O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
ZAHIRIDDIN MUHAMMAD BOBUR NOMIDAGI
ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI
«TASDIQLAYMAN»
Rektor ____________ A.S.Yuldashev
2023-yil “____” ______________
Ro„yxatga olindi: № ______________
2023-yil “__” __________
INTEGRAL TENGLAMALAR NAZARIYASI
O‘QUV DASTURI
Bilim sohasi:
500 000 –Tabiiy fanlar, matematika va statistika
Ta’lim sohasi:
540 000 – Matematika va statistika
Mutaxassislik:
70540101 – Matematika (yo‟nalishlar bo‟yicha)
Andijon – 2023
Fan/modul kodi O‘quv yili
MDTM2325
2023-2024
Fan/modul turi
Tanlov
ECTS – kreditlar
4 kredit
Semestr
2
Haftadagi
dars soatlari
4
Ta’lim tili
o„zbek
Fanning nomi
Auditoriya
mashg‘ulotlari
(soat)
Mustaqil
ta’lim
(soat)
Jami
yuklama
(soat)
Matematik analiz
60
60
120
1.
2. I. Fanning mazmuni
Fanning maqsadi – talabalarga fizika va texnikada uchraydigan
masalalarni integral tenglamalar orqali ifodalash, matematik fizikada
o„rganiladigan boshlang„ich va boshlang„ich-chegaraviy masalalarni integral
tenglamalarga keltirish hamda hosil bo„lgan integral tenglamalarning xossalarini o„rganish bo„yicha bilim, malaka va ko„nikmalarni shakllantirishdan
iborat.
Fanni o„qitishning vazifalari – integral tenglamalar nazariyasi bilan
shug„ullangan magistrantlar birinchi va ikkinchi tur Fredgolm va Volterr
integral tenglamalari, simmetrik yadroli integral tenglamalar, kuchsiz maxsuslikka ega bo„lgan integral tenglamalar, singulyar integral tenglamalar,
kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyaning Fure almashtirishi, to„la
uzluksiz operatorlarni o„z ichiga olgan tenglamalar, Riss-SHauder teoremasi
va o„rganilgan nazariy bilimlarni amaliyotga qo„llashni o„rganishdan iborat.
II. Asosiy nazariy qism (ma’ruza mashg‘ulotlari)
II.I Fan tarkibiga quyidagi mavzular kiradi:
1-mavzu. Integral tenglama tushunchasi. Integral tenglama
tushunchasi. Yuk qo„yilgan torning muvozanati masalasi. Torning erkin va
majburiy tebranishi. Differensial tenglamani integral tenglamaga keltirish.
Ekvivalent differensial tenglamani hosil qilish.
2-mavzu. Ketma-ket yaqinlashish usuli. Ketma-ket yaqinlashish
usuli. Uzluksiz yadroli integral tenglamalar. Uzluksiz yadroli integral
tenglamalar echimining mavjudligi va yagonaligi. Ketma-ket yaqinlashish
usuli yordamida integral tenglamalarni echishga doir misollar.
3-mavzu. Takroriy yadro. Integral operatorlarning ko„paytmasi.
Takroriy yadro. Rekurrent munosabatlar. Rezolventa. Integral operatorning
qo„shmasi. Qo„shma operatorning rezolventasi.
4-mavzu. Volter integral tenglamasi. Volter integral tenglamasi.
Qisqartirib akslantirish prinsipi va uning tadbiqlari. Umumlashgan qisqartirib
2
akslantirish prinsipi haqidagi teorema. Volter integral tenglamasining
rezolventasi. Volter integral tenglamasini rezolventa yordamida echish.
5-mavzu. Qutb yadroli integral tenglamalar. Qutb yadroli integral
tenglamalar. Kuchsiz qutb yadroli integral operatorlarning chegaralanganligi.
Kuchsiz qutb yadroli integral tenglamalarni echish usullari.
6-mavzu. O‘zgaruvchilari ajralgan yadroli integral tenglamalar.
O„zgaruvchilari ajralgan yadroli integral tenglamalar. O„zgaruvchilari
ajralgan yadroli integral tenglama echimini rezolventa orqali ifodalash.
O„zgaruvchilari ajralgan yadroli integral tenglamani echishga doir sodda
misollar. Fredgolmning determinantlar usuli. Takroriy yadrolar yordamida
rezolventani qurish.
7-mavzu. Fredgolm teoremalari. O„zgaruvchilari ajralgan yadroli
integral tenglamalar uchun Fredgolm teoremalari. Uzluksiz yadroli integral
tenglamalar uchun Fredgolm teoremalari. Fredgolm alternativasi.
8-mavzu. Qutb yadroli integral tenglamalar uchun Fredgolm
teoremalari. Uzluksiz yadroli integral tenglamalar uchun Fredgolm
teoremalaridan kelib chiqadigan natijalar. Fredgolm alternativasini
xarakteristik son va xos funksiyalar terminidagi ifodasi. Qutb yadroli integral
tenglamalar uchun Fredgolm teoremalari.
9-mavzu. Gammershteyn tenglamasi. Gammershteyn tenglamasi.
Takroriy yadrolar. CHiziqli bo„lmagan integral tenglamalarni echish usullari.
CHiziqli bo„lmagan integral tenglamalarni echishga doir misollar.
10-mavzu. Integral tenglamaning xarakteristik sonlari. Integral
tenglamaning xarakteristik sonlari va xos funksiyalari. Integral tenglama
xarakteristik sonlarining mavjudligi haqidagi teorema. Xos funksiyalarning
o„zaro ortogonalligi haqidagi teorema.
11-mavzu. Ermit yadroli integral operatorlar. Ermit uzluksiz yadroli
integral operatorlar. Arsela-Askoli lemmasi. Ermit uzluksiz yadroli integral
tenglamalar. Ermit qutb yadroli integral tenglamalar.
12-mavzu. Gilbert-SHmidt teoremasi. Gilbert–SHmidt nazariyasini
Ermit qutb yadroli integral tenglamalarga joriy qilish. Gilbert-SHmidt
teoremasi va uning natijalari. Takroriy yadrolarning bichiziqli yoyilmasi.
Ermit uzluksiz yadrosining bichiziqli yoyilmasi. Musbat aniqlangan yadrolar.
Gilbert–SHmidt nazariyasini Ermit qutb yadroli integral tenglamalarga joriy
qilish. Entch teoremasi. Kellog usuli. Merser teoremasi.
13-mavzu. Singulyar integral tenglamalar. Singulyar integral
tenglamalar. Koshi yadroli singulyar integral tenglamalar. Riman masalasi.
14-mavzu. Singulyar operatorlar kompozitsiyasi. Xarakteristik
tenglama va unga qo„shma bo„lgan tenglama. Singulyar operatorlar
3
kompozitsiyasi.
15-mavzu. To‘la singulyar integral tenglamalar. Nyoter teoremalari.
Fure almashtirishi. To„la singulyar integral tenglamalarni
regulyarizatsiyalash. Nyoter teoremalari. Karleman-Vekuaning regulyarizatsiyalash usuli. Fure almashtirishi. Kvadrati bilan integrallanuvchi
funksiyaning Fure almashtirishi.
III. Amaliy mashg‘ulotlar bo‘yicha ko‘rsatma va tavsiyalar
Amaliy mashg‘ulotlar bo‘yicha quyidagi mavzular tavsiya etiladi
1. Integral tenglama tushunchasi. Differensial tenglamani integral
tenglamaga keltirish.
2. Ketma-ket yaqinlashish usuli. Uzluksiz yadroli integral tenglamalar.
3. Takroriy yadro. Rezolventa.
4. Volter integral tenglamasi. Qisqartirib akslantirish prinsipi va uning
tadbiqlari. Volter integral tenglamasining rezolventasi.
5. Qutb yadroli integral tenglamalar.
6. Uzluksiz yadroli integral tenglamalar uchun Fredgolm teoremalaridan
kelib chiqadigan natijalar. Qutb yadroli integral tenglamalar uchun
Fredgolm teoremalari.
7. Ermit yadroli integral operatorlar. Arsela-Askoli lemmasi. Ermit
uzluksiz yadroli integral tenglamalar.
8. Ermit uzluksiz yadrosining bichiziqli yoyilmasi. Musbat aniqlangan
yadrolar. Gilbert–SHmidt nazariyasini Ermit qutb yadroli integral
tenglamalarga joriy qilish.
9. Singulyar integral tenglamalar. Koshi yadroli singulyar integral
tenglamalar. Riman masalasi.
10. Xarakteristik tenglama va unga qo„shma bo„lgan tenglama. Singulyar
operatorlar kompozitsiyasi. To„la singulyar integral tenglamalarni
regulyarizatsiyalash. Nyoter teoremalari. Karleman-Vekuaning
regulyarizatsiyalash usuli. Fure almashtirishi. Kvadrati bilan
integrallanuvchi funksiyaning Fure almashtirishi.
Amaliy mashg‟ulotlardan maqsad ma‟ruza materiallari bo‟yicha
talabalarning bilim va ko‟nikmalarini chuqurlashtirish va kengaytirishdan
iborat. Bunda talabalar amaliy mashg‟ulotlarda misol va masalalarni
yechishda, yechimlarni tahlil qilishda olgan nazariy bilimlarini qo‟llay
ollishlari nazarda tutiladi.
Amaliy mashg„ulotlar multimedia qurilmalari bilan jihozlangan
auditoriyada o„tkaziladi. Mashg„ulotlar interfaol usullar yordamida o„tiladi
hamda zaruriy pedagogik va axborot texnologiyalari qo„llaniladi.
IV. Mustaqil ta’lim va mustaqil mashg’ulotlar.
Mustaqil ta’lim uchun tavsiya etiladigan mavzular:
Hozirgi davr mutaxassisidan yuqori darajadagi tayyorgarlik,
mustaqil ravishda qarorlar qila olish, belgilangan vazifalarni bajarish
uchun ko‟p ma‟lumotlar orasidan kerakligini tanlab olish va bu
ma‟lumotlarni qayta ishlay olish talab qilinadi.
4
Talabalarni mustaqil ta‟limidan asosiy maqsadlar quyidagilardan
iboratdir:
- Yangi bilim olish usullarini egallash, jarayonlarni mustaqil tahlil qila
olish;
- Auditoriyadagi mashg‟ulotlarda olgan bilimlarini mustahkamlash,
chuqurlashtirish, kengaytirish va tartibga solish;
- Ma‟lumotlar va maxsus adabiyotlar bilan ishlashni o‟rganish;
- O‟quv materiallarini mustaqil o‟rganish;
Mustaqil ta‟lim uchun tavsiya etiladigan mavzular:
1. Qutb yadroli integral tenglamalar uchun Fredgolm teoremalari.
2. Integral tenglamaning xarakteristik sonlari
3. Ermit qutb yadroli integral tenglamalar.
4. Singulyar integral tenglamalar.
5. Singulyar operatorlar kompozitsiyasi.
6. To„la singulyar integral tenglamalar. Nyoter teoremalari.
7. Fure almashtirishi.
Mustaqil o„zlashtiriladigan mavzular bo„yicha talabalar tomonidan
referatlar tayyorlash va uni taqdimot qilish tavsiya etiladi.
3. V. Fan o’qitilishining natijalari (shakllanadigan kompetensiyalar)
Fanni o„zlashtirish natijasida magistrant:
- integral tenglamalar tushunchasi; Fredgolm, Volterr va singulyar
integral tenglamalarining echimlari haqida tasavvurga ega bo‘lishi;
- birinchi va ikkinchi tur Fredgolm va Volterr integral tenglamalari,
simmetrik yadroli integral tenglamalar, kuchsiz maxsuslikka ega bo„lgan
integral tenglamalar, singulyar integral tenglamalarni, kvadrati bilan
integrallanuvchi funksiyaning Fure almashtirishlarini bilishi va ulardan
foydalana olishi;
- Gammershteyn tenglamasi, takroriy yadrolar, takroriy yadrolarning
bichiziqli yoyilmasi, Ermit uzluksiz yadrosining bichiziqli yoyilmasi, musbat
aniqlangan yadrolar, Gilbert–SHmidt nazariyasini Ermit qutb yadroli integral
tenglamalarga joriy qilish, singulyar integral tenglamalar, Koshi yadroli
singulyar integral tenglamalar, Riman masalasi, xarakteristik tenglama va
unga qo„shma bo„lgan tenglama, singulyar operatorlar kompozitsiyasi, to„la
singulyar integral tenglamalarni regulyarizatsiyalash, Nyoter teoremalari,
Karleman-Vekuaning regulyarizatsiyalash usuli, Fure almashtirishi, kvadrati
bilan integrallanuvchi funksiyaning Fure almashtirishi haqidagi teoremalarni
isbot qilishi, ayni paytida ularni mantiqiy fikrlash va to„g„ri xulosalar
chiqarish, hamda o„rganilgan nazariy bilimlarni amaliyotga qo„llash
ko‘nikmalariga ega bo‘lishi kerak.
4. VI. Ta’lim texnologiyalari va metodlari:
 Ma‟ruzalar;
 interfaol keys-stadilar;
 amaliy mashg„ulot (mantiqiy fiklash, tezkor savol-javoblar);
5




guruhlarda ishlash;
taqdimotlarni qilish;
individual loyihalar;
jamoa bo„lib ishlash va himoya qilish uchun loyihalar.
5. VII. Kreditlarni olish uchun talablar:
Fanga oid nazariy va uslubiy tushunchalarni to‟la o‟zlashtirish, tahlil
natijalarini to‟g‟ri aks ettira olish, o‟rganilayotgan jarayonlar haqida mustaqil
mushohada yuritish va nazorat uchun berilgan vazifa va topshiriqlarni
bajarish, yakuniy nazorat bo‟yicha yozma ishni topshirish.
6.
Asosiy adabiyotlar
1. Petrovskiy I.G. Leksii po teorii integralnыx uravneniy. M.: Izd-vo
MGU, 1984.
2. Vladimirov V.S., Jarinov V.V. Uravneniya matematicheskoy fiziki.
Uchebnik dlya VUZov. M.: FIZMATLIT. 2004.
3. Vladimirov V.S., Mixaylov V.P., Mixaylova T.V., SHabunin M.I.
Sbornik zadach po uravneniyam matematicheskoy fiziki. M.: FIZMATLIT.
2016. – 520 s.
4. Mixlin S.G. Mnogomernыe singulyarnыe integralы i integralnыe
uravneniya. M.: Fizmatgiz, 1962.
5. Musxelishvili N.I. Singulyarnыe integralnыe uravneniya. M.: Nauka,
1968.
6. Smirnov V.I. Kurs vыsshey matematiki. Tom IV,CHast pervaya. M.:
Nauka, 1974. 336 s.
7. Krasnov M.L. Integralnыe uravneniya. (Vvedenie v teoriyu). M.:
Nauka, 1975.
8. Qosimov SH.G„., Aliqulov T.N. Integral tenglamalarga doir masala
va mashqlar. Toshkent “Universitet” 2014. O„quv qo„llanma. O„zMU 2nashri.
Qo‘shimcha adabiyotlar
9. Mirziyoev SH.M. Erkin va farovon, demokratik O„zbekiston davlatini
birgalikda barpo etamiz. O„zbekiston Respublikasi Prezidenti lavozimiga
kirishish tantanali marosimiga bag„ishlangan Oliy Majlis palatalarining
qo„shma majlisidagi nutq. Toshkent, 2016. 56-b.
10. Mirziyoev SH.M. Qonun ustuvorligi va inson manfaatlarini
ta‟minlash-yurt taraqqiyoti va xalq farovonligining garovi. O„zbekiston
Respublikasi Konstitutsiyasi qabul qilinganligining 24 yilligiga
bag„ishlangan tantanali marosimdagi ma‟ruza. 2016 yil 7 dekabr –Toshkent,
O„zbekiston, 2017. 48-b.
11. Mirziyoev SH.M. Buyuk kelajagimizni mard va oliyjanob xalqimiz
bilan birga quramiz. Mazkur kitobdan O„zbekiston Respublikasi Prezidenti
6
SHavkat Mirziyoevning 2016 yil 1 noyabrdan 24 noyabrga qadar Qoraqalpog„iston Respublikasi, viloyatlar va Toshkent shahri saylovchilari vakillari
bilan o„tkazilgan saylovoldi uchrashuvlarida so„zlagan nutqlari o„rin olgan.Toshkent, O„zbekiston, 2017. 488-b.
12. Mirziyoev SH.M. Milliy taraqqiyot yo„limizni qat‟iyat bilan davom
ettirib, yangi bosqichga ko„taramiz. "O„zbekiston" nashriyoti. 2019 yil.
Prezident asarlarining 1-jildi. 592-b.
13. Mirziyoev SH.M. Xalqimizning roziligi bizning faolyatimizga
berilgan eng oliy bahodir. "O„zbekiston" nashriyoti. 2019 yil. Prezident
asarlarining 2-jildi. 592-b.
14. Mixlin S.G. Leksii po lineynыm integralnыm uravneniyam. M.:
Fizmatgiz, 1959.
15. SHubin M.A. Psevdodifferensialnыe operatorы i spektralnaya
teoriya, M. 1978.
16. Trenogin V.A., Pisarevskiy B.M., Soboleva T.S. Zadachi i
uprajneniya po funksionalnomu analizu. M.: Nauka, 1984.
17. Krasnoselskiy M.A., Zabreyko P.P., Pustыlnik E.I., Sobolevskiy P.E.
Integralnыe operatorы v prostranstvax summiruemыx funksiy. M.: Nauka,
1966.
18. Lovitt U.V. Lineynыe integralnыe uravneniya. M.: Gostexizdat,
1957.
19. Gaxov F.D. Kraevыe zadachi. M.: Nauka, 1977.
20. Gaxov F.D., CHerskiy YU.I.Uravneniya tipa svertki. M.: Nauka,
1978.
Axborot manbalari
21. www.lib.homelinex.org/math/
22. www.eknigu.com/lib/Mathematics/
23. www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MC
7. Fan dasturi Andijon davlatuniversiteti Kengashining 2023-yil “___”
____________dagi №________ bayonnomasi bilan ma‟qullangan.
8.
Fan/modul uchun mas’ullar:
N.M.Umrzaqov – Andijon davlat universiteti “Matematika” kafedrasi
dotsenti, fizika-matematika fanlari nomzodi, dotsent
9.
Taqrizchilar:
M.M. Rahmatullayev – O`zbekiston Respublikasi fanlar akademiyasi
matemetika instituti Namangan bo`linmasi katta ilmiy hodimi, fizikamatematika fanlari doktori, professor
7
8