Stoks formulasi. Birinchi tur sirt integrallari
Birinchi va ikkinchi sirt integrallarini hisoblashga doir mashqlar stoks formulasining
tadbiqlari:
Reja:
1.
Birinchi tur sirt integrallari.
2.
Ikkinchi tur sirt integrallari.
3.
Stoks formulasi.
Birinchi tur sirt integrallari
funksiya sirtda berilgan bo'lsin. Bu sirtning P bo‘laklashni va bu bo'laklashning har bir, bo
‘lagida ixtiyoriy nuqtadagi qiymatini ning yuziga ko'paylirib. quyidagi yig'indini tuzamiz:
1-ta'rif. Ushbu
(1)
yig ‘indi funksiyaning integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deb ataladi.
sirtning shunday
(2)
Bo ‘linishlarni qaraymiz ,ularning mos diametrlaridan tashkil topgan
Ketma –ketlik nolga intilsin . Bundan bo ‘linishlarga nisbatan funksiyaning integral yig ‘indilarni
tuzamiz.Natijada sirtning (2) bo ‘linishlarga mos integral yig ‘indilar qiymatlaridan iborat
quydagi ketma-ketlik hosil bo ‘ladi.
2-ta’rifma-ketligi.Agar (S) sirtning har qanday (2) bo ‘linishlar ketma-ketligi
olinganda ham unga mos integral yig ‘indi qiymatlaridan iborat ketma –ketlik nuqtalarni tanlab
olinishiga bog ‘liq bo ‘lmagan holda,
hamma vaqt bitta I songa intilsa,bu I yig ‘indining limiti deb ataladi va u
(3)
Kabi belgilanadi.
Integral yig ‘indining limitini quydagich ham ta’riflash mumkin.
3-ta’rif.Agar son olinganda ham ,shunday topilsaki,(S) sirtning diametri bo ‘lgan har qanday bo
‘linishi hamda har bir bo ‘lakdan olingan ixtiyoriy lar uchun
Tengsizlik bajarilsa , u holda I son yig ‘indining limiti deb ataladi va (3) kabi belgilanadi.
4-ta’rif.Agar da f(x,y,z) funksiyaning integral yig ‘indisi chekli limitga ega bo ‘lsa f(x,y,z )
funksiya (S) sirtning bo ‘yich integrallanuvchi (Riman ma’nosida integrallanuvchi )funksiya deb
ataladi. Bu yig ‘indining chekli limiti I esa ,f(x,y,z) funksiyaning birinchi tur sirt integrali
deyiladi va u
Kabi belgilanadi.Demak ,
Endi birinchi tur sirt integralining mavjud bo ‘lishini ta’minlaydigan shartni toppish bilan shug
‘ulanamiz.
Faraz qilaylik fazodagi (S) sirt
z=z(x,y)
tenglama bilan berilgan bo ‘lsin .Bunda z=z(x,y) funksiya chegaralangan yopiq (D) sohada
uzluksiz va hosilalarga ega hamda bu hosilalar ham (D)da uzluksiz.
1-teorema.Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo ‘lsa , u holda bu fuksiyaning
(S) sirt bo ‘yicha birinchi tur sirt integrali
mavjud va
bo ‘ladi.
Isbot.(S) sirtning bo ‘linishini olaylik . uning bo ‘laklarini
bo'lsin. Bu sirt va uning bo'laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning bo'laklashni va
uning bo ‘laklarni hosil qiladi.
bo ‘laklashiga nisbatan (1) yig ‘indini tuzamiz.
Ma’lumki, .Bu nuqtaga akslanuvchi nuqta nuqta
bo ‘ladi.Demak , formulaga binoan
bo ‘ladi.
O ‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz:
Natijada yig ‘indi quydagi
Ko ‘rinishga keladi.
Endi da (bu holda ham nolga intiladi) yig ‘indining limitini topish maqsadida uning ifodasini o
‘zgartitib yozamiz:
(4)
Bu tenglikning o ‘ng tomonidagi ikkinchi qo ‘shiluchini baholaymiz :
Bunda
Ravshanki
Funksiya (D) da uzluksiz , desak ,demak, tekis uzluksiz. U holda Kantor
teoremasining natijasiga ko ‘ra olinganda ham shunday topiladiki,
(D) sohaning diametri bo ‘lgan har qanday bo ‘lishi uchun
bo ‘ladi.Unda
va demak
(4)tenglikning o ‘ng tomonidagi birinchi qo ‘shiluvchi
Esa
Funksiyaning integral yig ‘indisidir.Bu funksiya (D) sofada uzluksiz.Demak , da integral yig
‘indi chekli limitga ega va
Bo ‘ladi. Bu munosabatni etiborga olib (4) tenglikda da limitga o ‘tib topamiz.
Demak
Teorema isbot bo ‘ldi.
Ikkinchi tur sirt integrallari
f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan bo ‘lsin .Bu sirtning ma’lum tomoni olaylik . Sirtning P bo
‘linishini va bu bo ‘lishini har bir bo ‘lagida (k=1,2,3…..)
ixtiyoriy nuqta (k=1,2,3…..) olaylik.Berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymatini ning Oxy
tekislikdagi proeksiyasi ning yuziga ko ‘paytirib quydagi yig ‘indi tuzamiz
(5)
sirtning shunday
(6)
Bo ‘linishlarni qaraymiz ,ularning mos diametrlaridan tashkil topgan
Ketma –ketlik nolga intilsin . Bundan bo ‘linishlarga nisbatan funksiyaning integral yig ‘indilarni
tuzamiz.Natijada sirtning (6) bo ‘linishlarga mos integral yig ‘indilar qiymatlaridan iborat
quydagi
ketma-ketlik hosil bo ‘ladi.
5-ta’rif. Agar (S) sirtning har qanday (6) bo ‘linishlar ketma-ketligi
olinganda ham unga mos integral yig ‘indi qiymatlaridan iborat ketma –ketlik nuqtalarni tanlab
olinishiga bog ‘liq bo ‘lmagan holda,
hamma vaqt bitta I songa intilsa,bu I yig ‘indining limiti deb ataladi va u
(7)
kabi belgilanadi.
Integral yig ‘indining limitini quydagich ham ta’riflash mumkin.
6-ta’rif.Agar son olinganda ham ,shunday topilsaki,(S) sirtning diametri bo ‘lgan har qanday bo
‘linishi hamda har bir bo ‘lakdan olingan ixtiyoriy lar uchun
Tengsizlik bajarilsa , u holda I son yig ‘indining limiti deb ataladi va (7) kabi belgilanadi.
7-ta’rif.Agar da f(x,y,z) funksiyaning integral yig ‘indisi chekli limitga ega bo ‘lsa f(x,y,z )
funksiya (S) sirtning bo ‘yich integrallanuvchi (Riman ma’nosida integrallanuvchi )funksiya deb
ataladi. Bu yig ‘indining chekli limiti I esa ,f(x,y,z) funksiyaning ikkinchi tur sirt integrali
deyiladi va u
Kabi belgilanadi.Demak ,
Funksiya ikkinchi tur sirt integrali quydagicha
(8)
Belgilashidan ,integral (S) sirtning qaysi tamoni bo ‘yicha olinganligi ko ‘rinmaydi.Binobarin (8)
integral to ‘g ‘risida gap borganda ,har gal integral sirtning qaysi tamoni bo ‘yicha olinayotgani
aytib boriladi.
Ravshanki f(x,y,z) funksiyaning (S) sirtning bir tamoni bo ‘yicha olingan ikkinchi tur sirt
integrali ,funksiya shu sirtning ikkinchi tomoni bo ‘yicha olinga ikkinchi tur sirt integralidan
faqat ishorasi bilan farq qiladi.
Ikkinchi tur sirt integralidan ta’riflanadi .
Shunday qilib ,sirtda berilgan f(x,y,z) funksiyadan uchga –Oxy tekislikdagi proeksiyalari ,Oyz
tekislikdagi proeksiyalari hamda Ozx tekislikdagi proeksiyalar vositasida olingan ikkinchi tur
sirt integrallari tushunchalari kiritiladi.
Umumiy holda (S) sirtda P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)funksiyalar berilgan bo‘lib ,ushbu
Integral mavjud bo ‘lsa u holda
Yig ‘indi ikkinchi tur sirt integralining umumiy ko ‘rinishi deb ataladi va u
Kabi belgilanadi.Demak
=
=
Faraz qilaylik fazodagi (S) sirt
z=z(x,y)
tenglama bilan berilgan bo ‘lsin .Bunda z=z(x,y) funksiya chegaralangan yopiq (D) sohada
uzluksiz va hosilalarga ega hamda bu hosilalar ham (D)da uzluksiz.
Teorema. Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo ‘lsa , u holda bu fuksiyaning
(S) sirt bo ‘yicha ikkinchi tur sirt integrali
mavjud va
bo ‘ladi.
Isbot. .(S) sirtning bo ‘linishini olaylik , uning bo ‘laklarini bo'lsin. Bu sirt va uning
bo'laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning bo'laklashni va uning bo ‘laklarni hosil
qiladi. bo ‘laklashiga nisbatan ushbu yig ‘indini tuzamiz:
Agar (S) sirtning ustki tomoni qaraliyotgan bo ‘lsa , u holda barcha lar musbat bo ‘ladi .
Modomiki,f(x,y,z) funksiya z=z(x,y) sirtda berilgan ekan , u x va y o‘zgaruvchilarning quydagi
funksiyaga aytlanadi.
f(x,y,z)=f(x,y,z(x,y))
bundan esa
(k=1,2,3…..)
Bo ‘lishi kelib chiqadi.Natijada (5) yig ‘indi ushbu
Ko ‘rinishga keladi.bu yig ‘indi f(x,y,z(x,y)) funksiyaning integral yig ‘indisi ekani payqash
qiyin emas Agar f(x,y,z(x,y))funksiyaning (D)da uzluksiz ekanligini e’tiborga olsak,unda da
Yig ‘indi chekli limitga ega bo ‘ladi va
Bundan esa
Bo ‘lishi kelib chiqadi teorema isbot bo ‘ldi.
Stoks formulasi
Mazkur punktda Grin formulasining umumlashmasi bo’lgan sirt integrali bilan egri chiziqli
integralni bog’lovchi formulani keltirib chiqaramiz.
Faraz qilamiz, - sirt silliq va karrali nuqtalarga ega bo’lmasin: U bo’lakli silliq kontur bilan
chegaralangan bo’lsin.
sirtni o’z ichiga oluvchi biror fazoviy sohada funksiya berilgan bo’lib, u bu sohada o’zining
xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsin. U holda quyidagi
formula o’rinli.
Avval chiziq bo’yicha egri chiziqli integralni chiziq bo’yicha interalga almashtiramiz:
Bu tenglikni chiziqni ushbu
parametric ifodasini, u orqali esa - chiziqnikini
kiritib, oson tekshirish mumkin. U holda ikkala integral bitta o’sha parameter bo’yicha oddiy
integralga keladi:
Endi (2) ni o’ng tomonidagi integralga Grin formulasini qo’llaymiz:
Oxirgi integral ostidagi ifodadan qyuidagini olamiz:
Endi buni (3) tenglikka qo’ysak, ushbu ikki karrali integralga kelamiz:
Ushbu
bu yerda (S) sirt tomoniga mos yo’naltiruvchi kosinuslar, formula ikkinchi va birinchi tur sirt
integrallarini bog’lovchi umumiy formula bo’lib, bizga ma’lumki, sirtning tanlangan tomonini
xarakterlovchi, yonaltiruvchi kosinuslar, quyidagi formulalar orqali aniqlanadi
Boshqa tomondan parametrlar bo’yicha ikki karrali integralga o’tishda,
elementni ifoda bilan almashtiriladi. Nihoyat, ushbu
O’ng tomonda, funksiyalarda o’rniga ularning orqali ifodalari qo’yilgan deb faraz qilinadi.
(4’) formulaga asosan,
ikki karrali integralni sirtni tanlangan tomoni bo’yicha olingan
sirt integraliga oson almashtirish mumkin. Shu bilan (1) tenglik isbotlandi.
Xuddi shunga o’xshash, quyidagi tengliklarni olamiz:
bu yerda – ga bog’liq yangi funksiyalar bo’lib, ular funksiyaga qo’yilgan shartlarni
qanoatlantiradi.
(1), va uchala tengliklarni qo’shib, quyidagi nisbatan umumiy ko’rinishdagi formulani olamiz:
Bu tenglik Stoks formulasi deyiladi.
Agar sirtning bo’lagi sifatida tekislikdagi soha olinsa,
bo’lib, u holda quyidagi formula hosil qilinadi
bu esa ma’lumki, Grin formulasidir. Shunday qilib, oxirgi formula Stoks formulasining xususiy
holidan iborat.
Nihoyat, Stoks formulasida ikkinchi tur sirt integrali birinchi tur sirt integrali bilan almashtirlishi
mumkin. U holda bu formula quyidagi
ko’rinishga ega bo’lib, sirtni tanlangan tomoniga mos normalning yo’naltiruvchi kosinuslari.
Shunday qilib, Stoks formulasi (S) sirt bo’yicha olingan II-tur sirt integrali bilan shu sirtning
chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integralni bog’lovchi formuladir.
Stoks formulasini qo’llashga misol keltiramiz.
Misol. bo’lsin. sirt sifatida
sferadan
silindr bilan kesilgan olamiz.
Egri chiziqni ushbu
parametrik ifodasiga o’tib, egri chiziqli integral uchun oddiy integral ko’rinishdagi
yetarlicha murakkab ifodani topamiz:
Figurali qavslardagi ga ko’paytirilgan 1- va 3- qo’shiluvchilar ko’rinishga ega bo’lib, ulardan
olingan integral kosinusni davriyligiga asosan, nolga teng:
ikkinchi integral esa
Shunday qilib,
ekanini hisoba olib, quyidagi
2- tur sirt integralini avval 1-tur integralga almashtiramiz:
bo’lgani uchun, u holda bu ifodalarni o’rniga qo’yib, keying qisqartirishlarni bajaramiz va
quyidagi ko’rinishdagi integralga kelamiz:
Sirtni tekislikka nisbatan simmetikligiga ko’ra,
Qolgan integralni yana 2-tur integralga almashtiramiz:
Xulosa
Ushbu kurs ishimda stoks formulasi nima uchun kerak ekanligini bilib oldim.
funksiya sirtda berilgan bo'lsin. Bu sirtning P bo‘laklashni va bu bo'laklashning har bir, bo
‘lagida ixtiyoriy nuqtadagi qiymatini ning yuziga ko'paylirib. quyidagi yig'indini tuzamiz:
1-ta'rif. Ushbu
(1)
yig ‘indi funksiyaning integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deb ataladi.
sirtning shunday
(2)
Bo ‘linishlarni qaraymiz ,ularning mos diametrlaridan tashkil topgan
Ketma –ketlik nolga intilsin . Bundan bo ‘linishlarga nisbatan funksiyaning integral yig ‘indilarni
tuzamiz.Natijada sirtning (2) bo ‘linishlarga mos integral yig ‘indilar qiymatlaridan iborat
quydagi ketma-ketlik hosil bo ‘ladi.
Stoks formulasi haqida ma’lumotga ega bo ‘ldim va unga doir misol ishladim.
Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz, I -qism. Toshkent,
« O ‘qituvchi», 1994;
2. Azlarov T „ Mansurov H. Matematik analiz, 2-qism. Toshkent,
« O‘zbekiston», 1995;
3. Azlarov T., Mansurov H. Matemalik analiz asoslari, l-qism, Toshkent,
2005;
http://fayllar.org