s. ALIXONOV
MATEMATIKA
0‘QITISH
METODIKASI
K3P^-,V-__
j
0 ‘ZBEKIST0N RESPUBLIKASI OLIY VA
0 ‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
AS I
s. ALIXONOV
MATEMATIKA 0 ‘QITISH
METODIKASI
0 ‘zbekiston Respublikasi Oliy va o'rta maxsus ta’lim vazirligi tomonidan
5460100 —matematika bakalavriat ta ’Urn yo ‘nalishi bo ‘yicha oliy о ‘guv
yurtlari talabalari uchun darslik sifatida tavsiya etilgan
ChoHpon nomidagi nashriyot-matbaa ijodiy uyi
r^-^-^oshkent - 2011
......
A a a -i
UDK: 51(075)
ВВК 74.262.21
A51
Taqrizchilar:
Formonov Shokirjon — 0 ‘zbekiston fanlar akademiyasining akademigi, flzikamatematika fanlar doktori, professor,
Mashrabjon Mamatov - 0 ‘zbekiston Milliy Universitetining professori,
fizika-matematika fanlari doktori,
Mamarajab Tojiyev —pedagogika fanlari doktori, professor.
AlixoBOV Sodiqjon.
A51
Matematika o‘qitish metodikasi: 5460100 —Matematika bakalavr
ta’Iim yo‘nalishi talabalari uchun darslik /S. Alixonov. —Т.: Cho'ipon
nomidagi nashriyot-matbaa ijodiy uyi, 2011. —304 b.
ISBN 978-9943-05-409-7
Ushbu darslik universitet va pedagogika universitetlarining matematika
fakulteti talabalari uchun «Matematika o'qitish metodikasi» fanining dasturi
asosida yozilgan bo‘lib, unda asosan umumiy metodikaga doir bo‘lgan
matematika o'qitish metodikasining maqsadi, mazmuni, formasi, metod
va vositaiari orasidagi munosabatlar pedagogik, psixoiogik va didaktik nuqtayi
nazardan ochib berilgan.
Mazkur darslikda keltirilgan barcha nazariy va amaliy mavzulaming
mazmuni matematika o'qitish metodikasi fanining amaldagi dasturiga to‘ia
mos keladi. Darslikning barcha boblarining oxirida mustaqil ishlash uchun
misollar, o‘z-o‘zini nazorat qihsh uchun savollar hamda tayanch iboralar
keltirilgan.
Ushbu darslik universitetlaming matematika fakulteti bakalavr yo‘nalishidagi talabalari hamda matematikadan ta’Iim yo'nalishidagi magistrlar
uchun tavsiya etilgan.
UDK: 51(075)
BBK 74.262.21
ISBN 978-9943-05-409-7
© S. Alixonov, 2011
© Cho‘Ipon nomidagi nashriyot-matbaa ijodiy uyi, 2011
S O ‘Z B O S H I
I Jshbu darslik matematika va amaliy m atematika bakalavr talabalar
iicliim matematika o'qitish metodikasi kursining dasturi asosidayozilgan.
I )iiislikda matematik ta ’limning maqsadi, mazmuni, formasi, metodlari
VII lining vositalarini matematika darslariga tatbiq qilish qonuniyatlari
psixologik, pedagogik va didaktik nuqtayi nazardan bayon qilingan.
M;itcmatik ta ’iimni isloh qilish, Kadrlar tayyorlash milliy dasturi va
(i/liiksiz ta ’iimni amalga oshirish masalaiari ham bayon etilgan.
Ma’lumki, matematika fani mavjud moddiy dunyodagi narsalarning
lii/oviy formaiari va ular orasidagi miqdoriy munosabatlarni o‘rganish
jMiayonida «ilmiy izlanish» metodlaridan foydalanadi. Shuning uchun
hum ushbu darslikda ilmiy izlanish metodlaridan kuzatish va tajriba,
lii(l(loslash, analiz hamda sintez, umumlashtirish, abstraktlashtirish va
konkretlashtirishlarni matematika darslarida qo‘llanishi ilmiy-metodik
jiliiilidan tushuntirishga harakat qilingan. M atematikani o'qitish jarayoiiida fikrlash formalarini paydo qilish metodikasi ham yoritilgan, ya’ni
liissiy bilish (sezgi, idrok, tasaw ur) bilan mantiqiy bilish (tushuncha,
hiikm, xulosa) orasidagi mantiqiy bog‘lanishlar ochib berilgan. M atem;ilik tushuncha va uni o‘quvchilar ongida shakllantirish metodikasi,
miitcmatik hukm va uning turlari bo'lm ish aksioma, postulat va teoreiiiiilarni o ‘quvchilarga o ‘rgatish m etodikalari yoritilgan. M atem atik
4iil()sa va uning induktiv, deduktiv hamda analogik turlarini dars jarayomdagi tatbiqlari ko'rsatilgan. M atematika fanini o'qitishdagi didaktik
jtiinsiplarning turlarini o ‘rgatishga alohida ahamiyat berilgan.
Darslikda yangi pedagogik texnologiya asosida o ‘qitishning an ’aiiiiviy va noan’anaviy metodlaridan: m a’ruza, suhbat, mustaqil ish,
cvi istik va muam m oh ta ’lim metodlarini dars jarayonida qo'Uanilishiga
kiillii ahamiyat berilgan. M atematika darsi, uning tuzilishi va uni tashkil
(|ilish metodikasi, matematika darsining turlari, darsga tayyorgarlik va
imiiig tahlili m atem atika darsiga qo'yilgan talablar ochib berilgan.
I )iiislikda yana son tushunchasini kiritish va uni kengaytirish, ular ustida
In'ri amalni bajarish, maktabdagi ayniy shakl almashtirishlami o'rgatish,
maktab matematika kursidagi tenglama turlari, tenglamalar sisteiriasi
hamda parametrik usulda berilgan tenglamalarni yechish metodikalari
ham ko‘rsatib o ‘tilgan. Darslikning oxirida masala va uning turlarini
yechish metodikasi ham ko'rsatilgan. H ar bir bob tugagandan keyin
talabalar uchun shu bob mavzularining mazmunini ochib beruvchi
mantiqiy ketma-ketlikka ega bo‘lgan savollar sistemasi hamda tayanch
iboralar keltirilgan.
Ushbu darslik haqida qim matli fikrlarini bildirgan 0 ‘zbekiston
fanlar akadem iyasining akadem igi, professor Sh.K. Farm onovga,
professor N. G ‘aybullayev va professor M. Tojiyevlarga va dotsent
M. Rayemovga ham da darslikni o ‘qib chiqib o ‘zlarining qimmatli
fikrlarini bildirgan fizika-matematika fanlar doktori 0 ‘zbekiston Milliy
universitetining professori Mashrabjon Mamatovga samimiy minnatdorchiligimni bildiraman.
Muallif
/ bob
UM UM TA’LIM MAKTABIAMDA MATEMATIKA
0 ‘Q IT IS H MASALALARI
l- § . M atem atika o‘qitish metodikasi predmeti
Matematika so'zi qadimgi grekcha — mathema so‘zidan olingan
ho'lib, uning m a’nosi «fanlami bilish» demakdir. M atematika fanining
o'rganadigan narsasi (obyekti) materiyadagi mayjud narsalaming fazoviy
lomialari va ular orasidagi miqdoriy munosabatlardan iborat. Hozirgi
(liivrda matematika fani shartli ravishda ikkiga ajraladi:
1) elementar matematika, 2) oliy matematika.
Elementar matematika ham mustaqil mazmunga ega bo'lgan fan
l)()‘lib, u oliy matematikaning turli tarmoqlaridan, ya’ni nazariy arifiiictikadan, 5од1аг nazariyasidan, oliy algebradan, m atematik analizdan
VII geometriyaning mantiqiy kursidan olingan elementar m a’lum otlar
iisosiga qurilgandir.
,
Oliy matematika fani esa real olamning fazoviy formalari va ular
ni'iisidagi miqdoriy munosabatlarni to ‘la ham da chuqur aks ettiravchi
miilematik qonuniyatlami topish bilan shug'uUanadi.
Elementar matematika fani maktab matematika kursining asosini
(iislikil qiladi. Maktab matematika kursininng maqsadi o‘quvchilarga
iiliirning psixologik xususiyatlarini hisobga olgan holda m atem atik
Itilimlar sistemasini m a’lum usul (m etodika) orqali o ‘quvchilarga
Vi'lkaziladi. (Metodika so‘zi grekcha so‘z bo‘lib, «уо‘1» degan m a’noni
iiiipjatadi.) Matematika metodikasi pedagogika va didaktika fanining
iisosiy bo‘limlaridan biri b o lib , jamiyatimiz taraqqiyoti darajasida ta ’lim
miiiisadlariga mos keluvchi matematikani o‘qitish, o ‘rganish qonuniyatliiiiiii o'rganadigan mustaqil fandir.
Matematika metodikasi ta’lim jarayoni bilan bog‘Hq bo‘lgan quyidagi
Ill'll savolga javob beradi:
1. Nim a uchun matematikani o ‘rganish kerak?
2, M atematikadan nimalarni o'rganish kerak?
3i Matematikani qanday o'rganish kerak?
Matematika metodikasi haqidagi tushuncha birinchi bo‘Ub, shveytsailViilik pedagog-matematik G. Pestalotsining 1803-yildayozgan «Sonni
hi'igazm ali o'rganish» asarida bayon qilingan. XVII asrning birinchi
yarmidan bosMab matematika o'qitish metodikasiga doir masalalar
bilan ms olimlaridan akademik S.E. Gurev (1760—1813), XVIII asrning
birinchi va ikkinchi yarmidan esa N .I. Lobachevskiy (1792-1856),
I.N. Ulyanov (1831-1886). L.N. Tolstoy (1828-1910) va atoqli metodistmatematik S.I.Shoxor-Trotskiy (1853-1923), A.N. Ostrogradskiy va
boshqalar shug‘ullandilar va ular m atem atika faniga ilmiy nuqtayi
nazardan qarab, uning progressiv asoslarini islilab chiqdilar. Masalan,
A.N. Ostrogradskiy «Ong kuzatishdan keyin paydo bo‘ladi, ong real,
mavjud olamga asoslangan» deb yozgan edi.
Geometriya metodikasidan materiallar (Материалы no методике
геометрии, 1884-yil, 8-bet.).
Keyinchalik matematika o'qitish metodikasining turli yo‘nalishlari
ЬДап N.A. Izvolskiy, V.M. Bradis, S.E. Lyapin, I.K. Andronov, N.A. Gla­
goleva, I.Ya.Dempman, A.N. Barsukov, S.I. Novoselov, A.Ya. Xinchin,
N .F. Chetveruxin, A.N. Kolmogorov, A.I. Markushevich, A.I. Fetisov
va boshqalar shug'ullandilar.
1970-yildan bosMab maktab matematika kursining mazmuni yangi
dastur asosida o'zgartirildi, natijada uni o ‘qitish metodikasi ham ishlab chiqildi. Hozirgi dastur asosida o ‘qitilayotgan maktab matematika
fanining metodikasi bilan professorlardan V.M. Kolyagin, R.S. Cher­
kasov, P.M . Erdniyev, J. Ikramov, N. G'aybullayev, T. T o‘laganov,
A. A bduqodirov va boshqa m etodist olim lar shug‘ullanganlar va
shug‘ullanm oqdalar. M atem atika o ‘qitish m etodikasi pedagogika
universitetlarining III—IV kurslarida o'tlladi. U o‘zining tuzilishi xususiyatiga ko‘ra shartli ravishda uchga bo‘linadi.
1. M atem atika o^qitishning umumiy metodikasi. Bu b o ‘lim da
matematika fanining maqsadi, mazmuni, formasi, metodlari va uning
vositalarining metodik sistemasi, pedagogika, psixologiya qonunlari
hamda didaktikprinsiplar asosida ochib beriladi. '
2. M atem atik a o ‘qitishning m axsus m etodikasi. Bu b o ‘lim da
matematika o ‘qitish umumiy metodikasining qonun va qoidalarining
aniq mavzu materiallariga tatbiq qilish yo‘llari ko‘rsatiladi.
3. M atem atika o‘qitishning aniq metodikasi.
Bu bo‘lim ikki qismdan iborat:
1. Umumiy metodikaning xususiy masalalari.
2. Maxsus metodikaning xususiy masalalari.
M asalan, VI sinfda m atem atika darslarini rejalashtirish va uni
o‘tkazish metodikasi deyilsa, bu umumiy metodikaning xususiy masalasi
bo‘lib hisoblanadi.
т
2-§. 0 ‘rta umumta’lim maktablarida matematika
o‘qitishnmg maqsadi
0 ‘rta maktablarda matematika o'qitishning maqsadi quyidagi uch
omil ЬИап belgilanadi:
1. Matematika o‘qitishning um um ta’Iimiy maqsadi.
2. M atematika o ‘qitishning tarbiyaviy maqsadi.
3. M atematika o'qitishning amaliy maqsadi.
1. Matematika o'qitislming iimumta’limiy maqsadi o‘z oldiga qtiyidagi
vazifalarni qo‘yadi:
a) 0‘quvchilarga m a’lum bir dastur asosida m atem atik bilim lar
lizimini berish. Bu bilimlar tizimi matematika fani to ‘g‘risida 0‘quv­
chilarga yetarli darajada m a’ium ot berishi, ularni m atematika fanining
yuqori bo'limlarini o‘rganishga tayyorlashi kerak. Bundan tashqari, dastur
asosida o‘quvchilar o'qish jarayonida olgan bilimlarining ishonchli
ckanligini tekshira bilishga o ‘rganishlari, ya'ni isbotlash va nazorat
(lilishning asosiy metodlarini egallashlari kerak;
b) 0‘quvchilarning og‘zaki va yozma matematik bilimlarini tarkib
loptirish. M atematikani o'rganish o‘quvchilaming o‘z ona tillaridaxatosi/ so'zlash, o‘z fikrini aniq, ravshan va io‘nda qilib bayon eta bilish
malakalaritii o‘zlashtirislilariga yordam berishi kerak. Bu degan so‘z
o'quvchilarning har bir m atem atik qoidani o ‘z ona tillarida to ‘g‘ri
p,:ipira olishlariga erishish ham da ularni ana shu qoidaning m atem atik
ilbdasini formulalar yordamida to ‘g‘ri yoza olish qobiliyatlarini atroflicha shakUantirish demakdir;
d) o ‘quvchilarni matematik qonuniyatlar asosida real haqiqatlam i
l)ilishga o‘rgatish. Bu yerda 0‘quvchilarga real olamda yuz beradigan
(4ig sodda hodisalardan tortib to murakkab hodisalargacha hammasining
liizoviy formalari va ular orasidagi miqdoriy munosabatlami tushunishga
imkon beradigan hajmda bHimlar berish ko‘zda tutiladi.
Bunday bilimlar berish orqali esa 0‘quvchilarning fazoviy tasaw ur
(jilishlari shakllanadi ham da mantiqiy tafakkur qilishlari yanada rivojlanadi.
2. M atematika o ‘qitishning tarbiyaviy maqsadi o ‘z oldiga quyidaH.ilarni qo‘yadi:
a) o ‘quvchilarda ilmiy dunyoqarashni shakUantirish. Bu g‘oya bilish
luizariyasi asosida amalga oshiriladi;
b) o ‘quvchilarda m atem atikani o ‘rganishga bo‘lgan qiziqishlarni
Inrbiyalash.
M a’lumki, matematika darslarida o‘quvchilar o'qishning dastlabki
kunlaridanoq mustaqil ravishda xulosa chiqarishga o‘rganadilar. Ular
aw alo kuzatishlar natijasida, so‘ngra esa m antiqiy tafakkur qilish
natijasida xulosa chiqaradilar. Ana shu chiqarilgan xulosalar matematik
qonuniyatlar bilan tasdiqlanadi.
M atematika o ‘qituvchisining vazifasi o ‘quvchilarda mustaqil m anti­
qiy fikrlash qobiliyatlarini shakllantirish bilan birga ularda matematikaning qonuniyatlarini o'rganishga bo‘lgan qiziqishlarini tarbiyalashdan
iboratdir;
d) o ‘quvcliQarda matematik tafakkurni va matematik madaniyatni
shakllantirish. M atematika darslarida o‘rganiladigan har bir matematik
xulosa qat’iylikni talab qiladi, bu esa o ‘z navbatida juda ko‘p matematik
tushuncha va qonuniyatlar bilan ifodalanadi. 0 ‘quvchilar ana shu
qonuniyatlarni bosqichm a-bosqich o'rganishlari davomida ularning
m antiqiy tafakkur qilishlari rivojlanadi, m atematik xulosa chiqarish
madaniyatlari shakllanadi.
0 ‘quvchilarni b iro r m atem atik qo n u n iy atn i ifoda qilm oqchi
bo‘lgan fikrlarni simvolik tilda to ‘g‘ri ifodalay olishlari va aksincha
simvolik tilda ifoda qilingan m atem atik qonuniyatni o‘z ona tillarida
ifoda qila olishlariga o ‘rgatish orqali ularda matem atik madaniyat
shakllantiriladi.
3.
m atem atika o ‘qitishning amaliy maqsadi o‘z oldiga quyidagi
vazifalarni qo‘yadi:
a) matematika kursida olingan nazariy biUmlarni kundalik hayotda
uchraydigan elementar masalalarni yechishga tatbiq qila olishga o‘rgatish.
Bunda asosan o ‘quvchilarda nazariy bUimlarni amaliyotga bog'lay olish
imkoniyatlarini tarkib toptirish, ularda turli sonlar va matematik ifbdalar
ustida amallar bajarish malakalarini shakllantirish va ulami mustahkamlash uchun maxsus tuzilgan amaliy masalalarni hal qihshga o ‘rgatiladi;
b) matematikani o‘qitishda texnik vosita va ko'rgazmaU quroUardan
foydalanish malakalarini shakllantirish. Bunda o‘quvchilaming m ate­
matika darslarida texnika vositalaridan, matematik ko'rgazmali quroUar,
jadvallar va hisoblash vositalaridan foydalana olish malakalari tarkib
toptiriladi;
d)
0‘quvchilarni mustaqil ravishda matematik bilimlami egallashga
o'rgatish. Bunda asosan o ‘quvchilarni o ‘quv darsliklaridan va ilmiyommaviy matematik kitoblardan mustaqil o ‘qib o ‘rganish malakalarini
shakllantirishdan iboratdir.
3-§. M atem atika o‘qitish metodikasining boshqa
fanlar bilan aloqasi
Ma’lumki, m atematika o‘qitish metodikasi fani pedagogika fanining
ma’lum bir bo‘limi b o ‘lib, u matematika fanini o'qitish qoidalarini
o'iganish bilan shug'ullanadi. Matematika o ‘qitish metodikasi m ate­
matika fanini o ‘qitish qonuniyatlarini o‘rganish jarayonida pedagogika,
mantiq, psixologiya, matematika, lingvistika va faisafa fanlari bilan
ii/.viy aloqada bo'ladi. Boshqacha aytganda, maktabda m atem atika
o'ciitish m uam m olari m antiq, psixologiya, pedagogika, m atem atika
vii faisafa fanlari bilan uzviy bog‘liqlikda hal qilinadi. Matematika o‘qitish
metodikasining metodologik asosi bilish nazariyasiga asoslangandir.
Matematika metodikasi fani matematik ta ’limning maqsadi, mazmimi, formasi, uslubi va uning vositalarini dars jarayoniga tatbiqiy
i|()iuiniyatlarini o ‘rganib keladi. Matematika fani fizika, chizmachilik,
kmiyo va astronomiya fanlari bilan ham uzviy aloqada bo'ladi. M aIcinatika fanining boshqa fanlar bilan uzviy aloqasi quyidagi ikki yo‘l
l)ilan amalga oshiriladi:
1) m atem atika tizim ining butunligini buzm agan holda qo'shni
I.Ill laming dasturlarini moslashtirish;
2) boshqa fanlarda matematika qonunlarini, formulalarini teoremalarni o‘rganish bilan bog'liq bo‘lgan materiallardan m atem atika
kiirsida foydalanish.
Hozirgi vaqtda matematika dasturini boshqa fanlar bilan moslashI Irish masalasi ancha muvaffaqqiyatli hal qilingan. Masalan, funksiyalar
va iilarni grafik tasvirlash haqida fizikada foydalaniladigan b a ’zi
ma’lumotlarni o ‘quvchilar VII sinfdan boshlab o ‘rgana boshlaydilar.
VIII sinfda beriladigan geom etrik yasashlarga doir ko‘p bilim lar
I lii/machilik fani uchun boy material bo'ladi, chizmachilikning vazifasi
hii bilimlarni turli chizmachilik ishlarini bajartirish yo‘li bilan puxtal.islidan iboratdir.
M atematika darslarida boshqa fanlardan foydalanish masalasini
ilasliirda aniq ko'rsatish qiyin, buni o'qituvchining o ‘zi amalga oshiradi,
Vii’iii o‘quv materialini rejalashtirishda va darsga tayyorlanish vaqtida
r'lilwrga olishi kerak. Masalan, tenglamalarni o ‘rganish davrida fizik
mi(|clorlar orasidagi bog‘lanishlarni aks ettiradigan tenglamalarni, ya’ni
issitjlik balansi tenglamasi, issiqlikdan chiziqli kengayish tenglamasi va
'.lirtnga o ‘xshash tenglamalarni ham yechtirishi mumkin. Dastuming
l(ti/.; proporsiya va boshqa boblarini o ‘rganishda kimyo va fizika
masalalaridan foydalanish maqsadga muvofiq (aralashmalar, quymalar
va shunga o'xshashlar), masalan: 1) 20% li eritma hosil qilish uchun
eritiladigan moddadan 240 g suvga qancha solish kerak? 2) 5% li 400 g
eritmani qaynatib, 200 g ga keltirildi. Endi eritmaning o'tkirligi qancha
bo‘ladi?
Qo'shni fanlarga doir materiallardan matematika darslarida foyda­
lanish fanlararo uzviy aloqadorlikni yanada mustahkamlaydi.
4-§. T a’limning isloh qilinishi
0 ‘zbekiston Respublikasi mustaqillikka erishgach, maktab ta ’Umiga
juda ham katta e’tibor berildi. Jumladan 1997-yil 29-avgustda 0 ‘zbekiston
oliy majlisining IX sessiyasida ta ’lim to ‘g‘risidagi qonunga asoslagan
kadrlar tayyorlash milliy dasturi qabul qilindi.
Bu qabul qilingan qonunga ko‘ra uzluksiz ta ’lim tizimining faoliyati
davlat ta’lim standartlari asosida, o‘z ichiga quyidagi ta’lim turlarini
oladi.
M aktabgacha ta ’lim, boshlang‘ich ta ’lim, u m um iy.o‘rta ta ’lim,
o ‘rta maxsus kasb-hunar ta ’limi, oliy ta ’lim, oliy o'quv yurtidan
keyingi ta ’lim, kadrlar .malakasini oshirish va ularni qayta tayyorlash,
maktabdan tashqari ta ’lim.
Kadrlar tayyorlash milliy modeUning o ‘ziga xos xususiyati mustaqU
ravishdagi to ‘qqiz yillik umumiy o‘rta ta ’lim hamda uch yillik o‘rta
maxsus, kasb-hunar ta ’limini joriy etishdan iboratdir.
Bu esa umumiy ta ’lim dasturlaridan o‘rta maxsus, kasb-hunar ta ’limi
dasturlariga izchil o ‘tilishini ta ’minlaydi. Umumiy ta ’lim dasturlari:
maktabgacha ta ’lim, boshlang‘ich ta ’lim ( I-IV sinflar), umumiy o'rta
ta ’lim (V -IX sinflar), o ‘rta maxsus va kasb-hunar ta ’limini qamrab
oladi.
Maktabgacha ta’lim bola sog'lom, har tom onlam a kamol topib
shakllanishini ta ’minlaydi, unda o ‘qishga intilish xissini uyg‘otadi,
uni muntazam bilim olishga tayyorlaydi. Maktabgacha ta’lim bola oltiyetti yoshga yetguncha davlat va nodavlat makgabgacha tarbiya, bolalar
muassasalarida ham da oilalarda amalga oshiriladi.
Umumiy o‘rta ta ’lim I - I X sinflar o'qishidan iborat bolgan majburiy
ta ’limdir. Ta’hmning bu turi boshlang'ich sinfni ( I-IV sinflar) qamrab
oladi ham da o'quvchilam ing fikrlashlari bo'yicha m untazam bilim
olishlarini, o ‘quv-ilmiy va umum madaniy bilimlarni, milliy um um bashariy qadriyatlarga asoslangan m a’naviy-ahloqiy fazilaflarni, mehnat
10
ko‘nikmalarini hamda kasb tanlashni shakllantiradi. Umumiy o'rta ta’lim
liigallanganidan keyin ta ’lim fanlari va ular bo'yicha olingan baholar
ko‘rsatilgan ham da davlat tom onidan tasdiqlangan namunadagi attestat
bcriladi.
0 ‘rta maxsus, kasb-hunar ta ’limi um um iy o ‘rta ta ’lim negizida
o'qish m uddati uch yil bo'lgan majburiy b o 'lgan uzluksiz ta ’lim
lizimining turidir. 0 ‘rta maxsus, kasb-hunar ta ’limi yo‘nalishi akademik
litsey yoki kasb-hunar koUeji o‘quvchilar tom onidan ixtiyoriy tanlanadi.
Akademik litsey davlat ta ’hm standartlariga muvofiq o‘rta maxsus
ta’lim beradi. 0 ‘quvchilarning imkoniyatlari va qiziqishlarini hisobga
olgan holda ulaming jadal intelektual rivojlanishi chuqur, sohalashtirilgan
kasbga yo'naltirilgan ta ’lim olishini ta ’minlaydi.
Kasb-hunar kolleji tegishli davlat ta ’Um standartlari darajasida o ‘rta
maxsus, kasb-hunar ta ’limi beradi, bunda o'quvchilaming kasb hunarga
moyilligi, bilim va ko'nikm alam i chuqur rivojlantirish, tanlab olgan
kasb-hunar bo'yicha bir yoki bir necha ixtisosni egallash imkonini
beradi.
Oliy ta ’lim o ‘rta maxsus, kasb-hunar ta ’limi negiziga asoslanadi va
ikki bosqichga ega bo‘ladi.
1.
Bakalavriat - mutaxassisliklar yo'nalishi bo'yicha fundamental
va amaliy bilim beradigan, ta ’lim muddati kamida to ‘rt yil bo‘lgan
layanch oliy ta ’limdir. Bakalavrlik dasturi tugagandan so‘ng bitimvc:liilarga davlat attestatsiyasi yakunlariga binoan kasb bo‘yicha «bakalavr»
(larajasi beriladi.
M agistratura — aniq mutaxassislik bo'yicha fundamental va amaliy
liilim beradigan bakalavr negizidagi ta ’lim m uddati kamida ikki yil
l)o‘lgan oliy ta ’limdir. Magistr darajasini beradigan davlat malaka atteslatsiyasi magistrlik dasturining nihoyasidir.
Magistrlarga davlat tom onidan tasdiqlangan namunadagi, kasbImnar faoliyati bilan shug‘uUanish huquqini beradigan diplom beriladi.
Oliy o ‘quv yurtidan keyingi ta ’limni oliy o ‘quv yurtlarida, ilmiy
ladqiqotmuassasalarida aspirantura, doktorantura, mustaqil tadqiqotchi
k()‘rinishlaridagi bosqichlar asosida davom ettirish mumkin. Oliy o ‘quv
yurtidan keyingi ta ’lim bosqichlari dissertatsiya himoyasi bilan yakunlimadi. Yakuniy davlat attestatsiyalarining natijasiga ko‘ra tegishli ravishda
lim nomzodi va fan doktori ilmiy darajasi ham da davlat tom onidan
tasdiqlangan namunadagi diplom lar beriladi.
Kadrlar malakasini oshirish va qayta tayyorlash mutaxassisliklaming
kiisb bilimlari va ko‘nikmalarini yangilash ham da chuqurlashtirishga
11
qaratilgan. Kadrlar malakasini oshirish va qayta tayyorlash ta ’lim
muassasalaridagi o‘qish natijalariga ko‘ra davlat tom onidan tasdiqlangan
namunadagi guvohnoma va sertifikat topshiriladi.
TaKrorlash uchun savollar
1. Matematika o'qitish metodikasi fani nimani o'rgatadi va qanday
savollarga javob beradi?
2. Umumiy metodika bilan xususiy metodikaning farqi nimadan iborat?
3. Matematika fanini o'qitishdagi umumta’Hmiy maqsad nimalardan
iborat?
4. Matematikani o'qitishdagi tarbiyaviy va amaliy maqsadlarni aytib
bering.
5. Matematika o'qitish metodikasi fani qaysi fanlar bilan uzviy aloqada
bo'ladi?
6. Ta’lim to'g'risidagi qonun qachon qabul qilingan?
7. Kadrlar tayyorlash milliy dasturi qachon qabul qilingan?
8. Kadrlar tayyorlash milliy dasturi necha bosqichdan iborat?
Tayanch iboralar
Matematika, metodika, umumiy metodika, xususiy metodika, umumta’limiy maqsad, tarbiyaviy maqsad, amaliy maqsad, ta’lim haqidagi qonun,
kadrlar tayyorlash milliy dasturi, sifat bosqichi, uzluksiz ta ’lim, maktabgacha ta ’lim, boshlang'ich talim, o'rta umumiy ta ’lim, akademik litsey,
kasb-hunar kolleji, oliy ta ’lim, bakalavr, magistr, aspirantura, doktarantura,
malaka oshirish.
I I bob
MATEMATIKA DARSLARIDA B ILISH N IN G TURLARI
VA XULOSA C H IQ A R ISH METODLARI
l- § . M atem atik tushuncha
T a’lim deganda o ‘qituvchi bilan o'quvchilar orasidagi ongli va
maqsadga tom on yo'naltirilgan bilishga doir faoliyat tushuniladi. H ar
tjanday ta ’lim o ‘z oldiga ikkita maqsadni qo‘yadi:
1) o ‘quvchilarga dastur asosida o ‘rganilishi lozim b o ‘lgan zarur
l-)ilimlar sistemasini berish;
2) matem atik bilim iam i berish orqali o'quvchilam ing mantiqiy
I'lkrlash qobiliyatlarini shakllantirish.
T a’lim jarayonidagi ana shu ikki maqsad amalga oshishi uchun
o'qituvchi har bir o ‘rgatilayotgan tushunchani psixologik, pedagogik
va didaktik qonuniyatlar asosida tushuntirishi kerak. Buning natijasida
()‘quvchilar ongida bilish deb ataluvchi psixologik jarayon hosil bo'ladi.
Bizga falsafa kursidan m a’lumki, bilish jarayoni «jonli m usholiadadan abstrakt tafakkurga va undan amaliyotga demakdir». Bundan
ki)‘rinadiki, bilish jarayoni tafakkur qilishga bog‘liq ekan. «Tafakkur
“ inson ongida obyektiv olamning aktiv aks etishi demakdir» (Yu.M.
Kolyagin. «Matematika o‘qitish metodikasi, М., 1980-y, 57-bet).
Psixologik nuqtayi nazardan qaraganda bilish jarayoni ikki xil bo'ladi:
1) Hissiy bilish (sezgi, idrok va tasaw ur).
Insonning hissiy bilishi uning sezgi va tasaw urlarida o ‘z ifodasini
lopadi. Inson sezgi a‘zolari vositasida real dunyo bilan o ‘zaro aloqada
l)()‘ladi. Bilish jarayonida sezgilar bilan birga idrok ham ishtirok etadi.
Sc/.gilar natijasida obyektiv olamning subyektiv obrazi hosil b o lad i,
:iiia shu subyektiv obrazning inson ongida butunicha aks etishi idrok
ilcb ataladi.
Tashqi olamdagi narsa va hodisalar inson miya po‘stlog‘ida sezish
vii idrok qilish orqali m a’lum bir iz qoldiradi. Oradan m a’lum bir vaqt
o'Igach, ana shu izlar jadallashishi va biror narsa yoki hodisaning
obyektiv obrazi sifatida qayta tiklanishi mumkin. Ana shu obyektiv
(•lamning obyektiv obrazining m a’lum vaqt o ‘tgandan keyin qayta
iiklanish jarayoni tasaw ur deb ataladi.
2) M antiqiy bilish (tushuncha, hukm va xulosa).
13
Наг qanday mantiqiy bilish hissiy bilish orqali amalga oshadi,
shuning uchun ham har bir o'rganilayotgan matematik obyektdagi
narsalar seziladi, abstrakt nuqtayi nazardan idrok va tasaw ur qilinadi,
so‘ngra ana shu o ‘rganilayotgan obyektdagi narsa to ‘g‘risida m a’lum
bir matematik tushuncha hosil bo‘ladi.
T a’rif. Matematik obyektdagi narsalaming asosiy xossalarini aks
ettiruvchi tafakkur formasiga matematik tushuncha deyiladi.
H ar bir matematik tushuncha o ‘zining ikki tom oni, ya’ni mazmuni
va hajmi bilan xarakterlanadi.
T a’rif. Tushunchaning mazmuni deb, ana shu tushunchani ifodalovchi
asosiy xossalar to ‘plamiga aytiladi.
Masalan, to ‘g‘ri to ‘rtburchak tushunchasini olaylik. To‘g‘ri to ‘rtburchak tushunchasining mazmuni quyidagi asosiy xossalar to'plam idan
iboratdir:
1) to‘g‘ri to ‘rtburchak diagonal! uni ikkita uchburchakka ajratadi.
2) ichki qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.
3) diagonallari bir nuqtada kesishadi va shu nuqtada teng ikkiga
bo‘linadi.
T a’rif. Tushunchaning hajmi deb, ana shu tushunchaga kirgan barcha
obyektlar to ‘p lamiga aytiladi.
Masalan, to‘rtburchak tushunchasining hajmi shu to‘rtburchak tushunchasiga kirgan barcha to ‘rtburchak turlaridan, ya’ni parallelogramm,
kvadrat, romb va trapetsiyadan iborat bo'ladi. Bundan to'rtburchak
tushunchasining hajmi tomonlari uzunliklarining kattaligi turlicha bo‘lgan
barcha katta-kichik to ‘rtburchaklar tashkil qihshi ko'rinadi.
Bizga hajm jihatidan keng va mazmun jihatidan tor bo‘lgan tushunchani
jins tushunchasi, aksincha esa hajmi tor va mazmuni keng bo'lgan
tushunchani tur tushunchasi deb yuritHishi psixologiya fanidan ma’lum.
1-misol. Akslantirish tushunchasini olaylik. Bu tushunchadan ikkita,
ya’ni qaytuvchi va qaytmaydigan akslantirish tushunchalari kelib chiqadi.
Bu yerda akslantirish tushunchasi qaytuvchi va qaytmaydigan akslantirish
tushunchalariga nisbatan jins tushunchasi, qaytuvchi va qaytmaydigan
akslantirishlar esa akslantirish tushunchasiga nisbatan tur tushunchalari
bo‘ladi. Bu mulohazalardan jins tushunchasi tur tushunchalariga nisbatan
hajm jihatidan keng va mazmun jihatidan to r tushuncha ekani ko'rinadi.
2- misoL Ko'pburchak tushunchasini olaylik. Bu tushunchadan ikkita
qabariq va botiq ko'pburchak tushunchalari kelib chiqadi. K o‘pburchak
tushunchasi bu tushunchalariga nisbatan jins tushunchasi deb yuritHadi,
chunki uning hajmi qabariq va botiq ko‘pburchaklar hajmlaridan kattadir.
14
f.)iiliariq va botiq ko‘pburchaMar esa ko'pburchak tushunchasiga nisbatan
Itil (ushunchalari deb yuritiladi, chunki ulardan bar binning hajmi
kn’pburchak tushunchasining hajmidan kichik, ammo mazmunlari ko‘pIIIIrchak tushunchasining mazmunidan katta.
2-§. M atem atik tushunchalarning ta ’riflash
metodikasi
I lar bir fanda bo'lgani kabi matematika fanida ham ta ’riflanadigan
ta’riflanmaydigan tushunchalar mavjud.
Maktab matematika kursida, shartli ravishda, ta ’riflaimiaydigan eng
Mulcla tushunchalar qabul qilinadi. Jumladan, arifmetika kursida son
iii.'.liiinchasi va qo‘shish amali, geometriya kursida esa tekislik, nuqta,
m;isofa va to ‘g‘ri chiziq tushunchalari ta ’riflanmaydigan tushunchalardir.
itii tushunchalar yordamida boshqa matematik tushunchalar ta ’riflanadi.
I'a’rif degan so'zning m a’nosi shundan iboratki, bunda qaralayotgan
iiislmnchalami boshqalaridan farqlashga, fanga kiritilgan yangi atama
m.i/munini oydinlashtirishga imkon beruvchi mantiqiy usul tushuniladi.
I'ushunchaning ta ’rifi ta ’riflanuvchi tushuncha bilan ta ’riflovchi
iii-.lumchalar orasidagi m unosabatdan hosil bo‘ladi.
I’ushunchaning ta ’rifi inglizcha defmitsiya (definito) so'zidan ohngan
lin'lil-), «chegara» degan yoki «biror narsaning oxiri» degan m a’noni
liildiradi. Professor J.Ikromov o ‘zining «Maktab matematika tili» nomh
kilohida tushunchalarning ta ’rifmi quyidagi turlarga ajratadi:
1) Real ta ’rif. Bunda qaralayotgan tushunchaning shu guruhdagi
iii'.liiinchalardan farqi ko‘rsatib beriladi. Bunda ta ’riflovchi va ta ’riflaiiiivclii tushunchalar hajmlarining teng bo'lishi muhim rol o ‘ynaydi.
Miisalan, «Aylana deb tekislikning biror nuqtasidan masofasi berilgan
iiiiiNoladan katta b o ‘lmagan masofada yotuvchi nuqtalar to ‘plamiga
.iviiladi». Bu yerda ta ’riflanuvchi tushuncha aylana tushunchasidir,
iii'iillovchi tushunchalar esa tekislik, nuqta, masofa tushunchalaridir.
2) Klassifikatsion ta ’rif. Bunda ta ’riflanayotgan tushunchaning jins
iii*.iiimchasi va uning tur jihatidan farqi ko‘rsatilgan b o ‘ladi. Masalan,
-I'Viiili'at - barcha tom onlari teng bo'lgan to ‘g‘ri to'rtburchakdir». Bu
(fi'iil'da «to‘g‘ri to ‘rtburchak» tushunchasi «kvadrat»ning jins tushunI liiisi, «barcha tom onlari teng» esa tu r jihatidan farqini ifoda qiladi.
Л) Genetik ta ’rif yoki induktiv ta ’rif. Bunda asosan tushunchaning
ItiiMl ho‘lishjarayoniko‘rsatiladi. Boshqacha aytganda, tushunchaning
IHIMI bo'lish jarayonini ko‘rsatuvchi ta ’rif genetik ta ’rif deyiladi.
Vii
15
Bizga psixologiya kursidan m a’lumki, genetika so‘zi grekcha genesis
so‘zidan olingan b o iib «kelib chiqish» yoki «manba» degan m a’noni
bildiradi.
1) To‘g‘ri burchakli uchburchakning bir kateti atrofida aylanishidan
hosil bo‘lgan jismni konus deyiladi.
2) To‘g‘ri burchakli trapetsiyaning balandligi atrofidan aylanishidan
hosil bo‘lgan jismni kesik konus deyiladi.
3) Doiraning diametri atrofida aylanishidan hosil bo'lgan jism shar
deyiladi.
Yuqoridagilardan ko‘rinadiki, tushunchalarni ta ’riflashda har bir
tushunchaning mazmuni beriladi, bu degan so‘z tushunchaning asosiy
alomatlari yoki muhim belgUarini sanab ko'rsatish demakdir. Demak,
ta ’rifda faqat ta ’riflanadigan tushunchani boshqa turdagi tushunchalardan ajratib turadigan muhim belgilarigina ifodalanadi. Maktab
matematika kursida tushunchalarning ta ’rifi ikki usul bilan tuzUadi:
1) Berilgan tushunchaning hajm iga. kiruvchi barcha obyektlar
to ‘plamiga asoslaruladi. Masalan, tekislikning (masofalami o‘zgaitmagan
holda) o‘z-o‘ziga akslanishi siljitish deyiladi. Bu yerda o‘q va markaziy
simmetriya, parallel ko'chirish va nuqta atrofida burish tushunchalari
siljitish tushunchasining obyektiga kiruvchi tushunchalardir.
2) Berilgan tushunchalarning aniqlovchi alom atlar to'plam iga
asoslaniladi. Bunday ta ’rifni tuzishda tushunchaning barcha muhim
alomatlari sanab o ‘tilmaydi, ammo ular tushunchaning mazm unini
ochib berish uchun yetarli bo‘lishi kerak. Masalan, parallelogrammning
muhim alomatlari quyidagilardan iborat:
a) to ‘rtburchak;
b) qarama-qarshi tom onlari o ‘zaro teng va parallel;
d) diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo‘Iinadi;
e) qarama-qarshi burchaklari teng.
Parallelogrammni ta ’riflashda a) va b) alomatlar orqali quyidagi
ta ’rifni tuzish mumkin:
«Qarama-qarshi tom onlari o ‘zaro parallel va teng bo‘lgan to'rtburchak parallelogramm deyiladi».
Endi a) va d) alomatlar orqali ta’rif tuzaylik; «diagonallari kesishib,
kesishish nuqtasida teng ikkiga bo‘linuvchi to'rtburchak parallelogramm
deyiladi».
Aytilganlardan m a’lum bo‘ladiki, tushunchani ta ’riflashda tanlanadigan muhim alomatlar soni yetarlicha bo‘lgandagina ta’riflanayotgan
tushuncha haqidagi ta ’rif to ‘g‘ri chiqadi.
16
3-§. M atem atik tushnnchalarni kiritish metodikasi
M aktab matematika kursida matematik tushunchalar ikki xil usulda
kiritiladi:
1) Aniq — induktiv metod. Bunda o'quvchilar aw al o ‘qituvchining
topshiriqlarini bajargan holda o‘rganilayotgan tushunchaning umumiy
xossalarini aniqlaydilar, so‘ngra o'qituvchi rahbarligida ta ’rifni mustaqil
holda tuzishga harakat qiladilar. Yangi tushuncha kiritishning bu yo‘li
ayniqsa quyi sinflarda o ‘z samarasini beradi.
Bundan tashqari, aniq induktiv yo‘l orqali tushunchalarni kiritish
jarayonida muammoU vaziyatlar hosil bo'ladi, buning natijasida o'quvchilarda mustaqil fikrlash qobiliyatlari shakllanadi. Fikrimizning dalili
sifatida 6-sinfda o ‘rgatiladigan «parallel to ‘g‘ri chiziqlar» tushunchasini
aniq-induktiv metod orqali kiritish usulini ko‘rib o'taylik.
0 ‘rganish
jarayonining
bosqichlari
Tushuncha
shakllanishining
psixologik
bosqichlari
O'rganilayotgan
tushunchaning aniq
modeli
1. Parallel to'g‘ri
Sezish va idrok
chiziqlar
qilish
tushunchasiga
mos keluvchi
misollarni kundalik
hayotimizdan olish
Chizg'ichning ikki
qirg‘og‘idagi chiziqlar.
Doskaning qarama-qarshi
tomonlaridagi chiziqlar
2. Ana shu
tushunchani
ifodaiovchi asosiy
va asosiy
bo'Imagan
xossalarini
aniqlash
1) To'g'ri chlziqiarning gorizontal
joylashlshi (asosiy bo'Imagan xossa)
2) Bu to'g'ri chiziqlar
o'zaro bir xil uzoqiikda joylashgan
(asosiy xossa)
3) To'g'ri chiziqlar umumiy nuqtaga
ega emas (asosiy xossa)
4) To'g'ri chiziqiarni ikki tomonga
cheksiz davom ettirish mumkin
(asosiy bo'Imagan xossa)
3. Agar mavjud
bo'Isa, bu
tushunchaning
muhim holatlari
ham qaraiadi
4. Parallel
so'zining
t^azmuni
Idrok qilishdan
tasawurga o'tish
Ustma-ust tushuvchi
to'g'ri chiziqlar ham bir-biridan bir xil
masofada joylashgan bo'ladi (masofa
qiymati 0 ga teng)
Parallel so'zi grekcha
p 3 rs/e/o s so'z bo'lib, yonma-yon
boruvchi degan ma’noni bildiradi
1 s. Alixonov
Ч -
5. Parallel to ‘g‘ri
chiziqiar
tushunchasining
asosiy xossasini
ajratish va uni
ta’riflash
1) Bir-biridan bir xil uzoqiikdagi
Tasawurdan
tushunchani hosli masofada turuvchi to‘g‘rl chiziqiar jufti
parallel to'g'ri chiziqiar deyiladi (aniq
qilishga o‘tish
bo'Imagan ta’rif, chunki biror
burchakning tomonlari ham shu
burchak bissektrisasiga nisbatan bir
xil uzoqiikdajoylashgan
bo'ladi)
2) Parallel to'g'ri chiziqiar umumiy
nuqtaga ega bo'Imaydi (to‘la
bo'Imagan ta’rif, chunki,
kesishmaydigan to'g'ri chiziqiar
umumiy nuqtaga ega bo'Imaydi).
3) Ta’rif. Bir tekislikda yotib umumiy
nuqtaga ega bo'Imagan yoki ustmausttushuvchi ikki to'g'ri chiziq parallel
to'g'ri chiziqiar deyiladi.
6. Parallel to'g'ri
Tushunchaning
chiziqiar
hosil bo'lishi
tushunchasini aniq
misollarda
ko'rsatish
1) O'qituvchi sinf xonasining o'zaro
parallel bo'Igan qirralarni ko'rsatadi.
7. Parrailel to'g'ri Tushunchani
chiziqiarni simvolik o'zlashtirish
belgilash
2) Kubning modelini ko'rsatib, uning
mos qirralaridan o'zaro ayqash bo'Igan
to'g'ri chiziqiarni ko'rsatadi. Agar
bizga ^?va ^ to 'g 'ri chiziqiar berilgan
bo'lib, ular o'zaro parallel bo'Isa, uni
biz
kabi belgilaymiz.
4-§. M atem atik tushunchalarni kiritishning
abstrakt-deduktiv metodi
Bunda o ‘rganiladigan m atem atik tushuncha uchun ta ’rif tayyor
ko‘rinishda oldindan aniq misol va masalalar yordamida tushuntirUmasdan kiritiladi. Masalan, 7-sinfda o'tiladigan to 'la kvadrat tenglama
tushunchasi abstrakt-deduktiv metod orqali kiritiladi.
1. Kvadrat tenglama tushunchasiga ta ’rif beriladi.
T a’rif. ax^+6x+c=0 ko‘rinishidagi tenglamalar to ‘la kvadrat teng­
lama deyiladi. Bunda x — o ‘zgaruvchi, a, b, с — ixtiyoriy o‘zgarmas
sonlar, fl > 1.
2. Kvadrat tenglamaning xususiy hollari ko‘rib chiqiladi. Buni jadval
tarzida bunday ifodalash mumkin.
18
То‘1а kvadrat tenglama
1
Hosil qilingan keltirilgan va chala kvadrat tenglamalarga aniq
misollar keltiriladi. Masalan,
- 3x - 4 = 0,
- 5x - 6 = 0,
3x2 + Sx = Q, 2x^ + 7x = 0, 5x' = 0, ...
A, Kvadrat tenglama tatbiqiga doir hayotiy misollar keltirish kerak.
MiiMiliia, ‘5' = -y formula fizika kursidan bizga ma’Ium, bu tenglamani
Ц1' 2.v«0 ko'rinishidagi chala kvadrat tenglama hollga keltirib, so‘ngra
yi'i liiladi.
S, Kvadrat tenglamaning ildizlarinl hisoblash formulasini keltirib chi/- usul. ax^ + bx + с = 0 tenglama ildizlarini toping. Buning uchun
iinviiliigi aytiiy almashtirishlar bajariladi:
f 2
in ' \ bx + c = a X
I
- (I
+2 — x +
2a
=a
/
С 'l
1 ^ b x + -сЛ
+ —X + — = a X + 2•
2a
a
f lj
\
b
✓
+ — - a x^ + 2 ---- X + ■
2a
Aa^
4a^ a
-\
)
x +2a
b^ -A ac
= 0;
b^ - Aac
x +A
- T
2a
19
-A ac
b ,
Xi 2 ------- + ■
2a
Xi =
-b +
-A a c
2a
- Aac
X2 =
2a
b ± y f ^ -4 a c
2a
-b - yjb^ - Aac
2a
2- usul.
ax^
la x
bx + с = Q
ax^ + b x = - c \ - Aa,
X
Aa^x^ + Aabx - -Aac \ + b^,
X
Aa^x^ + Aabx +
X
- Aac,
U
1
-
-Ь±л1ь^ - Aac
2a
-b + ylb^ - Aac
2a
=
=
2
{2ax + by =
+b = ±л1Ь - Aac
1,2
- b - \jb ^ - Aac
2a
- 4ac.
Agar ax^+bx+c - 0 da a = 1 bo'lsa, x^+bx+c = 0 ko'rinishdagi keltirilgan
kvadrat tenglama hosil bo‘lib, uning yechimlari quyidagicha bo'ladi;
^1,2 =
Agar b
-b ± -Jb^ - Ac
-b
2
2
p; с = g desak, x^+px+g = 0 bo‘ladi,
uning
yechimlari
3- usul.
x^ + px + q = 0
= q\
2ab= p
( 1)
desak, b = ± ^ ,
bularni (1) ga qo'ysak, u quyidagi ko'rinishni oladi;
x^ + 2abx + b^ = 0
(2)
(2)
ga a V ni qo‘shsak va ayirsak x^+2abx+b^+a^x^-d^x^=Q bo'ladi,
a^x^+2flAx+Z)2-aV+x2=0 yoki {ax+by-a'^x^+x^=Q belgilashga ko‘ra
20
р
I'
I \]<i ;
shuning uchun
px
^ + Гя
2 fq
- ™
-
4q
px+2q = ±xyjp^-4q;
0;
2q = x { - p ± ^ p ^ -4 q ^ ;
{px + 2 q f - p^x^ + 4qx^ = 0;
^\.2 -
-p ± ^ p ^-4 q
I misol.
x^ — 3x — 4 = 0;
^1,2 =
p = -3 ;
^ = -4
-P
y -^ V
x=4; x = - l .
^1,2 =
2q
_
- p ± л/У - 4 q
2 (-4)
3 ± л/9 + 16
3± 5’
^ '= 1 2 = “ '
I
x ^ - 5 x - 6 = 0;
p = -5 ;
q = -6
misol.
^1.2 =
» misol.
2q
2 ( - 6)
2x^-5=0 bo'lsa, (2x^=5)
-1 2
2
- u = ± ,( 5 .
E ^= 0
J iiilsol. № - 3» = 0 bo‘lsa, W2 j: - 3) - 0])
E ^= -
2J
^ iiilsol.
2x^ = 0 bo‘lsa, x, ^ = 0 bo'ladi.
21
bo‘ladi.
5-§. M atem atik hukm
M atematik hukm mantiqiy bilish formalaridan biri bo'lib, unga
quyidagicha ta ’rif berilgan: «Tushunchalar asosida hosil qilingan mate­
matik Jfikmi tasdiqlash yoki inkor qilishga matematik hukm deyiladi».
Bu ta ’rifdan ko‘rinadiki, hukmning xarakterli xossasi aytilgan matematik
fikrning to ‘g‘riligini tasdiqlash yoki noto‘g‘riligini inkor qilishdan iborat
ekan.
M atematik tushunchalarni tasdiqlash m a’nosidagi hukmga quyida­
gicha misollar keltirish mumkin:
1. Paralellogrammning qarama-qarshi tomonlari o‘zaro parallel va
teng.
2. H ar qanday turdagi uchburchak uchta uchga ega.
3. Uchburchak ichki burchaklarning yig‘indisi 180° ga teng.
4. K o‘pburchak ichki burchaklarining yig‘indisi 2d(n -2 ) ga teng.
M atem atik tushunchalarni inkor qilish m a’nosidagi hukmlarga
quyidagi misollami keltirish mumkin:
1. H ar qanday uchburchakda ikki tom on uzunliklarining yig‘indisi
uchinchi tom on uzunligidan kichik emas.
2. Piramidadagi uch yoqli burchaklarning yig'indisi hech qachon
o ‘zgarmas son bo‘la olmaydi.
3. H ar qanday to ‘rtburchakda ichki burchaklar yig‘indisi 360° dan
katta emas.
Bundan kelib chiqadiki, har qanday matematik gap ham matematik
hukm bo‘la olmas ekan. Masalan, «ABCD to'rtburchak paralellogramm
bo‘la oladimi?» «Ixtiyoriy uchburchak ichki burchaklarining yig‘indisi
180° ga teng bo‘la oladimi?» Keltirilgan ikkala misolda ham inkor va
tasdiq m a’nosi yo‘q, shuning uchun ular matematik hukmga misol
bo‘la olmaydi.
M atematik hukm uch xil bo‘ladi:
1. Birlik hukm. 2. Xususiy hukm. 3. Umumiy hukm.
M atematikani o ‘qitish jarayonida yuqoridagi hukmlarning uchala
turi uzviy aloqada bo‘ladi. Boshqacha aytganda, birlik hukmning natijasi
sifatida xususiy hukm hosil qilinadi, xususiy hukmning natijasi sifatida
esa umumiy hukm hosil qilinadi. Fikrlarimizning dalili sifatida quyidagi
misalni ko‘raylik. 1) B irlii hukmlar:
a) Aylana to ‘g‘ri chiziq bilan faqat ikki nuqtada kesishadi.
b) Ellips to ‘g‘ri chiziq bilan faqat ikki nuqtada kesishadi.
d) Giperbola to ‘g‘ri chiziq bilan faqat ikki nuqtada kesishadi.
22
с) Parabola to ‘g‘ri chiziq bilan faqat ikki nuqtada kesishadi.
I)
Xususiyhukm: «Aylana, ellips, giperbolavaparabolalar ikkinchi
IIII Iihli egri cMziqlar hosil qiladi». Yuqoridagi birlik va xususiy hukmlarga
ii'iiislanib, quyidagi umum iy hukmni hosil qilamiz.
.1) Umumiy hukm: «Ikkinctii tartibli egri chiziqlar to ‘g‘ri chiziq
hilim Caqat ikki nuqtada kesishadi».
6-§. M atem atik xulosa
Matematik xulosa ham mantiqiy tafakkur qilish shakllaridan bin.
Miiicinatik xulosaga bunday ta ’rif berHgan:
«Ikkita qat’iy hukm dan hosil qilingan uchinchi natijaviy hukmga
411I0S11 deyiladi».
Misol. 1-hukm: to‘rtburchakning diagonali uni ikkita uchburchakka ajratadi.
2-liukm: har bir uchburchak ichki burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.
1 luikm: demak, to'rtburchak ichki burchaklarining yig‘indisi 360° ga
(ГИЙ (xulosa bo'ladi).
Maktab matematika kursida xulosalarning uchta turi, ya’ni induktiv,
ilriliikliv va analogik xulosalar o‘rganiladi.
'I'a’rif. Ayrim yoki xususuy та ’lumotlarga tayanib umumiy xulosa
i liltiarishni induksiya deyiladi.
Induksiya u ch xil bo‘ladi; chala induksiya, to ‘la induksiya va
iiiiilcmatik induksiya. Chala induksiya metodi orqaU chiqarilgan xulosa
kti'pgina hollarda to ‘g‘ri, ammo ayrim hollarda noto‘g‘ri bo‘ladi.
I-m isol. Fermaning mashhur teoremasi bo‘yicha (2^"+l)
ko‘-
iinislidagi sonlar n = [0,1,2,3,4, ...] bo'lganda 3, 5, 17, 257, 65537, ...
Kiilii tub sonlardan iborat edi. Shuning uchun Ferma umumiy holda
kii'iiiiishdagi barcha sonlar n ning ixtiyoriy qiymatlarida ham tub sonlar
Im'liKii, deb umumiy xulosa chiqargan. XVIII asrda L.Eyler Ferma
Irtircmasini tekshirib, uning qonuniyati: л=5 bo'lganda buzilishini, ya’ni
hosil bo'lgan son murakkab son bo‘lishini aniqlagan;
( 2 ^ 4 l) = 4294967297 = 641 • 6700417.
5
2^
iki degan so‘z (2^ +1) ifoda 641 ga bo'linadi, bundan (2 +1) tub
tiiiii bo'lmay, balki murakkab son ekanligi kelib chiqadi. Demak, chala
iiuliik.siya metodi orqali Fermaning Vne iV bo‘lganda (2 +1) ko'rinishdagi
«idiiliir tub bo‘ladi, degan xulosasi noto‘g‘ri ekan.
^
23
Induksiya metodi orqali xulosa chiqarish esa biror matematik qonuniyat
uch hoi uchun o‘rinli bo'lganidan л-hol uchun o'rinli deb qabul qilinadi.
1- misol.
I
l
l
1
yig'indisini hisoblang:
1
1
1-2
1
1
1- 2
2’
1
3+14
6
6
1 1
2- 3 3- 4
2
3’
6+2+ 1_
=1
12
12 4'
Bu uchta xususiy yig'indiga asoslanib, umumiy xulosa yoziladi:
«Г -
^
” n +V
Maktab algebra kursida daraja va logarifmlar xossalari o‘tilgandan so'ng
ana shu xossalarga asoslanib o'quvchilar induktiv xulosa chiqarish yordamida daraja va logarifmlarning umumlashgan xossasini chiqarishlari
mumkin.
2- misol.
д«1 .a'h
-^«2
3- misol.
= feX|+/gXj
agar
x,>0 Л a:^>0
bo‘lsa,
lg{x^-x^x^ = Igx^+lgx^+lgx^ agar x,>0, Xj>0, Хз>0
bo'lsa,
lg{x^-x^-x^-x^) = Igx^Hgx^Hgx^+lgx^ agar (jc,-x2-x3-x^)>0 bo'lsa,
lg{x^-x^-xy..-x) =
= lgx^+lgx^+lgx^+...+lgx^ agar {x^-x^-x^-...-xJ>0 bo‘lsa.
24
Miitematik induksiya metodi. Bu metodda biror matematik qonuniyat
II I liol uchun o'rinli bo‘lsa, uni n = к hoi uchun o‘rinli deb qabul
•lilil), so‘ngra n = k + 1 hoi uchun o‘rinh ekanligini ko‘rsatiladi.
l-niisol. ‘S'^=l+ 2+3+ ...+И =
yig‘indining o‘rinli ekanligini
iHiiii'iiuitik induksiya metodi orqali ko‘rsatilsin, bunda n e N .
I. Agar n = I bo‘lsa,
Agar и = /: bo‘lsa,
*S'j =
= 1.
Si^ =1 + 2 + 3 +... + к =
.
' Agar w=A:+l bo‘lsa,
.S\, I = 1 + 2 + 3 + ... + /: + (/: + 1) =
^
^
ekanligi isbotlanadi.
„
„ ,, k (k + l) ,,
A:(A; + 1) + 2(A: + 1)
=Sk + (k + l)= ^
+ (k + l) = ^ ------^ =
l-.huti.
(A I ;.)(/c + I)
Dcmak, 8=\+2+Ъ+...+п
yig‘indisining hisoblash formulasi
tu I' li ('kiin.
: misoL 5'= P + 22+ 32+...+«2=:??^^^liH2£ ± l)^ n e N .
6
1 (1 + 1)(21 + 1) ,
I Agar и = 1 bo‘lsa, S^~----------g--------- = 1„ -t.(A: + l)(2A: + l)
) Agar n = k b o Isa, \ = ----------^
---- •
t
n=k+l
bo‘lsa,
S,^=V+2^+3^+...+(k+iy=
(A I \)(к + 2)(2к + 3) , -------- . . .
■p------------ bo lishhgini isbotlang.
6
'•-l-oti. S = S M k + iy = ^
.Kfc H-1)^ =
25
k + \r
k{2k + l) + 6{k + i)
6 L
2{k + \){k + 2)
3-misol.
k +\ г
2 k ^ + lk + (>) =
{к + \){к + 2){2к + Ъ)
+ 1)
^ = р + 2з+зз+.,.+дЗ=
1. Agar n = 1 bo'lsa,
Si = ^
n BN
= 1-
Т
<1
k^(k +
f = l.
2. АAgar и = /:; U
bo‘lsa,
SС = —
—l —
к
4
3. Agar n = A:+l bo‘lsa,
5 = Р + 2з+Зз+...;^з+(ук+1/ =
bo'lishligini isbotlang.
I s b o t i . Sk+y'-S +{k + l f
♦ Л
= (A: + l)^ — + k + \
+
4
. {k +1)2 {k^ + 4A: + 4)
+{k + l f =
{k + I f (k + 2 f
T e о r e m a. Qabariq n burchak ichki burchaklarining yig ‘indisi
180° (n—2) ga teng.
Bu teoremani matematik induksiya metodi bilan isbotlang (1-chizma).
1. я = 3 bolganda
= 180°.
2. n = к b o lg an d a 5',= 180°(A:-2)
bo‘ladi.
Agar n = к uchun 5^=180° (k - 2 )
bo'lca, n = к + I uchun
= 180° [(A :+ i)-2] b o 'lish in i
isbotlang.
Bu holni isbot qilish uchun (A: + 1)
burchakli qabariq ko'pburchak oUnadi.
A^Al^ diagonal berilgan ko‘pburchakni к
26
Itiiicliakli qabariq
ko‘pburchakka v a A A ^ ^ ^ uchburchakka
iijiatadi, u holda Si^= Si+ S^ tenglik o'rinli bo‘ladi:
5;^=180°(A:-2)+180°=180°[(A;-2)+1]=180°[(A:+1)-2].
Dcmak, teorem a har qanday qabariq n burchak uchun ham o‘rinli
t ktlll.
4misol. Quyidagi tengsizlikni matematik induksiya metodi bilan
luliulliing:
1
1
1
r>Vn.
yj2
4n
Is b o ti. и = 1, bo‘lganda 1 = 1 tenglik o‘rinli.
n = 2 bo‘lganda 1 + -4= >V2 tengsizlik o'rinli.
V2
liiidi faraz qilaylik, berilgan tengsizlik n = к uchun o'rinli, ya’ni
I
1
1 X /Т
I 72^ ^
bo'lsin, uning n=k+l hoi uchun o'rinli ekani
liii'iK iitila d i;
1 1
+
лЯ л/2
1
1
^ ic T i
. + - 7 = + - 7 = > yfk + l
"■
1
■ill tengsizlikni kuchaytirish uchun
tjn'viliidi, u holda^
^
1
1
o‘rniga \lk
bo'ladi. Bu tengsizlikni o'rinli
1 kniii ko'rsatilsa, berilgan tengsizlik isbotlangan bo'ladi.
( I) ning har ikki tomoni kvadratga ko‘tarilsa, u holda quyidagi tengsizlik
boMadi:
k +\
4Ш
’
л/F f T
^ + 1’
lUi tengsizhkning har ikkala tomonini J j ^ ga bo'Unsa, 2>
lk + 1 ^
t k +1
inijiNi/lik к ning k-l dan boshqa qiymatlaridan o'rinli, shuning uchun
1
1
1
27
>4n
tengsizlik n ning har qanday qiymatida ham o'rinli.
5misol. (2л - 1)! > й! tengsizlikni matematik induksiya metodi bilan
isbotlang.
Is b o ti. Ma’lumki. (2и-1)! = 1-3-5'...-(2л-1).
1. и = 1 boMganda 1 = 1 tenglik o‘rinli.
и = 2 bo'lganda 3 > 2 sonli tengsizlik hosil bo'ladi.
2. Endi berilgan tengsizlik n = к hoi uchun o‘rinli, ya’ni {2k-l)\ >k\ deb
faraz qilaylik, buning л = Л: + 1 hoi uchun o‘rinli ekanini ko‘rsatamiz:
{[2{k + 1) - 1]! > (A: + 1)!} ^ {2k + 1)! > (A: + 1)!
(2A:-1)!>A:! tengsizlikning har ikki tomonini /c+1 ga ko‘paytiriladi u
holda
A:!(A:+1)<(2A:-1)!(A:+1)<(2A:-1)!(2A:+1)=(2A:+1)! ifoda hosil bo'ladi. Bundan
esa {k+\)\<{2k + 1)! Shuning uchun tengsizlik n ning har qanday qiymatlarida
0‘rinli.
Tengsizliklarni isbotlang:
1.
>«!
1 3 5 2 л -1 ^
1
2 -4 6 '" 2n
л/3«+1'
T a’rif. Umumiy m a ’lumotlarga tayanib ayrim yoki xususiy xulosa
chiqarish deduksiya deyiladi.
Misollar 1. x^-3x-4=0 tenglamaning diskriminantini hisoblab, uning
yechimlari borligini ko'rsating. Z)=9+16=25. D>0. Ma’lumki, kvadrat
tenglamani yechish haqidagi qoidaga ko‘ra uning diskriminanti musbat bo‘lsa,
u ikkita haqiqiy har xil yechimga ega edi, shuning uchun x^—3x—4=0
tenglama ham ikkita x, = 4 va Xj = —1 yechimlarga ega.
2.
2. ^ 8 1 0 ,0 9 ifodaning qiymatini hisoblang, Bu ifodaning qiymatini
hisoblash uchun maktab algebra kursidan umumiy qonuniyatni o‘z ichiga
oluvchi quyidagi teoremadan foydalaniladi,
T e o r e m a . a > 0 v a 6 > 0 6o ‘Iganda 7 ^ --\fa--Jb bo‘ladi.
Shuning uchun quyidagi xulosani hosil qilamiz;
V 8 1 0 ,0 9 = V 8 l - 7 0 ^ = 9 0 , 3 = 2,7.
3.
bunday:
Maktab geometriya kursida kosinuslar teoremasining analitik ifodasi
(? =
- 2ab ■ cosc.
28
(1)
Лц!1г (1) da с=90° bo‘lsa, cos 90°=0, shuning uchun
(2)
liii'liidi. llizga ma’lumki, (2) Pifagor teoremasining ifodasidir.
Xiilosa chiqarish metodlaridan yana biri bu analogiyadir.’
'I'a’rif. O 'xsh a sh likka asoslanib xulosa chiqarish analogiya
ih'vlUuli.
Analogiya bo'yicha xulosa chiqarishni sxematik ravishda quyidagicha
iii^ivitlash mumkin: F fig u ra a, b, c, d, ... xossalarga ega.
figura esa
■), I), c, ... xossalarga ega b o ‘lsa, u holda
figura ham d xossaga ega
liti'lislii mumkin.
I'ikrimizning dalili sifatida quyidagi tengsizlikni isbot qilaylik. H ar
■liiiiday tetraedr uchun
^ (|^5l+l^Cl+HCl)<i5L4|+|6!5l+l5'Cl tengsizlik
ii'm ili.
Mi/.ga m a’lumki, fazodagi tetraedr
lil'tiiitsi tekislikda uchburchak figurasiga
.111,1 log!к figuradir, shuning uchun har
i|>iii<lny uchburchak uchun o'rinh bo'lgan
•Itivldiigi xossadan foydalaniladi.
Mar qanday uchburchakda ikki tomim uzunligining yig‘indisi uchinchi
imiion uzunligidan kattadir (2-chizma):
\AB\ + \BC\ > \AC\.
Agar u c h b u rc h a k u c h u n
" liiili bo‘lgan ana shu xossani
mil',.I analogik bo 'lg an figura
iiiiMcdrga tatbiq qilsak, quyidii)ii tengsizlik hosil bo‘ladi (3I lil/ma):
AH
SA
\SB
nc
SB
sc
AC
SA
sc
>
AB + BC
AC <
29
д
TaKTorlash uchun savollar
1. Bilish deb qanday psixologik jarayonga aytiladi?
2. Tafakkur tushunchasining ta ’rifmi aytib bering.
3. Sezgi deb nimaga aytiladi?
4. Idrok va tasavvur tushunchalarini ta ’riflang.
5. Matematik tushunchaga ta’rif bering.
6. Tushunchaning mazmunini ta ’riflang.
7. Tushunchaning hajmi deganda nimani tushunasiz?
8. Tushunchaning jinsi va uning tun deganda nimani tushunasiz?
9. Ta’rif so‘zining lug'aviy m a’nosini aytib bering.
10. Real, klassifikatsion va genetik ta’riflarini aytib bering.
11. Matematik tushunchalar qanday metodlar yordamida kiritiladi?
12. Matematik hukm tushunchasiga ta ’rif bering.
13. Matematik xulosa deb nimaga aytiladi?
14. Matematik xulosa turiarini aytib bering.
15. Matematik induksiya metodini tushuntiring.
Tayanch iboralar
Bilish, tafakkur, hissiy bilish, mantiqiy bilish, sezgi, idrok, tasavvur,
tushuncha, tushunchaning mazmuni, tushunchaning hajmi, tushunchaning
jinsi, ta ’r if genetik ta ’rif, matematik tushuncha, matematik hukm,
matematik xulosa, induksiya, deduksiya.
I l l bob
MAKTAB MATEMATIKA KURSIDA TA’L IM
METODLARI
l- § . M atem atik ta ’lim metodlari
Mclod so‘zi grekcha so‘z bo‘lib, «yo‘l ko‘rsatish» demakdir. «Ta’lim
МИiiidir. (ushunchasi esahozirgizam onm etodika va didaktikafanlaridagi
.|м>му (iishunchalardan biridir, am m o bu tushuncha yaqin vaqtlarga
i|ii<liii liar xilmetodik adabiyotlarda turli m azm unda qo‘llanib kelinar
*<11 ЧIX asrga qadar bo‘lgan metodik adabiyotlarda «metod» tushunchasi
Mi.tifiiialika kursining asosiy mazmunini bayon qiluvchi mavzuning tavsifi
«.il.mda ishlatiladi. Masalan, «Sonlarni o'rganish metodi», «Geometrik
IlHiii.ilami o ‘rganish metodi» va hokazo.
I lo/irgi zamon didaktikasida, jum ladan, matematika o‘qitish meto•likii-.i laiiida ta’lim metodining muammolari umumiy holda hal qilingan
Itti'lili. II o‘zining quyidagi ikki tom oni bilan xarakterlanadi:
.1) o'qitish (o‘qituvchining faoliyati);
li) o'rganish (o'quvchilarning ongli bilish faoliyati).
1,1'lim jarayoni o ‘qitish va o‘rganishdan iborat bo'ladigan bo‘lsa,
II Imlda o ‘qitish (o‘quvchilaming bilish faoliyatlarini boshqarish va
h‘|.'.liiiisliga doir axborot turlari, usul va vositalari), o ‘rganish (o‘quv
m.tirilalini 0‘quvchilar tom onidan o'zlashtirishning turlari, usul va
MiMialari) o‘zining quyidagi metodlari orqali amalga oshiriladi. 0 ‘qitish
41 u'luaiiish metodlari o ‘zaro bir-biri bilan uzviy aloqadorlikda bo‘lib,
m.iHalxla о ‘qitish jarayonini amalga oshiradi. M aktab m atem atika
hinltia la’lim metodlarini quyidagicha klassifikatsiyalash mumkin.
I llmiy izlanish metodlari (kuzatish, tajriba, taqqoslash, analiz va
•.iiiit*/,, imuimlashtirish, abstraksiyalash va klassifikatsiyalash).
( )4iitish metodlari (evristik metod, programmalashtirilgan ta ’lim
III! liitli, muammoli ta ’lim metodi, m a’ruza va suhbat metodlari).
t Xiilosa chiqarish m etodlari (induksiya, deduksiya va analogiya).
2-§. M atem atika o‘qitishdagi ilmiy izlanish metodlari
Miriiimki, matematika fanini o'rganadigan obyekti materiyadagi
tHiif.iiliiming fazoviy shakllari va ular orasidagi m iqdoriy m unosaiMiilimlaii iboratdir. Ana shu shakllar orasidagi miqdoriy munosabatlami
31
aniqlash jarayonida matematiMar izlanishning ilmiy metodlaridan vositaj
sifatida foydalanadilar.
M atem atikadagi izlanishning ilmiy m etodlari bir vaqtning o ‘zida|
m atem atikani o ‘qitishdagi ilmiy izlanish m etodlari vazifasini hanij
bajaradi. 0 ‘qitishdagi ilmiy izlanish m etodlari quyidagilardan iboratdir.
1. Tajriba va kuzatish. 2. Taqqoslash. 3. Aлaliz va sintez. 4. Umum-*
lashtirish. 5. Abstraksiyalash. 6. Aniqlashtirish. 7. Юassiflkatsiyalash.
3-§. Tajriba va kuzatish metodi
Ta’rif. Matematik obyektdagi narsalarning xossalari va ulaming о ‘z an
munosabatlarini belgilovchi metod kuzatish deyiladi.
Misol. IV -V sinf o‘quvchiIariga bir necha figurant ko‘rsatib, b ^
figuralar ichidan o‘q simmetriyasiga ega bo'lgan geometrik figuralarrm
ajrating deb buyursak, o'quvchilar barcha figuralarni ko‘rib chiqib quyr
dagicha xulosaga kelishlari mumkin. Figuralar ichida o'zidan biror o'qqii
nisbatan ikki qismga ajragan figuralar bo‘lsa hamda ularni ana shu оЧП
bo'yicha buklaganda qismlar ustma-ust tushsa, bunday figuralar simmetrikj
figuralar bo'ladi. Ammo boshqa figuralarda o'zlarini teng ikkiga bo'luvclul
to ‘g‘ri chiziqlar bo'lmasligi mumkin. U holda bunday figuralar nosiinmetrik figuralar bo‘ladi. Biz figuralardagi bunday xossa va ular orasidagij
munosabatiarni kuzatish orqali figuralarni simmetrik va nosimmetrik figura^i
larga ajratildi.
T a’rif. Matematik obyektdagi narsalarning xossalari va ular orasidagi ]
miqdoriy munosabatiarni s u n ’iy ravishda b o ‘lak (qism)larga ajratish
yoki ularni birlashtirish tajriba metodi deyiladi.
Misol. 0 ‘quvchilarga natural sonlarni tub ko'paytuvchilarga ajratisli
o'rgatiladi:
1=1, 2=2-1; 3 = 3-1; 4 = 4-1; 5 = 5-1; ...
0 ‘quvchilarda ixtiyoriy natural sonlarni misolda ko‘rsatilganidek, tuh
ko‘paytuvchilarga ajratish jarayonida tajriba hosil bo‘lib, ular natural sonlar
to‘plamida tub va murakkab sonlar mavjud ekanligini tushunib yetadilai’.
Murakkab natural sonlarni ham tub ko'paytuvchilarga ajralishini, ammo
ularning ko‘paytuvchilari kamida uchta va undan ortiq bo‘lishini tajrili.i
orqali tekshirib ko‘radilar.
Masalan: 4=2-2'l; 6 = 3-2-1; 25 = 5-5-1; 36 = 3-3-2-2-1.
Kuzatish va tajriba natijasida tub hamda murakkab sonlarni qonun v;i
qoidalari o'quvchilarga tushuntiriladi.
32
4 -§. Taqqoslash metodi
Ta’rif. O'rganilayotgan matematik obyektdagi narsalaming o'xshash
va farqli tomonlarini aniqlovchi metod taqqoslash metodi deyiladi.
Taqqoslash m etodi ham ilmiy izlanish m etodlaridan biridir. Taqnoslash metodini matematika darslarida o ‘rganilayotgan mavzu materiallitriga tatbiq qilishda quyidagi prinsiplarga amal qilinadi:
1) taqqoslanayotgan m atem atik tushunchalar bir jinsli bo'lishi
kerak;
2) taqqoslash o'rganilayotgan matematik obyektdagi narsalaming
nsosiy xossalariga nisbatan bo‘lishi kerak.
I- misol. Uchburchak figurasi bilan to'rtburchak figurasi taqqoslanganda
iilaiiung o'xshash tomonlari: ucMari, burchaklari; ularning o‘zaro farqli
timionlari:
a) uchburchakda uchta uch va uchta tomon;
b) to‘rtburchak to'rtta uch va to'rtta tomondan iboratligi aniqlanadi.
Hu misolda taqqoslashning ikkala prinsipi ham bajarildi, ya’ni uchburchak
VH 10‘rtburchak figuralari bir jinsli tushunchalar bo‘lib, ikkalasi ham
kii'phurchakning xususiy hollaridir hamda taqqoslash metodi ikkala figuraning
iNiisiy xossalariga nisbatan amalga oshirildi.
2misol. 8-sinf algebra kursida arifmetik progressiya и-hadini hisoblash
liiiimilasini keltirib chiqarish ham taqqoslash metodi orqali amalga
n’.hiriladi.
'I'a’rif. Ikkinchi hadidan boshlab o'zidan avvalgi har bir hadiga
hlivr 0 ‘zgarmas son qo ‘shilishidan hosil bo ‘ladigan sonlar ketma-ketligi
iiiilmetik progressiya deyiladi.
r'araz qilaylik, c,, a^, a^, .... a^, ... ko‘rinishdagi sonlar ketma-ketligi
lit'iilHan bo‘lsin. d — o‘zgarmas son bo‘lsin, u holda ta’rifga ko‘ra;
a^ = a^ + d
( 1)
a, = a^ + d
(2)
(1) va (2) dan:
a^ = a^ + d + d = a^ + 2d.
(.3)
Sliuningdek,
+ d = a^ + 2d + d = a^ + 3d.
(4 )
( i) va (4) lam ing o'zaro taqqoslash ham da induksiya m etodini
liiihlii iiilish natijasida arifmetik progressiya я -hadini hisoblash formulas!
I«r||iiil) cliiqariladi:
a, =
= fl| + (и — 2)d +
+ (л —\)d.
Alixonov
33
5-§. Analiz va siatez metodi
T a’rif. N om a’lumlardan m a ’lumlarga tomon izlash metodi analiz
deyiladi.
Analiz metodi orqali fikrlashda o‘quvchi quyidagi savolga javob
berishi kerak: «Izlanayotgan nom a’lumni topish uchun nimalami bilish
kerak?» Analiz metodini psixologlar bunday ta ’riflaydilar: «butunlardan
bo‘laklarga tomon izlash metodi analiz deyiladi».
Fikrlashning analiz usulida har bir qadamning o ‘z asosi bor bo‘ladi,
ya’ni har bir bosqich bizga ilgaridan m a’lum bo'lgan qoidalarga
asoslanadi. Fikrlarimizning dalili sifatida quyidagi teorem ani analiz
metodi ЬПап isbot qilamiz.
T e 0 r e m a. Aylana tashqarisidagi nuqtadan aylanaga kesuvchi va urinma o'tkazilsa,
kesuvchi kesmalarning k o ‘p aytm asi urinmaning kvadratiga teng (4-chizma).
B e r i l g a n : teoremada berilgan barcha
4-chizma.
shaitlarni Ш, xulosani esa X bilan belgilaylik.
Ш. [AQ - urinma;
С — urinish nuqasi;
[AD] — kesuvchi;
[АБ\ — uning tashqi qismi.
Is b o t q ilis h k e ra k : A O = \АП\ ■\AB\.
I s b o t i . Bu teorem ani isbotlash uchun oldindan m a’lum bo'lgan
matematik faktlar kerak bo'ladi, ularni qisqacha Ф bilan belgilasak,
teoremani shart va xulosalarini quyidagicha yozish mumkin:
Ш,Ф----Isbotlash natijasida hosil qilinadigan AC^ = \AD\\AB\ natijani yana
quyidagicha yozish mumkin:
' AC
AB
>X.
AD
AC
\
E n d i bizn in g m aq sad im iz sh art va m a ’lum fak tlar asosida
\A B \
I AD I ~ I AC I ^ aniqlashdan iborat. Bu savolga javob proporsiyaning
\ AC\
o'zidan ko'rinib turibdi, agar ^4C va AD larni bir uchburchak tomonlari
desak, u holda A C va AB larni ikkinchi uchburchak tom onlari deya
34
Mlmiii/,. и holda Ay4CDva A A B C lam i hosH qilish kerak bo'ladi. Buning
til Imn В va C ham da C v a D nuqtalam i o'zaro birlashtirish kifoya. U
iM.I.Ia,
{{m ,0 ),{h A C D ^h A B C )
=
I'lidi esa bu uchburchaklaming o'xshasMiklari bizga nom a’lumdir,
Vil'lii
(Ш,Ф),=> M C D ^ AABC.
Himda ikki uchburchak o ‘xshash boUishi uchun qanday shartlar
liiilmilishi kerak degan savol tug'iladi, bunga quyidagicha javob berish
itiiimkiii;
{Ш ,Ф ),АА = ZA,= ZACD = ZADC]=>{AACD^AABC).
lUi mulohazalardan esa quyidagi savollar kelib chiqadi:
( I U ,0 ) ^ Z A = ZA. { m ,0 ) ^ Z A C B = ZADC. Bu savollarga esa
qiiviclagicha javob berish mumkin:
1) liar qanday burchak o‘z-o ‘ziga teng;
/) aylanaga ichki chizilgan burchaklar haqidagi teoremaga ko‘ra
vnkl iishbu burchaklami o'lchash orqali hal qilish mumkin.
Yiicjoridagi isbotni sxema orqali bunday ifodalash mumkin:
Ш,Ф=>Х
Ш,Ф,
AC\ _ \AB
\AD\ \AC\
[{m,0),(AACD^AABC)]
>{AACD^AABC)
{Ш ,Ф ),А = А
A C J = ADC]=^(AACD^AABC)
{Ш, Ф) 1>{A = A)
(Ш ,
35
С D)B = A D C),
Т е р г е m а. Ikki son yigHndisining о ‘rta arifmetigi shu sonlar о ‘rta
geometrigidan kichik emas.
a +b
У (а,й)>0,
> 4ab.
Is b o ti.
a +b
|л/ай -4 analiz
a + b^4ab
0 - 2 I ab + b > 0
Vu
Misol. Quyidagi tenglama analiz metodi bilan yechilsin:
lg2(x+l)
-2 .
lg2(x-3)
Bu tenglamaning yechimini topishning o‘zi noma’lumdan ma’lumga
tomon izlanish demakdir. Bu tenglama л: > 3 va x ^ 4 larda ma’noga egadir:
/g2(x+l)=2/g(x-3),
x ^ -S x + 7 = Q
fe2(x+l)=lg(x-3)^
2 (x + l)= (x -3 )\
2x + 2 = x ^ - 6 x + i
Bunda x>3 bo'lgani uchun x^=l yechim bo‘la olmaydi, shuning uchun
X, = 7 yagona yechimdir.
T a’rif. M a ’lumlardan nom a’lumlarga tomon izlash metodi sintez
deyiladi.
Sintez metodida fikrlashning bir bosqichidan ikkinchi bosqichiga
o'tish go‘yoki ko‘r-ko‘rona bo'ladi, bu o'tishlar o'quvchiga noaniqroq
bo‘ladi. Sintez metodida biz berilganlarga asoslanib nim alarni topa
olamiz, degan savolga javob beramiz. Yuqoridagi teorem ani sintez
m etodi orqali isbot qilaylik.
В e г i 1 g a n: Ш: [A Q — u rin m a; С — u rin ish nuqtasi;
[AD] — kesuvchi; [AB] — uning tashqi qismi.
36
Isb o t q ilis h k e ra k : Ш,Ф. (Л:А<У = \AD\ \АВ\).
Mi/, isbotning sintez m etodini quyidagi sxema orqali chizib ko‘ramiz:
}. t e о r e m a . 1 Ш son yig ‘indisining о ‘rta arifmetigi shu sonlaming
It Ihi geometrigidan kichik emas.
a +b
— >V ^.
V (fl,6)> 0,
Isb о t i .
>0
{ y f a f - l ^ y[b + { 4 b f >Q
a - lyfab + 6 > 0
Yiuioridagilardan ko'rinadiki, analiz sintez metodiga nisbatan ancha
•itiliiv metod ekan, chunki bunda o‘quvchilar o ‘z mulohazalam i m usravishda asoslab isbotlashga doir misol va masalalami yechishi.Mijiii yordam beradi. U m um an olganda, analiz va sintez m etodlaii
i-ii liliiclan ajralmaydigan metodlardir. Masalan, teorem ani analiz yo‘li
liiliiii Isliot qilinsa, uni sintez m etodi orqali tushuntiriladi, chunki bu
ttirit 1(1 imcha ixcham va maqsadga tom on tezroq оЦЬ keladigan metoddir.
ИИ liii iinizning dalili sifatida quyidagi misolni ham sintez m etodi orqali
v< • liiimiz.
MIkoI. X, = 7 va Xj = 1 yechimlami qanoatlashtiruvchi logarifmik tenglama
itmilhiii lUi yerda qo'yilgan savolning o‘zi ma’lumdan noma’lumga tomon
Mliinltiii lalab qilyapti, shuning uchun bu savolga sintez metodi orqali javob
37
beriladi. Bu yerdagi bajarilishi kerak bo‘lgan matematik jarayon ildizdan
tenglamaga tomon oUb boriladi.
1) X, = 7 va x = \ yechimlarni qanoatlantiravchi tenglamani quyidagicha
tuzish mumkin:
(X - l)ix - 1) = 0,
- 8x + 7 = 0.
Ayniy almashtirish bajarish bilan quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
x^ - 6x - 2x + 9 - 2 = 0,
lg2(x + l)
.
=2
2x + 2 = x^ - 6x + 9,
2x + 2 = (x - 3)^
Igaix+D) = 2 ■lg(x - 3)|: U x - 3)^0.
Biz sintez metodi yordamida ma’lum bo'lgan x,=7 va Xj=l ildizlarni
qanoatlantiravchi
lg2(x + l ) _ ^
“
ko‘rinishdagi noma’lum tenglamani hosil
qildik.
6-§. Umumlashtirish metodi
Umumlashtirish tushunchasi ham matematika 0‘qitishdagi ilmly
izlanish metodlaridan biri bo‘lib hisoblanadi. Umumlashtixish usulining
ahamiyatini atoqli olim A.N. Kondakov quyidagicha ta ’riflaydi.
«Umumlashtirish shunday mantiqiy usulki, uning vositasi orqali
birlik fikrlashlardan umumiy fikrlashlarga o ‘tiladi».
Maktab matematika kursida umumlashtirish tushunchasi quyidagicha
tatbiq qilinadi;
1) m atematik tushunchalarni umumlashtirish;
2) teoremaiarni isbotlashda umumlashtirish;
3) misol va masalalarni yechishda umumlashtirish.
Endi umumlashtirish tatbiqlari alohida-alohida ko'rib chiqiladi.
1. Matematik tushunchalarni umumlashtirish
T a’rif. M atematik obyektdagi narsataming asosiy xossalarini aks
ettiruvchi tafakkur shakli matematik tushuncha deyiladi.
H ar bir matematik tushuncha o‘zining ikki tom oni bilan xaraktcrlanadi:
38
ii) iiishunchaning mazmuni;
li) Iiishunchaning hajmi.
I ti’rif. Tushunchaning mazmuni deb, ana shu tushunchani ifoda-
ImvI III asosiy xossalaming to ‘plamiga aytHadi.
Masalan, to'rtburchak tushunchasini olayUk. To‘rtburchaktushuncha»|||||ф, mazmuni quyidagi asosiy xossalar to'plam idan iborat:
I ) i()‘rtburchakning diagonali uni ikkita uchburchakka ajratadi.
,’) ichki qaram a-qarshi burchaklarning yig'indisi 180° ga teng.
II (liagonallari bir nuqtada kesishadi va shu nuqtada ikkita b o ‘lakka
liH'linacli.
I iiVif. Tushunchaning hajmi deb ana shu tushunchaga kirgan barcha
iilivi'Mlar to‘plamiga aytiladi.
Miisalan, to‘rtburchak tushunchasining hajmi to'rtburchak tushuniltiiMf’ii kirgan barcha to'rtburchak turlaridan, ya’ni: parallelogramm,
kv iilhii, romb va trapetsiyadan iborat. Bundan ko‘rinadiki, to ‘rtburchak
UHliiiiu liasining hajmini tomonlari uzunliklarining miqdori turlicha bo‘l|nii Ibiiclia katta va Idchik to'rtburchaklar tashldl qilar ekan. Hajm jihatidan
liitiiH, mazmun jihatidan esa tor bo‘lgan tushunchani jins tushunchasi va
dkkiiii lia hajmi tor, mazmuni esa keng bo‘lgan tushunchani tur tushunchasi
tipli VIII ililadi. Masalan, akslayntirishtushunchasini olaylik. Bu tushunchadan
tjttVMivi lii va qaytmaydigan akslantirish tushunchalari kehb chiqadi.
Ilii ycrda akslantirish tushunchasi qaytuvchi va qaytmaydigan akslanliishunchalariga nisbatan jins tushunchasi, qaytuvchi ham da
»j«vim:iy(ligan akslantirish tushunchalari akslantirish tushunchasiga
iiuli.iiaii (ur tushunchalari bo‘ladi. Yuqoridagi m ulohazalardan ko'rinaillki, |ms tushunchasi tu r tushunchalariga nisbatan um um iy bo'lgan
iitnhmu ha ekan. Shuning uchun ham tushunchani um um lashtirishga
t|iiviilaKicha ta’rif berilgan: «Tur tushunchalaridan jin s tushunchalariga
M/h// tushunchani umumlashtirish deyiladi». Umumlashtirish jarayonida
MiKiimlayotgan tushunchalar orasida umumiy xarakterh mosliklar o ‘rMHiihl», umumiy fikrlashlarga o ‘tiladi. Yuqoridagi m ulohazalardan
ktt Hull) liiribdiki, umumlashtirish jarayonida umumlashtirilgan tushunt li.iiiiiiK hajmi ortib, mazmuni torayar ekan.
MUtil. Qaytuvchi akslantirish tushunchasining hajmi В bo'lsin, uning
« boisin. Akslantirish tushunchasining hajmi H uning mazmuni
/I li(i‘lsin. Tushunchani umumlashtirishga berilgan ta’rifga ko‘ra quyidagi
M.MiiuMil)iit o‘rinU bo'ladi: (5 c.H) => (a > jS). Bunda В — qaytaruvchi
ibl.iiilliislming hajmiga obyektiv akslantirish kiradi. H — akslantirishning
I. ijMiluii t'sa barcha akslantirishlar kiradi. Shuning uchun qaytuvchi akslantirish
39
tushunchasi akslantirish tushunchasining qismi bo'lmoqda. Boshqacha aytganda, akslantirish tushunchasi qaytuvchi va qaytmaydigan akslantirish tushunchalarining umumlashgan holi ekan.
Endi uning mazmuniga kelsak, bu yerda qaytuvchi akslantirish degandafaqat shu akslantirishning xossalarinigina o'rganamiz. Demak, o'rganadigan
tushunchaning mazmuni aniq. Endi akslantirish tushunchasini olsak, bu
yerda biz o'rganadigan tushunchaning mazmuni noaniqroq, chunki akslan­
tirish tushunchasidan ikkita, ya’ni qaytuvchi va qaytmaydigan akslantirish
tushunchalari kelib chiqadi. Bulardan ko'rinib turibdiki, qaytuvchi akslantirish
tushunchasining mazmuni akslantirish tushunchasining mazmunidan katta
ekan, ya’ni: a > /?.
1. Teoremalarni isbotlashda umumlashtirisb
Teoremalarni umumlashtirisb jarayonida o'quvchilar uning shart
va xulosa qismini o ‘zaro ajratishlari ham da ular orasidagi o ‘xshash va
farq tomonlarini analiz qilishlari lozimdir.
Analiz qilish quyidagi bosqichlar orqali amalga oshiriladi:
1) teoremada qatnashayotgan xossalami asosiy va asosiy bo'lmagan
xossalar guruhiga ajratiladi;
2) teoremani umumlashtirisb ucbun uning shartida qatnasbayotgan
asosiy xossalardian qaysi birining ibazm unini o ‘zgari;irisb kerakligi
aniqlanadi;
3) teorema umumlasbgan bolda isbot qilinadi.
T e o r e m a . Agar bir to ‘g ‘ri chiziqda bir necha kongurent kesma
qjratilsa va ularning uchlaridan ikkinchi to ‘g ‘ri chiziqni kesuvchi o ‘zaro
parallel to ‘g ‘ri chiziqlar oHkazilsa, ular ikkinchi to ‘g ‘ri chiziqda o ‘zaro
kongurent kesmalar ajratadi (5-cbizma).
40
•Г-*
[А В]л[С/)]е a,
H crilg a n :
и г ] a [СВ],
[А 1,]|[В Я ,]||[С С ,]||[Щ ].
I R b о t q i 1 i sh к e r a k: [ 4 Д ] = [C, Д ] e b.
I Nb 0 1 i . Bu teoremani isbotlashda uchburchaklar kongurentligining
iiliMiiiUidan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Chizmadan;
[AB]\\[A,E\A[CD]\\[qH].
s AC^HD^ bir tomoni va unga yopishgan burchaklariga ko‘ra,
[A A M C A hb.
l ilies teoremasida asosan ikki shart bor: 1) a to‘g‘ri chiziqda konguMivnl kesmalar ajratilsin, 2) kesmalarning uchlaridan b to‘g‘ri chiziqni
hootivchi parallel to‘g‘ri chiziqlar o'tkazilsin. Faraz qilaylik, a to‘g‘ri chiziqda
kimBiiruyent kesmalar emas, balki ixtiyoriy kesmalar ajrataylik, u holda
(ptiirmaning mazmuni quyidagicha bo'ladi: «Agar bir to‘g‘ri chiziqda bir
(11 1 Im ixtiyoriy kesma ajratUsa va ulaming uchlaridan ikkinchi to‘g‘ri chiziqni
lipmivclii o'zaro parallel to‘g‘ri chiziqlar o'tkazilsa, ular ikkinchi to‘g‘ri chiziqda
li.im Ixtiyoriy kesmalar ajratadi».
H c r i l g a n :
{[АВ]л[ВС])еа-,
Isbot qilish kerak:
A B \_ \A B ,
CD\ M l ’
I •; b 0 t i. 6-chizmada:
41
1М
( М £ я ," А С ,г щ )= » ^ =
|с ,л ,| |с ,я |
[АЕ]\\[АВ] А ([ClЯ]||[Ci)])
[А^Е] = [АВ] л ( [ ^ Я ] = [С2)]) ^
(1)
=> (l^i^l = {\АВ\) л i\C^H\ = |CD|)).
(1)
tenglikdagi \ЛД va \CjH\ o'rniga (2) tenglikdagi AB va CD
qo‘yilsa, qo‘yidagi tenglik hosil bo‘ladi;
AB
A A
CZ)|
QA
(3)
tenglik proporsional kesmalar haqidagi teoremaning natijasid
Demak, proporsional kesmalar haqidagi teorema Fales teoremasining
umumlashgan holi ekan.
3. M asalalarni yechishda umumlashtirish
M a’lumki, maktab geometriya kursi deduktiv asosda mantiqiy
qurilgan fandir. Shuning uchun ham maktab matematika kursidagi barcha
amaliy materiallar o ‘quvchilarning mantiqiy fikrlash qobiliyatlarini har
tom onlam a shakllantirishga qaratilgandir. 0 ‘quvchilarning mantiqiy
fikrlash qobiliyatlarini shakllantirish esa m atem atikada yechiladigan
amaliy mavzu materiallariga o ‘qitishning ilmiy izlanish metodlarini
izchillik bilan tatbiq qilish lozimligini taqozo etadi. Ana shunday
metodlardan biri umumlashtirish usulidir.
1-misoI. Berilgan ikki kesmaga o‘rta proporsional bo‘lgan kesmani yasash
qoidasiga asoslanib, bir-biriga teng bolmagan Lxtiyoriy ikki musbat sonning
o‘rta arifmetigi shu sonlarning o‘rta geometrigidan katta son ekanligini isbot
qiling.
B e rilg a n : a va A sonlar; a > Q, b > 0, a Ф b.
Isb o t q ilish k erak :
> 4ab .
I s b о t i.
a-^b
42
-.n t HWiHwwr'i^ei»;-
(л/а - л/б) ^ О demak
•
I
I iiraz qilaylik, berilgan sonlar uchta bo‘lsin. Berilgan: a, b, с —
liMiliii, «>0, b>0, c>0, a Ф b it c.
Inliot q ilis h k e ra k : —
> ^abc.
I иhot i. Faraz qilaylik, a = y?, b = ^ , с =
bo'lsin, u holda
s 3xyz) => (x^ +y^ +Z^ - 3xyz > 0 ) .
=Ф
Линг (1) tengsizlikning o'rinli bo'lishi ko'rsatilsa,
( 1)
> ^abc
•кииИк! ko‘rsatilgan bo‘linadi:
+y^ +Z^ - 3xyz) > 0] => [(x + j
- 3 (x + j + z)x
x{xy + xz + yz)] > 0 =?> [(x + >»+ г ) X
+ y ' ^ + Z ^ - x y + xz + y z ] ] ^ 0 .
(2)
(Л il.igi birinchi ko‘paytuvchi musbat, shuning uchun ikkinchi ko‘payHivt liiiil musbat ekanligi ko'rsatiladi, (1) tengsizlikning musbat ekanligini
fctt'niiiiKiin bo'lamiz:
I
+ z ^ - x y + x z + y z ) = ^[2x^ + 2 y ^ + 2 z ^ - 2 x y - 2 x z - 2 y ^ = i >
( x - z ) + { .x - y f + { y - z f
>0.
(3)
Ml ii'iigsi/lik doimo berilishiga ko'ra musbatdir, agar x —y —z bo‘lsa, (3)
tsiiaH/Ilk nolga teng bo'ladi, bu holda (1) tengsizlik tenglil^a aylanadi.
a + fo+ c лг—
.—
^— >y/abc tengsizlik o‘rinli ekan.
II l iiraz qilaylik, berilgan sonlar to'rtta bo'lsin.
II г li 1g a n : a, b, c, d — sonlar; a > 0, b > 0, с > 0,
I'ilmi q ilish kerak ;
a+ b+ A + d
43
> 0.
Isboti.
^ ^ ^ S >]аЬсga asosan
Ч
2 /A\
a +b +c +d ^ j
2 / ^
>
fc + d )
12 Ji 2 J
4
> n/ c^
(4)
bo'lgani uchun bulami (4) ga qo'ysak:
г
4
_
,
Demak,
=>
г
4
a +b + c + d ^ A / ——7
------ ------- > Яabed tengsizlik o'rinli bo4adi.
Endi yuqoridagi tengsizlikni har qanday n uchun o‘rinli deb, matematik
induksiya metodi orqaii umumlashgan (и + 1) hoi uchun isbot qilmniz:
“n+l -
a ,+ a j+ a ^+ ... + a„ _
^
a , + а2 + а з+ ... + а„+а„^,
.
„
Я+ 1
£>0
♦
4
/1+1
•^n+l -----------
/1 + 1
k
И+ 1
Л^-(и + 1 + е '
I
bo'lsin
Л+ 1
N n .x - N „ ^ -
Я+ 1
\/I+l
V
"
И+1
Й+ 1
г (N T ' + iv ; £) = W; № + £) = N -.a„,;
44
Г' ^
) =>
>" ф
a . + c L + a , + . . . + a + а„^. ^
^ ) =>
i-------------
/1 + 1
/•luiNoI. С nuqta [АВ] kesmani teng
1И 1|{|| boMadi. О ixtiyoriy nuqta. ОС
= а, ^
^ vektorlar orqali
fthlitlmiK (7-chizma).
U c iilg a n : [AB\, OA = a ,O B = b ’
лС ,1
=>
r/[" \
A C = CB
I iipish k e ra k ; 0 C ~ ’
yt.1 lUli: sliartga ko'ra:
AC
= 1
bo'lgani uchun AC
CB
AB
( 1)
|.«|||
< hl/mndan; ~AC va
tttllnin
vektorlarning yo‘nalishlari bir xil bo'Igani
AC = O C -O A ,
( 2)
AB = OB-OA,
(3)
1 1) VII (3) larni (1) ga qo'yilsa, quyidagi ifodalar hosil bo'ladi:
п (и Ш =и Ш - Ш ) ,
О ^ Л { р В + ОА),
oc =- b+ a
О С -lo B ^ -O A ,
2
2
2
45
\
/
Endi shu kesmani ikkita C v a D nuqtalar
yordamida teng uch bo'lakka bo'laylik. 0
ixtiyoriy nuqta. ^
va ZO vektorlarni
QA = a, 6 5 = i vektorlar orqali ifodalang
(8-chizma).
B e r ilg a n : [AB], OA = a, OB = b
8-chizma.
1
AC = -A B .
3
T o p is h k e ra k :
ОС — ?
Y e c h is h : shartga ko‘ra:
AB
AC
AB
1
3
>AC = -AB,
( 1)
A C vektorlaming yo‘nalishlari bir xil bo'lganligi uchun
Л С - О С -О Л ,
( 2)
AB = OB-OA,
(3)
(2) va (3) larni (1) ga qo‘ysak:
OC = -O B + -OA,
3
3
0 C = ^ (b + 2a).
0С = Ц Ш + 20А),
Endi shu [AB] kesmani C, D, E, ... nuqtalar yordamida teng n ta
bo'lakka bo'laylik. 0 - tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin (9-chizma).
^
vektomi OA = a,OB = b vektorlar orqali ifodalang.
B e rilg a n : [AB],
AC
OA = a, OB = b,
1
„•
46
I o p ish k e ra k :
Y c c li is h :
AC\
1
AB\
n
0C = ?
shartga
9-chizma.
AC va
vektorlarning
vii'iMilislilari bir xil bo‘lganligi uchun
AC = O C -O A ,
( 2)
AB = O B-O A,
(2) va (3) lami (1) ga qo'ysak:
(3)
о с - о а = - { о б - о а ),
ОС = - [ Ш + {п -1 )0 А ).
ОС =
b+ { n -l)a
7-§. Abstraksiyalash metodi
()'(litish jarayonidagi ilmiy izlanish metodlaridan bin bu abstrak>iiviiliislidir. Abstraksiyalash - o ‘rganilayotgan obyektdagi narsalaming
iitiilimi bclgilarini, sifat yoki xususiyatlarini fikran ajratib olib ana shu
I'* l(ii, silat yoki xususiyatlarni mustaqil fikr obyektiga aylantirishdan
il'iMul lalakkur operatsiyasidir.
I iiilsol. 0 ‘qituvchi abstraksiyalash metodini o'quvchilarga 3-5=15 miчч1 iiii|iili tushuntirishi maqsadga muvofiq. Ma’lumki, bu oddly matematlk
t. ii(),lik(lir, ammo u obyektlv olamdagi ma’lum bir qonuniyatlarni aks
■iitimll, Agar 3-5=15 tenglikka ma’lum bir shartlami qo‘yilsa, u holda bu
iMiM.lik (|iiyidagi qonuniyatlarni ifodalaydi:
Afiitr 3 sonini qalamlarning soni, 5 sonini har bir qalamning qiymati
■l> Ilk, (I holda 15 soni jami qalamlarning qiymatini (qancha turishini)
tlx'lilhiydi.
Лцм1 3 sonini odamning piyoda yurgan vaqti, 5 soni uning bir soatdagi
i‘ liHi (Icsak. u holda 15 soni piyoda odamning 3 soat ichida bosib o‘tgan
,H liiii Kodalaydi.
47
2misol. Fizika kursida jismning harakat tezligi tushunchasini v=v^+at
formula bilan, metall sterjen uzunligini qizdirilgandagi o'zgarishini l= l+ ol
formula bilan, chiziqli funksiyaning burchak koeffitsiyentli formulasini esa f
(x)= ax + b bOan ifodalaymiz. Agar bu formulalarga diqqat bidan qarasak,
vi=vj-at va 1=1+at formulalar f(x)= ax + b chiziqli funksiya formulasining
flzikada yozilishi ekanligini ko‘ramiz.
Yuqoridagi misollardan ko'rinib turibdiki, abstraksiyalash usulida narsalarning aniq holatidan uzoqlashib, ularning muhim belgilari haqidaginu
gap boradi, narsalarning turli ko‘rinishlari bo'yicha fikr yuritilmaydi. 0 ‘quvchilarga abstraksiyalash metodini o'rgatish ularning narsa va hodisalarni
muhim belgilarini ajrata olishlari hamda ilmiy tushunchalarni o‘zlashtirishlari
uchun katta ahamiyatga egadir.
8-§. Aniqlashtirish metodi
0 ‘rganilayotgan obyektdagi narsalarning xossalarini bir tomonlama
xususiy holda fikriash aniqlashtirish deyiladi.
1 - misol. a^ - b^ = (a - b)-{a + b) bu fcrmulani aniq hollar uchun
quyidagicha qo'llash mumkin:
781^-63^ = J(81-63)(81 + 63) = л/18444 = 12 • Зл/2 =
= 36-1.144 = 50,9.
2- misol. Ma’lumki, kosinuslar teoremasi
+ b^ - la b cos С
formula bilan ifodalanadi: Agar С = 90° bo‘lsa, cos 90° = 0, u holda
= a^ +b^— Pifagor teoremasi kelib chiqadi.
9-§ . Klassifikatsiyalash metodi
Ta’rif. Jins tushunchalaridan tur tushunchalariga o ‘tish klassijh
katsiyalash deyiladi.
Klassifikatsiyalash jarayonida o'quvchiiar (m uhim yoki o ‘xshash)
belgiga asoslangan holda, ularni bir sinfga birlashtirishga harakal
qiladilar, y a’ni ularni o ‘xshash, um um iy va farqli tom onlarini qaral)
bir-biridan ajratadilar, buning natijasida ular tushunchalarni klassitl
katsiya qiladilar.
Masalan, ko'pburchak tushunchasini klassifikatsiyalash quyidagicha
amalga oshiriladi:
48
10-§. Evristik ta’lim metodi
«Evristika» degan so‘zning m a’nosi savol-javobga asosan topam an
(li-makdir. Evristik metod bilan o‘qitish maktabdarda asosan, XIX asr
boshlaridan boshlab qo‘Uanila boshlandi.
Atoqli pedagog-m atem atik S.I.Shoxor-T rotskiy o ‘zining «Геомсгрия н а задачах» nom li kitobida bunday yozadi: «G eom etrik
miishg‘ulotlar o ‘quvchilarga qiziqarli bo‘lishi uchun, bu mashg‘ulotliiniagi har bir masala yoki topshiriq so‘zm a-so‘z quruq yodlash
tii'hun emas, balki ularning aqliy faoliyatlarini ishga soladigan xarakicnla bo‘Iishi kerak. (Shoxor-Trotskiy S.I. «Geometriya na zadachax»
M,, 1908-y. 14-bet).
Amerikalik olim D.Poya o ‘zining «Как решат задачу» nomli kitobida
I'vi istik ta ’lim m etodini bunday tushuntiradi; «Evristikaning maqsadi —
Vitngiliklarga olib boravchi m etod va qoidalami izlash demakdin>. U
I'VI istik metod mohiyatini quyidagidek izchillikda tuzilgan reja orqali
limitIga oshirishni tavsiya qiladi:
1. Masalaning qo'yilishini tushunish.
2. Masalani yechish rejasini tuzish.
X Tuzilgan rejasini amalga oshirish.
4, Orqaga nazar tashlash (hosil qilingan yechimni tekshirish).
lUi rejani amalga oshirish jarayonida o'quvchilar quyidagi savoUarga
iHvol) topadilar:
I. Masalada nim alar nom a’lum?
}. Masalada nim alar m a’lum?
(, Masalaning sharti nim alardan iborat?
'1, 1Igari shunga o'xshash masala yechilganmi?
Agar shunga o ‘xshash masala yechilgan bo'lsa, undan foydalanib
'in'vilnyotgan masalani yecha olamizmi?
I
S Allxonov
49
Albatta, yuqoridagi reja-sxema o'quvchilarning ijodiy fikrlash fao
Uyatiarini shakllantiradi, ammo bu reja-sxema o'quvchilaming ijodiy
qobniyatlarini shakllantiruvchi birdan-bir y o l bo‘la olmaydi.
M atematik-metodist V.V. Repev evristik metod orqali o'qitislini
bunday ta’riflaydi: «Bu metodning mohiyati shundan iboratki, o‘qituvclii
tom onidan sinf o‘quvchilari uchun o ‘tiladigan mavzu materialining
mazmuni muammo qilib qo‘yiladi, so‘ngra maqsadga tom on yo'naltiravchi savollar sistemasini o ‘quvchilarga berish orqali qo‘yilgan muamm oni hal qilinadi. (Репьев В. В. «Общая методика математики»,
М., 1958-у., 149-bet).
Endi yuqorida aytilgan fikrlarning dalili sifatida quyidagi tenglama
va masalani evristik ta’lim metodi bilan yechib ko‘rsatamiz.
1. Ushbu \x^ —3x —9| = —5 tenglamani evristik metod bilan yeching.
Bu tenglamani evristik metod bilan yechishda o ‘qituvchi bilan
o ‘quvcliilar orasidagi suhbat keltiriladi, bu ta ’lim jarayonidagi evristik
metod mohiyatini ochib beradi;
0 ‘qituvchi. \x^ - 3x — 9 |= -5 tenglama qanday yechiladi?
0 ‘quvchi. Bu tenglamani yechish uchun uning — 3x — 9= —5 va
—x^ + 3x+9=-5 tenglamalar ko‘rinishida yozib oUnadi.
0 ‘qituvchi: x ^ ~ 3 x — 9 = —5 va -х^+Ъх+9=—5 tenglamalarni qanday
qoidaga asoslanib yozdingiz?
Agar bizga |al soni berilgan bo'lsa, u quyidagiga teng edi:
a =
a, fl > 0,
-a, a < 0.
0 ‘qituvchi. X o‘sh, u holda hosil qilingan tenglam alar qanday
yecM adi?
0 ‘quvchi.
^2 _ 3 ^ 9 = _ 5 ^
^2 -З л ^ 9 + 5 = 0 ,
jc2 -3j<r-4=0.
0 ‘qituvchi. x^ - 3 x - 4 = 0 tenglam a qaysi form uladan foydalanib
yechiladi.
0 ‘quvchi. x^ -3 x ~ 4 = 0 tenglama x^+px+g=0 ko‘rinishga keladi,
bu keltirilgan kvadrat tenglamadir.
0 ‘qituvchi. Kim aytadi, x^+px+g=0 tenglamaning umumiy yechimi
qanday bo‘lar edi?
50
()‘quvchi. x^+jPX+9=0 tenglamaning yechimi Xi2 = - ^ ± y ^ - ?
Itii'hir edi.
()‘qituvchi.
—3jc—4=0 tenglam ani bu formulaga qanday qilib
i|ti'y!liniZ?
()‘quvchi. ^ —3jc-4=0 tenglam ada р = —Ъ va q=—A ga teng, biz
iiliimi umumiy yechimga qo‘ysak, berilgan tenglamaning yechimini
iiipHiiii bo‘lamiz:
" I
9_4Л ±
4
2 V4
2
2
()‘qituvchi. -x ^ + 3 x + 9 = —5 tenglama qanday yechiladi?
()‘quvchi.
+ 3x + 9 + 5 = 0.
0 ‘qituvchi, Endi nim a qilamiz?
O'quvchi. 0 ‘xshash hadlari ixchamlanadi —xH 3x+14=0.
<)‘qituvchi. N om a’lum x oldidan manfiy ishorani musbat qilish
1(1 him nima qilinadi?
( )‘quvchi. Tenglikning har ikkala tom oni (-1) ga ko‘paytiriladi:
+ 3x + 14 = 0 -(-l),
x2-3x-4==0.
Mu tenglama ham yuqoridagi kabi yechiladi:
3^
3 ^ [65
3 + V65
З^л/65
3-л/б5
11, Endi quyidagi masaiani evristik metod bilan yechamiz.
Masala. Oralaridagi masofa 60 km bo‘lgan A nuqtadan В nuqtaga bir
v,ii|iila ikki velosipedchi jo‘nadi.Ular bir vaqtda В punktga keiishlari kerak
I til IJiiinchi velosipedchi esa har soatda 2 km kam yurgani uchun bir soat
(•I'lli kcldi.Har bir velosipedchi soatiga necha km yurgan?
()‘qituvchi. Masalaning shartlari qanday? U nda nim alar berilgan?
Miisiila shartida qanday kattaliklar qatnashmoqda?
<)‘quvchilar. A v a B punktlar orasidagi masofa 60 km ekani berilgan.
Vi ldsipcdchilarning tezliklari orasidagi v aan a shu masofalarini bosib
ii'ii.'.liliiri uchun ketgan vaqtlar orasidagi farqlar berilgan. Bu masala
«liiiiiida harakat, masofa va vaqt kabi kattaliklar berilgan.
51
0 ‘qituvchi. Masalada nim ani topish kerak?
0 ‘quvchilar. Masalada har qaysi velosi pedchining tezligini topish
so‘ralmoqda.
0 ‘qituvchi. Tezliklami topish uchun qanday formulalardan foydaianiladi?
S
0 ‘quvchiIar. Bizga fizika kursidan m a’lum bo'lgan s = v t , v = -
formulalardan foydalaniladi.
0 ‘qituvchi. Masalaning shartiga ko‘ra nimani x bilan belgilanadi?
0 ‘quvchilar. x km /soatni A punktdan Б puntkga borayotgan velosi­
pedchining tezligi deb olamiz.
0 ‘qituvchi. Agar biz birinchi velosipedchining tezligini x desak,
ikkinchi velosipedchining tezligini ana shu nom a’lum orqali ifodalay
olasizmi?
0 ‘quvchilar. Ha, (x^2 ) km /soat ikkinchi velosipedchining tezligi
bo‘ladi.
0 ‘qituvchi. A punktdan В punktgacha bo‘lgan masofani birinchi va
ikkinchi velosipedchilar qancha vaqtda bosib o ‘tgan?
60
^
60
^
0 ‘quvchilar. — — soatda va -----г soatda.
X
x -2
0 ‘qituvchi. Bu velosipedchilarning 60 kmli masofani o ‘tishlari uchun
ketgan vaqtlarni qanday tenglash mumkin?
0 ‘quvchilar.
60
-
—
,
60
-
tenglam aorqali.
0 ‘qituvchi. Bu tenglama qanday yechiladi?
0 ‘quvchilar. Tenglama yechishning umumiy qoidasiga ko'ra:
60л: + 120 - 60x =
- 2x,
x^~2x - 120 = 0,
Х1Д = l± V l + 120 =1±11.
X, = 12 km/soat,
xj = lOkm/soat.
l l - § . Matematika darslarida muammoli ta’lim
U m um ta’lim maktablari jamiyatning ijtimoiy-iqtisodiy va madaniy
hayotdagi muhim o'zgarishlarga hamisha o ‘z munosabatini bildirib keldi.
Jamiyat taraqqiyotining har bir davri uchun ta ’Um nazariyasi rivojining
52
t
iiiii'liiin bir mazmuni mos keladi. Boshqacha aytganda, jam iyat tahar bir bosqichiga mos ravishda o ‘qitish dasturlarining
m i/miini, tarbiya prinsiplari, o‘quv-tarbiyajarayonini tashkil qilishning
ti.niwi va metodlari ham da ta ’lim muddatlari mos keladi. Pedagogika
kiii Mtlan m a’lumki, ta ’lim metodini aniqlashtirish jarayoni o ‘quvchi
liil.iii o'qituvchining o‘zaro munosabatlari prinsipidan kelib chiqadi,
l4Hul;i o'qituvchi o ‘quvchilarga bilim larni bayon qilishi, ana shu
liilimlarga erishishdagi o'quvchilarning shaxsiy faoliyatlarini uyushtirishi
iiiimda tushuntiriladigan mavzu materialini o'qituvchining o ‘zi qanday
l.iivtHi qilish nuqtayi nazaridan yondashiladi.
( )n‘/aki ko‘rsatmalik ta ’lim jarayonida o ‘quvchilar o'qituvchining
lui.limilirishi orqali bilimlarni ongli ravishda o ‘zlashtiradilar ham da
tiliimi amalda qo‘llash malakalari hosil b o lad i.
Asta-sekin um um ta’lim maktablarining m azm uni tubdan o'zgarIm 1111, ya’ni ta ’limni maktabning maqsad va vazifalariga mos keladigan
...... ancha takomillashgan izohli-illyustrativ metodi vujudga keltirildi.
I Milli illyustrativ ta ’limda o'rganilayotgan obyekt mohiyati izohlanadi,
liiivoiiy dalillar bilan bog'lanadi hamda o‘qituvchining ana shu o ‘rgaMil.ivolgan obyektga nisbatan ko'rsatadigan misol va xilma-xil ko‘rgazmitll (lurollari orqali tasdiqlovchi xulosasi bilan yakunlanadi.
l/,i)hli-illyustrativ ta ’limda o'qituvchi dalillarni o ‘zi bayon qilib
•и i.uii, o‘zi ulam i tahlil qiladi va yangi tushunchalam ing mohiyatini
iiit.liiiiiliradi, ya’ni teorema, qoida va qonunlarni o ‘zi ta ’riflaydi.
l/olili-illyustrativ ta ’lim m etodi um um ta’limiy maktablarim izda
Ч" ll.uiish darajasiga nisbatan a n ’anaga aylandi va h o zird a ham
iin'lhmilmoqda. Hozirgi zamon ilmiy-texnika taraqqiyoti davrida izohliilhii’.liativ ta ’lim m etodi o ‘quvchilarning fikrlash qobiliyatini yetarli
.bn .iiaila rivojlantira olmaydi, ulam i o‘rganilayotgan mavzu materialini
141Ч1,1 bilishlariga bo‘lgan ehtiyojlarini qanoatlantira olmaydi ham da
iimi'.i l)()‘lgan qiziqishlarini yuqori darajada shakllantira olmaydi. Shuning
u. him liam 1960-yilning boshlaridan boshlab, maktablarimizda ta ’lim
j.ii.ivimini jadallashtirish g'oyasi keng tarqalib, ta ’limning yangi m etodi
iniuimmoli ta ’Urn metodi vujudga kela boshladi.
hi'lim metodlarining turini aniqlash o'quv jarayonini tashkil qilish
...... . plarini o ‘zigagina emas, balki aqliy faoliyat xarakteriga ham bog‘ii.|ilii, hu esa o ‘z navbatida fikrlashning reproduktiv va produktiv
Mil III! mi o'zaro qo'shib olib borish bilan belgilanadi. Izohli-illyustrativ
I . Iim jarayonida barcha bilimlar, ko'nikm alar va malakalar o ‘zlash'(M .liiimg reproduktiv metodi asosida amalga oshiriladi, ya’ni o'quv53
I
к
f
I
chilar fanning tayyor natijalarini, tayyor faoliyat usullarini o ‘zlashtiradilar, bu esa ularda xotira va reproduktiv fikrlash malakalarini
shakllantiradi. Faqatgina produktiv ijodiy fikrlash malakalari o'rganilgan
nazariy mavzu materialiga b o g iiq bo‘lgan masala yoki misollarni
yechish davomida egallanadi, xolos. Biroq reproduktiv fikrlash natijasida to ‘plangan m a’lum hajmdagi bilim va malakalar o ‘quvchilarning
mustaqil bilish ham da ijodiy qobiliyatlarini rivojlantirish uchun yetarli
bo‘lmaydi. Shuning uchun ham ta limning jadallashtirish g‘oyasini har
xil yo'naUshlari turli olimlar (M.A. Bankov, M.A. Danilov, M. Maxmutov, Yu.K. Babanskiy va boshqalar) tom onidan eksperiment qilinib
ko‘rildi va nazariy jihatidan isbotlandi.
0 ‘tkazilgan eksperiment va kuzatishlar natijasida ta ’lim jarayonida
o ‘quvchilarning bUish faoliyatlarini jadallashtirish hamda ularning intellektual imkoniyatlaridan yuqori darajada foydalanish umumiy qonuniyatlari ishlab chiqildi. Bu qonuniyatlar quyidagilardan iborat:
1. 0 ‘rganilayotgan mavzu materiallari yuzasidan muammoli savollar
sistemasini tuzish.
2. Tuziigan muammoli savollar sistemasi asosida suhbat metodi
orqali tushuntiriladigan mavzu m aterialini o'rgatish va uning tub
mohiyatini ochib berish.
3. M uammoli savollar asosida izlanish xarakteridagi o ‘quv vazifalarini qo‘yish.
Yuqoridagi bosqichlar asosida o'quv materiali tushuntirilganda
o ‘quvchilar o‘zlari darrov tushunib yetmaydigan fakt va tushunchalarga
duch keladilar, natijada o‘rganilayotgan mavzu materiali bilan o ‘quvchilar orasida muammoh vaziyat hosil bo'ladi.
Ta’rif. О ‘rganilayotgan obyekt (bilishga doir nazariy material yoki
masala) bilan o ‘rganuvchi subyekt (o ‘quvchi) orasidagi o ‘zaro harakatlaming 0 ‘ziga xos bo ‘Igan turiga muammoli vaziyat deyiladi.
M uam m oli vaziyat — bu o ‘quvchilarni о ‘rganilayotgan mavzu
materialidagi fakt va tushunchalarning qanday hosil bolishini bilmaslikdan ham ana shu mavzu materialining tub mohiyatini olib beruvchi
matematik tushuncha, aksioma va teoremalarni о ‘rganilayotgan mavzu
materialiga tatbiq qila olmaslik paytida vujudga keladigan intellektual
qiynalishdir.
M uammoli vaziyatning roU va ahamiyatini aniqlash o ‘quvchilaming
tez fikrlash faoliyatini psixologik, pedagogik qonuniyatlarini hisobga
ohsh asosida o‘quv jarayonini qayta qurish muammoli ta ’Iimning asosiy
g‘oyasini belgilab beradi. M uammoli ta ’hm da bilimning deyarli katta
54
■ji nil o'quvchilarga tayyor holda berilmaydi, balki o ‘quvchilar tom oiiiiiam m olivaziyatlarnim ustaqilhalqilabilishfaoliyatijarayonida
rMiilliil) olinadi.
I'ii’rif. Muammoli vaziyatlarni hal qilish asosida hosil qilingan dars
tuiiiyoni muammoli ta ’lim deyiladi.
Nluioridagi mulohazalardan muammoli ta ’lim nazariyasi o‘quvchi
iiiirlli-kiual imkoniyatlarini ochib beravchi rivojlantiravchi xarakterdagi
lu iiin (ashkil qilishning psixologik, pedagogik yo‘Uari va usullarini
Ki .hmiiiradigan ta ’lim jarayoni ekanligi ko‘rinadi.
Muiiinmoli ta ’limda o‘qituvchi faoliyati shundan iboratki, u zarar
hiillitida eng murakkab tushunchalar m azm unini tushuntira borib
.1 ip.iiiilayotgan mavzu materiali bilan o‘quvchilar orasida m untazam
b(M*,h(la m uam m oli vaziyatlarni vujudga keltiradi, o ‘quvchilarni
i.iMliiidaii xabardor qiladi, natijada o'quvchilar bu dalillarni analiz
.lilt'll asosida mustaqil ravishda xulosa chiqaradilar va um um lashHbiiiilar, tushuncha, qoida va teoremalarni o ‘qituvchi yordamida aniqIrtl' iftula qilinishi yoki m a’lum bilim lam i yangi vaziyatlarda qo‘llanishini
i('(uiadilar, natijada o ‘quvchilarda aqliy operatsiya va bilim lam i
rfiimlivolda qo‘llanish malakalari shakllanadi.
NIakiab matematika kursida o‘rganiladigan nazariy mavzu m ateriali.tii masala va misollarni ularning mazmuniga ko‘ra muammoli ham da
Miiiammoli bo‘lmagan turlarga ajratish mumkin.
Ли.аг o'rganilayotgan mavzu materialidagi masala va misollarni
\ri lii'.h jarayoni o ‘quvchilar uchun yangi matem atik tushuncha, dalil
Ml <(Iiitlalarni o‘z ichiga olgan bo‘lib, awalgi usul bilan yechish mumkin
ltd Ima.sayu, yechishning yangi usullari talab etilsa, u holda bunday
iihCuiia yoki misol mazmunan muammoUdir, aksincha, shunday masala
i.'l i liiisollar o ‘qituvchi tom onidan o'quvchilarga yechish uch u n
i‘4ili'.lii mumkinki, bunday masala va misollar o ‘quvchilar uchun
iiiit immoli bo'lm ay qoladi, chunki ular masala va misol yechilishining
\ HiKi iistillarini mustaqil izlanmasdan, o ‘qituvchining tushuntirishiga
t)'/lashtirib oladilar, berHgan masala yoki misol faqatgina koefIII iv iiilari bilan awalgilaridan farq qiladigan darajada b o ‘ladi.
I
misol. Masalan, boshlang‘ich sinf o'quvchilariga quyidagi misollarni
'•■li.li mumkin:
6 + 2 • 3 = 24,
6 + 2 • 3 = 12.
M.i/mimiga ko‘ra bu masala muammoli bo'ladi, chunki bir xil toifadagi
ill (1,1 imsol liar xil natijaga ega bo‘lyapti. Bas, shunday ekan, misollarni
55
yechish usullari ham har xil bo'lishi kerak. 0 ‘quvchilarga esa faqatgina bitta
ketma-ket hisoblash usuli ma’lum, xolos. Ikkinchi usuli esa ular uchun
noma’lumdir. Mana shu yerda muammoli vaziyat hosil bo‘ladi. Yuqoridagi
qo'yilgan misollarning ikkinchi sinfdagi yuqori o'zlashtiravchi o'quvchilar
tomonidan yechihshi mumkin. Agar o'qituvchi dastlab o‘quvchilarga bir xil
miqdorlardan tuzilgan misollarni turlicha usullar bilan yechish namunalarini
ko'rsatgan bo‘lsa edi, ularbu misollarni namunadan foydalanib yecha oladilar,
natijada bu misollarni yechish jarayoni hech qanday muammoh vaziyatni
hosil qilmaydi.
2-misoI. Agar o‘qituvchi ax^+Z»x+c=0 to‘la kvadrat tenglamaning umumiy
Xj 2 =
-4 a c
topib, unga doir 5x^+7x+2=0 misoini
2a
ko‘rsatgandan so'ng, o'quvchilarga 6xH5x+l=0 tenglamani yechinglar desa,
bu holat o'quvchilar uchun muammoli vaziyatni hosil qilmaydi, chunki
ular uchun bu misoini yechishga andaza bor. 0 ‘quvchilar bu misoini yechish
jarayonida hech qanday yangi matematik qonun yoki qoidani ishlatmasdan
awalgi misoldagi koeffitsiyentlar o‘rniga yangilarini qo'yadilar, xolos, bunda
o'quvchilaming fikrlash qobiliyatlari shakllanmaydi.
3-misol. 0 ‘qituvchi kvadrat tenglama mavzusini o‘tib bo‘lganidan keyin
bikvadrat tenglamani o‘tish jarayonida quyidagicha muammoli vaziyatlarni
hosil qilishi mumkin.
0 ‘qituvchi: 6x2+5x^+l=0tenglamani qanday tenglama deb aytamiz?
0 ‘quvchilar: 4-darajali tenglama deyiladi.
0 ‘qituvchi: to ‘g‘ri, shunday deyish ham mumkin, ammo matematikada shu ko‘rinishdagi tenglamalarni bikvadrat tenglama deyiladi
va uning umum iy ko‘rinishi ax^±bx^+c=Q kabi bo‘ladi. X o‘sh, bu
ko‘rinishdagi tenglamani qanday yechish mumkin?
0 ‘quvchilar: Biz bunday tenglamalarni yechmaganmiz.
M ana shu yerda o'rganilayotgan mavzu materiali bilan o‘quvcMlar
orasida bilishga doir muammoli vaziyat hosil bo'ladi.
0 ‘qituvchi: x^—y deb belgilasak,
ni qanday belgilaymiz?
0 ‘quvchiIar: mulohaza yuritish, ilgari o‘tilganlari eslash orqali
deb belgMash to ‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qiladilar.
0 ‘qituvchi: Bu tenglam ani hozirgi belgilashlarga ko‘ra qanday
ko‘rinishda yozish mumkin?
0 ‘quvchidar: 6 / — 5y + 1 = 0.
0 ‘qituvchi: bu hosil qilingan tenglamani qanday tenglama deyiladi?
0 ‘quvchUar: to l a kvadrat tenglama deyiladi.
56
( >‘qituvchi: bu tenglamani qanday yechamiz?
<)‘(|uvchilar: to ‘la kvadrat tenglam a um um iy yechim ini topish
»Mtimilasiga qo‘yib topamiz:
3^1,2
5+ л ^ 5 ^ _ 5 ± 1 .
2-6
12
„ _ 1. „ _ 1
* 2^ ^
3'
(>‘qituvchi: biz h o zir ten g lam an i yechib, qaysi n o m a ’lu m n i
()‘quvchilar: nom a’lum у ni topdik.
0 ‘qiluvchi: nim ani topish so‘ralgan edi?
<>*quvchilar: x ni topish so‘ralgan edi.
( >'qituvchi: x ni qanday topamiz?
Maiia shu yerdagi nom a’lum x ni topish jarayoni ham ko‘pchilik
4 1IIIVI'hilar uchun muammoli vaziyatni hosil qiladi.
<)4iuvchilar nom a’lum x ni o‘zlari topishlari mumkin, bo‘shroq
n'i|iivcliilarga o ‘qituvchi yordamlashadi:
Dcmak, tenglama 4-darajaU bo‘lgani uchun biz 4 ta yechim ini
tn|iilik. Ru misolni yechib bo‘linganidan keyin axf^+bx^+c=0 bikvadrat
i< iiKltimaning umumiy yechimini o'qituvchi rahbarligida o‘quvchilarning
M/liiri topa oladilar:
x^= y,
ay^ — by + с = 0,
_ - b ± ylb -4 a c
^2"
2fl
’
+ -b +
2a
-b + yjb^ -A a c
--------2^--------b - ylb^ -4 a c
2.
-4 a c
^3,4 -
-b -4 b ^ -4 ac
2a
SImnday qilib, m uam m oli savol, m uam m oli m asala — o ‘quv
Mtiimiimosining turli shaklda ifodalanishi bo'lib, bulam ing qo‘llanishi
57
muammoli vaziyat va o ‘quvchilarning izlanish faoliyatining jmzaga
kelishiga olib keladi.
3misol. Kosinuslar teoremasini o'rganish uchun o'qituvchi oldin
o'quvchilar bilan birgalikda to‘g‘ri burchakii uchburchakning elementlaridan
birortasini topishga doir bo‘lgan masalalardan yechadi.
1- masala. ABC to‘g‘ri burchakii uchburchakda
Z A -9 0 \ \BC[=\5sm va \AS\=9 sm bo‘Isa, \AC\ tomonining uzunligi topilsin (10-chizma).
B e r ilg a n ; АЛВС, ZA=90°, |5C|=15 sm va
\AS\= 9 sm.
T o p ish k e ra k : \A0[ - ?
Yechi s h.
Pifagor
teoram esiga
m = ± ^B c^~ A B ^
ko‘ra:
10-chizma.
иа =
= V225-81 = Vl44 =12.
\AC\=12 sm.
2-m asala. ЛАВС da ZA=3Q°
ZB=90°, \AB\=2 sm, \AC \= ~'J^ sm
bo'lsa, \BC\ - ning uzunligini toping
(11-chizma).
Berilgan: ЛАВС da ^ ^= 3 0 °,
ZB=9Q°, \AB\=2 sm.
|^C|=
- S
sm
T o p is h k e ra k : BC - 1
Y e c h is h . Chizmadan:
AB
AE
AABEooABEC,
2
BC
AB
BE
BC\ =
1 '
sm,
л/3
sm.
Yechilgan bu masalalar muhokama qiliiigandan keyin o'quvchilar oldiga
quyidagicha muammoli savol qo'yish mumkin. Agar ixtiyoriy uchburchakning
ikki tomoni va ular orasidagi burchagi berilgan bo'lsa, uning uchinchi
tomonini topish mumkinmi? Bu muammoli savolga javob topish bizni
kosinuslar teoremasini o‘rganishga olib keladi.
58
I tNMirliish uchun savollar
I MiiU'inatik ta ’lim metodlari qanday metodlami o ‘z ichiga oladi?
' lliiiiy izlanish metodlarining turlarini aytib bering.
> I'lt/i'lha va kuzatish metodini tushuntiring.
/ I'lKjqoslash metodini aytib bering.
' iiinliz va sintez metodlarini ta ’riflang.
и Vmumlashtirish metodini ta ’riflang va uni matematika darslariga
htthiqini tushuntirib bering.
' riishunchani umumlashtirish deb nimaga aytiladi?
V li'on'malarni umumlashtirishni tushuntirib bering.
" Miso! va masalalami umumlashtirish qanday amalga oshlriladi?
Ill ■\hslraksiyalash metodini tushuntirib bering.
II Aniqlashtirish metodi deganda nimani tushunasiz?
I- Khmifikatsiyalash metodini aytib bering.
/( Qanday ta lim metodiga evristik ta ’lim deyiladi?
H Muammoli vaziyat deb nimaga aytiladi?
/'• Muammoli ta ’lim deganda nimani tushunasiz?
ICl Dasturlashtirilgan ta ’limni tushuntirib bering.
I ' Snnlar ketma-ketligi deb qanday to‘plamga aytiladi?
IS Qanday sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya deyiladi?
liiVHiicIi iboralar
lii'llm metodi, ilmiy-izlanish metodi, tajriba metodi, kuzatish metodi,
i.iijildslash metodi, analiz metodi, sintez metodi, umumlashtirish metodi,
iinliiinchani umumlashtirish, teoremani umumlashtirish, misollarni umumhishllri.ih masalalami umumlashtirish, abstraksiyalash metodi, klassifikahiyiildsh metodi, evristik ta’lim, muammoli ta’lim, dasturlashtirilgan ta ’lim,
Miiilar ketma-ketligi, arifmetik progressiya, o ‘qitiivchining faoliyati,
Ч‘iiinrhilarning faoliyati.
IV bob
0 ‘QUVCHILARNING MATEMATIK TAFAKKURIARINI
SHAKLLANTIRISH METODIKASI
l- § . Matematik ta’lim jarayonida masalaning
roll va o‘rni
Matematik ta’lim jarayonida masalalardan foydalanish qadim zamonlardan beri qo‘llanib kelinmoqda. Shuning uchun ham matematika
darslarida matematik masalaning roli va uning o‘m i haqida gap borganda
quyidagi uch bosqichni ko‘zda tutish maqsadga muvofiqdir.
1. Matematika fanining nazariy qismlarini o‘rganish matematik masalalarni yechish maqsadida amalga oshiriladi.
2. M atematika fanini o ‘rgatish matematik masalalarni yechish bilan
birgalikda olib boriladi.
3. M atematikani o ‘rganish masala yoki misollar yechish orqali amalga oshiriladi.
Aytilganlardan ko‘rinadiki, jamiyat rivojlanishining har bir bosqichida masalaning roh va uning o ‘rniga har xil baho berib kehngan.
1966-yiU xalqaro matematiklar simpoziumida matematik masala va
misoUarni yechish o ‘quvchnaming faqatgina m atematik faoliyatlarini
shakllantiribgina qolmay, balki ana shu fanga doir bilimlami o‘zlashthish va uni amaliyotga tatbiq qHishga ham xizmat qiladi, deyiladi.
Aytilgan har bir bosqichni aniq mavzu materiallari asosida ko‘rib
chiqamiz.
I. Darsda «7Ш burchakyig‘indisiningsinusi» nomli mavzuni o‘quvchilarga tushuntirsak, ular chiqarilgan natijaviy formuladan foydalanib
mavzu materialiga doir misollarni yecha oladilar (12-chizma).
Berilgan: С - aylana, [AB] 1 OB, OA=R=\, ZEOB==a, ZBOA=p,
ZDOA=a+p
Isbot
qilish
к e r a к : sin (се+Д) = ?
(12-chizma).
Is b o t:
AD
= s i n ( a + j8 )
OA
0A = \ bo‘Igani uchun sin (се+Д)=
= AD = CD + CA.
(1)
AOAD
60
<
hi/miiclun: CD = ЕВ, chunki bular o'zaro paralell to‘g‘ri chiziqlar
.••(♦•iil.igt kcsmalar
AOBE
M)AH :
(O B
OA
(E B
OB
= sma
[EB = OB sin a ) '
[OB = CMcos/3) => {OB = cosjS)
= cosjS
(3) ni (2) ga qo'ysak EB = sin a • cos Д
AACB:
AOAB
(A C
AB
(A B
OA
= cos a
(2)
(3)
(4)
> [A C - y4ficosa).
( 5)
= sinjS => [AB = 0 5 sin p ).
(6)
(fi| ii( (5) ga qo‘ysak;
AC = cosa sinjS.
(4) va (7) larni (1) ga qo‘ysak,
sin(a + j8) = sin or •cos Д + sin ct •cos j3 bo‘ladi.
sin75°= sin(30°+45°)=sin30°- cos45°+cos30°-sin45°=
MUol.
i
y.'
(7)
Л
72
V2(1 + V3)
л/2 (l + л/з)
sin 75°=----^------- 4
I li'siiltlimg:
sin 135° = ? cos 150° = ?
И> Muik,
> MiKcmatik tushunchalarni o'rganish matematik misol va masalalarni
biliiii birgalikda olib boriladi, chunki o'qituvchi yangi o'rganimiiicmatik tushunchaning ta’rifini bergandan keyin uning analitik
v(i/aili. Masalan
1 ko‘rinishdagi tenglamaga ko‘rsatkichli
ftKfl'iiiia (Icyiladi deb ta’ riflangandan so‘ ng, quyidagi ko'rinishdagi
lili tcnglamani ifodalovchi misollarni ko'rsatish mumkin: З"' = 27;
I * Ift, V
125; ...
t •’i|liiivclii ax=b ko'rinishdagi tenglamaning yechimini geometrik nuqtayi
immmIiim ko'rsatib berishi maqsadga muvofiqdir. 0 ‘qituvchi o'quvchilarga,
(.nnitliiialaiar tekisligida ikki funksiya grafigi o'zaro kesishsa, ular
iiiiiitasining absissasi ana shu funksiyalarni tenglash natijasida
liii.il i|ihiiKmi tenglamaning yechimi bo‘lishini takrorlagandan so‘ng a^=b
'■ ttgl.tiMiUii liam y=a’^ ва y=b ko‘rinishlarda yozib, ularning bar birining
61
grafigini chizib, bu grafiklarning kesishish nuqtasining absissasini A:=log/i
deb belgilash qabul qilinganligini tushuntirishi lozim. Bundan ko‘rinadiki,
a = b tenglamaning yechimi x=/og b bo‘lar ekan. (3^=27)
(x = log327) =1оЕзЗ^ = 31оЕзЗ = 3.
Ko‘rsatkichli tenglamalarning barchasi ayniy algebraik almashtirishim
yordamida soddalashtirilib, a‘ =b ko'rinishga keltiriladi, so'ngra bundan,
X noma’Ium x=log^ ko‘rinishda topiladi.
1-misol.
5Х-/ +5л-2+5;г-3=:155^ 5^ 1 1
5
M
25
125
1CC
/
“
’
5" •31=155-125.
125
5"-31=31-5'5\
5-=5\
X—
2-misol.
+ 1 6 - 1 0 - 2 ^ = 0.
4 ' / ^ +16 = 10 -2' ^
2 '^ ^ = у desak,
у
1,2
= - 5 ± V25 - 1 6 = 5 ± 3
j = 8 ; j ' = 2 .
1
’
2
2) 2> / ^ = 2 ,
1) 2>/^=S
л/х-2 =1,
X - 2 =1 ,
л / ] ^ = 3,
x-2=3^
x=3.
x = ll.
Misollar
x^+2x-S
1)
2"-5^=0,l(10"-‘)^
3)
2)
4)
= 25.
(V
Л-1
'V
\
5
= 4,8.
/
3.
Hozirgi davrda masala yoki misollar yechish orqali matematik ta’Iim
jarayonini olib borishning metodik usul va vositalari islilab chiqilgan haimi.i
bu usullar haqida ko‘pglna ilmiy metodik va didaktik adabiyotlarda bayou
qilingan. Matematik tushunchani masala yoki misollar yordamida kirillsli
62
s tutiiiK, tub mohiyatini o‘ quvchilarga tushuntirish murakkab bo‘lgan
I»
jarayondir. Shuning uchun ham bir maktab o‘qituvchisi dars
ishlatiladigan masalani tanlash yoki uni tuzishda juda ham ehtiyot
t"> linitg'i lozimdir. Tuzilgan masalalami dars jarayonida qo'llanish ana shu
•I"''* liilarning o‘zlashtirish qobiliyatlarini hisobga olgan holda bo'hshi
liar bir dars jarayonida ishlatiladigan masala yoki misol darsning
HMi|'.K(llga mos kelishi kerak.
,
Лц11Г darsda o‘qituvchi o‘quvchilarga biror yangi matematik tushun►
iHtiil u'rgatmoqchi bo‘lsa, tuziladigan masala yoki misol ana shu tushuncha
•M.iliivtdiiii ochib beruvchi xarakterda bo‘lishi kerak.
M.tsalan, y—a’', a^\ ko'rsatkichli funksiyaning grafigi nomli mavzuni
M'.hiiaii oldin o'qituvchi y=2’‘, y=
rn
\
д:
2у
j= 3 * kabi xususiy holdagi
fc-i> (‘..Kkichli funksiyalarga doir bo‘lgan misollarning graflklarini Dekart
kHiircliiialalar sistemasida o‘ quvchilar bilan savol-javob asosida chizib
r.iidsh maqsadga muvofiqdir.
./ iiiiig xususiy qiymatiga nisbatan chizilgan grafiklardan o‘quvchilar
i« <|H4Vflii bilan birgalikda y=cf ko‘rinishdagi funksiyaning grafigi va uning
*.....lull liaqida umumiy xulosalarni keltirib chiqara oladilar. Bu yerda darsni
Hit.liiini Irish metodikasi xususiylikdan umumiylikka tomon bo‘lib, bunda
M.|iiv( hilar har bir tushunchanixn mohiyatini anglab yetadilar.
2-§. Matematika o‘ qitishda masalalarning
bajaradigan funksiyalari
I lozirgi zamon didaktikasida A.D. Semushin, K.I. Neshkovva Yu.M.
Knlvitgin, J. Ikromov, T.To'laganov va N . G ‘aybullayev kabi metodist
(Hiiii iiiatiklar matematika kursidagi masala va misollarning bajaradigan
hmlsMyasini quyidagicha turlarga ajratishadi:
I IVIasalaning ta’limiy funksiyasi.
Masalaningtarbiyaviy funksiyasi.
' Masalaning rivojlantiruvchi xarakterdagi funksiyasi.
•I Masalaning tekshimv xarakterdagi funksiyasi.
Masalaning matematika darsi jarayonida bajaradigan funksiyalarini
.tliiliiila alohida ko‘rib chiqamiz.
I Masalaning ta’limiy funksiyasi asosan maktab matematika kursida
<• (H.amlgan nazariy ma’lumot, matematik tushuncha, aksioma, teorema
VI iiiiili-matik xulosalar, qonun-qoidalarning aniq masala yoki misollarga
I tiliit|i iiatijasida o‘quvchilardamustahkam matematikbilim va malakalar
Itii-.il (|ilish orqali amalga oshiriladi.
63
0 ‘ qituvchi ikki burchak yig'indisi va ayirmasining sinusi teoremasiiii
o ‘tib bo'lganidan keyin, ana shu mavzu materialini o'quvchilar ongiclii
mustahkamlash uchun quyidagicha misollami yechish mumkin.
1-misol. Ayniyatni isbotlang:
/•
\
/
Ч
Л
я
sin a + - + sin
= ^/3sin a.
0
l
0J
\
/
Bu yerda o‘qituvchi o'quvchilarga ayniyat tushunchasining mohiyatiiii
takrorlab berishi lozim:
/
sin 1
\
\
✓
^ 1+ sin a
\
7Г 1
n
. n
= sin a cos—+ cosa sin — +
6
“
6
,
6
/
\
n
. 7t „ .
n
+ Sin a •cos — - cos a - sin — = 2 sin a •cos — =
6
6
6
= 2 sin a •— = %/3sin a.
2
2- misol. Ayniyatni isbotlang:
sin {a + P )
cos a ■cos P
= tga + igp.
sin a ■cos a
cos a •sin /3
sin(a + /3) _ sin a cos + cos a sin j8 _ cos a ■cos/3 cos/3 cosj3
cosacos/3
cosacos/3
cos a ■cos /3
cos a ■cos j8
_ tga + tgp
1
= tga+tgp.
Maktab materaatika kursidagi masala yoki misollarni yecMsh o'quvchiliinlii
matematik malaka va ko'nikmalarni shakiiantiribgina qolmay, balki olingmi
nazariy bilimlarni amaliyotga tatbiq qila olishini ham ko'rsatadi. Agar o‘qituvclil
kvadrat tenglama mavzusini o‘tib, uni mustahkamlash jarayonida kvachiii
tenglamaga keltiriladigan masalalarni yechib ko'rsatsa, o'quvchilarni ana slm
mavzu materiali yuzasidan bilimlari mustahkamlanadi hamda kvadrat tengliiiim
tushunchasining tatbiqi haqidagi fikr o'quvchilar ongida shakllanadi.
1- masala. Balandligi h va asosining uzunligi a ga teng bo‘lgan toV.'n
burchakli uchburchakning Ox o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan to'g'il
doiraviy konusning hajmining hisoblang (13-chizma).
B e rilg a n : OB = h, AB = a
64
'Popish кегак: F = ?
b
V = n y'^dx
Y e c h is h .
Cizmadan:
у = OA = t g a x = - x ,
h
2,
■x^dx = n - ^ - —
V = n y^dx = к
=n
bo'lgani uchun
ка h
Й2 3
3
=
1
■A;
?
7
a - r \ КГ
=s
V = ^ S k.
Agar 0 ‘qituvchi geometriya darsida konusning hajmi mavzusini o‘tib,
unga doir misollarni integral tushunchasidan foydalanib yechib ko‘rsatsa
o'quvchilar algebra bilan geometriya fanlari orasidagi mantiqiy bog‘lanishni
ko‘radilar hamda ularda fazoviy tasawur qilish faoliyati yanada shakllanadi.
2.
Masalaning tarbiyaviy ftmksiyasi o‘quvchilarda ilmiy dunyoqarashni
shakllantiradi hamda ularni mehnatga muhabbat ruhida tarbiyalaydi. Bizga
ma’lumki, matematika fanining o‘rganadigan obyekti materiyadagi narsalarning fazoviy formalari va ular orasidagi miqdoriy munosabatlami o‘rganishdan iboratdir. Bas, shunday ekan, fazoviy forma bilan miqdoriy munosabatlar orasidagi bog'lanish analitik ifodalangan formula bilan yoziladi.
Ana shu formulani kundaUk hayotimizdagi elementar masaMarni yechishga
tatbiqi o'quvchilarda Umiy dunyoqarashni shakllantiradi. Albatta o‘qituvchi bu
yerda bilish nazariyasiga asoslangan bo'lishi kerak. «Jonli mushohadadan abstrakt
tafakkurga va undan amaliyotga borish kerak».
5 —S. Alixonov
65
0 ‘ qituvchi matematika darsida yechiladigan masalalar orqali o‘ quvchilarni mehnatga muhabbat ruhida tarbiyalashi lozim. Buning uchun
o'qituvchi halol va sifatli raehnatni ulug‘laydigan masalalarni tanlashi
kerak bo'ladi.
1- masala. Ikki ishchi ma’lum muddatda 120 ta detal tayyorlashi kerak
edi. Ishchilardan biri ikkinchisiga qaraganda soatiga 2 tadan ortiq detal
tayyorlab topshiriqni 5 soat oldin bajardi. Har bir ishchi soatiga nechtadan
detal tayyorlagan?
X — birinchi ishchi ishlagan vaqti,
(x — 5) — ikkinchi ishchi ishlagan vaqti.
120
— birinchi ishchi tayyorlagan detallar soni,
X
120
- ikkinchi ishchi tayyorlagan detallar soni.
x -5
Yuqoridagilarga asoslanib quyidagi tenglamani tuzishimiz mumkin.
120 _ 120
~
r
X
120
r-
^
X-5
х~Ъ
120x-120x + 600 = 2x^-lOx,
120
X
2x^ - lOx - 600 = 0
5^
^‘’2 " 2
x ^ -5 x -3 0 0 = 0,
40
X, = ^ = 20;
~ -^5
25
yoki
Ъ ЪЪ
2 У
x2=-15.
Bulardan 1-ishchi 20 soat, ikkinchisi esa 15 soat ishlaganligi kelib
chiqadi.
120 .
= 0 ta 1-ishchining 1 soatda tayyorlagan detallar soni.
20
120
= 8 ta 2-ishchining 1 soatda tayyorlagan detallar soni.
15
Masalani yechib bo'lgandan keyin o‘qituvchi masala mohiyatini quyidagi
tartibda tushuntirishi mumkin. Agar biror kishi biror topshirilgan ishni
ortig‘i bilan bajarsa, uning mehnat unumi ortib, unga to'laydigan haq ham
ortib boradi. Bu esa o'quvchilarni halol mehnatga muhabbat ruhida tarbiyalaydi.
3.
Masalaning rivojlantiruvchi xarakterdagi funksiyasi o'quvchilarni
mantiqiy tafakkur qilish faoliyatlarini shakllantiradi. Bizga psixologiya kursidan
ma’lumki, o‘quvchilarning mantiqiy tafakkur qilish faoliyatlari tafakkur
66
iiilfiiyalari (taqqoslash, analiz — sintez, umumlashtirish, aniqlashtirish,
•I ,inik-.iyalash va klassifikatsiyalash) orqali amalga oshiriladi. Maktab mateiti.tiik.i kursidagi masalaning rivojlantiravchi xarakterdagi funksiyasi o‘quv' lilliimi matematika o‘qitish metodikasining metodlaridan masala yoki
iMiMillami yechish jarayonida to‘g‘ri foydalanish malakalarini rivojlantiribgina
.(..hiiity, balki ularni biror matematik hukm va xulosalar to‘g‘risida aniq
lit'I yiiiilish imkoniyatlarini shakllantiradi hamda masalalar yechish qot'111V1111i11'i iii rivojlantiradi.
■I Masalaning tekshirav xarakterdagi fiinksiyasi o‘z ichiga quyidagilami oladi:
I ) O'quvchilarning nazariy olgan bilimiari darajasi;
Л O'quvchilarning nazariy olgan bilimlarini amaliy xarakterdagi misol
■t iiiiHiilalar yechishga tatbiq qilishi;
t) matematik hukmlardan xulosalar chiqarish darajalari;
■I) O'quvchilarning matematik tafakkur qobiliyatlarini rivojlanish daI iiiii bitta masala olib, ana shu masala yordamida yuqorida aytib o‘tilgan
timli-.ivalarning bajarilishini ko'rib chiqamiz.
Miisala. Radiusi r ga teng bo'lgan doiraning yuzini integral yordamida
(14-chizma).
Ilrillg a n ; S — aylana. OA = r.
I II p i sh к e r a k: 5 = ?
Vccliish. x^+f=
aylana tenglamasidan у = ± 4 ^ ^ - ^
'•I.mil/. Yuzalarni integral yordamida hisoblash formulas!
ni yozib
S -
f{x )d x
b
>.11 Miiming uchun
«
■V 4 ^ R ^ -x^ d x
(1)
dx = R cos tdt, x = R, ^ = ^ ■
lln itlmashtirishlarni (1) ga qo‘ysak,
II i|iivlilnBi ko'rinishni oladi:
\l
- R^ sin^ t ■R cos tdt = 4 R^y/l-sin^ t cos tdt =
«
0
67
cos t COS tdt = 4i?^
о
= AR^ 1 + i
2^ l '
J
cos^ tdt =
0
dl =
0
-/|p2 f l
2
■1+ cos 2t
n
[2 2
1 SinTt)
= 4 R ^ - ^ = k R\
2 2
4
S = k R\
1) Bu masalani yechish jarayonida o‘quvchilarda integral yordamidn
yuzalarni hisoblash mumkin, degan tushuncha shakllanadi, bu esa ann
shu masalani yechishdagi asosiy ta’limiy funksiya bo'lib hisoblanadi.
2) Bu masalaning tarbiyaviy funksiyasi esa shundan iboratki, o‘quvchilarda bu masalani yechishga bo‘lgan qiziqish shakllanadi, chunki ulaiintegral yordamisiz doiraning yuzi nimaga teng ekanini biladilar, integral
yordamida hisoblaganda ham uning yuzi S= kR^ ekanini kelib chiqislii
o‘ quvchilarni shu fanga bo‘lgan hamda uning turli metodlariga boigaii
qiziqishlarini orttiradi.
3) Bu masalaning rivojiantiruvchi xarakterdagi funksiyasi esa masala­
ning yechish jarayonida hosil bo'lgan muammolarni hal qilishning matematik qonuniyatlarini o'rgatadi, o‘quvchilarda matematik tafakkurni shakl
lantiradi.
4) Bu masalaning amaliy ahamiyati esa shundaki, bunda o'quvchilarning
masalani yechish imkoniyatiga qarab ularning olgan nazariy bilimlarining
darajasi aniqlanadi.
3-§. Matematika darslarida didaktik prinsiplar
M a’lumki, didaktik prinsiplar ta’lim nazariyasining asosini tashkil
qiladi. Shuning uchun ham o ‘ quv materialini tushuntirish metodlarini
tanlashda ta’lim nazariyasi tomonidan isMab chiqilgan quyidagi didaktik
prinsiplarga amal qilish kerak.
1. Ilmiylik prinsipi. Bu prinsipning mohiyati shundan iboratki,
maktab matematika kursida o ‘tiladigan har bir mavzu materiali nazariy
jihatdan isbotlangan, ya’ni awalgi o'tilgan matematik tushuncha, aksioma va teoremalarga asoslangan holda bayon qilinishi lozim. Ilmiylik
prinsipi matematika darsining har bir qadamida kerakbo‘ladi, masalan,
o‘ qituvchi o'quvchilarga x^+ I tenglamani yeching desa, qo‘yilgan bu
savol to‘la ilmiy asosga ega bo'lmaydi, chunki o‘quvchilar bu tengla68
m.uii linqiqiy sonlar to‘plamiga nisbatanyechadigan bo'lsalar, u yechim-
(.1 • Kii cmas, agar ular bu tenglamani kompleks sonlar to‘plamiga
Ht .biiiaii yechadigan bo‘lsalar, u ikkita har xil yechimga ega bo‘ladi.
Miimmi' uchun ham matematika darslarida ilmiylikprinsipi quyidagi
I II (blarga javob berishi kerak:
I)
o'rgariilayotgan har bir matematik tushuncha, ta’rif, aksioma
Mt ifoicmalar bayon qilinishi jihatidan sodda va aniq ifodalangan
(<H li'.lii kerak;
matematika darslarida o ‘rganiladigan har bir mavzu materiaUga
Hi li.iian o‘ quvchilarni tanqidiy qarashga o‘ rgatish hamda ularni ana
nim iiii(|tayi nazardan ilmiy fikrlash qobUiyatlarini shakllantirish.
Ana shu nuqtayi nazardan ilmiylik prinsipi maktab matematika
Hii ada o'rganiladigan dalillarni ular fanda qanday yoritiladigan bo‘lsa,
-liiiii|i,a inoslab yoritishni talab etadi.
I.
К()‘ г8а1таШ 1к prinsipi. K o ‘rsatmalilik prinsipi o‘quvchilar tafakkiii mill)’, aniqlikdan abstraktUkka qarab rivojlanish xususiyatlarigabog‘liqdir.
M lit iiiatikani o‘qitishdan asosiy maqsad mantiqiy tafakkumi rivojlanMiii.liilaii iboratdir, biroq matematikani o‘qitish aniq dalU va obrazlardan
miiilmasdir, aJksincha, har qanday masalani o‘rganishni shu aniq dalil va
nitni/lami tekshirishdan boshlash kerak bo‘ladi. Ko'rsatmalilik ilmiy
itili'.lilai>',a qiziqishni oshiradi, o‘quv materialini o‘zlashtirishni osonlashtiradi
' .» ni.iicmatik bilimlami mustahkam bo‘lishiga yordamlashadi.
Onglilik prinsipi. Onglilik prinsipi o ‘ quvchilaming o‘ quv mateti.diiii oiigli ravishda o ‘zlashtirishga, ya’ni ularni turh dalillarni tushuna
•'ili hc.a liamda bu dalillar orasidagi bog‘lanishlarni va qonuniyatlami
.M hii bilishga o ‘ rgatishdan iboratdir. Matematikani o ‘ qitishda bu
(t'iiiMpiling muhimligi shundan iboratki, matematikadan olinadigan
t>ihiiil.ii Ihqat ongh ravishda o ‘zlashtirilgandagina o ‘ quvchilar miqdoriy
H.imiisalxitlarning xarakterini, matematik figura va ularning o ‘ zaro
j". Ill nisi 1 xususiyatlarini bilib oladilar. Agar onglilik prinsipi mavzu
•ti.ii. iialiiii o‘ zlashtirish jarayonida buzilsa, o ‘ quvchilarning oladigan
i.iimtlari yuzaki bilim bo‘lib qoladi. 0 ‘ quvchilardagi yuzaki bilimlami
■|tr, iila)-j liollarda ko‘rishimiz mumkin:
I Л)',аг biror o‘ quvchiga funksiyaning grafigini chiz deb aytilsa, u
I -iMiilmala tekisligida ana shu graflkning umumiy ko‘rinishini chizishi,
4ИИ110 (iinksiyaning argument qiymatlariga mos qiymatlarni topib bera
mumkin.
' ( )‘ciiivchi miqdorlarning absolut qiymati ta’rifmi biladiyu, ammo
‘■ii H .“i lenglamagayoki |xl<5 tengsizlikka tatbiq qila ohnashgi mumkin.
69
4. Aktivlik prinsipi. Bu prinsipning mohiyati shundan iboratki,
bunda maktab matematika kursidagi ta’ limning har bir bosqiclii
rivojlantiruvchi xarakterdagi ta’lim asosiga qurilgan bo‘lishi kerak, bii
esa o ‘quvchilarning aktiv fikrlash faoliyatlarini shakllantirishga xizmat
qiladi. Matematika darslarida o‘quvcMarning aktiv fikrlash faoliyatlarisiz
bilimlarni ongli ravishda o'zlashtirisMariga erishib bo‘lmaydi, shuning
uchun ham hozirgi zamon maktab matematika kursining asosiy maqsadi
o ‘ quvchilarning matematika darslarida aktiv fikrlash faoliyatlarini
shakllantirishdan iboratdir.
0 ‘quvchilarning matematika darslarida aktiv, ongli fikrlash faoliyat­
larini hosil qiUsh uchun mavzu materialini dars jarayonida muammoli
vaziyatlar hosil qilish asosida o ‘tish maqsadga muvofiqdir.
5. Puxta o‘zlashtirish pdnsipi. Puxta o ‘zlashtirish prinsipi matematik
materiallarni puxta o‘zlashtirishga erishishda ayniqsa katta ahamiyatga
egadir. Matematik tushunchalar o ‘zaro shunday bog‘langanki, majburiy
minimumning biror qisminigina bilmagan taqdirda ham o ‘quvchilar
o ‘z bihmlaridan turmushda foydalana olmay qoladilar. Matematikada
hisoblash, algebraikifodalarni ayniy almashtipish, geometrikfiguralami
tasvirlash malakalarini puxta egallashning ahamiyati kattadir. Ayniqsa
matematikada boshqa fanlardagiga qaraganda ham, dasturning biror
qismini yaxshi o‘zlashtirmasdan va malakani yaxshi mustahkamlamasdaii
turib muvaffaqiyat bilan oldinga siljish mumkin emas. Yuqoridagilardaii
ko‘rinadiki, o ‘quvchnarning matematika fanidan oladigan bilimlari puxla
bo‘lishi uchun quyidagi shartlari bajarilishi zarur.
1. O'quvchHarning matematikaga qiziqishlarini shakllantirish.
2. Tushuntirilgan mavzu materialini o ‘quvchilarning mantiqiy asosda
o ‘zlashtirishlariga erishish.
3. Matematika darslari davomida o ‘quvchilarning mantiqiy fikrlash
faoliyatlarini hosil qilib borish.
6. Sistemalik prinsipi. Matematika darslarida sistemalik prinsipi
shundan iboratki, bunda o ‘ qitishni shu fanning sistemasiga moslali
oUb borish talab etiladi.
TaKrorlash uchun savollar
1. Matematik tafakkur deganda nimani tushunasiz?
2. Matematika darslarida masalaning rolini tushuntirib bering.
3. Masalaning ta ’limiy funksiyasi nimalardan iborat bo'ladi?
4. Masalaning tarbiyaviy funksiyasichi?
5. Masalaning rivojlantiruvchi funksiyasini aytib bering.
70
Cl Masalani tekshiruv xarakterdagi funksiyasini tushuntirib bering.
' 0 ‘quvchilarning matematik qobiliyatlari qanday shaklantiriladi?
Л Matematik hukmning qanday turlari mavjud?
') Matematik hukmlar qanday tushunchalar ko'rinishida ifoda qilinadi?
10 Birhad deb qanday ifodaga aytiladi?
II. Ko'phad tushunchasini aytib bering.
I.' Ko'phadlar qanday usuUar yordamida ko‘paytuvchilarga ajratiladi?
II. Ко ‘paytuvchilarga ajratishning guruhlash metodiga misollar keltiring.
hi. Qo'shimcha hadlar kiritlsh orqali ko‘phad qanday qilib ko‘paytuvchilarga ajratiladi?
/V Ко ‘phadning ildizlariga ко ‘ra ко ‘paytuvchilarga ajratilishini tushuntirib
bering.
If). Ko'phadni noma’lum koeffitsiyentlar orqali ко‘paytuvchilarga ajratish
qanday amalga oshiriladi?
I .'. Matematika darslarida didaktik prinsiplar va ularning matematika
(larslariga tatbiqini tushuntirib bering.
Iiiyniich iboralar
Mdlrmatik tafakkur, masala, masalaning tarbiyaviy funksiyasi, masalaning
III 'limiy funksiyasi, matematik qobiliyat, matematik hukm, birhad
mshimchasi, ko'phad tushunchasi, ко‘paytuvchilarga ajratish, guruhlash
mrtodii ko'phad ildizlari, didaktik prinsiplar, nom’alum koeffitsiyent,
Hi'iinicirik figura, absolut qiymat tushunchasi, koordinata tekisligi,
iilUfhra'ik ifoda.
Vbob.
M A T E M A T IK T A ’ L IM N I T A S H K IL Q IL IS H
M E T O D IK A S I
l- § . Matematika darsining tuzilishi va uni tashkil
qilish metodikasi
Bizga pedagogika kursidan ma’ lumki, dars maktablarda olib boriladigan o ‘quv-tarbiyaviy jarayonning asosidir. Shuning uchun ham
dars jarayonida o‘tiladigan mavzu mazmunini umumta’limiy, tarbiyaviy, rivojlantiruvchi va amaliy xarakterdagi tomonlari ochib beriladi.
Kadrlar tayyorlash milliy dasturi qabul qilinganidan keyin maktablarda
o ‘tiladigan har bir dars vazirlar mahkamasi tomonidan ishlab chiqilgan,
ta’lim standartlari asosida olib borilishligi aytib o ‘tilgan. Har bir dars
o‘ quv tarbiyaviy jarayondir.
Shuning uchun ham har bir darsda o ‘quv-tarbiyaviy jarayonining
maqsadi, mazmuni, shakli, metodlari va uning vositalari orasidagi
o‘zaro aloqalar mazmunan ochib beriladi.
Agar metodika nuqtai nazardan matematika darsining tuzilishiga
nazar tashlaydigan bo‘ lsak, unda quyidagi didaktik maqsadlar amalga
oshiriladi. Darsning boshida o‘quvchilar bilimi tekshiriladi. Bu tekshirish
savol-javob yoki didaktik tarqatma materialiar asosida o'tkaziladi. Bunda
qaysi o'quvchining awalgi o'tilgan mavzu mazmunini qanday o‘ zlashtirgani va qanday qiyinchilikka uchragani hamda ana shu mavzu materiali yuzasidan o‘quvchilaming olgan bilimi va ko‘nikmalari tekshiriladi.
0 ‘ quvchilarning bergan javoblari o ‘ qituvchi tomonidan izohlab
baholanadi. Shundan keyin darsning asosiy maqsadi yangi mavzu
o'quvchilarga tushuntiriladi va uni mustahkamlash uchun o‘ quvchilar
bilan birgalikda misol yoki masalalar yechiladi. Bundan tashqari, ana
shu mavzu mazmunini qanday darajada o‘ quvchilar o‘zlashtirganlikiarini
bilish uchun o‘ qituvchi tomonidan o ‘quvchilarga nazariy va amaliy
xarakterdagi savollar ham berib boriladi. Bundan keyin uyga vazifa
berish va uni bajarish yuzasidan zarur ko‘ rsatmalar beriladi.
Yuqorida aytib o ‘tilgan bosqichlardan ko'rinadiki, matematika
darsiga tayyorgarlik ko‘ rish o‘ qituvchidan o'rganiladigan mavzuning
maqsadi va uning mazmuni nimalardan iborat ekanligini aniqlashdan
iboratdir. Har bir o'qituvchi ertaga o ‘tadigan matematika darsida qanday
o‘quv-metodik jarayonni amalga oshiraman degan savolgajavob izlashdaii
72
iH.-.hliishi kerak. 45-minutlik dars vaqtini taqsimlashda yangi materialni
■■iliivi:liilarga tushuntirishga va uni mustahkamlash yuzasidan misol
'.t miisalalar yechishga ko‘ proq vaqtni ajratish zarur.
K()‘ p hollarda maktab o ‘qituvchilari ko‘proq vaqtni uy vazifasini
I. t .lm ishga sarf qilib, yangi mavzu mazmunini bayon qilish va uni
iim .ialikamlasli vaqtini qisqartirishga olib keladilar. Bu usuldan qochish
i.ik, chunki darsning asosiy maqsadi yangi mavzu mazmunini o‘quv• hlliiu’.ii lushuntirish va uni mustahkamlashdan iboratdir. Fikrlarimiz
iliilili siCatida «Bikvadrat tenglama ildizlarini topish» mavzusini o'rgatish
ИИ (uilikasini ko‘ rib chiqaylik.
I I )arsning maqsadi. Bikvadrat tenglama va uning ildizlarini topishni
II ifi.iiish.
( )ldingi darsda o'tilgan mavzu materialini o ‘ quvchilar tomonidan
tiihnihisli uchun savollar.
.11
+ с = 0 va
9 = 0 ko‘rinishdagi ifodalar
i | i i i m 1 , i v Icnglamalar deyiladi?
Ii)
■ ax^ + bx + с kvadrat uchhaddan to‘la kvadratga ajratish
III hiiM (landay ayniy almashtirishlarni bajarish kerak?
il) х* + 3x — 4 = 0 tenglamani yeching.
t Yaiigi mavzu mazmuni bilan tanishtirish.
( ) ‘ (|Uuvchi: 6xf^ + 5x^ + I = 0 tenglamani qanday tenglama deb
Mil/?
( >'qiivchilar: 4-darajali tenglama deyiladi.
O'qltuvchi: T o ‘g‘ri, shunday deyish ham mumkin, ammo matema111 1,1 si III ko'rinishdagi tenglamalarni bikvadrat tenglama deyiladi va
imiHM. iimumiy ko'rinishi ax!^ + bx^ + с = 0
kabi bo'ladi. Xo'sh,
I m m i i I. i v tenglamani qanday yechish mumkin?
<»‘(|Hvchilar: Biz bunday tenglamalarni yechmaganmiz.
( ri|lliivchi; Agar x ^ = y deb belgilasak, x* ni qanday belgilaymiz?
(>’<|uvchilar: Mulohaza yurtish, ilgari o'tganlarini eslash orqaU
*'
I'' (Icb belgilaymiz deb aytadilar.
0'i|lluvchi: Yuqoridagi belgilashlarga ko‘ ra ax!^ + bx^ + с = 0
••
qanday ko'rinishni oladi?
« ri|iivcliilar: ay^ + by + с = 0 bu tenglama kvadrat tenglamadir.
Itii.i.l iv (cnglamani yechishni bilamiz.
0'(|i(iivchi: 6x^ +
+ 1 = 0 tenglamani x ^ - у belgilash orqaU
iumIiv u-iiglamaga keltiramiz?
( ri|iivcliilar: 6 f + 5y + l = 0 to'la kvadrat tenglama ko'rinishiga.
<)'i|l(iivclii: Bunday tenglamani yechishni bilamizmi?
73
0 ‘ quvchi: Bilamiz,
bu tenglama yechimlari bo‘laili,
0 ‘ qituvchi: Bizdan qanday noma’lumni topish so'ralgan edi?
0 ‘ quvchilar: Nom a’lum x ni topishni.
0 ‘ qituvchi: x ni qanday topamiz?
0 ‘ quvchilar:
^1,2
_ , 1
^
= у
2_ 1
tenglikdan
tenglikdan esa,
^3,4 -
^
bo'ladi, bundaii
bo‘ladi.
4. 04ilgan mavzu mazmunini mustahkamlash uchun 9x* + Sx^ - 4 .
+ 7x^ + 12 = 0 va hokazoga o ‘xshash misollarni o ‘quvchilar bilaii
birgalikda yechish maqsadga muvofiqdir.
5. Uyga vazifa berish. Bunda darslikdagi misol va masala nomeiiai i
o‘ quvchilarga o‘ qituvchi tomonidan ayt^adi. Agar uyga vazifa beiisli
ishi to‘g‘ri tashkil etilsa, ular o‘quvchilarning bilimlarini mustahkamlay
di, mustaqil isMash malakasini shakllantiradi, matematika fanini o‘ i
ganishda'chidaniJilik va tirishqoqlik malakalarini tarbiyalaydi. Uyga be
rilgan har bir topshiriq ko'pchilik o ‘quvchilarning kuchi yetadigaii,
o‘quvchilar vazifaning ma’nosini va qanday bajarish kerakligini tushiiiia
oladigan darajada bo‘iisM kerak. Topshiriqning og‘ir yengilligi o'quvchiniiiK
sinfda o‘tilgan materialni o‘zlashtirishi va uni tushunishi bilan uzviy
bogliqdir, shuning uchun ham o ‘qituvchi uy vazifasini belgilaslida
o‘quvchilarning uni bajarishga tayyor yoki tayyor emasUgini nazarda tutisi 11
lozimdir. Berilgan vazifalargina qo‘yilgan maqsadga, ya’ni o‘quvchilami
0 ‘tilgan mavzular mazmunini puxta o‘zlashtirishlariga olib keladi.
2-§. Matematika darsining turlari
1. Yangi mavzu mazmuni bilan tanishtirish.
2. Yangi mavzuni mustahkamlash.
3. 0 ‘quvchilarning bilimlarini, ko'nikma va malakalarini tekshirisli
4. 0 ‘quv materiallarini takrorlash va umumlashtirish.
Matematikadan 45-minutlik dars o ‘tilgan mavzuni o'quvchilartlnii
so‘rash yangi mavzuni bayon qilish, uni mustahkamlash, o'quvclii
laming bilim, ko‘nikma va malakalarini tekshirish kabi qismlarga ajratisli,
o ‘tiladigan har bir darsni didaktik maqsad va mazmunini tushunaili
bo‘lishini ta’minlaydi.
74
M:iklab matematika darslarida yangi mavzu mazmunini tushuntirish
.t .MMiii iich xil usulda olib boriladi. Ular ma’ruza, suhbat va mustaqH
ii'liilii
I lo/.irgi yangi pedagogik texnologiyaning moMyati ham suhbat metodi
yitiigi mavzu mazmuni ochib berishdan iboratdir. Bunda mavzu
tihi/mimini o‘quvchining o ‘zi bayon qiladi, lekin mantiqiy muloham Iiii v:ic|tida va turli hisoblashlami bajarishda o'qituvchi o'quvchilarga
Mtfiv/ii mazmunini ochib beruvchi mantiqiy ketma-ketlikka ega bo‘lgan
»iiviil|;ii tizimi orqali murojaat qiladi, o‘quvchilar ana shu savollarga
litvuli bcrish orqali mavzu mazmunini chuqurroq o'zlashtirib oladilar.
iiMikla o‘tkaziiadigan darsning bir qismini misol qilib ko‘rsatamiz.
IIII iiccha qo'shiluvchilar yig'indisining kvadrati formulasini keltirib
■lii(|iiiisli o‘tilmoqda.
( ) ‘(lituvchi: Ikki son yig‘indisining kvadrati to‘g‘ risidagi ifodani
t Mii(i|/p,a keltiring. Nosir sen ayt men doskaga yozaman.
( ) ‘ <iuvchi: Doskaga (a + 6/ =d^ + 2ab +
ifoda yoziiadi.
( ) ‘(|iiuvchi: Endi (a + b-^ cf- ning qanday ifodalanishini aniqlaylik.
biz ikkita qo‘ shiluvchi yig'indisi kvadratining ifodasini
1<||т1ф,ап bo'lsak, uchta qo'shiluvchi yig‘indisi kvadratining ifodasini
• III11,11isI111i qanday boshlashimiz mumldn?
<) ‘ (|iluvchi: Shu uch son yig‘indisini ikki son yig‘indisi shaklida
и'/||| olish kerak, masalan:
r
[a + b) + c
-,2
.
O 'llituvchi: Bu yozilgan yig‘ indini kvadratga ko'taring, mumkin
Imi'|)(;iii luuTima sodalashtirishlarni bajaring. Karim, senda natija nima
.liii|(li, o‘ qib ber va hosil bo'Igan ifodani aytib tur, men doskaga
».i/il> (jo'yaman.
I'^iiiim aytib turadi, o'qituvchi yozadi.
( rqilu vchi: Shu xilda mulohaza yuritib, to‘rtta qo‘shiluvchi yig'inili iiii kvadratga ko‘taring: (a + b + с
kp. Rahim, qanday mulohaza
\inii(':mingni, qanday shaki o ‘zgartirishlami bajarish kerakiigini aytib
I" I, iiatijani yana men doskaga yozaman.
K.iliim to‘ rt hadni qanday qihb kvadratga ko‘tarish kerakiigini so'zlab
I" hull.
(t'qlluvchi: K o ‘rib chiqqan hamma misollarimizda hosil bo‘ lgan
iliMliihimi diqqat bilan ko‘rib chiqinglarchi, bulardan ko‘phad kvadratini
Imiil t|ilish qoidasini chiqarish mumkin emasmikin? Nosir, nima
iMvi|ii(lmg, aytchi?
I In.sir so'zlab beradi va qoidani aytadi.
75
'I
0 ‘ qituvchi. T o ‘g‘ ri. A mmo biz faqat bir necha misol natijalarigagiiiii
suyanib xulosa chiqardik, shuning uchun uning to‘g‘riligidan shubhalanish, demak, uni isbot qilishni talab etish ham o'rinli bo‘lar edi,
Uning isboti bilan siz V III sinfda tanishasiz, hozir u sizga og‘irlik
qiladi. Siz chiqargan xulosa to‘g‘ri va bundan keyin undan foydalanadigan bo‘lamiz. Bu qoidani yana bir marta aytib chiqaylik.
Ba’zan biron teoremani isbot qilishdagi, yoki biron formulani keltirib
chiqarishdagi ishni butun sinf yana ham mustaqilroq bajaradi, ammo
bu holda ham o‘qituvchi rahbarlik qiladi. Bunda o ‘quvchilarga o‘z rejasini
isbotlash metodini yoki mulohazalarini takUf etishga keng imkoniyat
beriladi. Shu bilan birga, o‘qituvchi ba‘zan yordamchi savollar tashlaydi,
ko'rsatmalar beradi, ayrim o ‘ quvchilar o ‘ z mulohazalarida xatoga
y o‘l qo‘ygunday bo‘lsa, tushuntirib beradi. Biroq bu y o i juda ko‘ p
vaqt oladi, chunki o‘ quvchilaming turli-tuman takliflari ularni asosiy
masaladan chetga chiqaradi.
Sinfda yangi materialni o'rganishda qo‘llaniladigan usullardan yana
biri bu o ‘quvchilarning mustaqil ishlaridir. 0 ‘ quvchilarning mustaqil
ishlarida misol va masalalar yechishni mashq qilish, teorema isbotlarini
turli xil usullarda bajarish (agar imkoni bo‘lsa), mavzu mazmuniga
qarab natijaviy formulalarni chiqarish va unga doir misollar yoki
masalalami tatbiq qilish kabi o ‘quv metodik ishlar amalga oshiriladi,
Masalan, o‘ qituvchi to‘la kvadrat tenglamasi va uning ildizlarini topisli
mavzusi o ‘tilgandan keyin, keltirilgan kvadrat tenglama va uning
yechimlarini topishni mustaqil ish sifatida berishi mumkin. Bunda
o‘ qituvchi o‘ quvchilarni kvadrat tenglama va uning yechimlari mavzu
sining mazmunini ochib beruvchi mantiqiy ketma-ketlikga ega bo‘lgaii
savollar tuzishi bilan o‘ quvchilami yo‘naltirib turishi maqsadga muvofic]
dir. 0 ‘ qituvchi har bir o ‘ quvchini ,qo‘yilgan topshiriq mazmunini
ochishdagi xato va kamchiliklarini to‘g‘ rilab borishi lozim bo‘ladi. Shun
dagina mustaqil ishlash usuU orqaU o'quvchilar bilimini chuqurlashtirisli
mumkin bo'ladi.
Matematika darslarida ma’ruza metodidan ham foydalanib darslai
o ‘ tiladi. Bu holda o ‘ qituvchi o ‘ quvchilarni mulohazada ishtirok
etdirmasdan, mavzu mazmunini yolg'iz o‘zi bayon etadi. Shu bilan
birga bayon etilayotgan mavzu mazmunidan nimani yozib olish, qanday
chizmani chizib ohsh, doskadan nimalarni ko‘ chirib yozish keraklij’ i
o'quvchilarga aytib beriladi.
0 ‘ qituvchi nazariy materialnigina emas, balki masalalami yechili
shini ham o‘ zi bajarishi hamda mantiqiy mulohazalarni o‘ zi aytishi vn
76
I'liM h;i chizmalami chizish va yozuvlarni yozishni ham o ‘zi bajarishi
niimikiii.
Itimda o'qituvchining mavzu mazmunini bayon qilish usuli o ‘ quvI iHhii iichun namuna bolishi, o'quvchilar ham o ‘z fikrlarini o‘ qituvt liil.iidck bayon etishga intiladigan bo‘lishi kerak. 0 ‘qituvchilaming nutqi
*!i VI It11i, mulohaza va isbotlari yetarii darajada asoslangan bo‘ hshi hamda
lavon bo'hshi kerak. Agar darsda qo‘llanilgan metodlar o ‘quvI lilhmlii qiziqish tug‘dirgan, ular diqqatini jalb qilgan bo‘lsa, o ‘quviliil.ii mwzudagi asosiy mulohazalarni to‘g ‘ri takrorlab bera olgan
liii'l'.ahir, demakki, o'qituvchi mavzu mazmunini yoritishda qo‘llangan
11Иiiuliclan qanoat hosil qilishi mumkin.
( >'iilgan mavzuni mustahkamlash deganda biz asosan o ‘ quv mateiiitlim luizariy ma’lumotlarini takroriash hamda o ‘ quvchilami o'tilgan
iiiiiN/ii inateriallari yuzasidan malaka va ko‘ nikmalarini shakllantirish
III him inisol, masalalar yechish orqali o4iigan darslarini takrorlab
()iif.i,tlikamlashni tushunamiz.
( )‘ iilgan materialni takroriash ilgari ohngan bilimlarni yangilashga,
ii‘iil(Mii mavzu mazmuniga umumiyroq nuqtayi nazardan qarashga
ytijil.im beradi.
<
)'iilgan mavzu mazmunini mustahkamlashda asosan quyidagilarga
^'iilmi berish kerak.
I Yangi mavzu mazmunida qo'llanilgan asosiy tushunchalarni
M'(|iiv('hilar tomonidan o ‘zlashtiriiganhk darajasi.
Yangi mavzudagi teorema yoki uning isbotini o'quvchilar tomoMlilim aylib berihshi darajasi.
I Yangi mavzuda o ‘ rganilgan teorema va formulalardan misol,
tdiiMiI.ilar yechishda o ‘ quvchilarning foydalana olish darajasi.
I
O'quvchilarning yangi mavzu mazmunini kundalik hayotda
Ml hi.ivdigan elementar muammolarga tatbiq qiUsh darajasi.
n'liiivchilarni bihm, ko'nikma va malakalarini tekshirish o‘tilgan
Miiili iiallar yuzasidan og‘zaki so'rash yoki yozma ish ohsh usuh bilan
MtmilMiiacli. Bunday tekshirish darslarini o‘tkazish o‘ qituvchi tomonidan
till li.illa oldin e’lon qilinib, o'quvchilarga og‘zaki so‘raladigan mavzu
Muiimailari va ular asosida o ‘ qituvchi tomonidan tuzilgan savollar
ki I Ilia kclligi beriladi.
tckshirav darsi yozma ish orqali o4kaziladigan bo‘lsa, bunda
it.im vo/ma ish variantida tushadigan misol va masalalar qaysi
ими/ularga taalluqligi o'qituvchi tomonidan bir hafta oldin aytib
■It' viladi.
77
0 ‘ quv materialini takrorlash va umumlashtirish. Maktab matemalika
darslarida biror bob o ‘tib bo‘lingandan keyin ana shu bob mavzii
materiallarini umumlashtirish xarakteridagi takrorlash, umumiashtirisli
darslari o'tkaziladi.
0 ‘tiigan materiallarni takrorlash-umumlashtirish darslari ilgaii
olingan bilimlarni yangilashga, ularni ma’lum bir tizimga solishga vii
o ‘tilgan materialga umumiyroq nuqtayi nazardan qarashga yordam beracii
Maktab matematika darslarida takrorlash-umumlashtirish darslari m
quyidagi turlarga ajratish mumkin:
1. 0 ‘quv yili boshidagi takrorlash-umumlashtirish.
2. Kundalik takrorlash.
3. Tematik takrorlash-umumlashtirish darsi.
4. Yakuniy takrorlash-umumlashtirish darsi.
Har bir takrorlash darsining o‘z o ‘rni va maqsadi bor. 0 ‘quv yih
boshidagi takrorlash darsida o‘ qituvchi awalgi sinfda o'tilgan asosiy
mavzu materiallarining mazmunini hamda bu mavzularda qo‘llanilgan
asosiy matematik tushunchalami o‘qituvchining o‘zi takrorlab imkoniyali
boricha umumlashtirib beradi. Matematika fanini o‘zi shunday fanki.
o'qituvchining o ‘ zi har bir darsda yangi mavzuning mazmunini
tushuntirish jarayonida ilgari o ‘tilgan mavzular mazmuni va ulardaK.i
matematik tushunchalardan foydalanib dars o'tadi. Bunday takrorlashm
kundalik takrorlash darsi deb yuritiladi.
Matematikadan biror bob mavzu materiallari o'tib bo‘linganidiiii
keyin alohida takrorlash-umumlashtirish darslari o'tkaziladi. Bunday
takrorlashni tematik takrorlash-umumlashtirish darsi deyiladi. Tematil^
takrorlash-umulashtirish darsi bo'lishidan oldin o ‘qituvchi takrorla
nadigan bob mavzu materiallarini o ‘z ichiga oluvchi mantiqiy ketma
ketlikka ega bo‘ lgan savollarni o ‘ quvchilarga bir hafta ilgari bcrili
qo‘yishi va ana shu savollar asosida tematik takrorlash darsi bo'hsiiim
aytib qo‘yishi lozim. Ana shu berilgan savollar asosida o ‘ quvchil;ii
bo‘ladigan tematik takrorlash darsiga oldindan tayyorgarlik ko‘radilai
Bunday takrorlash darsini o ‘ qituvchi savol javob usuli orqali o'tkazaili
0 ‘ qituvchi rahbarligida o'quvchilar mavzularning ketma-ketligi v.i
ularda qatnashayotgan matematik tushunchalar orasidagi mantic|iy
bog‘lanishlarni tushunib yetadilar. Natijada o'quvchilarning ana sliii
bob mavzu materiallari yuzasidan olgan bilimlari mantiqiy ketma
ketlikka ega bo‘ladi va umumlashadi.
0 ‘ quv yilining oxirida ham reja asosida takrorlash darsi ajratilgaii
bo‘ ladi, bunday takrorlashni yakuniy takrorlash darsi deb yuritiiatli
78
takrorlash darsida o ‘quv уШ davomida o'tilgan har bir bob
■tt.n.'ii iiKitcriallari takrorlab umumlashtirib boriladi.
Niikiiiiiy takrorlash-umumlashtirish darsining muvaffaqiyatli o‘tishi
<и h i m o ' c i u v yili boshidagi, kundalik, tematik takrorlash- darslari o ‘z
>4t|i и1.1 o'tkazilgan bo‘lishi kerak. Yakuniy takrorlash-umumlashtirish
•Ы|м ui(|ali o‘quvchilarning yil davomida olgan bilimlari umumlash(Ittliiili vii sistemalashtiriladi.
\ .ikimiy takrorlash-umumlashtirish darsini hamma o'qituvchilar
li.tMi mclodik jihatdan tashkil qilmaydilar. Biz bir necha maktabda
II »k.i/il|.-im yakuniy takrorlash-umumlashtirish darslarini kuzatdik, ular
и 411^ malcriallarini umumlashtirish va sistemalashtirish o ‘rniga ba’zi
m>iH,ililai(ia o ‘quvchilarni doskaga chiqarib qo'yib, ulardan o'tilgan
ti <|M\ iiiatcriallarini so‘ rash, ba’zilarida esa bir necha misol yoki
m.i'Hibi yochish bilan cheklanishdi.
Ки IK'liilik o‘ qituvchilar yakuniy takrorlash-umumlashtirish darsini
It (l..i/islula quyidagi kamchiliklarga yo‘l qo‘yadilar:
'Miisalan, V III sinfda «K o ‘pburchaklarning yuzlari» nomli bobga
t|MUilii('.ii lia reja tuzish mumkin.
I <icometrik figuraning yuzi deganda nimani tushunasiz?
■
Nima uchun qabariq va botiq ko‘pburchaklar ko'pburchakning
цииму lioli bo'lishini tushuntiring.
t I U liburchak, to ‘rtburchak va trapetsiyaning yuzlari qanday
llh*i | i | . i l l , l ( l i ?
I Nima uchun parallelogramm qabariq to‘rtburchakning xususiy
IimH lui'laili?
Nima uchun trapetsiya yuzini hisoblash formulalari uchburchak,
*и (ilimt liak yuzlarini hisoblash formulalarining umumlashgan hoh
t.M l,nll '
<01111111'
I
fii'siiKi deb nimaga aytiladi?
Siniii chiziq deb nimaga aytiladi?
' Oiin<l(iy geomeirik figurani k o ‘pburchak deyiladi?
I Lhmdcty k o ‘pburchak qabariq k o ‘pburchak deyiladi?
Oiinday ko'pburchak botiq deyiladi?
ht'rlhiirchak deb nimaga aytiladi?
I'liiiillrlogramm deb qanday to'rtburchakka aytiladi?
' to'y,'ri to ‘rtburchak deb qanday geometrik figuraga aytiladi?
hiiiwlsiya nima?
' ' litnnh nima?
79
.
и . Kvadrat nima?
12. Qanday geometrik figurani uchburchak deyiladi?
13. Uchburchak tomonlariga k o ‘ra necha turli bo'ladi?
14. Uchburchak burchaklariga ko'ra necha turli b o ’ladi?
15. Uchburchakning tomonlari bilan burchaklari orasida qanday bog'laiilsli
bor?
16. Qabariq ko'pburchak ichki burchaklari yig'indisi necha gradusi\,i
teng?
17. Parallelogrammning yuzi nimaga teng?
18. Uchburchakning yuzichi?
19. Trapetsiyaning yuzi qanday o'lchanadi?
20. Rombning yuzi nimaga teng?
Bu savoUar tizimi asosida o‘ quvchilar uylarida mustaqil tayyoi
lanadilar, buning natijasida ular o ‘ quvchilarda kitob bilan ishhisli
malakasi hamda mavzu mazmunlarini mustaqH o ‘zlashtirish malakalim
shakllanadi.
3-§. Matematika darsiga tayyorgarlik va
darsning tahlili
Matematika o‘ qituvchisi darsga tayyorgarlik ko'rishni o‘ quv yili
boshida o ‘ziga ajratilgan sinf dasturiga ko‘ra yillik ba’zan yarim yillik
ish rejasini tuzishdan boshlaydi. Bundan tashqari, har bir maternalikii
darsi uchun alohida ish rejasini tuzadi. Matematikaga doir ish rejiul.i
har bir mavzuning asosiy savoUari, bu savollarni o ‘tish uchun ajratil^’,:in
soatlar va o4ilish muddati ko‘rsatilgan bolishi kerak. Matematikaclan
tuzilgan ish rejada har bir mavzuni o'tish uchun qanday ko‘rgazni;ih
qurollardan foydalanish va qanday amaliy xarakterdagi misol hamd.i
masalalarni yechish ham ko‘rsatilgan bolishi maqsadga muvofiqdii
Matematikadan tuzilgan ish rejani maktabdagi o ‘quv metodika hay’;iii
muhokama qiladi va maktab direktori tomonidan tasdiqlangan u rasimv
hujjatga aylanadi va ana shu tasdiqlangan reja asosida o ‘ qituvilu
matematika darsining har bir mavzusini o ‘tadi, maktab rahbariy;iii
ham ana shu tasdiqlangan ish reja asosida o ‘qituvchining o ‘quv l'iu>
liyatini tekshiradi. 0 ‘ qituvchi har bir dars uchun mavzu yuzasidan i.sli
rejani tuzishda quyidagilarga ahamiyat berish kerak bo‘ladi.
1. Mavzu va uning shu darsda o‘rganiladigan qismi ko'rsatiladi.
2. U y vazifasi qanday tekshiriladi?
3. Qaysi o‘ quvchilardan so'raladi?
80
•I Sinfdagi o'quvchilar uchun qanday mustaqil isMar beriladi va
•I'Hiilny vaqtda beriladi?
Yangi mavzu bayoni ko‘rsatiladi, o ‘ quvcMarga qanday metod
•
tushuntirilisM va qaysi yerlarini yozishligi belgilanadi?
fi 0 ‘tilgan yangi mavzuni mustahkamlash uchun beriladigan savollar
\>iki misol va masalalar yozib qo‘yiladi.
/ Uyga beriladigan vazifa, mavzu paragrafi, misol va masala по­
мп i|:ni hamda o ‘ quvchilarga beriladigan ko‘rsatmalar yozib qo‘yiladi.
<><|ii4vchi har bir dars oxirida o‘ quvcliilar bilan birgalikda bugungi
•liii'.iii yakunlashi va o ‘quvchilar bilimini tekshirishi lozim. 0 ‘qituvchi
liHi Imi darsning mazmunini yaxshi o ‘ylab, rejalashtirsagina o‘ quvchilar
I hiKliir matematik bilimga ega boladi.
hi/.ga ma’lumki, har bir dars quyidagi bosqichlardan iborat edi.
I O'tilgan darsni o‘ quvchilardan so‘rash va uni mustahkamlash.
Yangi mavzuni o‘ qituvchi tomonidan tushuntirish va uni mustah\ Uyga vazifa berish.
Ana shu asosiy uch bosqichni amalga oshirishda o ‘ qituvchining
llmiv inetodik faoliyati maydalab mantiqiy tahlil qilinadi.
I O'tilgan darsni o ‘quvclulardan so‘rash paytida, o ‘qituvchi tomoMi.l.m o'quvchilarga mavzu yuzasidan berilgan savollar to‘g‘ri bo‘ldimi
>'<И yo'qmi?
) I )oskaga chiqqan o‘ quvchilarga savollar to‘g‘ri berildimi, qo‘shim-
•I hi ’.avollarchi?
' I )laming bilimlarini baholashda o'qituvchi reyting mezordga rioya
■iil'liim, o'quvchnaming javoblari o ‘qituvchi tomonidan tahlil qilindimi?
I
( )‘ lilgan mavzuni o‘quvchilardan so‘rash uchun o‘qituvchi ortiqcha
' и|1 Ilf qilmadimi?
' I arqatma materialni yechib bo‘lgan o‘ quvcMlaming bilimi qanday
•''iliiila iidi?
O'qituvchi o ‘zi awalgi mavzu mazmunini va o'quvclulaming
l i'.ihlariiii qisqacha tahlil qilib yakunladimi?
/ Yangi mavzuning mazmunini ochib berishda Umiy-pietodikxatoga
i " I i|()‘ yinadimi?
!i Yaiigi mavzuni qanday metod bilan tushuntirdi?
'» Yangi mavzuni mustahkamlashga qanday e’tibor berdi?
ИI Yangi mavzuning geometrik ma’nosini ko‘rsatib bera oldimi?
I l l lyga berilgan vazifalardan namuna ko‘rsatdimi?
1 ' 1 5 minutlik vaqtni to‘g‘ri taqsimladimi?
All4iim)V
81
13. 0 ‘ qituvcM mavzu mazmimini tushuntirishda o'zini qanday tutdi?
14. 0 ‘qituvchi yangi mavzuni tushuntirishda sinf o'quvchHarini o‘ziga
qarata olditni?
15. 0 ‘ qituvchi o‘ quvchilaming shaxsiyatiga tegmadimi?
16. Darsning tahlilidan so'ng o‘ qituvchiga beriladigan o ‘quv, ilmiy,
metodik va tarbiyaviy maslahatlar.
Наг bir matematika darsini tahin qihsh yuqoridagi savollarga javob
topish orqali amalga oshirilishi maqsadga muvofiqdir. Shundagina
darsning tahlili samaraU bo‘ladi.
4-§. Matematika darsiga qo‘ yilgan talablar
Matematika darsining tahlili shuni ko'rsatadiki, darsning maqsadi
shu darsning tuzilish strukturasini va ana shu darsda bo‘ladigan barcha
bosqichlarning o‘ zaro mantiqiy munosabatlarini aniqlaydi.
1. Matematika darsiga qo‘yiladigan birinchi talab bu uning maqsadga
tomon yo‘naltiriIganligidir. Maqsadga tomon yo'naltiriiganlik deganda
darsning maqsadida qo‘yilgan mavzu mazmunini tushuntirish orqali
o‘ quvchilarning mantiqiy fikrlash qobiliyatlarini shakllantirish hamda
ularni aqhy va ma’naviy tarbiyalashni tushunamiz.
2. Matematika darsiga qo‘yilgan ikkinchi talab bu dars va uniiii’,
mazmunini ratsional taqsimlashdir. Dars va uning turlarini to ‘qri
taqsimlash hamda matematika darsida o'quvchilarning mavzu maz­
munini yaxshi o ‘zlashtirishlari orqali matematik, umumintellektual va
o ‘ quv faoliyatiga nisbatan bilim, ko‘ nikma hamda tafakkur qilisli
faoliyatlari shakllanadi.
3. Matematika darsiga qo‘yiigan uchinchi talab bu darsni o‘tkazisli
dagi o ‘ quv, tarbiya metodi va vositalarini tanlashdan iboratdir. Matematika darslarida o‘ quv, tarbiya usullarini tanlash katta ahamiyatga
egadir. Matematika o‘ qituvchisi mavzu mazmuniga qarab tushuntirisli,
ilmiy izlanish va xuiosa chiqarish metodlaridan qaysilarini qo‘ llansa
o ‘ quvchilar mavzu mazmunini yaxshiroq o ‘zlashtirishlarini aniqlah
olishi lozim, shundagina dars samarali bo‘ladi.
4. Matematika darsiga qo‘yilgan to'rtinchi talab bu darsni o‘tkazishda
o‘ quvchilarning bilishga doir bo'lgan faoliyatlarini shakllantirish uchiiii
o ‘ quv jarayonini har xil usullarda tashkil qilishdir. 0 ‘ qituvchi darsda
o'tiladigan mavzu mazmuniga qarab o ‘ quvchilar faoliyatlarini oldindaii
belgilashi kerak bo‘ladi. Agar darsda yangi mavzu o ‘tiladigan boMsa,
unda o‘qituvchining o‘zi mavzu mazmunini ma’ruza yoki suhbat usullai i
82
■ицмИ o'quvchilarga tushuntiradi. Agar darsdagi mavzu awalgi o'tilgan
imiwiiga doir misol yoki masala yechish bo‘lsa, unda mustaqil ishlash
vnk 1yakka tartibda topshiriqlar berish usullaridan foydalanish mumkin.
Mimmg natijasida sinfdagi o ‘ quvchilar o'zlarining intellektual qobiliyatliit I oiciali mavzu mazmunini u nazariy yoki amaliy xarakterda bo‘lishini
v.ivslii o‘zlashtiradilar.
5-§. 0 ‘ quvchiIaming bilimiarini tekshirish
■
Ijroni tekshirish»ning to ‘g‘ ri yo‘ lga qo‘yilishi har qanday ish
iHili.isicla katta ahamiyatga ega bo‘lgani singari, o'qitish ishlarida ham
и ny.ii liatta ahamiyatga egadir. U, o‘ qituvchiga o‘ quvchilarda mas’uhyat
iiivi’/iisini tarbiyalashga, o ‘quvchilarning bilimlaridagi kamchiUklarni
II / vaijlida aniqlab olishga, o ‘ z ishini to‘g‘ri baholashga imkon beradi.
( )‘(iiivchilarning biUmlarini tekshirish ishi muntazam ravishda, ya’ni
Inn kiiiii ohb borihshi kerak. Dastawal yangi materialni bayon etgandan
l»( VIII lining qay darajada tushunilganligini tekshirib olish lozim. Darsning
иипму maqsadi o‘tiladigan mavzu mazmunini o‘ quvchiIarga tushuntirish
i k.iimii, o'quvchiiar bilimni asosan darsda ohshlari kerakligini esda
mull, o'qituvchi o ‘zining shu maqsadga erishgan yoki erishmaganligini
li.ii liir darsda o ‘tilgan mavzu mazmunining asosiy yerlarini o ‘ quvchiliiiil.m so‘ rash orqali tekshirib borishi zarur.
( )‘tiuvchilarning o ‘zlashtirish darajasini turli yo‘llar bilan tekshirish
inn IIlk in, ya’ ni biron formulani chiqarish yoki biron teoremani isbotlitf.lul:igi asosiy mulohazalarni o ‘quvchi tomonidan bajarish, ilgaridan
liiN'Vttiiiib qo‘yilgan mavzu mazmuniga doir savollarni o ‘ quvchilarga
lii'ir.ii, olingan nazariy xulosalarni masala yoki misollar yechishga tatbiq
-lilii oiisli qobiliyatlarini aniqlab bilishdan iboratdir.
Iliiiarning hammasi o'quvchilarning o'zlashtirish natijalarini aniqlii .lifM va shu bilan birga o‘tilgan materialni mustahkamlashga yordam
In 1.all.
\'()/ma uy vazifalarining bajarilgan-bajarilmaganligini tekshirish ishi
t.1* IMiiclia sinfni «aylanib chiqib» o‘ quvchilarning daftarlarini ko'rish
li bilan bajariladi. B uyo‘l vazifaningbajarilganUgini aniqlashga imkon
lu i.uli, ishning sifatini esa bu yo‘l bilan aniqlab olish qiyin.
IIV vazifasini tekshirish uchun aylanma daftar tutish ijobiy natija
Imi .uIi , chunki vazifasi tekshirilgan daftar o‘ quvchiga berilganda ular
•i.ili.iidagi o ‘ qituvchi tomonidan qo‘yilgan baholarni va izohlarni ko'rib,
Ih iilf-aii topshiriqlar bo‘yicha qanday bilimga ega ekanliklarini bilib
83
oladilar. 0 ‘qituvchi uy vazifalar natijasini reyting mezoni bo‘yicha
ballar asosida baholashi shart.
Bundan tashqari, doskaga ayrim o ‘ quvchilami chiqarib, o‘tilgaii
mavzuga doir o‘ qituvchi aytgan masala yoki misolning yechilishini
so'rash orqali ham aniqlanadi.
Har bit masala yoki misolning yechilishini mufassal bir o'quvchining
o ‘zi oxiriga yetkazishi shart emas. Berilgan vazifa yuzasidan eng muhim
savollami Ugandan tayyorlab qo‘yib, tekshirishni ana shu reja bo'yicha
olib borish mumkin.
Masala va misollaming yechilishini tekshirganda bir masalaning
bir necha xil yechilish variantlarini aniqlash, hisoblashga doir misollarda esa qo‘llanilgan turlicha yechish usullarini ko‘rsatish va ulai
ichidan yechishning eng ma’qul usullarini aniqlab olish kerak.
Har kuni hamma o ‘quvchilaming daftarlarini tekshirib chiqish mumkin emas, ammo bu ishni hech bo‘lmaganda tanlab olish yo'li bilaii
qihsh kerak. Har bir darsning oxirida 8—10 o‘quvchining daftarini olisli
yo‘li bilan bir oyda har bir o'quvchining daftarini aqalli uch marta
ko‘zdan kechirish kerak. Bu holda o'quvchining ikki hafta davomida
bajargan hamma ishlarini tekshirib chiqishga ulguriladi. Bunda tekshirilgan daftarlarda ko‘rsatilgan xatolami o‘quvchilarga albatta tuzattirisli
kerak, shu holdagina tekshirish ishlari maqsadga muvofiq bo‘ladi.
Bunday tekshirganda bajarilgan ishning to‘g‘ riligini, topshiriqning
to‘la bajariUshini va ishning chiroyli, ozoda hamda batartib bajarilishiiii
e’tiborga olib turib, uy vazifalarini bajarishga alohida reyting mezonlari
asosida baho qo‘yish kerak.
Daftarlarni tekshirib borish o'qituvchiga o'quvchilar tomonidaii
berilgan vazifalami bo‘sh o ‘zlashtirilgan joylarini, misollami yechishdagi
o'quvchilarai yo‘l qo‘ygan xatoliklarini aniqlab olishga va o ‘z vaqtida
ulami to‘g‘rilab olish choralarini ko‘rishga imkon beradi.
0 ‘ quvchilar bilimini tekshirishning yana yo'llaridan biri bu ulardaii
og‘zaki so'rashdir. Buning uchun awalo o‘ qituvchi tomonidan mav/ii
mazmunini ochib beradigan mantiqiy ketma-ketlikka ega bo'lgaii
ta’riflar, qoidalar, murakkab bo'lmagan xulosalar va teoremalarniiig
isbotini tushuntirib berishni talab etadigan savollar tizimi tuziladi. Savol
sinf o ‘ quvchilariga berilib, javobini o'ylashga bir necha minut vacjl
beriladi. So'ngra bir o‘ quvchidan so'raladi. Uning javobini baholashcia
butun sinf ishtirok etadi (to‘g‘ri, noto‘g‘ri, yetarH darajada mukammal,
javob asosli yo asosli emas va hokazo); javobga qo'shimcha qiluvchilarga
yoki xatoni tuzatuvchilarga ham so‘z beriladi.
84
I.ivoblar reyting asosida baholanadi, biroq sinf jurnaliga yozilmaydi,
II. Ii l()‘ rt marta shu xil joyda turib berilgan javoblarga o'qituvchi
i.iiiKinidan umumiy ball qo‘yilib, bu baU sinf jurnaliga va o'quvchining
ktmilalik daftariga yozib qo'yiladi. Bu holda o'qituvchi berilgan savol
v.t uliiigan javoblarni maxsus yuritilgan reyting daftariga yozib boradi.
I )oskaga 1—2 o'quvchi chiqarilganda ularning har biriga berilgan
»<ип1ца javob tayyorlash kerak bo'lib qolganda doskada chizma chizish,
|Mvitl)iii bog‘lanishli qilib aytib berishni osonlashtiradigan yozuvlarni
t||iit|.u ha yozib qo‘yishga imkon beriladi.
Hu o'quvchilar javob tayyorlagunlaricha o'qituvchi qolgan o'quvchiliii liilim suhbat asosida savol-javob qilib, og'zaki masalalar yechdirishi,
III Iill;imi, teoremalarning ajftilishini, sodda xulosalar chiqarish kabilarni
nil i.ih turishi lozim bo'ladi.
Mu’/ilar, o ‘ qituvchining sinf bilan qiladigan suhbatidan ikki o'quvtliim lx)‘ lsa ham ajratib qo‘yish zararli deb, bu xil so‘ rashga e'tiroz
liililiiiulilar. Ammo, chiqarilgan o‘quvchilarning tayyorlanish vaqtida
liiiiim sinfning zerikib kutib o ‘tirishga majbur qilishdan ko‘ ra, ikki
ti'i|uvi liini bu xil suhbatdan mahrum qilish yaxshiroq. Doskaga chiqarib
It i|iivt liilar javobini eshitish ham yaxshi natija beradi.
I )oskaga chaqirilganlarning javobini eshitishga kelganda ish bosht|tii lia; ularning javoblarini butun sinf o‘quvchilari eshitishi kerak. Sinf
Mtldvcliilarini bu vaqtda doskadagi o ‘quvchilar javoblarini eshitishga
lull) tiilish kerak. Chaqirilgan o ‘quvchUar javob bergandan keyin boshqa
и (|iivcliilarga qo'shimcha qilishga, tuzatishlar berishga, o ‘z fikrlarini
rtVii .liKni imkon beriladi. Bu savolga to‘la va to‘g‘ri javob oMngandan
yni o'qituvchi shu o ‘quvchining o‘ziga endi uzoq tayyorlanishni talab
*-lm.iv(ligan va ilgaridan belgilab qo‘yilgan savollarini berishi mumkin.
Иа’/i o'quvchilarning javob beruvchi o‘quvchiga shu mavzuga doir
i|.i '.liimcha savollar berishiga yo‘l qo'yiladi. Bu, o ‘ quvchilarni shu
Miiiv/iiKM doir hamma materialni xotirlashga majbur qiladi. Ammo
II i|iiv( liilarni muhim savollar berishga o‘ rgatish lozim, buning uchun
fit.I n'ljiiuvchi mavzuni o ‘rganish vaqtida o ‘ rganiIadigan materialning
ШЦ k( rakli va muhim tomonlarini ajratib ko‘ rsata bilishi kerak bo‘ladi.
Ibii holda, so‘rash usulidan qat’iy nazar, o ‘qituvchi, birinchidan,
<-.1 i.ilacligan materialni ilgaridan belgilab qo‘yishi, savollarning qay
till/IIII hcrilishini puxta o'ylashi, masala yechilishining yoki isbotning
.......lay borishi kerakligini ham oldindan o ‘ylab qo‘yishi lozimdir.
’.liimdaKina o'tilgan mavzu bo'yicha o ‘ quvchilarning olgan bilimlari
"il iili bo'ladi.
I
85
0 ‘ quvchilar bilimini tekshirishning yana bir usuli bu o‘ qituvclu
tomonidan o4ilayotgan mavzuga va takrorlashga doir savollar yozilg;m
kartochkalarni oldindan tayyorlab qo'yishdir. Bunday kartochkal.ii
doskaga chiqarilgan 2-3 o‘ quvchiga beriladi va tayyorgarlik (javobm
o‘ylash, doskada kerakli yozuvlarni yozish) uchun 8—10 minut vacji
ko‘rsatiladi.
Ular tayyorlanayotganda o ‘ qituvchi sinf bilan suhbat o'tkazadi
yoki butun sinfga kichikina mustaqil ish beradi. Doskaga chiqarilgiiii
o ‘ quvchilar o ‘z javoblarini to ‘la bayon etganda o'quvchilar qukxi
soladi va ularga har bir savolning javobidan keyin qo‘shimcha qilislip,:i
imkon beriladi. 0 ‘qituvchi o‘quvchilarning javoblarini rejting asositla
ballar bilan baholab boradi.
So'rash usuli qanday bo‘lishidan qat’iy nazar, unga nisbatan ba’/i
majburiy talablar qo'yishga to‘g‘ri keladi. Bu talablar quyidagilard;tii
iboratdir.
a) ma’lum maqsadni ko‘zda tutish kerak. Bu maqsad ba’zi o ‘quv
chilarga aniq bo‘lmasligi mumkin, ammo o ‘qituvchi uni ochiq-oydin
tasawur qilishi shart;
b) mavzuning asosiy qoidalarini takrorlashga va mustahkamlash^’n
yordam berishi hamda teoremalar, o‘rganilgan qonunlar va bajariladig;m
shakl o ‘zgartirishlar orasidagi bog‘lanishni aniqlashga, fazoviy tasawur
larni kengaytirishga, mantiqiy fikrlashni o'stirishga, o ‘z fikrini to'g'ii
va chiroyli nutq bilan bayon etishga yordam berishi kerak;
d) berilgan savolni tezlik bilan o ‘qib olish va qisqa, aniq javoli
bera olish qobiliyatini o ‘quvchilarda tarbiyalashi kerak;
e) teorema yo qonunlarning aytilishiga o ‘tkir diqqat eta bilishgii,
javob yozuvlarning va chizmalar to ‘g ‘ riligini hamda tugalligini b:i
holay bilishga, qo'shimcha va tuzatishlar bera bilishga o ‘ rgatislii
kerak;
f) so'rashda o ‘qituvchi beradigan savollar oz vaqt talab qiladigaii,
ravon, mazmunli bo‘hshi shart.
Yozma tekshirish ishlari (yozma ish, test nazorat ishlari) qis(|:i
vaqtga 10-12 minutga mo'ljallab, ba’ zilar esa ko‘proq vaqtga 1
soatga m o‘ljallab berilishi mumkin. Qisqa vaqtga m o‘ljallangan yo/m:i
ishlarni darsning ikkinchi yarmida berish qulayroq va bunda ko‘proi|
o'quvchilarning har xil hisoblashlarni tez bajara ohshlarini tekshirish,
ayniy shakl o'zgartirishlarni bajara bilishini tayyor tenglamalarni Itv
yecha bilishini, geometrik figuralarning xossalarini aytib bera olishlariiii
tekshirishlar ko‘zda tutilgan bo‘lishi kerak.
86
IrtHiorlash uchun savollar
I Matematika darsining tuzilishini gapirib bering.
' Matematika darsini tashkil qilish qanday amalga oshiriladi?
I Vangi mavzuni tushuntirish qanday usullar bilan amalga oshiriladi?
-I Yimgi mavzuni mustahkamlash deganda nimani tushunasiz?
I O'quvchnaming bilimlarini tekshirish qanday usullar orqali amalga
oshiriladi?
0 O'quv materialini takrorlash turlarini aytib bering.
! Yakuniy takrorlash bilan tematik takrorlashning farqlarini aytib bering.
S O'qituvchining matematika darsiga tayyorgarlik ko'rishini aytib bering.
У Matematika darsiga qo'yilgan talablami aytib bering.
Ill Matematika darsining tahlilini tushuntiring.
I I 0 ‘quvchilar bilimlarini tekshirish usullarini aytib bering.
/-’ Yozma ish deganda nimani tushunasiz?
liiyiuich iboralar
Matematika darsi, darsning tuzilishi, yangi mavzu, darsni mustahkamlash,
hiknirlash turlari, darsga tayyorgarlik, ishchi reja, matematika dasturi,
ihir.Sf^a qo'yilgan talab, dars tahlili, bilimlarni tekshirish, yozma ish,
ii'Vling nazorati.
V I bob.
SO N T U S H U N C H A LA R IN I H R IT IS H ,
U N I K E N G A Y T IM S H V A SO N LA R U S TID A A M A LLA R
BAJARISH M E TO D IK A S I
l- § . Natural son tushunchasini kiritish va ular
ustida amallar bajarish metodikasi
Eramizdan awalgi asrlarda yashagan insonlar tirikchilik uchun haf
xil qushlar, kiyiklar va boshqa jonivorlarni ovlash bilan kun kechirganlar.
Ana shu ovlangan kiyiklarni, umuman olganda jonivorlar sonini dastlali
qo‘l va oyoq barmoqlari bilan ko‘rsatib tushuntirishga odatlanganlar.
Agar ovlangan jonivorlar soni ikkala qo‘l barmoqlari sonidan ko‘ ii
bo'lsa, ularni hisoblash uchun oyoq barmoqlaridan ham foydalanganlar,
Vaqt o‘tishi bilan kishilaming ongi ham ana shu davrga nisbatan shakllana
borgan. Har xil xo‘jalik ishlarini bajarish jarayonidagi hisoblarga oyoq
va qo‘ l barmoqiarining soni javob berolmay qolgan, natijada ular
hisoblash ishlarini bajarishda tayoqchalardan foydalanganlar. Ana shu
qo‘l va oyoq barmoqlari hamda ishlatilgan tayoqchalarni sanash natijasida bir, ikki, uch, to‘rt va hokazo sonlar hosil qilingan. Masalan,
bitta qush, ikkita kiyik, uchta yo‘lbars va hokazo. Yuqoridagi mulohazalardan ko'rinadiki, son — bu odamlar sanash natijasida narsalarning
miqdoriy qiymatlarini ifoda qiluvchi tushuncha ekan. Sonlar raqamlar
bilan belgilanadi, bizning sanoq sistema o‘nlik sistema bo'lganligi uchuit
u to‘qqizta qiymath va bitta qiymatsiz raqam bilan belgilanadi: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Matematika kursida 1, 2, 3, ... qatorni natural sonlar qatori deb
ataladi. Natural sonlar to'plami quyidagi xossalarga ega:
1. Natural sonlar to‘plamining birinchi elementi 1 ga teng.
2. Natural sonlar to‘plamida ixtiyoriy natural sondan keyin keladigan
va undan bitta ortiq bo‘lgan birgina natural son mavjuddir.
3. Natural sonlar to‘plamida 1 sonidan boshqa har bir natural
sondan bitta kam bo'lgan va bu sondan oldin keladigan birgina natural
son mavjuddir.
Boshlang'iCh sinf matematika kursida natural sonlar to'plami haqi
dagi eng sodda tushunchalar o'quvchilarda shakllantiriladi. IV sinfda
esa koordinata tekisligi va nur tushunchalari kiritilganidan keyin natural
sonlar to‘plamining geometrik tasviri ko‘rsatiladi.
I lar bir natural songa koordinata nurning bitta nuqtasi mos kelishini
Ir(|iliivchi ko‘rgazmali qurollar yordamida tushuntirishi lozim. Shundan
lii-yiii o‘quvchilarga natural sonlarni og‘zaki va yozma nomerlash istilarl
и ((j.iitiladi. Buning natijaslda o'quvchilar natural sonlarni o ‘ qish va
vn/isl\ni o ‘ rganadilar.
1. Sanash vaqtida birinchi o ‘nta sonning har biriga alohida nom
lifiiladi.
2. Sanoq birliklari guruMaiga shunday blrlashtiriladiki, buning natijasida
IIII xil o‘nta birligidan yangi ikkinchi xona birligi, ikkinchi xonaning
ii'iiia birligidan yangi uchinchi sanoq birligi va hokazolar tuziladi.
t. I kkinclii xonadan boshlab har bir xona birligi shu xonadan bevosita
1111VI xonaning o‘nta birligidan tuzUgani uchun bizning sanoq sistemamiz
ii'iilik sanoq sistemasi deb ataladi. 10 soni esa sanoq sistemasining asosi
ili h it(aladi.
'I, Turli xonalardan iborat bo‘ lgan sonlarning har uchtasining
lililiklarini birlashtirib sinflar tuziladi. Dastlabki to‘rtta xona birliklariga
tilnliida nomlar beriladi, ya’ ni bulardan to‘rtinchi xona birligi ming,
111кnu lli sinf birligi deb qaraladi va undan xuddi asosiy biriiklardan
(ti/ilnan kabi navbatdagi birliklar tuziladi. Ikkinchi sinfning mingta
hliliH.i uchinchi sinfning birligi — millionni tashkil etadi va hokazo.
■s Sonlarni yozish uchun 10 ta raqam qo'llanadi, noldan boshqa
liiimma raqamlar qiymatli raqamlar hisoblanadi.
(i Qiymatli raqamlarning qiymati ularning sondagi o‘ rniga qarab
и /« 'lacli. Bundan keyirl o ‘ qituvchi o ‘ quvchilarga natural sonlarni
t(M ’.Игх!) va ayrishni hamda ko'paytirish va bo'lishni kundalik hayotda
Ml hi.iyiiigan misollar asosida o ‘rgatishi maqsadga muvofiqdir.
Masaian, Odiljon 35 ta ko‘ chat, Qobiljon esa 30 ta ko'chat ekdi.
I iliiming ikkalasi birgalikda necha to‘p ko‘ chat ekishgan? 30 + 35 =
f.'. 1.1
Ikkila natural sonni qo‘shish natijasida yangi bir natural son hosil
ItM lili, imi shu sonlarning yig‘indisi deyiladi. 30 va 35 sonlari qo*shi1тч hilar, 65 soni yigHndi deb ataladi. Shu fikrlar o'quvchilarga o ‘rgah I m i I i , so'ngra qo‘shish amaliga ta’ rif beriladi.
I ii’ rif. ТШ sonning yig'indisini topish amaliga qo'shish deb ataladi.
f-I ill lira! sonlarni qo‘shish yana quyidagicha usul bilan tushuntirilishi
iMdmkm.
I. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... natural sonlar to ‘plamini
■|",|.,ф,а yozib, unda 4 soni belgilanadi, so‘ngra ana shu 4 sonidan
iiH'.i qarab 6 ta son sanaladi, natijada 10 soni hosil bo'ladi. Demak,
89
4+6 = 10 b o‘ lar ekan. 6+4 =10 bo‘ lishini ham yuqoridagiclck
tushuntirish mumkin. 1, 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... natural sonlni
to‘plamida 6 sonini belgilab, undan o'ngga qarab 4 ta son sanaladi,
natijada 10 soni hosil bo'ladi, demak, bundan quyidagi xulosa kelili
chiqadi a + b = b + a. Ъ\х tenglikdan qo'shish amaliga nisbat;m
quyidagi qoidani ifoda qilish mumkin.
Qoida. Qo ‘shuvchilarning о ‘rni almashgani bilan yig‘indining qiymall
o'zgarmaydi, ya ’ni a + b = b + a.
Biz qo'shiluvchilar sonini uchta olganimizda ham yuqoridagi qoida
o'rinli bo‘lib, (a + b )+ c= (a + c )+ b tenglik hosil bo'ladi, bu esa qo'shisli
amaliga nisbatan guruhlash qoidasini ifodalaydi.
Endi natural sonlarni ayirish qaraladi. Natural sonlarda ayiiisli
amalini o ‘rgatish uchun quyidagidek masalalarni qarash mumkin
Taqsimchada 20 dona konfet bor edi. Fozil shu konfetdan 6 donasiiii
yeb qo'ydi. Tarelkada necha dona konfet qoldi? Bu masalani yechish
uchun shunday noma’lum x sonini topish kerakki, bunda 6 + x = 2()
tenglik o‘rinli bo‘lishi kerak. Bu hosil qilingan tenglikni o‘ qiydigan
bo'lsak, birinchi qo‘ shiluvchi va yig‘ indi ma’lum bo‘lib, ikkinclii
qo‘shiluvchi esa noma’lumdir.
Qoida. Q o‘shiluvchilardan bin va yig‘indi m a’lum bo‘lganda ikkinctil
q o ‘shiluvchi noma’lum sonni topish amaliga ayirish deb ataladi.
x = 2 0 - 6.
x = l4 .
Agar umumiy holda a + x — b desak, bundan x = b — a hosil
bo‘ladi. Bunda x — ayirma, b — kamayuvchi, a — ayiriluvchi dcIi
yuritiladi.
Ayirish amalini o‘quvchilarga yana quyidagicha tushuntirish mumkin
Masalan, 20 sonidan 6 sonini ayirish kerak bo'lsin. Buning uchun 1, Л
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21
natural sonlar qatorini doskaga yozib, 20 son belgilanadi va undaii
chapga qarab oltita son belgilaymiz, natijada 14 soni hosil boUadi, liti
degan so‘z 20 — 6 = 14 deganidir deb o‘ quvchilarga tushuntiramiz. Ии
yerda 20 soni kamayuvchi, 6 soni ayiriluvchi, 14 soni esa ayirma dch
ataladi.
Masala. 5 ta tokchaning har biriga 16 ta donadan kitob terilgan
hammasi bo'Iib qancha kitob terilgan?
Bu masalani yechish uchun qo‘shish amalidan quyidagicha foydalaniladi
16+16+16+16+16=80 yoki bu tenglikni 16-5=80 ko'rinishda ham yo/isli
mumkin; bunda javoblarning bir xil bo'lganligini o'qituvchi o‘quvcliilaij'ii
90
iinliiinliiislii lozim. Bu yerda 16 va 5 sonlari ko‘paytuvchilar, 80 soni esa
kittniy/ma deb yuritiladi.
I ii’ rif. Qo‘shiluvchilari o ‘zaro teng bo‘lgan sonlarning yig‘indisini
iMjif.li amaliga ko‘paytirish deyiladi va u bunday yoziladi:
a + a + a... + q = a-b = c
b
II v;i h sonlari ko‘paytuvchilar, с esa k o‘paytma deb yuritiladi.
Yii(|oridagi ma’lumotlardan keyin ko‘paytirish amaliga nisbatan
ti'iiiili ho'igan quyidagi uch qonunni ko‘rsatish lozim.
1 Ko'paytirish amaliga nisbatan o ‘rin almashtirish (komutativlik)
i|<Miiiiii o‘ rlnli.
ii • I) = с bo'lsa, b ■ a — с bo‘ladi.
Ko‘paytirish amaliga nisbatan tarqatish (distributivlik) qonuni
li'tin li:
a (b + c) = ab + ac.
liu cjonunni bunday tushuntirish mumkin.
{h + c ) a = ^ ( b + c) + {Jb+ c) + {b + c) + ...{b + c) = ab + ac.
a
t, Ko'paytirish amaliga nisbatan gurahlash (assotsiativ) qonuni
ti iiiili {crby c=a-{b-c), bu tenglikni quyidagicha tushuntirish mumkin:
{a - b) - с - a + a + ...a + a + + ..a + a +
'~ T ^
~
b
с
= a-{b - c)
[
ltd tenglikni quyidagicha izohlash mumkin. Har bir qatorda b
Ilit Inn cjo'shiluvchi b e bo‘lib har bir qo‘ shiluvchi a ga teng, ya’ni
{h I ) (I cicb yozish mumkin.
'I, Omborga 5 yashikda 625 kg olma keltiridi. Har bir yashikda
iM I h.i kilogrammdan olma bo'lgan? Bu masalani yechish uchun
■(hiiiulay X sonini topish kerakki, x=625 : 5 bo‘lsin. Bunday son 125
liM'I.idi.
Лии shu 125 sonini hosil qilish uchun bo‘lishni, ya’ ni x=625:5
iiMiiiliii bajariladi, bu amal bo‘lish deb yuritiladi.
I'li’ rif. K o ‘p ayuvchi sonlardan bin va ko'paytma son m a ’lum
l'o4}'iin(la, ikkinchi ko'payuvchi sonni topish amaliga b o‘lish deyiladi
VIII i|iiyidagicha yoziladi a -x=c, x=c:a, x — bo'linma, с — bo'linuvchi,
,1 Ik)'liivchi deb yuritiladi. Yuqoridagi misolda esa 625 — bo'linuvchi,
lio'liivchi, X — bo‘linma deb ataladi.
91
Наг qanday natural sormi 0 soniga bo‘lish mumkin emas, chunki
0 - x = c tenglikni qanoatlantiradigan x sonini topish mumkin em:is
Demak, x = x : 0 tenglikning bo'lishi mumkin emas.
M a’lumki, qo'shish amaliga nisbatan qarama-qarshi amal ayirislim
va bu ko‘paytirishga nisbatan teskari amal bo‘lishni quyidagi sxemn
orqali ko‘rsatish ham mumkin:
15-chizma.
Bu sxemani jadval tarzida ham berish mumkin.
T o ‘g ‘ri amallar
Qarama-qarshi amal
Qo'shish
Ayirish
3 + 5 = 8
1.8-3 = 5
2. 8 - 5 = 3
Ko'paytirish
Teskari amal bo'lish
5 X 4 = 20
1.20:4 = 5
2.20:5 = 4
2-§. Natural sonlar to‘plamini kengaytirish
Bu mavzuni tushuntirish jarayonida o‘ qituvchi o'quvchilarga koor
dinata nurining har bir nuqtasiga bittadan natural son mos kelmasligini,
ya’ni koordinata nuridagi nuqtalar to‘plamini ortib qolishini ko‘rgazm:ili
asosda tushuntirishi lozimdir. Bu mulohazaga ko‘ra natural sonlar to‘ p
92
4^
•niiiiii yimada kengaytirish va natijada yangi sonlar to‘plamini hosil
(tliih cliliyoji zarur ekanligini o‘ qituvchi yana bir marta o'quvchilarga
•ii.lum iirishi lozim.
Iiiiiulan tashqari, o'qituvchi natural sonlar to‘plamida har doim
ilii'.li va ko'paytirish amallarini bajarish mumkin, ammo ayirish
- 1.1Гlish amallarini har doim ham bajarish mumkin emasligini misoUar
ko'rsatish kerak.
Miisiilan, 5 + 3 = 8, 2 • 7 = 14. Bu yerda hosil qilingan 8 yig'indi va
k.. imvdiia 14 sonlar natural sonlar to'plamida mayjuddir, ammo 3-5
•nimiiidii chiqadigan — 2 soni natural sonlar to‘plamida mayjud emas,
Imi iiiiiiiral sonlar to'plamida har doim ham ayirish amalini bajarish
MMimkm cmas degan so'zdir. Umuman olganda natural sonlar to‘plamida
I I Л/
P ko'rinishdagi tenglama P = M b o ‘lgan holda yechimga ega
t-m.i’. Л' \M = P tenglama yechimi X - P — M P < M bo'lganda ham
Mtmli l)()‘ Iishi uchun 0 soni va barcha butun manfiy sonlar to‘plami
.1. M'lM lusluincha kerakdir, shuning uchun ham natural sonlar to'plamini
iiyiiylirish orqali boshqa yangi sonlar to‘plamini hosil qilish g'oyasi
kt III) I hiqudi.
3-§. Butun sonlar va ular bilan to‘ rt amalni
bajarish metodikasi
Mitlcla «Koordinata to‘g‘ri chizig‘i» nomh mavzu o ‘tiladi, ana
•III) iiiiiv/imi o ‘tish uchun sanoq boshi degan tushuncha kiritilgan bo‘lib,
■Itii Miiioti boshi nomli nuqtani 0 (nol) soni bilan belgilangan.
II
M)*/i lotincha nallrse — so‘zidan olingan bo‘lib «hech qanday
-(ivmniKii cga bo‘lmagan» degan ma’ noni bildiradi. N o l soni natural
(o'plamiga kirmaydigan qiymatsiz son hisoblanadi. Matematikada
III* ч1| (o'plam tushunchasini ham 0 soni bilan ifodalanadi.
In'n'ri chiziqdagi sanoq boshi deb ataluvchi 0 nuqtadan unga
I >, I sonlari, chapga esa —1, —2, —3, ... sonlarni yozish va
• ||.1|и1.|ц1 sonlarni « minus bir», «minus ikki», «minus uch» ... deb
и ||||.||Ц11 kelishilgan. 0 soni to‘g‘ ri chiziqda musbat va manfiy sonlarni
rtliiidb inradi. 0 sonidan o ‘ng tomonidagi natural sonlarni butun musbat
«M.diti. i liiip tomondagi sonlarni esa butun manfiy sonlar deb ataladi.
>ii(|(tii(lagi mulohazalarga ko‘ ra butun sonlar to‘plamiga quyidagicha
• t III liciisli mumkin.
I ii'rlf. Barcha natural, butun manfiy va nol sonlari birgalikda butun
•■iiliii lo'plami deyiladi (16-chizma).
93
____I__ I__ I__ LJ__ I__ ^ ^ __ \
_________
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
16-chizmaBu yerda natural sonlarga nisbatan qarama-qarshi sonlar barclia
butun manfiy sonlardir, masalan, 1 va -1 , 2 va -2 , 3 va —3, —....
qarama-qarshi sonlar barcha butun manfiy sonlardir.
Butun sonlar to‘plamida faqatgina 0 soniga nisbatan qarama-qarslii
bo‘lgan son yo‘qdir:
0 = 0 + 0.
Maktab matematika kursida manfiy son tushunchasi kiritilganidaii
keyin sonning moduli tushunchasi ham kiritiladi.
Ta’ rif. Musbat sonning moduli о ‘ziga teng\
H = e-|5| = 5.
Ta’ rif. Manfiy sonning moduli о ‘ziga qarama-qarshi songa teng:
\-a\ - a • |-5| = 5.
\
Butun sonlar bilan to‘rt amalning bajarilishini ko'rib chiqaylik.
1. Butun sonlar bilan qo‘shish amali quyidagicha bajariladi, masalaii
3 soniga 2 sonini qo‘shaylik (17-chizma).
I
I
____ \__ I__ L _ l __ I__ I__ I__ \__ I__ I_____________
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
17-chizma.
Butun sonlar qatorida 3 sonini belgilab, undan o'ngga qarab ikkila
sonni sanaymiz. Natijada 5 soni hosil bo‘ ladi, demak, 3 + 2 = 5.
2. —2 soniga - 3 sonini qo‘shing (18-chizma).
f
i_ L
-5 -4
-3
-2
-L I . I . ,1
I
I
I
-1
3
4
5
0
1
2
18-chima.
Butun sonlar to'plamidan —2 sonini belgilab, undan chapga qatah
uchta son sanaladi, natijada —5 soni hosil bo‘ladi, demak, (—2) I
+ (- 3 ) = - 5
Qoida. Bir x il ishoradagi butun sonlarni о ‘zapo qo ‘shish uchiin
ulaming modullarini o ‘zaro q o ‘shib, yig'indi son oldiga q o ‘shiluvcluliir
oldidagi ishora q o ‘yiladi.
94
Masiilan.
5 + 4 = + ( 5 + 4) = +9 = 9
(-3 ) + (-2 ) = -(3 + 2) = -5
1
'I soniga —2 sonini qo'shing. Buning uchun butiin sonlar qatorida
t iiMiiii bclgilab, undan chapga qarab ikkita sonni sanaymiz, hosil bo'lgan
- Ml l/liiiiayotgan son bo‘ladi (19-chizma).
J _____ L
0
1
a
2
3
4
5
6
7
19-chizma.
Ishoralari har x il bo ‘Igan butun sonlami о ‘zaro go ‘shish
H. him ularning kattasining modulidan kichigini ayirib, katta son ishorasi
vlliidi:
1) 5 + (- 3 ) = 5 - 3 = +2 = 2;
2) (- 8 ) + 3 - - (8 - 3) = -5 .
Miiiida |8| > 3, shuning uchun yig‘indi son manfiy bo‘ladi.
I ( ) ‘zaro qarama-qarshi sonlar yig'indisi esa nolga teng:
a + (—a) = 0.
Miisalan, 5 + (—5) = 0.
II Hutun sonlar ustida ayirish amali quyidagicha bajariladi. Bir
t-iiimi sondan ikkinchi butun sonni ayirish uchun kamayuvchiga
iviiiliivchiga qarama-qarshi sonni qo‘shish kerak, ya’ni (a — b)+b=a.
I ) 25 - 9 = 16;
2) -1 5 - 30 = -1 5 + (-3 0 ) = -4 5 ;
1) 12- (-1 3 ) = -1 2 + 13 = 1.
I
11ar xil ishoraU ikkita butun sonni ko'paytirish uchun bu sonlaming
mill III Iini ko‘paytirish va hosil bo‘ lgan son oldiga «minus» ishorasini
•|4 yisii kerak:
a (- b ) - - (a b ) = -a b ,
.....
2 -(-3 ) = -(2 -3 ) = -6 .
■' Ikkita butun manfiy sormi o‘zaro ko'paytirish uchun ularning
o ‘zaro ko'paytirish kerak;
i - a ) i - b ) = a-b.
(- 5 )- (- 3 ) = 5-3 = 15.
1
Anar ko‘paytuvchilardan biri nolga teng bo‘lsa, u holda ko‘paytma
tmlBii liMig bo‘ladi;
fl • 0 = 0 • a = 0
95
rV. Butun sonlarni bo'lish amali quyidagicha bajariladi.
1. Butun manfiy sonni manfiy songa bo‘lish uchun boUinuvchinniH
modulini bo‘luvchining moduliga bo‘lish kerak:
{ - a ) : { - b ) = \-a\ : \~b\ = a : b;
(- 8 1 ):(- 3 ) = |-81| : 1-3| = 81 : 3 = 27.
2. Har xil ishorali ikkita butun sonni o ‘zaro bo‘lish uchun bd'h
nuYchining modulini bo'luvchining moduliga bo‘lish va hosil bo‘ lp,iiii
sonning oldiga «minus» ishorasini qo‘yish kerak:
(- f l) : b - |-fl| : b =
(-1 5 ) : 3 = |-15| : 3 = -5 .
3. Nolni nolga teng bo‘lmagan har qanday butun songa bo'lislulii
nol soni hosil bo'Iadi:
0 ; fl = 0
4. Ixtiyoriy butun sormi nol soniga bolish mumkin emas:
fl : 0 = ma’nosizhk.
4-§. Kasr son tushunchasini kiritish va uni
o^rgatish metodikasi
Butun sonlar to‘plamida har doim qo'shish, ayirish, ko‘payliii'.li
amallarini bajarish o‘rinlidir, lekin bo‘lish amali har doim bajaiilii
vermaydi. Chunki bir butun sonni ikkinchi butun songa bo'lganda li.u
doim bo'hnmada butun son hosil bo‘lavermaydi.
Masalan, 7:2 = 3.5, 9:4 = 2 , ... Bunda hosil qilingan bo‘linmailapi
3,5; 2 , ... sonlari butun sonlar to‘plamida mayjud emas. Umimiim
olganda m-x—n, m^O ko‘rinishdagi tenglamaning yechimi butun soiil.u
to‘plamida har doim mayjud emas, bu tenglama har doim
x
ko'rinishdagi yechimga ega bo‘hshi uchun kasr tushunchasini kirili-.h
orqali butun sonlar to'plamini kengaytirib, unga barcha manfiy v.i
musbat kasr sonlarni qo'shish kerak. Bu degan so‘ z
ko‘rinishdagi ratsional sonlar to‘plamini hosil qilish kerak deganidii
Shundagina mx=n ko‘rinishdagi tenglamalar har doim yechimga cf.
bo‘ladi. Bunda rv a q lar natural sonlardir. Yuqoridagi mulohazalain-
96
р
ko'ra ratsional songa quyidagicha ta’rif berish mumkin: — ко ‘rinishdagi
iflst/amas kasrga ratsional son deyiladi.
Endi kasr tushunchasini kiritish uchun foydalaniladigan misollami
ko'rib o'taylik.
Agar bir metr U2xmlikdagi yog'ochni o‘zaro teng ikki bo'lakka bo‘ liiisa, u holda bo‘laklaming har binning uzunHgi ana shu yog'och uzunli|.uning yarmiga teng bo'ladi va uni ^ kabi yozMadi. Agar ana shu bir
iiictr uzunlikdagi yog'ociini o‘zaro teng uch bo‘lakka bo‘linsa, u holda
liD'laklardan har birining uzunhgi shu yog'och uzunhgining uchdan
hiriga teng boladi va uni | kabi yoziladi. Shuningdek,
^
Agar bir metr uzunUkdagi yog‘ ochni teng uch bo'lakka bo‘lib,
imdan ikki qismini oladigan bo‘lsak, ohngan uzunligini kabi yoziladi.
Agar ana shu yog‘ochni to‘ rt bo‘lakga bo‘ lib, undan uch qismini
tilinsa, olingan qism uzunligi ^ kabi ifodalanadi. Yuqorida qilingan
mulohazalarga asoslanib kasr tushunchasining ta’rifini quyidagicha
berish mumkin.
T a’rif. Butun sonning o ‘zaro teng bo'lgan m a’lum bir ulushi, shu
4(>nning kasri deyiladi.
1 1 2
3
Yuqorida - , - ,
7,7
kasr sonlar hosil qilindi. Berilgan
Zt
D
0
^
narsalami yoki butun sonni qancha teng qismga bo‘linganligini ko‘rsatiivchi sonni kasming maxraji, shunday qismdan nechtasi olinganligini
ko'rsatuvchi sonni kasrning surali deyiladi. Maxraj kasr chizig‘ining
ostida, surat esa kasr chizig‘ining ustiga yoziladi.
p
Umumiy holda kasrni ~ ko‘rinishda ifodalanadi. Bunda r — kasrning
p
surati, q — kasming maxraji deb yuritiladi. ~
p
qarama-qarshi kasrlarni—“
7 - s. Alixonov
ko‘rinishdagi kasrlarga
ко‘rinishdaifodalanadi.
97
р
Koordinata o‘ qida
ko'rinishdagi kasrlar nol sonidan chapdii
joylashgan bo‘ladi. Biz butun sonlar to‘plamini kengaytirish orqali
P
—
va
P
— ko'rinishdagi kasrlarni hosil qildik. Natijada koordinal;i
P
P
o'qida {—— , 0 , — } ko'rinishdagi sonlar to'plami hosil boldi.
Bunday to‘plam ratsionalsonlar to‘p lami deb ataladi. Agar ratsioiial
P
sonlar to‘plamidagi - -
va
P
-
kasrlarning maxrajlari q = 1 desak,
ma’lum bo'lgan butun sonlar to'plami hosil bo‘ladi. Bundan ko‘rinadiki,
butun sonlar ratsional sonlar to'plamining xususiy bir holi ekaii
Ratsional sonlar to'plami bilan koordinata to‘g‘ ri chizig‘i nuqtalaii
orasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatish mumkinmi, degan savol
tug‘ilishi tabiiydir. Bu savolga quyidagicha javob berishimiz mumkiii,
aksincha, har bir nuqtaga bittadan ratsional soni mos keltirish muni km
emas.
Kasrlar uch xil bo'ladi:
1. T o ‘g‘ri kasrlar. 2. N oto‘g‘ri kasrlar. 3. 0 ‘nli kasrlar.
1. Agar kasming surati uning maxrajidan kichik bo'lsa, bumliiy
, у , 7 ....
2 4 6
2. Agar kasrning surati uning maxrajidan katta bo‘lsa, bundav
kasrlarni to‘g ‘r i kasrlar deyiladi. Masalan:
kasrlarni noto‘g ‘r i kasrlar deyiladi. Masalan,
^
.
3. Agar kasming maxraji bir va nol sonlaridan iborat bo‘lsa, bundav
kasrlarni о ‘nli kasrlar deyiladi. Masalan, ^ = 0 , 1 ;
щ
=0,01; ....
Kasr tushunchasi kiritilganidan keyin kasrlarning tengUgi tushuncluf.l
kiritiladi. Bu tushunchani 0 ‘ quvchilarga quyidagicha tushuntirish
mumkin.
Faraz qilaylik, bizga bir metr uzunlikdagi kesma berilgan bo'Isiii
Agar shu kesmani teng ikkiga bo'lsak, har bir kesmaning uzunligi '
98
^.ihl kasr bilan ifodalanadi. Endi bo‘lingan har bir kesmani yana ikkiga
tM.'iMtk, har bir kesmaning uzunligi
^ kasr bilan ifodalanadi. Ana
2
S.I111 iriig to'rtga bo‘lingan kesmalardan ikkitasining uzunligi iiiliiti ilodalanadi.
Bu
esa
kasr
butun kesma uzunligining teng ikkiga
ImI Ijiiiiulagi ^ kasr bilan ifodalangan qiymatiga tengdir. Shuning uchun
I
j
4
1
- . Bundan ko‘rinadiki, 2
2
4 kasrlarning qiymatlari teng
|иГЦ||, iilarni ifoda qilish har xildir.
( )‘ iiiivchilarga kasrlarning tengligi tushunchasini tushuntirilganidan
■" iiH kasrning quyidagi xossalarini ifoda qilish mumkin.
I xossa. Agar kasrning surat va maxrajini bir xil songa ko‘paytirilsa,
A- P
к r, III mg qiymati о zgarmaydi:
^ 5
5’
2
P ^
10’
и 1=3.4^12.
■' 7 7 4 2 8 ’
1_ 1
4_4_4-25_100
*
I Г 4 4 4-25 100'
II xossa. Agar kasrning surat va maxrajini bir xil songa bo'linsa,
.......
p: n
q
qiymati o ‘zgarmaydi. ■t ~ = ~ • Bunda и > 1 bo‘lishi kerak.
^ » Tl
/2
4
4
1
2)
15
3-5
5 ^
= j = 5.
/// xossa. Agar kasrning surat va maxrajidagi sonlar umumiy bo'luv■liiliii(iii cga boMmasa, u holda bunday kasr qisqarmas kasr bo‘ladi. Masalan,
-1
^
17
qisqarmas kasrlardir, chunki 5 va 7, 4 va 5, 17 va 19
Miliiii o'zaro umumiy bo‘luvchilarga ega emas.
99
5-§. Kasrlami taqqoslash
1. Kasrlami o'zaro taqqoslash uchun berilgan kasrlami o ‘zaro bir
xil maxrajli kasrlar holiga keltirish kerak, so‘ngra ulardan qaysi birining
surati katta bo‘lsa, o ‘sha kasming qiymati katta bo‘Iadi.
w
,
Masalan:
3
-
2
3-5
va
2-4
8 15 ^ 8 ^
5^4 “ 20 ' 20 ^ M
15
=^
.
3
2
uchun - >
• Bu yerda kasrning surati va uning maxrajini bir xil songa
ko‘paytirilsa, kasrning qiymati o ‘ zgarmaydi degan xossadan foydalandik.
2. Suratlari bir xil va maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlardan qaysi
birining maxraji katta bo'lsa, o‘ sha kasr kichik bo‘ladi. Qaysi birining
maxraji kichik bo‘lsa, o‘sha kasr katta bo‘ladi.
4
Masalan:
4
^
4
laruchun
4
6 -§. Kasrlarni qo‘ shish
Faraz qilaylik, AB kesma berilgan bo‘lsin, uni teng yettiga bo‘laylik,
1
ulardan A O - ,
3
4
C D = - y , AD=^-
bo‘lsin, u holda AD kesmaning
qiymati A C va CD kesmalar uzunliklarining yig‘indisiga teng boladi,
1 3
ya’ni A I)=A C +C D . Shu bilan birga - + - =
4
Yuqoridagi mulohazaga
ko‘ ra quyidagi qoidani yozish mumkin.
I. Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo‘ shish uchun ularning
suratlarini o ‘zaro qo‘shib, maxrajlaridan bittasini yozish kifoya.
P ^r _ p + r _
3
g
1,^ 5 ~
q
q
'
1 _ 3 + l _ 4
5
~5‘
II. Maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni qo'shish uchun ularni eng
kichik umumiy maxrajga keltirib, bir xil maxrajli kasrlami qo'shish
qoidasidan foydalanib, qo'shish kifoya:
^
2 3
5^7
2-7 3-5
5-7 ^ 7-5
14 15
35^ 35
100
14 + 15
35
29.
35’
3 1
4~^6
3-6 1 - 4 _ 18 4 _ 1 8 + 4 _ 2 2 _ 1 1
4-6^6-4
24^24
24
24 12'
Umumiy holatda esa
•'
р г _ p s г д _ ps + rg
— + - - —— + -----------— •
g s g ■s s ■g
sg
III.
Yig'indida butun son chiqadigan kasrlami qo‘shish quyidagicha
amalga oshiriladi:
,4 3 1 3 + 1 4 ,
^4*^4
4
4
’
2)
i + Z = i± Z = 8 = i
’
8
8
8
8
’
2 1 2 21 2+2 4 ,
Г 2П -*Т 2= Т = Г ' rV. Butun sonni kasrga qo'shish
.)
3 . i = 3 i;
, 1
3
1
3-2 + 1
6+ 1
7
-1
V. Aralash sonni kasrga qo'shish
(Ъ
n
4
\
2J
— +-
= 3+
= 3+
ГЗ
4
V.
+
1-2^
2-2 /
о 5 . 1 Л
ГЗ + 2
ГЗ 2^
=3+-=4+-=4-.
= 3+
4
4
4
4^4
VI. Aralash sonni aralash songa qo'shish:
2 | + з 1 = (2 + 3) +
1-2 1-3^ ^ 2 + 3 . 5
^5
n
n
+
= 5+ _
= 5+ - . 5 - ,
= 5+
3-2 2-3
з'^г
Q o‘ shish qonunlari. 1. Kasr qo'shiluvchilaming o ‘m i almashgani
bilan yig'indi kasr sonning qiymati o‘ zgarmaydi:
Misol.
a b a+ b b+ a b a
- + - = ------= ------ = - + - .
g
g
g
g
g
101
g
3
1
3+ 1
5
1+ 3
5
1 3
5^5'
2. Kasr sonlarda qo'shish amaliga nisbatan gurahlash qonuni o'riniidir:
/
I
I a b\
с a
- +- +- = - +
g <1
Isboti.
q я
с _a + b
с _ {a +b) + с _ c + {b + a) _ a ^ b + c
/I
N
a ^ \b
с )
- +-
q
q
Я
q
q
q
q
q
3-5
3-7
я
Я
Misol.
1 3 2
7'^5^7
n
2^ 3
r~ i ^5"
1+ 2
3
7 ^5
3
3
7'^5
7- 5 ^5- 7
15 + 21
35
36
35’
7-§. Kasrlarni ayirish
1) Faraz qilaylik, bizga ЛВ kesma berilgan bo‘lib, u teng 7 bo‘lakka
bo'lingan bo‘Isin.
Ulardan
AO=]j,
CD=^,
AD=^
larga teng bo‘lsin. CD
kesmaning qiymati CD=^i>-y4C bo‘ladi, u holda
4 1 3
y - - = -tenglik
o‘rinli.
2) Karim ikki mashinadagi yukni -
soatda tushirdi. U birinchi
mashinadagi yukni - soatda tushirib bo'ldi. Karim ikkincM masMnadagi
5 3 2
yukni necha soatda tushirgan? - — - =
Topilgan natijaning
to ‘g ‘ riligini tekshirish q o ‘ shish amali orqali amalga oshiriladi:
2 3 2+3
5
7 ‘^7
7
T
Endi kasrlarni ayirish uchun chiqarilgan quyidagi qoidalar ko'rib cMqiladi:
102
1.
Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlami ayirish uchun ulaming suratlarini o ‘zaro ayirib, maxrajlardan bittasini maxraj qilib yozish kifoya:
3
1 3 - 1 2
s ' s ' T ' ^ s ’
2.
Maxrajlari har xil bo'lgan kasrlami ayirish uchun ulami eng
kichik umumiy maxrajga keltirib, bir xil maxrajli kasrlami ayirish
qoidasidan foydalaniladi:
3
2
3-7
4
7~4- 7
2-4
2 1 -8
13
7- 4“
28
~ 2'^'
p s
r q _ ps-rq
q ■s
s q
sq
III. Butun sondan kasmi ayirish:
, . 2
4
2
4-3
Г3_2^
2
= 3+
12
2
3
3
Г З -2 ^
\3 3
rV. Kasrdan butun sonni ayirish:
^
7
2 - - (2
V
7/
Г2-7
1-7
V
Г14
\7
31
7/
12-2
3■
, 1 Л
= 3 + - = 3 -.
3
3
3^
7У
14-3
7
11
4
7
■7 '
( 5- 4
1- 5^
^5-4
4 •5 -
V. Butun sondan aralash sonni ayirish:
5
4
= 2+
20
20
4
VI. Aralash sondan butun sonni ayirish:
1)
з | - 2 = (3 -2 )+
I-»
’
4
4
1 4
VII. 1 sonidan kasr sonni ayirish:
3^1 3
4 1 4
1-4
1-4 3
1-44
103
4
4
4
4
15-8 _ 7 _ j 3
4
4
4'
4- 3
I
4'
V III. 1 sonidan aralash son ni ayirish:
1 -usul.
4
2 -usul.
1-3- = - - -
2
(3 -1 ) +
-
=
1 2
1-2
2+ -
7
2 -7
-5
1-22
2
2
-
4
-
8 -§. Kasrlarni ko‘paytirish
1. Kasrni butun songa ko‘paytirish uchun shu butun sonni kasrning
suratiga ko'paytlrish kifoya:
5 .
^17
5-3
15
5
2
ko‘ra j y 3 , ^ •(-4)
5
17'
2(-4)
8 ^
.
...
= - ^ •Ко paytmsh qoidasiga
ifodalarni quyidagicha yozish mumkin:
5
5
5 _ 5 + 5 + 5 _ 15.
17"^ 17 ^17
17
“ 17’
2 / .4
^ 9
2 ,-2
2
2
2
9'
9
9
9“
“ 9
Г2 2 2 2 ^
---1---- 1---- 1--9 9 9 9
2. Aralash sonni butun songa ko‘paytirish uchun aralash sonni
noto‘g‘ri kasrga aylantirib, butun sonni uning suratiga ko‘paytirish
kifoya:
, , ^1 , 2-2 + 1 , 5 , 5-3 15 ^1
1 . .) 2 - 3 = —
.3 = - 3 = - ^ = - = 75.
b)
2 f 3 . 2 i + 2 i + 2i = 6 +
= 6+
n+i +n
I
2. , )
2
n
1 1)
2 ^ 2 ^2
= 6+ l = 7i.
J
2
2
3 | (-2 ) = i l ^ - ( - 2 ) = ^ 30
4
15-21
15
2-2
2
„1
104
15-(-2)
4
f 3
3^
l l 2 = - з 1 + Г -з 11 = - з - + з 4
4
4 \ 4/
4
4/
V
^1'
3 + 3^
4 /
6 + -6 )
6+ —
\
^2 '
4/
V
3.
Kasmi kasrga ko'paytirish uchun ulaming suratlarini suratlariga
va maxrajlarini maxrajlariga ko‘paytirish kifoya:
P.l
q r
2
Misol. 1)
PS
qr'
5 _ 2-5 _ 10.
_
7 14
2
7-2
2) 2J - 5 - J 1.5
55 ■
4.
Aralash sonlarni o‘zaro ko'paytirish uchun ulaming har birini noto‘g‘ ri kasrga aylantirib, suratlarini suratlariga va maxrajlarini maxrajlariga
o‘zaro ko'paytirish kifoya:
’
3
5
3
5
3-5
2)
72.2i = ^ . l = ^
3 2
3 2
3-2
Kasriami ko'paytirish o‘rin almashtirish, guruhlash va taqsimot qonunlariga bo'ysunadi.
1.
Kasrlami ko'paytirishda ko‘paytuvchilaming o‘rin almashgani bilan
ko‘paytmaning qiymati o‘zgarmaydi:
2 4
^^3
7
2-4
3-7
21 ’
2) 1 . 2 Л . 2 . A .
''
7 3
7 3
21
2.
Kasrlami ko'paytirishda ularni guruhlab ko‘paytiriisa, ko‘paytmaning
qiymati o'zgarmaydi:
1)
2)
Г2 4 '
f 2- 4
3 '5 /
3-5
( 3 2)
73
f3 ^ )
7-3
A I
15 7
A 1
21 5
24
105'
6-4
21-5
24
105
3.
Kasrlami ko'paytirishda ularga taqsimot qonunini tatbiq qilinsa, ko'paytmaning qiymati o'zgarmaydi;
105
( a + b^
\ с ) Q
({a + b)p^ __ap + bp
\
cd
)
cd
M isol.
(4 + 3) 4 _ ( 4 + 3)-4 4-4 + 3-4 _ 16 + 12 28.
1)
9
5
9-5
'
9-5
45
45’
( 7 j ^ ) 2 _ ( 7 + 2)-2 7-2 + 2 - 2 ^ 1 4 + 4 18
11
3
' 11-3'
11 3
11-3 33
2)
9-§. Kasriarni bo‘Hsh
5-sinf matematika kursida kasriarni bo‘ lish mavzusi o‘tiIadi. Bizga
butun sonlar mavzusidan ma’Iumki, ikkita butun sonni o ‘zaro bo'Iish
uchun birinchisini ikkinchi sonning teskarisiga ko'paytirish kerak edi.
Shuningdek, ikki kasr sonni ham o‘zaro bo‘lish uchun birinchi kasrni
ikkinchi kasrning teskarisiga ko'paytirish kerak, ya’ ni:'
15.2^15 3 ^ ^
27 ■3 27 ' 2 54 ■
Bu qoidani quyidagi masala orqali o'quvchilarga tushuntirish
maqsadga muvofiqdir.
6
Masala. -
bo‘lagi (qismi) 30 ga teng bo'lgan sonni toping.
Yechi sh. Noma’lum sonni x bilan belgilasak, u holda masala shartini
quyidagicha yozish mumkin: у •л: = 30 , chunki sonning bo'lagi ko'paytirish
amali yordamida topiladi.
Bu tengiik bunday yechiladi: у x = 30 : 6 = 5 . Bundan x - 5-1 = 35
bo‘ladi, Demak, izlanayotgan son 35 ekan.
Masala. Futbol maydoni yuzining ^ qismi o‘yin o‘ynash uchun tayyor
holga keltirildi. Bu 960 m^ni tashkil qiladi. Futbol maydonning yuzi qancha?
Y e c h i s h . Futbol maydonning yuzini x bilan belgilasak, shartga ko‘ra
bu maydonning
3
-
qismi 960 m^ edi, shuning uchun
106
3
^ ^ = 960 tengiik
o'rinli bo'ladi. x ni topish u ch u n tenglam aning ikkala qism ini
kerak. Demak, x = 960:
^ ga bo'lish
3
4
— = 960 •—= 320-4 = 1280 m^.
Futbol maydonining yuzi 1280
ekan.
Berilgan kasrning qiymati bo‘yicha sonning o‘zini topishda ham sonning
kasrni topishdek, turli hollarni ko'rib o'tish maqsadga muvofiqdir. Sonni
kasrga bo'lish ta’rifi butun sonlarni bo'Iish ta’rifidek ifodalanadi. Bu qoidani
o'quvcMarga alohida ta’kidlab tushuntirlsh maqsadga muvofiqdir. Shundan
keyin kasrlarni bo'lishga doir quyidagi hollarni ko‘rib chiqish foydalidir.
1. Kasrni butun songa bo'lish uchun kasrni o‘z holicha, butun sonni esa
teskari yozib, ularni o'zaro ko‘paytirish kifoya:
5 .4 ^ 5
1 _ 51 _ 5
7’
7 ’ 4 7-4 28'
2. Aralash sonni butun songa bo‘lish uchun aralash sonni noto‘g‘ri
kasrga aylantirib, so‘ngra bo‘lish kasrni butun songa bo‘lishdek bajariladi:
2 l - 4 = l ^ - 4 = l ^ 1 = 1^
7■
7 ■
7 4 28 ■
3. Butun sonni aralash songa bo'lish uchun butun sonni o‘z holicha
yozib, aralash sormi noto‘g‘ri kasrga aylantirib, ularni o‘zaro ko'paytirish
kerak:
. ,3
.8
.5
20 _4 -1
4 : l - = 4 : - = 4 - = — = 2 - = 2-.
5
5
8 8
8
2
4. Aralash sonni aralash songa boiish uchun ularning har birini noto‘g‘ri
kasrlarga aylantirib, so'ngra bo‘ lishni ikki kasrni o‘zaro bo‘lish qoidasiga
ko‘ra bajariladi:
2 З .^2 ^
5
7
_7.^ 13-7
5
7
5 23
5-23
91
115
10-§. 0 ‘ nli kasrlar va ular bilan to‘ rt amaini
bajarish metodikasi
0 ‘nli kasr tushunchasi X V asrda Samarqandiik olim All Qushchi
tomonidan kiritilgan. U o ‘zining 1427-yilda yozgan «Hisobot san’atiga
kalit», «Arifmetika kaliti» nomli kitobida o ‘ nli kasr tushunchasidan
foydalangan.
107
T a ’rif. Maxraji o ‘n yoki uning darajalaridan iborat bo'lgan kasr
o ‘nli kasr deyiladi.
0 ‘nli kasrlarni bunday belgilash qabul qilingan:
1
Ш =
=
Ш
=
0 ‘ nli kasrlarni maxrajsiz yozilganda verguldan o ‘ ngdagi birinchi
xonadagi raqam o'ndan birlarni, ikkinchi xonadagilari esa yuzdan birlami va hokazolarni bildiradi. Masalan, 6,732 o‘nli kasrda verguldan
keyingi sonlarni turgan o'rniga qarab kasr ko'rinishda quyidagicha
ifodalash mumkin:
0 ‘nli kasrlar uchun quyidagi qoidalar o'rinlidir;
1. Har bir o ‘nli kasr o ‘zidan oldingi o'nli kasrga nisbatan o ‘n
marta kattadir.
Masalan,
0.001 = ^
;
0,01 =
0,1 = i .
2 . 0 ‘nli kasrlarning maxrajlari 10 ning butun ko‘rsatkiclili daraja­
laridan, suratlari esa bir xonali sonlardan iborat kqsrlarning yig‘indisi
shaklda ifodalash mumkin.
11 -^. 0 ‘nli kasrlarni qo‘shish va ayirish
Bu mavzu materialini bayon qiHshdan oldin o‘ qituvchi o ‘ quvchiIarga
maxrajlari har xil bo‘lgan oddiy kasrlarni umumiy maxrajlarga keltirib
qo‘shish va ayirish haqidagi tushunchani misollar yordamida ko‘rsatishi,
so‘ngra o‘nli kasrlarni qo‘shish hamda ayirish haqidagi nazariy va amaliy
bilimlami berishi maqsadga muvofiqdir.
1qoida. 0 ‘nli kasrlarni q o ‘shish uchun bir x il xonalari o ‘zaro butun
sonlar kabi q o ‘shilib, yig‘indida kasrlardagi vergulning tagiga to ‘g ‘ri
keltirib butun qismi ajratiladi.
Misol.
1)
25,382
7,200
32,582
2 -qoida. 0 ‘nli kasrlarni ayirish uchun kamayuvchining tagiga ayirluvchining verguliga to‘g ‘rilab, o'rin qiymati bir xil bo‘lgan raqamlar birbirini ostiga yozib ayriladi, so‘ngra ayirmani butun qismi vergul bilan ajratiladi.
108
Misol.
1)
+
14,273
5,040
2) 27,100
3,236
9,233
23,864
3) 27,1-3,235=?
0 ‘ nli kasrlarni ayirish jarayonida quyidagi hollar bo'lishi mumkin:
ayiriluvchidagi kasr xonalarining soni kamayuvchidagi kasr xonalaridan
ko‘p, kamayuvchi va ayiriluvchi o‘nli kasrlardagi kasr xonalarl soni bir
xil, butun sondan o‘nli kasrni ayirish, o‘nli kasrdan butun sonni ayirish.
0 ‘ qituvchl bu hollarning har biriga misollar ko'rsatishi kerak.
12 -§. 0 ‘nli kasrlarni ko‘paytirish
0 ‘nli kasrlarni o'zaro ko'paytirishni oddiy kasrlarni ko'paytirish
qoidasiga asoslangan holda tushuntirishi lozim, chunki o'quvchilar
o ‘ nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish qoidasini biladilar.
,
-,л
’
’
^
32
12 __ 32-12 _ 384 _
10 100
10 100
10-100
1000
’
■
K o ‘ paytma kasrning maxrajida nechta nol bo‘ lsa, uni maxrajsiz
yoziladigan o‘ nli kasrga aylantirganda shuncha kasr xonasi bo‘ lishini
o‘quvchilai;ga tushuntirish lozim.
2)
'
2 7-13 = 2— 1— ==— -— = — -^ = —
’
’
10
10
10 10
10 -10
100
= 351
’
■
Ko‘rib o‘tilgan misollar asosida quyidagi qoidalar tushuntiriladi.
1- qoida. 0 ‘nli kasrlarni о ‘zaro k o‘paytirish uchun ulamingsuratlarini
suratlariga va maxrajlarini maxrajlariga ко ‘paytirib, ко ‘paytuvchi bilan
ко ‘payuvchida jam i nechta kasr xonasi bo ‘Isa, ко ‘paytmada shuncha
xona ajratiladi. (Bu gap oddiy kasr shaklda yozilgan o ‘nli kasr haqida
aytilgan.)
Masalan,
4 25
34
3 4-0 25 = 3-— -— = —
25
= 0 85
’ ■
2 - qoida. 0 ‘nli kasrlarni o ‘zaro ko‘paytirish uchun ulaming verguliga
e ’tibor bermay, butun sonlar kabi к о ‘p aytirib, k o ‘p ayuvchi va
ko'paytuvchida hammasi nechta kasr xonasi b o‘Isa, k o‘paytmaning o ‘ng
tomonidan boshlab sanab shuncha raqamni vergul bilan ajratib qo ‘yiladi:
10 100
109
10 100
1)
^
30,021
2,51
2)
7,124
^3, 213
3021
15105
6042
21372
7124
+ 14248
7,58271
21372
+
22,889412
0 ‘nli kasrlarni o ‘ zaro ko‘paytirishda ko‘paytirishning ko'payuvchidagi yig'indisiga nisbatan tarqatish qonunini qo'llanishga asoslangan
mulohazalami ham olib borish fbydali, buni quyidagicha sxema orqali
ham ko‘rsatish mumkin.
Masalan, 2,37 ni 2 ta birlik, 3 ta o‘ndan bir, 7 ta yuzdan biming
yig‘indisi shaklda yozish mumkin. Y ig‘indini biror songa ko'paytirish
uchun har bir qo‘shiluvchini shu songa ko‘paytirish va hosil bo‘lgan
ko‘paytmaiarni qo‘shish, ya’ni 2 birlikni 9 ga, 3 ta o‘ndan bimi 9 ga, 7
ta yuzdan birni 9 ga ko‘paytirib, ko‘paytmalarni o‘zaro qo‘shish kifoya:
2,37-9 = 9
^
1
1
1
100
100
100
+— + — + •
1 1 1
1
1
1
1 ^ 1
10 10 ^ 100 ^ 100 100 ^ 100 ^ 100 ^
10
9
9
9
9
9
9
9
+— + — +— = —
= 21 33
^100^100^100
100
0 ‘nli kasrlami 10 ning butun ko‘rsatkichli darajalariga ko‘paytirishni
alohida ko‘rib o ‘tish lozim, ya’ni o ‘nli kasrni 10 ga, 100 ga, 1000 ga
va hokazoiarga ko‘paytirish uchun bu kasrda vergulni 1, 2, 3, ... raqam
o‘ngga surish kerak. 0 ‘nli kasrlarni 0 , 1, 0 ,01 , 0,001 ga va hokazoiarga
ko‘paytirish uchun bu kasrlarda vergulni 1, 2, 3, ... raqam chapga
surish kifoya.
Masalan: 1) 3,7-100 =3,70-100 = 370. Bu misolni quyidagicha
tushuntirish mumkin: 3,7 ni 100 ga ko‘paytirish uchun qoidaga ko‘ra,
3,7 sonidagi vergulni o‘ngga qarab ikki xona surish kerak edi, ammo
bizda verguldan keyin bitta son bor, xolos. Shuning uchun 7 sonidan
keyin bitta nol qo‘yamiz. (Bu yerda o ‘qituvchi o‘ quvchilarga 3,7 soni
3,70 soniga teng ekanligini tushuntirish va kasr holga keltirib ko‘rsatish
maqsadga muvofiqdir.)
110
1)
45,76-0,1 = 4,576. Bu misolni quyidagicha tushuntirish mumkin.
Buning uchun 4576 sonini 1 soniga ko‘paytirib hosil bo‘lgan ko‘paytmada o ‘ ngdan chapga qarab uchta raqamni — ikkala ko‘paytuvchida
ular nechta bo‘lsa, shuncha raqamni vergul bilan ajratamiz. Shunday
mulohaza yuritib, 45,76 ni 0,01 ga ko‘paytirishda 45,76 sonidan
vergulni ikki raqam chapga surish kerakligini ko‘ rsatamiz.
Masalan: 45,76-0,01 = 0,4576.
13-§. 0 ‘nli kasrlarni bo‘lish
0 ‘ nli kasrlarni b o‘lish mavzusida quyidagi uch hoi ko‘ rib o ‘tiladi: 1) o ‘nli kasrni butun songa bo'Ush. 0 ‘nli kasrni butun songa
bo'lish butun sonlarni bolishga o ‘xshash bajariladi, bunda qoldiqlar
borgan sari kichikroq ulushlarga maydalanib boradi.
Masalan,
0 , 6 : 4 = 0 , 6 0 : 4 = 0,15.
1 -qoida. 0 ‘nli kasrlarni butun songa bolish uchun, butun qism
bo ‘luvchiga yetadigan bo ‘Isa, butunini kasr xona almashguncha bo ‘lib,
so‘ngra bo‘linmada vergul qo‘yib bo'lishni davom ettirish kifoya.
Misol:
25232
4.QQI)1 ) _ 25,232
6,308
24
6,308
24Q£L
12
_12320
12_____
12000
032
- 32
3200
- 3200
0
0
Yuqoridagi misol va qoidalarni tushuntirish jarayonida o‘ qituvchi
o‘ quvchilarga bo'lish amalining ta’ rifmi va uning bajarish qoidalarini
takrorlashi lozim.
2)
Butun sonni o‘ nli kasrga bo‘ lish. Bu holni ham o ‘ qituvchi
o ‘quvchilarga misol yordamida tushuntirishi kerak. Masalan: 51: 0,17 = ?
Bu misolni yechishni oddiy kasrlaming bo'Iish qoidasi asosida bajarib
ko‘rsatiladi.
Misol.
51: 0,17 = 51; ^
= (51 •100): 17 = 5100 :17 - 300.
Bu mulohazalarga ko‘ra quyidagi qoidani ifodalash mumkin.
ill
Qoida. Butun sonni o ‘nli kasrga bo‘lish uchun bo'luvchidagi o'nli
kasmi butun songa aylantirish kerak. Buning uchun bo ‘luvchining vergul
oxiriga suriladi va necha xona surilgan bo ‘Isa, bo ‘luvchining о ‘ng tomoniga
shuncha nol q o ‘y iladi hamda butun sonni butun songa bo‘lish kabi
bajariladi.
Misol.
351:2,7=3510:27=130,
25:6,25=2500:625=4.
3)
0 ‘ nli kasrni o ‘ nIi kasrga bo‘lish. Bu holda ham o'qituvchi
o ‘ quvchilarga kasmi kasrga bo‘ iishning umumiy qoidasini takroriab,
so‘ngra o‘nli kasrlami oddiy kasrlar holiga keltirib, kasrlarni o'zaro
bo'lish usulidek ko'rsatishi maqsadga muvofiqdir.
Л.
.
Masalai:
о Cl. о a 851.37
851 10
8,51.3,7 = — , - =
851. „
oc i . o-r
. 37 = 85,1.37 =. 2,3.
Bu misolni yana bunday yechib ko‘ rsatish ham mumkin:
8,51: 3,7 = 8,51: ^ = (8,51 •10): 37 = 85,1: 37 = 2,3.
Yuqoridagi misollardan ko‘rinadiki, o ‘nli kasmi o‘nli kasrga bo‘lish
uchun bo‘luvchida qancha kasr xonasi bo'lsa, bolinuvchi va bo'luv­
chidagi vergullarni shuncha xona o ‘ng tomonga suramiz, natijada
bo‘Iuvchi butun songa aylanadi.
Buning natijasida bo'linuvchi va bo'luvchi bir xil marta ortgani
uchun bo‘Unma o ‘zgarmaydi.
14-§. Oddiy kasrni cheksiz davriy kasrga aylantirish
2,73 o ‘nli kasr berilgan bo‘lsin. Agar kasrning o ‘ng tomonidagi
qismiga istalgancha noUar yozib qo'yilsa, uning qiymati o'zgarmaydi.
2,73=2,730=2,7300=...=2,7300...0. Shuningdek, 2,73 kasmi cheksiz ko‘p
nollari bo‘lgan o ‘ nli kasr ko'rinishida yozish mumkin. Masalan,
2,73=2,73000... . Bu yerda verguldan keyin cheksiz ko‘p o ‘nli xonalar
mayjud. Bunday o ‘nli kasr cheksiz o ‘nli kasr deyiladi.
Istalgan oddiy kasmi cheksiz o ‘nli kasr ko'rinishida yozish mumkin.
Masalan, 3/14 sonini olib, uning suratini maxrajiga bo‘lib ketma-ket
o ‘nli xonalarni hosil qilamiz. Bunda istalgan natural sonni barcha o ‘nli
xonalari nolga teng bolgan cheksiz o ‘ nli kasr ko‘ rinishida yozish
mumkinligini qayd qilib o‘tamiz.
112
Masalan, 3 = 3,00000....
3,00000000... 14
0,214285714...
'28
20
14
60
’ 56
40
28
120
■Ц 2
80
70
100
_ 2S_
20
14
60
Shunday qHib, 3/14 = 0,214285714 ...
Bo'lish davomida chiqqan barcha qoldiqlarni ketma-ket yozib
chiqamiz: 2, 6 , 4, 12, 8 , 10, 2, 6 ... Bu qoldiqlarning barchasi
bo‘luvchidan, ya’ni 14 sonidan kichik. Bu bo‘lishning qaysidir qismida
ilgari uchragan qoldiq yana aibatta uchrashi kerakligini bildiradi. Bizda
yettinchi qadamda 2 qoldiq hosil bo‘lib, u birinchi qadamda paydo
bo‘lgan edi. Bundan tashqari, ilgari uchragan qoldiq paydo bo‘lgan
zaxotiyoq undan keyingi qoldiqlar ular awal qanday tartibda bo‘ Isa,
shunday tartibda takrorlanadi. Bizning misolimizda 2 qoldiqdan so‘ng
6 qoldiq, undan keyin 4, undan keyin 12 keladi va hokazo, ya’ni biz
qoldiqlarning quyidagi ketma-ketligini hosil qilamiz: 2, 6 , 4, 12, 8 ,
10, 2, 6, 4, 12, 8 , 10, ... . Davriy takrorlanuvchi qoldiqlar guruhi mos
ravishda sonning o ‘ nli yozuvidagi davriy takrorlanuvchi raqamlar
guruhiga olib keladi, ya’ni 3/14=0,2142857142857142857... . Sonning
o‘nli yozuvida verguldan keyingi ketma-ket takrorlanib keluvchi bunday
raqarnlar guruhi davr deb ataladi, o‘z yozuvida ana shunday davrga
ega bolgan chekli o‘ nli kasr davriy kasr deyiladi. QisqaUk uchun davmi
bir marta qavs ichiga olib yozish qabul qilingan:
0,214285714285714285714...=0,2(142857). Agar davr verguldan keyin
boshlansa, bunday kasr sof davriy kasr deyiladi, agar vergul va davr
8 - S . Alixonov
113
orasida boshqa o‘nli xonalar bo‘lsa, kasr aralash davriy kasr deyiladi.
Masalan, 2,(23)=2,2323232323... — sof davriy kasr, 0,2(142857) aralash davriy kasr, 2,73=2,73000000... = 2,73(0) aralash davriy kasrdir.
15-§. Cheksiz davriy o‘nli kasmi oddiy kasrga aylantirish
Cheksiz o'nli kasrni 10, 100, 1000 va hokazo ko'paytirish uchun
chekli o ‘nli kasr holatidagi kabi vergulni bir, ikki, uch va hokazo
xona o‘ngga surish kifoya. Masalan, 0,1(23)-100= 0,123232323... • 100=12,
32323232...=12,(32). Davriy o‘ nli kasrni oddiy kasrga aylantirishni
quyidagi misollar orqali ko‘rib chiqaylik.
1.
Sonni oddiy kasrga aylantiring: a) 0,(13); b) 2,(273); d) 0,2(54);
e) 3,254(9).
Y e c h i s h ; a) x=0 ,13=0,131313... bo'lsin. Sof davriy kasr x ni
shunday songa ko‘paytiramizki, natijada vergul kasr davri qadar o'ngga
suriladi. Davrda ikkita raqam bo'lgani uchun vergulni o‘ng tomonga
ikki xona surish kerak, buning uchun esa x sonni 100 ga ko‘paytirish
yetarli, u holda 100-x=0,131313...-100=13,13131313...= 13,(13);
100x-x=13,(13)-0,(13). Demak, 9 9 a: = 1 3 , bundan
b)
x=2,(273) bo'lsin. Bu sof davriy kasming davrida uchta raqam
bor. x n i 1000 ga ko'paytirib, Ю00л:=2273,(273) ni hosii qilamiz. Xuddi
yuqoridagiga o'xshash topamiz:
lOOOx - Jc=2273,(273)-2,(273), 999x = 2271, bundan x =
2271
999
333
333
d) x=0,2(54) bo‘lsin. Bu aralash davriy kasrda vergulni o ‘ng tomonga
shunday suramizki, natijada sof davriy kasr hosil bo'lsin. Buning uchun
л: ni 10 ga ko‘paytirib qo'yish kifoya. 10x=2,(54) ni hosil qilamiz.
>=2,(54) bo'lsin va yuqoridagilarga o‘xshash bu sof davriy kasmi oddiy
kasrga aylantiramiz. y=2,(54) bundan 100j;=254(54), 100>^-з^254(54)-2,54,
OQ
252 28 .
99>^252, y==
=
,
28
^
IT’
^
28
11
e) x = 3 ,254(9) deb 1000x=3254(9)ni hosil qilamiz. y=1000x
belgilashni kiritamiz, u holda j;=3254,(9), bundan 10y-y=32549(9)114
-3254(9); у-3255, 1000х=3255,
^
Endi quyidagiga e’tibor beramiz.
3255
51
= 3— .
3255
= 3,255 = 3,255(0) chekli
o ‘nli kasr yoki davrida nol bo'lgan cheksiz kasmi hosil qilamiz.
Demak, 3,254(9)=3,255(0). Bu hoi davrida to'qqiz bo‘lgan istalgan
kasr ko'rinishida yozish mumkin. Buning uchun davr oldidagi o ‘nli
raqamni bir birlikka orttirish kifoya. Masalan, 0,45(9)=0,46(0); 14,(9)=
= 15,(0).
16-§. Irratsional son tushunchasini kiritish
metodikasi
0 ‘ quvchiIar V II sinfda birinchi marta irratsional son tushunchasi
bilan tanishadilar. 0 ‘ qituvchi bu mavzuni tushuntirishdan oldin
o ‘ quvchiiarga kvadrat ildiz va arifmetik ildiz tushunchalarini tushuntirishi, so‘ ngra irratsional son tushunchasini quyidagi masalani yechish
orqali kiritishi lozim.
Masala. Katetlari bir birlikka teng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi topilsin ( 20-chizma).
B e r i l g a n : AABC, Z C = 90°, CB=AC=i.
Topi sh kerak: AB = 1
Y e c h i s h . Pifagor teoremasiga ko‘ra: AB^ =
=Aa+CB\ ^ 5 "= P +F =2 .
Masalaning yechimini quyidagicha o'qish
mumkin. Shunday AB soni topilsinki, uni kvadratga
ko‘tarilganda 2 soni hosil bo‘lsin. Bunday AB son
ratsional sonlar to ‘plamida mavjud emas. A
nuqtadan AB ga perpendikular AA=\ katetni
o ‘ tkazib, uning A^ nuqtasini В nuqta bilan
birlashtirib, A^B ning qiymatini hisoblaymiz:
20-chima.
A^m=AB^+P- .4,52=2+1=3; A^B^=3 soni ham
ratsional sonlar maydonida mavjud emas. Yuqoridagilardan ko'rinadiki,
ratsional sonlar to‘plamida mavjud bo‘lmagan yana qandaydir sonlar to'plami
ham mavjud ekan, ya’ni Aff=2; A^B^=3,...
Yuqoridagi mulohazalarga ko‘ra AB^=2, А^В^^З,... ko'rinishdagi sonlarni
ratsional bo‘lmagan yoki irratsional sonlar deb ataldi va ulami AB= y/2 ,
А^В=у/3, ... kabi belgilash qabul qilingan.
115
р
Ta’ rif. — kasr ko‘rinisMda tasvirlab bo'lmaydigan sonlar ixratsional
sonlar deyiladi. {p, q) e N.
Bu yerda o'quvchilarga yana shu narsani tushjjntirish kerakki, har
qanday ratsional sonni cheksiz davriy o‘nli kasr ko‘rinishda ifodalash
mumkin, irratsional sonni cheksiz davriy o‘nli kasr ko‘rinishida ifodalab
bo‘lmaydi, bunga quyidagi misoHarni ko'rsatish mumkin.
1. %/5 = 2, 360679... buridagi л/5 irratsional son cheksiz davriy bo‘lmagan o ‘nli kasr ko'rinishida ifodalanayapti.
2. V2 = 1, 41 “ bundagi л/2 irratsional son ta’rifmi yana quyidagicha
keltirish mumkin.
Ta’ rif. Cheksiz davriy о ‘nli kasr ко ‘rinishida ifodalab bo ‘Imaydigan
sonlami irratsional sonlar deb ataladi.
Т е о re m a . Kvadrati 2 ga teng bo‘lgan ratsional son mavjud emas.
Bu teoremaning isbotini teskarisidan faraz qilish yo‘li bilan isbotlaymiz, chunki P<2<2^ butun sonlar to‘plamida u kvadrati 2 ga teng
bo‘lgan son mavjud emas.
p
Isboti. Faraz qilaylik, ~
ko'rinishidagi qisqarmas kasr mavjud bo‘lsin,
rva. q — natural sonlar. Faraz qilaylik, kvadrati 2 ga teng bolgan ratsional
ч2
son mavjud bo‘lsin, ya’ni:
=2, bunda p^=2q^, bunda r ning ham
4^/
ikkiga bo‘linishi kelib chiqadi. Agar r - 2n bo‘lsa, 4n = 2q^ 2n = q^
boladi, bundan q ning ham juft son ekanligi kelib chiqadi. Farazimizga
P
P
ko‘ra, — kasrni qisqarmas kasr degan edik, isbotning natijasida esa ~
Ч
Ч
kasr qisqaruvchi kasr bo‘ lib chiqmoqda, bunday qarama-qarshilik
farazimizning noto‘g‘ri ekanligini tasdiqlab, teorema to‘g‘ ri ekanligini
ko‘rsatadi.
Yuqoridagi ta’rif va isbot qilingan teoremalardan ko‘rinadiki, kvadrati
2, 3, 5, 7, 10, 11 larga teng bo‘ladigan ratsional son mavjud emas ekan,
biz ta’rifga ko‘ra bularni irratsional sonlar deb atadik. Bunday irratsional
sonlami V2, 73, л/5, ~ kabi belgilash qabul qilingan. Ularga qarama-qarshi
bo‘lgan
sonlar
ham irratsional
sonlar bo'lib, ular -лД, -л/З, -л/5, ~
116
kabi belgilanadi. 0 ‘qituvchi bu yerda o'quvchilarga shuni eslatishi kerakki,
irratsional sonlarga kvadrati berilgan musbat songa teng bolgan sornii topish
masalasigina oUb kelmaydi. Masalan, aylana uzunligining diametriga nisbatini
ifodalovchi к sonini oddiy kasr ko‘rinishida tasvirlash mumkin emas, u
ham irratsional sondir.
17-§. Haqiqiy sonlar
Ratsional va irratsional sonlar birgalikda haqiqiy sonlar to‘plamini
hosil qiladi. Har bir haqiqiy songa koordinata to‘g‘ri chiziqning yagona
nuqtasi mos keladi. Haqiqiy sonlar to‘plami son to‘g‘ri chizig‘i deb
ham ataladi. Son to‘g‘ri chizig‘ining geometrik modeli koordinata to‘g‘ri
chizig‘idan iboratdir.
0 ‘ qituvchi haqiqiy sonlarning geometrik tasvirini ko‘rsatganidan
keyin savol-javob metodi orqali haqiqiy sonlami taqqoslashni va ulaming
natijasi sifatida hosil qilinadigan sonli tengsizlik hamda ulaming xossalarini bayon qilishi maqsadga muvofiqdir.
Haqiqiy sonlami taqqoslash masalasi quyidagi ikkita ta’rif asosida
hal qilinadi.
T a’rif. a sonidan b sonini ayirganda ayirma musbat bo ‘Isa, и holda
a soni b sonidan katta deyiladi va и quyidagicha yoziladi. a—b>0
bundan a>b ekanini ko'rinadi.
T a’ rif. a sonidan b sonini ayirganda ayirma manfiy bo ‘Isa, и holda
a soni b sonidan kichik deyiladi va и bunday yoziladi: a~b<0, bundan
a<b ekani koYinadi.
Bu yerdagi a>b va a<b ifodalar sonli tengsizlildar deyiladi.
Sonli tengsizliklar xossalari:
1) agar a > b bo‘ lsa, b<a bo‘ladi;
2) agar a > 6 va b<c bo‘lsa, u holda a<c bo‘ladi;
3)agara>Z) bo‘lsa, a+c > 6 +c boladi;
4) agar a>bva. с musbat son bo‘lsa, u holda ac>bc\
I
sb о t i : ac—bc ayirmani hosil qilamiz. ac—bc=c(a—b) shartga ko‘ra
с musbat son va a>b bolgani uchun a—b musbat son. Ikkita musbat
sonning ko'paytmasi musbat sondir, demak c(a —b)>^. Shunday qilib,
ac—bc>0, bundan: ac>bc;
5) agar a>b ya с manfiy son bo‘lsa, u holda ac<bc bo'ladi. Agar
tengsizhkning har ikkila tomoni bir xil manfiy songa ko‘paytirilsa,
tengsizlikning ishorasi qarama-qarshiga o'zgaradi;
6) agar a>b va c>d bo‘lsa, u holda a+c>b+d bo‘ladi;
117
1
1
7 )agar д>6>0 bo'lsa, u holda - < - bo‘ladi;
8)a g a rfl> 6>0 bo'lsa, istalgan и natural son uchunfl">^>"tengsizlik
o'rinli bo'ladi.
Sonli oraiiqlar va ularning tasviri
Belgilanish
Tengsiziiklar yordamida yozilishi
Interval
(a: b)
a < X< b
Kesma
[a; b]
a<x<b
Yarim interval
(a; b]
a < x<b
Yarim Interval
[a; b)
a < x <b
Nur
[a;+co)
x>a
Oraliqiar turi
x<b
Nur
Ochlq nur
(a;+ со)
x> a
X < b
Ochlq nur
Haqiqiy sonning moduli va uning xossalari. Haqiqiy son a ning
moduli deb, agar a >0 bolsa, bu sonning o ‘ziga, agar a <0 bo‘lsa,
uning qarama-qarshi songa aytHadi. a sonning moduli \a\ kabi belgManadi.
Shunday qilib,
I Гagar a > 0
я\ ~ Л
' [agar a < 0
masalan, |x-3|=x-3, chunki agar
bo'lsa,
a,
bo4sa,
- a
[x-3>0,
X > 3,
|x - 3 < 0,
x<3.
Geometrik nuqtayi nazardan |al ifoda koordinata to‘g‘ri chizig'ida
a nuqtadan 0 nuqtagacha bo‘lgan masofani bildiradi.
Modullarning xossalari;
1. |a| > 0 . 2.
4.
a
1
-a
a
;b^0
~b
118
3.\ab
5.
18-§. Haqiqiy sonlar ustida amaUar bajarish qoidalari
Bir xil ishorali ikkita sonning yig'indisi o‘sha ishorali yig'indi songa
tengdir. Bunday yig‘mdining modulini topish uchun qo'shiluvchilar
yig'indisini topish kerak.
Masalan, (+ 1 2 )+ (+ 8 )= + 2 0 , ( - 1 2 )+ (- 8) = - 20.
Turli ishorali ikkita sonning yig'indisi katta bo‘lgan qo‘shiluvchining
ishorasi biian bir xil ishorali sondir, bu yig‘indining qiymatini topish
uchun katta sondan kichik sonni ayirish va ayirma oldiga katta son
ishorasini qo‘yish kerak.
Masalan:
(- 1 2 )+ (+ 8 )= - (1 2 - 8) = - 4.
(1 2 )+ (- 8)=+(12 - 8)=4,
Bir sondan ikkinchisini ayirish uchun kamayuvchiga ayiriluvchiga
qarama-qarshi bo'lgan sonni qo‘ shish kerak.
Masalan, 12 - ( - 8)=12+8=20,
12 - (+8)=12 - 8=4.
Bir xil ishorali ikki sonning ko‘paytmasi (bo‘linmasi) musbat, har
xil ishorali ikki sonning ko‘paytmasi manfiy, bo'linmasi ham manfiy
bo‘ lgan sondir. K o ‘ paytma (b o‘ linma)ning topish uchun berilgan
sonlarning o‘zaro ko‘paytirish (bo‘lish) kerak.
Masalan, (- 1 2 )- (- 8)=+12-8=96,
( - 24 ):(+3 )= - 24:3= - 8 .
Arifmetik amallarning xossalari.
1) a +b—b+a\
2) {a + b )+ c = a + {b + cj;
3) a+0=a;
6)
4) fl+ (- fl)= 0 ;
9)
1)
8)
(ab)c=a(bc)]
a(b+c)=ab+ac;
a-\=a;
=
fl^O.
5) ab=ba;
19-§. Arifmetik kvadrat ildiz tushunchasini kiritish
V II
sinf algebra kursida «arifmetik kvadrat ildiz« tushunchasi kiritUadi.
Agar
=16 tenglama berilgan bo'lsa, bu tenglamani o ‘ quvchilar
ko‘paytuvchilarga ajratish orqali yechishni biladilar, ya’ni
(jc'=16)=»[(x'-16)=0]=>[(x2-42)=0]^
= ^ [( ; ^ 4 ) ( x + 4 )]= 0 = > (x = 4 ) a (x = - 4 ) .
119
Demak,
=16 tenglamaning yechimlari x = A va x = —4 sonlaridan
iborat ekaiL Yuqoridagi mulohazalarga ko‘ra quyidagi qoidani chiqarish
mumkin; =16 tenglamaning ildizlari, ya’ni kvadrati 16 ga teng bo'lgan
sonlar 16 sonining kvadrat ildizlari deyiladi. (—4)^=16 bundan 4^=16
bo'lgani uchun —4 va 4 sonlari ^2=16 tenglamaning kvadrat ildizlaridir.
Ta’ rif. a sonining kvadrat ildizi deb kvadrati a songa teng bo'lgan
songa aytiladi.
Kvadrat ildiz tushunchasidan tashqari arifmetik kvadrat ildiz tushunchasi
ham bo‘lib, uni quyidagicha tushuntirish mumkin: jc,=4 va x = A lar x^=l 6
tenglamada ikkita ildiz bo‘lib, ulardanx^=4 yechimi musbatdir. Bunday
musbat yoki nomanfiy yechim ana shu tenglamaning arifmetik kvadrat
ildizi deyHadi. Bu tushuncha umumiy holda esa quyidagicha ta’riflanadi.
T a’rif. a sonining arifmetik kvadrat ildizi deb kvadrati a ga teng
bo ‘Igan nomanfiy songa aytiladi va и ^
kabi belgilanadi.
20-§. Arifmetik to‘rt amalga doir misollar yechish metodikasi
1 7 2 | - 1 7 0 i.3 l
1-misol.
= 29 — .
12
0,8 0,25
1) 1 7 2 | = 1 7 0 i + 3 ^ = ( 1 7 2 - 1 7 0 + 3) +
О
D
:10,9 +
2-misol.
6
3"^12
7__7_
8 30
11
-
14-25
•4,2
= 700.-
0,008
Yechish;
7
‘
I— - 3 8 ~
30
12
(IQ _
30
"12
120
,
74-25
, 49
,49 . . .
60' ’
3)
109 . 109
60 ■ 10
7
7
105-28
77
8
30
120
120
77 , 9
77 20 7
---------------------,
4) ----— . 1—
=
120 11 120 11 6 ’
109 10 _ 1 .
60 109 6 ’
^
1 7
б' ^б
8 4.
6 "3 ’
4
4 21 _ 2 8 .
T~T’
’
9Я
9Я
7 ) — : 0 , 008 = —
■' 5
’
5
3-misol. 1 ^ : 2,7 + 2,7:1,35 + 0,4 : 2 i " '
125 = 2 8 - 2 5 = 700.
4,2-1
40
=3
Yechish:
7
27
7 _ 27 . 27 _ 27 10 _ 1.
20 ■ ’
20 ■ 10
20 ■ 10
2 0 ' 27
2’
2)
^^ 1
0 7 ., 35 21 . 1 21 21 27 . 20 .
2,7:1,35 = 2— ; l — = — : l — = — : — = — : — = 2,
10’ 100 10
20 10 20 10 27
3,
i . 2 = 2i;
^
0 4 - 9 i - 2 . 5 _ 2 2^_^.
’ ■ 2 5 ■2 5 5 25 ’
8-3
(l_±^
= 3+ .
40
5 40
40
. 3 + A = 3+ i = 3 i ;
40
8
8’
25
8
25
TaKrorlash uchun savollar
1. Natural sonlar to ‘plamini tushuntirib bering.
2. Butun sonlar to‘plamiga misollar keltiring.
3. Ratsional sonlar to‘plamini ta’riflang.
4. Haqiqiy sonlar to‘plamini tushuntirib bering.
5. Sonning moduli deganda nimani tushunasiz?
6. Qo'shish amalini tushuntirib bering.
1. Ayirish amalini ta’riflang.
8. K o‘paytirish amalini ta’riflang.
9. Bo‘lish amalini ta’riflang.
121
10. Kasr son deganda qanday sonni tushunasiz?
11. Kasr sonlar ustida to'rt amal bajarish metodikasini aytib bering.
12. Kasrlami taqqoslash qanday amalga oshiriladi?
13. Qanday kasr o'nti kasr deyiladi?
14. O'nli kasrlami qo‘shish va ayirish qanday bajariladi?
15. 0 ‘nli kasrlami ko'paytirish va bo'lish qanday bajariladi?
16. Oddiy kasr qanday qilib cheksiz davriy o'nli kasrga aylantiriladi?
17. Cheksiz davriy o'nli kasr qanday qilib oddiy kasrga aylantiriladi?
18. Irratsional son tushunchasini tushuntirib bering.
19. Sonli tengsizlik xossalarini aytib bering.
20. Sonli oraliqlar deganda nimani tushunasiz?
21. Arifmetik kvadrat ildiz tushunchasini tushuntirib bering.
22. Kvadrat ildiz tushunchasi deganda qanday son tushuniladi?
Tayanch iboralar
Natural son, butun son, ratsional son, irratsional son, haqiqiy son, sonning
moduli, to'rt amal tushunchasi, kasr son, kasrlami taqqoslash, kasrlami
qo'shish, kasrlami ayirish, kasrlami ko'paytirish, kasrlami bo'lish, o'nli
kasr, cheksiz davriy o'nli kasr, kvadrat ildiz, arifmetik kvadrat ildiz,
sonli oraliqlar, sonli tengsizlik.
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
1,4:
n
1
2 ‘*'3
n
4
1.
Javobi: 1,6.
0_5
4
7^
Javobi:
14
Javobi: 1.
122
Javobi: 9 - .
9
5.
6.
1
2
Javobi: 7 7 .
'i
3
4
f 0,012
5
0,04104^
■4 5 6 0 -4 2 ^ .
5,4
(
7.
15
1
5
85 — -8 3 — : 2 l
30
18
3
0,04
5— .
14
Javobi:
Г
7
5 'I
140 — -138 — :187
6
30
12
8.
0,002
Javobi:
•2 4 + 0,373
4
9.
Javobi:
50.
Javobi: 23,865.
0,2
•13,5 + 0,111
Javobi:
599,3.
li
1
5 '1
r 7
3 1 •4,5
+ --68 — -6 6 — : 6 - +
40 32
30
18
9
0,04
Javobi:
38 • ^
64
12.
(2,1 -1 ,965): (1,2 • 0,045)
0,00325:0,013
Javobi:
6.
Javobi:
560.
10.
0,02
(
1:0,25
1,6 0,625
2 2
13.
"
r “
n '
123
14. ^ |- 0 ,3 7 5 ; i - 1 . ( 0 , 3 5 8 - 0 , 108).
Javobi:
^ .
15
15. (10,5-2,04-0,1)-(6,25 0,2 + 0,8:0,64).
Javobi:
53,3.
Javobi:
2 IZ
21'
Javobi:
0,0115.
Javobi:
157
280'
2 ^ - 2 .2А
7 3 14
^ 3 ± .4 ,3 7 5 :9 :
0,134 + 0,05
17. l 8 i - l i l - A . 2 5
6
14 15 7
4
7 '
18.
: 0 ,8 + 2 | . 0,225
8 l.3
4 5
6- 4I
3 )^. 1
(( o .3 ~ A
:0,03
19.
:2 —
.4/1 + -2
\
1. 88. 2 I '
\
/
f 0,216 2 . 4 ^
0,15 ^ 3 ■15
196
1,5291-
6 ,2 : 0 ,3 1 - ^ 0 ,9
22.
.
Javobi: 10.
/ 80
\
/
20.
20
7,7
+ 0,695:1,39.
1,453662
•0,305 : 0,12
3 -0 ,0 9 5
Javobi: 5.
Javobi: 10.
0,2 + 0,15 : 0,02
2 + 1 ^ 0,22: 0,1
J_
33
Javobi:
1320.
VII bob.
MAKTABDA AYNIY SHAKL ALM ASHTIRISHLARNI
0 ‘RGATISH M ETODIKASI
l- § . Ayniy shakl almashtirishlar
Algebraik ifodalarning ayniy almashtirishlari maktab m atematika
kursida muhim o ‘rin egallaydi va VI—XI sinflamdng dastur materiallarini
o‘rganish jarayonida qo‘llaniiadi. M aktab m atem atika kursida sonlar
va harflar bilan belgilangan algebraik ifodalarni qo‘shish, ayirish,
ko‘paytirish va bo'lish, darajaga ko‘tarish, ildiz chiqarish va logarifmlash kabi amallar bajariladi. Bu amaliarni bajarish jarayonida ana shu
algebraik ifodalarning miqdoriy qiymatlarini saqlab, ularni turli ko‘rinishlarda yozishga to ‘g‘ri keladi.
T a ’rif. Algebraik ifodaning miqdoriy qiym atini o ‘zgarmasdan bir
shakldan ikkinchi bir shaklga o^zgartirib yozish ayniy almashtirish
deyiladi.
Maktab matematika kursida ayniyat degan tushuncha o'rganiladi,
so‘ngra ayniy almashtirish degan tushuncha kiritiladi.
T a’rif. Tarkibidagi haiflarning har qanday qiymatlarida ham to ‘g ‘ri
bo ‘laveradigan ikki algebraik ifodaning tengligi ayniyat deyiladi.
Masalan, - — ^ = x^ + x + \ tenghk ayniyatdir, chunki tenglikda
x -1
qatnashayotgan nom a’lum x ning ixtiyoriy qiymatlarida tenglikning chap
to m oni unin g o ‘ng to m o n ig a h a r d oim ten g ch iqadi. 6-sinfda
o'rganiladigan qisqa ko'paytirish formulalari ham ayniy tenghklardir:
1) { a ± b f = a^ ± 2ab + b^;
2) ( a ± b f = a^ ±3a^b + 3ab^ ±b^;
3)
±b^ =(a±b)(a^+ab + b^);
4) a^ - b^ = ( a - b ) ( a +b).
Yuqoridagi ta ’rif va m isollardan ko‘rinadiki, ayniyat arifm etik
amallar qonunlarining harfiy ifodalangan shakli ekan. Ayniy shakl almashtirishlarda algebraik ifodalarni taqqoslash, ular ustida am allar
bajarish uchun ifodalardagi birhad va ko‘phadlarning shaklini o ‘zgartirish kabi ishlami bajarish ko‘zda tutiladi. Maktab matematika kursidagi
ayniy shakl almashtirishlarni shartli ravishda quyidagicha ketma-ketlik
asosida ifodalash mumkin:
125
1. Butun ifodalami ayniy almashtirish.
2. Kasr ifodalami ayniy almashtirish.
3. Irratsional ifodalarni ayniy almashtirish.
4. Trigonometrik ifodalarni ayniy almashtirish.
H ar qaysi almashtirishni ko‘rib chiqamiz.
1. Butun ifodalarni ayniy ahnashtirish. Ayniyat va ayniy almashtirish
tushunchalari VI sinfdan boshlab kiritHadi, lekin I sinf matematika
darslaridayoq ayniy ahnashtirishlar bajarHadi. Masalan, 3+2=5 ifodaning
yig‘iridisini hisoblash 3 + ( l+ l) = ( 3 + l)+ l= 4 + l= 5 kabi ayniy almashtirish
yordamida bajariladi. IV—V sinflarda sonlar ustida murakkabroq ayniy
alm ashtirishlar bajariladi. M asalan; 52=5-10+2=5-5-2+2=25-2+2;
3 5 = 3 -1 0 + 5 = 3 -5 -2 + 5 = 6 -5 + 5 . Bu m iso lla rd a b a ja rilg a n is h la r
o‘quvchilariga ayniy almashtirish deb o'rgatilmasada lekin aslida sonlar
ustida ayniy almashtirish bajariladi.
M a’lumki, ratsional algebraik ifodalar arifmetik to ‘rt amal ham da
darajaga ko‘tarish amaUari asosida tuziladi. Agar algebraik ifoda qo‘shish,
ayirish, ko‘paytirish va darajaga ko‘tarish amallari asosida tuzilgan
bo‘lsa, u holda bunday ifodalar butun ifodalar deyiladi.
Masalan,
1) 5y2 ( 2x^ - ЗуУ,
2) (X + у) ( у - X ) ;
3) (2x + 5) (7 - Зх);
4) (c+5)(c^ - Зс + 5).
Butun ifodalarni ayniy alm ashtirishdagi asosiy vazifa berilgan
matematik ifodani ko‘phadlarni imkoniyati boricha algebraik amaUar
yordamida standart shaklidagi birhadlar ko‘rinishiga keltirib soddalashtirishdan iboratdir. Shu yerda o‘qituvchi o‘quvchilarga o ‘xshash
hadlar, birhad va ko‘phad tushunchalarini tushuntirish ham da ularga
misollar ko‘rsatishi lozim.
H ar qanday algebraik ifoda birhad va ko‘phadlardan iborat bo‘ladi.
T a’rif. Ко ‘paytirish va darajaga ко ‘tarish amallari yordamida tuzilgan
ifodalami birhad deyiladi.
4
Masalan: 5y^x,
-xya^;...
Birhadlarni ham standart shakllarga keltirish misollar yordamida
tushuntiriladi. Masalan; 6x-4y birhad sodda holga keltirilsin. Bu misolga
ko‘paytirish, o ‘rin almashtirish va guruhlash qonunlarini qo'llasak,
6x-4y=24xy bo‘ladi.
T a’rif. Bir necha birhadlaming yig'indisidan iborat b o ‘lgan ifoda
ко ‘p h ad deyiladi.
126
Masalan: 1) 5x^y + ^y^x;
2) \3a^b + ^c^a + ^a^b.
Y uqorida ta ’rif va m isollardan ko'rinadiki, birhad ko‘phadning
xususiy holi ekan.
T a’rif- Ко ‘p hadning о ‘zaro koeffitsiyentlari bilangina farq qiladigan
yoki butun koeffltsiyentli b o ‘lgan hadlari o ‘x shash hadlar deyiladi.
О ‘x shash hadlam i arifmetik am allar yordamida birhad ко ‘rinishida
ifodalashni ixchamlash deyiladi.
Masalan:
1) lOy^x + 4zt - П у Ч - 3zt = (20y^x - U y^ x ) + { 4 z t - 3zt) =
= &y^x+zt;
2) 2,4a^b^ +3,2cd-1,4a^b^ - 2 , 5cd = (2,4a^b^ -l,4a^ b^ ) +
■¥{3,2cd - 2,5cd) = аЧ'^ + 0,7c^/.
B utun ifodalarni ayniy alm ashtirishda belgilangan k o ‘phadlar
birhadlarga, birhadlar esa standart shaklga keltiriladi. Bu ishlarni
bajarishda o ‘qituvchi o'quvchilarni bir xil hadlardan iborat ko‘phadlarni
standart shaklga keltirishdan boshlashi kerak.
3) Ifodalarni soddalashtiring:
1) X + X + X = X • 3 = 3x;
2) x+x+x+x+ x=(x+ x)+ (x+x+ x)=2x+3x= 5x;
3) (1,2x2)-(-5 x )+ (-7 x )-(-2 x )(3 x 2 )= -6 x '-7 x + 6 x 3 = -7 x ;
4) i5 x ^ y-\4 x ^ -^ x f)+ {3 x ^ -lx ^ y-\-9 x f)= 5 ,x ^ y-l4 ^ -% x f+ 3 x ^ -7х>^+9х)Я=-2х^у-1Ix H x f .
Shundan keyin qisqa ko‘paytirish formulalari yordamida soddalashtiriladigan misollami ko‘rsatish lozim.
1) (2x+ 3 y Y + {4 y -5 x Y = 4 x ^ + 12 xy+ 9y^+ 16y^-40xy+25x^=29x'^2Sxy+25f .
— {рсу+4уу—{2ху-3уу-= {хуу+ 3{хуу-4у+ 3ху(4уу+ {4уу—
- {С1хуУ-3{2хуУЗу+3-2ху(ЗуУ-{ЪуУ]==
= х у + 1 2 х у + 4 8 л зр + 6 4 > р -8 х у + 3 б х у -5 4 х у 3 + 2 7 у =
= - 7 хУ + 4 8 хУ - 6 л5Я-6л^ + 9 1 / .
127
4) Ifoda soddalashtirilsin: {a-b+ c-\-df+ {a+ b-c^ -df.
1-usul: {a-b+c+d)'^+{a+b-c+d)^=[{a+d)-{b-c)Y+{{a+d)+
+(6-c)]2=(fl+d)^-2(fl+fiO(6-c)+(Z)-c)2+(fl+fiO'+2(a+rf)(*-c)+
+{b-cy=2[{a+d)-^ +{b-cYl
2-usul: {a-b+c+d)'^=A deb {a+b-c+df=B deb belgilasak, A^+W hosil
bo'ladi. A^+Wni ayniy almashtirish orqali quyidagicha yozish mumkin:
W={A+Bf-2AB, bularga asosan
{a-b+c+d)'^+{a+b-c+d)'^={a-b+c+d+a+b-c+d)'^-2{a-b-^c+d)-(a+b-c+d)={2a+2d)‘^ -2{a-b+c+d) {a+b-c+d)=
=4(a+^/)'-2[(a+^0"-(*-c)^]=2[(a+J)2+(6-c)2].
2-§. Kasr ifodalarni ayniy almashtirish
VII
sinf algebra kursidan boshlab kasr ratsional ifodalarni ayniy
almashtirish bajarnadi.
T a’rif. Agar algebraik ifoda qo ‘shish, ayrish, ко ‘p aytirish va bo ‘lish
amallari yordamida sonlar va о ‘z garuvchilardan tuzilgan bo ‘Isa, и holda
bunday ifodani kasr ratsional ifoda deyiladi.
.
y ^ - l . х ^ -З х -4
_^+5_.
Masalan: ------- , --------- -— ;
„
у
x +4
x(^x-z)
Kasr ratsional ifodalarni ayniy almashtirish jarayonida ana shu
ifoda qatnashayotgan nom a’lum sonlarning qabul qiladigan qiymatlarini
aniqlash lozim.
Ta’rif. Kasr ratsional ifodadagi o ‘zgaruvchilarning m a ’noga ega
boladigan qiym atlari о ‘zgaruvchilarning qabul qiladigan qiym atlari
deyiladi.
Masalan,
2x - 3^ 11;^ - 2x
— kasr ratsional ifodadagi x va j laming
qabul qiladigan qiym atlari x= 0, va y = 0 dan boshqa barcha son
qiymatlardan iboratdir. Agar x va j o‘zgaruvchilardan bin nol qiymatini
qabul qilsa, kasrning maxraji nol bo‘lib, o ‘zining m a’nosini yo‘qotadi,
chunki har qanday sonni nolga bo'lish mumkin emas.
Kasr ratsional ifodalarni ayniy almashtirishdagi asosiy vazifa berilgan
ifodaning surat va maxrajlarida turgan ko‘phadlarni ayniy almashtirishlar
bilan bir hadlar ko'rinishiga keltirishdan iboratdir.
128
Kasr ratsional ifodalarni ayniy almashtirishdan oldin o ‘qituvchi
kasr va ular ustida bajariladigan to ‘rt amalga doir sonli misollardan
nam unalar ko'rsatib, so‘ngra esa harfiy ifodalar qatnashgan kasrlar
ustida bajariladigan ayniy alm ashtirishlarni k o 'rsatish i m aqsadga
muvofiqdir.
,
, 2 . l _ 2 - 5 1 -3 _ 1 0 + 3 _ 1 3 .
3^5
3 -5 ^ 5 -3
15
15’
, , X _ у x y , у a xc + y a ,
b) —+ —= ----- + ------------------- ,
a с
a -с c a
ca
4
2- a) 7
^
1 ^ 4 -9
^
1-7 _ 36
^ 7
7 _ 3 6 -7 _ 2 9 .
gj
63’
£ _£ _ ad-cb.
6 ~d~ b : d ^ d b ~
ad ’
- . 5 3 5 - 3 5 .
6 4 “ 6-4 “ 8 ’
^
a с
ac ^
b 'd~bd’
,
7 .2 8 7 36 4
^ n ^ c a d a d
•
9 ■36 9 ' 28 4
’
^
A c 6c ■
Yuqorida o ‘xshash misollarni ko‘rsatgandan so'ng o‘qituychi yana
bir ayniy almashtirishning mazmunini quyidagicha tushuntirishi lozim.
Наг qanday ayniy almashtirishning maqsadi misol yoki masalani yechish
uchun berilgan m atematik ifodani eng sodda yoki qulay holatga keltirib
hisoblashdan iboratdir.
, . ,
1-misol.
-2 5
a
a+5
^
------ ~----------- ~------ ifodani soddalashtmng.
a+3
+ 5fl
+ 3a
Y e c h is h :
1)
a^-25
a
_ a^- 5^
a + 3 a^+5a
a+3
a-5
^^a + 3
a
a(a + 5)
a + 5 __a - 5
a ^+3a a + 3
a + 5 _ {a-5)a
a{a + 3) {a + 3)a
_ a ^ - 5 a - a - 5 _ a^ - 6 a - 5
a {a + 3)
a(a + 3)
9 - S. Alixonov
( д - 5 ) ( д + 5)
(a + 3)
129
g
g-5,
a { a + 5) a + 3 ’
q+5
a{ a + 3)
, 5х = у
5х-у ^
2-misol. г "2.. :■',
~2
X - 5хи
Z
)
X + 5ху
5
- 25у^
Т~ ifodani soddalashtiring.
х +у
Y e c h is h :
5х - у
1) х'^ -5ху
5х - J
5х + J
5х-у
х^+5ху хСх-Зд') x(x + 5j;)
(5x + j/)(x + 5;;) ^ ( 5 x - j ) ( x - 5 j ; )
x (x -5 > ')(x + 5 j)
-
х ( х + 5 j;)(x - 5 j )
^ + 25лу + 5y^ + 5x^ - xy - 25xy + 5y^ _
x(x + 5)(x - 5y)
lOx^ + lOy^
х(х + 5 у ) ( х - 5 у У
lOx^-lOy^
x ^- 2 5 y ^ _
х(х + 5^)(х-5з;) x ^ + y ^
Ю (х Ч у ^ )
( x - 5 ) ( x + 5j;)
10
x(x + 5 j ) ( x - 5y)
X^ +y^
x'
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
1. (2X + 1 - —
);(2 x --^ ).
\-2x
2x-l
Javobi: ~2x.
2. (a^ + 2 a + 1 ) ( - i - +
'
> a+ \
javobi:
- -Ц ).
a -\
1+ a
\-a
+ 4 1 1
3- (1---- r ^ ~ ): ( t ” “ 0) +1 •
I2x
3x 2
Javobi: 1,5x.
и 1 / 1
2
Зй + 2,
4. 1 - (---- г -------- ) •( a ----- -— ).
a -2 a+2
4
Javobi:
'
a
a+2
Javobi:
y=l
3
5-
~
^
2
~
130
^ .
, 2 a b . , a - b b.
6. {a + b ------- - ) : ( ------ +
a+b
a+b a
Javobi:
n
, + 11 - - ----1 --------------Ч /
^ -).
\
7. (/Я
l-m
m -l
Javobi: -tn.
1
x-2y
8.
X + 2y
9. (
2fl
2a+ b
(x + 2 y f
’ (2j - x)^
4j ;2
4a^
4a^ + 4ab + b^
a-\
10.
. x + 2y
Aa^ -b ^
\ - Ъ а + а^
Зй + (й -1 Г
x^-2xy
Javobi:
b-2a
fl^-1
\-a
1
a-\
(a ^ + a + l ) ( f l '- l )
Javobi: 1.
x+1
x^ - x + 1
Javobi:
12. (fl + 26 + - ^ ) : ( f l - - ^ ) + l.
a + 2b'
a —2b
13. a^
Г4. (
- c + 2bc :
5x^-15xy
x^ + 9y
,
a+ b -c
a+ b+ c‘
Javobi:
3xy + 9y^
x^ + (sxy + 9y
■
2ab - Aa^
2a + b
Javobi:
lb (
* x + 1 x^ +1
a.
У
Aa^- в а с
6ac + 9c^
Aa^ - 6ac + 9c^
Aa^ + вас + 9c^
.
~ (b + c f .
Javobi:
X
6a + 9c
Aa^ + 9c^
2a
a-2b'
xy
x + 3y'
3
2a - 3c '
16. i . x - ^ ^ + y ) {x + ^ ^ - y ) .
x+y
x-y
Javobi: x^ —f-.
“Й?.... ..
Javobi: —a.
17. ( a -
131
ab
a+b
19.
,y
a+b
-a-b
a -b
-X y
2\
X
{2a-bf
Aa^-b^
ab
a-b
Javobi:
—xy—l.
X
---- ~ ~ x y + y ^ ) --------+ -----x-y
x+y
X +xy
1
20 .
Javobi:
ila + b)
4fl^ + Aab + P
16a
Javobi:
21.
22 .
(c -2 )
,2
■
c+2f
25
a + 5 a + 25
(c-2f
r ЛJavobi:
c ^ -4
2a
2a^ + lOa^
5-a
a^- 125
( 2 a - b ) ,2
a-5 +
•
+— —.
3c^ + 4
1 3 a -a 2 _ 3 0 ^
a -5
Javobi:
25
a^ + 5a + 25
3-§. Irratsional ifodalarni ayniy almashtirish
Agar berilgan m atem atik ifodada irratsional ifoda qatnashgan
bo‘lsa, ayniy almashtirishlar orqali irratsional ifodani ratsional ifoda
lco‘rinishga keltiriladi va u hisoblanadi. Irratsional ifoda bu ildizlardan
yoki butun son bo‘lm agan ratsional ko'rsatkichli darajadan tashkil
topgan algebraik ifodadir. Shuning uchun irratsional ifodaga quyidagicha
ta ’rif berilgan.
T a ’rif. A gar berilgan algebraik ifodada ild iz chiqarish am ali
qatnashsa, bunday ifoda irratsional ifoda deyiladi.
Irratsional ifodalarni ayniy alm ashtirish orqali ratsional ifoda
ko'rinishiga keltirish uchun asosan ildiz ostida qatnashayotgan birhad
yoki ko'phadni ildiz ostidan chiqarish, imkoniyati boricha maxrajni
irratsionallikdan qutqarish, nom a’lum o ‘zgaravchilar kiritish orqali
berilgan irratsional ifodani ratsional ifoda ko‘rinishiga keltirish kabi
ishlar qiUnadi.
132
Bundan tashqari, o‘quvcMarga sonning arifmetik ildizi va uning
kvadrat ildizi hamda irratsional ifodalaming xossalari kabi tushunchalar
tushuntirib o'tilib, so‘ngra quyidagi ko‘rinishdagi misoUarni yechish
maqsadga muvofiqdir.
1__________
1
ni hisoblang.
sf5-yl3 л/З-л/5
Y e c h is h .
1
1
+■
л/5-л/З n/5 - л/З
1
л /5 -Л
»
5- - 3Ъа4с^
2-misol.
2 ^ 4
л/ 5 - л/З
■
: ( - Л ) ifodani soddalashtiring.
4fl
Y e c h is h .
^
2
3aV ^
4
За^л/fl
4
_
_ л/д Ъ а 4 ^
4a
2
4
4a
_ 1 4 ^ Ъ а ^ 4 а -а 4 а _ 4 a
4a
"
4
~ 4
4 2 +—3a^ - a- ') : (-V
a) = - ^4( 2 + 3a^ - a).
V
2)
4 '
3- misol.
4^ +
~—
a
ifodani soddalashtiring.
Y e c h is h .
+ a -J ^ - - V ? = a4a + Ъа4а - a-Ja = 3a4a.
a
a^- b^
4)^
ifodani soddalashtiring.
133
(2 + 3 e '- a ) ;
a^- b^
Y ecl
- b f i a + b){a + b) ■ .- ^
W + bf
=
a^-b^
= - ^ (a-b)-^(a + b f ■
= a(a^ -b^)a-b
^(a + b f
xj x+y- ^f x
5 -m iso l.
4 x + ^Jy
-4 ^
2fy
. (x
ifodani
sodda-
lashtiring.
Y e c h is h .
x4x + y4x
+
I— _ xy[x + y 4 x -
^
■yfx -
■yfy _
J x + sjy
^ x 4 ^ + y 4 ^ -x 4 ^ -y 4 ^ _ x { J ^ - 4 y ) _
у1х + 4 у
'Jx + yfy
хШ -у[у)
х Ш + 4у )
2) -^7=— 1 = - ^ - { х - у ) \fx+^
4 х л -4 у
( у1х + у1у ) { 4 х - у1у )
X
,
27?
x + 2 S ( ^ + Jy)
x*lj^ *2y
1.
Kasrli irratsional ifodalarning maxrajlarini berUishiga qarab irratsionallikdan quyidagicha chiqariladi.
■sfa±'Jb ko'rinishlarda berilgan bo'lsa, ularning o'zaro ko'paytmasi
(4a ± yfb'j^-Ja - л/й) = a - b
bo‘ladi. Agar irratsional ifodalar
134
^
ko‘rinisMarda berilgan bo‘lsa, ulaming maxrajlari irratsionaUikdan
quyidagicha chiqariladi:
^
”
A{4a-4b^
A{4k-4b^
;С 7 Л * (Л + 7 * )(Л -7 4 )°
bo‘lsa.
. agar »гО, iiO ,
a -b
^
^
A{yfa + 4b^
v4 ^-v/a + л/й j
л/^-л/б
(л/^-л/й)(л/^ + 7й)
a -6
,
agar a>0, feO,
bo'lsa.
1_________ ^ z f L , ^ = v 3 - V
7з + Л
(л/3 + л/ 2 ) ( 7 3 - л/2)
3 -2
5
2-misol.
2 .
._^ 4 . У й )
2 -V n
( 4 - л / П ) ( 4 + л /п )
2. Agar irratsional ifodalar
16-11
va
ko‘rinish-
larda berilgan bo‘lsa, ulaming irratsionaUikdan quyidagicha chiqariladi.
1)
. a+b
Г а ^ Щ ' { f a ^ 4 b ) { p -Ч аЬ + Щ
a { ^
A
2) Г а -Г Ь
A
+ 4ab +
{Г а -Щ {р
+ 4ab + ^
a -b
+Щ
A
3)
+#
! fa * m
135
p - Ы
+ W
a+b
аф Ь.
а -Ь
Misollar.
1) m - V 2
12
0 -3
п(Щ -Щ
^ 4 ^ - 4 ^ = 4 ^ ( ^ -1).
Л
3. Agar irratsional ifoda
va
щ
/1
ko'rinishlarda berilgan
bo'Isa, ularning maxrajlari irratsionallikdan quyidagicha chiqariladi:
( < y ^ - V 6 ) ( V ^ + V ^ 6 + ... + V ^ F ^ + # ^ )
Л
+... +
a-b
^
^
+ ... +
^
Л
(<5^ + ^
)
+ (-1)”- ^ # ^ )
-.. . + ( - i ) " - 2 + (-i)"-2#=»■
- 4 ^ ^ +... + (-1)”-2<Уай”-2 + ( - l ) « - 2 # ^ j
fl + ft
136
. ...L
.- . , _
Misollar.
1)
5 -3
= 2 {Ш 5 + ^
2)
II
v3 + \ 2
+^
+^
+^
.
3 —2
4. Agar irratsional ifoda
ko'rinishda berilgan bo'lsa,
uning maxraji irratsionallikdan quyidagicha chiqariladi:
A
_______ А(л[а + y f b- -Jc)_____ _
yIa + ^fb + ^Ic
(V a+ л/й+ %/с)(л/а + %/б-V c )
_ A{yf^ + y f b - 4 ^ ) _
a + b - c + 2-Jab
А{Га + 4 Ь - Щ а + Ь - с - 2 Щ
^a + b - c ) + 2л/об)
{a + b - c ) ~ 24ab^
А{у[а + у [ Ъ- 4 с ) { а + Ь - с - 2 4 а Ь ^
{a + b - c f - 4ab
a>0, b>0, c>0, [a + b + c f - 4ab ^ 0.
A
5. Agar — ---- — _ ifoda berilgan bo‘Isa, uning maxraji
4 a + 4b + 4c + 4 d
irratsionallikdan quyidagicha chiqariladi, agar ab=cd bo'lsa,
(л/fl +
л/а + л/б + Vc + л/rf
+ Vft) + (Vc + \/cf)
{4a + л/^) - (л/с +
a+b-c-d
fl^O, feO, c>0, d>0, a + b 4t c + d.
137
- (Vc +
)
(Vfl + \/б) - (Vc + л/irf)
6.
3^ ^ ^ Щ ^ ^
berilgan bo‘lsa, uning maxraji irratsonallikdan
quyidagicha chiqariladi. Buning uchun quyidagi ayniyatlardan foydalanamiz:
(x+y+z)(x^+y^+z^-xy-xz-yz)=x^+y^+z^—3xyz.
Agar x = ^ , y = ^ ,Z r = ^ desak,
+ Щ + l[c^
+ ^ [? -4 a b -y fa c -Ifb c =
+
= a + b + c + ЪЧаЬс.
Bu hosil qilingan natijani
[a + b + c f +Ъ{а + Ь + c)4abc + 9}j{abcf ga
{a + b + c)~ ъЧаЬс.
ko'paytirsak, ya’ni
[a + b + c f +Ъ{а + Ь + c)i[abc + 9^ (a b cf
(a + b + c f - Tlabc ni hosil qilamiz. Demak,
A
________ A j y f ^ +
- yfab -
A л [^ + л [^ + yfc^-Ifab
- МЫ)_______ _
-\fbc^[a + b + c f +
(a + b + c- } j abc) [a + b + c) + 3(a + 6 + c)^abc +
1-3(a + b + c) 4abc + 9^ {abcf
+9^abc) ^
a { ^
+^
+ ^ - ^ [ a b - Ч а с -W ^ ^ {a + b + c f +
{a + b + c) - l l a b c
138
+3 {a + b + с) yfabc + 9^(abcf
agar yfa + ^ + ^ ^ 0 , ( a + b + c f it 27 abc bo'lsa.
7. Murakkab ildiz formulasi quyidagichadir:
'а + у1а ^ - в ^ 1а - у1а ^ - в
— 2------- - V -------- 2
у1а ± 4 в
Masalan,
1)
2)
л/п + л/40 =
1
л /1 5 -л /^ =
1-misol.
л /^ + 2
11 + V121-40
и г Ж Н ,7 Ш ± 1 ;
15 + л/225-2 9
а
'Ц - ^ |^ , Л ( У 5 8 - У 2 ) .
а
1
- +■
УЬ -jab
ifodani soddalashtiring.
Y e c h is h .
v s + 2,1?
Va
VO
л/а6
■
=
= 4 a b y [ a b + l — ■■Jab- —4ab +
\b
a
yjab
=
= ab| + 2 - \ / ^ - V ? + l = ай + 2|й - la +1.
2-misol.
= ^8x(7 + 4 ^ • л/2л/бх - 4 V ^
Y e c h is h . Agar
bo‘lsa,
ifodani soddalashtiring.
8x(7 + 4 ^ > 0 ,6 x > 0 va
2x>0;
7 + 4л/3 = 7 + 2л/12 = [-Jb + l f v L holda
^ = ^8x(V3 + 2)2 • ^2л/б1 - 4V2 = ^2л/2х(л/3 + 2) •^2л/2х(л/3 - 2) =
:’ях( з+4) = г Ш .
139
л/Г + a
i-i-i
3 -m iso l.
ifod ani
sodda-lashtiring.
Y echish.
1-fl^
a
____________ ,
лЯ + а + л / Г ^
Vl + o + 7 l - a
a
Vl + a - V l - a
1
a
a
л/ l - a ^ -1
4-misol. ( Ш + а + V I - й ) : ^
Y echish.
+1
ifodani soddalashtiring.
*
1) Ш + a + л/l —a = (1 + fl) 2 + y/l —a =
, ■
+ y/l —a =
Vl + fl
2)
^
'Jl + a
5-misoI.
yji _ д2
Vl + a
^^ 2— 3 ^ r
l+
ifodani soddalashtiring.
Y e c h i s h . / hsb/.
а ^ - й ^ I а Г а -Ъ ^ ^
-Ш
140
^
л/1 + fl
,
I I usul.
аЧа - ЬЧЬ ^ аЧа - ЬЧЬ _
( a ^ -b ^ ) (^ l^ + (a V a -b ^
'
Ж
+
1 7
( а й - * № ) ( ^ - # ' +^
+ Й ^)
a ^ -b V b
(I
1 Y 1
1 Y 1
1 Y 1 + ■1
1
>/й
( \
6-misol.
+
n
ifb
(
I
1
yfb J1 -v/a
yfb II yfa
yfa
Y e c h is h .
i.
(fl*® +
±
±
±
i
i
- 6^®) = fl* - Z>* >
i
i
i
i
i
i
2 )(a8 -6 8 )(fl8 + 6 8 ) = a 4 _ M ;
i l l
1
i
i
i
i
3) (fl“ _ M ) ( ^ + ^ ) ( f l '‘ + М ) = д2 -Z)2 ;
1^
1
1
1
4)(д2_A2)(Q2+^,2) = a-l_ ^,-l.
141
I ]
(\
n
5) ( a ' - b - ^ ) —+ a b
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
4i + x
V T T x -V T ^
a-'Ja^ - 4
л/Г^
a/ i + x + V x - i
a -\]a ^ - 4
a + y]a^ - 4
а + л1а^ + 4
Javobi
2fl
a-^a^ - 4
a + Va^ +4
Javobi:
fl + л/д^ + 4 /
_______________ ^
■):(2y + l) +
3. (
y f ^ - S
4 ^ + yJy
ь
,
Га
^ ■ Ч ^ -Г ь
^
,
,.
л / й ^ + х /о ^ + 6
5. 36f
1 21b2 •
Javobi:d^21a^^b^ agar b>Q, d>Q bo‘lsa.
i
i
i
6- (X2 + j 2 )2 _ (4 ^ )2
Javobi: x +
Javobi:
(x + v ]^ + x V ? )-‘ ■
8-
t u <1
Javobi:------------------------ flgor a^b bo Isa.
a -b
fl-1
+
?
Г
a"* +
V^ + 1
i
(1 -J c2)2 +1
( 1 - x2)2 -1
9.
Javobi:
142
.
7x + i
10.
ых + yjy
ф с у -х
г7 7 - 2
+ л/^
11. 4 ^ - 2 х
fV Z ± 2 .
4 ^ +у
4^
l + ix 2
4
1 ■
^"4
4 х + 2х
J a v o b i:^ - 4 х .
Javobi:
1
2
П
1 + ”7= + ““
у/а а
12.
13.
1 -х
X
Га
. a- yj a^ - b^
Javobi:
(а + 6)2 - y j a - b
yja + b + y j a - b
4-§. Trigonometrik ifodalarni ayniy almashtirish
M aktab m atematika kursining trigonometriya bo‘limida juda ko‘p
ayniy munosabatlar, jum ladan, quyidagi m unosabatlar o ‘rganiladi;
1. Trigonometrik funksiyalaming birini ikkinchisi orqali ifodalaydigan
ayniy almashtirislilar.
2. Trigonometrik ifodalami soddalashtirishdagi ayniy almashtirislilar.
3. Trigonometrik ayniyatlarni isbotlashdagi ayniy almashtirislilar.
4. Trigonometrik tenglamalarni yechishdagi ayniy almashtirishlar.
Yuqoridagilardan ko'rinadiki, trigonometriya kursida ayniy almash­
tirishlar muhim o'rinni egallaydi. IX sinf geometriya kursida trigonometrik
fiinksiyalarga ta ’rif beriiganidan so‘ng, to ‘rtta trigonometrik funksiyalami
o‘zaro bog‘lovchi quyidagi uchta ayniyat o ‘rganiladi:
sin a
^ ,
cos a
3. ctga = -rcosfl
'
sin a
Bu ayniyatlarni keltirib chiqarish maktab geometriya kursida batafsil
bayon qilingan. Bu ayniyatdardan yana quyidagi uchta ayniyat keltirib
chiqariladi:
1. cos^a+sin^ a= 1;
2. tga=
l.tga- ctga = 1; 2. — K~~ “ ^
cos^ a
143
." 2"" ~ ^
sm^ a
Yuqoridagi ayniyatlar trigonometrik ifodalarni hisoblashda bajariladigan ayniy shakl almashtirishlarda eng ko‘p qo'llaniladigan ayniyatlar
bo‘lib hisoblanadi. 0 ‘qituvchi o‘quvchilarga ildizli ifodalar ustida bajariladigan trigonometrik ayniy shakl almashtirisMarni bajarishga alohida
e ’tibor berishi lozim.
Masalan,
- cos^ a
ifodani olaylik. Buni hisoblaydigan bo‘lsak,
л/l - cos^ a = ± sin a tengligi o‘riinli bo‘ladi.
0 ‘quvchnarga
V i-cos^ a = s in a va V i-c o s ^ a = - s i n a
teng-
liklarning m a’nosini tushuntirish lozim. Bunda ,/i- c o s ^ a = ± s in a
qiymat I chorakdagi, V b T c o s ^ = - s i n a ^^a III chorakdagi qiymat
ekanligini geometrik nuqtayi nazaridan ko‘rsatib tushuntirish maqsadga
muvofiq. Bundan tashqari, a ning aniq son qiymatlarida ham bu
ifodalarni hisoblash lozim.
M a s a la n ,
0: = ^
b o 'lg a n d a
s in ^ = ^
—
'3
s h u n in g
uchun
Demak, -y/i _ cos^ a =
= + sin a ekan.
0 ‘quvchilar ayniy shakl almashtirishlarni yaxshi 0 ‘zlashtirishlari
uchun birinchidan trigonometrik funksiyalar ta ’rifmi, ulardan birini
ikkinchisi orqali ifodalovchi va asosiy ayniyatlar kabi formuM arni bilishlariga, ikkinchidan esa ana shu formulalarni trigonometrik tfoda bernishiga
qarab tatbiq qila olish malakalariga bog‘Uqdir. M aktab m atematika
kursidagi trigonometrik ayniy shakl almashtirishlarni og‘zaki bajarishga
o‘quvchilarni o‘igatish ularda mantiqiy matematik tafakkurni shakllantiradi.
0 ‘qituvchi biror trigonometrik ifodaning shaklini almashtirishni bajarishdan oldin o ‘quvchilarga eng sodda bo‘lgan og'zaki trigonometrik
mashqlardan namunalarni doskaga yozib, o ‘quvchilardan tezroq og‘zaki
soddalashtirishni bajarishlarini talab qilishi 0 ‘quvchilarni trigonometrik
ayniyat va formulalarni esda doimo saqlashlariga imkon yaratadi.
Masalan,
1-cos^; l-sin^cc; ( l- c o s a ) ( l + cos^a);
144
2
sm а ■tga ■cos а; —— ;
ctga
^
1 cosa
----- tga\ —— + 1;------- .
ctga
tga
ctga
Bundan keyin o'qituvcM murakkabrok trigonometrik almashtirisMarni
ko‘rsatishi maqsadga muvofiqdir.
1-misol. (1—sin a)(l+ sin a)—cos^a ifodani soddalashtiring.
I usul.
(1 - s in a )(l + s i n a ) - cos^ a = 1 - sin^ a - cos^ a =
= 1 - ( l - cos^ a ) - cos^ a = 1 - 1 + cos^ a - cos^ a = 0.
I I usul.
( l - s i n a ) ( l + s in a ) - c o s ^ a = 1 -sin ^ a - cos^ a =
= 1 - (sin^ a + cos^ a ) = 1 - 1 = 0.
2-misol.
sin'* X + cos'* x - \
-r~l --------- ------ 7 ifodani soddalashtiring.
sm X + cos X - 1
sin'* X + cos'* x - \ _
sin® X + cos® X - I
x - l _ [ l - cos^ x f + cos^ X-1 _
^
^
^
^
_ I
1 - 2 cos^ X + cos'* X + cos'* x - l
2 cos^ x(cos^ x - l )
2
1 - 3 COS^ X + 3 cos'* X - cos® X + COS®x - l
3 cos^ x(cos^ x - l )
3
cos(a + ^ ) + co s(a-y 8 ) _
sin (a + )3) + sin (a - Д) "
isbotlang.
3-™sol.
cosja + j3) + cosja - j3) _
sin(a + Д) + sin(a - j8)
_ cos a cos Д - sin a sin j3 + cos a cos Д + sin a sin /3 _
sinacos/3 + co sasin j3 + sinacosj3 -c o s a s in j3
2 c o sa c o s8 co sa
= — --------- ^ = -:---- = ctga.
• Ismacosp
sm a
10 - s. Alixonov
145
4-misol.
1 + COS j3 + COS^ P
-------- --------f r ifodani soddalashtiring.
1 + see p + sec fj
1 + cosp + COS^ P _ 1 + cosp + COS^ P _ 1 + cosp + COS^ P _
1 + sec jS + sec^ )8
1+ _ J _ + _ J l _
cosp cos^ p
cos^ P + cosp +1
""'’2
COS P
(l + cosp + cos^ jSjcos^ P
= cos p.
COS^ p + cos P + l
Yuqoridagilardan ko‘rinadiki, trigonometriya kursida ayniy almashtirisMar
muhim o'rin egallaydi. 0 ‘quvchilar trigonometrik ayniy shakl almashtirisHarni
yaxshi o'zlashtirisMari uchun birinchidan, trigonometrik funksiyalarning birini
ikkinchisi orqali ifodalovchi va asosiy ayniyat kabi formulalarni, ikkinchidan
esa shu formulalarni trigonometrik ifodani berilisliiga qarab tatbiq qila oUsh
malakalariga bog‘liqdir. Trigonometrik ayniy shakl almashtirislilarni bajarish
uchun quyidagi formulalarni bilishlari kerak;
1. Asosiy trigonometrik ayniyatlar:
1) sin^ a + cos^ a = 1;
2) tga
cos a ,
3) ctga = - ---- , { а ^ к п ) \
’
sm ce
4)seca =
sm a
n
a ^ —{2n + l) , n e Z ;
COSfl ’
1
cos a
, я е Z;
5) coseca = ------ , {a Фnn)] n e Z.
sm or
Bu ayniyatlardan kelib chiqadigan formulalar quyidagilardir:
1) tga ctga = l
n
а Ф —п , n e Z.
2
, tl£ Z.
2) l + tg^a = sec^a,
3) 1 + c/'g^a = cos
a,
[аФж),
neZ.
1-misol. Ayniyatni isbotlang.
cos^ a{tga + 2)Q.tga +1) - 5 sin a cos a = 2, а Ф ^ { 2 п + \)
146
Is b o ti:
cos^ a{tga + 2){2tga +1) - 5 sin a cos a =
= cos a
( 2 sin g
sin ct
+2
+ 1 - 5 sin a cos a =
cos a
cos a
= 2sin^ a + 4 s in a c o s a + 2cos^ a + s in a c o s a - S s in a c o s a =
= 2(sin^ a + cos 2a) = 2.
2-misol. Ayniyatni isbotlang:
n
/>'
(1 + sin a ) (tga + ctga){l - sin a ) = ctga.
Г7
Is b o ti:
s m a cos a
(1 + sin a ) {tga + ctga){\ - sin a ) = (1 + sin a ) -------+ -------- ( 1 - s in a ) =
cos a sin a
- (1 -
o!)(sin^ a + cos^ a ) _
cos a
_
s in a -c o s a
s in a c o s a
II. Ikki burchak yig'indisi va ayirmasining trigonometrik funksiyalari.
1) sin (a ± ^ ) = sin a cos Д ± cos a sin
2) c o s ( « ± ^ ) = cosacosj8 + sin asin /J;
a , p , a ± p Ф^{ 2п + 1), пе Z
4)
=
' ( a , A a = / J * * n ,n e Z ) .
1-misoI. cosl5° ni hisoblang.
Y e c h is h .
cosl5°= cos(45°—30°) = cos45° cos 30°+sin 45° sin 30°=
=#
# + # 4 4 ( ^ 6 + ^ ) . 0, 9659.
147
2-misol. sinl5° ni hisoblang .
Y e c h is h .
sinl5°= sin(45°-30°) =sins45° cos 30°- cos 45° sin 30°=
2
2
2
2
4'^
>
Shuningdek, tgl5°=2-V3 , cgl5°=2+A/3,
hisoblash mumkin.
secl5°=>/6- л Я larni
Cl_в
3-misol.
1----- 2------ ~
l - l g a -tg p
tg^a-tg^P
I s b o ti.
ayniyatni isbotlang.
^ tga + tgP
tga - tgp ^
l - t g a tgp l + tga tgP
= tgia + p ) t g ( a - p ) .
4-misol. sin(a+i3)-sin(a-/3)=sin2a-sin^j8 ayniyatni isbotlang.
I s b o ti. sin(a + j3) •sin(a ~P) = (sin a cos /3 + cos a sin j8) x
X(sin a cos )8 - cos a sin ) = sin^ a cos^ p - sin^ p cos^ a =
= sin^ a (l - sin^ P) - sin^ P(l - sin^ a) = sin^ a - sin^ a sin^ p - sin^ p + sin^ a sin^ p = sin^ a - sin^ p.
Keltirish formulalari:
1) sin
\
2) sin
1*4/
ГЗя
\ 2
/
3) cos
\
4) cos
5) tg
'Ъп
2
= -co sa ,
sin(27r ± a ) = ±sinor;
Ч
= + sin a , cos(^^ia) = -c o s a ;
/
= ± sin a, со8(2тг ± a ) = cos a;
= +ctga, tg{jc±a) = ±tga\
148
6) ctg
I-
= +tga, ctg{n ± a ) = ±ctga.
TV. Ikkilangan va ucMangan burchakning trigonometrik funksiyalari:
1) sin 2a = 2 sin a cos a ; 2) cos2a = cos^ a - s in ^ a ;
2iga
3) tg2a = ^ ^
l-tg^a
4) ctg la =
2 a ,a Ф
+1), и € Z
—}. {2a,a ^ n n , n s Z );
Ictga
5) sin 3a = 3 sin a - 4 sin^ a; 6) cos3a = 4cos^ a - 3 co sa;
,2 ,
7) в З а = - 1 : ^
3tga - tg^a
8) св З а =
1-3/g^a
Л-И
„
a Ф - , ne Z
04 • 2
l- c o s 2 a
2
l + cos2a
9) sm‘‘ a = ----- ------ ; 11) cos^a = ------ ------ :
10) sin"* a =
12) cos'*a = -
1-misol. sina-sin(60°—a)-sin(60°+a)= —sin3a ayniyatni isbotlang.
I s b о t i : sin a •sin(60'' - a ) ■sin(60^’ + a ) = sin a(sin^ 60^ - sin^ a ) =
ГЗ
.2
= sin a - - sin a = i ^3 sin a - 4 sin^ a j = —sin 3a.
4
2-misol. cosa-cos(60°—o:) cos(60°+a)=— cosSa ayniyatni isbotlang.
4
3-misoI. tga-tg(60°—a) tg(60°+a)=tg3a ayniyatni isbotlang.
Bu ayniyatlardan foydalanib, quyidagi trigonometrik ifodalarni osonlikcha
hisoblash mumkin:
a) sin 20° •sin 40^* •sin 80“ = 4 sin 3 ■гО'" = ^ sin 60“ = 4
4
149
2
b)
COS10® • cos 50® ■cos 70® =
cos 30® =
c) /-g6®-/-^54® ?g66® =/-^18®.
4-inisoL sm3acos^a+sin^acos3a=— sina ayniyatni isbotlang.
4
I s b o ti:
. »
3
.3
-
. - cos3a + 3cosa
4
_ 3 sin a - sin 3a 3 , . .
. , 3 . ,
+ cos 3 a ------------------ = - (sm 3a cos a + sm a cos 3a) = - sm 4a.
4
4
4
sin 3a cos a + sm a cos 3a = sm 3 a --------- ---------- +
5-misol. cosa-cos2a-cos4aifodani soddalashtiring.
Y e c h is h . Berilgan ifoda sina ga ko‘paytiriiadi hamda bo‘linadi:
/,
Л
•
- sin 2a • cos2a ■cos 4a
cosa • co sla ■cosAa ■sm a _ 2 __________________ _
sm a
sm a
1 1 (I
\
- sin 8a
2 2 \ 2 ..... .J,
sm a
1 (I
^
—sin 4a • cos 4a
2
sm a
sin 8a
ism a
sin 2a - cos 2a
ayniyatni isbotlang.
sin 2a + cos 2a
V. Yarim argwnentning trigonometrik fimksiyalari
6-misol. tg4a-sec4a=
1)
. a
sm —
2
ll-c o s a
J
2
■
A
l-c o s a .
3)
~ i 1 + cos a ’
4)
c tg ^
5)
a
2
sin a
1 + cosa
2)
a
cos —
2
1 + cos a
p
a Фn{2n + \), n e Z
1 -c o sa
,
„ч
zT-r:--; { а Ф п п , п в Zy,
sm a
150
, a 1 + co sa
sin a
,
6) c t g - = — ^------ = ------------; { a ^ n n , n e Z ) .
2
sin a
1 -c o sa
1-misol. tg7°30' ni hisoblang.
Y e c h is h .
t 7О30’ =
^
^ l -;^(%/6 + Л ) ^ (4 -^ /6 + ^/2)(^/6 + ^/^) ^
sinl5«
1 (7 б -Л )
( л /б - Л ) ( 7 б + Л )
= ^ :! h ± ! h ± ! b l= s -^ + ^ -2 .
4
2-misoI.
i- tg h s ^ ’
ni isbotlang.
.
I s b o ti.
1 - cos 30°
= -----l + cos30^ =cos30» =:— ■
^ ^ 1 - cos 30^
2
l + cos30‘’
Trigonometrik funksiyalar ko‘paytmasini yig'indiga keltirish
l + tghS
VI.
formulalari:
1) sin a cos P = ^ [sin(a + j3) + sin(cf - j3)];
2) cosacos/3 = i[c o s (a + j3) + cos(o;-j8)];
3) sin a sin
i [cos(o: - Д) - cos(a + P)].
Misol. со8а+со8(сН-2/3)+...+со8(оН-я:Д) ifodani soddalashtiring.
• —
P ga ko‘paytiramiz va bo'lamiz:
Y e c h is h . Berilgan ifodani sm
1
sin Y cos a + sin у cos(a + P) +sin ^ cos(a + 2/3) +
•
s in P
^
151
+ ... + sin у c o s ( a + n p )
sm a + 2
-sm
2 sin 4
Ч
-s in (
+ sin (
“
■^2
/
\
У
\
r
/3>
(
+ sin a - -s in
+ sin
2 /
2 jУ
\
2л + 1
2
+
5p^
-s in (
2 ;>
\
+ sin a + -
+ sm a +
“
-s in (
\
1
(
2П-1Л
- s m a + —-— p
2 /
^P)
2 /
f
2П + 1 Л
sm a + —-— p
sm ^
■ w+ 1 _
sm —j - p cos a + ^ P
1 ».«+!„
-----^ 2 s m ^ — j3cos a + ^ P
sin-^
2
■—
P
sm
2
VII. Trigonometrik ftmksiyalar yig'indisi va ayirmasining formulalari:
1) sin a + sin /3 = 2 sin
■cos —
;
2) sin a - sin )8 = 2 sin ^ ^ ^ • cos
-;
3) cosa + cos p = 2cos ^ ^ ^ ■cos ^ ^ ^ ;
4) cos a - cos p = 2 sin - ^ ^ ■sin
5)
+ tgp =
sin(o: + P)
co sa c o s p ’
6) t g a - t g p = - ^ ^ ^
c o s a -c o s ^3
2
■
’
n
a,p 4t-(2n-l),ne Z
n
a,p Ф-{2п-\),пв Z
7) ctga + ctgp = ~ ^ ^ ~ X ^ \ , [ a , p ^ 7 t n , n e Z]\
sma-sm^S
•'
152
8) с в а - c W = # " < “ - «
sin a • sin Д
M isol.
co sa + cos p + cos 7 + cos(a + P + y) =
.
a+B
a +Y
P+y
.
. . . .
= 4 cos——^ c o s —-— cos—- — aymyatni isbotlang.
Is b o ti.
co sa + cos p + C0S7 + cos(a + p + y) =
^
a +p
a-p y+a +p +Y
y-a-p-y
■cos -——— —- =
= 2 cos — — cos —
+ 2 cos ^------ ^
2
= 2 cos
a +p (
. 2 cos ^
2
2
2
2
2
a-p
a + p + 2y']
cos-----^- + cos----- ^ ----
cos “ -
^
4
-
^
■co s“ - ^
4
.
.
a+p
a+y
P+y
= 4cos-----—cos ^ ' cos ^
.
2
2
2
VII. Trigonometrik funksiyalami yarim argumentning tangensi orqali
ifodalash:
2tg^
1) sina = ------ —
1+
{афп{ 2п + \ ) , п е Z \ ,
2) cosa = -------- - [аФп{2п + \),п& Z\ \
3) tga =
a , ^ * ^ { 2 n + \),ne Z
153
5-§. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirishga
doir misollar yechish metodikasi
1-misol.
(1 - sin a){l + sin a) - cos^ a ifodani soddalashtiring.
Y e c h is h .
I usul.
(1 - sin a)(l + sin a) - cos^ or = 1 - sin^ a - cos^ a = 1 - (1 - cos^ a) -cos^ a = 1 -1 + cos^ a - cos^ a = 1 - 1 + cos^ a - cos^ a = 0.
II usul.
( l- s in a ) ( l + s in a ) - c o s ^ a =
= 1 - sin^ a - cos^ or = 1 - (sin^ or + cos^ a ) = 1 - 1 = 0.
Z-misol.
sin'* X + cos'* X -1
--------- 2----- sin X + cos X -1
ifodani soddalashtiring.
sin" X + cos" x - l _
4 + cos^ x - l
Y С С h i s h . . cьт
j n ^ V + c o s ^ X _I
/ * 2 \^
6*
i
х + шь X i
/ s i n ^ x j + COS ЛГ- 1
«
(1 - cos^ x)^ + cos" X - l _
1 - 2 COS^ X + cos" X + cos" x - l
(1 - cos^ хУ + cos® x - l
1 - 3 cos^ X + 3 cos" X - cos® X + COS®x - l
2 cos^ x(cos^ x - l ) _ 2
3cos^ x(cos^-l)
3
^
, l- ( s in x - c o s x ) ^ ............................
3-misol. — — 5---- — — ifodani soddalashtiring.
1+ sm^ X - cos X
, , , l- ( s in x - c o s x ) ^
Y o c h ls h .
. 2 '
2
1 + s in - x - c o s X
l - s in ^ x + 2 s in x c o s x -c o s ^ x
^2
2
'• 2
2
sin X + cos''X + sm‘‘ X- cos'^X
l- ( s in ^ x + cos^x) + 2 sin x co sx 2 sin x co sx cosx
= — ----------- — ~r------------------= ^ . 2------=
2sin^x
2sin^x
sinx
4-misol.
1
1
sin^ X
2
71 ------ 71 —
cos^ X ctg^x tg^x
154
ifodani soddalashtiring.
Y e c h is h .
1
s in ^ X
cos^ X
ctg^x
s in ^ X
co s^ X
cos^ X
tg^x
2
- cos X =
sin^ л: sin^ x cos^ л:
sin ^ X
cos^ X
1 - sin^ X - cos'^ X
COS^ X -
COS X
co s^ X
COS^ JC(1 - COS^ x)
—
cos"^ X
COS^ X
. 2
= S in ^ X .
COS^ X
[cos(-a) + sm (-« )f -1
5-misoI. ---- — 7 ifodani soddalashtiring.
cos^(-a) + sin'‘( - f l ) - l
[cos(-a) + sin(-fl)]
-1 _ (cos a - sin o f -1 _
cos^ (-a) + sin^ (-a) - 1
cos^ a - sin^ a ~ 1
cos^ a-2coS(3fsmfl + sin^ a - 1 _ - 2 c o s a s in a
cos^ a - sin^ a - (cos^ a + sin^ a)
- 2 sin^ a
• ctga.
6-misol. 1+sina+cosa ifodani ko'paytma shakliga keltiring.
Y e c h is h . 1+ s in a + c o sa = (1 + cosa) +sinor =
a
. a
= 2 co s^ ^ + 2 s in ^ c o s ^ = 2 c o s ^ cos —+ sm —
2
2
^
At
jL
/
/
Ч
. a
= 2 c o s~ sin 90» - -0 + s i n - = 2 cos Y •2 sin 45® x
/
V. V -
xcos
2^
Ч
= 2л/2С 08? ■cos k - f l
2
2/
V
7>misol. > /3 -2 sin a
shakliga keltiring.
Y e c h is h .
ifodani ayniy almashtirish orqali ko‘paytma
> /3 -2 s in a = 2
= 4 sin
V
/
r^/з
.
—- sm a = 2 (sin 60® - s i n a j =
-COS Г з о » .? 1
2
\
/
155
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
4-2tg45 +tg60
3 s in 9 0 - 4 c o s 6 0
2 7C
.
Javobi:
+4ctg45
2 + yf3
4 ^
4-tg - + ctg _____________ 4 _________ 3
2.
_ 3 7Г
3 s in
— + COS
2
2^
^
3
4
Javobi:
— + ctg —
. . я
3. 4sin —
2 cos —
2 c /^ -
4
Javobi: —1.
4
4. sin 2л- + cos Ал + tglK4 b - Aac.
5. ctg Y + cos
6.
112
153'
^ + sec 0°.
Javobi: 1.
Javobi: 2.
sin у + lab cos л - b^ sin ^ я.
Javobi: ( a -b ) \
3
3
7. 10/^2^ + 3 c o s -;r-4 /^ ;r-5 s in -s ^ .
»
Z
J.
Javobi:
5.
8.4 sin 90° + 3 cos 720° - 3 sin 630° + 5 cos 900°.
Javobi:
5.
9. 5i*^540° + 2 cos 1170° + 4 sin 990° - 3 cos 540°
Javobi:
-I.
10.1000/^2990° + 25i-g2540° - 3 cos^ 900.
Javobi:
-3 .
11. /^900° - sin(-1095°) + cos(-1460°).
Javobi:
л/1,5.
12. sin(-1125°) + cos2(-900°) + tgYllQ".
Javobi:
13.
cos20 + c o s 4 0 ° +cos60°+... + coil60°+ c o j 1 8 0 °. Javobi:
14. sm
2729n . 29n
, Ък . 2 Ък
+ c o s e r ~ — /g — .
4
4
( 14;rV
156
Javobi:
2-y{2
0
-1 .
2 -Т з
17
5 + sin 30® cos60°
15,
Javobi:
a + Acos2w-siiiff
4(fl + b ) '
/Иcos V + и sin ^ - J‘gя:
4______ 4
16.
^ л:
. n
m n-m tg--ctg-
Javobi:
17. (sin (p + cos <pf + (sin (p - cos (pf .
Javobi: 2.
18.
1 + cos /3 + cos^ p
1 + sec Д + sec^ p
2/я(и-1)
Javobi: cos^ jS.
. -j a
. 2 cc
2 oc
4«
19. sm^ —+ sm —cos'^ —+ cos —.
J,
1
cos ec 2a - 1
-J2(m + n)
cos^ 2a
1 - sin a
Javobi: 1.
- +1--------•
r--20. ------- IT---------
Javobi: sec^ 2a.
21 .
Javobi: cos^ j8.
22. (l -cos^ jcjcrg^ x-l.
Javobi:- sin ^ x.
23. cos'* X - sin'* X + sin^ x.
Javobi: cos^ x.
24.
1 - sin'* 2a - cos'* 2a
+ 1.
2 sin'* 2a
Javobi: 1.
25. (l - cos^ P)tg^P - sec^ p.
Javobi: - cos^ /3.
та
та
. 2 (X
2®
26. c o s ^ — CO s e c ^ — + sin '^ — • CO s e c ^ — .
/avoW: co sec^ ^.
cos a
- Ictg^a.
1 + co sa
27.
cos a
1 -co sa
28.
l + 2sin2x ■cos2x
-co s2 x .
cos2x + sin2x
Javobi: 0.
Javobi: sin2x.
157
T aKtfo rla sh uchun sa v o lla r
1. A yniy shakl almashtirish deb nimaga aytiladi?
2. A yn iyat tushunchasini t a ’riflab bering.
3. ^ irh a d deb nimaga aytiladi?
4. j^o'phad deganda nimani tushunasiz?
5. 0 ‘xshash hadni t a ’riflab bering.
6. Iscchamlash deganda nimani tushunasiz?
7. Q anday ifodaga kasr ratsional ifoda deyiladi?
8. Ifratsional ifodani t a ’riflab bering.
9. Trigonometrik ifodalardagi ayniy almashtirishlar qanday bajariladi?
JO. Ikki burchak yigHndisi va ayirmasining sinusi nimaga teng?
U , Ikki burchak yigHndisi va ayirmasining kosinusi nimaga teng?
12, Ikki burchak yigHndisi va ayirmasining tangensi nimaga teng?
13, Ikki burchak yigHndisi va ayirmasining kotangensi nimaga teng?
14, Asosiy trigonometrik ayniyatlarni yozib bering.
15, Jkkilangan va uchlangan trigonometrik funksiyalam i tushuntirib bering.
16, Yarim argumentni trigonometrik funksiyalari deganda nimani tushunasiz?
17, Trigonometrik funksiyalar ko'paytmasini yigHndiga qanday kehiriladi?
18, Trigonometrik fu nksiyalar yigHndisi va ayirm asining к о ‘p aytm aga
qanday kehiriladi?
19, Trigonometrik funksiyalam i yarim argumentli tangensi orqali qanday
ifodalanadi?
20, Trigonometrik ifodalam i soddalashtirish deganda nimani tushunasiz?
Tay#inch iboralar
A yn iyat tushunchasi, birhad, ko'phad, o'xshash had, ixchamlash, kasr
ra tsio n a l ifoda, irratsional ifoda, trigonom etrik ifoda, ik k i burchak
yigHndisining sinusi, kosinusi, tangensi, kotangensi, ikki burchak ayirmasinifig sinusi, kosinusi, tangensi va kotangensi, trigonometrik ayniyat,
ikkilangan trigonometrik funksiyalar.
VIII bob.
TENGLAMALARNI 0 ‘RGANISH M ETODIKASI
l- § . Tenglama tushunchasini kiritish metodikasi
Maktab matematika kursida tenglama tushunchasi konkret-induktiv
metod orqali kiritiladi. 0 ‘quvchilar IV sinfgacha natural sonlar ustida
ta ’rifsiz to 'rt am alni bajarishni o ‘rganadilar, so‘ngra o ‘quvchilarga
qo‘shish, ayirish, bo‘lish amallarida qatnashayotgan komponentlardan
ikkitasi m a’lum bo‘lganda nom a’lum qatnashayotgan kom ponentni
topish o‘rgatiladi. Bunda ana shu topilishi kerak bo‘lgan komponentni
harf bilan belgilanadi. Masalan, qanday songa 4 ni qo‘shsak, 7 soni
hosil boUadi? x + 4 = 7. Qanday sondan 8 ni ayirsak, 10 soni hosil
bo‘ladi? X — 8=10. Qanday sonni 5 ga boUsak, 7 soni hosil bo‘ladi?
X : 5 = 7, 18 soni qanday songa bo'linsa, 3 soni hosil bo‘ladi? 18 : x=3.
Shu xildagi savollar asosida harfiy ifoda qatnashgan to ‘rt amalga doir
tengliklarni hosil qilishi mumkin. 0 ‘quvchilar x + 4 = 7 tenghkdagi
nom a’lum x sonini topishni ayirish mavzusidan biladilar, ya’ni «no­
m a’lum qo‘shiluvchini topish uchun yig‘indidan m a’lum qo‘shiluvchini
ayirish kerak» degan qoidaga ko‘ra berilgan x + 4 = 7 tenghkdagi
nom a’lum sonni quyidagicha topadilar; x = 7 - 4 = 3. Ana shu fikrlami
o‘quvchilarga tushuntirib, so'ngra x + 4 = 7 tenglik matematika kursida
tenglama deb.atalishini, so'ngra unga berilgan quyidagi ta ’rifni keltirish
mumkin.
T a’rif. Noma ’lum son qatnashgan tenglik tenglama deyiladi.
X + 4 = 7; X -
5 = 9; 12 - X = 6,27; x = 9; x : 8 = 7 ... .
Tenglama deb qaralayotgan tengliklarda nom a’lum sonlar x, y, z- —
harflar bilan belgilanadi. Tenglamani yechish degan so‘z uning ham m a
ildizlarini topish demakdir, boshqacha aytganda, nom a’lunming teng­
lamani chap qismini uning o ‘ng qismiga teng qiladigan qiymatni topish
tenglamani yechish deb ataladi.
Masalan, x + 4=7 tenglama, x = 3 soni uning ildizidir, chunki
tenglamaning Hdizigina berilgan tenghkni to ‘g‘ri tenglikka aylantira oladi.
T a’rif. Nomalum sonning topilgan qiym ati berilgan tenglamaning
yechimi yoki ildizi deyiladi.
159
Bundan ko'rinadiM, noma’lumli tenglamaning ikkala qismini son jihatidan
teng qiladigan qiymati tenglamaning ildizi yoki yechimi bo‘lar ekan. Demak,
л=3 yechim bo‘lgani uchun 3+4=7 bo'ladi. IV sinf o'quvchilariga bir
noma’lumli tenglamalami yechish uchun quyidagi qoida o‘rgatiladi:
1. Agar berilgan tenglamada nom a’lum son kamayuvchi bo‘lsa, u
quyidagi qoidaga ko‘ra topiladi. N om a’lum kamayuvchini topish uchun
ayriluvchi ЬДап ayirmani qo'shish kerak. Umumiy holda x — b =c
bo'lsa, x^ b + c bo'ladi.
2. Agar berilgan tenglamada nom a’lum son ayiriluvchi bo‘lsa, u
quyidagi qoidaga ko'ra topiladi. N om a’lum ayiriluvchini topish uchun
kamayuvchidan ayirmani ayirish kerak. Umumiy holda: a — x =c
bo‘lsa, X = a — с bo‘ladi.
3. Agar berilgan tenglamada nom a’lum son ko‘payuvchilardan biri
bo4sa, u quyidagi qoidaga ko‘ra topiladi. Nomalum ko‘payuvchini
topish uchun ko'paytmani m a’lum ko'payuvchiga bo'lish kerak. Umumiy
holda: a ■x = с bo‘lsa. x=c:a bo‘ladi.
4. Agar berilgan tenglamada nom a’lum son bo‘luvchi bo‘lsa, u
holda u quyidagi qoidaga ko‘ra topiladi. N om a’lum bo'luvchini topish
uchun bo'linuvchini bo‘linmaga bo‘lish kerak. Umumiy holda a : x = с
bo‘lsa, X = a : с bo‘ladi.
5. Agar berilgan tenglamada nom a’lum son bolinuvchi bo‘lsa, u
quyidagi qoidaga ko‘ra topiladi. N om a’lum bo'linuvchini topish uchun
bo'linmaga bo'luvchini ko'paytirish kerak. Umumiy holda x : a = с
bo'lsa, X — a ■ с bo'ladi.
6. V sinf matematika kursida manfiy sonlarni ayirish mavzusi o‘tiladi,
bunda berilgan yig'indi va qo‘shiluvchilardan biriga ko‘ra ikkinchi
qo‘shiluvchi topiladi. Masalan, x + (—5)=12 tenglik berilgan bo'lsin. x ni
topish uchun tenglikning har ikki qismiga 5 sonni qo'shamiz, x + (—
5)+5=12+5, X =17. Bundagi 17 soni 12 va —5 sonlarining ayirmasidir,
ya’ni 12—(—5)=12+5=17. Javobning to ‘g‘riligini qo‘shish amah orqaU
tekshiriladi: 17+(-5)=12. A garx+(—5)=12 tenglikka IV sinfdagi berilgan
tenglam a ta ’rifini qo'llasak, x + (—5)=12 tenglik tenglam a bo‘lib
hisoblanadi. Bu yerdagi x=17 soni esa x+(-5)=12 tenglamaning ildizi
bo‘ladi. Yuqoridagi yechish bosqichlariga ko‘ra x+a=0 yoki —x+ a= 0
ko‘rinishdagi tenglamalami yechish qoidasini chiqarish mumkin. x + a ^
yoki —x + a = b ko‘rinishdagi har qanday tenglamani yechish uchun
ularning chap va o ‘ng qismlariga birgina —a sonini qo‘shish kifoya:
{x + a = b )= > [x + a —a = b -a )= > {x = b —ay,
{—x+ a= b) = > {—x + a —a = b - a )- > { - x = b - a ) = > (x=fl-6).
160
MisoUar:
I) У + 9= -5;
2 ) x - 3=-17,
+ 9 + (-9 ) = 5 + (-9 )
X - 3 + 3=-17 + 3;
у + 9 -9 = -5 -9 ;
x =-14.
у =-14.
3) 4 — (2,8 - x) = 1,5.
T e k s h ir is h :
4 -1,5 = 2,8 - x;
4 - (2,8 - 0,3) = 1,5
-2,8 + 2,5 = 2,8 - 2,8 - x;
1,5 = 1,5.
- X = -0 ,3 => X = 0,3.
Shu misollardan keyin tenglama tuzishga olib keladigan masalalami
yechish foydali bo'ladi.
1masala. Savatda bir necha qo'ziqorin bor edi. Unga yana 27 ta
qo‘ziqorin solinganidan keyin qo‘ziqoriniar 75 ta bo'ldi. Savatda nechta
qo'ziqorin bo'lgan?
Y e c h is h . Savatdagi bor qo'ziqorinlar soni x bilan belgilanadi. U holda
shartga muvofiq x f 27=75 tenglamani tuzamiz.
Tenglamani yechish uchun bunday mulohaza yuritiladi: tenglikdagi
noma’lum qo'shiluvchini topish uchun yig‘indidan ma’ium qo'shiluvchini
ayirish kifoya, ya’ni x=75-27=48 (ta). Tenglama yechimini to‘g‘ri yoki
noto‘g‘ri ekanligini bilish uchun tuziigan tenglamadagi noma’lum x o‘rniga
48 sonini qo‘yib, uni hisoblaymiz. Agar tenglamaning chap qismida ham
75 chiqsa u to‘g‘ri yechilgan bo'ladi. 48+27=75, 75=75. Demak, yechim
to‘g‘ri ekan.
Matematika fanida tenglik tushunchasi taqqoslash tushunchasi orqali
quyidagicha tushuntiriladi: o'rganilayotgan matematik obyektdagi narsalaming
o'zaro o'xshash va farqli tomonlarini fijo'mrak aniqlash taqqoslash deyiladi.
Ana shu o‘rganilayotgan narsalaming o‘xshash yoki farqli tomonlarini
taqqoslagganda bir xil son qiymatiga ega bo‘lsa, u holda bu narsalar son
jihatidan teng deb qaraladi, u tenglik (=) ishorasi bilan belgilanadi. Agar a
va b sonlar o‘zaro teng bo'lsa, u a=b kabi agar ular teng bo'Imasa, офЬ
kabi belgilanadi.
Masalan, 3=3, 7+1=8, 9 -6= 3 ........ Shuningdek, 85^9, 3+55*4, ... kabi
yoziladi.
Matematika kursida tengliklar ikki xil bo‘ladi, ayniyat va tenglama.
T a’rif. Tarkibidagi noma ’lum sonlam ingyo 7 go ‘y iladigan har qanday
qiymatlarida ikkala qismi bir xil son qiymatlarini qabul qiladigan tenglik
ayniyat deyiladi.
M asalan,
x ^ -l = (x -l)(x + l);
1i - s. Alixonov
161
-у ^
2
1
1
1
-----^ = х^
+ х у + у 2\
------= ------------х-у
х^-1 х + 1 х - 1
1)
1=(л^1)-(х+1) tenglikni olaylik, х ning ixtiyoriy qiymatlarida
tenglikning chap tom oni o ‘ng tomoniga teng chiqadi.
Masalan,
x = 2 bo'lsin, 22 -l= (2 -l) (2+1), bundan 3 = 3
X = 5 bo‘lsin, 5 2 -l= (5 -l)(5 + 1), bundan 24 = 24
2)
X
1
X4“l
X
olaylik, bunda eng aw alo bu
1
tenglikdagi noma^umlaming yo‘l qo‘yiladigan qiymatlarini aniqlash lozim.
Bu tenglikda x ^ l bo‘lishi kerak, aks holda kasming maxraji nolga teng
b o ‘lib, u m a’noga ega bo 'lm ay qoladi. Shuning u ch u n berilgan
harflaming yo‘l qo‘yiladigan qiymatlariga quyidagicha ta ’rif berilgan.
T a’rif. Tenglik tarkibiga kimvchi harflaming shu tenglikning о ‘ng va
chap qismi m a ’noga ega b o ‘ladigan qiym atlari bu harflam ing y o ‘l
qoyHadigan qiymatlari deyiladi. Yuqoridagi tenglamada yo‘l qo‘yiladigan
qiymatlar х Ф ± \ lardan boshqa barcha haqiqiy sonlardir. Masalan,
1
agar X = 2 bo‘lsa, 22_ i
1 1
2+1 2 - 1 ’
1 1 1
3 l " 3 ’
1
1 1
З+ Г З - Г
1 1 1
4'2~8'
agar X = 3 bo‘lsa,
Endi matematlka kursida shunday tengliklar ham borki, ularning
ikkala qismi harfning bir xil yo‘l qo‘yiladigan qiymatlarida turli son
qiymatlarini qabul qiladi. Masalan: x+5=7, 2x — 7 = 8.
Bu ko‘rinishdagi tengliklarni tenglamalar deb ataladi, tenglama
biror berilgan tenglikning ikkala qismi nom a’lum harfning yo‘l qo‘yiladigan qiym atlarida bir xil son qiymatlar qabul qilishini aniqlash
masalasini o'rganuvchi tenglik bo‘lib hisoblanadi. V sinfda 4x=2x+l6
ko'rinishdagi tenglamani yechish o ‘rganiladi. Bunday tenglamalarni
yechish uchun tenglikning har ikkala tomoniga —2x ifoda qo‘shiladi.
4x+(—2x)=2x+(-2x)+l6, 4л^2х=2х-2х+1б. Bu ifodaning tengligini
quyidagicha tushuntirish mumkin. Tarozining har ikkala pallasidan
o ‘zaro teng bo‘lgan miqdordagi narsalar olib tashlanadi, u holda 2x=l6
tenglik hosil bo‘ladi, bundan x=8 soni kelib chiqadi, x=8 soni 4x=2x+16
tenglamaning yechimi yoki ildizi bo'ladi.
162
Bir nom a’lumga nisbatan ikki tenglamadan binning har bir ildizi
ikkinchi tenglamaning ham ildizi bo'lsa, ikkinchi tenglamaning har
bir ildizi esa shu bilan birga birinchi tenglamaning ham ildizi b o ‘lsa,
bu ikki tenglama teng kuchli (ekvivalent) tenglamalar deyiladi. Masalan,
2x+ 5 = 7 va лг-1=0 tenglam alar teng kuchli tenglam alardir, chunki
iilaming ikkalasining ham ildizi л^=1 sonidan iboratdir. Bundan tashqari,
ildizlari mavjud bo'lmagan tenglamalar ham teng kuchlidir. Masalan,
x^ = -3 va x^ + 2 = -5 va hokazo. Teng kuchli tenglamalaming quyidagi
xossalarini o'quvchilarga tushuntirish maqsadga muvofiqdir.
1xossa. Agar tenglamaning ikkala qismi noldan farqli biror songa
k o ‘p aytirilsa yoki boHinsa, berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama
hosil b o ‘ladi.
Masalan, 15x-5=25, bu tenglamaning har ikki tom onini 5 soniga
b o 'lsa k , 3x—1=5 te n g lam a hosil b o ‘lad i, bu te n g lam a o ldingi
tenglamaga teng kuchli bo'lgan tenglamadir.
Masalan: \2 x - 7 = 2 x f 13. 12x — 2x=13+7, lOx =20, x=2.
2-§. Chiziqli tenglamalar
Maktab matematika kursida chiziqli tenglama tushunchasini kiritish
abstrakt-deduktiv usul orqali amalga oshiriladi, chunki bu tenglama
uchun aw alo ta ’rif beriladi, so‘ngra tenglamaning umum iy ko‘rinishi
va uni yechish usullari ham da grafigi o'rganiladi.
T a ’rif. A gar tenglam aning chap va o ‘ng qism lari, n o m a ’lum
o ‘zgaruvchiga nisbatan chiziqli funksiyalardan iborat b o ‘lsa, bunday
tenglama chiziqli tenglama deyiladi.
ChiziqU tenglama umumiy holda ax+ b = cx + d ko'rinishda ifodalanadi. Bunda a, b, с, d — berilgan m a’lum sonlar, x esa nom a’lum son.
Bu ko‘rinishdagi tenglamalarni yechish quyidagicha amalga oshiriladi:
a x + b = c x + d . ( l ) , a x —c x = d —b, x (a —c )= d —b,
d -b
(2)
1. Agar a ^ bo‘lsa, (1) tenglama (2) ko‘rinishdagi bitta yechimga
ega bo'ladi.
2. Agar fl—c=0. d —b ^ bo‘lsa, (1) tenglama Q-x=d—b ko‘rinnshni
oladi, bunday tenglama x ning hech bir qiymatida o ‘rinU bo‘lmaydi.
Demak, bu holda tenglama yechimga ega emas.
3. Agar a —c=0 va d —b=^ bo'lsa, (1) tenglama 0-x=0 ko‘rinishni
oladi, bu tenghk x ning barcha qiymatlarida o'rinli, shuning uchun
1^3
(1) tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. Boshqacha aytganda,
har qanday son uning yechimi bo'laveradi.
1- misol. а+Уг=а^х-\ tenglamani x ga nisbatan yeching.
Y e c h is h . a+\=(fx~x, a+l=x(a^-l); a+ l= x(a-l)-(a+ l).
1. Agar a
+1 bo'lsa, tenglama x =
yechimga ega.
fl-1
2. Agar a = l bo‘lsa, tenglama Ox = 1 ko'rinishni oladi, bu holda u
yechimga ega emas.
3. Agar fl= -l bo‘lsa, tenglama —2x=l,
ko'rinishni oladi, bu
holda u tenglama yechimga ega.
2- misol. 3-a x = x -b tenglamani x ga nisbatan yeching.
3 - misol. ax—b = l+ x tenglamani x ga nisbatan yeching.
3-§. Parametrik usulda berilgan kasr-ratsional
tenglamalarni yechish
Parametrik usuldagi tenglamalarni yechish degan so‘z tenglamada
qatnashayotgan parametrlarning yo‘l qo‘yiladigan barcha qiymatlariga
mos keluvchi ildizlami topish demakdir.
Misol.
Д tenglamani yeching.
~
Bu tenglama ma’noga ega bo‘lishi uchun ах-Лч^О va 9x-a4tO bo'lishi
kerak. Tenglamaning har ikkala tomonini (ax-4)-(9x-a) ga ko'paytirilsa
45x—ax=5a—4 tenglama hosil bo'ladi, bundan:
45x - ax=5a - 4, x(45 - a)=5a — 4.
(1)
Endi a ning qanday qiymatlarida 9x-a=0 ga ax^4=0 tengliklar o'rinli
bo'lishi topiladi
a
4
va x=—
Bu qiymatlarni (1) tenglamaga
qo'yilsa, a ga nisbatan kvadrat tenglama hosil bo‘ladi:
a
1) ^ (45 - a)=5a - 4.
2)
4
- (45 - a)=5a - 4.
45a — = 45fl - 36,
180 - 4a=5a^ - 4a,
— Ъ(>, a = ± 6.
= 36, a = ± 6.
Agar parametr a=±6 qiymatni qabul qilsa, berilgan tenglama maxraji
nolga teng bo'lib, u ma’noga ega bo'lmaydi, shu sababli (45-a) x=5a-4.
(1) tenglama berilgan tenglamaga teng kuchli bo'lganligi uchun, a ^ 6 shartga
164
ko‘ra, bu tenglamani quyidagicha yechamiz:
1. a) Agar 45 — a 0 bo‘lsa, a 45 bo‘ladi. Bu holda (1) tenglama
bitta yechimga ega boiadi.
b) Agar 45—a=0 bo'lsa, (1) tenglama 0-x=221 bo'ladi, bu holda
tenglama yechimga ega emas. Javobi: x =
5a —4
—- ,
a
45 va a=± 6.
2. Agar a = 45 bo‘lsa, tenglama yechimga ega emas.
3. Agar a=±6 bo‘lsa, tenglama ma’noga ega bo‘lmaydi.
1
1
2- misol. -z--------+ —5—
In + nx x ^ - 2 x
2(и + 3)
— — tenglamani yeching.
x^-4x
Javobi: 1) agar « = - 4 bo‘lsa, x = 8; 2) agar и = - 2 bo‘lsa, x=4;
3) agar й=-1 bo'lsa, д:=1; 4) agar и=1 bo'lsa, x=3.
3- misol. —^
x -1
Javobi:
^
x -b
= 1 + T tenglamani yeching.
b
2b
x, = 6 + 1, x = -— 7 , b ^ 0, b ^ 1.
*
■‘
0+ 1
Agar b= -l bo‘lsa, x=0. Agar b=l bo'lsa, x=2.
4-§. Noma’lum absolut miqdor belgisi ostida qatnashgan
tenglamalarni yecMsh metodikasi
Absolut m iqdor ta ’rlfiga ko‘ra x sonining absolut m iqdori quyida­
gicha aniqlanadi:
X,
X =
-X ,
0,
agar
agar
agar
X> 0
X< 0
X =0
bo'lsa,
bo‘lsa,
bo‘lsa.
Masalan. jSj = 5 , 1-2| = 2;...
T a’rif. Agar tenglamadagi noma ’lum soni absolut qiymati belgisi bilan
kelsa, bunday tenglama absolut miqdor belgisi ostidagi tenglama deyiladi.
Masalan, |3x -1 1 = 4. |2x - 1| = |5x - 7\, |5x - 71 = 13.
Bu ko‘rinishdagi tenglamalarni quyidagi usxillar bilan yechiladi.
1- misol. |5x — 7| = 13.
Y e c h is h . I usuL
1) 5x-7=13,
2) 5 x -7 = -1 3 ,
5x = 13 + 7,
5x = -1 3 + 7,
165
5х= 20,
5х= -6 ,
х=4.
6 Л
х = -= -1 -.
T e k s h iris h . 20-7=13, 13=13. Demak, х=4, х= -6/5 sonlari berilgan
tenglamaning ildizlari bo'iadi.
IIusul. (Grafik usuli): y = 5 x -l ftinksiya grafigi chiziladi, ulaming kesishish
X
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
Y
7
2
3
8
13
18
23
12
17
22
27
nuqtasining absissasi berilgan tenglamaning yechimi bo‘ladi (21-chizma).
Buning uchun j=|5x—7| funksiyaning grafigi yasaladi. Bu grafikning x
o‘qidan yuqorida yotgan qismini o‘zgarishsiz qoldiramiz. lining uchun
5x—7>0, shu sababli |5x—7|=5x—7 bo'ladi. Bu grafikning absissalar o'qidan
pastga yetgan qismiga shu o‘qqa nisbatan simmetrik akslantiramiz. Bu holda
5x—7<0 bo'ladi, ya’ni |5х-7|=-(5л—7). Natijada y=5x—7 ftinksiya grafigi
>^13 chiziq bilan ikki nuqtada kesishadi, kesishish nuqtalarning absissalari
x=A va
nuqtalardan iborat bo‘ladi, ana shu nuqtalar |5лг—7|=13
tenglamaning yechimi bo‘Iadi.
H I usul. (oraliqlar metodi). Absolut miqdor belgisi ostidagi |5x—71
7
ifoda X = - d a nolga aylanadi. Sonlar to‘g‘ri chizig'ida
f
7^
^
nuqtani
oUngan qiymatlarga
\
/
ko'ra |5x—7| ifodani absolut miqdor belgisiz quyidagicha yozish mumkin:
belgilab, bu nuqtadan chapda
va o‘ngda
7
166
7^
—соoraliqda,
5
-5 х + 7, birinchi
5х-7
5 х - 7 , ikkinchi ( 7
5 ’'
oraliqda.
Bularga ко‘га tenglamani quyidagi ikki ko'rinishda yozish mumkin:
1) -5 x + 7 =13,
2) 5 x - 7 =13,
-5 x = 1 3 - 7 ,
5x = 13 + 7,
—5x = 6,
5jc=20,
6
,1
*“ " 5 '" ‘ 5’
2-misol. \7x - 1| = 21 - 9x.
Y e c h is h .
1) 7x - 1 =21 - 9x,
7x + 9x = 21 + 1,
16x = 22,
22
11
X =4.
2) 7x - 1 = -(21 - 9x),
7x - 1 = 9 x -2 1
9x - 7x = 21 - 1,
,3
2x = 2 0 , X = 10.
T e k s h ir is h .
7 .iA _ l = 2 1 - 9 - 7 7 - 8 ^ 168-99
Demak, x = ^
soni berilgan tenglama yecliimi ekan.
О
3-misol. |x—l|+|x+l|=2 tenglamani yeching. Bu tenglamada д^1=0 va
x+l=0, demak, ular x=l va x=—1 yechimlarga ega bo‘ladi. Sonlar to‘g‘ri
chizig'ida x=l va x=—1 nuqtalar belgilanadi, bu holda sonlar to‘g‘ri chizig‘i
uchta oraliqqa ajraladi. Birinchi oraliq (— —1), ikkinchi oraliq [—1,1],
uchinchi oraliq (l,°o) dan iboratdir. |x -ll va |x+l| ifodalaming har birini
hosil qilingan oraliqlarda absoiut miqdor belgisiz quyidagicha yozish mumkin:
1)
agar x < -l bo‘lsa, |x-ll+|x+ll=2 tenglama —х+1-д^1=2 bo‘ladi,
bundan —2x=2 yoki x=—1 yechimga ega bo‘lamiz;
2)
agar - 1 ^ 1 bo‘lsa, |д—l|+ |x+ l|-2 tenglama —x + l+ x+ l= 2 bo'ladi,
bundan 2x=2 yoki x=l bo‘ladi. Demak, x=—1 va xf=1 yechimlarga ega bo'ladi.
4-misol. 2x^—5x-3 lx-2|=0 tenglamani yeching.
1) agar x<2 bo‘lsa, 2x2-5x-3|x-2| tenglama 2x^-5x+3x—6=0 yoki
x^—?r-3=0 ko'rinishni oladi, uni yechdi x ^2 ~
167
1 +лЛз
1 -лЯз
^
уа m Xi = — -— va Xj = — -—
Bunda:
uchun
Xy =
X2 = -
yechimlar hosil qilmadi.
yechim qaralayotgan sohada yetmaydi, shuning
, ( - 00, 2) oraliq uchun yechim bo'ladi;
2)
agar x>2 bo‘lsa, berilgan tenglamadan 2x^-5x^3x+6=0 hosil boiadi
yoki ushbu
4x+3=0 ko'rinishni oladi, uni yechsak, x ,= l va x^=3
yechimlarga ega bo‘linadi. Bundagi x = l yechim qaralayotgan oraliqda
yotmaydi, shuning uchun (2,о») oraliq uchun yechim x^=3 bo‘ladi. Demak,
2л:^—5x-3|x-2|=0 tenglamaning yechimi
л:, = 1 -
,
X2 = 3 bo'ladi.
5-§. Kvadrat tenglama tushunchasini kiritish metodikasi
Kvadrat tenglama tushunchasi VII sinfda o‘tiladi. Bu mavzu materialini 0 ‘tishdan bir necha kun oldin o'qituvchi qo‘shimcha vazifa
sifatida o ‘quvchilarga kvadrat uchhaddan to ‘Ia kvadrat ajratish mavzusini
o'rganib kelishlarini vazifa qilib berilishi kerak:
ax^ + b x = a
X
\
+ - л: + a
a
= a x^ + 2 — x +
2a
4a^
=a
Misol.
c>
( l b
/
-
/
\
1
^X+ - 1
a I 2 + 2 ---2a
a/
V
с
Aa^
b >^ Ы -4 a c
x+—
=af
2a
4
д
2
\
/
\
x 4 4 x - 3 = 2 x^ + 2 x - -
- 4flc
2a /
4a
= 2 x^ + 2 x + \ - ^ - \
= 2((x + l f - | ) = 2(x + l)2 -5 .
Kvadrat uchhaddan to‘la kvadrat ajratishni tushuntirilganidan so'ng
kvadrat tenglama tushunchasini abstrakt-deduktiv usul orqali kiritiladi.
168
T a’rif. ox^+6jc+c=0 (1) ko'rinishdagi tenglama kvadrat tenglama
deyiladi, bunda a, b, с berilgan sonlar, a^O, x noma ’lum sondir.
Bu tenglamaning ildizlarini topish uchun tenglikning chap tom onida
tuigan kvadrat uchhaddan to ‘la kvadrat ajratiladi, ya’ni
b ^
x +—
2a
\
/
b^ - Aac _
,. (
.
= 0 yoki
Aa
\
i f
2a /
- Aac
(2)
(2) tenglama (1) tenglamaga teng кисШ tenglamadir. (2) haqiqiy
yechimga ega bo‘Iishi uchun
6^ -4 flc
> 0 bo‘lishi kerak. Bundagi b^— 4ac
(1) ning diskriminanti deyiladi va u D = b^ -A a c kabi belgilanadi.
1)
Agar diskrimlnant D=b^ — 4ac>0 bo‘lsa, (1) tenglama ikkita
haqiqiy har xil yechimga ega bo‘ladi. Bu yechimni (2) tenglamadan
topa olamiz:
b^ - Aac _ b ^ ylb^ -A a c _ - b ± 4 b ^ - Aa c
Aa^
2a ~
2a
2a
- b + yjb^ - 4 a c
X2 =
- b - y j b ^ - Aac
2й
’ "
2a
2)
Agar diskriminant D =b^—Aac<0 bo'lsa, (1) tenglama haqiqiy
sonlar to'plam ida yechimga ega emas.
3) A gar diskrim inant D =b^~A ac=0 b o ‘lca, (1) b itta haqiqiy
yechimga ega bo‘ladi: x, = Хг
Maktab matematika kursida to ‘la kvadrat tenglama koeffitsiyentlariga
m a’lum shartlar qo‘yish orqali chala kvadrat tenglamalar hosH qiUnadi.
A gar (1) b = 0 va c= 0 b o ‘lsa, a x ^ + bx+ c= 0 ten g lam a ax^=0
ko‘rinishni oladi, uning yechimi x=0 bo‘lgan
bo'ladi. Agar
b=0 bo'lsa, ax^+bx+c=0 tenglam a ax^+c=0 ko‘rinishni oladi, uni
С
с
>0 bo'ladi, bunda
yechilsa, x^ = — bo‘ladi, agar - < 0 bo'lsa,
a
a
и
flx^+c=0 tenglama haqiqiy sonlar to ‘plamida yechimga ega bo‘ladi,
Agar - > 0 bo‘lsa, ax^+c=0 tenglama haqiqiy sonlar
a
to'plam ida yechimga ega emas.
ya’ni xi_2 = ±4
a
169
4)
Agar c=0 bo‘lsa, ax^+6x+c=0 tenglama ax^+bx^^ ko‘rinishni
oladi, uni yechilsa
x =0
{ax^+bx)=Q => x{ax+b)-Q
x = - yechimlari hosil qilinadi.
a
ax^+bx+c=Q ko'rinishdagi tenglama ildizlarini yana quyidagi usul
bilan ham hisoblash m um kin. B erilgan tenglam ani a x ^ + b x -—c
ko‘rinishda ifodalab, uning har ikkala tom onini Aa ga ko‘paytiriladi,
natijada 4a^x^+4abx=~4ac tengUk hosH bo‘ladi. HosH bo‘lgan tenglikning
har ikki tomoniga b^ ni qo‘shiladi: 4a^c^+4abx+b^=b^—4ac bundan:
(2ax+by=b^—4ac.
Agar D=b^~4ac>0 b o ‘lsa, bu tenglikning h ar ikki tom onidan
arifmetik kvadrat ildiz chiqarish mumkin;
(lax + b) = -Jb^ - 4ac.
Bunda ikki hoi bo'lish mumkin:
l)a g a r 2 a x + K 0 b o ‘lsa, -{2ax + b) = ^lb^-4ac,
2) agar 2ax+b>Q bo‘Isa, 2ax + b = 4b^ - 4 a c , ^2 =
-b ± ^ b ^ - 4 a c
2a
Shunday qilib, diskriminant D=b^—4ac>0 bo‘lsa, tenglama ikkita
haqiqiy har xil yechimga ega bo‘ladi.
Kvadrat tenglama ildizlarini uning diskriminantiga ko‘ra tekshirishni
quyidagi jadval orqali tushuntirilsa, o ‘quvchilarning mantiqiy fikrlash
qobiliyatlari ortadi;
Agar £>0
bo'Isa,
/Х0 bo'Isa, ikkala ildiz musbat,
гКО bo'Isa, ikkala
ildiz har xil bo'ladi
/< 0 bo'Isa, ikkala ildiz musbat,
Xi = 0
с=^
b,
^^=~~a
/Й>0 bo'Isa, Ikkala Ildiz глапАу.
/ ^ 0 bo'Isa, ikkala ildiz manfiy.
^ 0 bo'Isa, ildizlardan biri nolga teng,
ikkinchisi esa manfiybo'iadi,
A :0 bo'Isa. ildizlardan biri nolga teng,
ikkinchisi esa musbat bo'ladi.
/Й>0 bo'Isa, ikkala ildiz manfiy bo'ladi
/i><0 bo'Isa, ikkala ildiz musbat bo'ladi.
170
A gar a x ^ + b x + c = ^ te n g la m a d a a = l b o 'ls a , h o s il b o ‘lg an
ax^+bx+c=0 tenglama keltirilgan kvadrat tengiama deyiladi. Наг qanday
to‘la kvadrat tenglamaning har ikkala tom onini a ga b o ‘lish orqali uni
keltirilgan kvadrat tenglama ko'rinishiga keltirish mumkin; ax^+bx+c=0
bo‘lsa, x^ + - x + - = 0, a g a r - = A ~ = Q desak, u holda x^+px+q=Q
a
a
a
a
tenglama keltirilgan kvadrat tenglamaning umumiy ko‘rinishi bo‘ladi.
—— q formula bilan ifoda-
Bu tenglam aningyechim i Xj2 =
lanadi.
Misollar: 1) 3x^-5x+2=0, а-Ъ, b=~5, c=2. To‘la kvadrat tenglama
yecliimi formulasiga ko‘ra
5 ± л /2 5 -4 -3 -2
6
-b±4b^-Aac
^‘•2---------- 2 ^
5+ 1
6 ,
= - = 1,
5±1
T
’
5 - 1 4
2^..^.
= ~ = - boladi.
2) 3x^—5x+2=0 tenglam aning har ikki tom oni 3 ga b o ‘linsa,
5
2
x^ ~ - x + - = 0
bo'ladi. Bu tenglamaning ildizlarini keltirilgan kvadrat
tenglama fonnulasidan foydalanib topiladi:
4 2 - - f ± ^ 4.
5+1
6
6
,
25
Ьб
5 - 1 4
2 ^ 5 ^ 2 5 -2 4 ^ 5 1
3 6 ” V 36
2 ‘^ 2 ‘
2
6-§. Viyet teoremasi
Viyet teoremasi ham m atematik tushunchalarni kiritishning konkret
induktiv usuli orqali kiritiladi, chunki bu teoremani bayon qilishdan
oldin teorema xulosasiga olib keladigan quyidagi ko‘rinishdagi tushuntirish islilari bilan shug‘ullaniladi. Agar x^+px+g=0 keltirilgan kvadrat
tenglama diskriminanti manfiy bo‘lmasa, uning ildizlari
171
р
р
- q bo‘laredi.
Ви X, va ^2 yechimlarni o ‘zaro qo‘shilsa,
JCl+^2 = - | + ^
^ - q = ~ p , ko'paytirilsa
V4
2
p_
XiOC2 =
2
-q
V
P^ + q = q
^P^- l ^
4
4
tengliklar hosil bo‘ladi. Bularga ko‘ra teoremani quyidagicha ifodalash
raumkin.
T e o r e m a . Agar keltirilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga
ega b o ‘Isa, bu ildizlaming yigHndisi qarama-qarshi ishora bilan olingan
X oldidagi koeffitsiyentga, ulaming ko'paytmasi esa shu tenglamaning
ozod hadiga teng bo'ladi.
MisQl. x^-3x+2=0 tenglamani Viyet teoremasi asosida tekshiring.
Yechish.i3= jfiT -2 = ^
= ^ = i>o
Ы+Х2=3
shuning uchuni
bo'ladi. Agar berilgan tenglama yechilsa,
^1,2 ~
bundan x = 2 , ^2=1 ekani topiladi. Demak,
~
л:, + Xj = 2 + 1 = 3, x^■x=2■l = 2.
Bundan tashqari, bu sistema yechilsa, noma’lumiarning biriga nisbatan
berilgan tenglama hosil bo'ladi;
, ХЛ + 4 =
X,
^2= 2
^
^
3
^
^
_3
^j
j
’
Shuningdek x, noma’lumga nisbatan yechish ham mumkin.
172
7-§. Kvadrat tenglamaga keltirib yecMladigan
tenglamalar
1. ох^+6х^+с=0 (1) tenglama bikvadrat tenglama deyiladi. Bunda
a, b wa с berilgan sonlar bo'lib, офО dir. Agar (1) da x^=z desak,
az^+bz+c=0 (2) k o ‘rinishdagi kvadrat tenglam a hosil bo'ladi. Bu
te n g la m a
z ga
n is b a ta n
- b- y j b^ - 4 a c
la
y e c h ila d i:
Zi =
- b + 4 ^ ■4ac
2a
va
Agar Zj>0 va ^ > 0 (a>0, c>0, b^-4oc>0, К О
yoki c<0, c<0, ^»2-4яс>0, 6>0) b o 'lsa, (1) ko'rinishdagi kvadrat
tenglama quyidagi ko‘rinishdagi to 'rtta yechimga ega bo‘ladi:
=±
-b-yjb^ - 4 a c
2a
%,4 =
- b + 4b^ - Aac
2a
1- misol.
— 4 = 0 tenglamani yeching.
Agar x = z deb belgilansa, tenglama
4=0 ko‘rinishni oladi. Bu
tenglamaning yechimi ^,=4 va Z2~~^ bo'lib x^^=±2 bo‘ladi, x^^= = ±yf-[
yechimi esa haqiqiy sonlar to'plamida mavjud emas.
2 - misol. 2л:^-5х^+3=0. a=2, b=~5, c=3.
Y
e с h 1s h . Agar x^=z desak, berilgan tenglama 2?^—5^+3=0 ko'rinishni
oladi. Bunda 2>=Ы-4ас=25-24=1>0:
_5±1
_3
<1,2 - ±^;
^1,2 = ± v r =±1.
Z2=l 4
‘ 2
Yechimni formulalardan foydalanib topish mumkin:
Zl,2 - - Г - ’
^1,2 =
^3.4 =
4
^ 5 -Л /2 5 -4 -3 -2 ^ [ Ш
--------- 4--------- =
^[ 3
Maktab matematika kursida o‘zaro teskari noma’lum ifodalarni o‘z ichiga
olgan tenglamalar ham kvadrat tenglamaga keltirib yechiladi. Fikrimizning
dahli sifatida quyidagi tenglamani yechaylik:
173
/
X
\
\2
x + l 1
J
/
Ч
1 n2
X+ l
X
/
3
2‘
Bu ko‘rinishdagi tenglamalami yechish jarayonida o‘qituvchi eng awalo
noma’lum o'zgaruvchining yo‘l qo‘yiladigan qiymatlari sohasini aniqlash
lozimligini o'quvchilarga tushuntirishi kerak. Bu tenglamadagi o‘zgaruvchining
yo‘l qo'yiladigan qiymatlari sohasi
1 va
Agar
= Z desak,
x+l
1
1 3
= - bo‘lib, z 0‘zgaruvchiga ko‘ra berilgan tenglama Z — = z
z ^
fx + l)
yoki 2z^—3z~2=0 ko'rinishni oladi. Bu tenglamadan;
1
x+l
1
Z i = - ~ , ^ = 2.
1
= -X bo'ladi, bundan
X
- = -л р х
tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglama haqiqiy sonlar to'plamida yechimga
ega emas.
ч2
= 2 bo'ladi, bundan yoki
2)
z - 2 bo‘lganda
x +l
x+l
tenglamalar hosil bo'ladi.
a)
x +l
= ^/2
(x = л/2х + ^/2'j => ( x - л/2х = л/2)
/
x( 1 - 7 2 ) = 7 2
X =
b)
л/2+21
1-2
_ = -V2
x+]
X =
V2 1
1-V2
X =
л/2(1 + л/2)
(l-V 2 )(l + ^ >
(х,= -2-Щ
(x = - л / ^ - Л^)
174
(x + -fix = -Л ^) :
1
I
=> fv
\
x (1 + n/2) = -V2
-л /2 + 2 1
X= ■
1-2
r (i-7 2 )(-V 2 ) Л
- ^ 1 => л: =
(1 + л/2 )(1 -7 2 )
1+V 2
\
/
/
( x ,= V 2 - 2 ) .
Javobi: Xj = -2 - л/2, X2 = V2 - 2.
3.
To‘rtinchi darajali cDd+bx^+ad^+dx+(^{) ko'rinishdagi tenglamalami ham
to‘la kvadrat ajratish yo‘li bilan kvadrat tenglama ko‘rinishiga keltirib yechiladi.
Misol. y'+6xH9x^-4xH12x+3=0 tenglamani yeching.
Y e c h is h . х^+6х3+9хмх2+12х+3=(х2+3х)^-4(х2+3х)+3=0
x^+3x=z desak, tenglama
4г+3=0 ko'rinishni oladi. Bundan ^i=l va
^2=3.
1) Zi=l bo‘lganda л?+3х=1 yoki хИЗх - 1=0 bo'ladi.
= --±
2)
z^= 3 bo‘lganda x^+3x = 3 yoki x^+3x - 3 = 0 bo‘ladi.
(
^3,4 - ~ 2 *
з ^ л / л _ - з ± л /П
2“ 2
2
'
4"^
,
Javobi:
-3±лД З
-3±yf2l
Xi 2 = -----r-----; va X34 =
2
2
’
4.
Agar a^x"+fl^ ,x ”'* + .. .+ f l |X + f l tenglamada koeffitsiyentlarning a„=a„,
i=a,, a^_=a^, ... tengliklari o‘rinli bo‘lsa, bunday tenglama qay1;ma
tenglama deyiladi. Qaytma tenglamalar ham ayniy almashtirishlar bajarish
orqali kvadrat tenglama ko'rinishiga keltirib yechiladi.
Misol. 2x^+3x^-16x^+3x+2=0 tenglamani yeching.
Y e c h is h . Berilgan tenglamaning har ikkala tomoni xVO ga bo'linadi:
3 2
2 x ^ + 3 x - 1 6 +X - ± -y = 0
Agar X + — = г desak,
X
yoki
( 2
I ^+ 3 ( x + —
П -1 6 = 0
X^ + - y
X
\
/
1
1
x +—
X
belgilashlarga asosan berilgan tenglama quyidagi ko'rinishni oladi:
2(г'-2)+Зг-16=0 yoki 2гИЗг-20=0,
175
bundan
-3±л/9 + 4-2-20
-3 + 13
Zl,2 =
1) Agar
^
bo‘lsa, л: + —= -^
X
) Zi -
Zj - -4 .
yoki 2дс^+5х+2=0, bundan
^
5±л/25^ - 5 ± 3
^1.2 = -------1-------= — 5— ,
1
x , = 2, X2 = - ;
2-
1
2) agar Z2=~4 bo‘lsa, x + —= -4 yoki x^+4x+l-0 bo'ladi, bundan
X
=-2 + у1з va X2 = -2 - л/з. Javobi: x^=2, ^2 = ^ . ^^3,4 = -2 ± л/З.
5.
ax^+bx^+cx^+dx+e=Q (cutO, ЬЩ ko‘rinishdagi tenglama ham qaytma
tenglama ko'rinishiga keltirib yechiladi. Berilgan tenglamani xVO ga bo‘linsa,
ax^
+b x++c=0
bx
b o'ladi. Agar
x+— =t
bx
desak,
2
d ^ Л
2
2 2d
,e d^
= I bo'ladi, bundan x + -y -y = t - — , agar —= -r- bo‘lsa,
bx
b x
b
a
b
- —r yoki at^ + bt + с — ^ = 0 ko‘rinishdagi
b
b
kvadrat tenglama hosil bo‘ladi. Demak, ax!'+bx^+cx^+dx+e = 0 tenglamada
dx^
e
—=
= x^ + - Y - j
b X
tenglik bajarilsa, bu tenglama ham qaytma tenglama kabi kvadrat
tenglamaga keltirib yechilar ekan.
Misol.
2л:^-21хЗ+74х2-105х+50=0.
Yechish. a=2, e=50, й?=105, Z»=21. Shartga ko‘ra —=
kerak edi, shuning uchun
50
Г105
21
yoki 25=25 tenglik o'rinli bo'ladi.
Bu tenglikning har ikkala tomonini xVO ga bo'Isak,
176
bo'lishi
- 2 т-2,1 х + пи
105+ - 50
1х^
74-----^
Agarx + ^ = /
desak,
0.
2
( 2
25^
(
5^
- 2 1 x + - + 74 = 0.
x ^ + ^ = P - l O tenglik hosil bo'ladi, u holda
tenglama 2f-2\t+5A=Q ko‘rinishni oladi.
Bundan
9
“ 2
9
1) Agar h - x
yechimlar hosil boladi.
5 9
bo'lsa, x + — = — yoki 2x^-9x+10=0 bundan x = 2 va
2,
^2
X
yechimlar topiladi.
2) agar t=() bo‘lsa, x + —= 6 yoki
6x+5=0, bundan Xj=l va x^=5
•X
yechimlar topiladi.
Javobi. x = l , ^2 = ^ , x^=l, x=5.
6.
{x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m ko'rinishdagi tenglama ham ma’lum bir
shart va ayniy almashtirishlarni bajarish orqali kvadrat tenglama ko'rinishiga
keltirib yechiladi. Agar bu berilgan tenglamada a+b=c+d yoki a+c=b+d
yoki a+d=b+c tengliklar o‘rinli bo‘lsa, bu tenglama ham kvadrat tenglama
ko‘rinishiga keltirib yechiladi.
Misol. (х+2)(х-3)(х+1)(д:+6)=-96.
(3=2, b=- 3, c= l, d=6. Shartga ko‘ra a+ c^ b+ d edi, shuning uchun
2+ 1 = —3+6, bunga ko‘ra berilgan tenglam a quyidagicha guruhlan a d i:[(x + 2 )(x + l)][(x -3 )[x + 6 )]= -9 6 ,(x 2 + 3 x + 2 )(x 2 + 3 x -1 8 )= -9 6 ,
x^+3x=t desak, (/+ 2 )-(/—18)=~96 tenglik o ‘rinli bo'lad i, bundan
tenglama hosil bo'ladi. Bu tenglamaning yechifni t= 6 va /^=10 bo'ladi.
1) agar /, =6 bo‘lsa, x^+3x=6 yoki x^+3x-6=0, bundan
-3 + x / 9 + ^
j
-3±л/33
;
2) agar /^=10 bo'lsa, x^+3jc= 10 yoki x^+3x-10=0
bo‘ladi.
-3 ± V 9 + 40 - 3 ± 7
^3 4 --------- -------- -- ---- ----, X3 - - 5, X4 - 2.
12 - S. Alixonov
177
Javobi: Ху 2 =
-з ± 7 з з
,
Хз=-5, х= 2.
7. { х+аУ+{х+Ь)*=с ko‘rinishdagi tenglama ham
x =t-
a-b
almashtirish orqali bikvadrat tenglama ko'rinishiga keltirib yechiladi.
f
x +a =t+m
Agar
1x +j . bA=_ t/ -_ m^
desak,
bu sistemadagi tenglamalarni o'zaro
hadma-had ayirsak, a~b=2m,
yoki x = t
a+b
boladi. U holda berilgan tenglama quyidagi ko'rinishni
4
/ + ------
oladi:
2
\
bo‘ladi, u holda x + a = t+ ^ -;^
^
a-b\
= c.
+ t ---------/
2
V
/
Bundan:
2
■■
4
■ ■■
8
■
16
+/ ^ - 4 r + ---- - + 6 r - ------ ^ + ---------------------- ’— =
2
4
8
16
-b)
= 2/'*+12/2 ( a - b ] + 2A-^^^------— = c.
T
<2
tU6t^
Ia - b ]
+
Ia~b]
Bu tenglamani bikvadrat tenglamani yechish usuli bo'yicha yecha olamiz.
Masalan, (x+6)‘‘+(x+4)‘*=82 tenglama berilgan bo‘lsin.
6+4
Bu tenglamada x =t ---- — = / - 5 almashtirish bajariladi, u holda berilgan
tenglama ko'rinishi quyidagicha bo'ladi:
(/+ 1 )H (/-1 )^= 8 2 .
l ^+4t ^+6f +4t +l + f ' - 4 P + 6 f - 4 t + l = S 2 ,
178
2/^+12/2+2=82, f*+6/2-40=0.
f —y desak, j^+6j'-40=0,
y,=4,
J2=-10.
1) agar fi=4 bo'lsa, ^,,2=^±2;
2) agar /2=—10 bo‘lsa, haqiqiy sonlar to'plam ida yechim mavjud
emas.
x = /- 5 = 2 - 5 = - 3 ,
X 2 = t-5 = -2 -5 = -7 .
ax
bx
8. Agar tenglama
ko'rinisbda berilgan
boisa, unda px + — = t almashtirish bajariladi. Agar tenglamada c=0 bo'lsa,
X
x,=0 bolib qolgan yechimlami x o'zgaravchiga nisbatan kvadrat tenglamaga
keltirib topiladi. Agar
bo‘lsa, хфО bo‘lib, bu holda berilgan tenglamaning
surat va maxraji x ga bo'linadi:
a
b
Q
Р Х + П+ —
Q
px + m + —
X
Bunda
= c.
X
px + — = t desak, t o'zgaruvchiga nisbatan kvadrat tenglama
X
hosil bo'ladi: —^ + —^— = c. Bunda t^—n, t^—m dir. Bularga ko‘ra
t+n t+m
tenglamaning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
ct'^+(tnc+nc-a—b)t+mnc—am—bn=0.
2x
I X ____^
13x
IJX
^
,
. . .
тг'г— ^
1
2.
^ ° tenglamani yechmg.
2 x ^ -5 x + 3 2jc4 x + 3
Y e c h is h . Tenglamaning chap tomonida turgan qo'shiluvchilarning
Misol.
2
surat va maxrajlari x ga bo‘linsa,
13
=
2 x - 5 + — 2jc + 1 + —
X
6
tenglik hosil
X
3
2
13
bo‘ladi. 2x + — = t desak, ---- - + ---- г = 6 tenglik hosil bo‘ladi, (bunda
jc
t-5
/+1
t*—5 va t^—l bo‘lishi kerak):
2F-13/+11=0, bundan /,=1,
179
tj = y .
i
’
1) agar /,=1 bo'lsa, 2x + — = l yoki 2x^- x+3=0 b o ‘lib, uning
X
yechimlari haqiqiy sonlar to‘plamida mayjud emas.
Y
2) agar
bundan ^1 = 4
Javobi:
T
3 1]
- =^
bo‘lsa, 2x + —
yoki 4x^-1 lx+6=0 bo‘ladi,
va x^=2 yechimlar topiladi.
x=2.
8-§. Irratsional tenglamalarni yechish
Irratsional son tushunchasi maktab matematika kursining
VIII
sinfida o ‘tiladi. 0 ‘quv qo‘llanm asida irratsional tenglam aga ta ’rif
berilib, uni yechish usullari ko'rsatilgan. 0 ‘quv qo‘llanmasidagi ta ’rif
quyidagicha ifodalanadi.
T a’rif. «N om a’lumlari ildiz ishorasi ostida b o ‘lgan tenglam alar
irratsional tenglamalar deyiladi».
Bu ta ’rifni kengroq m a’noda quyidagicha ham berish mumkin. «No­
m a ’lumlari ildiz ishorasi ostida yoki kasr k o ‘rsatkichli daraja belgisi
ostida bo ‘Igan tenglama irratsional tenglama deyiladi».
Masalan,
V 4 -5 x = 6
л/2х + 8 + Vx + 5 = 7,
^ 2 -7 = 0
V T -V x ^ "^ ^ = X -1
Их - a + ^ x - b
va hokazo.
Maktab matematika kursida faqatgina kvadrat ildizlami o‘z ichiga olgan
irratsional tenglamalarni yechish o‘rgatiladi. Shuning uchun ham bu mavzu
materialini o‘tish jarayonida o‘qituvchi o'quvchilarga sonning kvadrat ildizi
va uning arifmetik ildizi degan tushunchalami takrorlab tushuntirish lozim,
chunki biz maktab algebra kursida faqat manfiy bo'lmagan sonlardan ildiz
chiqarishni o‘r g a t a m i z . V - 3 6 , . . .
lar haqiqiy sonlar maydonida
ma’noga ega emas. Biz musbat sorming kvadrat ildizi deganda uning arifmetik
ildizini, ya’ni uning musbat qiymatlarini tushunamiz. Masalan, ^ = ±3
bo'ladi, ammo - 3 soni arifmetik ildiz bo‘la olmaydi, 3 soni esa 9 sonning
arifmetik ildizidir.
180
Irratsional tenglamaning yechishdan awal uning aniqlanish sohasini
topish lozim.
1-misol. л /З х -6 + л/l + X = 2 tenglamaning aniqlanish sohasini toping.
Y e с h i s h . Злг-6>0 va 1+x>0 bu tengsizliklardan: x>2 va x > -1. Demak,
bu tenglamaning aniqlanish sohasi x>2 bo'ladi. Haqiqatan ham, bu tenglama
yechilsa, uning ildizi 2 ga teng yoki undan katta son chiqishi uning aniqlanish
sohasidan ko'rinadi.
2-misoI. ' Jx-X + у1 3 - х = Vx + 2 tenglamaning aniqlanish sohasini
toping. X—1>0, 3-x>0, x+2>0 bu tengsizliklardan x>l, x<3, x> -2. Bularga
ko‘ra tenglamaning aniqlanish sohasi l<x<3 bo‘ladi, bu degan so‘z
tenglama ildizi 1 soni bilan 3 soni orasida bo‘ladi, deganidir.
Irratsional tenglamalar ayniy shakl almashtirishlar orqali ratsional
tenglama ko‘rinishiga keltiriladi. Irratsional tenglamalarni yechish uchun
eng ko‘p ishlatiladigan shakl almashtirish berilgan tenglikning har ikkala
tom onini bir xil darajaga k o 'tarish va ^Jf(x) ■y]g{x) = yj f (x)g(x),
л//(х) _ l / ( x )
~i
usullardir. Bunday shakl almashtirishlarni bajarish
jarayonida yechilayotgan tenglama uchun chet ildiz hosil bolishi mumkin,
chunki bu ayniy tengliklarning o‘ng tomonlarining aniqlanish sohasi chapga
qaraganda kengroqdir.
T e o r e m a . Jgarf(x)=g(x) (1) tenglamaning har ikkala qismini kvadratga
ko‘tarilsa, berilgan tenglama uchun chet ildiz hosil bo'ladi, bu chet ildiz
f(x )= —g(x) tenglamaning ildizidir.
I s b o ti. Agar (1) tenglamaning har ikkala tomoni kvadratga ko‘tarilsa,
[Ax)]^=[g(x)]2yoki [Ax)]^-[g(x)]2=0. Bu degan so‘z |y(x)-[g(x)][Ax)+g(x)]=0
deganidir. Bunda quyidagi ikki hoi bo‘lishi mumkin: 1) agar Д х)-^х)= 0
bo'lsa, Xx)+g(x)?tO u holda j{x)=g{x) bo'ladi; 2) agar /(x)+g(x)=0 bo'lsa,
y(x)-g(x);iO u holda Дх)=-^(х) bo'ladi. Demak, hosil bo‘ladigan chet ildiz
yoki [Ax)]^“ [g(x)]^=0. tenglamaning ildizi bo'ladi.
Misol. Axr=l tenglama berilgan bo'lsin. Bu tenglamaning har ikkala
tomonini kvadratga ko‘tarilsa, 16x^=49 bo‘ladi. Bundan (16x^—49=0)~>
=>(4x-7)(4x+7)=0.
1) agar 4x-7=0 bo‘lsa, Ах+1 ф^ bundan
7
=
,3
1
3
2) agar 4x+7=0 bo‘lsa, Ax-1*Q bundan x = - - = - l- ^ .
181
Bunda x = - l ^
chet ildizdir, haqiqatda ham
4-
7^
'4
- 7= 7, bu д:=-1^ yechim tenglamani qanoatlantirmaydi deganidir. Bu chet
ildiz 4x=7 tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko'tarish natijasida
hosil bo‘ladi. Maktab matematika kursida irratsional tenglamalami yechish
quyidagi ikki usul orqah amalga oshiriladi:
1) irratsional tenglamaning har Ikkala tomonini bir xil darajaga ko'tarish;
2) yangi o'zgaruvchilar kiritish usuli.
Irratsional tenglamalarning ikkala tomonini bir xil darajaga ko‘tarish
usuli quyidagi ketma-ketlik asosida amalga oshiriladi:
a) berilgan irratsional tenglama !^f(x) = ^g(x) ko'rinishga keltiriladi;
b) bu tenglamaning ikkala tomoni ti darajaga ko'tariladi;
d) hosil bolgan ^x)=g(x) ratsional tenglama hosil bo‘ladi;
e) natijada J{x)=g(x) ratsional tenglama yechiladi va tekshirish orqali
chet ildiz aniqlanadi.
1-misol. 73х + 4 = X tenglamani yeching.
Y e c h is h . Tenglamaning aniqlanish sohasini topiladi: x>0 va 3x+4>0,
bundan X >
4
.
I usul. Har ikkala tomonini kvadratga ko'tarsak, [(73х + 4)^ = x ^ ] = >
=> |3х + 4 =
j . Bundan x^—3x—4=0 tenglamani hosil qilamiz. Uning
yechimlari x,=4 va Xj=-1, x^=~l yechim ^/Зх + 4 = x
chet ildizdir, chunki u tenglamani qanoatlantirmaydi.
II usul. [ ( V 3 ^ ) 2 =x^]
tenglama uchun
=> (3x+4=x^) =X
=>{[x2-(3x+4)]=0} => (X - л/3х + 4)(х + л/Зх + 4) = О .
Г)
Agar
dan X = ^/Зх + 4
bo'ladi.
X - л/Зх + 4 = 0
bo‘lsa, х + л/Зх + 4
О bo‘ladi,bun-
berilgan tenglama hosil bo‘ladi, buning yechimi x = 4
2)
Agarx + V3x + 4 = 0 bolsa, x - л/Зх + 4 Ф 0
bundan 6o‘ladi, buning yechimi x=—1 dir.
182
boladi, x = -л/Зх + 4
Demak, ~j3x + 4 = x tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga
ko‘tarish natijasida x = - l chet ildiz hosil bo‘ladi, x=4 esa uning haqiqiy
yechimi bo‘ladi.
Irratsional tenglamalarni yangi o'zgaravcMlar kiritish usuli bilan ham
yechiladi.
2-misol. ^ (x - 5)^ - ^ x - 5 = 6
tenglamani yeching.
Ye с h i s h . Bu tenglamaning aniqianish sohasi (-°o, ~). Agar ^ x - 5 = у
deb belgilasak, tenglama / - j - 6 = 0 ko‘rinishga keladi. Bu tenglama j,= 3 va
У2=—2 yechimlarga ega. Bunga ko'ra x-5=243; x=248, ^ x - 5 = - 2 tenglama
aniqianish sohasiga tegishli bo'lgan ildizga ega. Demak, Xj=248, x = - 2 1
tenglamaning yechimi bo‘lar ekan.
3-misol. V xT 4 + л/х+ 20 = 8 tenglamani yeching.
Y e c h is h . 1. Aniqianish sohasi topiladi. x+4>0 va x+20>0, bulardan
x>—4 va xS-20 bo‘ladi. Bundan x ^ -4 qiymat olinadi.
2. Berilgan tenglamaning har ikkala tomoni kvadratga ko‘tariladi:
[y f I + 4 + 4 I + 2 ^ f =8^,
Х + 4 + 2л/х + 4 ■Vx + 20 + X + 20 = 64.
2х + 2л/х + 4 - 7 х + 20 =40.
'[^{x + 4){x + 2 0 ) f = { 2 0 - x f ,
( x + 4)(x + 20) = 4 0 0 -4 0 x + x ^
x^ + 24x + 80 = 400 - 40x + x^,
64x = 320, x = 5.
Bu tenglamani yana quyidagi usul bilan ham yechish mumkin:
(7х + 4 + л/х+^)2 = 8 ^
=> [ ( V ^ +
[(л/х + 4 + л/х + 20f - 8^) = 0 ] ^
- 8][(VTh4 + Vx + 20) + 8] = 0
1)
л/х + 4+ л/х + 20 = 8, buning yechimi x=5,
2)
Vx + 4 + Vx + 20 = -8, bu tenglama yechimga ega emas.
183
4-misol. V2x + 3 = a, pafametrik ko'rinishdagi irratsional tenglamani
yeching. Bu yerda tenglamaning aniqlanish sohasiga nisbatan a>0 shartni
qo‘yish yetarli bo'ladi. (V2x + 3)^ = a^,
^ ^ ^
2x+3=o^ bundan 2х=а^-Ъ yoki
yechim hosil bo‘ladi.
T e k s h iris h .
5-misoI.
yeching.
J 2 ^— ^ + 3 = a, 4 ^ = a, a = a.
+ 4 x + 4 + 4x^ -lO x + 25 = 10
irratsional tenglamani
Y e c h i s h . Bu tenglamani ^ (x + 2 f + y j ( x - 5 f =10 yoki \x+2\+
|х-5|=10 ko‘rinishga keltirib, so‘ngra yechiladi.
a) agar x < - 2 bo‘lsa, ~x - 2-x+5=10, bundan -2x=7 yoki x=-3,5;
b) agar -2 ^ < 5 bo‘lsa, xf2-x+5=10, yoki 7=10, bu holda tenglama
yechimga ega emas;
d)
agar x>5 bo‘lsa, х+-2+л^5=10, bundan 2x=13 yoki x=6,5. x=-3,5
va x=6,5.
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
1. 1 + V2X-2 =x.
Javobi:
3.
2. y j 4 - x + yj5 + x = 3.
'Javobi:
Xi =4; X2 = -5.
3. л/2х + 1 = 2л/х - A - 3 .
Javobi:
X = 4.
4. Vl +
+24 = x + 1.
Javobi:
X, =0; X2 = 5.
\/a + X + л/а - X = л/2х.
Javobi:
Xj = -a ; X j = a.
6. V x ~ 3 + Vx + 18 = X.
7. V x + 4 + л/20 + X = 8. ^
8. ^Зх + 4 + л /х - 4 = 2 л /^
Javobi:
X = 7.
Javobi:
X = 5.
Javobi:
X = 4.
9.
Javobi:
X = 5.
Javobi:
x = -l.
5.
л] х
+ у/ х + 1 1 + л] х - у1 х + \ 1 =4.
10. л/15-х + л /З -х = 6.
184
11. l + Vl + W x^ -24 = x
Javobi:
X = 7.
12. л/Зх + 7 - y j x + l = 2 .
Javobi:
xi = -1; X2 = 3.
13. ^1 + Vx + ^1 - л/х =2.
Javobi:
X = 0.
14. л/х + 6 - л/х + 1 = 1.
Javobi:
X = 3.
9-§. Parametrli irratsional tenglamalarni yechish
1 -misol. ^ x - l = x - a tenglamani yeching.
Y e с h i s h . Berilgan tenglama quyidagicha yozib olinadi:
+
=
( 1)
Agar bu tenglamada V x -1 = у desak, x - I =
tenglamani quyidagicha yozish mumkin;
_ y + l - a = 0,
y, 2
bo'ladi, u holda
=
'l- 4 + 4fl _ 1 ^ y j 4 a - 3
4
2
1 + y/4a - 3
^— ;
У1 = —
2
1 - л /4 а - 3
2— ■
У 2= —
(1) tenglama faqat fl ^ ^ bo'lgandagina, yechimga ega bo‘ladi, ya’ni
V X - 1 = ------ ------- ,
(2)
(3)
(2) tenglama
(3) yechilsa,
i _ V 4 a -3 > 0 bo‘lganida yechimga ega bo'ladi. (2) va
tengsizlik hosil bo'ladi, u holda tenglama quyidagl
ko‘rinishdagi ikkita haqiqiy har xil yechimga ega bo'ladi:
185
_ 2 а + 1 + л/4д-3
^
;
д:2=
2fl + l - V 4 a - 3
2--------- ■
Agar а>1 bo‘lsa, tenglama х ^2 =
^ yechimga ega bo'ladi.
agar a < - bo'lsa, tenglama yechimga ega bo'lmaydi.
2-misol. у / З х - 2 + -six+ 2 = a tenglamani yeching.
Y e c h is h . Bu tenglamaning aniqlanish sohasi
3 x -2 > 0 ,
>1
x +2>0
bo‘ladi, u holda berilgan tenglama
2^I6
bo'ladi, agar
2л/б
щ > - у - bo‘lgandagina yechimga ega
л /Зх -2 = a - ^ l x + 2
- 2a>Jx + 2 + x + 2,
2x + A + 2 a y f j ^ - a ^ - 8 = 0,
agar
л/х + 2 = j
^
bo'lsa, yechimga ega emas:
.
3x-2 =
x>-2
desak,
(1)
2 x - 4 = a^ - 2 a 4 x T 2 ,
2(x + 2) + 2aVjc + 2
2j;^ + 2 a j - a ^ - 8 = 0
yoki
- 8 = 0.
2y^+2ay-
-(fl^ + 8 ) = 0, bundan
-a ± y la ^ +2a^ +16
-а± \13а^ +16
У1,2-------------- 2------------~ --------- 2-------- ’
(3)
(4)
186
2л/б
a> -j-
da (3) tenglama yechimga ega emas, (4) tenglama esa
2a^ + 4-ал/За^ +16
X = -------------------------- yechimga ega bo ladi.
3-misol.
tenglamani yeching.
- ax+ 2 = x - l
X > 1,
{ a - 2 ) x = l.
Y e c h i s h : |^ 2 _ ^ ^ ^ 2 = ( x - l f
Agar a = 2 b o ‘lsa, sistem a yechimga ega em as, agar
д^2
fx > l
bo'lsa Y
^
hosil bo'ladi, u holda —^
^ 1 yoki
2<a<3 bo'ladi.
1
Javobi. Agar 2<a<3 bo'lsa, x = - —^,agar a<2, bo‘lsa, a>3 tenglama
yechimga ega emas.
4-misol. yja-^Ja + x = x
X S 0,
x>0,
x>0,
=> x > - a ,
=> 1 x > - a ,
=> x > - a ,
X > 0,
Y e c h is h .
a + x>0,
tenglamani yeching.
a-yja + x >0
а>л1а + х
Tenglamaning aniqlanish sohasi, agar a>l
>a+X
x < a ^ - a.
bo‘lsa,
Q<x<a^-a
bo'ladi. a - 4 a T x = x ^ yoki V aT x = ti- x ^ , b u a - x ^ > 0 tenglama
bo‘lgandagina yechimga ega, shuning uchun a- ^x = a^ - 2ax^ + x*
-(2x^ + ij a + ^x'^ - x ) = 0.
2x^+1± J ( 2 x ^ + l f - 4 x ^ + 4 x
^
Щ = x^ - X
tenglama
2
- x^ > 0 shart uchun x =
187
2
1
j f l i ^ x - '- x ; a 2 ^ x ^ + x + l.
-1 ± л /4 а -3
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
Quyidagi tenglamalarni yeching.
1- ^ x - 3 = x - a ,
Javobi: agar 2,15<a<2> bo‘lsa, ^
+1 ± V 4 f l- ll) agar a>3 bo‘lsa,
x = ~^2a + l + 74(2-11 j.
2- ^J x - a - b —x. Javobi: agar b>a bo'lsa, x = ^ x (2Z) +1 - V4Z)-4a + lj;
agar b<a yechimga ega emas.
3.
yechimga ega emas.
Javobi: agar -4<a<4
bo‘lsa, a<~A, a> 4 bo‘lsa,
4. y/2x - 4 + Vx + 7 = a. Javobi: agar a>3 bo‘lsa, x= 3d^ + ll-2a; agar
a<3 bo‘lsa, yechimga ega emas.
5- л/2х-1 + лУх-2 = fl.
/avob/.- agar 0, 5л/б < a < VI bo‘lsa,
x = 3 fl^ -l + V 2a^-3 agara >73 bo‘lsa, x = З а^ -1 + 2йл/2й^- 3 ; agar
а<0,57б
bo‘lsa, yechimga ega emas.
6- л/2х^-2ах + 1 = x - 2 .
/avoR - agar a > -
9
jc = a - 2 + 4a^ - 4 a + 7; agar a< —
bo'Isa,
bo'isa, yechimga ega emas.
7. V3x - a = a - 2 x .
Javobi: agar a>6> b o ‘lsa,
•X= i( 4 a + 3-V 8 a + 9); ; agar o<0 bo‘Isa yechimga ega emas.
8- V x -1 + 7 3 - х = a.
X =
2±
Javobi: a g a r^2 < a < 2 b o 'lsa.
- o'* j : 2; agar д < ^2,
188
a > 2 bolsa, yechimga ega emas.
9.
,
1 -2 о ± л /Г ^
^
Javobi: agar Xi 2 ----------- ---------- , a > V2
Х + 7 Г ^ = Й.
bo‘lsa, yechimga ega emas.
10-§. Irratsional tenglamalar sistemasini yechish
1-misol. Tenglamalar sistemasini yeching:
yfx + yfy
x + y = 13.
Y e c h is h . Sistemadagi
+ Vj = 7
tenlamaning har ikki tomo0
ninl kvadrat ko'tarib, ayniy almashtirishlarni bajarish orqali ratsional
tenglamalar sistemasi hosil qilinadi:
х + у + 2ф ^ = ^ x y .
25
x+j=13 bo‘lgani uchun ^3 + 2^J^ = — xy
—468=0. Agar
bo‘ladi. 2 5 x y - 7 2 ^ ^ —
= t desak, 2 5 fi-7 2 t-4 6 S = 0 bo'ladi, bundan /,=6 va
ildizlar hosil qilinadi.
- 6 bo'lsa, xy = 36 bo'ladi:
х + у = \Ъ
xy = 36
bu sistema yechiladi: x = B - j', (13-j)y=36;
169
13^5
_ _ _ 3 6 = _ +-.
jc + y -
У
^
Javobi: у = 9, у =4, х = 4 ,
12
x +y
^
2 - misol.
y^—3>^36;
^
У
tenglamani yeching.
= 15
Y e c h is h .
x +y
x-y
- 0 bo'lsa, ikki hoi bo'lishi mumkin:
189
x=9.
а) х>0, j^>0, х > у
yoki
U
holda х + у - ^
- у ^ - y j x ^ - у ^ -1 2 = 0.
= 4,
__
(x-yf
= 0
Х-у
Endi ^х^ - у ^ = t desak,
= - 3 , shuning uchun
- y ^ =4, bundan
bo'ladi. Shuning uchun
, x '- / = 1 6 ,
[ xv = 15
ratsional tenglama sistemasi hosil bo'ladi. Bu tenglamani yechilsa, x=±5,
y=±3 yechimlar hosil qilamiz.
b) x<0, y<0 va x<y bo‘lsa, tenglama quyidagi ko‘rinishda yoziladi;
x +y-
^Jx^-y^
12
-(x-y)
x-y
4 x ^ - y ^ = t , / Ч / - 1 2 = 0,
= 0,
1 2 = - 2i ±" 2^ ; /1=3, t ^ = ^ .
^1.2
=3
^x^
x ^ - y ^ + V ? ^ - 1 2 = 0,
yoki
x'^ - y ^ ^ 9.
Natijada
|x ’ - y ' = 9 ,
4 - = 15
sistema hosil bo‘ladi. Bu sistemani yechilsa,
^ /Ш -9
лШ +9
yechimlar hosil bo‘ladi.
3-misol. Tenglamalar sistemasini yeching:
7 ? + / + ^ Д ^ = 8л/2,
^/x + л/у = 4.
190
Y e c h is h . Sistemadagi ikkinchi tenglamaning har ikkala tomoni
kvadratga ko'tariladi: л: + j/ +
= 16 (1) hosil bo‘ladi. Sistemadagi
birinchi tenglamaning har ikki tomoni
^/2 ga ko‘paytiriladi:
^ / 2 p 7 7 ) + 2 V ^ = 16
(2)
(2) dan ( 1) ni ayiramiz:
^ 2 ( x ^ + y ^ ) - ( x + y ) = 0,
.]2(x^ + y ^ ) = x + y,
2(x^ + y ^ ) = x^ + 2xy + y^,
x^ - 2xy + y'^ ^ 0, (x -
= 0, X = y.
Sistemadagi ikkinchi tenglamadagi x o‘rniga у ni qo'yilsa, 2-^Jy =4,
i/y =2, bundan y= 4 bo‘ladi. Javobi: x = j = 4.
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
1. Sistemani yeching:
x^ + x ^
= 20S,
y^ + y ^ l ^ = -1053.
Javobi: Xj = 8,
= 27, X2 = - 8, У2 = 27,
X3 = 8, Уз = -27, X4 = - 8,
2. Sistemani yeching:
8^x^ -
= -27.
= x + 9y,
[x'^ + 2x^y + y'^ + x = 2x^ + 2xy + y + 506.
Javobi: Xi = 5,j^i = 3;
_ 25-48л/б
"
29......’
3. Sistemani yeching:
_21(5-48л/б)
29^
•
191
x + Jx^-
----- ;
x-yjx^-y^
17
2 " T ’
----- I 2
x( x + y ) + y]x'^ + Х У + 4 = 52.
Г
Л- ^2 = -5 ,
У 2=-4;
^4:=-15,
У4=12.
4. Sistemani yeching;
7x^ +y'^ +^jx^ - y ^ _ 5 + 7?
5-V 7
Javobi: x = 4,
j= 3.
x^+2;V^=118.
ll- § . Ko‘rsatkichli tenglamalar
Ko‘rsatkichli tenglama tushunchasini tushuntirishdan oldin o ‘qituvchi o ‘quvchilarga daraja, ko'rsatkichli funksiya va ularning xossalari
haqidagi m a’lumotlarni takrorlashi, so‘ngra ko‘rsatkichli funksiyaning
ta ’rifini berish lozim.
Ta’rif. Daraja ko‘rsatkichida nom a’lum miqdor qatnashgan tengla­
m a la r k o ‘rs a tk ic h li te n g la m a la r d ey ilad i. M asalan ,
-1 = 0,7^"^ - л/49 va hokazo. a^=b tenglama maktab matematika
kursidagi eng sodda ko‘rsatkicMi tenglamadir. Bunda a va berilgan
musbat sonlar bo‘lib, a ^ \, a>0 bo'lishi kerak. xesa noma’lum miqdordir.
a x= b tenglama bitta yechimga ega. H ar qanday ko‘rsatkichli tenglama
ayniy almashtirishlarni bajarish orqali algebraik yoki a ‘= b ko‘rinishdagi
sodda holga keltirib yechimlari topiladi. Ko'rsatkichli tenglamalaming
yechish darajasini quyidagi xossalariga asoslanadi:
1. Agar o'zaro ikkita teng darajaning asoslari teng bolsa, ulaming
daraja ko‘rsatkichlari ham o ‘zaro teng bo'ladi.
Masalan, agar a"" = a" bo'lsa, m =n bo‘ladi, albatta bunda
va
a ^ \, a>0 bo‘lishi kerak.
2. Agar o ‘zaro teng darajaning ko‘rsatkiclilari teng bo‘lsa, u holda
ularning asoslari ham teng bo‘ladi, ya’ni a"'=b” bo'lsa, u holda a = b
bo'ladi. Maktab matematika kursidagi ko‘rsatkichii tenglamalar asoslarini
tenglash, kvadrat tenglamaga keltirish, logarifmlash, ya’ni o‘zgaruvchini kiritish va guruhlash usullari bilan yechiladi. Bu usuUami quyidagi
misollar orqali ko'rib chiqaylik.
192
1-misol.
36^ =
1
216
tenglam ani yeching.
Y e c h is h . Bu tenglama asoslarini tenglash yo'li orqali yechiladi:
(36^ = 216-'),(62"- = 6-^)
(2x = -3 ):
Ushbu tenglamani logarifmlash usuli bilan ham yechish mumkin.
Logarifm ta’rifiga lco‘ra: x=log 3^f 1 ^ bundan jc=—/0^ 3^216 = log^216=
216
~ 2 ' chunki /ogj216=3.
2-misoi.
600=0 tenglamani yeching. Bu tenglama yangi o‘zgaruvchi kiritish usuli orqali kvadrat tenglamaga keltirib yechiladi. Agar >'=5'^
desak, berilgan tenglama y -j;-6 0 0 = 0 ko‘rinishni oladi:
>^1.2
2~V i + 600 = i ± ^ ;
y. =25,
У2=24
yoki 5^=25, 5^=52, x=2.
Javobi: x = 2.
3-misol.
3^^+*+3*^“' = 270
tenglamani yeching.
Y e c h is h . У •3 + 3'* i = 270,
3^ = у desak, 3jH-^_);=270
yoki ^.V =270, bundan j^8 1 , 3^^ =81 yoki 3^^ = 3 “*
bundan
va
x-2, x=-2.
4-misol. 5^—7’‘—5^ • 35 +7^- 35=0 tenglamani yeching. Bu tenglama
guruhlash usuli bilan yechiladi;
5^(1 - 35) = 7-(l - 35),
5^ = 7^ л: =0.
\X
5-misol.
/
1--------------
V5 + 2 V6 j + л/з-2л/б j =10
Y e с h i s h . Bu tenglamani yechishda
ekanligidan foydalaniladi. Agar
13 - s. Alixonov
193
tenglamani yeching.
\/5 + 2%/б
U 5 + 2S ]
=y
+
-2 ^ 6
=1
desak, u holda
IVs - 2л/б
- — bo'ladi. Bu belgilashlarga ko‘ra tenglama quyidagicha
ko'rinish oladi.
J^ + —= 10, bundan j^-10>'+l=0 yoki y^=5-2^f6
va
>'2= 5+2 л/б ildizlarga ega bo‘lamiz.
a) {^5 + l S j = 5 - 2 S
bo'lsin, u holda
(5 + 2^/6)2 = ^ ^ ± ^ ^ f c ^ = (5 ^ -2 ^ /6 r^ b u n d an | = - l , x = -2 ;
b) (л/5 + г ^ )
bundan
= 5 + 2лУб bo‘lsin,u holda (5 + 2>/б)2 = (5 + 2л/б)’,
2 ~^’ ^2;
'
Javobi: x = —2 va x = 2.
6-misol. 100^= 300 tenglamani yeching.
Y e c h is h . Tenglikning ikkala tomonini 10 asosga ko‘ra logarifmlanadi.
x/gl00=/^300.
Ma’lumki, lgl00=2. Bunda /^300=/g(100-3)= /glOO+/^3=2+/^3 kabi
ayniy almashtirislilar bajariladi. Bu almashtirislilarga ko‘ra beiilgan tenglama
x-2=2+/g3 ko‘rinishni oladi.
^ .
2 + lg3 , lg3
Bundan: x = — - — = 1 + — .
7- misol.
. 3.
8 ^
,3x -6 2 ^ -
= 1.
Y e c h is h . Bu tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
f 2 - - ? ^- 6 Г г - П - 1 = 0
2 'J
I
2^^
2
2^ - — =
deb belgilansa;
u
holda
194
■уЗх _
оЗх
__
2^-
2*-
2^-
2Л
2^^+2 + 4 Y
2 Т
+ 6 = у(у'^ + 6 )
bo'ladi. Bu almashtirishlarga ко'га berilgan tenglama o'zgaruvchi j ga nisbatan
2
quyidagi ko‘rinishni oladi: y ( /+ 6) - 6y - l =0 yoki j^= l, j ^ l .
bundan 2 ^ 2 * —2=0 bo‘ladi. Agar 2^-t desak, u holda tenglama ?^-/-2=0
ko'rinishni oladi. Uning yectiimlari t = l , tj= ~ l bo'ladi. U holda 2^=2 yoki
x = l, 2^ = -l tenglama yechimga ega emas.
Javobi: x = l .
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
Quyidagi tenglamalarni yeching;
1. 5^'+ 3-5’‘-'-6-5^+10=0
Javobi: 2.
2. V27^-‘ =
Javobi: x = 24.
3. 16V( 0, 25/ 4 = 2 ' ^ .
4+
'3^
5.
\ 5/
2
5
3 ^ -1
;3x4
x+l
1-л:
Javobi: jc = 1.
= 1, 2 .
Javobi: x = 0.
7. 52>‘- 7 ’'-52*-17+7’‘-17=0.
Ig 7 -lg 5
Ig 3 -lg 2
Javobi: x = 0.
+
V,
5/
6. 7-2’<=5-3x.
5x
8.
9^ =
rj_ ^
\ 243 У
Javobi: x = 0.
195
9.
Javobi: х. = 10^ х, = 10.
=(6,25)^-*®'".
x+igx^+3 _________2
1
1
10.
Vx + l л/х + 1 + 1
11.2-ll^(^»-l=121-->
‘
/ f l v o W; x = l .
12. 2-3^‘-5-9"-''=81.
Javobi: x = 4 , x = 4 -
Javobi: x, = 1,
1
=
"
Ig5
ig3-
12-§. Logarifmik tenglamalar
Maktab matematika kursida logarifmik tenglamaga ta ’rif berilib,
so'ngra uni yechish usullari ko'rsatiladi.
T a ’rif. N o m a ’lum m iq d o r logarifm b elg isi o stid a q atn ash gan
tenglamalar logarifmik tenglam alar deyiladi.
M asalan, lg x = 3 ~ lg 5 , lg x = lg 2 , 2 lg = l g { l 5 - 2 x ) va hokazo.
Logarifmik tenglama ham ko‘rsatkichIi tenglama singari transsendent
tenglam a turiga kiradi. l o g x = b tenglam a eng sodda logarifm ik
tenglamadir. Bunda a, b lar m a’lum sonlar, x nom a’lum sondir. Bu
ko‘rinishdagi tenglama
bitta yechimga ega bo'ladi.
Logarifmik tenglamaning yechish jarayonida o‘qituvchi o ‘quvchilarga
logarifmik funksiya va uning xossalari haqidagi m a’Iumotlarni takrorlab
berishi lozim. Ayniqsa, o'qituvchi ko‘paytm aning lg{a-b)= lga+ lgb,
a
kasrning I g - = lg a —lgb va darajaning lga'^=nlgb logarifmlari ham da
logarifm larning bir asosidan boshqa asosiga o ‘tish log^b=
logc b
^
formulasi va qoidalarini imkoniyat boricha isboti bilan tushuntirib berishi
m aqsadga m uvofiqdir, ch unki logarifm ik tenglam alarni yechish
jarayonida ana shu qoidalardan foydalaniladi. Logarifmik tenglamalarni
yechish jarayonida ko‘pincha lg A = lg B bo‘lsa, A = B b o ‘ladi degan
qoidaga amal qilinadi. Ayrim hollarda o ‘quvchilar lg A + lg B = lg C
tenglikdan ham ^ + 5 = C b o ‘ladi degan noto‘g‘ri xulosaga keladilar. M ana
shunday xatoliklarning oldini olish uchun o ‘qituvchi yuqoridagi
tengliklarni aniq misollar yordamida ko‘rsatib berishi lozim. Masalan,
I g 5 + lg 9 = lg 4 5 . Bu tenglikdan yuqoridagi xato mulohazaga ko‘ra 5+9=45
196
bolishi kerak, bunda 14?ь45. Bundan ko‘rinadiki, lg A + lg B = lg C dan
A + B - C deb yozish k a tta x ato lik k a olib k elar ekan. D em ak,
Ig A + lg B -lg C b o ‘lsa, ikki son ko‘paytmasining logarifmi qoidasiga
ko‘ra lg (A -B )-lg C b o ‘ladi, bundan A-B=C ekanligini ko‘rsatish kifoya.
Ig 5 + l^ = lg 4 5 , lg{5-9)=lg45. 45=45. logf(x)^ log^ (x) tenglamani yechish
uchun f(x )= g (x ) tenglam ani yechish kerak va topilgan yechim lar
ichidan f(x )> 0 , g(x)> 0 tengsizUklarni qanoatlantiradiganlarini tanlab
olinadi. f(x )= g (x ) tenglamaning qolgan ildizlari esa lo g /(x )= lo g ^ (x )
tenglama uchun chet ildiz bo‘ladi. H ar qanday logarifmik tenglama
ayniy alm ashtirishlar yordam ida uni l o g / ( x ) —lo g ^ (x ) k o ‘rinishga
keltirib, f(x )= g (x ) tenglamani yechish va yangi o ‘zgaruvchi kiritish
orqali yechiladi. Logarifmik tenglamalarni yechishni uning aniqlanish
sohasini topishdan boshlash lozim.
1-misol. logx=b tenglamani yeching.
Y echish. Agar a >0 va a Ф I bo‘lsa, x = d' bo‘ladi.
2-misoI.
Ig2x
~
tenglamani yeching.
Y ech ish . Ig2x ning aniqlanish sohasi x>0 bo‘ladi. fe(4x-15) ning
aniqlanish sohasi
4x-15>0, bundan
bo‘ladi. Bundan tashqari,
4x-15?i0 yoki X4t4 boiishi kerak, bularga asoslanib tenglamaning aniqlanish
sohasi x>3-^ va xM bo‘ladi. Tenglamani yechish uchun quyidagicha ayniy
almashtirish bajariladi:
/g2x=21g(4x-l5),
lg2x=lg{4x-\5y;
16х^-122х+225=0, bundan
72
~
9
2x=16x^-120x+225 yoki
1
2 ~ ^2
tenglamaning
aniqlanish sohasida yotadi, shuning uchun x, = 4 ~ yechim bo‘ladi.
3-misol. l o g ^ ( l g x + 2 + l ) - l o g ^ ( y l \ ^ + l ) = l tenglamani yeching.
Y ech ish . Bu tenglamadagi o'zgaruvchining qabul qiladigan qiymatlari
sohasi x>l bo'ladi. Berilgan tenglama potensirlansa,
yoki 7 ig ^ + l“ 2,
= 1 bundan ^ 1 0 .
197
^
^Jlgx + l
=2
4-misol. x‘+'*^=100 tenglamani yeching.
Y ech ish . Bu tenglamadagi noma’lumning qabul qiladigan qiymatlar
sohasi x>0 dir. Tenglikning har ikkala tomoni 10 asosga ko‘ra logarifmlanadi:
fex:-(l+fe-^)=lglOO.
Agar Igx-t desak, /gl00=2 boladi. U holda {\+ t)t= 2 yoki f + i- 2 = 0 ,
bundan /,=1,
t = - 2 . lgx=l, bundan x =10, lgxF=-2, bundan
Javobi.x= lQ ,
5-misol. ig л /5 х -4 + Ig Vx + 1 = 2 + Ig 0,18 tenglamani yeching.
Y ech ish . Bu tenglamaning aniqlanish sohasi 5л—4>0 va x+l>0 bo'Ushi
kerak,
bundan
4
x> —b o ‘ladi.
Tenglama
potensirlansa:
л /5х-4 л/х + 1 =100 0,18
yoki ^ 5 х - 4 -Vx + l = 18. Bunda Sx^+x
41
-328=0, bundan x = - —
41
va Xj=8, x , = - —
bo'igani uchun yechim
bo‘lolmaydi. Javobi. x=8.
6-misoI. ^ Ig^ X =
-ilg x
tenglamani yeching.
Y ech ish . Bu tenglamaning aniqlanish sohasi x>0. Agar lgx=y desak,
1 2
1
1
x=10.
lg x = - 4 yoki
f + ^ y —4=0, bundan j = l va j^j=~4, u holda /gx=l yoki
Javobi. x, = 10, x^
7-misol. log^x + log^S = 2,5.
Y ech ish . Tenglamaning aniqlanish sohasi x>0 va Xi^l. Bu tenglamada
log,, b
logarifm asoslarini bir xilga keltirish kerak. Buning uchun /og^6=j“g "
formuladan foydalaniladi:
lo g ^ ^ _ J _
-
logs ^ 1оё5 ^ ’
Bu almashtirishlarga ko‘ra tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi:
198
log5 X + y ^ ^ ^ = 2,5,
agaj-
lo g ^ x -y
j^-2,5jH-l=0. Uni yechilsa, y^=2 va
xr=25 va l o g ^ ^ , bundan
desak,
yoki
J^ + —= 2,5
■ Bularga ko‘ra log^x=2, bundan
x = л/5 • Javobi: x^ =25, X2 = л/5 .
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
Quyidagi tenglamalami yeching:
1. lgx=3 — lg5.
2. 100«>^20) = 10000.
Javobi: x = 200.
Javobi: x = 80
3. lg(0,5 + x) = Igl - Igx:.
Javobi: x = — - — .
4. fe(x+6) “ 2 = ^ Ig(2x-3) - lg25.
Javobi: x, = 14, x^ = 6.
5-
Javobi:
л/ЗЗ-1
5-41g’( x T i r r r t e O ? V i ) '^ -
Jovob!:x=9.x = m i .
7.X' = x .
Javobi: x = 1, x = - 1 .
8. xl^^ = 1000.
Javobi: x = 77^
9. X = lO'”®^^*®*.
10. log^x + log^ = loglS.
11. /ogjjX + ZogjX +
= 7.
12. logj^3 = logj(3x)^
Javobi: ^ЮООО •
1
1000
Javobi: x = 5.
Javobi: x = 16.
/avo6/.- x = 1.
n.
14. log^^(2> /x + 6) = 2.
к
Javobi: x = 16.
log, (3 + V J T ^ ) . ^
199
, x = 10.
lOg2X = - l .
Javobi: x = — .
lg(x + 4 ) - lg ( x - 3 )
= 1.
Ig200-lg25
Javobi: x = 4.
16. i / i o g 7 v ^
17.
18.
19.
4
log^x+ iog^2 ^ + log^4X = 1,75.
lg(2x + 5 ) - lg x
2 + lglOO
1
Javobi: x = b.
Javobi: x = -|.
О
20. log3{l + Iog2[l + Iog4(l + iogi x)]} = 0.
Javobi: x = 1,
2
21. log^x +
= 2.
Javobi: x = 4.
22. lo g ^ X + logj X - logi X = 8.
Javobi: 9.
3
23. log,[x + lo g p - 2-) + 4] = 1.
Javobi: x = 0.
24. logy log4 logj (x - 7) = 0.
Javobi: x= 7 - , x = l6 .
25. logpc + Ыog^Ъ - 5.
Javobi: x=9, x=27.
26. Igx + /^(x+3) = Igl + lg(9—2 Vx^ + 3 x - 6 ). Javobi: x = 2.
13-§. Parametrli logarifinik va ko‘rsatkichli
tenglamalarni yechish
Parametrli logarifinik va ko'rsatkichli tenglamalarni yechish parametrsiz shunday tenglamalardan ana shu parametrni qanoatlantiruvchi
tenglama yechimini uning yo‘l qo'yiladigan qiymatlari ichidan izlash
bilan farq qiladi.
1-misol. lo g J ,a + 4 o T x ) = 7og “a tenglamani yeching.
Y e c h is h . Bu tenglamani yechish uchun awalo uning parametrini
qanoatlantiruvchi yo‘l qo'yiladigan qiymatlar sohani topiladi:
X >0, x ? i 1, a>0,
аФ\.
/% (а + V oTx )=/%x2-
Potensirlash qoidasiga ko‘ra a + T o T x
-Ja + x =x^-a, bunda x^>a
tenglikning har ikki tomonini kvadratga ko'tarilsa, a+x=x*—2ax^+a'^.
200
а^-(2х^+1)а+(х^-х)=0
2х^ +1 ± (2х +1)
bu tenglamani yechilsa, Щ2 = ---------- -----------
hosil bo'ladi: a,=x^+x+l va a^=x^—x. а,=дс^+х+1 tenglamaning yechimi yo‘l
qo'yiladigan qiymatlar sohasida yotmaydi, x^-a>0, x>0 bo‘lgani uchun
a= x^ - X tenglama yechiladi; x^-x~a=0, bundan
1 , fl
„ , ,
1 + V4fl + 1
Bulardan: Xj = ------ ------- ,
Bu yechimlardan Xi = ^ ^
1 , /1 + 4й
1± V4a + 1
1-V 4a + 1
X2 = ------ -------.
—
tenglamaning yo‘l qo'yiladigan
qiymatlar sohasida yotadi, shuning uchun u yechim bo'ladi.
Bu berilgan tenglamaning logarifm xossalari va potensirlashga ko‘ra
a = yja + x = x^ ko‘rinishda yozib olinadi. Bu tenglamaning har ikki
tomoniga x qo‘shiladi.
a + Х + yja + x
= x^ + X,
agar^a + x = b desak,
+ b = :<? + x hosil bo'ladi. Bundan
(х 2 -й 2 ) + ( х - й ) = 0,
{ x - b ) { x + b) + { x - b ) = 0,
{ x - b ) ( x + b + \) = 0.
x+i+li^tO boMgani uchun x~b=0 bo‘iadi, b ning o‘miga ~ja + x
ni
qo'ysak, x~ ^ a + x =0
x^-x-fl=0 bo'ladi. Bu tenglamani yechilishni
yuqorida ko'rib o'tdik.
X ДС
1
2-misol.
m {a b y tenglamani yeching.
Y ech ish . Bu tenglamadagi 0 ‘zgaravchining yo‘l qo‘yiladigan qiymati
a)
o Z»>0 bp'lsin, u holda tenglamaning ikkala tomonidagi ifodalarni
(a • b y 8® bo'linadi:
201
\“I
1
/'b7 \—
a
(m > 0).
= in,
1
Agar
=t
desak, t + - = m , bundan fi-tm + l= 0 bo'ladi. Bu
tenglamani yechamiz:
-4
_m ±
h,i -
m±
( 1)
Bunda лй2 bo‘ladi.
a) m>2 bo'lsin, bu holda (1) ning har ikki tomonini 10 asosga ko‘ra
logarifmlanadi:
Ig a - Ig A
—Ig - = \g(m ±4rt? - 4 ) - lg 2 , X =
^
’
\g{m±yim^ - 4 ) - l g 2 ’
b) m=2 bo'lsin, u holda (1) quyidagi ko'rinishni oladi:
bundan:
/ a \“
1 1
= 1,
; a = b ^ O bo'lislii kerak.
2) a ■ b = S) bolsin.
a) a=b=0 bo'lsa, berilgan tenglamaning yechimi bo‘lgan barcha sonlar.
b) <2= 0 , feO yoki a ^ , b=0 bo‘lsa, tenglama yechimga ega emas.
Javobi: 1) Agar m > 2, a^t Q, Ь ф О, a ^ b bo'lsa.
X =
Ig a - ig 6
\g,(m±ylm^ - 4 ) - lg 2
2) Agar d.) m = 2, a = b 0 bo‘lsa, x — brtiyoriy son.
b) fl=6=0, x?tO — ixtiyoriy son.
3-misol.
l + a^
2a
I-a
2a
= 1 tenglamani yeching.
-Sj,.
Y ech ish . Bu tenglamadagi a parametming yo‘l qo‘yiladigan qiymatlg^
sohasi 0<a<l bo‘ladi. Tenglamaning har ikki tomoni
boMinadi:
202
^1 + a^
2a
ga
fi-« n
X
2а
r 2 fl Y
= 8Ш г,
= 1,
1 + 0^
tl + a^J
[l + аЧ
l-a^
-------- :^ = COS Z ,
l + a^
(co sz)"'+ (sin ^ )''=1.
(1)
(1) tenglikning chap tomonida turgan ifodaning yo‘l qo'yiladigan
qiymatlar sohasi 0<^:< ^ bo'ladi, bu oraliqda J{x)=(sinzy+(coszY funksiya
monoton kamayuvchidir. x=2 da /(x)= l bo‘ladi, shuning uchun x=2 bu
tenglamaning yechimi bo'ladi.
^
4-misol. ^ “ I
- Aa^ + 4 _ ,
.
"
- 4flt^ + 4
tenglamani yeching.
Y e c h is h :
tenglam a
m a’noga
л /а ^ ^ -4 а ^ + 4 =
Bu
- i f
ega
b o 'lish i
uchun
=| a"" - 2 1^ 0 bo'lishi kerak.
= 1; a ^ - a ^ + 2 = l.
a^-2
a) agar й^2 bo‘lsa, a^—o'+2—l tenglama yechimga ega emas.
b) agar 0<ff'<2 bo‘lsa, 2a‘=3\ ^:=log 1 yechim hosil bo'ladi.
2
5-misol. 2 log^ b - 3 log^^ bx^ +14log^2^2 bx = Q tenglamani yeching.
Y e c h is h . >:>0, x ^ v a ,
+ 1=0,
y,,2 =
bundah
Xi = b, log^ 6 = -
6-misol. —Ig ^ = 1 +
^ ,> 0 , agar logJb=y desak, 2 /-3 j/+
"I ’
b = l.
bundan X2 = 4 b.
, a
tenglamani yeching.
203
Y e c h is h .
2
2
-lg ^ x = Igx + a; - l g ^ x - l g x - a = 0;
a
a
\g x = y; 2 y ^ - a y - a ^ = 0 ,
a±
+ 8a^ a ± 3 a
У1, 1= --------4--------= ^ - ’
У1=^’ У 2 = ~ 2 ’
_a
lgx = a, x = 10‘’; l g j c - - | , x = 10'2.
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
1-misoI. 21og^a + lo g ^ a + 31og^2^a^^ 0, а Ф \ , a > 0
yeching.
1
- ~f= > ^2 -
Javobi:
log3 4 - 2 _ lo g ^ (5 -x )
2-misoI. iog3(;c + 2 )~ lo g ,(x + 2)
,
^
tenglam ani
1
,
^ tenglama yechilsin.
Javobi: x = 2 .
3-misol.
lg(4 + a - x) _ , , logfl 4 - 2
Ygx
~
log д: ’ ^ ^
^
^ tenglama yechilsin.
,
„ a‘^(a + 4)
Javobi: X = — ^-------.
+4
14-§. Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar
sistemasini yechish
\^ x + y = 5 ,
1-misoI.
+
2 ^ -1 0 0 ^®”Slanialar sistemasini yeching.
Yechish. Sistemadagi birinchi tenglamaning har ikki tomoni x darajaga
ko'tariladi:
204
х + >» = 5^,
(х + >')-2^ =100.
(5^ ■V = 100) => (10^ = 10^) => (х = 2).
(2 + у = 5^) => у = 2 5 - 2 = 23.
2-misoI.
</1024 =
Г2 ^
\ 3^ /
Javobi: х = 1 , у ^ 1 Ъ .
tenglamalar sistemasiai yeching.
Y e c h ish . Sistemadagi ikkinchi tenglamaning har ikki tomoni у darajaga
ko‘tariladi:
x>’ = 243,
= 243,
/'I
1024 =
^2 ; '
1024 =
-X
\3 /
f2^
3/
V
x^" = 243,
x^ = 243,
1024 =
2
243,
10
\ 3 /,
3-misol.
'Г
13
=x,
2 I0 _ r
(243)2
2y
J
\ 3/
x^ = 243,
l 2 j = 10
5\2
(3^>
x^” = 243,
j; = 5
X = 3,
y = 5.
tenglamalar sistemasini yeching.
= x2
Y e c h is h . Sistemadagi birinchi tenglamaning har ikki tomonis i 2y
darajaga, ikkinchi tenglamani esa у darajaga ko'tariladi:
У
3^, _ ^ 2;.
у-" = X
■ У^''=У^^;
J ^1
boMsa, 2x = 3 y , x = ^ y ,
bu topilgan qiymatini sistemadagi ikkinchi tenglamaga qo'yiladi:
205
x ning
2f
9^
= 0;
/Ч - 4 /
=>r
п
Д 2 = 0>
9
3^3 = 4 ,
„
^ 1,2 = 0 .
27
^з= у .
9
J3 = 4 ‘
I 9-5^+7-2^+^ =457,
4-misoI.
6 5^-14-2^^^ = -890
tenglamali sistemani yeching.
Y ech ish . 5^=a, 2^>’=b desak,
9й + 7А = 457,
Ja =l
l a - 1 4 6 = -890 ^|z> = 64,
(5"=1)=( 5"=5’)=(;c=0);
2>=64=2«;
j;=6.
Javobi: jc=0, y=(>.
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
Ъ= ^ ^ У + У + У = 1 ,
Javobi:
32х+у ^ЗХ+2;- ^J2 .
2.
Xj = 0,
y i = 1,
X2 =1,
У 2= 0.
2.9 * + 9 * = 5^ . 5-^',
2 . 3X-J;
= 3 . 9^
( 3 x - j;f ^ ^ = 4 ,
3.
48^^>’ = l x ^ - \ Ь х у + Ъу^.
=2,
4.
Javobi:
^
5.
6.
x = \,
Xi = -2,
= 3 2 # -,
Javobi:
< [ y = 3 ^ .
log^x + log^y = 2,
log* X - log* = 4.
Javobi: x = ab^
206
7 = -l.
У1 = 4,
у^Л .
||
(l + log^j;)log2 х = 3
7.
Javobi:
lo g ^ ( у*х ‘^) - 0,5 lo g ^ у'* ^ 2 .
Xi = 2 ,
У1 = 4 ,
хг=2\
У 2=-^.
X ■log2 i • log^ 4 = у 4 у (log^ 4 - 2),
8.
^
log,,4 1 o g ^ x = 2.
Javobi:
log2^y + 41og4(x-y) = 5,
9.
Javobi:
x^+y^ =20.
^
^
v - 95
v - 25
’ y-^ ■
=4,
у у = 2.
Хг = 2 ,
У г= 4.
\ ogyX + l og^y = 2,
10.
11.
Javobi: x: = 5, >»= 5.
x ^ - y = 20.
lo g ^(x + j') = 0
lo g ;g ,(j-x ) = l.
,
З-л/5
Ig ^ - = 31g^x-lg2y,
12.
-1 + V5
Javobi: x = — -— , y = ---------.
!’
У
Javobi:
У1=4,
д,2=2.
lg ^ ( y - 3 x ) - lg x lg > ' = 0.
13.
14.
[lg(x + y) = Ig 40 - lg(x - y ).
3^-2^ =576,
lo g ^ (> '-x ) = 4.
Javobi: x — 1, y = Ъ.
Javobi: x — 2, у = (>.
15-§. Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalarni
grafik usulda yecMsh
_
1-misol. 2^' —jc-2^—1=0 tenglamani grafik usulda yeching.
Y e c h is h . Tenglamaning chap tomonida berilgan j ^ 2 ^ ‘—x-2^—1=0
funksiyaning grafigini chizish murakkabdir, shuning uchun bu tenglamani
quyldagacha yozib olinadi; 2^*—x-2""=l.
207
Bu tenglamaning har ikki tomoni 2v0 ga bo'linadi. Natijada 2—x=2-’‘
hosil bo'ladi. y = 2 -x va y=2'^ funksiyalarning grafiklari (22-chizma) koordinata
tekisligida ehizilsa, ularning kesishish nuqtalarining absissalari berilgan
tenglamaning yechimi bo'ladi.
Javobi: x = ~ 2 , x = l , 7 .
2-misol. 3%j(x+2)+2x-3=0 tenglamani grafik usulda yeching.
Y ech ish . Berilgan tenglamaning 3log^{x+2)=3-2x ko'rinishida yozib
olib, tenglikning bar ikki tomonida turgan y=3log^(x+2) va y = 3 -2 x funk­
siyalarning grafiklarini koordinata tekisligida yasaymiz (23-chizma). Bu
grafiklar kesishish nuqtasining absissasi berilgan tenglamaning yechimi bo'ladi.
Javobi: x=0.
3-misol. lg|x|— 5=0 tenglamani grafik usulda yeching.
Y ech ish . Berilgan tenglama quyidagicha yozib olamiz: lgx=x^-5. y=lgx
va y-x ^ ~ 5 funksiyalarini koordinata tekisligida grafiklarini yasaymiz
(24-chizma).
23-chizma.
24-chizma.
Bu grafiklar kesishish nuqtalarining absissasi berilgan tenglamaning
yechimi bo'ladi.
Javobi: x ^ = ^
,x^=-^.
208
4-misol. 2 — X — 5/g(3 — x) = 0 tenglamani grafik usulda yeching.
Y ech ish . Berilgan tenglamani
va j=51g(3—x) ko'rinishda yozib,
ularning grafiklarini koordinata tekisligida yasaymiz. Bu grafiklar kesishish
nuqtalarining absissasi berilgan tenglamaning yechimi bo'ladi (25-chizma).
\
^^y=5lg(3-x)
N
1
1
-X
■ -Л 5
_
^
3
h9\
X
\
\
,-y
25-chizma.
Javobi: Xj=-1,5. Xj=l,9.
x y + x - 2 = 0,
X - log (>» +1) = 0 tsi^Slamalar sistemasini grafik usulda
5-misol.
yeching.
Y e ch ish . Berilgan tenglamalar sistemasi quyidagi ko'rinishda yozib
olinadi;
2-x
--,
y = - - i,
y + l = 2^
У = 2^-1
y =
{xy = 2 - x ,
|lo g 2(y + l) = x
X
X
у = —— 1 va y=2^ —1 funksiyalaming grafiklari koordinata tekisligida
X
chiziladi (26-chizma).
-X
-1
-yy
26-chizfna.
14 - s. Alixonov
209
Ularning kesishish nuqtalarining absissasi tenglamaning yechimi bo'ladi.
Javobi: x = I, у = I.
16-§. Trigonometrik tenglamalar
1.
sinx=a tenglamada |а|<1 b o ‘lsa, u x=(-l)*arcsina+^A:,
yechimga ega bo‘ladi. Xususiy holda
a) agar sin x = 0 bo‘lsa, x = тск, k& Z;
b) agar sin X = 1 bo‘lsa, ^
keZ
^
n
d) agar sin X = -1 bo‘lsa, x ~ ~ 2
keZ;
e) agar sin^x = a bo‘lsa, x =+arcsin7a + nk, k e Z .
■^/3 = 0 tenglamani yeching.
Misol. 2 sin
Y e c h ish :
2 sin
7Z
я
4
■л/З = 0
у Л-.ir
sm
.
— + X = (-1)'^ arcsm
<=>
7C
/ i\lc
- +х =И Г
4
\
4
2
о
+ лк
J
\
/
я
Ч
к ^
о л-пк
J)
o ( x = (-l)*+i | - | + ^yfc), k e Z .
2.
cosx=a tenglamada la|<l bo‘lsa, u x=±arccosa+2;r/:, keZ; yechimga
ega bo‘ladi. Xususiy holda:
a) agar cos x = 0 bo‘lsa, ^
у
b) agar cos X = 1 bolsa, x = 2л:к, keZ,
d) agar cos x = —1 bo‘lsa, x = л +2лк, keZ;
e) agar cos^x = a bo‘lsa, x = ±агссо8л/а -^кк, keZ.
210 .
(2
M iso l.
cos
3^
cos
Y e c h is h .
n
- 1 - 0
2
(2
\
n
3^
2
tenglam ani yeching.
-1 = 0
У
( 2 •V— 1 \ 7tk^
( 2 -V* ^ _n_
nk
\3
2
2У
V-?
, keZ.
2 2 ,J
I4
4^ 2 /
\3
tg x= a tenglama x = arctg л+лк, k e Z yechimga ega bo‘ladi. Xususiy
3.
holda
a) agar tg x = 0 bo‘lsa, x = лк, keZ;
b) agar tg x = 1 bo‘lsa, x =
лк, keZ;
d) agar tg X = —1 bo‘lsa, x
keZ;
e) agar tg^x=a bo'lsa, x=±Sirctg ^
Misol. 3tg^3x - 1 = 0
+лк, keZ.
tenglamani yeching.
n
Y e c h is h . Г 3 х = ^
3 x = ± ^ + кж
6
3x = ±arctg
v3
+ kn
, Л
ж,
18
3
Х = ±гг7: + -::к
к
х = ^ ( в к + 1)
4. ctg JC= а tenglama х = arcctg а + лк, ке Z yechimga ega bo‘ladi.
л:
а) agar ctgx = О bo'lsa, х = — лк, ке Z;
Ь) agar ctgx = 1 bo'lsa, х = ^ + лк, keZ;
d) agar ctgx = —1 bo'lsa, x
e) agar ctg^x = a bo‘lsa, x =±arcctg To + ^k, ke Z.
a
Misol. ctg
2 X - -
- 3 tenglamani yeching.
211
Y e c h ish . ctg
о2 X - -^ = 3 <=> ctg 2~ x - ~к = ±V3
<=> 2x - у = ±arcctgyl3 + n k
n
nk\
2x = ± ~ + ~ + n k
6
3
k e z-
Matematika kursida har qanday trigonometrik tenglamalar ayniy almashtirishlarni bajarish orqali taqqoslanib siiuc=a, cosx=a, tgx=a, ctg x=a ko‘rinishdagi eng sodda trigonometrik tenglamalarga keltiriladi.
Trigonometrik tenglamalar quyidagi metodlar yordamida yechiladi.
1. Ko‘paytuvcliilarga keltirish usuli.
1-misol. sin2x = cos2x sin2x tenglamani yeching.
Y ech ish . sin2x - cos2^: sin2x = 0, sin2x(l-cosx) =0
1) agar l-cosx?tO bo‘lib, sin2x=0 bo'lsa,
« eZ bo'ladi.
2) agar sin2x^!:0 bo‘lib, 1—cosx=0 bo'lsa, cos.x=l, xF=2%n, neZbo'ladi.
2-misol. sin3x — sin x = 0 tenglamani yeching.
Y e c h is h . sin3jc —sin x = 2sin x cos 2x = 0
1) agar cos2x9iO bo‘lib, sinx=0 bo‘lsa, x=7t«, neZ;
2) agar sinx5^0 bo'lib, cos2x=0 bo‘lsa,
+
«eZ bo'ladi.
3-misoI. cos^x+cos^2x+cos^3x=l,5 tenglamani yeching.
1 Ч" COS
Y ech ish . cos^x = ----- г----f l + cos2x
~ 2
^
l + cos4x
2
formulaga ko‘ra
l + cos6x 3^
^ " " 2
<=» (cos2x + cos4x + cos6x = 0) «
(cos2x + cos6x) + cos4x = 0
« [2cos4xcos2x + cos4x = 0] « cos4x(cos2x + 1) = 0.
1) agar 2cos2x+lTiO bo‘lib, cos4x=0 bo‘lsa,
+
2) agar cos4x9iO bo‘lib, 2cos2x+l=0 bo‘lsa, c o s 2 x = -^ ,
212
2 x = - ^ + 2nn-, х = - ^ + пп-, n eZ .
II. O'zgaruvchilarni kiritish usuli.
1-misol. 2cos^x=3 sin x tenglamani yeching.
Y ech ish . (2cos^x - 3 sin ^=0)«(3sin x — 2(l-sin^x) = 0
<=Ф(3sin X - 2 + 2 sin^x =0).
Agar sin л: = j desak,
2 y ^ + 3 y - 2 = 0,
n
sm x = ;^
ZJ
V
( .
J 2 = -2 -
У1 = ^ ,
r
Ч
X = ~ + 2kn
0
k e z.
\
/
2-misol. cos2x - 5 s i n x - 3 = 0 tenglamani yeching.
Y e c h is h . cos2x=l-2sin^x formulaga ko‘ra (l-2sin^^^5sinx-3=0) <=>
(2sin^x+5sinjc+2=0)
sinx=>' desak,
2 / + 5y + 2 = 0, j , = -2 ,
1
3^2=-^ •
1) sin X = —2 tenglama yechimga ega emas.
/
✓
r .
n
X = (-1)* arcsin
+ 7tk , k e z ;
2) sm x = - 1>
\
^
V
X = (-1)*^* ^ + л к , к е Z.
III. Bir jinsU tenglamalami yechish.
1- misol. 2sin^x-sinxcosx-cos^x=0
tenglamani yeching.
Y e c h is h . Bu tenglama sinus va kosinus funksiyalariga nisbatan bir
jinslidir. Tenglamalarning har ikki tomonini cos^xtsO ga bo'lsak,
2tg^x - tg X - 1 = 0 hosil bo‘ladi. Bundan tgx=I va tg x = - ^ .
1) agar tgx=l bo'lsa, х ^ - ^ + к к , keZ \
2) agar ,tg X = —i
bo‘lsa, x = - a r c tg ^ +лгА:, A:6Z bo'ladi.
2 - misol. cos^x+3sin^x+2^ sinxcosx=3 tenglamani yeching.
Y ech ish . Bu tenglama ayniy almashtirishlar bajarish orqali bir jinsli
ko'rihishga keltiriladi.
213
cos^ jc + 3 sin^ X + 2л/3 sin x cos x = 3(sin^ x + cos^ x),
cos^ X + 3 sin^ X + 2л/3 sin x cos x - 3 sin^ x - 3 cos^ x = 0
2 cos^ X - 2л/3 sinXcosx = 0.
2 cos x(cos X - л/З sin x) = 0.
1) agar cosx - V3sinx/0
bo‘lib, cosx=0 bo‘lsa, х = ^ + к к , keZ\
2) agar cos x^iO bo‘lib, cosx - 7з sin x=0 bo‘lsa, t g x = ^ ,
+^л',
iteZ;
IV. asin x+bcosx = с ko‘rinishdagi tenglamani yeching.
X
I usul. Bu tenglamani yechish uchun tg— - t almashtirish bajariladi.
Q in V =
Ma’lumki,
________
PnQ Y =
\+
___________ ^
berilgan
\ + tg^
tenglama quyidagi ko'rinishni oladi:
l + t^
+
4 ~ = c,
2at + b - b t ^ = c + ct^,
l+f
( i.+ c )/^ -2 « + (c -i)= o ,
x =2
c+b
r c t g — - ..+ 2kn, k e z , a^ + b^>c ^ va
c+b
a
b
-c.
Agar b=-c bo‘lsa, kvadrat tenglama chiziqli tenglamaga almashadi:
2at+2b=Q,
b
b
t —---- , X =—2arctg — У2кк, ke Z.
a
a
J I usul. Tenglamaning har ikkala tomoni ^^2 ^ jp.
a
V
^
=
.
=
b
O Xi n
li X
Л +I - p= ==
= ==
===
rS
== =C= ■Ow So XЛ —
=
+ b^
2
с
<1.
I..................=
+ b^
214
ga bo'linadi:
+ b^
/
\2
a
/■
\2
b
Ц-
[4a^+b^
]
- sm (p desak, berilgan tenglama
sinx • costp +COSX • siiKp = ^ 2
„
с
^ /-^— - j
va +b
^ 1,
4a^ + b^
= cos<p va
Agar
a
= 1 va
^2
ko'rinishni oladi, bundan sin (x+^p) x
b
bo‘ladi. <p =arctg—; agar d^+lP-> c?
bo‘lsa, x = ( - l)
a
a r c s i n - j = ^ = + n k - a r c t g —,
4 a ^+b ^
"
kez.
1-misol. 3cosx + 4sin x = 5 tenglamani yeching.
Y e c h is h . ^32 + 42 =
bo'lgani uchun tenglamaning har ikki
Г41
3
tom oni 5 ga b o ‘linadi; —cosx + —sinx = 1,
3
.
4
uchun- = sinФ va — = cos(p
4 .
= 1, shuning
bo'ladi, bundan sin^ • cosx+cos«jC) sinx=l
tenglama hosil qilinadi yoki sin(x+(p)=l bo'ladi:
^
x + (p = ^ + '^ктс,
.3
<jo= arcsm -,
D
^
Z,
ж
. 3
x = —- a r c s in - + 2 A:^,
^
.J
,
kez-
2tg^
2-usul. Agar sinx = ------ — ,va. cosx = -------- ekanligini nazarda
X
tu tib ,tg ^ = y desak,3 -
1“
2V
7 + 4 ^— 2 = 5^yoki 3-3y^+8j;=5+5y2 yoki
215
4y^-4y+l=0 bundan j= ;^
2
/
(
^
X
/
1 N
P
yechim hosil boMadi:
X
1
,
- = a r c tg - + n k
^^2 = 2 ,J
V
,
X = larctg i
+ 2nk,
k&n.
V
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLIAR
Trigonometrik tenglamalarni yeching.
1. tgx + sin xtgx = 0.
Javobi: nn.
2- 2 sin jc - 3cos x = 6.
Javobi: x e 0 .
3. sin^ x - ("1 +
sin X cos л: + 7з cos^ X = 0.
7Г
Javobi: — + nn,
arctg3 + nn.
Javobi:—+ пк,
arctgZ + rm.
4
4-sin^ x - 4 s in x c o s x + 3cos^ X = 0.
7t
7C
5-%/3sin^ x - 4 s in x c o s x + л/З cos^ X = 0. Javobi: — + m ,
6. sin^ x + 3cos^ x - 2 s in x c o s x =
2
--^kn.
Javobi: ^ + kn.
6
7- 7 c o s^ x -7 s in 2 x = 2.
Javobi: x = arct g~'’
2
8. -—fir--.-------7 = 1sm X - 1
Javobi: x = (-1)^ - ^ + kn , k e z .
9. “
.
4
_2 =
/flvoA/V kn, ^л - к п .
10. (l- 2 s in x ) s in x = 2 c o s 2 x - l.
Javobi: x = 2 k n ~ .
sin'*x + cos'‘ x - 2 s in 2 x + sin^2x = 0.
/_1А\
Javobi: x = i- y ^ a r c s in ( 2 - >/2) + ^ .
216
12. sin^ X cos X -cos^ sin х = cos'*
+ kn
Javobi: ^ ~ ^ (-1)*^* aT csin~
4
Javobi: ^ n .
13. sin'* X + cos'* X = cos 4x.
14. rg(40« + x)c?g(5‘> -x ) = | .
n k - 35° +
arcsin ^
Javobi: х= 2Л п + ^.
15.(sinx+cosx) =tgx+ctgx.
4
Javobi: x = jrfct ^ .
16. sinSx'sin’x+cosSx'Cos^x = -^.
о
О
17. sinx+sin3x+sin7x==3.
Javobi: x=0.
18. tg7xMg3x=0,
Javobi: x =
19, 7+sinx+cosx=0,
к
Javobi: Xj=Kk—— , X j= n :(2 « + 1 ) .
29
r
A-
7^
10 '
2Л + 1
Javobi: X —— - — n.
20, sin'‘’x+cos'“x = 7 7 cos‘'2x.
Id
21. ltgxtctgx|=^
n
Javobi: x ~ J t k ± —.
22. 13situr-l2cosx+13$in3x=0.
Javobi: x-
0
nk
'' 2 •
23. l+2cos2x+2cos4x+2cos6x=0, Javobi: x = ^ + ^ ' , ^
24, cos‘‘x+cos‘'^^
4^
.
I ll
п
2 5 .2sin2x+sinx+co&x?=l.
Javobi: x^=2kn, х = 2 к к + — -
26. 3sinx+sin(x + — ) =1—3 siruccosx.
Javobi: ( 2k+\ ) к, keZ .
27. 3-cos^j^3siiu:=0.
Javobi: ^ +2kn, keZ .
X
2
X
28. cos3x+4sin- 2 ‘cos^ 2 cosx=0.
n
Javobi: — +2кк, keZ.
29. cos22x^sitf2x=-:^.
Javobi:
L
X
6
+ ^ ik , keZ.
2
X
30. sin^x+2sm'2 cos^ =0.
X
Javobi: nk, keZ.
X
31. sin^x cosT —sin2xsin^ =0
Javobi: nk, keZ.
17-§. Parametrli trigonometrik tenglamalarni yecMsh
*
Parametrli trigonometrik tenglamani yechish parametrlarning mumkin bo‘lgan bar bir qiymatlari sistemasi uchun berilgan tenglamaning
ham ma yechimlari to ‘plamini aniqlash demakdir. Parametrik ko‘rinishdagi trigonometrik tenglamalarni yechish quyidagi ketma-ketiiklar
asosida amalga oshiriladi.
1. Parametrlarning mumkin bo'lgan har bir qiymatlari sistemasi
uchun yechimlar sonini aniqlash.
2. Hosil qilingan parametrU yechim formulalarini topish.
3. Tenglamani param etrlar asosidagi qiymatlar sistemasini aniqlash.
a
1-misoI. sin(a+x)+sinx=cos— tenglamani yeching.
Y e c h is h . Berilgan tenglamaning chap tomonida turgan ifodaga
trigonometrik funksiyalar yig'indisini ko'paytmaga keltirish formulasini tatbiq
qilsak, u quyidagi ko‘rinishni oladi:
2 sin(^ + x) cos ~ = cos ^ .
2
2
2
Bu tenglamada quyidagi ikki hoi bo‘lishi mumkin.
218
1.
Agar c o s ^ ^Q, a
(2л + 1)л boisa, u holda tenglamani quyidagicha
yozish mumkin;
2 sin(~- + Jc) = l,
x = - ^ + (-1)* ^ + кк , k e Z .
2
6
2
2. Agar а=(2п+1)к bo‘lsa, u holda
~ ® bo'ladi. Bu holda ham
tenglik o‘rinll bo‘ladi:
- —+ (-1)* ^ + kn , a it (2n + 1)я,
2
6
-ixtiyoriy
son,
а = (2п + 1)п.
к
2-misoI. sin^x+asin^2x=sin -7 tenglamani yeching.
О
Y ech ish .
+ a ( l- cos^2x) = ^ ,
1- cos2x+2a —2acos^2x=l,
2acos^2x4-cos2x-2a=0,
, ^ . -1 + Vl + I6a^
(cos2x),=------------------ ;
4a
, - 1 - Vl + 16fl^
(cos2x)j=-------- ---------- ,
.
^
- l + 4 l + l6a^
a) cos2x = ------ -- --------- ,
, , ,,
1+I6a^>0,
4fl
—1+ yji +
4a
^4a,
I2a^-8a<0;
1) fl=0,
I - l + vl + 1 6 ? . ,
| -------- ---------- 1<1,
4a ,
l+16a^^4a^+8a+i,
a{\2a - 8)<0
120-8,^0,
2
2
2) 09^0, 12fl-8=0, a = - , bundan a < -
bo'ladi.
^ - 1 - V l + I6fl2
,- 1 -л /Г Й б 7 . ,
cos2x=------- ---------- ;
-------- ----------- <1,
4a
4c
tengsizlik a ning hech qanday qiymatlarida bajarilmaydi. Agar a=0 bo'lsa
b)
• 2
sin
x = -П
219
-1 + Vl + 16a^
Javobi:
даО da х^ = к к ± ^ a r c c o s
a=0 da
4a
+kn, keZ.
3-misol. cosx+siruc=a tenglamani yeching.
Y ech ish . cosx+sinx= ^ c o s ( x - ^ ); agar|a|<72 bo‘lsa, bu tenglaiiiM
yechimga ega bo‘ladi. Agar \a \< ^ bo'lsa,
x = ^ ± & x c c o s -^ + 2kit,
bo‘lsa, yechim yo‘q.
4-misoI. sin2x+3cos2:>c=a tenglamani yeching.
Y ech ish . 28и1л:'с08л:+3с08^л^351п^л=а,
2tgx+3-3tg^x=fl(l+tg^x),
tg2x(fl+3)-2tgx+(a-3)=0,
\o\> ^
,
l± V lO -fl2
Agar |a|< JJo bo'lsa,
a, = arctg ^ ~
r
bo‘lsa, sin2x + 3cos2^r=-3
1)
cosx= 0 ,
cosxaO,
sinx+ 3cos»^0 ,
sinx+ 3cosx= 0 ,
Javobi: Agar |a|<7l0
+ kn, k e Z . Agar «•- t
bo'ladi.
2sirpccosx+3cos^jd-3cos^x—3 = —3,
cosx(siruc+3cosx)=0,
2)
fl + 3
2sinxcosx+6cos^A:=0,
x = +кк, keZ;
X2=arctg(~ 3)+fei, keZ.
(от^-З) bo'lsa, a = arctg ^~
agar (fl9t-3) bo'lsa, х = ^ + к к , k e Z .\ agar |al>7l0
fl + 3
+ icjc, k> /,
bo'lsa, tengliiiiiM
yechimga ega emas.
5- misol. sin''x+cos‘’^:=a(sin‘'x+cos‘'x) tenglamani yeching.
Yechish.
sin‘‘x+cos‘'x=(sin^x+cos^x)^—2sin^xcos^x=l—2sin^xcos^x,
sin^x+cos^x=(sin^x+cos^x)^—3sin'*xcos^A^3sin^x-cos‘*A:)=l—3sin^xco.s’A,
l-3sin^xcos2x=fl(l-2sin^xcos^A:),
l-3sin^xcos^^:=a-2asin^jrcos^jc,
220
a-\
2a~r
sinVcos^x
Agar bunda 0<4
iriigsizliktii yechsak,
sin^2^?=4-
Я-1
2a-3
a-\
<1 bo‘lsa, tenglama ma’noga ega bo‘ladi. Bu
2а-Ъ
1
3
3
bo'ladi. Agar a = - b o ‘lsa, l-3sin^xcos^^=--
Isiii^xcos^x hosil bo'ladi, bundan 1 = -
tenglik hosil bo‘Iadi, buning
liD'lishi mumkin etnas.
Agar
bo4sa,
kn
x = ±^arcsin
Agar a < — va d>\ bo'lsa, yechim yo‘q.
Ъх
.
. X
6-misol. sin — + sin x = w sin — tenglamani yeching.
= sin X cos ™+ cos X sin I , bunga ko‘ra
Y echish. sm
X
X
X
sinx + sinxcos —+ cosxsin —- m s in —= 0,
JC
sinx 1 + cos — + sin —(cos X - /и) = 0,
2
.
X
sin — 2cos—+ 4cos^ —- 1 - w
2
2
2
= 0.
1) sin-^ = 0, x = 2kn, k & Z \
X ,,
2) 4cos'‘ —+ 2cos —-(1 + m) = 0,
/L
a) cos-^=
^
X - \ ± y j 5 + m- A
cos—= -------- --------- .
^
bunda quyidagi shartlar bajarilishi kerak:
221
5 + 4яг > О,
-1 ± л/5 + 4 т
<1.
Ви tengsizliklarai yechsak, - - < m < 5 hosil bo'ladi. Bu shartga ko'ra
^
-1 ±л/5 + 4/и
„
X = ±2 arccos---------------- + Akn, k e Z;
X -1 - л/5 + 4m
b) c o s - = ------- ---------
Bu yechilsa,
x = ± 2 arccos ^
k e Z,
bo‘lsa, x,=2fcjc, keZ.
Javobi: Pigax
^2 3 = ±2arccos ^
/: g Z,
х = 2 Ы , k e Z X2 = ±2 arccos
-1 + л/5 + 4 т
Agar l<m<5 bo'lsa,
+ 4А:я:, A; e Z,
A garw>5, / « < - — bo‘lsa, х=2кя, keZ.
18-§. Trigonometrik tenglamalar sistemasini yechish
Tarkibida trigonometrik funksiyalar qatnashgan bir necha tenglama
trigonometrik tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Trigonometrik tengla­
malar sistemasini yechish tenglamadagi no'malumlarning shu tengla­
malar sistemasini qanoatlantiradigan qiymatlarini topish demakdir. Ikki
noma’lumli ikkita tenglama sistemasining yechimi deb, noma’lumlarning
ikkala tenglamani ham qanoatlantiradigan juft qiymatlariga aytiladi.
n
1- misol.
x + 3/ = ^
tenglamalar sistemasini yeching.
/gx + /'gy = 1
222
п
_ , tgK{tgx - 1)
к
4 -"
l + tgx
к
х = — + кж, у = -к п , к е Z-,
а) tgx = \,
Ь) tgx = a, х = к л , у - — - кк , к е Z .
4
Xj = пк,
Javobi:
Ут= ---- пк, к е Z.
У1 = -гск,
4
cos(x + у)
cos(x - у )
1
9
2-misol.
1 tenglamalar sistemasini yeching.
sin X •sin 3' = -
Y e c h is h .
cos X cos - sin jc sin
cosxcosj + sinxsin>’
1
1
cosxcos у = - + - cosxcosy + —
3 9
1
9_
cos Xcos у - 1
8
10
5
“ cos X cos у = cos X COS у = — .
9
27
- 1 2
cos X COS у = —
12
cos X COS у - sm X sm у = — ,
12
sm X sin у = 3
cos X cos у + sm X sm у = —
4
+ у = 2kiK ± arccos
1
cos(x + J") = —
X
cos(x - y) = I
4
X- у = 2k,7i ± arccos —
4
223
1
1
cosxcosy = —+ — + —cosxcosy,
3 27 9
x
1
3
arccos — + arccos 12
4
= 7t { k i + ^ ) ± -
, -^ 1
3 -V iM
= n { k ^^+ k i ) ± - arccos---- -------
1
12
3
, 4^1
З+ л /Ш
= n { k ^ - k 2 ) ± - arccos — ——
4
у = n { k y - k 2 )± )^ arccos----- arccos-
sin X + sin j = a
3-misol.
x + y = 2b
tenglamalar sistemasini yeching.
» . x+y
x-y
2 sm -----—cos---- -- = a
2
2
Y e c h ish .
x + y = 2b
cos
^
■ L
X - y— = a,
2smZ»cos----
2
x + у -2b
"
=> x - y = 2 k n - 2 ±arccos
2sin6
_
x-y
b
a
,
T>b
^
1
a
1
'У
у = — arccos------+ kn, X = — + arccos------ + kn, k& Z.
2
sin 6
2
sm b
1) agar b = Q, a Ф Q bo‘lsa, sistema yechimga ega emas.
a
- 1 bo‘lsa, sistema yechimga ega.
2sinZ)
3) agar Z)=0, д=0 bo'lsa, sistema cheksiz ko‘p yechimga ega.
2) agar A
0,
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
Tenglamalar sistemasini yeching.
sm Xsm j =
cos Xcos у
л/3- l
4 ’
л/З+1
Javobi: j : x = 45°, j = 15°.
[sin X : sin 7 = л/Цз,
Javobi:
cos X : cos у = л/О^.
224
x = 60°, j = 45°.
!
s i n x - \ f 2 sin у,
Javobi: x = 45°, у = 30°
tgx = -Jltgy.
1
sinx + c o s j = - ,
4.
•
S in
2
X + COS
2
Javobi:
1
x - 0°, >' = 60°
V= -
4
к
x+y =~,
5.
sinx + c o s j = 1.
%
6.
x-y=6,
sin Xcos 3/ = 0,75.
Javobi: x =
n
3
У=
Л
0
X + y=-7C,
7.
1
sm Xsin V = - .
2
19-§. Masalalarni tenglama tuzish bilan
yechish metodikasi
Masala - bu kundalik hayotimizda uchraydigan vaziyatlarning tabiiy
tildagi ifodasidir. Ma?,ala asosan uch qismdan iborat bo‘ladi.
1. Masalaning sharti - o‘rganilayotgan vaziyatni xarakterlovchi m a’lum va no‘malum miqdoriy qiymatlar ham da ular orasidagi miqdoriy
munosabatlar haqidagi m a’lumot demakdir.
2. Masalaning talabi —masala shartidagi miqdoriy munosabatlaiga
nim ani topish kerakligini ifodalash demakdir.
3. Masalaning operatori — masala talabini bajarish uchun shartdagi
miqdoriy munosabatlarga nisbatan bajariladigan amallar yig‘indisi.
len g lam a tuzish orqali masala yechish, masala talabida so'ralgan
miqdorni imkoniyati boricha biror h arf bilan belgilash, masala shartida
qatnashayotgan boshqa miqdorlarni belgilangan h arf orqali ifodalash,
masala shartida ko‘rsatilgan miqdoriy m unosabatlarni, am allarning
15 — S. Alixonov
W- a
225
mantiqan to ‘g‘ri ketma-ketligi orqali ifodalaydigan tenglama tuzish va
uni yechish orqali masalanitig talabini bajarish demakdir.
Masalalarni tenglama tuzish orqali yechishni quyidagi ketma-ketlik
asosida olib borish maqsadga muvofiqdir.
1. Masala talabida so'ralgan miqdomi, ya’ni nom a’lum miqdomi
harf bilan belgUash.
2. Bu harf yordamida boshqa no‘malumlarni ifodalash.
3. Masala shartini qanoatlantiruvchi tenglama tuzish.
4. Tenglamani yechish.
5. Tenglama yechimini masala sharti bo'yicha tekshirish.
Maktab matematika kursida tenglama tuzish orqali yechiladigan
masalalar ko'pincha uchta har xil miqdorlarni o‘zaro bog‘Uqlik m unosabatlari asosida beriladi. Chunonchi:
1) tezlik, vaqt va masofa;
2) narsaning qiymati, soni va jam i bahosi;
3) m ehnat unumdorligi, vaqt va ishning hajmi;
4) yonilg'ining sarf qilish m e’yori, transportning harakat vaqti
yoki masofasi va yonilg‘ining miqdori;
5) jismning mustahkamligi, hajmi va uning og‘irligi;
6) ekin maydoni, hosildorlik va yig‘ilgan hosildorlik miqdori;
7) quvurni o ‘tkazish imkoniyati, vaqti va quvurdan o ‘tayotgan
moddalarning aralashma miqdori;
8) bir mashinaning yuk ko'tarishi, mashinalar soni va keltirilgan
yuklarning og‘irligi;
9) suyuqlikning zichligi, chiqarish chuqurligi va bosimi;
10) tokning kuchi, uchastka zanjirining qarshiligi va uchastkadagi
kuchlanishning pasayishi;
11) kuch, masofa va ish;
12) quw at, vaqt va ish;
13) kuch, yelkaning uzunligi va quw at momenti.
Masalalarni tenglama tuzib yechishda no‘malum miqdorlarni turlicha
belgilash, ya’ni asosiy miqdor qilib nom a’lum lardan istalgan birini
olish mumkin. Asosiy qilib olinadigan va h arf bilan belgilanadigan
nom a’lumni tanlash ixtiyoriy bo'lishi mumkin.
N om a’lum miqdorni tanlashga qarab tuziladigan tenglama har xil
bo‘ladi, ammo masalaning yechijtni bir xil b o lad i. Fikrimizning dalili
sifatida quyidagi masalani turlicha usul bilan yechib ko‘raylik.
1masala. Ikki idishga 1480 litr suv sig'adi. Birinchi idishga ikkinchi idishga
qaraganda 760 litr suv ko‘p sig‘sa, har qaysi idishga necha litr suv sig‘adi?
226
Y ech ish . I usul.
1. B e lg ila sh : x^ — ikkinchi idishdagi suv bo'lsin, u holda (x + 760)
— birinchi idishdagi suv bo'iadi.
2. Taqqoslanuvchi miqdorlar: I va II idishdagi suvlaming miqdori x, va
(x+760),
3. Tenglama tuzish: x + x + 760 = 1480.
4. Tenglamani yechish. 2x+760=1480, 2x=1480-760, 2x=720.
Лг=720:2=360 iitr. Bu iJckinchi idishdagi suv д:=360+760=1120 litr, birincJii
idishdagi suv.
5. T e k s h iris h . 360 + 360 + 760 = 1480.
1480 = 1480.
II
usul. Belgilash. x, — birinchi idishdagi suv bo‘lsa, u holda (x - 760),
ikkinchi idishdagi suv bo‘ladi.
2. Taqqoslanuvchi miqdorlar. I va II idishdagi suvlaming miqdori.
3. Tenglama tuzish. x + x - 760=1480.
4. Tenglamani yechish. 2^^-760=1480, 2x=1480+760=2240.
x=2240:2=1120 litr, birinchi idishdagi suv, x=l 120-760 =360 litr,
bu ikkinchi idishdagi suv.
5. Tenglamani tekshirish.
х+лг-760=1480, 1120+360=1480,
1480=1480.
H I usul. 1. B e lg ila s h . Faraz qilaylik, birinchi idishga x 1 suv sig‘sin,
ikkinchi idishga esa у 1 suv sig‘sin.
2. Taqqoslanadigan miqdorlar. Birinchi va ikkinchi idishlardagi suv
miqdorlari va ularning o‘zaro farqi.
| x + y = 1480,
3. Tenglama tuzish. 1 _ ygQ = j
4. Sistemani yechish.
=>
x + y = 1480,
^
^ =>
!40,
2x =1240
x -7 6 0 = y .
x + x - 7 6 0 = 1480,
x -7 6 0 = j;.
Jx = 1120,
I
Д' = 360.
1120 + 360 = 1480,
1480 = 1480,
1120 - 760 = 360,
360 = 360.
2-masala. Ikki traktor birgalikda ishlab bit maydonni 6 soatda haydab
bo‘ladi. Agar I traktorchining yolg‘iz o‘zi ishlasa, bu maydonni II traktorchiga
nisbatan 5 soat tez haydab bo’ladi. Bu maydonni har qaysi traktorchining
yolg‘iz o‘zi necha soatda haydab bo'ladi?
Yechish.
1.
Belgilashlar. Agar I-traktorning yemi haydash uchun sarflagan vaqtini
X soat desak, u holda Il-traktorning yerni haydash uchun sarflagan vaqti
(x + 5) soat bo'ladi.
5. T e k s h iris h .
227
— I - traktorning 1 soatdagi ishi.
X
x+5
II - traktorning 1 soatdagi ishi.
2. Taqqoslanadigan miqdorlar. ^
1
6
3. Tenglama tuzish. —+ •
X
x+5
4. Tenglamani yechish.
1
—+
1
va
1
x +5 6
6(x + 5) + 6x = x^ + 5x,
X
x^ - 7x - 30 = 0
49
7 ^ 1 3 ,.
— + 30 = - ± — Inn
4
2 2
Xj=10, Xj=-3 chet ildiz
x=10 soat — birinchi traktorning yerni hayday oladigan vaqti.
x=15 soat - ikkinchi traktorning yerni hayday oladigan vaqti.
5. Tekshirish.
X\,2 - | ±
1
1 3 + 2 _5_ I
10 15
30
30 6 ‘
II
- usul. Berilgan masalani tenglamalar sistemasini tuzish orqali yechish
quyidagicha bajariladi.
1. Belgilash. Faraz qilayUk, I - traktor yer maydonini x soatda, II traktor yer maydonini у soatda haydab bo'lsin, у holda I-traktorning bir
1
1
soatdagi ishi —, Il-traktorning bir soatdagi ishi ~ bo'ladi.
X
У
2. Taqqoslanuvchi miqdorlar. Birinchi traktorning ish soati bilan
ikkinchi traktorning ish soati hamda ular orasidagi vaqtning farqi.
3. Tenglamalar sistemasini tuzish.
L +k =k
X
у
6 ’
X - j; = 5.
4. Sistemani yechish.
228
6 =>
x -j =5
X
у
(>у + (>х = ху
(6j + 6(5 + j;) = 5y + / ) :
х = 5 + >»
р - 7 у - 3 0 = 0,
)
х=5+у
x - з o 4 ± ^ |.
4
2 2
= 10 кип; х=5+10=15 кип, у^— З chet ildiz.
5. TeksMrish.
Л.2 = | ±
1 _ n
\ 10 "^15 6 ,/
3-masala. Jurist paraxodda 72 km suzdi, paraxodda o’tgan yo'lidan
25% ortiq masofani avtomashinada yurdi. Avtomobil tezligi paraxod tezligidan
soatiga 21 km ortiq. Turist avtomobilda paraxodda yurganiga qaraganda
1 soat kam yurgan bo‘lsa, avtomobilning tezligi qancha?
Ye с h i sh .
1. Belgilashlar. jc paraxodning tezligi bo‘lsa, u holda (x+21) (I
72
avtomobilning tezligi bo‘ladi.-------paraxodda sarf qilingan vaqt,
X
90
X *4“
-
avtomobilda sarf qilingan vaqt.
2. Taqqoslanuvchi miqdorlar. va
3. Tenglama tuzish.
72
90
x + 21
= 1
72
90
4. Tenglamani yecliish. — ------- — = 1
X
x + 21
72(x + 21) - 90x = x^ + 21x
x^ + 21x - 72x + 90 X - 1512 = 0
x^ + 39x - 1512 = 0
-39±V1521 + 4 1512 -39 + 87
^ '’2 "
д^24 km/s paraxod tezligi, x=45 km/s, avtomobil tezligi.
T e k s h i r i s h : 24 45 = 24 45.
- - — = 1; 7 2 -4 5 -9 0 -2 4 = 24-45
24 45
4masala.Kotlovan qazish uchun ikkita ekskavator ishga solindi.
I ekskavator soatiga II ekskavatorga qaraganda 40 kub m ortiq tuproq oladi.
229
I ekskavator 16 soat, II ekskavator 24 soat ishladi. Shu vaqt ichida ikkala
ekskavatorda 8640 kub. m tuproq qazib olindi. Har qaysi ekskavator soatiga
necha kub metr tuproq olgan?
Ye c h i s h .
1. Belgilashlar. Agar I ekskavator soatda x kub metr tuproq qaziydi
desak, u holda II ekskavator (x-40) kub metr tuproq qaziydi. I ekskavatorning
16 soatdagi qazigan tuprog'i 16x, II ekskavatorning 24 soatda qazigan tuprog'i
24(x-40) bo'ladi.
2. Taqqoslanadigan miqdorlar. 16x va 24 (x-40)
3. Tenglama tuzish. 16x+24 (x-40)=8640.
4. Tenglamani yechish. 16x+24x-960=8640. 40x=9600, x=240 kub metr
- I ekskavatorchining I soatda qazigan tuprog'i. x-40=240-40=200 kub
metr, II ekskavatorning I soat qazigan tuprog'i.
5. Tekshirish. 16 240+24 200=8640, 8640=8640.
5-masala. Teplovoz ma’lum vaqt ichida 325 km masofosani o‘tishi
kerak, shu yo'lning
qismini o‘tgandan keyin u 24 minut ushlanib qoldi.
lo
Keyin muddatida manzilga yetib borish uchun tezligini soatiga 10 km
oshirdi. Teplovozning tezligini toping?
Javobi: 75 km/s.
6-masaia. Tomonlari 12 m va 10 m bo‘lgan to‘rtburchak shakldagi
maydon o‘rtasiga chetlari maydon chetlaridan bir xil masofada yotadigan
va yuzi 8 m2 ga teng bo‘lgan gulxona ajratish kerak. Gulxonaning cheti
maydon chetidan qanday masofada yotishi kerak?
Javobi: 4 m oraliqdagi masofa.
7-masaIa. 160 km masofani avtomashina 3 soatda bosib o ‘tadi.
Yo'lning 75% asfalt qilingan, qolgan qismiga esa tosh yotqizilgan.
Mashinaning tosh yo'ldagi tezligi asfalt yo'ldagi tezligiga qaraganda
20 km /s kam bo‘lsa, u asfalt yo‘lda qanday tezlik bilan yurgan?
Javobi: 60 km/s, mashinaning asfalt yo'ldagi tezligi.
40 km/s, mashinaning tosh yq‘ldagi tezligi.
8-masala. Rejada belgilangan muddatda hosilni yig‘ib olish uchun
xo'jalik ikkita brigada ajratdi. 400 gektarli uchastkada ishlagan birinchi
brigada topshiriqni muddatidan ikki kun oldin bajardi. Ikkinchi brigada
esa 900 gektarli uchastkada ishlab, topshiriqni muddatidan 2 kun keyin
bajardi. Agar birinchi brigada ikkinchi brigada necha kun ishlagan bo‘lsa,
shuncha kun, ikkinchi brigada necha kun birinchi brigada ishlagan bo‘lsa,
shuncha kun ishlaganda edi, ikkala brigada teng miqdorda hosil yig‘ar
edi. Reja bo'yicha hosil necha kunda yig‘ib olinishini va har qaysi
bfigadaning kundalik ish unumini toping?
Javobi: 8-birinchi brigadaning ishlagan kuni, 12-ikkinchi brigadani
ishlagan kuni.
230
9- masala. Oralari 24 km bo‘lgan A y a В punktlardan ikki avtomobil
bir vaqtda bir-biriga qarab yo‘lga chiqdi. A punktdan kelayotgan avtomobil
uchrashuvdan 16 minut keyin В punktga yetib keldi, ikkinchi avtomobil
esa A punktga 4 minutdan keyin keldi. Avtomobillarning tezliklarini
toping?
Javobi: 60 km/s A dan chiqqan avtomobilning tezligi,
120 km /s В dan chiqqan avtomobilning tezligi.
10-masaIa. Hovuzga ikki jo‘mrakdan suv keladi. Oldin birinchi jo'mrak
ocliib qo'yildi, u ikkinchi jo‘mrakning yolg'iz o‘zi ishlaganda hovuzni qancha
vaqtda to'ldirsa, shu vaqtning uchdan biricha vaqt ochiq turdi. So‘ngra,
ikkinchi jo‘mrak birinchi jo‘mrak yolg‘iz o‘zi hovuzni qancha vaqtda to‘ldirsa,
shu vaqtning uchdan biricha ochiq turdi. Shundan keyin hovuzning qismi
suvga to‘ldi. Agar ikkala jo‘mrak baravar ochiq turganda hovuz 3 soat-u,
36 minutda to‘lsa, hovuzni to‘ldirish uchun har qaysi jo'mrakning yolg‘iz
o‘ziga qancha vaqt kerak bo'lishni hisoblang.
Javobi: Jo‘mraklaming biri hovuzni 9 soatda, ikkinchisi 6 soatda to'ldiradi.
11- masala. Sof spirt to‘ldirilgan bakdan undagi spirtning bir qismini
quyib olindi va uning o‘rniga shuncha suv quyib qo'yildi. So'ngra bakdan
yana o‘shancha litr aralashma quyib olindi, shundan keyin bakda 49 litr
sof spirt qoldi. Bakning sig‘imi 64 1. Bakdan birinchi safar qancha va ikkinchi
safar qancha spirt quyib olingan?
Javobi: 56 litr, 7 litr.
12- masala. Kompyterda ishlovchi o‘ziga topshirilgan ishni har kuni
belgilangan normadan 2 bet ortiq bossa, ishni muddatidan 3 kun ilgari
tugatadi. Agar normadan 4 betdan ortiq bossa muddatidan 5 kun ilgari
tugatadi. U necha bet ko‘chirishi va qancha vaqtda ko'chirishi kerak?
Javobi: Mashinkada bosiladigan ish 120 bet ekan.
13- masala. Ikki ishchiga bir qancha bir xil detallar tayyorlash
topshirildi. Birinchi ishchi 7 soat, ikkinchisi 4 soat ishlagandan keyin butun
ishning ^
qismini tamomlangani ma’lum bo‘ldi. Ular birgalikda yana
4 soat ishlagandan keyin butun ishning
qismi qolganini aniqlashdi. Bu
lo
ishni har qaysi ishchi yolg‘iz o‘zi ishlasa, necha soatda tamomlar edi?
Javobi: 18 soat, 24 soat.
14- masala. Paraxodga ko'tarma jo'mrak bilan yuk ortildi. Oldin quwati
bir xil bo‘lgan 4 ta jo ‘mrak ishladi. Ular 2 soat ishlagandan keyin ularga
yana kamroq quwatga ega bo'lgan 2 ta ko‘tarma jo ‘mrak kesib qo‘shildi
va shundan keyin yuk ortish 3 soatda tamom bo‘ldi. Agar hamma jo'mrak
baravariga ishga tushirilsa, yuk ortish 4,5 soatda tugar edi. Agar bitta
kuchli jo'mrak yolg‘iz o‘zi ishlatilsa, yuk ortishni necha soatda tamomlash
231
mumkin bo‘lar edi? Bitta kuchsiz jo'm rak yolg‘iz o‘zi ishlasa, ishni
necha soatda tamomlar edi?
Javobi: 24 soat, 36 soat.
15- masala. Elektrostansiya qurilishda g'isht teravchilar brigadasi ma’lum
vaqtda 120 ming dona g‘isht terish kerak edi. Brigada ishni muddatidan 4 kun
ilgari tamomladi. Agar brigada norma bo'yicha 4 kunda qancha g‘isht terisM
kerak bo‘lsa, 3 kunda shundan 5 ming dona ortiq g‘isht tergani ma’lum
bo‘lsa, har kungi g‘isht terish normasi qancha bo'lgan va brigada haqiqatda
kuniga qanchadan g‘isht tergan?
Javobi: 10 ming dona - norma bo'yicha teriladigan kun,
15 ming dona - haqiqatda terilgandagi sarf qilingan kun.
16- masala. Quwatlari turlicha bo‘lgan ikki traktor birga ishlab xo'jalik
yerini 8 kunda haydab bo‘ldi. Dastlab dalaning yarmini bir traktor yolg'iz
o‘zi haydab, keyin ikkala traktor birga ishlasa, hamma ish 10 kunda tugar
edi. Dalani har qaysi traktor yolg'iz o‘zi necha kunda hayday olar edi?
Javobi: Birinchi traktor bilan dalani 12 kunda,
Ikkinchi traktor bilan esa 24 kunda.
17- masala. Ikki ayol bozorga 100 dona tuxum olib kelishdi. Ikkala
ayol tuxumlarni turli narx bilan sotib, barobar miqdorda pul to'lashdi.
Agar birinchi ayoldagi tuxumlar ikkinchisidagicha bo‘lsa, u 7,2 so‘mlik
tuxum sotgan bo'lar edi, agar ikkinchi ayoldagi tuxumlar birinchisidagicha
bo'lsa, u 3,2 so‘mlik tuxum sotgan bo'lar edi. Har qaysi ayol bozorga
nechta dona tuxum oborgan?
Javobi: 60 dona, 40 dona.
18- masala. Aravaning oldingi g‘ildiragi 18 m masofada, keyingi
g‘ildirakdan 10 marta ortiq aylanadi. Agar oldingi g'ildirak aylanasini 6 dm
orttirib, keyingi g'ildirak aylanasi 6 dm kamaytirilsa, shuncha masofada
oldingi g‘ildirak keyingisidan 4 ta ortiq aylanadi. Har qaysi g‘ildirak
aylanasining uzunligini toping.
Javobi: 12 dm oldinti g'ildirak, 36 dm g‘ildirak aylanasi uzunligi.
19- masala. Bir qotishmada 1:2 nisbatda ikki xil metall bor. Ikkinchi
qotishmada esa shu metallar 2:3 kabi nisbatda. Tarkibida o‘sha metallar
17:27 kabi nisbatda bo‘lgan uchinchi bir qotishma hosil qilish uchun shu
qotishmalarning har biridan qancha qism olish kerak?
Javobi: birinchi qotishmaning 9 qismiga, ikkinchi qotishmadan 35 qism
olish kerak.
2 0 -masala. Ikki ishchining ikkinchisi birinchisidan 1,5 kun keyin ishga
tushib, ular bir ishni 7 kunda tamomlay oladilar. Agar bu ishni har qaysi
ishchi yolg'iz o‘zi ishlasa, birinchi ishchi ikkinchisiga qaraganda 3 kun
ortiq ishlashiga to‘g‘ri keladi. Har qaysi ishchi yolg'iz o‘zi bu ishni necha
kunda tamomlaydi?
Javobi: birinchi ishchi ishni 14 kunda, ikkinchi ishchi 11 kunda
tamomlaydi.
232
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MASALALAR
21-masala. Velosipedchi 30 km yo‘l yurishi kerakedi.Velosipedchi tayinlangan vaqtdan 3 minut kech yo'lga chiqib, 1 km/s ortiq tezlik bilan yurdi va
boradigan joyiga o‘z vaqtida yetib keldi. Velosipedchining tezligini toping?
Javobi: 25 km/s.
22-masaIa. Ikki stansiya orasidagi masofa 96 km. Bu masofani birincM
poezd ikkinchi poezddan 40 minut tez o‘tadi. Birinchi poezdning tezligi ikkinchi
poezdning tezligidan 12 km/s ortiq bo‘lsa, ikkala poezdning tezligini toping?
Javobi: Birinchi poezd tezligi 48 km/s,
ikkinchi poezd tezligi 36 km/s.
23-masaIa. Ikki yo‘iovchi bir vaqtda bir-biriga qarab
В shaharlardan
yo‘lga chiqdi. Birinchi yo‘lovchi ikkinchisidan bir soatda 2 km/s ortiq yo‘l
bosadi va u ikkinchi yo‘lovchi A shaharga bormasdan bir soat oldin В shaharga
yetib boradi. А \ й В shaharlar orasidagi masofa 24 km. Har qaysi yo‘lovchi
bir soatda necha kilometr yo‘l bosadi?
Javobi: 6 km va 8 km.
24-masala. A v a В shaharlar orasidagi masofa 200 km. A shahardan В
shahargacha bir-biriga qarab bir vaqtda ikki avtomobil yo'lga chiqdi. Birinchi
avtomobil ikkinchi avtomobilga qaraganda 20 km tez yurdi va ikkinchi
avtomobilga qaraganda 50 minut oldin yetib keldi. Har qaysi avtomobiining
tezligini toping.
Javobi: 80 km/s va 60 km/s.
25-masala. Ikki pristan orasidagi masofa 60 km. Motorli qayiq bu masofani
oqim bo'yicha oqimga qarshi suzganidan ketgan vaqtga qaraganda 50 minut
tez suzib o‘tadi. Agar daryo oqimining tezligi soatiga 3 km bo'lsa, motorli
qayiqning tezligini toping.
Javobi: 21 km/s.
26-masaIa. Ikki pristan orasidagi masofa 154 km. Bu pristanlarning
birinchisidan ikkinchisiga qarab paraxod yo‘lga chiqdi. Paraxod ikkinchi
pristanga borib, 45 minut to'xtab turdi va yana yo‘lga chiqqan joyiga 18,75
soatdan keyin qaytib keldi. Agar paraxodning turg'un suvdagi tezligi soatiga
18 km bo‘lsa, daryo oqimining tezligini toping.
Javobi: 4 km/s.
27-masala. Paxta terimida birinchi brigada 6 soat ishladi, shundan
so‘ng yana bir brigada kelib qo‘shildi. Ikki brigada birgalikda topshiriqni
4 soatda tugatishdi. Agar birinchi brigada berilgan uchastkadagi hosilni bir
o‘zi terib olishi uchun ikkinchi brigada yolg'iz o‘zi ishlaganiga qaraganda
3 soat ortiq vaqt talab qilinsa, har qaysi brigadaning yolg'iz o‘zi uchastkadagi
hosilni necha soatda yig‘ib oladi?
Javobi: birinchi brigada 15 kunda, ikkinchi brigada 12 kunda.
28-masala. Ikkita stanok birgalikda 9 soat-u 36 minutda ishni tugallaydi.
Agar bitta stanok o‘zi ishlasa, butun ishni bajarish uchun ikkinchiga qaraganda
233
8 soat ortiq vaqt talab qiladi. Har bir stanok alohida ishlaganda butun ishni
necha soatda tugallaydi?
Javobi: 16 soat, 24 soat.
29- masala. Ikki g‘isht teruvchi ma’lum bir ishni birgalikda ishlab
4 soatda bajaradi. Agar ishchi yolg'iz o‘zi ishlasa va ishning yarmini bajarsa,
so'ngra ikkinchi istichi ishning qolgan yarmini bajarsa u holda butun ishni
bajarish uchun ularga 9 soat kerak bo‘ladi. Butun ishni har bir ishchi
qancha vaqtda bajaradi?
Javobi: 12 kun va 6 kun.
30- masala. Ikki payvandchi ma’lum bir ishni birgalikda ishlab 4 kunda
tugata oladilar. Agar bulardan biri yolg‘iz o‘zi 3 kun ishlagandan keyin,
ikkinchisi kelib qo'shilsa, ular birgalikda topshiriqni 5 kunda bajaradilar.
Payvandchilarning har biri topshiriqni necha kunda bajaradi?
Javobi: 6 kun va 12 kun.
31- masala. 300 ishchini jo'natish uchun bir necha avtobus chaqirilgan edi, ammo belgilanganidan ikkita avtobus kam keldi, shuning uchun
har qaysi avtobusga mo'ljallanganidan 5 kishi ortiq o‘tqizildi. Ishchilarni
jo'natish uchun nechta avtobus chaqirilgan edi?
Javobi: 12 ta.
32-masala. Tez yurar poyezd passajir poyezdiga qaraganda soatiga
10 km ortiq yuradi. Tez yurar poezdning 210 km ni o‘tishi uchun ketkazgan
vaqti passajir poezdining 240 km ni o'tishi uchun ketgan vaqtdan bir soat
kam bo'lsa, tez yurar poezdning tezligini toping.
Javobi: tez yurar poezd tezligi 70 km/s.
33-masala. Tajriba uchastkasida ekilganiga qaraganda 14 kg don ortiq
yig‘ib olindi. Yig‘ib olingan donni yana ekildi va birinchi galdagi olingan
hosil qancha bo‘isa, shuncha marta hosil oUndi, hammasi bo‘lib 128 kg
don yigib olindi. Tajriba uchastkasiga birinchi galda qancha don ekilgan?
Javobi: 98 kg.
32-masaIa. Ikki pristan orasidagi masofa daryo bo'yicha 50 km. Katerda
bu masofani biridan ikkinchisiga borib, u yerda 30 minut to ‘xtab yana
birinchisiga qaytib kelishi uchun 5 soat vaqt sarf qilindi. Daryo oqimining
tezligi 2,5 km bo‘lsa, katerning turg‘un suvdagi tezligini toping.
Javobi: 22,5 km/s.
33-masaIa. Ikki avtomashina birgalikda ishlab ma’lum yukni 15 soatda
tashib bo'ladi. Birinchi avtomobil ikkinchisidan 6 soat kam ishlab yukning
40% ni tashidi, qolgan yukni 2-avtomobil tashigan bo‘lsa, har qaysi
avtomobil necha soat ishlagan?
Javobi: 30 soat, 36 soat.
34-masala. Oralaridagi masofa 900 km bo'lgan ikki stansiyadan birbiriga qarab ikki poezd yo‘lga chiqdi. Bu poyezdlar yo‘lning o‘rtasida
uchrashishi kerak edi. Agar bu poyezdlardan birining tezligi ikkinchisidan
234
5 km/soat ortiq bo‘lsa u belgilangan masofaga ikkinchisidan bir soat oldin
keladi. Har bir poyezdning tezligini toping.
Javobi: 45 km/soat birinchi poyezd tezligi, 50 km/soat ikkinchi
poyezd tezligi.
35-masaIa. Avtomashina 160 km kesik yo‘lni 3 soatda o'tadi. Bu
masofaning 75% asfaltlangan bo‘lib, qolgan qismi tosh yo'ldan iborat. Agar
mashinaning asfalt yo'lidagi tezligi tosh yo‘lidagi tezligidan soatiga 20 km
ortiq bo'lsa, mashina asfalt yo‘lda qanday tezlik bilan yurgan?
Javobi: 60 km/soat asfalt yo'ldagi tezlik.
36-masaIa. Uch idishga suv quyilgan. Agar bir idishdagi suvning 1/3
qismini ikkinchi idishga quyib, so‘ngra ikkinchi idishda bo'lgan suvning
1/4 qismini uchinchi idishga quyib, nihoyat uchinchi idishda bo'lgan suvning
1/10 qismini birinchi idishga quyilsa, har bir idishda 9 litrdan suv boiadi.
Har qaysi idishda qancha suv bor edi?
Javobi: 12 1, 8 1, 7 1.
37-masala. Oralaridagi masofa 650 km bo‘Igan ikki shahardan ikki poyezd
bir-biriga qarab yo‘lga chiqdi. Agar poyezdlar bir vaqtda jo'nab ketgan bo'lsa,
10 soatdan keyin uchrashadi. Agar ikkinchi poyezd birinchidan 4 soat 20 minut
oldin yolga chiqsa, birinchi poyezd yo‘lga chiqqanidan 8 soat keyin uchrashadi.
Har qaysi poyezdning o‘rtacha tezligini toping.
Javobi: 35 km/soat birinchi poyezd tezligi.
30 km/soat ikkinchi poyezd tezligi.
38-masala. Ikki shahar orasidagi masofa daryo yo‘li bilan 80 km. Paraxod
bu yo'lni bir boshidan ikkinchi boshiga 9 soat-u 20 minutda borib keladi.
Daryo oqimining tezligini soatiga 4 km deb hisoblab, paraxodning turg'un
suvdagi tezHgini toping.
Javobi: 20 km/s paraxod poyezd tezligi 60 km/s.
20-§. Matematika darslarida tengsizliklarni
o‘qitish metodikasi
Hozirgi ta ’lim standartiga ko'ra tengsizlik tushunchasi boshlang‘ich
sinf matematika darslarida o'quvchilarga sonlarni taqqoslash ularning
miqdoriy munosabatlarini ochib berish maqsadida katta «>» yoki kichik
«<» belgilar bilan tanishtirish orqali amalga oshiriladi. M a’lumki, agar
ikkita son yoki ikki ifodalarning qiymatlari o‘zaro teng bo'lm asa, ular
orasiga tengsizlik belgisi qo‘yiladi.
BoshIang‘ich sinf matematika darslarida tengsizlik bilan tanishtirish
masalasi sonlarni nom erlash va ularni taqqoslash orqali tengsizlik
tushunchalari keltirib chiqariladi. M asalan, 10 ichidagi raqamlarni
o'igatilgandan keyin u yerdagi har bir raqamning miqdoriy qiymati o‘zidan
awalgisidan bir birlikka ortiqdir. Shuning uchun ham ikki katta bir, besh
235
katta olti, to'qqiz katta sakkiz kabi yozuvlarni yozishixniz mumkin. Bu
degan so‘z o‘quvcMarga ikki katta bir degani l + K l , 2 + K 2 , 3 + K 3
yozuvlar orqali o‘quvchilarga tengsizlikning ma’nosini осЫЬ beriladi.
T o'rtinchi sinfda esa sonli ifodalarning tengsizligi ko'rsatiladi.
Masalan, 5+3>5+2, 18:6+9>2-3 va hokazo.
Oltinchi sinfdan bosMab, tengsizlikka quyidagicha ta ’rif beriladi.
T a’rif. a miqdordan b miqdorni ayirganda ayirma miqdor musbat
(manfiy) bo‘lsa, a holda b miqdor miqdordan katta (kichik) deyiladi
va ular quyidagicha yoziladi a - b > Q (a - b < ^) bulardan a > b
(a < b) kelib chiqadi. Bu belgilashlarga ko‘ra a > b (a < b ) lar sonli
tengsizH klar deyiladi.
Yettinchi sinfda materiallaridagi tenglamalarni yechish jarayonida
o'quvchilarni tengsizliklarning quyidagi asosiy xossalari bilan tanishtirish
lozim bo'ladi.
a) tranzitivlik xossasi, agar a > b va b > с bo‘lsa, a > с bo'ladi;
b) a > b \ a с > d bo‘lsa, a + с > b + d bo‘ladi;
d) a > b bo‘lsa, a + m > b + m',
e) a > b v a m > 0 bo‘lsa, am > brtf,
f) a > b va m < 0 bo‘lsa, am < bm.
Bu xossalarning hammasini sonli misollar ustida isbotsiz «chiqarish»
mumkin, lekin ularning kelgusida (X sinfda) isbotlanishini aytib o‘tish
lozim.
Masalan «d» xossani quyidagicha ko'rsatish mumkin:
20 > 15tengsizlikning ikkila qismiga 3 tadan qo'shsak, 23 > 18
chiqadi, agar — 3 tadan qo'shsak 17 > 12 chiqadi. Bu xossani ko‘rib
0 ‘tgandan keyin, undan kelib chiqadigan natijaga ham to'xtalish
mumkin. Shunga o'xshash bir necha misol ko‘rib o ‘tiladi:
15 + 3>13
3 3
1 6 -4 > 6
4
4
1 5 > 1 3 -3
16> 6 + 4
X uddi tenglam adagi singari tengsizlikda ham son yoki ifoda
tengsizlikning bir tom onidan ikkinchi tomoniga teskari ishora bilan
o‘tishini 0 ‘quvchilarga tushuntirish lozim bo'ladi. Yuqoridagi xossalar
o'rgatilgandan keyin birinchi darajali bir nom a’lumli tengsizliklarni
yechish ko‘rsatiladi, ya’ni yoki bunda о ф О. Xususiy holda 4x > 8,
5x > 10, 2x < 6, yoki 7x < 6, 7x < 21 kabi misollar ofqah tarkibida
nom a’lum harf bo‘lgan tengsizliklarni yechish o'rgatiladi. Bu ko‘rinish236
dagi tengsizliklami yechish degan so‘z nom a’lumning bu tengsizliklarai
sonli to ‘g‘ri tengsizlikka aylantiradigan qiymatlarini topish deganidir.
4x > 8, 2x < 6 ko‘rinishdagi tengsizliklaming yechimi x > 2 va x < 3
bo'Iadi. Shu bilan birga nom a’lumning sanoqsiz ko‘p son qiymatlari
tengsizlikning yechimlari b o ‘lishini o ‘quvchilarga grafik yordamida
ko'rsatish maqsadga muvofiqdir.
4x > 8 tengsizlik uchun 2 soni nom a’lum qiymatlarning quyi chegarasi, 2x < 6 tengsizlik uchun 3 soni nom a’lum qiymatlarning yuqori
chegarasi bo‘lishini o'quvchilarga grafik nuqtayi nazaridan ko'rsatish
maqsadga muvofiqdir. 'V^iqoridagi misollardan ko‘rinadiki, tengsizlikni
yechish tengsizlikning barcha qiymatlar to ‘plamini topishdan iboratdir.
Tengsizliklaming xossalarini o‘rganish jarayonida tengsizlikning har
ikki tomoniga bir xil musbat son qo‘shilsa, ayrilsa, ko‘paytirilsa va bo‘linsa
tengsizlikning belgisi o‘zgarmaydi. Tengsizlikning har ikki tomonini manfiy
songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa tengsizlik belgisi teskarisiga almashadi.
M asalan,
5x > 6,
5x + 5 > 6 + 5,
5x - 4 > 6 - 4,
5 x - 2 > 6 2,
15x>20,
1 5 x (-2 )> 2 0 -(-2 ),
1 5 x : (-5) > 20; (-5), - 3 x > - 4 ,
-3 0 x > -4 0 ,
30x<40.
T a ’rif.
yoki
ax^+bx + o Q
5x : 6 > 6 : 6,
lOx > 12.
ax^+bx + c < Q
3x<4,
k o ‘rin is h d a g i
tengsizliklar ikkinchi darajali tengsizliklar deyiladi, bunda a 0.
Bunday tengsizliklam i yechish kvadrat u ch hadning ishorasini
tekshirish orqali amalga oshiriladi. 0 ‘qituvchi bu yerda o‘quvchilarga
kvadrat uch haddan to ‘la kvadrat ajratish ham da ana shu kvadrat uch
hadning ishorasi diskreminantni tekshirish orqali amalga oshirihshni
ko‘rsatib berish maqsadga muvofiqdir, ya’ni:
1)
D = b^ - A a o Q
ega. U holda
a) x < x i
bo‘lsa, kvadrat uch had haqiqiy ikkita ildizga
+ f>x + с = a (x - Xj) (x - Хг) bo'ladi.
b o ‘lsin , u h o ld a x - x j < 0
va x < x 2 da x - x 2 < 0
bo'ladi, shuning uchun д > о bo‘lsa, a (x - x ,) (x - X2 ) > 0 bo'ladi.
b) x > x j b o 'ls in , u h o ld a x - x i > 0
bo‘ladi, shuning uchun д > о
va x < x 2 da X - X 2 < 0
bo‘lsa, д ( х - х , ) ( x - x 2 ) < 0 bo‘ladi.
237
d) x < x i
bo'lsin, u holda x - x i < 0
boUadi, shutting uchun a > 0
va x < x 2 da x-jC 2 > 0
bo‘lsa, a ( x - : ^ i ) ( x - X 2 ) < 0 bo‘ladi.
e) X > Xi bo'Isin, u holda x - x , > 0
va x > x 2 da x - x 2 > 0
bo'ladi, shuning uchun a > 0 bo‘lsa, a ( x - x i ) ( x - x 2 ) > 0 bo‘ladi.
Misol. x^ - 3x - 4 > 0 tengsizlikni yeching.
Yechi sh: a = I,
b = -3 ,
с = -4. Bu tengsizlikning chap tomonida
turgan kvadrat uch hadning yechimlari topiladi, ya’ni x^ - 3x - 4 = 0.
Tenglamaning yechimlari x, = - 1 , x^ = 4. U holda bu tengsizlikning
ko'rinishi (x + l)(x - 4) > 0 bo'ladi.
1 )x + l> 0
vax-4>0
bo'ladi, ulardan x > -1,
x > 4 yechimlar
hosil qilinadi. Bu holda x > 4 yechim bo'Iadi, ya’ni(4;
2) x + l < 0 va л : - 4 < 0 bo‘ladi, ulardan x < -1, x < 4 yechimlarni
hosil qihnadi. Bu holda x < - 1
yechim bo'ladi, ya’ni (-o°; -1).
Javobi: (-° ° ;-l)u (4 ; +°о).
2- D =
- 4ac < 0 bo‘lsa, kvadrat uch had haqiqiy ildizga ega emas.
3.
D =
- Aac = 0 bo'lsa, kvadrat uch had « > 0 va a < 0 bo‘lgan
hollar uchun haqiqiy bitta ildizlarga ega, ammo tengsizlik yechimining
bo‘lganda qanoatlantirmaydi.
Misol. -x^ + 4x - 4 > 0 tengsizlikni yeching.
Y e c h i s h : a = - l , b = 4, c = -4 , a < 0 . Bu tengsizlikning chap
tom onida turgan kvadrat uch hadning yechim lari topiladi, ya’ni
( - l) - ( x - 2 ) ^ =0. Tenglamaning bitta yechimi bor. x = 2. U holda bu
tengsizlikning ko'rinishi (-1) ■(x - 2)^ > 0 bo‘ladi. Bundan
>0
ekani ma’lum, lekin chap tomonda turgan tenglamaning qiymati manfiy
bo'ladi. Manfiy son noldan katta emas. Shuning uchun, a < 0 da tengsizlikning
yechimi mavjud emas.
TaKTorlash uchun savollar
7. Tenglama tushunchasiga ta ’rif bering.
2. Tenglama ildizi deganda nimani tushunasiz?
238
3. Qanday tenglik ayniyat deyiladi?
4. Qanday tenglama chiziqli tenglama deyiladi?
5. Parametrik kasr ratsional tenglamani tushuntirib bering.
6. Absolut miqdor belgisi qatnashgan tenglamani tushuntirib bering.
7 Kvadrat uchhaddan to ‘la kvadrat ajratib bering.
8. To ‘la va keltirilgan kvadrat tenglamalarning farqini aytib bering.
9. Kvadrat tenglama ildizlari qanday topiladi?
10. Viyet teoremasini aytib bering.
11. Kvadrat tenglamaga keltirib yechiladigan tenglamalarning turlarini
ко ‘rsating.
12. Qanday tenglama irratsional tenglama deyiladi?
13. Parametrli irratsional tenglama qanday yechilishini k o ‘rsatib bering.
14. Irratsional tenglamalar sistemasi qanday yechiladi?
15. Qanday tenglama ko'rsatkichli tenglama deyiladi?
16. Logarifmik tenglamani t a ’riflang.
17. Qanday tenglama parametrli ko'rsatkichli tenglama deyiladi?
18. Qanday tenglama parmetrli logarifmik tenglama deyiladi?
19. K o ‘rsatkichli tenglamalar sistemasi qanday yechiladi?
20. Logarifmik tenglamalar sistemasi qanday yechiladi?
21. Ko'rsatkichli va logarifmik tenglamalarni grafik usulda yechilishini
k o ‘rsatib bering.
22. Qanday tenglamalar trigonometrik tenglama deyiladi?
23. Parmetrik tenglamalar sistemasining yechish usullarini ко ‘rsatib bering.
24. Trigonometrik tenglamalar sistemasining yechish usullarini ко‘rsatib bering.
25. Masala tushunchasining mazmunini aytib bering.
26. Masalaning sharti deganda nimani tushunasiz?
27. Masalaning xulosasi degandachi?
28. Masalalarda k o ‘p roq qanday miqdorlarning o ‘zaro bog‘liqlik munosabatlari b o ‘lishini aytib bering.
29. Tengsizlik tushunshasiga t a ’rif bering.
30. TengsizUklar yechimi deganda nimani tushunasiz?
31. Tenglama bilan tengsizlikning qanday farqi bor?
32. Tengsizlik qanday asosiy xossalarga ega?
Tayanch iboralar
Tenglik, tenglama, ayniyat, chiziqli tenglama, parametrli tenglama, kasr
chiziqli tenglama, absolut miqdor, kvadrat uchhad, to ‘la kvadrat, kvadrat
tenglama, ildiz tushunchasi, Viyet teoremasi, irratsional tenglama,
tenglamalar sistemasi, k o ‘rsatkichli tenglama, logarifmik tenglama, para­
metrli k o ‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar, trigonometrik tenglamalar
sistemasi, masala, masala sharti, masala xulosasi, tengsizlik, tengsizlik
xossalari.
IX bob.
FUNKSIYA, INTEGRAL VA DIFFERENSIAL TENGLAMA
TUSHUNCHALAMNI KIRITISH VA ULARNI
0 ‘RGATISH METODIKASI
l-§ . Funksiya tushunchasini kiritish va
uni o‘rgatish metodikasi
M a’lumki. matematika fani materiyadagi narsalaming fazoviy fornialari va ular orasidagi miqdoriy m unosabatlarni o ‘rgatadi. Ana shu
materiyadagi miqdorlarni nisbiy holatda olimlar tom onidan o'zgaraias
va o ‘zgaruvchi miqdorlarga ajratilgan. 0 ‘zgarmas miqdorlarni a, b, c,
0 ‘zgaruvchi miqdorlarni esa harflar bilan ular orasidagi miqdoriy
munosabatlarni matematik belgilar orqali ifodalash XVI asming oxirida
matematika fanini turli yo'nalishlari bilan shug'ullangan R. Dekart, I.
Nyuton (1642-1727), G. Leybnets (1646-1716), P. Ferma (1601-1665),
N .I. Lobochevskiy (1792—1856), L. Dirbde (1805-1859) kabi olimlar
tom onidan yozilgan asarlarda qo'Uanilgan.
Funksiya tushunchasiga birinchi marta L. Eyler tom onidan ta ’rif
berHgan, so‘ngra N.I. Lobochevskiy va L. Dirbde kabi olimlar tomonidan
har tom onlam a mukammal bo'lgan hozirda biz ishlatib kelayotgan
funksiyaning ta ’rifi berilgan. Funksiya degan so‘z lotincha «functio»
so'zidan olingan boUib, uning lug‘aviy m a’nosi «faoliyat yoki moslik,
jo'natish» bo‘lib funksiya so‘zini birinchi bo‘hb G.Leybnets 1692-yili
o‘z ilmiy ishlarida qo'llagan.
Funksiya tushunchasini maktab matematika kursida kiritishni ikki
davrga bo‘lish mumkin. Birinchi davri V sinfdan boshlab funksiya va
grafiklar degan mavzugacha bo'lgan davr. Bu davr ichida o ‘qituvchi
o'quvchilarga sonning nisbati, to ‘g‘ri va teskari proporsional miqdorlar,
Dekart koordinata tekisligi kabi tushunchalarni o'rganish orqali o‘quvchilarda funksional bog‘Uqlik tushunchalari shakllantiriladi. XVIII asrga
kelib o‘zgaruvchi miqdor va koordinatalar metodi degan tushunchalar
R.Dekart tom onidan kiritildi.
VI
sinf. Sonh ifodalarni harfiy ifodalar bilan alm ashtirish algebra
darslarida «To‘g‘ri va teskari proporsional miqdorlar», «Algebraik ifodaning
son qiymatini topish», «Amallarda berilganlar bilan amal natijalari
orasidagi bog'lanish», «Tem peratura va tekis harakatning grafigi»
240
mavzularini o ‘tishda o‘quvchilarni funksional bog‘lanisMarga tayyorlaydigan tushunchalam i rivojlantirib boriladi. Yuqoridagi mavzularning
har birini o‘tishda o'quvcM am i funksional bog'lanisMarga ko‘pgina isMar
qilish mumkin va lozim. Masalan, algebraik ifodaning son qiymatini
o'tayotganda o ‘quvchilardan quyidagi jadavalni to ‘idirish va quyidagi
so‘roqlarga javob berishni talab etish maqsadga muvofiqdir.
X
1
2
4
3
5
1
X
1. — algebraik ifoda x ning har qanday qiymatida ham m a’noga
X
egami?
1
2. X o‘rniga har xil sonlar qo'yilsa, X
qanday qiymatlarga ega
bo'ladi?
3. jc ga berilgan qiymatlar ortib boradimi yoki kamayib boradimi?
4. X ning qiymatlari ortgan sari algebraik ifoda ( - ) ning qiymatlari
X
qanday o ‘rgaradi?
0 ‘quvchilar bu so‘roqlarga javob berish bilan д: ning noldan boshqa
har qanday songa teng bo'la olishini, x ning qiymati o ‘zgarsa, ^ ning
qiymati ham o‘zgarishini, x ning qiymati orta borgan sari algebraik
ifoda ( —) ning qiymati kamaya borishini aniqlaydilar.
X
Bunda X ning o ‘zgarishiga qarab - ning qiymatlari ham o'zgarib
X
boradi. Masalan, to ‘g‘ri to'rtburchakning perimetri uning tom onlarini
uzunligiga bog‘liqdir.
Agar to ‘g‘ri to'rtburchakning tom onlari ortsa, uning perim etri
ham ortib boradi. Yuqoridagi misollarga asoslanib, quyidagicha mulohaza
yuritish mumkin. T o‘g‘ri to ‘rtburchakning tom onlarini x o‘zgaruvchi
va uning perimeter qiymatini esa у o‘zgaruvchi desak, x o‘zgaruvchining
16 —s. Alixonov
241
qiymatlari
larga teng b o ‘lib, у o ‘zgaruvchining ularga mos
x^,
qiymatlari y^, y^ bo‘Iganda
^2 _ У2
^ ekani kelib chiqadi. Yuqoridagilardan
ko‘rinadiki, agar x o‘zgaruvchining qiymati bir necha marta orttirHganda
o‘zgaruvchining unga mos qiymati shuncha marta ortsa, у o'zgaruvchi
X o ‘zgaravchiga to ‘g‘ri proporsional bog'langan bo'ladi. Bu qoidaga
ko‘ra to ‘g‘ri to'rtburchakning perimetri uning tomonlariga proporsional
bo'ladi. Ammo to ‘g‘ri to ‘rtburchakning yuzasi uning tom onlariga
proporsional emasdir. Doiraning yuzasi esa o‘z radiusiga proporsionaldir,
S 2 _ >2
ya’n i ^ “ ~ - Masalan, 4,5 m etr gazlama uchun 18 so‘m to'langan
bo‘lsa, 27 m etr gazlama uchun necha so‘m to'lanadi?
^
=
4,5x = 27 18, jc = 108.
1.
Teskari proporsional o ‘zgaruvchilar. Bu mavzuni harakatga doir
masala bilan tushuntirish maqsadga muvofiqdir. AvtomobH t vaqt ichida
tezlik bilan S masofani o'tadi. S masofani bosib o'tish t vaqt ЬДап
V tezlikka bog‘liqdir. v tezlik ortsa, S masofani bosib o‘tish uchun
ketgan t vaqt kamayadi. Agar v tezlik kamaysa, S masofani bosish
uchun ketadigan vaqt ko‘payadi. Bunda tezlik bilan vaqt o ‘zaro teskari
bog‘lanishda boUadi. Agar x o'zgaruvchining qiymati bir necha marta
ortganda у o ‘zgaruvchining qiymati ham shuncha m arta kamaysa,
у o‘zgaruvchi x o‘zgaruvchiga teskari proporsional bo‘ladi. x o‘zgaruvchining qiymatlari Xj, x^ lar bo‘hb, у o'zgaruvchining bularga mos
qiymatlari y^ va y^ bo‘lganda ~ ~ ~
Xi У2
nisbat o'rinli bo‘ladi, bundan
proporsiya xossasiga ko‘ra Х2 У2 = Xyyi kelib chiqadi.
Masala. Shirkat xo‘jaligining maydonini 3 ta traktor 60 soatda hayday
oladi. Xuddi shunday 12 ta traktor shu maydonni qancha vaqtda hayday
oladi?
3
X
12x = 180,
x=15
soat.
To‘g‘ri va teskari proporsional bog'lanish tushunchalari o‘rgatilgandan
keyin, 0 ‘quvchilarga koordinata sistemasini quyidagicha tushuntirish maqsadga
muvofiqdir.
242
Bunda koordinatalar sistemasi mexanik ravishda tushintiriladi, uning
ahamiyati ko‘rsatilmaydi. Bu yerda o‘qituvchi yer sirtidagi -nuqtaning o‘rni,
u nuqtaning koordinatalari deb ataluvchi ikki son kenglik (shimoliy yoki
janubiy) va uzunlik (sharqiy yoki g‘arbiy) yordami bilan aniqlanishini, bu
esa kema kapitaniga kemani dengizning qaysi yerida ketayotganini aniqlashga,
sahrolarda yoki muz bilan qoplangan antraktida kabi qit’alarda ekspeditsiya
lageri qayerda ekanini va bu lagerning yer sirtidagi (masalan,qirg‘oqdagi)
boshqa obyektlardan uzoqligini aniqlash kabi ishlarda katta ahamiyatga ega
ekanini tushuntirish kerak.
Kino-teatigabrogan o'quvchi kassadan sotib olgan chiptayozilgan ikki son,
ya’ni qator va joy nomeri yordami bilan o‘z o‘mini topib oladi.
Bu ikki son ham tomoshabinning kino zalidagi o‘rnining koordinatalaridir. Chiptaga yozilgan bu ikki son tufayli bar qaysi tomoshabin o‘z
joyiga o'tiradi. Yuqoridagi kabi misollar yordamida koordinata metodining
amaliy ahamiyatini ocliib berish o‘quvchilarda bu mavzuga qiziqish tug‘diradi
va binobarin, mavzuni o‘quvchilarning yaxshi o‘zlashtirishlariga sabab bo'ladi.
Shuni aytib o'tish kerakki, funksiyani o'rganishga tayyorgariik ishlari dastur
materiallaridan ajralgan holda emas, balki shu materiallar bilan mustahkam
bog'langan holda, bu materiallarni bayon etish jarayonida olib borilishi kerak.
Funksiya tushunchasini quyidagi masala orqali kiritish maqsadga muvofiqdir.
Awa. В shaharlar orasidagi masofa 180 km. Mashina A shahardan В shaharga
60 km/soat tezlik bilan jo'nab ketdi. Avtomobil x soatdan keyin A shahardan
qanday masofada bo'ladi? Avtomobil x soatda 60x km yo‘l yurgan bo‘ladi, u
holda X soatdan keyin A shahardan 180-60jc masofada bo‘ladi. 180—60x
masofanij^ desaku holda >»=180-60xtenglikhosilbo‘ladi. Biz у masofa bilan
X harakat vaqti orasidagi bog'lanishni ochib beradigan formula hosil qildik.
Hosil qilingan formuladagi x o‘zgaruvchi 3 dan katta bo‘lmagan nomanfiy
qiymatlar qabul qila oladi, chunki avtomobil 3 soatdan keyin В shaharga
keladi. j=180—60x tenglikdagi x ning har qanday qiymati uchun у ning
unga mos qiymatini topish mumkin. Masalan, agar x = 1, bo‘lsa, j = 120
agar x=2 bo‘lsa, >^60, agar x=3 bo‘lsa, j = 0 bo‘ladi. Bu degan so‘z
у ning qiymati x ning qiymatiga bog‘liq holda o‘zgaradi, bunday bog'liqlik
funksional bog‘liqlik yoki funksiya deyiladi.
T a’rif. Agar x o'zgaravchining har bir qiymatiga biror/ qonuniyatga
ko'ra o‘zgaruvchining yagona qiymati mos keltirilsa, u holda у o‘zgaruvchi
X o ‘zgaruvchining funksiyasi deyiladi.
X erkli o‘zgaruvchi yoki argument, у erksiz o'zgaruvchi yoki funksiya
deyiladi.
Erkli o ‘zgaruvchi x ning barcha qabul qiladigan qiymatlar to'plam i
funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi. Yuqoridagi masalada, funksiyaning aniqlanish sohasi 0 dan 3 gacha bo‘igan sonlardan iboratdir, ya’ni
0<x<3.
243
у o‘zgaruvchining х berilgan qiymatlariga mos qiymatlari funksiya-
ning o‘zgarish sohasi deyiladiO < j' < 180.
«Funksiyalar va grafiMar» mavzularini o‘tishda funksional bog‘lanishlarni o‘rganishga tayyorgarlik davrida bayon qilingan materiallarga yakun
yasalishi, bu materiallar yanada kengaytirilishi va dasturda talab etilgandek, yuqori saviyada chuqurlashtirilishi lozim.
Shuning uchun:
1. Funksiyani o‘rganishning turmushdagi ahamiyatini o‘quvchilarga
aniq ochib berilishi kerak.
2. Dastur bo'yicha « у = kx + b ning grafigi to ‘g‘ri chiziq» ekanini
dekard koordinatalar sistemasida ko‘rsatib berish kerak.
3. Darsda funksional bog'lanishni ifoda qiluvchi yangi pedagogik
texnologiyaga doir o'quvchilaming kuchi bilan tayyorlangan ko‘rgazmali
qurollardan unumli foydalanish zarur.
k
4. N im a uchun У ~ ~
yoki у = ax^ ning grafigi siniq chiziq
bo‘lmasdan, egri chiziqdan iborat ekanini o'quvchilarga yetarii ravishda
tushuntirilishi kerak.
Funksional bog‘Ianishlarni o‘qishga tayyorgarlik davrida ham, «funk­
siyalar va grafiklar» mavzusini o‘tishda ham og'zaki mashqlarga o ‘rin
berilishi kerak. Holbuki, quyidagilarga o'xshash mashqlarni og‘zaki
yechish o'qituvchiga oz vaqt sarflagan holda yaxshi natijaga erishish
imkonini beradi;
1-mashq. Sifati o'rtacha bo‘lgan 1 kg kartoshkadan 0,136 kg kraxmal
olinadi. Kartoshka og‘irligi (x kg) bilan undan olinadigan kraxmal og‘irligi
(y kg) orasidagi bog‘lanishni formula yordami bilan qanday ifoda qilinadi?
2-mashq. У + 3 funksiyaning grafigi ordinata o‘qini qanday nuqtada
kesib o‘tadi?
3-mashq. Grafigi у = 3 x - 2 funksiyaning grafigiga parallel bo‘lib, ordinata
o‘qini (0,1) nuqtada kesib o‘tgan funksiyani analitik formada qanday ifoda qilinadi?
4-mashq. У = 2x^ funksiya grafigini koordinat o‘qlari bo'yicha 3 birlik
o‘ngga va 2 birlik yuqoriga surishdan hosil bo'lgan parabola analitik ko‘rinishda
qanday funksiyani ifoda qiladi?
2.
Funksiyaning berilish usullari. Funksiya sharoitiga qarab jadval,
analitik va grafijk usuUar bilan beriUshi mumkin.
Kundalik hayotimizda uchraydigan b a’zi jarayonlarni o'rganishda
funksiyaning jadval usulida berihshidan foydalaniladi. Masalan, meteo244
rologlar Yer sharining turli nuqtalariga tushgan yog‘inlar jadvalini
tuzishadi. Yer sharining ana shu turli nuqtalari bu holda argument
qiymatlari rolida, yog‘in miqdorlari esa funksiyaning qiymatlari ro'lida
Iceladi. Demak, funksiya jadval usulida berilishi deganda, argumentning
m a’lum tartibdagi x,, x^,
x^,... qiymatlari va funksiyaning ularga
mos keluvchi y,, y^, y ^ ,... ,y ^ ,... qiymatlari orasidagi funksional moslikni
jadval usulida berilishini tushunamiz.
X2
Уп
Funksiyalarning jadval usulida berilishiga misol qilib kvadratlar,
kublar, kvadrat ildizlar jadvallarini ko‘rsatish mum kin. Bu usuldan
ko‘pincha miqdorlar orasida tajribalar o ‘tkazishda foydalaniladi.
Koordinatalar o ‘qlari tekislikni to ‘rt qismga - choraklarga ajratadi:
I, II, III, IV. Birinchi chorak ichida ikkala koordinataning ishoralari
saqlanadi va rasmda ko‘rsatilgan qiymatlarga ega bo‘ladi.
X
(absissalar) o ‘qi n u q talari u ch u n o rd in atalar nolga (j^=0),
у (ordinatalar) o ‘qi nuqtalari uchun absissalar nolga (x = 0) tengdir.
Koordinatalar boshining ordinatasi ham, absissasi ham nolga teng.
Yuqorida ko'rsatilgan usulda x va y koordinatalar kiritilgan tekislik
xy tekislik deb ataladi. Bu tekislikda x va j koordinatalarga ega bo‘lgan
nuqtani ba‘zan bevosita (x, y) bilan belgilanadi.
Tekislikda kiritilgan x, у koordinatalarni, ularni ilk bor o ‘z tadqiqotlarida qo‘llagan fransuz oUmi R. Dekart (1596—1650) nomi bilan Dekart
koordinatalari deb ataladi.
Yuqoridagi mulohazalardan ko‘rinadiki tekisUkning istalgan Mnuqtasiga
k o o rd in a ta la rn in g yagona (x ,y ) ju fti m os k elad i va ak sin ch a
koordinatalarning har bir (x,y) jufliga tekisUkning yagona M nuqtasi
mos keladi. Nuqtaning koordinatalari tushunchasini kiritish nuqtaning tekislikdagi vaziyatini sonlar orqali aniqlash imkonini beradi. Koordinatalar
o‘qi butun tekislikni choraklar deb ataluvchi to ‘rt qismga bo‘ladi.
Chorak
Absissaning ishorasi
Ordinataning ishorasi
1
+
+
II
—
+
III
—
—
IV
+
—
245
Funksiyaning grafik usulda benlisM. Bu usul funksiyani analitik
usulda berish ancha qiyin b o lg a n paytda qulaydir, ya’ni ko‘pgina
jarayonlarni o'rganishda formulalar tilida gaplasha olmaydigan asboblardan foydalaniladi, ammo bu asboblar yordam ida shunday egri
chiziqlar hosil qilinadiki, bu egri chiziqlarga qarab, bir o ‘zgaravchr*
miqdoming ikkinchi o'zgaravchi miqdoming o'zgarishga bog‘liq ravishda
o‘zgarish xarakteri haqida hukm chiqarish mumkin bo'ladi. Masalan,
tibbiyot elekrokardigraflar keng ishlatiladi. Bu asboblar yordamida
elektrokardiogram m alarni-yurak muskulida hosil bo‘ladigan elektr
impulslarining o‘zgarishini tasvirlovchi egri chiziqlarini hosil qilish
mumkin. Bunday egri chiziqlar yurakning ishlashi haqida tog‘ri xullosa
chiqarishga yordam beradi. Funksiyaning grafik usulda berilishidan
matematikada ko'pincha funksiyaning ba’zi xossalarini chizmalar orqali
ko‘rsatishda foydalaniladi.
Ta’rif. y=f(x) funksiyaning grafigi deb xO y teksilikdagi koordinatalari
y=f(x) munosabat bilan boglangan tekislikdagi barcha P{x,y) nuqtalar
to ‘plamiga aytMadi. Funksiya grafik usulda berilganda uning grafigi m a’lum
bolib, argumentning turli qiymatlariga mos keluvchi fiinksiya qiymatlari
bevosita grafikdan topiladi. Endi savol tug'iladi, har qanday egri chiziq
biror funksiyani ifodalaydimi? Buni aniqlash uchun Oy o ‘qiga parallel
to ‘g‘ri chiziqlar chiziladi, agar bu to ‘g‘ri chiziq egri chiziq bilan
kamida ikki nuqtada kesishsa, grafik funksiyani ifodalamaydi, agar
bitta nuqtada kesishsa funksiyani ifodalaydi.
Funksiyaning analitik usulda berilishi. B unday usulda erksiz
o ‘zgaruvchi miqdor-funksiyaning erkU o ‘zgaruvchi miqdor — argument
bilan bog‘lovchi formula ko‘rsatiladi.
Formula yordamida berHgan funksiyalarni analitik usulda berilgan
funksiyalar deyiladi.
Masalan, y=x^, y -k x + b , y=a^, y=lgx, y=sinx, y=tgx, y==2x^—x+4
funksiyalar analitik usulda berilgan. Analitik usulda berilgan fiinksiyalarga
quyidagi korinishdagi yozuv ham kiradi:
X < 0 bo'Isa, x
X > 0 bol'sa, sin x.
Funksiyani bunday analitik usuldagi berilishida ham x ning har bir
qiymatiga у ning to‘la aniqlangan qiymati mos keltirilgan, bunda x ning
manfiy qiymatlarida у ushbu y=x formula bo'yicha, x ning manfiy bo‘lmagan qiymatlarida esa y=sin x formula bo‘yicha to‘piladi.
agar
agar
246
M asalan, agar Jc=-2 bo‘lsa, bu holda y = x = —l \ agar
b o ‘lsa,
y= sin ^ =1 bo'ladi.
Funksiyaning aniqlanish va o'zgarish sohalarini topishga doir misollar
ko‘raylik. Quyidagi funksiyalaming aniqlanish sohasini toping:
1. У = —■ Ma'lumki, kasr ma’noga ega bo‘lisM uchun uning maxraji noldan
farqli bo'lisM kerak. Demak, jc?t0 yoki xe(—~;0)u(0;+«>), ye (—oo;0)u(0;+oo).
2. x = ( 2 x - l) ”\
Xuddi yuqoridagidek, muhokama yuritsak, 2 x ^ \^
yoki 2x^\,
Demak, aniqlanish sohasi
.
К
A
dan iborat.
Ч
3- X = л/Зх + 2. Kvadrat ildiz ma’noga ega bo'lishi uchun ildiz ostidagi
2
ifoda manfiy bo'lmasUgi kerak, ya’ni 3x+2>0, bunda x > - —.
aniqlanish sohasi
4.
1
^~
Demak,
+°°) dan iborat. 0 ‘zgarish sohasi esa у [0;oo ].
^Sar yuqoridagidek muhokama yuritsak, u holda
4x-5>0 bo‘Iadi. Bundan ^
5
,5
.
^ • Demak, aniqlanish sohasi ( - , +°°) dan
iborat. ye (0,»° ).
5. >» = lg(2x -1 ). Logarifmik funksiya faqat musbat sonlar uchun aniqlangan. Demak, (2j<^l)>0 bo‘lishi kerak. B undan^:> ^. Demak, aniqlanish
sohasi (^ , +°°) dan iborat. ye (0,°° ).
247
MUSTAQIL ISHLASH UCHUN MISOLLAR
1. Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohasini toping:
_
1
^ “ 7 2 о T’
Vx - 3 x + 2
1
^
lg ( 4 - x ^ ) ’
x~2
b) j = arcsin -— ;
2
^
j = V 2 5 -x ^ + lg sin x .
Javobi: a) (-°°, l) u ( 2 , +°°); b) [0.4];
d) (-2, -V3 ) и ( - Д л/З ) и ( - Д 2 ); e) [-5 , -ji)u (0 , it).
2. Quyidagi funksiyalarning o'zgarish sohasini toping:
a)
у = V l6 -x ^ ; b) y=3cos x-1; d) y=3”''^
Javobi: a) [0,4]; b) [-4,2] v) (0,1].
2-§. Sonlar ketma-ketligi va uning limitini
o‘rgatish metodikasi
1. Sonlar ketma-ketlik tushunchasi
M a’lumki, natural sonlar to ‘plami tartiblangan to'plamdir.Shuning
uchun har qanday ixtiyoriy ikkita a \ a b natural son uchun a<b, a>b
yoki a= b munosabatlardan biri o'rinlidir. N to ‘plamning bu xossasi
abstrakt obyektlarni u yoki bu yo‘l vositasida N to ‘plam elementlari
bilan bog'lab , sanashga imkion beradi.Agar iVva R to'plam lar berilgan
bo'lib, / - har bir natural ne N songa biror haqiqiy x e R sonni mos
qo‘yuvchi akslantirish bo'lsa uni matematik tild a /- # ^ R yoki n-^ bu
holda x^—f(n ) kabi yoziladi. / akslantirishni quyidagicha tasvirlash
mumkin: 1-» x^, 2-> х^,Ъ^ x^ ...n-¥ x^ ...
Ta’rif. J{n) o‘zgaruvchining qiymatlaridan tuzilgan x^,x^,xy..x^ ...
to ‘plam sonlar ketma-ketligi deyiladi va и {x^ } kabi yoziladi.
Ta’rif. Agar y=f(x) funksiyaning argumenti x ni qabul qiladigan
qiymatlari natural sonlar to ‘plamidan iborat bo‘lsa, bu holda bunday
funksiyani 7V={1,2,3,...} natural argumentU funksiya deb ataladi va u
quyidagicha yoziladi y -f{n ) yoki у=АЩ Ta’rif. Natural argumentU funksiya y=f(n) ning xususiy qiymatlariningy(l),y(2), Д З ) ,... ,Д «)... ketma-ketUgiga cheksiz sonlar ketmaketUgi deb ataladi.
248
Л1)=Х,, Д2)=Хз, /(3 )= Х з,..., /(я )= л „ ....
Ви ta ’rifdan ko‘rinadiki, cheksiz sonlar ketma-ketligining har bir
hadi m a’lum bir tartib nomeriga ega bo‘ladi. U m um an olganda sonlar
ketma-ketligi {a)= a^ , a^, a^, ... ,
Xj, ....,
ko'rinisMarda belgilanadi. Ketma-ketlikni tashkil qilgan sonlar shu ketmaketlikning hadlari deyiladi. Bularga ko‘ra Xj—ketma-ketlikning birinchi
hadi, X f- ikkinchi hadi x^~ ketma-ketlikni n chi hadi yoki umumiy
hadi deb yuritiladi. Agar ketma-ketlikning «—hadi berilgan bo‘lsa shu
hadga ega bo'lgan ketma-ketlikni tuzish mumkin. M asalan, 1)
12 3 4
berilgan bo'lsa, 2 ’ 3 ’ 4 ’^ ‘" ketma-ketlikni tuzish mumkin.
2) x = a q ’^~^ bo'lsa, a, aq, aq^, ... , aq^~\... ketma-ketlikni tuzish
mumkin.
Ta’rif. Tartib nomeriga ega bo'lgan sonlar to ‘plami sonlar ketmaketligi deyiladi.
Sonlar ketma-ketligi uch xil bo'ladi.
1. 0 ‘suvchi ketma-ketlik.
2. Kamayuvchi ketma-ketlik.
3. Tebranuvchi ketma-ketlik.
Ta’rif. Agar ketma-ketlikning har bir hadi o ‘zidan aw algi hadiga
nisbatan qiymat jihatidan ortib borsa, u holda bunday ketma-ketliklar
0 ‘suvchi ketma-ketlik deyiladi.
f иI
M asalan,
o'suvchi ketm a-ketlik; aks holda
J
n+ l
kamayuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Ill
Masalan: i ~ r
kamayuvchi ketma-ketlik.
Ta’rif. 0 ‘smaydigan va kamaymaydigan ketma-ketliklar tebranuvchi
ketma-ketliklar deyiladi.
Masalan: {х„}=(-1)"
x = - 1; x^^V, Xj= - 1; x ~ l ] . . .
Agar ketma-ketlikning dastlabki hadlari berilgan holda keyingi hadlarni
oldingi hadlari orqali topishni ifodalaydigan qoida rekkurrent qoida deb ataladi.
Masalan, x = l , х^=1 x„==x„.2+x„,, rik3 qoida bilan 1,1,2,3,5,8,13 ... ketmaketlik hadlarini topishi mumkin. Bu sonlar Fibonachi sonlari deb yuritiladi.
249
sonlar ketma-ketligining hadlar soni cheksiz bo'lsa, bu holda ketmaketlikning barcha hadlaridan tuzilgan to'plam cheksiz yoki chekli to‘plam
bo'lishi mumkin. Masalan, 1,2,3...,и ... ketma-ketlik hadlaridan tuzflgan
{1,2,3 ...} to'plam cheksiz, 1,-1,1,-1, ...ketma-ketlikning hadlaridan tuzilgan
{-1, 1} to'plam chekli to'plamdir.
2. Chegaralangan ketma-ketliklar
Biror {xj :
X, , X, ,
, . . . ,
, . . .
ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Agar shunday o'zgarmas M son mavjud bo‘lsaki, {jcJ ketm aketlikning har bir hadi shu sondan katta bo'lmasa, ya’ni v n eN u ch u n
x < M tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, {xj yuqoridan chegaralangan ketm aketlik deyiladi.
Ta’rif. Agar shunday o‘zgarmas m son mavjud bo‘lsaki, ya’ni v n e N
uchun
x>m
tengsizlik o‘rinli bo'lsa, {xj quyidan chegaralangan ketma-ketlik deyiladi.
Ta’rif. Agar ketma-ketlik ham quyidan,‘ham yuqoridan chega­
ralangan bo‘lsa, ya’ni shunday o ‘zgarmas m va M sonlar topilsaki,
у n e N uchun
m<x^< M
tengsizliklar o'rinli bo‘lsa, {xj chegaralangan ketma-ketlik deyiladi.
MisoUar. 1. Ushbu x = 1+ A -!
1 , 1
, 1
1+ 1, 1+ - , 1 + - ,...,1 + ^ , . . .
ketma-ketUk yuqoridan chegaralangan, chunki ixtiyoriy n e N uchun
\ ^ 2 (M=2)
tengsizlik o'rinli.
2. Ushbu; x„ =
4—
n
,1, - i4 ,^i ,..., (-1)"'"
^2 ’•••
ketma-ketlik quyidan chegaralangan, chunki
250
neN uchun
tengsizlik o'rinli.
3 .u s h b u ,- ^ ! ^
O .I.I....-'-'
„2
- 4 ’9 ’- «2 ’•••
ketma-ketlik chegaralangan, chunki у n&N uchun
0 < x„ < 1
tengsizlik o'rinli. Haqiqiy sonlar to‘plami R ni olaylik. Agar u chekli to‘plam
bo‘lsa, u holda uning elementlari orasida eng katta va eng kichik elelment
mavjud. Agar u cheksiz to'plam bo'lsa, u holda har doim ham shunday
bo‘lavermaydi. Masalan, natural sonlar to‘plami N da eng kichik son 1 ga
teng ammo eng katta son yo‘q. (a,b) interval eng kichik songa ham, eng katta
songa ham ega emas. Shuning uchun aniq, quyi va yuqori tushunchalarga
quyidagicha ta’rif beriladi.
Ta’rif. M chekli son uchun quyidagi ikki shart bajarilsa u holda M
soni V x e P to‘planming aniq yuqori chegarasi deyiladi va su p {xj= 3/
kabi yoziladi.
1. \/x^eR uchun < M tengsizlik o‘rinli bo‘lsa.
2. V e > 0 uchun shunday 3 N n > N{e) bo'ganda M - e <
< M.
Ta’rif. m chekli son uchun quyidagi ikki shart bajarilsa u holda m soni
у x^eR to‘plamning aniq quyi chegarasi deyiladi va inf { x j = m kabi
yoziladi.
1.
uchun
tengsizlik o'rinli bo'lsa.
2. Ve > 0 uchun shunday B N n > N( e)
bo'ganda m<Xj^ < m + s.
1 - m isol. { 2 - —} , {Зл+3} k etm a-k etlik larn in g aniq yuqori
n
ch eg aralari quyidagicha y oziladi. sup{2——}=2, sup{3/i+3}=«>,
n
inf { 2 - - } = l inf{3«+3}=6 .
n
2 - misol. Л^={1,2,3...п} bo'lsa sap{N )=°°, inf{JV}=l bo'ladi.
3. Monoton ketma-ketliklar
Ta’rif. Agar
ketma-ketlikning hadlari quyidagi
251
Xj < д:^ < Хз < . . . <
< .. .
(х, < х^ < Xj < . . . < х_^ < . . . )
tengsizliklarni qanoatlantirsa, ya’ni \/ n e N uchun
bo'lsa, {x^} o'suvchi (qat’iy o‘suvchi) ketma-ketlik deyiladi.
Ta’rif. Agar {xJ ketma-ketlikning hadlari quyidagi
X, > Xj > X3 > . . . > x^ > . . .
(X| > Xj > X3 > . . . > x„ > . . . )
tengsizliklarni qanoatlantirsa, y a ’ni ^ n e N uchun
b o ‘Isa, { x j kamayuvchi (q a t’iy kamayuvchi) ketma-ketlik deyiladi.
0 ‘suvchi (q a t’iy o ‘suvchi), kamayuvchi (q a t’iy kamayuvchi) ketmaketliklar monoton ketma-ketliklar deyiladi.
. тт..
«
1 2 3 4
n
Misol. Ushbu x„ = —— : ^
, ■■■, — ^ •
И+1 2 3 4 5
И+1
ketma-ketlikning 0 ‘suvchi ekanini ko'rsating.
Bu ketma-ketlikning
n
n+\
■J ^n+l ~
n+V
n+2
"
hadlarini olib, x^^,-x^’ ayirmani qaraymiz:
n+ \
n+2
Ravshanki, V neN uchun
’
n
1
Й+ 1
(« + !)(« + 2)
7---- тг,---- ^ > 0(и + 1)(« + 2)
Demak, v neN da x^^., - x„ >0, ya’ni x„ < x^^., bo‘ladi. Bu esa berilgan
ketma-ketlikning o‘suvchi (hatto qat’iy o‘suvchi) va quyidan chegaralangan
ekanini bildiradi.
Ta’rif. Ve > 0, ЗПд bo‘lganda n>ngga \x„ - a | < e o ‘rinli bo‘lsa, u
holda a soni {x^} ning limiti deyiladi va
kabi yoziladi.
3-§. Hosila va uning ustida amallar bajarish metodikasi
1. Nyuton masalasi
Masala. Moddiy nuqta to‘g‘ri chiziqli harakat qilib Mvaziyatda bo'lganda
harakatning berilgan t paytdagi ■&tezligini toping.
252
t
и
AS
At
м
М.
■>
Bu masalani yechish uchun quyidagicha faraz-qilamiz.
Faraz qilaylik, moddiy nuqta to‘g‘ri chiziqli harakat qilib, t vaqt ichida
s masofani bosib o‘tsin, ya’ni 0 nuqtadan M nuqtaga kelsin.
Agar t vaqtga yana А/ vaqt qo‘shilsa, Д/ vaqt ichida moddiy nuqta Л/,
masofaga keladi. Ma’lumki, bu yerdagi s masofa t ning funksiyasidir, ya’ni
t vaqt ichida s(i) masofani bosib o‘tadi. U vaqtda OAf, orasidagi masofa esa
s(t+At) ga bog'liq bo'ladi. Agar moddiy nuqtani At vaqt ichida bosib o'tgan
masofasini topadigan bo‘Isak, u Д»? = S(t+At)—S(t) bo'ladi.
Moddiy nuqtani At vaqt ichida AS masofani bosishi uchun harakatdagi
o‘rtacha tezligi fizika kursidan ma’lumki,
vaqtdagi tezligi deb, At vaqt oralig'idagi
intilgandagi limitiga aytiladi.
Shuning uchun
AS
At
At
bo‘ladi. Nuqtaning t
o'rtacha tezlikning At nolga
S{t + A t ) - S { t )
At
S{t + A t ) - S { t )
lim — = lim
( 1)
дг-^о At дг-^о
At
Yuqoridagi savohiing javobi (1) dagi limitni hisoblashga olib keldi.
Leybnis masalasi. Dekart koordinatalar sistemasida berilgan y=f(x)
egri chizig‘ining ixtiyoriy nuqtasiga o ‘tkazilgan urinm aning absissa o ‘qining musbat yo'nalishi ЬДап hosil qilgan burchagining tangensini topish
masalasi hosila tushunchasiga olib keladi.
yicesuvchi
urinma
x+Ax
^
27-chizma.
=^ =
(2)
ЛАВС dan — = tgP
Ax
Ax
AC
Ta’rif. y= f(x) funksiyasining kesuvchisi AB ning В nuqtasini egri
chiziq b o ‘ylab A nuqtaga intilgandagi limitik vaziyati egri chiziqning
shu nuqtasiga o ‘tkazilgan urinm a deb ataladi.
253
Ах ^ о da Z p
intiladi:
Z a bu holda В nuqta egri chiziq bo‘yIab A nuqtaga
e a = lim ^ = lim № +
Дх-»о Ax л*->о
Ax
(3 ,
Yuqoridagi qo‘yilgan masalani yechish bizni (3) dagi limitni hisoblashga olib keldi.
2.
Hosilaning ta ’rifi: y=f(x) funksiya X sohada aniqlangan bo'lsin.
Erkli o'zgaruvchining birorta x ^ g qiymatini olib X sohadan chiqmaydigan х^+Лх orttirm a beramiz, u holda 4у=дх(,+4х)-/(хп) funksiya
oittirmasi hosil bo‘ladi.
• T a’rif. y=f(x) ftinksiyasini
nuqtadagi funksiya orttirmasi Ay ni
argument orttirmasi Ax ga bo‘lgan nisbatini /4x->0 dagi limiti mayjud
bo‘lsa, bu limit berilgan y = f(x ^ funksiyasini jc=Xg nuqtadagi hosilasi
deyiladi va
y \ /'( ^ ) ; ^
yoki /('л(,)каЬ1 y oziladi. U m um iy h o la td a esa
deb yoziladi,
= / ' t a ) lim
lim / Ц + А д. ) - № , )
Bu ta ’rif (1) va (3) limitlarga tatbiq qilinsa,
л/^0 At
лг-iO
At
U m ^ = lim
Дх-^о Ax дх->о
Ax
Hosilasining mexanik ma’nosi
Moddiy nuqtani rvaqt ichidagi s masofani bosish uchun harakatdagi
tezligini topishdan iborat.
Hosilaning geometrik ma’nosi
Egri chiziqning biror nuqtasiga o'tkazilgan urinmani absissa o'qining
musbat yo'nalishi bilan hosil qilgan burchak koeflfitsiyenti tg a ni topish­
dan iborat.
254
у-У о = Н х-х^), k==tga= П т ^^ = у'^ = /'(хо)
bularga k o ‘ra
u rin m an in g burchak k o effitsiy en ti ten glam asi/(X )= /('-’C o)+ /'(^ o)(-^ “ ^o)
b o ‘ladi.
M isol.
kubik parabolaning x = l nuqtadagi uranm asi f ( x ) = l+ 3
( x - l) = 3 x - 2 tenglam a bilan ifodalanadi, chunki y'=3x^ ni x = l nuqtadagi
qiymati / = 3 ga teng b o ‘ladi.
3. Elementar funksiyalaming hosilalarini topish.
1) y=^c;
2)
Isbot:
/=£<=0.
; /= и х " -‘
ДЗ/=(х+4х)'’-х"=х"+их"-‘-Дх:+...
л ( й - 1 ) (й - 2 ) ...[ й - ( и - 1 ) ] А х '’
1-2-3.
„_1
и(«-1)х""^ А х
— = n x + ——
Дх
1 -2
-------+...
Д^
„_1
n(n-l)x"~^Ax
lim — = w • х" * + lim
— r^ --------- +. . .
дх->о Ax
3)
дх->0
1 •2
y '^ = n x Я-1
x + Ax
Ay =
Ay =
Ду
1
1
x + Ax X
x -x -A x
x {x + Дх)
Ay
1
Дх
x^ + хДх
1
,
1
lim — = - lim -^5-------- , Ух - - - T ■
Дх-»0 Дх
4) у=а^;
X + хАх
У=(е\па.
255
X
у + Ау-а^^^^-,
I s b o ti:
& у.а Ч а “
Ay =
■,
^ „ £ > !L z 1 ).
-1)-,
Ax
Дх
lim —------ ^
Дх-»0
Дх
lim — =
Лх->0 Дх
-
I s b o t i : у = х^-,
1
--1
у = --х '^
2
6 )у -
si?tx',
y ' - (f-lna.
In a;
^
1
= —! = .
2л/х
У = COSX.
Isboti:
y + A y = s in (x + A x ),
A y = s in { x + A x )-s in x ,
. Ах
gjj^__
^
Aj = 2 s i n ^ c o s ( x + y )
c o s(x + — )
. Ax
Av
lim — = lim — —^ • c o s(x + Ax) = cos x.
Дх->0 Ax
Дх->0 X
7) j^=cosx
/^ = -sin x
^)y=tgx;/=— V “ COS'‘ X
Isboti:
sin (x + Ax)
sin X
cosx _
Ay _ tg(x + Ax) - tgx _ c o s(x + Ax)
Ax
Ax
Ax
_ sin (x + Ax) cos X - c o s(x + Ax) sin x _ sin Ax ________ 1________
Ax cos X co s(x + Ax)
Ax
cos x c o s(x + Ax)
Ay
sinA x
1
1
Ax
Ax
cos X • cos (x + Ax)
cos^ X ■
= um — = lim
256
-1
9) y=ctgK\
Ух = —
10) y=log^x;
y ' ^=l og^e - ^.
2
sm X
lo g ,( l+ ^ )
^ = ц ^ 10Еа(х + Ах)_-10|_ . х ^ lim —
Дх-^0
Дх
Дх--^0
Дх
Ах
= hm -lo g „ — ^X = —^ .
Д х^ о X
Ax
X
a1-
1 1
X
11) y=(f;
ln>^=xlna.
i •y ' = In a,
У
y' = у \n a, y' = ya^ in a.
4. Funksiyaning o‘ng va chap hosilalari
Ay
T a’rif. Agar Лх ->+0( 4x ->-0) da — nisbatning limiti
IM ^
д х -^ + 0 Ax
(Ito
Дх-»-0 Ax
= Urn
Ax
Дх-^+о
Um
Ax
Д х ^ -О
mavjud va chekli bo'lsa, bu limit /(x j fiinksiyasini x^ nuqtadagi o‘ng
(chap) hosilasi deb ataladi va u quyidagicha /YXg+O), (/'(х^-О))
belgilanadi.
Misol.
funksiyaning hosilalarini hisoblang. Bu funksiyani o‘ng
lim iti/(x„+0) = lim ^
Ax—>+U / \ y
= 1 ga teng. Chap limiti e s a /( X g - 0 ) = l i m ^
y+U ZxX
= -1 ga teng.
Agar Дх) funksiya x„ nuqtada f (Xg) hosilaga ega bo‘lsa, funksiya shu
nuqtada bir tomonlama limitlarga ega bo‘lib, / (x„+0) = f(Xg-0)= f (x^)
tenglik o'rinli bo‘ladi.
17 —S. Alixonov
257
Agar (x„) atrofda uzluksiz / (x) funksiyasi
nuqtada / (x„+0) va / (x„-0)
hosilalarga ega bo‘lib / ( x „ + 0 ) = / -0) tenglik o‘rinli bo‘lsa, ftinksiya shu
nuqtada/(x„ ) hosilaga ega bo'lib / (x„)=/(x„+0) = /(x „ -0 ).
Ta’rif. Agar lini ^ = lim —
Дх-^ОAx Дх-^о
Ax
bo‘lsa u holda bu tenglik Дх) funksiyasining
deyiladi.
tengligi o'rinli
^
.
riuqtadagi cheksiz hosHasi
5. Teskari funksiyaning hosilasi
y = f(x ) funksiyasi x=x^ n u q ta d a an iq lan g an uzluksiz b o ‘lib,
1-tartibli hosilaga ega bo‘lsin.
T e o r e m a : agar у=Дх) funksiyasi x=x^ nuqtada aniqlangan va
uzluksiz bo‘lib, /(х^)ч^О hosilaga ega bo‘lsa, u holda bu funksiyaga
teskari bo‘lgan х=фСи) funksiyasi y=y^ nuqtada x'^ yoki
hosilaga
ega bo'lib, x"=
1
bo'ladi
I s b o t i : x= 9 (j) funksiyasi y=y^ nuqtada aniqlangan va uzluksiz
bo'lganligi uchun uning shu nuqtadagi orttirmasi Ax = (piy^+Ay) - фО^,,)
bo‘ladi. Tenglikning har ikki tomoni 4 j± 0 ga bo‘linsa,
Дх
Ay
1
ху=Лх)
Ay
Ax
funksiyasi uzluksiz funksiya bo‘lganligi uchun Ay^O da Ax-^0 shuning
Ax
1
uchun hm — = hm
ta ’rifga k o ‘ra,
Д;у—
>0 Ay Дх—
>0 A^'
Ax
quyidagichadir (28-chizma).
1
=■
G eom etrik isboti
. 1
п
а + р = ~;
а
tga = tg P ’
2’
tg(^ - ю = tgoc;
2
tga = ctgp.
tgp = - ^ ]
tga
, _ 1
bundan ^ у ~
•
УX
1. j' = arcsinx funksiyasining hosilasini toping. Ma’lumki, bu funksiya
71
n
-l< x< l, ——<y<— shu oraliqda x va у ning qiymatlari joylashgan hamda
>»=arcsinx funksiyaga teskari bo‘lgan jc=sinj' funksiyasi mayjud formulaga
, _ 1
ko'ra ^ у ~ .j
УX
edi.
,
V
(arcsinx)
=
1
(sinj;)'
2. >' = arccosx
1
cosj
1
1
4 \-x ^ '
y= ?
x = COS>'.
(arccos x )' =
1
1
1
(cosy)'
s in j
^ i_ co s^ j
1
Vl-x^
n
n
3. j^arctgx bo‘lsa, x = tgy -°o<x<«>, - —<y< — ,
,
.
w
4.
1
1
2
COS^J
1
1
1
_
1 + c t^ y
1
1 + x^
= — -— = cos y = — 2------------------------------------ 2
1
cos^j + sin^j; 1+ 2&У 1 + ^
cos^ у
y —arcctgy bolsa x = ctgy bo'ladi.
(arctgx)
Osy)
(arcctgy)' =
1
(ctgy)'
1
1
sm^ у
sin^ у
_
sin^ у + cos^ у
259
QUYIDAGI FUNKSILARNING HOSILALARINI TOPING
. 1
I. У = a rc s m -.
Javobi:
1
2 .y = arcctg4x.
Javobi: ~ 2 4 x { \ + x )'
3. y = \xiarctg4^.
Javobi: У ^ 2 4 ^ {\ + x )a r c tg 4 ^ ’
4. >» = arccosVA:.
Javobi:
1
MUSTAQIL ISHLASH UCHUN MISOLLAR
1. Ta’rifdan foydalanib quyidagi funksiyaning hosilalarini toping.
7=5x^-3x,
. y=sin3x.
y=
2. Quyidagi funksiyalarning liosilalarini ta’rif asosida toping.
>^cos2x,
у = \lx^ - 1
y=tg2x,
y=x*.
fiinksiyasining hosilasini toping.
4. у = 2x^ - 3x funksiyasini hosilasini ta’rifga ko'ra toping.
4-§. HosUani hisoblash qoidalari
Elementar funksiyalarning hisoblash o'iganildi. Endigi asosiy maqsad
chekli sondagi arifmetik amallar va superpozitsiyalar vositasida elem en­
tar funksiyalardan tuzilgan ixtiyoriy funksiyaning hosilasini hisoblash
imkonini beruvchi qoidalar ko‘rib chiqiladi.
1.
Agar и = u(x) funksiyasi x =Xq nuqtada hosilaga ega bo'lsa, u hoida
y = c u ( x ) funksiyasi ham hosMaga ega bo‘lib, [c u(x)]' = c i/ix ) bo'ladi.
I s b o t i : y=c-u(x) desak, bu funksiyani orttirmasi у-\-Ау=с-и{х+Лх)
bo'ladi. Bundan Ay=c-u{x^Ax)—cu(x) \:Ax
~
- с
Ax
ki
Дх
260
— -c —
Ax
Ax
Agar 4x-^0 da lim
Дл:->ОДл:
= с • lim
Дх^ОДх
hosila ta’rifiga ko‘ra / = c m'(x).
*
Misol: u=3-x^; m'=(3x’)'=3(x’)'=3-3x2=9x^
2. Agar U(x) va V(x) funksiyalari x=xg nuqtada hosilaga ega bo‘Isa,
U{x)±V{x) funksiya ham shu nuqtada hosilaga ega b o ‘lib,
[U(x)±V{x)Y^U{,x)±V{x).
I s b o t i : j^=t/(x)±K(A:) funksiyaning orttirmasi
4j^[i/(jc+4x)-f/(x)]±[V(x+4x)-F(x)],
Ay _ AU
AV
Дх
Ax
Ax
Ay=MJ±AV\: Ax
A>^
AU ,
AV
4x->0 hmitga о tsak lim — = hm —— ± hm —— .
Дх->0 Ax Дх->0 Ax Дх-^О Ax
Hosila ta’rifiga ko‘ra y = t/± F ’.
3. Agar U(x) va V(x) funksiyalari x=x„ nuqtada hosilaga ega bo'lsa,
ularning o‘zaro ko'paytmasining hosilasi [f/(x)-K(x)]'=U'(x)-F(x)+F(x)x
xU(x) bo'ladi.
Isboti:
y=^U{x) V(x) bo‘lsa, 4;n=£^(x+Ax)-F(x+4x)-t/(x) F(x) bo‘ladi.
Ay=U(x+6x)-Vix+Ax)-U(xyVix)+U{x^-AxyVix)- U(x+Ax) U(x)
4y= U(x+Ax)-{V(x+Axy V{x)]+ V{x)[ U{p&Ax)- Цх)]
Ay=AV-U+VAU\ ■. Ax
— =
Ax Ax
Дх
bo‘ladi, 4x->0 limit olinsa
AU „
AV
Av
hm — = h m ------ V + hm - — U.
4x-)0 A!C Дх--»0 Ax
Д)С-»0 Ax
Hosila ta’rifiga ko‘ra y=U -V+V -U .
Agar U(x) va F(x) funlsiyalari x=x„ nuqtada hosilaga ega bo‘lsa ulaming
U(x) V _ U'ix)V(x) - V'(x)U(x)
o‘zaro nisbatlari ham hosilaga ega bd‘lib r ( x ) J
F^(x)
bo'ladi.
1. y = ^ .
Javobi:.
j -3.
-x
2. j; = arcsin^x.
Javobi:
2arcsinx
\j\-x ^
261
Sx”*(l-x^)-2jc(i -
l-X^
3.
^
.
1 -^
Javobi:
-----^
4. y = l n( x + 'Jx^ + 4 J.
Javobi:
/T ^ ‘
,____________
■5^. V= Vsin2x + cos3x.
^
Javobi:
2 cos 2x - 3 sin 3x
r-.-~ ---- ■ •
2vsm 2x + cos 3x
6. у = xshx.
Javobi:
_
^
(l-x')
------- - •
shx + xchx.
MUSTAQIL ISHIA SH UCHUN MISOLLAR
1.Hosilaning qoida va formulalaridan foydalanib quyidagi funksiyalaming
hosilalarini toping;
a) у = y f x + ^ - 3 x .
b)
y=jc5 ( 2 - 1 +3x2).
2. Quyidagi funksiyalarning hosilalarini toping.
j=5sinj^cosx, >'=tgx-ctgx, j=xctgx, y=x’—e^, y=e^ cos"'
3. Quyidagi funksiyalarning hosilalarini toping.
y= x \ y = r ‘”^, ;я=1п|х|.
5-§. Integral va uning tatbiqlarini o‘rgatish metodikasi
1.
Biz hozirgacha biror y= fix) fiinksiyasi berilgan bo‘lsa, bu funJcsiyaning hosilasini yoki differensialini hisoblashni o ‘rgandik. Endi hosila
olish amaliga teskari bo‘lgan amal tushunchasini kiritishga harakat
qnamiz. Agar bizga hosilasi olingan funksiya berilgan b o lsa, ana shu
fonksiyani hosilasi olingunga qadar, ya’ni uning boshlang'ich ko‘rinishi
qanday b o lg a n edi degan savolga javob beramiz.
Ta’rif. Agar ^ = Д х ) funksiyasining hosilasi fix ) ga teng b o lsa ,
ya’ni F {x )= j{x ) tenglik o'rinli bo‘lsa, u holda F{x) funksiyasi J{x)
funksiya uchun boshlang‘ich funksiya deyiladi.
1-misoI. Agar Дх)=х^ bo‘lsa, uning boshlang‘ich funksiyasi Д х)= —
bo'ladi, chunki F {x )= ^ = -x ^ = f{x ) bo‘ladi.
262
2- misol. Agar ^x)=sinx bo‘lsa, uning bosMang‘ich funksiyasi F(x)=cosx bo'ladi, chunki, f ’(x)=(-cosx)'=sinx=y(ji:).
1
3- misol. Agar J{x)= ^
^
bo‘lsa, uning boshlang'ich funksiyasi
^x)=arcsinx bo‘ladi.
Yuqoridagi misollardan ko‘rinadiki, agar f{x) funksiyasi ucliun F{x)
funksiyasi bosMang'ich funksiya bo‘ladigan bo'Isa, u holda F{x)+ С funksiyasi
ham boshlang'ich funksiya bo‘ladi, chunki [ / ’(х)+С]'=У(х), С - o‘zgarmas
son. Bundan ko'rinadiki, agar Дх) funksiyasining boshlang'ich funksiyasi
mavjud bo‘lsa bunday boshlang'ich funksiyalar cheksiz ko‘p bo‘lib, ular
o‘zgarmas son Cga farq qilar ekan. l-misolda
2-misolda (-cosx+Q,
3-misolda esa (arcsinx+Q boshlang'ich funksiyalar bo‘iadi.
Ta’rif. Дх) funksiyasining boshlang‘ich funksiyasining umumiy ko'rinishi
Дх)+С§а shuДx) funksiyasining aniqmas integrall deyiladi va u quyidagicha
yoziladi:
lf[x)dx=F(x)+C.
Bunda 1 —integral belgisi, f{x)dx — integral ostidagi ifoda deb yuritiladi.
T a’rif. J{x) funksiyasining boshlang'ich funksiyasining um um iy
ko‘rinishi F(x)+ С ni topish amaliga integrallash amali deyiladi. Bu
ta ’rifdan k o ‘rinadiki, f(x) — funksiyaning integrallash am ali shu
funksiyaning hosila olish yoki differensiallash amaliga nisbatan teskarl
b o ‘lgan amal ekan. Integrallash amali quyidagi m uhim xossalarga ega:
1- xossa. Agar differensiallash belgisi integrallash belgisidan oldin kelsa,
ular o‘zaro teskari amallar bo'lgani uchun bir-birini yo‘qotadi:
d\f[x)dx=Ax)dx.
2- xossa. Differensial belgisi integral belgisidan keyinda kelsa, bu belgilar
bir-birini yo‘qotgandan so‘ng Дх) ga o'zgarmas С soni qo‘shiladi:
ldJ[x)dx=F(x)+C.
I s b о t i . 1с?Дх)=1/'(х)(йс=1Дх)йЬс=Д х )+ C.
3 - xossa. 0 ‘zgarraas sonni integral ishorasi tashqarisiga chiqarib yozish
mumkin:
lk-Ax)dx=k-y{x)dx.
4 - xossa. Algebrik yig‘indi (ayirma)ning integrali qo‘shiluvchi (ayriluvchi)lar integrallarining algebrik yig‘indisiga (ayirmasiga) teng:
\\Ax)±g{x)]dx=\f{x)dx±\g{x)dx.
263
I s b о t i . 4[Ax)±g(x)]c6c=c?{|/(x)fl!x±j^(x)a!x}=
=d\f{x)dxtd\g{x)dx^fix)dx±g{x)dx.
INTEGRAL JADVALI
dx
\.\dxr=x^C.
cos X
^Л+1
■+c.
2.
9.1 - ^
x^'dx = ■
3. [ — = ln xl + C.
10.
4.
a
a^dx = i ^ + C.
b \a
11.
5.
e"‘dx = e* + C.
6.
sinxcfcc = - c o s x + C.
7.
cosxdx = sinx + C.
X
= -c tg x + C.
•' sm X
И+ 1
•'
= /gx + C.
dx
- p:...".'.
4 ^ ^
. X „
= arcs sm —+ C.
«
dx
1
^ X „
= —arctg —+ C.
a
+x^
a
dx
dx
-a ^
13.
= in I X + Vx^ 4-
I +C.
1 , I X -fl I ^
In ------ +C.
2a
x+a
ANIQMAS INTEGRALDA 0*ZGARUVCHINI
ALMASHTIRISH
Faraz qilaylik, I==lf{x)dx integralni hisoblash kerak bo'lsin. Integral
ostida shunday J{x) funksiyalar mavjud bo‘ladiki, bu funksiyalarning
integralini hisoblash uchun yangi o‘zgaruvchi kiritishga to ‘g‘ri keladi.
Faraz qilaylik, I=lf{x)dx integralda х=ф(/) o'zgaruvchini almashtiraylik,
u holda dx=^'(x)dt b o lad i. Ularni integral ostidagi ifodaga qo'ysak,
\fix)(bcr=^y[i^{t)\i^'{t)dtbo‘\ 2idi. Bu formula aniqmas integralda o'zgaruvchi
almashtirish formulasi deyiladi.
dx
ni hisoblang.
5-3x
5 -З х = г;
dx= - 1 dz.
x=
264
/ =J
=
J 5-3x
— = -^lnUI=-^ln|5-3x|+C.
3
3
3-> z
dx
2-misol. J
Ц.I
hisoblang. Buni hisoblash uchun o‘zgarav-
chi almashtirish usulidan foydalaniladi.
х+1=г^ desak, x = z^ ~ l, d x = 3 z 4 z ,
= 3
dz =
l + Z
= 3(J
l + Z
•'
z +l
l + Z
l + Z
з У (х + 1)2
^ - z + l n \ l + z\+C
- 3 ^ % /j^ + 31n 11 + л/х+Т I+C.
ANIQMAS INTEGRALNI BO‘LAKLAB INTEGRALLASH
Bizga differensiallanuvchi bo‘lgan U(x) va V(x) funksiyalari berilgan
bo‘lsin.
M a’lumki, d(U-V)= V d U + U d V ed l
Bu yerdan UdV topilsa, UdV=d{U-V)—V d U b o ‘ladi. Bu tengliklar
integrallansa, \U dV =\d{U V )-\V dU , \U dV = U V - \VdU.
Bu formula aniqmas integralda b o ‘laklab integrallash formulasi
deyiladi.
1-misol. I - \xlnxdx ni hisoblang.
1
i/=/«xbo‘lsa, d U = — dx bo'ladi.
bo‘lsa, V = —
X
,
f ,
,
I = XIn xdx =
2
Inx 2
- J
1j
Inx 2 Л
dx =
x =
2 2
X2 /
1
~2
2
265
+ C.
bo‘ladi.
ANIQ INTEGRAL
Masala. Dekart koordinatalar sistemasida chap tomondan x - a o‘ng
tomonda x - b , ostki tomondan y= 0 va yuqori tomondan y=A^) egri chizig'i
bilan chegaralangan aABb ko‘rinishdagi egri trapetsiyaning yuzasi hisoblansin.
Ushbu masalani yechish aniq integral tushunchasiga olib keladi. Bu
masalani yechish uchun ab kesmani ixtiyoriy n ta bo'iakka bo'lib bo'linish
nuqtalaridan Oyo'qiga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilsa, izlanayotgan egri
trapetslya (л-1) trapetsiyalarga ajraladi. Bu trapetsiyalarning yuzalarini hisoblashda Darbuning quyi va yuqori yig'indilari degan tushunchalar hamda bu
yig'indilar orasida yotuvchi Riman yig'indisi degan tushunchalardan foydalanib
ular orasidagi matematik qonuniyatlarni o‘rnatish natijasida aniq integral
tushunchasiga quyidagicha ta’rifberiladi. Ta’rifberishjarayonida Я = (max Дх, ) .
T a’rif: Я 0 cryig‘indi chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit [a,b] ni
maydalash usuliga va undagi nuqtalarni tanlanishiga bog'liq bo'lm asa u
holda bu limit y —A x) funksiyasini [a,b\ dagi aniq integrali deyiladi va u
quyidagicha yoziladi;
. lim cr = lim £
•Ax,- = f f{x)dx.
(1)
egri trapetsiya yuzini hisoblash formulasidir. (1) Nyuton —Leybnes formulas! bo‘yicha
hisoblanadi:
b
S = \f{x)dx=:F{b)-F{a).
a
Aniq integral mavzusi muammoli ta ’limning
muammoli vaziyatlari asosida tushuntirildi. Bu
mavzuning ilmiy m etodik isbotini talabalar
qo'yilgan muammoli vaziyatlami ilmiy-metodik
yechimlarini o'zlari topishga harakat qiladilar
degan umiddamiz.
Masala. Balandligi h ga asosi a ga teng bol‘gan
uchburchakning yuzasini hisoblang.
B e r i l g a n u c h b u r c h a k OAB O B -h,
AB—a, OA=y=kx.
Yechish:
Sс = \ f { x ) d x = f -^x d^x = j^ —
JA
h 2
266
( 1)
QUYIDAGI INTEGRALLARNI HISOBLANG
dx
xJx
4.
3x-2‘
,n^ xdx.
+c.
4^ + 1 +c.
Javobi: —in 3x —2 + C.
■ 3'
x - 2 In x + 2 j + C.
Javobi: x
Javobi:
5.
Vx + 1 - 1
________
_
2.
3.
In
Javobi:
— (sin x + cos x ) + C.
2 ^
'
6-§. DiffereHsial tenglamalar
Ixtiyoriy nuqtasiga o‘tkazilgan urinm aning burchak koeffitsiyenti
absissasining ikkilanganiga teng bo‘lgan xossaga ega egri chiziq tenglamasini topaylik.
Y
e с h i s h . Masala shartidan egri chiziqning M{x,y) nuqtasiga o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyenti 2xga tengligi kelib chiqadi. Ikkinchi
tomondan urinmaning burchak koeffitsiyenti M nuqtaning ordinatasi j dan
absissasi x bo‘yicha olingan hosiladan iboratdir. Shunday qilib, ushbu tenglikka
ega bo'iamiz:
f =
dx
'
(1)
yoki
(2)
(I)
yoki (2) tenghk asosida egri chiziq tenglamasini topishga, ya’ni
o‘zgaruvchi у ni x ning funksiyasi sifatida ifodalashga urinib ko‘raylik. (1)
tenglik hosilani o‘z ichiga oladi; (2) tenglik esa izlanayotgan funksiyaning
differensiahni o‘z ichiga oladi; shuning uchun bunday tengliklar differensial
tenglamalar deyiladi. Ildizlari sonlardan iborat bo‘lgan algebraik tenglamalardan farqli olaroq differensial tenglamalarning yechimi .deb differensial
tenglamani qanoatlantiruvchi x o‘zgaruvchining funksiyasiga aytiladi, ya’ni
u shunday funksiyaki, tenglamadagi у ning o‘rniga qo‘yilganda, uni ayniyatga
aylantiradi. у ni xuddi shu funksiya deb faraz qilib (2) tenglikni ayniyat
sifatida qarashi mumkin; uni integrallab topiladi:
dy - 2xdx
267
й(у = J 2xdx + С
yoki
у =
+ C,
С tiing istalgan qiymatida
+С
ifodaning differensiali
bunda С - ixtiyoriy o'zgarmas.
0 ‘zgarmas
2xdx ga teng. (2) tenglamada у
d{x^ +
2xdx
ni x ^ + C ifoda bilan almashtirish,
ayniyatga olib keladi. Shunday qUib, (2) tenglamaning
yechimi bo'lib bir emas, balki 0 ‘zgarmas С ning qiymati bilan bir-biridan
farq qiluvcM va
+ С ifoda bilan aniqlanuychi cheksiz ko‘p funksiyalar
to' plami xizmat qiladi. Bu holda (2)
tenglamaning yechimi bitta parametr С ga
bog'liq bo‘lgan funksiyalar oilasidan iborat
deyiladi.
Geometrik nuqtayi nazardan bu masala
shartini aniq bir egri chiziq emas, balki С
ning turli qiymatlariga mos kelgan egri chiziqlar
oilasi (parabolalar) qanoatlantiradi degan ma’noni bildiradi. Bu bilaga tegishli egri chiziqlar
(2) tenglamaning (yoki (1) ning, farqsiz)
integral egri chiziqlari deyiladi.
2.
Endi quyidagi ikki xossaga ega bo'lgan
egri chiziq tenglamasi topiladi; 1) egri chiziqning ixtiyoriy M{x,y) nuqtasidagi urin^
31-chizma.
maning burchak koeffitsiyenti
ga teng; 2)
egri chiziq M/3,4) nuqtadan o'tadi.
Y e c h i s h . (1) shart ushbu differensial tenglamaga olib keladi:
x
dx
У
yoki
ydy = -xdx.
(3)
у funksiya deganda (3) tenglamani qanoatlantiruvchi funksiya tushuniladi,
ya’ni (3) tenglikni ayniyat sifatida deb qaraladi va topiladi:
^ydy = -^ xdx + C,
bundan esa:
2
2
268
(4)
yoki
(5)
+ y^ = C.
(5) tenglikda 2C o'rniga С ning o‘zi
yozildi, chunki С ixtiyoriy o'zgarmas bo'lgani
uchun xmi 2 С ko'rinishida yoki С ko'rinisMda
=>M/3,4)
yozish farqsizdir.
Masalan, (4) tenglikda С ga biror son
qiym ati, m asalan, 5 berllsa (va, demak,
2C=10), u holda (5) tenglikdagi o'zgarmas С
ga 10 qiymati berish mumkin.
Olingan (5) tenglik (3) tenglamaning integ­
ral egri chiziqlari koordinata boshida umumiy
markazga ega bo'lgan (o'zgarmas) konsentrik
32-chizma.
aylanalar oilasi ekanini ko‘rsatadi. Endi bu egri
chiziqlardan nuqtadan o‘tuvclii egri chiziq tenglamasini topishi kerak. Bunday aylana aniq radiusga ega bo‘ladi, uni (5)
tenglikdan л:=3 ш y=A deb aniqlanadi.
Shunday qilib, 3^ + 4^ = С , ya’ni С = 25 va izlangan egri chiziq
ushbu tenglama bilan aniqlanadi:
x^+y'^ = 25.
3.
Endi differensial tenglamalar nazariyasi bilan bog‘liq bo‘lgan asosiy
tushunchalar va ta’riflarni ko‘rishga o‘tiladi.
X erkli o‘zgaruvchi; у esa x ning noma’lum funksiyasi bo‘lsin; x,y
ni va uning turli tartibli hosilasi yoki differensialini o‘zaro bog'lovchi
tenglik differensial tenglama deyiladi. Masalan, ushbu tenglik differensial
tenglamadir:
y ' + x y = 0.
(6)
Differensial tenglamani qanoatlantimvchi har qanday funksiya uning
yechimi deyiladi.
Masalan, ^
ham,
У
X€
funksiya (6) tenglamaning yechimidir. Haqiqatan
va tenglamaning chap tomonidagi
ni
— bilan va
С
ifoda bilan almashtirib, ushbu ayniyatga ega bo'lamiz:
-x e 2 + x e 2 = 0 .
269
Differensial tenglamaning tartibi deb tenglamada ishtirok etuvcM hosila
(differensial) ning eng yuqori taitibiga aytiladi. Misol uchun (6) tenglama
birinchi tartibli tenglamadir;
y"-y = 0
(7)
tenglama esa ikkinchi tartibli tenglamadir.
Biz (2) tenglamaning yechimi
y = x^+C
(8)
funksiyalar oilasi, (3) tenglamaning yechimi esa
+y^ = С
(9)
funksiyalar oilasi ekanini ko‘rdik. (8) tenglamadagi kabi (9) tenglamada
ham ixtiyoriy o'zgarmas qatnashadi.
Umuman differensial tenglamaning umumiy yechimi yoki integrali deb
uning tenglama tartibi qancha bo'lsa, shuncha bctiyoriy o‘zgarmas ishtirok
etgan yechimiga aytiladi yoki, boshqacha aytganda, tenglama tartibiga teng
bo‘lgan CpC^ Cj
parametrlarga bog'liq bo‘lgan funksiyalar oilasi
tenglamasiga aytiladi. Agar bunda tenglama у ga nisbatan yechilgan bo'lsa,
u holda uni differensial tenglamaning umumiy yechimi, agar у ga nisbatan
yechilmagan bo‘lsa, umumiy integrali deyiladi.
Shunday qilib, (8) munosabat (2) differensial tenglamaning umumiy
yechimidir, (9) munosabat esa (3) differensial tenglamaning umumiy
yechimidir.
Ikkinchi tartibli differensial tenglama (7) ning umumiy yechimi quyidagi
ko'rinishga ega ekaniga ishonch hosil qilish qiyin emas:
= Q C0 SX + C2 sinjc.
(10)
Ixtiyoriy o‘zgarmasning aniq son qiymatlari uchun umumiy yechimdan
olinadigan yechim xususiy yechim deyiladi.
Differensial tenglamaning xususiy integrali ham xuddi shunday aniqlanadi.
(2) tenglamaning yechimi (3) tenglamaning xususiy integrali +y~^ = 25 ni
topishga keltiriladi.
Umumiy yechim (yoki integral)ning grafiklari berilgan differensial
tenglamaning integral egri chiziqlari deyiladi.
Qoidaga ko‘ra tekislikning nuqtasidan birinchi tartibli differensial
tenglamaning faqat bitta integral chizig‘i o4adi. Shuning uchun birinchi
tartibli differensial tenglamaning kerakli xususiy yechimi (yoki integrali)ni
topish uchun X argumentning
qiymatiga va unga mos у ning
qiymatiga
ega bo‘Ush zarur.
Bu qiymatlar differensial tenglamaning boshlang'ich shartlari deyiladi.
Boshlang‘ich shart quyidagicha yoziladi:
270
Demak, (2) masalaning bosMang‘ich sharti quyidagi tenglik bilan yoziladi:
У ( 3 ) = 4.
Biz ko‘rdikki, shu masalani yechish jarayonida boshlang'ich shart
yordamida differensial tenglamaning umuraiy yechimida (umumiy integralida) qatnashuvcM o'zgarmas С ning qiymati aniqlanadi.
TaKTorlash uchun savollar
1. To'g'ri proporsional bog‘lanish nima?
2. Teskari proporsional bog'lanish nima?
3. Funksiya ta ’rifini ayting.
4. Funksiyaning aniqlanish va o'zgarish sohasi deb nimaga aytiladi?
5. Funksiyaning berilish usullari deganda nimani tushunasiz?
6. Hosila qanday ta ’riflanadi?
7. Hosilaning geometrik та ’nosini ayting.
8. Elementar funksiyalarda hosila qanday bajariladi?
9. Murakkab funksiyaning hosilasi qanday formula bilan ifodalaniladi?
10. Yuqori tartibli hosila deganda nimani tushunasiz?
11. Berilgan funksiyaning boshlang'ich funksiyasi deb nimaga aytiladi?
12. Berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasining umumiy ko'rinishi
deganda nimani tushunasiz?
13. Berilgan funksiyani integrali deb nimaga aytiladi?
14. Aniqmas integralning asosiy xossalarini ayting.
15. Aniqmas integralda o ‘zgaruvchining almashtirish formulasi qanday
ifodalanadi?
16. Aniqmas integralda bo'laklab integrallash formulasini yozing.
17. Qanday tenglamaga differensial tenglama deb aytiladi?
18. Differensial tenglama qanday yechiladi?
19. Differensial tenglamaning xususiy yechimi qanday topiladi?
20. Differensial tenglamaning boshlang'ich shartlarni qanday topiladi?
Tayanch iboralar
To ‘g ‘ri proporsional, teskari proporsional, funksiya, funksiyaning aniqlanish
va o'zgarish sohasi, funksiyaning berilish usullari, hosila, hosilaning
geometrik та ’nosi, murakkab funksiyaning hosilasi, yuqori tartibli hosila,
boshlang'ich funksiya, funksiyaning integrali, aniqmas integralning asosiy
xossalari, aniqmas integralda o'zgaruvchini almashtirish, aniqmas
integralda bo laklab integrallash, differensial tenglama, differensial
tenglamaning yechimlari, differensial tenglamaning xususiy yechimlari.
X bob.
GEOMETRIYA KURSINING AKSIOMATIK QURILISHI
AKSIOMA, POSTULAT, TEOREMA VA UNING TURLARINI
0 ‘RGATISH METODIKASI
l-§ . Matematik hukmning turlari
M a’lumki, maktab geometriya kursi deduktiv asosida mantiqiy
qurilgan fan bo'lib, u asosan planimetriya va stereometriya bo‘limlaridan
iboratdir. Geometriyaning planimetriya bo'lim ida tekislikdagi geometrik
figuralaming qonuniyatlari, stereometriya bo‘limida esa fazoviy geometrik
figuralarning qonuniyatlari o'rganiladi. Uning deduktiv qurilgani shu
ЬДап izohlanadiki, geometriya kursini umumiylikdan xususiylikka tomon
o‘rganiladi. Chunki, awalo, tekislikda yotuvchi ixtiyoriy nuqtalar to ‘plamiga geometrik figura deb ta ’rif beriladi, so‘ngra ana shu geometrik
figuraning xususiy hollari o ‘rganiladi. Masalan, ko‘pburchak va uning
qabariq, botiq turlari o'rganiladi, so‘ngra qabariq ko‘pburchakning
turlari bo'lm ish to'rtburchak, parallelogramm, trapetsiya, romb va
kvadratlarning xossalari o ‘rgan£adi. Demak, bu yerda o‘rganish jarayoni
umumiylikdan xususiylik tomon amalga osMriladi. Geometriya kursining
mantiqiyligi deganda:
a) ta ’riflanmaydigan boshlang'ich tushunchalar qabul qilinadi (nuqta, to ‘g‘ri chiziq, tekislik va masofa);
b) boshqa geometrik figuralar ta ’riflanmaydigan tushunchalar yordamida ta ’riflanadi;
d) aksiomalar sistemasi qabul qilinadi;
e) ta ’rif va aksiomalar yordamida teoremalar isbotlanadi.
Yuqoridagi aytib o ‘tilgan bosqichlar geometriya kursining mantiqiy
qurilganligini ko‘rsatadi.
Maktab matematika kursida matematik hukmlar aksioma, postulat
va teorema ko‘rinishda beriladi.
Aksioma grekcha axioma so'zidan olingan bo‘lib, uning lug‘aviy
m a’nosi «obro‘ga ega bo‘lgan gap» demakdir. ShuniAg uchun ham
aksiomaga maktab matematika kursida quyidagicha ta ’rif berilgan:
«Isbotsiz qabul qilinadigan matematik hukm aksioma deyiladi».
Aksioma asosan eng sodda geometrik figura yoki sodda matematik
qonuniyatlarning asosiy xossalarini ifodalovchi hukmdir. Masalan, maktab
geometriya kursida o ‘rganish uchun qabul qihngan aksiomalami qaraylik:
272
1. «Tekislikda yotuvchi ixtiyoriy bitta nuqtadan shu tekislikdagi to ‘g ‘ri
chiziqqa parallel b o ‘lgan fa q a t bitta to ‘g ‘ri chiziq o ‘tkazish mumkin».
2. «Tekislikdagi har qanday ikki nuqtadan faqat bitta to ‘g ‘ri chiziq
oHkazish mumkin».
M a’lumki, matematika fani aksiomalar sistemasi asosida qurilgandir.
M atem atika fanining m antiqiy asosda qurilishini yaratish uch u n
aksiomalarning bo‘lishligi haqida fikr Gretsiyada bundan ming yil aw al
paydo bo'lgan edi. XIX asrning oxiri va XX asrning boshlarida
m atematika fanining turli b o ‘limlarida aksiomalar chuqur o'rganildi
va rivojlantirildi.
M atem atika kursidagi aksiomalar sistemasi asosan quyidagi uch
talabga javob berishi kerak.
1. Aksioma sistemasi ziddiyatsiz b o lish i kerak. Bu degan so‘z, biror
aksiomadan chiqarilgan natija shu aksioma yordamida hosil qilingan
boshqa natijaga yoki boshqa aksiom adan chiqarilgan xulosaga zid
kelmasligi kerak.
2. Aksiomalar sistemasi m ustaqil bo‘Ushi kerak, ya’ni hech bir
aksioma ikkinchi bir aksiomadan kelib chiqadigan bo‘lmasligi kerak.
3. Aksiomalar sistemasi shu fanga oid istalgan bir yangi tushunchani
isbot etish uchun yetarli b o ‘lishi kerak, ya’ni biror matematik jum lani
isbotlashda hech qachon o ‘z -o ‘zidan tushunilishiga yoki tajribaga
tayanilmaydi, bu matematik jum la boshqa teoremalar oxirida aksio­
m alar bilan asoslanishi kerak bo‘ladi.
M aktab geometriya kursida quyidagi aksiomalar sistemasi mayjud.
1. TegishlQik aksiomasi;
a) har qanday to ‘g‘ri chiziq nuqtalar to ‘plamidan iboratdir.
b) har qanday ikki nuqtadan bitta va faqat bitta to ‘g‘ri chiziq
o ‘tkazish mumkin.
d) har qanday to ‘g‘ri chiziqni olmaylik, shu to ‘g‘ri chiziqqa tegishli
b o ‘lgan va tegishh bo‘lmagan nuqtalar mavjud.
2. Masofa aksiomasi:
a) har bir kesmaning uzunligi shu kesmaning har qanday nuqtasi
ajratgan masofalar uzunUklarining yig‘indisiga teng:
b) A n u qtadan В n u q tag ach a b o ‘lgan m asofa В n u q tad an A
nuqtagacha bo‘lgan masofaga teng: |AB| = |A4|.
d) Ixtiyoriy uchta A, B, С nuqta uchun A dan С gacha bo‘lgan
masofa A dan В gacha va В dan С gacha b o ‘lgan masofalar yig'indisidan
katta emas: \AC\^AB\+\BC\.
3. Tartib aksiomasi:
18 - s. Alixonov
273
a) to ‘g‘ri chiziqdagi uchta nuqtadan bittasi va faqat bittasi qolgan
ikkitasi orasida yotadi.
b) to‘g‘ri chiziq tekislikni ikki yarim tekislikka ajratadi.
4. Harakat aksiomasi:
a)
Agar \Щ masofa musbat bo‘Ub, u \A^B\ masofaga teng bo'lsa,
A nuqtani
nuqta va В nuqtani
nuqtaga akslantiruvchi faqat ikkita
sHjitish mumkin.
5.Paralellik aksiomasi:
Berilgan nuqtadan to ‘g‘ri chiziqqa bitta va faqat bitta parallel
to ‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
2-§. Postulat
«Postulat» so‘zi lotincha so‘z bo‘lib, uning lug'aviy m a’nosi «talabni
belgilovchi» demakdir. Postulat - bu m a’lum bir talab yoki shartlami
ifodalovchi matematik hukm bo‘lib, bundagi talab va shartlami ba'zi
bir tushuncha yoki tushunchalar orasidagi munosabatlar orqali qanoatlantiradi.
1-misoI. Evklidning «Negizlar» kitobida paralellik aksiomasi «beshinchi
postulat» deb atalgan qadimgi matematiklar ana shu paralellik aksiomasini
XIX asming boshlarigacha isbotlashga urinib keldilar. Bu urinishlar har
doim muvaffaqiyatsizlik bilan tugadi. Paralellik aksiomasining to‘g‘riligi hech
kimda shubha tug‘dirmasada, uni mavjud aksiomalarning va ilgari isbot
qilingan geometrik faktlarning asosi uchun qabul qilish mumkin emasmikan,
ya’ni u o'zicha teoremadan iborat emasmikan, degan savol barcha
matematiklarni qiziqtirar edi. Parallel to‘g‘ri chiziqlar aksiomasini teskarisidan
faraz qilish usuli bilan, ya’ni nuqta orqali berilgan to‘g‘ri chiziqqa parallel
bir nechta to ‘g‘ri chiziq o'tkazish mumkin, deb qabul qihb isbotlashga
urinishlar matematik qonuniyatlarga zid bo'lgan holatlarni keltirib chiqarishi
kerak edi, ammo bunday bo‘lmadi. Buyuk rus matematigi N.I.Lobachevskiy
va undan bexabar holda venger matematigi Ya.Boya nuqta orqali berilgan
to‘g‘ri chiziqqa parallel bir necha to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin, degan
farazni qabul qilib, boshqa «noyevklid geometriya«ni qurish mumkinligini
isbot qildilar. Lobachevskiy geometriyasi ana shunday dunyoga keldi.
2-misoI. Munosabatlar ekvivalentligining ta’rifi ham quyidagi uchta
postulat orqaU ifodalanadi:
1) munosabat refleksiv bo'lishi kerak: M as A \ a __ - __>a\
2) munosabat simmetrik bo‘lishi kerak:
\/a ,b e A : (a — ^
(a—
274
, <
3) munosabat tranzitiv bo‘lishi kerak:
\/a ,b e A \ [ [a — - — >ь'^л(ь — - —
3-§. Teorema va uning turlari
Teorema so'zi grekcha so‘z bo'lib, uning lug'aviy m a’nosi «qarab
chiqaman» yoki «o'yiab ko‘raman» demakdir, shuning uchun ham
maktab matematika kursida teoremaga quyidagicha ta ’rif berilgan:
«Isbotlashni talab etadigan matematik hukm teorema deyiladi».
Maktab matematika kursida teoremalaming quyidagi turlari mavjuddir:
1. To‘g‘ri teorema.
2. Teskari teorema.
3. T o‘g‘ri teoremaga qarama-qarshi teorema.
4. Teskari teoremaga qarama-qarshi teorema.
T o‘g‘ri va unga nisbatan teskari bo‘lgan teorem a tushunchalarini
o'quvchilarning ongida shakllantirishni - VI sinf geometriya kursining
birinchi darslaridan boshlab amalga oshirish kerak. Masalan, quyidagi
ikkita tushunchani olib qaraylik.
1. Bu figura parallelogrammdir.
2. Bu figura to ‘rtburchakdir.
Berilgan bu ikkala hukm o'zaro bog‘Iiqdir. Boshqacha aytganda,
birinchisining haqiqatligidan ikkinchining haqiqatligi kelib chiqadi,
ammo ikkinchisining mayjudligidan birinchisining haqiqatligi har doim
ham kelib chiqavermaydi. Agar bu bog'lanishni simvolik ravishda
yozadigan bo‘lsak u quyidagicha bo‘ladi:
to 'rtb u rc h a k
paralellogram m
Bu yerda biz paralellogramlar sinfini to'rtburchaklar sinfiga kiritdik.
Yuqoridagidek bog'lanishlar geometriya kursining birinchi darslaridan
boshlab tekshirayotgan matematik hukmlarning ichki o‘zaro bog'lanishini
ochib beradi. Masalan, «Ichki almashinuvchi burchaklar o ‘zaro teng»
degan hukmni simvoUk holda quyidagicha yozish mumkin:
holda uiar teng bo‘ladi, degan fikr tasdiqlanadi. Agar yo'nalish teskari
tom onga qo‘yilsa, bunday mulohaza hosil bo‘ladi: «Agar burchaklar
275
teng bo‘lsa, u holda ular ichki almashinuvchi burchaklardir». Agar
teoremadagi shart va xulosaning o‘zaro bog‘liqligini «agar», «u holda»
so'zlari bilan bog'lansa, bunda o'quvchilar teoremaning sharti, natijasi
va ular orasidagl bog‘lanish haqida chuqurroq tasawurga ega bo‘Iadi.
Masalan, agar bir uchburchakning ikki tom oni ikkincM uchburchakning ikki tomoniga mos ravishda teng bo‘lsa, bunday uchburchaklar
teng bo‘ladi. Bu aytilgan teoremaning shartidan uning xulosasi kelib
chiqmaydi, ammo uning xulosasidan sharti har doim kelib chiqadi.
Shuning uchun uni simvolik ravishda bunday yozish mumkin:
Bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi
uchburchakning ikki tom oniga mos
ravishda teng bo'Isa
M aktab geometriya kursida shunday teorem alar borki, ularning
shartidan xulosasining to ‘g‘riligi va aksincha, xulosasidan shartining
to ‘g‘riligi kelib chiqadi. Masalan:
1.
Agar to ‘g‘ri chiziq burchak bissektrisasi bo‘lsa, u berilgan burchakni
teng ikkiga bo'ladi.
Bunga teskari bo‘lgan teorema ham o‘rinlidir: «Agar to ‘g‘ri chiziq
burchakni teng ikkiga bo‘lsa, bu to ‘g‘ri chiziq shu burchakning bissektrisasidir». Bu aytilganlarni simvolik ravishda bunday yozish mumkin:
A gar to 'g 'ri chiziq burchak
<=
Burchak teng ikkiga
bissektrisasi b o ‘lsa
=?■
bo'iinadi
B undan k o ‘rinadiki, teorem a shartining m avjudligidan uning
xulosasining haqiqiyligi kelib chiqsa va aksincha, uning xulosasining
mavjudligidan haqiqatligi kelib chiqsa, teoremaning shart va xulosalarida qatnashayotgan «agar» va «u holda» boglovchilarining o‘rinlari
o ‘zgaradi.
Agar biz shartli ravishda berilgan teorem ani to ‘g‘ri teorem a desak,
bu teoremadagi shart va xulosalarning o ‘rinlarini almashtirish natijasida
hosil qilingan teorem ani teskari teorem a deb ataladi.
Endi to ‘g‘ri va teskari teoremalaming berilishi hamda ulami isbotlash
uslubiyatini ko‘rib chiqaylik.
l . T o ‘g ‘ ri t e o r e m a ; «Agar uchburchakning biror tom oni katta
bo‘lsa, u holda ana shu katta tom on qarshisida katta burchak yotadi».
Ber i l gan: AABC, BC > AB.
I s b o t q i l i s h kerak: A > C.
276
I s b o t i . ABC uchburchakning BC tomonida
AB tomonga teng BD=AB kesmani o‘lchab, ana
shu D nuqtani A nuqta bilan birlashtiriladi (33chizma), natijada ABD teng yonli uchburchak hosil
bo‘ladi. ABD uchburchak teng yonli bo'lgani uchun
А
ZBAD=ZBDA. BDA burchak ADC burchakning
33-chizma.
tashqi burchagi bo'lgani uchun Z.BAD=^ZC+ZDAC
bo'ladi, bundan ZBAD>ZC ekani kehb chiqadi.
Bu yerdagi BAD burchak A burchakning bir qismi xolos. Shuning uchun
ZA >ZC.
Teskari teorema: «Agar uchburchakning biror burchagi katta bo'lsa, u
holda ana shu katta burchak qarshisida katta tomon yotadi».
Ber i l gan: AABC, Z A > Z C.
I s b o t q i i i s h kerak: BOAB.
I s b o t i . 1) ABC uchburchakning AB tomoni hech qachon BC tomonidan
katta bo‘la olmaydi, chunki to‘g‘ri teoremada biz katta tomon qarshisida
katta burchak yotadi, deb isbot qildik, aks holda Z O Z A hgi kelib chiqadi,
bu esa teorema shartiga ziddir.
2) AB tomon BC tomonga teng ham b o ia olmaydi, chunki ZABC
teng yonli emas, agar teng yonli bo'lganda edi ZC>ZA tenglik o'rinli
bo'lib, bu ham teorema shartiga zid bo‘lar edi.
3) Agar AB tomon BC tomondan katta bo‘lmasa yoki unga teng bo'lmasa,
u holda BC > AB ligi kelib chiqadi.
2.
T o ‘g ‘ri t e o r e ma : Agar uchburchakning tomonlari teng bo'ha, и
holda bu tomonlar qarshisida teng burchaklar yotadi.
Be r i l ga n: AABC, AC - CB.
I s b o t q i i i s h kerak: ZA=ZB.
I s b o t i . ABC asosi AB bo' lgan teng yonli
uchburchak bo'lsin. Z A= ZB ekanligi isbotlanadi.
Uchburchaklar tengligining birinchi alomatiga ko‘ra
CAB burchak CAB burchakka teng bo'ladi, chunki
CA = CB va Z C = Z C . Bu uchburchakl arni ng
tengligidan; ZA=ZB.
34-chizma.
T e s k a r i t e o r e m a . Agar uchburchakning
b u r c h a k la ri o ‘za ro ten g b o ‘Isa, и h o ld a bu
burchaklar qarshisida teng tomonlar yotadi (35chizma).
Ber i l gan: ZABC, ZA = ZC.
I s b o t q i i i s h kerak: BC = AB.
I s b o t i . 1) BC tomon AB tomondan katta bo‘la
olmaydi, aks holda awalgi isbot qilingan teoremaga
ko‘ra ZA>Z С bo'lar edi, bu esa teorema shartiga ziddir.
,
35-chizma.
211
2)
ВС tomon AB tomondan kichik ham
bo‘la olmaydi, aks holda awalgi isbot qilingan
teoremaga ko‘ra ZC >ZA bolar edi, bu esa
teorema shartiga ziddir. Demak, BC = AB.
4.
T o ‘ g ‘ r i t e o r e m a . A gar
uchburchak to ‘g ‘ri burchakli b o ‘lib, uning
bir burchagi 30° bo ‘Isa, и holda 30° li burchak
36-chizma.
qarshisidagi katet gipotenuzaning yarmiga
teng b o ‘ladi (36-chizma).
Beri lgan: .45C burchak to‘g‘ri burchakli, ZB=30°.
Isbot
qilish
AB
kerak: ^4C = - у -
I s bot i . AC katetni davom ettirib, CD=AC kesmani qo‘yib, Z) nuqtani
В nuqta bilan birlashtiramiz. U holda ABCD=ABCA tenglik hosil bo‘ladi,
chunki Zl>=ZA va ZD=60° bo‘lganligi uchun ABD uchburchakning А ш D
burchaklari 60° dan, ZABD=60° AD teng tomonli uchburchakdir. Chizmadan
AC=
AD
AB
AD—AB, shuning uchun АС=-^~-
T e s k a r i t e o r e m a . Agar to ‘g ‘ri burchakli
uchburchakning kateti gipotenuzaning yarmiga teng
b o ‘Isa, и holda shu katet qarshisidagi burchak
30° ga teng b o ‘ladi (37- chizma).
В e r i 1 g a n: A ABC to‘g‘ri burchakli,
AC =^AB.
I s b o t q i l i s h kerak;
= 30°.
I s bot i . AC katetni davom ettirib CD=AC qo‘yiladi, u holda AD-2AC
bo'ladi, bundan AD=AB, ekani kelib chiqadi. Bva D nuqtalami birlashtirsak,
ABCD=ABCA bo'ladi, chunki bularning ikkita kateti va ular orasidagi bur­
chaklari o‘zaro teng.
ABCD=ABCA ekanligidan AD=AB ga, ZABC=ZDBC u holda AD-AB va
DB=AB bulardan AABD teng tomonli ekanligini kelib chiqadi, u holda
ZABD=6Q°, ZABC=ZDBC, bu burchaklar yig‘indisi ZABD ni hosil qiladi,
shuning uchun ZABC=W .
Agar to ‘g‘ri teoremaning shartini p va uning xulosasini q desak, u
holda yuqoridagi teorema turlari uchun quyidagi simvolik ifodalar o'rinhdir:
1) p
q (to‘g‘ri teorema); 2) q
p (teskari teorema);
278
3) р => q (to‘g‘ri teoremaga qarama-qarshi teorema);
4) q => p (teskari teoremaga qarama-qarshi teorema).
Quyidagi teoremani to‘g‘ri teorema deb olib, unga nisbatan yuqoridagi
teoremaning turlarini qoilasak, bunday teoremalar hosil boiadi:
1) Agar to ‘rtburchak paralellogramm bo‘Isa, uning diagonali kesishish
mqtasida teng ikkiga bo ‘linadi, ya ’ni p
q.
2) Agar to ‘rtburchanning diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga
bo ‘linsa, и holda bu to ‘rtburchak paralellogrammdir, ya ’ni q => p.
3) Agar to ‘rtburchak paralellogramm bo ‘Imasa, uning diagonallari kesishish
nuqtasida teng ikkiga bo ‘linmaydi, ya ’ni p =^q.
4) Agar to'rtburchakning diogonali kesishib, teng ikkiga bo‘linmasa, и
holda bunday to ‘rtburchak paralelogramm emas, ya ’ni q ^ p .
Bu misoldan ko‘rinadiki, agar to ‘g‘ri teoremani shart va xulosalarga
ajratish mumkin bo‘lsa, u holda ana shu to‘g‘ri teoremaga teskari, qaramaqarshi hamda to'g'ri teoremadan hosil qihngan teskari teoremaga qaramaqarshi teoremalarni hosil qilish mumkin.
4-§. Teoremalarni isbotlash metodlari
T a’rif. Isbotlash — deduktiv xulosa chiqarish zanjiri, demakdir.
H ar qanday isbotlash jarayoni quyidagi uch qismni o ‘z ichiga oladi:
1. Teoremaning bayoni — isbot talab etiladigan holat.
2. Argumentlar — teoremani isbotlash jarayonida ishlatilgan m atematik hukmlar.
3. Isbotlash — deduktiv xulosa chiqarish orqaU teorem a xulosasida
topish talab qilingan noma’lumni uning shartlari ham da aw aldan m a’lum
bo'lgan argumentlardan foydalanib keltirib chiqarish.
Teoremani isbotlashga kirish va uni isbotlash jarayonida o‘qituvchi
yordamida o ‘quvchilar quyidagi mantiqiy ketma-ketlikka ega b o ‘lgan
bosqichlarni bajarishlari kerak;
1) Teoremaning sharti va unm g xulosasi nim adan iborat ekanligini
to l a tushunib olishlari kerak.
2) Ana shu teoremaning shart va xulosasida qatnashayotgan har
bir matem atik tushunchaning m a’nosini bilishlari kerak.
3) Teoremaning shart va xulosa qismlarini m atem atik simvollar
orqali ifodalashlari kerak.
4) Teoremaning shartida qatnashayotgan m a’lum param etrlar teo­
rem a xulosasidagi nom a’lum ni aniqlay oladimi yoki yo‘qmi ekanligini
bilishlari kerak.
279
, j t
5) Teoremani isbotlash jarayonida teoremadagi shartlardan teorema
xulosasining to ‘g‘riligini ko‘rsatuvchi natijalar keltirib chiqarishi kerak.
6) T eorem ani isbotlash jarayonidagi m antiqiy m ulohazalarda
teoremaning shartidan to 'la foydalanishlari kerak.
7) Teorema isbot qilib bo‘lingach, isbotlashda qo‘llanilgan metodni
ko'zdan kechirish va imkoni bo‘lsa, isbotlashning boshqa usullarini
qidirib topish kerak.
Maktab matematika kursidagi teorem alam i isbotlash ikki usulda
amalga oshiriladi.
1) Bevosita isbotlash usuli (to‘g‘ri isbotlash usuli);
2) Bilvosita isbotlash usuli (teskarisidan faraz qilish usuli);
Bevosita isbotlash usuli jarayonida teoremaning shartida qatnashayotgan m a’lum va parametrlardan hamda aw aldan m a’lum bo'lgan
aksioma, ta ’rif va teoremalardan foydalangan holda mantiqiy mulohaza
yuritib, teorema xulosasida talab qilingan nom a’lumlar topiladi. Teore­
malami bunday isbotlash analiz va sintez orqali amalga oshiriladi. ■
T a’rif. N om a’lumlardan m a ’lumlarga tomonga izlash metodi analiz
deyiladi.
Psixologik olimlar analiz metodini quyidagicha ta ’riflaydilar:
analiz — bu butunlardan bo ‘laklarga tomon izlash demakdir.
T a’rif. M a ’lumlardan nom a’lumlarga tomon izlash metodiga sintez
■deyiladi.
Psixologik nuqtayi nazardan sintez metodi bo'laklardan butunlarga
tom on izlash metodi demakdir.
Fikrimiz dalili sifatida quyidagi teoremani analiz va sintez metodlari
orqali isbotlaymiz.
T e o r e m a . В nuqtada kesishuvchi CD va Z F to ‘g‘ri chiziqlar a
tekislikda yotadi va CB = BD, EB = BF. a tekislikda yotmaydigan A
nuqtav4jE'=£'/’va^C =/4i)tengliklam i qanoatlantiradigan qilib tanlansa,
AB to ‘g‘ri chiziq a tekislikka peф endikular bo‘ladi (38-chizma).
B e r i l g a n : a tekislik, (CD)A(EF)=B,
(CB=BD)A(EB=BF), (AE=AF}A(AC=AD).
I s bot qi l i s h k e r a k : /15 l a .
I s b о t i . Bu teorema analiz metodi bilan
isbotlanadi.
1. AB l a ekanligini isbot qilish uchun
ABlCD va AB± EF ekanligini isbot qilish
yetarli.
2. ABLCD ekanligini isbot qilish uchun
ZABC^ZABD ekanligini isbot qilish yetarh.
38-chizma.
280
3. Bu burchaklaming tengligini isbot qilish uchun MBC=AABD ekanligini
isbot qilish yetarli, lekin BC=BD, AC=AD, AB - AB shuning uchun
AABC=AABD.
4. ABLEF ekanligini isbot qilish uchun ZABE=ZABF ekanligini isbot
qilish yetarli.
5. Bu burchaklarning tengligini isbot qilish uchun
ekanligini
isbot qilish yetarli, lekin BE=BF, AE-AF, AB=AB, shuning uchun
AABE=AABF, bundan AB 1 a ekanligi kelib chiqadi.
Isbotning sintez usuli
1. Л ABE = A ABF.
2. ZABE = ZABF.
3. Д ABC = Д ABD.
4. ZABC = ZABD.
5. (2) va (4) ga ko‘ra ABlCD va ABlEF.
6. (5) ga ko‘ra A B l a.
T e o r e m a . Agar a, b, с ABC uchbukchakning tomonlari va p uning
yarim perim etri bo'lsa, и holda bu uchburchakning yu zi
S = -sjpip - a){p - b)(p - c) ga teng bo ‘ladi.
1.
Teoremaning sharti: «agar a, b, с ABC
uchburchakning tomonlari va R uning yarim
perimetri bo‘lsa», teoremaning xulosasi: «u holda
bu
uchburchakning
yuzi
С/
к
\
^
S = 4 p (P - «)(/’ - b)(p - c) ga teng bo'ladi».
2.
Teoremaning shart va xulosa qismlarida
в
uchburchak, uchburchakning tomonlari, uning
perimetri va yarim perimetri hamda uning yuzi
kabi tushunchalar qatnashadi (39-chizma).
I)
X
39-chima.
3. B e r i l g a n : АЛ5С, AB = c, BC = a, AC = b,
a+b+c
---- ----- = p.
I s b o t qi l i s h k e r a k:
S = ^p{ p - a){p - b){p - c).
4,
Teorema shartida berilgan uchburchak, uning tomonlari, yarim
perimetri kabi t ushunchal ar uning xulosasida talab qilinayotgan S !=,/ p{ p - a)(p - b ) ( p - c) noma’lumni topish uchun yetarlidir.
5. Teoremaning hboii. A ABC
CA = b, A B = c , BC = a debolamiz.
Chizmadan:
281
(1)
^ААВС - 2
К
b
AADC
Лд = Z) •sin с
(2)
(2) ni (1) ga qo'yilsa:
{ abf 1 - cos'' с
2]l
f
{ a b f - ab cos с
(abf.
la|b|cos с
AABC
ko‘tarilsa,
ifoda a
с = a- b
b
(3)
vektorlarning skalar ko'paytmasidir.
bo‘ladi, bu ifodaning bar ikki tomoni kvadratga
c^=a4b^-2a^ b \
(4)
a b -
(4) ni (3) ga qo‘yiIsa:
^ =i
аЧ^-
\
ab
T
2
(а^Ь^-г^
аЧ^
2
4
J
+b^ - c^ I ab
„2 +b^
, l2 - „2Л
4
2ab - a^ - b^ +
1 / 2a^ + bl2 - с2
2
4
4"
l ab + a^ + b^
282
V
/
ia + b) - c^
-{a-bf
i
4
If a + b + с - 2 a Y (1 + b + с - I b Y o + b + с - 2 c Y <^+ b +
=i
2
2
I
1
2
= Т Й р - Ж р - Ж р^ 6. Teoremani isbotlashda vektor, vektorlarni qo‘shish, skalar ko‘paytma
va uchburchakning yuzi kabi tushunchalar asosida mantiqiy mulohaza yuritib,
teorema shartida berilgan uchburchakning tomonlari perimetri va yarim
perimetri kabi tushunchalardan to‘la foydalanib teoremaning isboti keltirib
chiqarildi.
7. Qaralgan teoremani yuqoridagidan farqh usui bilan ham isbot qilish
mumkin (38-chizma).
Isbot i k k i n c h i usuli:
B e r i l g a n : ЛАВС, AB=c, BC=a, AC -b, p =
Isbot
qi l i s h
a+b+c
k e r a k: S = -yjpip - a){p - b ) { p - c).
I
s b о t i. Д ABC ning yuzi uning tomonlari va ular orasidagi burchagiga
ko‘ra bunday ifodalanadi:
sin a =
( 1)
be
Kosinuslar teoremasiga ko'ra:
cos a -
— 2ic-cosa, bundan
(2);
2bc
sin a + cos a = 1.
(3)
(1) va (2) larni (3) ga qo'yilsa:
2
\ be }
4-r f b ^ + c ^ - a ^ t = 1.
\
2bc
4b^c
J
283
\68^ + ( Ь ^ + г - а ^ ) ^ = A b h \
=
Ab^c^ - [b^ + c^
{ibc + b^ +c^ - a^^{lbc - b^ - c^ +
16
16
- [ b - c)
[b + c f - a^
a+b+c
b+c-a
a+b-c
a+c-b
2
2
2
2
16
= p{p-a){p-b){p-c),
S = ^p{p-a){p-b){p-c).
Bilvosita isbotlash usuli (teskaridan faraz qilish orqali isbotlash usuli).
Ta’rif. Teoremaning xulosasidagi no ‘malumlami topish unga zid bo ‘Igan
jumlani inkor qilish orqali amalga oshirilgan bo ‘Isa, uni bilvosita isbotlash
usuli deyiladi.
Yuqoridagi ta ’rifdan ko‘rinadiki, isbotlashning bilvosita usulida biz
oldin teorema tasdiqlagan fikrga qarama-qarshi fikrni to ‘g‘ri deb faraz
qilamiz: shundan keyin aksiomalar va oldin isbotlangan teoremalarga
asoslajtiib mulohazalar yuritish yo‘li bilan teorema shartiga zid keladigan
yoki biror aksiomaga yoki ilgari isbotlangan biror teorem aga zid
keladigan xulosaga kelamiz. Shunga ko‘ra farazimiz noto‘g‘ri bo‘ladi.
N atijada teoremadagi yoki berilgan masaladagi da’vo to ‘g‘ri degan
xulosaga kelamiz.
Bilvosita isbotlash ikki xil usul bilan amalga oshiriladi:
1) Apagogik usul.
2) Ajratish usul.
Apagogik usul ko‘pincha teskarisidan faraz qilish metodi deb ham
yuritiladi. Quyidagi teoremani apagogik - teskarisidan faraz qilish usuli
ЬИап isbot qUaylik.
T e o r e m a . To‘g‘ri chiziqning har bir nuqtasidan unga perpendikular to ‘g‘ri chiziq o‘tkazish mum kin va faqat bitta.
I s b o t i . Faraz qilaylik, a — berilgan to‘g‘ri chiziq, A unda berilgan
nuqta bo'lsin. a to‘g‘ri chiziqning boshlang'ich nuqtasi A bo‘lgan yarim
to‘g‘ri chiziqlaridan birini a^ bilan belgilanadi, a, yarim to‘g‘ri chiziqdan
boshlab 90° ga teng
burchak qo‘yiladi. U holda b, nurni o‘z ichiga
olgan to‘g‘ri chiziq a to‘g‘ri chiziqqa peфendikular bo‘ladi. Faraz qilayhk,
A nuqtadan o‘tib a to‘g‘ri chiziqqa perpendikular bo'lgan boshqa to‘g‘ri
chiziq mavjud bo'lsin. Bu to‘g‘ri chiziqning b^ nur bilan bir tekishkda
yotuvchi yarim to‘g‘ri chizig‘i c, bilan belgilanadi. Har biri 90° ga teng
284
va (a^Cj) burchaklar Oj yarim
to‘g‘ri chiziqdan boshlab bitta yarim tekislikka qo‘yilgan. Ammo berilgan yarim
tekislikka a^ yarim to ‘g‘ri chiziqdan
boshlab 90° ga teng bitta burchak qo‘yish
mumkin. Shu sababli A nuqta orqali o‘tib
a to‘g‘ri chiziqqa perpendikular bo'lgan
boshqa to ‘g‘ri chiziqning mavjudligi
40-chizma.
mumkin emas. Shu bilan teorema
isbotiandi.
Masala. a \a b uchrashmas to‘g‘ri
chiziqlar berilgan. A \a В nuqtalar a
to‘g‘ri chiziqda, Cva D nuqtalar b to‘g‘ri
chiziqda yotadi. С va BD to‘g‘ri chiziq41-chizma.
larning o'zaro vaziyatini aniqlang (40chizma).
I s b o t i . Ma'iumki, fazodagi ikki to‘g‘ri chiziq quyidagi uch holatdan
birini egallaydi:
1. AQ\BD. 2. АСгл BD. 3. AC va BD to‘g‘ri chiziqlar uchrashmas.
1. Faraz qilaylik, AO\BD bo'lsin, u holda bu to‘g‘ri chiziqlar a va b
uchrashmas to‘g‘ri chiziqlar ham yetadigan birgina tekislikni aniqiaydi. Bu
esa masala shartiga zid.
2. ACr^ BD bo'lsin, u holda bu ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar a va b
uchrashmas to‘g‘ri b chiziqlar ham yotadigan birgina tekislikni aniqiaydi.
Bu ham masala shartiga zid. Demak, AC va BD to‘g‘ri chiziqlar uchrashmas
to‘g‘ri chiziqlardir.
5-§. Teoremalarni zaruriy va yetarli shartlari
T a ’rif. A gar q m uloh azadan p m ulohazaning t o ‘g ‘riligi kelib
chiqsa, y a ’ni q = > p b o ‘Isa, и holda p m ulohaza q m ulohaza uchun
zaruriy shart bo ‘lib, q m ulohaza esa p m ulohaza uchun yetarli shart
d eyiladi.
1- misoL Agar natural son juft bo‘lsa, u holda u 6 soniga bo‘linadi.
Bu teoremada natural son 6 ga bo'linishligi uchun uning juft bo‘lishligi
zaruriy shart bo'lib, yetarli shart bo‘ia olmaydi, chunki har qanday juft
son ham 6 ga bo‘linavermaydi.
2- misol. Agar natural son 6 ga bo'linsa, u holda u juft bo‘ladi.
Bu teoremada natural son juft bo'lishligi uchun uning 6 ga bo'linishi
yetarli shart bo‘lib, zaruriy shart bo‘la olmaydi, chunki 6 ga bo‘linmaydigan
juft sonlar ham mavjuddir.
3- misol. Agar natural son juft bo‘lsa, u holda u 2 soniga bo‘linadi.
285
Bu teoremada natural son 2 ga bo'linishi uchun uning juft bo‘lishi
zarur va yetarlidir, chunki har qanday juft natural son 2 ga bo'linadi.
4-misol. Har qanday natural son 2 ga bo‘linsa, u holda bunday son
juft bo'ladi.
Bu teoremada natural son juft bo'lishi uchun uning 2 ga bo‘linishi
zarur va yetarlidir.
T e о r e m a . [flj b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lgan y=f{x)
b
fu n k siy a n in g J a n i q
i nt egr al i m av ju d b o ‘lish i u c h u n
lim (5'-5)=0 bo'lisM gi zarur va yetarlidir.
A->0
Isbotining zararligi. f {x) dx aniq integral mavjud bo'lganda lirn (6'-s)=0
a
ekanligi isbotlanadi. Aniq integral mavjud bo‘lishligi uchun ta’rifga ko‘ra,
lim 0=1 bo‘ladi. Limit ta’rifiga ko‘ra:
я-»о
|o - 1| < e yoki - e < o - l < e , l - £ < o < l + e
(1)
Ma’lumki, 8 - integral yig‘indi Darbuning quyi va yuqori yig'indilarining orasida yotar edi, shuning uchun
(2)
s<a <S
bo'ladi. (1) va (2) laming birlashtirib quyidagi tengsizliklarni tuzamiz:
l - e ^ s < o < ^ < I + £.
(3)
(3) tengsizlikda quyidagi tengsizliklarni ajratib olish mumkin:
/
Г
\
1 - £ < S ]
( I-s<e ^
I + e> S
I-S>-s
/
T
\
\I-s<e\
S - J <£
I - I\ <
S-I <e
fl i ms = / ^
A-io
lim s = I
A-^o
lim s - lim s
Я—>0
Л—>0
Teoremaning zaruriy qismi isbotlandi.
b
I s b o t n i n g y e t a r l i g i . lim(^-5)=0 bo‘lganda
286
bo'lishligi
ko'rsatiladi. Buning uchun Я -> 0 da с integral yig‘indisini chekli I limitga
ega ekanligini ko‘rsatish kifoya. M a’lumki, Darbuning quyi yig'indisi
monoton o'suvchi bo'lib, yuqoridan chegaralangandir, bundan tashqari u
o'zining aniq yuqori chegarasiga ham egadir, ya’ni: sup{5}=l*
Suningdek, Darbuning yuqori yig‘indisi o‘zining quyi chegarasiga ega,
ya’ni; inf {6} = I*.
Aniq yuqori va quyi chegaralarning ta’riflariga ko‘ra i<I* ва S<1*
bo'ladi. Bu ikkala tengsizliklarni birlashtirsak, 5 < 1 * < 1 * < S .
Ammo
(*У-л)=0 bo'Igani uchun
~ l.)=0
(lim I* - lim / , = 0) => lim I* - lim / . = / •
A-^O
Л.^0
A->0
A^O
(2 \
(2) ga ko‘ra (1) quyidagi ko‘rinishni oladi:
5< 1<
Ma’lumki,
(3)
(5-5')=0, bundan tashqari s < с < S (4) bo‘lgani uchun,
b
(3) va (4) larga ko‘ra: I = j f ( x ) d x .
a
isbot bo‘ldi.
bilan teoremaning yetarli qismi
6-§. Tekislikda dekart koordinatalarini kiritish
To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi. M a’lumki, sonlar o ‘qida
nuqtaning vaziyati bir son uning koordinatasi bilan aniqlanar edi. Endi
to ‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi tushunchasi kiritiladi.
Tekislikda sanoq boshlari ustm a-ust tushadigan va o'zaro perpendikular bo'lgan OX va O Y sonlar o ‘qi chiziladi. Vertikal holda tasvirlangan sonlar o ‘qi ordinatalar o ‘qi, gorlzontal holda tasvirlangan sonlar
o ‘qi abssissa o‘qi, ularning kesishgan nuqtasi koordinatalar boshi deyiladi.
Hammasi birgalikda to ‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi deyiladi.
T o ‘g‘ri burchakli koordinatalar sistem asida nuqtaning vaziyati
quyidagicha aniqlanadi. Faraz qilamiz, to ‘g‘ri burchakli koordinatalar
sistemasi olingan tekislikda ixtiyoriy M nuqta berilgan bo'lsin. Shu
nuqtadan koordinata o ‘qlariga peфendikularlaгning absissa o ‘qidagi
proeksiyasiga mos keluvchi son uning absissasi, ordinatalar o‘qidagi
proeksiyasiga mos keluvchi son esa uning ordinatasi deyiladi va M (x,y)
tartibida yoziladi (41-chizma).
287
М (х,у)
,У
Demak, to ‘g‘ri burchakli koordinatalar
tekisligidagi har qanday nuqta bir juft m a’lum
taitibda berilgan son bilan aniqlanar ekan.
Shuni ngdek, h a r qan d ay b ir ju ft songa
koordinatalar tekisligida b itta nu q ta mos
keladi.
Kesma o ‘rtasining koordinatalar!.
42-chizma.
nyqtava C(x,j^) nuqta
'va В {х 2 ,У2 ) — ikkita ixtiyoriy
kesmaningo‘rtasibo‘lsin.
С
nuqtaning x v a y koordinatalari topiladi. AB kesma у o'qiga parallel
bolm asin, ya’ni Xi ^ X2 bo'lsin. A, B, С nuqtalar orqali у o‘qiga
parallel to ‘g‘ri chiziqiar o'tkaziladi. Bu to ‘g‘ri chiziqlar x o ‘qini
Д (x,,0), 5| (x2,0), C, (x,0) nuqtalarda
kesib o‘tadi. Fales teoremasiga ko‘ra C,
nuqta Д 5 , kesmaning o'rtasi bo'ladi.
nuqta A^B^
Cj
b o ‘l gani
uchun
kesmaning o ‘rtasi
4Ci=5,C|,
d e m a k , | x - x j | = | x - x 2|. B u n d a n : yo
x - x ^ = X - X 2 , yoki x - x i = - ( x - x j ) .
Birinchi tengUk o'rinli emas, chunkiXj ^ X2 - Shu sababli ikkinchi tenglik
0 ‘rinli. U ndan esa ushbu formula topiladi:
X, + X2
" = - 2
—
Xj = X2 , ya’ni AB kesma у o'qiga parallel bo‘lsa, uchala nuqta —
Ai, Bi, Cl bir xil absissaga ega bo‘ladi. Demak, formula bu holda
ham o ‘rinli bo'laveradi.
С nuqtaning ordinatasi ham shunga o'xshash topiladi. A, B, С
nuqtalar orqali o'qiga parallel to ‘g‘ri chiziqlar o‘tkaziladi. Ushbu for­
mula hosil bo‘ladi:
2
288
■
Nuqtalar orasidagi masofa. xy tekislikda
ikkita nuqta beiilgan bo lsin : koordinatalaii
Xj, y^ dan iborat
nuqta va koordinatalari
x^,
bo‘lgan
nuqta.
va A^ nuqtalar
orasidagi masofani ularning koordinatalari
orqali ifodalaniladi.
Xi Ф X2 va уу ^ У2 b o ‘lsin, deylik. A^ va
A^ nuqtalar orqali k o o rd in ata 0 ‘qlariga
parallel to ‘g‘ri chiziq lar o ‘tk azilad i va
ulaming kesishish nuqtasi A bilan belgilaniladi. A va A^ nuqtalar orasidagi
masofa \у2 - л | ga teng, A va A^ nuqtalar orasidagi masofa esa
X2 -X 1I
(1)
ga teng. T o ‘g‘ri burchakli AA1 A2 uchburchakka Pifagor teorem asi
qo‘llanib topiladi:
={ X2 - X i f + { y 2 - y i f ,
(2)
bunda dAi va Л2 nuqtalar orasidagi masofa.
N uqtalar orasidagi masofa formulasini chiqarishda x, 5^X2, У\ ^ У2
deb faraz qilingan bo‘lsa ham , u boshqa hollar uchun ham o ‘z kuchini
saqlaydi. Haqiqatan ham , x, 7^X2,
j 2 bo‘lSa, d = \y2 ~yi \ formula
ham shu natijani beradi. Xj 7^X2, У\ ^ У2 bo'lgan hoi ham shunga
o'xshash qaraladi. x , = x 2, л = 3^2 holda
va A2 nuqtalar ustmaust tushadi va formula c? = 0 ni beradi.
Kesmani berilgan nisbatda bo‘Ush. Bunday deganda quyidagi masala
tushuniladi.
J'l) va M 2 {x2 ,
nom a’lum bo'lgan uchinchi
У2 ) nuqtalar berilgan. K oordinatalari
M nuqta M^M2
kesmani MM. ■= я
nisbatda bo'ladi ( я — berilgan son) ^ ^( x, ^) nuqt a n i topish, ya’ni
uning X, у koordinatalarini topish talab qilinadi.
Bizga p arallel to ‘g ‘ri c h iz iq la r orasidagi M y M , M M 2 ,N^N ya
TViV2kesmalar o ‘zaro proporsional boUishi elementar geometriyadan
19 - S. Alixonov
289
m a’lum. Shu sababli, masalaning shartini hisobga olib,
М^М _ N^N _ ,
~ ~NNI ~
deb yoza olamiz.
Ammo (1) formulaga asosan;
A^i7V = | x-Xil,
N N 2 = \ x2 - x .
M nuqta M 1 M 2 kesm ada
va
nuqtalar orasida yotgani
sababli va nuqtalarning har qanday vaziyatida h a m x ~ x^ v a —x
ayirm alar bir p ay td a yo ikkalasi m usbat, yoki m anfiy b o 'la d i.
Shuning uchun
x-x,
X2 - X
nisbat har doim musbat bo‘ladi. Shuning uchun uni
X-Xi
Xt - X
nisbat 0 ‘rinda qarashimiz mumkin.
Shunday qilib,
_ Nj N _ x - x i
MM 2 N N 2 X2 - X
45-chizma.
bundan M nuqtaning s absissasi topiladi.
X |_ + ^
1+ Я •
M nuqtaning у ordinatasi ham shunday topiladi:
y =
Xususiy holda, agar M
,
M iM .
~ MM 2 ~
(3)
(4)
1+ Я
nuqta
kesmani teng ikkiga bo‘lsa,
(3) va (4) formulalar quyidagi ko‘rinishni oladi:
(3 *)
290
, =
(4^)
2
Misol. Jl/i (2,3),Af2 (3,-3)
nuqtalar orasidagi kesmani -
nisbatda
2
Y e c h i s h . Bu misolda Я = -,Xj = 2,^2 = 3 , = 3,У2 = - 3
(3), (4)
bo‘luvchi M{x,y) nuqtani toping.
formulalardan quyidagilar topiladi:
2 + 1 -3
ig
3+ |.( - 3 )
Demak, izlanayotgan nuqta ^
Г16
9^
7 ’ 7
,
ekan.
7-§. Vektor miqdorlarni o‘rgatish metodikasi
Vektor va skalar miqdorlar. Tabiiy fanlam i o ‘rganishda (masalan,
matematika, fizika, mexanika va astronomiya) ikki xil miqdor bilan
isMashga to ‘g‘ri keladi; bulardan bin o‘zining son qiymati bilangina
aniqlanuvchi miqdorlar bo'lib, ikkinchisi esa, son qiymatidan boshqa
yana o ‘zining fazodagi joylanishi bilan ham aniqlanadigan miqdorlardir.
Masalan, uzunlik santim etrlar soni bilan, og‘irlik — gramm lar soni
bilan, vaqt - sekundlar soni bilan, tem peratura - graduslar soni
bilan aniqlanadi. (Bunga misol qilib biror jism ning yuzi, hajmi yoki
undagi issiqlik miqdorini ham keltirish mumkin). Bunday (o'zining son
qiymati bilangina aniqlanuvchi) m iqdorlarni skalar m iqdorlar yoki
sonli m iqdorlar deyiladi.
Ikkinchi xil miqdorlarga misol qilib m ana shulam i keltirish mumkin;
to ‘g‘ri chiziq bo‘yicha harakatlangan jismning yurgan yo‘li - shu to ‘g‘ri
chiziqning fazodagi vaziyati, u jismning shu to ‘g‘ri uziziq b o ‘yicha
qaysi yo‘nalishda yurganligi va bu yo'lning uzunligi bilan to l a aniqlanadi
(masalan, «shaharning ko'chasida 2 km yo‘l yurdim« degan so‘z, u
yo'lning to ‘la m a’nosini ochib bera olmaydi. Lekin, «shaharning m a’lum
bir -ko'chasi b o “yicha falon joydan falon joygacha bordim« deyilsa,
bu yo‘lning nim adan iboratligi to ‘la aniqlanadi).
291
Biror jismga ta ’sir etuvchi kuch ana shu kuch qo'yilgan nuqtaning
o‘rni, bu kuchning yo‘nalishi va rtiiqdori bilan to ‘la aniqlanadi.
Bunday (o'zining son qiymati, tekislikdagi va fazodagi vaziyati va
yo‘nalishi bilan aniqlanuvchi) miqdorlar vektor m iqdorlar deb ataladi:
Vektor miqdorlarni matematik jihatdan o ‘rganish — ularni abstrakt
shaklda ko‘rsatishni talab qiladi. Shuning uchun har qanday vektor
miqdor — m a’lum uzunlikdagi, m a’lum vaziyatga va yo‘nalishga ega
bo‘lgan kesma (to‘g‘ri chiziq kesmasi) orqali tassavir etiladi. Bu kesmaning uzunligi vektor miqdorning son qiymati (moduli)ni ko'rsatib,
uning yo‘nalishi vektor miqdorning yo'nalishi va bu kesma joylashgan
to ‘g‘ri chiziq esa, uning tekislikdagi yoki fazodagi vaziyatini ko‘rsatadi.
Bunday kesma vektor m iqdor deb ataladi.
Vektorning bitta qaiin h arf orqali yoki ustiga kesm acha (yoki
strelkacha) chizilgan bitta ingichka harf orqali ham tasvir etiladi.
Masalan, yoki a kabi yoziladi.
Vektorning uzunligini yozish uchun shu vektorni belgHovchi harflarni
ikki parallel kesmalar bilan o ‘rab qo‘yiladi yoki o ‘sha harflarning
ingichkasi yoziladi. Masalan: AB ~ AB va a = a.
Vektorlarning xfflari. Vektorlar quyidagi ko'rinishlarda uchraydi:
Birinchisi — kuch ta ’sir etuvchi nuqtaga bog‘langan vektor.
Bunday vektorga qisqacha bog'langan yoki bog‘liq vektor deyilib,
bu — shu kuch qo'yilgan nuqtaning o ‘rni, kuchning yo'nalishi va
miqdori bilan aniqlanadi.
Bu jum la geometrik vektorga nisbatan aytilsa, bunday bo'ladi: boshi
aniq bir qo‘zg‘almas nuqtada yotgan vektorga bog‘liq vektor deyiladi.
Ikkinchisi — bir to ‘g‘ri chiziq bo'yicha harakatlanishi m um kin
b o ig a n vektor b o ‘lib, bunga sirg‘anuvchi yoki sirg‘anm a vektor
deyiladi.
Bunday vektor o'zining uzunligi, yo'nalishi va o ‘zi joylashgan
to ‘g‘ri chiziqning fazodagi vaziyati bilan aniqlanadi.
Uchinchisi - boshi fazoning har qanday nuqtasiga qo‘yiIishi mumkin
bo‘lgan vektor b o ‘lib, bunga erkin vektor deyiladi; bunday vektor
o ‘zining uzunligi va yo‘nalishi bilangina aniqlanadi.
Sirg‘anm a va bog'liq vektorlar nazariyasini o ‘rganishda ham da
umum an vektorlar haqidagi ta ’limotni turli joylarda (ayniqsa geometriyada) ishlatishda erkin vektorlar nazariyasidan foydalanishga to ‘g‘ri
keladi. Shuning uchun erkin vektorlar nazariyasini o ‘rganishgagina
to ‘xtalamiz.
292
Kolleniar, teng va qarama-qarshi vektorlar. Vektorlar ustida ba’zi
am allarni bajarishda kolleniar, teng va q aram a-q arsh i vek to rlar
tushunchasidan foydalanishga to ‘g‘ri keladi.
Ta’rif. Parallel to ‘g‘ri chiziqlarda yoki bir to ‘g‘ri chiziqda yotgan
vektorlarni kolleniar vektorlar deb ataladi.
E s l a t m a : Kolleniar so‘zi lotincha «birgalikda» yoki «umumiy»
ma’nosidagi va chiziq ma’nosidagi so‘zlaridan tuzilib, bu chiziqdosh
degan ma’noni anglatadi.
Kolleniar (chiziqdosh) vektorlar bir xil yoki qarama-qarshi yo‘nalishlarda bo‘lishlari mumkin. Masalan, quyidagi chizmadagi vektorlardan
«1,^ 2,«3 va fl4 lar o‘zaro kolleniar bo'lganidek, o‘sha chizmadagi й, va
vektorlar ham kolleniardirlar.
Ta’rif. Parallel to ‘g‘ri chiziqlarda yoki bir to ‘g‘ri zichiqda yotib,
teng uzunlikka va bir xil y o ‘nalishga ega b o ‘lgan vektorlar teng
vektorlar deb ataladi.
Masalan, chizmadagi ay,a^,a^ vektorlar parallel to ‘g‘ri chiziqlarda
yotib, teng uzunlikka va bir xil yo‘nalishga ega bo‘lgani uchun ular
teng vektorlardir.
Vektorlar tengligini ham m atem atik m iqdorlar tengligidagi kabi
barobar " = " belgisi orqali ko'rsatiladi; chunonchi (46-chizma):
A.
46-chizma.
0 ‘sha chizmadagi
va bi
Undagi
dir.
Shunga o‘xshash Z),, 63 ^
vektorlar ham bir-biriga teng.
^2 >«з="4
293
T a’rif. Uzunliklari teng bo‘lib, yo‘nalishlari qarama-qarshi bo'lgan
ikki vektorga teng qarama-qarshi yoki qisqasi qarama-qarshi vektorlar
deyiladi.
M asalan, yuqoridagi chizmadagi ^
va ^
vektorlarda щ = щ
bo‘Ub, yo‘nalishlari qarama-qarshi bo'lgani uchun bular teng qaramaqarshi vektorlardir; bular orasidagi munosabat quyidagicha yoziladi:
Vektorlarni qo‘shish. Vektorlar ustida matematik amallarni bajarish
zarariyati hayotiy masalalarni yechish jarayonida kelib chiqqanligi
shubhasizdir. Masalan, ikki vektorni bir-biriga qo‘shishning zarurligi
ketma-ket ikki siljishga teng uchinchi siljishni topish yoki bir nuqtaga
ta ‘sir etuvchi m a’lum ikki kuchning teng ta ’sir etuvchisi bo'lgan
uchinchi bir kuchni topish kabi masalalarni yechish zaruriyatidan kelib
chiqqandir.
Boshlari bir nuqtada yotgan ikki vektorni qo'shish uchun quyidagi
ta ’rifdan m a’lum bo‘lgan parallelogramm qoidasi qo‘llaniladi.
Ta’rif. Boshlari biror A nuqtada yotgan ikki AB va AD vektorning
yig'indisi deb shu ikki vektorda yasalgan ABCD parallelogrammning A
uchidan С uchiga yo'nalgan va uzunligi A C diagonal! uzunligiga teng
bo'lgan >4C vektorga aytiladi, ya’ni ~
aB +^
= liC .
E s 1a t m a . Bu, odatda, «kuchlar parallelogramm qonuni» deb yuritiladi.
Bu qonun birinchi marta mashhur italyan olimi Leonardo da Vinchi
(1452—1519) tomonidan ko'rsatilib, 1587-yilda esa, gollandiyalik olim Stevin
tomonidan ravshanroq qilib bayon etilgan.
Boshlari bir nuqtada yotmagan ikki vektorni qo'shishda parallelo-gramm qoidasini qo‘liash uchun, oldin u vektorlarni o‘z-o‘ziga parallel
ko‘chirib, ularning boshlari bir umumiy nuqtaga keltiriladi, so‘ngra ular
yuqoridagicha qo‘shiladi (47-chizma).
294
Vektorlarai ayirish. Vektorlaming ayirish, qo‘sMshiiing teskari amali
sifatida qo‘Uaniladi, ya’ni ayirishda ikki vektorning yig‘indisi va ulardan
biri m a’lum b o ‘lganida ikkinchi qo'shiluvchi vektorni topish talab
qilinadi. Shunga ko‘ra ayirish amaliga quyidagi ta ’rif beriladi.
Ta’rif. Bir vektordan ikkincM vektomi ayirish deb shunday uchinchi
vektorni topishga aytiladiki, buning ikkinchi vektor bilan qo‘shganda
birinchi vektor hosil b o isin , ya’ni a - b = x chiqishi uchun ushbu
shart x + b = a mavjud b o ‘lishi kerak.
Bu ta ’rifga ko‘ra ikki а ш Ъ vektorlaming ^ - b ayirmasini topish
uchun quyidagi qoida qo'llanadi:
Qoida (uchburchak qoidasi). Berilgan a
vektordan b
vektorni
ayirish u ch u n ixtiyoriy О n u q tad an boshlab 0Л = a va OB = b
vektorlar yasaladi, so‘ngra kamaytiruvchi ^ vektorning В uchidan
kamayuvchi Щ vektorning A uchiga yo'nalgan
Keyingi vektor — izlangan ayirma bo'ladi.
vektor yasaladi.
Haqiqatan, Ш - О В = M , chunki OB + BA = OA dir.
Agar keyingi tenglikning ikkala tomoniga { —OB) ni qo'shsak, bu
tenglik quyidagi ko'rinishga kiriladi: BA = OA - OB = 0A + {-OB).
Bundan quyidagi qoida m a’lum bo‘ladi.
Qoida. Bir vektordan ikkinchi vektorni ayirish uchun o ‘sha birinchi
vektorga ikkinchi vektorning qarama-qarshisini qo'shish kerak.
Vektorni songa ko‘paytirish.
Ta’rif. Biror AB vektorni a (haqiqiy) songa ko‘paytirish deb
shunday yangi ^
vektorni yasashga aytiladiki, buning uzunligi
vektor uzunligini a sonning absolut qiymatiga ko‘paytmasiga teng
b o ‘lib, yo'nalishi esa a > 0 b o'lganida ^
vektor bilan b ir xil
yo‘nalishda va a< О bolganida bunga qarama-qarshi yo‘nalishda bo‘ladi.
Bunda aytilganlardan ravshanki, har qanday vektom i biror haqiqiy
songa ko‘paytirishdan hosil bo'ladigan yangi vektor oldingi vektor
bilan bir to ‘g‘ri chiziqda yotadi.
Endi, vektorlarni skalarga ko‘paytirishning asosiy xossalarini quraylik;
1-xossa. Vektorni songa ko‘paytirish o'rin almashtirish qonuniga
boVsunadi, ya’ni a a = a a.
295
2- xossa. Vektomi songa ko‘paytirish gurahlash qonuniga ham bo'ysunadi,
ya’ni: a(jSa) = (a/3)a .
3 - xossa. Vektorni songa ko'paytirish, son ko‘paytuvchiga nisbatan
tarqatish qonuniga bo‘ysunadi, ya’ni vektorni sonlar yig'indisiga ko‘paytirish
uchun uni qo'shiluvchilarning har biriga ko'paytirib, bundan chiqqan yangi
vektorlarni bir-biriga qo'shish mumkin:
a {a + P) = a a + Pa.
Ikki vektorning skalar ko‘paytmasi.
Ta’rif, Ikki vektorning skalar ko‘paytmasi deb bu vektorlar uzunliklarining ular orasidagi burchak kosinusi bilan ko‘paytmasiga aytiladi.
Masalan, ^ va ^ vektorlaming ^ ^ skalar ko‘paytmasi qo‘yidagicha
bo‘ladi:
a b - abcos,(a,Vj.
Bju ta ’rifdan ravshanki, skalar ko'paytm a vektor emas, balki sondir.
Skalar ko‘paytma yana bunday ham ta’riflanadi:
T a’rif. Ikki vektorning skalar ko'paytmasi deb bulardan birining
uzunligini ikkinchisining birinchisi yo‘nalishdagi proyeksiyasi bilan
ko‘paytmasiga aytiladi.
Proyeksiyalar nazariyasida bifor 6 vektorning a vektori yo‘nalishidagi proyeksiyasi quyidagicha bunday ifodalanishi m a’lum edi:
npa b = cos (^a,
Щ = Ьа.
TaKTorlash uchun savollar
7. Ta’rif so ‘zini lug'aviy m a’nosini aytib bering.
2. Teoremaning qanday turlari bor?
3. Teoremani isbotlash deganda nimani lushunasiz?
4. Isbotning qanday turlari bor?
5. Teoremalarning zaruriy va yetarli shartlarini ayting.
6. Geron formulasini isbotlang.
7. Tekislikda dekart koordinatalari qanday beriladi?
8. Kesma o'rtasining koordinatalari qanday topiladi?
9. Nuqtalar orasidagi masofa deganda nimani tushunasiz?
10. Kesmani berilgan nisbatda bo'lish qanday amalga oshiriladi?
11. Skalar miqdor deganda nimani tushunasiz?
12. Vektor qanday miqdor?
296
13. Ikki vektoming skalar ko‘paytmasi qanday amalga oshiriladi?
14. Vektorlami qo‘shishning uchburchak va parallelogramm qoidalarini
tushuntiring.
Tayanch iboralar
Teorema, fnalogiya, zaruriy ya yetarli short, perimetr, to ‘g ‘ri teorema,
teskari teotema, postulat, aksioma, qabariq va botiq ко ‘pburchak, tekislikda
dekart koordinatalari, kesma о ‘rtasining koordinatalari, nuqtalar orasidagi
masofa, kesmani berilgan nisbatda bo‘lish, skalar miqdor, vektor, ikki
vektoming skalar ko'paytmasi, vektorlami qo‘shishning uchburchak va
parallelogramm qoidalari.
FOYDALANILGAN
ADABIYOTLAR
1. Karimov LA. «Kadrlar tayyorlashning mUliy dasturi», T. « 0 ‘zbekiston»,
1997.
2. Azlarov Т., Monsurov X. Matematik analiz. -Т.: « 0 ‘qituvchi». 1986.
3. Algebra va analiz asoslari: o'rta maktablarning 10-11 sinflari uchun
darslik (Sh.O. A lim ov, Yu.M .Kolyagin, Yu.V.Sidorov, M .I.Shabunin) Т.,
« 0 ‘qituvchi», 1996 va uning keyingi nashrlari.
4. Alixonov S. «Geometriya darslarida umumlashtirish» Т., « 0 ‘qituvchi»,
1989.
5. Alixonov S. «Matematika o ‘qitish metodikasi». Т., « 0 ‘qituvchi» 1992.
6. Alixonov S. «^Matematika o ‘qitish metodikasi» Qayta ishlangan II nashri.
Т., « 0 ‘qituvchi» 1997 va boshqalar elementar matematikadan masalalar.
7. Antonov K. P. T o‘plam. « 0 ‘qituvchi», 1975.
8. Bikboyeva N.U. va boshqalar «Boshlang‘ich sinflarda m atematika
o ‘qitish metodikasi», Т ., « 0 ‘qituvchi», 1996.
9. G‘aybullayev N., Ortiqov. «Geometriya 7-sin f uchun darslik» T. « 0 ‘qi­
tuvchi», 1998.
10. G ‘aybullayev N., Ortiqov. «G eom etriya 8 -sin f uchun darslik» T.
« 0 ‘qituvchi», 1999.
11. Galitskiy M.A. va boshqalar «Algebra va matematik anaUz kursini
chuqur o ‘rganish» Т., « 0 ‘qituvchi», 1995.
12. Д авидов В.В. «Возростная и педагогическая психология». М ,.
Педагогика, 1992.
298
13. Икрамов Дж.И. «Математическая култура шаколника». Т.,
« 0 ‘qituvchi», 1981.
14. Ikramov Dj. I. Дж.И. va boshqalar «Matematika, 5-6 sinflar uchun
darslik», Т., « 0 ‘qituvchi», 1997.
15. Кларин M.B. «Инноватсионные модели обучения в забужных
педагогических поисках», М., «Просвешение», 1994.
16. Kollogarov А. N. Tahriri ostida. Algebra va analiz asoslari. 10—11
sinflar uchun darslik. -Т.: «0‘qituvchi». 1992.
17. Калягин Ю. H. va boshqalar Metodika предавания математики в
средней школе. Общая методика. М., «Просвешение», 1988.
18. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. «Практикум по элементарной
математике» М. Изд-во, «АВГ», 1995.
19. Ляшенко С. Е. «Лабораторное и практические работы по методике
преродавания математики» М., «Посвешение», 1988.
20. Методика предования математики в средней школе. (Под редак­
ции Мишина). М. Просвешение, 1988.
21. Погорелое А.В. «Геометрия 7-11 кл. «М., «Просвешение», 1995.
22. Столяр АЛ. «Методы обучения математике» Минск, «Вершая
школа» 1993,
23. Столяр А.А. «Педагогика математики» Минск, «Вершая школа»,
1988
24. Фридман Л.М. Как решат задачи. М., «Просвешение» 1988.
MUNDARIJA
So‘zbosM..............................................................
I BOB. UMUMTA’LIM MAKTABLARDA
MATEMATIKA 0 ‘QITISH MASALALARI
1-§. Matematika o ‘qitish metodikasi predmeti................................................... 5
2-§. 0 ‘rta umumta’limiy maktablarda matematika o'qitishning
maqsadi............................................................................................................7
3-§. Matematika o'qitish metodikasining boshqa fanlar bilan
aloqasi................................................................................................................ 9
4-§. Ta’limning isloh qilinishi................................................................................ 10
II BOB. MATEMATIKA DARSLARIDA BILISHNING TURLARI VA
XULOSA CHIQARISH METODLARI
1-§. Matematik tushuncha............................. .......................................... ............ 13
2-§. Matematik tushunchalarning ta’riflash metodikasi..................................... 15
3-§. Matematik tushunchalarni kiritish metodikasi.......................................... 17
4-§. Matematik tushunchalarni kiritishning abstrakt-deduktiv
metodi....................................................................................... .....................18
5-§. Matematik huJcm..................................... ............................................ ..........22
6-§. Matematik xulosa..... ...................................................................................... 23
III BOB. MAKTAB MATEMATIKA KURSIDA TA‘LIM
METODLARI
1-§. Matematik ta’lim metodlari...........................................................................31
2-§. Matematika o‘qitishdagi ilmiy izlanish metodlari...................................31
3-§. Tajriba va kuzatish metodi.............................................................................32
4-§. Taqqoslash metodi............ ;............................................................................ 33
5-§. Analiz va sintez metodi.................................................................................. 34
6-§. Umumlashtirish metodi................................................................................. 38
7-§. Abstraksiyalash metodi................................................................................... 47
8-§. Aniqlashtirish metodi............................................................... ..................... 48
9-§. K^lassifikatsiyalash metodi.............................................................................. 48
10-§. Evristik ta’lim metodi................................................................................... 49
11-§. Matematika darslarida muammoli ta’lim.................................................52
300
IV BOB. 0 ‘QUVCHILARNING MATEMATIK TAFAKKURLARINI
SHAKLLANTIRISH METODIKASI
1-§. Matematik ta’lim jarayonida masalaning roli va o ‘m i............................ 60
2-§. Matematika o ‘qitishda masalaning bajaradigan funksiyalari................ 63
3-§ Matematika darslarida didaktikprinsiplar.................................................. 68
V BOB. MATEMATIK TA’U M N I TASHKIL
QILISH METODIKASI
1-§. Matematika darsining tuzilishi va uni tashkil qilish metodikasi...........72
2-§. Matematika darsining turlari......................................................................... 74
3-§. Matematika darsiga tayyorgariik va darsning tahlili............. ....................... 80
4-§. Matematika darsiga qo‘yilgan talablar........................................................... 82
5-§. 0 ‘quvchilaming bilimlarini teJcshirish..........................................................83
VI BOB. SO N TUSHUNCHASINI KIRITISH,
UNI KENGAYTIRISH VA SONLAR USTIDA AMALLAR
BAJARISH METODIKASI
1-§. Natural son tushunchasini kiritish va ular ustida amallar
bajarlsh metodikasi...................................................................................... .....88
2-§. Natural sonlar to'plamini kengaytirish....................................................... 92
3-§. Butun sonlar va ular bilan to‘rt amalni bajarish metodikasi............. 93
4-§. Kasr son tushunchasini kiritish va uni o ‘rgatish metodikasi............96
5-§. Kasrlamitaqqoslash......... .............................................................................100
6-§. Kasrlami qo'shish..... ,................................................................................... 100
7-§. Kasrlami ayrish.............................................................................................. 102
8-§. Kasrlami ko'paytirish....................................................................................104
9-§. Kasrlami bo'lish..................................... ....................................................... 106
10-§. 0 ‘nli kasrlar va ular bilan to‘rt amalni bajarish metodikasi.......... 107
11-§. 0 ‘nU kasrlami qo‘shish va ayirish............................................................. 108
12-§. 0 ‘nli kasrlami ko'paytirish.........................................................................109
13-§. 0 ‘niikasrlamibo'lish..................................................................................I l l
14-§. Oddiy kasmi cheksiz davriy kasrga aylantirish...................................... 112
15-§. Cheksiz davriy o ‘nli kasmi oddiy kasrga aylantirish...........................114
16-§. Irratsional son tushunchasini kiritish metodikasi................................115
17-§. Haqiqiy sonlar..............................................................................................117
18-§. Haqiqiy sonlar ustida amallami bajarish qoidalari............................. 119
19-§. Arifmetik kvadrat ildiz tushunchasi kiritish............................................119
20-§. Arifmetik to‘rt amalga doir misollar yechish metodikasi................ 120
301
VII BOB. MAKTABDA AYNIY SHAKL ALMASHTIRISHLARNI
0 ‘RGATISH METODIKASI
1-§. Ayniy shakl almashtirisMar.......................................................................... 125
2-§. Kasr ifodalarni ayniy almashtirish.............................................................128
3-§. Irratsional ifodalarni ayniy almashtirish........................... .......................132
4-§. Trigonometrik ifodalarni ayniy almashtirish........................................... 143
5-§ Trigonometrik ifodalarni soddalashtirishga doir misollar
yechish metodikasi........................................................................................ 154
VIII BOB. TENGLAMALARNI 0 ‘RGANISH
METODIKASI
1-§. Tenglama tushunchasini kiritish metodikasi...........................................159
2-§. Chiziqli tenglamalar..................................................................................... 163
3-§. Parametrik usulda berilgan kasr-ratsional teng'amalarni yechish....... 164
4-§. N om a’lum absolut miqdor belgisi ostida
qatnashgan tenglamalami yechish metodikasi..........................................165
5-§. Kvadrat tenglama tushunchasini kiritish metodikasi............................168
6-§. Viyet teoremasi............................................................................................. 171
7-§. Kvadrat tenglamaga keltirib yechiladigan tenglamalar......................... 173
8-§. Irratsional tenglamalarni yechish............................................................... 180
9-§. ParametrU irratsional tenglamalami yechish...........................................185
10-§. Irratsional tenglamalar sistemasini yechish...........................................189
11-§. Ko‘rsatkichli tenglamalar...........................................................................192
12-§. Logarifmik tenglamalar.............................................................................. 196
13-§. Parametrli logarifmik va ko‘rsatkichli tenglamalarni yechish...........200
14-§. Ko‘rsatkichU va logarifmik tenglamalar sistemasini yechish...........204
15-§. Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalami grafik usulda yechish.......207
16-§. Trigonometrik tenglamalar.............................................................. !...... .,210
17-§. Parametrh trigonometrik tenglamalarni yechish.................................. 218
18-§. Trigonometrik tenglamalar sistemasini yechish.................................. 222
19-§. Masalalarni tenglama tuzish bilan yechish metodikasi.....................225
20-§. Matematika darslarida tengsizliklarni o'qitish metodikasi.............. 235
IX BOB. FUNKSIYA, INTEGRAL VA DIFFERENSIAL TANGLAMA
TUSHUNCHASINI KIRITISH VA ULARNI 0 ‘RGATISH
METODIKASI
1-§. Funksiya tushunchasini kiritish va ini o'rgatish metodikasi.....................240
2-§. Sonlar ketma-ketligi va uning limitini o'rgatish metodikasi............248
3-§. Hosila va uning ustida amallar bajarish metodikasi................................252
302
4-§. Hosilani hisoblash qoidalari............................................... ;.........................260
5-§. Integral va uning tatbiqlarini o'rgatish metodikasi..................................262
6-§. DifFerensial tenglamalar................................................................................267
X BOB. GEOMETRIYA KURSINING AKSIOMATIK QURILISHI
AKSIOMA, POSTUIAT, TEOREMA VA UNING TURLARINI
0 ‘RGATISH METODIKASI
1-§. Matematik hukmningturlari......................................................................... 272
2-§. Postulat....................................................................................................... .....274
3-§. Teorema va uning turlari...............................................................................275
4-§. Teoremalarni isbotlash metodlari............................................................... 279
5-§. Teoremalarni zaruriy va yetarli shartlari.................................................. 285
6-§. Tekislikda dekart koordinatalarini kiritish................................................ 287
7-§. Vektor miqdorlarni o ‘igatish metodikasi................................................. 291
FOYDALANILGAN ADABIYOTIAR..................................................... .....298