Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP I CHO CÁC LỚP TÍN CHỈ
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.1. Tìm giới hạn của các dãy có số hạng tổng quát sau:
a) xn  n  n 2  1 ;
b) xn  n(n  a)  n ;
c) xn  n  3 1  n3 ;
d) xn  3 n  1  3 n .
1.2. Cho dãy  xn  với xn  xn1 
1
xn1
, x1 = 1.
a) Chứng minh  xn  không có giới hạn hữu hạn;
b) Chứng minh lim xn   .
n
1.3. Chứng tỏ rằng các dãy số sau có giới hạn hữu hạn:
a) xn  1 
1

22

1
;
n2
b) xn 
1

2!

1
.
n!
1.4. Chứng tỏ các dãy số sau có giới hạn là + 
a) xn  1 
1

2
b) xn  log a
2
3
 log a 
1
2

1
;
n
 log a
n 1
.
n
(a  1)
1
1.5. Cho hàm số f ( x)  arccos(lg x) . Tính f ( ), f (1), f (10) .
10
1.6. Tìm miền xác định của các hàm số:
a) f ( x)  ( x  2)
1 x
;
1 x
c) f ( x)  arccos(2sin x);
b) f ( x) 
x
sin  x
;
d) f ( x)  4 lg(tanx).
1.7. Tìm miền giá trị của các hàm số:
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
1
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
a) f ( x)  2  x  x2 ;
b) f ( x)  lg(1  2cos x) ;
2x
;
1  x2
 x
d) f ( x)  arcsin  lg  .
 10 
c) f ( x)  arcos
1.8. Tìm hàm số f ( x) biết
a) f ( x  1)  x2  3x  2 ;
1
1

b) f  x    x 2  2
x
x

( x  2) ;
 x 
2
c) f 
x .
 x 1
1.9. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
a) f ( x) 
c)
b) f ( x)  x2  2 x  1 ;
x;
f  x  x ;
d) f ( x)  3 (1  x)2  3 (1  x)2 .
1.10. Tìm hàm ngược của các hàm số sau:
a) y  2 x  3 ;
b) y  x2  1, x  0 ;
c) y  3 1  x3 ;
x
d) y  lg .
2
1.11. Tìm các giới hạn
 x  x  2 ;
a) lim
 x  12 x  16
20
2
x 2
c) lim
10
3
x100  2 x  1
x1 x 50  2 x  1
x  x 2  ...  x n  n
b) lim
;
x1
x 1
.
1.12. Tìm các giới hạn
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
2
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
x3x4x
;
2x  1
a) lim
x
b) lim
x
x x x
.
x 1
1.13. Tìm các giới hạn
1  x  n 1  x
;
x
b) lim
1   x .n 1   x  1
.
x
sin x  sin a
;
x a
xa
b) lim
1  tanx  1  sin x
;
x3
1  cos x.cos 2 x.cos3 x
;
x0
1  cos x
d) lim
cos x  3 cos x
.
sin 2 x
m
a) lim
x0
m
x0
1.14. Tìm các giới hạn
a) lim
x0
c) lim
x0
1.15. Tìm các giới hạn
x 2
;
x 4 x  5 x  4
a) lim
b) lim ( 3 x3  x 2  1  x) .
2
x
1.16. Tìm các giới hạn
x2
 3x 2  x  1 1 x
a) lim  2

x 2 x  x  1 


c) lim 1  2 x 
x 0
1
x;
;
x 1
 1  x 1
x
b) lim  2

x x  1 


2
x 0
1
x

 .


d) lim cos x
;
1.17. Tính các giới hạn
a) lim  sin x 
x

tanx
b) lim 1  x 2
;
x0
cot 2 x
;
2
1
 1  tanx  sin x
c) lim 
.

x0  1  sin x 
1.18. Tính các giới hạn
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
3
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
a) lim sin ln( x  1)  sin ln x ;


b) lim n 2 n x  n1 x , x  0;
x
n

.
ln  3  e 
ln 2  e3 x
e x  e x
c) lim
;
x0 sin  x  sin  x
d)
lim
x
2x
1.19. Xét sự liên tục của các hàm số sau:
 x2  4

b) f ( x)   x  2
A

a) f ( x)  x ;
1
 n
 x sin khi x  0, n 
c) f ( x)  
x

khi x  0
0

;
khi x  2
;
khi x  2
  12

d) f ( x)   e x khi x  0 .
0
khi x  0
1.20. Tìm A để hàm số sau liên tục trên khoảng (1,1) :
 ln(1  x)  ln(1  x)

f ( x)  
x

A
khi 0< x  1
.
khi x  0
CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
2.1. Dùng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:
a) f ( x)  2 x  1;
c) f ( x) 
b) f ( x)  x 
1
;
x
1 x
.
x
2.2. Tính đạo hàm của các hàm số
a) y  x. x ;
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
b) y  ( x  1)2 ( x  1)3 ;
4
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
1
 n
khi x  0, n 
 x sin
c) y  
x

khi x  0
0
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
*
;
 x 2 e  x 2 khi

d) y   1
khi

e
x 1
.
x 1
2.3. Chứng tỏ rằng nếu f ( x) khả vi tại x  a thì
xf (a)  af ( x)
 f (a)  af (a) .
x a
xa
lim
2.4. Chứng minh rằng hàm số f ( x)  x  a  ( x) trong đó  ( x) là hàm số liên tục và
 (a)  0 không khả vi tại x  a .
2.5. Tính các đạo hàm f p (0) và ft(0) của các hàm số sau đây:
a) f ( x)  sin x2 ;
 x
khi x  0
1

b) f ( x)  
.
1 ex

khi x  0
0
2.6. Tính đạo hàm của các hàm số:
x
a) y  ln tan ;
2
c) y  e
sin 2
b) y  ln( x  x2  1) ;
1
x;
d) y  arcsin
3
1 

e) y  1  3  ;
x

g) y  ln
i) y  ln
x ln x  1
;
x ln x  1
x2
1  a4
k) y  cos2
;
1 x
;
1 x
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
2 x2
;
1  x4
1
2x
f) y  arctan
;
2
1  x2
h) y 
j) y 
1
2ax  x2
;
1
;
(1  cos 4 x)5
1

l) y  1  tan  x   ;
x

5
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
1 x
;
1 x
m) y  arcsin
n) y  log 2 log3 log5 x .
2.7. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng phương pháp đạo hàm lôgarit:
2
b) y  (sin x)cos x ;
a) y  x x ;
c) y 
( x  1)3 4 x  2
5
( x  3) 2
e) y  ( x  1)
2
g)
sin x
x
 x 
d) y  
 ;
1 x 
;
;
f)
1
y  xx ;
y3
x( x 2  1)
;
( x 2  1) 2
h) y  x x 2x x2 .
2.8. Tính vi phân của các hàm số
a) y 
cos x
1
x
 ln tan ;
2
2
2sin x 2
b) y  x3  2 x arcsin3x  4 x tại x  0;
c)
1
y  3x 
2.9. Tính đạo hàm
1
 6 x tại x  1 và dx  0,2 .
2x
2
dy
của các hàm cho theo tham số:
dx
a) x  a cos3  , y  b sin3  ;
b) x  a(t  sin t ) , y  a(1  cos t ) .
2.10. Chứng minh các hệ thức sau:
a) Cho f ( x)  ln
1
. Chứng minh f ( n) (0)  (n  1)! ;
1 x
b) Cho f ( x)  x e
2

x
a.
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
Chứng minh f
( n)
(1) n n(n  1)
;
(0) 
a n2
6
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
c) Cho f ( x)  xn . Chứng minh f (1) 
f (1)
f ( n) (1)
 ... 
 2n .
1!
n!
2.11. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:
a) y  2x  2 x ;
c) y 
ax  b
;
cx  d
e) y 
1 x
.
x
b) y  ln(ax  b) ;
d) y 
2x  3
;
( x  1) 2 ( x  1)
2.12. Tính các đạo hàm cấp cao sau:
a) y  ( x2  1)sin x , tính y(20) ;
b) y 
ex
, tính y (10) ;
x
c) y  sin ax.sin bx , tính y ( n ) .
2.13. Áp dụng các phép tính đạo hàm, hãy tìm các tổng sau:
a) An  1  2 x  3x 2  ...  nx n1
(n 
*
)
b) Bn  1.2  2.3.x  3.4.x 2  ...  n(n  1) x n2
(n  , n  2) .
2.14. Chứng minh rằng với mọi m , phương trình x3  3x  m  0 không thể có 2 nghiệm khác
nhau trong [0,1].
2.15. Chứng tỏ rằng phương trình f ( x)  0 có 3 nghiệm thực biết rằng
f ( x)  x( x  1)( x  2)( x  3).
2.16. Không cần tính đạo hàm của hàm số f ( x)  ( x2  1)( x2  4) , hãy cho biết số nghiệm của
phương trình f ( x)  0 và chỉ ra các khoảng chứa nghiệm đó.
2.17. Chứng minh các bất đẳng thức sau đây:
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
7
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
a)
a b
a a b
 ln 
, (0  b  a) ;
a
b
b
b)
 
 

 tan  tan 
, (0      ) ;
2
2
2
cos 
cos 
c) nbn1 (a  b)  a n  bn  na n1 (a  b), (0  b  a), n 
*
;
d) arctana  arctanb  a  b .
2.18. Dùng qui tắc L’Hospital tìm các giới hạn sau:
a) lim
x
2
xe
x x  e
x
;
ln( x  a )
c) lim
;
x
a
xa ln(e  e )
b) lim
x1
1 x
1  sin
tan
;

2
x

x
2 ;
x1 ln(1  x)
d) lim

ln x
e) lim
;
x0 1  2ln sin x
x
f) lim
x 0
cot

2
.
x
2.19. Tìm các giới hạn sau:
1 
1
a) lim   x
;
x 0  x
e 1 
c)
b) lim ln x.ln(x  1) ;
x1
1
 2
x
lim e x 100 .
x0
2.20. Tìm các giới hạn sau:
a) lim (1  x)ln x ;
x0
c)
1
2x x
lim( x  e ) ;
x0
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
b) lim (tanx)2cos x ;
x

2
1
d) lim x
x0
ln(e x 1)
.
8
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
2.21. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của các hàm số sau:
b) y  x ln x ;
a) y  x(1  x ) ;
c) y  ( x
2
3
 1) 2 ;
ex
d) y  .
x
2.22. Tìm cực trị của các hàm số sau:
b) y  x ( x  2) ;
a) y  x2 (1  x x ) ;
c) y  xe

x2
2 ;
d) y 
1  ln x
.
x
2.23. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) arctanx  arcsin
b) arcsin x  arctan
x
1  x2
;
x
1 x
2
.
2.24. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
 
a) sin x  tanx  2 x với x   0,  ;
 2
b) cos x  1 
c)
tan


1 2
x , x  0 ;
2
tan

,0    

2
;
d) e x  1  x , x  0 .
2.25. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số:
a) y 
1  x  x2
, 0  x  1;
1  x  x2
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
9
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
b) y 
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
a2
b2

, 0  x  1, b  a  0 ;
x 1 x
c) y  2tanx  tan 2 x, 0  x 
d) y  arctan

2
;
1 x
, 0  x  1.
1 x
CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
3.1. Biến đổi về các tích phân đơn giản để tính các tích phân sau:
 a x 
a)  a x 1  3  dx;
x

b) 
x4
dx;
1  x2
c) 
dx
;
x a  x b
f) 
3x 2  2
d) 
x 4dx
;
e) 
1  ln x
dx;
x
g) 
dx
;
x cos 2 (1  ln x)
h) 
2 x  arcsin x
j) 
dx
k) 
x  (arccos3x)2
x 1
10
( x  x 2  1) 2
;
m) 
dx
;
4x  4x  5
p) 
dx
2
4x  4x  3
2
;
1  x2
dx;
1  9 x2
dx ;
n)  3  2x  x 2 dx ;
q) 
dx
8  6x  9x
2
x 2 x  1
3
dx ;
i) 
1 x
dx ;
1 x
l) 
dx
;
4 x2  9
o)  3x 2  3x  1dx ;
.
3.2. Dùng phương pháp đổi biến để tính các tích phân sau:
a)  x 2  5 xdx;
d) 
dx
x x2  1
;
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
b)  x5 (1  2 x 2 )10 dx;
e) 
dx
;
x(1  x)
c) 
f) 
dx
x 1 x
2
;
dx
;
x ln x.ln(ln x)
10
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
g) 
xdx
( x 2  2) 3 x 2  5
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
;
h) 
6x
dx.
9x  4x
3.3. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:
x
2 dx ;
2 x
arcsin
a)  arctan xdx ;
b)  (arcsin x)2 dx ;
d)  (ln x)2 dx ;
e) 
x
dx ;
sin 2 x
f)  cos(ln x)dx ;
ln x
g)  2 dx ;
x
x cos x
h) 
dx ;
sin 3 x
 ln x 
i)  
 dx ;
 x 
k)  arctan 2 x  1dx ;
x2
dx ;
l) 
(1  x 2 ) 2
1 x
dx;
j)  x ln
1 x
m) 
xearctgx
3
2 2
(1  x )
dx;
n) 
c) 
2
ln(sin x)
dx.
sin 2 x
3.4. Tính tích phân các phân thức hữu tỉ:
x4
a)  2
dx;
x  a2
3x 2  2 x  1
dx;
b) 
( x  1)2 ( x 2  1)
d) 
x2  1
dx;
x4  1
e) 
f) 
dx
;
10
x( x  1) 2
g) 
c) 
xdx
;
( x  2 x  2)2
2
dx
dx;
x 1
4
x4  1
dx.
x6  1
3.5. Tích phân các hàm lượng giác:
a) 
dx
;
tan 3 x
d) 
sin x cos x
dx ;
sin x  cos x
b) 
dx
;
sin x  2cos x  3
e) 
c) 
tanx
dx;
sin 2 x
dx
.
3sin x  8sin x cos x  5cos 2 x
2
3.6. Tính các đạo hàm:
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
11
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
y
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
x3
y
d t2
a)
e dt ;
dx x
d
dt
c)
.

dx x 2 1  t 4
2
d
b)
et dt ;

dy x
3.7. Sử dụng công thức Newton-Leibnitz, tính các tích phân sau:
2
2
x
dx ;
x

4
3
a) 
1
2

0
a
2
n
dx
1 1  x2
c)
b)  1  x dx ;
;

d)
x n1dx
a x
2
0
2n
(a  0 , n  ) .
2
3.8. Tính các tích phân sau bằng phép đổi biến:

x sin xdx
a) 
;
2
1

2cos
x
0
1
ln 2

b)
1  x2
dx ;
4
1

x
1
c) 
e  1dx;
dx
e) 
0 x
a2  x2
1
3
;
dx
5
0
2 2
(3  x )
0
a
d) 
3
x
f)
;
dx
 (2 x2  1) 1  x2 ;
0
2
1
g) 
0
e
e e
x
a
2
x
x
dx ;
x
dx
ax
h) 
0
(a  0) .
3.9. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:

e2
a)
 cos(ln x)dx;
e
b)  ln x dx ;
1
e
1


3
3
x sin x
c) 
dx;
2
cos
x
0
d)
xdx
 2 .
 sin x
4
3.10. Tính các tích phân sau bằng cách sử dụng hỗn hợp các phương pháp:
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
12
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
5
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
4
2
x9 dx
a) 
;
5 3
(1

x
)
0
2
0
8 5
(1  x )


4
2
2
g) 
0
x15dx

b)
x sin x
d) 
dx;
3
cos
x
0
2
3
;
c)
 x 1  x dx ;
5
2
0
ln 5 x
dx
e) 
;
2cos
x

3
0
f)

0
e
ex 1
dx ;
ex  3
16
dx
x  1  ( x  1)
3
 arctan
h)
;
x  1dx.
1
3.11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong trong hệ toạ độ Descartes vuông
góc:
a) y  2 x  x2 và x  y  0 ;
b) y  2x , y  2 và x  0 ;
c) y 2  x2 (a2  x2 ), a  0.
3.12. Tính các tích phân suy rộng sau:

a)
dx
 x 1  x2
(a  0);

b)
a2


dx
 x x2  1;
d)
e)
g) 
1
dx
4 x  x2  3
3
0
2 2
(1  x )
2
;
h) 
0

dx ;
c)
dx
 1  x3 ;
0

dx ;
0
2
3
e
 x

arctanx
f)  x n e  x dx (n 
*
);
0
x5
4  x2
dx.
CHƯƠNG 4. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
4.1. Tìm miền xác định của các hàm số sau:
a) z  ln xy ;
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
b) z  9  x 2  y 2  x 2  y 2  1 ;
13
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
c) z  arcsin
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
y 1
;
x
d) z 
x
.
cos 2 y
4.2. Tìm các giới hạn sau:
a)
y 2 x2
;
( x , y ) 0,0  x 2  y 4
lim
b)
y 2  x2
c)
;
lim
( x , y ) ,  x 4  y 2
sin xy
;
( x , y ) 0,a 
x
lim
2  x2  y 2
d)
lim
(1  cos y ).
( x , y ) 0,0 
y2
4.3. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
b) z  y 2 sin
a) z  ln( x  x 2  y 2 ) ;
x
;
y
y
d) z  arctan .
x
z
c) u  x y , x  0, y  0 ;
4.4. Xét sự liên tục của hàm số sau:
1
 2
2
( x  2 y )sin 2
f ( x, y )  
x  2 y2
0

khi ( x, y )  (0,0)
.
khi ( x, y)  (0,0)
4.5. Chứng minh các hệ thức sau:
a) xzx  yzy  2 , với z  ln( x2  xy  y 2 ) ;
b) yzx  xzy  0 , với z  f ( x 2  y 2 ) , f (t ) có đạo hàm liên tục.
4.6. Tính đạo hàm riêng của các hàm số hợp sau:
a) z  eu 2v , u  cos x, v  x 2  y 2 ;
2
2
b) z  ln(u 2  v 2 ), u  xy, v 
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
x
.
y
14
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
4.7. Bằng phép đổi biến số u  x  y, v  x  2 y , tìm hàm số z  f ( x, y) thỏa mãn phương
trình 2 zx  zy  0 .
4.8. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau:
a) z  ln tan
y
;
x
b) z  e x (cos y + x sin y);
c) z  arctan
x y
;
x y
d) u  x y z ( x  0).
2
4.9. Tính gần đúng các số sau đây:


b) B  ln 3 1,03  4 0,98  1 .
a) A  3 (1,02)2  (0,05)2 ;
4.10. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình:
a) arctan
x y y
 , tính y( x) ( a  const );
a
a
b) xe y  ye x  e xy  0 , tính y( x);
c) x  y  z  e z , tính zx , zy ;
d) xyz  cos( x  y  z) , tính z x , z y .
z
y
4.11. Cho z  f ( x, y) là hàm số ẩn xác định từ phương trình z  xe .
Hãy tính gần đúng f (0,02;0,99).
4.12. Cho hàm số u 
xz
trong đó z là hàm số ẩn của x, y xác định từ hệ thức
yz
ze z  xe x  ye y .
Tính ux , uy .
4.13. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:
a) f ( x, y)  x 2 y  x y ;
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
15
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
b) f ( x, y)  sin( x  y)  cos( x  y) ;
c) f ( x, y)  x2 ln( x  y) ;
d) f ( x, y )  arctan
y
.
x
4.14. Chứng minh các hệ thức sau đây:
x
a) zx2 zy 2  ( zxy )2 , với z  xf ( ) , f (t ) có đạo hàm cấp hai liên tục;
y
 2u  2u
1
 2  0 , với u  ln , r  x 2  y 2 ;
b)
2
r
x
y
c)
 2u  2u  2u
1
 2  2  0 , với u  , r  x 2  y 2  z 2 .
2
r
x
y
z
4.15. Tìm hàm số u( x, y) biết
uxx  12 x2 y  2, uy  x4  30xy5 , u(0,0)  1, u(1,1)  2 .
4.16. Tính vi phân cấp hai của các hàm số
a) z  xy 2  x2 y ;
b) z  ln  x  y  ;
c) z 

1
2 x2  y 2

.
4.17. Tìm cực trị của các hàm số
a) z  e x ( x  y)( x  y  4) ;
b) z  x3  y3  3xy ;
c) z  (2ax  x2 )(2by  y 2 ), ab  0 ;
d) z  x2  xy  y 2  4ln x  10ln y;
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
16
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
e) z  x3  y3  x  y ;
f) z  x4  y 4  2x2  4xy  2 y 2 ;
g) z  xy 
50 20
 , với x  0, y  0;
x
y
h) z  x3  y3  x2 y.
4.18. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) z  x2  2xy  4x  8 y trên miền ( x, y) : 0  x  1, 0  y  2 ;
b) z  x2  y 2 trên miền x2  y 2  4 ;
c) z  x2 y(4  x  y) trên miền tam giác giới hạn bởi các đường thẳng
x  0, y  0, x  y  6 ;
d) z  e

 x2  y 2
 2 x 2  3 y 2 trên miền x2  y 2  1.


CHƯƠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
5.1. Giải các phương trình có biến số phân li sau:
a) y 
1
;
1 x
c) y cos x 
y
;
ln y
e) y  sin( x  y)  sin( x  y) ;
b)
d)
y  x 2 e x ;
xdy
1 y
2

ydx
1 x
2
 0;
f) y  cos( x  y) .
5.2. Giải các bài toán Cauchy:
a) ( x 2  1) y   y 2  4, y(1)  2;
b) (1  e2 x ) y 2 dy  e x dx, y (0)  0.
5.3. Giải các phương trình vi phân đẳng cấp sau:
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
17
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
a) x cos
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
y
y
 ydx  xdy   y sin  xdy  ydx  ;
x
x
b) ( y  x)dx  ( y  x)dy  0 .
5.4. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1:
a) y  2 xy  xe  x ;
2
b) (1  x2 ) y  2xy  (1  x2 )2 ;
c) 2 ydx  ( y 2  6 x)dy  0 .
5.5. Giải các bài toán Cauchy:
a) y 
2y
1
 ( x  1)3 , y (0)  ;
x 1
2
b) (1  x 2 ) y  xy  1, y(0)  0.
5.6. Giải các phương trình:
a) y  xy  x3 y3 ;
b) ydx  ( x  x2 y)dy  0 .
5.7. Giải các phương trình vi phân toàn phần:
 y2
1
1
x2 
a) 

dx


dy  0 ;


2
2
x
y
(
x

y
)
(
x

y
)




b)
xdx  (2 x  y )dy
 0;
( x  y)2
1
1
x y
y 
y x
x 1 
c)  sin  2 cos  1 dx   cos  2 sin  2  dy  0 ;
y x
x 
x y
y y 
y
x

x3 
d) 3x 2 (1  ln y )dx   2 y   dy  0.
y 

Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
18
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
5.8. Giải phương trình vi phân sau: x2 (ln x  1) y  xy  y  0 , biết rằng nó có một nghiệm
riêng dạng y1  x ,   .
5.9. Giải phương trình x2 y  2xy  2 y  2 x3 , biết phương trình thuần nhất tương ứng có
một nghiệm y1  x.
5.10. Giải các phương trình:
a) y  y 
ex
;
ex  1
b) y  2 y  y  3e x x  1 ;
c) y  y  tanx.
5.11. Giải các phương trình:
a) y  7 y  6 y  sin x ;
b) y  3 y  2  6x ;
c) y  2 y  3 y  e x cos x ;
d) y  2 y  y  4e x ;
e) y  9 y  20 y  x2e4 x ;
f) y  y  x2 cos2 x .
5.12. Giải các bài toán Cauchy
a) y  4 y  3 y  e3 x , y(0)  1, y(0)  9;
b) y  2 y  2 y  5cos x, y(0)  1, y(0)  0.
5.13. Giải phương trình:
a) y  y  e2 x cos e x bằng cách đổi biến số t  e x ;
b) x 2 y  2 xy  (2  x 2 ) y  0 bằng cách đổi hàm z 
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
y
.
x
19
Bộ môn Toán – HVCNBCVT
Bài tập môn toán cao cấp 1 – Dùng cho các lớp tín chỉ
5.14. Cho hàm cung và hàm cầu của một mặt hàng như sau:
QS  5  8 p
QD  47  5 p  4 p  p
( p  p(t ) là giá của mặt hàng, p phụ thuộc biến thời gian t)
Tại thời điểm bắt đầu khảo sát t  0, ta có: p(0)  5 và p(0)  7.
Tìm quy luật biến động giá theo thời gian với giả thiết hàng được bán hết tại mọi thời điểm.
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
20