Introducción a la Optimización
Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales
Dr. Pedro L. González Rodríguez
Contenido del Tema
Introducción
La Función Objetivo
Notación matemática
Funciones y Conjuntos Convexos
Determinación de la Convexidad
Ejercicios
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Pedro L. González-R
Introducción
Optimización aparece en muchos campos relativos a la ingeniería
- Marcada importancia en problemas de Diseño y de Gestión
-
-
Algunos ejemplos
Optimización de rutas en empresas de trasporte
- Determinación del tamaño económico de la flota
- Optimización de paquetes de inversiones
- Determinación del portfolio de proyectos
- Optimización y planificación de la producción
- Determinación del tamaño de los lotes
- Optimización del beneficio en empresas de servicios (yield management)
- Economía…
- IA…
-
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Pedro L. González-R
Introducción
- Tratamos
de traducir un problema a lenguaje
matemático
- Estudiamos cómo es
- Determinamos cómo resolverlo
- Implementados mediante las herramientas adecuadas
un método de resolución
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Pedro L. González-R
La función objetivo
 Es el objetivo que se persigue en el problema planteado.
Se expresa como maximización o minimización de una
determinada función
o Suele entenderse en términos económicos beneficio o
coste
o Términos de error
o O desviación
 Algunas propiedades
o 𝑀𝑎𝑥 𝑓 𝑥 = − min(−𝑓 𝑥 )
o
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o
𝑀𝑎𝑥 𝑐 · 𝑓 𝑥
= 𝑐 · 𝑀𝑎𝑥 (𝑓 𝑥 )
o
𝑀𝑎𝑥 𝑐 + 𝑓 𝑥
= 𝑐 + 𝑀𝑎𝑥 (𝑓 𝑥 )
Pedro L. González-R
Notación Matemática de
un problema de Optimización
 Un problema de optimización general suele expresarse de
la siguiente manera:
Función Objetivo
𝑀𝑎𝑥 𝑓 𝑥
s.a.
𝑥∈𝑋
Puede ser de cualquier tipo
Continua / Discontinua
Diferenciable o no
Lineal / No lineal
Región admisible (Combinación de valores donde tiene sentido el problema)
Dominio de las variables,
𝑥 ∈ ℝ𝑛
𝑥 ∈ {0,1}
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Restricciones
Puedes ser de cualquier tipo
Incluso excluyentes
Habitualmente se expresan:
ℎ𝑗 (𝑥) = 0
𝑔𝑘 (𝑥) ≤ 0
𝑗∈𝐽
𝑘∈𝐾
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Características de la PNL
 Diferencia con los problemas habituales en programación
lineal…
 𝑓 𝑥
 ℎ𝑗 𝑥
Cualquier tipo de función
 𝑔𝑘 (𝑥)
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Máximos y mínimos
 Una función 𝒇(𝒙) continua y diferenciable tiene un:
o Mínimo Global en 𝒙∗ :
𝑓 𝑥∗ ≤ 𝑓 𝑥
o
Mínimo Local 𝒙∗ :
𝑓 𝑥∗ ≤ 𝑓 𝑥
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∀ 𝑥 ∈ ℝ𝑛 \x ∗
∀ 𝑥 ∈ ℝ𝑛 \x ∗
𝑥 − 𝑥∗ < 𝜀
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Funciones y Conjuntos Convexos
 Con el < estricto es estrictamente convexa
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Pedro L. González-R
Convexidad. Algunos resultados
 La
combinación lineal de funciones (estrictamente) convexas son
(estrictamente) convexas.
𝑛
o Si 𝑓𝑖 𝑥 es (estr) convexa, 𝑓 𝑥 = σ𝑖=1 𝛼𝑖 𝑓𝑖 (𝑥) , 𝛼 ≥ 0, es una función
(estr) convexa
 Conjunto Convexo
 Si 𝑔𝑖 (𝑥) es una función convexa, 𝑔𝑖 𝑥
≤ 0 es un conjunto convexo
 La intersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo
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Convexidad y Unimodalidad
 Sólo tiene un máximo (mínimo)
 Una función convexa es unimodal, lo contrario no es cierto
Ejemplo Función Unimodal No convexa
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Ejemplo Función Unimodal convexa
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𝑥2
Convexidad y No convexidad
En programación lineal…
En programación No lineal…
puede darse este caso
𝑥1
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Función Convexa en Maximización
Región
poliédrica
𝑥2
d
c
a
b
𝑥1
 El óptimo (global) está en un vértice
¿Cual?
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Pedro L. González-R
Función Convexa en Maximización
Región
Convexa
𝑥2
d
c
a
b
𝑥1
 ¿Se puede decir lo mismo en este caso?
 ¿Dónde está el óptimo?
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Pedro L. González-R
Función Convexa en minimización
Región
poliédrica
𝑥2
d
c
a
b
𝑥1
 ¿Dónde está el óptimo?
¿Cual?
¿Siempre?
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Pedro L. González-R
Función Convexa en minimización
Región
Convexa
𝑥2
d
c
a
b
𝑥1
 ¿Se puede decir lo mismo en este caso?
 Igual en este caso…
o
El óptimo puede estar en el interior o en un vértice
 Pensar qué ocurre si la FO es cóncava
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Pedro L. González-R
Determinación de la convexidad
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Pedro L. González-R
Determinación de la convexidad
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Pedro L. González-R
Determinación de la convexidad
Se estudia el signo de la Matriz Hessiana
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Pedro L. González-R
Signo de la Matriz Hessiana y
convexidad
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Pedro L. González-R
Tipos de problemas de optimización
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Pedro L. González-R
Ejercicios (i)
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Pedro L. González-R
Ejercicios (ii)
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