Chapitre 1
Notions de logique et quantificateurs
Table des matières
I
Logique mathématique
1. Assertions et formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b)
Conjonction et disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c)
Implication et équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Théorèmes logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
2
3
4
II
Quantificateurs
1. Définitions et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Négation d’une propriété quantifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
III
Modes de raisonnements
1. Raisonnement par disjonction de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Raisonnements par implication et par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Raisonnement par équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Le raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
La récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b)
La récurrence multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c)
La récurrence forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
6
7
7
8
8
9
IV
Exercices d’application
11
I
Logique mathématique
1.
Assertions et formules
Définition 1
Une assertion est une phrase mathématique qui est soit vraie (V) soit fausse (F).
Une proposition, un théorème ou un lemme sont des assertions vraies.
Exemples :
1. « 6 × 7 = 42 » est une assertion vraie.
2. « Il existe x ∈ R tel que x2 + x + 1 = 0 » est une assertion fausse.
Remarque : P (x) = x2 + x + 1 = (x + 12 )2 + 43 ⩾ 0 et P (x) est un polynôme du second degré.
3. « Il existe x ∈ C tel que x2 + x + 1 = 0 » est une assertion vraie.
4. Un nombre parfait est un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres (ex : 6 = 1 + 2 + 3).
« Il existe un nombre parfait impair » est une assertion (dont nul ne sait si elle est vraie ou fausse).
5. « sin est une fonction 4π-périodique » est une assertion vraie.
1
2.
Connecteurs logiques
Chapitre 1
6. « {x ∈ C | x2 = −1} = {−ı̇, ı̇} » est une assertion vraie.
Définition 2
Une formule mathématique est une assertion définie à l’aide d’une inconnue, généralement x. Du
choix de x dépend la valeur de vérité de la formule, on dit qu’elle dépend de la variable x. On la
note généralement P (x).
Exemples :
1. P (x) : « x2 − 4 = 0 » est une formule définie sur R ; P (−2) est vraie et P (1) est fausse.
2. P (a) : « la fonction fa : x 7→ ax est croissante sur R » est une formule qui est vraie SSI a ∈ R+ .
2.
Connecteurs logiques
On peut former une nouvelle assertion en en combinant plusieurs à l’aide de connecteurs logiques.
a)
Négation
Définition 3
Soit P une assertion. La négation de P est une nouvelle assertion généralement notée ⌉P ou P ou le
plus souvent simplement non P . On résume la valeur de non P dans la table de vérité ci-dessous :
P
V
F
non P
F
V
Table de vérité de la négation
Exemples :
1. « 3 divise 138 » (qui est vrai) a pour négation « 3 ne divise pas 138 » (qui est faux).
2. La négation de « f est une fonction croissante sur R » est
« f n’est pas une fonction croissante sur R » qui s’écrit encore :
« il existe (a, b) ∈ R2 tel que a < b et f (a) > f (b) ».
3. « l’entier n est un nombre pair » a pour négation « n est un nombre impair ».
o
n
4. Soit E = x ∈ R | x−1
⩽
−2
et P = « x0 ∈ E ».
2
n
o
Alors non P = « x0 ∈ x ∈ R | x−1
2 > −2 » =« x0 ∈ ]−∞; −3] ».
b)
Conjonction et disjonction
Définition 4
Soient P et Q deux assertions. « P et Q » et « P ou Q » sont deux nouvelles assertions (resp. la
conjonction et la disjonction) dont les valeurs de vérité sont données par la table de vérité suivante :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P et Q
V
F
F
F
P ou Q
V
V
V
F
Table de vérité de la conjonction (et) et de la disjonction (ou).
Remarque : le « ou » mathématique est dit non exclusif : si P et Q est vraie, alors P ou Q est vraie.
2/12
2.
Connecteurs logiques
Chapitre 1
c)
Implication et équivalence
Définition 5
Soient deux assertions P et Q. Alors
(P =⇒ Q) encore notée P implique Q est une assertion appelée implication.
(P ⇐⇒ Q) encore notée P équivaut à Q (ou P SSI Q) est une assertion appelée équivalence
Les valeurs de vérité de ces deux assertions sont données par :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P =⇒ Q
V
F
V
V
P ⇐⇒ Q
V
F
F
V
Table de vérité de l’implication et celle de l’équivalence
Remarques :
1. L’implication (P ⇒ Q) est fausse si seulement si (P est vraie et Q est fausse) SSI (P et non Q) vraie.
2. Dans l’implication P =⇒ Q, on dit que P est l’hypothèse de l’implication et Q est la conclusion.
3. Savoir que des assertions du type P =⇒ Q ou P ⇐⇒ Q sont vraies est très utile pour en démontrer
de nouvelles. Beaucoup de théorèmes sont d’ailleurs de cette forme (le théorème de Pythagore
affirme par exemple qu’une propriété d’un triangle en implique une autre).
La base des démonstrations logiques est le raisonnement par implication :
On sait que P est vraie.
On sait que P =⇒ Q est vraie.
Donc Q est vraie.
☛ ne pas confondre la vérité de P =⇒ Q (ligne 2 ci-dessus) et celle de Q (ligne 3 ci-dessus).
4. Vu cette importance, on dispose d’un vocabulaire très riche pour dire que des assertions du type
P =⇒ Q ou P ⇐⇒ Q sont vraies.
Voici les différentes manières d’exprimer que l’assertion P =⇒ Q est vraie :
– P implique Q
– Si P alors Q
– Q est vraie si (dès que, lorsque, quand) P est vraie
– Il suffit que P soit vraie pour que Q le soit
– P est une condition suffisante pour Q
– Il faut que Q soit vraie pour que P le soit
– Q est une condition nécessaire pour P
5. La définition de l’implication P =⇒ Q (et notamment le fait que P =⇒ Q soit vraie dès que P est
fausse) peut surprendre. Essayons d’expliquer que c’est au contraire parfaitement raisonnable, en
adoptant un point de vue réglementaire : par exemple, l’article R412-30 du code de la route dit
que « Tout conducteur doit marquer l’arrêt absolu devant un feu de signalisation rouge, fixe ou
clignotant. » ce que l’on peut retraduire par une implication « si le feu est rouge, je m’arrête » ou
« le feu est rouge =⇒ je m’arrête ». Respecter ce règlement, c’est rendre cette implication vraie. Or,
ce règlement ne donne aucune obligation dans le cas où le feu est vert : le règlement n’exige rien
de nous dans ce cas, et on ne peut donc pas enfreindre l’article R412-30. L’implication est toujours
vraie quand l’hypothèse est fausse.
6. Pour autant, P =⇒ Q ne veut pas dire que P explique Q, ni même qu’elle ait un rapport avec lui.
Cela signifie simplement que Q est « au moins aussi vraie que P ». Par exemple, les assertions
(4 est pair) =⇒ le carré d’un nombre réel est un réel positif
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3.
Théorèmes logiques
Chapitre 1
et
(5 est pair) =⇒ le carré d’un nombre réel est un réel positif
sont toutes les deux vraies : la première parce que sa conclusion est vraie, la seconde parce que
son hypothèse est fausse.
7. On n’utilisera jamais le symbole =⇒ comme abréviation de « donc ». Deux raisons :
– Raison logique (la plus importante). Le sens de la conjonction « donc » n’est pas celui d’une
implication logique. En effet, l’implication logique P =⇒ Q correspond à la phrase « Si P alors
Q ». Comparons les deux célèbres phrases suivantes :
i) « Si Socrate est un chat alors il est mortel »
ii) « Socrate est un chat, donc il est mortel »
Les deux phrases n’ont pas du tout le même sens : contrairement à la première, la seconde
affirme que Socrate est un chat (et en déduit qu’il est mortel). La première, elle, ne prend
pas partie quant à la félinité de Socrate : il peut être un chat (auquel cas il sera mortel) ou
tout autre chose (auquel cas on ne dit rien sur son sort). Seule la première assertion est une
implication logique (qu’on pourrait éventuellement écrire « Socrate est un chat =⇒ Socrate est
mortel »).
Pour prendre un exemple plus mathématique, l’assertion « 1+1 = 3 =⇒ 1+1 = 2 » est vraie
(car son hypothèse est fausse), alors que « 1+1 = 3, donc 1+1 = 2 » n’a pas de sens.
– Raison rédactionnelle. On n’utilise pas dans un texte mathématique les symboles mathématiques comme abréviation.
3.
Théorèmes logiques
Proposition 1 –
Les propriétés suivantes sont vraies quelles que soient les valeurs des assertions P , Q et R.
(I) non (P et Q) ⇐⇒ ( non P ) ou ( non Q)
(V) non ( non P ) ⇐⇒ P
(II) non (P ou Q) ⇐⇒ ( non P ) et ( non Q)
(VI) [P et (P =⇒ Q)] =⇒ Q
(III) P et (Q ou R) ⇐⇒ (P et Q) ou (P et R)
(VII) (P =⇒ Q) ⇐⇒ ( non Q =⇒ non P )
(IV) P ou (Q et R) ⇐⇒ (P ou Q) et (P ou R)
(VIII) non (P =⇒ Q) ⇐⇒ P et ( non Q)
(IX) (P =⇒ Q) ⇐⇒ ((non P ) ou Q)
Preuve
Pour (I) et (II) compléter la table de vérité :
P Q non P non Q P et Q non (P et Q) (non P) ou (non Q) P ou Q non (P ou Q) (non P) et (non Q)
V V
F
F
V
F
F
V
F
F
V F
F
V
F
V
V
V
F
F
F V V
F
F
V
V
V
F
F
F F
V
V
F
V
V
F
V
V
Idem pour (III), (IV) et (V). Traitons par exemple encore (VI) et (VII) :
P Q P =⇒ Q P et (P =⇒ Q) [P et (P =⇒ Q)]=⇒ Q P =⇒ Q non Q non P (non Q)=⇒ (non P)
V V
V
V
V
V
F
F
V
V F
F
F
V
F
V
F
F
F V
V
F
V
V
F
V
V
F F
V
F
V
V
V
V
V
Remarques :
4/12
Chapitre 1
1. (I) et (II) sont appelées lois de Morgan.
2. La propriété (VII) est importante car (non Q) =⇒ (non P ) est la contraposée de la propriété P =⇒
Q. D’après (VII) ces assertions sont équivalentes.
3. En utilisant la règle VIII ci-dessus on peut mettre en place le raisonnement par l’absurde. Pour
démontrer l’implication P =⇒ Q , on suppose que P est vraie et que Q est fausse, puis on montre
que cela entraîne une contradiction. Ainsi « P et non Q » est fausse, donc sa négation est vraie !
i
i (IX) h
h
i (I) et (V ) h
On peut conclure car : non(P et non Q) ⇐⇒ (non P ) ou Q ⇐⇒ P =⇒ Q .
II
Quantificateurs
1.
Définitions et vocabulaire
Définition 6
n
o
Soit A un ensemble défini à l’aide d’une formule mathématique P (x) par A = x | P (x) est vraie . Si
A est non vide cela signifie qu’il existe au moins un élément x0 dans A tel que P (x0 ) est vraie. Cela
s’écrit :
∃x0 ∈ A | P (x0 ).
Le symbole ∃, dit quantificateur existentiel, se lit il existe ou bien pour au moins un.
Le symbole | se lit tel que (ou telle que), il sera souvent utilisé (et remplacé par « ; » en cas de
confusion avec la valeur absolue).
La propriété ∃x ∈ E, P (x) énonce que P (x) est vraie pour au moins un élément x de E.
Exemple : Soit f : [0; 1] → R, continue telle que f (0) > 0 et f (1) < 0. Alors le théorème des valeurs
intermédiaires (TVI) permet d’affirmer que :
∃x0 ∈ [0; 1], f (x0 ) = 0.
À propos de l’unicité : Si P (x) est vraie pour un unique (donc un et un seul) élément x de E, on exprime
cette unicité en ajoutant un point d’exclamation. Par exemple si f ci-dessus est de plus strictement
monotone on peut écrire :
∃!x ∈ E, P (x)
Définition 7
Soit A un ensemble défini à partir d’une formule mathématique par A = {x ∈ E | P (x)}. Bien sûr ici
on a A ⊂ E. Dire que A = E signifie que tous les x de E vérifient P (x), ce qui s’écrit :
∀x ∈ E, P (x)
Le symbole ∀ , dit quantificateur universel, se lit quel que soit ou bien pour tout.
La propriété ∀x ∈ E, P (x) énonce que P (x) est vraie pour tout élément x de E.
n
o
Exemple : Comme x ∈ R | x2 + 1 > 0 = R donc on peut écrire :
∀x ∈ R, x2 + 1 > 0.
Remarques :
☞ Les propriétés ∀x ∈ E, P (x) et ∃x ∈ E, P (x) ne dépendent pas de la variable x.
☞ L’ordre des quantificateurs est très important.
Exemples :
Soit f : R → R, x 7→ x + 1.
1. Pk : « ∃k ∈ R, ∀x ∈ R, f (x) > k ». C’est une propriété fausse. Pk ne dépend pas de x.
2. P : « ∀x ∈ R, ∃k ∈ R, f (x) > k ». C’est une propriété vraie. Elle ne dépend ni de x, ni de k.
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2.
Négation d’une propriété quantifiée
2.
Négation d’une propriété quantifiée
Chapitre 1
Regardons comment écrire non P si l’assertion P contient un quantificateur.
Proposition 2 –
Soit P (x) une formule.
La négation de « ∀x ∈ E, P(x) » est « ∃x ∈ E, non P (x) ».
La négation de « ∃x ∈ E, P (x) » est « ∀x ∈ E, non P (x) ».
Exemple : « L’équation f (x) = 0 n’a pas de solution dans R » est une assertion qui s’écrit :
« ∀x ∈ R, f (x) , 0 »,
sa négation est donc :
« ∃x ∈ R, f (x) = 0 »,
L’assertion
« ∀x ∈ R∗+ , ln(x) > 0 »
est fausse et sa négation, qui est vraie, est
« ∃x ∈ R∗+ , ln(x) ⩽ 0 ».
L’existence n’implique pas l’unicité, fausse ici, donc l’assertion « ∃! x ∈ R∗+ , ln(x) ⩽ 0 » est fausse.
On verra bientôt la définition suivante : dire qu’une suite réelle (un )n∈N converge équivaut à dire :
∃ℓ ∈ R, ∀ε ∈ R∗+ , ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |un − ℓ| < ε
C’est pour ce genre d’énoncé que l’ordre des quantificateurs devient important. Apprendre à rédiger (et
à bien comprendre) ce genre d’assertion est un des nombreux objectif de l’année. Sa négation, donc le
fait qu’une suite réelle ne converge pas, est (cf. (VIII) des théorèmes logiques) :
∀ℓ ∈ R, ∃ε ∈ R∗+ , ∀n0 ∈ N, ∃n ∈ N, n > n0 et |un − ℓ| ⩾ ε
III
1.
Modes de raisonnements
Raisonnement par disjonction de cas
Déjà traité, exemple plus loin.
2.
Raisonnements par implication et par contraposée
Remarques
1. Le raisonnement par implication (de la forme P =⇒ Q) est le plus utilisé, c’est celui décrit à la
remarque 3 p. 3.
2. Le raisonnement par contraposée (de la forme non(Q) =⇒ non(P ) ) est décrit à la rem. 2 p. 5.
3. Considérons l’implication P =⇒ Q. On prendra garde à ne pas mélanger la contraposée (qui est
non(Q) =⇒ non(P ) et qui lui est équivalente), et la réciproque (qui est Q =⇒ P et qui ne lui est pas
équivalente).
4. Même si, d’un point de vue logique, une implication et sa contraposée sont équivalentes, elles
peuvent paraître psychologiquement assez différentes. Comparer par exemple « tous les hommes
sont mortels » et « tout ce qui n’est pas mortel n’est pas un homme ».
3.
Raisonnement par équivalence
C’est le raisonnement qui sera utilisé lors de la résolution d’équations, d’inéquations ou de systèmes
simples. Dans les autres cas, équations, inéquations et systèmes non simples seront résolus pas analysesynthèse (voir
 ci-dessous).








u + v = 0 (L1 )
u + v = 0
v = −1
Exemple : 
⇐⇒
⇐⇒





u − v = 2 (L2 )
2u = 2
u = 1
(L1 + l2 )
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4.
Raisonnement par analyse-synthèse
Chapitre 1
4.
Raisonnement par analyse-synthèse
Un grand nombre de raisonnements visent à déterminer tous les objets vérifiant une certaine propriété.
Pour cela, le mode de raisonnement le plus efficace est souvent le raisonnement par analyse-synthèse.
Il s’agit d’un mode de raisonnement en deux temps :
1. Dans un premier temps (phase d’analyse), on considère un objet vérifiant la propriété voulue, et
on déduit ses propriétés, de façon à réduire l’ensemble des candidats possibles ; en d’autres termes,
on veut déterminer la forme des éléments cherchés ;
2. Dans un second temps (phase de synthèse), on vérifie que les candidats satisfont bien la propriété, ou on les rejette si ce n’est pas le cas.
Voici deux exemples d’analyse-synthèse :
1. Résolvons dans R l’équation |x + 1| = 2x + 3.
a. Analyse : Si x est solution ( !) alors |x + 1| = 2x + 3 donc |x + 1|2 = (2x + 3)2 donc x2 + 2x + 1 =
4x2 + 12x + 9 donc 3x2 + 10x + 8 = 0, ∆ = 100 − 96 = 4 = 22 donc x = −10−2
= −2 ou x = − 43 .
6
b. Synthèse : réciproquement, | − 2 + 1| = 1 , 2 × (−2) + 3 donc −2 n’est pas solution. | − 34 + 1| = 13
−8+9
1
4
et 2 −4
3 + 3 = 3 = 3 donc − 3 est solution.
n
o
c. Conclusion : l’équation a une unique solution qui est − 34 . L’ensemble solution est − 43 .
d. Remarque : insistons sur un point logique : résoudre une équation, c’est démontrer une équivalence, avec la difficulté supplémentaire que l’un des membres de l’équivalence n’est pas
donné explicitement (il est donné par une propriété) mais est à déterminer.
o
n
Par exemple, ici, on a démontré l’équivalence |x + 1| = 2x + 3 ⇐⇒ x ∈ − 43 .
2. Utilisation de l’analyse synthèse pour prouver l’existence et l’unicité d’un objet. Exemple : démontrer qu’il existe une unique fonction f : R → R vérifiant
∀(x, y) ∈ R2 ,
f (x) × f (y) − f (xy) = x + y
(E)
a. Analyse (unicité) Si une telle fonction f existe alors avec (x, y) = (0, 0), on obtient f (0)f (0) −
f (02 ) = 0 + 0 donc f (0)2 − f (0) = 0 donc (on factorise ! ) f (0)[f (0) − 1] = 0 donc f (0) = 0 ou
f (0) = 1.
Avec (x, y) = (0, 1) alors f (0)f (1) − f (0 × 1) = 0 + 1 donc f (0)[f (1) − 1] = 1 donc f (0) , 0 donc
f (0) = 1 donc f (1) − 1 = 1 donc f (1) = 2.
Avec (x, 1) on obtient f (x)f (1) − f (x × 1) = x + 1 donc 2f (x) − f (x) = x + 1 donc f (x) = x + 1.
b. Synthèse (existence) Il s’agit de vérifier qu’il existe bien une fonction solution de l’équation
(E). Si f : x 7→ x + 1 alors
f (x)f (y) − f (xy) = (x + 1)(y + 1) − (xy + 1)
= xy + x + y + 1 − xy − 1
= x+y
Ainsi il existe bien une unique fonction vérifiant (E).
5.
Le raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence est un ensemble de méthodes pour démontrer des assertions de la
forme « ∀n ⩾ n0 , P (n) », où P (n) est une assertion dépendant d’un entier n et n0 est un entier fixé.
En pratique, on rencontrera surtout les cas n0 = 0 et n0 = 1, et on écrira aussi ∀n ∈ N, et ∀n ∈ N∗ .
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5.
Le raisonnement par récurrence
a)
La récurrence simple
Chapitre 1
Le principe est le suivant : pour démontrer ∀n ⩾ n0 , P (n), il suffit de démontrer :
1. l’assertion P (n0 ) (phase appelée initialisation)
2. l’implication ∀n ⩾ n0 , P (n) =⇒ P (n + 1) (phase appelée hérédité)
En pratique, dans la réaction, on ajoutera une définition de l’assertion P (n) et la conclusion en 3.
n
P
Exemple : Démontrons que ∀n ∈ N,
(2k + 1) = (n + 1)2
k=0
1. Soit P (n) : «
n
P
(2k + 1) = (n + 1)2 »
k=0
2. Initialisation Pour n = 0,
0
P
(2k + 1) = (2 × 0 + 1) = 1 et (0 + 1)2 = 1 donc P (0) est vraie.
k=0
3. Hérédité supposons P (n) vraie alors
n+1
X
k=0
(2k + 1) =
n
X
(2k + 1) + [2(n + 1) + 1]
k=0
= (n + 1)2 + 2n + 3
(H.R.)
2
= n + 2n + 1 + 2n + 3
= n2 + 4n + 4
= (n + 2)2 = ((n + 1) + 1)2
Donc P (n + 1) est vraie
4. Conclusion : ∀n ∈ N,
n
P
(2k + 1) = (n + 1)2 .
k=0
Remarques :
1. Il est essentiel de définir clairement l’assertion P (n). Elle doit absolument dépendre de l’entier n.
En particulier, elle ne peut pas commencer par ∀n.
2. Il est très important de distinguer l’hypothèse de récurrence P (n) et l’assertion que l’on démontre,
qui est « ∀n ⩾ n0 , P (n) ».
3. Si dans la phase d’hérédité, on n’utilise pas l’hypothèse de récurrence, c’est que la récurrence est
inutile : il vaut mieux rédiger une preuve directe en fixant l’entier n, supérieur ou égal à n0 en
début de preuve.
b)
La récurrence multiple
Parfois, on a besoin, dans la phase d’hérédité, d’utiliser l’hypothèse de récurrence à plusieurs échelons.
On peut dans ce cas faire une récurrence multiple : on dit que c’est une récurrence double si on utilise
2 échelons, une récurrence triple si on utilise 3 échelons, etc.
Le principe est le suivant : pour démontrer ∀n ⩾ n0 , P (n), il suffit de démontrer :
1. les assertions P (n0 ) et P (n0 + 1) (initialisation)
2. l’implication ∀n ⩾ n0 ,
P (n) et P (n + 1) =⇒ P (n + 2) (phase appelée hérédité)


u0 = 2




Exemple : soit la suite (un )n∈N définie par 
u1 = 3



∀n ∈ N, u
n+2 = 3un+1 − 2un
n
Démontrer que ∀n ∈ N, un = 2 + 1.
8/12
5.
Le raisonnement par récurrence
c)
La récurrence forte
Chapitre 1
Parfois, on a besoin, dans la phase d’hérédité, d’utiliser l’hypothèse de récurrence à tous les échelons
inférieurs.
Le principe est le suivant : pour démontrer ∀n ⩾ n0 , P (n), il suffit de démontrer :
1. l’assertion P (n0 ) (initialisation)
2. l’implication ∀n ⩾ n0 ,
P (n0 ), P (n0 + 1), . . . , P (n) =⇒ P (n + 1) (hérédité)
Exemples
1. Montrons par récurrence forte que tout entier n ⩾ 2 est un produit de nombres premiers (ce qui
inclut le cas des nombres premiers eux-mêmes, vus comme des produits à un seul terme).
– Propriété soit P (n) : l’entier n est un produit de nombres premiers
– Initialisation 2 est un nombre premier donc P (2) est vraie
– Hérédité Supposons la propriété vraie pour un entier n ⩾ 2 fixé. Alors soit l’entier n + 1 est
premier et dans ce cas c’est terminé, soit n + 1 n’est pas premier et dans ce cas n + 1 s’écrit
comme un produit de deux entiers p et q avec 2 ⩽ p < n+1 et 2 ⩽ q < n + 1 et n + 1 = pq, donc
par hypothèse de récurrence p etq sont produits de nombres premiers donc pq (et donc n + 1)
est un produit de nombre premiers.
2. Soit (un )n⩾1 une suite à termes strictement positifs vérifiant :
p
X
∀p ⩾ 1,
ui3 =
p
X
ui
2
i=1
i=1
Montrer par récurrence forte que pour tout n ⩾ 1, un = n
• Propriété : soit Pn : un = n
• Initialiation Pour = 1, si
u1 = 1 donc P1 est vraie.
1
P
i=1
ui3 =
P
1
i=1
ui
2
alors u13 = u12 or u1 > 0 donc en divisant par u12 ,
• Hérédité Soit n ∈ N∗ fixé. Supposons que pour tout p ∈ J1; nK, Pp est vraie, donc supposons
n+1
P 3 n+1
P 2
que up = p. Alors
ui =
ui or
i=1
i=1
n+1
X
ui3
=
i=1
3
ui3 + un+1
i=1
=
n+1
X
n
X
ui3 =
n
X
i=1
n+1
X
2
ui
ui
3
+ un+1
2
i=1
i=1
=
n
X
2
ui + un+1
i=1
=
n
X
2
ui
i=1
9/12
+ 2un+1
n
X
i=1
2
ui + un+1
5.
Le raisonnement par récurrence
Chapitre 1
Donc (puisque un+1 , 0) :
2
un+1
= 2
= 2
n
X
i=1
n
X
ui + un+1
i + un+1
(HR)
i=1
n(n + 1)
+ un+1
2
= n(n + 1) + un+1
= 2
2
D’où un+1
− un+1 − n(n + 1) = 0, ∆ = 1 + 4n(n + 1) = (2n + 1)2 > 0, donc un+1 =
convient pas) donc un+1 =
• Conclusion : ∀n ∈ N,
1+(2n+1)
= n + 1 donc Pn+1 est vraie.
2
un = n.
10/12
1−(2n+1)
< 0 (ne
2
Chapitre 1
IV
Exercices d’application
Exercice 1
√
1. Résoudre dans R l’équation x + 4 = x − 2.
√
2. Résoudre dans R l’inéquation x − 1 ⩽ x + 2.
Exercice 2
Soit f : R → R. Y a-t-il un lien entre les deux assertions proposées ?
1. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, y = f (x)
et ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, y = f (x).
2. ∀y ∈ R, ∃x ∈ R, y = f (x)
et
∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y = f (x).
Exercice 3
Soit f : D → R une fonction définie sur une partie D de R. Exprimer verbalement la signification des
assertions suivantes. Puis, donner la négation logique des assertions.
1. ∀x ∈ D, f (x) = 1 ou f (x) = −1
2. ∀x ∈ D, f (x) = 1 ou ∀x ∈ D, f (x) = −1
3. ∃c ∈ R, ∀x ∈ D, f (x) = c
4. ∀x ∈ D, f (x) = 0 =⇒ x = 1
Exercice 4
Soit x un réel.
Écrire la négation des formules P (x) : « 0 < x ⩽ 1 » et Q(x) : « (x2 = 1) =⇒ (x = 1) ».
Pour quelles valeurs de x Q(x) est-elle vraie ?
Exercice 5 Raisonnement direct ou raisonnement par l’absurde
1. Soit n un entier. Montrer que : ( n2 est pair ) =⇒ ( n est pair).
En déduire que le réel
√
pas être écrit comme une fraction irréductible (donc que 2 < Q).
√
2 ne peut
2. Montrer que pour tout entier naturel n, n2 impair =⇒ n impair.
Exercice 6
Pour x ∈ R, écrire l’assertion P (x) suivante à l’aide des symboles =⇒ , ⩾ , > et ,.
Donner alors la propriété « non P (x) », puis déterminer l’ensemble E = {x ∈ R | P (x)}.
1. Pour que x soit supérieur à 1 il faut que x soit strictement supérieur à 2.
2. Pour que x soit supérieur à 1 il suffit que x soit strictement supérieur à 2.
3. Pour que x soit supérieur à 1 il faut que x soit différent de 1.
Exercice 7
Pour (x, y) ∈ R2 , on considère la formule P (x, y) : x + y 2 = 0.
Dire, en justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.
a) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, P (x, y)
b) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, P (x, y)
d) ∀y ∈ R, ∃x ∈ R, P (x, y)
e) ∃x ∈ R, ∃y ∈ R, P (x, y)
11/12
c) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, P (x, y)
Chapitre 1
Exercice 8
Soit f une application d’un intervalle I de R , dans R. Exprimer les énoncés suivants à l’aide de quantificateurs.
a) f est nulle sur I.
b) f s’annule sur I.
c) f est majorée sur I.
d) f est de signe constant sur I.
Exercice 9
n
Démontrer que ∀n ∈ N∗ , 24√n ⩽ 2n
n .
Exercice 10

1


u0 = 2
Soit (un )n∈N la suite définie par 

n
∀n ∈ N, un+1 = uu−1
Démontrer que : ∀ ∈ N,
u2n = 21 et u2n+1 = −1.
n
12/12