‫דף נוסחאות למבחן במשוואות דיפרנציאליות רגילות – תשפ"ד‬
‫א) משוואה מסדר ראשון‬
‫מד"ר לינארית מסדר ‪ y ' ( x) + p( x) y ( x) = g ( x) :1‬גורם אינטגרציה‬
‫‪p ( x ) dx‬‬
‫‪ ( x) = e ‬‬
‫גורם אינטגרציה למשוואה מדוייקת‪ :‬מקרים פרטיים של גורם אינטגרציה למשוואה‬
‫‪: M ( x, y )dx + N ( x, y)dy = 0‬‬
‫‪ '( x ) M y − N x‬‬
‫=‬
‫א‪ .‬גורם אינטגרציה מהצורה ) ‪:  ( x‬‬
‫)‪ ( x‬‬
‫‪N‬‬
‫‪.‬‬
‫‪M y − Nx‬‬
‫) ‪ '( y‬‬
‫‪=−‬‬
‫)‪ ( y‬‬
‫‪M‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬גורם אינטגרציה מהצורה ) ‪:  ( y‬‬
‫ב) משוואות לינאריות מסדר ‪: 2‬‬
‫‪ .1‬משוואת אוילר הומוגנית ‪ x  0 ,  x 2 y ( x ) +  xy ( x ) +  y ( x ) = 0‬או ‪. x  0‬‬
‫משוואה אופינית‪.  r 2 + (  −  ) r +  = 0 :‬‬
‫שורשי המשוואה האופיינית‬
‫פתרון משוואת אוילר הומוגנית‬
‫‪ r1  r2‬ממשיים‬
‫‪y ( x ) = C1 | x |r1 + C 2 | x |r2‬‬
‫‪ r1 = r2‬שורש כפול‬
‫| ‪y ( x ) = C1 | x |r + C 2 | x |r ln | x‬‬
‫‪r1,2 =   i‬‬
‫)| ‪y ( x ) = C1 | x | cos( ln | x |) + C 2 | x | sin( ln | x‬‬
‫‪ .2‬משוואה ליניארית הומוגנית ‪. y ''( x) + p( x) y '( x) + q( x) y ( x) = 0‬‬
‫) ‪ y1 ( x ) , y2 ( x‬פתרונות של מד"ר הומוגנית‪.‬‬
‫וורונסקיאן‬
‫‪y2‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪y1‬‬
‫= ) ‪W ( x ) = W ( y1 , y2 , x‬‬
‫‪ .3‬משוואה ליניארית לא הומוגנית ) ‪. y ''( x ) + p( x ) y '( x ) + q( x ) y ( x ) = g ( x‬‬
‫א‪ .‬שיטת ווריאצית הפרמטרים‪ :‬אם ‪  y1 ( x ) , y2 ( x)‬מערכת בסיסית להומוגנית אז לאי‪-‬‬
‫הומוגנית מחפשים פתרון פרטי ) ‪. y ( x ) = u1 ( x ) y1 ( x ) + u2 ( x ) y2 ( x‬‬
‫‪y2   u1   0 ‬‬
‫‪  = ‬‬
‫כאשר ‪‬‬
‫‪y2  u 2   g ( x ) ‬‬
‫‪ y1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ y1‬‬
‫ב‪.‬שיטת המקדמים הלא ידועים‪ :‬משוואה לינארית עם מקדמים קבועים‪:‬‬
‫עבור אגף ימין מהצורה )‪g ( x) = e x Pn1 ( x) cos(  x) + e x Pn2 ( x) sin(  x‬‬
‫נחפש פתרון פרטי מהצורה ) ‪max(n1 , n2‬‬
‫‪Qn(2) ( x) sin( x)], n‬‬
‫)‪x s e x [Qn (1) ( x) cos( x‬‬
‫)‪y p ( x‬‬
‫כאשר ‪ s = 0,1,2,....‬הוא המינימלי כך ש‪ y p ( x ) -‬לא מכיל מחוברים שהם פתרונות להומוגנית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ג) מערכת משוואות דיפרנציאליות‬
‫מערכת הומוגנית‪ :‬צורה כללית‪ . x ' (t ) = A x (t ) :‬משוואה אופיינית‪. A − rI = 0 :‬‬
‫ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫פתרון‬
‫יש ‪ n‬וקטורים עצמיים בת"ל ‪v1 , v 2 ,..., v n‬‬
‫ו‪ n -‬ערכים עצמיים ‪r1 , r2 ,..., rn‬‬
‫פתרונות בסיסים בת"ל‪xi (t ) = v i e rit :‬‬
‫‪ r1, 2 =   i‬שמתאימים להם זוג וקטורים‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫והפתרון הכללי‪x (t ) =  Ci x i (t ) =  Ci v i e ri t :‬‬
‫נגדיר‪a = Re{v}, b = Im{v} :‬‬
‫‪t‬‬
‫]) ‪x1 (t ) = e [ a cos(  t ) − b sin(  t‬‬
‫עצמיים מרוכבים‪. v, v :‬‬
‫‪t‬‬
‫]) ‪x 2 (t ) = e [ a sin(  t ) + b cos(  t‬‬
‫אם יש ע"ע כפול ‪ r‬שמתאים לו ו"ע יחיד ‪v‬‬
‫נמצא ו"ע מוכלל ‪ w‬ע"י ‪( A − rI ) w = v‬‬
‫‪x1 (t ) = ve rt ,‬‬
‫)‪x 2 (t ) = e rt (vt + w‬‬
‫מערכת לא‪-‬הומוגנית‪ . x '(t ) = Ax (t ) + g (t ) :‬פתרון כללי‪. x (t ) = x h (t ) + x p (t ) :‬‬
‫מחפשים פתרון פרטי בצורה ) ‪ , x p (t ) =  (t ) u (t‬כאשר ) ‪  (t‬היא מטריצה שעמודותיה הן הפתרונות של‬
‫המערכת ההומוגנית ‪ . x i (t ) , i = 1, 2,..., n‬את הווקטור ) ‪ u (t‬אפשר למצוא בעזרת פתרון המערכת‬
‫) ‪  (t ) u '(t ) = g (t‬ואינטגרציה‪.‬‬
‫ד) בעיית שטורם‪-‬ליוביל (ש"ל)‬
‫צורה כללית של בעית שטורם‪-‬ליוביל‬
‫‪( p ( x ) y ( x )) '− q ( x ) y ( x ) +  r ( x ) y ( x ) = 0‬‬
‫‪a xb‬‬
‫‪a1 y ( a ) + a2 y ( a ) = 0‬‬
‫‪p ( x ), r ( x )  0‬‬
‫‪b1 y (b ) + b2 y (b ) = 0.‬‬
‫‪. y ( a ) = y (b ) ,‬‬
‫בבעיית שטורם‪-‬ליוביל מחזורית תנאי השפה הם‪y ' ( a ) = y ' ( b ) :‬‬
‫מעבר לצורה כללית של בעית שטורם‪-‬ליוביל‬
‫אם המשוואה נתונה בצורה‪P( x) y( x) + Q( x) y( x) + R( x) y ( x) = 0 :‬‬
‫)‪Q( x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ ( x‬‬
‫נכפיל את המשוואה בגורם‪e P ( x ) :‬‬
‫)‪P ( x‬‬
‫פיתוח לטור פונקציות עצמיות‬
‫נניח כי )‪ f (x‬ו‪ f '( x) -‬רציפות למקוטעין בקטע ]‪ . [a, b‬יהיו ‪  n ( x ) n = 0‬פ"ע ממשיות של בעיית ש"ל‪ ,‬אז‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f (x+ ) + f (x− ) ‬‬
‫לכל ‪=  cn n ( x ) : a  x  b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪ f ( x ) ( x ) r ( x ) dx‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ ,‬כאשר‬
‫‪b‬‬
‫‪  ( x ) r ( x ) dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫) ‪( f ,n‬‬
‫) ‪( n ,  n‬‬
‫= ‪. cn‬‬
‫ה) כללי‬
‫אינטגרלים המכילים פונקציות טריגונומטריות ואקספוננטים‬

x sin axdx =
1
a
(sin ax − ax cos ax ) + C
2
:‫אינטגרלים נוספים‬
1
x
 sin x dx = ln tan 2 + C
1
 x cos axdx = a (cos ax + ax sin ax ) + C
2
1
 x sin axdx = a (2 ax sin ax + ( 2 − ( ax ) ) cos ax ) + C
1
2
3
 x cos axdx = a (2 ax cos ax + ( ( ax ) − 2 ) sin ax ) + C
1
2
2
3


ax
e sin pxdx =
ax
e cos pxdx =
e
( a sin px − p cos px )
ax
2
a + p
e
ax
 cos mx cos nxdx =
2(m + n)
1
+
cos ( m + n ) x
sin ( m + n ) x
x
2
1
a0
,
,
a0
2
2(m − n)
+C
cos ( m − n ) x
2(m − n)
+C
sin ( m − n ) x
 sin mx sin nxdx = − 2 ( m + n ) + 2 ( m − n ) + C
e ax
 xe dx = a 2 ( ax − 1) + C
x m e ax m m −1 ax
m ax
 x e dx = a − a  x e dx + C
2
2
2
sin( 2 ) = 2 cos  sin 
cos(    ) = cos  cos   sin  sin 
sin 3  =
1
4
cos 2  =
1 + cos( 2 )
2
cos  cos  =
1
2
1
2
[sin( +  ) + sin( −  )]
[cos(  +  ) + cos(  −  )]
1
1 + tan 2  =
cos 3  =
(3 sin  − sin(3 ))
sin  cos  =
2
2
 f ' ( x) g ( x)dx = f ( x) g ( x) −  f ( x) g ' ( x)dx
sin(   ) = sin  cos   cos  sin 
2
2
:‫אינטגרציה בחלקים‬
cos( 2 ) = cos 2  − sin 2  = 1 − 2 sin 2  = 2 cos 2  − 1
1 − cos( 2 )
a0
f ( g ( x )) g ' ( x ) dx = F ( g ( x )) + C
ax
sin 2  =
,
x
a2
x
2
2
2
2
 a − x dx = 2 a − x + 2 arcsin a + C , a  0
x
a2
2
2
2
2
2
2
 x  a dx = 2 x  a + 2 ln x + x  a + C
dx
1
x
 x ( a + bx ) = a ln a + bx + C
:‫שיטת הצבה‬

x
2
 x  a dx = ln x + x  a + C
sin ( m − n ) x
 sin mx cos nxdx = − 2 ( m + n ) −
x+a
1
2
x
x
,a0
 a − x dx = 2a ln x − a + C
2
x
a0
,
1
1
x−a
 x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C
1
2
sin ( m + n ) x
x
2
2
( a cos px + p sin px )
2
1
2
 a − x dx = arcsin a + C
2
a + p

 a + x dx = a arctan a + C
x +1
+ C ,   −1

 +1
dx
 x = ln x + C
 e dx = e + C
a
 a dx = ln a + C , a  0
 sin xdx = − cos x + C
 cos xdx = sin x + C
1
 cos x dx = tan x + C
1
 sin x dx = − cot x + C
 tan x dx = − ln cos x + C
 cot x dx = ln sin x + C
1
 1 + x dx = arctan x + C
1
 1 − x dx = arcsin x + C
x dx =
 cos x dx = ln tan( 2 + 4 ) + C
1
2
x
:‫אינטגרלים בסיסיים‬
1
4
cos 2 
1 + cot 2  =
(3 cos  + cos( 3 ))
cos  sin  =
1
sin 2 
:‫נוסחאות טריגונומטריות‬
1
[sin( +  ) − sin( −  )]
2
1
sin  sin  = [cos(  −  ) − cos(  +  )]
2
‫נוסחאות רדוקציה‬


sin  −   = cos 
2



sin  +   = cos 
2



cos  −   = sin 
2



cos  +   = − sin 
2

sin (  −  ) = sin 
sin (  +  ) = − sin 
cos (  −  ) = − cos 
cos ( +  ) = − cos 
‫פונקציות היפרבוליות‬
e x + e− x
2
x
e − e− x
sinh x =
2
x
e − e− x
tanh x = x
e + e− x
cosh x =
3
‫נוסחאות אוילר‬
e i + e − i
2
e  i = cos   i sin  ;
e i − e − i
sin  =
2i
:‫ שלמים‬k,n ‫עבור‬
cos  =
cos n = ( − 1)
e i  n = ( − 1)
n
; sin n = 0
n
n  0,
=
k
2 ( − 1)
n = 2k − 1
cos
sin
k +1
n ( − 1)
=
2  0
n = 2k − 1
n = 2k
n = 2k