O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI QO’QON DAVLAT PEDAGOGIKA
INSTITUTI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
MATEMATIKA KAFEDRASI
60110600-matematika va informatika
yo‘nalishi (sirtqi) 04/21-MI -guruh talabasi
Komilov G‘afurjonaning
“Akademik litseyda to‘plam tushunchasini o‘qitishda interfaol
metodlardan foydalanish” mavzusidagi
KURS ISHI
(Matematika o’qitish metodikasi fanidan )
Ilmiy rahbar:
Matematika kafedrasi
o‘qituvchisi
O.MAXMUDOVA
QO’QON -2024
REJA:
KIRISH… ....................................................................................................... 3
ASOSIY QISM..... ....................................................................................... ...5
1-§ Akademik litseylarda matematika o’qitishni maqsadi va vazifalari............5
2-§ Akademik litseylarda matematika o’qitishda interfaol va samarador dars
rejalarini tuzish....................................................................................................10
3-§ To’plamlar va ular ustida amallar.................................................................13
4-§ To’plam tushunchasini o’qitishda klaster usulidan foydalanish...................25
5-§ Dars Ishlanma (namuna) ..............................................................................28
XULOSA............................................................................................................31
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YHATI.....................................33
2
KIRISH
Aqlni takomillashtirmoq uchun yodlab olish emas, ko’proq fikr yuritish kerak.
Respublikamizda “Ta’lim to’g’risida”gi qonunning qabul qilinishi“Kadrlar
tayyorlash Milliy dasturi” zamon talablariga javob beradigan mutaxassislarni
tayyorlovchi oliy o’quv yurtlariga, ayniqsa, universitetlarga katta ma’suliyat yukladi.
Davlat ta’lim standartlari, o’quvdasturlari asosid darsliklar, o’quv qo’llanmalarni
yaratish masalasi yuzaga keldi.
Kurs ishining dolzarbligi: O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.Mirziyoyev
oliy ta'lim tizimini 2030 yilgacha rivojlantirish konsepsiyasi tasdiqlandi va unda
quyidagilar nazarda tutiladi: oliy ta'lim sohasida davlat-xususiy sheriklikni
rivojlantirish, hududlarda davlat va nodavlat oliy ta'lim muassasalari faoliyatini
tashkil etish asosida oliy ta'lim bilan qamrov darajasini 50 foizdan oshirish, sohada
sog‘lom raqobat muhitini yaratish; O‘zbekiston Milliy universiteti va Samarqand
davlat universitetini mamlakatimiz oliy ta'lim muassasalarining flagmaniga
aylantirish; respublikadagi kamida 10 ta oliy ta'lim muassasasini xalqaro e'tirof
etilgan tashkilotlar (Quacquarelli Symonds World University Rankings, Times
Higher Education yoki Academic Ranking of World Universities) reytingining
birinchi 1 000 ta o‘rindagi oliy ta'lim muassasalari ro‘yxatiga, shu jumladan,
O‘zbekiston Milliy universiteti va Samarqand davlat universitetini birinchi 500 ta
o‘rindagi oliy ta'lim muassasalari ro‘yxatiga kiritish;oliy ta'lim muassasalarida o‘quv
jarayonini bosqichma-bosqich kredit-modul tizimiga o‘tkazish;alqaro tajribalardan
kelib chiqib, oliy ta'limning ilg‘or standartlarini joriy etish, jumladan, o‘quv
dasturlarida nazariy bilim olishga yo‘naltirilgan ta'limdan amaliy ko‘nikmalarni
shakllantirishga yo‘naltirilgan ta'lim tizimiga bosqichma-bosqich o‘tish;oliy ta'lim
mazmunini sifat jihatidan yangi bosqichga ko‘tarish, ijtimoiy soha va iqtisodiyot
tarmoqlarining barqaror rivojlanishiga munosib hissa qo‘shadigan, mehnat bozorida
o‘z o‘rnini topa oladigan yuqori malakali kadrlar tayyorlash tizimini yo‘lga qo‘yish;
oliy ta'lim muassasalarining akademik mustaqilligini ta'minlashdan iborat.
Shuningdek, O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Miromonovich
Mirziyoyev “Oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi
3
qarorida quyidagilarni belgilab berdi:
Har bir oliy ta’lim muassasasi jahonning yetakchi ilmiy-ta’lim muassasalari
bilan yaqin hamkorlik aloqalari o‘rnatish, o‘quv jarayoniga xalqaro ta’lim
standartlariga asoslangan ilg‘or pedagogik texnologiyalar, o‘quv dasturlari va
o‘quv-uslubiy materiallarini keng joriy qilish, o‘quv-pedagogik faoliyatga,
master-klasslar o‘tkazishga, malaka oshirish kurslariga xorijiy hamkor ta’lim
muassasalaridan yuqori malakali o‘qituvchilar va olimlarni faol jalb qilish,
ularning bazasida tizimli asosda respublikamiz oliy ta’lim muassasalari
magistrant, yosh o‘qituvchi va ilmiy xodimlarining stajirovka o‘tashlarini,
professor-o‘qituvchilarni qayta tayyorlash va malakasini oshirishni tashkil
qilish;
Yangi avlod o‘quv adabiyotlarini yaratish va ularni oliy ta’lim
muassasalarining ta’lim jarayoniga keng tatbiq etish, oliy ta’lim muassasalarini
zamonaviy o‘quv, o‘quv-metodik va ilmiy adabiyotlar bilan ta’minlash, shu
jumladan, eng yangi xorijiy adabiyotlar sotib olish va tarjima qilish, axborotresurs markazlari fondlarini muntazam yangilab borish;
Oliy ta’lim muassasalari moddiy-texnika bazasini o‘quv va ilmiy-laboratoriya
bino va korpuslari, sport inshootlari, ijtimoiy-muhandislik infratuzilmasi
obyektlarini qurish, rekonstruksiya qilish va kapital ta’mirlash, oliy ta’lim ilmfanining ustuvor yo‘nalishlari bo‘yicha o‘quv-ilmiy laboratoriyalarini zamonaviy
asbob va uskunalar bilan jihozlash orqali yanada mustahkamlash;
“Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”ni ro’yobga chiqarishning birinchi
bosqichida (1997-2001 yillar) – “o’quv-uslubiy majmualarning hamda ta’lim
jarayonini didaktik va axborot ta’minotining yangi avlodini ishlab chiqish va
joriy etish”; ikkinchi bosqich (2001-2005 yillar)da – “ta’lim muassasalarining
moddiy-texnika va axborot bazasini mustaxkamlashni davom ettirish, o’quvtarbiya jarayonini yuqori sifatli o’quv adabiyotlari va ilg’or pedagogik
texnologiyalar bilan ta’minlash”; uchinchi bosqichi (2005 va undan keyingi
yillar)da – “ta’lim muassasalarining resurs, kadrlar va axborot bazalarini yanada
mustahkamlash, o’quv-tarbiya jarayoni yangi o’quv-uslubiy majmualar, ilg’or
4
pedagogik texnologiyalar bilan to’liq ta’minlanishi” dolzarb vazifalar qatorida
belgilangan.
Milliy dasturni ro’yobga chiqarishning yuqori sifat ko’rsatkichini
ta’minlash, ta’lim mazmunini davlat ta’lim standartlaridagi talablari amalga
oshirildi. Barcha o’quv fanlari bo’yicha davlat ta’lim standartlarini o’quv
jarayonida qo’llab va o’quv yili yakunida o’quvchilar tomonidan o’zlashtirilgan
bilimlar shu standartlarga mosligini aniqlash bo’yicha maktab, tuman, shahar,
respublika darajasida monitoring ishlari olib borilmoqda. Milliy dasturda ko’zda
tutilgandek, zamonaviy axborot texnologiyalari va kompyuterlar tarmoqlari
negizida ta’lim jarayonini axborot bilan ta’minlash rivojlanib boradi. O’quv,
o’quv-uslubiy, ilmiy, innovatsion, zamonaviy texnologiyalar mukammalashib,
o’quv jarayoniga tatbiq etib boriladi.Fikrning bilmaslikdan bilishga qarab, to’la
va mukammal bo’lmagan bilimdan to’la va mukammal bilimga qarab harakat
qilishdan iborat cheksiz jarayon bilish deb ataladi.Ya'ni bilish- bu avvalo fikrlash,
olamni bevosita anglashdir. O’qituvchi mutaxasisligi bo’yicha o’z fanini chuqur
bilishi, pedagogik muloqot ustasi bo’lishi, psixologik-pedagogik va uslubiy bilim
va malakalarni egallagan bo’lishi, har xil pedagogik vaziyatlarni zudlik bilan
o’rganish va baholash, pedagogik ta'sir ko’rsatishning ma’qulusul va vositalarini
tanlab olish qobiliyatiga ega bo’lishi kerak.
O’qituvchi ta’lim berish jarayonida qanday natijalarga erishiyapti, u o’z
maqsadiga yetdimi, shularni aniqlashi uchun u doimo har bir darsida
o’quvchilarni baholab borishi kerak. O’quvchilarni bilimini tekshirish va
baholashdan asosiy ko’zlangan maqsad esa o’quvchilarni bilimining sifatini,
rivojlantirish darajasini ta’minlash va ularni rag’btlantirishdan iborat bo’lib,
bilim olishga qiziqishni takomillashtirishdir. Ta’limda bo’layotgan natijalarni
baholash, ta’lim sifatida, o’qituvchi va o’quvchilar uchun ham baho asosiy vosita,
sabab bo’lib xizmat qiladi.
O’qituvchi qanchalik ahamiyatli, obro’li bo’lsa, uning maktabda asosan baholash
va baholarda aks etuvchi maqtovlari shunchalik qadrli va ahamiyatli bo’ladi.
Kurs ishining maqsadi: Funksiyalar va uning xossalari mavzusini o’qitishda
5
bilim ko’nikma va malakani shakllantirish.
Kurs ishining ob’ekti: maktab ta’limida matematikani o’qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Matematikani o’qitish metodlari va vositalari.
Kurs ishining vazifalari:
1.Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2.Funksiya tushunchasi va ular ustida amallar yechishni yoritib berish;
3.Maktabda “Funksiya va uning xossalari”mavzusini o‘rgatish bo‘yicha
ko‘nikma yaratish;
4.O’quvchi yo’l qo’yadigan xatolarni o’rganish va uni tuzatish usullarini
izlash;
6.Kurs ishini jihozlab,uni himoyaga tayyor qilish
6
1-§. Akademik litseylarda matematika o’qitishni maqsadi va vazifalari
O'quvchilarni kognitiv qobiliyatlarini shakllantirish ko'proq mustaqil ishlarni
tashkil etish jarayonida amalga oshiriladi. Ushbu maqolada akademik litsey
o'quvchilarining mustaqil ishlarni bajarish jarayonlaridagi kognitiv qobiliyatlarini
shakllantirish to'g'risida gapirib o'tamini
Mustaqil ishni tashkil etish - bu o'qituvchining o'quvchilar tomonidan muayyan
vazifalarni o'z vaqtida va muvaffaqiyatli bajarishi uchun zarur bo'lgan pedagogik shartsharoitlarni yaratishga qaratilgan harakatlaridir.Akademik litsey davlat ta'lim
standartlariga muvofiq o'rta maxsus ta'lim beradi. O'quvchilarni imkoniyatlari va
qiziqishlarini hisobga olgan holda ularning jadal intellektual rivojlanishi chuqur,
sohalashtirilgan, kasbga yo'naltirilgan ta'lim olishini ta'minlaydi. Akademik litseyda
o'quvchilar o'zlari tanlab olgan ta'limy yo'nalishi bo'yicha bilim saviyalarini oshirish
hamda fanni chuqur o'rganishga qaratilgan ko'nikmalarni o'zlarida shakllantirish
imkoniyatiga ega bo'ladilar. Bu ko'nikmalarni o'qishni muayyan oliy ta'limi
muassasalarida davom ettirish yoki mehnat faoliyatida ro'yobga chiqarishlari
mumkin.Matematika o'qitishning amaliy maqsadi o'z oldiga qo'ygan vazifalaridan biri
o'quvchilarni mustaqil ravishda matematik bilimlarni egallashga o'rgatish. Bunda asosan
o'quvchilarni o'quv darsliklaridan va ilmiy-ommaviy matematik kitoblardan mustaqil o'qib
o'rganish malakalarini shakllantirishdan iboratdir. O'quvchilarning til(rus tili, ingliz tili)ni
bilish qobiliyatining mavjudligi mustaqil bilim olishlarida til bilmagan o'quvchilarga
qaraganda ustunlik tomonlaridir. Chunki til bilgan o'quvchi turli tildagi manbalardan
ma'lumotlar oladi(o'qituvchi nazoratida). Matematika kursini o'rganish nafaqat bilimlar
tizimini juda aniq va chuqur o'zlashtirish, balki ushbu bilimlarni ta'lim maqsadlarida yangi bilimlarni olish hamda amaliy hayotda qo'llash qobiliyatidir.
Biroq, o'quv materialini ongli ravishda, mustaqil o'zlashtirgan taqdirda ham,
bilimlarni qo'llash qobiliyati o'z-o'zidan paydo bo'lmaydi, buni maxsus usulda o'rgatish
kerak. Bilimlarni amalda qo‘llashni o‘rgatishda misol va masalalar yechish muhim o‘rin
tutadi. Buning uchun o'quvchilarni muammolarni hal qilishga o'rgatish lozim.
Muammolarni hal qilishda qo'yilgan asosiy maqsad o'quvchilarning matematik
qonunlarni chuqurroq tushunishlari va amaliy masalalarga, texnik hisob-kitoblarga
qo'llashni o'rganishlaridir. Muammoni hal qilish - tafakkurni, zukkolikni, mulohaza
yuritishda mustaqillikni, qiyinchiliklarni yengishda qat'iyatni rivojlantirishning ajoyib
vositasidir.
O'quvchilarning kuchli bilimi esa ularning muammolarni hal qilish faoliyatini
tashkil etish omilidir.
Masalani yechish o’quvchilar bilimidagi formalizmning oldini olish sharti va
7
bilimlarni amaliyotda qo’llash qobiliyatini rivojlantirish shartidir.O'quvchini matematik
tushunchalarni o'rgangandan so'ng, vazifalar mazmunini mustaqil tahlil qilishga, shartlarni
tuzishga o'rgatish kerak.Endilikda o'quvchi masalaning shartiga diqqat bilan yondashsa, u
masalalarning tayyor matnlarini tanqidiy idrok etadi, ba'zida masala noto'g'ri yozilsa,
qandaydir noroziligini ham bildiradi.
Matematika kursida formulalar soni juda ko'p(ayniqsa geometriyadan) va ular
o'quvchilar xotirasida uzoq vaqt saqlanib qolishi uchun, albatta, mashg'ulotlar yaxshi
yordam beradi. O'quvchilar o'rtasida guruhlarga bo'linib “Formulalar jangi”, “Formulalar
yomg'iri” kabi o'yinlar orqali kim o'zarga formulalarni to'g'ri va xatosiz yozish orqali yoki
mavzuda berilgan formulalarga doir misol va masalalarni ko'proq yechish orqali xotirada
saqlab qolishni shakllantirish mumkin. Bunda o'qituvchi o'yin texnologiyasini qaysidir bob
ichidan olingan mavzularga tegishli formulalar asosida o'tkazadi. G'olib guruhni
formulalar sonining ko'pligi, to'gri va aniqligiga qarab aniqlaydi. Albatta guruh orasida bu
o'yinda ishtirok etmay qolgan o'quvchilar ham borligi o'qituvchidan ziyraklikni talab
qiladi. Ular bilan esa individual shug'ullanish o'yin oxirida amalga oshirilishi o'qituvchi
tomonidan oldindan ogohlantiriladi.
Masalalarni yechishda mustaqillikni shakllantirish ishining bu bosqichini
formulalarni qayta ishlash deb ataymiz.
Shunday qilib, mustaqil fikrlash va bilimlarni qo'llash qobiliyatini singdirishda
jismoniy muammolarni hal qilishda o'quvchilarning mustaqil ishlarini tizimli tashkil etish
muhim rol o'ynaydi.
Muammolarni mustaqil yechish qobiliyatini o'rgatish eng qiyin vazifalardan biri
bo'lib, o'qituvchining doimiy e'tiborini talab qiladi. O'quvchilarni mustaqil oddiy amallarni
bajarishdan boshlab asta-sekin muammolarni mustaqil hal qilishga o'rgatish kerak, keyin
esa muammoni mustaqil yechish uchun qiyinroq vazifalarga o'tiladi.
O'quv jarayoniga berilgan o'quvchilarning mustaqil ishi - o'qituvchining bevosita
ishtirokisiz, lekin uning topshirig'iga binoan, maxsus belgilangan vaqtda bajariladigan ish;
shu bilan birga, o'quvchilar ongli ravishda vazifada qo'yilgan maqsadga erishishga
intiladilar, o'zlarining harakatlarini ko'rsatadilar va o'zlarining aqliy va jismoniy (yoki har
ikkala) harakatlarining natijalarini u yoki bu shaklda ifodalaydilar. Bu faoliyat juda
muhim. K. D. Ushinskiy faqat mustaqil ishgina bilimlarni chuqur o‘zlashtirish,
o‘quvchilar tafakkurini rivojlantirish uchun sharoit yaratadi, deb hisoblagan. Yetakchi
pedagoglar doimo sinfda o‘quvchilar imkon qadar mustaqil ishlashi, o‘qituvchi esa
ularning mustaqil ishlariga rahbarlik qilishi kerak, deb hisoblagan. Mustaqil ishning
quyidagi turlari va shakllari ajratiladi.
8
Mustaqil ish (o'qitish shakliga qarab) bo'lishi mumkin: individual, guruh, juftlik,
frontal.
Mustaqil ish (maqsadiga qarab) bo'lishi
mustahkamlash, rivojlantiruvchi, ijodiy, nazorat.
mumkin:
o'rgatish, tarbiyalash,
Mustaqil ish (ishtirokchilar soniga qarab): jamoaviy (butun jamoa qamrab olingan),
guruh (2 kishilik guruhlar) bo'lishi mumkin va undan ko'p (o'quvchilar), individual (bir
o'quvchi).
1) Mustaqil ish (bajarish / o'tkazish joyiga qarab): sinf, darsdan tashqari bo'lishi
mumkin. Shunday qilib, mustaqil ishning ikkita asosiy muammosi mavjud: o'qituvchilar
tomonidan mustaqil ishning mohiyatini tushunmaslik;
2) o'quvchilarning mustaqil ishlarini noto'g'ri tashkil etish.
Mustaqil ishni to'g'ri va malakali tashkil etish uchun qulay shart-sharoitlarni
yaratish kerak. Bu shartlarga quyidagilar kiradi:
o'quvchilarga topshiriqni bajarish uchun to'g'ri motivatsiya qilish (ya'ni,
o'quvchilarga nima uchun buni qilayotganlarini, ular uchun nima ekanligini aytib
-
berish
o'quvchilarga oldin kognitiv vazifalarni to'g'ri va malakali belgilash;
o'quvchilarni topshiriqlarni bajarish algoritmi bilan tanishtirish (lekin
har qanday holatda, unga o'xshash misol yordamida topshiriqning bajarilishini
ko'rsatmang, aks holda, barcha mustaqillik va qiziqish pasayadi);
-
- o' quvchilarga topshiriqni bajarish uchun ma'lum vaqt bering(o'quvchilar uchun
aniq vaqt chegaralarini belgilash, ishni topshirishning aniq muddatini belgilash);
- o'quvchilar ishni qanday shaklda topshirishlari kerakligini aniqlash;
- o‘quvchilarga o‘qituvchidan qanday yordam olish mumkinligini tushuntirish;
- o'quvchilarning mustaqil ishini baholash mezonlarini aytib berish (yaxshisi
taqdim etish);
- nazorat qanday shaklda va qanday amalga oshirilishini tushuntirish va
mustaqil ish natijalarini baholash.
Mustaqil ish, bir tomondan, o'quvchi bajarishi kerak bo'lgan o'quv vazifasi bo'lsa,
ikkinchi tomondan, bu tegishli faoliyatning namoyon bo'lish shakli: xotira, fikrlash, ij odiy
tasavvur va ilgari olingan bilimlar doirasini kengaytirish. Darsda mustaqil ishning bir
necha turlari mavjud:
Kitob bilan ishlash. Bu darsliklar, ma'lumotnomalar, ilmiy-ommabop adabiyotlar
9
bilan ishlash, o'qilgan materialni qayd qilish, ilgari berilgan savolga javob izlash. Bunday
faoliyat jarayonida o'quvchilar olingan ma'lumotlarni tahlil qiladilar, taqqoslashadi,
umumlashtiradilar va tizimlashtiradilar. Yangi bilimlarni o'zlashtirish har bir o'quvchi
tomonidan materialni puxta o'rganish va undagi faktlarni, ulardan kelib chiqadigan
misollar va nazariy umumlashtirishlarni tushunish orqali mustaqil ravishda amalga
oshiradilar, o'quvchilar esa kitob bilan ishlash ko'nikmasiga ega bo'ladilar. Faoliyatning bu
turi samarali bo'lishi uchun o'qituvchi bir qancha qoidalarga amal qilishi kerak:
1. Material tushunarli bo'lishi kerak
2. O'qituvchi o'quvchilar bilan dastlabki
suhbatni o'tkazishi, unda o'quv
materialining mavzusi aniq belgilangan bo'lishi, maqsad va vazifalar belgilanishi,
shuningdek, mustaqil ishlash va o'z-o'zini nazorat qilish tartibi bo'yicha tavsiyalar berishi
kerak.
3. Dars davomida o'qituvchi mustaqil ishlarning borishini kuzatishi kerak. Agar
o'quvchilardan birortasi qiyinchiliklarga duch kelsa, o'qituvchi ularga tushunarsiz
daqiqalarni yengishga yordam berishi kerak.
4. Akademik litsey o‘quvchilarida darslikdan yangi materialni mustaqil idrok etish
va o‘zlashtirish ko‘nikmasini shakllantirishga katta e’tibor qaratish lozim. Bunday
ko'nikmalarni shakllantirish uchun bolalarning mustaqil o'qishini tashkil etish, so'ngra
o'qituvchining savollariga javob berish kerak.
5. Mustaqil ishdan so'ng ushbu bilimlarni amaliyotda qo'llash ko'nikma va
malakalarini rivojlantirish uchun material va o'quv mashqlarini mustahkamlash uchun
suhbat o'tkazishingiz kerak.
Misol va masalalar. O'quvchilar amaliyotda bir nechta harakatlarni bajaradilar va
shu yo'l bilan o'z bilimlarini chuqurlashtiradilar, tegishli ko'nikma va malakalarni
rivojlantiradilar, shuningdek, o'zlarining
tafakkuri va ijodkorligini rivojlantiradilar. Misol va masalalar yechishni o'rgatish,
namuna bo'yicha takrorlash, topshiriq va savollarni tuzish va ularni yechish, boshqa
o'quvchilarning javoblarini ko'rib chiqish, ularning faoliyatini baholash, amaliy ko'nikma
va malakalarni rivojlantirishga qaratilgan misol va masalalar tuzish o'qituvchi tomonidan
amalga oshiriladi.
Misol va masalalar ongli xarakterga ega bo'lishi va o'quvchilar o'rganilayotgan
materialni yaxshi tushungan va o'zlashtirgandagina amalga oshirilishi kerak;bilimlarni
yanada chuqurlashtirishga hissa qo'shishi kerak;akademik litsey o'quvchilarining ijodiy
qobiliyatlarini rivojlantirishga ko'maklashishi Bu faoliyat turini o'tkazishning eng yaxshi
natijaga erishish uchun qo'llanilishi kerak bo'lgan bir qancha metodlari mavjud:
1. O'qituvchi o'quvchilarning olgan nazariy bilimlariga tayangan holda ularga
bo'lajak o'quv faoliyatining maqsad va vazifalarini tushuntirib beradi.
2. O'qituvchiga u yoki bu mashqni qanday bajarish kerakligini ko'rsatish.
3. O'quvchilar tomonidan bilimlarni amaliyotda qo'llash harakatlarining dastlabki
takrorlanishi.
10
4. O'quvchilarning
o'zlashtirilgan amaliy ko'nikma va malakalarini oshirishga
qaratilgan keyingi o'quv faoliyati. Misol va masalalarni tanlashda ular nafaqat taqlid
qilish, balki o'quvchilarning ijodiy faolligiga ega bo'lishi va ulardan aqlli bo'lishni,
fikrlashni va muammoni hal qilishning o'z yo'llarini topishni talab qilishi juda muhimdir.
Yasashlar orqali amaliy ishlarini bajarish. Yasash ishi - bu o'qitish usuli bo'lib, unda
o'quvchilar o'qituvchi rahbarligida va oldindan belgilangan reja bo'yicha tajribalar qiladilar
yoki muayyan amaliy vazifalarni bajaradilar va bu jarayonda ular yangi o'quv materialini
idrok etadilar va tushunadilar. Bu usulning afzallik tomoni shundaki, ayrim algebraik
misol va geometrik masalalardagi uchraydigan muammolarni yasashlar orqali oson va
qisqa vaqtda hal qilishlari mumkin. Yasash ishini o'tkazish quyidagi uslubiy usullarni o'z
ichiga oladi:
1. Darslar mavzusini bayon qilish va yasash ishining vazifalarini belgilash.
2. Yasash ishlarini bajarish tartibi yoki uning alohida bosqichlarini aniqlash.
3. O'quvchilar tomonidan yasash ishlarini bevosita bajarishi va darslarning borishi
va xavfsizlik qoidalariga(sirkul, temir chizg'ichlardan to'g'ri foydalanishga) rioya
qilinishini o'qituvchi nazorat qilishi.
4. Yasash ishini yakunlash va asosiy xulosalarni shakllantirish.
Mustaqil ishni tekshirish, nazorat ishi - o'zlashtirilgan bilimlarni tekshirish va
baholash shakllari, kognitiv faoliyatning tabiati, o'quv jarayonidagi akademik litsey
o'quvchilarining mustaqillik darajasi va faolligi, o'quv faoliyatining usullari, shakllari va
usullarining samaradorligi to'g'risida ma'lumot olish.
Mustaqil nazorat ishining o'ziga xos xususiyati og'zaki so'rovga nisbatan ko'proq
ob'ektivlikdir. Mustaqil ishni tekshirish va nazorat ishlari uchun vazifalar tizimi ma'lum
bir mavzu (bo'lim) bo'yicha bilimlarni aniqlashni, o'rganilayotgan ob'ektlar va
hodisalarning mohiyatini, ularning qonuniyatlarini tushunishni, mustaqil ravishda bilish
qobiliyatini ta'minlashi muhimdir, xulosalar va umumlashmalar qilish, bilim va
ko'nikmalardan ijodiy foydalanish.
Hisobotlar, taqdimotlar tayyorlash. Bu o'quvchining mustaqil tadqiqot ishi bo‘lib,
o‘rganilayotgan muammoning mohiyatini ochib beradi. Materialning taqdimoti
muammoli- tematik xarakterga ega bo'lib, muammoga turli nuqtai nazarlarni, shuningdek,
o'z qarashlarini ko'rsatadi.
Individual-guruh vazifalarini bajarish. Faoliyatning ushbu turini muvaffaqiyatli
amalga oshirish uchun o'qituvchi har bir o'quvchida mustaqil bilim faoliyatining elementar
ko'nikmalariga ega bo'lishi
11
2-§ Akademik litseylarda matematika o’qitishda interfaol va samarador
dars rejalarini tuzish
Har qanday samarador bo'lish da’vosini c|ilishi mumkin boflgan dars rejasi, u
ma’ruzami, amaliy darsmi yoki boshqa biror-bir xilga mansubmi - to‘rt asosiy elementni
o‘z ichiga qamrab olishi lozim:
— Qiziqtiruv - motivatsiya.
— Taqdimot - prezentatsiya.
- Amaliyot - praktika.
— Natija - o‘zlashtirish darajasini tekshirish.
Ushbu to‘rt asosiy element o’qituvchiga katta imkoniyatlar yaratib, talabalar bilan
bevosita muloqot qilishga yordam beradi va ularga bilim berishaagi an’anaviy usullardan
litrqli o'laroq, darsda o‘quvchilaming faol ishtirok etishni ta’minlab beradi Bunda talaba
va o‘quvchilar biror- bir mavzuni o‘rganishning to‘rt bosqichdan iborat o‘ziga xos sikli
bo‘ylab harakat qiladilar. Uning birinchi bosqichida o‘qituvchilar talabalaming bilim
olishlarini qattiq nazorat qiladilar, keyin esa ularga erkin muhitda bemalol harakat qilishga
va fikr almashinishga imkon beradilar. Yuqorida aytib o'tilgan to‘rt bosqichning
mohiyatini quyidagicha ta’riflash mumkin:
Qiziqtiruv - motivatsiya
Dars rejangizning ushbu qismida Siz o‘quvchilaringiz bilan dars mavzusiga bog‘liq
bo‘lgan shunday qisqa bir o‘yin yoki tadbir o‘tkazasizki, bu ularning diqqatini tortsin va
mavzuni o‘rganish uchun qandaydir qiziqish (stimul) yaratsin. Bu bosqichning
davomiyligi ko‘pincha 4-5 daqiqa atrofida bo‘lishi va uning o'rganilishi lozim boMgan
mavzuga mos kelishi katta ahamiyatga egadir.
Taqdimot - prezentatsiya
Dars rejasining bu qismi yangi mavzu bilan bog'liq yangi materiallar berish yoki
mavzuning bir qismi bilan bog‘liq ma’lumotlar, dalillar, qoidalar taqdim etish faoliyati
bilan uzviy bogMiqdir. Bunda asosiy maqsad talabalaringizning bilgan narsalarini asos
qilib olgan ho Ida bilmaganlari haqidagi bilimlari darajasini oshirishdir. Agar Siz oldingi
darsda o‘tilgan materiallami qaytaradigan bo‘lsangiz, ulami bu safar yangi ijodiy nuqtayi
nazardan yoritishingiz lozim bo'ladi.
Amaliyot - praktika
Darsning ushbu qismida Siz talabalarning oldingi bosqichda olgan bilimlari asosida
ularni amaliy fikrlashga o‘rgatish, nazariya bilan amaliyotning qanday bir-biriga
hog‘liqligini namoyish qilish, nazariya asosida ma’lum bir qoidalar majmuasini birgalikda
yaratish yoki ularga bularni yorqin misollar vositasida o'rgatishni amalga oshirish lozim
boMadi. Bunday turl'a xil amaliy mashg‘ulot turlarini darsdan oldin tayyorlab kclishingiz
maqsadga muvofiqdir. Siz dars jarayonida talabalarning bajarayotgan ishlarini diqqat bilan
kuzatishingiz, yangi ma’lumotlaming to‘g‘ri o'zlashtirilayotganiga ahamiyat berishingiz va
amaliyot bilan nazariyaning bir-biriga qo‘pol ravishda qarama-qarshi kelib qolmasligiga
e’tibor berishingiz zarur. Agar shunday bo‘lib qolsa, buning sabablarini aniqlab,
talabalarga atroflicha tushuntirishingiz kerak.
Natija - o‘zlashtirish darajasini tekshirish
Mavzuning yangi o‘rgani!gan materiallarini talabalar bilan muloqot qilgan holda
muhokama qilish va bu jarayonga ularni iloji boricha ko'proq jalb qilish yaxshi natijalarga
olib keladi. Agar biror-bir qoida, dalil, qonun, ko‘rsatkich yoki tartibot talabalarga
tushunarsiz bo‘lib qolgani ma’lum bo'lib koLsa, bulami tushuntirishga harakat qilish va
ulaming tub mohiyatni anglaganliklarini his qilish. Talabalar ushbu bosqichda Siz bergan
g‘oya, fikr yoki nazariyaning asosiy jihatlarini o‘zlashtirib olish uchun qulay imkoniyat
olishlari lozim. Bu esa tamomila Sizning malakangiz, dars rejangiz va qolaversa,
uslubiyatingizga bog‘liq.
Yuqorida ko‘rib o'tilgan bosqichlarning ma’nosi va mohiyatini quyida, iqtisodiyot
fanidan dars berish rejasini tuzish jarayonida batafsilroq ko‘rib chiqamiz.
12
Qiztiqtiruv - motivatsiya
Talabalurning darsga qiziqishini oshirish va ularga ta’lim olish uchun qulay ma’naviyMaqsad
ma’rifiy sharoit yaratish.
Faoliyal turlari
Shaxsiy ku/utuv yoki tajribular muhokamasi.
Qiziqarli iqtisodiy jurayoular lmqida ma’lumot berish. Iqtisodiy matnlarni ovo/ chiqarih
o'qish
Iqtisodiy muammoni yoki holutni muhnkama qilish. Iqtisodiyot haqida crkin hayon
yo/ish.
Iqtisodiy muammolar hora.sida crkin suhhat.
Xilma-xi! turdagi iqtisodiy ruhdagi o'yinlar.
0‘qituvchining roli
Boshqaruvchi yoki rah bur siliitida.
0‘zaro munosabat turi 0‘qituvchi - Talaba.
Talaba - Talaba.
Nazorat darajasi
Faoliyat turiga qarab. nazorat orqali yoki erkin holda.
Hech qanday tuzatilishga yo‘1 qo'yilmaydi va natijada talabalar o'zlarini erkin his
Xatolami to‘g‘rilash
qiladilar.
Qancha muddat va Qisqa vaqtda
darsning
qaysi Ko'pincha dars boshida.
qismida
Taqdimot - prezentasiya
Maqsad
O‘quvchilargaiqtisodiyotni o‘rganishning foydaliligini va zarurligini tushuntirish.
Iqtisodiy atamalarning ma’nosini va ifodalanish usullarini ko'rsatish.
Talabalurning darsga qiziqishini oshirish va ularga ta’lim olish uchun qulay ma’naviyMaqsad
ma’rifiy sharoit yaratish.
Faoliyal turlari
Shaxsiy ku/utuv yoki tajribular muhokamasi.
Qiziqarli iqtisodiy jurayoular lmqida ma’lumot berish. Iqtisodiy matnlarni ovo/ chiqarih
o'qish
Iqtisodiy muammoni yoki holutni muhnkama qilish. Iqtisodiyot haqida crkin hayon
yo/ish.
Iqtisodiy muammolar hora.sida crkin suhhat.
Xilma-xi! turdagi iqtisodiy ruhdagi o'yinlar.
0‘qituvchining roli
Boshqaruvchi yoki rah bur siliitida.
0‘zaro munosabat turi 0‘qituvchi - Talaba.
Talaba - Talaba.
Nazorat darajasi
Faoliyat turiga qarab. nazorat orqali yoki erkin holda.
Faoliyat turlari
Talabalar iqtisodiyotda qo'llaniladigan tushunchalami qaytaradilar.
Ma'ruz.a vu uni yozib olish.
Iqtisodiy alumalaming mohiyati tushuntiriladi.
Iqli.sodiy maltmi o'qish.
Diktovka qilish.
O'qituvchining roli
An’nniiviy rnvishdu ma'lumot berish.
0‘zaro munosabal Uiri O'qituvchi talaba birgalikda.
Talaba lalabu bilan alohida.
Qat'iy nazorat, 0‘qituvchi alohida ahamiyat kasb etadi.
Nazorat darajusi
O'qituvchi uchun o'quvchilarning xatolarini to'g'rilash va kerakli tushuntirishlar berish
Xatolarni to'g'rilash
alohida ahamiyat kasb etadi.
Qancha muddat va Qisqa.
darsning
qaysi Ko'pincha darsning boshida.
qismida
Amaliyot — praktika
Maqsad
Iqtisodiyotni o'rganish muhitida boshqariladigan amaliyotni ta’miniash.
Iqtisodiyotni tushunishda o'z-o'ziga ishonch muhitini yuzaga keltirish.
Faoliyat turlari
Tayyorlanish.
Savol-javoblar.
Ma’lumot berish va fikr almashinish.
Ko'p varianlli tanlov.
Mos iqtisodiy alatnalarni lopish.
Yo/.ina ravishda iqtisodiy tushunchalami ifodalash. t )‘rganilayotgan mavzuga mos
ravishdanimanidir bajarish.
0‘qituvchining roli
Doshqaruvchi va to'g'rilovchi.
O‘zaro munosabat tun O'qituvchi - talaba.
Talabu talaba.
Nazorat amalga oshirilgan sharoitda.
Nazorat darajasi
O'quvchilarga chegaralangan imkoniyatlar beriladi.
Xatolarni to‘g‘rilash
O'qituvchi, o'quvchi yoki o‘z-o‘zini to'g'rilash.
Faoliyat turlari
Talabalar iqtisodiyotda qo'llaniladigan tushunchalami qaytaradilar.
Ma'ruz.a vu uni yozib olish.
Iqtisodiy alumalaming mohiyati tushuntiriladi.
Iqli.sodiy maltmi o'qish.
13
O'qituvchining roli
0‘zaro munosabal Uiri
Nazorat darajusi
Xatolarni to'g'rilash
Diktovka qilish.
An’nniiviy rnvishdu ma'lumot berish.
O'qituvchi talaba birgalikda.
Talaba lalabu bilan alohida.
Qat'iy nazorat, 0‘qituvchi alohida ahamiyat kasb etadi.
O'qituvchi uchun o'quvchilarning xatolarini to'g'rilash va kerakli tushuntirishlar berish
alohida ahamiyat kasb etadi.
Qancha muddat va O'quvchilarning talablariga bog'liq ravishda. darsning qaysi qismida
Taqdimot bilun tugallanishi lozim yoki tekshirib ko‘rilishi kerak.
Natija (o‘zlashtirish darajasini tekshirish)
0‘quvchllurgu Iqtisodiyotni erkin muloqot sharoitida yaratuvchunlik bilun
o'rgunishlariga sharoit yaratish. O'rganlshjnraynnini tekshirib lurish.
Iqtisodiyoldngl luslmnohiilnr va so‘zlarni boshqalari bilan bog'lush.
Faoliyat turlari
O'yinlar.
Yozmu Ish.
So'/gu ehiqishhir.
Kol o'yimsb.
(iunibli isli bo'yiclui hisobot berish.
Inlervyular o'tka/.ish.
I’liiknlliir chi/ish,
Ku'rsalma yoki stendlar qilish.
O'qituvchining roli
Masluliatchi, ishga qiziqish uyg‘otadigan.
O'zaro munosabat turi (Vquvchi-talaba (juftliklar, guruhlar, tasodifiy yoki qi/.iqishlar bo‘yichakichik guruhlar).
Nazorat darajasi
Krkin ravishda.
Asosan o‘qituvchi tomonidan amalga oshiriladi va bunda aralashuv minimal ravishda
Xatolami to'g'rilush
bo‘lishi lozim.
Qancha muddat va Qanday ish amalga oshirilayotganiga bog'liq.
darsning
qaysi Taqdimotdan so'ng yoki amaliyot tugaganidan keyin.
qismida
Bir dars yoki bir necha darslar davomida.
Maqsad
Endi faraz qilaylik, Sizga kimdir qandaydir iqtisodiy yoki boshqa yo‘nalishdagi dars
rcjasini tayyorlab olib keldi: Uning samaradorligini va foydalilik darajasini tekshirish
qanday amalga oshiriladi?
Bu ishni amalga oshirish uchun quyida keltirilgan tartibda ishlasak va fikr yuritsak,
yaxshi natijalarga erishishimiz mumkin.
Dars rejasini tekshirish ketma-ketligi:
- Dars jarayonida ishlatilayotgan material va o‘rganilayotgan mavzu uning real
hayotda qo'llanilishiga 1110s keladimi yoki yo'qmi?
- Talabalar Sizning darsingizdan qoniqish hosil qildilarmi? Agar bunday bo'lmasa,
ulami qi/.iqlirish uchun Siz nima qilmoqchisiz?
-0‘rganishsikli bilan bog'liq savol: Sizningrejalashtirgandarsingizda nazorat qilinishda
erkinlikka qarab yo'nalgan harakat mavjudmi?
- Sizning darsingizda molivatsiya qilinishga, taqdimotga, amaliyotga va natijaga
bag'ishlunguu fiioliyat turlari bormi?
- Darsning natijaviy lashk.il etuvchi qismlari talabalarga ular nima deyishlari va
qanday qilib gapirishlari haqida ma’lumot bera oladimi?
- Darsdagi kn’rsatiualariugiz va vazifalaming bajarilish tartibini talabalaringiz aniq
tnsluma oladilarmi?
- Dars ludbirlari talabalaming birgalikda ishlashi, fikr almashishi va o'qituvchi bilan
bemalol imilnqnt qilishiga imkon yaratadimi?
- Sizda darsda ishlaliladigan iqtisodiy atamalaming aniq ma’nosi bormi?
- Siz qaysi iqtisodiy masalalarni ularga o‘rgatmoqchisiz va qanday qilib?
- Darsda o'qish, yo/isli, gapirish va tinglash kabi malakalami rivojlanlirishgu ham
imkon beriladimi?
- Dars Sizning guruhingiz uchun juda osonmi yoki juda ham murakkabmi?
- Siz o'z sinf tmlbirluringizni oddiy sharoitlarda va berilgan vaqt doirasida o'tkaza
14
olasizini?
- Agar vaqtingiz ko'proq bo‘lsa, yana nimalar qilardingiz?
- Darsda maduniy-ma'naviy jihatdan mos kelmaydigan materiallar va ma’lumotlar
mavjudmi'? Agar shunday bo‘lsa, Siz nima qilishni rejalashtirayapsiz?
— Uy vazifasi berishni rejalashtirganmisiz?
- Dars vaqtida o'quvcliilarni qiziqtirish uchun yana nimalar qilmoqchisiz?
Ushbu savollar majmuasiga rioya qilinsa, har qanday fanga oid bo‘lgan dars rejasini
ham to'la tekshirib, unga ma’lum bir ma’nodagi qo'shimcha rivojlantiruvchi elcincntlar
qo'shish mumkin bo'ladi.
3-§ To’plamlar va ular ustida amallar
Ko‘pgina amaliy masalalarni tadqiq qilishda turli diskret (elemenlari soni chekli
bo‘lgan) to‘plamlarga duch kelamiz. Masalan, biror predmetlar to‘plami, obyektlar,
talabalar va hokazo. To‘plam tushunchasi matematikada tayanch tushunchalardan bo‘lib,
unga qt;iy ta'rif berilmagan. “Toplam” so‘zining sinonimlari sifatida “obyektlar
jamlanmasr yoki “elementlar majmuasr so‘z birikmalaridan foydalaniladi.
To‘plamlar nazariyasi hozirgi zamon matematikasida, jumladan, kombinatorika va
graflar nazariyasida, juda muhim o‘ringa ega. Biz uning ayrim xossalarini o‘rganish bilan
cheklanamiz.
To‘plamlar odatda, lotin alifbosining bosh harflari A,B,... bilan ularning
elementlarini esa kichik - a, b,... harflar bilan belgilanadi.
1.1- ta’rif.
Berilgan
to’plamlardan
yangi
to'plamlarni
shakllantirish usullariga toplamlar ustida amallar deyiladi.
To’plam tuchunchasida ishlatiladigan belgilarning ma'nolariga to‘xtalamiz. ae A
belgisi “ a element A toplamga tegishli” ekanligini bildiradi. Bu tasdiqning inkori a<£ A
shaklda yoziladi va “ a element A toplamga tegishli emas” deb o‘qiladi. A c B belgi “ A
toplamning barcha elementlari B to ‘plamga ham tegishli ” ekanligini bildiradi. Bu holda
A to‘plam B to‘plamning qismi deyiladi. Agar A va B to‘plamlar bir xil elementlardan
tashkil topgan bo‘lsa, u holda ular teng toplamlar deyiladi va A = B shaklda yoziladi.
Ko‘pincha, to‘plamlarning tengligini isbotlashda A c B va B c A munosabatlarning
bajarilishi ko‘rsatiladi.
1.2- ta’rif. Har qanday ikkita to ‘plamning barcha elementlaridan, ularni
takrorlamasdan, tuzilgan toplamga shu to‘plamlarning birlashmasi (yoki yig‘indisi) deb
aytiladi.
Bu ta’rifdan ko‘rinib turibdiki, to‘plamlarning umumiy
elementlari shu to‘plamlarning birlashmasiga faqat bir martadan
kiritiladi. Berilgan to‘plamlarning birlashmasidagi har qanday
element shu to‘plamlarning hech bodmaganda bittasiga tegishlidir. A
va. В to‘plamlarning birlashmasi A{JB kabi belgilanadi. Bu yerda “A
va В to‘plamlarga birlashma amalini qo‘llab, A[]B to‘plam hosil qilindi” deyish mumkin.
1.1-shaklda A va. В to‘plamlar doiralar ko‘rinishida, A U В to‘plam esa bo‘yab
tasvirlangan.Yuqoridagi ta’rifni quyidagicha ko’rinishda berish ham keltirish mumkin
15
(ushbu qo‘llanmada л hamda v belgilari “va” hamda “yoki” so‘zlariga mos keladi).
A\jB = {x\ l e ^ v i e S j
1.1- misol. A = (a,b}, B = (a,b,c} va C = (e,/,k} bo‘lsin. U holda E = A[jB =
{a,b,c}, E[jC = {a,b,c,e,f,k}, Си5 = {а,й,с,г,/Д}, y4(jC = {a,b,e,f,k} bo‘ladi.
1.3- ta’rif. Har qanday ikkita to‘plamning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan
to'plamga to‘plamlarning kesishmasi (yoki ko‘paytmasi) deyiladi.
Berilgan A va. В to‘plamlarning kesishmasi Af\B kabi belgilanadi. Bu yerda “ A va
В to‘plamlarga kesishma amalini qo‘llab, А П В to‘plam hosil qilindi”
deyish mumkin.
To‘plamlar kesishmasini quyidagicha izohlash ham mumkin:
dfl 5 = {i: X < E A / \ X < E B }
to‘plam A va В to‘plamlarning kesishmasi deyiladi.
1.2- shaklda A va. В to‘plamlar doiralar ko‘rinishida, A(^B to‘plam
esa bo‘yab tasvirlangan. To‘plamlar ustidagi amallarning yuqorida ta’kidlangan o‘ziga xos
xususiyatlari to‘plamlar ko‘paytmasini (kesishmasini) topishda ham namoyon bo‘ladi.
Masalan, A c B bo‘lsa, uholda A f ] B = A va B f ] A = A bo‘ladi.
1.4- ta’rif. Bitta ham umumiy elementga ega bo'lmagan ikkita to plamlarning
kesishmasi bo'sh toplam deb ataladi.
Bo’sh to’plam har qanday to’plamning qism to’plami hisoblanadi.
1.5- ta’rif. Kesishmasi bo'sh bo'lgan
to‘plamlar o‘zaro
kesishmaydigan, kesishmasi bo'sh bo'lmagan toplamlar esa o‘zaro kesishadigan
to‘plamlar deb ataladi.
1.2- misol. A = (a, b,c}, B = (a,b,c,d}, C = (e,/,k} bo‘lsa,
u holda D = AV\B = {a,b,c}, D f l C = 0 , ^ П С = 0 ,
DC\B = {a,b,c} bo‘ladi.
1.6ta’rif. Ixtiyoriy A va B toplamlar berilgan bo'lsin. A
to plamning B to plamda bo'lmagan barcha elementlaridan
tuziladigan toplamni hosil qilish A to‘plamdan B to‘plamni
ayirish deb, tuzilgan toplam esa, shu A va B to ‘plamlarning
ayirmasi deb ataladi.A to‘plamdan B to‘plamni ayirish
natijasida hosil bo‘lgan to‘plam, ya’ni A va B to‘plamlarning ayirmasi A \ B yoki A - B
ko‘rinishida belgilanadi.
To‘plamlar ayirmasini quyidagicha ham ta’riflash mumkin A va B to‘plamlarning
ayirmasi deb A \ B = {x: x E A л x £ B) to‘plamga aytiladi.
1.3- shaklda A va B to‘plamlar doiralar ko‘rinishida, A \ B to‘plam esa bo‘yab
tasvirlangan.
Ixtiyoriy A va. В to‘plamlar uchun A f ] B = 0 bo‘lsa, u holda A \ B = 0 va B \ A = 0
bo‘lishi ta’rifdan bevosita kelib chiqadi.
16
1.3- misol. A = {a,b}, B = {a,b,c}, C = {e, f,k} bo‘lsa, u holda A\B = 0, B\ A = {c},
B\C = 0 bo‘ladi.
1.7- ta’rif. Faraz qilaylik, A va B to ‘plamlar berilgan va A c B bo‘lsin. Bu holda
B to‘plamning A to‘plamga kirmagan barcha elementlaridan tashkil topgan B\A toplam A
to‘plamning B to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plami deb ataladi.
A to‘plamning В to‘plamgacha toddiruvchi to‘plami, odatda*_ A ko‘rinishda
belgilanadi. Bu yerda “ A to‘plam A to‘plamni B to‘plamgacha
to‘ldiradi” yoki “ A to‘plamni B to‘plamgacha toddirish amalini
qo‘llab, AB to‘plam hosil qilindi” deyish mumkin. 1.4-shaklda A
to‘plam kichik doira, 1 4-shakl B to‘plam katta doira ko‘rinishida, A to‘plam esa bo‘yab
tasvirlangan.
To‘plamlar ustidagi yuqorida keltirilgan birlashma, kesishma va to‘ldiruvchi
to‘plam tushunchalari ta’riflarini bevosita qo‘llab,
AilAB=B, A f ) A B =0, A\AB = A va AB\A = AB tengliklarni hosil qilish qiyin emas.
1.4- misol. Barcha juft sonlar to‘plamini A = {2,4,...,2n,...} (n E N ) deb
belgilasak, A to‘plamni N to‘plamgacha to‘ldirish amalini qo‘llab A N = {1,3,...,2n-1,...}
to‘plamni, ya’ni barcha toq sonlar to‘plamini
hosil qilamiz. Demak, barcha toq sonlar to‘plami barcha juft sonlar to‘plamini natural
sonlar to‘plamigacha to‘ldiradi. Xuddi shunga o‘xshash, barcha toq sonlar to‘plamini
natural sonlar to‘plamigacha to‘ldirish amalini qo‘llab, barcha juft sonlar to‘plamini hosil
qilish mumkin.
Ba'zan, A va B to‘plamlarning simmetrik ayirmasi tushunchasini kiritish maqsadga
muvofiq bo‘ladi. A \ B va B \ A to‘plamlarningbirlashmasidan iborat to‘plamga A va B
to‘plamlarning simmetrik ayirmasi deyiladi va u odatda AAB ko‘rinishda belgilanadi, ya’ni
AAB = (A\B)U(B\A).
Bu yerda “ AAB to‘plam A to‘plamdan B to‘plamni ayirib va
B to‘plamdan A to‘plamni ayirib so‘ngra hosil bo‘lgan to‘plamlar
birlashtirildi” deyish mumkin. 1.5-shaklda A va B to‘plamlarning
simmetrik ayirmasi AAB bo‘yab tasvirlangan.
1.5-misol. 1.1-misolda qaralgan A va B to‘plamlarning
simmetrik ayirmasi AAB = {c} to‘plamdan iborat bo‘ladi.
To‘plam buleani tushunchasi. To‘plamlar nazariyasida bulean tushunchasi kiritilgan
bo‘lib, u muhim tushunchalardan biri hisoblanadi.
1.8- ta’rif. Berilgan A to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan toplam A
to‘plamning buleani (A to‘plam uchun bulean) deb ataladi.
A to‘plamning buleani 2A ko‘rinishda belgilanadi.
1.9- ta’rif. A to plam elementlari soniga uning quvvati deyiladi va |A| ko’rinishida
belgilanadi.
17
1.6-misol. To‘rtta elementga ega A = {a,b,c,d} to‘plam uchun bulean o‘n oltita qism
to‘plamlardan iborat bo‘ladi:
2A = {0, {a} ,{b},{c},{d},{a, b}, {a, c},{a, d},{b, c}, {b, d}, {c, d},
Demak, | A |= 4 va
2A
16 .
{a, b, c} ,{a, b, d} ,{a, c, d} ,{b, c, d} ,{a, b, c, d}}.
To‘plam
tushunchasi
mate-matikaning
boshlang‘ich
(ta’riflanmaydigan)
tushunchalaridan biridir. U chekli yoki cheksiz ko‘p obyektlar (narsalar, buyumlar,
shaxslar va h.k.) ni birgalikda bir butun deb qarash natijasida vujudga keladi.
Masalan, O‘zbekistondagi viloyatlar to‘plami; viloyatdagi akademik litseylar to‘plami;
butun sonlar to‘plami; to‘g‘ri chiziq kesmasidagi nuqtalar to‘plami; sinfdagi o‘quvchilar
to‘plami va hokazo. To‘plamni tashkil etgan obyektlar uning elementlari de-yiladi.
To‘plamlar odatda lotin alifbosining bosh harilari bilan, uning elementlari esa shu
alifboning kichik harflari bilan belgilanadi. Masalan, A = {a, b, c, d) yozuvi A to‘plam a,
b, c, d ele-mentlardan tashkil topganligini bildiradi.
x element X to‘plamga tegishli ekanligi x el ko‘rinishda, tegishli emasligi esa x gX
ko‘rinishda belgilanadi.
Masalan, barcha natural sonlar to‘plami TV va 4, 5, |, %
sonlari uchun 4eN, 5eN, \ < £ N , % < i N munosabatlar o‘rinli.
Biz, asosan, yuqorida ko‘rsatUganidek buyumlar, narsalar to‘plamlari bilan emas, balki
sonh to‘plamlar bilan shug‘ullanamiz. Sonli to‘plam deyilganda, barcha elementlari
sonlardan iborat bo‘lgan har qanday to‘plam tushuniladi. Bunga N~ natural sonlar
to‘plami, Z-butun sonlar to‘plami, Q-ratsional sonlar to‘plami, R - haqiqiy sonlar to‘plami
misol bo‘la oladi.
To‘plam o‘z elementlarining to‘liq ro‘yxatini ko‘rsatish yoki shu to‘plamga tegishli
bo‘lgan elementlargina qanoatlantiradigan shartlar sistemasini berish bilan to‘liq
aniqlanishi mumkin. To‘plamga tegishli bo‘lgan elementlargina qanoatlantiradigan
shartlar sistemasi shu to‘plamning xarakteristik xossasi deb ataladi.
Barcha x elementlari biror b xossaga ega bo‘lgan to‘plam X = {x\b(x)} kabi yoziladi.
Masalan, ratsional sonlar to‘plamini
Q = {r\ r = £, p e Z , q e N } ko‘rinishda, ax2 + bx+ c = 0 kvadrat
18
tenglama ildizlari to‘plamini esa X= {x \ ax2 + bx + с = 0} ko‘rinishda yozish mumkin.
Elementlari soniga bog‘liq holda to‘plamlar chekli va cheksiz to‘plamlarga ajratiladi.
Elementlari soni chekli bo‘lgan to‘plam chekli to ‘plant, elementlari soni cheksiz bo‘lgan
to‘plam cheksiz to‘plant deyiladi.
1- m i s о 1. A = {x | x e N, x2 > 7} to‘plam 2 dan katta bo‘lgan
barcha
natural
sonlardan
tuzilgan,
ya’ni
A={3,
4,
5,
6,
7,
8,
9, ...}. Bu to‘plam - cheksiz to‘plamdir.
Birorta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo ‘sh to‘plant deyiladi. Bo‘sh to‘plam
0 orqali belgilanadi. Bo‘sh to‘plam ham chekli to‘plam hisoblanadi.
2- m i
chekli
-1}
haqiqiy
s
о 1.
x2 +
to‘plamni
ildizlarga
ega
3x
+ 2
= 0
tenglamaning ildizlari
tashkil
etadi.
x2
3x+
emas,
ya’ni
+
uning
3
haqiqiy
=
0
X=
{-2;
tenglama
esa
yechimlar
to‘plami
0dir.
Ayni bir xil elementlardan tuzUgan to‘plamlar teng to‘plamlar deyuadi.
3 - m i s o l . X={x\xeN, x < 3} va Y={x\(x-l)(x-2)(x--3) = 0} to‘plamlarning har biri
faqat 1, 2, 3 sonlaridan tuzUgan. Shuning uchun bu to‘plamlar tengdir: X= Y.
Agar В to‘plamning har bir elementi A to‘plamning ham elementi bo‘lsa, В to‘plam A
to‘plamning qism-to ‘plami deyiladi va^ci ko‘rinishida belgilanadi. Bunda 0civaici
hisoblanadi. Bu qism-to‘plamlar xosmas qism-to‘plamlar deyiladi. A to‘plamning qolgan
barcha qism-to‘plamlari xos qism-to ‘plamlar deyiladi. Masalan: N^Z^Q^R. Agar Л = {3,
4, 5}, В = {x \x2 - Ix + 12 = 0} bo‘lsa, B^A bo‘ladi.
4-misol. Л-ikki xonali sonlar to‘plami, 5-ikki xonali juft sonlar to‘plami bo‘lsin. Har
bir ikki xonali juft son A to‘plamda ham mavjud. Demak, Sci
A = В bo‘lsa, А с В, В с A va aksincha, A^B, B^A bo‘lsa, А = В bo‘lishini tushunish
qiyin emas.
5 - m i s o l . A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , В = {1, |, yJ9 , 22} bo‘lsa,
В = {1, |, л/9, 22} = {1, 2, 3, 4} = Л. Bundan ko‘rinadiki, Ac:B,
BczA bo‘ladL
X chekli to‘plam elementlari sonini n(X) orqali belgilaymiz. к ta elementli X to‘plamni
A: elementli to‘plant deb ataymiz.
6- m i s о 1. X to‘plam 10 dan kichik tub sonlar to‘plami bo‘lsin:
19
X= {2; 3; 5; 7}. Demak, n(X) = 4.
To‘plamlar algebrasida ham algebradagi munosabatlarga o‘xshash qoidalar
qaraladi. To‘plamlar algebrasidagi munosabatlar universal to‘plamning va uning xos qism
to‘plamlarining qanday bo‘lishidan qat’iy nazar o‘z kuchini saqlaydi. Bu yerda, asosan,
birlashma, kesishma, ayirma va to‘ldirish amallari o‘rtasidagi o‘zaro munosabatlar muhim
hisoblanadi.
To‘plamlar nazariyasidagi munosabatlar, ko‘pincha, tengliklar ko‘rinishida
namoyon bo‘ladi. Bu yerda tengliklarni isbotlashda hajmiylik aksiomasidan foydalangan
holda quyidagicha mulohaza yuritish usuli ko‘p qodlaniladi. Agar tenglikning chap
tomonidagi to‘plamga tegishli ixtiyoriy element u’ning o‘ng tomonidagi to‘plamda ham
topilib va, aksincha, tenglikning o‘ng tomonidagi to‘plamga tegishli ixtiyoriy element
uning chap tomonidagi to‘plamda ham bor bo‘lsa, u holda bu tenglik to‘g‘ridir.
Boshqacha aytganda, ixtiyoriy A va B to‘plamlar uchun A = B tenglikni isbotlash A
c B va B c A munosabatlarning to‘g‘riligini ko‘rsatishga tengkuchlidir.
Odatda, to‘plamlar algebrasidagi “ и ”, “П ” va “\ ” belgilar bilan ifodalanuvchi
birlashma, kesishma va ayirma amallari, bo‘sh (0) va universal (U) top’lamlar hamda xos
(c) va xosmas (c) qism to‘plamlar, mos ravishda, sonlar algebrasidagi “+”, “ x ” va “-”
belgilar bilan ifodalanuvchi qo‘shish, ko‘paytirish va ayirish amallari, nol (0) va bir (1)
sonlar hamda katta emas (<) va kichik (<) munosabatlari bilan qiyoslanadi.
To‘plamlar ustida munosabatlarni ifodalovchi asosiy tengliklarni qarab chiqamiz.
Universal to‘plam и va uning ixtiyoriy A ,в va C qism to‘plamlari uchun quyidagi
tengliklar o‘rinlidir:
1. (Nolning
xossalari).
A U 0 = A,
0 U A = A,
Af|0 = 0,
0f| A = 0.
2. (Birning
xossalari).
AflU = A,
UC\A = A,
A[jU = U,
U\JA = U.
3. (Idempotentlik qonuni). A U A = A, A f| A = A.
4. (Nol va birning bog‘liqligi xossasi). 0 = U, U = 0.
5. (Involyutivlik qonuni). A = A.
6. (birlashmaga nisbatan kommutativlik qonuni). A U B = B U A.
7.
(birlashmaga
nisbatan
assosiativlik
qonuni).
(A U B) U C = A U (B U C) .
8. (kesishmaga nisbatan kommutativlik qonuni). AПB = BП A.
9.
(kesishmaga
nisbatan
assosiativlik
(A П B) П C = A П (B П C).
10. (birlashmaga nisbatan distributivlik qonuni
А U (B П C) = (А U B) П (А U C).
11. (kesishmaga nisbatan distributivlik qonuni).
А П (B U C) = (А П B) U (А П C).
qonuni).
20
12. A П B = A U B.
13. A U B = A П B (12 va 13 tengliklar de Morgan qonunlari deb ataladi) .
14. A U (A fl £) = A.
15.
AП(AUB) = A (14 va 15 tengliklar yutilish qonunlari deb ataladi).Yuqorida
keltirilgan tengliklarni tahlil qilinganda ularning ba’zi xususiyatlarini payqash mumkin.
Masalan, 10- va 11-, 12- va 13- hamda 14- va 15- tengliklarning biri ikkinchisidan U va П
belgilarni o‘zaro almashtirish yordamida hosil qilinishi mumkin. Xuddi shunday, nolning
xossalari bilan birning xossalari to‘g‘risida ham quyidagilarni aytish mumkin: bu
xossalarni ifodalovchi tengliklarning biri ikkinchisidan U va П belgilarni o‘zaro
almashtirish hamda 0 va U belgilarni o‘zaro almashtirish natijasida kelib chiqadi.
To‘plamlar algebrasida agar biror tenglikdan shu tenglikdagi (bor bo‘lsa) U
belgisini П belgisiga, f|ni Uga, 0ni Uga, Uni 0ga birdaniga almashtirish natijasida boshqa
tenglikni hosil qilish mumkin bo‘lsa, u holda hosil qilingan tenglik dastlabki tenglikka ikki
taraflama (qo‘shma) tenglik deb yuritiladi.
Biror tenglikka ikki taraflama hisoblangan tenglik uchun ikki taraflama tenglik
dastlabki tenglik bilan bir xil bo‘ladi. Shuning uchun bu tengliklar o‘zaro ikki taraflama
(qo‘shma) tengliklar deb nomlanadi. Masalan, nolning xossasini ifodalovchi A U 0 = A va
birning xossasini ifodalovchi А П U = A tengliklar o‘zaro ikki taraflama (qo‘shma)
tengliklardir.
Ekvivalent tasdiqlar:
Ixtiyoriy A va в
to ‘plamlar uchun quyidagi tasdiqlar
ekvivalentdir:
1) A^B; 2) АПВ = A; 3) A { J B = B .
1.7- misol: A = {3,5,7,9,11,18}, B = { 1,5,8,9,10}, C = {1,2,3,4,5}
to’plamlar berilgan, to’plamlar kesishmasining assosiativlik qonunini isbotlang.
Yechimi: (А n В ) n С = А n (В n С ) ayniyatni isbotlash uchun (А n В )n С с А
n( В n С ) va А n( В n С )c( А n В )n С
qism
to’plam shartlarini bajarilishini ko’rib chiqamiz.
1. Aytaylik v e(А n В ) n С bo’lsin, u holda quyidagilarga ega bo’lamiz
2. ikkinchi qarashlilik ham shunga o'xshash tarzda isbotlanadi: Aytaylik у e
А n (В n С ) bo’lsin, bundan quyidagilarga ega bo’lamiz
У e A,
<
у e B n
C,
У
A, <
e
У <
e B, .
У e С.
У e A n
B,
У e С.
21
natijada У e (А n В ) n С kelib chiqadi. Ayniyat isbotlandi.
(А n В )n С = А n(В n С ) tenglikni berilgan А, В, С to’plamlar
misolida tekshirib ko’ramiz:
В n С = {1.5}, А n(В n С ) = {5};
A n B = {5}, ( А n В ) n С = {5}. Demak, ( А n В ) n С = А n(В n С ) .
1.8misol: Koordinatalar tekisligida x2+y2 <1 va x2+(y-1)2 <1
shartlarni qanoatlantiradigan koordinata tekisligining A va B nuqtalari
to’plamini aniqlang. 2-rasmdagi qaysi figuralar A c B , А t0’plamlarni
ifodalaydi?
Yechimi: Ikkala to'plam ham tekislikda radiusi R = 1 teng bo'lgan doiralarni
bildiradi, birinchi doira markazi koordinatalari (0, 0) nuqtada, ikkinchisining markazi esa
(0, -1) nuqtada joylashgan. А , В , A c B , А to’plamlarni ifodalovchi figuralar 2-rasmda
keltirilgan.
A cB
А
2-rasm
1.9misol: Istalgan А, В va С to’plamlar uchun: 1) A c B ; 2) А Г \ В
= A ; 3) A { J В = В ifodalar tengligini isbotlang.
Yechimi: Birinchi shartdan ikkinchisi kelib chiqishini isbotlaymiz. А П В c A
ekanligidan A ^ A f ] B kelib chiqishini qaraymiz. Agar x e A bo’lsa, u holda x e
B bo’ladi. Aslida, A c B ekanligidan X E A { ^ B kelib chiqadi.
Ikkinchi shartdan uchinchisi kelib chiqishini qarab chiqamiz. А ПВ = A ekanligidan
A \ J В = ( A f l 5 ) U В deb olish mumkin. Yutilish
qonuniga ko’ra B { j ( A V \ B ) = 5bo’ladi va kommutativlik qonunini qo’llab A \ J B
= Bga. ega bo’lamiz. Endi uchinchi shartdan birinchisini kelib chiqishini isbotlaymiz.
A^AUВekanligidan uchinchi shartga binoan AUВ = Sbo’lsa, demak A^B.
1.10- misol: Agar A = {1,2,3,4,5} B = {2,3,4,5,6} A = {2,3,6,7}
D = {2,5,6,7,8} I = {1,...,8} (I - A , B , C ,D larga nisbatan universal) bo’lsa,
A n C u A n B n C u A n C n D
to’plam elementlarini aniqlang (yutilish qoidasini qo’llab):
Yechimi:
To’plamlar algebrasidagi 11)- va 2)-qoidalarga asosan,
A n C u A n B n C = (A n C ) n (U u B) deb yozish mumkin.
Yana 2)-qoidaga asosan, A n C u A n C = A n C ; U u B = U va (A n C )
n U = A n C bo’ladi. Natijada, berilgan ifoda
A n C u A n C n D ko’rinisni oladi. 11)- va 2)- qoidalarni yana bir bor qo’llab
A
B
22
A n C u A n C n D = (A n C ) n (U u D);
(A n C ) n U = A n C larni hosil qilamiz.
Demak, natija A n C = {2,3}.
1.11- misol: Quyidagi ifodani soddalashtiring:
A n B n C u A n B n C u A n B ;
Yechimi:
Berilgan ifodaning A n B n C u A n B n C qismini A n B n C u A
n B n C = (A n B ) n (C u C ) deb yozish mumkin.
C u C = U ekanligini hisobga olsak, (A n B ) n U = A n B bo’ladi. Demak, U
u (C u A n B ) = U yechim bo’ladi.
1.12- misol: ... nuqtalarni o’rniga = yoki Ф belgilarni qo’ying.
1) A u B n C u B n C . . . A u C ;
Yechimi:
2) -qoidaga asosan, (B n C ) u (B n C ) = B n C ; bo’ladi.
А U ( B n C) = (А u B) n (А U C)
10)- qoidaga asosan ^ U ( ^ f l C ) = ( ^ U ^ ) f l ( ^ U C ) ekanligidan nuqtalar o’rniga
Ф qo’yishimiz kelib chiqadi.
To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi.
1.10ta’rif. Tartiblangan A,A,...,A to‘plamlar elementlaridan tuzilgan n o‘rinli
barcha qism to'plamiga shu to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi (qisqacha,
Dekartko‘paytmasi) deb ataladi.
Ba’zan to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi iborasi o‘rniga to‘plamlarning to‘g‘ri
ko‘paytmasi iborasidan ham foydalaniladi.Tartiblangan A, A,..., An to‘plamlarning
Dekart ko‘paytmasi
n
A x A2 x . . . x An yoki ^ A ko‘rinishda belgilanadi, ya’ni
A x A 2 x... x A n
{<
a 1 ,a 2 ,
= ^Q
Ai =
>
A, i
a
e
1,
n}.
/=1
i=1
To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi tushunchasining aniqlanishida bu ko‘paytmada
qatnashuvchi to‘plamlarning soni ham muhim hisoblanadi. n ta to‘plamlarning Dekart
ko‘paytmasi iborasi o‘rniga n o‘rinli Dekart ko‘paytmasi iborasi ham qo‘llaniladi.
Tabiiyki, agar A, A,...,A to‘plamlarning birortasi bo‘sh to‘plam bo‘lsa, u holda
ulardan foydalanib birorta ham qism to’plam tuzish imkoniyati yo‘q. Demak, tarkibida
hech bo‘lmasa bitta bo‘sh to‘plam qatnashgan A, A,...,A to‘plamlarning Dekart
ko‘paytmasi ham bo‘sh
to‘plamdir, ya’ni A x A x . . . x An = 0.
23
Dekart ko‘paytmasidan to‘plamlar bilan bog‘liq murakkab tuzilmalarni hosil
qilishda va ularda ko‘paytma tushunchasini aniqlashda foydalaniladi. To‘plamlarning
to‘g‘ri ko‘paytmasi tushunchasidan foydalanib, to‘plamning darajasi tushunchasi An = Ax
Ax...x A
4
----- v ------ J
n marta
formula asosida kiritiladi. Masalan, A1 = A, A1 = A x A. Umuman olganda, An = A x An _1.
n o‘rinli A = A x A x... x A va B = B x Я x...x B
Dekart
12
n
12
n
ko‘paytmalari berilgan bo‘lsin. Agar 4 с Я, A2 C B2An с B„ munosabatlar o‘rinli bo‘lsa, u
holda A Dekart ko‘paytmasi B Dekart ko‘paytmasining q i s m i deyiladi va A с B kabi
belgilanadi.
Mustaqil bajarish uchun muammoli masala va topshiriqlar
1. A = {a,b,c}, B = {d,e, f, g} va C = {a, f, g, k, c} to‘plamlardan har ikkitasining
kesishmasi, birlashmasi va ayirmalarini toping.
2. Markazlari bitta nuqtada joylashgan hamda radiuslari 1 va 3ga teng doiralar
nuqtalaridan iborat to‘plamlarning kesishmasi, birlashmasi va ayirmalarini toping.
5. Quyida keltirilgan to’plamlarlarning chekli, cheksiz va bo’sh to’plam ekanligini
aniqlang. Toplam elementlari sohasini ko’rsating.
a) A = (x | x e Z, - 3 < x < 5}
,
b) B = (x | x e N , - 3 < x < 5},
c) C = (x | x e N , x + 2 = 0},
d) D = (x | x e Z, x + 3 e N } ,
e) E = (x | x e R , x +1 < 2 л x > 0}.
^2
f) F = (x | x e N, l o g j 1 < 4},
2x
g) G = ( x | x e R, cos2 2x = 1 л 0 < x < 2n}.
6. Koordinatalar tekisligida quyidagi to’plamlarni tasvirlang:
a) ((x,y ) e R 21 x2 - y 2 > 0},
b) ((x, y) e R 21 (x2 -1)(y + 2) < 0},
c) ((x, y) e R 21 (y 2 -1)(x + 3) > 0}.
7. A va B toplamlarning tengligini tekshiring, javobingizni asoslang.
a) A = (2,5,4}, B = (5,4,2},
b) A = (1,2,4,2}, B = (1,2,4},
c) A = (2,4,5}, B = (2,4,3},
24
d) A = (1,(2,5},6}, B = (1,(5,2},6},
e) A = (1,(2,5},6}, B = (1,2,5,6}.
8. (1,2,3} to’plamning barcha qism to’plamlarini aniqlang.
9. A - B = B - A tenglik o‘rinli bo‘ladigan A va B to‘plamlarga misollar keltiring.
10. Ixtiyoriy A va B to‘plamlar uchun quyidagi tasdiqlarni o‘rinli bo‘lishini
ko‘rsating:
a) A \ B = 0^ A c B ;
b) A c B ^ A \ B = 0 - a) banddagi tasdiqqa teskari tasdiq;
c) A \ B = B \ A = 0^ A = B ;
d) A = B ^ A \ B = B \ A = 0 - d) banddagi tasdiqqa teskari tasdiq;
e) A \ B = A p \ B , ya’ni ayirish amali kesishma va to‘ldirish amallari yordamida
ifodalanishi mumkin;
f)
Z c d f l S c d U ^ sonlar orasidagi bog‘lanishni toping.
12. Ixtiyoriy A , B va C to‘plamlar uchun quyidagi tasdiqlarni isbotlang:
a) ^ U ^ c C ^ ( i c C v a S c C ) ;
b) ( A ^ C va В с: C) о A U В с: C - a) banddagi tasdiqqa teskari tasdiq;
c) d c 5 f ! C ^ ( i c 5 v a ^ c C ) ;
d) ( A ^ B v a d c C ) ^ > ^ c 5 f l C - d) banddagi tasdiqqa teskari tasdiq;
e) i c S ^ d U C c S U C ;
f) i c f i ^ i f l C c S f l C ;
g) d c S ^ d \ C c 5 \ C ;
h) A c B о C \ B c C \ A .
13. Ixtiyoriy я, b va c sonlar uchun to‘g‘ri bo‘lgan a < b о a + c < b + c, a < b о a
- c < b - c va a < b о c - b < c - a munosabatlardagi a , b YSL c sonlarni A , В va C
to‘plamlar bilan,
“+” va belgilarni “ c ” , “ U ” va “ \ ” belgilar bilan mos ravishda almashtirib, hosil bo‘lgan
munosabatlarning to‘g‘riligini tahlil qiling.
14. A = {a,b,c, d ,e} to‘plam uchun 2A buleanni aniqlang.
15. Bir uyda yashovchi oilada ota (t ), ona (n ) va to‘rt nafar farzand (1,2,3,4)
bo‘lsa, oila a’zolarining uyda bo‘lishlari vaziyatlariga mos barcha imkoniyatlarni
to‘plamlar ko‘rinishida yozing va bu imkoniyatlar to‘plamlari to‘plamining quvvatini
aniqlang.
16. Quyida keltirilgan to’plamlarlarning chekli, cheksiz va bo’sh to’plam
ekanligini aniqlang. Toplam elementlarini aniqlab bering.
a) A = {x | v e Q , - 1 < x < 2 },
b) B = {x | x e R , x3 - 3x2 + 2x = 0},
c) C = {x | x e N , x 2 - 3x - 4 < 0},
d) D = { x | x e Z, 1 < 2x < 5 л x > 0},
25
e) E = {x | x e N, x < 0},
f) F = { x | x e R, | x | < 2}.
17. Koordinatalar tekisligida quyidagi to’plamlarni tasvirlang:
a) {(x,y) e R 21 x + y - 2 = 0},
b) {(x,y) e R 21 y 2 > 2x +1},c) {(x,y) e R21 y > V2x +1 л 2x +1 > 0},
9 1 1
e) {(x , у ) e R |- > —, x * 0, у * 0}. x у
18. Ushbu to’plamlarning barcha qism to’plamlarini aniqlang:
a) {a},
b) {a, b},
c) {1, 2, 3, 4}.
19. A = {x | x - undosh tovush} to’plam elementlarini aniqlang.
20. Quyida keltirilgan to’lamlar elementlarini tavsiflovchi funksiyalarini
aniqlang:
a) A = {3, 6,9,12,...,24},
b) B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j},
c) C = {1,4,9,16,...},
d) D
e
)
E
1
1
1
1
|
1
•
2
2
•
3
3
•
4
4
•
5
I
J _ _ _ 1 _ _ 1 _ _ 1_
I
,
,
,
,
1 • 3 3• 5 5• 7 7• 9 ...(.
21. A va B to’plamlar orasidagi munosabatlarni aniqlang.
a) A = {a, b, d}, B = {a, b, c, d},
b) A = {a, c, d, e}, B = {a, e, c},
c) A = {c, d, e}, B = {c, a}.
22. Quyida keltirilgan to’plamlarning orasida tenglik
munosabatlarini aniqlang:
A - barcha to’rtburchalar to’plami;
B - barcha paralelogramlar to’plami;
C - barcha togri to’tburchalar to’plami;
D - barcha romblar to’plami;
E - barcha kvadratlar to’plami;
F - barcha to’gri burchakli romblar to’plami.
23. A to’plamning qism to’plamlarini aniqlang:
a) A = {1, {1,2} },
b) A = {1,3,4}.
va
qism
to’plam
26
24. Universal to’plam sifatida dastlabki 20 ta natural sonni olib, quyidagi qism
to’plamlar elemenlarini va ular orasidagi munosabatlarni aniqlang:
4-§ To’plam tushunchasini o’qitishda klaster usulidan foydalanish
Bugungi kunda bir qator rivojlangan mamlakatlarda ta'lim-tarbiya jarayonining
samaradorligini kafolatlovchi zamonaviy pedagogik tehnologiyalarni qo'llash borasida
imkoniyat yaratilmoqda. Ta'lim muassasalarida keng qo'llan ayotgan Klaster
ta'limtarbiya jarayonini bir butun holatda amalga oshirishda muammolarni yechishda
dars jarayonini oqilona tashkil qilishda, ta'lim beruvchi tomonidan ta'lim
oluvchilarning qiziqishini orttirishda, o'quv materialini kichik-kichik bo'laklarga
bo'lib,ularning
mazmunini ochishda, aqliy hujum, kichik guruhlarda ishlash, bahs-munozara,
muammoli vaziyat, loyiha, rolli o'yinlar kabi metodlarni qo'llashda amaliy mashqlarni
mustaqil bajarishda biror faoliyat yoki muammo o'zaro muloqot, o'zaro
bahsmunozarada fikrlashda hamjihatlik bilan masalalarning yechimida o'z samarasini
ko'rsatadi. Bu usulning afzalligi shundaki, talabani mustaqil fikrlashga o'rgatib, mustaqil
hayotga tayyorlaydi. O'qitishning klaster usullarini tanlashda ta'lim maqsadi, ta'lim
oluvchilarning soni va imkoniyatlari, o'quv muassasasining o'quv-moddiy sharoiti,
ta'limning davomiyligi, o'qituvchining pedagogik mahorati va boshqalar e'tiborga
olinadi. Klaster metodi deganda – ta'lim oluvchilarni faollashtiruvchi va mustaqil
fikrlashga undovchi, ta'lim jarayonining markazida bo'lgan ta'lim beruvchi va ta’lim
oluvchini faol ishtirok etishga chorlaydi. Ta'lim oluvchi o'qitish jarayoni davomida faol
ishtirok etadi. Ushbu jarayonda ta'lim oluvchilar o'qib-o'rganishni yuqori darajada
bo'lishini, egallagan bilimlarni maqsad va ehtiyojlariga muvofiqlashtirishda
tashabbuskorligi va mas'uliyat, qo'llab-quvvatlash amalda bajarish orqali
fikrmulohazalar qilish qobiliyatini rivojlantiradi.
O'qitish jarayonida klaster metodlardan foydalanish o'ziga hos hususiyatga ega.
Ta'lim amaliyotida foydalanilayotgan klaster metodi talabalarning fikrlashini
kengaytiradi hamda muammoning to'g'ri yechimini topishga ijobiy ta'sir ko'rsatadi.
Klaster metodi orqali talabalarning bilim, ko'nikma, malakalari, ijodkorligini va faolligi
nazariy va amaliy mu'ammolarga bo'lgan qarashlari rivojlanadi.
«Klaster» metodini o'tkazish tehnologiyasini amalga oshirishda- Talaba nimani
o'ylagan bo'lsa, shuni qog'ozga yozadi. U o'z fikrlarining sifati to'g'risida o'ylab
o'tirmay, ularni shunchaki yozib boradi. Yozuvining orfografiyasi yoki boshqa
jihatlariga e'tibor bermaydi. Belgilangan vaqt nihoyasiga yetmaguncha, yozishdan
to'xtamaydi. Agar talaba ma'lum muddat biror-bir g'oyani o'ylay olmasa, u holda
qog'ozga biror narsaning rasmini chiza boshlaydi. Bu harakatni yangi g'oya
tug'ilgunicha davom ettiradi. Ma'lum bir tushuncha doirasida imkon qadar ko'proq
yangi g'oyalarni ilgari surish hamda ular o'rtasidagi o'zaro aloqadorlik va
bog'liqlikni
ko'rsatishga harakat qiladi. G'oyalar yig'indisining sifati va ular o'rtasidagi aloqalarni
ko'rsatish cheklanmaydi.
«Klaster» metodi puhta o'ylangan strategiya bo'lib, undan ta'lim oluvchilar bilan
yakka tartibda yoki guruh asosida tashkil etiladigan mashg'ulotlar jarayonida amalga
oshiriladi.
27
Klaster inglizcha so'z bo'lib (kluster) – bir butun holatda ma'lum mavzu bo'yicha
erkin va ochiq fikrlashning notekis shaklidni namoyon etadi.
Klaster metodini amalga oshirishda yangi mavzuning asosiy tushunchasi aylanma
shaklidagi chizma ichida yoziladi. Masalan yangi mavzu pedagogik qob iliyatlar bo'lsa
talabalar u haqida ko'z oldiga kelgan fikrlarni yozish taklif etiladi. Bunda talabalar
tomonidan yozilgan fikrlar umumlashtirib aytib beriladi. Bu fikrlarni doskada bo'r yoki
plakatda flomasterlar bilan yozish mumkin. Yangi mavzu o'rganishda darsni
mustahkamlash bosqichida talabalarga quyidagi
topshiriq beriladi. Qizil rangli ruchkalarini (yashil, qora bo'lsa ham bo'ladi) olib yangi
o'rganilgan tushunchalar bilan boyitiladi.
Talabalar yozilganlarni (o'qib) aytib beradilar. Doskada (boshqa rangli bo'r bilan)
yoki plakatda boshqa rangli flolmasterlar bilan aytilgan fikrlari yozib boriladi.
Klaster metodi pedagogik, didaktik strategiyaning muayyan shakli sifatida ta'lim
oluvchilarga muammo (mavzu) lar hususida ihtiyoriy, erkin, ochiq o'ylash va fikrlarni
bemalol bayon etish imkoniyatini yaratadi.
Mazkur metod turli xil g'oyalar o'rtasidagi aloqalarni fikrlash, aniqlashda amalga
oshiriladi. Ushbu jarayonlar ta'lim oluvchilar tomonidan chuqur hamda puhta
o'zlashtirilguniga qadar fikrlash faoliyatining bir maromda bo'lishini t a'minlashga
hizmat qiladi. Dars mashg'ulotlarida ushbu metod talabalar tomonidan bildirilayotgan
g'oyalarning majmui tarzida nomoyon bo'ladi. Chunki, ushbu jarayonda har bir talaba
tomonidan ilgari surilayotgan g'oyalarni uyg'unlashtirish hamda ular o'rta sidagi
aloqalarni topa olish imkoniyatini yaratadi.
O'qituvchi ularning fikrlarini umumlashtiradi qo'shimcha adabiyotlardan
foydalangan holda klasterga yana qo'shimcha kiritishi uning mahoratiga bog'liq.
“Klaster” metodi -- erkin fikrlashning asosiy omili hisoblanadi.
"Klaster" metodi talabalarga biror-bir mavzu to'g'risida erkin va ochiq tarzda fikr
yuritishga yordam beradigan pedagogik strategiyadir. Bu metod ko'p variantli fikrlashni
o'rganilayotgan tushuncha (hodisa, voqea)lar o'rtasida aloqa o'rnatish malakalarini
rivojlantiradi. Klaster so'zi bog'lam ma'nosini anglatadi. Klasterlarga ajratish nida'vat,
anglash va mulohaza qilish bosqichlaridagi fikrlashni rag'batlantirish uchun qo'llash
mumkin.
U asosan yangi fikrlarni uyg'otish,mavjud bilimlarga etib borish strategiyasi bo'lib,
muayyan mavzu bo'yicha yangicha fikr yuritishga chorlaydi. Biror mavzu bo'yicha
klasterlar tuzishdan bu mavzuni mukammal o'rganmasdan oldin foydalanish maqsadga
muvofiqdir.
Klaster metodi aniq ob'ektga yo'naltirilmagan fikrlash shakli sanaladi. Undan
foydalanish inson miya faoliyatining ishlash tamoyili bilan bog'liq ravishda amalga
oshadi. Ushbu metod muayyan mavzuning talaba tomonidan chuqur hamda puhta
o'zlashtirilguniga qadar fikrlash faoliyatining bir maromda bo'lishini ta'minlashga
hizmat qiladi. O'qitish jarayonida amalga oshiriladigan bu metod puhta o'ylangan
strategiya
bo'lib, undan talaba bilan yakka tartibda yoki guruh asosida tashkil etiladigan
mashg'ulotlar jarayonida foydalanish mumkin.
Dars mashg'ulotlarda ushbu metod guruh a'zolari tomonidan bildirilayotgan
g'oyalarning majmui tarzida namoyon bo'ladi. Bu esa guruhning har bir a'zosi
tomonidan ilgari surilayotgan g'oyalarni uyg'unlashtirish hamda ular o'rtasidagi
28
aloqalarni topa olish imkoniyatini yaratadi.
Muayyan tushuncha doirasida imkon qadar ko'proq yangi g'oyalarni ilgari surish
hamda mazkur g'oyalar o'rtasidagi o'zaro aloqadorlik va bog'liqlikni ko'rsatishga
harakat qiling. G'oyalar yig'indisining sifati va ular o'rtasidagi aloqalarni ko'rsatishni
cheklamang.
Mazkur metodni mashg'ulotlarga quyidagicha qo'llash mumkin:
Mavzu: "Kompyuter tuzulishini o'rganish”.
Darsning maqsadi: Talabalarda yangi mavzuga aloqador o'tilgan mavzuni
mustahkamlash, ko'nikma hamda malakalarini shakllantirish.
Darsni tashkil etish: Yangi mavzuni o'zlashtirishning samaradorligiga erishish
uchun o'tilgan mavzular yuzasidan qisqacha takrorlash mashqlari o'tkaziladi. Uni
quyidagicha tashkil etish mumkin:
Kompyuter haqida nimalarni bilasiz?
Dunyoga mashhur kompyuter nomini sanang?
Ularni ishlab chiquvchi firmalar nomini aytib bering?
Komyuterning oltin qoidalariga misol keltiring?
Undan qanday foydalanish mumkin?
O'tilgan mavzuni takrorlash bilan bo'lajak bakalavr o'qituvchilari ongida yangi
mavzuni o'zlashtirishga zamin hozirlanadi. Bu esa yangi mavzuni o'zlashtirishning
samaradorligini ta'minlaydi. Guruh asosida tashkil etilayotgan mashgulotlarda ushbu
metod guruh a'zolari tomonidan bildirilayotgan g'oyalarning majmui tarzida namoyon
bo'ladi. Har bir guruh a'zosi biror-bir g'oyani ilgari suradi, shundan so'ng barcha
g'oyalar uyg'unlashtiriladi. Buning uchun pedagog bo'lajak talaba 3 yoki 4
guruhgabo'ladi. Talabalarga muayyan mavzuni aytadi. Mazkur mavzuni puhta
o'zlashtirgunlariga qadar bosib o'tiladigan yo'lning namunasini keltiradi.
Bo'lajak informatika o'qituvchilari quyidagi muammolar yuzasidan erkin, ochiq
o'ylash, fikrlash imkoniyatiga egadirlar:
Informatika o'rganadigan asosiy obektlar?
U nimaga bog'liq?
Bu masalalar yoritilgan plakat yozuv tahtasiga ilib qo'yiladi. Darsning borishi:
Takrorlash uchun avvaldan tuzib quyilgan savollar beriladi.
Bakalavr o'qituvchilar shu orqali o'tilgan mavzuni takrorlab olishadi. Pedagog yuqorida
keltirilgan metoddan foydalanib, aytilgan fikrlarini o'rtaga tashlaydi. Mazkur bosqichlar
bajarib bo'lingach, guruhdagilar o'z fikrlarini uyg'unlashtiradilar, ular o'rtasidagi
aloqalarni topib bitta andozaga solishini guruh a'zolarining hukmiga havola etadi.
Buning uchun har bir guruhdan vakil saylanadi.
Guruh tomonidan jamlangan g'oyalar turkumi o'qib eshittiriladi. Klaster metodi
bo'yicha keltirilgan ushbu bosqichlar bosib o'tilgach, bo'lajak bakalavr informatika
o'qituvchilari o'z-o'zidan yangi mavzuni tushunib oladilar.
29
DARS ISHLANMASI
MAVZU: To‘plamlarni tashkil qilgan narsalar soni
bo‘yicha taqqoslash
QO‘QON-2024
30
Mavzu : To‘plamlarni tashkil qilgan narsalar soni bo‘yicha taqqoslash
Sana__________________________
Maqsad: O’quvchilarga DTS talablari asosida matematika fani bo’yicha ta’lim
berish. Matematik tayyorgarlikni belgilash.
Ta’limiy: O’quvchilarda narsalarning xossalari, nomlari, soni haqidagi
tasavvurlarini boyitish. Narsalar sanogi va ketma - ketligi kabi tushunchalarni tasavvur qilishni
o’rgatish.
Tarbiyaviy:O’rganilgan matematik tushunchalarni hayotda qo’llay olishga o’rgatish.
Hayvonlar, parrandalar, meva va sabzavotlar haqida bilim berish.
Rivojlantiruvchi: O’quvchilarni og’zaki va yozma hisoblash malakalarini o’stirish.
O`quv jarayoniga oid kompetensiya: TK -3:o‘qituvchi bilan birgalikda o‘quv
faoliyati natijasini tahlil qilish, yo‘l qo‘yilgan xato va noaniqliklarni topa olish va
ularni tuzata olish;TK -4: atrofdagilar bilan o‘zaro muloqot chog‘ida odob-axloq
qoidalariga rioya qila olish va guruhda ishlay olish; FK -1: narsalarning xossalari
(masalan, narsalarning rangi, o‘lchami, shakli, vazifasi) bo‘yicha taqqoslay oladi
va tartibga sola oladi;
FK -1: berilgan narsalarni xossasiga ko‘ra bir yoki bir nechta to‘plamlarga ajrata
oladi; FK -2: o‘z fikrini ifodalay oladi, boshqalar fikrini tinglab, tushuna oladi.
Dars turi: Yangi tushuncha berish.
Metodi: aralash, savol-javob , mustaqil ish..
Jihozi: Mavzuga oid ko’rgazma, matematika darsligi.
Darsning borishi.
I Tashkiliy qism.
tekshirish
a) salomlashish, davomotni aniqlash, tozalikni
b) ma’naviyat daqiqasi Kun yangiligi
II. O’tgan mavzuni so’rash va mustahkamlash. O’tilgan mavzularni savol-javob
orqali takrorlash. O’tilgan mavzular yuzasidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish.
III Yangi mavzu bayoni
Darslik bilan ishlash; O’quvchilarning e’tiborini darslikning 12 – sahifasidagi
rasmga qaratib “Unda nimalarni ko’riyapsiz?” – degan savol orqali yangi mavzu
31
bilan tanishtirish. Darslikda berilgan rasmlar yordamida o’tilgan mavzularni
mustahkamlash. Parrandalar haqidagi bilimlarini boyitish. Rasmlar yordamida
savollar tuzish va ularga javob topish: Topshiriqni o’quvchilar mustaqil
bajaradilar.(O’quvchilar javoblarini mustahkamlash, ularni fikrlarini to’g’riligini
tasdiqlash).
Parrandalaar va qushlar haqida ulrning farqi haqida o`quvchilarga tushuncha
berish.
Qushlarning foydasi haiqda gapirib berish. Ularga g`amxo`rlik qilish haqida
tushuncha berish.
Rasm asosid o`quvchilar masala tuzadilar va mushuklar sonini bir-biridan farqini
bilib oladilar.
Dam olish daqiqasi:
Toza havo kirsin deb.
Derazamni ochaman,
Badantarbiya qilaman
Tanam kuchga to’lsin deb.
IV Yangi mavzuni mustahkamlash Matematika daftari bilan ishlash.
Tasvirlarga rang tanlash. O’quvchilar mustaqil rang tanlashlari mumkin. Geometrik
shakllarni nomini aytadilar sanog’ini aytadilar. Oldingisi keyingisidan qanday farq
qilishini taqqoslaydilar.
Matematika daftarining kataklari bilan tanishtirish. Shakllarni daftarga chizishni
o’rgatish.
O’quvchilar ishini kuzatish qiynalgan o’quvchilarga yordam berish.
O’quvchilar ishini kuzatish qiynalgan o’quvchilarga yordam berish.
V. Dars jarayonida faol qatnashgan o’quvchilarni rajbatlantirish.
O’quvchilarning darsdagi ishtiroki va ijodkorligi, faolligi, topshiriqlarni bajarish
darajasiga ko’ra o’qituvchi tomonidan rajbatlantirilib boriladi.
VI. Uyga vazifa: O’rganilgan shakllarni takrorlash.
32
XULOSA
O’zbekiston
Respublikasi
Kadrlar
tayyorlash
milliy
dasturi
va
«Ta’lim
to’g’risida»gi qonunda o’quv jarayoniga ilg’or pedagogik texnologiyalarni joriy etish
mamlakatimiz ta’lim tizimini isloh qilishning asosiy ko’rsatkichlaridan biri sifatida e’tirof
etilishi bejiz emas. Chunki, pedagogik texnologiya ta’lim jarayonini inqirozdan holi etish,
uni bozor iqtisodi sharoitiga mos holda takomillashtirish va Davlat ta’lim standarti
talablariga muvofiq kadrlar tayyorlashning muhim omillaridan biri bo’lib hisoblanadi.
Mamlakatimiz Prezidenti Islom Karimov ta’kidlaganlaridek, «Yeng yangi
zamonaviy o’quv vositalari bilan ta’minlangan kollejlarda eskidan qolgan o’qitish
uslublarining davom etishiga mutlaqo yo’l qo’yib bo’lmaydi».
Zero pedagogik texnologiyadan foydalanayotgan ko’pgina rivojlangan mamlakatlar
o’quv jarayonini sifat jihatdan yangi bosqichga ko’tarishga erishayotganliklari hayotda o’z
tasdig’ini topmoqda. Ushbu qo’llanmada bayon etilgan ma’lumotlar esa bu pedagogik
texnologiyaning didaktik salohiyati to’g’risida fikr yuritishga asos bo’ladi. Ayniqsa,
tashhizlanuvchan o’quv maqsadlarini belgilash, joriy va yakuniy mezoniy baholash,
reproduktiv o’qtishni algoritm bo’yicha olib borish, talabalarni mustaqil bilim olishga
undash, o’quv jarayonini doimo rivojlanib boruvchi dinamik tizim sifatida loyihalash kabi
tashkiliy-uslubiy ishlarni amalga oshirishda pedagogik texnologiya katta imkoniyatlarga
ega.
Pedagogik texnologiyani joriy etish tajribasini o’rganish va unga ijodiy
yondashish, o’quv jarayonini insonparvarlashtirish, bunda talabani sust obyektdan
faol subyektga aylantirish, bilish faoliyatining aniq maqsadlarga yo’nalganligini
hamda o’quv jarayonini ishlab chiqarish jarayoni kabi takrorlanuvchanligini
ta’minlashda muhim ahamiyatga ega bo’ladi. Shuningdek, pedagoglarda turli
shakldagi test topshiriqlari tuzish, ularni sinash malakalari shakllanadi va
takomillashadi.
Pedagogik texnologiya doirasida yaratilgan turli xil didaktik konstruksiyalarga
murojaat qilish esa, o’quv jarayonini tashkil qilishga oqilona va ijodiy yondashishga,
bunda o’qituvchi o’z erkinligiga ega bo’lishi, darsda qo’llanilgan turli shakl, uslub va
vositalar samaradorligini o’zi baholashiga imkoniyat yaratadi. Shuni ta’kidlash lozimki,
33
pedagogik texnologiya tamoyillari va qoidalariga amal qilish, o’quv jarayoni
mazmunini talaba shaxsiga, uning qiziqishlari, intilishlari, yosh davrlari xususiyatlariga va
individual o’zlashtirish sur’atlariga muvofiq holda olib borilishini ta’minlaydi.
34
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YHATI
1. Abduhamidov A. U. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. Akademik litsey va
kasb-hunar kollejlari uchun sinov darsligi. Toshkent, “O`qituvchi”, 2019 yil.
2. M.S. Мuxiddinova “Мактабгача таълим ташкилотларида ахбороткомпьютер технологияларини мусиқа тарбияси воситаси сифатида
3. қўллашнинг хусусиятлари”. 2020 yil.
4. Sh.R.Мahkamova. “Имконияти чекланган болалар ва хар томонлама етук
5. авлодни тарбиялашда мусиқанинг ўрни”. 2020.
6. M.A.Аsadullaeva. “Ёшларни маънавий тарбиялашда қўшиқчилик
7. санъатининг тутган ўрни”. 2020- yil.
8. Sh.Mahkamova, M.Asadullayeva. Xalq ta‟limi. 2020-yil. “Yoshlarni ma’naviy
tarbiyalashda qo’shiqchilik sanatining tutgan o’rni”.
9. Vafoyev R. H. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. Akademik litsey va kasbhunar kollejlari uchun o`quv qo`llanma. Toshkent, “O`qituvchi”, 2021-yil.
10. Interfaol ta’lim usullari” Sh.K Shayaqubov, R.X Ayupov Toshkent-2020
11. https://arxiv.uz/
12. https://ziyonet.uz/
13. https://www.natlib.uz/
14. https://ilmiybaza.uz/
35