수학의바이블 유형on 확률과 통계

<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 1 2023. 9. 12. 오전 10:00 채점 기준 경우의 수 여러 가지 순열 01 배점 ➊ 여학생 3명을 원탁에 둘러앉히는 경우의 수 구하기 40% ➋ 남학생 3명을 원탁에 둘러앉히는 경우의 수 구하기 40% ➌ 조건을 만족시키는 경우의 수 구하기 20% 먼저 남학생을 원탁에 둘러앉힌 후, 남학생들 사이사이에 여학생을 앉혀도 된다. 원탁에 둘러앉는 경우의 수 0001 ② 두 학생 A, B를 포함한 7명의 학생 중에서 A, B를 포함하여 5명 을 선택하는 경우의 수는 두 학생 A, B를 제외한 5명의 학생 중에 서 3명을 선택하는 경우의 수와 같으므로 0004 ⑤ 한 명의 남학생의 자리가 결정되면 나머지 한 명의 남학생의 자리는 마주 보는 자리에 고정 여 여 여 여 되므로 구하는 경우의 수는 남학생 한 명과 여 학생 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수, 즉 5 °C£=°Cª=10 남 명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수와 같다. 5명의 학생을 원탁에 둘러앉히는 경우의 수는 남 따라서 구하는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24 (5-1)!=4!=24 따라서 구하는 경우의 수는 다른 풀이 10_24=240 남학생 2명이 서로 마주 보고 원탁에 앉는 경우의 수는 (2-1)!=1!=1 남은 4개의 자리에 여학생 4명이 앉는 경우의 수는 0002 ③ 4!=24 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 8개의 사탕 중에서 4개를 선택하는 경우의 수는 1_24=24 ¥C¢=70 선택한 사탕 4개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 70_6=420 02 다른 풀이 이웃하는(이웃하지 않는) 원순열의 수 서로 다른 사탕 8개 중에서 4개를 선택하여 일렬로 나열하는 경우 12 의 수는 ¥P¢이고, 선택한 사탕 4개를 원형으로 배열하면 같은 것이 4가지씩 있으므로 구하는 경우의 수는 ¥P¢ 8_7_6_5 = =420 4 4 부모 2명을 한 사람으로 생각하면 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 부모 2명이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 0003 12 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 여학생 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 6_2=12 (3-1)!=2!=2 ………………………………………………………………………………… ➊ 여학생들 사이사이 3개의 자리에 남학생 3명이 여 앉는 경우의 수는 0005 ④ 각 반의 대표 2명을 한 사람으로 생각하면 4명이 원탁에 둘러앉는 3!=6 여 여 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 ………………………………………………………………………………… ➋ 각 반의 대표끼리 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 각각 따라서 구하는 경우의 수는 2!=2 2_6=12 따라서 구하는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➌ 6_2_2_2_2=96 2 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 2 2023. 9. 12. 오전 10:00 0006 ③ 2학년 학생 3명을 한 사람으로 생각하면 4명이 원탁에 둘러앉는 경 우의 수는 ⑴ 이웃하는 경우  이웃하는 것을 하나로 생각한다. ⑵ 이웃하지 않는 경우  이웃해도 상관없는 것을 먼저 나열한다. 1 권 (4-1)!=3!=6 이웃하는(이웃하지 않는) 경우의 수 다른 풀이 2학년 학생 3명끼리 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 A, B, C, D, E, F 6명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 3!=6 (6-1)!=5!=120 따라서 구하는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➊ 6_6=36 B와 D를 한 사람으로 생각하면 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수 는 (5-1)!=4!=24 0007 ① 사과, 배, 포도를 하나로 생각하면 4개를 원형으로 배열하는 경우 B와 D가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 의 수는 B와 D가 이웃하여 앉는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 24_2=48 배와 포도의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➋ 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 120-48=72 ………………………………………………………………………………… ➌ 6_2=12 채점 기준 0008 96 A학교 학생 2명과 B학교 학생 2명을 각각 한 사람으로 생각하면 배점 ➊ 6명을 원탁에 둘러앉히는 경우의 수 구하기 40% ➋ B와 D를 이웃하게 앉히는 경우의 수 구하기 40% ➌ 조건을 만족시키는 경우의 수 구하기 20% 5명의 학생이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24 0010 A학교 학생 2명이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 ⑤ 학생 B를 포함한 4명의 2학년 학생이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 B학교 학생 2명이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 2!=2 조건 ㈎를 만족시키려면 학생 A를 포함한 4명의 1학년 학생은 각 따라서 구하는 경우의 수는 각의 2학년 학생 사이에 앉아야 한다. 24_2_2=96 이때 조건 ㈏에서 A와 B는 이웃하므로 A가 앉을 자리를 정하는 경우의 수는 0009 72 ªCÁ=2 남은 3명의 1학년 학생이 앉을 자리를 정하는 경우의 수는 B와 D를 제외한 A, C, E, F 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 3!=6 (4-1)!=3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➊ 6_2_6=72 A, C, E, F 사이사이 4개의 자리에 B와 D를 앉히는 경우의 수는 ¢Pª=12 03 ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 구하는 경우의 수는 평면도형을 색칠하는 경우의 수 0011 ④ 가운데 정오각형을 색칠하는 경우의 수는 6_12=72 ………………………………………………………………………………… ➌ ¤CÁ=6 가운데 정오각형에 칠한 색을 제외한 5가지의 색으로 가운데 정오 채점 기준 배점 ➊ B와 D를 제외한 4명을 원탁에 둘러앉히는 경우의 수 구하기 40% ➋ B와 D를 앉히는 경우의 수 구하기 40% 따라서 구하는 경우의 수는 ➌ 조건을 만족시키는 경우의 수 구하기 20% 6_24=144 각형을 제외한 나머지 부분을 색칠하는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24 Ⅰ. 경우의 수 3 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 3 2023. 9. 12. 오전 10:00 0012 840 선택한 4가지의 색으로 작은 원의 내부의 4개의 영역을 색칠하는 경우의 수는 가운데 원을 색칠하는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 ¦CÁ=7 ………………………………………………………………………………… ➋ 가운데 원에 칠한 색을 제외한 6가지의 색으로 나머지 6개의 원을 나머지 4가지의 색으로 작은 원의 외부의 4개의 영역을 색칠하는 색칠하는 경우의 수는 경우의 수는 (6-1)!=5!=120 4! 따라서 구하는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➌ 7_120=840 따라서 구하는 경우의 수는 70_6_4!=2_5_7_6_4!=2_7! ∴ a=2 0013 48 ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 배점 으로 칠하는 경우의 수는 ➊ 작은 원의 내부의 영역을 칠할 색을 선택하는 경우의 수 구하기 20% (5-1)!=4!=24 ➋ 작은 원의 내부의 영역을 색칠하는 경우의 수 구하기 30% 노란색과 파란색의 자리를 바꾸는 경우의 수는 ➌ 작은 원의 외부의 영역을 색칠하는 경우의 수 구하기 30% 2!=2 ➍ a의 값 구하기 20% 노란색과 파란색을 한 가지 색으로 생각하여 서로 다른 5가지의 색 따라서 구하는 경우의 수는 24_2=48 0014 ③ 가운데 정삼각형을 색칠하는 경우의 수는 ¤CÁ=6 04 입체도형을 색칠하는 경우의 수 가운데 정삼각형에 칠한 색을 제외한 5가지의 색 중에서 3가지의 °C£=°Cª=10 0016 3가지의 색으로 가운데 정삼각형을 제외한 나머지 3개의 정삼각형 정사각뿔의 밑면을 색칠하는 경우의 수는 을 색칠하는 경우의 수는 °CÁ=5 색을 선택하는 경우의 수는 30 (3-1)!=2!=2 밑면에 칠한 색을 제외한 4가지의 색으로 옆면을 색칠하는 경우의 따라서 구하는 경우의 수는 수는 6_10_2=120 (4-1)!=3!=6 다른 풀이 따라서 구하는 경우의 수는 6가지의 색 중에서 색칠할 4가지의 색을 선택하는 경우의 수는 5_6=30 ¤C¢=¤Cª=15 입체도형을 색칠하는 경우의 수 선택한 4가지 색 중에서 하나를 선택하여 가운데 정삼각형을 색칠 하는 경우의 수는 ⑴ 뿔이면  밑면을 색칠하는 경우를 먼저 생각한다. ⑵ 기둥이면  평행한 면을 색칠하는 경우를 먼저 생각한다. ¢CÁ=4 남은 3가지의 색으로 가운데 정삼각형을 제외한 나머지 3개의 정삼 각형을 색칠하는 경우의 수는 (3-1)!=2!=2 0017 따라서 구하는 경우의 수는 15_4_2=120 ⑤ 정오각뿔대의 윗면을 색칠하는 경우의 수는 ¦CÁ=7, 아랫면을 색칠 하는 경우의 수는 ¤CÁ=6이므로 두 밑면을 색칠하는 경우의 수는 0015 2 7_6=42 두 밑면에 칠한 색을 제외한 5가지의 색으로 옆면을 색칠하는 경우 8가지의 색 중에서 작은 원의 내부의 4개의 영역을 칠할 4가지의 의 수는 색을 선택하는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24 ¥C¢=70 따라서 구하는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➊ 42_24=1008 4 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 4 2023. 9. 12. 오전 10:00 0018 ④ 정육각기둥의 윗면과 아랫면은 합동이므로 두 밑면을 색칠하는 경 우의 수는 2 1 1 8 8 7 7 6 3 8 2 7 1 6 8 5 4 7 3 6 2 5 1 4 5 6 4 5 3 4 2 3 1 따라서 구하는 경우의 수는 두 밑면에 칠한 색을 제외한 6가지의 색으로 옆면을 색칠하는 경우 권 ¥C2=28 4_7! ∴ a=4 직사각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수 의 수는 (6-1)!=5! 따라서 구하는 경우의 수는 정사각형이 아닌 직사각형 모양의 탁자에 n (n은 4 이상인 2의 배수)명이 둘러앉는 경우의 수는 28_5! (n-1)!_ 0019 n 2 ② 정육면체의 모든 면은 합동이므로 특정한 색을 아랫면에 칠하면 윗 면을 색칠하는 경우의 수는 °CÁ=5 윗면과 아랫면을 칠한 색을 제외한 나머지 4가지의 색으로 옆면을 위의 문제에서 직사각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우에는 일렬로 앉는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 2가지씩 배열이 같은 것이 생기므로 구하는 경우의 수는 8! =4_7! 2 2 1 6 색칠하는 경우의 수는 3 8 7 (4-1)!=3!=6 4 7 8 5 따라서 구하는 경우의 수는 6 5 4 1 3 2 5_6=30 다른 풀이 ① 정육면체의 윗면을 색칠하는 경우의 수는 ¤CÁ=6, 아랫면을 색칠하 는 경우의 수는 °CÁ=5이므로 두 밑면을 색칠하는 경우의 수는 0021 6_5=30 8명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 ③ 윗면과 아랫면을 칠한 색을 제외한 나머지 4가지의 색으로 옆면을 (8-1)!=7! 색칠하는 경우의 수는 그런데 정사각형 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가지 방법 (4-1)!=3!=6 에 대하여 다음 그림과 같이 2가지의 서로 다른 경우가 존재한다. 이때 정육면체의 모든 면은 합동이므로 색칠한 각 경우에 대하여 2 같은 경우가 6가지씩 생긴다. 따라서 구하는 경우의 수는 30_6_;6!;=30 우선 한 면을 기준으로 한 가지 색을 칠한 후, 남은 면을 색칠하는 경우의 수는 5! 8 3 8 2 7 4 7 3 6 5 다른 풀이 ② 1 1 6 4 5 따라서 구하는 경우의 수는 2_7! 정사각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수 이때 정육면체의 한 면이 정사각형이므로 색칠한 각 경우에 대하여 같은 경우가 4가지씩 생긴다. 정사각형 모양의 탁자에 n (n은 4의 배수)명이 둘러앉는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 (n-1)!_ 1 5!_ =30 4 n 4 0022 05 11 9명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 여러 가지 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수 (9-1)!=8! 그런데 정삼각형 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가지 방법 0020 ② 에 대하여 다음 그림과 같이 3가지의 서로 다른 경우가 존재한다. 1 8명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (8-1)!=7! 그런데 직사각형 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가지 방법 에 대하여 다음 그림과 같이 4가지의 서로 다른 경우가 존재한다. 9 9 2 3 7 4 5 6 8 8 1 8 2 6 3 4 5 7 9 7 6 1 5 2 3 4 Ⅰ. 경우의 수 5 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 5 2023. 9. 12. 오전 10:00 따라서 구하는 경우의 수는 3_8!이므로 a=3, n=8 부채꼴 모양의 탁자에 둘러앉을 때 회전하여 일치하는 경우는 없으므로 5명 ∴ a+n=3+8=11 이 둘러앉는 경우의 수는 5!=120 정삼각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수 정삼각형 모양의 탁자에 n (n은 3의 배수)명이 둘러앉는 경우의 수는 (n-1)!_ n 3 06 중복순열 ⑴ 243 0023 ⑵9 18 ⑴ 5명의 ‌ 유권자가 3명의 후보에게 기명 투표하는 경우의 수는 서 10명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 (10-1)!=9! ………………………………………………………………………………… ➊ £P°=3Þ`=243 그런데 정오각형 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가지 방법 ⑵ 서로 ‌ 다른 2통의 편지를 서로 다른 3개의 우체통에 넣는 경우의 에 대하여 다음 그림과 같이 2가지의 서로 다른 경우가 존재한다. 수는 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 1 2 10 1 9 3 7 6 0025 6 4 £Pª=3Û`=9 8 3 7 5 9 2 8 4 10 5 270 서로 다른 종류의 음료수 5개 중에서 A에게 2개의 음료수를 나누 ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 구하는 경우의 수는 2_9!이므로 어 주는 경우의 수는 °Cª=10 a=2, n=9 각 경우에 대하여 나머지 음료수 3개를 B, C, D에게 나누어 주는 ∴ a_n=2_9=18 경우의 수는 B, C, D의 3개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 ➊ 10명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수 구하기 ➋ ‌원탁에 둘러앉는 한 가지 방법에 대하여 서로 다른 경우의 수 구 하기 으므로 배점 £P£=3Ü`=27 30% 따라서 구하는 경우의 수는 10_27=270 40% 30% ➌ a_n의 값 구하기 0026 ② 5명의 학생이 서로 다른 3개의 동아리에 가입하는 경우의 수는 서 0024 ⑤ 로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 £P°=3Þ`=243 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24 그런데 부채꼴 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 5가지의 서로 다른 경우가 존재한다. 1 5 0027 ① 서로 다른 종류의 연필 5자루를 4명의 학생 A, B, C, D에게 남김 4 없이 나누어 주는 경우의 수는 A, B, C, D의 4개에서 5개를 택하 는 중복순열의 수와 같으므로 2 1 5 3 4 4 2 1 3 2 3 4 2 5 3 5 1 ¢P°=4Þ`=1024 0028 1 3 4 2 5 480 서로 다른 6개의 사탕 중에서 2개를 뽑아 A, B에게 1개씩 나누어 주는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 ¤Pª=30 24_5=120 ………………………………………………………………………………… ➊ 6 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 6 2023. 9. 12. 오전 10:00 각 경우에 대하여 나머지 사탕 4개를 C, D에게 나누어 주는 경우의 Û 빈 필통이 1개인 경우 필기구를 넣을 2개의 필통을 택하는 경우의 수는 ªP¢=2Ý`=16 £Cª=3 ………………………………………………………………………………… ➋ 서로 다른 8자루의 필기구를 서로 다른 2개의 필통에 나누어 넣 따라서 구하는 경우의 수는 는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 8개를 택하는 중복순열의 수 30_16=480 와 같으므로 ………………………………………………………………………………… ➌ ªP¥=2¡`=256 배점 이때 1개의 필통에 필기구를 모두 넣는 경우의 수가 2이므로 ➊ A, B에게 사탕을 1개씩 나누어 주는 경우의 수 구하기 40% 256-2=254 ➋ ‌C, D에게 사탕을 나누어 주는 경우의 수 구하기 40% 따라서 빈 필통이 1개인 경우의 수는 ➌ 조건을 만족시키는 경우의 수 구하기 20% 채점 기준 1 권 수는 C, D의 2개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 3_254=762 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 3+762=765 0029 ④ 두 집합 A, B가 서로소이므로 집합 U, A, B를 벤다이어그램으로 나타내면 오 U A B 른쪽 그림과 같다. 이때 전체집합 U={a, b, c, d, e}의 5개 U-(A'B) 07 중복순열 - 자연수의 개수 의 원소가 세 집합 A, B, U-(A'B) ⑴ 64 중 하나에 속해야 한다. ⑵ 48 따라서 두 집합 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수는 서로 다른 3개 에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ⑴ 백의 ‌ 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 £P°=3Þ`=243 1, 2, 3, 4의 4개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ¢P£=4Ü`=64 서로소 두 집합 A와 B에 공통인 원소가 하나도 없을 때, 즉 A;B=∅일 때, 두 집합 A와 B는 서로소라 한다. ⑵ 백의 ‌ 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3의 3가지이다. ‌십의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 0, 1, 2, 3의 4개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ¢Pª=4Û`=16 따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는 0030 ③ 3_16=48 조건 ㈎에서 양 끝에 모두 대문자 X 또는 Y가 나오는 경우의 수는 대문자 X, Y의 2개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ªPª=2Û`=4 조건 ㈏에서 문자 a는 한 번만 나오므로 문자 a의 자리를 정하는 0032 경우의 수는 짝수가 되려면 일의 자리의 수가 짝수이어야 하므로 일의 자리에 올 ¢CÁ=4 수 있는 숫자는 2, 4, 6의 3가지이다. 남은 3개의 자리에 오는 문자를 정하는 경우의 수는 문자 b, X, Y 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 의 3개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 £P£=3Ü`=27 ¤P£=6Ü`=216 따라서 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 짝수의 개수는 4_4_27=432 3_216=648 0031 ③ Ú 빈 필통이 2개인 경우 0033 ⑤ 200 3개의 필통에서 필기구를 모두 넣을 1개의 필통을 택하는 경우 홀수가 되려면 일의 자리의 수가 홀수이어야 하므로 일의 자리에 올 의 수와 같으므로 수 있는 숫자는 1, 3의 2가지이다. £CÁ=3 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 1, 2, 3, 4의 4가지이다. Ⅰ. 경우의 수 7 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 7 2023. 9. 12. 오전 10:00 백의 자리, 십의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 0, 1, 2, 3, 4의 5 개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 0036 ① 세 개의 숫자 1, 3, 5 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 만들 수 °Pª=5Û`=25 있는 네 자리 자연수의 개수는 1, 3, 5의 3개에서 4개를 택하는 중 따라서 구하는 홀수의 개수는 복순열의 수와 같으므로 2_4_25=200 £P¢=3Ý`=81 이 중에서 3이 포함되지 않은 자연수의 개수는 1, 5의 2개에서 4개 를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ªP¢=2Ý`=16 0034 150 따라서 구하는 자연수의 개수는 81-16=65 2200보다 작은 수가 되려면 1, 21 꼴이어야 한다. ………………………………………………………………………………… ➊ Ú 1 꼴인 경우 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 08 °P£=5Ü`=125 Û 21 꼴인 경우 십의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5 의 5개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 0037 ④ 두 깃발을 1번 들어올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는 °Pª=5Û`=25 ………………………………………………………………………………… ➋ Ú, Û에서 구하는 자연수의 개수는 ªPÁ 두 깃발을 2번 들어올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는 ªPª 125+25=150 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 중복순열 - 신호의 개수 두 깃발을 3번, 4번 들어올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개 수는 각각 ªP£, ªP¢이다. 배점 따라서 구하는 신호의 개수는 ➊ 2200보다 작은 수가 되기 위한 조건 구하기 20% ªPÁ+ªPª+ªP£+ªP¢‌=2Ú`+2Û`+2Ü`+2Ý` ➋ 1, 21 꼴의 자연수의 개수 각각 구하기 60% ➌ 2200보다 작은 자연수의 개수 구하기 20% =2+4+8+16=30 0038 0035 ④ ② 세 기호를 2개 사용하여 만들 수 있는 암호의 개수는 £Pª 세 기호를 3개 사용하여 만들 수 있는 암호의 개수는 £P£ Ú 한 자리 자연수의 개수는 2, 4, 6, 8의 4이다. 세 기호를 4개 사용하여 만들 수 있는 암호의 개수는 £P¢ Û ‌두 자리 자연수의 개수는 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 4, 따라서 구하는 암호의 개수는 6, 8의 4가지이고, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 2, 4, 6, 8 £Pª+£P£+£P¢=3Û`+3Ü`+3Ý`=9+27+81=117 의 5가지이므로 4_5=20 Ü ‌세 자리 자연수의 개수는 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 4, 6, 8의 4가지이고, 십의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 0, 2, 4, 6, 8의 5개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같 0039 으므로 모스 부호 ‘•’과 ‘-’를 n개 사용하여 만들 수 있는 신호의 개수는 4_°Pª=4_5Û`=100 서로 다른 2개에서 n개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 Ý ‌4000보다 작은 네 자리 자연수는 2 꼴이다. ③ ªPn=2n 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 0, 따라서 모스 부호를 n개 이하로 사용하여 만들 수 있는 신호의 개 2, 4, 6, 8의 5개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 수는 °P£=5Ü`=125 ªPÁ+ªPª+ªP£+y+ªPn=2Ú`+2Û`+2Ü`+y+2n Ú~Ý에서 4000보다 작은 자연수의 개수는 n=5일 때 4+20+100+125=249 ªPÁ+ªPª+ªP£+ªP¢+ªP°‌=2+4+8+16+32 따라서 4000은 250번째 수이다. =62<100 8 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 8 2023. 9. 12. 오전 10:00 n=6일 때 X에서 Y로의 함수는 Y의 원소 1, 2, 3, 4의 4개에서 중복을 허락 ªPÁ+ªPª+ªP£+ªP¢+ªP°+ªP¤‌=2+4+8+16+32+64 하여 3개를 택해 X의 원소 1, 2, 3에 대응시키면 된다. =126>100 즉, X에서 Y로의 함수의 개수는 서로 다른 4개에서 3개를 택하는 따라서 모스 부호를 최소한 6개 사용해야 한다. 중복순열의 수와 같으므로 f(2)=2인 함수는 Y의 원소 1, 2, 3, 4의 4개에서 중복을 허락하 수학Ⅰ의 등비수열의 합의 공식을 이용하면 여 2개를 택해 X의 원소 1, 3에 대응시키면 된다. ªPÁ+ªPª+ªP£+y+ªPn‌=2Ú`+2Û`+2Ü`+y+2n 2(2n-1) ¾100 = 2-1 즉, f(2)=2인 함수의 개수는 서로 다른 4개에서 2개를 택하는 중 복순열의 수와 같으므로 즉, 2 -1¾50에서 2 ¾51 n 1 권 ¢P£=4Ü`=64 n ¢Pª=4Û`=16 이때 2Þ`=32, 2ß`=64이므로 2n¾51을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 6이다. 따라서 구하는 함수의 개수는 64-16=48 다른 풀이 0040 7 f(2)의 값이 될 수 있는 것은 1, 3, 4 중 하나이므로 3가지이고, f(1), f(3)의 값을 정하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4의 4개에서 2개 n개의 전구를 각각 켜거나 꺼서 만들 수 있는 신호의 개수는 를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ªPn=2n ¢Pª=4Û`=16 이때 전구가 모두 꺼진 경우는 신호에서 제외하므로 신호의 개수는 따라서 구하는 함수의 개수는 2n-1 3_16=48 신호의 개수가 200 이하이므로 2n-1É200, 2nÉ201 이때 27=128, 28=256이므로 2nÉ201을 만족시키는 자연수 n의 최댓값은 7이다. 0043 ② X에서 Y로의 함수는 Y의 원소 1, 2의 2개에서 중복을 허락하여 4 개를 택해 X의 원소 1, 2, 3, 4에 대응시키면 된다. 즉, X에서 Y로의 함수의 개수는 서로 다른 2개에서 4개를 택하는 09 중복순열의 수와 같으므로 중복순열 - 함수의 개수 ªP¢=2Ý`=16 이때 치역의 원소가 1개인 경우는 {1} 또는 {2}이므로 2가지이다. 64 따라서 구하는 함수의 개수는 X에서 Y로의 함수는 Y의 원소 2, 4, 6, 8의 4개에서 중복을 허락 16-2=14 하여 3개를 택해 X의 원소 a, b, c에 대응시키면 된다. 따라서 X에서 Y로의 함수의 개수는 서로 다른 4개에서 3개를 택 0044 하는 중복순열의 수와 같으므로 ¢P£=4Ü`=64 ④ f(2)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3 중 하나이므로 3가지이고, f(1), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4의 4개에 서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 0041 ① f(0)=2인 함수는 Y의 원소 -4, -2, 0, 2, 4의 5개에서 중복을 허락하여 2개를 택해 X의 원소 -1, 1에 대응시키면 된다. ¢P£=4Ü`=64 따라서 구하는 함수 f의 개수는 3_64=192 따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 5개에서 2개를 택하는 중 복순열의 수와 같으므로 0045 °Pª=5Û`=25 30 조건 ㈎에서 f(3)의 값이 될 수 있는 것은 1, 3이다. ………………………………………………………………………………… ➊ 0042 48 Ú f(3)=1인 경우 f(0)= f(1)= f(2)=0이고 구하는 함수의 개수는 X에서 Y로의 함수의 개수에서 f(2)=2를 f(4)의 값이 될 수 있는 것은 2, 3, 4이므로 함수 f의 개수는 만족시키는 함수의 개수를 빼면 된다. 1_3=3 Ⅰ. 경우의 수 9 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 9 2023. 9. 12. 오전 10:00 Û f(3)=3인 경우 f(0), f(1), f(2)의 값이 될 수 있는 것은 0, 1, 2이므로 f(0), 10 f(1), f(2)의 값을 정하는 경우의 수는 0, 1, 2의 3개에서 3개 같은 것이 있는 순열 - 문자의 나열 30 를 택하는 중복순열의 수와 같다. ∴ £P£=3Ü`=27 a, a, b, b, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 5개의 문자 중 a가 2 또한 f(4)=4이므로 함수 f의 개수는 개, b가 2개이므로 27_1=27 5! =30 2!_2! ………………………………………………………………………………… ➋ Ú, Û에서 구하는 함수 f의 개수는 3+27=30 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ f(3)의 값이 될 수 있는 것 구하기 20% ➋ f(3)=1, f(3)=3인 함수의 개수 각각 구하기 60% ➌ 조건을 만족시키는 함수의 개수 구하기 20% 0047 ① 양 끝에 n과 u가 오도록 일렬로 나열하는 경우는 n이 맨 앞에 오는 경우와 u가 맨 앞에 오는 경우의 2가지이다. 가운데에 m, i, i, m, m을 일렬로 나열하는 경우의 수는 5! =10 3!_2! 따라서 구하는 경우의 수는 2_10=20 0046 ③ Ú f(3)=4인 경우 0048 ④ s와 g를 한 문자 X로 생각하면 l, a, X, a, n, a를 일렬로 나열하 f(2)= f(5)=2 ‌f(1), f(4)의 값이 될 수 있는 것은 6, 8, 10, 12이므로 f(1), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 6, 8, 10, 12의 4개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같다. 는 경우의 수는 6! =120 3! 이때 s와 g가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 ∴ ¢Pª=4Û`=16 2!=2 ‌따라서 이때의 함수 f 의 개수는 따라서 구하는 경우의 수는 1_16=16 120_2=240 Û f(3)=6인 경우 ‌f(2), f(5)의 값이 될 수 있는 것은 2, 4이므로 f(2), f(5)의 값을 정하는 경우의 수는 2, 4의 2개에서 2개를 택하는 중복순 열의 수와 같다. ∴ ªPª=2Û`=4 ‌f(1), f(4)의 값이 될 수 있는 것은 8, 10, 12이므로 f(1), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 8, 10, 12의 3개에서 2개를 택 하는 중복순열의 수와 같다. 0049 540 internet의 8개의 문자 중 모음은 i, e, e의 3개이므로 i, e, e를 한 문자 X로 생각하면 6개의 문자 X, n, t, r, n, t를 일렬로 나열 하는 경우의 수는 6! =180 2!_2! ∴ £Pª=3Û`=9 ‌따라서 이때의 함수 f 의 개수는 ………………………………………………………………………………… ➊ 4_9=36 이때 모음끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 Ü f(3)=8인 경우 f(2), f(5)의 값이 될 수 있는 것은 2, 4, 6이고 ‌f(1), f(4)의 값이 될 수 있는 것은 10, 12이므로 Û와 마찬가 3! =3 2! ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 구하는 경우의 수는 지로 함수 f 의 개수는 ‌3P2_2P2=3Û`_2Û`=36 180_3=540 Ý f(3)=10인 경우 ………………………………………………………………………………… ➌ f(2), f(5)의 값이 될 수 있는 것은 2, 4, 6, 8이고 f(1)= f(4)=12이므로 Ú과 마찬가지로 함수 f 의 개수는 P2_1=4Û`_1=16 4 채점 기준 ➊ ‌모음을 한 문자로 생각하여 6개의 문자를 일렬로 나열하는 경우 의 수 구하기 배점 40% Ú~Ý에서 구하는 함수의 개수는 ➋ 모음끼리 자리를 바꾸는 경우의 수 구하기 40% 16+36+36+16=104 ➌ 조건을 만족시키는 경우의 수 구하기 20% 10 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 10 2023. 9. 12. 오전 10:00 0050 ③ 구하는 경우의 수는 a, a, b, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수 에서 a끼리 이웃하도록 나열하는 경우의 수를 빼면 된다. 같은 것이 있는 순열 - 자연수의 개수 0052 ④ 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 2이다. 6! =90 2!_2!_2! 1 권 a, a, b, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 11 Ú 일의 자리의 숫자가 0인 경우 a끼리 서로 이웃하도록 일렬로 나열하는 경우의 수는 a, a를 한 문자 일의 자리를 제외한 나머지 다섯 자리에 1, 2, 2, 3, 3을 일렬로 X로 생각하면 X, b, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으 나열하는 경우의 수는 므로 5! =30 2!_2! 5! =30 2!_2! Û 일의 자리의 숫자가 2인 경우 따라서 구하는 경우의 수는 일의 자리를 제외한 나머지 다섯 자리에 0, 1, 2, 3, 3을 일렬로 90-30=60 나열하는 경우의 수는 다른 풀이 5! =60 2! a를 제외한 나머지 문자 b, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! =6 2!_2! 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수는 맨 앞자리를 제외한 나머지 네 자리에 1, 2, 3, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 4! =12 2! ∨`b`∨`b`∨`c`∨`c`∨ a끼리 서로 이웃하지 않도록 ∨이 표시된 5개의 자리 중 2개의 자 이때의 구하는 경우의 수는 리를 선택하는 경우의 수는 60-12=48 °Cª=10 Ú, Û에서 구하는 짝수의 개수는 따라서 구하는 경우의 수는 30+48=78 6_10=60 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수는 다음 두 가지 방법으로 구할 수 있다. ⑴ 전체 경우의 수에서 이웃하도록 나열하는 경우의 수를 뺀다. ⑵ 이웃해도 ‌ 상관없는 것부터 먼저 나열한 후 양 끝과 나열한 사이사이에 이웃하지 않아야 하는 것들을 나열하는 경우의 수를 구한다. 숫자 0이 포함되어 있는 숫자들로 자연수를 만드는 경우의 수  (전체 경우의 수)-(맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수) 0053 ② 1, 1, 2, 2, 3 중에서 4개를 택하는 경우는 다음과 같다. 0051 ④ 구하는 경우의 수는 a, a, b, b, b, c, d를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 양 끝에 서로 같은 문자가 오는 경우의 수를 빼면 된다. a, a, b, b, b, c, d를 일렬로 나열하는 경우의 수는 7! =420 2!_3! (1, 1, 2, 2), (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 3) Ú (1, 1, 2, 2)인 경우 1, 1, 2, 2를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! =6 2!_2! Û (1, 1, 2, 3)인 경우 양 끝에 서로 같은 문자가 오는 경우는 다음과 같다. Ú 양 끝에 모두 a가 오는 경우 양 끝 사이에 b, b, b, c, d를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같 으므로 1, 1, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! =12 2! Ü (1, 2, 2, 3)인 경우 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 5! =20 3! 4! =12 2! Û 양 끝에 모두 b가 오는 경우 양 끝 사이에 a, a, b, c, d를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같 으므로 Ú~Ü에서 구하는 자연수의 개수는 6+12+12=30 5! =60 2! Ú, Û에서 양 끝에 서로 같은 문자가 오는 경우의 수는 20+60=80 0054 따라서 구하는 경우의 수는 각 자리의 숫자의 합이 8인 경우는 다음과 같다. 420-80=340 (1, 1, 3, 3), (1, 2, 2, 3), (2, 2, 2, 2) 19 Ⅰ. 경우의 수 11 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 11 2023. 9. 12. 오전 10:00 Ú (1, 1, 3, 3)인 경우 Û 2, 2, 2, 3 또는 2, 3, 3, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! _2=4_2=8 3! 1, 1, 3, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! =6 2!_2! Ü 2, 2, 3, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 Û (1, 2, 2, 3)인 경우 4! =6 2!_2! 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 Ú~Ü에서 일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 1인 경우의 수는 4! =12 2! 36+8+6=50 Ü (2, 2, 2, 2)인 경우 일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 2인 경우의 수와 3인 경우의 2, 2, 2, 2를 일렬로 나열하는 경우의 수는 1이다. 수도 같은 방법으로 하면 각각 50이다. Ú~Ü에서 구하는 자연수의 개수는 따라서 구하는 자연수의 개수는 6+12+1=19 3_50=150 0055 120 300000보다 큰 수가 되려면 3, 4 꼴이어야 한다. ………………………………………………………………………………… ➊ Ú 3 꼴인 경우 남은 다섯 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 12 순서가 정해진 순열 0057 ⑤ r, b, m의 순서가 정해져 있으므로 r, b, m을 모두 같은 문자 V 로 생각하여 8개의 문자 c, u, c, u, V, V, e, V를 일렬로 나열한 후, 첫 번째 V는 r, 두 번째 V는 b, 세 번째 V는 m으로 바꾸면 된다. 5! =60 2! 따라서 구하는 경우의 수는 Û 4 꼴인 경우 남은 다섯 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 1, 2, 3, 3, 4를 8! =1680 2!_2!_3! 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 5! =60 2! ………………………………………………………………………………… ➋ Ú, Û에서 구하는 자연수의 개수는 ………………………………………………………………………………… ➌ 배점 ➊ 300000보다 큰 수가 되기 위한 조건 구하기 20% ➋ 3 꼴, 4 꼴의 자연수의 개수 각각 구하기 60% ➌ 조건을 만족시키는 자연수의 개수 구하기 20% 생각하여 1, 1, V, V, 4, 4, V를 일렬로 나열한 후, 첫 번째 V는 2, 두 번째 V는 3, 세 번째 V는 5로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 7! =210 2!_3!_2! 0059 150 일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 1일 때, 나머지 네 자리에 2 와 3이 적어도 하나씩 포함되는 경우는 다음과 같다. t, n을 또 다른 한 문자로 생각하면 모음이 자음보다 앞에 오는 경 우의 수는 1이다. 5개의 모음 a, i, a, i, o를 일렬로 나열하는 경우의 수는 (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 3), (1, 2, 3, 3), 5! =30 2!_2! (2, 2, 2, 3), (2, 3, 3, 3), (2, 2, 3, 3) 4개의 자음 n, m, t, n을 일렬로 나열하는 경우의 수는 Ú ‌1, 1, 2, 3 또는 1, 2, 2, 3 또는 1, 2, 3, 3을 일렬로 나열하는 4! =12 2! 4! _3=12_3=36 2! 360 5개의 모음 a, i, a, i, o를 한 문자로 생각하고, 4개의 자음 n, m, 0056 경우의 수는 ④ 2, 3, 5의 순서가 정해져 있으므로 2, 3, 5를 모두 같은 문자 V로 60+60=120 채점 기준 0058 따라서 구하는 경우의 수는 1_30_12=360 12 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 12 2023. 9. 12. 오전 10:00 0060 ② 2와 4가 적혀 있는 카드끼리 순서가 정해져 있으므로 2, 4를 모두 노란 공 2개, 빨간 공 3개, 파란 공 2개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 같은 문자 a로 생각하고, 1, 3, 5가 적혀 있는 카드끼리도 순서가 7! =210 2!_3!_2! 노란 공을 서로 이웃하게 나열하는 경우의 수는 노란 공 2개를 한 문자 X로 생각하면 X, 빨간 공 3개, 파란 공 2개를 일렬로 나열하 a는 4로 바꾸고 첫 번째 b는 1, 두 번째 b는 3, 세 번째 b는 5로 바 는 경우의 수와 같으므로 꾸면 된다. 6! =60 2!_3! 따라서 구하는 경우의 수는 6! =60 2!_3! 따라서 구하는 경우의 수는 다른 풀이 다른 풀이 6장의 카드를 나열할 여섯 자리 중 2와 4가 적혀 있는 카드를 놓을 빨간 공 3개, 파란 공 2개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 두 자리를 선택하는 경우의 수는 ¤Cª=15 5! =10 3!_2! 1 권 정해져 있으므로 1, 3, 5를 같은 문자 b로 생각하자. 이때 b, a, b, a, b, 6을 일렬로 나열한 후, 첫 번째 a는 2, 두 번째 210-60=150 나머지 네 자리 중 홀수가 적혀 있는 카드를 놓을 세 자리를 선택하 는 경우의 수는 ¢C£=4 ∨``∨``∨``∨``∨``∨ 나머지 한 자리에 6이 적혀 있는 카드를 놓으면 된다. 노란 공이 서로 이웃하지 않도록 ∨이 표시된 6개의 자리 중 2개의 이때 2, 4와 1, 3, 5는 순서가 정해져 있으므로 배열하는 경우의 수 자리를 선택하는 경우의 수는 는 1이다. ¤Cª=15 따라서 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 15_4_1=60 10_15=150 0061 3 0063 m은 t보다 앞에 오므로 m, t를 모두 같은 문자 A로 생각하고, r는 v보다 앞에 오므로 r, v를 모두 같은 문자 B로 생각하여 A, e, A, a, B, e, B, s, e를 일렬로 나열한 후, 첫 번째 A는 m, 두 번째 A는 t로 바꾸고, 첫 번째 B는 r, 두 번째 B는 v로 바꾸면 된다. ② 양 끝에 각각 흰색 깃발을 놓고 그 사이에 흰색 깃발 2개, 파란색 깃발 3개를 일렬로 나열하면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➊ 5! =10 2!_3! 따라서 구하는 경우의 수는 다른 풀이 9! 9_8_7! = =3_7! 2!_2!_3! 2_2_3_2 깃발이 일렬로 놓이는 7개의 자리 중에서 양 끝의 2자리를 제외하 ………………………………………………………………………………… ➋ ∴ a=3 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 고 나머지 5개의 자리 중 파란색 깃발 3개가 놓일 자리를 선택하는 경우의 수와 같으므로 °C£=°C2=10 배점 ➊ ‌m은 t보다 앞에 오고 r는 v보다 앞에 오도록 나열하는 방법 설 명하기 40% ➋ 조건을 만족시키는 경우의 수 구하기 40% ➌ a의 값 구하기 20% 0064 ② 한 개의 주사위를 세 번 던져 나온 눈의 수의 합이 6인 경우는 다음 과 같다. (1, 1, 4), (1, 2, 3), (2, 2, 2) Ú (1, 1, 4)인 경우 13 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 1, 1, 4를 일렬로 나열하는 경우의 같은 것이 있는 순열의 활용 0062 수와 같으므로 ② 3! =3 2! Û (1, 2, 3)인 경우 구하는 경우의 수는 노란 공 2개, 빨간 공 3개, 파란 공 2개를 일렬 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 1, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 로 나열하는 경우의 수에서 노란 공을 서로 이웃하게 일렬로 나열 수와 같으므로 하는 경우의 수를 빼면 된다. 3!=6 Ⅰ. 경우의 수 13 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 13 2023. 9. 12. 오전 10:00 0067 Ü (2, 2, 2)인 경우 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 1 80 조건 ㈎에 의하여 책장에 수학 교과서를 2권 또는 3권 꽂아야 한다. Ú~Ü에서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 Ú 책장에 수학 교과서를 2권 꽂는 경우 3+6+1=10 조건 ㈏에 의하여 책장에 꽂아야 하는 남은 3권은 국어 교과서 2권, 영어 교과서 1권 또는 국어 교과서 1권, 영어 교과서 2권 이다. 국어 교과서 2권, 영어 교과서 1권, 수학 교과서 2권을 일렬로 나열하는 경우의 수는 0065 12 5! =30 2!_2! 국어 교과서 1권, 영어 교과서 2권, 수학 교과서 2권을 일렬로 f(1)+ f(2)+ f(3)=10을 만족시키는 f(1), f(2), f(3)의 값은 나열하는 경우의 수는 다음과 같다. 5! =30 2!_2! (2, 3, 5), (2, 4, 4), (3, 3, 4) 따라서 이때의 경우의 수는 Ú (2, 3, 5)인 경우 함수 f의 개수는 2, 3, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 3!=6 30+30=60 Û 책장에 수학 교과서를 3권 꽂는 경우 조건 ㈏에 의하여 책장에 꽂아야 하는 남은 2권은 국어 교과서 Û (2, 4, 4)인 경우 함수 f의 개수는 2, 4, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 3! =3 2! 1권, 영어 교과서 1권이다. 국어 교과서 1권, 영어 교과서 1권, 수학 교과서 3권을 일렬로 나열하는 경우의 수는 Ü (3, 3, 4)인 경우 함수 f의 개수는 3, 3, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 3! =3 2! 5! =20 3! Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 60+20=80 Ú~Ü에서 구하는 함수 f의 개수는 6+3+3=12 14 최단거리로 가는 경우의 수 0068 0066 16 a, b, c, d가 모두 자연수이므로 조건 ㈎를 만족시키는 네 수는 (1, 1, 1, 4), (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 2)이어야 한다. Ú (1, 1, 1, 4)인 경우 1_1_1_4=4이므로 조건 ㈏를 만족시킨다. ‌이때의 경우의 수는 1, 1, 1, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수와 ② Ú A지점에서 P지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 5! =10 2!_3! Û P지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 3! =3 2!_1! Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 10_3=30 같으므로 4! =4 3! 최단거리로 가는 경우의 수 Û (1, 1, 2, 3)인 경우 1_1_2_3=6이므로 조건 ㈏를 만족시킨다. 이때의 경우의 수는 1, 1, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 4! =12 2! [같은 것이 있는 순열 이용] 오른쪽 그림과 같은 도로망을 따라 A지점에서 B지 점까지 최단거리로 가려면 →, ↑방향으로 각각 3번, 2번 이동해야 하므로 그 경우의 수는 →, →, →, ↑, ↑를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다. 5! =10 3!_2! [합의 법칙 이용] 오른쪽 그림과 같이 합의 법칙을 이용하여 A지점에 서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 구하면 B A ∴ Ü (1, 2, 2, 2)인 경우 1_2_2_2=8이므로 조건 ㈏를 만족시키지 않는다. Ú~Ü에서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 10이다. 4+12=16 1 1 A B 3 6 10 2 3 4 1 1 1 14 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 14 2023. 9. 12. 오전 10:00 0069 ④ 0072 51 Ú A지점에서 P지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 A 3! =3 2!_1! B C 위의 그림과 같이 도로망의 중간 지점을 C라 하자. Û P지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 A지점에서 C지점까지 최단거리로 가려면 ↗, ↘ 방향으로 각각 2 번씩 이동해야 하므로 그 경우의 수는 ↗, ↗, ↘, ↘를 일렬로 나 7! =35 4!_3! 열하는 경우의 수와 같다. P지점에서 Q지점을 지나 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 ∴ 1 권 ………………………………………………………………………………… ➊ 수는 4! =6 2!_2! 4! 3! _ =6_3=18 2!_2! 2!_1! C지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수도 같은 방법으로 따라서 P지점에서 Q지점을 지나지 않고 B지점까지 최단거리로 4! =6 2!_2! 가는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 35-18=17 6_6=36 ………………………………………………………………………………… ➋ 다른 풀이 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 다음 그림과 같이 합의 법칙을 이용하여 최단거리로 가는 경우의 3_17=51 수를 구하면 36이다. ………………………………………………………………………………… ➌ 1 1 6 2 A 6 3 6 우의 수 구하기 6 1 30% ➋ ‌P지점에서 Q지점을 지나지 않고 B지점까지 최단거리로 가는 경 18 6 배점 ➊ A지점에서 P지점까지 최단거리로 가는 경우의 수 구하기 36 B 12 3 1 채점 기준 18 20% ➌ 조건을 만족시키는 경우의 수 구하기 0070 50% ① 구하는 경우의 수는 A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우 의 수에서 A지점에서 P지점을 거쳐서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 빼면 된다. 0073 105 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 가려면 가로, 세로, 높이의 방향으로 각각 4번, 1번, 2번 이동해야 하므로 최단거리로 가는 경우의 수는 A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 7! =105 4!_1!_2! 8! =56 5!_3! 입체도형에서 최단거리로 가는 경우의 수 Ú A지점에서 P지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 5! =10 3!_2! Û P지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 3! =3 2!_1! Ú, Û에서 A지점에서 P지점을 거쳐 B지점까지 최단거리로 가는 오른쪽 그림과 같이 크기가 같은 정육 면체를 쌓아올려서 만든 직육면체에서 정육면체의 모서리를 따라 꼭짓점 A에 서 꼭짓점 B까지 최단거리로 가는 경우 의 수는 (p+q+r)! p!_q!_r! B r개 A q개 p개 경우의 수는 10_3=30 따라서 구하는 경우의 수는 56-30=26 15 0071 12 오른쪽 그림과 같이 세 지점 C, D, E를 B 잡으면 A지점에서 두 지점 P, Q를 모두 지나 B지점까지 최단거리로 가기 위해서 는 A → C → D → E → B로 이동해야 하므로 최단거리로 가는 경우의 수는 2_1_1_ 4! =2_6=12 2!_2! A D P C Q E 최단거리로 가는 경우의 수 - 도로망이 복잡하거나 장애물이 있는 경우 0074 오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q, R를 잡 ⑤ B P 으면 A지점에서 B지점까지 최단거리로 Q 가는 경우는 다음과 같다. A → P → B, A → Q → B, A→R→B A R Ⅰ. 경우의 수 15 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 15 2023. 9. 12. 오전 10:00 Ú A → P → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 7! -1_1-1_1‌=35-1-1 4!_3! 1_1=1 Û A → Q → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 =33 3! 4! _ =3_4=12 1!_2! 3!_1! 다른 풀이 ② Ü A → R → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 1_ 오른쪽 그림과 같이 합의 법칙을 이용하 4! =1_4=4 1!_3! 여 최단거리로 가는 경우의 수를 구하면 33이다. Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 1 1 1 1 2 3 4 4 1 3 6 10 14 3 9 19 33 A 1+12+4=17 B 다른 풀이 ① B 오른쪽 그림과 같이 지나갈 수 없는 길을 점선으로 연결하고 두 점선의 교점을 P라 하면 구하는 경우의 수는 A지점에서 B지 P 점까지 최단거리로 가는 경우의 수에서 A A 지점에서 P지점을 거쳐 B지점까지 최단거 리로 가는 경우의 수를 빼면 된다. 0076 따라서 구하는 경우의 수는 7! 3! 4! _ =35-3_6=17 4!_3! 2!_1! 2!_2! 오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q, R를 1 최단거리로 가는 경우의 수를 구하면 17 1 이다. 1 A A 잡으면 A지점에서 B지점까지 최단거리 다른 풀이 ② 오른쪽 그림과 같이 합의 법칙을 이용하여 53 B 4 7 11 17 3 3 4 6 2 1 2 1 1 1 P 로 가는 경우는 다음과 같다. A → P → B, A → Q → B, Q A→R→B R B ………………………………………………………………………………… ➊ Ú A → P → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 4! 4! _ =6_6=36 2!_2! 2!_2! 0075 ② 오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q, R A 거리로 가는 경우는 다음과 같다. 1_1=1 Q A → P → B, A → Q → B, 4! 4! _ =4_4=16 1!_3! 3!_1! Ü A → R → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 R 를 잡으면 A지점에서 B지점까지 최단 Û A → Q → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➋ P A→R→B B Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 36+16+1=53 Ú A → P → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➌ 3! _1=3_1=3 1!_2! 채점 기준 Û A → Q → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 4! 3! _ =6_3=18 2!_2! 2!_1! Ü A → R → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 4! 3! _ =4_3=12 3!_1! 1!_2! 배점 ➊ A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 방법 설명하기 30% ➋ ‌➊의 각 경우에 대한 경우의 수 각각 구하기 50% ➌ A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수 구하기 20% 다른 풀이 ① 오른쪽 그림과 같이 지나갈 수 없는 길을 Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 점선으로 연결하고 두 점선의 교점을 P, 3+18+12=33 Q A P Q라 하면 구하는 경우의 수는 A지점에서 다른 풀이 ① 오른쪽 그림과 같이 지나갈 수 없는 길 A Q 을 점선으로 연결하고 두 점선의 교점을 우의 수에서 A지점에서 P지점을 거쳐 서 A지점에서 P지점을 거쳐 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수와 A지점에서 P, Q라 하면 구하는 경우의 수는 A지 점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수에 B Q지점을 거쳐 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 빼면 된다. P B B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수와 A지점에서 Q지점을 거 따라서 구하는 경우의 수는 8! 4! 4! _ -1_1‌=70-4_4-1 4!_4! 3!_1! 1!_3! 쳐 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 빼면 된다. =53 16 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 16 2023. 9. 12. 오전 10:00 다른 풀이 ② 오른쪽 그림과 같이 합의 법칙을 이용하 A 여 최단거리로 가는 경우의 수를 구하면 1 53이다. 1 1 2 3 3 6 6 6 4 10 16 22 5 1 15 31 53 0078 B ③ 서로 다른 초콜릿 4개를 2명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경 1 권 1 1 우의 수는 서로 다른 2개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으 므로 ªP¢=2Ý`=16 0077 오른쪽 그림과 같이 네 지점 P, Q, R, S P 를 잡으면 A지점에서 B지점까지 최단 ⑤ 0079 B c와 e를 한 문자 X로 생각하면 X, o, o, k, i를 일렬로 나열하는 Q 경우의 수는 5! =60 2! 호수 거리로 가는 경우는 다음과 같다. A → P → B, A → Q → B, R A A → R → B, A → S → B ④ S 이때 c와 e가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 Ú A → P → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 1_1=1 60_2=120 Û A → Q → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 4! 5! _ =4_5=20 1!_3! 4!_1! Ü A → R → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 5! 4! _ =5_4=20 4!_1! 1!_3! 0080 Ý A → S → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 ① 짝수가 되려면 일의 자리의 수가 짝수이어야 하므로 일의 자리에 1_1=1 올 수 있는 숫자는 0, 2, 4의 3가지이다. Ú~Ý에서 구하는 경우의 수는 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5가지이다. 1+20+20+1=42 백의 자리, 십의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 0, 1, 2, 3, 4, 5 다른 풀이 의 6개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 오른쪽 그림과 같이 합의 법칙을 이용하 1 5 9 13 22 42 여 최단거리로 가는 경우의 수를 구하면 1 4 4 42이다. 1 1 A 3 B ¤Pª=6Û`=36 4 9 20 따라서 구하는 짝수의 개수는 호수 5 11 3_5_36=540 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 0081 ⑤ 구하는 경우의 수는 흰 공 2개, 빨간 공 2개, 검은 공 4개를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 흰 공을 서로 이웃하게 나열하는 경우의 수를 뺀 것과 같다. 흰 공 2개, 빨간 공 2개, 검은 공 4개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 8! =420 2!_2!_4! 흰 공을 서로 이웃하게 나열하는 경우의 수는 흰 공 2개를 하나로 생각하면 7! =105 2!_4! 따라서 구하는 경우의 수는 420-105=315 Ⅰ. 경우의 수 17 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 17 2023. 9. 12. 오전 10:00 다른 풀이 직사각형 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가지 방법에 대하 빨간 공 2개, 검은 공 4개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 여 다음 그림과 같이 3가지의 서로 다른 경우가 존재한다. 6! =15 2!_4! 2 1 1 6 3 ∨◯∨◯∨◯∨◯∨◯∨◯∨ 흰 공이 서로 이웃하지 않도록 ∨이 표시된 7개의 자리 중 2개의 자 4 6 6 5 2 5 3 5 4 1 4 2 3 리를 선택하는 경우의 수는 ∴ a=3_5! ¦Cª=21 부채꼴 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 6가지의 서로 다른 경우가 존재한다. 따라서 구하는 경우의 수는 1 15_21=315 0082 5 3 47 4 2 3 4 4 6 23 꼴이어야 한다. 5 1 4 5 2313보다 작은 수가 되려면 1 꼴, 21 꼴, 22 꼴, 6 6 2 3 3 5 2 Ú 1 꼴인 경우 1 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 1, 2, 3의 3개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 3 £P£=3Ü`=27 6 2 2 2 4 1 1 1 3 6 Û 21 꼴인 경우 십의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 1, 2, 3의 3개 에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 5 6 4 5 ∴ b=6_5! £Pª=3Û`=9 Ü 22 꼴인 경우 ∴ 의 경우와 마찬가지 방법으로 Û b 6_5! = =2 a 3_5! £Pª=3Û`=9 Ý 23 꼴인 경우 2 313보다 작은 수는 2311, 2312의 2개이다. 0085 Ú~Ý에서 구하는 자연수의 개수는 27+9+9+2=47 504 정오각기둥의 윗면과 아랫면은 합동이므로 두 밑면을 색칠하는 경 우의 수는 0083 ③ ¦C2=21 두 밑면에 칠한 색을 제외한 5가지의 색으로 옆면을 색칠하는 경우 f(c)- f(d)=3을 만족시키는 경우는 의 수는 f(c)=4, f(d)=1 또는 f(c)=5, f(d)=2 (5-1)!=4!=24 Ú f(c)=4, f(d)=1인 경우 따라서 구하는 경우의 수는 ‌f(a), f(b)의 값을 정하는 경우의 수는 Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5 21_24=504 의 5개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ‌ °Pª=5Û `=25 Û f(c)=5, f(d)=2인 경우 ‌Ú의 경우와 마찬가지 방법으로 0086 °Pª=5Û`=25 10 Ú, Û에서 구하는 함수의 개수는 짝수는 짝수끼리, 홀수는 홀수끼리 순서가 정해져 있으므로 2개의 25+25=50 짝수 2, 4를 모두 한 문자 A로, 3개의 홀수 1, 3, 5를 모두 한 문자 B로 생각하여 5개의 문자 B, A, B, A, B를 일렬로 나열한 후, 첫 번째, 두 번째 A를 각각 2, 4로, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 B를 각 0084 ② 6명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (6-1)!=5! 각 1, 3, 5로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 5! =10 2!_3! 18 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 18 2023. 9. 12. 오전 10:00 0087 ③ 다른 풀이 구하는 경우의 수는 숫자 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4가 적혀 있는 7장의 카 주어진 조건을 만족시키도록 7개 홀 짝 홀 짝 홀 짝 홀 의 숫자를 일렬로 나열하려면 드를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 숫자 1, 2가 적혀 있는 카드 사이에 카드가 없거나 1장의 카드가 있는 경우의 수를 빼면 된다. 숫자 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4가 적혀 있는 7장의 카드를 일렬로 나열하 에 놓으면 된다. 는 경우의 수는 이때 4개의 숫자 1, 3, 3, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수는 7! =420 2!_3! 4! =12 2! 1 권 오른쪽과 같이 홀수 1, 3, 3, 5는 홀 , 짝수 4, 4, 6은 짝 의 위치 Ú ‌숫자 1, 2가 적혀 있는 카드 사이에 카드가 없는 경우 3개의 숫자 4, 4, 6을 일렬로 나열하는 경우의 수는 ‌ 적혀 있는 카드와 2가 적혀 있는 카드를 하나의 묶음 X로 1이 3! =3 2! 생각하면 X, 3, 3, 4, 4, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 6! =60 2!_3! 12_3=36 ‌ 적혀 있는 카드와 2가 적혀 있는 카드의 자리를 바꾸는 경 1이 우의 수는 2!=2이므로 이때의 경우의 수는 60_2=120 Û 숫자 1, 2가 적혀 있는 카드 사이에 1장의 카드가 있는 경우 ‌ⓐ 사이에 ‌ 있는 카드가 3이 적혀 있는 카드인 경우 0088 1, 2, 3이 적혀 있는 카드를 하나의 묶음 X로 생각하면 ③ X, 3, 4, 4, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허락하여 5개를 택할 때, 1이 세 번 나오 는 경우는 다음과 같다. 5! =20 3! (1, 1, 1, 2, 3), (1, 1, 1, 2, 4), (1, 1, 1, 3, 4), 1이 적혀 있는 카드와 2가 적혀 있는 카드의 자리를 바꾸는 (1, 1, 1, 2, 2), (1, 1, 1, 3, 3), (1, 1, 1, 4, 4) 경우의 수는 2!=2이므로 이때의 경우의 수는 ‌ 1, 1, 2, 3 또는 1, 1, 1, 2, 4 또는 1, 1, 1, 3, 4를 일렬로 나 Ú 1, 20_2=40 ‌ⓑ 사이에 ‌ 있는 카드가 4가 적혀 있는 카드인 경우 열하는 경우의 수는 1, 2, 4가 적혀 있는 카드를 하나의 묶음 X로 생각하면 5! _3=20_3=60 3! X, 3, 3, 4, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ‌ 1, 1, 2, 2 또는 1, 1, 1, 3, 3 또는 1, 1, 1, 4, 4를 일렬로 나 Û 1, 5! =30 2!_2! 열하는 경우의 수는 5! _3=10_3=30 3!_2! 1이 적혀 있는 카드와 2가 적혀 있는 카드의 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2이므로 이때의 경우의 수는 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 30_2=60 60+30=90 ‌ⓐ, ⓑ에서 숫자 1, 2가 적혀 있는 카드 사이에 1장의 카드가 있 는 경우의 수는 40+60=100 Ú, Û에서 숫자 1, 2가 적혀 있는 카드 사이에 카드가 없거나 1장 의 카드가 있는 경우의 수는 0089 ⑤ 120+100=220 숫자 3, 3, 4, 4, 4가 적혀 있는 5장의 카드를 일렬로 나열하는 경 따라서 구하는 경우의 수는 우의 수는 420-220=200 5! =10 2!_3! 3 3 4 4 4 0090 주어진 조건을 만족시키는 집합 U, A, B 1이 적혀 있는 카드와 2가 적혀 있는 카드 사이에 두 장 이상의 카 를 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림 드가 있도록 나열하는 경우의 수는 ∨이 표시된 6개의 자리 중 서 과 같다. ④ A U B 로 다른 2개의 자리에 숫자 1, 2가 적혀 있는 카드를 배열하는 경우 이때 전체집합 U의 원소의 개수가 6이므로 의 수에서 ∨이 연속으로 표시된 2개의 자리에 숫자 1, 2가 적혀 있 집합 U의 6개의 각 원소가 두 집합 A, B 중 한 집합의 원소이어야 는 카드를 배열하는 경우의 수를 빼면 되므로 한다. ¤Pª-5_2=30-10=20 따라서 두 집합 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수는 서로 다른 2개 따라서 구하는 경우의 수는 에서 6개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 10_20=200 ªP¤=2ß`=64 Ⅰ. 경우의 수 19 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 19 2023. 9. 12. 오전 10:00 0091 66 Ú, Û에서 치역의 원소의 개수가 3이 아닌 함수 f의 개수는 3+42=45 Ú A지점에서 P지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 따라서 구하는 함수의 개수는 4! =6 2!_2! 81-45=36 Û P지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 6! =20 3!_3! P지점에서 Q지점을 지나 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 0093 ③ 먼저 C를 제외한 5명의 학생이 A, B가 이웃하도록 원탁에 둘러앉 3! 3! _ =3_3=9 2!_1! 1!_2! 는 경우의 수를 구해 보자. 따라서 P지점에서 Q지점을 지나지 않고 B지점까지 최단거리로 A, B를 한 사람으로 생각하면 4명의 학생이 원탁에 둘러앉는 경우 가는 경우의 수는 의 수는 20-9=11 (4-1)!=3!=6 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 A, B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2이므로 A, B가 이 6_11=66 웃하도록 둘러앉는 경우의 수는 6_2=12 이때 C가 앉을 수 있는 자리는 B의 옆을 제외한 세 곳이다. 0092 ③ 따라서 구하는 경우의 수는 12_3=36 { f(x)|x<X}=Y이므로 함수 f의 치역과 공역이 일치한다. 다른 풀이 따라서 f(1), f(2), f(3), f(4)의 값은 6, 7, 8을 적어도 하나씩 조건 ㈎에서 A와 B가 이웃하므로 A, B를 한 사람으로 생각하면 가져야 한다. 5명의 학생이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 Ú f(1), f(2), f(3), f(4)의 값 중 6이 2개인 경우 (5-1)!=4!=24 함수 f의 개수는 6, 6, 7, 8을 일렬로 나열하는 경우의 수와 이때 A와 B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 같으므로 2!=2 4! =12 2! 따라서 조건 ㈎를 만족시키는 경우의 수는 Û f(1), f(2), f(3), f(4)의 값 중 7이 2개인 경우 함수 f의 개수는 6, 7, 7, 8을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 24_2=48 조건 ㈎를 만족시키지만 조건 ㈏를 만족시키지 않는 경우, 즉 두 학 생 A, B가 이웃하고, 두 학생 B, C도 이웃하도록 원탁에 둘러앉는 경우는 다음 그림과 같이 2가지이다. 4! =12 2! A Ü f(1), f(2), f(3), f(4)의 값 중 8이 2개인 경우 A B B C C 함수 f의 개수는 6, 7, 8, 8을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 4! =12 2! 이때 6명의 학생 중 세 학생 A, B, C를 제외한 3명의 학생을 배열 Ú~Ü에서 구하는 함수의 개수는 하는 경우의 수는 3!=6이므로 조건 ㈎를 만족시키지만 조건 ㈏를 12+12+12=36 만족시키지 않는 경우의 수는 다른 풀이 구하는 함수의 개수는 X에서 Y로의 함수의 개수에서 치역의 원소 의 개수가 3이 아닌 함수의 개수를 빼면 된다. X에서 Y로의 함수의 개수는 Y의 원소 6, 7, 8의 3개에서 4개를 2_6=12 따라서 구하는 경우의 수는 48-12=36 택하는 중복순열의 수와 같으므로 £P¢=3Ý`=81 Ú 치역의 원소의 개수가 1인 경우 ‌함수 f의 치역이 {6}, {7}, {8}인 경우이므로 0094 함수 f의 개수는 3 가운데 정사각형을 색칠하는 경우의 수는 Û 치역의 원소의 개수가 2인 경우 ④ »CÁ=9 ‌함수 f의 치역이 {6, 7}, {6, 8}, {7, 8}인 경우이므로 가운데 정사각형을 제외한 나머지 8개의 정사각형을 색칠하는 경 함수 f의 개수는 우의 수는 3_(ªP¢-2)=3_(2Ý`-2)=42 (8-1)!=7! 20 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 20 2023. 9. 12. 오전 10:00 이때 각 경우에 대하여 다음 그림과 같이 2가지의 서로 다른 경우 가 존재한다. 0096 328 P 가은이와 서후가 동시에 출발하여 ③ ④ ⑨ ① ⑤ ⑧ ⑦ ⑥ ⑨ ② ③ ⑧ ① ④ ⑦ ⑥ ⑤ 서후가 만날 수 있는 지점은 오른쪽 B Q 같은 속력으로 이동하므로 가은이와 A 1 R 권 ② 그림의 P지점, Q지점, R지점이다. 따라서 구하는 경우의 수는 Ú 가은이와 서후가 P지점에서 만나는 경우 9_7!_2=18_7! ‌가은이가 A → P → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 ∴ a=18 4! _1=6_1=6 2!_2! 서후가 B → P → A로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 1_ 4! =1_6=6 2!_2! 따라서 이때의 경우의 수는 6_6=36 Û 가은이와 서후가 Q지점에서 만나는 경우 가은이가 A → Q → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 0095 ① 7개의 문자를 일렬로 나열할 때, 양 끝에 모두 a가 오지 않는 경우 는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 4! 4! _ =4_4=16 3!_1! 3!_1! 서후가 B → Q → A로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 b  b, c  c, b  c, c  b 4! 4! _ =4_4=16 3!_1! 3!_1! Ú b  b 꼴인 경우 따라서 이때의 경우의 수는 ‌ 2개의 b를 제외한 5개의 문자 a, a, c, c, c를 일렬로 나열하는 16_16=256 Ü 가은이와 서후가 R지점에서 만나는 경우 경우의 수는 5! ‌ =10 2!_3! 가은이가 A → R → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 1_ Û c  c 꼴인 경우 4! =1_6=6 2!_2! ‌2개의 c를 제외한 5개의 문자 a, a, b, b, c를 일렬로 나열하는 서후가 B → R → A로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 경우의 수는 4! _1=6_1=6 2!_2! 5! ‌ =30 2!_2! 따라서 이때의 경우의 수는 ‌이때 2개의 b가 이웃하는 경우의 수를 빼야 한다. 6_6=36 2개의 b를 한 문자 X로 생각하여 4개의 문자 a, a, X, c를 일 Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 렬로 나열하는 경우의 수는 36+256+36=328 4! ‌ =12 2! ‌따라서 이때의 경우의 수는 ‌ 30-12=18 Ü b  c 꼴인 경우 ‌ c를 하나씩 제외한 5개의 문자 a, a, b, c, c를 일렬로 나열 b와 0097 하는 경우의 수는 Ú 얻은 네 점수가 3, 1, 0, 0일 때 5! ‌ =30 2!_2! ‌3, 1의 눈이 각각 한 번씩 나오고, 4 이상의 눈이 두 번 나오는 ‌이때 2개의 b가 이웃하는 경우, 즉 bb  c 꼴인 경우의 수를 빼야 한다. a, a, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! ‌ =6 2!_2! ‌ 1, 0, 0을 일렬로 나열하는 경우의 수는 3, 4! =12 2! 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 12_9=108 30-6=24 Û 얻은 네 점수가 2, 2, 0, 0일 때 Ý c  b 꼴인 경우 ‌ 경우와 마찬가지이므로 이때의 경우의 수는 24이다. Ü의 10+18+24+24=76 경우이다. 4‌ 이상의 눈이 두 번 나오는 경우의 수는 3_3=9이므로 따라서 이때의 경우의 수는 Ú~Ý에서 구하는 경우의 수는 ⑤ 2의 눈이 두 번 나오고, 4 이상의 눈이 두 번 나오는 경우이다. 2, 2, 0, 0을 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! =6 2!_2! Ⅰ. 경우의 수 21 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 21 2023. 9. 12. 오전 10:00 4 이상의 눈이 두 번 나오는 경우의 수는 3_3=9이므로 이때 B와 C가 같은 층에서 내리는 경우의 수는 B와 C를 한 묶음 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 으로 보면 되므로 집합 {A, B}에서 집합 {2, 3, 4, 5, 6, 7}로의 6_9=54 함수의 개수와 같다. Ü 얻은 네 점수가 2, 1, 1, 0일 때 ∴ ¤Pª=6Û`=36 ‌2의 눈이 한 번, 1의 눈이 두 번 나오고, 4 이상의 눈이 한 번 나 ………………………………………………………………………………… ➋ 오는 경우이다. 따라서 구하는 경우의 수는 2, 1, 1, 0을 일렬로 나열하는 경우의 수는 216-36=180 4! =12 2! ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 4 이상의 눈이 한 번 나오는 경우의 수는 3이므로 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 12_3=36 Ý 얻은 네 점수가 1, 1, 1, 1일 때 배점 ➊ 3명의 학생이 2층부터 7층까지 내리는 경우의 수 구하기 40% ➋ B와 C가 같은 층에서 내리는 경우의 수 구하기 40% ➌ 조건을 만족시키는 경우의 수 구하기 20% ‌1의 눈이 네 번 나오는 경우이므로 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수 는 1이다. Ú~Ý에서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 108+54+36+1=199 0098 300 구하는 경우의 수는 d, i, s, m, i, s, s를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 d와 m이 이웃하도록 나열하는 경우의 수를 빼면 된다. d, i, s, m, i, s, s를 일렬로 나열하는 경우의 수는 7! =420 2!_3! ………………………………………………………………………………… ➊ d와 m을 한 문자 X로 생각하면 X, i, s, i, s, s를 일렬로 나열하 는 경우의 수는 0100 ④ 1계단씩 오르는 횟수를 x, 2계단씩 오르는 횟수를 y라 하면 x+y=9, x+2y=15 6! =60 2!_3! ∴ x=3, y=6 이때 d와 m이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2이므로 d와 따라서 구하는 경우의 수는 x, x, x, y, y, y, y, y, y를 일렬로 나 m이 이웃하도록 나열하는 경우의 수는 열하는 경우의 수와 같으므로 60_2=120 9! =84 3!_6! ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 구하는 경우의 수는 420-120=300 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ d, i, s, m, i, s, s를 일렬로 나열하는 경우의 수 구하기 40% ➋ d와 m이 이웃하도록 나열하는 경우의 수 구하기 40% ➌ d와 m이 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수 구하기 20% 0101 ① 네 개의 숫자 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허락하여 만들 수 있는 세 자리 자연수 중 3의 배수가 되는 경우는 다음과 같다. (1, 2, 3), (2, 3, 4), (1, 1, 4), (1, 4, 4), 0099 180 구하는 경우의 수는 3명의 학생이 2층부터 7층까지 6개 층에 내리 는 경우의 수에서 B와 C가 같은 층에서 내리는 경우의 수를 빼면 된다. 3명의 학생이 2층부터 7층까지 6개 층에 내리는 경우의 수는 집합 {A, B, C}에서 집합 {2, 3, 4, 5, 6, 7}로의 함수의 개수와 같으 (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4) Ú (1, 2, 3), (2, 3, 4)인 경우의 수는 2_3!=12 Û (1, 1, 4), (1, 4, 4)인 경우의 수는 2_ 3! =2_3=6 2! Ü (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4)인 경우의 수는 111, 222, 333, 444의 4이다. 므로 ¤P£=6Ü`=216 Ú~Ü에서 3의 배수의 개수는 ………………………………………………………………………………… ➊ 12+6+4=22 22 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 22 2023. 9. 12. 오전 10:00 0102 ⑤ 0104 504 1부터 9까지의 자연수 중에서 서로 다른 2개의 숫자를 선택하는 경 (짝수, 짝수), (홀수, 홀수)이어야 한다. 우의 수는 Ú 천의 자리의 수와 십의 자리의 수가 모두 짝수인 경우 »Cª=36 ‌천의 자리, 십의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 2, 4의 2개에 선택된 2개의 숫자를 a, b라 하면 네 자리의 비밀번호를 만들기 위 서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 하여 a, b를 사용하는 경우는 다음과 같다. ‌ ªPª=2Û `=4 (a, b, b, b), (a, a, b, b), (a, a, a, b) ‌백의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5의 Ú a, b, b, b를 일렬로 나열하는 경우의 수는 5개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 1 권 천의 자리의 수와 십의 자리의 수의 합이 짝수가 되려면 두 수가 4! =4 3! ‌ °Pª=5Û `=25 Û a, a, b, b를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ‌따라서 이때의 경우의 수는 4! =6 2!_2! ‌ 4_25=100 Û 천의 자리의 수와 십의 자리의 수가 모두 홀수인 경우 ‌천의 자리, 십의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 1, 3, 5의 3개 에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 Ü a, a, a, b를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! =4 3! ‌ £Pª=3Û `=9 따라서 구하는 비밀번호의 개수는 ‌백의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5의 36_(4+6+4)=504 5개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 다른 풀이 ‌ °Pª=5Û `=25 1부터 9까지의 자연수 중에서 서로 다른 2개의 숫자를 선택하는 경 ‌따라서 이때의 경우의 수는 우의 수는 ‌ 9_25=225 »Cª=36 Ú, Û에서 구하는 네 자리 자연수의 개수는 선택된 2개의 숫자를 a, b라 하면 a, b를 사용하여 만들 수 있는 네 100+225=325 자리 자연수의 개수는 ªP¢=2Ý`=16 이때 a만을 사용하거나 b만을 사용하여 만든 네 자리 자연수는 제 0103 ② 외해야 하므로 구하는 비밀번호의 개수는 36_(16-2)=504 f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=0을 만족시키는 f(1), f(2), f(3), f(4)의 값은 다음과 같다. (0, 0, 0, 0), (-1, 0, 0, 1), (-1, -1, 0, 2), (-1, -1, 1, 1) Ú (0, 0, 0, 0)인 경우 f(1), f(2), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 1이다. Û (-1, 0, 0, 1)인 경우 ‌f(1), f(2), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 -1, 0, 0, 1을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 4! =12 2! 0105 ① 숫자 1이 적혀 있는 상자에 넣는 공에 따라 조건 ㈏를 만족시키는 경우를 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다. Ú 숫자 1이 적혀 있는 상자에 문자 A가 적혀 있는 공을 넣는 경우 Ü (-1, -1, 0, 2)인 경우 ‌f(1), f(2), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 ‌ 문자 B, B, C가 각각 적혀 있는 공을 같은 문자 X가 적 3개의 -1, -1, 0, 2를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 혀 있는 공이라 하자. 4! =12 2! ‌‌5개의 문자 X, X, X, D, D를 일렬로 나열하는 경우의 수는 5! =10 3!_2! Ý (-1, -1, 1, 1)인 경우 ‌f(1), f(2), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 ‌이때 3개의 문자 B, B, C를 왼쪽부터 순서대로 B, B, C 또는 -1, -1, 1, 1을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 B, C, B로 나열하는 경우의 수가 2이므로 이때의 경우의 수는 4! =6 2!_2! ‌ 10_2=20 Ú~Ý에서 f(1), f(2), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 1+12+12+6=31 한편, f(5)의 값이 될 수 있는 것은 -1, 0, 1, 2의 4가지이다. Û 숫자 1이 적혀 있는 상자에 문자 B가 적혀 있는 공을 넣는 경우 ‌‌5개의 문자 A, B, C, D, D를 일렬로 나열하는 경우의 수는 5! =60 2! 따라서 구하는 함수 f의 개수는 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 31_4=124 20+60=80 Ⅰ. 경우의 수 23 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 23 2023. 9. 12. 오전 10:00 0106 64 조건 ㈐에서 AC;BC;CC={7, 8}이므로 0108 (A'B'C) ={7, 8} Q£을 잡으면 A지점에서 출발하여 따라서 주어진 조건을 만족시키는 집합 U, A, B, C를 벤다이어그 P지점까지 가기 위해서는 QÁ지점 램으로 나타내면 다음 그림과 같다. 또는 Qª지점 중 한 지점을 지나야 A ㈀ 7 8 C 2 3 ㈁ QÁ 오른쪽 그림과 같이 세 지점 QÁ, Qª, C U ⑤ 하고, P지점에서 출발하여 B지점까 P Q£ Qª A B B 지 가기 위해서는 Qª지점 또는 Q£지점 중 한 지점을 지나야 한다. ㈂ 따라서 A지점에서 출발하여 P지점을 지나 B지점으로 갈 때, 한 번 지난 도로는 다시 지나지 않으면서 최단거리로 가는 경우는 다 위의 그림에서 ㈀, ㈁, ㈂에 1, 4, 5, 6을 나누어 넣는 경우의 수는 £P¢=3Ý`=81 이때 집합 B가 공집합인 경우의 수는 ㈀, ㈁에 1, 4, 5, 6을 나누어 넣는 경우의 수와 같으므로 음과 같다. A → QÁ → P → Qª → B, A → QÁ → P → Q£ → B, A → Qª → P → Q£ → B Ú A → QÁ → P → Qª → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 4! 4! _1_1_1_ =4_6=24 1!_3! 2!_2! ªP¢=2Ý`=16 또한 B={1, 4, 5, 6}인 경우 A={2, 3}, C={2, 3}이므로 Û A → QÁ → P → Q£ → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 A=C가 되어 조건을 만족시키지 않는다. 4! 5! _1_1_ =4_10=40 1!_3! 2!_3! 따라서 구하는 순서쌍 (A, B, C)의 개수는 Ü A → Qª → P → Q£ → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 81-(16+1)=64 3! 5! _1_1_1_ =3_10=30 1!_2! 2!_3! 드모르간의 법칙 Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 ⑴ (A'B)C=AC;BC ⑵ (A;B)C=AC'BC 0107 24+40+30=94 ⑤ 조건 ㈎를 만족시키려면 한 접시에는 빵을 2개 담고, 나머지 세 접 시에는 빵을 1개씩 담아야 한다. 0109 ④ 한 접시에 담을 2개의 빵을 선택하는 경우의 수는 조건 ㈎에 의하여 f(3)+ f(4)=5 또는 f(3)+ f(4)=10이고 조 °Cª=10 건 ㈏, ㈐에 의하여 f(3)+1, f(4)+6이므로 다음과 같이 경우를 2개의 빵이 담긴 접시를 A, 1개의 빵이 담긴 세 접시를 각각 B, C, 나눌 수 있다. D라 하자. Ú f(3)=2, f(4)=3인 경우 Ú 접시 A에 사탕을 담지 않는 경우 f(1)= f(2)=1이고 ‌접시 B, C, D 중 2개에 사탕을 2개씩 담고 나머지 접시에 사탕 f(5), f(6)의 값이 될 수 있는 것은 4, 5, 6이므로 1개를 담는 경우의 수는 함수 f의 개수는 ‌ £Cª=3 1_£Pª=1_32=9 Û 접시 A에 사탕 1개를 담는 경우 ‌ⓐ 접시 ‌ B, C, D 중 2개에 사탕을 2개씩 담는 경우의 수는 ‌£Cª=3 Û f(3)=3, f(4)=2인 경우 f(1), f(2)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2이고 f(5), f(6)의 값이 될 수 있는 것은 3, 4, 5, 6이므로 ‌ⓑ ‌접시 B, C, D 중 2개에 사탕을 1개씩 담고 나머지 접시에 사탕 2개를 담는 경우의 수는 함수 f의 개수는 ªPª_¢Pª=2Û`_4Û`=64 Ü f(3)=4, f(4)=1인 경우 ‌ £Cª=3 ‌ⓐ, ⓑ에서 접시 A에 사탕 1개를 담는 경우의 수는 f(1), f(2)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3이고 ‌ 3+3=6 f(5), f(6)의 값이 될 수 있는 것은 2, 3, 4, 5, 6이므로 Ú, Û에서 접시 A, B, C, D에 사탕을 담는 경우의 수는 함수 f의 개수는 3+6=9 £Pª_5Pª=3Û`_5Û`=225 한편, 접시 A, B, C, D를 원 모양의 식탁에 놓는 경우의 수는 Ý f(3)=5, f(4)=5인 경우 (4-1)!=3!=6 f(1), f(2)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4이고 따라서 구하는 경우의 수는 f(5)= f(6)=6이므로 함수 f의 개수는 10_9_6=540 ¢Pª_1=4Û`_1=16 24 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 24 2023. 9. 12. 오전 10:00 Û 상자 B에 넣는 마카롱의 개수가 3인 경우 Þ f(3)=6, f(4)=4인 경우 f(1), f(2)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4, 5이고 상자 B에 넣을 마카롱을 고르는 경우의 수는 f(5), f(6)의 값이 될 수 있는 것은 5, 6이므로 ¤C£=20 함수 f의 개수는 남은 마카롱 3개를 상자 A, C에 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는 A, C의 2개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ªP£=2Ü`=8 9+64+225+16+100=414 이때 상자 A에 넣는 마카롱의 개수가 0인 경우를 제외하면 1 권 Pª_ªPª=5Û`_2Û`=100 5 Ú~Þ에서 구하는 함수 f의 개수는 8-1=7 0110 216 1부터 7까지의 자연수 중에서 홀수는 1, 3, 5, 7의 4개이고 짝수는 따라서 상자 B에 넣는 마카롱의 개수가 3인 경우의 수는 20_7=140 Ü 상자 B에 넣는 마카롱의 개수가 4인 경우 2, 4, 6의 3개이다. 상자 B에 넣을 마카롱을 고르는 경우의 수는 Ú 짝수가 1개인 경우 ¤C¢=¤Cª=15 짝수 2, 4, 6의 3개 중에서 1개를 택하는 경우의 수는 남은 마카롱 2개를 상자 A, C에 남김없이 나누어 넣는 경우의 £CÁ=3 수는 A, C의 2개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 짝수 1개와 홀수 1, 3, 5, 7을 원형으로 배열하는 경우의 수는 ªPª=2Û`=4 (5-1)!=4!=24 이때 상자 A에 넣는 마카롱의 개수가 0인 경우를 제외하면 따라서 이때의 경우의 수는 4-1=3 3_24=72 따라서 상자 B에 넣는 마카롱의 개수가 4인 경우의 수는 Û 짝수가 2개인 경우 15_3=45 짝수 2, 4, 6의 3개 중에서 2개를 택하는 경우의 수는 Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 £Cª=3 225+140+45=410 홀수 1, 3, 5, 7의 4개 중에서 3개를 택하는 경우의 수는 ¢C£=4 짝수 2개와 홀수 3개를 원형으로 배열할 때 홀 짝수가 적혀 있는 공끼리는 서로 이웃하지 않게 배열하는 경우의 수는 홀수 3개를 원형 으로 배열하는 경우의 수가 (3-1)!=2!=2 홀 홀 이고, ∨이 표시된 3개의 자리 중 2개의 자 리에 짝수를 배열하는 경우의 수가 £Pª=6이므로 2_6=12 따라서 이때의 경우의 수는 3_4_12=144 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 72+144=216 짝수가 3개인 경우는 짝수가 적혀 있는 공끼리 서로 이웃하지 않게 배열할 수 없으므로 짝수를 3개 사용할 수 없다. 0111 ① Ú 상자 B에 넣는 마카롱의 개수가 2인 경우 상자 B에 넣을 마카롱을 고르는 경우의 수는 ¤Cª=15 남은 마카롱 4개를 상자 A, C에 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는 A, C의 2개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ªP¢=2Ý`=16 이때 상자 A에 넣는 마카롱의 개수가 0인 경우를 제외하면 16-1=15 따라서 상자 B에 넣는 마카롱의 개수가 2인 경우의 수는 15_15=225 Ⅰ. 경우의 수 25 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 25 2023. 9. 12. 오전 10:00 02 중복조합과 이항정리 01 ⑴ 20 ⑵ 15 ⑴ 숫자 ‌ 1, 2, 3, 4에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 경우의 수는 중복조합의 계산 ⑴ 15 중복조합 서로 다른 4개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¢H£=¢+3-1C£=¤C£=20 ⑵ 56 ⑵ 같은 ‌ 종류의 구슬 4개를 세 학생에게 남김없이 나누어 주는 경 ⑴ °Hª =°+2-1Cª=¤Cª=15 우의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같 ⑵ ¢H°=¢+5-1C°=¥C°=¥C£=56 으므로 £H¢=£+4-1C¢=¤C¢=¤Cª=15 0112 ① H¢=n+4-1C¢=n+3C¢이므로 (n+3)(n+2)(n+1)n =15 4_3_2_1 0116 ⑤ 케이크 4조각을 서로 다른 3개의 접시에 나누어 담는 경우의 수는 n 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H¢=¤C¢=¤Cª=15 n(n+1)(n+2)(n+3)=3_4_5_6 귤 3개를 서로 다른 3개의 접시에 나누어 담는 경우의 수는 서로 다 ∴ n=3 른 3개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H£=°C£=°Cª=10 따라서 구하는 경우의 수는 0113 ③ ¦H£=¦+3-1C£=»C£=nCr이므로 15×10=150 0117 n=9, r=3 (∵ r<4) ∴ n+r=9+3=12 ② 오렌지 주스, 포도 주스, 딸기 주스 중에서 5개의 주스를 구매하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같 으므로 0114 ④ Hª=n+2-1Cª=n+1Cª=»Cª이므로 n 0118 n+1=9 ∴ n=8 다른 풀이 Hª=n+2-1Cª=n+1Cª= n £H°=¦C°=¦Cª=21 ③ 3명의 후보가 출마한 선거에서 10명의 유권자가 각각 한 명의 후보 n(n+1) 이므로 2 에게 무기명으로 투표하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 10개를 n(n+1) =»Cª=36 2 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £HÁ0=12CÁ0=12Cª=66 n(n+1)=72=8×9 ∴ n=8 0119 ④ 숫자 4가 1개 이하가 되어야 하므로 숫자 4를 택하지 않거나 1개 0115 5 택해야 한다. Ú 숫자 4를 택하지 않는 경우 ¢Hr=¢+r-1Cr=£+rCr=¦C£=¦C¢이므로 4 를 제외한 나머지 3개의 숫자 1, 2, 3 중에서 중복을 허락하여 r=4 ………………………………………………………………………………… ➊ ∴ ªHr‌=ªH¢=ª+4-1C¢ 5개를 택하면 되므로 £H°=¦C°=¦Cª=21 Û 숫자 4를 1개 택하는 경우 =°C¢=°CÁ=5 ………………………………………………………………………………… ➋ 채점 기준 배점 제외한 나머지 3개의 숫자 1, 2, 3 중에서 중복을 허락하여 4를 4개를 택하면 되므로 £H¢=¤C¢=¤Cª=15 ➊ r의 값 구하기 50% Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 ➋ ªHr의 값 구하기 50% 21+15=36 26 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 26 2023. 9. 12. 오전 10:00 0120 630 0123 ③ 연필 3자루를 3명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 다항식 (a+b+c)r의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개의 문 3개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 자 a, b, c에서 r개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H£=°C£=°Cª=10 £Hr=21 ………………………………………………………………………………… ➊ 볼펜 5자루를 3명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 (2+r)(1+r) £+r-1Cr=ª+rCr=ª+rCª= =21 2 3개에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 (r+1)(r+2)=42=6_7 £H°=¦C°=¦Cª=21 ∴ r=5 권 1 ………………………………………………………………………………… ➋ 사인펜 1자루를 3명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 3이다. ………………………………………………………………………………… ➌ 따라서 구하는 경우의 수는 04 10_21_3=630 ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 배점 중복조합 - ‘적어도’의 조건이 있는 경우 0124 ① ➊ 연필 3자루를 나누어 주는 경우의 수 구하기 30% 세 종류의 필기구를 각각 1자루씩 선택한 후, 세 종류의 필기구 중 ➋ 볼펜 5자루를 나누어 주는 경우의 수 구하기 30% 에서 중복을 허락하여 4자루를 선택하면 된다. ➌ 사인펜 1자루를 나누어 주는 경우의 수 구하기 20% 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복 ➍ 조건을 만족시키는 경우의 수 구하기 20% 조합의 수와 같으므로 £H¢=¤C¢=¤Cª=15 03 중복조합 - 다항식의 전개식에서 서로 다른 항의 개수 0125 ④ 4명의 학생에게 각각 꽃을 1송이씩 먼저 나누어 준 후, 남은 꽃 6송 이를 중복을 허락하여 4명에게 나누어 주면 된다. 0121 ⑤ 다항식 (a+b+c+d)Ü`의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 4개 의 문자 a, b, c, d에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 6개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로 ¢H¤=»C¤=»C£=84 ¢H£=¤C£=20 0126 ③ A, B, C에게 각각 탁구공을 2개씩 먼저 나누어 준 후, 남은 탁구 0122 60 (a+b+c)4과 (x+y)3에 서로 같은 문자가 없으므로 각각의 전개 식의 항을 곱하면 모두 서로 다른 항이 된다. (a+b+c)4의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개의 문자 a, b, 공 6개를 중복을 허락하여 3명에게 나누어 주면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 6개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로 £H¤=¥C¤=¥Cª=28 c에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ‌H4=6C4=6C2=15 3 (x+y)3의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 2개의 문자 x, y에 서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ‌H3=4C3=4 2 따라서 구하는 서로 다른 항의 개수는 15_4=60 0127 60 3명의 학생에게 불고기 피자와 치즈 피자를 각각 한 조각 이상씩 나누어 주어야 하므로 3명의 학생에게 불고기 피자와 치즈 피자를 각각 한 조각씩 먼저 나누어 준 후, 남은 불고기 피자 3조각과 치즈 피자 2조각을 3명의 학생에게 나누어 주면 된다. ………………………………………………………………………………… ➊ (a+b+c)4을 전개할 때 생기는 항을 kapbqcr`(k는 상수)으로 나타내면 p+q+r=4 (단, p, q, r는 음이 아닌 정수이다.) 즉, (a+b+c)Ý`의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 방정식 p+q+r=4의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. 남은 불고기 피자 3조각을 3명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수 는 서로 다른 3개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H£=°C£=°Cª=10 ………………………………………………………………………………… ➋ Ⅰ. 경우의 수 27 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 27 2023. 9. 12. 오전 10:00 남은 치즈 피자 2조각을 3명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 노란색 카드가 1장이므로 3가지 색의 카드를 각각 한 장 이상 받는 학생은 £Hª=¢Cª=6 1명이다. ………………………………………………………………………………… ➌ 따라서 구하는 경우의 수는 10×6=60 ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 05 배점 ➊ ‌3명의 학생에게 불고기 피자와 치즈 피자를 각각 한 조각 이상씩 20% 중복조합 - 방정식의 해의 개수 ➋ 남은 불고기 피자를 나누어 주는 경우의 수 구하기 30% 0130 ➌ 남은 치즈 피자를 나누어 주는 경우의 수 구하기 30% x+y+z=7을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z) ➍ 조건을 만족시키는 경우의 수 구하기 20% 의 개수는 3개의 문자 x, y, z에서 7개를 뽑는 중복조합의 수와 같 나누어 주는 방법 설명하기 ② 으므로 m=£H¦=»C¦=»Cª=36 x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면 0128 13 자두, 복숭아 두 종류의 과일을 먼저 1개씩 선택한 후, 사과, 자두, 복숭아 세 종류의 과일 중에서 중복을 허락하여 6개를 더 선택하면 된다. 이때 사과는 1개 이하로 선택해야 하므로 사과를 선택하지 않거나 1개를 선택해야 한다. (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=7 (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ x'+y'+z'=4 따라서 x+y+z=7을 만족시키는 양의 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x'+y'+z'=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍 (x', y', z')의 개수와 같으므로 n=£H¢=¤C¢=¤Cª=15 Ú 사과를 선택하지 않는 경우 ‌자두, 복숭아 두 종류의 과일 중에서 중복을 허락하여 6개를 선 ∴ m+n=36+15=51 택하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 6개를 택하는 중복조합 의 수와 같으므로 0131 ‌ ªH¤=¦C¤=¦CÁ=7 Û 사과를 1개 선택하는 경우 ‌자두, 복숭아 두 종류의 과일 중에서 중복을 허락하여 5개를 선 택하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 5개를 택하는 중복조합 35 방정식 x+y+z+w=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z, w 의 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 4개의 문자 x, y, z, w에서 4개 를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로 의 수와 같으므로 H4=7C4=7C3=35 ‌ ªH°=¤C°=¤CÁ=6 4 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 7+6=13 0132 ② x=x'-1, y=y'+1, z=z'+2로 놓으면 0129 ③ (x'-1)+(y'+1)+(z'+2)=8 세 명의 학생 중 3가지 색의 카드를 각각 한 장 이상 받을 학생을 선택하는 경우의 수는 ∴ x'+y'+z'=6 (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) CÁ=3 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x'+y'+z'=6을 만족시 먼저 선택된 학생에게 3가지 색의 카드를 각각 한 장씩 준 후, 남은 키는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍 (x', y', z')의 개수와 같 3 빨간색 카드 3장, 파란색 카드 1장을 세 명의 학생에게 나누어 주 면 된다. 으므로 £H¤=¥C¤=¥Cª=28 빨간색 카드 3장을 세 명에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 3 개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 H3=5C3=5C2=10 파란색 카드 1장을 세 명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 0133 CÁ=3 x+y+z+3w=9에서 x+y+z=9-3w 따라서 구하는 경우의 수는 양의 정수 x, y, z에 대하여 x+y+z¾3이므로 3_10_3=90 9-3w¾3 3 3 11 28 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 28 2023. 9. 12. 오전 10:00 ∴ wÉ2 이때 순서쌍 (c, d, e)의 개수는 c'+d'+e'=4를 만족시키는 순서 이때 w는 양의 정수이므로 쌍 (c', d', e')의 개수와 같으므로 £H¢=¤C¢=¤Cª=15 ………………………………………………………………………………… ➊ 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 Ú w=1일 때 2_15=30 1 권 w=1 또는 w=2 ‌ x+y+z=6이므로 x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면 (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=6 (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ x'+y'+z'=3 0135 210 ‌이때 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x'+y'+z'=3을 만족시키는 조건 ㈎에 의하여 네 자연수 a, b, c, d 중 짝수가 2개이어야 하므 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍 (x', y', z')의 개수와 같으 로 a, b, c, d 중 짝수가 되는 2개를 선택하는 경우의 수는 므로 ¢Cª=6 £H£=°C£=°Cª=10 a, b, c, d 중 두 짝수를 2x+2, 2y+2, 두 홀수를 2z+1, 2w+1 Û w=2일 때 로 놓으면 조건 ㈏에 의하여 x+y+z=3이므로 x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면 (2x+2)+(2y+2)+(2z+1)+(2w+1)=14 (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=3 (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) (단, x, y, z, w는 음이 아닌 정수이다.) ∴ x+y+z+w=4 ∴ x'+y'+z'=0 x+y+z+w=4를 만족시키는 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 ‌이때 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x'+y'+z'=0을 만족시키는 ¢H¢=¦C¢=¦C£=35 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍 (x', y', z')의 개수와 같으 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 므로 6_35=210 £H¼=ªC¼=1 ………………………………………………………………………………… ➋ Ú, Û에서 구하는 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 10+1=11 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ w의 값 구하기 30% ➋ w의 값에 따른 순서쌍 (x, y, z)의 개수 구하기 60% ➌ 조건을 만족시키는 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수 구하기 10% 06 중복조합 - 부등식의 해의 개수 0136 ④ 부등식 x+y+zÉ8을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서 쌍 (x, y, z)의 개수는 방정식 x+y+z+w=8을 만족시키는 음 0134 ① 이 아닌 정수 x, y, z, w의 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수와 같다. 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 조건 ㈏에 의하여 ¢H¥=11C¥=11C£=165 aÛ`-bÛ`=5 또는 aÛ`-bÛ`=-5 aÛ`-bÛ`=5에서 (a-b)(a+b)=5이고 a, b는 자연수이므로 a-b=1, a+b=5 ∴ a=3, b=2 aÛ`-bÛ`=-5에서 (b-a)(b+a)=5이고 a, b는 자연수이므로 0137 b-a=1, b+a=5 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1, d=d'+1로 놓으면 ∴ a=2, b=3 a+b+c+dÉ6에서 즉, 조건 ㈏를 만족시키는 자연수 a, b의 값을 정하는 경우의 수는 (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)É6 2이다. 이때 a+b=5이므로 조건 ㈎에 의하여 ∴ a'+b'+c'+d'É2 5+c+d+e=12 부등식 a'+b'+c'+d'É2를 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c', ∴ c+d+e=7 (단, c, d, e는 자연수이다.) d'의 순서쌍 (a', b', c', d')의 개수는 방정식 a'+b'+c'+d'+e=2 c=c'+1, d=d'+1, e=e'+1로 놓으면 를 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c', d', e의 순서쌍 (c'+1)+(d'+1)+(e'+1)=7 (a', b', c', d', e)의 개수와 같다. ∴ c'+d'+e'=4 (단, c', d', e'은 음이 아닌 정수이다.) 15 (단, a', b', c', d'은 음이 아닌 정수이다.) 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 °Hª=¤Cª=15 Ⅰ. 경우의 수 29 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 29 2023. 9. 12. 오전 10:01 Ú y+z=0이고 x=10일 때 다른 풀이 순서쌍 (x, y, z)는 (10, 0, 0)의 1개이다. a, b, c, d가 양의 정수이므로 4Éa+b+c+dÉ6 Û y+z=10이고 x=0일 때 Ú a+b+c+d=4일 때 순 ‌ 서쌍 (x, y, z)의 개수는 y+z=10을 만족시키는 음이 아닌 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1, d=d'+1로 놓으면 정수 y, z의 순서쌍 (y, z)의 개수와 같으므로 (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)=4 (단, a', b', c', d'은 음이 아닌 정수이다.) ªHÁ¼=ÁÁCÁ¼=ÁÁCÁ=11 ∴ a'+b'+c'+d'=0 Ú, Û에서 조건 ㈏를 만족시키지 않는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 ‌이때 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 a'+b'+c'+d'=0을 만족 1+11=12 시키는 음이 아닌 정수 a', b', c', d'의 순서쌍 (a', b', c', d') 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 의 개수와 같으므로 66-12=54 ¢H¼=£C¼=1 Û a+b+c+d=5일 때 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1, d=d'+1로 놓으면 (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)=5 ‌ (단, a', b', c', d'은 음이 아닌 정수이다.) ‌∴ a'+b'+c'+d'=1 ‌이때 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 a'+b'+c'+d'=1을 만족 07 시키는 음이 아닌 정수 a', b', c', d'의 순서쌍 (a', b', c', d') 의 개수와 같으므로 중복조합 - 대소가 정해진 경우 0140 ‌¢HÁ=¢CÁ=4 Ü a+b+c+d=6일 때 ② a, b, c가 자연수이고 2<aÉbÉc<9이므로 ‌a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1, d=d'+1로 놓으면 3ÉaÉbÉcÉ8 ‌ (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)=6 3ÉaÉbÉcÉ8을 만족시키는 자연수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c) ‌ (단, a', b', c', d'은 음이 아닌 정수이다.) ‌∴ a'+b'+c'+d'=2 는 3부터 8까지의 6개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 3개를 택 해 작거나 같은 수부터 차례대로 a, b, c의 값으로 정하면 된다. ‌이때 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 a'+b'+c'+d'=2를 만족 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 6개에서 3개 시키는 음이 아닌 정수 a', b', c', d'의 순서쌍 (a', b', c', d') 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 의 개수와 같으므로 ¤H£=¥C£=56 ‌¢Hª=°Cª=10 Ú~Ü에서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 1+4+10=15 0141 0138 ③ 15 3ÉaÉbÉ7을 만족시키는 자연수 a, b의 순서쌍 (a, b)는 3부터 7까지의 5개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 2개를 택해 작거나 부등식 x+yÉn을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y의 순서쌍 같은 수부터 차례대로 a, b의 값으로 정하면 된다. (x, y)의 개수는 방정식 x+y+z=n을 만족시키는 음이 아닌 정 따라서 구하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 서로 다른 5개에서 2개를 수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수와 같으므로 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £Hn=£+n-1Cn=ª+nCn=ª+nCª=36 °Hª=¤Cª=15 (2+n)(1+n) =36, (n+1)(n+2)=72=8×9 2 ∴ n=7 0142 0139 ④ ③ 1<aÉbÉc<15를 만족시키는 짝수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)는 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14의 7개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 3 조건 ㈎에서 x+y+z=10을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 개를 택해 작거나 같은 수부터 차례대로 a, b, c의 값으로 정하면 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 된다. £HÁ¼=ÁªCÁ¼=ÁªCª=66 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 7개에서 3개 조건 ㈏를 만족시키지 않는 경우는 y+zÉ0 또는 y+z¾10이므로 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 y+z=0 또는 y+z=10일 때이다. ¦H£=»C£=84 30 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 30 2023. 9. 12. 오전 10:01 0143 56 0145 220 조건 ㈎에 의하여 세 수 a, b, c는 모두 홀수이다. 의 개수는 3ÉaÉbÉcÉ9를 만족시키는 자연수 a, b, c의 순서쌍 조건 ㈏에서 세 수 a, b, c는 모두 20 이하의 자연수이므로 20 이하 (a, b, c)의 개수에서 3ÉaÉb=cÉ9를 만족시키는 자연수 a, b, 의 홀수 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19의 10개의 수 중에서 중 c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수를 빼면 된다. 복을 허락하여 3개를 택해 작거나 같은 수부터 차례대로 a, b, c의 ………………………………………………………………………………… ➊ 값으로 정하면 된다. 3ÉaÉbÉcÉ9를 만족시키는 자연수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c) 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 10개에서 3개 는 3부터 9까지의 7개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 3개를 택 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 해 작거나 같은 수부터 차례대로 a, b, c의 값으로 정하면 된다. 10 1 권 3ÉaÉb<cÉ9를 만족시키는 자연수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c) H3=12C3=220 이때 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 7개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¦H£=»C£=84 ………………………………………………………………………………… ➋ 3ÉaÉb=cÉ9를 만족시키는 자연수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c) 08 는 3부터 9까지의 7개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 2개를 택해 중복조합의 활용 작거나 같은 수부터 차례대로 a, b(=c)의 값으로 정하면 된다. 이때 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 7개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 0146 ④ ¦Hª=¥Cª=28 N=a_10Ü`+b_10Û`+c_10+d라 하면 ………………………………………………………………………………… ➌ 조건 ㈎에 의하여 a=1 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 조건 ㈏에 의하여 a+b+c+d=10이므로 a=1을 대입하면 84-28=56 b+c+d=9 (단, b, c, d는 음이 아닌 정수이다.) ………………………………………………………………………………… ➍ 이를 만족시키는 순서쌍 (b, c, d)의 개수는 채점 기준 £H»=11C»=11Cª=55 배점 ➊ ‌조건을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수를 구하는 방법 설명 하기 따라서 구하는 자연수 N의 개수는 55이다. 10% ➋ 3ÉaÉbÉcÉ9를 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수 구하기 40% ➌ 3ÉaÉb=cÉ9를 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수 구하기 40% ➍ 조건을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수 구하기 10% 0147 ④ 네 자리 자연수의 각 자리의 수를 각각 a, b, c, d`(a, b, c, d는 자 연수)라 하면 각 자리의 수의 합이 7이므로 a+b+c+d=7 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1, d=d'+1로 놓으면 (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)=7 (단, a', b', c', d'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ a'+b'+c'+d'=3 이때 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 a'+b'+c'+d'=3을 만족시 키는 음이 아닌 정수 a', b', c', d'의 순서쌍 (a', b', c', d')의 개수 0144 ① 와 같으므로 H3=6C3=20 4 2É|a|É|b|É|c|É5를 만족시키는 자연수 |a|, |b|, |c|의 순 따라서 구하는 자연수의 개수는 20이다. 서쌍 (|a|, |b|, |c|)는 2, 3, 4, 5에서 중복을 허락하여 3개를 택 다른 풀이 해 작거나 같은 수부터 차례대로 |a|, |b|, |c|의 값으로 정하면 각 자리의 수의 합이 7이 되는 경우는 다음과 같다. 된다. (1, 1, 1, 4), (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 2) 즉, 순서쌍 (|a|, |b|, |c|)의 개수는 서로 다른 4개에서 3개를 택 (1, 1, 1, 4)인 경우의 수  4! =4 3! (1, 1, 2, 3)인 경우의 수  4! =12 2! (1, 2, 2, 2)인 경우의 수  4! =4 3! 하는 중복조합의 수와 같으므로 ¢H£=¤C£=20 이때 0이 아닌 세 정수 a, b, c는 각각 절댓값이 같고 부호가 다른 2개의 값을 가질 수 있다. 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 따라서 구하는 자연수의 개수는 20_2_2_2=160 4+12+4=20 Ⅰ. 경우의 수 31 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 31 2023. 9. 12. 오전 10:01 0148 ① 따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 6개에서 4개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로 a=2x, b=2y, c=2z (x, y, z는 음이 아닌 정수)으로 놓으면 ¤H¢=»C¢=126 abc=2x_2y_2z=2x+y+z abc=2¡`에서 2x+y+z=2¡` ∴ x+y+z=8 따라서 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 방정식 x+y+z=8을 만족시키 는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수와 같으므로 £H¥=10C¥=10Cª=45 0152 35 f(1)= f(2)이므로 f(1)의 값이 정해지면 f(2)의 값도 정해진다. 즉, Y의 원소 -1, 0, 1, 2, 3의 5개에서 중복을 허락하여 3개를 뽑아 작거나 같은 수부터 차례대로 f(1), f(3), f(4)의 값으로 정 0149 ④ a=2xÁ_3yÁ, b=2xª_3yª, c=2x£_3y£`(xÁ, xª, x£, yÁ, yª, y£은 음이 아닌 정수)으로 놓으면 하면 된다. 따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 5개에서 3개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로 °H£=¦C£=35 abc‌=(2xÁ_3yÁ)_(2xª_3yª)_(2x£_3y£) =2xÁ+xª+x£_3yÁ+yª+y£ abc=2Ý`_3ß`에서 2xÁ+xª+x£_3yÁ+yª+y£=2Ý`_3ß` ∴ xÁ+xª+x£=4, yÁ+yª+y£=6 방정식 xÁ+xª+x£=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 xÁ, xª, x£의 순서쌍 (xÁ, xª, x£)의 개수는 0153 ⑤ f(1)의 값은 X의 원소 1, 2, 3, 4 중에서 1개를 선택하면 되므로 f(1)의 값을 정하는 경우의 수는 £H¢=¤C¢=¤Cª=15 방정식 yÁ+yª+y£=6을 만족시키는 음이 아닌 정수 yÁ, yª, y£의 순서쌍 (yÁ, yª, y£)의 개수는 C1=4 4 또한 X의 원소 1, 2, 3, 4의 4개에서 중복을 허락하여 3개를 뽑아 작거나 같은 수부터 차례대로 f(2), f(3), f(4)의 값으로 정하면 £H¤=¥C¤=¥Cª=28 된다. 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 즉, f(2), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 서로 다른 4개에 15_28=420 서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¢H£=¤C£=20 따라서 구하는 함수 f의 개수는 09 4_20=80 중복조합 - 함수의 개수 0150 ⑤ 주어진 조건을 만족시키려면 Y의 원소 -1, 0, 1, 2의 4개에서 중 0154 ② 복을 허락하여 5개를 뽑아 작거나 같은 수부터 차례대로 f(1), f(2), f(1)É f(2)< f(3)É f(4)를 만족시키는 함수의 개수는 f(3), f(4), f(5)의 값으로 정하면 된다. f(1)É f(2)É f(3)É f(4)를 만족시키는 함수의 개수에서 따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 4개에서 5개를 택하는 중 f(1)É f(2)= f(3)É f(4)를 만족시키는 함수의 개수를 빼면 된다. 복조합의 수와 같으므로 f(1)É f(2)É f(3)É f(4)를 만족시키는 함수는 Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개에서 중복을 허락하여 4개를 뽑아 작거나 같은 수 ¢H°=¥C°=¥C£=56 부터 차례대로 f(1), f(2), f(3), f(4)의 값으로 정하면 된다. 함수의 개수 이때의 함수의 개수는 서로 다른 6개에서 4개를 택하는 중복조합의 함수 f`:`X`1Ú`Y에 대하여 n(X)=a, n(Y)=b일 때 ⑴ 함수 f의 개수  bPa ⑵ xÁ+xª이면 f(xÁ)+ f(xª)인 함수 f의 개수  bPa (단, aÉb) ⑶ xÁ<xª이면 f(xÁ)< f(xª)인 함수 f의 개수  bCa (단, aÉb) ⑷ xÁ<xª이면 f(xÁ)É f(xª)인 함수 f의 개수  bHa 수와 같으므로 ¤H¢=»C¢=126 f(1)É f(2)= f(3)É f(4)를 만족시키는 함수는 f(2)= f(3)이 므로 Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개에서 중복을 허락하여 3개를 뽑아 작거나 같은 수부터 차례대로 f(1), f(2), f(4)의 값으로 정 하면 된다. 0151 ② 이때의 함수의 개수는 서로 다른 6개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 주어진 조건을 만족시키려면 Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개에서 ¤H£=¥C£=56 중복을 허락하여 4개를 뽑아 크거나 같은 수부터 차례대로 f(a), 따라서 구하는 함수의 개수는 f(b), f(c), f(d)의 값으로 정하면 된다. 126-56=70 32 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 32 2023. 9. 12. 오전 10:01 0155 18 Ú ‌조건 ㈎에서 f(3)=5이므로 조건 ㈏에 의하여 f(1)과 f(2)의 값을 정하는 경우의 수는 4, 5의 2개에서 2개를 택하는 중복조 1. ⑴ ‌(x+1)Þ`‌=°C¼xÞ`+°CÁxÝ`+°CªxÜ`+°C£xÛ`+°C¢x+°C° =xÞ`+5xÝ`+10xÜ`+10xÛ`+5x+1 ⑵ (x-y)Ý ‌ `=¢C¼xÝ`+¢CÁxÜ`(-y)+¢CªxÛ`(-y)Û` +¢C£x(-y)Ü`+¢C¢(-y)Ý` 합의 수와 같다. ………………………………………………………………………………… ➊ Û ‌조건 ㈎에서 f(3)=5이므로 조건 ㈏에 의하여 f(4)와 f(5)의 값을 정하는 경우의 수는 5, 6, 7의 3개에서 2개를 택하는 중복 조합의 수와 같다. 1 권 =xÝ`-4xÜ`y+6xÛ`yÛ`-4xyÜ`+yÝ` ‌∴ ªHª=£Cª=£CÁ=3 2. ⑴ (1+x)¡`의 전개식의 일반항은 ¥Cr1¡`-rxr=¥Cr xr (단, r=0, 1, 2, y, 8) xÝ` 항은 r=4일 때이므로 xÝ`의 계수는 ¥C¢=70 ⑵ (1+2x)Ý`의 전개식의 일반항은 ∴ ‌£Hª=¢Cª=6 ………………………………………………………………………………… ➋ Ú, Û에서 구하는 함수의 개수는 ¢Cr1Ý`-r(2x)r=¢Cr 2rxr (단, r=0, 1, 2, 3, 4) xÜ` 항은 r=3일 때이므로 xÜ`의 계수는 ¢C£_2Ü`=32 3_6=18 이항정리 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ f(1)과 f(2)의 값을 정하는 경우의 수 구하기 40% ➋ f(4)와 f(5)의 값을 정하는 경우의 수 구하기 40% ➌ 조건을 만족시키는 함수의 개수 구하기 20% 자연수 n에 대하여 다항식 (a+b)n을 전개하면 다음과 같다. (a+b)n=nC¼an+nCÁ an-1b+nCªan-2bÛ`+y+nCr an-rbr+y+nCnbn 0157 ① (1+ax)Þ`의 전개식의 일반항은 0156 525 조건 ㈎에서 함수 f의 치역의 원소의 개수가 3이므로 치역의 원소 가 될 집합 X의 원소 3개를 택하는 경우의 수는 ¦C£=35 치역의 3개의 원소 각각에 대응하는 집합 X의 원소의 개수를 각각 a, b, c라 하자. °Cr1Þ`-r(ax)r=°Cr arxr (단, r=0, 1, 2, …, 5) xÜ`항은 r=3일 때이므로 xÜ`의 계수는 °C£_aÜ`=10aÜ` 이때 xÜ`의 계수가 80이므로 10aÜ`=80, aÜ`=8 (a-2)(aÛ`+2a+4)=0 ∴ a=2 지수법칙 ⑴ 집합 X의 원소의 개수는 7이므로 a+b+c=7 치역의 각 원소에 적어도 하나의 값이 대응되어야 하므로 a¾1, b¾1, c¾1 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1로 놓으면 m, n이 자연수일 때 ⑴ aman=am+n ⑵ (am)n=amn ⑶ (ab)n=anbn (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)=7 (단, a', b', c'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ a'+b'+c'=4 이때 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 a'+b'+c'=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c'의 순서쌍 (a', b', c')의 개수와 같으므로 £H¢=¤C¢=¤Cª=15 0158 ① (2x+y)Ý`의 전개식의 일반항은 ¢Cr(2x)Ý`-ryr=¢Cr 2Ý`-rxÝ`-ryr (단, r=0, 1, 2, 3, 4) 따라서 구하는 함수 f의 개수는 xÛ`yÛ`항은 r=2일 때이므로 xÛ`yÛ`의 계수는 35_15=525 ¢Cª_2Û`=24 0159 10 (a+b)n의 전개식 (xÛ`+3)ß`의 전개식의 일반항은 ‌ xÞ`+5xÝ`+10xÜ`+10xÛ`+5x+1 1. ⑴ ⑵ xÝ`-4xÜ`y+6xÛ`yÛ`-4xyÜ`+yÝ` 2. ⑴ 70 ④ ⑵ 32 ¤Cr(xÛ`)ß`-r3r=¤Cr 3rx12-2r (단, r=0, 1, 2, …, 6) xß` 항은 12-2r=6일 때이므로 r=3 따라서 xß`의 계수는 ¤C£_3Ü`=20_27=540 Ⅰ. 경우의 수 33 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 33 2023. 9. 12. 오전 10:01 0160 {xÛ`- ③ 2 ß }`의 전개식의 일반항은 x ¤Cr(xÛ`)ß`-r{- 2 r x12-2r (단, r=0, 1, 2, y, 6) } =¤Cr(-2)r x xr 1 항은 r-(10-2r)=2일 때이므로 r=4 xÛ` 1 따라서 의 계수는 °C¢_2Ý`_a=80a xÛ` xÜ`항은 (12-2r)-r=3일 때이므로 r=3 1 의 계수가 80이므로 xÛ` 80a=80 ∴ a=1 따라서 xÜ`의 계수는 ………………………………………………………………………………… ➋ ¤C£_(-2)Ü`=20_(-8)=-160 즉, {xÛ`+ 이때 지수법칙 ⑵ °Cr(xÛ`)Þ`-r{ a+0이고 m, n이 자연수일 때 b n bn ⑴{ } = n a a ( am-n (m>n) (m=n) 1 ⑵ amÖan={ 1 (m<n) 9 an-m 따라서 xÝ`의 계수는 °Cª_2Û`=40 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 3 1 Ý` } 의 전개식의 일반항은 x ¢Cr(ax)Ý`-r{ 40% ➌ xÝ`의 계수 구하기 40% 6aÛ`=54, aÛ`=9 11 1 ¡` } 의 전개식의 일반항은 x ¥Cr(xn)8-r{ 이때 상수항이 54이므로 1 r x8n-nr (단, r=0, 1, 2, y, 8) } =¥Cr x xr 상수항은 8n-nr=r일 때이므로 ∴ a=3 (∵ a>0) r= 8n n+1 상수항이 존재하려면 n+1은 8의 약수이어야 하므로 0162 ② n+1=2에서 n=1 n+1=4에서 n=3 (x+2)n의 전개식의 일반항은 n+1=8에서 n=7 Cr 2n-rxr (단, r=0, 1, 2, …, n) n 따라서 자연수 n의 값의 합은 xÛ`항은 r=2일 때이므로 xÛ`의 계수는 Cª2 20% ➋ a의 값 구하기 {xn+ 따라서 상수항은 ¢Cª_aÛ`=6aÛ` 배점 ➊ 주어진 식의 전개식의 일반항 구하기 0164 1 r xÝ`-r } =¢Cr aÝ`-r r (단, r=0, 1, 2, 3, 4) x x 상수항은 4-r=r일 때이므로 r=2 n 2 r x10-2r (단, r=0, 1, 2, y, 5) } =°Cr2r x xr xÝ` 항은 (10-2r)-r=4일 때이므로 r=2 0161 {ax+ 2 Þ }`의 전개식의 일반항은 x 1+3+7=11 n(n-1) = _2n-2 2 n-2‌ =n(n-1)_2n-3 xÜ` 항은 r=3일 때이므로 xÜ`의 계수는 n(n-1)(n-2) n-3‌ = _2n-3 nC£2 6 11 xÛ`의 계수와 xÜ`의 계수가 같으므로 n(n-1)(n-2) n(n-1)_2n-3= _2n-3 6 1= (a+b)(c+d)n 의 전개식 0165 ③ (x+3)Þ`의 전개식의 일반항은 n-2 ∴ n=8 6 °Cr xÞ`-r3r (단, r=0, 1, 2, y, 5) yy ㉠ (x+2)(x+3)Þ`=x(x+3)Þ`+2(x+3)Þ`의 전개식에서 xÜ`항은 x와 (x+3)Þ`에서 xÛ`항이 곱해질 때, 2와 (x+3)Þ`에서 xÜ`항이 곱해질 0163 40 Ú ㉠에서 xÛ`항은 5-r=2일 때이므로 r=3 2 {axÛ`+ }Þ`의 전개식의 일반항은 x °Cr(axÛ`)Þ`-r{ 때 나타난다. (x+3)Þ`의 전개식에서 xÛ`의 계수는 2 r x10-2r (단, r=0, 1, 2, y, 5) } =°Cr aÞ`-r2r x xr ………………………………………………………………………………… ➊ °C£_3Ü`=270 따라서 이때의 xÜ`의 계수는 1_270=270 34 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 34 2023. 9. 12. 오전 10:01 Û ㉠에서 xÜ`항은 5-r=3일 때이므로 r=2 (xÛ`-x){x+ (x+3)Þ`의 전개식에서 xÜ`의 계수는 1 Þ 1 1 }`=xÛ`{x+ }Þ`-x{x+ }Þ`의 전개식에서 상수 x x x 항은 xÛ`과 {x+ °Cª_3Û`=90 따라서 이때의 xÜ`의 계수는 1 Þ 1 1 항이 곱해질 때, -x와 {x+ }Þ`에서 }`에서 x x xÛ` 1 권 1 항이 곱해질 때 나타난다. x 2_90=180 Ú, Û에서 구하는 xÜ`의 계수는 ………………………………………………………………………………… ➋ 270+180=450 Ú ㉠에서 1 7 항은 r-(5-r)=2일 때이므로 r= 2 xÛ` 1 1 ‌그런데 r=0, 1, 2, y, 5이므로 {x+ }Þ`에서 항은 존재하 x xÛ` 지 않는다. 0166 ① (x-2)Þ`의 전개식의 일반항은 Û ㉠에서 1 항은 r-(5-r)=1일 때이므로 r=3 ‌ x °Cr x5-r(-2)r (단, r=0, 1, 2, y, 5) yy ㉠ ‌ {x+ (xÛ`+1)(x-2)Þ`=xÛ`(x-2)Þ`+(x-2)Þ`의 전개식에서 x6항은 xÛ` ‌°C£=10 과 (x-2)Þ`에서 xÝ`항이 곱해질 때 나타난다. ‌따라서 이때의 상수항은 ㉠에서 xÝ` 항은 5-r=4일 때이므로 r=1 ‌(-1)×10=-10 1 Þ 1 }`의 전개식에서 의 계수는 x x (x-2)Þ`의 전개식에서 xÝ`의 계수는 ………………………………………………………………………………… ➌ °CÁ_(-2)=-10 Ú, Û에서 구하는 상수항은 -10이다. 따라서 구하는 xß`의 계수는 ………………………………………………………………………………… ➍ 1_(-10)=-10 0167 ④ 채점 기준 배점 ➊ {x+;[!;}Þ`의 전개식의 일반항 구하기 20% ➋ 상수항이 나오는 경우 설명하기 20% ➌ ➋의 각 경우에 대하여 상수항 구하기 50% ➍ 상수항 구하기 10% (1-3x)ß`의 전개식의 일반항은 ¤Cr1ß`-r(-3x)r=¤Cr(-3)rxr (단, r=0, 1, 2, y, 6) yy ㉠ (1+2x)(1-3x)ß`=(1-3x)ß`+2x(1-3x)ß`의 전개식에서 xÞ`항 은 1과 (1-3x)ß`에서 xÞ`항이 곱해질 때, 2x와 (1-3x)ß`에서 xÝ`항 0169 이 곱해질 때 나타난다. (ax+2)Þ`의 전개식의 일반항은 Ú ‌㉠에서 xÞ`항은 r=5일 때이므로 °Cr(ax)Þ`-r2r=°CraÞ`-r2rxÞ`-r (단, r=0, 1, 2, y, 5) ③ yy ㉠ (1-3x)ß`의 전개식에서 xÞ`의 계수는 (1+x)(ax+2)Þ`=(ax+2)Þ`+x(ax+2)Þ`의 전개식에서 xÜ`항은 1 ¤C°_(-3)Þ`=6_(-243)=-1458 과 (ax+2)Þ`에서 xÜ`항이 곱해질 때, x와 (ax+2)Þ`에서 xÛ`항이 곱 따라서 이때의 xÞ`의 계수는 해질 때 나타난다. 1_(-1458)=-1458 Ú ㉠에서 xÜ`항은 5-r=3일 때이므로 r=2 Û ‌㉠에서 xÝ`항은 r=4일 때이므로 (ax+2)Þ`의 전개식에서 xÜ`의 계수는 °Cª_aÜ`_2Û`=40aÜ` (1-3x)ß`의 전개식에서 xÝ`의 계수는 ¤C¢_(-3)Ý`=15_81=1215 따라서 이때의 xÜ`의 계수는 따라서 이때의 xÞ`의 계수는 1_40aÜ`=40aÜ` Û ㉠에서 xÛ`항은 5-r=2일 때이므로 r=3 2_1215=2430 Ú, Û에서 구하는 xÞ`의 계수는 (ax+2)Þ`의 전개식에서 xÛ`의 계수는 -1458+2430=972 °C£_aÛ`_2Ü`=80aÛ` 따라서 이때의 xÜ`의 계수는 1_80aÛ`=80aÛ` Ú, Û에서 xÜ`의 계수는 0168 -10 이때 xÜ`의 계수가 40이므로 1 {x+ }Þ`의 전개식의 일반항은 x °Cr xÞ`-r{ 40aÜ`+80aÛ` 40aÜ`+80aÛ`=40, aÜ`+2aÛ`-1=0 1 r xÞ`-r } =°Cr r (단, r=0, 1, 2, y, 5) yy ㉠ x x ………………………………………………………………………………… ➊ (a+1)(aÛ`+a-1)=0 a는 정수이므로 a=-1 Ⅰ. 경우의 수 35 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 35 2023. 9. 12. 오전 10:01 12 xÜ` 항은 (r+5-s)-s=3, 즉 r-2s=-2일 때이므로 순서쌍 (r, s) (a+b)m(c+d)n의 전개식 는 (0, 1), (2, 2)이다. Ú r=0, s=1일 때, xÜ`의 계수는 0170 ② Û r=2, s=2일 때, xÜ`의 계수는 (2+x)Ü`의 전개식의 일반항은 -r £C¼_°CÁ_2Ü`=40 £Cª_°Cª_2=60 r £Cr2Ü` x (단, r=0, 1, 2, 3) Ú, Û에서 구하는 xÜ`의 계수는 (1-x)Ý`의 전개식의 일반항은 40+60=100 ¢Cs1Ý`-s(-x)s=¢Cs(-1)sxs (단, s=0, 1, 2, 3, 4) 따라서 (2+x)Ü`(1-x)Ý`의 전개식의 일반항은 £Cr2Ü`-rxr×¢Cs(-1)sxs=£Cr×¢Cs(-1)s2Ü`-rxr+s xÛ`항은 r+s=2일 때이므로 순서쌍 (r, s)는 0173 (0, 2), (1, 1), (2, 0)이다. (a+x)Ü`의 전개식의 일반항은 Ú r=0, s=2일 때, xÛ`의 계수는 2 £Cr aÜ`-rxr (단, r=0, 1, 2, 3) £C¼_¢Cª_(-1)Û`_2Ü`=48 (1+x)Þ`의 전개식의 일반항은 Û r=1, s=1일 때, xÛ`의 계수는 °Cs1Þ`-sxs=°Cs xs (단, s=0, 1, 2, y, 5) £CÁ_¢CÁ_(-1)_2Û`=-48 따라서 (a+x)Ü`(1+x)Þ`의 전개식의 일반항은 Ü r=2, s=0일 때, xÛ`의 계수는 £Cr aÜ`-rxr×°Cs xs=£Cr×°Cs aÜ`-rxr+s 0 £Cª_¢C¼_(-1) _2=6 ………………………………………………………………………………… ➊ Ú~Ü에서 구하는 xÛ`의 계수는 xß`항은 r+s=6일 때이므로 순서쌍 (r, s)는 48-48+6=6 (1, 5), (2, 4), (3, 3)이다. ………………………………………………………………………………… ➋ Ú r=1, s=5일 때, xß`의 계수는 0171 ② £Cª_°C¢_a=15a (2+x)Ý`의 전개식의 일반항은 -r £CÁ_°C°_aÛ`=3aÛ` Û r=2, s=4일 때, xß`의 계수는 Ü r=3, s=3일 때, xß`의 계수는 r ¢Cr2Ý` x (단, r=0, 1, 2, 3, 4) £C£_°C£_a0=10 (1+3x)Ü`의 전개식의 일반항은 £Cs1Ü`-s(3x)s=£Cs3sxs (단, s=0, 1, 2, 3) ………………………………………………………………………………… ➌ 따라서 (2+x)Ý`(1+3x)Ü`의 전개식의 일반항은 Ú~Ü에서 xß`의 계수는 ¢Cr2Ý` x ×£Cs3 x =¢Cr×£Cs2Ý` 3 x 3aÛ`+15a+10 x항은 r+s=1일 때이므로 순서쌍 (r, s)는 이때 xß`의 계수가 52이므로 (0, 1), (1, 0)이다. 3aÛ`+15a+10=52, aÛ`+5a-14=0 Ú r=0, s=1일 때, x의 계수는 (a-2)(a+7)=0 ¢C¼_£CÁ_2Ý`_3Ú`=144 ∴ a=2 (∵ a>0) -r r s s -r s r+s Û r=1, s=0일 때, x의 계수는 ………………………………………………………………………………… ➍ 0 ¢CÁ_£C¼_2Ü`_3 =32 채점 기준 배점 Ú, Û에서 구하는 x의 계수는 ➊ (a+x)Ü`(1+x)Þ`의 전개식의 일반항 구하기 30% 144+32=176 ➋ xß`항이 나오는 경우 알아보기 10% ➌ ➋의 각 경우에 대하여 xß`의 계수를 a로 나타내기 40% ➍ a의 값 구하기 20% 0172 ⑤ 0174 (2+x)Ü`의 전개식의 일반항은 £Cr2Ü`-rxr (단, r=0, 1, 2, 3) {x+ (a+x)Ü`의 전개식의 일반항은 1 Þ }`의 전개식의 일반항은 x °CsxÞ`-s{ £Cr aÜ`-rxr (단, r=0, 1, 2, 3) 1 s xÞ`-s } =°Cs s (단, s=0, 1, 2, …, 5) x x 따라서 (2+x)Ü`{x+ £Cr2Ü`-rxr×°Cs ② 1 Þ }`의 전개식의 일반항은 x r+5-s xÞ`-s -r x s =£Cr×°Cs2Ü` x xs 1 Ý }`의 전개식의 일반항은 xÛ` 1 s xÝ`-s ¢Cs xÝ`-s{- } =¢Cs(-1)s 2s (단, s=0, 1, 2, 3, 4) xÛ` x 1 Ý 따라서 (a+x)Ü`{x- }`의 전개식의 일반항은 xÛ` {x- 36 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 36 2023. 9. 12. 오전 10:01 0178 r+ -s xÝ`-s s -r x Ý` 2s =£Cr×¢Cs(-1) aÜ` x x2s xÝ`항은 (r+4-s)-2s=4, 즉 r-3s=0일 때이므로 순서쌍 £CraÜ`-rxr_¢Cs(-1)s 월요일 (1+x)n=nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnxn의 양변에 x=13, n=7을 대입하면 Ú r=0, s=0일 때, xÝ`의 계수는 (1+13)à`=¦C¼+¦CÁ_13+¦Cª_13Û`+y+¦C¦_13à` £C¼_¢C¼_(-1)0_aÜ`=aÜ` 1 권 (r, s)는 (0, 0), (3, 1)이다. ………………………………………………………………………………… ➊ 이때 ¦CÁ, ¦Cª, …, ¦C¤은 모두 7의 배수이므로 Û r=3, s=1일 때, xÝ`의 계수는 ¦CÁ_13+¦Cª_13Û`+y+¦C¤_13ß`=7k (k는 자연수)로 놓으면 £C£_¢CÁ_(-1)1_a0=-4 Ú, Û에서 xÝ`의 계수는 aÜ`-4 (1+13)à`‌=¦C¼+7k+¦C¦_13à` 이때 xÝ`의 계수가 60이므로 =1+7k+13à` aÜ`-4=60, aÜ`=64 =13à`+(7k+1) (a-4)(aÛ`+4a+16)=0 즉, 오늘부터 (1+13)à`일째 되는 날은 13à`일째 되는 날보다 ∴ a=4 (7k+1)일이 더 지나야 한다. ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 오늘부터 (1+13)à`일째 되는 날은 일요일에서 (7k+1)일 이 지난 후의 요일인 월요일이다. ………………………………………………………………………………… ➌ 13 채점 기준 (1+x)n의 전개식의 활용 0175 ① 배점 ➊ (1+13)à`의 전개식 구하기 30% ➋ 요일 구하는 방법 설명하기 50% ➌ 조건을 만족시키는 요일 구하기 20% 1120=(1+10)20이므로 (1+x)n=nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnxn의 양변에 x=10, n=20을 대입하면 1120=20C¼+20CÁ_10+20Cª_10Û`+20C£_10Ü`+y+20C20_1020 0179 =20C¼+20CÁ_10+10Û`(20Cª+20C£_10+y+20C20_1018) 20 따라서 11 을 100으로 나누었을 때의 나머지는 20C¼+20CÁ_10을 100으로 나누었을 때의 나머지와 같다. 20 C¼+20CÁ_10=1+200=201=2_100+1이므로 1120을 100으 로 나누었을 때의 나머지는 1이다. ⑤ 101¡`=(1+100)¡`이므로 (1+x)n=nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnxn의 양변에 x=100, n=8을 대입하면 101¡`=¥C¼+¥CÁ_100+¥Cª_100Û`+¥C£_100Ü`+y+¥C¥_100¡` =¥C¼+¥CÁ_100+100Û`(¥Cª+¥C£_100+y+¥C¥_100ß`) 따라서 101¡`의 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자는 각각 ¥C¼+¥CÁ_100의 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자와 같다. 0176 ⑤ (1+x)Ý`=¢C¼+¢CÁ x+¢Cª xÛ`+¢C£ xÜ`+¢C¢ xÝ`의 양변에 x=3을 대입하면 ¥C¼+¥CÁ_100=1+800=801이므로 a=8, b=0, c=1 ∴ a-b+c=8-0+1=9 ¢C¼+¢CÁ_3+¢Cª_3Û`+¢C£_3Ü`+¢C¢_3Ý` =(1+3)Ý`=4Ý`=256 0177 ④ (1+x)n=nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnxn의 양변에 x=6, n=10 14 이항계수의 성질 을 대입하면 710=10C¼+10CÁ_6+10Cª_6Û`+10C£_6Ü`+y+10C10_610 이때 nCr=nCn-r (r=0, 1, 2, …, n)이므로 0180 710=10C10+10C»_6+10C¥_6Û`+10C¦_6Ü`+y+10C¼_610 이항계수의 성질에 의하여 ∴ 10 ‌ C»_6+10C¥_6Û`+10C¦_6Ü`+y+10C¼_610 n =710-10C10 10 =7 -1 ③ C¼+nCÁ+nCª+nC£+y+nCn=2n 이므로 2n=1024=210 ∴ n=10 Ⅰ. 경우의 수 37 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 37 2023. 9. 12. 오전 10:01 0181 128 이항계수의 성질에 의하여 0186 9 이항계수의 성질에 의하여 n C¼+nCÁ+nCª+nC£+y+nCn=2n이므로 C¼+nCÁ+nCª+nC£+y+nCn=2 n 이므로 n n CÁ+nCª+nC£+y+nCn-1‌=2n-(nC¼+nCn) =2n-2 ¦C¼+¦CÁ+¦Cª+¦C£+¦C¢+¦C°+¦C¤+¦C¦=2à`=128 ………………………………………………………………………………… ➊ 이를 주어진 식에 대입하면 300<2n-2<1000 0182 ① ………………………………………………………………………………… ➋ 이항계수의 성질에 의하여 20 이때 2¡`=256, 2á`=512, 210=1024이므로 C¼+20Cª+20C¢+y+20C20=220-1=219 n=9 이때 20C¼=1, 20C20=1이므로 20 ∴ 302<2n<1002 ………………………………………………………………………………… ➌ Cª+20C¢+20C¤+y+20C18‌ 채점 기준 =219-(20C¼+20C20) ➊ nCÁ+nCª+nC£+y+nCn-1을 간단히 정리하기 =219-2 30% ➋ 2 의 값의 범위 구하기 40% ➌ n의 값 구하기 30% n 0183 배점 ③ 이항계수의 성질에 의하여 11 C¼-11CÁ+11Cª-11C£+y+11C10-11C11=0 이때 11C¼=1, 11C11=1이므로 15 이항계수의 성질의 활용 11CÁ-11Cª+11C£-11C¢+y-11C10 =11C¼-11C11=0 0187 ④ 원소가 2개인 부분집합의 개수는 ¥Cª 원소가 4개인 부분집합의 개수는 ¥C¢ 0184 ③ 원소가 8개인 부분집합의 개수는 ¥C¥ Cr=nCn-r (r=0, 1, 2, …, n)이므로 n 17 따라서 구하는 부분집합의 개수는 C»+17C10+17C11+y+17C17=17C¥+17C¦+17C¤+y+17C¼ ¥Cª+¥C¢+¥C¤+¥C¥‌=2à`-¥C¼ 이항계수의 성질에 의하여 17 C¼+17CÁ+17Cª+y+17C17=217이므로 17 C»+17C10+17C11+y+17C17=217_ 원소가 6개인 부분집합의 개수는 ¥C¤ =128-1=127 1 =216 2 이항계수의 성질에 의하여 ¥C¼+¥Cª+¥C¢+¥C¤+¥C¥=2¡`-1=2à` 0185 ② 0188 이항계수의 성질에 의하여 20 20 C¼+20CÁ+20Cª+y+20C20=2 Cr=nCn-r (r=0, 1, 2, y, n)이므로 n 25 C13+25C14+25C15+y+25C25=25C12+25C11+25C10+y+25C¼ 이항계수의 성질에 의하여 C¼+25CÁ+25Cª+y+25C25=225이므로 25 25 25C13+25C14+25C15+y+25C25=2 _ C + C + C +y+25C25 ∴ 25 13 25 14 25 15 20C¼+20CÁ+20Cª+y+20C20 224 = 20 =2Ý`=16 2 1 =224 2 ③ 서로 다른 15개의 구슬 중에서 8개 이상의 구슬을 택하는 경우의 수는 C¥+15C»+15C10+y+15C15 15 이때 nCr=nCn-r (r=0, 1, 2, …, n)이므로 C8+15C9+15C10+y+15C15=15C7+15C6+15C5+y+15C¼ 15 이항계수의 성질에 의하여 C¼+15CÁ+15Cª+y+15C15=215 15 이므로 1 C8+15C9+15C10+y+15C15=215_ =214 2 15 38 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 38 2023. 9. 12. 오전 10:01 0189 ⑤ 0193 ③ 집합 A={x|x는 25 이하의 자연수}={1, 2, 3, 4, y, 25}의 부 n-1 분집합 중 두 원소 1, 2를 모두 포함하고 원소의 개수가 홀수인 부 ¢CÁ+°Cª+¤C£+¦C¢+¥C°+»C¤ 분집합의 개수는 집합 {3, 4, 5, y, 24, 25}의 부분집합 중 원소의 =(¢C¼+¢CÁ+°Cª+¤C£+¦C¢+¥C°+»C¤)-¢C¼ 개수가 홀수인 부분집합의 개수와 같다. =(°CÁ+°Cª+¤C£+¦C¢+¥C°+»C¤)-1 따라서 구하는 부분집합의 개수는 =(¤Cª+¤C£+¦C¢+¥C°+»C¤)-1 ª£CÁ+ª£C£+ª£C°+y+ª£CªÁ+ª£Cª£=2Û`Ü`ÑÚ`=2Û`Û` =(¦C£+¦C¢+¥C°+»C¤)-1 Cr-1+n-1Cr=nCr`(r=1, 2, 3, …, n-1)이므로 권 1 =(¥C¢+¥C°+»C¤)-1 0190 32 =(»C°+»C¤)-1 =10C¤-1=10C¢-1 =210-1=209 Ú 1의 개수가 0일 때 2, 3, 4, 5, 6 중에서 5개를 선택하는 경우의 수는 °C° Û 1의 개수가 1일 때 2, 3, 4, 5, 6 중에서 4개를 선택하는 경우의 수는 °C¢ 0194 Ü 1의 개수가 2일 때 ② Cr-1+n-1Cr=nCr`(r=1, 2, 3, …, n-1)이므로 2, 3, 4, 5, 6 중에서 3개를 선택하는 경우의 수는 °C£ n-1 Ý 1의 개수가 3일 때 ªCª+ªCÁ+£CÁ+¢CÁ+y+»CÁ 2, 3, 4, 5, 6 중에서 2개를 선택하는 경우의 수는 °Cª =£Cª+£CÁ+¢CÁ+y+»CÁ Þ 1의 개수가 4일 때 =¢Cª+¢CÁ+y+»CÁ 2, 3, 4, 5, 6 중에서 1개를 선택하는 경우의 수는 °CÁ ⋮ ß 1의 개수가 5일 때 =»Cª+»CÁ =10Cª 2, 3, 4, 5, 6 중에서 0개를 선택하는 경우의 수는 °C¼ Ú~ß에서 구하는 경우의 수는 °C¼+°CÁ+°Cª+°C£+°C4+°C°=2Þ`=32 0195 16 21 ªCª=£C£이고, n-1Cr-1+n-1Cr=nCr (r=1, 2, 3, …, n-1)이므 파스칼의 삼각형 로 ªCª+£Cª+¢Cª+°Cª+y+20Cª 0191 ② £C¼=¢C¼이고, n-1Cr-1+n-1Cr=nCr``(r=1, 2, 3, …, n-1)이므 로 =£C£+£Cª+¢Cª+°Cª+y+20Cª ………………………………………………………………………………… ➊ =¢C£+¢Cª+°Cª+y+20Cª =°C£+°Cª+y+20Cª £C¼+¢CÁ+°Cª+¤C£+y+Á0C¦ ⋮ =¢C¼+¢CÁ+°Cª+¤C£+y+Á0C¦ =20C£+20Cª =°CÁ+°Cª+¤C£+y+Á0C¦ =ª1C£ =¤Cª+¤C£+y+Á0C¦ ………………………………………………………………………………… ➋ ⋮ ∴ n=21 =Á0C¤+Á0C¦ ………………………………………………………………………………… ➌ =Á1C¦=Á1C¢ 채점 기준 =330 0192 ② 배점 ➊ ªCª=£C£임을 이용하여 주어진 식 변형하기 20% ➋ 주어진 식을 nCr 꼴로 나타내기 60% ➌ n의 값 구하기 20% Cr-1+n-1Cr=nCr`(r=1, 2, 3, …, n-1)이므로 n-1 ªC¼+ªCÁ+£Cª+¢C£+y+¥C¦‌ =£CÁ+£Cª+¢C£+y+¥C¦ =¢Cª+¢C£+y+¥C¦ ⋮ 0196 ⑤ (x+1)n의 전개식의 일반항은 Cr xr (단, r=0, 1, 2, …, n) =¥C¤+¥C¦ n =»C¦ 3ÉnÉ10인 경우에만 xÜ`항이 나오므로 Ⅰ. 경우의 수 39 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 39 2023. 9. 12. 오전 10:01 (1+x)Ü`의 전개식에서 xÜ`의 계수는 £C£ ‌ ∴ log¢`(13C¼+13CÁ+13Cª+y+13C¤) (1+x)Ý`의 전개식에서 xÜ`의 계수는 ¢C£ =log2Û``212= ⋮ 12 logª`2 2 =6 (1+x)10의 전개식에서 xÜ`의 계수는 Á0C£ 따라서 구하는 xÜ`의 계수는 £C£+¢C£+°C£+y+Á0C£ 0200 =¢C¢+¢C£+°C£+y+Á0C£ (∵ £C£=¢C¢) ① 6 3 -k 5 k Á ¤Ck{ }ß` { } 4 4 =°C¢+°C£+y+Á0C£ ⋮ k=0 =Á0C¢+Á0C£ 3 3 5 3 5 5 =¤C¼{ }ß`+¤CÁ{ }Þ`{ }Ú`+¤Cª{ }Ý`{ }Û`+y+¤C¤{ }ß` 4 4 4 4 4 4 =Á1C¢=330 3 5 ={ + }ß` 4 4 =2ß`=64 17 0201 수학 I 통합 유형 (1+x)n=nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnxn의 양변에 x=2, n=20 0197 ① 을 대입하면 320‌=20C¼+20CÁ_2+20Cª_2Û`+y+20C20_220 이항계수의 성질에 의하여 ………………………………………………………………………………… ➊ C¼+kCÁ+kCª+y+kCk=2k ∴ Á (kC¼+kCÁ+kCª+y+kCk) k ∴ log£ (20C¼+2_20CÁ+2Û`_20Cª+y+220_20C20) 9 =log£`320 = Á 2k=2+2Û`+2Ü`+y+2á` k=1 =20 log£`3=20 9 ………………………………………………………………………………… ➋ k=1 = 20 2(2á`-1) 2-1 채점 기준 =2(512-1)=1022 2+2Û`+2Ü`+y+2á`은 첫째항이 2, 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터 제 9항까지의 합이다. 배점 ➊ 20C¼+2_20CÁ+2Û`_20Cª+y+2 _20C20의 값 구하기 60% ➋ 주어진 식의 값 구하기 40% 20 0202 ⑤ Á 20Ck_320-k=20C¼_320+20CÁ_319+20Cª_318+y+20C20 20 k=0 0198 ① 을 대입하면 이항계수의 성질에 의하여 10 (1+x)n=nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnxn의 양변에 x=3, n=20 420=20C¼+20CÁ_3+20Cª_3Û`+y+20C20_320 10 C¼+10CÁ+10Cª+y+10C10=2 Cr=nCn-r (r=0, 1, 2, …, n)이므로 n ∴ logª (10C¼+10CÁ+10Cª+y+10C10) 420=20C¼_320+20CÁ_319+20Cª_318+y+20C20 ∴ logª`{ Á 20Ck_320-k}=logª`420 =logª`210=10 logª`2 20 =10 ‌ k=0 =logª`240 =40 logª`2 =40 0199 6 Cr=nCn-r (r=0, 1, 2, …, n)이므로 n 13 C¼+13CÁ+13Cª+y+13C¤=13C13+13C12+13CÁÁ+y+13C¦ 0203 ③ f(n)= Á 2n+1C2k=2n+1C2+2n+1C¢+y+2n+1C2n n 이항계수의 성질에 의하여 13 C¼+13CÁ+13Cª+y+13C13=213이므로 13 C¼+13CÁ+13Cª+y+13C¤=213_ 1 =212 2 k=1 이항계수의 성질에 의하여 C¼+2n+1C2+2n+1C¢+y+2n+1C2n=2(2n+1)-1=22n이므로 2n+1 40 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 40 2023. 9. 12. 오전 10:01 f(n)= Á 2n+1C2k-2n+1C0=2Û`n-1 0206 n k=0 f(n)=1023에서 2n 2n ② (2+x)n의 전개식의 일반항은 10 2 -1=1023, 2 =1024=2 1 Cr 2n-rxr (단, r=0, 1, 2, …, n) n 2n=10 ∴ n=5 권 xÜ` 항은 r=3일 때이므로 xÜ`의 계수는 nC£2n-3 xÝ`항은 r=4일 때이므로 xÝ`의 계수는 nC¢2n-4 xÞ` 항은 r=5일 때이므로 xÞ`의 계수는 nC°2n-5 이때 xÜ`, xÝ`, xÞ`의 계수가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 0204 682 n! n! n! _2n-4= _2n-3+ _2n-5 4!(n-4)! 3!(n-3)! 5!(n-5)! 5!_(n-3)! 양변에 을 곱하면 n!_2n-5 2× 이항계수의 성질에 의하여 C¼+2kCª+2kC¢+2kC¤+y+2kC2k=22k-1이므로 f(n)‌= Á (2kC¼+2kCª+2kC¢+2kC¤+y+2kC2k) 2k 2×nC¢2n-4=nC£2n-3+nC°2n-5 n = Á 22k-1 20(n-3)=80+(n-3)(n-4) k=1 nÛ`-27n+152=0 n (n-8)(n-19)=0 k=1 n은 10 이상의 자연수이므로 2n-1 =2+2Ü`+2Þ`+y+2 2(4n-1) = 4-1 n=19 2 = (4n-1) 3 2 ∴ f(5)‌= (4Þ`-1) 3 2 = (210-1)=682 3 2+2Ü`+2Þ`+y+22n-1은 첫째항이 2, 공비가 4인 등비수열의 첫째항부터 제 n항까지의 합이다. 0207 {x+ 다른 풀이 f(5)= Á (2kC¼+2kCª+2kC¢+2kC¤+y+2kC2k) ;1@1); 1 n+1 } 의 전개식의 일반항은 x Cr xn+1-r{ 5 n+1 k=1 1 r xn+1-r } =n+1Cr x xr ………………………………………………………………………………… ➊ =(ªC¼+ªCª)+(¢C¼+¢Cª+¢C¢)+(¤C¼+¤Cª+¤C¢+¤C¤) +(¥C¼+¥Cª+¥C¢+¥C¤+¥C¥) +(10C¼+10Cª+10C¢+10C¤+10C¥+10C10) =2Û`-1+2Ý`-1+2ß`-1+2¡`-1+210-1 xn-3항은 (n+1-r)-r=n-3일 때이므로 r=2 n(n+1) ∴ an=n+1Cª= 2 ………………………………………………………………………………… ➋ ∴Á =2+8+32+128+512 10 =682 k=1 10 1 2 ‌= Á ak k=1 k(k+1) 10 1 1 =2 Á { } k+1 k=1 k 1 1 1 1 1 =2[{1- }+{ - }+y+{ - }] 2 2 3 10 11 0205 =2{1- 15 = (x+a)ß`의 전개식의 일반항은 ¤Cr xß`-rar (단, r=0, 1, 2, …, 6) 1 } 11 20 11 ………………………………………………………………………………… ➌ xÛ` 항은 6-r=2일 때이므로 r=4 xÛ`의 계수는 ¤C¢aÝ`=15aÝ` 채점 기준 xÝ` 항은 6-r=4일 때이므로 r=2 ➊ {x+;[!;} xÝ`의 계수는 ¤CªaÛ`=15aÛ` ➋ an 구하기 n+1 xÞ` 항은 6-r=5일 때이므로 r=1 xÞ`의 계수는 ¤CÁa=6a 이때 xÛ`, xÝ`, xÞ`의 계수가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 (15aÛ`)Û`=15aÝ`_6a a+0이므로 6a=15 의 전개식의 일반항 구하기 1 ➌ Á 의 값 구하기 k=1 ak 10 배점 30% 30% 40% 부분분수로의 변형 1 1 1 1 = { - } (단, A+B) AB B-A A B Ⅰ. 경우의 수 41 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 41 2023. 9. 12. 오전 10:01 0208 ⑤ Á (1+xÛ`)n=(1+xÛ`)+(1+xÛ`)Û`+(1+xÛ`)Ü`+y+(1+xÛ`)10 0210 ④ 10 방정식 x+y+z+w=6을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z, w n=1 의 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 4개의 문자 x, y, z, w에서 6개 따라서 주어진 식은 첫째항이 1+xÛ`, 공비가 1+xÛ`인 등비수열의 첫째항부터 제10항까지의 합이므로 (1+xÛ`){(1+xÛ`)10-1} Á (1+xÛ`) = n=1 (1+xÛ`)-1 (1+xÛ`)11-(1+xÛ`) yy ㉠ = xÛ` 11 이때 xÝ`의 계수는 ㉠의 (1+xÛ`) 의 전개식에서 xß`의 계수와 같다. 10 를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로 ¢H¤=»C¤=»C£=84 n‌ (1+xÛ`)11의 전개식의 일반항은 0211 11 Cr 111-r(xÛ`)r=11Cr x2r (단, r=0, 1, 2, …, 11) (x-y)Þ`의 전개식의 일반항은 (1+xÛ`)11의 전개식에서 xß`항은 r=3일 때이므로 xß`의 계수는 °Cr(-1)rxÞ`-ryr (단, r=0, 1, 2, y, 5) C£=165 11 xÜ`yÛ`항은 r=2일 때이므로 xÜ`yÛ`의 계수는 따라서 구하는 xÝ`의 계수는 165이다. °Cª_(-1)Û`=10 ④ 다른 풀이 (1+xÛ`)n의 전개식의 일반항은 n Cr x2r (단, r=0, 1, 2, …, n) 2≤n≤10인 경우에만 xÝ`항이 나오므로 0212 (1+xÛ`)Û`의 전개식에서 xÝ`의 계수는 ªCª (1+xÛ`)Ü`의 전개식에서 xÝ`의 계수는 £Cª ② (x+y)Þ`과 (a+b+c)Ü`에 서로 같은 문자가 없으므로 각각의 전개 ⋮ 식의 항을 곱하면 모두 서로 다른 항이 된다. (1+xÛ`)10의 전개식에서 xÝ`의 계수는 10Cª 다항식 (x+y)Þ`의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 2개의 문자 따라서 구하는 xÝ`의 계수는 x, y에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ªCª+£Cª+¢Cª+y+10Cª ªH°=¤C°=¤CÁ=6 =£C£+£Cª+¢Cª+y+10Cª (∵ ªCª=£C£) 다항식 (a+b+c)Ü`의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개의 문 =¢C£+¢Cª+y+10Cª 자 a, b, c에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ⋮ £H£=°C£=°Cª=10 =10C£+10Cª 따라서 구하는 서로 다른 항의 개수는 =11C£ 6×10=60 =165 0213 ④ ① nCr=n-1Cr-1+n-1Cr (r=1, 2, 3, …, n-1)이므로 C°+10C¢=11C° (참) 10 ② 이항계수의 성질에 의하여 ¦C¼-¦CÁ+¦Cª-¦C£+y-¦C¦=0 이때 ¦C¼=1, ¦C¦=1이므로 ¦CÁ+¦C£+¦C°=¦Cª+¦C¢+¦C¤ (참) ③ 이항계수의 성질에 의하여 C¼+10CÁ+10Cª+y+10C10=210 10 그런데 10C10=1이므로 C¼+10CÁ+10Cª+y+10C»=210-1 (참) 10 0209 ② ¢Hn=¢+n-1Cn=n+3Cn=n+3C£이므로 (n+3)(n+2)(n+1) =35 3_2_1 (n+1)(n+2)(n+3)=5_6_7 ∴ n=4 ④ nCr=nCn-r (r=0, 1, 2, …, n)이므로 ¤C¼+¤CÁ+¤Cª+¤C£=¤C¤+¤C°+¤C¢+¤C£ (거짓) ⑤ 이항계수의 성질에 의하여 ¥C¼-¥CÁ+¥Cª-¥C£+y+¥C¥=0 ∴ ¥C¼+¥Cª+¥C¢+¥C¤+¥C¥=¥CÁ+¥C£+¥C°+¥C¦ (참) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 42 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 42 2023. 9. 12. 오전 10:01 0214 ③ 0218 ② (1+ax)Þ`의 전개식의 일반항은 4개의 상자에 나누어 넣으면 된다. °Cr1Þ`-r(ax)r=°Cr arxr (단, r=0, 1, 2, …, 5) 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 2개를 택하는 중복 xÛ`항은 r=2일 때이므로 xÛ`의 계수는 조합의 수와 같으므로 °Cª aÛ`=10aÛ` ¢Hª=°Cª=10 이때 xÛ`의 계수가 90이므로 1 권 4개의 상자에 각각 공을 2개씩 먼저 나누어 넣은 후, 남은 공 2개를 10aÛ`=90, aÛ`=9 ∴ a=3 (∵ a>0) 0215 ③ Á nCr=nCÁ+nCª+nC£+y+nCn-1 n-1 0219 r=1 이항계수의 성질에 의하여 1110=(1+10)10이므로 n C¼+nCÁ+nCª+y+nCn=2 이므로 n (1+x)n=nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnxn의 양변에 x=10, =2n-(nC¼+nCn) nCÁ+nCª+y+nCn-1‌ n=10을 대입하면 =2n-2 ∴ Á nCr=2n-2 ① 1110 n-1 =10C¼+10CÁ_10+10Cª_10Û`+10C£_10Ü`+y+10C10_1010 r=1 =10C¼+10CÁ_10+10Û`(10Cª+10C£_10+y+10C10_10¡`) 2n-2=1022이므로 2n=1024=210 =10C¼+10CÁ_10+50_2_(10Cª+10C£_10+y+10C10_10¡`) ∴ n=10 따라서 1110을 50으로 나누었을 때의 나머지는 10C¼+10CÁ_10을 50으로 나누었을 때의 나머지와 같다. 10 0216 ③ C¼+10CÁ_10=1+10_10=101=50_2+1이므로 1110을 50 으로 나누었을 때의 나머지는 1이다. 이항계수의 성질에 의하여 C¼+13Cª+13C¢+13C¤+13C¥+13C10+13C12=213-1=212 13 0220 이므로 Cª+13C¢+13C¤+13C¥+13C10+13C12=212-13C0=212-1 13 ③ x=x'+1, z=z'-2로 놓으면 ∴ N‌=212-1=(2ß`+1)(2ß`-1) =(2ß`+1)(2Ü`+1)(2Ü`-1) (x'+1)+y+(z'-2)=7 (단, x', y, z'은 음이 아닌 정수이다.) =65_9_7 ∴ x'+y+z'=8 =3Û`_5_7_13 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x'+y+z'=8을 만족시 따라서 N의 양의 약수의 개수는 키는 음이 아닌 정수 x', y, z'의 순서쌍 (x', y, z')의 개수와 같으 (2+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=24 므로 £H¥=Á0C¥=Á0Cª=45 양의 약수의 개수 a, b, c는 서로 다른 소수이고 l, m, n은 자연수일 때, al_bm_cn의 양의 약수의 개수는 (l+1)(m+1)(n+1) 0221 {x+ 0217 ① ④ 1 Þ }`의 전개식의 일반항은 x °Cr xÞ`-r{ 1 r xÞ`-r } =°Cr r (단, r=0, 1, 2, y, 5) yy ㉠ x x 1 Þ 1 1 }`=xÛ`{x+ }Þ`+ax{x+ }Þ`의 전개식에서 상 x x x 빨간색 볼펜 5자루를 4명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서 (xÛ`+ax){x+ 로 다른 4개에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 H5=8C5=8C3=56 수항은 xÛ`과 {x+ 파란색 볼펜 2자루를 4명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서 서 4 로 다른 4개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 H2=5C2=10 4 따라서 구하는 경우의 수는 56_10=560 1 Þ 1 1 항이 곱해질 때, ax와 {x+ }Þ`에 }`에서 x x xÛ` 1 항이 곱해질 때 나타난다. x Ú ㉠에서 r= 1 항은 r-(5-r)=2일 때이므로 xÛ` 7 2 Ⅰ. 경우의 수 43 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 43 2023. 9. 12. 오전 10:01 ‌그런데 r=0, 1, 2, y, 5이므로 {x+ 1 Þ 1 항은 존재하 }`에서 x xÛ` ② 조건 ㈎, ㈏에 의하여 지 않는다. Û ㉠에서 0224 f(2)=1, f(3)=6 또는 f(2)=2, f(3)=3 1 항은 r-(5-r)=1일 때이므로 x Ú f(2)=1, f(3)=6인 경우 r=3 f(1)의 값이 될 수 있는 것은 1의 1가지이다. 1 1 {x+ }Þ`의 전개식에서 의 계수는 x x ‌f(4)와 f(5)의 값을 정하는 경우의 수는 6, 7의 2개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 °C£=°Cª=10 ªHª=£Cª=£CÁ=3 따라서 이때의 상수항은 따라서 이때의 함수의 개수는 a×10=10a 1×3=3 Ú, Û에서 상수항은 10a이다. Û f(2)=2, f(3)=3인 경우 이때 상수항이 20이므로 f(1)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2의 2가지이다. 10a=20 ∴ a=2 ‌f(4)와 f(5)의 값을 정하는 경우의 수는 3, 4, 5, 6, 7의 5개에 서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 °Hª=¤Cª=15 따라서 이때의 함수의 개수는 0222 ⑤ 2×15=30 xyz+0이고, x, y, z는 정수이므로 |x|, |y|, |z|는 자연수이다. Ú, Û에서 구하는 함수의 개수는 |x|=x'+1, |y|=y'+1, |z|=z'+1로 놓으면 3+30=33 (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=7 (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ x'+y'+z'=4 이때 순서쌍 (|x|, |y|, |z|)의 개수는 x'+y'+z'=4를 만족시키 는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍 (x', y', z')의 개수와 같으 므로 0225 9 자연수 n에 대하여 abc=2n을 만족시키는 1보다 큰 자연수 a, b, c 는 2의 거듭제곱 꼴이므로 a=2Å`, b=2´`, c=2½``(x, y, z는 자연수) 으로 놓으면 £H¢=¤C¢=¤Cª=15 0이 아닌 세 정수 x, y, z는 각각 절댓값이 같고 부호가 다른 2개의 값을 가질 수 있으므로 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 abc=2x_2y_2z=2x+y+z abc=2Ç 에서 2x+y+z=2n ∴ x+y+z=n yy`㉠ 15×2×2×2=120 따라서 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 방정식 ㉠을 만족시키는 자연수 따라서 집합 A의 원소의 개수는 120이다. x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수와 같다. x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면 (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=n 0223 -13 r r -2r £Cr(xÛ`)Ü` (-1) =£Cr(-1) xß` (단, r=0, 1, 2, 3) 시키는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍 (x', y', z')의 개수와 (2x+y)Þ`의 전개식의 일반항은 같으므로 °Cs(2x)Þ` y =°Cs2Þ` xÞ` y (단, s=0, 1, 2, y, 5) £HÇÐ£‌=ÇÐÁCÇÐ£=ÇÐÁCª (n-1)(n-2) = 2 -s s -s (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ x'+y'+z'=n-3 이때 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 방정식 x'+y'+z'=n-3을 만족 (xÛ`-1)Ü`의 전개식의 일반항은 -r -s s 따라서 (xÛ`-1)Ü`(2x+y)Þ`의 전개식의 일반항은 £Cr(-1)rxß`-2r×°Cs2Þ`-sxÞ`-sys ‌ 순서쌍 (a, b, c)의 개수가 28이므로 =£Cr×°Cs(-1)r2Þ`-sx11-2r-sys xyÝ` 항은 11-2r-s=1, s=4일 때이므로 순서쌍 (r, s)는 (3, 4) (n-1)(n-2) =28 2 이다. (n-1)(n-2)=56=8_7 xyÝ` 의 계수는 ∴ n=9 a=£C£_°C¢_(-1)Ü`_2=-10 xÝ`yÞ`항은 11-2r-s=4, s=5일 때이므로 순서쌍 (r, s)는 (1, 5) 이다. xÝ`yÞ`의 계수는 0226 b=£CÁ_°C°_(-1)_20=-3 조건 ㈎에서 세 수 a, b, c의 합이 짝수이므로 세 수 a, b, c가 모두 ∴ a+b=-10+(-3)=-13 짝수인 경우와 세 수 a, b, c 중 1개만 짝수인 경우로 나눌 수 있다. ② 44 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 44 2023. 9. 12. 오전 10:01 Ú 세 수 a, b, c가 모두 짝수인 경우 ‌따라서 이때의 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 ‌ 이하의 자연수 중 짝수의 개수는 5이므로 서로 다른 짝수 5 10 ‌ 10×2=20 Ü x+y=10일 때, z+w=0이므로 개에서 중복을 허락하여 3개를 선택하는 경우의 수는 ‌°H£=¦C£=35 ‌ 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y의 순서쌍 (x, y) x+y=10을 의 개수는 값으로 정하면 aÉbÉcÉ10을 만족시킨다. ‌ 0=Á1CÁ0=Á1CÁ=11 ªHÁ Û 세 수 a, b, c 중 1개만 짝수인 경우 1 권 ‌이때 선택한 3개의 수를 작거나 같은 수부터 차례대로 a, b, c의 ‌ 만족시키는 음이 아닌 정수 z, w의 순서쌍 (z, w) z+w=0을 ‌짝수 1개를 선택하는 경우의 수는 의 개수는 °CÁ=5 ‌ ªH¼=ÁC¼=1 ‌ 이하의 자연수 중 홀수의 개수는 5이므로 서로 다른 홀수 5 10 ‌따라서 이때의 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 개에서 중복을 허락하여 2개를 선택하는 경우의 수는 ‌ 11×1=11 ‌°Hª=¤Cª=15 Ú~Ü에서 조건 ㈏를 만족시키지 않는 순서쌍 (x, y, z, w)의 개 ‌이때 선택한 3개의 수를 작거나 같은 수부터 차례대로 a, b, c의 수는 값으로 정하면 aÉbÉcÉ10을 만족시킨다. 27+20+11=58 ‌따라서 세 수 a, b, c 중 1개만 짝수인 경우의 수는 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 ‌5×15=75 286-58=228 Ú, Û에서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 35+75=110 0228 ⑴ (홀수)+(홀수)+(홀수)=(홀수) ⑵ (홀수)+(홀수)+(짝수)=(짝수) ⑶ (홀수)+(짝수)+(짝수)=(홀수) ⑷ (짝수)+(짝수)+(짝수)=(짝수) 120 빨간색, 파란색, 노란색 색연필을 적어도 하나씩 포함하여 10자루 이하의 색연필을 선택하는 경우의 수는 먼저 빨간색, 파란색, 노란 색 색연필을 각각 1자루씩 선택한 후, 남은 색연필을 중복을 허락 하여 7자루 이하로 선택하는 경우의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 £H¼+£HÁ+£Hª+y+£H¦ =ªC¼+£CÁ+¢Cª+y+»C¦ 0227 ① =£C¼+£CÁ+¢Cª+y+»C¦ (∵ ªC¼=£C¼) =¢CÁ+¢Cª+y+»C¦ 구하는 순서쌍의 개수는 조건 ㈎를 만족시키는 순서쌍의 개수에서 ⋮ 조건 ㈏를 만족시키지 않는 순서쌍의 개수를 빼면 된다. =»C¤+»C¦=Á0C¦ 조건 ㈎를 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z, w의 모든 순서쌍 =Á0C£=120 (x, y, z, w)의 개수는 다른 풀이 ¢HÁ0=13CÁ0=13C£=286 구하는 경우의 수는 부등식 a+b+cÉ7을 만족시키는 음이 아닌 조건 ㈏를 만족시키지 않는 경우는 x+y=8, x+y=9, x+y=10 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수와 같다. 일 때이다. 이 순서쌍의 개수는 방정식 a+b+c+d=7을 만족시키는 음이 아 Ú x+y=8일 때, z+w=2이므로 ‌x+y=8을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y의 순서쌍 (x, y) 닌 정수 a, b, c, d의 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수와 같으므로 H7=10C7=10C£=120 4 의 개수는 ªH¥=»C¥=»CÁ=9 ‌ 만족시키는 음이 아닌 정수 z, w의 순서쌍 (z, w) z+w=2를 의 개수는 0229 ‌ ªHª=£Cª=£CÁ=3 네 자리 자연수의 각 자리의 수를 각각 a, b, c, d라 하면 조건 ㈎ ② ‌따라서 이때의 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 에서 각 자리의 수의 합이 14이므로 ‌‌9×3=27 a+b+c+d=14 Û x+y=9일 때, z+w=1이므로 조건 ㈏에서 a, b, c, d는 모두 홀수이므로 ‌x+y=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y의 순서쌍 (x, y) a=2x+1, b=2y+1, c=2z+1, d=2w+1로 놓으면 의 개수는 (2x+1)+(2y+1)+(2z+1)+(2w+1)=14 ‌ ªH»=Á 0C»=Á0CÁ=10 ‌ 만족시키는 음이 아닌 정수 z, w의 순서쌍 (z, w) z+w=1을 ∴ x+y+z+w=5 의 개수는 x, y, z, w 중에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 경우의 수는 ‌ ªHÁ=ªCÁ=2 ¢H°=8C5=8C3=56 (단, x, y, z, w는 0 이상 4 이하의 정수이다.) Ⅰ. 경우의 수 45 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 45 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 x, y, z, w는 0 이상 4 이하의 정수이므로 한 문자만 5번 택하 2ÉnÉ10인 경우에만 xÛ`항이 나오므로 는 4가지 경우는 제외해야 한다. (1+3x)Û`의 전개식에서 xÛ`의 계수는 ªCª_3Û` 따라서 구하는 자연수의 개수는 (1+3x)Ü`의 전개식에서 xÛ`의 계수는 £Cª_3Û` 56-4=52 ⋮ 다른 풀이 (1+3x)10의 전개식에서 xÛ`의 계수는 Á0Cª_3Û` 주어진 조건을 만족시키는 각 자리의 수는 다음과 같다. ………………………………………………………………………………… ➋ (1, 1, 3, 9), (1, 1, 5, 7), (1, 3, 3, 7), (1, 3, 5, 5), 따라서 구하는 xÛ`의 계수는 (3, 3, 3, 5) ªCª_3Û`+£Cª_3Û`+¢Cª_3Û`+y+Á0Cª_3Û` 4! (1, 1, 3, 9)인 경우의 수  =12 2! =3Û`(ªCª+£Cª+¢Cª+y+Á0Cª) 4! (1, 1, 5, 7)인 경우의 수  =12 2! =3Û`(¢C£+¢Cª+y+Á0Cª) (1, 3, 3, 7)인 경우의 수  (1, 3, 5, 5)인 경우의 수  =3Û`(£C£+£Cª+¢Cª+y+Á0Cª) (∵ ªCª=£C£) ⋮ 4! =12 2! =3Û`(10C£+10Cª) =3Û`_11C£ 4! =12 2! =9_165=1485 4! =4 (3, 3, 3, 5)인 경우의 수  3! ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 따라서 구하는 자연수의 개수는 12+12+12+12+4=52 배점 ➊ (1+3x)n의 전개식의 일반항 구하기 20% ➋ 각 항에서 xÛ`의 계수 구하기 40% ➌ xÛ`의 계수 구하기 40% 다른 풀이 0230 243 주어진 식은 첫째항이 1+3x, 공비가 1+3x인 등비수열의 첫째항 3명의 학생에게 같은 종류의 사탕 7개를 적어도 한 개씩 남김없이 부터 제10항까지의 합이므로 나누어 주어야 하므로 3명의 학생에게 각각 사탕을 1개씩 먼저 나 (1+3x)+(1+3x)Û`+(1+3x)Ü`+y+(1+3x)10 누어 준 후, 남은 사탕 4개를 중복을 허락하여 3명의 학생에게 나 = (1+3x){(1+3x)10-1} (1+3x)-1 남은 사탕 4개를 3명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수 = 는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 (1+3x)11-(1+3x) 3x ………………………………………………………………………………… ➊ 누어 주면 된다. £H¢=¤C¢=¤Cª=15 1 과 (1+3x)11에서 xÜ`항이 곱해질 때 나타난다. 3x ………………………………………………………………………………… ➊ 이때 xÛ`항은 3명의 학생에게 서로 다른 종류의 초콜릿 4개를 나누어 주는 경우 ………………………………………………………………………………… ➋ 의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 (1+3x)11의 전개식의 일반항은 £P¢=3Ý` 11 ………………………………………………………………………………… ➋ (1+3x)11의 전개식에서 xÜ` 항은 r=3일 때이므로 xÜ`의 계수는 따라서 구하는 경우의 수는 N=15_3Ý`이므로 11 Cr(3x)r=11Cr 3rxr (단, r=0, 1, 2, …, 11) C£_3Ü` N 15_3Ý` = =3Þ`=243 5 5 ………………………………………………………………………………… ➌ 따라서 구하는 xÛ`의 계수는 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ ‌같은 종류의 사탕 7개를 적어도 한 개씩 나누어 주는 경우의 수 구하기 ➋ ‌서로 다른 종류의 초콜릿 4개를 나누어 주는 경우의 수 구하기 N 의 값 구하기 ➌ 5 0231 40% 1 _ C£_3Ü`=1485 3 11 ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 배점 40% ➊ 주어진 식을 등비수열의 합을 이용하여 정리하기 30% 20% ➋ xÛ`항이 나오는 경우 설명하기 20% ➌ (1+3x)11의 전개식에서 xÜ`의 계수 구하기 30% ➍ xÛ`의 계수 구하기 20% 1485 (1+3x)n의 전개식의 일반항은 Cr(3x)r=nCr 3rxr (단, r=0, 1, 2, …, n) n ………………………………………………………………………………… ➊ 46 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 46 2023. 9. 12. 오전 10:01 Û 토끼 인형 2개를 두 학생에게 각각 1개씩 나누어 주는 경우 ‌토끼 인형을 받을 두 학생을 선택하는 경우의 수는 ‌ £Cª=3 ⑤ ‌이 두 학생에게 토끼 인형 2개를 1개씩 나누어 주는 경우의 수는 ‌2!=2 y=y'+1, z=z'+2, w=w'+3으로 놓으면 ‌이제 나머지 한 학생에게 곰 인형을 1개 먼저 나누어 준 후, 남 xÛ`+(y'+1)+(z'+2)+(w'+3)=20 은 곰 인형 4개를 3명의 학생에게 나누어 주면 된다. (단, y', z', w'은 음이 아닌 정수이다.) 1 권 0232 ‌곰 인형 4개를 3명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 ∴ xÛ`+y'+z'+w'=14 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 Ú x=Ñ1일 때 ‌ £H¢=¤C¢=¤Cª=15 1+y'+z'+w'=14이므로 ‌따라서 이때의 경우의 수는 y'+z'+w'=13 ‌ 3_2_15=90 ‌순서쌍 (y, z, w)의 개수는 y'+z'+w'=13을 만족시키는 음 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 이 아닌 정수 y', z', w'의 순서쌍 (y', z', w')의 개수와 같으므 30+90=120 로 ‌£H13=15C13=15Cª=105 ‌따라서 이때의 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 0234 ‌ 2×105=210 Û x=Ñ2일 때 56 5번의 시행에서 이웃한 두 상자 (A, B), (B, C), (C, D), (D, E) ‌ 4+y'+z'+w'=14이므로 y'+z'+w'=10 를 각각 x, y, z, w (x, y, z, w는 음이 아닌 정수)번 선택했다고 ‌순서쌍 (y, z, w)의 개수는 y'+z'+w'=10을 만족시키는 음 하면 이 아닌 정수 y', z', w'의 순서쌍 (y', z', w')의 개수와 같으므 a=x 로 b=x+y ‌£H10=12C10=12Cª=66 c=y+z d=z+w ‌따라서 이때의 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 e=w ‌ 2×66=132 a+b+c+d+e=10이므로 Ü x=Ñ3일 때 x+(x+y)+(y+z)+(z+w)+w=10 ‌ 9+y'+z'+w'=14이므로 ∴ x+y+z+w=5 y'+z'+w'=5 ‌순서쌍 (y, z, w)의 개수는 y'+z'+w'=5를 만족시키는 음이 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 x+y+z+w=5 아닌 정수 y', z', w'의 순서쌍 (y', z', w')의 개수와 같으므로 를 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z, w의 순서쌍 (x, y, z, w) ‌ £H°=¦C°=¦Cª=21 의 개수와 같으므로 ¢H°=¥C°=¥C£=56 ‌따라서 이때의 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 ‌ 2×21=42 Ú~Ü에서 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 210+132+42=384 0235 0233 ② Ú 토끼 인형 2개를 한 학생에게 모두 주는 경우 ③ 조건 ㈏에서 dÉ4이므로 가능한 d의 값은 0, 1, 2, 3, 4의 5개이다. 또한 c¾d에서 c-d¾0이므로 c-d=e로 놓으면 조건 ㈎에서 a+b+e=9`(단, a, b, e는 음이 아닌 정수이다.) ‌토끼 인형을 받을 한 학생을 선택하는 경우의 수는 a+b+e=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, e의 순서쌍 ‌ £CÁ=3 (a, b, e)의 개수는 ‌이 학생에게 토끼 인형 2개를 주는 경우의 수는 1이다. £H»=ÁÁC»=ÁÁCª=55 ‌이제 나머지 두 학생에게 곰 인형을 각각 1개씩 먼저 나누어 준 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 후, 남은 곰 인형 3개를 3명의 학생에게 나누어 주면 된다. 5_55=275 ‌곰 인형 3개를 3명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 풀이 다른 3개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 a+b+c-d=9에서 ‌ £H£=°C£=°Cª=10 a+b+c=d+9 yy ㉠ ‌따라서 이때의 경우의 수는 d는 음이 아닌 정수이고, dÉ4이므로 ‌ 3_1_10=30 d=0, 1, 2, 3, 4 Ⅰ. 경우의 수 47 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 47 2023. 9. 12. 오전 10:01 0236 Ú d=0일 때 ㉠에서 a+b+c=9 ① (x-'2 )Ü`(x+'2 )á`‌=(x-'2 )Ü`(x+'2 )Ü`(x+'2 )ß` 조건 ㈏에서 c¾d이므로 =(xÛ`-2)Ü`(x+'2 )ß` c¾0 a+b+c=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 (x+'2)ß`의 전개식의 일반항은 ¤Cr xß`-r('2 )r=¤Cr('2 )rxß`-r (단, r=0, 1, 2, …, 6) 따라서 (x+'2 )ß`의 전개식에서 계수가 유리수인 경우는 r의 값이 H9=11C9=11C2=55 3 0, 2, 4, 6인 경우이다. Û d=1일 때 Ú r=0일 때, ¤C¼_('2 )0=1 ㉠에서 a+b+c=10 Û r=2일 때, ¤Cª_('2 )Û`=30 조건 ㈏에서 c¾d이므로 Ü r=4일 때, ¤C¢_('2 )Ý`=60 c¾1 Ý r=6일 때, ¤C¤_('2 )ß`=8 c=c'+1로 놓으면 a+b+(c'+1)=10 (단, c'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ a+b+c'=9 ‌a+b+c'=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c'의 순서쌍 (a, b, c')의 개수는 Ú~Ý에서 (x+'2 )ß`의 전개식에서 상수항을 포함한 계수가 유 리수인 모든 항의 계수의 합은 1+30+60+8=99 또한 (xÛ`-2)Ü`의 전개식에서 계수는 모두 유리수이므로 (xÛ`-2)Ü`의 전개식에서 상수항을 포함한 모든 항의 계수의 합은 H9=55 3 x=1을 대입하면 Ü d=2일 때 (1Û`-2)Ü`=-1 ㉠에서 a+b+c=11 따라서 (x-'2 )Ü`(x+'2 )á`의 전개식에서 상수항을 포함한 계수가 조건 ㈏에서 c¾d이므로 유리수인 모든 항의 계수의 합은 c¾2 99×(-1)=-99 c=c'+2로 놓으면 a+b+(c'+2)=11 (단, c'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ a+b+c'=9 ‌a+b+c'=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c'의 순서쌍 (xÛ`-2)Ü`=a¤xß`+a°xÞ`+a¢xÝ`+y+a¼이라 하면 a¤+a°+a¢+y+a¼의 값은 (xÛ`-2)Ü`에 x=1을 대입하여 구할 수 있다. (a, b, c')의 개수는 H9=55 3 Ý d=3일 때 ㉠에서 a+b+c=12 조건 ㈏에서 c¾d이므로 0237 c¾3 c=c'+3으로 놓으면 a+b+(c'+3)=12 (단, c'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ a+b+c'=9 ‌a+b+c'=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c'의 순서쌍 (a, b, c')의 개수는 다항식 (x+y+z)ß`을 전개했을 때 나타나는 항은 kxaybzc (k는 실수, a, b, c는 0 이상 6 이하의 정수) 꼴이므로 a+b+c=6 yy ㉠ 조건 ㈎에 의하여 H9=55 3 b=1, 2, 3, …, 6 Þ d=4일 때 yy ㉡ 조건 ㈏에 의하여 b+c ㉠에서 a+b+c=13 b=b'+1로 놓으면 조건 ㈏에서 c¾d이므로 a+(b'+1)+c=6 c¾4 ∴ a+b'+c=5 (단, b'=0, 1, 2, …, 5) c=c'+4로 놓으면 a+b+(c'+4)=13 (단, c'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ a+b+c'=9 ‌a+b+c'=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c'의 순서쌍 (a, b, c')의 개수는 yy ㉢㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 ㉢을 만족 시키는 음이 아닌 정수 a, b', c의 순서쌍 (a, b', c)의 개수와 같으 므로 £H°=¦C°=¦Cª=21 b=c일 때, a+2b=6, b¾1이므로 이를 만족시키는 순서쌍 H9=55 3 Ú~Þ에서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 55_5=275 ④ (a, b, c)의 개수는 (4, 1, 1), (2, 2, 2), (0, 3, 3) 의 3이다. 따라서 구하는 서로 다른 항의 개수는 21-3=18 48 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 48 2023. 9. 12. 오전 10:01 0238 ‌ⓑ 남은 ‌ 빵 2개를 B, C에게 하나씩 나누어 주는 경우 ④ f(x-1)= Á xk에서 x-1=t로 놓으면 빵을 받은 학생은 반드시 우유를 받아야 하므로 B, C에게 우 20 유를 1개씩 준 후, 남은 우유 1개를 세 학생에게 나누어 주는 ‌ 경우의 수는 3이다. k=0 ‌ⓐ, ⓑ에서 구하는 경우의 수는 (t+1)21-1 = (t+1)-1 (t+1)21-1 = t 1 권 f(t)= Á (t+1)k k=0 20 12+3=15 Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 10+12+15=37 21 ∴ f(x)= (x+1) -1 yy ㉠ x f(x)= Á ak xk에서 aÁ0, aÁÁ은 각각 x10, x11의 계수이다. 20 k=0 x10의 계수는 ㉠의 (x+1)21의 전개식에서 x11의 계수와 같고, x11 의 계수는 ㉠의 (x+1)21의 전개식에서 x12의 계수와 같다. 0240 (x+1)21의 전개식의 일반항은 Cr x21-r (단, r=0, 1, 2, …, 21) 21 (1+x)10=10C¼+10CÁ x+10Cª xÛ`+y+10C10 x10 x11항은 r=10일 때이므로 x11의 계수는 21C10 (1-x)10=10C¼-10CÁ x+10Cª xÛ`-y+10C10 x10 x12항은 r=9일 때이므로 x12의 계수는 21C» (1+x)10(1-x)10의 전개식에서 x10의 계수는 Cr-1+n-1Cr=nCr (r=1, 2, 3, …, n-1)이므로 n-1 aÁ¼+aÁÁ‌=21C10+21C» ② C¼_10C10-10CÁ_10C»+10Cª_10C¥ ‌ 10 -…-10C»_10CÁ+10C10_10C¼ =ªªC10 =10C¼_10C¼-10CÁ_10CÁ+10Cª_10Cª -…-10C»_10C»+10C10_10C10 (∵ 조건 ㈏) =(10C¼)Û`-(10CÁ)Û`+(10Cª)Û`-y-(10C»)Û`+(10C10)Û` (1-xÛ`)10의 전개식의 일반항은 0239 37 학생 A는 빵을 1개 이상 받아야 하고, 빵만 받는 학생은 없으므로 A에게 반드시 우유 1개를 주어야 한다. 즉, 구하는 경우의 수는 빵 1개, 우유 1개를 A에게 준 후, 남은 빵 2개와 우유 3개를 세 학생 에게 나누어 주는 경우의 수와 같다. 학생 A에게 주는 빵의 개수에 따라 다음과 같이 경우를 나눌 수 있 다. Cs(-xÛ`)s=10Cs(-1)sx2s (단, s=0, 1, 2, …, 10) 10 이때 x10항은 s=5일 때이므로 (1-xÛ`)10의 전개식에서 x10의 계수 는 C°(-1)Þ`=-10C° 10 조건 ㈎에 의하여 (1-xÛ`)10의 전개식에서 x10의 계수와 (1+x)10(1-x)10의 전개식에서 x10의 계수는 같으므로 (10C¼)Û`-(10CÁ)Û`+(10Cª)Û`-y-(10C»)Û`+(10C10)Û`=-10C° Ú 남은 빵 2개를 모두 A에게 주는 경우 남은 우유 3개를 세 학생에게 나누어 주면 되므로 경우의 수는 £H£=°C£=°Cª=10 Û 남은 빵 2개 중 1개를 A에게 주는 경우 빵 1개를 B 또는 C에게 나누어 주는 경우의 수는 2이다. 학생에게 우유 1개를 준 후, 남은 우유 2개를 세 학생에게 나누 0241 어 주는 경우의 수는 조건 ㈎에서 xnÉxn+1-2이므로 ‌이때 빵을 받은 학생은 반드시 우유를 받아야 하므로 빵을 받은 £Hª=¢Cª=6 n=1일 때, xÁÉx2-2 따라서 구하는 경우의 수는 n=2일 때, x2Éx3-2 2_6=12 xÁ은 음이 아닌 정수이고 조건 ㈏에서 x3É10이므로 Ü 남은 빵을 A에게 주지 않는 경우 ‌ⓐ 남은 ‌ 빵 2개를 B, C 중 1명에게만 주는 경우 84 0ÉxÁÉx2-2Éx3-4É6 yy ㉠ 이때 구하는 순서쌍 (xÁ, x2, x3)의 개수는 순서쌍 빵 2개를 B 또는 C에게 나누어 주는 경우의 수는 2이다. (xÁ, x2-2, x3-4)의 개수와 같다. 이때 빵을 받은 학생은 반드시 우유를 받아야 하므로 빵을 0, 1, 2, y, 6의 7개의 정수 중에서 중복을 허락하여 3개를 선택하 받은 학생에게 우유 1개를 준 후, 남은 우유 2개를 세 학생에 는 경우의 수는 게 나누어 주는 경우의 수는 7 H3=9C3=84 £Hª=¢Cª=6 선택한 3개의 수를 작거나 같은 수부터 차례대로 xÁ, x2-2, x3-4 따라서 남은 빵 2개를 B, C 중 1명에게만 주는 경우의 수는 의 값으로 정하면 ㉠을 만족시킨다. 2_6=12 따라서 구하는 순서쌍 (xÁ, x2, x3)의 개수는 84이다. Ⅰ. 경우의 수 49 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 49 2023. 9. 12. 오전 10:01 0242 115 전체집합 U의 짝수인 원소 12개 중에서 3개 이하의 짝수를 택하는 경우의 수는 두 조건 ㈎, ㈏에 의하여 f(1)의 값에 따라 경우를 나누어 함수의 개 C¼+12CÁ+12Cª+12C£‌=1+12+66+220 12 수를 구할 수 있다. =299 Ú f(1)=1인 경우 따라서 구하는 모든 집합 X의 개수는 ‌조건 ㈎에서 f( f(1))= f(1)=4이므로 모순이다. (13C7+13C8+13C9+y+13C13)_(12C¼+12CÁ+12Cª+12C£) Û f(1)=2인 경우 =299_212 조건 ㈎에서 f( f(1))= f(2)=4 ∴ k=299 ‌조건 ㈏에서 f(3)과 f(5)의 값을 정하는 경우의 수는 2, 3, 4, 5의 4개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¢Hª=°Cª=10 f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 °CÁ=5 따라서 이때의 경우의 수는 10_5=50 Ü f(1)=3인 경우 조건 ㈎에서 f( f(1))= f(3)=4 조건 ㈏에서 f(5)의 값이 될 수 있는 것은 4, 5의 2가지이다. f(2)와 f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 °CÁ_°CÁ=25 따라서 이때의 경우의 수는 2_25=50 Ý f(1)=4인 경우 조건 ㈎에서 f( f(1))= f(4)=4 ‌조건 ㈏에서 f(3)과 f(5)의 값을 정하는 경우의 수는 4, 5의 2 개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ªHª=£Cª=£CÁ=3 f(2)의 값을 정하는 경우의 수는 °CÁ=5 따라서 이때의 경우의 수는 3_5=15 Þ f(1)=5인 경우 조건 ㈎에서 f( f(1))= f(5)=4 ‌그런데 f(1)> f(5)이므로 조건 ㈏를 만족시키지 않는다. Ú~Þ에서 구하는 함수의 개수는 50+50+15=115 0243 299 전체집합 U={x|x는 25 이하의 자연수}의 원소 중 홀수는 13개, 짝수는 12개이다. 전체집합 U의 홀수인 원소 13개 중에서 7개 이상의 홀수를 택하는 경우의 수는 13 C7+13C8+13C9+y+13C13 이때 nCr=nCn-r (r=0, 1, 2, y, n)이므로 C7+13C8+13C9+y+13C13=13C6+13C°+13C¢+y+13C0 13 이항계수의 성질에 의하여 C¼+13CÁ+13Cª+y+13C13=213이므로 13 C7+13C8+13C9+y+13C13=213_ 13 1 =212 2 50 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 50 2023. 9. 12. 오전 10:01 ⑤ AC'BC={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}이므로 확률 n(AC'BC)=10 (참) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 1 다른 풀이 n(A 'B )‌=n((A;B) ) C 확률의 뜻과 활용 C C 권 ⑤ AC'BC=(A;B)C이고 A;B={1, 2}이므로 =n(S)-n(A;B) =12-2=10 01 드모르간의 법칙 시행과 사건 ⑴ {1, 2, 4, 7} ⑵ {1} ⑶ {3, 5, 6, 7, 8} ⑷ {2, 3, 4, 5, 6, 8} 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 (A'B)C=AC;BC, (A;B)C=AC'BC 표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A={1, 2, 4}, B={1, 7} 0247 ⑴ A'B={1, 2, 4, 7} 사건 A와 배반사건인 사건은 AC의 부분집합이고, 사건 B와 배반 ⑵ A;B={1} 8 사건인 사건은 BC의 부분집합이므로 두 사건 A, B와 모두 배반사 ⑶ AC={3, 5, 6, 7, 8} 건인 사건은 AC;BC의 부분집합이다. C ⑷ B ={2, 3, 4, 5, 6, 8} ………………………………………………………………………………… ➊ 이때 S={1, 2, 3, y, 10}, A={4, 8}, B={1, 3, 5, 7, 9}이므로 AC;BC‌={1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10};{2, 4, 6, 8, 10} 0244 ={2, 6, 10} ③ ………………………………………………………………………………… ➋ 표본공간을 S라 하면 따라서 사건 C의 개수는 S={1, 2, 3, y, 20}, A={3, 6, 9, 12, 15, 18}, 2Ü`=8 B={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}, C={7, 14} ………………………………………………………………………………… ➌ 이므로 채점 기준 A;B={3}, B;C={7}, C;A=∅ 따라서 서로 배반사건인 것은 ㄷ이다. 배점 ➊ 두 사건 A, B와 모두 배반사건인 사건의 조건 구하기 40% C ➋ A ;B 구하기 40% ➌ 사건 C의 개수 구하기 20% C 부분집합의 개수 0245 ② 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T로 나타내면 S={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} 집합 A={aÁ, aª, a£, y, an}에 대하여 ⑴ 집합 A의 부분집합의 개수  2n ⑵ 집합 A의 진부분집합의 개수  2n-1 A={HTT, THT, TTH} 이므로 S;AC={HHH, HHT, HTH, THH, TTT} 0248 ∴ n(S;AC)=5 ④ 나오는 두 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 A=‌{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), 0246 ④ (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} B={(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} S={1, 2, 3, y, 12} C={(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)} ① A={1, 2, 3, 6} (참) D={(1, 2), (2, 4), (3, 6)} ② B={1, 2, 5, 10}이므로 ① A;B={(2, 6), (4, 4)} A'B={1, 2, 3, 5, 6, 10} (참) C ③ A ={4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12}이므로 AC;B={5, 10} (참) ② A;C={(1, 4), (3, 6)} 즉, A;C+∅이므로 두 사건 A, C는 서로 배반사건이 아니다. C ④ B ={3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12}이므로 C 즉, A;B+∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이 아니다. n(S)-n(B )=12-8=4 (거짓) ③ A;D={(1, 2), (2, 4), (3, 6)} 즉, A;D+∅이므로 두 사건 A, D는 서로 배반사건이 아니다. Ⅱ. 확률 51 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 51 2023. 9. 12. 오전 10:01 0251 ④ B;C=∅이므로 두 사건 B, C는 서로 배반사건이다. ⑤ C;D={(3, 6)} 즉, C;D+∅이므로 두 사건 C, D는 서로 배반사건이 아니다. 따라서 서로 배반사건인 것끼리 짝 지어진 것은 ④이다. ③ 두 수 a, b를 선택하는 모든 경우의 수는 4_4=16 a_b>31을 만족시키는 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (5, 8), (7, 6), (7, 8) 의 3가지이다. 따라서 구하는 확률은 02 3 16 수학적 확률 ⑴ ;8!; ⑵ ;8#; 0252 서로 다른 세 개의 동전을 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 2_2_2=8 집합 A의 부분집합의 개수는 2Þ`=32 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하자. 0과 2는 반드시 원소로 갖고, -1은 원소로 갖지 않는 집합 A의 부 ⑴ 모두 앞면이 나오는 경우는 분집합의 개수는 HHH ‌ 25-(2+1)=2Û`=4 1 의 1가지이므로 구하는 확률은 8 따라서 구하는 확률은 4 =;8!; 32 ⑵ ‌앞면이 2개 나오는 경우는 HHT, HTH, THH ④ ‌ 의 3가지이므로 구하는 확률은 특정한 원소를 갖거나 갖지 않는 부분집합의 개수 3 8 0249 ③ 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6_6=36 나오는 두 눈의 수의 합이 4의 배수가 되는 경우를 순서쌍으로 나 집합 A={aÁ, aª, a£, y, an}에 대하여 ⑴ 집합 A의 특정한 원소 p개를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수  2n-p (단, p<n) ⑵ 집합 A의 특정한 원소 q개를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수  2n-q (단, q<n) ⑶ ‌집합 A의 특정한 원소 p개는 반드시 원소로 갖고, 특정한 원소 q개는 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수  2n-(p+q) (단, p+q<n) 타내면 다음과 같다. Ú 두 눈의 수의 합이 4가 되는 경우 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지 0253 Û 두 눈의 수의 합이 8이 되는 경우 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5가지 ;9%; 서로 다른 두 개의 주사위 A, B를 동시에 던질 때 나오는 모든 경 Ü 두 눈의 수의 합이 12가 되는 경우 우의 수는 (6, 6)의 1가지 Ú∼Ü에서 나오는 두 눈의 수의 합이 4의 배수가 되는 경우의 수는 3+5+1=9 6_6=36 ………………………………………………………………………………… ➊ 이차방정식 xÛ`-2ax+3b=0이 서로 다른 두 실근을 가지려면 이 따라서 구하는 확률은 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, D>0이어야 하므로 9 =;4!; 36 D =(-a)Û`-3b>0 4 ∴ aÛ`>3b ………………………………………………………………………………… ➋ 0250 ⑤ 정사면체 모양의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 4_4=16 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 두 수의 곱이 홀수가 되려면 두 수 모 두 홀수이어야 하므로 그 경우의 수는 3_3=9 따라서 구하는 확률은 9 16 aÛ`>3b를 만족시키는 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (4, 4), (5, 4), (6, 4), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (6, 6) 의 20가지이다. 52 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 52 2023. 9. 12. 오전 10:01 따라서 구하는 확률은 a, b, c는 각각 1부터 6까지의 자연수이므로 20 5 = 36 9 (a-2)Û`+(b-3)Û`+(c-4)Û`=2를 만족시키려면 (a-2)Û`, (b-3)Û`, (c-4)Û` 중 하나는 0이고 나머지 두 개는 1이어 ………………………………………………………………………………… ➌ 야 한다. Ú (a-2)Û`=0, (b-3)Û`=1, (c-4)Û`=1인 경우 배점 ➊ 모든 경우의 수 구하기 20% (a-2)Û`=0에서 a=2 ➋ 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건 구하기 30% (b-3)Û`=1에서 b=2 또는 b=4 ➌ 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 확률 구하기 50% (c-4)Û`=1에서 c=3 또는 c=5 1 권 채점 기준 즉, 이때의 경우의 수는 이차방정식의 근의 조건 1_2_2=4 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판별식을 D=bÛ`-4ac라 하면 ⑴ 실근을 가질 조건  D¾0 ⑵ 서로 다른 두 실근을 가질 조건  D>0 ⑶ 실근을 갖지 않을 조건  D<0 Û (a-2)Û`=1, (b-3)Û`=0, (c-4)Û`=1인 경우 (a-2)Û`=1에서 a=1 또는 a=3 (b-3)Û`=0에서 b=3 D 이차방정식이 axÛ`+2b'x+c=0 꼴일 경우는 =b'Û`-ac를 이용하면 4 편리하다. (c-4)Û`=1에서 c=3 또는 c=5 즉, 이때의 경우의 수는 2_1_2=4 Ü (a-2)Û`=1, (b-3)Û`=1, (c-4)Û`=0인 경우 (a-2)Û`=1에서 a=1 또는 a=3 0254 (b-3)Û`=1에서 b=2 또는 b=4 ② (c-4)Û`=0에서 c=4 24의 모든 양의 약수는 즉, 이때의 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24의 8개 2_2_1=4 Ú∼Ü에서 (a-2)Û`+(b-3)Û`+(c-4)Û`=2를 만족시키는 경우 50의 모든 양의 약수는 1, 2, 5, 10, 25, 50의 6개 의 수는 따라서 두 수 a, b를 택하는 모든 경우의 수는 4+4+4=12 8_6=48 따라서 구하는 확률은 i a+i b=0을 만족시키는 두 수 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 12 1 = 216 18 다음과 같다. Ú i a=i , i b=-i 인 경우 i b=-i 를 만족시키는 b의 값이 존재하지 않는다. Û i a=-i , i b=i 인 경우 (3, 1), (3, 5), (3, 25)의 3가지 Ü i a=1, i b=-1인 경우 (4, 2), (4, 10), (4, 50), (8, 2), (8, 10), (8, 50), (12, 2), 03 (12, 10), (12, 50), (24, 2), (24, 10), (24, 50)의 12가지 순열을 이용하는 확률 ⑴ ;5!; Ý i a=-1, i b=1인 경우 b i =1을 만족시키는 b의 값이 존재하지 않는다. Ú~Ý에서 i a+i b=0을 만족시키는 경우의 수는 ⑵ ;5@; ‌5명을 일렬로 세우는 경우의 수는 3+12=15 5! 따라서 구하는 확률은 ⑴ A가 ‌ 맨 앞에 서게 되는 경우는 A를 맨 앞에 세우고 나머지 4명 15 5 = 48 16 을 A 뒤에 세우면 되므로 그 경우의 수는 4! i 의 거듭제곱 따라서 구하는 확률은 자연수 k에 대하여 i 4k-3=i , i 4k-2=-1, i 4k-1=-i , i 4k=1 4! 4! 1 = = 5! 5_4! 5 ⑵ ‌A, B를 한 사람으로 생각할 때, 4명을 일렬로 세우는 경우의 수 는 4!이고, A, B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!이므로 A, B가 이웃하게 서는 경우의 수는 0255 ① 따라서 구하는 확률은 한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6_6_6=216 4!_2! 4!_2! 4!_2 = =;5@; 5! 5_4! Ⅱ. 확률 53 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 53 2023. 9. 12. 오전 10:01 0256 ② 0259 ③ 선생님 2명과 학생 5명, 즉 7명을 일렬로 세우는 경우의 수는 8자루의 필기구를 일렬로 나열하는 경우의 수는 7! 8! 2명의 선생님을 양 끝에 세우는 경우의 수는 3종류의 색연필을 1자루의 색연필로, 2종류의 형광펜을 1자루의 2! 형광펜으로, 3종류의 볼펜을 1자루의 볼펜으로 생각하여 3자루의 가운데에 학생 5명을 일렬로 세우는 경우의 수는 필기구를 일렬로 나열하는 경우의 수는 5! 3! 즉, 2명의 선생님이 양 끝에 서서 사진을 찍는 경우의 수는 색연필끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!_5! 3! 따라서 구하는 확률은 형광펜끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!_5! 2_5! ‌= 7! 7_6_5! 2! = 볼펜끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 1 21 3! 즉, 색연필은 색연필끼리, 형광펜은 형광펜끼리, 볼펜은 볼펜끼리 이웃하도록 나열하는 경우의 수는 0257 ;3Á5; 7명의 학생을 일렬로 세우는 경우의 수는 3!_3!_2!_3! 따라서 구하는 확률은 3!_3!_2!_3! 6_6_2_3! ‌= 8! 8_7_6_5_4_3! 7! 여학생 4명을 일렬로 세우는 경우의 수는 = 4! 3 280 여학생 사이사이의 3개의 자리에 남학생 3명을 일렬로 세우는 경우 의 수는 3! 즉, 남학생 3명과 여학생 4명을 교대로 세우는 경우의 수는 4!_3! 0260 따라서 구하는 확률은 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 6개의 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5로 4!_3! 4!_6 ‌= 7! 7_6_5_4! 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 = ;2!5#; 5_5P£=5_60=300 1 35 ………………………………………………………………………………… ➊ 네 자리 자연수가 짝수가 되는 경우는 다음과 같다. Ú 일의 자리의 수가 0이 되는 경우 0258 ③ 네 자리 자연수의 개수는 P£=60 5 7개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 7! 5개의 문자 r, t, i, f, y 중에서 g와 a 사이에 들어갈 3개의 문자를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는 5 P£=60 g와 a, 그 사이에 들어가는 3개의 문자를 포함한 5개의 문자를 한 Û 일의 자리의 수가 2가 되는 경우 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 네 자리 자연수의 개수는 4_4Pª=4_12=48 Ü 일의 자리의 수가 4가 되는 경우 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 네 자리 자연수의 개수는 4_4Pª=4_12=48 문자로 생각하여 3개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 Ú~Ü에서 짝수가 되는 네 자리 자연수의 개수는 3! 60+48+48=156 이때 g와 a가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➋ 2! 따라서 구하는 확률은 즉, g와 a 사이에 3개의 문자가 있도록 7개의 문자를 나열하는 경 156 13 = 300 25 우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➌ 60_3!_2! 따라서 구하는 확률은 채점 기준 배점 60_3!_2! 60_3!_2 ‌= 7! 7_6_5_4_3! ➊ 모든 네 자리 자연수의 개수 구하기 30% 1 7 ➋ 짝수가 되는 네 자리 자연수의 개수 구하기 50% ➌ 네 자리 자연수가 짝수일 확률 구하기 20% = 54 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 54 2023. 9. 12. 오전 10:01 0261 ④ 채점 기준 배점 20% ➊ 모든 경우의 수 구하기 9장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ➋ ‌앞에서 두 번째에 서는 사람이 자신과 이웃한 두 사람보다 키가 9! 는 카드의 양옆에 나열하는 경우의 수는 ➌ ‌앞에서 두 번째에 서는 사람이 자신과 이웃한 두 사람보다 키가 클 확률 구하기 60% 1 권 숫자가 적혀 있는 4장의 카드 중에서 2장을 택해 문자 A가 적혀 있 큰 경우의 수 구하기 20% Pª=12 4 ( 숫자 , A , 숫자 )를 한 장의 카드로 생각하여 7장의 카드 를 일렬로 나열하는 경우의 수는 7! 즉, 문자 A가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에 숫자가 적혀 있는 카 드가 놓이는 경우의 수는 04 12_7! 따라서 구하는 확률은 0263 12_7! 12_7! ‌= 9! 9_8_7! = 원순열을 이용하는 확률 ② 8명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 1 6 (8-1)!=7! 각 부부를 한 사람으로 생각할 때, 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!=3! 이때 부부끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 각각 2! 0262 ;3!; 즉, 부부끼리 이웃하여 앉는 경우의 수는 3!_2!_2!_2!_2! 5명을 일렬로 세우는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 5!=120 3!_2!_2!_2!_2! 3!_2_2_2_2 ‌= 7! 7_6_5_4_3! ………………………………………………………………………………… ➊ 앞에서 두 번째에 서 있는 사람이 자신과 이웃한 두 사람보다 키가 = 커야 하므로 두 번째에는 키가 가장 큰 사람 또는 두 번째로 큰 사 2 105 람 또는 세 번째로 큰 사람이 설 수 있다. Ú 키가 가장 큰 사람이 두 번째에 서는 경우 나머지 4명을 일렬로 세우고 두 번째에 키가 가장 큰 사람을 세 우면 되므로 그 경우의 수는 0264 4!=24 6명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 Û 키가 두 번째로 큰 사람이 두 번째에 서는 경우 ③ (6-1)!=5! 키가 가장 큰 사람을 제외한 나머지 3명 중에서 2명을 택해 두 A, B를 한 사람으로 생각할 때, 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 번째로 큰 사람의 바로 양 옆에 세우고 나머지 2명을 네 번째와 (5-1)!=4! 다섯 번째에 세우면 되므로 그 경우의 수는 이때 A, B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 3Pª_2!=6_2=12 Ü 키가 세 번째로 큰 사람이 두 번째에 서는 경우 2! 즉, A, B가 이웃하여 앉는 경우의 수는 키가 가장 큰 사람과 두 번째로 큰 사람을 네 번째와 다섯 번째 4!_2! 에 세운 후 나머지 2명을 그 앞에 일렬로 세우고 그 사이에 세 따라서 구하는 확률은 번째로 큰 사람을 세우면 되므로 그 경우의 수는 4!_2! 4!_2 = =;5@; 5! 5_4! 2!_2!=4 Ú~Ü에서 앞에서 두 번째에 서는 사람이 자신과 이웃한 두 사람 보다 키가 큰 경우의 수는 24+12+4=40 ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 구하는 확률은 0265 ;5!; 7명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 40 =;3!; 120 (7-1)!=6! ………………………………………………………………………………… ➌ ………………………………………………………………………………… ➊ Ⅱ. 확률 55 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 55 2023. 9. 12. 오전 10:01 0268 2학년 대표 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!=3! 2학년 대표들 사이사이의 네 자리에 1학년 대 9명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 2 (9-1)!=8! 표 3명이 앉는 경우의 수는 4 2 P£=24 ③ 2 그런데 정삼각형 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가지 방법 에 대하여 다음 그림과 같이 3가지의 서로 다른 경우가 존재한다. 즉, 1학년 대표 3명은 어떤 두 사람도 이웃하지 2 않게 앉는 경우의 수는 1 3!_24 7 4 따라서 구하는 확률은 5 6 3 4 5 7 9 7 2 6 8 8 1 8 3 ………………………………………………………………………………… ➋ 3!_24 3!_24 = =;5!; 6! 6_5_4_3! 9 9 2 6 1 5 2 3 4 따라서 9명이 주어진 정삼각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 ➊ 모든 경우의 수 구하기 ➋ ‌1학년 대표 3명은 어떤 두 사람도 이웃하지 않게 앉는 경우의 수 구하기 ➌ 1학년 대표 3명은 어떤 두 사람도 이웃하지 않게 앉을 확률 구하기 3_8! A, B가 탁자의 같은 모서리에 앉으려면 같은 모서리에 있는 세 자 배점 리 중 두 자리를 골라 앉으면 되고, 이때 A, B를 제외한 7명이 나 30% 머지 7자리에 앉는 경우의 수는 7!이므로 A, B가 탁자의 같은 모 서리에 앉는 경우의 수는 50% £Pª_7!=6_7! 20% 따라서 구하는 확률은 6_7! 6_7! = =;4!; 3_8! 3_8_7! 0266 ② 10가지 색을 원판에 모두 칠하는 경우의 수는 (10-1)!=9! 빨간색을 칠하는 영역이 결정되면 파란색을 칠하는 영역은 그 맞은 05 편에 고정된다. 즉, 빨간색을 칠한 맞은편에 파란색을 칠하는 경우 의 수는 파란색을 제외한 나머지 9가지 색을 원판에 칠하는 경우의 수와 같으므로 (9-1)!=8! 중복순열을 이용하는 확률 0269 ② 1부터 7까지의 자연수 중에서 중복을 허락하여 4개의 수를 뽑아 만 따라서 구하는 확률은 들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 8! 8! = =;9!; 9! 9_8! P4=74 7 네 자리 자연수가 5의 배수가 되려면 일의 자리의 숫자가 될 수 있 는 것은 5의 1개, 천의 자리의 숫자, 백의 자리의 숫자, 십의 자리 의 숫자를 택하는 경우의 수는 7P3=7Ü`이므로 5의 배수가 되는 네 0267 ① 8가지의 나물을 원형으로 놓는 경우의 수는 (8-1)!=7! 시금 치 시금치나물과 고사리나물을 서로 마주 보 자리 자연수의 개수는 1_7Ü`=7Ü` 따라서 구하는 확률은 7Ü` =;7!; 7Ý` 게 놓고, 남은 6개의 자리 중에서 서로 이 웃하게 숙주나물과 취나물을 놓을 2자리를 고사 리 택하는 경우는 오른쪽 그림과 같이 4가지 가 있다. 0270 이때 숙주나물과 취나물이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!, 남 3명의 등산객이 4개의 등산 코스 중에서 임의로 한 등산 코스를 선 은 4개의 자리에 나머지 나물을 놓는 경우의 수가 4!이므로 시금치 택하는 경우의 수는 나물과 고사리나물은 서로 마주 보게 놓고, 숙주나물과 취나물은 ¢P£=4Ü`=64 서로 이웃하게 놓는 경우의 수는 3명이 모두 같은 등산 코스를 선택하는 경우의 수는 4_2!_4! 4 따라서 구하는 확률은 따라서 구하는 확률은 4_2!_4! 4_2_4! = =;10$5; 7! 7_6_5_4! 4 =;1Á6; 64 ;1Á6; CÁ=4 56 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 56 2023. 9. 12. 오전 10:01 0271 ③ 0274 ③ 3명이 5편의 영화 중에서 임의로 한 편의 영화를 선택하는 경우의 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬로 나 수는 열하여 만들 수 있는 모든 네 자리 자연수의 개수는 1 P¢=5Ý`=625 P£=5Ü`=125 권 5 5 이때 만들어진 네 자리 자연수 중 3500보다 큰 수는 3명이 서로 다른 영화를 선택하는 경우의 수는 P£=60 35, 4, 5 따라서 구하는 확률은 꼴이다. 60 =;2!5@; 125 35 꼴인 수의 개수는 5 Pª=5Û`=25 5 4 꼴인 수의 개수는 P£=5Ü`=125 5 5 꼴인 수의 개수는 P£=5Ü`=125 5 즉, 3500보다 큰 네 자리 자연수의 개수는 25+125+125=275 0272 ④ 1부터 6까지의 자연수 중에서 중복을 허락하여 3개의 수를 뽑아 만 따라서 구하는 확률은 275 =;2!5!; 625 들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 P£=6Ü`=216 6 1부터 6까지의 자연수 중에서 홀수는 1, 3, 5의 3개이고 각 자리의 숫자의 곱이 홀수이려면 각 자리의 숫자가 모두 홀수이어야 하므로 그 경우의 수는 0275 ;1°2¢5; 다섯 개의 숫자 2, 3, 4, 5, 6 중에서 중복을 허락하여 임의로 세 수 P£=3Ü`=27 3 를 택하는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 P£=5Ü`=125 5 27 =;8!; 216 다섯 개의 숫자 2, 3, 4, 5, 6 중에서 짝수는 2, 4, 6의 3개, 홀수는 3, 5의 2개이므로 ab+c의 값이 홀수인 경우는 다음과 같다. Ú ab는 짝수, c는 홀수인 경우 ‌ 짝수가 되려면 a, b가 모두 홀수인 경우를 제외해야 하므 ab가 로 그 경우의 수는 ‌5Pª-ªPª=5Û`-2Û`=25-4=21 ‌ 홀수인 경우의 수는 2 c가 0273 ;8°1; 5명이 가위바위보를 한 번 할 때 나오는 모든 경우의 수는 ‌즉, ab는 짝수, c는 홀수인 경우의 수는 ‌ 21_2=42 Û ab는 홀수, c는 짝수인 경우 P5=35=243 ‌ 홀수가 되려면 a, b가 모두 홀수이어야 하므로 그 경우의 ab가 3 ………………………………………………………………………………… ➊ 수는 이기는 4명을 정하는 경우는 지는 한 명을 정하는 경우와 같으므로 ‌ªPª=2Û`=4 5가지이고, 이기는 4명이 가위, 바위, 보 중에서 어느 하나를 냈을 ‌ 짝수인 경우의 수는 3 c가 때 나머지 한 명이 내는 것은 각각 보, 가위, 바위로 정해지므로 ‌즉, ab는 홀수, c는 짝수인 경우의 수는 4명이 이기는 경우의 수는 ‌ 4_3=12 5_3=15 Ú, Û에서 ab+c의 값이 홀수인 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➋ 42+12=54 따라서 구하는 확률은 따라서 구하는 확률은 15 5 = 243 81 54 125 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ 모든 경우의 수 구하기 30% ➋ ‌4명이 이기는 경우의 수 구하기 50% ➌ 4명이 이길 확률 구하기 20% (짝수)_(짝수)=(짝수) (짝수)_(홀수)=(짝수) (홀수)_(짝수)=(짝수) (홀수)_(홀수)=(홀수) (짝수)+(짝수)=(짝수) (짝수)+(홀수)=(홀수) (홀수)+(짝수)=(홀수) (홀수)+(홀수)=(짝수) Ⅱ. 확률 57 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 57 2023. 9. 12. 오전 10:01 06 이때 2, 2, 2, 4가 자리를 바꾸는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열을 이용하는 확률 0276 4! =4 3! ① 9개의 문자 h, a, p, p, i, n, e, s, s를 일렬로 나열하는 경우의 수는 9! =;4!;_9! 2!_2! 이므로 짝수끼리 이웃하도록 나열하는 경우의 수는 12_4=48 ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 구하는 확률은 주어진 9개의 문자를 일렬로 나열할 때, 양 끝에 같은 문자가 오는 경우는 다음과 같다. 48 =;3¢5; 420 ………………………………………………………………………………… ➌ Ú 양 끝에 p가 놓이는 경우 p와 p 사이에 h, a, i, n, e, s, s를 일렬로 나열하면 되므로 그 경우의 수는 7! =;2!;_7! 2! 채점 기준 배점 ➊ 모든 경우의 수 구하기 30% ➋ 짝수끼리 이웃하도록 나열하는 경우의 수 구하기 50% ➌ 짝수끼리 이웃하도록 나열할 확률 구하기 20% Û 양 끝에 s가 놓이는 경우 s와 s 사이에 h, a, p, p, i, n, e를 일렬로 나열하면 되므로 그 경우의 수는 7! =;2!;_7! 2! 0279 Ú, Û에서 양 끝에 같은 문자가 오도록 나열하는 경우의 수는 ⑤ A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 1 1 _7!+ _7!=7! 2 2 9! 9_8_7_6! = =84 6!_3! 6!_6 따라서 구하는 확률은 A지점에서 P지점을 거쳐 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 7! 7! = =;1Á8; 1 1 _9! _9_8_7! 4 4 4! 5! _ =6_5=30 2!_2! 4! 따라서 구하는 확률은 30 5 = 84 14 0277 ② A, A, A, B, B, C의 문자가 하나씩 적혀 있는 6장의 카드를 일렬 로 나열하는 경우의 수는 0280 6! =60 3!_2! 양 끝 모두에 A가 적혀 있는 카드를 놓고 그 사이에 A, B, B, C의 문자가 적힌 4장의 카드를 나열하면 되므로 그 경우의 수는 ② 6명의 학생들의 발표 순서를 정하는 경우의 수는 6! 종민, 성주, 수아를 모두 같은 문자 X로 놓고, 나머지 세 학생을 각 4! =12 2! 각 A, B, C라 하면 수아가 종민이와 성주보다 먼저 발표하도록 발 따라서 구하는 확률은 표 순서를 정하는 것은 6개의 문자 X, X, X, A, B, C를 일렬로 12 =;5!; 60 나열한 후 첫 번째 X에는 수아를, 뒤의 두 X에는 종민과 성주를 일렬로 배치하는 것과 같다. 6개의 문자 X, X, X, A, B, C를 일렬로 나열하는 경우의 수는 6! 6! = =5! 3! 6 0278 ;3¢5; 이때 종민이와 성주가 순서를 바꾸는 경우의 수는 2! 7개의 숫자 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수는 즉, 수아가 종민이와 성주보다 먼저 발표하도록 순서를 정하는 경 7! =420 2!_3! 우의 수는 5!_2! ………………………………………………………………………………… ➊ 짝수 2, 2, 2, 4를 한 숫자 X로 생각하여 4개의 숫자 X, 1, 1, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! =12 2! 따라서 구하는 확률은 5!_2! 5!_2 ‌= 6! 6_5! = 1 3 58 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 58 2023. 9. 12. 오전 10:01 0281 37 0283 ② 9장의 카드 중에서 3장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 6_6_6=216 9 a, b, c는 1 이상 6 이하의 자연수이고 1부터 9까지의 자연수 중에서 홀수는 1, 3, 5, 7, 9의 5개, 짝수는 16=1_4_4=2_2_4 2, 4, 6, 8의 4개가 있으므로 카드에 적혀 있는 세 수의 합이 홀수 이므로 abc=16인 경우의 수는 1, 4, 4를 일렬로 나열하는 경우의 인 경우는 다음과 같다. 수와 2, 2, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수의 합과 같다. Ú (홀수)+(홀수)+(홀수)인 경우 C£=84 즉, abc=16인 경우의 수는 1 권 한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 홀수가 적혀 있는 5장의 카드 중에서 3장을 꺼내는 경우의 수는 3! 3! + =3+3=6 2! 2! C£=10 5 Û (홀수)+(짝수)+(짝수)인 경우 이므로 abc=16일 확률은 홀수가 적혀 있는 5장의 카드 중에서 1장, 짝수가 적혀 있는 4 6 1 = 216 36 장의 카드 중에서 2장을 꺼내는 경우의 수는 CÁ_4Cª=5_6=30 5 따라서 p=36, q=1이므로 Ú, Û에서 카드에 적혀 있는 세 수의 합이 홀수인 경우의 수는 p+q=36+1=37 10+30=40 따라서 구하는 확률은 0282 ⑤ 40 10 = 84 21 challenging에 있는 11개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 11! 1 = _11! 2!_2!_2! 8 e가 a보다 앞에 오고, g가 n보다 뒤에 오려면 a, e를 모두 x로, n, g, n, g를 모두 y로 놓고 일렬로 나열한 후 앞의 x는 e로, 뒤의 x는 a로, 앞의 두 y는 n으로, 뒤의 두 y는 g로 바꾸면 된다. 11개의 문자 c, h, x, l, l, x, y, y, i, y, y를 일렬로 나열하는 경 우의 수는 0284 ③ 7개의 공 중에서 4개의 공을 꺼내는 경우의 수는 C¢=35 7 흰 공 3개 중에서 2개, 검은 공 4개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 Cª_4Cª=3_6=18 11! 1 = _11! 2!_2!_4! 96 3 따라서 구하는 확률은 18 35 따라서 구하는 확률은 1 _11! 96 =;9¥6;=;1Á2; 1 _11! 8 0285 ;3¦0; 10명의 학생 중에서 3명의 대표를 뽑는 경우의 수는 C£=120 10 07 ………………………………………………………………………………… ➊ 조합을 이용하는 확률 ⑴ ;2Á8; 수민이는 포함되고 규미는 포함되지 않으려면 수민이와 규미를 제 ⑵ ;7#; 8개의 제비 중에서 2개의 제비를 뽑는 경우의 수는 Cª=28 8 ⑴ 당첨 제비 2개 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는 Cª=1 2 따라서 구하는 확률은 1 28 외한 8명의 학생 중에서 2명을 뽑으면 되므로 수민이는 포함되고 규미는 포함되지 않도록 대표 3명을 뽑는 경우의 수는 Cª=28 8 ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 구하는 확률은 28 7 = 120 30 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 ⑵ ‌당첨 제비 2개 중에서 1개, 당첨 제비가 아닌 제비 6개 중에서 1 배점 30% 개를 뽑는 경우의 수는 ➊ 모든 경우의 수 구하기 CÁ_6CÁ=2_6=12 ➋ ‌수민이는 포함되고 규미는 포함되지 않도록 대표 3명을 뽑는 경 2 따라서 구하는 확률은 12 =;7#; 28 우의 수 구하기 ➌ ‌수민이는 포함되고 규미는 포함되지 않도록 대표 3명을 뽑을 확 률 구하기 50% 20% Ⅱ. 확률 59 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 59 2023. 9. 12. 오전 10:01 0286 ① 의 직각삼각형을 만들 수 있고, 10개의 점으 7개의 동전 중에서 2개를 택하는 경우의 수는 7 오른쪽 그림과 같이 1개의 지름에 대하여 8개 로 만들 수 있는 지름은 5개이므로 직각삼각 Cª=21 처음에 앞면이 보이도록 놓여 있는 동전의 개수를 n이라 하면 뒷면 이 보이도록 놓여 있는 동전의 개수는 7-n이다. 형의 개수는 8_5=40 ………………………………………………………………………………… ➋ 7개의 동전 중에서 2개를 택하여 뒤집었을 때, 앞면과 뒷면의 개수 가 처음과 같으려면 앞면이 보이는 동전 중 1개, 뒷면이 보이는 동 따라서 구하는 확률은 전 중 1개를 택하여야 한다. 40 =;3!; 120 앞면이 보이는 동전 n개 중에서 1개, 뒷면이 보이는 동전 (7-n) ………………………………………………………………………………… ➌ 개 중에서 1개를 택하는 경우의 수는 채점 기준 CÁ_7-nCÁ=n(7-n) n(7-n) 4 즉, = 이므로 21 7 n 7n-nÛ`=12, nÛ`-7n+12=0 배점 ➊ 모든 경우의 수 구하기 30% ➋ ‌만들 수 있는 직각삼각형의 개수 구하기 50% ➌ ‌직각삼각형일 확률 구하기 20% (n-3)(n-4)=0 원에 내접하는 직각삼각형 ∴ n=3 또는 n=4 오른쪽 그림과 같이 반원에 대한 원주각의 크기는 90ù이므로 원에 내접하는 직각삼각형은 지름의 양 끝 점과 원 위의 다른 한 점을 택하여 만들 수 있다. 따라서 앞면이 보이도록 놓인 동전의 개수는 3, 뒷면이 보이도록 놓인 동전의 개수는 4이거나 앞면이 보이도록 놓인 동전의 개수는 4, 뒷면이 보이도록 놓인 동전의 개수는 3이므로 구하는 동전의 개 수의 차는 4-3=1 0289 0287 ⑤ Cª=120 16 C£=35 선택된 3개의 수의 곱 a와 선택되지 않은 4개의 수의 곱 b가 모두 짝수가 되려면 선택된 세 수와 선택되지 않은 네 수에 모두 짝수가 1개 이상 포함되어야 한다. 1부터 7까지의 자연수 중에서 홀수는 1, 3, 5, 7의 4개, 짝수는 2, 4, 6의 3개이므로 a, b가 모두 짝수인 경우는 다음과 같다. 홀수 4개 중에서 1개, 짝수 3개 중에서 2개를 선택하는 경우의 수는 Ú n(B)=4인 경우 원소의 개수가 4인 집합 B의 개수는 C¢=1 4 집합 A는 집합 B의 부분집합 중 A=B인 경우를 제외한 것이 2Ý`-1=16-1=15 즉, 두 집합 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수는 1_15=15 CÁ_3Cª=4_3=12 Û n(B)=3인 경우 Û 홀수 2개, 짝수 1개를 선택하는 경우 홀수 4개 중에서 2개, 짝수 3개 중에서 1개를 선택하는 경우의 원소의 개수가 3인 집합 B의 개수는 C£=4 4 수는 4 두 집합 A, B에 대하여 A,B인 경우는 다음과 같다. 므로 집합 A의 개수는 Ú 홀수 1개, 짝수 2개를 선택하는 경우 4 집합 X의 부분집합의 개수는 2Ý`=16이므로 X의 부분집합 중에서 서로 다른 두 집합을 택하는 경우의 수는 7개의 자연수 중에서 3개의 수를 선택하는 경우의 수는 7 ④ 집합 A는 집합 B의 부분집합 중 A=B인 경우를 제외한 것이 Cª_3CÁ=6_3=18 므로 집합 A의 개수는 Ú, Û에서 a, b가 모두 짝수인 경우의 수는 2Ü`-1=8-1=7 12+18=30 즉, 두 집합 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수는 따라서 구하는 확률은 4_7=28 30 6 = 35 7 Ü n(B)=2인 경우 원소의 개수가 2인 집합 B의 개수는 Cª=6 4 0288 ;3!; 집합 A는 집합 B의 부분집합 중 A=B인 경우를 제외한 것이 므로 집합 A의 개수는 10개의 점 중에서 3개의 점을 택하는 경우의 수는 2Û`-1=4-1=3 C£=120 즉, 두 집합 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수는 ………………………………………………………………………………… ➊ 6_3=18 10 60 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 60 2023. 9. 12. 오전 10:01 Ý n(B)=1인 경우 남학생 1명과 여학생 1명으로 이루어진 조가 1개인 경우는 (남, 여), (남, 남), (여, 여) 4 CÁ=4 로 3개의 조를 나누는 경우이므로 그 경우의 수는 집합 A는 집합 B의 부분집합 중 A=B인 경우를 제외한 것이 £CÁ_£CÁ=3_3=9 므로 집합 A의 개수는 따라서 구하는 확률은 21-1=1 9 3 = 15 5 즉, 두 집합 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수는 1 권 원소의 개수가 1인 집합 B의 개수는 4_1=4 Ú~Ý에서 A,B인 서로 다른 두 집합 A, B의 순서쌍 (A, B) 의 개수는 15+28+18+4=65 0293 따라서 구하는 확률은 14명의 학생을 7명씩 두 팀으로 나누는 경우의 수는 65 13 = 120 24 C7_7C7_ 14 178 1 =3432_1_;2!;=1716 2! A와 D는 같은 팀에 속하고, B와 C는 다른 팀에 속하는 경우는 다 음과 같다. Ú (A, B, D, ◯, ◯, ◯, ◯), (C, ◯, ◯, ◯, ◯, ◯, ◯)인 경우 A, B, C, D를 제외한 10명의 학생을 4명, 6명으로 나누면 되 08 므로 그 경우의 수는 조합을 이용하는 확률 - 묶음으로 나누는 경우 C¢_6C6=210_1=210 10 0290 ① Û (A, C, D, ◯, ◯, ◯, ◯), (B, ◯, ◯, ◯, ◯, ◯, ◯)인 경우 A, B, C, D를 제외한 10명의 학생을 4명, 6명으로 나누면 되 12명의 학생을 4명씩 3팀으로 나누는 경우의 수는 C¢_8C¢_4C¢_ 12 므로 그 경우의 수는 C¢_6C6=210_1=210 1 1 =495_70_1_ =5775 3! 6 10 1학년 학생으로만 구성된 팀이 생기려면 1학년 학생 6명 중에서 4 명을 택하여 한 팀을 구성하고 나머지 8명을 4명씩 두 팀으로 나누 면 되므로 그 경우의 수는 Ú, Û에서 A와 D는 같은 팀에 속하고, B와 C는 다른 팀에 속하 는 경우의 수는 210+210=420 따라서 구하는 확률은 1 1 }=15_{70_1_ }=525 6C¢_{8C¢_4C¢_ 2! 2 420 35 = 1716 143 따라서 구하는 확률은 즉, p=143, q=35이므로 525 1 = 5775 11 p+q=143+35=178 0291 ② 10명의 학생을 5명씩 두 개의 조로 나누는 경우의 수는 C°_5C°_ 10 1 =252_1_;2!;=126 2! 09 여학생 3명이 같은 조가 되려면 남학생 7명 중 2명이 여학생 3명과 중복조합을 이용하는 확률 한 조를 이루면 되므로 남학생 7명을 2명, 5명으로 나누면 된다. 0294 따라서 그 경우의 수는 서로 다른 4개에서 중복을 허락하여 7개를 택하는 경우의 수는 7Cª_5C°=21_1=21 ④ H7=10C7=10C£=120 4 이므로 구하는 확률은 A를 2개 이하로 택하는 경우는 다음과 같다. 21 1 = 126 6 Ú A를 0개 택한 경우 ‌A를 제외한 3개의 문자 B, C, D에서 중복을 허락하여 7개를 택하면 되므로 그 경우의 수는 3‌H7=9C7=9Cª=36 0292 ③ 6명의 학생을 2명씩 3개의 조로 나누는 경우의 수는 ¤Cª_¢Cª_ªCª_ 1 1 =15_6_1_ =15 3! 6 Û A를 1개 택한 경우 ‌A를 제외한 3개의 문자 B, C, D에서 중복을 허락하여 6개를 택하면 되므로 그 경우의 수는 ‌H6=8C6=8Cª=28 3 Ⅱ. 확률 61 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 61 2023. 9. 12. 오전 10:01 Ü A를 2개 택한 경우 이때 a는 1부터 9까지의 자연수이고, b, c, d는 9 이하의 음이 아 ‌A를 제외한 3개의 문자 B, C, D에서 중복을 허락하여 5개를 닌 정수이다. 택하면 되므로 그 경우의 수는 a=A+1로 놓으면 a+b+c+d=10에서 3‌H°=7C°=7Cª=21 (A+1)+b+c+d=10 Ú~Ü에서 A를 2개 이하로 택하는 경우의 수는 ∴ A+b+c+d=9 36+28+21=85 이때 A는 8 이하의 음이 아닌 정수이고, b, c, d는 9 이하의 음이 따라서 구하는 확률은 아닌 정수이므로 각 자리의 수의 합이 10인 네 자리 자연수의 개수 85 17 = 120 24 는 방정식 A+b+c+d=9를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개 수에서 A=9, b=c=d=0인 경우의 수를 빼면 된다. 즉, 각 자리의 수의 합이 10인 네 자리 자연수의 개수는 H9-1=12C9-1=12C£-1=220-1=219 4 0295 ;3°3; 방정식 x+y+z=10을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서 따라서 구하는 확률은 219 73 = 9000 3000 쌍 (x, y, z)의 개수는 3 H10=12C10=12Cª=66 ………………………………………………………………………………… ➊ Ú x=5인 경우 x+y+z=10에서 5+y+z=10 10 함수의 개수와 확률 ∴ y+z=5 y+z=5를 만족시키는 음이 아닌 정수 y, z의 순서쌍 (y, z)의 개수는 0297 H°=¤C°=6 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 2 ① P°=35=243 ………………………………………………………………………………… ➋ 3 Û x=7인 경우 조건 ㈏에 의하여 공역과 치역이 같아야 하므로 공역의 3개의 원소 x+y+z=10에서 7+y+z=10 가 모두 정의역의 원소에 대응되어야 한다. ∴ y+z=3 이때 정의역의 원소가 5개, 공역의 원소가 3개이고 조건 ㈎도 만족 y+z=3을 만족시키는 음이 아닌 정수 y, z의 순서쌍 (y, z)의 시켜야 하므로 공역의 원소 1, 2, 3을 하나씩 모두 선택한 후 1, 2, 개수는 3 중에서 중복을 허락하여 2개를 더 선택하여 작거나 같은 수부터 2H£=¢C£=4 차례대로 정의역의 원소 3, 4, 5, 6, 7에 대응시키면 된다. ………………………………………………………………………………… ➌ 즉, 주어진 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는 Ú, Û에서 x의 값이 5 또는 7인 경우의 수는 3 6+4=10 따라서 구하는 확률은 따라서 구하는 확률은 6 2 = 243 81 Hª=4Cª=6 10 5 = 66 33 ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 0298 배점 ➊ 모든 경우의 수 구하기 20% ➋ x=5인 경우의 수 구하기 30% ➌ x=7인 경우의 수 구하기 30% ➍ x=5 또는 x=7일 확률 구하기 20% ① 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 ¢P¢=4Ý`=256 집합 X에서 집합 Y로의 일대일대응인 f의 개수는 ¢P¢=24 따라서 구하는 확률은 24 =;3£2; 256 0296 ⑤ 모든 네 자리 자연수는 1000부터 9999까지이므로 그 개수는 9999-1000+1=9000 천의 자리의 수를 a, 백의 자리의 수를 b, 십의 자리의 수를 c, 일의 자리의 수를 d라 하면 a+b+c+d=10 일대일대응 함수 f`:`X`1Ú`Y가 다음 두 가지를 모두 만족시키면 일대일대응이라고 한다. Ú ‌정의역 X의 임의의 두 원소 xÁ, xª에 대하여 xÁ+xª이면 f(xÁ)+ f(xª) Û 치역과 공역이 같다. 62 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 62 2023. 9. 12. 오전 10:01 0299 ;3£2; f(-1)< f(0)< f(1)을 만족시키는 함수 f의 개수는 C£=4이므로 4 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 4 1 = 64 16 p= ………………………………………………………………………………… ➊ f(-1)É f(0)É f(1)을 만족시키는 함수 f의 개수는 치역이 {1, 3}인 함수의 개수는 집합 X={a, b, c}에서 집합 {1, 3} 4 으로의 함수의 개수에서 치역이 {1} 또는 {3}인 함수의 개수를 빼 면 되므로 치역이 {1, 3}인 함수 f의 개수는 P£-2=2Ü`-2=6 2 ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 구하는 확률은 1 권 P£=4Ü`=64 4 H£=6C£=20이므로 q= 20 5 = 64 16 5 q 16 ∴ = =5 1 p 16 6 3 = 64 32 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ X에서 Y로의 함수 f의 개수 구하기 30% ➋ 치역이 {1, 3}인 함수 f의 개수 구하기 50% ➌ f의 치역이 {1, 3}일 확률 구하기 20% 0302 ;62$5; 집합 X에서 집합 X로의 함수 f의 개수는 °P°=55 조건 ㈎, ㈏를 모두 만족시키려면 f(2)=3. f(1)<3É f(3)É f(4)É f(5) 다른 풀이 이어야 한다. 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 즉, f(1)의 값은 3보다 작은 1, 2의 2가지가 될 수 있고, f(3), P£=4Ü`=64 4 f(4), f(5)의 값은 3보다 크거나 같은 3, 4, 5 중에서 중복을 허락 치역이 {1, 3}일 때 하여 3개를 택하여 작거나 같은 수부터 차례대로 대응시키면 된다. 1, 1, 3 또는 1, 3, 3 을 일렬로 나열한 후 차례대로 정의역의 원소 a, b, c에 대응시키면 되므로 치역이 {1, 3}인 함수 f의 개수는 따라서 주어진 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는 2_3H£=2_5C£=2_10=20 이므로 구하는 확률은 3! 3! + =3+3=6 2! 2! 20 4 = 625 55 따라서 구하는 확률은 6 3 = 64 32 0300 ④ 11 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 ;1¦0; £P£=3Ü`=27 7=1+3+3=2+2+3이므로 f(a)+ f(b)+ f(c)=7을 만족시 키는 함수 f의 개수는 통계적 확률 새로 개발한 독감 백신을 500명의 독감 환자에게 투여했을 때 350 1, 3, 3 또는 2, 2, 3 명이 치료되었으므로 어떤 독감 환자에게 이 백신을 투여했을 때 을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다. 치료될 확률은 즉, f(a)+ f(b)+ f(c)=7을 만족시키는 함수 f의 개수는 350 7 = 500 10 3! 3! + =3+3=6 2! 2! 따라서 구하는 확률은 6 2 = 27 9 0303 ④ 치료제를 투여한 쥐의 수는 100이고, 치료제를 투여하기 시작하여 완치되기까지 걸린 기간이 6일 이하인 쥐의 수는 0301 5 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 P£=4Ü`=64 4 5+18+32=55 따라서 구하는 확률은 55 11 = 100 20 Ⅱ. 확률 63 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 63 2023. 9. 12. 오전 10:01 0304 20 0307 ④ 로봇 장난감에서 불량품이 나올 확률은 주머니 속에 들어 있는 당첨 제비의 개수를 n이라 하면 22번에 1번 16 =;37!5; 6000 꼴로 3개 모두가 당첨 제비였으므로 C£ 1 = C£ 22 n(n-1)(n-2) 1 = 12_11_10 22 n 1 ∴ p= 375 12 소방차 장난감에서 불량품이 나올 확률은 8 =;25!0; 2000 n(n-1)(n-2)=60=5_4_3 1 ∴ q= 250 따라서 주머니 속에 5개의 당첨 제비가 들어 있다고 볼 수 있다. ∴ n=5 ∴ 3000(p+q)‌=3000_{ 1 1 + } 375 250 =8+12=20 0305 ⑤ 12 ;8#; 1000번의 시행에서 200번 흰 공이 나왔으므로 흰 공이 나올 확률은 200 =;5!; 1000 ………………………………………………………………………………… ➊ 상자 속에 들어 있는 공의 개수는 기하적 확률 16칸 중에서 파란색이 칠해진 칸은 6칸이므로 구하는 확률은 6 3 = 16 8 4+5+n=9+n 이고 흰 공이 4개 들어 있으므로 흰 공이 나올 확률은 4 9+n ………………………………………………………………………………… ➋ 즉, 4 1 = 이므로 9+n 5 0308 ② 정사각형 ABCD의 넓이는 3_3=9 9+n=20 오른쪽 그림과 같이 점 P가 ABÓ를 지름 ∴ n=11 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ 흰 공이 나올 확률 구하기 20% ➋ 흰 공이 나올 확률을 n으로 나타내기 40% ➌ n의 값 구하기 40% A D 으로 하는 반원 위에 있을 때, 삼각형 ABP는 직각삼각형이 된다. 즉, 반원의 내부에 점 P를 잡으면 삼각 형 ABP는 둔각삼각형이 된다. 이때 색칠한 도형의 넓이는 3 B P C 3 9 ;2!;_p_{ }Û`= p 2 8 따라서 구하는 확률은 0306 ④ 9 p (색칠한 도형의 넓이) = 8 =p 8 9 (ABCD의 넓이) 40번의 자유투 시도에서 a번 성공했다고 하면 a =0.6 40 0309 ∴ a=24 ;2!; 20번 더 시도하여 b번 성공했다고 할 때, 성공률이 0.7 이상이려면 8등분되어 있으므로 각 영역의 넓이를 1로 보면 전체 영역의 넓이 24+b ¾0.7 40+20 는 8이 된다. 8의 약수는 1, 2, 4, 8이므로 8의 약수가 적힌 영역의 넓이는 4이다. 24+b¾42 따라서 구하는 확률은 ∴ b¾18 따라서 최소한 18번 성공해야 한다. 4 =;2!; 8 64 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 64 2023. 9. 12. 오전 10:01 0310 y ⑤ 한 변의 길이가 4인 정사각형에 외접하는 4 4 412 는 원의 지름의 길이는 정사각형의 한 변 4 O 의 길이와 같은 4이다. 정사각형에 외접하는 원의 넓이는 D B 점 A를 지날 때의 직선의 기울기는 p_(2'2 )Û`=8p 1 권 길이와 같은 4'2이고 정사각형에 내접하 A 4 원의 지름의 길이는 정사각형의 대각선의 C 7 x 4 =1이고, tan`45ù=1이므로 4 이 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 45ù이다. 색칠한 도형의 넓이는 따라서 원점을 지나고 기울기가 양수인 직선이 사각형 ABCD와 (정사각형의 넓이)-(정사각형에 내접하는 원의 넓이) 만나려면 0<hÉ45이어야 하므로 구하는 확률은 ‌=4Û`-p_2Û` 45 =;2!; 90 =16-4p 따라서 구하는 확률은 16-4p 2 = -;2!; 8p p 기하적 확률에서 특정한 값을 가질 확률은 0이다. 즉, 위의 문제에서 h=45일 확률이 0이므로 0ÉhÉ45, 0<hÉ45, 0Éh<45, 0<h<45 는 모두 같은 경우로 생각한다. 0311 ;5@; -1ÉkÉ4이므로 일어날 수 있는 모든 영역의 크기는 |4-(-1)|=5 ………………………………………………………………………………… ➊ 이차방정식 xÛ`-2kx+3k=0이 실근을 가지려면 이 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, D¾0이어야 하므로 D =(-k)Û`-3k¾0 4 13 kÛ`-3k¾0 확률의 기본 성질 ⑴0 k(k-3)¾0 ⑵ ;8%; ⑶1 ∴ kÉ0 또는 k¾3 ………………………………………………………………………………… ➋ ⑴ 주머니 속에는 흰 구슬이 없으므로 흰 구슬이 나올 확률은 0이다. 오른쪽 그림에서 이차방정식 ⑵ 8개의 ‌ 구슬 중에 빨간 구슬은 5개가 있으므로 빨간 구슬이 나올 xÛ`-2kx+3k=0이 실근을 가질 때 의 영역의 크기는 -1 0 3 확률은 4 ⑶ ‌빨간 구슬 또는 파란 구슬이 나오는 사건은 항상 일어나므로 구 |0-(-1)|+|4-3|=1+1=2 따라서 구하는 확률은 5 이다. 8 하는 확률은 1이다. 2 5 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ 일어날 수 있는 모든 영역의 크기 구하기 20% ➋ 이차방정식이 실근을 가질 조건 구하기 40% ➌ 이차방정식이 실근을 가질 확률 구하기 40% 0313 ④ ㄱ. P(S)=1, P(∅)=0이므로 P(S)+P(∅)=1 (참) 2 ㄴ. [반례] P(A)=;4!;, P(B)= 이면 5 0312 ③ 원점을 지나고 기울기가 양수인 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 hù라 하면 이때 P(S)=1이므로 P(S)>P(A)+P(B) (거짓) ㄷ. A,B이면 n(A)Én(B)이므로 0<h<90 원점을 지나고 기울기가 양수인 직선이 사각형 ABCD와 만나려면 다음 그림과 같이 직선의 기울기가 점 A를 지날 때의 기울기와 같 거나 작아야 한다. 2 13 P(A)+P(B)=;4!;+ = 5 20 n(A) n(B) É n(S) n(S) ∴ P(A)ÉP(B) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. Ⅱ. 확률 65 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 65 2023. 9. 12. 오전 10:01 0314 ④ 표본공간을 S라 하면 14 확률의 덧셈정리와 여사건의 확률의 계산 0317 S={1, 2, 3, y, 8} ㄱ. A={1, 2, 3, 6}이므로 ② 3 P(A;BC)= 에서 8 4 1 P(A)= = 8 2 P((AC'B)C)=;8#;, 1-P(AC'B)= ㄴ. S의 원소 중에 9의 배수는 없으므로 B=∅ ∴ P(AC'B)= ∴ P(B)=0 ㄷ. S의 원소 중에 i 3n+1=-1을 만족시키는 n의 값은 3, 7이므로 C={3, 7} 5 8 두 사건 AC, B가 서로 배반사건이므로 P(AC)+P(B)= 2 1 ∴ P(C)= = 8 4 5 8 이때 P(AC)=1-P(A)=1- ㄹ. xÛ`+4x+3=0에서 3 8 2 1 = 이므로 3 3 1 5 7 +P(B)= ∴ P(B)‌= 3 8 24 (x+1)(x+3)=0 ∴ x=-1 또는 x=-3 다른 풀이 즉, S의 원소 중에 이차방정식 xÛ`+4x+3=0의 해는 없으므로 D=∅ 두 사건 AC과 B가 서로 배반사건이므로 B,A ∴ P(D)=0 표본공간을 S라 하면 A;BC은 오른쪽 그 따라서 절대로 일어나지 않는 사건은 ㄴ, ㄹ이다. S A 림의 색칠한 부분과 같으므로 B P(B)‌=P(A)-P(A;BC) =;3@;-;8#;= 0315 ③ ㄱ. A 'AC=S, P(S)=1이고, 두 사건 A, AC은 서로 배반사건 이므로 C 7 24 0318 ⑤ 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B) C P(A)+P(A )=P(A'A )=1 (참) ∴ P(B)‌=P(A'B)-P(A) ㄴ. 0ÉP(A)É1, 0ÉP(B)É1이므로 0ÉP(A)P(B)É1 (참) = ㄷ. [반례] S={1, 2, 3, 4}, A={2}, B={1, 2, 3, 4}이면 11 1 =;6%; 12 12 A'B={1, 2, 3, 4}이므로 P(A'B)=1이지만 B+AC이다. (거짓) 0319 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 0.45 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) ∴ P(A;B)‌=P(A)+P(B)-P(A'B) =0.3+0.6-0.75=0.15 0316 ① 표본공간을 S라 하면 A C;B는 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같으므로 ㄱ. ∅,(A;B),S이므로 S A B P(AC;B)‌=P(B)-P(A;B) P(∅)ÉP(A;B)ÉP(S) =0.6-0.15 ∴ 0ÉP(A;B)É1 (참) =0.45 ㄴ. [반례] S={1, 2, 3, 4}, A={1, 2, 3}, B={3, 4}이면 3 2 5 A'B=S이지만 P(A)+P(B)= + = +1이다. (거짓) 4 4 4 ㄷ. [반례] S={1, 2, 3, 4}, A={1, 2, 3}, B={3}이면 3 1 3 1 P(A)= , P(B)= 이므로 P(A)+P(B)= + =1이 4 4 4 4 지만 A, B는 서로 배반사건이 아니다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 0320 ① 3 1 P(A;B)= P(A)= P(B)=k`(k+0)로 놓으면 4 7 4 P(A)= k, P(B)=7k 3 66 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 66 2023. 9. 12. 오전 10:01 0323 이때 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) = ④ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 4 22 k+7k-k= k 3 3 P(A;B)‌=P(A)+P(B)-P(A'B) 1 P(A;B) 3 k = = 22 22 P(A'B) k 3 = 권 5 3 = + -P(A'B) 7 5 이므로 46 -P(A'B) 35 이때 P(A'B)¾P(A), P(A'B)¾P(B), P(A'B)É1이 므로 0321 ② 표본공간을 S라 하면 A;BC은 오른쪽 그 S A 림의 색칠한 부분과 같으므로 두 사건 B A;BC과 B는 서로 배반사건이다. 또한 A'B=(A;BC)'B이므로 5 3 P(A'B)¾ , P(A'B)¾ , P(A'B)É1 7 5 ∴ 5 ÉP(A'B)É1 7 즉, 11 46 3 É -P(A'B)É 이므로 35 35 5 P(A'B)=P(A;BC)+P(B) 11 3 ÉP(A;B)É 35 5 5 ;3@;= +P(B) 8 3 11 따라서 M= , m= 이므로 5 35 ∴ P(B)= 1 24 3 11 2 M-m= - = 5 35 7 다른 풀이 P(A'B)= 2 에서 3 P(A)+P(B)-P(A;B)= P(A;BC)= 2 3 yy ㉠ 5 에서 8 P(A)-P(A;B)= 5 8 yy ㉡ 15 확률의 덧셈정리 - 배반사건이 아닌 경우 ㉠-㉡을 하면 P(B)= 0324 1 24 ① 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 0322 ;1¦2; 표본공간을 S라 하면 A;BC과 A;B, S AC;B는 오른쪽 그림과 같으므로 세 사 두 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내고, 두 눈의 수 의 합이 4의 배수인 사건을 A, 12의 약수인 사건을 B라 하면 구하 A A;B 건은 서로 배반사건이다. 6_6=36 B A` ;B 는 확률은 P(A'B)이다. 두 눈의 수의 합이 4의 배수인 경우는 두 눈의 수의 합이 4, 8, 12 가 되는 경우이므로 A={‌(1, 3), (2, 2), (3, 1), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), A;B ………………………………………………………………………………… ➊ (6, 2), (6, 6)} 두 눈의 수의 합이 12의 약수가 되는 경우는 두 눈의 수의 합이 2, 따라서 P(A'B)=P(A;B )+P(A;B)+P(A ;B) 3, 4, 6, 12가 되는 경우이므로 이므로 B={‌(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 5), C C ………………………………………………………………………………… ➋ (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 6)} ∴ A;B={(1, 3), (2, 2), (3, 1), (6, 6)} 3 1 1 = +P(A;B)+ 4 12 12 따라서 7 ∴ P(A;B)= 12 P(A)= ………………………………………………………………………………… ➌ 이므로 구하는 확률은 채점 기준 배점 ➊ A;BC, A;B, AC;B가 서로 배반사건임을 알기 40% ➋ 배반사건임을 이용하여 식 세우기 30% ➌ P(A;B)의 값 구하기 30% 9 12 4 , P(B)= , P(A;B)= 36 36 36 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) = 9 12 4 + 36 36 36 = 17 36 Ⅱ. 확률 67 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 67 2023. 9. 12. 오전 10:01 0325 ② 임의로 선택한 한 명이 뮤지컬을 관람한 경험이 있는 학생인 사건 을 A, 오페라를 관람한 경험이 있는 학생인 사건을 B라 하면 구하 는 확률은 P(A'B)이다. ………………………………………………………………………………… ➋ 표본공간을 S, n이 2의 배수인 사건을 A, 7의 배수인 사건을 B라 이때 20 8 2 P(A)= , P(B)= , P(A;B)= 35 35 35 S={1, 2, 3, y, 40}, A={2, 4, 6, y, 40}, B={7, 14, 21, 28, 35}, A;B={14, 28} 이므로 구하는 확률은 이므로 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) ………………………………………………………………………………… ➌ 20 8 2 26 = + 35 35 35 35 0326 n(A) 20 = 40 n(S) n(B) 5 = P(B)= 40 n(S) P(A)= ⑤ 8명 중에서 5명을 뽑는 경우의 수는 8 의 배수이거나 7의 배수이어야 한다. 하면 구하는 확률은 P(A'B)이다. 이때 = 이차방정식 14xÛ`-9nx+nÛ`=0의 정수인 해가 존재하려면 n은 2 C° A가 뽑히는 사건을 A, B가 뽑히는 사건을 B라 하면 구하는 확률 n(A;B) 2 = 40 n(S) 따라서 구하는 확률은 P(A;B)= P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) 은 P(A'B)이다. A가 뽑히는 경우는 A를 제외한 7명 중에서 4명을 뽑으면 되고, B 가 뽑히는 경우는 B를 제외한 7명 중에서 4명을 뽑으면 되므로 = 20 5 2 + 40 40 40 = 23 40 ………………………………………………………………………………… ➍ ¦C¢ 35 = ¥C° 56 ¦C¢ 35 = P(B)= ¥C° 56 P(A)= 채점 기준 배점 ➊ 주어진 이차방정식의 해 구하기 30% 사건 A;B는 A와 B가 모두 뽑히는 경우이므로 A, B를 제외한 6 ➋ 주어진 이차방정식이 정수인 해를 가질 조건 구하기 20% 명 중에서 3명을 뽑으면 된다. ➌ 사건 A, B를 정하고 A, B, A;B 구하기 20% ➍ 주어진 이차방정식이 정수인 해를 가질 확률 구하기 30% ∴ P(A;B)= ¤C£ 20 = ¥C° 56 따라서 구하는 확률은 0328 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) = 35 35 20 + 56 56 56 = 50 25 = 56 28 ③ 6개의 공 중에서 3개의 공을 꺼내는 경우의 수는 ¤C£ 흰 공 2개 중에서 1개, 검은 공 4개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 다른 풀이 ªCÁ_¢Cª 여사건의 확률을 이용하여 구할 수도 있다. ∴ P(A)= 8명 중에서 5명을 뽑는 경우의 수는 ªCÁ_¢Cª 2_6 12 = = ¤C£ 20 20 꺼낸 3개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 8이 되려면 2가 적 ¥C° 8명 중에서 5명을 임의로 뽑을 때, A 또는 B가 뽑히는 사건을 A ¢C£ ¤C° 6 3 = = ¥C° 56 28 ∴ P(B)= 라 하면 A 은 A와 B를 제외한 6명 중에서 5명을 뽑는 사건이므로 P(AC)= 혀 있는 4개의 공 중에서 3개를 꺼내면 되므로 그 경우의 수는 C 사건 A;B는 2가 적혀 있는 흰 공 1개, 2가 적혀 있는 검은 공 2 따라서 구하는 확률은 개가 나오는 사건이므로 2가 적혀 있는 흰 공 1개 중 1개, 2가 적혀 C P(A)‌=1-P(A ) =1- ¢C£ 4 = ¤C£ 20 있는 3개의 검은 공 중에서 2개를 꺼내면 된다. 3 25 = 28 28 즉, 그 경우의 수는 ÁCÁ_£Cª 0327 ;4@0#; 14xÛ`-9nx+nÛ`=0에서 n n (2x-n)(7x-n)=0 ∴ x= 또는 x= 2 7 ………………………………………………………………………………… ➊ ∴ P(A;B)= ÁCÁ_£Cª 3 = ¤C£ 20 ∴ P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) = 12 4 3 + 20 20 20 = 13 20 68 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 68 2023. 9. 12. 오전 10:01 0329 ① 1, 2, 3, 4를 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 4! f(a), f(c), f(d), f(e)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4의 4가 지이므로 f(b)¾3인 함수 f의 개수는 2_¢P¢=2_4Ý` 네 자리 자연수가 홀수이려면 일의 자리에는 1, 3의 2가지가 올 수 2_4Ý` =;2!; 4Þ` f(a)É3이고 f(b)¾3이려면 f(a)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 있고 나머지 자리에는 일의 자리에 온 수를 제외한 3개의 수를 일 3의 3가지, f(b)의 값이 될 수 있는 것은 3, 4의 2가지, f(c), 렬로 배열하면 되므로 그 개수는 f(d), f(e)의 값이 될 수 있는 것은 각각 1, 2, 3, 4의 4가지이므 구하는 확률은 P(A'B)이다. ∴ P(B)= 2_3! 로 f(a)É3이고 f(b)¾3인 함수 f 의 개수는 2_3! 2_3! ∴ P(A)= = =;2!; 4! 4_3! 3_2_¢P£=3_2_4Ü` 3_2_4Ü` 3 = 8 4Þ` 따라서 구하는 확률은 ∴ P(A;B)= 4000 이상인 네 자리 자연수는 4 꼴이므로 그 개수는 3! ∴ P(B)= 3! =;4!; 4! P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) 3 3 7 = +;2!;- = 4 8 8 홀수이면서 4000 이상인 네 자리 자연수는 41, 43 꼴이므 로 그 개수는 다른 풀이 2_2! 여사건의 확률을 이용하여 구할 수도 있다. ∴ P(A;B)= 2_2! 2_2! 1 = = 4! 4_3_2! 6 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 ¢P°=4Þ` 따라서 구하는 확률은 f(a)É3이거나 f(b)¾3인 사건을 A라 하면 AC은 f(a)>3이고 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) f(b)<3인 사건이다. 1 7 =;2!;+;4!;- = 6 12 f(a)>3이고 f(b)<3이므로 f(a)의 값이 될 수 있는 것은 4의 1 가지, f(b)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2의 2가지, f(c), f(d), 다른 풀이 1, 2, 3, 4를 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 4! f(e)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4의 4가지이므로 f(a)>3이 고 f(b)<3인 함수 f의 개수는 네 자리 자연수가 홀수이거나 4000 이상인 사건을 A라 하면 AC은 1_2_¢P£=2_4Ü` 네 자리 자연수가 짝수이면서 4000 미만인 사건이다. ∴ P(AC)= 짝수이면서 4000 미만인 네 자리 자연수는 12, 14, 24, 32, 34 2_4Ü` =;8!; 4Þ` 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) 꼴이므로 그 개수는 =1-;8!;= 5_2! ∴ P(AC)= 1 권 네 자리 자연수가 홀수인 사건을 A, 4000 이상인 사건을 B라 하면 f(b)¾3이려면 f(b)의 값이 될 수 있는 것은 3, 4의 2가지이고 7 8 5_2! 5_2! = =;1°2; 4! 4_3_2! 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) =1- 5 =;1¦2; 12 16 확률의 덧셈정리 - 배반사건인 경우 0331 0330 ;8&; 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 ② 9명의 학생 중에서 3명의 학생을 뽑는 경우의 수는 »C£ f(a)É3이려면 f(a)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3의 3가지이 3명 모두 여학생인 사건을 A, 3명 모두 남학생인 사건을 B라 하면 °C£ 10 = P(A)= »C£ 84 ¢C£ 4 = P(B)= »C£ 84 고, f(b), f(c), f(d), f(e)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4의 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. 4가지이므로 f(a)É3인 함수 f의 개수는 따라서 구하는 확률은 3_¢P¢=3_4Ý` P(A'B)‌=P(A)+P(B) ¢P°=4Þ` f(a)É3인 사건을 A, f(b)¾3인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A'B)이다. 3_4Ý` ∴ P(A)= =;4#; 4Þ` = 10 4 + =;6!; 84 84 Ⅱ. 확률 69 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 69 2023. 9. 12. 오전 10:01 0332 ;9@; 0335 ;1¦0; 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 5명을 일렬로 세우는 경우의 수는 6_6=36 5!=120 두 눈의 수의 합이 5인 사건을 A, 두 눈의 수의 차가 4인 사건을 B ………………………………………………………………………………… ➊ 라 하고 두 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 A가 맨 앞에 서는 사건을 A, A가 B보다 뒤에 서는 사건을 B라 A={(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} 하자. B={(1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)} A가 맨 앞에 서는 경우는 A를 세우고 그 뒤에 4명을 일렬로 세우 이므로 면 되므로 그 경우의 수는 P(A)= 4!=24 4 4 =;9!;, P(B)= =;9!; 36 36 ∴ P(A)= 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. 24 1 = 120 5 따라서 구하는 확률은 A가 B보다 뒤에 서는 경우는 A, B를 같은 문자 X로 놓고 X, X, P(A'B)‌=P(A)+P(B) C, D, E를 일렬로 배열한 후 첫 번째 X는 B로, 두 번째 X는 A로 1 1 2 = + = 9 9 9 바꾸면 되므로 그 경우의 수는 5! 120 = =60 2! 2 ∴ P(B)= 0333 ② 60 =;2!; 120 ………………………………………………………………………………… ➋ 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. 10개의 공 중에서 4개의 공을 꺼내는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 10C¢ P(A'B)‌=P(A)+P(B) 꺼낸 4개의 공 중 흰 공의 개수가 3개인 사건을 A, 흰 공의 개수가 4개인 사건을 B라 하면 ¤C£_¢CÁ 20_4 80 = P(A)= = 210 210 10C¢ ¤C¢ 15 = P(B)= 210 10C¢ = 1 7 +;2!;= 5 10 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ 모든 경우의 수 구하기 20% 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. ➋ 사건 A, B를 정하고 P(A), P(B)의 값 구하기 50% 따라서 구하는 확률은 ➌ ‌두 사건 A, B가 서로 배반사건임을 알고 A가 맨 앞에 서거나 A 가 B보다 뒤에 서게 될 확률 구하기 P(A'B)‌=P(A)+P(B) = 80 15 + 210 210 = 95 19 = 210 42 30% 0336 0334 ⑤ ② 7장의 카드 중에서 2장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 ¦Cª 11명의 학생 중에서 6명을 뽑는 경우의 수는 꺼낸 2장의 카드에 적혀 있는 수의 합이 홀수인 사건을 A, 곱이 홀 C¤ 수인 사건을 B라 하자. 1학년 학생이 2학년 학생보다 더 많이 뽑히는 경우는 뽑힌 6명의 두 수의 합이 홀수가 되려면 홀수가 적힌 4장의 카드 중에서 1장, 학생 중에 1학년 학생이 4명 또는 5명인 경우이다. 짝수가 적힌 3장의 카드 중에서 1장을 뽑아야 하므로 뽑힌 6명의 학생 중 1학년 학생이 4명인 사건을 A, 1학년 학생이 5 P(A)= 11 명인 사건을 B라 하면 ¢CÁ_£CÁ 4_3 = =;7$; 21 7Cª °C¢_¤Cª 5_15 25 = = 462 154 11C¤ °C°_¤CÁ 1_6 1 = P(B)= = 462 77 11C¤ 두 수의 곱이 홀수가 되려면 홀수가 적힌 4장의 카드 중에서 2장을 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. 따라서 구하는 확률은 따라서 구하는 확률은 P(A'B)‌=P(A)+P(B) P(A'B)‌=P(A)+P(B) P(A)= 25 1 27 = + = 154 77 154 뽑아야 하므로 P(B)= ¢Cª 6 = =;7@; 21 7Cª = 4 2 6 + = 7 7 7 70 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 70 2023. 9. 12. 오전 10:01 0337 ⑤ 0340 ⑤ 8개의 공 중에서 4개의 공을 꺼내는 경우의 수는 14개의 마스크 중에서 3개의 마스크를 꺼내는 경우의 수는 ¥C¢ Á¢C£ 꺼낸 3개의 마스크 중에서 적어도 한 개가 흰색 마스크인 사건을 A 라 하면 AC은 3개 모두 검은색 마스크인 사건이므로 꺼낸 4개의 공에 적혀 있는 수의 최댓값이 4이면서 4가 적혀 있는 P(AC)= 공이 1개인 사건을 A, 4가 적혀 있는 공이 2개인 사건을 B라 하면 1 권 꺼낸 4개의 공에 적혀 있는 수의 최댓값이 4인 경우는 4가 적혀 있는 공이 1개인 경우와 4가 적혀 있는 공이 2개인 경우로 나눌 수 있다. »C£ 84 3 = = Á¢C£ 364 13 따라서 구하는 확률은 ªCÁ_°C£ 2_10 = =;7@; 70 8C¢ ªCª_°Cª 1_10 1 = P(B)= = 70 7 8C¢ P(A)= P(A)‌=1-P(AC) =1- 3 10 = 13 13 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. 따라서 구하는 확률은 0341 P(A'B)‌=P(A)+P(B) = 2 1 3 + = 7 7 7 ;2!1!; 7명을 일렬로 세우는 경우의 수는 7! ………………………………………………………………………………… ➊ 부모 중 적어도 한 사람이 한쪽 끝에 서는 사건을 A라 하면 AC은 양쪽 끝에 모두 부모를 제외한 가족이 서는 사건이므로 P(AC)= °Pª_5! 20_5! 10 = = 7! 7_6_5! 21 ………………………………………………………………………………… ➋ 17 여사건의 확률 - ‘적어도’의 조건이 있는 경우 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) 0338 =1- ④ 10 11 = 21 21 ………………………………………………………………………………… ➌ 15장의 카드 중에서 3장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 C£ 채점 기준 15 배점 적어도 한 장은 소수가 적혀 있는 카드가 나오는 사건을 A라 하면 ➊ 모든 경우의 수 구하기 20% AC은 소수가 적혀 있는 카드가 한 장도 나오지 않는 사건이다. ➋ 사건 A를 정하고 P(AC)의 값 구하기 50% 1부터 15까지의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13의 6개이고, ➌ 부모 중 적어도 한 사람이 한쪽 끝에 서서 사진을 찍을 확률 구하기 30% 소수가 아닌 수는 9개이므로 P(AC)= »C£ 84 12 = = C£ 455 65 따라서 구하는 확률은 0342 P(A)‌=1-P(AC) 9월은 30일까지 있으므로 3명의 생일로 가능한 경우의 수는 15 12 53 =1- = 65 65 ③ P£=30Ü` 30 적어도 두 사람의 생일이 같은 사건을 A라 하면 AC은 3명 모두 생 일이 다른 사건이므로 0339 ③ P£ 30_29_28 203 P(AC)= 30 = = 225 30Ü` 30Ü` 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) 10명의 학생 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는 =1- Cª 10 203 22 = 225 225 A, B 중 적어도 한 명이 뽑히는 사건을 A라 하면 AC은 A, B가 모두 뽑히지 않는 사건이므로 C 28 P(AC)= 8 2 = 45 10C2 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) =1- 28 17 = 45 45 0343 12 7명을 일렬로 세우는 경우의 수는 7! 여학생 3명 중 적어도 2명이 이웃하여 서는 사건을 A라 하면 AC은 여학생 3명이 서로 이웃하여 서지 않는 사건이다. Ⅱ. 확률 71 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 71 2023. 9. 12. 오전 10:01 여학생 3명이 서로 이웃하지 않으려면 남학생 4명을 일렬로 세운 꺼낸 3개의 제비 중에서 당첨 제비가 2개 이하인 사건을 A라 하면 후 그 사이사이와 양 끝의 다섯 자리 중 세 자리에 여학생 3명을 세 AC은 3개 모두 당첨 제비인 사건이므로 °C£ 10 2 = P(AC)= = Á°C£ 455 91 우면 되므로 P(AC)= 4!_°P£ 4!_60 2 = = 7! 7_6_5_4! 7 ∴ P(A)‌=1-P(AC) 따라서 여학생 3명 중 적어도 2명이 이웃하게 설 확률은 P(A)=1-P(AC)=1- =1- 2 5 = 7 7 2 89 = 91 91 즉, p=7, q=5이므로 p+q=7+5=12 0346 ⑤ 9명의 학생 중에서 4명을 뽑는 경우의 수는 »C¢ 0344 6 남학생이 2명 이상 뽑히는 사건을 A라 하면 AC은 남학생이 2명 미 만 뽑히는 사건, 즉 남학생이 1명도 안 뽑히거나 1명 뽑히는 사건 10개의 공 중에서 3개의 공을 꺼내는 경우의 수는 이므로 Á¼C£ ………………………………………………………………………………… ➊ P(AC)‌= 주머니 속에 들어 있는 흰 공의 개수를 n이라 하면 검은 공의 개수 = 는 10-n이고, 3개의 공을 꺼낼 때 검은 공을 적어도 한 개 꺼내는 ¢C¢ °CÁ_¢C£ + »C¢ »C¢ 1 5_4 + =;6!; 126 126 사건을 A라 하면 AC은 3개 모두 흰 공을 꺼내는 사건이므로 따라서 구하는 확률은 C£ n(n-1)(n-2) P(AC)= n = Á¼C£ 10_9_8 P(A)‌=1-P(AC) =1- ………………………………………………………………………………… ➋ ∴ P(A)=1-P(AC)=1- 1 5 = 6 6 n(n-1)(n-2) 10_9_8 n(n-1)(n-2) 29 이므로 = 10_9_8 30 n(n-1)(n-2) 1 = 10_9_8 30 20개의 제품 중에서 3개의 제품을 꺼내는 경우의 수는 n(n-1)(n-2)=24=4_3_2 ª¼C£ ∴ n=4 불량품이 1개 이상 나오는 사건을 A라 하면 AC은 3개 모두 불량품 ………………………………………………………………………………… ➌ 이 아닌 제품이 나오는 사건이므로 즉, 1- 0347 따라서 흰 공의 개수가 4이므로 검은 공의 개수는 P(AC)= 10-4=6 ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 ➋‌‌‌흰 공의 개수를 n으로 놓고 사건 A를 정하고 P(AC)을 n의 식 으로 나타내기 Á°C£ 455 91 = = ª¼C£ 1140 228 ∴ P(A)‌=1-P(AC) =1- 배점 ➊ 모든 경우의 수 구하기 365 91 137 = 228 228 20% 따라서 a=228, b=137이므로 40% a+b=228+137=365 ➌ n의 값 구하기 30% ➍ 검은 공의 개수 구하기 10% 0348 ⑤ 12장의 카드 중에서 4장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 ÁªC¢ 꺼낸 4장의 카드에 적혀 있는 네 수의 최솟값이 7 이하인 사건을 A 라 하면 AC은 네 수의 최솟값이 7 초과인 사건이다. 18 7보다 큰 수가 적힌 5장의 카드 중에서 4장을 꺼내면 되므로 여사건의 확률 - ‘이상’, ‘이하’의 조건이 있는 경우 P(AC)= 0345 ④ 15개의 제비 중에서 3개의 제비를 꺼내는 경우의 수는 Á°C£ °C¢ 5 1 = = ÁªC¢ 495 99 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) =1- 1 98 = 99 99 72 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 72 2023. 9. 12. 오전 10:01 0349 ③ 선택한 3장의 카드 중에서 같은 숫자가 적혀 있는 카드가 2장 이상 인 사건을 A라 하면 AC은 3장 모두 다른 숫자가 적혀 있는 사건이 10장의 카드 중에서 3장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 다. Á¼C£ 이하이거나 7 이상인 사건을 A라 하면 AC은 세 자연수 중에서 가 장 작은 수가 4 초과 7 미만인 사건, 즉 가장 작은 수가 5 또는 6인 사건이다. 가장 작은 수가 5인 경우는 5가 적힌 카드 1장과 5보다 큰 수가 적 힌 5장의 카드 중에서 2장을 꺼내면 되고, 가장 작은 수가 6인 경우 이때 1, 2, 3, 4 중에서 3개의 숫자를 선택하는 경우의 수는 ¢C£ 선택한 세 숫자가 적힌 카드가 각각 3장씩 있으므로 1장씩 뽑는 경 우의 수는 £CÁ_£CÁ_£CÁ ¢C£_£CÁ_£CÁ_£CÁ ∴ P(AC)‌= ÁªC£ 는 6이 적힌 카드 1장과 6보다 큰 수가 적힌 4장의 카드 중에서 2 = 장을 꺼내면 되므로 P(AC)= 4_3_3_3 27 = 220 55 따라서 구하는 확률은 °Cª ¢Cª 10 6 2 + = + = Á¼C£ Á¼C£ 120 120 15 P(A)‌=1-P(AC) 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) =1- =1- 27 28 = 55 55 19 여사건의 확률 - ‘아닌’의 조건이 있는 경우 2 13 = 15 15 0350 ;9^6%; 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 다섯 개의 숫자 0, 1, 2, 3, 4 중 에서 서로 다른 네 개의 숫자로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개 0352 ④ 수는 8명의 학생을 일렬로 세우는 경우의 수는 4_¢P£=4_24=96 8! ………………………………………………………………………………… ➊ 진우와 하은이가 이웃하지 않는 사건을 A라 하면 AC은 진우와 하 만든 네 자리 자연수가 3240 이하인 사건을 A라 하면 AC은 3240 은이가 이웃하는 사건이다. 초과, 즉 3241 이상인 사건이다. 진우와 하은이를 한 사람으로 생각하여 7명의 학생을 일렬로 세우 이때 3241 이상인 자연수는 는 경우의 수는 7!이고, 진우와 하은이가 서로 자리를 바꾸는 경우의 3241 또는 34 또는 4 수가 2!이므로 꼴이므로 P(AC)= P(AC)‌= = 1 권 꺼낸 3장의 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 4 £Pª ¢P£ 1 + + 96 96 96 7!_2! 7!_2 = =;4!; 8! 8_7! 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) 1 6 24 31 + + = 96 96 96 96 ………………………………………………………………………………… ➋ =1-;4!;= 3 4 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) =1- 0353 31 65 = 96 96 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 30% ➋ 사건 A를 정하고 P(AC)의 값 구하기 50% ➌ 네 자리 자연수가 3240 이하일 확률 구하기 20% 6명의 학생이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (6-1)!=5! 배점 ➊ 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수 구하기 ④ A, B가 서로 이웃하지 않게 앉는 사건을 A라 하면 AC은 A, B가 이웃하게 앉는 사건이다. A, B를 한 사람으로 생각하여 5명의 학생이 원탁에 둘러앉는 경우 의 수는 (5-1)!=4!이고, A, B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수 가 2!이므로 P(AC)= 0351 ⑤ 12장의 카드 중에서 3장의 카드를 선택하는 경우의 수는 ÁªC£ 4!_2! 4!_2 2 = = 5! 5_4! 5 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) 2 3 =1- = 5 5 Ⅱ. 확률 73 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 73 2023. 9. 12. 오전 10:01 0354 ⑤ 0357 ⑤ 10개의 공 중에서 3개의 공을 꺼내는 경우의 수는 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 Á¼C£ 6_6=36 꺼낸 3개의 공에 적혀 있는 세 수의 곱이 홀수가 아닌 사건을 A라 a, b의 최대공약수가 홀수인 사건을 A라 하면 AC은 a, b의 최대공 하면 AC은 세 수의 곱이 홀수인 사건이다. 약수가 짝수인 사건이므로 a, b가 모두 짝수이어야 한다. 1부터 10까지의 자연수 중 홀수는 1, 3, 5, 7, 9의 5개, 짝수는 2, 1부터 6까지의 자연수 중에서 짝수는 2, 4, 6의 3개이므로 4, 6, 8, 10의 5개이고, 세 수의 곱이 홀수가 되려면 세 수 모두 홀 P(AC)= 수이어야 하므로 P(AC)= 3_3 =;4!; 36 따라서 구하는 확률은 °C£ 10 1 = = Á¼C£ 120 12 P(A)‌=1-P(AC) =1-;4!;= 따라서 구하는 확률은 1 11 P(A)=1-P(AC)=1- = 12 12 0355 12 3 4 0358 68 나오는 모든 경우의 수는 7개의 공을 일렬로 나열하는 경우의 수는 7_7_7=7Ü` 7! ………………………………………………………………………………… ➊ 같은 숫자가 적혀 있는 공이 서로 이웃하지 않게 나열되는 사건을 C (x-y)(y-z)(z-x)=0인 사건을 A라 하면 AC은 A라 하면 A 은 같은 숫자가 적혀 있는 공이 이웃하게 나열되는 사 (x-y)(y-z)(z-x)+0인 사건이므로 건이다. x+y, y+z, z+x 이때 같은 숫자가 적혀 있는 공은 4가 적혀 있는 흰 공 적혀 있는 검은4 공 C 4 가 있으므로 A 은 44 , 4 4 와 4가 44 가 이웃하게 나열 되는 사건이다. 44 , 경우의 수는 6!이고, 44 , P(A)=1-P(AC)=1- =1- 30 19 = 49 49 따라서 p=49, q=19이므로 6!_2! 6!_2 2 = = 7! 7_6! 7 p+q=49+19=68 ………………………………………………………………………………… ➌ 따라서 구하는 확률은 2 5 = 7 7 채점 기준 ➋ 사건 A를 정하고 P(A )의 값 구하기 50% ➌ p+q의 값 구하기 20% C p+q=7+5=12 배점 30% ➊ 모든 경우의 수 구하기 즉, p=7, q=5이므로 0359 여사건의 확률 - 여사건이 더 간단한 경우 ② 7개의 문자 E, A, R, N, E, S, T를 일렬로 나열하는 경우의 수는 0356 ⑤ 11명의 학생 중에서 5명의 학생을 뽑는 경우의 수는 ÁÁC° 뽑은 5명의 학생 중에 1학년 학생과 2학년 학생이 모두 있는 사건 을 A라 하면 AC은 5명 모두 1학년 학생이거나 2학년 학생인 사건 이므로 P(AC)= ¦P£ 7_6_5 30 = = 49 7Ü` 7Ü` ∴ P(A)‌=1-P(AC) 44 가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!이므로 20 P(AC)= ………………………………………………………………………………… ➋ 44 를 한 개의 공으로 생각하여 6개의 공을 일렬로 나열하는 P(AC)= 즉, AC은 x, y, z가 모두 다른 숫자가 나오는 사건이므로 °C° ¤C° 1 6 7 1 = + + = = ÁÁC° ÁÁC° 462 462 462 66 따라서 구하는 확률은 1 65 P(A)=1-P(A )=1= 66 66 C 7! =;2!;_7! 2! R가 N보다 왼쪽에 오거나 N이 S보다 왼쪽에 오도록 나열하는 사 건을 A라 하면 AC은 R가 N보다 오른쪽에 오고 N이 S보다 오른 쪽에 오도록 나열하는 사건이다. 즉, AC은 3개의 문자 R, N, S를 모두 X로 생각하여 7개의 문자 E, A, X, X, E, X, T를 일렬로 나열한 후 3개의 X를 왼쪽부터 차례대로 S, N, R로 바꾸면 된다. 이때 E, A, X, X, E, X, T를 일렬로 나열하는 경우의 수는 7! 1 = _7! 3!_2! 12 이므로 74 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 74 2023. 9. 12. 오전 10:01 0363 1 _7! 12 P(A )= =;6!; 1 _7! 2 C ② 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 두 눈의 수의 합이 8의 배수인 사건을 A, 두 눈의 수의 차가 5의 약 1 권 6_6=36 1 5 P(A)=1-P(AC)=1- = 6 6 수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A'B)이다. 두 눈의 수의 합이 8의 배수인 경우는 두 눈의 수의 합이 8이 되는 0360 ⑤ 주어진 조건을 만족시키는 점은 모두 12개이므로 12개의 점 중에 경우이므로 A={(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} 두 눈의 수의 차가 5의 약수인 경우는 두 눈의 수의 차가 1, 5가 되 서 서로 다른 두 점을 선택하는 경우의 수는 는 경우이므로 ÁªCª=66 B={(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5), (1, 6), (6, 1)} 선택된 두 점 사이의 거리가 1보다 큰 사건을 A라 하면 AC은 두 점 사이의 거리가 1 이하인 사건이다. 그런데 주어진 조건을 만족 C 시키는 서로 다른 두 점 사이의 거리는 항상 1 이상이므로 A 은 선 택된 두 점 사이의 거리가 1인 사건이다. 선택된 두 점 사이의 거리가 1인 경우는 y 오른쪽 그림과 같이 이웃한 두 점을 선택 3 하면 되므로 2 P(AC)= 5 12 , P(B)= 36 36 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. 따라서 구하는 확률은 P(A'B)‌=P(A)+P(B) = 1 2_4+3_3 17 = 66 66 1 O 따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)=1- ∴ P(A)= 2 3 4 x 17 49 = 66 66 5 12 17 + = 36 36 36 0364 ⑤ 6개의 꼭짓점에서 2개의 꼭짓점을 택하는 경우의 수는 ¤Cª=15 두 꼭짓점이 서로 다른 모서리 위에 있는 사건을 A라 하면 AC은 두 꼭짓점이 같은 모서리 위에 있는 사건이다. 주어진 삼각기둥의 모서리의 개수는 9이므로 같은 모서리 위의 두 꼭짓점을 택할 확률은 P(AC)= 9 =;5#; 15 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) =1- 0361 ③ 표본공간을 S라 하면 A;B C은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같으므로 S A 0365 ③ 240=2Ý`_3_5이므로 240의 양의 약수의 개수는 B (4+1)(1+1)(1+1)=20 C P(A;B)‌=P(A)-P(A;B ) = 3 2 = 5 5 240의 양의 약수 중에서 36의 약수는 240과 36의 공약수와 같다. 11 5 -;3!;= 18 18 36=2Û`_3Û`이므로 240과 36의 최대공약수는 2Û`_3 즉, 240과 36의 공약수의 개수는 (2+1)(1+1)=6 0362 ① 표본공간을 S라 하면 S={2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A={2, 3, 6}, B={5, 10}, C={2, 5, 10} 이므로 A;B=∅, B;C={5, 10}, C;A={2} 따라서 서로 배반사건인 것은 ㄱ이다. 따라서 구하는 확률은 6 3 = 20 10 자연수의 양의 약수의 개수 자연수 N=apbqcr (a, b, c는 서로 다른 소수, p, q, r는 자연수)의 양의 약수의 개수는 (p+1)(q+1)(r+1) Ⅱ. 확률 75 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 75 2023. 9. 12. 오전 10:01 0366 ② 0369 ① 두 수 a, b를 선택하는 경우의 수는 9명의 선수가 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 4_4=16 (9-1)!=8! b 1< <4인 경우는 다음과 같다. a 수영 선수 3명, 체조 선수 4명, 태권도 선수 2명을 각각 한 사람으 로 생각하면 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 Ú a=1일 때 (3-1)!=2! 1<b<4이므로 이를 만족시키는 b의 값은 존재하지 않는다. 이때 수영 선수끼리, 체조 선수끼리, 태권도 선수끼리 서로 자리를 Û a=3일 때 바꾸는 경우의 수는 b 1< <4이므로 3<b<12 3 3!_4!_2! 즉, 같은 종목의 선수끼리 이웃하게 앉는 경우의 수는 ∴ b=4, 6, 8, 10 2!_3!_4!_2! Ü a=5일 때 따라서 구하는 확률은 b 1< <4이므로 5<b<20 5 2!_3!_4!_2! 2_6_4!_2 ‌= 8! 8_7_6_5_4! ∴ b=6, 8, 10 Ý a=7일 때 = b 1< <4이므로 7<b<28 7 1 70 ∴ b=8, 10 Ú~Ý에서 1< 0370 b <4인 경우의 수는 a ⑤ 4+3+2=9 5개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 만들 9 따라서 구하는 확률은 16 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 °P¢=5Ý` 4의 배수가 되는 네 자리 자연수는 12, 24, 32, 44, 52 0367 ① 꼴이므로 4의 배수인 네 자리 자연수의 개수는 5_°Pª=5_5Û`=5Ü` 일렬로 나열된 6개의 좌석에 세 쌍의 부부, 즉 6명이 임의로 앉는 따라서 구하는 확률은 경우의 수는 5Ü` =;5!; 5Ý` 6! 각 부부를 한 사람으로 생각하여 3명을 일렬로 나열하는 경우의 수는 3! 각 부부가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!_2!_2! 0371 즉, 세 쌍의 부부가 부부끼리 이웃하여 앉는 경우의 수는 6명의 학생들의 발표 순서를 정하는 경우의 수는 3!_2!_2!_2! 6! 따라서 구하는 확률은 영신이가 혜리보다 먼저 발표하고 지훈이보다 뒤에 발표하는 경우 3!_2!_2!_2! 3!_2_2_2 = =;1Á5; 6! 6_5_4_3! 는 영신, 혜리, 지훈이를 모두 같은 문자 X로, 나머지 학생들을 각 ② 각 A, B, C로 놓고, 6개의 문자 X, X, X, A, B, C를 일렬로 나 열한 후 첫 번째 X는 지훈, 두 번째 X는 영신, 세 번째 X는 혜리 로 바꾸면 되므로 그 경우의 수는 0368 ② 6! 6_5! = =5! 3! 6 7명의 학생 중 5명이 일렬로 앉는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 ¦P° 5! 1 = 6! 6 현이가 한가운데 앉는 경우는 현이를 한가운데에 앉힌 후 나머지 6 명의 학생 중에서 4명을 택해 현이의 좌우에 일렬로 앉히면 되므로 그 경우의 수는 ¤P¢ 따라서 현이가 한가운데에 앉을 확률은 ¤P¢ 6_5_4_3 = =;7!; ¦P° 7_6_5_4_3 0372 ④ 7개의 구슬 중에서 2개의 구슬을 꺼내는 경우의 수는 ¦Cª=21 76 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 76 2023. 9. 12. 오전 10:01 0375 꺼낸 2개의 구슬에 적힌 두 자연수가 서로소인 경우는 (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 7), (3, 8), ③ 치역과 공역이 같은 X에서 Y로의 함수 f의 개수는 (4, 5), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7), (7, 8) ¢P¢=24 의 14가지이다. 1, 3, 9를 일렬로 배열하여 a, b, c에 차례대로 대응시키고 27은 d 14 =;3@; 21 1 권 1_3_9=27이므로 f(a)_ f(b)_ f(c)= f(d)를 만족시키려면 따라서 구하는 확률은 에 대응시키면 된다. 다른 풀이 즉, f(a)_ f(b)_ f(c)= f(d)를 만족시키는 함수 f의 개수는 여사건의 확률을 이용하여 구할 수도 있다. 3!=6 7개의 구슬 중에서 2개의 구슬을 꺼내는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 ¦Cª=21 6 =;4!; 24 꺼낸 2개의 구슬에 적힌 두 자연수가 서로소인 사건을 A라 하면 AC은 두 자연수가 서로소가 아닌 사건이다. 짝수 2, 4, 6, 8 중에서 2개를 선택하는 경우의 수가 ¢Cª=6이고, 3 0376 과 6이 적힌 구슬을 꺼내는 경우의 수가 1이므로 ⑤ 6+1 1 P(A )= = 21 3 9명 중에서 3명을 선택하는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 »C£ P(A)‌=1-P(AC) 근무조 A와 근무조 B에서 적어도 1명씩 선택되는 사건을 A라 하 1 2 =1- = 3 3 면 AC은 3명 모두 근무조 A에서 선택하거나 근무조 B에서 선택하 C 는 사건이므로 P(AC)‌= 0373 = ④ °C£ ¢C£ + »C£ »C£ 10 4 14 + = =;6!; 84 84 84 따라서 구하는 확률은 18개의 점 중에서 2개의 점을 택하는 경우의 수는 P(A)‌=1-P(AC) Á¥Cª=153 두 점 사이의 거리가 '2인 경우는 두 점이 한 변의 길이가 1인 정사 1 5 =1- = 6 6 각형의 두 대각선의 끝점인 경우이다. 한 변의 길이가 1인 정사각 형은 10개 있으므로 두 점 사이의 거리가 '2인 경우의 수는 10_2=20 ∴ p= 0377 20 153 ④ 두 점 사이의 거리가 2'2인 경우는 두 점이 한 변의 길이가 2인 정 6명의 학생을 일렬로 세우는 경우의 수는 사각형의 두 대각선의 끝점인 경우이다. 한 변의 길이가 2인 정사 6! 각형은 4개 있으므로 두 점 사이의 거리가 2'2인 경우의 수는 선주와 민지 사이에 적어도 한 명의 학생이 서는 사건을 A라 하면 4_2=8 AC은 선주와 민지가 이웃하게 서는 사건이다. ∴ q= 선주와 민지를 한 사람으로 생각하여 5명의 학생을 일렬로 세우는 8 153 경우의 수는 5!이고 선주와 민지가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수 20 8 12 4 ∴ p-q= = = 153 153 153 51 가 2!이므로 P(AC)= 5!_2! 5!_2 = =;3!; 6! 6_5! 따라서 구하는 확률은 0374 ③ 한 개의 주사위를 3번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 P(A)‌=1-P(AC) =1-;3!;= 2 3 6_6_6=6Ü` aÉbÉc인 경우는 1부터 6까지의 자연수 중에서 중복을 허락하여 3개의 수를 택하여 작거나 같은 수부터 차례대로 a, b, c에 대응시 키면 되므로 그 경우의 수는 0378 ¤H£=¥C£=56 20경기에서 2점 슛으로 얻은 득점이 180점이므로 성공한 2점 슛의 따라서 구하는 확률은 개수는 56 =;2¦7; 6Ü` 180 =90 2 70 Ⅱ. 확률 77 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 77 2023. 9. 12. 오전 10:01 0380 2점 슛 성공률이 75 %이므로 90 75 = a 100 ④ 5명의 선수의 승부차기 순서를 정하는 경우의 수는 ∴ a=120 5!=120 20경기에서 3점 슛으로 얻은 득점이 69점이므로 성공한 3점 슛의 B가 A보다 먼저 차는 사건을 X, A, B가 처음과 끝에 차는 사건 개수는 을 Y라 하면 구하는 확률은 P(X'Y)이다. 69 =23 3 A, B를 모두 같은 문자 X로 놓고, 나머지 세 선수를 각각 C, D, 3점 슛 성공률이 46 %이므로 X, X, C, D, E를 일렬로 나열한 후 첫 번째 X는 B로, 두 번째 X E라 하면 B가 A보다 먼저 차도록 순서를 정하는 것은 5개의 문자 23 46 = b 100 는 A로 바꾸는 것과 같다. 즉, B가 A보다 먼저 차도록 순서를 정하는 경우의 수는 ∴ b=50 5! =60 2! ∴ a-b=120-50=70 ∴ P(X)= 60 120 A, B가 처음과 끝에 차도록 순서를 정하는 것은 A, B를 제외한 나머지 3명을 일렬로 배열한 뒤 양 끝에 A, B가 오도록 하면 된다. 0379 ② 이때 A◯◯◯B, B◯◯◯A의 2가지 경우가 있으므로 A, B가 처 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 음과 끝에 차도록 순서를 정하는 경우의 수는 6_6=36 3!_2=6_2=12 |a-3|+|b-3|=2인 사건을 A, a=b인 사건을 B라 하면 구하 ∴ P(Y)= 는 확률은 P(A'B)이다. 12 120 B가 A보다 먼저 차고 A, B가 처음과 끝에 차는 경우는 B◯◯◯A |a-3|+|b-3|=2에서 인 경우뿐이므로 그 경우의 수는 Ú |a-3|=0, |b-3|=2일 때 3!=6 |a-3|=0에서 a=3 6 120 |b-3|=2에서 b=1, 5 ∴ P(X;Y)= 즉, 순서쌍 (a, b)는 (3, 1), (3, 5)의 2가지이다. 따라서 구하는 확률은 Û |a-3|=1, |b-3|=1일 때 P(X'Y)‌=P(X)+P(Y)-P(X;Y) |a-3|=1에서 a=2, 4 |b-3|=1에서 b=2, 4 즉, 순서쌍 (a, b)는 (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)의 4가지이다. = 60 12 6 + 120 120 120 = 66 11 = 120 20 Ü |a-3|=2, |b-3|=0일 때 |a-3|=2에서 a=1, 5 |b-3|=0에서 b=3 즉, 순서쌍 (a, b)는 (1, 3), (5, 3)의 2가지이다. 0381 391 Ú~Ü에서 |a-3|+|b-3|=2인 경우의 수는 승객 6명이 네 정류장 A, B, C, D 중 한 정류장에서 내리는 경우 2+4+2=8 의 수는 이므로 ¢P¤=4ß`=4096 8 P(A)= 36 네 정류장 A, B, C, D 중에서 승객이 내리는 세 정류장을 택하는 a=b인 경우의 순서쌍 (a, b)는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지이므로 경우의 수는 ¢C£=4 승객 6명을 3개의 조로 나눌 때, 각 조의 인원 수는 6 P(B)= 36 1, 1, 4 또는 1, 2, 3 또는 2, 2, 2 |a-3|+|b-3|=2이고 a=b인 경우의 순서쌍 (a, b)는 (2, 2), 이므로 승객 6명을 3개의 조로 나누는 경우의 수는 (4, 4)의 2가지이므로 ¤CÁ_°CÁ_¢C¢_ P(A;B)= 2 36 1 1 =6_5_1_ +6_10_1+15_6_1_ 2 6 따라서 구하는 확률은 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) = 8 6 2 + 36 36 36 = 1 3 1 1 +¤CÁ_°Cª_£C£+¤Cª_¢Cª_ªCª_ 2! 3! =15+60+15=90 이때 3개의 조를 3개의 정류장에 분배하는 경우의 수는 3!=6이므 로 네 정류장 A, B, C, D 중 3개의 정류장에서 모든 승객이 내리 는 경우의 수는 4_90_6=2160 78 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 78 2023. 9. 12. 오전 10:01 따라서 3개의 정류장에서 모든 승객이 내릴 확률은 따라서 구하는 확률은 2160 135 = 4096 256 °Pª_¦P£+¢Pª_¦P£ 5_4_7_6_5+4_3_7_6_5 ‌= »P° 9_8_7_6_5 즉, p=256, q=135이므로 = ………………………………………………………………………………… ➌ 다른 풀이 채점 기준 승객 6명이 네 정류장 A, B, C, D 중 한 정류장에서 내리는 경우 배점 20% 의 수는 ➊ 모든 경우의 수 구하기 ¢P¤=4ß`=4096 ➋ ‌천의 자리의 수와 십의 자리의 수의 합이 짝수가 되는 다섯 자리 자연수의 개수 구하기 네 정류장 A, B, C, D 중에서 승객이 내리는 세 정류장을 택하는 50% 30% ➌ 천의 자리의 수와 십의 자리의 수의 합이 짝수가 될 확률 구하기 경우의 수는 1 권 p+q=256+135=391 5+3 4 = 18 9 ¢C£=4 승객 6명이 세 정류장 중 한 정류장에서 내리는 경우의 수는 0383 £P¤=3ß`=729 이때 2개의 정류장에서 모든 승객이 내리는 경우의 수는 ;2ª1°6; 한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 £Cª_(ªP¤-2)=3_(2ß`-2)=186 6_6_6=216 이고, 1개의 정류장에서 모든 승객이 내리는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➊ £CÁ=3 이므로 네 정류장 A, B, C, D 중 3개의 정류장에서 모든 승객이 내리는 경우의 수는 a, b, c는 1 이상 6 이하의 자연수이므로 합이 9가 되는 세 자연수 로 가능한 것은 1, 2, 6 또는 1, 3, 5 또는 1, 4, 4 또는 2, 2, 5 또는 2, 3, 4 또는 4_(729-186-3)=2160 3, 3, 3 따라서 3개의 정류장에서 모든 승객이 내릴 확률은 즉, a+b+c=9인 경우의 수는 2160 135 = 4096 256 3!_3+ 즉, p=256, q=135이므로 3! _2+1=18+6+1=25 2! ………………………………………………………………………………… ➋ p+q=256+135=391 25 216 따라서 구하는 확률은 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 0382 ;9$; 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수는 »P° ………………………………………………………………………………… ➊ 1부터 9까지의 자연수 중에는 홀수가 1, 3, 5, 7, 9의 5개, 짝수가 2, 4, 6, 8의 4개이므로 천의 자리의 수와 십의 자리의 수의 합이 짝수가 되는 경우는 다음과 같다. Ú 천의 자리의 수와 십의 자리의 수가 모두 홀수인 경우 ‌천의 자리와 십의 자리에는 5개의 홀수 중에서 2개를 택하여 배 열하고, 나머지 세 자리에는 나머지 7개의 수 중에서 3개를 택 하여 배열하면 되므로 그 개수는 °Pª_¦P£ Û 천의 자리의 수와 십의 자리의 수가 모두 짝수인 경우 ‌천의 자리와 십의 자리에는 4개의 짝수 중에서 2개를 택하여 배 열하고, 나머지 세 자리에는 나머지 7개의 수 중에서 3개를 택 하여 배열하면 되므로 그 개수는 ¢Pª_¦P£ Ú, Û에서 천의 자리의 수와 십의 자리의 수의 합이 짝수가 되는 배점 ➊ 모든 경우의 수 구하기 20% ➋ ‌a+b+c=9인 경우의 수 구하기 60% ➌ a+b+c=9일 확률 구하기 20% 다른 풀이 한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6_6_6=216 ………………………………………………………………………………… ➊ a+b+c=9에서 a, b, c는 1 이상 6 이하의 자연수이므로 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1로 놓으면 (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)=9 (단, a', b', c'은 0 이상 5 이하의 정수이다.) ∴ a'+b'+c'=6 a'+b'+c'=6을 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c'의 순서쌍 (a', b', c')의 개수는 £H¤=¥C¤=¥Cª=28 그런데 a', b', c'은 0 이상 5 이하의 정수이므로 (6, 0, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 6)을 제외시켜야 한다. 즉, a+b+c=9인 경우의 수는 28-3=25 ………………………………………………………………………………… ➋ 다섯 자리 자연수의 개수는 25 216 °Pª_¦P£+¢Pª_¦P£ 따라서 구하는 확률은 ………………………………………………………………………………… ➋ ………………………………………………………………………………… ➌ Ⅱ. 확률 79 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 79 2023. 9. 12. 오전 10:01 aÁ_aª의 값이 홀수인 경우는 다음과 같다. Ú 순서쌍 (aÁ, aª)가 (1, 3) 또는 (1, 5) 또는 (3, 5)인 경우 ‌a£+a¢¾16을 만족시키는 순서쌍 (a£, a¢)는 0384 (6, 10), (7, 9), (7, 10), (8, 9), (8, 10), (9, 10) ④ 의 6개이다. 6명이 좌석에 앉는 경우의 수는 따라서 이때의 확률은 6! 3_6 18 = 210 210 A, C가 이웃하여 앉는 경우는 Û 순서쌍 (aÁ, aª)가 (1, 7) 또는 (3, 7) 또는 (5, 7)인 경우 (G8, G9), (G9, G10), (G10, G11), (G12, G13) 의 4가지이고, 이때 A, C가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!, ‌a£+a¢¾16을 만족시키는 순서쌍 (a£, a¢)는 (8, 9), (8, 10), (9, 10) 나머지 4명의 학생이 자리에 앉는 경우의 수는 4!이므로 A, C가 의 3개이다. 이웃하여 앉는 경우의 수는 따라서 이때의 확률은 4_2!_4! 3_3 9 = 210 210 따라서 구하는 확률은 4_2!_4! 4_2_4! 4 = = 6! 6_5_4! 15 Ú, Û에서 구하는 확률은 18 9 27 9 + = = 210 210 210 70 0385 ④ 두 사건 A, B가 서로 배반사건이고 0<P(A)<P(B)이므로 A;B=∅, 0<n(A)<n(B) 0387 따라서 주어진 조건을 만족시키는 경우는 다음과 같다. Ú n(A)=1인 경우 ‌표본공간 S의 7개의 원소 중에서 A의 원소가 되는 1개를 선택 하고, B의 원소는 A의 원소를 제외한 6개의 원소 중에서 2개 이상을 선택하면 되므로 그 경우의 수는 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6_6=36 함수 y=a cos`x-3의 그래프와 직선 y=-2b가 만나려면 x에 대 한 방정식 a cos`x-3=-2b, 즉 cos`x= ¦CÁ_(¤Cª+¤C£+¤C¢+¤C°+¤C¤)‌=7_(15+20+15+6+1) =7_57=399 ③ 3-2b 가 실근을 가져 a 야 하므로 Û n(A)=2인 경우 ‌표본공간 S의 7개의 원소 중에서 A의 원소가 되는 2개를 선택 하고, B의 원소는 A의 원소를 제외한 5개의 원소 중에서 3개 이상을 선택하면 되므로 그 경우의 수는 | 3-2b |É1 a ∴ |3-2b|Éa Ú b=1 또는 b=2인 경우 a¾1이므로 a=1, 2, 3, 4, 5, 6 ¦Cª_(°C£+°C¢+°C°)‌=21_(10+5+1) 따라서 이때의 경우의 수는 =21_16=336 2_6=12 Ü n(A)=3인 경우 ‌표본공간 S의 7개의 원소 중에서 A의 원소가 되는 3개를 선택 Û b=3인 경우 하고, B의 원소는 A의 원소를 제외한 나머지 4개의 원소를 가 a¾3이므로 a=3, 4, 5, 6 지면 되므로 그 경우의 수는 따라서 이때의 경우의 수는 ¦C£=35 1_4=4 Ü b=4인 경우 Ú~Ü에서 두 사건 A, B를 선택하는 방법의 수는 a¾5이므로 a=5, 6 399+336+35=770 따라서 이때의 경우의 수는 1_2=2 Ý b=5 또는 b=6인 경우 0386 a¾7이므로 문제의 조건을 만족시키지 않는다. ⑤ 10장의 카드가 들어 있는 주머니에서 임의로 4장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 10 C¢=210 Ú~Ý에서 |3-2b|Éa를 만족시키는 경우의 수는 12+4+2=18 따라서 구하는 확률은 18 =;2!; 36 80 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 80 2023. 9. 12. 오전 10:01 1 0388 1 2 3 106 2 3 4 5 5 4 6 7 666나열하는 777 44 555택해 5 의양 6 옆에 7 111 , 222 , 333 중 42개를 경우의 수는 5 4 4 £Pª=6 12개의 공 중에서 5개의 공을 꺼내는 경우의 수는 ÁªC°=792 5 5 4 444 5455 연속된 자연수의 최대 개수가 4인 경우는 다음과 같다. Ú 연속된 네 자연수가 1, 2, 3, 4인 경우 ‌이와 같이 나열된 것을 각각 하나로 보고 3장의 카드를 나열하 는 경우의 수는 5가 적힌 공을 제외한 나머지 7개의 공 중에서 1개를 꺼내면 되 11 ¦CÁ=7 22 44 n-1, n+4가 적힌 공을 제외한 나머지 6개의 공 중에서 1개를 꺼내면 되므로 그 경우의 수는 각각 55 ¤CÁ=6 Ü 연속된 네 자연수가 9, 10, 11, 12인 경우 44 8이 적힌 공을 제외한 나머지 7개의 공 중에서 1개를 꺼내면 되 1 444 555 5 66 77 않도록 나열하는 경우의 수는 33즉, 44 , 55 가 이웃하지 2_6_3!=2_(2_3)_3!=3_4! Û ‌연속된 네 자연수가 n, n+1, n+2, n+3 (n=2, 3, 4, y, 8) 인 경우 555 444 3! 4 므로 그 경우의 수는 5 권 4 Ú, Û에서 주어진 조건을 만족시키도록 7장의 카드를 나열하는 경 55 우의 수는 12_4!+3_4!=15_4! 44 따라서 구하는 확률은 15_4! 15_4! 1 = = 55 7! 7_6_5_4! 14 므로 그 경우의 수는 ¦CÁ=7 Ú~Ü에서 연속된 자연수의 최대 개수가 4인 경우의 수는 0390 7+6_7+7=56 따라서 사건 A가 일어날 확률은 ③ 56 7 = 792 99 7개의 팀의 공연 순서를 정하는 경우의 수는 즉, a=99, b=7이므로 A, B 두 팀의 공연 사이에 세 팀의 댄스 공연만 들어가는 사건을 7! a+b=99+7=106 X, C팀이 A, B 두 팀보다 먼저 공연하는 사건을 Y라 하면 구하 는 확률은 P(X'Y)이다. Ú A, B 두 팀의 공연 사이에 세 팀의 댄스 공연만 들어가는 경우 댄스 공연을 하는 네 팀 중 A, B 두 팀의 공연 사이에 공연할 세 팀을 선택하고 순서를 정하는 경우의 수는 0389 ② A, B 두 팀이 순서를 바꾸는 경우의 수는 7장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 2! 7! A, B 두 팀과 선택된 댄스 공연 세 팀을 한 팀으로 생각하여 세 주어진 조건을 만족시키는 경우는 다음과 같다. 11 22 7 66 7이웃하도록 33Ú 44 , 55 가 서로 나열하는 경우 1 2 64 11 75 22를,6다른 31‌42 의 5한쪽에는 55 66 , 77 44 33 7 한쪽에는 3 팀의 공연 순서를 정하는 경우의 수는 3! 중 1개를 택해 나 666 나열 777 4 555 택해 1 44 2 55 3 열하고 5 의 6남은 7옆자리에는 111 , 222 , 333 중441개를 4 1 44 255수는3 5 6 4 하면 그 경우의 5 4 되므로 5 44 (ªPÁ_2!)_£PÁ=(2_2)_3=12 444 555 4 5 5 4 55 44 5 4 4 5 44 55 555 444 5 4 4 44 55 45 5 5 4 4 55 4 444 5 7 555 5 우의 수는 22 7 66 7이웃하도록 33즉, 44 , 55 가 서로 나열하는 경우의 수는 12_4! 11 22 66 77 않도록 나열하는 경우 33Û 44 , 55 가 이웃하지 44 55 1 11 2 223 55 6 667, 77 을 나열하는 경우의 수는 33 4 의445양 옆에 5 4 44 555 4 ªPª=2 4 445 44 55 44 55 5 44 545 44 4 44 경우의 수는 24_2!_3! 24_2!_3! 7! = 24_2!_3! 7_6_5_4_3! = 2 35 Û C팀이 A, B 두 팀보다 먼저 공연하는 경우 A, B, C를 모두 같은 문자 X로 놓고, X, X, X와 댄스 공연 네 팀을 일렬로 세운 후 첫 번째 X는 C로, 뒤의 두 X는 A, B 4! 11 즉, A, B 두 팀의 공연 사이에 세 팀의 댄스 공연만 들어가는 ∴ P(X)‌= ‌이와 같이 나열된 것을 하나로 보고 4장의 카드를 나열하는 경 4 ¢P£=24 또는 B, A로 바꾸면 되므로 C팀이 A, B 두 팀보다 먼저 공연 하는 경우의 수는 7! 7! _2= _2=;3!;_7! 3! 6 1 ∴ P(Y)= 3 _7! 7! =;3!; Ⅱ. 확률 55 81 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 55 5 55 유형ON_확통3권.indb 81 2023. 9. 12. 오전 10:01 Ü ‌A, B 두 팀의 공연 사이에 세 팀의 댄스 공연만 들어가고, C팀 6=2_3이므로 5개의 수의 곱이 6의 배수가 아니려면 다음과 같아 이 A, B 두 팀보다 먼저 공연하는 경우 야 한다. Ú에서 C팀이 A, B 두 팀보다 먼저 공연하는 경우이므로 그 Ú 한 개의 숫자만 나오는 경우 1, 1, 1, 1, 1 또는 2, 2, 2, 2, 2 또는 3, 3, 3, 3, 3 경우의 수는 1 (24_2!_3!)_ =24_3! 2 ∴ P(X;Y)= 의 3가지 Û 두 개의 숫자만 나오는 경우 24_3! 24_3! 1 = = 7! 7_6_5_4_3! 35 1, 2가 적혀 있는 공이 나오는 경우의 수는 2Þ`-2=32-2=30 Ú~Ü에서 구하는 확률은 1, 3이 적혀 있는 공이 나오는 경우의 수는 P(X'Y)‌=P(X)+P(Y)-P(X;Y) = 2Þ`-2=32-2=30 2 1 +;3!;35 35 즉, 두 개의 숫자만 나오는 경우의 수는 38 = 105 30+30=60 Ú, Û에서 5개의 수의 곱이 6의 배수가 아닌 경우의 수는 3+60=63 이므로 P(AC)= 0391 ④ 직사각형 ABCD의 넓이는 63 7 = 243 27 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) 3'2_6=18'2 오른쪽 그림과 같이 사각형 ABCD의 A 3 E 3 =1D 각 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 3인 원을 그려 변 AD, BC와의 교점을 각각 E, F라 하고, 점 A를 중 심으로 하는 사분원과 점 B를 중심으로 312 B 즉, p=27, q=20이므로 p+q=27+20=47 G F 7 20 = 27 27 C 하는 사분원의 교점을 G라 하자. 점 P에서 사각형 ABCD의 가장 가까운 꼭짓점까지의 거리가 3 이 하이려면 점 P를 위의 그림의 색칠한 부분에 잡아야 한다. 두 점 E, F는 각각 변 AD, BC의 중점이고 삼각형 ABG는 직각 이등변삼각형이므로 위의 그림에서 색칠한 부분의 넓이는 0393 ④ 정의역의 원소가 6개이고 공역의 원소가 5개이므로 치역과 공역이 같으려면 정의역의 어떤 두 원소는 함숫값이 같아야 한다. 정의역의 6개의 원소 중에서 함숫값이 같은 두 원소를 택하는 경우 2{(부채꼴 AEG의 넓이)+(부채꼴 BFG의 넓이)+△ABG} 의 수는 6Cª=15이므로 치역과 공역이 같은 함수 f`:`X`1Ú`Y의 45 45 =2{p_3Û`_ +p_3Û`_ +;2!;_3_3} 360 360 개수는 15_5!=1800 9 9 9 =2{ p+ p+ } 8 8 2 f(xÁ)_ f(xª)_ f(x£)= f(x¢)_ f(x°)_ f(x¤)을 만족시키려면 함숫값이 같은 두 원소의 함숫값을 k로 놓았을 때, 공역의 모든 원 9 9 =2{ p+ } 4 2 소와 k의 곱이 어떤 자연수의 제곱이 되어야 한다. 9 = p+9 2 1_3_5_6_10_k=2Û`_3Û`_5Û`_k이므로 k=1 따라서 구하는 확률은 공역의 모든 원소와 k의 곱은 9 p+9 2 ={ p + 1 }'2 8 4 18'2 1_3_5_6_10_1=2Û`_3Û`_5Û`=30Û` 이므로 f(xÁ)_ f(xª)_ f(x£)= f(x¢)_ f(x°)_ f(x¤)을 만족시 키는 경우는 f(xÁ)_ f(xª)_ f(x£)=1_3_10, 0392 f(x¢)_ f(x°)_ f(x¤)=1_5_6 47 3개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공 에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 5번 반복하므로 모 든 경우의 수는 f(xÁ)_ f(xª)_ f(x£)=1_5_6, f(x¢)_ f(x°)_ f(x¤)=1_3_10 즉, 그 경우의 수는 3!_3!+3!_3!=36+36=72 3Þ`=243 5개의 수의 곱이 6의 배수인 사건을 A라 하면 AC은 5개의 수의 곱 이 6의 배수가 아닌 사건이다. 또는 따라서 구하는 확률은 72 =;2Á5; 1800 82 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 82 2023. 9. 12. 오전 10:01 0394 ② Ú, Û에서 구하는 확률은 16 7 23 + = 28 28 28 구슬 13개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 13! =1287 8!_5! 따라서 p=28, q=23이므로 1 권 p+q=28+23=51 구슬의 색이 5번 바뀌도록 구슬을 연속하여 나열하는 경우는  또는  의 2가지이다. 13개의 구슬을 나열하여 구슬의 색이 5번 바뀌려면 먼저 흰 구슬 3 개와 검은 구슬 3개를 위와 같이 일렬로 나열한 후, 남은 5개의 흰 구슬을 나열되어 있는 3개의 에 이웃하도록 나열하고, 남은 2개 의 검은 구슬을 나열되어 있는 3개의 에 이웃하도록 나열하면 된다. 3개의  중에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 경우의 수는 £H°=¦C°=¦Cª=21 3개의  중에서 중복을 허락하여 2개를 택하는 경우의 수는 £Hª=¢Cª=6 즉, 구슬의 색이 5번 바뀌는 경우의 수는 2_21_6=252 따라서 구하는 확률은 252 28 = 1287 143 0395 51 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때 얻은 점수가 24점 이하의 짝수인 경우는 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다. Ú 꺼낸 공이 서로 다른 색인 경우 ‌흰 공 1개, 검은 공 1개를 꺼내는 경우로, 12를 점수로 얻으므 로 조건을 만족시킨다. 즉, ‌ 이 경우의 확률은 ¢CÁ_¢CÁ 4_4 16 ‌ = = ¥Cª 28 28 Û 꺼낸 공이 서로 같은 색인 경우 ‌ⓐ 흰 공 2개를 꺼내는 경우 ‌ ‌두 공에 적힌 수는 각각 1, 2, 3, 4 중 하나이고 2개의 공을 동시에 꺼내므로 두 수의 곱은 모두 12 이하이다. ‌ 이때 ‌ 1과 3이 적힌 두 공을 꺼내면 홀수를 점수로 얻고, 나머 지 경우에는 모두 짝수를 점수로 얻는다. ‌ ‌즉, 이 경우의 확률은 ‌ ¢Cª-1 6-1 5 = = ¥Cª 28 28 ‌ⓑ 검은 공 2개를 꺼내는 경우 ‌ ‌두 공에 적힌 수는 각각 4, 5, 6, 7 중 하나이고 2개의 공을 동시에 꺼내므로 두 수의 곱이 24 이하의 짝수인 경우는 4와 5가 적힌 두 공을 꺼내거나 4와 6이 적힌 두 공을 꺼내는 경 우 2가지뿐이다. ‌ 즉, ‌ 이 경우의 확률은 2 2 ‌ ‌ = ¥Cª 28 ‌ⓐ, ⓑ에서 꺼낸 공이 서로 같은 색인 경우의 확률은 5 2 7 + = 28 28 28 Ⅱ. 확률 83 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 83 2023. 9. 12. 오전 10:01 0399 조건부확률 01 P(A|B)=P(B|A)에서 P(A;B) P(A;B) = P(B) P(A) 이때 P(A;B)+0이므로 조건부확률의 계산 ⑴ ;8!; ③ P(A)=P(B) ⑵ ;7@; 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 이므로 1 P(A;B) 14 ⑴ P(B|A)= = =;8!; 4 P(A) 7 1=P(A)+P(A)-;4!;, 2 P(A)=;4%; ∴ P(A)=;8%; 1 P(A;B) 14 ⑵ P(A|B)= = =;7@; 1 P(B) 4 0400 0396 ⑤ 표본공간을 S라 하면 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 S A P(BC)=;3!;이므로 P(B)=1-P(BC)=1-;3!;=;3@; B ………………………………………………………………………………… ➊ AC;B=B 따라서 확률의 덧셈정리에 의하여 2 또한 P(A)= 이므로 5 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) =;2!;+;3@;-;4!;=;1!2!; 2 3 P(AC)=1-P(A)=1- = 5 5 C P(A ;B) P(B) ∴ P(B|AC)= = P(AC) P(AC) 8 15 = =;9*; 3 5 0397 ………………………………………………………………………………… ➋ P(AC;BC) P((A'B)C) = P(BC) P(BC) 11 11-P(A'B) 12 = = 1 P(BC) 3 ∴ P(AC|BC)‌= 1 12 = =;4!; 1 3 ③ P(B|A)= P(A;B) 이므로 P(A) ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 P(A;B)‌=P(B|A)_P(A) = ➊ P(B)의 값 구하기 7 3 1 _ = 9 7 3 0398 ;4!; 배점 30% ➋ P(A'B)의 값 구하기 30% ➌ P(AC|BC)의 값 구하기 40% ;6!; P(BC|A)=2 P(B|A)에서 P(A;BC) P(A;B) =2_ P(A) P(A) 이때 P(A)+0이므로 P(A;BC)‌=2 P(A;B) =2_ P(A;B)= 1 1 = 12 6 1 이므로 A;B+∅ 12 ∴ P(A)+0, P(B)+0 02 조건부확률 - 표가 주어진 경우 0401 ⑤ 임의로 선택한 한 명이 빨간색 재킷을 입은 사람인 사건을 A, 여성 인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A;B) 이다. P(A) 84 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 84 2023. 9. 12. 오전 10:01 (단위: 명) 빨간색 노란색 합계 남성 20 25 45 여성 30 15 45 합계 50 40 90 1 0404 이때 50 30 1 P(A)= =;9%;, P(A;B)= = 90 90 3 35 임의로 선택한 한 명이 여성인 사건을 X, B 인터넷 쇼핑몰을 선호 하는 사람인 사건을 Y라 하면 이므로 구하는 확률은 P(B|A)= n(X)=9, n(X;Y)=5 n(X;Y) 5 ∴ P(Y|X)= = 9 n(X) 권 구분 1 P(A;B) 3 = =;5#; 5 P(A) 9 ………………………………………………………………………………… ➊ (단위: 명) 다른 풀이 임의로 선택한 한 명이 빨간색 재킷을 입은 사람인 사건을 A, 여성 인 사건을 B라 하면 n(A)=50, n(A;B)=30 n(A;B) 30 3 ∴ P(B|A)= = = 50 5 n(A) 0402 5 9 P(Y|X)= ;2!; 임의로 선택한 한 명이 안경을 쓴 학생인 사건을 X, B 학급의 학생 P(X;Y) 이다. 인 사건을 Y라 하면 구하는 확률은 P(Y|X)= P(X) 이때 30 6 15 3 P(X)= = , P(X;Y)= = 55 11 55 11 구분 A 인터넷 쇼핑몰 B 인터넷 쇼핑몰 합계 남성 36 22 58 여성 28 x x+28 합계 64 x+22 x+86 x P(X;Y) x x+86 ∴ P(Y|X)= = = x+28 x+28 P(X) x+86 ………………………………………………………………………………… ➋ 즉, x 5 = 이므로 x+28 9 9x=5x+140, 4x=140 ∴ x=35 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 이므로 구하는 확률은 배점 ➊ ‌사건 X, Y를 정하고 주어진 확률을 조건부확률 P(Y|X)로 나 3 P(X;Y) 11 = P(Y|X)= =;2!; 6 P(X) 11 30% 타내기 ➋ P(Y|X)를 x로 나타내기 40% ➌ x의 값 구하기 30% 다른 풀이 임의로 선택한 한 명이 안경을 쓴 학생인 사건을 X, B 학급의 학 생인 사건을 Y라 하면 0405 n(X)=30, n(X;Y)=15 n(X;Y) 15 ∴ P(Y|X)= = =;2!; 30 n(X) 8 임의로 선택한 한 명이 중도 포기한 사람인 사건을 A, 남성인 사건 을 B라 하면 0403 ② P(B|A)= (단위: 명) 임의로 선택한 한 명이 진로활동 B를 선택한 학생인 사건을 X, 1학 년 학생인 사건을 Y라 하면 구하는 확률은 P(Y|X)= 5 6 P(X;Y) P(X) 구분 남성 여성 합계 완주 26 12 38 이다. 중도 포기 a b a+b 이때 합계 a+26 b+12 a+b+38 P(X)= 9 5 1 , P(X;Y)= = 20 20 4 이므로 구하는 확률은 1 P(X;Y) 4 P(Y|X)= = =;9%; 9 P(X) 20 조사 대상이 50명이므로 a+b+38=50 ∴ a+b=12 yy ㉠ a P(A;B) a a a+b+38 ∴ P(B|A)= = = (∵ ㉠) = a+b 12 a+b P(A) a+b+38 즉, 다른 풀이 a 5 = 이므로 a=10 12 6 임의로 선택한 한 명이 진로활동 B를 선택한 학생인 사건을 X, 1학 a=10을 ㉠에 대입하면 b=2 년 학생인 사건을 Y라 하면 ∴ a-b=10-2=8 Ⅱ. 확률 85 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 85 2023. 9. 12. 오전 10:01 03 전체 학생 수가 36이고 토요일과 일요일을 선택한 학생 수가 같으 조건부확률 - 표로 나타내는 경우 므로 주어진 상황을 표로 나타내면 다음과 같다. (단위: 명) 0406 ④ 임의로 선택한 한 명이 여학생인 사건을 A, 댄스 종목으로 출전하 는 것에 반대한 학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(A) 댄스 종목으로 출전하는 것에 찬성한 학생의 80`%가 남학생이므로 P(B|A)= 댄스 종목으로 출전하는 것에 찬성하는 남학생의 비율은 0.7_0.8=0.56 구분 남학생 여학생 합계 토요일 12 18-12=6 18 일요일 20-12=8 16-6=10 18 합계 20 16 36 이때 P(A)= 16 4 = , 36 9 P(A;B)= 댄스 종목으로 출전하는 것에 찬성하는 여학생의 비율은 10 5 = 36 18 이므로 구하는 확률은 0.7_(1-0.8)=0.7_0.2=0.14 또한 전체 학생의 40 %가 여학생이므로 남학생은 전체 학생의 60 % 이다. 따라서 댄스 종목으로 출전하는 것에 대한 여학생과 남학생의 찬 5 P(A;B) 18 P(B|A)= = =;8%; 4 P(A) 9 성, 반대 비율을 표로 나타내면 다음과 같다. 구분 여학생 남학생 합계 찬성 0.14 0.56 0.7 0409 반대 0.4-0.14=0.26 0.6-0.56=0.04 0.3 상품권을 선택한 여성 직원의 수를 a라 하고 상품권과 화장품 선물 합계 0.4 0.6 1 세트를 선택한 직원의 수를 표로 나타내면 다음과 같다. 18 (단위: 명) 이때 P(A)=0.4, P(A;B)=0.26 이므로 구하는 확률은 P(B|A)= P(A;B) 0.26 13 = = 0.4 20 P(A) 구분 여성 남성 합계 상품권 a 15-a 35-20=15 화장품 선물 세트 12 8 20 합계 a+12 23-a 35 ………………………………………………………………………………… ➊ 0407 ;5@; 임의로 뽑은 한 학생이 뮤지컬 관람을 선택한 사건을 A, 여학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A;B) 이다. P(A) 주어진 상황을 표로 나타내면 다음과 같다. (단위: 명) 구분 뮤지컬 관람 미술관 방문 합계 남학생 150 220-150=70 220 여학생 180-80=100 80 180 합계 250 150 400 임의로 뽑은 한 명이 상품권을 선택한 사람인 사건을 A, 남성인 사 건을 B라 하면 P(A;B) = P(B|A)‌= P(A) 15-a 15-a 35 = 15 15 35 3 이때 P(B|A)= 이므로 5 15-a 3 = , 15-a=9 15 5 ∴ a=6 ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 여성 직원의 수는 이때 a+12=6+12=18 250 5 100 1 P(A)= = , P(A;B)= = 400 8 400 4 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 이므로 구하는 확률은 1 P(A;B) 4 P(B|A)= = =;5@; 5 P(A) 8 0408 ③ 배점 ➊ ‌주어진 상황을 표로 나타내기 40% ➋ 상품권을 선택한 여성 직원의 수 구하기 40% ➌ 여성 직원의 수 구하기 20% 0410 ② 임의로 뽑은 한 학생이 여학생인 사건을 A, 일요일을 선택한 학생 임의로 뽑은 한 명이 야구를 선택한 학생인 사건을 A, 여학생인 사 P(A;B) 이다. 인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A) 건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A;B) 이다. P(A) 86 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 86 2023. 9. 12. 오전 10:01 전체 학생 수는 40+60=100이므로 04 축구를 선택한 학생 수는 조건부확률 - 경우의 수를 이용하는 경우 ⑴ ;2!; 100_0.7=70 야구를 선택한 학생 수는 축구를 선택한 남학생 수를 a라 하면 임의로 뽑은 한 명이 축구를 선택한 남학생일 확률이 2 이므로 5 ⑷ ;5#; ⑸ ;4#; 1 표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⑴ A={1, 3, 5, 7, 9}이므로 a 2 = ∴ a=40 100 5 P(A)= 5 =;2!; 10 ⑵ B={2, 3, 5, 7}이므로 따라서 주어진 상황을 표로 나타내면 다음과 같다. (단위: 명) 구분 축구 야구 합계 남학생 40 60-40=20 60 여학생 70-40=30 30-20=10 40 합계 70 30 100 P(B)= 4 =;5@; 10 ⑶ A;B={3, 5, 7}이므로 P(A;B)= 3 10 3 P(A;B) 10 ⑷ P(B|A)= = =;5#; 1 P(A) 2 이때 P(A)= ⑶ ;1£0; 권 100_0.3=30 ⑵ ;5@; 30 3 = , 100 10 3 P(A;B) 10 ⑸ P(A|B)= = =;4#; 2 P(B) 5 10 1 P(A;B)= = 100 10 이므로 구하는 확률은 다른 풀이 1 P(A;B) 10 P(B|A)= = =;3!; 3 P(A) 10 ⑷ P(B|A)는 ‌ A를 새로운 표본공간으로 생각할 때 사건 A;B 가 일어날 확률이므로 n(A;B) =;5#; n(A) ⑸ P(A|B)는 ‌ B를 새로운 표본공간으로 생각할 때 사건 A;B P(B|A)= 0411 ③ 임의로 선택한 한 명이 헬스 프로그램과 수영 프로그램을 모두 이 가 일어날 확률이므로 P(A|B)= n(A;B) =;4#; n(B) 용하는 회원인 사건을 A, 여성 회원인 사건을 B라 하면 구하는 확 률은 P(B|A)= P(A;B) 이다. P(A) 전체 회원 수는 120+80=200이고 헬스 프로그램을 이용하는 회 원 수가 150, 수영 프로그램을 이용하는 회원 수가 130이므로 주어 진 상황을 표로 나타내면 다음과 같다. (단위: 명) 0412 ⑤ 구분 남성 여성 헬스 90 150-90=60 임의로 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 6의 약수인 사건을 A, 흰 공인 수영 85 130-85=45 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= 헬스, 수영 모두 이용 (90+85)-120=55 (60+45)-80=25 1 P(A)= 55+25 2 = , 200 5 P(A;B)= 13 2 24 35 46 5 6 1 2 1113, 12224,2333513,444624,555 356,66 46 },5 A={ 6 이때 이때 P(A;B) 이다. P(A) 1 2 111,131122242,22333353,34444644,5555556,66666 } B={ 25 1 = 200 8 이므로111111222222333333444444555555666666 1 2 1113, 2224, 3335 ,4446 } 555 666 A;B={ 이므로 구하는 확률은 1 P(A;B) 8 = P(B|A)= =;1°6; 2 P(A) 5 유한집합의 원소의 개수 두 집합 A, B에 대하여 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) 1 2 11163 2224 33335 4446 555 666 ∴ P(A)= 10 = , 5 P(A;B)= 4 2 = 10 5 따라서 구하는 확률은 2 P(A;B) 5 P(B|A)= = =;3@; 3 P(A) 5 Ⅱ. 확률 87 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 87 2023. 9. 12. 오전 10:01 0413 ;3!; 임의로 뽑은 한 장의 카드에 적혀 있는 수가 홀수인 사건을 A, 3의 배 0415 ;5@; P(A;B) 이다. P(A) ab¾18인 사건을 A, |a-b|=1인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(B|A)= P(A) ………………………………………………………………………………… ➊ ………………………………………………………………………………… ➊ 이때 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 A={1, 3, 5, 7, 9, 11}, B={3, 6, 9, 12} 6_6=36 이므로 나온 두 눈의 수를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 A;B={3, 9} A={‌(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), 수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= ∴ P(A)= 6 1 = , 12 2 P(A;B)= (6, 4), (6, 5), (6, 6)} B={‌(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), 2 1 = 12 6 (5, 4), (5, 6), (6, 5)} ………………………………………………………………………………… ➋ 이므로 A;B={(4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)} 따라서 구하는 확률은 1 P(A;B) 6 = P(B|A)= =;3!; 1 P(A) 2 ∴ P(A)= ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 구하는 확률은 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ ‌사건 A, B를 정하고 구하는 확률을 조건부확률 P(B|A)로 나 타내기 10 5 4 1 = , P(A;B)= = 36 18 36 9 30% 1 P(A;B) 9 = P(B|A)= =;5@; 5 P(A) 18 ………………………………………………………………………………… ➌ ➋ P(A), P(A;B)의 값 구하기 40% ➌ P(B|A)의 값 구하기 30% 채점 기준 ➊ ‌사건 A, B를 정하고 구하는 확률을 조건부확률 P(B|A)로 나 타내기 0414 배점 30% ➋ P(A), P(A;B)의 값 구하기 40% ➌ P(B|A)의 값 구하기 30% ④ 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 한 번 던져서 나온 두 눈의 수 의 곱이 짝수인 사건을 A, 두 눈의 수의 합이 짝수인 사건을 B라 P(A;B) 이다. 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A) 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6_6=36 사건 AC은 두 눈의 수의 곱이 홀수인 사건이고 두 눈의 수의 곱이 홀수이려면 두 눈의 수가 모두 홀수이어야 한다. 이때 홀수는 1, 3, 5의 3개이므로 P(AC)= 0416 ⑤ a+b가 짝수인 사건을 A, b가 홀수인 사건을 B라 하면 구하는 확 P(A;B) 이다. 률은 P(B|A)= P(A) 일어나는 모든 경우의 수는 6_5=30 주머니에서 나오는 두 수를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 A={‌(1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (4, 4), (4, 6), (5, 3), (5, 5), (5, 7), (6, 4), 3_3 1 = 36 4 (6, 6)} B={‌(1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 3), ∴ P(A)‌=1-P(AC) (3, 5), (3, 7), (4, 3), (4, 5), (4, 7), (5, 3), (5, 5), 1 =1- =;4#; 4 (5, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7)} 두 눈의 수의 합이 짝수이려면 두 눈의 수가 모두 짝수이거나 홀수 이므로 이어야 하므로 사건 A;B는 두 눈의 수가 모두 짝수인 사건이다. A;B={‌(1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 3), 이때 짝수는 2, 4, 6의 3개이므로 P(A;B)= (5, 5), (5, 7)} 3_3 1 = 36 4 ∴ P(A)= 15 1 9 3 = , P(A;B)= = 30 2 30 10 따라서 구하는 확률은 따라서 구하는 확률은 1 P(A;B) 4 P(B|A)= = =;3!; 3 P(A) 4 3 P(A;B) 10 P(B|A)= = =;5#; 1 P(A) 2 88 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 88 2023. 9. 12. 오전 10:01 다른 풀이 6_5=30 조건부확률 - 순열과 조합을 이용하는 경우 0418 ② aÉb인 사건을 A, a=1인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 1 P(A;B) 이다. P(A) 12개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 4개의 공을 동시에 꺼내 P(B|A)= a+b가 짝수이려면 a, b가 모두 홀수이거나 짝수이어야 한다. 이때 주머니 A에는 홀수가 1, 3, 5의 3개, 짝수가 2, 4, 6의 3개가 있고, 주머니 B에는 홀수가 3, 5, 7의 3개, 짝수가 4, 6의 2개가 있 으므로 는 경우의 수는 C4=495 12 3_3+3_2 15 P(A)= = =;2!; 30 30 aÉb인 경우는 a=0, b=4 또는 a=1, b=3 또는 a=2, b=2 a+b가 짝수이고 b가 홀수이려면 a도 홀수이어야 하므로 P(A;B)= 05 권 a+b가 짝수인 사건을 A, b가 홀수인 사건을 B라 하면 구하는 확 P(A;B) 이다. 률은 P(B|A)= P(A) 일어나는 모든 경우의 수는 이므로 3_3 3 = 30 10 n(A)‌=¦C¢+°CÁ_¦C£+°Cª_¦Cª 따라서 구하는 확률은 =35+5_35+10_21 3 P(A;B) 10 = P(B|A)= =;5#; 1 P(A) 2 =420 ∴ P(A)= 420 28 = 495 33 aÉb이고 a=1인 경우는 a=1, b=3 이므로 0417 10 주호가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 짝수인 사건을 A, 주호가 이기 P(A;B) 이다. 는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A) 짝수는 2, 4, 6의 3개가 있으므로 주호가 7장의 카드 중 짝수가 적 혀 있는 카드를 꺼낼 확률은 P(A)= 3 7 n(A;B)‌=°CÁ_¦C£ ‌ =5_35=175 ∴ P(A;B)= 175 35 = 495 99 따라서 구하는 확률은 35 P(A;B) 99 = P(B|A)= =;1°2; 28 P(A) 33 주호와 연수가 주머니에서 각각 한 장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 7_7=49 사건 A;B는 주호가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 연수가 꺼낸 카 드에 적혀 있는 수보다 더 크면서 그 수가 짝수인 사건이므로 그 경 우는 다음과 같다. Ú 주호가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 2인 경우 연수가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수는 1이어야 하므로 그 경우의 수는 1이다. Û 주호가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 4인 경우 연수가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수는 1, 2, 3 중 하나이어야 하므 로 그 경우의 수는 3이다. Ü 주호가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 6인 경우 연수가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수는 1, 2, 3, 4, 5 중 하나이어 야 하므로 그 경우의 수는 5이다. 0419 ⑤ A, B가 주문한 것이 서로 다른 사건을 X, A, B가 주문한 것이 모 두 아이스크림인 사건을 Y라 하면 구하는 확률은 P(X;Y) 이다. P(X) 두 학생 A, B는 5가지 메뉴 중 한 가지씩을 주문할 수 있으므로 모 P(Y|X)= 든 경우의 수는 °CÁ_°CÁ=5_5=25 A, B가 서로 다른 메뉴를 주문하는 경우의 수는 °CÁ_¢CÁ=5_4=20 ∴ P(X)= 20 =;5$; 25 Ú~Ü에서 A, B가 서로 다른 메뉴를 주문하고, 그것이 모두 아이스크림인 경 n(A;B)=1+3+5=9 우의 수는 ∴ P(A;B)= 9 49 ªCÁ_ÁCÁ=2_1=2 9 P(A;B) 49 ∴ P(B|A)= = =;7#; 3 P(A) 7 따라서 p=7, q=3이므로 p+q=7+3=10 ∴ P(X;Y)= 2 25 따라서 구하는 확률은 2 P(X;Y) 25 P(Y|X)= = =;1Á0; 4 P(X) 5 Ⅱ. 확률 89 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 89 2023. 9. 12. 오전 10:01 0420 ;1£0; 양 끝에 문자가 적혀 있는 카드를 나열하는 사건을 A, 홀수가 적혀 있는 카드가 모두 이웃하도록 나열하는 사건을 B라 하면 구하는 P(A;B) 이다. 확률은 P(B|A)= P(A) 세 수의 합이 홀수이려면 세 수가 모두 홀수이거나 두 수는 짝수, 한 수는 홀수이어야 한다. 홀수는 1, 3, 5, 7, 9의 5개, 짝수는 2, 4, 6, 8, 10의 5개이므로 3 개의 공에 적혀 있는 세 수의 합이 홀수인 경우의 수는 °C£+°Cª_°CÁ=10+10_5=60 ………………………………………………………………………………… ➊ 7장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ∴ P(A)= 60 1 = 120 2 3개의 공에 적혀 있는 세 수의 합이 홀수이고 3개의 공에 적혀 있는 7! 양 끝에 문자가 적혀 있는 카드를 나열하는 경우는 양 끝에 문자 A, B가 적혀 있는 카드를 나열하고 그 사이에 숫자가 적혀 있는 5 수가 모두 홀수인 경우의 수는 °C£=10 10 1 = 120 12 장의 카드를 나열하면 된다. ∴ P(A;B)= 이때 문자 A, B의 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!이므로 양 끝에 따라서 구하는 확률은 문자가 적혀 있는 카드를 나열하는 경우의 수는 1 P(A;B) 12 = P(B|A)= =;6!; 1 P(A) 2 5!_2! ∴ P(A)= 5!_2! 5!_2 = =;2Á1; 7! 7_6_5! ………………………………………………………………………………… ➋ 양 끝에 문자가 적혀 있는 카드를 나열하고 홀수가 적혀 있는 카드 가 모두 이웃하도록 나열하는 경우는 문자 A, B가 적혀 있는 카드 를 양 끝에 나열하고 그 사이에 홀수 1, 3, 5가 적혀 있는 카드를 (짝수)+(짝수)+(짝수)=(짝수), (짝수)+(짝수)+(홀수)=(홀수) (짝수)+(홀수)+(짝수)=(홀수), (홀수)+(짝수)+(짝수)=(홀수) (짝수)+(홀수)+(홀수)=(짝수), (홀수)+(짝수)+(홀수)=(짝수) (홀수)+(홀수)+(짝수)=(짝수), (홀수)+(홀수)+(홀수)=(홀수) 하나로 생각하여 3장의 카드를 나열하면 된다. 이때 문자 A, B의 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!, 홀수 1, 3, 5의 자리를 바꾸는 경우의 수가 3!이므로 양 끝에 문자가 적혀 있는 카 드를 나열하고 홀수가 적혀 있는 카드가 모두 이웃하도록 나열하는 경우의 수는 3!_2!_3! ① 모음인 문자가 모두 이웃하도록 나열하는 사건을 A, 숫자를 작은 3!_2!_3! ∴ P(A;B)‌= 7! = 0422 수부터 순서대로 나열하는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 ………………………………………………………………………………… ➌ 따라서 구하는 확률은 문자 X로 생각하여 4개의 문자 X, c, t, v와 4개의 숫자 1, 2, 3, 4 를 일렬로 나열하면 된다. ………………………………………………………………………………… ➍ 이때 모음끼리 자리를 바꾸는 경우의 수가 3!이므로 모음인 문자가 모두 이웃하도록 나열하는 경우의 수는 배점 ➊ ‌사건 A, B를 정하고 구하는 확률을 조건부확률 P(B|A)로 나 10! 모음인 문자를 모두 이웃하도록 나열하는 경우는 모음 a, i, e를 한 1 P(A;B) 70 P(B|A)= = =;1£0; 1 P(A) 21 채점 기준 P(A;B) 이다. P(A) 문자 6개와 숫자 4개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 P(B|A)= 3!_2_6 =;7Á0; 7_6_5_4_3! 8!_3! 8!_3! 8!_6 = =;1Á5; 10! 10_9_8! 20% ∴ P(A)= ➋ P(A)의 값 구하기 30% 숫자를 작은 수부터 순서대로 나열하는 경우는 1, 2, 3, 4를 모두 ➌ P(A;B)의 값 구하기 30% 같은 문자 Y로 생각하여 나열한 후 첫 번째 Y를 1, 두 번째 Y를 2, ➍ P(B|A)의 값 구하기 20% 세 번째 Y를 3, 네 번째 Y를 4로 바꾸면 된다. 타내기 즉, 모음인 문자를 모두 이웃하도록 나열하고 숫자는 작은 수부터 순서대로 나열하는 경우는 모음 a, i, e를 한 문자 X로 생각하여 4 개의 문자 X, c, t, v와 4개의 문자 Y, Y, Y, Y를 일렬로 나열하 0421 ③ 3개의 공에 적혀 있는 세 수의 합이 홀수인 사건을 A, 3개의 공에 적혀 있는 수가 모두 홀수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(A) 10개의 공 중에서 3개의 공을 꺼내는 경우의 수는 P(B|A)= 10 C£=120 면 된다. 이때 모음끼리 자리를 바꾸는 경우의 수가 3!이므로 모음인 문자가 모두 이웃하고 숫자는 작은 수부터 순서대로 나열하는 경우의 수는 8! 8! _3!= 4! 4 ∴ P(A;B)= 8! 4 8! 8! 1 = = = 10! 4_10! 4_10_9_8! 360 90 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 90 2023. 9. 12. 오전 10:01 따라서 구하는 확률은 이때 1 P(A;B) 360 P(B|A)= = =;2Á4; 1 P(A) 15 P(A)=;9$;, P(B|A)=;8#; 0423 ;4!2!; 임의로 택한 한 집합의 원소의 개수가 3 이상인 사건을 X, 원소의 최 P(X;Y) P(X) 권 P(A;B)‌=P(A)P(B|A) = 댓값이 5인 사건을 Y라 하면 구하는 확률은 P(Y|X)= 1 이므로 구하는 확률은 4 3 1 _ = 9 8 6 0426 18 이다. A가 딸기 맛 사탕을 꺼내는 사건을 A, B가 포도 맛 사탕을 꺼내는 n(A)=6이므로 집합 A의 부분집합의 개수는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A)이다. 2ß`=64 이때 임의로 택한 한 집합의 원소의 개수가 3 이상인 경우는 6개의 원소 P(A)=;1¤5;=;5@;, P(B|A)=;1»4; 중 3개 또는 4개 또는 5개 또는 6개를 선택하면 되므로 그 확률은 P(X)‌= ¤C£+¤C¢+¤C°+¤C¤ 64 = 20+15+6+1 =;3@2!; 64 2 9 9 = _ = 5 14 35 임의로 택한 집합의 원소의 개수가 3 이상이고 원소의 최댓값이 5 이려면 원소 5를 반드시 포함하고 1, 2, 3, 4 중 2개 또는 3개 또는 4개를 선택하면 되므로 그 확률은 ¢Cª+¢C£+¢C¢ P(X;Y)‌= 64 = 이므로 구하는 확률은 P(A;B)‌=P(A)P(B|A) 6+4+1 =;6!4!; 64 따라서 p= 9 이므로 35 70p=70_ 9 =18 35 0427 따라서 구하는 확률은 ③ 첫 번째에 불량품을 꺼내는 사건을 A, 두 번째에 불량품을 꺼내는 11 P(X;Y) 64 P(Y|X)= = =;4!2!; 21 P(X) 32 사건을 B라 하면 P(A;B)= 1 19 이때 P(A)= n n-1 , P(B|A)= 20 19 이므로 P(A;B)‌=P(A)P(B|A) 06 확률의 곱셈정리 = 0424 ④ 수진이가 당첨 제비를 뽑는 사건을 A, 경수가 당첨 제비를 뽑는 사 건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A)이다. 이때 P(A)= 즉, n n-1 _ 20 19 n n-1 1 _ = 이므로 20 19 19 n(n-1)=20, nÛ`-n-20=0 (n+4)(n-5)=0 ∴ n=5 (∵ n은 자연수) 8 7 , P(B|A)= 21 20 0428 이므로 구하는 확률은 8 7 2 P(A;B)=P(A)P(B|A)= _ = 21 20 15 ;2Á2; 여섯 번째에서 꺼내는 것을 중단하려면 다섯 번째까지 흰 공을 2개 꺼내고 여섯 번째에서 남은 흰 공 1개를 꺼내면 된다. ………………………………………………………………………………… ➊ 0425 ⑤ 다섯 번째까지 흰 공 2개를 꺼내는 사건을 A, 여섯 번째에서 흰 공 을 꺼내는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 A가 파란 공을 꺼내는 사건을 A, B가 파란 공을 꺼내는 사건을 B P(A;B)=P(A)P(B|A)이다. 라 하면 구하는 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A)이다. ………………………………………………………………………………… ➋ Ⅱ. 확률 91 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 91 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 이때 P(A)= £Cª_»C£ 3_84 7 , = = 792 22 12C° P(B|A)= P(A;B)‌=P(A)P(B|A) = 1 7 2 1 1 _ = 10 9 45 P(AC;B)‌=P(AC)P(B|AC) ………………………………………………………………………………… ➌ = 이므로 구하는 확률은 P(A;B)‌=P(A)P(B|A) = 8 2 8 _ = 10 9 45 이므로 구하는 확률은 7 1 1 _ = 22 7 22 P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) = ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 1 8 1 + = 45 45 5 배점 ➊ 여섯 번째에서 꺼내는 것을 중단할 조건 구하기 30% ➋ 사건 A, B를 정하고 구하는 확률을 P(A;B)로 나타내기 20% ➌ P(A), P(B|A)의 값 구하기 30% ➍ P(A;B)의 값 구하기 20% 0430 ;5!2(; A반 학생을 택하는 사건을 A, B반 학생을 택하는 사건을 B, 방송 댄스 수업을 신청한 학생을 택하는 사건을 E라 하면 구하는 확률 은 P(E)=P(A;E)+P(B;E)이다. ………………………………………………………………………………… ➊ 두 반 전체 학생 수는 28+24=52 이때 P(A)= 07 확률의 곱셈정리의 활용 ⑴ ;2£8; ⑵ ;5!6%; 28 7 24 6 = , P(B)= = , 52 13 52 13 P(E|A)= ⑶ ;8#; 25 50 =;4!;, P(E|B)= =;2!; 100 100 이므로 P(A;E)‌=P(A)P(E|A) 첫 번째에 당첨 제비를 뽑는 사건을 A, 두 번째에 당첨 제비를 뽑 는 사건을 B라 하자. ⑴ ‌두 번 모두 당첨 제비를 뽑는 경우는 첫 번째에도 당첨 제비를 = P(B;E)‌=P(B)P(E|B) = 뽑고 두 번째에도 당첨 제비를 뽑는 경우이므로 구하는 확률은 P(A;B)‌=P(A)P(B|A) 7 7 _;4!;= 13 52 6 3 _;2!;= 13 13 ………………………………………………………………………………… ➋ =;8#;_;7@;=;2£8; 따라서 구하는 확률은 ⑵ ‌두 번째에만 당첨 제비를 뽑는 경우는 첫 번째에는 당첨 제비를 P(E)‌=P(A;E)+P(B;E) = 뽑지 않고 두 번째에만 당첨 제비를 뽑는 경우이므로 구하는 확 률은 7 3 19 + = 52 13 52 ………………………………………………………………………………… ➌ P(AC;B)‌=P(AC)P(B|AC) 채점 기준 =;8%;_;7#;=;5!6%; ➊ ‌사건 A, B, E를 정하고 구하는 확률을 ⑶ ‌두 번째에 당첨 제비를 뽑는 경우는 첫 번째에 당첨 제비를 뽑는 경우와 첫 번째에 당첨 제비를 뽑지 않는 두 가지 경우가 있으므 로 구하는 확률은 P(E)=P(A;E)+P(B;E)로 나타내기 배점 30% ➋ P(A;E), P(B;E)의 값 구하기 50% ➌ P(E)의 값 구하기 20% P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) =;2£8;+;5!6%;=;8#; 0431 ② 유도선수 A가 전국체전에서 우승하는 사건을 A, 유도선수 B가 전 국체전에 출전하는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A)=P(A;B)+P(A;BC)이다. 0429 ⑤ 지수가 흰 공을 꺼내는 사건을 A, 선빈이가 흰 공을 꺼내는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)이다. 이때 P(A;B)‌=P(B)P(A|B) = 7 1 7 _ = 10 2 20 92 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 92 2023. 9. 12. 오전 10:01 P(A;BC)‌=P(BC)P(A|BC) = ∴ P(A;B)‌=P(A)P(B|A) 3 4 6 _ = 10 5 25 = 1 3 3 _ = 8 5 40 Û 앞면이 나오는 동전의 개수가 2 이하인 경우 이므로 구하는 확률은 C 3개의 동전을 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수가 2 이 하인 사건은 AC이므로 7 6 59 = + = 20 25 100 1 권 P(A)‌=P(A;B)+P(A;B ) 1 7 P(AC)=1-P(A)=1- = 8 8 주머니 B에서 2장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 0432 ¤Cª=15 96 주머니 B에서 임의로 꺼낸 두 장의 카드에 적혀 있는 두 수의 독감에 걸린 사람을 택하는 사건을 A, 의사가 독감에 걸렸다고 진 합이 소수이려면 두 수의 합이 7이어야 한다. 단하는 사건을 B라 하면 3+4=7이므로 주머니 B에서 꺼낸 두 장의 카드에 적혀 있는 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)= 두 수의 합이 소수인 경우의 수는 27 100 ªCÁ_ªCÁ=2_2=4 이때 ∴ P(B|AC)= 25 P(A)= =;4!;, P(AC)=1-P(A)=1-;4!;=;4#;, 100 p 4 1 , P(B|AC)= P(B|A)= = 100 100 25 ∴ P(AC;B)‌=P(AC)P(B|AC) 7 4 7 = _ = 8 15 30 이므로 Ú, Û에서 구하는 확률은 p p P(A;B)=P(A)P(B|A)=;4!;_ = 100 400 P(AC;B)=P(AC)P(B|AC)= 4 15 P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) = 3 1 3 _ = 4 25 100 3 7 37 + = 40 30 120 ∴ P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) = 즉, p p+12 3 + = 400 100 400 0434 p+12 27 이므로 = 400 100 5 주머니 A에서 흰 바둑돌을 꺼내는 사건을 A, 주머니 B에서 흰 바둑 p+12=108 ∴ p=96 돌을 꺼내는 사건을 B라 하면 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)= 0433 ⑤ 3개의 동전을 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수가 3인 사 건을 A, 주머니에서 꺼낸 2장의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 소 주머니 B에 들어 있는 흰 바둑돌의 개수를 n이라 하면 검은 바둑돌 의 개수는 9-n이다. Ú 주머니 A에서 흰 바둑돌을 꺼내는 경우 주머니 B에는 흰 바둑돌 (n+1)개, 검은 바둑돌 (9-n)개가 수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 들어 있으므로 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)이다. P(A;B)‌=P(A)P(B|A) Ú 앞면이 나오는 동전의 개수가 3인 경우 = 3개의 동전을 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 2_2_2=8 3개의 동전을 동시에 던질 때 앞면이 나오는 동전의 개수가 3인 2 n+1 n+1 _ = 10 10 50 Û 주머니 A에서 검은 바둑돌을 꺼내는 경우 주머니 B에는 흰 바둑돌 n개, 검은 바둑돌 (10-n)개가 들어 경우는 1가지이므로 그 확률은 있으므로 1 P(A)= 8 (AC;B)‌=P(AC)P(B|AC) P 주머니 A에서 2장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 ¤Cª=15 주머니 A에서 임의로 꺼낸 두 장의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 소수이려면 두 수의 합이 2, 3, 5이어야 한다. = 의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 소수인 경우의 수는 ªCª+ªCÁ_ªCÁ+ªCÁ_ªCÁ=1+2_2+2_2=9 9 3 = 15 5 8 n 2n _ = 10 10 25 Ú, Û에서 P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) = 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5이므로 주머니 A에서 꺼낸 두 장 ∴ P(B|A)= 13 25 즉, n+1 2n 5n+1 + = 50 25 50 5n+1 13 = 이므로 50 25 5n+1=26, 5n=25 ∴ n=5 따라서 처음에 주머니 B에 들어 있던 흰 바둑돌의 개수는 5이다. Ⅱ. 확률 93 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 93 2023. 9. 12. 오전 10:01 08 A 접시를 택하고 팥앙금이 들어간 찹쌀떡을 택할 확률은 확률의 곱셈정리를 이용한 조건부확률 0435 P(A;B)‌=P(A)P(B|A) A 공장에서 생산한 로봇 장난감을 택하는 사건을 A, 불량품을 택하 P(A;B) 이다. 는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A|B)= P(B) A 공장에서 생산한 로봇 장난감을 택하고 그것이 불량품일 확률은 P(A;B)‌=P(A)P(B|A) = 40 3 3 _ = 100 100 250 B 접시를 택하고 팥앙금이 들어간 찹쌀떡을 택할 확률은 P(AC;B)‌=P(AC)P(B|AC) =;2!;_ 4 =;4!; 8 따라서 팥앙금이 들어간 찹쌀떡을 택할 확률은 1 = +;4!; 6 = P(AC;B)‌=P(AC)P(B|AC) = 3 1 = 9 6 P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) B 공장에서 생산한 로봇 장난감을 택하고 그것이 불량품일 확률은 60 6 9 _ = 100 100 250 5 12 이므로 구하는 확률은 ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 불량품을 택할 확률은 1 P(A;B) 6 = P(A|B)= =;5@; 5 P(B) 12 P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) = =;2!;_ ③ 3 9 6 + = 250 250 125 ………………………………………………………………………………… ➌ 이므로 구하는 확률은 3 P(A;B) 250 P(A|B)= = =;4!; 6 P(B) 125 0436 채점 기준 배점 ➊ 사건 A, B를 정하고 구하는 확률을 P(A|B)로 나타내기 30% ➋ P(A;B), P(AC;B), P(B)의 값 구하기 50% ➌ P(A|B)의 값 구하기 20% ④ 주머니 A를 택하는 사건을 A, 흰 공을 꺼내는 사건을 B라 하면 P(A;B) 이다. P(B) 주머니 A에서 흰 공을 꺼낼 확률은 구하는 확률은 P(A|B)= 0438 P(A;B)‌=P(A)P(B|A) =;2!;_ K 선수가 출전한 경기를 택하는 사건을 A, A팀이 승리한 경기를 택 P(A;B) 이다. 하는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A|B)= P(B) K 선수가 출전하고 A팀이 경기에서 승리할 확률은 21 21 = 50 100 주머니 B에서 흰 공을 꺼낼 확률은 P(AC;B)‌=P(AC)P(B|AC) =;2!;_ P(A;B)‌=P(A)P(B|A) 14 7 = 50 50 3 4 3 = _ = 4 5 5 따라서 흰 공을 꺼낼 확률은 K 선수가 출전하지 않고 A팀이 경기에서 승리할 확률은 P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) = P(AC;B)‌=P(AC)P(B|AC) 21 7 7 + = 100 50 20 3 1 ={1- }_;3@;= 4 6 이므로 구하는 확률은 따라서 A팀이 승리한 경기를 택할 확률은 21 P(A;B) 100 P(A|B)= = =;5#; 7 P(B) 20 P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) 3 1 = + 5 6 = 0437 41 ;5@; A 접시를 택하는 사건을 A, 팥앙금이 들어간 찹쌀떡을 택하는 사 P(A;B) 이다. 건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A|B)= P(B) ………………………………………………………………………………… ➊ 23 30 이므로 구하는 확률은 3 P(A;B) 5 P(A|B)= = =;2!3*; 23 P(B) 30 즉, p=23, q=18이므로 p+q=23+18=41 94 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 94 2023. 9. 12. 오전 10:01 0439 ② 주머니 A에서 흰 공을 꺼내는 사건을 A, 주머니 B에서 꺼낸 공이 P(A;B)= 1 8 1 1 이때 P(A)P(B)= _ =;4!;이므로 2 2 모두 검은 공인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B)+P(A)P(B) 즉, 두 사건 A, B는 서로 종속이다. 주머니 A에서 임의로 1개의 공을 꺼낼 때, 흰 공이 나올 확률은 ㄴ. A;C=∅이므로 P(A;C)=0 2 5 ‌주머니 B에는 흰 공 4개, 검은 공 4개가 들어 있게 되므로 주머 1 이때 P(A)P(C)=;2!;_;4!;= 이므로 8 니 B에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공이 모두 P(A;C)+P(A)P(C) 검은 공일 확률은 즉, 두 사건 A, C는 서로 종속이다. P(B|A)= 1 권 P(A;B) 이다. P(A|B)= P(B) Ú 주머니 A에서 흰 공을 꺼낸 경우 P(A)= ㄱ. A;B={2}이므로 ¢C£ 4 1 = = ¥C£ 56 14 ㄷ. B;C={3}이므로 P(B;C)= ∴ P(A;B)‌=P(A)P(B|A) 2 1 1 = _ = 5 14 35 1 8 1 이때 P(B)P(C)=;2!;_;4!;= 이므로 8 Û 주머니 A에서 검은 공을 꺼낸 경우 P(B;C)=P(B)P(C) ‌주머니 A에서 임의로 1개의 공을 꺼낼 때, 검은 공이 나올 확률 즉, 두 사건 B, C는 서로 독립이다. 은 따라서 서로 독립인 사건은 ㄷ이다. P(AC)= 3 5 ‌주머니 B에는 흰 공 3개, 검은 공 5개가 들어 있게 되므로 주머 니 B에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공이 모두 검은 공일 확률은 P(B|AC)‌= °C£ 10 5 = = ¥C£ 56 28 0441 ∴ P(AC;B)‌=P(AC)P(B|AC) 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하고 표본공간을 S라 하면 3 5 3 = _ = 5 28 28 S={‌(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H), (H, T, T), Ú, Û에서 (T, H, T), (T, T, H), (T, T, T)}, P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) = ② A={(H, H, H), (T, T, T)}, 1 3 19 + = 35 28 140 B={(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H)}, C={(T, T, T)}, 따라서 구하는 확률은 D={(H, T, T), (T, H, T), (T, T, H), (T, T, T)} 1 P(A;B) 35 = P(A|B)= =;1¢9; 19 P(B) 140 이므로 2 4 P(A)= =;4!;, P(B)= =;2!;, 8 8 1 4 P(C)= , P(D)= =;2!; 8 8 ① A;B={(H, H, H)}이므로 P(A;B)= 1 8 1 이때 P(A)P(B)=;4!;_;2!;= 이므로 8 09 사건의 독립과 종속의 판정 P(A;B)=P(A)P(B) 즉, 두 사건 A, B는 서로 독립이다. (참) 0440 ③ ② A;C={(T, T, T)}이므로 P(A;C)= 표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, y, 8}, A={1, 2, 4, 8}, B={2, 3, 5, 7}, C={3, 6} 1 8 1 1 이때 P(A)P(C)=;4!;_ = 이므로 8 32 P(A;C)+P(A)P(C) 이므로 4 4 2 P(A)= =;2!;, P(B)= =;2!;, P(C)= =;4!; 8 8 8 즉, 두 사건 A, C는 서로 종속이다. (거짓) ③ B;C=∅이므로 두 사건 B, C는 서로 배반사건이다. (참) Ⅱ. 확률 95 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 95 2023. 9. 12. 오전 10:01 ④ B;D=∅이므로 ㄷ. Aª={2, 4, 6, 8, 10, 12}, A¤={6, 12}이므로 P(B;D)=0 P(Aª)= 1 이때 P(B)P(D)=;2!;_ =;4!;이므로 2 Aª;A¤={6, 12}이므로 P(Aª;A¤)= P(B;D)+P(B)P(D) 2 1 = 12 6 즉, P(Aª;A¤)+P(Aª)P(A¤)이므로 두 사건 Aª와 A¤은 서 즉, 두 사건 B, D는 서로 종속이다. (참) 로 종속이다. (거짓) ⑤ C;D={(T, T, T)}이므로 P(C;D)= 6 2 1 =;2!;, P(A¤)= = 12 12 6 ㄹ. Aª={2, 4, 6, 8, 10, 12}, A°={5, 10}이므로 1 8 Aª;A°={10} 1 1 이때 P(C)P(D)= _;2!;= 이므로 8 16 ∴ P(Aª|A°)= P(C;D)+P(C)P(D) 즉, 두 사건 C, D는 서로 종속이다. (참) 1 P(Aª;A°) 12 = =;2!; (참) 2 P(A°) 12 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 다른 풀이 10의 사건의 독립과 종속의 성질을 이용해 보자. ㄹ. P(Aª)= ‌ 0442 서로 독립이다. 6 2 1 1 =;2!;, P(A°)= = , P(Aª;A°)= 이므 12 12 6 12 로 P(Aª;A°)=P(Aª)P(A°) P(A )=;3@;이므로 C 즉, 두 사건 Aª와 A°는 서로 독립이므로 사건 A°가 일어나는 P(A)=1-P(AC)=1-;3@;=;3!; 것이 사건 Aª가 일어날 확률에 영향을 주지 않는다. ………………………………………………………………………………… ➊ ∴ P(Aª|A°)=P(Aª)= 확률의 덧셈정리에 의하여 1 (참) 2 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 이므로 0444 P(A;B)‌=P(A)+P(B)-P(A'B) =;3!;+;4#;-;6%;=;4!; 서로 독립이다. 9장의 카드 중 2장을 꺼내는 경우의 수는 ………………………………………………………………………………… ➋ »Cª=36 이때 P(A)P(B)=;3!;_;4#;=;4!;이므로 Ú 같은 색의 카드를 2장 꺼내는 경우 흰색 카드 5장 중 2장을 꺼내거나 노란색 카드 4장 중 2장을 꺼 P(A;B)=P(A)P(B) 내면 되므로 그 경우의 수는 따라서 두 사건 A, B는 서로 독립이다. ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 °Cª+¢Cª=10+6=16 ∴ P(A)= 배점 16 4 = 36 9 ➊ P(A)의 값 구하기 30% Û 적혀 있는 두 수의 합이 4의 배수가 되는 카드를 2장 꺼내는 경우 ➋ P(A;B)의 값 구하기 40% 적혀 있는 두 수의 합이 4의 배수가 되는 경우는 합이 4가 되는 ➌ 두 사건 A, B가 서로 독립인지 알기 30% 경우만 있다. 이때 4=1+3=2+2이므로 1이 적혀 있는 카드 2장 중 1장, 3 이 적혀 있는 카드 3장 중 1장을 꺼내거나 2가 적혀 있는 카드 3 장 중 2장을 꺼내면 된다. 0443 ④ 즉, 그 경우의 수는 표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, y, 12} ªCÁ_£CÁ+£Cª=2_3+3=9 ㄱ. A£={3, 6, 9, 12}, A°={5, 10}이므로 ∴ P(B)= A£;A°=∅ 즉, 두 사건 A£과 A°는 서로 배반사건이다. (참) ㄴ. A£={3, 6, 9, 12}, A¢={4, 8, 12}이므로 P(A£)= 4 3 =;3!;, P(A¢)= =;4!; 12 12 A£;A¢={12}이므로 P(A£;A¢)= 9 =;4!; 36 Ü ‌적혀 있는 두 수의 합이 4의 배수가 되는 같은 색의 카드를 2장 꺼내는 경우 ⓐ ‌적혀 있는 두 수의 합이 4의 배수가 되는 흰색 카드를 2장 꺼 내는 경우 1 12 흰색 카드 중 합이 4가 되는 경우는 1이 적혀 있는 카드 1장 과 3이 적혀 있는 카드 1장을 꺼내거나 2가 적혀 있는 카드 2 즉, P(A£;A¢)=P(A£)P(A¢)이므로 두 사건 A£과 A¢는 서 장을 꺼내면 되므로 그 경우의 수는 로 독립이다. (참) 1+1=2 96 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 96 2023. 9. 12. 오전 10:01 ⓑ ‌적혀 있는 두 수의 합이 4의 배수가 되는 노란색 카드를 2장 꺼내는 경우 확률이 0이 아닌 두 사건 A, B에 대하여 노란색 카드 중 합이 4가 되는 경우는 1이 적혀 있는 카드 1 ⑴ A, B가 서로 배반사건이면 A, B는 서로 종속이다. 장과 3이 적혀 있는 카드 2장 중 1장을 꺼내면 되므로 그 경 ⑵ A, B가 서로 독립이면 A, B는 서로 배반사건이 아니다. 1 권 우의 수는 1_ªCÁ=1_2=2 ⓐ, ⓑ에서 적혀 있는 두 수의 합이 4의 배수가 되는 같은 색의 카드를 2장 꺼내는 경우의 수는 0446 2+2=4 ㄱ. 두 사건 A, B가 서로 종속이면 4 1 ∴ P(A;B)= = 36 9 ⑤ P(A|B)+P(A|BC) (거짓) Ú~Ü에서 P(A;B)=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서 로 독립이다. ㄴ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 P(A;B)=P(A)P(B) yy ㉠ 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) 주머니에서 2장의 카드를 동시에 꺼낼 때, 카드에 적혀 있는 두 수의 합의 최솟값은 2, 최댓값은 7이다. 따라서 적혀 있는 두 수의 합이 4의 배수가 되는 경우는 합이 4가 되는 경 우만 있다. =P(A)+P(B)-P(A)P(B) (∵ ㉠) (참) ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 배반사건이면 A;B=∅ ∴ P(A;B)=0 이때 P(A;B) =0, P(A) P(A;B) =0 P(A|B)= P(B) 이므로 P(B|A)= P(B|A)=P(A|B) (참) 10 ㄹ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 사건의 독립과 종속의 성질 P(A;B)=P(A)P(B) 0445 ① ㄱ. ‌두 사건 A, B가 서로 독립이면 사건 A가 일어나거나 일어나 ∴ P((A;B)C)‌=1-P(A;B) =1-P(A)P(B) (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 지 않는 것이 사건 B가 일어날 확률에 영향을 주지 않으므로 P(B|A)=P(B|AC)=P(B) (참) ㄴ. 두 사건 A, B가 서로 배반사건이면 A;B=∅ ∴ P(A;B)=0 0447 그런데 P(A)+0, P(B)+0이므로 두 사건 AC, B가 서로 독립이므로 P(A)P(B)+0 P(AC;B)=P(AC)P(B) ㈎ A;BC ㈏ 배반 ㈐ AC;B ㈑ BC yy ㉠ ∴ P(A;B)+P(A)P(B) 이때 A=( A;B )'(A;B)이고 즉, 두 사건 A, B는 서로 종속이다. (거짓) A;BC과 A;B는 서로 배반 사건이므로 확률의 덧셈정리에 의 C ㄷ. 두 사건 A, BC이 서로 독립이면 하여 P(A;BC)=P(A)P(BC) yy ㉠ 이때 표본공간을 S라 하고 A;BC을 S 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그 B A P(A;BC)=P(A)-P(A;B) yy ㉡㉠, ㉡에서 P(A)P(BC)=P(A)-P(A;B) 이므로 yy ㉡ 같은 방법으로 P(B)=P( AC;B )+P(A;B) A;B 림과 같으므로 P(A)=P(A;BC)+P(A;B) yy ㉢ 이므로 ㉡, ㉢에서 A;B P(A;B)‌=P(A)-P(A;BC) =P(B)-P(AC;B) ∴ P(A;BC)‌=P(A)-P(B)+P(AC;B) =P(A)-P(B)+P(AC)P(B) (∵ ㉠) P(A){1-P(B)}=P(A)-P(A;B) =P(A)-{1-P(AC)}P(B) P(A)-P(A)P(B)=P(A)-P(A;B) =P(A)-P(A)P(B) ∴ P(A;B)=P(A)P(B) =P(A){1-P(B)} 즉, 두 사건 A, B는 서로 독립이다. (거짓) =P(A)P( BC ) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 따라서 두 사건 A, BC은 서로 독립이다. Ⅱ. 확률 97 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 97 2023. 9. 12. 오전 10:01 11 다른 풀이 독립인 사건의 확률의 계산 ⑴ 0.08 ⑵ 0.52 ⑶ 0.32 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A, BC도 서로 독립이다. ⑷ 0.8 이때 2 7 P(BC)=1-P(B)=1- = 9 9 ⑴ 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 이므로 P(A;B)=P(A)P(B)=0.2_0.4=0.08 3 7 7 P(A;BC)=P(A)P(BC)= _ = 8 9 24 ⑵ 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) =0.2+0.4-0.08=0.52 7 P(A;BC) 24 ∴ P(B |A)= = =;9&; 3 P(A) 8 C ⑶ ‌두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 AC, B도 서로 독립 이다. 이때 P(AC)=1-P(A)=1-0.2=0.8 이므로 0450 P(AC;B)‌=P(AC)P(B) 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 =0.8_0.4=0.32 ② P(A|B)=P(A) ⑷ ‌두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 AC, BC도 서로 독립 이때 P(A|B)=P(B)이므로 이다. 즉, 사건 BC이 일어나는 것이 사건 AC이 일어날 확률에 P(A)=P(B) 영향을 주지 않으므로 또한 P(A;B)=P(A)P(B)={P(A)}Û`이므로 P(AC|BC)=P(AC)=0.8 1 {P(A)}Û`= ∴ P(A)=;3!; (∵ P(A)>0) 9 다른 풀이 ⑶ P(AC;B)=P(B)-P(A;B)=0.4-0.08=0.32 ⑷ ‌두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 AC, BC도 서로 독립 0451 이다. 이때 ② P(AC)=1-P(A)=1-;3!;= P(AC)=0.8, P(BC)=1-P(B)=1-0.4=0.6 이므로 2 3 P(AC)=7P(A;B)에서 P(AC;BC)‌=P(AC)P(BC) ;3@;=7P(A;B) ∴ P(A;B)= =0.8_0.6=0.48 P(AC;BC) 0.48 ∴ P(AC|BC)= = =0.8 0.6 P(BC) 2 21 yy ㉠ 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 1 P(A;B)=P(A)P(B)= P(B) 3 yy ㉡㉠, ㉡에서 0448 ② 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 3 P(A;B)=P(A)P(B)= P(A) 5 ;3!;P(B)= 2 ∴ P(B)=;7@; 21 0452 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) ;1»6; 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A, BC도 서로 독립이다. 이므로 ∴ P(A;BC)=P(A)P(BC)= 11 3 3 =P(A)+ - P(A) 15 5 5 1 yy ㉠ 16 ………………………………………………………………………………… ➊ 2 2 P(A)= ∴ P(A)=;3!; 5 15 AC;B=(A'BC)C이므로 P(AC;B)‌=P((A'BC)C) =1-P(A'BC) 0449 ⑤ 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A, BC도 서로 독립이다. 즉, 사건 A가 일어나는 것이 사건 BC이 일어날 확률에 영향을 주 지 않으므로 2 7 P(BC|A)=P(BC)=1-P(B)=1- = 9 9 =1-{P(A)+P(BC)-P(A;BC)} =1-[P(A)+P(BC)= 1 ] 16 17 -{P(A)+P(BC)} 16 따라서 P(A)+P(BC)이 최소일 때 P(AC;B)는 최댓값을 갖는다. ………………………………………………………………………………… ➋ 98 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 98 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 P(A)>0, P(BC)>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 P(A)+P(BC)‌¾2¿¹P(A)P(BC)=2®Â {단, 등호는 P(A)=P(BC)= 즉, P(A)+P(BC)의 최솟값은 P(A)= 1 =;2!; (∵ ㉠) 16 1 일 때 성립한다.} 4 1 이므로 P(AC;B)의 최댓값은 2 17 9 -;2!;= 16 16 ② 4 4 , P(B)= 이므로 n n P(A)P(B)= 1 4 4 16 _ = n n nÛ` 권 0454 2 A;B={2, 3}이므로 P(A;B)= n 이때 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ P(A)P(B )의 값 구하기 20% ➋ P(AC;B)가 최대일 조건 구하기 40% ➌ P(AC;B)의 최댓값 구하기 40% C 즉, 2 16 = 이므로 n nÛ` nÛ`=8n n은 7 이상의 자연수이므로 n=8 확률의 기본 성질에 의하여 0ÉP(A)É1, 0ÉP(BC)É1 그런데 P(A)=0 또는 P(BC)=0이면 A=∅ 또는 BC=∅ A=∅ 또는 BC=∅이면 두 사건 A, BC이 서로 독립이라는 것에 모순이 므로 P(A)+0, P(BC)+0 ∴ P(A)>0, P(BC)>0 0455 두 사건 A, BC이 서로 독립이므로 두 사건 A, B도 서로 독립이다. ∴ P(A;B)=P(A)P(B) a>0, b>0일 때 a+b ¾'¶ab (단, 등호는 a=b일 때 성립한다.) 2 yy ㉠ ………………………………………………………………………………… ➊ 7P(A)=6P(B)=k에서 P(A)= 산술평균과 기하평균의 관계 2 0< k k , P(B)= 7 6 yy ㉡ k k <1, 0< <1이므로 7 6 0<k<6 ………………………………………………………………………………… ➋ 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 이므로 ㉠, ㉡에 의하여 12 11 k k k k = + - _ 21 7 6 7 6 독립인 사건의 확률 - 미지수 구하기 kÛ`-13k+22=0, (k-2)(k-11)=0 0453 ④ ∴ k=2 (∵ 0<k<6) ………………………………………………………………………………… ➌ 남성 직원을 선택하는 사건을 A, 해외여행 포상에 대하여 찬성하 채점 기준 배점 는 직원을 선택하는 사건을 B라 하면 두 사건 A, B가 서로 독립 ➊ P(A;B)=P(A)P(B)임을 알기 30% 이므로 ➋ P(A), P(B)를 k로 나타내고 k의 값의 범위 구하기 P(A;B)=P(A)P(B) 30% ➌ k의 값 구하기 40% 이때 P(A)= 160 120 a =;1¥5;, P(B)= =;5@;, P(A;B)= 300 300 300 이므로 0456 a 8 2 = _ ∴ a=64 300 15 5 ⑤ 과학 동아리의 전체 학생 수는 15+10=25이므로 P(A)= a=64이므로 표를 완성하면 다음과 같다. 15 3 n+8 n , P(A;B)= = , P(B)= 25 5 25 25 (단위: 명) 이때 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 구분 찬성 반대 합계 P(A;B)=P(A)P(B) 남성 64 96 160 여성 56 84 140 합계 120 180 300 즉, n 3 n+8 이므로 = _ 25 5 25 5n=3n+24, 2n=24 ∴ n=12 Ⅱ. 확률 99 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 99 2023. 9. 12. 오전 10:01 0457 ④ 디자인 B를 선택한 남성 직원의 수를 x로 놓고 주어진 상황을 표로 나타내면 다음과 같다. (단, x는 1 이상의 자연수이다.) (단위: 명) Û m=2일 때 B={1, 2}, A;B={1}이므로 2 1 P(B)= =;3!;, P(A;B)= 6 6 즉, P(A;B)=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 독 구분 디자인 A 디자인 B 합계 립이다. 남성 15 x x+15 Ü m=3일 때 여성 25 30 55 합계 40 x+30 x+70 B={1, 3}, A;B={1, 3}이므로 여성 직원을 뽑는 사건을 A, 디자인 A를 선택한 직원을 뽑는 사건 을 B라 하면 P(A)= 2 2 P(B)= =;3!;, P(A;B)= =;3!; 6 6 즉, P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 종 속이다. 55 40 25 , P(B)= , P(A;B)= x+70 x+70 x+70 Ý m=4일 때 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 B={1, 2, 4}, A;B={1}이므로 P(A;B)=P(A)P(B) 3 1 P(B)= =;2!;, P(A;B)= 6 6 즉, 25 55 40 이므로 = _ x+70 x+70 x+70 즉, P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 종 속이다. x+70=88 ∴ x=18 Þ m=5일 때 따라서 디자인 B를 선택한 남성 직원의 수는 18이다. B={1, 5}, A;B={1, 5}이므로 2 2 P(B)= =;3!;, P(A;B)= =;3!; 6 6 0458 20 B={2, 4, 6, 8, 10}이므로 P(B)= 즉, P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 종 속이다. 5 =;2!; 10 ß m=6일 때 A;B는 짝수가 적혀 있는 흰 공을 꺼내는 사건이므로 n의 값에 B={1, 2, 3, 6}, A;B={1, 3}이므로 따른 P(A), P(B), P(A;B)의 값을 구하면 다음 표와 같다. 4 2 P(B)= =;3@;, P(A;B)= =;3!; 6 6 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P(A) ;1Á0; ;5!; ;1£0; ;5@; ;2!; ;5#; ;1¦0; ;5$; ;1»0; P(B) ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; P(A;B) 0 ;1Á0; ;1Á0; ;5!; ;5!; ;1£0; ;1£0; ;5@; ;5@; 즉, P(A;B)=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 독 립이다. Ú~ß에서 두 사건 A, B가 서로 독립이 되도록 하는 m의 값은 m=2, 6 따라서 모든 m의 값의 합은 두 사건 A, B가 서로 독립이면 2+6=8 P(A;B)=P(A)P(B) 이므로 위의 표에서 두 사건 A, B가 서로 독립이 되도록 하는 n의 값은 n=2, 4, 6, 8 따라서 모든 자연수 n의 값의 합은 2+4+6+8=20 13 독립인 사건의 확률 - 확률 구하기 ⑴ ;2!; 0459 ⑵ ;1!2!; 8 3 A={1, 3, 5}이므로 P(A)= =;2!; 6 농구 선수 A가 자유투를 성공시키는 사건을 A, 농구 선수 B가 자 유투를 성공시키는 사건을 B라 하면 m의 값에 따른 P(B), P(A;B)의 값을 구하여 두 사건 A, B가 3 P(A)= , P(B)=;3@; 4 서로 독립인지 종속인지 확인하면 다음과 같다. ⑴ 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 A, B가 모두 성공할 확률은 Ú m=1일 때 P(A;B)=P(A)P(B)= B={1}, A;B={1}이므로 ⑵ A 또는 B가 성공할 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여 1 1 P(B)= , P(A;B)= 6 6 즉, P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 종 속이다. 3 _;3@;=;2!; 4 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) 3 11 = +;3@;-;2!;= 4 12 100 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 100 2023. 9. 12. 오전 10:01 0460 ④ 영주가 주머니 A에서 검은 공을 꺼내는 사건을 A, 준수가 주머니 B에서 검은 공을 꺼내는 사건을 B라 하면 다른 풀이 정팔면체 모양의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 8_8_8=8Ü` abc의 값이 홀수이려면 a, b, c가 모두 홀수이어야 한다. 이때 홀수 2 P(A)=;7$;, P(B)= =;3!; 6 영주와 준수가 모두 검은 공을 꺼내는 사건은 A;B이고 두 사건 4_4_4=4Ü` A, B는 서로 독립이므로 구하는 확률은 따라서 구하는 확률은 4Ü` 4 1 ={ }Ü`={;2!;}Ü`= 8 8 8Ü` P(A;B)‌=P(A)P(B) =;7$;_;3!;= 4 21 0463 0461 ⑤ 축구 선수 A가 승부차기에 성공하는 사건을 A, 축구 선수 B가 승 부차기에 성공하는 사건을 B라 하면 ① 승혜와 민수가 차례대로 한 개의 공을 꺼내는 모든 경우의 수는 7_7=49 첫 번째 시행에서 승혜가 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 민수가 꺼낸 공 에 적혀 있는 수보다 큰 사건을 A, 두 번째 시행에서 승혜가 꺼낸 5 4 P(A)= , P(B)= 6 5 공에 적혀 있는 수와 민수가 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 서로 같은 두 축구 선수 A, B 중 한 사람만 승부차기에 성공할 확률은 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B)이다. P(A;B )+P(A ;B) 첫 번째 시행에서 승혜가 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 민수가 꺼낸 공 C C 이고, 두 사건 A, B는 서로 독립이므로 A와 B , A 과 B도 각각 에 적혀 있는 수보다 큰 경우는 7개의 공 중 서로 다른 2개의 공을 서로 독립이다. 꺼내어 큰 수가 적혀 있는 공을 승혜에게, 작은 수가 적혀 있는 공 C C 을 민수에게 주는 경우와 같다. 따라서 구하는 확률은 P(A;B )+P(A ;B) C C C ∴ P(A)= C =P(A)P(B )+P(A )P(B) ¦Cª 21 = =;7#; 49 49 두 번째 시행에서 승혜가 꺼낸 공에 적혀 있는 수와 민수가 꺼낸 공 =P(A){1-P(B)}+{1-P(A)}P(B) 에 적혀 있는 수가 서로 같은 경우는 7가지가 있으므로 5 4 5 4 = _{1- }+{1- }_ 6 5 6 5 P(B)= 5 1 1 4 = _ + _ 6 5 6 5 = 1 권 는 1, 3, 5, 7의 4개가 있으므로 abc의 값이 홀수인 경우의 수는 7 1 = 49 7 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 구하는 확률은 P(A;B)‌=P(A)P(B) 3 10 =;7#;_ 0462 ;8!; abc의 값이 홀수이려면 a, b, c가 모두 홀수이어야 한다. 1 3 = 7 49 0464 ③ ………………………………………………………………………………… ➊ 세 스위치 A, B, C가 닫히는 사건을 각각 A, B, C라 하면 세 스 a가 홀수인 사건을 A, b가 홀수인 사건을 B, c가 홀수인 사건을 C 위치 A, B, C가 닫힐 확률과 열릴 확률이 각각 서로 같으므로 라 하면 abc의 값이 홀수일 확률은 P(A;B;C)이다. P(A)=P(B)=P(C)= ………………………………………………………………………………… ➋ 홀수는 1, 3, 5, 7의 4개이므로 1 2 전구에 불이 들어오는 사건은 A;(B'C)이고 세 스위치 A, B, C가 독립적으로 작동하므로 세 사건 A, B, C는 서로 독립이다. 4 P(A)=P(B)=P(C)= =;2!; 8 따라서 두 사건 A, B'C도 서로 독립이므로 구하는 확률은 세 사건 A, B, C는 서로 독립이므로 구하는 확률은 P(A;(B'C))=P(A)P(B'C) P(A;B;C)‌=P(A)P(B)P(C) 이때 확률의 덧셈정리에 의하여 1 8 P(B'C)‌=P(B)+P(C)-P(B;C) ………………………………………………………………………………… ➌ =;2!;+;2!;-;2!;_;2!;= =;2!;_;2!;_;2!;= =P(B)+P(C)-P(B)P(C) 채점 기준 배점 ➊ abc의 값이 홀수가 될 조건 구하기 20% ➋ 사건 A, B, C를 정하고 구하는 확률이 P(A;B;C)임을 알기 30% ➌ abc의 값이 홀수일 확률 구하기 50% 3 4 이므로 구하는 확률은 P(A;(B'C))‌=P(A)P(B'C) 3 3 =;2!;_ = 4 8 Ⅱ. 확률 101 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 101 2023. 9. 12. 오전 10:01 0465 ① Ü 앞면이 6번, 뒷면이 0번 나오는 경우 그 확률은 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6_6=36 0 1 1 ¤C¤{;2!;}ß`{;2!;} =1_ _1= 64 64 두 눈의 수의 합이 8의 약수가 되는 경우는 두 눈의 수의 합이 2, Ú~Ü에서 앞면이 뒷면보다 더 많이 나올 확률은 4, 8이 되는 경우이므로 그 경우를 순서쌍으로 나타내면 15 3 1 11 + + = 64 32 64 32 (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) 의 9가지이다. 따라서 두 눈의 수의 합이 8의 약수가 될 확률은 0467 9 =;4!; 36 ④ 수현이와 진아가 두 개의 주사위를 던지는 사건은 서로 독립이므로 6의 약수는 1, 2, 3, 6의 4개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 6회 이내에 수현이가 이기는 경우는 다음과 같다. 때, 6의 약수의 눈이 나올 확률은 Ú 1회에 수현이가 이기는 경우 4 =;3@; 6 1회에 두 눈의 수의 합이 8의 약수가 나오면 되므로 그 확률은 따라서 한 개의 주사위를 3번 던질 때, 6의 약수의 눈이 2번 나올 1 4 확률은 Û 3회에 수현이가 이기는 경우 1회, 2회에는 두 눈의 수의 합이 8의 약수가 나오지 않고, 3회 1 4 4 £Cª{;3@;}Û`{;3!;} =3_ _;3!;= 9 9 에 두 눈의 수의 합이 8의 약수가 나오면 되므로 그 확률은 {1-;4!;}_{1-;4!;}_;4!;= 3 3 9 _ _;4!;= 4 4 64 Ü 5회에 수현이가 이기는 경우 1회, 2회, 3회, 4회에는 두 눈의 수의 합이 8의 약수가 나오지 0468 ;3¦2; 1 이다. 2 않고, 5회에 두 눈의 수의 합이 8의 약수가 나오면 되므로 그 확 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 률은 한 개의 동전을 8번 던질 때, 뒷면이 나오는 횟수를 x라 하면 앞면 1 {1-;4!;}_{1-;4!;}_{1-;4!;}_{1-;4!;}_ 4 은 뒷면보다 2번 더 많이 나오므로 앞면이 나오는 횟수는 x+2이다. 이때 (x+2)+x=8이므로 3 3 3 3 81 = _ _ _ _;4!;= 4 4 4 4 1024 2x=6 Ú~Ü에서 6회 이내에 수현이가 이길 확률은 ∴ x=3 9 81 481 ;4!;+ + = 64 1024 1024 즉, 한 개의 동전을 8번 던질 때, 앞면이 뒷면보다 2번 더 많이 나 오는 경우는 앞면은 5번, 뒷면은 3번 나오는 경우이다. ………………………………………………………………………………… ➊ 따라서 한 개의 동전을 8번 던질 때, 앞면이 뒷면보다 2번 더 많이 나올 확률은 1 1 ¥C°{;2!;}Þ`{;2!;}Ü`=56_ _ =;3¦2; 32 8 14 독립시행의 확률 - 한 종류의 시행 ………………………………………………………………………………… ➋ 채점 기준 0466 ③ ➊ ‌한 개의 동전을 8번 던질 때, 앞면이 뒷면보다 2번 더 많이 나오 는 경우 구하기 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 1 이다. 2 ➋ ‌한 개의 동전을 8번 던질 때, 앞면이 뒷면보다 2번 더 많이 나올 확률 구하기 배점 40% 60% 한 개의 동전을 6번 던질 때, 앞면이 뒷면보다 더 많이 나오는 경우 는 다음과 같다. Ú 앞면이 4번, 뒷면이 2번 나오는 경우 그 확률은 1 15 ¤C¢{;2!;}Ý`{;2!;}Û`=15_ _;4!;= 16 64 Û 앞면이 5번, 뒷면이 1번 나오는 경우 그 확률은 1 1 3 ¤C°{;2!;}Þ`{;2!;} =6_ _;2!;= 32 32 0469 ⑤ 한 개의 주사위를 5번 던져서 나오는 다섯 눈의 수의 곱이 짝수인 사건을 A라 하면 AC은 다섯 눈의 수의 곱이 홀수인 사건이다. 다섯 눈의 수의 곱이 홀수이려면 다섯 눈의 수가 모두 홀수이어야 한다. 102 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 102 2023. 9. 12. 오전 10:01 홀수는 1, 3, 5의 3개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 홀수 정사면체 모양의 상자를 3번 던지므로 의 눈이 나올 확률은 m+n=3 3 =;2!; 6 i |m-n|=-i에서 |m-n|=3 따라서 다섯 눈의 수의 곱이 홀수일 확률은 Ú m+n=3, m-n=-3일 때 권 0 1 1 °C°{;2!;}Þ`{;2!;} =1_ _1= 32 32 두 식을 연립하여 풀면 m=0, n=3 이므로 구하는 확률은 1- 1 ∴ m-n=-3 또는 m-n=3 즉, 2가 0번, 2가 아닌 숫자가 3번 나올 확률은 1 31 = 32 32 0 27 £C¼{;4!;} {;4#;}Ü`= 64 Û m+n=3, m-n=3일 때 두 식을 연립하여 풀면 0470 515 홀수는 1, 3, 5, 7의 4개이므로 한 번의 시행에서 홀수가 적혀 있는 공을 꺼낼 확률은 ;7$;이다. m=3, n=0 즉, 2가 3번, 2가 아닌 숫자가 0번 나올 확률은 1 £C£{;4!;}Ü`{;4#;}â`= 64 Ú, Û에서 i |m-n|=-i일 확률은 꺼낸 공에 적혀 있는 세 수의 합이 홀수인 경우는 다음과 같다. 27 1 7 + = 64 64 16 Ú 3번 모두 홀수가 적혀 있는 공을 꺼내는 경우 그 확률은 i의 거듭제곱 0 64 64 £C£{;7$;}Ü`{;7#;} =1_ _1= 343 343 자연수 k에 대하여 i 4k-3=i, i 4k-2=-1, i 4k-1=-i, i 4k=1 (단, i='¶-1) Û 1번은 홀수, 2번은 짝수가 적혀 있는 공을 꺼내는 경우 그 확률은 9 108 £CÁ{;7$;}Ú`{;7#;}Û`=3_;7$;_ = 49 343 Ú, Û에서 꺼낸 공에 적혀 있는 세 수의 합이 홀수일 확률은 64 108 172 + = 343 343 343 따라서 p=343, q=172이므로 p+q=343+172=515 15 0471 ;5ª1¦2; 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 빨간 공이 나올 확률은 6 3 = 8 4 파란 공이 나올 확률은 2 =;4!; 8 0473 ④ 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 ;2!;이다. 동전의 앞면이 1번 나오는 경우는 다음과 같다. Ú 흰 공이 나오는 경우 공을 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣는 시행을 5번 하고 멈추려면 4 번의 시행까지는 빨간 공이 2번, 파란 공이 2번 나오고 5번째 시행 에서 파란 공이 나오면 된다. 주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때 흰 공을 꺼낼 확률은 4 이고, 9 흰 공이 나오면 한 개의 동전을 2번 던지므로 앞면이 1번 나올 확률은 따라서 구하는 확률은 1 1 4 4 2 _ªCÁ{;2!;} {;2!;} = _2_;2!;_;2!;= 9 9 9 3 9 1 ¢Cª{ }Û`{;4!;}Û`_;4!;‌=6_ _ _;4!; 4 16 16 = 독립시행의 확률 - 두 종류의 시행 Û 검은 공이 나오는 경우 27 512 주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때 검은 공을 꺼낼 확률은 5 이 9 고, 검은 공이 나오면 한 개의 동전을 4번 던지므로 앞면이 1번 나올 확률은 0472 ② 1 5 5 1 5 _¢CÁ{;2!;} {;2!;}Ü= _4_;2!;_ = 9 9 8 36 정사면체 모양의 상자를 던져 밑면에 적혀 있는 숫자가 2가 나올 Ú, Û에서 동전의 앞면이 1번 나올 확률은 확률은 ;4!;이다. 2 5 13 + = 9 36 36 Ⅱ. 확률 103 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 103 2023. 9. 12. 오전 10:01 0474 ;8#; 5의 약수는 1, 5의 2개이므로 한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 5의 약수일 확률은 주사위의 눈의 수의 합이 짝수인 경우는 다음과 같다. Ú 동전의 앞면이 나온 경우 동전의 앞면이 나오면 2개의 주사위를 동시에 던지므로 두 눈의 수의 합이 짝수가 되려면 두 눈의 수 모두 짝수가 나오거나 두 2 =;3!; 6 눈의 수 모두 홀수가 나와야 한다. 한 개의 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 1 이고, 동전의 앞면 2 즉, 동전의 앞면이 나왔을 때 2개의 주사위를 던져 나온 두 눈의 수의 합이 짝수일 확률은 ;2!;_[ªCª{;2!;}Û`{;2!;}â`+ªC¼{;2!;}â`{;2!;}Û ] 이 2번 나오는 경우는 다음과 같다. Ú 주사위 한 개를 던져서 나온 눈의 수가 5의 약수인 경우 나온 눈의 수가 5의 약수이면 3개의 동전을 동시에 던지므로 앞 면이 2번 나올 확률은 =;2!;{;4!;+;4!;}=;4!; Û 동전의 뒷면이 나온 경우 1 1 ;3!;_£Cª{;2!;}Û`{;2!;} =;3!;_3_;4!;_;2!;= 8 동전의 뒷면이 나오면 3개의 주사위를 동시에 던지므로 세 눈의 수의 합이 짝수가 되려면 세 눈의 수 모두 짝수가 나오거나 두 Û 주사위 한 개를 던져서 나온 눈의 수가 5의 약수가 아닌 경우 나온 눈의 수가 5의 약수가 아니면 4개의 동전을 동시에 던지므 로 앞면이 2번 나올 확률은 눈의 수는 홀수, 한 눈의 수는 짝수가 나와야 한다. 즉, 동전의 뒷면이 나왔을 때 3개의 주사위를 던져 나온 세 눈의 수의 합이 짝수일 확률은 2 {1-;3!;}_¢Cª{;2!;}Û`{;2!;} =;3@;_6_;4!;_;4!;=;4!; ;2!;_[£C£{;2!;} {;2!;} +£CÁ{;2!;} {;2!;} ] 3 Ú, Û에서 동전의 앞면이 2번 나올 확률은 0 1 2 =;2!;{;8!;+;8#;}=;4!; ;8!;+;4!;=;8#; Ú, Û에서 주사위의 눈의 수의 합이 짝수일 확률은 ;4!;+;4!;=;2!; 0475 ② 10의 약수는 1, 2, 5, 10의 4개이므로 주머니에서 한 개의 공을 꺼 낼 때 10의 약수가 적혀 있는 공을 꺼낼 확률은 ;1¢0;=;5@; 0477 137 홀수는 1, 3, 5의 3개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 홀수 1 자유투 성공률이 인 어떤 농구 선수가 자유투를 성공시키는 경우 4 는 다음과 같다. Ú 10의 약수가 적혀 있는 공을 꺼내는 경우 10의 약수가 적혀 있는 공을 꺼내면 자유투를 3번 던지므로 자 유투를 2번 성공시킬 확률은 의 눈이 나올 확률은 ;6#;=;2!; 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 ;2!; 이다. 0ÉaÉ5, 0ÉbÉ4이므로 a-b=3인 경우는 다음과 같다. Ú a=5, b=2인 경우 1 2 2 3 9 _£Cª{;4!;}Û`{;4#;} = _3_;1Á6;_ = 5 5 4 160 한 개의 주사위를 5번 던져 홀수의 눈이 5번 나오고, 한 개의 동 Û 10의 약수가 아닌 숫자가 적혀 있는 공을 꺼내는 경우 전을 4번 던져 앞면이 2번 나올 확률은 10의 약수가 아닌 숫자가 적혀 있는 공을 꺼내면 자유투를 2번 던지므로 자유투를 2번 성공시킬 확률은 3 °C°{;2!;}Þ`{;2!;}â`_¢Cª{;2!;}Û`{;2!;}Û`=;3Á2;_;1¤6;= 256 Û a=4, b=1인 경우 0 2 3 3 {1- }_ªCª{;4!;}Û`{;4#;} = _1_;1Á6;_1= 5 5 80 한 개의 주사위를 5번 던져 홀수의 눈이 4번 나오고, 한 개의 동 Ú, Û에서 자유투를 2번 성공시킬 확률은 전을 4번 던져 앞면이 1번 나올 확률은 9 3 3 + = 160 80 32 1 1 3 5 °C¢{;2!;}Ý`{;2!;} _¢CÁ{;2!;} {;2!;} =;3°2;_;1¢6;= 128 Ü a=3, b=0인 경우 한 개의 주사위를 5번 던져 홀수의 눈이 3번 나오고, 한 개의 동 0476 ④ 한 개의 동전을 던질 때, 앞면이 나올 확률은 ;2!;이다. 짝수는 2, 4, 6의 3개이므로 한 개의 주사위를 던질 때 짝수가 나올 확률은 3 =;2!; 6 전을 4번 던져 앞면이 0번 나올 확률은 °C£{;2!;} {;2!;} _¢C¼{;2!;} {;2!;} =;3!2);_;1Á6;= 3 2 0 4 5 256 Ú~Ü에서 a-b의 값이 3일 확률은 3 5 5 9 + + = 256 128 256 128 따라서 p=128, q=9이므로 p+q=128+9=137 104 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 104 2023. 9. 12. 오전 10:01 0478 ① 2x+4y=32 주사위 2개를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 yy ㉡ ∴ x+2y=16 6_6=36 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 1 이다. 2 x=4, y=6 주사위 2개를 동시에 던질 때 나온 두 눈의 수의 합은 2 이상 12 이 하이고, 동전 4개를 동시에 던질 때 나오는 앞면의 개수는 0, 1, 2, 3, 4 중 하나이다. 1 권 한 개의 동전을 던질 때, 앞면이 나올 확률은 10번의 시행으로 얻은 점수가 32점이므로 즉, 10번의 시행으로 32점을 얻으려면 흰 공을 4번, 검은 공을 6번 꺼내야 하므로 그 확률은 1 70 C¢{;3!;}Ý`{;3@;}ß`=210_ _{;3@;}ß`= _{;3@;}ß` 81 27 10 따라서 주사위 2개와 동전 4개를 동시에 던질 때 주사위의 두 눈의 수의 합과 앞면이 나온 동전의 개수가 같은 경우는 다음과 같다. Ú 두 눈의 수의 합과 앞면이 나온 개수가 2로 같은 경우 ‌주사위의 두 눈의 수의 합이 2인 경우를 순서쌍으로 나타내면 따라서 k= 70 이므로 27 27k=27_ 70 =70 27 (1, 1)의 1가지이므로 그 확률은 1 36 ‌즉, 주사위 2개와 동전 4개를 동시에 던져 주사위의 두 눈의 수 0480 ④ 의 합과 앞면이 나온 동전의 개수가 2로 같을 확률은 4의 약수는 1, 2, 4의 3개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때 1 1 _¢Cª{;2!;}Û`{;2!;}Û`=;3Á6;_6_;4!;_;4!;= 36 96 나온 눈의 수가 4의 약수일 확률은 ;6#;=;2!; Û 두 눈의 수의 합과 앞면이 나온 개수가 3으로 같은 경우 ‌주사위의 두 눈의 수의 합이 3인 경우를 순서쌍으로 나타내면 한 개의 주사위를 6번 던질 때 눈의 수가 4의 약수인 경우가 x번, (1, 2), (2, 1)의 2가지이므로 그 확률은 4의 약수가 아닌 경우가 y번 나왔다고 하면 2 1 = 36 18 x+y=6 ‌즉, 주사위 2개와 동전 4개를 동시에 던져 주사위의 두 눈의 수 의 합과 앞면이 나온 동전의 개수가 3으로 같을 확률은 yy ㉠ 한 개의 주사위를 6번 던져서 120점을 얻었으므로 50x-10y=120 yy ㉡ ∴ 5x-y=12 1 1 1 1 1 ‌ _¢C£{;2!;}Ü`{;2!;} = _4_ _;2!;= 18 18 8 72 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=3, y=3 Ü 두 눈의 수의 합과 앞면이 나온 개수가 4로 같은 경우 ‌주사위의 두 눈의 수의 합이 4인 경우를 순서쌍으로 나타내면 따라서 한 개의 주사위를 6번 던져서 120점을 얻으려면 눈의 수가 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지이므로 그 확률은 4의 약수인 경우가 3번, 4의 약수가 아닌 경우가 3번 나와야 하므 3 1 ‌ = 36 12 로 구하는 확률은 ‌즉, 주사위 2개와 동전 4개를 동시에 던져 주사위의 두 눈의 수 5 ¤C£{;2!;}Ü`{;2!;}Ü`=20_;8!;_;8!;= 16 의 합과 앞면이 나온 동전의 개수가 4로 같을 확률은 4 0 1 1 1 1 ‌ _¢C¢{;2!;} {;2!;} = _1_ _1= 12 12 16 192 Ú~Ü에서 주사위의 두 눈의 수의 합과 앞면이 나온 동전의 개수 가 같을 확률은 0481 ④ 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 ;2!;이다. 1 1 1 17 + + = 96 72 192 576 주어진 시행을 5번 반복하므로 앞면이 x번, 뒷면이 y번 나왔다고 하면 yy ㉠ x+y=5 5번의 시행에서 얻은 점수의 합이 6 이하이므로 16 ㉠에서 y=5-x를 ㉡에 대입하면 2x+(5-x)É6 0479 70 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 흰 공을 꺼낼 확률은 ;9#;=;3!; ∴ xÉ1 즉, 5번의 시행에서 얻은 점수의 합이 6 이하이려면 앞면이 한 번 도 안 나오거나 한 번 나와야 하므로 구하는 확률은 °C¼{;2!;} {;2!;} +°CÁ{;2!;} {;2!;} =;3Á2;+;3°2; 0 10번의 시행에서 흰 공이 x번, 검은 공이 y번 나왔다고 하면 x+y=10 yy ㉡ 2x+yÉ6 독립시행의 확률 - 점수 yy ㉠ 5 1 4‌ =;1£6; Ⅱ. 확률 105 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 105 2023. 9. 12. 오전 10:01 0482 ;1¥2Á8; 주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때, 17 독립시행의 확률 - 점의 위치 0484 숫자 1이 적혀 있는 공을 꺼낼 확률은 2 =;4!; 8 ③ 3의 배수는 3, 6의 2개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때 나온 숫자 2가 적혀 있는 공을 꺼낼 확률은 눈의 수가 3의 배수일 확률은 6 3 = 8 4 2 =;3!; 6 ………………………………………………………………………………… ➊ 한 개의 주사위를 4번 던질 때 눈의 수가 3의 배수인 경우가 x번 나 주어진 시행을 5번 반복하여 숫자 1이 적혀 있는 공을 x번 꺼낸다 왔다고 하면 3의 배수가 아닌 경우는 (4-x)번 나온다. 고 하면 숫자 2가 적혀 있는 공은 (5-x)번 꺼낸다. 이때 점 P의 좌표가 -2이려면 이때 얻은 점수의 합이 9점 이상이려면 x-(4-x)=-2, 2x=2 x+2(5-x)¾9 ∴ x=1 ∴ xÉ1 따라서 한 개의 주사위를 4번 던졌을 때 점 P의 좌표가 -2이려면 ………………………………………………………………………………… ➋ 눈의 수가 3의 배수인 경우가 1번 나와야 하므로 그 확률은 따라서 숫자 1이 적혀 있는 공은 한 번도 안 나오거나 한 번만 나와 ¢CÁ{;3!;} {;3@;} =4_;3!;_ 야 하므로 구하는 확률은 1 3 8 32 = 27 81 0 3 5 1 3 4‌ 243 405 °C¼{;4!;} { } +°CÁ{;4!;} { } = + 4 4 1024 1024 = 81 128 0485 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ ‌한 번의 시행에서 숫자 1, 2가 적혀 있는 공을 꺼낼 확률 각각 구 하기 ➋ ‌주어진 시행을 5번 반복하여 얻은 점수의 합이 9점 이상인 경우 구하기 ➌ ‌주어진 시행을 5번 반복하여 얻은 점수의 합이 9점 이상일 확률 구하기 20% 40% 40% ;6!4%; 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 ;2!;이다. ‌한 개의 동전을 6번 던질 때 앞면이 x번 나왔다고 하면 뒷면은 (6-x)번 나온다. 이때 점 P가 원점에 위치하려면 2x-(6-x)=0, 3x=6 ∴ x=2 따라서 한 개의 동전을 6번 던졌을 때 점 P가 원점에 위치하려면 앞면이 2번, 뒷면이 4번 나와야 하므로 구하는 확률은 1 15 ¤Cª{;2!;}Û`{;2!;}Ý`=15_;4!;_ = 16 64 0483 143 소수는 2, 3, 5의 3개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때 나온 눈의 수가 소수일 확률은 ④ 6의 약수는 1, 2, 3, 6의 4개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때 나온 눈의 수가 6의 약수일 확률은 ;6#;=;2!; 한 개의 주사위를 10번 던질 때 눈의 수가 소수인 경우가 x번 나왔 다고 하면 소수가 아닌 경우는 (10-x)번 나온다. 이때 aÁ+aª+a£+y+a10=15에서 3x-2(10-x)=15 4 =;3@; 6 한 개의 주사위를 4번 던질 때 눈의 수가 6의 약수인 경우가 x번 나 왔다고 하면 6의 약수가 아닌 경우는 (4-x)번 나온다. 이때 점 P의 좌표가 2 이상이려면 x+0_(4-x)¾2 5x=35 ∴ x¾2 ∴ x=7 따라서 aÁ+aª+a£+y+a10=15이려면 한 개의 주사위를 10번 던질 때 눈의 수가 소수인 경우가 7번 나와야 하므로 그 확률은 C¦{;2!;} {;2!;} =120_ 7 10 0486 3‌ = 1 1 _ 128 8 15 128 즉, p=128, q=15이므로 p+q=128+15=143 따라서 한 개의 주사위를 4번 던졌을 때 점 P의 좌표가 2 이상이려 면 눈의 수가 6의 약수인 경우가 2번 또는 3번 또는 4번 나와야 하 므로 구하는 확률은 2 1 2 3 1 4 0 ¢Cª{;3@;} { } +¢C£{;3@;} {;3!;} +¢C¢{;3@;} {;3!;} 3 4 1 8 16 =6_ _ +4_ _;3!;+1_ _1 9 9 27 81 = 8 32 16 8 + + = 27 81 81 9 106 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 106 2023. 9. 12. 오전 10:01 0487 35 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 ;2!;이다. 18 독립시행을 이용한 조건부확률 0489 (7-a)번 나오므로 점 P의 좌표는 찬영이가 동전을 던져서 앞면이 2개 나오는 사건을 A, 서준이가 3 (a, 2(7-a)) 개의 동전을 던져서 앞면이 3개 나오는 사건을 B라 하면 구하는 확 이때 점 P가 직선 y=x+5 위에 있으므로 P(A;B) 이다. P(A) 서준이가 3개의 동전을 던져서 나온 앞면의 개수에 따라 찬영이가 ③ 1 권 주어진 시행을 7번 반복할 때 앞면이 a번 나왔다고 하면 뒷면은 률은 P(B|A)= 2(7-a)=a+5, 3a=9 ∴ a=3 즉, 한 개의 동전을 7번 던졌을 때 점 P가 직선 y=x+5 위에 있으 려면 앞면이 3번, 뒷면이 4번 나와야 한다. ………………………………………………………………………………… ➊ 던지는 동전의 개수가 달라지고, 찬영이가 동전을 던져서 나온 앞 면의 개수가 2이려면 서준이가 3개의 동전을 던져서 나온 앞면의 개수가 2 이상이어야 한다. 1 이고, 찬영이가 동 2 따라서 점 P가 직선 y=x+5 위에 있을 확률은 한 개의 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 ¦C£{;2!;}Ü`{;2!;}Ý`=35_;8!;_;1Á6;=;1£2°8; 전을 던져서 앞면이 2개 나오는 경우는 다음과 같다. ………………………………………………………………………………… ➋ 즉, p=;1£2°8; 이므로 Ú 서준이가 3개의 동전을 던져서 앞면이 2개 나온 경우 ‌서준이가 3개의 동전을 던져서 앞면이 2개 나오고 찬영이가 2개 의 동전을 던져서 앞면이 2개 나오면 되므로 그 확률은 1 0 3 3 ‌£Cª{;2!;}Û`{;2!;} _ªCª{;2!;}Û`{;2!;} = _;4!;= 8 32 128p=128_;1£2°8;=35 ………………………………………………………………………………… ➌ Û 서준이가 3개의 동전을 던져서 앞면이 3개 나온 경우 채점 기준 배점 ‌서준이가 3개의 동전을 던져서 앞면이 3개 나오고 찬영이가 3개 ➊ ‌점 P가 직선 y=x+5 위에 있을 때, 앞면이 나오는 횟수 구하기 40% 의 동전을 던져서 앞면이 2개 나오면 되므로 그 확률은 ➋ ‌점 P가 직선 y=x+5 위에 있을 확률 구하기 40% ➌ 128p의 값 구하기 20% ‌‌£C£{;2!;} {;2!;} _£Cª{;2!;} {;2!;} = 3 2 1 1 3 3 _ = 8 8 64 Ú, Û에서 P(A)= 0488 0 ④ 짝수는 2, 4, 6의 3개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때 나온 3 3 9 + = 32 64 64 P(A;B)= 따라서 구하는 확률은 눈의 수가 짝수일 확률은 P(B|A)= ;6#;=;2!; 3 64 3 P(A;B) 64 = =;3!; 9 P(A) 64 한 개의 주사위를 4번 던질 때 눈의 수가 짝수인 경우가 x번 나왔 다고 하면 홀수인 경우는 (4-x)번 나온다. 이때 점 P가 꼭짓점 C에 위치하려면 2x+(4-x)=7 ∴ x=3 점 P가 꼭짓점 D에 위치하려면 0490 2x+(4-x)=8 ∴ x=4 동전의 앞면과 뒷면이 나온 횟수가 같은 사건을 A, 동전을 2번 던 즉, 한 개의 주사위를 4번 던졌을 때 점 P가 꼭짓점 C에 위치하려 면 눈의 수가 짝수인 경우가 3번, 홀수인 경우가 1번 나와야 하고 점 P가 꼭짓점 D에 위치하려면 눈의 수가 짝수인 경우가 4번 나와 야 하므로 구하는 확률은 1 1 ¢C£{;2!;} {;2!;} +¢C¢{;2!;} {;2!;} =4_ _;2!;+1_ _1 8 16 3 1 4 0‌ = 5 16 점 P가 꼭짓점 C에 위치하려면 2x+(4-x)=x+4의 값이 2, 7, 12, y 가 되어야 한다. 이때 0ÉxÉ4이므로 4Éx+4É8에서 x+4=7이어야 한다. 또한 점 P가 꼭짓점 D에 위치하려면 x+4의 값이 3, 8, 13, y이 되어야 하므로 4Éx+4É8에서 x+4=8이어야 한다. ;2@3); P(A;B) 이다. P(A) 서로 다른 두 개의 주사위를 던질 때, 같은 눈의 수가 나올 확률은 지는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= 6 =;6!; 6_6 한 개의 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나올 확률은 1 이고, 동전의 2 앞면과 뒷면이 나온 횟수가 같은 경우는 다음과 같다. Ú 두 주사위의 눈의 수가 같은 경우 ‌두 주사위의 눈의 수가 같으면 한 개의 동전을 4번 던지므로, 이 때 동전의 앞면과 뒷면이 나온 횟수가 같을 확률은 2 2‌ 1 1 ‌ _¢Cª{;2!;} {;2!;} = _6_;4!;_;4!; 6 6 = 1 16 Ⅱ. 확률 107 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 107 2023. 9. 12. 오전 10:01 Û 두 주사위의 눈의 수가 다른 경우 ‌두 주사위의 눈의 수가 다르면 한 개의 동전을 2번 던지므로, 이 때 동전의 앞면과 뒷면이 나온 횟수가 같을 확률은 1 1‌ 1 5 ‌{1- }_ªCÁ{;2!;} {;2!;} = _2_;2!;_;2!; 6 6 = 39 a¦=4인 사건을 A, a¢=1인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(B|A)= P(A) ………………………………………………………………………………… ➊ 5 12 5의 약수는 1, 5의 2개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때 5의 Ú, Û에서 P(A)= 0492 약수가 나올 확률은 2 =;3!; 6 1 5 23 5 + = , P(A;B)= 16 12 48 12 Ú a¦=4인 경우 따라서 구하는 확률은 ‌a¦=4이려면 7번의 시행에서 눈의 수가 5의 약수인 경우가 4번, 5 P(A;B) 12 = P(B|A)= =;2@3); 23 P(A) 48 5의 약수가 아닌 경우가 3번 나와야 하므로 1 8 280 ‌ P(A)=¦C¢{;3! ;}Ý`{;3@;}Ü`=35_ _ = 3Ý` 3Ü` 3à` ………………………………………………………………………………… ➋ Û a¦=4, a¢=1인 경우 ‌a¦=4이고 a¢=1이려면 앞의 4번의 시행에서 눈의 수가 5의 약 수인 경우가 1번, 5의 약수가 아닌 경우가 3번 나와야 하고 뒤의 0491 3번의 시행에서 3번 모두 눈의 수가 5의 약수가 나와야 한다. ⑤ 2 ‌∴ P(A;B)‌=¢CÁ{;3!;}Ú`{ }Ü`_£C£{;3!;}Ü`{;3@;}â` 3 동전의 앞면이 2번 나오는 사건을 A, 꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 수의 합이 소수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 =4_;3!;_ P(A;B) 이다. P(B|A)= P(A) 4개의 공 중 2개의 공을 꺼내는 경우의 수는 8 1 32 _1_ _1= 3Ü` 3Ü` 3à` ………………………………………………………………………………… ➌ Ú, Û에서 구하는 확률은 ¢Cª=6 꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 수의 합이 소수가 되는 경우는 (1, 2), (1, 4), (2, 3), (3, 4) 의 4가지이므로 그 확률은 4 =;3@; 6 32 P(A;B) = 3à` =;3¢5; P(B|A)= 280 P(A) 3à` 따라서 p=35, q=4이므로 p+q=35+4=39 한 개의 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나올 확률은 1 이고, 동전의 2 ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 배점 앞면이 2번 나오는 경우는 다음과 같다. ➊ 사건 A, B를 정하고 구하는 확률을 P(B|A)로 나타내기 20% Ú 꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 수의 합이 소수인 경우 ➋ P(A)의 값 구하기 30% ‌꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 수의 합이 소수이면 한 개의 동전을 ➌ P(A;B)의 값 구하기 30% 2번 던지므로, 이때 동전의 앞면이 2번 나올 확률은 ➍ p+q의 값 구하기 20% 1 ‌ ;_ªCª{;2!;} {;2!;} =;3@;_1_ _1 ;3@ 4 2 0‌ = 1 6 Û 꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 수의 합이 소수가 아닌 경우 ‌꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 수의 합이 소수가 아니면 한 개의 동 전을 3번 던지므로, 이때 동전의 앞면이 2번 나올 확률은 ‌ {1-;3@ ;}_£Cª{;2!;} {;2!;} =;3!;_3_ 2 1‌ = 1 8 1 _;2!; 4 19 독립시행의 확률의 활용 0493 Ú, Û에서 1 1 7 1 P(A)= + = , P(A;B)= 6 8 24 6 따라서 구하는 확률은 1 P(A;B) 6 = P(B|A)= =;7$; 7 P(A) 24 ② 정답이 1개인 오지선다형 문제이므로 1개의 문제에서 정답을 맞힐 확률은 1 5 5개의 문제에서 4개 이상을 맞힐 경우는 4개 또는 5개를 맞히는 경 우이므로 4개 이상 맞힐 확률은 108 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 108 2023. 9. 12. 오전 10:01 Û 현솔이가 처음 자리에 있게 되는 경우 4 5 4 1 4 0‌ 1 4 1 °C¢{;5!;} { } +°C°{;5!;} { } =5_ _ +1_ _1 5 5 5Ý` 5 5Þ` ‌가위바위보를 한 번 하여 현솔이가 이길 확률은 21 = 5Þ` 길 확률은 ∴ k=21 1 , 지거나 비 3 2 이다. 3 1 권 ‌가위바위보를 4번 하여 현솔이가 y번 이겼다고 하면 지거나 비 긴 경우는 (4-y)번이므로 0494 ⑤ C ‌ 3y-(4-y)=0, 4y=4 ∴ y=1 한 번 이상 10점 과녁을 맞추는 사건을 A라 하면 A 은 한 번도 10 ‌따라서 가위바위보를 4번 하여 현솔이가 처음 자리에 있으려면 점 과녁을 맞추지 못하는 사건이므로 1번 이기고 3번은 지거나 비기면 되므로 1 P(AC)=¢C¼{;3@;} { } =;8Á1; 3 1 Ú 8 32 ‌ q=¢CÁ{ }`{;3@;}Ü`=4_;3!;_ = 3 27 81 0 4 Ú, Û에서 따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)=1- 1 80 = 81 81 81(p+q)=81{ 0495 8 32 56 + }=81_ =56 27 81 81 ;9@; 한 번의 경기에서 A 선수가 이길 확률을 p라 하면 비기는 경우는 없으므로 B 선수가 이길 확률은 1-p이다. ¢C¢ pÝ`(1-p)â`= 0497 16 이므로 81 4번의 경기에서 A 선수가 4번 모두 이길 확률이 비기는 경우는 없고, 한 번의 경기에서 A팀이 이길 확률이 16 16 , pÝ`= ={;3@;}Ý` 81 81 ∴ p=;3@;`(∵ p>0) 1 이므 3 로 질 확률은 ………………………………………………………………………………… ➊ 따라서 한 번의 경기에서 A 선수가 이길 확률은 이길 확률은 11 2 이고 B 선수가 3 1 이므로 3번의 경기에서 B 선수가 2번 이길 확률은 3 1 1- =;3@; 3 3번의 경기에서 A팀이 2번, B팀이 1번 이겼으므로 A팀이 상금을 모두 갖는 경우는 다음과 같다. Ú 5번의 경기를 하고 A팀이 상금을 모두 갖는 경우 ‌ A팀이 4번째, 5번째 경기에서 모두 이겨야 하므로 그 확률은 1 2 £Cª{;3!;}Û`{;3@;}Ú`=3_ _;3@;= 9 9 ‌ªCª{;3!;} {;3@;} = 2 ………………………………………………………………………………… ➋ 채점 기준 0 1 9 Û 6번의 경기를 하고 A팀이 상금을 모두 갖는 경우 배점 ➊ 한 번의 경기에서 A 선수가 이길 확률 구하기 50% ‌ A팀이 4번째, 5번째 경기 중 1번 이기고 6번째 경기에서 이겨 ➋ 3번의 경기에서 B 선수가 2번 이길 확률 구하기 50% 야 하므로 그 확률은 1 1 4 4 ‌‌ªCÁ{;3!;} {;3@;} _;3!;= _;3!;= 9 27 Ü 7번의 경기를 하고 A팀이 상금을 모두 갖는 경우 0496 56 ‌ A팀이 4번째, 5번째, 6번째 경기 중 1번 이기고 7번째 경기에 서 이겨야 하므로 그 확률은 Ú 주미가 네 계단을 올라가게 되는 경우 ‌가위바위보를 한 번 하여 주미가 이길 확률은 1 , 지거나 비길 확 3 2 률은 이다. 3 1 2 4 4 ‌‌£CÁ{;3!;} {;3@;} _;3!;= _;3!;= 9 27 Ú~Ü에서 A팀이 상금을 모두 가질 확률은 1 4 4 11 + + = 9 27 27 27 ‌가위바위보를 4번 하여 주미가 x번 이겼다고 하면 지거나 비긴 경우는 (4-x)번이므로 따라서 p= 11 11 이므로 27p=27_ =11 27 27 ‌ 3x-(4-x)=4, 4x=8 ‌∴ x=2 ‌따라서 가위바위보를 4번 하여 주미가 네 계단을 올라가려면 2 번 이기고 2번은 지거나 비기면 되므로 1 Û 1 4 8 ‌ p=¢Cª{ }`{;3@;}Û`=6_ _ = 3 9 9 27 Ⅱ. 확률 109 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 109 2023. 9. 12. 오전 10:01 0501 ② 3 P(AC)= 이므로 8 0498 ④ 1 P(B|A)= 에서 4 P(A;B) =;4!; ∴ P(A)=4 P(A;B) P(A) 1 P(A|B)= 에서 3 P(A;B) =;3!; ∴ P(B)=3 P(A;B) P(B) P(A)+P(B)= 7 P(A;B)= 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 5 3 15 P(A;B)=P(A)P(B)= _ = 8 8 64 yy ㉠ 따라서 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) 5 3 15 49 = + - = 8 8 64 64 yy ㉡ 7 에 ㉠, ㉡을 대입하면 10 4 P(A;B)+3 P(A;B)= 0502 7 10 는 어린이가 여자인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 1 10 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)이다. 이때 0499 ;8%; 임의로 선택한 한 개의 공이 빨간색인 사건을 A, 공에 적혀 있는 수 가 홀수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A;B) P(A) 이다. 5 4 5 P(A;B)=P(A)P(B|A)= _ = 9 8 18 4 3 1 P(AC;B)=P(AC)P(B|AC)= _ = 9 8 6 이므로 구하는 확률은 P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) = 이때 P(A)= ④ 첫 번째로 노래하는 어린이가 남자인 사건을 A, 두 번째로 노래하 7 10 ∴ P(A;B)= 3 5 P(A)=1-P(AC)=1- = 8 8 5 1 4 + = 18 6 9 8 5 , P(A;B)= =;3!; 15 15 이므로 구하는 확률은 0503 1 P(A;B) 3 P(B|A)= = =;8%; 8 P(A) 15 ① 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 4의 눈이 나올 확률은 따라서 한 개의 주사위를 3번 던질 때, 4의 눈이 한 번만 나올 확률은 다른 풀이 임의로 선택한 한 개의 공이 빨간색인 사건을 A, 공에 적혀 있는 수가 홀수인 사건을 B라 하면 n(A)=8, n(A;B)=5 n(A;B) ∴ P(B|A)= =;8%; n(A) 1 1 5 2 1 25 25 £CÁ{ } { } =3_ _ = 6 6 6 36 72 0504 7 전체 회원 수는 14+10=24이므로 0500 ④ P(A)= 14 7 n+5 n , P(A;B)= = , P(B)= 24 12 24 24 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적혀 있는 수가 12의 약수인 사건을 A, 이때 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 공에 적혀 있는 수가 짝수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B)=P(A)P(B) P(A;B) 이다. P(B|A)= P(A) 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12의 6개가 있고 이 중 짝수는 2, 4, 6, 12의 4개이므로 P(A)= 1 이다. 6 즉, n 7 n+5 이므로 = _ 24 12 24 12n=7n+35, 5n=35 ∴ n=7 6 4 =;2!;, P(A;B)= =;3!; 12 12 따라서 구하는 확률은 1 P(A;B) 3 P(B|A)= = =;3@; 1 P(A) 2 0505 593 현서가 3승 2패로 이기려면 4번째 경기까지 2승 2패를 하고 5번째 경기에서 이겨야 한다. 110 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 110 2023. 9. 12. 오전 10:01 따라서 현서가 3승 2패로 이길 확률은 ④ B;D={1, 5}이므로 3 1 3 9 1 3 81 ¢Cª{ } { } _ ={6_ _ }_ = 4 4 4 16 16 4 512 2 2 P(B;D)= 2 1 = 10 5 ‌따라서 P(B;D)=P(B)P(D)이므로 두 사건 B, D는 서로 따라서 p=512, q=81이므로 독립이다. 즉, 사건 D가 일어나거나 일어나지 않는 것이 사건 B가 일어날 확률에 영향을 주지 않으므로 P(B|D)=P(B|DC)=P(B) (참) 0506 ③ (단위: 명) P(C;D)=0 ‌따라서 P(C;D)+P(C)P(D)이므로 두 사건 C, D는 서로 휴대폰 요금제 A 휴대폰 요금제 B 합계 남학생 10a b 10a+b 여학생 48-2a b-8 40-2a+b 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 합계 48+8a 2b-8 8a+2b+40 다른 풀이 종속이다. (참) 전체 학생이 200명이므로 8a+2b+40=200 ∴ 4a+b=80 yy ㉠ 임의로 선택한 한 명이 남학생인 사건을 A, 휴대폰 요금제 A를 선 택한 학생인 사건을 B라 하면 P(B|A)= yy ㉠ DC={3, 4, 6, 7, 8, 9}이므로 6 3 = 10 5 B;DC={3, 7, 9}이므로 P(B;DC)= 10a+b 10a a , P(A;B)= = 200 200 20 이므로 P(B|A)= 1 P(B;D) 5 ④ P(B|D)= ‌ = =;2!; 2 P(D) 5 P(DC)= 5 8 이때 즉, ⑤ C;D=∅이므로 구분 P(A)= 1 권 p+q=512+81=593 3 10 ∴ P(B|DC)= a P(A;B) 10a 20 = = 10a+b 10a+b P(A) 200 3 P(B;DC) 10 = =;2!; yy ㉡ 3 P(DC) 5 ㉠, ㉡에서 P(B|D)=P(B|DC) (참) 10a 5 = 이므로 10a+b 8 yy ㉡ 80a=50a+5b ∴ 6a-b=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=8, b=48 0508 ∴ b-a=48-8=40 ⑤ 비가 온 다음 날 비가 올 확률이 0507 ③ 지 않을 확률은 1- 표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, y, 10}, A={2, 4, 6, 8, 10}, B={1, 3, 5, 7, 9}, C={4, 8}, D={1, 2, 5, 10} 2 이므로 비가 온 다음 날 비가 오 3 2 =;3!; 3 또한 비가 오지 않은 다음 날 비가 올 확률이 1 이므로 비가 오지 6 않은 다음 날 비가 오지 않을 확률은 이므로 P(A)= 5 5 =;2!;, P(B)= =;2!;, 10 10 1 5 1- = 6 6 P(C)= 2 1 4 2 = , P(D)= = 10 5 10 5 비가 오는 것을 , 비가 오지 않는 것을 _로 나타내면 월요일에 ① A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. (참) ② A;D={2, 10}이므로 P(A;D)= 2 1 = 10 5 ‌따라서 P(A;D)=P(A)P(D)이므로 두 사건 A, D는 서로 독립이다. (참) ③ B;C=∅이므로 P(B;C)=0 ‌따라서 P(B;C)+P(B)P(C)이므로 두 사건 B, C는 서로 종속이다. (거짓) 비가 오고 목요일에도 비가 오는 경우는 다음과 같다. 월 화 수 목 확률     ;3@;_;3@;_;3@;=;2¥7;   _  ;3@;_;3!;_;6!;=;2Á7;  _   ;3!;_;6!;_;3@;=;2Á7;  _ _  ;3!;_;6%;_;6!;=;10%8; 따라서 구하는 확률은 8 1 1 5 5 + + + = 27 27 27 108 12 Ⅱ. 확률 111 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 111 2023. 9. 12. 오전 10:01 0509 ;7$; 세 농구 선수 A, B, C가 자유투를 한 번씩 던져 적어도 한 선수가 성공하는 사건을 A라 하면 AC은 세 선수 중 어느 누구도 자유투를 나온 눈의 수가 2 이하이고 주머니 A에서 흰 공 1개, 검은 공 1개 를 꺼낼 확률은 2 ªCÁ_£CÁ P(A;B)‌=P(A)P(B|A)= _ °Cª 6 =;3!;_ 성공하지 못하는 사건이다. 이때 2_3 =;5!; 10 3 1 P(AC)‌={1- }{1-;3!;}(1-p)= (1-p) 4 6 나온 눈의 수가 3 이상이고 주머니 B에서 흰 공 1개, 검은 공 1개 이므로 4 £CÁ_¢CÁ P(AC;B)‌=P(AC)P(B|AC)= _ ¦Cª 6 를 꺼낼 확률은 1 5 1 P(A)=1-P(AC)=1- (1-p)= + p 6 6 6 즉, =;3@;_ 5 1 13 + p= 이므로 6 6 14 3_4 =;2¥1; 21 따라서 주머니에서 흰 공 1개, 검은 공 1개를 꺼낼 확률은 1 2 p= ∴ p=;7$; 6 21 1 8 61 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)= + = 5 21 105 이므로 구하는 확률은 0510 ④ 임의로 선택한 한 명이 여행 참가를 희망한 회원인 사건을 A, 남성 회 P(A;B) 이다. 원인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A) 남성 회원과 여성 회원의 비율이 5`:`4이므로 남성 회원의 수를 5a, 여성 회원의 수를 4a라 하고, 주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다. (단위: 명) 구분 참가 희망 참가 희망하지 않음 합계 남성 ;3@;_5a=;;Á3¼;;a ;3!;_5a=;3%;a 5a 여성 4a-;6%;a=;;Á6»;;a ;2!;_;3%;a=;6%;a 4a 합계 ;;£6»;;a ;2%;a 9a 1 P(A;B) 5 P(A|B)= = =;6@1!; 61 P(B) 105 즉, p=61, q=21이므로 p+q=61+21=82 0512 ② 양 끝에 남학생을 세우는 사건을 A, 남학생과 여학생을 교대로 세우 는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A;B) 이다. P(A) 9명을 일렬로 세우는 경우의 수는 9! Ú 양 끝에 남학생을 세우는 경우 ‌양 끝에 남학생 5명 중 2명을 선택하여 세우고 그 사이에 남은 이때 7명을 세우면 되므로 그 경우의 수는 39 10 a a P(A)= 6 = 13 , P(A;B)= 3 = 10 18 27 9a 9a ‌ °Pª_7! ‌∴ P(A)= 이므로 구하는 확률은 °Pª_7! 20_7! 5 = = 9! 9_8_7! 18 Û 양 끝에 남학생을 세우고 남학생과 여학생을 교대로 세우는 경우 10 P(A;B) 27 P(B|A)= = =;3@9); 13 P(A) 18 ‌남학생이 5명, 여학생이 4명이므로 ‌남, 여, 남, 여, 남, 여, 남, 여, 남 ‌의 순서대로 세워야 한다. ‌따라서 그 경우의 수는 1 이 여성 회원이므로 ;3@;는 남 3 성 회원이다. 즉, 참가를 희망하지 않은 남성 회원과 여성 회원의 비율은 조건 ㈏에서 참가를 희망하지 않은 회원의 ‌ 5!_4! ‌∴ P(A;B)= 2`:`1이다. 이때 참가를 희망하지 않은 남성 회원이 여성 회원은 5 a이므로 참가를 희망하지 않은 3 5 a의 ;2!;이다. 3 0511 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 2 이하인 사건을 A, 주머니에 서 흰 공 1개, 검은 공 1개를 꺼내는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A|B)= P(A;B) 이다. P(B) Ú, Û에서 구하는 확률은 P(B|A)= 82 5!_4! 5!_4_3_2_1 1 = = 9! 9_8_7_6_5! 126 1 P(A;B) 126 = =;3Á5; 5 P(A) 18 0513 ③ 주어진 조건을 만족시키는 점은 모두 16개이므로 16개의 점 중 2개 의 점을 택하는 경우의 수는 Cª 16 112 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 112 2023. 9. 12. 오전 10:01 선택된 두 점의 y좌표가 같은 사건을 A, 두 점의 y좌표가 3인 사건 P(A;B) 이다. 을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A) 선택된 두 점의 y좌표가 같은 경우는 다음과 같다. ⑤ 주머니에서 꺼낸 3개의 공이 흰 공 2개, 검은 공 1개인 사건을 A, 흰 공 2개에 적혀 있는 수의 합이 검은 공에 적혀 있는 수보다 작은 ‌ y좌표가 1인 점은 5개가 있으므로 y좌표가 1인 두 점을 택할 확 률은 °Cª 10 1 = = 120 12 16Cª P(A;B) 이다. P(A) 꺼낸 3개의 공이 흰 공 2개, 검은 공 1개일 확률은 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A)= 1 권 Ú 두 점의 y좌표가 1인 경우 £Cª_¢CÁ 3_4 = =;3!5@; ¦C£ 35 주머니에서 흰 공 2개, 검은 공 1개를 꺼냈을 때, 흰 공 2개에 적혀 Û 두 점의 y좌표가 2인 경우 ‌ y좌표가 2인 점은 5개가 있으므로 y좌표가 2인 두 점을 택할 확 률은 있는 수의 합이 검은 공에 적혀 있는 수보다 작은 경우는 다음과 같 다. Ú 검은 공에 적혀 있는 숫자가 2 또는 3인 경우 °Cª 10 1 = = 120 12 16Cª ‌흰 공 2개에 적혀 있는 수의 합은 3 이상이므로 조건을 만족하 Ü 두 점의 y좌표가 3인 경우 는 경우는 없다. ‌ y좌표가 3인 점은 3개가 있으므로 y좌표가 3인 두 점을 택할 확 Û 검은 공에 적혀 있는 숫자가 5인 경우 ‌흰 공 2개에 적혀 있는 수는 (1, 2), (1, 3)의 2가지가 가능하다. 률은 £Cª 3 1 ‌ = = 120 40 16Cª Ü 검은 공에 적혀 있는 숫자가 6인 경우 ‌흰 공 2개에 적혀 있는 수는 (1, 2), (1, 3), (2, 3)의 3가지가 Ý 두 점의 y좌표가 4인 경우 ‌ y좌표가 4인 점은 3개가 있으므로 y좌표가 4인 두 점을 택할 확 률은 가능하다. Ú~Ü에서 P(A;B)= £Cª 3 1 ‌ = = 120 40 16Cª 2+3 5 1 = = ¦C£ 35 7 따라서 구하는 확률은 Ú~Ý에서 1 P(A;B) 7 P(B|A)= =;1°2; = 12 P(A) 35 1 1 1 1 13 1 P(A)= + + + = , P(A;B)= 12 12 40 40 60 40 따라서 구하는 확률은 P(B|A)= 0515 1 P(A;B) 40 = =;2£6; 13 P(A) 60 0516 ② A가 승자가 되는 사건을 A, C가 승자가 되는 사건을 C라 하면 구 0514 ② 하는 확률은 P(A'C)이다. 한 개의 주사위를 한 번 던질 때 1의 눈이 나올 확률은 승하가 학교, 서점, 도서관에 우산을 놓고 오는 사건을 각각 A, B, C라 하고 방문한 곳에 우산을 놓고 오는 사건을 E라 하면 구하는 P(B;E) 이다. 확률은 P(B|E)= P(E) 이때 P(A;E)=;4!;, P(B;E)={1-;4!;}_;4!;= P(C;E)={1-;4!;}_{1-;4!;}_;4!;= 3 , 16 9 64 이므로 P(E)‌=P(A;E)+P(B;E)+P(C;E) 3 9 37 =;4!;+ + = 16 64 64 1 이므로 6 1이 아닌 눈이 나올 확률은 1- 1 5 = 6 6 A와 B가 각각 주사위를 5번씩 던진 후, A는 1의 눈이 2번, B는 1 의 눈이 1번 나왔고, C가 주사위를 3번째 던졌을 때 처음으로 1의 눈이 나왔으므로 A 또는 C가 승자가 되는 경우는 다음과 같다. Ú A가 승자가 되는 경우 ‌ 승자가 되기 위해서는 C가 주사위를 4번째, 5번째 던졌을 A가 때 모두 1이 아닌 눈이 나와야 하므로 A가 승자가 될 확률은 5 5 25 ‌ P(A)= _ = 6 6 36 Û C가 승자가 되는 경우 따라서 구하는 확률은 3 P(B;E) 16 P(B|E)= = =;3!7@; 37 P(E) 64 ‌ 승자가 되려면 C가 주사위를 4번째, 5번째 던졌을 때 모두 C가 1의 눈이 나와야 하므로 C가 승자가 될 확률은 1 1 1 ‌ P(C)= _ = 6 6 36 두 사건 A, C는 서로 배반사건이므로 Ú, Û에서 구하는 확률은 승하가 학교, 서점, 도서관에 우산을 놓고 오는 사건이 각각 A, B, C이므로 P(A;E)=P(A), P(B;E)=P(B), P(C;E)=P(C) ‌ P(A'C)‌ =P(A)+P(C) = 25 1 13 + = 36 36 18 Ⅱ. 확률 113 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 113 2023. 9. 12. 오전 10:01 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 8이 적혀 있는 공을 꺼낼 다른 풀이 C A 또는 C가 승자가 되는 사건을 A라 하면 A 은 B가 승자가 되는 확률은 사건이다. 1 이므로 8 1 0 7 3 343 }{ }= 8 8 512 A와 B가 각각 주사위를 5번씩 던진 후, A는 1의 눈이 2번, B는 1 P(AC)=£C¼{ 의 눈이 1번 나왔고, C가 주사위를 3번째 던졌을 때 처음으로 1의 ………………………………………………………………………………… ➋ 눈이 나왔으므로 B가 승자가 되기 위해서는 C가 주사위를 5번 던 졌을 때 나온 1의 눈의 횟수가 A와 같아야 한다. 즉, C가 주사위를 4번째, 5번째 던졌을 때 1의 눈이 1번, 1이 아닌 눈이 1번 나와야 하므로 B가 승자가 될 확률은 1 1 5 1 1 5 5 P(AC)=ªCÁ{ } { } =2_ _ = 6 6 6 6 18 따라서 주어진 시행을 3번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수의 최 댓값이 8일 확률은 P(A)=1-P(AC)=1- 343 169 = 512 512 즉, p=512, q=169이므로 p+q=512+169=681 따라서 구하는 확률은 ………………………………………………………………………………… ➌ 5 13 P(A)=1-P(A )=1- = 18 18 C 채점 기준 배점 ➊ 꺼낸 공에 적혀 있는 수의 최댓값이 8이 될 조건 구하기 ➋ ‌3번의 시행에서 8이 적혀 있는 공을 한 번도 꺼내지 않을 확률 구하기 0517 ;2!; 20% 40% 40% ➌ p+q의 값 구하기 2 P(A|B)= 에서 3 P(A;B) =;3@; P(B) 2 ∴ P(A;B)= P(B) 3 yy ㉠ ………………………………………………………………………………… ➊ P(A ;B ) 3 3 P(AC|BC)= 에서 = 5 5 P(BC) C C 이때 AC;BC=(A'B)C이므로 1-P(A'B) 3 = , 5-5P(A'B)=3-3P(B) 5 1-P(B) 3 2 ∴ P(A'B)= P(B)+ 5 5 yy ㉡ ………………………………………………………………………………… ➋ 확률의 덧셈정리에 의하여 0519 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 이므로 위의 식에 ㉠, ㉡을 대입하면 200명 중 20 %는 3 2 8 P(B)+ = +P(B)-;3@;P(B) 5 5 15 4 2 P(B)= 15 15 20 200_ ∴ P(B)=;2!; 20 =40(명) 100 관람객 200명 중 40세 이상의 비율이 20`%이므로 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ P(A;B)를 P(B)로 나타내기 30% ➋ P(A'B)를 P(B)로 나타내기 40% ➌ P(B)의 값 구하기 30% (30-a)+b=40 관람객 200명 중 임의로 택한 한 명이 남성인 사건을 A, 20대인 사 건을 B, 40세 이상인 사건을 C라 하면 p=P(B|A)= a P(A;B) a 200 = = 80 80 P(A) 200 q=P(C|AC)= 0518 681 주어진 시행을 3번 반복할 때 꺼낸 공에 적혀 있는 수의 최댓값이 8 이 되려면 적어도 한 번은 8이 적혀 있는 공을 꺼내야 한다. ………………………………………………………………………………… ➊ C ∴ b-a=10 yy ㉠ b P(AC;C) b 200 = = 120 120 P(AC) 200 이때 2p=q이므로 2_ a b ∴ b=3a = 80 120 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 8이 적혀 있는 공을 한 번 이상 꺼내는 사건을 A라 하면 A 은 8이 a=5, b=15 적혀 있는 공을 한 번도 꺼내지 않는 사건이다. ∴ a+b=5+15=20 114 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 114 2023. 9. 12. 오전 10:01 0520 ① 4번의 시행에서 6의 약수의 눈이 a번, 6의 약수가 아닌 눈이 b번 나왔다고 하면 첫 세트에서 현진이가 이겼으므로 이 시합에서 현진이가 우승하는 경우는 다음과 같다. a+b=4 yy ㉠ 1 4번의 시행 후 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 7이 되려면 Ú 두 번째 세트에서 현진이가 이기는 경우 ∴ a-b=2 Û ‌두 번째 세트에서 우림이가 이기고, 세 번째, 네 번째 세트에서 현진이가 이기는 경우 권 5+a-b=7 그 확률은 ;5#; yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=1 즉, 4번의 시행에서 6의 약수의 눈이 3번, 6의 약수가 아닌 눈이 1 그 확률은 번 나오면 상자 B에는 7개의 공이 들어 있게 된다. ;5@;_;5#;_;5#;=;1Á2¥5; 그런데 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 4번째 시행 후 처음으로 7 Ü ‌두 번째, 네 번째 세트에서 우림이가 이기고, 세 번째, 다섯 번 이 되어야 하므로 1번째와 2번째에서는 6의 약수의 눈과 6의 약수 째 세트에서 현진이가 이기는 경우 가 아닌 눈이 한 번씩 나오고, 3번째, 4번째 시행에서는 6의 약수의 그 확률은 눈이 나와야 한다. ;5@;_;5#;_;5@;_;5#;=;6£2¤5; 따라서 구하는 확률은 2 2 2 2 4 [ _{1-;3@;}+{1-;3@;}_ ]_;3@;_;3@;‌={ + }_ 3 3 9 9 9 Ú~Ü에서 현진이가 우승할 확률은 4 4 = _ 9 9 ;5#;+;1Á2¥5;+;6£2¤5;=;6%2)5!; = 0521 ② 16 81 다른 풀이 6의 약수의 눈이 나오는 경우를 ⓐ, 6의 약수가 아닌 눈이 나오는 주머니에서 2개의 공을 동시에 꺼낼 때 경우를 ⓑ라 하고, 1번째, 2번째, 3번째, 4번째 시행 후 ⓐ, ⓑ의 2개의 공의 색이 같을 확률은 £Cª+£Cª 3+3 = =;5@; ¤Cª 15 각 경우에 상자 B에 들어 있는 공의 개수의 변화를 나타내면 다음 표와 같다. (단위: 개) 2개의 공의 색이 다를 확률은 £CÁ_£CÁ 3_3 = =;5#; ¤Cª 15 처음 1번째 시행 후 2번째 시행 후 3번째 시행 후 ⓐ8 주어진 시행을 4번 반복했을 때 공의 색이 같은 경우가 a번 나왔다 ⓐ7 고 하면 공의 색이 다른 경우는 (4-a)번 나온다. ⓑ6 이때 점 P'의 ⓐ6 x좌표는 a-(4-a)=2a-4=2(a-2) ⓐ6 y좌표는 2a-2(4-a)=4a-8=4(a-2) ⓑ5 ∴ P'(2(a-2), 4(a-2)) ⓑ4 ∴ OÕP'Ó="Ã{2(a-2)}Û`+{4(a-2)}Û` 5 ="Ã4(a-2)Û`+16(a-2)Û` ⓐ6 ="Ã20(a-2)Û`=2'5 |a-2| ⓐ5 OÕP'Ó<2'5이려면 ⓑ4 2'5|a-2|<2'5, |a-2|<1 ⓑ4 -1<a-2<1, 1<a<3 ∴ a=2 ⓐ4 따라서 OÕP'Ó<2'5이려면 같은 색의 공이 2번, 다른 색의 공이 2번 ⓑ3 ⓑ2 나와야 하므로 구하는 확률은 2 3 4 9 216 ¢Cª{ }Û`{ }Û`=6_ _ = 5 5 25 25 625 4번째 시행 후 ⓐ9 ⓑ7 ⓐ7 ⓑ5 ⓐ7 ⓑ5 ⓐ5 ⓑ3 ⓐ7 ⓑ5 ⓐ5 ⓑ3 ⓐ5 ⓑ3 ⓐ3 ⓑ1 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 4번째 시행 후 처음으로 7이 되는 경우는 위의 색칠한 두 경우가 있다. 0522 즉, 1번째 시행에서 ⓐ, 2번째 시행에서 ⓑ, 3번째, 4번째 시행에서 ② 6의 약수는 1, 2, 3, 6의 4개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 ⓐ가 일어나거나 1번째 시행에서 ⓑ, 2번째, 3번째, 4번째 시행에 서 ⓐ가 일어나야 하므로 구하는 확률은 때 6의 약수의 눈이 나올 확률은 ;3@;_{1-;3@;}_;3@;_;3@;+{1-;3@;}_;3@;_;3@;_;3@; ;6$;=;3@; = 8 8 16 + = 81 81 81 Ⅱ. 확률 115 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 115 2023. 9. 12. 오전 10:01 0523 ② ⓑ A → D → B로 가는 경우의 수는 5! 6! _ =5_6=30 4! 5! 9장의 카드 중 3장의 카드를 선택하는 경우의 수는 »C£ ⓒ A → E → B로 가는 경우의 수는 3장의 카드에 적혀 있는 세 수의 곱이 짝수인 사건을 A, 세 수의 합이 9의 배수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(A) 세 수의 곱이 짝수인 사건이 A이므로 AC은 세 수의 곱이 홀수인 P(B|A)= 사건이다. ⓓ A → F → B로 가는 경우의 수는 1_ 6! =1_6=6 5! ‌ⓐ~ⓓ에서 A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 1+30+150+6=187 홀수는 1, 3, 5, 7, 9의 5개이므로 세 수의 곱이 홀수일 확률은 P(AC)= 5! 6! _ =10_15=150 2!_3! 4!_2! Û P지점을 지나는 경우 °C£ 10 5 = = »C£ 84 42 ⓐ A → E → P → B로 가는 경우의 수는 C ∴ P(A)‌=1-P(A ) 5! _1_1=10_1_1=10 2!_3! 5 37 =1- = 42 42 ⓑ A → F → P → B로 가는 경우의 수는 세 수의 곱이 짝수이면서 세 수의 합이 9의 배수인 경우는 다음과 같다. 1_ 4! _1=1_4_1=4 3! ⓐ, ⓑ에서 P지점을 지나는 경우의 수는 Ú 세 수의 합이 9인 경우 10+4=14 ‌세 수의 곱이 짝수이면서 세 수의 합이 9인 경우는 Ü P지점과 Q지점을 지나는 경우 ‌(1, 2, 6), (2, 3, 4) A → Q → P → B로 가는 경우의 수는 ‌의 2가지 4! _1_1=4_1_1=4 3! Û 세 수의 합이 18인 경우 ‌세 수의 곱이 짝수이면서 세 수의 합이 18인 경우는 Ú~Ü에서 ‌(1, 8, 9), (2, 7, 9), (3, 6, 9), (3, 7, 8), (4, 5, 9), P(A)= (4, 6, 8), (5, 6, 7) ‌의 7가지 Ú, Û에서 세 수의 곱이 짝수이면서 세 수의 합이 9의 배수일 확 14 , 187 P(A;B)= 4 187 이므로 구하는 확률은 률은 P(A;B)= 2+7 9 3 = = »C£ 84 28 P(B|A)= 따라서 구하는 확률은 4 P(A;B) 187 = =;7@; 14 P(A) 187 3 P(A;B) 28 P(B|A)= = =;7»4; 37 P(A) 42 0525 50 갑이 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 을이 꺼낸 카드에 적혀 있는 수보 0524 ④ 임의로 택한 한 경로가 P지점을 지나는 경로인 사건을 A, Q지점 을 지나는 경로인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(A) 다음 그림과 같이 C, D, E, F지점을 잡자. P(B|A)= C D Q 카드에 적혀 있는 수의 합보다 큰 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(A) 갑, 을, 병이 각각 한 장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 P(B|A)= 6_3_3=54 B E 다 큰 사건을 A, 갑이 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 을과 병이 꺼낸 P Ú ‌갑이 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 을이 꺼낸 카드에 적혀 있는 수보다 큰 경우 ‌갑이 꺼낸 카드에 적혀 있는 수를 a, 을이 꺼낸 카드에 적혀 있 는 수를 b라 하고 a>b인 경우를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 A F Ú A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우 ⓐ A → C → B로 가는 경우의 수는 1_1=1 ‌ 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (2, (5, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3) ‌의 12가지이고 각 경우에 병이 꺼낼 수 있는 카드가 3장이므로 ‌ P(A)= 12_3 =;3@; 54 116 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 116 2023. 9. 12. 오전 10:01 Û ‌갑이 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 을과 병이 꺼낸 카드에 적혀 다른 풀이 있는 수의 합보다 큰 경우 세 번째 시행 후 센 A가 가진 상품권의 장수가 처음으로 5가 되는 ‌갑이 꺼낸 카드에 적혀 있는 수를 a, 을이 꺼낸 카드에 적혀 있 경우는 다음의 색칠한 두 경우가 있다. 는 수를 b, 병이 꺼낸 카드에 적혀 있는 수를 c라 하고 a>b+c 처음 ‌(3, 1, 1), (4, 1, 1), (4, 1, 2), (4, 2, 1), (5, 1, 1), 두 번째 시행 후 세 번째 시행 후 1 권 인 경우를 순서쌍 (a, b, c)로 나타내면 (단위: 장) 첫 번째 시행 후 ⓐ6 (5, 1, 2), (5, 1, 3), (5, 2, 1), (5, 2, 2), (5, 3, 1), ⓐ5 (6, 1, 1), (6, 1, 2), (6, 1, 3), (6, 2, 1), (6, 2, 2), ⓑ5 ⓒ4 ‌ 3, 1), (6, 3, 2) (6, 2, 3), (6, ⓐ5 ‌의 18가지이고, 모든 경우에 a>b이므로 ⓐ4 ‌P(A;B)= 18 =;3!; 54 ⓑ4 ⓑ4 ⓒ3 ⓐ4 Ú, Û에서 구하는 확률은 ⓒ3 1 P(A;B) 3 P(B|A)= = =;2!; 2 P(A) 3 ⓑ3 ⓒ2 ⓐ5 ⓐ4 1 즉, k= 이므로 2 ⓑ4 ⓒ3 ⓐ4 1 100k=100_ =50 2 3 ⓑ3 ⓑ3 ⓑ3 ⓒ2 ⓐ3 ⓒ2 0526 ⓑ2 ⓒ1 ② ⓐ4 1 한 개의 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나올 확률은 이므로 뒷면 2 ⓐ3 ⓑ3 ⓒ2 이 나올 확률은 ⓐ3 1 1 1- = 2 2 ⓒ2 ⓑ2 ⓑ2 ⓒ1 한 번의 시행 후 A가 가진 상품권의 장수 변화는 다음의 세 가지 ⓐ2 경우가 있다. ⓒ1 ⓐ A가 가진 상품권이 한 장 늘어나는 경우 ⓑ1 ⓒ0 ‌A가 던진 동전은 앞면이 나오고, B가 던진 동전은 뒷면이 나와 야 하므로 그 확률은 즉, 첫 번째 시행에서 ⓐ, 두 번째 시행에서 ⓑ, 세 번째 시행에서 ;2!;_;2!;=;4!; ⓐ가 일어나거나 첫 번째 시행에서 ⓑ, 두 번째, 세 번째 시행에서 ⓐ가 일어나야 하므로 구하는 확률은 ⓑ A가 가진 상품권에 변함이 없는 경우 ‌A, B가 던진 동전이 모두 앞면이 나오거나 모두 뒷면이 나와야 ;4!;_;2!;_;4!;+;2!;_;4!;_;4!;=;3Á2;+;3Á2;=;1Á6; 하므로 그 확률은 ;2!;_;2!;+;2!;_;2!;=;4!;+;4!;=;2!; ⓒ A가 가진 상품권이 한 장 줄어드는 경우 ‌A가 던진 동전은 뒷면이 나오고, B가 던진 동전은 앞면이 나와 0527 3 흰 공 5개 중 60 %에 짝수가 적혀 있으므로 60 =3 100 야 하므로 그 확률은 짝수가 적혀 있는 흰 공의 개수는 5_ ;2!;_;2!;=;4!; 홀수가 적혀 있는 흰 공의 개수는 5-3=2 ‌세 번째 시행 후 센 A가 가진 상품권의 장수가 처음으로 5가 되려 면 첫 번째와 두 번째 시행에서 ⓐ, ⓑ가 일어나고 세 번째 시행에 서 ⓐ가 일어나야 한다. 또한 홀수가 적혀 있는 검은 공의 개수를 n (1ÉnÉ3)이라 하면 짝수가 적혀 있는 검은 공의 개수는 3-n이다. 꺼낸 두 개의 공에 적혀 있는 두 수의 합이 짝수인 사건을 A, 두 개 의 공이 모두 검은 공인 사건을 B라 하면 따라서 구하는 확률은 {;4!;_;2!;+;2!;_;4!;}_;4!;={;8! ‌ ;+;8!;}_;4!; =;4!;_;4!;=;1Á6; P(B|A)= 1 yy ㉠ 13 8개의 공 중 2개의 공을 꺼내는 경우의 수는 ¥Cª=28 Ⅱ. 확률 117 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 117 2023. 9. 12. 오전 10:01 Ú ‌홀수가 적혀 있는 검은 공이 짝수가 적혀 있는 검은 공보다 많 주머니에 들어 있는 짝수가 적혀 있는 공의 개수는 은 경우 3+(3-1)=5 3 ‌n>3-n이므로 2n>3 ∴ n> 2 홀수가 적혀 있는 공의 개수는 ‌n은 1ÉnÉ3인 자연수이므로 2+1=3 ‌꺼낸 두 개의 공에 적혀 있는 두 수의 합이 짝수이려면 두 개의 ‌n=2 또는 n=3 공에 적혀 있는 두 수가 모두 짝수이거나 홀수이어야 하므로 그 ‌ⓐ n=2일 때 경우의 수는 ‌ 주머니에 들어 있는 짝수가 적혀 있는 공의 개수는 ‌ 3 +(3-2)=4 °Cª+£Cª=10+3=13 ∴ P(A)= ‌홀수가 적혀 있는 공의 개수는 ‌2+2=4 13 28 ‌꺼낸 두 개의 공에 적혀 있는 두 수의 합이 짝수이고 이 두 개의 ‌‌ 꺼낸 두 개의 공에 적혀 있는 두 수의 합이 짝수이려면 두 개 공이 모두 검은 공인 경우는 꺼낸 두 개의 공이 짝수가 적혀 있 의 공에 적혀 있는 두 수가 모두 짝수이거나 홀수이어야 하 는 검은 공이어야 하므로 그 경우의 수는 므로 그 경우의 수는 ªCª=1 ‌‌ ¢Cª+¢Cª=6+6=12 ∴ P(A;B)= 12 ‌‌ ∴ P(A)= =;7#; 28 1 28 개의 공이 모두 검은 공인 경우는 꺼낸 두 개의 공이 홀수가 1 P(A;B) 28 ∴ P(B|A)= = =;1Á3; 13 P(A) 28 적혀 있는 검은 공이어야 하므로 그 경우의 수는 ‌이것은 ㉠과 같으므로 주머니에 들어 있는 홀수가 적혀 있는 공 ‌ 꺼낸 두 개의 공에 적혀 있는 두 수의 합이 짝수이고 이 두 ‌‌ ªCª=1 의 개수는 3이다. ‌‌ ∴ P(A;B)= Ú, Û에서 주머니에 들어 있는 홀수가 적혀 있는 공의 개수는 3이다. 1 28 1 P(A;B) 28 ‌‌ ∴ P(B|A)= = =;1Á2; 3 P(A) 7 ‌‌ 그런데 이것은 ㉠과 같지 않으므로 모순이다. ‌ⓑ n=3일 때 ‌‌ 주머니에 들어 있는 짝수가 적혀 있는 공의 개수는 ‌‌ 3 131 처음에 주머니에 들어 있는 ★ 모양의 스티커가 붙어 있는 카드 2 장을 각각 A, B라 하고, 스티커가 붙어 있지 않은 카드 3장을 각각 C, D, E라 하자. ‌‌ 홀수가 적혀 있는 공의 개수는 처음에 ★ 모양의 스티커가 붙어 있는 카드가 2장이므로 주어진 시 ‌‌ 2+3=5 ‌‌ 꺼낸 두 개의 공에 적혀 있는 두 수의 합이 짝수이려면 두 개 의 공에 적혀 있는 두 수가 모두 짝수이거나 홀수이어야 하 므로 그 경우의 수는 행을 2번 반복한 후에 주머니 속에는 ★ 모양의 스티커가 3개 붙어 있는 카드는 1장도 없거나 1장만 있거나 2장이 있을 수 있다. 따라서 2번의 시행 후 주머니 속에 ★ 모양의 스티커가 3개 붙어 있 는 카드가 들어 있는 경우는 다음과 같다. ‌‌ £Cª+°Cª=3+10=13 ‌‌ ∴ P(A)= 0528 Ú ★ 모양의 스티커가 3개 붙어 있는 카드가 1장인 경우 13 28 ⓐ첫 ‌ 번째 시행에서 A, B를 모두 꺼내고 두 번째 시행에서 A, ‌‌ 꺼낸 두 개의 공에 적혀 있는 두 수의 합이 짝수이고 이 두 B 중 1장을 꺼내는 경우 개의 공이 모두 검은 공인 경우는 꺼낸 두 개의 공이 홀수가 첫 번째 시행에서 A, B를 모두 꺼내고 두 번째 시행에서 A, 적혀 있는 검은 공이어야 하므로 그 경우의 수는 B 중 1장, C, D, E 중 1장을 꺼내야 하므로 그 확률은 ªCª ªCÁ_£CÁ 1 2_3 3 _ = _ = °Cª °Cª 10 10 50 ‌‌ £Cª=3 ‌‌ ∴ P(A;B)= 3 28 ⓑ첫 ‌ 번째, 두 번째 시행에서 A, B 중 1장만을 동일하게 꺼내 3 P(A;B) 28 ‌‌ ∴ P(B|A)= = =;1£3; 13 P(A) 28 는 경우 ‌‌ 그런데 이것은 ㉠과 같지 않으므로 모순이다. 일하게 꺼내고 나머지 4장 중 1장을 꺼내야 하므로 그 확률은 Û ‌홀수가 적혀 있는 검은 공이 짝수가 적혀 있는 검은 공보다 적 은 경우 n<3-n이므로 2n<3 ∴ n< 3 2 n은 1ÉnÉ3인 자연수이므로 n=1 첫 번째 시행에서 A, B 중 1장, C, D, E 중 1장을 꺼내고 두 번째 시행에서 첫 번째 시행에서 A, B 중 꺼낸 1장을 동 ªCÁ_£CÁ ÁCÁ_¢CÁ 2_3 1_4 6 _ = _ = °Cª °Cª 10 10 25 ‌ⓐ, ⓑ에서 주어진 시행을 2번 반복한 후 주머니 속에 ★ 모양의 스티커가 3개 붙어 있는 카드가 1장 들어 있을 확률은 3 6 3 + = 50 25 10 118 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 118 2023. 9. 12. 오전 10:01 Û ★ 모양의 스티커가 3개 붙어 있는 카드가 2장인 경우 이항계수의 성질 첫 ‌ 번째 시행과 두 번째 시행에서 모두 A, B를 꺼내야 하므로 그 확률은 Ú, Û에서 구하는 확률은 1 권 ªCª ªCª 1 1 1 _ = _ = °Cª °Cª 10 10 100 자연수 n에 대하여 ⑴ nC¼+nCÁ+nCª+y+nCn=2n ⑵ nC0-nCÁ+nCª-nC£+y+(-1)nnCn=0 ⑶ n이 홀수일 때 C0+nCª+nC¢+y+nCn-1‌=2n-1 n-1 nCÁ+nC£+nC°+y+nCn=2 n이 짝수일 때 n 3 1 31 + = 10 100 100 C¼+nCª+nC¢+y+nCn=2n-1 n-1 nCÁ+nC£+nC°+y+nCn-1=2 ⑷ nCr=nCn-r (단, 0ÉrÉn) 따라서 p=100, q=31이므로 n p+q=100+31=131 첫 번째 시행과 두 번째 시행에서 모두 C, D, E 중 2장을 꺼내게 되면 주 어진 시행을 2번 반복한 후 주머니 속에는 ★ 모양의 스티커가 3개 붙어 있는 카드는 1장도 없게 된다. 0530 49 주어진 시행을 3번 반복한 후 6장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수인 사건을 A, 주사위의 1의 눈이 한 번만 나오는 사건을 B라 0529 ④ , _로 답하는 문제이므로 임의로 답을 체크할 때 한 문제의 정 답을 맞힐 확률은 ;2!;이다. 이려면 홀수의 눈이 1번 또는 3번 나와야 한다. 1 1 1 1 1 1 C10{ } { } +20C11{ } { } +20C12{ } { } 2 2 2 2 2 2 10 1+2+3+4+5+6=21 로 홀수이므로 주어진 시행을 3번 반복한 후 모든 수의 합이 짝수 따라서 20문제에서 10문제 이상을 맞힐 확률은 10 P(A;B) 이다. P(A) 시행 전 카드에 보이는 모든 수의 합은 하면 구하는 확률은 P(B|A)= 11 9 12 이때 홀수는 1, 3, 5의 3개이므로 주사위를 한 번 던져서 홀수의 눈 8 20 이 나올 확률은 1 20 1 0 +y+20C20{ } { } 2 2 1 20 1 20 1 20 =20C10{ } +20C11{ } +y+20C20{ } 2 2 2 3 =;2!; 6 ∴ P(A)‌=£CÁ{ 1 20 ={ } (20C10+20C11+20C12+y+20C20) yy ㉠ 2 2 0 1 1 1 3 } {;2!;} +£C£{ } {;2!;} 2 2 3 1 = + =;2!; 8 8 이때 주어진 시행을 3번 반복한 후 모든 수의 합이 짝수이고, 주사위의 1 20C0=20C20, 20C1=20C19, 20Cª=20C18, y, 20C9=20C11 의 눈이 한 번만 나오는 경우는 다음과 같다. 이므로 Ú 홀수의 눈이 1번 나오고, 1의 눈이 한 번만 나오는 경우 C0+20C1+y+20C9=20C11+20C12+y+20C20=x ‌ 시행 중 1의 눈이 한 번 나오고, 짝수의 눈이 두 번 나오 3번의 20 20 라 하면 20C0+20C1+20C2+y+20C20=2 에서 는 경우이므로 그 확률은 20 (20C0+20C1+y+20C9)+20C10+(20C11+20C12+y+20C20)=2 20 x+20C10+x=2 2 1 1 1 ‌ £CÁ_ _{;2!;} =3_ _;4!;= 6 6 8 Û 홀수의 눈이 3번 나오고, 1의 눈이 한 번만 나오는 경우 2x=220-20C10 220-20C10 ∴ x= =219-;2!; 20C10 2 ‌ 시행 중 1의 눈이 한 번, 3 또는 5의 눈이 두 번 나오는 3번의 경우이므로 그 확률은 이를 ㉠에 대입하면 2 1 1 1 ‌£CÁ_ _{;6@;} =3_ _;9!;= 6 6 18 1 { } (20C10+20C11+20C12+y+20C20) 2 Ú, Û에서 1 20 ={ } (20C10+x) 2 1 1 13 P(A;B)= + = 8 18 72 1 20 1 ={ } [20C10+{219- 20C10}] 2 2 따라서 구하는 확률은 20 1 20 1 ={ } {219+ 20C10} 2 2 =;2!;+{ 1 21 } C 2 20 10 ∴ k=21 13 P(A;B) 72 P(B|A)= = =;3!6#; 1 P(A) 2 즉, p=36, q=13이므로 p+q=36+13=49 Ⅱ. 확률 119 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 119 2023. 9. 12. 오전 10:01 0533 통계 ;3!; 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 5 1 aÛ`+ a+{a- }+aÛ`=1 3 9 ………………………………………………………………………………… ➊ 이산확률변수의 확률분포 8 10 2aÛ`+ a- =0, 9aÛ`+12a-5=0 3 9 (3a-1)(3a+5)=0 01 ∴ a= 이산확률변수의 확률 - 확률분포가 주어진 경우 ⑴ ;3!; 1 5 또는 a=3 3 ………………………………………………………………………………… ➋ ⑵ ;2!; 1 1 이때 a- =P(X=3)¾0에서 a¾ 이므로 9 9 a= ⑴ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 1 1 1 1 + +a+ =1 ∴ a= 6 3 6 3 1 3 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ 확률의 총합을 이용하여 식 세우기 40% ➋ a에 대한 방정식 풀기 30% ➌ 조건을 만족시키는 a의 값 구하기 30% ⑵ P(X=1 또는 X=3)‌=P(X=1)+P(X=3) 1 1 1 = + = 6 3 2 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 0531 X -1 1 3 5 합계 P(X=x) ;9!; ;9%; ;9@; ;9!; 1 ④ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 1 1 +{k+ }+k+k=1 8 8 1 3 3k+ =1, 3k= 4 4 0534 1 ∴ k= 4 ② 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 합계 이때 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x) ;8!; ;8#; ;4!; ;4!; 1 k+ x 16 (x=0, 1, 2) k- x 16 (x=3) ( P(X=x)={ 이때 XÛ`-6X+8=0에서 (X-2)(X-4)=0, 즉 X=2 또는 X=4이므로 이므로 P(XÛ`-6X+8=0)‌=P(X=2 또는 X=4) 9 0 1 2 3 }+{k+ }+{k+ }+{k- }=1 16 16 16 16 =P(X=2)+P(X=4) {k+ 3 1 5 = + = 8 4 8 4k=1 ∴ k= 1 4 ∴ P(X=2 또는 X=3)‌=P(X=2)+P(X=3) 1 2 1 3 ={ + }+{ - } 4 16 4 16 0532 = 15 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1 xÛ` 이때 X의 확률질량함수가 P(X=x)= 이므로 2k 7 16 0535 ⑤ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 1Û` 2Û` 3Û` 4Û` + + + =1 2k 2k 2k 2k 1 1 a+{a+ }+{a+ }=1 4 2 30 =1 ∴ k=15 2k 3 1 1 3a+ =1, 3a= ∴ a= 4 4 12 120 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 120 2023. 9. 12. 오전 10:01 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 02 X 1 2 3 합계 P(X=x) ;1Á2; ;3!; ;1¦2; 1 이산확률변수의 확률 - 확률분포가 주어지지 않은 경우 ⑴ 0, 1, 2 ⑵ 풀이 참조 1 1 5 = + = 12 3 12 ⑴한 ‌ 개의 동전을 2번 던질 때, 앞면은 한 번도 나오지 않거나 1번 만 나오거나 2번 모두 나올 수 있다. 다른 풀이 ‌즉, 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이다. 확률변수 X가 갖는 값이 1, 2, 3이므로 ⑵ X=0인 경우는 2번 모두 뒷면이 나오는 경우이므로 P(XÉ2)‌=1-P(X>2)=1-P(X=3) =1- 1 권 ∴ P(XÉ2)‌=P(X=1)+P(X=2) P(X=0)=;2!;_;2!;=;4!; 7 5 = 12 12 X=1인 경우는 앞면이 1번, 뒷면이 1번 나오는 경우이므로 P(X=1)=;2!;_;2!;+;2!;_;2!;=;2!; 0536 ③ X=2인 경우는 2번 모두 앞면이 나오는 경우이므로 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 P(X=2)=;2!;_;2!;=;4!; P(X=-1)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=1 따라서 확률변수 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 이때 P(1ÉXÉ4)=;6%;에서 P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=;6%;이므로 X 0 1 2 합계 P(X=x) ;4!; ;2!; ;4!; 1 P(X=-1)=1-;6%;=;6!; 또한 P(-1ÉXÉ2)=;3@;에서 0538 P(X=-1)+P(X=1)+P(X=2)=;3@;이므로 ⑤ 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고 X가 갖는 모든 P(X=4)=1-;3@;=;3!; 값에 대한 확률의 합은 1이므로 P(XÉ2)‌=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) ∴ P(X=1)+P(X=2)‌=1-P(X=-1)-P(X=4) =1-P(X=3) =1-;6!;-;3!;=;2!; 이때 X=3인 경우는 남학생 4명과 여학생 4명 중에서 임의로 3명 을 뽑을 때 여학생이 3명 뽑히는 경우이므로 P(X=3)= 0537 ③ ∴ P(XÉ2)‌=1-P(X=3) 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 a+3a+(a+b)+b=1 ∴ 5a+2b=1 =1- yy ㉠ 1 13 = 14 14 다른 풀이 P(X=3)=;2!;P(X=5)이므로 ¢C£_¢C¼ 4 1 = = ¥C£ 56 14 ¢Cª_¢CÁ 24 3 = P(X=1)= = ¥C£ 56 7 ¢CÁ_¢Cª 24 3 = P(X=2)= = ¥C£ 56 7 P(X=0)= 3a=;2!;b ∴ 6a-b=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= ¢C¼_¢C£ 4 1 = = ¥C£ 56 14 yy ㉡ 1 6 , b= 17 17 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 2 3 4 5 합계 P(X=x) ;1Á7; ;1£7; ;1¦7; ;1¤7; 1 ∴ P(XÉ2)‌=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = 1 3 3 13 + + = 14 7 7 14 ∴ P(2ÉXÉ4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) = 1 3 7 11 + + = 17 17 17 17 다른 풀이 확률변수 X가 갖는 값이 2, 3, 4, 5이므로 P(2ÉXÉ4)‌=1-P(X=5) =1- 6 11 = 17 17 0539 ③ 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수 1, 2, 3, 4, 5, 6의 양의 약수의 개수는 차례대로 1, 2, 2, 3, 2, 4이므로 확률변수 X가 가 질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4이다. Ⅲ. 통계 121 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 121 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 X=2인 경우는 2, 3, 5의 3가지이므로 X=2인 경우는 불량품이 2개, 정상 제품이 1개 나올 때이므로 £Cª_°CÁ 15 P(X=2)= = ¥C£ 56 P(X=2)=;6#;=;2!; X=4인 경우는 6의 1가지이므로 X=3인 경우는 불량품만 3개 나올 때이므로 £C£_°C¼ 1 P(X=3)= = ¥C£ 56 P(X=4)=;6!; ∴ P(X=2)-P(X=4)=;2!;-;6!;=;3!; 따라서 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 합계 P(X=x) ;6!; ;2!; ;6!; ;6!; 1 X 0 1 2 3 합계 P(X=x) ;2°8; ;2!8%; ;5!6%; ;5Á6; 1 ………………………………………………………………………………… ➋ ⑵ 불량품이 2개 이상 나올 확률은 P(X¾2)‌=P(X=2)+P(X=3) = 15 1 16 2 + = = 56 56 56 7 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 0540 ④ 배점 ➊ X가 가질 수 있는 값 구하기 20% 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 ➋ X의 값에 따라 확률을 구하여 확률분포를 표로 나타내기 50% 5+5=10, 5+10=15, 10+10=20 ➌ 불량품이 2개 이상 나올 확률 구하기 30% 이고 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 P(X¾15)‌=P(X=15)+P(X=20) =1-P(X=10) 이때 X=10인 경우는 5가 적힌 공이 2개 나올 때이므로 P(X=10)= £Cª_ªC¼ =;1£0; °Cª 동시에 꺼낼 때, 나오는 흰 공의 개수가 확률변수 X이므로 X가 가 3 7 = 10 10 질 수 있는 값은 0, 1, 2이다. 다른 풀이 X=15인 경우는 5가 적힌 공 1개, 10이 적힌 공 1개가 나올 때이 므로 P(X=15)= P(X=1)= X=20인 경우는 10이 적힌 공이 2개 나올 때이므로 £C¼_ªCª 1 P(X=20)= = °Cª 10 ∴ P(X¾15)‌=P(X=15)+P(X=20) ªCÁ_¢Cª 12 3 = = ¤C£ 20 5 X=2인 경우는 흰 공 2개, 검은 공 1개가 나올 때이므로 P(X=2)= ªCª_¢CÁ 4 1 = = ¤C£ 20 5 따라서 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 1 7 = 10 10 0541 X=0인 경우는 검은 공만 3개 나올 때이므로 ªC¼_¢C£ 4 1 P(X=0)= = = ¤C£ 20 5 X=1인 경우는 흰 공 1개, 검은 공 2개가 나올 때이므로 £CÁ_ªCÁ 6 = =;5#; °Cª 10 =;5#;+ 2 흰 공 2개, 검은 공 4개가 들어 있는 주머니에서 임의로 3개의 공을 ∴ P(X¾15)‌=1-P(X=10) =1- 0542 ⑴ 풀이 참조 ⑵ ;7@; X 0 1 2 합계 P(X=x) ;5!; ;5#; ;5!; 1 1 이 표에서 P(X¾2)= 이므로 5 a=2 ⑴ ‌불량품 3개가 포함된 8개의 제품 중에서 임의로 3개의 제품을 동시에 뽑을 때 나오는 불량품의 개수가 확률변수 X이므로 X 가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이다. ………………………………………………………………………………… ➊ X=0인 경우는 정상 제품만 3개 나올 때이므로 £C¼_°C£ 10 5 P(X=0)= = = ¥C£ 56 28 X=1인 경우는 불량품이 1개, 정상 제품이 2개 나올 때이므로 £CÁ_°Cª 30 15 P(X=1)= = = ¥C£ 56 28 0543 ② 1부터 7까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 7장의 카드가 들어 있는 주머니에서 임의로 2장의 카드를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적 혀 있는 두 수 중 큰 수가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값 은 2, 3, 4, 5, 6, 7이다. 122 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 122 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 |X-1|¾5에서 X-1É-5 또는 X-1¾5이므로 03 XÉ-4 또는 X¾6 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어진 경우 ∴ P(|X-1|¾5)‌=P(X¾6) ⑴ ;3&; =P(X=6)+P(X=7) ⑵ ;9%; ⑶ '5 3 1 을 뽑을 때이므로 ⑴ E(X)=1_;6!;+2_;3!;+3_;2!;= 1_5 5 P(X=6)= = ¦Cª 21 X=7인 경우는 7이 적힌 카드와 1, 2, 3, 4, 5, 6이 적힌 카드 중 1_6 6 2 = = ¦Cª 21 7 ∴ P(|X-1|¾5)‌=P(X=6)+P(X=7) = 14 =;3&; 6 ⑵ E(XÛ`)=1Û`_;6!;+2Û`_;3!;+3Û`_;2!;= 36 =6이므로 6 7 5 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=6-{ }Û`= 3 9 '5 5 ⑶ r(X)="ÃV(X)=® = 3 9 1장을 뽑을 때이므로 P(X=7)= 권 X=6인 경우는 6이 적힌 카드와 1, 2, 3, 4, 5가 적힌 카드 중 1장 5 2 11 + = 21 7 21 0545 11 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 0544 ④ 숫자 1, 2, 2, 3, 3, 3이 하나씩 적혀 있는 6장의 카드를 임의로 일 렬로 나열할 때, 양 끝에 나열된 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 확 률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 3, 4, 5, 6이다. 이때 XÛ`-7X+12É0에서 1 1 5 +a+b+ =1 ∴ a+b= yy ㉠ 8 4 8 E(X)= 1 1 13 (-1)_ +0_a+1_b+2_ = 8 4 24 ∴ b= (X-3)(X-4)É0 13 이므로 24 1 6 즉, 3ÉXÉ4이므로 이를 ㉠에 대입하면 P(XÛ`-7X+12É0)‌=P(3ÉXÉ4) 1 5 11 a+ = ∴ a= 6 8 24 =P(X=3)+P(X=4) 1, 2, 2, 3, 3, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 ∴ 4a 11 =4_ _6=11 b 24 6! =60 2!_3! Ú X=3인 경우 ‌양 끝에 1, 2를 나열하고 중간에 2, 3, 3, 3을 나열하는 경우의 수는 ‌2_ 0546 ④ 확률변수 X의 확률질량함수가 4! =2_4=8 3! P(X=x)=k(x+2)`(x=1, 2, 3) 8 2 ‌ P(X=3)= = ∴ 60 15 이고 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 3k+4k+5k=1, 12k=1 ∴ k= Û X=4인 경우 ‌양 끝에 1, 3을 나열하고 중간에 2, 2, 3, 3을 나열하는 경우의 수는 4! ‌2_ =2_6=12 2!_2! ‌양 끝에 2, 2를 나열하고 중간에 1, 3, 3, 3을 나열하는 경우의 수는 1 12 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 합계 P(X=x) ;4!; ;3!; ;1°2; 1 1 5 26 13 ∴ E(X)=1_ +2_;3!;+3_ = = 4 12 12 6 4! ‌ =4 3! ‌∴ P(X=4)= 12+4 4 = 15 60 0547 Ú, Û에서 P(XÛ`-7X+12É0)‌=P(X=3)+P(X=4) 2 4 = + 15 15 = 6 2 = 15 5 60 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 3 1 a+ +b+ =1 ∴ a+b=;2!; 8 8 yy ㉠ 7 E(X)= 이므로 2 Ⅲ. 통계 123 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 123 2023. 9. 12. 오전 10:01 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`이고 E(X)=4, V(X)=10이므로 3 1 7 1_a+3_ +5_b+7_ = 8 8 2 10=E(XÛ`)-4Û` ∴ E(XÛ`)=26 3 ∴ a+5b= 2 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= 이때 주어진 표에서 E(XÛ`)‌=aÛ`_;3!;+(2a)Û`_;6!;+bÛ`_;3!;+(2b)Û`_;6!; 1 1 , b= 4 4 =aÛ`+bÛ` ………………………………………………………………………………… ➊ 이므로 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 3 5 7 합계 P(X=x) ;4!; ;8#; ;4!; ;8!; 1 aÛ`+bÛ`=26 yy ㉡ 따라서 (a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab에 ㉠, ㉡을 대입하면 6Û`=26+2ab ∴ ab=5 1 3 1 1 128 E(XÛ`)‌=1Û`_ +3Û`_ +5Û`_ +7Û`_ = =16이므로 4 8 4 8 8 7 15 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=16-{ }Û`= 2 4 ………………………………………………………………………………… ➋ 15 V(X) 4 ∴ = =60 1 1 ab _ 4 4 0550 ⑤ E(X)‌=0_;1Á0;+1_;2!;+a_;5@; =;5@;a+;2!; ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 yy ㉠ E(XÛ`)‌=0Û`_;1Á0;+1Û`_;2!;+aÛ`_;5@; =;5@;aÛ`+;2!; yy ㉡ ➊ a, b의 값 구하기 40% ➋ V(X)의 값 구하기 50% 이때 주어진 조건 r(X)=E(X)에서 V(X) 의 값 구하기 ➌ ab 10% {r(X)}Û`={E(X)}Û` ∴ V(X)={E(X)}Û` 즉, E(XÛ`)-{E(X)}Û`={E(X)}Û`이므로 2{E(X)}Û`=E(XÛ`) 위의 식에 ㉠, ㉡을 대입하면 0548 ① 2{;5@;a+;2!;}Û`=;5@;aÛ`+;2!; 2{;2¢5;aÛ`+;5@;a+;4!;}=;5@;aÛ`+;2!; 확률변수 X가 갖는 값이 1, 2, 3, 4이고 P(X=k+1)=;2!;P(X=k) (k=1, 2, 3)이므로 ;2ª5;aÛ`-;5$;a=0, ;2ª5;a(a-10)=0 P(X=1)=a라 하면 ∴ a=10 (∵ a>1) P(X=2)=;2!;P(X=1)=;2!;a a=10을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면 1 P(X=3)=;2!;P(X=2)=;2!;_;2!;a= a 4 E(X)=;5@;_10+;2!;=;2(; 1 1 P(X=4)=;2!;P(X=3)=;2!;_ a= a 4 8 E(XÛ`)=;5@;_10Û`+;2!;=;;¥2Á;; 이때 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 ∴ E(XÛ`)+E(X)=;;¥2Á;;+;2(;=;;»2¼;;=45 1 1 15 8 a+;2!;a+ a+ a=1, a=1 ∴ a= 4 8 8 15 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 합계 P(X=x) ;1¥5; ;1¢5; ;1ª5; ;1Á5; 1 04 8 4 2 1 26 ∴ E(X)=1_ +2_ +3_ +4_ = 15 15 15 15 15 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어지지 않은 경우 0551 0549 5 흰 공 3개, 검은 공 3개가 들어 있는 상자에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공 중 검은 공의 개수가 확률변수 X이므로 E(X)=4이므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이다. a_;3!;+2a_;6!;+b_;3!;+2b_;6!;=4 X=0인 경우는 흰 공만 2개 꺼낼 때이므로 £Cª_£C¼ 3 P(X=0)= = =;5!; ¤Cª 15 ∴ a+b=6 yy ㉠ ① 124 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 124 2023. 9. 12. 오전 10:01 X=1인 경우는 흰 공 1개, 검은 공 1개를 꺼낼 때이므로 £CÁ_£CÁ 9 P(X=1)= = =;5#; ¤Cª 15 0554 X=2인 경우는 검은 공만 2개 꺼낼 때이므로 £C¼_£Cª 3 P(X=2)= = =;5!; ¤Cª 15 서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수의 ;2#; 1, 2, 3, 4, 5가 하나씩 적혀 있는 5개의 공이 들어 있는 주머니에 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 1 권 최솟값이 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3이다. ………………………………………………………………………………… ➊ X=1인 경우는 1이 적혀 있는 공과 2, 3, 4, 5가 적혀 있는 공 중 X 0 1 2 합계 P(X=x) ;5!; ;5#; ;5!; 1 2개를 꺼낼 때이므로 1_¢Cª P(X=1)= =;1¤0;=;5#; °C£ E(X)=0_;5!;+1_;5#;+2_;5!;=1이고 X=2인 경우는 2가 적혀 있는 공과 3, 4, 5가 적혀 있는 공 중 2개 를 꺼낼 때이므로 E(XÛ`)=0Û`_;5!;+1Û`_;5#;+2Û`_;5!;=;5&;이므로 P(X=2)= V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=;5&;-1Û`=;5@; X=3인 경우는 3이 적혀 있는 공과 4, 5가 적혀 있는 공 중 2개를 1_£Cª =;1£0; °C£ 꺼낼 때이므로 P(X=3)= 0552 ③ 1_ªCª =;1Á0; °C£ 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수 1, 2, 3, 4, 5, 6을 5로 나눈 X 1 2 3 합계 나머지는 차례대로 1, 2, 3, 4, 0, 1이므로 확률변수 X가 가질 수 P(X=x) ;5#; ;1£0; ;1Á0; 1 있는 값은 0, 1, 2, 3, 4이고 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음 과 같다. ………………………………………………………………………………… ➋ X 0 1 2 3 4 합계 ∴ E(X)=1_;5#;+2_;1£0;+3_;1Á0;=;1!0%;=;2#; P(X=x) ;6!; ;3!; ;6!; ;6!; ;6!; 1 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 ∴ E(X)=0_;6!;+1_;3!;+2_;6!;+3_;6!;+4_;6!;=;;Á6Á;; 0553 배점 ➊ X가 가질 수 있는 값 구하기 20% ➋ X의 각 값에서의 확률 구하기 50% ➌ E(X)의 값 구하기 30% ② 불량품 2개가 포함된 7개의 제품 중에서 임의로 3개의 제품을 동시 에 뽑을 때 나오는 불량품의 개수가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이다. 0555 X=0인 경우는 정상 제품만 3개 나올 때이므로 ªC¼_°C£ 10 P(X=0)= = =;7@; ¦C£ 35 ;;Á9¢;; 흰 공 2개, 검은 공 4개가 들어 있는 상자에서 임의로 1개씩 공을 X=1인 경우는 불량품 1개, 정상 제품 2개가 나올 때이므로 ªCÁ_°Cª 20 P(X=1)= = =;7$; ¦C£ 35 꺼낼 때, 처음으로 흰 공이 나올 때까지 공을 꺼낸 횟수가 확률변수 X=2인 경우는 불량품 2개, 정상 제품 1개가 나올 때이므로 ªCª_°CÁ 5 P(X=2)= = =;7!; ¦C£ 35 즉, X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5이고 그 확률은 각각 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. P(X=2)=;6$;_;5@;=;1¢5; X 0 1 2 합계 P(X=x) ;7@; ;7$; ;7!; 1 6 E(X)=0_;7@;+1_;7$;+2_;7!;= 이고 7 E(XÛ`)=0Û`_;7@;+1Û`_;7$;+2Û`_;7!;=;7*;이므로 20 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=;7*;-{;7^;}Û`= 49 20 2'5 ∴ r(X)="ÃV(X)=¾Ð = 7 49 X이므로 맨 처음에 흰 공이 나올 때 X의 최솟값은 1이고 검은 공 4개를 모두 꺼낸 뒤에 흰 공이 나올 때 X의 최댓값은 5이다. P(X=1)=;6@;=;3!; P(X=3)=;6$;_;5#;_;4@;=;5!; P(X=4)=;6$;_;5#;_;4@;_;3@;=;1ª5; P(X=5)=;6$;_;5#;_;4@;_;3!;_;2@;=;1Á5; 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 5 합계 P(X=x) ;3!; ;1¢5; ;5!; ;1ª5; ;1Á5; 1 Ⅲ. 통계 125 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 125 2023. 9. 12. 오전 10:01 E(X)‌=1_;3!;+2_;1¢5;+3_;5!;+4_;1ª5;+5_;1Á5; =;1#5%;=;3&; X 0 3 4 합계 P(X=x) ;1Á5; ;1¥5; ;5@; 1 이고 E(X)=0_;1Á5;+3_;1¥5;+4_;5@;=;1$5*;=;;Á5¤;; 이고 E(XÛ`)‌=1Û`_;3!;+2Û`_;1¢5;+3Û`_;5!;+4Û`_;1ª5;+5Û`_;1Á5; E(XÛ`)=0Û`_;1Á5;+3Û`_;1¥5;+4Û`_;5@;=;;Á1¤5¥;;=;;°5¤;; 이므로 =;;Á1¼5°;;=7 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=;;°5¤;;-{;;Á5¤;;}Û`=;2@5$; 이므로 따라서 p=25, q=24이므로 14 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=7-{;3&;}Û`= 9 p+q=25+24=49 0556 14 05 기댓값 ⑴ 0원, 100원, 200원 주사위의 눈의 수인 a의 값에 따른 곡선 y= f(x)와 직선 y=a의 ⑵ 100원 교점의 개수는 다음 그림과 같으므로 확률변수 X가 가질 수 있는 ⑴ 100원짜리 ‌ 동전 2개가 모두 뒷면이면 0원, 둘 중 하나만 앞면이 값은 2, 4, 6이다. 면 100원, 2개가 모두 앞면이면 200원을 받을 수 있다. y 따라서 받을 수 있는 서로 다른 금액의 종류는 0원, 100원, 200 9 y=f(x) 주사위의 눈의 수 원이다. 6 5 4 3 2 1 교점 2개 교점 2개 교점 4개 교점 4개 교점 6개 교점 4개 O ⑵ ‌받을 수 있는 금액을 확률변수 X라 하면 X가 가질 수 있는 값 은 0, 100, 200이고 그 확률은 각각 P(X=0)=;2!;_;2!;=;4!; x a 1 2 3 4 5 6 교점의 개수 4 6 4 4 2 2 P(X=100)=;2!;_;2!;+;2!;_;2!;=;2!; P(X=200)=;2!;_;2!;=;4!; 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 이므로 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 2 4 6 합계 X 0 100 200 합계 P(X=x) ;3!; ;2!; ;6!; 1 P(X=x) ;4!; ;2!; ;4!; 1 ∴ E(X)=2_;3!;+4_;2!;+6_;6!;=;;Á3Á;; ∴ E(X)=0_;4!;+100_;2!;+200_;4!;=100 따라서 p=3, q=11이므로 따라서 받을 수 있는 금액의 기댓값은 100원이다. p+q=3+11=14 0557 49 0558 ② 100원짜리 동전 3개, 500원짜리 동전 2개가 들어 있는 상자에서 흰 바둑돌 2개와 검은 바둑돌 4개가 들어 있는 주머니에서 바둑돌 임의로 꺼낸 3개의 동전을 받으므로 4개를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 흰 바둑돌의 개수를 a, 검은 바둑돌의 100원짜리 3개를 꺼내면 300원, 개수를 b라 하면 가능한 순서쌍 (a, b)는 100원짜리 2개, 500원짜리 1개를 꺼내면 700원, (0, 4), (1, 3), (2, 2) 100원짜리 1개, 500원짜리 2개를 꺼내면 1100원 꺼낸 흰 바둑돌의 개수와 검은 바둑돌의 개수의 곱이 확률변수 X 을 받을 수 있다. 이므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 3, 4이다. 즉, 받을 수 있는 금액을 확률변수 X라 하면 X가 가질 수 있는 값 ªC¼_¢C¢ P(X=0)= =;1Á5; ¤C¢ ªCÁ_¢C£ =;1¥5; P(X=3)= ¤C¢ ªCª_¢Cª P(X=4)= =;1¤5;=;5@; ¤C¢ 은 300, 700, 1100이고 그 확률은 각각 £C£_ªC¼ =;1Á0; °C£ £Cª_ªCÁ =;1¤0;=;5#; P(X=700)= °C£ £CÁ_ªCª P(X=1100)= =;1£0; °C£ P(X=300)= 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 126 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 126 2023. 9. 12. 오전 10:01 이므로 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. P(X=600)= X 300 700 1100 합계 P(X=x) ;1Á0; ;5#; ;1£0; 1 ªCª_¢C¼ =;1Á5; ¤Cª X=1200인 경우는 2개의 공이 모두 검은 공일 때이므로 ªC¼_¢Cª P(X=1200)= =;1¤5;=;5@; ¤Cª X=1500인 경우는 꺼낸 2개의 공의 색이 서로 다를 때, 즉 1개는 따라서 받을 수 있는 금액의 기댓값은 780원이다. 흰 공, 1개는 검은 공일 때이므로 P(X=1500)= 500원짜리 동전은 2개뿐이므로 500원짜리 동전만 3개 꺼내는 사건은 일어나 지 않음에 주의한다. 0559 300 1 권 ∴ E(X)‌=300_;1Á0;+700_;5#;+1100_;1£0;=780 ªCÁ_¢CÁ =;1¥5; ¤Cª 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 600 1200 1500 합계 P(X=x) ;1Á5; ;5@; ;1¥5; 1 ∴ E(X)‌=600_;1Á5;+1200_;5@;+1500_;1¥5;=1320 따라서 받을 수 있는 상금의 기댓값은 1320원이다. 복권 1개로 받을 수 있는 적립 포인트를 확률변수 X라 하고, 전체 복권의 개수를 n이라 하자. X가 가질 수 있는 값은 0, 30, 900, 3000이고 그 확률은 각각 P(X=0)= n-1-10-100 n-111 = n n P(X=30)= 물쇠를 열 수도 있다. 즉, 자물쇠가 열릴 때까지 시도하는 횟수를 확률변수 X라 하면 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6이고 10 n 그 확률은 각각 1 P(X=3000)= n P(X=1)=;6!; 이므로 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 0 30 900 3000 합계 P(X=x) n-111 n 100 n 10 n 1 n 1 ………………………………………………………………………………… ➊ E(X)‌=0_ = ④ 첫 시도의 열쇠로 자물쇠를 열 수도 있고 마지막 시도의 열쇠로 자 100 n P(X=900)= 0561 n-111 100 10 1 +30_ +900_ +3000_ n n n n P(X=3)=;6%;_;5$;_;4!;=;6!; P(X=4)=;6%;_;5$;_;4#;_;3!;=;6!; P(X=5)=;6%;_;5$;_;4#;_;3@;_;2!;=;6!; 15000 n ………………………………………………………………………………… ➋ 복권 1개로 받을 수 있는 적립 포인트의 기댓값이 50점이므로 15000 =50 ∴ n=300 n 따라서 전체 복권의 개수는 300이다. ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 P(X=2)=;6%;_;5!;=;6!; P(X=6)=;6%;_;5$;_;4#;_;3@;_;2!;_;1!;=;6!; 이므로 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 5 6 합계 P(X=x) ;6!; ;6!; ;6!; ;6!; ;6!; ;6!; 1 ∴ E(X)‌=1_;6!;+2_;6!;+3_;6!;+4_;6!;+5_;6!;+6_;6!; 배점 ➊ 적립 포인트를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포 구하기 40% ➋ X의 기댓값 구하기 30% ➌ 전체 복권의 개수 구하기 30% = 21 =;2&;=3.5 6 따라서 자물쇠가 열릴 때까지 시도하는 횟수의 기댓값은 3.5회이다. 0562 0560 1320원 ① 한 개의 동전을 3번 던질 때, 모든 경우의 수는 8이고, 각 경우에 대하여 얻게 되는 점수는 다음과 같다. 받을 수 있는 상금을 확률변수 X라 하면 X가 가질 수 있는 값은 (앞, 앞, 앞)이면 1+1=2(점) 600, 1200, 1500이다. (앞, 앞, 뒤)이면 1+3=4(점) 흰 공 2개, 검은 공 4개가 들어 있는 주머니에서 임의로 2개의 공을 (앞, 뒤, 앞)이면 3+3=6(점) 동시에 꺼낼 때, (앞, 뒤, 뒤)이면 3+2=5(점) X=600인 경우는 2개의 공이 모두 흰 공일 때이므로 (뒤, 앞, 앞)이면 3+1=4(점) Ⅲ. 통계 127 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 127 2023. 9. 12. 오전 10:01 (뒤, 앞, 뒤)이면 3+3=6(점) E(3-4X)=3-4E(X)=3-4_;2%;=-7 (뒤, 뒤, 앞)이면 2+3=5(점) (뒤, 뒤, 뒤)이면 2+2=4(점) 즉, 주어진 규칙에 따라 얻는 점수의 합을 확률변수 X라 하면 X 가 가질 수 있는 값은 2, 4, 5, 6이고 그 확률은 각각 P(X=2)=;8!;, P(X=4)=;8#;, P(X=5)=;8@;=;4!;, E(10+2X)=10+2E(X)=10+2_;2%;=15 ∴ E(3-4X)+E(10+2X)=-7+15=8 P(X=6)=;8@;=;4!; 0565 이므로 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. E(2X+5)=13에서 X 2 4 5 6 합계 P(X=x) ;8!; ;8#; ;4!; ;4!; 1 19 2E(X)+5=13, 2E(X)=8 ∴ E(X)=4 ………………………………………………………………………………… ➊ V(3X)=27에서 ∴ E(X)‌=2_;8!;+4_;8#;+5_;4!;+6_;4!; 3Û` V(X)=27 ∴ V(X)=3 18 = =;2(;=4.5 4 ………………………………………………………………………………… ➋ 이때 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`이므로 따라서 얻는 점수의 합의 기댓값은 4.5점이다. 3=E(XÛ`)-4Û` ∴ E(XÛ`)=3+16=19 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 06 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 - 평균, 분산이 주어진 경우 ⑴ 13 ⑵ 36 ⑶6 ⑴ E(3X-2)=3E(X)-2=3_5-2=13 ➊ E(X)의 값 구하기 30% ➋ V(X)의 값 구하기 30% ➌ E(XÛ`)의 값 구하기 40% 0566 ⑵ V(3X-2)=3Û` V(X)=9_4=36 ⑶ V(X)=4에서 r(X)="ÃV(X)='4=2이므로 ③ X=3Y+10에서 Y= r(3X-2)=3r(X)=3_2=6 배점 X-10 3 E(X)=40이므로 E(Y)=E{ 0563 ① E(X)=3, E(XÛ`)=15이므로 E(X)-10 40-10 X-10 = }= =10 3 3 3 V(X)=45이므로 V(Y)=V{ V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=15-3Û`=6 V(X) X-10 45 = =5 }= 3 9 3Û` 따라서 V(Y)=E(Y Û`)-{E(Y)}Û`이므로 Y=aX+b이므로 5=E(Y Û`)-10Û` E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=3a+b ∴ E(Y Û`)=5+100=105 이때 E(Y)=7이므로 ∴ E(Y)+E(Y Û`)=10+105=115 3a+b=7 yy ㉠ V(Y)=V(aX+b)=aÛ` V(X)=6aÛ` 이때 V(Y)=54이므로 0567 6aÛ`=54, aÛ`=9 ∴ a=3 또는 a=-3 이를 ㉠에 대입하여 풀면 ④ E(X)=5500, r(X)=100이므로 a=3, b=-2 또는 a=-3, b=16 E(Y)‌=E(1.6X-200) 따라서 ab=-6 또는 ab=-48이므로 ab의 최댓값은 -6이다. =1.6E(X)-200 =1.6_5500-200=8600 r(Y)‌=r(1.6X-200) 0564 ③ =1.6r(X) =1.6_100=160 E(2X+5)=10이므로 2E(X)+5=10 ∴ E(X)=;2%; 따라서 Y의 평균과 표준편차의 합은 8600+160=8760(원) 128 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 128 2023. 9. 12. 오전 10:01 0568 ⑤ E(X)=m이라 하면 E(XÛ`)=2E(X)+5=2m+5이므로 4 2 1 21 E(XÛ`)=1Û`_ +2Û`_ +3Û`_ = =3이므로 7 7 7 7 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=3-{ V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 11 Û 26 }`= 7 49 1 26 '26 이므로 = 7 49 '26 26 r('26X+7)='26 r(X)='26_ = 7 7 ∴ V(3X-4)‌=3Û` V(X)=9(-mÛ`+2m+5) =-9(mÛ`-2m-5) 권 즉, r(X)="ÃV(X)=¾Ð =(2m+5)-mÛ`=-mÛ`+2m+5 =-9{(m-1)Û`-6} =-9(m-1)Û`+54 따라서 V(3X-4)는 m=1, 즉 E(X)=1일 때 최대이고, 최댓값 은 54이다. 0572 ③ E(X)=(-3)_;2!;+0_;4!;+a_;4!;=;4!;a-;2#; 이때 E(X)=-1이므로 ;4!;a-;2#;=-1, ;4!;a=;2!; ∴ a=2 07 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어진 경우 0569 ③ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 X -3 0 2 합계 P(X=x) ;2!; ;4!; ;4!; 1 E(XÛ`)=(-3)Û`_;2!;+0Û`_;4!;+2Û`_;4!;= 11 이므로 2 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=;;Á2Á;;-(-1)Û`= a+;2#;a+2a+;2A;=1, 5a=1 ∴ a=;5!; 9 2 9 ∴ V(aX)=V(2X)=2Û` V(X)=4_ =18 2 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 합계 P(X=x) ;5!; ;1£0; ;5@; ;1Á0; 1 0573 E(X)‌=1_;5!;+2_;1£0;+3_;5@;+4_;1Á0;=;;Á5ª;; ③ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 ∴ E(10X-3)=10E(X)-3=10_;;Á5ª;;-3=21 ;8#;+a+;8!;+b=1 ∴ a+b=;2!; yy ㉠ E(X)=2이므로 0570 15 1_;8#;+2a+3_;8!;+4b=2 ∴ a+2b=;8%; E(X)=2_;2!;+3_;3!;+4_;6!;=;3*; yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;8#;, b=;8!; ∴ E(6X-1)=6E(X)-1=6_;3*;-1=15 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 0571 ;;ª7¤;; 확률변수 X의 확률질량함수가 k P(X=x)= x+1 (x=1, 2, 3) 2 이고 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 X 1 2 3 4 합계 P(X=x) ;8#; ;8#; ;8!; ;8!; 1 E(XÛ`)‌=1Û`_;8#;+2Û`_;8#;+3Û`_;8!;+4Û`_;8!;= 40 =5 8 이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=5-2Û`=1 ∴ V(3-2X)=(-2)Û` V(X)=4_1=4 k k k 7 16 + + =1, k=1 ∴ k= 4 8 16 16 7 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 합계 P(X=x) ;7$; ;7@; ;7!; 1 4 2 1 11 E(X)=1_ +2_ +3_ = 이고 7 7 7 7 0574 37 1 E(X)=(-2)_ +0_;1Á2;+1_;6!;+2_;2!;=;3@;이고 4 E(XÛ`)=(-2)Û`_;4!;+0Û`_;1Á2;+1Û`_;6!;+2Û`_;2!;= 19 이므로 6 Ⅲ. 통계 129 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 129 2023. 9. 12. 오전 10:01 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= 19 2 49 -{ }Û`= 6 3 18 ………………………………………………………………………………… ➊ 한편, 확률변수 Y=aX+b에 대하여 ¢CÁ_2+¢Cª_2Û`+¢C£_2Ü`+¢C¢_2Ý`=3Ý`-1=80 2_¢CÁ+2Û`_¢Cª+2Ü`_¢C£+2Ý`_¢C¢ 80 16 E(X)= = = 15 15 3 ∴ E(3X+1)=3E(X)+1=3_ 2 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b= a+b 3 16 +1=17 3 이때 E(Y)=3이므로 ;3@;a+b=3 yy ㉠ ………………………………………………………………………………… ➋ V(Y)=V(aX+b)=aÛ` V(X)= 08 49 aÛ` 18 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어지지 않은 경우 0576 이때 V(Y)=98이므로 49 aÛ`=98, aÛ`=36 18 ③ 흰 공 2개와 검은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 임의로 꺼낸 2개 ∴ a=6 (∵ a>0) 의 공 중 흰 공의 개수가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값 ………………………………………………………………………………… ➌ 은 0, 1, 2이고 그 확률은 각각 이를 ㉠에 대입하면 P(X=0)= 4+b=3 ∴ b=-1 ªC¼_£Cª 3 = °Cª 10 배점 ªCÁ_£CÁ 6 = =;5#; °Cª 10 ªCª_£C¼ 1 = P(X=2)= °Cª 10 ➊ E(X), V(X)의 값 구하기 30% 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. ➋ E(Y)를 이용하여 a, b의 관계식 구하기 30% X 0 1 2 합계 ➌ V(Y)를 이용하여 양수 a의 값 구하기 30% P(X=x) 10% ;1£0; ;5#; ;1Á0; 1 ➍ b의 값 및 aÛ`+bÛ`의 값 구하기 ∴ aÛ`+bÛ`=36+(-1)Û`=37 P(X=1)= ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 E(X)=0_ 3 3 1 4 +1_ +2_ = 10 5 10 5 ∴ E(10X+1)=10E(X)+1=10_ 0575 ⑤ 4 +1=9 5 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 ¢CÁ ¢Cª ¢C£ ¢C¢ + + + =1 k k k k 0577 1 (¢CÁ+¢Cª+¢C£+¢C¢)=1 k 25 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 2, 4, 6이고, 2가 적힌 면이 2개, 이때 4C0+4C1+4C2+4C3+4C4=2Ý`이므로 4가 적힌 면이 3개, 6이 적힌 면이 1개이므로 확률변수 X의 확률 C1+4C2+4C3+4C4=2Ý`-1=15 분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 4 ∴ k=¢CÁ+¢Cª+¢C£+¢C¢=15 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 2 4 8 16 합계 P(X=x) ;1¢5; ;5@; ;1¢5; ;1Á5; 1 E(X)‌=2_;1¢5;+4_;5@;+8_;1¢5;+16_;1Á5;= ∴ E(3X+1)=3E(X)+1=3_ 80 16 = 15 3 2 4 6 합계 P(X=x) ;3!; ;2!; ;6!; 1 E(X)=2_;3!;+4_;2!;+6_;6!;= 11 3 ∴ E(6X+3)=6E(X)+3=6_ 11 +3=25 3 16 +1=17 3 다른 풀이 ¢CÁ ¢Cª ¢C£ ¢C¢ +4_ +8_ +16_ 15 15 15 15 2_¢CÁ+2Û`_¢Cª+2Ü`_¢C£+2Ý`_¢C¢ = 15 E(X)‌=2_ (1+x)n=nC¼+nCÁ x+nCª xÛ`+y+nCn xn의 양변에 x=2, n=4 를 대입하면 3Ý`=4C0+¢CÁ_2+¢Cª_2Û`+¢C£_2Ü`+¢C¢_2Ý` 이므로 X 0578 10 서로 다른 주사위 2개를 동시에 한 번 던질 때, 6의 눈이 나오는 주 사위의 개수가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2 이고 그 확률은 각각 P(X=0)=;6%;_;6%;=;3@6%; P(X=1)=;6%;_;6!;+;6!;_;6%;=;3!6);=;1°8; 130 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 130 2023. 9. 12. 오전 10:01 P(X=2)=;6!;_;6!;= 1 36 이때 영희에게 배정된 두 서랍에 적혀 있는 자연수를 순서쌍으로 나타내면 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. Ú X=1인 경우는 (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)의 4가지이므로 0 1 2 합계 P(X=x) ;3@6%; ;1°8; ;3Á6; 1 P(X=1)= Û X=2인 경우는 (2, 3), (2, 4), (2, 5)의 3가지이므로 ………………………………………………………………………………… ➊ 25 1 6 E(X)=0_ +1_;1°8;+2_ = =;3!;이고 36 36 18 P(X=3)= 7 -{;3!;}Û`=;1°8; 18 3 10 2 1 = 10 5 Ý X=4인 경우는 (4, 5)의 1가지이므로 ………………………………………………………………………………… ➋ ∴ V(6X-3)=6Û` V(X)=36_ P(X=2)= 1 Ü X=3인 경우는 (3, 4), (3, 5)의 2가지이므로 25 1 7 E(XÛ`)=0Û`_ +1Û`_;1°8;+2Û`_ = 이므로 36 36 18 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= 4 2 = 10 5 권 X 5 =10 18 P(X=4)= 1 10 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ X가 가질 수 있는 값 및 X의 각 값에서의 확률 구하기 40% ➋ V(X)의 값 구하기 40% ➌ V(6X-3)의 값 구하기 20% 0579 X 1 2 3 4 합계 P(X=x) ;5@; ;1£0; ;5!; ;1Á0; 1 E(X)=1_;5@;+2_;1£0;+3_;5!;+4_;1Á0;=2 ∴ E(10X)=10E(X)=10_2=20 ④ 불량품 3개, 정상 제품 3개가 들어 있는 제품 보관 상자에서 임의 0581 ⑤ 로 꺼낸 2개의 제품 중 불량품의 개수가 확률변수 X이므로 X가 동전 한 개를 4번 던질 때, 앞면이 Y번 나왔다고 하면 뒷면이 나온 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고 그 확률은 각각 횟수는 4-Y이다. £C¼_£Cª 3 1 = = ¤Cª 15 5 £CÁ_£CÁ 9 3 = = P(X=1)= ¤Cª 15 5 £Cª_£C¼ 3 1 = = P(X=2)= ¤Cª 15 5 앞면이 나올 때마다 3점을 받고 뒷면이 나올 때마다 1점을 잃으므 P(X=0)= 로 이 게임에서 받을 수 있는 점수 X는 X=3_Y+(-1)_(4-Y)=4Y-4 동전 한 개를 4번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수가 Y이므로 Y가 가 질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3, 4이고 그 확률은 각각 P(Y=0)=¢C¼{;2!;} {;2!;} = 1 16 P(Y=1)=¢CÁ{;2!;} {;2!;} = 4 =;4!; 16 P(Y=2)=¢Cª{;2!;} {;2!;} = 6 =;8#; 16 P(Y=3)=¢C£{;2!;} {;2!;} = 4 =;4!; 16 P(Y=4)=¢C¢{;2!;} {;2!;} = 1 16 0 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 0 1 2 합계 P(X=x) ;5!; ;5#; ;5!; 1 1 2 1 3 1 E(X)=0_ +1_ +2_ =1이고 5 5 5 3 1 3 1 7 E(XÛ`)=0Û`_ +1Û`_ +2Û`_ = 이므로 5 5 5 5 4 7 2 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= -1Û`= 5 5 3 2 1 0 즉, Y의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 2 ∴ V(5X-7)=5Û` V(X)=25_ =10 5 Y 0 1 2 3 4 합계 P(Y=y) ;1Á6; ;4!; ;8#; ;4!; ;1Á6; 1 E(Y)‌=0_ 0580 4 20 1 1 3 1 1 +1_ +2_ +3_ +4_ =2이고 16 4 8 4 16 E(YÛ`)‌=0Û`_ 1 1 3 1 1 +1Û`_ +2Û`_ +3Û`_ +4Û`_ =5이므로 16 4 8 4 16 5개의 서랍 중 영희에게 임의로 2개를 배정하는 경우의 수는 V(Y)=E(YÛ`)-{E(Y)}Û`=5-2Û`=1 °Cª=10 따라서 r(Y)="ÃV(Y)=1이므로 2개의 서랍에 적혀 있는 자연수 중 작은 수가 확률변수 X이므로 r(X)=r(4Y-4)=4r(Y)=4_1=4 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4이다. ∴ r(4X+3)=4r(X)=4_4=16 Ⅲ. 통계 131 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 131 2023. 9. 12. 오전 10:01 0582 ① ∴ P{X=;2!;}=;5@6$;=;7#; Û 세 변의 길이가 1, '2, '3인 직각삼각형일 때 5명의 학생이 5개의 의자에 한 명씩 앉는 모든 경우의 수는 5!=120 남학생이 2명, 여학생이 3명이고 여학생이 앉은 의자에 붙어 있는 번호 중에서 가장 작은 수가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 X=;2!;_1_'2= '2 2 ‌이와 같은 삼각형은 정육면체의 12개의 모서리마다 2개씩 존재 값은 1, 2, 3이다. 하므로 삼각형의 개수는 X=1인 경우, 1번 의자에 여학생 3명 중 1명이 앉고 나머지 4개의 12_2=24 의자에 남은 4명의 학생이 앉으면 되므로 ∴ P{X= P(X=1)= £PÁ_4! 3_24 = =;5#; 120 120 Ü 한 변의 길이가 '2인 정삼각형일 때 X=2인 경우, 1번 의자에 남학생 2명 중 1명이 앉고, 2번 의자에 여학생 3명 중 1명이 앉으며 나머지 3개의 의자에 남은 3명의 학생 이 앉으면 되므로 P(X=2)= X= '3 '3 _('2 )Û`= 4 2 ‌이와 같은 삼각형은 정육면체의 6개의 면마다 4개씩 존재하는 데 이 중 같은 것이 3개씩 있으므로 삼각형의 개수는 ªPÁ_£PÁ_3! 2_3_6 =;1£0; = 120 120 X=3인 경우, 1번과 2번 의자에 남학생 2명이 한 명씩 앉고, 3번, 6_4 =8 3 ∴ P{X= 4번, 5번 의자에 여학생 3명이 앉으면 되므로 P(X=3)= 2!_3! 2_6 =;1Á0; = 120 120 X X 1 2 3 합계 P(X=x) ;5#; ;1£0; ;1Á0; 1 P(X=x) '3 2 1 7 합계 1 ∴ E(49XÛ`+1)‌=49E(XÛ`)+1 3 3 1 27 E(XÛ`)=1Û`_ +2Û`_ +3Û`_ = 이므로 5 10 10 10 =49_ 27 3 9 -{ }Û`= 10 2 20 3 +1=22 7 정삼각형의 높이와 넓이 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이를 h, 넓이를 S라 하면 9 =45 20 0583 '2 2 3 7 1 2 3 7 '2 Û 3 '3 Û 1 12 3 3 E(XÛ`)‌={;2!;}Û`_ +{ }`_ +{ }`_ = = 2 2 7 7 7 28 7 3 3 1 15 3 E(X)=1_ +2_ +3_ = = 이고 5 10 10 10 2 ∴ V(10X+3)=10Û` V(X)=100_ '3 8 }= =;7!; 2 56 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= '2 24 }= =;7#; 2 56 h= '3 '3 a, S= aÛ` 2 4 22 정육면체의 8개의 꼭짓점은 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으므 로 이 중에서 임의로 서로 다른 세 개의 꼭짓점을 택하면 삼각형이 만들어진다. 09 즉, 만들 수 있는 모든 삼각형의 개수는 ¥C£=56 5 ⑴ P(X=x)=°Cx{;2!;} (x=0, 1, 2, y, 5) 한편, 삼각형의 넓이가 서로 다른 경우는 다음 그림과 같은 세 종류 ⑵ B{5, ;2!;} 이다. Ú 이항분포에서의 확률 구하기 Û Ü ⑴ 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 ;2!; ‌한 개의 동전을 5번 던질 때, 앞면이 나오는 동전의 개수가 X이 정육면체의 한 모서리의 길이는 1이고 삼각형의 넓이가 확률변수 X이므로 Ú 세 변의 길이가 1, 1, '2인 직각이등변삼각형일 때 X=;2!;_1_1=;2!; 6_4=24 수는 P(X=x)‌=5Cx{;2!;} {;2!;} x 5-x =5Cx{;2!;} (x=0, 1, 2, y, 5) 5 ‌이와 같은 삼각형은 정육면체의 6개의 면마다 4개씩 존재하므 로 삼각형의 개수는 므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3, 4, 5이고 확률질량함 ⑵한 ‌ 개의 동전을 5번 던질 때, 앞면이 나오는 동전의 개수 X는 이항분포 B{5, ;2!;}을 따른다. 132 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 132 2023. 9. 12. 오전 10:01 0584 ① 총을 한 번 쏘아 과녁에 명중시킬 확률이 0.4, 즉 2 인 사격 선수가 5 총을 10번 쏘아 과녁에 명중시키는 횟수가 확률변수 X이므로 X 2 }를 따른다. 5 2 3 P(X=x)‌=10Cx{ } { } 5 5 10-x 불량률이 20`%인 배터리 8개 중에서 불량품의 개수를 확률변수 X 라 하면 X는 이항분포 B{8, 1 }을 따른다. 5 ………………………………………………………………………………… ➊ 1 즉, X의 확률질량함수는 즉, X의 확률질량함수는 x 11 권 는 이항분포 B{10, 0587 1 x 4 8-x P(X=x)=8Cx{ } { } (x=0, 1, 2, y, 8) 5 5 (x=0, 1, 2, y, 10) ………………………………………………………………………………… ➋ ∴ P(X¾1)‌=1-P(X=0) 이때 8개의 배터리 중 불량품이 2개 미만일 확률은 2 0 3 10 =1-10C¼{ } { } 5 5 P(X<2)‌=P(X=0)+P(X=1) 1 0 4 8 1 1 4 7 =8C¼{ } { } +8CÁ{ } { } 5 5 5 5 310 =1- 10 5 48 8_47 48 2_48 = 8+ 8 8 + 8 5 5 5 5 48 4 8 =(1+2)_ 8 =3_{ } 5 5 = 0585 ③ ………………………………………………………………………………… ➌ 확률변수 X가 이항분포 B{4, ;2!;}을 따르므로 X의 확률질량함수는 따라서 m=3, n=8이므로 P(X=x)‌=¢Cx{;2!;} {;2!;} ………………………………………………………………………………… ➍ x 4-x m+n=3+8=11 채점 기준 =¢Cx{;2!;} (x=0, 1, 2, 3, 4) 4 30% ➊ 확률변수 X를 정하고 X가 따르는 확률분포 구하기 ∴ P(X¾3)‌=P(X=3)+P(X=4) =¢C£{;2!;} +¢C¢{;2!;} 4 배점 4 ➋ X의 확률질량함수 구하기 20% ➌ 불량품이 2개 미만일 확률 구하기 40% ➍ m+n의 값 구하기 10% =;1°6; 0586 71 확률변수 X가 이항분포 B{n, ;3!;}을 따르므로 X의 확률질량함수는 P(X=x)‌=nCx{;3!;} {;3@;} x =nCx_ n-x 0588 한 개의 주사위를 15번 던질 때, 홀수인 눈이 나오는 횟수를 확률 변수 X라 하자. 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 홀수인 눈, 즉 1, 3, 5가 나올 확 률은 n-x 2 (x=0, 1, 2, y, n) 3n 즉, 2n-2 3n n(n-1) 2n-2 = _ n 2 3 2n-3n(n-1) = 3n 2n-1 P(X=1)‌=nCÁ_ n 3 2n-1n = n 3 이고 2P(X=2)=35P(X=1)이므로 2n-3n(n-1) 2n-1n 2_ =35_ n n 3 3 이때 n은 자연수이므로 P(X=2)‌=nCª_ n-1 =35, n-1=70 2 ∴ n=71 ④ 3 1 =;2!;이므로 확률변수 X는 이항분포 B{15, }을 따른다. 6 2 즉, X의 확률질량함수는 P(X=x)‌=15Cx{;2!;} {;2!;} x 15-x C = 15 15x (x=0, 1, 2, y, 15) 2 따라서 홀수인 눈이 8번 이상 나올 확률은 P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)+y+P(X=15) C C» CÁ¼ CÁ° = 15 158 + 15 15 + 15 15 +y+ 15 15 2 2 2 2 C¥+15C»+15C10+y+15C15 = 15 215 214 = 15 =;2!; 2 15 15 C¥=15C¦, 15C»=15C¤, 15C10=15C°, y, 15C15=15C¼이므로 C¥+15C»+15C10+y+15C15‌=;2!;(15C¼+15CÁ+15Cª+y+15C15) =;2!;_215=215-1=214 Ⅲ. 통계 133 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 133 2023. 9. 12. 오전 10:01 0590 이항계수의 성질 자연수 n에 대하여 ⑴ nC¼+nCÁ+nCª+y+nCn=2n ⑵ nC¼-nCÁ+nCª-y+(-1)nnCn=0 ⑶ n이 홀수일 때 확률변수 X가 이항분포 B(4, p)를 따르므로 E(X)=4p V(X)=4p(1-p) 이때 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 n-1 C¼+nCª+nC¢+y+nCn-1=nCÁ+nC£+nC°+y+nCn=2 n이 짝수일 때 n ④ E(XÛ`)‌=V(X)+{E(X)}Û` C¼+nCª+nC¢+y+nCn=nCÁ+nC£+nC°+y+nCn-1=2n-1 =4p(1-p)+(4p)Û`=12pÛ`+4p n E(XÛ`)=5이므로 12pÛ`+4p=5에서 12pÛ`+4p-5=0, (2p-1)(6p+5)=0 0589 ⑤ 이 호텔의 예약 취소율이 20`%이므로 예약을 취소하지 않고 실제 로 투숙하는 비율은 80`%, 즉 0.8이다. 실제로 호텔에 투숙하는 예약자 수를 확률변수 X라 하면 X는 이 ∴ p=;2!; (∵ 0<p<1) 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{4, ;2!;}을 따르므로 r(X)=®É4_;2!;_;2!;=1 항분포 B(30, 0.8)을 따르므로 X의 확률질량함수는 P(X=x)=30Cx(0.8)x(0.2)30-x (x=0, 1, 2, y, 30) 실제로 객실이 부족하려면 X>28이어야 하므로 구하는 확률은 P(X>28)‌=P(X=29)+P(X=30) =30C29(0.8)29(0.2)1+30C30(0.8)30(0.2)0 =30_(0.8)29_0.2+1_(0.8)30_1 =6_(0.8)29+0.8_(0.8)29 =6.8_(0.8)29 0591 60 확률변수 X가 이항분포 B{n, ;3@;}를 따르므로 V(X)=n_;3@;_;3!;=;9@; n 이때 V(X)=20이므로 =6.8_0.0015 ;9@; n=20 ∴ n=90 =0.0102 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{90, ;3@;}를 따르므로 E(X)=90_;3@;=60 0592 ④ E(3X-1)=17에서 10 이항분포의 평균, 분산, 표준편차 - 이항분포가 주어진 경우 ⑴ E(X)=50, V(X)=25, r(X)=5 ⑵ E(X)=120, V(X)=80, r(X)=4'5 ⑴ 확률변수 X가 이항분포 B{100, ;2!;}을 따르므로 3E(X)-1=17, 3E(X)=18 ∴ E(X)=6 한편, 확률변수 X는 이항분포 B{n, ;3!;}을 따르므로 E(X)=n_;3!;=6 ∴ n=18 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{18, ;3!;}을 따르므로 V(X)=18_;3!;_;3@;=4 E(X)=100_;2!;=50 V(X)=100_;2!;_{1-;2!;}=25 r(X)='25=5 ⑵ 확률변수 X가 이항분포 B{360, ;3!;}을 따르므로 0593 ③ 확률변수 X가 이항분포 B{48, ;4!;}을 따르므로 E(X)=360_;3!;=120 E(X)=48_;4!;=12 V(X)=360_;3!;_{1-;3!;}=360_;3!;_;3@;=80 V(X)=48_;4!;_;4#;=9 r(X)='80=4'5 r(X)="ÃV(X)='9=3 134 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 134 2023. 9. 12. 오전 10:01 즉, xÛ`의 계수가 1이고 E(X), r(X)를 두 근으로 갖는 이차방정 식은 즉, 확률변수 X는 이항분포 B{36, 1 }을 따르므로 X의 확률질량 3 함수는 이 이차방정식이 xÛ`+ax+b=0과 일치하므로 36-x 1 x P(X=x)=36Cx{ } {;3@;} (x=0, 1, 2, y, 36) 3 a=-15, b=36 ………………………………………………………………………………… ➋ ∴ a+b=-15+36=21 35 1 1 36_235 P(X=1)=36CÁ{ } {;3@;} = 3 336 0594 ④ 이항분포 B(n, p)를 따르는 확률변수 X에 대하여 평균이 12이므로 yy ㉠ E(X)=np=12 34 1 2 630_234 P(X=2)=36Cª{ } {;3@;} = 3 336 630_234 P(X=2) 336 630 35 ∴ = = = 72 4 P(X=1) 36_235 36 3 ………………………………………………………………………………… ➌ 분산이 3이므로 V(X)=np(1-p)=3 1 권 (x-12)(x-3)=0 ∴ xÛ`-15x+36=0 채점 기준 yy ㉡ 배점 ㉠을 ㉡에 대입하면 ➊ n, p의 값 구하기 40% 12(1-p)=3, 1-p=;4!; ∴ p=;4#; ➋ X의 확률질량함수 구하기 20% P(X=2) 의 값 구하기 ➌ P(X=1) 40% p=;4#; 을 ㉠에 대입하면 ;4#; n=12 ∴ n=16 0595 ① 1 확률변수 X가 이항분포 B{n, }을 따르므로 2 E(X)=n_;2!;= n n , V(X)=n_;2!;_;2!;= 2 4 11 이항분포의 평균, 분산, 표준편차 - 확률질량함수가 주어진 경우 0597 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 ④ 확률변수 X의 확률질량함수가 E(XÛ`)‌=V(X)+{E(X)}Û` ‌ n n nÛ` n = +{ }2`= + 4 2 4 4 P(X=x)‌=Á8Cx 2x 2x 18 =Á8Cx x 3 3 _318-x =Á8Cx{;3@;} {;3!;} x 이때 E(XÛ`)=V(X)+25이므로 18-x (x=0, 1, 2, y, 18) nÛ` n n + = +25, nÛ`=100 4 4 4 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{18, ;3@;}를 따른다. ∴ n=10 ∴ E(X)=18_;3@;=12, V(X)=18_;3@;_;3!;=4 따라서 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 0596 ;;£4°;; E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`=4+12Û`=148 E(X)=12, E(XÛ`)=152이므로 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` =152-12Û`=8 이항분포 B(n, p)를 따르는 확률변수 X에 대하여 0598 ① E(X)=np=12 yy ㉠ 확률변수 X의 확률질량함수가 V(X)=np(1-p)=8 yy ㉡ P(X=x)=50Cx{;5@;} {;5#;} ㉠을 ㉡에 대입하면 12(1-p)=8, 1-p=;3@; ∴ p=;3!; p=;3!; 을 ㉠에 대입하면 x 50-x (x=0, 1, 2, y, 50) 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{50, ;5@;}를 따른다. 2 2 3 따라서 E(X)=50_ =20, V(X)=50_ _ =12이므로 5 5 5 E(3X-4)=3E(X)-4=3_20-4=56 ;3!;n=12 ∴ n=36 V(2X-1)=2Û` V(X)=4_12=48 ………………………………………………………………………………… ➊ ∴ E(3X-4)+V(2X-1)=56+48=104 Ⅲ. 통계 135 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 135 2023. 9. 12. 오전 10:01 0599 8 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)‌=nCx_ x 2 2 =C_ 3n n x 3x_3n-x =nCx{;3@;} {;3!;} n-x 25 이항분포 B{100, x x 0601 1 }을 따르는 확률변수 X의 확률질량함수는 4 1 x 3 100-x P(X=x)=100Cx{ } { } (x=0, 1, 2, y, 100) 4 4 (x=0, 1, 2, y, n) 이고 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{n, ;3@;}를 따른다. 1 E(X)=100_ =25 4 ………………………………………………………………………………… ➊ 이때 확률변수 X의 평균의 정의에 의하여 이때 E(X)=24이므로 E(X)=0_P(X=0)+1_P(X=1)+2_P(X=2) ;3@; n=24 ∴ n=36 +y+99_P(X=99)+100_P(X=100) ………………………………………………………………………………… ➋ 1 3 99 1 2 3 98 =100CÁ{ } { } +2_100Cª{ } { } 4 4 4 4 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{36, ;3@;}를 따르므로 V(X)=36_;3@;_;3!;=8 =25 1 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ 확률질량함수를 변형하여 확률변수 X가 따르는 이항분포 구하기 40% ➋ E(X)의 값을 이용하여 n의 값 구하기 30% ➌ V(X)의 값 구하기 30% 1 99 3 1 1 100 +y+99_100C99{ } { } +100_100C100{ } 4 4 4 이므로 1 1 3 99 1 2 3 98 1 3 3 97 CÁ{ } { } +2_100Cª{ } { } +3_100C£{ } { } 4 4 4 4 4 4 100 1 99 3 1 +y+99_100C99{ } { } 4 4 1 100 =25-100_100C100{ } 4 100 4100 25 =25- 99 4 ∴ n=25 =25- 0600 37 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)=nCx px(1-p)n-x (x=0, 1, 2, y, n이고 0＜p＜1) 이므로 확률변수 X는 이항분포 B(n, p)를 따른다. 이때 E(X)=9이므로 yy ㉠ E(X)=np=9 9 V(X)= 이므로 4 V(X)=np(1-p)= 9 4 yy ㉡ 12 이항분포의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어지지 않은 경우 ㉠ 을 ㉡에 대입하면 9 3 9(1-p)= ∴ p= 4 4 0602 3 p= 을 ㉠에 대입하면 4 한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 나오는 모든 경우의 수는 3 n=9 ∴ n=12 4 두 눈의 수 a, b에 대하여 a+b¾10인 사건 A가 일어나는 순서쌍 ③ 6_6=36 (a, b)는 따라서 X의 확률질량함수는 3 x 1 12-x P(X=x)=12Cx{ } { } (x=0, 1, 2, y, 12) 4 4 a+b=10일 때, (4, 6), (5, 5), (6, 4) 이므로 a+b=12일 때, (6, 6) P(X<2)‌=P(X=0)+P(X=1) a+b=11일 때, (5, 6), (6, 5) 이고 그 개수는 3+2+1=6이므로 3 0 1 12 3 1 1 11 =12C¼{ } { } +12CÁ{ } { } 4 4 4 4 P(A)=;3¤6;=;6!; 1 36 + 412 412 37 37 = 12 = 24 4 2 따라서 한 개의 주사위를 두 번 던지는 시행을 72번 반복할 때, 사 = ∴ k=37 건 A가 일어나는 횟수 X는 이항분포 B{72, ;6!;}을 따르므로 V(X)=72_;6!;_;6%;=10 136 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 136 2023. 9. 12. 오전 10:01 0603 8 이 마트에서 우유를 구매한 고객 한 명이 A회사의 제품을 선택할 1 부등식 V(X)>V(Y)에서 즉, 우유를 구매한 고객 400명 중 A회사의 제품을 선택한 고객의 1 수 X는 이항분포 B{400, }을 따른다. 5 2 n>10 ∴ n>45 9 따라서 자연수 n의 최솟값은 46이다. 1 4 ∴ r(X)=®É400_ _ ='64=8 5 5 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 6의 약수, 즉 1, 2, 3, 6이 나올 확률은 0604 ② 흰 공 x개, 검은 공 4개가 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공 4 =;3@;이다. 6 또한 두 개의 동전을 한 번 던질 때, 두 동전이 같은 면이 나오는 경우는 (앞면, 앞면), (뒷면, 뒷면)의 2가지이므로 그 확률은 2 =;2!;이다. 2_2 x 이므로 확률변수 X는 이항 x+4 을 꺼낼 때, 흰 공이 나올 확률은 x }를 따른다. x+4 0607 이때 X의 평균이 30이므로 E(X)=n_ x =30 x+4 yy㉠ V(X)=n_ 121 이 공장에서 생산한 비누의 불량률이 X의 분산이 12이므로 x 4 _ =12 x+4 x+4 1 이므로 비누 하나가 정상 12 제품일 확률은 yy㉡ 1- ㉠ 을 ㉡에 대입하면 4 =12, x+4=10 ∴ x=6 x+4 1 11 = 12 12 또한 비누를 포장할 때 사용하는 상자의 불량률이 1 이므로 상자 7 하나가 정상 제품일 확률은 x=6을 ㉠에 대입하면 n_ 1 }을 따른다. 2 권 20 1 = 100 5 30_ ;2!;이므로 확률변수 Y는 이항분포 B{40, 1 ∴ V(Y)=40_ _;2!;=10 2 확률은 분포 B{n, 두 개의 동전을 동시에 던질 때, 두 동전이 같은 면이 나올 확률은 1 6 1- = 7 7 6 =30 ∴ n=50 6+4 즉, 상품 1개의 비누와 상자가 모두 정상 제품일 확률은 ∴ n+x=50+6=56 11 6 11 _ = 12 7 14 ………………………………………………………………………………… ➊ 0605 ⑤ 두 학생 A, B가 가위바위보를 한 번 할 때, A가 이길 확률은 므로 확률변수 X는 이항분포 B{n, 1 이 3 1 }을 따른다. 3 X의 분산이 8이므로 V(X)=n_ 11 =154 14 V(X)=196_ 11 3 _ =33 14 14 ∴ E(X)-V(X)=154-33=121 ………………………………………………………………………………… ➌ 1 ∴ E(X)=36_ =12 3 채점 기준 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`=8+12Û`=152 0606 배점 ➊ 상품 1개의 비누와 상자가 모두 정상 제품일 확률 구하기 40% ➋ 확률변수 X가 따르는 이항분포 및 평균, 분산 구하기 50% ➌ E(X)-V(X)의 값 구하기 10% ④ 한 개의 주사위를 던질 때, 6의 약수의 눈이 나올 확률은 2 ∴ V(X)=n_ _;3!;=;9@; n 3 E(X)=196_ 11 }을 따르므로 14 ………………………………………………………………………………… ➋ 1 _;3@;=8 ∴ n=36 3 확률변수 X는 이항분포 B{n, 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{196, 2 }를 따른다. 3 2 이므로 3 0608 40 주사위 한 개를 40번 던져 4의 약수의 눈이 나오는 횟수를 확률변 수 Y라 하면 4의 약수가 아닌 눈이 나오는 횟수는 40-Y이다. Ⅲ. 통계 137 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 137 2023. 9. 12. 오전 10:01 0612 즉, ㈎, ㈏에 의하여 점 P의 최종 위치의 좌표 X는 X=2Y+(-1)_(40-Y)=3Y-40 ③ 당첨 제비 4개가 들어 있는 9개의 제비 중에서 임의로 3개의 제비 이때 주사위 한 개를 한 번 던져 4의 약수의 눈이 나올 확률은 를 동시에 뽑을 때, 나오는 당첨 제비의 개수가 확률변수 X이므로 3 1 1 = 이므로 확률변수 Y는 이항분포 B{40, }을 따르고 6 2 2 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이다. 따라서 X=0인 경우는 당첨 제비가 아닌 제비만 3개 나올 때이므로 ¢C¼_5C£ P(X=0)= =;8!4);=;4°2; 9C£ V(X)=V(3Y-40)=3Û` V(Y)=9_10=90 X=1인 경우는 당첨 제비가 1개, 당첨 제비가 아닌 제비가 2개 나 이므로 올 때이므로 1 E(Y)=40_ =20, V(Y)=40_;2!;_;2!;=10 2 V{ 2X-1 }‌=V{;3@;X-;3!;}={;3@;}Û` V(X) 3 P(X=1)= ¢CÁ_5Cª =;8$4);=;2!1); 9C£ ∴ P(XÉ1)‌=P(X=0)+P(X=1) 4 = _90=40 9 =;4°2;+;2!1);=;4@2%; ¢Cª_°CÁ 30 5 = = »C£ 84 14 ¢C£_°C¼ 4 1 = = P(X=3)= »C£ 84 21 P(X=2)= 0613 0609 ① 17 확률변수 X의 확률질량함수가 |x-4| (x=1, 2, 3, 4, 5) 7 확률변수 X가 이항분포 B(32, p)를 따르고 E(X)=8이므로 P(X=x)= 32p=8 ∴ p=;4!; 이므로 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. ∴ V(X)=32_;4!;_;4#;=6 X 1 2 3 4 5 합계 P(X=x) ;7#; ;7@; ;7!; 0 ;7!; 1 3 2 1 1 15 E(X)=1_ +2_ +3_ +4_0+5_ = 7 7 7 7 7 ∴ E(7X+2)=7E(X)+2=7_ 0610 ④ 15 +2=17 7 r(X)=2이므로 V(X)={r(X)}Û`=2Û`=4 0614 E(X)=4이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 4=E(XÛ`)-4Û` ③ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 ∴ E(XÛ`)=20 a+b+;5@;=1 ∴ a+b=;5#; yy ㉠ XÛ`-5X+6É0에서 (X-2)(X-3)É0 ∴ 2ÉXÉ3 0611 ② P(2ÉXÉ3)=P(X=2)+P(X=3)=;2!;이므로 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 a+;2!; a+;2#; a=1, 3a=1 ∴ a=;3!; b+;5@;=;2!; ∴ b=;1Á0; 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X -1 0 1 합계 P(X=x) ;3!; ;6!; ;2!; 1 ∴ E(X)=(-1)_;3!;+0_;6!;+1_;2!;=;6!; 즉, P(XÛ`-5X+6É0)=;2!;에서 b=;1Á0; 을 ㉠에 대입하면 a+;1Á0; =;5#; ∴ a=;2!; ∴ a-b=;2!;-;1Á0;=;5@; 138 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 138 2023. 9. 12. 오전 10:01 0615 ④ E(Y)=3이므로 0617 43 1학년 학생 3명, 2학년 학생 4명 중에서 임의로 뽑은 3명 중 1학년 학생 수가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이 이때 E(X)=1이므로 고 그 확률은 각각 a+b=3 yy ㉠ P(X=0)= V(Y)=16이므로 1 권 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=3 £C¼_¢C£ 4 = ¦C£ 35 £CÁ_¢Cª 18 = ¦C£ 35 £Cª_¢CÁ 12 = P(X=2)= ¦C£ 35 £C£_¢C¼ 1 = P(X=3)= ¦C£ 35 V(Y)=V(aX+b)=aÛ` V(X)=16 P(X=1)= 이때 V(X)=4이므로 4aÛ`=16, aÛ`=4 ∴ a=-2 (∵ a<0) a=-2를 ㉠에 대입하면 -2+b=3 ∴ b=5 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. ∴ b-a=5-(-2)=7 0616 ② 1, 2, 3, 4, 5, 6이 하나씩 적힌 6장의 카드 중에서 임의로 2장의 카 X 0 1 2 3 합계 P(X=x) ;3¢5; ;3!5*; ;3!5@; ;3Á5; 1 E(X)‌=0_ 4 18 12 1 45 9 +1_ +2_ +3_ = = 35 35 35 35 35 7 ∴ E(49X-20)‌=49E(X)-20 9 =49_ -20=43 7 드를 동시에 뽑을 때, 카드에 적힌 두 수의 차가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5이다. 모든 경우의 수는 6Cª=15 X=1인 경우는 1, 2 또는 2, 3 또는 3, 4 또는 4, 5 또는 5, 6이 적 힌 카드를 뽑을 때이므로 0618 ⑤ P(X=1)=;1°5;=;3!; 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 2, 3, a`(a+2, a+3)이고 각 숫 X=2인 경우는 1, 3 또는 2, 4 또는 3, 5 또는 4, 6이 적힌 카드를 를 나타내는 표는 다음과 같다. 자가 적혀 있는 공의 개수는 순서대로 2, 2, 1이므로 X의 확률분포 뽑을 때이므로 X 2 3 a 합계 P(X=2)=;1¢5; P(X=x) ;5@; ;5@; ;5!; 1 X=3인 경우는 1, 4 또는 2, 5 또는 3, 6이 적힌 카드를 뽑을 때이 이때 X의 평균이 3이므로 므로 2 2 1 E(X)=2_ +3_ +a_ =3 5 5 5 P(X=3)=;1£5;=;5!; X=4인 경우는 1, 5 또는 2, 6이 적힌 카드를 뽑을 때이므로 1 a+2=3 ∴ a=5 5 P(X=4)=;1ª5; 2 2 1 51 즉, E(XÛ`)=2Û`_ +3Û`_ +5Û`_ = 이므로 5 5 5 5 X=5인 경우는 1, 6이 적힌 카드를 뽑을 때이므로 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` P(X=5)=;1Á5; = 51 6 -3Û`= 5 5 ∴ V(5X-2)‌=5Û` V(X) 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 5 합계 P(X=x) ;3!; ;1¢5; ;5!; ;1ª5; ;1Á5; 1 =25_ 6 =30 5 E(X)‌=1_;3!;+2_;1¢5;+3_;5!;+4_;1ª5;+5_;1Á5;=;1#5%;=;3&; 0619 이고 각 지점에 연결된 도로의 개수를 표시하면 다음과 같으므로 확률변 E(XÛ`)‌=1Û`_;3!;+2Û`_;1¢5;+3Û`_;5!;+4Û`_;1ª5;+5Û`_;1Á5; 수 X가 가질 수 있는 값은 2, 3, 4, 5이다. 105 = =7 15 ③ A(2) �F(5) B(4) 이므로 14 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=7-{;3&;}Û`= 9 14 '14 ∴ r(X)="ÃV(X)=®É = 9 3 G(2) H(2) C(4) �E(3) D(2) Ⅲ. 통계 139 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 139 2023. 9. 12. 오전 10:01 한편, E(bX+2c)=5이므로 연결된 도로의 개수 지점 2 A, D, G, H 3 E 4 B, C 5 F bE(X)+2c=5, 3 b+2c=5 2 ∴ 3b+4c=10 yy ㉠ V(bX+c)=69이므로 bÛ` V(X)=69 즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 23 =69, bÛ`=36 12 X 2 3 4 5 합계 bÛ`_ P(X=x) ;2!; ;8!; ;4!; ;8!; 1 ∴ b=6 (∵ b>0) b=6을 ㉠에 대입하면 1 E(X)=2_;2!;+3_ +4_;4!;+5_;8!;=:ª8¢:=3 8 18+4c=10 ∴ c=-2 b-c 6-(-2) ∴ = =48 1 a 6 ∴ E(3X+1)=3E(X)+1 =3_3+1=10 0620 6 발아율이 80`%, 즉 4 인 씨앗 20개 중에서 발아하는 씨앗의 개수 5 를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{20, 4 }를 따른다. 5 4 1 P(X=x)=20Cx{ } { } 5 5 20-x ① 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)=16Cx px(1-p)16-x (x=0, 1, 2, y, 16) 1 이므로 확률변수 X는 이항분포 B(16, p) { <p<1}를 따른다. 2 즉, X의 확률질량함수는 x 0622 (x=0, 1, 2, y, 20) 이때 V(X)=3이므로 이때 발아하는 씨앗이 19개 이상일 확률은 V(X)=16p(1-p)=3 P(X¾19)‌=P(X=19)+P(X=20) 16pÛ`-16p+3=0, (4p-1)(4p-3)=0 4 19 1 1 4 20 1 0 =20C19{ } { } +20C20{ } { } 5 5 5 5 ∴ p= 3 {∵ ;2!;<p<1} 4 3 따라서 E(X)=16_ =12이고 4 20_419 420 5_420 420 + 20 = 20 + 20 520 5 5 5 20 4 =(5+1)_ 20 5 20 4 =6_ 20 5 = V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`이므로 E(XÛ`)‌=V(X)+{E(X)}Û` =3+12Û`=147 ∴ k=6 0621 48 X라 하고, 한 개의 주사위를 180번 던져 6의 약수의 눈이 나오는 1 6 횟수를 확률변수 Y라 하자. 6의 약수가 아닌 눈이 나오는 횟수는 180-Y이므로 주어진 게임 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X -1 0 1 3 합계 P(X=x) ;1Á2; ;6!; ;3!; ;1°2; 1 1 1 5 18 E(X)‌=(-1)_ +0_ +1_;3!;+3_ = =;2#; 12 6 12 12 이고 E(XÛ`)‌=(-1)Û`_ 1 1 5 50 25 +0Û`_ +1Û`_;3!;+3Û`_ = = 12 6 12 12 6 이므로 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` = 25 23 -{;2#;}Û`= 6 12 ② 주어진 게임을 180번 반복하여 얻을 수 있는 총 점수를 확률변수 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 ;1Á2;+a+;3!;+;1°2;=1 ∴ a= 0623 을 180번 반복하여 얻을 수 있는 총 점수는 X=3Y+(-1)_(180-Y)=4Y-180 이때 한 개의 주사위를 던져 6의 약수의 눈이 나올 확률은 이므로 확률변수 Y는 이항분포 B{180, 4 =;3@; 6 2 }를 따르고 3 2 E(Y)=180_ =120 3 ∴ E(X)‌=E(4Y-180)=4E(Y)-180 =4_120-180=300 따라서 주어진 게임을 180번 반복하여 얻을 수 있는 총 점수의 기 댓값은 300점이다. 140 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 140 2023. 9. 12. 오전 10:01 0624 5 0626 3 주사위 두 개를 동시에 던질 때, 나오는 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+y+P(X=24)=1 6_6=36 이때 X의 확률질량함수가 함수 y=xÛ`+ax+b의 그래프가 x축과 만나려면 이차방정식 k P(X=x)‌= ` '§x+'Äx+1 xÛ`+ax+b=0이 실근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면 D¾0 이어야 한다. k('Äx+1-'§x ) = ` ('Äx+1+'§x )('Äx+1-'§x ) 즉, D=aÛ`-4b¾0에서 =k('Äx+1-'§x ) (x=1, 2, 3, y, 24) 이를 만족시키는 모든 순서쌍 (a, b)는 aÛ`¾4b 이므로 (2, 1), k('2-1)+k('3-'2 )+k('4-'3 )+y+k('25-'24 )=1 (3, 1), (3, 2), 1 즉, 5k-k=1에서 k= 이므로 X의 확률질량함수는 4 P(X=x)= 1 권 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), 'Äx+1-'§x (x=1, 2, 3, y, 24) 4 (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) 한편, |X-14|=10에서 이므로 그 개수는 X-14=-10 또는 X-14=10 1+2+4+6+6=19 ∴ X=4 또는 X=24 ∴ P(A)= ∴ P(|X-14|=10)‌=P(X=4 또는 X=24) 19 36 =P(X=4)+P(X=24)` 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{144, = V(X)=144_ '5-'4 '§25-'§24 + 4 4 3+'5-2'6 = 4 19 17 323 _ = 9 36 36 이때 V(cX)=323에서 323 =323 9 따라서 a=3, b=-2이므로 cÛ` V(X)=cÛ`_ a-b=3-(-2)=5 cÛ`=9 ∴ c=3 (∵ c>0) 0625 19 }를 따르므로 36 ⑤ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 3a+b+2a=1 ∴ 5a+b=1 yy ㉠ 0627 ③ 확률변수 X의 확률분포를 나타낸 표에서 행운권 1장으로 받을 수 있는 상금을 확률변수 X라 하면 X가 가 E(X)=(-2)_3a+0_b+3_2a=0 질 수 있는 값은 600, 1000, 6000이다. E(XÛ`)=(-2)Û`_3a+0Û`_b+3Û`_2a=30a X=0인 경우는 상점이 발표하는 3개의 숫자가 아닌 7개의 숫자 ∴ V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 중에서 3개를 적어 낼 때이므로 =30a-0Û`=30a yy ㉡ 이때 V(X)=r(X)이므로 양변을 제곱하면 {V(X)}Û`=V(X) {V(X)}Û`-V(X)=0 V(X){V(X)-1}=0 ∴ V(X)=1 (∵ V(X)+0) 따라서 ㉡에서 30a=1이므로 a=;3Á0; a= 1 을 ㉠에 대입하면 30 1 5 +b=1 ∴ b= 6 6 5 b 6 ∴ = =25 a 1 30 P(X=0)= £C¼_¦C£ 35 7 = = 120 24 10C£ 같은 방법으로 생각하면 각 확률은 £CÁ_¦Cª 63 21 = = 120 40 10C£ £Cª_¦CÁ 21 7 = P(X=1000)= = 120 40 10C£ £C£_¦C¼ 1 = P(X=6000)= 120 10C£ P(X=600)= 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 0 600 1000 6000 합계 P(X=x) ;2¦4; ;4@0!; ;4¦0; ;12!0; 1 ∴ E(X)‌=0_ 7 21 7 1 +600_ +1000_ +6000_ 24 40 40 120 =315+175+50=540 따라서 행운권 1장을 최소 540원에 팔아야 한다. Ⅲ. 통계 141 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 141 2023. 9. 12. 오전 10:01 0628 ② 규칙에 따라 얻은 점수가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값 은 0, 1, 2이다. X=2인 경우는 짝수의 눈이 연속하여 세 번 나올 때이므로 채점 기준 배점 ➊ 상금을 확률변수 X라 하고 X가 가질 수 있는 값 구하기 20% ➋ X의 확률분포 구하기 50% ➌ X의 기댓값 구하기 30% 1 1 1 1 P(X=2)= _ _ = 2 2 2 8 X=1인 경우는 짝수의 눈이 연속하여 두 번만 나올 때이므로, 즉 (짝, 짝, 홀), (홀, 짝, 짝)인 경우이므로 1 1 1 1 1 1 1 P(X=1)= _ _ + _ _ = 2 2 2 2 2 2 4 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 0630 P(X=0)‌=1-P(X=2)-P(X=1) 확률변수 X의 확률질량함수가 1 1 5 =1- - = 8 4 8 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 0 1 2 합계 P(X=x) ;8%; ;4!; ;8!; 1 50 C _4x P(X=x)‌= 100 x100 5 4x =100Cx x 100-x 5 _5 4 x 1 100-x =100Cx{ } { } (x=0, 1, 2, y, 100) 5 5 4 }를 따른다. 5 E(X)=0_;8%;+1_;4!;+2_;8!;=;2!; 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{100, E(XÛ`)=0Û`_;8%;+1Û`_;4!;+2Û`_;8!;=;4#; ………………………………………………………………………………… ➊ 4 ∴ E(X)=100_ =80, 5 ∴ V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 4 1 V(X)=100_ _ =16, 5 5 =;4#;-{;2!;}Û`=;2!; r(X)="ÃV(X)='16=4 ………………………………………………………………………………… ➋ 0629 1650원 E{ X-4 1 }‌= E(X)-2 2 2 1 = _80-2=38 2 받을 수 있는 상금의 종류는 700원, 1260원, 2100원의 세 가지이 므로 상금을 확률변수 X라 하면 X가 가질 수 있는 값은 700, 1260, 2100이다. r(12-3X)‌=|-3|r(X) =3_4=12 ………………………………………………………………………………… ➊ X-4 }+r(12-3X)=38+12=50 2 흰 공 3개, 검은 공 5개가 들어 있는 주머니에서 임의로 2개의 공을 ∴ E{ 동시에 꺼낼 때, ………………………………………………………………………………… ➌ X=700인 경우는 2개의 공이 모두 흰 공일 때이므로 £Cª_°C¼ 3 P(X=700)= = ¥Cª 28 X=1260인 경우는 2개의 공이 모두 검은 공일 때이므로 £C¼_°Cª 10 5 P(X=1260)= = = ¥Cª 28 14 채점 기준 배점 ➊ 확률질량함수를 변형하여 확률변수 X가 따르는 이항분포 구하기 40% ➋ X의 평균, 표준편차 구하기 30% ➌ E{ X-4 }+r(12-3X)의 값 구하기 2 30% X=2100인 경우는 꺼낸 2개의 공의 색이 서로 다를 때, 즉 1개는 흰 공, 1개는 검은 공일 때이므로 P(X=2100)= £CÁ_°CÁ 15 = ¥Cª 28 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 700 1260 2100 합계 P(X=x) ;2£8; ;1°4; ;2!8%; 1 ………………………………………………………………………………… ➋ E(X)‌=700_ 3 5 15 +1260_ +2100_ 28 14 28 =75+450+1125=1650 따라서 받을 수 있는 상금의 기댓값은 1650원이다. ………………………………………………………………………………… ➌ 142 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 142 2023. 9. 12. 오전 10:01 1 3 b= 을 a+b= 에 대입하면 3 4 1 3 5 a+ = ∴ a= 3 4 12 ③ 동전을 2개 또는 3개 던지고 앞면이 나오는 동전의 개수가 확률변 수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이다. 이때 XÛ`-5X+6É0에서 (X-2)(X-3)É0 X -2 0 1 2 합계 P(X=x) ;1°2; ;1Á2; ;6!; ;3!; 1 ∴ E(X)‌=(-2)_ 즉, 2ÉXÉ3이므로 5 1 +0_ +1_;6!;+2_;3!; 12 12 =0 (거짓) P(XÛ`-5X+6É0)‌=P(2ÉXÉ3) ㄷ. X의 확률분포를 나타내는 표에서 =P(X=2)+P(X=3) Ú X=2인 경우 E(X)‌=(-2)_a+0_ ‌주사위를 던져서 6의 약수의 눈이 나오고 동전 3개를 동시에 던 =-2a+2b+ 져 2개는 앞면, 1개는 뒷면이 나오는 경우 또는 주사위를 던져 서 6의 약수가 아닌 눈이 나오고 동전 2개를 동시에 던져 2개 =-2a+2{ 모두 앞면이 나오는 경우이므로 4 P(X=2)‌= _[£Cª_{;2!;}Ü`]+;6@;_[ªCª_{;2!;}Û`] 6 =-4a+ 2 = _;8#;+;3!;_;4!;=;3!; 3 1 +1_;6!;+2_b 12 1 6 3 -a}+;6!; (∵ ㄱ) 4 5 3 E(XÛ`)‌=(-2)Û`_a+0Û`_ Û X=3인 경우 =4a+4b+ ‌주사위를 던져서 6의 약수의 눈이 나오고 동전 3개를 동시에 던 =4(a+b)+ 4 P(X=3)= _[£C£_{;2!;}Ü`]=;3@;_;8!;=;1Á2; 6 = Ú, Û에서 1 +1Û`_;6!;+2Û`_b 12 1 6 져 3개 모두 앞면이 나오는 경우이므로 1 6 19 (∵ ㄱ) 6 ∴ V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` P(XÛ`-5X+6É0)‌=P(X=2)+P(X=3) = 1 1 5 = + = 3 12 12 19 5 -{-4a+ }Û` 6 3 =-16{a- 5 Û` 19 }+ 12 6 3 3 이때 ㄱ의 a+b= 에서 0ÉaÉ 이므로 V(X)는 4 4 4 1 1 _[£C¼_{ }Ü`]+;6@;_[ªC¼_{ }Û`] 6 2 2 1 1 =;3@;_;8!;+;3!;_ = 4 6 4 1 Ü 1 P(X=1)‌= _[£CÁ_{ }`]+;6@;_[ªCÁ_{ }Û`] 6 2 2 1 5 =;3@;_;8#;+ _;2!;= 3 12 따라서 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. P(X=0)= a= 5 19 일 때 최댓값 를 갖는다. (참) 12 6 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. X 0 1 2 3 합계 0633 P(X=x) ;6!; ;1°2; ;3!; ;1Á2; 1 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 7 15 yy ㉠ 사건 A는 확률변수 X가 12의 약수인 사건, 즉 X=3 또는 X=4 0632 ③ ㄱ. 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 1 +;6!;+b=1 ∴ a+b=;4#; (참) 12 ㄴ. P(X¾0)= 4 1 ;3!;+a+ +b+a=1 5 ∴ 2a+b= a+ 1 즉, 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 권 0631 7 에서 12 또는 X=6인 사건이므로 P(A)‌=P(X=3)+P(X=4)+P(X=6) 1 = +a+b 3 사건 B는 확률변수 X가 짝수인 사건, 즉 X=4 또는 X=6 또는 X=10인 사건이므로 사건 A;B는 X=4 또는 X=6인 사건이다. P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 1 7 +;6!;+b= ∴ b=;3!; 12 12 7 이므로 12 ∴ P(A;B)‌=P(X=4)+P(X=6) =a+b P(A;B) 4 4 이때 P(B|A)= , 즉 = 이므로 9 9 P(A) Ⅲ. 통계 143 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 143 2023. 9. 12. 오전 10:01 부채꼴 OPA의 넓이와 부채꼴 OPB의 넓이의 차가 확률변수 X이 a+b 4 1 = , 9(a+b)=4{ +a+b} 1 9 3 +a+b 3 ∴ a+b= 4 15 므로 Ú 점 P가 PÁ 또는 P°일 때 yy ㉡ X=;2É4;_4=;6Ò;이고 P{X=;6Ò;}=;5@; ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 Û 점 P가 Pª 또는 P¢일 때 1 1 a= , b= 5 15 X=;2É4;_2=;1É2;이고 P{X=;1É2;}=;5@; 1 1 2 ∴ 30(a-b)=30_{ - }=30_ =4 5 15 15 Ü 점 P가 P£일 때 X=0이고 P(X=0)=;5!; 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 0634 ③ 확률변수 X가 이항분포 B(2n, p)를 따르므로 확률질량함수는 P(X=x)=2nCx px(1-p)2n-x (x=0, 1, 2, y, 2n) X 0 ;1É2; ;6Ò; 합계 P(X=x) ;5!; ;5@; ;5@; 1 ∴ E(X)=0_;5!;+;1É2;_;5@;+;6Ò;_;5@;=;1"É0; 즉, P(X=n-1)‌=2nCn-1 pn-1(1-p)2n-(n-1) =2nCn-1 pn-1(1-p)n+1 P(X=n+1)‌=2nCn+1 pn+1(1-p)2n-(n+1) 0636 =2nCn-1 pn+1(1-p)n-1 (∵ 2nCn+1=2nCn-1) 이고, 조건 ㈎에서 P(X=n-1)=9P(X=n+1)이므로 2n ① 흰 공 2개, 검은 공 2개가 들어 있는 주머니에서 임의로 2개의 공을 Cn-1 pn-1(1-p)n+1=9_2nCn-1 pn+1(1-p)n-1 동시에 꺼낼 때, 같은 색의 공이 나올 확률은 양변을 2nCn-1 pn-1(1-p)n-1으로 나누면 (1-p)Û`=9pÛ` ªCª+ªCª 1+1 = =;3!; ¢Cª 6 8pÛ`+2p-1=0 즉, 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 9번 반복할 때, 같은 색 (4p-1)(2p+1)=0 ∴ p= 의 공이 나오는 횟수를 확률변수 Y라 하면 Y는 이항분포 B{9, 1 (∵ 0<p<1) 4 1 } 3 을 따른다. 따라서 확률변수 X가 이항분포 B{2n, 1 }을 따르고 조건 ㈏에서 4 E(X)=4이므로 1 ∴ E(Y)=9_ =3, 3 1 V(Y)=9_ _;3@;=2 3 1 2n_ =4 ∴ n=8 4 이때 V(Y)=E(YÛ`)-{E(Y)}Û`이므로 1 3 ∴ r(X)‌=®É2n_ _ 4 4 E(YÛ`)=V(Y)+{E(Y)}Û`=2+3Û`=11 한편, 9번의 시행 중 서로 다른 색의 공이 나오는 횟수는 9-Y이다. 1 3 =®É16_ _ ='3 4 4 따라서 시행을 9번 반복한 후, 원점에서 출발한 점 P의 x좌표는 3Y이고 y좌표는 1_(9-Y)=9-Y이므로 X=3Y_(9-Y)=27Y-3YÛ` 0635 ② ∴ E(X)‌=E(27Y-3YÛ`) =27E(Y)-3E(YÛ`) =27_3-3_11=48 n=3일 때를 그림으로 나타내면 다음과 같다. P¤(=B) P° P¢ P£ 0637 Pª PÁ O 28 n=1일 때, 원 C와 x축에 동시에 접하면서 반지름의 길이가 1인 원은 다음 그림과 같이 1개 존재한다. y P¼(=A) 부채꼴 OAB의 넓이는 ;2!;_1Û`_ C p =;4"Ò; 2 4 각 부채꼴 OPk-1Pk`(k=1, 2, 3, y, 6)의 넓이는 ;6!;_;4Ò;=;2"É4; 2 O x 144 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 144 2023. 9. 12. 오전 10:01 n=2일 때, 원 C와 x축에 동시에 접하면서 반지름의 길이가 2인 원은 다음 그림과 같이 2개 존재한다. y 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 합계 P(X=x) ;5#; ;1£0; ;1Á0; 1 C 1 E(XÛ`)=1Û`_ 3 3 1 27 +2Û`_ +3Û`_ = 이므로 5 10 10 10 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` x O 권 3 3 1 15 3 E(X)=1_ +2_ +3_ = = 이고 5 10 10 10 2 4 n=3일 때, 원 C와 x축에 동시에 접하면서 반지름의 길이가 3인 원은 다음 그림과 같이 3개 존재한다. = 27 3 9 -{ }Û`= 10 2 20 ∴ V(10X)‌=10Û`V(X) y 6 =100_ 9 =45 20 4 C x O n=4, 5, 6일 때, 원 C와 x축에 동시에 접하면서 반지름의 길이가 n인 원은 다음 그림과 같이 4개 존재한다. y C 4 x O 이상에서 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4이고 X의 확 률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 합계 P(X=x) ;6!; ;6!; ;6!; ;2!; 1 E(X)=1_;6!;+2_;6!;+3_;6!;+4_;2!;=3 ∴ E(9X+1)‌=9E(X)+1 =9_3+1=28 0638 45 시행을 멈출 때까지 꺼낸 공의 개수가 확률변수 X이므로 제일 처 음 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수일 때, ㈎에 따라 시행을 멈추고 X=1 이다. 이때 홀수는 1, 3, 5의 3개이므로 P(X=1)= 3 5 첫 번째 시행에서 짝수, 두 번째 시행에서 홀수가 적힌 공이 나오면 ㈏에 따라 시행을 멈추고 X=2이며 2 3 3 P(X=2)= _ = 5 4 10 첫 번째 시행에서 짝수, 두 번째 시행에서 짝수, 세 번째 시행에서 홀수가 적힌 공이 나오면 ㈏에 따라 시행을 멈추고 X=3이며 2 1 3 1 P(X=3)= _ _ = 5 4 3 10 Ⅲ. 통계 145 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 145 2023. 9. 12. 오전 10:01 ㄷ. 0ÉxÉ2에서 ‌ f(x)¾0이지만 함수 y= f(x)의 그래프와 x축 연속확률변수의 확률분포 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1 _(1+2)_1=;2#;이므 2 로 확률밀도함수의 그래프가 될 수 없다. ㄹ. 0ÉxÉ2에서 ‌ f(x)¾0이고, 함수 y= f(x)의 그래프와 x축으 01 확률밀도함수의 성질 로 둘러싸인 부분의 넓이가 ;4!; 1 _2_1=1이므로 확률밀도함수 2 의 그래프가 될 수 있다. 따라서 연속확률변수 X의 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프가 될 연속확률변수 X의 확률밀도함수 수 있는 것은 ㄱ, ㄹ이다. y f(x)=a`(0ÉxÉ4)의 그래프는 오른 y=f(x) a 쪽 그림과 같다. 0ÉxÉ4에서 함수 y= f(x)의 그래프 와 x축, y축 및 직선 x=4로 둘러싸인 4 x O ;1£4; ( a(3-x) 함수 f(x)={ a (x-3) 93 부분의 넓이가 1이므로 4_a=1 ∴ a= 0642 1 4 (0ÉxÉ3) (3<xÉ4) 이 연속확률변수 X의 확률 밀도함수이므로 0ÉxÉ4에서 y f(x)¾0이어야 한다. 3a 즉, a>0이어야 하므로 함수 y= f(x) 0639 ② y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ;3A; O 연속확률변수 X의 확률밀도함수 y f(x)=2a(x+2)`(-1ÉxÉ2)의 8a y=f(x) O ………………………………………………………………………………… ➊ 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 2a -1 래프와 x축 및 두 직선 x=-1, 4 x 0ÉxÉ4에서 함수 y= f(x)의 그래프와 x축, y축 및 직선 x=4로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. -1ÉxÉ2에서 함수 y= f(x)의 그 3 2 x ;2!;_3_3a+;2!;_1_;3!;a=1 x=2로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 ………………………………………………………………………………… ➋ ;2!;_(2a+8a)_3=1 ;2(; a+;6!; a=1, 15a=1 ∴ a= 1 15 14 a=1 3 ∴ a=;1£4; ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 0640 ③ 배점 ➊ 확률밀도함수의 그래프 그리기 40% ➋ 확률밀도함수의 성질을 이용하여 식 세우기 40% ➌ a의 값 구하기 20% 주어진 확률밀도함수의 그래프와 x축 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 ;2!;_{;2!;+1}_a=1 0643 ;4#;a=1 ∴ a=;3$; ① ( 함수 f(x)={ 9 1 2 (-2ÉxÉ0) bx+ 1 2 (0<xÉ1) 이 연속확률변수 X의 확률 밀도함수이므로 -2ÉxÉ1에서 f(x)¾0이어야 한다. 0641 ② ㄱ. 0ÉxÉ2에서 ‌ f(x)¾0이고, 함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 1 직선 x=2로 둘러싸인 부분의 넓이가 _2_1=1이므로 확 2 률밀도함수의 그래프가 될 수 있다. ㄴ. 0Éx<1에서 ‌ f(x)<0이므로 확률밀도함수의 그래프가 될 수 없다. ax+ f(-2)=-2a+;2!;¾0에서 aÉ 1 4 1 f(1)=b+ ¾0에서 b¾-;2!; 2 이때 a, b는 ab<0인 상수이므로 a<0, b>0일 때와 1 0<aÉ , -;2!;Éb<0일 때로 나누어 생각할 수 있고, 각 경우에 4 함수 y= f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. 146 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 146 2023. 9. 12. 오전 10:01 -2a+ y 1 2 b+ 1 2 -2a+ 1 2 O 1 x -2 [그림 1] 1 2 b+ P(1ÉXÉ3)의 값은 함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 1 2 1 O 2 x=1, x=3으로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 1 1 P(1ÉXÉ3)‌={;2!;_1_;4!;}_2 x 권 -2 1 { _2_a}_2=1 ∴ a=;2!; 2 y =;4!; [그림 2] -2ÉxÉ1에서 함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=-2, 1 x=1로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 0<aÉ;4!;, - Éb<0 2 0645 이고 [그림 2]에서 ;2!;_[{-2a+;2!;}+;2!;]_2+;2!;_[{b+;2!;}+;2!;]_1=1 ③ -1ÉxÉ3에서 함수 y= f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분 1 -2a+1+ (b+1)=1 2 의 넓이가 1이므로 ;2!;_(1+4)_a=1 ∴ a=;5@; ∴ 4a-b=1 [그림 1]은 -2ÉxÉ1에서 함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=-2, x=1로 둘러싸인 부분의 넓이가 1보다 크므로 연속확률변수 X 의 확률밀도함수의 그래프가 될 수 없다. P(1ÉXÉ3)의 값은 함수 y= f(x) y 의 그래프와 x축 및 직선 x=1로 둘 ;5@; 러싸인 부분의 넓이이므로 P(1ÉXÉ3)‌=;2!;_(1+2)_;5@; -1 y=f(x) O 1 2 3 x =;5#; 02 연속확률변수의 확률 ⑴ ;2!; 0646 ⑵ ;4#; ① 주어진 확률밀도함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 ⑴ 0ÉxÉ4에서 ‌ 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=4로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 1이므로 ;2!;_10_b=1 ∴ b=;5!; ;2!;_4_a=1 ∴ a=;2!; y ⑵ P(2ÉXÉ4)의 값은 1 5 y ‌함수 y= f(x)의 그래프와 x축 인 부분의 넓이이므로 1 2 1 4 P(2ÉXÉ4) O 및 두 직선 x=2, x=4로 둘러싸 O y=f(x) 10 a x 2 P(0ÉXÉa)= 이므로 확률밀도함수의 그래프와 x축 및 직선 5 2 4 x =;2!;_{;4!;+;2!;}_2 x=a로 둘러싸인 부분의 넓이가 2 이다. 5 2 즉, ;2!;_a_;5!;= 이므로 5 =;4#; a=4 ∴ a+b=4+;5!;=:ª5Á: 0644 ② a 함수 f(x)= |x-2|`(0ÉxÉ4)가 연속확률변수 X의 확률밀도 2 함수이므로 0ÉxÉ4에서 f(x)¾0이어야 한다. 즉, a>0이어야 하므로 함수 y y= f(x)의 그래프는 오른쪽 그 a 림과 같다. a 2 0ÉxÉ4에서 함수 y= f(x)의 O 그래프와 x축, y축 및 직선 x=4 로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 0647 ;2»0; 0ÉxÉ3에서 함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 y축으로 둘러싸인 y=f(x) 부분의 넓이가 1이므로 ;2!;_(a+3a)_1+;2!;_2_3a=1 1 2 3 4 x 5a=1 ∴ a=;5!; ………………………………………………………………………………… ➊ Ⅲ. 통계 147 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 147 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 두 점 {1, 3 }, (3, 0)을 지나는 직선의 방정식은 5 2 2 1 1 이때 P(3ÉXÉ4)=1_ = < 이므로 P(aÉXÉ4)= 을 7 7 2 2 3 5 (x-3) y-0= 3-1 만족시키는 상수 a는 0<a<3이고 0- ∴ y=- P(aÉXÉ3)‌=P(aÉXÉ4)-P(3ÉXÉ4) =;2!;- 3 9 x+ 10 10 = 따라서 1ÉxÉ3에서의 X의 확률밀도함수 f(x)는 2 7 3 14 f(x)=- 3 9 x+ 이므로 10 10 한편, 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프에서 f(2)=- 3 9 3 _2+ = 10 10 10 P(aÉXÉ3)‌=;2!;_{ 2 2 a+ }_(3-a) 21 7 (3+a)(3-a) = 21 ………………………………………………………………………………… ➋ P(1ÉXÉ2)의 값은 함수 y= f(x) y 의 그래프와 x축 및 두 직선 x=1, ;5#; x=2로 둘러싸인 부분의 넓이이므 y=f(x) = ;1£0; 이므로 로 ;5!; P(1ÉXÉ2) O 1 2 3 x 3 =;2!;_{;5#;+ }_1 10 = 9-aÛ` 21 9-aÛ` 3 = 21 14 9 aÛ`= 2 9 ∴ 10aÛ`=10_ =45 2 9 20 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ a의 값 구하기 40% ➋ f(2)의 값 구하기 20% ➌ P(1ÉXÉ2)의 값 구하기 40% 0650 31 조건 ㈎에서 0ÉxÉ5인 모든 실수 x에 대하여 f(5-x)= f(5+x) 이므로 함수 y= f(x)의 그래프는 직선 x=5에 대하여 대칭이다. 이때 연속확률변수 X는 0ÉXÉ10인 모든 실수 값을 가지므로 0648 ④ 이 빵집의 바게트 판매 예정 시각과 실제 판매 시작 시각의 차를 나 타내는 확률변수 X의 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프는 다음 그 림과 같다. 1 P(0ÉXÉ5)=P(5ÉXÉ10)= yy ㉠ 2 조건 ㈏에서 P(5ÉXÉ6)= 1 이므로 12 P(4ÉXÉ5)=P(5ÉXÉ6)= y y=f(x) ;4!; ∴ P(0ÉXÉ4)‌=P(0ÉXÉ5)-P(4ÉXÉ5) =;2!;- ;8!; O 1 12 2 8 x 5 = 1 (∵ ㉠) 12 5 12 yy ㉡ 따라서 이 빵집의 바게트 판매 예정 시각과 실제 판매 시작 시각의 한편, 조건 ㈐에서 P(3ÉXÉ5)=3 P(0ÉXÉ3)이므로 차가 5분 이상일 확률은 P(0ÉXÉ5)‌=P(0ÉXÉ3)+P(3ÉXÉ5) 1 3 P(X¾5)=;2!;_3_ = 8 16 =P(0ÉXÉ3)+3 P(0ÉXÉ3) =4 P(0ÉXÉ3) 1 이때 ㉠에 의하여 4 P(0ÉXÉ3)= 이므로 2 0649 45 P(0ÉXÉ3)= 1 8 yy ㉢ 연속확률변수 X의 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프는 다음 그림 따라서 ㉡, ㉢에 의하여 과 같다. P(3ÉXÉ4)‌=P(0ÉXÉ4)-P(0ÉXÉ3) y y=f(x) ;7@; ;2ª1;a = 5 1 12 8 = 7 24 이므로 p=24, q=7 O a 3 4 5 x ∴ p+q=24+7=31 148 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 148 2023. 9. 12. 오전 10:01 03 y=g(x) 정규분포곡선의 성질 y=f(x) 0651 y=h(x) ③ f(x)라 하자. mª=m£ x 한편, 두 함수 y= f(x), y=h(x)의 그래프는 평행이동에 의하여 1 서로 겹칠 수 있으므로 ㄱ. 함수 ‌ y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이므로 rÁ=r£ P(XÉm)=P(X¾m)=0.5 (참) ㄴ. ‌ㄱ에서 P(XÉm)=0.5이므로 mÁ 권 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 연속확률변수 X의 확률밀도함수를 이때 대칭축이 일치하는 두 함수 y=g(x), y=h(x)에 대하여 y=f(x) y=g(x)의 그래프가 y=h(x)의 그래프보다 가운데 부분이 높고 a>m인 모든 실수 a에 대하여 옆으로 좁은 모양이므로 P(XÉa) rª<r£ =P(XÉm)+P(mÉXÉa) m =0.5+P(mÉXÉa) (거짓) ㄷ. a<b일 ‌ 때, P(aÉXÉb)의 값은 x a ∴ rª<rÁ=r£ 즉, ㄴ, ㄹ, ㅂ은 모두 거짓이다. y=f(x) 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㅁ이므로 그 개수는 2이다. 함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 부 분의 넓이이므로 a P(aÉXÉb) m x b 0654 =P(XÉb)-P(XÉa) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 8 정규분포 N(m, 4)를 따르는 확률변수 X에 대하여 a<b이면 다음과 같이 a, b의 위치가 바뀌어도 ㄷ은 항상 참임을 알 수 있다. y=f(x) a m b x y=f(x) y=f(x) x m a b x a b m g(k)=P(k-8ÉXÉk)의 값은 (k-8)+k =m일 때 최대가 된다. 2 4 m x 12 g(12)=P(4ÉXÉ12)가 g(k)의 최댓값이므로 m= 4+12 =8 2 정규분포를 따르는 확률변수의 확률의 최댓값 0652 ② 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X의 정 규분포곡선은 직선 x=m에 대하여 대칭이므로 b-a의 값이 일정하게 유지될 때 P(aÉXÉb) 의 값이 최대가 되려면 확률변수 X의 평균을 m이라 하면 정규분포를 따르는 X의 확률밀 a+b =m이어야 한다. 2 a m b x 도함수 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. 이때 모든 실수 x에 대하여 f(6-x)= f(6+x)가 성립하면 함수 y= f(x)의 그래프가 직선 x=6에 대하여 대칭이므로 0655 m=6 따라서 X의 평균은 6이다. 49 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 연속확률변수 X의 확률밀도함수를 f(x)라 하면 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. 이때 P(XÉ32)=P(X¾48)이므로 m= 0653 ② 정규분포를 따르는 세 확률변수 XÁ, Xª, X£의 확률밀도함수 f(x), g(x), h(x)에 대하여 함수 y= f(x)의 그래프의 대칭축이 두 함수 y=g(x), y=h(x)의 그래프의 대칭축보다 왼쪽에 있으므 32+48 =40 2 ………………………………………………………………………………… ➊ 1 V{ X+2}=1이므로 3 1 { }Û` V(X)=1 3 로 ∴ V(X)=9 mÁ<mª, mÁ<m£ ∴ rÛ`=9 이때 두 함수 y=g(x), y=h(x)의 그래프의 대칭축이 일치하므로 ………………………………………………………………………………… ➋ mª=m£ ∴ m+rÛ`=40+9=49 즉, ㄱ은 거짓이고 ㄷ, ㅁ은 참이다. ………………………………………………………………………………… ➌ Ⅲ. 통계 149 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 149 2023. 9. 12. 오전 10:01 채점 기준 ㄷ. f(a)=P(a-2ÉXÉa+4) 배점 ➊ m의 값 구하기 50% ➋ rÛ`의 값 구하기 40% ➌ m+rÛ`의 값 구하기 10% f(18-a)=P(16-aÉXÉ22-a) Ú a<6일 때 Û a>12일 때 a-2 a-2 1010 22-a 22-ax x a+4 a+416-a 16-a 16-a 16-a 1010 a+4 a+4x x 22-a 22-aa-2 a-2 Ü 6ÉaÉ12일 때 0656 50 두 확률변수 X, Y는 평균이 각각 4, 10이고 표준편차가 모두 3인 정규분포를 따르므로 X의 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프를 x축 a-2 의 방향으로 6만큼 평행이동하면 Y의 확률밀도함수 y=g(x)의 그 x 10 a+4 16-a 22-a x 10 래프와 일치한다. 이때 4+10 또한 =7이므로 두 함수 y= f(x), y=g(x)의 그래프는 직 2 (a-2)+(22-a) (a+4)+(16-a) =10, =10 2 2 선 x=7에 대하여 대칭이다. 이므로 ∴ f(1)= f(7)=g(7)=g(13) y=f(x) 1 P(a-2ÉXÉa+4)=P(16-aÉXÉ22-a) x=7 ∴ f(a)= f(18-a) (참) y=g(x) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 4 7 10 13 x 이때 f(x)=g(13)을 만족시키는 실수 x는 직선 y=g(13)과 곡선 y= f(x)가 만나는 점의 x좌표이므로 위의 그림에서 x=1 또는 x=7 따라서 조건을 만족시키는 모든 실수 x의 제곱의 합은 04 1Û`+7Û`=50 정규분포에서의 확률 ⑴ 0.68 ⑵ 0.98 ⑶ 0.84 ⑷ 0.16 ⑴ P(m-rÉXÉm+r) =P(m-rÉXÉm) 0657 ⑤ +P(mÉXÉm+r) =2 P(mÉXÉm+r) ㄱ. f(8)=P(6ÉXÉ12) m-r m m+r x =2_0.34 f(10)=P(8ÉXÉ14) =0.68 ⑵ P(XÉm+2r) =P(XÉm)+P(mÉXÉm+2r) 6 10 12 x 8 10 14 x 이때 평균이 10인 정규분포를 따르는 확률변수 X의 확률밀도 함수의 그래프는 직선 x=10에 대하여 대칭이므로 P(6ÉXÉ12)‌=P(8ÉXÉ14) ∴ f(8)= f(10) (참) ㄴ. 확률변수 X가 평균이 10인 정규분포를 따르므로 f(n)=P(n-2ÉXÉn+4)의 값은 (n-2)+(n+4) =10일 때 최대가 된다. 2 =0.5+P(mÉXÉm+2r) =0.5+0.48 m m+2r x m-r m x =0.98 ⑶ P(X¾m-r) =P(m-rÉXÉm)+P(X¾m) =P(mÉXÉm+r)+0.5 =0.34+0.5 =0.84 ⑷ P(X¾m+r) 2n+2=20, 2n=18 =P(X¾m)-P(mÉXÉm+r) ∴ n=9 =0.5-P(mÉXÉm+r) 즉, f(n)의 최댓값은 f(9)이므로 임의의 실수 a에 대하여 =0.5-0.34 f(a)É f(9)가 성립한다. (참) =0.16 m m+r x 150 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 150 2023. 9. 12. 오전 10:01 0658 ② 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 주어진 표에 의하여 =P(mÉXÉm+3r) -P(mÉXÉm+r) 배점 ➊ P(X¾m-r)=0.8413 변형하기 30% ➋ P(mÉXÉm+r)의 값 구하기 30% ➌ P(m-rÉXÉm+r)의 값 구하기 40% 1 권 P(m+rÉXÉm+3r) 채점 기준 x m m+r m+3r 0661 =0.4987-0.3413 =0.1574 5 P(XÉk)=0.0062<0.5=P(XÉm)이므로 P(XÉm)-P(kÉXÉm)=0.0062 ∴ P(kÉXÉm)‌=P(XÉm)-0.0062 =0.5-0.0062 0659 ① P(m-rÉXÉm+r) =0.4938 이때 주어진 표에서 P(mÉXÉm+2.5r)=0.4938이므로 P(m-2.5rÉXÉm)=0.4938 =P(m-rÉXÉm)+P(mÉXÉm+r) 따라서 k=m-2.5r이고 확률변수 X는 정규분포 N(10, 2Û`)을 따 =P(mÉXÉm+r)+P(mÉXÉm+r) 르므로 =2 P(mÉXÉm+r) k=10-2.5_2=10-5=5 =a 이므로 P(mÉXÉm+r)= a 2 P(m-2rÉXÉm+2r) 0662 =P(m-2rÉXÉm)+P(mÉXÉm+2r) 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수를 =P(mÉXÉm+2r)+P(mÉXÉm+2r) f(x)라 하면 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. ④ =2 P(mÉXÉm+2r) 이때 조건 ㈎에서 =b P(X¾64)=P(XÉ56)이므로 b 이므로 P(mÉXÉm+2r)= 2 m= ∴ P(m-rÉXÉm+2r) 조건 ㈏에서 E(XÛ`)=3616이므로 =P(m-rÉXÉm)+P(mÉXÉm+2r) 64+56 =60 2 56 m 64 x V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=E(XÛ`)-mÛ` =P(mÉXÉm+r)+P(mÉXÉm+2r) =3616-60Û`=16 a b a+b = + = 2 2 2 ∴ r=4 ∴ P(XÉ68)‌=P(XÉ60+8) =P(XÉ60+2_4) =P(XÉm+2r) =P(XÉm)+P(mÉXÉm+2r) 0660 =0.5+0.4772 0.6826 =0.9772 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 P(X¾m-r)‌=P(m-rÉXÉm)+P(X¾m) =P(mÉXÉm+r)+0.5 =0.8413 ………………………………………………………………………………… ➊ 0663 ② ㈎ P(XÉm+a)=0.66>0.5=P(XÉm)이므로 따라서 P(mÉXÉm+r)=0.3413이므로 P(XÉm)+P(mÉXÉm+a)=0.66 ………………………………………………………………………………… ➋ 0.5+P(mÉXÉm+a)=0.66 P(m-rÉXÉm+r) ∴ P(mÉXÉm+a)=0.16 =P(m-rÉXÉm)+P(mÉXÉm+r) ㈏ P(XÉm-b)=0.15에서 =P(mÉXÉm+r)+P(mÉXÉm+r) P(X¾m+b)=0.15 =2 P(mÉXÉm+r) 이때 P(X¾m+b)=0.15<0.5=P(X¾m)이므로 =2_0.3413 P(X¾m)-P(mÉXÉm+b)=0.15 =0.6826 0.5-P(mÉXÉm+b)=0.15 ………………………………………………………………………………… ➌ ∴ P(mÉXÉm+b)=0.35 Ⅲ. 통계 151 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 151 2023. 9. 12. 오전 10:01 0665 ㈐ P(X¾m-c)=0.76>0.5=P(X¾m)이므로 P(m-cÉXÉm)+P(X¾m)=0.76 23 확률변수 X가 정규분포 N(20, rÛ`)을 따르므로 P(m-cÉXÉm)+0.5=0.76 E(X)=20, V(X)=rÛ` 즉, P(m-cÉXÉm)=0.26이므로 P(mÉXÉm+c)=0.26 확률변수 Z= ㈑ P(m-dÉXÉm+d)=0.88에서 E(Z)‌=E{ P(m-dÉXÉm)+P(mÉXÉm+d)=0.88 2 P(mÉXÉm+d)=0.88 = ∴ P(mÉXÉm+d)=0.44 ∴ m=20 a<c<b<d V(Z)‌=V{ ={ 즉, X-m 1 m }= E(X)3 3 3 20 m - =0 3 3 이상에서 0.16<0.26<0.35<0.44이므로 양수 k와 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X에 대하여 k의 값이 커질수록 P(mÉXÉm+k)의 값도 커진다. 즉, P(mÉXÉm+a)<P(mÉXÉm+b)이면 a<b이다. X-m 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 3 X-m 1 }= V(X) 3 3Û` r Û }`=1 3 r =1이므로 3 r=3 ∴ m+r=20+3=23 m m+a m+b 다른 풀이 x 확률변수 X가 정규분포 N(20, rÛ`)을 따르므로 확률변수 X-20 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. r 이때 확률변수 Z= X-m 이 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 3 X-20 X-m = r 3 ∴ m=20, r=3 05 ∴ m+r=20+3=23 정규분포의 표준화 X-10 2 X-100 ⑶ Z= 10 X-9 3 X-6 ⑷ Z= 1 2 ⑴ Z= ⑵ Z= 0666 ⑤ 확률변수 X가 정규분포 N(100, 5Û`)을 따르므로 X의 확률밀도함수의 그래프 0664 6 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(10, 2Û`), N(12, 4Û`)을 따르 므로 두 확률변수 X-10 Y-12 , 는 모두 표준정규분포 N(0, 1) 2 4 을 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 P(8ÉXÉ13)‌=P{ =P{ ∴ P(XÉ120)=P(X¾80) 이때 Z= k-12 ÉZÉ1} 4 x 을 따르므로 P(XÉ120)‌=P{ X-100 120-100 É } 5 5 =P(ZÉ4) P(X¾80)‌=P{ k-12 Y-12 16-12 É É } 4 4 4 80 100 120 X-100 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1) 5 8-10 X-10 13-10 É É } 2 2 2 =P{-1ÉZÉ;2#;} P(kÉYÉ16)‌=P{ 는 직선 x=100에 대하여 대칭이다. X-100 80-100 ¾ } 5 5 =P(Z¾-4) 따라서 a=4, b=-4이므로 aÛ`+bÛ`=4Û`+(-4)Û`=32 이때 P(8ÉXÉ13)=P(kÉYÉ16)이므로 P{-1ÉZÉ;2#;}‌=P{ k-12 ÉZÉ1} 4 =P{-1ÉZÉ따라서 - k-12 =;2#;이므로 4 -k+12=6 ∴ k=6 k-12 } 4 0667 ③ 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(12, 2Û`), N(30, 4Û`)을 따르 므로 두 확률변수 X-12 Y-30 , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1) 2 4 을 따른다. 152 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 152 2023. 9. 12. 오전 10:01 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 P(XÉk)‌=P{ X-12 k-12 É } 2 2 n-m } 3 Y-(m+12) (n+5)-(m+12) ¾ } P(Y¾n+5)‌=P{ 4 4 =P{Z¾ 따라서 n-m-7 } 4 이때 P(XÉn)=P(Y¾n+5)이므로 k-12 k-30 }‌=P{Z¾ } 2 4 =P{ZÉ- 권 k-30 } 4 이때 P(XÉk)=P(Y¾k)이므로 P{ZÉ 1 =P{ZÉ Y-30 k-30 ¾ } 4 4 =P{Z¾ X-m n-m É } 3 3 P(XÉn)‌=P{ k-12 } 2 =P{ZÉ P(Y¾k)‌=P{ 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 P{ZÉ n-m n-m-7 } }‌=P{Z¾ 4 3 k-30 } 4 =P{ZÉ- k-12 k-30 이므로 =2 4 따라서 n-m-7 } 4 n-m n-m-7 이므로 =4 3 2(k-12)=-(k-30) 4(n-m)=-3(n-m-7) 2k-24=-k+30, 3k=54 4n-4m=-3n+3m+21 ∴ k=18 7m-7n=-21 ∴ m-n=-3 0668 14 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(10, 2Û`), N(m, 3Û`)을 따르 므로 두 확률변수 X-10 Y-m , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1) 2 3 을 따른다. 0670 ⑤ 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(6, 2Û`), N(18, rÛ`)을 따르 ………………………………………………………………………………… ➊ 므로 두 확률변수 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 P(6ÉXÉ14)‌=P{ 6-10 X-10 14-10 É É } 2 2 2 을 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 =P(-2ÉZÉ2) P(5ÉXÉ7)‌=P{ m-m Y-m (2m-8)-m P(mÉYÉ2m-8)‌=P{ } É É 3 3 3 =P{0ÉZÉ P(16ÉYÉ20)=P{ 이때 P(6ÉXÉ14)=2 P(mÉYÉ2m-8)이므로 16-18 Y-18 20-18 É É } r r r =P{- m-8 } 3 즉, 2 P(0ÉZÉ2)=2 P{0ÉZÉ 5-6 X-6 7-6 É É } 2 2 2 =P{-;2!;ÉZÉ;2!;} m-8 } 3 ………………………………………………………………………………… ➋ P(-2ÉZÉ2)=2 P{0ÉZÉ X-6 Y-18 , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1) 2 r 2 2 ÉZÉ } r r 이때 조건 ㈎에서 P(5ÉXÉ7)=P(16ÉYÉ20)이므로 2 =;2!; ∴ r=4 r m-8 }에서 3 m-8 =2 ∴ m=14 3 또한 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 20% ➋ X, Y에 대한 확률을 각각 Z에 대한 확률로 나타내기 40% ➌ m의 값 구하기 40% 10-6 X-6 12-6 É É } 2 2 2 =P(2ÉZÉ3) (a-4)-18 Y-18 a-18 É É } P(a-4ÉYÉa)‌=P{ 4 4 4 배점 ➊ X, Y를 각각 표준화하기 P(10ÉXÉ12)‌=P{ =P{ a-22 a-18 ÉZÉ } 4 4 =P{- 0669 ③ 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(m, 3Û`), N(m+12, 4Û`)을 따르므로 두 확률변수 X-m Y-(m+12) , 는 모두 표준정규 4 3 분포 N(0, 1)을 따른다. a-18 a-22 ÉZÉ} 4 4 이고 조건 ㈏에서 P(10ÉXÉ12)=P(a-4ÉYÉa)이므로 a-22 a-18 a-18 a-22 =2, =3 또는 =2, =3 4 4 4 4 ∴ a=30 또는 a=10 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 30+10=40 Ⅲ. 통계 153 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 153 2023. 9. 12. 오전 10:01 06 ② P(X¾8)‌=P{ 표준화하여 확률 구하기 ⑴ 0.3413 ⑵ 0.1525 ⑷ 0.9772 ⑸ 0.0013 X-10 8-10 ¾ } 2 2 =P(Z¾-1) ⑶ 0.9104 =P(-1ÉZÉ0)+P(Z¾0) =P(0ÉZÉ1)+P(Z¾0) =0.34+0.5 ⑴ P(-1ÉZÉ0)‌=P(0ÉZÉ1) =0.84 =0.3413 ③ P(8ÉXÉ12)‌=P{ ⑵ P(1ÉZÉ2.5)‌=P(0ÉZÉ2.5)-P(0ÉZÉ1) 8-10 X-10 12-10 É É } 2 2 2 =0.4938-0.3413 =P(-1ÉZÉ1) =0.1525 =P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1) ⑶ P(-2ÉZÉ1.5)‌=P(-2ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5) =P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ1) =P(0ÉZÉ2)+P(0ÉZÉ1.5) =2 P(0ÉZÉ1) =0.4772+0.4332 =2_0.34 =0.9104 =0.68 ⑷ P(ZÉ2)‌=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ2) ④ P(XÉ14)‌=P{ =0.5+0.4772 X-10 14-10 É } 2 2 =P(ZÉ2) =0.9772 =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ2) ⑸ P(Z¾3)‌=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ3) =0.5-0.4987 =0.5+0.48 =0.0013 =0.98 ⑤ P(6ÉXÉ14)‌=P{ 6-10 X-10 14-10 É É } 2 2 2 =P(-2ÉZÉ2) =P(-2ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ2)+P(0ÉZÉ2) 0671 =2 P(0ÉZÉ2) ② =2_0.48 X-50 확률변수 X가 정규분포 N(50, 4Û`)을 따르므로 Z= 으로 4 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(48ÉXÉ58)‌=P{ =0.96 따라서 그 값이 가장 작은 것은 ③이다. 표준정규분포의 확률의 계산 48-50 X-50 58-50 É É } 4 4 4 확률의 계산에서 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z에 대하여 다음이 성 립함을 이용한다. (단, 0<a<b) ⑴ P(0ÉZÉa)=P(-aÉZÉ0) ⑵ P(aÉZÉb)=P(0ÉZÉb)-P(0ÉZÉa) ⑶ P(Z¾a)‌=P(Z¾0)-P(0ÉZÉa) =P(-0.5ÉZÉ2) =P(-0.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ0.5)+P(0ÉZÉ2) =0.1915+0.4772 =0.5-P(0ÉZÉa) ⑷ P(ZÉa)‌=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉa) =0.6687 =0.5+P(0ÉZÉa) ⑸ P(-aÉZÉb)‌=P(-aÉZÉ0)+P(0ÉZÉb) =P(0ÉZÉa)+P(0ÉZÉb) 0672 ③ 확률변수 X가 정규분포 N(10, 2Û`)을 따르므로 Z= X-10 으로 2 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ① P(6ÉXÉ12)‌=P{ 6-10 X-10 12-10 É É } 2 2 2 =P(-2ÉZÉ1) =P(-2ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1) =P(0ÉZÉ2)+P(0ÉZÉ1) =0.48+0.34 =0.82 0673 확률변수 X가 정규분포 N(40, 5Û`)을 따르므로 Z= 0.2119 X-40 으로 5 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ………………………………………………………………………………… ➊ P(36ÉXÉ44)=0.5762에서 P{ 36-40 X-40 44-40 É É }=0.5762 5 5 5 P(-0.8ÉZÉ0.8)=0.5762 154 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 154 2023. 9. 12. 오전 10:01 0675 P(-0.8ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ0.8)=0.5762 즉, 2 P(0ÉZÉ0.8)=0.5762에서 ③ P(0ÉZÉ0.8)=0.2881 확률변수 X가 정규분포 N(8, 5Û`)을 따르므로 Z= ………………………………………………………………………………… ➋ 면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(XÉ6)‌=P{ =P(ZÉ-0.8) 1 권 X-40 36-40 ∴ P(XÉ36)‌=P{ É } 5 5 X-8 로 놓으 5 X-8 6-8 É } 5 5 =P(ZÉ-0.4) =P(Z¾0.8) =P(Z¾0.4) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.8) 같은 방법으로 P(XÉ7)=P(Z¾0.2)이고 =0.5-0.2881 P(XÉ8)=P(ZÉ0) =0.2119 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 ➊ X를 표준화하기 ➋ ‌P(36ÉXÉ44)=0.5762를 Z에 대한 확률을 나타내는 식으로 변형하기 X-8 9-8 É }=P(ZÉ0.2) 5 5 배점 같은 방법으로 20% P(XÉ10)=P(ZÉ0.4) ∴ P(XÉ6)+P(XÉ7)+P(XÉ8)+P(XÉ9)+P(XÉ10) 40% =P(Z¾0.4)+P(Z¾0.2)+P(ZÉ0)+P(ZÉ0.2) 40% ➌ P(XÉ36)의 값 구하기 P(XÉ9)=P{ +P(ZÉ0.4) ={P(Z¾0.4)+P(ZÉ0.4)} +{P(Z¾0.2)+P(ZÉ0.2)}+P(ZÉ0) =1+1+0.5 0674 ③ 확률변수 X가 정규분포 N(16, 5Û`)을 따르므로 확률변수 =2.5 다른 풀이 정규분포 N(8, 5Û`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수를 Y=3X+2에 대하여 f(x)라 하면 y= f(x)의 그래프는 다음 그림과 같이 직선 x=8에 E(Y)‌=E(3X+2)=3E(X)+2 대하여 대칭이므로 P(XÉ6)=P(X¾10), P(XÉ7)=P(X¾9) =3_16+2=50 y=f(x) V(Y)‌=V(3X+2)=3Û`V(X) =3Û`_5Û`=15Û` 따라서 확률변수 Y는 정규분포 N(50, 15Û`)을 따르므로 Z= Y-50 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 15 6 7 8 9 10 x ∴ P(XÉ6)+P(XÉ10)=1 P(XÉ7)+P(XÉ9)=1 따른다. ∴ P(41ÉYÉ68)‌=P{ 41-50 Y-50 68-50 É É } 15 15 15 또한 P(XÉ8)=P(X¾8)=0.5이므로 P(XÉ6)+P(XÉ7)+P(XÉ8)+P(XÉ9)+P(XÉ10) =P(-0.6ÉZÉ1.2) ={P(XÉ6)+P(XÉ10)}+{P(XÉ7)+P(XÉ9)} =P(-0.6ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1.2) =P(0ÉZÉ0.6)+P(0ÉZÉ1.2) =1+1+0.5 =0.2257+0.3849 =2.5 +P(XÉ8) =0.6106 다른 풀이 확률변수 X가 정규분포 N(16, 5Û`)을 따르므로 Z= X-16 으로 5 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 따라서 확률변수 Y=3X+2에 대하여 P(41ÉYÉ68)‌=P(41É3X+2É68) =P(13ÉXÉ22) =P{ 13-16 X-16 22-16 É É } 5 5 5 07 표준화하여 미지수 구하기 ⑴1 ⑵ 1.5 ⑶2 =P(-0.6ÉZÉ1.2) =P(-0.6ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1.2) ⑴ P(ZÉk)=0.8413에서 0.8413>0.5이므로 k>0이고 =P(0ÉZÉ0.6)+P(0ÉZÉ1.2) P(ZÉ0)+P(0ÉZÉk)=0.8413 =0.2257+0.3849 0.5+P(0ÉZÉk)=0.8413 =0.6106 따라서 P(0ÉZÉk)=0.3413이므로 k=1 Ⅲ. 통계 155 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 155 2023. 9. 12. 오전 10:01 ⑵ P(-kÉZÉk)=0.8664에서 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ3)=0.4987이므로 P(-kÉZÉ0)+P(0ÉZÉk)=0.8664 27-6m =3, 12m=27 ∴ m=;4(; 2m P(0ÉZÉk)+P(0ÉZÉk)=0.8664 2 P(0ÉZÉk)=0.8664 표준정규분포의 확률과 미지수의 위치 따라서 P(0ÉZÉk)=0.4332이므로 k=1.5 표준정규분포 N(0, 1)을 따르는 확률변수 Z에 대하여 확률의 값의 범위 를 만족시키는 zÁ의 위치는 다음과 같다. ⑴ P(ZÉzÁ)<0.5이면 ⑵ P(ZÉzÁ)>0.5이면 ⑶ P(Z¾k)=0.0228에서 0.0228<0.5이므로 k>0이고 P(Z¾0)-P(0ÉZÉk)=0.0228 zÁ<0 0.5-P(0ÉZÉk)=0.0228 zÁ>0 따라서 P(0ÉZÉk)=0.4772이므로 k=2 zÁzÁ 00 00 zÁzÁ zz ⑶ P(Z¾zÁ)<0.5이면 0676 확률변수 X가 정규분포 N(20, 4Û`)을 따르므로 Z= ⑷ P(Z¾zÁ)>0.5이면 zÁ>0 26 X-20 으로 4 00 zÁzÁ 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. zz zÁ<0 zÁzÁ 00 zz zz P(18ÉXÉk)=0.6247에서 P{ 18-20 X-20 k-20 É É }=0.6247 4 4 4 0678 k-20 }=0.6247 P{-0.5ÉZÉ 4 확률변수 X가 정규분포 N(65, 3Û`)을 따르므로 Z= k-20 }=0.6247 P(-0.5ÉZÉ0)+P{0ÉZÉ 4 P{0ÉZÉ P(XÉk)=0.0062에서 P{ k-20 }=0.6247이므로 4 X-65 k-65 É }=0.0062 3 3 P{ZÉ k-20 }=0.4332 4 k-65 }=0.0062 3 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 0.0062<0.5이므로 k-20 =1.5 ∴ k=26 4 P{Z¾- k-65 <0이고 3 k-65 }=0.0062 3 P(Z¾0)-P{0ÉZÉ0.5-P{0ÉZÉ- 0677 ④ m 확률변수 X가 정규분포 N{m, { }2`}을 따르므로 확률변수 3 X-m 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. Z= m 3 9 P{XÉ }=0.9987에서 2 ∴ P{0ÉZÉ k-65 }=0.4938 3 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2.5)=0.4938이므로 - k-65 =2.5 ∴ k=57.5 3 a-m } r a-m =P{Z¾} r P(XÉa)‌=P{ZÉ =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ- 27-6m >0이고 2m P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ 0.5+P{0ÉZÉ k-65 }=0.0062 3 p<0.5이면 27-6m }=0.9987 2m 0.9987>0.5이므로 ∴ P{0ÉZÉ- k-65 }=0.0062 3 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X에 대하여 P(XÉa)=p일 때 9 -m X-m 2 P» É ¼=0.9987 m m 3 3 P{ZÉ X-65 로놓 3 으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. k-20 P(0ÉZÉ0.5)+P{0ÉZÉ }=0.6247 4 즉, 0.1915+P{0ÉZÉ ① a-m }=p r 27-6m }=0.9987 2m a-m 0 a-m z r r 27-6m }=0.9987 2m 27-6m }=0.4987 2m ∴ P{0ÉZÉ- a-m }=0.5-p r 156 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 3권(146-180)_확통-6강해설.indd 156 2023. 9. 19. 오후 1:56 0679 1.8 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 Z= X-m 으로 r 0681 ④ 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(8, 3Û`), N(m, rÛ`)을 따르 X-8 Y-m , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1) 3 r 므로 두 확률변수 ………………………………………………………………………………… ➊ 을 따른다. P(|X-m|Ékr)=0.9282에서 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 P(-krÉX-mÉkr)=0.9282 P(4ÉXÉ8)+P(Y¾8)= 이때 r>0이므로 P{-kÉ P{ X-m Ék}=0.9282 r 2 P(0ÉZÉk)=0.9282 P{0ÉZÉ;3$;}+P{Z¾ ∴ P(0ÉZÉk)=0.4641 ………………………………………………………………………………… ➋ 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.8)=0.4641이므로 k=1.8 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 P{Z¾ ➋ ‌P(|X-m|Ékr)=0.9282를 Z에 대한 확률을 나타내는 식으 로 변형하기 8-m =;3$; r 2r }‌ » Y-m =P É 3 r =P{ZÉ 20% ➌ k의 값 구하기 8-m }=0.5 r 4 이때 0.5-P{0ÉZÉ }=P{Z¾;3$;}이므로 3 ∴ P{YÉ8+ 60% 8-m }=0.5 r 8-m }=0.5-P{0ÉZÉ;3$;} r 20% ➊ X를 표준화하기 1 에서 2 4-8 X-8 8-8 Y-m 8-m É É }+P{ ¾ }=0.5 3 3 3 r r P{-;3$;ÉZÉ0}+P{Z¾ 즉, P(-kÉZÉk)=0.9282에서 1 권 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 8+ 2r -m 3 ¼ r 8-m +;3@;} r =P(ZÉ2) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ2) =0.5+0.4772 =0.9772 0680 5 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 Z= X-m 으로 r 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 (m-10)-m X-m m-m É É } r r r P(m-10ÉXÉm)‌=P{ =P{- 10 ÉZÉ0} r 10 =P{0ÉZÉ } r X-m (m+10)-m } P(X¾m+10)‌=P{ ¾ r r =P{Z¾ 10 } r 표준화하여 미지수 구하기 - 정규분포곡선의 성질 이용 0682 ① 정규분포 N(m, 2Û`)을 따르는 연속확률변수 X의 확률밀도함수를 =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ =0.5-P{0ÉZÉ 10 } (∵ r>0) r 10 } r 이므로 P(m-10ÉXÉm)-P(X¾m+10)=0.4544에서 10 10 P{0ÉZÉ }-[0.5-P{0ÉZÉ }]=0.4544 r r 10 2 P{0ÉZÉ }=0.9544 r ∴ P{0ÉZÉ 08 f(x)라 하면 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. 이때 P(XÉ8)=P(X¾12)이므로 m= 8+12 =10 2 즉, 확률변수 X가 정규분포 N(10, 2Û`)을 따르므로 Z= 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(X¾14)‌=P{ 10 }=0.4772 r X-10 2 X-10 14-10 ¾ } 2 2 =P(Z¾2) 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) 10 =2 ∴ r=5 r =0.0228 =0.5-0.4772 Ⅲ. 통계 157 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 157 2023. 9. 12. 오전 10:01 0683 ④ 정규분포 N(5, 2Û`)을 따르는 연속확률변수 X의 확률밀도함수를 f(x)라 하면 y= f(x)의 그래프는 직선 x=5에 대하여 대칭이다. y=f(x) 0685 27 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(20, rÛ`), N(35, 4rÛ`)을 따 르므로 두 확률변수 X-20 Y-35 , 는 모두 표준정규분포 r 2r N(0, 1)을 따른다. ………………………………………………………………………………… ➊ 5 9-2a 3a-3 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 x 이때 P(XÉ9-2a)=P(X¾3a-3)이므로 P(XÉk)=P(Y¾k)=0.9938에서 (9-2a)+(3a-3) =5 ∴ a=4 2 P{ Z= X-5 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 2 르므로 X-20 k-20 Y-35 k-35 É }=P{ ¾ }=0.9938 r r 2r 2r ∴ P{ZÉ k-20 k-35 }=P{Z¾ }=0.9938 r 2r 이때 0.9938>0.5이므로 P(9-2aÉXÉ3a-3)‌=P(1ÉXÉ9) =P{ k-20 k-35 =r 2r 1-5 X-5 9-5 É É } 2 2 2 -2k+40=k-35, 3k=75 =P(-2ÉZÉ2) ∴ k=25 =2 P(0ÉZÉ2) ………………………………………………………………………………… ➋ =2_0.4772 즉, P{ZÉ =0.9544 P{ZÉ 25-20 }=0.9938에서 r 5 }=0.9938 r P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ 0.5+P{0ÉZÉ 0684 k-20 k-35 >0, <0이고 r 2r ① ∴ P{0ÉZÉ 5 }=0.9938 r 5 }=0.9938 r 5 }=0.4938 r 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 연속확률변수 X의 확률밀도함수 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2.5)=0.4938이므로 f(x)에 대하여 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. 이때 f(24+x)= f(24-x)이므로 5 =2.5 ∴ r=2 r m=24 ………………………………………………………………………………… ➌ 즉, 확률변수 X가 정규분포 N(24, rÛ`)을 따르므로 Z= X-24 r ∴ k+r=25+2=27 ………………………………………………………………………………… ➍ 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(XÉm+2)=0.8413, 즉 P(XÉ26)=0.8413에서 P(XÉ26)‌=P{ X-24 26-24 É } r r =P{ZÉ 2 } r 채점 기준 배점 ➊ X, Y를 표준화하기 20% ➋ 정규분포곡선의 성질을 이용하여 k의 값 구하기 40% ➌ ‌r의 값 구하기 30% ➍ k+r의 값 구하기 10% 2 =P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ } r =0.5+P{0ÉZÉ 2 } r 0686 =0.8413 ∴ P{0ÉZÉ 2 }=0.3413 r 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 2 =1 ∴ r=2 r ∴ P(X¾30)‌=P{ ③ 정규분포 N(m, 4Û`)을 따르는 연속확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)에 대하여 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이 고 x의 값이 m에서 멀어질수록 함숫값은 작아진다. X-24 30-24 ¾ } 2 2 Ú ‌f(6)< f(16)이므로 오른쪽 그림과 같이 평균 m이 6보다 16에 더 가깝 =P(Z¾3) 다. =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ3) 즉, m-6>16-m에서 =0.5-0.4987 2m>22 =0.0013 ∴ m>11 y=f(x) 6 m 16 x 158 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 158 2023. 9. 12. 오전 10:01 Û ‌f(16)< f(10)이므로 오른쪽 그림 따라서 y=f(x) 과 같이 평균 m이 16보다 10에 더 a=100-a=100-12=88 b=100+a=100+12=112 가깝다. 즉, m-10<16-m에서 10 m x 16 1 a+2b=88+2_112=312 권 2m<26 이므로 ∴ m<13 Ú, Û에서 11<m<13이고 m은 자연수이므로 m=12 X-12 즉, 확률변수 X가 정규분포 N(12, 4Û`)을 따르므로 Z= 4 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(14ÉXÉ16)‌=P{ 0688 ② 정규분포를 따르는 두 확률변수 X, Y의 표준편차가 같으므로 두 확률밀도함수 y= f(x), y=g(x)의 그래프는 대칭축의 위치는 다 14-12 X-12 16-12 É É } 4 4 4 르지만 모양은 서로 같다. 또한 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프는 직선 x=10에 대하여 대 =P(0.5ÉZÉ1) 칭이고, 확률밀도함수 y=g(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 =P(0ÉZÉ1)-P(0ÉZÉ0.5) 대칭이다. =0.3413-0.1915 확률변수 Y가 정규분포 N(m, 4Û`)을 따르고, P(Y¾26)¾0.5이 =0.1498 므로 m¾26 y=f(x) 0687 312 y=g(x) 10 12 26 m x 이때 f(12)=g(26)이므로 위의 그림에서 정규분포 N(100, 6Û`)을 따르는 연속확률변수 X의 확률밀도함수 m=26+2=28 f(x)에 대하여 y= f(x)의 그래프는 직선 x=100에 대하여 대칭 따라서 확률변수 Y는 정규분포 N(28, 4Û`)을 따르므로 확률변수 이다. Z= 즉, 함수 y= f(x)의 그래프와 직선 y=k의 두 교점 A, B도 직선 Y-28 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 4 ∴ P(YÉ20)‌=P{ x=100에 대하여 대칭이다. y=f(x) =P(ZÉ-2) A a =P(Z¾2) B y=k a Y-28 20-28 É } 4 4 a 100 b =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) =0.5-0.4772 x =0.0228 이때 두 점 A, B의 x좌표가 각각 a, b이고 a<b이므로 a=100-a, b=100+a (a>0) 로 놓을 수 있다. 한편, 확률변수 X가 정규분포 N(100, 6Û`)을 따르므로 Z= X-100 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 6 09 정규분포의 활용 - 확률 구하기 따른다. P(aÉXÉb)=0.9544, 즉 P(100-aÉXÉ100+a)=0.9544에서 (100-a)-100 X-100 (100+a)-100 P{ É }=0.9544 É 6 6 6 a a P{- ÉZÉ }=0.9544 6 6 a 즉, 2 P{0ÉZÉ }=0.9544이므로 6 a P{0ÉZÉ }=0.4772 6 0689 ① 이 공장에서 생산한 비누 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(150, 4Û`)을 따르고, Z= X-150 으로 놓으면 확률변 4 수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 따라서 구하는 확률은 P(146ÉXÉ156)‌=P{ 146-150 X-150 156-150 É É } 4 4 4 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 =P(-1ÉZÉ1.5) a =2 6 =P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ1.5) =0.3413+0.4332 ∴ a=12 =0.7745 Ⅲ. 통계 159 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 159 2023. 9. 12. 오전 10:01 0690 ⑤ 이 농장에서 수확한 파프리카 1개의 무게를 확률변수 X라 하면 X 는 정규분포 N(180, 20Û`)을 따르고, Z= X-180 으로 놓으면 확 20 0693 ② 이 회사원이 회사에 출근하는 데 걸리는 시간을 확률변수 X라 하 면 X는 정규분포 N(40, 5Û`)을 따르고, Z= X-40 으로 놓으면 5 률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 따라서 구하는 확률은 이때 출근 시각은 오전 9시이고 이 회사원이 집에서 출발한 시각이 190-180 X-180 210-180 P(190ÉXÉ210)=P{ É É } 20 20 20 오전 8시 25분이므로 이 회사원이 회사에 지각하려면 출근하는 데 걸린 시간이 35분을 초과해야 한다. =P(0.5ÉZÉ1.5) 따라서 구하는 확률은 =P(0ÉZÉ1.5)-P(0ÉZÉ0.5) P(X>35)‌=P{ =0.4332-0.1915 X-40 35-40 > } 5 5 =P(Z>-1) =0.2417 =P(Z<1)=P(ZÉ1) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1) =0.5+0.3413 =0.8413 0691 0.0228 전기 자동차 A 한 대의 연비를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(4, 0.2Û`)을 따르고, Z= X-4 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 0.2 연속확률변수 X가 특정한 값을 가질 확률은 0이므로 P(aÉXÉb)‌=P(aÉX<b)=P(a<XÉb)=P(a<X<b)이다. 즉, 이 문제에서 처음부터 P(X>35)=P(X¾35)로 놓고 풀어도 된다. 규분포 N(0, 1)을 따른다. ………………………………………………………………………………… ➊ 따라서 구하는 확률은 P(X¾4.4)‌=P{ 0694 X-4 4.4-4 ¾ } 0.2 0.2 ⑤ 이 공장에서 생산한 양초 한 개의 길이를 확률변수 X라 하면 X는 =P(Z¾2) X-32.2 로 놓으면 확률 0.4 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) 정규분포 N(32.2, 0.4Û`)을 따르고, Z= =0.5-0.4772 변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. =0.0228 양초의 기준 길이는 32`cm이고 양초의 길이가 기준 길이와 비교하 ………………………………………………………………………………… ➋ 여 1`cm 이상 차이가 나면 그 양초를 불량품으로 판정하므로 구하 채점 기준 배점 는 확률은 ➊ 확률변수 X를 정하고 표준화하기 40% P(|X-32|¾1) ➋ 연비가 4.4`km/kWh 이상일 확률 구하기 60% =P(X-32¾1 또는 X-32É-1) =P(X¾33 또는 XÉ31) =P(X¾33)+P(XÉ31) =P{ X-32.2 33-32.2 X-32.2 31-32.2 ¾ }+P{ É } 0.4 0.4 0.4 0.4 =P(Z¾2)+P(ZÉ-3) 0692 ③ 연수네 학교 학생 중 한 명의 기말고사 성적을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(74, 4Û`)을 따르고, Z= X-74 로 놓으면 확률 4 =P(Z¾2)+P(Z¾3) ={P(ZÉ0)-P(0ÉZÉ2)}+{P(ZÉ0)-P(0ÉZÉ3)} =(0.5-0.4772)+(0.5-0.4987) =0.0241 변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 이 학생이 보충수업을 받으려면 점수가 70점 이하이어야 하므 로 구하는 확률은 P(XÉ70)‌=P{ X-74 70-74 É } 4 4 =P(ZÉ-1) 0695 이 양계장에서 생산한 달걀 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X 는 정규분포 N(60, 8Û`)을 따르고, Z= =P(Z¾1) 57 X-60 으로 놓으면 확률 8 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) 변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. =0.5-0.3413 이 양계장에서 생산한 달걀 중에서 임의로 선택한 달걀 한 개가 판 =0.1587 매 가능한 상품인 사건을 A, 특상품인 사건을 B라 하면 160 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 160 2023. 9. 12. 오전 10:01 P(A)‌=P(X¾44) =P{ 이때 조사 대상인 학생 중 한 명의 키가 172`cm 이상일 확률은 X-60 44-60 ¾ } 8 8 P(X¾172)‌=P{ X-164 172-164 ¾ } 5 5 =P(Z¾1.6) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ2) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.6) =0.5+0.48=0.98 =0.5-0.445 P(B)‌=P(X¾68) 1 권 =P(Z¾-2)=P(ZÉ2) =0.055 X-60 68-60 =P{ ¾ } 8 8 따라서 이 고등학교 학생 800명 중 키가 172`cm 이상인 학생 수는 800_0.055=44 =P(Z¾1) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) =0.5-0.34=0.16 이고 P(A;B)=P(B)이다. 0698 따라서 구하는 확률은 이 도시의 6세 아동 한 명의 몸무게를 확률변수 X라 하면 X는 정 P(A;B) P(B) = P(B|A)‌= P(A) P(A) = 673 규분포 N(21.4, 0.5Û`)을 따르고, Z= 0.16 8 = 0.98 49 X-21.4 로 놓으면 확률변 0.5 수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ………………………………………………………………………………… ➊ 즉, p=49, q=8이므로 이때 이 도시의 6세 아동 중 한 명의 몸무게가 21`kg 이상이고 p+q=49+8=57 22`kg 이하일 확률은 P(21ÉXÉ22)‌=P{ 21-21.4 X-21.4 22-21.4 É É } 0.5 0.5 0.5 =P(-0.8ÉZÉ1.2) =P(0ÉZÉ0.8)+P(0ÉZÉ1.2) =0.2881+0.3849 10 정규분포의 활용 - 도수 구하기 =0.6730 ………………………………………………………………………………… ➋ 0696 ① 따라서 이 도시의 6세 아동 1000명 중 몸무게가 21`kg 이상이고 22`kg 이하인 6세 아동의 수는 이 전자회사의 식기세척기를 구입한 소비자 한 명의 식기세척기 사 용 기간을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(60, 12Û`)을 따르고, 1000_0.6730=673 ………………………………………………………………………………… ➌ X-60 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 Z= 12 채점 기준 배점 따른다. ➊ 확률변수 X를 정하고 표준화하기 30% 이때 조사 대상인 소비자 한 명의 식기세척기 사용 기간이 78개월 ➋ ‌6세 아동 중 한 명의 몸무게가 21`kg 이상이고 22`kg 이하일 확 률 구하기 이상이고 84개월 이하일 확률은 P(78ÉXÉ84)‌=P{ ➌ 몸무게가 21`kg 이상이고 22`kg 이하인 6세 아동의 수 구하기 78-60 X-60 84-60 É É } 12 12 12 50% 20% =P(1.5ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1.5) =0.48-0.43 0699 =0.05 이 공장에서 생산한 음료수 한 병의 무게를 확률변수 X라 하면 X 따라서 조사에 참여한 소비자 1000명 중 식기세척기 사용 기간이 78개월 이상이고 84개월 이하인 소비자의 수는 는 정규분포 N(120, 10Û`)을 따르고, Z= ③ X-120 으로 놓으면 확 10 률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 1000_0.05=50 이때 음료수 한 병의 무게가 105`g 이하이거나 130`g 이상일 확률은 P(XÉ105)+P(X¾130) =P{ 0697 44 이 고등학교 학생 한 명의 키를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(164, 5Û`)을 따르고, Z= X-164 로 놓으면 확률변수 Z는 표 5 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. X-120 105-120 X-120 130-120 É }+P{ ¾ } 10 10 10 10 =P(ZÉ-1.5)+P(Z¾1) =P(Z¾1.5)+P(Z¾1) ={P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.5)}+{P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1)} =(0.5-0.4332)+(0.5-0.3413) =0.2255 Ⅲ. 통계 161 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 161 2023. 9. 12. 오전 10:01 따라서 음료수 한 병이 불량품으로 판정될 확률이 0.2255이므로 음 료수 10000병 중 불량품의 개수는 P{Z¾ 1000-m 1000-m }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 10 10 10000_0.2255=2255 =0.5-P{0ÉZÉ 1000-m } 10 =0.1587 ∴ P{0ÉZÉ 0700 60 이 농장에서 수확한 수박 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(12, 2Û`)을 따르고, Z= X-12 로 놓으면 확률변수 Z 2 1000-m }=0.3413 10 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 1000-m =1 ∴ m=990 10 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 수박 한 개의 무게가 10`kg 이하일 확률은 P(XÉ10)‌=P{ 0702 X-12 10-12 É } 2 2 ④ 두 제품 A, B 1개의 중량을 각각 확률변수 X, Y라 하면 X, Y가 =P(ZÉ-1) 각각 정규분포 N(9, 0.4Û`), N(20, 1Û`)을 따르므로 두 확률변수 =P(Z¾1) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) X-9 Y-20 , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 0.4 1 =0.5-0.34 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 A 제품 중에서 임의 =0.16 로 선택한 1개의 중량이 8.9 이상 9.4 이하일 확률은 이고 수박의 총 개수가 n, 개당 무게가 10`kg 이하인 수박의 개수가 192이므로 P(8.9ÉXÉ9.4)‌=P{ 8.9-9 X-9 9.4-9 É É } 0.4 0.4 0.4 n_0.16=192 ∴ n=1200 =P(-0.25ÉZÉ1) 또한 수박 한 개의 무게가 15`kg 이상이고 16`kg 이하일 확률은 =P(-1ÉZÉ0.25) P(15ÉXÉ16)=P{ yy ㉠ 또한 B 제품 중에서 임의로 선택한 1개의 중량이 19 이상 k 이하일 15-12 X-12 16-12 É É } 2 2 2 확률은 =P(1.5ÉZÉ2) P(19ÉYÉk)‌=P{ =P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1.5) 19-20 Y-20 k-20 É É } 1 1 1 yy ㉡ =P(-1ÉZÉk-20) =0.48-0.43 이때 ㉠, ㉡이 일치해야 하므로 =0.05 따라서 이 농장에서 수확한 1200개의 수박 중 무게가 15`kg 이상 k-20=0.25 ∴ k=20.25 이고 16`kg 이하인 수박의 개수는 1200_0.05=60 0703 1 이 고등학교 학생 한 명의 하루 물 섭취량을 확률변수 X라 하면 X 는 정규분포 N(2, 0.5Û`)을 따르고, Z= 11 X-2 로 놓으면 확률변수 0.5 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 정규분포의 활용 - 미지수 구하기 이때 하루 물 섭취량이 k`L 이상일 확률이 0.9772이므로 0701 ② P(X¾k)‌=P{ X-2 k-2 ¾ } 0.5 0.5 k-2 } 0.5 이 농장에서 키우는 닭 한 마리의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 =P{Z¾ X-m 으로 놓으면 확률변 10 =0.9772 정규분포 N(m, 10Û`)을 따르고, Z= 수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 닭 한 마리의 무게가 1`kg, 즉 1000`g 이상일 확률이 0.1587이 므로 P(X¾1000)‌=P{ X-m 1000-m ¾ } 10 10 =P{Z¾ 1000-m } 10 =0.1587 0.9772>0.5이므로 P{Z¾ k-2 <0이고 0.5 k-2 k-2 }‌=P{ZÉ} 0.5 0.5 =P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ=0.5+P{0ÉZÉ- k-2 } 0.5 k-2 } 0.5 =0.9772 1000-m 0.1587<0.5이므로 >0이고 10 ∴ P{0ÉZÉ- k-2 }=0.4772 0.5 162 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 162 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 - ∴ P{ZÉ k-2 =2 ∴ k=1 0.5 a-25.5 }‌=0.3085 0.2 0.3085<0.5이므로 0704 ③ =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ- 이 공장에서 생산한 LED 전구 1개의 수명 X는 정규분포 =0.5-P{0ÉZÉ- X-40000 으로 놓으면 확률변수 Z N(40000, rÛ`)을 따르고, Z= r 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. a-25.5 } 0.2 a-25.5 } 0.2 =0.3085 a-25.5 ∴ P{0ÉZÉ}=0.1915 0.2 P(X¾37000)=0.9332이므로 P(X¾37000)‌=P{ 1 a-25.5 a-25.5 }‌=P{Z¾} 0.2 0.2 권 P{ZÉ a-25.5 <0이고 0.2 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.5)=0.1915이므로 X-40000 37000-40000 ¾ } r r - 3000 =P{Z¾} r a-25.5 =0.5 ∴ a=25.4 0.2 ∴ 10a=254 3000 =P{ZÉ } (∵ r>0) r =P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ =0.5+P{0ÉZÉ 3000 } r 3000 } r 0706 =0.9332 ∴ P{0ÉZÉ 3000 }=0.4332 r ⑤ A, B 과목 시험 점수를 각각 확률변수 X, Y라 하면 X, Y는 각 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 각 정규분포 N(m, rÛ`), N(m+3, rÛ`)을 따르므로 확률변수 3000 =1.5 ∴ r=2000 r X-m Y-(m+3) , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. r r 따라서 구하는 확률은 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 A 과목 시험 점수가 X-40000 42000-40000 P(X¾42000)‌=P{ ¾ } 2000 2000 80점 이상인 학생의 비율이 9`%이므로 P(X¾80)=0.09에서 P{ =P(Z¾1) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) X-m 80-m 80-m ¾ }=P{Z¾ }=0.09` r r r 0.09<0.5이므로 =0.5-0.3413 =0.1587 P{Z¾ 80-m >0이고 r 80-m 80-m }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } r r =0.5-P{0ÉZÉ 0705 =0.09 254 이 기계로 생산한 제품 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정 규분포 N(25.5, 0.2Û`)을 따르고, Z= X-25.5 로 놓으면 확률변 0.2 80-m } r ∴ P{0ÉZÉ 80-m }=0.41 r 이때 P(0ÉZÉ1.34)=0.41이므로 수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 80-m =1.34 r 제품 한 개가 불량품으로 판단될 확률, 즉 이 제품의 무게가 a`kg ∴ m+1.34r=80 이하이거나 25.9`kg 이상일 확률은 0.3313이므로 또한 B 과목 시험 점수가 80점 이상인 학생의 비율이 15`%이므로 P(XÉa)+P(X¾25.9) P(Y¾80)=0.15에서 Y-(m+3) 80-(m+3) 77-m P{ ¾ }=P{Z¾ }=0.15 r r r X-25.5 a-25.5 X-25.5 25.9-25.5 =P{ É }+P{ ¾ } 0.2 0.2 0.2 0.2 =P{ZÉ a-25.5 }+P(Z¾2) 0.2 0.15<0.5이므로 =P{ZÉ a-25.5 }+{P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2)} 0.2 P{Z¾ =P{ZÉ a-25.5 }+(0.5-0.4772) 0.2 =P{ZÉ a-25.5 }+0.0228 0.2 =0.3313 yy`㉠ 77-m >0이고 r 77-m 77-m }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } r r =0.5-P{0ÉZÉ 77-m } r =0.15 77-m ∴ P{0ÉZÉ }=0.35 r Ⅲ. 통계 163 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 163 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 P(0ÉZÉ1.04)=0.35이므로 P(X¾k)‌=P{ 77-m =1.04 r =P{Z¾ yy`㉡ ∴ m+1.04r=77 X-75 k-75 ¾ } 5 5 k-75 } 5 =0.05 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=66.6, r=10 0.05<0.5이므로 ∴ m+r=66.6+10=76.6 P{Z¾ k-75 >0이고 5 k-75 k-75 }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 5 5 =0.5-P{0ÉZÉ k-75 } 5 =0.05 ∴ P{0ÉZÉ k-75 }=0.45 5 ………………………………………………………………………………… ➋ 12 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.6)=0.45이므로 정규분포의 활용 - 최솟값 구하기 k-75 =1.6 ∴ k=83 5 0707 ③ 모집 인원이 40명이고 지원자가 500명이므로 이 회사의 입사 시험 에 합격하기 위해서는 40 =0.08, 즉 상위 8`% 이내에 들어야 한다. 500 이 회사에 지원한 지원자의 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규 분포 N(76, 10Û`)을 따르고, Z= X-76 으로 놓으면 확률변수 Z 10 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 따라서 상위 5`%에 속하는 학생의 최저 점수는 83점이다. ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ 확률변수 X를 정하고 표준화하기 30% ➋ ‌상위 5`%에 들기 위한 최저 점수를 k점이라 하고 k에 대한 확률 구하기 50% 20% ➌ 상위 5`%에 들기 위한 최저 점수 구하기 이 회사의 입사 시험에 합격하는 최저 점수를 k점이라 하면 P(X¾k)‌=P{ X-76 k-76 ¾ } 10 10 0709 k-76 =P{Z¾ } 10 해외 연수 모집 인원이 10명이고 모집 인원의 2배를 1차 합격자로 분류하므로 1차 시험에 합격하기 위해서는 상위 20명 안에 들어야 =0.08 0.08<0.5이므로 ④ 한다. 이때 지원자는 400명이므로 1차 시험에 합격하기 위해서는 k-76 >0이고 10 20 =0.05, 즉 상위 5`% 이내에 들어야 한다. 400 k-76 k-76 P{Z¾ }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 10 10 해외 연수 참가 시험에 지원한 응시자의 점수를 확률변수 X라 하 k-76 =0.5-P{0ÉZÉ } 10 면 X는 정규분포 N(88, 6Û`)을 따르고, Z= =0.08 률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. X-88 로 놓으면 확 6 k-76 ∴ P{0ÉZÉ }=0.42 10 1차 시험에 합격하는 최저 점수를 k점이라 하면 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.4)=0.42이므로 P(X¾k)‌=P{ X-88 k-88 ¾ } 6 6 k-76 =1.4 ∴ k=90 10 =P{Z¾ 따라서 이 회사의 입사 시험에 합격하기 위한 최저 점수는 90점이다. =0.05 0.05<0.5이므로 P{Z¾ 0708 k-88 } 6 k-88 >0이고 6 k-88 k-88 }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 6 6 83점 =0.5-P{0ÉZÉ 이 반 학생의 중간고사 성적을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 =0.05 X-75 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 N(75, 5Û`)을 따르고, Z= 5 ∴ P{0ÉZÉ 규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 P(0ÉZÉ1.65)=0.45이므로 ………………………………………………………………………………… ➊ k-88 } 6 k-88 }=0.45 6 상위 5`%에 들기 위한 최저 점수를 k점이라 하면 k-88 =1.65 ∴ k=97.9 6 P(X¾k)=0.05이므로 따라서 1차 시험 합격자가 되기 위한 최저 점수는 97.9점이다. 164 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 164 2023. 9. 12. 오전 10:01 0710 ② P(Z¾4)<P{Z¾;2#;}<P{Z¾;3@;} 선수 100명 중 달리기 기록이 좋은 쪽에서 15번째인 선수가 되려면 15 =0.15, 즉 상위 15`% 이내에 들어야 한다. 100 정규분포 N(13, 1Û`)을 따르고, Z= X-13 으로 놓으면 확률변수 1 4 1 권 0 2 3 3 2 이 대학의 육상팀 선수의 달리기 기록을 확률변수 X라 하면 X는 z 따라서 P(X¾94)<P(Y¾92)<P(W¾92)이므로 경은이의 성 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 적이 상대적으로 우수한 과목부터 차례대로 나열하면 수학, 영어, 달리기 기록이 좋은 쪽에서 15번째인 선수의 기록을 k초라 하면 국어이다. P(XÉk)=0.15이므로 P(XÉk)‌‌=P{ X-13 k-13 É } 1 1 경은이의 성적 이상을 받을 확률이 작다는 것은 경은이의 성적보다 높은 성적 의 학생 수가 적다는 뜻이므로 상대적으로 성적이 더 우수하다고 볼 수 있다. =P(ZÉk-13) =0.15 0.15<0.5이므로 k-13<0이고 0712 P(ZÉk-13)‌=P(Z¾-(k-13)) =P(Z¾13-k) ⑤ 세 확률변수 Xa, Xb, Xc가 각각 정규분포 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ13-k) N(50, aÛ`), N(60, bÛ`), N(70, cÛ`) (0<a<b<c) Xa-50 Xb-60 Xc-70 을 따르므로 세 확률변수 , , 은 모두 a b c =0.5-P(0ÉZÉ13-k) =0.15 ∴ P(0ÉZÉ13-k)=0.35 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.04)=0.35이므로 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 13-k=1.04 ∴ k=11.96 p=P(XaÉ55) X -50 55-50 =P{ a É }=P{ZÉ;a%;} a a 따라서 달리기 기록이 좋은 쪽에서 15번째인 선수의 달리기 기록은 11.96초이다. q=P(XbÉ65) X -60 65-60 =P{ b É }=P{ZÉ;b%;} b b r=P(Xc¾75) X -70 75-70 =P{ c ¾ }=P{Z¾;c%;} c c 13 표준화하여 확률 비교하기 0711 ④ 국어, 수학, 영어 성적을 각각 확률변수 W, X, Y라 하면 W, X, Y는 각각 정규분포 N(88, 6Û`), N(74, 5Û`), N(80, 8Û`)을 따르므로 세 확률변수 W-88 X-74 Y-80 , , 은 모두 표준정규분포 6 5 8 0 5 c 5 b 5 a z 5 5 5 이때 0<a<b<c에서 0< < < 이므로 c b a 5 5 5 P{Z¾ }<0.5<P{ZÉ }<P{ZÉ } c b a ∴ r<q<p N(0, 1)을 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 경은이의 성적 이상 을 받을 확률은 다음과 같다. P(W¾92)‌=P{ W-88 92-88 ¾ } 6 6 X-74 94-74 P(X¾94)‌=P{ ¾ } 5 5 =P(Z¾4) Y-80 92-80 ¾ } 8 8 =P{Z¾;2#;} 이때 ;3@;<;2#;<4이므로 A, C 세 종류의 과자 A, B, C 한 봉지의 무게를 각각 확률변수 W, X, =P{Z¾;3@;} P(Y¾92)‌=P{ 0713 Y라 하면 W, X, Y는 각각 정규분포 N(100, 4Û`), N(98, 2Û`), N(102, 2Û`)을 따르므로 세 확률변수 W-100 X-98 , , 4 2 Y-102 는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 2 ………………………………………………………………………………… ➊ 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하고 세 종류의 과자 A, B, C 중에서 각각 임의로 선택한 과자 한 봉지가 판매 불가 상품으 로 분류될 확률을 각각 구하면 Ⅲ. 통계 165 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 165 2023. 9. 12. 오전 10:01 W-100 94-100 É } 4 4 P(WÉ94)‌=P{ 이때 -2<-1<2<5이므로 P(Z>-2)>P(Z>-1)>P(Z>2)>P(Z>5) =P{ZÉ-;2#;}=P{Z¾;2#;} P(XÉ94)‌=P{ ∴ P(X£>74)>P(X¢>74)>P(XÁ>86)>P(Xª>85) X-98 94-98 É } 2 2 ㄱ. P(X£>74)>P(X¢>74)이므로 ‌ 영어, 과학 중에서 범수보다 =P(ZÉ-2)=P(Z¾2) P(YÉ94)‌=P{ yy ㉠ 성적이 높은 학생이 많은 과목은 영어이다. Y-102 94-102 É } 2 2 즉, 과학 성적이 영어 성적보다 상대적으로 좋다. (거짓) ㄴ. P(XÁ>86)>P(Xª>85)이므로 ‌ 국어, 수학 중에서 범수보다 =P(ZÉ-4)=P(Z¾4) 성적이 높은 학생이 많은 과목은 국어이다. ………………………………………………………………………………… ➋ 이때 ;2#;<2<4이므로 즉, 국어 성적이 가장 높게 나왔으나 수학 성적이 국어 성적보 다는 상대적으로 좋다. (참) ㄷ. ㉠에서 ‌ 상대적으로 성적이 가장 좋은 과목부터 순서대로 나열 P(Z¾4)<P(Z¾2)<P{Z¾;2#;} 하면 수학, 국어, 과학, 영어이다. ∴ P(YÉ94)<P(XÉ94)<P(WÉ94) 즉, 수학 성적이 상대적으로 가장 좋고, 영어 성적이 상대적으 로 가장 나쁘다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 0 32 2 4 z 따라서 판매 불가 상품일 확률이 가장 높은 과자 종류는 A, 가장 낮은 과자 종류는 C이다. ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ 세 확률변수를 정하고 표준화하기 20% ➋ 각 과자 한 봉지가 판매 불가 상품으로 분류될 확률 구하기 50% ➌ ‌판매 불가 상품일 확률이 가장 높은 과자 종류와 가장 낮은 과자 종류 구하기 14 이항분포와 정규분포의 관계 ⑴ N(50, 5Û`) 30% ⑵ N(36, 3Û`) ⑴ E(X)=100_;2!;=50 0714 ④ V(X)=100_;2!;_;2!;=25=5Û` 범수네 반 전체 학생의 국어, 수학, 영어, 과학 성적을 각각 확률변 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규 수 XÁ, Xª, X£, X¢라 하면 XÁ, Xª, X£, X¢가 각각 정규분포 분포 N(50, 5Û`)을 따른다. N(82, 2Û`), N(70, 3Û`), N(76, 1Û`), N(78, 4Û`)을 따르므로 네 확 XÁ-82 Xª-70 X£-76 X¢-78 , , , 은 모두 표준정규 률변수 2 3 1 4 분포 N(0, 1)을 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 국어, 수학, 영어, 과 학 성적이 범수보다 높을 확률은 각각 다음과 같다. P(XÁ>86)‌=P{ ⑵ E(X)=48_;4#;=36 V(X)=48_;4#;_;4!;=9=3Û` 이때 48은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규 분포 N(36, 3Û`)을 따른다. XÁ-82 86-82 > } 2 2 =P(Z>2) Xª-70 85-70 > } P(Xª>85)‌=P{ 3 3 0715 =P(Z>5) X£-76 74-76 > } P(X£>74)‌=P{ 1 1 ③ 확률변수 X가 이항분포 B{72, ;3!;}을 따르므로 =P(Z>-2) X¢-78 74-78 > } P(X¢>74)‌=P{ 4 4 E(X)=72_;3!;=24 V(X)=72_;3!;_;3@;=16=4Û` =P(Z>-1) 이때 72는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(24, 4Û`)을 따르고 Z= -2 -1 0 2 5 z X-24 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 4 규분포 N(0, 1)을 따른다. 166 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 166 2023. 9. 12. 오전 10:01 ∴ P(20ÉXÉ30)‌=P{ 0718 20-24 X-24 30-24 É É } 4 4 4 ① 확률변수 X가 이항분포 B(150, p)를 따르므로 =P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ1.5) E(X)=150p =0.3413+0.4332 이때 E(X)=60이므로 150p=60 ∴ p=;5@; =0.7745 1 권 =P(-1ÉZÉ1.5) 즉, 확률변수 X가 이항분포 B{150, ;5@;}를 따르므로 V(X)=150_;5@;_;5#;=36=6Û` 0716 109 이때 150은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 포 N(60, 6Û`)을 따르고 Z= 확률변수 X가 이항분포 B{144, ;2!;}을 따르므로 X-60 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 6 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. E(X)=144_;2!;=72 ∴ P(51ÉXÉ63)‌=P{ 51-60 X-60 63-60 É É } 6 6 6 V(X)=144_;2!;_;2!;=36=6Û` =P(-1.5ÉZÉ0.5) 이때 144는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 =P(0ÉZÉ1.5)+P(0ÉZÉ0.5) 포 N(72, 6Û`)을 따른다. =0.4332+0.1915 ∴ a=72, b=36 =0.6247 또한 Z= X-72 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1) 6 을 따르므로 P(78ÉXÉ90)=P{ 0719 78-72 X-72 90-72 É É } 6 6 6 ② 확률변수 X의 확률질량함수가 =P(1ÉZÉ3) P(X=x)=100Cx{ ∴ c=1 ∴ a+b+c=72+36+1=109 1 x 4 100-x (x=0, 1, 2, y, 100) }{ } 5 5 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{100, 1 }을 따른다. 5 1 ∴ E(X)=100_ =20, 5 0717 3 1 4 V(X)=100_ _ =16=4Û` 5 5 확률변수 X가 이항분포 B(48, p)를 따르므로 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 V(X)=48p(1-p) 포 N(20, 4Û`)을 따르고 Z= 이때 확률변수 X가 근사적으로 정규분포 N(m, 9)를 따르므로 48p(1-p)=9 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(15ÉXÉ27)‌=P{ 16pÛ`-16p+3=0, (4p-1)(4p-3)=0 X-20 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 4 15-20 X-20 27-20 É É } 4 4 4 ∴ p=;4!; 또는 p=;4#; =P(-1.25ÉZÉ1.75) 이때 0<p<;2!;이므로 =0.3944+0.4599 =P(0ÉZÉ1.25)+P(0ÉZÉ1.75) =0.8543 p=;4!; ………………………………………………………………………………… ➊ p=;4!;이면 E(X)=48_;4!;=12이므로 0720 m=12 ③ ………………………………………………………………………………… ➋ 확률변수 X가 이항분포 B{100, ;2!;}을 따르므로 ∴ m_p=12_;4!;=3 E(X)=100_;2!;=50 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 V(X)=100_;2!;_;2!;=25=5Û` 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 ➊ p의 값 구하기 50% ➋ m의 값 구하기 30% 포 N(50, 5Û`)을 따르고 Z= ➌ ‌m_p의 값 구하기 20% 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. X-50 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 5 Ⅲ. 통계 167 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 167 2023. 9. 12. 오전 10:01 P(43ÉXÉ48)‌=P{ 43-50 X-50 48-50 É É } 5 5 5 7 2 =P{- ÉZÉ- } 5 5 2 7 =P{ ÉZÉ } 5 5 P(nÉXÉ57)‌=P{ =P{ 채점 기준 배점 ➊ 확률변수 X가 근사적으로 따르는 정규분포를 구하고 표준화하기 30% ➋ P(XÉ165)를 Z에 대한 확률로 나타내기 30% ➌ 자연수 n의 값 구하기 40% n-50 X-50 57-50 É É } 5 5 5 n-50 7 ÉZÉ } 5 5 0722 이때 P(43ÉXÉ48)<P(nÉXÉ57)에서 ⑤ P(X=k)=100Ck{ 2 7 n-50 7 P{ ÉZÉ }<P{ ÉZÉ } 5 5 5 5 9 k 1 100-k (k=0, 1, 2, y, 100)이라 하 }{ } 10 10 면 이 함수는 이항분포 B{100, 9 }를 따르는 확률변수 X의 확률 10 질량함수이고 n-50 5 0 Á 100Ck{ k=84 9 k 1 100-k }{ } 10 10 =100C84{ 9 84 1 100-84 9 85 1 100-85 +100C85{ } { } } { } 10 10 10 10 96 7 z 5 2 5 즉, 위의 그림에서 n-50 2 < ∴ n<52 5 5 +y+100C96{ 따라서 자연수 n의 최댓값은 51이다. 9 96 1 100-96 } { } 10 10 =P(84ÉXÉ96) 을 의미한다. 0721 450 확률변수 X가 이항분포 B{n, ;3!;}을 따르므로 E(X)=n_;3!;=;3!;n V(X)=n_;3!;_;3@;=;9@; n={ 확률변수 X가 이항분포 B{100, E(X)=100_ 9 =90 10 V(X)=100_ 9 1 _ =9=3Û` 10 10 9 }를 따르므로 10 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 '2n Û }` 3 포 N(90, 3Û`)을 따르고 Z= 이때 n>100에서 n은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적 1 X- n '2n Û 3 으로 정규분포 N{;3!; n, { 으로 놓 }` }을 따르고 Z= 3 '2n 3 으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ………………………………………………………………………………… ➊ 1 1 X- n 165- n 3 3 ∴ P(XÉ165)‌=P» É ¼ '2n '2n 3 3 495-n =P{ZÉ yy ㉠ } '2n X-90 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 3 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ Á 100Ck{ 96 k=84 9 k 1 100-k }{ } 10 10 =P(84ÉXÉ96) =P{ 84-90 X-90 96-90 É É } 3 3 3 =P(-2ÉZÉ2) =2P(0ÉZÉ2) =2_0.4772 =0.9544 ………………………………………………………………………………… ➋ 한편, 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 P(ZÉ1.5)‌=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5) =0.5+0.4332 yy ㉡ =0.9332 495-n ㉠, ㉡에서 =1.5 '2n 990-2n=3'¶2n, 2n+3'¶2n-990=0 ('¶2n )Û`+3'¶2n-990=0 15 이항분포와 정규분포의 관계의 활용 - 확률 구하기 0723 한 개의 주사위를 던질 때 3의 눈이 나올 확률은 ('¶2n-30)('¶2n+33)=0 ③ 1 이므로 한 개의 6 이때 '¶2n >0이므로 '¶2n=30 주사위를 180번 던질 때, 3의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 X라 ………………………………………………………………………………… ➌ 하면 X는 이항분포 B{180, ;6!;}을 따른다. 2n=900 ∴ n=450 168 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 168 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 150은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 ∴ E(X)=180_;6!;=30, 포 N(90, 6Û`)을 따르고 Z= V(X)=180_;6!;_;6%;=25=5Û` 이때 180은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 X-30 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 5 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 1 따라서 구하는 확률은 P(X¾72)‌=P{ 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 권 포 N(30, 5Û`)을 따르고 Z= X-90 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 6 X-90 72-90 ¾ } 6 6 =P(Z¾-3) 따라서 구하는 확률은 =P(ZÉ3) 35-30 X-30 40-30 P(35ÉXÉ40)‌=P{ É É } 5 5 5 =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ3) =0.5+0.4987 =P(1ÉZÉ2) =0.9987 =P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1) =0.4772-0.3413 =0.1359 0726 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던졌을 때, 두 눈의 수의 곱이 0724 ① 1 이 대형 마트에서 판매하는 라면 중 A 라면의 비율은 25`%, 즉 이 4 므로 이 마트에서 판매하는 라면 48봉지를 구입할 때, 이 중 포함 되어 있는 A 라면의 개수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{48, ② 1 }을 따른다. 4 이 시행을 192번 하였을 때, 사건 A가 일어나는 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{192, 1 }을 따르므로 4 1 3 V(X)=192_ _ =36=6Û` 4 4 1 3 V(X)=48_ _ =9=3Û` 4 4 이때 192는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 이때 48은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 X-12 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 3 규분포 N(0, 1)을 따른다. 포 N(48, 6Û`)을 따르고 Z= X-48 로 놓으면 확률변수 Z는 표준 6 정규분포 N(0, 1)을 따른다. 따라서 구하는 확률은 P(XÉ45)‌=P{ 따라서 구하는 확률은 P(X¾18)‌=P{ 1 1 1 P(A)= _ = 2 2 4 1 E(X)=192_ =48 4 1 ∴ ‌E(X)=48_ =12, 4 N(12, 3Û`)을 따르고 Z= 홀수이려면 두 눈의 수가 모두 홀수이어야 하므로 X-12 18-12 ¾ } 3 3 X-48 45-48 É } 6 6 =P(ZÉ-0.5) =P(Z¾0.5) =P(Z¾2) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.5) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) =0.5-0.1915 =0.5-0.4772 =0.3085 =0.0228 0725 ⑤ 0727 0.84 이 뮤지컬의 무료 관람권을 받은 사람은 10명 중 8명의 비율로 뮤 이 고등학교 학생 중에서 임의로 한 명을 선택할 때, 선택한 학생이 지컬을 보러 오므로 무료 관람권을 받은 사람이 뮤지컬을 보러 올 지난 해 읽은 책의 수가 5권 이상인 학생일 확률은 주어진 표에서 확률은 43+17 =;5#; 100 8 4 = 10 5 즉, 이 고등학교 학생 중 150명을 임의로 선택하여 지난 해 읽은 책 즉, 무료 관람권을 받은 100명 중 뮤지컬을 보러 오는 사람의 수를 의 수를 조사할 때, 5권 이상 읽은 학생의 수를 확률변수 X라 하면 3 X는 이항분포 B{150, }을 따른다. 5 3 ∴ E(X)=150_ =90, 5 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{100, 4 }를 따른다. 5 ………………………………………………………………………………… ➊ 4 ∴ E(X)=100_ =80, 5 3 2 V(X)=150_ _ =36=6Û` 5 5 4 1 V(X)=100_ _ =16=4Û` 5 5 Ⅲ. 통계 169 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 169 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 X-80 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 포 N(80, 4Û`)을 따르고 Z= 4 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ………………………………………………………………………………… ➋ 관람석이 부족하지 않으려면 XÉ84이어야 하므로 구하는 확률은 P(XÉ84)‌=P{ X-80 84-80 É } 4 4 0729 ⑤ 이 공장에서 생산한 음료수 A 한 개의 중량을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(450, 15Û`)을 따르므로 확률변수 X-450 은표 15 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 이 공장에서 생산한 음료수 A 중에서 임의로 선택한 음료수 한 개의 중량이 420`g 이 =P(ZÉ1) 하일 확률은 =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1) P(XÉ420)‌=P{ =0.5+0.34 X-450 420-450 É } 15 15 =P(ZÉ-2) =0.84 =P(Z¾2) ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) 배점 ➊ 확률변수 X를 정하고 X가 따르는 이항분포 구하기 30% ➋ 확률변수 X가 근사적으로 따르는 정규분포를 구하고 표준화하기 30% ➌ ‌관람석이 부족하지 않을 확률 구하기 40% =0.5-0.48 =0.02 따라서 이 공장에서 생산한 음료수 A 중에서 임의로 2500개를 선 택할 때, 불량품의 개수를 확률변수 Y라 하면 Y는 이항분포 B{2500, 0728 1 }을 따른다. 50 ③ ∴ E(Y)=2500_ 동전 3개를 동시에 던질 때, 모든 경우의 수는 2Ü`=8이고 2개만 같 V(Y)=2500_ 은 면이 나오는 경우는 1 =50, 50 1 49 _ =49=7Û` 50 50 이때 2500은 충분히 큰 수이므로 확률변수 Y는 근사적으로 정규분 (앞, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 앞), (뒤, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 뒤) 의 6가지이므로 이 경우의 확률은 6 3 = 이다. 8 4 6 3 즉, 주어진 게임을 한 번 하여 5점을 얻을 확률은 = 이므로 이 8 4 포 N(50, 7Û`)을 따르고 확률변수 Y-50 은 표준정규분포 N(0, 1) 7 을 따른다. 따라서 구하는 확률은 P(YÉ43)‌=P{ Y-50 43-50 É } 7 7 게임을 432번 반복할 때 5점을 얻는 횟수를 확률변수 X라 하면 X =P(ZÉ-1) 3 는 이항분포 B{432, }을 따른다. 4 =P(Z¾1) 3 ∴ E(X)=432_ =324, 4 =0.5-0.34 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) =0.16 3 1 V(X)=432_ _ =81=9Û` 4 4 이때 432는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 포 N(324, 9Û`)을 따르고 Z= X-324 로 놓으면 확률변수 Z는 표 9 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 한편, 2점을 잃는 횟수는 432-X이므로 게임을 432번 반복한 후 16 이항분포와 정규분포의 관계의 활용 - 미지수 구하기 의 점수가 1341점 이상이려면 5X-2(432-X)¾1341 7X-864¾1341 0730 7X¾2205 정답이 한 개인 오지선다형 문제 400개 중 이 학생이 맞힌 문제의 ∴ X¾315 개수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{400, 따라서 구하는 확률은 P(X¾315)‌=P{ X-324 315-324 ¾ } 9 9 =P(Z¾-1) =P(ZÉ1) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1) =0.5+0.3413 =0.8413 ③ 1 }을 따르므로 5 1 E(X)=400_ =80 5 1 4 V(X)=400_ _ =64=8Û` 5 5 이때 400은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 포 N(80, 8Û`)을 따르고 Z= X-80 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 8 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 170 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 170 2023. 9. 12. 오전 10:01 1 ∴ E(X)=1200_ =300, 4 이 학생이 문제 400개 중 k개 이상을 맞힐 확률이 0.01이므로 P(X¾k)‌=P{ X-80 k-80 ¾ } 8 8 1 3 V(X)=1200_ _ =225=15Û` 4 4 k-80 } 8 =P{Z¾ 이때 1200은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규 0.01<0.5이므로 P{Z¾ 분포 N(300, 15Û`)을 따르고 Z= k-80 >0이고 8 X-300 으로 놓으면 확률변수 15 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. k-80 k-80 }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 8 8 ………………………………………………………………………………… ➊ P(285ÉXÉa)=0.8185이므로 k-80 =0.5-P{0ÉZÉ } 8 P(285ÉXÉa)‌=P{ =0.01 285-300 X-300 a-300 É É } 15 15 15 =P{-1ÉZÉ k-80 ∴ P{0ÉZÉ }=0.49 8 a-300 } 15 =P(-1ÉZÉ0)+P{0ÉZÉ 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2.5)=0.49이므로 k-80 =2.5 ∴ k=100 8 =P(0ÉZÉ1)+P{0ÉZÉ =0.3413+P{0ÉZÉ 0731 55 확률변수 X는 이항분포 B{100, 1 }을 따르므로 2 a-300 } 15 a-300 } 15 a-300 } 15 =0.8185 ∴ P{0ÉZÉ a-300 }=0.4772 15 ………………………………………………………………………………… ➋ 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 1 E(X)=100_ =50 2 a-300 =2 ∴ a=330 15 1 1 V(X)=100_ _ =25=5Û` 2 2 ………………………………………………………………………………… ➌ 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 채점 기준 배점 X-50 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 포 N(50, 5Û`)을 따르고 Z= 5 ➊ 확률변수 X가 근사적으로 따르는 정규분포를 구하고 표준화하기 30% ➋ P(285ÉXÉa)=0.8185를 Z에 대한 확률로 나타내기 50% ➌ a의 값 구하기 20% 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(XÉk)=0.8413에서 P(XÉk)‌=P{ 1 권 =0.01 X-50 k-50 É } 5 5 =P{ZÉ k-50 } 5 =0.8413 0.8413>0.5이므로 P{ZÉ 0733 k-50 >0이고 5 k-50 k-50 }‌=P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ } 5 5 =0.5+P{0ÉZÉ =0.8413 ∴ P{0ÉZÉ ③ 이 도시의 자동차 보유자 150명 중 전기 자동차를 가진 사람의 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{150, k-50 } 5 2 }를 따르므로 5 2 E(X)=150_ =60 5 k-50 }=0.3413 5 2 3 V(X)=150_ _ =36=6Û` 5 5 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 이때 150은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 k-50 =1 ∴ k=55 5 포 N(60, 6Û`)을 따르고 Z= X-60 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 6 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 150명 중 전기 자동차를 가진 사람이 k명 이하일 확률이 0.9332이 0732 330 3점 슛 성공률이 25`%인 선수가 3점 슛을 1200번 시도하여 성공시 키는 횟수가 확률변수 X이므로 X는 이항분포 B{1200, 른다. 1 }을 따 4 므로 P(XÉk)‌=P{ X-60 k-60 É } 6 6 =P{ZÉ k-60 } 6 =0.9332 Ⅲ. 통계 171 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 171 2023. 9. 12. 오전 10:01 0.9332>0.5이므로 k-60 >0이고 6 k-60 k-60 }‌=P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ } 6 6 P{ZÉ =0.5+P{0ÉZÉ 0735 k-60 } 6 =0.9332 ④ 주어진 확률밀도함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 k-60 ∴ P{0ÉZÉ }=0.4332 6 1이므로 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 ;2!;_[{a-;3!;}+2]_;4#;=1 k-60 =1.5 ∴ k=69 6 a+;3%;=;3*; ∴ a=1 y 3 4 0734 1 불량률이 12.5`%, 즉 인 제품 n개 중에서 불량품의 개수가 확률 8 1 변수 X이므로 X는 이항분포 B{n, }을 따른다. 8 1 n ∴ E(X)=n_ = , 8 8 1 7 7 V(X)=n_ _ = n 8 8 64 이때 n¾200에서 n은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적 으로 정규분포 N{ '¶7n Û n 7 n , }`}을 따르고 n}, 즉 N{ , { 8 8 64 8 1 2 3 1 P{ ÉXÉ1}= _ = 3 3 4 2 0736 ④ -1ÉxÉ1에서 함수 y= f(x)의 그래프는 각각 다음 그림과 같다. ㄱ. ㄴ. y yy 1 y=f(x) y=f(x) 11 y=f(x) y yy 1 11 -1 -1 -1 -1 -1 -1 O 따른다. O O 1 x11 y=f(x) y=f(x) y=f(x) O O 1 O x x x11 x x -1 -1 -1 n |É5}¾0.6826에서 8 P{-5ÉX- x 1 와 x축 및 두 직선 x= , x=1로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 3 n 8 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 Z= '¶7n 8 y yy 11 1 22 11 -1 O -1 -1 O O ㄷ. n É5}¾0.6826 8 n X5 5 8 â¾0.6826 É É P á'¶7n '¶7n '¶7n 8 8 8 40 40 ÉZÉ }¾0.6826 '¶7n '¶7n 40 2 P{0ÉZÉ }¾0.6826 '¶7n 40 ∴ P{0ÉZÉ }¾0.3413 '¶7n 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 P{- 1 2 y yy y=f(x) y=f(x) y=f(x) 1 y=f(x) y=f(x) 11 y=f(x) x x -1 O -1 -1 ㄹ. 1 x11 O O 1 x11 x x ㄱ. ‌f(x)=1일 때, -1ÉxÉ1에서 f(x)¾0이지만 함수 y= f(x) 의 그래프와 x축 및 두 직선 x=-1, x=1로 둘러싸인 부분의 넓이는 2_1=2이므로 확률밀도함수가 될 수 없다. ㄴ. ‌f(x)=x일 때, -1Éx<0에서는 f(x)<0이므로 확률밀도함 수가 될 수 없다. ㄷ. f(x)= 40 ¾1 '¶7n x+1 일 때, -1ÉxÉ1에서 f(x)¾0이고, 함수 2 y= f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 부분의 넓 '¶7nÉ40, 7nÉ1600 ∴ nÉ 2 1 1 P{ ÉXÉa}, 즉 P{ ÉXÉ1}의 값은 확률밀도함수의 그래프 3 3 X- P{|X- 1 1 3 O 228 이는 1600 =228.5___ 7 따라서 자연수 n의 최댓값은 228이다. 1 _2_1=1이므로 확률밀도함수가 될 수 있다. 2 ㄹ. f(x)=|x|일 때, -1ÉxÉ1에서 f(x)¾0이고, 함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=-1, x=1로 둘러싸 인 부분의 넓이는 1 1 _1_1+ _1_1=1이므로 확률밀도함 2 2 수가 될 수 있다. 따라서 X의 확률밀도함수 f(x)가 될 수 있는 것은 ㄷ, ㄹ이다. 172 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 172 2023. 9. 12. 오전 10:01 0737 18 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(15, 2Û`), N(20, 4Û`)을 따 르므로 두 확률변수 X-15 Y-20 , 은 모두 표준정규분포 2 4 0740 ② 이 반 학생들의 수학 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(72, 16Û`)을 따르고, Z= X-72 로 놓으면 확률변수 Z는 표준 16 정규분포 N(0, 1)을 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 이때 한 학생이 수학우등상을 받으려면 점수가 96점 이상이어야 하 14-15 X-15 k-15 P(14ÉXÉk)‌=P{ É É } 2 2 2 므로 구하는 확률은 =P{-0.5ÉZÉ P(X¾96)‌=P{ k-15 } 2 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.5) =0.5-0.4332 =P(-0.5ÉZÉ1.5) =0.0668 이때 P(14ÉXÉk)=P(18ÉYÉ26)이므로 따라서 X-72 96-72 ¾ } 16 16 =P(Z¾1.5) 18-20 Y-20 26-20 É É } P(18ÉYÉ26)‌=P{ 4 4 4 P{-0.5ÉZÉ 1 권 N(0, 1)을 따른다. k-15 }=P(-0.5ÉZÉ1.5) 2 k-15 =1.5이므로 2 0741 k=18 ;3!; 좌석버스의 배차 간격은 15분이므로 기다리는 시간을 나타내는 확 0738 ② 률변수 X의 확률밀도함수 f(x)=a (0ÉxÉ15)의 그래프는 다음 그림과 같다. 전기 자동차 배터리 1개의 용량을 확률변수 X라 하면 X는 정규분 y X-64.2 로 놓으면 확률변수 Z 0.4 a 포 N(64.2, 0.4Û`)을 따르고, Z= 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. O 따라서 구하는 확률은 P(X¾65)=P{ y=f(x) 10 15 x 0ÉxÉ15에서 함수 y= f(x)의 그래프와 x축, y축 및 직선 x=15 X-64.2 65-64.2 ¾ } 0.4 0.4 로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 =P(Z¾2) 15_a=1 ∴ a= =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) 1 15 한 사람이 이 버스를 타기 위해 10분 이상 기다릴 확률은 함수 =0.5-0.4772 y= f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=10, x=15로 둘러싸인 =0.0228 부분의 넓이와 같으므로 P(X¾10)=a_5= 0739 ⑤ 1 _5=;3!; 15 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 연속확률변수 X의 확률밀도함수를 f(x)라 하자. ㄱ. 함수 ‌ y= f(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이는 1이므로 임의의 실수 a에 대하여 0742 P(X¾a)+P(XÉa)=1 (참) 한 개의 주사위를 던질 때 3의 배수의 눈, 즉 3, 6의 눈이 나올 확 ㄴ. ‌함수 y= f(x)의 그래프는 직선 y=f(x) x=m에 대하여 대칭이므로 임의의 P(X¾m+a)=P(XÉm-a) m-a m m+a x (참) ㄷ. ‌함수 y= f(x)의 그래프는 직선 y=f(x) P(XÉm)=P(X¾m)=0.5 즉, a>m인 모든 실수 a에 대하여 P(XÉa)‌=P(XÉm)+P(mÉXÉa) =0.5+P(mÉXÉa) (참) V(X)=162_ m a x 1 }을 따른다. 3 1 =54 3 1 _;3@;=36 (참) 3 ㄴ. X의 확률질량함수는 P(X=x)‌=162Cx{ x=m에 대하여 대칭이므로 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 률은 ;3!;이므로 확률변수 X는 이항분포 B{162, ㄱ. E(X)=162_ 실수 a에 대하여 ③ 162-x 1 x (x=0, 1, 2, y, 162) } {;3@;} 3 이므로 P(X=0)=162C0{ 162-0 162 1 0 ={;3@;} } {;3@;} 3 P(X=162)=162C162{ 162-162 1 162 1 162 ={ } } {;3@;} 3 3 Ⅲ. 통계 173 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 173 2023. 9. 12. 오전 10:01 0744 162 1 162 이때 {;3@;} >{ } 이므로 3 P(X=0)>P(X=162) (거짓) ㄷ. 이항분포 B{162, ⑤ ㄱ. 이산확률변수 X의 확률질량함수가 1 }을 따르는 확률변수 X에 대하여 162는 3 충분히 큰 수이므로 X는 근사적으로 정규분포 N(54, 6Û`)을 따 X-54 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 르고, Z= 6 x n-x C P(X=x)‌= n nx =nCx{;2!;} {;2!;} (x=0, 1, 2, y, n) 2 이므로 X는 이항분포 B{n, ;2!;}을 따른다. 이때 r(X)=6에서 V(X)=6Û`=36이므로 N(0, 1)을 따른다. n_;2!;_;2!;=36 X-54 60-54 P(XÉ60)‌=P{ É } 6 6 ∴ n=144 즉, 확률변수 X는 이항분포 B{144, ;2!;}을 따른다. (거짓) =P(ZÉ1) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1) 1 ㄴ. E(X)=144_ ‌ =72 2 =0.5+0.3413 =0.8413 V(X)=6Û` X-54 45-54 P(X¾45)‌=P{ ¾ } 6 6 이때 144는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정 규분포 N(72, 6Û`)을 따른다. (참) =P(Z¾-1.5) ㄷ. Z= ‌ =P(ZÉ1.5) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5) X-72 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1) 6 을 따르므로 =0.5+0.4332 P(78ÉXÉ81)‌=P{ =0.9332 ∴ P(XÉ60)<P(X¾45) (참) 78-72 X-72 81-72 É É } 6 6 6 =P(1ÉZÉ1.5) =P(0ÉZÉ1.5)-P(0ÉZÉ1) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. =0.43-0.34 =0.09 (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 0743 ⑤ 국어, 수학, 영어 성적을 각각 확률변수 W, X, Y라 하면 W, X, Y는 각각 정규분포 N(72, 16Û`), N(74, 10Û`), N(62, 18Û`)을 따르 므로 세 확률변수 W-72 X-74 Y-62 , , 는 모두 표준정규분 16 10 18 0745 78 포 N(0, 1)을 따른다. 이 도시 성인 중에서 지난 해에 시립체육관을 이용한 경험이 있는 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 주희의 성적 이상을 사람의 비율이 80`%, 즉 받을 확률은 각각 다음과 같다. 험이 있는 사람의 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{100, W-72 80-72 P(W¾80)‌=P{ ¾ } 16 16 4 ∴ E(X)=100_ =80, 5 X-74 80-74 ¾ } 10 10 4 1 V(X)=100_ _ =16=4Û` 5 5 =P(Z¾0.6) P(Y¾80)‌=P{ 4 } 5 를 따른다. =P(Z¾0.5) P(X¾80)‌=P{ 4 이므로 100명 중 시립체육관을 이용한 경 5 Y-62 80-62 ¾ } 18 18 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 포 N(80, 4Û`)을 따르고 Z= =P(Z¾1) X-80 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 4 이때 P(Z¾1)<P(Z¾0.6)<P(Z¾0.5)이므로 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(Y¾80)<P(X¾80)<P(W¾80) 이 도시 성인 100명 중 시립체육관을 이용한 경험이 있는 사람이 n명 이하일 확률이 0.3085이므로 P(XÉn)‌=P{ 0 0.5 0.6 1 z 주희보다 높은 성적을 받을 확률이 작을수록 주희의 등수는 올라가 므로 주희의 등수가 높은 과목부터 낮은 과목 순으로 나열하면 영 어, 수학, 국어이다. X-80 n-80 É } 4 4 =P{ZÉ n-80 } 4 =0.3085 0.3085<0.5이므로 n-80 <0이고 4 174 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 174 2023. 9. 12. 오전 10:01 P{ZÉ 0748 n-80 n-80 }‌=P{Z¾} 4 4 =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ- 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수 f(x) n-80 } 4 에 대하여 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. n-80 =0.5-P{0ÉZÉ} 4 즉, 확률변수 X가 정규분포 N(8, rÛ`)을 따르므로 Z= n-80 }=0.1915 4 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(XÉ11)‌=P{ X-8 11-8 É } r r =P{ZÉ 0746 A, B 과수원에서 생산하는 귤의 무게를 각각 확률변수 X, Y라 =0.5+P{0ÉZÉ 하면 X, Y는 각각 정규분포 N(86, 15Û`), N(88, 10Û`)을 따르므로 X-86 Y-88 , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따 확률변수 15 10 른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 A 과수원에서 임의 로 선택한 귤의 무게가 98 이하일 확률은 X-86 98-86 É } 15 15 ∴ P{0ÉZÉ 3 }=0.4332 r 3 =1.5 ∴ r=2 r ∴ P(XÉ14)‌=P{ X-8 14-8 É } 2 2 =P(ZÉ3) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ3) =0.5+0.4987 =0.9987 a-88 }` 10 이때 P(XÉ98)=P(YÉa)이므로 P{ZÉ;5$;}=P{ZÉ ;5$;= 3 } r 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 4 }` 5 Y-88 a-88 }` É 10 10 =P{ZÉ 3 } r =0.9332 B 과수원에서 임의로 선택한 귤의 무게가 a 이하일 확률은 P(YÉa)‌=P{ 3 } r =P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ 96 =P{ZÉ X-8 로 r P(XÉm+3)=0.9332, 즉 P(XÉ11)=0.9332에서 n-80 =0.5 ∴ n=78 4 P(XÉ98)‌=P{ 권 m=8 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.5)=0.1915이므로 - 1 이때 f(8+x)= f(8-x)이므로 =0.3085 ∴ P{0ÉZÉ- ⑤ 0749 a-88 } 10 265 이 농장에서 생산한 달걀 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 a-88 , a-88=8 10 정규분포 N(50, 2Û`)을 따르고, Z= ∴ a=96 X-50 으로 놓으면 확률변수 2 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 달걀 한 개의 무게가 47`g 이하일 확률은 0747 ③ P(XÉ47)‌=P{ =P(ZÉ-1.5)=P(Z¾1.5) t에 대한 이차방정식 tÛ`-Xt+X=0이 실근을 가지려면 이 이차 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.5) 방정식의 판별식을 D라 할 때, D¾0이어야 하므로 =0.5-0.43 D=(-X)Û`-4X¾0 XÛ`-4X¾0, X(X-4)¾0 ∴ XÉ0 또는 X¾4 이때 확률변수 X는 정규분포 N(4, 2Û`)을 따르므로 m=4, r=2 X-50 47-50 É } 2 2 =0.07 이고 달걀의 총 개수가 n, 개당 무게가 47`g 이하인 달걀의 개수가 35이므로 n_0.07=35 ∴ n=500 따라서 구하는 확률은 P(XÉ0 또는 X¾4)‌=1-P(0ÉXÉ4) =1-P(4-2_2ÉXÉ4) 또한 달걀 한 개의 무게가 48`g 이상이고 51`g 이하일 확률은 P(48ÉXÉ51)‌=P{ 48-50 X-50 51-50 É É } 2 2 2 =1-P(m-2rÉXÉm) =P(-1ÉZÉ0.5) =1-P(mÉXÉm+2r) =P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ0.5) =1-0.4772 =0.34+0.19 =0.5228 =0.53 Ⅲ. 통계 175 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 175 2023. 9. 12. 오전 10:01 따라서 이 농장에서 생산한 500개의 달걀 중 무게가 48`g 이상이고 y=f(x) y=f(x) 51`g 이하인 달걀의 개수는 500_0.53=265 2 x m 16 2+16 2 x 2 16 m 2+16 2 [2<m<16인 경우] [m>16인 경우] ㉠, ㉡에서 9<m<11이고 m이 자연수이므로 0750 ⑤ 이 고등학교 3학년 학생의 중간고사 수학 시험 성적을 확률변수 X 라 하면 X는 정규분포 N(80, 10Û`)을 따르고, Z= X-80 으로 10 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. m=10 즉, 확률변수 X가 정규분포 N(10, 4Û`)을 따르므로 Z= 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(XÉ6)=P{ 내신 2등급을 받으려면 상위 11`% 이내의 성적을 얻어야 하므로 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) X-80 k-80 ¾ } 10 10 =P{Z¾ X-10 6-10 É } 4 4 =P(ZÉ-1)=P(Z¾1) 내신 2등급을 받기 위한 최저 점수를 k점이라 하면 P(X¾k)‌=P{ X-10 으 4 =0.5-0.3413 =0.1587 k-80 } 10 =0.11 0.11<0.5이므로 P{Z¾ k-80 >0이고 10 k-80 k-80 }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 10 10 =0.5-P{0ÉZÉ ∴ P{0ÉZÉ 0752 k-80 } 10 ③ =0.11 조건 ㈎에 의하여 정규분포를 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수 k-80 }=0.39 10 f(x)가 x=20일 때 최댓값을 가지므로 E(X)=20 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.23)=0.39이므로 조건 ㈏에 의하여 모든 실수 x에 대하여 g(x)= f(x+10)이므로 k-80 =1.23 10 곡선 y=g(x)는 곡선 y= f(x)를 x축의 방향으로 -10만큼 평행 이동한 것이다. ∴ k=92.3 즉, E(Y)=20-10=10이고 r(X)=r(Y)이다. 따라서 내신 2등급을 받기 위한 최저 점수는 92.3점이다. r(X)=r(Y)=r (r>0)라 하면 두 확률변수 X, Y는 각각 정규 분포 N(20, rÛ`), N(10, rÛ`)을 따르고, 두 확률변수 Y-10 은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. r 0751 ⑤ 정규분포 N(m, 4Û`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수 f(x) 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 P(18ÉXÉ22)‌=P{ 에 대하여 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. 8+14 2 2 2 ÉZÉ } r r =2 P{0ÉZÉ y=f(x) 2 } r =0.9544 yy`㉠ ∴ m<11 18-20 X-20 22-20 É É } r r r =P{- 이때 f(8)> f(14)이므로 m< X-20 , r y=f(x) ∴ P{0ÉZÉ 2 }=0.4772 r 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 8 m 14 x 8+14 2 [8<m<14인 경우] 또한 f(2)< f(16)이므로 m> 2+16 2 ∴ m>9 yy`㉡ m 8 14 x 8+14 2 [m<8인 경우] 2 =2 ∴ r=1 r ∴ P(9ÉYÉ12)‌=P{ 9-10 Y-10 12-10 É É } 1 1 1 =P(-1ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ2) =0.3413+0.4772 =0.8185 176 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 176 2023. 9. 12. 오전 10:01 0753 26 정규분포 N(m, rÛ ` )을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수를 f(x)라 하면 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. m= 14+26 =20 2 0755 ③ 1 권 이때 조건 ㈎에서 P(XÉ14)=P(X¾26)이므로 조건 ㈏에서 0ÉxÉ4a인 모든 실수 x에 대하여 f(x)= f(4a-x) ………………………………………………………………………………… ➊ 가 성립하므로 함수 y= f(x)의 그래프는 직선 x=2a에 대하여 대 조건 ㈏에서 V(2X-3)=144이므로 칭이다. y 2Û` V(X)=144 y=f(x) a ∴ V(X)=36=6Û` ;2!; a ∴ r=6 (∵ r>0) O a ………………………………………………………………………………… ➋ 2a ;2%; a 3a 4a x ∴ m+r=20+6=26 따라서 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프는 위의 그림과 같고, ………………………………………………………………………………… ➌ 0ÉxÉ4a에서 함수 y= f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분 배점 의 넓이가 1이므로 ➊ X의 평균 m의 값 구하기 50% ➋ X의 표준편차 r의 값 구하기 40% 1 { _2a_a}_2=1 2 ➌ m+r의 값 구하기 10% 채점 기준 ∴ aÛ`= 1 2 5 P{aÉX≤ a}의 값은 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프와 x축 2 0754 120 이 제과점에서 만든 팥빵 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(m, 4Û`)을 따르고, Z= 5 및 두 직선 x=a, x= a로 둘러싸인 부분의 넓이와 같으므로 2 5 1 1 1 1 P{aÉX≤ a}‌= _a_a+ _ a_ a 2 2 2 2 2 5 5 1 5 = aÛ`= _ = 8 8 2 16 X-m 으로 놓으면 확률변수 4 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ………………………………………………………………………………… ➊ 이때 팥빵 한 개의 무게가 110`g 이상일 확률이 0.9938이므로 P(X¾110)‌=P{ 0756 X-m 110-m ¾ } 4 4 =P{Z¾ 110-m } 4 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 6의 약수이면 동전 3개를 동 시에 던지고, 6의 약수가 아니면 동전 2개를 동시에 던지는 시행에 =0.9938 0.9938>0.5이므로 서 모든 동전이 같은 면이 나올 확률은 110-m <0이고 4 ;6$;_;8@;+;6@;_;4@;=;3!; 110-m 110-m P{Z¾ }‌=P{ZÉ} 4 4 =P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ=0.5+P{0ÉZÉ- ③ 즉, 주어진 시행을 72번 반복할 때, 모든 동전이 같은 면이 나오는 110-m } 4 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{72, 1 }을 따르므로 3 E(X)=72_;3!;=24 110-m } 4 V(X)=72_;3!;_;3@;=16=4Û` =0.9938 110-m ∴ P{0ÉZÉ}=0.4938 4 이때 72는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 ………………………………………………………………………………… ➋ N(24, 4Û`)을 따르고 Z= 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2.5)=0.4938이므로 X-24 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 4 규분포 N(0, 1)을 따른다. 110-m =2.5 ∴ m=120 4 따라서 구하는 확률은 ………………………………………………………………………………… ➌ P(X¾20)‌=P{ X-24 20-24 ¾ } 4 4 채점 기준 배점 ➊ 확률변수 X를 정하고 표준화하기 30% ➋ ‌주어진 확률을 Z에 대한 확률로 나타내기 50% =0.5+0.3413 ➌ m의 값 구하기 20% =0.8413 =P(Z¾-1)=P(ZÉ1) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1) Ⅲ. 통계 177 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 177 2023. 9. 12. 오전 10:01 P{Z¾ 한 개의 주사위를 던져 6의 약수, 즉 1, 2, 3, 6의 눈이 나올 확률은 90-m 90-m }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 5 5 =0.5-P{0ÉZÉ 4 =;3@; 6 동전 3개를 동시에 던져 모두 같은 면이 나오는 경우는 (앞, 앞, 앞), (뒤, 뒤, 뒤)의 2가지이므로 이 경우의 확률은 90-m } 5 =0.08 2 1 = 8 4 즉, 주사위에서 6의 약수의 눈이 나오고 3개의 동전이 모두 같은 면이 나 올 확률은 1 ;3@;_ =;6!; 4 한편, 동전 2개를 동시에 던져 모두 같은 면이 나오는 경우는 (앞, 앞), (뒤, 뒤)의 2가지이므로 이 경우의 확률은 2 =;2!; 4 즉, 주사위에서 6의 약수가 아닌 눈이 나오고 2개의 동전이 모두 같은 면 이 나올 확률은 ∴ P{0ÉZÉ 90-m }=0.42 5 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.4)=0.42이므로 90-m =1.4 ∴ m=83 5 따라서 여성 응시자의 점수의 평균은 83점이다. 0758 31 f(x), g(x)가 확률밀도함수이므로 f(x)¾0, g(x)¾0이고, 함수 1 {1-;3@;}_;2!;= 6 따라서 주어진 시행을 한 번 할 때, 모든 동전이 같은 면이 나올 확률은 y= f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=6으로 둘러싸인 부 1 +;6!;=;3!; 6 x=6으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 함수 y= f(x)+g(x) 분의 넓이가 1, 함수 y=g(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, 의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=6으로 둘러싸인 부분의 넓 이는 1+1=2이다. 이때 0ÉxÉ6인 모든 x에 대하여 f(x)+g(x)=k이므로 함수 y= f(x)+g(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=6으로 둘 러싸인 부분은 가로의 길이가 6, 세로의 길이가 k인 직사각형이다. 0757 ③ 이 시험에 응시한 남성 4000명, 여성 2000명의 점수를 각각 확률 즉, 6k=2이므로 k= 1 3 변수 X, Y라 하고 여성 2000명의 점수의 평균을 m점이라 하면 1 1 따라서 f(x)+g(x)= 에서 g(x)= - f(x)이므로 함수 3 3 X, Y는 각각 정규분포 N(80, 10Û`), N(m, 5Û`)을 따르고, 두 확률 y=g(x)의 그래프는 함수 y= f(x)의 그래프를 x축에 대하여 대 변수 X-80 Y-m , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 10 5 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 남성 응시자의 점수 칭이동한 후 y축의 방향으로 과 같다. 가 90점 이상일 확률은 P(X¾90)‌=P{ 1 만큼 평행이동한 것으로, 다음 그림 3 y X-80 90-80 ¾ } 10 10 y=g(x) ;6!; ;3!; ;1Á2; =P(Z¾1) O =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) 2 3 5 6 x =0.5-0.34 P(6kÉYÉ15k), 즉 P(2ÉYÉ5)의 값은 함수 y=g(x)의 그래 =0.16 프와 x축 및 두 직선 x=2, x=5로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 남성 응시자가 모두 4000명이므로 이 중 점수가 90점 이상인 응시 자의 수는 P(2ÉYÉ5)=;2!;_{;6!;+;1Á2;}_1+2_ =;8!;+;6!;= 4000_0.16=640 이때 점수가 90점 이상인 남성 응시자의 수가 점수가 90점 이상인 여성 응시자의 수의 4배이므로 점수가 90점 이상인 여성 응시자의 수는 1 12 7 24 따라서 p=24, q=7이므로 p+q=24+7=31 1 640_ =160 4 즉, 여성 응시자의 점수가 90점 이상일 확률은 P(Y¾90)‌=P{ Y-m 90-m ¾ } 5 5 90-m =P{Z¾ } 5 =0.08 0.08<0.5이므로 90-m >0이고 5 160 =0.08이므로 2000 0759 ④ 두 확률변수 X, Y의 확률밀도함수 f(x), g(x)에 대하여 g(x)= f(x+6)이므로 함수 y=g(x)의 그래프는 함수 y= f(x) 의 그래프를 x축의 방향으로 -6만큼 평행이동한 것이다. 즉, 두 함수 y= f(x), y=g(x)의 그래프의 대칭축은 다르지만 모 양은 서로 같으므로 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따른다 고 하면 확률변수 Y는 정규분포 N(m-6, rÛ`)을 따른다. 178 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 178 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 두 확률변수 X-m Y-(m-6) , 은 모두 표준정규분포 r r N(0, 1)을 따르므로 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 P(XÉ11)‌=P{ X-m 11-m É } r r =P{Z¾ 29-m } r 조건 ㈎에서 P(XÉ11)=P(Y¾23)이므로 P{ZÉ 11-m 29-m }‌=P{Z¾ } r r =P{ZÉ- 즉, 이 회사의 입사 시험에 응시한 지원자의 점수를 확률변수 X라 하 면 X는 정규분포 N(280, 30Û`)을 따르고, Z= 원자가 이 회사의 입사 시험에 합격할 확률은 210 =0.21 1000 이 회사의 입사 시험에 합격하는 최저 점수를 k점이라 하면 P(X¾k)‌=P{ P{ZÉ k-20 k-14 }+P{ZÉ }=1 r r k-20 k-14 P{ZÉ }+P{Z¾}=1 r r 즉, k-20 k-14 이므로 =r r =0.5-P{0ÉZÉ =0.21 k-280 ∴ P{0ÉZÉ }=0.29 30 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.8)=0.29이므로 k-280 =0.8 30 즉, 이 회사의 입사 시험에 합격하기 위한 최저 점수는 304점이고 이보다 30점 이상 높은 점수, 즉 304+30=334(점) 이상을 받은 2k=34 지원자는 신제품 무료 체험의 기회를 얻을 수 있다. ∴ k=17 따라서 1000명의 지원자 중에서 임의로 선택한 1명이 334점 이상 ∴ P(XÉk)+P(Y¾k) 을 받아 신제품 무료 체험의 기회를 얻을 확률은 =P(XÉ17)+P(Y¾17) X-20 17-20 Y-14 17-14 É }+P{ ¾ } r r r r =P{ZÉ=P{Z¾ k-280 } 30 ∴ k=304 k-20=-k+14 =P{ k-280 >0이고 30 k-280 k-280 }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 30 30 한편, 조건 ㈏에서 P(XÉk)+P(YÉk)=1이므로 X-20 k-20 Y-14 k-14 É }+P{ É }=1 r r r r k-280 } 30 =0.21 ∴ m=20 P{ X-280 k-280 ¾ } 30 30 =P{Z¾ P{Z¾ 2m=40 1 1000명이 응시한 입사 시험에서 합격자는 210명이므로 한 명의 지 0.21<0.5이므로 11-m=-29+m X-280 으로 놓으 30 면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 29-m } r 11-m 29-m 이므로 =r r 768 권 11-m } r Y-(m-6) 23-(m-6) ¾ } P(Y¾23)‌=P{ r r =P{ZÉ 0760 P(X¾334)‌=P{ =P(Z¾1.8) 3 3 }+P{Z¾ } r r =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.8) 3 3 }+P{Z¾ } r r =2 P{Z¾ =0.5-0.46 =0.04 3 } r 따라서 2 P{Z¾ X-280 334-280 ¾ } 30 30 따라서 이 회사의 입사 시험에 응시한 지원자 중에서 임의로 선택 3 }=0.1336에서 r 3 P{Z¾ }=0.0668 r 한 2명 중 1명이 신제품 무료 체험의 기회를 얻을 확률은 ªCÁ_0.04_(1-0.04)=0.0768= 768 10000 ∴ a=768 3 P(Z¾0)-P{0ÉZÉ }=0.0668 r 0.5-P{0ÉZÉ ∴ P{0ÉZÉ 3 }=0.0668 r 0761 3 }=0.4332 r ④ 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 다정이가 버스, 지하철, 자가용 중 하나로 등교할 때 걸리는 시간을 3 =1.5 r 각각 확률변수 W, X, Y라 하면 W, X, Y는 각각 정규분포 N(30, 3Û ` ), N(25, 2Û ` ), N(20, 4Û ` )을 따르므로 세 확률변수 ∴ r=2 ∴ E(X)+r(Y)‌=m+r =20+2=22 W-30 X-25 Y-20 , , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따 3 2 4 른다. Ⅲ. 통계 179 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 179 2023. 9. 12. 오전 10:01 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 오전 7시 36분에 출 상 등급을 받으려면 무게가 9.5`kg 이상, 당도가 13`Brix 미만 또 발하여 버스로 등교할 때 지각하지 않을 확률은 는 무게가 9.5`kg 미만, 당도가 13`Brix 이상이어야 하므로 수박 W-30 24-30 É } 3 3 P(WÉ24)‌=P{ 한 통이 상 등급을 받을 확률은 P(X¾9.5)_P(Y<13)+P(X<9.5)_P(Y¾13) =P(ZÉ-2) =0.2_(1-0.3)+(1-0.2)_0.3 =P(Z¾2) 오전 7시 40분에 출발하여 지하철로 등교할 때 지각하지 않을 확률 은 P(XÉ20)‌=P{ 또한 보통 등급을 받으려면 무게가 9.5`kg 미만, 당도가 13`Brix 미만이어야 하므로 수박 한 통이 보통 등급을 받을 확률은 X-25 20-25 É } 2 2 P(X<9.5)_P(Y<13)‌=(1-0.2)_(1-0.3) =0.56 =P(ZÉ-2.5) 즉, 수박 한 통의 판매 가격을 확률변수 W라 하면 W의 확률분포 =P(Z¾2.5) 오전 7시 45분에 출발하여 자가용으로 등교할 때 지각하지 않을 확 률은 P(YÉ15)‌=P{ =0.38 Y-20 15-20 É } 4 4 를 나타내는 표는 다음과 같다. W 15000 12000 10000 합계 P(W=w) 0.06 0.38 0.56 1 ∴ E(W)‌=15000_0.06+12000_0.38+10000_0.56 =P(ZÉ-1.25) =900+4560+5600=11060 =P(Z¾1.25) 따라서 이 농장에서 생산하는 수박 한 통당 판매 금액의 기댓값은 이때 1.25<2<2.5이므로 11060원이다. P(Z¾2.5)<P(Z¾2)<P(Z¾1.25) 0 1.25 2 2.5 z 따라서 P(XÉ20)<P(WÉ24)<P(YÉ15)이므로 지각하지 않 을 확률이 높은 것부터 차례대로 나열하면 자가용, 버스, 지하철, 즉 ㈐, ㈎, ㈏이다. 0762 ④ 이 농장에서 생산한 수박 한 통의 무게를 확률변수 X, 당도를 확률 변수 Y라 하면 X, Y는 각각 정규분포 N(9, 0.5Û`), N(12, 2Û`)을 따르고, 두 확률변수 X-9 Y-12 , 는 모두 표준정규분포 N(0, 1) 0.5 2 을 따른다. 이때 수박 한 통의 무게가 9.5`kg 이상일 확률은 P(X¾9.5)‌=P{ X-9 9.5-9 ¾ } 0.5 0.5 =P(Z¾1) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) =0.5-0.3 =0.2 당도가 13`Brix 이상일 확률은 P(Y¾13)‌=P{ Y-12 13-12 ¾ } 2 2 =P(Z¾0.5) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.5) =0.5-0.2 =0.3 이때 특 등급을 받으려면 무게가 9.5`kg 이상이고 당도가 13`Brix 이상이어야 하므로 수박 한 통이 특 등급을 받을 확률은 P(X¾9.5)_P(Y¾13)=0.2_0.3 =0.06 180 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 180 2023. 9. 12. 오전 10:01 XÕ=3인 경우는 (2, 4), (3, 3), (4, 2)일 때이므로 P(XÕ=3)‌=P(X=2)_P(X=4)+P(X=3)_P(X=3) 통계적 추정 +P(X=4)_P(X=2) 01 모평균과 표본평균 =;3!6#; ⑴ 1, ;2#;, 2, ;2%;, 3 5 ∴ P(2<XÕÉ3)‌=P{XÕ= }+P(XÕ=3) 2 ⑵ 풀이 참조 =;6!;+ ⑴ ‌모집단에서 임의추출한 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ= 1 권 =;2!;_;3!;+;6!;_;6!;+;3!;_;2!; XÁ+Xª 이므로 2 = 13 36 19 36 표본이 (1, 1)일 때, XÕ=1 표본이 (1, 2), (2, 1)일 때, XÕ=;2#; 표본이 (1, 3), (2, 2), (3, 1)일 때, XÕ=2 0764 표본이 (2, 3), (3, 2)일 때, XÕ=;2%; 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 표본이 (3, 3)일 때, XÕ=3 ;4!;+;2!;+a=1 따라서 확률변수 XÕ의 값으로 가능한 것은 ;8%; ∴ a=;4!; 1, ;2#;, 2, ;2%;, 3 ⑵ ‌1, 2, 3이 하나씩 적힌 3개의 공 중 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적 힌 수를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다 음과 같다. ………………………………………………………………………………… ➊ 주어진 모집단에서 임의추출한 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ=1인 경우는 (0, 2), (1, 1), (2, 0)일 때이므로 P(XÕ=1)=P(X=0)_P(X=2)+P(X=1)_P(X=1) X 1 2 3 합계 P(X=x) ;3!; ;3!; ;3!; 1 ‌이때 확률변수 XÕ의 값으로 가능한 것은 1, ;2#;, 2, +P(X=2)_P(X=0) =;4!;_;4!;+;2!;_;2!;+;4!;_;4!; 5 , 3이므로 2 XÕ의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. =;1¤6;=;8#; ………………………………………………………………………………… ➋ XÕ 1 ;2#; 2 ;2%; 3 합계 ;9@; ;3!; ;9@; ;9!; ∴ a+P(XÕ=1)=;4!;+;8#;=;8%; P(XÕ=x®) ;9!; 1 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 0763 ④ 확률변수 X가 갖는 값이 2, 3, 4이므로 이 모집단에서 크기가 2인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 XÕ가 갖는 값은 2, 5 7 , 3, , 2 2 배점 ➊ a의 값 구하기 30% ➋ P(XÕ=1)의 값 구하기 60% ➌ a+P(XÕ=1)의 값 구하기 10% 0765 ① 모집단의 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)= x+1 (x=0, 2, 4, 6) 16 이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 4이다. 이 모집단에서 임의추출한 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 5 XÕ= 인 경우는 (2, 3), (3, 2)일 때이므로 2 5 P{XÕ= }‌=P(X=2)_P(X=3)+P(X=3)_P(X=2) 2 =;2!;_;6!;+;6!;_;2!; =;6!; X 0 2 4 6 합계 P(X=x) ;1Á6; ;1£6; ;1°6; ;1¦6; 1 확률변수 X가 갖는 값이 0, 2, 4, 6이므로 이 모집단에서 크기가 2 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 XÕ가 갖는 값은 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6이다. 이 모집단에서 임의추출한 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ=0인 경우는 (0, 0)일 때이므로 Ⅲ. 통계 181 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 181 2023. 9. 12. 오전 10:01 P(XÕ=0)‌=P(X=0)_P(X=0) 첫 번째 시행에서 꺼낸 공에 적힌 수를 XÁ, 두 번째 시행에서 꺼낸 = 1 1 _ 16 16 공에 적힌 수를 Xª라 하면 표본평균 XÕ= = 1 256 1, XÁ+Xª 가 갖는 값은 2 3 5 , 2, , 3이다. 2 2 XÕ=1인 경우는 (0, 2), (2, 0)일 때이므로 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ=2인 경우는 P(XÕ=1)‌=P(X=0)_P(X=2)+P(X=2)_P(X=0) (1, 3), (2, 2), (3, 1)일 때이므로 1 3 3 1 = _ + _ 16 16 16 16 P(XÕ=2)‌=P(X=1)_P(X=3)+P(X=2)_P(X=2) +P(X=3)_P(X=1) 6 3 = = 256 128 5 5 =;8!;_ +;4!;_;4!;+ _;8!; 8 8 XÕ=2인 경우는 (0, 4), (2, 2), (4, 0)일 때이므로 = P(XÕ=2)‌=P(X=0)_P(X=4)+P(X=2)_P(X=2) 14 7 = 64 32 +P(X=4)_P(X=0) 1 5 3 3 5 1 = _ + _ + _ 16 16 16 16 16 16 = 0768 19 256 ∴ P(XÕÉ2)‌=P(XÕ=0)+P(XÕ=1)+P(XÕ=2) 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 나온 공에 적힌 수를 확 1 3 19 13 = + + = 256 128 256 128 률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 0766 4 5 8 X 2 4 합계 P(X=x) 2 n+2 n n+2 1 첫 번째 시행에서 꺼낸 공에 적힌 수를 XÁ, 두 번째 시행에서 꺼낸 공에 적힌 수를 Xª라 하면 표본평균 XÕ= 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 ;4!;+a+;8!;+b=1 ∴ a+b= 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 XÕ가 갖는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이다. 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ=3인 경우는 (2, 4), (4, 2)일 때이므로 P(XÕ=3)‌=P(X=2)_P(X=4)+P(X=4)_P(X=2) = 이 모집단에서 임의추출한 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ=4인 경우는 (1, 7), (3, 5), (5, 3), (7, 1)일 때이므로 2 n n 2 _ + _ n+2 n+2 n+2 n+2 4n (n+2)Û` 4n 3 즉, = 에서 3nÛ`-20n+12=0 (n+2)Û` 8 = P(XÕ=4)‌=P(X=1)_P(X=7)+P(X=3)_P(X=5) +P(X=5)_P(X=3)+P(X=7)_P(X=1) =;4!;b+;8!;a+;8!;a+;4!;b (3n-2)(n-6)=0 ∴ n=6 (∵ n은 자연수) =;4!;a+;2!;b 즉, ;4!;a+;2!;b= XÁ+Xª 가 갖는 값은 2 2, 3, 4이다. yy ㉠ 확률변수 X가 갖는 값이 1, 3, 5, 7이므로 이 모집단에서 크기가 2 6 3 에서 a+2b=;4#; 16 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;2!;, b=;8!; 1 2 ∴ ;bA;= =4 1 8 02 표본평균의 평균, 분산, 표준편차 - 모평균, 모표준편차가 주어진 경우 ⑴ 100 0767 ⑤ 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 나온 공에 적힌 수를 확 률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 1 2 3 합계 P(X=x) ;8!; ;4!; ;8%; 1 ⑵4 ⑶2 확률변수 XÕ는 모평균이 100, 모분산이 36, 모표준편차가 6인 모집 단에서 크기가 n=9인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 ⑴ E(XÕ)=E(X)=100 V(X) 36 = =4 n 9 r(X) 6 ⑶ r(XÕ)= = =2 'n '9 ⑵ V(XÕ)= 182 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 182 2023. 9. 12. 오전 10:01 0769 ① 확률변수 XÕ는 모평균이 60, 모분산이 12Û`=144인 모집단에서 크 ㄱ. E(XÕ)=E(YÕ)=m (참) ㄴ. nÁ, nª는 2 이상의 자연수이므로 nÁ>nª이면 1 1 < nÁ nª 기가 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 rÛ` rÛ` < nÁ nª 따라서 V(XÕ)=E(XÕ Û`)-{E(XÕ)}Û`에서 Û =V(XÕ)+{E(XÕ)}Û` E(XÕ `)‌ ∴ V(XÕ)<V(YÕ) (참) =9+60Û`=3609 ㄷ. V(XÕ)= V(YÕ)= 0770 rÛ` r 에서 r(XÕ)= nÁ '§nÁ rÛ` r 에서 r(YÕ)= nª '§nª 이때 nÁ=4nª이면 ④ r(XÕ)‌= 확률변수 XÕ는 모평균이 20, 모표준편차가 5인 모집단에서 크기가 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 ‌= E(XÕ)=20 r(XÕ)= 1 rÛ`>0이므로 위의 부등식의 양변에 rÛ`을 곱하면 144 =9 16 권 E(XÕ)=60, V(XÕ)= r r = '§nÁ '¶4nª r 2'§nª =;2!;_ 5 =;4%; '16 r '§nª 1 = r(YÕ) (거짓) 2 5 ∴ E(XÕ)+r(XÕ)=20+ =:¥4\°: 4 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 0771 71 확률변수 XÕ는 모평균이 33, 모표준편차가 6인 모집단에서 크기가 144인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 E(XÕ)=33, V(XÕ)= 0773 확률변수 XÕ는 모표준편차가 12인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 V(XÕ)= 6Û` =;4!; 144 ………………………………………………………………………………… ➊ 따라서 E(2XÕ+1)=2E(XÕ)+1=2_33+1=67, 4 12Û` 144 = n n V(XÕ)É36에서 144 É36 n ∴ n¾4 1 V(4XÕ-3)=4Û` V(XÕ)=16_ =4 4 따라서 n의 최솟값은 4이다. 이므로 ………………………………………………………………………………… ➋ E(2XÕ+1)+V(4XÕ-3)=67+4=71 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 50% ➋ E(2XÕ+1), V(4XÕ-3)의 값 구하기 40% ➌ E(2XÕ+1)+V(4XÕ-3)의 값 구하기 10% E(X)=10, E(XÛ`)=136이므로 =136-10Û`=36 확률변수 XÕ는 모평균이 10, 모분산이 36인 모집단에서 크기가 n 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 E(XÕ)=10, V(XÕ)= 36 n 즉, V(XÕ)=E(XÕ Û`)-{E(XÕ)}Û`에서 Û =V(XÕ)+{E(XÕ)}Û` E(XÕ `)‌ 0772 ② 확률변수 XÕ는 모평균이 m, 모표준편차가 r인 모집단에서 크기가 nÁ인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 rÛ` E(XÕ)=m, V(XÕ)= nÁ 확률변수 YÕ는 모평균이 m, 모표준편차가 r인 모집단에서 크기가 nª인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 rÛ` E(YÕ)=m, V(YÕ)= nª ③ V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 배점 ➊ E(XÕ), V(XÕ)의 값 구하기 0774 36 +10Û` n 이때 103<E(XÕ Û`)<105에서 = 103< 3< ∴ 36 +10Û`<105 n 36 <5 n 36 <n<12 5 따라서 자연수 n은 8, 9, 10, 11의 4개이다. Ⅲ. 통계 183 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 183 2023. 9. 12. 오전 10:01 03 이 모집단에서 임의추출한 크기가 n인 표본의 표본평균이 XÕ이므로 표본평균의 평균, 분산, 표준편차 - 모집단의 확률분포가 주어진 경우 0775 5 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 a+2a+;4!;=1, 3a=;4#; 7 5 7 E(XÕ)=1, V(XÕ)= = 5n n E(XÕ) 1 따라서 =5에서 =5이므로 7 V(XÕ) 5n n=7 ………………………………………………………………………………… ➋ ∴ a=;4!; 채점 기준 배점 40% ➊ E(X), V(X)의 값 구하기 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 2 4 6 합계 P(X=x) ;4!; ;2!; ;4!; 1 ➋ E(X)=2_;4!;+4_;2!;+6_;4!;=4이고 E(XÕ) =5를 만족시키는 n의 값 구하기 V(XÕ) 60% 0778 E(XÛ`)=2Û`_;4!;+4Û`_;2!;+6Û`_;4!;=18이므로 ④ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 ;6!;+a+b=1 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` =18-4Û`=2 이 모집단에서 임의추출한 크기가 2인 표본의 표본평균이 XÕ이므로 ∴ a+b=;6%; E(XÕ)=4, V(XÕ)=;2@;=1 E(XÛ`)= ∴ E(XÕ)+V(XÕ)=4+1=5 yy ㉠ 16 이므로 3 0Û`_;6!;+2Û`_a+4Û`_b= 16 3 ∴ a+4b=;3$; yy ㉡ 0776 ③ E(X)=(-3)_;2!;+0_;4!;+2_;4!;=-1이고 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;3@;, b=;6!; 따라서 E(X)=0_;6!;+2_;3@;+4_;6!;=2이므로 11 E(XÛ`)=(-3)Û`_;2!;+0Û`_;4!;+2Û`_;4!;= 이므로 2 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û` V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` = = 11 -(-1)Û`=;2(; 2 16 -2Û`=;3$; 3 이 모집단에서 임의추출한 크기가 20인 표본의 표본평균이 XÕ이 이 모집단에서 임의추출한 크기가 9인 표본의 표본평균이 XÕ이므로 므로 9 2 E(XÕ)=-1, V(XÕ)= =;2!; 9 Û 따라서 V(XÕ)=E(XÕ `)-{E(XÕ)}Û`에서 V(XÕ)= E(XÕ Û`)‌=V(XÕ)+{E(XÕ)}Û` 4 V(X) 3 = =;1Á5; 20 20 0779 =;2!;+(-1)Û`=;2#; 50 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)= 0777 7 1 1 1 E(X)=(-1)_ +0_ +1_ +2_;2!;=1이고 5 10 5 E(XÛ`)=(-1)Û`_ 1 1 1 12 +0Û`_ +1Û`_ +2Û`_;2!;= 이므로 5 10 5 5 이고 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 2-k 3-k 4-k 5-k + + + =1 10 10 10 10 14-4k =1, 4k=4 10 ∴ k=1 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` = x-k (x=2, 3, 4, 5) 10 12 7 -1Û`= 5 5 ………………………………………………………………………………… ➊ X 2 3 4 5 합계 P(X=x) ;1Á0; ;5!; ;1£0; ;5@; 1 184 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 184 2023. 9. 12. 오전 10:01 E(X)=2_ 1 1 3 2 20 +3_ +4_ +5_ = =4이고 10 5 5 5 10 이때 XÕ는 이 상자에서 크기가 2인 표본을 임의추출하여 구한 표본 평균이므로 1 1 3 2 85 E(XÛ`)‌=2Û`_ +3Û`_ +4Û`_ +5Û`_ = =17 10 5 10 5 5 E(XÕ)= 이므로 ∴ E(XÕ)+V(XÕ)= =17-4Û`=1 1 권 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 17 11 36 , V(XÕ)= =;7!2&; 6 2 11 149 +;7!2&;= 6 72 이 모집단에서 임의추출한 크기가 4인 표본의 표본평균이 XÕ이므로 r(XÕ)=® 1 =;2!; 4 ∴ r(100XÕ)=100r(XÕ)=100_ 0782 1 =50 2 ② 주머니에서 한 장의 카드를 임의로 꺼낼 때, 나온 카드에 적혀 있는 수를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 0780 ④ 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)‌=nCx x 0 1 2 3 합계 P(X=x) ;4!; ;4!; ;4!; ;4!; 1 E(X)=0_;4!;+1_;4!;+2_;4!;+3_;4!;=;2#;이고 2x 2x n =nCx x 3 3 _3n-x =nCx {;3@;} {;3!;} X E(XÛ`)=0Û`_;4!;+1Û`_;4!;+2Û`_;4!;+3Û`_;4!;= n-x `(x=0, 1, 2, y, n) 14 =;2&; 이므로 4 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{n, ;3@;}를 따른다. =;2&;-{;2#;}Û`=;4%; ∴ E(X)=;3@; n, V(X)=n_;3@;_;3!;=;9@; n 이때 XÕ는 이 주머니에서 크기가 5인 표본을 임의추출하여 구한 표 이 모집단에서 임의추출한 크기가 8인 표본의 표본평균이 XÕ이므로 본평균이므로 2 n 9 1 E(XÕ)=;3@; n, V(XÕ)= = n 8 36 5 4 E(XÕ)=;2#;, V(XÕ)= =;4!; 5 따라서 E(XÕ)+V(XÕ)=50에서 따라서 1 25 ;3@; n+ n=50, n=50 36 36 E(6XÕ-3)=6E(XÕ)-3=6_;2#;-3=6, ∴ n=72 V(4XÕ-1)=4Û` V(XÕ)=4Û`_;4!;=4 이므로 E(6XÕ-3)+V(4XÕ-1)=6+4=10 04 0783 표본평균의 평균, 분산, 표준편차 - 모집단이 주어진 경우 ;2&; 상자에서 구슬 한 개를 임의로 꺼낼 때, 나온 구슬에 적혀 있는 수 를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 0781 ① 상자에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 나온 공에 적혀 있는 수를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 1 3 5 a 합계 P(X=x) ;4!; ;4!; ;4!; ;4!; 1 ………………………………………………………………………………… ➊ X 1 2 3 합계 P(X=x) ;3!; ;2!; ;6!; E(X)‌=1_;4!;+3_;4!;+5_;4!;+a_;4!;=;4!;a+;4(; 1 이 상자에서 크기가 4인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이 XÕ E(X)=1_;3!;+2_;2!;+3_;6!;= 11 이고 6 E(XÛ`)=1Û`_;3!;+2Û`_;2!;+3Û`_;6!;= V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 23 11 17 = -{ }Û`= 6 6 36 23 이므로 6 이고 E(XÕ)=5이므로 E(X)=E(XÕ)=5 즉, ;4!;a+;4(;=5에서 ;4!;a= 11 ∴ a=11 4 ………………………………………………………………………………… ➋ Ⅲ. 통계 185 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 185 2023. 9. 12. 오전 10:01 이때 E(XÛ`)‌=1Û`_;4!;+3Û`_;4!;+5Û`_;4!;+11Û`_;4!; = n+13=2n+10 ∴ n=3 156 =39 4 즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=39-5Û`=14 ………………………………………………………………………………… ➌ 14 ∴ V(XÕ)= =;2&; 4 ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 고 X의 확률분포 구하기 20% ➋ E(XÕ)=5를 이용하여 a의 값 구하기 30% ➌ V(X)의 값 구하기 20% ➍ V(XÕ)의 값 구하기 30% X 1 2 3 합계 P(X=x) ;8#; ;4!; ;8#; 1 3 3 38 19 E(XÛ`)=1Û`_ +2Û`_;4!;+3Û`_ = = 이므로 8 8 8 4 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= 19 -2Û`=;4#; 4 3 4 따라서 V(XÕ)= =;4!;이므로 3 배점 ➊ ‌구슬 한 개를 임의추출할 때, 구슬에 적힌 수를 확률변수 X라 하 1 r(XÕ)=® =;2!; 4 0786 26 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 나온 공에 적혀 있는 수를 0784 22 상자에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 나온 공에 적혀 있는 수를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 1 2 3 합계 P(X=x) ;4!; ;4!; ;2!; 1 X 1 3 합계 P(X=x) 1 n+1 n n+1 1 공에 적힌 수를 Xª라 하면 표본평균 XÕ= XÁ+Xª 가 갖는 값은 2 1, 2, 3이다. 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ=1인 경우는 E(XÛ`)=1Û`_;4!;+2Û`_;4!;+3Û`_;2!;=;;ª4£;;이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 첫 번째 시행에서 꺼낸 공에 적힌 수를 XÁ, 두 번째 시행에서 꺼낸 E(X)=1_;4!;+2_;4!;+3_;2!;=;4(; 이고 (1, 1)일 때이므로 P(XÕ=1)‌=P(X=1)_P(X=1) 23 9 11 -{ }Û`= 4 4 16 = 1 1 1 _ = n+1 n+1 (n+1)Û` P(XÕ=1)= 1 1 1 이므로 = 49 49 (n+1)Û` 이때 XÕ는 이 상자에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본 평균이므로 V(XÕ)= n+13 =2에서 n+5 XÕ의 평균이 2이므로 11 16 11 = 16n n 이때 n은 자연수이므로 n+1=7 ∴ n=6 1 따라서 V(XÕ)= 이 되려면 32 1 19 E(X)=1_ +3_;7^;= 7 7 11 1 = ∴ n=22 16n 32 ∴ E(XÕ)=E(X)= 19 7 따라서 p=7, q=19이므로 p+q=7+19=26 0785 ② 상자에서 한 장의 카드를 임의로 꺼낼 때, 나온 카드에 적혀 있는 수 를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 1 2 3 합계 P(X=x) n n+5 2 n+5 3 n+5 1 n 2 3 n+13 E(X)=1_ +2_ +3_ = n+5 n+5 n+5 n+5 이때 XÕ= a+b+c 는 이 상자에서 크기가 3인 표본을 임의추출하 3 여 구한 표본평균이므로 n+13 E(XÕ)=E(X)= n+5 05 표본평균의 확률 ⑴ N(100, 4Û`) ⑵ 0.84 ⑴ XÕ ‌ 는 정규분포 N(100, 12Û`)을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 9인 표본의 표본평균이다. ‌따라서 E(XÕ)=100, V(XÕ)= 12Û` =16이므로 XÕ는 정규분포 9 N(100, 4Û`)을 따른다. 186 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 186 2023. 9. 12. 오전 10:01 ⑵ ‌‌Z= XÕ-100 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1) 4 을 따르므로 P(XÕÉ104)‌=P{ XÕ-100 104-100 É } 4 4 이때 크기가 16인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 E(XÕ)=45, V(XÕ)= 8Û` =2Û` 16 이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N(45, 2Û`)을 따르고 Z= 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1) 따라서 구하는 확률은 =0.5+0.34 P(44ÉXÕÉ47)‌=P{ =0.84 44-45 XÕÕ-45 47-45 É É } 2 2 2 =P(-0.5ÉZÉ1) 0787 ② 1 권 =P(ZÉ1) XÕÕ-45 2 =P(-0.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1) =P(0ÉZÉ0.5)+P(0ÉZÉ1) ‌ =0.1915+0.3413 ‌ =0.5328 이 고등학교 학생 한 명의 키를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(166, 6Û`)을 따른다. 이때 크기가 9인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 E(XÕ)=166, V(XÕ)= 6Û` =2Û` 9 0790 이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N(166, 2Û`)을 따르고 Z= XÕ-166 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 2 따른다. ① 이 고등학교 학생 한 명의 몸무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규 분포 N(58, 4Û`)을 따른다. 이때 크기가 16인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 따라서 구하는 확률은 P(165ÉXÕÉ170)‌=P{ E(XÕ)=58, V(XÕ)= 165-166 XÕ-166 170-166 É É } 2 2 2 4Û` =1 16 =P(-0.5ÉZÉ2) 이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N(58, 1Û`)을 따르고 Z= =P(-0.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2) 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. =P(0ÉZÉ0.5)+P(0ÉZÉ2) 따라서 구하는 확률은 =0.1915+0.4772 P(16XÕ¾960)‌=P(XÕ¾60) =0.6687 =P{ XÕ-58 1 XÕ-58 60-58 ¾ } 1 1 =P(Z¾2) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) 0788 ② =0.5-0.4772 =0.0228 주어진 모집단의 확률변수를 X라 하면 X는 정규분포 N(20, 4Û`) 을 따르므로 크기가 4인 표본의 표본평균 XÕ에 대하여 E(XÕ)=20, V(XÕ)= 4Û` =2Û` 4 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(20, 2Û`)을 따르고 Z= XÕ-20 으 2 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 0.9104 주어진 모집단의 확률변수를 X라 하면 X가 이항분포 B{150, 따라서 구하는 확률은 P(22ÉXÕÉ24)‌=P{ 0791 22-20 XÕ-20 24-20 É É } 2 2 2 2 } 5 를 따르므로 2 E(X)=150_ =60 5 =P(1ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1) =0.4772-0.3413 2 3 V(X)=150_ _ =36=6Û` 5 5 =0.1359 ………………………………………………………………………………… ➊ XÕ는 이 모집단에서 임의추출한 크기가 9인 표본의 표본평균이므로 E(XÕ)=60, V(XÕ)= 0789 ② 6Û` =2Û` 9 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(60, 2Û`)을 따르고 Z= XÕ-60 으 2 이 지역의 1인 가구의 월 식료품 구입비를 확률변수 X라 하면 X 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 는 정규분포 N(45, 8Û`)을 따른다. ………………………………………………………………………………… ➋ Ⅲ. 통계 187 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 187 2023. 9. 12. 오전 10:01 ∴ P(57ÉXÕÉ64)‌=P{ P(776É4XÕÉ836)‌=P(194ÉXÕÉ209) 57-60 XÕ-60 64-60 É É } 2 2 2 =P{ =P(-1.5ÉZÉ2) 194-200 XÕ-200 209-200 É É } 6 6 6 =P(-1.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2) =P(-1ÉZÉ1.5) =P(0ÉZÉ1.5)+P(0ÉZÉ2) =P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5) =0.4332+0.4772 =P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ1.5) =0.9104 =0.3413+0.4332 =0.7745 ………………………………………………………………………………… ➌ 배점 따라서 2000개의 세트 중 정상 제품으로 판정되는 것의 개수는 ➊ 모집단의 확률분포 구하기 30% 2000_0.7745=1549 ➋ XÕ가 따르는 정규분포를 구하고 표준화하기 40% ➌ P(57ÉXÕÉ64)의 값 구하기 30% 채점 기준 06 0792 ③ 주어진 모집단의 확률변수를 X라 하면 X는 정규분포 N(m, 10Û`) ③ 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 10Û` =2Û` 25 XÕ-m 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(m, 2Û`)을 따르고 Z= 으로 2 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(|XÕ-m|¾1)‌=P{ 0794 확률변수 XÕ가 정규분포 N(12, 4Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 n 을 따르므로 크기가 25인 표본의 표본평균 XÕ에 대하여 E(XÕ)=m, V(XÕ)= 표본평균의 확률 - 표본의 크기 구하기 E(XÕ)=12, V(XÕ)= 4Û` 4 Û ={ }` n '§n 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{12, { 4 Û }` }을 따르고 '§n XÕ-12 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 4 '§n 른다. |XÕ-m| ¾;2!;} 2 Z= =P(|Z|¾0.5) =P(ZÉ-0.5)+P(Z¾0.5) P(XÕ¾13)=0.1587에서 =2 P(Z¾0.5) P(XÕ¾13)‌=P =2{P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.5)} =2_(0.5-0.1915) =2_0.3085 » XÕ-12 13-12 ¾ ¼ 4 4 '§n '§n =P{Z¾ =0.6170 '§n } 4 =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ =0.5-P{0ÉZÉ '§n } 4 '§n } 4 =0.1587 '§n ∴ P{0ÉZÉ }‌=0.3413 4 0793 ④ 이 공장에서 생산하는 화장품 한 병의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(200, 12Û`)을 따른다. 이때 화장품을 4병씩 한 세트로 판매하므로 크기가 4인 표본의 표 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 '§n =1, '§n=4 4 ∴ n=16 본평균을 XÕ라 하면 E(XÕ)=200, V(XÕ)= 12Û` =6Û` 4 XÕ-200 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(200, 6Û`)을 따르고 Z= 6 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 따라서 화장품 4병으로 구성된 한 세트가 정상 제품으로 판정받을 확률은 0795 4 확률변수 XÕ가 정규분포 N(60, 10Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 E(XÕ)=60, V(XÕ)= 10Û` 10 Û ={ }` n '§n 188 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 188 2023. 9. 12. 오전 10:01 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{60, { 10 Û }` }을 따르고 '§n ∴ P{0ÉZÉ 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 '§n =2, '§n=8 4 1 권 XÕ-60 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 10 '§n 따른다. Z= '§n }=0.4772 4 ∴ n=64 ………………………………………………………………………………… ➊ P(XÕÉ58)=0.3446에서 » P(XÕÉ58)‌=P XÕ-60 58-60 É 10 10 ¼ '§n '§n 0797 '§n =P{ZÉ} 5 '§n =P{Z¾ } 5 이 도시의 시립도서관을 이용하는 시민 1명의 이용 시간을 확률변 수 X라 하면 X는 정규분포 N(50, 9Û`)을 따른다. 확률변수 XÕ는 이 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구 '§n =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 5 '§n =0.5-P{0ÉZÉ } 5 한 표본평균이므로 E(XÕ)=50, V(XÕ)= 9 Û }` }을 따르고 '§n XÕ-50 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 9 '§n 따른다. Z= ………………………………………………………………………………… ➋ 이때 P(0ÉZÉ0.4)=0.1554이므로 '§n =0.4, '§n=2 ∴ n=4 5 P(XÕ¾56)=0.0228에서 배점 » 40% =P{Z¾ 40% =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 ➊ XÕ가 따르는 정규분포를 구하고 표준화하기 ➋ ‌P(XÕÉ58)=0.3446을 Z에 대한 확률을 나타내는 식으로 변형 하기 P(XÕ¾56)‌=P 20% ➌ n의 값 구하기 0796 확률변수 XÕ는 정규분포 N(245, 20Û`)을 따르는 모집단에서 크기 가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 20Û` 20 Û ={ }` n '§n 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{245, { 20 Û }` }을 따르고 '§n XÕ-245 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 20 '§n 따른다. Z= P(240ÉXÕÉ250)=0.9544에서 240-245 XÕ-245 250-245 É É » ¼ 20 20 20 '§n '§n '§n P(240ÉXÕÉ250)‌=P '§n '§n =P{ÉZÉ } 4 4 '§n '§n =P{ÉZÉ0}+P{0ÉZÉ } 4 4 '§n =2 P{0ÉZÉ } 4 XÕ-50 56-50 ¾ ¼ 9 9 '§n '§n 2'§n } 3 =0.5-P{0ÉZÉ 64 =0.9544 9Û` 9 Û ={ }` n '§n 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{50, { =0.3446 '§n ∴ P{0ÉZÉ }‌=0.1554 5 E(XÕ)=245, V(XÕ)= ② 2'§n } 3 2'§n } 3 =0.0228 2'§n ∴ P{0ÉZÉ }‌=0.4772 3 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 2'§n =2, '§n=3 3 ∴ n=9 0798 25 이 지역 직장인의 월 교통비를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(8, 1.2Û`)을 따른다. 확률변수 XÕ는 이 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구 한 표본평균이므로 E(XÕ)=8, V(XÕ)= 1.2Û` 1.2 ={ }2` n 'n 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{8, { 1.2 }2`}을 따르고 'n XÕ-8 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 1.2 'n 른다. Z= Ⅲ. 통계 189 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 189 2023. 9. 12. 오전 10:01 P(7.76ÉXÕÉ8.24)¾0.6826에서 P(7.76ÉXÕÉ8.24)=P » 확률변수 XÕ는 이 모집단에서 크기가 36인 표본을 임의추출하여 구 7.76-8 XÕ-8 8.24-8 É É 1.2 1.2 1.2 ¼ 'n 'n 'n =P{- 한 표본평균이므로 E(XÕ)=66, V(XÕ)= '§n '§n ÉZÉ } 5 5 =2 P{0ÉZÉ 12Û` =2Û` 36 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(66, 2Û`)을 따르고 Z= '§n } 5 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(XÕÉk)=0.3085에서 ¾0.6826 P(XÕÉk)‌=P{ '§n ∴ P{0ÉZÉ }¾0.3413 5 XÕ-66 k-66 É } 2 2 =P{ZÉ 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 '§n ¾1, 'n¾5 5 k-66 } 2 =0.3085 0.3085<0.5이므로 ∴ n¾25 따라서 n의 최솟값은 25이다. P{ZÉ k-66 <0이고 2 k-66 k-66 }‌=P{Z¾} 2 2 =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ- 0799 3 =0.5-P{0ÉZÉ- 확률변수 XÕ는 정규분포 N(140, 45Û`)을 따르는 모집단에서 크기 가 nÛ`인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 k-66 } 2 k-66 } 2 =0.3085 ∴ P{0ÉZÉ- 45Û` 45 Û ={ E(XÕ)=140, V(XÕ)= }` n nÛ` k-66 }‌‌‌=0.1915 2 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.5)=0.1915이므로 45 Û 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{140, { }` }을 따르고 n Z= XÕ-66 으 2 - XÕ-140 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 45 n k-66 =0.5 2 ∴ k=65 따른다. P(|XÕ-140|ÉnÛ`+6)=0.6826에서 » P(|XÕ-140|ÉnÛ`+6)‌=P | XÕ-140 nÛ`+6 É 45 45 ¼ n n | =P{|Z|É 0801 nÜ`+6n } 45 =2 P{0ÉZÉ ④ 확률변수 XÕ는 정규분포 N(20, 4Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 nÜ`+6n } 45 4인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 =0.6826 E(XÕ)=20, V(XÕ)= nÜ`+6n ∴ P{0ÉZÉ }=0.3413 45 4Û` =2Û` 4 확률변수 YÕ는 정규분포 N(30, 2Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 nÜ`+6n =1, nÜ`+6n-45=0 45 E(YÕ)=30, V(YÕ)= (n-3)(nÛ`+3n+15)=0 2Û` ={;2!;}Û` 16 1 즉, 확률변수 XÕ, YÕ는 각각 정규분포 N(20, 2Û`), N{30, { }Û` }을 2 ∴ n=3 (∵ n은 자연수) 따르고 두 확률변수 XÕ-20 YÕ-30 , 은 모두 표준정규분포 2 1 2 N(0, 1)을 따른다. 이때 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 07 P(XÕ¾28)=P(YÕÉa)에서 표본평균의 확률 - 미지수 구하기 XÕ-20 28-20 YÕ-30 a-30 É ¾ }=P » 2 2 1 1 ¼ 2 2 따라서 P(Z¾4)=P(ZÉ2a-60)이므로 P{ 0800 ⑤ 이 고등학교 2학년 학생들의 모의고사 수학 영역 성적을 확률변수 2a-60=-4 X라 하면 X는 정규분포 N(66, 12Û`)을 따른다. ∴ a=28 190 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 190 2023. 9. 12. 오전 10:01 0802 ② 0804 10 이 고등학교 학생들이 등교하는 데 걸리는 시간을 확률변수 X라 을 따른다. 하면 X는 정규분포 N(40, rÛ`)을 따른다. 확률변수 XÕ는 이 모집단에서 크기가 16인 표본을 임의추출하여 구 확률변수 XÕ는 이 모집단에서 크기가 25인 표본을 임의추출하여 구 한 표본평균이므로 한 표본평균이므로 E(XÕ)=70, V(XÕ)= 2.5Û` ={;8%;}2` 16 E(XÕ)=40, V(XÕ)= rÛ` r ={ }Û` 25 5 5 XÕ-70 }2` }을 따르고 Z= 8 5 8 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{40, { P(|XÕ-70|Éa)=0.9544에서 P(37ÉXÕÉ43)=0.8664에서 P(|XÕ-70|Éa)=P(-aÉXÕ-70Éa) P(37ÉXÕÉ43)‌=P» 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{70, { -a XÕ-70 a =P É É » 5 5 5 ¼ 8 8 8 1 권 찹쌀 도넛의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(70, 2.5Û`) r Û XÕ-40 }` }을 따르고 Z= 5 r 5 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 37-40 XÕ-40 43-40 É É r r r ¼ 5 5 5 =P{- =P(-1.6aÉZÉ1.6a) =2 P(0ÉZÉ1.6a) 15 15 ÉZÉ } r r =2 P{0ÉZÉ =0.9544 15 } r =0.8664 ∴ P(0ÉZÉ1.6a)=0.4772 15 }=0.4332 r 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 ∴ P{0ÉZÉ 1.6a=2 ∴ a=1.25 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 15 =1.5 ∴ r=10 r 0803 238 0805 103 이 공장에서 생산하는 오렌지주스 한 병의 용량을 확률변수 X라 확률변수 XÕ는 정규분포 N(100, 9Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 하면 X는 정규분포 N(m, 8Û`)을 따른다. 9인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 확률변수 XÕ는 이 모집단에서 크기가 4인 표본을 임의추출하여 구 E(XÕ)=100, V(XÕ)= 한 표본평균이므로 E(XÕ)=m, V(XÕ)= 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(100, 3Û`)을 따르고 Z= 8Û` =4Û` 4 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(m, 4Û`)을 따르고 Z= XÕ-m 으로 4 ………………………………………………………………………………… ➊ P(XÕ¾k)É0.1587에서 P(XÕ¾234)=0.8413에서 P(XÕ¾k)‌=P{ =P{Z¾ 234-m } 4 É0.1587 =0.8413 0.8413>0.5이므로 P{Z¾ 0.1587<0.5이므로 234-m <0이고 4 P{Z¾ 234-m m-234 }‌=P{ZÉ } 4 4 =P(Z¾0)+P{0ÉZÉ =0.5+P{0ÉZÉ k-100 >0이고 3 k-100 k-100 }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 3 3 m-234 } 4 m-234 } 4 k-100 } 3 É0.1587 ∴ P{0ÉZÉ k-100 }¾0.3413 3 ………………………………………………………………………………… ➋ m-234 }‌=0.3413 4 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 m-234 =1 ∴ m=238 4 k-100 } 3 =0.5-P{0ÉZÉ =0.8413 ∴ P{0ÉZÉ XÕ-100 k-100 ¾ } 3 3 XÕ-m 234-m ¾ } 4 4 =P{Z¾ XÕ-100 3 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(XÕ¾234)‌=P{ 9Û` =3Û` 9 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 k-100 ¾1 3 ∴ k¾103 따라서 실수 k의 최솟값은 103이다. ………………………………………………………………………………… ➌ Ⅲ. 통계 191 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 191 2023. 9. 12. 오전 10:01 채점 기준 ⑵ 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 배점 10 10 ÉmÉ100+2.58_ '25 '25 ∴ 94.84ÉmÉ105.16 40% ➊ XÕ가 따르는 정규분포를 구하고 표준화하기 ➋ ‌P(XÕ¾k)É0.1587을 Z에 대한 확률을 나타내는 식으로 변형 하기 100-2.58_ 40% 20% ➌ k의 최솟값 구하기 0806 ③ 이 빵집에서 판매하는 통밀식빵 한 봉지의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(m, 12Û`)을 따른다. 확률변수 XÕ는 이 모집단에서 크기가 16인 표본을 임의추출하여 구 한 표본평균이므로 E(XÕ)=m, V(XÕ)= 12Û` =3Û` 16 ② 이 회사에서 생산한 고무장갑 중에서 임의추출한 64쌍의 고무장갑 의 수명의 표본평균이 630시간이고 모표준편차가 4시간이므로 모 평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 630-1.96_ 4 4 ÉmÉ630+1.96_ '64 '64 ∴ 629.02ÉmÉ630.98 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(m, 3Û`)을 따르고 Z= XÕ-m 으로 3 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(|m-XÕ|¾k)=0.1에서 P{| 0807 XÕ-m k |¾ }=0.1이므로 3 3 P(0ÉZÉ1.96)=0.475에서 P(-1.96ÉZÉ1.96)‌=2P(0ÉZÉ1.96) =2_0.475 =0.95 k P{|Z|¾ }=0.1 3 k k P{ZÉ- }+P{Z¾ }=0.1 3 3 k 2 P{Z¾ }=0.1 3 0808 k ∴ P{Z¾ }=0.05 3 이 마을에서 수확한 수박 중에서 임의추출한 49개의 수박의 무게의 k 0.05<0.5이므로 >0이고 3 에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 P{Z¾ ② 표본평균을 x®`kg이라 하면 모표준편차가 1.4`kg이므로 모평균 m k k }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 3 3 k =0.5-P{0ÉZÉ } 3 1.4 1.4 ÉmÉx®+1.96_ '49 '49 ∴ x® 0.392ÉmÉx+ ® 0.392 x®-1.96_ 이 신뢰구간이 aÉmÉ7.992와 같으므로 =0.05 a=x®-0.392 yy ㉠ 7.992=x+ ® 0.392 yy ㉡ k ∴ P{0ÉZÉ }=0.45 3 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.6)=0.45이므로 k =1.6 3 ㉡에서 x®=7.6 이를 ㉠에 대입하면 a=7.6-0.392=7.208 ∴ k=4.8 0809 ③ 이 고등학교 1학년 학생 중에서 임의추출한 81명의 교내 도서관 이 08 모평균의 추정 - 모표준편차가 주어진 경우 용 시간의 표본평균을 x®시간이라 하면 모표준편차가 6시간이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 ⑴ 96.08ÉmÉ103.92 ⑵ 94.84ÉmÉ105.16 표본평균이 x®=100, 표본의 크기가 n=25이고 모표준편차가 r=10이므로 ⑴ 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 100-1.96_ 10 10 ÉmÉ100+1.96_ '25 '25 ∴ 96.08ÉmÉ103.92 6 6 ÉmÉx®+2.58_ '81 '81 ∴ x®-1.72ÉmÉx®+1.72 x®-2.58_ 즉, a=x®-1.72, b=x®+1.72이므로 a+b=36에서 2_x®=36 ∴ x®=18 ∴ a‌=x® 1.72 =18-1.72 =16.28 192 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 192 2023. 9. 12. 오전 10:02 0810 7 09 모평균의 추정 - 표본표준편차가 주어진 경우 이 농장에서 생산한 달걀 중에서 임의추출한 달걀 9개의 무게의 표 ⑴ 98.04ÉmÉ101.96 본평균을 x®`g이라 하면 주어진 표에서 50_1+51_2+52_2+53_4 9 = 468 =52 9 표본의 크기 n=100이 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준편 차를 사용할 수 있다. ………………………………………………………………………………… ➊ 표본의 크기가 9, 모표준편차가 5`g이고 P(|Z|É2)=0.95이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 52-2_ 1 권 x®‌= ⑵ 97.42ÉmÉ102.58 5 5 ÉmÉ52+2_ '9 '9 이때 표본평균이 x= ® 100, 표본표준편차가 s=10이므로 ⑴ 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 10 10 ÉmÉ100+1.96_ '¶100 '¶100 ∴ 98.04ÉmÉ101.96 100-1.96_ ⑵ 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 146 166 ∴ ÉmÉ 3 3 10 10 ÉmÉ100+2.58_ '¶100 '¶100 ∴ 97.42ÉmÉ102.58 100-2.58_ ………………………………………………………………………………… ➋ 따라서 신뢰구간에 속하는 정수는 49, 50, 51, y, 55의 7개이다. ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 0812 배점 ➊ 표본평균 구하기 40% ➋ 신뢰구간 구하기 40% ➌ 신뢰구간에 속하는 정수의 개수 구하기 20% ② 이 농장에서 생산한 사과 중에서 임의추출한 사과 100개의 무게의 표본평균이 107`g, 표본표준편차가 10`g이고 표본의 크기 100이 충분히 크므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 10 10 ÉmÉ107+1.96_ '¶100 '¶100 ∴ 105.04ÉmÉ108.96 107-1.96_ 0813 0811 24 98 이 회사에서 생산된 모니터 중에서 임의추출한 100대의 모니터의 수명의 표본평균이 x®, 표본표준편차가 500이고 표본의 크기 100이 표본평균을 x라 ® 하면 표본의 크기가 n, 모표준편차가 r이므로 모 충분히 크므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 x®-1.96_ r r ÉmÉx®+1.96_ '§n '§n 이 신뢰구간이 133.2ÉmÉ152.8과 같으므로 x®-1.96_ r =133.2 x®-1.96_ yy ㉠ '§n r =152.8 x®+1.96_ yy ㉡ '§n ㉠+㉡을 하면 2_x= ® 286에서 x®=143 ㉡-㉠을 하면 2_1.96_ 500 500 ÉmÉx®+1.96_ '¶100 '¶100 이 신뢰구간이 x®-cÉmÉx®+c와 같으므로 c=1.96_ 500 =1.96_50=98 '¶100 0814 9 yy ㉢ 크기가 400인 표본의 표본평균이 283, 표본표준편차가 36이고 표 r =19.6에서 '§n 본의 크기 400이 충분히 크므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 r =5 yy ㉣ '§n 한편, 같은 표본을 이용하여 얻은 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 283-2.58_ 신뢰구간은 ………………………………………………………………………………… ➊ r r ÉmÉx+ x® 2.58_ ® 2.58_ '§n '§n 위의 식에 ㉢, ㉣을 대입하면 따라서 신뢰구간에 속하는 자연수는 279, 280, 281, y, 287의 9개 143-2.58_5ÉmÉ143+2.58_5 36 36 ÉmÉ283+2.58_ '¶400 '¶400 ∴ 278.356ÉmÉ287.644 이다. ………………………………………………………………………………… ➋ 채점 기준 ∴ 130.1ÉmÉ155.9 배점 따라서 구하는 최댓값은 p=155, 최솟값은 q=131이므로 ➊ 신뢰구간 구하기 60% p-q=155-131=24 ➋ ‌신뢰구간에 속하는 자연수의 개수 구하기 40% Ⅲ. 통계 193 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 193 2023. 9. 12. 오전 10:02 0815 ③ 이 회사에서 생산한 음료수 중에서 임의추출한 64병의 용량의 표본 평균이 240`mL, 표본표준편차가 4`mL이고 표본의 크기 64가 충 n=100을 ㉡에 대입하면 5 =20.98 '¶100 ∴ n+a=100+20.98=120.98 a=20+1.96_ 분히 크므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 240-1.96_ 4 4 ÉmÉ240+1.96_ '64 '64 즉, 239.02ÉmÉ240.98이므로 0818 a=239.02, b=240.98 이 마트에서 판매하는 수제 소시지 중에서 임의추출한 n개의 소시 같은 표본에서 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 지 무게의 표본평균이 x®`g, 모표준편차가 2`g이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 222.2 4 4 ÉmÉ240+2.58_ 240-2.58_ '64 '64 즉, 238.71ÉmÉ241.29이므로 x®-2.58_ c=238.71, d=241.29 ………………………………………………………………………………… ➊ ∴ d-a=241.29-239.02=2.27 이 신뢰구간이 77.77ÉmÉ78.63과 같으므로 x® 2.58_ 2 2 ÉmÉx®+2.58_ '§n '§n 2 =77.77 '§n 2 =78.63 '§n ㉠+㉡을 하면 x+ ® 2.58_ 10 yy ㉡ 2x= ® 156.4 ∴ x®=78.2 모평균의 추정 - 표본의 크기 구하기 0816 yy ㉠ ③ 이 운송회사의 배송 직원 중에서 임의추출한 n명의 직원이 하루 동 안 처리하는 택배 상자의 개수의 표본평균이 220개, 모표준편차가 15개이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 15 15 ÉmÉ220+1.96_ '§n '§n 이 신뢰구간이 210.2ÉmÉ229.8과 같으므로 220-1.96_ ………………………………………………………………………………… ➋ x®=78.2를 ㉠에 대입하면 78.2-2.58_ 2 =0.43 '§n '§n=12 2 =77.77에서 '§n 2.58_ ∴ n=144 ………………………………………………………………………………… ➌ ∴ x®+n=78.2+144=222.2 15 =210.2 '§n 15 =229.8 220+1.96_ '§n 15 따라서 1.96_ =9.8에서 '§n '§n=3 220-1.96_ ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 ∴ n=9 0817 ④ 배점 ➊ 신뢰구간을 n에 대한 식으로 나타내기 30% ➋ x®의 값 구하기 30% ➌ n의 값 구하기 30% ➍ x+ ® n의 값 구하기 10% 0819 16 이 밭에서 수확한 딸기 중에서 임의추출한 n개의 무게의 표본평균 모집단에서 임의추출한 크기가 n인 표본의 표본평균을 x®라 하면 이 20`g, 표본표준편차가 5`g이므로 표본의 크기 n이 충분히 크다 모표준편차가 12이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구 고 가정하고 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간을 구하면 간은 5 5 ÉmÉ20+1.96_ 20-1.96_ '§n '§n 이 신뢰구간이 19.02ÉmÉa와 같으므로 5 =19.02 yy ㉠ '§n 5 =a 20+1.96_ yy ㉡ '§n 5 ㉠에서 1.96_ =0.98이므로 '§n '§n=10 20-1.96_ ∴ n=100 12 12 ÉmÉx+ ® 1.96_ '§n '§n 이 신뢰구간이 kÉmÉk+11.76과 같으므로 x® 1.96_ 12 =k yy ㉠ '§n 12 =k+11.76 x®+1.96_ yy ㉡ '§n 12 ㉡-㉠을 하면 2_1.96_ =11.76이므로 '§n '§n=4 x®-1.96_ ∴ n=16 194 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 194 2023. 9. 12. 오전 10:02 0820 ④ 모집단에서 임의추출한 크기가 n인 표본의 표본평균이 x,® 모표준 따라서 조건을 만족시키는 자연수 n은 24, 25, 26, y, 36의 13개 이다. 편차가 20이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 신뢰구간 66- 20 20 ÉmÉx®+2_ '§n '§n 24 24 는 66을 기준으로 하여 좌우 대칭을 ÉmÉ66+ '§n '§n 이루는 구간이다. 따라서 이 구간에 속하는 정수의 개수가 9이려면 다음 그림과 같아야 한다. 40 40 ÉmÉx®+ '§n '§n 이 신뢰구간이 115ÉmÉa와 같으므로 ∴ x®- 66- 40 =115 yy ㉠ x®'§n 1 권 x®-2_ 24 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 24 66+ 1n6 1n6 40 =a yy ㉡ '§n 같은 표본을 이용하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰 x®+ 구간은 20 20 ÉmÉx®+3_ '§n '§n 60 60 ∴ x®ÉmÉx®+ '§n '§n 이 신뢰구간이 bÉmÉ135와 같으므로 x®-3_ 60 =b '§n 60 =135 x®+ '§n x®- 11 모평균의 추정 - 미지수 구하기 0822 yy ㉢ ⑤ 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 16인 표본의 표본평균이 x®이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰 yy ㉣ 구간은 60 40 ㉣-㉠을 하면 + =20이므로 '§n '§n 100 =20, '§n=5 ∴ n=25 '§n n=25를 ㉠에 대입하면 r r ÉmÉx®+1.96_ '1§6 '1§6 ∴ x®-0.49rÉmÉx®+0.49r x®-1.96_ 이 신뢰구간이 21.06ÉmÉ26.94와 같으므로 x®-0.49r=21.06 yy ㉠ 40 =115 ∴ x®=123 '¶25 x®=123, n=25를 ㉡에 대입하면 x®- x®+0.49r=26.94 yy ㉡㉠+㉡을 하면 2x®=48 ∴ x®=24 40 =131 '¶25 x®=123, n=25를 ㉢에 대입하면 a=123+ x®=24를 ㉠에 대입하면 24-0.49r=21.06이므로 0.49r=2.94 ∴ r=6 60 =111 b=123'¶25 ∴ n+a+b=25+131+111=267 ∴ x®+r=24+6=30 0823 모표준편차가 r인 모집단에서 크기가 49인 표본을 임의추출하여 0821 ⑤ 이 고등학교 2학년 학생 중에서 임의추출한 n명의 중간고사 수학 구한 표본평균의 값이 x® 이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신 뢰구간은 P(0ÉZÉ3)=0.495에서 P(|Z|É3)=0.99이므로 모평균 m에 r r ÉmÉx+ ® 1.96_ '49 '49 ∴ x®-0.28rÉmÉx®+0.28r 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 이 신뢰구간이 1.73ÉmÉ1.87과 같으므로 8 8 ÉmÉ66+3_ 66-3_ '§n '§n 24 24 ∴ 66ÉmÉ66+ '§n '§n 이 신뢰구간에 속하는 정수의 개수가 9이려면 x® 0.28r=1.73 yy ㉠ 성적의 표본평균이 66점, 모표준편차가 8점이고 24 24 É62, 70É66+ <71 '§n '§n 24 즉, 4É <5이어야 하므로 '§n 24 576 <'§nÉ6 ∴ <nÉ36 5 25 61<66- 25 x® 1.96_ x®+0.28r=1.87 yy ㉡㉠+㉡을 하면 2x= ® 3.6 ∴ x= ® 1.8 x®=1.8을 ㉠에 대입하면 1.8-0.28r=1.73이므로 0.28r=0.07 ∴ r=0.25 r 0.25 = =;3°6;이므로 1.8 x® 5 180k=180_ =25 36 따라서 k= Ⅲ. 통계 195 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 195 2023. 9. 12. 오전 10:02 0824 98 모평균이 m인 정규분포를 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 36인 표본의 표본평균이 x,® 표본표준편차가 s이고 표본의 크기 36 이 충분히 크므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 x® 2.58_ yy ㉠ x®-0.3r=a x+ yy ㉡ ® 0.3r=66 같은 모집단에서 임의추출한 크기가 25인 표본의 표본평균이 x®-2 이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 s s ÉmÉx+ ® 2.58_ '36 '36 r r ÉmÉ(x®-2)+3_ '25 '25 ∴ x® 2-0.6rÉmÉx® 2+0.6r (x®-2)-3_ ∴ x® 0.43sÉmÉx+ ® 0.43s ………………………………………………………………………………… ➊ 이 신뢰구간이 83.7ÉmÉ92.3과 같으므로 x®-0.43s=83.7 yy ㉠ x®+0.43s=92.3 yy ㉡ 이 신뢰구간이 bÉmÉ70과 같으므로 x®-2-0.6r=b yy ㉢ x® 2+0.6r=70 yy ㉣㉣-㉡을 하면 ㉠+㉡을 하면 2x= ® 176 ∴ x= ® 88 ………………………………………………………………………………… ➋ x= ® 88을 ㉠에 대입하면 88-0.43s=83.7이므로 0.43s=4.3 ∴ s=10 ………………………………………………………………………………… ➌ ∴ x®+s=88+10=98 ………………………………………………………………………………… ➍ 채점 기준 이 신뢰구간이 aÉmÉ66과 같으므로 -2+0.3r=4, 0.3r=6 ∴ r=20 r=20을 ㉡에 대입하면 x+ ® 0.3_20=66 ∴ x= ® 60 ㉠, ㉢에 대입하면 x= 60, r=20을 ® a=60-0.3_20=54 b=60-2-0.6_20=46 ∴ r+a+b=20+54+46=120 배점 ➊ 신뢰구간을 x®, s에 대한 식으로 나타내기 30% ➋ x의 ® 값 구하기 30% ➌ s의 값 구하기 30% ➍ x®+s의 값 구하기 10% 12 0825 ③ 신뢰구간의 길이 0827 ③ 이 회사에서 생산한 1`L짜리 우유 중에서 임의추출한 4팩의 나트 이 회사에서 생산하는 제품의 무게의 모표준편차가 15`g이므로 전 륨 함유량의 표본평균이 505`mg, 모표준편차가 r`mg이므로 모평 체 제품 중에서 900개를 임의추출하여 모평균을 신뢰도 95`%로 추 균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 정한 신뢰구간의 길이는 r r ÉmÉ505+1.96_ 505-1.96_ '4 '4 ∴ 505-0.98rÉmÉ505+0.98r 2_1.96_ 15 =1.96 '¶900 이 신뢰구간이 485.4ÉmÉk와 같으므로 505-0.98r=485.4 yy ㉠ 505+0.98r=k yy ㉡ 0828 4 ㉠에서 0.98r=19.6이므로 P(0ÉZÉ3)=0.495에서 P(|Z|É3)=0.99 r=20 모평균이 m이고 모표준편차가 4인 정규분포를 따르는 모집단에서 r=20을 ㉡에 대입하면 크기가 36인 표본을 임의추출하여 모평균 m을 신뢰도 99`%로 추 k=505+0.98_20=524.6 정한 신뢰구간 aÉmÉb에 대하여 ∴ k+r=524.6+20=544.6 b-a=2_3_ 0826 120 4 =4 '36 모평균이 m이고 모표준편차가 r인 정규분포를 따르는 모집단에서 0829 임의추출한 크기가 100인 표본의 표본평균이 x®이고 P(|Z|É2)=0.95이므로 모표준편차가 40인 정규분포를 따르는 P(0ÉZÉ3)=0.495에서 P(|Z|É3)=0.99이므로 모평균 m에 모집단에서 크기가 100인 표본을 임의추출하여 모평균 m을 신뢰 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 도 95`%로 추정한 신뢰구간의 길이는 x®-3_ r r ÉmÉx®+3_ '¶100 '¶100 ∴ x®-0.3rÉmÉx®+0.3r lÁ=2_2_ ;2#; 40 =16 '¶100 ………………………………………………………………………………… ➊ 196 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 196 2023. 9. 12. 오전 10:02 P(|Z|É3)=0.99이므로 같은 표본을 이용하여 모평균 m을 신뢰 도 99`%로 추정한 신뢰구간의 길이는 lª=2_3_ 40 =24 '¶100 따라서 lª=klÁ에서 k= 신뢰구간의 길이 - 표본의 크기 또는 미지수 구하기 0832 ③ 모표준편차가 10인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본 1 권 ………………………………………………………………………………… ➋ 13 을 임의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간 lª 24 = =;2#; lÁ 16 의 길이가 2보다 작으려면 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 배점 ➊ lÁ의 값 구하기 40% ➋ lª의 값 구하기 40% ➌ k의 값 구하기 20% 0830 10 <2 '§n 즉, '§n>19.6에서 2_1.96_ n>384.16 따라서 자연수 n의 최솟값은 385이다. ⑤ 0833 ② 이 고등학교 학생들이 등교하는 데 걸리는 시간의 모평균 m에 대 이 회사에서 생산하는 과일 맛 음료수에 들어 있는 비타민 C의 양 한 신뢰도 95`%의 신뢰구간이 40.04ÉmÉ43.96이므로 신뢰구간 은 모표준편차가 4`mg인 정규분포를 따르므로 n병의 음료수를 임 의 길이는 의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간 43.96-40.04=3.92 yy ㉠ aÉmÉb에 대하여 이 고등학교 학생들이 등교하는 데 걸리는 시간의 모표준편차를 r 분이라 하면 등교하는 데 걸리는 시간의 모평균 m에 대한 신뢰도 b-a=2_2.58_ 4 20.64 = '§n '§n 95`%의 신뢰구간의 길이는 이때 b-a=1.29에서 r =0.49r yy ㉡ '6§4 ㉠, ㉡이 일치하므로 0.49r=3.92 ∴ r=8 따라서 '§n=16이므로 2_1.96_ 20.64 =1.29 '§n n=256 따라서 이 고등학교 학생 중 16명을 다시 임의추출하여 모평균 m 을 신뢰도 99`%로 추정한 신뢰구간의 길이는 2_2.58_ 0834 8 =10.32 '1§6 10 이 음식점을 방문한 고객의 주문 대기 시간은 모표준편차가 r분인 0831 ③ f(n, a)는 모표준편차가 12, 표본의 크기가 n일 때, 신뢰도 a`% 로 추정한 모평균 m의 신뢰구간의 길이를 의미한다. 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.65)=0.450이므로 P(|Z|É1.65)‌=P(-1.65ÉZÉ1.65) 정규분포를 따르므로 방문 고객 64명을 임의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간 aÉmÉb에 대하여 r =0.49r '6§4 이때 b-a=4.9에서 0.49r=4.9 b-a=2_1.96_ ∴ r=10 =P(-1.65ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1.65) =2P(0ÉZÉ1.65) =2_0.450=0.90 즉, A= f(16, 90)은 모표준편차가 12인 정규분포를 따르는 모집 0835 400 단에서 크기가 16인 표본을 임의추출하여 모평균 m을 신뢰도 90`% P(|Z|É3)=0.99이므로 모표준편차가 90인 정규분포를 따르는 로 추정한 신뢰구간의 길이이므로 모집단에서 크기가 900인 표본을 임의추출하여 구한 모평균에 대 12 =9.9 '1§6 같은 방법으로 표준정규분포표에서 한 신뢰도 99`%의 신뢰구간의 길이를 l이라 하면 P(0ÉZÉ1.96)=0.475, P(0ÉZÉ2.58)=0.495이므로 ………………………………………………………………………………… ➊ A= f(16, 90)=2_1.65_ 12 =5.88 '6§4 12 C= f(36, 99)=2_2.58_ =10.32 '3§6 따라서 세 수 A, B, C 사이의 대소 관계는 B= f(64, 95)=2_1.96_ B<A<C l=2_3_ 90 =18 '¶900 P(|Z|É2)=0.95이므로 같은 모집단에서 크기가 n인 표본을 임 의추출하여 구한 모평균에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간의 길이를 l'이라 하면 l'=2_2_ 90 360 = '§n '§n ………………………………………………………………………………… ➋ Ⅲ. 통계 197 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 197 2023. 9. 12. 오전 10:02 0838 두 신뢰구간의 길이가 서로 같으므로 l=l'에서 360 18= '§n 따라서 '§n=20이므로 86 신뢰도 a`%에 대하여 P(|Z|Ék)= a `(k>0)라 하자. 100 모표준편차가 8이고 크기가 4인 표본을 임의추출하여 추정한 모평 n=400 ………………………………………………………………………………… ➌ 균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간의 길이가 12이므로 ➊ 크기가 900인 표본으로 추정한 신뢰구간의 길이 구하기 40% ➋ 크기가 n인 표본으로 추정한 신뢰구간의 길이 구하기 40% 8 =12 ∴ k=1.5 '§4 a 즉, P(|Z|É1.5)= 에서 100 ➌ n의 값 구하기 20% 2 P(0ÉZÉ1.5)= 채점 기준 2_k_ 배점 a 100 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.43이므로 a‌=200 P(0ÉZÉ1.5) 0836 ① 신뢰도를 a`%라 하고 P(|Z|Ék)= =200_0.43=86 a `(k>0)라 하자. 100 모표준편차가 r인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 324인 표 본을 임의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간 이 aÉmÉb이므로 0839 ③ 신뢰도 a`%에 대하여 P(|Z|Ék)= a `(k>0)라 하자. 100 r k = _r b-a=2_k_ '¶324 9 같은 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 모평균 m 이 농장에서 생산하는 수박의 당도의 모표준편차가 3이고 수박 에 대한 동일한 신뢰도 a`%의 신뢰구간이 cÉmÉd이므로 구간의 길이가 0.98이므로 r 2k = _r '§n '§n 이때 d-c=3(b-a)에서 144개를 임의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰 3 =0.98 ∴ k=1.96 '¶144 a 즉, P(|Z|É1.96)= 에서 100 d-c=2_k_ 2_k_ 2k k _r=3_ _r 9 '§n 따라서 '§n=6이므로 n=36 2P(0ÉZÉ1.96)= a 100 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.96)=0.48이므로 a‌=200P(0ÉZÉ1.96) =200_0.48=96 1 a 2 신뢰도 ;2!; a`%에 대하여 P(|Z|Ék')= `(k'>0)라 하면 100 14 신뢰구간의 길이 - 신뢰도 구하기 0837 2 P(0ÉZÉk')= ② a 신뢰도 a`%에 대하여 P(|Z|Ék)= `(k>0)라 하자. 100 이 고등학교 2학년 학생들의 중간고사 국어 성적의 모표준편차가 6 점이므로 학생 16명을 임의추출하여 추정한 모평균 m에 대한 신뢰 도 a`%의 신뢰구간의 길이는 6 =3k 2_k_ '16 이때 주어진 신뢰구간의 길이가 82.16-77.84=4.32이므로 3k=4.32 ∴ k=1.44 따라서 P(|Z|É1.44)= 2 P(0ÉZÉ1.44)= a 에서 100 a 100 =200_0.425=85 P(0ÉZÉk')=0.24 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.64)=0.24이므로 k'=0.64 따라서 같은 표본을 이용하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 ;2!; a %의 신뢰구간의 길이는 ` 2_k'_ 3 3 =2_0.64_ =0.32 '¶144 '¶144 0840 ④ 신뢰도 68`%에 대하여 P(|Z|Ék)= 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.44)=0.425이므로 a‌=200 P(0ÉZÉ1.44) 1 1 _96 a 2 2 =0.48에서 = 100 100 2 P(0ÉZÉk)= P(0ÉZÉk)= 68 `(k>0)이라 하면 100 68 에서 100 34 =0.34 100 198 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 198 2023. 9. 12. 오전 10:02 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.34이므로 15 k=1 즉, 모표준편차가 r이고 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 모 평균 m에 대한 신뢰도 68`%의 신뢰구간의 길이가 l이므로 r r =2_ '§n '§n yy ㉠ a `(k'>0)라 하면 100 같은 표본을 이용하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰 5 l이므로 2 5 r l=2_k'_ 2 '§n 4 r ∴ l= _k'_ 5 '§n ④ 이 인터넷 중고거래 사이트에 가입된 회원 중에서 임의추출한 회원 한편, 신뢰도 a`%에 대하여 P(|Z|Ék')= 구간의 길이가 0842 yy ㉡㉠, ㉡이 서로 일치하므로 n명의 연간 중고거래 횟수의 표본평균이 x이 ® 고 모표준편차가 15회 이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 15 15 ÉmÉx®+1.96_ '§n '§n 15 15 -1.96_ Ém-x®É1.96_ '§n '§n 15 ∴ |m-x®|É1.96_ '§n 이때 |m-x®|É1.47을 만족시키려면 x®-1.96_ |m-x®|É1.96_ 4 2= k' ∴ k'=2.5 5 즉, '§n¾20이므로 a 따라서 P(|Z|É2.5)= 에서 100 1 권 l=2_1_ 모평균과 표본평균의 차 15 É1.47 '§n n¾400 따라서 n의 최솟값은 400이다. a 2 P(0ÉZÉ2.5)= 100 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2.5)=0.49이므로 0843 a‌=200 P(0ÉZÉ2.5) 2 이 고등학교 학생 중에서 임의추출한 81명의 교내 매점 이용 횟수 =200_0.49=98 의 표본평균을 x®라 하면 모표준편차가 6회이고 P(|Z|É3)=0.99 이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 0841 ⑤ 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.6)=0.445이므로 P(|Z|É1.6)‌=2 P(0ÉZÉ1.6) -2Ém-x®É2 ∴ |m-x®|É2 따라서 모평균과 표본평균의 차의 최댓값은 2이다. =2_0.445 =0.89= 6 6 ÉmÉx®+3_ '81 '81 즉, x®-2ÉmÉx®+2이므로 x®-3_ 89 100 즉, f(96, 89)는 모표준편차가 r인 모집단에서 크기가 96인 표본 0844 64 을 임의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 89`%의 신뢰구간 정규분포를 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 n인 표본의 표 의 길이이므로 본평균을 x®라 하면 모표준편차가 12이고 P(0ÉZÉ2)=0.475, f(96, 89)=2_1.6_ 2'6 r r = 15 '§96 yy ㉠ x 신뢰도 x`%에 대하여 P(|Z|Ék)= `(k>0)라 하자. 100 f(216, x)는 모표준편차가 r인 모집단에서 크기가 216인 표본을 임의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 x`%의 신뢰구간의 길 이이므로 '6k r f(216, x)=2_k_ = r 18 '¶216 ㉠, ㉡이 서로 일치하므로 즉 P(|Z|É2)=0.95이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신 뢰구간은 12 12 ÉmÉx+ ® 2_ '§n '§n 24 24 ∴ xÉmÉx+ ® ® '§n '§n x® 2_ ………………………………………………………………………………… ➊ yy ㉡ 2'6 '6k r= r 15 18 24 24 Ém-x®É '§n '§n 24 ∴ |m-x®|É '§n - ………………………………………………………………………………… ➋ ∴ k=2.4 이때 모평균과 표본평균의 차가 3 이하가 되려면 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2.4)=0.492이므로 P(|Z|É2.4)‌=2 P(0ÉZÉ2.4) =2_0.492=0.984 = 98.4 100 ∴ x=98.4 24 É3 '§n 즉, '§n ¾8이므로 |m-x®|É n¾64 따라서 n의 최솟값은 64이다. ………………………………………………………………………………… ➌ Ⅲ. 통계 199 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 199 2023. 9. 12. 오전 10:02 채점 기준 배점 ➊ 신뢰구간 구하기 40% ➋ ‌|m-x|® 의 범위 구하기 30% ➌ n의 최솟값 구하기 30% - 1.29 1.29 Ém-x®É n n ∴ |m-x®|É 1.29 n 이때 |m-x®|É |m-x®|É 1 을 만족시키려면 30 1.29 É;3Á0; n ∴ n¾38.7 0845 ② 따라서 자연수 n의 최솟값은 39이다. 이 농장에서 생산하는 포도 한 송이의 무게는 정규분포를 따르므로 모평균을 m`g, 모표준편차를 r`g이라 하고 임의추출하여 구한 포 도 n송이의 무게의 표본평균을 x®라 하자. 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 r r ÉmÉx®+2.58_ '§n '§n r r -2.58_ Ém-x®É2.58_ '§n '§n r ∴ |m-x®|É2.58_ '§n 16 x®-2.58_ 이때 모평균과 표본평균의 차가 모표준편차의 신뢰구간의 성질 0847 ② 신뢰도 a`%에 대하여 P(-kÉZÉk)= 3 이하가 되려면 5 a `(k>0)라 하자. 100 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 추출하여 구한 표본평균이 x®이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 a`% r 3 É r '§n 5 즉, '§n ¾4.3이므로 |m-x| ® É2.58_ 의 신뢰구간은 r r ÉmÉx®+k_ '§n '§n 이 신뢰구간이 aÉmÉb와 일치하므로 x®-k_ n¾18.49 따라서 자연수 n의 최솟값은 19이다. r '§n ㄱ. a의 ‌ 값이 커지면 k의 값도 커지므로 n의 값이 일정할 때, a의 b-a=2_k_ 값이 커지면 b-a의 값도 커진다. (참) 0846 39 이 도시에 거주하는 성인 중에서 임의추출한 n명의 하루 운동 시간 의 표본평균이 50분이고 모표준편차가 r분이므로 모평균 m에 대 한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 ㄴ. a의 ‌ 값이 일정하면 k의 값도 일정하므로 a의 값이 일정할 때, n의 값이 커지면 b-a의 값은 작아진다. (참) ㄷ. ‌n, a의 값이 일정하면 x의 ® 값에 관계없이 b-a의 값은 일정하 다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. r r ÉmÉ50+1.96_ '§n '§n 이 신뢰구간이 49.02ÉmÉ50.98과 일치하므로 50-1.96_ r r =49.02, 50+1.96_ =50.98 '§n '§n r 즉, 1.96_ =0.98에서 '§n r =;2!; yy ㉠ '§n 이 도시에 거주하는 성인 중에서 다시 임의추출한 nÜ`명의 하루 운 50-1.96_ 동 시간의 표본평균이 x®분이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 r r ÉmÉx®+2.58_ "nÜ` "nÜ` r r ∴ x®-2.58_ ÉmÉx®+2.58_ n'§n n'§n 위의 식에 ㉠을 대입하면 x®-2.58_ x® 2.58_ 1 1 ÉmÉx+ ® 2.58_ 2n 2n 1.29 1.29 xÉmÉx+ ® ® n n 0848 ② 신뢰도를 a`%라 하고 P(-kÉZÉk)= a `(k>0)라 하자. 100 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간의 길이는 r '§n 모집단에서 크기가 4n인 표본을 임의추출하여 구한 모평균 m에 ln=2_k_ 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간의 길이는 l¢n‌=2_k_ r '§4§n 1 r = _{2_k_ } 2 '§n 1 = ln 2 l4n 1 ∴ = ln 2 200 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 200 2023. 9. 12. 오전 10:02 신뢰구간의 성질 신뢰도가 일정할 때, 신뢰구간의 길이는 표본의 크기의 제곱근에 반비례하 므로 다음이 성립한다. 0849 ⑤ 신뢰도를 a`%라 하고 P(-kÉZÉk)= 1 권 1 배가 된다. '§x 1 배가 된다. ⑵ 신뢰구간의 길이가 x배가 되면 표본의 크기는 xÛ` ⑴ 표본의 크기가 x배가 되면 신뢰구간의 길이는 신뢰구간이 aÉmÉb일 때, b-a의 값은 Ú 신뢰도가 클수록, 표본의 크기가 작을수록 커지고 Û 신뢰도가 작을수록, 표본의 크기가 클수록 작아진다. 이를 이용하여 다음과 같은 방법으로 접근할 수 있다. ⑴ ‌먼저 표본의 크기가 같은 것끼리 신뢰도를 비교하여 신뢰구간의 길이의 대소 관계를 파악한다. ⑵ ‌먼저 신뢰도가 같은 것끼리 표본의 크기를 비교하여 신뢰구간의 길이의 대소 관계를 파악한다. 이 문제의 경우, ③과 같이 신뢰도가 같은 대상이 없는 경우가 존재하므로 ⑴의 방식으로 접근해야 최종 결론에 도달할 수 있음에 주의한다. a `(k>0)라 하자. 100 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간의 길이는 r '§n ㄱ. a의 ‌ 값이 일정하면 k의 값도 일정하므로 신뢰도가 일정할 때, 2_k_ 0851 ⑤ 모표준편차를 r, 신뢰도를 a`%라 하고 P(-kÉZÉk)= a `(k>0)라 하자. 100 표본의 크기 n이 커지면 신뢰구간의 길이는 짧아진다. (거짓) ㄱ. 표본 ‌ A의 표준편차는 12, 표본 B의 표준편차는 10으로, 표본 ㄴ. a의 ‌ 값이 작아지면 k의 값도 작아지므로 표본의 크기 n이 커지 B의 표준편차가 더 작으므로 표본 A보다 표본 B의 분포가 더 고 신뢰도가 낮아지면 신뢰구간의 길이는 짧아진다. (참) 고르다. (참) r ㄷ. 2_k_ ‌ 의 값이 일정할 때, n의 값이 커지면 k의 값도 커지 '§n 므로 신뢰구간의 길이가 일정할 때, 표본의 크기 n이 커지면 신 뢰도는 높아진다. (참) ㄴ. 크기가 ‌ nÁ인 표본 A를 이용하여 추정한 모평균 m의 신뢰구간 이 237ÉmÉ243이므로 신뢰구간의 길이는 243-237=6 즉, 2_k_ 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. '¶nÁ= kr 3 r =6에서 '§nÁ ‌크기가 nª인 표본 B를 이용하여 추정한 모평균 m의 신뢰구간 0850 ② 이 228ÉmÉ232이므로 신뢰구간의 길이는 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 232-228=4 추출하여 모평균 m을 신뢰도 a`%로 추정한 신뢰구간 aÉmÉb에 즉, 2_k_ 대하여 b-a의 값은 각각 다음과 같다. ① n=100, a=95일 때, 2_1.96_ r =0.392r '¶100 r ② n=100, a=99일 때, 2_2.58_ =0.516r '¶100 r ③ n=400, a=90일 때, 2_1.65_ =0.165r '¶400 ④ n=400, a=95일 때, 2_1.96_ ⑤ n=400, a=99일 때, 2_2.58_ r =0.196r '¶400 r =0.258r '¶400 따라서 b-a의 값이 가장 큰 것은 ②이다. '¶nª= 이때 kr 2 r =4에서 '§nª kr kr 이므로 < 3 2 '§nÁ<'§nª ∴ nÁ<nª 즉, 표본 A의 크기가 표본 B의 크기보다 작다. (참) r 에서 신뢰도가 a보다 커지면 k의 '§n 값도 커지므로 신뢰구간의 길이도 커진다. (참) ㄷ. 신뢰구간의 ‌ 길이 2_k_ 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 다른 풀이 표본의 크기가 같은 것끼리 먼저 비교하면 다음과 같다. Ú ‌①, ②는 표본의 크기가 100으로 서로 같으므로 신뢰도가 더 큰 ②의 신뢰구간의 길이가 더 길다. Û ‌③, ④, ⑤는 표본의 크기가 400으로 서로 같으므로 신뢰도가 가장 큰 ⑤의 신뢰구간의 길이가 가장 길다. Ú, Û에 의하여 ②, ⑤의 신뢰구간의 길이만 비교하면 된다. 이때 ②, ⑤는 신뢰도가 99`%로 서로 같으므로 표본의 크기가 더 작은 ②의 신뢰구간의 길이가 더 길다. 따라서 신뢰구간의 길이가 가장 긴 것은 ②이다. 0852 ⑤ 신뢰도 a`%에 대하여 P(-kÉZÉk)= a `(k>0)라 하자. 100 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간이 aÉmÉb이므로 f(n, a)=b-a=2_k_ r '§n Ⅲ. 통계 201 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 201 2023. 9. 12. 오전 10:02 ㄱ. f(100n, a)‌=2_k_ = = r 'Ä100n 1 r _{2_k_ } 10 '§n 1 f(n, a)(거짓) 10 ㄴ. f(nÁ, a)< f(nª, a)에서 r r <2_k_ '§nÁ '¶§nª 1 1 , '¶nÁ>'§nª < '§nÁ '¶§nª ∴ nÁ>nª (참) 구한 표본평균이 XÕ이므로 r(XÕ)= b `(k'>0)라 하면 100 r '¶§nª 즉, f(nÁ, a)= f(nª, b)에서 ∴ ③ 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이 117이므로 모평균 m에 대 한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 '§nÁ k yy ㉠ = k' '¶nª 24 24 ÉmÉ117+1.96_ '¶256 '¶256 ∴ 114.06ÉmÉ119.94 117-1.96_ 이때 nÁ<nª이면 '§nÁ<'¶nª이므로 즉, ㉠에서 0854 모표준편차가 24인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 256인 r r =2_k'_ '§nÁ '¶§nª '§nÁ <1 '¶nª 12 =2에서 'n=6 '§n ∴ n=36 f(nª, b)=2_k'_ 2_k_ ④ 모표준편차가 12인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 2_k_ ㄷ. P(-k'ÉZÉk')= 0853 0855 k <1이므로 k' ⑤ E(X)=0_;3!;+1_a+2_b=a+2b k<k' ∴ a<b (참) 주어진 모집단에서 크기가 4인 표본을 임의추출하여 구한 표본평 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 균이 XÕ이므로 다른 풀이 ㄱ. 신뢰도가 ‌ 일정할 때, 신뢰구간의 길이는 표본의 크기의 제곱근 에 반비례한다. ‌즉, f(n, a), f(100n, a)는 동일한 신뢰도에서 표본의 크기가 E(XÕ)=E(X)=;6%; ∴ a+2b=;6%; 각각 n, 100n인 표본을 임의추출하여 구한 신뢰구간의 길이이 므로 1 _ f(n, a) 'Ä100 1 = f(n, a) (거짓) 10 f(100n, a)‌= ㄴ. 신뢰도가 ‌ 일정할 때, 표본의 크기가 커지면 신뢰구간의 길이는 짧아지고, 표본의 크기가 작아지면 신뢰구간의 길이는 길어진다. 즉, 같은 신뢰도 a`%에 대하여 신뢰구간의 길이가 긴 쪽의 표 본의 크기가 더 작으므로 f(nÁ, a)< f(nª, a)이면 nÁ>nª이 다. (참) 0856 ② E(X)=6, E(XÛ`)=85이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=85-6Û`=49 즉, 확률변수 XÕ는 모평균이 6, 모분산이 49인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 E(XÕ)=6, V(XÕ)= 49 n 이때 V(XÕ)=E(XÕ Û`)-{E(XÕ)}Û`에서 E(XÕ Û`)=43이므로 49 =43-6Û`=7 ∴ n=7 n 0857 21 상자에서 한 장의 카드를 임의로 꺼낼 때, 나온 카드에 적혀 있는 수 를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 1 2 3 합계 P(X=x) ;6!; ;3!; ;2!; 1 E(X)=1_;6!;+2_;3!;+3_;2!;=;;Á6¢;;=;3&; 이고 202 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 202 2023. 9. 12. 오전 10:02 E(XÛ`)=1Û`_;6!;+2Û`_;3!;+3Û`_;2!;=;;£6¤;;=6이므로 0860 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=6-{;3&;}Û`=;9%; 이 농장에서 생산한 한라봉 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X 이때 XÕ는 이 상자에서 크기가 10인 표본을 임의추출하여 구한 표 이때 크기가 9인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 E(XÕ)=;3&;, V(XÕ)= 는 정규분포 N(423, 12Û`)을 따른다. E(XÕ)=423, V(XÕ)= 5 9 =;1Á8; 10 1 권 본평균이므로 ② 12Û` =4Û` 9 이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N(423, 4Û`)을 따르고 Z= 따라서 E(6XÕ-1)=6 E(XÕ)-1=6_;3&;-1=13, XÕ-423 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 4 따른다. V(12XÕ+7)=12Û` V(XÕ)=12Û`_;1Á8;=8이므로 따라서 구하는 확률은 E(6XÕ-1)+V(12XÕ+7)=13+8=21 P(425ÉXÕÉ431)=P{ 425-423 XÕ-423 431-423 É É } 4 4 4 =P(0.5ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ0.5) 0858 1 =0.4772-0.1915 =0.2857 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 나온 공에 적힌 수를 확 률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 2 4 6 합계 P(X=x) ;4!; ;2!; ;4!; 1 첫 번째 시행에서 꺼낸 공에 적힌 수를 XÁ, 두 번째 시행에서 꺼낸 공에 적힌 수를 Xª라 하면 표본평균 XÕ= XÁ+Xª 가 갖는 값은 2 2, 3, 4, 5, 6이고 a=P(XÕ=4), b=P(XÕ=5)이다. 81 모표준편차가 3인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본 을 임의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간 의 길이는 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 3 15.48 = '§n '§n 15.48 이때 25l=43이므로 25_ =43에서 '§n '§n=9 l=2_2.58_ XÕ=4인 경우는 (2, 6), (4, 4), (6, 2)일 때이므로 a=P(XÕ=4) =P(X=2)_P(X=6)+P(X=4)_P(X=4) +P(X=6)_P(X=2) 0861 ∴ n=81 =;4!;_;4!;+;2!;_;2!;+;4!;_;4!; =;1¤6;=;8#; XÕ=5인 경우는 (4, 6), (6, 4)일 때이므로 b=P(XÕ=5) 0862 =P(X=4)_P(X=6)+P(X=6)_P(X=4) ③ =;2!;_;4!;+;4!;_;2!; 이 회사에서 일하는 플랫폼 근로자의 일주일 근무 시간을 확률변수 =;8@;=;4!; 이때 크기가 36인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 X라 하면 X는 정규분포 N(m, 5Û`)을 따른다. ∴ 2a+b=2_;8#;+;4!;=1 E(XÕ)=m, V(XÕ)= 0859 ⑤ 이 회사에서 생산하는 전구 중에서 임의추출한 64개의 전구의 평균 수명에 대한 표본평균이 x시 ® 간이고 모표준편차가 20시간이므로 모 평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 20 20 ÉmÉx®+2.58_ '64 '64 ∴ x®-6.45ÉmÉx®+6.45 x®-2.58_ ∴ c=6.45 5Û` ={;6%;}2` 36 5 XÕ-m 이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N{m, { }2`}을 따르고 Z= 6 5 6 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(XÕ¾38)=0.9332에서 » XÕ-m 38-m ¾ ¼ 5 5 6 6 6(38-m)` =P{Z¾ } 5 P(XÕ¾38)‌=P =0.9332 6(38-m)` 0.9332>0.5이므로 <0이고 5 Ⅲ. 통계 203 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 203 2023. 9. 12. 오전 10:02 P{Z¾ 6(38-m)` 6(m-38)` }‌=P{ZÉ } 5 5 이때 주어진 신뢰구간의 길이가 74.84-67.16=7.68이므로 6k=7.68 6(m-38)` =P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ } 5 =0.5+P{0ÉZÉ ∴ k=1.28 따라서 P(|Z|É1.28)= 6(m-38)` } 5 2 P(0ÉZÉ1.28)= =0.9332 6(m-38)` ∴ P{0ÉZÉ }=0.4332 5 a 에서 100 a 100 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.28)=0.400이므로 a=200 P(0ÉZÉ1.28) =200_0.400=80 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 6(m-38)` =1.5 5 m-38=1.25 ∴ m=39.25 0866 0863 51 ③ 신뢰도 a`%에 대하여 P(-kÉZÉk)= a `(k>0)라 하자. 100 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 이 도시 성인 중에서 임의추출한 100명의 한 달 동안의 운동 횟수 추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간이 의 표본평균이 17회, 표본표준편차가 8회이고 표본의 크기 100이 aÉmÉb이므로 충분히 크므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 r '§n ㄱ. a의 ‌ 값이 작아지면 k의 값도 작아지므로 n의 값이 일정할 때, b-a=2_k_ 8 8 ÉmÉ17+1.96_ 17-1.96_ '¶100 '¶100 ∴ 15.432ÉmÉ18.568 a의 값이 작아지면 b-a의 값도 작아진다. (참) 따라서 신뢰구간에 속하는 자연수는 16, 17, 18이므로 그 합은 ㄴ. a의 ‌ 값이 일정하면 k의 값도 일정하므로 a의 값이 일정할 때, 16+17+18=51 n의 값이 커지면 b-a의 값은 작아진다. (거짓) ㄷ. a의 ‌ 값이 커지면 k의 값도 커지므로 n의 값이 작아지고 a의 값 이 커지면 b-a의 값은 커진다. (참) 0864 97 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 이 지역 미취학 아동 중에서 임의추출한 n명의 키의 표본평균이 x®`cm이고 모표준편차가 10`cm이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 0867 95`%의 신뢰구간은 10 10 x®-1.96_ ÉmÉx®+1.96_ '§n '§n 19.6 19.6 x®ÉmÉx®+ '§n '§n 19.6 19.6 19.6 ∴ |m-x®|É Ém-x®É '§n '§n '§n 이때 |m-x®|É2를 만족시키려면 ④ 모표준편차가 r인 모집단에서 임의추출하여 구한 크기가 49인 표 본의 표본평균이 60이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰 구간은 r r ÉmÉ60+1.96_ '49 '49 ∴ 60-0.28rÉmÉ60+0.28r 60-1.96_ 19.6 É2 '§n 즉, '§n ¾9.8이므로 |m-x|® É 이 신뢰구간이 58.32ÉmÉk와 같으므로 n¾96.04 60-0.28r=58.32 yy ㉠ 60+0.28r=k yy ㉡㉠에서 0.28r=1.68이므로 따라서 자연수 n의 최솟값은 97이다. r=6 r=6을 ㉡에 대입하면 k=60+0.28_6=61.68 0865 80 신뢰도 a`%에 대하여 P(|Z|Ék)= ∴ k+r=61.68+6=67.68 a `(k>0)라 하자. 100 이 고등학교 3학년 학생들의 학력평가 수학 점수의 모표준편차가 12점이므로 임의추출한 16명의 수학 점수의 표본평균을 이용하여 추정한 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간의 길이는 2_k_ 12 =6k '16 0868 16 이 지역의 반려동물을 키우는 가구의 월 양육비를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(16, 4Û`)을 따른다. 204 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 204 2023. 9. 12. 오전 10:02 확률변수 XÕ는 이 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구 한 표본평균이므로 4Û` 4 Û E(XÕ)=16, V(XÕ)= ={ }` n '§n 분모가 두 인수의 곱으로 되어 있을 때, C C 1 1 = { - }`(A+B) AB B-A A B 1 을 이용하여 변형할 수 있다. 4 Û }` }을 따르고 '§n 권 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{16, { 부분분수로의 변형 XÕ-16 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 4 '§n 따른다. Z= P(14ÉXÕÉ18)¾0.9544에서 » 14-16 XÕ-16 18-16 É É ¼ 4 4 4 '§n '§n '§n 'n 'n =P{ÉZÉ } 2 2 P(14ÉXÕÉ18)=P 0870 'n 'n =P{ÉZÉ0}+P{0ÉZÉ } 2 2 'n =2P{0ÉZÉ } 2 ⑤ 조건 ㈏에 의하여 두 확률변수 X, Y의 표준편차를 각각 r, 3 r`(r>0)라 하면 조건 ㈎, ㈏에 의하여 확률변수 X는 정규 2 ¾0.9544 'n ∴ P{0ÉZÉ }¾0.4772 2 분포 N(220, rÛ`)을 따르고, 확률변수 Y는 정규분포 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 지역 A에서 임의추출한 크기가 n인 표본의 표본평균이 XÕ이므로 3 N{240, { r}Û`}을 따른다. 2 'n ¾2, '§n¾4 2 E(XÕ)=220, V(XÕ)= ∴ n¾16 rÛ` r Û ={ }` n '§n 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{220, { 따라서 n의 최솟값은 16이다. r Û }`}을 따르므로 확률변 '§n XÕ-220 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. r '§n 또한 지역 B에서 임의추출한 크기가 9n인 표본의 표본평균이 YÕ이 수 므로 0869 181 P(|Z|É2)=0.95이므로 모표준편차가 r인 정규분포를 따르는 모 집단에서 임의추출한 크기가 (4nÛ`-1)인 표본의 표본평균을 이용 하여 모평균 m을 신뢰도 95`%로 추정한 신뢰구간의 길이는 ln=2_2_ r 4r = "Ã4nÛ`-1 "Ã4nÛ`-1 16rÛ` 4nÛ`-1 16rÛ` = (2n-1)(2n+1) 1 1 =16rÛ`_;2!;_{ } 2n-1 2n+1 ∴ lnÛ`‌= =8rÛ`{ 3 { r}Û` r Û` 2 E(YÕ)=240, V(YÕ)= } ={ 9n 2'§n 즉, 확률변수 YÕ는 정규분포 N{240, { YÕ-240 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. r 2'§n 이때 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 수 P(XÕÉ215)=0.1587에서 » P(XÕÉ215)‌=P XÕ-220 215-220 É ¼ r r '§n '§n 5'n } r 5'n =P{Z¾ } r =P{ZÉ- 1 1 } 2n-1 2n+1 따라서 lÁÛ`+lªÛ`+l£Û`+y+l10Û` =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ 1 =8rÛ`{1- }+8rÛ`{;3!;-;5!;}+8rÛ`{;5!;-;7!;}+y+8rÛ`{;1Á9;-;2Á1;} 3 =8rÛ`{1-;2Á1;} r Û }` }을 따르므로 확률변 2'§n =0.5-P{0ÉZÉ 5'n } r 5'n } r 160 rÛ` = 21 =0.1587 5'n ∴ P{0ÉZÉ }=0.3413 r 이므로 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 p=21, q=160 ∴ p+q=21+160=181 5'n =1 r yy ㉠ Ⅲ. 통계 205 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 205 2023. 9. 12. 오전 10:02 ∴ P(YÕ¾235)‌=P » YÕ-240 235-240 ¾ ¼ r r 2'§n 2'§n =P{Z¾- 이때 XÕ는 이 상자에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본 평균이므로 10'n } r V(XÕ)= =P(Z¾-2) (∵ ㉠) 71 64 = 71 64n n 따라서 V(XÕ)= =P(ZÉ2) 1 이 되려면 128 71 1 = 64n 128 =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ2) =0.5+0.4772 ∴ n=142 =0.9772 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 0871 ② 배점 ➊ ‌공에 적힌 수를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포 구하기 20% ➋ E(X), V(X)의 값 구하기 40% 1 을 만족시키는 n의 값 구하기 ➌ V(XÕ)= 128 40% 모표준편차가 5인 모집단에서 크기가 25인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이 xÁÕ이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰 구간은 5 5 xÁÕ 1.96_ '25 ÉmÉxÁ+ Õ 1.96_ '25 0873 이 신뢰구간이 80-aÉmÉ80+a와 같으므로 P(|Z|É2)=0.95이므로 모표준편차가 18인 정규분포를 따르는 xÁ= Õ 80, a=1.96 동일한 모집단에서 다시 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표 모집단에서 크기가 900인 표본을 임의추출하여 모평균 m을 신뢰 본평균이 xªÕ이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 lÁ=2_2_ ∴ xÁÕ-1.96ÉmÉxÁÕ+1.96 xªÕ 1.96_ 5 5 ÉmÉxª+ Õ 1.96_ 'n 'n 120 도 95`%로 추정한 신뢰구간의 길이는 18 =;;Á5ª;; '¶900 ………………………………………………………………………………… ➊ P(|Z|É3)=0.99이므로 같은 표본을 이용하여 모평균 m을 신뢰 이 신뢰구간이 ;1!6%; xÁÕ ;7%;aÉmÉ;1!6%; xÁ+ Õ ;7%;a와 같으므로 도 99`%로 추정한 신뢰구간의 길이는 xª= Õ ;1!6%; xÁ= Õ ;1!6%;_80=75 lª=2_3_ 5 =;7%;a=;7%;_1.96 'n 'n=7 ∴ n=49 18 =;;Á5¥;; '¶900 ………………………………………………………………………………… ➋ 1.96_ ∴ 100_|lÁ-lª|=100_| ∴ n+xªÕ=49+75=124 12 18 - |=120 5 5 ………………………………………………………………………………… ➌ 채점 기준 0872 배점 ➊ 신뢰도가 95`%일 때의 신뢰구간의 길이 구하기 40% ➋ 신뢰도가 99`%일 때의 신뢰구간의 길이 구하기 40% ➌ 100_|lÁ-lª|의 값 구하기 20% 142 상자에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 나온 공에 적혀 있는 수를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 0 1 2 3 합계 P(X=x) ;8!; ;4!; ;4!; ;8#; 1 ………………………………………………………………………………… ➊ 3 15 E(X)=0_;8!;+1_;4!;+2_;4!;+3_ = 이고 8 8 3 37 E(XÛ`)=0Û`_;8!;+1Û`_;4!;+2Û`_;4!;+3Û`_ = 이므로 8 8 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` = 37 15 Û 71 -{ }`= 8 8 64 ………………………………………………………………………………… ➋ 206 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 206 2023. 9. 12. 오전 10:02 8 8 ÉmÁÉx®+1.96_ '16 '16 ∴ x® 3.92ÉmÁÉx+ ® 3.92 x®-1.96_ 이 신뢰구간이 8.56ÉmÁÉ16.40과 같으므로 주머니에서 공 한 개를 꺼낼 때, 나온 공에 적혀 있는 수를 확률변 수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 1 2 a b 합계 P(X=x) ;5!; ;5@; ;5!; ;5!; 1 E(X)=1_;5!;+2_;5@;+a_;5!;+b_;5!;= 5_16x®=4_16y® 즉, 5_16_12.48=4_16y에 ® 서 a+b+5 5 y®=15.60 8 8 ÉmªÉ15.60+2.58_ '16 '16 ∴ 10.44ÉmªÉ20.76 a+b+5 =3에서 5 yy ㉠ E(XÛ`)‌=1Û`_;5!;+2Û`_;5@;+aÛ`_;5!;+bÛ`_;5!;= aÛ`+bÛ`+9 이므로 5 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 0876 aÛ`+bÛ`+9 aÛ`+bÛ`-36 -3Û`= 5 5 ③ 이 지역 신생아의 출생 시 몸무게 X가 따르는 정규분포를 aÛ`+bÛ`-36 aÛ`+bÛ`-36 5 ∴ V(XÕ)= = 20 4 N(m, rÛ`)이라 하자. 1 P(X¾3.4)= 이므로 2 49 한편, E(XÕ)=3, E(XÕ Û`)= 이므로 5 Û )}Û` V(XÕ)‌=E(XÕ `)-{E(XÕ = 따라서 모평균 mª에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간은 15.60-2.58_ a+b+5 E(XÕ)=E(X)= 5 = 한편, 모집단 B에서 임의추출한 크기가 16인 표본 yÁ, yª, y£, y, 5(xÁ+xª+x£+y+x16)=4(yÁ+yª+y£+y+y16)에서 본평균이므로 a+b=10 ∴ x®=12.48 y16의 표본평균을 y라 ® 하면 이때 XÕ는 이 주머니에서 크기가 4인 표본을 임의추출하여 구한 표 E(XÕ)=3이므로 1 x®-3.92=8.56, x®+3.92=16.40 권 0874 46 m=3.4 P(XÉ3.9)+P(ZÉ-1)=1에서 P(XÉ3.9)=1-P(ZÉ-1) 49 -3Û`=;5$; 5 =P(Z¾-1) aÛ`+bÛ`-36 즉, =;5$; 이므로 20 =P(ZÉ1) yy ㉠ aÛ`+bÛ`=52 yy ㉡ 이때 확률변수 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 X-3.4 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 r P(XÉ3.9)‌=P{ a=4, b=6 (∵ 2<a<b) ∴ 10a+b=10_4+6=46 X-3.4 3.9-3.4 É } r r =P{ZÉ 즉, ㉠에서 P{ZÉ ㉠에서 b=10-a를 ㉡에 대입하면 aÛ`+(10-a)Û`=52 정리하면 aÛ`-10a+24=0 0.5 =1 r (a-4)(a-6)=0 ∴ a=4 또는 a=6 a=4이면 b=10-a=6 a=6이면 b=10-a=4 이때 2<a<b이므로 a=4, b=6 ∴ r=0.5 0.5 } r 0.5 }=P(ZÉ1)이므로 r 한편, 확률변수 XÕ는 임의추출한 25명의 출생 시 몸무게의 표본평 균이므로 E(XÕ)=m=3.4, V(XÕ)= rÛ` 0.5Û` = =0.1Û` 25 25 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(3.4, 0.1Û`)을 따르므로 확률변수 XÕ-3.4 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 0.1 0875 ∴ P(XÕ¾3.55)=P{ ③ XÕ-3.4 3.55-3.4 ¾ } 0.1 0.1 =P(Z¾1.5) 모집단 A에서 임의추출한 크기가 16인 표본 xÁ, xª, x£, y, x16의 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.5) 표본평균을 x®라 하면 모표준편차가 8이므로 모평균 mÁ에 대한 신 =0.5-0.4332 뢰도 95`%의 신뢰구간은 =0.0668 Ⅲ. 통계 207 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 207 2023. 9. 12. 오전 10:02 0877 43 표준정규분포 N(0, 1)을 따르는 확률변수를 Z라 하자. 확률변수 X가 정규분포 N(60, 5Û`)을 따르므로 확률변수 X-60 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 5 30-a -m 30-a XÕ-m 5 }=P» P{XÕ¾ ¾ ¼ 5 r r n n n(30-a-5m) =P{Z¾ yy ㉡ } 5r 과자의 무게가 50`g 이하인 것을 불량품으로 판정하므로 과자 한 이때 P(X¾a)+P{XÕ¾ 개가 불량품으로 판정될 확률은 식에 대입하면 X-60 50-60 É } 5 5 30-a }=1이 성립하므로 ㉠, ㉡을 이 5 =P(Z¾2) n(30-a-5m) a-m }=1 }+P{Z¾ 5r r n(30-a-5m) a-m 즉, 이므로 =5r r =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) 5a-5m=-30n+an+5mn =0.5-0.48 ∴ (n-5)a+(5mn+5m-30n)=0 =0.02 이 등식이 모든 실수 a에 대하여 성립하므로 P(XÉ50)‌=P{ P{Z¾ =P(ZÉ-2) 2500개의 과자 중 불량품의 개수가 확률변수 Y이므로 Y는 이항분 n-5=0, 5mn+5m-30n=0 포 B(2500, 0.02)를 따르고 n=5를 5mn+5m-30n=0에 대입하면 E(Y)=2500_0.02=50 25m+5m-150=0 ∴ m=5 V(Y)=2500_0.02_0.98=49 ∴ m_n=5_5=25 이때 2500은 충분히 큰 수이므로 확률변수 Y는 근사적으로 정규분 포 N(50, 7Û`)을 따르고, 확률변수 Y-50 은 표준정규분포 N(0, 1) 7 을 따른다. 또한 모집단에서 임의추출한 2500개의 과자의 무게의 표본평균이 XÕ이므로 E(XÕ)=60, V(XÕ)= 5Û` =0.1Û` 2500 항등식 ⑴ ‌항등식: 문자를 포함하는 등식에서 그 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식 ⑵ 항등식의 성질 ① ‌ax+b=0이 x에 대한 항등식이면 a=0, b=0 ② ‌axÛ`+bx+c=0이 x에 대한 항등식이면 a=0, b=0, c=0 ③ ‌ax+by+c=0이 x, y에 대한 항등식이면 a=0, b=0, c=0 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(60, 0.1Û`)을 따르므로 확률변수 XÕ-60 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 0.1 0879 P(YÉk)=P(XÕ¾60.1)에서 P{ 한 번의 시행에서 공에 적혀 있는 수를 확률변수 X라 하자. Y-50 k-50 XÕ-60 60.1-60 É }=P{ ¾ } 7 7 0.1 0.1 따라서 P{ZÉ 71 꺼낸 공에 적힌 수가 1, 2일 확률은 각각 ;2!;_;2!;=;4!; k-50 }=P(Z¾1)이므로 7 꺼낸 공에 적힌 수가 3, 4, 5일 확률은 각각 ;2!;_;3!;=;6!; k-50 =-1 7 즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. ∴ k=43 X 1 2 3 4 5 합계 P(X=x) ;4!; ;4!; ;6!; ;6!; ;6!; 1 이때 XÕ=2, 즉 세 번 공을 꺼내어 확인한 세 개의 수의 평균이 2가 0878 25 확률변수 XÕ는 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 nÛ`인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 E(XÕ)=m, V(XÕ)= 3! =3 2! r Û }` }을 따르고 확률변수 n X-m XÕ-m , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. r r n 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 그러므로 이 경우의 확률은 3_;6!;_;4!;_;4!;=;3Á2; Û 꺼낸 공에 적힌 수가 3, 2, 1인 경우 3, 2, 1의 순서를 정하는 경우의 수는 3!=6 X-m a-m ¾ } r r a-m =P{Z¾ } r Ú 꺼낸 공에 적힌 수가 4, 1, 1인 경우 4, 1, 1의 순서를 정하는 경우의 수는 rÛ` r ={ }Û` n nÛ` 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{m, { P(X¾a)‌=P{ 되려면 세 개의 수의 합이 6이 되어야 한다. 즉, 꺼낸 공에 적힌 수가 4, 1, 1 또는 3, 2, 1 또는 2, 2, 2이어야 한다. 그러므로 이 경우의 확률은 yy ㉠ 6_;6!;_;4!;_;4!;=;1Á6; 208 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 208 2023. 9. 12. 오전 10:02 Ü 꺼낸 공에 적힌 수가 2, 2, 2인 경우 ∴ P{0ÉZÉ- 2, 2, 2의 순서를 정하는 경우의 수는 1 500-10m }=0.4332 r 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 그러므로 이 경우의 확률은 - 500-10m =1.5 r Ú~Ü에서 ∴ 10m-500=1.5r P(XÕ=2)=;3Á2;+;1Á6;+;6Á4;=;6¦4; ㉠, ㉡에서 yy ㉡ 527 427 이고 m은 자연수이므로 m=53 <m< 10 8 m=53을 ㉡에 대입하면 따라서 p=64, q=7이므로 30=1.5r ∴ r=20 p+q=64+7=71 ∴ m+r=53+20=73 0880 ② ㉡에서 r= 확률변수 XÕ는 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 ∴ 10m-500<1635-30m<20m-1000 rÛ` r E(XÕ)=m, V(XÕ)= ={ }Û` 100 10 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{m, { 20m-1000 을 ㉠에 대입하면 3 10m-500 20m-1000 <545-10m< 3 3 100인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 Z= 1 권 1_;4!;_;4!;_;4!;=;6Á4; 10m-500<1635-30m에서 m< r Û }` }을 따르고 10 2135 427 = 40 8 1635-30m<20m-1000에서 m> XÕ-m 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 r 10 ∴ 2635 527 = 50 10 527 427 <m< 10 8 따른다. 이때 조건 ㈎의 0.1587<P(XÕ¾54.5)<0.3085에서 0.1587‌=0.5-0.3413 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) 0881 3 크기가 n인 표본 xÁ, xª, x£, y, xn에 대하여 조건 ㈎에서 =P(Z¾1) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.5) xÁ+xª+x£+y+xn=144이므로 표본평균 x에 ® 대하여 xÁ+xª+x£+y+xn 144 x®= yy ㉠ = n n =P(Z¾0.5) 또한 xi-x® (i=1, 2, 3, y, n)는 편차이므로 표본표준편차를 s라 0.3085‌=0.5-0.1915 » P(XÕ¾54.5)=P XÕ-m 54.5-m ¾ ¼ r r 10 10 sÛ`= 545-10m } r (xÁ-x®)Û`+(xª-x®)Û`+(x£-x®)Û`+y+(xn-x®)Û` n-1 = 8n+27 n-1 =P{Z¾ 하면 조건 ㈏에 의하여 이므로 ∴ s=®É 545-10m P(Z¾1)<P{Z¾ }<P(Z¾0.5) r ®É yy ㉠ XÕ-m 50-m ¾ » r r ¼ 10 10 P(XÕ¾50)=P 2_2_ ®É 8n+27 n-1 '§n =2 즉, 2'Ä8n+27="Ãn(n-1) 이므로 양변을 제곱하여 정리하면 500-10m } r nÛ`-33n-108=0, (n-36)(n+3)=0 =0.9332 ∴ n=36 500-10m 0.9332>0.5이므로 <0이고 r n=36을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면 x®=4, s=3 500-10m 500-10m P{Z¾ }‌=P{ZÉ} r r =P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ=0.5+P{0ÉZÉ=0.9332 8n+27 이고 표본의 크기 n이 충분히 크므로 신뢰도 95%로 추 n-1 정한 모평균 m의 신뢰구간의 길이는 조건 ㈏에서 P(XÕ¾50)=0.9332이므로 =P{Z¾ yy ㉡ 30보다 큰 자연수 n에 대하여 크기가 n인 표본의 표본표준편차가 545-10m 즉, 0.5< <1, r>0이므로 r 0.5r<545-10m<r 8n+27 n-1 따라서 동일한 표본으로 추정한 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 500-10m } r 500-10m } r 신뢰구간은 3 3 ÉmÉ4+2.6_ '36 '36 ∴ 2.7ÉmÉ5.3 4-2.6_ 따라서 신뢰구간에 속하는 정수는 3, 4, 5의 3개이다. Ⅲ. 통계 209 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 209 2023. 9. 12. 오전 10:02 표본분산 sÛ`을 구할 때, (xÁ-x)® Û`+(xª-x)® Û`+(x£-x)® Û`+y+(xn-x)® Û` n 으로 계산하지 않도록 주의한다. 모분산을 구할 때와 달리 표본분산을 구할 때는 표본의 크기 n이 아닌 n-1로 나누어야 하는데, 이는 표본분산과 모분산의 오차를 줄이기 위해 표본분산을 이와 같이 정의하였기 때문이다. 모평균과 표본평균 ⑴ 어떤 ‌ 모집단에서 조사하고자 하는 특성을 나타낸 확률변수를 X라 할 때, X의 평균, 분산, 표준편차를 각각 모평균, 모분산, 모표준편차라 하 고, 기호로 각각 m, rÛ`, r와 같이 나타낸다. ⑵ 모집단에서 ‌ 임의추출한 크기가 n인 표본을 XÁ, Xª, X£, y, Xn이라 할 때, 이 표본의 평균, 분산, 표준편차를 각각 표본평균, 표본분산, 표본 표준편차라 하고, 기호로 각각 XÕ, SÛ`, S와 같이 나타낸다. ① 표본평균: XÕ= XÁ+Xª+X£+y+Xn n ② 표본분산: SÛ`= 1 {(XÁ-XÕ)Û`+(Xª-XÕ)Û`+(X£-XÕ)Û` n-1 +y+(Xn-XÕ)Û`} ③ 표본표준편차: S="SÛ` 210 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 3권(181-210)_확통-7강해설.indd 210 2023. 9. 19. 오후 1:58 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 211 2023. 9. 12. 오전 10:02 다른 풀이 경우의 수 회장과 부회장이 서로 마주 보고 원탁에 앉는 경우의 수는 (2-1)!=1!=1 남은 6개의 자리에 회원 6명이 앉는 경우의 수는 6!=720 따라서 구하는 경우의 수는 여러 가지 순열 01 1_720=720 원탁에 둘러앉는 경우의 수 0001 ③ 서로 다른 6개의 접시 중에서 5개를 선택하는 경우의 수는 02 이웃하는(이웃하지 않는) 원순열의 수 0005 ¤C°=¤CÁ=6 선택한 접시 5개를 원탁에 배열하는 경우의 수는 ③ 남학생 2명을 한 사람으로 생각하면 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 (5-1)!=4!=24 수는 따라서 구하는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 6_24=144 남학생 2명끼리 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 다른 풀이 서로 다른 6개의 접시 중에서 5개를 선택하여 일렬로 나열하는 경 우의 수는 ¤P°이고, 선택한 접시 5개를 원탁에 배열하면 같은 것이 5가지씩 있으므로 구하는 경우의 수는 ¤P° 6_5_4_3_2 = =144 5 5 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 6_2=12 0006 0002 120 ③ 한 쌍의 부부 2명을 한 사람으로 생각하면 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 해영이를 포함한 7명의 학생 중에서 해영이를 포함하여 4명을 선택 (3-1)!=2!=2 하는 경우의 수는 해영이를 제외한 6명의 학생 중에서 3명을 선택 각 부부끼리 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 각각 하는 경우의 수와 같으므로 2!=2 ¤C£=20 따라서 구하는 경우의 수는 4명의 학생을 원탁에 둘러앉히는 경우의 수는 2_2_2_2=16 (4-1)!=3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 0007 20_6=120 48 지민이와 부모님을 한 명으로 생각하면 5명이 원탁에 둘러앉는 경 0003 ⑤ 우의 수는 (5-1)!=4!=24 커피 4잔을 원형으로 놓는 경우의 수는 부모님이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 (4-1)!=3! 커피 4잔 사이사이 4개의 자리에 음료수 4잔을 놓는 경우의 수는 4! 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 24_2=48 따라서 구하는 경우의 수는 3!_4!=6_4! 0004 720 0008 ④ 어른 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 회장의 자리가 결정되면 부회장의 자리는 마주 보는 자리에 고정되 (4-1)!=3!=6 므로 구하는 경우의 수는 부회장을 제외한 7명이 원탁에 둘러앉는 어른들 사이사이 4개의 자리에 아이 3명을 앉히는 경우의 수는 경우의 수와 같다. ¢P£=24 따라서 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 (7-1)!=6!=720 6_24=144 212 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 212 2023. 9. 12. 오전 10:02 0009 144 1학년 학생 2명을 한 사람 A로 생각하면 A와 2학년 학생 3명을 원 탁에 둘러앉히는 경우의 수는 다른 풀이 6가지 색 중에서 색칠할 5가지 색을 선택하는 경우의 수는 ¤C°=¤CÁ=6 선택한 5가지 색 중에서 하나를 선택하여 가운데 원을 색칠하는 경 (4-1)!=3!=6 우의 수는 1학년 학생 2명이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 °CÁ=5 2!=2 의 수는 남은 4가지의 색으로 가운데 원을 제외한 나머지 4개의 영역을 색 칠하는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 ¢Pª=12 따라서 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 6_5_6=180 6_2_12=144 04 03 2 권 A와 2학년 학생 사이사이의 4곳에 3학년 학생 2명을 앉히는 경우 0013 평면도형을 색칠하는 경우의 수 0010 입체도형을 색칠하는 경우의 수 ④ 가운데 정사각형을 색칠하는 경우의 수는 ② 삼각뿔의 밑면을 색칠하는 경우의 수는 ¢CÁ=4 밑면에 칠한 색을 제외한 3가지의 색으로 옆면을 색칠하는 경우의 °CÁ=5 수는 가운데 정사각형에 칠한 색을 제외한 4가지의 색으로 가운데 정사 (3-1)!=2!=2 각형을 제외한 나머지 4개의 정사각형을 색칠하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 4_2=8 따라서 구하는 경우의 수는 5_6=30 0014 0011 ② 6 정육각뿔대의 윗면을 색칠하는 경우의 수는 ¥CÁ=8, 아랫면을 색칠 가운데 정오각형을 색칠하는 경우의 수는 하는 경우의 수는 ¦CÁ=7이므로 두 밑면을 색칠하는 경우의 수는 ¤CÁ=6 8_7=56 가운데 정오각형에 칠한 색을 제외한 5가지의 색으로 5개의 원을 두 밑면에 칠한 색을 제외한 6가지의 색으로 옆면을 색칠하는 경우 색칠하는 경우의 수는 의 수는 (5-1)!=4!=24 (6-1)!=5! 따라서 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 1 1 56_5!= _8_7_6_5!= _8! 6 6 6_24=144 ∴ n=6 0012 180 ¤CÁ=6 0015 가운데 원을 칠한 색을 제외한 5가지 색 중에서 4가지의 색을 선택 직육면체의 윗면과 아랫면은 합동이므로 두 밑면을 색칠하는 경우 하는 경우의 수는 의 수는 °C¢=°CÁ=5 ¤Cª=15 4가지의 색으로 가운데 원을 제외한 나머지 4개의 영역을 색칠하는 두 밑면에 칠한 색을 제외한 4가지의 색으로 옆면을 색칠하는 경우 가운데 원을 색칠하는 경우의 수는 경우의 수는 의 수는 (4-1)!=3!=6 (4-1)!=3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 6_5_6=180 15_6=90 ② Ⅰ. 경우의 수 213 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 213 2023. 9. 12. 오전 10:02 0016 ① 2 3 1 1 2 5 1 5 4 정사면체의 밑면을 색칠하는 경우의 수는 4 ¢CÁ=4 5 3 밑면에 칠한 색을 제외한 3가지의 색으로 옆면을 색칠하는 경우의 4 5 수는 (3-1)!=2!=2 1 이때 정사면체의 모든 면은 합동이므로 색칠한 각 경우에 대하여 3 4 3 2 3 4 2 5 2 1 따라서 구하는 경우의 수는 같은 경우가 4가지씩 생긴다. 24_5=120 따라서 구하는 경우의 수는 1 4_2_ =2 4 06 중복순열 0020 05 ③ 서로 다른 공 4개를 3개의 상자 A, B, C에 남김없이 나누어 넣는 여러 가지 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수 경우의 수는 A, B, C의 3개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같 으므로 0017 ① £P¢=3Ý`=81 6명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (6-1)!=5!=120 그런데 정삼각형 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가지 방법 0021 에 대하여 다음 그림과 같이 2가지의 서로 다른 경우가 존재한다. 서로 다른 형광펜 5자루 중에서 A에게 2자루의 형광펜을 나누어 6 1 2 1 5 3 4 주는 경우의 수는 5 6 °Cª=10 4 2 ② 각 경우에 대하여 나머지 형광펜 3자루를 B, C에게 나누어 주는 경 우의 수는 B, C의 2개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 3 따라서 구하는 경우의 수는 ªP£=2Ü`=8 120_2=240 따라서 구하는 경우의 수는 10_8=80 0018 ② 8명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 그런데 직사각형 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가지 방법 에 대하여 다음 그림과 같이 4가지의 서로 다른 경우가 존재한다. 4 2 1 8 8 3 5 6 7 1 8 7 2 7 8 7 6 6 3 4 5 4 5 6 540 5개의 과일 중에서 2개를 뽑아 접시 A, B에 1개씩 나누어 담는 경 (8-1)!=7! 3 2 1 0022 1 5 2 3 4 우의 수는 °Pª=20 각 경우에 대하여 나머지 과일 3개를 접시 C, D, E에 나누어 담는 경우의 수는 C, D, E의 3개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같 으므로 £P£=3Ü`=27 따라서 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 4_7! 20_27=540 ∴ a=4 0019 120 0023 A,B이므로 집합 U, A, B를 벤다이어 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. (5-1)!=4!=24 이때 전체집합 U={1, 2, 3, 4}의 4개의 그런데 반원 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가지 방법에 원소가 세 집합 A, B-A, U-B 중 하 대하여 다음 그림과 같이 5가지의 서로 다른 경우가 존재한다. 나에 속해야 한다. ⑤ U B A U-B B-A 214 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 214 2023. 9. 12. 오전 10:02 따라서 구하는 순서쌍 (A, B)의 개수는 서로 다른 3개에서 4개를 Û 45 꼴인 경우 Ú의 경우와 마찬가지이므로 택하는 중복순열의 수와 같으므로 £P¢=3Ý`=81 °Pª=5Û`=25 Ü 5 꼴인 경우 ‌백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 0024 ② 조건 ㈎에서 양 끝에 모두 모음 A 또는 E가 나오는 경우의 수는 °P£=5Ü`=125 2 Ú~Ü에서 구하는 자연수의 개수는 권 A, E의 2개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 25+25+125=175 ªPª=2Û` 조건 ㈏에서 문자 B는 한 번만 나와야 하므로 문자 B의 자리를 정 하는 경우의 수는 ¢CÁ=4 0028 남은 3개의 자리에 오는 문자를 정하는 경우의 수는 A, C, D, E의 세 개의 숫자 2, 4, 6 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 만들 수 50 4개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 있는 네 자리 자연수의 개수는 ¢P£=4Ü`=2ß` £P¢=3Ý`=81 따라서 구하는 경우의 수는 이 중에서 2가 포함되어 있지 않은 자연수의 개수는 2Û`_4_2ß`=210=1024 ªP¢=2Ý`=16 6이 포함되어 있지 않은 자연수의 개수는 ªP¢=2Ý`=16 2와 6이 모두 포함되어 있지 않은 자연수의 개수는 ÁP¢=1Ý`=1 07 즉, 2 또는 6이 포함되어 있지 않은 자연수의 개수는 중복순열 - 자연수의 개수 16+16-1=31 0025 ② 따라서 2와 6이 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는 81-31=50 홀수가 되려면 일의 자리의 수가 홀수이어야 하므로 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 3, 5의 3가지이다. 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 08 °P£=5Ü`=125 따라서 구하는 홀수의 개수는 중복순열 - 신호의 개수 0029 3_125=375 63 6개의 전구를 각각 켜거나 꺼서 만들 수 있는 신호의 개수는 0026 ① ªP¤=2ß`=64 이때 전구가 모두 꺼진 경우는 신호에서 제외하므로 구하는 신호의 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 5의 2가지이다. 개수는 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5의 5가지이다. 64-1=63 백의 자리, 십의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 0, 1, 2, 3, 4, 5 의 6개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 0030 ¤Pª=6Û`=36 따라서 구하는 5의 배수의 개수는 ② 세 깃발을 1번 들어올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는 2_5_36=360 £PÁ 세 깃발을 2번 들어올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는 0027 175 4400보다 큰 수가 되려면 44, 45, 5 꼴이어야 한다. £Pª 세 깃발을 3번, 4번, 5번 들어올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호 의 개수는 각각 £P£, £P¢, £P°이다. Ú 44 꼴인 경우 따라서 구하는 신호의 개수는 ‌십의 자리, 일의 자리 숫자를 택하는 경우의 수는 £PÁ+£Pª+£P£+£P¢+£P°‌=3Ú`+3Û`+3Ü`+3Ý`+3Þ` 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 =3+9+27+81+243 °Pª=5Û`=25 =363 Ⅰ. 경우의 수 215 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 215 2023. 9. 12. 오전 10:02 0031 ② 기호 ●과 -를 n개 사용하여 만들 수 있는 신호의 개수는 서로 다 른 2개에서 n개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 다른 풀이 f(2)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3 중 하나이므로 3가지이고, f(1), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4의 4개에 서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ªPn=2n 따라서 기호 ●과 -를 n개 이하로 사용하여 만들 수 있는 신호의 개수는 ¢P£=4Ü`=64 따라서 구하는 함수의 개수는 3_64=192 ªPÁ+ªPª+ªP£+y+ªPn=2Ú`+2Û`+2Ü`+y+2n n=7일 때 0034 ªPÁ+ªPª+ªP£+ªP¢+ªP°+ªP¤+ªP¦ =2+4+8+16+32+64+128=254<500 15 f(1)=1인 함수는 Y의 원소 -1, 1의 2개에서 중복을 허락하여 n=8일 때 4개를 택해 X의 원소 3, 5, 7, 9에 대응시키면 된다. ªPÁ+ªPª+ªP£+ªP¢+ªP°+ªP¤+ªP¦+ªP¥ 즉, f(1)=1인 함수의 개수는 서로 다른 2개에서 4개를 택하는 중 =2+4+8+16+32+64+128+256=510>500 복순열의 수와 같으므로 따라서 기호 ●과 -를 최소한 8개 사용해야 한다. ªP¢=2Ý`=16 이때 치역의 원소가 1개인 경우는 {1}의 1가지이다. 수학Ⅰ의 등비수열의 합의 공식을 이용하면 따라서 구하는 함수의 개수는 ªPÁ+ªPª+ªP£+y+ªPn‌=2Ú`+2Û`+2Ü`+y+2n 2(2n-1) ¾500 = 2-1 16-1=15 즉, 2n-1¾250에서 2n¾251 이때 2à`=128, 2¡`=256이므로 2n¾251을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 8 이다. 0035 18 조건 ㈎에서 f(2)의 값이 될 수 있는 것은 2, 4이다. Ú f(2)=2인 경우 f(0)= f(1)=1 ‌f(3), f(4)의 값이 될 수 있는 것은 3, 4, 5 중 하나이므로 09 중복순열 - 함수의 개수 f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 3, 4, 5의 3개에서 2개 를 택하는 중복순열의 수와 같다. 0032 ④ f(3)=0인 함수는 Y의 원소 -1, 0, 1, 2의 4개에서 중복을 허락 하여 3개를 택해 X의 원소 1, 2, 4에 대응시키면 된다. 따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 4개에서 3개를 택하는 중 복순열의 수와 같으므로 ∴ £Pª=3Û`=9 따라서 이때의 함수 f의 개수는 1_9=9 Û f(2)=4인 경우 ‌f(0), f(1)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3 중 하나이므로 f(0), f(1)의 값을 정하는 경우의 수는 1, 2, 3의 3개에서 2개 ¢P£=4Ü`=64 를 택하는 중복순열의 수와 같다. ∴ £Pª=3Û`=9 f(3)= f(4)=5 0033 192 구하는 함수의 개수는 X에서 X로의 함수의 개수에서 f(2)=4를 만족시키는 함수의 개수를 빼면 된다. X에서 X로의 함수는 X의 원소 1, 2, 3, 4의 4개에서 중복을 허 따라서 이때의 함수 f의 개수는 9_1=9 Ú, Û에서 구하는 함수 f의 개수는 9+9=18 락하여 4개를 택해 X의 원소 1, 2, 3, 4에 대응시키면 된다. 즉, X에서 X로의 함수의 개수는 서로 다른 4개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ¢P¢=4Ý`=256 f(2)=4인 함수는 X의 원소 1, 2, 3, 4의 4개에서 중복을 허락하 여 3개를 택해 X의 원소 1, 3, 4에 대응시키면 된다. 10 같은 것이 있는 순열 - 문자의 나열 즉, f(2)=4인 함수의 개수는 서로 다른 4개에서 3개를 택하는 중 0036 복순열의 수와 같으므로 a와 d를 한 문자 X로 생각하면 X, t, t, i, t, u, e를 일렬로 나열 ¢P£=4Ü`=64 따라서 구하는 함수의 개수는 256-64=192 ⑤ 하는 경우의 수는 7! =840 3! 216 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 216 2023. 9. 12. 오전 10:02 Û c끼리 이웃하게 일렬로 나열하는 경우 이때 a와 d가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 ‌ 한 문자 Y로 생각하면 a, a, b, Y를 일렬로 나열하는 경우 c를 따라서 구하는 경우의 수는 의 수와 같으므로 840_2=1680 4! =12 2! Ü a, c를 각각 이웃하게 일렬로 나열하는 경우 X, b, Y를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 ③ 2 3!=6 권 0037 Ú~Ü에서 같은 문자를 이웃하게 일렬로 나열하는 경우의 수는 양 끝에 a와 b가 오도록 나열하는 경우는 a가 맨 앞에 오는 경우와 12+12-6=18 b가 맨 앞에 오는 경우의 2가지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 가운데에 f, o, o, t, l, l을 일렬로 나열하는 경우의 수는 30-18=12 6! =180 2!_2! 따라서 구하는 경우의 수는 2_180=360 11 0038 ④ 구하는 경우의 수는 a, b, b, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수 같은 것이 있는 순열 - 자연수의 개수 0040 ② 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 3이다. 에서 양 끝에 서로 같은 문자가 오는 경우의 수를 빼면 된다. Ú 일의 자리의 숫자가 1인 경우 a, b, b, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ‌일의 자리를 제외한 나머지 다섯 자리에 1, 2, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 6! =60 3!_2! 5! =20 3! 양 끝에 서로 같은 문자가 오는 경우는 다음과 같다. Û 일의 자리의 숫자가 3인 경우 Ú 양 끝에 모두 b가 오는 경우 ‌일의 자리를 제외한 나머지 다섯 자리에 1, 1, 2, 2, 2를 일렬로 양 끝 사이에 a, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 나열하는 경우의 수는 4! =12 2! 5! =10 2!_3! Û 양 끝에 모두 c가 오는 경우 Ú, Û에서 구하는 홀수의 개수는 양 끝 사이에 a, b, b, b를 일렬로 나열하는 경우의 수는 20+10=30 4! =4 3! Ú, Û에서 양 끝에 서로 같은 문자가 오는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 0041 60-16=44 0, 1, 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 12+4=16 150 6! =180 2!_2! 이때 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수는 맨 앞자리를 제외한 나머 0039 12 구하는 경우의 수는 a, a, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수에 서 같은 문자끼리 이웃하도록 나열하는 경우의 수를 빼면 된다. a, a, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 5! =30 2!_2! Ú a끼리 이웃하게 일렬로 나열하는 경우 ‌a를 한 문자 X로 생각하면 X, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우 의 수와 같으므로 4! =12 2! 지 다섯 자리에 1, 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으 므로 5! =30 2!_2! 따라서 구하는 자연수의 개수는 180-30=150 0042 ④ 350000보다 작은 수가 되려면 2, 32, 34 꼴이어야 한다. Ⅰ. 경우의 수 217 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 217 2023. 9. 12. 오전 10:02 Ú 2 꼴인 경우 ‌남은 다섯 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 3, 4, 4, 5, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 0045 ⑤ 4개의 모음 e, i, e, e를 한 문자로 생각하고, 4개의 자음 n, g, n, r를 또 다른 한 문자로 생각하면 자음이 모음보다 앞에 오는 경우 5! =30 2!_2! 의 수는 1이다. Û 32 꼴인 경우 4개의 모음 e, i, e, e를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ‌남은 네 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 4, 4, 5, 5를 일렬로 4! =4 3! 나열하는 경우의 수와 같으므로 4개의 자음 n, g, n, r를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! =6 2!_2! 4! =12 2! Ü 34 꼴인 경우 ‌남은 네 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 2, 4, 5, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 4! =12 2! 따라서 구하는 경우의 수는 1_4_12=48 0046 Ú~Ü에서 구하는 자연수의 개수는 30+6+12=48 ④ r는 l보다 앞에 오므로 r, l을 모두 같은 문자 A로 생각하고, b는 i 보다 앞에 오므로 b, i를 모두 같은 문자 B로 생각하여 B, A, o, c, c, o, A, B를 일렬로 나열한 후, 첫 번째 A는 r, 두 번 0043 90 1, 2, 3 중에서 주어진 조건을 만족시키도록 5개를 선택하는 경우 는 다음과 같다. 째 A는 l로 바꾸고, 첫 번째 B는 b, 두 번째 B는 i로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 8! =2520 2!_2!_2!_2! (1, 1, 1, 2, 3), (1, 1, 2, 3, 3), (1, 2, 2, 2, 3), (1, 2, 3, 3, 3) Ú 1, 1, 1, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 0047 5! =20 3! Û 1, 1, 2, 3, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 105 4, 6의 순서가 정해져 있으므로 4, 6을 모두 같은 문자 A로 생각하 5! =30 2!_2! 고, 소수 2, 3, 5, 7의 순서가 정해져 있으므로 2, 3, 5, 7을 모두 같은 문자 B로 생각하여 1, B, B, A, B, A, B를 일렬로 나열한 Ü 1, 2, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 후, 첫 번째 A는 4, 두 번째 A는 6으로 바꾸고, 첫 번째 B는 2, 두 5! =20 3! 번째 B는 3, 세 번째 B는 5, 네 번째 B는 7로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 Ý 1, 2, 3, 3, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 7! =105 4!_2! 5! =20 3! Ú~Ý에서 구하는 자연수의 개수는 20+30+20+20=90 13 같은 것이 있는 순열의 활용 0048 12 양 끝에 각각 검은 바둑돌을 놓고 그 사이에 흰 바둑돌 4개, 검은 순서가 정해진 순열 바둑돌 2개를 일렬로 나열하면 된다. 0044 ③ e, m, i의 순서가 정해져 있으므로 e, m, i를 모두 같은 문자 V로 생각하여 7개의 문자 V, V, o, t, V, o, n을 일렬로 나열한 후, 첫 번째 V는 e, 두 번째 V는 m, 세 번째 V는 i로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 7! =420 3!_2! ③ 따라서 구하는 경우의 수는 6! =15 4!_2! 다른 풀이 구하는 경우의 수는 바둑돌이 일렬로 놓이는 8개의 자리 중에서 양 끝의 2자리를 제외하고 나머지 6개의 자리 중 흰 바둑돌 4개가 놓 일 자리를 선택하는 경우의 수와 같으므로 ¤C¢=¤Cª=15 218 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 218 2023. 9. 12. 오전 10:02 0049 ⑤ f(a)+ f(b)+ f(c)=7을 만족시키는 f(a), f(b), f(c)의 값은 다음과 같다. Y와 흰 공 1개를 한 문자 Z로 생각하면 Z, 파란 공 2개, 노란 공 1 개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! =12 2! (1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (2, 2, 3) Y와 흰 공 1개의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 Ú (1, 1, 5)인 경우 2!=2 ‌함수 f의 개수는 1, 1, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으 그러므로 Y와 흰 공 1개가 이웃하도록 나열하는 경우의 수는 12_2=24 3! =3 2! 따라서 구하는 경우의 수는 2 권 므로 60-24=36 Û (1, 2, 4)인 경우 ‌함수 f의 개수는 1, 2, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으 므로 0051 3!=6 13 Ü (1, 3, 3)인 경우 a, b, c, d가 모두 자연수이므로 조건 ㈎를 만족시키는 네 수는 다 ‌함수 f의 개수는 1, 3, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으 음과 같다. 므로 (1, 1, 1, 5), (1, 1, 2, 4), (1, 1, 3, 3), (1, 2, 2, 3), 3! =3 2! (2, 2, 2, 2) Ú (1, 1, 1, 5)인 경우 Ý (2, 2, 3)인 경우 ‌함수 f의 개수는 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으 므로 1_1_1_5=5이므로 조건 ㈏를 만족시키지 않는다. Û (1, 1, 2, 4)인 경우 1_1_2_4=8이므로 조건 ㈏를 만족시킨다. 3! =3 2! ‌이때의 경우의 수는 1, 1, 2, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수와 Ú~Ý에서 구하는 함수 f의 개수는 같으므로 3+6+3+3=15 4! =12 2! Ü (1, 1, 3, 3)인 경우 1_1_3_3=9이므로 조건 ㈏를 만족시키지 않는다. 0050 ① 구하는 경우의 수는 흰 공 3개, 파란 공 2개, 노란 공 1개를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 흰 공이 이웃하지 않는 경우의 수와 흰 공 3개가 모두 이웃하는 경우의 수를 빼면 된다. 흰 공 3개, 파란 공 2개, 노란 공 1개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 6! =60 3!_2! Ý (1, 2, 2, 3)인 경우 1_2_2_3=12이므로 조건 ㈏를 만족시키지 않는다. Þ (2, 2, 2, 2)인 경우 2_2_2_2=16이므로 조건 ㈏를 만족시킨다. 이때의 경우의 수는 1이다. Ú~Þ에서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 12+1=13 Ú 흰 공이 이웃하지 않는 경우 ‌파란 공 2개, 노란 공 1개를 일렬로 나열한 후, 이들 사이사이와 양 끝의 4자리 중 3자리를 택하여 흰 공을 나열하면 되므로 그 경우의 수는 3! _¢C£=3_4=12 2! Û 흰 공 3개가 모두 이웃하는 경우 ‌흰 공 3개를 한 문자 X로 생각하면 X, 파란 공 2개, 노란 공 1 개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 14 최단거리로 가는 경우의 수 0052 ② 구하는 경우의 수는 A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우 4! =12 2! 의 수에서 A지점에서 P지점을 거쳐서 B지점까지 최단거리로 가는 따라서 구하는 경우의 수는 경우의 수를 빼면 된다. 60-(12+12)=36 A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 다른 풀이 흰 공 2개를 Y로 생각하면 Y, 흰 공 1개, 파란 공 2개, 노란 공 1 7! =35 4!_3! 개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 Ú A지점에서 P지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 5! =60 2! 4! =6 2!_2! Ⅰ. 경우의 수 219 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 219 2023. 9. 12. 오전 10:02 Û P지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 15 3! =3 2!_1! Ú, Û에서 A지점에서 P지점을 거쳐 B지점까지 최단거리로 가는 최단거리로 가는 경우의 수 - 도로망이 복잡하거나 장애물이 있는 경우 경우의 수는 0056 6_3=18 오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q, R를 따라서 구하는 경우의 수는 잡으면 A지점에서 B지점까지 최단거리 35-18=17 로 가는 경우는 다음과 같다. ② P A Q A → P → B, A → Q → B, A→R→B B R Ú A → P → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 0053 18 1_1=1 Û A → Q → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 4! 3! _ =6_3=18 2!_2! 2!_1! A지점에서 두 지점 P, Q를 이은 도로 PQ를 거쳐 B지점까지 최단 거리로 가려면 A → P → Q → B로 이동해야 한다. Ü A → R → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 Ú A지점에서 P지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 4! _1=4_1=4 1!_3! 4! =6 2!_2! Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 Û P지점에서 Q지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 1이다. 1+18+4=23 Ü Q지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 다른 풀이 ① 3! =3 2!_1! 오른쪽 그림과 같이 지나갈 수 없는 길 Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 A P 을 점선으로 연결하고 두 점선의 교점 을 P라 하면 구하는 경우의 수는 A지점 6_1_3=18 에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우 B 의 수에서 A지점에서 P지점을 거쳐 B 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 빼면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 0054 51 Ú A지점에서 P지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 7! 4! 3! _ =35-4_3=23 4!_3! 3!_1! 1!_2! 다른 풀이 ② 3! =3 2!_1! 오른쪽 그림과 같이 합의 법칙을 이용하 여 최단거리로 가는 경우의 수를 구하면 Û P지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 23이다. 7! =35 3!_4! A 1 1 P지점에서 Q지점을 지나 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 1 1 1 1 2 3 3 6 6 7 4 10 16 23 B 수는 4! 3! _ =6_3=18 2!_2! 1!_2! ‌따라서 P지점에서 Q지점을 지나지 않고 B지점까지 최단거리 로 가는 경우의 수는 35-18=17 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 0057 3_17=51 60 오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q, P B R를 잡으면 A지점에서 B지점까지 호수 최단거리로 가는 경우는 다음과 같 0055 210 다. A → P → B, A → Q → B, Q A 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 가려면 가로, 세로, 높이의 방향으로 A→R→B 각각 3번, 2번, 2번 이동해야 하므로 최단거리로 가는 경우의 수는 Ú A → P → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 7! =210 3!_2!_2! R 5! _1=5_1=5 1!_4! 220 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 220 2023. 9. 12. 오전 10:02 Û A → Q → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 5! 5! _ =5_10=50 4!_1! 2!_3! Ü A → R → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 1_ 0059 5! =1_5=5 1!_4! ① 만의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2의 2가지이다. Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리의 숫자는 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 5+50+5=60 오른쪽 그림과 같이 합의 법칙을 이 1 5 용하여 최단거리로 가는 경우의 수 1 4 를 구하면 60이다. 1 1 A 5 B 5 10 26 60 3 °P£=5Ü`=125 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 4의 2가지이다. 5 16 34 호수 2 권 중복을 허락하여 3개를 택해 일렬로 나열하면 되므로 다른 풀이 따라서 구하는 짝수의 개수는 5 11 18 2_125_2=500 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 4000 이상인 홀수 의 개수는? ① 125 ② 150 ③ 175 ④ 200 ⑤ 225 ② 0058 ④ 오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q, R를 잡 B P 으면 A지점에서 B지점까지 최단거리로 가 0060 Q 는 경우는 다음과 같다. R A → P → B, A → Q → B, ‌ Ú A지점에서 P지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 A→R→B A 5! ‌ =10 2!_3! Ú A → P → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 ‌ B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 Û P지점에서 1_1=1 6! =20 3!_3! Û A → Q → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 4! 4! _ =4_4=16 1!_3! 3!_1! Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 10_20=200 Ü A → R → B로 갈 때, 최단거리로 가는 경우의 수는 { ① 4! 4! -1}_{ -1}=(6-1)_(6-1)=25 2!_2! 2!_2! Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 0061 1+16+25=42 다른 풀이 오른쪽 그림과 같이 합의 법칙을 이용하여 1 최단거리로 가는 경우의 수를 구하면 42 1 이다. 1 1 A 5 14 28 42 4 9 14 3 5 5 2 2 1 14 B ⑤ 조건 ㈎에서 16을 4개의 한 자리 자연수의 곱으로 나타내면 16=1_1_2_8=1_1_4_4=1_2_2_4=2_2_2_2 이때 조건 ㈏에서 네 수의 합이 10보다 크거나 같아야 하므로 네 자 연수는 1, 1, 2, 8 또는 1, 1, 4, 4가 되어야 한다. Ú 1, 1, 2, 8인 경우 ‌순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 네 자연수 1, 1, 2, 8을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 4! =12 2! Û 1, 1, 4, 4인 경우 ‌순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 네 자연수 1, 1, 4, 4를 일렬 로 나열하는 경우의 수와 같으므로 4! =6 2!_2! Ú, Û에서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 12+6=18 Ⅰ. 경우의 수 221 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 221 2023. 9. 12. 오전 10:02 a, b, c, d 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는 다음 조건을 만족시키는 자연수 a, b, c, d의 모든 순서쌍 ¢P¢=4Ý`=256 (a, b, c, d)의 개수는? Ú d가 3번 나오는 경우 a, b, c 중에서 1개를 선택하는 경우의 수는 ㈎ a_b_c_d=8 £CÁ=3 ㈏ a+b+c+d<10 선택된 문자 4개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ① 10 ② 12 ③ 14 ④ 16 4! =4 3! ⑤ 18 ④ 따라서 d가 3번 나오는 경우의 수는 3_4=12 Û d가 4번 나오는 경우 0062 ④ d, d, d, d를 일렬로 나열하는 경우의 수는 1이다. Ú, Û에서 문자 d가 3번 나오거나 4번 나오는 경우의 수는 3개의 문자 A, B, C를 같은 문자 X로 생각하고 6개의 문자를 모 12+1=13 두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 6! =120 3! 256-13=243 가운데 문자 X를 문자 A로 바꾸고 첫 번째 문자 X와 세 번째 문자 X에 두 문자 B, C를 나열하는 경우의 수는 다른 풀이 Ú ‌문자 d가 나오지 않는 경우의 수는 a, b, c 중에서 중복을 허락 하여 4개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 2!=2 £P¢=3Ý`=81 따라서 구하는 경우의 수는 Û ‌문자 d가 1번 나오는 경우는 aaad, bbbd, cccd, aabd, 120_2=240 aacd, abbd, accd, bbcd, bccd, abcd이므로 이들을 일렬 로 나열하는 경우의 수는 0063 ④ 4! 4! _3+ _6+4!‌=4_3+12_6+24 3! 2! =12+72+24=108 Ú A, B, B, C, C가 적혀 있는 카드를 택하는 경우 ‌C가 적혀 있는 카드 1장을 두 번째 자리에 나열하고 나머지 C 가 적혀 있는 카드 1장과 A가 적혀 있는 카드 1장, B가 적혀 있는 카드 2장을 일렬로 나열해야 하므로 이때의 경우의 수는 4! =12 2! Ü ‌문자 d가 두 번 나오는 경우는 aadd, bbdd, ccdd, abdd, acdd, bcdd이므로 이들을 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! 4! _3+ _3‌=6_3+12_3 2!_2! 2! =18+36=54 Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 Û A, B, C, C, C가 적혀 있는 카드를 택하는 경우 ‌C가 적혀 있는 카드 1장을 두 번째 자리에 나열하고 나머지 C 81+108+54=243 가 적혀 있는 카드 2장과 A가 적혀 있는 카드 1장, B가 적혀 있는 카드 1장을 일렬로 나열해야 하므로 이때의 경우의 수는 세 문자 a, b, c 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬로 나 4! =12 2! 열할 때, 문자 a가 두 번 이상 나오는 경우의 수를 구하시오. Ü B, B, C, C, C가 적혀 있는 카드를 택하는 경우 33 ‌C가 적혀 있는 카드 1장을 두 번째 자리에 나열하고 나머지 C 가 적혀 있는 카드 2장과 B가 적혀 있는 카드 2장을 일렬로 나 열해야 하므로 이때의 경우의 수는 4! =6 2!_2! 0065 Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 남학생 4명을 2명씩 2개의 조로 나누는 경우의 수는 12+12+6=30 0064 864 ¢Cª_ªCª_ 1 1 =6_1_ =3 2! 2 여학생 4명을 2명씩 2개의 조로 나누는 경우의 수는 ④ ¢Cª_ªCª_ 1 1 =6_1_ =3 2! 2 구하는 경우의 수는 네 문자 a, b, c, d 중에서 중복을 허락하여 4개 2명의 학생과 1개의 빈자리를 묶어서 생각하면 4개의 묶음을 원형 를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수에서 문자 d가 3번 나오거나 4번 으로 배열하는 경우의 수는 나오는 경우의 수를 빼면 된다. (4-1)!=3!=6 222 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 222 2023. 9. 12. 오전 10:02 0067 같은 조의 학생끼리 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 각각 2!=2 144 1학년 학생 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 3_3_6_2Ý`=864 1학년 학생 사이사이에는 1명 이상의 2학년 학생이 앉고 각각의 1 학년 학생 사이사이에 앉은 2학년 학생의 수는 모두 다르므로 2학 년 학생 10명을 4명, 3명, 2명, 1명으로 나누어 1학년 학생 사이사 탁에 다음 두 조건에 따라 앉으려고 할 때, 앉을 수 있는 모든 이에 앉혀야 한다. 경우의 수를 구하시오. 이때 2학년 학생 네 그룹을 1학년 학생 사이사이의 4곳에 배열하는 (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 2 권 남학생 4명, 여학생 2명이 그림과 같이 9개의 자리가 있는 원 경우의 수는 4!이다. 2학년 학생 10명을 10개의 자리에 배열하는 경우의 수는 10! ㈎ ‌남학생, 여학생 모두 같은 성별끼리 2명씩 조를 만든다. 따라서 구하는 경우의 수는 ㈏ 서로 다른 두 개의 조 사이에 반드시 한 자리를 비워둔다. 6_4!_10!=144_10! ∴ n=144 여학생 3명과 남학생 6명이 원탁에 같은 간격으로 둘러앉으려 고 한다. 각각의 여학생 사이에는 1명 이상의 남학생이 앉고 각각의 여학생 사이에 앉은 남학생의 수는 모두 다르다. 9명 의 학생이 모두 앉는 경우의 수가 n_6!일 때, 자연수 n의 값 은? (단, 회전하여 일치하는 것들은 같은 것으로 본다.) 48 ① 10 0066 ② 12 ③ 14 ④ 16 ⑤ 18 115 구하는 자연수의 개수는 0, 1, 2 중에서 중복을 허락하여 5개를 택 해 일렬로 나열하여 만든 다섯 자리 자연수의 개수에서 숫자 0과 1 을 각각 1개 이상씩 선택하지 않는 경우의 수를 빼면 된다. 숫자 0, 1, 2 중에서 중복을 허락하여 5개를 선택한 후 일렬로 나열 하여 다섯 자리 자연수를 만들 때, 만의 자리에 올 수 있는 숫자는 ② 1, 2의 2가지이고, 나머지 네 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 0, 1, 2의 3개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같다. 따라서 이때의 경우의 수는 2_£P¢=2_3Ý`=2_81=162 Ú 숫자 0을 선택하지 않는 경우 0068 ‌숫자 1, 2 중에서 중복을 허락하여 5개를 선택한 후 일렬로 나 학생 B가 받는 사탕의 개수에 따라 다음과 같이 나누어 생각할 수 열하면 되므로 이때의 경우의 수는 있다. ªP°=2Þ`=32 Ú 학생 B가 받는 사탕의 개수가 0인 경우 Û 숫자 1을 선택하지 않는 경우 ④ ‌사탕 5개를 학생 A, C에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 ‌숫자 0, 2 중에서 중복을 허락하여 5개를 선택한 후 일렬로 나 A, C의 2개에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ªP°=2Þ`=32 열하면 된다. ‌이때 만의 자리에 올 수 있는 숫자는 2의 1가지이고, 나머지 네 이때 학생 A가 받는 사탕의 개수가 0인 경우를 제외해야 한다. 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 0, 2의 2개에서 4개를 택하 따라서 학생 B가 받는 사탕의 개수가 0인 경우의 수는 는 중복순열의 수와 같다. 32-1=31 Û 학생 B가 받는 사탕의 개수가 1인 경우 ‌따라서 이때의 경우의 수는 학생 B가 받는 사탕을 고르는 경우의 수는 °CÁ=5 1_ªP¢=1_2Ý`=16 Ü 숫자 0과 1을 동시에 선택하지 않는 경우 ‌숫자 2를 중복을 허락하여 5개를 선택한 후 일렬로 나열하면 되 므로 이때의 경우의 수는 1이다. 남은 사탕 4개를 학생 A, C에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 A, C의 2개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ªP¢=2Ý`=16 Ú~Ü에서 구하는 자연수의 개수는 학생 A가 받는 사탕의 개수가 0인 경우를 제외하면 162-(32+16-1)=115 16-1=15 Ⅰ. 경우의 수 223 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 223 2023. 9. 12. 오전 10:02 0070 따라서 학생 B가 받는 사탕의 개수가 1인 경우의 수는 5_15=75 Ü 학생 B가 받는 사탕의 개수가 2인 경우 ① 조건 ㈎에 의하여 ‌학생 B가 받는 사탕을 고르는 경우의 수는 °Cª=10 f(1)¾1, f(2)¾2, f(3)¾2, f(4)¾2, f(5)¾3 ‌남은 사탕 3개를 학생 A, C에게 남김없이 나누어 주는 경우의 조건 ㈏에 의하여 함수 f의 치역으로 가능한 경우는 수는 A, C의 2개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} ªP£=2Ü`=8 Ú 함수 f의 치역이 {1, 2, 3}인 경우 학생 A가 받는 사탕의 개수가 0인 경우를 제외하면 ‌f(1)=1, f(5)=3이므로 f(2), f(3), f(4)의 값이 될 수 있 8-1=7 는 것은 2, 3이다. 따라서 학생 B가 받는 사탕의 개수가 2인 경우의 수는 따라서 이때의 함수 f의 개수는 집합 {2, 3, 4}에서 집합 {2, 3} 10_7=70 으로의 함수의 개수에서 치역이 {3}인 함수의 개수를 빼면 되 Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 므로 31+75+70=176 ªP£-1=2Ü`-1=7 Û 함수 f의 치역이 {1, 2, 4}인 경우 ‌f(1)=1, f(5)=4이므로 f(2), f(3), f(4)의 값이 될 수 있 0069 ③ 는 것은 2, 4이다. 따라서 이때의 함수 f의 개수는 집합 {2, 3, 4}에서 집합 {2, 4} 조건 ㈎, ㈏에 의하여 선택되는 다섯 개의 숫자는 다음과 같다. 로의 함수의 개수에서 치역이 {4}인 함수의 개수를 빼면 되므 (짝수 1개, 홀수 4개), (짝수 3개, 홀수 2개) 로 ªP£-1=2Ü`-1=7 Ú 짝수 1개, 홀수 4개를 선택하는 경우 2, 4, 6 중 1개를 선택하는 경우의 수는 Ü 함수 f의 치역이 {1, 3, 4}인 경우 £CÁ=3 ‌f(1)=1이므로 f(2), f(3), f(4), f(5)의 값이 될 수 있는 것 3, 5 중 두 번 사용할 홀수 2개를 선택하는 경우의 수는 은 3, 4이다. ªCª=1 따라서 이때의 함수 f의 개수는 집합 {2, 3, 4, 5}에서 집합 {3, 4} 선택된 숫자 5개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 로의 함수의 개수에서 치역이 {3}, {4}인 함수의 개수를 빼면 5! =30 2!_2! 되므로 ªP¢-2=2Ý`-2=14 이때 만들 수 있는 자연수의 개수는 Ý 함수 f의 치역이 {2, 3, 4}인 경우 3_1_30=90 ⓐ ‌f(5)=3일 때 Û 짝수 3개, 홀수 2개를 선택하는 경우 f(1), f(2), f(3), f(4)의 값이 될 수 있는 것은 2, 3, 4이다. 2, 4, 6 중 서로 다른 3개를 선택하는 경우의 수는 따라서 이때의 함수 f의 개수는 집합 {1, 2, 3, 4}에서 집합 £C£=1 {2, 3, 4}로의 함수의 개수에서 치역이 {2}, {3}, {4}, 3, 5 중 두 번 사용할 홀수 1개를 선택하는 경우의 수는 {2, 3}, {3, 4}인 함수의 개수를 빼면 되므로 ªCÁ=2 £P¢-{3+(ªP¢-2)_2}‌=3Ý`-{3+(2Ý`-2)_2} 선택된 숫자 5개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 5! =60 2! =81-31=50 ⓑ ‌f(5)=4일 때 f(1), f(2), f(3), f(4)의 값이 될 수 있는 것은 2, 3, 4이다. 이때 만들 수 있는 자연수의 개수는 따라서 이때의 함수 f의 개수는 집합 {1, 2, 3, 4}에서 집합 1_2_60=120 {2, 3, 4}로의 함수의 개수에서 치역이 {2}, {3}, {4}, Ú, Û에서 구하는 자연수의 개수는 {2, 4}, {3, 4}인 함수의 개수를 빼면 되므로 90+120=210 £P¢-{3+(ªP¢-2)_2}‌=3Ý`-{3+(2Ý`-2)_2} =50 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 중복을 허락하여 다섯 개를 다음 조건을 만족시키도록 선택한 후, 일렬로 나열하여 만들 수 있 는 모든 다섯 자리의 자연수의 개수는? ⓐ, ⓑ에서 이때의 함수의 개수는 50+50=100 Ú~Ý에서 구하는 함수의 개수는 7+7+14+100=128 ㈎ 각각의 홀수는 선택하지 않거나 한 번만 선택한다. ㈏ 각각의 짝수는 선택하지 않거나 두 번만 선택한다. ① 450 ② 445 ③ 440 ④ 435 ⑤ 430 ① 224 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 224 2023. 9. 12. 오전 10:02 0076 중복조합과 이항정리 315 볼펜 4자루를 3명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H¢=¤C¢=¤Cª=15 01 중복조합의 계산 공책 5권을 3명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 3 개에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 2 ‌ £H°=¦C°=¦Cª=21 권 0071 ③ 따라서 구하는 경우의 수는 ªH¦=ª+7-1C¦=¥C¦=¥CÁ=nCr이므로 15×21=315 n=8, r=1 ∴ n+r=8+1=9 0077 0072 ④ ③ 숫자 1이 1개 이하가 되어야 하므로 숫자 1을 선택하지 않거나 1개 선택해야 한다. Hª=n+2-1Cª=n+1Cª=¥C¤=¥Cª이므로 n Ú 숫자 1을 선택하지 않는 경우 n+1=8 ‌ 제외한 나머지 4개의 숫자에서 중복을 허락하여 4개를 선택 1을 ∴ n=7 하면 되므로 다른 풀이 Hª=n+2-1Cª=n+1Cª= n ¢H¢=¦C¢=¦C£=35 n(n+1) 이므로 2 Û 숫자 1을 1개 선택하는 경우 n(n+1) =¥C¤=¥Cª=28 2 ‌ 제외한 나머지 4개의 숫자에서 중복을 허락하여 3개를 선택 1을 n(n+1)=56=7×8 ¢H£=¤C£=20 하면 되므로 ∴ n=7 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 35+20=55 0073 ② H£=n+3-1C£=n+2C£이므로 (n+2)(n+1)n =20 3_2_1 n n(n+1)(n+2)=4_5_6 ∴ n=4 03 중복조합 - 다항식의 전개식에서 서로 다른 항의 개수 0078 ⑤ 다항식 (x+y+z)ß`의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개의 문 0074 70 자 x, y, z에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H¤=¥C¤=¥Cª=28 ¤Hr=¤+r-1Cr=°+rCr=»C¢이므로 r=4 ∴ °Hr‌=°H¢=°+4-1C¢ =¥C¢=70 0079 ④ (a+b)ß`과 (x+y+z+w)Û`에 서로 같은 문자가 없으므로 각각의 전개식의 항을 곱하면 모두 서로 다른 항이 된다. 다항식 (a+b)ß`의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 2개의 문자 02 a, b에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 중복조합 ªH¤=¦C¤=¦CÁ=7 0075 ② 다항식 (x+y+z+w)Û`의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 4개 의 문자 x, y, z, w에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 장미, 튤립, 백합 중에서 6송이의 꽃을 선택하는 경우의 수는 서로 ¢Hª=°Cª=10 다른 3개에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 따라서 구하는 서로 다른 항의 개수는 £H¤=¥C¤=¥Cª=28 7×10=70 Ⅰ. 경우의 수 225 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 225 2023. 9. 12. 오전 10:02 0080 8 다항식 (a+b+c)n의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개의 문 자 a, b, c에서 n개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 게 우유를 각각 1개씩 나누어 주고 남은 3개를 중복을 허락하여 2 명에게 나누어 주면 되므로 ªH£=¢C£=¢CÁ=4 £Hn=45 3+n-1Cn=ª+nCn=ª+nCª= 우유 5개를 선택된 2명에게 나누어 주는 경우의 수는 선택된 2명에 따라서 구하는 경우의 수는 (2+n)(1+n) =45 2 6×4=24 (n+1)(n+2)=90=9_10 ∴ n=8 0085 66 A, B에게 각각 공책을 2권씩 먼저 나누어 준 후, 남은 공책 10권 을 중복을 허락하여 3명에게 나누어 주면 된다. 04 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 10개를 택하는 중복 중복조합 - ‘적어도’의 조건이 있는 경우 조합의 수와 같으므로 0081 36 £HÁ0=12CÁ0=Á2Cª=66 3명의 학생에게 각각 연필을 1자루씩 먼저 나누어 준 후, 남은 연 필 7자루를 중복을 허락하여 3명에게 나누어 주면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 7개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로 £H¦=»C¦=»Cª=36 05 0082 ② 세 종류의 음료수를 각각 1개씩 선택한 후, 세 종류의 음료수 중에 서 중복을 허락하여 5개를 선택하면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로 중복조합 - 방정식의 해의 개수 0086 ② x+y+z=10을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 모든 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 3개의 문자 x, y, z에서 10개를 뽑는 중복조합 의 수와 같으므로 £HÁ¼=12CÁ¼=12Cª=66 £H°=¦C°=¦Cª=21 0087 0083 ① 2명의 학생에게 케이크와 빵을 각각 1개 이상씩 나누어 주어야 하 므로 2명의 학생에게 케이크와 빵을 각각 1개씩 먼저 나누어 준 후, 남은 케이크 4개와 빵 2개를 2명의 학생에게 나누어 주면 된다. 남은 케이크 4개를 2명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 56 x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1, w=w'+1로 놓으면 (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)+(w'+1)=9 (단, x', y', z', w'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ x'+y'+z'+w'=5 따라서 x+y+z+w=9를 만족시키는 양의 정수 x, y, z, w의 순 서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 x'+y'+z'+w'=5를 만족시키는 음 이 아닌 정수 x', y', z', w'의 순서쌍 (x', y', z', w')의 개수와 같 ªH¢=°C¢=°CÁ=5 남은 빵 2개를 2명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 으므로 ¢H°=¥C°=¥C£=56 ªHª=£Cª=£CÁ=3 따라서 구하는 경우의 수는 5×3=15 0088 ⑤ x, y, z가 -1 이상의 정수이므로 x=x'-1, y=y'-1, z=z'-1 0084 ① 로 놓으면 (x'-1)+(y'-1)+(z'-1)=8 4명 중 우유를 받을 2명을 선택하는 경우의 수는 ¢Cª=6 ∴ x'+y'+z'=11 (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) 226 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 226 2023. 9. 12. 오전 10:02 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x'+y'+z'=11을 만족 06 시키는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍 (x', y', z')의 개수와 같으므로 중복조합 - 부등식의 해의 개수 0091 £HÁÁ=13CÁÁ=13Cª=78 ④ 부등식 x+y+zÉ9를 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 모든 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 방정식 x+y+z+w=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z, w의 모든 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수와 ③ 같다. 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x+y+5z+w=13에서 2 권 0089 ¢H»=12C»=12C£=220 x+y+w=13-5z 양의 정수 x, y, w에 대하여 x+y+w¾3이므로 13-5z¾3 ∴ zÉ2 이때 z는 양의 정수이므로 z=1 또는 z=2 0092 Ú z=1일 때 x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면 10 x+y+w=8이므로 x=x'+1, y=y'+1, w=w'+1로 놓으면 x+y+zÉ5에서 (x'+1)+(y'+1)+(w'+1)=8 (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)É5 (단, x', y', w'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ x'+y'+w'=5 (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ x'+y'+z'É2 이때 순서쌍 (x, y, w)의 개수는 x'+y'+w'=5를 만족시키는 부등식 x'+y'+z'É2를 만족시키는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 음이 아닌 정수 x', y', w'의 순서쌍 (x', y', w')의 개수와 같으 순서쌍 (x', y', z')의 개수는 방정식 x'+y'+z'+w=2를 만족시 므로 키는 음이 아닌 정수 x', y', z', w의 순서쌍 (x', y', z', w)의 개수 £H°=¦C°=¦Cª=21 와 같다. Û z=2일 때 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x+y+w=3이므로 x=x'+1, y=y'+1, w=w'+1로 놓으면 ¢Hª=°Cª=10 (x'+1)+(y'+1)+(w'+1)=3 다른 풀이 (단, x', y', w'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ x'+y'+w'=0 이때 순서쌍 (x, y, w)의 개수는 x'+y'+w'=0을 만족시키는 음이 아닌 정수 x', y', w'의 순서쌍 (x', y', w')의 개수와 같으 므로 x, y, z가 양의 정수이므로 3Éx+y+zÉ5 Ú x+y+z=3일 때 x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면 (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=3 £H¼=ªC¼=1 (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ x'+y'+z'=0 Ú, Û에서 구하는 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 ‌이때 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x'+y'+z'=0을 만족시키는 21+1=22 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍 (x', y', z')의 개수와 같으 므로 £H¼=ªC¼=1 0090 336 Û x+y+z=4일 때 x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면 조건 ㈎에 의하여 네 자연수 a, b, c, d 중 홀수가 2개이어야 하므 ‌ (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=4 로 a, b, c, d 중 홀수가 되는 2개를 선택하는 경우의 수는 ‌ ¢Cª=6 ‌∴ x'+y'+z'=1 a, b, c, d 중 두 홀수를 2x+1, 2y+1, 두 짝수를 2z+2, 2w+2 ‌이때 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x'+y'+z'=1을 만족시키는 로 놓으면 조건 ㈏에 의하여 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍 (x', y', z')의 개수와 같으 (2x+1)+(2y+1)+(2z+2)+(2w+2)=16 므로 (단, x, y, z, w는 음이 아닌 정수이다.) (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) ‌ £HÁ=£CÁ=3 Ü x+y+z=5일 때 ∴ x+y+z+w=5 x+y+z+w=5를 만족시키는 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 ‌x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면 ¢H°=¥C°=¥C£=56 ‌ (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=5 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 ‌(단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) 6×56=336 ‌∴ x'+y'+z'=2 Ⅰ. 경우의 수 227 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 227 2023. 9. 12. 오전 10:02 ‌이때 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x'+y'+z'=2를 만족시키는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍 (x', y', z')의 개수와 같으 므로 0096 ③ 1ÉaÉbÉcÉ10을 만족시키는 홀수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)는 1, 3, 5, 7, 9의 5개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 3개를 택해 ‌ £Hª=¢Cª=6 작거나 같은 수부터 차례대로 a, b, c의 값으로 정하면 된다. Ú~Ü에서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 5개에서 3개 1+3+6=10 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 °H£=¦C£=35 0093 ④ 부등식 x+yÉn을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)의 개수는 방정식 x+y+z=n을 만족시키는 음이 아닌 정 0097 수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수와 같으므로 a, b, c, d가 자연수이고 3<aÉbÉ6ÉcÉdÉ9이므로 £Hn=ª+nCn=ª+nCª=45 (2+n)(1+n) =45 2 60 4ÉaÉbÉ6ÉcÉdÉ9 4ÉaÉbÉ6을 만족시키는 자연수 a, b의 순서쌍 (a, b)는 4부터 6까지의 3개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 2개를 택해 작거나 (n+1)(n+2)=90=9×10 같은 수부터 차례대로 a, b의 값으로 정하면 된다. ∴ n=8 즉, 순서쌍 (a, b)의 개수는 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로 £Hª=¢Cª=6 0094 ④ 조건 ㈎에서 x+y+z=8을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서 쌍 (x, y, z)의 개수는 6ÉcÉdÉ9를 만족시키는 자연수 c, d의 순서쌍 (c, d)의 개수는 같은 방법으로 ¢Hª=°Cª=10 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 £H¥=Á0C¥=Á0Cª=45 조건 ㈏를 만족시키지 않는 경우는 x+yÉ0 또는 x+y¾8이므로 6_10=60 x+y=0 또는 x+y=8일 때이다. Ú x+y=0이고 z=8일 때 ‌순서쌍 (x, y, z)의 개수는 (0, 0, 8)의 1이다. 0098 Û x+y=8이고 z=0일 때 80 ‌순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x+y=8을 만족시키는 음이 아닌 1É|a|É|b|É|c|É3을 만족시키는 자연수 |a|, |b|, |c|의 순 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)의 개수와 같으므로 서쌍 (|a|, |b|, |c|)는 1, 2, 3에서 중복을 허락하여 3개를 택해 ªH¥=»C¥=»CÁ=9 작거나 같은 수부터 차례대로 |a|, |b|, |c|의 값으로 정하면 된다. Ú, Û에서 조건 ㈏를 만족시키지 않는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 즉, 순서쌍 (|a|, |b|, |c|)의 개수는 서로 다른 3개에서 3개를 택 1+9=10 하는 중복조합의 수와 같으므로 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 £H£=°C£=°Cª=10 45-10=35 이때 0이 아닌 세 정수 a, b, c는 각각 절댓값이 같고 부호가 다른 2개의 값을 가질 수 있다. 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 10_2_2_2=80 07 중복조합 - 대소가 정해진 경우 0095 ② 0099 ③ aÁÉaªÉa£<a¢를 만족시키는 순서쌍 (aÁ, aª, a£, a¢)의 개수는 3ÉaÉbÉcÉ7을 만족시키는 자연수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c) aÁÉaªÉa£Éa¢를 만족시키는 순서쌍 (aÁ, aª, a£, a¢)의 개수에서 는 3부터 7까지의 5개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 3개를 택 aÁÉaªÉa£=a¢를 만족시키는 순서쌍 (aÁ, aª, a£, a¢)의 개수를 빼 해 작거나 같은 수부터 차례대로 a, b, c의 값으로 정하면 된다. 면 된다. 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 5개에서 3개 aÁÉaªÉa£Éa¢를 만족시키는 순서쌍 (aÁ, aª, a£, a¢)는 1부터 6 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 까지의 6개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 작거나 °H£=¦C£=35 같은 수부터 차례대로 aÁ, aª, a£, a¢의 값으로 정하면 된다. 228 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 228 2023. 9. 12. 오전 10:02 이때 순서쌍 (aÁ, aª, a£, a¢)의 개수는 서로 다른 6개에서 4개를 택 abc=210에서 2x+y+z=210 하는 중복조합의 수와 같으므로 ∴ x+y+z=10 ¤H¢=»C¢=126 따라서 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 방정식 x+y+z=10을 만족시 aÁÉaªÉa£=a¢를 만족시키는 순서쌍 (aÁ, aª, a£, a¢)는 1부터 6 키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수와 같으므 까지의 6개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 3개를 택해 작거나 로 같은 수부터 차례대로 aÁ, aª, a£(=a¢)의 값으로 정하면 된다. £HÁ0=12CÁ0=12Cª=66 2 이때 순서쌍 (aÁ, aª, a£, a¢)의 개수는 서로 다른 6개에서 3개를 택 권 하는 중복조합의 수와 같으므로 ¤H£=¥C£=56 따라서 구하는 경우의 수는 0102 126-56=70 35 네 자리 자연수의 각 자리의 수를 각각 a, b, c, d라 하면 조건 ㈎ 에서 각 자리의 수의 합이 12이므로 a+b+c+d=12 조건 ㈏에서 a, b, c, d는 모두 홀수이므로 a=2x+1, b=2y+1, c=2z+1, d=2w+1로 놓으면 08 (2x+1)+(2y+1)+(2z+1)+(2w+1)=12 중복조합의 활용 (단, x, y, z, w는 0 이상 4 이하의 정수이다.) 0100 ① ∴ x+y+z+w=4 x+y+z+w=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z, w의 순서 세 자리 자연수의 각 자리의 수를 각각 a, b, c라 하면 각 자리의 수 쌍 (x, y, z, w)의 개수는 의 합이 8이므로 ¢H¢=¦C¢=¦C£=35 a+b+c=8 (단, a, b, c는 자연수이다.) 따라서 구하는 자연수의 개수는 35이다. a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1로 놓으면 다른 풀이 (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)=8 주어진 조건을 만족시키는 각 자리의 수는 다음과 같다. (단, a', b', c'은 음이 아닌 정수이다.) (1, 1, 1, 9), (1, 1, 3, 7), (1, 1, 5, 5), (1, 3, 3, 5), ∴ a'+b'+c'=5 (3, 3, 3, 3) 이때 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 a'+b'+c'=5를 만족시키는 음이 (1, 1, 1, 9)인 경우의 수  4! =4 3! (1, 1, 3, 7)인 경우의 수  4! =12 2! (1, 1, 5, 5)인 경우의 수  4! =6 2!_2! (1, 3, 3, 5)인 경우의 수  4! =12 2! 아닌 정수 a', b', c'의 순서쌍 (a', b', c')의 개수와 같으므로 £H°=¦C°=¦Cª=21 따라서 구하는 자연수의 개수는 21이다. 다른 풀이 각 자리의 수의 합이 8이 되는 경우는 다음과 같다. (1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3) (1, 1, 6)인 경우의 수  (3, 3, 3, 3)인 경우의 수  1 3! =3 2! 따라서 구하는 자연수의 개수는 4+12+6+12+1=35 (1, 2, 5)인 경우의 수  3!=6 (1, 3, 4)인 경우의 수  3!=6 (2, 2, 4)인 경우의 수  3! =3 2! (2, 3, 3)인 경우의 수  3! =3 2! 따라서 구하는 자연수의 개수는 09 3+6+6+3+3=21 중복조합 - 함수의 개수 0103 ① 주어진 조건을 만족시키려면 Y의 원소 1, 2, 3, 4의 4개에서 중복 0101 ② 을 허락하여 3개를 뽑아 작거나 같은 수부터 차례대로 f(1), f(2), f(3)의 값으로 정하면 된다. abc=1024에서 abc=210 따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 4개에서 3개를 택하는 중 a=2x, b=2y, c=2z (x, y, z는 음이 아닌 정수)으로 놓으면 복조합의 수와 같으므로 x y z x+y+z abc=2 _2 _2 =2 ¢H£=¤C£=20 Ⅰ. 경우의 수 229 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 229 2023. 9. 12. 오전 10:02 0104 35 0107 150 주어진 조건을 만족시키려면 Y의 원소 4, 5, 6, 7의 4개에서 중복 조건 ㈎에서 함수 f의 치역의 원소의 개수가 4이므로 집합 Y의 원 을 허락하여 4개를 뽑아 크거나 같은 수부터 차례대로 f(1), f(2), 소 4개를 택하는 경우의 수는 f(3), f(4)의 값으로 정하면 된다. ¤C¢=¤Cª=15 따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 4개에서 4개를 택하는 중 치역의 4개의 원소 각각에 대응하는 집합 X의 원소의 개수를 각각 복조합의 수와 같으므로 a, b, c, d라 하자. ¢H¢=¦C¢=¦C£=35 집합 X의 원소의 개수가 6이므로 a+b+c+d=6 치역의 각 원소에 적어도 하나의 값이 대응되어야 하므로 0105 ③ a¾1, b¾1, c¾1, d¾1 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1, d=d'+1로 놓으면 f(a)< f(b)É f(c)É f(d)를 만족시키는 함수의 개수는 (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)=6 f(a)É f(b)É f(c)É f(d)를 만족시키는 함수의 개수에서 f(a)= f(b)É f(c)É f(d)를 만족시키는 함수의 개수를 빼면 된다. f(a)É f(b)É f(c)É f(d)를 만족시키는 함수는 Y의 원소 -2, -1, 0, 1, 2의 5개에서 중복을 허락하여 4개를 뽑아 작거나 같은 수부터 차례대로 f(a), f(b), f(c), f(d)의 값으로 정하면 된다. 이때의 함수의 개수는 서로 다른 5개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 (단, a', b', c', d'은 음이 아닌 정수이다.) ∴ a'+b'+c'+d'=2 이때 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 a'+b'+c'+d'=2를 만족시 키는 음이 아닌 정수 a', b', c', d'의 순서쌍 (a', b', c', d')의 개수 와 같으므로 ¢Hª=°Cª=10 따라서 구하는 함수의 개수는 °H¢=¥C¢=70 f(a)= f(b)É f(c)É f(d)를 만족시키는 함수는 f(a)= f(b)이 15×10=150 므로 Y의 원소 -2, -1, 0, 1, 2의 5개에서 중복을 허락하여 3개 를 뽑아 작거나 같은 수부터 차례대로 f(a), f(c), f(d)의 값으로 정하면 된다. 이때의 함수의 개수는 서로 다른 5개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 10 °H£=¦C£=35 따라서 구하는 함수의 개수는 (a+b)n의 전개식 0108 70-35=35 ⑤ (2x-5y)Ý`의 전개식의 일반항은 0106 ⑤ 조건 ㈎에서 f(2)는 2의 배수이므로 ¢Cr(2x)Ý`-r(-5y)r=¢Cr 2Ý`-r(-5)rxÝ`-ryr (단, r=0, 1, 2, 3, 4) xÜ`y항은 r=1일 때이므로 xÜ`y의 계수는 ¢CÁ_2Ü`_(-5)=-160 f(2)=2 또는 f(2)=4 Ú f(2)=2인 경우 조건 ㈏에 의하여 f(1)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2의 2가지이다. ‌f(3), f(4), f(5)의 값을 정하는 경우의 수는 2, 3, 4, 5의 4개 에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ‌ ¢H£=¤C£=20 0109 {x- 3 ß` } 의 전개식의 일반항은 x ¤Cr xß`-r{- ‌따라서 이때의 함수의 개수는 ‌2×20=40 ② 3 r xß`-r } =¤Cr(-3)r r (단, r=0, 1, 2, y, 6) x x xÛ` 항은 (6-r)-r=2일 때이므로 r=2 Û f(2)=4인 경우 ‌조건 ㈏에 의하여 f(1)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4의 4 가지이다. 따라서 xÛ` 의 계수는 ¤Cª_(-3)Û`=135 ‌f(3), f(4), f(5)의 값을 정하는 경우의 수는 4, 5의 2개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ‌ ªH£=¢C£=¢CÁ=4 ‌따라서 이때의 함수의 개수는 ‌4×4=16 Ú, Û에서 구하는 함수의 개수는 40+16=56 0110 ③ 1 ß` } 의 전개식의 일반항은 xÛ` 1 r xß`-r ¤Cr xß`-r{ } =¤Cr 2r (단, r=0, 1, 2, y, 6) xÛ` x {x+ 230 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 230 2023. 9. 12. 오전 10:02 0114 상수항은 6-r=2r일 때이므로 r=2 따라서 상수항은 7 (xÛ`+1)n의 전개식의 일반항은 ¤Cª=15 Cr 1n-r(xÛ`)r=nCr x2r (단, r=0, 1, 2, y, n) n xß`항은 r=3일 때이므로 xß`의 계수는 nC£` 이때 xß`의 계수가 35이므로 nC£=35에서 0111 ① n(n-1)(n-2) =35 3_2_1 2 권 n(n-1)(n-2)=7_6_5 (x+ay)Þ`의 전개식의 일반항은 ∴ n=7 °Cr xÞ`-r(ay)r=°Cr arxÞ`-ryr (단, r=0, 1, 2, y, 5) xÜ`yÛ`항은 r=2일 때이므로 xÜ`yÛ`의 계수는 °Cª_aÛ`=10aÛ` 0115 이때 xÜ`yÛ`의 계수가 40이므로 10aÛ`=40, aÛ`=4 3 n } 의 전개식의 일반항은 xÞ` 3 r x2n-2r n-r { } =nCr 3r 5r (단, r=0, 1, 2, y, n) nCr(xÛ`) xÞ` x 2 상수항은 2n-2r=5r일 때이므로 r= n 7 {xÛ`+ ∴ a=2 (∵ a>0) 0112 {x+ 6 a r xß`-r } =¤Cr ar r (단, r=0, 1, 2, y, 6) x x 1 항은 r-(6-r)=2일 때이므로 r=4 xÛ` 1 따라서 의 계수는 xÛ` ¤C¢_aÝ`=15aÝ` 11 (a+b)(c+d)n의 전개식 0116 1 의 계수가 15이므로 xÛ` 15aÝ`=15, aÝ`=1 이때 °Cr xÞ`-r2r=°Cr 2rx5-r (단, r=0, 1, 2, y, 5) yy ㉠ (x-3)(x+2)Þ`=x(x+2)Þ`-3(x+2)Þ`의 전개식에서 xÝ` 항은 x와 1 ß` } 의 전개식의 일반항은 x (x+2)Þ`에서 xÜ` 항이 곱해질 때, -3과 (x+2)Þ`에서 xÝ` 항이 곱해 -r 질 때 나타난다. xß` (단, r=0, 1, 2, y, 6) xr Ú ㉠에서 xÜ` 항은 5-r=3일 때이므로 r=2 xÝ`항은 (6-r)-r=4일 때이므로 r=1 (x+2)Þ`의 전개식에서 xÜ`의 계수는 따라서 xÝ`의 계수는 °Cª_2Û`=40 ¤CÁ=6 따라서 이때의 xÝ`의 계수는 ¤Cr ① (x+2)Þ`의 전개식의 일반항은 ∴ a=1`(∵ a>0) 즉, {x+ 따라서 상수항이 존재하려면 n은 7의 배수이어야 하므로 구하는 자연수 n의 최솟값은 7이다. a ß` } 의 전개식의 일반항은 x ¤Cr xß`-r{ 7 1×40=40 Û ㉠에서 xÝ` 항은 5-r=4일 때이므로 r=1 (x+2)Þ`의 전개식에서 xÝ`의 계수는 0113 ④ °CÁ_2=10 따라서 이때의 xÝ`의 계수는 (a+x)Þ`의 전개식의 일반항은 °Cr aÞ`-rxr (단, r=0, 1, 2, y, 5) xÜ` 항은 r=3일 때이므로 xÜ`의 계수는 °C£_aÛ`=10aÛ` (-3)×10=-30 Ú, Û에서 구하는 xÝ`의 계수는 40-30=10 xÝ` 항은 r=4일 때이므로 xÝ`의 계수는 °C¢_a=5a xÜ`의 계수와 xÝ`의 계수가 같으므로 10aÛ`=5a, a(2a-1)=0 ∴ a= 1 (∵ a>0) 2 0117 ③ (1+xÛ`)ß`의 전개식의 일반항은 ¤Cr 1ß`-r(xÛ`)r=¤Cr x2r (단, r=0, 1, 2, y, 6) yy ㉠ Ⅰ. 경우의 수 231 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 231 2023. 9. 12. 오전 10:02 (1+2x)(1+xÛ`)ß`=(1+xÛ`)ß`+2x(1+xÛ`)ß`의 전개식에서 x¡` 항은 8 1과 (1+xÛ`)ß`에서 x 항이 곱해질 때, 2x와 (1+xÛ`)ß`에서 xà` 항이 따라서 이때의 xÝ`의 계수는 1_1=1 Û ‌㉠에서 xÛ` 항은 r=2일 때이므로 (x+2)Ý`의 전개식에서 xÛ`의 계 곱해질 때 나타난다. Ú ‌㉠에서 x8항은 2r=8일 때이므로 r=4 수는 8 (1+xÛ`)ß`의 전개식에서 x 의 계수는 ¢Cª_2Û`=24 ¤C¢=¤Cª=15 따라서 이때의 xÝ`의 계수는 8 따라서 이때의 x 의 계수는 a_24=24a Ú, Û에서 xÝ`의 계수는 1+24a 1×15=15 Û ‌㉠에서 xà` 항은 2r=7일 때이므로 (1+xÛ`)ß`의 전개식에서 xà`항 이때 xÝ`의 계수가 49이므로 1+24a=49 ∴ a=2 은 존재하지 않는다. Ú, Û에서 구하는 x¡`의 계수는 15이다. 0118 {x+ 56 12 1 à` } 의 전개식의 일반항은 x ¦Cr xà`-r{ 1 r xà`-r } =¦Cr r (단, r=0, 1, 2, y, 7) yy ㉠ x x (a+b)m(c+d)n의 전개식 0120 ① 1 à` 1 1 } =xÛ`{x+ }à`+{x+ }à`의 전개식에서 xÜ`항은 x x x (1+x)Ü`의 전개식의 일반항은 1 1 xÛ`과 {x+ }à`에서 x항이 곱해질 때, 1과 {x+ }à`에서 xÜ` 항이 x x (2-x)Ý`의 전개식의 일반항은 곱해질 때 나타난다. ¢Cs 2Ý`-s(-x)s=¢Cs(-1)s2Ý`-sxs (단, s=0, 1, 2, 3, 4) Ú ㉠에서 x항은 (7-r)-r=1일 때이므로 따라서 (1+x)Ü`(2-x)Ý`의 전개식의 일반항은 (xÛ`+1){x+ £Cr xr×¢Cs(-1)s2Ý`-sxs=£Cr×¢Cs(-1)s2Ý`-sxr+s r=3 {x+ £Cr xr (단, r=0, 1, 2, 3) xß` 항은 r+s=6일 때이므로 순서쌍 (r, s)는 (2, 4), (3, 3)이다. 1 à` } 의 전개식에서 x의 계수는 x Ú r=2, s=4일 때, xß`의 계수는 ¦C£=35 £Cª_¢C¢_(-1)Ý`_20=3 따라서 이때의 xÜ`의 계수는 Û r=3, s=3일 때, xß`의 계수는 1×35=35 £C£_¢C£_(-1)Ü`_2=-8 Û ㉠에서 xÜ` 항은 (7-r)-r=3일 때이므로 Ú, Û에서 구하는 xß`의 계수는 r=2 3-8=-5 1 {x+ }à`의 전개식에서 xÜ`의 계수는 x ¦Cª=21 따라서 이때의 xÜ`의 계수는 0121 1×21=21 Ú, Û에서 구하는 xÜ`의 계수는 ② (1+x)Ý`의 전개식의 일반항은 35+21=56 ¢Crxr (단, r=0, 1, 2, 3, 4) {xÛ`- 0119 ③ 2 Þ }`의 전개식의 일반항은 x °Cs(xÛ`)Þ`-s{- 2 s x10-2s (단, s=0, 1, 2, …, 5) } =°Cs(-2)s x xs (x+2)Ý`의 전개식의 일반항은 따라서 (1+x)Ý`{xÛ`- ¢Cr xÝ`-r2r=¢Cr 2rxÝ`-r (단, r=0, 1, 2, 3, 4) yy ㉠ ¢Cr xr×°Cs(-2)s (1+axÛ`)(x+2)Ý`=(x+2)Ý`+axÛ`(x+2)Ý`의 전개식에서 xÝ`항은 1 과 (x+2)Ý`에서 xÝ`항이 곱해질 때, axÛ`과 (x+2)Ý`에서 xÛ`항이 곱 해질 때 나타난다. Ú ‌㉠에서 xÝ`항은 r=0일 때이므로 (x+2)Ý`의 전개식에서 xÝ`의 계 수는 ¢C¼_20=1 2 Þ }`의 전개식의 일반항은 x x10-2s xr+10-2s =¢Cr×°Cs(-2)s xs xs 1 항은 s-(r+10-2s)=2, 즉 r-3s=-12일 때이므로 순서 xÛ` 쌍 (r, s)는 (0, 4), (3, 5)이다. Ú r=0, s=4일 때, 1 의 계수는 xÛ` ¢C¼_°C¢_(-2)Ý`=80 232 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 232 2023. 9. 12. 오전 10:02 Ú, Û에서 상수항은 1 의 계수는 xÛ` ¢C£_°C°_(-2)Þ`=-128 Û r=3, s=5일 때, Ú, Û에서 구하는 30aÛ`+5 이때 상수항이 125이므로 1 의 계수는 xÛ` 30aÛ`+5=125, aÛ`=4 ∴ a=2 (∵ a>0) 80-128=-48 권 2 0122 13 ① (a-x)Ý`의 전개식의 일반항은 (1+x)n의 전개식의 활용 ¢Cr aÝ`-r(-x)r=¢Cr(-1)raÝ`-rxr (단, r=0, 1, 2, 3, 4) 0124 (1+2x)Ü`의 전개식의 일반항은 (1+x)n=nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnxn의 양변에 x=8, n=10 -s s s s ③ £Cs1Ü` (2x) =£Cs 2 x (단, s=0, 1, 2, 3) 을 대입하면 따라서 (a-x)Ý`(1+2x)Ü`의 전개식의 일반항은 (1+8)10=10C¼+10CÁ_8+10Cª_8Û`+y+10C10_810 ¢Cr(-1)raÝ`-rxr×£Cs 2sxs=¢Cr×£Cs(-1)raÝ`-r2sxr+s 이므로 xÞ`항은 r+s=5일 때이므로 순서쌍 (r, s)는 10 (2, 3), (3, 2), (4, 1)이다. =910=320 C¼+10CÁ_8+10Cª_8Û`+y+10C10_810 Ú r=2, s=3일 때, xÞ`의 계수는 ¢Cª_£C£_(-1)Û`_aÛ`_2Ü`=48aÛ` Û r=3, s=2일 때, xÞ`의 계수는 0125 ¢C£_£Cª_(-1)Ü`_a_2Û`=-48a Ü r=4, s=1일 때, xÞ`의 계수는 ③ (1+x)n=nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnxn의 양변에 x=2, n=8 ¢C¢_£CÁ_(-1)Ý`_a0_2=6 을 대입하면 Ú~Ü에서 xÞ`의 계수는 (1+2)¡`=¥C¼+¥CÁ_2+¥Cª_2Û`+¥C£_2Ü`+y+¥C¥_2¡` 48aÛ`-48a+6 이때 nCr=nCn-r (r=0, 1, 2, …, n)이므로 이때 xÞ`의 계수가 6이므로 3¡`=¥C¥+¥C¦_2+¥C¤_2Û`+¥C°_2Ü`+y+¥C¼_2¡` 48aÛ`-48a+6=6, aÛ`-a=0 ∴ N=¥C¦_2+¥C¤_2Û`+¥C°_2Ü`+y+¥C¼_2¡` a(a-1)=0 =3¡`-¥C¥ ∴ a=1 (∵ a>0) =3¡`-1 =(3Ý`+1)(3Ý`-1) =(3Ý`+1)(3Û`+1)(3Û`-1) =82×10×8 0123 ① (5+1)(1+1)(1+1)=24 (a+x)Ü`의 전개식의 일반항은 -r =2Þ`_5_41 따라서 구하는 양의 약수의 개수는 r £Cr aÜ` x (단, r=0, 1, 2, 3) {x+ 1 Þ }`의 전개식의 일반항은 x °Cs xÞ`-s{ 1 s xÞ`-s } =°Cs s (단, s=0, 1, 2, …, 5) x x 따라서 (a+x)Ü`{x+ 1 Þ }`의 전개식의 일반항은 x 0126 ① 1141=(1+10)41이므로 xÞ`-s xr+Þ`-s £CraÜ` x ×°Cs s =£Cr×°CsaÜ`-r x xs (1+x)n=nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnxn의 양변에 x=10, 상수항은 r+5-s=s, 즉 r-2s=-5일 때이므로 순서쌍 (r, s) 1141=41C¼+41CÁ_10+41Cª_10Û`+41C£_10Ü`+y+41C41_1041 -r r n=41을 대입하면 =41C¼+41CÁ_10+10Û`(41Cª+41C£_10+y+41C41_1039) 는 (1, 3), (3, 4)이다. Ú r=1, s=3일 때, 상수항은 £CÁ_°C£_aÛ`=30aÛ` Û r=3, s=4일 때, 상수항은 £C£_°C¢_a0=5 따라서 1141을 100으로 나누었을 때의 나머지는 41C¼+41CÁ_10을 100으로 나누었을 때의 나머지와 같다. 41 C¼+41CÁ_10=1+410=411=4_100+11이므로 1141을 100 으로 나누었을 때의 나머지는 11이다. Ⅰ. 경우의 수 233 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 233 2023. 9. 12. 오전 10:02 0127 10 C¼+23CÁ+23Cª+y+23C23=223이므로 23 C12+23C13+23C14+y+23C23 23 2115=(1+20)15이므로 1 =223_ =222 2 (1+x)n=nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnxn의 양변에 x=20, n=15를 대입하면 (1+20)15‌=15C¼+15CÁ_20+15Cª_20Û`+y+15C15_2015 =15C¼+ 15CÁ_20+15Cª_20Û ` +20Ü ` (15C£+15C¢_20+y+15C15_20 12) 20Ü`=8000이므로 네 번째 항 이후부터는 백의 자리, 십의 자리, 일 ② 이항계수의 성질에 의하여 CÁ+15C£+15C°+y+15C15=215-1=214 15 의 자리에 영향을 주지 않는다. 이때 15C15=1이므로 따라서 구하는 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자는 각각 15 0132 C¼+15CÁ_20+15Cª_20Û`의 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리의 CÁ+15C£+15C°+y+15C13‌=214-15C15 15 =214-1 숫자와 같다. 15 C¼+15CÁ_20+15Cª_20Û`=1+300+42000=42301이므로 a=3, b=0, c=1 0133 ∴ 3a+2b+c=3_3+1=10 ③ 이항계수의 성질에 의하여 C¼+nCÁ+nCª+nC£+y+nCn=2n이므로 n 14 CÁ+nCª+nC£+y+nCn=2n-nC¼=2n-1 n 이항계수의 성질 이것을 주어진 식에 대입하면 200<2n-1<400 0128 ④ ∴ 201<2n<401 이때 2à`=128, 2¡`=256, 2á`=512이므로 이항계수의 성질에 의하여 n=8 n C¼+nCÁ+nCª+nC£+y+nCn=2 n 이므로 Á0C¼+Á0CÁ+Á0Cª+y+Á0CÁ0 =210=1024 15 0129 8 이항계수의 성질의 활용 이항계수의 성질에 의하여 0134 C¼+nCÁ+nCª+nC£+y+nCn=2n 서로 다른 13개의 사탕 중에서 7개 이상의 사탕을 택하는 경우의 이므로 수는 n ① C¦+13C¥+13C»+y+13C13 n 2 =256=2¡` ∴ n=8 13 이때 nCr=nCn-r (r=0, 1, 2, …, n)이므로 C¦+13C¥+13C»+y+13C13=13C¤+13C°+13C¢+y+13C¼ 13 0130 ③ 이항계수의 성질에 의하여 C¼+13CÁ+13Cª+y+13C13=213 13 이항계수의 성질에 의하여 15 이므로 C¼-15CÁ+15Cª-15C£+y-15C15=0 C¦+13C¥+13C»+y+13C13=213_ 13 이때 15C¼=1, 15C15=1이므로 15 1 =212 2 CÁ-15Cª+15C£-15C¢+y-15CÁ4 =15C¼-15C15=0 0135 0131 ⑤ Cr=nCn-r (r=0, 1, 2, …, n)이므로 n 23C12+23C13+23C14+y+23C23 =23C11+23C10+23C»+y+23C¼ 이항계수의 성질에 의하여 16 원소의 개수가 n인 집합의 부분집합 중 원소의 개수가 홀수인 부분 집합의 개수가 f(n)이므로 f(n)=nCÁ+nC£+nC°+y=2n-1 f(6)=2ß`-1=2Þ`, f(10)=210-1=2á`이므로 f(10) 2á` = =2Ý`=16 2Þ` f(6) 234 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 234 2023. 9. 12. 오전 10:02 0136 ② 집합 A={x|x는 15 이하의 자연수}={1, 2, 3, 4, y, 15}의 부 0140 ④ Cr-1+n-1Cr=nCr (r=1, 2, 3, …, n-1)이므로 n-1 분집합 중 두 원소 1, 2를 모두 포함하고 원소의 개수가 짝수인 부 (ªCÁ+ªCª)+(£Cª+£C£)+…+(»C¥+»C») 분집합의 개수는 집합 {3, 4, 5, y, 15}의 부분집합 중 원소의 개 =£Cª+¢C£+°C¢+¤C°+¦C¤+¥C¦+»C¥+Á0C» 수가 짝수인 부분집합의 개수와 같다. =£CÁ+¢CÁ+°CÁ+¤CÁ+¦CÁ+¥CÁ+»CÁ+Á0CÁ 따라서 구하는 부분집합의 개수는 =3+4+5+6+7+8+9+10 13-1 =212 13C¼+13Cª+13C¢+y+13C12=2 =52 권 2 다른 풀이 ( \ | { \ | 9 ªCª+£C£+¢C¢+…+»C»=1+1+1+…+1=8 8개 ªCÁ+£Cª+¢C£+…+»C¥‌=ªCÁ+£CÁ+¢CÁ+…+»CÁ =2+3+4+…+9 16 =44 파스칼의 삼각형 따라서 색칠한 부분의 모든 수의 합은 0137 ③ 8+44=52 Cr-1+n-1Cr=nCr (r=1, 2, 3, …, n-1)이므로 n-1 ¢C¼+¢CÁ+°Cª+¤C£+y+»C¤‌ 0141 =°CÁ+°Cª+¤C£+y+»C¤ =¤Cª+¤C£+y+»C¤ ⑤ (x+1)n의 전개식의 일반항은 ⋮ Cr xr (단, r=0, 1, 2, …, n) =»C°+»C¤ n 2ÉnÉ8인 경우에만 xÛ`항이 나오므로 =Á0C¤=Á0C¢ (x+1)Û`의 전개식에서 xÛ`의 계수는 ªCª =210 (x+1)Ü`의 전개식에서 xÛ`의 계수는 £Cª (x+1)Ý`의 전개식에서 xÛ`의 계수는 ¢Cª 0138 ① Cr-1+n-1Cr=nCr (r=1, 2, 3, …, n-1)이므로 ⋮ (x+1)¡`의 전개식에서 xÛ`의 계수는 ¥Cª n-1 따라서 구하는 xÛ`의 계수는 3 C1+4C2+5C3+6C4+7C5+8C6 ªCª+£Cª+¢Cª+°Cª+y+¥Cª =(4C1+4C2+5C3+6C4+7C5+8C6)-4C1+3C1 =£C£+£Cª+¢Cª+°Cª+y+¥Cª (∵ ªCª=£C£) =(5C2+5C3+6C4+7C5+8C6)-4C1+3C1 =¢C£+¢Cª+°Cª+y+¥Cª =(6C3+6C4+7C5+8C6)-4C1+3C1 =°C£+°Cª+y+¥Cª =(7C4+7C5+8C6)-4C1+3C1 ⋮ =(8C5+8C6)-4C1+3C1 =¥C£+¥Cª =9C6-4C1+3C1 =»C£=84 =9C6-1 0139 ② £C£=¢C¢이고, n-1Cr-1+n-1Cr=nCr (r=1, 2, 3, …, n-1)이므 로 £C£+¢C£+°C£+y+£0C£ 17 =¢C¢+¢C£+°C£+y+£0C£ =°C¢+°C£+¤C£+y+£0C£ =¤C¢+¤C£+y+£0C£ ⋮ 수학 I 통합 유형 0142 ③ 이항계수의 성질에 의하여 C¼+19CÁ+19Cª+y+19C19=219 =£0C¢+£0C£ 19 =£1C¢ ‌ ∴ logª`(19C¼+19CÁ+19Cª+y+19C19) 따라서 n=31, r=4이므로 =logª`219=19 logª`2 n+r=31+4=35 =19 Ⅰ. 경우의 수 235 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 235 2023. 9. 12. 오전 10:02 0143 ④ Cr=nCn-r (r=0, 1, 2, …, n)이므로 5 5 k=1 k=1 =1+2Û`+2Ý`+2ß`+2¡` 1_(4Þ`-1) 1024-1 = = 4-1 3 n 15 ∴ Á f(k)‌= Á 22k-2 C¥+15C»+15C10+y+15C15=15C¦+15C¤+15C°+y+15C¼ 이항계수의 성질에 의하여 15 15 =341 C¼+15CÁ+15Cª+y+15C15=215이므로 1 C¥+15C»+15CÁ0+y+15C15=215_ =214 2 ∴ logª`( ‌ 15C¥+15C»+15CÁ0+y+15C15) 0147 =logª`214=14 logª`2 =14 80 (a+2x)ß`의 전개식의 일반항은 ¤Cr aß`-r(2x)r=¤Cr 2raß`-rxr (단, r=0, 1, 2, …, 6) x항은 r=1일 때이므로 x의 계수는 0144 1 Á 180Ck{;6!;} 180-k 180 k=0 {;6%;} xÛ` 항은 r=2일 때이므로 xÛ`의 계수는 ¤Cª_2Û`_aÝ`=60aÝ` k xÝ` 항은 r=4일 때이므로 xÝ`의 계수는 =180C¼{;6!;} +180CÁ{;6!;} {;6%;} +180Cª{;6!;} {;6%;} 180 ¤C1_2_aÞ`=12aÞ` 179 1 178 2 ¤C¢_2Ý`_aÛ`=240aÛ` +y+180C180{;6%;} 180 x, xÛ`, xÝ`의 계수가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 (60aÝ`)Û`=12aÞ`_240aÛ`, 3600a¡`=2880aà` a+0이므로 100a=80 ={;6!;+;6%;} =1 180 0145 ③ n n (1+x) =nC¼+nCÁx+nCªxÛ`+y+nCnx 의 양변에 x=3을 대입 하면 0148 ② (x+2y)n+1의 전개식의 일반항은 Cr xn+1-r(2y)r=n+1Cr 2rxn+1-ryr (단, r=0, 1, 2, …, n+1) n+1 xn-1yÛ`항은 r=2일 때이므로 xn-1yÛ`의 계수는 4n‌=nC¼+nCÁ_3+nCª_3Û`+y+nCn_3n Cª_2Û`= n(n+1) _4=2n(n+1) 2 이므로 an=4n n+1 ∴ logªà10=logª`410=logª`220 ∴ f(n)=2n(n+1) ‌ ∴Á =20 logª`2=20 10 1 f(k) =Á k=1 1 2k(k+1) 1 10 1 1 = Á{ } 2 k=1 k k+1 10 k=1 0146 f(n)‌= Á ªn-1Cr 341 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = [{ - }+{ - }+{ - }+y+{ - }] 2 1 2 2 3 3 4 10 11 n-1 r=0 1 1 = {1- } 2 11 =ªn-1C0+ªn-1C1+ªn-1C2+y+ªn-1Cn-2+ªn-1Cn-1 1 10 5 = _ = 2 11 11 이때 ªn-1C0=ªn-1Cªn-1, ªn-1C1=ªn-1Cªn-2, ªn-1C2=ªn-1Cªn-3, ⋮ 0149 ªn-1Cn-2=ªn-1Cn+1, ªn-1Cn-1=ªn-1Cn 이므로 1 f(n)‌= (ªn-1C0+ªn-1C1+ªn-1C2+y+ªn-1C2n-1) 2 1 = _22n-1=22n-2 2 102 10 1 n 1 1 2 1 3 1 10 Á {xÛ`+ } ={xÛ`+ }+{xÛ`+ } +{xÛ`+ } +y+{xÛ`+ } x x x x x n=1 10 이하의 자연수 n에 대하여 {xÛ`+ Cr(xÛ`)n-r{ n 1 n } 의 전개식의 일반항은 x 1 r x2n-2r } =nCr r (단, r=0, 1, 2, …, n) x x 236 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 236 2023. 9. 12. 오전 10:02 상수항은 2n-2r=r일 때이므로 r= 2 n 3 상수항이 존재하려면 n은 3의 배수이어야 하므로 순서쌍 (n, r)는 (3, 2), (6, 4), (9, 6)이다. 0151 따라서 구하는 상수항은 £Cª+¤C¢+»C¤‌=£CÁ+¤Cª+»C£ {xÛ`+ =3+15+84=102 ② a Þ }`의 전개식의 일반항은 x 2 a r x10-2r (단, r=0, 1, 2, …, 5) } =°Cr ar x xr 권 °Cr(xÛ`)Þ`-r{ 1 1 항은 r-(10-2r)=2, 즉 r=4일 때이므로 의 계수는 xÛ` xÛ` 0150 ③ Á (1+x)n=(1+x)+(1+x)Û`+(1+x)Ü`+y+(1+x)10 °C¢_aÝ`=5aÝ` 10 x항은 (10-2r)-r=1, 즉 r=3일 때이므로 x의 계수는 n=1 °C£_aÜ`=10aÜ` 따라서 주어진 식은 첫째항이 1+x, 공비가 1+x인 등비수열의 첫 째항부터 제10항까지의 합이므로 Á (1+x)n‌= 10 n=1 = (1+x){(1+x)10-1} (1+x)-1 1 의 계수와 x의 계수가 같으므로 xÛ` 5aÝ`=10aÜ` ∴ a=2 (∵ a>0) 11 (1+x) -(1+x) yy ㉠ x 이때 xÝ`의 계수는 ㉠의 (1+x)11의 전개식에서 xÞ`의 계수와 같다. (1+x)11의 전개식의 일반항은 Á1Cr xr (단, r=0, 1, 2, …, 11) 0152 (1+x)11의 전개식에서 xÞ`항은 r=5일 때이므로 xÞ`의 계수는 Ú A를 선택하지 않는 경우 ② Á1C°=462 ‌ C, D를 각각 2개 이상씩 선택해야 하므로 B, C, D를 각각 B, 따라서 구하는 xÝ`의 계수는 462이다. 2개씩 먼저 선택한 후, 남은 세 종류의 빵 중에서 중복을 허락하 다른 풀이 여 10-6=4(개)를 선택하는 경우의 수는 ‌£H¢=¤C¢=¤Cª=15 n (1+x) 의 전개식의 일반항은 Û A를 1개 선택하는 경우 r Cr x (단, r=0, 1, 2, …, n) n 4ÉnÉ10인 경우에만 xÝ`항이 나오므로 ‌B, C, D를 각각 2개 이상씩 선택해야 하므로 B, C, D를 각각 (1+x)Ý`의 전개식에서 xÝ`의 계수는 ¢C¢ 2개씩 먼저 선택한 후, 남은 세 종류의 빵 중에서 중복을 허락하 (1+x)Þ`의 전개식에서 xÝ`의 계수는 °C¢ 여 9-6=3(개)를 선택하는 경우의 수는 £H£=°C£=°Cª=10 ⋮ (1+x) 의 전개식에서 xÝ`의 계수는 Á0C¢ Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 xÝ`의 계수는 15+10=25 10 ¢C¢+°C¢+¤C¢+y+Á0C¢ =°C°+°C¢+¤C¢+y+Á0C¢`(∵ ¢C¢=°C°) =¤C°+¤C¢+y+Á0C¢ ⋮ =Á0C°+Á0C¢ =Á1C°=462 사과, 감, 배, 귤 네 종류의 과일 중에서 8개를 선택하려고 한 다. 사과는 1개 이하를 선택하고, 감, 배, 귤은 각각 1개 이상 을 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 각 종류의 과일은 8개 이상씩 있다.) 36 0153 ③ a+2b+c+d=9에서 a+c+d=9-2b 0Éa+c+dÉ4이므로 0É9-2bÉ4 ∴ 5 9 ÉbÉ 2 2 이때 b는 음이 아닌 정수이므로 b=3 또는 b=4 Ⅰ. 경우의 수 237 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 237 2023. 9. 12. 오전 10:02 Ú b=3일 때 Ü r=1, s=1일 때, xÜ`의 계수는 °CÁ_¤CÁ=30 a+2b+c+d=9에서 Ý r=3, s=0일 때, xÜ`의 계수는 a+c+d=3 ‌이를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, c, d의 순서쌍 (a, c, d)의 °C£_¤C¼=10 개수는 Ü, Ý에서 구하는 xÜ`의 계수는 £H£=°C£=°Cª=10 30+10=40 Û b=4일 때 a+2b+c+d=9에서 다항식 (xÛ`+1)Ý`(xÜ`+1)n의 전개식에서 xÞ`의 계수가 12일 때, a+c+d=1 ‌이를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, c, d의 순서쌍 (a, c, d)의 개수는 xß`의 계수는? (단, n은 자연수이다.) ①6 £HÁ=£CÁ=3 ②7 ③8 ④9 ⑤ 10 ② Ú, Û에서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 10+3=13 0155 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c, d의 모든 순 서쌍 (a, b, c, d)의 개수는? 서로 다른 종류의 모자 4개를 같은 종류의 상자 4개에 넣는 경우의 수는 1이다. ㈎ a+b+c+3d=10 서로 다른 종류의 모자가 들어 있는 4개의 상자에 손수건이 1개 이 ㈏ a+b+cÉ5 ① 18 ② 20 35 상 들어가야 하므로 상자에 손수건을 1개씩 먼저 넣은 후, 남은 4 ③ 22 ④ 24 개의 손수건을 4개의 상자에 넣으면 된다. ⑤ 26 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 4개를 택하는 중복 ① 조합의 수와 같으므로 ¢H¢=¦C¢=¦C£=35 같은 종류의 상자에 서로 다른 종류의 모자를 넣었으므로 모자를 넣은 4개 의 상자는 서로 다른 상자가 된다. 0154 ③ (1+x)n의 전개식의 일반항은 Cr xr (단, r=0, 1, 2, y, n) 서로 다른 종류의 사탕 3개와 같은 종류의 구슬 7개를 같은 종 (1+xÛ`)ß`의 전개식의 일반항은 류의 주머니 3개에 남김없이 나누어 넣으려고 한다. 각 주머니 n 2s 에 사탕과 구슬이 각각 1개 이상씩 들어가도록 나누어 넣는 경 n 따라서 (1+x) (1+xÛ`)ß`의 전개식의 일반항은 우의 수는? Cr xr×¤Cs x2s=nCr×¤Cs xr+2s ① 11 ¤Cs(xÛ`) =¤Cs x (단, s=0, 1, 2, y, 6) s n xÛ`항은 r+2s=2일 때이므로 순서쌍 (r, s)는 (0, 1), (2, 0)이다. ② 12 ③ 13 ④ 14 ⑤ 15 ⑤ Ú r=0, s=1일 때, xÛ`의 계수는 C¼_¤CÁ=6 n Û r=2, s=0일 때, xÛ`의 계수는 Cª_¤C¼= n n(n-1) 2 0156 Ú, Û에서 주어진 다항식의 xÛ`의 계수는 n(n-1) 6+ 2 8권의 책을 3개의 칸으로 이루어진 책장에 남김없이 나누어 꽂는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 8개를 택하는 중복조합의 수와 같 으므로 이때 xÛ`의 계수가 16이므로 6+ ③ £H¥=10C¥=10Cª=45 n(n-1) =16 2 이때 5권의 책을 꽂을 수 있는 칸에 6권 이상의 책을 꽂는 경우를 n(n-1)=20=5_4 제외해야 한다. ∴ n=5 Ú 첫 번째 칸에 6권의 책을 꽂는 경우 즉, 주어진 다항식 (1+x)Þ`(1+xÛ`)ß`의 전개식의 일반항은 ‌첫 번째 칸에 6권의 책을 꽂는 경우의 수는 남은 2권의 책을 남 °Cr×¤Cs xr+2s 은 2개의 칸에 남김없이 나누어 꽂는 경우의 수와 같으므로 ‌xÜ`항은 r+2s=3일 때이므로 순서쌍 (r, s)는 (1, 1), (3, 0)이다. ªHª=£Cª=3 238 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 238 2023. 9. 12. 오전 10:02 Û 첫 번째 칸에 7권의 책을 꽂는 경우 이때 조건 ㈐에 의하여 검은색 카드 사이에는 3의 배수가 적힌 흰 ‌첫 번째 칸에 7권의 책을 꽂는 경우의 수는 남은 1권의 책을 남 색 카드가 1장 이상 놓여 있어야 하므로 ㉠을 만족시키는 순서쌍 은 2개의 칸에 남김없이 나누어 꽂는 경우의 수와 같으므로 (a, b, c) 중에서 (0, 2, 6), (3, 2, 3), (6, 2, 0)을 제외해야 한다. ªHÁ=ªCÁ=2 따라서 구하는 경우의 수는 Ü 첫 번째 칸에 8권의 책을 꽂는 경우의 수는 1이다. 28-3=25 Ú~Ü에서 첫 번째 칸에 6권 이상의 책을 꽂는 경우의 수는 2 3+2+1=6 권 또한 두 번째 칸에 6권 이상의 책을 꽂는 경우의 수도 6이다. 따라서 구하는 경우의 수는 45-(6+6)=33 0159 ② 네 명의 학생 A, B, C, D가 받는 초콜릿의 개수를 각각 a, b, c, d 라 하면 0157 a+b+c+d=8 ④ f(n)‌= Á nCr3 n 이때 조건 ㈎에 의하여 a, b, c, d는 자연수이므로 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1, d=d'+1로 놓으면 r r=0 (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)=8 =nC¼+nCÁ_3+nCª_3Û`+nC£_3Ü`+y+nCn_3n (단, a', b', c', d'은 음이 아닌 정수이다.) =(1+3)n=4n ∴ a'+b'+c'+d'=4 yy`㉠ ∴ log` f(n)‌=log`4n=log`22n 조건 ㈏에 의하여 a>b이므로 a'>b' =2n log`2 Ú b'=0일 때 =2n×0.3=0.6n a'¾1이므로 a'=a"+1로 놓으면 ㉠에서 log` f(n)>10에서 (a"+1)+0+c'+d'=4`(단, a"은 음이 아닌 정수이다.) 0.6n>10 ∴ a"+c'+d'=3 ∴ n>16.6___ ‌이때 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 a"+c'+d'=3을 만족시키 따라서 구하는 n의 최솟값은 17이다. 는 음이 아닌 정수 a", c', d'의 순서쌍 (a", c', d')의 개수와 같으므로 자연수 n에 대하여 f(n)=;Rn+) ÇC¨{;9!;}r`일 때, log` f(n)>1을 £H£=°C£=°Cª=10 Û b'=1일 때 만족시키는 n의 최솟값은? (단, log`3=0.4771로 계산한다.) a'¾2이므로 a'=a"+2로 놓으면 ㉠에서 ① 18 (a"+2)+1+c'+d'=4`(단, a"은 음이 아닌 정수이다.)` ② 22 ③ 26 ④ 30 ⑤ 34 ∴ a"+c'+d'=1 ② ‌이때 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 a"+c'+d'=1을 만족시키 는 음이 아닌 정수 a", c', d'의 순서쌍 (a", c', d')의 개수와 같으므로 £HÁ=£CÁ=3 0158 Ü b'=2일 때 25 흰색 카드 a장 흰색 카드 b장 1 a'¾3이므로 a'+b'¾5가 되어 ㉠을 만족시키지 않는다. Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 흰색 카드 c장 2 3 41 10+3=13 52 63 74 85 6 7 8 다른 풀이 검은색 카드 2장을 먼저 배열한 후, 검은색 카드 사이에 들어가는 초콜릿 8개를 네 명의 학생에게 적어도 하나씩 나누어 주는 경우의 흰색 카드의 수를 차례대로 a, b, c라 하면 조건 ㈎, ㈏에 의하여 수는 먼저 1개씩 나누어 준 후, 남은 4개의 초콜릿을 네 명의 학생 a+b+c=8 (단, a, c는 음이 아닌 정수, b는 b¾2인 정수이다.) 에게 중복을 허락하여 나누어 주면 되므로 4 yy ㉠ H4=7C4=7C3=35 b¾2이므로 b=b'+2로 놓으면 이때 두 학생 A, B가 받는 초콜릿의 개수가 같은 경우는 다음과 같다. a+(b'+2)+c=8 (단, a, b', c는 음이 아닌 정수이다.) Ú A, B가 모두 1개씩 받을 때 yy ㉡ ‌나머지 6개의 초콜릿을 C, D에게 적어도 하나씩 나누어 주는 방정식 ㉠을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 방정식 ㉡을 경우의 수는 C, D에게 초콜릿을 1개씩 먼저 나누어 준 후 남은 만족시키는 순서쌍 (a, b', c)의 개수와 같으므로 4개를 중복을 허락하여 C, D에게 나누어 주면 되므로 £H¤=¥C¤=¥Cª=28 2 ∴ a+b'+c=6 H4=5C4=5 Ⅰ. 경우의 수 239 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 239 2023. 9. 12. 오전 10:02 Û A, B가 모두 2개씩 받을 때 Û a=2일 때 ‌나머지 4개의 초콜릿을 C, D에게 적어도 하나씩 나누어 주는 ‌b+c+d+e=6이고 조건 ㈏를 만족시키려면 b, c, d, e 중에 경우의 수는 C, D에게 초콜릿을 1개씩 먼저 나누어 준 후 남은 2개를 중복을 허락하여 C, D에게 나누어 주면 되므로 서 2개는 짝수, 2개는 홀수이어야 한다. ‌이를 만족시키는 자연수 b, c, d, e의 순서쌍 (b, c, d, e)의 개 H2=3C2=3 수는 1, 1, 2, 2를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 2 Ü A, B가 모두 3개씩 받을 때 ‌나머지 2개의 초콜릿을 C, D에게 하나씩 나누어 주는 경우의 수는 1이다. Ú~Ü에서 두 학생 A, B가 받는 초콜릿의 개수가 같은 경우의 수는 4! =6 2!_2! Ü a=3일 때 ‌b+c+d+e=4를 만족시키는 자연수 b, c, d, e의 순서쌍 (b, c, d, e)는 (1, 1, 1, 1)뿐이므로 조건 ㈏를 만족시킬 수 없다. Ú~Ü에서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 5+3+1=9 따라서 A 또는 B 중에 한 명이 더 많은 초콜릿을 받는 경우의 수는 130+6=136 35-9=26이고, A가 더 많이 받는 경우와 B가 더 많이 받는 경우 가 각각 동일하게 존재하므로 구하는 경우의 수는 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c, d의 모든 순 26 =13 2 서쌍 (a, b, c, d)의 개수를 구하시오. ㈎ a+b+c+d=6 ‌ ㈏ a, ‌ b, c, d 중에서 적어도 하나는 0이다. 74 0160 136 조건 ㈎에 의하여 a는 12의 약수이고, b+c+d+e¾4이므로 a=1 또는 a=2 또는 a=3 Ú a=1일 때 ‌b+c+d+e=12이고 조건 ㈏를 만족시키려면 b, c, d, e가 모 두 짝수이거나 b, c, d, e 중에서 2개는 짝수, 2개는 홀수이어 야 한다. 0161 ⓐ b, c, d, e가 모두 짝수인 경우 c가 5 이하의 자연수이므로 b=2b'+2, c=2c'+2, d=2d'+2, e=2e'+2로 놓으면 1ÉbÉ4 (2b'+2)+(2c'+2)+(2d'+2)+(2e'+2)=12 Ú b=1일 때 (단, b', c', d', e'은 음이 아닌 정수이다.) 55 ‌aÉ2ÉcÉd에서 a의 값이 될 수 있는 것은 1, 2의 2가지이고, ∴ b'+c'+d'+e'=2 c, d의 값을 정하는 경우의 수는 2, 3, 4, 5의 4개에서 2개를 택 이를 만족시키는 음이 아닌 정수 b', c', d', e'의 순서쌍 하는 중복조합의 수와 같으므로 (b', c', d', e')의 개수는 ¢H2=5C2=10 4Hª=°Cª=10 따라서 이때의 경우의 수는 ⓑ b, c, d, e 중에서 2개는 짝수, 2개는 홀수인 경우 2_10=20 b, c, d, e 중에서 짝수가 되는 2개를 선택하는 경우의 수는 Û b=2일 때 4Cª=6 ‌aÉ3ÉcÉd에서 a의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3의 3가지이 짝수 ‌ 2개를 2p+2, 2q+2, 홀수 2개를 2r+1, 2s+1로 놓 고, c, d의 값을 정하는 경우의 수는 3, 4, 5의 3개에서 2개를 으면 택하는 중복조합의 수와 같으므로 (2p+2)+(2q+2)+(2r+1)+(2s+1)=12 3 (단, p, q, r, s는 음이 아닌 정수이다.) H2=¢C2=6 따라서 이때의 경우의 수는 3_6=18 ∴ p+q+r+s=3 이를 만족시키는 음이 아닌 정수 p, q, r, s의 순서쌍 Ü b=3일 때 (p, q, r, s)의 개수는 ‌aÉ4ÉcÉd에서 a의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4의 4가지 ¢H£=¤C£=20 이고, c, d의 값을 정하는 경우의 수는 4, 5의 2개에서 2개를 즉, 이때의 경우의 수는 택하는 중복조합의 수와 같으므로 6_20=120 2 H2=3C2=3 ⓐ, ⓑ에서 자연수 b, c, d, e의 순서쌍 (b, c, d, e)의 개수는 따라서 이때의 경우의 수는 10+120=130 4_3=12 240 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 240 2023. 9. 12. 오전 10:02 Ý b=4인 경우 Ú 조건 ㈏를 만족시키지 않는 경우 ‌aÉ5ÉcÉd에서 a의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4, 5의 5 가지이고, c, d의 값을 정하는 경우의 수는 1이다. f(1)>3이므로 4É f(1)É f(2)É f(3)É f(4)É6 ‌f(1), f(2), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 4, 5, 6 따라서 이때의 경우의 수는 5_1=5 의 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 Ú~Ý에서 구하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 £H¢=¤C¢=¤Cª=15 Û 조건 ㈐를 만족시키지 않는 경우 20+18+12+5=55 2 권 f(3)> f(1)+4에서 f(1)=1, f(3)=6이어야 한다. f(2)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6가지이고 ‌f(4)의 값이 될 수 있는 것은 6의 1가지이므로 함수 f의 개수 는 6_1=6 0162 105 조건 ㈏에서 f(1)É3을 만족시키는 f(1)의 값에 따라 경우를 나누 어 조건을 만족시키는 함수 f의 개수를 구하면 된다. Ú f(1)=1일 때 조건 ㈐에서 f(3)É5이므로 조건 ㈎에 의하여 이때 두 조건 ㈏, ㈐를 동시에 만족시키는 경우는 없으므로 Ú, Û에서 조건 ㈏와 조건 ㈐를 만족시키지 않는 경우의 수는 15+6=21 따라서 구하는 함수 f의 개수는 126-21=105 1É f(2)É f(3)É f(4)É5 또는 1É f(2)É f(3)É5< f(4) ⓐ 1É f(2)É f(3)É f(4)É5일 때 ‌f(2), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5 의 5개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 °H£=¦C£=35 ⓑ 1É f(2)É f(3)É5< f(4)일 때 ‌f(2), f(3)의 값을 정하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개 에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 °Hª=¤Cª=15 ‌f(4)의 값이 될 수 있는 것은 6의 1가지이므로 함수 f의 개 수는 15_1=15 ⓐ, ⓑ에서 구하는 함수 f의 개수는 35+15=50 Û f(1)=2일 때 조건 ㈐에서 f(3)É6이므로 조건 ㈎에 의하여 2É f(2)É f(3)É f(4)É6 ‌f(2), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 2, 3, 4, 5, 6의 5개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 °H£=¦C£=35 Ü f(1)=3일 때 조건 ㈐에서 f(3)É7이므로 조건 ㈎에 의하여 3É f(2)É f(3)É f(4)É6 ‌f(2), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 3, 4, 5, 6의 4개 에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¢H£=¤C£=20 Ú~Ü에서 구하는 함수 f의 개수는 50+35+20=105 다른 풀이 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는 조건 ㈎를 만족시키는 함수 f의 개수에서 조건 ㈏와 조건 ㈐를 만족시키지 않는 경우를 제외하면 된다. 조건 ㈎를 만족시키는 함수 f의 개수는 ¤H¢=9C¢=126 Ⅰ. 경우의 수 241 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 241 2023. 9. 12. 오전 10:02 즉, 사건 C는 집합 {6, 8, 10}의 부분집합이므로 사건 C의 모든 원 확률 소의 합이 최대가 되는 경우는 C={6, 8, 10}일 때이다. 따라서 사건 C의 모든 원소의 합의 최댓값은 6+8+10=24 확률의 뜻과 활용 0166 ⑤ 나오는 두 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 두 눈의 수의 차가 홀수 01 시행과 사건 인 경우는 두 눈의 수의 차가 1, 3, 5인 경우가 있으므로 A={‌(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), 0163 ⑤ (5, 4), (5, 6), (6, 5), (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3), (1, 6), (6, 1)} S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 두 눈의 수의 합이 10 이상인 경우는 두 눈의 수의 합이 10, 11, 12 ① B={1, 2, 5} (참) 인 경우가 있으므로 ② A={1, 2, 4, 8}, C={3, 6}이므로 B={(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} A'C={1, 2, 3, 4, 6, 8} (참) 두 눈의 수의 합이 8의 약수인 경우는 두 눈의 수의 합이 2, 4, 8인 ③ AC={3, 5, 6, 7}이므로 경우가 있으므로 AC;B={5} (참) C={‌(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (2, 6), (3, 5), (4, 4), ④ BC={3, 4, 6, 7, 8}이므로 (5, 3), (6, 2)} n(S)-n(BC)=8-5=3 (참) ㄱ. ‌A;B={(5, 6), (6, 5)}, 즉 A;B+∅이므로 두 사건 A, ⑤ AC;BC={3, 6, 7}이므로 B는 서로 배반사건이 아니다. n(AC;BC)=3 (거짓) ㄴ. B;C=∅이므로 두 사건 B, C는 서로 배반사건이다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ㄷ. C;A=∅이므로 두 사건 C, A는 서로 배반사건이다. 따라서 서로 배반사건인 것은 ㄴ, ㄷ이다. 0164 ⑤ ㄱ. A;B={8}, ‌ 즉 A;B+∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반 사건이 아니다. ㄴ. A;C={9}, ‌ 즉 A;C+∅이므로 두 사건 A, C는 서로 배반 사건이 아니다. ㄷ. B;C={10}이므로 02 수학적 확률 0167 A;(B;C)=∅ 즉, 두 사건 A와 B;C는 서로 배반사건이다. ② 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 ㄹ. A ‌ C;C={10, 12}이므로 6_6=36 A;(AC;C)=∅ 나오는 두 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 두 눈의 수의 곱이 5의 즉, 두 사건 A와 AC;C는 서로 배반사건이다. 배수가 되는 경우는 두 눈의 수의 곱이 5, 10, 15, 20, 25, 30인 경 따라서 사건 A와 서로 배반사건인 것은 ㄷ, ㄹ이다. 우가 있으므로 (1, 5), (5, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5) 0165 24 의 11가지이다. 따라서 구하는 확률은 C 사건 A와 배반사건인 사건은 A 의 부분집합이고, 사건 B와 배반 11 36 사건인 사건은 BC의 부분집합이므로 두 사건 A, B와 모두 배반사 건인 사건 C는 AC;BC의 부분집합이다. S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A={2, 3, 5, 7}, 0168 B={1, 4, 7, 9}이므로 집합 A의 부분집합의 개수는 AC={1, 4, 6, 8, 9, 10} 25=32 BC={2, 3, 5, 6, 8, 10} 원소 3과 4를 모두 포함하는 부분집합의 개수는 ∴ A ;B ={6, 8, 10} 25-2=2Ü`=8 C C ③ 242 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 242 2023. 9. 12. 오전 10:02 0170 따라서 구하는 확률은 8 =;4!; 32 ④ 두 수 a, b를 택하는 모든 경우의 수는 4_5=20 특정한 원소를 갖거나 갖지 않는 부분집합의 개수 aÛ`+bÛ`이 홀수가 되는 경우의 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 다 음과 같다. Ú aÛ`이 홀수, bÛ`이 짝수인 경우 2 aÛ`이 홀수이면 권 집합 A={aÁ, aª, a£, y, an}에 대하여 ⑴ 집합 A의 특정한 원소 p개를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수  2n-p (단, p<n) ⑵ 집합 A의 특정한 원소 q개를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수  2n-q (단, q<n) ⑶ 집합 ‌ A의 특정한 원소 p개는 반드시 원소로 갖고, 특정한 원소 q개는 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수  2n-(p+q) (단, p+q<n) a=5, 7 bÛ`이 짝수이면 b=4, 8 즉, (5, 4), (5, 8), (7, 4), (7, 8)의 4가지이다. Û aÛ`이 짝수, bÛ`이 홀수인 경우 aÛ`이 짝수이면 a=2, 6 bÛ`이 홀수이면 0169 ④ 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 b=1, 3, 9 즉, (2, 1), (2, 3), (2, 9), (6, 1), (6, 3), (6, 9)의 6가지이다. 6_6=36 Ú, Û에서 aÛ`+bÛ`이 홀수인 경우의 수는 직선 y=a와 이차함수 y=-xÛ`+2bx-11의 그래프가 만나려면 4+6=10 이차방정식 a=-xÛ`+2bx-11, 즉 xÛ`-2bx+a+11=0이 실근 따라서 구하는 확률은 을 가져야 한다. 10 =;2!; 20 이차방정식 xÛ`-2bx+a+11=0의 판별식을 D라 할 때, D¾0이 어야 하므로 (짝수)+(짝수)=(짝수), (짝수)+(홀수)=(홀수) (홀수)+(짝수)=(홀수), (홀수)+(홀수)=(짝수) (짝수)Û`=(짝수), (홀수)Û`=(홀수) D =(-b)Û`-a-11¾0 4 ∴ bÛ`¾a+11 bÛ`¾a+11을 만족시키는 경우는 다음과 같다. Ú a=1일 때 bÛ`¾12이므로 b=4, 5, 6 0171 Û a=2일 때 bÛ`¾13이므로 b=4, 5, 6 ② 일어나는 모든 경우의 수는 Ü a=3일 때 8_8=64 bÛ`¾14이므로 b=4, 5, 6 |a-5|+|b-5|=2인 경우의 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 Ý a=4일 때 다음과 같다. bÛ`¾15이므로 b=4, 5, 6 Ú |a-5|=0, |b-5|=2일 때 Þ a=5일 때 |a-5|=0에서 a=5 bÛ`¾16이므로 b=4, 5, 6 |b-5|=2에서 b=3, 7 ß a=6일 때 즉, (5, 3), (5, 7)의 2가지이다. bÛ`¾17이므로 b=5, 6 Û |a-5|=1, |b-5|=1일 때 Ú~ß에서 bÛ`¾a+11을 만족시키는 a, b의 순서쌍 (a, b)의 개 |a-5|=1에서 a=4, 6 수는 |b-5|=1에서 b=4, 6 3_5+2=17 즉, (4, 4), (4, 6), (6, 4), (6, 6)의 4가지이다. 17 따라서 구하는 확률은 36 Ü |a-5|=2, |b-5|=0일 때 |a-5|=2에서 a=3, 7 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프와 직선 y=mx+n의 위치 관계는 이차방정식 axÛ`+bx+c=mx+n, 즉 axÛ`+(b-m)x+c-n=0의 판별식 D의 부호에 따라 다음과 같다. ⑴ D>0  서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ D=0  한 점에서 만난다. (접한다.) ⑶ D<0  만나지 않는다. |b-5|=0에서 b=5 즉, (3, 5), (7, 5)의 2가지이다. Ú~Ü에서 |a-5|+|b-5|=2가 성립하는 경우의 수는 2+4+2=8 따라서 구하는 확률은 8 =;8!; 64 Ⅱ. 확률 243 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 243 2023. 9. 12. 오전 10:02 03 따라서 구하는 확률은 순열을 이용하는 확률 3!_3!_4!_2! 6_6_4!_2 ‌= 9! 9_8_7_6_5_4! 0172 ① = 1 210 7명의 학생을 일렬로 세우는 경우의 수는 7! 홀수 번째인 네 자리 중 세 자리에 여학생 3명을 세우는 경우의 수는 ¢P£=24 나머지 빈 네 자리에 남학생 4명을 세우는 경우의 수는 0175 4! 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 숫자 0, 1, 2, 3, 4 중에서 서로 즉, 여학생이 모두 홀수 번째에 서는 경우의 수는 다른 4개의 숫자를 사용하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 24_4! 4_4P£=4_24=96 따라서 구하는 확률은 네 자리 자연수가 3의 배수가 되는 경우는 다음과 같다. 24_4! 24_4! 4 = = 7! 7_6_5_4! 35 Ú 각 자리의 수의 합이 6이 되는 경우 ③ 0+1+2+3=6이므로 0, 1, 2, 3의 4개의 숫자를 사용하여 만 든 네 자리 자연수는 3의 배수이다. 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 0, 1, 2, 3으로 만들 수 있는 0173 네 자리 자연수의 개수는 85 3_3!=3_6=18 Û 각 자리의 수의 합이 9가 되는 경우 8개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 8! 0+2+3+4=9이므로 0, 2, 3, 4의 4개의 숫자를 사용하여 만 b와 y는 이웃하고 o와 s는 양 끝에 나열하는 경우는 o와 s 사이에 든 네 자리 자연수는 3의 배수이다. b와 y를 하나로 생각하여 5개의 문자를 나열하면 되므로 그 경우 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 0, 2, 3, 4로 만들 수 있는 의 수는 네 자리 자연수의 개수는 3_3!=3_6=18 5! b와 y가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 Ú, Û에서 3의 배수인 네 자리 자연수의 개수는 2! 18+18=36 o와 s가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 2! 36 =;8#; 96 즉, b와 y는 이웃하고 o와 s는 양 끝에 나열하는 경우의 수는 5!_2!_2! ⑴ 3의 배수  각 자리의 수의 합이 3의 배수인 수 ⑵ 4의 배수  마지막 두 자리의 수가 00 또는 4의 배수인 수 ⑶ 5의 배수  일의 자리의 숫자가 0 또는 5인 수 ⑷ 9의 배수  각 자리의 수의 합이 9의 배수인 수 따라서 구하는 확률은 5!_2!_2! 5!_2_2 = =;8Á4; 8! 8_7_6_5! 즉, p=84, q=1이므로 p+q=84+1=85 0174 ② 9권의 책을 일렬로 책꽂이에 꽂는 경우의 수는 9! 시집 3권을 하나로, 추리 소설 4권을 하나로, 역사 소설 2권을 하나 로 생각하여 3권을 일렬로 나열하는 경우의 수는 3! 0176 7명을 일렬로 세우는 경우의 수는 7! 야구 선수 3명 중에서 2명을 택해 A의 양 옆에 세우는 경우의 수는 Pª=6 3 (야구 선수, A, 야구 선수)를 한 명으로 생각하여 5명을 일렬로 세 우는 경우의 수는 시집끼리, 추리 소설끼리, 역사 소설끼리 자리를 바꾸는 경우의 수 5! 는 각각 즉, A의 양 옆에 각각 야구 선수가 서는 경우의 수는 3!, 4!, 2! 6_5! 즉, 시집은 시집끼리, 추리 소설은 추리 소설끼리, 역사 소설은 역 사 소설끼리 이웃하도록 꽂는 경우의 수는 3!_3!_4!_2! ② 따라서 구하는 확률은 6_5! 6_5! = =;7!; 7! 7_6_5! 244 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 244 2023. 9. 12. 오전 10:02 04 노란색을 칠할 영역을 결정하면 초록색을 칠할 영역은 그 맞은편으 원순열을 이용하는 확률 0177 로 고정된다. ③ 또한 노란색과 보라색을 이웃하게 칠해야 하므로 노란색과 보라색을 하나로 보고 초록색을 제외한 6가지의 색을 각 영역에 칠하면 된다. 6송이의 꽃들을 원형으로 배열하는 경우의 수는 이때 노란색과 보라색이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!이므로 (6-1)!=5! 노란색을 칠한 영역의 맞은편에 초록색을 칠하고, 노란색과 보라색 장미의 자리가 결정되면 수선화의 자리는 그 맞은편으로 고정된다. 을 이웃하게 칠하는 경우의 수는 즉, 장미와 수선화가 서로 마주 보도록 꽃들을 배열하는 경우의 수 (6-1)!_2!=5!_2! 는 수선화를 제외한 5송이의 꽃들을 원형으로 배열하는 경우의 수 따라서 구하는 확률은 와 같으므로 5!_2! 5!_2 = =;2Á1; 7! 7_6_5! 권 (5-1)!=4! 2 따라서 구하는 확률은 4! =;5!; 5! 05 0178 ① 중복순열을 이용하는 확률 8장의 카드를 원형으로 배열하는 경우의 수는 0181 (8-1)!=7! 3명이 6가지 종류의 김밥 중 임의로 한 종류의 김밥을 주문하는 경 소수 2, 3, 5, 7이 적혀 있는 카드를 하나로 보고 5장의 카드를 원 우의 수는 형으로 배열하는 경우의 수는 6 (5-1)!=4! 3명이 서로 같은 종류의 김밥을 주문하는 경우의 수는 6 소수가 적혀 있는 카드끼리 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 4! 6 =;3Á6; 6Ü` ① P£=6Ü` 즉, 소수끼리 이웃하게 배열하는 경우의 수는 4!_4! 따라서 구하는 확률은 0182 4!_4! 24_4! = =;3¢5; 7! 7_6_5_4! ② 3개의 숫자 1, 2, 3 중에서 중복을 허락하여 5개를 뽑아 만들 수 있 는 다섯 자리 자연수의 개수는 £P°=3Þ` 0179 35 4의 배수가 되는 다섯 자리 자연수는 12, 32 8명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 꼴이므로 4의 배수인 다섯 자리 자연수의 개수는 (8-1)!=7! 2_£P£=2_3Ü` 남학생 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 (4-1)!=3! 2_3Ü` =;9@; 3Þ` 남학생 사이사이 4개의 자리에 여학생 4명이 앉는 경우의 수는 4! 즉, 남학생과 여학생이 교대로 앉는 경우의 수는 3!_4! 0183 따라서 구하는 확률은 3!_4! 6_4! = =;3Á5; 7! 7_6_5_4! 649 5명의 사원이 5일 중 하루를 택하는 경우의 수는 °P°=5Þ` ∴ p=35 5명의 사원이 서로 다른 날을 택하는 경우의 수는 °P°=120 따라서 구하는 확률은 0180 8가지의 색을 각 영역에 칠하는 경우의 수는 120 =;6ª2¢5; 5Þ` 즉, p=625, q=24이므로 (8-1)!=7! p+q=625+24=649 ② Ⅱ. 확률 245 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 245 2023. 9. 12. 오전 10:02 0184 ④ 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 5개의 숫자 0, 1, 2, 3, 4 중에 서 중복을 허락하여 4개를 택해 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개 수는 06 같은 것이 있는 순열을 이용하는 확률 0186 ② fulfillment에 있는 11개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4_°P£=4_5Ü`=500 11! 11_10_9_8_7! ‌= 2!_3! 2_6 2300보다 작은 네 자리 자연수는 22, 21, 20, 1 =660_7! 꼴이다. 양 끝에 f를 놓고 그 사이에 남은 9개의 문자를 나열하는 경우의 수 22 꼴의 개수는 는 °Pª=5Û`=25 21 꼴의 개수는 9! 9_8_7! = =12_7! 3! 6 °Pª=5Û`=25 따라서 구하는 확률은 12_7! =;5Á5; 660_7! 20 꼴의 개수는 °Pª=5Û`=25 1 꼴의 개수는 °P£=5Ü`=125 즉, 2300보다 작은 네 자리 자연수의 개수는 0187 25_3+125=200 4명의 달리기 순서를 정하는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 4!=24 200 =;5@; 500 C가 D보다 먼저 달리도록 순서를 정하는 것은 C와 D를 모두 같은 ⑤ 문자 X로 놓고, A, B, X, X를 일렬로 나열한 후 첫 번째 X는 C 로, 두 번째 X는 D로 바꾸는 것과 같다. 즉, C가 D보다 먼저 달리도록 순서를 정하는 경우의 수는 4! =12 2! 0185 ③ 5개의 숫자 1, 3, 4, 6, 7 중에서 중복을 허락하여 세 수 a, b, c를 따라서 구하는 확률은 12 =;2!; 24 택하는 경우의 수는 °P£=5Ü`=125 5개의 숫자 1, 3, 4, 6, 7 중에서 홀수는 1, 3, 7의 3개, 짝수는 4, 6의 2개이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`의 값이 짝수가 되는 경우는 다음과 같 0188 다. 8개의 숫자 1, 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8을 일렬로 나열하는 경우의 수는 Ú aÛ`, bÛ`, cÛ`이 모두 짝수인 경우 a, b, c 모두 짝수이므로 이 경우의 수는 ªP£=2Ü`=8 36 8! 8_7! ‌= 2!_2!_2! 2_2_2 =7!=5040 짝수 4, 6, 8, 8을 하나로, 홀수 1, 1, 3, 3을 하나로 생각하여 2개 Û aÛ`은 짝수, bÛ`, cÛ`은 홀수인 경우 a는 짝수, b, c는 홀수이므로 이 경우의 수는 2_£Pª‌=2_3Û` 의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 2!=2 이때 짝수끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 =2_9=18 Ü aÛ`, cÛ`은 홀수, bÛ`은 짝수인 경우 a, c는 홀수, b는 짝수이므로 이 경우의 수는 £Pª_2‌=3Û`_2 4! =12 2! 이고 홀수끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 4! =6 2!_2! =9_2=18 Ý aÛ`, bÛ`은 홀수, cÛ`은 짝수인 경우 이므로 짝수는 짝수끼리, 홀수는 홀수끼리 이웃하게 나열하는 경우 a, b는 홀수, c는 짝수이므로 이 경우의 수는 의 수는 £Pª_2‌=3Û`_2 2_12_6=144 =9_2=18 따라서 구하는 확률은 Ú~Ý에서 aÛ`+bÛ`+cÛ`의 값이 짝수가 되는 경우의 수는 8+18_3=62 따라서 구하는 확률은 62 125 144 =;3Á5; 5040 즉, p=35, q=1이므로 p+q=35+1=36 246 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 246 2023. 9. 12. 오전 10:02 0189 ④ 0193 6 P지점에서 Q지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 (n+5)개의 공 중에서 3개의 공을 꺼내는 경우의 수는 12! 12_11_10_9_8_7! = =792 7!_5! 7!_120 n+5 C£ P지점에서 A지점과 B지점을 지나 Q지점까지 최단거리로 가는 경 우의 수는 3개 모두 검은 공을 꺼내는 경우의 수는 °C£이므로 모두 검은 공을 따라서 구하는 확률은 2 권 4! 4! 4! _ _ =6_4_6=144 2!_2! 3! 2!_2! 3개 모두 흰 공을 꺼내는 경우의 수는 nC£이므로 모두 흰 공을 꺼낼 확률은 nC£ n+5C£ 꺼낼 확률은 5C£ n+5C£ 144 =;1ª1; 792 0190 ① 모두 흰 공을 꺼낼 확률이 모두 검은 공을 꺼낼 확률의 2배이므로 C£ nC£ 에서 nC£=2_°C£ =2_ 5 C£ n+5 n+5C£ 숫자와 문자가 적혀 있는 10장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 n(n-1)(n-2) =2_10 3_2_1 수는 n(n-1)(n-2)=120=6_5_4 10! 10_9_8_7! = =45_7! 2!_2!_2!_2! 2_2_2_2 ∴ n=6 양 끝에 숫자 1이 적혀 있는 카드를 놓고, 그 사이에 A가 적혀 있는 두 장의 카드를 하나로 보고 7장의 카드를 나열하는 경우의 수는 0194 7! 7! 1 = = _7! 2!_2! 2_2 4 ② 따라서 구하는 확률은 8개의 점 중에서 3개의 점을 택하는 경우의 수는 1 _7! 4 =;18!0; 45_7! ¥C£=56 임의로 택한 3개의 점을 모두 선분으로 이을 때, 삼각형이 되는 경 우는 다음과 같다. Ú 직선 l에서 2개의 점, 직선 m에서 1개의 점을 택하는 경우 이때의 경우의 수는 °Cª_£CÁ=10_3=30 Û 직선 l에서 1개의 점, 직선 m에서 2개의 점을 택하는 경우 07 이때의 경우의 수는 조합을 이용하는 확률 °CÁ_£Cª=5_3=15 0191 ③ Ú, Û에서 임의로 택한 3개의 점을 모두 선분으로 이을 때, 삼각 형이 되는 경우의 수는 9명 중에서 2명의 대표를 뽑는 경우의 수는 30+15=45 »Cª=36 따라서 구하는 확률은 여성 4명 중에서 1명, 남성 5명 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는 45 56 ¢CÁ_°CÁ=4_5=20 따라서 구하는 확률은 20 =;9%; 36 0195 41 집합 A의 부분집합의 개수는 2Ü`=8이므로 집합 A의 부분집합 중 에서 임의로 서로 다른 두 집합을 택하는 경우의 수는 0192 ⑤ 7개의 공 중에서 3개의 공을 꺼내는 경우의 수는 ¦C£=35 1부터 7까지의 자연수 중에서 홀수는 1, 3, 5, 7의 4개, 짝수는 2, 4, 6의 3개이므로 7개의 공 중에서 짝수가 적혀 있는 공 1개와 홀 수가 적혀 있는 공 2개를 꺼내는 경우의 수는 £CÁ_¢Cª=3_6=18 따라서 구하는 확률은 18 35 ¥Cª=28 택한 두 집합이 서로소인 경우는 다음과 같다. Ú 한 집합이 공집합인 경우 공집합은 모든 집합과 서로소이므로 그 경우의 수는 8-1=7 Û 두 집합이 모두 공집합이 아닌 경우 {a}와 {b}, {a}와 {c}, {a}와 {b, c}, {b}와 {c}, {b}와 {a, c}, {c}와 {a, b} 의 6가지 Ⅱ. 확률 247 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 247 2023. 9. 12. 오전 10:02 0198 Ú, Û에서 서로소인 두 집합을 택하는 경우의 수는 7+6=13 따라서 구하는 확률은 ① 12명을 4명씩 3개의 조로 나누는 경우의 수는 13 28 C¢_¥C¢_¢C¢_ 12 즉, p=28, q=13이므로 1 1 ‌=495_70_1_ 3! 6 =5775 p+q=28+13=41 소방관 4명이 같은 조가 되려면 소방관 4명이 한 조를 이루고 경찰 관 8명을 4명씩 2개의 조로 나누면 되므로 그 경우의 수는 ¥C¢_¢C¢_ 1 1 ‌=70_1_ 2! 2 =35 따라서 구하는 확률은 35 =;16!5; 5775 08 조합을 이용하는 확률 - 묶음으로 나누는 경우 0196 ③ 9명의 학생을 3명씩 세 개의 조로 나누는 경우의 수는 »C£_¤C£_£C£_ 1 1 ‌=84_20_1_ 3! 6 =280 09 중복조합을 이용하는 확률 세 개의 조가 각각 남학생 2명, 여학생 1명으로 이루어지는 경우는 남학생 6명을 2명씩 세 개의 조로 나눈 후 여학생 3명을 1명씩 세 개의 조에 배정하는 경우와 같으므로 그 경우의 수는 {¤Cª_¢Cª_ªCª_ 0199 ③ 10명의 유권자가 3명의 후보에게 무기명으로 투표하는 경우의 수 1 1 }_3!‌={15_6_1_ }_6 3! 6 는 =90 £H10=12C10=12Cª=66 따라서 구하는 확률은 B 후보자가 한 표도 받지 못하는 경우는 10명의 유권자가 A, C 두 90 9 = 280 28 후보자에게 무기명으로 투표하는 경우와 같으므로 그 경우의 수는 ªH10=11C10=11CÁ=11 따라서 구하는 확률은 11 =;6!; 66 0197 ④ 8개의 과일을 4개씩 똑같은 바구니 2개에 나누어 담는 경우의 수는 ¥C¢_¢C¢_ 1 ‌=70_1_;2!; 2! =35 사과와 오렌지는 같은 바구니에, 배와 참외는 다른 바구니에 담기 0200 는 경우는 다음과 같다. 모든 경우의 수는 Ú (사과, 오렌지, 배, ), (참외, , , )인 경우 7_7_7=7Ü` ① 사과, 오렌지, 배, 참외를 제외한 4개의 과일을 1개, 3개로 나누 a+b+c=9에서 a, b, c는 1부터 7까지의 자연수이므로 면 되므로 그 경우의 수는 a=A+1, b=B+1, c=C+1로 놓으면 ¢CÁ_£C£=4_1=4 (A+1)+(B+1)+(C+1)=9 Û (사과, 오렌지, 참외, ), (배, , , )인 경우 (단, A, B, C는 음이 아닌 정수이다.) 사과, 오렌지, 배, 참외를 제외한 4개의 과일을 1개, 3개로 나누 ∴ A+B+C=6 면 되므로 그 경우의 수는 방정식 a+b+c=9를 만족시키는 자연수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c) ¢CÁ_£C£=4_1=4 의 개수는 방정식 A+B+C=6을 만족시키는 음이 아닌 정수 A, Ú, Û에서 사과와 오렌지는 같은 바구니에, 배와 참외는 다른 바 B, C의 순서쌍 (A, B, C)의 개수와 같으므로 구니에 담기는 경우의 수는 £H¤=¥C¤=¥Cª=28 4+4=8 따라서 구하는 확률은 8 따라서 구하는 확률은 35 28 =;4¢9; 7Ü` 248 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 248 2023. 9. 12. 오전 10:02 0201 ② 0204 91 방정식 x+y+z=7을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 쌍 (x, y, z)의 개수는 £P¢=3Ý`=81 £H¦=»C¦=»Cª=36 6=0+2+2+2=1+1+2+2이므로 Ú z=0인 경우 f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=6을 만족시키는 함수 f의 개수는 0, 2, 2, 2 또는 1, 1, 2, 2 x+y+0=7 를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다. ∴ x+y=7 Ú 0, 2, 2, 2를 일렬로 나열하는 경우의 수는 x+y=7을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y의 순서쌍 (x, y) 의 개수는 2 권 x+y+z=7에서 4! =4 3! Û 1, 1, 2, 2를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ªH¦=¥C¦=¥CÁ=8 4! =6 2!_2! Û z=3인 경우 x+y+z=7에서 Ú, Û에서 f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=6을 만족시키는 함수 f의 x+y+3=7 개수는 ∴ x+y=4 x+y=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y의 순서쌍 (x, y) 4+6=10 의 개수는 따라서 구하는 확률은 ;8!1); ªH¢=°C¢=°CÁ=5 즉, p=81, q=10이므로 Ú, Û에서 z의 값이 0 또는 3인 경우의 수는 p+q=81+10=91 8+5=13 따라서 구하는 확률은 13 36 0205 ② 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 ¢P¢=4Ý` f(a)=2이므로 f(a)의 값이 될 수 있는 것은 1가지이고, f(d)< f(c)< f(b)를 만족시키려면 1, 2, 3, 4 중에서 서로 다른 3개를 택하여 큰 수부터 차례대로 f(b), f(c), f(d)의 값으로 정 10 하면 된다. 함수의 개수와 확률 즉, 주어진 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는 0202 ④ 1_¢C£=1_4=4 따라서 구하는 확률은 4 =;6Á4; 4Ý` 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 ¢P£=4Ü`=64 집합 X에서 집합 Y로의 일대일함수 f의 개수는 ¢P£=24 0206 따라서 구하는 확률은 24 =;8#; 64 ① 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 ¤P¢=6Ý`=1296 조건 ㈎, ㈏에 의하여 f(1)=1, f(4)=6 또는 f(1)=2, f(4)=3 0203 ① 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 £P¢=3Ý`=81 치역이 {a, c}인 함수의 개수는 집합 X={-1, 0, 1, 2}에서 집합 {a, c}로의 함수의 개수에서 치역이 {a} 또는 {c}인 함수의 개수 를 빼면 되므로 치역이 {a, c}인 함수 f의 개수는 ªP¢-2‌=2Ý`-2 =16-2=14 따라서 구하는 확률은 ;8!1$; Ú f(1)=1, f(4)=6인 경우 1É f(2)É f(3)É6 ‌f(2), f(3)의 값을 정하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개 에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¤Hª=¦Cª=21 Û f(1)=2, f(4)=3인 경우 2É f(2)É f(3)É3 ‌f(2), f(3)의 값을 정하는 경우의 수는 2, 3의 2개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ªHª=£Cª=3 Ⅱ. 확률 249 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 249 2023. 9. 12. 오전 10:02 Ú, Û에서 주어진 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는 12 21+3=24 따라서 구하는 확률은 기하적 확률 0210 24 1 = 1296 54 ② 원 O의 넓이는 p_8Û`=64p 2ÉOPÓÉ5이려면 점 P가 오른쪽 그림의 색 칠한 부분에 있어야 한다. O 색칠한 부분의 넓이는 p_5Û`-p_2Û`‌=25p-4p=21p 2 5 따라서 구하는 확률은 21p =;6@4!; 64p 11 통계적 확률 0207 ③ 0211 ② 150번의 슛을 시도하여 90번 골인시켰으므로 이 축구 선수가 한 번 0ÉaÉ5이므로 일어날 수 있는 모든 영역의 크기는 의 슛을 시도하여 골인시킬 확률은 |5-0|=5 이차방정식 xÛ`-2ax+a=0이 허근을 가지려면 이 이차방정식의 ;1»5¼0;=;5#; 판별식을 D라 할 때, D<0이어야 하므로 D =(-a)Û`-a<0 4 a(a-1)<0 ∴ 0<a<1 0208 ④ 오른쪽 그림에서 이차방정식 이 고등학교의 전체 학생 수는 xÛ`-2ax+a=0이 허근을 가질 때 65+120+155+75+50+35=500 의 영역의 크기는 스마트폰 사용 시간이 2시간 미만인 학생 수는 0 1 5 |1-0|=1 따라서 구하는 확률은 ;5!; 65+120=185 따라서 구하는 확률은 185 =;1£0¦0; 500 기하적 확률에서 특정한 값을 가질 확률은 0이다. 즉, 위의 문제에서 a=0일 확률이 0이고 a=1일 확률도 0이므로 0ÉaÉ1, 0Éa<1, 0<aÉ1, 0<a<1 은 모두 같은 경우로 생각한다. 0209 빨간 공: 11개, 노란 공: 1개 12개의 공 중에서 2개의 공을 꺼내는 경우의 수는 12 Cª 주머니 속에 들어 있는 빨간 공의 개수를 n이라 하면 n개 중에서 2 개를 꺼내는 경우의 수는 Cª n 5 2개 모두 빨간 공일 확률이 이므로 6 Cª 5 n = 6 12Cª n(n-1) 5 = 12_11 6 n(n-1)=11_10 ∴ n=11 따라서 주머니 속에 빨간 공은 11개, 노란 공은 1개가 들어 있다고 볼 수 있다. 0212 ① 정삼각형 ABC의 넓이는 '3 _3Û`=;4(; '3 4 점 P에서 모든 꼭짓점까지의 거리가 3 보 2 3 2 다 크려면 점 P가 오른쪽 그림의 색칠한 A 부분에 있어야 한다. 색칠한 부분의 넓이는 3 60 ;4(; '3-3[p_{ }Û`_ ] 2 360 B C 9 9 1 = '3-3{p_ _ } 4 4 6 9 9 = '3- p 4 8 250 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 250 2023. 9. 12. 오전 10:02 따라서 구하는 확률은 14 9 9 '3- p '3 4 8 p =19 6 '3 4 확률의 덧셈정리와 여사건의 확률의 계산 0216 ③ 4P(B)=;6%; 에서 P(B)= 5 24 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 2 13 권 P(A'B)=P(A)+P(B) 5 즉, ;6%; =P(A)+ 이므로 24 확률의 기본 성질 P(A)= 0213 5 8 ④ ㄱ. A=∅이므로 0217 P(A)=0 ㄴ. (x+1)(x-3)=0에서 x=-1 또는 x=3 ④ 즉, B={3}이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 1 5 =0.5+0.4-0.8=0.1 P(B)= P(A;B)‌=P(A)+P(B)-P(A'B) ㄷ. (x-1)(x-9)>0에서 x<1 또는 x>9 표본공간을 S라 하면 A;B C은 오른쪽 즉, C=∅이므로 그림의 색칠한 부분과 같으므로 P(C)=0 P(A;BC)‌=P(A)-P(A;B) 따라서 확률이 0인 사건은 ㄱ, ㄷ이다. 0214 S A B =0.5-0.1=0.4 ① ㄱ. 0ÉP(A)É1, 0ÉP(B)É1이므로 0218 ③ 4 8 P(A'B)= P(A)= P(B)=k`(k+0)로 놓으면 3 5 0ÉP(A)+P(B)É2 (참) ㄴ. [반례] S={0, 1, 2}, A={0, 1}, B={1, 2}이면 3 5 P(A)= k, P(B)= k 4 8 A'B={0, 1, 2} 즉, P(A'B)=1, P(A)=;3@;, P(B)=;3@;이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 P(A;B)‌=P(A)+P(B)-P(A'B) P(A'B)+P(A)+P(B) (거짓) 3 5 3 = k+ k-k= k 4 8 8 ㄷ. [반례] S={0, 1, 2}, A={1}, B={2}이면 A'B={1, 2}이므로 3 k P(A;B) 8 ∴ = =;8#; k P(A'B) P(A'B)=;3@;, P(A)=;3!;, P(B)=;3!; 즉, P(A'B)=P(A)+P(B)이지만 P(A)+P(B)+1이 다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 0219 0215 ⑤ ㄱ. [반례] S={0, 1, 2}, A={0}, B={1, 2}이면 1 2 P(A)= , P(B)= 이므로 P(A)<P(B)이지만 3 3 AøB이다. (거짓) ㄴ. A와 ‌ BC이 서로 배반사건이므로 A;BC=∅, 즉 A,B이다. ∴ P(A)ÉP(B) (참) ㄷ. A;B=∅, C,A이므로 B;C=∅ 즉, 두 사건 B, C는 서로 배반사건이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ③ P(A)=P(B)+;2!;, P(A)P(B)= [P(B)+;2!;]P(B)= 1 에서 9 1 9 {P(B)}Û`+;2!;P(B)= 1 9 18{P(B)}Û`+9P(B)-2=0 {6P(B)-1}{3P(B)+2}=0 이때 0ÉP(B)É1이므로 P(B)= 1 6 1 ∴ P(A)=P(B)+;2!;= +;2!;=;3@; 6 Ⅱ. 확률 251 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 251 2023. 9. 12. 오전 10:02 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 두 눈의 수의 합이 홀수이고 5의 배수인 경우는 두 눈의 수의 합이 P(A'B)‌=P(A)+P(B) 5인 경우이므로 1 =;3@;+ =;6%; 6 A;B={(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} ∴ P(A;B)= 4 36 따라서 구하는 확률은 0220 ② P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이고 P(A;BC)=P(A)-P(A;B)이므로 P(A'B)=P(B)+P(A;BC) 즉, = 18 7 4 + 36 36 36 = 21 7 = 36 12 3 1 7 =P(B)+ 이므로 P(B)= 4 6 12 이때 P(AC;B)=P(B)-P(A;B)에서 P(A;B)¾0이므로 P(AC;B)의 최댓값은 P(A;B)=0일 때 7 이다. 12 0223 ② 10명의 학생 중에서 4명의 대표를 뽑는 경우의 수는 C¢ 10 현진이가 뽑히는 사건을 A, 은경이가 뽑히는 사건을 B라 하면 구 하는 확률은 P(A'B)이다. 현진이가 뽑히는 경우는 현진이를 제외한 9명의 학생 중에서 3명을 뽑으면 되고, 은경이가 뽑히는 경우는 은경이를 제외한 9명의 학생 15 확률의 덧셈정리 - 배반사건이 아닌 경우 0221 중에서 3명을 뽑으면 되므로 P(A)= »C£ 84 = Á¼C¢ 210 P(B)= »C£ 84 = Á¼C¢ 210 ④ 임의로 선택한 한 가구가 강아지를 키우고 있는 가구인 사건을 A, 고양이를 키우고 있는 가구인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 사건 A;B는 현진이와 은경이가 모두 뽑히는 경우이므로 현진이 P(A'B)이다. 와 은경이를 제외한 8명의 학생 중에서 2명을 뽑으면 된다. 이때 ∴ P(A;B)= P(A)= 30 15 5 , P(B)= , P(A;B)= 50 50 50 따라서 구하는 확률은 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) 이므로 구하는 확률은 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) = ¥Cª 28 = Á¼C¢ 210 = 30 15 5 + - =;5$; 50 50 50 84 84 28 + =;3@; 210 210 210 다른 풀이 여사건의 확률을 이용하여 구할 수도 있다. 10명의 학생 중에서 4명의 대표를 뽑는 경우의 수는 C¢ 0222 ④ 10 현진이 또는 은경이가 뽑히는 사건을 A라 하면 AC은 현진이와 은 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 경이가 모두 뽑히지 않는 사건이다. 6_6=36 현진이와 은경이가 모두 뽑히지 않는 경우는 현진이와 은경이를 제 두 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내고, 두 눈의 수 외한 8명의 학생 중에서 4명을 뽑으면 되므로 의 합이 홀수인 사건을 A, 5의 배수인 사건을 B라 하면 구하는 확 P(AC)= 률은 P(A'B)이다. 두 눈의 수의 합이 홀수인 경우는 (홀수)+(짝수)이거나 (짝수)+(홀수)인 경우이므로 이때의 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) 1 2 =1- = 3 3 3_3+3_3=18 ∴ P(A)= 18 36 두 눈의 수의 합이 5의 배수가 되는 경우는 두 눈의 수의 합이 5, 10이 되는 경우이므로 B={(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4)} ∴ P(B)= ¥C¢ 70 1 = = Á¼C¢ 210 3 7 36 0224 31 5명의 학생의 발표 수업 순서를 정하는 경우의 수는 5! 252 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 252 2023. 9. 12. 오전 10:02 수현이가 가장 나중에 발표하는 사건을 A, 경수와 수현이가 연이 다른 풀이 어서 발표하는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A'B)이다. 여사건의 확률을 이용하여 구할 수도 있다. 수현이가 가장 나중에 발표하는 경우는 수현이를 제외한 남은 4명 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 을 일렬로 세우고 수현이가 맨 뒤에 서는 경우와 같으므로 °P¢=5Ý` P(A)= 4! 1 = 5! 5 f(2)É f(3)이거나 f(2)¾0인 사건을 A라 하면 경수와 수현이가 연이어서 발표하는 경우는 경수와 수현이를 한 사 자리를 바꾸는 경우를 생각하면 되므로 P(B)= Ú f(2)=-2인 경우 Û f(2)=-1인 경우 4!_2! =;5@; 5! ‌f(2)> f(3)을 만족시키는 f(3)의 값이 될 수 있는 것은 -2의 1가지이고, f(1), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 °Pª이므로 사건 A;B는 경수가 4번째, 수현이가 5번째 발표하는 경우와 같 f(2)> f(3)이고 f(2)=-1인 함수 f의 개수는 으므로 P(A;B)= 2 f(2)> f(3)을 만족시키는 f(3)의 값을 정할 수 없다. 권 람으로 생각하여 4명을 일렬로 세우고, 이때 경수와 수현이가 서로 AC은 f(2)> f(3)이고 f(2)<0인 사건이다. 1_°Pª=1_5Û`=25 3! 1 = 5! 20 Ú, Û에서 f(2)> f(3)이고 f(2)<0을 만족시키는 함수 f의 개 수는 25이므로 따라서 구하는 확률은 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) 25 1 = 25 5Ý` 따라서 구하는 확률은 P(AC)= 1 2 1 11 = + - = 5 5 20 20 즉, p=20, q=11이므로 P(A)=1-P(AC)=1- p+q=20+11=31 0225 16 ① 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 1 24 = 25 25 확률의 덧셈정리 - 배반사건인 경우 °P¢=5Ý` 0226 f(2)É f(3)인 사건을 A, f(2)¾0인 사건을 B라 하면 구하는 확 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 률은 P(A'B)이다. 6_6=36 ⑤ f(2)É f(3)이려면 -2, -1, 0, 1, 2 중에서 중복을 허락하여 2개 두 눈의 수의 합이 7인 사건을 A, 두 눈의 수의 곱이 홀수인 사건 를 택하여 작거나 같은 수부터 차례대로 f(2), f(3)의 값으로 정 을 B라 하고 두 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 하면 되므로 경우의 수는 °Hª이고, f(1), f(4)의 값을 정하는 경 A={(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} 우의 수는 °Pª이므로 f(2)É f(3)인 함수 f의 개수는 B={‌(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), °Hª_°Pª=¤Cª_5Û`=15_5Û` (5, 3), (5, 5)} 15_5Û` ∴ P(A)= =;5#; 5Ý` f(2)¾0이려면 f(2)의 값이 될 수 있는 것은 0, 1, 2의 3가지이고, 이므로 P(A)= 6 9 , P(B)= 36 36 f(1), f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 °P£이므로 f(2)¾0 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. 인 함수 f의 개수는 따라서 구하는 확률은 3_°P£=3_5Ü` P(A'B)‌=P(A)+P(B) 3_5Ü` ∴ P(B)= =;5#; 5Ý` f(2)É f(3)이고 f(2)¾0이려면 0, 1, 2 중에서 중복을 허락하여 = 6 9 + =;1°2; 36 36 2개를 택하여 작거나 같은 수부터 차례대로 f(2), f(3)의 값으로 정하면 되므로 경우의 수는 £Hª이고, f(1), f(4)의 값을 정하는 경 우의 수는 °Pª이므로 f(2)É f(3)이고 f(2)¾0인 함수 f의 개수는 £Hª_°Pª=¢Cª_5Û`=6_5Û` 0227 ④ 6_5Û` 6 = 25 5Ý` 따라서 구하는 확률은 9개의 공 중에서 3개의 공을 꺼내는 경우의 수는 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) 건을 B라 하면 ∴ P(A;B)= 6 24 =;5#;+;5#;- = 25 25 »C£ 3개 모두 흰 공이 나오는 사건을 A, 3개 모두 빨간 공이 나오는 사 P(A)= °C£ 10 ¢C£ 4 = , P(B)= = »C£ 84 »C£ 84 Ⅱ. 확률 253 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 253 2023. 9. 12. 오전 10:02 °Cª_¢C£ 10_4 40 = = »C° 126 126 °CÁ_¢C¢ 5_1 5 = = P(B)= »C° 126 126 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. P(A)= 따라서 구하는 확률은 P(A'B)‌=P(A)+P(B) = 10 4 1 + = 84 84 6 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. 따라서 구하는 확률은 P(A'B)‌=P(A)+P(B) 0228 = ① 40 5 5 + = 126 126 14 9장의 카드 중에서 3장의 카드를 선택하는 경우의 수는 »C£ 같은 모양이 그려진 카드가 2장인 사건을 A, 같은 모양이 그려진 카드가 3장인 사건을 B라 하자. 0230 같은 모양이 그려진 카드가 2장인 경우는 (, , △), (, △, △), 9개의 공 중에서 2개의 공을 꺼내는 경우의 수는 (△, △, ☆), (△, ☆, ☆), (☆, ☆, ), (☆, , )의 6가지이 »Cª 므로 꺼낸 공에 적혀 있는 수의 최댓값이 3인 사건을 A, 최댓값이 5인 6_£Cª_£CÁ 6_3_3 54 P(A)= = = »C£ 84 84 사건을 B라 하자. 같은 모양이 그려진 카드가 3장인 경우는 (, , ), (△, △, △), (☆, ☆, ☆)의 3가지이므로 P(B)= 꺼낸 공에 적혀 있는 수의 최댓값이 3인 경우는 3이 적혀 있는 공 2 개를 꺼내는 경우와 3이 적혀 있는 공 2개 중에서 1개와 1, 1, 2, 2 가 적혀 있는 4개의 공 중에서 1개를 꺼내는 경우가 있으므로 3 3 = »C£ 84 P(A)= 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. ªCª+ªCÁ_¢CÁ 1+2_4 9 = = »Cª 36 36 꺼낸 공에 적혀 있는 수의 최댓값이 5인 경우는 5가 적혀 있는 공 2 따라서 구하는 확률은 개를 꺼내는 경우와 5가 적혀 있는 공 2개 중에서 1개와 1, 1, 2, P(A'B)‌=P(A)+P(B) = ② 2, 3, 3, 4가 적혀 있는 7개의 공 중에서 1개를 꺼내는 경우가 있으 54 3 19 + = 84 84 28 므로 P(B)= 다른 풀이 여사건의 확률을 이용하여 구할 수도 있다. ªCª+ªCÁ_¦CÁ 1+2_7 15 = = »Cª 36 36 이때 A;B=∅이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다. 9장의 카드 중에서 3장의 카드를 선택하는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 »C£ 같은 모양이 그려진 카드가 2장 이상 나오는 사건을 A라 하면 AC P(A'B)‌=P(A)+P(B) = 은 같은 모양이 그려진 카드가 1장 이하 나오는 사건, 즉 3장 모두 9 15 + =;3@; 36 36 다른 모양이 그려진 카드가 나오는 사건이므로 P(AC)= £CÁ_£CÁ_£CÁ 27 9 = = »C£ 84 28 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) =1- 9 19 = 28 28 17 0229 ③ 9개의 공 중에서 5개의 공을 꺼내는 경우의 수는 »C° 1부터 9까지의 자연수 중 홀수는 1, 3, 5, 7, 9의 5개, 짝수는 2, 4, 6, 8의 4개이므로 짝수가 적혀 있는 공이 홀수가 적혀 있는 공보다 여사건의 확률 - ‘적어도’의 조건이 있는 경우 0231 ② 12개의 제비 중에서 3개의 제비를 꺼내는 경우의 수는 ÁªC£ 적어도 한 개가 당첨 제비인 사건을 A라 하면 AC은 당첨 제비가 더 많이 나오는 경우는 홀수가 적혀 있는 공이 2개, 짝수가 적혀 있 하나도 나오지 않는 사건이므로 는 공이 3개 나오는 경우와 홀수가 적혀 있는 공이 1개, 짝수가 적 P(AC)= 혀 있는 공이 4개 나오는 경우가 있다. 따라서 구하는 확률은 홀수가 적혀 있는 공이 2개, 짝수가 적혀 있는 공이 3개 나오는 사 건을 A, 홀수가 적혀 있는 공이 1개, 짝수가 적혀 있는 공이 4개 나 오는 사건을 B라 하면 ¥C£ 56 14 = = ÁªC£ 220 55 P(A)‌=1-P(AC) =1- 14 41 = 55 55 254 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 254 2023. 9. 12. 오전 10:02 0232 51 8명의 학생 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는 0235 ① 네 학생이 5일 중에 하루를 택하는 경우의 수는 ¥C£ °P¢=5Ý` C 수지, 미라, 지현이 중 적어도 한 명이 뽑히는 사건을 A라 하면 A A, B, C, D의 네 학생 중 적어도 두 학생이 같은 요일에 서점에 은 수지, 미라, 지현이가 모두 뽑히지 않는 사건이므로 가는 사건을 A라 하면 AC은 A, B, C, D의 네 학생이 모두 다른 P(AC)= °C£ 10 5 = = ¥C£ 56 28 요일에 서점에 가는 사건이므로 P(A)‌=1-P(A ) 권 C =1- 2 °P¢ 120 24 = = 125 5Ý` 5Ý` 따라서 구하는 확률은 P(AC)= 따라서 수지, 미라, 지현이 중에서 적어도 한 명이 뽑힐 확률은 P(A)‌=1-P(AC) 5 23 = 28 28 즉, p=28, q=23이므로 =1- 24 101 = 125 125 18 여사건의 확률 - ‘이상’, ‘이하’의 조건이 있는 경우 p+q=28+23=51 0233 ③ 9명을 일렬로 세우는 경우의 수는 9! A, B, C 중에서 적어도 2명이 서로 이웃하는 사건을 A라 하면 AC 0236 ⑤ 은 A, B, C 모두 이웃하지 않는 사건이다. 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 A, B, C를 제외한 6명을 일렬로 세운 후 그 사이사이와 양 끝의 6_6=36 일곱 자리 중 세 자리에 A, B, C를 세우면 되므로 P(AC)‌= = 두 눈의 수의 합이 4 이상인 사건을 A라 하면 AC은 두 눈의 수의 6!_¦P£ 9! 합이 4 미만, 즉 두 눈의 수의 합이 2 또는 3인 사건이다. 6!_7_6_5 5 = 9_8_7_6! 12 (1, 1), (1, 2), (2, 1) 두 눈의 수의 합이 2 또는 3인 경우를 순서쌍으로 나타내면 의 3가지이므로 따라서 구하는 확률은 P(AC)= P(A)‌=1-P(AC) =1- 5 7 = 12 12 3 1 = 36 12 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) =1- 0234 1 11 = 12 12 4자루 12자루의 색연필 중에서 2자루를 꺼내는 경우의 수는 ÁªCª 적어도 한 자루는 빨간색 색연필이 나오는 사건을 A라 하면 AC은 2자루 모두 파란색 색연필이 나오는 사건이므로 파란색 색연필이 0237 ③ 1, 2, 3, 4 중에서 서로 다른 세 숫자를 택하여 만들 수 있는 세 자 n자루 있다고 하면 Cª P(AC)= n ÁªCª 리 자연수의 개수는 따라서 적어도 한 자루는 빨간색 색연필이 나올 확률은 만인 사건이다. Cª P(A)=1-P(AC)=1- n ÁªCª 이때 230 미만인 세 자리 자연수는 ¢P£=24 만든 세 자리 자연수가 230 이상인 사건을 A라 하면 AC은 230 미 21 또는 1 이므로 꼴이므로 Cª Cª 19 14 1- n = , n = ÁªCª 33 ÁªCª 33 n(n-1) 14 = 12_11 33 P(AC)‌= = n(n-1)=14_4=8_7 2 +;2¤4;=;3!; 24 따라서 구하는 확률은 ∴ n=8 즉, 상자 속에 파란색 색연필이 8자루 들어 있으므로 빨간색 색연 필은 4자루 들어 있다. ªPÁ £Pª + 24 24 P(A)‌=1-P(AC) =1-;3!;=;3@; Ⅱ. 확률 255 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 255 2023. 9. 12. 오전 10:02 0238 ④ 12개의 공 중에서 3개의 공을 꺼내는 경우의 수는 19 여사건의 확률 - ‘아닌’의 조건이 있는 경우 0241 ÁªC£ ③ C 꺼낸 공 중에 같은 색의 공이 2개 이하인 사건을 A라 하면 A 은 꺼낸 공 중에 같은 색의 공이 2개 초과, 즉 3개 모두 같은 색인 사 건이다. AC은 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 두 수가 서로 같은 사건이므로 나오는 경우를 순서쌍으로 나타내면 4 4 4 3 + + = 220 220 220 55 AC={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} ∴ P(AC)=;1¢6;=;4!; 따라서 구하는 확률은 P(A)‌=1-P(AC) =1- 4_4=16 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 두 수가 서로 다른 사건을 A라 하면 ¢C£ ¢C£ ¢C£ ∴ P(A )‌= + + ÁªC£ ÁªC£ ÁªC£ C = 정사면체 모양의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 3 52 = 55 55 P(A)=1-P(AC)=1-;4!;=;4#; 0239 ① 7명의 학생을 일렬로 세우는 경우의 수는 0242 ④ 6명의 학생의 신체검사를 받는 순서를 정하는 경우의 수는 7! 남학생이 2명 이상 이웃하여 서는 사건을 A라 하면 A 은 남학생 6! 이 2명 미만 이웃하여 서는 사건이므로 어떤 남학생도 이웃하지 않 A, B가 연이어서 신체검사를 받지 않는 사건을 A라 하면 AC은 A, 게 서는 사건과 같다. B가 연이어서 신체검사를 받는 사건이다. 어떤 남학생도 이웃하지 않게 세우려면 여학생 3명을 먼저 일렬로 A, B를 한 사람으로 생각하여 5명의 순서를 정하는 경우의 수는 세운 후, 양 끝과 여학생 사이사이의 네 자리에 남학생 4명을 일렬 5! 로 세우면 된다. A, B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 즉, 어떤 남학생도 이웃하지 않게 서는 경우의 수는 3!_4!이므로 2! C P(AC)= 즉, A, B가 연이어서 신체검사를 받는 경우의 수는 3!_4! 3_2_4! 1 = = 7! 7_6_5_4! 35 5!_2! 따라서 구하는 확률은 ∴ P(AC)= P(A)‌=1-P(AC) =1- 5!_2! 5!_2 = =;3!; 6! 6_5! 따라서 구하는 확률은 1 34 = 35 35 P(A)=1-P(AC)=1-;3!;=;3@; 0240 64 12개의 공 중에서 4개의 공을 꺼내는 경우의 수는 0243 ÁªC¢ 7장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ① 꺼낸 공에 적혀 있는 네 수의 최솟값이 5 이하이거나 8 이상인 사건 7! 을 A라 하면 AC은 꺼낸 공에 적혀 있는 네 수의 최솟값이 5 초과 8 같은 색의 카드끼리 이웃하지 않는 사건을 A라 하면 AC은 같은 색 미만인 사건, 즉 네 수의 최솟값이 6 또는 7인 사건이다. 의 카드끼리 서로 이웃하는 사건이다. 꺼낸 공에 적혀 있는 네 수의 최솟값이 6인 경우는 6이 적혀 있는 주황색 카드 3장을 하나로, 녹색 카드 2장을 하나로, 하늘색 카드 2 공 1개를 꺼내고, 6보다 큰 수가 적혀 있는 6개의 공 중에서 3개를 장을 하나로 생각하여 3장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 꺼내면 되고, 꺼낸 공에 적혀 있는 네 수의 최솟값이 7인 경우는 7 3! 이 적혀 있는 공 1개를 꺼내고, 7보다 큰 수가 적혀 있는 5개의 공 주황색 카드끼리, 녹색 카드끼리, 하늘색 카드끼리 서로 자리를 바 중에서 3개를 꺼내면 되므로 꾸는 경우의 수는 각각 ¤C£ °C£ 20 10 2 P(AC)= + = + = ÁªC¢ ÁªC¢ 495 495 33 3!, 2!, 2! 따라서 구하는 확률은 3!_3!_2!_2! P(A)‌=1-P(AC) =1- 2 31 = 33 33 즉, p=33, q=31이므로 p+q=33+31=64 즉, 같은 색의 카드끼리 서로 이웃하는 경우의 수는 ∴ P(AC)= 3!_3!_2!_2! 3!_6_2_2 = =;3Á5; 7! 7_6_5_4_3! 따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)=1-;3Á5;=;3#5$; 256 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 256 2023. 9. 12. 오전 10:02 20 이때 (실수)Û`¾0이므로 AC은 (a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=0, 여사건의 확률 - 여사건이 더 간단한 경우 즉 a=b, b=c, c=a인 사건이다. 0244 ⑤ 한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 8 1 = 8Ü` 64 따라서 구하는 확률은 ∴ P(AC)= P(A)=1-P(AC)=1- abc의 값이 짝수인 사건을 A라 하면 AC은 abc의 값이 홀수인 사 즉, p=64, q=63이므로 건이다. p+q=64+63=127 abc의 값이 홀수이려면 a, b, c 모두 홀수이어야 하고, 1부터 6까 1 63 = 64 64 2 권 6_6_6=6Ü` 지의 자연수 중에서 홀수는 1, 3, 5의 3개이므로 3_3_3 =;8!; 6Ü` 따라서 구하는 확률은 P(AC)= P(A)‌=1-P(AC) =1-;8!;=;8&; 0245 ① 0248 11명 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는 ÁÁC£ 뽑은 3명 중에서 어떤 두 선수가 같은 종목의 선수인 사건을 A라 하면 AC은 3명 모두 다른 종목의 선수인 사건이다. °CÁ_£CÁ_£CÁ 45 3 = = ÁÁC£ 165 11 ∴ P(AC)= P(A)=1-P(AC)=1-;3@;=;3!; P(AC;BC)=P((A'B)C)=1-P(A'B)이므로 ;4!;=1-P(A'B) ∴ P(A'B)=;4#; 두 사건 A와 B가 서로 배반사건이므로 따라서 구하는 확률은 P(A)+P(B)=P(A'B) C P(A)‌=1-P(A ) =1- ② ∴ P(A)+P(B)=;4#; 3 8 = 11 11 즉, ;3!;+P(B)=;4#; 이므로 P(B)=;1°2; 0246 ⑤ 16개의 점 중에서 서로 다른 두 점을 택하는 모든 경우의 수는 두 사건 A, B에 대하여 AC과 B는 서로 배반사건이고, Cª=120 P(A)=;2!;, P(A;BC)=;7@; 16 두 점을 연결한 선분의 길이가 무리수인 사건을 A라 하면 AC은 두 점을 연결한 선분의 길이가 유리수인 사건이다. 두 점을 연결한 선분의 길이가 유리수인 경우는 직선 위의 두 점을 택하여 연결한 경우이고 직선은 8개이므로 이때의 경우의 수는 일 때, P(B)의 값은? (단, AC은 A의 여사건이다.) ① ;2°8; ② ;1£4; ③ ;4!; ④ ;7@; ⑤ ;2»8; ② 8_¢Cª=8_6=48 ∴ P(AC)= 48 =;5@; 120 따라서 구하는 확률은 0249 P(A)‌=1-P(AC) =1- 2 3 = 5 5 46 10장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 10! 문자 A, L, M, O, N, D가 하나씩 적혀 있는 6장의 카드 중 모음 0247 127 이 적혀 있는 카드는 A, O의 2장이므로 A, 2, O를 한 문자 X로 생각하여 문자 X, L, M, N, D와 숫자 1, 3, 4가 하나씩 적혀 있 는 8장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 나오는 모든 경우의 수는 8_8_8=8Ü` 8! C (a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`>0인 사건을 A라 하면 A 은 이때 모음끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 (a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`É0인 사건이다. 2! Ⅱ. 확률 257 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 257 2023. 9. 12. 오전 10:02 따라서 숫자 2가 적혀 있는 카드의 바로 양 옆에 각각 모음이 적혀 Ú A가 B와 이웃하는 경우 A, B를 한 사람으로 생각하여 6명의 학생이 원탁에 둘러앉는 있는 카드가 놓이는 경우의 수는 8!_2! 경우의 수는 이므로 구하는 확률은 (6-1)!=5! 8!_2! 8!_2 = =;4Á5; 10! 10_9_8! 이때 A, B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 즉, p=45, q=1이므로 즉, A가 B와 이웃하는 경우의 수는 2! p+q=45+1=46 5!_2! ∴ P(X)= 5!_2! 5!_2 = =;3!; 6! 6_5! 문자 A, B, C, D, E가 하나씩 적혀 있는 5장의 카드와 숫자 Û A가 C와 이웃하는 경우 1, 2, 3, 4가 하나씩 적혀 있는 4장의 카드가 있다. 이 9장의 Ú과 같은 방법으로 하면 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 문자 P(Y)= A가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에 각각 숫자가 적혀 있는 카 ‌ B, C와 모두 이웃하는 경우, 즉 A의 양 옆에 B, C가 있는 Ü A가 드가 놓일 확률은? ① ;1°2; 5!_2! 5!_2 = =;3!; 6! 6_5! ② ;3!; ③ ;4!; ④ ;6!; ⑤ ;1Á2; B D 1 3 경우 A의 양 옆에 B, C가 있는 경우는 BAC, CAB의 2가지 A C E 2 A가 B, C와 이웃한 것을 한 사람으로 생각하여 5명의 학생이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 4 (5-1)!=4! 즉, A가 B, C와 모두 이웃하는 경우의 수는 ④ 2_4! ∴ P(X;Y)= 0250 ① 2_4! 2_4! 1 = = 6! 6_5_4! 15 Ú~Ü에서 구하는 확률은 P(X'Y)‌=P(X)+P(Y)-P(X;Y) =;3!;+;3!;- 한 개의 주사위를 네 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6_6_6_6=6Ý` 1 3 = 15 5 a, b, c, d는 각각 1 이상 6 이하의 자연수이고 12=1_1_2_6=1_1_3_4=1_2_2_3 0252 이므로 a_b_c_d의 값이 12가 되는 경우는 다음과 같다. Ú 네 수 1, 1, 2, 6을 일렬로 나열하는 경우의 수는 ③ 8개의 공 중에서 2개의 공을 꺼내는 경우의 수는 4! =12 2! ¥Cª=28 f(x)=xÛ`-8x+12=(x-2)(x-6)이므로 Û 네 수 1, 1, 3, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수는 x<2 또는 x>6에서 f(x)>0 4! =12 2! 2<x<6에서 f(x)<0 Ü 네 수 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 f(2)= f(6)=0 4! =12 2! 이차함수 f(x)=xÛ`-8x+12에 대하여 f(a) f(b)<0이 성립하는 경우는 다음과 같다. Ú~Ü에서 a_b_c_d의 값이 12가 되는 경우의 수는 Ú f(a)>0, f(b)<0인 경우 12+12+12=36 f(a)>0에서 a>6이므로 따라서 구하는 확률은 a의 값이 될 수 있는 것은 7, 8의 2가지 36 1 = 36 6Ý` f(b)<0에서 2<b<6이므로 b의 값이 될 수 있는 것은 3, 4, 5의 3가지 즉, 이때의 경우의 수는 2_3=6 0251 ② Û f(a)<0, f(b)>0인 경우 f(a)<0에서 2<a<6이므로 7명의 학생이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 a의 값이 될 수 있는 것은 3, 4, 5의 3가지 (7-1)!=6! f(b)>0에서 b<2이므로 A가 B와 이웃하는 사건을 X, A가 C와 이웃하는 사건을 Y라 하 b의 값이 될 수 있는 것은 1의 1가지 면 구하는 확률은 P(X'Y)이다. 즉, 이때의 경우의 수는 3_1=3 258 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 258 2023. 9. 12. 오전 10:02 Ú, Û에서 f(a) f(b)<0이 되는 경우의 수는 방정식 x+y+z=12를 만족시키는 자연수 x, y, z의 순서쌍 6+3=9 (x, y, z)의 개수는 방정식 x'+y'+z'=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍 (x', y', z')의 개수와 같으므로 따라서 구하는 확률은 ;2»8; £H»=11C»=11Cª=55 (x+y)(y+z)의 값이 짝수인 사건을 A라 하면 AC은 (x+y)(y+z)의 값이 홀수인 사건, 즉 x+y, y+z가 모두 홀수인 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 사건이다. a, b라 하자. 이차함수 f(x)=xÛ`-7x+10에 대하여 ① ;1Á8; ② ;9!; ③ ;6!; 홀수이어야 한다. ④ ;9@; ⑤ ;1°8; 2 권 이때 x+y=12-z, y+z=12-x이므로 x는 홀수, y는 짝수, z는 f(a) f(b)<0이 성립할 확률은? x=2a+1, y=2b+2, z=2c+1로 놓으면 x+y+z=12에서 (2a+1)+(2b+2)+(2c+1)=12 ④ (단, a, b, c는 음이 아닌 정수이다.) ∴ a+b+c=4 방정식 a+b+c=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c의 순서 쌍 (a, b, c)의 개수는 £H¢=¤C¢=¤Cª=15 0253 11 갑이 주머니 A에서 두 장의 카드를 꺼내고, 을이 주머니 B에서 두 장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 ∴ P(AC)= 15 3 = 55 11 따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)=1- ¢Cª_¢Cª=6_6=36 3 8 = 11 11 갑이 꺼낸 두 장의 카드에 적혀 있는 수의 합과 을이 꺼낸 두 장의 카드에 적혀 있는 수의 합이 같은 경우는 다음과 같다. Ú 갑과 을이 꺼낸 두 장의 카드에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우 갑이 2장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 방정식 a+b+c=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c) 중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 선택한 순서쌍 (a, b, c)가 ¢Cª=6 이때 을은 갑과 같은 카드를 꺼내야 하므로 그 경우의 수는 1이다. a<2 또는 b<2 즉, 갑과 을이 꺼낸 두 장의 카드에 적혀 있는 숫자가 같은 경우 를 만족시킬 확률은 ;pQ;이다. p+q의 값을 구하시오. 의 수는 (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.) 6_1=6 Û ‌갑과 을이 꺼낸 두 장의 카드에 적혀 있는 숫자는 다르지만 그 89 합이 같은 경우 2 31 4을이 2 3 을 꺼낸 경우와 1 4갑이 2 3 갑이 1 4 를 꺼내고, 0255 2 3경우의 2가지가 있다. 을 꺼내고, 을이 1 4 를 꺼낸 ⑤ Ú, Û에서 갑이 가진 두 장의 카드에 적혀 있는 수의 합과 을이 가 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f의 개수는 진 두 장의 카드에 적혀 있는 수의 합이 같은 경우의 수는 ¢P£=4Ü` 6+2=8 f(a)+ f(b)+3이거나 치역이 {1, 2, 3}인 사건을 A라 하면 AC 따라서 구하는 확률은 은 f(a)+ f(b)=3이고 치역이 {1, 2, 3}이 아닌 사건이다. ;3¥6;=;9@; f(a)+ f(b)=3이면 f(a)=1, f(b)=2 또는 f(a)=2, f(b)=1 이므로 치역은 {1, 2} 또는 {1, 2, 4}이다. 즉, p=9, q=2이므로 Ú 치역이 {1, 2}인 경우 p+q=9+2=11 ‌f(a)=1, f(b)=2 또는 f(a)=2, f(b)=1이고 f(c)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2이므로 이때의 함수 f의 개수는 2_2=4 Û 치역이 {1, 2, 4}인 경우 0254 ④ x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면 x+y+z=12에서 (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=12 ∴ x'+y'+z'=9 (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수이다.) ‌f(a)=1, f(b)=2 또는 f(a)=2, f(b)=1이고 f(c)=4이므 로 이때의 함수 f의 개수는 2_1=2 Ú, Û에서 f(a)+ f(b)=3이고 치역이 {1, 2, 3}이 아닌 함수 f 의 개수는 4+2=6 Ⅱ. 확률 259 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 259 2023. 9. 12. 오전 10:02 Û 1이 적힌 공을 2개 꺼낸 경우 6 3 = 4Ü` 32 따라서 구하는 확률은 ∴ P(AC)= P(A)=1-P(AC)=1- aÉbÉcÉd인 경우를 순서쌍 (a, b, c, d)로 나타내면 (1, 1, 2, 3), (1, 1, 2, 4), (1, 1, 3, 4) 3 29 = 32 32 ‌로 3가지이고, 1이 적힌 두 공은 자리를 바꿀 수 있으므로 이때 의 경우의 수는 3_2=6 Ú, Û에서 aÉbÉcÉd인 경우의 수는 두 집합 A={1, 2, 3, 4}, B={1, 2, 3}에 대하여 A에서 B 2+6=8 로의 모든 함수 f 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수가 따라서 구하는 확률은 다음 조건을 만족시킬 확률은? ;12*0;= 1 15 f(1)¾2이거나 함수 f 의 치역은 B이다. ① ;2!7^; ② ;3@; ③ ;2@7); ④ ;2@7@; 0257 ⑤ ;9*; ④ ① 집합 {x|x는 10`이하의 자연수}의 원소의 개수는 10이므로 집합 {x|x는 10`이하의 자연수}의 원소의 개수가 4인 부분집합의 개수 는 Á¼C¢=210 1부터 10까지의 자연수 중에서 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2인 수 의 집합을 각각 X¼, XÁ, Xª라 하면 0256 ① X¼={3, 6, 9}, XÁ={1, 4, 7, 10}, Xª={2, 5, 8} 이때 집합 X의 서로 다른 세 원소의 합이 항상 3의 배수가 아니려 Ú 1이 적힌 공을 1개 꺼낸 경우 꺼낸 4개의 공에 적힌 수는 1, 2, 3, 4이므로 1, 2, 3, 4가 적힌 공을 일렬로 나열하는 경우의 수는 4!=24 면 집합 X는 세 집합 X¼, XÁ, Xª 중 두 집합에서 각각 2개의 원 소를 택하여 이 4개의 수를 원소로 가져야 한다. Ú 두 집합 X¼, XÁ의 원소로 이루어진 경우의 수는 £Cª_¢Cª=3_6=18 Û 1이 적힌 공을 2개 꺼낸 경우 이미 1이 적힌 공 2개를 꺼냈으므로 2, 3, 4가 적힌 공 중에서 2개 를 꺼내는 경우의 수는 Û 두 집합 XÁ, Xª의 원소로 이루어진 경우의 수는 ¢Cª_£Cª=6_3=18 Ü 두 집합 Xª, X¼의 원소로 이루어진 경우의 수는 £Cª=3 이렇게 꺼낸 2개의 공과 1이 적힌 공 2개를 일렬로 나열하는 경 우의 수는 £Cª_£Cª=3_3=9 Ú~Ü에서 집합 X의 개수는 18+18+9=45 4! =12 2! 따라서 구하는 확률은 ;2¢1°0;=;1£4; 즉, 이때의 경우의 수는 3_12=36 Ú, Û에서 1, 1, 2, 3, 4의 숫자가 하나씩 적힌 5개의 공 중에서 4 개의 공을 꺼내어 일렬로 나열하는 경우의 수는 24+36=60 이때 aÉbÉcÉd인 경우를 순서쌍 (a, b, c, d)로 나타내면 0258 ② (1, 2, 3, 4), (1, 1, 2, 3), (1, 1, 2, 4), (1, 1, 3, 4) 집합 X={1, 2, 3, 4}의 공집합이 아닌 부분집합 15개 중 임의로 이므로 경우의 수는 4이다. 서로 다른 세 부분집합을 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수는 P£ 15 따라서 구하는 확률은 ;6¢0;= 한편 서로 다른 세 부분집합 A, B, C에 대하여 A,B,C이려면 1 15 n(A)<n(B)<n(C)이어야 한다. Ú n(A)=1, n(B)=2, n(C)=3일 때 다른 풀이 1, 1, 2, 3, 4의 숫자가 하나씩 적힌 5개의 공 중에서 1이 적힌 두 공을 다른 공이라고 생각하자. 이때 주머니에서 임의로 4개의 공을 꺼내어 일렬로 나열하는 경우의 수는 °P¢=120 집합 A의 원소를 고르는 경우의 수는 4 ‌집합 B의 두 원소 중 집합 A의 원소가 아닌 나머지 한 원소를 고르는 경우의 수는 3 ‌집합 C의 세 원소 중 집합 B의 원소가 아닌 나머지 한 원소를 Ú 1이 적힌 공을 1개 꺼낸 경우 고르는 경우의 수는 2 ‌aÉbÉcÉd인 경우는 a=1, b=2, c=3, d=4로 한 가지뿐이 고, 이때 a에 해당하는 공이 2개이므로 이때의 경우의 수는 2이다. ‌그러므로 이때의 경우의 수는 ‌4_3_2=24 260 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 260 2023. 9. 12. 오전 10:02 0259 Û n(A)=1, n(B)=2, n(C)=4일 때 ‌집합 A의 원소를 고르는 경우의 수는 4 ‌집합 B의 두 원소 중 집합 A의 원소가 아닌 나머지 한 원소를 109 14장의 카드에서 3장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 Á¢C£=364 고르는 경우의 수는 3 카드에 적혀 있는 세 수의 곱이 7의 배수이려면 세 수에 7 또는 14 ‌집합 C는 {1, 2, 3, 4}의 1가지 그러므로 이때의 경우의 수는 가 포함되어야 한다. 4_3_1=12 세 수에 7이 포함되고 세 수의 합이 짝수인 사건을 A, 14가 포함되 고 세 수의 합이 짝수인 사건을 B라 하자. ‌집합 A의 원소를 고르는 경우의 수는 4 Ú 세 수에 7이 포함되는 경우 ‌집합 B의 세 원소 중 집합 A의 원소가 아닌 나머지 두 원소를 2 권 Ü n(A)=1, n(B)=3, n(C)=4일 때 7이 홀수이므로 세 수의 합이 짝수가 되려면 나머지 두 수의 합 이 홀수가 되어야 한다. 고르는 경우의 수는 £Cª=3 ‌집합 C는 {1, 2, 3, 4}의 1가지 이때 1부터 14까지의 자연수 중 홀수는 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13의 그러므로 이때의 경우의 수는 7개, 짝수는 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14의 7개이므로 7을 제외한 6개 4_3_1=12 의 홀수 중 1개, 7개의 짝수 중 1개를 택하면 된다. Ý n(A)=2, n(B)=3, n(C)=4일 때 즉, 세 수에 7이 포함되고 그 합이 짝수가 되는 경우의 수는 ‌집합 A의 두 원소를 고르는 경우의 수는 ¢Cª=6 ¤CÁ_¦CÁ=6_7=42 ‌집합 B의 세 원소 중 집합 A의 원소가 아닌 나머지 한 원소를 ∴ P(A)= ;3¢6ª4; 고르는 경우의 수는 2 Û 세 수에 14가 포함되는 경우 ‌집합 C는 {1, 2, 3, 4}의 1가지 14가 짝수이므로 세 수의 합이 짝수가 되려면 나머지 두 수의 그러므로 이때의 경우의 수는 합이 짝수가 되어야 한다. 6_2_1=12 즉, 7개의 홀수 중 2개를 택하거나 14를 제외한 6개의 짝수 중 Ú~Ý에서 A,B,C인 경우의 수는 에서 2개를 택하면 되므로 세 수에 14가 포함되고 그 합이 짝수 24+12+12+12=60 가 되는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 ¦Cª+¤Cª=21+15=36 60 60 2 = = 15_14_13 91 15P£ ∴ P(B)= ;3£6¤4; 다른 풀이 집합 X={1, 2, 3, 4}의 공집합이 아닌 부분집합 15개 중 임의로 서로 다른 세 부분집합을 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수는 P£ 15 A,B,C를 만족시키는 경우는 오른쪽 X 그림과 같고, A+∅, B-A+∅, C-B+∅ Ü 세 수에 7과 14가 포함되는 경우 7+14=21이 홀수이므로 세 수의 합이 짝수가 되려면 나머지 한 수는 홀수가 되어야 한다. 즉, 7을 제외한 6개의 홀수 중 1개를 택하면 되므로 세 수에 7 과 14가 포함되고 그 합이 짝수가 되는 경우의 수는 C B A ㉠ ¤CÁ=6 ㉡㉢㉣ 이어야 한다. 집합 A를 ㉠, 집합 B-A를 ㉡, 집합 ∴ P(A;B)= 6 364 Ú~Ü에서 카드에 적혀 있는 세 수의 곱이 7의 배수이고 합은 짝 C-B를 ㉢, 집합 X-C를 ㉣이라 하면 수일 확률은 다음과 같이 경우를 나누어 생각할 수 있다. P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) Ú ㉣+∅인 경우 ‌㉠, ㉡, ㉢, ㉣에 원소 1, 2, 3, 4를 하나씩 대응시키면 = ;3¢6ª4; + ;3£6¤4; - ‌A,B,C를 만족시키므로 경우의 수는 = ‌4!=24 6 364 72 18 = 364 91 따라서 p=91, q=18이므로 Û ㉣=∅인 경우 ‌㉠, ㉡, ㉢에 원소 1, 2, 3, 4를 개수가 2, 1, 1인 세 조로 나눈 p+q=91+18=109 후 세 조를 하나씩 대응시키면 A,B,C를 만족시키므로 경우 의 수는 {¢Cª_ªCÁ_ÁCÁ_ 1 1 }_3!‌=6_2_1_ _6 2! 2 =36 Ú, Û에서 A,B,C인 경우의 수는 24+36=60 따라서 구하는 확률은 1부터 10까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 3개의 수를 선택한다. 선택된 세 개의 수의 곱이 5의 배수이고 합은 3의 배수일 확률은? ① ;2£0; ② ;6!; ③ ;6!0!; ④ ;5!; ⑤ ;6!0#; ③ 60 60 2 = = 15_14_13 91 15P£ Ⅱ. 확률 261 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 261 2023. 9. 12. 오전 10:02 S 이때 P(A;B ) P(BC) P(A)-P(A;B) = 1-P(B) P(A|BC)‌= 조건부확률 01 C B A A;B A;B 이므로 조건부확률의 계산 0.4-0.12 0.28 , 1-P(B)= =0.4 1-P(B) 0.7 ∴ P(B)=0.6 0.7= 0260 ③ 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 이므로 2 1 1 1 = + -P(A;B) ∴ P(A;B)= 3 4 2 12 1 P(A;B) 12 ∴ P(B|A)= = =;3!; 1 P(A) 4 02 조건부확률 - 표가 주어진 경우 0264 0261 ;9%; ④ 임의로 선택한 한 명이 2학년인 사건을 A, 여학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= 1 P(AC|B)= P(A|B)에서 2 P(AC;B) P(A;B) =;2!;_ P(B) P(B) 이때 P(B)+0이므로 P(A;B) 이다. P(A) 이때 P(A)= 14 7 8 4 = , P(A;B)= = 30 15 30 15 이므로 구하는 확률은 1 P(AC;B)= P(A;B) 2 ∴ P(A;B)=2 P(AC;B)=2_ 4 P(A;B) 15 P(B|A)= = =;7$; 7 P(A) 15 5 5 = 18 9 다른 풀이 임의로 선택한 한 명이 2학년인 사건을 A, 여학생인 사건을 B라 5 이므로 AC;B+∅ 18 즉, B+∅이므로 P(B)+0 P(AC;B)= 0262 하면 n(A)=14, n(A;B)=8 n(A;B) ∴ P(B|A)= =;1¥4;=;7$; n(A) ① P(A|B)=2P(B|A)에서 P(A;B) P(A;B) =2_ P(B) P(A) 이때 P(A;B)+0이므로 0265 임의로 선택한 한 명이 구내식당에 만족하는 직원인 사건을 A, 남 성 직원인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A)=2 P(B) ∴ P(B)=;2!;P(A) P(A;B) P(A) 이다. 확률의 덧셈정리에 의하여 (단위: 명) P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 이므로 ;5$;=P(A)+;2!;P(A)-;2Á0; ;2#;P(A)=;2!0&; ∴ P(A)=;3!0&; 구분 남성 여성 합계 만족 36 32 68 불만족 14 18 32 합계 50 50 100 이때 P(A)= 0263 P(B|A)= ① ⑤ P(A;B) 이므로 P(A) P(A;B)=P(A)P(B|A)=0.4_0.3=0.12 68 17 36 9 = , P(A;B)= = 100 25 100 25 이므로 구하는 확률은 9 P(A;B) 25 P(B|A)= = =;1»7; 17 P(A) 25 262 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 262 2023. 9. 12. 오전 10:02 다른 풀이 03 임의로 선택한 한 명이 구내식당에 만족하는 직원인 사건을 A, 남 성 직원인 사건을 B라 하면 조건부확률 - 표로 나타내는 경우 0268 n(A)=68, n(A;B)=36 n(A;B) ∴ P(B|A)= =;6#8^;=;1»7; n(A) ④ 임의로 선택한 한 명이 쓰레기 처리장 건립에 찬성한 사람인 사건을 A, 여성인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A;B) P(A) 주어진 상황을 표로 나타내면 다음과 같다. 0266 (단위: 명) ③ 임의로 선택한 한 명이 남학생인 사건을 A, 놀이공원을 선호하는 학생인 사건을 B라 하면 P(B|A)= 3 4 (단위: 명) 구분 놀이공원 자연생태공원 합계 남학생 x 30 x+30 여학생 65 40 105 합계 x+65 70 x+135 구분 찬성 반대 합계 남성 1800_;3!;=600 1800_;3@;=1200 1800 여성 2400_;5!;=480 2400_;5$;=1920 2400 합계 1080 3120 4200 이때 P(A)= 1080 9 480 4 = , P(A;B)= = 4200 35 4200 35 이므로 구하는 확률은 4 P(A;B) 35 P(B|A)= = =;9$; 9 P(A) 35 x P(A;B) x x+135 ∴ P(B|A)= = = x+30 x+30 P(A) x+135 즉, 2 권 이다. x 3 = 이므로 x+30 4 4x=3x+90 ∴ x=90 0269 89 임의로 선택한 한 명이 지하철을 이용하여 등교하는 학생인 사건을 0267 102 480명 중에서 30 %는 480_ 30 =144(명) 100 A, 남학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(B|A)= P(A) 전체 학생 수를 100a로 놓으면 전체 학생의 55`%가 남학생이므로 남학생 수는 A 기업의 부스를 방문한 480명 중에서 30대가 차지하는 비율이 30 %이므로 a+(76-b)=144 ∴ a-b=68 yy ㉠ 100a_ 55 =55a 100 지하철을 이용하여 등교하는 남학생 수는 전체 학생 수의 40`%이므로 40 =40a 100 A 기업의 부스를 방문한 480명 중에서 임의로 선택한 한 명이 남 100a_ 성인 사건을 A, 30대인 사건을 B, 여성인 사건을 C, 40대인 사건 따라서 주어진 상황을 표로 나타내면 다음과 같다. (단위: 명) 을 D라 하면 P(B|A)=3 P(D|C) 구분 지하철 이용 이때 지하철을 이용하지 않음 남학생 40a 55a-40a=15a 55a 여학생 45a_;1ª0¼0;=9a 45a-9a=36a 100a-55a=45a 합계 49a 51a 100a a P(A;B) a 480 , P(B|A)= = = 300 300 P(A) 480 P(D|C)= b P(C;D) b 480 = = 180 180 P(C) 480 이때 P(A)= 49a 49 40a 2 , P(A;B)= = = 100a 100 100a 5 이므로 구하는 확률은 이므로 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 2 P(A;B) 5 P(B|A)= = =;4$9); 49 P(A) 100 a=85, b=17 따라서 p=49, q=40이므로 ∴ a+b=85+17=102 p+q=49+40=89 a b ∴ a=5b =3_ 300 180 합계 yy ㉡ Ⅱ. 확률 263 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 263 2023. 9. 12. 오전 10:02 0270 ③ 두 공장 A, B에서 생산한 청소기 중 임의로 선택한 하나가 불량품 이때 P(A)= 15 8 =;7#;, P(A;B)= 35 35 인 사건을 E, A 공장에서 생산한 청소기인 사건을 A라 하면 구하 이므로 구하는 확률은 P(A;E) 이다. 는 확률은 P(A|E)= P(E) 두 공장 A, B에서 생산한 전체 청소기의 개수를 800a로 놓으면 A P(B|A)= 공장과 B 공장에서 생산하는 청소기의 비율이 3`:`5이므로 A 공장에서 생산하는 청소기의 개수는 8 P(A;B) 35 = =;1¥5; 3 P(A) 7 0272 3 800a_ =300a 8 4 이 볼링 동호회의 회원 중 임의로 선택한 한 명이 Q 지역에 사는 회 B 공장에서 생산하는 청소기의 개수는 원인 사건을 A, 남성인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 5 800a_ =500a 8 P(A;B) 이다. P(A) P 지역에 사는 회원이 50명이고 이 중 40`%가 여성 회원이므로 P P(B|A)= 따라서 주어진 상황을 표로 나타내면 다음과 같다. (단위: 개) 구분 정상 제품 불량품 합계 A 공장 300a-6a=294a 300a_;10@0;=6a 300a B 공장 500a-25a=475a 500a_;10%0;=25a 500a 합계 769a 31a 800a 지역에 사는 여성 회원의 수는 50_ 40 =20 100 이 볼링 동호회의 여성 회원의 50 %가 Q 지역에 살고 있으므로 P, Q 두 지역에 사는 여성 회원의 수는 20으로 같다. 따라서 주어진 상황을 표로 나타내면 다음과 같다. (단위: 명) 이때 P(E)= 31a 31 6a 3 , P(A;E)= = = 800a 800 800a 400 이므로 구하는 확률은 3 P(A;E) 400 P(A|E)= =;3¤1; = 31 P(E) 800 구분 남성 여성 합계 P 지역 50-20=30 20 50 Q 지역 30-20=10 20 30 합계 40 40 80 이때 P(A)= 30 10 1 =;8#;, P(A;B)= = 80 80 8 이므로 구하는 확률은 0271 ③ 합창 동아리의 학생 중 임의로 선택한 한 명이 2학년인 사건을 A, 여학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A;B) P(A) 1 P(A;B) 8 P(B|A)= = =;3!; 3 P(A) 8 따라서 p=3, q=1이므로 p+q=3+1=4 이다. 합창 동아리의 전체 학생 수는 20+15=35 이 합창단의 60 %가 여학생, 40 %가 남학생이므로 여학생의 수는 35_ 60 =21 100 남학생의 수는 35_ 40 =14 100 04 조건부확률 - 경우의 수를 이용하는 경우 0273 ② 1학년 남학생의 수를 a라 하면 임의로 선택한 한 명이 1학년 남학 한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 짝수인 사건을 A, 눈의 1 생일 확률이 이므로 5 수가 3의 배수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(A) 이때 A={2, 4, 6}, B={3, 6}, A;B={6}이므로 P(B|A)= a 1 = ∴ a=7 35 5 따라서 주어진 상황을 표로 나타내면 다음과 같다. (단위: 명) 3 1 P(A)= =;2!;, P(A;B)= 6 6 구분 남학생 여학생 합계 따라서 구하는 확률은 1학년 7 20-7=13 20 2학년 14-7=7 21-13=8 15 합계 14 21 35 1 P(A;B) 6 P(B|A)= = =;3!; 1 P(A) 2 264 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 264 2023. 9. 12. 오전 10:02 0274 ;2!; 임의로 꺼낸 한 장의 카드에 적혀 있는 수가 15의 약수인 사건을 A, 3의 배수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A;B) P(A) 이다. 이때 ∴ P(A;B)= 3 1 = 36 12 Ú, Û에서 구하는 확률은 1 P(A;B) 12 P(B|A)= = =;7!; 7 P(A) 12 A={1, 3, 5, 15}, B={3, 6, 9, 12, 15}, A;B={3, 15} P(A)= 0277 4 2 , P(A;B)= 15 15 2 권 이므로 ⑤ A가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 8의 약수인 사건을 X, A가 이기 P(X;Y) 이다. 는 사건을 Y라 하면 구하는 확률은 P(Y|X)= P(X) 따라서 구하는 확률은 2 P(A;B) 15 P(B|A)= = =;2!; 4 P(A) 15 X={1, 2, 4, 8}이므로 4 P(X)= =;2!; 8 A, B 두 사람이 각각 한 장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 0275 ④ 8_8=64 사건 X;Y는 A가 8의 약수가 적혀 있는 카드를 꺼내고 A가 꺼 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적혀 있는 수가 짝수인 사건을 A, 노란 공 1 1 낸 카드에 적혀 있는 수가 B가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수보다 커야 P(A;B) 하므로 그 경우는 다음과 같다. 이다. 인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A) Ú A가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 1인 경우 1 12 123 234 345 456 5671 67182 71823 8234 345 456 567 678 78 8 이때 ‌ 꺼내는 카드에 적혀 있는 수의 최솟값이 1이므로 A는 이길 B가 12 123A={ 1234 2345, 3456 ,1 4567 1,2 5678123,678234,78 345 8, 456 }, 5671A;B={ 6712 7123 234, 345 , 456 }567 67 7 수 없다. 12 123이므로 1234 2345 3456 4567 567 67 7 Û A가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 2인 경우 7 3 1 ‌ 꺼내는 카드에 적혀 있는 수는 1이어야 하므로 그 경우의 B가 P(A)= , P(A;B)= = 15 15 5 수는 1이다. 따라서 구하는 확률은 Ü A가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 4인 경우 1 P(A;B) ‌ 꺼내는 카드에 적혀 있는 수는 1, 2, 3이어야 하므로 그 경 B가 5 P(B|A)= = =;7#; 7 P(A) 우의 수는 3이다. 15 Ý A가 꺼낸 카드에 적혀 있는 수가 8인 경우 ‌ 꺼내는 카드에 적혀 있는 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이어야 B가 0276 ② 하므로 그 경우의 수는 7이다. Ú~Ý에서 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 두 눈의 수의 합이 n(X;Y)=1+3+7=11 7 이하인 사건을 A, 두 눈의 수가 모두 짝수인 사건을 B라 하면 구 P(A;B) 이다. 하는 확률은 P(B|A)= P(A) 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 ∴ P(X;Y)= 6_6=36 Ú 두 눈의 수의 합이 7 이하인 경우 11 64 따라서 구하는 확률은 11 P(X;Y) 64 P(Y|X)= = =;3!2!; 1 P(X) 2 합이 2, 3, 4, 5, 6, 7인 경우이므로 순서쌍으로 나타내면 ‌ 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 4), (1, (2, 3), (3, 2), (4, 1), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) 의 21가지이다. ∴ P(A)= 05 21 7 = 36 12 Û 두 눈의 수의 합이 7 이하이고 두 눈의 수가 모두 짝수인 경우 ‌Ú에서 두 눈의 수가 모두 짝수인 경우이므로 순서쌍으로 나타 내면 (2, 2), (2, 4), (4, 2) 의 3가지이다. 조건부확률 - 순열과 조합을 이용하는 경우 0278 ③ 나경이와 은재가 주문한 것이 서로 다른 사건을 A, 한 사람은 김밥 을, 다른 한 사람은 국수를 주문하는 사건을 B라 하면 구하는 확률 은 P(B|A)= P(A;B) 이다. P(A) Ⅱ. 확률 265 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 265 2023. 9. 12. 오전 10:02 나경이와 은재가 8가지 메뉴 중 한 가지씩을 주문할 수 있으므로 모든 경우의 수는 와 수용이가 이웃하지 않는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 나경이와 은재가 서로 다른 메뉴를 주문하는 경우의 수는 P(A;B) 이다. P(A) 7명을 일렬로 세우는 경우의 수는 ¥CÁ_¦CÁ=56 P(B|A)= 56 7 = 64 8 사건 A;B는 나경이가 김밥 한 종류를 주문하고 은재가 국수 한 종류를 주문하거나 나경이가 국수 한 종류를 주문하고 은재가 김밥 한 종류를 주문하는 경우이므로 그 경우의 수는 7! Ú 미수와 진영이가 이웃하는 경우 ‌미수와 진영이를 한 사람으로 생각하여 6명을 일렬로 세우는 경 우의 수는 °CÁ_£CÁ+£CÁ_°CÁ‌=5_3+3_5 ‌ 6! =15+15=30 ∴ P(A;B)= ;3@; 7명을 일렬로 세울 때, 미수와 진영이가 이웃하는 사건을 A, 현수 ¥CÁ_¥CÁ=64 ∴ P(A)= 0281 ‌이때 미수와 진영이가 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!이므로 미 30 15 = 64 32 수와 진영이를 이웃하게 세우는 경우의 수는 ‌6!_2! 따라서 구하는 확률은 15 P(A;B) 32 P(B|A)= = =;2!8%; 7 P(A) 8 ‌∴ P(A)= 6!_2! 6!_2 = =;7@; 7! 7_6! Û 미수와 진영이가 이웃하고, 현수와 수용이는 이웃하지 않는 경우 ‌미수와 진영이를 한 사람 X로 생각하여 현수와 수용이를 제외 한 4명을 일렬로 세우는 경우의 수는 ‌ 4! 0279 5 임의로 뽑은 2개의 제비 중 하나가 당첨 제비인 사건을 A, 1등 당 첨 제비를 뽑는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= ‌이 네 사람의 양 끝과 그 사이 사이의 5곳 중 2곳에 현수와 수 ∨ X ∨∨∨∨ 용이를 세우는 경우의 수는 ‌ °Pª=20 P(A;B) 이다. P(A) ‌이때 미수와 진영이가 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!이므로 미 이때 수와 진영이는 이웃하고 현수와 수용이는 이웃하지 않게 세우는 ¢CÁ_¤CÁ 4_6 = =;1¥5;, 45 10Cª ÁCÁ_¤CÁ 1_6 2 P(A;B)= = = 45 15 10Cª ‌4!_20_2! 경우의 수는 P(A)= ‌∴ P(A;B)= 4!_20_2! 4!_40 4 = = 7! 7_6_5_4! 21 이므로 구하는 확률은 Ú, Û에서 구하는 확률은 2 P(A;B) 15 P(B|A)= = =;4!; 8 P(A) 15 P(B|A)= 4 P(A;B) 21 = =;3@; 2 P(A) 7 따라서 p=4, q=1이므로 p+q=4+1=5 0282 0280 ② a>b인 사건을 A, b=1인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(B|A)= P(A) a>b인 경우는 a=3, b=0 또는 a=2, b=1이므로 P(A)= ¢C£+¢Cª_£CÁ 4+6_3 = =;3@5@; ¦C£ 35 a>b이고 b=1인 경우는 a=2, b=1이므로 ¢Cª_£CÁ 6_3 18 P(A;B)= = = ¦C£ 35 35 따라서 구하는 확률은 18 P(A;B) 35 P(B|A)= = =;1»1; 22 P(A) 35 ② 네 개의 숫자 1, 2, 3, 4에서 중복을 허락하여 3개를 택해 세 자리 자연수를 만들 때, 각 자리의 수의 곱이 짝수인 사건을 A, 244보다 P(A;B) 이다. P(A) 네 개의 숫자 1, 2, 3, 4에서 중복을 허락하여 3개를 택해 만들 수 큰 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= 있는 세 자리 자연수의 개수는 ¢P£=4Ü`=64 Ú 각 자리의 수의 곱이 짝수인 경우 ‌ C은 각 자리의 수의 곱이 홀수인 사건이므로 홀수 1, 3에서 중 A 복을 허락하여 3개를 택해 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 ‌ªP£=2Ü`=8 ‌즉, P(AC)= 8 1 = 이므로 64 8 1 7 C ‌ P(A)=1-P(A )=1- = 8 8 266 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 3권(262-286)_확통-4강해설.indd 266 2023. 9. 21. 오전 11:41 Û 각 자리의 수의 곱이 짝수이고 244보다 큰 경우 3a=a+42, 2a=42 ∴ a=21 ‌ 큰 세 자리 자연수는 3, 4 꼴이 있다. 244보다 따라서 위의 표를 다시 정리하면 다음과 같다. (단위: 개) ‌ⓐ 3 꼴 ‌백의 자리의 숫자가 홀수 3이므로 각 자리의 수의 곱이 짝수 구분 홀수 짝수 합계 가 되려면 1, 2, 3, 4 중 중복을 허락하여 2개를 택하는 경우 흰공 42 18 60 의 수에서 1, 3 중 중복을 허락하여 2개를 택하는 경우의 수 빨간 공 21 19 40 를 빼면 된다. 합계 63 37 100 임의로 동시에 꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 수의 합이 짝수인 사건 ‌¢Pª-‌ªPª=4Û`-2Û`=16-4=12 을 C, 2개의 공이 흰색인 사건을 D라 하면 구하는 확률은 ‌ⓑ 4 ‌ 꼴 백의 자리의 숫자가 짝수 4이므로 뒤의 자리에는 1, 2, 3, 4 중 어떤 수가 와도 각 자리의 수의 곱은 짝수가 된다. P(C;D) 이다. P(C) 100개의 공 중에서 2개의 공을 꺼내는 경우의 수는 P(D|C)= Cª=4950 따라서 그 개수는 100 Ú 2개의 공에 적혀 있는 수의 합이 짝수인 경우 ¢Pª=4Û`=16 ‌두 수의 합이 짝수가 되려면 두 수가 모두 홀수이거나 짝수이어 ‌ⓐ, ⓑ에서 n(A;B)=12+16=28이므로 ‌ P(A;B)= 2 권 따라서 그 개수는 야 하므로 그 경우의 수는 28 7 = 64 16 ‌ Cª+37Cª=1953+666=2619 63 Ú, Û에서 구하는 확률은 ‌∴ P(C)= 7 P(A;B) 16 P(B|A)= = =;2!; 7 P(A) 8 2619 4950 Û 2개의 공에 적혀 있는 수의 합이 짝수이고 흰색인 경우 ‌흰 공 중에서 홀수가 적혀 있는 2개의 공을 꺼내거나 짝수가 적 혀 있는 2개의 공을 꺼내면 되므로 그 경우의 수는 세 수의 곱이 짝수이려면 세 수 중 적어도 한 수는 짝수이면 되고, 세 수가 모두 홀수이면 그 세 수의 곱은 홀수가 된다. ‌ Cª+18Cª=861+153=1014 42 ‌∴ P(C;D)= 1014 4950 Ú, Û에서 구하는 확률은 0283 ④ 1014 P(C;D) 338 4950 P(D|C)= = = 873 2619 P(C) 4950 흰 공의 30 %에 짝수가 적혀 있으므로 짝수가 적혀 있는 흰 공의 개수는 60_ 30 =18 100 홀수가 적혀 있는 흰 공의 개수는 60-18=42 홀수가 적혀 있는 빨간 공의 개수를 a로 놓고 주어진 상황을 표로 06 나타내면 다음과 같다. (단위: 개) 구분 홀수 짝수 합계 확률의 곱셈정리 0284 ④ 흰공 42 18 60 주영이가 흰 공을 꺼내는 사건을 A, 승원이가 검은 공을 꺼내는 사 빨간 공 a 40-a 40 합계 a+42 58-a 100 건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A)이다. 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적혀 있는 수가 홀수인 사건을 A, 빨간 색인 사건을 B라 하면 P(B|A)= 이때 P(A)= 6 5 , P(B|A)= =;2!; 11 10 이므로 구하는 확률은 1 3 P(A;B)=P(A)P(B|A)= 이때 P(A)= 6 3 _;2!;= 11 11 a+42 a , P(A;B)= 100 100 이므로 a P(A;B) a 100 = P(B|A)= = a+42 a+42 P(A) 100 a 즉, =;3!;이므로 a+42 0285 3 A가 당첨 제비를 뽑는 사건을 A, B가 당첨 제비를 뽑는 사건을 B 라 하면 P(A;B)= 1 15 Ⅱ. 확률 267 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 267 2023. 9. 12. 오전 10:02 n(12-n)=32, nÛ`-12n+32=0 이때 P(A)= (n-4)(n-8)=0 ∴ n=4 (∵ n<6) n n-1 , P(B|A)= 10 9 따라서 처음에 주머니 속에 들어 있던 빨간 공의 개수는 4이다. 이므로 P(A;B)=P(A)P(B|A)= 즉, n n-1 n(n-1) _ = 90 10 9 n(n-1) 1 = 이므로 90 15 n(n-1)=6, nÛ`-n-6=0 07 (n+2)(n-3)=0 ∴ n=3 (∵ n은 자연수) 확률의 곱셈정리의 활용 0288 0286 ① 8번째에서 뽑는 것을 중단하려면 7번째까지는 당첨 제비를 3개 뽑 고, 8번째에서 남은 당첨 제비 1개를 뽑아야 한다. 7번째까지 당첨 제비 3개를 뽑는 사건을 A, 8번째에서 당첨 제비 P(A;B)=P(A)P(B|A)이다. 하면 구하는 확률은 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)이다. 이때 P(A;B)=P(A)P(B|A)= 4 6 4 _ = , 10 9 15 이므로 구하는 확률은 이때 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)=;1¢5;+;3!;=;5#; ¢C£_11C4 4_330 8 = = , 6435 39 15C7 P(B|A)= A가 흰 공을 꺼내는 사건을 A, B가 검은 공을 꺼내는 사건을 B라 P(AC;B)=P(AC)P(B|AC)=;1¤0;_;9%;=;3!; 를 뽑는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A)= ④ 1 8 0289 이므로 구하는 확률은 8 1 1 P(A;B)=P(A)P(B|A)= _ = 39 8 39 ;1»6; 임의로 선택한 한 명이 남학생인 사건을 A, 김밥을 주문한 학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B)=P(A;B)+P(AC;B) 이다. 0287 ④ 주머니 속에 처음에 들어 있던 빨간 공의 개수를 n이라 하면 파란 공의 개수는 12-n이다. 이때 P(A;B)=P(A)P(B|A)= 30 50 3 _ = , 80 100 16 P(AC;B)=P(AC)P(B|AC)= 이때 n<12-n이므로 50 60 3 _ = 80 100 8 이므로 구하는 확률은 2n<12 ∴ n<6 수아가 빨간 공을 꺼내는 사건을 A, 도윤이가 파란 공을 꺼내는 사 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)= 3 3 9 + = 16 8 16 건을 B라 하면 P(A;B)+P(AC;BC)= 16 33 Ú 수아가 빨간 공을 꺼내고, 도윤이가 파란 공을 꺼내는 경우 ‌그 확률은 ‌P(A;B)=P(A)P(B|A)= n 12-n n(12-n) _ = 132 12 11 Û 수아가 파란 공을 꺼내고, 도윤이가 빨간 공을 꺼내는 경우 259 임의로 선택한 한 제품이 제품 A인 사건을 A, 불량품인 사건을 E 라 하면 구하는 확률은 P(E)=P(A;E)+P(AC;E)이다. 이때 P(A;E)=P(A)P(E|A)= ‌그 확률은 ‌P(AC;BC)‌=P(AC)P(BC|AC)= = 12-n n _ 12 11 = n(12-n) n(12-n) + 132 132 n(12-n) = 66 P(A;B)+P(AC;BC)‌= n(12-n) 16 = 이므로 66 33 70 3 21 , _ = 100 100 1000 P(AC;E)‌=P(AC)P(E|AC)={1- n(12-n) 132 Ú, Û에서 수아와 도윤이가 서로 다른 색의 공을 꺼낼 확률은 즉, 0290 70 5 }_ 100 100 30 5 3 _ = 100 100 200 이므로 구하는 확률은 P(E)‌=P(A;E)+P(AC;E) = 21 3 9 + = 1000 200 250 따라서 p=250, q=9이므로 p+q=250+9=259 268 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 268 2023. 9. 12. 오전 10:02 0291 ‌이때 두 공에 적혀 있는 수의 합이 짝수가 되려면 홀수가 적혀 ④ 있는 공 2개를 꺼내거나 짝수가 적혀 있는 공 2개를 꺼내면 되 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 서로 같은 눈의 수가 나 므로 오는 사건을 A, 주머니에서 동시에 꺼낸 3개의 바둑돌이 모두 같 Cª+nCª 6 _ 9-n »Cª 14 (9-n)(8-n) n(n-1) + 2 2 =;7#;_ 36 ‌P(A;B)‌=P(A)P(B|A)= 은 색인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)이다. Ú 서로 같은 눈의 수가 나오는 경우 = 6_6=36 Û 상자 A에서 짝수가 적혀 있는 공을 꺼내는 경우 서로 같은 눈의 수가 나오는 경우는 6가지이므로 그 확률은 6 1 P(A)= = 36 6 ‌상자 B에는 홀수가 적혀 있는 공 (8-n)개, 짝수가 적혀 있는 공 (n+1)개가 들어 있게 된다. 주머니 A에서 3개의 바둑돌을 꺼내는 경우의 수는 이때 ‌ 두 공에 적혀 있는 수의 합이 짝수가 되려면 홀수가 적혀 ¥C£=56 있는 공 2개를 꺼내거나 짝수가 적혀 있는 공 2개를 꺼내면 되 ‌주머니 A에서 임의로 꺼낸 3개의 바둑돌이 모두 같은 색인 경 므로 우의 수는 ‌P(AC;B)‌=P(AC)P(B|AC) Cª+n+1Cª 6 ={1}_ 8-n »Cª 14 ‌ £C£+°C£=1+10=11 ‌∴ P(B|A)= 2 nÛ`-9n+36 84 권 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 11 56 ‌∴ P(A;B)‌=P(A)P(B|A) 1 11 11 = _ = 6 56 336 Û 서로 다른 눈의 수가 나오는 경우 ‌두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 서로 다른 눈의 수가 나오는 C 사건은 A 이므로 ‌ (8-n)(7-n) n(n+1) + 2 2 =;7$;_ 36 ‌ = nÛ`-7n+28 63 Ú, Û에서 P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) 1 5 ‌P(AC)=1-P(A)=1- = 6 6 = nÛ`-9n+36 nÛ`-7n+28 + 84 63 ‌주머니 B에서 3개의 바둑돌을 꺼내는 경우의 수는 = 7nÛ`-55n+220 252 ‌10C£=120 7nÛ`-55n+220 =;2!1);이므로 252 ‌주머니 B에서 임의로 꺼낸 3개의 바둑돌이 모두 같은 색인 경우 즉, 의 수는 7nÛ`-55n+220=120, 7nÛ`-55n+100=0 ‌¢C£+¤C£=4+20=24 (7n-20)(n-5)=0 24 1 ‌ P(B|AC)= ∴ = 120 5 ∴ n=5 (∵ n은 자연수) 따라서 처음에 상자 B에 들어 있던 짝수가 적혀 있는 공의 개수는 ‌∴ P(AC;B)‌=P(AC)P(B|AC) 5이다. 5 1 1 = _ = 6 5 6 Ú, Û에서 구하는 확률은 P(B)‌=P(A;B)+P(AC;B) = 11 1 67 + = 336 6 336 08 0292 5 상자 A에서 홀수가 적혀 있는 공을 꺼내는 사건을 A, 상자 B에서 임의로 2개의 공을 꺼낼 때 두 공에 적혀 있는 수의 합이 짝수인 사 확률의 곱셈정리를 이용한 조건부확률 0293 ② 수민이가 당첨 제비를 뽑는 사건을 A, 주영이가 당첨 제비를 뽑는 P(A;B) 이다. P(B) 수민이가 당첨 제비를 뽑고 주영이도 당첨 제비를 뽑을 확률은 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A|B)= 건을 B라 하면 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)= 10 21 3 2 1 _ = 12 11 22 처음에 상자 B에 들어 있던 짝수가 적혀 있는 공의 개수를 n이라 P(A;B)=P(A)P(B|A)= 하면 홀수가 적혀 있는 공의 개수는 8-n이다. 수민이는 당첨 제비를 뽑지 않고 주영이는 당첨 제비를 뽑을 확률 Ú 상자 A에서 홀수가 적혀 있는 공을 꺼내는 경우 ‌상자 B에는 홀수가 적혀 있는 공 (9-n)개, 짝수가 적혀 있는 공 n개가 들어 있게 된다. 은 P(AC;B)=P(AC)P(B|AC)= 9 3 9 _ = 12 11 44 Ⅱ. 확률 269 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 269 2023. 9. 12. 오전 10:02 0296 따라서 주영이가 당첨 제비를 뽑을 확률은 1 9 1 P(B)‌=P(A;B)+P(A ;B)= + = 22 44 4 C ② 임의로 선택한 한 제품이 제품 A인 사건을 A, 제품 B인 사건을 B, 제품 C인 사건을 C, 불량품인 사건을 E라 하면 구하는 확률은 이므로 구하는 확률은 1 P(A;B) 22 P(A|B)= = =;1ª1; 1 P(B) 4 P(A|E)= P(A;E) 이다. P(E) 이때 0294 P(A;E)=P(A)P(E|A)= 40 5 1 _ = , 100 100 50 P(B;E)=P(B)P(E|B)= 40 3 3 , _ = 100 100 250 ③ 주머니 A에서 꺼내는 사건을 A, 검은 바둑돌을 꺼내는 사건을 B P(AC;B) 이다. P(B) 주머니 A에서 검은 바둑돌을 꺼낼 확률은 라 하면 구하는 확률은 P(AC|B)= P(A;B)=P(A)P(B|A)=;2!;_ 20 4 1 _ = 100 100 125 이므로 P(E)‌=P(A;E)+P(B;E)+P(C;E) = 10 1 = 25 5 1 3 1 1 + + = 50 250 125 25 따라서 구하는 확률은 주머니 B에서 검은 바둑돌을 꺼낼 확률은 P(AC;B)=P(AC)P(B|AC)=;2!;_ P(C;E)=P(C)P(E|C)= 1 P(A;E) 50 P(A|E)= = =;2!; 1 P(E) 25 13 13 = 25 50 따라서 검은 바둑돌을 꺼낼 확률은 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)= 1 13 23 + = 5 50 50 0297 이므로 구하는 확률은 한 개의 주사위를 던져서 6의 약수의 눈이 나오는 사건을 A, 동전 13 P(AC;B) 50 P(A |B)= = =;2!3#; 23 P(B) 50 의 앞면이 1개 나오는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 C P(A;B) 이다. P(B) 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T로 놓고 가인이가 동전을 던져서 앞면 P(A|B)= 이 1개 나오는 경우를 구하면 다음과 같다. 0295 13 지원서를 낸 사람 중 임의로 선택한 한 명이 여성인 사건을 A, 1차 서류 심사에 합격한 사람인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(B) 지원서를 접수한 남성과 여성의 비율이 5`:`3이므로 P(A|B)= P(A)= ⑤ 3 3 = 5+3 8 1차 서류 심사에 합격한 여성 지원자를 선택할 확률은 3 50 3 P(A;B)=P(A)P(B|A)= _ = 8 100 16 1차 서류 심사에 합격한 남성 지원자를 선택할 확률은 5 70 7 _ = 8 100 16 따라서 1차 서류 심사에 합격한 사람을 선택할 확률은 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)= 3 7 5 + = 16 16 8 이므로 구하는 확률은 3 P(A;B) 16 P(A|B)= = =;1£0; 5 P(B) 8 즉, p=10, q=3이므로 p+q=10+3=13 6의 약수는 1, 2, 3, 6의 4개이므로 4 P(A)= =;3@; 6 가인이가 2개의 동전을 던지므로 모든 경우의 수는 2_2=4 앞면이 1개 나오는 경우는 (H, T), (T, H)의 2가지이므로 2 1 P(B|A)= = 4 2 3 5 ∴ P(AC)=1-P(A)=1- = 8 8 P(AC;B)=P(AC)P(B|AC)= Ú 세현이가 한 개의 주사위를 던져 6의 약수의 눈이 나온 경우 1 ∴ P(A;B)=P(A)P(B|A)=;3@;_ =;3!; 2 Û 세현이가 한 개의 주사위를 던져 6의 약수가 아닌 눈이 나온 경우 AC은 6의 약수가 아닌 눈이 나오는 사건이므로 P(AC)=1-P(A)=1-;3@;= 1 3 가인이가 3개의 동전을 던지므로 모든 경우의 수는 2_2_2=8 ‌앞면이 1개 나오는 경우는 (H, T, T), (T, H, T), (T, T, H) 의 3가지이므로 P(B|AC)= 3 8 3 1 ∴ P(AC;B)=P(AC)P(B|AC)=;3!;_ = 8 8 Ú, Û에서 1 11 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)=;3!;+ = 8 24 270 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 270 2023. 9. 12. 오전 10:02 따라서 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여 1 P(A;B) 3 P(A|B)= = =;1¥1; 11 P(B) 24 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 이므로 P(A;B)‌=P(A)+P(B)-P(A'B) 5 6 = +;3@;7 7 = 사건의 독립과 종속의 판정 따라서 P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 종 속이다. 0298 ④ 다른 풀이 확률이 0이 아닌 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AC, BC A={4, 8, 12, 16, 20}이므로 도 서로 독립이다. 따라서 그 대우인 두 사건 AC, BC이 서로 종속 5 P(A)= =;4!; 20 이면 두 사건 A, B도 서로 종속임을 이용할 수도 있다. ㄱ. B={1, 2, 4, 5, 10, 20}이므로 6 AC;BC=(A'B)C이고, P(A'B)= 이므로 7 P(B)= 6 3 = 20 10 P(AC;BC)‌=1-P(A'B) 이때 A;B={4, 20}이므로 P(A;B)= =1- 2 1 = 20 10 = 즉, P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 종 속이다. 6 7 1 7 즉, P(AC;BC)+P(AC)P(BC)이므로 두 사건 AC, BC은 서로 종속이다. ㄴ. C={5, 10, 15, 20}이므로 P(C)= 2 권 09 11 21 따라서 두 사건 A, B도 서로 종속이다. 4 =;5!; 20 드모르간의 법칙 이때 A;C={20}이므로 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 (A'B)C=AC;BC, (A;B)C=AC'BC 1 P(A;C)= 20 즉, P(A;C)=P(A)P(C)이므로 두 사건 A, C는 서로 독 립이다. ㄷ. D={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}이므로 P(D)= 0300 8 2 = 20 5 ③ (단위: 명) 이때 A;D=∅이므로 P(A;D)=0 즉, P(A;D)+P(A)P(D)이므로 두 사건 A, D는 서로 종 속이다. 구분 소설 에세이 합계 남성 8 2 10 여성 12 3 15 합계 20 5 25 ㄹ. E={1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}이므로 P(E)= ① P(A)= 8 2 = 20 5 8 P(A;B) 25 ② P(A|B)= = =;5@; (참) 20 P(B) 25 이때 A;E={4, 12}이므로 P(A;E)= 10 2 = (참) 25 5 2 1 = 20 10 즉, P(A;E)=P(A)P(E)이므로 두 사건 A, E는 서로 독 12 P(AC;B) 25 ③ P(B|A )= = =;5$; (거짓) 15 P(AC) 25 C 립이다. 따라서 사건 A와 서로 독립인 것은 ㄴ, ㄹ이다. 2 20 4 8 ④ P(A)= , P(B)= = , P(A;B)= 이므로 5 25 5 25 0299 서로 종속이다. 2 P(AC)= , P(BC)=;3!;이므로 7 P(A)=1-P(AC)=1-;7@;= 5 7 P(B)=1-P(BC)=1-;3!;= 2 3 P(A;B)=P(A)P(B) 즉, 두 사건 A, B는 서로 독립이다. (참) 2 5 1 2 ⑤ P(A)= , P(BC)= = , P(A;BC)= 이므로 5 25 5 25 P(A;BC)=P(A)P(BC) 즉, 두 사건 A, BC은 서로 독립이다. (참) 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. Ⅱ. 확률 271 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 271 2023. 9. 12. 오전 10:02 10 ③ 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 사건의 독립과 종속의 성질 P(A|B)=P(A), P(AC|B)=P(AC) 0301 ③ P(AC)=1-P(A)=1-;3!;=;3@; 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)= P(A)P(B) ∴ P(A|B)+P(AC|B) (거짓) 이때 A ;B =( A'B ) 이므로 C C C S ④ 오른쪽 그림에서 P(AC;BC)‌=P((A'B)C) B=(A;B)'(A ;B) C =1-P(A'B) ‌이고 두 사건 A;B와 AC;B는 서로 =1-{P( A )+P(B)-P(A;B)} B A A`;B 배반사건이므로 =1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) P(B)=P(A;B)+P(AC;B) ={1-P(A)}{1-P(B)} C [반례] P(A)=;3!;이면 A;B 이때 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 AC, B도 서로 C =P(A )P(B ) 독립이다. 즉, 따라서 두 사건 AC, BC은 서로 독립이다. P(A;B)=P(A)P(B), ∴ ㈎ P(A)P(B) ㈏ A'B ㈐ A P(AC;B)=P(AC)P(B) 이므로 P(B)=P(A)P(B)+P(AC)P(B) (거짓) ⑤ 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 A, BC도 서로 독립이다. 0302 ⑤ ㄱ. 두 ‌ 사건 A, B가 서로 독립이므로 사건 B가 일어나고 일어나 ∴ P(A;BC)=P(A)P(BC) 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'BC)‌=P(A)+P(BC)-P(A;BC) =P(A)+P(BC)-P(A)P(BC) 지 않는 것이 사건 A가 일어날 확률에 영향을 주지 않는다. =P(A)+{1-P(A)}P(BC) ∴ P(A|B)=P(A|BC)=P(A) (참) =P(A)+P(AC)P(BC) (참) ㄴ. 두 ‌ 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A, BC도 서로 독립 따라서 항상 옳은 것은 ⑤이다. 이다. C 즉, 사건 A가 일어나는 것이 사건 B 이 일어날 확률에 영향을 주지 않으므로 P(BC|A)=P(BC)=1-P(B) (참) ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 11 (A;B)=P(A)P(B) P 확률의 덧셈정리에 의하여 독립인 사건의 확률의 계산 0304 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 이므로 ③ 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AC, BC도 서로 독립이다. 1=P(A)+P(B)-P(A)P(B) 따라서 사건 BC이 일어나는 것이 사건 AC이 일어날 확률에 영향을 P(A)P(B)-P(A)-P(B)+1=0 주지 않으므로 {P(A)-1}{P(B)-1}=0 P(AC|BC)‌=P(AC)=1-P(A) ∴ P(A)=1 또는 P(B)=1 (참) =1- 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 3 =;1¦0; 10 다른 풀이 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AC, BC도 서로 독립이다. 이때 ⑤ P(AC)=1-P(A)=1- 3 7 = , 10 10 ① 0<P(A)<1, ‌ 0<P(B)<1이고 두 사건 A, B가 서로 독립이 P(BC)=1-P(B)=1- 2 19 = 21 21 0303 므로 이므로 P(A;B)=P(A)P(B)>0 ‌즉, P(A;B)+0이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이 아 니다. (거짓) C ② ‌두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 A , B도 서로 독립이 다. (거짓) P(AC;BC)=P(AC)P(BC)= 7 19 19 _ = 10 21 30 19 P(AC;BC) 30 ∴ P(A |B )= = =;1¦0; 19 P(BC) 21 C C 272 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 272 2023. 9. 12. 오전 10:02 0305 ② 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 12 0308 P(A;B)=P(A)P(B)=2{P(B)}Û` 확률의 덧셈정리에 의하여 6 주어진 조건을 벤다이어그램으로 나타내 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 면 오른쪽 그림과 같다. 이므로 S A x 이때 5 =2 P(B)+P(B)-2{P(B)}Û` 8 B 8 16 12 이므로 {4 P(B)-1}{4 P(B)-5}=0 P(A)= 1 (∵ 0<P(B)<1) 4 2 권 n(S)=x+8+16+12=x+36 16{P(B)}Û`-24 P(B)+5=0 ∴ P(B)= 독립인 사건의 확률 - 미지수 구하기 x+8 8+16 24 , P(B)= , = x+36 x+36 x+36 P(A;B)= 8 x+36 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) 확률의 기본 성질에 의하여 0ÉP(B)É1 이때 P(B)=0이면 주어진 조건에 의하여 P(A)=0 즉, 5 즉, A=B=∅이 되므로 P(A'B)= 에 모순이다. 8 5 또한 P(B)=1이면 P(A'B)=1이 되므로 P(A'B)= 에 모순이다. 8 ∴ 0<P(B)<1 0306 ④ C 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A , B도 서로 독립이고, C 두 사건 A, B 도 서로 독립이다. 1-P(A)=P(B) 0309 2 두 사건 AC, BC이 서로 독립이므로 두 사건 A, B도 서로 독립이다. ∴ P(A;B)=P(A)P(B) 0< ∴ P(A)=1-P(B) yy ㉠ yy ㉠ k k , P(B)= 4 7 yy ㉡ k k <1, 0< <1이므로 0<k<4 4 7 확률의 덧셈정리에 의하여 4 이므로 25 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 이므로 ㉠, ㉡에 의하여 4 25 9 k k k k = + - _ 14 4 7 4 7 4 P(A){1-P(B)}= 25 kÛ`-11k+18=0 4 (∵ ㉠) {P(A)}Û`= 25 ∴ P(A)= ∴ x=6 P(A)= P(AC)=P(B) P(A)P(BC)= x+36=3x+24, 2x=12 4 P(A)=7 P(B)=k에서 이때 P(AC|B)=P(B)이므로 또한 P(A;BC)= 8 x+8 24 이므로 = _ x+36 x+36 x+36 (k-2)(k-9)=0 ∴ k=2 (∵ 0<k<4) 2 (∵ 0<P(A)<1) 5 0307 ④ C 0310 ① 조사 대상 중 임의로 선택한 한 명이 남학생인 사건을 A, B 프로그 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 A, B 도 서로 독립이다. 램을 선호하는 학생인 사건을 B라 하면 P(BC)=;7#;이므로 P(A)= P(B)=1-P(BC)=1-;7#;=;7$; 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) P(B)=14 P(A;BC)에서 ;7$;=14 P(A)P(BC), ;7$;=14 P(A)_;7#; ∴ P(A)= 2 21 ∴ P(AC)=1-P(A)=1- 110 11 120 3 b = , P(B)= = , P(A;B)= 200 20 200 5 200 즉, b 11 3 = _ 이므로 b=66 200 20 5 a+b=110에서 a=110-b=110-66=44 2 19 = 21 21 a+c=80에서 c=80-a=80-44=36 Ⅱ. 확률 273 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 273 2023. 9. 12. 오전 10:02 Ý n=4일 때 b+d=120에서 d=120-b=120-66=54 ‌ B={1, 2, 4}, A;B={2}이므로 ∴ (a+d)-(b+c)‌=(44+54)-(66+36) 3 1 , P(A;B)= ‌ P(B)= 8 8 =98-102=-4 ‌즉, P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 종 속이다. Þ n=5일 때 0311 ④ ‌ B={1, 5}, A;B={5}이므로 B 디자인을 선택한 여학생의 수를 n으로 놓고 주어진 상황을 정리 2 1 ‌P(B)= =;4!;, P(A;B)= 8 8 하면 다음 표와 같다. (단, n은 1 이상의 자연수이다.) ‌즉, P(A;B)=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 독 (단위: 명) 구분 A`디자인 B`디자인 합계 여학생 20 n n+20 남학생 28 21 49 합계 48 n+21 n+69 립이다. ß n=6일 때 ‌ B={1, 2, 3, 6}, A;B={2, 3}이므로 4 2 ‌ P(B)= =;2!;, P(A;B)= =;4!; 8 8 여학생을 뽑는 사건을 A, A 디자인을 선택한 학생을 뽑는 사건을 ‌즉, P(A;B)=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 독 B라 하면 립이다. P(A)= à n=7일 때 n+20 48 20 , P(B)= , P(A;B)= n+69 n+69 n+69 ‌ B={1, 7}, A;B={7}이므로 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 2 1 ‌P(B)= =;4!;, P(A;B)= 8 8 P(A;B)=P(A)P(B) 즉, ‌즉, P(A;B)=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 독 20 n+20 48 이므로 = _ n+69 n+69 n+69 립이다. ¡ n=8일 때 5n+345=12n+240, 7n=105 ∴ n=15 ‌ B={1, 2, 4, 8}, A;B={2}이므로 따라서 B 디자인을 선택한 여학생의 수는 15이다. 4 1 ‌ P(B)= =;2!;, P(A;B)= 8 8 ‌즉, P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 종 속이다. 0312 23 Ú~¡에서 두 사건 A, B가 서로 독립이 되도록 하는 n의 값은 n=2, 3, 5, 6, 7 A={2, 3, 5, 7}이므로 따라서 모든 n의 값의 합은 4 P(A)= =;2!; 8 2+3+5+6+7=23 n의 값에 따른 P(B), P(A;B)의 값을 구하여 두 사건 A, B가 서로 독립인지 종속인지 확인하면 다음과 같다. Ú n=1일 때 B={1}, A;B=∅이므로 1 P(B)= , P(A;B)=0 8 ‌즉, P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 종 속이다. Û n=2일 때 13 독립인 사건의 확률 - 확률 구하기 ‌ B={1, 2}, A;B={2}이므로 0313 2 1 ‌P(B)= =;4!;, P(A;B)= 8 8 한 개의 주사위를 던질 때 6의 약수의 눈이 나오는 사건을 A, 한 ‌즉, P(A;B)=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 독 립이다. 개의 동전을 던질 때 앞면이 나오는 사건을 B라 하면 두 사건 A, B는 서로 독립이다. 6의 약수는 1, 2, 3, 6의 4개이므로 Ü n=3일 때 ‌ B={1, 3}, A;B={3}이므로 2 1 ‌P(B)= =;4!;, P(A;B)= 8 8 ‌즉, P(A;B)=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 독 립이다. ④ 4 P(A)= =;3@; 6 1 또한 P(B)= 이므로 구하는 확률은 2 P(A;B)=P(A)P(B)=;3@;_;2!;= 1 3 274 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 274 2023. 9. 12. 오전 10:02 0314 751 0316 ① 5개의 스위치 A, B, C, D, E가 닫히는 사건을 각각 A, B, C, D, 의 눈이 나올 확률은 E라 하면 3 =;2!; 6 3 P(A)=;2!;, P(B)=;3@;, P(C)=;2!;, P(D)= , P(E)=;3!; 4 따라서 2개의 주사위를 동시에 던질 때, 2개의 주사위 모두 홀수의 주어진 회로에 전류가 흐르는 사건은 A;(B'C);(D'E)이 눈이 나올 확률은 고 5개의 스위치 A, B, C, D, E가 독립적으로 작동하므로 5개의 ;2!;_;2!;= 사건 A, B, C, D, E는 각각 서로 독립이다. 1 4 2 권 홀수는 1, 3, 5의 3개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 홀수 따라서 세 사건 A, B'C, D'E도 각각 서로 독립이므로 구하는 6회 이내에 진유가 이기는 경우는 다음과 같다. 확률은 P(A;(B'C);(D'E))=P(A)P(B'C)P(D'E) Ú 진유가 2회에 이기는 경우 ‌ 적어도 한 개의 주사위는 짝수의 눈이 나오고, 2회에는 1회에는 2개의 주사위 모두 홀수의 눈이 나오면 되므로 그 확률은 이다. 확률의 덧셈정리에 의하여 P(B'C)‌=P(B)+P(C)-P(B;C) 3 3 ‌ {1-;4! ;}_;4!;= _;4!;= 4 16 =P(B)+P(C)-P(B)P(C) 2 = +;2!;-;3@;_;2!; 3 Û 진유가 5회에 이기는 경우 ‌ 1회, 2회, 3회, 4회에는 적어도 한 개의 주사위는 짝수의 눈이 = 나오고, 5회에는 2개의 주사위 모두 홀수의 눈이 나오면 되므로 5 6 P(D'E)‌=P(D)+P(E)-P(D;E) 그 확률은 ‌{1-;4!;}_{1-;4!;}_{1-;4!;}_{1-;4!;}_ 1 4 =P(D)+P(E)-P(D)P(E) 3 3 = +;3!;- _;3!; 4 4 3 3 3 3 81 ‌ = _ _ _ _;4!;= 4 4 4 4 1024 = Ú, Û에서 구하는 확률은 3 81 273 + = 16 1024 1024 5 6 따라서 구하는 확률은 P(A;(B'C);(D'E))‌=P(A)P(B'C)P(D'E) 따라서 p=1024, q=273이므로 =;2!;_ p-q=1024-273=751 = 5 5 _ 6 6 25 72 0317 0315 ② 두 사람이 각각 같은 색의 공을 꺼내는 경우는 다음과 같다. Ú 영준이와 규현이가 모두 흰 공 2개를 꺼내는 경우 그 확률은 ⑤ f(a)=0이 되는 사건을 A라 하고, f(b)=0이 되는 사건을 B라 하자. 이차방정식 f(x)=0에서 xÛ`-15x+56=0, (x-7)(x-8)=0 ∴ x=7 또는 x=8 ‌¢Cª ‌£Cª 6 3 1 _ = _ = »Cª »Cª 36 36 72 Û 영준이는 흰 공 2개, 규현이는 검은 공 2개를 꺼내는 경우 그 확률은 ∴ P(A)=P(B)= 2 1 = 10 5 f(a) f(b)=0이면 f(a)=0 또는 f(b)=0이므로 구하는 확률은 P(A'B)이다. ‌¢Cª ‌¤Cª 6 15 5 _ = _ = »Cª »Cª 36 36 72 확률의 덧셈정리에 의하여 Ü 영준이는 검은 공 2개, 규현이는 흰 공 2개를 꺼내는 경우 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 그 확률은 이때 두 사건 A와 B는 서로 독립이므로 ‌°Cª ‌£Cª 10 3 5 _ = _ = »Cª »Cª 36 36 216 P(A;B)‌=P(A)P(B) Ý 영준이와 규현이가 모두 검은 공 2개를 꺼내는 경우 1 1 1 = _ = 5 5 25 ‌그 확률은 따라서 구하는 확률은 ‌°Cª ‌¤Cª 10 15 25 _ = _ = »Cª »Cª 36 36 216 P(A'B)‌=P(A)+P(B)-P(A;B) Ú~Ý에서 구하는 확률은 1 1 1 = + 5 5 25 1 5 5 25 + + + =;9@; 72 72 216 216 = 9 25 Ⅱ. 확률 275 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 275 2023. 9. 12. 오전 10:02 14 0321 독립시행의 확률 - 한 종류의 시행 3 짝수는 2, 4, 6, 8의 4개이므로 한 번의 시행에서 짝수가 적혀 있는 0318 ③ 공을 꺼낼 확률은 서로 다른 2개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수 4 =;2!; 8 는 5번의 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 5개의 수의 합이 짝수가 되는 6_6=36 경우는 다음과 같다. 두 눈의 수의 합이 12의 약수가 되는 경우는 합이 2, 3, 4, 6, 12가 Ú 5번 모두 짝수가 적혀 있는 공을 꺼내는 경우 되는 경우이므로 순서쌍으로 나타내면 그 확률은 (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 5), (2, 4), 1 5 1 0 1 °C°{ } { } = 2 2 32 (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 6) Û 3번은 짝수, 2번은 홀수가 적혀 있는 공을 꺼내는 경우 의 12가지이다. 즉, 2개의 주사위를 동시에 던질 때 두 눈의 수의 합이 12의 약수가 그 확률은 될 확률은 1 3 1 2 5 °C£{ } { } =10_;8!;_;4!;= 2 2 16 12 =;3!; 36 Ü 1번은 짝수, 4번은 홀수가 적혀 있는 공을 꺼내는 경우 따라서 주어진 시행을 4번 반복할 때, 두 눈의 수의 합이 12의 약수 그 확률은 가 되는 경우가 2번 나올 확률은 1 1 1 4 5 °CÁ{ } { } =5_;2!;_;1Á6;= 2 2 32 1 2 2 2 1 4 8 ¢Cª{ } { } =6_ _ = 3 3 9 9 27 Ú~Ü에서 구하는 확률은 1 5 5 + + =;2!; 32 16 32 따라서 p=2, q=1이므로 0319 ① p+q=2+1=3 한 개의 주사위를 3번 던질 때 나오는 모든 눈의 수의 곱이 5의 배 수인 사건을 A라 하면 AC은 모든 눈의 수의 곱이 5의 배수가 아닌 사건, 즉 5의 배수의 눈이 한 번도 나오지 않는 사건이다. 이때 5의 배수는 5의 1개이므로 한 개의 주사위를 던질 때 5의 배 수의 눈이 나올 확률은 0322 ② 한 개의 동전을 8번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 a라 하면 뒷면 이 나오는 횟수는 8-a이다. 1 이다. 6 이때 앞면이 나오는 횟수와 뒷면이 나오는 횟수의 곱이 15이므로 따라서 a(8-a)=15, aÛ`-8a+15=0 1 0 5 3 125 P(A )=£C¼{ } { } = 6 6 216 (a-3)(a-5)=0 ∴ a=3 또는 a=5 이므로 구하는 확률은 한 개의 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나올 확률은 P(A)‌=1-P(AC) 나오는 횟수와 뒷면이 나오는 횟수의 곱이 15인 경우는 다음과 같다. C 125 91 =1= 216 216 1 이고, 앞면이 2 Ú 앞면이 3번, 뒷면이 5번 나오는 경우 그 확률은 1 3 1 5 1 1 7 ¥C£{ } { } =56_ _ = 2 2 8 32 32 Û 앞면이 5번, 뒷면이 3번 나오는 경우 0320 ⑤ 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 1 이다. 2 한 개의 동전을 7번 던질 때, 뒷면이 나오는 횟수를 x라 하면 앞면은 뒷면보다 3번 더 많이 나오므로 앞면이 나오는 횟수는 x+3이다. 이때 (x+3)+x=7이므로 그 확률은 1 5 1 3 1 1 7 ¥C°{ } { } =56_ _ = 2 2 32 8 32 Ú, Û에서 구하는 확률은 7 7 7 + = 32 32 16 2x=4 ∴ x=2 즉, 한 개의 동전을 7번 던질 때, 앞면이 뒷면보다 3번 더 많이 나 0323 오는 경우는 앞면이 5번, 뒷면이 2번 나오는 경우이다. 6의 약수는 1, 2, 3, 6의 4개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 따라서 구하는 확률은 때 6의 약수의 눈이 나올 확률은 1 5 1 2 1 21 ¦C°{ } { } =21_ _;4!;= 2 2 32 128 4 =;3@; 6 ③ 276 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 276 2023. 9. 12. 오전 10:02 Û 짝수의 눈이 나오는 경우 한 개의 주사위를 5번 던지므로 a+b=5 (Ü'2 ) ‌한 개의 주사위를 던져 짝수의 눈이 나오면 한 개의 동전을 3번 |a-b| =2 |a-b| 3 던진다. 의 값이 유리수가 되려면 ‌따라서 짝수의 눈이 나오고 앞면이 1번 나올 확률은 |a-b|=3 ‌{1-;2!;}_£CÁ{ ∴ a-b=-3 또는 a-b=3 Ú a+b=5, a-b=-3일 때 1 1 1 2 3 } { } =;2!;_3_;2!;_;4!;= 2 2 16 Ú, Û에서 구하는 확률은 두 식을 연립하여 풀면 2 3 7 = 16 16 권 ;4!;+ a=1, b=4 ‌즉, 6의 약수의 눈이 1번, 6의 약수가 아닌 눈이 4번 나올 확률은 2 1 1 4 1 10 ‌°CÁ{ } { } =5_;3@;_ = 3 3 81 243 0325 Û a+b=5, a-b=3일 때 ⑤ 흰 공 3개, 검은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 임의로 2개의 공을 두 식을 연립하여 풀면 동시에 꺼낼 때, 같은 색의 공을 꺼낼 확률은 a=4, b=1 ‌즉, 6의 약수의 눈이 4번, 6의 약수가 아닌 눈이 1번 나올 확률은 2 4 1 1 16 80 ‌ °C¢{ ‌ } { } =5_ _;3!;= 3 3 81 243 £Cª+£Cª 3+3 = =;5@; ¤Cª 15 다른 색의 공을 꺼낼 확률은 Ú, Û에서 구하는 확률은 £CÁ_£CÁ 3_3 = =;5#; ¤Cª 15 10 80 10 + = 243 243 27 같은 색의 공 또는 다른 색의 공을 꺼내는가에 따라 던지는 주사위 의 개수가 달라지므로 주사위의 눈의 수의 합이 홀수가 되는 경우 는 다음과 같다. (Ü'2 ) |a-b| =2 |a-b| 3 Ú 같은 색의 공을 꺼내는 경우 의 값이 유리수가 되려면 |a-b| |a-b| |a-b| =0 또는 =1 또는 =2 또는 y 3 3 3 ∴ |a-b|=0 또는 |a-b|=3 또는 |a-b|=6 또는 y |a-b|=0이면 a=b이어야 하는데, 이 경우 a+b=5를 만족시키는 음 이 아닌 정수 a, b의 값이 존재하지 않는다. 또한 a, b는 각각 0 이상 5 이하의 정수이고 그 합이 5이므로 |a-b|의 값은 6 이상이 될 수 없다. 따라서 (Ü'2 )|a-b|=2 |a-b| 3 의 값이 유리수가 되려면 |a-b|=3이어야 ‌같은 색의 공을 꺼내면 2개의 주사위를 동시에 던지게 된다. ‌홀수는 1, 3, 5의 3개이므로 한 개의 주사위를 던질 때 홀수의 눈이 나올 확률은 3 =;2!; 6 ‌ 주사위를 동시에 던질 때, 두 눈의 수의 합이 홀수가 되려 2개의 면 홀수의 눈이 1개, 짝수의 눈이 1개 나와야 한다. ‌따라서 같은 색의 공을 꺼내고, 주사위의 눈의 수의 합이 홀수가 한다. 될 확률은 2 1 1 1 1 2 1 ‌ _ªCÁ{ } { } = _2_;2!;_;2!;= 5 2 2 5 5 Û 다른 색의 공을 꺼내는 경우 ‌다른 색의 공을 꺼내면 3개의 주사위를 동시에 던지게 되므로 15 세 눈의 수의 합이 홀수가 되는 경우는 다음과 같다. 독립시행의 확률 - 두 종류의 시행 ‌ⓐ 홀수의 ‌ 눈이 3개, 짝수의 눈이 0개 나오는 경우 그 확률은 0324 ① 홀수는 1, 3, 5의 3개이므로 한 개의 주사위를 던질 때, 홀수의 눈 이 나올 확률은 1 3 1 0 1 £C£{ } { } = 2 2 8 ‌ⓑ 홀수의 ‌ 눈이 1개, 짝수의 눈이 2개 나오는 경우 그 확률은 3 =;2!; 6 1 1 1 2 3 £CÁ{ } { } =3_;2!;_;4!;= 2 2 8 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 1 2 동전의 앞면이 1번 나오는 경우는 다음과 같다. Ú 홀수의 눈이 나오는 경우 ‌한 개의 주사위를 던져 홀수의 눈이 나오면 한 개의 동전을 2번 던진다. ‌ⓐ, ⓑ에서 세 눈의 수의 합이 홀수가 될 확률은 1 3 ‌ + =;2!; 8 8 ‌이므로 다른 색의 공을 꺼내고, 주사위의 눈의 수의 합이 홀수가 될 확률은 3 3 _;2!;= 5 10 따라서 ‌ 홀수의 눈이 나오고 앞면이 1번 나올 확률은 Ú, Û에서 구하는 확률은 1 1 1 1 ‌;2!;_ªCÁ{ } { } =;2!;_2_;2!;_;2!;=;4!; 2 2 1 3 + =;2!; 5 10 Ⅱ. 확률 277 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 277 2023. 9. 12. 오전 10:02 0326 31 Û a=3, b=1인 경우 ‌ 시행에서 10의 약수가 적혀 있는 공을 3번 꺼내고, 한 개 4번의 주머니에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 n`(n=1, 2, 3, 4, 5)일 확 의 동전을 5번 던질 때 앞면이 1번 나올 확률은 률은 2 3 3 1 1 1 1 4‌ 96 5 ‌ ¢C£{ } { } _°CÁ{ } { } = _ 5 5 2 2 625 32 1 5 = 한 개의 동전을 던질 때, 앞면이 나올 확률은 3 125 Ü a=2, b=0인 경우 1 2 ‌ 시행에서 10의 약수가 적혀 있는 공을 2번 꺼내고, 한 개 4번의 따라서 주머니에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수와 5개의 동전을 동시에 의 동전을 5번 던질 때 앞면이 0번 나올 확률은 던졌을 때 나온 앞면의 개수가 n`(n=1, 2, 3, 4, 5)일 확률은 1 1 1 _°Cn{ } { } 5 2 2 n 2 2 3 2 1 0 1 5‌ 216 1 ‌‌¢Cª{ } { } _°C¼{ } { } = _ 5 5 2 2 625 32 1 = _°Cn{;2!;} 5 5-n 5 = 이므로 구하는 확률은 Ú~Ü에서 구하는 확률은 5 5 5 5 1 1 1 1 _°CÁ{;2!;} + _°Cª{;2!;} + _°C£{;2!;} + _°C¢{;2!;} 5 5 5 5 5 1 + _°C°{;2!;} 5 27 2500 1 3 27 107 + + = 125 125 2500 2500 5 1 = _{;2!;} (°CÁ+°Cª+°C£+°C¢+°C°) 5 5 1 = _{;2!;} (2Þ`-°C0) 5 5 1 = _{;2!;} (2Þ`-1) 5 1 1 31 = _ _31= 5 32 160 즉, p= 16 31 31 이므로 160p=160_ =31 160 160 0328 이항계수의 성질 자연수 n에 대하여 ⑴ nC¼+nCÁ+nCª+y+nCn=2n ⑵ nC0-nCÁ+nCª-nC£+y+(-1)nnCn=0 ⑶ n이 홀수일 때 283 3의 배수는 3, 6의 2개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 3의 배수의 눈이 나올 확률은 2 =;3!; 6 n-1 C0+nCª+nC¢+y+nCn-1‌=2 CÁ+nC£+nC°+y+nCn=2n-1 n이 짝수일 때 n 독립시행의 확률 - 점수 한 개의 주사위를 5번 던질 때 3의 배수의 눈이 a번, 3의 배수가 아 n 닌 눈이 b번 나온다고 하면 C¼+nCª+nC¢+y+nCn=2n-1 n-1 nCÁ+nC£+nC°+y+nCn-1=2 a+b=5 n yy ㉠ 또한 700점을 얻으므로 300a-100b=700 ∴ 3a-b=7 0327 ① yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=2 10의 약수는 1, 2, 5, 10의 4개이므로 주머니에서 임의로 한 개의 즉, 한 개의 주사위를 5번 던져서 700점을 얻으려면 3의 배수의 눈 공을 꺼낼 때, 10의 약수가 적혀 있는 공을 꺼낼 확률은 이 3번, 3의 배수가 아닌 눈이 2번 나와야 하므로 그 확률은 4 2 = 10 5 1 3 2 2 1 4 40 °C£{ } { } =10_ _ = 3 3 27 9 243 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 따라서 p=243, q=40이므로 1 2 p+q=243+40=283 0ÉaÉ4, 0ÉbÉ5이므로 a-b=2인 경우는 다음과 같다. Ú a=4, b=2인 경우 ‌ 시행에서 10의 약수가 적혀 있는 공을 4번 꺼내고, 한 개 4번의 의 동전을 5번 던질 때 앞면이 2번 나올 확률은 2 4 3 0 1 2 1 3‌ 16 10 ‌ ¢C¢{ } { } _°Cª{ } { } = _ 5 5 2 2 625 32 1 = 125 0329 ② 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 흰 공을 꺼낼 확률은 3 8 278 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 278 2023. 9. 12. 오전 10:02 주어진 시행을 4번 반복할 때 흰 공을 a번, 흰 공이 아닌 공을 b번 꺼낸다고 하면 a+b=4 yy ㉠ 17 독립시행의 확률 - 점의 위치 0332 또한 20점을 얻으므로 5a+2b=20 yy ㉡ 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 ③ 1 이다. 2 5번의 시행에서 앞면이 나오는 횟수를 x라 하면 뒷면이 나오는 횟 a=4, b=0 흰 공이 아닌 공을 0번 꺼내야 하므로 구하는 확률은 수는 5-x이다. 2 권 따라서 주어진 시행을 4번 반복하여 20점을 얻으려면 흰 공을 4번, 이때 5번째 시행 후 점 P의 좌표가 4 이상이므로 2x-(5-x)¾4, 3x¾9 3 4 5 0 81 ¢C¢{ } { } = 8 8 4096 ∴ x¾3 따라서 한 개의 동전을 5번 던질 때 점 P의 좌표가 4 이상이려면 앞면이 3번 또는 4번 또는 5번 나와야 하므로 구하는 확률은 0330 ③ 1 3 1 2 1 4 1 1 1 5 1 0 °C£{ } { } +°C¢{ } { } +°C°{ } { } 2 2 2 2 2 2 =10_ 주어진 주사위를 던져서 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수가 1일 확 률은 3 3 =;2!;, 3일 확률은 =;2!;이다. 6 6 주어진 시행을 6번 반복하여 1이 나오는 횟수를 a, 3이 나오는 횟 수를 b라 하면 a+b=6 1 1 1 +5_ + =;2!; 32 32 32 0333 39 소수는 2, 3, 5의 3개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 소수 yy ㉠ 의 눈이 나올 확률은 또한 10점 이하를 얻으므로 a+3bÉ10 yy ㉡ 3 =;2!; 6 ㉠에서 b=6-a를 ㉡에 대입하면 주어진 시행을 8번 반복할 때, 소수의 눈이 나오는 횟수를 a라 하 a+3(6-a)É10, 2a¾8 면 소수가 아닌 눈이 나오는 횟수는 8-a이므로 점 P의 좌표는 ∴ a¾4 (2a, 8-a) 따라서 6번의 시행에서 10점 이하를 얻으려면 1이 4번, 3이 2번 또 이 점이 직선 y=2x-7 위에 있으므로 는 1이 5번, 3이 1번 또는 1이 6번, 3이 0번 나와야 하므로 구하는 8-a=2_2a-7, 5a=15 확률은 ∴ a=3 1 4 1 2 1 5 1 1 1 6 1 0 ¤C¢{ } { } +¤C°{ } { } +¤C¤{ } { } 2 2 2 2 2 2 따라서 한 개의 주사위를 8번 던져서 점 P가 직선 y=2x-7 위에 =15_ = 있으려면 소수의 눈이 3번, 소수가 아닌 눈이 5번 나와야 하므로 1 1 1 _;4!;+6_ _;2!;+1_ _1 16 32 64 구하는 확률은 1 3 1 5 1 1 7 ¥C£{ } { } =56_ _ = 2 2 8 32 32 11 32 즉, p=32, q=7이므로 p+q=32+7=39 0331 22 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 1 이다. 2 한 개의 동전을 12번 던질 때, 앞면이 나온 횟수를 x라 하면 뒷면 이 나온 횟수는 12-x이다. 1 이다. 2 한 개의 동전을 10번 던질 때, 앞면이 나온 횟수를 a라 하면 뒷면이 시계 반대 방향을 +, 시계 방향을 -로 놓을 때, 점 P가 점 A로 5x-3(12-x)=44, 8x=80 돌아오려면 ∴ x=10 따라서 aÁ+aª+a£+y+aÁª=44이려면 한 개의 동전을 12번 던 질 때 앞면이 10번 나와야 하므로 그 확률은 C10{ 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 ② 나온 횟수는 10-a이다. aÁ+aª+a£+y+a12=44에서 12 0334 1 10 1 2 1 12 33 } { } =66_{ } = 11 2 2 2 2 2a-(10-a)=4k (k는 정수) 이어야 한다. 즉, 3a=4k+10이고, a는 0ÉaÉ10인 정수이므로 k=-1일 때 a=2 즉, k=33, m=11이므로 k=2일 때 a=6 k-m=33-11=22 k=5일 때 a=10 Ⅱ. 확률 279 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 279 2023. 9. 12. 오전 10:02 따라서 한 개의 동전을 10번 던져 점 P가 다시 점 A로 돌아오려면 앞면이 2번 또는 6번 또는 10번 나와야 하므로 구하는 확률은 10 1 1 1 =45_{ } +210_{ } +1_{ } 2 2 2 10 1 이고, 동전의 2 앞면이 2개가 나오는 경우는 다음과 같다. 1 2 1 8 1 6 1 4 1 10 1 0 Cª{ } { } +10C¤{ } { } +10C10{ } { } 2 2 2 2 2 2 10 한 개의 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나올 확률은 Ú 주사위의 두 눈의 수의 합이 4의 배수인 경우 ‌3개의 동전을 던지므로 주사위의 두 눈의 수의 합이 4의 배수이 10 고 3개의 동전을 던져서 앞면이 2개 나올 확률은 1 10 =(45+210+1)_{ } 2 1 2 1 1 3 3 ‌ ;_£Cª{ } { } =;4!;_ = ;4! 2 2 8 32 1 10 =256_{ } =;4!; 2 Û 주사위의 두 눈의 수의 합이 4의 배수가 아닌 경우 ‌4개의 동전을 던지므로 주사위의 두 눈의 수의 합이 4의 배수가 아니고 4개의 동전을 던져서 앞면이 2개 나올 확률은 1 2 1 2 3 6 9 {1-;4!;}_¢Cª{ } { } = _ = 2 2 4 16 32 18 Ú, Û에서 독립시행을 이용한 조건부확률 P(A)= 0335 3 9 3 3 + = , P(A;B)= 32 32 8 32 ④ 한 개의 주사위를 5번 던져서 6의 약수의 눈이 3번 나오는 사건을 A, 처음 던진 주사위에서 6의 약수의 눈이 나오는 사건을 B라 하 P(A;B) 이다. 면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A) 6의 약수는 1, 2, 3, 6의 4개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 6의 약수의 눈이 나올 확률은 4 =;3@; 6 ∴ P(B|A)= 3 P(A;B) 32 = =;4!; 3 P(A) 8 ∴ p=4 0337 ⑤ 태현이가 동전을 던져서 나온 앞면의 개수가 3인 사건을 A, 지안 이때 한 개의 주사위를 5번 던져서 6의 약수의 눈이 3번 나올 확률 이가 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 5 이상인 사건을 B라 하면 은 2 1 8 1 80 P(A)=°C£{ } { } =10_ _ = 3 3 27 9 243 P(A;B) 이다. P(A) 지안이가 한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수에 따라 태현이가 처음 던진 주사위에서 6의 약수의 눈이 나오고, 뒤에 주사위를 4번 던지는 동전의 개수가 달라지고, 태현이가 동전을 던져서 나온 앞 더 던졌을 때 6의 약수의 눈이 2번 나올 확률은 면의 개수가 3이려면 지안이가 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈 2 2 1 2 4 1 16 P(A;B)=;3@;_¢Cª{ } { } =;3@;_6_ _ = 3 3 9 9 81 의 수는 3 이상이어야 한다. 구하는 확률은 P(B|A)= 3 2 한 개의 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 16 P(A;B) 81 ∴ P(B|A)= = =;5#; 80 P(A) 243 1 이고, 태현이가 동 2 전을 던져서 나온 앞면의 개수가 3이 되는 경우는 다음과 같다. Ú 주사위의 눈의 수가 3이 나온 경우 태현이는 ‌ 3개의 동전을 던지므로 주사위의 눈의 수가 3이 나오 고 3개의 동전을 던져서 앞면이 3개 나올 확률은 0336 4 동전의 앞면이 2개 나오는 사건을 A, 주사위의 눈의 수의 합이 4의 P(A;B) 배수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A) 이다. 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6_6=36 두 눈의 수의 합이 4의 배수가 되는 경우는 합이 4, 8, 12가 될 때 이므로 그 경우를 순서쌍으로 나타내면 (1, 3), (2, 2), (3, 1), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), 1 1 3 1 0 1 1 1 ‌ _£C£{ } { } = _ = 6 2 2 6 8 48 Û 주사위의 눈의 수가 4가 나온 경우 태현이는 ‌ 4개의 동전을 던지므로 주사위의 눈의 수가 4가 나오 고 4개의 동전을 던져서 앞면이 3개 나올 확률은 1 1 3 1 1 1 1 ‌ _¢C£{ } { } = _;4!;= 6 2 2 6 24 Ü 주사위의 눈의 수가 5가 나온 경우 태현이는 ‌ 5개의 동전을 던지므로 주사위의 눈의 수가 5가 나오 고 5개의 동전을 던져서 앞면이 3개 나올 확률은 1 1 3 1 2 1 5 5 _°C£{ } { } = _ = 6 2 2 6 16 96 Ý 주사위의 눈의 수가 6이 나온 경우 (6, 6) 의 9가지이다. 태현이는 ‌ 6개의 동전을 던지므로 주사위의 눈의 수가 6이 나오 즉, 두 눈의 수의 합이 4의 배수가 될 확률은 고 6개의 동전을 던져서 앞면이 3개 나올 확률은 9 =;4!; 36 1 1 3 1 3 1 5 5 ‌ _¤C£{ } { } = _ = 6 2 2 6 16 96 280 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 280 2023. 9. 12. 오전 10:02 0341 Ú~Ý에서 1 1 5 5 1 P(A)= + + + = 48 24 96 96 6 P(A;B)= ① A가 이기려면 A의 명중시킨 횟수가 B의 명중시킨 횟수보다 3회 많아야 하므로 5번째 시도 직후 A가 이기는 경우는 다음과 같다. 5 5 5 + = 96 96 48 Ú A가 5번 모두 명중시키는 경우 따라서 구하는 확률은 A가 5번의 시도에서 모두 명중시킬 확률은 2 1 0 32 °C°{ }Þ`{ } = 3 3 243 ‌ B는 4번째 시도까지 2번 명중시키고 2번 실패한 후 5번째 시도 2 권 5 P(A;B) 48 P(B|A)= = =;8%; 1 P(A) 6 에서도 실패해야 하므로 그 확률은 1 2 1 2 1 1 3 ‌¢Cª{ } { } _ =6_ _;2!;= 2 2 2 16 16 ‌따라서 A가 5번 모두 명중시켜 이길 확률은 19 32 3 2 ‌ _ = 243 16 81 독립시행의 확률의 활용 Û A가 4번 명중시키는 경우 0338 ③ 6번째 경기에서 A팀이 우승하려면 5번째 경기까지는 A팀이 3번 이기고, 6번째 경기에서 이기면 된다. ‌ⓐ ‌A가 3번째 시도까지 3번 모두 명중시키고 4번째 시도에서 실패한 후 5번째 시도에서 명중시킬 확률은 2 3 1 0 1 2 8 1 2 16 £C£{ } { } _ _ = _ _ = 3 3 3 3 27 3 3 243 ‌B는 3번째 시도까지 1번 명중시키고 2번 실패한 후 4번째, 따라서 구하는 확률은 5번째 시도에서도 실패해야 하므로 그 확률은 1 3 2 2 1 4 40 °C£{ } { } _;3!;=10_ _ _;3!;= 3 3 27 9 729 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 ‌ £CÁ{ } { } _ _ =3_ _ _ = 2 2 2 2 8 2 2 32 따라서 ‌ 이때의 확률은 0339 ⑤ 3번의 패스에서 적어도 한 번 성공하는 사건을 A라 하면 AC은 한 번도 성공하지 못하는 사건이다. 패스 성공률이 80 %, 즉 ‌ⓑ ‌A가 3번째 시도까지 2번 명중시키고 1번 실패한 후 4번째, 5번째 시도에서 명중시킬 확률은 2 2 1 1 2 2 4 2 2 16 £Cª{ } { } _ _ =3_ _ _ = 3 3 3 3 27 3 3 81 80 4 = 이므로 100 5 ‌B는 4번째 시도까지 1번 명중시키고 3번 실패한 후 5번째 4 0 1 3 1 P(A )=£C¼{ } { } = 5 5 125 C 시도에서도 실패해야 하므로 그 확률은 1 1 1 3 1 1 1 1 ‌¢CÁ{ } { } _ =4_ _ = 2 2 2 16 2 8 따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)=1- 16 3 1 ‌‌ _ = 243 32 162 1 124 = 125 125 따라서 ‌ 이때의 확률은 16 1 2 ‌‌ _ = 81 8 81 ‌ⓐ, ⓑ에서 A가 4번 명중시켜 이길 확률은 0340 253 가위바위보를 한 번 하여 유미가 이길 확률은 1 , 비기거나 질 확 3 2 률은 이다. 3 1 2 5 + = 162 81 162 Ü A가 3번 명중시키는 경우 ‌A가 4번째 시도까지 2번 명중시키고 2번 실패한 후 5번째 시도 에서 명중시킬 확률은 가위바위보를 5번 하여 유미가 이긴 횟수를 x라 하면 비기거나 진 2 2 1 2 4 16 ‌ ¢Cª{ } { } _;3@;=6_ _;3@;= 3 3 81 81 횟수는 5-x이다. ‌ B는 5번 모두 실패해야 하므로 그 확률은 이때 가위바위보를 5번 하여 유미가 일곱 계단을 올라갔으므로 2x-(5-x)=7, 3x=12 1 0 1 5 1 ‌°C¼{ } { } = 2 2 32 ∴ x=4 ‌따라서 A가 3번 명중시켜 이길 확률은 따라서 가위바위보를 5번 하여 4번 이기고, 1번은 비기거나 지면 16 1 1 ‌ _ = 81 32 162 되므로 가위바위보를 5번 하여 일곱 계단을 올라갈 확률은 1 2 1 1 10 °C¢{ }Ý`{ } =5_ _;3@;= 3 3 81 243 즉, p=243, q=10이므로 Ú~Ü에서 구하는 확률은 2 5 1 5 + + = 81 162 162 81 p+q=243+10=253 Ⅱ. 확률 281 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 281 2023. 9. 12. 오전 10:02 다른 풀이 임의로 선택한 1장이 인공지능 시스템에 의하여 고양이 사진으로 인식된 사진인 사건을 A, 고양이 사진인 사건을 B라 하면 0342 ③ C 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A , B도 서로 독립이다. P(A)=P(BC)=;3!;에서 P(AC)=1-P(A)=1-;3!;=;3@; P(B|A)= n(A;B) 32 8 = = 36 9 n(A) ② a>b인 사건을 A, 뽑은 당첨 제비의 개수가 3인 사건을 B라 하면 P(A;B) 이다. 구하는 확률은 P(B|A)= P(A) a+b=4에서 b=4-a이므로 a>b에 대입하면 두 사건 AC, B가 서로 독립이므로 P(A ;B)‌=P(A )P(B) C 2 4 =;3@;_ = 3 9 a>4-a, 2a>4 확률의 덧셈정리에 의하여 ∴ a>2 P(A 'B)‌=P(A )+P(B)-P(A ;B) C 따라서 구하는 확률은 0344 P(B)‌=1-P(BC) =1-;3!;=;3@; C n(A)=36, n(A;B)=32 C C 즉, a+b=4이고 a>b를 만족시키는 경우는 다음과 같다. 4 8 =;3@;+;3@;- = 9 9 Ú a=3, b=1인 경우 다른 풀이 당첨 제비를 3개 뽑는 경우이므로 그 확률은 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A, BC도 서로 독립이다. ¢C£_¤CÁ 4_6 4 = = , 210 35 10C¢ ∴ P(A;BC)‌=P(A)P(BC) Û a=4, b=0인 경우 1 =;3!;_;3!;= 9 당첨 제비를 4개 뽑는 경우이므로 그 확률은 표본공간을 S라 할 때, A 'B는 오른쪽 C 그림의 색칠한 부분과 같으므로 ¢C¢ 1 = C¢ 210 S A B 10 Ú, Û에서 P(AC'B)‌=P(S)-P(A;BC) =1- P(A)= 1 8 = 9 9 4 1 5 + = 35 210 42 P(A;B)= 이므로 구하는 확률은 두 사건 A와 B는 서로 독립이고 4 P(A;B) 35 P(B|A)= =;2@5$; = 5 P(A) 42 P(AC)=P(B)=;5@; 일 때, P(A'B)의 값은? (단, AC은 A의 여사건이다.) ① ;2!5^; ② ;2!5&; ③ ;2!5*; 4 35 ④ ;2!5(; ⑤ ;5$; 흰 공 3개, 검은 공 4개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니 ④ 에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼내어, 꺼낸 흰 공과 검은 공 의 개수를 각각 m, n이라 하자. 이 시행에서 2m¾n일 때, 꺼 낸 흰 공의 개수가 2일 확률은 0343 ⑤ 임의로 선택한 1장이 인공지능 시스템에 의하여 고양이 사진으로 q 이다. p+q의 값을 구하시오. p (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.) 43 인식된 사진인 사건을 A, 고양이 사진인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A;B) 이다. P(A) 이때 P(A)= 36 9 32 2 = , P(A;B)= = 80 20 80 5 이므로 구하는 확률은 2 P(A;B) 5 P(B|A)= = =;9*; 9 P(A) 20 0345 68 6번째까지 시행을 한 후 시행을 멈추려면 5번째 시행까지 흰 공을 3개, 검은 공을 2개 꺼내고 6번째 시행에서 흰 공을 꺼내면 된다. 흰 공, 흰 공, 흰 공, 검은 공, 검은 공의 순서로 공을 꺼낼 확률은 4 3 5 4 2 _ _;7@;_ _ = 9 8 6 5 63 282 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 282 2023. 9. 12. 오전 10:02 이때 흰 공, 흰 공, 흰 공, 검은 공, 검은 공이 순서를 바꾸는 경우 Ú~Ü에서 구하는 확률은 의 수는 5 4 3‌ 3 5 10 4 10 10 {;3@;} + _{;3@;} + _{;3@;} ={ + + }_{;3@;} 3 9 9 9 9 5! =10 3!_2! 3 8 = _{;3@;} 3 이므로 5번째 시행까지 흰 공을 3개, 검은 공을 2개 꺼낼 확률은 10_ 8 따라서 a= 이므로 3 2 20 = 63 63 1 이므로 6번째까지 시행을 4 2 8 9a=9_ =24 3 권 6번째 시행에서 흰 공을 꺼낼 확률은 한 후 시행을 멈출 확률은 20 5 _;4!;= 63 63 한 개의 동전을 6번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수가 뒷면이 따라서 p=63, q=5이므로 나오는 횟수보다 클 확률은 p+q=63+5=68 q 이다. p+q의 값을 구하시오. p (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.) 43 흰 공, 흰 공, 흰 공, 검은 공, 검은 공이 순서를 바꾸는 경우의 수를 위의 풀이와 같이 같은 것이 있는 순열의 수를 이용하여 5! =10 3!_2! 과 같이 구할 수도 있지만 다섯 자리 중 흰 공이 놓일 세 자리를 선택하는 조합의 수를 이용하여 0347 47 임의로 선택한 한 명이 점심에 한식을 선택한 학생인 사건을 A, °C£=10 과 같이 구할 수도 있다. 저녁에 양식을 선택한 학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A;B) 이다. P(B) Ú 점심에 한식을 선택하고 저녁에 양식을 선택하는 경우 P(A|B)= 1부터 7까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 7개의 공이 들어 있는 상자에서 임의로 1개의 공을 꺼내는 시행을 반복할 때, 짝수가 적혀 있는 공을 모두 꺼내면 시행을 멈춘다. 5번째까지 시행을 한 후 시행을 멈출 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) ① ;3¤5; ② ;5!; ③ ;3¥5; ④ ;3»5; ‌전체 학생의 60`%가 점심에 한식을 선택하였고 점심에 한식을 선택한 학생의 30`%가 저녁에도 한식을 선택하였으므로 점심 에 한식을 선택하고 저녁에 양식을 선택할 확률은 ‌P(A;B)= 60 30 3 7 21 _{1}= _ = 100 100 5 10 50 Û 점심에 양식을 선택하고 저녁에 양식을 선택하는 경우 ⑤ ;7@; ‌전체 학생의 60`%가 점심에 한식을 선택하였고 점심에 양식을 ① 선택한 학생의 25`%가 저녁에도 양식을 선택하였으므로 점심 에 양식을 선택하고 저녁에도 양식을 선택할 확률은 ‌P(AC;B)={1- 0346 24 5의 약수는 1, 5의 2개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때 5의 약수의 눈이 나올 확률은 60 25 2 1 }_ = _;4!;= 100 100 5 10 Ú, Û에서 저녁에 양식을 선택할 확률은 P(B)=P(A;B)+P(AC;B)= 21 1 13 + = 50 10 25 한 개의 주사위를 5번 던질 때, 5의 약수의 눈이 나오는 횟수가 5의 21 P(A;B) 50 ∴ P(A|B)= = =;2@6!; 13 P(B) 25 약수가 아닌 눈이 나오는 횟수보다 작은 경우는 다음과 같다. 따라서 p=26, q=21이므로 Ú 5의 약수의 눈이 0번, 5의 약수가 아닌 눈이 5번 나오는 경우 p+q=26+21=47 2 =;3!; 6 그 확률은 다른 풀이 1 0 2 5 2 5 °C¼{ } { } ={ } 3 3 3 전체 학생 수를 100으로 놓고 주어진 상황을 표로 정리하면 다음과 같다. Û 5의 약수의 눈이 1번, 5의 약수가 아닌 눈이 4번 나오는 경우 (단위: 명) 그 확률은 구분 점심 구분 저녁 4 1 1 2 4 5 °CÁ{ } { } = _{;3@;} 3 3 3 한식 100_;1¤0¼0;=60 한식 60_;1£0¼0;=18 양식 60-18=42 한식 40-10=30 양식 40_;1ª0°0;=10 Ü 5의 약수의 눈이 2번, 5의 약수가 아닌 눈이 3번 나오는 경우 그 확률은 2 10 °Cª{;3!;} { } = _{;3@;} 3 9 2 3 3 양식 100-60=40 Ⅱ. 확률 283 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 283 2023. 9. 12. 오전 10:02 따라서 임의로 선택한 한 명이 점심에 한식을 선택한 학생인 사건 ‌ B가 같은 구역의 자리에 배정받고 E와 F가 다른 구역의 Û A와 을 A, 저녁에 양식을 선택한 학생인 사건을 B라 하면 같은 열의 자리를 배정받는 경우 n(A;B) 42 21 P(A|B)= = = 42+10 26 n(B) 따라서 p=26, q=21이므로 ‌ F에게는 ㈎`구역 5열의 두 자리 중 한 자리와 ㈏`구역 5열의 E, 두 자리 중 한 자리를 골라 배정하고 A, B에게는 ㈎`구역의 남 은 세 자리 중 두 자리를 골라 배정하고 남은 2명에게 남은 두 p+q=26+21=47 자리를 배정하면 된다. 이때 A, B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!, E, F가 자리 를 바꾸는 경우의 수가 2!이므로 그 확률은 0348 ⑤ (ªCÁ+ªCÁ)_£Cª_2!_2!_2! 6! (2+2)_3_2_2_2 = =;1ª5; 720 P(X;Y)‌= 갑이 꺼낸 흰 공의 개수가 을이 꺼낸 흰 공의 개수보다 많은 사건을 A, 을이 꺼낸 공이 모두 검은 공인 사건을 B라 하면 구하는 확률 P(A;B) 이다. 은 P(B|A)= P(A) 갑이 꺼낸 흰 공의 개수가 을이 꺼낸 흰 공의 개수보다 많은 경우는 다음과 같다. Ú, Û에서 구하는 확률은 2 P(X;Y) 15 P(Y|X)= = =;7@; 7 P(X) 15 Ú 갑이 꺼낸 흰 공이 2개, 을이 꺼낸 흰 공이 1개인 경우 ‌갑이 흰 공 2개를 꺼내고, 남은 흰 공 1개, 검은 공 2개 중에서 을이 흰 공 1개, 검은 공 1개를 꺼내면 된다. 5명의 학생 A, B, C, D, E가 같은 영화를 보기 위해 함께 상 ‌따라서 갑이 꺼낸 흰 공이 2개, 을이 꺼낸 흰 공이 1개일 확률은 영관에 갔다. 상영관에는 그림과 같이 총 5개의 좌석만 남아 £Cª ÁCÁ_ªCÁ 3 _ = _;3@;=;5!; °Cª £Cª 10 있었다. ㈎ 구역에는 1열에 2개의 좌석이 남아 있었고, ㈏ 구 역에는 1열에 1개와 2열에 2개의 좌석이 남아 있었다. 5명의 Û 갑이 꺼낸 흰 공이 2개, 을이 꺼낸 흰 공이 없는 경우 학생 모두가 남아 있는 5개의 좌석을 임의로 배정받기로 하였 ‌갑이 흰 공 2개를 꺼내고, 남은 흰 공 1개, 검은 공 2개 중에서 다. 학생 A와 B가 서로 다른 구역의 좌석을 배정받았을 때, 을이 검은 공 2개를 꺼내면 된다. 학생 C와 D가 같은 구역에 있는 같은 열의 좌석을 배정받을 ‌따라서 갑이 꺼낸 흰 공이 2개, 을이 꺼낸 흰 공이 없을 확률은 확률은? £Cª ªCª 3 1 ‌ _ = _;3!;= °Cª £Cª 10 10 Ú, Û에서 P(B|A)= 1 P(A;B) 10 = =;3!; 3 P(A) 10 ① ;1Á8; y 이므로 구하는 확률은 (나) 구역 y (가) 구역 1 1 3 1 , P(A;B)= P(A)= + = 5 10 10 10 2`열 1`열 2`열 1`열 ② ;1Á2; 스크린 ③ ;9!; ④ ;3°6; ⑤ ;6!; ③ 0349 ② A와 B가 같은 구역의 자리를 배정받는 사건을 X, E와 F가 다른 구역의 같은 열에 있는 자리를 배정받는 사건을 Y라 하면 구하는 P(X;Y) 이다. P(X) 6명이 6자리를 배정받는 경우의 수는 확률은 P(Y|X)= 0350 43 4의 약수는 1, 2, 4의 3개이므로 한 개의 주사위를 한 번 던질 때 4 의 약수의 눈이 나올 확률은 6! Ú A와 B가 같은 구역의 자리를 배정받는 경우 ‌㈎`구역의 네 자리 또는 ㈏`구역의 두 자리 중 두 자리를 골라 A, B에게 배정하고 나머지 4명에게는 남은 네 자리를 배정하 면 된다. 이때 A, B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!이므 로 그 확률은 (¢Cª+ªCª)_4!_2! 6! (6+1)_4!_2 7 = = 6_5_4! 15 P(X)‌= 3 =;2!; 6 주어진 시행을 6번 반복할 때, 4의 약수의 눈이 a번 나오면 4의 약 수가 아닌 눈은 (6-a)번 나오므로 이때의 점 P의 좌표는 (2a, 6-a) 점 P의 x좌표가 y좌표보다 작거나 같으면 2aÉ6-a, 3aÉ6 ∴ aÉ2 따라서 점 P의 x좌표가 y좌표보다 작거나 같은 경우는 다음과 같다. 284 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 284 2023. 9. 12. 오전 10:02 Ú a=0인 경우 Û 흰 공이 2개 나오는 경우 ‌4의 약수의 눈이 0번, 4의 약수가 아닌 눈이 6번 나와야 하므로 ‌ 순서쌍 (a, b)로 가능한 것은 ab=2이므로 그 확률은 ‌ 2), (2, 1) (1, 1 0 1 6 1 ‌¤C¼{ } { } = 2 2 64 ‌의 2가지이다. ‌따라서 ab의 값과 주머니에서 나오는 흰 공의 개수가 2로 같을 Û a=1인 경우 ‌4의 약수의 눈이 1번, 4의 약수가 아닌 눈이 5번 나와야 하므로 ¢Cª_¢Cª 2 9 ‌ = _ ¥C¢ 4_4 140 2 권 그 확률은 확률은 Ü 흰 공이 3개 나오는 경우 1 1 1 5 3 ‌¤CÁ{ } { } = 2 2 32 ‌ 순서쌍 (a, b)로 가능한 것은 ab=3이므로 Ü a=2인 경우 ‌4의 약수의 눈이 2번, 4의 약수가 아닌 눈이 4번 나와야 하므로 그 확률은 ‌ 3), (3, 1) (1, ‌의 2가지이다. ‌따라서 ab의 값과 주머니에서 나오는 흰 공의 개수가 3으로 같 1 2 1 4 15 ‌¤Cª{ } { } = 2 2 64 을 확률은 ¢C£_¢CÁ 2 1 ‌ = _ ¥C¢ 4_4 35 Ú~Ü에서 구하는 확률은 1 3 15 11 + + = 64 32 64 32 Ý 흰 공이 4개 나오는 경우 ‌ 순서쌍 (a, b)로 가능한 것은 ab=4이므로 따라서 p=32, q=11이므로 ‌ 4), (2, 2), (4, 1) (1, p+q=32+11=43 ‌의 3가지이다. ‌따라서 ab의 값과 주머니에서 나오는 흰 공의 개수가 4로 같을 좌표평면의 원점에 점 A가 있다. 한 개의 동전을 사용하여 다 확률은 음 시행을 한다. ¢C¢ 3 3 ‌ = _ 4_4 ¥C¢ 1120 Ú~Ý에서 구하는 확률은 동전을 한 번 던져 1 9 1 3 123 + + + = 70 140 35 1120 1120 앞면이 나오면 점 A를 x축의 양의 방향으로 1만큼, 뒷면이 나오면 점 A를 y축의 양의 방향으로 1만큼 이동시킨다. 주사위 2개와 동전 4개를 동시에 던질 때, 나오는 주사위의 눈 위의 시행을 반복하여 점 A의 x좌표 또는 y좌표가 처음으로 의 수의 곱과 앞면이 나오는 동전의 개수가 같을 확률은? 3이 되면 이 시행을 멈춘다. 점 A의 y좌표가 처음으로 3이 되 ① ;6£4; 었을 때, 점 A의 x좌표가 1일 확률은? ① ;4!; ② ;1°6; ③ ;8#; ④ ;1¦6; ② ;9°6; ③ ;1Á9Á2; ④ ;1Á6; ⑤ ;1Á9£2; ① ⑤ ;2!; ③ 0352 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 ① 1 이다. 2 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T로 놓으면 한 개의 동전을 7번 던질 때, 앞면이 3번 이상 나오고, 앞면이 연속해서 나오는 경우는 다음과 0351 ④ ab의 값과 주머니에서 나오는 흰 공의 개수가 같은 경우는 다음과 같다. Ú 앞면이 3번 나오는 경우 ‌한 개의 동전을 7번 던질 때, 앞면이 3번 나오면 뒷면은 4번 나 같다. 온다. Ú 흰 공이 1개 나오는 경우 ‌3개의 H와 4개의 T를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ‌ 순서쌍 (a, b)로 가능한 것은 ab=1이므로 ‌ 1) (1, ‌앞면이 연속해서 나오지 않는 경우는 4개의 T를 일렬로 나열한 ‌의 1가지이다. ‌따라서 ab의 값과 주머니에서 나오는 흰 공의 개수가 1로 같을 확률은 ¢CÁ_¢C£ 1 1 ‌ = _ ¥C¢ 4_4 70 7! ‌ =35 3!_4! 후 그 양 끝과 사이사이의 다섯 자리 중 세 자리를 골라 H를 놓 는 경우이므로 앞면이 3번 나올 때 앞면이 연속해서 나오는 경 우의 수는 ‌35-°C£=35-10=25 Ⅱ. 확률 285 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 285 2023. 9. 12. 오전 10:02 ‌따라서 앞면이 3번 나오고 앞면이 연속해서 나오는 경우가 있을 4 이하의 모든 자연수 n에 대하여 f(2n-1)< f(2n), 즉 확률은 f(1)< f(2), f(3)< f(4), f(5)< f(6), f(7)< f(8)이면서 1 1 25 ‌25_{ } { } = 2 2 128 3 f(1)= f(5)인 경우는 다음과 같다. 4 Ú f(1)= f(5)이고 f(2)= f(6)인 경우 Û 앞면이 4번 나오는 경우 ‌한 개의 동전을 7번 던질 때, 앞면이 4번 나오면 뒷면은 3번 나 온다. 그러므로 f(1), f(2), f(5), f(6)을 정하는 경우의 수는 ‌4개의 H와 3개의 T를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ¥Cª=28 7! =35 4!_3! ‌f(3)< f(4), f(7)< f(8)을 만족시키는 f(3)과 f(4)를 정하 는 경우의 수와 f(7)과 f(8)을 정하는 경우의 수도 각각 28이 ‌앞면이 연속해서 나오지 않는 경우는 므로 ‌f(1)= f(5)이고 f(2)= f(6)인 경우의 수는 ‌ HTHTHTH ‌의 한 가지 경우뿐이므로 앞면이 4번 나올 때 앞면이 연속해서 나오는 경우의 수는 ‌35-1=34 ‌따라서 앞면이 4번 나오고 앞면이 연속해서 나오는 경우가 있을 확률은 ‌ `=(2Û`_7)Ü`=2ß`_7Ü` 28Ü ‌따라서 그 확률은 2ß`_7Ü` 7Ü` = 18 224 2 Û f(1)= f(5)이고 f(2)+ f(6)인 경우 ‌f(1)= f(5)< f(2)< f(6) 또는 f(1)= f(5)< f(6)< f(2)이 1 4 1 3 17 ‌34_{ } { } = 2 2 64 므로 f(1), f(2), f(5), f(6)을 정하는 경우의 수는 ‌ 2_¥C£=2_56=112 Ü 앞면이 5번 이상 나오는 경우 ‌한 개의 동전을 7번 던질 때, 앞면이 5번 이상 나오면 앞면이 연 속해서 나오지 않는 경우는 없다. 따라서 ‌ 앞면이 5번 이상 나오고 앞면이 연속해서 나오는 경우가 있을 확률은 ‌f(3)< f(4), f(7)< f(8)을 만족시키는 f(3)과 f(4)를 정하 는 경우의 수와 f(7)과 f(8)을 정하는 경우의 수는 각각 28이 므로 ‌f(1)= f(5)이고 f(2)+ f(6)인 경우의 수는 ‌ 112_28Û `=(2Ý`_7)_(2Û`_7)Û`=2¡`_7Ü` ‌따라서 그 확률은 1 5 1 2 1 6 1 1 1 7 1 0 ‌¦C°{ } { } +¦C¤{ } { } +¦C¦{ } { } 2 2 2 2 2 2 = f(1)= f(5)< f(2)= f(6)이므로 f(1), f(2)의 값을 정하면 f(5), f(6)의 값도 하나로 정해진다. 2¡`_7Ü` 7Ü` = 16 224 2 Ú, Û에서 21 7 1 29 + + = 128 128 128 128 Ú~Ü에서 구하는 확률은 7Ü` 7Ü` 5_7Ü` + = 18 218 216 2 따라서 구하는 확률은 P(A;B)= 25 17 29 11 + + = 128 64 128 16 P(A;B) P(B|A)= = P(A) 0353 ② 5_7Ü` 218 =;2°8; 7Ý` 16 2 선택한 함수 f가 4 이하의 모든 자연수 n에 대하여 f(2n-1)< f(2n)인 사건을 A, f(1)= f(5)인 사건을 B라 하면 P(A;B) 이다. 구하는 확률은 P(B|A)= P(A) 집합 X의 원소의 개수는 8이므로 X에서 X로의 함수 f의 개수는 8 P8=8¡`=(2Ü`)¡`=224 4 이하의 모든 자연수 n에 대하여 f(2n-1)< f(2n)이 성립하면 f(1)< f(2), f(3)< f(4), f(5)< f(6), f(7)< f(8) f(1)< f(2)가 성립하도록 f(1), f(2)를 정하는 경우는 8 이하의 자연수 중에서 서로 다른 2개를 택하여 작은 수를 f(1)에, 큰 수를 f(2)에 대응시키면 되므로 그 경우의 수는 ¥Cª=28 마찬가지로 f(3)< f(4), f(5)< f(6), f(7)< f(8)을 만족시키 는 f(3)과 f(4)를 정하는 경우의 수와 f(5)와 f(6)을 정하는 경 우의 수, f(7)과 f(8)을 정하는 경우의 수도 각각 28이므로 4 이 하의 모든 자연수 n에 대하여 f(2n-1)< f(2n)인 경우의 수는 28_28_28_28=28Ý`=(2Û`_7)Ý`=2¡`_7Ý` ∴ P(A)= 2¡`_7Ý` 7Ý` = 16 224 2 286 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 286 2023. 9. 12. 오전 10:02 0357 통계 ④ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 yy ㉠ a+5a+b=1 ∴ 6a+b=1 P(X=1)=;2!;P(X=3)이므로 이산확률변수의 확률분포 a=;2!;b ∴ 2a-b=0 yy ㉡ 2 01 권 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 1 1 a= , b= 8 4 이산확률변수의 확률 - 확률분포가 주어진 경우 0354 ;1Á8; 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 합계 P(X=x) ;8!; ;8%; ;4!; 1 ∴ P(X>1)‌=P(X=2)+P(X=3) 이때 X의 확률질량함수가 5 1 7 = + = 8 4 8 P(X=x)=k(xÛ`+1) 이므로 다른 풀이 k+2k+5k+10k=1, 18k=1 확률변수 X가 갖는 값이 1, 2, 3이므로 ∴ k=;1Á8; P(X>1)‌=1-P(X=1) =1- 0355 ;3!; 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 1 7 = 8 8 0358 ⑤ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 ;3@;a+;3@;+aÛ`=1 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+y+P(X=24)=1 3aÛ`+2a-1=0 이때 확률변수 X의 확률질량함수가 (3a-1)(a+1)=0 P(X=x)= k 1 1 =k{ }이므로 x x+1 x(x+1) 1 1 1 k{1-;2!;}+k{;2!;-;3!;}+k{;3!;- }+y+k{ - }=1 4 24 25 ∴ a=;3!; 또는 a=-1 이때 ;3@;a=P(X=1)¾0에서 a¾0이므로 k- a=;3!; k 24 25 =1, k=1 ∴ k= 25 25 24 25 25 }=P(X=24)= 24 =;57!6; ∴ P{X= k 24_25 부분분수로의 변형 0356 ② 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 분모가 두 개 이상의 다항식의 곱으로 되어 있을 때, 다음과 같이 부분분수 로 변형한다. 2a+3a+a+a=1, 7a=1 1 1 1 1 = { - } (단, A+B) AB B-A A B ∴ a=;7!; 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X -1 0 1 2 합계 P(X=x) ;7@; ;7#; ;7!; ;7!; 1 02 이때 XÛ`=1에서 X=-1 또는 X=1이므로 P(XÛ`=1)‌=P(X=-1 또는 X=1) 이산확률변수의 확률 - 확률분포가 주어지지 않은 경우 =P(X=-1)+P(X=1) 0359 =;7@;+;7!; 남성 3명, 여성 5명 중에서 임의로 3명의 대표를 뽑을 때, 선출된 =;7#; 2, 3이다. ① 여성 대표의 수가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, Ⅲ. 통계 287 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 287 2023. 9. 12. 오전 10:02 X=2인 경우는 남성 1명, 여성 2명이 뽑히는 경우이므로 £CÁ_°Cª 30 15 P(X=2)= = = ¥C£ 56 28 X=3인 경우는 여성만 3명 뽑히는 경우이므로 £C¼_°C£ 10 5 P(X=3)= = = ¥C£ 56 28 0 1 2 합계 P(X=x) ;2!1); ;2!1); ;2Á1; 1 a= 10 10 1 , b= , c= 이므로 21 21 21 a+b-c= ∴ P(X¾2)‌=P(X=2)+P(X=3) = X 10 10 1 19 + - = 21 21 21 21 따라서 p=21, q=19이므로 15 5 20 5 + = = 28 28 28 7 p+q=21+19=40 £C£_°C¼ £Cª_°CÁ =;5Á6;, P(X=1)= =;5!6%; ¥C£ ¥C£ 따라서 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. P(X=0)= 0362 X 0 1 2 3 합계 P(X=x) ;5Á6; ;5!6%; ;2!8%; ;2°8; 1 ⑤ 1, 2, 3, 4, 5, 6이 하나씩 적힌 6장의 카드 중에서 임의로 2장의 카 드를 동시에 뽑을 때, 카드에 적힌 두 수의 차가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5이다. 이때 |X-2|É2에서 -2ÉX-2É2 ∴ 0ÉXÉ4 ∴ P(|X-2|É2)‌=P(0ÉXÉ4)=P(1ÉXÉ4) 0360 =1-P(X=5) ② 각 면에 1, 2, 3, 4가 하나씩 적힌 정사면체를 두 번 던질 때, 나오 는 모든 경우의 수는 6장의 카드 중에서 임의로 2장의 카드를 동시에 뽑을 때, 나오는 모든 경우의 수는 ¤Cª=15 4_4=16 X=5인 경우는 1, 6이 적힌 카드 2장을 뽑는 1가지이므로 바닥에 놓인 면에 적힌 두 수를 각각 a, b라 하면 P(X=5)= X=a+b 1 15 ∴ P(|X-2|É2)‌=1-P(X=5) a, b의 순서쌍 (a, b)에 대하여 X=3일 때, (1, 2), (2, 1)의 2가지이므로 =1- 2 1 P(X=3)= = 16 8 1 14 = 15 15 X=6일 때, (2, 4), (3, 3), (4, 2)의 3가지이므로 P(X=6)= 3 16 0363 ∴ P(X=3 또는 X=6)‌=P(X=3)+P(X=6) 2 연필 3자루와 볼펜 5자루가 들어 있는 필통에서 임의로 4자루의 필 1 3 5 = + = 8 16 16 기구를 동시에 꺼낼 때, 나오는 연필의 개수가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이다. X=0인 경우는 볼펜만 4자루를 꺼낼 때이므로 £C¼_°C¢ P(X=0)= =;7°0;=;1Á4; ¥C¢ 0361 40 빨간 공 2개, 파란 공 2개, 노란 공 3개가 들어 있는 주머니에서 임 의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 나오는 빨간 공의 개수가 확률변 수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이다. X=0인 경우는 파란 공 또는 노란 공 중에서 2개가 나올 때이므로 ªC¼_°Cª 10 P(X=0)= = ¦Cª 21 X=1인 경우는 연필 1자루, 볼펜 3자루를 꺼낼 때이므로 £CÁ_°C£ P(X=1)= =;7#0);=;7#; ¥C¢ X=2인 경우는 연필 2자루, 볼펜 2자루를 꺼낼 때이므로 £Cª_°Cª P(X=2)= =;7#0);=;7#; ¥C¢ X=1인 경우는 빨간 공이 1개, 파란 공 또는 노란 공 중에서 1개 X=3인 경우는 연필 3자루, 볼펜 1자루를 꺼낼 때이므로 £C£_°CÁ P(X=3)= =;7°0;=;1Á4; ¥C¢ 가 나올 때이므로 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. P(X=1)= ªCÁ_°CÁ 10 = ¦Cª 21 X 0 1 2 3 합계 P(X=x) ;1Á4; ;7#; ;7#; ;1Á4; 1 X=2인 경우는 빨간 공만 2개가 나올 때이므로 ªCª_°C¼ 1 P(X=2)= = ¦Cª 21 이 표에서 P(X¾2)=;2!;이므로 즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. a=2 288 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 288 2023. 9. 12. 오전 10:02 03 0367 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어진 경우 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 0364 ① 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)= ④ x+2 (x=1, 2, 3, 4) 18 ∴ 2a+b= 7 8 X의 평균이 13 이므로 8 yy ㉠ X 1 2 3 4 합계 1 13 0_a+1_a+2_ +3_b= 8 8 P(X=x) ;6!; ;9@; ;1°8; ;3!; 1 ∴ a+3b= E(X)‌=1_;6!;+2_;9@;+3_ 2 권 이므로 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 1 a+a+ +b=1 8 11 yy ㉡ 8 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 5 50 25 +4_;3!;= = 이고 18 18 9 5 160 80 E(XÛ`)‌=1Û`_;6!;+2Û`_;9@;+3Û`_ +4Û`_;3!;= = 이므로 18 18 9 1 3 a= , b= 4 8 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 80 25 95 = -{ }Û`= 9 9 81 X 0 1 2 3 합계 P(X=x) ;4!; ;4!; ;8!; ;8#; 1 1 1 1 3 33 E(XÛ`)=0Û`_ +1Û`_ +2Û`_ +3Û`_ = 이므로 4 4 8 8 8 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 0365 ③ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 = 33 13 95 -{ }Û`= 8 8 64 ∴ r(X)="ÃV(X)=®Â 1 +;3!;+a+;3!;=1 ∴ a=;1Á2; 4 '95 95 = 8 64 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 합계 P(X=x) ;4!; ;3!; ;1Á2; ;3!; 1 0368 1 1 E(X)‌=1_ +2_;3!;+3_ +4_;3!;=;2%; 이고 4 12 E(XÛ`)‌=1Û`_ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 yy ㉠ a+b+c=1 1 1 23 +2Û`_;3!;+3Û`_ +4Û`_;3!;= 이므로 4 12 3 3 E(X)= 이므로 2 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` = 3 23 17 -{;2%;}Û`= 3 12 (-2)_a+0_b+3_c= ∴ -2a+3c= 3 2 3 2 yy ㉡ V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 0366 ⑤ 5 확률변수 X가 갖는 값이 -1, 0, 1, 2이고 P(X¾0)= 이므로 6 5 1 b+;3!;+;6!;= ∴ b= 6 3 E(XÛ`)=(-2)Û`_a+0Û`_b+3Û`_c=4a+9c 3 13 이고 E(X)= , V(X)= 이므로 2 4 3 13 4a+9c-{ }Û`= 2 4 ∴ 4a+9c= 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 yy ㉢㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a‌=P(X=-1)=1-P(X¾0) a= 5 =1- =;6!; 6 1 17 , c= 10 30 이를 ㉠에 대입하면 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X -1 0 1 2 합계 P(X=x) ;6!; ;3!; ;3!; ;6!; 1 ∴ E(X)=(-1)_;6!;+0_ 11 2 1 +1_;3!;+2_;6!;=;2!; 3 1 17 1 +b+ =1 ∴ b= 10 30 3 따라서 a-b+c= 1 17 -;3!;+ =;3!;이므로 10 30 1 =3 a-b+c Ⅲ. 통계 289 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 289 2023. 9. 12. 오전 10:02 04 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어지지 않은 경우 0369 ④ X 1 2 3 합계 P(X=x) ;6!; ;3!; ;2!; 1 ∴ E(X)=1_;6!;+2_;3!;+3_;2!;= 14 7 = 6 3 3개의 당첨 제비가 들어 있는 6개의 제비 중에서 임의로 3개의 제 비를 동시에 뽑을 때, 나오는 당첨 제비의 개수가 확률변수 X이므 로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이다. 0371 X=0인 경우는 당첨 제비가 아닌 제비만 3개 뽑을 때이므로 £C¼_£C£ P(X=0)= =;2Á0; ¤C£ 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 모든 경우의 X=1인 경우는 당첨 제비 1개, 당첨 제비가 아닌 제비 2개를 뽑을 때이므로 P(X=1)= 53 수는 6_6=36 주사위의 두 눈의 수의 차가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 £CÁ_£Cª =;2»0; ¤C£ 값은 0, 1, 2, 3, 4, 5이고 주사위의 두 눈의 수를 a, b라 할 때, X X=2인 경우는 당첨 제비 2개, 당첨 제비가 아닌 제비 1개를 뽑을 의 값에 따른 순서쌍 (a, b)와 확률은 다음과 같다. 때이므로 X=0일 때, (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 P(X=2)= 6가지이므로 £Cª_£CÁ =;2»0; ¤C£ P(X=0)= X=3인 경우는 당첨 제비만 3개 뽑을 때이므로 £C£_£C¼ P(X=3)= =;2Á0; ¤C£ X=1일 때, (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)의 10가지이므로 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. P(X=1)= X 0 1 2 3 합계 P(X=x) ;2Á0; ;2»0; ;2»0; ;2Á0; 1 (5, 3), (6, 4)의 8가지이므로 P(X=2)= 1 9 9 1 54 27 +1Û`_ +2Û`_ +3Û`_ = = 이므 20 20 20 20 20 10 로 27 9 -{;2#;}Û`= 10 20 8 2 = 36 9 X=3일 때, (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)의 6가지이므로 P(X=3)= V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` = 10 5 = 36 18 X=2일 때, (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), 1 9 9 1 30 E(X)‌=0_ +1_ +2_ +3_ = =;2#;이고 20 20 20 20 20 E(XÛ`)‌=0Û`_ 6 =;6!; 36 6 =;6!; 36 X=4일 때, (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)의 4가지이므로 P(X=4)= 4 =;9!; 36 X=5일 때, (1, 6), (6, 1)의 2가지이므로 P(X=5)= 2 =;1Á8; 36 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 0370 ④ X 0 1 2 3 4 5 합계 0, 1, 2, 3이 하나씩 적혀 있는 4장의 카드가 들어 있는 주머니에서 P(X=x) ;6!; ;1°8; ;9@; ;6!; ;9!; ;1Á8; 1 꺼낸 2장의 카드에 적혀 있는 두 수 중 큰 수가 확률변수 X이므로 1 5 2 1 1 1 E(X)‌=0_ +1_ +2_ +3_ +4_ +5_ 6 18 9 6 9 18 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3이다. X=1인 경우는 0, 1이 적힌 카드를 뽑을 때이므로 P(X=1)= 1 =;6!; ¢Cª = 35 18 따라서 p=18, q=35이므로 X=2인 경우는 2가 적힌 카드와 0, 1이 적힌 카드 중 한 장을 뽑 p+q=18+35=53 을 때이므로 P(X=2)= 1_2 =;6@;=;3!; ¢Cª X=3인 경우는 3이 적힌 카드와 0, 1, 2가 적힌 카드 중 한 장을 뽑을 때이므로 P(X=3)= 0372 2 1부터 7까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 7개의 공이 들어 있는 1_3 =;6#;=;2!; ¢Cª 주머니에서 임의로 하나씩 공을 꺼낼 때, 7이 적혀 있는 공은 처음 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 에 나올 수도 있고 마지막에 나올 수도 있다. 290 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 290 2023. 9. 12. 오전 10:02 7이 적혀 있는 공이 나올 때까지 꺼내야 하는 공의 개수가 확률변 수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이고 그 확 1 1 1 3 3 3 P(X=2)‌= _;2!;_ + _;2!;_ + _;2!;_ 4 4 4 4 4 4 = 률은 각각 P(X=1)= 1 7 X=3인 경우는 A, B, C 세 주머니에서 모두 흰 공이 나올 때이므 로 6 1 P(X=2)= _;6!;= 7 7 1 3 P(X=3)‌= _;2!;_ 4 4 = 6 5 4 1 1 P(X=4)= _ _ _ = 7 6 5 4 7 2 3 32 권 6 5 1 1 P(X=3)= _ _ = 7 6 5 7 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 6 5 4 3 1 P(X=5)= _ _ _ _;3!;= 7 6 5 4 7 6 5 4 3 1 P(X=6)= _ _ _ _;3@;_;2!;= 7 6 5 4 7 X 0 1 2 3 합계 P(X=x) ;3£2; ;3!2#; ;3!2#; ;3£2; 1 ∴ E(X)‌=0_ 6 5 4 3 1 P(X=7)= _ _ _ _;3@;_;2!;_;1!;= 7 6 5 4 7 = 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 5 6 7 합계 P(X=x) ;7!; ;7!; ;7!; ;7!; ;7!; ;7!; ;7!; 1 3 13 13 3 +1_ +2_ +3_ 32 32 32 32 48 =;2#; 32 각 주머니에서 공을 1개 꺼낼 때 1 1 1 1 1 1 1 E(X)‌=1_ +2_ +3_ +4_ +5_ +6_ +7_ 7 7 7 7 7 7 7 = 13 32 28 =4 7 1 3 , 검은 공이 나올 확률 4 4 1 1 B: 흰 공이 나올 확률 , 검은 공이 나올 확률 2 2 A: 흰 공이 나올 확률 C: 흰 공이 나올 확률 이고 3 1 , 검은 공이 나올 확률 4 4 1 1 1 1 1 E(XÛ`)‌=1Û`_ +2Û`_ +3Û`_ +4Û`_ +5Û`_ 7 7 7 7 7 1 1 +6Û`_ +7Û`_ 7 7 = 140 =20 7 05 이므로 기댓값 0374 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` =20-4Û`=4 ② 제비의 총 개수는 ∴ r(X)="ÃV(X)='4=2 1+10+89=100 제비 1개를 뽑아서 받을 수 있는 상금을 확률변수 X라 하면 X가 가질 수 있는 값은 0, 2000, 10000이고 그 확률은 각각 0373 ① 세 주머니 A, B, C에 흰 공과 검은 공이 모두 들어 있고 세 주머니 에서 각각 임의로 1개씩 꺼낸 공 중 흰 공의 개수가 확률변수 X이 P(X=0)= 89 100 P(X=2000)= 10 1 = 100 10 1 100 므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이다. P(X=10000)= X=0인 경우는 A, B, C 세 주머니에서 모두 검은 공이 나올 때이 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 므로 3 1 P(X=0)‌= _;2!;_ 4 4 = 3 32 0 2000 10000 합계 P(X=x) ;1¥0»0; ;1Á0; ;10!0; 1 ∴ E(X)‌=0_ X=1인 경우는 A, B, C 중 하나의 주머니에서는 흰 공, 나머지 두 개의 주머니에서는 검은 공이 나올 때이므로 1 1 3 1 3 3 P(X=1)‌= _;2!;_ + _;2!;_ + _;2!;_ 4 4 4 4 4 4 = X 13 32 89 1 1 +2000_ +10000_ =300 100 10 100 따라서 받을 수 있는 상금의 기댓값은 300원이다. 0375 ④ X=2인 경우는 A, B, C 중 두 개의 주머니에서는 흰 공, 나머지 100원짜리 동전 2개, 500원짜리 동전 1개를 동시에 던질 때 나오 하나의 주머니에서는 검은 공이 나올 때이므로 는 결과를 표로 나타내면 다음과 같다. Ⅲ. 통계 291 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 291 2023. 9. 12. 오전 10:02 100원 100원 500원 받는 금액 앞 앞 앞 700원 앞 앞 뒤 200원 앞 뒤 앞 600원 앞 뒤 뒤 100원 뒤 앞 앞 600원 뒤 앞 뒤 100원 뒤 뒤 앞 500원 뒤 뒤 뒤 0원 0377 흰 공 4개, 빨간 공 3개, 검은 공 n개가 들어 있는 상자에서 임의로 1개의 공을 꺼내는 게임을 한 번 하여 받을 수 있는 금액을 확률변 수 X라 하면 X가 가질 수 있는 값은 -200, 100, 500이다. 이때 공의 총 개수는 4+3+n=n+7이므로 X가 갖는 각 값에 대 한 확률은 P(X=-200)= 즉, 동전을 한 번 던져 받을 수 있는 금액을 확률변수 X라 하면 X 가 가질 수 있는 값은 0, 100, 200, 500, 600, 700이고 그 확률은 각각 n n+7 P(X=100)= 3 n+7 P(X=500)= 4 n+7 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 1 2 1 P(X=0)= , P(X=100)= = , 8 8 4 1 1 P(X=200)= , P(X=500)= , 8 8 2 1 1 P(X=600)= = , P(X=700)= 8 4 8 X -200 100 500 합계 P(X=x) n n+7 3 n+7 4 n+7 1 E(X)‌=(-200)_ 이므로 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. = X 0 100 200 500 600 700 합계 P(X=x) ;8!; ;4!; ;8!; ;8!; ;4!; ;8!; 1 2300-200n n+7 2300-200n =170 n+7 2300-200n=170n+1190, 370n=1110 1 1 +600_ +700_ 4 8 n 3 4 +100_ +500_ n+7 n+7 n+7 게임을 한 번 하여 받을 수 있는 금액의 기댓값이 170원이므로 1 1 1 1 ∴ E(X)‌=0_ +100_ +200_ +500_ 8 4 8 8 = 3 ∴ n=3 2800 =350 8 따라서 받을 수 있는 금액의 기댓값은 350원이다. 06 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 - 평균, 분산이 주어진 경우 0378 0376 ⑤ 1이 적힌 카드가 1장, 2가 적힌 카드가 2장, 3이 적힌 카드가 3장, 4가 적힌 카드가 4장, 5가 적힌 카드가 5장 들어 있는 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적힌 수를 확률변수 ④ 2 E(Y)=15, 즉 E{ X+7}=15에서 3 2 2 E(X)+7=15, E(X)=8 3 3 ∴ E(X)=12 X라 하면 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5이다. 이때 카드의 총 장수는 1+2+3+4+5=15이므로 X가 갖는 각 값에 대한 확률은 P(X=1)= 3E(X)+2=8 ∴ E(X)=2 4 5 P(X=4)= , P(X=5)= =;3!; 15 15 E(Y)=8, E(YÛ`)=100이므로 V(Y)=E(YÛ`)-{E(Y)}Û`=100-8Û`=36 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 5 합계 P(X=x) ;1Á5; ;1ª5; ;5!; ;1¢5; ;3!; 1 = 1 2 1 4 +2_ +3_ +4_ +5_;3!; 15 15 5 15 55 11 = 15 3 따라서 꺼낸 카드에 적힌 수의 기댓값은 ② E(Y)=8, 즉 E(3X+2)=8에서 1 2 3 , P(X=2)= , P(X=3)= =;5!;, 15 15 15 ∴ E(X)‌=1_ 0379 11 이다. 3 즉, V(3X+2)=36에서 3Û` V(X)=36이므로 V(X)=4 ∴ r(X)="ÃV(X)='4=2 ∴ E(X)+r(X)=2+2=4 0380 ⑤ E(X)=4, E(XÛ`)=20이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=20-4Û`=4 292 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 292 2023. 9. 12. 오전 10:02 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=4a+b 0383 이고 E(Y)=10이므로 확률변수 X의 확률질량함수가 4a+b=10 yy ㉠ P(X=x)= Y=aX+b이므로 또한 V(Y)=V(aX+b)=aÛ` V(X)=4aÛ`이고 ③ ax+3 (x=-1, 0, 2, 3) 20 이고 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 V(Y)=36이므로 -a+3 0_a+3 2a+3 3a+3 + + + =1 20 20 20 20 4aÛ`=36, aÛ`=9 ∴ a=3 (∵ a>0) 12+b=10 ∴ b=-2 4a+12 =1, 4a=8 20 ∴ a-b=3-(-2)=5 ∴ a=2 2 권 이를 ㉠에 대입하면 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 0381 90 -1 0 2 3 합계 P(X=x) ;2Á0; ;2£0; ;2¦0; ;2»0; 1 E(X)=(-1)_ E(X)=m, r(X)=r이고 T=a_ X X-m a am +b= X+b r r r E(T)=80에서 E{ = a am X+b}=80 r r 1 3 7 9 +0_ +2_ +3_ 20 20 20 20 40 =2 20 이고 a am E(X)+b=80이므로 r r E(XÛ`)‌=(-1)Û`_ a am _m+b=80 ∴ b=80 r r = 즉, 또한 r(T)=10에서 r{ 즉, 1 3 7 9 +0Û`_ +2Û`_ +3Û`_ 20 20 20 20 110 11 = 20 2 이므로 a am X+b}=10 r r V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` a _r(X)=10이므로 r = 11 3 -2Û`= 2 2 ∴ V(1-2X)‌=(-2)Û` V(X) a _r=10 ∴ a=10 r =4_ ∴ a+b=10+80=90 3 =6 2 다른 풀이 T=a_ X-m X-m 으로 놓으면 E(X)=m, +b에서 Y= r r 0384 r(X)=r이므로 X-m 1 m m m E(Y)=E{ }= E(X)- = - =0 r r r r r 122 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 X-m 1 1 r(Y)=r{ }= _r(X)= _r=1 r r r 1 4aÛ`+a+ =1 2 T=aY+b이고 E(T)=80, r(T)=10이므로 8aÛ`+2a-1=0, (4a-1)(2a+1)=0 E(T)=E(aY+b)=aE(Y)+b=b=80 ∴ a= r(T)=r(aY+b)=ar(Y)=a=10 1 1 또는 a=4 2 이때 a=P(X=20)¾0이므로 ∴ a+b=10+80=90 a= 1 4 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 07 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어진 경우 0382 7 ∴ E(16X+1)=16E(X)+1=16_ +1=15 8 10 20 40 합계 P(X=x) ;4!; ;4!; ;2!; 1 1 1 1 55 E(X)=10_ +20_ +40_ = 4 4 2 2 ① 1 3 3 7 E(X)=(-1)_ +0_ +3_ = 4 8 8 8 X ∴ E{ X+3 X+3 }‌=E a ¦ 1 ¥=E(4X+12) 4 =4E(X)+12 =4_ 55 +12=122 2 Ⅲ. 통계 293 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 293 2023. 9. 12. 오전 10:02 0385 42 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 3 4 +a+b=1 ∴ a+b= 7 7 yy ㉠ E(3X+1)=7에서 3E(X)+1=7 ∴ E(X)=2 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 5 6 합계 P(X=x) ;6!; ;6!; ;6!; ;6!; ;6!; ;6!; 1 E(X)‌=1_;6!;+2_;6!;+3_;6!;+4_;6!;+5_;6!;+6_ = 이때 주어진 표에서 3 11 E(X)=1_ +2a+3b=2 ∴ 2a+3b= 7 7 yy ㉡ 21 7 = 6 2 7 ∴ E(4X-1)=4E(X)-1=4_ -1=13 2 한편, 나오는 눈의 수의 10배를 상금으로 받고, 받는 상금이 확률 1 3 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= , b= 7 7 변수 Y이므로 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. Y=10X X 1 2 3 합계 P(X=x) ;7#; ;7!; ;7#; 1 즉, 3Y+2=30X+2이므로 E(3Y+2)‌=E(30X+2)=30E(X)+2 7 =30_ +2=107 2 3 1 3 34 E(XÛ`)=1Û`_ +2Û`_ +3Û`_ = 이므로 7 7 7 7 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= 1 6 ∴ E(4X-1)+E(3Y+2)=13+107=120 34 6 -2Û`= 7 7 6 ∴ V(3-7X)=(-7)Û` V(X)=49_ =42 7 0388 20 각 면에 1, 2, 2, 3, 3, 3이 하나씩 적힌 정육면체 모양의 상자를 던 0386 ② 는 값은 1, 2, 3이고 그 확률은 각각 1 1 11 E(X)‌=0_ +1_;6!;+2_ +3_;2!;= 이고 4 12 6 1 2 3 P(X=1)= , P(X=2)= =;3!;, P(X=3)= =;2!; 6 6 6 1 1 30 E(XÛ`)‌=0Û`_ +1Û`_;6!;+2Û`_ +3Û`_;2!;= =5이므로 4 12 6 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=5-{\ 져 바닥에 닿는 면에 적힌 수가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 11 Û 59 }`= 6 36 11 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b= a+b이고 E(Y)=10이 6 므로 X 1 2 3 합계 P(X=x) ;6!; ;3!; ;2!; 1 E(X)=1_;6!;+2_;3!;+3_;2!;= 14 7 = 이고 6 3 E(XÛ`)=1Û`_;6!;+2Û`_;3!;+3Û`_;2!;= 11 a+b=10 yy ㉠ 6 V(Y)=V(aX+b)=aÛ` V(X)= 59 aÛ` 이고 V(Y)=59이므로 36 59 aÛ`=59, aÛ`=36 ∴ a=6 (∵ a>0) 36 36 =6이므로 6 7 5 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=6-{ }Û`= 3 9 5 ∴ V(6X-5)=6Û` V(X)=36_ =20 9 이를 ㉠에 대입하면 11+b=10 ∴ b=-1 0389 ∴ ab=6_(-1)=-6 ④ 파란 공 2개, 노란 공 2개가 들어 있는 주머니에서 임의로 꺼낸 2개 의 공 중에서 파란 공의 개수가 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있 는 값은 0, 1, 2이고 그 확률은 각각 08 0387 ⑤ 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나오는 눈의 수가 확률변수 X이므 로 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6이고 그 확률은 각각 이다. ªC¼_ªCª =;6!; ¢Cª ªCÁ_ªCÁ P(X=1)= =;6$;=;3@; ¢Cª ªCª_ªC¼ P(X=2)= =;6!; ¢Cª P(X=0)= 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어지지 않은 경우 1 6 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 0 1 2 합계 P(X=x) ;6!; ;3@; ;6!; 1 294 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 294 2023. 9. 12. 오전 10:02 1 E(X)=0_;6!;+1_;3@;+2_ =1이고 6 즉, X가 가질 수 있는 값은 2, 3, 4, 5이다. 4 E(XÛ`)=0Û`_;6!;+1Û`_;3@;+2Û`_;6!;= 이므로 3 Ú X=2인 경우 이때 흰 공을 , 검은 공을 라 하면 각 확률은 다음과 같다. 1 의 순서로 뽑을 확률은 ;5@;_ =;1Á0; 4 4 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= -1Û`=;3!; 3 ∴ r(X)=® 1 ∴ P(X=2)= 10 1 3 2 Û X=3인 경우 m=E(9X+3)=9E(X)+3=9_1+3=12 권 1 의 순서로 뽑을 확률은 ;5@;_;4#;_ =;1Á0; 3 1 r=r(9X+3)=|9|r(X)=9_® =3'3 3 1 의 순서로 뽑을 확률은 ;5#;_;4@;_ =;1Á0; 3 ∴ m_r=12_3'3=36'3 ∴ P(X=3)=;1Á0;+ 10 =;;5!;; 1 Ü X=4인 경우 ① 의 순서로 뽑을 확률은 ;5@;_;4#;_;3@;_;2!;= 1 10 서로 다른 4장의 카드 중 임의로 동시에 2장의 카드를 꺼낼 때, 나 의 순서로 뽑을 확률은 ;5#;_;4@;_;3@;_;2!;= 1 10 의 순서로 뽑을 확률은 ;5#;_;4@;_;3@;_;2!;= 1 10 0390 오는 모든 경우의 수는 ¢Cª=6 ∴ P(X=4)=;1Á0;+;1Á0;+ 2장의 카드에 적힌 두 수의 평균은 두 수가 1 =;1£0; 10 Ú 1, 2일 때, 3 2 Û 1, 3일 때, 2 Ü 1, 4일 때, 5 2 Ý 2, 3일 때, 5 2 의 순서로 뽑을 확률은 ;5@;_;4#;_;3@;_;2!;_ 1 =;1Á0; 1 Þ 2, 4일 때, 3 ß 3, 4일 때, 7 2 의 순서로 뽑을 확률은 ;5#;_;4@;_;3@;_;2!;_ 1 =;1Á0; 1 의 순서로 뽑을 확률은 ;5#;_;4@;_;3@;_;2!;_ 1 =;1Á0; 1 의 순서로 뽑을 확률은 ;5#;_;4@;_;3!;_;2@;_ 1 =;1Á0; 1 Ý X=5인 경우 즉, 꺼낸 카드에 적혀 있는 두 수의 평균 X가 갖는 값은 3, 3 5 , 2, , 2 2 7 이고 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 2 X ;2#; 2 ;2%; 3 ;2&; 합계 P(X=x) ;6!; ;6!; ;3!; ;6!; ;6!; 1 ∴ P(X=5)‌= Ú~Ý에서 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 3 7 E(X)‌= _;6!;+2_;6!;+;2%;_;3!;+3_;6!;+ _;6!; 2 2 = 30 5 = 12 2 X 2 3 4 5 합계 P(X=x) ;1Á0; ;5!; ;1£0; ;5@; 1 E(X)=2_ 이고 1 1 3 2 +3_ +4_ +5_ =4 10 5 10 5 ∴ E(5X)=5E(X)=5_4=20 3 5 7 E(XÛ`)‌={ }Û`_;6!;+2Û`_;6!;+{ }Û`_;3!;+3Û`_;6!;+{ }Û`_;6!; 2 2 2 = 1 1 1 1 2 + + + = 10 10 10 10 5 160 20 = 24 3 이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= 20 5 5 -{ }Û`= 2 12 3 ∴ V(6X-5)=6Û` V(X)=36_ 0392 5 =15 12 93 정육각형의 꼭짓점 중 서로 다른 두 점을 양 끝 점으로 하는 선분의 개수는 Cª=15 6 0391 20 흰 공 2개, 검은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 공을 한 개씩 꺼내 이와 같은 선분 중 그 길이가 서로 다른 경우는 다음 그림과 같은 세 종류이다. Ú Û Ü 어 흰 공 2개가 나올 때까지의 시행 횟수가 X이므로 흰 공만 2개 꺼내고 끝날 때 X의 최솟값은 2이고 모든 공을 다 꺼내고 끝날 때 X의 최댓값은 5이다. Ⅲ. 통계 295 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 295 2023. 9. 12. 오전 10:02 정육각형의 한 변의 길이는 2이고 서로 다른 두 점을 양 끝 점으로 하는 선분의 길이 l에 대하여 lÛ`의 값이 확률변수 X이므로 Ú 서로 이웃한 두 점을 택하는 경우 0394 9 확률변수 X가 이항분포 B{8, 이와 같은 선분은 정육각형의 6개의 변과 일치하므로 1 }을 따르므로 X의 확률질량함수는 4 l=2 1 x 3 8-x P(X=x)=8Cx{ } { } (x=0, 1, 2, y, 8) 4 4 즉, X=2Û`=4일 때이고 그 개수는 6이다. 즉, 6 2 = 15 5 1 3 3 5 56_3Þ` , P(X=3)=8C£{ } { } = 4 4 4¡` Û 한 꼭짓점을 건너뛰어 두 점을 택하는 경우 1 5 3 3 56_3Ü` P(X=5)=8C°{ } { } = 4 4 4¡` ∴ P(X=4)= l=2_'3=2'3일 때이므로 이고 P(X=3)=k_P(X=5)이므로 X=(2'3)Û`=12 ‌이와 같은 선분은 정육각형의 6개의 꼭짓점마다 2개씩 존재하 고, 이 중 같은 것이 2개씩 있으므로 선분의 개수는 6_2 =6 2 ∴ P(X=12)= 6 2 = 15 5 0395 Ü 서로 마주보는 두 점을 택하는 경우 이므로 X는 이항분포 B{10, X=4Û`=16 ‌이와 같은 선분은 정육각형의 가장 긴 대각선일 때이므로 그 개 수는 3이다. 3 }을 따른다. 10 즉, X의 확률질량함수는 P(X=x)=10Cx{ 3 1 = 15 5 3 x 7 10-x (x=0, 1, 2, y, 10) }{ } 10 10 이므로 Ú~Ü에서 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. P(X¾9)‌=P(X=9)+P(X=10) X 4 12 16 합계 P(X=x) ;5@; ;5@; ;5!; 1 =10C9{ 3 9 7 1 3 10 7 0 } { } +10C10{ } { } 10 10 10 10 70_3á` 310 10 + 1010 10 70 310 310 = _ 10 + 10 3 10 10 70 310 ={ +1}_ 10 3 10 73 3 10 = _{ } 3 10 = 2 2 1 48 E(X)=4_ +12_ +16_ = 5 5 5 5 ∴ E(10X-3)‌=10E(X)-3 =10_ 76 불량률이 30`%인 제품 10개 중에서 불량품의 개수가 확률변수 X l=2_2=4일 때이므로 ∴ P(X=16)= 56_3Þ` 56_3Ü` =k_ 4¡` 4¡` ∴ k=3Û`=9 48 -3=93 5 따라서 p=3, q=73이므로 p+q=3+73=76 0396 09 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 4의 약수의 눈, 즉 1, 2, 4가 나올 이항분포에서의 확률 구하기 확률은 0393 ③ 확률변수 X가 이항분포 B{20, 1 }을 따르므로 X의 확률질량함 2 수는 1 x 1 20-x P(X=x)‌=20Cx{ } { } 2 2 1 20 =20Cx{ } (x=0, 1, 2, y, 20) 2 ∴ P(X>18)‌=P(X=19)+P(X=20) 1 20 1 20 =20C19{ } +20C20{ } 2 2 21 = 20 2 ③ 3 =;2!; 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{9, ;2!;}을 따른 6 다. 즉, X의 확률질량함수는 1 x 1 9-x P(X=x)‌=9Cx{ } { } 2 2 C = 9 x (x=0, 1, 2, y, 9) 2á` ∴ P(X¾5) =P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9) C C C C C =9 5 +9 6 +9 7 +9 8 +9 9 2á` 2á` 2á` 2á` 2á` C+C+C+C+C =9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 2á` 28 = =;2!; 2á` 296 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 296 2023. 9. 12. 오전 10:02 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{36, C5=9C¢, 9C6=9C£, 9C7=9Cª, 9C8=9CÁ, 9C9=9C¼이므로 1 ( C¼+9CÁ+9Cª+y+9C9) 9C5+9C6+9C7+9C8+9C9‌= 2 9 1 = _29=29-1=28 2 9 1 }을 따르므로 3 1 V(X)=36_ _;3@;=8 3 ∴ V(3-2X)=(-2)Û` V(X)=4_8=32 0397 ⑤ 150 이항분포 B(n, p)를 따르는 확률변수 X에 대하여 경비행기를 예약한 사람 중 실제로 탑승하는 사람의 비율이 90`%, 평균이 60이므로 즉 0.9이므로 예약한 32명 중 실제로 탑승하는 사람의 수를 확률변 E(X)=np=60 yy ㉠ 수 X라 하면 X는 이항분포 B(32, 0.9)를 따른다. 표준편차가 6이므로 즉, X의 확률질량함수는 V(X)=np(1-p)=6Û`=36 yy ㉡ P(X=x)=32Cx(0.9)x(0.1)32-x (x=0, 1, 2, y, 32) ㉠을 ㉡에 대입하면 경비행기를 타지 못하는 사람이 생기려면 X>30이어야 하므로 구 60(1-p)=36, 1-p= 하는 확률은 2 권 0400 3 2 ∴ p= 5 5 2 p= 를 ㉠에 대입하면 5 P(X>30)‌=P(X=31)+P(X=32) =32C31_(0.9)31_(0.1)1+32C32_(0.9)32_(0.1)0 2 n=60 ∴ n=150 5 =32_(0.9)31_0.1+1_(0.9)32_1 =3.2_0.038+0.9_0.038 =0.1216+0.0342 0401 =0.1558 ② 확률변수 X가 이항분포 B(4, p)를 따르므로 E(X)=4p, V(X)=4p(1-p) 이때 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 E(XÛ`)‌=V(X)+{E(X)}Û` 10 이항분포의 평균, 분산, 표준편차 - 이항분포가 주어진 경우 =4p(1-p)+(4p)Û` 그런데 E(XÛ`)=2_{E(X)}Û`이므로 4p(1-p)+(4p)Û`=2_(4p)Û` 0398 ① 확률변수 X가 이항분포 B(25, p)를 따르므로 20pÛ`-4p=0, 4p(5p-1)=0 ∴ p= E(X)=25p 1 (∵ 0<p<1) 5 이때 E(X)=10이므로 25p=10 ∴ p= 2 5 즉, 확률변수 X는 이항분포 B{25, V(X)=25_ 0402 2 }를 따르므로 5 500 확률변수 X가 이항분포 B(100, p)를 따르므로 X의 확률질량함 2 3 _ =6 5 5 수는 P(X=x)=100Cx px(1-p)100-x (x=0, 1, 2, y, 100) 따라서 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 P(X=99)‌=100C99 p99(1-p)1 E(XÛ`)‌=V(X)+{E(X)}Û` =100CÁ p99(1-p)=100p99(1-p) =6+10Û`=106 P(X=100)=100C100 p100(1-p)0=p100 이때 P(X=99)=100P(X=100)이므로 100p99(1-p)=100p100 0399 ⑤ 이때 0<p<1이므로 1-p=p ∴ p= E(2X-5)=19에서 2E(X)-5=19, 2E(X)=24 ∴ E(X)=12 1 한편, 확률변수 X는 이항분포 B{n, }을 따르므로 3 1 E(X)=n_ =12 ∴ n=36 3 1 2 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{100, 1 }을 따르므로 2 1 E(X)=100_ =50 2 ∴ E(10X)=10E(X)=10_50=500 Ⅲ. 통계 297 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 297 2023. 9. 12. 오전 10:02 0403 ③ 이항분포 B(16, p)를 따르는 확률변수 X에 대하여 E{ X-1 1 1 1 1 }= E(X)- = _75- =37 2 2 2 2 2 V(2X+3)=2Û` V(X)=4_ 분산이 3이므로 V(X)=16p(1-p)=3 ∴ E{ 16pÛ`-16p+3=0, (4p-1)(4p-3)=0 이때 0<p<;2!;이므로 p= 75 =75 4 X-1 }+V(2X+3)=37+75=112 2 1 4 즉, 확률변수 X는 이항분포 B{16, 1 }을 따르므로 X의 확률질량 4 0406 ④ 확률변수 X의 확률질량함수가 함수는 1 3 P(X=x)=16Cx{ } { } 4 4 x 16-x 5x(k-5)72-x 5x(k-5)72-x = C 72 x k72 kxk72-x x 72-x 5 k-5 =72Cx{ } { (x=0, 1, 2, y, 72) } k k (x=0, 1, 2, y, 16) P(X=x)‌=72Cx 따라서 1 1 3 15 16_315 P(X=1)=16CÁ{ } { } = 4 4 416 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{72, 1 2 3 14 120_314 P(X=2)=16Cª{ } { } = 4 4 416 5 }를 따른다. k 이때 X의 분산이 10이므로 이므로 72_ 120_314 P(X=2) 120 416 = =;2%; = 16_3 P(X=1) 16_315 16 4 5 k-5 _ =10 k k kÛ`-36k+180=0, (k-6)(k-30)=0 ∴ k=6 또는 k=30 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{72, 5 } 또는 B{72, ;6!;}을 따 6 르므로 5 E(X)=72_ =60 또는 E(X)=72_;6!;=12 6 11 이항분포의 평균, 분산, 표준편차 - 확률질량함수가 주어진 경우 0407 ② 확률변수 X의 확률질량함수가 0404 ④ P(X=x)=nCx px(1-p)n-x (x=0, 1, 2, y, n이고 0<p<1) 이므로 확률변수 X는 이항분포 B(n, p)를 따른다. 확률변수 X의 확률질량함수가 이때 E(X)=12이므로 C 1 P(X=x)‌= 20 20x =20Cx_ 20 2 2 1 x 1 20-x =20Cx{ } { } (x=0, 1, 2, y, 20) 2 2 yy ㉠ E(X)=np=12 V(X)=8이므로 V(X)=np(1-p)=8 1 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{20, }을 따른다. 2 yy ㉡㉠을 ㉡에 대입하면 12(1-p)=8, 1-p=;3@; ∴ p= 1 ∴ E(X)=20_;2!;=10, V(X)=20_ _;2!;=5 2 1 3 1 p= 을 ㉠에 대입하면 3 ∴ E(X)_V(X)=10_5=50 1 n=12 ∴ n=36 3 0405 112 1 }을 따르고 X의 확률질 3 량함수는 확률변수 X의 확률질량함수가 3 x 1 100-x P(X=x)=100Cx{ } { } (x=0, 1, 2, y, 100) 4 4 3 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{100, }을 따른다. 4 따라서 3 3 1 75 E(X)=100_ =75, V(X)=100_ _ = 4 4 4 4 이므로 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{36, 1 x 2 36-x P(X=x)=36Cx{ } { } (단, x=0, 1, 2, y, 36) 3 3 ∴ P(X¾35)‌=P(X=35)+P(X=36) =36C35{ 1 35 2 1 1 36 2 0 } { } +36C36{ } { } 3 3 3 3 36_2 1 + 36 336 3 73 = 36 3 = 298 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 298 2023. 9. 12. 오전 10:02 12 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{2500, 이항분포의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어지지 않은 경우 V(X)=2500_ 0408 8 }을 따르므로 25 8 17 _ =544 25 25 ③ 동전 3개를 동시에 던질 때, 앞면이 1개, 뒷면이 2개 나올 확률은 1 1 1 2 3 £CÁ{ } { } = 2 2 8 0412 ∴ E(X)=40_ 23 2 권 3 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{40, }을 따른다. 8 두 개의 동전을 동시에 던지는 시행을 8번 반복하여 같은 면이 나 오는 횟수를 확률변수 Y라 하면 서로 다른 면이 나오는 횟수는 3 =15 8 8-Y이다. 즉, 이동된 점 P의 좌표 X는 X=2Y+(-3)_(8-Y)=5Y-24 0409 6 흰 공 3개, 검은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 2개의 공의 색이 서로 다른 경우는 흰 공 1 개, 검은 공 1개를 꺼낼 때이고 이 경우의 확률은 이때 두 개의 동전을 동시에 던져서 같은 면이 나올 확률은 2 =;2!;이므로 확률변수 Y는 이항분포 B{8, ;2!;}을 따르고 4 1 E(Y)=8_ =4 2 따라서 £CÁ_£CÁ 9 3 = = ¤Cª 15 5 E(X)‌=E(5Y-24)=5E(Y)-24 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{25, =5_4-24=-4 3 }을 따르므로 5 이므로 E(3X+35)‌=3E(X)+35 3 2 V(X)=25_ _ =6 5 5 =3_(-4)+35=23 0410 912 이 학원의 과학탐구 영역의 선택 과목 I 특강에 수강 신청한 학생 150명 중에서 물리학 또는 지구과학을 신청한 학생 수는 43+47=90 즉, 특강에 신청한 학생 중 임의로 한 명을 선택할 때, 이 학생이 신 청한 과목이 물리학 또는 지구과학인 학생일 확률은 90 3 = 150 5 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{50, 3 }을 따른다. 5 3 3 2 ∴ E(X)=50_ =30, V(X)=50_ _ =12 5 5 5 0413 이때 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 확률변수 X가 이항분포 B{n, E(XÛ`)‌=V(X)+{E(X)}Û` 따라서 V(X)=18_ 0411 ① 이 편의점에서 판매된 음료 중에서 캔 음료의 비율은 80`%, 즉 4 5 이고, 판매된 캔 음료 중 분리수거 된 캔 음료의 비율은 40`%, 즉 2 이므로 이 편의점에서 판매된 음료 중 한 개가 분리수거 된 캔 음 5 4 2 8 _ = 5 5 25 1 }을 따르고 E(X)=6이므로 3 1 E(X)=n_ =6 ∴ n=18 3 =12+30Û`=912 료일 확률은 2 1 2 _ =4이므로 3 3 r(X)='4=2 E(aX-8)=r(aX-8)에서 aE(X)-8=|a|r(X)이므로 6a-8=2|a| Ú a>0일 때 6a-8=2a, 4a=8 ∴ a=2 Û a<0일 때 6a-8=-2a, 8a=8 ∴ a=1 그런데 a<0을 만족시키지 않는다. Ú, Û에서 a=2 Ⅲ. 통계 299 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 299 2023. 9. 12. 오전 10:02 1 p= 을 ㉠에 대입하면 6 2 }를 따른다. 3 확률변수 X가 이항분포 B{36, 1 n=6 ∴ n=36 6 E(2X-a)=V(2X-a)를 만족시키는 상수 a의 값을 구하 즉, 확률변수 X는 이항분포 B{36, 시오. 1 }을 따르므로 X의 확률질량 6 함수는 16 1 x 5 36-x P(X=x)=36Cx{ } { } (x=0, 1, 2, y, 36) 6 6 따라서 ⑤ 1 1 5 35 36_535 P(X=1)=36CÁ{ } { } = 6 6 636 Y=10X-2.21이라 하자. 확률변수 Y의 확률분포를 표로 나타내 1 2 5 34 630_534 P(X=2)=36Cª{ } { } = 6 6 636 면 다음과 같다. 이므로 0414 Y -1 0 1 합계 P(Y=y) a b ;3@; 1 630_534 P(X=2) 630 636 = =;2&; = 180 P(X=1) 36_535 36 6 위의 표에서 E(Y)=(-1)_a+0_b+1_ 2 =-a+;3@; 3 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르고 E(3X)=18, E(Y)=E(10X-2.21)=10E(X)-2.21=0.5이므로 E(3XÛ`)=120일 때, n의 값을 구하시오. -a+;3@;=0.5 ∴ a= ;6!; 18 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 a+b+;3@;=1, ;6!;+b+;3@;=1 ∴ b= ;6!; ∴ V(Y)‌=E(YÛ`)-{E(Y)}Û` 0416 1 1 2 1 =(-1)Û`_ +0Û`_ +1Û`_ -{ }Û` 6 6 3 2 주어진 표에서 5 1 7 = - = 6 4 12 E(X)‌=a+3b+5c+7b+9a =10a+10b+5c 한편, Y=10X-2.21이므로 V(Y)= 100 _V(X)이다. 따라서 V(X)= 78 E(XÛ`)‌=a+3Û`b+5Û`c+7Û`b+9Ûà 1 _;1¦2;이다. 100 =82a+58b+25c E(Y)={a+;2Á0;}+3b+5{c- 1 이상에서 p= , q=;6!;, r=100이므로 6 1 }+7b+9{a+;2Á0;} 10 =10a+10b+5c 1 pqr=;6!;_ _100=:ª9°: 6 E(YÛ`)={a+;2Á0;}+3Û`b+5Û`{c=82a+58b+25c+ 0415 ② E(5X-3)=27에서 1 }+7Û`b+9Û`{a+;2Á0;} 10 8 5 8 따라서 E(Y)=E(X), E(YÛ`)=E(XÛ`)+ 이므로 5 V(Y)=E(YÛ`)-{E(Y)}Û` 5E(X)-3=27, 5E(X)=30 ∴ E(X)=6 8 =E(XÛ`)+ -{E(X)}Û` 5 E(XÛ`)=41이므로 =V(X)+ V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=41-6Û`=5 이때 이항분포 B(n, p)를 따르는 확률변수 X에 대하여 E(X)=np=6 yy ㉠ V(X)=np(1-p)=5 yy ㉡ = 8 5 31 8 + =;;£5»;; 5 5 ∴ 10_V(Y)=10_ 39 =78 5 ㉠을 ㉡에 대입하면 5 6(1-p)=5, 1-p= 6 ∴ p= 1 6 확률변수 X의 분포가 X=5에 대하여 대칭이므로 E(X)=5 확률변수 Y도 마찬가지이므로 E(Y)=5 ∴ E(X)=E(Y) 300 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 300 2023. 9. 12. 오전 10:02 Û X=k+1=5일 때 다른 풀이 점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동하는 경우의 수는 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 a+b+c+b+a=1 ‌↗, ↗, →, →, ↑를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 5! 2!_2! ∴ 2a+2b+c=1 yy ㉠ 주어진 표에서 ∴ P(X=k+1)‌=P(X=5) E(X)‌=a+3b+5c+7b+9a = =5(2a+2b+c) Ü X=k+2=6일 때 =5_1`(∵ ㉠) V(X)‌=(1-5)Ûà+(3-5)Û`b+(5-5)Û`c+(7-5)Û`b+(9-5)Ûà ‌↗, →, →, →, ↑, ↑를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 6! 2!_3! =32a+8b ∴ P(X=k+2)‌=P(X=6) 31 5 E(Y)‌={a+ 2 점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동하는 경우의 수는 =5 = 1 5! 30 _ = N 2!_2! N 권 =10a+10b+5c = 1 1 1 }+3b+5{c- }+7b+9{a+ } 20 10 20 Ý X=k+3=7일 때 =10a+10b+5c 점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동하는 경우의 수는 =5 ‌→, →, →, →, ↑, ↑, ↑를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으 1 1 V(Y)‌=(1-5)Û`{a+ }+(3-5)Û`b+(5-5)Û` {c- } 20 10 +(7-5)Û`b+(9-5)Û`{a+ =32a+8b+ = 31 8 + 5 5 = 39 5 므로 7! 3!_4! 1 } 20 ∴ P(X=k+3)‌=P(X=7) 8 5 ∴ 10_V(Y)=10_ 1 6! 1 _ = _ 60 N 2!_3! N = 1 7! 35 _ = N 3!_4! N Ú~Ý에서 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 39 =78 5 X 4 5 6 7 합계 P(X=x) 4 N 30 N 60 N 35 N 1 4 30 60 35 +5_ +6_ +7_ 129 129 129 129 ‌ Á P(X=i)= k+3 i=k = 0417 ② 점프를 반복하여 점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동하는 모든 경우 의 수를 N이라 하자. 4 30 60 35 + + + N N N N 129 =1 N 이므로 N= 129 따라서 확률변수 X의 평균 E(X)는 E(X)‌= Á {i_P(X=i)} ‌ k+3 i=k 점 (x, y)에서 점 (x+1, y)로는 오른쪽으로 한 번 이동, 점 (x, y)에서 점 (x, y+1)로는 위쪽으로 한 번 이동, 점 (x, y)에서 점 (x+1, y+1)로는 대각선 위쪽으로 한 번 이동 한다. 점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동하는 횟수가 최소이려면 대각선 위쪽으로 3번, 오른쪽으로 1번 이동해야 하므로 k= 4 이 =4_ = 771 257 = 129 43 이상에서 a=4, b=60, c=129이므로 a+b+c=4+60+129=193 고, 최대이려면 오른쪽으로 4번, 위쪽으로 3번 이동해야 하므로 k+3=7이다. 점 (x, y)에서 세 점 (x+1, y), (x, y+1), (x+1, y+1)로 이 동하는 것을 각각 →, ↑, ↗로 나타낼 때 각 확률은 다음과 같다. Ú X=k=4일 때 점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동하는 경우의 수는 ‌↗, ↗, ↗, → 를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 4! 3! 0418 9 주어진 주사위를 한 번 던져 나올 수 있는 눈의 수는 1, 3, 5이고 주사위 한 개를 2번 던져 나오는 눈의 수의 평균이 확률변수 X이 므로 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5이다. Ú X=1인 경우 ∴ P(X=k)‌=P(X=4) 순서쌍 (a, b)로 가능한 것은 (1, 1)이고 이 경우의 확률은 1 4! 4 = _ = N 3! N P(X=1)=;6!;_;6!;= 1 36 Ⅲ. 통계 301 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 301 2023. 9. 12. 오전 10:02 Û X=2인 경우 한편, 주사위를 15번 던져 눈의 수가 2 이하가 나온 횟수가 Y이면 순서쌍 (a, b)로 가능한 것은 (1, 3), (3, 1)이고 이 경우의 확 눈의 수가 3 이상이 나온 횟수는 15-Y이다. 률은 따라서 점 P는 원점에서 x축의 양의 방향으로 3Y만큼, y축의 양의 3 3 6 P(X=2)=;6!;_ + _;6!;= =;6!; 6 6 36 방향으로 15-Y만큼 이동하므로 시행을 15번 반복하여 이동된 점 P의 좌표는 (3Y, 15-Y)이다. Ü X=3인 경우 ‌순서쌍 (a, b)로 가능한 것은 (1, 5), (3, 3), (5, 1)이고 이 경 우의 확률은 2 3 3 2 13 P(X=3)=;6!;_ + _ + _;6!;= 6 6 6 6 36 Ý X=4인 경우 점 P(3Y, 15-Y)와 직선 3x+4y=0 사이의 거리 X는 |3_3Y+4_(15-Y)| ¿¹3Û`+4Û` |5Y+60| = =Y+12 5 X‌= ∴ E(X)=E(Y+12)=E(Y)+12 ‌순서쌍 (a, b)로 가능한 것은 (3, 5), (5, 3)이고 이 경우의 확 률은 =5+12=17 점과 직선 사이의 거리 3 2 2 3 12 P(X=4)= _ + _ = =;3!; 6 6 6 6 36 좌표평면 위의 점 (xÁ, yÁ)과 직선 ax+by+c=0`(a, b, c는 상수) 사이 의 거리 d는 |axÁ+byÁ+c| d= "ÃaÛ`+bÛ` Þ X=5인 경우 순서쌍 (a, b)로 가능한 것은 (5, 5)이고 이 경우의 확률은 2 2 4 1 P(X=5)= _ = = 6 6 36 9 Ú∼Þ에서 X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 1 2 3 4 5 합계 P(X=x) ;3Á6; ;6!; ;3!6#; ;3!; ;9!; 1 E(X)‌=1_ = 1 1 +2_;6!;+3_;3!6#;+4_;3!;+5_ 36 9 120 =;;Á3¼;; 36 ∴ E(3X-1)‌=3E(X)-1 =3_ 10 -1=9 3 주머니 속에 숫자 1, 2, 3, 4가 각각 하나 씩 적혀 있는 4개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 1개의 공을 꺼내어 공 에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 다. 이 과정을 2번 반복할 때, 꺼낸 공에 1 2 3 4 적혀 있는 수를 차례로 a, b라 하자. a-b의 값을 확률변수 X라 할 때, 확률변수 Y=2X+1의 분산 V(Y)의 값을 구하시오. 10 0419 ③ 주사위를 한 번 던져 2 이하의 눈이 나올 확률은 2 =;3!; 6 주사위를 15번 던져 2 이하의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 Y라 하면 Y는 이항분포 B{15, 1 }을 따른다. 3 1 ∴ E(Y)=15_ =5 3 302 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 302 2023. 9. 12. 오전 10:02 ㄱ. ‌f(x)=1일 때, 0ÉxÉ1에서 f(x)¾0이고, 함수 y= f(x)의 연속확률변수의 확률분포 그래프와 x축, y축 및 직선 x=1로 둘러싸인 부분의 넓이가 1_1=1이므로 확률밀도함수가 될 수 있다. ㄴ. ‌f(x)=x일 때, 0ÉxÉ1에서 f(x)¾0이지만 함수 y= f(x) 01 의 그래프와 x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 부분의 넓이는 확률밀도함수의 성질 ;2!;_1_1=;2!; 이므로 확률밀도함수가 될 수 없다. ④ -1ÉxÉ3에서 함수 y= f(x)의 그 y 래프와 x축 및 직선 x=3으로 둘러 a ㄷ. ‌f(x)=2x일 때, 0ÉxÉ1에서 f(x)¾0이고, 함수 y= f(x) 의 그래프와 x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 부분의 넓이가 2 권 0420 ;2!;_1_2=1이므로 확률밀도함수가 될 수 있다. y=f(x) 싸인 부분의 넓이가 1이므로 ㄹ. ‌f(x)=x+1일 때, 0ÉxÉ1에서 f(x)¾0이지만 함수 y= f(x) ;2!;_(3+4)_a=1 O -1 3 x ∴ a=;7@; 의 그래프와 x축, y축 및 직선 x=1로 둘러싸인 부분의 넓이는 1 _(1+2)_1=;2#; 이므로 확률밀도함수가 될 수 없다. 2 ㅁ. ‌f(x)=-2x+1일 때, 1 <xÉ1에서 f(x)<0이므로 확률밀 2 도함수가 될 수 없다. 0421 ⑤ 연속확률변수 X의 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프와 x축, y축 및 직선 x=1로 둘러싸인 부분 y f(x)=3a(x-1) (1ÉxÉ5)의 그 1 ㅂ. f(x)=x+ 일 때, 0ÉxÉ1에서 f(x)¾0이고, 함수 2 y=f(x) 12a 래프는 오른쪽 그림과 같다. 1 의 넓이가 ;2!;_{ +;2#;}_1=1이므로 확률밀도함수가 될 수 2 있다. 1ÉxÉ5에서 함수 y= f(x)의 그래 따라서 X의 확률밀도함수 f(x)가 될 수 있는 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ이다. O 프와 x축 및 직선 x=5로 둘러싸인 1 5 x 부분의 넓이가 1이므로 ;2!;_4_12a=1 0423 ∴ a=;2Á4; ① 함수 f(x)=[ 2a-ax (1ÉxÉ2) 3a(x-2) (2<xÉ4) 가 연속확률변수 X의 확률 밀도함수이므로 1ÉxÉ4에서 f(x)¾0이어야 한다. 즉, a>0이어야 하므로 함수 0422 ④ 0ÉxÉ1에서 함수 y= f(x)의 그래프는 각각 다음 그림과 같다. ㄱ. ㄷ. ㅁ. y y 1 1 O O y y 2 2 ㄴ.y y y=f(x) y=f(x) 1 1 1 x O O ㄹ.y y 2 2 1 1 O O ㅂ.y y ;2#; ;2#; ;2!; ;2!; O O 1 y=f(x) y=f(x) 1 x O O y y 1 1 y=f(x) y=f(x) O O ;2!; x 1 1 1 ;2!; -1 -1 x x x y=f(x) y=f(x) 1 1 x x y= f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 y 6a y=f(x) 같다. 1ÉxÉ4에서 함수 y= f(x)의 그래 프와 x축 및 두 직선 x=1, x=4로 a 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 O 1 4 x 2 1 _1_a+;2!;_2_6a=1 2 13 2 a=1 ∴ a= 2 13 y=f(x) y=f(x) 1 1 x x y=f(x) y=f(x) 02 연속확률변수의 확률 0424 ;5#; 0ÉxÉ5에서 함수 y= f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 1 1 x x ;2!;_5_a=1 ∴ a=;5@; Ⅲ. 통계 303 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 303 2023. 9. 12. 오전 10:02 P(0ÉXÉ1)의 값은 함수 y= f(x) y 의 그래프와 x축 및 직선 x=1로 둘 ;5@; 0427 y=f(x) ⑤ 0ÉxÉ8에서 주어진 확률밀도함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 러싸인 부분의 넓이이므로 부분의 넓이가 1이므로 2 1 P(0ÉXÉ1)‌=;2!;_1_ = 5 5 O 2 1 3 ∴ a+P(0ÉXÉ1)= + = 5 5 5 1 5 x ;2!;_8_b=1 ∴ b=;4!; ∴ P(XÉa)=;2!;_a_;4!;=;8!;a, 1 P(X¾a)=;2!;_(8-a)_;4!;=1- a 8 0425 ⑤ 함수 f(x)=a(1-x) (1ÉxÉ4)가 연속확률변수 X의 확률밀도 즉, a<0이어야 하므로 함수 y 과 같다. 1 1- a-;8!; a=;4!; 8 1-;4!; a=;4!;, ;4!; a=;4#; ∴ a=3 함수이므로 1ÉxÉ4에서 f(x)¾0이어야 한다. y= f(x)의 그래프는 오른쪽 그림 이때 P(X¾a)-P(XÉa)=;4!;이므로 y=f(x) -3a ∴ a+b=3+;4!; =;;Á4£;; -2a 1ÉxÉ4에서 함수 y= f(x)의 그 -a 래프와 x축 및 직선 x=4로 둘러싸 O 1 2 3 4 x 인 부분의 넓이가 1이므로 1 확률의 총합은 1이므로 P(X¾a)=1-P(XÉa)=1- a로 구할 수 8 도 있다. ;2!;_3_(-3a)=1 ∴ a=-;9@; P(2ÉXÉ3)의 값은 함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 0428 x=2, x=3으로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 P(2ÉXÉ3)=;2!;_{;9@;+;9$;}_1=;3!; ① 연속확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x)이고 0ÉxÉ4인 모든 실 수 x에 대하여 f(4-x)= f(4+x)이므로 함수 y= f(x)의 그래 프는 직선 x=4에 대하여 대칭이다. ∴ P(3ÉXÉ4)=P(4ÉXÉ5) 0426 3 연속확률변수 X의 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프는 다음 그림 과 같다. y 1 2 a P(5ÉXÉ8)=;8#;이므로 =;2!;-;8#;=;8!; ;3@;-;6!; a O P(0ÉXÉ4)=P(4ÉXÉ8)=;2!; P(4ÉXÉ5)‌=P(4ÉXÉ8)-P(5ÉXÉ8) y=f(x) ;3!; 이때 연속확률변수 X는 0ÉXÉ8인 모든 실수 값을 가지므로 4 x ∴ P(3ÉXÉ4)=P(4ÉXÉ5)=;8!; 1 7 이때 P(1ÉXÉ2)=1_ =;3!;< 이므로 3 12 P(1ÉXÉa)= 7 을 만족시키는 상수 a는 2<a<4이고 12 P(2ÉXÉa)‌=P(1ÉXÉa)-P(1ÉXÉ2) = 03 7 1 -;3!;= 12 4 한편, 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프에서 1 +{;3@;-;6!;a}]_(a-2) 3 (6-a)(a-2) = 12 P(2ÉXÉa)‌=;2!;_[ 정규분포곡선의 성질 0429 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 ③ y=f(x) X의 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프는 이므로 직선 x=m에 대하여 대칭이다. (6-a)(a-2) =;4!; 12 실수 k의 값에 관계없이 f(8-k)= f(8+k)를 만족시키는 함수 y= f(x)의 그래프는 직선 aÛ`-8a+15=0, (a-3)(a-5)=0 x=8에 대하여 대칭이므로 ∴ a=3 (∵ 2<a<4) m=8 k k 8-k 8 8+k x 304 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 304 2023. 9. 12. 오전 10:02 0430 ③ ㄱ. ‌함수 y= f(x)의 그래프가 함수 y=g(x)의 그래프보다 가운데 부분이 낮고 옆으로 퍼져 있으므로 ② ‌정규분포를 따르는 확률변수 X의 평균이 m이므로 x=m일 때, f(x)는 최댓값을 갖는다. (참) ③ m<a<b일 ‌ 때, P(aÉXÉb)의 값 y=f(x) 은 함수 y= f(x)의 그래프와 x축 V(XÁ)>V(Xª) (참) 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 ㄴ. ‌확률변수 XÁ의 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프는 직선 m 부분의 넓이이므로 x=mÁ에 대하여 대칭이므로 a b x P(aÉXÉb)=P(mÉXÉb)-P(mÉXÉa) (참) P(XÁ¾mÁ)=0.5 ④ a<m일 ‌ 때, P(X¾a)의 값은 함수 y=f(x) y= f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=mª에 대하여 대칭이므로 2 권 또한 확률변수 Xª의 확률밀도함수 y=g(x)의 그래프는 직선 x=a로 둘러싸인 부분의 넓이이므 P(Xª¾mª)=0.5 m a 로 ∴ P(XÁ¾mÁ)+P(Xª¾mª)=1 (참) x P(X¾a)‌=P(aÉXÉm)+P(X¾m) ㄷ. mÁ<0<mª이므로 P(mÁÉXÁÉmª)>0 =P(aÉXÉm)+0.5 ∴ P(XÁ¾mª)‌=P(XÁ¾mÁ)-P(mÁÉXÁÉmª) +0.5-P(aÉXÉm) (거짓) =0.5-P(mÁÉXÁÉmª) ⑤ 확률변수 ‌ X의 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m <0.5 에 대하여 대칭이므로 또한 P(mÁÉXªÉmª)>0이므로 P(XÉa-m)‌=P(X¾-(a-m)) P(Xª¾mÁ)‌=P(mÁÉXªÉmª)+P(Xª¾mª) =P(X¾m-a) =P(mÁÉXªÉmª)+0.5 즉, a>0일 때, >0.5 P(XÉa+m)+P(XÉa-m) ∴ P(XÁ¾mª)<P(Xª¾mÁ) (거짓) =P(XÉm+a)+P(X¾m-a) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ={P(XÉm)+P(mÉXÉm+a)} +{P(m-aÉXÉm)+P(X¾m)} ={P(XÉm)+P(X¾m)} 0431 ② 정규분포 N(14, 3Û`)을 따르는 확률변수 X에 대하여 +{P(m-aÉXÉm)+P(mÉXÉm+a)} =1+P(m-aÉXÉm+a) 이때 P(m-aÉXÉm+a)>0이므로 a>0일 때, P(3a-3ÉXÉ3a+7)의 값은 (3a-3)+(3a+7) =14 2 ‌P(XÉa+m)+P(XÉa-m)=1을 만족시키는 실수 a는 존 재하지 않는다. (참) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 일 때 최대가 된다. 따라서 6a+4=28에서 a=4 0432 ③ 0434 ④ 정규분포 N(12, 3Û`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수를 두 확률변수 X, Y는 평균이 각각 4, 8이고 표준편차가 모두 2인 f(x)라 하면 y= f(x)의 그래프는 직선 x=12에 대하여 대칭이므 정규분포를 따르므로 X의 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프를 x축 로 P(XÉ6)=P(X¾k)에서 의 방향으로 4만큼 평행이동하면 Y의 확률밀도함수 y=g(x)의 그 6+k =12, k+6=24 ∴ k=18 2 래프와 일치한다. 또한 k 18 ∴ k_P{X¾ +3}‌=18_P{X¾ +3} 2 2 4+8 =6이므로 두 함수 y= f(x), y=g(x)의 그래프는 직 2 선 x=6에 대하여 대칭이다. =18_P(X¾12) ∴ f(6)=g(6) =18_0.5=9 y y=f(x) g(8) y=g(x) f(6)=g(6) 0433 f(8) ④ O ① ‌정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수 4 x=6 8 x y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이므로 따라서 위의 그림에서 0< f(8)<g(8), f(6)=g(6)이므로 c=0 P(XÉm)=P(X¾m)=0.5 (참) 이고 c<a<b이다. Ⅲ. 통계 305 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 305 2023. 9. 12. 오전 10:02 04 0438 정규분포에서의 확률 P(kÉXÉ39)=0.84에서 0.84>0.5이므로 k<m이고 0435 ③ P(kÉXÉm)+P(mÉXÉ39)=0.84 yy ㉠ 이때 확률변수 X가 정규분포 N(30, 3Û`)을 따르므로 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 m=30, r=3 따르므로 주어진 표에 의하여 즉, 주어진 표에서 P(m-0.5rÉXÉm+2r) =P(m-0.5rÉXÉm) +P(mÉXÉm+2r) 27 m-0.5r m m+2r x P(mÉXÉ39)‌=P(mÉXÉ30+3_3) =P(mÉXÉm+3r) =0.4987 =P(mÉXÉm+0.5r)+P(mÉXÉm+2r) 이를 ㉠에 대입하면 =0.1915+0.4772 P(kÉXÉm)+0.4987=0.84 =0.6687 ∴ P(kÉXÉm)=0.3413 yy ㉡ 주어진 표에서 P(mÉXÉm+r)=0.3413이므로 P(m-rÉXÉm)=0.3413 yy ㉢㉡, ㉢에서 k=m-r=30-3=27 0436 ② P(m-rÉXÉm+r) 0439 =P(m-rÉXÉm)+P(mÉXÉm+r) 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수를 =P(mÉXÉm+r)+P(mÉXÉm+r) ④ f(x)라 하면 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. =2P(mÉXÉm+r) 이때 P(XÉ18)=P(X¾22)이므로 =a m= a 이므로 P(mÉXÉm+r)= 2 18+22 =20 2 V(3X-1)=36이므로 P(m-2rÉXÉm+2r) 3Û` V(X)=36, V(X)=4 ∴ r=2 =P(m-2rÉXÉm)+P(mÉXÉm+2r) ∴ P(18ÉXÉ24) ‌ =P(mÉXÉm+2r)+P(mÉXÉm+2r) =P(18ÉXÉ20)+P(20ÉXÉ24) =2P(mÉXÉm+2r) =P(20-2ÉXÉ20)+P(20ÉXÉ20+2_2) =b =P(m-rÉXÉm)+P(mÉXÉm+2r) b 이므로 P(mÉXÉm+2r)= 2 =P(mÉXÉm+r)+P(mÉXÉm+2r) =0.3413+0.4772 ∴ P(m+rÉXÉm+2r) ‌ =0.8185 =P(mÉXÉm+2r)-P(mÉXÉm+r) b a b-a = - = 2 2 2 05 정규분포의 표준화 0440 0437 ③ ③ 확률변수 X가 정규분포 N(m, 2Û`)을 따르므로 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 E(X)=m, V(X)=2Û` P(X¾m+r)‌=P(X¾m)-P(mÉXÉm+r) 또한 확률변수 Z= =0.5-P(mÉXÉm+r) E(Z)=E{ =0.1587 따라서 P(mÉXÉm+r)=0.3413이므로 P(X¾m-r)‌=P(m-rÉXÉm)+P(X¾m) =P(mÉXÉm+r)+P(X¾m) X+12 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 r X+12 1 12 m 12 }= E(X)+ = + =0 r r r r r ∴ m=-12 V(Z)=V{ X+12 1 2 }= V(X)={ }Û`=1 r r rÛ` =0.3413+0.5 ∴ r=2 =0.8413 ∴ r-m=2-(-12)=14 306 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 306 2023. 9. 12. 오전 10:02 0443 다른 풀이 확률변수 X가 정규분포 N(m, 2Û`)을 따르므로 확률변수 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(m, 2Û`), N(5, 1Û`)을 따르 X-m 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 2 X+12 가 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 r 이때 확률변수 Z= 8 므로 두 확률변수 X-m Y-5 , 는 모두 표준정규분포 N(0, 1) 2 1 을 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 X-m X+12 = 2 r 4-m m-4 ÉZÉ } =P{ 2 2 ∴ r-m=2-(-12)=14 =P{- 0441 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(5, 2Û`), N(9, 3Û`)을 따르므 X-5 Y-9 , 는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 2 3 따른다. P(XÉ6)‌=P{ P(5ÉYÉ7)‌=P{ X-5 6-5 É } 2 2 m-4 } 2 5-5 Y-5 7-5 É É } 1 1 1 =P(0ÉZÉ2) 이때 P(4ÉXÉ2m-4)=2 P(5ÉYÉ7)이므로 2 P{0ÉZÉ 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 m-4 m-4 ÉZÉ } 2 2 =2 P{0ÉZÉ ② 로 두 확률변수 2 4-m X-m (2m-4)-m É É } 2 2 2 권 P(4ÉXÉ2m-4)‌=P{ ∴ m=-12, r=2 따라서 m-4 }=2 P(0ÉZÉ2) 2 m-4 =2이므로 m=8 2 =P{ZÉ;2!;} P(Y¾k)‌=P{ Y-9 k-9 ¾ } 3 3 =P{Z¾ 0444 k-9 } 3 확률변수 X가 정규분포 N(m, 3Û`)을 따르므로 X의 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. 이때 P(XÉ6)=P(Y¾k)이므로 P{Z¾ ② 이때 조건 ㈎에서 임의의 실수 k에 대하여 k-9 }‌=P{ZÉ;2!;}=P{Z¾-;2!;} 3 f(10-k)= f(10+k)이므로 k-9 따라서 =-;2!;이므로 3 m=10 k=;;Á2°;; 즉, 확률변수 X는 정규분포 N(10, 3Û`)을 따르므로 Z= X-10 3 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 P(m-3ÉXÉm)+P(m+3ÉXÉm+6) 0442 8 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(12, rÛ`), N(16, 2Û`)을 따 르므로 두 확률변수 X-12 Y-16 , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1) 2 r 을 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 P(XÉ20)‌=P{ X-12 20-12 É } r r 8 =P{ZÉ } r P(YÉ18)‌=P{ =P(10-3ÉXÉ10)+P(10+3ÉXÉ10+6) =P(7ÉXÉ10)+P(13ÉXÉ16) =P{ 7-10 X-10 10-10 É É } 3 3 3 +P{ =P(-1ÉZÉ0)+P(1ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ1)+P(1ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ2) 또한 Y-16 18-16 É } 2 2 P(10ÉXÉa)‌=P{ 이때 P(XÉ20)=P(YÉ18)이므로 10-10 X-10 a-10 É É } 3 3 3 =P{0ÉZÉ =P(ZÉ1) a-10 } 3 이므로 조건 ㈏에 의하여 P{ZÉ 8 }=P(ZÉ1) r P{0ÉZÉ 따라서 8 =1이므로 r 즉, r=8 13-10 X-10 16-10 É É } 3 3 3 a-10 }=P(0ÉZÉ2) 3 a-10 =2이므로 a=16 3 ∴ m+a=10+16=26 Ⅲ. 통계 307 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 307 2023. 9. 12. 오전 10:02 06 0447 표준화하여 확률 구하기 0445 ② ④ 확률변수 X가 정규분포 N(20, 5Û`)을 따르므로 Z= X-20 으로 5 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. X-40 확률변수 X가 정규분포 N(40, 8Û`)을 따르므로 Z= 으로 8 P(XÉ23)=0.7257에서 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P{ ∴ P(X¾36)‌=P{ X-40 36-40 ¾ } 8 8 X-20 23-20 É }=0.7257 5 5 P(ZÉ0.6)=0.7257 P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ0.6)=0.7257 =P(Z¾-0.5) 즉, 0.5+P(0ÉZÉ0.6)=0.7257에서 =P(ZÉ0.5) P(0ÉZÉ0.6)=0.2257 =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ0.5) ∴ P(XÉ17)‌=P{ =0.5+0.1915 =0.6915 X-20 17-20 É } 5 5 =P(ZÉ-0.6)=P(Z¾0.6) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.6) =0.5-0.2257 =0.2743 0446 ④ 확률변수 X가 정규분포 N(24, 3Û`)을 따르므로 Z= X-24 로놓 3 으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ① P(18ÉXÉ21)‌=P{ 18-24 X-24 21-24 É É } 3 3 3 =P(-2ÉZÉ-1) 0448 확률변수 X가 정규분포 N(15, 3Û`)을 따르므로 확률변수 Y=2X+1에 대하여 E(Y)‌=E(2X+1)=2E(X)+1 =2_15+1=31 =P(1ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1) ③ V(Y)‌=V(2X+1)=2Û` V(X) =2Û`_3Û`=6Û` =0.4772-0.3413 =0.1359 따라서 확률변수 Y는 정규분포 N(31, 6Û`)을 따르므로 X-24 21-24 É } 3 3 Z= =P(ZÉ-1)=P(Z¾1) 른다. =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) ∴ P(25ÉYÉ43)‌=P{ ② P(XÉ21)‌=P{ =0.5-0.3413 Y-31 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 6 =P(-1ÉZÉ2) =0.1587 ③ P(21ÉXÉ30)‌=P{ 25-31 Y-31 43-31 É É } 6 6 6 =P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2) 21-24 X-24 30-24 É É } 3 3 3 =P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ2) =P(-1ÉZÉ2) =0.3413+0.4772 =P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2) =0.8185 =P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ2) =0.3413+0.4772 =0.8185 ④ P(XÉ27)=P{ X-24 27-24 É } 3 3 확률변수 X가 정규분포 N(15, 3Û`)을 따르므로 Z= X-15 로놓 3 으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 따라서 확률변수 Y=2X+1에 대하여 P(25ÉYÉ43)‌=P(25É2X+1É43) =P(ZÉ1) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1) =0.5+0.3413 =P(12ÉXÉ21) =P{ =0.8413 ⑤ P(24ÉXÉ30)‌=P{ 다른 풀이 24-24 X-24 30-24 É É } 3 3 3 12-15 X-15 21-15 É É } 3 3 3 =P(-1ÉZÉ2) =P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ2) =0.4772 =0.3413+0.4772 따라서 그 값이 가장 큰 것은 ④이다. =0.8185 308 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 308 2023. 9. 12. 오전 10:02 07 P{ZÉ 표준화하여 미지수 구하기 0449 ① X-55 확률변수 X가 정규분포 N(55, 5Û`)을 따르므로 Z= 로놓 5 으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(Z¾0)-P{0ÉZÉ- a-64 }=0.0228 7 2 a-64 }=0.0228 7 a-64 }=0.4772 7 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 k-55 }=0.9759 P(-3ÉZÉ0)+P{0ÉZÉ 5 P{0ÉZÉ a-64 <0이고 7 a-64 }=0.0228 7 ∴ P{0ÉZÉ- k-55 P{-3ÉZÉ }=0.9759 5 즉, 0.4987+P{0ÉZÉ P{Z¾- 0.5-P{0ÉZÉ- 40-55 X-55 k-55 P{ É É }=0.9759 5 5 5 P(0ÉZÉ3)+P{0ÉZÉ 0.0228<0.5이므로 권 P(40ÉXÉk)=0.9759에서 a-64 }=0.0228 7 - a-64 =2 7 ∴ a=50 k-55 }=0.9759 5 k-55 }=0.9759이므로 5 0452 k-55 }=0.4772 5 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 80 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 Z= k-55 =2 5 X-m 으로 r 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(m-krÉXÉm+kr)=0.5762에서 ∴ k=65 P(-krÉX-mÉkr)=0.5762 이때 r>0이므로 0450 24 확률변수 X가 정규분포 N(m, 4Û`)을 따르므로 Z= X-m 으로 4 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 0.5+P{0ÉZÉ ∴ P{0ÉZÉ ∴ 100k=80 30-m >0이고 4 0453 30-m }=0.9332 4 X-m 으로 r 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 30-m }=0.4332 4 이때 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 P(mÉXÉm+3)‌=P{ 30-m =1.5 4 m-m X-m (m+3)-m } É É r r r 3 } r X-m (m-3)-m } P(XÉm-3)‌=P{ É r r =P{0ÉZÉ ∴ m=24 0451 50 X-64 확률변수 X가 정규분포 N(64, 7Û`)을 따르므로 Z= 로놓 7 으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. X-64 a-64 P{ É }=0.0228 7 7 ③ 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 Z= 30-m }=0.9332 4 P(XÉa)=0.0228에서 2 P(0ÉZÉk)=0.5762 k=0.8 30-m }=0.9332 4 P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ 즉, P(-kÉZÉk)=0.5762에서 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.8)=0.2881이므로 X-m 30-m P{ É }=0.9332 4 4 0.9332>0.5이므로 X-m Ék}=0.5762 r ∴ P(0ÉZÉk)=0.2881 P(XÉ30)=0.9332에서 P{ZÉ P{-kÉ =P{ZÉ=P{Z¾ 3 } r 3 } r =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ =0.5-{0ÉZÉ 3 } (∵ r>0) r 3 } r 이므로 P(mÉXÉm+3)-P(XÉm-3)=0.1826에서 Ⅲ. 통계 309 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 309 2023. 9. 12. 오전 10:02 P{0ÉZÉ 3 3 }-[0.5-P{0ÉZÉ }]=0.1826 r r 0456 3 }=0.6826 r 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수 f(x) 2 P{0ÉZÉ ⑤ 에 대하여 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. 3 ∴ P{0ÉZÉ }=0.3413 r 이때 f(100-x)= f(x)의 양변에 x 대신 50-x를 대입하면 f(100-(50-x))= f(50-x) 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 즉, f(50+x)= f(50-x)이므로 3 =1 ∴ r=3 r m=50 즉, 확률변수 X가 정규분포 N(50, rÛ`)을 따르므로 Z= X-50 r 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(mÉXÉm+10)=0.4772, 즉 P(50ÉXÉ60)=0.4772에서 08 P(50ÉXÉ60)‌=P{ 표준화하여 미지수 구하기 - 정규분포곡선의 성질 이용 =P{0ÉZÉ 0454 ⑤ 정규분포 N(m, 3Û`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수를 =0.4772 10 =2 ∴ r=5 r 이때 P(X¾m-3)=P(XÉ11)이므로 ∴ P(XÉ65)‌=P{ (m-3)+11 2 10 } r 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 f(x)라 하면 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다. m= 50-50 X-50 60-50 É É } r r r X-50 65-50 É } 5 5 =P(ZÉ3) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ3) 2m=m+8 ∴ m=8 즉, 확률변수 X가 정규분포 N(8, 3Û`)을 따르므로 Z= =0.5+0.4987 X-8 로 3 =0.9987 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(X¾2)‌=P{ X-8 2-8 ¾ } 3 3 =P(Z¾-2) =P(ZÉ2) 0457 =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ2) =0.5+0.4772 ② 정규분포 N(m, 2Û`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수 f(x) =0.9772 에 대하여 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이고 x의 값이 m에서 멀어질수록 함숫값은 작아진다. 조건 ㈎에서 f(8)> f(14)이므로 오른 0455 ① 정규분포 N(14, 2Û`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수를 f(x)라 하면 y= f(x)의 그래프는 직선 x=14에 대하여 대칭이다. 이때 P(XÉ3a+7)=P(X¾19-2a)이므로 (3a+7)+(19-2a) =14 2 더 가깝다. 14 x m m-8<14-m 2m<22 ∴ m<11 yy ㉠ y=f(x) 쪽 그림과 같이 평균 m이 6보다 12에 X-14 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 2 더 가깝다. 즉, |m-6|>|12-m|에서 르므로 m-6>12-m P(3a+7ÉXÉ19-2a)‌=P(13ÉXÉ15) 2m>18 =P{ 8 즉, |m-8|<|14-m|에서 조건 ㈏에서 f(6)< f(12)이므로 오른 a+26=28 ∴ a=2 Z= y=f(x) 쪽 그림과 같이 평균 m이 14보다 8에 13-14 X-14 15-14 É É } 2 2 2 =P(-0.5ÉZÉ0.5) =2 P(0ÉZÉ0.5) =2_0.1915 =0.3830 ∴ m>9 6 m 12 x yy ㉡㉠, ㉡에서 9<m<11이고 m은 자연수이므로 m=10 즉, 확률변수 X가 정규분포 N(10, 2Û`)을 따르므로 Z= X-10 2 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 310 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 310 2023. 9. 12. 오전 10:02 ∴ P(12ÉXÉ16)‌=P{ 12-10 X-10 16-10 É É } 2 2 2 따라서 구하는 확률은 P(X¾7)‌=P{ =P(1ÉZÉ3) X-6.5 7-6.5 ¾ } 1 1 =P(0ÉZÉ3)-P(0ÉZÉ1) =P(Z¾0.5) =0.4987-0.3413 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.5) =0.1574 =0.5-0.1915 =0.3085 권 2 0458 ③ 각각 정규분포 N(24, 6Û`), N(36, 6Û`)을 따르는 두 확률변수 X, Y 의 표준편차가 6으로 서로 같으므로 두 확률밀도함수 y= f(x), y=g(x)의 그래프는 대칭축의 위치는 다르지만 모양이 서로 같다. 0460 ② 이 농장에서 수확한 오렌지 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X 는 정규분포 N(150, 10Û`)을 따르고, Z= X-150 으로 놓으면 확 10 이때 Y의 평균이 X의 평균보다 12만큼 크므로 함수 y= f(x)의 률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 그래프를 x축의 방향으로 12만큼 평행이동하면 함수 y=g(x)의 따라서 구하는 확률은 그래프와 일치한다. P(145ÉXÉ170)‌=P{ ∴ g(x)= f(x-12) 145-150 X-150 170-150 É É } 10 10 10 =P(-0.5ÉZÉ2) 이때 두 함수 y= f(x), y=g(x)의 그래프가 만나는 점의 x좌표가 =P(0ÉZÉ0.5)+P(0ÉZÉ2) a이므로 =0.1915+0.4772 f(a)=g(a)= f(a-12) =0.6687 함수 y= f(x)의 그래프는 직선 x=24에 대하여 대칭이고 f(a)= f(a-12)이므로 a+(a-12) =24 2 0461 2a-12=48 ∴ a=30 ③ 이 고등학교 학생들의 일주일 독서 시간을 확률변수 X라 하면 X y=f(x) y=g(x) 는 정규분포 N(7, 2Û`)을 따르고, Z= X-7 로 놓으면 확률변수 2 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 24 Z= 30 36 이때 이 고등학교 학생이 도서상품권을 받으려면 독서 시간이 11시 x X-24 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 6 르므로 간 이상이어야 하므로 구하는 확률은 P(X¾11)‌=P{ =P(Z¾2) P(aÉXÉ36)‌=P(30ÉXÉ36) =P{ X-7 11-7 ¾ } 2 2 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) 30-24 X-24 36-24 É É } 6 6 6 =0.5-0.4772 =P(1ÉZÉ2) =0.0228 =P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1) =0.4772-0.3413 0462 =0.1359 ③ 지웅이가 등교하는 데 걸리는 시간을 확률변수 X라 하면 X는 정 규분포 N(36, 4Û`)을 따르고, Z= X-36 으로 놓으면 확률변수 Z 4 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 등교 시각은 오전 8시 30분이고 지웅이가 집에서 출발하는 시 09 각이 오전 7시 48분이므로 지웅이가 학교에 지각하지 않으려면 등 정규분포의 활용 - 확률 구하기 0459 교하는 데 걸리는 시간이 42분 이하이어야 한다. ⑤ 이 생수 회사에서 판매하는 1`L 생수 한 병에 들어 있는 나트륨의 양을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(6.5, 1Û`)을 따르고, Z= X-6.5 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 1 른다. 따라서 구하는 확률은 P(XÉ42)‌=P{ X-36 42-36 É } 4 4 =P(ZÉ1.5) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5) =0.5+0.4332 =0.9332 Ⅲ. 통계 311 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 3권(303-324)_확통-6강해설.indd 311 2023. 9. 21. 오전 11:42 0465 연속확률변수 X가 특정한 값을 가질 확률은 0이므로 ② 이 농장에서 생산한 사과 한 개의 당도를 확률변수 X라 하면 X는 P(aÉXÉb)‌=P(aÉX<b)=P(a<XÉb)=P(a<X<b) 이다. 즉, 이 문제에서 처음부터 P(X<42)=P(XÉ42)로 놓고 풀어도 된다. 정규분포 N(18, 2Û`)을 따르고, Z= X-18 로 놓으면 확률변수 Z 2 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 조사 대상인 사과 한 개의 당도가 16`Brix 이상이고 19`Brix 이하일 확률은 0463 ③ P(16ÉXÉ19)‌=P{ =P(-1ÉZÉ0.5) 이 공장에서 생산한 탁구공 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X 는 정규분포 N(26.8, 0.4Û`)을 따르고, Z= =P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ0.5) X-26.8 로 놓으면 확 0.4 률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 탁구공의 기준 무게는 27`g이고 탁구공의 무게가 기준 무게와 비교 하여 0.4`g 이상 차이가 나면 그 탁구공을 불량품으로 판정하므로 구하는 확률은 16-18 X-18 19-18 É É } 2 2 2 =0.3413+0.1915 =0.5328 따라서 이 농장에서 생산한 사과 10만 개 중 당도가 16`Brix 이상 이고 19`Brix 이하인 사과의 개수는 100000_0.5328=53280 P(|X-27|¾0.4) =P(X-27¾0.4 또는 X-27É-0.4) =P(X¾27.4 또는 XÉ26.6) 0466 =P(X¾27.4)+P(XÉ26.6) X-26.8 27.4-26.8 X-26.8 26.6-26.8 =P{ ¾ }+P{ É } 0.4 0.4 0.4 0.4 114 이 지역에서 작년에 태어난 신생아 한 명의 몸무게를 확률변수 X =P(Z¾1.5)+P(ZÉ-0.5) 라 하면 X는 정규분포 N(3.2, 0.4Û`)을 따르고, Z= =P(Z¾1.5)+P(Z¾0.5) ={P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.5)}+{P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.5)} =(0.5-0.4332)+(0.5-0.1915) 으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 신생아 한 명의 몸무게가 4`kg 이상일 확률은 P(X¾4)‌=P{ =0.3753 X-3.2 로놓 0.4 X-3.2 4-3.2 ¾ } 0.4 0.4 =P(Z¾2) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) =0.5-0.4772 =0.0228 따라서 신생아 한 명이 우량아로 분류될 확률이 0.0228이므로 이 지역에서 작년에 태어난 신생아 5000명 중 우량아의 수는 10 5000_0.0228=114 정규분포의 활용 - 도수 구하기 0464 ⑤ 이 고등학교 학생 한 명이 등교하는 데 걸리는 시간을 확률변수 X 라 하면 X는 정규분포 N(20, 5Û`)을 따르고, Z= X-20 으로 놓 5 으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 조사 대상인 고등학교 학생 중 한 명이 등교하는 데 걸리는 시 250 이 시험의 응시생 한 명의 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분 포 N(88, 8Û`)을 따르고, Z= X-88 로 놓으면 확률변수 Z는 표 8 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 간이 28분 이하일 확률은 P(XÉ28)‌=P{ 0467 X-20 28-20 É } 5 5 =P(ZÉ1.6) 이때 이 시험에서 96점 이상을 받을 확률은 P(X¾96)‌=P{ X-88 96-88 ¾ } 8 8 =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1.6) =P(Z¾1) =0.5+0.445 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) =0.945 =0.5-0.34 따라서 이 고등학교 학생 600명 중 등교하는 데 걸리는 시간이 28 =0.16 분 이하인 학생의 수는 이 시험에 응시한 n명 중 96점 이상을 받은 응시생이 40명이므로 600_0.945=567 n_0.16=40 ∴ n=250 312 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 312 2023. 9. 12. 오전 10:02 11 0470 정규분포의 활용 - 미지수 구하기 ④ 이 고등학교 학생 한 명의 SNS 하루 이용 시간을 확률변수 X라 0468 78 이 자격증 시험에 응시한 응시생의 점수를 확률변수 X라 하면 X X-m 는 정규분포 N(m, 8Û`)을 따르고, Z= 으로 놓으면 확률변 8 이때 응시생 중 임의로 선택한 한 명의 점수가 90점 이상일 확률이 X-70 으로 놓으 r 면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이 고등학교 학생 중 임의로 선택한 한 명의 SNS 하루 이용 시간 이 67분 이상이고 73분 이하일 확률이 0.6826이므로 P(67ÉXÉ73)‌=P{ 0.0668이므로 67-70 X-70 73-70 É É } r r r =P{- X-m 90-m P(X¾90)‌=P{ ¾ } 8 8 3 3 ÉZÉ } r r =2 P{0ÉZÉ 90-m =P{Z¾ } 8 2 권 수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 하면 X는 정규분포 N(70, rÛ`)을 따르고, Z= 3 } r =0.6826 =0.0668 ∴ P{0ÉZÉ 90-m 0.0668<0.5이므로 >0이고 8 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 90-m 90-m P{Z¾ }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 8 8 =0.5-P{0ÉZÉ 3 }=0.3413 r 3 =1 ∴ r=3 r 90-m } 8 0471 =0.0668 90-m ∴ P{0ÉZÉ }=0.4332 8 26 두 전자회사 A, B에서 판매하는 무선청소기의 1회 최대 사용 시간 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 을 각각 확률변수 X, Y라 하면 X, Y가 각각 정규분포 N(30, 6Û`), 90-m =1.5 8 N(24, 3Û`)을 따르므로 두 확률변수 ∴ m=78 X-30 Y-24 , 는 모두 표 6 3 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 A 전자회사의 무선 청소기 중에서 임의로 선택한 한 대의 1회 최대 사용 시간이 a분 이 하일 확률은 P(XÉa)=P{ 0469 X-30 a-30 É } 6 6 =P{ZÉ 598 a-30 } yy ㉠ 6 옥수수 식빵 1팩과 밤 식빵 1팩의 무게를 각각 확률변수 X, Y라 또한 B 전자회사의 무선청소기 중에서 임의로 선택한 한 대의 1회 하면 X, Y가 각각 정규분포 N(500, 16Û`), N(600, 4Û`)을 따르므 최대 사용 시간이 a분 이상일 확률은 로 두 확률변수 X-500 Y-600 , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1) 16 4 P(Y¾a)‌=P{ 을 따른다. Y-24 a-24 ¾ } 3 3 =P{Z¾ 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 옥수수 식빵 중에서 =P{ZÉ- 임의로 선택한 1팩의 무게가 508`g 이상 516`g 이하일 확률은 P(508ÉXÉ516)‌=P{ 508-500 X-500 516-500 É É } 16 16 16 =P(0.5ÉZÉ1) =P(-1ÉZÉ-0.5) yy ㉠ 또한 밤 식빵 중에서 임의로 선택한 1팩의 무게가 596`g 이상 a`g a-24 } 3 a-24 } 3 yy ㉡ 이때 ㉠, ㉡이 일치해야 하므로 a-30 a-24 =6 3 a-30=-2(a-24), a-30=-2a+48 3a=78 ∴ a=26 이하일 확률은 P(596ÉYÉa)‌=P{ 596-600 Y-600 a-600 É É } 4 4 4 a-600 =P{-1ÉZÉ } 4 yy ㉡ 0472 ① 두 과수원 A, B에서 수확한 배 1개의 무게를 각각 확률변수 X, Y 이때 ㉠, ㉡이 일치해야 하므로 라 하면 X, Y가 각각 정규분포 N(m, rÛ`), N(m+15, 4rÛ`)을 따 a-600 =-0.5 4 르므로 두 확률변수 ∴ a=598 포 N(0, 1)을 따른다. X-m Y-(m+15) , 는 모두 표준정규분 2r r Ⅲ. 통계 313 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 313 2023. 9. 12. 오전 10:02 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 과수원 A에서 수확 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.48)=0.43이므로 한 배 1개의 무게가 (m-10) g 이하일 확률이 0.3085이므로 k-60 =1.48 10 (m-10)-m X-m P(XÉm-10)‌=P{ } É r r =P{ZÉ- 10 10 }=P{Z¾ } r r =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ 따라서 이 기능사 시험에 합격하기 위한 최저 점수는 74.8점이다. 10 } r 10 } r =0.5-P{0ÉZÉ ∴ P{0ÉZÉ ∴ k=74.8 =0.3085 0474 10 }=0.1915 r 이 고등학교 3학년 학생의 중간고사 수학 성적을 확률변수 X라 하 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.5)=0.1915이므로 면 X는 정규분포 N(82, 8Û`)을 따르고, Z= 10 =0.5 ∴ r=20 r X-82 로 놓으면 확 8 률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 따라서 과수원 B에서 수확한 배 1개의 무게가 (m+25)`g 이하일 확률은 P(YÉm+25)‌=P{ ④ Y-(m+15) (m+25)-(m+15) É } 40 40 내신 1등급을 받으려면 상위 4`% 이내의 성적을 얻어야 하므로 수 학 내신 1등급을 받기 위한 최저 점수를 k점이라 하면 P(X¾k)‌=P{ =P(ZÉ0.25) X-82 k-82 ¾ } 8 8 =P{Z¾ =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ0.25) k-82 } 8 =0.04 =0.5+0.0987 0.04<0.5이므로 =0.5987 P{Z¾ k-82 >0이고 8 k-82 k-82 }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 8 8 =0.5-P{0ÉZÉ k-82 } 8 =0.04 ∴ P{0ÉZÉ 12 정규분포의 활용 - 최솟값 구하기 0473 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.75)=0.46이므로 ① 모집 정원이 210명인 시험에 3000명이 응시하였으므로 이 기능사 선발 시험에 합격하기 위해서는 k-82 }=0.46 8 210 =0.07, 즉 상위 7`% 이내에 3000 k-82 =1.75 8 ∴ k=96 따라서 수학 내신 1등급을 받기 위한 최저 점수는 96점이다. 들어야 한다. 이 기능사 선발 시험 응시자의 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정 규분포 N(60, 10Û`)을 따르고, Z= X-60 으로 놓으면 확률변수 10 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 시험에 합격하는 최저 점수를 k점이라 하면 X-60 k-60 P(X¾k)‌=P{ ¾ } 10 10 36회 회원 50명 중 윗몸일으키기 기록이 좋은 회원부터 차례로 8명을 뽑 아 문화상품권을 지급하므로 문화상품권을 받으려면 8 =0.16, 50 즉 상위 16`% 이내에 들어야 한다. k-60 =P{Z¾ } 10 이 체육관 회원 1명의 윗몸일으키기 기록을 확률변수 X라 하면 X =0.07 는 정규분포 N(34, 2Û`)을 따르고, Z= 0.07<0.5이므로 P{Z¾ 0475 k-60 >0이고 10 수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. k-60 k-60 }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 10 10 =0.5-P{0ÉZÉ =0.07 k-60 ∴ P{0ÉZÉ }=0.43 10 X-34 로 놓으면 확률변 2 k-60 } 10 문화상품권을 받은 8명의 회원 중 기록이 가장 낮은 회원의 기록을 k회라 하면 P(X¾k)‌=P{ X-34 k-34 ¾ } 2 2 =P{Z¾ k-34 } 2 =0.16 314 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 314 2023. 9. 12. 오전 10:02 0.16<0.5이므로 k-34 >0이고 2 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 이 기말고사에서 은 주는 세 과목 모두 90점을 받았으므로 은주의 성적 이상을 받을 확 k-34 k-34 P{Z¾ }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 2 2 =0.5-P{0ÉZÉ 률은 다음과 같다. P(W¾90)‌=P{ k-34 } 2 =P(Z¾0.5) =0.16 ∴ P{0ÉZÉ W-88 90-88 ¾ } 4 4 P(X¾90)‌=P{ k-34 }=0.34 2 X-82 90-82 ¾ } 8 8 2 P(Y¾90)‌=P{ k-34 =1 ∴ k=36 2 따라서 문화상품권을 받은 8명의 회원 중 기록이 가장 낮은 회원의 기록은 36회이다. 권 =P(Z¾1) 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.34이므로 Y-88 90-88 ¾ } 8 8 =P(Z¾0.25) 이때 0.25<0.5<1이므로 P(Z¾1)<P(Z¾0.5)<P(Z¾0.25) y=f(z) 0 13 0.5 0.25 1 z 따라서 P(X¾90)<P(W¾90)<P(Y¾90)이므로 은주의 성적 표준화하여 확률 비교하기 이 상대적으로 우수한 과목부터 차례대로 나열하면 수학, 국어, 영 0476 ① 어이다. 세 확률변수 XÁ, Xª, X£이 각각 정규분포 N(20, 2Û`), N(25, 4Û`), N(30, 7Û`)을 따르므로 세 확률변수 XÁ-20 Xª-25 , , 2 4 X£-30 은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 7 이때 pn=P(Xn¾23)이므로 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 0478 ① 세 과수원 A, B, C에서 수확한 사과 한 개의 무게를 각각 확률변 수 W, X, Y라 하면 W, X, Y는 각각 정규분포 N(210, 10Û`), pÁ=P(XÁ¾23) XÁ-20 23-20 =P{ ¾ }=P(Z¾1.5) 2 2 N(212, 6Û`), N(220, 4Û`)을 따르므로 세 확률변수 W-210 , 10 X-212 Y-220 , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 6 4 pª=P(Xª¾23) Xª-25 23-25 ¾ }=P(Z¾-0.5) =P{ 4 4 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하고 세 과수원 A, B, C 에서 수확한 사과 중에서 각각 임의로 선택한 사과 한 개가 특상품 p£=P(X£¾23) X£-30 23-30 ¾ }=P(Z¾-1) =P{ 7 7 으로 분류될 확률을 각각 구하면 P(W¾230)‌=P{ W-210 230-210 ¾ } 10 10 =P(Z¾2) -1 0 -0.5 1.5 P(X¾230)‌=P{ z X-212 230-212 ¾ } 6 6 =P(Z¾3) 따라서 -1<-0.5<1.5에서 P(Y¾230)‌=P{ P(Z¾1.5)<P(Z¾-0.5)<P(Z¾-1)이므로 Y-220 230-220 ¾ } 4 4 =P(Z¾2.5) pÁ<pª<p3 이때 2<2.5<3이므로 P(Z¾3)<P(Z¾2.5)<P(Z¾2) ∴ P(X¾230)<P(Y¾230)<P(W¾230) 0477 ③ 국어, 수학, 영어의 성적을 각각 확률변수 W, X, Y라 하면 W, X, Y는 각각 정규분포 N(88, 4Û`), N(82, 8Û`), N(88, 8Û`)을 따르 므로 세 확률변수 W-88 X-82 Y-88 , , 은 모두 표준정규분 4 8 8 포 N(0, 1)을 따른다. 0 2 3 2.5 z 따라서 특상품일 확률이 가장 높은 과수원은 A, 가장 낮은 과수원 은 B이다. Ⅲ. 통계 315 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 315 2023. 9. 12. 오전 10:02 0479 ⑤ P(XÉ56)‌=P{ 6 =P{ZÉ } 5 하영이네 반 전체 학생의 국어, 수학, 영어 성적을 각각 확률변수 XÁ, Xª, X£이라 하면 XÁ, Xª, X£이 각각 정규분포 N(80, 4Û`), XÁ-80 Xª-72 , , N(72, 3Û`), N(78, 2Û`)을 따르므로 세 확률변수 4 3 X£-78 은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 2 X-50 56-50 É } 5 5 ∴ c= 6 5 6 ∴ (a+b)_c=(50+25)_ =90 5 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 하영이보다 국어, 수 학, 영어 성적이 높을 확률은 각각 다음과 같다. P(XÁ>84)‌=P{ 0481 XÁ-80 84-80 > } 4 4 =P(Z>1) Xª-72 81-72 P(Xª>81)‌=P{ > } 3 3 ② 확률변수 X가 이항분포 B{150, 3 }을 따르므로 5 3 E(X)=150_ =90 5 =P(Z>3) X£-78 82-78 P(X£>82)‌=P{ > } 2 2 3 2 V(X)=150_ _ =36=6Û` 5 5 이때 150은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 =P(Z>2) 포 N(90, 6Û`)을 따르고 Z= X-90 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 6 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 0 1 2 3 ∴ P(78ÉXÉ93)‌=P{ z 이때 1<2<3이므로 78-90 X-90 93-90 É É } 6 6 6 =P(-2ÉZÉ0.5) P(Z>1)>P(Z>2)>P(Z>3) =P(0ÉZÉ2)+P(0ÉZÉ0.5) ∴ P(XÁ>84)>P(X£>82)>P(Xª>81) =0.4772+0.1915 따라서 상대적으로 성적이 가장 좋은 과목부터 차례대로 나열하면 =0.6687 수학, 영어, 국어이다. ㄱ. 영어 ‌ 성적이 국어 성적보다 상대적으로 좋다. (참) ㄴ. 수학 ‌ 성적이 가장 낮게 나왔으나 세 과목 중에서 수학 성적이 상대적으로 가장 좋다. (참) ㄷ. 국어 ‌ 성적이 가장 높게 나왔으나 세 과목 중에서 국어 성적이 0482 ④ 확률변수 X가 이항분포 B(72, p)를 따르므로 V(X)=72p(1-p) 상대적으로 가장 나쁘다. (참) 또한 V(2X-5)=64에서 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 2Û` V(X)=64 ∴ V(X)=16 즉, V(X)=72p(1-p)=16에서 9pÛ`-9p+2=0, (3p-1)(3p-2)=0 ∴ p=;3!; 또는 p=;3@; 14 이때 ;2!;<p<1이므로 p=;3@; 이항분포와 정규분포의 관계 0480 즉, 확률변수 X는 이항분포 B{72, ;3@;}를 따르므로 90 확률변수 X가 이항분포 B{100, ;2!;}을 따르므로 X-48 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 4 규분포 N(0, 1)을 따른다. V(X)=100_;2!;_;2!;=25=5Û` 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 포 N(50, 5Û`)을 따른다. ∴ P(X¾40)‌=P{ X-48 40-48 ¾ } 4 4 =P(Z¾-2) =P(ZÉ2) ∴ a=50, b=25 X-50 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 5 N(0, 1)을 따르므로 이때 72는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(48, 4Û`)을 따르고 Z= E(X)=100_;2!;=50 또한 Z= E(X)=72_;3@;=48 =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ2) =0.5+0.4772 =0.9772 316 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 316 2023. 9. 12. 오전 10:02 0483 ④ - 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)=450Cx{;3!;} {;3@;} x 450-x 132-n =1 '§n 132-n=-'§n, n-'§n-132=0 (x=0, 1, 2, y, 450) ('§n )Û`-'§n-132=0, ('§n+11)('§n-12)=0 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{450, ;3!;}을 따른다. 이때 '§n >0이므로 '§n=12 ∴ n=144 2 권 ∴ E(X)=450_;3!;=150, V(X)=450_;3!;_;3@;=100=10Û` 이때 450은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 X-150 으로 놓으면 확률변수 Z는 포 N(150, 10Û`)을 따르고 Z= 10 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(120ÉXÉ140)‌=P{ 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 120-150 X-150 140-150 É É } 10 10 10 =P(-3ÉZÉ-1) 0485 ③ C _4n 4n an‌= 100 n100 =100Cn_ n 5 5 _5100-n 4 n 1 100-n =100Cn{ } { } 5 5 즉, P(X=x)=100Cx{ 4 x 1 100-x (x=0, 1, 2, y, 100)이라 }{ } 5 5 하면 이 함수는 이항분포 B{100, =P(1ÉZÉ3) 4 }를 따르는 확률변수 X의 확 5 =P(0ÉZÉ3)-P(0ÉZÉ1) 률질량함수이고 =0.4987-0.3413 a70+a71+a72+y+a90=P(70ÉXÉ90) =0.1574 을 의미한다. 확률변수 X가 이항분포 B{100, 4 }를 따르므로 5 4 E(X)=100_ =80 5 4 1 V(X)=100_ _ =16=4Û` 5 5 0484 144 확률변수 X가 이항분포 B{n, E(X)=n_ V(X)=n_ 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 포 N(80, 4Û`)을 따르고 Z= 1 }을 따르므로 2 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 1 n = 2 2 ∴ a70+a71+a72+y+a90‌=P(70ÉXÉ90) '§n Û 1 1 n }` _ = ={ 2 2 2 4 =P{ 이때 n>100에서 n은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적 '§n Û 으로 정규분포 N{ n , { }`}을 따르고 Z= 2 2 X- '§n 2 면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(XÉ66)‌=Pá X- n 2 66- É '§n '§n 2 2 132-n =P{ZÉ } '§n =0.1587 n 2 132-n <0이고 '§n 132-n 132-n P{ZÉ }‌=P{Z¾} '§n '§n n 2 132-n } =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ'§n 132-n =0.5-P{0ÉZÉ} '§n =0.1587 132-n }=0.3413 '§n 70-80 X-80 90-80 É É } 4 4 4 =P(-2.5ÉZÉ2.5) =2P(0ÉZÉ2.5) =2_0.4938 으로 놓으 =0.9876 â 0.1587<0.5이므로 ∴ P{0ÉZÉ- X-80 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 4 15 이항분포와 정규분포의 관계의 활용 - 확률 구하기 0486 ④ 이 회사에서 구내식당을 이용하는 직원이 전체 직원의 90`%, 즉 9 이므로 이 회사 직원 100명 중 구내식당을 이용하는 직원의 수 10 를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{100, ∴ E(X)=100_ V(X)=100_ 9 }를 따른다. 10 9 =90, 10 9 1 _ =9=3Û` 10 10 Ⅲ. 통계 317 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 317 2023. 9. 12. 오전 10:02 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 포 N(90, 3Û`)을 따르고 Z= X-90 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 3 이때 288은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 포 N(192, 8Û`)을 따르고 Z= X-192 로 놓으면 확률변수 Z는 8 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 따라서 구하는 확률은 따라서 구하는 확률은 X-90 96-90 P(X¾96)‌=P{ ¾ } 3 3 P(188ÉXÉ200)‌=P{ =P(Z¾2) =P(-0.5ÉZÉ1) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ0.5)+P(0ÉZÉ1) =0.5-0.4772 =0.1915+0.3413 =0.0228 =0.5328 0487 ③ 세 영화 A, B, C를 관람한 영화 동호회 회원 중 A 영화를 관람한 회원의 비율은 즉, 세 영화 A, B, C를 관람한 영화 동호회 회원 2100명 중 A`영 화를 관람한 회원의 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 ⑤ 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던졌을 때, 두 눈의 수의 합이 ∴ E(X)=2100_ V(X)=2100_ 이 시행을 100번 하였을 때, 사건 A가 일어나는 횟수를 확률변수 1 }을 따르므로 2 1 E(X)=100_ =50 2 3 =630, 10 1 V(X)=100_;2!;_ =25=5Û` 2 3 7 _ =21Û` 10 10 이때 2100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규 분포 N(630, 21Û`)을 따르고 Z= 1 1 1 1 P(A)= _ + _ =;2!; 2 2 2 2 X라 하면 X는 이항분포 B{100, 3 }을 따른다. 10 X-630 으로 놓으면 확률변수 21 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 포 N(50, 5Û`)을 따르고 Z= X-50 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 5 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 따라서 구하는 확률은 따라서 구하는 확률은 P(X¾609)‌=P{ 0489 짝수이려면 (짝수)+(짝수) 또는 (홀수)+(홀수)이어야 하므로 30 3 = 100 10 B{2100, 188-192 X-192 200-192 É É } 8 8 8 P(40ÉXÉ60)‌=P{ X-630 609-630 ¾ } 21 21 40-50 X-50 60-50 É É } 5 5 5 =P(-2ÉZÉ2) =P(Z¾-1) =2P(0ÉZÉ2) =P(ZÉ1) =2_0.4772 =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1) =0.9544 =0.5+0.3413 =0.8413 0488 ① 한 개의 주사위를 던질 때 6의 약수의 눈, 즉 1, 2, 3, 6의 눈이 나올 4 확률은 =;3@;이므로 한 개의 주사위를 288번 던질 때 6의 약수의 6 눈이 나오는 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{288, 2 }를 따른다. 3 0490 ① 주어진 게임을 192번 할 때 7점을 얻는 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{192, 1 }을 따른다. 4 1 ∴ E(X)=192_ =48, 4 1 3 V(X)=192_ _ =36=6Û` 4 4 이때 192는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 2 ∴ E(X)=288_ =192, 3 2 V(X)=288_ _;3!;=64=8Û` 3 포 N(48, 6Û`)을 따르고 Z= X-48 로 놓으면 확률변수 Z는 표준 6 정규분포 N(0, 1)을 따른다. 318 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 318 2023. 9. 12. 오전 10:02 한편, 3점을 잃는 횟수는 192-X이므로 게임을 192번 한 후의 점 16 수가 24점 이상이려면 7X-3(192-X)¾24 이항분포와 정규분포의 관계의 활용 - 미지수 구하기 10X-576¾24 0492 10X¾600 정답이 한 개인 오지선다형 문제 25개 중 이 학생이 틀린 문제의 개 ∴ X¾60 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{25, 따라서 구하는 확률은 4 }를 따르므로 5 2 권 4 E(X)=25_ =20 5 X-48 60-48 ¾ } 6 6 P(X¾60)‌=P{ ④ 4 1 V(X)=25_ _ =4=2Û` 5 5 =P(Z¾2) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) 이때 25는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 =0.5-0.4772 N(20, 2Û`)을 따르고 Z= =0.0228 X-20 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준 2 정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이 학생이 문제 25개 중 k개 이상의 문제를 틀릴 확률이 0.6915이 므로 P(X¾k)‌=P{ X-20 k-20 ¾ } 2 2 k-20 } 2 =P{Z¾ =0.6915 0491 ① 이 공장에서 생산한 과자 한 개의 중량을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(150, 5Û`)을 따르므로 확률변수 X-150 은 표준정규 5 0.6915>0.5이므로 P{Z¾ k-20 <0이고 2 k-20 k-20 }‌=P{ZÉ} 2 2 =P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ- 분포 N(0, 1)을 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 이 공장에서 생산한 =0.5+P{0ÉZÉ- 과자 중에서 임의로 선택한 과자 한 개의 중량이 154.2`g 이상일 확 =0.6915 률은 X-150 154.2-150 P(X¾154.2)‌=P{ ¾ } 5 5 =P(Z¾0.84) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.84) ∴ P{0ÉZÉ- k-20 } 2 k-20 } 2 k-20 }=0.1915 2 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.5)=0.1915이므로 - k-20 =0.5 2 ∴ k=19 =0.5-0.3 =0.2 따라서 이 공장에서 생산한 과자 중에서 임의로 100개를 선택할 때, 중량이 154.2`g 이상인 과자의 개수를 확률변수 Y라 하면 Y는 이항분포 B{100, 1 }을 따른다. 5 0493 1 ∴ E(Y)=100_ =20, 5 1 4 V(Y)=100_ _ =16=4Û` 5 5 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 Y는 근사적으로 정규분 포 N(20, 4Û`)을 따르고 확률변수 Y-20 은 표준정규분포 4 N(0, 1)을 따른다. 따라서 구하는 확률은 P(Y¾24)‌=P{ Y-20 24-20 ¾ } 4 4 =P(Z¾1) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) =0.5-0.34 =0.16 ② 한 개의 주사위를 던져 5의 약수, 즉 1, 5의 눈이 나올 확률은 2 =;3!; 6 한 개의 주사위를 162번 던질 때, 5의 약수의 눈이 나오는 횟수가 확률변수 X이므로 X는 이항분포 B{162, 1 }을 따른다. 3 1 ∴ E(X)=162_ =54, 3 1 V(X)=162_ _;3@;=36=6Û` 3 이때 162는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 포 N(54, 6Û`)을 따르고 Z= X-54 로 놓으면 확률변수 Z는 표준 6 정규분포 N(0, 1)을 따른다. Ⅲ. 통계 319 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 319 2023. 9. 12. 오전 10:02 0495 P(XÉk)=0.8413이므로 X-54 k-54 P(XÉk)‌=P{ É } 6 6 왕란이 10`%의 비율로 생산되는 이 농장의 계란 n개 중에서 왕란 k-54 } 6 =P{ZÉ 의 개수가 확률변수 X이므로 X는 이항분포 B{n, =0.8413 0.8413>0.5이므로 P{ZÉ k-54 >0이고 6 =0.5+P{0ÉZÉ V(X)=n_ k-54 } 6 으로 정규분포 N{ 3'§n Û 1 9 1 }`}을 따르 n, n}, 즉 N{ n, { 10 10 100 10 1 n 10 고 Z= 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1) 3'§n 10 을 따른다. X- k-54 }=0.3413 6 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 k-54 =1 6 P(|10X-n|É75)¾0.9544에서 P(-75É10X-nÉ75)¾0.9544 ∴ k=60 0494 16 이 고등학교 학생 중 등교할 때 자전거를 이용하는 학생의 비율이 1 이므로 이 고등학교 학생 100명 중 등교할 때 자전거 5 를 이용하는 학생의 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{100, 1 9 9 _ = n 10 10 100 이때 n¾100에서 n은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적 =0.8413 20`%, 즉 1 }을 따른다. 10 1 1 = n, 10 10 ∴ E(X)=n_ k-54 k-54 }‌=P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ } 6 6 ∴ P{0ÉZÉ 156 1 }을 따른다. 5 1 ∴ E(X)=100_ =20, 5 1 4 V(X)=100_ _ =16=4Û` 5 5 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 X-20 으로 놓으면 확률변수 Z는 표 포 N(20, 4Û`)을 따르고 Z= 4 P{-7.5ÉX- 1 nÉ7.5}¾0.9544 10 -7.5 É Pá 3'§n 10 1 n 7.5 10 É â¾0.9544 3'§n 3'§n 10 10 X- 25 25 ÉZÉ }¾0.9544 '§n '§n 25 }¾0.9544 2 P{0ÉZÉ '§n 25 ∴ P{0ÉZÉ }¾0.4772 '§n 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 P{- 25 ¾2 '§n '§nÉ12.5 ∴ nÉ156.25 따라서 자연수 n의 최댓값은 156이다. 준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 등교할 때 자전거를 이용하는 학생의 수가 n명 이상 32명 이하일 확률이 0.84이므로 P(nÉXÉ32)‌=P{ n-20 X-20 32-20 É É } 4 4 4 =P{ n-20 ÉZÉ3} 4 =P{ n-20 ÉZÉ0}+P(0ÉZÉ3) 4 =P{0ÉZÉ- n-20 }+P(0ÉZÉ3) 4 =P{0ÉZÉ- n-20 }+0.4987 4 =0.84 ∴ P{0ÉZÉ- n-20 }=0.3413 4 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 - n-20 =1 4 ∴ n=16 320 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 320 2023. 9. 12. 오전 10:02 P(0ÉXÉx)의 값은 함수 y= f(x)의 그래프와 x축, y축 및 x좌 표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 직선으로 둘러싸인 부분의 넓 이이므로 0496 ③ g(x)=P(0ÉXÉx)=bx (0ÉxÉa) 즉, 함수 y=g(x)의 그래프는 오른 y 확률변수 X는 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르고 쪽 그림과 같고, 0ÉxÉa에서 함수 ab P(XÉa+10)=P(X¾5-b)이므로 (a+10)+(5-b) a-b+15 m= = 2 2 y=g(x)의 그래프와 x축 및 직선 E(Y)=E{ x=a로 둘러싸인 부분의 넓이가 1 yy ㉠ 이므로 X+20 이 정규분포 N(60, 2Û`)을 따르므로 2 X+20 1 1 }= E(X)+10= _m+10=60 2 2 2 x a yy ㉡㉠, ㉡에서 따라서 g(x)=;2!;x이므로 P(0ÉYÉc)=;2!;에서 a-b+15 =100 2 c cÛ` P(0ÉYÉc)=;2!;_c_ = =;2!; 2 4 ∴ a-b=185 ∴ cÛ`=2 한편, V(Y)=V{ c ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=;2!; yy ㉡ ∴ m=100 O ;2!;_a_ab=1 2 권 확률변수 Y= y=g(x) ∴ (a+b)_cÛ`={2+;2!;}_2=5 X+20 1 }= V(X)=2Û`이므로 2 2Û` V(X)=16 ∴ rÛ`=16 0498 ∴ a-b+rÛ`=185+16=201 ⑤ 이 공장에서 생산하는 휴대전화 배터리 1개의 지속 시간을 확률변 연속확률변수 X의 확률밀도함수를 f(x)라 할 때, P(XÉa+10)=P(X¾5-b)가 성립하면 다음 그림에서 색칠한 부분 과 빗금친 부분의 넓이가 서로 같으므로 |m-(a+10)|=|m-(5-b)| 가 성립한다. y=f(x) 수 X라 하면 X는 정규분포 N(40, 5Û`)을 따르므로 확률변수 X-40 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 5 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 이 공장에서 생산한 휴대전화 배터리 중 임의로 선택한 배터리 1개의 지속 시간이 30시 y=f(x) 간 이하일 확률은 P(XÉ30)‌=P{ x a+10 m 5-b x 5-b m a+10 X-40 30-40 É } 5 5 =P(ZÉ-2) =P(Z¾2) 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따를 때, 실수 a, b에 =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2) 대하여 =0.5-0.48 P(X<a-3)=P(X>b+2) =0.02 1 가 성립한다. Y= X+1일 때, 확률변수 Y의 평균은 51, 분 3 즉, 이 공장에서 생산한 휴대전화 배터리 10000개 중 지속 시간이 4 산은 이다. 이때 a+b+r의 값은? 9 B(10000, 0.02)를 따른다. ① 299 ② 300 ③ 301 30시간 이하인 배터리의 수를 확률변수 Y라 하면 Y는 이항분포 ∴ E(Y)=10000_0.02=200, ④ 302 ⑤ 303 V(Y)=10000_0.02_0.98=196=14Û` ⑤ 이때 10000은 충분히 큰 수이므로 확률변수 Y는 근사적으로 정규 분포 N(200, 14Û`)을 따르고 확률변수 N(0, 1)을 따른다. 0497 5 f(x)=b이므로 함수 y= f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다. 0ÉxÉa에서 함수 y= f(x)의 그래 프와 x축, y축 및 직선 x=a로 둘러 싸인 부분의 넓이가 1이므로 ab=1 Y-200 은 표준정규분포 14 yy ㉠ 따라서 구하는 확률은 P(Y<179)‌=P{ y y=f(x) b Y-200 179-200 < } 14 14 =P(Z<-1.5) =P(Z>1.5) O x a x =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.5) =0.5-0.43 =0.07 Ⅲ. 통계 321 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 321 2023. 9. 12. 오전 10:02 0500 160 어느 과수원에서 수확한 사과의 무게는 평균 400`g, 표준편차 이 고등학교 3학년 학생의 국어, 영어 시험 점수를 각각 확률변수 50`g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 사과 중 무게가 442`g X, Y라 하면 X, Y가 각각 정규분포 N(m, rÛ`), 이상인 것을 1등급 상품으로 정한다. 이 과수원에서 수확한 사과 중 z P(0ÉZÉz) 100개를 임의로 선택할 때, 1등 0.64 0.24 급 상품이 24개 이상일 확률을 0.84 0.30 오른쪽 표준정규분포표를 이용 1.00 0.34 하여 구한 것은? 1.28 0.40 ④ 0.26 ⑤ 0.34 ① 0.10 ② 0.16 ③ 0.20 N(m+12, (2r)Û`)을 따르므로 두 확률변수 X-m , r Y-(m+12) 는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 2r 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 이 고등학교 3학년 학생 중에서 임의로 선택한 한 명의 학생의 국어 성적이 84점 이상 일 확률은 P(X¾84)‌=P{ ② X-m 84-m ¾ } r r =P{Z¾ 84-m } r yy ㉠ 영어 성적이 84점 이하일 확률은 P(YÉ84)‌=P{ 0499 62 정규분포 N(m, 5Û`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수 y= f(x) 의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이고 조건 ㈎에서 m< y=f(x) 84-m 72-m }=P{ZÉ }=0.0228 r 2r 84-m 84-80 }‌=P{Z¾ } r r m 10 20 x 10+20 2 [10<m<20인 경우] =P{Z¾ 4 } r =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ [m<10인 경우] 또한 조건 ㈏에서 f(4)< f(22)이므로 =0.5-P{0ÉZÉ 4+22 m> 2 4 } r 4 }=0.0228 r 이므로 yy`㉡ ∴ m>13 72-m 72-m }=P{Z¾}이므로 2r 2r 2(84-m)=-(72-m), 3m=240 ∴ m=80 P{Z¾ 10 m 20 x 10+20 2 yy ㉡ 84-m 72-m =r 2r yy`㉠ y=f(x) 72-m } 2r ㉠, ㉡에서 이때 P{ZÉ 10+20 2 ∴ m<15 =P{ZÉ P{Z¾ f(10)> f(20)이므로 Y-(m+12) 84-(m+12) É } 2r 2r y=f(x) P{0ÉZÉ y=f(x) 4 }=0.4772 r 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 4 x m 22 4+22 2 4 22 m 4+22 2 [4<m<22인 경우] x ∴ m_r=80_2=160 [m>22인 경우] ㉠, ㉡에서 13<m<15이고 m이 자연수이므로 m=14 Z= 4 =2 ∴ r=2 r X-14 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 5 어느 뼈 화석이 두 동물 A와 B 중에서 어느 동물의 것인지 판 단하는 방법 가운데 한 가지는 특정 부위의 길이를 이용하는 것이다. 동물 A의 이 부위의 길이는 정규분포 N(10, 0.4Û`)을 따르고, 동물 B의 이 부위의 길이는 정규분포 N(12, 0.6Û`)을 따르므로 P(17ÉXÉ18)‌=P{ 17-14 X-14 18-14 É É } 5 5 5 =P(0.6ÉZÉ0.8) 따른다. 이 부위의 길이가 d 미만이면 동물 A의 화석으로 판 단하고, d 이상이면 동물 B의 화석으로 판단한다. 동물 A의 화석을 동물 A의 화석으로 판단할 확률과 동물 B의 화석을 =P(0ÉZÉ0.8)-P(0ÉZÉ0.6) 동물 B의 화석으로 판단할 확률이 같아지는 d의 값은? =0.288-0.226 =0.062 따라서 a=0.062이므로 1000a=62 (단, 길이의 단위는 cm이다.) ① 10.4 ② 10.5 ③ 10.6 ④ 10.7 ⑤ 10.8 ⑤ 322 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 322 2023. 9. 12. 오전 10:02 0501 8 확률변수 X는 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 확률변수 Z= X-m 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. r F(x)=P(XÉx)=P{ F{ X-m x-m x-m É }=P{ZÉ } r r r 13 }=0.8413에서 2 ∴ P 0ÉZÉ 13 -m 2 ¼ =0.3413 r 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 13 -m 2 =1 r ∴ r= 13 -m 2 0.5ÉF{ » ∴ P 0ÉZÉ k-5 =0.9772 3 ¼ 2 k-5 =0.4772 3 ¼ 2 2 권 13 -m 2 >0이고 r 13 -m 2 ¼ 0.5+P 0ÉZÉ =0.8413 r » » » 0.5+P 0ÉZÉ 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 13 -m 2 » ¼ P ZÉ =0.8413 r 0.8413>0.5이므로 k-5 >0이고 3 2 0.9772>0.5이므로 k-5 =2 3 2 ∴ k=8 0502 ⑤ 이 회사 직원들의 어느 날의 출근 시간을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(66.4, 15Û`)을 따르므로 Z= X-66.4 로 놓으면 확률 15 변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. yy ㉠ 11 }É0.6915에서 2 임의로 선택한 직원 1명의 출근 시간이 73분 이상일 확률은 P(X¾73)=P{ X-66.4 73-66.4 ¾ } 15 15 =P(Z¾0.44) » 11 -m 2 ¼ 0.5ÉP ZÉ É0.6915 r 11 -m 2 » ¼ É0.6915 0.5É0.5+P 0ÉZÉ r 11 -m 2 » ¼ ∴ 0ÉP 0ÉZÉ É0.1915 r =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.44) =0.5-0.17 =0.33 따라서 출근 시간이 73분 미만일 확률은 P(X<73)=1-P(X¾73) =0.67 한편, 임의로 선택한 직원의 어느 날의 출근 시간이 73분 이상인 사 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.5)=0.1915이므로 건을 A, 지하철을 이용하여 출근하는 사건을 B라 하자. 11 -m 2 0É É0.5 r 출근 시간이 73분 이상이고 지하철을 이용할 확률은 11 ∴ 0É -mÉ;2!;r 2 P(A;B)=P(A)_P(B|A) =0.33_0.4 yy ㉡ 출근 시간이 73분 미만이고 지하철을 이용할 확률은 ㉠을 ㉡에 대입하면 0É P(A ;B)=P(A )_P(B|A ) 11 -mÉ;2!;{;;Á2£;;-m} 2 =0.67_0.2 11 0É -m에서 mÉ;;Á2Á;; 2 =0.134 11 13 -mÉ;2!;{ -m}에서 m¾;2(; 2 2 ∴ ;2(;ÉmÉ 11 2 이때 m이 자연수이므로 m=5 m=5를 ㉠에 대입하면 r= 13 -5=;2#; 2 따라서 F(k)=0.9772에서 » P ZÉ k-5 =0.9772 3 ¼ 2 =0.132 따라서 구하는 확률은 P(B)=P(A;B)+P(A ;B) =0.132+0.134 =0.266 확률의 곱셈정리 ⑴ 두 사건 A, B에 대하여 두 사건 A, B가 동시에 일어날 확률은 P(A;B)‌=P(A)P(B|A) (단, P(A)>0) =P(B)P(A|B) (단, P(B)>0) ⑵ ‌두 사건 A, E에 대하여 사건 E가 일어날 확률은 사건 A가 일어나는 경우와 일어나지 않는 경우로 나누어 구할 수 있다. 즉, P(E)‌=P(A;E)+P(AC;E) =P(A)P(E|A)+P(AC)P(E|AC) Ⅲ. 통계 323 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 323 2023. 9. 12. 오전 10:02 0503 ③ 정규분포를 따르는 두 확률변수 X, Y의 표준편차가 r로 같으므로 두 확률밀도함수 y= f(x), y=g(x)의 그래프는 대칭축의 위치는 확률변수 X는 정규분포 N(8, 2Û`), 확률변수 Y는 정규분포 N(12, 2Û`)을 따르고, 확률변수 X와 Y의 확률밀도함수는 각 다르지만 모양이 서로 같다. 각 f(x)와 g(x)이다. 또한 확률밀도함수 y= f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대 두 함수 y= f(x), y=g(x)의 z P(0ÉZÉz) 그래프가 만나는 점의 x좌표를 0.5 0.1915 대칭이다. 이때 조건 ㈎에서 f(12)=g(14)이고 조건 ㈏에서 a라 할 때, P(8ÉYÉa)의 값 1.0 0.3413 m<12<14<n이므로 두 확률밀도함수 y= f(x), y=g(x)의 그 을 오른쪽 표준정규분포표를 이 1.5 0.4332 래프는 다음 그림과 같다. 용하여 구한 것은? 2.0 0.4772 칭이고, 확률밀도함수 y=g(x)의 그래프는 직선 x=n에 대하여 y=g(x) y=f(x) ① 0.1359 ② 0.1587 ④ 0.2857 ⑤ 0.3085 ③ 0.2417 ① m 12 k 14 n x 한편, 두 확률변수 X, Y는 각각 정규분포 N(m, rÛ`), N(n, rÛ`) 을 따르므로 두 확률변수 X-m Y-n , 은 모두 표준정규분포 r r N(0, 1)을 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 조건 ㈏에서 P(mÉXÉ12)‌=P{ m-m X-m 12-m É É } r r r =P{0ÉZÉ 12-m } r =0.4772 P(14ÉYÉn)‌=P{ =P{ 14-n Y-n n-n É É } r r r 14-n ÉZÉ0} r =P{0ÉZÉ n-14 } r =0.4772 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 12-m n-14 =2, =2 r r ∴ 12-m=n-14=2r yy ㉠ 또한 조건 ㈐의 P(XÉ12)+P(XÉ8)=1에서 m= 12+8 =10 2 이를 ㉠에 대입하면 n=16, r=1 따라서 함수 y=g(x)의 그래프는 함수 y= f(x)의 그래프를 x축 의 방향으로 6만큼 평행이동한 것이므로 두 함수 y= f(x), y=g(x) 의 그래프의 교점의 x좌표는 k= 10+16 =13 2 ∴ P(mÉXÉk)‌=P(10ÉXÉ13) =P{ 10-10 X-10 13-10 É É } 1 1 1 =P(0ÉZÉ3) =0.4987 324 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 324 2023. 9. 12. 오전 10:02 XÕ=6인 경우는 (6, 6)일 때이므로 P(XÕ=6)‌=P(X=6)_P(X=6) 통계적 추정 01 =;9%;_;9%; =;8@1%; 모평균과 표본평균 ∴ P(XÕ>4)‌=P(XÕ=5)+P(XÕ=6) =;8%1%; 확률변수 X가 갖는 값이 1, 3, 5이므로 이 모집단에서 크기가 2인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 XÕ가 갖는 값은 1, 2, 3, 4, 5 이다. 2 =;2!7);+;8@1%; ① 권 0504 ∴ a+P(XÕ>4)=;9!;+;8%1%;=;8^1$; 이 모집단에서 임의추출한 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ=3인 경우는 (1, 5), (3, 3), (5, 1)일 때이므로 P(XÕ=3)‌=P(X=1)_P(X=5)+P(X=3)_P(X=3) +P(X=5)_P(X=1) =;4!;_;8!;+;8%;_;8%;+;8!;_;4!; 0506 ④ 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 =;6@4(; yy ㉠ a+2a+b=1 ∴ 3a+b=1 확률변수 X가 갖는 값이 1, 2, 3이므로 이 모집단에서 크기가 2인 XÕ=4인 경우는 (3, 5), (5, 3)일 때이므로 P(XÕ=4)‌‌=P(X=3)_P(X=5)+P(X=5)_P(X=3) 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 XÕ가 갖는 값은 1, =;8%;_;8!;+;8!;_;8%; 3 5 , 2, , 2 2 3이다. 3 ∴ P(1<XÕ<2)=P{XÕ= } 2 =;6!4);=;3°2; 이 모집단에서 임의추출한 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 ∴ P(3ÉXÕÉ4)‌=P(XÕ=3)+P(XÕ=4) 3 XÕ= 인 경우는 (1, 2), (2, 1)일 때이므로 2 =;6@4(;+;3°2; 3 P{XÕ= }‌=P(X=1)_P(X=2)+P(X=2)_P(X=1) 2 =;6#4(; =a_2a+2a_a =4aÛ` 1 1 즉, 4aÛ`= 에서 aÛ`= 9 36 0505 ② 모집단의 확률변수 X의 확률질량함수가 ∴ a=;6!;`(∵ a>0) 이를 ㉠에 대입하면 P(X=x)=a(x-1) (x=2, 4, 6) 이고 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 a+3a+5a=1, 9a=1 ;2!;+b=1 ∴ b=;2!; ∴ a+b=;6!;+;2!;=;3@; ∴ a=;9!; 즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 2 4 6 합계 P(X=x) ;9!; ;3!; ;9%; 1 0507 ③ 확률변수 X가 갖는 값이 2, 4, 6이므로 이 모집단에서 크기가 2인 주머니에서 한 장의 카드를 임의로 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적힌 수를 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 XÕ가 갖는 값은 2, 3, 4, 5, 6 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 이다. 이 모집단에서 임의추출한 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ=5인 경우는 (4, 6), (6, 4)일 때이므로 P(XÕ=5)‌=P(X=4)_P(X=6)+P(X=6)_P(X=4) X 1 2 3 4 합계 P(X=x) ;6!; ;3!; ;6!; ;3!; 1 첫 번째 시행에서 꺼낸 카드에 적힌 수를 XÁ, 두 번째 시행에서 꺼 =;3!;_;9%;+;9%;_;3!; 낸 카드에 적힌 수를 Xª라 하면 표본평균 XÕ= =;2!7); 값은 1, XÁ+Xª 가 갖는 2 3 5 7 , 2, , 3, , 4이다. 2 2 2 Ⅲ. 통계 325 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 325 2023. 9. 12. 오전 10:02 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ=3인 경우는 확률변수 YÕ는 모평균이 m, 모표준편차가 r인 모집단에서 크기가 (2, 4), (3, 3), (4, 2)일 때이므로 nª인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 P(XÕ=3)‌=P(X=2)_P(X=4)+P(X=3)_P(X=3) +P(X=4)_P(X=2) =;3!;_;3!;+;6!;_;6!;+;3!;_;3!; r r r = = nª '§nÁ '§nª ®Â 9 3 3r =3_r(YÕ) = '§nª ∴ k=3 r(XÕ)‌= =;3»6;=;4!; 02 rÛ` r , r(YÕ)= nª '§nª nª 이때 nª=9nÁ이면 nÁ= 이므로 9 E(YÕ)=m, V(YÕ)= 표본평균의 평균, 분산, 표준편차 - 모평균, 모표준편차가 주어진 경우 0508 0512 ② ② 확률변수 XÕ는 모평균이 8, 모표준편차가 4인 모집단에서 크기가 확률변수 XÕ는 모평균이 50, 모분산이 36인 모집단에서 크기가 9 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 E(XÕ)=8, V(XÕ)= 36 =4 9 E(XÕ)=50, V(XÕ)= 4Û` 16 = n n V(XÕ)=E(XÕ Û`)-{E(XÕ)}Û`에서 E(XÕ Û`)‌=V(XÕ)+{E(XÕ)}Û` ∴ E(XÕ)_V(XÕ)=50_4=200 16 +8Û` n Û 이때 E(XÕ `)¾67에서 = 0509 404 확률변수 XÕ는 모평균이 20, 모분산이 16Û`=256인 모집단에서 크 기가 64인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 256 =4 64 E(XÕ)=20, V(XÕ)= 16 +8Û`¾67 n 16 16 ¾3 ∴ nÉ n 3 따라서 2 이상의 자연수 n의 값은 2, 3, 4, 5이므로 그 합은 2+3+4+5=14 따라서 V(XÕ)=E(XÕ Û`)-{E(XÕ)}Û`에서 E(XÕ `Û )‌=V(XÕ)+{E(XÕ)}Û` =4+20Û`=404 0510 ⑤ 03 확률변수 XÕ는 모평균이 60, 모표준편차가 7인 모집단에서 크기가 4인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 E(XÕ)=60, V(XÕ)= 0513 7Û` 49 = 4 4 ⑤ E(X)=2_;4!;+3_;3!;+4_;4!;+6_;6!;=;2&;이고 따라서 E(2XÕ-1)=2E(XÕ)-1=2_60-1=119, V(2XÕ+1)=2Û` V(XÕ)=4_ 표본평균의 평균, 분산, 표준편차 - 모집단의 확률분포가 주어진 경우 E(XÛ`)=2Û`_;4!;+3Û`_;3!;+4Û`_;4!;+6Û`_;6!;=14이므로 49 =49 4 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 이므로 =14-{;2&;}Û`=;4&; E(2XÕ-1)+V(2XÕ+1)=119+49=168 이 모집단에서 임의추출한 크기가 7인 표본의 표본평균이 XÕ이므로 0511 ④ 확률변수 XÕ는 모평균이 m, 모표준편차가 r인 모집단에서 크기가 nÁ인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 E(XÕ)=m, V(XÕ)= rÛ` r , r(XÕ)= nÁ '§nÁ 7 4 E(XÕ)=;2&;, V(XÕ)= =;4!; 7 따라서 V(XÕ)=E(XÕ Û`)-{E(XÕ)}Û`에서 E(XÕ Û`)‌=V(XÕ)+{E(XÕ)}Û` =;4!;+{;2&;}Û`=;;ª2°;; 326 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 326 2023. 9. 12. 오전 10:02 0514 25 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 a+;5!;+;1£0;+4a=1, 5a=;2!; X 0 1 2 3 합계 P(X=x) ;1°4; ;7@; ;1£4; ;7!; 1 E(X)=0_ ∴ a=;1Á0; E(XÛ`)‌=0Û`_ 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 1 2 3 4 합계 P(X=x) ;1Á0; ;5!; ;1£0; ;5@; 1 5 3 17 +1Û`_;7@;+2Û`_ +3Û`_;7!;= 이므로 14 14 7 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= 이 모집단에서 임의추출한 크기가 n인 표본의 표본평균이 XÕ이므로 E(X)=1_;1Á0;+2_;5!;+3_;1£0;+4_;5@;=;1#0);=3이고 100 =10이므로 10 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=10-3Û`=1 55 55 49 = V(XÕ)= 49n n 5 따라서 k_V(XÕ)= 에서 7 55 5 = ∴ n=22 49n 7 이때 표본의 크기가 4이므로 14_ V(XÕ)=;4!; ∴ n+k=22+14=36 ∴ V{ 2 17 55 -{;7*;}Û`= 7 49 권 X E(XÛ`)‌=1Û`_;1Á0;+2Û`_;5!;+3Û`_;1£0;+4Û`_;5@;= 5 3 8 +1_;7@;+2_ +3_;7!;= 이고 14 14 7 XÕ XÕ =V(10XÕ)=10Û` V(XÕ) }‌=V » 1 ¼ a 10 0517 =100_;4!;=25 ⑤ 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)=100Cx px(1-p)100-x (x=0, 1, 2, y, 100이고 0<p<1) 0515 1 이므로 확률변수 X는 이항분포 B(100, p)를 따른다. ∴ E(X)=100p, V(X)=100p(1-p) 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 이 모집단에서 임의추출한 크기가 5인 표본의 표본평균이 XÕ이므로 ;4!;+b+;2!;=1 V(XÕ)= ∴ b=;4!; 100p(1-p) =20p(1-p) 5 이때 E(XÛ`)=36이므로 V(XÕ)=5에서 20p(1-p)=5이므로 E(XÛ`)=0Û`_;4!;+4Û`_;4!;+aÛ`_;2!;=36에서 4pÛ`-4p+1=0, (2p-1)Û`=0 ∴ p=;2!; aÛ` =32, aÛ`=64 ∴ a=8 (∵ a>4) 2 ∴ E(XÕ)=E(X)=100_;2!;=50 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 0 4 8 합계 P(X=x) ;4!; ;4!; ;2!; 1 E(X)=0_;4!;+4_;4!;+8_;2!;=5이고 E(XÛ`)=36이므로 04 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=36-5Û`=11 이 모집단에서 임의추출한 크기가 11인 표본의 표본평균이 XÕ이므로 V(XÕ)=;1!1!;=1 표본평균의 평균, 분산, 표준편차 - 모집단이 주어진 경우 0518 ④ 주머니에서 한 장의 카드를 임의로 꺼낼 때, 나온 카드에 적혀 있는 수를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 0516 36 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)= 5-x `(x=0, 1, 2, 3) k 이고 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 5 4 3 2 14 + + + =1, =1 k k k k k ∴ k=14 X 1 2 3 합계 P(X=x) ;7#; ;7!; ;7#; 1 3 1 3 14 E(X)=1_ +2_ +3_ = =2이고 7 7 7 7 E(XÛ`)=1Û`_ 3 1 3 34 +2Û`_ +3Û`_ = 이므로 7 7 7 7 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= 34 6 -2Û`= 7 7 Ⅲ. 통계 327 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 327 2023. 9. 12. 오전 10:02 이때 XÕ는 이 주머니에서 크기가 3인 표본을 임의추출하여 구한 표 본평균이므로 ④ 상자에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 나온 공에 적혀 있는 수를 6 E(XÕ)=2, V(XÕ)= 7 =;7@; 3 ∴ 0521 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. E(XÕ) 2 = =7 2 V(XÕ) 7 X 1 3 5 합계 P(X=x) n n+3 2 n+3 1 n+3 1 E(X)=1_ n 2 1 n+11 +3_ +5_ = n+3 n+3 n+3 n+3 이때 XÕ는 이 상자에서 크기가 4인 표본을 임의추출하여 구한 표본 0519 ② 상자에서 한 개의 구슬을 임의로 꺼낼 때, 나온 구슬에 적혀 있는 수 를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 1 2 3 합계 P(X=x) ;2!; ;4!; ;4!; 1 평균이므로 E(XÕ)=E(X)= n+11 n+3 E(XÕ)=2이므로 n+11 =2에서 n+3 n+11=2n+6 ∴ n=5 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 1 7 E(X)=1_ +2_;4!;+3_;4!;= 이고 2 4 E(XÛ`)=1Û`_ 1 15 +2Û`_;4!;+3Û`_;4!;= 이므로 2 4 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= 1 3 5 합계 P(X=x) ;8%; ;4!; ;8!; 1 이때 15 7 11 -{ }Û`= 4 4 16 E(X)=E(XÕ)=2, 이때 XÕ는 이 상자에서 크기가 2인 표본을 임의추출하여 구한 표본 평균이므로 5 48 E(XÛ`)=1Û`_ +3Û`_;4!;+5Û`_;8!;= =6 8 8 이므로 11 16 E(XÕ)=;4&;, V(XÕ)= =;3!2!; 2 V(X)‌=E(XÛ`)-{E(X)}Û` =6-2Û`=2 7 따라서 E(9-4XÕ)=9-4 E(XÕ)=9-4_ =2, 4 V(8XÕ+5)=8Û` V(XÕ)=8Û`_ X 2 1 ∴ V(XÕ)= = 4 2 11 =22이므로 32 0522 E(9-4XÕ)+V(8XÕ+5)=2+22=24 53 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 나온 공에 적혀 있는 수를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 0520 10 주머니에서 한 장의 카드를 임의로 꺼낼 때, 나온 카드에 적혀 있는 수를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 1 2 3 4 합계 P(X=x) ;4!; ;4!; ;4!; ;4!; 1 1 5 E(X)=1_ +2_;4!;+3_;4!;+4_;4!;= 이고 4 2 E(XÛ`)=1Û`_;4!;+2Û`_;4!;+3Û`_;4!;+4Û`_;4!;= V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`= 30 15 = 이므로 4 2 15 5 5 -{ }Û`= 2 2 4 이때 XÕ는 이 주머니에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표 본평균이므로 V(XÕ)= 5 5 4 = 4n n 1 따라서 V(XÕ)= 이 되려면 8 5 =;8!; ∴ n=10 4n X 2 3 4 합계 P(X=x) 2 n+3 1 n+3 n n+3 1 첫 번째 시행에서 꺼낸 공에 적힌 수를 XÁ, 두 번째 시행에서 꺼낸 공에 적힌 수를 Xª라 하면 표본평균 XÕ= 2, XÁ+Xª 가 갖는 값은 2 5 7 , 3, , 4이다. 2 2 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ=3인 경우는 (2, 4), (3, 3), (4, 2)일 때이므로 P(XÕ=3)‌=P(X=2)_P(X=4)+P(X=3)_P(X=3) +P(X=4)_P(X=2) = 2 n 1 1 n 2 _ + _ + _ n+3 n+3 n+3 n+3 n+3 n+3 4n+1 (n+3)Û` 21 이때 P(XÕ=3)= 이므로 64 = 4n+1 21 = , 21nÛ`-130n+125=0 (n+3)Û` 64 (n-5)(21n-25)=0 ∴ n=5 (∵ n은 자연수) 328 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 328 2023. 9. 12. 오전 10:02 0525 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. X 2 3 4 합계 P(X=x) ;4!; ;8!; ;8%; 1 E(X)=2_;4!;+3_;8!;+4_ 이 제과점에서 생산한 도넛 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X 는 정규분포 N(38, 6Û`)을 따른다. 이때 크기가 9인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 5 27 = 8 8 이고 XÕ는 이 주머니에서 크기가 2인 표본을 임의추출하여 구한 표 본평균이므로 E(XÕ)=38, V(XÕ)= 6Û` =2Û` 9 이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N(38, 2Û`)을 따르고 Z= 27 8 XÕ-38 2 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ E(16XÕ-1)=16 E(XÕ)-1=16_ 27 -1=53 8 2 권 E(XÕ)=E(X)= ⑤ 따라서 구하는 확률은 P(9XÕ¾360)‌=P(XÕ¾40) =P{ XÕ-38 40-38 ¾ } 2 2 =P(Z¾1) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1) =0.5-0.3413 05 =0.1587 표본평균의 확률 0523 ② 주어진 모집단의 확률변수를 X라 하면 X는 정규분포 N(30, 10Û`) 을 따르므로 크기가 25인 표본의 표본평균 XÕ에 대하여 E(XÕ)=30, V(XÕ)= 10Û` =2Û` 25 ⑤ 주어진 모집단의 확률변수를 X라 하면 X는 정규분포 N(m, 15Û`) 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(30, 2Û`)을 따르고 Z= XÕ-30 으 2 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(XÕ¾33)‌=P{ 0526 을 따르므로 크기가 25인 표본의 표본평균 XÕ에 대하여 15Û` =3Û` 25 E(XÕ)=m, V(XÕ)= 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(m, 3Û`)을 따르고 Z= XÕ-30 33-30 ¾ } 2 2 XÕ-m 으로 3 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. =P(Z¾1.5) ∴ P(|XÕ-m|É9)‌=P{| =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.5) =0.5-0.4332 XÕ-m |É3} 3 =P(|Z|É3) =0.0668 =P(-3ÉZÉ3) =2P(0ÉZÉ3) =2_0.4987 =0.9974 0524 ① 이 세차장에서 세차한 중형 자동차 한 대의 세차 시간을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(40, 8Û`)을 따른다. 이때 크기가 4인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 E(XÕ)=40, V(XÕ)= 8Û` =4Û` 4 XÕ-40 이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N(40, 4Û`)을 따르고 Z= 4 0527 ② XÕ는 정규분포 N(40, 8Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 4인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 8Û` =4Û` 4 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. E(XÕ)=40, V(XÕ)= 따라서 구하는 확률은 YÕ는 정규분포 N(36, 10Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 25인 표본 P(38ÉXÕÉ42)‌=P{ 38-40 XÕ-40 42-40 É É } 4 4 4 을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 10Û` =2Û` 25 =P(-0.5ÉZÉ0.5) E(YÕ)=36, V(YÕ)= =P(-0.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ0.5) 즉, 확률변수 XÕ, YÕ는 각각 정규분포 N(40, 4Û`), N(36, 2Û`)을 따 =2P(0ÉZÉ0.5) =2_0.1915 르므로 확률변수 =0.3830 을 따른다. XÕ-40 YÕ-36 , 은 모두 표준정규분포 N(0, 1) 4 2 Ⅲ. 통계 329 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 329 2023. 9. 12. 오전 10:02 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{246, { 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 P(XÕ¾34)‌=P{ XÕ-40 34-40 ¾ } 4 4 18 Û }` }을 따르고 '§n XÕ-246 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 18 '§n 따른다. Z= =P(Z¾-1.5)=P(ZÉ1.5) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5) =0.5+0.4332 P(XÕÉ240)=0.0228에서 =0.9332 » P(XÕÉ240)=P YÕ-36 34-36 P(YÕ¾34)‌=P{ ¾ } 2 2 XÕ-246 240-246 É ¼ 18 18 '§n '§n '§n } 3 '§n =P{Z¾ } 3 =P(Z¾-1)=P(ZÉ1) =P{ZÉ- =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1) =0.5+0.3413 =0.8413 =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ ∴ P(XÕ¾34)-P(YÕ¾34)‌=0.9332-0.8413 =0.0919 =0.5-P{0ÉZÉ 0528 11 이 농장에서 생산하는 사과 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X 는 정규분포 N(130, 12Û`)을 따른다. 이때 사과를 9개씩 한 세트로 판매하므로 크기가 9인 표본의 표본 '§n } 3 '§n } 3 =0.0228 '§n ∴ P{0ÉZÉ }‌=0.4772 3 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 '§n =2, '§n=6 ∴ n=36 3 평균을 XÕ라 하면 E(XÕ)=130, V(XÕ)= 12Û` =4Û` 9 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(130, 4Û`)을 따르고 Z= XÕ-130 4 0530 25 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이 공장에서 생산하는 제품 1개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 따라서 사과 9개로 구성된 한 세트를 특상품으로 판매할 수 있을 정규분포 N(900, 20Û`)을 따른다. 확률은 확률변수 XÕ는 이 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구 P(1224É9XÕÉ1242)=P(136ÉXÕÉ138) 한 표본평균이므로 =P{ 136-130 XÕ-130 138-130 É É } 4 4 4 E(XÕ)=900, V(XÕ)= 20Û` 20 Û` } ={ n '§n 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{900, { =P(1.5ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1.5) 20 Û` } }을 따르고 '§n XÕ-900 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 20 '§n 따른다. Z= =0.4772-0.4332 =0.0440 이때 생산한 사과는 모두 2250개이므로 만들 수 있는 세트의 수는 P(XÕ¾890)=0.9938에서 2250 =250 9 따라서 250개의 세트 중 특상품으로 판매할 수 있는 세트의 개수는 250_0.0440=11 » P(XÕ¾890)=P XÕ-900 890-900 ¾ ¼ 20 20 '§n '§n '§n } 2 '§n =P{ZÉ } 2 =P{Z¾- =P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ 06 표본평균의 확률 - 표본의 크기 구하기 0529 =0.5+P{0ÉZÉ '§n } 2 '§n } 2 확률변수 XÕ는 정규분포 N(246, 18Û`)을 따르는 모집단에서 크기 =0.9938 '§n ∴ P{0ÉZÉ }‌=0.4938 2 가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2.5)=0.4938이므로 ② 18Û` 18 Û }` E(XÕ)=246, V(XÕ)= ={ n '§n '§n =2.5, '§n=5 ∴ n=25 2 330 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 330 2023. 9. 12. 오전 10:02 0531 ⑤ 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.5)=0.1915이므로 확률변수 XÕ가 정규분포 N(45, 6Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 n 128'§n-63n =0.5 8 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 63n-128'§n+4=0 E(XÕ)=45, V(XÕ)= 6Û` 6 Û` } ={ n '§n 63('§n )Û`-128'§n+4=0 ('§n-2)(63'§n-2)=0 자연수 n에 대하여 '§n=2이므로 2 n=4 권 6 Û` 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{45, { } }을 따르고 '§n XÕ-45 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 Z= 6 '§n 른다. P(44ÉXÕÉ46)É0.86에서 » P(44ÉXÕÉ46)=P 44-45 XÕ-45 46-45 É É ¼ 6 6 6 '§n '§n '§n 07 '§n '§n =P{ÉZÉ } 6 6 '§n =2 P{0ÉZÉ } 6 표본평균의 확률 - 미지수 구하기 0533 ① 확률변수 XÕ는 정규분포 N(40, 8Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 É0.86 '§n ∴ P{0ÉZÉ }É0.43 6 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 E(XÕ)=40, V(XÕ)= 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.43이므로 8Û` =2Û` 16 '§n É1.5, '§nÉ9 6 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(40, 2Û`)을 따르고 Z= ∴ nÉ81 P(XÕÉk)=0.1587에서 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 따라서 n의 최댓값은 81이다. P(XÕÉk)‌=P{ XÕ-40 k-40 É } 2 2 =P{ZÉ 0532 확률변수 XÕ는 정규분포 N(63, 8Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 nÛ`인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 0.1587<0.5이므로 P{ZÉ 8Û` 8 ={ }Û` n nÛ` 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{63, { k-40 <0이고 2 k-40 k-40 }‌=P{Z¾} 2 2 =P(Z¾0)-P{0ÉZÉ- 8 Û` XÕ-63 } }을 따르고 Z= n 8 n =0.5-P{0ÉZÉ- 128 }=0.6915에서 '§n ∴ P{0ÉZÉ- 128 -63 '§n XÕ 63 128 â P{XÕÉ É }=P á 8 8 '§n n n k-40 } 2 k-40 } 2 =0.1587 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P{XÕÉ k-40 } 2 =0.1587 ③ E(XÕ)=63, V(XÕ)= XÕ-40 으 2 k-40 }‌=0.3413 2 이때 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 - k-40 =1 2 ∴ k=38 128'§n-63n =P{ZÉ } 8 =0.6915 0.6915>0.5이므로 P{ZÉ 128'§n-63n >0이고 8 128'§n-63n 128'§n-63n }‌=P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ } 8 8 128'§n-63n =0.5+P{0ÉZÉ } 8 =0.6915 128'§n-63n ∴ P{0ÉZÉ }‌=0.1915 8 0534 6 이 공장에서 생산하는 연필 한 자루의 길이를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(175, 8Û`)을 따른다. 확률변수 XÕ는 이 모집단에서 크기가 4인 표본을 임의추출하여 구 한 표본평균이므로 E(XÕ)=175, V(XÕ)= 8Û` =4Û` 4 Ⅲ. 통계 331 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 331 2023. 9. 12. 오전 10:02 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(175, 4Û`)을 따르고 Z= XÕ-175 4 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. Z= P(|XÕ-175|Éa)=0.8664에서 XÕ-175 a P(|XÕ-175|Éa)‌=P{| |É } 4 4 =P{|Z|É r Û }` }을 따르고 3 XÕ-155 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 r 3 른다. P(144ÉXÕÉ166)=0.9에서 a } 4 » P(144ÉXÕÉ166)=P a a =P{- ÉZÉ } 4 4 =2 P{0ÉZÉ 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N{155, { a } 4 144-155 XÕ-155 166-155 É É ¼ r r r 3 3 3 =P{- 33 33 ÉZÉ } r r =2 P{0ÉZÉ =0.8664 a ∴ P{0ÉZÉ }=0.4332 4 33 } r =0.9 33 ∴ P{0ÉZÉ }=0.450 r 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 a =1.5 ∴ a=6 4 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.65)=0.450이므로 33 =1.65 r ∴ r=20 0535 995 확률변수 XÕ는 정규분포 N(m, 10Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 25인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 E(XÕ)=m, V(XÕ)= 0537 10Û` =2Û` 25 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(m, 2Û`)을 따르고 Z= XÕ-m 으로 2 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이 농장에서 생산하는 키위 한 개의 무게 X가 정규분포 N(m, rÛ`) 을 따른다고 하자. P(XÉ100)=P(X¾140)에서 P(XÕ¾1000)=0.0062에서 m= XÕ-m 1000-m P(XÕ¾1000)‌=P{ ¾ } 2 2 100+140 =120 2 즉, 확률변수 1000-m =P{Z¾ } 2 X-120 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 표준 r 정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 =0.0062 P(100ÉXÉ140)=0.6826에서 1000-m >0이고 0.0062<0.5이므로 2 P{Z¾ 117 P(100ÉXÉ140)‌=P{ 1000-m 1000-m }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 2 2 =0.5-P{0ÉZÉ 100-120 X-120 140-120 É É } r r r =P{- 1000-m } 2 20 20 ÉZÉ } r r =2 P{0ÉZÉ =0.0062 20 } r =0.6826 1000-m ∴ P{0ÉZÉ }‌=0.4938 2 ∴ P{0ÉZÉ 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2.5)=0.4938이므로 20 }=0.3413 r 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 1000-m =2.5 ∴ m=995 2 20 =1 r ∴ r=20 따라서 확률변수 X는 정규분포 N(120, 20Û`)을 따른다. 0536 ④ 이 대학교 학생들이 하루 동안 SNS 서비스를 이용하는 시간을 확 이 모집단에서 크기가 100인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 을 XÕ라 하면 20Û` =2Û` 100 률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(155, rÛ`)을 따른다. E(XÕ)=120, V(XÕ)= 확률변수 XÕ는 이 모집단에서 크기가 9인 표본을 임의추출하여 구 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(120, 2Û`)을 따르고 확률변수 한 표본평균이므로 XÕ-120 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 2 rÛ` r E(XÕ)=155, V(XÕ)= ={ }Û` 9 3 P(XÕ¾k)=0.9332에서 332 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 332 2023. 9. 12. 오전 10:02 P(XÕ¾k)‌=P{ XÕ-120 k-120 ¾ } 2 2 이 신뢰구간이 aÉmÉb와 같으므로 a=x®-10.32, b=x®+10.32 k-120 =P{Z¾ } 2 같은 표본을 이용하여 얻은 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰 구간은 =0.9332 0.9332>0.5이므로 P{Z¾ 8 8 ÉmÉx®+1.96_ '4 '4 ∴ x®-7.84ÉmÉx®+7.84 x®-1.96_ k-120 <0이고 2 k-120 k-120 }‌=P{ZÉ} 2 2 2 권 =P(ZÉ0)+P{0ÉZÉ- 이 신뢰구간이 cÉmÉd와 같으므로 c=x®-7.84, d=x®+7.84 k-120 } 2 ∴ b-c‌=(x®+10.32)-(x®-7.84) k-120 =0.5+P{0ÉZÉ} 2 =18.16 =0.9332 ∴ P{0ÉZÉ- k-120 }=0.4332 2 0541 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로 - k-120 =1.5 ∴ k=117 2 23 표본평균을 x®라 하면 표본의 크기가 n, 모표준편차가 r이므로 모 평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 r r ÉmÉx®+2.58_ '§n '§n 이 신뢰구간이 194.52ÉmÉ225.48과 같으므로 x®-2.58_ r =194.52 yy ㉠ '§n r =225.48 x+ yy ㉡ ® 2.58_ '§n ㉠+㉡을 하면 2_x= ® 420에서 x® 2.58_ 08 모평균의 추정 - 모표준편차가 주어진 경우 0538 ⑤ 이 농장에서 재배하는 단감 중에서 임의추출한 100개의 단감의 무 yy ㉢ x®=210 r =30.96에서 '§n 게의 표본평균이 98`g이고 모표준편차가 30`g이므로 모평균 m에 ㉡-㉠을 하면 2_2.58_ 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 r =6 yy ㉣ '§n 한편, 같은 표본을 이용하여 얻은 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 30 30 98-2.58_ ÉmÉ98+2.58_ '¶100 '¶100 ∴ 90.26ÉmÉ105.74 신뢰구간은 r r ÉmÉx®+1.96_ '§n '§n 위의 식에 ㉢, ㉣을 대입하면 x®-1.96_ 0539 ④ 210-1.96_6ÉmÉ210+1.96_6 표본평균이 40, 표본의 크기가 25, 모표준편차가 10이므로 모평균 ∴ 198.24ÉmÉ221.76 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 따라서 신뢰도 95`%의 신뢰구간에 속하는 정수는 199, 200, 201, y, 221의 23개이다. 10 10 ÉmÉ40+1.96_ '25 '25 ∴ 36.08ÉmÉ43.92 40-1.96_ 이 신뢰구간이 36+aÉmÉ36+b와 같으므로 36+a=36.08, 36+b=43.92 따라서 a=0.08, b=7.92이므로 a+2b=0.08+2_7.92=15.92 09 0540 ④ 모평균의 추정 - 표본표준편차가 주어진 경우 0542 ② 이 공장에서 생산한 과자 중에서 임의추출한 81봉지의 무게의 표본 표본평균을 x®`cm라 하면 표본의 크기가 4, 모표준편차가 8`cm이 평균이 155`g, 표본표준편차가 18`g이고 표본의 크기 81이 충분히 므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 크므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 x®-2.58_ 8 8 ÉmÉx®+2.58_ '4 '4 ∴ x®-10.32ÉmÉx®+10.32 155-1.96_ 18 18 ÉmÉ155+1.96_ '81 '81 ∴ 151.08ÉmÉ158.92 Ⅲ. 통계 333 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 333 2023. 9. 12. 오전 10:02 0543 129 이 모의고사에 응시한 학생 중에서 임의추출한 100명의 수학 영역 점수의 표본평균이 x점 ® , 표본표준편차가 5점이고 표본의 크기 100 이 충분히 크므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 x® 2.58_ 5 5 ÉmÉx+ ® 2.58_ '¶100 '¶100 ∴ x® 1.29ÉmÉx+ ® 1.29 5 5 ÉmÉ42+3_ '§n '§n 이 신뢰구간이 39ÉmÉ45와 같으므로 42-3_ 5 5 =39, 42+3_ =45 '§n '§n 5 즉, 3_ =3에서 '§n=5 '§n ∴ n=25 42-3_ 이 신뢰구간이 x®-cÉmÉx®+c와 같으므로 c=1.29 ∴ 100c=129 0547 0544 ② 이 고등학교 학생 중에서 임의추출한 n명의 기말고사 수학 성적의 표본평균이 x®점, 모표준편차가 r점이고 P(|Z|É3)=0.99이므로 이 높이뛰기 대회 참가자 중에서 임의추출한 144명의 기록의 표본 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 평균이 212`cm, 표본표준편차가 8`cm이고 표본의 크기 144가 충 x®-3_ 분히 크므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 212-1.96_ ∴ 212- 8 8 ÉmÉ212+1.96_ '¶144 '¶144 98 98 ÉmÉ212+ 75 75 ③ r r ÉmÉx®+3_ '§n '§n r r 이 신뢰구간이 x®- ÉmÉx®+ 와 같으므로 4 4 r r = 에서 '§n=12 '§n 4 ∴ n=144 3_ 따라서 신뢰구간에 속하는 자연수는 211, 212, 213이므로 그 합은 211+212+213=636 0545 100 0548 ① 이 농장에서 생산한 파인애플 중에서 임의추출한 400개의 무게의 이 농장에서 수확한 사과 중에서 임의추출한 n개의 무게의 표본평 표본평균이 1480`g, 표본표준편차가 40`g이고 표본의 크기 400이 균이 115`g, 표본표준편차가 15`g이므로 표본의 크기 n이 충분히 크 충분히 크므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 다고 가정하고 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간을 구하면 1480-2_ 40 40 ÉmÉ1480+2_ '¶400 '¶400 즉, 1476ÉmÉ1484이므로 115-2.58_ a=1476, b=1484 15 yy ㉠ =a '§n 15 115+2.58_ yy ㉡ =a+12.9 '§n 15 ㉡-㉠을 하면 2_2.58_ =12.9이므로 '§n '§n=6 ∴ n=36 15 15 ÉmÉ115+2.58_ '§n '§n 이 신뢰구간이 aÉmÉa+12.9와 같으므로 같은 표본을 이용하여 얻은 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰 구간은 40 40 ÉmÉ1480+3_ '¶400 '¶400 즉, 1474ÉmÉ1486이므로 1480-3_ c=1474, d=1486 n=36을 ㉠에 대입하면 ∴ 10(b-c)‌=10_(1484-1474)=100 10 115-2.58_ 15 =108.55 '36 ∴ n+a=36+108.55=144.55 a=115-2.58_ 모평균의 추정 - 표본의 크기 구하기 0546 ③ 이 제과회사에서 판매하는 사탕 중에서 임의추출한 n개의 사탕의 열량의 표본평균이 42`cal, 모표준편차가 5`cal이고 P(|Z|É3)=0.99이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰 구간은 0549 ② 모집단에서 임의추출한 크기가 n인 표본의 표본평균이 x,® 모표준 편차가 4이고 P(0ÉZÉ2)=0.475에서 P(|Z|É2)=0.95이므 로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 x® 2_ 4 4 ÉmÉx+ ® 2_ '§n '§n 334 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 334 2023. 9. 12. 오전 10:02 이 신뢰구간이 92ÉmÉ93과 같으므로 이 신뢰구간이 243ÉmÉ257과 같으므로 4 yy ㉠ =92 '§n 4 x®+2_ yy ㉡ =93 '§n ㉠+㉡을 하면 2x®=185 ∴ x®=92.5 250-0.28r=243, 250+0.28r=257 x®-2_ x®=92.5를 ㉠에 대입하면 92.5-2_ r=25 4 =92에서 '§n 0552 ① 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 36인 2 권 8 =0.5, '§n=16 ∴ n=256 '§n ∴ x®+n=92.5+256=348.5 즉, 0.28r=7이므로 표본의 표본평균이 x®이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰 구간은 0550 20 r r ÉmÉx+ ® 2.58_ '36 '36 ∴ x® 0.43rÉmÉx+ ® 0.43r x® 2.58_ 이 온라인 게임 회사의 가입자 중에서 임의추출한 n명의 가입자가 이 신뢰구간이 32.34ÉmÉ42.66과 같으므로 하루 동안 이 회사의 게임을 하는 시간의 표본평균이 40분, 모표준 x®-0.43r=32.34 yy ㉠ 편차가 6분이고 P(|Z|É2)=0.95이므로 모평균 m에 대한 신뢰 x®+0.43r=42.66 yy ㉡ 도 95`%의 신뢰구간은 ㉠+㉡을 하면 6 6 40-2_ ÉmÉ40+2_ '§n '§n 12 12 ∴ 40ÉmÉ40+ '§n '§n 이 신뢰구간에 속하는 자연수의 개수가 5이려면 2x= ® 75 ∴ x= ® 37.5 x®=37.5를 ㉠에 대입하면 37.5-0.43r=32.34이므로 0.43r=5.16 ∴ r=12 ∴ x+ ® r=37.5+12=49.5 12 12 É38, 42É40+ <43 '§n '§n 12 즉, 2É <3이어야 하므로 '§n 4<'§nÉ6 37<40- 0553 ⑤ 이 제과점에서 생산하는 초코칩 쿠키 중에서 임의추출한 100개의 ∴ 16<nÉ36 따라서 조건을 만족시키는 자연수 n은 17, 18, 19, y, 36의 20개 이다. 무게의 표본평균이 52`g, 표본표준편차가 s`g이고 표본의 크기 100 이 충분히 크므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 s s ÉmÉ52+1.96_ '¶100 '¶100 ∴ 52-0.196sÉmÉ52+0.196s 52-1.96_ 신뢰구간 40- 12 12 는 40을 기준으로 하여 좌우 대칭을 ÉmÉ40+ '§n '§n 이루는 구간이다. 따라서 이 구간에 속하는 정수의 개수가 5이려면 다음 그림과 같아야 한다. 40- 12 37 1n6 38 39 40 41 42 이 신뢰구간이 kÉmÉ53.96과 같으므로 52-0.196s=k yy ㉠ 52+0.196s=53.96 yy ㉡㉡에서 0.196s=1.96이므로 s=10 43 12 40+ 1n6 s=10을 ㉠에 대입하면 k=52-0.196_10=50.04 ∴ k+s=50.04+10=60.04 11 모평균의 추정 - 미지수 구하기 12 0551 ② 신뢰구간의 길이 모평균이 m이고 모표준편차가 r인 정규분포를 따르는 모집단에서 0554 임의추출한 크기가 49인 표본의 표본평균이 250이므로 모평균 m 이 과일가게에서 판매하는 복숭아의 무게의 모표준편차가 20`g이 에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 므로 전체 복숭아 중에서 16개를 임의추출하여 모평균을 신뢰도 250-1.96_ r r ÉmÉ250+1.96_ '49 '49 ∴ 250-0.28rÉmÉ250+0.28r ② 95`%로 추정한 신뢰구간의 길이는 2_1.96_ 20 =19.6 '16 Ⅲ. 통계 335 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 335 2023. 9. 12. 오전 10:02 0555 ④ 0559 ③ 이 도시에서 운행되는 택시 한 대의 연간 주행 거리의 모표준편차 모표준편차가 3인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본 가 10`km이므로 100대의 택시를 임의추출하여 모평균 m을 신뢰 을 임의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간 도 99`%로 추정한 신뢰구간 aÉmÉb에 대하여 aÉmÉb에 대하여 10 =5.16 b-a=2_2.58_ '¶100 b-a=2_2.58_ 3 15.48 = '§n '§n 15.48 이때 b-a=0.86에서 =0.86 '§n 따라서 '§n=18이므로 0556 6 n=324 P(|Z|É2)=0.95이므로 모표준편차가 15인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 25인 표본을 임의추출하여 모평균 m을 신뢰도 95`%로 추정한 신뢰구간의 길이는 15 =12 '25 P(|Z|É3)=0.99이므로 같은 표본을 이용하여 모평균 m을 신뢰 lÁ=2_2_ 도 99`%로 추정한 신뢰구간의 길이는 lª=2_3_ 0560 ② 이 고등학교 2학년 학생들의 학력평가 성적은 모표준편차가 r점인 정규분포를 따르므로 학생 144명을 임의추출하여 구한 모평균 m 에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간 aÉmÉb에 대하여 r =0.43r '¶144 이때 b-a=4.3에서 0.43r=4.3 b-a=2_2.58_ 15 =18 '25 ∴ |lª-lÁ|=|18-12|=6 ∴ r=10 0557 ④ 모표준편차가 r`cm이고 P(|Z|É3)=0.99이므로 이 고등학교 남 학생 중에서 16명을 임의추출하여 모평균 m을 신뢰도 99`%로 추 정한 신뢰구간의 길이는 0561 13 P(|Z|É2)=0.95이므로 모표준편차가 r개인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 9인 표본을 임의추출하여 구한 모평균 m에 대 한 신뢰도 95`%의 신뢰구간의 길이를 l이라 하면 r 4 = r '9 3 4 l=12이므로 r=12에서 r=9 3 r =;2#; r '16 P(|Z|É2)=0.95이므로 이 고등학교 남학생 중에서 다시 25명을 임 l=2_2_ 의추출하여 모평균 m을 신뢰도 95`%로 추정한 신뢰구간의 길이는 P(|Z|É3)=0.99이므로 같은 모집단에서 크기가 n인 표본을 임 l=2_3_ r =;5$; r=;1¥5;_;2#; r=;1¥5; l 2_2_ '25 의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간의 길 이를 l'이라 하면 9 54 = '§n '§n 54 l'=27이므로 =27에서 '§n '§n=2 ∴ n=4 l'=2_3_ ∴ n+r=4+9=13 13 신뢰구간의 길이 - 표본의 크기 또는 미지수 구하기 0558 ④ 이 빵집에서 만든 단팥빵 한 개의 무게는 모표준편차가 5`g인 정규 분포를 따르므로 단팥빵 n개를 임의추출하여 구한 모평균 m에 대 한 신뢰도 95`%의 신뢰구간의 길이가 2보다 작으려면 5 <2 '§n 즉, '§n>9.8에서 14 신뢰구간의 길이 - 신뢰도 구하기 0562 신뢰도 a`%에 대하여 P(|Z|Ék)= 2_1.96_ 90 a `(k>0)라 하자. 100 이 공장에서 생산하는 중성펜의 수명의 모표준편차가 40시간이므 n>96.04 로 100자루의 중성펜을 임의추출하여 추정한 모평균 m에 대한 신 따라서 자연수 n의 최솟값은 97이다. 뢰도 a`%의 신뢰구간의 길이는 336 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 336 2023. 9. 12. 오전 10:02 즉, 모표준편차가 r이고 크기가 n인 표본을 임의추출하여 추정한 40 =8k '¶§100 이때 주어진 신뢰구간의 길이가 341.6-328.4=13.2이므로 2_k_ 모평균 m에 대한 신뢰도 70`%의 신뢰구간의 길이가 l이므로 l=2_1.02_ 8k=13.2 ∴ k=1.65 r r =2.04_ '§n '§n yy ㉠ 한편, 신뢰도 a`%에 대하여 P(|Z|Ék')= a 즉, P(|Z|É1.65)= 에서 100 a `(k'>0)라 하면 100 같은 표본을 이용하여 추정한 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신 a 2P(0ÉZÉ1.65)= 100 뢰구간의 길이는 l'이므로 a‌=200 P(0ÉZÉ1.65) 2 권 r yy ㉡ '§n 이때 l'=2l이므로 이 식에 ㉠, ㉡을 대입하면 l'=2_k'_ 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.65)=0.450이므로 r r =2_{2.04_ } '§n '§n ∴ k'=2.04 =200_0.450=90 2_k'_ 따라서 P(|Z|É2.04)= 0563 ③ 2 P(0ÉZÉ2.04)= a 에서 100 a 100 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2.04)=0.48이므로 a 신뢰도 a`%에 대하여 P(|Z|Ék)= `(k>0)라 하자. 100 a‌=200 P(0ÉZÉ2.04) 모표준편차가 15이고 크기가 100인 표본을 임의추출하여 추정한 =200_0.48=96 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간의 길이가 1.5이므로 15 =1.5 '¶100 3k=1.5 2_k_ ∴ k=0.5 즉, P(|Z|É0.5)= 2P(0ÉZÉ0.5)= a 에서 100 0565 a 100 96 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.5)=0.19이므로 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.34이므로 a‌=200 P(0ÉZÉ0.5) P(|Z|É1)‌=2 P(0ÉZÉ1) =200_0.19=38 =2_0.34 신뢰도 2a`%에 대하여 P(|Z|Ék')= 2 P(0ÉZÉk')= 2a `(k'>0)라 하면 100 =0.68= 2a 2_38 = =0.76에서 100 100 즉, 이 지역 고등학생의 몸무게의 모표준편차가 r`kg이므로 학생 100명을 임의추출하여 추정한 모평균 m에 대한 신뢰도 68`%의 신 P(0ÉZÉk')=0.38 뢰구간의 길이는 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.2)=0.38이므로 2_1_ k'=1.2 따라서 같은 표본을 이용하여 추정한 모평균 m에 대한 신뢰도 r 1 = r '¶§100 5 yy ㉠ 신뢰도 a %에 대하여 P(|Z|Ék)= 2a`%의 신뢰구간의 길이는 2_k'_ 68 100 a `(k>0)라 하면 이 지역 100 고등학생 중 다시 학생 400명을 임의추출하여 추정한 모평균 m에 15 15 =2_1.2_ =3.6 '¶§100 '¶§100 대한 신뢰도 a %의 신뢰구간의 길이는 r k = r yy ㉡ '¶§400 10 ㉠, ㉡이 서로 일치하므로 2_k_ 0564 ④ 신뢰도 70`%에 대하여 P(|Z|Ék)= 2P(0ÉZÉk)= P(0ÉZÉk)= 70 `(k>0)이라 하면 100 70 에서 100 1 k r= r 5 10 ∴ k=2 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.48이므로 P(|Z|É2)‌=2 P(0ÉZÉ2) 35 =0.35 100 =2_0.48 =0.96= 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.02)=0.35이므로 k=1.02 96 100 ∴ a=96 Ⅲ. 통계 337 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 337 2023. 9. 12. 오전 10:02 15 이때 모평균과 표본평균의 차가 모표준편차의 모평균과 표본평균의 차 0566 25 이 지역 고등학생 중에서 임의추출한 n명의 키의 표본평균이 x`® cm 이고 모표준편차가 8`cm이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 |m-x®|É 1 이하가 되려면 6 2r 1 É r '§n 6 즉, '§n ¾12이므로 n¾144 따라서 n의 최솟값은 144이다. 신뢰구간은 x®-1.96_ 8 8 ÉmÉx®+1.96_ '§n '§n 8 8 Ém-x®É1.96_ '§n '§n 8 ∴ |m-x®|É1.96_ '§n 이때 |m-x|® É3.2를 만족시키려면 -1.96_ |m-x|® É1.96_ 16 8 É3.2 '§n 신뢰구간의 성질 0569 즉, '§n ¾4.9이므로 n¾24.01 ① 신뢰도 a`%에 대하여 P(-kÉZÉk)= 따라서 자연수 n의 최솟값은 25이다. a `(k>0)라 하자. 100 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간의 길이는 0567 ① 정규분포를 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 n인 표본의 표 본평균을 x®라 하면 모표준편차가 15이고 P(|Z|É3)=0.99이므 로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 15 15 ÉmÉx®+3_ '§n '§n 45 45 즉, x이므로 ÉmÉx+ ® ® '§n '§n 45 45 Ém-xÉ ® '§n '§n 45 ∴ |m-x|® É '§n 이때 모평균과 표본평균의 차가 5 이하가 되려면 r '§n 같은 모집단에서 크기가 n'인 표본을 임의추출하여 구한 모평균 m ln=2_k_ 에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간의 길이는 ln'=2_k_ r "n' ln' =2에서 ln '§n "n' 1 =2, = 2 '§n "n' x®-3_ 이때 ∴ n' 1 = n 4 신뢰구간의 성질 신뢰도가 일정할 때, 신뢰구간의 길이는 표본의 크기의 제곱근에 반비례하 므로 다음이 성립한다. 45 É5 |m-x®|É '§n 즉, '§n ¾9이므로 1 배가 된다. '§x 1 배가 된다. ⑵ 신뢰구간의 길이가 x배가 되면 표본의 크기는 xÛ` ⑴ 표본의 크기가 x배가 되면 신뢰구간의 길이는 n¾81 따라서 n의 최솟값은 81이다. 0568 144 이 공장에서 생산하는 음료수의 용량은 정규분포를 따르므로 모평 0570 ③ a `(k>0)라 하자. 100 균을 m`mL, 모표준편차를 r`mL라 하고 임의추출한 음료수 n병 신뢰도 a`%에 대하여 P(-kÉZÉk)= 의 용량의 표본평균을 x®`mL라 하자. 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 P(0ÉZÉ2)=0.475에서 P(|Z|É2)=0.95이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 r r ÉmÉx+ ® 2_ '§n '§n 2r 2r Ém-xÉ ® '§n '§n 2r ∴ |m-x®|É '§n x® 2_ 추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 a`%의 신뢰구간이 aÉmÉb이므로 r '§n ㄱ. b-a의 ‌ 값은 n의 제곱근에 반비례한다. (거짓) b-a=2_k_ ㄴ. a의 ‌ 값이 커지면 k의 값도 커지므로 n의 값이 일정할 때, a의 값이 커지면 b-a의 값도 커진다. (거짓) 338 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 338 2023. 9. 12. 오전 10:02 ㄷ. a의 ‌ 값이 일정하면 k의 값도 일정하므로 a의 값이 일정할 때, n의 값이 작아지면 b-a의 값은 커진다. (참) ㄹ. a의 ‌ 값이 작아지면 k의 값도 작아지므로 n의 값이 커지고 a의 ‌ P(-kÁÉZÉkÁ)= aÁ `(kÁ>0)이라 하면 표본 A를 이용하 100 여 추정한 모평균 m의 신뢰구간이 48ÉmÉ56이므로 신뢰구 간의 길이는 값이 작아지면 b-a의 값은 작아진다. (참) ‌56-48=8 2kÁr ∴ =8 yy ㉠ '§nÁ 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다. aª `(kª>0)라 하면 표본 B를 이용 100 하여 추정한 모평균 m의 신뢰구간이 56ÉmÉ60이므로 신뢰 0571 ③ 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 추출하여 모평균 m을 신뢰도 a`%로 추정한 신뢰구간 aÉmÉb에 대하여 f(n, a)=b-a이므로 r 2 = r '¶100 5 r 3 = r f(100, 99)=2_3_ '¶100 5 f(100, 95)=2_2_ 2 권 또한 ‌ P(-kªÉZÉkª)= 구간의 길이는 60-56=4 2kªr ∴ yy ㉡ =4 '§nª 4'§nÁ 2'§nª ㉠에서 ‌ , ㉡에서 kª= 이므로 kÁ= r r ‌ ‌ nÁ=nª이면 kÁ>kª ∴ aÁ>aª (참) kÁr 4 kªr ㉡에서 '§nª= 2 ㄷ. ㉠에서 '§nÁ= r 1 = r f(400, 95)=2_2_ '¶400 5 r 3 = r f(400, 99)=2_3_ '¶400 10 ‌이때 aÁ=aª이면 kÁ=kª이므로 ‌ nÁ<'§nª '§ ∴ f(400, 95)< f(400, 99)< f(100, 95)< f(100, 99) ‌∴ nÁ<nª (거짓) 따라서 옳은 것은 ③이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 다른 풀이 ①,‌⑤ 표본의 크기가 같으면 신뢰도가 큰 쪽의 신뢰구간의 길이가 더 길므로 f(100, 95)< f(100, 99) f(400, 95)< f(400, 99) ②,‌④ 신뢰도가 같으면 표본의 크기가 작은 쪽의 신뢰구간의 길이 가 더 길므로 f(100, 95)> f(400, 95) f(100, 99)> f(400, 99) r 2 = r '¶100 5 r 3 = r f(400, 99)=2_3_ '¶400 10 ③ ‌f(100, 95)=2_2_ 0573 ∴ f(100, 95)> f(400, 99) 따라서 옳은 것은 ③이다. ⑤ 이 공장에서 생산하는 화장품 1개의 내용량을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(201.5, 1.8Û`)을 따른다. 이때 크기가 9인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 E(XÕ)=201.5, V(XÕ)= 0572 ② ㄱ. ‌표본 A의 표준편차는 6, 표본 B의 표준편차는 8로, 표본 A의 이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N(201.5, 0.6Û`)을 따르고 Z= XÕ-201.5 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 0.6 표준편차가 더 작으므로 표본 A가 표본 B보다 분포가 더 고르 따른다. 다. (참) 따라서 구하는 확률은 ㄴ. ‌모표준편차를 r, P(-kÉZÉk)= a `(k>0)라 하면 모집 100 단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 모평균 m에 대 한 신뢰도 a`%의 신뢰구간의 길이는 ‌ 2_k_ r 2kr = '§n '§n 1.8Û` =0.6Û` 9 P(XÕ¾200)‌=P{ XÕ-201.5 200-201.5 ¾ } 0.6 0.6 =P(Z¾-2.5) =P(ZÉ2.5) ‌ =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ2.5) ‌ =0.5+0.4938 ‌ =0.9938 Ⅲ. 통계 339 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 339 2023. 9. 12. 오전 10:02 0574 ① 즉, 확률변수 XÕ는 정규분포 N(m, 2Û`)을 따르므로 확률변수 확률변수 XÕ는 정규분포 N(50, 8Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 XÕ-m 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 2 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 P(XÕ¾b)=0.1587에서 E(XÕ)=50, V(XÕ)= 8Û` =2Û` 16 P(XÕ¾b)‌=P{ 확률변수 YÕ는 정규분포 N(75, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 =P{Z¾ 25인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로 E(YÕ)=75, V(YÕ)= XÕ-50 YÕ-75 , 는 모두 표준정규분포 N(0, 1) r 2 5 0.1587<0.5이므로 P{Z¾ b-m >0이고 2 b-m b-m }‌=P(Z¾0)-P{0ÉZÉ } 2 2 =0.5-P{0ÉZÉ 을 따른다. b-m } 2 =0.1587 이때 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 b-m ∴ P{0ÉZÉ }=0.3413 2 P(XÕÉ53)+P(YÕÉ69)=1에서 P{ XÕ-50 É 53-50 }+P » 2 2 P(ZÉ1.5)+P{ZÉP(ZÉ1.5)+P{Z¾ 즉, 1.5= b-m } 2 =0.1587 rÛ` r ={ }2` 25 5 r 즉, 확률변수 XÕ, YÕ는 각각 정규분포 N(50, 2Û`), N{75, { }2`}을 5 따르고 확률변수 XÕ-m b-m ¾ } 2 2 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 YÕ-75 69-75 É =1 ¼ r r 5 5 b-m =1 2 ∴ m=b-2 yy ㉡ 30 }=1 r ㉠, ㉡에서 m=a-3=b-2 30 }=1 r ∴ a=b+1 30 이므로 r r=20 어느 공장에서 생산되는 제품의 길이 X는 평균이 m이고, 표 따라서 확률변수 YÕ는 정규분포 N(75, 4Û`)을 따르므로 준편차가 4인 정규분포를 따른다고 한다. P(mÉXÉa)=0.3413일 때, 이 공장에서 생산된 제품 중에 YÕ-75 71-75 ¾ } 4 4 서 임의추출한 제품 16개의 길이의 z P(0ÉZÉz) =P(Z¾-1)=P(ZÉ1) 표본평균이 a-2 이상일 확률을 오 1.0 0.3413 =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1) 른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구 1.5 0.4332 =0.5+0.3413 한 것은? (단, a는 상수이고, 길이의 2.0 0.4772 =0.8413 단위는 cm이다.) P(YÕ¾71)=P{ 0575 ④ ① 0.0228 ② 0.0668 ④ 0.1359 ⑤ 0.1587 ③ 0.0919 ① 이 고등학교 학생들의 체육 실기 시험 성적 X가 정규분포 N(m, 6Û`) 을 따르므로 확률변수 X-m 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 6 표준정규분포를 따르는 확률변수를 Z라 하면 0576 P(mÉXÉa)=0.1915에서 모표준편차가 r인 모집단에서 크기가 16인 표본을 임의추출하여 P(mÉXÉa)‌=P{ m-m X-m a-m É É } 6 6 6 =P{0ÉZÉ a-m } 6 =0.1915 이때 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ0.5)=0.1915이므로 a-m =0.5 6 ∴ m=a-3 yy ㉠ 한편, 확률변수 XÕ는 이 고등학교 학생 중 임의추출한 9명의 체육 실기 시험 성적의 표본평균이므로 6Û` E(XÕ)=m, V(XÕ)= =2Û` 9 ② 구한 표본평균의 값을 xÁÕ이라 하면 모평균 m에 대한 신뢰도 95`% 의 신뢰구간은 r r ÉmÉxÁ+ Õ 1.96_ '16 '16 이 신뢰구간이 746.1ÉmÉ755.9와 같으므로 xÁÕ 1.96_ r =746.1 yy ㉠ '16 r xÁ+ =755.9 yy ㉡ Õ 1.96_ '16 ㉡-㉠을 하면 xÁÕ-1.96_ 2_1.96_ r =9.8 4 ∴ r=10 340 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 340 2023. 9. 12. 오전 10:02 모표준편차가 10인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균의 값을 xªÕ라 하면 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 0578 ① 확률변수 X가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로 ;8!;+a+;8!;+b=1 10 10 ÉmÉxª+ Õ 2.58_ 'n 'n 이 신뢰구간이 aÉmÉb와 같으므로 xªÕ 2.58_ ∴ a+b= 3 4 yy ㉠ E(X)=E(XÕ)=4이므로 1 1_;8!;+3a+5_ +7b=4 8 ∴ 3a+7b= 10 É6, 'n¾8.6 ∴ n¾73.96 'n 따라서 자연수 n의 최솟값은 74이다. 2_2.58_ 13 4 2 yy ㉡ 권 10 'n b-a의 값이 6 이하가 되려면 b-a=2_2.58_ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;2!;, b= 1 4 즉, X의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다. 0577 80 이 회사에서 생산하는 제품 중 임의추출한 제품 49Û`개의 표본평균 이 139`cm, 모표준편차가 r`cm이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 139-1.96_ r r ÉmÉ139+1.96_ "49Û` "49Û` ∴ 139-0.04rÉmÉ139+0.04r X 1 3 5 7 합계 P(X=x) ;8!; ;2!; ;8!; ;4!; 1 확률변수 X가 갖는 값이 1, 3, 5, 7이므로 이 모집단에서 크기가 2 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 XÕ가 갖는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이다. 이 모집단에서 임의추출한 크기가 2인 표본을 (XÁ, Xª)라 하면 XÕ=3인 경우는 (1, 5), (3, 3), (5, 1)일 때이므로 P(XÕ=3)‌=P(X=1)_P(X=5)+P(X=3)_P(X=3) 이 신뢰구간이 aÉmÉb와 같으므로 a=139-0.04r yy ㉠ b=139+0.04r yy ㉡ =;8!;_;8!;+;2!;_;2!;+;8!;_ = 같은 모집단에서 임의추출한 제품 43Û`개의 표본평균이 141`cm이 므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 r r ÉmÉ141+2.58_ "43Û` "43Û` ∴ 141-0.06rÉmÉ141+0.06r 141-2.58_ yy ㉢ d=141+0.06r yy ㉣ 9 32 P(XÕ=6)‌=P(X=5)_P(X=7)+P(X=7)_P(X=5) =;8!;_;4!;+;4!;_ = 1 8 1 16 ∴ P(XÕ=3)+P(XÕ=6)= 이때 b=c이므로 ㉡, ㉢에서 1 8 XÕ=6인 경우는 (5, 7), (7, 5)일 때이므로 이 신뢰구간이 cÉmÉd와 같으므로 c=141-0.06r +P(X=5)_P(X=1) 9 1 11 + = 32 16 32 139+0.04r=141-0.06r 0.1r=2 ∴ r=20 r=20을 ㉠에 대입하면 a=139-0.04_20=138.2 다음은 어떤 모집단의 확률분포표이다. X 10 20 30 합계 P(X=x) ;2!; a ;2!;-a 1 r=20을 ㉣에 대입하면 d=141+0.06_20=142.2 ∴ r_(d-a)=20_(142.2-138.2)=80 이 모집단에서 크기가 2인 표본을 복원추출하여 구한 표본평 어느 지역 주민들의 하루 여가 활동 시간은 평균이 m분, 표준 편차가 r분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역 주민 중 16 명을 임의추출하여 구한 하루 여가 활동 시간의 표본평균이 75분일 때, 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간이 균을 XÕ라 하자. XÕ의 평균이 18일 때, P(XÕ=20)의 값은? ① ;5@; ② ;5!0(; ③ ;2»5; ④ ;5!0&; ⑤ ;2¥5; ④ aÉmÉb이다. 이 지역 주민 중 16명을 다시 임의추출하여 구 한 하루 여가 활동 시간의 표본평균이 77분일 때, 모평균 m에 대한 신뢰도 99`%의 신뢰구간이 cÉmÉd이다. d-b=3.86 을 만족시키는 r의 값을 구하시오. (단, Z가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(|Z|É1.96)=0.95, 0579 P(|Z|É2.58)=0.99로 계산한다.) 모평균이 m이고 모표준편차가 r인 정규분포를 따르는 모집단에서 12 7 임의추출한 크기가 4인 표본의 표본평균이 x이 ® 고 P(|Z|É2)=0.95 이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 Ⅲ. 통계 341 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 341 2023. 9. 12. 오전 10:02 r r ÉmÉx®+2_ '4 '4 ∴ x® rÉmÉx+ ® r 이때 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1, d=d'+1로 놓으면 x®-2_ a'+b'+c'+d'=7 x®-r=3 (단, a', b', c', d'은 5 이하의 음이 아닌 정수이다.) 이 신뢰구간이 3ÉmÉa와 같으므로 이를 만족시키는 모든 순서쌍 (a', b', c', d')의 개수는 yy ㉠ a'+b'+c'+d'=7을 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c', d'의 x®+r=a 같은 모집단에서 다시 임의추출한 크기가 9인 표본의 표본평균이 x+ ® 2이고 P(|Z|É3)=0.99이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 순서쌍 (a', b', c', d')의 개수에서 a', b', c', d' 중 6 이상인 수가 포함된 순서쌍의 개수를 뺀 것과 같다. a'+b'+c'+d'=7을 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c', d'의 99`%의 신뢰구간은 순서쌍 (a', b', c', d')의 개수는 r r (x®+2)-3_ ÉmÉ(x®+2)+3_ '9 '9 ∴ x®+2-rÉmÉx®+2+r ¢H¦=10C¦=10C£=120 이때 a', b', c', d'이 ‌ 0, 0, 0으로 이루어진 순서쌍 (a', b', c', d')의 개수는 Ú 7, 이 신뢰구간이 bÉmÉ9와 같으므로 4! =4 3! x®+2-r=b x+ yy ㉡ ® 2+r=9 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 ‌ 1, 0, 0으로 이루어진 순서쌍 (a', b', c', d')의 개수는 Û 6, 4! =12 2! x®=5, r=2 따라서 x®=5, r=2가 이차방정식 xÛ`-kx+k+3=0의 두 근이므 따라서 ㉠을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는 로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 120-4-12=104 5+2=-(-k), 5_2=k+3 즉, P{XÕ= ∴ k=7 11 104 13 이므로 = }= 4 162 6Ý` p=162, q=13 이차방정식의 근과 계수의 관계 ∴ p+q=162+13=175 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 a, b일 때 b a a+b=- , ab= c a 어느 공장에서 생산되는 제품의 길이는 모표준편차가 1 인 1.96 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산되는 제품 중에 서 임의추출한 10개 제품의 길이를 측정하여 표본평균을 구하 였다. 이 표본평균을 이용하여 구한 제품의 길이의 모평균 m 에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간을 aÉmÉb라 하자. a와 b 가 이차방정식 10xÛ`-100x+k=0 의 두 근일 때, k의 값을 구하시오. (단, 표준정규분포를 따르 는 확률변수 Z에 대하여 P(0ÉZÉ1.96)=0.4750이다.) 249 0580 175 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인 하는 시행을 4번 반복할 때, 나오는 모든 경우의 수는 ¤P¢=6Ý` 꺼낸 카드에 적힌 수를 순서대로 a, b, c, d (a, b, c, d는 1 이상 6 이하의 자연수)라 하자. 네 개의 수의 평균이 11 이 되려면 네 개의 수의 합이 11이어야 하 4 므로 a+b+c+d=11 yy ㉠ 342 정답과 풀이 <이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단전재와 무단복제를 금합니다.> 유형ON_확통3권.indb 342 2023. 9. 12. 오전 10:02

수학의바이블 유형on 확률과 통계

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