,用 vθ 表示,有
· 12 ·
vθ =r
ωeθ
(
1.
34)
第1章
质点运动学
其大小为vθ =r
ω ,称为速度的横向分量 .
图1
8 平面极坐标系
因此,速度 v 在平面极坐标系中可以写成
其大小为
d
r
v =vrer +vθeθ = er +r
ωeθ
d
t
(
1.
35)
2
v= v2
r +vθ
(
1.
36)
vθ
r
c
t
an
β=a
v
(
1.
37)
方向可由速度与径向的夹角β 确定(如图 1
8(
a)所示),即
r
由加速度a 的定义式(
1.
17)知,它 是 速 度 v 随 时 间 的 变 化 率 .既 然 在 平 面 极 坐 标 系
中,可以把速度 v 分解为沿径向 和 横 向 的 两 个 分 矢 量,那 么,根 据 同 样 道 理,也 可 以 把 加
速度a 分解为沿径向和横向的两个分矢量 .
由式(
1.
35)可知
r ö÷ d
dv d æçd
er + (r
a=
ωeθ )
=
t ø d
d
t d
tèd
t
(
1.
38)
r ö÷ d2r
er d
vr
d æçd
rd
er = 2er +d
= er +vrωeθ
t ø d
d
tèd
d
td
t d
t
t
(
1.
39)
d
eθ
d(
d
r
dω
r
ωeθ ) = ωeθ +r eθ +r
ω
αeθ -r
ω2er
=vrωeθ +r
d
t
d
t
d
t
d
t
(
1.
40)
其中第一 项 表 示 径 向 速 度 的 时 间 变 化 率,第 二 项 表 示 横 向 速 度 的 时 间 变 化 率 .由 式
(
1.
32)和式(
1.
33)可得
式中,第一项是由径向速度的大 小 改 变 引 起 的,第 二 项 则 是 由 于 径 向 速 度 的 方 向 改 变 所
引起的 .
同理可得
式中,前两项是由横向速度的大 小 改 变 引 起 的,第 三 项 则 是 由 于 横 向 速 度 的 方 向 改 变 所
引起的 .
把式(
1.
39)和式(
1.
40)代入式(
1.
38),并整理可得
· 13 ·
大学物理(上册)
æd2r
ö
ω2 ÷er + (r
a= ç 2 -r
α +2
vrω )eθ
èd
ø
t
(
1.
41)
2
ö
其中,æçdr
ω2 ÷er 是 加 速 度 a 在 径 向 方 向 的 分 量,记 作 arer ,称 为 径 向 加 速 度;
-r
èd
ø
t2
(r
α +2
vrω )eθ 是加速度a 在横向方向的分量,记作 aθeθ ,称为横向加速度 .所以,在极坐
标系中,加速度的两个分量为
d2r
ar = 2 -r
ω2
d
t
aθ =r
α +2
vrω
(
1.
42)
由于在极坐标系中,径向速 度 和 横 向 速 度 的 方 向 一 般 都 随 时 间 变 化,所 以 虽 然 径 向
速度vr 就等于矢径r 的时间变化率,但径向加速度则一般并不等于径向加速度的时间变
化率,还有由于横向速度的方向改变所引起的另一项 -r
ω2 ,它也是沿着径向的 .横向 加
速度 aθ 的情况类似 .
例 1.
4 如图 1
9 所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度 h 处的 定 滑 轮 C
拉湖中的船向岸边运动 .设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长、湖水静止 .求小船的速率v.
图1
9
解
小船的速率应为v=d
s/d
t .如图所示,有
s= l2 -h2
或
s2 =l2 -h2
对时间求导,得
d
s
d
l
2
s =2
l
d
t
d
t
由题意可知
因此,可得小船的速率为
d
l
2
l =-v0
d
t
d
s l
s2 +h2
v=- = v0 =
v0
d
t s
s
以滑轮 C 处为极点,则收绳的速率v0 即为小船运动的径向速率vr ,它是速度 v 在径
向的分量,因此有v0 =vco
s
θ.
· 14 ·
第1章
质点运动学
顺便指出:在极坐标系中,加速度分量的表达式比较复杂,不像在直角 坐 标 系 中 那 样
简单,但这并不意味着求解力学 中 的 所 有 问 题 都 是 采 用 直 角 坐 标 系 才 会 显 得 方 便 .在 有
些问题中,采用极坐标系求解是很方便的,如万有引力场中质点的运动问题等 .读 者 可 参
阅相关书籍自行体会 .
3.自然坐标系
自然坐标是以轨迹曲线本身作为“坐标轴”来确定质点每一瞬时位置的方 法 .在 轨 迹
上任取一点 O 作为坐 标 原 点,并 沿 轨 迹 定 出 正 负,如 图 1
10 所 示 .设t 时 刻 质 点 位 于 点
A ,从 O 到 A 的弧长(冠以正负)称为质点t 时刻的自然坐标值s ,经过 Δ
t 时间质点到达
点B ,弧长 Δ
s 为路程 .为了描述问题方便,轨迹上任一点沿曲线的切线方向定为切向,与
切向垂直的方向定为法向 .切向单位矢量记为et ,指向轨道弧长增加的方向;法向单位矢
量记为en ,通常规定沿法线方向指向曲线凹侧,如图 1
10 所示 .
图1
10 自然坐标系
在自然坐标系中,需要把各 矢 量 分 解 为 沿 着 切 向 和 法 向 两 个 方 向 的 分 量 .自 然 坐 标
系中的切向单位矢量和法向单位矢量与极坐标系中的单位矢量类似,它们也是随 着 质 点
的运动而变化的量(大小不变,方向改变).
et 和en 的时间变化率也可类似地求得
d
et d
θ
= en =ωen
d
t d
t
d
en
d
θ
=- et =-ωet
d
t
d
t
(
1.
43)
式中,
θ 为切线方向与水平线所成的角度 .
质点沿曲线运动时,速度矢量 v 沿 轨 道 的 切 线 方 向,但 加 速 度 a 一 般 并 不 沿 着 轨 道
的切线方向 .由式(
1.
15)可知,在自然坐标系中,v 可写成
于是,加速度为
d
s
v =v
et = et
d
t
(
1.
44)
d
et d
d
et d
sö÷ 2
dv d
v
v
θ æçd
a=
= et +v
= et +
tø
d
t d
t
d
t d
t
d
θd
s èd
d
s
式中,d
s 是 当θ 改 变 d
θ 时,质 点 沿 曲 线 移 动 的 路 程, 则 等 于 曲 线 在 该 点 的 曲 率 半 径
d
θ
· 15 ·
大学物理(上册)
d
et
1.
43)可知, =en .所以,在自然坐标系中,加速度为
ρ .由式(
d
θ
dv d
v
v2
a=
= et + en
d
t d
t
ρ
(
1.
45)
式中,第一项为加速度a 在切线方向的分矢量,它是由于速度的大小变化而引起 的,称 为
切向加速度;第二项为加速度a 在 法 线 方 向 的 分 矢 量,它 是 由 于 速 度 的 方 向 变 化 而 引 起
的,称为法向加速度 .加速度a 的分量式为
d
v d2s
at = = 2
d
t d
t
(
1.
46)
v2
an =
ρ
若质点沿曲线运动时速率不变,则称为匀速率曲线运动 .这时,质点的 切 向 加 速 度 为
零,而只有法向加 速 度 .如 果 曲 线 是 半 径 为 R 的 圆,那 么 质 点 的 法 向 加 速 度 即 为 an =
v2/R.可见,质点做曲线运动时,即使运动的 快 慢 不 变 也 仍 有 加 速 度,这 是 曲 线 运 动 的 重
要特征 .
加速度的大小为
2
a= a2
t +an
(
1.
47)
an
r
c
t
an
β=a
at
(
1.
48)
其方向可由加速度a 与切向所成的角度β 表示,即
采用自然坐标系描述质点 运 动 的 好 处 是,其 运 动 规 律 完 全 取 决 于 轨 道 本 身 的 形 状 .
所以,式(
1.
46)又称为内禀方程 .
例 1.
5 一质点以初速 v0 在 与 水 平 成 仰 角θ0 的 方 向 自 原 点 抛 出,忽 略 空 气 阻 力 作
用,求质点在时刻t 的切向和法向加速度及该时刻质点所在处轨道的曲率半径 .
图1
11
解
设t 时刻速度v 与水平方向成θ 角,则
at =gs
i
n
θ
et ,
an =gcos
θ
en
vy
vx
s
i
n
θ= ,cos
θ=
v
v
其中,
vx =v0cos
θ0 ,
vy =v0s
i
n
θ0 -g
t ,有
· 16 ·
第1章
质点运动学
2
2
v= v2
v0g
ts
i
n
θ0 +g2t2
x +vy = v0 -2
2
由 an =v ,可得曲率半径
ρ
ts
v0g
i
n
θ0 +gt )
v2 (v0 -2
ρ=a =
v0gcos
θ0
n
2
2 2
3/2
特别地,当质点运动到最高点时,
t=v0s
i
n
θ0/g .所以质点在最高点处的曲率半径为
v2
os2θ0
0c
ρ0 =
g
也可以先求出质点运动的轨迹方程(见 例 1.
3),再 按 照 数 学 中 求 曲 率 半 径 的 方 法 来
求解 .
y
″
1
= (
/
1+y
′) 3 2
ρ
其中,y
′ =dy/dx ,y
″ =d2y/dx2 .
1.
2 圆周运动
圆周运动是曲线运动 的 一 个 特 例,当 质 点 绕 坐 标 原 点 O 沿 半 径 为 R 的 圆 轨 道 运 动
时,即称该质点做圆周运动 .圆周运动是研究一般曲线运动的基础,因为质点的 曲 线 轨 迹
可以看作由无穷多个圆外切包络线组合而成,即质点任意时刻的运动可以看作在 曲 线 上
该点处的曲率圆上的运动,如图 1
12 所示 .同 时,圆 周 运 动 也 是 研 究 刚 体 转 动 的 基 础,因
为刚体转动时其上每一点都绕轴做圆周运动 .
图1
12 圆周运动与一般曲线运动
1.
2.
1 圆周运动的角量描述
设质点在如图 1
13 所示的 Oxy 平面内作半径为R 的圆周运动 .原则上讲,前面介绍
的直角坐标、平面极坐标或自然坐标均可描述圆周运动 .但由圆周运动的特点 来 看,采 用
极坐标来描述更方便一些 .
· 17 ·
大学物理(上册)
图1
13 圆周运动的角速度和线速度
在圆周运动中,质点到坐标原点 O 的距离不变,其在极坐标系中的轨迹方程为
r=R
质点的位置可由角坐标θ 唯一确定,运动的快慢亦可由角坐标随时间的变化率,即角
速度来描述 .
角速度是一个矢量,方向垂直于质点运动的平面,可由右手定则来判 定:四 指 沿 质 点
运动方向,大拇指指向即为角速度矢量的方向 .在圆周运动的情况下,质点转动 的 方 向 用
角速度的正负即可区分 .若规定质点逆时 针 方 向 运 动 时 为 正 方 向,在 图 1
13 所 示 的 情 况
下,角速度为
d
θ
ω =ωk = k
d
t
(
1.
49)
ω >0 表示质点沿逆时针方向运动,ω <0 表示质点沿顺时针方向运动 .
质点作圆周运动时,角速度 矢 量 也 会 随 时 间 变 化,角 加 速 度 矢 量 定 义 为 角 速 度 随 时
间的变化率,即
dω
α=
d
t
(
1.
50)
同理,在圆周运动的情况下,质点角速度 的 变 化 亦 可 用 角 加 速 度 的 正 负 来 区 分 .若 α > 0
说明质点沿逆时针方向加速运动,反之则是顺时针方向加速运动 .
在国际单位制(
S
I)中,角速度的单位是弧度·秒 -1(r
ad·s-1 );角加速度的单位是弧
度·秒 -2(r
ad·s-2 ).
1.
2.
2 角量和线量的关系
角位移、角 速 度、角 加 速 度 等 通 常 称 为 角 量,而 位 移、速 度、加 速 度 等 通 常 称 为 线 量,
角量θ 、ω 、
α 和线量s 、
v 、a 都可以用来描述质点的运动,因此角量和线量 之 间 存 在 着
一定的关系 .
设质点在 d
t时间内沿半径为r 的圆周转过的角度为 d
θ ,移动的路程为 d
s ,如图1
13
所示,则有
· 18 ·
d
s=rd
θ
第1章
质点运动学
由式(
1.
15)可得,质点圆周运动的(速率)为
写成矢量形式则为
d
s
d
θ
v= =r =r
ω
d
t
d
t
v =ω ×r
质点的切向加速度为
法向加速度为
(
1.
51)
d
v
dω
at = =r
α
=r
d
t
d
t
v2
an = =r
ω2
r
写成矢量形式则为
at =α ×r
{
an =ω ×v
(
1.
52)
式(
1.
51)和式(
1.
52)中的r 指的是质点相对于坐标原点(或圆心)的位置矢量 .
1.
2.
3 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1.匀速率圆周运动
质点作匀速率圆周运动时,其角速度 ω 和速率v 都为常量,所以角加速度α=0,切向
加速度at =d
v/d
t=0,而法向加速度an =r
ω2 =v2/
r 为常量 .于是匀速率圆周运动的加速
度为
a=an =r
ω2en
由角速度定义式可得
d
θ=ωd
t
设初始条件为t=0 时,
θ=θ0 ,则有
θ=θ0 +ωt
2.匀变速率圆周运动
质点作匀变速率圆周运动时,其 角 加 速 度 α 为 常 量,所 以 圆 周 上 某 点 的 切 向 加 速 度
at=r
α 也为常量,而法向加速度an =r
ω2 =v2/
r 不是常量 .于是匀变速率圆周运动的加速
度为
a=at +an =r
αet +r
ω2en
设初始条件为t=0 时,
θ=θ0 ,ω =ω0 ,则由式(
1.
49)和式(
1.
50)可得
t
ìïω =ω0 +α
ïï
1 2
t
íθ=θ0 +ωt+ α
2
ï
ï 2
2
( -θ0 )
αθ
îω -ω0 =2
(
1.
53)
· 19 ·
大学物理(上册)
这三个公式与匀变速直线运动的规律相似,请读者注意比较 .
例 1.
6 一飞轮以初角速度n=1500r
ev·mi
n-1 转动,因受到制动而均匀地减速,经
t=50s后停止转动 .
(
1)求角加速度α 和从制动开始到静止飞轮的转数 N ;
(
2)求制动开始后t=25s时飞轮的角速度;
(
3)设飞轮的半径 R =1 m ,求t=25s时飞轮边缘上一点的速度和加速度 .
解
(
1)初角速度
1500
ω0 =2πn=2π
ad·s-1
=50πr
60
当t=50s时,ω =0,代入 ω =ω0 +α
t,求得
ω -ω0
-50π
α=
14r
ad·s-2
=
=-π=-3.
t
50
从制动开始到静止,飞轮的角位移及转数分别为
1 2
1
2
Δθ=ω0t+ α
t =50π×50- π× (
50)
ad
=1250πr
2
2
Δθ
N = =625r
ed
2π
(
2)
t=25s时,飞轮的角速度为
ω =ω0 +α
t=50π-π×25r
ad·s-1 =78.
5r
ad·s-1
(
3)
t=25s时,飞轮边缘上一点的速度为
v=ωR =25π×1=78.
5 m·s-1
相应的切向加速度和向心加速度为
at =Rα =-π×1=-3.
14 m·s-2
加速度的大小为
2
an =ω2R = (
25π)
16×103 m·s-2
×1=6.
2
a= a2
16×103 m·s-2
t +an ≈6.
此时,加速度的方向趋于和法向一致 .
1.
3 相对运动
质点的运动状态是依赖于 参 考 系 的,对 同 一 物 体 的 运 动,在 相 对 运 动 的 不 同 参 考 系
中有不同的描述 .为了能让不同 参 考 系 中 的 观 测 者 能 够 互 相 交 流 物 体 的 运 动 状 态,除 了
在描述物体运动时要指出所选的参考系,还必须找出两个参考系中各种物理量(如 位 移、
速度、加速度)之间的定量变换关系 .
参考系相对运动的 基 本 形 式 有 相 对 平 动 和 相 对 转 动,因 此 本 节 将 分 两 种 情 况 来 讨
· 20 ·
第1章
质点运动学
论:一种是 S
′ 系相对于S 系只作平动的情况;另一种是 S
′ 系相对于S 系作平面转动的情
况 .空间转动的情况不予讨论,感兴趣的读者可以查阅其他参考书进一步研究 .
1.
3.
1 时间与空间
讨论两个参考系中各种物理量之间的定量变换关系,首先必须明确两个 参 考 系 中 时
间与空间测量的关系 .时间反映 物 质 运 动 的 持 续 性 和 顺 序 性,持 续 性 是 指 物 体 运 动 经 历
的过程,顺序性是指物体运动过 程 中 的 不 同 事 物 或 现 象 出 现 的 先 后 顺 序,时 间 是 不 可 逆
的 .空间反映了物体运动的广延性,是与物体的位置或体积的变化相关联的 .随 着 科 学 的
进步,人们的时空观经历了牛顿 的 绝 对 时 空 观 到 爱 因 斯 坦 的 相 对 论 时 空 观 的 转 变,从 时
空的有限与无限的哲学思辨阶段发展到了可以用科学手段来探索时空的阶段 .
在经典力学或牛顿力学中所涉及物体的运动速度都远小于光速,即v ≪c (
c 为真空
中的光速),所以在牛顿力学范 围 内,时 间 与 空 间 的 测 量 可 视 为 与 参 考 系 的 选 取 无 关,即
时间和空间的测量是绝对的 .这 与 人 们 在 日 常 生 活 或 一 般 科 技 活 动 中 的 经 验 是 一 致 的 .
比如,乘坐和谐号列车,先后通过点 A 和点 B ,如图 1
14 所示 .如果地面上的观测者测得
通过点 A 和点B 的时间为 Δ
t=tB -tA ;而列车上的观测者测得通过这两点的时间为 Δ
t
′
′B -t
′A ,两者是相等的,即 Δ
t=Δ
t
′ .同样,在地面上的观测者和列车上的观测者测得
=t
点 A 和点 B 之 间 的 距 离 也 是 相 等 的,即 Δx =Δx
′ =AB .在 相 对 转 动 的 参 考 系 中 亦 是
如此 .
当相对运动的速度接近于 光 速 时,时 间 和 空 间 的 测 量 将 依 赖 于 相 对 运 动 的 速 度,即
与参考系有关,这部分内容将在本书第 14 章中讨论 .
图1
14 时间和空间的测量
1.
3.
2 相对平动的运动学问题
设有两个参考系,一 个 是 固 定 在 地 球 上 的 参 考 系,称 为 静 止 参 考 系 (或 称 绝 对 参 考
系),以 Oxy 或S 表示;另一个是相对于静止参考系运动的参考系,称为运动参考系(或称
相对参考系),以 O
′x
′y
′ 或S
′ 表示 .质点相对于静止参考系的运动称为绝对运动;质点相
对于运动参考系的运动称为相 对 运 动;把 质 点 单 纯 由 运 动 参 考 系 带 动 的 运 动,即 运 动 参
考系相对于静止参考系的运动称为牵连运动 .
· 21 ·
大学物理(上册)
先讨论 S
′ 系相对S 系作平动的情况 .在这两个参考系中观测同一质点的运动,设开
始时(
t=0),两个参考系重合,质点在 S 系中的位置为 A ,在 S
′ 系中的位置则为 A′.经
过Δ
t 时间,质点在 S 系中的位置为B ,在 S
′ 系中的位置则为B′ ,如图 1
15 所示 .质点在
S 系中是由点 A 运动到点 B ,位移记为 Δr ,称为 绝 对 位 移;质 点 在 S
′ 系 中 是 由 点 A′ 运
动到点 B′ ,位移记为 Δr
′ ,称为相对位移;Δr0 称为牵连位移,它是质点随着 S
′ 系的运动
→ 相等 显然,质点的绝对位移等于相对位移与牵连位移之和,即
而发生的位移,与 OO
′
.
Δr=Δr0 +Δr
′
(
1.
54)
若S
′ 系相对S 系静止,有 Δr=Δr
′ ;若质点相对于 S
′ 系静止,则有 Δr=Δr0 .
图1
15 相对平动参考系中的运动
由于在两个参考系中时间和空间的测量都是绝对的,用时间 Δ
t 除式(
1.
54),有
取Δ
t →0 时的极限值,得
即
Δr Δr0 Δr
′
=
+
Δ
t Δ
t
Δ
t
r0 d
d
r d
r
′
=
+
d
t d
t d
t
v =v0 +v
′
式中,v 为质点相对S 系的速度,称为绝对速度;v
′ 为质点相对于S
′ 系的速度,称为相对
速度;v0 则为 S
′ 系相对S 系的平动速度,称为牵连速度 .式(
1.
55)给出了质点在两个相
对作平动的参考系中速度变换 的 关 系 式,这 个 公 式 称 为 伽 利 略 速 度 变 换 式 .需 要 指 出 的
是,当质点以接近光速的速度运 动 时,伽 利 略 速 度 变 换 式 就 不 适 用 了 .此 时,速 度 的 变 换
应遵循洛仑兹速度变换式 .
将式(
1.
55)对时间求导即可得两个参考系中加速度的变换关系
即
· 22 ·
dv dv0 dv
′
=
+
d
t d
t
d
t
第1章
质点运动学
a=a0 +a
′
(
1.
56)
与速度类似,
a 称为绝对加速度,是质点相对于 S 系的 加 速 度;a
′ 称 为 相 对 加 速 度,
是质点相对于 S
′ 系的加速度;
a0 称为牵连加速度,则是 S
′ 系相对S 系的平动加速度,亦
即质点被 S
′ 系“带着”一起运动时获得的加速度 .显然,在相对于 S 系作加速平动的S
′系
中观测质点运动时,质点的加速度a
′ 和在S 系中观测到的a 不同 .
若S
′ 系相对S 系作匀速直线运动,则a0 =dv0/d
t=0,式(
1.
56)应为
a=a
′
(
1.
57)
即两个参考系中观测到的加速度相同 .这是可以理解的,因为 S
′ 系是作匀速直线运动,它
没有加速度 .
例 1.
7
站 在 地 面 上 的 人 测 得 雨 滴 以 9 m ·s-1 的 速 度 竖 直 下 落,若 一 辆 汽 车 以
12m·s-1 的速度行驶,求车上的人测得雨滴的速度 .
图1
16
解
根据速度变换公式(
1.
55)可知
v雨 地 =v雨 车 +v车 地
由图 1
16 可知,车上的人测得雨滴相对汽车的速度大小为
方向为
v雨 地 = v2雨 车 +v2车 地 = 92 +122 =15 m·s-1
v车 地
4
θ=a
r
c
t
an
r
c
t
an =53
°
=a
v雨 地
3
即与竖直方向成 53
° .这就是在无风的下雨天骑自行车时,骑得越快感觉雨滴打在身上越
猛且越扑面而来的原因 .
1.
3.
3 相对转动的运动学问题 *
在某些情况下,两参考系会有相对转动 .此时,会有一些和相对平动参 考 系 不 同 的 结
果,这里只介绍 S
′ 系相对于S 系作平面转动的情况 .
设平面参考系(例如平板)S
′ 以 角 速 度 ω 绕 垂 直 与 自 身 的 轴 转 动,在 此 参 考 系 上 建
立坐标系 Oxy ,它的原点和静止坐标系 S (即 Oζη 坐标系)的原点重合,并绕通过 O 点且
垂直于平板的直线(即z 轴)以角速度 ω 转 动,如 图 1
17 所 示 .单 位 矢 量i 和j 随 着 平 板
以同一角速度转动,方向随时间变化,因此由静止参考系看来它们都不是常矢 量 .它 们 的
时间变化率与平面极坐标系中径向单位矢量er 和横向单位矢量eθ 类似[见式(
1.
32)和式
· 23 ·
大学物理(上册)
(
1.
33)],分别为
d
i
d
j
i
=ωj , =-ω
d
t
d
t
在平板坐标系中,它们是常矢 量 .单 位 矢 量 k 始 终 垂 直 于 平 板,为 常 矢 量,可 以 把 角
速度矢量 ω 写为ω =ωk .
图1
17 平面转动参考系
设平板上有一运动的质点 P ,它在 Oxy 坐标系内的位矢为
r=x
i+y
j
(
1.
58)
若质点 P 相对平板静止,从静 止 参 考 系 来 看,因 为 平 板 的 转 动 它 仍 然 获 得 一 不 为 零
的速度 .由式(
1.
51)可得这项速度应为 v0 =ω ×r ,这就是质点 P 的牵连速度 .若质点相
对于平板不是静止的,则从平板参考系来看,其速度应为
y
dx
d
v
′ = i+ j
d
t
d
t
这就是质点 P 的相对速度(注意:在平板坐标系中,
i和j 是常矢量).所以,从静止参
考系来看,质点 P 的绝对速度为
v =v0 +v
′ =v
′ +ω ×r
(
1.
59)
即绝对速度等于牵 连 速 度 和 相 对 速 度 的 矢 量 和 .这 与 相 对 平 动 参 考 系 中 得 到 的 结 果 一
致,只是由于运动方式不同,牵连速度的表达式也有所不同 .
由于质点 P 相对静止坐标系原点的位矢亦为r ,也可以直接由速度定义式 v =d
r/d
t
求绝对速度,但需注意在静止参考系中,
i 和j 不 再 是 常 矢 量 .将 式(
1.
58)对 时 间 求 导 可
得
d
r dx dy
d
i
d
v = = i+ j +x +y j
d
t d
t
d
t
d
t
d
t
y
ædx
ö
æd
ö
-ωy ÷i+ ç +ωx ÷j
=ç
t
t
èd
ø
èd
ø
′ +ω ×r
=v
与前述所得结果一致 .
现在来求质点 P 相对静止坐标系的加速度
· 24 ·
(
1.
60)
第1章
质点运动学
2
y
d
dx
æd2y
dv æçdx
dω
dω
2 ö
2 ö
ω
-ω x÷i+ ç 2 +2ω
-ω y÷j - y
a=
i+ xj
=
2 -2
d
t
d
t
ø
èd
ø
t
t
d
t èd
d
t
d
t
(
1.
61)
其中,dx
和 dy
为质点 P 对转动参考系S
′ (或 Oxy 坐标系)的轴向加速度分量,其合矢
d
t2
d
t2
2
2
2
量为a
′ ,是相对加速度 .-ω2x
i 和 -ω2y
j 的合矢量为 -ω r ,与位矢r 的方向相反,指向
dω
原点 O ,是由于平板以角速度 ω 转动所引起的向心加速度;而 -dωy
i+ xj =α ×r 则
d
t
d
t
是由于平板作变角速度转动所 引 起 的 切 向 加 速 度,若 平 板 以 匀 角 速 度 转 动,则 此 项 加 速
度为零 .这两种加速度都是由于平板转动所引起的,所以应为牵连加速度 .
y
d
dx
现在来看式(
1.
61)中的 -2ω i 及 2ω j 是如何产生的 .显然
d
t
d
t
y ö
d
ædx
y
d
dx
′
-2ω i+2ω j =2ωk × ç i+ j÷ =2ω ×v
t
d
t ø
èd
d
t
d
t
其方向垂直于 ω 及v
′ 所确定的 平 面,并 按 照 右 手 定 则 来 确 定 其 指 向 .在 平 面 问 题 中,ω
始终沿k 的方向,所以2ω ×v
′ 是位于 Oxy 平面内的矢量,其指向可将 v
′ 随着S
′ 系的转
动转一直角即可 .这个加速度叫做科里奥利加速度,简称科氏加速度 .科氏加速 度 是 由 于
在静止参考系中的观测者看来,牵 连 运 动 可 使 相 对 运 动 发 生 改 变,而 相 对 运 动 又 同 时 使
牵连速度 ω ×r 中的r 发生改变,即科氏加 速 度 是 由 牵 连 运 动 与 相 对 运 动 相 互 影 响 而 产
生的 .如果 S
′ 系不转动或质点P 相对S
′ 系静止,即 ω 与v
′ 两者中有一个为零,此项加速
度即为零 .另外,若 ω 与v
′ 的方向平行,科氏加速度亦为零 .
在平面转动参考系中,绝对 加 速 度 为 相 对 加 速 度、牵 连 加 速 度 及 科 氏 加 速 度 三 者 的
矢量和,这一点与平动加速参考系中的情形不同 .式(
1.
61)可以简写成如下形式
a=a
′ +α ×r-ω2r+2ω ×v
′
(
1.
62)
a=a
′ +at +aC
(
1.
63)
如果令at=α ×r-ω2r 表示牵连加速度,
aC =2ω ×v
′ 表示科氏加速度,则式(
1.
62)
还可进一步简化为
若S
′ 系的原点 O′ 与S 系的原点 O 不重合,且 O
′ 相对 O 的速度为u0 ,加速度为a0 ,
则式(
1.
60)和式(
1.
63)的右端应分别加上 u0 项和a0 项,即 u0 是牵连速度的一部分,
a0
是牵连加速度的一部分 .另外,上述两式中的位矢r 应换为质点相对S
′ 系的原点O′ 的位
矢r
′.
例 1.
8
圆盘半径为 R ,以匀角速度 ω 绕垂直于盘心 O 的轴线转动 .一 质 点 沿 径
向槽自盘心以匀速度 v
′ 向外运动,求质点加速度的各分量 .
解
设在某时刻t ,质点运动到图中 A 的位置,它与盘心 O 的距离为r .在t+Δ
t时
刻,如果圆盘不转动,它应该运动到图中 B 的位 置,它 与 O 的 距 离 为r +v
′Δ
t .但 圆 盘 是
以匀角速度 ω 转动的,在 Δ
t 时间内,转过的角度为 ωΔ
t ,所以质点在t+Δ
t 时刻,实际到
达B
′ 的位置 .
· 25 ·
大学物理(上册)
假定 Δ
t→0,则 cos(ωΔ
t) ≈1,s
i
n(ωΔ
t) ≈ωΔ
t ,(Δ
t) 2 ≈0,所以在 B
′ 处仍可按原
→
来 OAB 的径向及横向投影,因此
Δvr = [v
′cos(ωΔ
t) -ω (r+v
′Δ
t) s
i
n(ωΔ
t) ] -v
′
′ -ω (r+v
′Δ
t)ωΔ
t] -v
′ =-ω rΔ
t
= [v
2
Δvθ = [ω (r+v
′Δ
t) cos(ωΔ
t) +v
′s
i
n(ωΔ
t) ] -ωr
由此可得
′Δ
t) +v
′ωΔ
t] -ωr =2ωv
′Δ
t
= [ω (r+v
Δvr
ìï
2
ar =l
im
=-ω r
Δ
t→0 Δ
t
ï
í
ï
Δvθ
im
′
=2ωv
ïaθ =l
Δ
t→0 Δ
t
î
此时质点不但有径向加速度(即向心加速度)-ω2r ,而且还有横向加速度 2ωv
′ ,这就是
科氏加速度 .从图 1
18 及上述计算可以看出:牵连运动(圆盘转动)改变了相对速度的 v
′
的方向,因而产生了横向加速度 ωv
′ ;同时,相对运动(质点向外运动)又改变了牵连速度
ω ×r 的大小,因为这时r 已变为r+v
′Δ
t ,所以又一次产生了横向加速度 ωv
′ ,因此沿横
向的科氏加速度为 2ωv
′.
如 果质点在圆盘上不动,即v
′=0,则在t+Δ
t时刻,质点只随着圆盘转到 A
′ 的位置,
到盘心 O 的距离仍为r ,所以只有径向加速度 -ω2r .
图1
18
(
1)一质点沿 x 轴作直线运动,其运动方程为:
x=2
t3 -9
t2 +20 (
S
I).求:① 质点在
开始运动后 4s内的位移;② 质点在开始运动后 4s内的路程;③ 质点在该时间内的平均速
率;④t=4s时质点的速度和加速度 .
(
2)已知质点的运动方程为r=2
t3i+ (
5
t-t2)
t
k
j-3
t=1s时质点的加速度 .
(
3)质点的运动方程为:x =3
t2 -4
t ,y=-t3 +3
t
· 26 ·
(
S
I).求:① 质点的初速度;②
(
S
I).求:① 质点初速度的大小
第1章
质点运动学
和方向;②t=1s时质点加速度的大小和方向 .
(
4)一质点的加速度a =6
t
i +12
t
i
j ,在t=0 时,其 速 度 为 零,位 置 矢 量 r0 =16
(
S
I).求:① 在任意时刻的速度和位置矢量;② 轨迹方程 .
(
5)已知质点沿 x 轴运动,其加速度和坐标的关系为a=2+4x
(
S
I),且质点在x=
0 处的速度为 4 m·s .试 求:① 该 质 点 的 速 度 与 坐 标 的 关 系;② 质 点 在 x =3 m 处 的
-1
速度 .
k
(
6)一质点沿 x 轴以初速度v0 作减速运动,加速度a=- v ,
k 、m 均为正的常量,
m
设初始时刻质点的位置为 x0 =0.求:① 质点速度表达式vt
( ) 及v (x ) ;② 质点的运动方
程 xt
( ) ;③ 停止运动前质点运动的距离 .
(
7)已知质点的运动方程为r=2
t
i+ (
2-t2)
j
(
S
I).求:① 质点的运动轨迹;②t=
0 及t=2s时,质点的位矢;③ 由t=0到t=2s时间内质点的位移 Δr 和径向增量 Δr ;④2s
内质点所走过的路程 .
(
8)某电动机转子半径r=0.
1m ,转子转过的角位移与时间的关系为θ=2
t3 +5.试
求:①t=2s时,边缘上一点的切向加速度和法向加速度的大小;② 当θ 值为多少时,其总
加速度与径向成 45
° 角?
(
9)一质点 P 沿半 径 R =3.
0 m 的 圆 周 作 匀 速 率 运 动,
运动一周所需时间为 20.
0s,设t=0 时,质点 位 于 O 点 .按
图1
19 中所示 Oxy 坐 标 系,求:① 质 点 P 在 任 意 时 刻 的 位
矢;②5s时的速度和加速度 .
(
10)一石子从 空 中 由 静 止 下 落,由 于 空 气 阻 力 的 作 用,
石子并非作自由落体运动,现测 得 其 加 速 度 a =A -Bv ,式
中 A 、B 均为正的常数 .求石子下落的速度和运动方程 .
(
11)一个转动的齿轮上,一个齿尖 P 沿半径为R 的圆周
运动,其路程s 随时间的变化规律为s=v0t+ 1b
t2 ,其中 v0
2
图1
19 第(
9)题图
和b 都是正的常量 .求:①t 时刻齿尖 P 的速 度 和 总 加 速 度;② 当 齿 尖 P 的 速 度 达 到 3
v0
时,齿轮转动了多少圈?
(
12)一半径为 R =1m 的匀质圆盘,绕通过圆心垂直盘面的固定竖直轴转动 .设t=0
时,ω0 =0,其角加速度按α= 1tr
ad·s-2 的规律变化,问:① 何时(
t=0 除外)圆盘边缘
2
某点的线加速度a 与径向成 45
° 角? ② 此时圆盘边缘任一点转过的弧长 .
(
13)质点在 Oxy 平面内运动,其运动方程为r=2
t
i+ (19-2
t2 )j
(
S
I).求:① 质点
的 轨迹方程;② 在t1 =1s到t2 =2s时间内的平均速度;③t=1s时的速度及切向和法向
加速度;④t=1s时质点所在处轨道的曲率半径ρ .
(
14)一半径为 0.
5 m 的飞轮 在 启 动 时 的 短 时 间 内,其 角 速 度 与 时 间 的 平 方 成 正 比 .
在t=2s时测得轮缘一点的速度值为 4m·s-1 .求:① 该轮在t=0.
5s时的角速度,轮缘
· 27 ·
大学物理(上册)
一点的切向加速度和总加速度;② 该点在 2s内所转过的角度 .
(
15)飞机以 60 m·s-1 的速度在离地面 180m 的空中沿水平直线飞行,如图 1
20 所
示,驾驶员要把物品空投到正前方某一地面目标 P 处 .求:① 投放时(飞机位于 O 处)目标
在飞机下方前多远? ② 此时驾驶员看目标的视线和水平线的夹角θ ;③ 物 品 开 始 投 放 至
该地面目标处所需时间;④ 物品投放后 3s 时,它 的 切 向 加 速 度 和 法 向 加 速 度 各 为 多 少?
(不计空气阻力作用,重力加速度 g 取 10 m·s-2 )
(
16)一条宽度为 d 的河流,水流速度与离岸距离成正比,岸边水流速度为零,河中心
水流速度最快,设为v0 .某人乘小船以不变的划速 u 垂直于水流方向离岸划去,求小船从
岸边到河中心的运动轨迹 .
(
17)一气球以速率v0 从地面上升,由于风的影响,气球的水平速度按 vx =by 增大,
其中b 是正的常量,气球的竖直速度不变 .若取气球开始上升处 地 面 为 坐 标 原 点,向 右 为
x 轴正方向,向上为y 轴正方向 .求:① 气球的运动方程;② 气球水平漂移的距离与高度的
关系;③ 经过时间t 气球与起点的距离 .
(
18)一直杆,一端与半径为 R 的固定大圆 环 连 接 在 O 点,直 杆 还 穿 过 套 在 大 环 上 的
小环 M,如图 1
21 所示 .已知直杆以匀角速 ω 绕O 点转动,采用自然坐标系求:① 小环 M
的速度的大小;② 小环 M 的加速度的大小 .(设t=0 时,
θ=θ0)
图1
20
图1
21
图1
22
(
19)一升降机以加速度 1.
22 m·s-1 上升,当上升速度为 2.
44 m·s-1 时,有一螺丝
自升降机的天花板上松脱下 落,天 花 板 与 升 降 机 的 底 面 相 距 2.
74 m .求:① 螺 丝 从 天 花
板落到底面所需要的时间;② 螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 .
(
20)如图1
22 所示,一小型迫击炮架设在一斜坡的底端 O 处,已知斜坡倾角为α ,炮
身与斜坡的夹角为β ,炮弹的出口速度为 v0 ,忽 略 空 气 阻 力 .求:① 炮 弹 落 地 点 P 与 点 O
1 并与
的距离;② 欲使炮弹能垂直击中坡面 .证明α 和β 必须满足t
an
v0 无关 .
β=2
t
an
α
(
21)一无风的下雨天,一列火车以v1 =20m·s-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看
见玻璃窗外的雨滴和垂线成 75
° 角 下 降 .求 雨 滴 下 落 的 速 度 v2 (设 下 降 的 雨 滴 作 匀 速 运
动).
(
22)如图 1
23 所示,一汽车 在 雨 中 沿 直 线 行 驶,其 速 率 为 v1 ,下 落 雨 滴 的 速 度 方 向
偏于竖直方向之前θ 角,速率为 v2 ,若车后有一长方形物体,问车速 v1 为多大时,此物体
正好不会被雨水淋湿?
· 28 ·
第1章
质点运动学
图1
23
(
23)一人能在静水中以 1.
1 m·s-1 的速度划船前进 .今欲横渡一宽为 1×103 m 、水
流速度为 0.
55m·s-1 的大河 .① 他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点,那么应
如何确定划行方向? 到达正对岸需多少时间? ② 如果希望用最短的时间过 河,应 如 何 确
定划行方向? 船到达对岸的位置在什么地方?
(
24)一质点相对观察者 O 运动,在任意时刻t ,其位置为 x =v
t ,y =g
t2/2,质点运
动的轨迹为抛物线 .若另一观察者 O
′ 以速率v 沿x 轴正向相对于 O 运动 .试问质点相对
O
′ 的轨迹和加速度如何?
· 29 ·
第2章
牛顿定律
췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍
췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍
췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍
艾萨克·牛顿(
1643-1727),英国著名的物理学家,
经典物理学的奠基人,被誉为“物理学之父”.他发现的牛
顿定律是经典力学的 基 础,牛 顿 三 大 定 律 和 万 有 引 力 定
律为近代物理学和力 学 奠 定 了 基 础,并 且 他 的 万 有 引 力
定律和哥白尼的日 心 说 奠 定 了 现 代 天 文 学 的 理 论 基 础 .
在光学上,他发明了反射望远镜,并基于对三棱镜将白光
发散成可见光谱的观察,发展出了颜色理论,他还提出了
光的微粒说 .
췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍
2.
1 牛顿定律
牛顿定律是由牛顿总结于 17 世纪并发表于《自然哲学的数学原理》的牛顿 第 一 定 律
即惯性定律、牛顿第二定律和牛 顿 第 三 定 律 三 大 经 典 力 学 基 本 定 律 的 总 称 .牛 顿 三 大 定
律是力学中重要的定律,是研究经典力学的基础 .
2.
1.
1 牛顿第一定律
任何物体总保持静止或匀 速 直 线 运 动 状 态,直 到 有 外 力 迫 使 它 改 变 这 种 状 态 为 止,
这就是牛顿第一定律 .牛顿第一定律的数学形式表示为
F =0 时,v = 恒矢量
(
2.
1)
牛顿第一定律表明任何物体在不受外力时都具有保持其运动状态不变 的 性 质,这 种
性质叫做惯性,因此第一定律又称为惯性定律,惯性是物体的固有属性;如果物 体 的 运 动
状态有改变,该物体一定受到了其他物体的作用,即该物体受到了外力,可见力 是 改 变 物
体运动状态的原因 .
学习牛顿第一定律需注意以下几点:
(
1)物体由于有惯性,在不受外力时会保持原有运动状态(静止或匀速直线运动).
(
2)物体如果处于静止或匀速直线运动状态,则物体所受合外力 F =0.
F =0 可能是
物体不受任何外力的情况,也可能是物体受多个外力但合外力为零的情况 .
(
3)F ≠0 时,物体的 运 动 状 态 (速 度)将 发 生 改 变,因 此 力 是 改 变 物 体 运 动 状 态 的
· 30 ·
第2章
牛顿定律
原因 .
(
4)一切有质量的物体都有 惯 性,物 体 的 质 量 越 大,物 体 的 惯 性 越 大,物 体 运 动 状 态
越难改变,质量是物体惯性大小的量度 .比如运动场上的铅球和皮球,用很大的 力 量 才 能
抛起铅球,如果抛皮球就很轻松,可 见 物 体 的 质 量 越 大,物 体 运 动 状 态 越 难 改 变,物 体 的
惯性越大 .
2.
1.
2 牛顿第二定律
在经典力学中,物体的质量 m 与其运动速度v 的乘积叫做物体的动量,用 p 表示,即
(
2.
2)
p =mv
由式(
2.
2)可见,动量是一 个 矢 量,动 量 的 方 向 与 速 度 的 方 向 相 同;动 量 的 大 小 是 质
量与速率的乘积;动量的国际单位是 kg·m·s-2 .由于速度是表示物体运动状态的量,因
此动量也是表示物 体 运 动 状 态 的 量 .动 量 不 但 可 用 于 宏 观、低 速 (物 体 的 速 率 远 小 于 光
速)的物体,还可以用为于微观粒子和场,因此动量比速度的涵义更广泛,意义更重要 .
当外力作用于物体时,物体 的 动 量 发 生 改 变,牛 顿 第 二 定 律 给 出 物 体 的 动 量 随 时 间
的变化率等于作用于物体的合外力,即
dp d(
mv)
F=
=
d
t
d
t
(
2.
3)
当物体的运动速率远小于 光 速 时,也 就 是 物 体 在 低 速 情 况 下 运 动,物 体 的 质 量 可 以
看作与运动状态无关的常量,则该物体的质量不随时间改变,于是式(
2.
3)可写成
F =m
dv
=ma
d
t
(
2.
4)
式(
2.
4)为物体低速运动情 况 下 的 牛 顿 第 二 定 律 的 数 学 表 达 式,又 称 为 牛 顿 力 学 的
质点动力学方程,牛顿第二定律是牛顿定律的核心 .
由牛顿第二定律可知,F 和a 两物理量的方向始终一致;第二定律给出了 F 、m 和a
之间的定量关系 .对同一物体,当合外力 F 越大时,则a 越大,v 变化越快,即物体运动状
态变化越快;同样的合外力 F ,物体的质量 m 越大,则a 越小,运动状态变化越慢,即运动
状态越难改变,可见质量 m 是物体惯性大小的量度,物体的质量越大,物体的惯性越大 .
牛顿第二定律也表明了 F 和a 之间的瞬时关系,同时存在,同时消失;若 F 有改变,
a
同时改变,可见力是产生加速度的原因,力是改变物体运动状态的原因;牛顿第 二 定 律 不
但可用于一个物体,当多个物体 运 动 情 况 一 样 时,可 把 这 些 物 体 看 作 一 个 物 体 应 用 牛 顿
第二定律 .
得
(
1)在直角坐标系中,把 F=Fxi+Fyj+Fzk 和a=axi+ayj+azk ,代入式(
2.
4),可
ìïFx =max
ï
íFy =may
ïï
îFz =maz
(
2.
5)
· 31 ·
大学物理(上册)
(
2)在自然坐标系中,用 Ft (切向力)和 Fn (法向力或向心力)分别表示 F 在切线和法
线上的分量,如图 2
1,则 F =Ftet +Fnen ,由a=atet +anen ,代入式(
2.
4)得
d
v
ìï
Ft =mat =m
d
t
ï
í
ï
v2
ïFn =man =m
î
r
(
2.
6)
图2
1 在自然坐标系中力的分解
切向加速度at 表示物体运动速率的变化情况,由式(
2.
6)可见,若 Ft=0,则物体作匀
速率运动,否则作变速率运动;法向加速度an 表示物体的 运 动 方 向 的 变 化 情 况,由 式(
2.
6)可知,若 Fn =0,则物体作直线运动,否则作曲线运动 .
式(
2.
5)和式(
2.
6)分别为 牛 顿 第 二 定 律 在 直 角 坐 标 系 和 自 然 坐 标 系 中 的 分 量 关 系
式,在应用牛顿第二定律时常用这些关系式 .由式(
2.
5)和式(
2.
6)可见,力在某方向的分
量等于质量乘以力作用在物体 上 产 生 的 加 速 度 在 该 方 向 的 分 量,并 且 对 于 任 意 力、任 意
方向均成立 .
力的叠加原理:当几个外力同时作用于物体时,合外力 F 产生的加速度a ,等于每个
外力 Fi 所产生加速度ai 的矢量和 .
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
i=1
由 F = ∑Fi = ∑mai =m∑ai 和F =ma ,即可得a= ∑ai .
2.
1.
3 牛顿第三定律
两个物体之间的作用力 F 和反作用力F′ ,总是大小相等,方向相反,沿同一直线,分
别作用在两物体上,这就是牛顿第三定律,其数学形式表示为
F =-F
′
学习牛顿第三定律需注意以下几点:
(
2.
7)
(
1)作用力和反作用力同时产生、同时消灭 .
物体间作用力是相互的,若物体 A 对物体 B 有作用力,同时 B 对 A 也一定有力的作
用 .比如乒乓球碰到球桌上,球会被弹开,在球与桌碰时,球对桌有作用力,同 时 桌 对 球 有
反作用力 .两物体间的相互作用力,其中一个力被称为作用力时,另一个可被称 为 反 作 用
力.
(
2)作用力和反作用力属于同种性质的力,大小相等、方向相反 .
· 32 ·
第2章
牛顿定律
比如鸡蛋碰石头,尽管更多时候鸡蛋会破裂,石头安然无恙,但鸡蛋与 石 头 碰 撞 时 两
者的相互作用力大小是一样的 .
(
3)作用力和反作用力分别作用在相互作用的两个物体上,因此不可相互抵消 .
如图 2
2 所示,有一定质量的物体经一个弹簧竖直悬挂在一固定不动的板上,系统静
止不动 .试分析物体的受力,并指出各力的反作用力?
图2
2
解
有质量的物体,在地球 附 近,物 体 会 受 重 力;由 于 物 体 静 止,依 据 牛 顿 第 一 定 律
(或第二定律)则其受合力应为 0,因此弹簧一定对物体有向上的拉力,物体的重力和弹簧
对物体的拉力是一对平衡力 .重 力 是 地 球 对 物 体 的 作 用 力,则 其 反 作 用 力 是 物 体 对 地 球
的引力;物体受到弹簧向上的拉力,其反作用力是物体对弹簧向下的拉力,该拉 力 使 弹 簧
被拉长 .
2.
2 几种常见的力
2.
2.
1 万有引力
牛顿继承了前人的 研 究 成 果,提 出 了 著 名 的 万 有 引 力 定 律 .这 个 定 律 指 出,星 体 之
间,地球与地球表面附近的物体 之 间,以 及 所 有 物 体 与 物 体 之 间 都 存 在 着 一 种 相 互 吸 引
的力,所有这些力都遵循同一规律,这种相互吸引力叫做万有引力 .
万有引力定律:两个质点间的万有引力,其大小与它们的质量乘积成 正 比,与 它 们 之
间距离的二次方成反比,其方向沿着它们的连线 .
如图 2
3 所示,若两质点间的距离为r ,两质点的质量分别为 m1 、m2 ,则它们之间的
万有引力大小为:
图2
3
· 33 ·
大学物理(上册)
m1m2
r2
F =G
(
2.
8)
式中,G 为一定值,称为引力常量 .G 最早由 英 国 物 理 学 家 卡 文 迪 许 实 验 测 出 .一 般 计 算
时取 G =6.
67×10-11 N·m2 ·kg2 .
图2
3 中,
er 为由质量为 m1 的质点指向质量为 m2 的质点的单位矢量 .质量为 m1 的
2
质点受到 的 万 有 引 力 为 F1 =G m1m
er ,质 量 为 m2 的 质 点 受 到 的 万 有 引 力 为 F2 =
r2
m1m2
-G 2 er ,可见两质点间的万有引力相互指向对方,方向相反 .
r
重力 通常把地球对地面附近物体的万有引力叫做重力,用 P 表 示,其 方 向 是 竖 直 向
下 .重力的大小又叫重量 .只在重力 的 作 用 下,物 体 具 有 的 加 速 度 叫 做 重 力 加 速 度 g ,由
牛顿第二定律,可得 g = P .
m
mE
若地球的质量为 mE ,地球中心与物体之间的距离为r ,结合式(
2.
8)可得 g=G 2 .
r
在地球表面附近,地球中心与物体的距离r 与地球的半径 RE 相差很小,因此 g 可近似表
示为:g =Gm2E ,一般可取 mE =5.
98×1024 kg ,RE =6.
37×106 m ,计算可得 g=9.
82
RE
m·s-2 .
由于地球本身的自转,除了 两 极 以 外,地 面 上 其 他 地 点 的 物 体,都 随 着 地 球 一 起,围
绕地轴做近似匀速率圆周运动,因 此 需 要 有 垂 直 指 向 地 轴 的 向 心 力 .这 个 向 心 力 由 地 球
对物体的引力来提供,所以严格 来 讲 重 力 并 不 等 于 地 球 对 物 体 的 引 力,只 是 引 力 的 一 个
分力,使得地面附近的重力加速度,会随着地球纬度的升高而变大 .但物体的向 心 力 是 很
小的,在一般情况下可以略去地 球 转 动 的 影 响,因 此 可 以 近 似 认 为 重 力 就 是 地 球 对 地 面
附近物体的万有引力,地面附近的重力加速度一般可取 g =9.
8 m·s-2 .
2.
2.
2 弹性力
当两物体相互接触 而 挤 压 时,它 们 要 发 生 形 变 .物 体 形 变 时,物 体 欲 恢 复 原 来 的 形
状,物体间会有作用力产生 .这种 物 体 因 形 变 而 产 生 欲 使 其 恢 复 原 来 形 状 的 力 叫 做 弹 性
力 .形变也存在于物体内部,因此物体内部的各部分间都有弹性力 .
常见的弹性力:物体被拉长时的张力,如绳索被拉紧时所产生的张力;物 体 被 压 缩 时
的压力,如重物放在支承面上的 压 力 和 物 体 受 到 的 支 持 力;弹 簧 被 拉 伸 或 压 缩 时 产 生 的
弹簧弹性力 .
1.绳索被拉紧时的张力
如图 2
4(
a)所示,一段 绳 子 左 端 固 定 不 动,一 个 外 力 F 作 用 在 绳 子 右 端,绳 子 被 拉
紧,绳子质量忽略 .如图 2
4(
b)所示,把绳子分成几段,分析各段绳子的受力,可见在绳子
· 34 ·
第2章
牛顿定律
分开处,有相互的拉力 Ti 和 T′
取两分开处间的一段绳子,这段绳子两端会受到往两边
i ;
的张力 T1 和 T2′ .当绳子被拉紧时,绳子内部之间的这 种 作 用 称 为 绳 子 的 张 力 .如 图 2
4
(
a)所示绳子的质量忽略时,与绳长垂直的各截面上的张力相等 .
图2
4
2.弹簧弹性力
弹簧不受力时,即弹 簧 处 于 自 然 状 态,这 时 弹 簧 的 长 度 称 为 原 长,弹 簧 的 弹 性 力 为
0N .弹簧受力时,弹簧 长 度 会 改 变,即 弹 簧 有 形 变,一 定 范 围 内 弹 性 力 和 变 形 程 度 成 正
比,这个范围称弹性限度 .在限 度 内,撤 去 外 力,物 体 能 恢 复 原 状;超 过 这 限 度,变 形 程 度
不再和外力成正比,撤去外力后物体也不能恢复原状 .在弹性限度内,弹簧的弹性力为
F =-kx
(
2.
9)
式中,x 表示弹簧相对原长的伸长量(或压缩量);
k 称弹性系数,负号表示弹性力的方向
与弹簧形变的方向相反,弹性力欲使弹簧恢复原状 .
真实存在的任何物体在受 力 后 都 会 发 生 形 变,不 发 生 形 变 的 物 体 是 不 存 在 的,只 不
过有的明显,有的不易观察到 .如 弹 簧 受 力 后 的 收 缩 和 伸 长,竹 子 随 风 弯 曲,这 些 现 象 我
们很容易看到物体有形变;而有的需要借助仪器才可以观察到,如把书放在桌 子 上,桌 子
和书都受到了力的作用而发生形变,但是光凭肉眼却无法观察到 .
在物体的形变范围内,若物体所受力消失,物体会逐渐恢复到原来形 状 .一 般 不 易 观
察到的形变,可认为力消失后,物 体 立 刻 恢 复 到 原 来 形 状 或 者 近 似 认 为 物 体 一 直 是 原 来
形状,比如一段绳子,受拉力后 可 近 似 认 为 绳 长 不 变,拉 力 消 失 后,可 认 为 绳 子 内 部 张 力
同时消失 .物体形变明显时,物 体 要 恢 复 到 原 来 形 状 需 要 一 定 的 时 间,比 如 弹 簧,受 拉 力
(或推力)后,会伸长(或收缩),外 力 去 掉 后,恢 复 到 原 长 需 要 时 间,在 弹 簧 恢 复 到 原 长 之
前,弹簧内部的弹性力大小满足 F =-k
x.
2.
2.
3 摩擦力
两个互相接触的物体,若在 接 触 面 上 物 体 间 有 压 力 存 在,并 且 有 相 对 滑 动 的 趋 势 或
相对滑动时,在物体接触面上便 产 生 阻 碍 发 生 相 对 滑 动 的 力 就 做 摩 擦 力 .如 果 物 体 间 是
· 35 ·
大学物理(上册)
相对滑动趋势(指物体间没有相 对 移 动),这 时 的 摩 擦 力 称 为 静 摩 擦 力;如 果 物 体 间 是 相
对滑动,这时摩擦力称为滑动摩擦力 .
如图 2
5 所示,把物体放在水平桌面上,若 桌 面 不 动,当 有 一 外 力 沿 水 平 面 作 用 在 物
体上,若外力较小,物体仍静止在桌面上,这时物体与桌面间的摩擦力为静摩擦力 Ff0 ,物
体受到的静摩擦力与外力在数 值 上 相 等,方 向 则 与 外 力 相 反 .静 摩 擦 力 随 着 外 力 的 增 大
而增大,直到增大到某一定数 值 时,物 体 相 对 桌 面 即 将 滑 动,这 时 静 摩 擦 力 达 到 最 大 值,
称为最大静摩擦力 .实验表明,最大静摩擦力的值 Ff0max 与物体对桌面的正压力 FN 成正
比,即
Ff0max =μ0FN
(
2.
10)
图2
5
式中,μ0 叫做静摩擦系数,也称为静摩擦因数,它是一个没有单位的数值 .静 摩 擦 系 数 与
两接触物体的材料性质以及接触面的情况有关,而与接触面的大小无关 .在一 般 情 况 下,
静摩擦力总是小于等于最大摩擦力,即 Ff0 ≤ Ff0max .
当物体在平面上滑动时,这 时 的 摩 擦 力 叫 做 滑 动 摩 擦 力,大 小 记 为 Ff ,其 方 向 总 是
与物体相对平面的运动方向相 反,因 此 滑 动 摩 擦 力 阻 碍 物 体 间 的 相 对 运 动,其 大 小 与 物
体的正压力大小 FN 成正比,即
Ff =μFN
(
2.
11)
式中,μ 叫做滑动摩擦系数,μ 与两接触物体的材料性质、表面光滑程度、干湿程度、表面
温度、相对运动速度等都有关系,在相对速度不太大时,可以认为滑动摩擦系数 略 小 于 静
摩擦系数;在一般计算时,除非特别指明,可认为它们是相等的 .
生活中常遇到的还有滚动 摩 擦 力 .假 如 一 个 物 体 在 一 个 平 面 上 滚 动 的 话,那 么 它 会
受到滚动摩擦,物体滚动时,物体与平面的接触面一直在变化 .如果物体与平面 的 接 触 点
在接触那一瞬间为静止的,没有任何的滑动,则物体的运动是一个纯滚动运动,这 时 的 摩
擦力就只有滚动摩擦力,滚动摩擦力实质上是静摩擦力 .一般情况下,物体之间 的 滚 动 摩
擦力会远小于滑动摩擦力 .在交 通 运 输 以 及 机 械 制 造 工 业 上 广 泛 应 用 滚 动 轴 承,就 是 为
了减少摩擦力 .
摩擦力是由于要阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势而产生的,因此 摩 擦 力 不 一
定会阻碍物体的运动,摩擦力不一定是阻力 .比如用传送带向上运送物品,这时 物 品 受 到
的传送带对它的摩擦力就是动力 .
四种基本相互作用
常见的力,比 如:重 力、弹 性 力、压 力、浮 力、摩 擦 力 等,这 些 力 的 名 称,有 的 根 据 力 的
· 36 ·
第2章
牛顿定律
作用效果、有的根据力的产生原 因 而 起,命 名 标 准 多 样,但 都 是 力,都 是 物 体 之 间 的 相 互
作用 .目前所知道的有四种基本 相 互 作 用:引 力 相 互 作 用、电 磁 相 互 作 用、弱 相 互 作 用 和
强相互作用 .
引力相互作用是存在于任何两个物体之间的吸引力;电磁相互作用从本 质 上 来 说 是
运动电荷间产生的;弱相互作用是产生于放射性衰变过程和其他一些“基本”粒子衰 变 等
过程之中的;强相互作用则能使像质子、中子这样一些粒子集合在一起 .弱相互 作 用 和 强
相互作用是微观粒子间的相互作用 .
这四种相互作用的范围即 力 程 是 不 一 样 的 .万 有 引 力 作 用 和 电 磁 作 用 的 作 用 范 围,
原则上讲是不限制的,即可达 无 限 远;强 相 互 作 用 范 围 为 10-15 m ;而 弱 相 互 作 用 的 有 效
作用范围仅为 10-18 m .这四种力的强度相差 也 很 大,比 如 以 距 源 10-15 m 处 强 相 互 作 用
的力强度为 1,则其他力的相对强度分别为:电磁力是 10-2 ,弱相互作用力是 10-13 ,万有
引力仅是 10-38 ,由此可见,万有引力 的 强 度 是 这 四 种 相 互 作 用 中 强 度 最 弱 的 一 种,而 且
相差悬殊 .因此,通常在论及电 磁 力 时,如 不 特 别 指 明,万 有 引 力 所 产 生 的 影 响 可 以 略 去
不计 .
长期以来,人们对物理理论 的 归 纳 综 合 进 行 了 深 入 探 索,能 否 找 到 上 面 所 讲 的 四 种
基本相互作用之间的联系呢? 这是一次更深刻更基本的综合,许多物理学家为 此 进 行 了
不 懈的努力 .
1967-1968 年温伯格(
S.We
i
nbe
rg,
1933- )萨拉姆(
A.
Sa
l
am,1926- )和
格拉肖(
S.
L.
Gl
a
show,1932- )提出一个理论,把 弱 相 互 作 用 与 电 磁 相 互 作 用 统 一 为 电
弱相互作用 .后来这个电弱相互 作 用 理 论 为 实 验 所 证 实 .这 个 发 现 把 原 先 的 四 种 基 本 相
互作用统一为三个 .为此,他 们 三 人 于 1979 年 共 获 诺 贝 尔 物 理 学 奖 .鲁 比 亚(
C.
Rubb
i
a,
1934- )和范德米尔(
Vande
rMe
e
r,1925- )两 人 因 从 实 验 证 实 电 弱 相 互 作 用,于 1984
年获诺贝尔物理学奖 .由于受到 发 现 电 弱 相 互 作 用 的 鼓 舞,许 多 物 理 学 家 正 在 进 行 电 弱
相互作用和强相互作用之间统 一 的 研 究,并 企 盼 把 万 有 引 力 作 用 也 包 括 进 去,以 实 现 相
互作用理论的“大统一”.
例 2.
1 如图 2
6(
a)有一质量为 M 、长度为l 的均匀细棒,若在棒的延长线上,距棒
中心为r 处放一个质量为 m 的质点,求质点受到棒的万有引力,设l=r=1 m ,M =m =
10kg .
图2
6
· 37 ·
大学物理(上册)
思路分析:由于棒长l 相比r 不是 无 穷 小,因 此 棒 不 能 被 看 作 质 点,不 能 直 接 应 用 万
有引力定律 .采用“微元法”,该方法是把研究对象分为无限多个无限小的部分,取 出 有 代
表性的极小的一部 分 进 行 分 析 处 理,再 从 局 部 到 全 体 综 合 起 来 加 以 考 虑 的 科 学 思 维 方
法,在这个方法里充分地体现了 积 分 的 思 想,在 解 决 物 理 学 问 题 时 很 常 用,思 想 就 是 “化
整为零”,先分析“微元”,再通过“微元”分析整体 .
按棒长方向把细棒分成无穷多小份,使每一份的长度相对于r 可看成无穷小,因此每
一份和质点 m 间的引力满足引力定律,每一份受到的力叠加后可得棒与 m 间的引力 .
解
以棒的左端为坐标原点 O ,棒指向质点 m 为x 轴正向,如图2
6(
b)所示 .在棒上
任取长度为 dx 的线元,则线元的质量为
M
dm = dx
l
线元对质点 m 的万有引力大小为
æM ÷ö
dx m
GMm
èl ø
dF =G
dx
=
æçl
ö÷ 2
æçl
ö2
+r-x
l
+r-x÷
è2
ø
è2
ø
ç
由于质点 m 受到所有线元的万有引力方向相同,都沿 x 轴负向,则质点 m 受到棒的
万有引力大小为
∫ ∫l æl +r-xö dx
F = dF =
把 G =6.
67×10
0
è2
ç
÷
2
ø
∫ æl +r-xö dx=r -l
GMm
F=
l
-11
GMm
l
1
l
0
è2
ç
÷
2
ø
GMm
2
2
4
N·m ·kg ,
l=r=1 m ,M =m =10kg 代入关系式得
2
-2
F ≈8.
89×10-9 N
如果这个力作用在 10kg 的物体上,则产生的加速度大小是 8.
89×10-10 m·s-2 .所
以这样大小的力作用在物体上 对 物 体 运 动 的 影 响 可 忽 略 不 计 .一 般 情 况 下,地 球 附 近 的
物体仅考虑地球对物体的万有引力,即物体的重力 .
若r≫l ,则关系式 F= GMm2 ,可近似写成 F=GMm
.当物体间的距离远大于物体
l
r2
r2 4
的尺寸时,物体可被看作质点,可直接应用万有引力定律求物体间的万有引力 .
例 2.
2 如图 2
7(
a)所示,有一条轻绳 围 绕 在 一 个 圆 柱 上,绕 圆 柱 的 张 角 为θ0 ,绳 与
圆柱间的静摩擦因数为 μ .求 绳 处 于 滑 动 的 边 缘 时,作 用 在 绳 A、
B 两 端 的 拉 力 值 FA 和
FB 的关系 .
解
在绳上任取一无穷小段 d
s ,圆 心 角 为 d
θ ,在 d
s 的 中 心 O′ 建 坐 标 系,画 示 意 图
时力作用点移到 O
′.
d
s 两端受张力FL 和 FR ,圆柱对绳子的支持力 FN ,若绳子相对圆柱
有顺时针滑动趋势,则圆柱对绳子有静摩擦力 Ff0 .
· 38 ·
第2章
牛顿定律
绳子处于滑动边缘,还未滑动,其状态为静止,各坐标轴合力为 0,可得
d
θ
d
θö
æ
i
n +FLs
i
n ÷ =0
FN - çFRs
2
2ø
è
d
θ
d
θ
FRcos -FLcos -Ff0 =0
2
2
图2
7
绳子处于滑动边缘,Ff0 取最大静摩擦力,Ff0 的大小为 Ff0 =μFN ;用 FT 代表绳上极
角为θ 处的张力大小,若极角增大 d
θ ,张力增大 dFT ,因 此 若 取 FL =FT ,则 FR =FT +
dFT .整理关系式可得
d
θ
d
θ
dFco
s =μ (2FT +dFT ) s
i
n
2
2
d
θ
d
θ d
θ ,可得
由于 d
θ 为无穷小量,可取 cos ≈1,s
i
n ≈
2
2
2
d
θ
1
dFT =μ (2FT +dFT )
θ+ μd
θdFT
= FTd
2 μ
2
两阶无穷小量 d
θdFT 略去,得
∫
dFT
θ
= d
FT μ
∫
θ0
1
dF =μ d
θ
FA FT
0
FB
FB
θ
=eμ 0
FA
绳子处于滑动边缘时,绳两端的力的比值与张角有指数关系 .若取 μ =3,表 2
1 给出
了张角θ0 取几种情况时,FA/FB 的比值 .可见绳子在圆柱上绕的圈数越多,即张角越大,
绳两端的力相差的越大,其中绳子 滑 动 趋 势 方 向 所 在 端 的 力 相 对 越 大 .如 例 2.
2中绳子
有顺时针滑动趋势,右侧力 FB 较大 .
图2
8 中,圆柱固定不动,在圆柱上多绕几圈后,就可以用较小的力拉住重物,不使其
下滑;如果要提升物 体,拉 力 会 比 重 物 的 重 力 大,可 见 如 果 希 望 绳 子 绕 的 圈 数 越 多 越 省
力,绳子的运动趋势或方向应和拉力反向 .生 活 中 如 果 要 像 图 2
8 中 挂 物 体,一 般 是 先 把
物体提升到所需高度,再把绳子在圆柱上绕几圈 .
· 39 ·
大学物理(上册)
表2
1
张角
FB/FA
π
2.
57
6π
285.
68
2π
10π
6.
59
12391.
65
图2
8
注意在具体应用中如果绳 子 没 有 加 速 度,没 有 摩 擦 力 则 同 一 段 绳 子 各 处 张 力 相 等;
如果有质量同时有加速度或者有摩擦力则各处的张力不同 .
2.
3 惯性参考系 力学相对性原理
2.
3.
1 惯性参考系
若物体相对某参考系,在不 受 外 力 时 可 以 保 持 静 止 或 匀 速 直 线 运 动 状 态,则 该 参 考
系为惯性参考系;否则为非惯性参考系 .
图2
9
如图 2
9 所示,有一辆小车,小车底板 是 光 滑 的 平 面,车 上 有 一 个 小 球 和 一 根 弹 簧 的
一端相连,弹簧另一端固定在小车的竖直板上 .
(
1)当小车和球相对地球都静止时 .球的重力和车底板对球支持力平衡,使 球 在 竖 直
方向的合力为 0;这时会发现弹簧 处 于 自 然 状 态,球 受 合 力 为 0.以 地 面 参 考 系 或 是 以 小
车参考系来观察,球受到的合力为 0,小 球 均 处 于 静 止 状 态,因 此 两 参 考 系 下 牛 顿 定 律 均
成立,两参考系均是惯性参考系 .
(
2)球相对小车仍然静止,当小车和球相对地面有向右的恒定加速度时 .这 时 会 看 到
弹簧伸长,球由于受到弹簧拉力,因 此 球 受 合 力 不 为 零 .以 小 车 为 参 考 系,小 球 受 合 力 不
为零,但小球静止,与牛顿定律 矛 盾;以 地 面 为 参 考 系,弹 簧 的 弹 性 力 可 使 小 球 获 得 和 小
车相同的加速度,如果可以测出 车 的 加 速 度、球 的 质 量、弹 簧 拉 力,可 以 验 证 以 地 面 为 参
· 40 ·
第2章
牛顿定律
考系牛顿定律仍然成立 .
把适用牛顿运动定律的参 考 系 叫 做 惯 性 参 考 系,简 称 惯 性 系;反 之,就 叫 非 惯 性 系 .
例如前面所述的地面和相对地面静止的车是惯性系,相对地面作加速运动的车则 是 非 惯
性系 .
一个参考系是否是惯性系,只能依赖实验确定,如果在所选参考系中,应 用 牛 顿 定 律
所得结果在人们要求的精度范 围 内 与 实 验 相 符 合,那 么,就 可 以 认 为 这 个 参 考 系 是 惯 性
参考系 .实验还表明,相对已知惯性系静止或匀速直线运动的参考系都是惯性 系;相 对 已
知惯性系做加速运动的参考系为非惯性参考系 .
天文学研究结果表明,选取太阳作为参考系,牛顿定律以很高精确度 成 立,取 地 球 作
为惯性系,牛顿定律也颇为准确的成立,但考虑到地球的自转和公转,所以地球 又 不 是 一
个严格的惯性系,然而,一般在研究地面上物体的运动时,由于地球对太阳的向 心 加 速 度
(约 3.
4cm·s-2 )和地面上的物体对地心的向心加速度(约 0.
6cm·s-2 )都比较小,所以
地球仍可近似地看成是惯性系 .
2.
3.
2 力学相对性原理
设有两个参考系 S 和S
′ ,时间t=0 时,两参考系的坐标系重合 .S
′ 系相对S 系以恒
定的速度u ,沿 x 轴正向作匀速直线运动 .如图 2
10 所示,若有一质点相对 S 系的速度为
-
v ,相对 S
′ 系的速度为v
′ ,依据伽利略速度变换关系得
v =v
′ +u
图2
10
将式(
2.
12)两侧对时间求导数,由于u 为恒矢量,故可得
dv dv
′
=
d
t d
t
a=a
′
(
2.
13)
式(
2.
13)表明,当参考系 S
′ 以恒定的速度相对参考系S 作匀速直线运动时,质点在
这两个惯性系中的加速度是相 同 的 .在 低 速 情 况 下,同 一 物 体 在 两 参 考 系 下 的 质 量 和 受
力均分别一样,即 m =m
′ 和F =F
′ ,因此牛顿第二定律如果在 S 中成立即F =ma ,在 S
′
系中 F
′ =m
′
a
′ 也成立,表明如果 S 系是惯性参考系,则 S
′ 系也是惯性参考系 .从而验证
了相对于惯性参考系做匀速直线运动的参考系也是惯性系 .
· 41 ·
大学物理(上册)
在这两个惯性系中,牛顿第二定 律 的 数 学 表 达 式 具 有 相 同 形 式 .即 当 由 惯 性 系 S 变
换到惯性系S
′ 时,牛顿第二定律的形式不变 .换句话说,在所 有 惯 性 系 中,牛 顿 运 动 定 律
都是等价的 .对于不同惯性系,牛顿力学的规律都具有相同的形式,在一个惯性 系 内 部 所
做的任何力学实验,都不能确定 该 惯 性 系 相 对 于 其 他 惯 性 系 是 否 在 运 动 .这 个 原 理 叫 做
力学相对性原理或伽利略相对性原理 .
2.
4 牛顿定律应用举例
牛顿三大定律是经典物理学中分析物体作机械运动的基本定律,不但可 以 用 于 分 析
研究对象被看作质点时,后面学 到 刚 体 时,分 析 刚 体 平 动 时,也 适 用 .它 在 实 践 中 有 着 广
泛的应用 .本节将通过举例来说明如何应用牛顿定律来分析问题和解决问题 .
如果物体的初始状 态 已 知,受 力 情 况 明 确,应 用 牛 顿 第 二 定 律,便 可 知 物 体 的 加 速
度,再由加速度和速度的关系,就可得到物体的运动状态,因此物体的初始状态 和 受 力 情
况决定着物体的运动情况 .在对物体运动过程的分析中对物体受力分析和牛顿第 二 定 律
的应用是重点 .
若分析对象受到多个力,需要画出该物体的受力示意图,一般可采用 隔 离 体 法,分 析
物体受力 .首先把研究对象从与之 相 联 系 的 其 他 物 体 中 “隔 离”出 来,然 后 至 少 要 把 作 用
在该物体上的 关 键 力 找 出 来,画 出 力 的 示 意 图 .这 种 分 析 物 体 受 力 的 方 法,叫 做 隔 离
体法 .
应用牛顿定律的一般步骤为:
(
1)确定研究对 象,根 据 已 知 条 件 描 述 物 体 大 致 运 动 情 况,比 如 是 直 线 还 是 曲 线 运
动,运动方向等 .
(
2)采用隔离体法,画出研究对象的受力示意图 .找物体的受力可从物体周 围 的 事 物
着手,同时结合物体的运动情况 .比如在地球表面物体有质量会受重力,与绳子 相 连 可 能
受拉力,与弹簧相连可能受弹簧 弹 性 力,与 其 他 物 体 有 接 触 可 能 受 支 持 力、压 力,接 触 面
不光滑时、可能有摩擦力等 .到 后 面 的 电 学 和 磁 学 时,还 可 能 有 电 场 力、洛 伦 兹 力 和 安 培
力等 .
(
3)建立坐标系;标出物体的加速度(a ≠0 时);列牛顿第二定律关系式 .选择加速度
为 0 的参照物为参考系,即惯性系为参考系,在合适位置点建立坐标系,坐标系 常 用 的 有
直角和自然坐标系,一般根据运动轨迹选择坐标系;列牛顿第二定律关系式时,一 般 列 分
量关系式 .
(
4)列补充方程 .常用的关 系 有:作 用 力 与 反 作 用 力 大 小 相 等,滑 动 摩 擦 力 或 最 大 静
摩擦力与正压力的关系,弧长与圆心角的关系等 .
(
5)求解计算 .求解时最好先用文字符号得出结果,而后再代入已知数据进行运算 .
· 42 ·
第2章
牛顿定律
例 2.
3 滑轮
(
1)如图 2
11(
a)一套滑轮系统 .一根轻绳跨过一个定滑轮,绳两端各悬挂一物体,物
体质量分别为 m1 、m2 ,假定 m1 > m2 ,滑轮的质量、绳子的 质 量 忽 略 不 计,滑 轮 与 绳 的 摩
擦力、轮轴的摩擦力略去 .求物体释放后,物体的加速度和绳的张力?
图2
11
解
物体与绳子分开,分别画出 物 体 受 力 示 意 图,如 图 2
11(
b)所 示 .由 于 滑 轮 的 质
量、绳子的质量忽略不计,滑轮 与 绳 的 摩 擦 力、轮 轴 的 摩 擦 力 略 去,则 跨 过 滑 轮 的 同 一 根
绳子各处张力相等,则两物体受到的绳子拉力相等;两物体均在竖直方向上运 动,因 此 建
y 轴坐标系;标出物体相对地面的加速度,分别 是 a1 和 a2 .以 地 球 为 参 考 系,把 牛 顿 第 二
定律分别应用到两物体,由 Fy =may 得
m1g -FT =m1a1
{
m2g -FT =-m2a2
(
1)
两物体由同一根绳子相连,则物体 m1 相对于轮轴向下的加速度和物体 m2 相对于轮
轴向上的加速度大小相等,又轮轴固定未动,则两物体相对地面的加速度 a1 =a2 .解得
m1 -m2 ,
2m1m2
a1 =a2 =
g FT =
g
m1 +m2
m1 +m2
(
2)如图2
11(
c)整套系统固定电梯中,电梯以加速度a 向上加速,求此时绳的张力和
物体的加速度?
解
两物体相对轮轴的加速度大小依然相等用 ar 表示 .假如 m1 相对轮轴向下加速,
则 m2 相对轮轴就应向上加速,结合图 2
11(
b)中a1 、
a2 方向可得
联合式(
1),解得
a1 =ar -a ,a2 =ar +a
m1 -m2 (
2m1m2 (
ar =
g +a),FT =
g +a)
m1 +m2
m1 +m2
a1 =
(
(
g -2m2a ,
g +2m1a
m1 -m2)
m1 -m2)
a2 =
m1 +m2
m1 +m2
在牛顿第二定律的关系式中,物体的加速度必须是物体相对于惯性参考系的 .
例 2.
4 如图 2
12 所示,长为l 的轻绳,一端固定于点 O ,另一端系一个质量为 m 的
· 43 ·
大学物理(上册)
球,小球可在竖直平面内作圆周运动,它在最低位置时速度为 v0 ,求小球在任意位置时的
速率和绳子的张力?
图2
12
解
如图2
12 所示,球运动到与竖直方向夹角θ 位置时,小球受重力 mg 和绳子的张
力 FT ,由于小球做圆周运动,因此建立自然坐标系,列牛顿第二定律分量式
ìï
v2
FT - mgcos
θ=man =m
l
ï
í
ï
d
v
i
n
θ=mat =m
ï- mgs
î
d
t
要 求任意位置处的速率,即速率v 关于θ 的关系式,上式中有以θ 、
v 和t 为变量的关
系式,因此要想办法消去变量t.可通过变量变换实现,变量间的变换如下:
d
v d
vd
θ d
θd
v vd
v
=
=
=
d
t d
td
θ d
td
θ ld
θ
代入牛顿第二定律分量式,则
分离变量、积分得
vd
v
i
n
θ=
-gs
ld
θ
∫
θ
0
∫ gldv
i
n
θd
θ=
-s
v
v
v0
v= v2
l(
1-c
o
s
θ)
0 -2
g
v2
0
FT =m( +3gcos
θ-2g)
l
可见小球从最低点运动到最高点期间,
θ 从0 变到π,
c
os
θ 取值从1 变到 -1,
cos
θ逐
渐减小,则小球速率v 逐渐减小,绳子张力 FT 也逐渐减小,球到最高点,两量均取各自最
小值;小球从最高点运动到最低点期间,
θ 从π 变到 2π,cos
θ 逐渐变大,则小球速率 v 逐
渐增加,绳子张力 FT 也逐渐增加,球到最低点,两量均取各自最大值 .后续章节中有关机
械能守恒的知识学习后,该题也可采用机械能守恒定律计算 .
例 2.
5 如图2
13 所示,中一个质量为 M 、倾角为θ 的斜面上,放了一个质量为 m 的
物体 .物体与斜面间 的 滑 动 摩 擦 系 数 为 μ ,斜 面 向 左 加 速 运 动,欲 使 物 体 沿 斜 面 向 上 运
· 44 ·
第2章
牛顿定律
动,那么斜面的加速度aM 至少是多少?
图2
13
解
物体受到重力 mg ,斜面的支持 FN ,斜面对其的滑动摩擦力 Ff ,设物体相对斜
面的加速度为a ,建立如图 2
13 的直角坐标系,以地球为参考系 .物体相对地球的加速度
为a+aM .列牛顿第二定律分量式得
i
n
θ=m(
a-aMcos
θ)
-Ff - mgs
{
又 Ff =μFN ,解得
FN - mgcos
θ=maMs
i
n
θ
a=aM (
co
s
θ-μs
i
n
θ)-g(
s
i
n
θ+μcos
θ)
物体相对斜面向上运动,则 a ≥0,可得
aM ≥
g(
s
i
n
θ+μcos
θ)
c
o
s
θ-μs
i
n
θ
例 2.
6 一个物体质量为 m ,初速为 v0 ,抛射角为α 被抛出 .假如物体在空中会受到
空气阻力,阻力大小与速率成正比,比例系数为k ,即阻力 Fr =-k
v .求任意时刻物体的
速度? 物体的轨迹方程?
解
分量式得
如图 2
14 所示,物体在轨迹上某 一 点,物 体 受 重 力 和 空 气 阻 力 Fr ,列 牛 顿 定 律
图2
14
d
vx
ìï
vx =max =m
-k
d
t
ï
í
ï
d
vy
vy - mg =may =m
ï-k
d
t
î
由物体初始状态得 x、
α 和v0s
i
n
α,分离变量后积分
y 方向的初速度分别为v0cos
· 45 ·
大学物理(上册)
∫
∫
vx
ìï t k
1
t=
d
vx
- d
v0c
o
s
αv
x
ï0 m
ít
vy
ï
1
1
t=
d
vy
ï 0 - md
v
s
i
n
α
k
v
mg
+
y
î
0
∫
∫
积分后得速度分量以时间t 为变量的函数式
ìïvx =v0c
o
s
αe-kt m
ï
í
mg)-kt/m mg
ïvy = (
v0s
i
n
α+
e
k
k
î
/
代入速度与位置矢量的分量关系式
积分得运动方程分量式
ïìvx =dx
d
t
ï
í
ï
y
d
ïvy =
d
t
î
/
m
ìï
x = v0cos
α(
1-e-kt m )
k
ï
í
ï
/
m
mg)(
mg
v0s
i
n
α+
1-e-kt m )- t
ïy = (
k
k
k
î
消去时间t 得轨迹方程
mg ) m2g (
k
t
an
α+
x+ 2 l
n 1x)
e
y= (
kv0cos
α
mv0cos
α
k
可见,考虑空气阻力后,抛体的轨迹不再是抛物线 .
例 2.
7
一 质 量 m,半 径 r 的 球 体 在 水 中 静 止 释 放 沉 入 水 底 .已 知 阻 力 Fr =
6π
r
t).
ηv ,
η 为粘滞系数,阻力方向与运动方向相反,求任意时刻的速度 v(
图2
15
解
球体由于受重力,使其从静止开始往下运动,期间还受水对它的 阻 力 和 浮 力,这
些力都在竖直方向,因此球体竖直往下沉 .建立竖直向下的 y 轴坐标系,在 y 轴方向列牛
顿第二定律得
mg -Ff -Fr =ma
因重力和浮力不变,令c=mg -Ff ,又 Fr =-6πr
ηv ,令b=6πr
η ,则
· 46 ·
第2章
牛顿定律
c-bv =m
分离变量,积分
d
v
d
t
∫ ∫ c-bvdv
t
v(
t)
0
0
d
t=
m
c
v(
t)= (
1-e-mt)
b
b
c ,速度方向一直是竖直向下
随着t 增加,
v 越来越大,当t → ¥时,速度趋于
.
b
假若球体在水面上具有竖直 向 下 的 速 率 v0 ,且 在 水 中 重 力 和 浮 力 相 等,则 球 在 水 中
仅受阻力 Fr =-bv 的作用,求任意时刻的速度 v(
t).
解
列牛顿第二定律分量式
-bv =ma =m
分离变量积分
∫
t
∫ bvdv
d
t=-
0
d
v
d
t
v(
t)
v0
m
v(
t)=v0e-mt
球体速度方向竖直向下,速度从v0 逐渐减小,当t → ¥时,速度趋于 0.
b
2.
5 非惯性系
惯性力
牛顿定律只适用于惯性系,而 相 对 惯 性 系 作 加 速 运 动 的 参 考 系,牛 顿 定 律 则 是 不 适
用的 .这种相对惯性系作加速运动的参考系就是非惯性系 .相对地面加速运动 的 车、电 梯
以及旋转的圆盘等都是非惯性系 .
为了方便地求解非惯性系中的力学 问 题,可 引 入 惯 性 力,如 图 2
9 所 示 的 加 速 小 车,
当车以加速度a0 向右运动时,如果设想作用在质量为 m 的 小 球 上 有 一 个 惯 性 力 F0 =-
ma0 ,这个力与小球受到的弹簧拉 力 的 合 力 为 零,则 在 小 车 参 考 系 看 来 小 球 静 止,那 么 对
小车这个非惯性参考系牛顿第二定律也成立 .
如果假定有惯性力作用在物体上,那么牛顿第二定律的数学表达式为
F +F0 =ma
(
2.
14)
式 中,惯性力 F0 =-ma0 ;
a0 的是非惯性系相对惯性系的加速度;F 代表物体受到的除惯
性力以外的合外力,
a 是物体相对非惯性系的加速度 .
惯性力是在非惯性系中物体所受到的一种力,它是由于非惯性系本身的 加 速 运 动 所
引起的 .惯性力不同于物体间相互作用所产生的力,它没有施力者,当然也不存 在 反 作 用
力,从这个意义上可以说惯性力 是“假 想 力”,然 而 在 非 惯 性 系 中 这 个 惯 性 力 又 是 确 实 存
· 47 ·
大学物理(上册)
在的,是可以感受和测量的,从这个意义上可以说惯性力是“真实”力 .
在如图 2
16(
a)所示的车厢内,一根质量可略去不计的细杆,其一端固定在车厢的 顶
部,另一端系一个小球,当列车以加 速 度 a 行 驶 时,细 杆 偏 离 竖 直 线 成 α 角,相 对 列 车 静
止,求加速度a 与摆角α 间的关系?
图2
16
解
设以车厢为参考系,此参考系为非惯性系 .当细棒的摆角为α 时,小 球 受 到 的 重
力 P 、拉力 FT 和惯性力 F0 =-ma 的作用,如图2
16(
b)所示 .由于小球处于平衡状态,所
以有方程:P +FT +F0 =0
在 x 轴和y 轴上的分量式为
FTs
i
n
α - ma =0
{
解得:
a=gt
an
α
FTcos
α - mg =0
(
1)质量为 m 的物体自空中落下,它除受重力外,还受到一个与速度平方成正比的阻
力的作用,比例系数为k ,
k 为正值常量 .计算该下落物体的收尾速度(即最后物体作匀速
运动时的速度).
(
2)若地球半径缩短 1% ,而它的质量保 持 不 变,则 地 球 表 面 的 重 力 加 速 度 g 增 大 的
百分比是多少?
(
3)质量分别为 m 和 M 的滑块 A 和 B,叠放在光滑水平桌面上,如图 2
17 所示 .
A、
B
间静摩擦系数为 μs ,滑动摩擦系数为 μK ,系 统 原 处 于 静 止 .今 有 一 水 平 力 作 用 于 A 上,
要使 A、
B 不发生相对滑动,则力满足的条件是什么?
(
4)如图 2
18 所示,一个小物体 A 靠 在 一 辆 小 车 的 竖 直 前 壁 上,
A 和车壁间静摩擦
系数是 μs ,若要使物体 A 不致掉下来,小车的加速度的最小值应为多少?
(
5)如图 2
19 所示,倾角为 30
° 的一个斜面体放置在水平桌面上 .一个质量为 2kg的
物体沿斜面下滑,下滑的加速度为 3.
0m·s-2 .若此时斜面体静止在桌面上不动,求斜面
体与桌面间的静摩擦力的值 .
· 48 ·
第2章
牛顿定律
(
6)水平地面上放一物体 A,它与 地 面 间 的 滑 动 摩 擦 系 数 为 μ .现 加 一 恒 力 F ,如 图
2
20 所示 .欲使物体 A 有最大加速度,则恒力 F 与水平方向夹角θ 应满足什么的条件?
图2
17
图2
18
图2
19
图2
20
(
7)如图 2
21 所示,质量分别为 m1 和 m2 的两只球,用弹簧连在一起,且以长为 L1 的
线拴在轴 O 上,m1 与 m2 均以角速度 ω 绕轴在光滑水平面上作匀速圆周运动 .当两球之
间的距离为 L2 时,将线烧断 .计算线被烧断瞬间后,m1 的加速度 .
(
8)如图 2
22 所示,一个光滑的内表面半径为 10cm 的半球形碗,以匀角速度ω 绕其
对称轴 AB 旋转 .已知放在碗 内 表 面 上 的 一 个 小 球 P 相 对 于 碗 静 止,其 位 置 高 于 碗 底 4
cm ,则由此可推知碗旋转的角速度约为多少?
(
9)如图 2
23 所示,滑轮、绳子质量及运动中的摩擦阻力都忽略不计,物体 A 的质量
m1 大于物体 B 的质量 m2 .在 A、
B 运动过程中弹簧秤 S 的读数是多少?
(
10)在如图 2
24 所示的装置中,两个定滑轮与绳的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦
都可忽略不计,绳子不可伸长,m1 与平面之间的摩擦也可不计,在水平外力 F 的作用下,
求物体 m1 与 m2 的加速度 a 和绳子中的张力 T .
图2
21
图2
22
图2
23
图2
24
(
11)一名宇航员将去月球 .他带有一个弹簧 秤 和 一 个 质 量 为 1.
0kg 的 物 体 A.到 达
月球上某处时,他拾起一块石头 B,挂在弹簧秤上,其读数与地面上挂 A 时相同 .然后,他
把 A 和 B 分别挂在跨过轻滑轮的轻绳的两端,如图 2
25 所示 .若月球表面的重力加速度
为 1.
67 m·s-2 ,问石块 B 将如何运动? (地面 g =10 m·s-2 )
(
12)一个质量为60kg的人,站在质量为30kg的底板上,用绳和滑轮连接如图2
26
所示 .设滑轮、绳的质量及轴处的摩擦可以忽略不计,绳子不可伸长 .欲使人和底板能以 1m
·s-2 的加速度上升,人对绳子的拉力多大? 人对底板的压力多大? (取 g= 10m·s-2)
(
13)已知一个质量为 m 的质点在x 轴上运动,质 点 只 受 到 指 向 原 点 的 引 力 的 作 用,
引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比,即 f =-k/x2 ,
k 是比例常数 .设质点在
x =A 时的速度为零,求质点在 x =A/4 处的速度的大小 .
· 49 ·
大学物理(上册)
(
14)表面光滑的直圆锥体,顶角 为 2
θ ,底 面 固 定 在 水 平 面 上,如 图 2
27 所 示 .质 量
为 m 的小球系在绳的一端,绳的 另 一 端 系 在 圆 锥 的 顶 点 .绳 长 为l ,且 不 能 伸 长,质 量 不
计 .今使小球在圆锥面上以角速度 ω 绕 OH 轴匀速转动,求 ① 锥面对小球的支持力 N 和
细绳的张力 T ;② 当 ω 增大到某一值ωc 时小球将离开锥面,这时 ωc 及 T 又各是多少?
图2
25
图2
26
图2
27
(
15)如图2
28 所示,一木块在光滑水平桌面上沿一半径为 R 的圆环型皮带内表面运
动 .木块与皮带的摩擦系数为 μ ,
t=0 时木块的运动初速度为 v0 ,求木块停下来的时间 .
(
16)如图 2
29 所示,系统置于以 g/2 的加速度上升的升降机内,
A、
B 两木块质量均
为m ,
A 所处桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,计算绳子的张力 .
图2
28
· 50 ·
图2
29
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
前两章的研究对象是质点,力作用的对象是质点 .牛顿第二定律表明,外 力 使 质 点 的
运动状态发生改变,获得加速度 .在 这 一 章 中,把 力 的 作 用 对 象 扩 展 到 质 点 系 .力 作 用 于
质点或者质点系往往还会持续 一 段 时 间,或 者 一 段 距 离,这 时 需 要 考 虑 的 不 是 力 的 瞬 时
作用,而是力对时间的累积作用和力对空间的累积作用 .在这两种累积作用中,质 点 或 质
点系的运动状态也会发生变化 .但 在 一 定 条 件 下,描 述 质 点 或 质 点 系 运 动 状 态 的 某 些 物
理量,如动量或能量将保持守恒 .本章的主要内容有:动量定理和动能定理,外 力 与 内 力、
保守力与非保守力概念,以及动量守恒定律、机械能守恒定律和能量守恒定律 .
3.
1 动量定理
3.
1.
1 冲量
质点的动量定理
在第 2 章中,牛顿第二定律表述为
dp d(
mv)
F=
=
d
t
d
t
上式可变为
Fd
t=dp =d(mv)
在低速运动的情况下,质点的质量可视为不变,所以 d (
mv)可写成 mdv .此外,作用
在质点上的力通常是随时间而改变的,即力是时间的函数,F =F (t) .所以,在 时 间 间 隔
Δ
t=t2 -t1 内,上式的积分为
∫Fdt=p -p =mv -mv
t2
t1
2
1
2
1
(
3.
1)
式中,v1 和 p1 是质点在t1 时刻的速度和动量,v2 和 p2 是质点在t2 时刻的速度和动量 .
∫F (t) dt为力对时间的积分,称为力的冲量,也是矢量,用符号I 表示 .式(3.1)的物理意
t2
t1
义是:在给定时间间隔内,外力 作 用 在 质 点 上 的 冲 量,等 于 质 点 在 此 时 间 内 动 量 的 增 量,
这就是质点的动量定理 .冲量的 方 向 一 般 并 不 与 动 量 的 方 向 相 同,而 与 动 量 增 量 的 方 向
相同 .
动量 p 的物理意义可以这样来理解:由动量定理可知,在相同的冲量作用下,不同质
量的物体,其速度变化是不相 同 的,但 它 们 动 量 的 变 化 是 一 样 的,所 以 从 过 程 角 度 来 看,
· 51 ·
大学物理(上册)
动量 p 将物体的质量和速度结合在一起来描述物体的运动状态,比速度 v 更能确切地反
映物体的运动状态 .
式(
3.
1)是质点动量定理的矢量表达式,在直角坐标系中,它的分量式为
∫F dt=mv - mv ïï
Ix =
t2
t1
x
2x
1x
ü
∫
ï
ï
Fyd
t=mv2y - mv1y ý
t1
ï
ï
t2
Iz = Fzd
t=mv2z - mv1z ïï
t
þ
Iy =
t2
∫
(
3.
2)
1
由式(
3.
2)可以看出,质点在某一轴线方向的动量增量,只与该质点在此轴 线 方 向 所
受外力的冲量有关 .
3.
1.
2 质点系的动量定理
上面讨论了质点的动量定理,然而在许多问题中还需要研究由一些质点 构 成 的 质 点
系的动量变化与作用在质点系上的力之间的关系 .质点系是由多个相互作用着的 质 点 所
组成的系统 .
图3
1 内力和外力
如图 3
1 所示,在系统S 内有两个质点1 和2,它们的质量分别为 m1 和 m2 .为了区分
力对质点系运动状态的影响,将 力 分 为 内 力 和 外 力 .外 界 对 系 统 内 质 点 的 作 用 力 叫 做 外
力,系统内质点间的相互作用力则叫做内力 .设 作 用 在 两 质 点 上 的 外 力 分 别 是 F1 和 F2 ,
而两质点相互作用的内力分别为 F12 和 F21 .根据质点的动量定理,在 Δ
t=t2 -t1 时间内,
两质点所受力的冲量和动量增量分别为
∫(F +F )dt=m v -m v
∫(F +F )dt=m v -m v
t2
t1
t2
将上两式相加可得
t1
1
12
1
1
1
10
2
21
2
2
2
20
∫(F +F )dt+∫(F +F )dt
t2
t1
1
12
t2
t1
2
21
m1v1 +m2v2)- (
m1v10 +m2v20)
=(
由牛顿第三定律可知 F12 =-F21 ,所以(
3.
3)式变为
· 52 ·
(
3.
3)
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
∫(F +F )dt= (m v +m v )- (m v +m v )
t2
t1
1
2
1
1
2
2
1
10
2
20
上式表明,作用于两质点系成系 统 的 合 外 力 的 冲 量 等 于 系 统 内 两 质 点 动 量 之 和 的 增 量,
亦即系统的动量增量 .
上述结论可推广到由 n 个质 点 所 组 成 的 系 统,考 虑 到 内 力 总 是 成 对 出 现,且 每 一 对
n
i
n
力总是大小相等、方向相反,其矢量和必为零,即 ∑Fi
=0.那么,如作用于系统的合外力
i=1
用 Fex 表示,且系统的初动量和末动量分别为 p0 和 p ,由此可得,作用于系统的合外力的
冲量与系统动量的增量之间的关系为
∫
t2
n
n
t1
i=1
i=1
Fexd
t= ∑mivi - ∑mivi0 =p -p0
(
3.
4)
式(
3.
4)表明,作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量,这就是质 点 系 的 动
量定理 .
需要强调指出:作用于系统 的 合 外 力 是 作 用 于 系 统 内 所 有 质 点 的 外 力 的 矢 量 和,只
有外力才对系统的动量变化有贡献,而系统的内力是不能改变整个系统的动 量 的 .这 样,
对于研究由多个物体组成的质点系的总体运动的问题就可以化繁为简了 .
在无限小的时间间隔内,质点系的动量定理可写成
dp
Fex =
d
t
(
3.
5)
即作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时间的变化率 .
在人造卫星定轨和运行过 程 中,常 需 要 调 整 同 步 卫 星 的 运 行 轨 道 .离 子 推 进 器 产 生
的推力,能使卫星保持在适当的方位上,其基本原理就是质点系的动量定理 .
例 3.
1 矿砂以速度 v1 从传送带 A 落到传送带 B 上后,随传送带 B 以速度 v2 运动 .
已知v1 =4m·s-1 ,
v2 =2m·s-1 ,v1 和 v2 的方向如图 3
2 所示 .传送带的运送质量 K
-1
=20kg·s ,求矿砂作用在传送带 B 上的平均力 .
图3
2
解
选时间 Δ
t内落在传送带上质量为 m (m =KΔ
t)的矿砂为研究对象 .依题意,矿
砂落 到 B 上 前,动 量 为 mv1 ;落 到 B 上 后,动 量 为 mv2 .时 间 Δ
t内矿砂动量的增量
Δ(mv) =mv2 -mv1 .设时间 Δ
t 内传送带 B 作用于矿砂的平均力为 F ,根据动量定理有
FΔ
t= (Δm )v
· 53 ·
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于是
F=
(Δm )v
Δ
t
F =
(Δm )v
Δ
t
而
如图 3
2(
b)所示,可得
(Δm )v =
所以
F =K
代入数据可得
(mv1 ) 2 + (mv2 ) 2 -2mv1mv2c
os
75
°
(mv1 ) 2 + (mv2 ) 2 -2mv1mv2c
o
s
75
°
F =79.
6N
这就是矿砂对传送带的作用力的大小,方向与 F 的方向相反,由图 3
2(
b)可得
Δ(mv)
s
i
n75
°
=
即作用力的方向与初速度 v1 成 29
° 向下 .
mv2 ,
θ=29
°
s
i
n
θ
例 3.
2 一柔软链条长为l ,单 位 长 度 的 质 量 为 λ ,链 条 放 在 有 一 小 孔 的 桌 上,如 图
3
3 所示 .链条一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周围 .由于某种扰动,链条因自身重
量开始下落 .求链条下落速度v 与y 之间的关系 .设各处摩擦均不计,且认为链条柔软得
可以自由伸开 .
图3
3
解
以竖直悬挂的链条和 桌 面 上 的 链 条 为 一 系 统,建 立 坐 标 系,则 此 系 统 的 外 力 仅
为竖直悬挂的链条所受的重力,即
Fex =m1g =λ
yg
由质点系动量定理可得
Fexd
t=dp
设在时刻t ,链条下垂长度为 y ,下落速度为v ,因此这部分链条的动量为
p =m1v=λ
yv
在d
t 时间里,下垂部分链条动量的增量为
· 54 ·
dp =λd(
v)
y
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
λ
t=λd(
v)
ygd
y
即
两边同乘以 yd
y ,则
v)
d(y
yg =
d
t
v)
d(y
2
vd(y
v)
=y
y gdy =ydy
d
t
在开始时,链条尚未下落,其下落速度为零,即 (y
v ) y=0 =0,所以
∫
y
∫yvd(yv)
g y dy =
0
得
2
v
y
0
1 3 1 ( )2
v
gy =
y
3
2
即
1
æ2 ö 2
v= ç gy ÷
è3 ø
这就是链条下落速度与下落距离之间的关系 .
3.
2 动量守恒定律
当系统所受合外力为零,即 Fex =0 时,由式(
3.
4)可知,系统总动量的增量为零,即 p
-p0 =0.此时,系统的总动量保持不变,即
p = ∑mivi = 恒矢量
i
(
3.
6)
这就是动量守恒定律,它的物理意义是:当系统所受合外力为零时,系统的总动 量 将 保 持
不变 .式(
3.
6)是动量守恒定律的矢量式,在直角坐标系中,其分量式为
x
ü
Fe
x =0ï
px = ∑mivix =Cx ,
i
ï
ï
ex
Fy =0ý
py = ∑miviy =Cy ,
i
ï
ï
ex
Fz =0 ï
pz = ∑miviz =Cz ,
þ
(
3.
7)
i
式中,Cx 、Cy 和Cz 均为恒量 .
在应用动量守恒定律时应该注意以下几点:
(
1)在动量守恒定律中,系 统 的 动 量 是 守 恒 量 或 不 变 量 .由 于 动 量 是 矢 量,故 系 统 的
总动量守恒不是指 其 中 某 一 个 物 体 的 动 量 不 变,而 是 指 系 统 内 各 物 体 动 量 的 矢 量 和 不
变 .此外,各物体的动量必须都相对于同一惯性参考系 .
· 55 ·
大学物理(上册)
(
2)若系统所受的合外力虽不为零,但与系统的内力相比很小,这时可以略 去 外 力 对
系统的作用,认为系统的动量是 守 恒 的 .例 如,碰 撞、爆 炸 等 这 类 问 题 一 般 都 可 以 这 样 来
处理,所以在碰撞爆炸等过程的前后,系统的总动量可近似视为是守恒的 .
(
3)如果系统所受外力的矢量和并不为零,但合外力在某个坐标轴上的分 矢 量 为 零,
此时,系统的总动量虽不守恒,但在该坐标轴的分动量却是守恒的,这一点对处 理 某 些 问
题是很有用的 .
(
4)动量守恒定律虽是从表 述 宏 观 物 体 运 动 规 律 的 牛 顿 定 律 导 出 的,但 近 代 的 科 学
实验和理论分析都表明:在自然界中,大到天体间的相互作用,小到质子、中 子、电 子 等 微
观粒子间的相互作用都遵守动量守恒定律;而在原子、原子核等微观领域中,牛 顿 运 动 定
律却是不适用的 .因 此,动 量 守 恒 定 律 比 牛 顿 运 动 定 律 更 加 基 本,它 与 能 量 守 恒 定 律 一
样,是自然界中最普遍、最基本的定律之一 .
例 3.
3 设有一静止的原子核,衰 变 辐 射 出 一 个 电 子 和 一 个 中 微 子 后 成 为 一 个 新 的
原 子核 .已知电子和中微子的运动方向互相垂直,且电子动量为 1.
2×10-22kg·m·s-1 ,
中微子的动量为 6.
4×10-23 kg·m·s-1 .问新的原子核的动量的值和方向如何?
解
以 pe 、pν 、pN 分别代表电子、中微子和新原子的动量,且 pe 与 pν 相互垂直,如
图3
4 所示 .在原子核衰变的短暂时间内,粒子间的内力远远大于外界作用于该粒子系统
上的外力,故粒子在衰变前后的动量是守恒的,考虑到原子核在衰变前是静止 的,所 以 衰
变后电子、中微子和新原子核的动量之和应为零,即
图3
4
由于 pe 与 pν 相互垂直,则
代入数据,得
图中的α 角为
pe +pν +pN =0
2
2 1/2
pN = (
pe +pν )
36×10-22kg·m·s-1
pN =1.
pe
α =a
r
c
t
an =61.
9
°
pν
所以新原子核的动量 pN 和中微子动量 pν 之间的夹角为
θ=180
°-61.
9
°=118.
1
°
例 3.
4 如图 3
5 所示,一长为l=4m ,质量 M =150kg的船静止在湖面上 .今有质
量为 m 的人从船头走到船尾,求人和 船 相 对 于 湖 岸 各 移 动 的 距 离,设 水 对 船 的 阻 力 忽 略
· 56 ·
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
不计 .
图3
5
解
选人和船组成的系统 为 研 究 对 象,由 于 水 对 船 的 阻 力 不 计,故 系 统 在 水 平 方 向
不受外力作用,因而水平方向动量守恒 .
设以V 和v 分别表示在 任 一 时 刻 船 和 人 相 对 于 湖 岸 的 速 度,选 如 图 所 示 的 x 坐 标
轴,根据动量守恒定律,有
mv - MV =0
此式在任何时刻都成立 .设在t=0 时人在船头,时刻t 到达船尾,对上式积分,有
∫
t
∫Vdt
m vd
t=M
0
t
0
用s 和S 分别表示人和船相对于湖岸移动的距离,则有
∫
t
∫
t
s= vd
t ,S = Vd
t
0
于是有
0
ms=MS
由图可知
s+S =l
所以,代入数据可得
m
50
S=
l=
×4=1 m
M +m 150+50
s=l-S =4-1=3m
若开始时,假定人相对船的速度 为 vr ,船 相 对 湖 岸 的 速 度 为 V ,此 题 如 何 求 解? 请
读者研究 .又解本题时可否选船为参考系写出水平方向的动量守恒方程式? 为什么?
· 57 ·
大学物理(上册)
图3
6 神州六号
(
a)神舟六号准备点火;(
b)神舟六号点火升空;(
c)神舟六号发射成功
3.
3 动能定理
3.
3.
1 功
恒力 F 作用在沿直线运动的质点 M 上,如 图 3
7 所 示 .质 点 从 a 点 运 动 到b 的 过 程
中,力 F 作用点的位移为 Δr ,力与位移之间的夹角为θ ,则 力 F 在 位 移 Δr 上 的 功 W 定
义为
W =Fcos
θ Δr
(
3.
8)
图3
7 功的定义
即作用在沿直线运动质点 上 的 恒 力 F ,在 力 作 用 点 位 移 Δr 上 所 作 的 功,等 于 力 的 大 小
F 、位移的大小 Δr 以及力与位移之间夹角余弦 cos
θ 的乘积 .
根据矢量标积的定义,上式还可写为
W =F·Δr
(
3.
9)
上式表明,虽然力和位 移 都 是 矢 量,但 它 们 的 标 积———功 是 标 量,只 有 大 小 和 正 负,
没有方向 .
· 58 ·
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
如果作用在沿曲线运动质 点 上 的 力 为 变 力 时,正 如 下 面 要 讲 的,采 用 微 积 分 的 思 想
和方法,就能以上述功的定义为基础计算出质点沿任意曲线运动过程中变力的功 .
如图 3
8 所示,一质点在变力 F 的作用下沿一路径从 A 运动到 B ,在计算变力 F 在
路径AB 上所作的功时,可把 AB 分割成许多微小路程 Δ
si ,其中i=1,
2,…,
n ,与路程对
应的微小位移为 Δri .当 Δ
si 足够小时,每一段微小路程近似地看成直线,且与相应的 微
小位移 Δri 的大小相等;每一段微小路程上,力 Fi 的大小和方向均近似地看作不变,即近
似地看作恒力 .
图3
8 变力作功
根据上述恒力功的定义,力 Fi 在 Δ
si 上的功近似写成
ΔWi =Fic
os
θi Δri
式中,
θi 是Fi 与 Δri 之间的夹角 .
当 n → ¥,Δ
si →0 时,上式变为
如用 d
s 表示 d
r ,上式可写为
(
3.
10)
dW =Fc
os
θd
r
dW =Fc
os
θd
s
从上式可以看出,当 0
° <θ <90
° ,功为正值,即力对质点作正功;当 90
° <θ <180
°,
功为负值,即力对质点作负功 .
由于力 F 和位移 d
r 均为矢量,从矢量的标积定义可知,式(
3.
10)等号右边为 F 与 d
r
的标积,即
(
3.
11)
dW =F·d
r
于是,质点从 A 运动到点 B 时,变力 F 所作的功应等于力在每段位移元上所作元功
的代数和,即
∫ ∫
B
∫
B
W = dW = F ·d
r= Fcos
θd
s
A
上式是变力作功的表达式 .
A
(
3.
12)
功常用图示法来计算,如 图 3
9 所 示,图 中 的 曲 线 表 示 Fco
s
θ 随路径变化的函数关
系,曲线下的面积即为变力所作功的代数值 .
· 59 ·
大学物理(上册)
图3
9 变力作功的图示
在直角坐标系中,F 和 d
r 都是坐标x 、y 、
z 的函数,即
F =Fxi+Fyj +Fzk
d
r=dx
i+dy
z
k
j +d
因此,式(
3.
12)也可写成
∫
∫(F dx +F dy+F dz)
B
W = F·d
r=
A
B
A
x
y
z
式(
3.
13)是变力作功的另一数学表达式,它与式(
3.
12)是等同的 .
(
3.
13)
上面仅讨论一个力对质点 作 的 功,若 有 几 个 力 同 时 作 用 在 质 点 上,它 们 所 作 的 功 是
多少呢? 设力 F1 、F2 、F3 、…、Fi 、… 作用在质点上,它们的合力为 F =F1 +F2 +F3 +
… +Fi + … .由功的定义式(
3.
12)可知,此合力作的功为
∫
∫
W = F·d
r= (F1 +F2 +F3 + … +Fi + … ) ·d
r
由矢量标积的分配律,上式可变为
∫
∫
∫
∫
W = F1 ·d
r+ F2 ·d
r+ F3 ·d
r+ … + Fi·d
r+ …
即
W =W 1 +W 2 +W 3 + … +Wi + …
式(
3.
14)表明,合力对质点所作的功,等于每个分力所作的功的代数和 .
(
3.
14)
在 国际单位制中,力的单位是 N,位移的单位是 m,所以功的单位是 N·m ,把这个单
位叫做焦耳(
J
ou
l
e),简称焦,符号是 J.
功随时间的变化率叫做功率,用 P 表示,有
P =l
im
Δ
t→0
ΔW dW
=
=F·v
Δ
t
d
t
(
3.
15)
在国际单位中,功率的单位名称为瓦特(Wa
t
t),简 称 瓦,符 号 为 W.
1
kW =103 W .
例 3.
5 如图 3
10 所示,一质量为 m 的小球竖直落入水中,刚 接 触
水面时其速率为 v0 .设 此 球 在 水 中 所 受 的 浮 力 与 重 力 相 等,水 的 阻 力 为
Fr =-bv ,
b 为一正值常量 .求阻力对球作的功与时间的函数关系 .
解
图3
10
· 60 ·
由于阻力随球的速率而变化,故阻力作功属变力作功的问题 .取
水面上某点为坐 标 原 点 O ,竖 直 向 下 的 轴 为 Ox 轴 正 向 .由 功 的 定 义 可
知,水的阻力作的功为
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
∫ ∫
dx
=- bv d
∫ dt t=-b∫v dt
W = F·d
r = -bvdx
2
由第 2.
4 节中的例 2.
7 可知,仅在阻力作用下,物体下落速度与时间的关系为
b
v=v0e-mt
以小球刚落入水面时为计时起点,即t=0,则上式的积分为
∫e dt
W =-bv2
0
即
W=
t
0
2
b
-mt
1 2(-2mbt
mv0 e -1)
2
3.
3.
2 质点的动能定理
下面讨论力对空间累积作用的效果,从而得出力对物体作功与物体动能 变 化 之 间 的
关系 .
如图 3
11 所示,一质量为 m 的 质 点 在 合 外 力 F 的 作 用 下,自 点 A 沿 曲 线 移 动 到 点
B ,它在点 A 和点B 的速率分别为v1 和v2 .设作用在质点上的合外力 F 与位移元 d
r 之间
的夹角为θ .由式(
3.
11)可得,合外力 F 对质点所作的元功为
dW =F·d
r=Fcos
θd
r
图3
11 动能定理
由牛顿第二定律及切向加速度 at 的定义,有
Fcos
θ=mat =m
考虑到 d
r =d
s ,有 d
s=vd
t ,可得
dW =m
d
v
d
t
d
v
d
s=mvd
v
d
t
所以质点从点 A 到点 B 的过程中,合外力所作的总功为
∫mvdv= 2mv - 2mv
W=
v2
v1
1
2
2
1
2
1
(
3.
16)
上 式表明合外力对质点作功使得 1mv2 这个量获得了增量,而 1mv2 是与质点的运
2
2
· 61 ·
大学物理(上册)
动状态有关的参量 .把 1mv2 叫做质点的动能,用 Ek 表示,即
2
Ek =
1 2
mv
2
1 2 分别表示质点在起始和终了位置时的动能,则式
这样,Ek1 = 1mv2
mv2
1 和 Ek2 =
2
2
(
3.
16)可写成
(
3.
17)
W =Ek2 -Ek1
上式表明,合外力对质点所作的功,等于质点动能的增量 .这个结论就 叫 做 质 点 的 动
能定理 .Ek1 称为初动能,而 Ek2 称为末动能 .
关于质点的动能定理,还有以下两点应予说明:
(
1)功与动能之间的联系和区别 .只有合外力对质点作功,才能使质点的动 能 发 生 变
化 .功是能量变化的量度,功是与在外力作用下质点的位置移动过程相联系的,故 功 是 一
个过程量,而动能是决定于质点的运动状态的,故它是运动状态的函数 .
(
2)与牛顿第二定律一样,动能定理也适用于惯性系 .此外,由相对运动 的 讨 论 可 知,
在不同的惯性系中,质点的位移和速度都是不同的,所以,功和动能是与参考系 的 选 取 有
关的 .
例 3.
7 如图 3
12 所示,物体 M 的质量为 m ,弹簧劲度系数为 k ,
A 板及弹簧 质 量
均可忽略不计,求自弹簧原长 O 处,突然无初速地加上物体 M 时,弹簧的最大压缩量 .
图3
12
解
以物体 M 为研究对象,物体受重力 P 和支持力 N 的作用,以 A 板为研究对象,
A 板受压力 N
′ 及弹性力F 的 作 用 .由 于 A 板 质 量 不 计,故 N′ =F .由 牛 顿 第 三 定 律 可
知,N =N′ ,故 N =F .若以弹簧原长 O 处为坐标原点并竖直向下作 Ox 轴 .设弹簧最大
压缩量为λmax ,显然物体从起始位置 x1 =0,移动到末了位置 x2 =λmax 的过程中,重力和
支持力的功分别为
W 1 =mgλmax
∫ -kxdx =- 2kλ
W2 =
· 62 ·
λmax
0
1
2
max
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
可见,重力对物体作正功,支持力对物体作负功 .按题意物体在起始位置 x1 =0 及末
了位置 x2 =λmax 处的速度均为零,根据动能定理,有
1 2
mgλmax - k
λmax =0-0
2
故
mg
λmax =2
k
请思考:物体到达 x2 =λmax 时,是否会一直静止在该位置? 为什么?
3.
4 保守力与非保守力 势能
3.
4.
1 几种常见力作功
1.万有引力
如图 3
13 所示,有两个质量分别为 m 和 m′ 的质点,其中质点 m
′ 固定不动,m 经任
意路径由点 A 运动到点 B ,如取 m
′ 的位置为坐标原点,设 A 、B 两点对 m′ 的距离分别
为rA 、
rB .在某一时刻质点 m 距质点m′ 的距离为r ,位矢为r ,这时质点 m 受质点m′ 的
万有引力为
m′m
F =-G 3 r
r
图3
13 万有引力作功
当 m 沿路径移动位移元 d
r 时,万有引力作的功为
m′m ·
r d
r
r3
dW =F·d
r=-G
因为
所以
r·d
r=rd
r
m′m
dW =F·d
r=-G 2 d
r
r
· 63 ·
大学物理(上册)
于是,质点 m 从点 A 沿任一路径到达点 B 的过程中,万有引力作的功为
∫ ∫ -G r dr=Gm′m (r -r )
B
rB
A
rA
W = dW =
1
m′m
2
B
1
A
(
3.
18)
上式表明,当质点的质量 m
′ 和m 给定时,万有引力作的功只取决于质点 m 的起始和
终了的位置,而与所经过的路径无关 .若质点 m 经 任 意 路 径 再 回 到 点 A ,则 万 有 引 力 作
功为零 .这是万有引力作功的一个重要特点 .
2.弹性力
图3
14 是一放置在光滑平面上的弹簧,弹簧的一端固定,另一端与一质量为 m 的物
体相连接 .当弹簧在水平方向不 受 外 力 作 用 时,它 将 不 发 生 形 变,此 时 物 体 位 于 点 O ,这
个位置叫做平衡位置 .现以平衡位置 O 为坐标原点,向右为 Ox 轴正向 .
图3
14 弹簧的伸长
若物体受到沿 Ox 轴正向的外力F′ 作 用,弹 簧 将 沿 Ox 轴 正 向 被 拉 长,弹 簧 的 伸 长
量即其位移为 x .根据胡克定律,在弹性 限 度 内,弹 簧 的 弹 性 力 F
′ 与 弹 簧 的 伸 长 量x 之
间的关系为
F =-kxi
式中,
k 称为弹簧的劲度系数 .
在弹簧被拉长的过程中,弹性力是变力,但弹簧位移为 d
x 时的弹性力F 可近似看成
是不变的 .于是,弹簧位移为 d
x 时,弹性力作的元功为
dW =F·d
x =-kxi·dx
i=-kxdx
这样,弹簧的伸长量由 x1 变到 x2 时,弹性力所作的功就等于各个元功之和,数值等
于图 3
15 所示梯形的面积 .由积分计算可得
∫ ∫ -kxdx =- (2kx - 2kx )
W = dW =
x2
x1
1
图3
15 弹性力作功
2
2
1
2
1
(
3.
19)
从式(
3.
19)可得,对在弹性 限 度 内 具 有 给 定 劲 度 系 数 的 弹 簧 来 说,弹 性 力 所 作 的 功
· 64 ·
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
只由弹簧起始和终了的位置(x1 和 x2)决定,而和弹簧形变的过程无关 .若物体由 x2 的
位置再回到 x1 的位置,则整个过程中弹性力所作的功为零 .
3.摩擦力
一质量为 m 的质点,在固定的粗糙水平面上,由起始位置 M1 沿任意曲线路径移动到
位置 M2 ,所经路径的长度为s ,如图 3
16 所示 .作用于 质 点 的 摩 擦 力 F 在 这 个 过 程 中 所
作的功为
∫ Fcosαds
W=
M2
M1
图3
16 摩擦力作功
由于摩擦力 F 的方向始终跟质点速度的方向相反,而力的大小为 F =μmg ,滑动摩
擦因数 μ 为常数,则有
W =-μmgs
上式表明,摩擦力作功,不 仅 与 始 末 位 置 有 关,而 且 与 质 点 运 动 的 路 径 有 关,质 点 从
某位置沿任意闭合路径一周再回到原位置时,摩擦力所作的功并不为零 .
3.
4.
2
保守力与非保守力
从上述对万有引力和弹性 力 作 功 的 讨 论 中 可 以 看 出,它 们 所 作 的 功 仅 与 质 点 的 始、
末位置有关,而与路径无关,作 功 具 有 这 种 特 点 的 力 叫 做 保 守 力 .然 而,物 理 学 中 并 非 所
有的力都具有作功与路径无关这一特点,例如摩擦力,它所作的功就与路径有 关 .这 种 作
功与路径有关的力叫做非保守力 .
如何用一个统一的数学式,把各种保守力作功与路径无关这一特点 表 达 出 来 呢? 如
图3
17(
a)所示,设一质点在保守力作用下自点 A 沿路径 ACB 到达点 B ,或沿路径 ADB
到达点 B .根据保守力作功与路径无关的特点,有
∫ F·dr+∫ F·dr
W ACB =W ADB =
ACB
ADB
(
3.
20)
显然,此 积 分 结 果 只 是 A 、B 两 点 位 置 的 函 数,如 果 质 点 沿 如 图 3
17(
b)所 示 的
ACBDA 闭合路径运动一周时,保守力对质点作的功为
∮
∫ F·dr+∫ F·dr
W = F ·d
r=
l
由于
ACB
BDA
∫ F·dr=-∫ F·dr
BDA
ADB
· 65 ·
大学物理(上册)
所以
∮
∫ F·dr-∫ F·dr=0
W = F ·d
r=
l
ACB
ADB
(
3.
21)
上式表明,质点沿任意闭合路径运动一周时,保守力对它所作的功为零 .式(
3.
21)是
保守力作功特点的数学表达式 .除 万 有 引 力 和 弹 性 力 是 保 守 力 以 外,库 仑 力 和 分 子 力 等
也是保守力,它们沿闭合路径作功都符合式(
3.
21).
图3
17 保守力作功
3.
4.
3 势能
势能曲线
从上面的讨论中,已经知道保守力作功只与质点的始末位置有关,为 此,引 入 势 能 概
念 .把与质点位置有关的能量称作质点的势能,用符号 Ep 表示 .于是,它们的势能分别为
万有引力势能
m′m
Ep =-G
r
(
3.
22)
1
Ep = kx2
2
(
3.
23)
弹性势能
质点在地球表面附近距地面高为 z 时,具 有 的 引 力 势 能 称 为 重 力 势 能,其 值 为 Ep =
mgz ,可由式(
3.
22)求得 .由式(
3.
22)可知,质点在距地球表面为z 处的引力势能与在地
球表面上的引力势能之差为
1ù
é 1
z
ú =-GmmE
EP,RE+z -EP,RE =-GmmE êê
ëRE +z RE úû
RE (RE +z)
式中,RE 和 mE 为 地 球 的 半 径 和 质 量,由 于 质 点 位 于 地 球 表 面 附 近,故 RE (RE +z) ≈
RE2 ,上式可近似写成
EP,RE+z -EP,RE ≈ G
mmE
z
RE 2
由于地球表面附近重力加速度 g =GmE/RE 2 ,且取地球表面作为重力势能为零的参
考点,即 EP,RE =0,那么,从上式可得 EP,RE+z =mgz ,一般写成
EP =mgz
(
3.
17c)
W =- (mgz2 - mgz1 )
(
3.
17d)
因此,重力作功可写为
· 66 ·
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
式中,
z1 和z2 分别为始点和终点距地面的高度 .
式(
3.
18)、式(
3.
19)和式(
3.
20)可统一写成
W =- (
Ep2 -Ep1)=-ΔEP
(
3.
24)
上式表明,保守力对质点作的功等于质点势能增量的负值 .
在一维情况下,由式(
3.
24)可得
∫ F (x) dx =-ΔE (x) =- [E (x +Δx) -E (x) ]
x+dx
x
p
p
p
对于足够小的 Δx 来说,在积分范围内 F (x ) 可视为恒定的,于是有
F (x ) =在 Δx →0 的情况下,得
ΔEp
Δx
dEp
F (x ) =dx
(
3.
25)
上式表明,
作用于质点上的保守力在 Ox 轴上的分量,
等于势能对坐标x 的导数的负值.
为了加深对势能的理解,再作一些讨论 .
(
1)势能是状态的函数,在 保 守 力 作 用 下,只 要 质 点 的 始 末 位 置 确 定 了,保 守 力 所 作
的功也就确定了,而与所经过的路径无关 .势 能 是 坐 标 的 函 数,亦 即 是 状 态 的 函 数,即 Ep
x,
z).
=Ep(
y,
(
2)势能具有相 对 性,势 能 大 小 与 势 能 零 点 的 选 取 有 关 .一 般 选 地 面 的 重 力 势 能 为
零,引力势能的零点 取 在 无 限 远 处,而 水 平 放 置 的 弹 簧 处 于 平 衡 位 置 时,其 弹 性 势 能 为
零 .选取不同的势能零点,物体的势能就具有不同的值 .所以,势能具有相对 意 义 .但 任 意
两点之间的势能之差是绝对的 .
(
3)势能属于系统的,势能是由于系统内各物体间存在保守力相互作用而 产 生 的,因
而它属于系统的 .单独谈单个质点的势能是没有意义的 .通常情况下,为了叙述方便,也常
说某物体的重力势能、万有引力势能等,但是读者必须明确势能是属于系统的这一概念 .
势能曲线
从上述讨论可知,当坐标系和势能零点确定后,质点的势能就仅是坐标的函数,即 Ep
x,
z).按照此函数关系画出的势能随坐标变化的曲线,就称为势能曲 线 .图 3
18
=Ep(
y,
是重力势能曲线,该曲线是一条直线;图 3
19 是弹性势能曲线,该曲线是一条通过原点的
抛物线,原点为平衡位置,它是弹性势能 的 最 小 值 .图 3
20 是 万 有 引 力 势 能 曲 线,是 一 条
双曲线 .从图中可见,当r → ¥时,万有引力势能趋于零 .
图3
18 重力势能曲线
图3
19 弹性势能曲线
图3
20 万有引力势能曲线
· 67 ·
大学物理(上册)
由式(
3.
25)可知,势能曲线 上 某 点 处 的 斜 率 的 负 值 即 为 该 点 处 的 保 守 力 .可 以 利 用
势能曲线来判断质点在某点处所受的保守力的正负,也可利用势能曲线判断系统 的 稳 定
性 .如图 3
19 所示的弹性势能曲线中,点 O 处的斜率为零,由此可知质点位 于 点 O 时 所
受的弹性力为零,质点处于平衡状态 .
3.
5 功能原理
前面讨论了质点机械运动的能量———动能和势能,以及合外力对 质 点 作 功 引 起 质 点
动能改变的动能定理 .但是,在 许 多 实 际 问 题 中,需 要 研 究 由 许 多 质 点 构 成 的 质 点 系 .这
时系统内的质点,既受到系统内 各 质 点 之 间 相 互 作 用 的 内 力,又 可 能 受 到 系 统 外 的 质 点
对系统内质点作用的外力 .
3.
5.
1 质点系的动能定理
设一质点系内有 n 个质点,作用于各个质点的力所作的功分别为 W 1 、W 2 、W 3 …,使
各质点由初动能 Ek10 、Ek20 、Ek30 …变为末动能 Ek1 、Ek2 、Ek3 … .对于质点系内的任意
质点,由质点的动能定理可得
W 1 =Ek1 -Ek10
W 2 =Ek2 -Ek20
W 3 =Ek3 -Ek30
……
以上各式相加,有
n
n
n
i=1
i=1
i=1
∑Wi = ∑Eki - ∑Eki0
n
(
3.
26)
n
n
i=1
i=1
式 中,∑Eki0 是系统内n 个质点的初动能之和;∑Eki 是这些质点的末动能之和,∑Wi
i=1
则是作用在 n 个质点上的力所作的功之和 .因此,上式的物理意义是:作用于质点系 的 力
所作之功,等于该质点系的动能增量,这也叫做质点系的动能定理 .
正如前面所说,质点系内的质点所受的力,既有外力,也有相互作 用 的 内 力 .因 此,作
用于质点系的力所作的功 ∑Wi ,应是所有外力对质点系所作的功 ∑Wiex =W ex 与质点
i
n
i
n
系内所有内力所作的功 ∑Wi
=W 之和,即
这样式(
3.
26)可写成
· 68 ·
n
n
n
i=1
i=1
i=1
ex
i
n
ex
i
n
∑Wi = ∑Wi + ∑Wi =W +W
n
n
i=1
i=1
W ex +Win = ∑Eki - ∑Eki0
(
3.
27)
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
这是质点系动能定理的另一数 学 表 达 式,它 表 明,质 点 系 的 动 能 的 增 量 等 于 作 用 于 质 点
系的所有外力作的功与所有内 力 作 的 功 之 和 .由 前 面 讨 论 的 质 点 系 动 量 定 理 可 知,内 力
不会改变质点系的动量,但由式(
3.
27)可 知,内 力 会 改 变 质 点 系 的 动 能 .通 常 情 况 下,质
点系的内力所作的功不为零 .仅 在 某 些 特 殊 情 况 下,如 刚 体 或 内 力 与 质 点 相 对 运 动 的 方
向垂直时,内力所作的功才等于零 .
3.
5.
2 质点系的功能原理
前面已经指出,作用于质点系的力,有保守力与非保守力 .因此,如以 Wicn 表示质点系
内各保守力作功之和,Winnc 表示质点系内各非保守力作功之和,那么,质点系所有内力所
作的功可以写成
Win =Wicn +Winnc
此外,从式(
3.
24)已知,系统内保守力作的功等于势能增量的负值,因此,有
Wicn =- (∑Epi - ∑Epi0)
考虑以上两点,式(
3.
27)可写为
i
i
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
i=1
W ex +Winnc = (∑Eki + ∑Epi)- (∑Eki0 + ∑Epi0)
(
3.
28)
在力学中,动能和势能统称为机械能,若以 E0 和 E 分别代表质点系的初机械能和末
机械能,那么,式(
3.
28)可写成
W ex +Winnc =E -E0
(
3.
29)
上式表明,质点系的机械能 的 增 量 等 于 外 力 与 非 保 守 力 作 功 之 和,这 就 是 质 点 系 的
功能原理 .
功和能量既有联系又有区 别,功 总 是 和 能 量 的 变 化 与 转 换 过 程 相 联 系,功 是 能 量 变
化与转换的一种量度 .而能量是 代 表 质 点 系 在 一 定 状 态 下 所 具 有 的 作 功 本 领,它 和 质 点
系的状态有关,对机械能来说,它与质点系统的机械运动状态有关 .
例 3.
8 雪橇从高 50m 的山顶 A 点沿冰道由静止下滑,坡道 AB 长为 500m ,如图
3
21 所示 .滑至点 B 后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在 C 处 .若μ=0.
050.
求雪橇沿水平冰道滑行的路程 .
图3
21
解
把雪橇、冰道和地球视为一 个 整 体,故 作 用 于 雪 橇 的 力 只 有 重 力 P 、支 持 力 FN
和摩擦力 Ff .只有保守内力(重 力)和 非 保 守 内 力 (摩 擦 力)作 功 .由 功 能 原 理 可 知,雪 橇
· 69 ·
大学物理(上册)
在下滑过程中,摩擦力所作的功为
W =W 1 +W 2 = (EP2 +Ek2 ) - (EP1 +Ek1 )
式 中,W 1 和 W 2 分别为雪橇沿斜坡下滑和沿水平冰道运动时摩擦力作的功;EP1 和 Ek1 为
雪橇在山顶时的势能和动能;EP2 和 Ek2 为雪橇静止在水平滑道上的势能和动能 .
以
若取水平滑道处的势能为零 .由题意可得:EP1 =mgh ,Ek1 =0,EP2 =0,Ek2 =0,所
W =W 1 +W 2 =-mgh
由功的定义可得
∫
∫
W 1 = F·d
r=-
因斜坡的角度很小 (c
o
s
θ ≈ 1) ,故
B
∫
B
Ffd
r=- μmgcos
θd
r
A
A
W 1 =-μmgs
′
∫
W 2 = F·d
r=-μmgs
所以
h
s= -s
′
μ
代入数据可得
s=500 m
例 3.
9 一个质量 m =2kg 的物体从静止开始,沿四分之一的圆周从 A 滑到 B ,如
图3
22 所示 .已知圆的半径 R =4m ,设物体在 B 处的速度v =6m/s,求在下滑过程中,
摩擦力所作的功 .
图3
22
解
在物体从 A 到B 的下滑过程中,不仅有重力 P 的作用,而且还有摩擦力 fr 和正
压力 N 的作用,
fr 与 N 两者都是变力 .N 处处和物体运动方向垂直,所以是不作功的,但
摩擦力所作的功却因为它是变力而 使 计 算 复 杂 .把 物 体 和 地 球 作 为 系 统,则 物 体 在 A 点
时系统的能量EA 是系统的势能 mgR ,而在 B 点时系统的能量EB 则是动能 1mv2 ,则它
2
们的差值就是摩擦力所作的功,因此
W =EB -EA =
· 70 ·
1 2
mv - mgR =-42.
4J
2
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
负号表示摩擦力对物体作负功,即物体反抗摩擦力作功 -42.
4J.
3.
6 机械能守恒定律和能量守恒定律
3.
6.
1 机械能守恒定律
前面讨论了机械能以及机械能和外力作功之间的关系 .本节将讨论机械 能 之 间 相 互
转换的情况,并由此说明机械能守恒的条件 .为使问题具体化,讨论图 3
14 所示的弹簧振
子的振动过程,设这个弹簧振子是在无摩擦的水平面上振动,它在振动中,距离 平 衡 位 置
的最大位移为 A ,通常将 A 叫做振幅 .振 子 在 最 大 位 移 处 的 弹 性 势 能 最 大,等 于 1kA2 ,
2
但动能为零;当振子在弹性回复力作用下运动到平衡位置时,弹性势能为零,而 动 能 达 到
最大值 .由于振子惯性的作用,它 经 过 平 衡 位 置,又 运 动 到 负 向 最 大 位 移 处,弹 性 势 能 再
次变为最大值,而动能又等于零 .如 此 周 而 复 始 地 来 回 振 动,振 幅 始 终 保 持 不 变 .在 此 振
动中,动能和势能相互转换,但它们的总和保持不变,机械能是守恒的 .
如果上述弹簧振子在粗糙 的 水 平 面 上 振 动,情 况 就 不 一 样 了,振 动 系 统 的 机 械 能 由
于摩擦力的作用,将不断地减少 .虽 然 在 振 动 中,动 能 和 势 能 仍 在 不 断 地 相 互 转 换,但 振
幅却愈变愈小,机械能因摩擦力存在而不再守恒 .
以上的讨论表明,当没有外 力 和 非 保 守 内 力 作 功 时,振 动 系 统 的 动 能 和 势 能 可 以 相
互转换,但它们的总 和 即 机 械 能 保 持 不 变 .当 有 非 保 守 力 存 在 时,不 管 它 是 外 力 还 是 内
力,机械能不再守恒 .
根据质点系的功能原理式(
3.
29)可以看出,当 W ex +Winnc =0 时,有
E =E0
即
∑E + ∑E = ∑E + ∑E
k
i
i
p
k
i
0
i
0
p
(
3.
30)
(
3.
31)
它的物理意义是:当作用于质点 系 的 外 力 和 非 保 守 力 内 力 不 作 功 时,质 点 系 的 总 机 械 能
是守恒的,这就是机械能守恒定律 .
机械能守恒定律的数学表达式(
3.
30)还可写成
∑E - ∑E =- ( ∑E - ∑E )
k
i
即
k
i
0
i
p
i
0
p
ΔEk =-ΔEp
(
3.
32)
可见,在满足机械能守恒的条件下,质点系内的动能和势能可以相互转换,但动 能 和 势 能
之和却是不变的,所以说,在机械能守恒定律中,机械能是不变量或守恒量 .
· 71 ·
大学物理(上册)
3.
6.
2 能量守恒定律
一个不受外界作用的系统叫做孤立系统 .对于孤立系统,外力所作的 功 必 然 为 零 .如
果系统状态变化时,有非保守 内 力 作 功,它 的 机 械 能 当 然 就 不 守 恒 了 .但 大 量 实 验 证 明,
一个孤立系统经历任何变化时,该 系 统 的 所 有 能 量 的 总 和 都 是 不 变 的,能 量 只 能 从 一 种
形式变化为另一种形式,或从系统内一个物体传给另一个物体 .这就是能量守恒定律 .
因为能量是各种运动的一般量度,所以能量守恒定律所阐明的实质就是 各 种 物 质 运
动可以相互转换 .但是,就物质或运动本身来说,却是既不能创造,也不会消 灭 的 .在 历 史
上有不少具有物质不灭与运动 守 恒 思 想 的 人 .我 国 明 末 清 初 的 王 夫 之 就 是 其 中 的 一 个 .
他在《周易外传 .系辤下传》中说:“太 虚 者,本 动 者 也 .动 以 人 动,不 滞 不 息”.太 虚 指 的 是
物质,把物质的本性说成是动的,而且不仅如此,他还以实验观察为基础,列 举 了 烧 柴、炼
汞等事例,阐明物体虽有生成有 毁 坏,但 不 过 是 变 成 别 的 东 西 而 已,物 质 并 没 有 消 灭 .我
们的祖先很早就在物质不消灭思想 方 面 有 这 样 的 认 识,不 能 不 使 我 们 感 到 骄 傲 .到 了 19
世纪,经过迈耶(
J.
L.Meye
r)、焦 耳(
J.
P.
Jou
l
e)和 亥 母 霍 兹(H.
Von.He
lmho
l
t
z)等 人 的
努力,建立了普遍的能量守恒定律 .恩格斯把能量守恒定律同生物的进化、细胞 的 发 现 相
提并论,誉为 19 世纪三个最伟大的科学发现 .
例 3.
10 如图 3
23 所示,一轻弹簧的一端系在铅直放置的圆环的顶点 P ,另一端系
一质量为 m 的小球,小球穿过圆环并在环上运动(μ =0).开始球 静 止 于 点 A ,弹 簧 处 于
自然状态,其长为环半径 R ;当球运动到环的 底 端 点 B 时,球 对 环 没 有 压 力 .求 弹 簧 的 劲
度系数 .
图3
23
解
以弹簧、小球和地球为一系统,小球与地球间的重力、小球与弹簧 间 的 作 用 力 均
为保守力 .而圆环对小球的支持力和点 P 对弹簧的拉力虽然都是外力,但都不作功 .所以
小球从 A 运动到B 的过程中,系统的机械能守恒 .因小球在点 A 时弹簧为自然状态,故取
点 A 的弹性势能为零,另取点 B 时的小球的重力势能为零 .由机械能守恒可得
又
1 2 1 2
mvB + kR =mgR (
2-s
i
n30
°)
2
2
v2B
kR - mg =m
R
所以弹簧的劲度系数为
· 72 ·
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
2mg
k=
R
例 3.
11 如图 3
24 所示,在一弯曲管中,稳流着不可压缩 的 密 度 为ρ 的 流 体 .pa =
va =v1 ,
vb =v2 .求流体的压强 p 和速率v 之间的关系 .
p1 、Sa =A1 ,pb =p2 ,Sb =A2 .
图3
24
解
取如图所示坐标,在 d
t 时间内,a 、
b 处流体分别移动 dx1 、dx2 .
dW p =p1A1dx1 -p2A2dx2
A1dx1 =A2dx2 =d
V
dW p = (
d
V
p1 -p2)
dW g =-dm·g(
d
V
y1 -y2)=-ρ·g(
y1 -y2)
1
1
(
d
V -ρ·g(
d
V = ρd
Vv2
d
Vv2
21 = 常量
p1 -p2)
y2 -y1)
2
2ρ
伯努利方程
1 2 常量
v =
p +ρ
gy + ρ
2
若将流管放在水平面上,即 y1 =y2 .则有
1 2 常量
v =
p+ ρ
2
即
若
则
1 2
1 2
v1 =p2 + ρ
v2
p1 + ρ
2
2
p1 > p2
v1 <v2 .
3.
7 碰
撞
如果两个或几个物体在相 遇 时,物 体 之 间 的 相 互 作 用 仅 持 续 一 个 极 为 短 暂 的 时 间,
· 73 ·
大学物理(上册)
这些现象就是碰撞,所以“碰撞”的 含 义 比 较 广 泛,除 了 球 的 撞 击、打 桩、锻 铁 外,分 子、原
子、原子核等微观粒子的相互作用等过程也都是碰撞过程,甚至如人从车上跳 下、子 弹 打
入墙壁等现象,在一定条件下也可看作是碰撞过程 .在碰撞过程中,由于相互作 用 的 时 间
极短,相互作用的冲力又极大,碰撞物体所受的其他作用力相对来说都很小,可 以 忽 略 不
计,因此,在处理碰撞问题时,常 将 相 互 碰 撞 的 物 体 作 为 一 个 系 统 来 考 虑,可 以 认 为 系 统
内仅有内力的相互作用,所以这 一 系 统 应 遵 从 动 量 守 恒 定 律 .下 面 以 两 球 碰 撞 为 例 进 行
讨论 .
如果两球在碰撞前的速度 在 两 球 的 中 心 连 线 上,那 么,碰 撞 后 的 速 度 也 都 在 这 一 连
线上,这种碰撞称为对心碰撞(或称正碰撞).用 v10 和 v20 分别表示两球在碰撞前的速度,
v1 和 v2 分别表示在碰撞后的速度,m1 和 m2 分别为两球的质量(见图 3
25).应用动量守
恒定律得
m1v10 +m2v20 =m1v1 +m2v2
(
3.
33)
图3
25
(
a)碰撞前;(
b)碰撞时;(
c)碰撞后
在上式中,假定碰撞前后各个速度都沿同一方向(在图 3
25 中速度都向右,均取正值).
牛顿从实验中总结出一个碰撞定律:碰 撞 后 两 球 的 分 离 速 度(v2 -v1),与 碰 撞 前 两
球的接近速度(v10 -v20 )成正比,比值由两球的材料性质决定,即
v2 -v1
e=
v10 -v20
(
3.
34)
通常把e 叫做恢复系数(在斜碰的情况下,式中的分离速度与接近速度都是指沿碰撞接触
法线方向上的相对速度).如果e=1,则碰 撞 后 两 球 的 分 离 速 度,与 碰 撞 前 两 球 的 接 近 速
度相等,这种碰撞叫做完全弹性碰撞;如果e=0,则v2 =v1 ,亦即两球碰撞后以同一速度
运动,并不分开,把这种碰撞称作完全非弹性碰撞 .可以证明,在完全弹性碰 撞 过 程 中,机
械能是守恒的;在完全非弹性碰 撞 过 程 中,机 械 能 并 不 守 恒 .所 以,把 总 有 一 部 分 机 械 能
损失的碰撞也称作非弹性碰撞 .
由式(
3.
33)和式(
3.
34)可得
v1 =v10 -
(1+e) m2 (v10 -v20 )
m1 +m2
(1+e) m1 (v10 -v20 )
v2 =v20 m1 +m2
根据式(
3.
35),讨论如下两类极端情形 .
· 74 ·
(
3.
35)
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
3.
7.
1 完全弹性碰撞
令e=1,则由式(
3.
35)可得
v1 =
(m1 -m2 )v10 +2m2v20
m1 +m2
(m2 -m1 )v20 +2m1v10
v2 =
m1 +m2
(
3.
36)
当两球质量相等,即 m2 =m1 时,代入式(
3.
36)可得
v1 =v20 ,
v2 =v10
这时,两球经过碰撞将交换 彼 此 的 速 度 .例 如,如 果 第 二 小 球 原 为 静 止,则 当 第 一 小
球与它正碰时,第一小球就停下来,并把速度传递给它 .
如设两球的质量相近,则 m1 与 m2 愈 相 近 时,就 愈 接 近 上 述 情 况 .在 原 子 反 应 堆 中,
常用石墨或重水作为中子的减速 剂,就 是 考 虑 到 中 子 和 这 些 轻 原 子 核 (碳 原 子 核 或 重 氢
原子核)碰撞时易于减速的缘故 .
当 m2 ≠ m1 ,质量为 m2 的物体在碰撞前静止不动,即v20 =0,则从式(
3.
36)可得
v1 =
如果 m2 ≫ m1 ,那么
(m1 -m2 )v10
2m1v10
,
v2 =
m1 +m2
m1 +m2
m1 -m2
2m1
≈-1 ,
≈0
m1 +m2
m1 +m2
所以
v1 ≈-v10 ,
v2 ≈0
即质量极大并且静止的物体,经 碰 撞 后,几 乎 静 止 不 动,而 质 量 极 小 的 物 体,在 碰 撞 前 后
的速度方向相反,大小几乎不变,皮球和地面的碰撞近似地就是这种情形 .皮球 竖 直 地 落
到地面上,以相反方向跳回,而且几乎达到原有的高度 .气体分子与器壁垂直地 相 撞 时 也
是这种情形 .
如果 m1 ≫ m2 ,则
m1 -m2
2m1
≈1 ,
≈2
m1 +m2
m1 +m2
所以
v1 ≈v10 ,
v2 ≈2
v10
即,质量很大的物体和静止的质量很小的物体正碰后,几乎不改变速度,而质量 很 小 的 物
体则以 2 倍的速 度 被 “撞 飞 ”.例 如,运 动 的 铅 球 和 静 止 的 乒 乓 球 发 生 正 碰 时 就 是 这 种
情形 .
3.
7.
2 完全非弹性碰撞
在完全非弹性碰撞中,
e=0,由式(
3.
35)得
· 75 ·
大学物理(上册)
m1v10 +m2v20
v1 =v2 =
m1 +m2
(
3.
37)
例 3.
12 宇宙中有密度为ρ 的尘埃,这些尘埃相对惯性参考系静止 .有一质量为 m0
的宇宙飞船以初速v0 穿过宇宙尘埃,由于尘埃粘贴到飞船上,使飞船的速度发生改变 .求
飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系 .(设想飞船的外形是面积为 S 的圆柱体)
图3
26
解
尘埃与飞船作完全非弹性碰撞
m0v0 =mv
在d
t 时间内,粘贴到飞船上的尘埃质量为
m0v0
dm =ρ
Svd
t=- 2 d
v
v
代入初始条件,上式积分为
∫
由此可得
∫
d
v ρ
S t
d
t
3 =
v0 v
m0v0 0
v
/
12
m0
) v0
v= (
2
Sv0t+m0
ρ
飞船在尘埃中飞行的时间越长,速度就越低,尘埃使飞船减速 .
3.
8 质心
质心运动定律
3.
8.
1 质心
在研究多个物体组成的系统时,质心是个很重要的概念 .现在,考虑由 一 刚 性 轻 杆 相
连的两个质点系成的简单系统 .当我们将它斜向上抛出时,如图 3
27 所示,它在空间的运
动是很复杂的,每个质点的轨道 都 不 是 抛 物 线 形 状 .但 实 践 和 理 论 都 证 明 两 点 连 线 中 的
某点 C 却仍然作抛物线的运动 .C 点的运动规律就像两质点的 质 量 都 集 中 在 C 点,全 部
外力也像是作用在 C 点一样,这个特殊点 C 就是质点系系统的质心 .
所谓质心实际上是与质点系统质量分布有关的一个代表点,它的位置在 平 均 意 义 上
代表着质量分布的中心 .如果用 mi 和ri 表示系统中第i 个质点的质量和位矢,用rC 表示
· 76 ·
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
质心的位矢,则质心位置的三个直角坐标定义为
xC = ∑mixi/M üï
ïï
yC = ∑miyi/M ý
ï
/
zC = ∑mizi M ïþ
(
3.
38)
式中,M = ∑mi 为质点系统的总质量 .
图3
27 质心的运动轨迹
以上三式为计算平均值的普遍公式,也可写成矢量式
rC = ∑miri/M
如果把质量连续分布的物体当作质点系,求质心时就要把求和改为积分
∫
rC = rdm/M
则质心位置的三个直角坐标为
∫
∫
∫
ü
xC = xdm/M ï
ï
ï
yC = ydm/M ý
ï
ï
zC = zdm/M ï
þ
(
3.
39)
(
3.
40)
(
3.
41)
例 3.
13 求腰长为 a 的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置 .
解
因为等腰直角三角形 关 于 直 角 的 角 平 分 线 对 称,所 以 质 心 位 于 此 角 分 线 上,即
28 所示 .
yC =0.以此分角线为 x 轴,建立坐标轴如图 3
图3
28
在离原点 x 处,取 宽 度 为 dx 的 面 积 元,由 于 面 积 元 的 高 度 为 2y ,所 以 其 面 积 为
2ydx =2xdx .设薄板每单位面积的质量为σ ,则此面积元的质量为
dm =2
σ
xdx
· 77 ·
大学物理(上册)
根据式(
3.
41)可得此三角形质心坐标 xC 为
∫ =∫ 2σx dx = 2a
3
∫dm ∫ 2σxdx
xC =
a/ 2
xdm
0
a/ 2
2
0
这个结果和熟知的三角形重心位置一致 .必须注意,重心和质心是两 个 不 同 的 概 念,
不能混为一谈 .一个物体的质心,是物体运动中由其质量分布所决定的一个特 殊 点,对 于
一个有一定形状和大小的自由物体来说,如原为静止,当外力的作用线通过其 质 心 时,物
体将只作平动,而没有转动 .就 这 一 情 形 而 言,物 体 的 质 量 好 像 集 中 在 质 心 上,重 心 则 是
地球对物体各部分引力的合力(即重力)的作用点,两者的意义不同 .当物体远离 地 球,不
受重力的作用,重心这个概念便失去意义,而质心却依然是存在的 .
例 3.
14 水分子 H2O 的结构如图 3
29 所示 .每个氢原子 和 氧 原 子 之 间 距 离 均 为 d
-10
6
° .求水分子的质心 .
=1×10 m ,氢原子和氧原子两条连线间的夹角为θ=104.
图3
29
解
选如图所示的坐标系,由于氧 原 子 的 中 心 位 于 坐 标 原 点 O ,两 个 氢 原 子 对 x 轴
对称,故质心 C 在y 轴上的坐标yC =0,根据式(
3.
41)可得质心 C 在x 轴上的坐标为
n
xC =
∑mx
i i
mHds
i
n37.
7
° +mO ×0+mHds
i
n37.
7
°
=
m
m
m
+
+
H
O
H
∑mi
i=1
将 mH =1.
0u ,mO =16u 代入上式可得
xC =6.
8×10-12m
即质心处于图 3
29 中 y =0,x =6.
8×10-12m 处,其位矢为
rC =6.
8×10-12mi
3.
8.
2 质心运动定理
当系统中每个质点都在运动时,系统质心的位置也要发生变化,现在,从 牛 顿 第 二 定
律和第三定律直接推导出质心运动定理 .
设有一个质点系,由 n 个质点系成,它的质心的位矢为
· 78 ·
miri m1r1 +m2r2 + … +mnrn
rC = ∑
=
m1 +m2 + … +mn
∑mi
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
由此求得质心的速度为
d
ri
mi
d
rC ∑
d
t ∑mivi
vC =
=
=
d
t
∑mi
∑mi
(
3.
42)
dvi
mi
dvC ∑
d
t ∑miai
aC =
=
=
d
t
∑mi
∑mi
(
3.
43)
而质心的加速度为
根据牛顿第二定律,系统中各个质点的运动方程为
m1a1 =m1
m2a2 =m2
……
miai =mi
……
dv1
=F1 +f12 +f13 + … +f1i + … +f1n
d
t
dv2
=F2 +f21 +f23 + … +f2i + … +f2n
d
t
dvi
=Fi +fi1 +fi2 + … +fin
d
t
mnan =mn
dvn
=Fn +fn1 +fn2 + … +fn (n-1)
d
t
式中,F1 、F2 、… 、Fi 、… 、Fn 表示系统外的物体对各个质点的作用力,即为系统所受的
外力;而 f12 、f21 、… 、fin 表示系统内 各 质 点 之 间 的 相 互 作 用 力,这 些 力 即 为 系 统 的 内
力.
根据牛顿第三定律,内力在系统内总是成对地出现的,它们之间满足关系式f12 +f21
=0,… ,fin +fni =0,… .因此,把上列各式相加后可得
m1a1 +m2a2 + … +miai + … +mnan =F1 +F2 + … +Fi + … +Fn
或者写成
∑ma = ∑F
i i
i
将上式代入式(
3.
43),并令 m = ∑mi 表示系统的总质量,即得
dvC ∑Fi ∑Fi
aC =
=
=
d
t
m
mi
或者写成
∑
∑F =ma
i
C
(
3.
44)
这就是质心运动定理 .它告诉我们:不管物体的质量如何分布,也不管 外 力 作 用 在 物
体的什么位置上,质心的运动就 像 是 物 体 的 全 部 质 量 都 集 中 于 此,而 且 所 有 外 力 也 都 集
中作用其上的一个质点的运动一样 .
· 79 ·
大学物理(上册)
3.
8.
3 柯尼希定理
如图 3
30 所示,坐标系 C -x
′y
′
z
′ 的原点固定在质点系的质心C 上,并随质心 C 在
静止系 Oxyz 中平动 .将坐标系 C-x
′y
′
z
′ 称为质心坐标系或质心系 .质点系中某一点 Pi
对定点 O 的位矢为ri ,对 C 的位矢为r
′i ,而 C 对 O 的位矢则为rC .
图3
30
根据图 3
30 可得
ri =rC +r
′i
(
3.
45)
vi =v
′i +vC
(
3.
46)
上式两边对时间求导可得
即点 Pi 相对于静止参考系的速度vi ,等于其相对质心的速度 v
′i 和质心相对静止参考系
的速度 vC 的矢量和,这与伽利略变换是一致的 .
在静止参考系中观测,质点系的动能为
Ek =
=
=
n
1
mivi2
∑
2i
=1
n
1
mi (vC +v
′i ) 2
∑
2i
=1
n
n
1 2 1
mvC + ∑miv
′i2 +vC · ∑miv
′i
2
2 i=1
i=1
n
n
d
因r
′i 是 Pi 相对于质心C 的位矢,故有 ∑miv
′i = ∑mir
′i =0.这样,上式变为
d
ti=1
i=1
n
1
1
Ek = mv2C + ∑miv
′i2
2
2 i=1
(
3.
47)
式中,1mv2C 为质 点 系 全 部 质 量 集 中 在 质 心 而 运 动 时 的 动 能,称 之 为 质 心 的 动 能;而
2
n
1
miv
′i2 则为质点系中各质点相对质心系运动时的动能 .故质点系的动能为 质 心 的 动
∑
2i
=1
能和各质点对质心动能之和,这 个 关 系 称 为 柯 尼 希 定 理 .这 是 质 点 系 动 能 的 另 一 种 表 示
形式 .
例3.
15 设有一质量为2m 的弹丸,从地面斜抛出去,它飞行在最高点处爆炸成质量
· 80 ·
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
相等的两个碎片,如图 3
31 所示,其中一个 竖 直 自 由 下 落,另 一 个 水 平 抛 出,它 们 同 时 落
地 .问第二个碎片落地点在何处?
图3
31
解
选弹丸为一系 统,爆 炸 前、后 质 心 运 动 轨 迹 都 在 同 一 抛 物 线 上 .建 立 图 示 坐 标
系,m1 =m2 =m ;x1 和 x2 为两碎片落地时距原点 O 的距离;xC 为弹丸碎片落地时质心
离原点的距离 .
由图 3
31 可知
x1 =0
从式(
3.
41)可得
m1x1 +m2x2
xC =
m1 +m2
将 m1 =m2 =m 代入上式可得
x2 =2xC
即第二个碎片的落地点与第一 个 碎 片 落 地 点 的 水 平 距 离 为 碎 片 质 心 与 第 一 个 碎 片 水 平
距离的两倍 .
例 3.
16 一长为l 、密度均匀的柔软 链 条,其 单 位 长 度 的 质 量 为λ .如 图 3
32 所 示,
将其卷成一堆放在地面 .若手提链条的一端,以匀速 v 将其上提 .当一端被提离地 面 高 度
为 y 时,求手的提力 .
图3
32
解
建立图示坐标系链条质心的坐标 yC 是变化的
∑my
y
y +λ(
λ
l-y)×0
y2
2
=
=
yC =
λ
l
2
l
∑mi
i
i i
i
竖直方向作用于链条的合外力为 F -λ
yg .
· 81 ·
大学物理(上册)
由质心运动定理有
F -y
λ
λ
g =l
而
d2yC
d
t2
yö÷ 2
d2yC 1 éê æçd
d2yù
+y 2 úú
êë èd
2 =
tø
d
t û
l
d
t
考虑到
y
d
=v
d
t
及
d2y d
v
= =0
t
d
t2 d
得到
F -y
λ
λ
g =l
所以
d2yC
v2
l
λ·
2 =
l
d
t
F =λ
v2
yg +λ
(
1)一质量为 m 的小球 A,在距离地面某一高度处以 速 度 v 水 平 抛 出,触 地 后 反 跳 .
在抛出t 秒后小球 A 跳回原高度,速度仍沿水平方向,速度大小也与抛出时相同,如图 3
-
33 所示 .求小球 A 与地面碰撞过程中,地面给它的冲量的大小和方向 .
(
2)一质点的运动轨迹如图 3
34 所示 .已知质点的质量为 20g,在 A 、B 二位置处的
速率都为 20m·s-1 ,vA 与 x 轴成 45
° 角,vB 垂直于 y 轴,求质点由 A 点到B 点这段时
间内,作用在质点上外力的总冲量 .
图3
33
图3
34
(
3)一物体质量 m =2kg ,在合外力 F=(
3+2
t)
i(
S
I)的作用下,从静止开始运动,式
中i 为方向一定的单位矢量,求当t=1s时物体的速度 .
(
4)静水中停泊着两只质量 皆 为 M 的 小 船 .第 一 只 船 在 左 边,其 上 站 一 质 量 为 m 的
人,该人以水平向右速度 v 从第 一 只 船 上 跳 到 其 右 边 的 第 二 只 船 上,然 后 又 以 同 样 的 速
· 82 ·
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
率v 水平向左地跳回到第一只船上 .求此 后 第 一 只 船 运 动 的 速 度 为 v1 ;第 二 只 船 运 动 的
速度为 v2 .
(
5)如图 3
35 所示,质量为 M 的木块在光滑的固定斜面上,由 A 点从静止开始下滑,
当经过路程l 运动到 B 点时,木块被一颗水平飞来的子弹射中,子弹立即陷入木块内 .设
子弹的质量为 m ,速度为 v ,求子弹射中木块后,子弹与木块的共同速度 .
(
6)如图 3
36 所示,有两 个 长 方 形 的 物 体 A 和 B 紧 靠 着 静 止 放 在 光 滑 的 水 平 桌 面
上,已知 mA =2kg ,mB =3kg .现有一质量 m =100g 的子弹以速率v0 =800m·s-1 水
平射入长方体 A,经t=0.
01s,又射入长方体 B,最后停留在长方体 B 内未射出 .设子弹
射 A 时所受的摩擦力为 F =3×103 N ,求:① 子弹在射入 A 的过程中,
B 受到 A 的作用
力的大小;② 当子弹留在 B 中时,
A 和 B 的速度大小 .
(
7)如图 3
37 所示,质量为 M =1.
5kg的物体,用一根长为l=1.
25m 的细绳悬挂在
天花板上 .今有一质量为 m =10g的子弹以v0 =500m·s-1 的水平速度射穿物体,刚穿出
物体时子弹的速度大小v=30m·s-1 ,设穿透时间极短 .求:① 子弹刚穿出时绳中张力的
大小;② 子弹在穿透过程中所受的冲量 .
图3
35
图3
36
图3
37
(
8)一质量为 m 的 质 点 在 Oxy 平 面 上 运 动,其 位 置 矢 量 为 r =acosωt
i +bs
i
nωt
j
(
S
I),式中 a 、
b 、ω 是正值常量,且 a >b .① 求质点在 A 点 (a,0) 时和 B 点 (0,b) 时
的动能;② 求质点所受的合外力 F 以及当质点从 A 点运动到 B 点的过程中 F 的分力 Fx
和Fy 分别作的功 .
(
9)质量 m =2kg的质点在力 F=12
t
i(
S
I)的作用下,从静止出发沿 x 轴正向作直线
运动,求前 3 秒内该力所作的功 .
(
10)如图 3
38 所示,一斜面倾角为θ ,用与斜面成α 角的恒力F 将一质量为 m 的物
体沿斜面拉升了高度h ,物体与斜面间的摩擦系数为 μ .求摩擦力在此过程中所作的功 .
(
11)在图 3
39 中,沿 着 半 径 为 R 圆 周 运 动 的 质 点,所 受 的 几 个 力 中 有 一 个 是 恒 力
方向始终沿 x 轴正向,即 F0 =F0i .当质点从 A 点沿逆时针方向走过 3/4 圆周到达 B
F0 ,
点时,力 F0 所作的功 .
(
12)如图 3
40 所示,质量为 m 的小球系在劲度系数为k 的轻弹簧一端,弹簧的另一
端固定在 O 点 .开始时弹簧在水平位置 A ,处于自然状态,原长为l0 .小球由位置 A 释放,
下落到 O 点正下方位置 B 时,弹簧的长度为l,求小球到达 B 点时的速度大小 .
· 83 ·
大学物理(上册)
图3
38
图3
39
图3
40
(
13)一质量为 m 的质点在指向圆心的平方反比力 F =-k/
r2 的作用下,作半径为r
的圆周运动 .求此质点的速度v .若取距圆心无穷远处为势能零点,求它的机械能 E .
(
14)如图 3
41 所示,一弹簧原长l0 =0.
1m ,劲度系数k=50N·m-1 ,其一端固定在
半 径为 R=0.
1m 的半圆环的端点 A ,另一端与一套在半圆环上的小环相连 .求当把小环
由半圆环中点 B 移到另一端C 的过程中,弹簧的拉力对小环所作的功 .
(
15)光滑水平面上有一轻弹簧,劲度系数为k ,弹簧一端固定在 O 点,另一端拴一个
质量为 m 的物体,弹簧初始时处于自由伸长状态,若此时给物体 m 一个垂直于弹簧的初
1
速度v0 ,如图 3
42 所示,求当物体速率为 v0 时弹簧对物体的拉力 f .
2
(
16)如图 3
43 所示,劲度系数为 k 的弹簧,一端固定于墙上,另一端与一质量为 m1
的木块 A 相接,
A 又与质量为 m2 的木块 B 用不可伸长的轻绳相连,整个系统放在光滑水
平 面上 .现在以不变的力 F 向右拉m2 ,使 m2 自平衡位置由静止开始运动,求木块 A、
B系
统所受合外力为零时的速度,以及此过程中绳的拉力 T 对 m1 所作的功,恒力 F 对 m2 所
作的功 .
图3
41
图3
42
图3
43
(
17)两球质量分别为 m1 =2.
0g ,m2 =5.
0g ,在光滑的水平桌面上运动 .用直角坐
-1
标 Oxy 描述其运动,两者速度分别为 v1 =10
icm·s-1 ,v2 = (3.
0
i+5.
0
j) cm·s .若
碰撞后两球合为一体,求碰撞后两球速度 v 的大小;v 与x 轴的夹角α .
(
18)粒子 B 的质量是粒子 A 的质量的 4 倍,开始时粒子 A 的速度 vA0 =3
i+4
j ,粒
子 B 的速度 vB0 =2
i-7
j ;在无外力作用的情况下两者发生碰撞,碰后粒子 A 的速度变为
vA =7
i-4
j ,求此时粒子 B 的速度 vB .
(
19)如图 3
44 所示,质量 m 为 0.
1kg 的木块,在一个水平面上和一个劲度系数k 为
20N·m-1 的轻弹簧碰撞,木块将弹簧由原长压缩了 x =0.
4m .假设木块与水平面间的
· 84 ·
第3章
动量守恒定律与机械能守恒定律
滑动摩擦系数 μk 为 0.
25,问在将要发生碰撞时木块的速率v 为多少?
(
20)如图 3
45 所示,自动卸料 车 连 同 料 重 为 G1 ,它 从 静 止 开 始 沿 着 与 水 平 面 成 30°
的斜面滑下 .滑到底端时与处于自然状态的轻弹簧相碰,当弹簧压缩到最大时,卸 料 车 就
自动翻斗卸料,此时料车下降高度为 h .然后,依靠被压缩弹簧的弹性力作用又沿斜面回
到原有高度 .设空车重量为 G2 ,另外假定摩擦阻力为车重的 0.
2 倍,求 G1 与 G2 的比值 .
图3
44
图3
45
(
21)如图 3
46 所示,在半径为 R 的 均 质 等 厚 大 圆 板 的 一 侧 挖 掉 半 径 为 R/2 的 小 圆
板,大小圆板相切,求余下部分的质心 .
(
22)求半径为 a 的均质半圆球的质心(见图 3
47).
图3
46
图3
47
· 85 ·
第4章
刚体的转动
一般说来,物体受到 外 力 或 内 力 作 用,其 形 状 和 大 小 都 会 有 相 应 的 变 化 .若 形 变 很
小,以致可以忽略不计,对研究 结 果 无 明 显 影 响,或 者 在 外 力 作 用 下,物 体 内 各 部 分 质 元
间距离保持不变,这种理想化的质点系组成的力学研究对象称为刚体,也叫做“不 变 质 点
系”.与质点类似,刚体是一种固 体 物 件 的 理 想 化 模 型,是 一 种 特 殊 的 质 点 系 统,因 而,可
运用已知的质点系的运动规律去研究刚体 .
刚体最基本的运动 形 式 是 平 动 和 转 动 .若 刚 体 中 所 有 点 的 运 动 轨 迹 都 保 持 完 全 相
同,或者说刚体内任意两点间的 连 线 总 是 平 行 于 它 们 的 初 始 位 置 间 的 连 线,称 刚 体 作 平
动,如图 4
1 所示 .若刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动,这种运动叫转动,这条直
线叫做转轴 .如果转轴的位置或方向是随时间而变的,这个转轴称为瞬时转轴;若 不 随 时
间而变,这种转轴称为固定转轴,此时刚体的转动叫做定轴转动,如图 4
2 所示 .
图4
1 刚体的平动
图4
2 刚体的转动
刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的合成 .如质量分 布 均 匀 的 车
轮在水平面上作无滑动的滚动(见图 4
3).由图 4
3 可以看出,车轮中心点 O 沿直线向前
运动,其它点既向前移动同时又绕过 O 点且垂直车轮所在平面的轴转动 .
图4
3 车轮的转动
· 86 ·
第4章
刚体的转动
4.
1 刚体的定轴转动
4.
1.
1 描述刚体定轴转动的转动参量
刚体绕某一固定轴转动时,其 上 各 质 元 都 在 垂 直 于 转 轴 的 平 面 内 作 圆 周 运 动,且 所
有质元的矢径在相同的时间内 转 过 的 角 度 相 同 .根 据 这 一 特 点,常 取 垂 直 于 转 轴 的 平 面
为参考系,这个平面称转动平面 .虽 然 刚 体 上 各 质 元 的 线 速 度、加 速 度 一 般 是 不 同 的,但
由于各质元的相对位置保持不变,所以描述各质元运动的角量,如角位移、角速 度 和 角 加
速度都是一样的 .因此,描述刚体的运动时,用角量最为方便 .从运动学的角 度,确 定 定 轴
转动刚体的位置只需要一个独立坐标,即角坐标 .
如 图4
4 所示,刚体绕固定轴 Oz 轴转动,在参考平面上取一参考线作为 Ox 坐标轴 .
图4
4 定轴转动刚体的可用角量说明
这样,刚体的方位可由 Ox 轴转到 OP (P 为参考平面上任一点)的夹角θ 来表示 .
θ
称作绕定轴转动刚体的角位置或角坐标 .规定自 Ox 轴逆时针转向θ 为正 .刚体定轴转动
的运动学方程
θ=θ(
t)
(
4.
1)
绕定轴转动的刚体在 Δ
t 时间内角坐标的增量 Δθ 称为该段时间内的角位移,国际单
位制中,角坐标和角位移单位为弧度,符号为 r
ad.
Δθ=θ(
t+Δ
t)-θ(
t)
(
4.
2)
刚体角位移 Δθ 与发生这一角位移所用时间 Δ
t 之比定义为平均角速度ω ,其单位为
弧度·秒 -1 ,符号为 r
ad·s-1 .
Δθ
ω=
Δ
t
-
在Δ
t →0 时的极限称作刚体在t 时刻的瞬时角速度,简称角速度,记作 ω
ω =l
im
Δ
t→0
Δθ d
θ
=
Δ
t d
t
(
4.
3)
(
4.
4)
· 87 ·
大学物理(上册)
角速度矢量 ω 的方向与刚体转 动 方 向 呈 右 手 螺 旋 关 系:如 图 4
5 所 示,把 右 手 的 拇
指伸直,其余四指弯曲,使弯曲的方向与刚体转动方向一致,此时拇指所指的方 向 就 是 角
速度的方向 .在刚体定轴转动中,角 速 度 的 方 向 沿 转 轴 方 向,只 可 能 有 两 个 方 向 (沿 转 轴
向 上或向下),通常用正负表示其方向 .取逆时针转动ω >0,顺时针转动ω <0.若角速度
的大小不随时间变化,称刚体作匀角速转动 .
图4
5 角速度矢量
工程技术上,常用每分钟转数 n 表示转动快慢,它与角速度的大小有如下关系
2
πn πn
ω=
=
60 30
(
4.
5)
Δω
α=
Δ
t
(
4.
6)
平均角加速度用于表征刚体转动的角速度在一段时间内变化的快慢
瞬时角加速度表征刚体转 动 角 速 度 变 化 的 快 慢,若 角 加 速 度 不 随 时 间 改 变,称 为 匀
角速度转动 .
α =l
im
Δ
t→0
Δω dω
=
Δ
t d
t
(
4.
7)
角 加速度α 可正可负,当ω 与α 同号时,转动加快,异号时减慢 .角加速度的单位为弧度·
秒 -2 ,符号为 r
ad·s-2 .
4.
1.
2 刚体定轴转动的运动方程
角速度和角加速度在描述刚 体 定 轴 转 动 中 所 起 的 作 用 与 质 点 直 线 运 动 中 的 速 度 和
加速度的作用相似 .因此常把它们对应起来看待,速度和角速度相对应,加速度 与 角 加 速
度相对应 .
对于变角加速转动,可运用式(
4
7)、式(
4
4)求 得 角 量θ 、ω 、
α 之 间 的 关 系 式 .若 是
匀角加速转动,可得
ω =ω0 +α
t
1 2
θ=θ0 +ωt+ α
t
2
结合式(
4
8)、式(
4
9),消去参数t ,可得
ω2 -ω2
α(
θ-θ0)
0 =2
(
4.
8)
(
4.
9)
(
4.
10)
1 2及 2
上述结果与质点匀变速直线运动公式v=v0 +a
t 、x =x0 +v0t+ a
t
v -v2
0=
2
· 88 ·
第4章
刚体的转动
2
a(
x -x0)相类似 .请读者注意比较 .
4.
1.
3 转动角量与线量的关系
描述刚体整体转动的角位移、角 速 度 和 角 加 速 度 等 称 为 “角 量”,而 描 述 刚 体 内 各 质
点作圆周运动的位移、速度和加 速 度 等 物 理 量 称 作 线 位 移、线 速 度 和 线 加 速 度,即 为 “线
量”.线量和角量的关系如何呢?
图4
6 角量与线量的关系
如图 4
6 所示,刚体以角速度 ω 作 定 轴 转 动 .刚 体 内 任 一 质 点 P 的 线 速 度 与 角 速 度
之间的关系为
v=r
ω
P 点的切向加速度和法向加速度分别为
d
v
at = =r
α
d
t
v2
an = =ω2r
r
(
4.
11)
(
4.
12)
(
4.
13)
利用角速度矢量,可进一步以矢量矢积表示刚体上 P 点的线速度v 和角速度ω 的关
系,即
v =ω ×r
(
4.
14)
dv dω
d
r
a=
=
×r+ω × =α ×r+ω ×v
d
t d
t
d
t
(
4.
15)
at =α ×r
(
4.
16)
其线加速度为
其中 α ×r 为切向加速度,ω ×v 是法向加速度,即
an =ω ×v
(
4.
17)
4.
2 刚体的动量和质心运动定律
动量是物理学中的一个重要的物理量,质点系的动量可表示为 p = ∑mivi 或者p =
· 89 ·
大学物理(上册)
mvc .由于刚体为不变质点系,上述两式仍适用 .因刚体内任意两质点之间距离保持不变,
故其质心相对于刚体的位置亦不变,对刚体而言,用 p =mvc 来表示动量更方便 .
4.
2.
1 刚体的质心
在 Oxyz 坐标系中,质点系的质心坐标为
mixi
xC = ∑
∑mi
miyi
, yC = ∑
∑mi
mizi
, zC = ∑
∑mi
(
4.
18)
刚体是特殊的不变质点系,以上各式同样适用于刚体 .注意,以上各式 仅 适 用 于 刚 体
质量分立分布的情况 .若是质量连续分布的刚体,可用积分法求其质心,即
∫xdm,y =∫ydm,z =∫zdm
∫dm ∫dm ∫dm
xC =
C
C
(
4.
19)
引入质量面密度σ 或体密度ρ ,质量的微分 dm 可写作 dm =σdS 或者 dm =ρd
V .根据对
称性可以判断质心,若刚体匀质,且 其 形 状 具 有 对 称 性,则 其 质 心 必 在 对 称 轴 上;如 果 刚
体不是匀质的,但其质量分布和几何形状具有相同的对称轴,则其质心必在此 对 称 轴 上;
若质量分布和几何形状具有几条对称轴,则质心必位于几条对称轴的交点上 .
如果刚体由几部分组成,可 先 求 出 不 同 部 分 的 质 心 坐 标,然 后 再 按 照 刚 性 质 点 系 来
处理,如下式所示
mixiC
xC = ∑
∑mi
miyiC
, yC = ∑
∑mi
miziC
, zC = ∑
∑mi
(
4.
20)
式中,xiC 、yiC 和ziC 分别表示刚体中第i 部分的质心坐标 .
例 4.
1 在半径为 R 的均质等厚度的大圆板的一侧挖掉半径为 R/2 的小圆板,大小
圆板相切,求余下部分的质心 .
图4
7 求阴影部分的质心
解
大圆板是一个整体,小圆板及剩 下 月 牙 形 是 局 部 .选 择 如 图 4
7 所 示 坐 标 系,考
虑到对称性,剩下部分质心必然位于 x 轴上,仅需求其 x 坐标 .
用σ 表示圆板单位面积的质量,即质量面密度 .整个圆板质量为 m =σπR2 ,质心坐标
为 xC =0,小圆板质 量 为 m1 = 1σπR2 ,质 心 坐 标 为 x1C = R .余 下 部 分 的 质 量 为 m2 =
4
2
· 90 ·
第4章
刚体的转动
3
σπR2 ,质心坐标用 x2C 表示,代入式(
4.
20),
4
3
R 1
x2C · πR2σ+ · πR2σ
4
2 4
0=
πR2σ
求得
x2C =-
R
6
4.
2.
2 刚体的动量和质心运动定律
刚体的动量
p = ∑mivi = ∑mi
=m
将质心运动定律运用于刚体,得
d
ri d
= ∑miri
d
t d
t
d
rC
d (∑miri)
=m
=mvC
d
t m
d
t
dvC
dp
F=
=m
=maC
d
t
d
t
式中,F 表示刚体所受外力矢量和;
aC 为其质心加速度 .
(
4.
21)
(
4.
22)
例 4.
2 一圆盘形均质飞轮质量为 m =5.
0kg ,半径为r=0.
15 m ,转速为 n =400
r· mi
n-1 .飞轮作匀速转动 .飞轮质心距转轴d=0.
001m ,求飞轮作用于轴承的压力 .计
入飞轮质量但不考虑飞轮重量(这 意 味 着 仅 计 算 由 于 飞 轮 的 转 动 使 轴 承 受 到 的 压 力,不
考虑飞轮所受重力对该压力的影响).
解
将飞轮看作刚体并取作隔离体 .其质心偏离转轴,质心沿半径为 d 的圆周运动,
其向心加速度 aC =ω2d ,其角速度
nπ 400×3.
1415
ω= =
9r
ad·s-1
≈41.
30
30
由于飞轮转动时,不 计 重 力,飞 轮 仅 受 轴 承 约 束,即 在 绕 定 轴 转 动 时 受 到 弹 性 支 撑
力,记作 F .根据质心运动定律,
F =mω2d =5.
0×41.
92 ×0.
001=8.
8N
本题要求转子作用于轴承的压力 F
′ ,它是力 F 的反作用力,与力 F 大小相等方向相
反,力 F 由质心指向转轴,而力 F
′ 由 转 轴 指 向 质 心 .此 力 随 着 飞 轮 的 转 动 而 不 断 的 改 变
方向 .
4.
3 刚体定轴转动的转动定律
实践(如推门)表明,刚体作定轴转动时,其转动状态的改变不仅与外力 的 大 小 有 关,
· 91 ·
大学物理(上册)
还与外力方向及其作用点有关 .由此,引入力矩的概念,用于描述外力对刚体转 动 的 作 用
效果 .
4.
3.
1 力矩
如图 4
8 所示,刚体绕 Oz 轴转动,力 F 作用于转动平面上 P 点(注:若外力不在刚体
的转动平面内,则力 F 应理解为外力在该平面内的分力),P 点相对点 O 的位矢为r .
图4
8 力矩矢量
定义力 F 对 Oz 轴的力矩为
M =r×F
(
4.
23)
力 F 与位矢r 的夹角为θ ,从点 O 到力F 作用线的垂直距离d =rs
i
n
θ ,称作力对转
轴的力臂 .力矩大小 M =rFs
i
n
θ=Fd ,M 的方向垂直于由r 与F 所决定的平面,可由图
4
8 所示的右手法则确定:右手拇指伸直,弯曲的四指由r 经由小于 π 的角度θ 转向 F 的
方向,此时拇指所指方向就是力 矩 的 方 向 .在 国 际 单 位 制 中,力 矩 的 单 位 为 牛 顿 · 米,符
号为 N·m .注意,力矩与参考点的选择有关 .
刚体由很多小质元组成,每 个 小 质 元 除 了 受 到 外 力 还 有 其 他 质 元 对 它 的 内 力 作 用,
那么这些成对出现的内力矩的矢量和是多少呢? 如图 4
9 所示,根据牛顿第三定律,质元
i 和质元j 之间的相互作用力Fij =-Fji ,二力作用在一条直线上,且 Fij 和Fji 到O 轴的
垂 直距离相等,都等于 d ,故作用力 Fij 与反作用力Fji 对O 轴的力矩大小相等方向相反,
相互抵消 .可见成对出现的内力对同一转轴的力矩矢量和为零,即刚体的内力 矩 为 零,即
∑M =0.这样,讨论刚体的定轴转动时不需考虑其内力矩的影响 .
i
n
图4
9 作用力与反作用力的力矩
· 92 ·
第4章
刚体的转动
4.
3.
2 转动定律
刚体是不变质点系,如 图 4
10 所 示,刚 体 绕 Oz 轴 转 动,其 中 第 j 个 质 点 的 质 量 为
ex
n
和内力Fi
应用牛顿第二定律,
mj,作半径为rj 的圆周运动 .质元 mj 受到外力Fj
j 作用,
可得
ex
i
n
Fj
+Fj =mjaj
图4
10 作用力与反作用力的力矩
取上式的切向分量,则质元 mj 的切向运动方程为
ex
i
n
Fj
ajt
t +Fjt =mj
ajt 是质元 mj 的切向加速度 .由式(
4.
12)切向加速度与角加速度之间的关系为ajt =rjα ,
则上式变为
ex
i
n
Fj
rjα
t +Fjt =mj
用rj 乘以上式左右两端,得
ex
n
2
Fj
rj +Fi
rj =mjrj
α
t
jt
ex
n
式中,Fj
rj 、Fi
rj 分别是外力和内力切向分力的力矩 .
t
jt
由于外力和内力在法向的分力均通过 Oz 转轴,故其力矩为零 .因而,上式左边可理
ex
n
解为作用于质元j 的外力矩 Mj
和内力矩 Mi
j 之和 .
将上式应用到整个刚体上,也就是对上式两端求和,有
∑M + ∑M = ∑mrα
j
ex
j
i
n
j
j
n
而刚体内力矩的和为零,即 ∑Mi
则
j =0,
j
j
2
j j
(
4.
24)
∑M = ∑mrα
j
ex
j
j
2
j j
上式左边即为刚体所受的合外力矩,用 M 表示,有
2
)
M = ∑(
mjrj
α
j
2
)取决于刚体的质量分布及其与转 轴 的 相 对 位 置,即 只 与 刚 体 本 身
式中的 ∑ (
mjrj
j
的性质和转轴的位置有关,称 为 转 动 惯 量 .对 于 作 定 轴 转 动 的 刚 体 而 言,它 是 一 个 常 量,
用 J 表示,即
2
J = ∑mjrj
j
(
4.
25)
· 93 ·
大学物理(上册)
则
(
4.
26)
M =J
α
式(
4.
26)表明,刚体作定轴 转 动 的 角 加 速 度 与 它 所 受 的 合 外 力 矩 成 正 比,与 刚 体 的
转动惯量成反比,这个关系叫做 刚 体 定 轴 转 动 的 转 动 定 律 .转 动 定 律 与 牛 顿 第 二 定 律 相
比:力使质点产生加速度,而力矩可产生角加速度 .
4.
3.
3 转动惯量
1.转动惯量的物理意义
将式(
4
26)与牛顿第二定律的数学表达式 F =ma 作比较,发现它们的形式类似,三
对物理量一一对应:外力矩 M 与外力 F 对应,转动惯量 J 与质量 m 对 应,角 加 速 度α 与
加速度a 相对应 .由此,转动惯量 J 对物体转动所起的作用,与质量 m 对质点平动所起的
作用类似,其物理意义是刚体定轴转动惯性的量度 .
在国际单位制中,转动惯量的单位是千克·米2 ,符号是 kg·m2 .
2.转动惯量的求法
对于分立的刚体系统,由式(
4
25)可直接求得其转动惯量 .如果刚体质量是连续分布
的,则转动惯量可用积分法求得,即
∫
(
4.
27)
J = r2dm
实际计算中只有对于形状 简 单、质 量 连 续 且 均 匀 分 布 的 刚 体,才 能 用 积 分 的 方 法 算
出它们的转动惯量 .对于任意刚 体 的 转 动 惯 量,通 常 采 用 实 验 方 法 测 定 .同 一 刚 体,质 量
对不同转轴的分布不同,转动惯量也不同,因 而 转 动 惯 量 具 有 相 对 性 .表 4
1列出了几种
常见刚体的转动惯量 .
细棒(转动轴通过中心与棒垂直)
ml2
J=
12
(
a)
· 94 ·
表4
1 几种刚体的转动惯量
圆柱体(转动轴沿几何轴)
J=
2
mR
2
(
b)
薄圆环(转动轴沿几何轴)
J = mR2
(
c)
第4章
刚体的转动
(续表)
球体(转动轴沿球的任一直径)
J=
圆筒(转动轴沿几何轴)
2mR
5
2
J=
细棒(转动轴通过棒的一端
m (2
R1 +R2
2)
2
(
e)
(
d)
与棒长垂直)
J=
ml2
3
(
f)
例 4.
3 如图 4
11 所示,求质量 为 m 、长 为l 的 均 匀 细 棒 对 下 面 三 种 转 轴 的 转 动 惯
量:(
1)转轴通过棒的中心并与 棒 垂 直;(
2)转 轴 通 过 棒 的 一 端 并 与 棒 垂 直;(
3)转 轴 通 过
棒上距中心为 h 的一点并与棒垂直 .
图4
11
解
如图 4
11 所示,在棒上离轴 x 处,取一长度元 dx ,如棒的质量线密度为λ ,这长
度元的质量为 dm =λdx .
① 当转轴通过中心并与棒垂直时,有
∫
∫
JO = r2dm =
1
因λ
l=m ,代入得:J0 = ml2
12
+l/2
λ
l3
λ
x2dx =
-l/2
12
② 当转轴通过棒的一端 A 并与棒垂直时,有
∫
l
λ
l3 ml2
JA = λ
x2dx = =
0
3
3
③ 当转轴通过棒上距中心为 h 的一点 B 并与棒垂直时,有
∫
JB =
l/2+h
λ
x2dx =
-l/2+h
ml2
2
+ mh
12
例 4.
4 如图 4
12 所 示,求 圆 盘 对 于 通 过 中 心 并 与 盘 面 垂 直
的转轴的转动惯量 .设圆盘的半径为 R ,质量为 m ,密度均匀 .
解
设圆盘的质量面密度为σ ,在 圆 盘 上 取 一 半 径 为r 、宽 度
为d
r 的圆环,环的面积为 2π
rd
r ,环的质量 dm =σ2π
rd
r .可得:
图4
12
· 95 ·
大学物理(上册)
∫
∫
R
π
σR4 1
2
J = r2dm = 2π
σ
r3d
r=
= mR
0
2
2
3.关于计算转动惯量的几个定理
若已知刚体绕质心轴的转 动 惯 量,通 过 以 下 几 个 定 理,可 以 求 出 刚 体 绕 其 它 轴 的 转
动惯量 .
(
1)平行轴定理 .
如图 4
13 所示,二转轴平行,其中一轴为质心轴 C 轴,若刚体的质量为 m ,通过质心
轴的转动惯量为 JC ,可以证明,对于通过任意与质心轴平行的 O 轴的转动惯量J 为
(
4.
28)
J =JC + md2
式中,d 为两转轴的垂直距离 .
图4
13 平行轴定理
平行轴定理的应用例子可参照例 4.
3② 、③ ,可以通过 ① 求得的均匀细棒通过质心轴
的转动惯量,利用平行轴定理求解通过棒端点 A 轴的转动惯量为
l 2 ml2
JA =JO +m ( ) =
2
3
而例 4.
3③ 则验证了平行轴定理的正确性 .
(
2)垂直轴定理(仅适用于薄刚体).
如图 4
14 所示,在一薄刚体平面内建立 Oxyz 坐标系,z 轴与薄 刚 体 垂 直,刚 体 对 z
轴的转动惯量为Jz 等于该刚体分别绕x 、y 轴的转动惯量Jx 、Jy 之和,即
Jz =Jx +Jy
图4
14 垂直轴定理
证明
Jz = ∑miri2 = ∑mi(
xi2 +yi2)= ∑mixi2 + ∑miyi2
i
· 96 ·
i
i
i
(
4.
29)
第4章
刚体的转动
对于薄刚体
Jy = ∑mixi2 , Jx = ∑miyi2
i
所以
i
Jz =Jx +Jy
应用垂直轴定理很容易求出圆环或圆盘绕直径的转动惯量 .
(
4.
30)
例 4.
5 已知一均匀薄圆盘绕通过盘心并与盘面垂直的z 轴的转动惯量(见图 4
15)
为 Jz = 1mR2 ,求圆盘绕任一条直径的转动惯量 Jx (或 Jy ).
2
图4
15
解
由已知 Jz = 1mR2 ,且薄圆盘绕任一直径轴 x 轴或y 轴的转动惯量是相等的,
2
即 Jx =Jy ,由垂直轴定理
Jz =Jx +Jy
得
Jx =Jy =
(
3)组合轴定理 .
1
mR2
4
若一个复杂刚体是由许多简单刚体组成,则这个复杂刚体对某轴的转动 惯 量 等 于 各
简单刚体对同一转轴的转动惯量之和 .
例4.
6 如图4
16 所示,一轻绳跨过定滑轮,绳的两端固结两个质量分别为 m1 和 m2
的重物,且 m2 > m1 ,设绳与滑轮间无滑动,滑轮可视为质量均匀的圆盘,半径为 R ,质量
为 mG .不计各处摩擦,求绳两端拉力 .
图4
16
· 97 ·
大学物理(上册)
解
滑轮具有一定的转动惯量,可视为刚体 .在转动中受到外力矩的作用,两边的张
力不再相等,设物体 1 这边绳的张力为 T1 ,物体 2 这边的张力为 T2 .因 m2 > m1 ,物体 1
向上运动,物体 2 向下运动,滑轮以顺时 针 方 向 旋 转 .它 们 的 受 力 如 图 4
16 所 示,分 别 用
转动定律和牛顿定律,可列出下列方程:
1
T2R -T1R = ( mGR2)
α
2
T1 -m1g =m1a
m2g -T2 =m2a
因为无滑动,重物的加速度大小应等于滑轮边缘处任一点的切向加速度大小,即有
a=Rα
由以上四式可解出
g和
g
m1(
2m2 +mG/2)
m2(
2m1 +mG/2)
T1 =
T2 =
.
m1 +m2 +mG/2
m1 +m2 +mG/2
由解的结果可以看到,此时绳两端的拉力 T1 ≠ T2 ,只有滑轮质量不计时,二者才相等 .
例 4.
7 有一均质细直杆在一个粗糙的水平面上可绕一条通过其一端的竖直轴 OO′
旋转,它与平面之间的摩擦系数为 μ (见 图 4
17).设 杆 子 质 量 为 m ,长 度 为l ,其 初 始 转
速为 ω0 .试求当它的转速为原来的一半时所用的时间 .
图4
17
解
m
如图 4
17 所示,在杆上离轴 x 处,取一线元 dx ,其质量为 dm = dx .该线元
l
在转动过程中受到的摩擦力为 df =-μgdm ,相应的摩擦力矩为
则直杆整体受到的摩擦力矩为
∫
dM =-xdf
M = dM =-μg
∫xdx=- 2μmgl
m
l
1
l
0
dω ,且
1
由转动定律,M =J
α =J
J = ml2 ,得
d
t
3
由题意,上式两边积分,
3g
t=dω
- μd
2
l
ω0
解得
· 98 ·
∫ ∫
2
3g t
d
t= dω
- μ
ω0
2
l 0
第4章
刚体的转动
ω0l
t=
3μg
4.
4 角动量
角动量守恒定律
在第三章中,曾从力对时间的累积作用出发,引出质点的动量定理,从 而 得 到 动 量 守
恒定律;同样,作用于刚体的外 力 矩 总 是 持 续 作 用 一 定 的 时 间,为 此,这 一 节 将 讨 论 力 矩
对时间的累积作用,得出角动量定理和角动量守恒定律 .
4.
4.
1 质点的角动量定理和角动量守恒定律
1.质点的角动量
人们从大量的事实中发现 了 一 个 能 够 描 述 物 体 转 动 规 律 的 物 理 量,称 为 角 动 量 .如
图4
18 所示,若某时刻质点运动到点 A ,相对固定参考点 O 的位矢为r ,动量为 p=mv ,
则质点相对参考点 O 的角动量定义为
L =r×p =r× (mv)
(
4.
31)
L =r
i
n
θ
ps
(
4.
32)
角动量的大小为
式中,
θ 为r 和v (或 p )之间的夹角 .方向由右手定则确定,即r 、mv 和L 三者构成右手
螺旋系统 .质点的角动量是与位矢r 和动量p 有关的,即与参考点 O 的选择有关 .因此在
讨论质点的角动量时,必须指明参考点 .
在图 4
18 中,质点相对原点 O 的角动量L 可用行列式表示为
L =r×p =
i
j
k
x
y
z
mvx mvy mvz
(
4.
33)
图4
18 质点的角动量
角动量 L 在各坐标轴的分量分别为
· 99 ·
大学物理(上册)
Lx =ymvz -zmvy
(
4.
34)
Ly =zmvx -xmvz
Lz =xmvy -ymvx
如果质点在半径为r 的圆周上运动,因为质点的速度 v 与其相对圆心的位 矢r 总 是
垂直的,则质点相对圆心的角动量 L 的大小为
L =rmv =mr2ω
2.质点的角动量定理
根据矢量求导规则
d(
dA
dB
A ×B) =
×B +A ×
d
t
d
t
d
t
有
dL d (
d
r
d
d
= r×mv) = ×mv +r× (mv) =v ×mv +r× (mv)
d
t d
t
d
t
d
t
d
t
因为 v ×mv =0 及 F = d (mv) ,所以
d
t
dL
=0+r×F
d
t
即
dL
=M
d
t
(
4.
35)
这就是质点相对参考点 O 的角动量定理 .它表明质点相对某固定参考点的角动量随
时间的变化率等于质点所受合 力 对 同 一 参 考 点 的 力 矩 .这 与 牛 顿 第 二 定 律 形 式 类 似,只
是用力矩 M 代替了力F ,用角动量 L 代替了动量p .
力矩在时间上的累积称为冲量矩,力矩在t1 到t2 时间内相对参考点 O 的冲量矩定义
∫Mdt,由式(4-35),可得
ædLö
∫Mdt=∫ èdtø dt=L -L
为
t2
t1
t2
t2
t1
t1
ç
÷
2
1
(
4.
36)
式中 L1 和 L2 分别为t1 时刻和t2 时刻质点对参考点 O 的角动量 .式(
4
36)表明,质点
角动量的增量等于所受合力 F 相对参考点 O 的力矩的冲量矩,这是质点角动量定理的另
一种表述形式 .
在国际单位制中,冲量 矩 的 单 位 是 牛 顿 · 米 · 秒 (N· m·s),角 动 量 的 单 位 是 千
克·米2 ·秒 -1(kg·m2·s-1 ),这两者一致,因为 1N·m·s=1(kg·m·s-2 ) ·m·s=
1kg·m2 ·s-1 .
3.质点的角动量守恒定律
由式(
4
35)可以看出,若质点所受合力矩为零,即 M =0,则有
· 100 ·
第4章
刚体的转动
dL
=0
d
t
即质点的角动量 L 为常矢量 .
(
4.
37)
上述表明,当质点所受对参考点 O 的合 力 矩 为 零 时,质 点 对 该 参 考 点 O 的 角 动 量 保
持不变 .这就是质点的角动量守恒定律 .因为角动量是一个矢量,角动量守恒要 求 角 动 量
的 大小和方向都不变 .当 M ≠0时,质点角动量不守恒,但如果 M 沿某个方向的分量为零
时,则该方向上的角动量分量守恒 .
考虑图 4
19 所示的情况,质量为 m 的行星P 绕位于点O 的恒星运动 .行星所受的引
力作用 F 始终通过定点 O ,这种力称为有心力,定点称为力心 .如果选择 O 作为参考点,
则 F 对参考点的力矩 M =r×F =0.
图4
19 行星的公转
行星相对点 O 的角动量守恒要求角动量的方向保持不变,因此行星只能在与角动量
方向垂直的固定平面内运动,角动量守恒还要求角动量的大小 L =rmvs
i
n
θ 保持不变 .角
动量的大小可写成
1
rd
rs
i
n
θ
d
r
2
L =rmvs
i
n
θ=m
rs
i
n
θ=2m
d
t
d
t
1
其中,d
r为d
t 时间内行星的位移,而 r d
rs
i
n
θ 表示位移 d
r 对点 O 所张开的面积,即
2
d
t 时间内矢径r 扫过的面积,记为 dA ,如图 4
19 阴影部分所示 .由此可知
L =2m
即
dA 常量
=
d
t
dA 常量
=
d
t
这就是著名的开普勒第二定律,行星与恒星中心的连 线(即 矢 径r )在 相 等 的 时 间 内
扫过的面积相等 .
例 4.
8 如图 4
20 所示,一半径为r 的 光 滑 圆 环 置 于 竖 直 平 面 内 .有 一 质 量 为 m 的
小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动 .设小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环
心 O 的水平面上),然 后 从 点 A 开 始 下 滑 .求 小 球 滑 到 点 B 时 对 环 心 O 的 角 动 量 和 角
速度 .
解
小球受重力 mg 和支持力 N 作用 .由 于 圆 环 是 光 滑 的,支 持 力 N 始 终 指 向 环 心
· 101 ·
大学物理(上册)
O ,所以支持力 N 对环心的力矩为零 .小球所受力矩仅为重力矩,其大小为
M =mgrcos
θ
方向垂直纸面向里 .由式(
4
35)可得
考虑到 L =mr2ω ,有
图4
20
dL
mgrcos
θ=
d
t
mgrcos
θ=mr2
即
dω
d
t
dω d
θ
dω
θ=r
ω
=r
gcos
d
td
θ
d
θ
所以
θd
θ=r
ωdω
gcos
由题设条件,当t=0 时,
θ0 =0,ω0 =0.对上式两边积分可得
1 2
i
n
θ= r
ω
gs
2
所以,小球滑到点 B 时对环心 O 的角速度为
æ2g
ö 12
i
n
θ÷
ω= ç s
èr
ø
/
角动量为
/
/
L =mr2ω =mr3 2 (2gs
i
n
θ) 1 2
另外,本题也可以利用机械能 守 恒 定 律 先 求 出 小 球 在 点 B 的 速 度v ,再 利 用 角 动 量
的定义求 L .
例 4.
9 如图 4
21 所示,有一质量为 m 的小球受一轻绳的约束在光滑的水平桌面上
运动 .开始时,质点绕点 O 作半径为R1 的匀速圆周运动,速率为v1 .若用外力 F 通过轻绳
使小球圆周运动的半径减小到 R2 ,求小球的速率变为多少? 动能如何变化?
解
小球受重力 mg 、桌面支持力 N 和绳子的拉力F 的共同作用 .以点 O 为参考点,
mg 和 N 平衡,对点 O 的合力矩为零 .绳子 的 拉 力 F 通 过 点 O ,力 矩 也 为 零 .小 球 在 运 动
过程中对点 O 的角动量守恒,即
· 102 ·
第4章
刚体的转动
R1mv1 =R2mv2
所以
R1
v2 = v1
R2
小球动能的变化为
ΔEk =
2
ö
1 2 1 2 1 2 çæR1
mv1 - mv2 = mv1 2 -1÷
èR2
ø
2
2
2
因为 R2 < R1 ,所以 ΔEk >0,即小球的动能增加,增加的这部分能量来自于力 F 所
作的功 .
图4
21
例4.
10 如图4
22 所示,一质量为 m =1.
2×104kg的登月飞船,在离月球表面高度
h =100km 绕月球作圆周运动 .飞船采用如下登月方式:当飞船位于图中点 A 时,它向外
侧(即沿月球中心 O 到点 A 的位矢方向)短时间喷射出粒子流,使飞船与月球相切地到达
点 B ,且 OA ⊥ OB .飞船喷出的粒子流相对飞船的速度为v=1×104 m·s-1 .已知月球
半径为 R =1700km ;在飞船登月过程中,月 球 的 重 力 加 速 度 可 视 为 常 量 g =1.
62 m·
s-2 .求飞船在登月过程中消耗燃料的质量 Δm .(万有引力常数 G =6.
67×10-11 N·m2·
kg-2 ;月球质量 mM =7.
35×1022kg )
图4
22
解
得
如图 4
22 所示,设飞船在点 A 喷射粒子流之前的速度为v0 ,由万有引力定律可
G
m Mm
v2
0
2 =m
(R +h)
R +h
· 103 ·
大学物理(上册)
月球表面附近的重力加速度为
mM
g =G 2
R
由上述两式可得
R2g
v2
0=
R +h
代入数据,有
v0 =1612m·s-1
(
1)
设在飞船以相对速度 v 向外侧 喷 射 粒 子 流 的 短 时 间 里,飞 船 质 量 减 少 了 Δm ,而 变
成m
′ ,获得的速度增量为 Δv ,其方向与 v 相反,且使飞船速度变为 v1 ,其大小为
v1 = v2
v) 2
0 + (Δ
(
2)
在由点 A 到点B 的过程中,飞船的质量为 m
′ .由于飞船在此过程中只受月球的万有
引力作用,所以飞船相对点 O 的角动量守恒,有
m
′
v0 (R +h) =m
′
v2R
代入数据,得
R h
v2 = + v0 =1709 m·s-1
R
(
3)
在由点 A 到点 B 的过程中,飞船和月球系统的机械能守恒,所以有
m Mm
′ 1
m Mm
′
1
m
′
v2
′
v2
= m
1 -G
2 -G
2
R +h 2
R
即
2
v2
G
1 =v2 +2
mM
mM
-2G
R +h
R
代入数据,得
由式(
1)、式(
4)和式(
2),可得
v1 =1615 m·s-1
(
4)
2
Δv = v2
00 m·s-1
1 -v0 =1
飞船在喷射粒子流的短时间内,可认为动量是守恒的,所以有
(Δm )u =m Δv
则飞船在登月过程中需消耗的燃料质量为
m Δv
Δm =
=120kg
u
4.
4.
2 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1.刚体定轴转动的角动量
刚体的角动量是其内部所有质点角 动 量 的 矢 量 和 .在 图 4
23 所 示 的 情 况 下,刚 体 以
· 104 ·
第4章
刚体的转动
角速度 ω 绕 定 轴 Oz 转 动 .由 于 刚 体 定 轴 转 动 时,刚 体 上 所 有 质 点 都 以 相 同 的 角 速 度 绕
Oz 轴作圆周运动,所有质点角动量的方向一致 .刚体中任一质点 mi 对 Oz 轴的角动量为
mirivi =miri2ω ,所以刚体上所有质点对 Oz 轴的角动量,即刚体定轴转动的角动量为
L = ∑miri2ω = ( ∑miri2 )ω
i
i
式中,∑mr 为刚体绕 Oz 轴的转动惯量J .因此刚体对定轴 Oz 的角动量为
i
2
i i
L =Jω
(
4.
38)
图4
23 刚体的角动量
2.刚体定轴转动的角动量定理
由质点的角动量定理可知,作用在质点 mi 上的合力矩 Mi 等于质点的角动量随时间
的变化率,即
dLi d
2
Mi =
= (miriω )
d
t d
t
(
4.
39)
对刚体内的质点来说,作用在其上的合力矩 Mi 中既有外力产生的力矩 Miex ,又含有
i
n
刚体内质点间相互作用的内力产生的力矩 Mi
.因此,式(
4
39)可以写成
dLi d
i
n
2
Miex + Mi
=
= (miriω )
d
t d
t
(
4.
40)
刚体中的所有质点都满 足 式 (
4
40),将 它 应 用 于 整 个 刚 体,即 对 刚 体 中 所 有 质 点 求
和,得
d
d
∑M + ∑M =dt( ∑L ) =dt( ∑mrω )
ex
i
i
n
i
i
2
i i
(
4.
41)
由于内力总是成对出现,大小相等、方向相反且作用在同一直线上,所以内力矩 的 总 和 应
为零,则式(
4
41)应为
或写成
d
d
M = ∑Miex = ( ∑Li ) = ( ∑miri2ω )
d
t
d
t
(
4.
42)
dL d (
M=
= Jω )
d
t d
t
(
4.
43)
上式表明,刚体绕定轴转动时,作 用 于 刚 体 的 合 外 力 矩 等 于 刚 体 绕 该 轴 的 角 动 量 随 时 间
· 105 ·
大学物理(上册)
的变化率 .这就是刚体定轴转动的角动量定理 .
由式(
4
43)可得
Md
t=dL =d(Jω )
在t1 到t2 时间内对上式积分,又可得到
∫Mdt=L -L =Jω -Jω
t2
∫
t2
2
t1
1
2
1
(
4.
44)
式中, Md
t 称为在t1 到t2 时间内作用在刚 体 上 的 外 力 矩 的 冲 量 矩,也 称 为 角 冲 量 .式
t1
(
4
44)就是刚体定轴转动的角动量定理的积分形式,其中 L1 和 L2 或 Jω1 和 Jω2 分别是
刚体定轴转动时在t1 和t2 时刻的角动量 .
如果物体在转动过程中,其 内 部 各 质 点 相 对 位 置 发 生 了 变 化,则 物 体 的 转 动 惯 量 也
会随着时间发生变化,此时物体不能再视为刚体,但式(
4
44)依然成立,只需稍作修改 .若
在t1 到t2 时间内物体的转动惯量由 J1 变为 J2 ,则式(
4
44)应改写成
∫Mdt=J ω -J ω
t2
2
t1
2
1
1
也就是说,当转轴给定时,作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量 .
(
4.
45)
3.刚体定轴转动的角动量守恒定律
当作用在质点上的合外力矩为零时,由质点的角动量定理可以导出质点 的 角 动 量 守
恒定律 .同理,当作用在绕定轴转动的物体上的合外力矩等于零时,由角动量定 理 也 可 导
出角动量守恒定律 .
由式(
4
45)可以看出,当合外力矩为零时,可得
(
4.
46)
Jω = 恒量
即,如果物体所受的合外力矩等 于 零,或 者 不 受 外 力 矩 作 用,物 体 的 角 动 量 保 持 不 变 .这
就是角动量守恒定律 .
系统角动量守恒可分成如下几种情况:
(
1)J 和ω 都不变,所以 L =Jω = 恒量 ,如转轴固定的飞轮的转动 .
(
2)J 和ω 都变化,但保持 L=Jω =恒量 ,如花样滑冰、芭蕾舞、体操和跳水等运动员
通过改变肢体动作来改变系统的转动惯量,从而实现身体旋转角速度的改变 .
(
3)刚体组角动量守恒 .若 刚 体 由 几 部 分 组 成,且 都 绕 同 一 轴 转 动 .每 一 部 分 的 角 动
量都可以变化,但保持刚体组的总角动量 ∑Li = ∑Jiωi 为 恒 量 .这 时 角 动 量 可 在 刚 体
组内不同部分间相互传递 .
i
i
例 4.
11 如图 4
24 所示,长为l 的轻杆两端各固定质 量 分 别 为 m 和 2m 的 小 球,杆
可 绕水平光滑固定轴 O 在竖直平面内转动,转轴 O 距两端分别为 1l和 2l .一质量为 m
3
3
的小球,以水平速度 v0 与杆下端小球 m 作对心碰撞,碰后以 1v0 的速率水平返回 .求碰
2
· 106 ·
第4章
刚体的转动
后瞬间轻杆获得的角速度 .设轻杆原来静止在竖直位置 .
图4
24
解
碰撞过程时间极短,可以 认 为 杆 一 直 处 于 竖 直 位 置,整 个 系 统 对 定 轴 O 角 动 量
守恒 .设垂直于纸面向外为正向,有
æ2 ö 2
æ1 ö 2
2
1 2
mv0 l=-m v0 l+m ç l÷ ω +2m ç l÷ ω
è3 ø
è3 ø
3
2 3
由此可得
3
v0
ω=
2
l
此题还可以这样来处理:首 先 以 水 平 运 动 的 小 球 为 研 究 对 象,设 在 碰 撞 过 程 中 受 到
的力大小为 F ,向右为正向,由动量定理可得
∫
t=-m
- Fd
1
3
v0 - mv0 =- mv0
2
2
设垂直于纸面向外为正向,对轻杆应用角动量定理,有
两式联立求解可得
∫
æ2 ö 2
æ1 ö 2
2
F ld
t=m ç l÷ ω +2m ç l÷ ω
è3 ø
è3 ø
3
3
v0
ω=
2
l
可见,用角动量守恒定律解 决 问 题 会 带 来 很 大 的 方 便,但 前 提 是 一 定 要 分 析 清 楚 具
体过程中角动量是否守恒 .
例 4.
12 如图 4
25 所示,有一根长为l 的轻质均匀细杆,可绕通过其中心点 O 并与
纸面垂直的轴在竖直平面内转动 .当细杆静止于水平位 置 时,有 一 只 小 虫 以 速 率 v0 垂 直
落在距点 O 为l/4 处,并背离点 O 向细杆的端点 A 爬行 .设小虫的 质 量 与 细 杆 的 质 量 均
为 m .问:要使细杆以恒定的角速度转动,小虫爬行的速率应如何?
解
小虫落在细杆上,可视为完全非弹性碰撞,且碰撞时间极短,重力 的 冲 量 矩 可 略
去不计 .因此,细杆带着小虫一起以 角 速 度 ω 转 动 .在 碰 撞 前 后,小 虫 和 细 杆 系 统 的 角 动
量守恒,有
· 107 ·
大学物理(上册)
mv0
细杆的角速度为
é1 2
æl ö 2 ù
l
= êê ml +m ç ÷ úúω
è4 ø û
ë12
4
12v0
ω=
7l
图4
25
小虫沿杆爬行时,整个系统只受到小虫的重力矩作用 .当小虫爬到距点 O 为r 的点P
时,系统所受合外力矩为
M =mgrcos
θ
因要求角速度保持不变,故从角动量定理可得
d
dJ
M = (Jω ) =ω
d
t
d
t
小虫在点 P 时,系统的转动惯量为
1
J = ml2 + mr2
12
所以
dJ
d
r
mgrcos
θ=ω
=2mrω
d
t
d
t
即
考虑到上式中θ=ω
t ,则
d
r
θ=2ω
gcos
d
t
v0 ö÷
æ12
d
r g
7
l
g
t
vr = = cosω
t=
c
o
sç
è 7
l ø
d
t 2ω
24
v0
若要保持细杆以恒定角速度转动,小虫必须按照上式的规律来调整速率 .
4.
5 刚体定轴转动的动能定理
研究刚体定轴转动,除了转动定律和角动量定理之外,还有转动的动能定理 .
· 108 ·
第4章
刚体的转动
4.
5.
1 转动动能
刚体定轴转动时,其动能为所有质元作圆周运动的动能之和 .质元 mi 以速率vi 运动
的动能为
1
Eki = mivi2
2
对所有质元求和,可得刚体的总转动动能为
且速率vi =ωri ,代入上式,得
Ek = ∑Eki = ∑
Ek =
1
mivi2
2
1(
1
miri2)
ω2 = Jω2
2 ∑
2
(
4.
47)
故刚体绕定轴转动的转动动能,等 于 刚 体 的 转 动 惯 量 与 角 速 度 二 次 方 乘 积 的 一 半 .对 应
于质点的动能 1mv2 .
2
4.
5.
2 力矩的功
当刚体在外力矩作用下绕 定 轴 转 动 而 发 生 角 位 移 时,就 称 力 矩 对 刚 体 作 了 功,本 质
上仍然是力作功 .
如图 4
26,刚体绕定轴 OO′ 转动,在外力 F 作用下,其作用点 P 在 d
t 时间内沿半径
为r 的圆周发生线位移 d
r ,对应的弧长和角位移分别为 d
s和 d
θ .则力 F 对 P 点作的元
功为
( /2-φ ) d
dW =F·d
r=Fcosπ
s=Fs
i
n
s
φd
图4
26 力矩作的功
因d
s=rd
θ ,且 M =rFs
i
n
φ 为外力F 对 OO′ 转轴的力矩,则
dW =Md
θ
上式表明,力矩所作的元功 dW 等于力矩 M 与角位移 d
θ 的乘积 .故外力矩对绕定轴
转动的刚体所作的总功为
∫ ∫
W = dW = Md
θ
(
4.
48)
· 109 ·
大学物理(上册)
式(
4.
48)表明,刚体定轴转 动 时,外 力 矩 所 作 功 等 于 外 力 对 转 轴 的 力 矩 对 角 位 移 的
积分,本质上还是力作功 .
力矩的功率表征单位时间内力矩对刚体所作的功,用 P 表示,则
dW
d
θ
P=
=M
=Mω
d
t
d
t
(
4.
49)
即力矩的功率等于力矩与角速度的乘积 .
4.
5.
3 刚体定轴转动的动能定理
外力矩对定轴转动的刚体作的元功为
dW =Md
θ
dω
dω d
θ
dω ,上式可写成
根据定轴转动定律 M =J
α =J
=J
=Jω
d
t
d
θd
t
d
θ
dW =Md
θ=Jωdω
若在 Δ
t 时间内,外力矩使得刚体转动 的 角 速 度 由 ω1 变 为 ω2 ,则 外 力 矩 对 刚 体 所 作
的功为
∫ ∫ ∫Jωdω
W = dW = Md
θ=
即
ω2
ω1
1
1 2
W = Jω2
Jω1
22
2
(
4.
50)
式(
4.
50)说明:合外力矩对定轴刚体所作的功,等于刚体转动动能的增 量,这 一 关 系
称为刚体绕定轴转动的动能定理 .
4.
5.
4 刚体的重力势能
这是指刚体与地球共有的重力势 能 .对 于 一 个 不 太 大 的 质 量 为 m 的 物 体,它 的 重 力
势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和 .如图 4
27 所示,刚体中任一质元 mi 距势
能零点的高度为 hi ,则其重力势能为
Epi =mighi
图4
27 刚体的重力势能
刚体的总势能为
· 110 ·
Ep = ∑Δmighi =g∑Δmihi
第4章
刚体的转动
又刚体的重心高度为
Δmihi
hC = ∑
m
所以
(
4.
51)
Ep =mghC
式(
4.
51)表明,一个不太大的刚体的重力势能相当于将它的质量集中在质 心 处 的 一
个质点所具有的势能 .这也体现了质心在刚体力学中的重要性 .
例 4.
13 质量为 m,长为l的均匀细杆,其一端可绕光滑的固定轴 O 自由转动(O 轴
为过 O 点垂直于纸面的轴),另 一 端 固 连 一 个 质 量 为 m0 ,半 径 为 R 的 球 体,如 图 4
28 所
示,系统由初始的水平位置释放,试求当系统转至竖直位置时,系统质心的速度 .
图4
28
解
系统质心距转轴的位置为
1
ml+m0(
l+R)
2
xC =
m +m0
释放后,系统绕 O 轴作定轴转 动,只 有 重 力 作 功,故 系 统(细 杆、球 体 和 地 球)机 械 能
守恒 .以系统在竖直位置时的质心处为势能零点,有机械能守恒得
1 2
(
m +m0)
gxC = Jω
2
其中转动惯量为
J=
系统质心速度的大小为
é2
1 2
2
2ù
úú
R +l)
ml + êê m0R +m0 (
ë5
û
3
vC =xCω
联立解得
lm +2(
l+R)
m0
vC =
(
2 m +m0)
15
lmg +30(
l+R)
m0g
2
2
5
l +6m0R +15 (
l+R)
m0
2
例 4.
14 如图4
29,一长为l 、质量为 m
′ 的杆可绕支点O 自由转动 .一质量为 m 、速
率为v 的子弹射入杆内距支点为a 处,使杆的偏转角为 30
° .问子弹的初速率为多少?
解
把子弹和杆看作一个系统 .系统 所 受 的 外 力 有 重 力 和 轴 对 细 杆 的 约 束 力 .在 子
弹射入杆的极短时间里,重力和约束力均通过轴 O ,因此它们对轴 O 的力矩为零,系统的
· 111 ·
大学物理(上册)
角动量守恒 .于是有
1 2
mva = ( m
′
l + ma2)
ω
3
子弹射入杆后,细杆在摆动过程 中 只 有 重 力 作 功,故 以 子 弹、细 杆 和 地 球 为 一 系 统,则 系
统的机械能守恒 .
联立求得
1 (1 2
l
m
′
l + ma2)
ω2 =mga(
1-co
s
30
°)+m
′g (
1-c
o
s
30
°)
2 3
2
/6/ma
v= g(
2- 3)(
m
′
l+2ma)(
m
′
l2 +3ma2)
图4
29
4.
6 刚体的平面平行运动
当刚体运动时,其中各点始 终 和 某 一 平 面 保 持 一 定 的 距 离,或 者 说 刚 体 中 各 点 都 平
行于某一平面运动,这就叫刚体的平面平行运动 .
根据运动的合成,刚体的平 面 平 行 运 动 可 看 作 是 质 心 的 平 面 平 动,与 相 对 于 过 质 心
并垂直于运动平面的轴的转动的叠加,如火车轮的运动 .
有滑动滚动和无滑动滚动 .有 滑 滚 动 指 的 是 接 触 面 之 间 有 相 对 滑 动 的 滚 动 (摩 擦 力
不够大),若接触面 之 间 无 相 对 滑 动 的 滚 动 (摩 擦 力 足 够 大),即 相 对 于 支 撑 面 的 速 度 为
零,称之为无滑滚动,也称纯滚动 .显然,在纯滚动过程中,刚体与接触面之间 的 摩 擦 力 为
静摩擦力,由于刚体与接触面之间没有相对位移,故静摩擦力不作功 .
4.
6.
1 刚体平面运动的基本动力学方程
由 4.
2 节的质心运动定律已知,质心的运动方程为
F =maC =m
dvC
d
t
式中,F 为合外力;
aC 、vC 为质心平动的加速度和速度;m 为刚体的质量 .
· 112 ·
(
4.
52)
第4章
刚体的转动
设质心在 Oxy 平面内运动,则平动方程
Fx =maCx , Fy =maCy .
刚体绕质心轴的转动满足转动定律
MC =JCα =JC
式中,MC 为刚体所受的对质心轴的合外力矩 .
dω
d
t
(
4.
53)
式(
4.
52)给出了刚体随质心平动的动力学,式(
4.
53)描述了刚体绕质心轴转 动 的 动
力学 .两者合在一起称为刚体平面运动的基本动力学方程 .
根据(
4.
14)式,选取质心为参考点,平面运动的刚体上任一质元i 的速度为
vi =vC +ω ×ri
式中,ω 表示刚体绕质心轴转动的角速度;
ri 为质元i 相对质心的位置矢量 .
(
4.
54)
对于没有滑动的纯滚动,质心加速度与 转 动 的 角 加 速 度 还 有 如 下 关 系:aC =Rα ,这
里 R 为质心对应接触点的转动半径 .这是因为vC 与 ω 有如下关系:
vC =Rω ,求导即可得
到 aC =Rα 的关系 .
4.
6.
2 作用于刚体上的力
作用于 刚 体 上 的 力 有 两 种 效 果:根 据 式(
4.
52),外 力 使 质 心 作 加 速 运 动;另 据 式(
4.
53),外力对质心轴的力矩使刚 体 产 生 角 加 速 度 .施 于 刚 体 上 某 一 点 的 力,不 可 以 随 便 移
到另一点去,否则,其作用效果将发生变化 .如图 4
30 所示,若力 F 的大小 和 方 向 保 持 不
变,将其作用点由 A 点移至 B 点,其作用效果不同 .
图4
30
(
a)作用力通过质心,对质心轴上的力矩为零,仅使刚体产生平动;
(
b)力对质心轴的力矩使刚体产生角加速度
施于刚体的力是滑移矢量 .如图 4
31 所示,将力 F 大小方向不变地 沿 作 用 线 滑 移 至
力F′ ,不会改变力对刚体产生 的 上 述 两 方 面 的 效 果 .因 此,刚 体 所 受 的 力 可 沿 作 用 线 滑
移而不改变其效果,即作用于刚体的力是滑移矢量 .
图4
31 作用与刚体上的力可沿作用线滑动,F
′ 与 F 等效
· 113 ·
大学物理(上册)
4.
6.
3 刚体平面运动的动能
根据 3.
9 节的柯尼希定理,刚体的平面平行运动动能等于质心的平动动 能 与 刚 体 绕
质心的转动动能之和 .即
Ek =
证明如下:
1 2 1
mvC + JCω2
2
2
Ek =
(
4.
55)
1
2
mi(
vi)
2∑
i
将式(
4.
54)vi =vC +ω ×ri 代入,得
Ek =
=
1
2
]
mi[
v2C +2vC ·(
ω ×ri)+ (
ω ×ri)
2∑
i
1(
1
2
mi)
v2C +vC ·(
ω × ∑miri)+ ∑mi (
ω ×ri)
2 ∑
2 i
i
i
在 质心系中 ∑miri=0,且 m =∑mi , ω ×ri =ωri⊥ ,
ri⊥ 是质元i绕质心轴的转
i
动半径,结合式(
4.
25),得
i
Ek =
1 2 1
mvC + JCω2
2
2
利用式(
4.
52)、式(
4.
53)和式(
4.
55),再结合刚体的重力势能表达式(
4.
51),可 以 求
解刚体的平面平行运动问题 .
例 4.
15 如图 4
32 所示,固定斜面倾角为θ ,质量为 m 半径为R 的均质圆柱体沿斜
面向下作无滑滚动,求圆柱体质心的加速度 aC 及斜面作用于柱体的摩擦力 f .
图4
32
解
建立如图 4
32 所示的坐标系,以圆柱体为研究对象,此为刚体的平面平行运动 .
根据质心运动定律
x 轴上投影式
y 轴上投影式
绕质心轴的转动定律
· 114 ·
FN +W +f =maC
Wcos
θ-FN =0
Ws
i
n
θ-f =maC
第4章
刚体的转动
M =f
R =J
α=
又无滑滚动的条件
1
mR2α
2
aC =Rα
可解得
2
aC = gs
i
n
θ
3
f=
1
mgs
i
n
θ
3
FN =mgcos
θ
讨论:摩擦力 f 是静摩擦力,其值不能超过最大静摩擦力 μFN ,即 f ≤ μFN ,故静摩
擦因数要满足 μ ≥ 1t
an
θ .若斜面的倾角过大,则圆柱体将又滚动又滑动地滚下斜面 .
3
例 4.
16 在例题 4.
15 中,设圆柱体 自 静 止 开 始 滚 下,求 质 心 下 落 高 度 h 时,圆 柱 体
质心的速率 .
解
以地面为参考系,由于 圆 柱 体 在 斜 面 上 作 无 滑 滚 动,静 摩 擦 力 和 支 持 力 均 不 作
功,故圆柱体、斜面和地球系统的机械能守恒 .
设vC 为下落高度h 时圆柱体质心的速率,
ω 是相应的圆柱体通过质心垂直纸平面的
轴的角速度,则
mgh =
无滑滚动的条件为
1 2 1 (1
mvC +
mR2)
ω2
2
2 2
vC =ωR
算得
vC =
2
2 gh
3gh ,ω =
3
R 3
以上是用能量方法求解的,当然也可用动力学方法求解;但在无滑滚动的情况 下,用 能 量
方法要简便的多 .
4.
7 刚体的平衡
刚体的平衡是指刚体处于 静 止 状 态 .由 质 心 运 动 定 律 和 刚 体 的 角 动 量 定 理 可 知,刚
体平衡时施于刚体上所有外力的矢量和必为零,外力对空间任意固定参考点的力 矩 之 和
也必为零 .
刚体平衡的充分必要条件为
(
1)作用在刚体上合外力为零,即
F =maC =0
(
2)作用在刚体上的力对任何参考点(或参考轴)的力矩之和为零,即
(
4.
56)
· 115 ·
大学物理(上册)
M = ∑Mi = ∑ri ×Fi =0
i
(
4.
57)
i
若作用在刚体上的外力满足式(
4.
56),且 对 空 间 某 个 参 考 点 A 的 力 矩 之 和 为 零,即
M A =0,则可以证明外力对任意固定参考点 B 的力矩 M B 必为零 .证明如下:
图4
33
如图 4
33,外力 Fi 对 A 、B 两点的力矩分别为
MiA =riA ×Fi ,MiB =riB ×Fi
所有外力对 A 、B 两点的力矩之和分别为
M A = ∑MiA = ∑riA ×Fi ,MB = ∑MiB = ∑riB ×Fi
i
i
i
i
利用图 4
33 中的矢量关系式riB =riA -d ,可得
MB = ∑ (
riA -d)×Fi = ∑riA ×Fi -d× ∑Fi =M A -d× ∑Fi
i
i
由式(
4.
56)和已知条件 M A =0,证得
i
i
MB =0
例 4.
17 如图 4
34 所示,将长为l、质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下,已知梯子
与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分别为 μ1 和 μ2 ,为使质量为 m2 的人爬到梯子
顶端时,梯子尚未发生滑动,试求梯子与地面间的最小夹角 .
解
所示 .
当人爬到梯子顶端时,人和梯子组成 的 系 统 处 于 平 衡 状 态,受 力 分 析 如 图 4
35
图4
34
图4
35
系统受力平衡,则
FN1 -Ff2 =0
以 O 点为参考点,力矩平衡,得
· 116 ·
Ff1 +FN1 - (
m2 +m1)
g =0
第4章
刚体的转动
l
m2g
lcos
θ+m1g cos
θ=Ff1lcos
θ+FN1ls
i
n
θ
2
梯子发生滑动的临界条件
Ff1 =μ1FN1
Ff2 =μ2FN2
联立求解,得
1-μ1μ2)+2m2 ù
ém1(
ú
θmin =t
an-1 êê
ë 2μ2(
m2 +m1) úû
(
1)某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为θ=a
t+b
t3 -c
t4 (
θ 的单位为r
ad ,
t的
单位为 s).求t 时刻的角速度和角加速度 .
(
2)汽车发动机的转速在 12s内由 1200r· mi
n-1 增加到 3000r· mi
n-1 .① 假设转
动是匀加速转动,求角加速度;② 在此时间内,发动机转了多少转?
(
3)长度为l 的均质杆,令其竖直地立于光滑的桌面上,然后放开手,由于杆不可能绝
对沿竖直方向,故随即倒下 .求杆 子 的 上 端 点 运 动 的 轨 迹 (选 定 坐 标 系,并 求 出 轨 迹 的 方
程式).
(
4)用积分法证明:质量为 m 、半径为 R 的均质薄圆盘对通过中心且在盘面内的转动
轴线的转动惯量为 1mR2 .
4
(
5)一根长为l 的不均匀细杆,其线密度λ=a+bx (x 为离杆的一端O 的距离 .
a、b
为已知常数).求该杆对过 O 端并垂直于杆的轴的转动惯量 .
(
6)在质量为 m0 ,半径为 R 的匀质圆盘上,有三个半径为 R/3 的小圆孔,圆孔的圆心
分别在三条半径的中心处,此三条半径把圆盘分割成相等的三块,如图 4
36 所示 .求此圆
盘对过其圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量 .
(
7)一通风机的转动部分以初角速度ω0 绕其轴转动,空气的阻力矩与角速度成正比,
比例系数 C 为一常量 .若转动部分对其轴的转动惯量为 J ,问:① 经过多少时间后其转动
角速度减少为初角速度的一半? ② 在此时间内共转过多少转?
(
8)如图 4
37 所示,均质杆可绕支点 O 转动 .当与杆垂直的冲力作用于某点 A 时,支
点 O 对杆的作用力并不因此冲力而发生变化,则 A 点称为打击中心 .设杆长为 L,求打击
中心与支点的距离 .
(
9)如图 4
38 所示,定滑轮的半径 为r ,绕 轴 的 转 动 惯 量 为 J,滑 轮 两 边 分 别 悬 挂 质
量 m1 和 m2 的物体 A、
B.
A 置于倾角为θ 的斜面上,它和斜面间的摩擦因数为μ ,若 B 向
下作加速运动时,求:① 其下落的加速度大小;② 滑轮两边绳子的张力 .(设绳的 质 量 及 伸
长均不计,绳与滑轮间无滑动,滑轮轴光滑 .)
· 117 ·
大学物理(上册)
图4
36
图4
37
图4
38
(
10)两个匀质圆盘,一大一 小,同 轴 地 粘 结 在 一 起,构 成 一 个 组 合 轮 .小 圆 盘 的 半 径
为r ,质量为 m ;大圆盘的半径r
′ =2
r ,质量 m
′ =2m .组合轮可绕通过其中心且垂直于
盘面的光滑水平固定轴 O 转动,对 O 轴的转动惯量J =9mr2/2.两圆盘边缘上分别绕有
轻质细绳,细绳下端各悬挂质量为 m 的物体 A 和 B,如图 4
39 所示 .这一系统从静止 开
始运动,绳与盘无相对滑动,绳的长度不变 .已知r=10cm.求:① 组合轮的角加速度 a ;
② 当物体 A 上升 h=40cm 时,组合轮的角速度 ω .
(
11)如图 4
40 所示,将一根质量 m 为的长杆用细绳从两端水平地挂起来,其中一根
绳子突然断了,则另一根绳内的张力是多少?
(
12)质量为 M 、半径为r 的匀质圆盘,可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动,
其转动惯量为 Mr2/2.绕过盘的边缘挂有质量为 m ,长为l 的匀质柔软绳索(见图 4
41).
设绳与圆盘无相对滑动,试求当圆盘两侧绳长之差为 S 时,绳的加速度的大小 .
图4
39
图4
40
图4
41
(
13)一质量为 20.
0kg 的小孩,站在一半径为 3.
0 m 、转动惯量为 450kg· m2 的静
止水平转台的边缘上,此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动,转台与轴间的 摩 擦 不 计 .
如果此小孩相对转台以 1.
00 m·s-1 的速率沿转台边缘行走,问转台的角速率有多大?
(
14)如图 4
42 所示,一质量为 m 的小球由一绳索系着,以角速度ω0 在无摩擦的水平
面上,绕以半径为r0 的圆圈运动 .如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力,小球则以半
径为r0/2 的圆周运动 .试求:① 小球新的角速度;② 拉力所作的功 .
(
15)如图 4
43 所示,一空心圆环可绕竖 直 轴 OO′ 自 由 转 动,转 动 惯 量 为 J0 ,环 的 半
径为 R ,初始的角速度为 ω0 ,今有一质量为 m 的小球静止 在 环 内 A 点,由 于 微 小 扰 动 使
小球向下滑动 .问小球到达 B、
C 点时,环的角速度与小球相对于环的速度各为多少? (假
设环内壁光滑)
(
16)质量为 M 、半径为 R 的定滑轮上面 绕 有 细 绳 .一 端 挂 有 质 量 为 m 的 物 体 .如 图
4
44 所示 .忽略轴摩擦,求物体由静止下落 h 高度时的速度 .
· 118 ·
第4章
刚体的转动
图4
42
图4
43
图4
44
(
17)如图 4
45 所示,从地球表面 在 与 竖 直 方 向 成 α 角 方 向 发 射 一 质 量 为 m 的 抛 射
体,初速度为v0 = GM ,M 、R 为地球的质量与半径,求抛射体上升的最大高度rmax (用
R
R 和α 表示).
(
18)质量为 m 长为l 的均质杆,其 B 端放在桌上,A 端用手支住,使杆成水平,如图
4
46 所示 .突然释放 A 端,在此瞬间,求:① 杆质心的加速度;② 杆 B 端所受的力 .
(
19)有一质量为 m1 、长为l 的均匀细 棒,静 止 平 放 在 滑 动 摩 擦 系 数 为 μ 的 水 平 桌 面
上,它可绕通过其端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动 .另有一水平运动的质量为 m2
的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短 .已知小滑块在碰撞
前后的速度分别为 v1 和 v2 ,如 图 4
47 所 示 .求 碰 撞 后 从 细 棒 开 始 转 动 到 停 止 转 动 的 过
程所需的时间 .(已知棒 O 点的转动惯量J =m1l2/3)
图4
46
图4
47
图4
48
(
20)一转台绕竖直轴无 摩 擦 地 转 动,每 转 一 周 需 时 间t=10s,其 对 轴 的 转 动 惯 量
J =1200kg·m2 .一质量 M =80kg的人,由转台中心沿半径向外跑去,当人离转台中心
r=2 m 时,转台的角速度是多大? 转台的动能改变了多少?
(
21)质量为 m 的板受水平力F 的作用沿水平面运动,板与水平面之间的摩擦系数为
49 所示 .① 若圆柱体在板上的运动为
μ .板上放着质量为 m0 半径为 R 的圆柱体,如图 4
纯滚动,求板的加速度;② 为使圆 柱 体 作 纯 滚 动,求 F 的 最 大 值 .设 圆 柱 体 与 板 之 间 的 摩
擦系数也是 μ .
(
22)一质量为 m 半径为r 的均质球 1 在 水 平 面 上 作 纯 滚 动,球 心 速 度 为 v0 ,与 另—
完全相同的静止球 2 发生对心碰撞,如图 4
50 所 示 .设 碰 撞 时 各 接 触 面 间 的 摩 擦 均 可 忽
略,碰撞是弹性的 .① 碰撞后,各自经过一段时间,两球开始作纯滚动,求出此 时 各 球 心 的
速度;② 求此过程中系统机械能的损失 .
· 119 ·
大学物理(上册)
图4
49
图4
50
(
23)如图 4
51 所示,一质量为 m ,半径为r 的均质实心小球沿圆弧形导轨自静 止 开
始无滑滚下,圆弧形导轨在竖直面内,半径为 R .最初,小球质心与圆环中心同高度 .求小
球运动到最低点时的速率以及它作用于导轨的正压力 .
(
24)一长为l 、重 W 的均匀梯子,靠墙放置,如图 4
52 所示 .梯子下端连一劲度系数
为k 的弹簧 .当梯子靠墙竖直放 置 时,弹 簧 处 于 自 然 长 度 .墙 和 地 面 都 是 光 滑 的 .当 梯 子
依墙而与地面成θ 角且处于平衡状态时,求 W 、
k、
l、
θ 应满足的关系式 .
图4
51
· 120 ·
图4
52
第5章
静 电 场
电磁运动是物质的又一基本运动形式 .通过对电磁运动的研究,形成 了 电 磁 学,它 是
经典物理学中一个相当完善的 分 支 .电 磁 运 动 不 仅 渗 透 于 日 常 生 活 和 生 产 活 动 中,还 与
物理学的各个领域紧密联系 .因此,理解和掌握电磁学的基本规律,在理论和实 践 上 都 有
重要意义 .
运动的电荷产生磁场,电和 磁 是 相 互 联 系 的 .这 一 章 先 学 习 关 于 真 空 中 静 止 电 荷 产
生的静电场的有关问题,不涉及 磁 场 .主 要 内 容 有:① 电 荷 的 基 本 性 质;② 描 述 电 场 性 质
的物理量电场强度和电势;③ 描述电场性质的基本定律—高斯定理和安培环路定理 .
5.
1 电
荷
5.
1.
1 电荷的种类
实验证明,自然界中存在着 两 种 电 荷,同 种 电 荷 相 斥,异 种 电 荷 相 吸 .美 国 物 理 学 家
富兰克林(
Ben
ami
nFr
ank
l
i
n,
1760-1790 年),首先以正电荷、负电荷的名称来区分两种
j
电荷 .物体所带电荷的种类源于 组 成 它 们 的 微 观 粒 子 所 带 电 荷 的 种 类 的 不 同 .在 组 成 物
体的每个原子里面,电子环 绕 由 中 子 和 质 子 组 成 的 原 子 核 运 动 .原 子 核 的 线 度 约 为 5×
10-15 m ,电子以电子云的形式存在于原子核周围直径约为2×10-10 m 的体积内 .其中,电
子带负电,质子带正电,中子不 带 电 .在 正 常 情 况 下,每 个 原 子 中 所 有 电 子 和 质 子 所 带 电
荷量(电荷的多少)的绝对值是 相 等 的,所 以 对 外 不 显 电 性 .当 物 体 通 过 摩 擦 等 作 用 使 得
物体中的电子过多或过少时,我们说物体带了电 .
5.
1.
2 电荷的量子性
在自然界中,电荷总是以一 个 基 本 单 元 的 整 数 倍 出 现,电 荷 的 这 个 特 性 叫 做 电 荷 的
量子性 .
1913 年,密立根(
Robe
r
tAno
l
vewsMi
l
l
i
kan,1868-1953 年)设计了著名的油滴
实验,并从实验中得出带电体的电荷是电子电荷e 的整数倍的结论,即电子所带电量的绝
对值e 就是电荷的基本单元,或称为电荷的量子 .
电荷的单位名称为库仑,简称库,符号为 C.经测定,电子电荷的近似值为
e=1.
602×10-19 C
· 121 ·
大学物理(上册)
现在已经知道几百种包括电子、质子和中子在内基本粒子都带有正的或 负 的 基 本 电
荷,或者是基本电荷的整数倍 .近 代 物 理 从 理 论 上 预 言 了 基 本 粒 子 由 若 干 种 夸 克 或 反 夸
克组成,每一个夸克或反夸克可能带有 ± 1e 或 ± 2e 的电荷 .然而至今单独存在的夸克
3
3
尚未在实验中发现 .即 使 发 现,只 是 将 基 本 电 荷 的 大 小 缩 小 而 已,不 会 影 响 电 荷 的 量 子
性 .因此可以说,电荷的量子性是物理学一个普遍的规则 .
5.
1.
3 电荷守恒定律
在一个系统中,不管电荷如何迁移,系统的电荷的代数和保持不变,这 就 是 电 荷 守 恒
定律 .宏观物体的带电、电中和以 及 物 体 内 的 电 流 等 现 象 实 质 上 是 由 于 微 观 粒 子 在 物 体
内运动的结果 .因此,电荷守恒 实 际 上 是 在 各 种 变 化 中,系 统 内 粒 子 数 的 总 电 荷 数 守 恒 .
电荷守恒定律就像能量守恒定 律、动 量 守 恒 定 律 和 角 动 量 守 恒 定 律 一 样,也 是 自 然 界 的
基本守恒定律 .无论是在宏观领 域 里,还 是 在 原 子、原 子 核 和 粒 子 范 围 内,电 荷 守 恒 定 律
都是成立的 .
5.
2 静电力 (真空中的库仑定律 )
所有的静电学问题都基于库仑定律和叠加原理 .库仑定律是揭示静电相 互 作 用 的 第
一个定量的实验规律,它是 1785 年法国物理学家库仑(
C.
A.
deCou
l
omb)在利用扭秤实
验测定两个带电球体之间相互作用力的基础上提出的两个点电荷之间的相互作 用 规 律 .
点电荷是从实际带电体抽象出 来 的 理 想 模 型 .任 何 带 电 体 都 有 一 定 的 形 状 和 大 小,但 是
在许多情况下,带电体间的距离 比 它 们 自 身 的 大 小 大 得 多,以 致 带 电 体 的 形 状 和 大 小 对
相互作用力的影响可以忽略不计,这样的带电体可以看作是点电荷 .库仑定律 的 表 述 为:
在真空中,两个静止的点电荷之 间 的 相 互 作 用 力 的 大 小 与 它 们 电 荷 的 乘 积 成 正 比,与 它
们之间距离的平方成反比;作用力的方向沿着两点电荷的连线,同号电荷相斥,异 号 电 荷
相吸 .
如图 5
1 所示,两个点电荷分别为q1 和q2 ,由电荷q1 指向q2 的矢量用r 表示,两点电
荷相距r=|r| ,
er =r/
r 为从电荷q1 指向q2 的单位矢量,那么电荷q2 受到电荷q1 的作
用力为
经实验测定,比例常数
1 q1q2
F=
er
4π
ε0 r2
1
k=
9880×109 N·m·C-2 ≈9.
0×109 N·m·C-2
=8.
4π
ε0
式中,
ε0 =8.
85×10-12 C2 ·N-1 ·m-2 ,称为真空电容率 .
· 122 ·
(
5.
1)
第5章
静 电 场
静止电荷之间的相互作用力,称为静电力或库仑力 .
图5
1 q2 受到q1 的作用力 F
(
a)q1、
b)q1、
q2 同号;(
q2 异号
5.
3 电场和电场强度静电力
5.
3.
1 静电场
由库仑定律知,在真空中相 距 一 段 距 离 的 两 个 电 荷 之 间 存 在 着 作 用 力,那 么 两 个 电
荷之间的作用是通过什么中间媒介而传递的呢? 历史上曾经有过两种对立的 观 点:一 种
认为两个电荷之间的作用是不 需 要 中 间 媒 介 而 直 接 作 用 的,其 作 用 也 不 需 要 时 间,而 是
瞬时的,即所谓“超距”作用理论;另一种则认为电荷之间的作用是要通过中间媒 介 的,作
用力的传递也需要一定的时间 .
近代科学实验证 明,“超 距 作 用”的 观 点 是 错 误 的,任 何 带 电 体 周 围 都 存 在 一 种 “特
殊”的物质,这种物质称为电场 .电 场 的 特 性 之 一 是 对 位 于 其 中 的 电 荷 会 施 以 力 的 作 用,
并且当电荷在电场中运动时电场力也对它做功 .电荷与电荷之间正是通过电场发 生 相 互
作用的 .本章讨论一种简单的情 况,即 相 对 于 观 察 者 为 静 止 的 电 荷 在 其 周 围 空 间 产 生 的
电场,这种电场称为静电场 .
5.
3.
2 电场强度
由于电场对处于其中的电荷有作用力,所以可通过观察电荷在空间各点 的 受 力 情 况
来研究电场的性质 .下面引入描述电场的一个基本物理量———电场强度 .
设有一个静止的带电体,带电荷 Q ,我们研究其周围产生的静电场 .产生静电场的带
电体称为场源,场源可以是若干个带电体或点 电 荷 .将 一 个 试 验 电 荷 q0 放 到 电 场 中 的 不
同位置(场点),并保持其静止,观察电场对q0 的作用力的情况 .试验电荷必须满足两个要
求:① 试验电荷必须是点电荷;② 电荷量应足够小,以致把它放进电场时对原有 的 电 场 几
乎没有什么影响 .为了叙述方便,取试验电荷为正电荷 +q0 .
实验发现,试验电荷 +q0 在电场 中 各 位 置 处 所 受 到 的 电 场 力 F 的 值 和 方 向 均 不 相
· 123 ·
大学物理(上册)
同 .就某一确定的位置来说,试验电荷 +q0 在该处所受的电场力 F 只与q0 的大小有关 .值
得注意的是,F/
q0 是只与场点有关,而与q0 无关的一个矢量 .这说明 F/
q0 是一个表征电
场本身性质的物理量,可以用来描述电场的特征 .该矢量称为电场强度(简称场强),用 符
号 E 来表示,定义式为
F
(
E=
5.
2)
q0
它表明,电场内任意 场 点 的 电 场 强 度 的 大 小 等 于 单 位 电 荷 在 该 点 所 受 电 场 力 的 大
小,其方向与正电荷在该点受力的方向相同 .静电场的分布与时间无关,电场强 度 只 是 坐
标的函数,即 E =E (x,
z) .在 国 际 单 位 制 中,电 场 强 度 的 单 位 为 牛 顿 每 库 仑,符 号 为
y,
N·C-1 .电场强度的另一国际单位为伏特每米,符 号 为 V· m-1 .两 者 是 等 价 的,在 本 章
5.
8 节中会说明 .
5.
3.
3 电场强度叠加原理
1.点电荷的电场强度
如图 5
2 所示,在真空中,场源为一静止点电荷 Q ,将一试验电荷q0 置于场点 P ,由
场源电荷 Q 指向q0 的矢量用r 表示,两点电荷相距r=|r| ,
er =r/
r 为从场源电荷Q 指
向q0 的单位矢量,由库仑定律式(
5.
1)和 电 场 强 度 定 义 式(
5.
2)可 得 场 点 P 的 电 场 强 度
为:
F
1 Q
E= =
er
ε0 r
q0 4π
(
5.
3)
图5
2 点电荷的电场强度
上式表示在真空中点电荷 Q 所激发的电场中,任意点 P 处的电场强度 .可以看出,如
果点电荷为正电荷(Q >0),E 的方向与er 的方向相同;如果点电荷为正电荷(Q <0),
E 的方向与er 的方向相反(见图 5
2).由式(
5.
3)还可以看出真空中点电荷的电场分布具
有球对称性 .
2.电场强度叠加原理
如图 5
3 所示,若场源为一个由三个点电荷 Q1 ,Q2 和 Q3 组成的电荷系(两个电荷之
间的相互作用力不受在附近存 在 的 第 三 个 电 荷 的 影 响),那 么 点 电 荷 系 在 任 一 点 的 电 场
· 124 ·
第5章
静 电 场
强度如何计算呢? 根据电场强度的定义,将一试验电荷q0 置 于 场 点 P ,由 场 源 电 荷 Q1 ,
Q2 和 Q3 到指向q0 的矢量分别用r1 ,
r2 和r3 表示,
er1 ,
er2 和er3 为从场源电荷 Q1 ,Q2 和
Q3 到指向q0 的单位矢量 .由库仑定律式(
5.
1)可得,试验电荷q0 受到场源电荷 Q1 ,Q2 和
Q3 的作用力 F1 ,F2 和 F3 分别为
1 q0Q1
F1 =
er1
4π
ε0 r2
1
1 q0Q2
F2 =
er2
4π
ε0 r2
2
1 q0Q3
F3 =
er3
4π
ε0 r2
3
根据力的叠加原理可得试验电荷q0 上的电场力的合力为
F =F1 +F2 +F3
按照电场强度的定义式(
5.
2),可得到点 P 处的电场强度为
F F1 F2 F3
E= = +
+
q0 q0 q0 q0
图5
3 电场强度叠加原理
代入 F1 ,F2 和 F3 ,最终得场点 P 处的电场强度为
1 Q1
1 Q2
1 Q3
E=
er1 +
er2 +
er3
4π
ε0 r2
4π
ε0 r2
4π
ε0 r2
1
2
3
分析上述结果,可以看出等式右边第一项、第二项和第三项分别为 Q1 ,Q2 和 Q3 三个
点电荷单独存在时场点 P 处的电场强度,即
E =E1 +E2 +E3
这表明三个点电荷在点 P 处激发的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该处 产
生的电场强度的矢量和 .可以将由三点电荷组成的点电荷系推广到由多个点电荷 组 成 的
点电荷系,并得到如下结论:点电 荷 系 所 激 发 的 电 场 中 某 点 的 电 场 强 度 等 于 各 个 点 电 荷
单独存在时在该点产生的电场 强 度 的 矢 量 和,这 个 结 论 叫 做 电 场 强 度 叠 加 原 理 .它 是 电
磁学的基本规律之一 .数学表达式可写为
n
n
Qi
1
E = ∑Ei =
eri
2
∑
4π
ε0 i
i
i=1
=1 r
(
5.
4)
对于电荷连续分布的带电体,可把带电体分为许多无限小的电荷 元 d
q ,而 每 个 电 荷
· 125 ·
大学物理(上册)
元都可以当作点电荷 .任意一电荷元 d
q 在场点 P 产生的电场强度为
q
1 ·d
dE =
er
4π
ε0 r2
然后,根据场强的叠加原理便可求得电荷连续分布的带电体在场点 P 的电场强度为
∫4πε ·r dq
E=
V
1
0
er
2
(
5.
5)
式中积分遍及整个带电体 .在这里需要注意,上式的积分是矢量函数的叠加积 分,在 直 角
坐标系中通常分解为 dEx ,dEy 和 dEz 三个分量 积 分 式,由 此 便 可 求 出 电 场 强 度 矢 量 的
直角坐标三分量 .
但是上述叠加积分不能直 接 进 行,除 非 给 出 点 电 荷 元 与 源 位 矢 的 关 系,即 给 出 电 荷
的空间分布函数———电荷密度 .若 d
V 为电荷元 d
q 的体积元,
q=
ρ 为其电荷体密度,则 d
V .于是,式(
5.
5)可写为
ρd
∫4πε ·r dV
E=
V
1
0
er
ρ
2
(
5.
6)
顺 便指出,对于电荷连续分布的面带电体和面带电体来说,电荷元 d
s
q 分别为 d
q=σd
和d
l ,其中σ 和λ 分别为电荷面密度和线密度,由式(
5.
5)可得到它们的电场强度
q=λd
分别为:
∫4πε ·r ds
e
1 λ
E=
∫4πε ·r dl
E=
S
L
1
0
0
σ
er
2
(
5.
7)
r
2
(
5.
8)
5.
3.
4 电偶极子的电场强度
两 个等量异号点电荷,电荷量分别为 +q 和 -q ,相距l ,如果讨论的场点与这一对点
电荷之间的距离比l 大得多,则 这 一 对 点 电 荷 的 总 体 就 称 为 电 偶 极 子,如 图 5
4 所 示 .从
-q 指向 +q 的矢量l 称为电偶极子的轴,电荷量q 与l 的乘积叫做电偶极矩,用符号 p 来
表示,即p=q
l .在国际单位制中,电偶极矩的单位是库仑·米 .电偶极子的物理模型是研
究电介质的极化和电磁辐射的基础模型 .
图5
4 电偶极子
下面分别讨论电偶极子轴线延长线上和轴线中垂线上任一场点的电场强度 .
(
1)计算电偶极子轴线延长线上任一点 A 的电场强度 .
如图 5
4 所示,取电偶极子的中点为坐标 原 点 O ,以 极 轴 的 延 长 线 为 Ox 轴,OA 两
点相距r ,且r >>l ,由式(
5.
3)可得点电荷在 +q 和 -q 点产生的场强大小分别为
· 126 ·
第5章
静 电 场
q
1
E+ =
i
4π
ε0 (r-l/2) 2
q
1
E- =i
4π
ε0 (r+l/2) 2
根据电场强度叠加原理式(
5.
4),可求得场点 A 的电场强度
q
2
r
l
EA =E++E- =
i
4π
ε0 (r2 -l2/4) 2
由于r 远大于l ,则r2 -l2/4≈r2 ,于是上式可写为
1 2
l
q
EA =
i
4π
ε0 r3
由于电偶极矩 p =q
l=q
l
i ,所以上式变为
1 2p
EA =
4π
ε0 r3
(
5.
9)
式(
5.
7)表明,在电偶极子轴线延长线上任意一点 A 处产生的电场强度EA 的大小与
电偶极子的电偶极矩 p 的大小成正比,与电偶极子的中点 O 到 A 的距离r 的三次方成反
比,电场强度 EA 的方向与电偶极矩 p 的方向相同 .
(
2)轴线中垂线上任一场点 B 的电场强度 .
如图 5
5 所示,取电偶极子的中点为坐标原 点 O ,以 极 轴 的 延 长 线 为 Ox 轴,轴 线 的
中垂线为 Oy 轴,O 、B 两点相距r ,且r ≫l ,由式(
5.
3)可得点电荷在 +q 和 -q 点产生
的场强大小分别为
q
1
E+ =E- =
4π
ε0 (r+l/2) 2
图5
5 求电偶极子电场分布
根据电场强度叠加原理式(
5.
4),可求得场点 B 的电场强度
EB =E++E- =EBx +EBy
其中 EBy =0,EB =EBx ,所以有
EB =E+x +E-x =-E+ cos
θ-E- cos
θ=-2E+ cos
θ
· 127 ·
大学物理(上册)
l
2
,所以有
由图 5
5 知,co
s
θ=
æçl ö÷ 2
2
r +
è2 ø
l
q
q
l
1 ·
2
1 ·
·
EB =-2
=/
2
4π
ε0 2 æçl ö÷ 2
4
π
ε
l ö÷ 2 ùú 3 2
é
æ
0
2
æçl ö÷
ç
2
ê
r +
r
+
r
+
è2 ø
ë
è2 ø û
è2 ø
由于r 远大于l ,则r2 +l2/4≈r2 ,于是上式可写为
1 l
q
EB =i
4π
ε0r3
由于电偶极矩 p =q
l=q
l
i ,所以上式变为
1 p
EB =
4π
ε0r3
(
5.
10)
式(
5.
10)表明,在电偶极子轴线中垂线 上 任 意 一 点 B 处 产 生 的 电 场 强 度 EB 的 大 小
与电偶极子的电偶极矩 p 的大小成正比,与电偶极子的中点 O 到B 的距离r 的三次方成
反比,电场强度 EB 的方向与电偶极矩 p 的方向相反 .
例 5.
1 如图 5
6 所示,一均匀带电细圆环,半径为 R ,所带电荷总量为q .求轴线上
离环中心 O 为x 的 P 处的电场强度E .
图5
6 均匀带电圆环轴线上的电场
解
设 O 点为坐标原点 .在环上取线元 d
l ,对应的电荷元为 d
q .此电荷元在点 P 处
激发电场的电场强度为
q
1 d
dE =
er
4π
ε0r2
由于电荷对坐标原点的中心对称分布,圆环上各电荷元对点 P 处所激发电场的电场
强度 dE 的分布也具有对称性,它们在垂直于x 轴方向上的分量 dE⊥ 将互相抵消 .各电荷
元在点 P 的电场强度 dE 沿x 轴的分量 dEx 都具有相同的方向,且 dEx =dEc
os
θ .则点 P
的电场强度为
∫ ∫
∫
x
E = dEx = dEcos
θ=
d
q
q
q
4π
ε0r3 q
式中积分遍及环上全部电荷,且式中r= (x2 +R2 ) 1/2 ,带入即求得轴线上离环中心 O 为
· 128 ·
第5章
x ,P 处的电场强度:
静 电 场
q
x
E=
/
4π
ε0 (x2 +R2 ) 3 2
方向沿 x 轴正方向 .
当 x ≫ R 时,(x2 +R2 ) 3/2 ≈ x3 ,则 E 的大小为
E≈
q
4π
ε0x2
此结果说明,远离环心处的电场相当于一个点电荷q 所产生的电场 .
例 5.
2 如图 5
7 所示,一半径为 R 的均匀带正电圆面,电荷的面 密 度 为σ .求 轴 线
上离环中心 O 为x 的 P 处的电场强度E .
图5
7 均匀带电圆面轴线上的电场
解
带 点 圆 面 可 看 成 由 许 多 同 心 的 均 匀 带 电 的 细 圆 环 组 成 .取 一 半 径 为r ,宽 度 为
d
r 的细圆环,由于此环带有电荷σ·2πrd
r ,由 例 5.
1 知,此 带 点 圆 环 在 P 点 的 电 场 强 度
为
σ·2πrd
r·x
dE =
/
4π
ε0 (x2 +r2 ) 3 2
方向沿 Ox 正方向 .由于组成圆面的所有带点细圆环产生的电场强度都沿同一方向,所以
带电圆面在 P 处产生的电场强度为
∫
∫ (x +r )
σx
E = dE =
2
ε0
R
0
2
rd
r
其方向垂直于圆面沿 Ox 正方向 .
2
3/2
1
ù
σx éê 1
=
/ ú
ê / -( 2
x +R2 ) 1 2 úû
2
ε0 ëx1 2
如果 x ≪ R ,带电一圆面可以看作是“无限大”的均匀带电平面,其附近电场强度为
σ
E=
2
ε0
结果表明,很大的均匀带电平面附近的电场强度 E 为一常量,E 的方向与平面垂直 .
2
2
如果 x ≫ R ,(x2 +R2 ) -1/2 = 1 æç1- R 2 + … ö÷ ≈ 1 æç1- R 2 ö÷ ,于是有
ø
2x
2x ø
xè
xè
E≈
q
πR2σ
=
4π
ε0x2 4π
ε0x2
这一结果也说明,远离圆面处的电场相当于一个点电荷q 所产生的电场 .
· 129 ·
大学物理(上册)
5.
4 高斯定理
上节课学习了描述电场性质的一个物理量———电场强度 .为了更 形 象 地 描 绘 电 场 分
布,这节课将在电场强度概念的基础上,引入了电场线和电场强度通量,并在此 基 础 上 导
出描述真空中静电场性质的一个重要定理高斯定理 .
5.
4.
1 电场线
在静电场中人为地作一系列曲线,并使曲线上任意一点的切线方向与该 点 的 电 场 强
度的方向相同,这样的曲线叫做电场线 .图 5
8 是不同电荷分布的电场线图 .
图5
8 不同电荷分布的电场线图
(
a)正电荷;(
b)负电荷;(
c)两等值正电荷;
(
d)两等值异号电荷;(
e)正电荷 2
f)正负带电板
q 和负电荷 -q ;(
· 130 ·
第5章
静 电 场
从上述电场线图可以看出电场线有如下一些性质:
(
1)电场线起自于正电荷(或来自无穷远处),止于负电荷(或伸向无穷远处),但 不 会
在没有电荷的地方中断 .
(
2)若带电 体 系 中,正 负 电 荷 一 样 多,则 由 正 电 荷 发 出 的 电 场 线 都 集 中 到 负 电 荷
上去 .
(
3)任何两条电场线不会相交 .
(
4)静电场中的电场线不形成闭合曲线 .
为了使电场线既能表示电 场 强 度 的 方 向,在 画 电 场 线 时 应 规 定:通 过 电 场 中 任 意 一
点与电场线切线方向垂直的单位面积的电场线条数等于该点的电场强度的大小,即
dΦe
E=
dS
(
5.
11)
式中,dΦe 为通过面元 dS 的电场线数目 .dΦe/dS 也叫做电场线密度 .
5.
4.
2 电场强度通量
在电场中,通过任意 一 个 给 定 曲 面 的 电 场 线 的 数 目 称 为 通 过 该 曲 面 的 电 场 强 度 通
量,简称为电通量,用符号 Φe 表示 .它是为了研究场源电荷和它产生的电场的分布 关 系,
即描述电场分布基本规律———高斯定理引入的 .
首先讨论匀强电场中的电场强度通量 Φe .如 图 5
9 所 示,设 在 匀 强 电 场 中 取 一 平 面
S ,并使它与电场强度方向垂直 .匀强电场的电场强度处处相等都为 E ,所以电场线密度
也应处处相等 .根据式(
5.
11),通过平面 S 的电场强度通量为
Φe =ES
若平面与匀强电场的 E 不垂直 .为 了 把 平 面 S 在 电 场 中 的 大 小 和 方 位 都 表 示 出 来,
人们引入了面矢量 S ,规定其大小为 S ,其方向用它的单位法线矢量en 来表示,则有 S =
S
en .在图 5
9(
a)所示,
en 与 E 之间的夹角为θ ,则通过平面 S 的电场强度通量为
Φe =EScos
θ
由矢量标积的定义可知,ESco
s
θ 为矢量E 与S 的标积,上式可表示为
Φe =E·S
(
5.
12)
图5
9 电场强度通量的计算
· 131 ·
大学物理(上册)
如果电场为非匀强电场,取任意曲面[见图 5
9(
b)],这种情况下,需将曲面分成多个
面积元 dS ,每个面元 dS 都 可 以 看 成 是 一 个 小 平 面,在 同 一 个 面 元 上,电 场 强 度 处 处 相
等 .根据式(
5.
11),通过面元 dS 的电场强度通量为
dΦe =E·d
S =EdScos
θ
式中,
θ 为面元上的电场强度E 与面元 d
S 的法向矢量en 在之间的夹角 .通过整个曲面的
电场强度通量为
∫ ∫
Φe = dΦe = E·d
S
s
s
这样的积分在数学上称为面积分,积分号小标 S 表示积分遍及整个平面 .
(
5.
13)
如果是闭合曲面,则通过它的电场强度通量为
∮
∮
(
5.
14)
Φe = E·d
S
S
式中,积分符号“ ”表示对整个闭合曲面进行面积分 .
说明:对于不闭合的曲面,面上各处的法线方向单位矢量的正向可以 任 取 一 侧 .对 于
闭合曲面,由于它使整个空间划分为内、外两部分,所以一般规定自内向外的方 向 为 各 处
面元法向的正方向 .因此,当电场线从内部穿 出 时(见 图 5
10),
θ < 90
° ,dΦe 为 正 .当 电
场线从外面穿入时(见图 5
10),
θ >90
° ,dΦe 为负 .当电场线垂直穿出或穿出时,dΦe 为
零.
图5
10 通过闭合曲面上不同地方面积元的电场强度通量正负的判别
5.
4.
3 高斯定理
通过电场强度通量的概念,可 以 把 场 源 电 荷 和 它 的 电 场 的 关 系 的 基 本 规 律 叙 述 为:
在真空静电场中,穿过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的所 有 电 荷
的代数和除以真空电容率ε0 ,这 一 电 磁 学 的 基 本 定 理 就 是 高 斯 定 理 .用 数 学 公 式 来 表 述
高斯定理,则有
∮
n
1
i
n
Φe = E·d
S = ∑qi
S
ε0 i
· 132 ·
(
5.
15)
第5章
静 电 场
n
i
n
这里的闭合曲面习惯上称为高斯面,∑qi
是闭合曲面内所包围的点电荷的代数和 .
i
高斯定理可以由库仑定律 和 电 场 强 度 叠 加 原 理 导 出,下 面 从 特 殊 到 一 般,分 几 步 来
证明高斯定理 .
(
1)通过包围点电荷q 的同心球面的电场强度通量都等于q/
ε0 .
设真空中有一个正点电荷q ,被 置 于 半 径 为 R 的 球 面 中 心 O (见 图 5
11).由 点 电 荷
的电场强度公式(
5.
3)可知,球面上各点电场强度 E 的大小均等于
1 q
E=
4π
ε0 R2
图5
11 通过包围点电荷的同心球面的电场强度通量
E 的方向沿矢径向外 .在球面上任取一面积元 dS ,其正单位法线矢量en 与场强 E 的
方向相同,即 E 与面元矢量 d
S 垂直 .通过 dS 的电场强度通量为
1 q
dΦe =E·d
S =EdS =
dS
4π
ε0 R2
则通过整个球面的电场强度通量为
最后得
∮ ∮
∮
1 q
1 q·
Φe = dΦe = E·d
S=
dS =
4πR2
S
S
4π
ε0 R2 S
4π
ε0 R2
∮
q
Φe = E·d
S=
S
ε0
(
5.
16)
即通过球面的电场强度通量等于球面所包围的电荷q 除以真空电容率 .这 一 结 果 与 球 面
半径r 无关 .
(
2)通过包围点电荷q 的任意闭合曲面S 的电场强度通量都等于q/
ε0 .
在真空中,一正点电荷q 被任意 曲 面 包 围 (见 图 5
12).将 此 闭 合 曲 面 分 成 许 多 面 积
元 .设点电荷 +q 至某面元 dS 的矢量为r ,此面元的正法线矢量en 与面元所在处电场强
度 E 之间的夹角为θ .穿过该面元 dS 的电场强度通量为
· 133 ·
大学物理(上册)
dΦe =E·d
S =EdScos
θ
图5
12 通过包围点电荷的任意曲面的电场强度通量
将点电荷的电场强度公式(
5
3)代入上式,有
q dScos
q dS
θ
′
dΦe =
=
4π
ε0 r2
4π
ε0 r2
式中,dSco
s
θ=dS
′ ,及面元 dS 在垂直于矢量r 方向的投影 .从数学上可知,dS
′/
r2 为面
元 dS 对点电荷q 所张开的立体角 dΩ ,即 dΩ=dS
′/
r2 ,故上式为
q
dΦe =
dΩ
4π
ε0
由上式可以看出,在点电荷的电场中,通过任意面元 dS 的电场强度通量,置于点电荷 q ,
以及面元 dS 对q 张开的立体角的大小有关 .对上式进行积分,可求得包围 q 的任意曲面
的电场强度通量为
∮ ∮
∮
式中,立体角对闭合曲面的积分 dΩ=4π .则有
∮
q
Φ = E·d
∮ S=ε
q
Φe = dΦe = E·d
S=
dΩ
S
S
4π
ε0 S
S
e
S
0
(
3)通过不包围点电荷q 的任意闭合曲面S 的电场强度通量恒为 0.
单个点电荷产生的 电 场 线 是 以 点 电 荷 为 中 心 径 向 辐 射 的 直 线,它 们 在 空 间 连 续 不
断 .如图5
13 所示当点电荷在闭合曲面 S 之外时,从某个面元 dS 上进入闭合曲面的电场
线必然从另外一个面元 dS
′ 上穿出 .显然这一对面元所张的立体角数值相等 .根据前面的
结果知,通过 dS 的电场强度通量 dΦe 和通过 dS
′ 的电场强度通量 dΦ
′e 数值相等,但符号
相反,它们的代数和 dΦe +dΦ
′e =0.通过整个闭合曲面 S 的电场强度通量Φe 是通过这样
一对面元的电场强度通量之和,当然也是等于零的 .
· 134 ·
第5章
静 电 场
图5
13 通过不包围点电荷的的闭合曲面的电场强度通量
n
(
4)多 个 点 电 荷 体 系 产 生 的 电 场 通 过 任 意 闭 合 曲 面 S 的 电 场 强 度 通 量 都 等 于
∑q/ε .
i
i
0
当带电体系由多个点电荷 组 成 时,根 据 电 场 强 度 叠 加 原 理,它 们 在 闭 合 曲 面 每 个 面
元 dS 处产生的电场强度E 为
E =E1 +E2 +E3 + …
则通过该面元 dS 的电场强度通量为
dΦe =E·d
S = (E1 +E2 + … +En ) ·d
S
通过整个闭合曲面的电场强度通量为
∮ ∮
∮
∮
∮
Φe = dΦe = E·d
S = E1 ·d
S + E2 ·d
S + … + En ·d
S
S
S
S
S
S
=Φe1 +Φe2 + … +Φen
式中,Φe1 ,
Φe2 ,…,
Φen 分别是点电荷q1 ,
q2 ,… ,
qn 单独存在时通过闭合曲面的电场强度
通量 .由上面的讨论知
q1
q2
qn
Φe1 = ,
Φe2 = ,…,
Φen =
ε0
ε0
ε0
当 点电荷qi 在闭合曲面之内时,Φei >0;当点电荷qi 在闭合曲面之外时,Φei =0,所
以穿过闭合曲面的电场强度通量仅与闭合曲面内的电荷有关,因此可以得到
n
∮
n
1
i
n
Φe = E·d
S = ∑qi
S
ε0 i
i
n
其中 ∑qi
是闭合曲面内所包围的点电荷的代数和 .当带电体为连续带电体时,可将其看
i
作由多个点电荷组成的点电荷系 .
至此,高斯定理证明完毕 .
为了正确理解高斯定理,应注意以下几点:
(
1)穿过闭合面的电通量只与闭合面内的电荷有关,与闭合面外的电荷无 关,而 且 与
闭合面内的电荷分布也无关 .
· 135 ·
大学物理(上册)
n
n
i
n
i
n
(
是指电荷的代数和 .当 ∑qi
2)在高斯定理中,∑qi
=0 时,不能说明闭合面内没
i
i
n
i
n
有电荷(可能有等量的正负电荷);当 ∑qi
>0 时,也不能理解为闭合面内只有 正 电 荷,
i
而没有负电荷,而是在闭合面内有净余的正电荷 .
(
3)高斯定理表达式中 E 是闭合面上各点的电场强度,它是由所有电荷(包括闭合面
内的电荷,也包括闭合面外的电 荷)产 生 的,并 非 只 由 闭 合 面 内 电 荷 所 产 生 .闭 合 面 外 有
无电荷及其分布如何,尽管不会 改 变 通 过 整 个 闭 合 面 的 电 通 量,但 将 会 影 响 闭 合 面 上 各
处场强的大小和方向 .如果穿过闭合面的电通量为零,只能说明闭合面内没有 净 余 电 荷,
并不能说明闭合面上的电场强度处处为零 .
(
4)高斯定理是静电场的基本定理之一,它反映了静电场的基本性质,即静 电 场 是 有
源场,场源为电荷 .当闭合曲面内只有 正 电 荷 时,Φe > 0,表 示 有 电 场 线 从 正 电 荷 发 出 并
穿出闭合曲面,所以正电荷称为静电场的源头 .当闭合曲面内只有负电荷时,Φe <0 表示
有电场线进入闭合曲面而终止 于 负 电 荷 上,所 以 负 电 荷 称 为 静 电 场 的 尾 闾 .高 斯 定 理 说
明了静电场有头有尾,起始于正电荷,终止于负电荷,故静电场为有源场 .
(
5)虽然高斯定理是在库仑 定 律 的 基 础 上 得 出 的,但 是 库 仑 定 律 是 从 电 荷 间 的 作 用
反映静电场的性质,而高斯定理 是 从 场 和 场 源 电 荷 间 的 关 系 反 映 静 电 场 的 性 质 .库 仑 定
律只适用于静电场,而高斯定理不但适用于静电场,而且对变化的电场也是适 用 的 .它 是
电磁场理论的基本方程之一 .关于这一点,将在第 8 章中论述 .
5.
4.
4 利用高斯定理求几种静电场的分布
利用高斯定理可以求一些特 定 电 荷 分 布 的 电 场 分 布 但 要 求 电 场 分 布 具 有 一 定 的 对
称性,所以分析电场的对称性对 应 用 高 斯 定 理 求 电 场 强 度 是 非 常 重 要 的 .利 用 高 斯 定 理
求电场强度一般分为两步:第 一,根 据 电 荷 分 布 的 对 称 性 分 析 电 场 分 布 的 对 称 性;第 二,
∮E·dS 中E 能以标量的
选取合适的高斯面,利用高斯定理求解 .高斯面选取的原则是使
形式从积分号内提出来 .下面举例说明 .
S
例 5.
3 求均匀带正电球壳内外的场强分布 .设 球 壳 半 径 为 R ,带 电 总 量 为 q ,如 图
5
14所示 .
解
首先分析电场分布的对 称 性 .由 于 电 荷 q 均 匀 地 分 布 在 半 径 为 R 的 球 壳 上,这
个带电体系具有球对称性,所以电场分布也具有球对称性,即以半径r 作与球壳同心的球
面,球面上各点的电场强度大小相等,方向沿半径向外呈辐射状 .
根据电场的球对称性特点,高斯面应取为同心球面 .如果点 P 在球壳内,取高斯面为
以球心到点 P 的距离r (< R )为半径所作闭合球面 .高斯面内没有电荷 .由高斯定理式
(
5.
15)可得
· 136 ·
∮E·dS=E·4πR =0
S
2
第5章
静 电 场
则
E =0(r < R )
图5
14 均匀带电球壳的电场分布
如果点 P 在球壳外,取高斯面为以球心 到 点 P 的 距 离r (> R )为 半 径 所 作 闭 合 球
面 .高斯面内所包围的电荷为q .由高斯定理式(
5.
15)可得
∮E·dS=E·4πR =ε
S
则
2
q
0
1 q(
E=
r > R)
4π
ε0r2
上式表明,均匀带电球壳外部任 意 一 点 的 电 场 强 度,与 等 量 电 荷 全 部 集 中 在 球 心 的 点 电
荷的电场强度相同 .
为 了更清楚地了解场强随半径r 的变化,根据结果作出了 E-r 曲线图(图5
14c).从
曲线可以看出,球壳内 (r < R ) 场强为零,球 壳 外 (r > R ) 场 强 大 小 与r2 成 反 比,球 壳
处 (r=R ) 场强数值有突变 .
例 5.
4 求均匀带正电 的 无 限 长 细 棒 的 场 强 分 布 .设 的 电 荷 线 密 度 为 λ ,如 图 5
15
所示 .
解
由于无限长带电细棒 带 电 均 匀,这 个 带 电 体 系 具 有 轴 对 称 性,所 以 电 场 分 布 也
具有轴对称性,即据细棒等距处 各 点 的 电 场 强 度 的 数 值 大 小 相 等,方 向 沿 直 线 的 矢 径 向
外呈辐射状 .根据电场的轴对称性特点,过任意一点 P ,取以带电细棒为轴,高为 h ,底面
半径为r 的圆柱面为高斯面 .由于场强与上下底面法线方向垂直,所以通过圆柱两个底面
的电场强度通量为零 .侧面上各 点 的 场 强 方 向 与 该 点 的 法 线 方 向 相 同,所 以 通 过 侧 面 的
电场强度通量为 E·2π
r
h .高斯面包围的电荷为λ
h .根据高斯定理,有
∮E·dS=E·2πrh =λh
S
· 137 ·
大学物理(上册)
则
λ
E=
2π
ε0r
即无限长均匀带电细棒外一点的电场强度与该点到直线的距离r 成反比,电荷线密度λ
成正比 .
图5
15 无限长均匀带电细棒的电场分布
例 5.
5 求均匀带正电 的 无 限 大 平 面 的 场 强 分 布 .设 的 电 荷 面 密 度 为 σ ,如 图 5
16
所示 .
图5
16 无限大带电平面的电场分布
解
由于平面无限大,正电荷均匀分布,所以电场分布对该平面具有 面 对 称 性,即 平
面两侧与面距离相等的场点的 电 场 强 度 大 小 相 等,方 向 与 平 面 垂 直 并 指 向 平 面 的 两 侧 .
如图 5
16 所示,应选择一轴与带电平面垂直,底面 S 对带电平面对称的圆柱面为高斯面 .
圆柱侧面每一点的法线方向与该点的电场强度方向垂直,所以通过侧面的电场强 度 通 量
为零 .而底面的法线方向与电场强度方向平行,且两底面上电场强度大小处处 相 等 .则 通
过整个圆柱面的电场强度通量等于通过两底面的,根据高斯定理,有
∮E·dS=E·2S =ε
σS
S
· 138 ·
0
第5章
静 电 场
σ
E=
2
ε0
上式表明,无限大均匀带电平面的 E 与场点 到 平 面 的 距 离 无 关,E 的 方 向 与 带 电 平 面 垂
直 .无限大带电平面附近的电场为匀强电场 .
例 5.
6 求两个带等量异号电 荷 的 无 限 大 平 行 平 面 的 场 强 分 布 .设 两 无 限 大 平 面 的
电荷面密度分别为 +σ 和 -σ ,如图 5
17 所示 .
图5
17 两个带等量异号电荷的无限大平行平面的场强分布
根据例 5.
5 的结果可知,两 个 带 等 量 异 号 电 荷 的 无 限 大 平 行 平 面,它 们 附 近 的 电 场
强度 E+ 和 E- 的大小均为σ/2
ε0 ,它们的方向在两个平面之间是相同的,在两平面之外是
相反的 .由电场强度叠加原理得两无限大平行均匀带电平面之外的电场强度 Eouter =0;而
两者之间的电场强度
σ
Einter =
ε0
上式表明,两无限大均匀带电平 面 之 间 形 成 匀 强 电 场 .E 的 方 向 从 带 正 电 的 平 面 指 向 带
负电的平面 .
5.
5 静电场的保守性
电势能
本节从功能的角度研究静电场的性质,先从库仑定律和电场强度叠加原 理 出 发 证 明
静电场是保守场 .
5.
5.
1 静电场力所作的功
(
1)单个点电荷产生的电场 .
如图 5
18 所示,将一试验电荷q0 放置在正点电荷q 产生的静电场中,并将其沿任意
· 139 ·
大学物理(上册)
路径 L 自P 点移到Q 点,现在来计算在这个过程中电场力作的功 W .由于 E 的大小和方
向沿路径 L 逐点变化,这是一个变力作功的问题,需将 L 分割成许多小线元 .考虑任一位
移元 d
l ,电场力在 d
l 上所作元功为
dW =q0E·d
l
1 q
E=
er
4π
ε0r2
图5
18 电场力作功
式中,
er 为位矢r 方向的单位矢量,于是元功可写为
q0 ·
1 q
dW =
er d
l
4π
ε0 r2
式中,
er·d
l=d
lcos
θ=d
r;
θ 是E 与 d
l 之间的夹角 .所以上式可写为
q0
1 q
dW =
d
r
4π
ε0 r2
于是,将试验电荷q0 从 P 移到 Q 的过程中,电场力所作的总功为
∫
∫
q
q0 rQ d
q0 çæ 1 1 ÷ö
r q
W = dW =
=
4π
ε0 rP r2 4π
ε0 èrP rQ ø
(
5.
17)
式中,
rP 和rQ 分别为试验电荷移动的起点和终点距点电荷的距离 .
由此可见,单个点电荷的电 场 力 对 试 验 电 荷 所 作 的 功 与 路 径 无 关,只 与 试 验 电 荷 的
起点、终点位置有关 .此外还与试验电荷q0 的大小成正比 .
(
2)任意带电体系产生的电场 .
任意带电体都可以看成由 许 多 点 电 荷 组 成 的 点 电 荷 系 .由 电 场 强 度 叠 加 原 理 知,点
电荷系的电场强度 E =E1 +E2 + … ,其 中 E1 、
E2 、… 是 点 电 荷 q1 、
q2 、… 产 生 的 电 场 强
度 .因此任意带电体系对试验电荷q0 的电场力所作的功等于组成此带电体系的各点电荷
的电场力所作功的代数和,即
∫
∫(E +E + … )·dl=q∫E ·dl+q∫E ·dl+ …
W =q0 E·d
l=q0
L
L
1
2
0
L
1
0
L
2
上式中右方每一项都与路径无关,所以总电场力做功也与路径无关 .
通过上述证明,可以得出 如 下 结 论:试 验 电 荷 在 静 电 场 中 移 动 时,电 场 力 所 作 的 功,
只与试验电荷电量的大小及路径的起点、终点位置有关,与路径无关 .这就是静 电 场 力 作
· 140 ·
第5章
静 电 场
功的特点,它说明静电场力为保守力 .
5.
5.
2 静电场的保守性—环路定理
静电场力是保守力,其作功还可表述成另一种等价形式 .
在静电场中,若将试验电荷q0 沿闭合路径移动一周,电场力所作的功为
∮
∮
W = q0E·d
l=q0 E·d
l
L
L
由于电场力做功与路径无关,只与始末位置有关,所以可以证明(同 3.
4 节证明)
∮
(
5.
18)
W =q0 E·d
l=0
因为试验电荷q0 不为零,则有
L
∮E·dl=0
(
5.
19)
L
上式表明,在静电场中,电场强度 E 沿任意闭合路径的线积分为零,称为静电场的环
路定理 .它体现了静电场的保守性,静电场是一种保守场 .
5.
5.
3 电势能
静电力与第 3 章中所讲的 重 力、弹 性 力 一 样 都 是 保 守 力,在 这 里 可 以 引 入 一 个 电 场
中与位置有关的函数电势能的概念 .静电场力所作功等于电势能增量的负值,即
∫E·dl=- (E -E ) =E -E
W AB =q0
AB
pB
pA
pA
pB
式中,EpA 和 EpB 分别表示试验电荷q0 在电场中 A 和 B 点处的电势能 .
(
5.
20)
电势能也和重力势能一样,是 一 个 相 对 的 量 .电 荷 在 电 场 中 某 处 所 具 有 的 电 势 能 的
值,与电势能零点的选取有关 .在 实 际 问 题 中,根 据 计 算 方 便 选 取 势 能 零 点 .对 式 (
5.
20)
来说,若选取 B 处为势能零点,即 EpB =0,则可得 A 处势能为
∫E·dl
EpA =W AB =q0
AB
(
5.
21)
这表明,试验电荷q0 在电场中某点处的电势能数值上等于把它从该点移动到电势能零点
静电场力所作的功 .
在国际单位制中,电势能的单位是焦耳,符号 J.
5.
6 电势
电势差
上节课证明了电场力对试验电荷所作的功除了与始末位置有关,还与试 验 电 荷 的 带
电量有关 .这一节将在此基础上引入另外一个与试验电荷无关的物理量来描述静 电 场 的
性质 .
· 141 ·
大学物理(上册)
5.
6.
1 电势
电势差
若将式(
5.
20)两边除以q0 ,则有
∫E·dl
VA -VB =
AB
(
5.
22)
式中,VA =EpA/
q0 和VB =EpB/
q0 ,是一个与试验电荷q0 无关,表征电场性质的物理量,称
为 A 点和 B 点的电势,即单位正试验电荷在 A 点和 B 点的电势能 .VA -VB 称为 A 、B
两点之间的电势差,即将单位正试验电荷从 A 移动B 静电场力所作的功,用 U AB 表示 .通
过式(
5.
22)可得到静电场中任意两点的电势差,而不能确定任一点的电势值 .
与电势能相同,电势也是一个空间坐标的函数,要确定 A 点的电势,需要选定一个参
考点,并令参考点的电 势 为 零,此 点 称 为 电 势 零 点 .如 果 以 B 点 为 电 势 零 点,则 A 点 电
势为
∫E·dl
VA =
AB
上 式表明,A 点的电势等于将单位正试验电荷从A 点移动到电势零点电场力所做的
功 .如果带电体系局限在有限大小的空间,一般选取无穷远处为电势零点,则有
∫ E·dl
VA =
A¥
(
5.
23)
即 A 点的电势等于将单位正试验电荷从A 点移动到无穷远处电场力所做的功 .如果带电
体系被当作无限大和无限长(如无限大带电平面或无限长带电直线),就不能将无限 远 处
作为势能零点,否则就会导致任 一 场 点 的 电 势 无 限 大 或 无 确 定 值 .这 时 只 能 在 有 限 范 围
内选取某处为电势零点 .
电势是标量,电势的国际单位是伏特,简称伏,符号为 V .
从上面的推导可知,电场中 任 一 点 的 电 势 随 电 势 零 点 的 选 择 不 同 而 不 同,但 两 点 之
间的电势差与电势零点的选择 无 关,是 确 定 不 变 的 .在 实 际 工 作 中 常 常 以 大 地 或 电 器 外
壳为电势零点 .
5.
6.
2 电势的叠加原理
(
1)点电荷电场中任意一点的电势 .
在点电荷q 的电场中,点 P 距离点电荷q 的距离为r ,由式(
5.
3)和式(
5.
23)可得点
P 的电势为
∫
q 1
VP = E ·d
l=
r
4π
ε0 r
¥
(
5.
24)
上式的积分路径沿矢径的直线 .因 为 电 场 力 作 功 与 路 径 无 关,选 取 的 是 便 于 计 算 的 积 分
路径 .上式表明,当q >0 时,电场 中 各 点 的 电 势 都 是 正 值,随r 的 增 加 而 减 小;当 q < 0
时,电场中各点的电势都为负值,而在无限远处的电势虽为零,但电势却最高 .
(
2)电势的叠加原理 .
· 142 ·
第5章
静 电 场
真空中有一点电荷系,各点 电 荷 分 别 为 q1 ,
q2 ,…,
qi,…,
qn ,根 据 电 场 强 度 叠 加 原 理
可知,电场中任一场点的电场强度为
E =E1 +E2 + … +Ei + … +En
式中,E1 ,
E2 ,…,
Ei,…,
En ,分别 为 点 电 荷 q1 ,
q2 ,…,
qi,…,
qn ,单 独 存 在 时 所 产 生 的 电
场强度 .由电势的定义可得场点 P 的电势为
∫E·dl
= E ·d
∫ l+∫E ·dl+ …∫E ·dl
VP =
P¥
P¥
1
P¥
2
=V1 +V2 + …Vn
P¥
n
式中 V1 ,
V2 ,…,
Vn 分别为q1 ,
q2 ,…,
qn 单独存在时在场点 P 产生的电势 .根据点电荷的
电势的计算式(
5.
24),上式可写为
n
1 qi
4
π
ε0 ri
i=1
VP = ∑
(
5.
25)
上式表明,点电荷系产生的电场中任意一场点的电势等于各点电荷单独存在时在 该 场 点
的电势的代数和 .这一结论叫做静电场的电势叠加原理 .
对于电荷连续分布的带电体,可把带电体分为许多无限小的电荷 元 d
q ,而 每 个 电 荷
元都可以当作点电荷 .任意一电荷元 d
q 在场点 P 产生的电势为
q
1 d
d
V=
4π
ε0 r
根据电势叠加原理得到场点 P 的电势为
∫
q
1 d
V=
4π
ε0 r
(
5.
26)
上面的讨论给出了计算电势的两种方法:① 如果已知电场强度分布或者 电 荷 分 布 有
特殊的对称性,可根据高斯定理求出电场强度分布,然后用电势定义式(
5.
23)计 算 .② 如
果已知电荷分布(有 限 空 间 分 布,无 穷 远 处 没 有 电 荷),可 以 根 据 电 势 叠 加 原 理 用 式 (
5.
25)计算 .
下面举例说明怎样应用上述两种方法计算电势 .
例 5.
7 求均匀带电 球 面 的 电 势 分 布 .设 球 面 总 电 荷 量 为 Q ,半 径 为 R ,如 图 5
19
所示 .
解
由高斯定理可求得均匀带电球面的场强分布为
E =0(r < R )
1 Q (
E=
er r > R )
4π
ε0r2
式中,
er 为沿矢径方向上的单位矢量 .
选无限远处为电势零点,由电势的定义可知,球面外场点 A 处的电势为
∫
¥
V = E·d
l
A
· 143 ·
大学物理(上册)
∫
Q
=
∫4πεr dr
¥
r
= E ·d
r
¥
r
Q
=
4π
ε0r
0
2
上式表明,均匀带电球面外任一场点的电势与电荷量集中在球心的点电荷在该场 点 的 电
势相同 .
图5
19 均匀带电球面的电势分布
由于球面内、外电场强度分布 规 律 不 同,所 以 由 电 势 定 义 式 (
5.
23)计 算 球 面 内 任 意
场点 B (距球心为r )的电势时,积分要分两段进行,即
∫
∫
∫
∫
Q
V = E·d
l= E ·d
r= E ·d
r+ E ·d
r=
B
r
r
R
4π
ε0R
¥
¥
R
¥
上式表明,均匀带电球面内各场点的电势相等,都等于球面上各点的电势 .根据 上 述 结 果
可作出电势分布曲线,如图 5
19 所示 .
例 5.
8 求均匀带电圆环轴线上一点的电势 .设圆环半径为 R ,电荷 量 为 q ,如 图 5
-
20 所示 .
图5
20 带电细圆环轴线上的电势分布
解
设圆环轴线上任意一点 P 到圆心的距离为x.在圆环上取一线元 d
l ,其电荷密
· 144 ·
第5章
静 电 场
q
度为λ ,电荷元 d
l=
d
l .根据式(
5.
26),得
q=λd
2πR
∫
q 1
q
1
1 q
1
VP =
d
l=
=
4π
ε0 L 2πR r
4π
ε0 r 4π
ε0 x2 +R2
根据上述结果可作出电势分布曲线,如图 5
20 所示 .
例 5.
9
求无限长带电直线的电势分布,如图 5
21 所示 .
图5
21 无限长带电直线的电势
解
由 5.
4 节例 5.
3 知,无限长带电直线周围的电场强度的大小为
λ
E=
2π
ε0r
方向沿垂直于直线的矢径方向 .如果选无限远处为电势零点,则有
∫
∫
λ
=
∫4πεrdr
¥
¥
P
r
V = E·d
l= E ·d
r
¥
r
0
由此得到的带电直线周围 各 点 的 电 势 将 为 无 限 大,没 有 意 义 .这 是 因 为 不 能 在 带 电
直线延伸至无穷远处的同时,又将“无 穷 远 处”选 定 为 电 势 零 点 .针 对 这 种 带 电 体 系 不 是
分布在有限空间的,可以任选一点作为电势零点,除无穷远处之外 .
如果选 P
′ 作为电势零点,P
′ 据直线的距离为rP′,则 P 点的电势为
∫
P
∫
V = ′PE·d
l=
rP′
λ
l
n
=
2π
ε0 r
rp′
r
∫ 4πεrdr
E ·d
r=
rP′
r
λ
0
5.
7 利用电势求电场强度
电场强度和电势都是描述电场中各点性质的物理量,式(
5.
21)给出了场强 和 电 势 之
· 145 ·
大学物理(上册)
间的关系,即电势等于电场强度的积分 .反过来,电场强度与电势的关系也应该 可 以 用 微
分的形式表示出来,即场强等于电势的导数 .但由于场强是一个矢量,这一导数 关 系 显 得
复杂些 .这节来导出场强和电势关系的微分形式 .
5.
7.
1 等势面
电场中电场强度的分布可 借 助 于 电 场 线 形 象 地 表 示 出 来 .那 么,同 样 可 以 用 形 象 的
形式来表示电势的分布 .常用等 势 面 来 表 示 电 场 中 电 势 的 分 布 .电 场 中 电 势 相 等 的 点 构
成的面叫做等势面 .为了直观地比较电场中各点的电势,做等势面时,使任意相 邻 等 势 面
之间的电势差都相等,用等势面的疏密来 表 示 电 场 的 强 弱 .图 5
22 给 出 了 几 种 电 荷 分 布
的电场线与等势面 .
图5
22 几种电荷分布的电场线与等势面
由此可知,等势面具有如下性质:
(
1)等势面与电场线处处正交 .
(
2)等势面密集处电场强度大,等势面稀疏处电场强度小 .
在实际中,由于电势差容易测量,所以常常是测出电场中等电势的各 点,并 把 这 些 点
连起来,画出电场的等势面,再根 据 某 点 的 电 场 强 度 与 通 过 该 点 的 等 势 面 相 垂 直 的 特 点
画出电场线,从而对电场有较全面的定性的直观了解 .
5.
7.
2 电场强度与电势梯度
如图 5
23 所示,在静电场中取两 个 靠 得 很 近 的 等 势 面 1 和 2,它 们 的 电 势 分 别 为 V
和 V +d
V ,在两个等势面上分别取点 A 和 B ,间距为 d
l ,这两点非 常 靠 近,所 以 它 们 之
间的电场强度 E 可以认为是不变的 .这两点的电势差为
V =E·d
l=Ed
lcos
θ
-d
式中,
θ 为E 与 d
l 之间的夹角 .由此可得,
d
V
Ecos
θ=El =d
l
V 为电势函数沿
式中,d
d
l 方向经过单位长度的变化,即电势对空间的变化率 .
d
l
(
5.
27)
上式说明,在电场中 某 点 场 沿 某 方 向 的 分 量 等 于 电 势 沿 此 方 向 的 空 间 变 化 率 的 负
值.
· 146 ·
第5章
静 电 场
d
V
由式(
5
27)可以看出,当θ=0 时,即 d
l 沿着E 的方向时, 有最大值,即
d
l
d
V
E= d
l max
(
5.
28)
图5
23 求 E 和 V 的关系
从上面的推导可知,过电场 中 任 意 一 点,沿 不 同 方 向 其 电 势 随 距 离 的 变 化 率 一 般 是
不相等的 .沿某一方向其电势随距离的变化率最大,此最大值称为该点的电势 梯 度,电 势
梯度是一个矢量,它的方向是该点附近电势升高最快的方向 .
式(
5.
28)表明,电场中任意 点 的 场 强 等 于 该 点 电 势 梯 度 的 负 值,负 号 表 示 该 点 场 强
的方向和电势梯度的方向相反,即场强指向电势降低的方向 .
当电势函数用直角坐标来表示,即V =V (x,
z) 时,可由式(
5.
27)求得电场强度沿
y,
3 个坐标轴方向的分量,它们是
∂V
∂V
∂V
Ex =- ,
Ey =- ,
Ez =∂x
∂y
∂
z
(
5.
29)
∂V
∂V ö
æ∂V
E =- ç i+ j + k÷
∂y
∂
z ø
è∂x
(
5.
30)
E =-g
r
adV=- ÑV
(
5.
31)
于是电场强度与电势关系的矢量表达式可表示为
上式右式括号里面表示 V 的梯度,常用 g
r
ad 或 Ñ算符表示 .因此,上式也可写为
式(
5.
30)给出了电场强度与电势的微分关系,由它可方便地根据电势分布求电场强 度 分
布 .它们之间的关系说明,电场中某点的电场强度决定于电势在该点的空间变 化 率,与 该
点的电势值无直接关系 .
例 5.
10 用电场强度与电势的关系,求均匀带电细圆环轴线上一点的电场强度 .
解
由 5.
6 节的例 1 知,x 轴上点 P 的电势为
式中,R 为圆环半径 .
q
1
V=
4π
ε0 x2 +R2
由式(
5.
30)得到 P 点的电场强度为
· 147 ·
大学物理(上册)
q
ö÷
∂V
∂æ 1
E =Ex ==- ç
/
ε0 (x2 +R2 ) 1 2 ø
∂x
∂x è4π
q
x
1
=
/
4π
ε0 (x2 +R2 ) 3 2
5.
8 静电场中的电偶极子
在研究电介质的极化机理、电 场 对 有 极 分 子 的 作 用 等 问 题 时,电 场 对 电 偶 极 子 的 作
用,以及电偶极子对电场的作用的影响都是十分重要的问题 .
5.
8.
1 外电场对电偶极子的力矩和取向作用
如图 5
24 所示,在电场强度为 E 的匀强电场中,放置一电偶极矩为 p =q
l 的电偶极
子,电场作用在 +q 和 -q 上的力分别为F+ =qE 和F- =-qE .于是作用在电偶极子上的
合力为
F =F++F- =qE -qE =0
图5
24 匀强磁场中电偶极子所受的力矩
上式表明,电偶极子在匀强电场中不受电场 力 的 作 用 .由 于 F+ 和 F- 的 作 用 线 不 在
同一直线上,这样会形成力矩 .由力矩的定义知,电偶极子所受的力矩为
写成矢量形式为
M =q
lEs
i
n
θ=pEs
i
n
θ
(
5.
32)
M =p ×E
(
5.
33)
在力矩的作用下,电偶极子将在图示情况下作顺时针转动 .当θ=0时,电偶极子的电
矩 p 的方向与电场强度E 的方向相 同 时,电 偶 极 子 所 受 力 矩 为 零,这 个 位 置 时 电 偶 极 子
的稳定平衡位置;当θ=π 时,电偶极子的电矩 p 的方向与电场强度 E 的方 向 相 反 时,电
偶极子所受力矩虽为零,但是这时电偶极子处于非稳定平衡位置,只要θ 稍微偏离这个位
置,电偶极子将在力矩的作用下,使 p 的 方 向 转 至 与 E 的 方 向 相 一 致 .关 于 这 一 点,下 面
将从电势能的角度作些讨论 .
· 148 ·
第5章
静 电 场
如果电偶极子放在不均匀的电场中,这时作用在电偶极子上的力为
F =F++F- =qE -qE ≠0
这表明电偶 极 子 在 非 匀 强 电 场 中 不 仅 会 转 动,而 且 还 会 在 电 场 力 的 作 用 下 发 生
移动 .
5.
8.
2 电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
为
即
如图 5
23 所示,设 +q 和 -q 所在处的电势分别为 V+ 和 V- .此电偶极子的电势能
æ V+-V- ö÷
Ep =qV+-qV- =-qçlcos
θ=-q
lEcos
θ
è
lcos
θ ø
Ep =-p·E
这表明,在均强电场中,电偶极子的电势能与电偶极矩在电场中的方位有关 .当 电 偶 极 子
的电偶极矩 p 的方向与E 一致时,即θ=0,其电势能 Ep =-pE ,电势能最低;当 p 与 E
垂直时,即θ= π ,其电势能为零;当 p 与E 相反时,即θ=π ,其电势能 Ep =pE ,来看电
2
势能最大 .从能量的观点,能量越低,系统的状态越稳定 .由此可见,电偶极子 电 势 能 最 低
的位置,即为稳定平衡位置 .这 就 是 说,在 电 场 中 的 电 偶 极 子,一 般 情 况 下 总 具 有 使 自 己
的 p 转向θ=0的趋势 .电偶极子的这个特性对理解电介质中有极分子的极化现象是非常
重要的,我们将在第 6 章第 6.
2 节中讲到 .
(
1)如图 5
25 所示,一长为10cm 的均匀带正电细杆,其电荷为1.
5×10-8C ,试求在
杆的延长线上距杆的端点 5cm 处的 P 点的电场强度 .( 1 =9×109 N·m2/C2)
4π
ε0
(
2)带电细线弯成半径为 R 的半圆形,电荷线密度为λ=λ0s
i
n
φ ,式中λ0 为一常数,
φ
为半径 R 与x 轴所成的夹角,如图 5
26 所示 .试求环心 O 处的电场强度 .
图5
25
图5
26
· 149 ·
大学物理(上册)
(
3)如图 5
27 所示,一“无限长”圆柱面,其电荷面密度为:
σ=σ0cos
φ ,式中 φ 为半径
R 与x 轴所夹的角,试求圆柱轴线上一点的场强 .
(
( ≤ R) ,
4)一半径为 R 的带电球体,其电荷体密度分布为ρ=Arr
ρ =0(r > R ) ,
A 为一常量 .试求球体内外的场强分布 .
(
5)半径为 R 、电荷线密度为λ1 的一个均匀带电圆环,在其轴 线 上 放 一 长 为l 、电 荷
线密度为λ2 的均匀带电直线段,该线段的一端处于圆环中心处,如图 5
28 所示 .求该直
线段受到的电场力 .
图5
27
图5
28
(
6)一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ 的正电荷,若保持电荷分布 不 变,在 该 球 体
挖去半径为r 的一个小球体,球心为 O ,两球心间距离 OO′=d ,如图 5
29 所示 .求:① 在
球形空腔内,球心 O
′ 处的电场强度E0 ;② 在 球 体 内 P 点 处 的 电 场 强 度 E .设 O
′ 、O 、P
三点在同一直径上,且 OP =d .
(
7)电荷q 均匀分布在长为 2
l 的细杆上,求在杆外延长线上与杆端距离为a 的 P 点
的电势(设无穷远处为电势零点).
(
8)如图 5
30 所示,两个电荷分别为q1 =20×10-9 C 和q2 =12×10-9 C 的点电荷,
相距 5m .在它们的连线上距q2 为 1m 处的 A 点从静止释放一电子,则该电子沿连线运
动到距q1 为 1m 处的 B 点时,其速度多大? (电子质量 me =9.
11×10-31 kg ,基本电荷e
1
9
2
2
6×10-19 C ,
=1.
=9×10 N·m /C )
4π
ε0
· 150 ·
图5
29
图5
30
第5章
静 电 场
(
9)一半径为 R 的均 匀 带 电 球 体,电 荷 为 Q .如 图 5
31 所 示,在 球 体 中 开 一 直 径 通
道,设此通道极细,不影响球体中的电荷及电场的原来分布 .在 球 体 外 距 离 球 心r 处 有 一
带同种电荷q 的点电荷沿通道方向朝球心 O 运动 .试计算该点电荷至少应具有多大的初
动能才能到达球心(设带电球体内、外的介电常量都是ε0).
(
10)如图 5
32 所示,所一个均匀 带 电 的 球 层,其 电 荷 体 密 度 为 ρ ,球 层 内 表 面 半 径
为 R1 ,外表面半径为 R2 .设无穷远处为电势零点,求球层中半径为r 处的电势 .
图5
31
图5
32
(
11)如图 5
33 所示,两个同轴带电长直金属圆筒,内、外筒半径分别为 R1 和 R2 ,两
筒间为空气,内、外筒电势分别为 U1 =2U0 ,U2 =U0 ,U0 为一已知常量 .求两金属圆筒之
间的电势分布 .
(
12)在氯化铯晶体中,一价氯离子 Cl- 与其最近邻的八个一价铯离子 Cs+ 构成如图
5
34 所示的立方晶格结构 .① 求氯 离 子 所 受 的 库 仑 力;② 假 设 途 中 箭 头 所 指 处 缺 少 一 个
铯离子(称作晶格缺陷),求此时氯离子所受的库仑力 .
图5
33
图5
34
(
13)若电荷均匀地分布在长为 L 的细棒上,求证:
在棒的延长线上,且离棒中心为r 处的电场强度大小为
1
Q
E=
π
ε0 4
r2 -L2
· 151 ·
大学物理(上册)
在棒的垂直平分线上,离棒为r 处的电场强度大小为
1
Q
E=
2
2π
ε0r 4
r +L2
若棒为无限长,试将结果与无限长均匀带电细棒的电场强度相比 .
(
14)一个半径为 R 的半球壳,均匀的带有电荷,电荷密度为σ ,求球心处电场强度的
大小 .
(
15)如图 5
35 所示,有三个点电荷 Q1 ,Q2 ,Q3 沿同一直线等距分布,且 Q1 =Q3 =
Q,已知其中任一点电荷所受合力均为零 .求在固定 Q1 ,Q3 的情况下,将 Q2 从 O 点推到
无穷远处外力所作的功 .
图5
35
(
16)一个球形雨滴半径为 0.
40 mm ,带有 电 量 1.
6pC ,它 表 面 的 电 势 有 多 大? 两
个这样的雨滴相遇后合并为一个较大的雨滴,这个雨滴表面的电势又有多大?
(
17)电荷面密度分别为 +σ 和 -σ 两 块 无 限 大 均 匀 带 电 的 平 行 平 板,如 图 5
36 放
置,取坐标原点为零电势点,求空 间 各 点 的 电 势 分 布 并 画 出 电 势 随 位 置 坐 标 x 变 化 的 关
系曲线 .
图5
36
(
18)一半径为 R 的无限长带电细棒,其内部的电荷均匀分布,电荷体密度为ρ .现取
棒面为零电势,求空间电势分布并画出电势分布图 .
(
19)一半径为 R =3.
00×10-2 m ,圆盘均匀带电,电荷密度σ=2.
00×10-5 C·m-2 .
① 求轴线上的电势分布;② 根据 电 场 强 度 和 电 势 梯 度 的 关 系 求 电 场 分 布;③ 计 算 离 盘 心
30.
0cm 处的电势和电场强度 .
(
20)两根同长的同轴圆柱面(R1 =3.
00×10-2 m ,R2 =0.
10 m ),带有等量异号的
电荷,两者的电势差为 450V .求:① 圆柱面单位长度上带有多少电荷? ②r=0.
05 m 处
的电场强度 .
· 152 ·
第5章
静 电 场
(
21)如图 5
37 所示,Oxy 平面内上倒扣着半径为R 的半球面,在半球面上电荷均匀
分布,其电 荷 密 度 为 σ ,A 点 的 坐 标 为 (0,
R/2) ,
B 点 的 坐 标 为 (3R/2,
0) ,求 电 势 差
U AB .
图5
37
(
22)① 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心,通过此立方体的每一面 的 电 场 强 度
通量各是多少? ② 若电荷移至正方体的一个顶点上,那么通过每个面的电场强 度 通 量 又
各是多少?
(
23)地球表面上方电场方向向下,大小可随高度改变(见图 5
38).设在地面上方 100
m 处场强为 150N·C-1 ,300m 高处场强为 100N·C-1 .试由高斯定理求这个高度之间
的平均电荷密度,以多余或缺少的电子数密度表示 .
(
24)在边长为 a 的正方形的四角,依次放置点电荷q ,2
q ,-4
q ,2
q ,求其正中心的
电场强度的大小和方向 .
(
25)如图 5
39 所示,两根平行长直线间 距 为 2
a ,一 端 用 半 圆 形 线 连 接 起 来 .全 线 上
均匀带电,试证明在圆心 O 处的电场强度为零 .
图5
38
图5
39
(
26)一大平面中部有一半径为 R 的小孔,设平面均匀带电,面点荷密度为σ0 ,求通过
小孔中心并与平面垂直的直线上的电场强度分布 .
(
27)三个电量为 -q 的点电荷各放在边长为r 的等边三角形的顶点上,电荷 Q(
Q>
0)放在三角形的重心上 .为使每个负电荷受力为零,Q 的数值应为多大?
(
28)试证明:只有在静电力作用下,一个电荷不可能处于稳定平衡状态 .(提 示:假 设
在静电场中的 P 点放置一电荷 +q ,如果它处于稳定平 衡 状 态,则 P 点 周 围 的 电 场 方 向
应如何分布? 然后应用高斯定理)
· 153 ·
第6章
静电场中的导体和电介质
由于一般空间中存在其他 物 体,在 真 空 中 的 静 电 场 的 基 础 上,本 章 进 一 步 讨 论 静 电
场中的导体和电介质的性质,以 及 它 们 对 电 场 的 影 响 .本 章 主 要 内 容 有 处 在 静 电 平 衡 时
的导体及其电学性质,导体和电容器的电容,电介质的极化现象以及静电场的能量等 .
6.
1 静电场中的导体
6.
1.
1 静电感应
金属导体是由大量 带 负 电 的 自 由 电 子 和 带 正 电 的 晶 格 点 阵 所 构 成 .当 导 体 不 带 电
时,如果没有外电场的影响,电子作无规则热运动,它们均匀分布,在宏观上 的 小 体 积 内,
负电荷和正电荷等量异号,整个导体或其中任一部分都是电中性的 .这时,除了 自 由 电 子
的微观热运动外,没有宏观的电荷定向运动 .
如果把导体放在外电场 E0 中,如图 6
1 所示,不论金属导体原来是否带电,导体中的
自由电子受到静电场力的作用,将 相 对 于 晶 格 点 阵 作 宏 观 定 向 运 动,引 起 导 体 中 的 电 荷
重新分布,这种现象叫静电感应现象,因静电感应而出现的电荷叫做感应电荷 .感 应 电 荷
在导体内部也激发电场 E
′ ,其场强和原来场强的方向相 反 .导 体 内 任 一 点 的 总 场 强 为 E
′ ,只要导体内部的场强不为零,自由电子就会不断地定向移动,直到导体内的电
=E0 +E
场强度等于零,即 E =0 时 为 止 .这 时,导 体 上 没 有 电 荷 作 定 向 运 动,导 体 处 于 静 电 平 衡
状态 .
· 154 ·
图6
1 静电感应
第6章
静电场中的导体和电介质
静电平衡时,导体表面也应 没 有 电 荷 作 定 向 运 动,这 就 要 求 导 体 表 面 处 场 强 的 方 向
与表面垂直 .假若导体表面处的场强与导体表面不垂直,则场强沿表面就有一 定 的 分 量,
自由电子受到与该场强分量相 应 的 电 场 力 的 作 用,将 沿 表 面 运 动,这 样 就 不 是 静 电 平 衡
了 .所以,当导体处于静电平衡状态时,必须满足以下两个条件:
(
1)导体内部的电场强度处处为零 .
(
2)导体表面上的电场强度处处垂直于导体表面 .
如何用电势描述 导 体 的 静 电 平 衡 条 件? 由 于 在 静 电 平 衡 时,导 体 内 部 场 强 处 处 为
零,若在导体上(包括导体内部及表面)任意取 a、
b 两点,它们的电势差为
∫
b
Ua -Ub = E ·d
l=0
a
因此可得,在静电平衡状态时,导体内各点和表面上各点的电势都相 等,即 整 个 导 体
是等势体,导体表面是等势面 .
6.
1.
2 静电平衡时导体上电荷的分布
当导体处于静电平衡时,没 有 电 荷 作 定 向 运 动,电 荷 的 分 布 情 况 可 根 据 静 电 平 衡 条
件来讨论 .如图 6
2 所示,有一实心带电导体处于静电平衡,在其内部任取一闭合曲面,由
于导体内部的场强处处为零,通过该闭合曲面的电通量为零,由高斯定理可知,此 闭 合 曲
面内的电荷的代数和也必为零,即
∮E·dS=0
S
因为此闭合曲面是任意取的,所以得到如下结论:在静电平衡时,导体 所 带 电 荷 只 能
分布在导体的表面上 .
图6
2 静电平衡导体的电荷分布
(
a)实心导体;(
b)空腔导体
如果带电导体内部有空腔存在,而空腔内没有其它带电体,由高斯定 理 可 以 证 明,当
静电平衡时,不仅导体内部没有净电荷,空腔的内表面也没有净电荷 .内表面上 可 否 出 现
两端分别带有等量异号电荷 的 情 况? 如 果 出 现 的 话,两 端 之 间 就 会 有 电 场,电 势 就 不 相
等,与静电平衡的条件矛盾,所以,电荷只能分布在导体外表面 .
对于形状不规则的带电导体,在导体外表面上的电荷分布是不均匀 的 .实 验 表 明:如
果没有外电场的影响,导体表面上的电荷面密度与曲率半径有关,表面曲率半 径 越 小 处,
· 155 ·
大学物理(上册)
电荷面密度越大 .
在静电平衡时,导体表面的 场 强 与 该 处 导 体 表 面 垂 直 .场 强 的 大 小 与 该 处 电 荷 有 什
么关系呢? 如图 6
3 所示,设在导体 表 面 上 取 一 面 积 元 ΔS ,此 处 电 荷 面 密 度 为 σ ,做 一
个包围 ΔS 的扁柱形闭合曲面 .使柱的轴线与导体表面正交,而它的上下两个端面紧靠导
体表面且与面积元 ΔS 平行 .下端面处 于 导 体 内 部,电 场 强 度 处 处 为 零,通 过 它 的 电 通 量
为零 .侧面在导体内部的部分,其 场 强 处 处 为 零;侧 面 在 导 体 外 部 的 部 分,场 强 与 侧 面 平
行,通过侧面的电通量也为零 .上 端 面 在 导 体 表 面 之 外 .设 该 处 电 场 强 度 为 E .通 过 上 端
面的电通量为 EΔS .通过这个 柱 形 闭 合 曲 面 的 总 电 通 量 就 等 于 通 过 柱 体 上 端 面 的 电 通
量,而闭合曲面内所包围的电荷为σΔS .
图6
3 导体表面的场强
根据高斯定理有
∮E·dS=EΔS =σΔS/ε
0
S
于是在导体外靠近表面处的电场大小为
σ
E=
ε0
(
6.
1)
式(
6.
1)表明,在导体表面 附 近,电 场 强 度 与 电 荷 面 密 度 成 正 比 .因 此 在 导 体 的 尖 端
附近,由于曲率半径小,电荷面密度大,场强特别强 .对于带电较多的导体,在 它 的 尖 端 附
近,场强可以大到使周围的空气发生电离而引起放电的程度 .这就是尖端放电现象 .
避雷针就是应用尖端放电 的 原 理,防 止 雷 击 对 建 筑 物 造 成 破 坏 .避 雷 针 尖 的 一 端 伸
出在建筑物的上空,另一端通过 导 线 接 到 埋 在 地 下 的 金 属 上 .由 于 避 雷 针 尖 端 处 的 场 强
特别大,容易产生尖端放电,经 过 避 雷 针 放 电,及 时 地 中 和 雷 雨 云 中 的 大 量 电 荷,从 而 防
止雷击对建筑物的破坏 .从这个意义上说,避雷针实际上是一个放电针 .要使避 雷 针 起 作
用,必须保证避雷针有足够的高度和良好的接地,一个接地通路损坏的避雷针,将 更 易 使
建筑物遭受雷击的破坏 .在高压电器设备中,为了防止因尖端放电而引起的危 险,所 有 金
属元件都应处理光滑而平坦 .
6.
1.
3 静电屏蔽
在静电场中,由于导体的存 在 使 某 些 区 域 不 受 电 场 影 响 的 现 象 称 为 静 电 屏 蔽 .如 图
6
4(
a)所示,将任意形状的空心导体置 于 静 电 场 中,静 电 平 衡 时,导 体 内 和 空 腔 内 电 场 强
· 156 ·
第6章
静电场中的导体和电介质
度处处为零,空腔内 的 区 域,将 不 受 外 电 场 的 影 响 .电 场 线 将 垂 直 地 终 止 于 导 体 的 外 表
面,而不能穿过导体进入空腔 .
利用静电屏蔽,也可使空心导 体 内 带 电 体 的 电 场 不 对 外 界 产 生 影 响,如 图 6
4(
b)所
示,把带电体放在原来是电中性的金属壳内,由于静电感应,在金属壳的内表面 将 感 应 出
等量异号电荷,外表面将感应出等量同号电荷 .把金属壳接地,外表面的感应电 荷 因 接 地
被中和,相应地电场随之消失 .这样,接地导体空腔内的电荷激发的电场对壳外 不 再 产 生
任何影响 .
总之,空腔导体(无论是否接 地)将 使 腔 内 空 间 不 受 外 电 场 的 影 响,接 地 空 腔 导 体 使
外部空间不受腔内电场的影响,这就是静电屏蔽的原理 .在实际使用中,常用编 织 紧 密 的
金属网来代替金属壳体 .例如,高压线路上带电检修的工人所穿的工作服,高压 电 气 设 备
周围的金属栅网、电子仪器上的屏蔽罩等 .
图6
4 空腔导体的静电屏蔽
(
a)空腔内无电荷;(
b)空腔内有电荷
例 6.
1 如图 6
5 所示,一内半径为 a 、外半径为b 的金属球壳,带有电荷 Q ,在球壳
空腔内距离球心r 处有一点电荷q .设无限远处为电势零点,试求:
(
1)球壳内外表面上的电荷 .
(
2)球心 O 点处,由球壳内表面上电荷产生的电势 .
(
3)球心 O 点处的总电势 .
图6
5
解
(
1)由静电感应,金属球壳的内表面上有感生电荷 -q ;由于球壳上的电荷应是
· 157 ·
大学物理(上册)
守恒的,所以外表面上带电荷q+Q .
(
2)不论球壳内表面上的感 应 电 荷 是 如 何 分 布 的,因 为 任 一 电 荷 元 离 O 点 的 距 离 都
是a ,所以由这些电荷在 O 点产生的电势为
∫
d
q
-q
V-q =
=
4π
ε0a 4π
ε0a
(
3)球心 O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在 O 点产生的
电势的代数和
VO =Vq +V-q +VQ+q
q
q
Q +q
=
+
4π
ε0r 4π
ε0a 4π
ε0b
q (1 1 1 )
Q
=
- +
+
4π
ε0 r a b
4π
ε0b
6.
2 静电场中的电介质
6.
2.
1 电介质中的电场
电介质是电阻率很大、导电 能 力 很 差 的 物 质 .电 介 质 的 原 子 或 分 子 中 的 电 子 和 原 子
核的结合力很强,电子处于束 缚 状 态,电 介 质 内 几 乎 没 有 自 由 电 荷,所 以 导 电 能 力 很 差 .
在静电问题中忽略电介质的微 弱 导 电 性,把 它 看 作 理 想 的 绝 缘 体 .把 各 向 同 性 的 电 介 质
放入原来为真空的电场强度为 E0 的均匀电场中,电介质内部的电场会发生变化 .实验表
明,此 时 电 介 质 内 部 所 在 空 间 的 电 场 强 度 减 小 为 E ,其 值 仅 为 无 电 介 质 时 的 1/
εr 倍
(
εr >1),即
E0
E=
εr
(
6.
2)
其中,
εr 叫做电介质的相对电容率 .相对电容率εr 与真空电容率ε0 的乘积ε0εr=ε 就叫做
电介质的电容率 .
6.
2.
2 电介质的结构与极化
电介质中的分子是一个复杂的带电体系,在考虑介质分子受外电场作用 或 介 质 分 子
在远处产生电场时,可认为其中的正电荷集中于一点,称为正电荷中心,而负电 荷 集 中 于
另一点,称为负电荷中心,它们 可 看 成 电 偶 极 子 .根 据 电 介 质 分 子 中 的 正、负 电 荷 中 心 在
无外电场的情况下是否重合可将电介质分为两类:有极分子电介质和无极分子电介质 .
像甲烷(CH4)、氢(H2)、氦(He)等,如 图 6
6(
a)所 示,在 无 外 电 场 时,它 们 内 部 的
· 158 ·
第6章
静电场中的导体和电介质
电荷分布具有对称性,它们分子 的 正、负 电 荷 中 心 重 合,其 固 有 电 偶 极 矩 为 零,这 类 分 子
称为无极分子 .像氯化氢(HCl)、水(H2O )等,如图 6
6(
b)所 示,在 无 外 电 场 时,它 们 内
部的电荷分布不对称,因而分子 的 正、负 电 荷 中 心 不 重 合,存 在 固 有 电 偶 极 矩,这 类 分 子
称为有极分子,但由于分子热运动的无规则性,在物理小体积内的平均电偶极 矩 仍 为 零,
因而也没有宏观电偶极矩分布(对外不显电性).
图6
6 电介质的分子
(
a)甲烷分子;(
b)水分子
把无极分子电介质放在外电场中时,在电场力的作用下,分子中的正、负 电 荷 中 心 将
发生相对位移而形成 一 个 电 偶 极 子 .它 的 电 偶 极 矩 p 的 方 向 与 该 处 电 场 强 度 的 方 向 相
同 .相邻的电偶极子间正负电荷互相靠近,对于均匀电介质来说,其内部各处仍 是 电 中 性
的 .但在电介质与外电场垂直的 两 表 面 上 将 出 现 正 负 电 荷,这 种 电 荷 叫 做 束 缚 电 荷 或 极
化电荷 .在外电场的作用下,电介质表面出现极化电荷的现象叫做介质的电极 化 现 象 .无
极分子电介质在外电场中,通过正、负电荷中心发生相对位移而产生极化现象,因 而 这 一
极化现象叫做位移极化,如图 6
7 所示 .
图6
7 位移极化
有极分子组成的电介质,每个分子都可看作一个电偶极子,电偶极矩为 p .当有外电
场作用时,它在外电场中受到力矩的作用,使分子电偶极矩有转向外电场方向 的 趋 势,如
图6
8 所示 .由于分子热运动,这种转向也仅是部分的,只是沿电场方向的取向占优势,分
子电偶极子的排列不可能十分整齐 .从总体上看,这种转向排列的结果,使电介 质 沿 电 场
方向前后两个侧面也分别出现正负电荷 .有极分子的极化就是等效电偶极子转向 外 电 场
的方向,因而叫取向极化 .一般情况下,有极分子在取向极化的同时还存在着位移极化 .
图6
8 取向极化
· 159 ·
大学物理(上册)
6.
2.
3 电极化强度
为描述电介质极化程度的强弱,引入电极化强度矢量 P ,其定义为
pi
P =l
im ∑
ΔV →0 Δ
V
(
6.
3)
即电极化强度矢量 P 是单位体积内所有分子电偶极矩p 的矢量和 .当外电场越强时,单
位体积内的分子电偶极矩矢量 和 就 越 大,极 化 强 度 P 就 越 大 .反 之,外 电 场 越 弱,单 位 体
积内的分子电偶极矩矢量和就越小,极化强度 P 就越小 .无外电场时,单位体积内的分子
电偶极矩矢量为零,极化强度 P 为零 .可见,电极化强度矢量 P 可以用来描述电介质的极
化程度 .式(
6.
3)给出的极化强 度 是 空 间 点 的 函 数,一 般 来 说,介 质 中 不 同 点 处 的 电 极 化
强度矢量 P 不同 .如果电介质中 各 点 的 极 化 强 度 矢 量 的 大 小 和 方 向 都 相 同,则 称 该 极 化
是均匀的;否则 极 化 是 不 均 匀 的 .电 极 化 强 度 矢 量 P 的 国 际 单 位 为 库 仑 · 米 -2 (C·
m-2 ).
电介质极化时,在均匀外电 场 中 的 均 匀 电 介 质,其 内 部 的 任 何 体 元 内 都 不 会 有 净 余
束缚电荷,束缚电荷只能出现在均匀电介质的表面,但对非均匀电介质,电介质 内 部 也 有
束缚电荷分布 .本章只讨论均匀电介质的情形 .电介质表面上的极化电荷越多,极 化 的 程
度就越高 .以平行板间的电介质为例,两平行平板电荷面密度分别为 +σ0 和 -σ0 ,距离为
h ,之间充满均匀电介质,如图 6
9 所示 .在电介质中取一底面积为 ΔS ,高为h 的柱体,柱
体两底面的极化电荷面密度分别为 +σ
′ 和 -σ
′ .柱体内所有分子电偶极矩的矢量和的大
小为
Σp =σ
′ΔSh
由电极化强度的定义可得,电介质中电极化强度的大小为
p σ
′ΔSh
P=∑ =
′
=σ
ΔV
ΔSh
(
6.
4)
式(
6.
4)表明,两平行平板间充 满 均 匀 电 介 质 时,电 介 质 内 的 电 极 化 强 度 的 大 小,等 于 电
介质表面的极化电荷面密度 .可以证明,均匀电场中,电场强度与均匀电介质表 面 不 垂 直
时,电介质表面的极化电荷面密度σ
′ 等于电极化强度P 在介质表面外法线方向上的投影
Pn .
图6
9 电极化强度与极化电荷
· 160 ·
第6章
静电场中的导体和电介质
6.
2.
4 极化电荷与自由电荷的关系
自由电荷产生的外电场越强,电介质的极化程度就越高,表面上的极 化 电 荷 越 多 .如
图6
10 所示,在两无限大平行平板之间充满相对电容率为εr 的均匀电介质,两板上自由
电荷面密度分别为 ±σ0 ,板的面积为 S .在放入电介质以前,自由电荷在两板间产生的电
场强度 E0 的大小为 E0 =σ0/
ε0 .
图6
10 极化电荷与自由电荷
保持两板上的 ±σ0 不变,当两板间充满电介质后,在它的两个垂直于 E0 的表面上分别出
现正、负极化电荷,电荷面密度设为σ
′ .极化 电 荷 产 生 的 电 场 强 度 E
′ 的 值 为 E′ =σ
′/
ε0 .
从图中可以看出,电介质中的电场强度为
E =E0 +E
′
E
′ 的方向与E0 的方向相反,再由 E 与E0 的关系式(
6.
2),可得电介质中电场强度 E 的值
为
E0
E =E0 -E
′=
εr
有
εr -1
E
′=
E0
εr
从而得到
εr -1
σ
′=
σ0
εr
(
6.
5)
εr -1
Q
′=
Q0
εr
(
6.
6)
自由电荷 Q0 =σ0S 、极化电荷 Q
′ =σ
′S ,由式(
6.
5)可得
式(
6.
5)给出了在电介质中,极化电荷面密度σ
′ 与自由电荷面密度σ0 和电介质的相对电
容率εr 之间的关系 .电介质的εr 总是大于 1 的,所以σ
′ 总比σ0 小 .
把 E0 =σ0/
ε0 、E =E0/
εr 以及σ
′=P 代入式(
6.
5),可得电介质中电极化强度 P 与电
场强度 E 之间的关系为
矢量式为
P=(
εr -1)
ε0E
(
6.
7)
P= (
εr -1)
ε0E
(
6.
8)
· 161 ·
大学物理(上册)
可见电介质中的 P 与E 呈线性关系 .如取 χ =εr -1,上式简化为
P =χ
ε0E
(
6.
9)
χ 称为电介质的电极化率 .
以上讨论的是静电场中的 情 形 .在 交 变 电 场 中,情 况 不 同 .如 有 极 分 子,由 于 电 偶 极
子的转向需要一定的时间,当外 部 交 变 电 场 的 频 率 大 到 某 一 程 度 时,电 偶 极 子 就 来 不 及
跟随电场方向的改变而转向,这时相对电容率εr 下降 .所以在高频条件下,电介质的相对
电容率εr 是和外电场的频率 f 有关的 .
6.
3 电介质中的高斯定理
如何把真空中静电场的高 斯 定 理 推 广 到 有 电 介 质 存 在 时 的 静 电 场 中 去? 电 介 质 极
化过程中出现的极化电荷所激发的静电场和自由电荷激发的电场特性是一样的,有 电 介
质存在时,只相当于在真空中增加了极化电荷所激发的电场而已 .真空中的高斯定理为
∑q
∮E·dS= ε
S
i
0
在有电介质存在时,高斯定理仍然成立,只是此时的电荷包括自由电荷和极化电荷 .
以两平行带电金属平板 间 充 满 相 对 电 容 率 为εr 均 匀 电 介 质 为 例 来 讨 论 .如 图 6
11
所示,设极板上的自由电荷面密度为σ0 ,电介质表面上的极化电荷面密度为σ
′ .取一个底
面积为的 S 闭合圆柱面作为高 斯 面,高 斯 面 的 两 端 面 与 极 板 平 行,其 中 一 个 端 面 在 电 介
质内,另一端面在金属极板内 .由高斯定理,有
式中,Q0 =σ0S 、Q
′ =σ
′S .
∮E·dS=ε (Q -Q′)
1
S
0
0
图6
11 有电介质时的高斯定理
(
6.
10)
由于介质中的极 化 电 荷 难 于 测 定,设 法 将 Q
′ 消 去,利 用 式 (
6.
6)可 知 Q0 - Q
′=
Q0/
εr,把它代入式(
6.
10)有
∮E·dS=εε
S
即
· 162 ·
Q0
0 r
第6章
静电场中的导体和电介质
∮εεE·dS=Q
S
令
0 r
(
6.
11)
0
(
6.
12)
D =ε0εrE =εE
其中ε=ε0εr 为电介质的电容率,D 称作电位移矢量,单位为 C·m-2 .式(
6.
11)可写成
∮D·dS=Q
(
6.
13)
0
S
∮D·dS 则是通过任意闭合曲面S 的电位移通量 .式(6.13)是从两平行带电平板中充
而
S
有均匀电介质这一情形得出的,可以证明在一般情况下它也成立 .
有电介质时的高斯定理可 表 述 为:在 静 电 场 中,通 过 任 意 闭 合 曲 面 的 电 位 移 通 量 等
于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和,其数学表达式为
∮
n
D·d
S = ∑Q0i
S
(
6.
14)
i=1
由式(
6.
14)可以看出,通过闭合 曲 面 的 电 位 移 通 量 只 和 曲 面 内 的 自 由 电 荷 有 关 .但 并 不
是说电位移矢量 D 仅决定于自由电荷的分布,它和极化电荷的分布也是有关的 .
例 6.
1 两平行金属平板,两板间距 d =2 mm,连接 220V 的电源,之后断开,再充
满相对电容率εr =5 的电介质,试求两板间电介质内的电场强度 E ,电极化强度 P ,平板
和电介质的电荷面密度,电介质内的电位移 D .
解
充入电介质前,两板间的电场强度为
U
E0 = =110kV·m-1
d
充入电介质后,电介质中的电场强度为
电介质的电极化强度为
E =E0/
εr =22kV·m-1
P=(
εr -1)
ε0E =7.
79×10-7 C·m-2
两板自由电荷面密度的值为
σ0 =ε0E0 =9.
74×10-7 C·m-2
电介质中极化电荷面密度的值为
电介质中的电位移为
σ
′ =P =7.
79×10-7 C·m-2
D =ε0εrE =ε0E0 =σ0 =9.
74×10-7 C·m-2
例 6.
2 图6
12 中半径为 R 、带正电荷q0 的金属球,外面被相对电容率为εr 厚度为
R 的均匀电介质球壳同心 的 包 围 着,电 介 质 球 壳 外 为 真 空 .求:空 间 中 的 场 强 分 布;电 介
质与金属交界面上的极化电荷面密度σ
′.
解
金属球内场强为零,距球心r 处
E =0 (
r < R)
金属球外,由于电荷球对称分布,电位移矢量 D 的分布也具有球对称性 .设 P 为电介
· 163 ·
大学物理(上册)
质中任一点,过点 P 作与金属球同心 的 球 形 高 斯 面 S ,令 其 半 径 为r .由 球 对 称 性 可 知,
高斯面上各点的 D 大小相等,且方向沿径向,所以
∮D·dS=D4πr
2
S
图6
12
由介质中的高斯定理可得
D4πr2 =q0
即
由 D =ε0εrE 可得
q0
D=
4πr2
q0
D
(
E=
R <r <2R)
=
ε0εr 4π
ε0εrr2
电场强度的方向沿半径向外 .
在电介质外部的真空中,由高斯定理得
q0 (
D
E= =
r >2R)
ε0 4π
ε0r2
在电介质靠金属球的表面上有
q0
E=
4π
ε0εrR2
所以
P =ε0χE =
(
εr -1) q0
εr
4πR2
电介质靠金属球的表面上的极化电荷为负电荷,面密度大小为
σ
′ =P =
· 164 ·
(
εr -1) q0
εr
4πR2
第6章
静电场中的导体和电介质
6.
4 电
容
6.
4.
1 孤立导体的电容
理论 和 实 践 都 证 明,—个 带 有 电 荷 的 孤 立 导 体,其 电 势 V (选 无 限 远 处 为 电 势 的 零
点)正比于所带电量q ,且还与导体的形状和尺寸有关 .孤立导体所 带 的 电 量 q 与 其 电 势
V 的比值为一常数,把这个比值称为孤立导体的电容,用 C 表示,即
q
C=
V
(
6.
15)
孤立导体的电容是一个恒 量,它 仅 与 该 导 体 的 尺 寸 和 形 状 有 关,而 与 该 导 体 的 材 料
性质无关,与所带的电荷数无关,在数值上等于该导体具有单位电势时所带电 量 .在 国 际
单位制中,电容的单位为法拉,符号为 F .较小的单位有微法(μF )和皮法(pF )等,
1F=106 μF=1012 pF
对于真空中带电q 、半径为 R 的孤立球形导体,它的电容为
q
q
C= =
ε0R
=4π
q
V
4π
ε0R
上式表明球形导体的电容与半径 R 成正比 .
6.
4.
2 电容器
实际的导体周围还常存在 着 别 的 导 体,由 于 静 电 感 应,这 时 导 体 的 电 势 不 仅 与 其 所
带的电量有关,而且还与其它导 体 的 相 对 位 置、形 状 以 及 所 带 电 量 有 关 .也 就 是 说,其 它
导体的存在将会影响导体的电容 .要想消除其他导体的影响,可采用静电屏蔽 的 原 理,设
计一种导体组合,使其电容不受外界的影响,这种导体的组合就称为电容器 .常 用 的 电 容
器是由中间夹有电介质的两块 金 属 板 构 成 .电 容 器 带 电 时,常 使 两 极 板 带 上 等 量 异 号 电
荷 .电容器的电容定义为:电容器一个极板所带电量 Q (指绝对值)和两极板的电势差 U
之比,即
Q
C=
U
(
6.
16)
式(
6.
16)表明电容器的电容在数值上等于两极板间具有单位电势差时极板所带的 电 量 .
孤立导体仍可认为是电容器,但另一导体在无限远处,且电势为零 .
下面根据电容器电容的定义式 (
6.
16)计 算 常 见 的 电 容 器 的 电 容,计 算 方 法 如 下:先
假设极板带电量为 Q ,再求两极板间的电势差 U ,然后按 C = Q 算出电容 .
U
· 165 ·
大学物理(上册)
1.平行板电容器
如图 6
13 所示,平行板电容器由面积均为 S 的两平 行 导 体 板 组 成,极 板 间 充 满 相 对
电容率为εr 的电介质,两板内表面之间的距 离 为 d ,板 面 的 线 度 远 大 于 两 板 内 表 面 之 间
的距离 .
图6
13 平行板电容器
设两极板分别带有 ±Q 的电荷,电荷面密度记为σ=Q/S ,两极板之间的电场为均匀
电场,由电介质中的高斯定理可得极板间电位移矢量的大小为 D =σ ,电场强度的大小为
D
σ
Q
E= =
=
ε ε0εr ε0εrS
于是两极板间的电势差为
Qd
U =Ed =
ε0εrS
得平板电容器的电容为
Q ε0εrS
C= =
U
d
(
6.
17)
由式(
6.
17)可知,平板电容 器 的 电 容 与 极 板 的 面 积 成 正 比,与 极 板 内 表 面 间 的 距 离
成反比,与极板间电 介 质 的 电 容 率 成 正 比 .电 容 器 内 部 充 入 电 介 质 后,与 不 充 电 介 质 相
比,电容变为原来的εr 倍 .电容的大小与电容器是否带电无关,只与电容器本身的结构及
形状有关 .在实际应用中,常用改变极板相对面积的大小、改变极板间距离或填 充 电 介 质
等方法来改变电容器的电容,可在一定范围内改变电容值的电容器叫做可变电容器 .
2.圆柱形电容器
如图 6
14 所示,圆柱形电容器由半径分别为 RA 和 RB 的两同轴圆柱导体面所构成,
且圆柱体的长度l 比半径 RB 大得多 .两圆柱面之间充满相对电容率为εr 的电介质 .
由于l≫ RB ,可把两圆柱面间的电场看成是无限长圆柱面的电场 .设内、外圆柱面各
带有 +Q 和 -Q 的电荷,单位长度上的电荷λ =Q/
l .利用有电介质时的高斯定理,两圆
柱面之间距圆柱的轴线为r 处的电场强度的大小为
D
λ
Q
1
E=
=
=
ε0εr 2π
ε0εrr 2π
ε0εrlr
电场强度方向垂直于圆柱轴线沿径向向外 .于是,两圆柱面间的电势差为
· 166 ·
第6章
∫
静电场中的导体和电介质
∫ 2πεεlr =2πεεllnR
U = E ·d
r=
l
得圆柱形电容器的电容为
RB
RA
Q
0 r
d
r
Q
0 r
RB
A
ε0εrl
Q 2π
C= =
U
RB
l
n
RA
(
6.
18)
图6
14 圆柱形电容器
3.球形电容器
如图 6
15 所示,球形电容器是由内、外半径分别为 RA 和 RB 的两个同心金属球壳所
组成,两球壳之间充满相对电容率为εr 的电介质 .
图6
15 球形电容器
电介质的电容率为ε=ε0εr ,设内球壳带正电为 +Q ,外球壳带负电为 -Q ,由高斯
定理可求得两球壳之间距球心为r 处的电场强度的大小为
D
Q (
E= =
R1 <r < R2)
ε 4π
ε
r2
两球壳之间的电势差为
∫
∫
Q RB d
r Q (1
1)
U = E ·d
r=
=
l
4π
ε RA r2 4π
ε RA RB
由电容器的定义,可得球形电容器的电容为
· 167 ·
大学物理(上册)
RARB
Q
C = =4π
ε
U
RB -RA
(
6.
19)
6.
4.
3 电容器的并联和串联
在实际应用中,既要考虑电容器的电容值,又要考虑电容器的耐压,当 单 个 电 容 器 不
能同时满足这两个要求时,就需 要 把 多 个 电 容 器 适 当 联 接 后 使 用 .当 多 个 电 容 器 互 相 联
接后,它们所容的电荷量与其两端的电势差之比,称为它们的等值电容 .
1.电容器并联
如图 6
16 所 示,将 两 个 电 容 器 C1 、C2 的 极 板 一 端 联 接 在 一 起,另 一 端 也 联 接 在 一
起,这种联接叫做并联 .将它们接在 电 压 为 U 的 电 路 上,每 个 电 容 器 的 电 势 差 都 相 等,它
们带的电荷不相等,设 C1 、C2 上的电荷分别为 Q1 、Q2 ,两电容器上带的总电荷为 Q =Q1
+Q2 .
图6
16 电容器并联
若用一个电容器来等效地代替这两个电容器,使它在电压为 U 时,所带电荷也为 Q ,
那么这个等效电容器的电容为
Q Q1 +Q2 Q1 Q2
C= =
=
+
=C1 +C2
U
U
U
U
(
6.
20)
这说明电容器并联时,总电容等于各电容器的电容之和 .并联后总电容增加了,但 各 电 容
器上的电压却是相等的 .
2.电容器串联
如图 6
17 所示,两个电容器的极板首尾相联成一串,这种联接叫做串联 .把它们接在
电压为 U 的电路上,两端的极板分别带有 +Q 和 -Q 的电荷 .由于静电感应,使每个电容
器的另外一个极板上带有等量异号的电荷 .即电容器串联时每个电容器极板上所 带 的 电
荷是相等的 .
· 168 ·
图6
17 电容器串联
第6章
静电场中的导体和电介质
设每个电容器的电压分别为 U1 、U2 ,总电压则为各电容器上的电压之和
U =U1 +U2
若用一个电容为 C 的电容器来等效地代 替 串 联 电 容 器 组,使 它 两 端 的 电 压 为 U 时,
它所带电荷也为 Q ,那么这个等效电容器的电容为
Q
Q
C= =
U U1 +U2
取倒数得
1 U1 +U2 U1 U2 1
1
=
=
+
= +
C
Q
Q
Q C1 C2
(
6.
21)
C1C2
C=
C1 +C2
(
6.
22)
这说明,电容器串联时总电容的 倒 数 等 于 各 电 容 器 电 容 的 倒 数 之 和 .即 电 容 器 串 联 时 的
等效电容为
电容器串联时等效电容比电容器组中任何一个电容器的电容都小,但每 一 电 容 器 上
的电压却小于总电压,提高了耐 压 能 力 .在 电 容 器 并 联 时,总 电 容 增 加,而 耐 压 值 等 于 耐
压能力最低的电容器的耐压值 .
6.
5 静电场能量
6.
5.
1 电容器的电能
电荷之间都存在着相互作用的电场力,当电荷之间相对位置变化时,电 场 力 要 作 功,
由功能原理知,电荷之间具有相 互 作 用 能 (电 势 能).物 体 的 带 电 过 程 都 可 看 作 是 电 荷 之
间的相对迁移过程 .在迁移电荷 的 过 程 中,外 界 必 须 消 耗 能 量 以 克 服 电 场 力 作 功 从 而 使
带电系统具有电势能 .
下面以平行板 电 容 器 充 电 过 程 为 例,来 计 算 电 容 器 两 极 板 分 别 带 有 电 量 + Q 和
18 所示 .设电容器 的 电 容 为
-Q ,两极板间电势差为 U 时,电容器所具有的能量,如图 6
C ,当两极板上已分别带有电荷 +q 和 -q ,此时若继续把 +d
q 电荷从带负电的极板移到
带正电的极板,外力因克服静电力而需作的功为
q
dW =Ud
q= d
q
C
使电容器充电到两极板分别带有 ±Q 的电荷,外力作的总功为
W=
∫
1
C
Q2
qd
q=
0
2C
Q
根据能量守恒,这功应等于电容器 储 存 的 电 能 W e ,电 容 器 能 量 的 携 带 者 是 电 荷 .由
· 169 ·
大学物理(上册)
C =Q/U 得
Q2 1
1 2
We =
= QU = CU
2C 2
2
(
6.
23)
由上式可知,当电势差一定时,电 容 器 的 电 容 C 越 大,电 容 器 储 存 的 电 能 就 越 多 .从
这个意义上讲 .电容 C 是电容器储能本领的标志 .
图6
18 电容器充电过程
6.
5.
2 静电场的能量
电容器不带电时,极板间没 有 静 电 场,电 容 器 带 电 时,极 板 间 建 立 了 静 电 场 .充 电 过
程也就是建立静电场的过程 .对于极板面积为 S ,间距为 d 的平板电容器,若不计边缘效
应,则电场所占有的空间体积为 Sd ,此电容器储存的能量可写为
1
1εS ( )
1
W e = CU2 =
Ed 2 = εE2Sd
2
2d
2
(
6.
24)
静电场总是伴随着静止电 荷 而 产 生,在 静 电 学 范 围 内,电 荷 携 带 的 能 量 就 是 静 电 场
具有的能量,两种观点是等效的 .但对于变化的电磁场,情况不同 .实验已经 证 实,能 量 可
以电磁波的形式以有限的速度 在 空 间 中 传 播,在 电 磁 波 的 传 播 过 程 中,并 没 有 电 荷 伴 随
着传播,所以不能说电磁波能量 的 携 带 者 是 电 荷,而 只 能 说 电 磁 波 能 量 的 携 带 者 是 电 场
和磁场 .因此如果某一空间具有电场,那么该空间就具有电场能量 .
得
单位体积电场内所具有的电场能量叫做电场的能量密度,用 we 表示,由式(
6.
24)可
1
1
1 D2
we = εE2 = ED =
2
2
2ε
(
6.
25)
式(
6.
25)表明,电场的能量密度与电场强度的平方成正比 .场强越大,电 场 的 能 量 密
度也越大 .式(
6.
25)虽然是从 平 板 电 容 器 这 个 特 例 中 求 得 的,但 可 以 证 明,对 任 意 电 场,
这个结论也是适用的 .
例 6.
3 带电导体球的半径为 R ,带电量为q ,球外为真空,计算电场的总能量;当球
外充满相对电容率为εr 的电介质时,电场的总能量是多少?
解
因为是导体球,故球内无电荷分布;电荷q 均匀分布在外表面上 .球内电场为零,
· 170 ·
第6章
静电场中的导体和电介质
球外的电位移矢量为
q (
D=
r R ≤r < ¥)
4πr3
球外电场为
q
E=
r(
R ≤r < ¥)
4π
ε0r3
也就是说,在球外距球心为r 处,电场的能量密度为
q2
1
1
w = ED = ε0E2 =
2
2
32π2ε0r4
由于场能密度也是球对称,即 等 半 径 的 球 壳 上 各 点 的 场 能 密 度 都 是 相 同 的,那 么 体
积元取厚度为 d
r 的球壳,则 d
V =4πr2d
r ,于是总能量为
∫ ∫
q2
q2
πr2d
r=
2
44
R3
8π
ε0R
2πε0r
¥
W = wd
V=
当球外充满相对电容率为εr 的 电 介 质 时,因 为 导 体 球 所 带 电 荷 保 持 不 变,故 电 场 中
各点的电位移矢量 D 保持不变,电场强度变为
q
D
E= =
r(
R ≤r < ¥)
ε 4π
ε0εrr3
在球外距球心为r 处,电场的能量密度变为
q2
1
1
w = ED = εE2 =
2
2
2
32πε0εrr4
总能量为
∫ ∫
W = wd
V=
q2
q2
πr2d
r=
2
44
R3
8π
ε0εrR
2πε0εrr
¥
例6.
4 如图 6
14 圆柱形空气电容器中,空气的击穿场强是 Eb =3×106 V·m-1 ,设
导体圆筒的外半径 RB =10-2 m .在空气不被击穿的情况下,长 圆 柱 导 体 的 半 径 RA 取 多
大值可使电容器存储能量最多? 半径 RA 取多大值可使电容器承受的电压最大?
解
设圆柱导体单位长度上的电荷为λ ,由高斯定理,两圆柱面间的电场强度为
λ (
E=
RA <r < RB)
2π
ε0r
(
1)
从上式可以看出,在长圆柱体表面附近即r=RA 处电场最强 .因此,若此处的电场强
度为击穿场强时,圆柱形电容器既可带电荷最多,又不会使空气介质被击穿 .于是有
由上式可得
λmax
Eb =
2
π
ε0RA
λmax =2π
ε0RAEb
由电容器的能量式可知,单位长度圆柱形电容器所贮的能量为
U 为两极板之间的电势差
1 (
We = λ
U λ ≤λmax )
2
(
2)
(
3)
· 171 ·
大学物理(上册)
∫
∫ r =2πεlnR
λ
U = E·d
l=
L
2π
ε0
把式(
4)代入式(
3),有
RB
RA
d
r
RB
λ
0
A
(
4)
RB
1
λ2
We = λ
U=
l
n
2
4π
ε0 RA
再以式(
2)的λmax 代入上式,得电容器电荷最多又使空气介质不致被击穿时的电能为
RB
2
W eb =π
ε0E2
n
bRAl
RA
(
5)
上式表明,在 Eb 已知时,W e 仅随 RA 而异 .显然,欲使圆柱形电容器贮能量最多,且
空气介质又不致被击穿,RA 的值需满足 dW e/dRA =0 的条件 .由式(
5)得
dW eb
RB
ε0E2
2
l
n
=π
-1)=0
bRA (
dRA
RA
即
RB
RA =
07×10-3 m
≈6.
e
(
6)
时,圆柱形电容器所贮能量最大,且空气又不被击穿 .
把式(
2)代入式(
4),得电容器不致被击穿时的最高电压
RB
Ub =EbRAl
n
RA
(
7)
显然,电容器不致被击穿时的最高电压 Ub 也是 RA 的函数 .Ub 取最大值时满足条件
dUb/dRA =0.由式(
7)得
即
代入式(
7)此时的电压为
dUb
RB
l
n
=Eb(
-1)=0
dRA
RA
RB
RA =
e
(
8)
RB
RB
Ubmax =EbRAl
n
1×104 V
=Eb
=1.
RA
e
而电容器所贮能量最大时的电压是把式(
6)代入式(
7)的结果
RB EbRB
Ub =EbRAl
n
10×103 V
=
=9.
RA 2e
由式(
6)和式(
8)可见,在长圆柱导体的半径 RA 可变的条件下,电容器贮能最多和电
压最大不能同时满足 .
(
1)两导体球 A、
B.半径分别为 R1 =0.
5m ,R2 =1.
0m ,中间以导线连接,两球外分
· 172 ·
第6章
静电场中的导体和电介质
别包以内半径为 R =1.
2 m 的同心导体球壳(与导线绝缘)并接地,导体间的介质均为空
气,如图 6
19 所示 .已知:空气的击穿场强为 3×106 V·m-1 ,今使 A、
B 两球所带电荷逐
渐增加,计算:① 此系统何处首先被击穿? ② 击穿时两球所带的总电荷 Q 为多少?
(设导线本身不带电,且对电场无影响 .真空电容率ε0 =8.
85×10-12 C2 ·N-1 ·m-2 )
图6
19
(
2)两块“无限大”平行导体板,相距为 2d ,都 与 地 连 接,如 图 6
20 所 示 .在 板 间 均 匀
充满着正离子气体(与导体板绝缘),离子数密度为 n ,每个离子的电荷为q .如 果 忽 略 气
体中的极化现象,可以认为电场分布 相 对 中 心 平 面 OO′ 是 对 称 的 .试 求 两 板 间 的 场 强 分
布和电势分布 .
(
3)厚度为 d 的“无限大”均 匀 带 电 导 体 板 两 表 面 单 位 面 积 上 电 荷 之 和 为 σ .试 求 图
6
21 所示离左板面距离为 a 的一点与离右板面距离为b 的一点之间的电势差 .
图6
20
图6
21
(
4)半径分别为 1.
0cm 与 2.
0cm 的两个球形导体,各带电荷 1.
0×10-8 C ,两球相
距很远 .若用细导线将两球相连接 .求 ① 每个球所带电荷;② 每球的电势 .( 1 =9×109
4π
ε0
N·m2 ·C-2 )
(
5)如图 6
22 所示,把一 块 原 来 不 带 电 的 金 属 板 B,移 近 一 块
已带有正电荷 Q 的金属板 A,平行放置 .设两板 面 积 都 是 S ,板 间
距离是 d ,忽 略 边 缘 效 应 .计 算 当 B 板 不 接 地 时,两 板 间 电 势 差
U AB ;
B 板接地时两板间电势差 U′AB .
(
6)半径分别为 R1 和 R2 (R2 > R1)的两个同心导体薄球壳,
分别带有电荷 Q1 和 Q2 ,今将内球壳用细导线与远处半径为r 的
图6
22
· 173 ·
大学物理(上册)
导体球相联,如图 6
23 所示,导体球原来不带电,试求相联后导体球所带电荷q .
(
7)一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成,内、外圆筒半径分别为 R1 =2cm ,R2 =
5cm ,其间充满相对介电常量为εr 的各向 同 性、均 匀 电 介 质 .电 容 器 接 在 电 压 U =32V
的电源上,如图 6
24 所示,试求距离轴线 R =3.
5cm 处的 A 点的电场强度和A 点与外筒
间的电势差 .
图6
23
图6
24
(
8)一球形电容器,外球壳半径b=4cm ,内球壳半径a 可以适当选择,若其间充满电
容 率为ε 的各向同性均匀电介质,该介质的击穿电场强度的大小为 E0 =200kV·m-1 .试
求该电容器可能承受的最高电压 .
(
9)一个大平行板电容器水平放置,两极板间的一半空间充有各向同性均 匀 电 介 质,
另一半为空气,如图 6
25 所示 .当两极板带上恒定的等量异号电荷时,有一个质量为 m 、
带电荷为 +q 的质点,在极板间的空气区域中处于平衡 .此后,若把电介质抽去,则该质点
向哪运动?
(
10)两只电容器,C1 =8μF ,C2 =2μF ,分别把它们充电到 1000V ,然后将它们反
接(见图 6
26),此时两极板间的电势差为多少?
图6
25
图6
26
(
11)C1 和 C2 两空气电容器串联起来 接 上 电 源 充 电 .然 后 将 电 源 断 开,再 把 一 电 介
质板插入 C1 中,如图 6
-27 所示 .则 C1 和 C2 上的电势差如何变化?
(
12)C1 和 C2 两空气电容器并联以后接电 源 充 电 .在 电 源 保 持 联 接 的 情 况 下,在 C1
中插入一电介质板,如图 6
28 所示,则 C1 和 C2 上的电荷如何变化?
· 174 ·
第6章
静电场中的导体和电介质
图6
27
图6
28
(
13)两金属球的半径之比为 1∶4,带 等 量 的 同 号 电 荷 .当 两 者 的 距 离 远 大 于 两 球 半
径时,有一定的电势能 .若将两球接触一下再移回原处,则电势能变为原来的多少倍?
(
14)一绝缘金属物体,在真空 中 充 电 达 某 一 电 势 值,其 电 场 总 能 量 为 W 0 .若 断 开 电
源,使其上所带电荷保持不变,并把它 浸 没 在 相 对 介 电 常 量 为εr 的 无 限 大 的 各 向 同 性 均
匀液态电介质中,问这时电场总能量有多大?
(
15)如果某带电体其电荷分布的体密度ρ 增大为原来的 2 倍,则其电 场 的 能 量 变 为
原来的几倍?
· 175 ·
第7章
恒定磁场
7.
1 电流与电动势
7.
1.
1 电流与电流密度
虽然金属导体中的自由电子总是在不停地作无规则热运动,但它们沿任 意 方 向 的 概
率是相等的 .所以,导体在静电平衡时,其内部的电场强度 E =0,这时导体内没有电荷作
定向运动,故而导体内不能形成电 流 .然 而,如 在 导 体 两 端 加 上 电 势 差 (即 电 压)后,就 可
使导体内出现电场,这样导体内 的 自 由 电 子 除 作 热 运 动 外,还 要 在 电 场 力 作 用 下 作 宏 观
的定向运动,形成了电流 .
概而言之,电流由大量电荷作定向运动形成的 .一般说,电荷的携带者 可 以 是 自 由 电
子、质子、正负离子,这些带电离子亦称为载流子 .由带电粒子亦称为载流子 .由 带 电 粒 子
定向运动形 成 的 电 流 叫 做 传 导 电 流 .而 带 电 物 体 作 机 械 运 动 时 形 成 的 电 流 叫 做 运 流
电流 .
在金属导体内,载流子是自由电子,它作定向移动的方向是由低电势 到 高 电 势 .但 在
历史上,人们把正电荷从高电势 向 低 电 势 移 动 的 方 向 规 定 为 电 流 的 方 向,因 而 电 流 的 方
向与负电荷的移动方向恰好相反 .
如图 7
1 所示,在截面积为 S 的一段导体中,有正电 荷 从 左 向 右 运 动 .若 在 时 间 间 隔
d
t 内,通过截面 S 的电荷为 d
q ,则在导体中的电流I 为通过截面S 的电荷随时间的变化
率,即
q
d
I=
d
t
图7
1 导体中的电流
如果导体中的电流不随时间而变化,这种电流叫做恒定电流 .
· 176 ·
(
7.
1)
第7章
恒定磁场
电流I 的单位名称为安培,其符号为 A,
1A=1C·s-1 .常用的电流单位还有 mA 和
-3
-6
μA .1μA=10 mA=10 A .
应当指出,电流是标量,不是 矢 量 .虽 然 人 们 在 实 际 应 用 中 常 说 “电 流 的 方 向”,但 这
只是指一群“正电荷的流向”而已 .
当电流在大块导体中流动时,导体向各处的电流分布将是不均匀的 .图 7
2 为半球形
接地电极,图中仿照画电场线的办法用带有箭头的线段标示电流的流向,称为 电 流 线,电
流线的密度表示电流的大小 .从图中可以看到,在半球形电极附近的导体中,电 流 的 分 布
是不均匀的 .
图7
2 半球形电极附近导体电流的分布
为了细致地描述 导 体 内 各 点 电 流 分 布 的 情 况,引 入 一 个 新 的 物 理 量———电 流 密 度
j .电流密度是矢量,电流密度的方向 和 大 小 规 定 如 下:导 体 中 任 意 一 点 电 流 密 度 j 的 方
向为该点正电荷的运动方向;
j 的 大 小 等 于 在 单 位 时 间 内,通 过 该 点 附 近 垂 直 于 正 电 荷
运动方向的单位面积的电荷 .
如图 7
3 所示,设想在导体中点 P 处取一面积元 ΔS ,并使 ΔS 的单位法线矢量en 与
正电荷的运动方向(即电流密度j 的方向)间成α 角 .若在 Δ
t 时间内有正电荷 ΔQ 通过面
积元 ΔS ,那么上述规定可得点 P 处电流密度的大小为
j=
ΔQ
ΔI
=
Δ
tΔScos
α ΔScos
α
式中,ΔScos
α 为面积元 ΔS 在垂直于电流密度方向的投影 .式(
7
2)可写成
ΔI=j·ΔS
对通过导体任一有限截面 S 的电流为
∫
I= j·d
S
S
图7
3 电流密度
(
7.
2)
(
7.
3)
(
7.
4)
7
4 电流与电子漂移速度的关系
· 177 ·
大学物理(上册)
下面来简略讨论金属导体的 电 流 和 电 流 密 度 与 自 由 电 子 的 数 密 度 和 漂 移 速 度 之 间
的关系 .
从导电机制来看,当金属中大 量 的 自 由 电 子 受 电 场 力 的 作 用,沿 着 与 电 场 强 度 E 相
反的方向作定向运动时,自由电子除了热运动以外,还作定向运动 .把自由电子 在 电 场 力
作用下产生的定向运动的平均速度叫做漂移速度,用符号 vd 表示 .正是由于漂移速度的
存在,才在导体中形成宏观电流 .漂移速度 vd 的 大 小 也 叫 做 漂 移 速 率 .如 图 7
4 所 示,设
导体中自由电子数密度为 n ,每个电子的漂移速度均为 vd .在导体内取一面积元 ΔS ,且
ΔS 与vd 垂直 .于是在时间间隔 Δ
t内,在任一长为vdΔ
t 、截面积为 ΔS 的柱体里的自由电
子都要通过截面积 ΔS ,即有 nvdΔ
tΔS 个 电 子 通 过 该 截 面 .考 虑 到 每 个 电 子 电 荷 的 绝 对
值为e ,故在 Δ
t时间内通过 ΔS 的电荷为 Δq=e
nvdΔ
tΔS .由式(
7.
1)和式(
7.
2)可得导体
中 ΔS 处的电流和电流密度为
和
ΔI=e
nvdΔS
(
7.
5)
(
nvd
7.
6)
j=e
上述两式均表明,金属导体中的电流和电流密度均与自由电子数密度和 自 由 电 子 的
漂移速率成正比 .
式(
7.
5)和式(
7.
6)对一般导体或半导体可适用,只需把电子的电荷换成载流子 的 电
荷q ,把自由电子的漂移速率换成载流子的平均定向运动速率v 就可以了 .
例 7.
1 (
1)设每个铜原子贡献一个自由电子,问:铜导线中自由电子数密度为多少?
(
2)在家用线路中,容许电 流 最 大 值 为 15A ,铜 导 线 半 径 0.
81 mm ,试 问 在 这 种 情
况下,电子漂移速率是多少?
(
3)若铜导线中电流密度是均匀的,问电流密度的值是多少?
解
(
1)设以ρ 表示铜的质量密度ρ=8.
95×103 kg·m-3 ,M 表示铜的摩尔质量 M
35×10-3 kg· mo
l-1 ,NA 表示阿伏伽德罗常数,那么铜导线内自由电子的数密度为
=6.
n=
NAρ 6.
02×1023 ×8.
93×103 个/ 3
m =8.
48×1028 个/m3
=
M
63.
5×10-3
(
2)已知电子电荷的值为e=1.
60×10-19 C .由式(
7.
5)可得自由电子的漂移速率为
I
vd =
36×10-4 m·s-1 ≈2 m·h-1
=5.
nSe
自由电子的漂移速率比蜗牛的爬行速率还要略小 .那么为什么我们闭合 电 键 的 瞬 间
电路中就有电流形成呢?
(
3)电流密度为
I
15
28×106 A·m-2
j= =
2 =7.
S π× (
8.
10×10-4)
7.
1.
2
电源
电源的电动势
如果想获得一个恒定电流,就 必 须 维 持 电 荷 分 布 的 恒 定 .维 持 电 荷 分 布 恒 定 的 基 本
· 178 ·
第7章
恒定磁场
做法是:当载流子是正电荷时,应该在载流子不断地通过导线由正极流到负极 的 同 时,不
断地把载流子再由负极输运回 正 极,从 而 形 成 一 个 恒 定 的 电 荷 分 布 和 电 场 分 布,实 现 一
个恒定的电流循环 .把载流子由负极输运回正极过程中,需要克服静电力做功,把 其 他 形
式的能量转化为电能 .这些克服静电力做功的力,通称为非静电力,记作 Fk .这种依靠非
静电力做功而维持一个电流的装置,或在电路中提供非静电力的装置称为电源 .
在非静电力存在的空间中,可 以 定 义 一 个 非 静 电 场 .所 谓 非 静 电 场 是 指 一 个 能 施 力
于电荷的力场,但它对电荷的作 用 力 所 遵 从 的 规 律 和 静 电 场 不 同 .如 同 对 静 电 场 的 讨 论
那样,非静电场的力学性质也可以用非静电场强来描述,非静电场强的定义式为
Fk
Ek =
q
即单位正电荷所受到的非静电力 .
(
7.
7)
一个电源通过非静电力做 功 的 本 领 可 用 电 源 电 动 势 来 描 述,电 源 电 动 势 定 义 为:把
单位正电荷由电源负极经电源内部输送到电源正极时,非静电力所做的功 .
Wk
E=
q
在输运一个载流子的过程中,非静电力做功为
∫
Wk =
故有
+
-
∫E ·dl
Fk·d
l=q
+
-
∫E ·dl
E=
+
-
k
k
(
7.
8)
(
7.
9)
(
7.
10)
即电源电动势为非静电场强由电源负极到正极的线积分,上式也常作为电源电动 势 的 定
义 .在上述意义上,电源电动势只有大小,没有方向 .在实际工作中常提到电 动 势 的 方 向,
通常是指非静电力做正功的方 向,即 由 电 源 负 极 指 向 正 极 .电 动 势 的 单 位 和 电 势 的 单 位
相同,均为伏特(V ).
若考察的电路是一个已设定参考方向 为 L 的 回 路,如 图 7
5(
b)所 示 .这 相 当 于 把 图
7
5a电路中的 a 段和d 段连接,则回路电动势为
∮
E = Ek·d
l
即非静电场强沿回路方向的线积分 .
L
(
7.
11)
图7
5 电路
电动势虽不是矢量,但为了 便 于 判 断 在 电 流 流 通 时 非 静 电 力 是 作 正 功 还 是 作 负 功,
· 179 ·
大学物理(上册)
通常把电源内部电势升高的方 向,即 从 负 极 经 电 源 内 部 到 正 极 的 方 向,规 定 为 电 动 势 的
方向 .
电源电动势的大小只取决 于 电 源 本 身 的 性 质,一 定 的 电 源 具 有 一 定 的 电 动 势,而 与
外电路无关 .
7.
2 磁场
7.
2.
1 磁的基本现象
磁场强度
磁场
无论是天然磁石还 是 人 工 磁 铁 都 有 吸 引 铁、钴、镍 等 物 质 的 性 质,这 种 性 质 叫 做 磁
性 .条形磁铁及其他任何形状的磁铁都有两个磁性最强的区域,叫做磁极 .将一 条 形 磁 铁
悬挂起来,其中指北的一极是 北 极 (用 N 表 示),指 南 的 一 极 是 南 极 (用 S 表 示).实 验 证
明,极性相同的磁极相互排斥,极性相反的磁极相互吸引 .
在相当长的一段时 间 内,人 们 一 直 把 磁 现 象 和 电 现 象 看 成 彼 此 独 立 无 关 的 两 类 现
象,直到 1820 年,丹麦物理学家 奥 斯 特 发 现 了 电 流 的 磁 效 应 以 及 其 他 物 理 学 家 如 安 培、
阿拉果、毕奥和萨伐尔等人的大量研究,使人们进一步认识到磁现象起源于电 荷 的 运 动,
磁现象和电现象之间有着密切的联系 .主要表现在以下几个方面:
(
1)通过电流的导线(也叫载 流 导 线)附 近 的 磁 针,会 受 到 力 的 作 用 而 偏 转,如 图 7
6
(
a)所示 .
图7
6 磁现象
(
2)放在蹄形磁铁两极间的载流导线,也会因受力而运动,如图 7
6(
b)所示 .
(
3)载流导线之间也有相互作用力 .当两平行载流直导线的电流方向相同 时,它 们 相
互吸引;电流方向相反时,则相互排斥,如图 7
6(
c)所示 .
(
4)通过磁极间的运动电荷也受到力的作用 .如图 7
6(
d)所示的电子射线管,当阴极
和阳极分别接到高压电源的正 极 和 负 极 上 时,电 子 流 通 过 狭 缝 形 成 一 束 电 子 射 线 .如 果
在电子射线管外面放一块磁铁,可以看到电子射线的路径发生弯曲 .
由于电流是大量电荷作定 向 运 动 形 成 的,所 以 在 运 动 电 荷 周 围 空 间 存 在 着 磁 场;在
· 180 ·
第7章
恒定磁场
磁场中的运动电荷要受到磁场力(简称磁力)的作用 .磁场不仅对运动电荷或载流导 线 有
力的作用,它和电场一样,也具有能量 .这就是磁场物质性的表现 .
7.
2.
2 磁感强度
在静电学中,利用电场对静止 电 荷 有 电 场 力 作 用 这 一 表 现,引 入 电 场 强 度 E 来 定 量
地描述电场的性质 .与此类似,利用磁场对运动电荷有磁力作用这一表现,可以 引 入 磁 感
应强度 B 来定量地描述磁场的性质,其中 B 的方向表示磁场的 方 向,B 的 大 小 表 示 磁 场
的强弱 .
运动电荷在磁场中的受力情况,可 以 用 如 图 7
6(
d)所 示 的 实 验 来 观 察 .在 不 加 外 磁
场时,电子射线的运动轨迹是一 条 直 线 .如 果 用 磁 铁 在 水 平 方 向 上 加 一 个 与 电 子 射 线 束
垂直的磁场,这时可以看到电子 射 线 束 的 运 动 轨 迹 向 下 偏 转 .这 显 示 了 运 动 电 子 受 到 向
下的磁力作用,若改变外加磁场 的 强 弱 和 方 向,电 子 射 线 的 偏 转 程 度 和 偏 转 方 向 将 发 生
相应变化 .
由大量实验可以得出如下结论:
(
1)作用在运动电荷上的磁力 F 的方向总是与电荷的运动方向垂直,即 F ⊥ v .
(
2)磁力的大小正比于运动电荷的电量,即 F ∝q .如果电荷是负的,它所受力的方向
与正电荷相反 .
(
3)磁力的大小正比于运动电荷的速率,即 F ∝v .
图7
7 运动电荷在磁场中受的磁场力与电荷的符号及运动方向有关
(
a)运动方向与磁场方向一致;(
b)运动方向与磁场方向垂直
(
4)运动电荷在磁场中所受的磁力随电荷的运动方向与磁场方向之间的夹角 的 改 变
而变化 .当电荷运动方向与磁场方 向 一 致 时,如 图 7
7(
a)所 示,它 不 受 磁 力 作 用 .而 当 电
荷运动方向与磁场方向垂直时,如图 7
7(
b)所示,它所受磁力最大,用 Fmax 表示 .
由上述实验结果可以看出,运 动 电 荷 在 磁 场 中 受 的 力 有 两 种 特 殊 情 况:当 电 荷 运 动
方向与磁场方向一致时,F =0;当电荷运动方向垂直于磁场方向时,F =Fmax .根据这两
种情况,可以定义磁感应强度 B (简称磁感强度)的方向和大小如下:
(
1)在磁场中某点,若正电荷的运动方向与在该点的小磁针 N 极的指向相同,则它所
受的磁力为零,把这个方向规定为该点的磁感强度 B 的方向 .
· 181 ·
大学物理(上册)
(
2)当正电荷的运动方向与磁场方向垂 直 时,它 所 受 的 最 大 磁 力 Fmax 与 电 量 q 和 速
率v 的乘积成正比,但对磁场中某一点来 说,比 值 Fmax/
v 是 一 定 的 .对 于 磁 场 中 不 同 位
q
置,这个比值有不同的确定值 .把这个比值规定为磁场中某点的磁感强度 B 的大小,即
Fmax
B=
v
q
(
7.
12)
磁感强度 B 的单位,取决于 F 、
N),
q 和v 的单位,若 F 的单位是牛顿(
q 的单位是库 仑
(
C),v 的单位是米/秒(m·s-1),则 B 的单位是特斯拉,简称为特,符号为 T .所以,1T
-1
-1
-1
-1
=1N·C ·m ·s=1N·A ·m .
如果磁场中某一区域内各点 B 的 方 向 一 致,大 小 相 等,那 么 该 区 域 内 的 磁 场 就 叫 做
均匀磁场 .不符合上述情况的磁 场 就 是 非 均 匀 磁 场 .长 直 螺 线 管 内 中 部 的 磁 场 是 常 见 的
均匀磁场 .
表7
1 常见的一些磁感强度大小
磁感强度 B/T
磁场名称
地球磁场水平强度(赤道处)
地球磁场竖直强度(两极处)
普通永磁体两极附近
(0.
3~0.
4) ×10-4
(0.
6~0.
7) ×10-4
0.
4~0.
7
0.
9~1.
7
电动机和变压器
10~100
超导脉冲的磁场
10-12
人体磁场
7.
3 毕奥 — 萨伐尔定律
这一节将介绍恒定 电 流 激 发 磁 场 的 规 律 .恒 定 电 流 的 磁 场 亦 称 为 静 磁 场 或 恒 定 磁
场 .在静磁场中,任意一点的磁感强度 B 仅是空间坐标的函数,而与时间无关 .
7.
3.
1 毕奥—萨伐尔定律
在静电场中计算任意带电体在某点的电场强度 E 时,曾把带电体先分成无限多个电
荷元 d
q ,求出每个电荷元在该点的电场 强 度 dE ,而 所 有 电 荷 元 在 该 点 的 dE 的 叠 加,即
为此带电体在该点的电场强度 E .现在对于载流导线来说,可以仿此思路,把流过某一线
元矢量 d
l的电流I 与 d
l的乘积Id
l称作电流元 .而且把电流元中电流的流向作为线元矢
量的方向 .那么,就可以把一载流导线看成是由许多个电流元Id
l 连接而成 .这样,载流导
线在磁场中某点所激发的磁感强度 B ,就是由这导线的所有电流元在该点的 dB 的叠加 .
那么,电流元Id
l 与它所激发的磁感强度 dB 之间的关系如何呢?
· 182 ·
第7章
恒定磁场
如图 7
8 所示,载流导线上有一 电 流 元 Id
l 在 真 空 中 某 点 P 处 的 磁 感 强 度 dB 的 大
小,与电流元的大小Id
l成正比,与电流元Id
l到点P 的矢量r 间的夹角θ 的正弦成正比,
并于电流元到点 P 的距离r 的二次方成反比,即
d
ls
i
n
θ
0I
dB =μ
4π r2
(
7.
13)
图7
8 电流元的磁感强度的方向
其中 μ0 叫做真空磁导率 .在国际单位制中,其值为 μ0 =4π×10-7 N·A-1 .而 dB 的方向
垂 直于 d
l和r 所组成的平面,并沿矢积 d
l×r 的方向,即由Id
l经小于 180
° 的角转向r 时
的右螺旋前进方向 .
若用矢量式表示,则有
d
l×er
0I
dB =μ
4π r2
(
7.
14)
d
l×r
0I
dB =μ
4π r3
(
7.
15)
er 为沿矢量r 的单位矢量 .式(
7
14)就是毕奥—萨伐尔定律 .由于er =r/
r ,故毕奥—萨伐
尔定律也可以写成
这样,任意载流导线在点 P 处的磁感强度B 可以由式(
7.
15)求得
∫ ∫
d
l×er
0I
B = dB = μ
4π r2
(
7.
16)
毕奥—萨伐尔定律虽是以毕奥和萨伐尔的实验为基础,又由拉普拉 斯 经 过 科 学 抽 象
得到的,但它不能由实验直接证 明,然 而 由 这 个 定 律 出 发 得 到 的 结 果 都 很 好 地 和 实 验 相
符合 .下面应用毕奥—萨伐尔定律来讨论几种载流导体所产生的磁场 .
7.
3.
2 毕奥—萨伐尔定律应用举例
例 7.
2 载流直导线的磁场先考虑一段载流直导线的磁场 .设 P 是导线外任意一点,
P 到导线的距离为r0 ,如图 7
9 所示,导线上任取一电流元Id
l ,根据毕奥—萨伐尔定律 .
它在 P 点产生的磁感应强度 dB 与纸面垂直向内,大小为
d
ls
i
n
θ
0I
dB =μ
4π r2
· 183 ·
大学物理(上册)
图7
9 载流导线的磁场
导线上每一电流元在 P 点产生的磁场方向均相同,只要求 dB 的代数和即可
∫dB =4π∫ r
B=
A2
A1
μ0
如电流元到垂足 O 的距离为l ,则
A2
A1
Id
ls
i
n
θ
2
l=rcos(
π-θ)=-rc
os
θ
r0 =rs
i
n(
π-θ)=rs
i
n
θ
故有
l=-r0co
t
θ
而
d
l=r0
这样
d
θ
s
i
n2θ
∫
θ2
I
Is
i
n
θ
0
0
B =μ
d
θ= μ (
c
o
s
θ1 -cos
θ2)
4π θ1 r0
4πr0
式中,
θ1 和θ2 分别为 A1 和 A2 点处θ 角的值 .
如果是一无限长载流直导线,则θ1 =0,
θ2 =π ,这时
I μ0I
02
B =μ
=
4πr0 2πr0
(
7.
17)
可见,与无限长载流直导线 的 距 离 相 同 的 所 有 点 的 磁 感 强 度 大 小 均 相 同,这 些 点 连
接起来是一些以导线为心的同心 圆,每 点 的 磁 场 方 向 可 用 右 手 螺 旋 定 则 判 定,如 图 7
10
所示 .实际中遇到的不可能是无限长直导线,但是在长为l的直导线附近,当r0 ≪l时,场
强可近似用式(
7.
17)计算 .
· 184 ·
第7章
恒定磁场
图7
10 长直导线的磁场
下面以无限长载流直导线为基础,计算无限大载流平面的磁场 .如图 7
11 所示,一无
限大载流平面上均匀流有电流,单位宽度上电流(或称为面电流密度)为i ,现在计算板外
任一点的磁感应强度 .
图7
11 无限大载流平面的磁场
板外任取一点 P ,P 到板的垂直距离为r ,垂足为 O ,在载流平面上取x 轴与面电流
方向垂直,坐标原点也是点 O ,把载流平面分割为无穷根与电流平行的细长条,取其中一
条,宽为 dx 坐标为x ,它相当于一条无 限 长 载 流 直 导 线,其 电 流 强 度 为idx .为 方 便 计,
画出截面图,如图 7
11 所示 .
设 电流垂直纸面向外流出,则 dB 方向如图示,如在 O 点另一侧对称地取一 dx ,则它
产生的磁感应强度 dB
′ 大小应与 dB 相等,方向不同,但二者与过 P 点的x 轴平行线夹角
均为θ ,故 dB +dB
′ 方向沿x 轴正向 .因此只须将 dB 垂直z 方向分量累加即可
idx
0
dB = μ 2
2π r +x2
idx
i r
r
0
0
dB⊥ =dBco
s
θ= μ 2
dx
=μ 2
2
2
2
2
π
r +x2
2π r +x r +x
∫
B=
x
μ0i r dx =μ0ia
r
c
t
an
-¥ 2
2π
r
πr2 +x2
+¥
+¥
-¥
i
0
=μ
2
可见无限大均匀载流平面外任一点的磁感应强度均相等 .不过平面两侧磁感应强 度 方 向
相反 .
例 7.
3 载流圆线圈和螺线管 .设圆线圈中心为Id
l ,半径为 R ,取如图 7
12 所示的
· 185 ·
大学物理(上册)
直角坐标系,圆环上任一点 A 处取一电流元Id
l ,则r 与Id
l垂直,如 dB 与x 轴间夹角为
α ,这一角与 ∠OAP 相等
d
ls
i
nπ/2
0I
dB =μ
4π
r2
如在过 A 点的直径另一端点 A′ 处再取一电流元,则它产生 dB
′ 和 dB 对称 .显然,dB
′与
x 轴间夹角也为α ,二者在y
z 平面内的分量相互抵消,这样不难得出,P 点的磁感应强度
B 沿x 轴正向,其大小
故
∮
∮
∮
I
d
lR μ0I
R
R
0I
0
B = dBcos
α= μ 2
l=μ
πR
=
3/2 d
3/22
4π r r 4π (
4π (
z2 +R2)
z2 +R2)
2πR I
0
B =μ
3/2
4π4π (
z2 +R2)
2
(
7.
19)
图7
12 圆线圈轴线上的磁场
以载流圆环为基础计算载 流 螺 线 管 的 磁 场 .在 圆 柱 面 上 密 绕 细 导 线,导 线 很 细 彼 此
又靠得很近,以至于 可 以 认 为 螺 线 管 是 一 个 个 载 流 圆 环 密 排 起 来 组 成,如 图 7
13(
a)所
示 .取螺线管轴线为 x 轴,如图 7
13(
b)所示,取其中点为原点 O ,当螺线管中通有电流I
时,如果它单位长度上有n 匝线圈,则在距离原点l处取长为 d
l的一段,它有nd
l匝线圈,
它相当于一半径为 R (螺线管半径),载有电流I
nd
l 的圆环 .现在考虑 x 轴上距原点 O 为
x 的一点 P 的磁感应强度 .长为 d
l 一段上电流在 P 点产生的磁感应强度为
2πR2I
nd
l
0
dB =μ
2
2 3/2
]
4π [
R +(
x -l)
dB 方向沿x 轴正向 .由于任取一 d
l ,它在 P 点产生的 dB 方向相同,所以计算 P 点总的
磁感应强度时,直接积分即可,即
∫
l
2
2πR2I
nd
l
0
B =μ
2 3/2
l [2
]
4π -2 R + (
x -l)
式中,L 为螺线管长度 .由图 7
13(
b)可看出
R
2
r= R2 + (
x -l)
=
s
i
n
β
x -l=rcos
β
· 186 ·
第7章
恒定磁场
由以上两式可得 x -l=co
t
β ,两边取微分得
R
d
l
d
= β
R s
i
n2β
这样
∫
β2
1
0
B =μ 2πnI s
i
n
c
os
βd
β= 2μ0nI(
β1 -cos
β2)
4π
β1
(
7.
20)
L
式中,
β1 与β2 分别是角β 在螺线管两端即l=± 2 处的数值
L
L
x+x
2
2
,co
c
o
s
s
β1 =
β1 =
L
L 2
2
R2 + ( +x)
R2 + (
x- )
2
2
如果作出轴线上 B 值随x 变化的曲线可得图7
13(
c).由图可看出,在l≫R 时,螺线
管中段磁感应强度近似均匀,只有在靠近端点处 B 值才明显下降 .
图7
13 螺线管的磁场
下面讨论两个特殊情况
(
1)对于无限长螺线管,L → ∞ ,
β1 =0,
β2 =π ,则
B =μ0nI
(
7.
21)
这说明螺线管轴线上磁感应强度大小相等 .实际上,无限长螺线管内部各处的 B 大 小 均
为μ0nI,方向都与轴线平行 .
· 187 ·
大学物理(上册)
π
π
(
2)对于半无限长螺线管,
β1 =0,
β2 = 2 ,或β1 = 2 ,
β2 =π ,则得
1
B = μ0nI
2
(
7.
22)
它比无限长螺线管的 B 值小了 一 半 .这 也 容 易 想 到,因 为 两 个 半 无 限 长 螺 线 管 产 生 的 B
1
大小应相等,它们相加得无限长螺线管的 B 为μ0
nI ,每一半的贡献当然是 μ0nI .
2
实际情况中,不会有 无 限 长 螺 线 管,但 当 L ≫ R 时,式(
7.
21)与 式(
7.
22)可 近 似 成
立 .密绕螺线管外部磁场是很弱的,如果 L → ¥,则整个外部空间中磁场趋于零,因此无限
长螺线管是这样的一种理想装 置,它 在 其 内 部 产 生 一 匀 强 磁 场,并 把 磁 场 全 部 限 制 在 其
内部 .
在静电场中,曾讨论电偶极子的电 场,并 引 入 电 偶 极 矩 p 这 一 物 理 量 .与 此 相 似,将
引入磁矩 m 来描述载流线圈的性质 .如图 7
14 所示,有一平面圆电流,其面积为 S ,电流
为I ,
en 为圆电流平面的单位正法线矢量,它与电流I 的流向遵守右手螺旋定则,即右手
四指顺着电流流动方向回转时,大拇指的指 向 为 圆 电 流 单 位 正 法 线 矢 量en 的 方 向 .定 义
圆电流的磁矩为
m =ISen
(
7.
23)
m 的方向与圆电流的单位正法线矢量en 的方向相同,m 的量值为IS.应当指出,上式对任
意形状的平面载流线圈都是适用的 .
图7
14 磁矩
7.
3.
3 运动电荷的磁场
导体中的电流是由导体中 大 量 自 由 电 子 做 定 向 运 动 形 成 的 .因 此,可 以 认 为 电 流 所
产生的磁场,其实是由运动电荷 所 激 发 的 .运 动 电 荷 能 产 生 磁 场 已 为 许 多 实 验 所 直 接 证
实.
至于运动电荷所建立的磁感强度,很容易由毕奥—萨伐尔定律所得 .
有一电 流 元 Id
l ,其 截 面 积 为 S .设 此 电 流 元 中 单 位 体 积 内 有 n 个 作 定 向 运 动 的 电
荷,为简单计,这里以正电荷为研究对象,每个电荷均为q ,且定向运动速度均为 v .由式
(
7.
6)知,此电流元中的电流密度j=nqv .因此,有
Id
l=jSd
l=nSd
l
qv
于是,毕奥—萨伐尔定律的表达式(
7.
15)可写成
· 188 ·
第7章
恒定磁场
Sd
l
qv ×r
0n
dB =μ
4π
r3
式中,Sd
l=d
V 为电流元的体积;
nd
V =dN 为电流元中作定向运动的电荷数 .那么,一个
以速度 v 运动的电荷,在距它为r 处所建立的磁感强度则为
dB μ0 q
v ×r
B=
=
dN 4π r3
(
7.
24)
v ×er
0q
B =μ
4π r2
(
7.
25)
由于er 是矢量r 的单位矢量,故式(
7.
24)亦可写成
显然,B 的方向垂直于v 和r 组成的平面 .当q 为正电荷时,B 的方向为矢积v×r 的
方向,如图 7
15(
a)所示;当q 为负电荷时,B 的 方 向 为 矢 积v ×r 的 相 反 方 向,如 图 7
15
(
b)所示 .
图7
15 运动电荷的磁场方向
应当指出,运动电荷的磁场表 达 式 (
7.
24)是 有 一 定 适 用 范 围 的,它 只 适 用 于 运 动 电
荷 的速率v 远小于光速c (即v/
c≪1)的情况 .对于v 接近于c 的情形,式(
7.
24)就不适用
了 .这时,运动电荷的磁场应当考虑到相对论性效应 .
7.
4 磁通量
磁场的高斯定理
7.
4.
1 磁感线
为了形象地反映磁 场 的 分 布 情 况,就 像 在 静 电 场 中 用 电 场 线 来 表 示 静 电 场 分 布 那
样,将用一些设想的曲线来表示 磁 场 的 分 布 .由 于 给 定 磁 场 中 某 一 点 磁 感 强 度 B 的 大 小
和方向都是确定的 .因此,规定曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感强度 B 的方向,
而曲线的疏密程度则表示该点磁感强度 B 的 大 小 .这 样 的 曲 线 叫 做 磁 感 线 或 B 线 .和 电
场线一样,磁感线也是人为地画出来的,并非磁场中真的有这种线存在 .
磁场中的磁感线可借助小磁针或铁屑显示出来 .如果在垂直于长直载流 导 线 的 玻 璃
板上撒上一些铁屑,这些铁屑将被磁场磁化,可以当作一些细小的磁针,它们在 磁 场 中 会
形成如图 7
16(
a)和(
b)所示 的 分 布 图 样 .由 载 流 长 直 导 线 的 磁 感 线 图 形 可 以 看 出,磁 感
· 189 ·
大学物理(上册)
线的回转方向和电流之间的关 系 遵 从 右 手 螺 旋 定 则,即 用 右 手 握 住 导 线,使 大 拇 指 伸 直
并指向电流方向,这时其它四指弯曲的方向,就是磁感线的回转方向,如图 7
16(
c)所示 .
图7
17 是圆形电流和载流长直螺线管 的 磁 感 线 图 形 .它 们 的 磁 感 线 方 向,也 可 由 右
手螺旋定则来确定 .不过这时要 用 右 手 握 住 螺 线 管 (或 圆 电 流),使 四 指 弯 曲 的 方 向 沿 着
电流方向,而伸直大拇指的指向就是螺线管内(或圆电流中心处)磁感线的方向 .
图7
16 载流长直导线的磁感线方向
图7
17 圆电流和载流长直螺线管的磁感线
由上述几种典型的载流导线磁感线的图形可以看出,磁感线具有如下特性:
(
1)由于磁场中某点的磁场方向是确定的,所以磁场中的磁感线不会相交 .磁 感 线 的
这一特性和电场线是一样的 .
(
2)载流导线周围的磁感线 都 是 围 绕 电 流 的 闭 合 曲 线,没 有 起 点,也 没 有 终 点 .磁 感
线的这个特性和 静 电 场 中 的 电 场 线 不 同,静 电 场 中 的 电 场 线 起 始 于 正 电 荷,终 止 于 负
电荷 .
7.
4.
2 磁通量
磁场的高斯定理
为了使磁感线不但能表示 磁 场 方 向,而 且 能 描 述 磁 场 的 强 弱,像 静 电 场 中 规 定 电 场
· 190 ·
第7章
恒定磁场
线的密度那样,对磁感线的密度 规 定 如 下:磁 场 中 某 点 处 垂 直 于 B 矢 量 的 单 位 面 积 上 通
过的磁感线数目(磁感线密度)等于该点 B 的数值 .因此,B 大的地方,磁感线就密 集;B
小的地方,磁感线就稀疏 .对均 匀 磁 场 来 说,磁 场 中 的 磁 感 线 相 互 平 行,各 处 磁 感 线 密 度
相等;对非均匀磁场来说,磁感 线 相 互 不 平 行,各 处 磁 感 线 密 度 不 相 等 .通 过 磁 场 中 某 一
曲面的磁感线数叫做通过此曲面的磁通量,用符号 Φ 表示 .
如图 7
18(
a)所示,在磁感强度为 B 的均匀磁场中,取一面积矢量 S ,其大小为 S ,其
方向用它的单位法线矢量en 来表示,有 S =S
en ,在图中en 与 B 之间的夹角为θ .按照磁
通量的定义,通过面 S 的磁通量为
(
7.
26)
Φ=BSc
o
s
θ
图7
18 磁通量
用矢量来表示,上式为
Φ =B·S =B·enS
在不均匀磁场中,通过任意曲面的磁通量怎样计算呢?
(
7.
27)
在如图 7
18(
b)所示的曲面上取一面积元矢量 d
S ,它所在处的磁感强度 B 与单位法
线矢量en 之间的夹角为θ ,则通过面积元 d
S 的磁通量为
dΦ =BdSc
os
θ=B·d
S
而通过某一有限曲面的磁通量 Φ 就等于通过这些面积元 d
S 上的磁通量 dΦ 的总和,即
∫ ∫
∫
Φ = dΦ = BdScos
θ= B ·d
S
S
S
S
(
7.
28)
对于闭合曲面来说,人们规定其正单位 法 线 矢 量en 的 方 向 垂 直 于 曲 面 向 外 .依 照 这
π
个规定,当磁感线从曲面内穿出时(
θ< ,
c
o
s
θ >0),磁通量是正的;而当磁感线从曲面
2
π
外穿入时(
θ> ,
co
s
θ <0),磁通量是负的 .由于磁感线是闭合的,因此对任一闭合曲面
2
来说,有多少条磁感线进入闭 合 曲 面,就 一 定 有 多 少 条 磁 感 线 穿 出 闭 合 曲 面 .也 就 是 说,
通过任意闭合曲面的磁通量必等于零,即
∮BcosθdS =0
S
或
· 191 ·
大学物理(上册)
∮B·dS=0
(
7.
29)
S
上述结论也叫做磁场的高斯定理,它 是 表 明 磁 场 性 质 的 重 要 定 理 之 一 .虽 然 式 (
7.
29)和
∮
静电场的高斯定理( E·d
S = ∑q/
ε0)在形 式 上 相 似,但 两 者 有 着 本 质 的 区 别 .通 过 任
S
意闭合曲面的电场强度通量可以不为零,而通过任意闭合曲面的磁通量必为零 .
在国际单位制中,Φ 的单位名称为韦伯,其符号为 Wb ,有
1 Wb=1T×1 m2
7.
5 安培环路定理
7.
5.
1 安培环路定理
在静电场的环路定理中曾指 出:电 场 线 是 有 头 有 尾 的,电 场 强 度 E 沿 任 意 闭 合 路 径
∮E·dl=0,这是静电 场 的 一 个 重 要 特 征 .那 么,磁 场 中 的 磁 感 强 度 B
沿任意闭合路径的积分 B·d
∮ l等于什么呢?
的积分等于零,即
L
L
下面先研究真空中一无限长载流直 导 线 的 磁 场 .如 图 7
19 所 示,取 一 平 面 与 载 流 直
导线垂直,并以 这 平 面 与 导 线 的 交 点 O 为 圆 心,在 平 面 上 作 一 半 径 为 R 的 圆 周 .由 式
(
7.
17)可知,在这圆周上任意一点的磁场强度 B 的大小均为 B =μ0I/2πR .若选定圆 周
的绕向为逆时针方向,则圆周上每一点 B 的方向与线元 d
l的方向相同,即 B 与 d
l的方向
相同,即 B 与 d
l 之间的夹角θ =0
° .这样,B 沿着上述圆周的积分为
∮B·dl=∮Bcosθdl=∮2πRdl=2πR∮dl
L
L
L
μ0I
μ0I
图7
19 无限长载流导线 B 的环流
上式右端的积分值为圆周的周长 2πR ,所以
· 192 ·
L
第7章
恒定磁场
∮B·dl=μI
0
L
(
7.
30)
上式表明,在恒定磁场中,磁感强度 B 沿闭合路径的线积分,等于此闭合路径所包围的电
流与真空磁导率的乘积 .B 沿闭合路径的线积分又叫做B 的环流 .
应当指出,在式(
7.
30)中,积分回路 L 的绕行方向与电流的流向呈右手螺旋的关系 .
若绕行方向不变,电流反向,则
∮B·dl=-μI=μ (-I)
0
L
0
这时可以认为,对逆时针绕行的回路 L 来讲,电流是负的 .
式(
7.
30)是从特例得出的 .如 果 B 的 环 流 是 沿 任 意 闭 合 路 径,而 且 其 中 不 止 一 个 电
流,那么可以证明:在真空的恒定磁场中,磁 感 强 度 B 沿 任 一 闭 合 路 径 的 积 分(即 B 的 环
流),等于 μ0 乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和,即
∮
n
B·d
l=μ0 ∑Ii
L
i=1
(
7.
31)
这就是真空中磁场的环路定理,也 称 安 培 环 路 定 理 (一 般 证 明 见 后 面).它 是 电 流 与 磁 场
之间的基本规律之 一 .在 式 (
7.
31)中,若 电 流 流 向 与 积 分 回 路 呈 右 螺 旋 关 系,电 流 取 正
值;反之则取负值 .
由式(
7.
31)可以看出,不管 闭 合 路 径 外 面 电 流 如 何 分 布,只 要 闭 合 路 径 内 没 有 包 围
∮B·dl=0.但是,应当注意,B 的环流为零
电流,或者所包围电流的代数和等于零,总有
L
一般并不意味着闭合路径上各点的磁感强度都为零 .
由安培环路定理还可以看出,由于磁场中 B 的环流一般不等于零 .所以,恒定磁场的
基本性质与静电场是不同的,静电场是保守场,磁场是涡旋场 .
用静电场中高斯定理可以 求 得 电 荷 对 称 分 布 时 的 电 场 强 度 .同 样,可 以 应 用 恒 定 磁
场中安培环路定理来求某些具有对称性分布电流的磁场分布情况 .把真空中磁场 的 安 培
环路定理和真空中静电场的高斯定理对照列出,就不难明白这一点了 .
恒定磁场的安培环路定理
∮
L
静电场的高斯定理
安培环路定理的一般证明
n
B·d
l=μ0 ∑Ii
∮
i=1
n
qi
E·d
S= ∑
S
i=1 ε0
如图 7
20(
a)所示,有一通有电流I 的长直载流导线垂直于纸平面,且电流 流 向 垂 直
纸平面向内 .在纸平面上取两个闭合路径 C1 和 C2 ,其中闭合路径 C1 内包围的电流为I ,
而在闭合路径 C2 内没有电流 .从图 7
20(
b)可 以 看 出,由 于 磁 感 强 度 B 的 方 向 总 是 沿 着
环绕直导线的圆形回路的切线方向,所以对闭合路径 C1 或 C2 上 任 意 一 线 元 d
l ,磁 场 强
度B 与d
l 的点积为
· 193 ·
大学物理(上册)
B·d
l=Bd
lcos
α =Brd
φ
图7
20 B 沿任意闭合回路的环流
式中,
r 为载流导线至线元 d
l 的距离 .由公式(
7.
17),上式可写成
I
I
0
0
B·d
l=μ rd
=μ d
2πr φ 2π φ
(
7.
32)
对于图 7
20(
a)的闭合回路 C1 ,角 φ 将 由 0 增 至 2π .于 是,磁 感 强 度 B 沿 闭 合 路 径
C1 的环流为
∮B·dl= 2π∮dφ = 2π2π=μI
C1
μ0I
μ0I
0
(
7.
33)
可见,真空中磁感强度 B 沿闭合路径的环流等于闭 合 路 径 所 包 围 的 电 流 乘 以μ0 ,而 与 闭
合路径的形状无关 .
然而,对于图 7
20(
a)中的闭合路径 C2 ,将得到不同的结果 .当从闭合路径 C2 上某一
点出发,绕行一周后,角 φ 的净增量为零,即
于是,由式(
7.
32)可得
∮dφ =0
∮B·dl=0
C2
(
7.
34)
比较式(
7.
33)和式(
7.
34)可 以 看 出,它 们 是 有 差 别 的 .这 是 由 于 闭 合 路 径 C1 包 围 了 电
流,而闭合路径 C2 未包围电流 .于 是 可 以 得 到 普 遍 的 安 培 环 路 定 理:沿 任 意 闭 合 路 径 的
磁感强度 B 的环流为
∮B·dl=μ ∑I
0
式中,∑I 是该闭合路径所包围电流的代数和 .
7.
5.
2 安培环路定理的应用举例
例 7.
4 载流螺绕环内的磁场 .绕在空心圆环上的螺旋形线圈叫做螺绕环 .设环的平
均半径为 R ,且很细(即 R ≫d ),线圈密绕,总匝数为 N ,导线上通过的电流强度为I ,如
· 194 ·
第7章
恒定磁场
图7
21 所示 .求其磁感强度的分布 .
图7
21 螺绕环内的磁场
根据电流对称性可知,环心 磁 场 的 磁 感 强 度 都 是 一 些 同 心 圆,圆 心 在 通 过 环 心 垂 直
于环面的直线上,在同一条磁感线上各点磁感强度的量值相等,方向沿圆周的 切 线 方 向,
并和环面平行 .先在螺绕环管内作与环同轴、半径为 R 的圆周为积分回路 L .
由于电流穿过积分回路 N 次,根据安培环路定理得
∮B·dl=B∮dl=2πRB =μ NI
L
L
B =μ0
0
N
I = 0nI
2πR μ
式中,
n=N/2πR 表示环上单位长度的线圈匝数 .
(
7.
35)
对于螺绕环以外的空间,也可作一与环同轴的圆形安培环路 L.由于穿过这个回路的
总电流为零,所以
∮B·dl=2πRB =0
L
则
B =0
由上可见,螺绕环中的磁场全 部 集 中 在 管 的 内 部,B 的 方 向 与 电 流 流 向 成 右 手 螺 旋
关系 .如果设螺绕环单位长度上的线圈匝数 n 不变,当环的半径 R → ¥时,螺绕环就变为
一个无限长的螺线管 .所以无限 长 螺 线 管 的 磁 场 也 是 全 部 集 中 在 管 的 内 部,管 外 的 磁 感
应强度 B =0.
例 7.
5 无 限 长 载 流 圆 柱 体 的 磁 场 .设 在 半 径 为 R 的 圆 柱 形 导 体 中,电 流 沿 轴 向 流
动,且电流在截面积上的分布是 均 匀 的 .如 果 圆 柱 形 导 体 很 长,那 么 在 导 体 的 中 部,磁 场
的分布可视为是对称的 .下面先用安培环路定理来求圆柱体外的磁感强度 .
如图7
22 所示,设点 P 离圆柱体轴线的垂直距离为r ,且r>R .通过点 P 作半径为
r 的圆,圆面与圆柱体的轴线垂直 .由于 对 称 性,在 以r 为 半 径 的 圆 周 上,B 的 值 相 等,方
向都是沿圆的切线,故 B·d
l=Bd
l .于是根据安培环路定理有
· 195 ·
大学物理(上册)
∮B·dl=∮Bdl=B∮dl=B2πr=μI
L
得
L
0
L
I
0
B =μ (
r > R)
2πr
把上式与无限长载流直导线的磁场相比较 可 以 看 出,无
限长载流圆柱体 外 的 磁 感 强 度 与 无 限 长 载 流 直 导 线 的 磁 感
强度是相同的 .
现在来计算圆柱体内距轴线垂直距离为r 处(
r<R )的
磁 感强度 .如图7
23 所示,通过点 P 作半径为r 的圆,圆面与
圆柱体的轴线垂直 .由 于 磁 场 的 对 称 性,圆 周 上 各 点 B 的 值
相等,方向均与圆周相切 .故根据安培环路定理有
图7
22
∮B·dl=B2πr=μ ∑I
0
L
i
式中,∑Ii 是以r 为半径的圆所包围的电流 .如果在圆柱体内电流密度是均匀的,有j=
I/πR2 .那么,通过截面积 πr2 的电流 ∑Ii =jπr2 =I
r2/R2 .于是上式为
∮
2
I
r
B·d
l=B2πr=μ0 2
L
R
得
I
r
0
B =μ 2 (
r < R)
2πR
由上述结果可得图 7
24 所示的 B 随r 变化的图线 .
图7
23
图7
24
7.
6 带电粒子在电场和磁场中的运动
前面介绍了电流产生磁场的毕奥—萨伐尔定律以及磁场的两个基 本 定 理:磁 场 的 高
斯定理和安培环路定理 .这一节 将 在 介 绍 运 动 电 荷 在 电 场 和 磁 场 中 受 力 作 用 的 基 础 上,
· 196 ·
第7章
恒定磁场
分别讨论带电粒子在磁场中运动以及带电粒子在电场和磁场中运动的一些例子 .通 过 这
些实例,可以了解电磁学的一些基本原理在科学技术上的应用 .
7.
6.
1 带电粒子在电场和磁场中所受的力
从电场的讨论中,知道若电场中点 P 的 电 场 强 度 为 E ,则 处 于 该 点 的 电 荷 为 +q 的
带电粒子所受的电场力为
Fe =qE
此外,从式(
7.
12)知道,若点 P 处的磁感强度为B ,且电荷为 +q 的带电粒子以速度v 通
过点 P ,如图 7
25 所示 .那么,作用在带电粒子上的磁场力为
Fm =q
v ×B
(
7.
36)
Fm 叫做洛伦兹力 .洛伦兹力 Fm 的方向垂直于运动电荷的速度 v 和磁感强度B 所组成的
平面,且符合右手螺旋定则 .由式(
7.
36)还可以看出,当电荷为 +q 时,Fm 的方向与 v×B
的方向相同;当电荷为 -q 时,Fm 的方向则为 -v ×B 的方向 .
在普遍的情况下,带电粒子 若 既 在 电 场 又 在 磁 场 中 运 动 时,那 么 作 用 在 带 电 粒 子 上
的力应为电场力qE 和洛伦兹力qv ×B 之和,即
F =qE +q
v ×B
(
7.
37)
图7
25 洛伦兹力
7.
6.
2 带电粒子在磁场中运动举例
当带电粒子射入磁场中时,它 将 受 到 磁 场 的 作 用,下 面 我 们 分 两 种 情 况 来 讨 论 带 电
粒子在均匀磁场中的运动 .
粒子的初速度 v 垂直于B
当粒子的速度 v 垂 直 于 磁 感 应 强 度 B 时,如 图 7
26 所
示,粒子受到的洛仑兹力 F 和v 同在与 B 垂 直 的 平 面 内,粒 子 运 动 的 轨 迹 不 会 越 出 这 一
平面 .由于洛仑兹力永远垂直于粒子的速度,它只改变粒子运动的方向,但不改 变 其 速 率
v ,因此粒子在这一 平 面 内 作 匀 速 率 圆 周 运 动 .设 粒 子 的 质 量 为 m ,圆 周 轨 道 的 半 径 为
R ,则粒子作圆周运动时的向心加速度为 an =v2/R .这里维持粒子作圆周运动的向心力
就是洛仑兹力,因为 v 与B 垂直,s
i
n
θ=1,洛仑兹力的大小为 F =q
vB ,其中q 为粒子的
电荷,由牛顿第二定律有
· 197 ·
大学物理(上册)
vB =
q
mv2
R
图7
26 带电粒子在磁场中的运动(v 与B 正交)
因此粒子作圆周运动的轨道半径,即回旋半径为
mv
R=
qB
上式表明,对于一定的粒子由于 m/
q 是一定的,若 B 也是一定的,则
(
7.
38)
R ∝v
只要射入的初速度一定,粒子作圆周运动的半径就确定了,初速度越 大,回 旋 半 径 也
就越大 .带电粒子绕行一周所走过的路程为 2πR ,绕行的速率恒为v ,所以粒子回旋一周
所需的时间(即回旋周期)为
2πR 2πm
T=
=
v
qB
(
7.
39)
粒子在单位时间里所绕的圈数,即回旋频率为
f=
1 qB
=
T 2πm
(
7.
40)
式(
7.
40)表明,回旋频率与 粒 子 的 速 度 和 回 旋 半 径 无 关,这 一 结 论 是 回 旋 加 速 器 的
基本理论依据 .
v 与B 成一定角度
当带电粒子以任意角度射入均匀磁场时,设初速度 v 与磁感应
强度B 之间夹角为θ ,则可将 v 分解成平行于B 和垂直于B 的两个分量v// 和v⊥ (见图
7
27).根据矢量的分解法则得
· 198 ·
v// =vcos
θ,v⊥ =vs
i
n
θ
图7
27 带电粒子在磁场中的运动(初速 v 与B 斜交)
第7章
恒定磁场
在平行于 B 的方向上,
v// 与 B 共线,粒子不受洛仑兹力,将以速率v// 作匀速直线运
动;在垂直于 B 的方向上,
v⊥ 与 B 垂直,粒子在垂直于 B 的平面内受洛仑兹力,它将在该
平面内作匀速圆周运动 .因此,粒 子 同 时 参 与 两 个 运 动,运 动 轨 迹 是 一 条 螺 旋 线,犹 如 机
器螺丝上的螺纹,这 就 是 粒 子 的 螺 旋 线 运 动 .粒 子 每 回 转 一 周 所 前 进 的 距 离,称 为 螺 距
(见图 7
28),用 h 表示为
显然螺距 h 与v⊥ 无关 .
2πm
h=v//T =vcos
θ
qB
若带电粒子的速度 v 与B 的夹角θ 很小,c
o
s
θ ≈1,则螺距为
h=v//T ≈
2πmv
qB
(
7.
41)
(
7.
42)
与θ 无关 .当一束很窄的电子流进入磁场中,若各电子的速率v 大致相等,且 v 与 B 的夹
角均很小时,它们将从进入点 O 开 始 作 螺 旋 线 运 动,经 相 同 螺 距 于 若 干 个 周 期 后 会 聚 在
点O
′ ,这种现象称为磁聚焦现象 .
图7
28 带电粒子在均匀磁场中的螺旋线运动
电子的反粒子
电子偶
在高能粒子物理中,常用带电粒子在云室中的径迹来观察和区分粒子的性质 .图7
29
是几个带电粒子在云室中的径 迹,云 室 处 于 强 磁 场 中,磁 感 强 度 B 的 方 向 垂 直 于 纸 平 面
向里 .从图中可以看出,其中一个是电荷 +q1 的径迹,另一个是 -q2 的径迹 .从图中还可
以看出,它们的轨道半径是逐渐 减 小 的,这 是 因 为 带 电 粒 子 在 运 动 过 程 中 要 与 云 室 内 的
气体分子不断发生碰撞,致使其速率逐渐减小的缘故 .
图7
29 正负电荷在云室中的径迹
电子是 J.
J.汤姆孙于 1897 年发现的,其比荷(
e/m )也由 J.
J.汤姆孙测出 .但电子是
· 199 ·
大学物理(上册)
否有反粒子呢? 即是否存在质量和电荷均与电子相同,只是所带电荷符号与电 子 电 荷 相
反(+e )的粒子呢? 1930 年前,人们 还 从 来 没 有 提 出 过 这 种 近 乎 异 想 天 开 的 疑 问 .英 国
物理学家狄拉克(
P.
A.M.
Di
r
a
c,
1902-1984)首先从理论上预言了自然界存在电子 的 反
粒子—正电子 .接着,
1932 年美国物理 学 家 安 德 森 (
C.
D.
Ande
r
son,
1905-1991)在 分 析
宇宙射线穿过云室中的铅板后 所 产 生 的 带 电 粒 子 径 迹 的 照 片 时,发 现 了 正 电 子,并 为 此
于 1936 年获得诺贝尔物理学奖 .狄 拉 克 的 正 电 子 预 言 已 被 实 验 所 证 实,而 今 天,由 狄 拉
克开创的反粒子、反物质的研究正蓬勃开 展,如 日 中 天,其 意 义 十 分 深 远 .图 7
30 是 显 示
正电子存在的云室照片及其摹 描 图 .云 室 处 于 垂 直 纸 平 面 的 强 磁 场 中,图 下 部 的 水 平 细
带为铅板,宇宙线中的 γ 射线(即 γ 光 子)从 铅 板 下 部 射 入 .从 图 中 可 以 看 到 在 铅 板 上 方
有三对人字形的径迹;仔细分析这些径迹可以看出,每对径迹都是对称的,分别 偏 向 相 反
方向,而且每对径迹是由质量相等、电荷相等但电荷符号相反的两个带电粒子 形 成 的,其
中一个为电子,另一个为正电 子 .理 论 和 实 验 都 表 明,正 电 子 总 是 伴 随 着 电 子 一 起 出 现,
犹如成对成双的配偶,故名之为电子 - 正电子偶,简称电子偶(或电子对).
图7
30 电子偶
还应当指出,电子偶不仅可以由 γ 光子与核、能量很高的带电粒子相撞,以及其 它 正
反粒子湮没等多种方式来产生,而且电子与正电子相撞还会产生一对光子或其它 正 反 粒
子,此时电子偶就不存在了,这 叫 做 电 子 偶 的 湮 灭 .而 对 所 有 上 述 各 种 过 程 的 观 测,都 离
不开应用带电粒子在磁场中的运动规律 .
7.
6.
3 带电粒子在电场和磁场中运动举例
1.质谱仪
质谱仪是用物理方 法 分 析 同 位 素 的 仪 器,是 由 英 国 实 验 化 学 家 和 物 理 学 家 阿 斯 顿
(
F.W.
As
t
on,
1877-1945)在 1919 年 创 制 的,当 年 用 它 发 现 了 氯 和 汞 的 同 位 素 .以 后 几
年内又发现了许多种同位素,特 别 是 一 些 非 放 射 性 的 同 位 素 .为 此,阿 斯 顿 于 1922 年 获
诺贝尔化学奖 .
图7
31 是一种质谱仪的示意图 .
· 200 ·
第7章
恒定磁场
图7
31 质谱仪
从离子源(图中未画出)产生的正离子,以速度v 经过狭缝 S1 和 S2 之后,进入速度选
择器 .设速度选择器中 P1 ,P2 之间的均匀电场的电场强度为 E ,而 垂 直 纸 面 向 外 的 均 匀
磁场的磁感强度为 B .正离子同时受到电场力和磁场力的作用,当电荷为 +q 的正离子的
速度满足v=E/B 时,它们就能径直穿过 P1 ,P2 而从狭缝 S3 射出 .正离子由 S3 射出后,进
入另一个磁感强度为 B
′ 的匀强磁场区域,磁场的方向也是垂直纸面向外 的,但 在 此 区 域
中没有电场 .这时正离子在磁场力作用下,将以半径 R 作匀速圆周运动 .若离子的质量为
m ,则有
v2
vB′ =m
q
R
所以
qB′R
m=
v
由于 B
′ 和离子的速度v 是已知的,且假定每个离子的电荷都是相 等 的,从 上 式 可 以
看出,离子的质量和它的轨道半径成正比 .
如果这些离子中有不同质 量 的 同 位 素,它 们 的 轨 道 半 径 就 不 一 样,将 分 别 打 到 照 相
底片上不同的位置,形成若干线状谱的细条纹,每一条纹相当于一定质量的离 子 .从 条 纹
的位置可以推算出轨道半径 R ,从而算出它们的相应质量,所以,这种仪器叫做质谱仪 .
采用某种收集装置代替照 相 底 片,就 能 进 而 得 知 各 种 同 位 素 的 相 对 成 分 .阿 斯 顿 等
人因此曾先后发现天然存在的镁(Mg)元素中,同位素 24Mg 占 78.
7% ,25Mg 占 11.
1% ,
26
Mg 占 11.
2%.利用质谱仪既可发现新同位素及其所占百分比,而且也能从分离同位素
中提供某一特 需 的 同 位 素 产 品,其 最 大 优 点,在 于 整 个 过 程 不 需 其 它 物 质 参 与,简 捷
可靠 .
2.回旋加速器
在研究原子核的结构时,需 要 有 几 百 万、几 千 万 甚 至 几 十 亿 电 子 伏 能 量 的 带 电 粒 子
来轰击它们,使它们产生核反应 .要使带电粒子获得这样高的能量,一种可能的 途 径 是 在
电场和磁场的共同作用下,使粒 子 经 过 多 次 加 速 来 达 到 目 的 .第 一 台 回 旋 加 速 器 是 美 国
物理学家 劳 伦 斯(
E.
O.
Lawr
enc
e,
1901-1958)于 1932 年 研 制 成 功 的,可 将 质 子 和 氘 核
· 201 ·
大学物理(上册)
加速到 1 MeV (106 eV )的能量 .为此,
1939 年劳伦斯获诺贝尔物理学奖 .下面简述回旋
加速器的工作原理 .
1932 年劳伦斯研制的第一台回旋加速器的 D 型室
图7
32 回旋加速器原理图
图7
32 是回旋加速器原 理 图,它 的 主 要 部 分 是 作 为 电 极 的 两 个 金 属 半 圆 形 真 空 盒
D1 和 D2 ,放在高真空的容器内 .然后将它们 放 在 电 磁 铁 所 产 生 的 强 大 均 匀 磁 场 B 中,磁
场方向与半圆形盒 D1 和 D2 的平面垂直 .当两电极间加有高频交变电压时,两电极缝隙之
间就存在高频交变电场 E ,致使极缝间电场的方向在相等的时间间隔t 内迅速地 交 替 改
变 .如果有一带正电荷q 的粒子,从 极 缝 间 的 粒 子 源 O 中 释 放 出 来 .那 么,这 个 粒 子 在 电
场力的作用下,被加速而进入半盒 D1 .设这时粒子的速率已达 v1 ,由于盒内无电 场,且 电
场的方向垂直于粒子的运动方向,所以粒子在 D1 内作匀速圆周运动 .经时间t 后,粒子恰
好到达缝隙,这时交变电压也将改变符号,即极缝间的电场正好也改变了方向,所 以 粒 子
又会在电场力的作用下加速进入盒 D2 ,使粒子的速率由 v1 增加至 v2 ,在 D2 内的轨道半
径也相应地增大 .由式(
7.
40)已知粒子的回旋频率为
qB
f=
2πm
式中,m 为粒子的质量 .
上式表明,粒子回旋频率与圆轨道半径无关,与粒子速率无关 .这 样,带 正 电 的 粒 子,
在交变电场和均匀磁场的作用 下,多 次 积 累 式 地 被 加 速 而 沿 着 螺 旋 形 的 平 面 轨 道 运 动,
直到粒子能量足够高时到达半圆形电极的边缘,通过铝箔覆盖着的小窗,被引 出 加 速 器 .
高能粒子在科学技术中有广泛的应用领域,如核工业、医学、农业、考古学等等 .
当粒子到达半圆核的边缘时,粒子的轨 道 半 径 即 为 盒 的 半 径 R0 ,此 时 粒 子 的 速 率 可
由式(
7.
38)求得
qBR0
v=
m
粒子的动能为
Ek =
2 2 2
1 2 q B R0
mv =
2
2m
从上式可以看出,某一带电 粒 子 在 回 旋 加 速 器 中 所 获 得 的 动 能,与 电 极 半 径 的 二 次
· 202 ·
第7章
恒定磁场
方成正比,与磁感强度 B 的大小 的 二 次 方 成 正 比 .可 见,要 使 粒 子 的 能 量 更 高,就 得 建 造
巨型的强大电磁铁,而这显然会受到技术上、经济上的制约 .
当粒子的速率增加到与光 速 相 近 时,其 质 量 要 随 速 率 的 增 加 而 增 加 .由 狭 义 相 对 论
2
,其中 m0 为粒子的静质
可知,粒子的质量 m 与速率之间的关系为 m =m0/ 1- (
v/
c)
量 .这样,在回旋加速器中粒子的回旋频率应为
qB
v2
1- 2
f=
2πm0
c
由上式可见,随着粒子速率的增加,其回旋频率要减小,粒子在半圆形 盒 中 的 运 动 周
期 T 就要变长,不能与交变电压的周期相一致 .也就是说,这时加速器已不能继续使粒子
加速了 .因此,欲使粒子达到被加速的目的,必须适时地改变交变电压的频率使 之 与 粒 子
速率的变化始终保持相适应的 同 步 状 态 .这 种 加 速 器 就 称 为 同 步 回 旋 加 速 器 .我 国 建 的
同步回旋加速器已可将质子加速到 50GeV (1GeV=109 eV ).
3.霍尔效应
1879 年霍尔(
E.
H.
Ha
l
l)在美国哈佛大学设计了一个实验来判断导体中载流子的符
号(当时电子尚未发现),图 7
33 表示平的 铜 片 载 有 方 向 如 图 所 示 的 电 流 I ,如 果 载 流 子
为正电荷它的运动方向与电流相同,如果载流子是负电荷,它的运动方向与电 流 相 反 .如
果加上磁场,磁场方向垂直向内,由 于 运 动 电 荷 受 洛 仑 兹 力 的 作 用 载 流 子 沿 着 铜 片 漂 移
的同时,还有向上漂移的倾向 .因 此,在 铜 片 的 上 方 将 积 聚 载 流 子,而 下 方 出 现 与 载 流 子
反号的电荷,从而产生一竖直 方 向 的 电 场,使 A 、A
′ 两 点 间 有 一 电 位 差 U AA′ ,它 被 称 作
霍尔电位差 .如果载流子带正电荷,则 A 处 的 电 位 高 于 A′ 处 的 电 位;如 果 载 流 子 带 负 电
荷,则 A 处的电位低于 A′ 处的电位 .实验证明,金属中的载流子是带负电的 .
图7
33 霍尔效应
在磁场不太强时,电位差 U AA′ 与电流强度 I 和 磁 感 应 强 度 B 成 正 比,与 板 的 厚 度 d
成反比,即
IB
U AA′ =K
d
(
7.
43)
式中的比例系数 K 叫做霍尔系数 .
从经典理论出发,可以对上式给出说明,当 A 、A
′ 两点之间形成电位差后,载流子除
· 203 ·
大学物理(上册)
U AA′ 的作用( 为导体板的宽度),达
受到洛仑兹力q
vB 之外,还受到一个电场力qE =q
b
b
到稳定状态时,两力平衡
U AA′
vB =q
q
b
设载流子的数密度为 n ,电流强度I 与载流子漂移速度v 之间关系为
I
I=bdnqv 或v =
bdnq
于是
1 IB
U AA′ =
nq d
由此可知,霍尔系数可表示为
1
K=
nq
(
7.
44)
对于单价金属来说,实验结果与式(
7.
44)符合得很好,但对于非单价金 属,如 铁 与 类
似铁的磁性物质以及像锗这样 的 半 导 体,须 用 量 子 理 论 对 霍 尔 效 应 给 出 解 释,才 与 实 验
结果有相当好的符合 .半导体材料的霍尔系数比金属材料大得多,可制成多种 霍 尔 元 件,
可用于测量磁场、电流强度、功率、转换信号等,有着广泛的用途 .
7.
7 载流导线在磁场中所受的力
7.
7.
1 安培定律
如图 7
34 所示,在平行纸面向下的 均 匀 磁 场 中 有 一 电 流 元 Id
l ,它 与 磁 感 强 度 B 之
间的夹角为φ .设电流元中自由电子的漂移速度均为 vd ,且 vd 与 B 之间的夹角为θ ,则
θ=π-φ .
图7
34 磁场对电流元的作用力
· 204 ·
第7章
恒定磁场
根据洛伦兹力公式(
7.
36),电流元中的一 个 自 由 电 子 所 受 的 洛 伦 兹 力 的 大 小 为 F =
e
vdBs
i
n
θ ,由于电子带负电,所以此 力 的 方 向 垂 直 纸 面 向 里 .如 果 电 流 元 的 截 面 积 为 S ,
单位体积中有 n 个自由电子 .那么,电流元中的自由电子数为 nSd
l .这样,电流元所受的
力等于电流元中 nSd
l 个电子所受 的 洛 伦 兹 力 的 总 和 .因 为 作 为 在 每 个 电 子 上 的 力 的 大
小、方向都相同,所以磁场作用在电流元上的力为
dF =nSd
l
e
vdBs
i
n
θ
即
dF =n
e
vdSd
l
Bs
i
n
θ
从式(
7.
5)已知,通过导线的电流为I=e
nvdS ,所以上式可写成
dF =Id
l
Bs
i
n
θ
由于 s
i
n
θ=s
i
n
φ ,故上式亦可写成
dF =Id
l
Bs
i
n
φ
(
7.
45)
上式表明:磁场对电流元Id
l 作用的力,在 数 值 上 等 于 电 流 元 的 大 小、电 流 元 所 在 处 的 磁
感强度大小以及电流元Id
l 和磁感强度B 之间的夹角φ 的正弦之乘积,这个规律叫做安
培定律 .磁场对电流元作用的力,通 常 叫 做 安 培 力 .安 培 力 的 方 向 可 以 这 样 判 定:即 右 手
四指由Id
l 经小于 180
° 的角弯向B ,这时大拇指的指向就是安培力的方向 .
若用矢量式表示安培定律,则有
dF =Id
l×B
(
7.
46)
显然,安培力 dF 垂直于Id
l和B 所组成的平面,且 dF 的方向和矢积Id
l×B 的方向一致 .
有限长载流导线所受的安培力,等于各电流元所受安培力的矢量叠加,即
∫ ∫
F = dF = Id
l×B
L
L
上式说明,安培力是作用在整个载流导线上,而不是集中作用于一点上的 .
(
7.
47)
例 7.
6 如图 7
35 所示,一通有电流的闭合回路放在磁感强度为 B 的均 匀 磁 场 中,
回路的平面与磁感强度 B 垂直 .此回路由直导线 AB 和半径为r 的圆弧导线 BCA 组成 .
若回路的电流为I ,其流向为顺时针 .问磁场作用于整个回路的力是多少?
图7
35
解
整个回路所受的力为导线 AB 和 BCA 所受力之矢量和 .由式(
7.
47)可 知,作 用
· 205 ·
大学物理(上册)
在直导线 AB 上的力F1 的大小为
F1 =BI AB
F1 的方向与 Oy 轴的正向相反,铅直向下 .
在弧形导线 BCA 上取一线元 d
l .由式(
7.
46)可知作用在此线元上的力为 dF2 ,即
dF2 =Id
l×B
dF2 的方向为矢积 d
l×B 的方向(如图所示),dF2 的大小为
dF2 =BId
l
考虑到圆弧形导线 BCA 上各线元所受 的 力 均 在xy 平 面 内,故 可 将 BCA 上 各 线 元
所受的力分解成水平和竖直两个分量 dF2x 和 dF2y .
∫
从对称性可知,圆弧上所有线元沿 Ox 轴方向受力的总和为零,即 F2x = dF2x =0,而
沿 Oy 轴方向所有的分力均铅直向上 .于是圆弧上所有线元的合力 F2 的大小为
∫ ∫
∫
F2 =F2y = dF2y = dF2s
i
n
θ= BId
ls
i
n
θ
式中,
θ 为 dF2 与 Ox 轴间的夹角 .从图中可以看出 d
l=rd
θ ,此处r 为圆弧的半径 .于是
上式可写成
∫
F2 =BI
rs
i
n
θd
θ
从图中还可以看出,
θ 的上、下限是:在弧的一端点 B 处θ =θ0 ,在弧的另一端点 A 处
θ=π-θ0 .上式的积分为
∫ sinθdθ
F2 =BI
r
式中,2
rcos
θ0 =AB ,于是上式为
F2 的方向沿 Oy 轴正向 .
π-θ0
θ0
r [cos
θ0 -cos(
π-θ0)] =BI(
2
rcos
θ0)
=BI
F2 =BIAB
从 上述计算结果可以看出,载流直导线 AB 与载流圆弧导线BCA 在磁场中所受的力
F1 和 F2 大小相等,方向相反,即 F2 =-F1 .这样,图7
35 所示的闭合回路所受的磁场力,
即 F1 和 F2 之和为零 .这表明,在均匀磁场中,若载流导线闭合回路的平面与磁感强度垂
直时,此闭合回路的整体所受的磁场力为零(注意此时回路上每一部分都受磁场 力 作 用,
而使回路被绷紧了).可以证明,上述结论 不 仅 对 图 7
35 所 示 的 闭 合 回 路 是 正 确 的,而 且
对其它形状的闭合回路也是正 确 的 .读 者 可 以 选 用 一 些 简 单 几 何 形 状 的 闭 合 回 路,给 出
自己的证明 .
例 7.
7 如图 7
36 所示,在 xy 平 面 上 有 一 根 形 状 不 规 则 的 载 流 导 线,电 流 为 I .磁
感强度为 B 的均匀磁场与xy 平面垂直 .求作用在此导线上的磁场力 .
解
取如图所示的坐标系,导线一端在原点 O ,另一端在 x 轴的点P 上,OP =l .取
电流元Id
l ,它所受的力为 dF =Id
l×B ,此力沿 Ox 轴和 Oy 轴的分量分别为
· 206 ·
第7章
恒定磁场
dFx =dFs
i
n
θ=BId
ls
i
n
θ
和
dFy =dFco
s
θ=BId
lcos
θ
而d
ls
i
n
θ=dy ,d
lcos
θ=dx ,故上两式分别为
dFx =BId
y
dFy =BIdx
图7
36
由于载流导线是放在均匀磁场中的 .因此,整个载流导线所受的磁场力 F 沿 Ox 轴和
Oy 轴的分量分别为
∫
∫
F = dF =BI dx =BIL
∫
∫
0
Fx = dFx =BI dy =0
0
l
y
y
0
于是,载流导线所受的磁场力为
F =Fy =BI
l
j
由上述结果可以看出,在均匀磁场中,任意形状的平面载流导线所受 的 磁 场 力,跟 与
其始点和终点相同的载流直导 线 所 受 的 磁 场 力 是 相 等 的 .另 外,若 导 线 的 始 点 和 终 点 重
合在一起,则此载流导线构成一闭合回路,此 时 始 点 和 终 点 之 间 的 连 线 长l 为 零 .由 上 式
可知,此闭合回路所受的磁场力为零 .这也就是本节例 1 的结果 .
例 7.
8 载流导线间的磁场 力 .如 图 7
37 所 示,一 无 限 长 载 流 直 导 线 与 一 半 径 为 R
的圆电流处于同一平面内,它们的电流分 别 为 I1 和 I2 ,直 导 线 与 圆 心 相 距 为 d ,且 R >
d.求作用在圆电流上的磁场力 .
图7
37
· 207 ·
大学物理(上册)
解
在圆电流上取如 图 所 示 的 电 流 元 I2d
l .无 限 长 载 流 直 导 线 的 磁 场 为 非 均 匀 磁
场,圆电流所在处的磁感强度的方向 垂 直 纸 面 向 外 .由 式(
7.
17)可 得 电 流 元 I2d
l所在处
的磁感强度的大小为
I1
0
B =μ
2πd +Rco
s
θ
所以,此电流元所受的磁力 dF 的大小为
I1I2
d
l
0
dF =BI2d
l=μ
2π d +Rco
s
θ
由图中可知 d
l=Rd
θ ,上式为
I1I2
Rd
θ
0
dF =μ
2π d +Rc
o
s
θ
则 dF 沿 Ox 轴和 Oy 轴的分量分别为
I1I2R cos
θd
θ
0
dFx =dFc
o
s
θ=μ
2π d +Rcos
θ
I1I2R s
i
n
θd
θ
0
dFy =dFs
i
n
θ=μ
2π d +Rco
s
θ
这样,圆电流所受的磁场力沿 Ox 轴和 Oy 轴的分量分别为
∫
d
æ
ö
I1I2R 2π cos
θ
0
÷
Fx =μ
d
θ=μ0I1I2 ç1- 2
2
0 d +R
2π
c
os
θ
d -R ø
è
∫
I1I2R 2π s
i
n
θ
0
dFy =μ
d
θ=0
0 d +R
2π
co
s
θ
于是,圆电流所受磁场力为
d
æ
ö
÷i
F =Fx =μ0I1I2 ç1- 2
2
d -R ø
è
因为 d > R ,所以 (1-d/ d2 -R2 ) <0.于是由上式可知 Fx 的方向与 Ox 轴的正
向相反,即圆电流所受的磁场力指向无限长载流直导线 .
7.
7.
2 磁场作用于载流线圈的磁力矩
如图 7
38 所示,在磁感强度为 B 的均匀磁场中,有一刚性矩形载流线圈 MNOP ,它
的边长分别为l1 和l2 ,电流为I ,流向自 M → N → O → P → M .设线圈平面的单位正法
向矢量en 的方向与 磁 感 强 度 B 方 向 之 间 的 夹 角 为θ ,即 线 圈 平 面 与 B 之 间 的 夹 角 为
φ (φ +θ=π/2) ,并且 MN 边及 OP 边均与B 垂直 .
根据式(
7.
47)可以求得磁场对导线 NO 段和 PM 段作用力的大小分别为
F4 =BI
l1s
i
n
φ
F3 =BI
l1s
i
n(π-φ ) =BI
l1s
i
n
φ
F3 和 F4 这两个力的大小相等、方向相反,并且在同一直线上,所以对整个线圈来讲,它们
的合力及合力矩都为零 .
· 208 ·
第7章
恒定磁场
图7
38 矩形载流线圈在均匀磁场中所受的磁力矩
而导线 MN 段和 OP 段所受的磁场作用力的大小则分别为
F1 =BI
l2 ,F2 =BI
l2
这两个力大小相等,方向亦相反,但 不 在 同 一 直 线 上,它 们 的 合 力 虽 为 零,但 对 线 圈 要 产
生磁力矩 M =F1l1c
o
s
i
n
θ ,则有
φ .由于 φ =π/2-θ ,所以 cos
φ =s
M =F1l1s
i
n
θ=BI
l2l1s
i
n
θ
或
式中,S =l1l2 为矩形线圈的面积 .
M =BISs
i
n
θ
(
7.
48)
已经知道,线圈的磁矩 m 为m =I
Sen .因为角θ 是en 与磁感强度 B 之间的夹角,所以
上式用矢量表示则为
M =ISen ×B =m ×B
(
7.
49)
M =NISen ×B
(
7.
50)
如果线圈不只一匝,而是 N 匝,那么线圈所受的磁力矩应为
下面讨论几种情况:
(
1)当载流线圈的en 方向与磁感强度 B 的方向相同(即θ=0),亦即磁通量为正向极
大时,M =0,磁力矩为零 .此时线圈处于平衡状态[见图 7
39(
a)].
(
2)当载流线圈的en 方向 与 磁 感 强 度 B 的 方 向 相 同 (即θ =π/2),亦 即 磁 通 量 为 零
时,M =NBIS ,磁力矩最大[见图 7
39(
b)].
(
3)当载流线圈的en 方向与磁感强度 B 的方向相反(即θ=π )时,M =0,这时也没有
磁力矩作用在线圈上[见图 7
39(
c)].不 过,在 这 种 情 况 下,只 要 线 圈 稍 稍 偏 过 一 个 微 小
角度,它就会在磁力矩作用下离开这个位置,而稳定在θ=0 时的平衡状态 .所以常把θ =
π 时线圈的状态叫做不稳定平衡状态,而把θ=0 时线圈的状态叫做稳定平衡状态 .总之,
磁场对载流线圈作用的磁力矩,总是要使线圈转到它的en 方向与磁场方向相一致的稳定
平衡位置 .
应当指出,式(
7.
49)虽然是 从 矩 形 线 圈 推 导 出 来 的,但 可 以 证 明 它 对 任 意 形 状 的 平
面线圈都是适用的 .
· 209 ·
大学物理(上册)
图7
39 载流线圈的en 方向与磁场方向成不同角度时的磁力矩
(
a)
b)
c)
θ =0 ;(
θ = π/2 ;(
θ=π
例 7.
9 如图 7
40(
a)所示,半径为 0.
2 m ,电流为 20A ,可绕 Oy 轴旋转的圆形载
流线圈放在均匀磁场中,磁感强度 B 的大小为0.
08T ,方向沿 Ox 轴正向 .问线圈受力情
况怎样? 线圈受的磁力矩又为多少?
图7
40
解
把圆线圈分为 PKJ 和 JQP 两部分 .由例 7.
7 可知,半圆 PKJ 所受的力为
F1 =-BI (2R )k =-0.
64
kN
即 F1 的方向与 Oz 轴的正向相反,垂直纸面向里 .作用在半圆 JQP 上的力为
F2 =BI (2R )k =0.
64
kN
即 F2 的方向与 Oz 轴的正 向 相 同,垂 直 纸 面 向 外 .因 此,作 用 在 圆 形 载 流 线 圈 上 的 合 力
为零 .
虽然作用在线圈上的合力为零,但 力 矩 并 不 为 零 .如 图 7
40(
b)所 示,按 照 力 矩 的 定
义,对 Oy 轴而言,作用在电流元Id
l 上的磁力矩 dM 的大小为
dM =xdF =Id
l
Bxs
i
n
θ
由图可以看出,x =Rs
i
n
θ ,d
l=Rd
θ ,上式为
dM =IBR2s
i
n2θd
θ
于是,作用在整个线圈上的磁力矩 M 的大小则为
∫ sinθdθ=IBπR
M =IBR2
· 210 ·
2π
0
2
2
第7章
恒定磁场
力矩 M 的方向沿 Oy 轴正向 .
上述结果如用式(
7.
49)是很容易得到的 .从图 7
40(
b)可以看出,此线圈的磁矩 m 为
m =ISk =IπR2k
而磁感强度 B 为
所以,根据式(
7.
49)得
B =B
i
M =m ×B =IπR2Bk ×i=IBπR2j
这与上面的结果是一致的 .
7.
8 磁场中的磁介质
以上只讨论了真空情况下 的 磁 现 象 .现 在 讨 论 物 质 对 磁 场 的 影 响 .能 够 影 响 磁 场 的
物质称为磁介质 .实际上,虽然各种物质对磁场都有不同程度的影响 .但是绝大 多 数 物 质
的存在对磁场的影响不大,只有少数物质(如铁、镍、钴、钆、镝及某些合金)对磁 场 有 显 著
的影响 .
7.
8.
1 磁介质的磁化和分类 磁化强度
如图 7
41 所示,将一软铁置于通电螺线管中,发现当螺线管通以同样电流时,磁场将
比空心螺线管大大加强 .这是因 为 磁 介 质 放 入 磁 场 后 将 产 生 一 个 附 加 磁 场,使 原 来 的 磁
场发生变化,我们称这种现象为磁介质的磁化 .
图7
41 磁介质棒在外磁场中的磁化
磁介质的磁化可以用安培 的 分 子 电 流 假 说 给 出 解 释 .根 据 安 培 分 子 电 流 的 观 点,棒
内每个分子相当于一个环形电 流,在 没 有 外 磁 场 作 用 时,各 个 分 子 环 流 的 取 向 是 杂 乱 无
章的[见图 7
42(
a)],它们各自产生的磁场相互抵消,宏观上看起来,软铁棒不显示磁性,
处于未磁化状态 .当线圈中通以电流时,电 流 产 生 一 个 外 磁 场 B0 ,它 与 电 流 成 正 比,我 们
称它为磁化场,而这一电流又称作励磁电流 .在磁化场作用下,各个分子环流将 受 到 磁 力
矩的作用,使各分子环流在一 定 程 度 上 沿 着 场 的 方 向 排 列 起 来,如 图 7
42(
b)所 示 .从 软
铁棒的横截面图上可以看出,介 质 均 匀 磁 化 时,在 介 质 内 部 任 何 两 个 相 邻 的 分 子 环 流 回
绕方向相反,它们的效果相互抵消,只在横截面的边缘上电流的作用未被抵消,宏 观 上 看
· 211 ·
大学物理(上册)
整个截面内的所有分 子 电 流 的 作 用 相 当 于 沿 截 面 边 缘 有 一 个 大 的 环 形 电 流 [见 图 7
42
(
c)],这一电流称作磁化电流,这一电流产生一附加磁场 B
′ .介质中总的磁感应强度应等
于磁化场的磁感应强度 B0 与 B
′ 的矢量和,即
B =B0 +B
′
(
7.
51)
图7
42 磁化的微观机制与宏观效果
附加磁感应强度 B
′ 的方 向 随 磁 介 质 而 异 .就 磁 性 来 说,物 质 可 分 为 三 类:一 类 为 顺
磁质,例如铝、氧、锰 等,在 磁 介 质 内 部 任 一 点,B
′ 的 方 向 与 B0 的 方 向 相 同,使 得 B >
B0 ;—类为抗磁质,例如铜、氢、金、银、硫等,在磁介质内部任一点 B
′ 的方向与 B0 的方向
相反,使得 B < B0 ;第三类为铁磁质,例如铁、镍、钴以及这些金属的合金等,在磁介质内
部,它的附加磁感应强度 B
′ 与顺磁质一样,与 B0 的方向相同,但 B
′ 的值却比 B0 大得很
多(B/B0 可达几百、甚至几千以上),即 B ≫ B0 ,能 显 著 地 增 强 磁 场 .铁 磁 质 具 有 一 些 特
殊的性质,它所表现出的磁性叫 做 铁 磁 性 .无 论 是 顺 磁 质,还 是 抗 磁 质,附 加 磁 场 的 磁 感
强度 B
′ 的值,与原磁场 B0 相比要小很多(B/B0 ≈10-5 ),对原磁场的影响较弱,称这类
磁介质为弱磁质 .与此相对应,铁磁质习惯上称为强磁质 .
为描述磁介质磁化的方向 和 磁 化 的 程 度,可 引 入 磁 化 强 度 矢 量 的 概 念 .如 果 在 磁 介
质内取一个宏观体积元 ΔV ,在这个体积元内仍包含着大量的磁分子,用 ∑m分 子 代表这
个体积元内所有分子磁矩的矢量和,用 M 表示磁化强度矢量,那么
· 212 ·
m分 子
M =∑
ΔV
(
7.
52)
第7章
恒定磁场
磁化强度矢量 M 就是单位体积内分子磁矩的矢量 和 .在 国 际 单 位 制 中,磁 化 强 度 的 单 位
为安培每米(A·m-1 ).
7.
8.
2 磁介质中的安培环路定理
磁场强度
如图 7
43(
a)所示,设在单位长 度 有 n 匝 线 圈 的 无 限 长 直 螺 线 管 内 充 满 着 各 向 同 性
均匀磁介质,线圈内的电流为I ,电流I 在螺线管内激发的磁感强度为 B0 (B0 =μ0nI ).
而磁介质在此磁场中被磁化,从而 使 磁 介 质 内 的 分 子 磁 矩 在 磁 场 B0 的 作 用 下 作 有 规 则
排列[见图 7
43(
b)].从图中可 以 看 出,在 磁 介 质 内 部 各 处 的 分 子 电 流 总 是 方 向 相 反,相
互抵消,只有在边缘上形成近似环形电流,这个电流称作磁化电流 .
把圆柱形磁介质表面上沿柱体母线方向单位长度的磁化电流,称为磁化 电 流 面 密 度
Is .那么,在 长 为 L 、截 面 积 为 S 的 磁 介 质 里,由 于 被 磁 化 而 具 有 的 磁 矩 值 为 ∑m =
IsLS.于是由磁化强度定义式(
7
52)可得磁化电流面密度和磁化强度之间的关系为
Is =M
若在如图 7
43(
c)所示的圆 柱 形 磁 介 质 内 外 横 跨 边 缘 处 选 取 ABCDA 矩 形 环 路 L ,
并设 AB =l ,那么磁化强度 M 沿此环路的积分则为
∮M ·dl=MAB =Il
s
L
(
7.
53)
图7
43 导出磁介质中安培环路定理用图
此外,对 ABCDA 环路来说,由安培环路定理可有
∮B·dl=μ ∑I
0
L
i
式 中,∑Ii 既包含环路所围线圈流过的传导电流 ∑Ic 也包含磁化电流Isl ,故上式可写
成
∮B·dl=μ ∑I +μIl
将式(
7
53)代入上式,可得
0
L
0 s
∮B·dl=μ ∑I +μ∮M ·dl
0
L
或写成
c
c
0
L
∮èμ - M ø·dl= ∑I
æB
ç
L
0
ö
÷
c
· 213 ·
大学物理(上册)
引进辅助量 H ,且令
B
H = -M
μ0
H 称为磁场强度,于是可得
(
7.
54)
∮H·dl= ∑I
c
L
(
7.
55)
这就是磁介质中的磁场安培环路定理 .它说明:磁场强度沿任意闭合 回 路 的 线 积 分,
等于该回路所包围的传导电流的代数和 .
在国际单位制中,磁场强度 H 的单位是安培每米,符号是 A·m-1 .
满足 M ∝ H 的磁介质称为线性磁介质 .对于线性磁介质,有
M =κH
其中比例系数κ 是个单位为 1 的量,叫做磁介质的磁化率,它随磁介质的性质 而 异 .将 上
式代入磁场强度 H 的定义式,可得
B =μ0 (1+κ) H
令式中 1+κ =μr ,且称 μr 为磁介质的相对磁导率,则上式可写为
B =μ0μrH
(
7.
56)
B =μH
(
7.
57)
令 μ0μr =μ ,并称 μ 为磁导率,上式即为
在真空中,M =0,故κ =0,μr =1,B =μ0H .如磁介质为顺磁质,则κ >0,故 μr >
1.对抗磁质来说,
κ <0,故 μr <1.
顺磁质和抗磁质是两种弱磁性物质,它们的相对磁导率与真空的相对磁 导 率 十 分 接
近 .因此,一般在讨论电流磁场的问题中,常可略去因抗磁质或顺磁质磁化而产 生 的 对 磁
场的影响 .
由式(
7.
55)知道,在磁介质中,磁场强度沿任意闭合回路的环流为
∮H·dl= ∑I
c
L
而磁感强度沿闭合回路的环流为
∮B·dl=μ μ ∑I
L
0 r
可见,磁场中磁感强度的环流与磁介质有关,而磁场强度的环流只与 传 导 电 流 有 关 .
引入磁场强度 H 这个物理量后,能够比 较 方 便 地 处 理 磁 介 质 中 的 磁 场 问 题,这 正 是 引 进
辅助量 H 的好处 .
例 7.
10 如图 7
44 所示,有两个半径分别为 R1 和 R2 的“无限长”同轴圆筒形导体,
在它们之间充以相对磁导率为 μr 的磁介质 .当两圆筒通有相反方向的电流I 时,试求:
(
1)磁介质中任意点 P 的磁感强度;
(
2)圆柱体外任意点 Q 的磁感强度 .
· 214 ·
第7章
解
恒定磁场
(
1)这两个 “无 限 长”的 同 轴 圆 筒,当 有 电 流 通 过 时,它 们 的 磁 场 是 轴 对 称 分 布
的 .过点 P 作半径为r (R1 <r < R2)的圆形回路,根据式(
7.
55),有
∮
∫ dl=H2πr=I
H ·d
l=H
L
所以
2π
r
0
I
H=
2πr
由式(
7.
56),可得点 P 的磁感强度的大小为
I
0 r
B =μH =μ μ
2πr
(
2)过点 Q 作半径为r (R1 <r < R2)的圆形回路,显然此闭合回路所包围的传导电
流的代数和为零,即 ∑Ic =0.根据式(
7.
55)可求得
∮
∫ dl=0
H ·d
l=H
L
所以
2π
r
0
H =0
由式(
7.
56),可得点 Q 的磁感强度 B =0.
例 7.
11 在均匀密绕的螺绕环内充满均匀的顺磁介质,已知螺绕环中的传导电流为
I ,单位长度内匝数为 n ,环的横截 面 半 径 比 环 的 平 均 半 径 小 得 多,磁 介 质 的 相 对 磁 导 率
和磁导率分别为 μr 和 μ .求环内的磁场强度和磁感应强度 .若磁介质的磁导率 μ=5.
0×
10-4 Wb·A-1·m-1 ,单位长度内的匝数,绕组中通有电流I=2.
0A .试求环内的 ① 磁场
强度 H ;② 磁感应强度 B ;③ 磁介质的磁化强度 M .
解
如图 7
45 所示,在环内任取一点,过该点作一和环同心、半径为r 的圆形 回 路,
磁场强度 H 沿此回路的线积分为
图7
45 螺绕环内的磁场
∮H·dl=NI
式中,N 是螺绕环上线圈的总匝数 .
于是
L
由对称性可知,在所取圆形回路上各点的磁场强度的大小相等,方向 沿 每 点 的 切 线 .
· 215 ·
大学物理(上册)
NI
H2πr=NI 或 H =
=nI
2πr
当环内为真空时,环内的磁感应强度为
B0 =μ0H
当环内充满均匀磁介质时,环内的磁感应强度为
B 和B0 的大小的比值为
B =μH =μ0μrH
B
= r
B0 μ
由此可知,当环内充满均匀磁介质后,环内的磁感应强度是真空时的μr 倍 .这与电容
器中充满均匀电介质后极板间的电场强度减弱到无介质时的 1/
εr 相对应 .在这里特别指
出,只有在均匀磁介质充满整个磁场时,才有 B/B0 =μr 的关系 .利用以上计算结果,可得
① H =nI =1000×2.
0A·m-1 =2.
0×103 A·m-1
② 根据 H 与B 的关系式得
B =μH =μnI =5.
0×10-4 ×2.
0×103 Wb·m-2 =1 Wb·m-2
H 和B 的方向与电流流向构成右手螺旋关系 .
③由 M、
H 和 B 的普遍关系式(
7
41)得
B
1
M = -H =(
0×103)A·m-1 =7.
9×105 A·m-1
-2.
4
π×1
0-7
0
μ
7.
8.
3 铁磁质
前面曾经介绍过,铁磁质具 有 比 顺 磁 质 和 抗 磁 质 强 得 多 的 磁 性,铁 磁 质 具 有 广 泛 的
应用价值 .自 20 世纪 50 年代以来,随着电子计算机和信息科学的发展,应用 铁 磁 性 材 料
进行信息的储存和 记 录 (例 如 磁 带,不 仅 可 储 存 数 字 信 息,也 可 以 存 储 随 时 间 变 化 的 信
息),已发展成为引人注目的一系列新技术 .铁磁质具有以下特性:
(
1)铁磁质的相对磁导率 μr 可达几百甚至几千以上 .
(
2)铁磁质的磁化强度 M 和磁感应强度B 的方向不一定一致,大小也不是简单的正
比关系 .铁磁质的磁导 率 μ 以 及 磁 化 率κ 不 是 常 量,而 是 与 磁 场 强 度 H 有 复 杂 的 函 数
关系 .
(
3)铁磁质的磁化强度随外磁场而变,它的变化落后于外磁场的变化,而且 在 外 磁 场
停止作用后,铁磁质仍能保留部分磁性 .
(
4)铁磁质的磁化与温度有 关 .随 着 温 度 的 升 高,铁 磁 质 的 磁 化 能 力 逐 渐 减 弱,当 温
度升高到某一温度时,铁磁性完全消失,铁磁质退化成顺磁质 .这个温度称为居 里 温 度 或
者居里点 .当温度在居里点以上时,铁磁质的磁导率(或磁化率)和磁场强度 H 无关 .例如
铁的居里点是 1040K ,镍的是 631K ,钴的是 1388K .
1.磁畴结构
顺磁质的磁性是分子磁矩 的 宏 观 表 现,但 铁 磁 质 具 有 不 同 于 顺 磁 质 的 内 部 结 构,铁
· 216 ·
第7章
恒定磁场
磁质的原子间存在着非常强的“交 换 耦 合 力 的 作 用”,在 这 种 作 用 下,铁 磁 质 的 内 部 形 成
了一些微小区域,称为磁畴(见图 7
46).磁畴的体积约为 10-10 ~10-8 m3 的数量级,其中
约 有1017 ~1021 个原子 .磁畴与磁畴之间存在一很薄的过渡层,称为畴壁,约为10-7 m 数
量级 .每一个磁畴中各个原子磁矩都整齐地排列,因此对外具有很强的磁性,该 种 现 象 称
为自发磁化现象 .但各个磁畴的排列方向又彼此不同,呈无规则排列,各个磁畴 的 磁 矩 彼
此抵消,对外不显示磁性 .
图7
46 磁畴
(
a)单晶磁畴结构;(
b)多晶磁畴结构
在外磁场作用下,磁矩与外磁场同方向排列时的磁能将低于磁矩与外磁 场 反 向 排 列
时的磁能,结果是自发磁化磁矩 和 外 磁 场 成 小 角 度 的 磁 畴 处 于 有 利 地 位,这 些 磁 畴 体 积
逐渐扩大,而自发磁化磁矩与外 磁 场 成 较 大 角 度 的 磁 畴 体 积 逐 渐 缩 小 .随 着 外 磁 场 的 不
断增强,取向与外磁场成较大角度的磁畴全部消失,留存的磁畴将向外磁场的 方 向 旋 转,
以后再继续增加磁场,所有磁畴都沿外磁场方向整齐排列,这时磁化达到饱和 .图 7
47 是
某单晶结构磁体磁化过程 .
· 217 ·
大学物理(上册)
图7
47 单晶结构铁磁体磁化过程
铁磁质的居里温度特性可由磁畴解释,因为在温度升高时,分子热运 动 加 剧,铁 磁 质
中自发磁化区域遭到破坏,磁畴 被 瓦 解 了,相 应 铁 磁 性 消 失,过 渡 到 顺 磁 性 .在 外 磁 场 作
用下,各个磁畴的磁矩都沿外 磁 场 方 向 整 齐 地 排 列,表 现 出 比 顺 磁 质 极 强 的 磁 性 .这 时,
铁磁质的磁化强度非常大,它所产生的附加磁感应强度 B
′ 比外磁场的磁感应强度 B0 在
数值上要大几百倍到几千倍 .表 7
2 给出了几种铁磁质的相对磁导率 μr .
表7
2 几种铁磁质的相对磁导率
铁磁质
相对磁导率 μr
铸铁
200~400
500~2200
铸钠
纯铁(
99.
99% )
18000(最大值)
坡莫合金(
78.
5%Ni、
21.
5%Fe)
100000(最大值)
硅钠(含硅 5% )
7000(最大值)
2.磁滞回线
磁化曲线 H =B/μ 只适用于各向同性的顺、抗磁质 .顺磁质的磁导率 μ 很小,且是一
个常量,不随外磁场的变化而变化,所以 B
-H 关系是线性关系 .
下面我们讨论某一铁 磁 质 的 B
-H 曲 线 .铁 磁 质 开 始 磁 化 时 的 曲 线 称 为 初 始 磁 化 曲
线,如图 7
48 所示 .从图中可以看出,当 H 从零逐渐增 加 时,B 也 逐 渐 增 加;到 达 点 1 以
后,H 再增加时,H 就急剧地增加,这是因 为 磁 畴 在 磁 场 作 用 下 迅 速 沿 外 磁 场 方 向 排 列
的缘故;到达 3 以后,H 增加,B 增加已比较缓慢;当到达 4 以后,H 再增加,B 的增加就
十分缓慢,这是因为几乎所有的磁畴都已趋向于外磁场的方向 .
4 点对应的 B 值一般称为
饱和磁感应强度 Bm .
图7
48 铁磁质的初始磁化曲线
· 218 ·
第7章
磁滞现象
恒定磁场
铁磁质的磁化过程是不可逆的,如 图 7
49 所 示 .当 H 增 加 时,B 按 磁 化
曲线增长达到饱和状态 .此时若使 H 减小,B 也 相 应 地 减 小,但 B 值 并 不 沿 原 来 的 曲 线
下降;而是沿另一曲线下降,使得 在 下 降 的 过 程 中,B 值 比 磁 化 过 程 中 同 一 H 值 所 对 应
的 B 值较大 .这表明磁感应强度的变化滞后于磁场强度的变化,这种现象称为磁滞现象 .
它的一个显著特点是当 H 降为零时,B 并不降为零(见图 7
49 中b 点).这说明铁磁质在
没有传导电流存 在 时 也 可 以 有 磁 性,这 种 磁 性 称 为 剩 磁,又 称 为 剩 余 磁 感 强 度,用 Br
表示 .
图7
49 磁滞回线
永磁体就是利用铁磁质有 剩 磁 的 特 点 制 成 的 .如 果 一 铁 磁 质 有 剩 磁 存 在,这 表 明 它
已经被磁化 .由图 7
49 可以看出,随着反向磁场的增加,B 逐渐减小,当达到 H =Hc 时,
B 等于零,这时剩磁已经消失 .通常把 Hc 称为矫顽力,它表示铁磁质抵抗剩磁的能力 .继
续增加反向磁场强度,铁磁质被反向磁化,又可达到反向饱和状态,即图 7
49 中 a
′ 处 .若
再把反向磁场强度减小到零,可作出a
′
b
′ 段曲线,得到反向剩磁点b
′ .若再次改变外磁场
B 的方向,随 H 的增大 .B 会逐渐减小,最后曲线回到a 点,形成闭合曲线 .这条闭合曲线
称为磁滞回线 .
铁磁质的分类和应用
不同的铁磁 材 料 具 有 不 同 形 状 的 磁 滞 回 线,如 图 7
50 所 示 .
根据磁滞回线的不同,磁性材料可分为软磁性材料和硬磁性材料 .硬磁材料的矫顽 力 Hc
很大,软磁材料的 Hc 很小,矩磁材料具有矩形磁滞回线 .
图7
50 不同铁磁质的磁滞回线
(
a)软磁材料;(
b)硬磁材料;(
c)矩磁材料
软磁件材料的磁滞回线细而窄[见(图 7
50(
a)],矫顽力小,磁滞损耗低,易于磁化 也
易于退磁 .这种磁性材料适用于 交 变 磁 场,用 于 电 子 设 备 中 各 种 电 感 元 件、变 压 器、电 动
· 219 ·
大学物理(上册)
机、发电机、继电器和电磁铁的铁芯 .除金属软磁性材料外,还有非金属软磁 铁 氧 体,如 锰
锌铁氧体、镍锌铁氧体等,它们分别由几种氧化物的粉末混合压制成型再烧结 而 成,其 优
点是电阻率高 .目前广泛应用于 电 子 技 术 中,例 如 收 音 机 中 的 磁 棒 就 是 用 软 磁 铁 氧 体 做
成的 .
硬磁性材料磁滞回线粗而宽[见图 7
50(
b)],矫顽力大,剩磁大,磁滞损耗大 .这种磁
性材料磁化后,能保留很强的剩 磁,且 不 容 易 退 磁 .适 用 于 制 造 永 久 磁 铁,例 如 磁 电 系 仪
表、永磁扬声器、雷达中的磁控管所用的永久磁铁等都是由硬磁性材料做成的 .
磁滞回线差不多呈矩形的磁性材料叫做矩磁材料 .磁滞回线如图 7
50(
c)所 示 .这 种
材料的特点是剩磁 Br 接近于饱和值 Bm .若 矩 磁 材 料 在 不 同 方 向 的 磁 场 下 磁 化,当 电 流
为零时,总是处于 Bm 或 -Bm 两种不同的剩磁状态 .用这种材料的两种剩磁状态分别代
表两个数码,在计算机中能起到“记 忆”作 用;在 电 子 技 术 中 利 用 这 种 作 用 还 能 把 正 弦 信
号变为矩形波,通过选频可制成倍频器 .目前广泛采用的是镭-镁和锂-锰铁氧体两种矩磁
材料 .
磁致伸缩
一些铁磁性材料受外 力 作 用 时,可 以 引 起 磁 导 率 μ 的 变 化,这 一 现 象 称
为压磁效应 .坡莫合金、硅钢片 等 有 较 强 的 压 磁 效 应,称 这 类 材 料 为 压 磁 材 料 .一 些 压 磁
材料受压力作用产生形变,沿作 用 力 方 向 的 磁 导 率 μ 降 低,而 与 作 用 力 垂 直 方 向 的 磁 导
率略有提高;压磁材 料 受 拉 力 作 用 时,其 效 果 相 反 .利 用 这 种 特 性 可 以 制 作 压 磁 式 传 感
器,将非电量转换为电学量 .
与压磁效应相反,某些铁磁 材 料 在 磁 化 过 程 中 能 够 发 生 机 械 形 变,这 种 特 性 称 为 磁
致伸缩 .产生这种效应的原因是,在 铁 磁 体 中 磁 化 方 向 的 改 变 而 导 致 的 磁 畴 重 新 排 列 形
成晶体间距的变化,从而使铁磁 体 的 长 短 或 体 积 发 生 变 化 .磁 致 伸 缩 主 要 发 生 在 沿 磁 场
的方向上 .工程上利用的电声换 能 器 就 是 利 用 磁 致 伸 缩 的 特 性,把 电 磁 振 荡 转 化 为 机 械
振动,用于探测海底深度和鱼群情况等 .
(
1)经典观点来看,氢原子可看作是一个电子绕核作高速旋转的体系 .已知 电 子 和 质
子的电荷分别为 -e 和e ,电子质量为 me ,氢原子的圆轨道半径为r ,电子作平面轨道运
动 .试求电子轨道运动的磁矩 pe 的数 值 为 多 少? 它 在 圆 心 处 所 产 生 磁 感 强 度 的 数 值 B0
为多少?
(
2)两根导线沿半径方向接到一半径 R =9.
00cm 的导电圆环上 .如图 7
51 所示 .圆
弧 ADB 是铝导线,铝线电阻率为ρ1 =2.
50×10-8Ω·m ,圆弧 ACB 是铜导线,铜线电阻
率 为ρ1 =1.
60×10-8Ω·m .两种导线截面积相同,圆弧 ACB 的弧长是圆周长的 1/π .直
导线在很远处与电源相联,弧 ACB 上 的 电 流I2 =2.
0 A ,求 圆 心 O 点 处 磁 感 强 度 B 的
大小 .
(
3)如图 7
52 所示,
1、
3 为半无限 长 直 载 流 导 线,它 们 与 半 圆 形 载 流 导 线 2 相 连 .导
· 220 ·
第7章
恒定磁场
线1 在 xOy 平面内,导线 2、
3 在 Oyz 平面内 .试指出电流元Id
l1 、
Id
l2 、
Id
l3 在 O 点产生
的 dB 的方向,并写出此载流导线在 O 点总磁感强度(包括大小与方向).
(
4)如图 7
53 所示,一半径为 R 的带电塑料圆盘,其中半径为r 的阴影部分均匀带正
电荷,面电荷密度为 +σ ,其余部分均匀带 负 电 荷,面 电 荷 密 度 为 -σ 当 圆 盘 以 角 速 度ω
旋转时,测得圆盘中心 O 点的磁感强度为零,问 R 与r 满足什么关系?
图7
51
图7
52
图7
53
(
5)一无限长圆柱形直导体,横截面半径为 R ,在导体内有一半径为 a 的圆柱 形 孔,
它的轴平行于导体轴并与它相距为b ,如图 7
54 所示 .设导体载有均匀分布的电流I ,求
孔内任意一点 P 的磁感强度 B 的表达式 .
(
6)平面闭合回路由半径为 R1 及 R2(R1 >R2)的两个同心半圆弧和两个直导线段组
成,如图7
55 所示 .已知两个直导线段在两半圆弧中心 O 处的磁感强度为零,且闭合载流
回 路在 O 处产生的总的磁感强度B 与半径为O 的半圆弧在O 点产生的磁感强度B2 的关
系为 B =2B2/3,求 R1 与 R2 的关系 .
(
7)两个无穷大平行平面上都有均匀分布的面电流,面电流密度分别为i1 和i2 ,若i1
和i2 之间夹角为θ ,如图 7
56 所示 .求 ① 两面之间的磁感强度的值 Bi ;② 两面之外空间
的磁感强度的值 Bo ;③ 当i1 =i2 =i ,
θ=0 时以上结果如何?
图7
54
图7
55
图7
56
(
8)如图 7
57 所示,一多层密 绕 螺 线 管 的 内 半 径 为 R1 ,外 半 径 为 R2 ,长 为 2L .设 总
匝数为 N ,导线很细,其中通过的电流为I ,求螺线管中心 O 点的磁感强度 .
(
9)如图 7
58 所示,一扇形薄片,半径为 R ,张角为θ ,其上均匀 分 布 正 电 荷,面 电 荷
· 221 ·
大学物理(上册)
密度为σ ,薄 片 绕 过 角 顶 O 点 且 垂 直 于 薄 片 的 轴 转 动,角 速 度 为 ω .求 O 点 处 的 磁 感
强度 .
(
10)如图 7
59 所示,在平面螺旋线中,流过一强度为I 的电流,求在螺旋线中点的磁
感强度的大小 .螺旋线被限制在半径为 R1 和 R2 的两圆之间,共 n 圈 .
[提示:螺旋线的极坐标方程为r=a
θ +b ,其中 a ,
b 为待定系数]
图7
57
图7
58
图7
59
(
11)在真空中,电流由长直导线 1 沿垂直于底边 b
c 方向经a 点流入一由电阻均匀的
导线构成的正三角形金属线框,再由b 点 从 三 角 形 框 流 出,经 长 直 导 线 2 沿c
b 延长线方
向返回电源,如图 7
60 所示 .已知 长 直 导 线 上 的 电 流 强 度 为 I ,三 角 框 的 每 一 边 长 为l ,
求正三角形的中心点 O 处的磁感强度B .
(
12)一根很长的圆柱形铜导线均匀载有 10A 电流,在导线内部作一平面 S ,S 的一
个边是导线的中心轴线,另一边是 S 平面与导线表面的交线,如图 7
61 所示 .试计算通过
沿导线长度方向长为 1 m 的一段 S 平面的磁通量 (铜的相对磁导率 μr =1).
(
13)如图 7
62 所示,有两根平行放置的长直载流导线 .它们的直径为 a ,反向流过相
同大小的电流I ,电流在导线内 均 匀 分 布 .试 在 图 示 的 坐 标 系 中 求 出 x 轴 上 两 导 线 之 间
区域 éêê 1a,5aùúú 内磁感强度的分布 .
ë2 2 û
图7
60
图7
61
图7
62
(
14)如图 7
63 所示,一无净电荷的金属块,是一扁长方体 .三边长分别为 a 、
b、
c且
a、
b 都远大于c .金属块在磁感强度为 B 的磁场中,以速度 v 运动 .求 ① 金属块中的电场
强度;② 金属块上的面电荷密度 .
(
15)如图 7
64 所示,在 B =0.
1T 的均匀磁场中,有一个速度大小为v=104 m·s-1
· 222 ·
第7章
恒定磁场
的电子沿垂直于 B 的方向通过 A 点,求电子的轨道半径和旋转频率 .
(
16)在 xOy 平面内有一圆心在 O 点的圆线圈,通以顺时针绕向的电流I1 另有一无
限长直导线与 y 轴重合,通以电流I2 ,方向向上,如图 7
65 所示 .求此时圆线圈所 受 的 磁
场力 .
图7
63
图7
64
图7
65
(
17)如图 7
66 所示,一通有电流I1 的长直导线,旁边有一个与它共面通有电流I2 每
边长为 a 的正方形线圈,线圈的 一 对 边 和 长 直 导 线 平 行,线 圈 的 中 心 与 长 直 导 线 间 的 距
离为 3a .在维持它们的电流不变和保证共面的条件下,将它们的距离从 3a 变为 5a ,
2
2
2
求磁场对正方形线圈所做的功 .
(
18)有一无限大平面导体薄板,自下而上均匀通有电流,已知其面电流密度为i (即
单位宽度上通有的电流强度).① 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向;② 若 有 一
质量为 m ,带正电荷q 的 粒 子,以 速 度 v 沿 平 板 法 线 方 向 向 外 运 动,如 图7
67所 示 .求:
(
a)带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞? (
b)需经多长时间,才 能 回
到初始位置? (不计粒子重力)
(
19)均匀磁场 B 沿水平方 向 .有 一 竖 直 面 内 的 圆 形 线 圈 可 绕 通 过 其 圆 心 的 竖 直 轴
OO′ 以匀角速度ω 转动,如图 7
68 所示 .已知线圈内产生的感应电流为i=I0s
i
nωt (忽略
自感,且t=0 时线圈平面法线沿着 B ).若线圈半径为 a ,试求:① 在转动过程中,该线圈
-
所受的磁力矩 M (
t);② 为维持匀速转动,外界需供给的平均功率 P (不计轴上摩擦).
(
20)如图 7
69 所示,两根相互绝缘的无限长直导线 1 和 2 绞接于 O 点,两 导 线 间 夹
角为θ ,通有相同的电流I .试求单位长度的导线所受磁场力对 O 点的力矩 .
图7
66
图7
67
图7
68
图7
69
· 223 ·
大学物理(上册)
(
21)半径为 R 的薄圆盘均匀 带 电,总 电 荷 为 q .令 此 盘 绕 通 过 盘 心 且 垂 直 盘 面 的 轴
线匀速转动,角速度为 ω ,求轴线上距盘心 x 处的磁感强度的大小 .
(
22)无限长载流直导线弯成如图形 状,图 7
70 中 各 段 共 面,其 中 两 段 圆 弧 分 别 是 半
径为 R1 与 R2 的同心半圆弧 .① 求半圆弧中心 O 点的磁感强度B ;② 在 R1 < R2 的情形
下,半径 R1 和 R2 满足什么样的关系时,O 点的磁感强度B 近似等于距O 点为R1 的半无
限长直导线单独存在时在 O 点产生的磁感强度 .
(
23)如图 7
71 所示,刚性的均匀带电细杆 AB ,线电荷密度为λ ,绕垂直于直线的轴
O 以ω 角速度匀速转动(O 点在细杆 AB 延长线上).求 ① O 点的磁感强度 B0 ;② 系统的
磁矩 m ;③ 若 a ≫b ,求 B0 及 m .
(
24)如图7
72 所示,半径为 R,线电荷密度为λ(
λ >0)的均匀带电的圆线圈,绕过圆
心与圆平面垂直的轴以角速度 ω 转动,求轴线上任一点的 B 的大小及其方向 .
(
25)如图 7
73 电流均匀地流过无 限 大 平 面 导 体 薄 板,面 电 流 密 度 为j ,设 板 的 厚 度
可以忽略不计,试用毕奥-萨伐尔定律求板外任意一点的磁感强度 .
图7
70
图7
71
图7
72
图7
73
(
26)一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0),半径为 R ,通有均匀分布的电流I .今取一
矩形平面 S (长为 1 m ,宽为 2R ),位置如图 7
74 中画斜线部分所示,求通过该矩形平面
的磁通量 .
(
27)有一长直导体圆管,内外半径分别为 R1 和 R2 ,如图7
75 所示,它所载的电流I1
均匀分布在其横截面上 .导体旁边有一绝缘“无限长”直导线,载有电流I2 ,且在中部绕了
一个半径为 R 的圆圈 .设导体管的轴线与长直导线平行,相距为 d ,而且它们与导体圆圈
共面,求圆心 O 点处的磁感强度B .
(
28)如图 7
76 所示,横截面为矩形的环形螺线管,圆环内外半径分别为 R1 和 R2 ,芯
子 材料的磁导率为μ ,导线总匝数为 N ,绕得很密,若线圈通电流I ,求:① 芯子中的 B 值
和芯子截面的磁通量;② 在r < R1 和r > R2 处的 B 值 .
· 224 ·
图7
74
图7
75
图7
76
第7章
恒定磁场
(
29)磁感强度为 B 的均匀磁场只存在于x >0的空间中,在x=0的平面上有理想边
界,且 B 垂直纸面向内,如图 7
77 所示 .一电子质量为 m 、电荷为 -e ,它在纸面内以与 x
° 角的速度v 进入磁场 .求电子在磁场中的出射点与入射点间的距离 .
=0 的界面成 60
(
30)一圆线圈的半径为 R ,载有电流I ,置于均匀外磁场 B 中,如图 7
77 所示 .在不
考虑载流圆线圈本身所激发的磁场的情况下,求线圈导线上的张力 .(载流线圈的 法 线 方
向规定与 B 的方向相同)
(
31)如图 7
78 所示,两共轴线圈,半径分别为 R1 、R2 ,电流为 I1 、
I2 .电流的方向 相
反,求轴线上相距中点 O 为x 处的 P 点的磁感强度 .
图7
77
图7
78
图7
79
(
32)有一螺线管长 L =20cm ,半径为r=2cm ,导线中通有I=5A 的电流,若在螺
线管轴线中点处产生的磁感强度为 B =6.
16×10-3 T ,试求该螺线管每单位长度有多少
匝 .(μ0 =4π×10-7 N·A-2 )
· 225 ·
第8章
电磁感应
电磁场
电磁感应现象是电磁学中 最 重 大 的 发 现 之 一,它 揭 示 了 电 与 磁 的 相 互 联 系 和 转 化 .
它的发现在科学上和技术上都具有划时代的意义 .它不仅丰富了人类对于电磁现 象 本 质
的认识,推动了电磁 学 理 论 的 发 展,而 且 在 实 践 上 开 拓 了 广 泛 应 用 的 前 途 .在 电 工 技 术
中,运用电磁感应原理制造的发 电 机、感 应 电 动 机 和 变 压 器 等 电 气 设 备 为 充 分 而 方 便 地
利用自然界的能源提供了条件;在 电 子 技 术 中,广 泛 地 采 用 电 感 元 件 来 控 制 电 压 或 电 流
的分配、发射、接收和传输电磁 信 号;在 电 磁 测 量 中,除 了 许 多 重 要 电 磁 量 的 测 量 直 接 应
用电磁感应原理外,一些非电磁 量 也 可 用 之 转 换 成 电 磁 量 来 测 量,从 而 发 展 了 多 种 自 动
化仪表 .
本章在电磁感应现象的基 础 上,介 绍 电 磁 感 应 所 遵 循 的 基 本 规 律,以 及 动 生 电 动 势
的表达式、感生电场的性质、自 感 与 互 感、磁 场 能 量 等 有 关 问 题,最 后 介 绍 麦 克 斯 韦 电 磁
场理论 .
8.
1 电磁感应定律
8.
1.
1 电磁感应现象
迈克尔·法拉第(Mi
cha
e
lFa
r
aday,
1791 年9 月22 日 -1867 年8 月25 日)是英国物
理学家、化学家 .生于萨里郡纽因顿一个贫苦铁匠家庭,仅上过小学 .
1831 年,他作出了关
于电力场的关键性突破,从而改变了人类文明 .他的发现奠定了电磁学的基础,是 麦 克 斯
韦的先导 .同年,法拉第首次发现电磁感应现象,在电磁学方面做出了伟大贡献 .
法拉第发现电磁感应现象还要追溯到 1820 年 奥 斯 特 发
现电流的磁效应,从 而 把 电 和 磁 联 系 起 来 后,极 大 地 鼓 舞 了
寻找电和磁相互联系的物理学家 .他们开始寻找由电 产 生 磁
的方法,经过艰苦 的 努 力,法 拉 第 获 得 了 成 功 .1831 年 8 月
29 日,法拉第进行了第一个电磁感应实验,如图 8
1 所示,线
圈 A 和线圈 B 绕在软铁环上,当接通线圈 A 回路的瞬间,处
于 B 线圈旁 边 的 小 磁 针 发 生 偏 转,然 后 快 速 回 复 到 初 始 位
· 226 ·
置;同样,当 断 开 线 圈 A 回 路 的 瞬 间,线 圈 B 回 路 边 上 的 小
第8章
电磁感应
电磁场
磁针反向偏转并最终回复到初 始 的 位 置 上 .如 图 所 示,如 果 在 线 圈 B 回 路 中 放 置 灵 敏 的
检流计,则在线圈 A 回路接通和断开瞬间,检流计中检测到有电流通过,该电流称为感应
电流 .
图8
1 法拉第第一个电磁感应实验装置
紧接着,1831 年 9 月 24 日,法拉第又做了第二个重要的实验 .如图 8
2 所示,当一根
磁棒在接近或远离圆筒线圈的过程 中,回 路 中 的 检 流 计 G 将 发 生 短 暂 的 偏 转,磁 棒 接 近
或远离线圈的速度越快,检流计偏转幅度越大,磁棒接近和远离线圈时,检流计 偏 转 的 方
向相反 .说明在磁棒接近和远离圆筒线圈时,线圈中产生了感应电流 .
图8
2 法拉第第二个电磁感应实验装置图
此外,法拉第还做了一些诸 如 闭 合 线 圈 在 磁 场 中 转 动、闭 合 回 路 中 某 一 段 导 线 在 磁
场内运动等一系列实验,也都发现回路中有感应电流,这里就不再一一赘述了 .
1831 年,
法拉第在关于电磁感应的重要 论 文 中 总 结 出 变 化 的 磁 场、运 动 着 的 恒 定 电 流、运 动 着 的
磁铁以及在磁场中运动着的导体等均可产生感应电流 .尽管在闭合回路中引起感 应 电 流
的方式有所不同,但都可以归结出一个共同点,即通过闭合回路的磁通量都发 生 了 变 化 .
于是可以得出结论:穿过一个闭 合 导 体 回 路 的 磁 通 量 发 生 变 化 时,不 管 这 种 变 化 是 由 于
什么原因引起的,回路中就有感应电流,这种现象称为电磁感应现象,回路中所 出 现 的 电
流称为感应电流 .在回路中出现感应电流,表明回路中有电动势存在 .这种在回 路 中 由 于
· 227 ·
大学物理(上册)
磁通量的变化而引起的电动势,相应的称为感应电动势 .
8.
1.
2 法拉第电磁感应定律
法拉第发现了电磁感应现 象,但 他 并 不 满 足 表 面 的 归 纳 总 结,而 是 对 电 磁 感 应 现 象
的产生机理和物理图像进行了大胆的探索与实践 .他敏锐地把握了产生电磁感应 现 象 的
本质———感应电动势,提出了法拉第电磁感应定律 .法拉第电磁感应定 律 可 表 述 为:当 穿
过闭合回路所围面积的磁通量 发 生 变 化 时,不 论 这 种 变 化 是 什 么 原 因 引 起 的,回 路 中 都
会产生感应电动势,且此感应电动势等于磁通量对时间变化率的负值,即
dΦ
=d
t
i
(
8.
1)
式中负号代表感应电动势的方向,它表明在任何情况下,无论回路的绕行方向 怎 样 选 择,
感应电动势
i
的正负总是与磁通量变化率 dΦ 的正负相反 .在国际单位制中, i 的单位
d
t
为伏特,磁通量 Φ 的单位为韦伯,
t的单位为秒 .式中负号的物理意义,将在楞次定律中讨
论.
需要强调 Φ 是穿过回路所围面积的磁通量,如果回路由 N 匝密绕线圈组 成,而 穿 过
每匝密绕线圈的磁通量都等于 Φ ,那么穿过 N 匝密绕线圈的磁通匝数则为 Ψ =NΦ ,Ψ
称为磁链 .对此,电磁感应定律可以写成
i
流为
dΨ
=d
t
(
8.
2)
1 dΦ
R d
t
(
8.
3)
如果闭合回路的电阻为 R ,那 么 结 合 式(
8.
1),根 据 闭 合 回 路 欧 姆 定 律,回 路 中 的 电
I=-
利 用式(
8.
3)以及I=d
t ,可计算出在时间间隔 Δ
t=t2 -t1 内,由于电磁感应的缘
q/d
故,流过回路的电荷 .设在t1 和t2 时刻流过回路所围面积的磁通量分别为 Φ1 和 Φ2 ,那么
在Δ
t 的时间内,通过回路的感应电荷为
∫
t2
t=q= Id
t1
∫dΦ =R (Φ -Φ )
1
R
Φ2
Φ1
1
1
2
(
8.
4)
比较式(
8.
3)和式(
8.
4)不 难 发 现,感 应 电 流 与 回 路 中 磁 通 量 随 时 间 的 变 化 率 (即 变
化的快慢)有关,而感应电荷则只与回路中磁通量的变化量有关,而与磁通量随时 间 的 变
化率无关 .
8.
1.
3 楞次定律
已经介绍了感应电动势以及法 拉 第 电 磁 感 应 定 律,但 是,在 式 (
8.
1)中,磁 通 量 如 何
计算? 负号代表什么意义? 这 些 问 题 尚 没 有 明 确 回 答 .如 图 8
3 所 示,以 回 路 C 为 边 界
线的曲面 S 选取不同的法线方向,得 到 的 磁 通 量 将 会 相 差 一 个 负 号,也 将 导 致 感 应 电 动
· 228 ·
第8章
势
i
电磁感应
电磁场
相差一个负号 .如何确定电动势的方向呢?
图8
3 曲面法线方向不同磁通量正负不同
其实,在感应电动势 的 计 算 公 式 (
8.
1)中,计 算 磁 通 量 的 法 线 方 向 是 有 明 确 的 规 定
的 .如图 8
4 所示,任意选取回路曲线 C 的方向,规定以曲线 C 为边界线的曲面 S 的法线
方向与 C 的方向形成右手螺旋关系 .通过曲面 S 的磁通量
∫
(
8.
5)
Φm = B·d
S
S
图8
4 回路方向与曲面法线方向的关系
dΦm
公式(
8.
1)中的负号表示:当
<0 时,感应电动势
d
t
路方向一致;当 dΦm >0 时,感应电动势
d
t
i
i
的方向与选取的曲线 C 回
的方向与选取的曲线 C 回路方向相反 .如图
8
5 所示,设回路 C 保持不变,外磁场 B 随时间减弱,此时
dΦm
<0,感应电 动 势
d
t
i
的方
向与回路 C 方向相同,感应电流I 的 方 向 也 与 回 路 C 的 方 向 相 同,电 流 I 产 生 的 磁 场 与
外磁场B 方向指向同一侧;若外磁场 B 随时间增强,此时 dΦm >0,感应电动势
d
t
i
的方向
与回路 C 方向 相 反,感 应 电 流 I 产 生 的 磁 场 指 向 与
外磁场B 方向相反的一侧 .由 此 得 出 结 论:闭 合 导 体
回 路 中 感 应 电 流 激 发 的 穿 过 回 路 面 积 的 磁 通 量,总
是阻碍外磁场 B 产 生 的 磁 通 量 的 变 化,这 个 结 论 称
为楞次定律 .
1833 年楞次在总结大量实验结果的基础上 提 出
了 这 个 判 定 电 磁 感 应 中 感 应 电 流 方 向 的 法 则 .楞 次
定 律 指 出:当 穿 过 闭 合 导 线 回 路 的 磁 通 量 发 生 变 化
时,在回路中就会产 生 感 应 电 流,感 应 电 流 的 方 向 总
图8
5 感应电流激发的磁场方向
· 229 ·
大学物理(上册)
是使它自己激发的磁场去削弱 引 起 感 应 电 流 的 磁 通 量 的 改 变 .楞 次 定 律 表 明,闭 合 导 线
回路中所出现的感应电流,总是使它自己所激发的磁场去反抗引发电磁感应的原因 .
在如图 8
6 所示的实验中,图(
a)是当磁铁 N 极插入线圈时,穿过线圈向下的磁通量
增加,实验表明线圈中感应电流的方向如图所示 .根据右手定则,感应电流激发 的 磁 场 方
向应该向上,其作用是阻止线圈中磁通量的 增 加 .图(
b)所 示 是 把 N 极 拔 出 的 情 形,这 时
穿过线圈向下的磁通量减少,而 感 应 电 流 激 发 的 磁 场 方 向 向 下,其 作 用 是 阻 碍 磁 通 量 的
减少 .因此,楞次定是判断感应电流方向的简单而直观的方法 .
图8
6 利用楞次定律判断感应电流方向
例
如图 8
7 所示的回路中,杆 AB 可向左右两侧自由滑动,AB 的长度 L =0.
4m,
且 向右以速率v=0.
3m·s-1 匀速滑动,均匀磁场垂直向内,大小为 B =0.
5T ,回路总电
阻 R =0.
5Ω .求回路感应电流的大小和方向 .
图8
7 自由滑动杆的感应电动势
解
选取如图所示的顺时 针 方 向 为 回 路 正 向,根 据 右 手 螺 旋 关 系,回 路 所 围 曲 面 的
法线方向与磁场方向一致 .通过回路所围面积的磁通量为
Φm =BLx
根据法拉第电磁感应定律式(
8.
1),得感应电动势
· 230 ·
第8章
i
电磁感应
电磁场
dΦm
dx
==-BL
=-BLv
d
t
d
t
5×0.
4×0.
3=-0.
06V
=-0.
此处计算出来的感应电动势为 负 值,表 明 感 应 电 动 势 的 方 向 与 选 取 的 回 路 方 向 相 反,即
为逆时针方向 .感应电流的大小为
I=
i
R
0.
06
12A
=
=0.
0.
5
感应电流的方向就是感应电动势的方向,即逆时针方向 .
8.
2 感应电动势
从上面的讨论可以看出,只 要 穿 过 闭 合 回 路 的 磁 通 量 发 生 变 化,就 会 在 回 路 中 产 生
感应电动势,从而产生感应电 流 .根 据 磁 通 量 改 变 的 原 因,可 以 将 感 应 电 动 势 分 为 两 类:
一类是在稳恒磁场中由于导体的 运 动、回 路 面 积 的 变 化、回 路 取 向 的 变 化 (旋 转)产 生 的
电动势称为动生电动势;另一类 是 回 路 保 持 不 变,而 由 于 磁 场 的 变 化 产 生 的 电 动 势 称 为
感生电动势 .
8.
2.
1 动生电动势
导体在恒定磁场中的运动(切割磁感线)而产生动生电动势 .如图 8
8 所示,一均匀磁
场垂直纸面向里,长为 L 的导体棒 AB 垂直于磁场并以速度v 水平向右运动 .这时,金属
导线中的每个自由电子受到的洛伦兹力均为
Fm =-e
v ×B
(
8.
6)
图8
8 动生电动势产生原理图
方向竖直向下,此时可以看作有 一 个 非 静 电 场 起 作 用,电 子 在 该 非 静 电 场 中 受 到 向 下 的
非静电场力(即上述洛伦兹力),可将该非静电场的场强 Ek 大小表示为
Ek =
Fm
=v ×B
-e
(
8.
7)
方向竖直向上,在此非静电场强 Ek 的 作 用 下,自 由 电 子 沿 导 线 自 上 而 下 运 动,其 结 果 是
在导体棒的 A 端形成正电荷积累,B 端形 成 负 电 荷 积 累,从 而 在 导 体 棒 的 AB 两 端 产 生
· 231 ·
大学物理(上册)
了电势差,即电动势,在该非静 电 场 作 用 下 产 生 的 电 动 势 就 是 动 生 电 动 势 .同 时,在 导 体
棒 AB 两端分别聚集的正负电荷又形成了自上而下的静电场,自 由 电 子 在 该 静 电 场 中 受
到向上的静电场力 Fe 的作用,随 着 AB 两 端 正 负 电 荷 的 不 断 增 多,静 电 场 力 Fe 不 断 增
大,当 Fm =Fe 时,导体棒中的自由电子将不再 向 下 运 动,导 体 棒 AB 两 端 的 正 负 电 荷 数
量趋于稳定,导体棒中产生稳定的动生电动势 .按照电动势的定义,得该电动势的大小为
i
∫
=
+
-
∫(v ×B)·dl
Ek·d
l=
A
B
(
8.
8)
需要指出的是,运动着的导体棒 AB 相当于一个开路的电源,动生电动势的方向是由
负极指向正极,即 v ×B 的方向 .
例 8.
1 有一长为 L 的直导线 OA 绕 O 点以匀角速度ω 在平面内转动,均匀恒定磁
场 B 与 OA 的转动平面垂直,如图 8
9 所示 .求直导线 OA 上的动生电动势 .
图8
9
解
本题可以有两种求解的方法:一是利用直导线 OA 切割磁感线,由式(
8.
8)来 求
解;二是假想另外还 有 部 分 不 运 动 的 导 体,形 成 闭 合 回 路,利 用 回 路 磁 通 量 的 变 化 由 式
(
8.
1)求解 .
方法一
由式(
8.
8)得
i
∫
∫
1
= ωlBd
∫ l= 2ωBL
=
A
O
L
0
因为
i
L
(
v ×B)·d
l= vBd
l
0
2
>0,所以电动势方向由 O 指向 A ,即 A 点电势比 O 点高 .
方法二
假想另外还有部分不运动的导体,形 成 闭 合 扇 形 回 路 OAMO ,如 图 8
9所
示,设该扇形为圆心角小于 180
°的部分,∠AOM =θ .选取回路方向为逆时针方向,即 O
→ A → M → O 方向,则扇形面元的法线方向与磁场方向相反,通过扇形面积的磁通量为
θ
1
Φm =-πL2 · ·B =- BL2θ
2π
2
由法拉第电磁感应定律(
8.
1)式,得
i
dΦm 1 2 d
θ 1
2
== BL
= ωBL
d
t
2
d
t 2
显然,方法二与方法一所得的结果一致 .
· 232 ·
第8章
电磁感应
电磁场
例 8.
2 如图 8
10 所示,导线矩形框的平面与磁感强度为 B 的均匀磁场 垂 直 .在 此
矩形框上,有一质量为 m ,长为l 的可移动的细导体棒 MN ,矩形框还接有一个电阻 R ,
其值较之导线的电阻值要大得很多 .若开始时,细导体棒以速度 v0 沿如图所示的矩形框
运动,试求棒的速率随时间变化的函数关系 .
图8
10
解
如图所示建立坐标轴,棒的初速度 v0 的方向与 Ox 轴 的 正 方 向 相 同 .由 动 生 电
动势的计算公式(
8
8),可得棒中(即矩形导线框)的动生电动势为
i
l
v ,其方向由棒
=B
的端 M 指向端 N ,所 以 矩 形 导 线 框 中 的 感 应 电 流 沿 逆 时 针 绕 行,其 值 为 I =
B
l
v/R .同时,由安培定律得作用在棒上的安培力的大小为
/R =
i
B2l2v
F =IBl=
R
而 F 的方向则与 Ox 轴正向的方向相反 .依照牛顿第二定律,棒的运动方程应为
m
d
v
B2l2v
=d
t
R
由题意知,
t=0 时,
v=v0 ;且 B ,
l ,m ,R 均为常量,故由上式积分可得
∫
∫
t
d
v
B2l2
d
t
=v0 v
0 mR
v
计算可得棒的速率随时间变化的函数关系为
( 2 2/
v=v0e- B l mR t
)
例 8.
3 如图8
11 所示为交流发电机原理图,设 ABCD 为单匝线圈,AB 和CD 的长
度均为 L ,BC 和DA 的长度均为d ,两磁极间为均匀磁场,线圈以匀角速度ω 转动 .计算
线圈输出端的感应电动势 .
图8
11 交流发电机原理
解
设初始时刻线圈所在平面的法线方向与磁场垂直,即图 8
11 中α=0 的位置 .选
取 回路正向为 A → B → C → D 方向,在 BC 和 DA 段上,由于 v×B 与线元 d
l垂直,产生
· 233 ·
大学物理(上册)
的电动势为零 .在 AB 和CD 段上,对于任意的α =ωt ,利用式(
8.
8),有
AB
CD
∫
∫
æπ
ö
= (
∫ v ×B)·dl=∫vBsinè2 -αø dl=vBLcosωt
=
B
æπ
ö
(
v ×B)·d
l= vBs
i
nç +α÷ d
l=vBLcosωt
è2
ø
A
A
B
D
D
C
C
ç
÷
利用v=ω·d ,得线圈 ABCD 输出端的感应电动势为
2
i
osωt
=ωdBLc
注意到 Ld 为线圈 ABCD 所围的平面的面积,上式还可以写成
i
o
sωt
=ωBSc
8.
2.
2 感生电动势
在 8.
1.
1 节的电磁感应实验中,可以看到,把闭合导体回路放置在变 化 的 磁 场 中,当
穿过此闭合回路的磁通量发生 变 化 时,从 而 在 回 路 中 激 起 感 应 电 流 .于 是 物 理 学 家 麦 克
斯韦提出了假设:变化的磁场在其周围空间要激发一种电场,称为感生电场,记作 Ek .感
生电场与静电场一样对电荷有 力 的 作 用 .它 们 的 不 同 之 处 在 于:静 电 场 存 在 于 静 止 电 荷
周围的空间内,感生电场则是由 变 化 磁 场 所 激 发;静 电 场 的 电 场 线 是 始 于 正 电 荷 止 于 负
电荷,感生电场的电 场 线 是 闭 合 的,故 感 生 电 场 属 于 有 旋 电 场 .正 是 由 于 感 生 电 场 的 存
在,才在闭合回路中形成感生电动势 .由麦克斯韦假设,沿任意闭合回路 L 的感生电动势
等于感生电场沿闭合回路的线积分
i
∮
dΦ
l== Ek·d
L
d
t
(
8.
9)
需要注意:感生电动势的表达式(
8.
9)不仅对导体构成的闭合回路适用,对 真 空 也 是
适用的,也就是只要穿过空间内 某 一 闭 合 回 路 所 围 面 积 的 磁 通 量 发 生 变 化,那 么 此 闭 合
回路上的感生电动势总可以由式(
8.
9)表 示 .由 式 (
8.
9)可 以 发 现 感 生 电 场 不 是 保 守 场,
它沿闭合回路的环流一般不为零 .最后,将磁通量的表达式
∫
Φ = B·d
S
S
代入式(
8.
9),可得
i
∮
若闭合回路是静止的,则面积不变,故
i
∫
d
l=B·d
S
= Ek·d
L
d
tS
∮
∫dt·dS
l== Ek·d
L
S
dB
(
8.
10)
(
8.
11)
(
8.
12)
其中 dB 是闭合回路所围面积内某点的磁感强度随时间的变化率,而且 dB 与 Ek 在方向
d
t
d
t
上遵从左手螺旋法则 .式(
8.
12)表 明 只 要 存 在 着 变 化 的 磁 场 就 有 感 生 电 场,就 会 形 成 感
生电动势 .
· 234 ·
第8章
电磁感应
电磁场
例 8.
4 在交流发电机原理图 8
11 中,实际上是线圈固定,磁铁转动的,其目的是避
免转动的铜环与金属触头间出现接触不良,或者铜环、金属触头磨损的情况发 生 .利 用 计
算感生电动势的办法,重新计算 8.
2.
1 节例 3 的线圈输出端的感应电动势 .
解
仍然设初始时刻线圈所在平面的法线方向与磁场垂直,选取回路正向为 A → B
→ C → D 方向,则任意t 时刻通过线圈的磁通量为
æπ
ö
Φm =B·S =BScosç +ωt÷ =-BSs
i
nωt
è2
ø
由法拉第电磁感应定律式(
8.
1),得
i
dΦm
==BSωcosωt
d
t
例 8.
5 一半径为 R 、单位长度匝数为 n 的可视为无限长的直 螺 线 管,从t=0 开 始
I
的某一段时间内,电流作线性变化,即 d
t ,其中 k 为常数,螺线管内外都是磁导率为
=k
d
t
12 所示 .
μ 的均匀线性介质 .如果螺线管内绝缘地横放一长度为 L 的直导线 AB ,如图 8
求 AB 上的感应电动势 .
图8
12 螺线管内直导线的感应电动势
解
设想一三角形闭合回路 OABO ,如图所示 .假定电流流向为顺时针方向,选取顺
时针方向为回路正向,则通过三角形闭合回路 OABO 的磁通量为
1
1
Φm =BS =μ
nI· Lh = μ
nhLI
2
2
三角形闭合回路 OABO 的电动势为
i
利用
dΦm
1
d
I
1
nhL
nhLk
t
==- μ
=- μ
d
t
2
d
t
2
æL ö 2
h= R2 - ç ÷
è2 ø
得回路 OABO 的感应电动势为
i
1
n 4R2 -L2Lk
t
=- μ
4
由于感生电场 Ek 的方向与径向垂直,OA 和 OB 两边上感应电动势为零,所以上式即
直导线上的感应电动势 .当k >0时,A 端电势比 B 端高,当k <0时,B 端电势比 A 端高 .
· 235 ·
大学物理(上册)
8.
3 自感和互感
8.
3.
1 自感和自感电动势
电流流过线圈时,其磁感线将穿过线圈本身,从而给线圈提供磁通 .如 果 该 电 流 是 随
时间变化的,那么通过线圈自身 的 磁 通 量 也 将 发 生 变 化,从 而 使 得 线 圈 自 身 产 生 感 应 电
动势 .这种因线圈中电流变化而 在 线 圈 自 身 所 引 起 的 电 磁 感 应 现 象 叫 做 自 感 现 象,所 产
生的电动势叫做自感电动势 .
自感现象可用图8
13(
a)所示的实验来演示 .图中 A、
B 是两个相同的小灯泡,L 是带
铁心的多匝线圈,R 是电阻,其阻值与线圈 L 的阻值相同 .接通开关 S,灯泡 B 立刻就亮,
而 A 则逐渐变亮,最后与 B 亮度相同 .这个实验现象可以解 释 如 下:当 接 通 开 关 S 时,电
路中的电流由零增加,在 A 支路上,电 流 的 变 化 使 线 圈 中 产 生 自 感 电 动 势,按 楞 次 定 律,
自感电动势阻碍电流增加,因此在 A 支路中电流的增大要比没有自感线圈的 B 支路来得
缓慢些 .于是,灯泡 A 比灯泡 B 亮得迟缓些 .
图8
13 自感现象演示
在图 8
13(
b)中可观察到切断电路时的自感现象 .当迅速地把开关 S 断开时,可以看
到灯泡并不立即熄灭,而是突然地亮一下然后才熄灭 .这可解释为当切断电源 时,线 圈 中
的电流突然减小,从而使穿过线圈的磁通量减小 .感应电流的磁场将阻碍这种 减 小,故 感
应电流的磁场与原电流磁场方向相同,在线圈中引起一个很大的感应电动势 .这 时,虽 然
电源已切断,但线圈 L 和灯泡组 成 了 闭 合 回 路,线 圈 中 产 生 的 感 应 电 动 势 在 回 路 中 引 起
感应电流,所以灯泡并不立即熄灭 .由 于 在 电 源 切 断 时 dΦ 很 大,感 应 电 动 势 和 感 应 电 流
d
t
都很大,因此灯泡能发出短暂的强光 .
下面来分析自感现象的规律,考虑一个闭合回路,设其中的电 流 为 I ,按 照 毕 奥 - 萨
伐尔定律,此电流在空间任意一点的磁感强度都与I 成正比,因此穿过回路本身所围面积
· 236 ·
第8章
的磁通量也与I 成正比 ,即
电磁感应
电磁场
(
8.
13)
Φ =LI
式中的比例系数 L 称为自感系数,简称自感 .实验表明,自感 L 仅与回路的形状、大小、匝
数及周围磁介质的情况有关,与线圈通有的电流无关 .由式(
8.
13)可以看 出,如 果 I 为 单
位电流,则 L =Φ .所以,回路的自感在数值上等于回路中的电流为一个单位时,穿过此回
路所围面积的磁通量,即
Φ
L=
I
(
8.
14)
Ψ
L=
I
(
8.
15)
当回路由 N 匝线圈构成时,式(
8.
14)应改写为
式中,Ψ =NΦ 为回路的磁链 .在国际单位制中,自感的单位为亨利,符号为 H.
根据法拉第电磁感应定律及(
8.
13)式,可得自感电动势为
L
dΦ
d
I
dL
L +I )
==- (
d
t
d
t
d
t
(
8.
16)
如果回路的形状、大小、匝数及 周 围 介 质 的 情 况 都 不 随 时 间 变 化,则 L 为 一 常 量,故
dL/d
t=0,因而自感电动势
L
=-L
d
I
d
t
(
8.
17)
从上式可以看出,自感的意义也可以这样来理解回路的自感在数值上等 于 回 路 中 的
电流随时间的变化率为一个单位时,在回路中所引起的自感电动势的绝对值,即
L=
I
/d
d
t
L
(
8.
18)
当电流对时间的变化率为恒 定 值 时,自 感 系 数 L 越 大,线 圈 中 所 产 生 的 自 感 电 动 势
也越大,即自感作用越强 .式(
8.
17)中的负号是楞次定律的数学表示,它表明自感 电 动 势
将反抗回路中电流 的 改 变 .这 就 是 说,当 电 流 增 加 时,自 感 电 动 势 与 原 有 电 流 的 方 向 相
反;当电流减小时,自感电动势 与 原 有 电 流 的 方 向 相 同 .由 此 可 见,任 何 回 路 中 的 电 流 发
生变化,都会引起自感电动势 阻 碍 电 流 的 变 化,回 路 的 自 感 系 数 越 大,自 感 作 用 就 越 强,
改变回路中的电流也越困难 .
自感通常由实验测定,只是 在 某 些 简 单 的 情 况 下,如 回 路 形 状 规 则 且 回 路 所 围 面 积
内磁场分布已知或可求的情况,可以计算回路的自感 .
例 8.
6 求长度l=0.
5m ,匝数为 N =1500,截面积为 S=10-3 m2 的长直螺线管的
自感 .
解
对于长直螺线管,可以认为管内磁场是均匀的,为
N
B =μ0 I
l
通过螺线管的磁链
· 237 ·
大学物理(上册)
Ψ =NBS =μ0
N2
IS
l
由自感的定义,得
Ψ
N2
L = =μ0 S =μ0n2V
I
l
式中,
n 为螺线管的匝数密度;V 为体积 .代入数据可得螺线管的自感为
L =5.
67×10-3H =5.
67 mH
8.
3.
2 互感和互感电动势
如图 8
14 所示,两个邻近的闭合线圈,分 别 通 有 电 流 I1 和 I2 .当 线 圈 1 中 电 流 变 化
时所激发的变化磁场,会在它邻近的另一线圈 2 中产生感应电动势;同样,当线 圈 2 中 的
电流变化时,也会在线圈 1 中产生感应电动势 .这种现象称为互感现象,所产生 的 感 应 电
动势称为互感电动势 .
图8
14 互感现象
设线圈 1 中的电流I1 在线圈 2 中产生的磁通量为 Φ21 ;线圈 2 中的电流I2 在线圈 1
中产生的磁通量为 Φ12 .根据毕奥 - 萨 伐 尔 定 律,线 圈 中 的 电 流 所 激 发 的 磁 感 应 强 度 的
大小与电流强度成正比,因此,磁通量 Φ 也应与线圈中的电流强度成正比,故有
Φ21 =M21I1
Φ12 =M12I2
(
8.
19)
(
8.
20)
式中,比例系数 M21 和 M12 取决于每一个线圈的几何形状、大小、匝数、周围介质的情况及
两个线圈的相对位置,称为互感系数,简称互感 .
理论和实验证明,在两个线 圈 的 几 何 形 状、大 小、匝 数、周 围 介 质 的 情 况 及 两 个 线 圈
的相对位置都保持不变时,M21 =M12 =M ,所以
Φ21 =MI1
Φ12 =MI2
(
8.
21)
(
8.
22)
当线圈 1 中的电流I1 改变时,通过线圈 2 的磁通量 Φ21 将发生变化 .按照法拉第电磁
感应定律,在线圈 2 中产生的感应电动势为
· 238 ·
dΦ21
d
I1
E21 ==-M
d
t
d
t
(
8.
23)
第8章
电磁感应
电磁场
同理可得线圈 1 中产生的感应电动势为
dΦ12
d
I2
E12 ==-M
d
t
d
t
(
8.
24)
由此可见,在电流的变化率确定时,互感 系 数 M 越 大,互 感 电 动 势 越 大,互 感 现 象 越
显著 .而且,如果具有互感的两个线圈中有相同的电流变化率,那么两个线圈中 产 生 的 互
感电动势相等 .
在国际单位制(
S
I)中,互感系数 的 单 位 为 亨 利,符 号 为 H ,其 物 理 意 义 为:两 个 线 圈
的互感系数 M ,在数值上等于一个线圈中的电流随 时 间 的 变 化 率 为 一 个 单 位 时,在 另 一
个线圈中所引起的互感电动势的绝对值 .
利用互感现象可以把电能由一个回路转换到另一个回路 .这种转移能量 的 方 法 在 电
工、无线电技术中得到了广泛的应用 .互感系数通常用实验方法测定,只是对于 一 些 比 较
简单的情况,才能用计算的方法求得 .
例 8.
7 有一半径为 1m 的大线圈,还有半径为 1cm 的小线圈,它们在同一平面上,
圆心重合 .求它们之间的互感系数 .
解
设大线圈中通有电流I1 ,此时小线圈就在I1 所激发的磁场中 .因为 小 线 圈 的 面
积很小,可以近似地认为小线圈所围的区域内磁场是匀强的,磁感应强度与圆 心 处 相 同,
即
线圈 2(小线圈)中的磁通量为
它们的互感系数为
I1
0
B =μ
2R1
I1πR2
0
2
Φ21 =μ
2R1
Φ21 μ0πR2
2
-10
M=
=
=2×10 H
I1
2R1
8.
4 磁场的能量和能量密度
8.
4.
1 磁场的能量
电场是有能量的 .那么,磁 场 有 没 有 能 量 呢? 由 于 在 建 立 磁 场 时 总 是 伴 随 有 电 磁 感
应现象发生,所以可以从能量转换的角度,分析电磁感应现象,来进行探讨 .
在只含有电阻的直流电路中,电 源 供 给 的 能 量 完 全 消 耗 在 电 阻 R 上 而 转 换 为 热 能 .
但是,如图 8
15 所示,在一个含有电阻和自感的电路中,情 况 就 不 同 了 .在 电 键 S 未 闭 合
时,线圈中的电流为零,这时线 圈 中 没 有 磁 场 .当 把 电 键 闭 合 时,线 圈 中 的 电 流 由 零 逐 渐
· 239 ·
大学物理(上册)
增大,线圈内的磁场将逐步建立 .由于线圈中自感电动势的存在,会阻止线圈中 的 电 流 增
大,从而阻止线圈内的磁场建立 .只有在经过一段时间后,回路中的电流才能达 到 一 个 最
大的稳态值I .因此,在建立磁场过程中,外界(即电源)必须供给能量来克 服 自 感 电 动 势
作功,这部分功数值上等于最终 线 圈 L 中 存 储 的 能 量,即 磁 场 的 能 量 .可 见,在 含 有 电 阻
和自感的电路中,电源供给的能量分成两部分:一部分转变为电阻 R 上消耗的热能,另一
部分则转换为线圈 L 中磁场的能量 .
图8
15 电阻和自感电路
也就是说,通电线圈可储存 一 定 的 能 量,其 所 储 的 磁 能 可 以 通 过 电 流 建 立 过 程 中 抵
抗感应电动势作功来计算 .下面来计算在电路中建立电流I 的过程中,电源所作的这部分
额外的功 .
设在 d
t 时间内,电源反抗自感电动势作功为
dW =-ELid
t(
i 为电流强度的瞬时值)
又
L
=-L
d
i ,所以
dW =L
id
i.
d
t
(
8.
25)
在建立电流I 的整个过程中,电源反抗自感电动势做的总功为
∫ ∫
I
1
W = dW = L
id
i= LI2
0
2
(
8.
26)
这部分功将以能量的形式储存 在 线 圈 中 .可 见,在 一 个 自 感 应 系 数 为 L 的 线 圈 中 建 立 强
度为I 的电流,线圈中所储存的能量为
1
W = LI2
2
(
8.
27)
8.
4.
2 磁场的能量密度
实际上,磁能是储存在磁场中的,磁场能量可以用描述磁场的物理量 来 表 示 .以 长 直
螺线管为例,推导磁场能量表达式,然后加以推广 .
当长直螺线管通有电流I 时,螺线管中磁场的磁感应强度为 B =μ
nI ,螺线管的自感
系数 L =μ
n2V ,且 B =μH ,将这些关系代入式(
8.
27),可得螺线管内的磁场能量为
2
1
1 2 æç B ö÷
1 B2
1
W m = LI2 = μ
nV
V = BHV
=
èμn ø
2
2
2μ
2
式中,V 为长直螺线管的体积 .
· 240 ·
(
8.
28)
第8章
电磁感应
电磁场
式(
8.
28)表明磁场能量与 磁 感 应 强 度、磁 导 率 和 磁 场 所 占 的 体 积 有 关 .由 此 可 得 出
单位体积内的磁场能量即磁场能量密度为
Wm 1
wm =
= BH
V
2
(
8.
29)
必须指出,式(
8.
29)虽然是从长直螺线管这一特例导出的,但是可以证 明,对 于 任 意
的磁场,其中某一点的磁场能量密度都可以用上式表示,式中的 B 和 H 分别为该点的磁
感强度和磁场强度 .可以证明,即 使 对 于 非 均 匀 磁 场,此 式 仍 然 成 立 .对 于 磁 场 分 布 的 某
一空间中,磁场所储存的总能量为
∫
W m = wmd
V=
∫
1
BHd
V
2
(
8.
30)
例 8.
8 忽略导线的厚度,可以认为同轴电缆由半径分 别 为 R1 和 R2 的 两 无 限 长 同
轴导体柱面组成,内外导线间填充磁导率为 μ 的绝缘介质,并通以相反方向的电 流 I ,如
图8
16 所示 .求单位长度电缆的磁能 .
图8
16 同轴电缆的磁能
解
由安培环路定理,容易求出同轴电缆内外导线间的磁感应强度大小为
I
B=μ
2π
r
磁感线为与电缆截面圆同心的圆环,而其它区域的磁场为零 .于是,同 轴 电 缆 内 外 导
线间的磁能分布为
1
1
I2
wm = BH = B2 = μ2 2
2
2μ
8πr
采用柱坐标表示,单位长度电缆的磁能为
∫
∫∫ ∫
I
1
I æR ö
d
r=μ l
n
=μ
4π∫ r
4π èR ø
Wm =
1
wmd
V= d
z
V
2
0
R2
R1
2π
R2
d
r
φ R wmrd
0
2
1
ç
2
÷
1
· 241 ·
大学物理(上册)
8.
5 位移电流和电磁场基本方程
麦克斯韦在前人实践的基 础 上,经 研 究 提 出:变 化 的 磁 场 可 以 产 生 有 旋 电 场 以 及 变
化的电场(位移电流)可以产生磁场两个假设,并用一组方程概括了全部电场和磁场 的 性
质和规律,建立了完整的电磁场 理 论 基 础 .本 节 将 简 单 介 绍 麦 克 斯 韦 理 论 的 基 本 概 念 及
其方程的积分形式,并进一步指出变化的电场、磁场可以以波的形式传播,预言 了 电 磁 波
的存在 .
8.
5.
1 位移电流和全电流安培环路定理
在第 7.
5 节中,曾讨论了在恒定电流磁场中的安培环路定理
∮H·dl=I=∫j·dS
L
S
(
8.
31)
这个定理表明,磁场强度沿任一闭合回路的环流等于此闭合回路所围传 导 电 流 的 代
数和 .那么在非恒定电流的情 况 下,这 个 定 理 是 否 仍 然 适 用 呢? 首 先 考 虑 电 流 连 续 性 的
问题 .
在一个不含有电容器的闭合电路中,传导电流是连续的 .即在任意时 刻,流 过 导 体 上
某一截面的电流与流过任何其 它 截 面 的 电 流 相 等 .但 在 含 有 电 容 器 的 电 路 中,无 论 是 电
容器被充电还是放电,传导电流 都 不 能 在 电 容 器 的 两 极 板 之 间 流 过,这 时 传 导 电 流 就 不
连续了 .
事实上,如图 8
17(
a)所示,电 容 器 在 放 电 过 程 中,电 路 导 线 中 的 电 流 I 是 非 恒 定 电
流,随时间变化 .如图 8
17(
b)所示,若在极板 A 的附近取一个闭合回路 L ,以此回路为边
界 做两个曲面 S1 和 S2 .其中 S1 与导线相交,S2 在两极板之间,不与导线相交,S1 和 S2 构
成一个闭合曲面 .若以 S1 作为衡量有无电流穿过 L 所围面积的依据,则由安培环路定理
∮H·dl=I
L1
图8
17 含有电容的电路中,传导电流不连续
· 242 ·
(
8.
32)
第8章
电磁感应
电磁场
若以曲面 S2 作为衡量有无电流穿过 L 所围面积的依据,由于没有电流流过 S2 ,则由
安培环路定理
∮H·dl=0
L2
(
8.
33)
这表明:在非恒定电流的磁场 中,磁 场 强 度 沿 回 路 L 的 环 流 与 如 何 选 取 以 闭 合 回 路
L 为边界的曲面有关 .选取不同的曲面,环流有不同的值 .这说明在非恒定电流的情况下,
安培环路定理不再适用,必须寻求新的规律或对原有理论做必要修正使之适合非 恒 定 电
流的情况 .为此麦克斯韦提出了位移电流的假设 .
在图 8
18 的电容器放电电路中,设某一时刻电容器的板 A 上有正电荷 +q ,其电荷
面密度为 +σ ,板 B 上有负电荷 -q ,其电荷面密度为 -σ .当电容器放电时,设正电荷由
板 A 沿导线向板 B 流动,则在 d
t 时间内通过电路中任意截面的电荷为 d
q ,而这个 d
q就
是电容器极板上失去(或得到)的电荷 .所以,极板上电荷对时间的变化率 d
t 即电路中
q/d
的传导电流 .若板的面积为 S ,则极板内的传导电流为
q d(
d
S
σ)
d
σ
Ic = =
=S
d
t
d
t
d
t
(
8.
34)
图8
18 位移电流
传导电流密度为
d
σ
jc =
d
t
(
8.
35)
在电容器两板之间,由于没有自由电荷的移动,传导电流为零,即对整 个 电 路 来 说 传
导电流不连续 .
但是,在电容器放电过程中,板上的电荷面密度σ 随时间变化的 同 时,两 板 间 电 场 中
电 位移矢量的大小 D =σ 和电位移通量 Ψ =DS 也随时间变化,它们随时间的变化率分别
为
dD d
σ ,dΨ
d
σ
=
=S
d
t d
t d
t
d
t
由此可见,板间电位 移 矢 量 随 时 间 的 变 化 率 dD/d
t在数值上等于板内传导电流密
度;板间电位移通量随时间的变化率 dΨ/d
t ,在数值上等于板内传导电流 .并且当电容器
放电时,由于板上的电荷面密度σ 减小,两板间电场减弱,所以 dD/d
t 的方向与 D 的方向
· 243 ·
大学物理(上册)
相反 .在图 8
18 中,D 的方向是由右向左的,而 dD/d
t 的方向是由左向右的,恰与板内传
导电流密度的方向相同 .因此,如 果 以 dD/d
t 表 示 某 种 电 流 密 度,那 么,它 就 可 以 替 代 在
两板间中断了的传导电流密度,从而保持电流的连续性 .
麦克斯韦把电位移 D 的时间变化率 dD/d
t 称为位移电流密度jd ,把电位移通量 Ψ
的时间变化率 dΨ/d
t 的大小称为位移电流Id ,于是有
及
∂D
jd =
∂
t
(
8.
36)
dΨ
Id =
d
t
(
8.
37)
麦克斯韦假设位移电流和传导电流一样,也会在其周围空间激起磁 场 .这 样,在 含 有
电容器的电路中,在电容器极板表面中断了的传导电流Ic 可以由位移电流Id 延续,两者
一起构成电流的连续性 .
麦克斯韦认为电路中可同时存在传导电流Ic 和位移电流Id ,那么,它们的和称为全
电流 .即
(
8.
38)
Is =Ic +Id
于是,一般情况下,安培环路定理可修正为
∮H·dl=I =I + dt
s
S
或
c
dΨ
∮H·dl=∫(j + ∂t)·dS
L
s
c
∂D
(
8.
39)
(
8.
40)
这就表明,磁场强度 H 沿任意闭合回路的环流等于穿过此闭合回路所围曲面的全电
流,此即全电流安培环路定理 .从式(
8.
39)和式(
8.
40)可以看出,传导电流Ic 和位移电流
Id 所激发的磁场都是有旋磁场 .麦克斯韦关于位移电流假设的实质就是认为变化的电场
要激发有旋磁场 .在麦克斯韦的位移电流假设基础上所导出的结果与实验符合的很好 .
8.
5.
2 电磁场和麦克斯韦电磁场方程
至此,介绍了麦克斯韦关于 有 旋 电 场 和 位 移 电 流 的 两 个 假 设,揭 示 了 电 场 和 磁 场 之
间的内在联系 .即存在变化电场的空间必存在变化磁场,同样,存在变化磁场的 空 间 必 存
在变化电场 .这说明变化磁场和 变 化 电 场 是 密 切 联 系 在 一 起 的,它 们 构 成 一 个 统 一 的 电
磁场整体,这就是麦克斯韦关于电磁场的基本概念 .
在研究电磁现象的过程中,得出了静止电荷激发的静电场和稳恒电流激 发 的 恒 定 磁
场的基本方程,即:
(
1)静电场的高斯定理
· 244 ·
∮D·dS=∫ρdV =q
S
V
(
8.
41)
第8章
(
2)静电场的环流定理
电磁感应
电磁场
∮E·dl=0
(
8.
42)
L
(
3)磁场的高斯定理
∮B·dS=0
(
8.
43)
S
(
4)安培环路定理
∮H·dl=∫j·dS=I
L
c
S
(
8.
44)
麦克斯韦在引入有旋电场和位移电流两个重要概念后,将静电场的环流定理修改为
∮E·dl=- dt =-∫∂t·dS
dΦ
L
S
∂B
(
8.
45)
将安培环路定理修改为
∮H·dl=I +I =∫(j + ∂t)·dS
c
L
d
S
c
∂D
(
8.
46)
使它们能适用于一般的电磁场 .麦克斯韦还认为静电场的高斯定理和磁 场 的 高 斯 定
理不仅适用于静电场和恒定磁 场,也 适 用 于 一 般 的 电 磁 场 .于 是 得 到 电 磁 场 的 四 个 基 本
方程,即
∮D·dS=∫ρdV =q
dΦ
∂B
∮E·dl=- dt =-∫∂t·dS
∮B·dS=0
∂D
∮H·dl=∫(j+ ∂t)·dS
S
V
L
S
S
L
S
(
8.
47)
(
8.
48)
(
8.
49)
(
8.
50)
这四个方程就是麦克斯韦方程组的积分形式 .除上述积分形式的麦克斯 韦 方 程 外 还
有相应的四个微分形式的方程,这里不做一一介绍 .
麦克斯韦方程组的形式既 简 洁 又 优 美,全 面 反 映 了 电 场 和 磁 场 的 基 本 性 质,并 把 电
磁场作为一个整体用统一的观 点 阐 明 了 电 场 和 磁 场 之 间 的 联 系 .因 此,麦 克 斯 韦 方 程 组
对电磁场基本规律作了总结性统一性的简明而完美的描述 .麦克斯韦电磁理论的 建 立 是
19 世纪物理学发展史上又一个重要的里程碑 .正如爱因斯坦所说:“这是自牛顿以来物理
学所经历的最深刻和最有成果 的 一 项 真 正 观 念 上 的 变 革”.所 以 人 们 常 称 麦 克 斯 韦 是 电
磁学上的牛顿 .
(
1)一半径r=10cm 的圆形闭合导线回路置于均匀磁场 B (B =0.
80T )中,B 与回
路 平面正交 .若圆形回路的半径从t=0开始以恒定的速率 d
r/d
t=-80cm·s-1 收缩 .求:
· 245 ·
大学物理(上册)
① 在t=0 时刻,闭合回路中的感应电动势大小为多少? ② 如要求感应电动势保持这一数
值,则闭合回路面积应以 dS/d
t 等于多少的恒定速率收缩?
(
2)一无限长直导线,通电流I ,在它旁边放有一共平面的矩形金属框,边长分别为 a
和b ,电阻为 R ,如图 8
19 所示 .当线圈绕 OO′ 轴转过 180
° 时,试求流过线框截面的感应
电量 .
(
3)如图 8
20 所示,直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中,磁场 B 平行于ab 边,
b
c 的长度为l ,金属框架绕 a
b 边以匀角 速 度ω 转 动 .求:① abc 回 路 中 的 感 应 电 动 势 ;
②a 、
c 两点间的电势差 Ua -Uc .
(
4)如图 8
21 所示,四根辐条的金属轮子在均匀磁场 B 中转动,转轴与 B 平行,轮子
和辐条都是导体,辐条长为 R ,轮子转速 为 n .求:① 轮 子 中 心 O 与 轮 边 缘b 之 间 的 感 应
电动势;② 电势最高点在哪里?
图8
19
图8
20
图8
21
(
5)如图 8
22 所示,在竖直向上的均匀稳恒磁场中,有两条与水平面成θ 角的平行导
轨,相距 L ,导轨下端与电阻 R 相连,一段质量为 m 的裸导线ab 在导轨上保持匀速下滑 .
在忽略导轨与导线的电阻和其 间 摩 擦 的 情 况 下,求:① 感 应 电 动 势 为 多 少? ② 感 应 电 流
的大小为多少?
(
6)如图 8
23 所示,无限长直导线载有电流I ,其旁放置一段长度为l 与载流导线在
同一平面内且成 60
° 的导线 .计算当该导线在平面上以垂直于载流导线的 速 度 v 平 移 到
该导线的中点距载流导线为a 时,其上的动生电动势,并说明其方向 .
(
7)如图 8
24 所示,导体棒 AB 以 OO′ 为轴做定轴转动,AB⊥ OO
′ ,角速度为ω ,BC
的长度为 AB 的三分之一,均匀磁场 B 沿轴 OO
′ 方向,则 A 点和 B 点电势满足什么关系?
图8
22
· 246 ·
图8
23
图8
24
第8章
电磁感应
电磁场
(
8)如图 8
25 所示,有一中心挖空的水平金属圆盘,内圆半径为 R1 ,外圆半 径 为 R2 .
圆盘绕竖直中心轴 O
′O″ 以角速度ω 匀速转动 .均匀磁场 B 的方向为竖直向上 .求圆盘的
内圆边缘处 C 点与外圆边缘 A 点之间的动生电动势的大小及指向 .
(
9)在圆柱形空间内有一磁感强度为 B 的均匀磁场,如图8
26 所示,B 的大小以速率
dB/d
t 变化 .有一长度为l0 的金属棒先后放在磁场的两个不同位置 1(
a
b)和 2(
a
′
b
′),则
金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系是什么?
(
10)如图 8
27 所示的大圆内各点磁感应强度 B 为 0.
5T ,方向垂直于纸面向里,且
每秒减少 0.
1T .大圆内有一个半径为 10cm 的同心圆环,求:① 圆环上任一点感应电场
的大小和方向;② 整个圆环上的感应电动势的大小;③ 若圆环电阻为 2Ω ,圆环中的感应电
流;④ 圆上任意两点a 、
b 的电势差;⑤ 长圆环被切断,两端分开很小距离,两端的电势差 .
图8
25
图8
26
图8
27
(
11)如图 8
28 所示,两根彼此紧靠的绝缘的导线绕成一个线圈,其 A 端用焊锡将二
根导线焊在一起,另一端 B 处作为连接外电路的两个输入端 .则整个线圈的自感系 数 为
多少?
(
12)如图 8
29 所 示,均 匀 密 绕 200 匝 的 螺 绕 环,平 均 周 长 为 0.
1 m ,横 截 面 积 为
0.
5×10-4 m2 .当线圈通以0.
1A 的电流时,测得穿过圆环截面积的磁通为6×10-5 Wb.
求螺绕环中磁性材料的相对磁导率 μr 和螺绕环的自感系数 L .
(
13)如图 8
30 所示,有一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形线圈的中心轴 OO′ 上,
则直导线与矩形线圈间的互感系数为多少?
图8
28
图8
29
图8
30
· 247 ·
大学物理(上册)
(
14)有一个半径为r1 =1cm ,长度为l1 =1m ,圈数为 N1 =1000 的螺线管,在其中
部同轴放置一个半径r2 =0.
5cm ,长度为l2 =1.
0cm ,圈数为 N2 =10 的小螺线管,两螺
线管处于 μ =μ0 的介质中 .求两个线圈的互感系数 .
(
15)有一个均匀密绕的螺绕环,匝数 N =200,线圈中通有电流I=2.
5A ,穿过铁环
截面的磁通量 Φm =0.
5 Wb ,求磁场的能量 W m .
(
16)一螺绕环单位长度上的线圈匝数为 n=10匝·cm-1 .环心材料的磁导率μ=μ0 .
求在电流强度I 为多大时,线圈中磁场的能量密度 wm =1J·m-3 ? (μ0 =4π×10-7 N·
A-1 )
(
17)平行板电容器的电容 C 为20.
0μF ,两板上的电压变化率为 dU/d
t=1.
50×105
V·s-1 ,则该平行板电容器中的位移电流为多少?
(
18)一平行板空气电容器的 两 极 板 都 是 半 径 为 R 的 圆 形 导 体 片,在 充 电 时,板 间 电
场强度的变化率为 dE/d
t .若略去边缘效应,则两板间的位移电流为多少?
· 248 ·
附录 1 矢
量
矢量代数在物理学中是常用的数学工具,它可以用较为简洁的数学语言 表 达 某 些 物
理量及其变化规律,这对加深某 些 物 理 量 及 物 理 定 律 的 理 解 是 很 有 帮 助 的 .这 里 主 要 介
绍矢量的概念,矢量的加减、矢 量 的 分 解、矢 量 的 标 积 和 矢 积 以 及 矢 量 的 导 数 和 积 分,希
望读者随着课程的进行,经常查 阅 本 附 录 的 内 容,逐 步 熟 练 掌 握 矢 量 的 基 本 概 念 和 计 算
方法 .
附 1.
1 矢量概念
矢量定义
在普通物理学范围内经常 遇 到 两 种 不 同 性 质 的 物 理 量:标 量 和 矢 量 .仅 用 数 值 即 可
作出充分描述的物理量称为 标 量 .这 里,数 值 的 含 义 包 含 正 负 在 内 .路 程、质 量、时 间、密
度、电量、电压、能量等物理量都 是 标 量 .具 有 一 定 大 小 和 方 向 且 加 法 遵 循 平 行 四 边 形 法
则的物理量称为矢量 .位移、速 度、加 速 度、力、动 量、角 动 量、电 场 强 度、磁 感 强 度 等 都 是
矢量 .
从几何观点来看,矢量可表示为有方向的线段,如图 1
1 所示,在选定单位后,线段的
长短(含有几个单位长度)即矢 量 的 大 小,箭 头 方 向 表 示 矢 量 的 方 向 .矢 量 的 印 刷 符 号 常
用黑体字 A ;书写时常用 A 表示矢量 .
图1
1 矢量的几何
矢量 A 的大小称为矢量A 的模,即 有 向 线 段 的 长 度,它 是 一 正 实 数 .记 作 A 或 斜
体字 A .模等于 1 的矢量称为单位矢 量,记 作eA .在 直 角 坐 标 系 Oxyz 中 沿x ,y ,z 轴
的单位矢量分别记作i ,
j 和k .模等于零的矢量称为零矢量 .其方向可以认为是任意的 .
记作 0,手写为 0.
· 249 ·
大学物理(上册)
如果矢量 A 和矢量B 的大小相等、方向相同,则称这两个矢量相等,即 A=B .矢量和
标量是性质完全不同的两类物理量,它们之间不能讨论相等与否的问题 .
如果把矢量 A 在空间平移,则矢量 A 的大小和方向都不会因平移而改变(见图 1
2).
矢量的这个性质称为矢量平移不变性,它是矢量的一个重要性质 .
图1
2 矢量的平移不变性
附 1.
2 矢量的加法与减法
1. 矢量加法
下面以质点在平面上的位移为例来说明矢量相加的法则 .如图 1
3 所示,设一质点由
点a ,运动到点b ,所经的位移为 A ,然后再从点b 运动到点c 的位移为B ;质点从a 直接
到c 的位移为C .因此
(
1)
A +B =C
这就是矢量相加也称为矢量相加的三 角 形 法 则:自 矢 量 A 的 末 端 画 出 矢 量 B ,则 自
矢量 A 的始端到矢量B 的末端画出矢量C ,C 就是A 和B 的合矢量 .
利用矢量平移不变性,可把图 1
3 中矢量 B 的始端平移到点a ,这样,点a 就为A 、B
的交点(见图 1
4).从图 1
4 可以看出,矢量 A 和B 相加的合矢量是以这两个矢量为邻边
的平行四边形对角线矢量C .这种方法称为矢量相加的平行四边形法则 .需注意的是,在
画平行四边形时,矢量 A 、B 和C 的始端应位于同一点 .
图1
3 三角形法则
图1
4 平行四边形法则
合矢量的大小和方 向 除 可 以 用 上 述 几 何 作 图 法 确 定 外,还 可 由 计 算 求 得 .在 图 1
4
中,设矢量 A 和B 之间小于 π 的夹角为α ,合矢量C 与矢量A 的夹角为φ .由图1
5,根据
· 250 ·
附录 1 矢量
余弦定理可知
C = A2 +B2 +2ABcos
α
r
c
t
an
φ =a
A
Bs
i
n
α
o
s
α
+Bc
合矢量 C 的大小和方向可由式(
2)式(
3)确定 .
(
2)
(
3)
图1
5 合矢量的计算
对于在同一平面上的多个 矢 量 求 和,原 则 上 可 以 逐 次 采 用 三 角 形 法 则 进 行,先 求 出
其中两个矢量的 合 矢 量,然 后 将 该 合 矢 量 再 与 第 三 个 矢 量 相 加,求 得 三 个 矢 量 的 合 矢
量……,依此类推,即得到多个矢量合成的多边形法则 .如图 1
6 所 示,从 矢 量 A 出 发,首
尾相接地依次画出 B 、C 各矢量,然后由第一个矢量 A 的始端到最后一个矢量C 的 末 端
联一有向线段R ,这个矢量 R 就是A 、B 、C 三个矢量的合矢量 .
图1
6 多边形法则
矢量的加法满足交换律,即
A +B =B +A
(
4)
(A +B) +C =A + (B +C)
(
5)
而且,矢量的加法满足结合律,即
2. 矢量减法
如果矢量 A 与矢量B 的合矢量为C ,即 A+B=C ,则矢量 B 可称为矢量C 与矢量A
的矢量差,记作
B =C -A
(
6)
矢量减法 B =C -A 是矢量加法A +B =C 的逆运算 .利用三角形法则同样可以由 C 和A
画出矢量差 B ,方法是:自某点出发画出被减矢量 C 与减矢量A ,由减矢量 A 的末端指向
被减矢量 C 的末端的有向线段即为矢量差B .
当 m =-1 时,mB =-B ,即 -B 是与B 大小相等、方向相反的矢量 .所以矢量 C 与
A 之差C -A ,可以看作是 C 与 -B 之和,即 C-A =C+ (-A ) .这样,就可以用求合矢
量的方法求矢量差 .如图 1
7 所示,以 C 与 -A 为邻边做平行四边形,得对角线 B 即为C
· 251 ·
大学物理(上册)
与A 之差 .
图1
7 矢量减法
附 1.
3 矢量的数乘
矢量也可以作乘法运算,先介绍矢量的数乘 .
矢量 A 与实数 m 的乘积仍是一矢量,记作 mA .其模等于 m 乘以 A .所 求 矢 量 的
方向规定如下:若 m >0,则与 A 同向;若 m <0,则与 A 反向;若 m =0,则 mA 为零矢量 .
矢量的数乘具有下列性质:
设 A 和B 为任意二矢量,m 和n 为任意实数,则
1.矢量数乘满足分配律
(m +n)A =mA +nA
m (A +B) =mA +mB
(
7)
(
8)
2.矢量数乘满足交换律
m (nA ) =n(mA ) = (mn )A
(
9)
A =AeA
(
10)
A = A eA
(
11)
有了数乘的概念,可以用与矢量 A 同方向的单位矢量eA 表示矢量 A ,即
或
附 1.
4 矢量的正交分解
几个矢量合成后可得一合矢量 .一个矢量也可以分解为若干分矢量 .一 般 说 来,矢 量
分解的结果不是唯一的 .若将一矢量分解为两个分矢量,仅当指定某些条件时,分 解 结 果
才是唯一的 .例如:指定二分矢 量 的 方 向,或 已 知 一 分 矢 量 的 方 向 和 大 小,或 给 定 二 分 矢
量的大小等等 .人们通常把某一 矢 量 分 解 为 沿 直 角 坐 标 系 各 坐 标 轴 的 分 矢 量,这 种 分 解
· 252 ·
附录 1 矢量
方法会给矢量运算带来很多方便 .
图1
8 矢量的正交分解
如图 1
8 所示,矢量 A 的始端与直角 坐 标 系 Oxyz 的 原 点 重 合 .自 A 的 末 端 向 Oxy
坐标平面作垂线,自垂足再向 x 和y 轴作垂线,将这两个垂 足 的 x 坐 标 和y 坐 标 分 别 记
作 Ax 和 Ay .再自 A 的末端向z 轴作垂线,该垂足的z 坐标记作 Az ,Ax 、Ay 和 Az 称为
矢量 A 在x 、y 和z 轴的投影或分量 .应该 注 意 的 是,尽 管 投 影 或 分 量 可 取 正 或 负 值,但
它们与分矢量不同,它们是标量而不是矢量 .
等于
可以用矢量的投影或分量来 表 示 矢 量 的 模(大 小)和 矢 量 的 方 向 .显 然,矢 量 A 的 模
2
2
A = A2
x +Ay +Az
(
12)
矢量的方向通常用矢量与各坐标轴的夹角α 、
β 和γ 表示,它们称为矢量 A 的方向角,如
图1
8 所示 .此外,矢量方向还可以用矢量的方向余弦 c
o
s
α 、cos
γ 表示,显然
β 和 cos
Ax
Ay
Az
c
o
s
α = ,cos
γ=
β= A ,cos
A
A
(
13)
各方向余弦之间有下列关系:
c
o
s2α +co
s2β+co
s2γ =1
利用矢量的投影或分量,可 以 将 矢 量 表 示 为 几 个 分 矢 量 的 和 .例 如 在 上 述 直 角 坐 标
系中,矢量 A 可以表示为
A =Axi+Ayj +Azk
(
14)
式中,Axi 、Ayj 和 Azk 分别表示矢量A 沿x 、y 和z 轴的分矢量,式(
14)称为矢量 A 在
Oxyz 直角坐标系中的正交分解式 .
现在利用矢量在直角坐标系 中 的 正 交 分 解 式 进 行 矢 量 的 和、差 运 算 .设 有 矢 量 A 和
B 分别为
A =Axi+Ayj +Azk
试求 C =A +B,
B =Bxi+Byj +Bzk
A +B =Axi+Bxi+Ayj +Byj +Azk +Bzk
根据矢量数乘的分配律即得
· 253 ·
大学物理(上册)
A +B = (Ax +Bx )i+ (Ay +By )j + (Az +Bz )k
将合矢量 C 也表示为正交分解式:
(
15)
C =Cxi+Cyj +Czk
如果两个矢量相等,它们在同一坐标轴上的投影一定相等 .比较以上两式,可得
Cx =Ax +Bx ,Cy =Ay +By ,Cz =Az +Bz
(
16)
Dx =Ax -Bx ,Dy =Ay -By ,Dz =Az -Bz
(
17)
同理,对于矢量差 D =A -B ,有
式(
16)、式(
17)表明:二矢量 和 或 差 在 一 定 坐 标 轴 上 的 投 影 等 于 二 矢 量 在 同 一 坐 标
轴上投影的和或差 .因此,可以把 求 矢 量 和 或 差 的 矢 量 运 算 方 便 地 转 变 为 求 矢 量 投 影 的
和或差的代数运算 .
附 1.
5 矢量的标积和矢积
矢量的乘法运算除数乘外,还 有 矢 量 与 矢 量 相 乘 的 问 题,下 面 介 绍 矢 量 相 乘 的 两 种
运算:矢量的标积和矢积 .
1.矢量的标积
矢量 A 和B 的标积是一个标量,它等 于 A 和 B 的 模 与 其 夹 角 余 弦 的 乘 积,记 作 A·
B.
A 和B 的标积运算符号用“·”表示,所以标积也称为点积 .由定义可得
A·B = A B cos
θ
式中,
θ 为矢量A 和B 之间小于 π 的夹角 .
(
18)
矢量在坐标轴上的投影也可表示为该矢量与沿坐标轴正方向的单位矢 量 的 标 积,如
图1
8 所示 .矢量 A 在 x 轴上的投影为
Ax =Acos
α =A·i
同理,
矢量与其自身的标积为
Ay =A·j ,Az =A·k
因此,可以用标积表示矢量的模:
对于单位矢量i ,
j 和k ,则有
A·A =A2
A = A·A
i·i=j·j=k·k=1
矢量的标积还有下述性质:
· 254 ·
(
19)
附录 1 矢量
π
(
1)当且仅当两矢量之一为零或两矢量垂直时,即 A =0 或 B =0 或θ= 时,两
2
矢量的标积才等于零 .
A·B = A B cos
θ=0
反之,若 A·B =0,但 A 和B 都不为零矢量,则 A ⊥ B .例如
i·j=i·k=j·k=0
(
20)
A·B =B·A
(
21)
(A +B) ·C =A·C +B·C
(
22)
m (A·B) = (mA ) ·B ,m 为实数
(
23)
(
2)矢量标积满足交换律:
(
3)矢量标积满足分配律:
(
4)矢量标积满足结合律:
矢量的标积也可以用矢量在直角坐标系中的投影来计算 .在同一直角坐标系中 A·B
可以表示为
A·B = (Axi+Ayj +Azk ) · (Bxi+Byj +Bzk )
=AxBxi·i+AxByi·j+AxBzi·k+
AyBxj·i+AyByj·j+AyBzj·k+
AzBxk·i+AzByk·j+AzBzk·k
=AxBx +AyBy +AzBz
(
24)
矢量的标积应用很广,例如:功的概念就是以力与位移的标积来表述 的;电 通 量 用 电
场强度与有向面元的标积来计算,磁通量用磁感强度与有向面元的标积来计算,等等 .
2. 矢量的矢积
矢量 A 和B 的矢积是一个矢量,记作
C =A ×B
(
25)
其大小等于以 A 和B 为邻边的平行四边形的面积 .其方向垂直于 A 和B 所在平面,且 A 、
B 和C 组成右手螺旋系统(由 A 转向B 的角度应小于 π )如图 1
9 所示 .A 和B 的矢积C
的大小可以表示为
C =ABs
i
n
θ
图1
9 矢量的矢积
· 255 ·
大学物理(上册)
矢积运算用符号“× ”表示,所以矢量的矢积也称为矢量的叉积 .
矢积运算具有如下性质:
(
1)A ×A =0.
(
2)两非零矢量 A 和B 平行的充要条件是A ×B =0.
(
3)A ×B =-B ×A .
(
4)(mA ) ×B =m (A ×B) =A × (mB ) ,m 为实数 .
(
5)C × (A +B) =C ×A +C ×B
用矢量在直角坐标系中的投影计算矢积也较方便 .设矢量 A 和B 在同一直角坐标系
中,这两个矢量的矢积可以表示为
A ×B = (Axi+Ayj +Azk ) × (Bxi+Byj +Bzk )
=AxBxi×i+AxByi×j+AxBzi×k+
AyBxj ×i+AyByj ×j+AyBzj ×k+
AzBxk ×i+AzByk ×j+AzBzk ×k
因为
i×i=j×j=k×k=0
i×j=k,k×i=j,j×k=i
}
i×k=-j,k×j=-i
j×i=-k,
所以
(
26)
(
27)
A ×B = (AyBz -AzBy )i+ (AzBx -AxBz )j + (AxBy -AyBx )k
如果用行列式表述,则为如下形式
i
j
k
A ×B = Ax Ay Az
Bx By Bz
= (AyBz -AzBy )i+ (AzBx -AxBz )j + (AxBy -AyBx )k
(
28)
力矩、角动量、运动电荷在磁 场 中 所 受 的 洛 伦 兹 力 以 及 载 流 导 线 所 受 的 安 培 力 等 都
可以表述为矢积的形式 .
3.三个矢量的混合积
先求两个矢量的矢积,再将计算结果与第三个矢量作标积,称作三个 矢 量 的 混 合 积,
其结果为一标量,记作
其值为
V = (A ×B) ·C
(
29)
V = A ×B Ccos
i
n
θcos
φ =ABCs
φ
如图 1
10 所示, A ×B 等于以A 、B 和C 为边的平行六面体的底面积,A×B 与C
的标积在绝对值上等于以该底 面 积 乘 以 平 行 六 面 体 的 高 .可 见,上 述 混 合 积 的 绝 对 值 等
于以 A 、B 和C 为边的平行六面体的体积 .由于在计算平行六面体的体积时,可以利用任
· 256 ·
附录 1 矢量
意底面积乘以高,所以有
(A ×B) ·C = (C ×A ) ·B = (B ×C) ·A
图1
10 矢量的混合积
另一方面,根据矢量矢积的性质,A ×B =-B ×A ,可得
(A ×B) ·C =- (B ×A ) ·Cüï
ï
(C ×A ) ·B =- (A ×C) ·Bý
ï
(B ×C) ·A =- (C ×B) ·Aïþ
(
30)
显然,A 、B 和C 中两矢量相等或三矢量共面均能使混合积等于零 .
附 1.
6 矢量的导数
1.矢量函数
物体在运动过程中其速度 及 所 受 的 力 是 可 以 发 生 变 化 的,电 场 强 度、磁 感 强 度 等 矢
量也能随时间而变,所以速度、力、电 场 强 度、磁 感 强 度 等 都 是 大 小 或 方 向 可 以 发 生 变 化
的变矢量 .
如果对于标量变量t 的每一数值都相应地存在变矢量 A 的一个确定 的 矢 量,则 称 矢
量 A 是标量变量t 的矢量函数,记作
A =A (t)
在直角坐标系 Oxyz 中,矢量函数还可以表述为
) +Ay (t)j +Az (t)k
A (t) =Ax (ti
其中,Ax (t) 、Ay (t) 和 Az (t) 是变量t 的标量函数 .在讨论中,标量变量t 通常指时间 .
2.矢量函数的导数
类比于标量函数的导数,引入矢量函数的导数 .如图 1
11 所示,与t 时刻对应的矢量
为A (t) ,经过 Δ
( +Δ
t 时间后,矢量变为 At
t) ,对应于 Δ
t ,矢量函数的增量为
( +Δ
ΔA =At
t) -A (t)
· 257 ·
大学物理(上册)
把矢量增量 ΔA 与发生这一增量所用时间 Δ
t之比称为该矢量函数在该时间内的平均变
化率,即
( +Δ
ΔA At
t) -A (t)
=
Δ
t
Δ
t
矢量函数对时间的平均变化率也是矢量,与矢量增量的方向相同 .
图1
11 矢量的导数
ΔA 有极限存在,则该极
当时间趋于零时,即当 Δ
t →0 时,若矢量函数的平均变化率
Δ
t
限称为该矢量函数 A (t) 在t 时刻的导数,记作
( +Δ
dA (t)
ΔA
At
t) -A (t)
im
im
=l
=l
Δ
t→0 Δ
d
t
t Δt→0
Δ
t
(
31)
矢量函数的导数 dA 仍为一矢量,其方向即为当 Δ
t→0 时 ΔA 的极限方向,由图 1
11
d
t
可见,ΔA 将趋于沿A (t) 末端 曲 线 的 切 线 且 指 向 与 时 间 增 加 相 对 应 的 方 向;另 一 方 面,
dA 的大小或模则等于
ΔA
l
im
.
Δ
t→0
d
t
Δ
t
矢量导数有一个重要的性 质,即 使 矢 量 的 模 不 改 变 而 仅 仅 方 向 改 变,矢 量 的 增 量 也
不等于零,因而导数也不为零 .此时 dA 恰好与A (t) 垂直,这种情况可以表示为
d
t
dA
A·
=0 或 A·dA =0
d
t
这是一个常用的公式 .
现在讨论矢量函数导数的正交分解形式 .在直角坐标系 Oxyz 中
( +Δ
) +Ay (t+Δ
At
t) =Ax (t+Δ
ti
t)j +Az (t+Δ
t)k
) +Ay (t)j +Az (t)k
A (t) =Ax (ti
所以
dAy (t)
dAz (t)
dA (t) dAx (t)
i+
k
=
j+
d
t
d
t
d
t
d
t
3.矢量函数求导的法则
设 A (t) 和B (t) 都是可微的变矢量,C 是常矢量,f 为标量函数,则
· 258 ·
(
32)
附录 1 矢量
d
dA dB
1. (A +B) =
.
+
d
t
d
t d
t
d
dA df
2. (fA ) =f
+ A.
d
t
d
t d
t
d
dA
dB
3. (A·B) = ·B +A·
.
d
t
d
t
d
t
d
dA
dB
4. (A ×B) =
.
×B +A ×
d
t
d
t
d
t
d
5. (C) =0.
d
t
某些力学量在数学 上 就 表 述 为 某 一 矢 量 的 导 数,例 如 速 度 是 位 置 矢 量 对 时 间 的 导
数,加速度是速度矢量对时间的导数,等等 .
附 1.
7 矢量的积分
矢量函数的积分是很复杂的 .下面举两个简单的例子 .
设 A (t) 和B (t) 均在同一平面直角坐标系内,且 dB =A .于是,有 dB=Ad
t ,积分并
d
t
略去积分常数,得
∫ ∫
B = Ad
t= (Axi+Ayj ) d
t
即
∫
∫
( ) ∫
( A dt)j
∫
B = Axd
ti+
其中,Bx = Axd
t ,By = Ayd
t.
y
(
33)
∫
若矢量 A 沿如图 1
12 所示的曲线变化,则 A·d
s 称为这个矢量沿此曲线的线积分 .
由于
A =Axi+Ayj +Azk
d
s=dx
i+dy
z
k
j +d
图1
12 矢量线积分
所以
· 259 ·
大学物理(上册)
∫A·ds=∫(Ai+Aj +Ak)· (dxi+dyj +dzk)
= A dx + A d
∫ ∫ y+∫A dz
x
x
z
y
y
z
若上式中的矢量 A 为力,d
s 为元位移,则式(
34)就是变力作功的计算式 .
(
34)
从上述矢量知识可以看到,作 为 一 种 数 学 工 具,用 矢 量 来 描 述 那 些 既 有 大 小 又 有 方
向且遵循平行四边形加法法则 的 物 理 量 及 其 变 化 规 律 十 分 简 明 和 方 便 .例 如,牛 顿 第 二
定律的形式为 F =ma .如果换成标量方程就需要有三个:Fx =max ,Fy =may 及 Fz =
maz .这两种表述方式除了有繁简 之 分 外,更 重 要 的 是 写 出 三 个 标 量 方 程 还 必 须 建 立 直
角坐标系 .而一个物理规律是不 应 该 依 赖 于 坐 标 系 的,或 者 说 在 坐 标 系 的 变 换 中 物 理 规
律应当保持形式不变 .因此引用坐标系表述物理规律时,还需要作出证明;而矢 量 概 念 及
其运算可以不依赖于任何坐标 系,所 以 用 矢 量 形 式 表 述 物 理 规 律 时,也 不 依 赖 于 所 选 的
坐标系 .基于矢量的上述优点,研究某些物理规律的一般性质时常采用矢量形 式 .当 运 用
这些物理规律的矢量形式解决实际问题时,如果借助三角或几何运算,有时颇 不 方 便,但
如果选择适当的坐标系,运用矢量的分量或投影进行计算,往往会方便很多 .
· 260 ·
附录 2 常用基本物理常数
(
2002 年国际推荐值)
物理量
符号
数值
计算取值
单位
真空中光速
c
3.
00×108
m·s-1
真空电容率
ε0
2.
99792458×108
真空磁导率
μ0
万有引力常数
G
普朗克常数
h
元电荷
e
电子质量
me
质子质量
mP
中子质量
mN
里德伯常数
R¥
阿伏伽德罗常数
NA
康普顿波长
λC
普适气体常量
R
玻尔兹曼常数
kB
斯特藩 - 玻尔兹曼常数
σ
维恩位移定律常数
b
波尔半径
a0
8.
854187817×10-12
8.
85×10-12
C2 ·N-1 ·m-2
6.
67242(
10)×10-11
6.
67×10-11
N·m-2 ·kg-2
1.
60217653(
14)×10-19
1.
60×10-19
C
4π×10-7
6.
6260693(
11)×10-34
9.
1093826(
16)×10-31
1.
67262171(
29)×10-27
1.
67492728(
29)×10-27
10973731.
534
6.
0221415(
10)×1023
4π×10-7
6.
63×10-34
kg
1.
67×10-27
kg
1.
67×10-27
10973731
m-1
mo
l-1
8.
31
J· mo
l-1 ·K-1
5.
67×10-8
W·m-2 ·K-4
0.
529×10-10
m
1.
3806505(
24)×10-23
1.
38×10-23
2.
8977685(
51)×10-3
2.
90×10-3
0.
5291772108(
18)×10-10
kg
6.
02×1023
2.
43×10-12
5.
670400(
40)×10-8
J·s
9.
11×10-31
2.
426310238(
16)×10-12
8.
314472(
15)
N·A-2
m
J·K-1
m·K
· 261 ·
附录 3 本书中物理量的名称 、 符号及单位
物理量
符号
单位名称
单位符号
时间
t
秒
长度
l,s
s
米
位移
Δr
米
速度
v,u
米每秒
加速度
a
米每二次方秒
角位移
θ
弧度
角速度
ω
弧度每秒
角加速度
α
弧度每二次方秒
质量
m
千克
力
F
牛顿
重力
G
牛顿
摩擦系数
μ
—
动量
p
千克米每秒
冲量
I
牛顿秒
功
W
焦耳
功率
P
瓦特
能量
E
焦耳
动能
Ek
焦耳
势能
Ep
焦耳
力矩
M
牛顿米
角动量
L
千克平方米每秒
转动惯量
J
千克平方米
电荷量
Q,q
库仑
电场强度
E
伏特每米
电荷体密度
ρ
库仑每立方米
电荷面密度
σ
库仑每平方米
· 262 ·
m
m
m·s-1
m·s-2
r
ad
r
ad·s-1
r
ad·s-2
kg
N
N
—
kg·m·s-1
N·s
J
W
J
J
J
N·m
kg·m2 ·s-1
kg·m2
C
V·m-1
C·m-3
C·m-2
附录 3 本书中物理量的名称、符号及单位
(续表)
物理量
符号
单位名称
单位符号
电荷线密度
λ
库仑每米
电通量
Φe
C·m-1
伏特米
电势
V
伏特
电势差、电压
U
伏特
电偶极矩
p,pe
库仑米
电极化强度
P
库仑每平方米
电位移矢量
D
库仑每平方米
电容
C
法拉
电流
I
安培
电流密度
j
安培每平方米
电动势
ε
伏特
电阻
R
欧姆
磁感强度
B
特斯拉
磁通量
Φm
韦伯
磁化强度
M
安培每米
磁场强度
H
安培每米
自感
L
亨利
互感
M
亨利
电场能量
We
焦耳
磁场能量
Wm
焦耳
能量密度
w
焦耳每立方米
劲度系数
k
牛顿每米
周期
T
秒
频率
ν
赫兹
圆频率
ω
弧度每秒
波长
λ
米
折射率
n
—
光程
L
米
热力学温度
T
开尔文
压强
p
帕斯卡
物质的量
ν,n
摩尔
V·m
V
V
C·m
C·m-2
C·m-2
F
A
A·m-2
V
Ω
T
Wb
A·m-1
A·m-1
H
H
J
J
J·m-3
N·m-1
s
Hz
r
ad·s-1
m
—
m
K
Pa
mo
l
· 263 ·
大学物理(上册)
(续表)
物理量
符号
单位名称
单位符号
摩尔质量
M
千克每摩尔
内能
E
kg· mo
l-1
焦耳
热量
Q
焦耳
比热容
c
焦耳每千克开尔文
摩尔定体热容
CV,m
焦耳每摩尔开尔文
摩尔定压热容
Cp,m
焦耳每摩尔开尔文
比热容比
γ
—
热机效率
η
—
—
制冷系数
e
—
—
辐出度
M
瓦特每平方米
单色辐出度
Mλ
W·m-2
瓦特每立方米
· 264 ·
J
J
J·kg-1 ·K-1
J· mo
l-1 ·K-1
J· mo
l-1 ·K-1
—
W·m-3
附录 4 名词中英文对照
A
爱因斯坦
安培
安培定律
安培[分子电流]假说
安培环路定理
安培力
奥斯特
E
i
ns
t
e
i
n
Ampè
r
e
Ampè
r
el
aw
Ampè
r
ehypo
t
he
s
i
s
Ampè
r
ec
i
r
cu
i
t
a
lt
heo
r
em
Ampè
r
ef
o
r
c
e
Oe
r
s
t
ed
B
保守力
比荷
毕奥
毕奥-萨伐尔定律
并联
c
ons
e
r
va
t
i
onf
o
r
c
e
spe
c
i
f
i
ccha
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B
i
o
t
B
i
o
t
r
tl
aw
-Sava
r
a
l
l
e
lconne
c
t
i
on
pa
C
参考系
长度收缩
冲量
串联
磁场
磁场能量
磁场强度
磁畴
磁导率
磁感强度
磁感线
磁化强度
r
e
f
e
r
enc
ef
r
ame
l
eng
t
hc
on
t
r
a
c
t
i
on
impu
l
s
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s
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r
i
e
sc
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c
t
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i
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nduc
t
i
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i
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i
onl
i
ne
magne
t
i
z
a
t
i
on [
i
n
t
ens
i
t
y]
· 265 ·
大学物理(上册)
磁化曲线
磁介质
磁矩
磁链(磁通匝数)
磁能密度
磁通量
磁滞
磁滞回线
magne
t
i
z
a
t
i
oncu
r
ve
magne
t
i
cmed
i
um
magne
t
i
cmomen
t
magne
t
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l
uxl
i
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magne
t
i
cene
r
i
t
gydens
y
magne
t
i
cf
l
ux
hys
t
e
r
e
s
i
s
hys
t
e
r
e
s
i
sl
oop
D
导体
点电荷
电场
电场能量
电场强度
电场强度叠加原理
电场线
电磁场
电磁感应
电磁感应定律
电动势
电荷
电荷量子化
电荷面密度
电荷体密度
电荷线密度
电荷守恒定律
电极化率
电极化强度
电介质
电流
电流强度
电流元
电[偶极]矩
电偶极子
电容
· 266 ·
c
onduc
t
o
r
i
n
tcha
rge
po
e
l
e
c
t
r
i
cf
i
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p
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i
t
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yo
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l
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i
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t
i
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l
i
t
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y
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l
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r
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l
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i
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y
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l
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t
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e
l
e
c
t
r
i
cd
i
l
e
po
c
apa
c
i
t
y
附录 4 名词中英文对照
电容率
电容器
电容器充电
电容器放电
电势
电通量
电位移
电晕
电子
电子云
定轴转动
动量
动量定理
动量守恒定律
动能
动能定理
动生电动势
rmi
t
t
i
v
i
t
pe
y
c
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r
c
apa
c
i
t
o
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c
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c
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l
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r
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cpo
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en
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r
gy
mo
t
i
ona
le
l
e
c
t
r
omo
t
i
vef
o
r
c
e
F
法向加速度
法拉第
非保守力
非惯性系
分子磁矩
分子电流
no
rma
la
c
c
e
l
e
r
a
t
i
on
Fa
r
aday
non
cons
e
r
va
t
i
vef
o
r
c
e
non
i
ne
r
t
i
a
ls
t
em
ys
-
mo
l
e
cu
l
a
rmagne
t
i
cmomen
t
mo
l
e
cu
l
a
rcu
r
r
en
t
G
感生电动势
感应电动势
感应电流
刚体
刚体定轴转动
刚体平面平行运动
高斯
高斯定理
i
nduc
ede
l
e
c
t
r
omo
t
i
vef
o
r
c
e
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nduc
t
i
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l
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c
t
r
omo
t
i
vef
o
r
c
e
i
nduc
t
i
oncu
r
r
en
t
r
i
i
dbody
g
f
i
xedax
i
sr
o
t
a
t
i
ono
fr
i
i
dbody
g
l
anepa
r
a
l
l
e
lmo
t
i
ono
fr
i
i
dbody
p
g
Gaus
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Gaus
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r
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· 267 ·
大学物理(上册)
功
功率
功能原理
惯性力
惯性系
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r
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c
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r
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a
ls
t
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ys
H
恒定电流
横向加速度
横向速度
互感
滑动摩擦力
滑动摩擦系数
霍尔效应
s
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adycur
r
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t
t
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i
on
Ha
l
le
f
f
e
c
t
J
击穿
击穿场强
机械运动
机械能
机械能守恒定律
极限速度
加速度
伽利略相对性原理
极化电荷
尖端放电
交流
介质中的高斯定理
角动量
角动量定理
角动量守恒定律
角加速度
角速度
角位移
静摩擦力
· 268 ·
b
r
e
akdown
b
r
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akdownf
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c
e
附录 4 名词中英文对照
静电场
静电场的环路定理
静电感应
静电平衡
静电屏蔽
劲度系数
径矢
径向加速度
径向速度
绝对速度
绝对运动
居里点
e
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e
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Cu
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K
抗磁性
库仑
库仑定律
库仑力
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i
amagne
t
i
sm
Cou
l
omb
Cou
l
ombl
aw
Cou
l
ombf
o
r
c
e
L
楞次
楞次定律
力
力矩
量子霍尔效应
洛伦兹
洛伦兹力
Lenz
Lenzl
aw
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momen
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H.L.Lo
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Lo
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M
麦克斯韦
麦克斯韦方程组
Maxwe
l
l
Maxwe
l
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N
内力
能量守恒定律
i
n
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gy
· 269 ·
大学物理(上册)
牛顿
牛顿第二定律
牛顿第三定律
牛顿第一定律
Newt
on
Newt
ons
e
c
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aw
Newt
ont
h
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r
dl
aw
Newt
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r
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tl
aw
P
碰撞
平行轴定理
平移
牵连速度
切向加速度
曲线运动
c
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lax
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R
软磁材料
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tmagne
t
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cma
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l
S
萨伐尔
势能
束缚电荷
顺磁质
速度
速率
Sava
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rgy
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T
弹性力
弹性势能
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W
瓦特
外力
完全非弹性碰撞
· 270 ·
Wa
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附录 4 名词中英文对照
完全弹性碰撞
万有引力
万有引力定律
位矢
位移
位移电流
无极分子
r
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tcur
r
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t
non-po
l
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rmo
l
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cu
l
e
X
狭义相对论
相对论速度
相对论性质能关系
相对速度
相对运动
相对磁导率
相对电容率
向心加速度
向心力
spe
c
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Y
引力常数
引力场
硬磁材料
有极分子
有旋电场
r
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t
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Z
张力
质点
质点系
质点系动量定理
质心
质心运动定律
质心加速度
重力
t
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n
t,pa
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i
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fc
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t
r
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s
s
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r
av
i
t
g
y
· 271 ·
大学物理(上册)
重力势能
转动惯量
最大静摩擦系数
真空磁导率
真空电容率
真空中高斯定理
自感
· 272 ·
r
av
i
t
t
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t
i
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rgy
g
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Gaus
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t
i
on
-
习 题 答 案
第1章
(
1)① Δx =-16 m ,方向与 x 轴正方向相反;②s=38 m ;③v=9.
5 m·s-1 ;
④v=24 m·s-1 ,
a=30 m·s-2 .
-1
-2
(
2)① v0 =5
i-2
j-3k m·s ;②a=12
j m·s .
(
3)①v0 =5 m·s-1 ,v0 与 x 轴正方向的夹角为α =143
°;
② a1 =8.
5 m·s-2 ,
a 与x 轴正方向的夹角为β =-45
°.
(
4)① v =3
t2i+6
t2j ,
r= (t3 +16)i+2
t3j ;② y =2x -32.
(
5)①v=2 x2 +x +4 ;②v3 =8 m·s-1 ,方向沿 x 轴正方向 .
k
k
k
(
( ) =v0e-mt ,
( ) = mv0 (1-e-mt ) ;③ x = mv0 .
6)①vt
v(x ) =v0 - x ;② xt
m
k
k
1
(
7)① 轨迹方程 y =2- x2 ,轨迹图略;②r0 =2
r2 =4
i-2
j,
j;
4
③ Δr =5.
66m ,Δr=2.
47m ;(
4)
s=5.
91m .
(
8)① at =2.
4 m·s-2 ,
an =57.
6 m·s-2 ;②θ=5.
67r
ad.
(
( 1π
) +3[1-c
( 1π
9)①r=3s
i
n0.
ti
os0.
t) ]j ;② v =0.
3πj m·s-1 ;
a=-0.
03π2i m·s-2 .
A
A
A -Bt
(
10)v= (
1-e-Bt);y = t+ 2 (
e -1).
B
B
B
(
11)①v=v0 +b
t ,速度的方向沿切线方向;
a=
2
(
v0 +b
t)
1 2 2 (
4
,
;
b R + v0 +b
t)
a 与r 间的夹角θ =a
r
c
t
an
R
Rb
2
v2
0
②N=
.
πRb
(
12)①t=2s;②s=0.
75 m .
(
13)① y =19-0.
5x2 ;② v =2
i-6
j;
v2
③ v t=1 =2
i-4
at t=1 =3.
58
etan t=1 =1.
79
en ;④ρ= =11.
17m .
j,
an
(
14)① ω =0.
5r
ad·s-1 ,
at =1 m·s-2 ,a=1.
01 m·s-2 ;②5.
33r
ad.
(
15)① x =360m ;②θ=26
°34
′ ;③t=6s;
④ at =4.
47 m·s-2 ,
an =8.
94 m·s-2 .
v0
(
16)x = y2 .
ud
· 273 ·
大学物理(上册)
bv0
b2v2
b 2
0 4
(
17)①r= t2i+v0t
t +v2
t2 .
0
j ;② x = y ;③r=
2
2
v0
4
(
18)①v=2Rω ;② a=4Rω2 .
(
19)①t=0.
705s;② 下降距离 d =0.
716m .
2
v2
i
n
0s
β os(α + ) ;② 证明略 .
(
20)① OP =
β
2 c
gcosα
(
21)v2 =5.
36 m·s-1 .
s
θ
ælco
ö
(
i
n
θ÷ .
22)v1 ≥v2 ç
+s
è h
ø
(
23)①t=1.
05×103s;② 距正对岸为l 的下游处,且l=5×102 m .
1 2 ,加速度
(
24)x
′ =0,y
′= g
t
a=g .
2
第2章
mg
(
1)
.
k
(
2)
2%.
(
3)F ≤ μs(
1+m/M )
mg .
(
4)μs ≥ g/
a.
(
5)3 3 N .
(
6)t
an
θ=μ .
(
7)(
L1 +L2)
ω2m2/m1 .
(
8)13r
ad·s-1 .
4m1m 2
(
9)
g.
m1 +m2
F -m2g ,
F +m1g
(
10)a=
T =m2
.
m1 +m2
m1 +m2
(
11)向下加速运动,加速度约为 1.
17 m·s-2 .
(
12)人对绳子的拉力 247.
5N ,人对底板的压力 412.
5N .
(
13) 6
k/(
mA ).
(
14)① N =mgs
i
n
θ- mω2ls
i
n
θcos
θ ,T =mgcos
θ+ mω2ls
i
n2θ ;
② T =mg/c
o
s
θ ,ωc = g/
lcos
θ.
μt+ 1 ) ,
(
15)v= (
t 趋于 ¥时,
v 取 0.
R
v0
-1
3
(
16)张力为 mg .
4
· 274 ·
习 题 答 案
第3章
(
1)大小:mg
t ,方向:垂直地面向上 .
(
2)大小:0.
739N·s,方向:与 x 轴正方向的夹角为 202.
5
°.
(
3)速度 v1 =2
i m·s-1 .
2m
2m
(
4)v1 =v ,v2 = v .
m +M
M
ls
mvcos
θ- M 2g
i
n
θ
(
5)共同速度为v=
.
m +M
(
6)①1.
8×103 N ;②vA =6 m·s-1 ,
vB =22 m·s-1 .
(
7)①26.
5N ;② -4.
7N·s.
1
1
1
(
8)① ma2ω2 ;② W x = ma2ω2 ,W y = mb2ω2 .
2
2
2
(
9)729J.
Fhs
i
n
α
(
10)-μmghc
t
an
θ+μ
.
s
i
n
θ
(
11)-F0R .
k (l-l0 ) 2
(
12) 2g
l.
m
(
13)v= k/mr ,E =-k/(2
r) .
(
14)-0.
207.
v
(
15)
3
km .
2
F2 (2m1 +m2 ) ,恒力 对
(
16)v=F/ k(m1 +m2 ) ,拉力 T 对 m1 所作的功为v=
F
2
k(m1 +m2 )
m2 所作的功
F2
.
k
(
17)v=6.
14cm·s-1 ,
(
18)vB =i-5
j.
.
(
19)v=5.
83 m·s-1 .
G1 7
(
20) = .
G2 3
R
(
21).
6
3
(
22) a .
8
第4章
(
1)
15.
7r
ad·s-2 ,
420.
(
2)① ω =a+3b
t2 -4
c
t3 ;②α=6b
t-12
c
t3 .
· 275 ·
大学物理(上册)
(
3)4x2 +y2 =l2
(
4)证明略
a
b
(
5) l3 + l4
3
4
43
(
6) m0R2
72
Jω0
J
(
7)① l
n2;②
C
4πC
2
(
8) L
3
m2g -m1gs
i
n
θ-μm1gcos
θ;
(
9)①
J
m1 +m2 + 2
r
m1m2g(
1+s
i
n
θ+μcos
θ)+ (
s
i
n
θ+μcos
θ)
m1gJ/
r2
② FT1 =
J
m1 +m2 + 2
r
m1m2g(
1+s
i
n
θ+μcos
θ)+m2gJ/
r2
FT2 =
J
m1 +m2 + 2
r
(
10)①α=10.
3r
ad·s-2 ;② ω =9.
08r
ad·s-1
mg
(
11)
4
Smg
(
12)a= (
m + M/2)
l
(
13)-9.
52×102S-1 .
3
2
(
14)①4ω0 ;② mr2
0ω0 .
2
2
J0ω0 ,
J0ω2
0R
(
;
15)ωB =
v
2
R
ωC =ω0 ,
vC = 4gR .
=
+
B
g
J0 + mR2
J0 + mR2
(
16)v=
4mgh
.
2m + M
(
17)
rmax =R(
1+c
o
s
α).
3
1
(
18)① g;② ,向上 .
4
4
v1 +v2
(
19)
t=2m2
.
μm1g
Jω0
1
(
20)ω =
5s-1 ,
ΔEk = Jω2 =-86.
87J.
=0.
2
J + Mr2
g;
F -μ(
m0 +m)
(
21)①am =
②F =2μ(
m0 +2m)
g.
m0
m+
3
· 276 ·
习 题 答 案
2
5
2
(
22)①v1 = v0 ,
v2 = v0 ;②ΔE = mv2
0.
7
7
7
10(
17
(
23)v=
R -r)
FN = mg .
g;
7
7
(
24)W =2
k
ls
i
n
θ.
第5章
(
1)E =1.
8×104N/C,
E 的方向沿x 轴正向 .
λ0
(
2)E =Exi+Eyj =j.
8π
ε0R
σ0
(
3)E =Exi=- i .
2
ε0
Ar2 ,(
(
4)E1 =
r ≤ R)方向沿径向 .A >0 时向外,A <0 时向里;
4
ε0
AR2 ,(
E2 =
r ≤ R)方向沿径向 .A >0 时向外,A <0 时向里 .
4
ε0r2
1
ùú
λ1λ2R éê 1
(
5)
êëR - (2
ú .
2
l
R
1/2û
2
ε0
+ )
r3 ö
æ
(
6)ρ d ,方向水平向右;ρ çd - 2 ÷ ,方向水平向左 .
4d ø
3
ε0
3
ε0 è
q
(
7)
.
2
lö
æç
8π
ε0l 1+ ÷
aø
è
(
8)8.
71×106m/s.
qQ (
(
9)
3
r-2R).
8π
ε0Rr
2R3
æ
1ö
2
÷
(
10)ρ ç3R2
.
2 -r r ø
6
ε0 è
U0
U0
R2
r 或
(
11)2U0 - ( / )
l
n
U0 + ( / )
l
n
.
l
n R2 R1
R1
l
n R2 R1
r
(
12)①0;②1.
92×10-9N.
(
13)证明略 .
δ
(
14)
.
4
ε0
1 Q
(
15)
.
8π
ε0 d
2
(
16)
36V;
57V.
σ
σ
σ
(
17) a(
x <-a);- x(
x > a).
-a < x < a);- a(
ε0
ε0
ε0
2
R
ρR l
(
18)ρ (
R2 -r2)(
r ≤ R);
n (
r ≥ R).
4
ε0
2
ε0 r
· 277 ·
大学物理(上册)
x
æ
ö
σ
(
( 2 2
) ;② σ ç1- 2 2 ÷i;③1691V,
19)①
5607V .
2
ε0 R +x -x
2
ε0 è
R +x ø
(
20)①2.
1×10-8C·m-1 ;②7475V·m-1 .
σR
(
21)
.
6
ε0
q ; ,q
(
22)①
②0
.
6
ε0
24
ε0
(
23)缺少,
1.
38×105 个电子/cm3 .
q ,指向
5
(
24)
-4
q.
2π
ε0a2
(
25)证明略 .
σ0
x
(
,沿直线指向远方 .
26)
1/2
2
ε0 (
R2 +x2)
3q
(
27)
.
3
(
28)证明略 .
第6章
(
1)①B 球表面;②3.
77×10-4C .
nqx ,
nq ( 2
(
2)选 x 轴垂直导体板,原点在中心平面上 E =
U=
d -x2).
ε0
2
ε0
σ(
(
3)U =
b-a).
2
ε0
(
4)①q1 =6.
67×10-9C,
3×10-9C;②U1 =U2 =6.
0×103V .
q2 =13.
Qd ;
Qd
(
5)
.
2
ε0S ε0S
r(
R2Q1 +R1Q2)
(
6)
.
q=
R2(
R1 +r)
(
7)
998V·m-1 ;
12.
5V.
(
8)200kV .
(
9)向上运动 .
(
10)600V .
(
11)C1 上电势差减小,C2 上电势差不变 .
(
12)C1 极板上电荷增加,C2 极板上电荷不变 .
(
13)0.
64 倍 .
W0
(
14)W =
.
εr
(
15)4 倍 .
· 278 ·
习 题 答 案
第7章
2
1
k
r;
k
μ0e
(
1) e2
.
2
m 4π
r2 mer
(
2)1.
60×10-8T .
(
3)
Idl1 在 O 点产生 dB1 的方向为z 轴反方向,
Idl2 在 O 点产生 dB2 的方向为z 轴
I
l
0
0
反方向,
Idl3 在 O 点产生 dB3 的方向为z 轴反方向;② B3 =μ (
π+1)
i- μ k (
4)R
4πR
4πR
r.
=2
I
0b
(
5) μ2
.
2π(
R -a2)
(
6)R1 =3R2 .
1
2
1/2
2
1/2
(
;② 1μ0(
;③0.
7)① μ0(
i2
i1i2cos
θ)
i2
i1i2cos
θ)
1 +i
2 -2
1 +i
2 +2
2
2
2
I
R2 + R2
0N
2 +L
(
8) (μ
l
n
.
2
2 R2 -R1) R1 + R2
1 +L
σ
θωR ,方向垂直纸面向外
0
(
9)μ
.
4π
R2
nI
0
(
10)μ
l
n
.
2 R2 -R1 R1
I
0
(
11)μ (
2 3 -3),方向垂直纸面向里 .
4π
l
(
12)10-6 Wb.
I
0
μ0I
(
,方向垂直 x 轴及图面向里 .
13)μ + (
2πx 2π 3
a-x)
(
14)①E =-v ×B;②σ=ε0E =ε0vB .
(
15)①5.
69×106m;②2.
80×109s-1 .
(
16)μ0I1I2 ,沿 x 轴方向 .
a
I1I2 (
0
(
17)μ
2
l
n2-l
n3).
2π
1
4πm
(
18)① B = μ0i (方向:在板右侧垂直纸面向里);②
.
2
qμ0i
1
(
19)① πa2BI0s
i
n2ωt ;② BI0ωπa2 .
2
I2 ,导线 所受力矩方向垂直图面向上,导线 所受力矩方向与此相反
0
(
20) μ
2
1
.
2πs
i
n
θ
q é R2 +2x2
ù
0
(
xúúω .
21)μ 2 êê ( 2
2 1/2 -2
û
2πR ë R +x )
æR2 -R1
I
1 ö÷ μ0I, 的方向垂直纸面向外;
0
(
22)① ç
B
②B ≈ μ
.
+
è R1R2
πR4 ø 4
4πR1
· 279 ·
大学物理(上册)
λ
ω 0 a+b ,方向垂直纸面向内;
(
23)① μ l
n
4π
a
②
3
3
λ
ω [(
a+b)
-a ] ,方向垂直纸面向内;
6
ω 0q
1
③ B0 = μ ;
m = qωa2 .
4πa
2
3
ω
0R λ
(
;方向与 y 轴正向一致 .
24) μ2
3/2
2(
R +y2)
1
(
25) μ0j .
2
I
I
0
0
(
26)μ +μ l
n2.
4π 2π
I2(
R +d)(
1+π)-RI1 ,方向
0
(
27)μ ·
☉.
2π
R(
R +d)
NIb R2 ;
(
28)① μ
l
n
②0.
2π
R1
mv
(
29) 3
.
eB
(
30)
IBR .
2
2
I1
0R1
0
μ0R2I2
(
31)μ [ 2 μ(
/
2 32
2 3/2
]
[
]
R2
b-x)
2 R1 + b+x)
2+(
{
方向;若 B <0,则 B 方向为沿轴负方向 .
} ,若 B > 0,则 B 方 向 为 沿 轴 正
(
32)n=1.
00×103m-1 .
第8章
(
1)①0.
40V;② -0.
5m2 ·s-1 .
I
b d +a/2
0
(
2)
n
.
q=μ l
πR d -a/2
(
3)①
1
2
=0;②Ua -Uc =- Bωl .
2
(
4)①πBnR2 ;②O 点 .
mbR
mb
(
5)①
t
an
θ;②
t
an
θ.
BL
BL
I
v a+ 3l/4;方向从
0
(
6) = μ l
n
1→2.
2 3π a- 3l/4
(
7)A 点比 B 点电势高 .
∫ωrBdr= 2ωB(R -R );指向:C → A .
(
8)大小: =
(
9) 2 >
· 280 ·
1
.
R2
R1
1
2
2
2
1
习 题 答 案
π
(
10)①5×10-3V·m-1 ,顺时针方向;②π×103V;③ ×10-3A;④0;⑤π×10-3V .
2
(
11)0.
(
12)μr =4.
78×103 ;
L =0.
12H .
(
13)0.
(
14)M =9.
87×10-7H .
(
15)W m =0.
125J.
(
16)1.
26A .
(
17)3A .
ε0πR dE
(
18)
.
d
t
2
· 281 ·
参 考 文 献
[
1]马文蔚 .物理学[M].北京:高等教育出版社,
2006.
[
2]渊小春 .物理学[M].上海:同济大学出版社,
2014.
[
3]陈飞明 .大学物理学[M].北京:科学出版社,
2006.
[
4]李钰,李新 .大学物理学教程[M].北京:科学出版社,
2006.
[
5]上海交通大学物理教研室 .大学物理教程[M].上海:上海交通大学出版社,
2006.
[
6]漆安慎,杜婵英 .力学[M].北京:高等教育出版社,
2012.
[
7]周衍柏 .理论力学教程[M].北京:高等教育出版社,
2009.
[
8]葛松华,王河,杨清雷 .电磁学[M].北京:化学工业出版社,
2014.
[
9]张三慧 .大学基础物理学[M].北京:清华大学出版社,
2003.
[
10]吴百诗 .大学物理[M].西安:西安交通大学出版社,
2004.
[
11]赵凯华,罗蔚茵 .力学[M].北京:高等教育出版社,
1995.
[
12]程守洙,江之泳 .普通物理学[M].北京:高等教育出版社,
1998.
[
13]赵凯华,罗蔚茵 .电磁学[M].北京:高等教育出版社,
1998.
[
14]吴百诗 .大学物理基础[M].北京:科学出版社,
2007.
[
15]吴泽华,陈治中,黄正东 .大学物理[M].杭州:浙江大学出版社,
2001.
[
16]王济民,罗春荣,陈长乐 .大学物理学[M].西安:西北工业大学出版社,
2011.
[
17]郭长立,郝丽梅,炎正馨 .大学物理[M].西安:西北工业大学出版社,
2009.
[
18]王文福,税正伟 .大学物理学[M].北京:科学出版社,
2011.
[
19]秦允豪 .热学[M].北京:高等教育出版社,
2011.
[
20]陈宏芳 .原子物理学[M].北京:科学出版社,
2012.
[
21]杨福家 .原子物理学[M].北京:高等教育出版社,
2011.
[
22]赵凯华,钟锡华 .光学[M].北京:北京大学出版社,
2006.
· 282 ·