BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI -------0O0------- KHOA CƠ KHÍ BỘ MÔN KỸ THUẬT MÁY BÀI GIẢNG CÔNG NGHỆ CAE & FEM MÃ SỐ: KTM.02.2 HÀ NỘI - 2012 1 MỤC LỤC MỤC LỤC ................................................................................................................................. 2 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) ........... 4 1.1. Các phương pháp giải bài toán cơ học vật rắn biến dạng ............................................... 4 1.1.1. Phương pháp chính xác (phương pháp tích phân trực tiếp) ......................................... 4 1.1.2. Phương pháp biến phân (Variational Principle) ........................................................... 5 1.1.3. Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method) ........................................ 6 1.2. Giới thiệu về phương pháp PTHH .................................................................................. 9 1.2.1. Khái niệm phương pháp PTHH................................................................................ 9 1.2.2. Ưu nhược điểm của phương pháp PTHH ............................................................... 11 1.2.3. Lịch sử phát triển .................................................................................................... 12 1.3. Phân tích bài toán theo phương pháp PTHH ................................................................. 12 1.3.1. Các bước phân tích ................................................................................................. 12 1.3.2. Hàm xấp xỉ ............................................................................................................. 14 1.3.3. Phép nội suy ........................................................................................................... 14 1.3.4. Dạng của đa thức xấp xỉ ......................................................................................... 15 1.3.5. Chọn bậc của đa thức xấp xỉ (hàm xấp xỉ) ............................................................. 16 1.3.6. Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo vector các bậc tự do của phần tử. Ma trận các hàm dạng .................................................................................................................................. 19 1.3.7. Chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong phần tử. Ma trận độ cứng phần tử .......... 25 1.3.8. Ghép nối phần tử. Ma trận cứng tổng thể và vector tải tổng thể ............................ 26 CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG MỘT SỐ PHẦN TỬ CƠ BẢN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH ........................................................................................... 29 2.1. Phần tử lò xo (Spring element) ..................................................................................... 29 2.1.1. Hệ chỉ có một phần tử lò xo ................................................................................... 29 2.1.2. Hệ nhiều phần tử lò xo ........................................................................................... 30 2.2. Phần tử thanh (Bar, Truss or Spar element) .................................................................. 34 2.2.1. Hệ chỉ có một phần tử thanh .................................................................................. 34 2 2.2.2. Hệ có nhiều phần tử thanh...................................................................................... 36 2.2.3. Hệ thanh trong không gian hai chiều (2D) ............................................................. 42 2.2.4. Hệ thanh trong không gian ba chiều (3D) .............................................................. 49 2.3. Phần tử dầm (Beam element) ........................................................................................ 50 2.3.1. Hệ chỉ có một phần tử dầm .................................................................................... 50 2.3.2. Hệ có nhiều phần tử dầm ........................................................................................ 55 2.3.3. Phần tử dầm trong không gian hai chiều (2D) và ba chiều (3D)............................ 59 2.4. Các loại phần tử cơ bản ................................................................................................. 61 2.4.1. Giới thiệu chung ..................................................................................................... 61 2.4.2. Một số phần tử cơ bản ............................................................................................ 62 CHƯƠNG 3. SỬ DỤNG ANSYS TRONG CAE ................................................................. 67 3.1. Khái niệm CAE ............................................................................................................. 67 3.2. Giới thiệu phần mềm Ansys .......................................................................................... 69 3.2.1. Các bước phân tích bài toán (Analysis phases) ...................................................... 69 3.2.2. Hai phương pháp làm việc với Ansys .................................................................... 70 3.2.3. Các nhóm lệnh cơ bản trong Ansys........................................................................ 70 3.2.4. Các phần tử trong Ansys ........................................................................................ 74 3.3. Phân tích cấu trúc tĩnh (Static analysis) ........................................................................ 80 3.3.1. Giải hệ lò xo bằng Ansys ....................................................................................... 81 3.3.2. Giải hệ thanh bằng Ansys....................................................................................... 82 3.3.3. Giải hệ dầm bằng Ansys......................................................................................... 85 3.3.4. Giải mô hình 2D bằng Ansys ................................................................................. 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 90 3 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) 1.1. Các phương pháp giải bài toán cơ học vật rắn biến dạng Phương pháp phần tử hữu hạn là một trong số các phương pháp giải các bài toán cơ vật rắn biến dạng, cơ chất lỏng, truyền nhiệt, dao động,…. Để thuận tiện cho việc giới thiệu phương pháp, ta sẽ tập trung vào bài toán cơ vật rắn biến dạng. Hình 1.1. Các phương pháp giải bài toán cơ vật rắn biến dạng Qua sơ đồ trên ta thấy nghiệm của các bài toán cơ vật rắn có thể được tìm thấy dưới dạng giải tích hoặc dưới dạng các giá trị số rời rạc của các đại lượng cần tìm tại một số hữu hạn các điểm đã xác định trong miền V của vật thể khảo sát. 1.1.1. Phương pháp chính xác (phương pháp tích phân trực tiếp) + Đây là phương pháp tích phân trực tiếp hệ thống các phương trình vi phân của bài toán và thoả mãn các điều kiện biên mà bài toán có. Ta xét ví dụ một bài toán dầm chịu uốn. Ở bài toán này, ta xem chuyển vị là ẩn cơ bản cần tìm trước, sau đó ta sẽ tìm được ứng suất. VD1.1. Hình 1.2. Dầm chịu uốn 4 + Như đã biết trong môn học Sức bền vật liệu, phương trình vi phân chủ đạo của bài toán này theo chuyển vị v(x) là: EJ z d 4v q 0 (với 0 < x < l) dx 4 v (0) v '(0) 0 v (l ) v '(l ) 0 + Điều kiện biên: (1.1) (1.2) d 4v q + Từ (1.1) → 4 . Tích phân 4 lần ta được: dx EJ z v( x) q x4 ( C1 x 3 C2 x 2 C3 x C4 ) EJ z 24 (1.3) + Từ điều kiện biên (1.2), thay vào (1.3), ta tìm được các hằng số tích phân: C1 = -l/12, C2 = l2/24, C3 = C4 = 0 + Từ đó ta tìm được nghiệm của bài toán: v( x) q ( x 4 2lx 3 l 2 x 2 ) 24 EJ z + Dựa vào mối quan hệ giữa mômen uốn (nội lực) M(x) và v(x), ta tìm được M(x): M ( x ) EJ z d 2v q 6 x 2 6lx l 2 2 dx 12 + Độ võng lớn nhất giữa dầm dễ thấy là: ql 4 l vmax v 2 384 EJ z 1.1.2. Phương pháp biến phân (Variational Principle) + Nhìn chung, các phương trình vi phân chủ đạo của nhiều bài toán cơ và kỹ thuật có thể biểu diễn ở dạng tổng quát (bài toán trị biên – boundary value problem): L(u ) g 0 (trong mien V ) C (u ) p (tren bien S ) (1.4) (1.5) với: L, C là các toán tử vi phân. u = u(x,y) là hàm của các biến độc lập (toạ độ x, y) và là đại lượng cân tìm g = g(x,y) và p = p(x,y) là các hàm của các biến độc lập và đã biết. Khi đó u = u(x,y) là nghiệm của bài toán nếu nó thoả mãn phương trình (1.4) tại mọi điểm thuộc miền V và thoả mãn (1.5) tại mọi điểm trên biên S. 5 + Các phương pháp biến phân là các phương pháp gần đúng mà mục tiêu là tìm được nghiệm xấp xỉ gần đúng dựa trên một “tiêu chuẩn” nào đó được thể hiện trong dạng một biểu thức tích phân xác định lấy trên toàn miền khảo sát V. + Các phương pháp biến phân thường gặp là: Phương pháp biến phân Ritz-Rayleigh, phương pháp Galerkin (thuộc phương pháp phần dư có trọng), phương pháp bình phương tối thiểu,… 1.1.3. Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method) + Đây là một trong các phương pháp số để giải các phương trình vi phân mà tư tưởng chủ đạo của phương pháp là biểu diễn gần đúng đạo hàm bằng phép sai phân để thay thế các phương trình vi phân bằng một hệ thống các phương trình sai phân. Kết quả là thay vì phải tính “tích phân” các phương trình vi phân, ta chỉ cần giải các phương trình đại số. + Muốn vậy, trước hết ta phải biểu diễn gần đúng các đạo hàm các cấp theo giá trị của hàm đó tại một số điểm định trước. Cụ thể như sau: Xét bài toán một chiều, f = f(x) là hàm đã cho xác định trong khoảng [a, b]. Khai triển Taylor của nó tại lân cận điểm x nào đó là: f ( x x ) f ( x ) df d 2 f ( x )2 d 3 f ( x )3 .x 2 . 3 . .... dx x dx x 2! dx x 3! (1.6) f ( x x ) f ( x ) df d 2 f ( x ) 2 d 3 f ( x )3 .x 2 . 3 . .... dx x dx x 2! dx x 3! (1.7) + Lấy (1.6) - (1.7), chỉ lấy 3 số hạng đầu (kết quả do đó sẽ là gần đúng): f ( x x ) f ( x x ) 2 df .x dx x df f ( x x ) f ( x x ) dx x 2x (1.8) + Lấy (1.6) + (1.7): f ( x x ) f ( x x ) 2 f ( x ) d2 f .( x ) 2 2 dx x d2 f f ( x x ) f ( x x ) 2 f ( x ) 2 dx x ( x ) 2 (1.9) + Như vậy (1.8), (1.9) cho ta khả năng tính gần đúng đạo hàm cấp 1 và cấp 2 theo giá trị của hàm tại những điểm lân cận hay nói cách khác cho ta khả năng thay thế phép tính đạo hàm bằng phép tính sai phân. Bây giờ nếu ta xem phép sai phân (1.9) như là một toán tử thì ta 6 hoàn toàn có thể bỉêu diễn gần đúng được đạo hàm cấp 4 của f tại x bằng cách thay thế d2 f dx2 x vào vị trí của f trong (1.9), cụ thể: d2 f d2 f d2 f 2 2 2 dx 2 d4 f d2 d2 f x x dx x x dx x 2 2 4 2 dx x dx dx ( x ) x Và lại tiếp tục thay (1.9) vào: f ( x 2x ) f ( x ) 2 f ( x x ) 2 ( x ) d f 1 4 2 dx x ( x ) f ( x ) f ( x 2x ) 2 f ( x x ) f ( x x ) f ( x x ) 2 f ( x ) 2 2 ( x ) ( x ) 2 4 Rút gọn đi ta được: d4 f 1 6 f ( x) 4 f ( x x) f ( x x) f ( x 2x) f ( x 2x) 4 dx x ( x) 4 (1.10) Hình 1.3. Xet hàm f = f(x) trong lân cận điểm x + Vậy nếu khoảng xác định [a, b] được chia đều thành một số hữu hạn các đoạn nhỏ như nhau Δx bởi các điểm chia cách đều nhau thi ta sẽ có một “lưới sai phân”. Các điểm chia gọi là các nút của lưới sai phân. Khi đó các biểu thức (1.8), (1.9), (1.10) cho phép biểu diễn gần đúng đạo hàm các cấp (các cấp cao hơn hoàn toàn làm được như cách trên) tại một điểm nút của lưới sai phân theo gía trị của hàm tại các điểm nút xung quanh. Bằng cách biểu diễn các đạo hàm như vậy, ta có thể thay thế phương trình vi phân đã cho bằng một hệ các phương trình sai phân viết cho tất cả các điểm nút trong của lưới. Giải hệ phương trình đại số này ta tìm được tất cả các giá trị của hàm cần tìm tại các điểm nút. 7 VD1.2. Xét bài toán như VD1.1. Ta chia lưới sai phân như hình vẽ Δx = l/3. Hình 1.4. Chia lưới sai phân dầm chịu uốn + Phương trình vi phân như đã biết: d 4v q (với 0<x<l) 4 dx EJ z (1.11) + Điều kiện biên như (1.2): v x 0 v x 1 0 dv dv 0 dx x 0 dx x 1 (1.12) + Lưới sai phân có các nút: Các “nút trong”: 1, 2 Các “nút biên”: 0, 3 Các “nút ngoài”: -1, 4 Giá trị của hàm v(x) tại các “nút biên” và “nút ngoài” sẽ tìm được dựa vào các điều kiện biên (1.12) còn giá trị của hàm (x) tại các “nút trong” sẽ có được từ việc giải hệ phương trình sai phân viết cho các nút trong. + Cụ thể, viết phương trình sai phân tại nút 1 và 2 bằng cách sử dụng (1.10): Tại nút 1: 1 p 6v1 4v2 4v0 v1 v3 4 x EJ (1.13) 8 Tại nút 2: 1 p 6v2 4v3 4v1 v0 v4 4 x EJ (1.14) Hệ 2 phương trình (1.13), (1.14) là hệ phương trình thay thế cho (1.11) + Từ điều kiện biên đầu của (1.12) ta có v0 = v3 = 0. Để tìm giá trị v-1 và v4, ta sử dụng nốt điều kiện biên về góc xoay của (1.12) cùng với việc sử dụng cthức (1.8): Tại nút 0: dv v v 1 1 0 v1 v1 dx 0 2x Tại nút 3: dv v v 4 2 0 v4 v2 dx 3 2x + Thay các giá trị v0, v3, v-1 và v4 vào 2 phương trình (1.13), (1.14) ta được: p 4 7v1 4v2 EJ .x 4v1 7v2 p .x 4 EJ Giải hệ này ta được v1 v2 1 p 1 pl 4 .x 4 5 3 EJ 3 EJ Như vậy ta đã tìm được chuyển vị tại tất cả các nút của lưới. + Muốn tìm mômen uốn nội lực, ta sử dụng công thức: M ( x ) EJ z d 2v dx 2 Cụ thể, mômen uốn tại nút 0: d 2v 2 2 v v 2v EJ z M ( x ) EJ z 2 EJ z 1 1 2 0 2v1 pl 2 x 27 x dx 0 Chênh 11% so với kết quả giải bằng phương pháp chính xác ở phần trên. 1.2. Giới thiệu về phương pháp PTHH 1.2.1. Khái niệm phương pháp PTHH Phương pháp PTHH (Finite Element Method) được phát triển đầu tiên bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1943). Phương pháp PTHH là một phương pháp số đặc biệt hiệu quả dựa trên ý tưởng là chia một vật thể phức tạp thành các phần tử nhỏ và đơn giản. 9 Hình 1.5. Mô hình phần tử hữu hạn và chi tiết thật Hình 1.6. Mô hình chia lưới của miền V Theo phương pháp PTHH, một miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con Ve gọi là phần tử (element). Các phần tử này được kết nối với nhau tại các điểm định trước trên biên phần tử, gọi là nút (node). Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ dưới dạng một hàm đơn giản gọi là hàm xấp xỉ (approximation fuction). Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị hàm (hoặc cả giá trị của đạo hàm của nó) tại các điểm 10 nút trên phần tử. Các giá trị này gọi là các bậc tự do của các phần tử và là các đại lượng cần tìm của bài toán. Như vậy, phương pháp PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn bộ miền V mà chỉ trong từng miền con Ve của nó. Do đó phương pháp này thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó các hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều miền nhỏ có đặc tính hình học hay vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Với bài toán cơ vật rắn và cơ kết cấu, tuỳ theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ, ta có thể phân tích bài toán theo 3 loại mô hình sau: + Mô hình tương thích: Mô hình này xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử. (Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý Thế năng toàn phần dừng, hay nguyên lý Biến phân Lagrange). + Mô hình cân bằng: Mô hình này xem ứng suất (hoặc nội lực) là đại lượng cần tìm trước và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất (hoặc nội lực) trong phần tử. (Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý Năng lượng toàn phần dừng hay nguyên lý Biến phân về ứng suất). + Mô hình hỗn hợp: Mô hình này coi chuyển vị và ứng suất là 2 đại lượng độc lập. Các hàm xấp xỉ biểu diễn dạng gần đúng của cả chuyển vị và ứng suất trong phần tử. (Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý Biến phân Reisner). Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một hệ phương trình đại số vừa nhận được thì cũng có nghĩa là ta tìm được các xấp xỉ đại lượng cần tìm trong tất cả các phần tử. Và từ đó ta tìm được các đại lượng còn lại. Trong 3 mô hình trên, mô hình tương thích được dùng phổ biến hơn cả và môn học này cũng chỉ trình bày theo mô hình này. 1.2.2. Ưu nhược điểm của phương pháp PTHH Ưu điểm + Ứng dụng được cho rất nhiều bài toán kỹ thuật phức tạp (dễ dàng công thức hoá sau đó số hoá các bài toán kỹ thuật) + Có thể giải được các bài toán phi tuyến + Các bước giải được hệ thống hoá một cách rõ ràng nên ứng dụng rất rộng rãi + Nếu việc tính toán mô phỏng được thực hiện tốt thì kết quả đạt được đáng tin cậy Nhược điểm + Kết quả tìm được là xấp xỉ 11 + Kết quả phụ thuộc vào dạng phần tử và mật độ đựơc chọn tức là phụ thuộc vào trình độ và kinh nghiệm người giải Khắc phục nhược điểm + Tính toán lại bằng tay (nếu có thể) + Dùng thí nghiệm kiểm chứng lại 1.2.3. Lịch sử phát triển + A. Hrennikoff [1941] - Lattice of 1D bars + McHenry [1943] - Model 3D solids + R. Courant [1943] - Variational form + Levy [1947, 1953] - Flexibility & Stiffness + M. J. Turner [1953] - FEM computations on a wing + Boeing [1950's] Engineer's at Boeing apply FEM to delta wings + Argryis and Kelsey [1954] - Energy Prin. for Matrix Methods + Turner, Clough, Martin and Topp [1956] - 2D elements + R. W. Clough [1960] – Coins the term “Finite Elements” + 1963 - Mathematical validity of method established - applied to non-structural problems + 1960's - First general purpose FEA code developed + 1970's - Non-linear solvers developed + 1980's - Graphical pre-/postprocessors are developed + 1990's - FEM tools integrated in CAD software 1.3. Phân tích bài toán theo phương pháp PTHH 1.3.1. Các bước phân tích + Bước 1 - Rời rạc hoá miền khảo sát (chia lưới vật thể): Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve tức là các phần tử. Các phần tử này có hình dạng thích hợp. Đối với mỗi bài toán cụ thể, số lượng, hình dạng hình học và kích thước các phần tử phải được xác định ngay từ đầu. Số điểm nút các phần tử không được lấy một cách tuỳ tiện mà phụ thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn. Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản. Ví dụ như: 12 Hình 1.7. Các dạng phần tử thường sử dụng trong phương pháp PTHH + Bước 2 - Chọn hàm xấp xỉ: Vì đại lượng cần tìm chưa biết nên ta chọn dạng hàm xấp xỉ của nó sao cho đơn giản đối với tính toán nhưng phải thoả mãn các tiêu chuẩn hội tụ. Ta thường chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức. Sau đó ta biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp các giá trị (và có thể cả giá trị đạo hàm của nó) tại nút các phần tử {q}e. + Bước 3 - Xây dựng các phương trình phần tử: Có nhiều cách thiết lập như trực tiếp, sử dụng nguyên lý Biến phân,…và kết quả nhận được là hệ phương trình [K]e{q}e={P}e [K]e là ma trận độ cứng phần tử (element stiffness matrix) {q}e là vector chuyển vị nút phần tử (element nodal displacement vector) {P}e là vector tải phần tử (element nodal force vector) + Bước 4 - Ghép nối các phần tử để được phương trình tổng thể: [K ]{q} {P} [K ] là ma trận độ cứng tổng thể (global stiffness matrix) {q} là vector chuyển vị nút tổng thể (là vector tập hợp các đại lượng cần tìm tại các nút) (global nodal displacement vector) {P} là vector tải tổng thể (global nodal force vector) + Bước 5 - Kết hợp điều kiện biên để có được phương trình hệ thống (đây là phương trình để giải): [K * ]{q *} {P *} + Bước 6 - Giải hệ phương trình đại số [K * ]{q *} {P *} và kết quả tìm được là chuyển vị ở các nút. Đối với bài toán phi tuyến thì nghiệm đạt được sau một chuỗi các bước lặp mà sau mỗi bước ma trận độ cứng [K ] thay đổi (trong bài toán phi tuyến vật lý) hoặc vector lực nút{P} thay đổi (trong bài toán phi tuyến hình học). + Bước 7- Hoàn thiện: từ các chuyển vị nút tìm được ta tìm nốt các ứng suất và biến dạng của các phần tử. 13 1.3.2. Hàm xấp xỉ - Một trong những ý tưởng cơ bản của phương pháp PTHH là xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm trong mỗi miền con - phần tử Ve . Điều này cho ta khả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi phần tử ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản. Và vì vậy bước quan trọng đầu tiên cần nói đến là việc chọn hàm đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trong phạm vi một phần tử. - Hàm đơn giản này thường chọn ở dạng đa thức vì những lý do sau: + Đa thức khi được xem như một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức nên thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính (như yêu cầu của Ritz, Galerkin). + Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi xây dựng các phương trình của phương pháp PTHH và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt là đa thức dễ đạo hàm, tích phân. + Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ (về mặt lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho nghiệm chính xác). Tuy nhiên trong thực tế ta cũng chỉ lấy các đa thức xấp xỉ bậc thấp mà thôi. (Chú ý là các hàm xấp xỉ dạng hàm lượng giác cũng có tính chất và ưu điểm như trên nhưng ít dùng). 1.3.3. Phép nội suy - Trong phương pháp PTHH các hệ số của hàm xấp xỉ dạng đa thức được biểu diễn qua chính các giá trị của nó (hoặc cả giá trị các đạo hàm) tại các điểm nút được định trước trên phần tử. - Nói cách khác là hàm xấp xỉ được nội suy theo các giá trị (hoặc cả các đạo hàm) của nó tại các nút phần tử. Kết quả là, trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần tìm là hàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóa bằng một đa thức nội suy qua các giá trị (hoặc cả các đạo hàm) của nó tại các điểm nút của phần tử. - Xét các ví dụ sau: Hình 1.8. Các phép nội suy 14 - Trong các ví dụ trên các hàm bất kì được biểu diễn xấp xỉ bằng các đa thức bậc 0, bậc 1, bậc 2 theo các giá trị (chỉ theo giá trị) của hàm tại điểm định trước (điểm nút). Phép xấp xỉ này được gọi là phép nội suy Lagrange. (Nội suy Hecmit: Khác với phép nội suy Lagrange, nội suy Hecmit là phép xấp xỉ theo giá trị và cả đạo hàm từ bậc 1 đến bậc nào đó tại các điểm cơ sở.) Hình 1.9. Nội suy Hecmit - Bằng việc xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi phần tử thì trên toàn miền V khảo sát, đại lượng cần tìm cũng được biểu diễn gần đúng theo các giá trị (và có thể cả đạo hàm đến cấp nào đó) của chính nó tại các điểm nút. Và rõ ràng nếu chia lưới phần tử càng mịn thì kết quả nhận được càng tiến đến sự môt tả chính xác của nghiệm cần tìm. Ví dụ phép nội suy Lagrange: Hình 1.9. Nội suy Lagrange 1.3.4. Dạng của đa thức xấp xỉ Như đã nói ở trên, hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức đơn giản. Có thể như sau : a. Bài toán 1D u x = a1 + a2 x (xấp xỉ tuyến tính) 15 u x = a1 + a2 x + a3 x 2 (xấp xỉ bậc 2) u x = a1 + a2 x + a3 x 2 + a4 x3 (xấp xỉ bậc 3) n 1 Nếu lấy u x là một hàm xấp xỉ bậc n thì: u x = ai xi 1 1 hay: a1 a 2 2 n u x = [1 x x ... x ] a3 ... an 1 hay: u x = P x a Trong đó: P x gọi là ma trận các đơn thức. a gọi là vector các tọa độ tổng quát hay vector các tham số. b. Bài toán 2D VD: u x, y = a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 y 2 a6 xy a1 a 2 2 u x, y = [1 x y x y xy ] 2 ... a6 u x, y = P x , y a 1.3.5. Chọn bậc của đa thức xấp xỉ (hàm xấp xỉ) Khi chọn bậc của đa thức xấp xỉ cần xét tới các yêu cầu sau: a. Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ - Đây là một yêu cầu quan trọng vì phương pháp PTHH là một phương pháp số và do đó phải đảm bảo được rằng khi kích thước các phần tử giảm đi (sử dụng lưới phần tử mịn hơn) thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác. Muốn vậy đa thức xấp xỉ ue phải thỏa mãn 3 điều kiện sau: + Liên tục trong phần tử ( Ve ). Điều này hiển nhiên thỏa mãn khi xấp xỉ là đa thức. + Bảo đảm tồn tại trong phần tử trạng thái đơn vị (hằng số) và đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất. 16 (mà phiếm hàm I u đòi hỏi vì như ta đã biết, phương pháp PTHH có thể được xem như một phương pháp xấp xỉ khi cực tiểu hóa một phiến hàm dạng: I u = F ( x, u, u , , u ,, ,..., u ( r ) ).dx V ) + Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r-1) là liên tục. Với cơ học vật rắn biến dạng và kết cấu các yêu cầu này có thể được hiểu như yêu cầu liên tục của biến dạng. Nói cách khác là phần tử biến dạng không có sự đứt, gãy. (Như với dầm, tấm, vỏ đòi hỏi cả chuyển vị và đạo hàm cấp 1 của chuyển vị là liên tục.) (Ví dụ khi u là chuyển vị thì phải đảm bảo khả năng phần tử dịch chuyển cứng và muốn bảo đảm trạng thái đơn vị của đại lượng khảo sát thì chỉ cần không được bỏ qua số hạng tự do a1 trong đa thức xấp xỉ, hay không được bỏ qua thành phần 1 trong P x, y , z .) - Tuy nhiên để thấy được điều này khi mịn hóa lưới phần tử cũng cần tuân theo các qui tắc sau: + Lưới sau được mịn hơn trên cơ sở lưới trước, các điểm nút lưới trước cũng có mặt trong tập hợp các nút lưới sau. + Các phần tử có kích thước nhỏ hơn trước nhưng dạng hình học của phần tử vẫn phải như dạng cũ. + Dạng đa thức xấp xỉ là không đổi trong quá trình mịn hóa lưới phần tử. Ví dụ như: Hình 1.10. Chia lưới các phần tử b. Bậc của đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình học - Có như vậy các xấp xỉ mới độc lập với hệ tọa độ của phần tử. Muốn vậy dạng đa thức được chọn từ tam giác Pascal (bài toán 2 chiều) hay từ tháp Pascal (bài toán 3 chiều). - Tam giác Pascal (bài toán 2 chiều): 17 (a) (b) Hình 1.11. Tam giác Pascal (bài toán 2 chiều) - Tháp Pascal (bài toán 3 chiều): Hình 1.12. Tháp Pascal (bài toán 3 chiều) 18 c. Số các thành phần của {a}, tức số tham số của đa thức xấp xỉ, phải bằng số bậc tự do của phần tử qe Yêu cầu này cho khả năng nội suy đa thức xấp xỉ theo giá trị đại lượng cần tìm tại các điểm nút. 1.3.6. Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo vector các bậc tự do của phần tử. Ma trận các hàm dạng - Bậc tự do của một nút là giá trị (và có thể cần cả giá trị đạo hàm) của hàm xấp xỉ (cụ thể ở đây là đa thức) tại nút. Tập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phân tử được gọi là vector các bậc tự do của phần tử, kí hiệu là qe . Theo mô hình tương thích, đối với bài toán ứng suất/biến dạng thì đây là vector chuyển vị nút phần tử (element nodal displacement vector), từ đó cũng có thể hiểu bậc tự do của một nút là số thành phần của vector chuyển vị ở nút đó. Và các bậc tự do này (các chuyển vị nút) là ẩn số của bài toán khi phân tích theo phương pháp PTHH theo mô hình tương thích. - Ví dụ trong bài toán đàn hồi phẳng, khi dùng phần tử tam giác 3 điểm nút thì mỗi nút phần tử có hai bậc tự do là 2 chuyển vị thành phần u và v theo 2 phương x, y của mỗi nút. Vậy tập hợp các chuyển vị của 3 nút là vector chuyển vị nút phần tử: T qe ui , vi , u j , v j , uk , vk e T = q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 e Tóm lại nếu phần tử e có r nút và mỗi nút có s bậc tự do thì vector chuyển vị nút phần tử qe có số thành phần ne s r . - Trong phương pháp PTHH, các đa thức xấp xỉ được biểu diễn theo vector các bậc tự do phần tử qe , hay người ta nói rằng các đa thức này được nội suy theo qe . Đây là một trong những tư tưởng cơ bản của phương pháp. Nói cách khác, ta phải bảo đảm các giá trị của các đa thức xấp xỉ (hay cả các đạo hàm của nó) tại các điểm nút thuộc phần tử phải đồng nhất bằng các bậc tự do của phần tử. Tức là phải bảo đảm: u tai nút 1 u tai nút 2 qe .................. u tai nút r (1.15) 19 Điều này dễ thực hiện được bằng cách thay tọa độ các nút vào các đa thức xấp xỉ, rồi thực hiện đồng nhất (1.15). Cụ thể: u tai nút 1 u x1 , y1 , z1 P x1 , y1 , z1 u tai nút 2 u x2 , y2 , z2 P x2 , y2 , z2 a Aa : qe .................. ................. ................. u tai nút r u xr , yr , zr P xr , yr , zr (1.16) Trong đó: A là ma trận vuông ne ne và chỉ chứa tọa độ các điểm nút phần tử. Từ đó suy ra: 1 a A qe (1.17) Thay a từ (1.17) và (1.15) ta có: 1 u x, y, z P x, y, z a P x, y, z A q u x, y, z N q e (1.18) e e 1 Trong đó N P x, y , z A được gọi là ma trận các hàm nội suy, hay ma trận các hàm dạng (shape function). - Như vậy, bằng công thức (1.18), ta nói rằng ta đã biểu diễn (hay nội suy) đa thức xấp xỉ u x, y , z theo vector các bậc tự do của phần tử (hay theo vector chuyển vị nút phần tử) e qe . - Trong bài toán cơ vật rắn hay cơ kết cấu, có thể dễ thấy rằng các hàm thành phần trong ma trận các hàm dạng [N] phản ảnh dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử ứng với các chuyển vị nút bằng đơn vị. VD1. Tìm ma trận các hàm dạng của phần tử, đa thức xấp xỉ chuyển vị dọc trục của thanh lăng trụ chịu kéo nén dọc trục. Hình 1.13. Thanh lăng trụ chịu kéo nén dọc trục 20 Giải. + Đây là bài toán 1D. Mọi điểm chỉ tồn tại chuyển vị và biến dạng dọc trục; cụ thể là u x và x . (Chú ý rằng trong phiến hàm thế năng sẽ chứa đạo hàm bậc nhất của chuyển vị vì: 2 1 N2 1 du U dx EJ dx 2 L EJ 2 L dx Nên đa thức xấp xỉ u x chỉ đòi hỏi tồn tại đạo hàm bậc nhất, hay có thể lấy u x là hàm xấp xỉ tuyến tính) + Mỗi phần tử có 2 bậc tự do đó là 2 chuyển vị dọc trục x của 2 điểm nút đầu và cuối của phần tử do đó a cần có hai tham số nên ta chọn đa thức xấp xỉ là hàm bậc nhất. u x a1 a2 x 0 x L a 1 x 1 P x a a2 Vector chuyển vị nút qe : T qe q1 , q2 e u1 , u2 e T + Thực hiện đồng nhất theo (1.16): 1 0 a1 q1 u tai nút 1 u x 0 a1 : u tai nút 2 e u x L e a1 a2 L 1 L a2 q2 e Vậy 1 P x1 1 0 1 A A 1 1 L P x2 L 0 1 L + Từ đó ta có ma trận các hàm dạng: 1 N e P x . A1 1 x 1 1 2 1 2 2 2 L 0 x x 1 1 L L L N1 x N 2 x (*) + Cuối cùng cũng có thể biểu diễn đa thức xấp xỉ chuyển vị dọc trục theo các chuyển vị nút phần tử: x x q1 u x N qe 1 L L q2 e 21 2 x x u x Ni x qi 1 q1 q2 L L i 1 Biểu đồ u x Biểu đồ N1, N2 Hình 1.14. Biểu thị các hàm dạng Các hàm N i x trong (*) còn có tên là các hàm Lagrange bậc 1 và có đồ thị như trên. VD2. Hãy chọn đa thức xấp xỉ và tìm ma trận hàm dạng phần tử dầm 2 điểm nút chịu uốn. Hình 1.15. Phần tử dầm 2 điểm nút chịu uốn Giải. + Bỏ qua biến dạng dọc trục, dễ thấy rằng khi phần tử dầm chịu uốn, trạng thái chuyển vị của điểm bất kỳ có toạ độ x được đặc trưng bởi chuyển vị v(x) theo phương vuông góc với dầm. + Số bậc tự do phần tử là 4. Đó là các chuyển vị và góc xoay tại 2 nút 1 và 2: T T qe q1 , q2 , q3 , q4 e : v1 ,1 , v2 , 2 e (**) + Vì vector bậc tự do phần tử qe có 4 tham số và đây là bài toán 1 chiều nên để nội suy hàm xấp xỉ v(x) thì v(x) phải là đa thức bậc 3 và có dạng: 22 a1 a v x = a1 + a2 x + a3 x 2 + a4 x3 = [1 x x2 x3 ] 2 a3 a4 Do đó góc xoay của một mặt cắt ngang bất kỳ là: a1 a dv = a2 + 2a3 x + 3a4 x 2 = [0 1 2 x 3 x2 ] 2 x dx a3 a4 + Thực hiện đồng nhất (**): q1 : v1 v x 0 a1 dv a2 dx x 0 q2 : 1 q3 : v2 v x L a1 a2 L a3 L2 a4 L3 dv a2 2a3L 3a4 L2 dx x L q4 : 2 Biểu diễn dạng ma trận: q1 1 q 0 2 q3 1 q4 0 với: 1 0 A 1 0 0 a1 1 0 0 a2 L L2 L3 a3 1 2 L 3L2 a4 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 và có nghịch đảo: A1 L L2 L3 3 / L2 3 1 2 L 3L2 2/L 0 0 1 0 2 / L 3 / L2 1 / L3 2 / L3 0 0 1 / L3 1 / L2 + Từ đó ta có ma trận các hàm dạng: 1 N P x A 1 x x2 0 0 0 1 0 1 0 0 3 N1 N 2 x 3 / L2 2 / L 3 / L2 1 / L3 3 1 / L3 2 / L3 1 / L2 2/ L N3 N4 23 với x2 x3 N1 1 3 2 2 3 L L x2 x3 N2 x 2 2 L L x2 x3 N3 3 2 2 3 L L x2 x3 N4 2 L L + Như vậy hàm chuyển vị của dầm chịu uốn là: 4 v x N qe N i qi i 1 + Đồ thị các hàm dạng và hàm xấp xỉ của độ võng: v(x) là tổ hợp tuyến tính của các hàm Ni. Các hàm Ni loại này còn gọi là hàm Hecmit bậc 3. Hình 1.16. Các hàm dạng của phần tử dầm 2 điểm nút chịu uốn 24 1.3.7. Chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong phần tử. Ma trận độ cứng phần tử - Khi giải bài toán theo mô hình tương thích (hay phương pháp chuyển vị) đại lượng cần tìm trước tiên là chuyển vị. Chuyển vị được xấp xỉ hóa và nội suy theo vector chuyển vị nút phần tử qe . Sau khi tìm được ma trận các hàm dạng [N], chúng ta có thể biểu diễn được trường chuyển vị theo các chuyển vị nút phần tử qe : ue N qe (1.19) - Từ đó, theo các phương trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng (các phương trình Cauchy), biến dạng của một điểm trong phần tử sẽ là: e ue N qe B qe (1.20) trong đó B N được gọi là ma trận tính biến dạng. - Ứng suất tại một điểm thuộc phần tử, trong trường hợp vật liệu tuân theo định luật Hooke sẽ là: D e 0 e 0 e trong đó: x y là vector ứng suất. xy và lần lượt là biến dạng và ứng suất ban đầu của phần tử. o 0 e e [D] gọi là ma trận đàn hồi của vật liệu (elasticity matrix, constitutive matrix hay stress/strain 0 1 E matrix) bao gồm các đặc tính vật liệu, D 1 0 2 1 0 0 (1 ) / 2 Từ đó ta có: e D B qe D 0 e 0 e (1.21) Các công thức (1.19), (1.20), (1.21) cho ta biểu diễn chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong phần tử theo vector chuyển vị nút phần tử qe - Từ công thức tính thế năng toàn phần của phần tử: 1 T T T e e dV ge ue dV pe ue dS 2 Ve Ve Se e ue 25 ta thu được: T K e B D B dV là ma trận cứng phần tử (element stiffness matrix) (1.22) Ve T T 1 2 Ve 1 2 Ve T T Pe N g e dV N pe dS B D 0 e dV B 0 e dV (1.23) Ve Se Pe là vector tải phần tử (element nodal load vector) T Dễ thấy rằng vì D là ma trận đối xứng nên tích B D B cũng đối xứng và do đó K e là ma trận đối xứng. 1.3.8. Ghép nối phần tử. Ma trận cứng tổng thể và vector tải tổng thể Giả sử vật thể (miền V) được chia thành NE phần tử (miền con Ve ) bởi R điểm nút. Nếu mỗi nút có s bậc tự do thì số bậc tự do của cả hệ là ne = r.s Gọi q là vector chuyển vị nút tổng thể (hay vector chuyển vị nút kết cấu). q là tập hợp của tất cả các bậc tự do của tất cả các nút của hệ và gồm n thành phần. Giả sử mỗi phần tử có r nút, thì số bậc tự do của r nút của phần tử gồm ne r.s . Và vector chuyển vị nút phần tử qe gồm tất cả các bậc tự do của r nút của phần tử tức là gồm ne thành phần. Rõ ràng, các thành phần này của qe là nằm trong số các thành phần của q . Sự liên hệ giữa 2 vector này có thể được biểu diễn như sau: qe Le . q ne 1 ne n n 1 Trong đó L e là ma trận định vị của phần tử có kích thước ne n . Ma trận này cho ta hình ảnh sắp xếp các thành phần của vector qe trong q . VD3. Dầm với bốn điểm nút như hình vẽ có vector chuyển vị nút tổng thể q là: q q , q , q ,..., q T 1 2 3 8 Hình 1.17. Dầm với bốn điểm nút 26 Giải. + Các bậc tự do của dầm 4 nút q1 1 q 0 q1 2 L 1 q 0 q3 q4 0 0 0 0 0 0 0 0 q1 1 0 0 0 0 0 0 q2 0 1 0 0 0 0 0 ... 0 0 1 0 0 0 0 q8 q3 q q2 4 L 2 q q4 q5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 q1 0 0 1 0 0 0 0 q2 0 0 0 1 0 0 0 ... 0 0 0 0 1 0 0 q8 q5 0 q 0 6 q3 L 3 q 0 q7 q8 0 0 0 0 1 0 0 0 q1 0 0 0 0 1 0 0 q2 0 0 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 0 0 1 q8 + Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng (nguyên lý Lagrange) ta có hệ phương trình tổng thể: K q P (1.24) Trong đó: NE K L T K L là ma trận độ cứng tổng thể (hay kết cấu) e e e 1 e NE P L P gọi là vector tải tổng thể (hay vector tải kết cấu) T e e (1.25) (1.26) e 1 K e là ma trận độ cứng phần tử Pe là vector tải phần tử Chú ý: + Về mặt cơ học, hệ phương trình (1.24) biểu diễn điều kiện cân bằng của vật thể tại các điểm nút. Phần tử K ij của ma trận độ cứng tổng thể K biểu thị lực sinh ra ở nút i do chuyển dịch đơn vị ở nút j khi tất các nút còn lại bị gắn cứng. + Các thành phần Pi của vector tải tổng thể P là ngoại lực tác động lên các phần tử (tính đến cả biến dạng và ứng suất ban đầu) được quy đổi về tương ứng với bậc tự do thứ i. 27 + Trong trường hợp hệ thanh, ta cần phải thêm vào P các ngoại lực tập trung tác động lên các nút theo các bậc tự do tương ứng mà tập hợp các thành phần này là vector tải trọng nút P n + Khi thiết lập phương trình trên ta chưa đưa vào điều kiện biên (động học), vật thể xem như 1 vật tự do, ma trận K là ma trận suy biến (không tồn tại K ). Sau khi áp đặt điều kiện biên động học, hệ (1.24) trở thành: K * q * P* (1.27) + Việc sử dụng ma trận định vị L e để tính ma trận độ cứng tổng thể K và vector tải tổng thể P thực chất là xắp xếp các phần tử của ma trận độ cứng K e và vector tải phần tử Pe vào vị trí của nó trong ma trận độ cứng tổng thể K và vector tải tổng thể P . Tuy nhiên trong thực hành, người ta thường sử dụng bảng chỉ số (hay ma trận chỉ số, ma trận liên kết Boolean) tiện hơn nhiều trong quá trình ghép nối các phần tử để có được K và P . + K e và K là các ma trận đối xứng. Ngoài ra K có dạng băng (band matrix) và bề rộng băng phụ thuộc vào cách đánh số nút (cách đánh số BTD). 28 CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG MỘT SỐ PHẦN TỬ CƠ BẢN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH 2.1. Phần tử lò xo (Spring element) 2.1.1. Hệ chỉ có một phần tử lò xo Hình 2.1. Phần tử lò xo - Một phần tử lò xo có: + Hai nút (number of nodes): i, j + Chuyển vị nút (nodal displacements): ui, uj (m, mm) + Các lực nút (nodal forces): fi, fj (N) + Độ cứng lò xo (stiffness): k (N/m, N/mm) - Quan hệ lực - chuyển vị của lò xo: F = k.Δ (2.1) với Δ = uj – ui Hình 2.2. Quan hệ lực - chuyển vị của lò xo - Chú ý: + Từ (2.1), ta có k = F/Δ nên có thể hiểu độ cứng của lò xo là lực cần để kéo lò xo dài ra 1 đơn vị chiều dài. + Trong phạm vi giáo trình, ta chỉ xét các bài toán tuyến tính (linear problems) - Kéo lò xo bởi lực F. Xét các phương trình cân bằng lực trên lò xo: 29 + Tại nút i: fi = -F = -k(uj – ui) = kui - kuj + Tại nút j: fj = F = k(uj – ui) = -kui + kuj - Biểu diễn 2 phương trình trên dưới dạng ma trận: k k k ui f i k u j f j hay biểu diễn dưới dạng ma trận ta được phương trình cân bằng của hệ thống: K e qe Pe (2.2) với các đại lượng như đã đề cập ở 1.3.7, [K]e là ma trận cứng phần tử (element stiffness matrix), {q}e vector chuyển vị nút phần tử (element nodal displacement vector) và {P}e là vector tải phần tử (element nodal force vector). Chú ý rằng [K]e luôn là ma trận đối xứng. 2.1.2. Hệ nhiều phần tử lò xo Xét hệ 2 lò xo chịu các lực tập trung tại các nút 2, 3 là F2 = P, F3 = P. Nút 1 được giữ cố định. Hình 2.3. Hệ nhiều lò xo + Với phần tử thứ nhất (lò xo k1): k1 k1 u1 f11 k 1 1 k1 u2 f 2 + Với phần tử thứ hai (lò xo k2): k2 k 2 k2 u2 f12 k2 u3 f 22 với f i m là lực (bên trong) tác dụng lên nút i (local node i) của phần tử m. + Ghép nối các ma trận độ cứng phần tử thành ma trận độ cứng tổng thể. Với bài toán đơn giản này ta chỉ cần “mở rộng” các ma trận độ cứng của các phần tử 1, 2 (các bài toán phức tạp hơn ta dùng bảng chỉ số phần tử - sẽ trình bày ở ví dụ sau): 1 k1 k1 0 u1 f1 0 0 1 k k1 0 u2 f 2 và 0 k 2 1 0 0 0 u3 0 0 k 2 0 u1 0 k 2 u2 f12 k 2 u3 f 22 30 + Ghép 2 phương trình vector trên ta được: k1 k1 k k k 1 1 2 0 k2 0 u1 f11 k2 u2 f 21 f12 k2 u3 f 22 + Áp điều kiện biên và tải trọng u1 = 0, F2 = P, F3 = P ta được: ↔ k1 k1 k k k 1 1 2 0 k2 0 0 f11 F1 k2 u2 f 21 f12 P k2 u3 f 22 P F1 k1u2 và k1 k2 k 2 k2 u2 P k2 u3 P Các ẩn cần tìm là phản lực F1 đặt tại nút 1 và các chuyển vị u2, u3 2 P / k1 u2 + Giải các phương trình trên ta được: u3 2 P / k1 P / k2 và F1 2 P VD1. Cho hệ thống 3 lò xo có: k1 = 100 N/mm, k2 = 200 N/mm, k3 = 100 N/mm, P = 500 N, u1 = u4 = 0. Tìm: a. Ma trận độ cứng tổng thể b. Chuyển vị tại các nút 2 và 3 c. Phản lực tại các nút 1 và 4 Hình 2.4. Hệ 3 lò xo Giải. a. Ma trận độ cứng tổng thể + Các ma trận độ cứng phần tử: 100 100 200 200 100 100 , K 2 , K 3 100 100 200 200 100 100 K 1 + Từ đó ta tìm được ma trận độ cứng tổng thể của hệ lò xo: 31 u1 u2 u3 u4 100 0 0 100 100 100 200 200 0 K 0 200 200 100 100 0 100 100 0 ↔ u1 u2 u3 u4 0 0 100 100 100 300 200 0 K 0 200 300 100 0 100 100 0 Nhìn thấy ngay K là ma trận đối xứng và có dạng băng (symmetric and banded matrix). b. Chuyển vị tại các nút 2 và 3 + Phương trình cân bằng của cả hệ thống là: 0 0 u1 F1 100 100 100 300 200 0 u2 0 K q P 0 200 300 100 u3 P 0 100 100 u4 F4 0 + Áp đặt điều kiện biên (u1 = u4 = 0) ta được: 0 0 0 F1 100 100 100 300 200 0 u2 0 0 200 300 100 u3 P 0 100 100 0 F4 0 ↔ 300 200 u2 0 200 300 u P 3 u2 P / 250 2 u3 3P / 500 3 (*) (mm) c. Phản lực tại các nút 1 và 4 + Từ phương trình thứ nhất và thứ tư của phương trình (*): F1 = -100u2 = -200 (N) F4 = -100u3 = -300 (N) VD2. Lập ma trận độ cứng tổng thể cho hệ lò xo sau: 32 Hình 2.5. Hệ 4 lò xo Giải. + Lập bảng chỉ số tổng thể: Chỉ số cục bộ Nút đầu Nút cuối Phần tử ( Nút i ) ( Nút j ) (1) 4 2 (2) 2 3 (3) 3 5 (4) 2 1 + Các ma trận độ cứng phần tử: u4 u2 u2 k1 u4 k , k1 k1 u2 k k 2 K 1 1 u3 k k3 K 3 3 K 2 2 u5 u3 k2 u 2 , k2 u3 u2 k 3 u3 , k3 u5 k k 4 K 4 4 u1 k4 u 2 k4 u1 + Từ đó, ma trận độ cứng tổng thể: u1 k4 k 4 K 0 0 0 u2 u3 u4 u5 k4 k1 k2 k4 0 k2 0 k1 k2 k1 k 2 k3 0 0 k1 0 k3 0 0 0 k3 0 k3 u1 u2 u3 u4 u5 + SV tự tìm các chuyển vị và lực nút bằng máy tính (ví dụ Matlab). 33 2.2. Phần tử thanh (Bar, Truss or Spar element) 2.2.1. Hệ chỉ có một phần tử thanh Hình 2.6. Phần tử thanh - Một phần tử thanh có: + Hai nút (number of nodes): i, j + Chuyển vị nút (nodal displacements): ui, uj (m, mm) + Các lực nút (nodal forces): fi, fj (N) + Chiều dài ban đầu: L (m, mm) + Diện tích mặt cắt ngang: A (m2, mm2) + Mô đun đàn hồi kéo nén của vật liệu (còn gọi là suất Young - elastic modulus): E (Pa, N/m2, Psi) + Chuyển vị: u = u(x) + Ứng suất: σ = σ(x) + Biến dạng: ε = ε(x) - Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị: du dx (2.3) - Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng (định luật Hooke cho bài toán 1 chiều): E (2.4) a. Xác định ma trận độ cứng của phần tử thanh bằng phương pháp trực tiếp (direct approach) + Biến dạng của phần tử: u j ui L L (2.5) + Ứng suất bên trong phần tử: E E L (2.6) 34 Mặt khác đối với thanh chịu kéo nén đúng tâm: F A (2.7) Từ đó ta có lực tác dụng lên thanh: F với k EA k L (2.8) EA là độ cứng của thanh. L + Nhìn vào phương trình (2.8) ta thấy thanh phản ứng giống như một lò xo với độ cứng là k EA . Từ đó ta có ma trận độ cứng của thanh: L k K e k Hay: K e EA k L k EA L EA L EA L EA 1 1 L 1 1 (2.9) + Từ đó phương trình cân bằng phần tử là: EA 1 1 ui f i L 1 1 u j f j b. Xác định ma trận độ cứng của phần tử thanh bằng hàm dạng (formal approach) + Phần tử chỉ có 2 bậc tự do là 2 chuyển vị dọc trục ở 2 nút i, j nên chuyển vị dọc trục u(x) của cả phần tử chỉ có thể là xấp xỉ tuyến tính: u x a1 a2 x Hay: 0 x L u x N qe với vector chuyển vị nút (vector các bậc tự do phần tử) : T qe q1 , q2 e u1 , u2 e T + Theo công thức (*) ở VD1 chương 1, ta có ma trận các hàm dạng: N e N1 x x x N 2 x 1 L L + Từ đó, ma trận tính biến dạng: 35 x x 1 1 1 1 1 1 L L L L L x B N + Đây là bài toán 1 chiều nên [D] = [E] = E, ma trận cứng phần tử (element stiffness matrix) tính theo (1.22): L 1 1 1 EA 1 1 E 1 1 Adx L1 L L 1 1 0 T K e B D B dV Ve 2.2.2. Hệ có nhiều phần tử thanh VD3. Xét bài toán thanh dưới đây theo PPPTHH với sơ đồ hai phần tử. Biết chiều dài thanh là 2a, EF không đổi. Thanh chịu tải trọng phân bố đều dọc trục, cường độ q = const. Hình 2.7. Thanh chịu tải trọng phân bố đều dọc trục Các bước giải như sau: a. Bước 1 - Thực hiện rời rạc hóa vật thể khảo sát bởi việc định rõ các nút, các phần tử. Rồi thực hiện đánh số nút, đánh số phần tử. + Trong bài toán thanh đơn giản này, ta chia thanh thành 2 phần tử là phần tử (1) và (2) bởi hệ thống 3 điểm nút 1, 2, 3. + Sau đó trên sơ đồ kết cấu đã được rời rạc hóa, ta thiết lấp bảng chỉ số: Chỉ số cục bộ Nút đầu Nút cuối Phần tử ( Nút i ) ( Nút j ) (1) 1 2 (2) 2 3 36 b. Bước 2 - Thiết lập ma trận độ cứng phần tử K e rồi thực hiện ghép nối các phần tử để xây dựng ma trận cứng tổng thể K + Nhận xét rằng do 2 phần tử có chiều dài và độ cứng như nhau nên dễ thấy là K 1 = K 2 . Cụ thể: 1 K 1 2 EF 1 1 a 1 1 2 K 2 chỉ số tổng thể của phần tử (1) 3 1 2 chỉ số tổng thể của phần tử (2) EF 1 1 a 1 1 2 3 + Thực hiện ghép nối các phần tử 1 2 3 chỉ số tổng thể toàn kết cấu 1 2 1 1 EF K 1 1 1 a dx 1 1 1 0 EF K 2 1 a dx 1 ↔ 3 c. Bước 3 - Thiết lập vector tải phần tử Pe rồi thực hiện ghép nối các phần tử để xây dựng vector tải tổng thể P . + Dễ thấy trong bài toán này P1 = P2 . Do lực phân bố dọc trục nên theo (1.23): x 1 L qa 1 T Pe N p( x) dx q dx x 2 1 0 0 L a P1 qa 1 2 1 a 1 2 và P2 qa 1 2 1 2 3 + Thực hiện ghép nối, với chú ý là do tại các nút 2 và nút 3 không có tải trọng tập trung cho T trước, còn tại nút 1 có phản lực R nên vector tải trong nút P là: P = R 0 0 n n + Và khi đó vector tải tổng thể: 37 qa R 1 R 2 qa P = 1 1 0 qa 2 1 0 qa 2 + Vậy ta có hệ phương trình K q P như sau: qa q 2 R 1 1 0 1 EF q qa 2 1 2 a dx 1 q3 qa 2 d. Bước 4 - Áp đặt điều kiện biên Rõ ràng theo sơ đồ kết cấu đã cho thì chuyển vị của nút 1 là bằng 0, hay q1 =0. Vậy hệ thống phương trình để giải sẽ nhận được bằng cách xóa đi các hàng và cột tương ứng q1 =0, tức là xóa hàng 1, cột 1 của hệ phương trình trên. Như vậy, phương trình K * q* P* như sau: EF 2 1 q2 qa 2 a 1 1 q3 2 1 e. Bước 5 - Giải hệ phương trình này ta tìm được chuyển vị nút q2 và q3 q2 qa 2 3 q q3 2 EF 4 * + Và như vậy tất cả các chuyển vị nút là đã biết, cụ thể: q1 0 qa 2 q q2 3 2 EF 4 q3 + Từ đó vector chuyển vị nút {q}e của mỗi phần tử cũng hoàn toàn xác định. Cụ thể: q q1 1 q2 2 qa 2 0 q2 qa 3 và q 2 2 EF 3 q3 2 EF 4 + Và biểu đồ chuyển vị của mỗi phần tử cũng hoàn toàn xác định như sau: u1 x N q1 N1 x .q1 N 2 x .q2 38 u2 x N q2 N1 x .q2 N 2 x .q3 Hình 2.8. Biểu đồ chuyển vị dọc trục (u) và lực dọc (N) f. Bước 6 - Xác định nội lực trong các phần tử Do hàm chuyển vị là tuyến tính nên dễ thấy rằng biến dạng dọc trục x trên từng phần tử. Do đó ứng suất x E x const và du const dx lực dọc N e F x EF x EF Bqe cũng là không đổi trên suốt chiều dài mỗi phần tử. Cụ thể, lực dọc trong phần tử (1) và phần tử (2): 1 N1 EF B q1 EF a 0 1 3 3qa 2 qa a 2 2 EF 1 N 2 EF B q2 EF a 3qa 2 1 2 EF qa a 4qa 2 2 2 EF - Để thấy rõ hơn bản chất của PP PTHH thông qua ví dụ này, ta so sánh với lời giải chính xác của bài toán theo cách làm thông thường trong môn học Sức bền vật liệu (đường chấm chấm trong hình). Theo Sức bền vật liệu, nếu sử dụng phương trình cân bằng biểu diễn qua chuyển vị dọc trục u x ta sẽ nhận được phương trình vi phân chủ đạo của bài toán thanh chịu biến dạng dọc trục, trong trường hợp tổng quát có dạng : d du EF q x 0 dx dx và các diêu kiên biên 39 trong đó q x là cường độ tải trọng phân bố dọc trục thanh. Với bài toán đang khảo sát : EF = const, q x = q =const, phương trình vi phân và các điều kiện biên của bài toán là : EF Điều kiện biên : u N x0 d 2u q 0 ( 0 < x < 2a ) dx 2 0 du EF 0 x 2a dx x 2a Sử dụng phương pháp trực tiếp phương trình vi phân (a) và sử dụng các điều kiện biên (b) để xác định các hằng số tích phân. Dễ dàng nhận được kết quả chính xác của bài toán là : Hàm chuyển vị : u x Lực dọc : N EF q 4ax x 2 2 EF 0 x 2a du x qa 2 dx a - So sánh 2 kết quả nhận được tử PP PTHH và từ lời giải chính xác của bài toán ta có thể thấy một số nhận xét sau: + Giá trị chuyển vị tại các nút nhận được từ PP PTHH là trùng với kết quả chính xác. Còn giá trị nội lực là gần đúng và chỉ là giá trị trung bình. + Nếu tăng số nút lên (tức là chia thanh thành nhiều phần tử hơn) biểu đồ chuyển vị sẽ là một đa giác hàm nội tiếp và tiệm cận đến đường cong của nghiệm chính xác. Còn biểu đồ nội lực N có dạng đường chữ chi giật bậc xung quanh đường thẳng của nghiệm chính xác. Hình vẽ sau cho ta nghiệm của bài toán giải theo PP PTHH với sơ đồ 4 phần tử. Hình 2.9. Biểu đồ chuyển vị dọc trục (u) và lực dọc (N) theo sơ đồ 4 phần tử 40 + Tuy nhiên có thể thấy rằng giá trị nội lực được tính theo biểu thức N e EF B qe chỉ là nội lực do chuyển vị nút {q}e gây ra. Để có được giá trị lực dọc chính xác ta cần kể thêm thành phần lực dọc do tải trọng phân bố trong phạm vi phần tử khi xem các nút là được gắn cứng lại. Cụ thể: N Ne N0 Trong đó: N e là lực dọc do chuyển vị nút {q}e gây ra N 0 là lực dọc do tải trọng tác dụng trong phạm vi phần tử gây ra khi xem xét các nút là bị gắn cứng. Hình 2.10. Biểu đồ lực dọc (N) BT1. BT2. 41 2.2.3. Hệ thanh trong không gian hai chiều (2D) q2' j v'j q2' j v'j q2 = u2 q2 = u2 q2' j-1 uj' q2' j-1 uj' q2i' vi' q2i' vi' q1 = u1 q1 = u1 q2i' -1 ui' q2i' -1 ui' Hình 2.11. Hệ thanh trong không gian hai chiều (2D) + Trong dàn phẳng, khi tính theo phương pháp PTHH, người ta thường xem mỗi mắt dàn là một đỉnh nút, mỗi thanh là một phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục. Tại nút i bất kỳ, phần tử thanh có 2 bậc tự do là: chuyển vị theo phương ngang và phương đứng. Các bậc tự do này được ký hiệu là 2i-1 và 2i. + Xét phần tử thanh bất kỳ mà nút đầu và cuối của nó tương ứng với nút i và j theo hệ thống chỉ số tổng thể. Các nút này có các chuyển vị (bậc tự do) theo hệ tọa độ địa phương Oxy (phương của trục thanh) là qi và qj và theo hệ toạ độ tổng thể O’x’y’ là ( q2' i 1 , q2i' ) và ( q2' j 1 , q2' j ). Theo quan hệ hình học, dễ thấy rằng: qi q2' i 1cos q2' i sin ' ' q j q2 j 1cos q2 j sin với α là góc nghiêng giữa trục phần tử (nối từ nút đầu i đến nút cuối j) đối với trục ngang x’. + Từ đó ta có thể biểu diễn vector chuyển vị nút phần tử trong hệ toạ độ địa phương T T qe qi , q j e ui , u j e theo vector chuyển vị nút phần tử trong hệ toạ độ tổng thể T T q 'e q2' i 1 , q2' i , q2' j 1 , q2' j ui' , vi' , u 'j , v 'j như sau: qe T e q 'e (2x1) (2x4) (4x1) cos với T e 0 sin 0 0 cos 0 gọi là ma trận chuyển trục (transformation matrix). sin T e là ma trận trực giao( T Te T e1 ). + Vậy ma trận độ cứng phần tử trong hệ toạ độ tổng thể là: 42 cos sin T K 'e T e K e T e 0 0 0 0 EF 1 1 cos sin cos Le 1 1 0 0 sin 0 0 cos sin c 2 cs c 2 cs s 2 cs s 2 EF K 'e Le c2 cs s2 dx + Tính nội lực trong thanh: Theo công thức (1.20) và (2.4): x = [B]{q}e, và x = Ex nên lực dọc (nội lực) trong thanh được tính theo {q}e như sau: N e x F EF B qe Hoặc tính theo hệ toạ độ tổng thể, ta có thể tính lực dọc theo vector chuyển vị nút trong hệ toạ độ tổng thể {q’}e bằng cách thay {q}e = [T]e {q’}e: N e EF B T e q 'e S 'e q 'e với S 'e EF B T e gọi là ma trận tính nội lực. Hay: 1 L S 'e EF S 'e 1 cos L 0 EF cos L sin sin 0 0 cos cos sin 0 sin VD4. Tìm chuyển vị tại các nút và nội lực các thanh của dàn cho trong hình vẽ. Biết các thanh đứng và ngang có diện tích mặt cắt ngang là F, các thanh xiên là 2 F. 2 Đã cho hệ số E của vật liệu các thanh. 43 Các bước giải như sau: a. Bước 1 - Rời rạc hoá kết cấu (a) (b) + Đánh số nút và số phần tử như hình (a). Tại mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 chuyển vị thành phần của nút theo 2 trục của hệ trục toạ độ tổng thể như hình (b). Ta thiết lập được bảng chỉ số. + Để tiện cho việc tính toán sau này, ta lập bảng các đại lượng cần tính: 44 b. Bước 2 - Thiết lập các ma trận độ cứng phần tử (trong hệ toạ độ tổng thể) 7 8 3 4 5 6 1 2 1 0 1 0 0 EF K '1 K '5 1 a dx 0 0 0 0 5 7 6 8 1 4 2 3 7 8 1 2 7 1 1 1 1 1 1 1 EF K ' 2 1 1 4a 1 dx 8 1 2 5 6 7 8 1 2 3 4 0 0 0 0 1 0 1 EF K '3 K '6 0 0 a 1 dx 5 6 3 5 1 6 2 7 3 8 4 4 1 1 1 1 1 1 1 EF K '4 1 1 4a 1 dx 5 6 3 4 + Từ các ma trận độ cứng này, sử dụng bảng chỉ số, ta được ma trận độ cứng tổng thể: 1 2 3 4 5 6 7 8 5 1 0 0 4 0 1 1 5 0 4 0 0 1 1 5 1 0 1 1 4 5 1 1 0 0 EF K ' 4a 5 1 0 0 dx 5 0 4 5 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 45 c. Bước 3 - Xác định vector tải phần tử và vector tải tổng thể + Dễ thấy trên các thanh không có tải trọng tác dụng nên: P '1 P '2 P '3 .... P '6 0 Do đó vector tải tổng thể sẽ chỉ do vector tải trọng nút (tải trọng tập trung ở các nút kể cả các phản lực chưa biết) tạo nên. Cụ thể: P ' 0 P ' P ' n 0 P 0 0 P ' P 'n H3 V3 H4 V4 n 1 2 3 4 5 6 7 8 trong đó Hi, Vi là các phản lực theo phương ngang và phương đứng tại nút i. + Ta nhận xét rằng 4 thành phần đầu của vector tải tổng thể xác định trong khi 4 thành phần sau chưa biết. Tương tự, 4 thành phần đầu của vector chuyển vị nút chưa biết còn 4 thành phần sau đã biết và bằng 0. d. Bước 4 - Áp đặt điều kiện biên và xây dựng hệ phương trình để giải K '* q '* P '* + Như đã trình bày ở trên, do 4 thành phần chuyển vị q5' q6' q7' q8' 0 nên bằng cách xoá đi các hàng và các cột 5, 6, 7, 8 của ma trận K ' cũng như xoá đi các thành phần 5, 6, 7, 8 của vector tải tổng thể, ta thu được hệ phương trình để giải: ' 5 1 0 0 q1 0 ' 5 0 4 q 2 P EF 5 1 q' 0 4a 3 5 ' 0 dx q 4 + Giải hệ phương trình này ta tìm được 4 chuyển vị chưa biết: 46 q' 6 1 ' q 2 Pa 30 q '* ' q3 11EF 5 ' 25 q 4 e. Bước 5 -Tính nội lực trong các thanh + Sử dụng bảng chỉ số và q '* vừa tìm được, ta xác định được các vector chuyển vị nút phần tử q 'e 0 0 6 0 0 Pa Pa Pa 30 q '1 , q '2 , q '3 11EF 6 11EF 6 11EF 5 30 30 25 0 0 0 0 0 Pa Pa Pa 0 q '4 , q '5 , q '6 11EF 5 11EF 5 11EF 0 25 25 0 + Từ đó ta tính được nội lực trong các phần tử, ví dụ: Đối với phần tử (1), cosα = 1, sinα = 0: 0 EF Pa 0 6 N1 S '1 q '1 1 0 1 0 P a 11EF 6 11 30 Đối với phần tử (2), cosα = N 2 S '2 q '2 2 2 , sinα = EF 2 a 2 2 2 2 2: 2 2 0 2 Pa 0 6 2 P 2 11EF 6 11 30 47 BT1. Lập ma trận độ cứng cho hệ thanh sau: BT2. BT3. BT4. 48 2.2.4. Hệ thanh trong không gian ba chiều (3D) Hình 2.12. Hệ thanh trong không gian ba chiều + Tương tự như trong giàn phẳng, trong dàn không gian, khi tính theo phương pháp PTHH, người ta xem mỗi mắt dàn là một đỉnh nút, mỗi thanh là một phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục. Tại nút i bất kỳ, phần tử thanh có 3 bậc tự do là 3 chuyển vị theo 3 phương x’, y’, z’ của hệ toạ độ tổng thể O’x’y’z’. Các bậc tự do này được ký hiệu là 3i-2, 3i-1 và 3i. + Tương tự như trong giàn phẳng, vector chuyển vị nút phần tử trong hệ toạ độ địa phương T T e e vẫn là qe qi , q j ui , u j và vector chuyển vị nút phần tử trong hệ toạ độ tổng thể là T T q 'e q3' i 2 , q3' i 1 , q3' i , q3' j 2 , q3' j 1 , q3' j ui' , vi' , w i' , u 'j , v 'j , w 'j Quan hệ của chúng vẫn như sau: qe T e q 'e (2x1) (2x6) (6x1) lij mij Và T e 0 0 nij 0 0 0 , với lij , mij , nij là các cosin chỉ phương của đường nối 0 lij mij nij ij trong toạ độ tổng thể O’x’y’z’ và được xác định qua các toạ độ các đỉnh nút i, j bằng công thức hình học đơn giản: lij x 'j xi' Le , mij y 'j yi' Le , nij z 'j zi' Le + Vậy ma trận độ cứng phần tử trong hệ toạ độ tổng thể là: 49 lij2 EF K 'e T Te K e T e Le lijmij 2 ij m lijnij mijnij nij2 lij2 lijmij 2 ij lijmij lijnij m mijnij lij2 lijmij mij2 dx lijnij mijnij nij2 lijnij mijnij nij2 2.3. Phần tử dầm (Beam element) 2.3.1. Hệ chỉ có một phần tử dầm Hình 2.13. Hệ chỉ có một phần tử dầm + Xét phần tử dầm chịu uốn có chiều dài L, mặt cắt ngang không đổi. Như ở VD2, chương 1, chuyển vị của mọi điểm của dầm theo phương vuông góc với trục dầm v(x) được chọn là đa thức xấp xỉ bậc 3: v ( x ) a1 a2 x a3 x 2 a4 x 3 hay v( x ) P( x )a (*) x2 với ma trận các đơn thức P ( x ) 1 x và vector tham số a a1 a2 a3 x 3 T a4 + Từ điều kiện đồng nhất chuyển vị nút là các giá trị của hàm v(x) và đạo hàm bậc nhất của nó tại các điểm nút 1, 2 của phần tử, ta đựơc: qe Aa với qe là vector chuỷên vị nút phần tử, qe q1 q2 q3 T T q4 v1 1 v2 2 50 và 1 0 A 1 0 0 0 0 1 0 0 , L L2 L3 1 2 L 3L2 1 0 1 tồn tại ma trận nghịch đảo A 3 / L2 3 2/L 1 từ đó tìm được a A 0 0 1 0 2 / L 3 / L2 1 / L2 2 / L3 0 0 1 / L 1 / L2 qe + Thay a vào (*) ta biểu diễn đựơc hàm chuyển vị v(x) theo vector chuyển vị nút qe 1 v ( x ) P ( x ) a P ( x ) A với N N1 N2 N3 qe N qe (**) N 4 là ma trận các hàm dạng. Cụ thể: x2 x3 N1 ( x) 1 3 2 2 3 L L x x2 N 2 ( x) x 1 2 2 L L x2 x3 N3 ( x) 3 2 2 3 L L x x2 N 4 ( x) x 2 L L + Theo lý thuyết môn học Sức bền vật liệu, khi dầm chịu uốn, mặt cắt ngang của dầm vẫn phẳng và xoay đi một góc u y dv . Do đó chuyển vị dọc trục u và độ võng v có mối quan hệ: dx dv dx với y là khoảng cách từ điểm đang xét đến đường trung hoà. 51 Hình 2.14. Mặt cắt dọc của phần tử dầm + Khi đó, biến dạng dọc trục: x Dùng (**) ta thu được: x y với B y du d 2v y 2 dx dx d 2 N qe Bqe dx 2 d 2 N dx 2 x 4 x 6 x 2 x 6 B y ( 2 12 3 ) ( 6 2 ) ( 2 12 3 ) ( 6 2 ) L L L L L L L L + Ứng suất tại điểm bất kỳ : x E x 12 6L T 4 L2 EJ z + Ma trận độ cứng của phần tử: K e B D B dV 3 L Ve dx 12 6 L 6 L 2 L2 12 6L 4 L2 với J z y 2 dF là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục z. F + Đối với vector tải phần tử Pe , trường hợp tổng quát, khi trên chiều dài phần tử có tải trọng phân bố q(x), lực tập trung Qi và các mô men tập trung Mi, ta có thể tìm Pe theo công thức sau: nQ T n T M dN Pe N q( x)dx N ( xQi ) Qi ( xMi ) M i i 1 i 1 dx L T với: q(x) là lực phân bố trên chiều dài phần tử 52 Qi và xQi là lực tập trung và hoành độ điểm đặt lực trên toạ độ địa phương. Mi và xMi là mômen tập trung và hoành độ điểm đặt mômen trên toạ độ địa phương. nQ và nM là số lực tập trung và số mômen tập trung trên phần tử đang xét. Ví dụ vector tải phần tử trong một vài trường hợp cụ thể: Trường hợp tải trọng phân bố đều suốt chiều dài phần tử: Hình 2.15. Phần tử dầm với tải trọng phân bố đều x2 x3 qL 1 3 2 L2 L3 2 2 2 x x P1 qL x 1 2 P L L2 2 q.dx 12 Pe x2 x3 P3 L qL 3 2 2 3 P4 2 L L qL2 2 x x x 2 12 L L Trường hợp trên phần tử có lực tập trung Q đặt cách nút đầu phần tử khoảng cách xQ= a: Hình 2.16. Phần tử dầm có lực tập trung 53 a2 a3 1 3 L2 2 L3 a a 2 P1 a 1 2 L L2 P T 2 Pe N (a ) Q Q 2 3 a a P3 3 2 2 3 P4 L L a a2 a 2 L L + Để tìm mômen uốn nội lực trong phần tử dầm, theo giáo trình Sức bền vật liệu, trường hợp phần tử có tiết diện ngang không đổi, ta có: d 2v M ( x ) EJ z 2 dx Vậy nếu tính mômen uốn nội lực theo vector chuyển vị nút phần tử qe thì: M ( x ) EJ z với N '' d 2 N qe EJ z N ''qe dx 2 d 2 N N1'' 2 dx N 2'' N 3'' (***) N 4'' Từ (***) dễ thấy khi các hàm dạng N i x là các hàm nội suy Hecmit bậc 3 thì N i'' x là bậc nhất và do đó M ( x ) cũng là hàm bậc nhất (tuyến tính) trong phần tử. M (tai nut 1) M 1 Nếu gọi M e là vector mômen uốn tại các đầu nút phần tử M M ( tai nut 2) e 2 e N ''( x 0) M1 EJ z 6 L 4 L2 thì M e EJ z qe 3 L 6 L 2 L2 M 2 e N ''( x L) 6 L 2 L2 q 6 L 4 L2 e + Có thể thấy, tương tự như những phần trước, nếu trên chiều dài phần tử có lực tác dụng, cần cộng thêm mômen M0 do tải trọng này gây ra trên phần tử khi xem tất cả các nút này được gắn cứng. 54 2.3.2. Hệ có nhiều phần tử dầm VD5. Giải dầm liên tục bằng PP PTHH. Hình 2.17. Hệ có nhiều phần tử dầm Bài toán được giải theo các bước sau: a. Bước 1 - Rời rạc hoá kết cấu. + Đánh số các phần tử (1), (2) và đánh số nút 1, 2, 3. + Đánh số các bậc tự do các phần tử (các chuyển vị tại nút các phần tử): Trong bài này, để thuận tiện, ta chỉ đánh số các bậc tự do chưa biết, còn tất cả các bậc tự do = 0 sẽ ký hiệu số 0 (việc này chính là áp đặt điều kiện biên ngay từ đầu). Với bài này, ta dễ thấy chỉ có góc xoay tại nút 2 và 3 là ẩn số; và được đánh số 1, 2. Đó chính là 2 thành phần của vector chuyển vị * nút ẩn số q , hay: q * q 1 2 q2 3 + Lập bảng chỉ số: 55 b. Bước 2 - Thiết lập ma trận độ cứng phần tử: Dễ thấy K 1 K 2 , cụ thể: 0 0 12 6a 4a 2 EJ z K 1 3 a dx 0 1 0 12 6a 0 6a 2a 2 0 và 12 6a 0 4a 2 1 1 12 6a 4a 2 EJ z K 2 3 a dx 0 2 12 6a 6a 2a 2 12 6a 4a 2 0 1 0 2 c. Bước 3 - Ghép nối phần tử để tìm ma trận độ cứng tổng thể đã kể tới điều kiện biên K * + Chú ý rằng do ta đã áp đặt các điều kiện biên nên khi ghép nối phần tử, ta sẽ nhận được ma trận K * có kích thước (2x2). Lúc này, K * được ghép chỉ bởi các thành phần có chỉ số tổng thể khác 0 của K 1 và K 2 1 EJ 4a 2 4a 2 K * 3 z 2 a 2a 2 2a 2 4a 2 2 EJ 8a ↔ K * 3 z 2 2 a 2a 1 2a 2 4a 2 d. Bước 4 - Tìm vector tải phần tử Pe và vector tải tổng thể P * + Sử dụng các công thức tính Pe với chú ý là chiều dương qui ước của lực là cùng chiều dương của các trục toạ độ địa phương: qa 2 2 qa P1 12 qa 2 qa 2 12 qa 4 2 qa P2 16 qa 4 qa 2 16 0 0 0 1 0 1 0 2 + Cũng tương tự như trên, do không có tải trọng tập trung (lực hoặc mômen) ở các nút tương 0 từ đó vector tải tổng thể P *: ứng với các bậc tự do q1 , q2 nên P * n qa 2 qa 2 12 16 0 qa 2 1 P* 2 qa 0 48 3 16 56 e. Bước 5 - Giải hệ phương trình hệ thống 2 K * q * P * ↔ EJ z 8a a 3 2a 2 2a 2 q1 qa 2 1 4a 2 q 2 48 3 q 1 qa 3 1 Kết quả tìm được: q * 1 q 2 672 EJ z 11 f. Bước 6 - Chuyển vị nút các phần tử và tính nội lực (nếu cần) + Sau khi tìm được q * ta tìm được các vector chuyển vị nút các phần tử với sự trợ giúp của bảng chỉ số phần tử: 0 0 0 0 0 3 3 1 qa 0 1 qa 1 q1 q1 0 , q2 672 EJ z 0 0 672 EJ z 0 q q1 11 1 2 + Các vector mômen uốn (nội lực) của các phần tử do chuyển vị nút phần tử gây ra là: M 1 2 EJ z 6a 4a a 3 6a 2a 2 2 M 2 EJ z 6a 4a a 3 6a 2a 2 0 6a 2a 2 1 qa 3 0 qa 2 2 6a 4a 2 672 EJ z 0 672 4 1 0 6a 2a 1 qa 1 qa 2 18 6a 4a 2 672 EJ z 0 672 42 11 2 3 Từ M 1 và M 2 ta dễ dàng vẽ được biểu đồ (Mq) + Khi xem các nút là gắn cứng, ta cũng dễ dàng vẽ được biểu đồ (M0) do tải trọng trên các phần tử gây ra. Từ đó ta tìm được biểu đồ mômen uốn của dầm (M) = (Mq) + (M0) (nhân với hằng số qa 2 ): 672 57 Hình 2.18. Biểu đồ mômen uốn của dầm BT1. 58 BT2. BT3. 2.3.3. Phần tử dầm trong không gian hai chiều (2D) và ba chiều (3D) Hình 2.19. Phần tử dầm trong không gian hai chiều (2D) và ba chiều (3D) 59 + Như đã trình bày ở trên, trong hệ toạ độ địa phương Oxyz, chuyển vị v(x) của phần tử dầm chịu uốn được biểu diễn qua vector chuyển vị nút phần tử qe qe q1 q2 q3 T T q4 v1 1 v2 2 + Trong hệ toạ độ tổng thể O’x’y’z’, các chuyển vị nút v1 và v2 có thể phân thành các thành phần theo 2 phương x’ và y’. Khi đó, vector chuyển vị nút phần tử trong hệ toạ độ tổng thể q 'e có dạng: q 'e q1' q2' q3' q4' q5' T q6' u1' v1' 1' u2' T v2' 2' + Từ hình vẽ, ta dễ thấy mối quan hệ giữa các thành phần của qe và q 'e là: q1 sin .q1' cos .q2' q2 q3' ' ' q3 sin .q4 cos .q5 q4 q6' α là góc nghiêng giữa trục phần tử (nối từ nút đầu i đến nút cuối j) đối với trục ngang x’. Hay: qe T e q 'e (4x1) (4x6) (6x1) với ma trận chuyển: sin 0 T e 0 0 cos 0 0 0 0 0 1 0 0 sin 0 0 0 0 cos 0 0 0 0 1 + Vậy ma trận độ cứng phần tử trong hệ toạ độ tổng thể là: 12s 2 EJ z T K 'e T e K e T e 3 L 12cs 6 Ls 12 s 2 12c 2 6Lc 4 L2 12cs 6Ls 12s 2 dx 6Ls 12c 6Lc 6Lc 2 L2 12cs 6Ls 12c 2 6 Lc 4 L2 12cs 2 + Đối với hệ toạ độ tổng thể là không gian 3 chiều thì ta cũng làm tương tự để tìm ra được ma trận độ cứng tổng thể. 60 2.4. Các loại phần tử cơ bản Trong các phần trên ta đã xét 3 loại phần tử là phần tử lò xo, phần tử thanh và phần tử dầm. Ở phần này ta sẽ có được cái nhìn tổng quát về các loại phần tử cũng như tính chất và ứng dụng của chúng. 2.4.1. Giới thiệu chung Mỗi phần tử đều có 3 đặc trưng sau: bậc tự do, số nút và hàm xấp xỉ a. Bậc tự do + Như đã trình bày ở chương 1, bậc tự do của một nút là giá trị (và có thể cần cả giá trị đạo hàm) của hàm (hay đa thức) xấp xỉ cần phải tính (theo PP PTHH) tại nút. Đối với mỗi loại bài toán thì BTD là các đại lượng khác nhau. Ví dụ đối với bài toán ứng suất/biến dạng thì các BTD là các chuyển vị nút phần tử (chuyển vị thẳng, góc xoay); còn đối với bài toán truyền nhiệt thì các BTD là nhiệt độ tại mỗi nút. Do đó, đòi hỏi việc sử dụng phần tử khác nhau với mỗi phân tích khác nhau. + Sau đây là ví dụ về cách đánh số các BTD các phần tử trong phần mềm ABAQUS (Dassault Systèmes – Pháp): Chuyển vị thẳng theo trục x Chuyển vị thẳng theo trục y Chuyển vị thẳng theo trục z Góc quay quanh trục x Góc quay quanh trục y Góc quay quanh trục z Độ cong của mặt cắt hở của phần tử dầm Áp lực khí nén hoặc áp lực thuỷ tĩnh Điện năng Nhiệt độ 12+. Các đại lượng khác b. Số nút + Chuyển vị thẳng, góc quay, nhiệt độ và các loại bậc tự do khác được đề cập trong phần trước chỉ được tính toán tại các nút của phần tử. Tại bất kì các điểm khác của phần tử, ví dụ đối với bậc tự do là chuyển vị, thì chuyển vị thu được bởi phép nội suy các chuyển vị tại các nút. Thông thường bậc nội suy xác định bởi số nút sử dụng trong phần tử. 61 + Phần tử có các nút ở các đỉnh của nó, chẳng hạn như khối 8 nút sử dụng phép nội suy tuyến tính theo mỗi hướng và được gọi là phần tử tuyến tính hay phần tử bậc nhất. Phần tử với các nút ở giữa cạnh bên, như khối 20 nút sử dụng phép nội suy bậc hai và được gọi là phần tử bậc hai. Phần tử khối tứ diện với các nút giữa cạnh bên như phần tử tứ diện 10 nút sử dụng phép nội suy bậc hai sửa đổi và được gọi là phần tử bậc hai sửa đổi (modified second-order elements) Hình 2.20. Một số phần tử khối c. Hàm xấp xỉ (xem chương 1) 2.4.2. Một số phần tử cơ bản a. Phần tử lò xo- giảm chấn (spring and dashpot elements) + Phần tử lò xo và giảm chấn chỉ có thể chịu tải kéo hoặc nén. Nó không có khả năng chống uốn. + Bậc tự do: Hình 2.21. Phần tử lò xo- giảm chấn Phần tử lò xo chỉ có một bậc tự do là tịnh tiến tại mỗi nút. b. Phần tử thanh (Bar, Truss hay Spar element) + Phần tử thanh chỉ có thể chịu tải kéo hoặc nén. Nó không có khả năng chống uốn, do vậy, nó chỉ thích hợp với mô hình cấu trúc khung. Ngoài ra, phần tử thanh có thể được sử dụng thay thế cho cáp hoặc dây. + Bậc tự do 62 Hình 2.22. Phần tử thanh Phần tử thanh chỉ có một bậc tự do là tịnh tiến tại mỗi nút. Phần tử thanh hai chiều có bậc tự do 1 và 2 trong khi phần tử thanh ba chiều có các bậc tự do 1, 2 và 3 c. Phần tử dầm (Beam element) + Phần tử dầm được sử dụng với mô hình cấu trúc trong đó một kích thước (chiều dài) là lớn hơn đáng kể so với hai kích thước khác. + Bậc tự do Hình 2.23. Phần tử dầm Phần tử dầm có 2 BTD ở mỗi nút là 1 BTD tịnh tiến (1) và 1 BTD quay (6). Dầm hai chiều có 3 BTD tại mỗi nút: 2 BTD tịnh tiến (1 và 2) và 1 BTD quay (6) xung quanh mặt phẳng vuông góc của mô hình. Dầm 3 chiều có 6 BTD ở mỗi nút: 3 BTD tịnh tiến (1-3) và 3 BTD quay (46). d. Phần tử khối liên tục (Continuum element) Trong số các họ phần tử, phần tử khối có thể được sử dụng phổ biến nhất. Khái niệm, phần tử liên tục đơn giản là mô hình khối nhỏ 3D của vật liệu trong một vật thể. Chúng có thể liên kết được với các phần tử khác như khối trong một kiến trúc, có thể được sử dụng để xây dựng các mô hình gần giống bất kỳ hình dạng nào. 63 Phần tử khối 3 chiều (Three-dimensional continuum element) Phần tử liên tục ba chiều có thể là khối sáu mặt (brick), khối hình nêm, khối hình tháp hoặc khối tứ diện. Hình 2.24. Phần tử khối 3 chiều Phần tử khối 2 chiều (Two-dimensional continuum element) Phần tử hai chiều có thể có tiết diện là tứ giác hoặc tam giác. Có ba nhóm được sử dụng phổ biến nhất: Hình 2.25. Phần tử khối 2 chiều 64 + Phần tử ứng suất phẳng (Plane stress element): Được sử dụng trong các bài toán ứng suất phẳng. Bài toán ứng suất phẳng là bài toán có mô hình là một tấm mỏng chịu lực song song với mặt phẳng của cấu trúc. Theo đó, các ứng suất pháp và tiếp vuông góc với mặt phẳng xOy được cho là bằng 0: z xz yz 0 Hình 2.26. Phần tử ứng suất phẳng + Phần tử biến dạng phẳng (Plane strain element): Được sử dụng trong các bài toán biến dạng phẳng. Bài toán biến dạng phẳng là bài toán có mô hình là một hình trụ dài hoặc lăng trụ có tiết diện không đổi, chịu lực vuông góc trục của nó và không thay đổi dọc theo chiều dài. Theo đó, các biến dạng vuông góc với mặt phẳng xOy được cho là bằng 0: z xz yz 0 Hình 2.27. Phần tử biến dạng phẳng 65 + Phần tử đối xứng trục (Axisymmetric element): Được sử dụng trong các bài toán có mô hình đối xứng trục, chịu tải trọng cũng đối xứng trục. Phần tử khối hai chiều phải được định nghĩa trong mặt phẳng và các nút được đánh số theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Hình 2.28. Thứ tự đánh số các nút của phần tử khối 2 chiều + Bậc tự do: Tất cả phần tử khối liên tục có bậc tự do tịnh tiến tại mỗi node. Trong phần tử ba chiều, mỗi nút có 3 BTD là 1, 2, và 3, trong khi chỉ có 2 BTD 1 và 2 trong các phần tử plane strain, plane stress, và phần tử axisymmetric. e. Phần tử tấm, vỏ (Shell element) + Phần tử tấm, vỏ được dùng cho mô hình trong đó có một kích thước (chiều dày) nhỏ hơn nhiều so với 2 kích thước còn lại. Hình 2.29. Phần tử tấm, vỏ + Bậc tự do: Các phần tử tấm, vỏ có thể có 6 BTD tại mỗi nút hoặc 5 BTD ở mỗi nút (trừ BTD quay quanh trục vuông góc với mặt phẳng tấm. 66 CHƯƠNG 3. SỬ DỤNG ANSYS TRONG CAE 3.1. Khái niệm CAE - Trước hết ta phân biệt 3 khái niệm CAD/CAM/CAE: + Computer-aided design (CAD): Thiết kế chi tiết/kết cấu có sự trợ giúp của máy tính + Computer-aided manufacture (CAM): Điều kiển các quá trình gia công chi tiết + Computer-aided engineering (CAE): Phân tích, đánh giá, tối ưu hoá mô hình tạo ra từ quá trình CAD - Cụ thể hơn, công dụng của CAE là làm các tính toán, mô phỏng chi tiết tạo ra từ quá trình CAD để tìm phương pháp thiết kế tối ưu, giá rẻ nhất, thời gian nhanh nhất trên máy tính dựa trên các thuật toán (phần lớn là FEM). Hình 3.1. Mô hình CAD và mô hình PTHH - Khoảng ba thập kỉ trước khi mà kỹ thuật hardware còn yếu và kỹ thuật CAD 3 chiều chưa mạnh như bây giờ thì người ta dùng ngôn ngữ C hay Fortran để giải các bài toán FEM thì cần thiết phải có những kỹ sư chuyên môn về CAE để đọc kết quả mà máy tính đưa ra để phân tích. Gần đây với sự tiến bộ vượt bậc của kỹ thuật CAD 3D, nhất là ứng dụng của kỹ thuật Solid Modelling thì không cần đến các kỹ sư CAE chuyên môn, các kỹ sư bình thường cũng có thể xem xét và đánh giá các kết quả mô phỏng. Mặc dầu vậy những bài toán khó như giải tích va đập, biến hình lớn (các bài toán phi tuyến tính) thì vẫn còn cần các kỹ sư CAE chuyên môn để phân tích. - Các lĩnh vực ứng dụng của CAE là Cơ khí, Điện, Điện tử, Kiến trúc, Xây dựng, Thuỷ khí, Hóa học,.... Tùy theo mỗi ngành mà ứng dụng của CAE và phần mềm chuyên dụng khác nhau. Dưới đây là tên các phần mềm CAE chuyên dụng để ứng dụng cho từng lĩnh vực: 67 + Phân tích kết cấu: MSC.Nastran, ANSYS, ABAQUS, Amps, Mpact, CATIA Analysis, MSC.SIMDESIGNER, NX, ADVC + Phân tích dao động: Abaqus, ANSYS, MSC.Nastran, CATIA Analysis, NX + Phân tích âm thanh: LMS/VirtualLab.Acustics, Auto-SEA, ANSYS + Phân tích xung kích, va đập: Pam-Crash, LS-DYNA, ABAQUS, RADIOSS, Amps + Phân tích lưu thể CFD: FLUENT, STAR-CD, FLOW-3D, FloWizard, STRAEM, PHOENICS, Pam-Flow, DYNAFLOW, ANSYS CFX, NX + Phân tích điện từ trường: PHOTO-Series, MagNet6, JMAG-Studio, Pam-Cem, ANSYS + Phân tích hệ đa vật: MSC.ADAMS, LMS Virtual.Lab Motion, LMS DADS, FunctionBay RecurDyn NX + Phân tích điện áp: ANSYS - Ngoài ra trong lãnh vực chế tạo khuôn được ứng dụng rất nhiều: + Khuôn nhựa: 3DTIMON, PLANETS, Moldflow, SimpoeMold + Khuôn dập: Pam-Stamp, JSTAMP-Works, Autoform + Khuôn đúc: MAGMASOFT, Procast, ConiferCast, JSCAST, ADSTEFAN, CAPCAST, Pam-Cast, AnyCAST + Khuôn gỗ tạo hình khuôn cát: ArenaFlow + Khuôn rèn: MSC.SuperForge, DEFORM, FORGE3 - CAE chưa phát triển tại Việt Nam có thể do một số nguyên nhân chủ yếu như sau: + Giá cả: Một phần mềm CAE bao gồm trọn bộ Pre-Post Processors và Solver là tương đối đắt tiền. + Nhu cầu ứng dụng và ý thức trong sản xuất và phân phối sản phẩm: Các tập đoàn sản xuất lớn đều có cho mình một trung tâm thiết kế riêng. Quy mô sản xuất là rất lớn và vòng đời của một sản phẩm, chi tiết ngày càng được rút ngắn. Cạnh tranh ngày càng khốc liệt, đòi hỏi mỗi sản phẩm sản xuất ra đều phải không những đảm bảo chất lượng mà còn cần tối ưu hóa về kết cấu cũng như tiết kiệm nguyên vật liệu cho quá trình sản xuất hàng loạt. Chính vì vậy, mỗi sản phẩm sau quá trình thiết kế CAD đều được các công ty chuyển qua CAE để phân tích và tối ưu hóa. Chỉ khi quá trình CAE cho ra được kết quả hợp lý, sản phẩm thiết kế mới tiếp tục tiến hành sản xuất. Các doanh nghiệp Việt Nam quy mô sản xuất đa phần nhỏ lẻ, tính chuyên nghiệp chưa cao. Ngoài ra, ý thức phân phối một sản phẩm chất lượng, tối ưu hóa để mang tới lợi ích tốt nhất cho người sử dụng và bản thân mình vẫn chưa định hình trong suy nghĩ các nhà sản xuất,... 68 + Khả năng nắm bắt: So với CAD và CAM, CAE đòi hỏi một lượng kiến thức rộng và chuyên sâu hơn. Muốn trở thành một chuyên gia CAE, không những chỉ là kỹ năng sử dụng phần mềm, mà còn phải nắm bắt và hiểu được bản chất lý thuyết các hiện tượng (vật lý, cơ học, nhiệt,...) cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn, đặc trưng mô hình vật liệu, và rất quan trọng đó là việc lựa chọn các giải pháp tính toán thích hợp. Do vậy nếu không tự trang bị một lượng kiến thức cơ bản, chúng ta có thể sử dụng được phần mềm CAE nhưng chúng ta cũng sẽ hiểu mơ hồ về nó và không đánh giá nó một cách chính xác. Một kỹ sư có thể hào hứng với CAD và CAM, nhưng rất có thể bị nản và oải khi làm việc với CAE. Và lĩnh vực mới mẻ thì bao giờ cũng có nhiều khó khăn, cái gì cũng phải đi từng bước một. Tuy nhiên, theo một xu hướng tất yếu, CAE sẽ có một vị trí quan trọng trong tương lai gần ở Việt Nam. 3.2. Giới thiệu phần mềm Ansys Ansys là phần mềm CAE được phát triển từ những năm 1970 bởi công ty Ansys, Inc. đặt tại bang Pennsylvania, Hoa Kỳ. Hiện nay phiên bản mới nhất là Ansys 13 (tích hợp cả 2 môđun chủ yếu là Ansys Multiphysics và Ansys Workbench). 3.2.1. Các bước phân tích bài toán (Analysis phases) Cũng giống như bất kì phần mềm CAE nào, việc phân tích trong Ansys cũng có 3 bước chính: - Pre-processing: tiền xử lý, bao gồm: + Xây dựng mô hình (Model generation), + Định nghĩa loại phần tử (Define element type) + Định nghĩa vật liệu (Define material) + Chia lưới - tạo mô hình phần tử hữu hạn (Meshing) - Solution: giải, bao gồm: + Xác định loại phân tích (Analysis type) + Áp đặt tải trọng và các điều kiện biên (Specify loads and boundary conditions) + Các solver của phần mềm thực hiện giải - Post-processing: hậu xử lý, bao gồm: + Phân tích hình ảnh hoặc đưa ra kết quả + Kiểm tra kết quả 69 3.2.2. Hai phương pháp làm việc với Ansys Có 2 phương pháp làm việc với Ansys: dùng GUI (Graphical User Interface) và dùng câu lệnh APDL (Ansys Parametric Design Language). Dùng GUI trực quan nên dễ sử dụng hơn tuy nhiên dùng câu lệnh APDL có những ưu điểm sau: + Người dùng có thể tạo ra Input file, thụân tiện khi thay đổi giá trị của tham số (kết hợp với các lệnh vòng lặp, các lệnh có điều kiện). + Tạo ra các Macro file và sử dụng chúng như một hàm tự định nghĩa. Trong môn học này ta sẽ tập trung tìm hiểu phương pháp dùng câu lệnh APDL. 3.2.3. Các nhóm lệnh cơ bản trong Ansys - Ta nhập lệnh vào cửa sổ Input Field. Ansys sẽ thực hiện từng dòng lệnh một từ trên xuống dưới. Các câu lệnh có dạng như sau: K, NPT, x, y, z ! Lệnh tạo keypoint - Ta có thể tìm hiểu về bất cứ lệnh nào bằng lệnh Help: Help, K !Tìm hiểu về lệnh K - Sau đây là một số nhóm lệnh thường gặp: 70 71 72 73 3.2.4. Các phần tử trong Ansys Bảng các phần tử dưới đây cho ta hình dung về hệ thống các phần tử do Ansys cung cấp. Để tìm hiểu kĩ về các phần tử, ta có thể dùng lệnh Help 74 75 76 77 78 79 3.3. Phân tích cấu trúc tĩnh (Static analysis) Trong các loại phân tích (Analysis type) thì phân tích cấu trúc (Structural analysis) được dùng nhiều trong cơ khí. Phân tích cấu trúc được chia thành các loại nhỏ sau: + Phân tích cấu trúc tĩnh (Static analysis): Dùng để tìm biến dạng, ứng suất, ...khi lực và điều kiện biên áp đặt lên mô hình không đổi theo thời gian. + Phân tích modal (Modal analysis): Dùng để tìm các tần số tự nhiên và các mode shape của mô hình. + Phân tích điều hoà (Hamornic analysis): Dùng để tìm phản ứng của cấu trúc khi chịu tải trọng biến đổi điều hoà (sin, cos) theo thời gian. + Phân tích động lực (Transient dynamic): Dùng để tìm phản ứng của cấu trúc khi chịu tải trọng biến đổi bất kỳ theo thời gian. + Phân tích Eigenvalue Buckling: Dùng để tìm các tải trọng Buckling và dạng Buckling của cấu trúc (Buckling là một dạng phá huỷ của cấu trúc khi chịu tải trọng nén lớn). Trong phạm vi môn học, ta chỉ dừng lại ở các bài toán Phân tích cấu trúc tĩnh (Static analysis). 80 3.3.1. Giải hệ lò xo bằng Ansys VD1. Viết Input file bằng APDL để tìm biến dạng (deformed shape), lực và chuyển vị ở từng nút . Hình 3.2. Hệ lò xo /filnam,spring !Specify jobname /prep7 !Enter preprocessor et,1,14 !Specify element type 1 as Combin14 r,1,1000 !Specify real constant set 1, VALUE 1=1000 (spring constant) r,2,500 !Specify real constant set 2, VALUE 1=500 (spring constant) n,1,0,0,0 !Define node 1 at (x,y,z)=(0,0,0) n,2,1,0,0 !Define node 2 at (x,y,z)=(1,0,0) n,3,2,0,0 !Define node 3 at (x,y,z)=(2,0,0) n,4,2,0,0 !Define node 4 at (x,y,z)=(2,0,0) nlist !List the nodes and node locations /pnum,node,1 !Set plotting option so that node numbers show on plots. e,1,2 !Define a Combin14 element with end nodes 1 and 2. real,2 !Set the active real constant set to set number 2 (k=500). e,2,3 !Define a Combin14 element with end nodes 2 and 3. e,2,4 !Define a Combin14 element with end nodes 2 and 4. /solu !Enter solution processor. d,1,all,0 !Constrain node 1, all dof, to zero. d,3,all,0 !Constrain node 3, all dof, to zero. 81 d,4,all,0 !Constrain node 4, all dof, to zero. d,2,uy,0 !Constrain node 2, UY dof, to zero. d,2,uz,0 !Constrain node 2, UZ dof, to zero. f,2,fx,-4000 !Apply a force of magnitude 4000 lb. to node 2 in negative x-dir. solve !Obtain the solution. /post1 !Enter the general postprocessor. plnsol,u,x !Plot a color contour showing nodal UX displacements. prrf !Print the reaction forces. prdi !Print the nodal displacements. save !Save all information to a binary file named “spring.db” /eof !Exit ANSYS. BT1. Xét lại VD2, chương 2. Viết Input file bằng APDL để tìm biến dạng (deformed shape). Tìm lực và chuyển vị ở từng nút 3.3.2. Giải hệ thanh bằng Ansys VD1. Viết Input file bằng APDL để giải BT1, chương 2: 82 FINISH /clear /TITLE, Simple Truss /FILNAM,Problem_1a /PREP7 ! start Pre-processor ET, 1, link1 ! define Element type MP,ex,1,210000 ! E-Modul 210 000 N/mm2 R,1,2000 ! Cross-section Area 2000 mm2 N,1, 0, 0, 0 N,2, 1000, 0, 0 N,3, 2000, 0, 0 N,4, 1000, 1000, 0 ! define the nodes NPLOT,1 ! plot the nodes with numbers E, 1, 4 ! define elements between nodes E, 2, 4 E, 3, 4 FINISH ! finish Pre-processor SAVE,Problem_1a, db ! save the Problem /SOLU ! start solution processor D,1,all,0 ! define boundary conditions on nodes D,2,all,0 0 D,3,all,0 F,4,fx,1000 ! define forces on nodes F,4,fy,1500 SOLVE ! solve the problem FINISH ! finish solver /POST1 ! start Post-processor PLDISP,1 ! Plot displacements PRNS,U,COMP ! list displacements ETABLE,SAXL_I,LS, 1 ! write results in a table 83 ETABLE,SAXL_J,LS, 1 PLLS,SAXL_I,SAXL_J,1,0 ! plot data Lx=Nx(4)+Ux(4) ! calculate the new length of the spars Ly=Ny(4)+Uy(4) L1=sqrt(Lx*Lx+Ly*Ly) L2=sqrt(Ux(4)*Ux(4)+Ly*Ly) L3=sqrt((Nx(3)-Lx)*(Nx(3)-Lx)+Ly*Ly) *status all ! list all variables to the output window FINI ! finish Post-processing BT1. Viết Input file bằng APDL để tìm chuyển vị và ứng suất trong các thanh BT2. Viết Input file bằng APDL để giải BT2, chương 2: 84 BT3. Viết Input file bằng APDL để giải bài toán sau: Cross-sectional area of truss members = 3.0E-4 m2; Modulus of Elasticity = 2.07E11 N/m2. Circled numbers shown are node numbers. 6 7 8 2 3 4 F= 125 N F= 100 N 3m 1 3m 3m 3m 5 3m 3.3.3. Giải hệ dầm bằng Ansys VD1. Viết Input file bằng APDL để giải bài toán sau: Determine the end deflection and root bending stress of a steel cantilever beam modeled as a 2D problem. Hình 3.3. Hệ dầm chịu uốn /FILNAM,beam1 /title 2D Beam Sample Problem 1 - 10 elements /prep7 !List of Nodes n, 1, 0.0, 0.0 ! Node 1 is located at (0.0, 0.0)inches 85 n, 2, 1.0, 0.0 n, 3, 2.0, 0.0 n, 4, 3.0, 0.0 n, 5, 4.0, 0.0 n, 6, 5.0, 0.0 n, 7, 6.0, 0.0 n, 8, 7.0, 0.0 n, 9, 8.0, 0.0 n, 10, 9.0, 0.0 n, 11, 10.0, 0.0 et, 1, beam3 ! Element type; no.1 is beam3 !Material Properties mp, ex, 1, 3.e7 ! Elastic modulus for material number 1 in psi mp, prxy, 1, 0.3 ! Poisson’s ratio ! Real constant set 1 for a 0.5 x 0.375 rectangular xsctn beam. ! Area, Izz (flexural Inertia), height 'h' as in sigma = Mc/I, c = h/2 ! A = 0.1875 sq.in., Izz = 0.0022 in^4, h = 0.375 inch r, 1, 0.1875, 0.0022, 0.375 !List of elements and nodes they connect en, 1, 1, 2 ! Element Number 1 connects nodes 1 & 2 en, 2, 2, 3 en, 3, 3, 4 en, 4, 4, 5 en, 5, 5, 6 en, 6, 6, 7 en, 7, 7, 8 en, 8, 8, 9 en, 9, 9, 10 en, 10, 10, 11 !Displacement Boundary Conditions 86 d, 1, ux, 0.0 ! Displacement at node 1 in x-dir is zero d, 1, uy, 0.0 ! Displacement at node 1 in y-dir is zero d, 1, rotz, 0.0 ! Rotation about z axis at node 1 is zero !Applied Force f, 11, fy, -50. ! Force at node 11 in negative y-direction is 50 lbf. /pnum, elem, 1 ! Plot element numbers eplot ! Plot the elements finish /solu ! Select static load solution antype, static solve save finish /post1 etable, stress-x, s, max ! Create a table of element stress values BT1. Viết Input file bằng APDL tìm lực cắt và mômen uốn tại các nút. BT2. Viết Input file bằng APDL để giải VD5, chương 2 (University of Alberta - ANSYS Tutorials): 87 3.3.4. Giải mô hình 2D bằng Ansys VD1. Viết Input file bằng APDL để giải bài toán ứng suất phẳng sau: Hình 3.4. Hệ ứng suất phẳng /CLEAR /FILNAME,problem_3b /TITLE,plate with a hole (bootom up) /PREP7 ! start preprocessor ET,1,42,,,3 ! define element type 42, keyopt3=3 R,1,1 ! define the thickness MP,ex,1,210000 ! define E-Moduls k,1,2,0 k,2,10,0 k,3,10,10 k,4,0,10 88 k,5,0,2 csys,1 l,5,1 csys,0 a,1,2,3,4,5 /pnum,line,1 lplot lcca,3,4 lesize,1,,,10 lesize,2,,,10 lesize,5,,,10 lesize,3,,,5 lesize,4,,,5 aplot amesh,1 fini /Solu lplot DL,2,,symm DL,5,,symm sfl,3,pres,10 solv fini /post1 PLNSOL,s,eqv 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. [2]. [3]. 90