Wiskunde 2
Analyse
Bachelor 1 OPT
Chris Van den Eynde
Odisee - Technologiecampus Gent
2022
Inhoudsopgave
1 Limieten van veelterm- en rationale functies
1
1.1 Inleidende begrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1 De uitgebreide reële rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2 Veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.3 Rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2 Begrip limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1 Definitie limiet: intuitieve benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.2 Definitie van de linker- en rechterlimiet . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.3 Opmerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3 Rekenregels voor limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4 Berekenen van limieten van veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5 Berekenen van limieten van rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
∞
1.5.1 De onbepaalde vorm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
∞
0
1.5.2 De onbepaalde vorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0
r
1.5.3 De onbepaalde vorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0
1.5.4 Samengevat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Toepassing: asymptoten van rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1 Definitie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.2 De horizontale asymptoot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.3 De verticale asymptoot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.4 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i
Wiskunde 2 –1 OPT – Inhoudsopgave
ii
2 Afgeleiden
18
2.1 Definitie - Betekenis van de afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Definitie afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Meetkundige betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Afgeleide functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Het berekenen van afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Fundamentele afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.3 Voorbeelden: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.4 Kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.5 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.6 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Toepassing: bepaling van de raaklijn aan de grafiek van een functie . . . . . . 27
2.3.1 Herhaling: De richtingscoëfficiënt van een rechte . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 De raaklijn aan de grafiek van een functie in een punt van die grafiek . 31
2.4 Afgeleiden van hogere orde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2
Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3 Toepassing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 De afgeleide van een vectorfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.1 Definitie van een vectorfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.3 De afgeleide van een vectorfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Berekenen van limieten met afgeleiden: de regel van de l’Hospital . . . . . . . 34
2.7 Stijgen en dalen, maxima en minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.1 Het stijgen en dalen van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.2 De maxima en de minima van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7.3 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8 Toepassing: Extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8.1 Werkwijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8.2 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.9 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Wiskunde 2 –1 OPT – Inhoudsopgave
iii
3 Het onderzoek van een functie in R
50
3.1 Een functie in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2 Rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Bepalen van asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Stijgen en dalen, maxima en minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Het stijgen en dalen van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 De maxima en de minima van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Schema voor het onderzoek van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.1 Voorbeeld 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.2 Voorbeeld 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 De differentiaal van een functie
63
4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Meetkundige betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Integralen
67
5.1 De onbepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.2 Definities en notaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.3 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.4 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.5 Basisintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1.6 Integratiemethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 De bepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.2 Definitie en meetkundige betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.3 Berekening en notaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.4 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.5 Invloed van de integratiemethoden op de integratiegrenzen . . . . . . 79
5.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Wiskunde 2 –1 OPT – Inhoudsopgave
iv
6 Toepassingen op de integraalrekening
87
6.1 Berekenen van oppervlakten van vlakke figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2
Gemiddelde waarde van een continue variabele . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3 Arbeid berekenen voor een veranderlijke kracht . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4 Differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7 Oplossingen oefeningen
96
7.1 Oplossingen hoofdstuk 1 (Limieten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2 Oplossingen hoofdstuk 2 (Afgeleiden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 Oplossingen hoofdstuk 3 (Verloop van functies) . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4 Oplossingen hoofdstuk 4 (Differentialen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5 Oplossingen hoofdstuk 5 (Integralen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.6 Oplossingen hoofdstuk 6 (Toepassingen op de integraalrekening) . . . . . . . 108
Hoofdstuk 1
Limieten van veelterm- en rationale
functies
Doelstellingen:
• limieten kunnen berekenen van veeltermfuncties en rationale functies
• asymptoten kunnen berekenen van rationale functies
1.1
Inleidende begrippen
1.1.1
De uitgebreide reële rechte
Definitie
Aangezien de verzameling R geen kleinste en geen grootste element bezit, is de verzameling
R onbegrensd.
We definiëren de uitgebreide reële rechte R:
R = R ∪ {−∞, +∞}
(1.1)
Deze verzameling is wel begrensd vermits we −∞ definiëren als het getal waarvoor geldt:
∀x ∈ R : x > −∞
(1.2)
en we definiëren +∞ als het getal waarvoor geldt:
∀x ∈ R : x < +∞
1
(1.3)
Wiskunde 2
2
Rekenregels
In de uitgebreide reële rechte R gelden de volgende rekenregels:
(+∞) + (+∞) = +∞
(1.4)
(−∞) + (−∞) = −∞
(1.5)
(+∞) − (−∞) = +∞
(1.6)
(−∞) − (+∞) = −∞
(1.7)
(+∞) · (+∞) = +∞
(1.8)
(−∞) · (−∞) = +∞
(1.9)
(+∞) · (−∞) = −∞
(1.10)
(−∞) · (+∞) = −∞
(1.11)
∀r ∈ R+
0 : r · (+∞) = +∞
(1.12)
∀r ∈ R+
0 : r · (−∞)
∀r ∈ R−
0 : r · (+∞)
∀r ∈ R−
0 : r · (−∞)
= −∞
(1.13)
= −∞
(1.14)
= +∞
(1.15)
∀r ∈ R : r + (+∞) = +∞
(1.16)
∀r ∈ R : r + (−∞) = −∞
(1.17)
r
+∞
r
∀r ∈ R :
−∞
∀r ∈ R :
+∞
r
+ −∞
∀r ∈ R0 :
r
− +∞
∀r ∈ R0 :
r
− −∞
∀r ∈ R0 :
r
∀r ∈ R+
0 :
= 0
(1.18)
= 0
(1.19)
= +∞
(1.20)
= −∞
(1.21)
= −∞
(1.22)
= +∞
(1.23)
Wiskunde 2
3
Onbepaaldheden
In de uitgebreide reële rechte R zijn de volgende uitdrukkingen onbepaald:
(+∞) + (−∞)
(1.24)
(−∞) + (+∞)
(1.25)
(+∞) − (+∞)
(1.26)
(−∞) − (−∞)
(1.27)
0 · (+∞)
(1.28)
0 · (−∞)
(1.29)
∀r ∈ R :
r
0
(1.30)
∞
0
(1.31)
∞
∞
(1.32)
Afspraak
met ∞ bedoelen we +∞ of −∞
1.1.2
Veeltermfuncties
• Een reële functie f : R → R koppelt aan elk element van R hoogstens 1 ander element
van R. Het reëel getal dat door f aan x geassocieerd wordt, noteren we als f (x) en
wordt het beeld van x onder f genoemd.
• Afhankelijk van het functievoorschrift is het mogelijk dat voor een gegeven x ∈ R, het
beeld van x niet gedefinieerd is. De verzameling van alle reële getallen die een beeld
hebben onder f noemen we het definitiegebied of domein van de functie: domf .
• Een reële veelterm van graad n in x is een som van termen, waarbij elke term het
product is van een reëel getal en een macht van x. De hoogst voorkomende macht van
x is de n-de macht. De algemene vorm van zo’n veelterm is:
an · xn + an−1 · xn−1 + · · · + a0
Wiskunde 2
4
met
an , an−1 , · · · , a0 ∈ R, an ̸= 0, n ∈ N
De reële getallen an , an−1 , · · · , a0 zijn de coëfficiënten van de veelterm.
De graad van de veelterm is de exponent van de hoogste macht van x die voorkomt.
• Een veeltermfunctie is een functie van de vorm
f : R → R : x → an · xn + an−1 · xn−1 + · · · + a0
Het domein van een veeltermfuncties is steeds gelijk aan R, d.w.z. dat elk element van
R een beeld heeft.
1.1.3
Rationale functies
Functies als
5x
x−5
x2 − 3x + 1
f2 : x →
2x − 1
1
f3 : x → 4
x −1
f1 : x →
waarbij f (x) een quotiënt is van twee veeltermen noemen we rationale functies.
Rationale functies zijn niet gedefinieerd in de eventuele nulpunten van de noemer, ze
hebben daar dus geen functiewaarde. Bijvoorbeeld:
domf1 = {x ∈ R : x − 5 ̸= 0} = R \ {5}
1
domf2 = {x ∈ R : 2x − 1 ̸= 0} = R \
2
domf3 = {x ∈ R : x4 − 1 ̸= 0} = R \ {1}
Toch kan het interessant zijn na te gaan hoe de functie zich in de buurt van deze punten
gedraagt. Dit brengt ons bij het begrip ’limiet’.
1.2
Begrip limiet
1.2.1
Definitie limiet: intuitieve benadering
We gaan hier niet in op de exacte definitie van het begrip limiet, maar beperken ons tot het
berekenen van limieten. De notatie
lim f (x) = L
x→a
(1.33)
Wiskunde 2
5
betekent: als x voldoende dicht a nadert, dan nadert de functiewaarde f (x) de waarde L.
Voorbeeld:
x2 − 1
x→−1 x + 1
lim
Indien we in dit voorbeeld een testwaarde a naar −1 laten naderen, nadert de functiewaarde
f (a) naar −2 (controleer met de rekenmachine). Dit wordt gedefiniëerd als, de limiet van
f (x) voor x naderend naar −1 is −2, notatie:
x2 − 1
= −2
x→−1 x + 1
lim
1.2.2
Definitie van de linker- en rechterlimiet
Voorbeeld:
f (x) =
x
|x|
Onderzoeken we f in een voldoende kleine omgeving van 0. Indien we een testwaarde
langs de rechterkant laten naderen naar 0, dan nadert de functiewaarde naar 1; nadert de
testwaarde langs de linkerkant naar 0, dan nadert de functiewaarde naar −1 (controleer
grafisch). In dit geval spreken we van een rechter- en linkerlimiet.
Notaties:
x
= −1
x→0 | x |
lim
<
x
=1
x→0 | x |
lim
>
Algemeen:
• L is de linkerlimiet van f (x) voor x naderend naar a, notatie:
lim f (x) = L
x→a
<
(1.34)
als f (x) willekeurig dicht bij L kan komen zodra x (x < a) voldoende dicht bij a
gekozen wordt.
• L is de rechterlimiet van f (x) voor x naderend naar a, notatie:
lim f (x) = L
x→a
>
(1.35)
als f (x) willekeurig dicht bij L kan komen zodra x (x > a) voldoende dicht bij a
gekozen wordt.
Wiskunde 2
1.2.3
6
Opmerkingen
• Indien
lim f (x)
x→a
bestaat, dan geldt
(1.36)
lim f (x) = x→a
lim f (x) = x→a
lim f (x)
x→a
<
>
• Als
lim f (x) ̸= x→a
lim f (x)
x→a
>
<
dan bestaat lim f (x) niet.
x→a
1.3
Rekenregels voor limieten
Deze rekenregels gelden voor willekeurige functies f en g maar in de voorbeelden en oefeningen gebruiken we steeds veeltermfuncties of rationale functies.
Deze rekenregels gelden voor x → a met a ∈ R of a = ±∞.
We kunnen onderstaande rekenregels samenvatten als volgt:
• de limiet van een som is de som van de limieten:
lim (r · f (x) ± s · g(x)) = r · lim f (x) ± s · lim g(x)
x→a
x→a
x→a
∀r, s ∈ R
(1.37)
• de limiet van een product is het product van de limieten:
lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x)
x→a
x→a
x→a
(1.38)
• de limiet van een quotiënt is het quotiënt van de limieten:
f (x)
limx→a f (x)
=
x→a g(x)
limx→a g(x)
(1.39)
lim
• de limiet van een macht is de macht van de limiet:
n
lim (f (x)n ) = lim f (x)
x→a
x→a
tenzij je daardoor een onbepaalde vorm krijgt.
∀n ∈ R
(1.40)
Wiskunde 2
1.4
7
Berekenen van limieten van veeltermfuncties
• Voor een willekeurig getal c ∈ R is de limietwaarde gelijk aan de functiewaarde:
lim (an · xn + an−1 · xn−1 + · · · + a0 ) = f (c) = an · cn + an−1 · cn−1 + · · · + a0 (1.41)
x→c
Voorbeeld:
lim (3x2 + x − 2) = 3.12 + 1 − 2 = 2
x→1
• De limiet in +∞ of in −∞ van een veeltermfunctie is de limiet in +∞ of in −∞ van
haar hoogste graadsterm:
lim (an · xn + an−1 · xn−1 + · · · + a0 ) = lim (an · xn )
x→±∞
x→±∞
(1.42)
Voorbeeld:
lim (−3x3 + 4x − 1)
x→±∞
–
lim (−3x3 + 4x − 1) = lim (−3x3 ) = −3 · (+∞)3 = −3 · (+∞) = −∞
x→+∞
x→+∞
–
lim (−3x3 + 4x − 1) = lim (−3x3 ) = −3 · (−∞)3 = −3 · (−∞) = +∞
x→−∞
x→−∞
• Samengevat:
– De limiet van een veeltermfunctie in een willekeurig punt x ∈ R is steeds de
functiewaarde.
– Om de limiet van een veeltermfunctie op oneindig te bepalen volstaat het om
enkel de limiet van de hoogstegraadsterm te bepalen.
(Opgave 2. en 3.)
Wiskunde 2
1.5
8
Berekenen van limieten van rationale functies
f (x) =
an · xn + an−1 · xn−1 + . . . + a0
bm · xm + bm−1 · xm−1 + . . . + b0
We beschouwen
lim f (x)
x→a
waarbij a ∈
/ dom f , d.w.z. a is een nulpunt van de noemer of a = ±∞.
(Als a ∈ dom f , dan is de limietwaarde terug gelijk aan de functiewaarde.)
1.5.1
De onbepaalde vorm
∞
∞
– De limiet in +∞ of in −∞ van een rationale functie is de limiet in +∞ of in −∞
van het quotiënt van de hoogste graadstermen :
lim
x→±∞
an · xn + an−1 · xn−1 + . . . + a0
bm · xm + bm−1 · xm−1 + . . . + b0
= lim
x→±∞
an · xn
bm · xm
(1.43)
– Voorbeeld 1:
lim
3x + 5
x→+∞ 2x2 + x + 1
= lim
3x
x→+∞ 2x2
= lim
3
x→+∞ 2x
=
3
=0
2 · (+∞)
– Voorbeeld 2:
3x2 − x + 5
3x2
3
3
=
lim
= lim
=
x→−∞ 2x2 + x + 1
x→−∞ 2x2
x→−∞ 2
2
lim
– Voorbeeld 3:
3x3 − 5x + 1
3x3
3x2
3 · (−∞)2
= lim
= lim
=
= +∞
x→−∞
x→−∞ 8x
x→−∞ 8
8x − 3
8
lim
1.5.2
De onbepaalde vorm
0
0
– Is de limiet in a ∈ R van een rationale functie de onbepaalde vorm 00 , dan ontbinden we de teller en noemer en delen we de factor x − a weg. De gegeven
rationale functie heeft dezelfde limiet als de nieuwe rationale functie die we vormen met behulp van de gevonden quotiënten.
Wiskunde 2
9
– Voorbeeld:
lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 3x + 2
=
0
0
(x + 1) · (x − 1)
x→−1 (x + 1) · (x + 2)
x−1
= lim
x→−1 x + 2
−2
=
1
= −2
= lim
1.5.3
De onbepaalde vorm
r
0
r
met r ∈ R0 , dan
0
moet er een tekenonderzoek van die functie uitgevoerd worden.
– Is de limiet in a ∈ R van een functie f (x) de onbepaalde vorm
– De volgende gevallen kunnen voorkomen:
1.
lim f (x) = −∞ ∧ x→a
lim f (x) = −∞ ⇒ lim f (x) = −∞
x→a
<
x→a
>
2.
lim f (x) = +∞ ∧ x→a
lim f (x) = +∞ ⇒ lim f (x) = +∞
x→a
<
x→a
>
3.
lim f (x) = −∞ ∧ x→a
lim f (x) = +∞ ⇒ lim f (x) = /
x→a
<
>
x→a
4.
lim f (x) = +∞ ∧ x→a
lim f (x) = −∞ ⇒ lim f (x) = /
x→a
<
>
x→a
5.
lim f (x) = −∞ ∧ x→a
lim f (x) = / ⇒ lim f (x) = −∞
x→a
<
>
x→a
6.
lim f (x) = +∞ ∧ x→a
lim f (x) = / ⇒ lim f (x) = +∞
x→a
<
>
x→a
7.
lim f (x) = / ∧ x→a
lim f (x) = −∞ ⇒ lim f (x) = −∞
x→a
<
>
x→a
8.
lim f (x) = / ∧ x→a
lim f (x) = +∞ ⇒ lim f (x) = +∞
x→a
<
>
x→a
Wiskunde 2
10
– Voorbeeld:
x
lim
x→−1 (x + 1)2
x
x
(x + 1)2
−∞
−
+
−
x
(x+1)2
−1
−
0
|
∞
−
+
−
=
−1
= ? ∞ ⇒ tekenonderzoek
0
0
0
+
0
+∞
+
+
+

x
= −∞ 

2

x→−1 (x + 1)


lim
<

x


lim
=
−∞


x→−1 (x + 1)2
⇒ lim
x
x→−1 (x + 1)2
= −∞
>
1.5.4
Samengevat
– limiet in oneindig:
lim f (x) = lim
x→±∞
x→±∞
an · xn
bm · xm
– limiet in a, nulpunt van de noemer:
* a is ook een nulpunt van de teller: teller en noemer ontbinden in factoren en
de factor (x−a) wegdelen, vervolgens verder werken met de vereenvoudigde
functie.
* a is geen nulpunt van de teller: het resultaat zal ±∞ zijn; het teken wordt
bepaald door een tekenonderzoek van de functie uit te voeren.
(Opgave 4., 5. en 6.)
Wiskunde 2
11
1.6
Toepassing: asymptoten van rationale functies
1.6.1
Definitie:
Beschouw f : D → R : x → y = f (x) met D ⊂ R.
De asymptoot is een rechte waartoe de grafiek van de functie f (x) bij onbeperkte
voortzetting (tot in het oneindige) onbeperkt dicht nadert. Hoewel de grafiek de
asymptoot voortdurend benadert, raakt hij deze nooit.
1.6.2
De horizontale asymptoot
– De rechte met vergelijking y = a (a ∈ R) is een horizontale asymptoot (H.A.)
voor de grafiek van de functie f (x)
⇔
lim f (x) = a ∈ R
y
y
a
a
H.A.↔ y = a
x
0
(1.44)
x→−∞
H.A.↔ y = a
x
0
of
⇔
lim f (x) = a ∈ R
x→+∞
y
a
0
(1.45)
y
H.A.↔ y = a
x
– Een functie kan 0, 1 of 2 H.A. hebben.
a
0
H.A.↔ y = a
x
Wiskunde 2
1.6.3
12
De verticale asymptoot
– De rechte met vergelijking x = b (b ∈ R) is een verticale asymptoot (V.A.) voor
de grafiek van de functie f (x)
⇔
lim f (x) = ±∞
V.A.: x = b
y
a
0
(1.46)
x→b
<
y
V.A.: x = b
b
x
0
x
of
⇔
y
0
lim f (x) = ±∞
y
V.A.: x = b
b
(1.47)
x→b
>
x
– Een functie kan 0, 1, 2, . . ., ∞ V.A. hebben.
0
V.A.↔ x = b
b
x
Wiskunde 2
1.6.4
13
Voorbeeld
f (x) =
2x + 6
x−4
1. dom(f (x)) = R \ {4}
2. tekenonderzoek van f (x):
x
2x + 6
x−4
f (x)
−∞
−
−
+
−3
0
−
0
+
−
−
4
+
0
|
∞
+∞
+
+
+
3. H.A.:
2x + 6
2x
= lim
= 2 ∈ R ⇒ 1 H.A.
x→±∞ x − 4
x→±∞ x
lim f (x) = lim
x→±∞
H.A. ↔ y = 2 voor x → ±∞
4. V.A.:
V.A. ↔ x = 4
2x + 6
= −∞
x→4 x − 4
lim f (x) = lim
x→4
<
<
2x + 6
= +∞
x→4 x − 4
lim f (x) = lim
x→4
>
(Opgave 7. t.e.m. 9.)
>
Wiskunde 2
1.7
14
Opgaven

 2x + 1 als x < 1
4 − x als 1 ≤ x ≤ 3
1. Gegeven: f (x) =

x
als x > 3
Gevraagd: Bereken op een grafische manier:
(a) lim f (x)
x→3
(b) lim f (x)
x→1
2. Bereken volgende limieten.
(a) lim (x4 − 4x + 1)
x→0
5x2 − 4
x→0 x + 1
(b) lim
(c) lim (x2 + 4x + 1)
x→2
(d) lim (−2x3 + x2 − 6)
x→−3
x
x→4 x + 1
(e) lim
3. Bereken volgende limieten.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
lim (1 − x − 5x3 )
x→±∞
lim (10x2 + x3 )
x→±∞
lim (1 − x + 5x3 )
x→±∞
lim (x2 − 6x − 7)
x→±∞
lim (x5 − x4 + 1)
x→±∞
lim (1 − x2 )(1 + x2 )
x→±∞
lim
(8 + 11x2 − 4x)(1 − 3x)
lim
x6 (x − 2) − x5 (x2 − 3)
x→±∞
x→±∞
Wiskunde 2
15
4. Bereken volgende limieten.
3x + 5
(a) lim 2
x→±∞ x − 7x + 3
(b)
3x − 2
x→±∞ 9x + 7
(c)
4x2 − x + 1
x→±∞ 2x2 − 6x + 8
(d)
2x3
x→±∞ x2 + 1
(e)
5x2 − 4
x→±∞ 2x + 3
(f)
x2 − 4
x→±∞ (1 − x)(2x + 7)
(g)
(x2 + 2) · (x − 1)
x→±∞
4 − x3
(h)
(5 + 8x2 − 4x)(3x + 1)
x→±∞ (7x + 3 − 6x2 )(1 + 2x)
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
5. Bereken volgende limieten.
x2 − 25
x→5 x − 5
(a) lim
x3 − 1
x→1 x − 1
(b) lim
x2 − x − 12
x→4
x−4
(c) lim
x3 − 4x2 + 5x − 2
x→1 x3 − 2x2 + 2x − 1
(d) lim
x3 − x2 − 8x + 12
x→2 3x3 − 10x2 + 4x + 8
(e) lim
−6x2 − x + 1
2
x→− 21 −10x − x + 2
(f) lim
(x − 1)3
x→1 x2 − 4x + 3
(g) lim
Wiskunde 2
16
6. Bereken volgende limieten.
1
(a) lim
x→1 (x − 1)2
(b) lim
x−3
x→1 x2 − 1
x2 + 1
x→0 2x(1 − x)
(c) lim
x2 + 2x − 3
x→2 (x − 2)2
(d) lim
x2 + 2x − 3
x→2
x−2
(e) lim
x3 + 2x2 + x
x→−1 x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
(f) lim
7. Bepaal voor onderstaande functies:
(a) dom f (x)
(b) de vergelijking van alle horizontale asymptoten
(c) de vergelijking van alle verticale asymptoten
(a) f (x) =
1
x
3x
x−4
2
(c) f (x) =
1−x
4 − 8x
(d) f (x) =
5x
5
(e) f (x) = 2
x − 3x + 2
2x
(f) f (x) = 2
x −1
1
(g) f (x) =
x · (x − 1)
(b) f (x) =
1
x2
+
2
x
x
(i) f (x) =
1 + 3x2
(h) f (x) =
Wiskunde 2 –1 OPT – Inhoudsopgave
17
8. Een patiënt krijgt via een injectie een geneesmiddel toegediend. De concentratie
van het medicijn in het bloed wordt gegeven door de functie:
c(t) =
12t
t2 + 2
met c de concentratie in mg/l en t de tijd in uren nadat het medicijn is toegediend.
Ga na dat er op lange termijn geen sporen meer van het geneesmiddel in het
bloed te vinden zijn.
9. Een bioloog stelde vast dat de massa van een pompoen kan beschreven worden
door een logistisch groeimodel:
M (t) =
2750
1 + 10 · e−0.5t
Hierbij is t de tijd, uitgedrukt in maanden en M de massa, uitgedrukt in gram.
Toon aan dat de massa van de pompoen schommelt tussen 250 gram en 2750
gram.
Hoofdstuk 2
Afgeleiden
Doelstellingen:
1. het begrip afgeleide kennen
2. rekenregels voor afgeleiden kennen en kunnen toepassen
3. de vergelijking van de raaklijn in een punt van de grafiek van een functie kunnen
opstellen
4. hogere orde afgeleiden van een functie kunnen bepalen
5. limieten kunnen berekenen met behulp van de regel van de l’Hospital
6. vectorfuncties kunnen afleiden
7. afgeleiden kunnen gebruiken in de toegepaste vakken: uit de baanvergelijking de snelheid en de versnelling kunnen bepalen
8. het tekenonderzoek van Df (x) kunnen geven en het tekenonderzoek van Df (x) kunnen aanvullen om aan te duiden waar f (x) stijgt, daalt, maxima en minima bereikt
9. eenvoudige extremumvraagstukken kunnen oplossen
18
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
19
2.1
Definitie - Betekenis van de afgeleide
2.1.1
Definitie afgeleide
Een rechte heeft de merkwaardige eigenschap dat de helling in elk punt dezelfde is. Maar bij
de meeste grafieken van functies is de helling van punt tot punt verschillend. De afgeleide
van een functie is een maat voor die lokale helling van de grafiek in elk punt en levert
bijgevolg informatie over het verloop van de functie.
Beschouw de functie y = f (x) waarvan de grafiek getekend is in figuur 2.1 en s de rechte
(koorde) door de punten P en Q op de grafiek van f (x).
De richtingscoëfficiënt (rico) van de rechte s wordt gegeven door:
rico(s) =
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a)
=
(a + h) − a
h
(2.1)
Merk op: de toename h (tussen de x-coördinaat van P en die van Q) wordt ook genoteerd
als ∆x en heet de differentie van x. De bijbehorende toename van f nl. f (a + h) − f (a)
noteert men dan als ∆f of ∆y en heet de differentie van f of y . Het quotiënt
f (a + ∆x) − f (a)
∆f
∆y
=
=
∆x
∆x
∆x
(2.2)
wordt dan het differentiequotiënt genoemd.
De raaklijn r aan de grafiek van f in het punt P (a, f (a)) is de limietstand van de koorde s
voor Q → P of nog voor h → 0. De richtingscoëfficiënt van r is bijgevolg ook de limiet voor
h → 0 van het differentiequotiënt:
f (a + h) − f (a)
h→0
h
rico(r) = lim rico(s) = lim
h→0
(2.3)
De richtingscoëfficiënt van r bepaalt precies de lokale helling van de grafiek van f in het
punt P (a, f (a)) en wordt daarom als definitie genomen van de afgeleide van de functie f in
het punt a.
We komen op deze manier tot volgende definitie van afleidbaarheid van een functie en
afgeleide van een functie:
Zij f een functie en a ∈ D ⊂ domf ; als de limiet
f (a + ∆x) − f (a)
∆f
f (a + h) − f (a)
= lim
= lim
∆x→0
∆x→0 ∆x
h→0
h
∆x
lim
(2.4)
bestaat en eindig is, is f afleidbaar of differentieerbaar in het punt a. De waarde van deze
limiet wordt dan de afgeleide van f in a genoemd.
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
20
y = f(x)
y
.
r
Q
f(a+h)
s
∆y
∆y
P
f(a)
∆x
h = ∆x
a
a+h
x
Figuur 2.1: Raaklijn in het punt (a, f (a)
2.1.2
Notatie
De afgeleide van f in a wordt genoteerd met
Df (a) =
df (a)
= f ′ (a)
dx
(2.5)
Het concept van de afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd
uitgevonden door Isaac Newton en Gottfried Leibnitz; vandaar de verschillende notaties.
• De letter D komt van het Engelse derivate.
d
• De notatie dx (Leibnitz notatie) sluit aan bij de notatie van het differentiequotiënt.
Deze notatie biedt het voordeel dat je kunt aangeven naar welke veranderlijke je moet
afleiden.
Let wel: alhoewel de afgeleide geschreven wordt als een quotiënt van differentialen is
de afgeleide geen quotiënt, maar de limiet van een quotiënt:
Df (a) = f ′ (a) =
df (a)
df
f (a + ∆x) − f (a)
=
(a) = lim
∆x→0
dx
dx
∆x
(2.6)
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
2.1.3
21
Meetkundige betekenis
De afgeleide van een functie f in een punt x ∈ R is dus de helling (richtingscoëfficiënt) van
de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (x, f (x)). Het teken van de afgeleide in een punt
x geeft aan of de functie stijgend of dalend is in de omgeving van x. Als de afgeleide strikt
positief is in een bepaald punt, zal de functie stijgen in de omgeving van dat punt. Als de
afgeleide strikt negatief is in een bepaald punt, zal de functie dalen in de omgeving van dat
punt. Als f ′ (a) = 0 voor een zekere a ∈ R zal de raaklijn aan de grafiek van f in het punt
(a, f (a)) horizontaal zijn.
2.1.4
Afgeleide functie
• Indien de afgeleide van een functie f in elk punt x ∈ D ⊂ domf bestaat, dan kunnen
we de afgeleide functie definiëren, die elk reëel getal x afbeeldt op zijn afgeleide. Ze
wordt genoteerd met
df (x)
Df (x) =
= f ′ (x) = y ′
(2.7)
dx
• Voorbeeld: Bereken, via de definitie, de afgeleide functie van f (x) = x :
– We bepalen eerst het differentiequotiënt:
f (x + ∆x) − f (x)
((x + ∆x)) − (x)
x + ∆x − x
∆x
∆y
=
=
=
=
=1
∆x
∆x
∆x
∆x
∆x
– Toepassing van de definitie van de afgeleide (2.6):
f ′ (x) = lim
∆y
∆x→0 ∆x
= lim 1 = 1
∆x→0
(Opgave 1.)
2.2
Het berekenen van afgeleiden
Alle rekenregels kunnen met behulp van de definitie worden afgeleid, maar dat is niet de
bedoeling van deze cursus. Om de afgeleide van een willekeurige functie te kunnen bepalen,
moet men de rekenregels en de afgeleiden van enkele basisfuncties kennen.
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
2.2.1
22
Rekenregels
Zij f en g functies van x; c een willekeurig reëel getal.
Buitenbrengen van een constante c (c ∈ R):
D(c · f ) = c · Df
(2.8)
D(f ± g) = Df ± Dg
(2.9)
D(f · g) = Df · g + f · Dg
(2.10)
f
Df · g − f · Dg
=
g
g2
(2.11)
Som- en verschilregel:
Productregel:
Quotiëntregel
D
Merk op:
D(f · g) ̸= Df · Dg
D
2.2.2
f
g
̸=
Df
Dg
Fundamentele afgeleiden
r∈R
Dr = 0
Dxq = qxq−1
D loga x =
1 1
·
x ln a
q∈Q
a ∈ R+
0 \ {1}
D ln x =
1
x
(2.12)
x ∈ R+
0
Dax = ax · ln a
Dex = ex
a ∈ R+
0
(2.13)
x ∈ R+
0
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
23
D cos x = − sin x
x in radialen
(2.18)
D sin x = cos x
x in radialen
(2.19)
1
cos2 x
x in radialen
(2.20)
1
sin2 x
x in radialen
(2.21)
1
1 − x2
(2.22)
1
1 − x2
(2.23)
1
1 + x2
(2.24)
1
1 + x2
(2.25)
D tan x =
D cot x = −
D Bgcosx = − √
D Bgsinx = √
D Bgtanx =
D Bgcotx = −
2.2.3
Voorbeelden:
1.
f (x) = x5
Df (x)
=
D(x5 )
(4.6)
5x4
=
2.
f (x) = 5t2 − 3t − 7
Df (x)
=
D(5t2 − 3t − 7)
(2.9)
D(5t2 ) + D(−3t) + D(−7)
=
(2.8)(4.5)
=
(4.6)
5.Dt2 − 3 · Dt + 0
=
5·2·t−3·1
=
10t − 3
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
24
3.
f (x) = (x − 3)(x + 7)
⇔ f (x) = x2 + 7x − 3x − 21 = x2 + 4x − 21
Df (x)
=
D(x2 + 4x − 21)
(2.9)
D(x2 ) + D(4x) + D(−21)
=
(2.8)(4.5)
=
(4.6)
D(x2 ) + 4 · Dx + 0
=
2x + 4 · 1
=
2x + 4
4.
f (x) =
1
2x4
Df (x)
D
(2.8)
1
D(x−4 )
2
1
· (−4)x−5
2
2
− 5
x
(4.6)
=
=
5.
f (x) =
Df (x)
=
D
=
=
1
2x4
x−6
x+5
x−6
x+5
(2.11)
(x + 5) · D(x − 6) − (x − 6) · D(x + 5)
(x + 5)2
(4.6)
(x + 5) · 1 − (x − 6) · 1
(x + 5)2
x+5−x+6
11
=
2
(x + 5)
(x + 5)2
=
=
=
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
25
6.
f (x) = x · cos x +
Df (x)
ex
x
ex
D x · cos x +
x
ex
D(x · cos x) + D
x
=
(2.9)
=
(2.10)(2.11)
(Dx) · cos x + x · (D cos x) +
=
(4.6)(4.11)(4.10)
=
cos x − x · sin x +
7.
f (x) =
Df (x)
=
(2.8)(4.6)
=
=
=
(Dex ) · x − ex · (Dx)
x2
x · ex − ex
x2
√
4 x
x2
1 D 4x 2 −2
1
1
−2−1
− 2 x2
4·D
2
1
4 · (− 32 )Dx 2 −3
√
6· x
− 3
x
8.
f (x) = 2 · x3 + 7 · tan x
Df (x)
=
D 2 · x3 + 7 · tan x
(2.9)
=
D(2 · x3 ) + D(7 · tan x)
(2.8)
2 · Dx3 + 7 · D tan x
1
2 · 3 · x2 + 7 ·
cos2 x
7
6 · x2 +
cos2 x
=
(4.6)(4.13)
=
=
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
2.2.4
26
Kettingregel
In de voorgaande regels kan men x ook vervangen door een functie van x: u(x). Dit is
dan een (samengestelde) functie van x van de vorm y = f (u) met u = u(x) of kortweg
y = f (u(x)). In dat geval bepaalt men eerst de afgeleide functie van f en vermenigvuldigt
deze met de afgeleide van u. Dit noemt men de kettingregel.
2.2.5
Dy = Dx f (u(x)) = Du f (u(x)) · Dx u(x)
(2.26)
D (f (x))q = q (f (x))q−1 · Df (x)
(2.27)
Rekenregels
D loga (f (x)) =
q∈Q
1
1
·
· Df (x) a ∈ R+
0 \ {1}
f (x) ln a
D ln (f (x)) =
1
· Df (x)
f (x)
f (x) ∈ R+
0
(2.28)
f (x) ∈ R+
0
(2.29)
a ∈ R+
0
(2.30)
Daf (x) = af (x) · ln a · Df (x)
Def (x) = ef (x) · Df (x)
(2.31)
D cos(f (x)) = − sin(f (x)) · Df (x)
(2.32)
D sin(f (x)) = cos(f (x)) · Df (x)
(2.33)
D tan(f (x)) =
1
· Df (x)
(2.34)
1
· Df (x)
sin (f (x))
(2.35)
cos2 (f (x))
D cot(f (x)) = −
2
1
· Df (x)
D Bgcos(f (x)) = − p
1 − (f (x))2
(2.36)
1
· Df (x)
D Bgsin(f (x)) = p
1 − (f (x))2
(2.37)
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
27
D Bgtan(f (x)) =
1
· Df (x)
1 + (f (x))2
(2.38)
1
· Df (x)
1 + (f (x))2
(2.39)
D Bgcot(f (x)) = −
2.2.6
Voorbeelden
1. f (x) = (x2 + 2)3
Stel: (x2 + 2)3 = y = f (u) met u = x2 + 2 = u(x)
dan
D(x2 + 2)3 = Du f (u(x)) · Dx u(x)
= 3(x2 + 2)2 · Dx u(x)
= 3(x2 + 2)2 · D(x2 + 2)
= 3(x2 + 2)2 · D(x2 ) + D(2)
= 3(x2 + 2)2 · 2x
= 6x · (x2 + 2)2
2. f (x) = 4 · sin3 2x
Df (x) = D(4 · sin3 2x)
= 4 · D(sin3 2x)
= 4 · D (sin 2x)3
= 4 · 3 · (sin 2x)2 · D(sin 2x)
= 12 · sin2 2x · cos 2x · D(2x)
= 12 · sin2 2x · cos 2x · 2 · Dx
= 24 · sin2 2x · cos 2x
(Opgave 2. t.e.m. 6.)
2.3
Toepassing: bepaling van de raaklijn aan de grafiek van een
functie
2.3.1
Herhaling: De richtingscoëfficiënt van een rechte
• De rechte a door de twee verschillende punten P1 (x1 , y1 ) en P2 (x2 , y2 ) heeft als vergelijking
y2 − y1
· (x − x1 )
x1 ̸= x2
(2.40)
y − y1 =
x2 − x1
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
met
28
y2 − y1
(x1 ̸= x2 ) de richtingscoëfficiënt van de rechte a
x2 − x1
• Beschouw de rechte a0 evenwijdig met de rechte a en door de oorsprong 0 en noem α
de hoek tussen de x-as en de rechte a0 , bepaald in tegenwijzerszin vanaf de positieve
x-as. De richtingscoëfficiënt kan dan ook als volgt gedefinieerd worden
α ∈ [0◦ , 180◦ [ \ {90◦ }
rico(a) = tan α
(2.41)
y
a
P2
y2
y2 − y1 a0
P1
y1
α
x1
0
rico(a) = tan α =
α
x2 − x1
x
x2
y2 − y1
x2 − x1
α ∈ [0◦ , 180◦ [ \ {90◦ }
x1 ̸= x2
• Bijzonder geval: als x2 − x1 = 1, dan is rico(a) = y2 − y1 .
y
a
rico(a)
1
0
1
x
(2.42)
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
29
• Toelichting
– Als de rechte a evenwijdig is met de x-as, dan is rico(a) = 0; als rico(a) = 0, dan
is de rechte a evenwijdig met de x-as.
y2 − y1
* a ∥ x-as ⇔ y1 = y2 ⇔ rico(a) = x − x = 0
2
1
◦ ⇔ rico(a) = tan α = 0
a
∥
x-as
⇔
α
=
0
*
y
P1
P2
x1
x2
a
y1 = y2
0
x = a0
– Als de rechte a strikt stijgend is ((x1 < x2 ⇒ y1 < y2 ) ∨ (x1 > x2 ⇒ y1 > y2 )),
dan is rico(a) > 0; als rico(a) > 0, dan is de rechte a strikt stijgend.
* a is strikt stijgend ⇔ y2 − y1 en x2 − x1 hebben zelfde teken
y2 − y1
>0
⇔ rico(a) =
x2 − x1
◦
◦
* a is strikt stijgend ⇔ 0 < α < 90 ⇔ rico(a) = tan α > 0
y
a
P2
y2
a0
y1
0
P1
α
x1
x2
x
– Als de rechte a evenwijdig is met de y-as, dan is rico(a) niet gedefinieerd of
rico(a) = ∞; als rico(a) niet gedefinieerd is of rico(a) = ∞, dan is de rechte a
evenwijdig met de y-as.
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
30
y2 − y1
* a ∥ y-as ⇔ x1 = x2 ⇔ rico(a) = x − x = ∞
2
1
◦
* a ∥ y-as ⇔ α = 90 ⇔ rico(a) = tan α = ∞
y = a0
a
y2
P2
y1
P1
α
x
x1 = x2
0
– Als de rechte a strikt dalend is ((x1 < x2 ⇒ y1 > y2 ) ∨ (x1 > x2 ⇒ y1 < y2 )), dan
is rico(a) < 0; als rico(a) < 0, dan is de rechte a strikt dalend.
* a is strikt dalend ⇔ y2 − y1 en x2 − x1 hebben tegengesteld teken
y2 − y1
⇔ rico(a) =
<0
x2 − x1
◦
◦
* a is strikt dalend ⇔ 90 < α < 180 ⇔ rico(a) = tan α < 0
y
y1
P1
P2
y2
a
0
α
x1
x2
x
a0
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
2.3.2
31
De raaklijn aan de grafiek van een functie in een punt van die grafiek
• Zoals reeds besproken in paragraaf 2.1.1 is de afgeleide Df (a) van een functie f (x)
in een punt a de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie
f (x) in het punt P (a, f (a)).
De vergelijking van de raaklijn r in het punt P (a, f (a)) is bijgevolg
f (a + ∆x) − f (a)
· (x − a)
∆x→0
∆x
r ↔ y − f (a) = lim
(2.43)
of nog, gelet op de definitie (2.1.2) van de afgeleide in een punt
r ↔ y − f (a) = Df (a) · (x − a)
(2.44)
waarbij Df (a) de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn is.
• Voorbeeld:
Gegeven: de functie f (x) = 3x2 + 5x.
Gevraagd:
1. de richtingscoëfficiënt van de raaklijn r in het punt P (2, f (2)) aan de grafiek van
de functie f (x) = 3x2 + 5x
Antwoord:
Df (x) = 6x + 5
rico = Df (2) = 12 + 5 = 17
2. de vergelijking van de raaklijn r ↔ y = ax + b in het punt P (2, f (2)) aan de
grafiek van de functie f (x) = 3x2 + 5x
Antwoord:
f (2) = 12 + 10 = 22
r ↔ y − 22 = 17 · (x − 2)
r ↔ y = 17x − 34 + 22 = 17x − 12
(Opgave 9. en 10.)
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
32
2.4
Afgeleiden van hogere orde
2.4.1
Definities
• De afgeleide van 1ste orde of de 1ste orde afgeleide van de functie y = f (x) is
Df (x) =
df (x)
= f ′ (x) = y ′
dx
(2.45)
• De afgeleide van 2de orde of de 2de orde afgeleide van de functie y = f (x) is de
afgeleide van de 1ste orde afgeleide:
D (Df (x)) = D2 f (x) =
d2 f (x)
= f ′′ (x) = y ′′
dx2
(2.46)
• De afgeleide van 3de orde of de 3de orde afgeleide van de functie y = f (x) is de
afgeleide van de 2de orde afgeleide:
d3 f (x)
D D2 f (x) = D3 f (x) =
= f ′′′ (x) = y ′′′
dx3
(2.47)
• ...
• De afgeleide van nde orde of de nde orde afgeleide van de functie y = f (x) is de
afgeleide van de (n − 1)ste orde afgeleide:
D(Dn−1 f (x)) = Dn f (x) =
2.4.2
dn f (x)
= f (n) (x) = y (n)
dxn
Voorbeeld
f (x) = x4
Df (x) = D(x4 ) = 4x3
D2 f (x) = D 4x3 = 12x2
D3 f (x) = 24x
D4 f (x) = 24
D5 f (x) = D6 f (x) = . . . = 0
(2.48)
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
2.4.3
33
Toepassing
Bij een eenparig rechtlijnige beweging wordt de verplaatsing s (in m) in functie van de tijd
t (in s) gegeven door de volgende uitdrukking (alles in SI-eenheden):
1
s = so + vo t − at2
2
met so de beginpositie, vo de beginsnelheid en a de versnelling ( so , vo en a constant).
Gevraagd: bepaal een uitdrukking voor de snelheid en de versnelling in functie van de tijd.
Oplossing: in de fysica bewijst men dat de snelheid de eerste orde afgeleide is van de afgelegde weg en de versnelling de afgeleide van de snelheid of de tweede orde afgeleide van
de verplaatsing:
v=
ds
= vo − at
dt
dv
d
a=
=
dt
dt
ds
dt
=
d2 s
= −a
dt2
(Opgaven 8., 11. en 12.)
2.5
De afgeleide van een vectorfunctie
2.5.1
Definitie van een vectorfunctie
−
Een vectorfunctie →
v (t) = (vx (t), vy (t), vz (t)) is een vector waarvan de componenten vx (t),
vy (t) en vz (t) functies zijn van een parameter t ∈ R.
2.5.2
Eigenschappen
• Vectorfuncties zijn functies van R naar R2 (tweedimensionaal) of R3 (driedimensionaal).
• Vermits elke vector kan geschreven worden als een som van zijn componenten, vermenigvuldigd met de respectievelijke eenheidsvectoren, geldt
→
−
−
−
−
v (t) = vx (t) · →
ex + vy (t) · →
ey + vz (t) · →
ez
(2.49)
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
2.5.3
34
De afgeleide van een vectorfunctie
Definitie:
−
→
−
−
d→
v (t)
v (t + ∆t) − →
v (t)
= lim
∆t→0
dt
∆t
(2.50)
Praktisch:
→
−
−
−
−
v (t) = vx (t) · →
ex + vy (t) · →
ey + vz (t) · →
ez
−
d→
v (t)
dt
d
−
−
−
(vx (t) · →
ex + vy (t) · →
ey + vz (t) · →
ez )
dt
dvy (t) →
dvx (t) →
dvz (t) →
=
·−
ex +
·−
ey +
·−
ez
dt
dt
dt
=
(2.51)
Voorbeeld:
→
−
−
−
v (t) = (3t2 + 2) · →
ex + cos t · →
ey
−
d(3t2 + 2) →
d cos t →
d→
v (t)
−
−
=
·−
ex +
·−
ey = 6t · →
ex − sin t · →
ey
dt
dt
dt
(Opgaven 13. t.e.m. 16.)
2.6
Berekenen van limieten met afgeleiden: de regel van de
l’Hospital
Eigenschap
f (x)
0
∞
een onbepaaldheid van de vorm of
, dan is
g(x)
0
∞
Df (x)
deze limiet gelijk aan de limiet in a van de functie
.
Dg(x)
Is de limiet in a ∈ R van de functie
Als
lim
f (x)
x→a g(x)
dan geldt
=
0
∞
of
0
∞
(2.52)
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
35
lim
f (x) H
Df (x)
= lim
x→a Dg(x)
(2.53)
x→a g(x)
Voorbeelden :
1.
lim
x→−1
−2x2 + x + 3
−14x2 − 3x + 11
−2 − 1 + 3
0
=
−14 + 3 + 11
0
−4x + 1
H
= lim
x→−1 −28x − 3
4+1
5
1
=
=
=
28 − 3
25
5
=
2.
lim
x→+∞
8 + 11x2 − 4x
10 + 7x − 6x2
=
∞
∞
H
22x − 4
7 − 12x
22
−12
= lim
x→+∞
=
∞
∞
H
= lim
x→+∞
=−
11
6
3.
lim
x→0
sin x
x
=
0
0
H
= lim
cos x 1
= lim cos x
x→0
x→0
= cos 0 = 1
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
36
4.
lim
x→0
1 − cos 4x
x2
1−1
0
=
0
0
−(− sin 4x)4
H
= lim
x→0
2x
0
4
sin 4x
=2·
= lim
2 x→0
x
0
4 cos 4x
H
= 2 · lim
x→0
1
=2·4=8
=
(Opgave 17.)
2.7
Stijgen en dalen, maxima en minima
2.7.1
Het stijgen en dalen van een functie
Definities
Zij A ⊂ D met A ̸= ∅, dan
1. f (x) is strikt stijgend in A ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
2. f (x) is strikt dalend in A ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Kenmerken
Zij A ⊂ D met A ̸= ∅ waarbij f (x) afleidbaar is in elk punt van A, dan
1. Df (x) is strikt positief in A
⇒ in elk punt van A is de rico van de raaklijn strikt positief
⇒ in elk punt van A is de raaklijn strikt stijgend
⇒ f (x) is strikt stijgend in A
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
37
y
r
y = f (x)
Df (a) = rico (r) > 0
f (a)
1
0
1
x
a
2. Df (x) is strikt negatief in A
⇒ in elk punt van A is de rico van de raaklijn strikt negatief
⇒ in elk punt van A is de raaklijn strikt dalend
⇒ f (x) is strikt dalend in A
y
1
f (a)
0
Df (a) = rico (r) < 0
1
a
y = f (x)
x
r
2.7.2
De maxima en de minima van een functie
Definities
Zij a ∈ D, dan
1. f (x) bereikt in a een maximum als f (x) in a overgaat van stijgen naar dalen en het
maximum is dan f (a)
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
38
2. f (x) bereikt in a een minimum als f (x) in a overgaat van dalen naar stijgen en het
minimum is dan f (a)
3. f (x) bereikt in a een extremum als f (x) in a een maximum of een minimum bereikt
Kenmerken
Zij a ∈ D met f (x) afleidbaar in a en waarbij Df (a) = 0, en zij A ⊂ D met a ∈ A waarbij
f (x) afleidbaar is in elk punt x van A, en
1. als voor x < a geldt dat Df (x) > 0 en als voor x > a geldt dat Df (x) < 0, dan bereikt
f (x) in a een maximum
y
f (a)
x
a
2. als voor x < a geldt dat Df (x) < 0 en als voor x > a geldt dat Df (x) > 0, dan bereikt
f (x) in a een minimum
y
f (a)
x
a
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
39
Opmerking
Een functie f (x) kan in een punt a ∈ D een extremum bereiken zonder dat Df (a) nul is.
Voorbeeld:
f (x) = |x|
De afgeleide Df (0) is niet gedefinieerd (verklaar!), maar f (x) bereikt wel een minimum in
0.
y
y = f (x)
1
−1 0
2.7.3
1
x
Voorbeelden
Voorbeeld 1
f (x) = −2x3 + 3x2 + 12x − 4
1. dom(f (x)) = R
2. Df (x):
Df (x) = −6x2 + 6x + 12
3. Nulpunten van Df (x):
Df (x) = 0 ⇔
⇔
⇔
⇔
−6x2 + 6x + 12 = 0
x2 − x − 2 = 0 (D = 1 + 8 = 9)
x = 1±3
2
x = −1 of x = 2
4. Df (x) ontbinden in factoren:
Df (x) = −6 · (x + 1) · (x − 2)
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
40
5. Tekenonderzoek van Df (x), het stijgen en dalen van f (x) en de extrema (maxima en
minima) van f (x):
x
−6
x+1
x−2
Df (x)
f (x)
−∞
−
−
−
−
↘
−1
−
0
−
0
min
2
−
+
0
0
max
−
+
−
+
↗
+∞
−
+
+
−
↘
6. Minimum en maximum als punten (met hun x-coördinaat en hun y-coördinaat):
f (−1) = 2 + 3 − 12 − 4 = −11
f (2) = −16 + 12 + 24 − 4 = 16
minimum: (−1, −11) ; maximum: (2, 16)
Voorbeeld 2
f (x) =
2x + 6
x−4
(a) dom(f (x)) = R \ {4}
2x + 6
2 · (x − 4) − (2x + 6) · 1
−14
(b) Df (x) = D
=
=
2
x−4
(x − 4)
(x − 4)2
(c) Tekenonderzoek van Df (x), het stijgen en dalen van f (x) en de extrema (maxima
en minima) van f (x):
x
−14
(x − 4)2
Df (x)
f (x)
−∞
−
+
−
↘
4
−
0
|
|
+∞
−
+
−
↘
Vermits het teken van de eerste afgeleide nooit verandert, heeft deze functie geen
extrema.
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
2.8
41
Toepassing: Extremumvraagstukken
Afgeleiden worden vaak gebruikt in toepassingen die met optimalisering te maken hebben.
Wanneer is een grootheid het grootst of wanneer is ze minimaal?
2.8.1
Werkwijze
Om na te gaan of een functie een extremum (maximum of minimum) bereikt, hebben we
de eerste orde afgeleide nodig. We bepalen dus eerst de eerste orde afgeleide Df (x). Dan
onderzoeken we de positieve en negatieve toestand en zoeken de eventuele nulpunten. Dit
levert ons inlichtingen betreffende het stijgen, het dalen en de extrema van f (x).
2.8.2
Df (x)
+
f (x)
↗
Df (x)
−
f (x)
↘
0
|
max
0
|
min
−
↘
+
↗
Voorbeeld
Een rechthoekig huis heeft een omtrek van 36 m. Hoe groot moeten de lengte l en breedte
b zijn om een maximale oppervlakte te bekomen?
1. We stellen eerst een functie op die ons toelaat dit extremumvraagstuk op te lossen.
O = omtrek(m) = 2.(l + b) = 36 (m)
S = oppervlakte = l.b
Dus
O = 2l + 2b = 36
S = l.b
of
b = 18 − l
S = l.b
Op deze manier kunnen we de oppervlakte S noteren in functie van de lengte l (of de
breedte b) van het huis:
S(l) = l.(18 − l) = 18l − l2
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
42
2. Vervolgens bepalen we de eerste orde afgeleide:
dS
= 18 − 2l
dl
3. Tekenonderzoek van
dS
:
dl
dS
= 0 ⇔ 18 − 2l = 0 ⇔ l = 9 (m)
dl
9
l
dS
dl
+
0
−
S
↗
max
↘
4. Oplossing: de oppervlakte S is maximaal als de lengte 9 m is. Vermits b = 18 − l volgt
hieruit dat de breedte ook 9 m is.
De oppervlakte van het huis is dus maximaal als lengte en breedte gelijk zijn aan
elkaar: l = b = 9 m.
(Opgaven 18. t.e.m. 22.)
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
2.9
Opgaven
1. Bepaal, gebruikmakend van de definitie van de afgeleide van een functie:
(a) D x2
(b) D (x + 3)
2. Bepaal de afgeleide van volgende functies:
(a) y = x2 − 2x − 7
(b) y = 3t2n−1
(c) y = (x − 3)(x + 7)
(d) y = x(2x2 + 1)(3x3 + 5)
2
1
(e) y = x3 − x2 + 5x − 7
3
2
1
(f) y = n−1
4x
2
(g) y = x3 + 3
x
x
(h) y =
x−2
x−6
(i) y =
x+5
x3 + 1
(j) y =
x
x2 + 3x − 7
(k) y =
6x − x2
(x − 3)(x + 2)
(l) y =
x+3
√
(m) y = 3 t
√
x
(n) y = 4 2
x
√
3
(o) y = x7
3. Bepaal de volgende afgeleiden:
(a) D(4x + 1)3
√
(b) D( x2 + x + 3)
d √ 3
(c)
4x − 2x
dx
d p
3
(d)
(−7t2 − 5t + 3)2
dt
43
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
′
(x − 1)2
(e)
x+2
d x−2 2
(f)
dx x + 5
√
(g) (x x2 + 1)′
q
′
5 + x3
(h)
′
x
√
(i)
x2 + 1
4. Bepaal de afgeleide van volgende goniometrische functies:
(a) y = 5 cos 2x
(b) y = sin2 3x
√
(c) y = sin x
(d) y = cos x1
(e) y = cot(2x + 3)
cos x
(f) y =
x
1 − sin x
(g) y =
1 + sin x
sin2 x + 4
(h) y =
sin2 x
(i) y = x. cos x
(j) y = sin t. cos t
(k) y = tan3 (2x)
t
(l) y =
sin t
cos3 (2x) cos(2x)
(m) y =
−
6
2
5. Bepaal de afgeleide van volgende exponentiële en logaritmische functies:
√
(a) y = ln x
(b) y = ln(x2 − 1)
(c) y = x ln x − x
(d) y = x3 ln x
ln x
(e) y =
x
(f) y = ln cos x
44
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
(g) y = ln2 x + ln x2
s
1+x
(h) y = ln
1−x
√
(i) y = ln sin x
1 + sin t
(j) y = ln
cos t
x
e
(k) y =
ln x
(l) y = x · log x
(m) y = x3 · log x
x−1
(n) y = ln
x+1
(o) y = et + 10t
√
(p) y = ln(t + t2 + 5)
√
(q) y = ln( 4x2 + 1)
6. Bepaal de afgeleide van volgende functies:
sin t
e3t
e2x
(b) y =
cos x
(c) y = (1 + x2 ) · Bg tan(x)
(a) y =
(d) y = (1 − x2 ) · Bg sin(x)
√
(e) y = Bg tan( x)
t+1
(f) y = Bg sin
2
(g) y = e2x · (2 · cos(3x) + 3 · sin(3x))
1+x
(h) y = Bgtan
1−x
7. Bepaal de tweede orde afgeleide van volgende functies:
(a) f (x) = x2 + x − 2
(b) f (x) = x(x − 1)7
√
(c) f (t) = t
2x + 3
(d) f (x) =
x−4
45
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
46
x2 + 1
x
2t
(f) f (t) = 2
t −1
x3
(g) f (x) = 2
x −1
x2
(h) f (x) =
x−1
x2
1
(i) f (x) =
+
2
x
(j) f (x) = sin(2x)
(e) f (x) =
(k) f (x) = cos(x2 )
(l) f (x) = e3x
2
8. Stel, indien mogelijk, de vergelijking op van de raaklijn r in het punt P (a, f (a)) aan
de grafiek van de functie f (x).
(a) f (x) = x2 − 3x
P (1, −2)
(b) f (x) = 2x4 − 6x2 + 8
P (2, 16)
(c) f (x) = tan x
P (0, f (0))
√ (d) f (x) = sin x
P π2 , 22
√ (e) f (x) = tan(2x)
P π6 , 3
9. Gegeven: f (x) = 2x3 − 5x + 5
Gevraagd:
(a) Bepaal de punten waar de raaklijn evenwijdig is met de eerste bissectrice.
(b) Bepaal de vergelijking van deze raaklijn.
10. Een puntmassa voert een beweging uit met de volgende baanvergelijking
s (t) = 3t2 + 2t + 1
Gevraagd:
(a) Bepaal de snelheid v(t) in functie van de tijd.
(b) Bepaal de snelheid v (8 sec) na 8 seconden.
(c) Bepaal de versnelling a(t) in functie van de tijd.
(d) Bepaal de versnelling a (8 sec) na 8 seconden.
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
47
11. Een puntmassa voert een beweging uit met de volgende baanvergelijking
s (t) = t4 + 2t2 + 4
Gevraagd:
(a) Bepaal de snelheid v (3 sec) na 3 seconden.
(b) Bepaal de versnelling a (3 sec) na 3 seconden.
12. Leid de volgende vectorfuncties af naar t.
−
−
−
(a) →
v (t) = (4t2 + 2t + 1) · →
ex + (3t3 − 2) · →
ey
→
−
→
−
→
−
2
(b) v (t) = t · sin 2t · e + tan t · e
x
y
−
−
−
(c) →
v (t) = 4t · →
ex + 7 · →
ey
−
−
−
(d) →
v (t) = Bgsin 12t · →
ex + ln(2t + 3) · →
ey
√
→
−
→
−
2
(e) v (t) = t + 1 · ey
−
−
−
−
(f) →
v (t) = cot2 t · →
e + sin5 5t · →
e + 5 ln 2t · →
e
x
y
z
−
−
−
−
ex + 6t · →
ey + (4t2 − 1) · →
ez
(g) →
v (t) = 2 sin2 (πt) · →
13. Een puntmassa voert een beweging uit met de volgende baanvergelijking
→
−
−
−
r (t) = t2 · →
ex + 3t3 · →
ey
Gevraagd:
−
(a) Bepaal de snelheidsvector →
v (t) in functie van de tijd.
→
−
(b) Bepaal de snelheidsvector v (8 sec) na 8 seconden.
(c) Bepaal de grootte van de snelheidsvector v (8 sec) na 8 seconden.
−
(d) Bepaal de versnellingsvector →
a (t) in functie van de tijd.
−
(e) Bepaal de versnellingsvector →
a (8 sec) na 8 seconden.
(f) Bepaal de grootte van de versnellingsvector a (8 sec) na 8 seconden.
14. Een puntmassa voert een beweging uit met de volgende baanvergelijking
→
−
−
−
r (t) = 4t · →
ex + t2 · →
ey
Gevraagd:
(a) Bepaal de grootte van de snelheidsvector v (4 sec) na 4 seconden.
(b) Bepaal de grootte van de versnellingsvector a (2 sec) na 2 seconden.
Wiskunde 2 –1 OPT – Afgeleiden
15. Bereken de volgende zinvolle limieten.
Bgtanx
x→0
x
Bgsinx
(b) lim
x→0
x
10x − 2x
(c) lim
x→0
5x
sin x
(d) lim
x→0 Bgsinx
sin x2
(e) lim
x→0 1 − cos x
2x − sin 2x
(f) lim
x→0
x3
1 − cos(πx)
(g) lim 2
x→2 x − 4x + 4
2x3 − 7x2 + 4x + 4
(h) lim
x→2
x4 − 8x2 + 16
sin x
(i) lim
x→0 x
sin 2x
(j) lim
x→0 sin 3x
tan x
(k) lim
x→0 x
tan 5x
(l) lim
x→0 sin 2x
sin2 x
(m) lim
x→0 x2
2(1 − cos x)
(n) lim
x→0
x2
2
sin 7x
(o) lim
x→0 tan2 2x
ln(1 + x)
(p) lim
x→0
x
2
x
(q) lim x
x→+∞ e
ln x
(r) lim
n ∈ N0
x→+∞ xn
ln x
(s) lim
x→+∞ ex
(a) lim
48
Wiskunde 2 –1 OPT – Inhoudsopgave
49
16. Onderzoek het stijgen en dalen van volgende functies. Bepaal eventuele extrema.
(a) f (x) = 3x5 − 5x3
(b) f (x) = 2x4 − x
x−3
(c) f (x) =
x3
4
(d) f (x) = 3 +
x
4
(e) f (x) = x +
x
17. Met een touw van 200 m mag men op een terrein een rechthoekig stuk grond afzetten.
Hoelang zijn de zijden van dit stuk grond als het een zo groot mogelijke oppervlakte
moet hebben? Hoeveel bedraagt die maximale oppervlakte?
18. Een kippenboer beschikt over een rol afrasterdraad van 30 m. Hij wil daarmee een
rechthoekig kippenpark maken waarbij aan één zijde een bestaande muur als afsluiting dient. Hoe groot moeten lengte en breedte zijn, als hij de oppervlakte zo groot
mogelijk wil?
19. Voor de productielijn moet een bakje gemaakt worden uit een stalen plaat. Deze plaat
heeft een oppervlakte van: (12x12) cm2 . Hoe hoog moeten nu de opstaande randen
van het bakje worden zodat deze een maximum aan inhoud kan bevatten?
20. Een patiënt krijgt via een injectie een geneesmiddel toegediend. De concentratie van
het medicijn in het bloed wordt gegeven door de functie:
c(t) =
12t
t2 + 2
met c de concentratie in mg/l en t de tijd in uren nadat het medicijn is toegediend.
Wanneer is de concentratie van het medicijn in het bloed maximaal? Hoeveel bedraagt
deze maximale concentratie?
21. Een rechthoekige microprocessor chip heeft een oppervlakte van 25 mm2 . Bepaal de
afmetingen zodat de diagonaal minimaal is en bepaal die minimale diagonaal Dmin .
Hoofdstuk 3
Het onderzoek van een functie in R
Doelstellingen
Het onderzoek van een veeltermfunctie en een rationale functie f (x) in R kunnen uitvoeren:
1. het definitiegebied of het domein van f (x) kunnen geven
2. het tekenonderzoek van f (x) en de ligging van de grafiek van f (x) t.o.v. de x-as kunnen geven
3. alle horizontale asymptoten kunnen bepalen en de ligging van de grafiek van f (x)
t.o.v. de H.A. kunnen bepalen
4. alle verticale asymptoten kunnen geven en alle limieten, om het verloop van de grafiek
van f (x) t.o.v. de V.A. te kennen, kunnen bepalen
5. het tekenonderzoek van Df (x) kunnen geven en het tekenonderzoek van Df (x) kunnen aanvullen om aan te duiden waar f (x) stijgt, daalt, maxima en minima bereikt
6. de grafiek van f (x) kunnen tekenen
3.1
Een functie in R
• f is een reële functie indien voor elke x ∈ R er hoogstens 1 y ∈ R bestaat zodat
f (x) = y.
• Notatie: f : R → R : x → y of kortweg y = f (x)
• Een algebraı̈sche functie is een reële functie waarbij enkel de bewerkingen optellen,
aftrekken, vermenigvuldigen, delen en n-de machtsworteltrekking voorkomen. Deze
functies worden in drie klassen onderverdeeld: veelterm, rationale en irrationale functies.
50
W2 – 1 OPT
51
• Een functie die niet algebraı̈sch is, is transcendent (”wat het vermogen van de algebra
te boven gaat”). Bijvoorbeeld: goniometrische, exponentiële en logaritmische functies.
• a ∈ R is een nulwaarde van f (x) ⇔ f (a) = 0.
Het berekenen van de nulwaarden van een functie f (x) vereist dus het oplossen van
de vergelijking f (x) = 0. Grafisch gezien zijn de nulpunten (a, 0) de snijpunten van
de grafiek van de functie f (x) met de x-as.
• Sommige functies vertonen een even of oneven karakter.
Definities:
f is even ⇔ ∀x ∈ dom f : −x ∈ dom f en f (−x) = f (x)
(3.1)
f is oneven ⇔ ∀x ∈ dom f : −x ∈ dom f en f (−x) = −f (x)
(3.2)
Grafisch: de grafiek van een even functie vertoont symmetrie t.o.v. de y-as, de grafiek
van een oneven functie is symmetrisch t.o.v. de oorsprong.
Voorbeelden:
y = x2 is een even functie want ∀x ∈ dom f : (−x)2 = x2
y = x3 is een oneven functie want ∀x ∈ dom f : (−x)3 = −x3
y = x2 − 5x is noch even, noch oneven. Controleer zelf!
• In dit hoofdstuk beperken we ons tot veeltermfuncties en rationale functies.
3.1.1
Veeltermfuncties
• Een reële veeltermfunctie van graad n is een functie van R naar R met een functievoorschrift van de gedaante
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
waarbij
an ∈ IR0 en an−1 , . . . , a0 ∈ IR
• Bijzondere veeltermfuncties:
– Een constante functie is een veeltermfunctie met graad 0.
– Een lineaire functie is een veeltermfunctie met graad 1.
(3.3)
W2 – 1 OPT
52
– Een kwadratische functie is een veeltermfunctie met graad 2.
• Bespreking:
– dom f = R
– nulwaarden vindt men door de veeltermvergelijking f (x) = 0 op te lossen.
– Het tekenverloop bepaalt men als volgt:
* ontbind f (x) in factoren
* bepaal het tekenverloop van elke factor
* groepeer de gegevens in een tabel en bepaal m.b.v. de rekenregels voor de
vermenigvuldiging het teken van f (x)
• Voorbeeld: de functie
f (x) = 20x3 − 21x2 + 1
– dom f = R
– nulpunten van f (x) : f (x) = 0 ⇔ 20x3 −21x2 +1 = 0 ⇔ x = − 15 of x = 41 of x = 1
– tekenverloop
1
1
20x3 − 21x2 + 1 = 20 · (x + ) · (x − ) · (x − 1)
5
4
x
20
x + 15
x − 14
x−1
f (x)
grafiek f (x)
3.1.2
+
−
−
−
−
onder
− 51
+
0
−
−
0
snijdt
1
4
+
+
−
−
+
boven
+
+
0
−
0
snijdt
+
+
+
−
−
onder
1
+
+
+
0
0
snijdt
+
+
+
+
+
boven
x-as
Rationale functies
• Definitie: zij f1 (x), f2 (x) veeltermfuncties met f2 (x) ̸= 0, dan noemt men
f (x) =
een rationale functie over R.
f1 (x)
f2 (x)
(3.4)
W2 – 1 OPT
53
• Domein:
domf = {x ∈ R : f2 (x) ̸= 0}
(3.5)
m.a.w. in de nulwaarden van de noemer is een rationale functie niet gedefinieerd!
Voorbeelden :
– Voorbeeld 1:
f (x) =
1
x+4
Er kan niet gedeeld worden door 0, dus x + 4 ̸= 0 ⇔ x ̸= −4.
⇒ dom f = R \ {−4} =] − ∞, −4[∪] − 4, +∞[
– Voorbeeld 2:
f (x) =
1
(x + 4) · (x − 4)
(x + 4) · (x − 4) ̸= 0 ⇔ x + 4 ̸= 0 en x − 4 ̸= 0 ⇔ x ̸= −4 en x ̸= 4
⇒ dom f = R \ {−4, 4} =] − ∞, −4[∪] − 4, 4[∪]4, +∞[
• Nulwaarden:
f (x) = 0 ⇔ f1 (x) = 0 en f2 (x) ̸= 0
(3.6)
m.a.w. de nulwaarden van een rationale functie worden bepaald door de nulwaarden
van de teller die geen nulwaarden van de noemer zijn.
• Het tekenverloop van een rationale functie is gemakkelijk te vinden nadat de veeltermen in teller en noemer ontbonden zijn in factoren. Let hierbij op de nulwaarden van
de noemer!
• Voorbeelden
Voorbeeld 1:
f (x) =
2x + 3
4x − 1
– dom f = {x ∈ R : 4x − 1 ̸= 0} = R \ { 14 }
– nulwaarde f = {x ∈ domf : 2x + 3 = 0} = {− 32 }
W2 – 1 OPT
54
– tekenverloop:
1
4
−
−
− 32
0
−
+
−
+
0
+
+
2x + 3
4x − 1
+
0
−
|
+
grafiek f (x)
boven
snijdt
onder
x
2x + 3
4x − 1
boven
x-as
Voorbeeld 2:
f (x) =
x2 − 2 + x
x−1
– dom f ={x ∈ R : x − 1 ̸= 0} = R \ {1}
– nulwaarden f = {x ∈ domf : x2 − 2 + x = 0} = {−2}
Merk op: 1 is ook een oplossing van x2 − 2 + x = 0, maar 1 ∈
/ dom f en dus is het
geen nulwaarde van de functie!
– tekenverloop:
+
−
−2
0
−
−
−
1
0
0
+
+
x2 − 2 + x
x−1
−
0
+
|
+
grafiek f (x)
onder
snijdt
boven
x
x2 − 2 + x
x−1
3.2
boven
x-as
Bepalen van asymptoten
• De rechte met vergelijking x = b (b ∈ R) is een verticale asymptoot (V.A.) voor de
grafiek van de functie f (x)
⇔
lim f (x) = ±∞
x→b
< of >
Een functie kan 0, 1, 2, . . ., ∞ V.A. hebben.
(3.7)
W2 – 1 OPT
55
• Een horizontale asymptoot is een rechte met vergelijking y = a (a ∈ R) met
a = lim f (x) ∈ R
x→∞
(3.8)
Een functie kan 0, 1 of 2 H.A. hebben.
Ligging van de grafiek van f (x) t.o.v. de H.A.:
De ligging van de grafiek van f (x) t.o.v. de H.A. y = a wordt bepaald met behulp van
het tekenonderzoek van de functie f (x) − a
– als f (x) − a > 0, dan is f (x) > a en dan ligt de grafiek van f (x) boven de H.A
– als f (x) − a < 0, dan is f (x) < a en dan ligt de grafiek van f (x) onder de H.A.
3.3
Stijgen en dalen, maxima en minima
3.3.1
Het stijgen en dalen van een functie
Definities
Zij A ⊂ D met A ̸= ∅, dan
1. f (x) is strikt stijgend in A ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
2. f (x) is strikt dalend in A ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Kenmerken
Zij A ⊂ D met A ̸= ∅ waarbij f (x) afleidbaar is in elk punt van A, dan
1. Df (x) is strikt positief in A ⇒
f (x) is strikt stijgend in A
2. Df (x) is strikt negatief in A ⇒
f (x) is strikt dalend in A
3.3.2
De maxima en de minima van een functie
Definities
Zij a ∈ D, dan
• f (x) bereikt in a een maximum als f (x) in a overgaat van stijgen naar dalen en het
maximum is dan f (a)
• f (x) bereikt in a een minimum als f (x) in a overgaat van dalen naar stijgen en het
minimum is dan f (a)
• f (x) bereikt in a een extremum als f (x) in a een maximum of een minimum bereikt
W2 – 1 OPT
56
Kenmerken
Zij a ∈ D met f (x) afleidbaar in a en waarbij Df (a) = 0, en zij A ⊂ D met a ∈ A waarbij
f (x) afleidbaar is in elk punt x van A
• als voor x < a geldt dat Df (x) > 0 en als voor x > a geldt dat Df (x) < 0, dan bereikt
f (x) in a een maximum
• als voor x < a geldt dat Df (x) < 0 en als voor x > a geldt dat Df (x) > 0, dan bereikt
f (x) in a een minimum
3.4
Schema voor het onderzoek van een functie
f : R → R : x → y = f (x)
1. Bepaal het domein of definitiegebied van f (x).
2. Maak het tekenverloop van f (x): onderzoek de negatieve en positieve toestand en
bepaal de eventuele nulpunten.
3. Bepaal de eventuele asymptoten (H.A. en V.A.) en onderzoek de ligging van de grafiek
t.o.v. H.A.
4. Bepaal de eerste orde afgeleide Df (x): onderzoek de positieve en negatieve toestand
en zoek de eventuele nulpunten. Dit levert ons inlichtingen betreffende het stijgen,
het dalen en de extrema van f (x).
Df (x)
+
f (x)
↗
Df (x)
−
f (x)
↘
0
|
max
0
|
min
−
↘
+
↗
5. Bepaal de functiewaarde in elk bijzonder punt.
6. Vat eventueel de resultaten van het onderzoek samen in een tabel.
7. Teken de grafiek van de functie.
W2 – 1 OPT
57
3.5
Voorbeelden
3.5.1
Voorbeeld 1
Gegeven: de functie
f (x) = 20x3 − 21x2 + 1
1. domf (x) = R
2. nulpunten van f (x) : f (x) = 0 ⇔ 20x3 − 21x2 + 1 = 0 ⇔ x = − 15 of x = 14 of x = 1
3. tekenonderzoek van f (x) en de ligging van de grafiek van f (x) t.o.v. de x-as:
20x3 − 21x2 + 1 = (5x + 1) · (4x − 1) · (x − 1)
x
5x + 1
4x − 1
x−1
f (x)
grafiek f (x)
−
−
−
−
onder
− 15
0
−
−
0
snijdt
1
4
+
−
−
+
boven
+
0
−
0
snijdt
+
+
−
−
onder
1
+
+
0
0
snijdt
+
+
+
+
boven
x-as
4. Df (x):
Df (x) = 60x2 − 42x = 6x · (10x − 7)
5. Nulpunten van Df (x):
Df (x) = 0 ⇔ 6x · (10x − 7)
7
⇔ x = 0 of x = 10
6. Df (x) ontbinden in factoren:
Df (x) = 6x · (10x − 7)
7. Tekenonderzoek van Df (x), het stijgen en dalen van f (x) en de extrema (maxima en
minima) van f (x):
W2 – 1 OPT
58
x
x
7
x − 10
Df (x)
f (x)
−∞
−
−
+
↗
0
0
−
0
max
7
10
+
−
−
↘
+
0
0
min
+∞
+
+
+
↗
8. Minimum en maximum als punten (met hun x-coördinaat en hun y-coördinaat):
f (0) = 1
f (0.7) = −2, 43
maximum: (0, 1); minimum: (0.7, −2.43)
9. Grafiek
y
20
15
10
5
x
−0.5
0.5
−5
1
1.5
W2 – 1 OPT
3.5.2
59
Voorbeeld 2
Gegeven: de functie
f (x) =
2x + 6
x−4
1. domf (x) = R \ {4}
2. tekenonderzoek van f (x) en de ligging van de grafiek van f (x) t.o.v. de x-as:
x
2x + 6
x−4
f (x)
grafiek van f (x)
−∞
−
−
+
boven
−3
0
−
0
snijdt
+
−
−
onder
4
+
0
∞|
+∞
+
+
+
boven
x-as
3. H.A.:
lim f (x) = lim
x→±∞
x→±∞
2x + 6
2x
= lim
= 2 ∈ R ⇒ 1 H.A.
x→±∞
x−4
x
H.A. ↔ y = 2
4. De ligging van de grafiek van f (x) t.o.v. de H.A.:
f (x) − 2 =
x
14
x−4
14
f (x) − 2 = x−4
grafiek van f (x)
2x + 6
2x + 6 − 2x + 8
14
−2=
=
x−4
x−4
x−4
−∞
+
−
−
onder
4
+
0
|
+∞
+
+
+
boven
5. V.A.:
V.A. ↔ x = 4
2x + 6
= −∞
x<→4 x − 4
lim f (x) = lim
x<→4
2x + 6
= +∞
x>→4 x − 4
lim f (x) = lim
x>→4
H.A. ↔ y = 2
W2 – 1 OPT
60
6. Df (x):
Df (x) = D(
2x + 6
2 · (x − 4) − (2x + 6) · 1
−14
)=
=
2
x−4
(x − 4)
(x − 4)2
7. Tekenonderzoek van Df (x), het stijgen en dalen van f (x) en de extrema (maxima en
minima) van f (x):
−∞
x
−14
(x − 4)2
Df (x)
f (x)
4
−
0
|
|
−
+
−
↘
+∞
−
+
−
↘
8. Vermits de functie overal binnen haar domein daalt, zijn er geen extrema.
9. Grafiek
15
y
10
5
x
−4 −2
−5
−10
−15
2
4
6
8
10 12
W2 – 1 OPT
3.6
61
Opgaven
1. Bepaal voor onderstaande veeltermfuncties:
(a) dom (f (x))
(b) alle snijpunten met de x-as en het snijpunt met de y-as
(c) het tekenonderzoek van f (x) en de ligging van de grafiek van f (x) t.o.v. de x-as
(d) Df (x)
(e) het tekenonderzoek van Df (x)
(f) Vul het tekenonderzoek van Df (x) aan om aan te duiden waar f (x) stijgt, daalt,
maxima en minima bereikt
(g) eventuele minima en maxima als punten (met hun x-coördinaat en hun y-coördinaat)
(h) Schets de grafiek van f (x).
(a) f (x) = x2 + x − 2
(b) f (x) = −x2 + x + 2
(c) f (x) = x2 + 2x + 1
(d) f (x) = −x2 + 4x − 4
(e) f (x) = 2x2 − 2x + 3
(f) f (x) = −2x2 + 2x − 5
(g) f (x) = x3 − x2 − 16x + 16
1
1
1
3
(h) f (x) = x3 − x2 + x −
3
2
4
8
(i) f (x) = x(x − 1)3
2. Bepaal voor onderstaande rationale functies:
(a) dom(f (x))
(b) alle snijpunten met de x-as en het snijpunt met de y-as
(c) het tekenonderzoek van f (x) en geef de ligging van de grafiek van f (x) t.o.v. de
x-as
(d) de vergelijking van alle horizontale asymptoten
Wiskunde 2 –1 OPT – Inhoudsopgave
62
(e) de vergelijking van alle verticale asymptoten en alle limieten om het verloop van
de grafiek van f (x) t.o.v. de V.A. te kennen
(f) Df (x)
(g) het tekenonderzoek van Df (x)
(h) Vul het tekenonderzoek van Df (x) aan om aan te duiden waar f (x) stijgt, daalt,
maxima en minima bereikt.
(i) alle minima en maxima als punten (met hun x-coördinaat en hun y-coördinaat).
(j) Schets de grafiek van f (x).
(a) f (x) =
(b) f (x) =
2
1−x
−5
x2 − 3x
(c) f (x) =
3x
x−4
(d) f (x) =
2x
x2 − 1
4 − 8x
5x
x
(f) f (x) =
1 + 3x2
(e) f (x) =
(g) f (x) =
2x + 3
x−4
(h) f (x) =
1
x · (x − 1)
(i) f (x) =
x2
1
+
2
x
3. De functie
2
y = f (x) = e−x ,
x∈R
noemen we een Gauss-functie. Onderzoek het verloop van deze functie.
Opmerking: de algemene vorm van een Gauss-functie is:
2
y = Ae−b(x−x0 )
(A > 0, b > 0),
x∈R
Deze functies worden veel gebruikt in de statistiek en de waarschijnlijkheidsrekening.
Hoofdstuk 4
De differentiaal van een functie
Doelstelling: het begrip differentiaal kennen en de differentiaal van een functie kunnen
berekenen
4.1
Definitie
• Definitie: Als ∆x een willekeurige aangroei (verandering, differentie) is van x, dan is
de differentiaal van een functie f in x gelijk aan het product van haar afgeleide f ′ (x)
met de differentie ∆x.
Notatie:
df (x) = df (x) = f ′ (x) · ∆x = Df (x) · ∆x
(4.1)
Bezonder geval: Voor de functie f (x) = x volgt
dy = df (x) = dx = Dx · ∆x = ∆x
of:
dx = ∆x
(4.2)
df (x) = Df (x) · dx
(4.3)
zodat
• Uit deze definitie volgt de Leibnitz-notatie voor de afgeleide van een functie:
Df (x) =
• Voorbeelden:
63
df (x)
dx
(4.4)
Wiskunde 2 – 1 OPT – De differentiaal
64
–
y = f (x) = 5x2 − 3x + 7
y ′ = f ′ (x) = 10x − 3
dy = (10x − 3) · dx
–
d(cos2 x) = D(cos2 x) · dx = 2 · cos x · (− sin x) · dx = − sin 2x · dx
De differentiaal df (x) van de functie f is dus het product van de afgeleide Df (x)
met de differentiaal dx van de veranderlijke x.
4.2
Rekenregels
r∈R
dr = 0
dxq = qxq−1 · dx
d loga x =
1 1
·
· dx
x ln a
d ln x =
q∈Q
a ∈ R+
0 \ {1}
1
· dx
x
(4.5)
(4.6)
x ∈ R+
0
x ∈ R+
0
a ∈ R+
0
dax = ax · ln a · dx
dex = ex · dx
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
d cos x = − sin x · dx
x in radialen
(4.11)
d sin x = cos x · dx
x in radialen
(4.12)
1
· dx
cos2 x
x in radialen
(4.13)
1
· dx
sin2 x
x in radialen
(4.14)
d tan x =
d cot x = −
Wiskunde 2 – 1 OPT – De differentiaal
65
1
· dx
1 − x2
(4.15)
1
· dx
1 − x2
(4.16)
1
· dx
1 + x2
(4.17)
1
· dx
1 + x2
(4.18)
d Bgcosx = − √
d Bgsinx = √
d Bgtanx =
d Bgcotx = −
4.3
Meetkundige betekenis
We weten dat de afgeleide van f (x) in het punt x = a de richtingscoëfficiënt is van de
raaklijn r in P (a, f (a)) aan de grafiek van f . De vergelijking van de raaklijn r in het punt
P (a, f (a)) is bijgevolg
r ↔ y − f (a) = f ′ (a) · (x − a)
(4.19)
waarbij f ′ (a) de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn is.
Vermits x − a = ∆x kan deze vergelijking herschreven worden als
r ↔ y − f (a) = f ′ (a) · ∆x
(4.20)
r ↔ y = f (a) + f ′ (a)∆x
of rekening houdend met de definitie van de differentiaal
r ↔ y = f (a) + df (a)
De differentiaal van een functie is dus gelijk aan de aangroeiing van dey-coördinaat van een
punt van de raaklijn bij een aangroei ′ dx’ van de x-coördinaat. Dit wordt geı̈llustreerd in
figuur 4.1.
Grafische betekenis differentiaal
Wiskunde 2 –1 OPT – Inhoudsopgave
66
y = f(x)
y
Q
r ↔ y = f(a) +df(a)
f(a+ ∆x)
P
∆y
dy
f(a)
∆x =dx
a
a+ ∆x
x
Figuur 4.1: Meetkundige interpretatie van de differentiaal
4.4
Opgaven
Bepaal de differentiaal van de volgende functies:
1. y = x · (x − 1)9
√
9t2 + 4
2. y = ln
3. y =
x2 − 5x + 7
x−3
4. y =
t
1 + 3t2
5. y = sin2 3t + cos3 2t
Hoofdstuk 5
Integralen
Doelstellingen
1. de rekenregels i.v.m. integralen kennen en kunnen toepassen
2. de basisintegralen kennen
3. onbepaalde en bepaalde integralen kunnen berekenen m.b.v. splitsing, substitutie,
aanpassen van de differentiaal en partiële integratie
4. kunnen nagaan of een bepaalde integraal betekenis heeft
5. de bepaalde integraal kunnen gebruiken om oppervlakten te berekenen
5.1
De onbepaalde integraal
5.1.1
Inleiding
In dit hoofdstuk bekijken we opnieuw een transformatie die een functie omzet in een andere
functie: het bepalen van primitieve functies of integreren. Het resultaat van deze transformatie is een functie die we moeten afleiden om de oorspronkelijke functie terug te vinden.
Anders gezegd, integreren is de omgekeerde bewerking van afleiden. Integratietechnieken
variëren van vrij eenvoudig tot zeer ingewikkeld. Met de opkomst van ICT in de wiskunde,
hoeven we moeilijke integralen niet meer met de hand uit te werken. Maar de betekenis van
het begrip integraal blijft in een technische opleiding belangrijk.
5.1.2
Definities en notaties
• F (x) is een primitieve functie (of stamfunctie) van f (x) als
67
W2 – 1 OPT – Integralen
68
(5.1)
DF (x) = f (x)
Voorbeelden:
– sin x is een primitieve van cos x want D sin x = cos x
– x2 is een primitieve van 2x want Dx2 = 2x
– − x1 is een primitieve van x12 want D(− x1 ) = x12
– ln | x | is een primitieve van x1 want D ln | x |= x1
• Elke (integreerbare) functie heeft meerdere van elkaar verschillende primitieve functies. Bijvoorbeeld: niet alleen x2 is een primitieve functie van 2x; ook x2 + 5, x2 + π,
x2 − 9, .... zijn allemaal primitieve functies van 2x.
Al deze primitieve functies zijn slechts op een constante C ∈ R van elkaar verschillend:
als F (x) een primitieve functie is van f (x), dan is F (x) + C ook een primitieve
functie van f (x). Immers:
D(F (x) + C) = DF (x) + 0 = DF (x) = f (x)
• De verzameling van alle primitieve functies van f (x) noemt men de onbepaalde integraal van f (x) en noteert men
Z
f (x) dx
• Dit leidt tot:
Z
f (x) dx = F (x) + C ⇔ DF (x) = f (x)
(5.2)
• f (x) noemt men het integrandum en x de integratieveranderlijke.
• Voorbeelden:
–
Z
cos x dx = sin x + C
–
–
–
Z
Z
Z
C∈R
2xdx = x2 + C
C∈R
1
1
dx = − + C
2
x
x
C∈R
1
dx = ln | x | +C
x
C∈R
• De berekening van de onbepaalde integraal van een functie steunt op de kennis van
rekenregels en de kennis van de onbepaalde integralen van enkele functies.
W2 – 1 OPT – Integralen
5.1.3
69
Eigenschappen
1.
Z
D
Immers:
R
D
f (x) dx
(5.3)
= f (x)
f (x) dx = D(F (x) + C) = D(F (x))
= f (x)
2.
Z
d
f (x) dx = f (x) dx
(5.4)
want:
d
5.1.4
R
f (x) dx
= d(F (x) + C) = D(F (x)) · dx
= f (x) dx
Rekenregels
•
Z
Z
r · f (x) dx = r ·
(5.5)
f (x) dx
Opmerking:
R
r · f (x) dx = r ·
R
f (x) dx = r · (F (x) + C1 ) = r · F (x) + r · C1
= r · F (x) + C
•
Z
(C1 , C ∈ R)
Z
(f (x) ± g(x)) dx =
Z
f (x) dx ±
g(x) dx
(5.6)
Opmerking:
R
(f (x) ± g(x)) dx =
R
f (x) dx ±
R
g(x) dx
= F (x) + C1 ± (G(x) + C2 )
= F (x) ± G(x) + (C1 ± C2 )
= F (x) ± G(x) + C
(C1 , C2 , C ∈ R)
Let op: Om een product of een quotiënt te integreren zijn er geen vaste regels!
Z
Z
f (x) · g(x) · dx ̸=
Z
f (x) · dx ·
g(x) · dx
(5.7)
W2 – 1 OPT – Integralen
70
Z
5.1.5
R
f (x) · dx
f (x)
· dx ̸= R
g(x)
g(x) · dx
(5.8)
Basisintegralen
Z
xq dx =
xq+1
+C
q+1
q ̸= −1
(C ∈ R)
Bijzonder geval: q = 0
Z
Z
x0+1
dx = x0 dx =
+C =x+C
0+1
Z
Z
Z
(C ∈ R)
(5.9)
(5.10)
1
dx = ln |x| + C
x
(C ∈ R)
(5.11)
ax
+C
ln a
(C ∈ R)
(5.12)
ex dx = ex + C
(C ∈ R)
(5.13)
ax dx =
Z
sin x dx = − cos x + C
(C ∈ R)
(5.14)
cos x dx = sin x + C
(C ∈ R)
(5.15)
1
dx = tan x + C
cos2 x
(C ∈ R)
(5.16)
Z
Z
Z
Z
Z
1
dx = −cotan x + C
sin2 x
(C ∈ R)
(5.17)
1
dx = Bgsin x + C
1 − x2
(C ∈ R)
(5.18)
1
dx = Bgtan x + C
1 + x2
(C ∈ R)
(5.19)
√
W2 – 1 OPT – Integralen
71
Opmerkingen:
• Het is altijd de bedoeling andere integralen tot deze fundamantele terug te brengen.
R
R 1
• Let op: integralen van de vorm ln x dx,
dx, ... kan je niet rechtstreeks beresin x
kenen met de fundamentele integralen!
• In deze formules mag je x door een uitdrukking in x of door een andere letter vervangen. Bijvoorbeeld:
Z
sin4 x
+C
4
(C ∈ R)
e−3t d(−3t) = e−3t + C
(C ∈ R)
sin3 x d sin x =
Z
Dit leidt tot volgende formules:
Z
(f (x))q d (f (x)) =
Z
(f (x))q+1
+C
q+1
q ∈ Q \ {−1},
(C ∈ R)
(5.20)
1
d (f (x)) = ln |f (x)| + C
f (x)
(C ∈ R)
(5.21)
af (x)
+C
ln a
(C ∈ R)
(5.22)
ef (x) d(f (x)) = ef (x) + C
(C ∈ R)
(5.23)
Z
Z
af (x) d (f (x)) =
Z
sin(f (x)) d(f (x)) = − cos(f (x)) + C
(C ∈ R)
(5.24)
cos(f (x)) d(f (x)) = sin(f (x)) + C
(C ∈ R)
(5.25)
d(f (x)) = tan(f (x)) + C
(C ∈ R)
(5.26)
1
d(f (x)) = − cot(f (x)) + C
sin (f (x))
(C ∈ R)
(5.27)
Z
Z
1
cos2 (f (x))
Z
2
Z
Z
1
p
d(f (x)) = Bgsin (f (x)) + C
1 − (f (x))2
(C ∈ R)
(5.28)
1
d(f (x)) = Bgtan (f (x)) + C
1 + (f (x))2
(C ∈ R)
(5.29)
W2 – 1 OPT – Integralen
5.1.6
72
Integratiemethoden
Er zijn geen methoden die toelaten alle integralen te berekenen; alle technieken die gebruikt
worden hebben tot doel terug te keren tot de basisintegralen. In zeer veel gevallen is dat
R sin x
R
2
niet mogelijk; zo kunnen eenvoudig uitziende integralen zoals
dx, e−x dx,... niet
x
tot de fundamentele worden teruggebracht.
Volgende methoden laten toch toe een aantal (brave) integralen te berekenen.
Integratie door splitsing
• Deze methode steunt op de formules (5.5) en (5.6).
• Voorbeeld:
R
3 sin x + x2 dx
(5.5)
=
(5.6)
=
(5.14)(5.9)
=
R
3 sin x dx + x2 dx
R
R
3 sin x dx + x2 dx
1
−3 cos x + x3 + C (C ∈ R)
3
R
(Opgave 1.)
Integratie door substitutie
• Bij integratie door substitutie wordt overgegaan op een nieuwe veranderlijke zodat de
integraal, bekomen na substitutie, eenvoudiger kan berekend worden.
• Deze methode bestaat uit drie stappen:
1. In het integrandum (de te integreren functie) wordt elke oorspronkelijke veranderlijke x geschreven in functie van de nieuwe veranderlijke u.
2. De differentiaal dx wordt geschreven in functie van de nieuwe veranderlijke u en
in functie van de differentiaal du.
3. In de functie die bekomen wordt na het integreren, wordt elke veranderlijke u
geschreven in functie van de veranderlijke x.
• Voorbeeld 1:
Z
(5x + 7)15 dx
(5.30)
Deze onbepaalde integraal kan in principe berekend worden door splitsing na uitwerking van (5x + 7)15 . Het is duidelijk dat deze werkwijze heel wat rekenwerk vraagt.
W2 – 1 OPT – Integralen
73
De berekening is eenvoudiger als we een nieuwe veranderlijke u invoeren welke als
volgt afhangt van de oorspronkelijke veranderlijke x:
(5.31)
u = 5x + 7
Door beide leden in deze uitdrukking, ook wel substitutieformule genoemd, te differentiëren vinden we:
1
du = d(5x + 7) = D(5x + 7) · dx = 5 · dx ⇒ dx = du
5
(5.32)
Substitueren we (5.31) en (5.32) in de te berekenen integraal dan bekomen we:
Z
15
u
1
1
· du =
5
5
Z
u15 du =
1 u16
1
·
+ C = u16 + C
5 16
80
Vervangen we u terug door 5x + 7, dan vinden we als resultaat:
Z
(5x + 7)15 dx =
1
(5x + 7)16 + C
80
(C ∈ R)
• Voorbeeld 2:
Z
(x3 + 5)6 x2 dx
Substitutieformule:
u = x3 + 5
Differentiëren van beide leden van de substitutieformule:
1
du = d x3 + 5 = D x3 + 5 · dx = 3x2 · dx ⇒ x2 · dx = du
3
Substitutie doorvoeren en integraal berekenen:
Z
3
6 2
Z
(x + 5) x dx =
1
1
u · du =
3
3
6
Z
u6 du =
1 u7
1
·
+ C = u7 + C
3 7
21
Vervangen van u door x3 + 5:
Z
(Opgave 4.)
(x3 + 5)6 x2 dx =
7
1 7
1
u +C =
x3 + 5 + C
21
21
(C ∈ R)
W2 – 1 OPT – Integralen
74
Integratie door het aanpassen van de differentiaal (zonder substitutie)
• Om de differentiaal aan te passen, maken we gebruik van de volgende formules:
d (ax + b) = D (ax + b) · dx = a · dx ⇒ dx =
1
· d (ax + b)
a
(5.33)
• Voorbeeld:
R
(5x + 7)15 dx =
=
=
1 R
(5x + 7)15 d(5x + 7)
5
1 1
·
· (5x + 7)16 + C
5 16
1
(5x + 7)16 + C (C ∈ R)
80
(Opgave 2. en 3.)
Partiële integratie
• Deze methode steunt op de formule:
Z
Z
f (x) · dg(x) = f (x) · g(x) −
g(x) · df (x)
(5.34)
of kort
Z
Z
f · dg = f · g −
g · df
(5.35)
of
Z
Z
f (x) · Dg(x) · dx = f (x) · g(x) −
g(x) · Df (x) · dx
(5.36)
• Deze methode kan ook gebruikt worden om de integraal van het product van twee
functies te integreren. De integraal van het product van twee functies wordt dan
omgevormd tot de integraal van het product van een functie met de differentiaal van
een functie zodat we na toepassing van de formule van partiële integratie een integraal
bekomen die gemakkelijker te berekenen is dan de gegeven integraal.
Z
Z
f1 (x) · f2 (x) · dx =
f (x) · dg(x)
(5.37)
W2 – 1 OPT – Integralen
75
• Voorbeeld 1:
Z
x · ex · dx
R
ex · dx = ex (+C)
f (x) = x ⇒ df (x) = dx
dg(x) = ex · dx ⇒ g(x) =
R
R
dg(x) =
R
PI
x · ex · dx = x · ex − ex · dx
= x · ex − ex + C
(C ∈ R)
of korter
R
x · ex · dx =
x · dex
R
PI
= x · ex − ex · dx
= x · ex − ex + C
R
(C ∈ R)
• Voorbeeld 2:
Z
x · sin x · dx
f (x) = x ⇒ df (x) = dx
dg(x) = sin x · dx ⇒ g(x) =
R
dg(x) =
R
sin x · dx = − cos x(+C)
R
R
PI
x · sin x · dx = x · (− cos x) − (− cos x) · dx
= −x · cos x + sin x + C
(C ∈ R)
R
R
x · sin x · dx =
xR · d(− cos x)
= − x · d(cos x)
R
PI
= − x · cos x − cos x · dx
= −x · cos x + sin x + C
(C ∈ R)
of korter
(Opgave 5.)
W2 – 1 OPT – Integralen
76
5.2
De bepaalde integraal
5.2.1
Inleiding
De onbepaalde integraal van een functie stelt een oneindige verzameling van functies
voor, nl. alle primitieve functies van de functie die moet geı̈ntegreerd worden. Bij een
bepaalde integraal zal de uitkomst een getal zijn. Bepaalde integralen komen voor bij het
berekenen van oppervlakten, arbeid, kansrekening,...
5.2.2
Definitie en meetkundige betekenis
Zij y = f (x) een willekeurige continue functie en a en b twee waarden op de x-as zodat
∀x ∈ [a, b] : f (x) > 0
Verdelen we het lijnstuk ab in een groot aantal kleine, gelijke stukjes met lengte ∆x. Deze
∆x vormt de breedte van een rechthoekje met hoogte f (xi ), xi is telkens de x-coördinaat
die hoort bij het midden van een rechthoekje.
y
y = f(x)
a
b
x1 x2
…
xi … xn
x
Figuur 5.1: Meetkundige betekenis van de integraal
W2 – 1 OPT – Integralen
77
De oppervlakte van elk rechthoekje is dan gelijk aan f (xi ) · ∆x. Tellen we al deze oppervlaktes op, dan vinden we een ruwe benadering voor de oppervlakte onder de kromme y = f (x).
We noteren dit als volgt:
oppervlakte gebied ≈
n
X
f (xi ) · ∆x
i=1
De benadering zal des te beter zijn naarmate we het lijnstukje ab in meer stukjes verdelen.
Verdelen we het lijnstukje ab in oneindig veel stukjes, dan zal de uitkomst van deze som met
oneindig veel termen exact gelijk zijn aan de oppervlakte tussen de kromme y = f (x), de
x-as en de verticale rechten x = a en x = b.
n
+∞
P
P
f (xi ) · ∆x
oppervlakte gebied = lim
f (xi ) · ∆x =
(5.38)
n→+∞
i=1
i=1
Deze som wordt gedefiniëerd als de bepaalde integraal van f (x) tussen de grenzen a en b
en genoteerd als:
Z b
f (x) · dx
(5.39)
a
Deze uitdrukking wordt gelezen als de bepaalde integraal van f (x) van a tot b. We noemen
a de ondergrens en b de bovengrens. Het interval [a, b] wordt het integratie-interval
genoemd.
Opmerkingen:
• Als de kromme y = f (x) boven de x-as ligt, is het maatgetal van de oppervlakte positief; als de kromme y = f (x) onder de x-as ligt, is het maatgetal van de oppervlakte
negatief:
Z b
∀x ∈ [a, b] : f (x) ≥ 0 ⇒
f (x) · dx ≥ 0
(5.40)
a
Z b
∀x ∈ [a, b] : f (x) ≤ 0
⇒
f (x) · dx ≤ 0
(5.41)
a
Rb
• De bepaalde integraal a f (x) · dx heeft maar betekenis als f (x) in elk punt van het
integratie-interval gedefinieerd is!:
[a, b] ⊂ dom f
Voorbeelden
– Voorbeeld 1: Onderzoek of volgende bepaalde integraal betekenis heeft:
Z 2
x · dx
−5
W2 – 1 OPT – Integralen
78
f (x) = x
dom f = R
Z 2
x · dx heeft betekenis
[−5, 2] ⊂ dom f = R ⇒
−5
– Voorbeeld 2:
Onderzoek of volgende bepaalde integraal betekenis heeft:
Z 2
1
· dx
x
−
1
0
f (x) =
1
x−1
dom f = R\{1}
Z 2
[0, 2] ⊈ dom f = R\{1} ⇒
0
5.2.3
1
· dx heeft geen betekenis
x−1
Berekening en notaties
Zij F (x) een primitieve functie van de functie f (x), d.w.z.
Z
f (x) · dx = F (x) + C
(C ∈ R)
(5.42)
dan geldt:
Z b
a
f (x) · dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a) ∈ R
(5.43)
De bepaalde integraal van een functie wordt dus berekend door eerst de onbepaalde integraal te berekenen (zoeken van één primitieve). In deze primitieve wordt dan de bovengrens
en de ondergrens ingevuld en van deze beide waarden wordt het verschil bepaald (let op de
volgorde: resultaat voor de bovengrens - resultaat voor de ondergrens!)
Volgende notaties worden bij de berekening van een bepaalde integraal gebruikt:
W2 – 1 OPT – Integralen
79
Rb
a f (x) · dx
= [F (x)]ba = [F (x)]x=b
x=a = F (b) − F (a)
= F (x)|ba = F (x) x=b
x=a = F (b) − F (a)
(5.44)
Voorbeelden
• Voorbeeld 1:
Z 2
x · dx =?
−5
2 2
x
21
4 25
x · dx =
=−
= −
2
2
2
2
−5
−5
Z 2
• Voorbeeld 2:
Z π
sin x · dx =?
0
Z π
0
5.2.4
sin x · dx = [− cos x]π0 = −(cos π − cos 0) = −(−1 − 1) = 2
Eigenschappen
1.
Z a
(5.45)
f (x) dx = 0
a
2.
Z b
Z a
f (x) dx = −
a
3.
Z b
∀c ∈ [a, b] :
Z c
f (x) · dx =
a
5.2.5
(5.46)
f (x) dx
b
Z b
f (x) · dx +
a
f (x) · dx
(5.47)
c
Invloed van de integratiemethoden op de integratiegrenzen
Integratie door splitsing
Deze methode heeft geen invloed op de integratiegrenzen.
Z b
Z b
(f (x) ± g(x)) · dx =
a
Z b
f (x) · dx ±
a
g(x) · dx
a
(5.48)
W2 – 1 OPT – Integralen
80
Z b
Z b
f (x) · dx
r · f (x) · dx = r ·
(5.49)
a
a
Voorbeeld:
Z 2
(3x2 + x − 2) · dx
1
Heeft de bepaalde integraal
R2
1 (3x
2 + x − 2) · dx betekenis?
f (x) = 3x2 + x − 2
dom f = R
[1, 2] ⊂ dom f = R ⇒
Z 2
R2
1 (3x
2 + x − 2) · dx heeft betekenis
(3x2 + x − 2) · dx = 3
1
Z 2
1
x2 · dx +
Z 2
Z 2
x · dx − 2
1
dx
1
3 2 2 2
x
x
+
− 2 · [x]21
=3·
3 1
2 1
8 1
4 1
=3·
−
+
−
− 2 · (2 − 1)
3 3
2 2
3
13
=7+ −2=
2
2
of
2
x3 x2
(3x2 + x − 2) · dx = 3 ·
+
−2·x
3
2
1
1
8 4
1 1
= 3· + −2·2 − 3· + −2·1
3 2
3 2
1
13
=6− −
=
2
2
Z 2
Integratie door substitutie
• Deze methode heeft wel invloed op de integratiegrenzen.
• Zoals bij de onbepaalde integraal, bestaat deze methode bij de bepaalde integraal ook
uit drie stappen:
W2 – 1 OPT – Integralen
81
1. In het integrandum (de te integreren functie) wordt elke oorspronkelijke veranderlijke x geschreven in functie van de nieuwe veranderlijke u.
2. De differentiaal dx wordt geschreven in functie van de nieuwe veranderlijke u en
in functie van de differentiaal du.
3. Met behulp van de substitutieformule moeten de waarde van de ondergrens en
de waarde van de bovengrens aangepast worden!
• Voorbeeld:
Z 1
2
(2x − 1)10 · dx
0
Heeft deze bepaalde integraal betekenis?
f (x) = (2x − 1)10
dom f = R
Z 1
2
1
(2x − 1)10 · dx heeft betekenis
0,
⊂ dom f = R ⇒
2
0
Substitutie: 2x − 1 = u ⇒ d(2x − 1) = du ⇒ 2 · dx = du ⇒ dx = 21 · du
ondergrens: x = 0 ⇒ u = 2 · 0 − 1 = −1
bovengrens: x = 12 ⇒ u = 2 · 12 − 1 = 0
Z 1
2
0
(2x − 1)10 · dx =
1
·
2
Z 0
u10 · du
−1
0
1
1
11
= ·
·u
2 11
−1
1 1
1
1
= ·
· 011 − (−1)11 =
· (0 + 1) =
2 11
22
22
Integratie door het aanpassen van de differentiaal (zonder substitutie)
• Deze methode heeft geen invloed op de integratiegrenzen.
W2 – 1 OPT – Integralen
82
• Voorbeeld:
Z 1
2
10
(2x − 1)
0
1
· dx = ·
2
Z 1
2
(2x − 1)10 · d(2x − 1)
0
1
2
1
1
11
= ·
· (2x − 1)
2 11
0
1 1
1
1
11
11
= ·
· 0 − (−1)
=
· (0 + 1) =
2 11
22
22
Partiële integratie
• Deze methode heeft geen invloed op de integratiegrenzen.
Z b
a
f (x) · dg (x) = [f (x) · g (x)]ba −
Z b
g (x) · df (x)
(5.50)
a
of korter
Z b
a
f · dg = [f · g]ba −
Z b
g · df
a
• Voorbeeld:
Z 1
x · ex · dx
0
Deze bepaalde integraal heeft betekenis want:
dom f = R, dus [0, 1] ⊂ dom f = R
Z 1
x · ex · dx =
0
Z 1
x · dex
0
PI
= [x · ex ]10 −
Z 1
ex · dx
0
0
= 1 · e1 − 0 · e − [ex ]10
= e − (e1 − e0 ) = e − e + 1 = 1
(Opgave 7.)
(5.51)
W2 – 1 OPT – Integralen
5.3
83
Opgaven
1. Bereken door splitsing en controleer.
R
(a) 2x5 dx
R 5
(b)
dx
x3
R√
(c)
t dt
R √
(d) 5x 3 x dx
√
R x
dx
(e)
2
x
R
(f) (4t3 − 2t2 + 3t − 7) dt
R
√
(g) (3 − 2x) x dx
R x4 + 5x2 − 7
(h)
dx
3x2
R √
t − 2t + 2t dt
(i)
R
(j) (2 sin x + 7 cos x) dx
R
1
2
(k)
+ 3x
dx
sin2 x
R x2
dx
(l)
x2 + 1
2. Bereken door splitsing, met substitutie en door het aanpassen van de differentiaal
(zonder substitutie):
Z
(4x + 3)2 dx
3. Bereken door het aanpassen van de differentiaal:
R
(a) (3x − 4)8 dx
R
1
(b) p
dx
(2x − 3)5
R
(c) cos(2 − 3x) dx
R
(d) sin(ωt + φ) dt
R
1
dx
(e)
sin2 x3 − 5
R
(f) e2−3x dx
R
1
(g)
dt
5 − 2t
W2 – 1 OPT – Integralen
4. Bereken met substitutie:
R
√
(a) (4t − 7)3 · 4t − 7 dt
R
√
(b) (8x − 6) · 4x − 3 dx
R
(c) (x2 + 1)5 x dx
R
x
dx
(d) √
1 + x2
R
(e) sin x2 · 2x dx
R
t
(f)
dt
2
t +1
R x2
(g)
dx
x3 + 4
R
4x − 3
dx
(h)
2
2x − 3x + 5
R ln t
(i)
dt
t
5. Bereken met partiële integratie:
R
(a) x2 · ex dx
R
(b) t2 · cos t dt
R
(c) (x2 + 2x − 1) · cos x dx
R
(d) x3 · sin x dx
R
(e) x2 · e2x dx
R
(f) t2 · cos 3t dt
R
(g) t2 · sin 4t dt
R
(h) ln x dx
6. Bereken volgende integralen van goniometrische functies:
R
7
(a)
− cos t · tan t dt
cos2 t
R tan x
(b)
dx
2
R cos x
(c) sin 3x · sin x dx
R
(d) sin2 x dx
R
(e) cos2 x dx
R
(f) sin3 t cos t dt
84
W2 – 1 OPT – Integralen
85
7. Bereken:
(a)
Z 9
√
x · dx
4
(b)
Z 3
x · dx
−2
(c)
Z 4
−
dx
−2
(d)
Z 2
2
2 − x dx
3
−2
(e)
Z 3
1
(f)
1
dx
x2
Z +π
2
5 cos x dx
− π2
(g)
Z +π
5 cos x dx
−π
(h)
Z 13π
7
5 sin x dx
π
7
(i)
Z 1
(x − x2 ) dx
0
(j)
Z 4
(x2 + 2x + 3) dx
1
(k)
(l)
Z 5
4
1
dx
(3 − x)4
Z 4
√
−4
5 − x dx
Wiskunde 2 –1 OPT – Inhoudsopgave
86
(m)
Z 2
√
0
(n)
1
dx
9 − 4x
Z 0
sin (πx) dx
1
3
(o)
Z π
3
cos 2x dx
π
6
(p)
Z 5
x
3
x2 − 1
dx
(q)
Z 1
0
(r)
x2
dx
(1 + x3 )7
Z 3π
4
π
4
(s)
Z 1
cos x
dx
sin2 x
x2 · ex dx
0
(t)
Z π
x · cos x dx
π
2
(u)
Z 1
2
1
2
√
Bgtan ( 1 − x) · e1−x dx
Hoofdstuk 6
Toepassingen op de
integraalrekening
Doelstellingen:
1. de bepaalde integraal kunnen gebruiken om oppervlakten te berekenen
2. het gemiddelde van een continue variabele kunnen berekenen
3. arbeid van een variabele kracht kunnen berekenen
4. eenvoudige differentiaalvergelijkingen bij tijdsafhankelijke processen kunnen oplossen
via scheiding der veranderlijken
6.1
Berekenen van oppervlakten van vlakke figuren
De bedoeling van dit item is het volgend probleem te onderzoeken:
Gegeven: een functie y = f (x). Wat is de oppervlakte van het vlakdeel bepaald door de
grafiek van f en de rechten met vergelijking x = a, x = b en y = 0.
Methode: Om de oppervlakte te bepalen tussen de grafiek van y = f (x) en de x-as in het
interval [a, b], ga je als volgt te werk:
• Bereken de nulpunten van f die in [a, b] gelegen zijn en bepaal het teken van f in elk
deelinterval
• Bepaal de oppervlakte in elk deelinterval.
Is f (x) ≥ 0, dan is de oppervlakte over het deelinterval gelijk aan de integraal van f
over dat interval.
Is f (x) ≤ 0, dan is de oppervlakte over het deelinterval het tegengestelde van de
integraal van f over dat interval.
87
W2 – 1 OPT – Toepassingen
88
• Tel de bekomen oppervlakten op.
Opmerking:
We kunnen ook zeggen dat de gevraagde oppervlakte gelijk is aan
Z b
| f (x) | dx
a
Door de absolute waarde van f (x) als integrandum te nemen, worden de gebieden die bij f
onder de x-as liggen, gespiegeld t.o.v. de x-as zodat ze boven de x-as liggen.
Voorbeeld: Bereken de oppervlakte van de figuur begrensd door de grafieken van
y = x2 − 6x + 8
y=0
x=1
x=3
Oplossing:
We bepalen eerst de snijpunten van y = x2 − 6x + 8 met de x-as.
y = x2 − 6x + 8
⇔ ··· ⇔
y=0
10
x = 2 ∈ [1, 3]
of
y=0
x=4∈
/ [1, 3]
y=0
y
8
6
4
2
x
I
−1
1
2 II3
4
5
6
De oppervlakte van het gevraagde gebied ligt dus deels boven de x-as (tussen 1 en 2) en
deels onder de x-as (tussen 2 en 3).
We moeten dus de oppervlakte van elk gebied apart berekenen:
Z 2
1
Z 3
(x2 − 6x + 8) · dx = · · · =
4
4
⇒ opp. gebied I =
3
3
2
2
(x2 − 6x + 8) · dx = · · · = − ⇒ opp. gebied II =
3
3
2
W2 – 1 OPT – Toepassingen
89
De oppervlakte van het gevraagde gebied wordt dus:
opp. =
4
2
4 2
+|− |= + =2
3
3
3 3
(Opgave 1.)
6.2
Gemiddelde waarde van een continue variabele
Het gemiddelde van een eindig aantal waarden x1 , x2 , ..., xn wordt gegeven door
P
n
x1 + x2 + · · · + xn
1X
xi
x=
=
xi =
n
n
n
i=1
Maar, hoe berekenen we bijvoorbeeld de gemiddelde temperatuur gedurende een dag als er
‘oneindig’ veel aflezingen mogelijk zijn?
De gemiddelde waarde van een functie f in het interval [a, b] wordt gedefinieerd als:
Z b
1
f (x)dx
b−a a
Voorbeeld: Bepaal de gemiddelde waarde van de functie f (x) = 1 + x2 in het interval [1, 2].
Oplossing:
1
2−1
2
x3
7
10
(1 + x2 )dx = x +
=1+ =
3
3
3
1
1
Z 2
(Opgave 2. en 3.)
6.3
Arbeid berekenen voor een veranderlijke kracht
Voor een constante kracht is de arbeid het scalair product van de kracht- en de verplaatsingsvector. Dit is niet meer geldig voor krachten die veranderen tijdens de verplaatsing.
Voorbeelden hiervan zijn het oprollen van een kabel, het oppompen van een vloeistof in een
reservoir, het bij elkaar brengen van twee elektrische ladingen. In deze situaties heeft de
veranderlijke kracht steeds dezelfde richting.
−−→
−
−
Stel →
e de eenheidsvector met die richting en F (r) = F (r) · →
e de kracht waarmee de verr
r
plaatsing van a naar b gebeurt. De geleverde arbeid wordt dan berekend met een bepaalde
integraal:
Z b
W =
F (r) · dr
a
W2 – 1 OPT – Toepassingen
90
Voorbeeld: arbeid verricht door een raket die vertikaal opstijgt tot een hoogte h
We houden geen rekening met de luchtweerstand en met de rotatiebewegingen van de
aarde. We veronderstellen verder dat de aarde een homogene bol is (zwaartepunt in het
middelpunt) en dat het massaverlies van de raket te verwaarlozen is.
m
F
x
R
O
Figuur 6.1
Uit de fysicalessen weet je dat de gravitatiekracht F op een massa m, op een afstand x van
het middelpunt van de aarde gelegen, wordt gegeven door:
F (x) =
G·m·M
x2
met
• x=R+h
• R: straal van de aarde (= 6, 378 · 106 m)
• m: de massa van de raket
• M : massa van de aarde (= 5, 977 · 1024 kg)
m3
−11
• G: gravitatieconstante = 6, 67 · 10
kg · s2
W2 – 1 OPT – Toepassingen
91
De gevraagde arbeid is dus
Z R+h
G·m·M
· dx
x2
R
Z R+h
1
= GmM
· dx
x2
R
1 R+h
= GmM −
x
R
1
1
= GmM · −
+
R+h R
GmM h
=
R · (R + h)
W =
6.4
Differentiaalvergelijkingen
De klassieke bewegingsvergelijking (tweede wet van Newton)
→
−
−
F =m·→
a
is een differentiaalvergelijking: niet alleen de functie zelf, maar ook de afgeleiden van de
−
−
d→
v (t)
d→
r (t)
−
−
functie komen in de vergelijking voor. Immers: →
a (t) =
en →
v (t) =
zodat
dt
dt
→
−
−
−
F
d→
v (t)
d2 →
r (t)
=
=
m
dt
dt2
Dit is een tweede orde differentiaalvergelijking.
→
−
−
Bij een gegeven kracht F berekent men de plaatsvector →
r (t) als functie van de tijd (de
−
→
F
baanbeweging) door m
twee keer te integreren. De eerste integratie geeft de snelheid als
functie van de tijd, de tweede integratie geeft de plaats als functie van de tijd. Hierbij krijgen
we twee onbepaalde constanten. Deze leggen we vast met begin (of rand) voorwaarden.
Meestal zijn dit de plaats en de snelheid op het tijdstip t = 0.
Voorbeeld: Een experimenteel voertuig start op t = 0 vanuit rust (v(0) = 0) en versnelt met
a = 7t. Wat is de snelheid en de verplaatsing 2 seconden later (alles in SI eenheden)?
Oplossing:
dv
weten we dat dv = adt. We nemen aan
dt
weerszijden de integraal van v = 0 op t = 0 tot een snelheid v op een willekeurig
tijdstip t:
• Uit de definitie van de versnelling a =
W2 – 1 OPT – Toepassingen
92
Z v
Z t
a · dt
dv =
0
0
2 t
t
7t · dt = 7
v=
2 0
0
2
t
v=7
− 0 = 3, 5t2
2
Z t
Op t = 2 s geldt dus v = 3, 5.22 m/s of v = 14 m/s.
ds
,
dt
wat we kunnen herschrijven als ds = vdt. Vervolgens intergreren we van s = 0 op
t = 0 tot plaats s op tijdstip t:
• Om de verplaatsing te berekenen, nemen we aan dat s(0) = 0. We weten dat v =
Z s
Z t
v · dt
ds =
0
0
3 2
t
3, 5t · dt = 3, 5
= 9, 33
s=
3 0
0
Z 2
2
Of na t = 2 s is de afgelegde weg s = 9, 33 m.
W2 – 1 OPT – Toepassingen
6.5
93
Opgaven
1. Bereken, m.b.v. bepaalde integralen, de oppervlakte van de figuren begrensd door de
grafieken waarvan de vergelijking hieronder gegeven is.
Bepaal bij de vier eerste oefeningen de gevraagde oppervlakte ook grafisch.
(a)
y=x
y=0
x=3
(b)
y = −1
(c)
x = −2
y=0
x y
+ =1
3 2
y=0
x=0
x=0
(d)
y = −2x + 1
y=0
x = −1
y = −x2 + 5x
y=0
x=2
(e)
(f)
1
y = − x2 + x + 3
4
y=0
y = x3 + x2 − x − 1
y=0
(g)
(h)
y=
√
x+1
y=0
x=3
x=8
y = sin 2x
y=0
x=0
x=
xy = 1
y=0
x=1
x=e
y = ex
y=0
x=2
x=3
(i)
π
3
(j)
(k)
2. Bereken de oppervlakte ingesloten door de grafieken van beide gegeven functies.
(Hint: bereken eerst de snijpunten van de grafieken.)
√
x
en
g(x) = x2
(b) f (x) = sin x
en
g(x) = cos x
(a) f (x) =
(c) f (x) = 4x − x2
en
tussen x = 0 en x = 2π
g(x) = 5 − 2x
W2 – 1 OPT – Toepassingen
94
3. Bereken, met behulp van integraalrekening, de oppervlakte van de goniometrische
cirkel.
4. De stroomsterkte van een wisselstroom is veranderlijk en wordt op elk ogenblik t gegeven door
2π
i(t) = Im · sin(ωt) met ω =
T
met Im de maximale stroomsterkte, T de periode en ω de pulsatie.
Toon aan dat de gemiddelde
waarde van een sinusoidale stroom i = Im ·sin(ωt)
2π
T
gelijk is aan 0, 637 · Im .
over het interval 0,
T
2
met ω =
5. De effectieve stroomsterkte Ief f van een wisselstroom is per definitie de stroomsterkte
van een gelijkstroom die in dezelfde tijd (T ) in dezelfde weerstand R evenveel warmte
ontwikkelt. Volgens de wet van Joule is het kwadraat van de effectieve stroomsterkte
Ief f het gemiddelde van I 2 in het tijdsinterval [0, T ].
Toon aan dat
√
2
Ief f = Im ·
2
6. Een deeltje verplaatst zich met een snelheid v(t) = 25 + 18t, met v in m/s en t in s.
Bepaal de verplaatsing van t1 = 1, 5 s tot t2 = 3, 1 s.
√
7. De versnelling van een deeltje is gegeven door a = 20 t in m/s2 .
Op t = 0 is v = 7, 5 m/s en s = 0 m.
(a) Bepaal v(t)
(b) Bepaal s(t).
(c) Bereken de versnelling, snelheid en verplaatsing op t = 0, 5 s.
8. Een auto rijdt 72 km/uur. Vanaf t = 0 wordt geremd met een vertraging van (t + 1, 5)
m/s2 .
(a) Hoe groot is de versnelling?
(b) Bepaal de formule voor v(t).
(c) Bereken het moment waarop de auto stilstaat.
(d) Bereken de remweg.
Wiskunde 2 –1 OPT – Inhoudsopgave
95
9. De luchtweerstand op een vallend lichaam kan worden meegenomen in de benaderde
relatie voor de versnelling:
dv
a=
= g − kv
dt
waarin k een constante is.
Leid een formule af voor de snelheid van het lichaam als functie van de tijd aangenomen dat het begint vanuit rust.
Hoofdstuk 7
Oplossingen oefeningen
7.1
Oplossingen hoofdstuk 1 (Limieten)
(d) ±∞
1. (a) bestaat niet
(b) 3
(e) ±∞
1
(f) −
2
(g) -1
2. (a) 1
(b) -4
(h) -2
(c) 13
(d) 57
4
(e)
5
5. (a) 10
(b) 3
(c) 7
3. (a) ∓∞
(d) 0
5
(e)
8
5
(f)
9
(g) 0
(b) ±∞
(c) ±∞
(d) +∞
(e) ±∞
(f) −∞
(g) ∓∞
6. (a) +∞
(h) −∞
(b) /
(c) /
4. (a) 0
1
(b)
3
(c) 2
(d) +∞
(e) /
(f) −∞
96
Wiskunde 2 – 1 OPT – Oplossingen
97
7. (a) H.A.: y = 0
V.A.: x = 0
(b) H.A.: y = 3
V.A.: x = 4
(c) H.A.: y = 0
8
(d) H.A.: y=5
(e) H.A.: y = 0
V.A.: x = 1
(f) H.A.: y = 0
V.A.: x = −1,
(g) H.A.: y = 0
V.A.: x = 0, x = 1
(h) V.A.: x = 0
(i) H.A.: y = 0
V.A.: x = 0
V.A.: x = 1, x = 2
x=1
Wiskunde 2 – 1 OPT – Oplossingen
7.2
98
Oplossingen hoofdstuk 2 (Afgeleiden)
1. (a) 2x
(b) 1
2. (a) 2x − 2
(b) 3(2n − 1)t2n−2
(c) 2x + 4
(d) 36x5 + 12x3 + 30x2 + 5
(e) 2x2 − x + 5
1−n
(f)
4xn
6
(g) 3x2 − 4
x
2
(h) −
(x − 2)2
11
(i)
(x + 5)2
2x3 − 1
x2
2
9x − 14x + 42
(k)
(6x − x2)2
(j)
x2 + 6x + 3
(x + 3)2
3
(m) √
2 t
√
−6 x
(n)
x3
√
7x 3 x
(o)
3
(l)
3. (a) 12(4x + 1)2
2x + 1
(b) √
2 x2 + x + 3
6x2 − 1
(c) √
4x3 − 2x
−2 · (14t + 5)
√
(d)
3 · 3 −7t2 − 5t + 3
x2 + 4x − 5
(x + 2)2
14(x − 2)
(f)
(x + 5)3
2x2 + 1
(g) √
x2 + 1
−3
q
(h)
2x2 5 + x3
(e)
(i)
1
√
(x2 + 1) x2 + 1
4. (a) −10 sin 2x
(b) 6(sin 3x)(cos 3x) = 3 sin 6x
cos x
(c) √
2 sin x
1
1
(d) 2 sin
x
x
−2
(e)
sin2 (2x + 3)
−x · sin x − cos x
(f)
x2
2 cos x
(g) −
(1 + sin x)2
8 cos x
(h) −
sin3 x
(i) cos x − x · sin x
(j) cos(2t)
tan2 (2x)
(k) 6 ·
cos2 (2x)
sin t − t · cos t
(l)
sin2 t
3
(m) sin (2x)
1
2x
2x
(b) 2
x −1
(c) ln x
(d) x2 (3 ln x + 1)
5. (a)
Wiskunde 2 – 1 OPT – Oplossingen
1 − ln x
x2
sin x
(f) −
cos x
2
(g)
· (ln x + 1)
x
1
(h)
1 − x2
cos x
1
(i)
= cot x
2 sin x
2
1
(j)
cos t
ex x ln x − 1
(k)
x (ln x)2
1
(l) log x +
ln
10
7. (a) Df (x) = 2x + 1
D2 f (x) = 2
(e)
(m) x2 ·
1
3 · log x +
ln 10
99
(b) Df (x) = (8x − 1)(x − 1)6
D2 f (x) = 14(4x − 1)(x − 1)5
1
(c) Df (t) = √
2 t
1
D2 f (x) = − √
4t t
11
(x − 4)2
22
D2 f (x) =
(x − 4)3
(d) Df (x) = −
x2 − 1
x2
2
D2 f (x) = 3
x
(e) Df (x) =
2
(n) 2
x −1
(o) et + 10t · ln 10
1
(p) √
2
t +5
4x
(q)
2
4x + 1
cos t − 3 · sin t
6. (a)
e3t
2 · cos x + sin x
(b) e2x ·
cos2 x
(c) 2x · Bg tan(x) + 1
√
(d) −2x · Bg sinx + 1 − x2
1
√
(e)
2 · x · (1 + x)
1
(f) √
3 − 2t − t2
(g) 13 · e2x · cos(3x)
1
(h)
1 + x2
−2t2 − 2
(t2 − 1)2
4t3 + 12t
D2 f (t) = 2
(t − 1)3
(f) Df (t) =
x4 − 3x2
(x2 − 1)2
2x3 + 6x
D2 f (x) = 2
(x − 1)3
(g) Df (x) =
x2 − 2x
(x − 1)2
2
D2 f (x) =
(x − 1)3
(h) Df (x) =
x3 − 1
x2
3+2
x
D2 f (x) =
x3
(j) Df (x) = 2 cos(2x)
D2 f (x) = −4 sin(2x))
(i) Df (x) =
(k) Df (x) = −2x · sin(x2 )
D2 f (x) = −2 · sin(x2 ) − 4x2 · cos(x2 )
2
(l) Df (x) = 6x · e3x
2
D2 f (x) = 6 + 36x2 · e3x
Wiskunde 2 – 1 OPT – Oplossingen
8. (a) y = −x − 1
(b) y = 40x − 64
(c) y = x
(d) niet mogelijk
(e) y = 8x − 4π
3 +
√
3
9. (a) x = 1, x = −1
(b) y = x + 1, y = x + 9
10. (a) v(t) = (6t + 2) m/s
(b) v(8 sec) = 50 m/s
(c) a(t) = 6 m/s2
(d) a(8 sec) = 6 m/s2
11. (a) v (3 sec) = 120 m/s
(b) a (3 sec) = 112 m/s2
−
d→
v (t)
−
−
= (8t + 2) · →
ex + 9t2 · →
ey
dt
−
d→
v (t)
−
−
ex + cos12 t · →
(b)
= (sin2 2t + 2t · sin 4t) · →
ey
dt
−
d→
v (t)
−
= ln 4 · 4t · →
ex
(c)
dt
−
d→
v (t)
12
2
−
−
(d)
=√
·→
ex +
·→
ey
2
dt
2t + 3
1 − 144t
12. (a)
(e)
−
d→
v (t)
t
−
=√
·→
ey
dt
t2 + 1
−
−2 cot t →
5 −
d→
v (t)
−
=
·−
ex + 25 · sin4 5t · cos 5t · →
ey + · →
ez
2
dt
t
sin t
−
d→
v (t)
−
−
−
(g)
= 2π · sin 2πt · →
ex + 6 · →
ey + 8t · →
ez
dt
(f)
−
−
−
13. (a) →
v (t) = 2t · →
ex + 9t2 · →
ey
100
Wiskunde 2 – 1 OPT – Oplossingen
101
−
−
−
(b) →
v (8 sec) = 16 · →
ex + 576 · →
ey
(c) v (8 sec) = 576, 22 m/s
−
−
−
(d) →
a (t) = 2 · →
ex + 18t · →
ey
−
−
−
(e) →
a (8 sec) = 2 · →
ex + 144 · →
ey
(f) a (8 sec) = 144, 01 m/s2
14. (a) v (4 sec) = 8, 94 m/s
(b) a (2 sec) = 2 m/s2
2
3
(k) 1
5
(l)
2
(m) 1
15. (a) 1
(j)
(b) 1
ln 5
(c)
5
(d) 1
(e) 2
4
(f)
3
π2
(g)
2
5
(h)
16
(i) 1
(n) 1
49
(o)
4
(p) 1
(q) 0
(r) 0
(s) 0
16. (a) max: (−1, 2)
min: (1, −2)
1 3
(b) min:
,−
2 8
9 4
(c) max:
,
2 243
(d) geen extrema
(e) max: (−2, −4)
min: (2, 4)
17. De oppervlakte is maximaal als de rechthoek een vierkant is met zijden 50 m. De
maximale oppervlakte bedraagt 2500 m2 .
Wiskunde 2 – 1 OPT – Oplossingen
18. L = 15 m
B = 7.5 m
19. Het volume is maximaal als de opstaande randen 2 cm hoog zijn.
20. t =
√
√
2 u cmax = 3 2 mg/l
21. L = B = 5 mm
√
Dmin = 5 2 mm
102
Wiskunde 2 – 1 OPT – Oplossingen
7.3
103
Oplossingen hoofdstuk 3 (Verloop van functies)
1 9
min: (− , − ))
2 4
1. (a) Df (x) = 2x + 1
1 9
max: ( , )
2 4
(b) Df (x) = −2x + 1
(c) Df (x) = 2x + 2
min: (−1, 0)
(d) Df (x) = −2x + 4
max: (2, 0)
(e) Df (x) = 4x − 2
1 5
min: ( , )
2 2
1 9
max: ( , − )
2 2
(f) Df (x) = −4x + 2
(g) Df (x) = 3x2 − 2x − 16
(h) Df (x) = x2 − x +
1
4
geen extrema
(i) Df (x) = (4x − 1)(x − 1)2
2. (a) H.A.: y = 0
(b) H.A.: y = 0
8 400
)
min: ( , −
3
27
max: (−2, 36)
V.A.: x = 1
1
27
min: ( , −
)
4 256
Df (x) =
V.A.: x = 0 x = 3
2
(1 − x)2
Df (x) =
10x − 15
(x2 − 3x)2
12
(x − 4)2
−2x2 − 2
(d) H.A.: y = 0
V.A.: x = −1 x = 1
Df (x) = 2
(x − 1)2
8
4
(e) H.A.: y = −
V.A.: x = 0
Df (x) = − 2
5
5x
1 − 3x2
(f) H.A.: y = 0
geen V.A. x = 1
Df (x) =
(1 + 3x2 )2
11
(g) H.A.: y = 2
V.A.: x = 4
Df (x) = −
(x − 4)2
1 − 2x
(h) H.A.: y = 0
V.A.: x = 0 x = 1
Df (x) = 2
(x − x)2
x3 − 1
(i) geen H.A.
V.A.: x = 0
Df (x) =
x2
(c) H.A.: y = 3
3. H.A.: y = 0
V.A.: x = 4
geen V.A.
Df (x) = −
y ′ = −2x · e−x
2
y ′′ = 2(2x2 − 1) · e−x
2
Wiskunde 2 – 1 OPT – Oplossingen
7.4
Oplossingen hoofdstuk 4 (Differentialen)
1. (x − 1)8 · (10x − 1) · dx
2.
3.
4.
9t
9t2 + 4
· dt
x2 − 6x + 8
· dx
(x − 3)2
1 − 3t2
(1 + 3t2 )2
· dt
5. (3 · sin 6t − 3 · cos 2t · sin 4t) · dt
104
Wiskunde 2 – 1 OPT – Oplossingen
7.5
105
Oplossingen hoofdstuk 5 (Integralen)
x6
+ C (C ∈ R)
3
5
(b) − 2 + C (C ∈ R)
2x
√
2t t
(c)
+ C (C ∈ R)
3
√
15x2 3 x
(d)
+ C (C ∈ R)
7
√
x
+ C (C ∈ R)
(e) −2
x
2
3
(f) t4 − t3 + t2 − 7t + C (C ∈ R)
3
2
√
2
(g) 2 · 1 − x · x · x + C (C ∈ R)
5
1
5
7
(h) x3 + x +
+ C (C ∈ R)
9
3
3x
2 √
1
(i) t t − 2 ln t + t2 + C (C ∈ R)
3
4
(j) −2 cos x + 7 sin x + C (C ∈ R)
1. (a)
2.
(k) − cot x + x3 + C
(C ∈ R)
(l) x − Bg tanx + C
(C ∈ R)
16 3
1
x + 12x2 + 9x + C = (4x + 3)3 + C
3
12
1
· (3x − 4)9 + C (C ∈ R)
27
1
(b) − p
+ C (C ∈ R)
3 · (2x − 3)3
1
(c) − · sin(2 − 3x) + C (C ∈ R)
3
1
(d) − · cos(ωt + φ) + C (C ∈ R)
ω
(e) −3 · cot x3 − 5 + C (C ∈ R)
1
(f) − · e2−3x + C (C ∈ R)
3
1
(g) − · ln |5 − 2t| + C (C ∈ R)
2
3. (a)
(C ∈ R)
Wiskunde 2 – 1 OPT – Oplossingen
106
√
1
· (4t − 7)4 · 4t − 7 + C (C ∈ R)
18
√
1
(b) · (4x − 3)2 · 4x − 3 + C (C ∈ R)
5
1
(c)
· (x2 + 1)6 + C (C ∈ R)
12
√
(d) 1 + x2 + C (C ∈ R)
(e) − cos x2 + C (C ∈ R)
√
(f) ln t2 + 1 + C (C ∈ R)
p
(g) ln 3 |x3 + 4| + C (C ∈ R)
4. (a)
(h) ln(2x2 − 3x + 5) + C (C ∈ R)
1
(i) · ln2 t + C (C ∈ R)
2
5. (a) (x2 − 2x + 2) · ex + C (C ∈ R)
(b) t2 − 2 · sin t + 2t · cos t + C (C ∈ R)
(c) (x2 + 2x − 3) · sin x + 2 · (x + 1) · cos x + C
(C ∈ R)
(d) x · (6 − x2 ) · cos x + 3 · (x2 − 2) · sin x + C
(C ∈ R)
1
1 2 1
x − x+
· e2x + C (C ∈ R)
2
2
4
1
2
2
(f) t2 −
· sin 3t + t · cos 3t + C (C ∈ R)
3
27 9 1
1
1
− t2 · cos 4t + C (C ∈ R)
(g) t · sin 4t +
8
32 4
(h) x · (ln x − 1) + C (C ∈ R)
(e)
6. (a) 7 tan t + cos t + C (C ∈ R)
1
(b) · tan2 x + C (C ∈ R)
2
1
1
(c) sin 2x − sin 4x + C (C ∈ R)
4
8
1
1
(d) x − sin 2x + C (C ∈ R)
2
4
1
1
(e) x + sin 2x + C (C ∈ R)
2
4
1
(f) · sin4 t + C (C ∈ R)
4
Wiskunde 2 – 1 OPT – Oplossingen
38
3
5
(b)
2
(c) −6
(d) 8
2
(e)
3
(f) 10
(g) 0
(h) 0
1
(i)
6
(j) 45
7
(k)
24
7. (a)
107
52
3
(m) 1
(l)
(n) −
1
2π
(o) 0
√
(p) ln 3
7
(q)
128
(r) 0
(s) e − 2
π
(t) − − 1
2
(u) 0
Wiskunde 2 –1 OPT – Inhoudsopgave
7.6
108
Oplossingen hoofdstuk 6 (Toepassingen op de integraalrekening)
9
2
(b) 2
(c) 3
9
(d)
2
125
(e)
6
64
(f)
3
1. (a)
4
3
38
(h)
3
3
(i)
4
(j) 1
(g)
(k) e3 − e2
1
3
√
(b) 2 2
32
(c)
3
2. (a)
3. π
4.
5.
6. 106 m
40 √
t· t
3
16 √
(b) s(t) = 7, 5t + t2 t
3
(c) a = 14, 14 m/s2 , v = 12, 21 m/s, s = 4, 69 m
7. (a) v(t) = 7, 5 +
8. (a) a(t) = (−t − 1, 5) m/s2
2
t
3
(b) v(t) = − − t + 20 m/s
2
2
(c) t = 5, 0 s
(d) s(t) = 60, 4 m
9. v(t) =
g
1 − e−kt
k