m =  k x 2 + y 2 dxdy
D
бўлади, бунда
D = ( x, y )  R 2 : x 2 + y 2  r 2 .
Икки каррали интегралда
 x = r cos ,

 x = r sin 
алмаштириш бажариб, уни ҳисоблаймиз:
a
2
 r3 
2


m =  k x + y dxdy =    k  r  rdr d = k    d = ka 3 . ►
3
D
00
0  3 0

Икки каррали интеграллар ёрдамида статистик моментлар
M x =  yp ( x, y )dxdy , ( Ox ўқига нисбатан),
2 a
2
2
D
M y =  xp ( x, y )dxdy , ( Oy ўқига нисбатан)
D
оғирлик марказининг координаталари:
1
1
x0 =
xdxdy , y 0 =

 ydxdy ,
 dxdy D
 dxdy D
D
D
инерция моментлари:
J x =  y 2 p( x, y )dxdy , ( Ox ўқига нисбатан),
D
J y =  x 2 p( x, y )dxdy , ( Oy ўқига нисбатан)
D
J 0 =  (x + y ) p( x, y )dxdy (координаталар бошига нисбатан)
2
2
D
топилади.
Машқлар
1. Текисликда, ушбу
y2 + a2
y 2 + b2
(0  a  b )
x=
, x=
2a
2b
параболалар билан чегараланган шаклнинг юзи топилсин.
2. Фазода қуйидаги
x 2 + y 2 = 4 x , z = x , z = 2x
сиртлар билан чегараланган жисмнинг хажми топилсин.
256
87-маъруза
Уч каррали интеграллар
Математик анализ курси давомида f (x) функциянинг [a, b]  R сегмент
бўйича аниқ интеграли, f ( x, y ) функциянинг D  R 2 тўплам бўйича икки
каррали интеграли тушунчалари киритилиб, улар батафсил ўрганилди.
Худди шунга ўхшаш бу тушунча уч ўзгарувчили f ( x, y, z ) функция учун
ҳам киритилади. Унда, аввалги ҳолларда келтирилган маълумотлар ва уларни
исботлашда юритилган мулоҳозалар қайтарилади.
Шуни эътиборга олиб, уч каррали интеграл ҳақида тушунча ва тасдиқларни келтириш билан чегараланамиз.
10. Уч каррали интеграл тушунчаси. Фараз қилайлик, R 3 фазода чегараланган, ҳамда хажмга эга бўлган V жисм (тўплам) да f ( x, y, z ) функция
аниқланган ва чегараланган бўлсин.
m  f ( x, y, z )  M (( x, y , z )  V ) .
V тўпламнинг бирор
P = {V1 ,V2 ,...,Vn }
бўлаклашини ва ҳар бир Vk да ихтиёрий ( k ,k , k ) Vk нуқтани (k = 1,2,.., n )
олиб, ушбу
n
 =  f ( k , k ,  k )Vk
k =1
йиғиндини тузамиз. У f ( x, y, z ) функциянинг интеграл йиғиндиси дейилади.
1-таъриф. Агар   0 сон олинганда ҳам, шундай   0 сон топилсаки,
V тўпламнинг диаметри p   бўлган ҳар қандай P бўлаклаш ҳамда ҳар бир
Vk да олинган ихтиёрий ( k , k ,  k ) лар учун
 −J 
тенгсизлик бажарилса, J сон  йиғиндининг p → 0 даги лимити дейилади
ва
lim  = J
p →o
каби белгиланади.
2-таъриф. Агар p → 0 да f ( x, y, z ) функциянинг интеграл йиғиндиси
чекли лимитга эга бўлса, f ( x, y, z ) функция V тўпламда интегралланувчи, J
сонга эса f ( x, y, z ) функциянинг V тўплам бўйича уч каррали интеграли
дейилади ва қуйидагича
 f ( x, y, z )dxdydz
V
белгиланади. Демак,
n
 f ( x, y, z )dxdydz = lim  f ( k , k , k )Vk .
V
p→0 k =1
f ( x, y, z ) функция V да чегараланганлиги учун
257
mk = inf{ f ( x, y, z) : ( x, y, z) Vk } ,
M k = sup{ f ( x, y, z) : ( x, y, z) Vk }
мавжуд. Ушбу
n
n
k =1
k =1
s =  mk Vk , S =  M k Vk
йиғиндилар мос равишдада Дарбунинг қуйи ҳамда юқори йиғиндилари
дейилади.
Равшанки,
s = sp ( f ), S = S p ( f )
бўлиб, {s = s p ( f )} , {S = S p ( f )} тўпламлар чегараланган бўлади.
3-таъриф. {s p ( f )} тўпламнинг аниқ юқори чегараси
f ( x, y , z )
функциянинг қуйи уч каррали интеграли дейилади ва
J =  f ( x, y, z )dxdydz
−
V
каби белгиланади.
4-таъриф. {S p ( f )} тўпламнинг аниқ қуйи
функциянинг юқори уч каррали интеграли дейилади ва
−
чегараси
f ( x, y , z )
−
J =  f ( x, y, z )dxdydz
V
каби белгиланади.
−
5-таъриф. Агар J = J бўлса, f ( x, y, z ) функция V тўпламда интег−
ралланувчи, уларнинг умумий қиймати
−
J=J=J
−
f ( x, y, z ) функциянинг V тўплам бўйича уч каррали интеграли дейилади.
20. Уч каррали интегралнинг мавжудлиги. Қуйидаги теорема уч
каррали интегралнинг мавжудлигини ифодалайди.
1-теорема. f ( x, y, z ) функциянинг V тўпламда интегралланувчи
бўлиши учун,   0 сон олинганда ҳам шундай   0
сон топилиб, V тўпламнинг диаметри  p   бўлган ҳар қандай P бў-
лаклашига нисбатан Дарбу йиғиндилари ушбу
Sp ( f ) − sp ( f ) 
(1)
тенгсизликни қаноатлантириши зарур ва етарли.
Агар f ( x, y, z, ) функциянинг Vk даги тебранишини k десак, у ҳолда
n
n
k =1
k =1
S p ( f ) − s p ( f ) =  (M k − mk )Vk = k Vk
бўлиб, (1) шарт ушбу
n
k Vk  
k =1
кўринишни олади. Бу ҳолда
258
n
lim k Vk = 0
 p →0 k =1
дейиш мумкин.
30. Интегралланувчи функциялар синфи. Уч ўзгарувчили f ( x, y, z )
функциялар маълум шартларни қаноатлантирганда уларнинг интегралланувчи
бўлишини ифодалайдиган теоремаларни келтирамиз.
2-теорема. Агар f ( x, y, z ) функция чегараланган ёпиқ V тўпламда
узлуксиз бўлса, у шу тўпламда интегралланувчи бўлади.
Айтайлик, R 3 фазода S сирт берилган бўлсин.
6-таъриф. Агар R 3 да шундай V0 кўпёқлик топилсаки,
1) S  V0 ,
2)   0 учун V0   бўлса, S нол хажмли сирт дейилади.
3-теорема. Агар f ( x, y, z ) функция чегараланган ёпиқ V тўпламдаги
чекли сонда нол хажмли сиртларда узилишга эга, қолган барча нуқталарда
узлуксиз бўлса, f ( x, y, z ) функция V тўпламда интегралланувчи бўлади.
40. Уч каррали интегралнинг хоссалари. Уч каррали интеграллар ҳам
икки каррали интегралнинг хоссалари каби хоссаларга эга.
1) f ( x, y, z ) функция V да (V  R 3 ) интегралланувчи бўлсин. Агар V тўплам
нол хажмли S сирт билан умумий ички нуқтага эга бўлмаган боғламли V1 ва
V2 тўпламларга ажралган бўлса, f ( x, y, z ) функция ҳар бир V1 ва V2
тўпламларда интегралланувчи ва
 f ( x, y, z )dxdydz =  f ( x, y, z )dxdydz +  f ( x, y, z )dxdydz
V
V1
V2
бўлади.
2) Агар f ( x, y, z ) функция V тўпламда интегралланувчи бўлса,
c  f ( x, y, z ) функция ( c = const ) ҳам V тўпламда интегралланувчи ва
 cf ( x, y, z )dxdydz = c  f ( x, y, z )dxdydz
V
V
бўлади.
3) Агар f ( x, y, z ) ва g ( x, y, z ) функциялар V да интегралланувчи бўлса,
f ( x, y, z )  g ( x, y, z ) , f ( x, y, z )  g ( x, y, z ) функциялар интегралланувчи ва
 [ f ( x, y, z)  g ( x, y, z)]dxdydz =  f ( x, y, z)dxdydz   f ( x, y, z)dxdydz
V
V
V
бўлади.
4) Агар f ( x, y, z ) функция V тўпламда интегралланувчи бўлиб,
( x, y, z )  V да f ( x, y, z )  0 бўлса,
 f ( x, y, z )dxdydz  0
V
бўлади.
259