해석학 강의노트
Lecture Notes on Analysis
Undergraduate and Beginning Graduate Level
Sooji Shin
http://www.soojishin.com
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해석학, 복소해석학, 실해석학, 함수해석학의 내용을 과목별로 간단하게 정리하였습니다. 대중
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최종수정일 : 2011년 11월 20일
내용 순서
명제와 집합
1. 명제와 조건 ··································································· 1
7. 순서집합과 선택공리 ···················································· 4
2. 클래스와 집합 ······························································· 1
8. 자연수 집합 ··································································· 4
3. 여러 가지 명제 ····························································· 1
9. 집합의 크기 ··································································· 5
4. 집합의 연산 ··································································· 2
10. 기수 ············································································· 6
5. 관계와 분할 ··································································· 2
11. 서수 ············································································· 6
6. 함수 ··············································································· 3
기초 해석학
1. 순서체의 성질 ······························································· 8
11. 평균값 정리 ······························································ 21
2. 실수계의 완비성 ··························································· 9
12. Riemann 적분 ·························································· 23
3. 정수와 유리수 ····························································· 10
13. 미적분의 기본정리 ··················································· 26
4. 열린집합과 닫힌집합 ·················································· 12
14. 특이적분 ···································································· 27
5. 수열의 극한 ································································ 14
15. 무한급수 ···································································· 28
6. 발산하는 수열 ····························································· 15
16. 무한급수의 성질 ······················································· 30
7. Cauchy 수열 ······························································ 16
17. 함수열의 균등수렴 ··················································· 31
8. 함수의 극한 ································································ 17
18. 균등수렴의 판정 ······················································· 33
9. 연속함수 ······································································ 19
19. 거듭제곱급수 ···························································· 34
10. 실함수의 미분 ··························································· 20
20. 해석적 함수 ······························································ 35
선형대수학
1. 벡터공간 ······································································ 38
4. 행렬식과 역행렬 ························································· 45
2. 선형변환 ······································································ 40
5. 특성다항식 ·································································· 48
3. 내적공간 ······································································ 41
Fourier 급수
1. Fourier 급수의 개념 ·················································· 50
3. 수렴에 관한 Dini의 정리 ··········································· 53
2. Riemann-Lebesgue의 보조정리 ······························· 51
4. Fourier 급수의 적분과 미분 ····································· 54
다변수 해석학
1. Euclid 벡터공간 ························································· 58
15. 차수 정리 ·································································· 74
2. Euclid 거리공간 ························································· 59
16. Lagrange 승수 ························································· 76
3. 수열의 극한 ································································ 60
17. 곡선과 곡면 ······························································ 77
4. 긴밀집합 ······································································ 62
18. 중적분 ······································································· 78
5. 함수의 극한 ································································ 63
19. 중적분의 성질 ··························································· 79
6. 연속함수 ······································································ 63
20. 반복적분 ···································································· 80
7. 연결집합 ······································································ 64
21. 중적분의 변수변환 ··················································· 81
8. 선형변환 ······································································ 65
22. 벡터장의 개념 ··························································· 83
9. 미분의 개념 ································································ 66
23. 선적분 ······································································· 84
10. 미분의 성질 ······························································ 68
24. 면적분 ······································································· 86
11. 고계도함수 ································································ 70
25. 미분형식의 개념 ······················································· 87
12. Taylor의 정리 ·························································· 71
26. 미분형식의 성질 ······················································· 89
13. 함수급수의 미분 ······················································· 72
27. 미분형식의 미분 ······················································· 92
14. 음함수 정리와 역함수 정리 ····································· 73
28. 미분형식의 적분 ······················································· 94
-i -
복소해석학
1. 복소수 체계 ································································ 98
11. Cauchy 적분 공식의 응용 ····································· 106
2. 복소함수의 미분 ························································· 99
12. 특이점 ····································································· 107
3. 기본 함수 ·································································· 100
13. Laurent 급수 ·························································· 107
4. 등각사상 ···································································· 100
14. 유수 적분 ································································ 109
5. Cauchy-Riemann 방정식 ········································ 101
15. 편각 원리 ································································ 110
6. 일차분수변환 ···························································· 102
16. 해석적 함수의 성질 ················································ 110
7. 복소함수의 적분 ······················································· 103
17. Riemann 사상 정리 ··············································· 112
8. 원판에서의 Cauchy 정리 ········································· 103
18. 조화함수 ································································· 112
9. 단순연결영역에서의 Cauchy의 정리 ······················· 104
19. Dirichlet 문제의 해 ··············································· 114
10. Cauchy 적분 공식 ················································· 105
20. 반사원리 ································································· 116
거리공간
1. 위상공간 ···································································· 118
4. 긴밀집합 ···································································· 121
2. 수열과 함수의 극한 ·················································· 119
5. 연결성 ······································································· 123
3. 거리공간 ···································································· 120
6. 완비공간 ···································································· 124
측도와 적분
1. 넓이와 측도 ······························································ 126
10. Euclid 공간에서의 Lebesgue 측도 ······················ 135
2. Caratheodory의 정리 ·············································· 127
11. 함수의 미분 ···························································· 136
3. Borel 측도 ································································ 128
12. 가부호 측도 ···························································· 137
4. 가측함수 ···································································· 128
13. Lebesgue-Radon-Nikodym 정리 ························ 138
5. 음아닌 함수의 적분 ·················································· 129
14. Euclid 공간에서의 미분 ········································· 140
6. 지배수렴 정리 ··························································· 131
p
15. L 공간 ··································································· 142
7. Riemann 적분 ·························································· 132
16. 쌍대공간 ································································· 143
8. 수렴 정리 ·································································· 133
17. 분포 함수 ································································ 144
9. 곱측도공간 ································································ 134
18. 선형변환 ································································· 144
함수해석학
1. 내적공간과 노름공간 ················································ 146
11. 닫힌치역 정리 ························································ 155
2. 부분공간과 상공간 ··················································· 147
12. 약위상 ····································································· 156
3. Hilbert 공간의 기본 성질 ········································ 148
13. 범약위상 ································································· 157
4. 선형작용소 ································································ 150
14. Hilbert-Schimidt 작용소 ······································ 158
5. Hahn-Banach의 정리 ·············································· 151
15. 긴밀 작용소 ···························································· 159
6. 쌍대공간 ···································································· 152
16. 긴밀 자기수반 작용소의 스펙트럼 ························ 160
7. 여러 가지 쌍대공간 ·················································· 152
17. 일반 긴밀 작용소의 스펙트럼 ······························· 162
8. Baire의 범주 정리 ··················································· 154
18. Banach 대수에서의 스펙트럼과 분해 ··················· 163
9. 열린사상 정리 ··························································· 154
19. Hilbert 공간에서의 스펙트럼 ································ 165
10. 균등유계 원리 ························································ 155
- ii -
명제와 집합 강의노트
Sooji Shin ∙ soojishin@live.com
1. 명제와 조건
2. 클래스와 집합
참 또는 거짓 중 하나의 값만을 갖는 수학적 문장을 명제라고
수학적 개체들의 모임을 클래스라고 부른다. 가  를 이루는
부른다. 명제의 성질에 대하여 논할 때 보통 명제를 , , , ⋯
개체일 때 ∈ 로 나타내고 를  의 원소라고 부른다. 만약
과 같은 알파벳으로 나타낸다.
개체 가  의 원소가 아니면  ∉  로 나타낸다.
명제 에 대하여 ‘가 아니다’를 의 부정이라고 부르고 ∼ 로
클래스 중에서는 다른 클래스의 원소가 될 수 있는 것도 있고,
표기한다. 가 참일 때 ∼ 는 거짓이며, 가 거짓일 때 ∼ 는
다른 클래스의 원소가 될 수 없는 것도 있다. 다른 클래스의 원
참이다.
소가 될 수 있는 것을 집합이라고 부르며, 다른 클래스의 원소가
될 수 없는 것을 고유클래스라고 부른다.
둘 이상의 명제를 결합하여 새로운 명제를 만들 수 있다. 두 명
제 , 에 대하여 ‘ 그리고 ’를 와 의 논리곱이라고 부르며
예를 들어    는 모든 집합들의 모임이 되는데, 이러한
 ∧ 로 나타낸다. 그리고 ‘ 또는 ’를 와 의 논리합이라고
모임은 다른 클래스의 원소가 될 수 없으므로 고유클래스이다.
부르며  ∨ 로 나타낸다. 또한 ‘이면 이다’를 조건문 또는 함
또한   ∉ 는 Russell 클래스라고 부르는데, 이 클래스도
의라고 부르며  → 로 나타낸다.
고유클래스의 대표적인 예가 된다.
이와 같은 명제의 결합은 다음과 같이 진리표로 나타낼 수 있다.
집합에 관련된 다음과 같은 몇 가지 약속이 있다.

T
T
F
F

T
F
T
F
∧
T
F
F
F
∨
T
T
T
F
∙ 집합의 부분집합은 집합이다.
→
T
F
T
T
∙ 집합들의 합집합은 집합이다.
∙ 집합의 멱집합은 집합이다.
∙ 모든 자연수의 모임은 집합이다.
∙  가 집합이면 함수    →  의 치역도 집합이다.
진리표에서 T는 참을 나타내고 F는 거짓을 나타낸다.
따라서 우리가 수학에서 일상적으로 다루는 대부분의 ‘모임’은
만약 명제  → 가 참이면  ⇒ 로 나타낸다. 이때 를 이기
집합이다. 모임을 클래스라고 부르고, 클래스를 고유클래스와 집
이한 충분조건이라고 부르며 를 이기 위한 필요조건이라고 부
합으로 분류하는 것은 Russell의 역리와 같은 직관적 집합론의
른다.  ⇒ 이면서 동시에  ⇒ 이면  ⇔ 로 나타내며, 와
모순을 제거하기 위한 것이다.
는 서로 필요충분조건이라고 말한다.
문장에 따라서는 그 자체로는 참, 거짓이 판별되지 않지만 변수
3. 여러 가지 명제
에 값을 대입했을 때 참, 거짓이 판별되는 경우도 있다. 예를 들
명제 또는 조건 , 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
어 ‘는 짝수이다’는 의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이
∙  → 의 역 :  → 
되기도 한다. 이러한 문장을 조건이라고 부른다. 조건의 변수를
∙  → 의 이 : ∼  → ∼ 
강조할 때에는 , , , ⋯와 같이 나타내기도 하고,
∙  → 의 대우 : ∼  → ∼ 
변수를 강조할 필요가 없을 때에는 명제와 같이 , , , ⋯로
참고로 명제  → 에서 를 가정, 를 결론이라고 부른다.
나타내기도 한다.
명제와 그 대우의 참 거짓 여부는 항상 동일하다. 이와 같이 참,
조건 의 대상이 되는 영역  에서 가 참이 되는 만
거짓 여부가 서로 동일할 때 두 명제를 동치라고 한다. 두 명제
모은 집합을 의 진리집합이라고 부르고 ∈ 로 나타
, 가 동치인 것을  ≡ 로 나타낸다.
낸다.
명제 , , 에 대하여 다음과 같은 추이법칙이 성립한다.
대상영역  의 모든 원소 에 대하여 가 참이라는 명제를
 →  ∧  →  ⇒  → 
∀∈  
또한 , 에 대하여 다음과 같은 De Morgan의 법칙이 성립한다.
로 나타낸다. 이 명제를 전칭명제라고 부른다.  의 원소  중에
∼  ∧  ⇔ ∼  ∨ ∼ ,
서 가 참이 되도록 하는 것이 하나 이상 존재한다는 명제를
∼  ∨  ⇔ ∼  ∧ ∼ .
∃∈  
이들 법칙은 진리표를 이용하면 증명할 수 있다.
로 표기한다. 이 명제를 존재명제라고 부른다. 전칭명제와 존재
한정명제의 부정 규칙은 다음과 같다.
명제를 통틀어 한정명제라고 부른다.
∼  ∀∈   ≡ ∃∈  ∼ ,
대상 영역이 동일한 두 조건 , 에 대하여  → 도 조
∼  ∃∈   ≡ ∀∈  ∼ .
건이 된다. 대상 영역  의 모든 원소 에 대하여 이 조건이 참
인 것, 즉 ∀∈   → 인 것을  ⇒ 로 나
한정명제의 부정 규칙은 De Morgan의 법칙을 일반화한 것으로
타낸다.
볼 수 있다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
1
∙ ∙ ∙ 명제와 집합
4. 집합의 연산
5. 관계와 분할
두 집합  ,  에 대하여 ∈ ⇒ ∈ 일 때  를  의 부분
두 집합  와  의 카르테시안 곱을 다음과 같이 정의한다.
집합이라고 부르고  ⊆  로 나타낸다.  ⊆  이면서  ⊆ 
 ×      ∈ ∧ ∈ 
이면  와  를 서로 같은 집합이라고 부르고    로 나타낸
같은 방법으로 집합  ,  , ⋯,  의 카르테시안 곱을
다.  ⊆  이면서  ≠  이면  를  의 진부분집합이라고 부
른다. 집합  의 부분집합들을 모두 모은 집합을  의 멱집합이
 ×  ×⋯×     ⋯   ∀  ∈
라고 부르며 ℘  로 나타낸다.
로 정의한다. 이것을 간단하게
집합  ,  에 대하여 다음과 같이 정의한다.

    ×  ×⋯× 
∙ 합집합 : ∪   ∈ ∨ ∈ 
 
∙ 교집합 : ∩    ∈ ∧ ∈ 




으로 표기한다. 특히   은 다음과 같이 정의한다.
∙ 차집합 : ∖    ∈ ∧  ∉  


기준이 되는 대상 영역  안에서만 집합의 연산을 생각할 때
 ×⋯× 
   ×

 
 times
집합  를 전체집합이라고 부른다. 전체집합  의 부분집합  에
두 집합  ,  에 대하여  ×  의 부분집합  를  로부터  로
대하여  의 여집합을    ∈   ∉ 로 정의한다. 두 집
의 관계라고 부른다. 보통  ∈ 를  또는  로 표기
하며 ‘와 는  의 관계가 있다’라고 읽는다.  가  로부터 
합  ,  에 대하여 다음과 같은 De Morgan의 법칙이 성립한다.
로의 관계인 것을    →  로 나타내기도 한다.  를  의
 ∪     ∩ , ∩    ∪ 
공역이라고 부른다.
이번에는 집합을 모은 집합을 생각해보자. 세 집합  ,  , 
 로부터  로의 관계  에 대하여 다음과 같이 정의한다.
과 집합     에 대하여, 집합     은
∙  의 정의역 : dom   ∈ ∃∈   ∈
   ∈
∙  의 치역 : im   ∈ ∃∈   ∈
로 나타낼 수 있다. 이렇게 집합들을 원소로 갖는 집합을 집합족
 로부터  로의 관계  의 역관계를
이라고 부른다. 특히 위 예에서처럼 첨수가 붙은 집합들을 원소
     ∈ ×    ∈
로 갖는 집합을 첨수족이라고 부른다. 이때 를 첨수,  를 첨수
집합이라고 부른다.
로 정의한다.
집합  ,  ,  , ⋯,  에 대하여 다음과 같이 정의한다.
세 집합  ,  ,  와 두 관계    →  ,    →  에 대하
여  와  의 합성관계를

∙ 합집합 :
    ∪ ∪ ∪ ⋯ ∪

 




 ∘       ∃∈   ∈ ∧   ∈

∙ 교집합 :
    ∩ ∩ ∩ ⋯ ∩

 



로 정의한다.

관계  의 정의역과 공역이 동일한 집합  일 때,  를  로부터
더욱 일반적으로, 집합족    ∈에 대하여 다음과 같이
 로의 관계라고 부르는 대신 간단히  에서의 관계라고 부른다.
정의한다.
집합  에서의 관계  에 대하여 다음과 같이 정의한다.
        ∃∈  ∈ 
∙ 교집합 : ∩          ∀∈  ∈ 
∙ 합집합 : ∪ 
∈
∈
∈
∈




∙  가 반사적이라는 것은 ∀∈   인 것이다.
∙  가 대칭적이라는 것은   ⇔  인 것이다.
∙  가 추이적이라는 것은   ∧   ⇒   인 것이다.
집합족의 합집합과 교집합에 대하여 다음과 같은 De Morgan의
∙ 반사적이고 대칭적이며 추이적인 관계를 동치관계라고 부른다.
법칙이 성립한다.
∙  가 반대칭적이라는 것은   ∧   ⇒   인 것이다.

     
∈
∙ 반사적이고 반대칭적이며 추이적인 관계를 순서관계라고 부른다.

 
∈
,
∈
 
∈

 가  에서의 동치관계일 때 ∈ 의 동치류를
또한 다음과 같은 분배법칙이 성립한다.
  
∪
∈
 
∈
  ∈   ∈
  
∪   , ∩
∈
 
∈
 ∩  
로 정의한다. 즉 의 동치류란 와  의 관계가 있는 원소들을
모두 모은 것이다. 경우에 따라서는 의 동치류를 
 또는 
한편   ∅일 때 다음이 성립한다.

∈
  ∅,

∈
로 표기하기도 한다.
  
 에서 동치관계  에 의한 동치류들을 모두 모은 집합을  에
의한  의 상집합이라고 부르며   로 나타낸다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
2
∙ ∙ ∙ 명제와 집합
집합  의 부분집합들의 모임  가 세 조건
함수    →  가 일대일대응이면 역관계   은  에서  로
의 함수가 된다. 이 함수를 의 역함수라고 부른다. 즉
∙  의 원소들은 쌍마다 서로소이다,
∙  의 임의의 원소는 공집합이 아니다,
   ⇔     
∙  의 모든 원소의 합집합은  가 된다
이다. 참고로 의 역함수의 역함수는  자신이 된다.
를 모두 만족시키면  를  의 분할이라고 부른다.
두 함수    →  와    →  에 대하여
정의에 의하면  에서의 동치관계  에 대하여 상집합   는
 ∘       ∃∈     ∧   
 의 분할이 된다. 즉 집합  에 하나의 동치관계가 주어질 때마
다 그에 따른 분할이 존재한다.
를 와 의 합성함수라고 부른다.
역으로 집합  에 분할  가 주어질 때마다 그에 따른 동치관계
함수    →  ,    →  ,    →  에 대하여 다음이
를 생각할 수 있다. 즉  에서의 관계  를
성립한다.
∙ 합성함수의 계산 :  ∘   
  ⇔ ∃∈  ∈ ∧ ∈
∙ 합성의 결합법칙 :  ∘  ∘    ∘  ∘ 
로 정의하면  는  에서의 동치관계가 된다.
∙ 합성함수의 역함수 :  ∘      ∘  
∙  ∘   는 항등함수이다.
6. 함수
∙ 와 가 일대일함수이면  ∘ 도 일대일함수이다.
집합  에서  로의 관계 가 두 조건
∙ 와 가 위에로의 함수이면  ∘ 도 위에로의 함수이다.
∙ ∀∈ ∃∈   ∈,
∙  ∘ 가 일대일함수이면 도 일대일함수이다.
∙  ∈ ∧   ∈ ⇒   
∙  ∘ 가 위에로의 함수이면 도 위에로의 함수이다.
를 모두 만족시키면 를  에서  로의 함수라고 부른다. 그리
∙  와  가 항등함수일 때  ∘   ,  ∘   이다.
고  ∈인 것을   로 나타낸다. 함수 의 의해 
∙    이고  ∘    ,  ∘    이면     이다.
가 에 대응되는 것을    ↦ 로 나타낸다.
그러나 일반적으로  ∘  ≠  ∘ 이다. 즉 함수 합성의 교환법
함수    →  에 대하여  ⊆  이고 ∀∈    일
칙은 성립하지 않는다.
때 를  에서의 항등함수라고 부르며 보통  로 나타낸다.
함수    →  와  ⊆  ,  ⊆  에 대하여
함수    →  에 대하여 ∃∈ ∀∈    일 때 
   ∈ ∃∈    ,
를 상수함수라고 부르며 보통 로 나타낸다.
     ∈ ∃∈    
함수    →  에 대하여  ⊆  일 때, 함수
로 정의한다.    를 의 의한  의 상,      를 에 의한 
     ∈ ∧   
의 역상이라고 부른다.
를 의 축소함수라고 부른다. 그리고 를  의 확대함수라고
함수    →  와  ⊆  (∈ ),   ⊆  (∈ )에 대하여
부른다.
다음이 성립한다.
두 함수    →  ,    →  에 대하여
∙  ⊆  이면   ⊆  이다.
∙   ⊆   이면       ⊆      이다.
∀∈∩    
가 성립할 때,   ∪는 ∪ 로부터  ∪ 로의 함수가 된
∙ 
 

i f ∈

i f ∈

         
         
∈
다. 이때 함수   ∪ →  ∪ 를
∙  
 
∈
  , 
 ⊆
    ,  
 
∈
∈
∈
∈
  .
 
∈
∈
    .
두 집합  ,  에 대하여, 정의역이  이고 공역이  인 모든 함
의 형태로 정의하여 사용한다. 예를 들어  ≥ 일 때   이
수들의 모임을   로 나타낸다. 특히  는 정의역이  이고 공
고,  ≤ 일 때   이므로


 

역이  인 모든 함수들의 모임을 의미한다.
if  ≥ 
if  ≤ 
함수를 이용하면 임의 개수의 집합의 카르테시안 곱을 정의할
수 있다. 순서쌍   는  ↦ ,  ↦ ,  ↦ 인 함수로
이라고 쓸 수 있다.
생각할 수 있다. 이러한 관점에서 다음과 같이 정의한다.
함수    →  에 대하여      ⇒    이면 를
집합족  ∈와  
일대일함수 또는 단사함수라고 부른다. 한편 공역과 치역이 같은
∈


   ∈  ∀∈     ∈ 

함수를 위에로의 함수 또는 전사함수라고 부른다. 그리고 일대일
∈
이면서 위에로인 함수를 일대일대응 또는 전단사함수라고 부른


로 정의한다.
다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
 에 대하여  의 카르테시안 곱을
3
∙ ∙ ∙ 명제와 집합
7. 순서집합과 선택공리
순서집합  의 원소 에 대하여   ∈   를  의 절
반사적이고 반대칭적이며 추이적인 관계를 순서관계라고 부른다.
편이라고 부른다. 그리고  의 부분집합  가
예를 들어 실수 전체 집합 ℝ에서 부등호 ≤에 대하여
∀ ∈  ∈ ∧  ≤  → ∈ 
∙ ∀∈ℝ   ≤ 
를 만족시키면  를  의 절단이라고 부른다.
∙ ≤ ∧ ≤ ⇒ 
정렬집합  에 대하여  가  의 절단일 필요충분조건은   
∙ ≤∧≤ ⇒ ≤
또는  가  의 절편인 것이다. 또한  가 정렬집합이면  로부
가 성립하므로 ≤는 ℝ에서의 순서관계이다. 순서관계 ≤가 주
터 절편  로의 순서동형사상은 존재하지 않는다.
어진 집합  를 순서집합이라고 부르고 ⟨ ≤⟩로 표기한다.
임의의 두 정렬집합  ,  에 대하여 다음 중 하나가 유일하게
혼동할 염려가 없을 때에는 ⟨ ≤⟩를 그냥  로 표기한다.
성립한다.
순서집합  의 원소 , 에 대하여  ≤  또는  ≤ 가 성립
할 때 와 는 비교 가능하다고 말한다. 순서집합  의 임의의
∙  가  와 순서동형이다.
두 원소가 비교 가능할 때  를 전순서집합 또는 선형순서집합
∙  가  의 한 절편과 순서동형이다.
이라고 부른다.
∙  가  의 한 절편과 순서동형이다.
따라서 정렬집합  의 임의의 부분집합은  와 순서동형이거나
순서집합 ⟨ ≤⟩, ⟨  ≦⟩에 대하여
또는  의 절편과 순서동형이 된다.
∀ ∈   ≤  →  ≦ 
집합  에 대하여 ℘′    ℘ ∖∅이라고 하자. 조건
를 만족시키는 함수    →  를 순서보존함수 또는 증가함수
라고 부른다. 만약    →  가 일대일대응이고 와   가 모
∀ ∈℘′     r  ∈
두 순서를 보존하면 를 순서동형사상이라고 부르고 이때  와
를 만족시키는 함수 r  ℘′    →  를  에 대한 선택함수라
 를 순서동형이라고 부른다. 두 집합  ,  가 순서동형인 것을
고 부른다. 여기서 다음과 같은 공리를 받아들인다.
 ≅  로 나타낸다. 임의의 순서집합족에서 순서동형 관계는 동
선택공리 임의의 집합에 대한 선택함수가 존재한다.
치관계가 된다.
순서집합  와 그 원소  ,  , , 에 대하여 다음과 같이 정
다음은 선택공리와 동치인 명제들이다.
의한다.
∙ 극대원리 : 순서집합  의 모든 선형부분집합들의 모임  에
∙ ∀∈   ≤  →   이면  을  의 극대라고 부른다.
관계 ⊆가 부여된 순서집합 ⟨ ⊆⟩은 극대원소를 가진다.
∙ ∀∈   ≤  →   이면  을  의 극소라고 부른다.
∙ Zorn의 보조정리 : 순서집합  의 임의의 선형부분집합이 상
∙ ∀∈   ≤ 이면 를  의 최소 또는 첫 원소라고 부른다.
계를 가지면  는 극대원소를 가진다.
∙ ∀∈   ≤ 이면 를  의 최대 또는 끝 원소라고 부른다.
∙ 정렬원리 : 임의의 집합  에 대하여 ⟨ ≤⟩가 정렬집합이
순서집합  의 부분집합  와  의 원소 , 에 대하여 다음과
되도록 하는 순서관계 ≤가 존재한다.
같이 정의한다.
∙ ∀∈   ≤ 이면 를  의 상계라고 부른다.
선택공리는 처음에는 집합론의 다른 공리를 이용하여 증명 가능
∙  의 상계 중 가장 작은 값을  의 상한이라고 부른다.
한 것이라고 생각되었다. 그러나 1938년 Kurt Gödel에 의하여
∙ ∀∈   ≤ 이면 를  의 하계라고 부른다.
선택공리가 다른 공리에 모순이 되지 않는다는 것이 밝혀졌고,
∙  의 하계 중 가장 큰 값을  의 하한이라고 부른다.
1963년 Paul Cohen에 의하여 선택공리가 다른 공리와 독립적
임이 밝혀졌다.
집합  의 상한을 sup 또는 lub 라고 표기하며,  의 하한을
in f 또는 glb 로 표기한다. 상계나 하계는 여러 개가 존재할
8. 자연수 집합
수 있지만 상한 또는 하한이 존재한다면 그것은 각각 유일하다.
Peano의 공리에 의하면 다음 다섯 개의 조건을 모두 만족시키
순서집합  의 부분집합  의 상계가 존재할 때  는 위로 유계
는 집합 ℕ을 자연수 집합이라고 부른다.
이다고 말한다. 또  의 하계가 존재할 때  는 아래로 유계이다
고 말한다. 위로 유계이면서 아래로 유계인 집합은 유계이다고
∙ ∈ℕ
말한다.
∙ ∈ℕ ⇒   ∈ℕ
∙ ∀∈ℕ     ≠ 
순서집합  의 임의의 부분집합  에 대하여,  가 공집합이 아
∙ ∀ ∈ℕ         →   
니고 위로 유계일 때마다  의 상한이  에 존재하면,  를 조건
∙  ⊆ ℕ ∧ ∈ ∧ ∈ →   ∈  ⇒   ℕ
부 완비라고 부른다.
Peano의 공리를 모두 만족시키는 자연수 집합은 유일하게 결정
순서집합  에 대하여,  의 공 아닌 모든 부분집합이 단 하나의
된다. 즉 ℕ과 ℕ′ 이 Peano의 공리를 모두 만족시키는 집합이
극소원을 가지면  를 정렬집합이라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
면 두 집합 사이에 구조를 보존하는 일대일 대응이 존재한다.
4
∙ ∙ ∙ 명제와 집합
집합을 이용하여 Peano 공리의 조건을 모두 만족시키도록 자연
9. 집합의 크기
수를 정의할 수 있다. 먼저   ∅,     ∪으로 정의한
집합   ℕ∪과 음이 아닌 정수 에 대하여 절단을
다. 그리고 두 조건 ∈ 와 ∈ ⇒   ∈ 를 모두 만족시
  ∈   
키는 집합  를 귀납적 집합이라고 정의한다.
으로 정의한다.
귀납적 집합 중에서 가장 작은 집합을 자연수 집합이라고 부르
고 ℕ으로 표기한다. 즉 모든 귀납적 집합들의 교집합이 곧 자
두 집합  ,  에 대하여  로부터  로의 일대일대응이 존재할
연수 집합이 된다.
때  와  는 대등하다라고 말하고  ≈  로 표기한다. ≈는
임의의 집합족 위에서 동치관계가 된다.
Peano 공리의 다섯 번째 명제를 수학적 귀납법의 원리라고 부
른다. 즉 수학적 귀납법의 원리란 다음과 같다.
두 집합  ,  에 대하여  로부터  로의 일대일함수가 존재할
때  ≼ 로 표기한다.  ≼ 이면서  ≉ 인 것을  ≺  로
 가 ℕ의 부분집합이라고 하자. 만약  가 두 조건
표기하고  가  보다 크다라고 말한다.
∈ 그리고 ∈ ⇒   ∈
정의에 의해 임의의 집합  에 대하여  ≼ 가 성립한다. 또한
를 모두 만족시키면   ℕ이다. 왜냐하면 위의 두 조건에 의하
 ≼ 이고  ≼ 이면  ≼ 이다. 그리고 Cantor-Bernstein
여  는 귀납적 집합이 되는데, ℕ은 귀납적 집합 중 가장 작은
정리에 의하면  ≼ 이고  ≼ 이면  ≈  가 성립한다. 따
것이므로 ℕ ⊆  가 되기 때문이다.
라서 ≼는 임의의 집합족 위에서 순서관계가 된다.
정의역이 자연수 집합인 조건 가 두 조건
집합  가 주어졌다고 하자. 만약  ≈  인 절단  이 존재하면
∙ 은 참이다
 를 유한집합이라고 부른다. 이때  의 원소의 개수를
∙ 이 참이면   도 참이다
  
를 모두 만족시킨다고 하자. 그러면 의 진리집합은 자연수 집
으로 정의한다. 한편 유한집합이 아닌 집합을 무한집합이라고 부
합의 부분집합이면서 귀납적인 집합이 되므로 자연수 집합과 같
른다.
아진다. 따라서 모든 자연수 에 대하여 이 참이 된다.
모든 무한집합이 서로 대등한 것은 아니다. 자연수 집합과 대등
수학적 귀납법은 정의역이 자연수 집합인 조건이 모든 자연수에
한 집합을 가부번집합이라고 부르며, 가부번집합과 유한집합을
대하여 참임을 밝힐 때에 사용된다.
통틀어 가산집합이라고 부른다. 가산이 아닌 집합을 비가산집합
한편 명제를 증명할 때뿐만 아니라 정의역이 자연수 집합인 함
이라고 부른다. 우리가 잘 알고 있는 자연수 집합 ℕ, 정수 집합
수를 정의할 때에도 수학적 귀납법의 원리를 사용한다. 예컨대
ℤ, 유리수 집합 ℚ는 가부번집합이다.

함수    을 정의할 때
모든 무한집합은 가부번인 부분집합을 가진다. 즉 가부번집합은
무한집합 중에서 가장 작은 집합이다. 한편 Cantor의 정리에 의
  ,     
하면 임의의 집합  에 대하여  ≺ ℘   가 성립한다. 따라서
으로 정의할 수 있다. 이와 같이
무한집합에는 가산집합 외에도 더 큰 집합들이 얼마든지 존재한
∙ 을 정의하고,
다. 우리가 알고 있는 실수 집합 ℝ, 복소수 집합 ℂ는 비가산
∙ 을 이용하여   을 정의
집합이다.
할 때, 를 귀납적으로 정의한다고 말한다.
집합  가 무한집합일 때 다음이 성립한다.
자연수의 덧셈, 곱셈, 거듭제곱은 다음과 같이 귀납적으로 정의
∙ 일대일 함수   ℕ →  가 존재한다. 즉 임의의 무한집합은
한다.
가부번인 부분집합을 가진다. 이것은 가부번집합이 무한집합
중에서 가장 작은 것임을 의미한다.
∙     ∪
∙  가  의 유한부분집합이면  ≈  ∖ 이다. 즉 임의의 무한
∙           
집합은 자기 자신과 대등한 진부분집합을 가진다.
∙ ×
∙  ⊆  이면  도 무한집합이다.
∙        
∙  가 가부번이고  ⊆  이면  는 가부번이거나 유한이다.

∙  
∙ 
 

 ×
또한 유한집합과 무한집합에 대하여 다음이 성립한다.
이와 같은 정의를 이용하여 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙, 결합
∙  와  가 유한집합이면  ×  도 유한집합이다.
법칙, 분배법칙 그리고 거듭제곱에 대한 지수법칙을 증명할 수
∙  와  가 가산집합이면  ×  도 가산집합이다.
있다.
∙  가 유한집합이면 ℘  도 유한집합이다.
자연수의 순서관계는 자연수  , 에 대하여
∙ 정의역이  이고 공역이  인 집합을   로 나타낸다.  가
유한집합이면   와 ℘   는 대등하다.
 ≤  ⇔ ∈ ∨   
∙   ∈ℕ의 모든 원소가 가산이면
으로 정의한다. 이때 ⟨ℕ ≤⟩는 전순서집합이 된다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
5
  도 가산이다.
∈ℕ

∙ ∙ ∙ 명제와 집합
10. 기수
임의의 기수 , , 에 대하여 다음이 성립한다.
유한집합의 원소의 개수는  이상인 정수로 나타낼 수 있다. 그
∙       ,           .
러나 무한집합은 가산인 경우와 비가산인 경우로만 구분하였다.
∙   ,    .
무한집합도 두 가지 경우뿐만 아니라 여러 가지 경우가 있으며,
∙       .
무한집합의 크기도 유한집합처럼 다룰 수 있다. 무한집합의 크기
∙    ,     ,    .
를 다루기 위하여 다음과 같은 기수 공리를 받아들인다.
한편 두 기수 , 에 대하여 순서관계 ≤를
 ≤  ⇔ ≼
다음 두 조건을 모두 만족시키는 클래스  가 존재한다.
로 정의한다. ≼는 임의의 집합족 위에서 순서관계가 되므로,
∙ 임의의 집합  에 대하여  ≈ 인 ∈ 가 존재한다. 이때
위와 같이 정의된 관계 ≤는  에서의 순서관계가 된다. 더욱
를  의 기수(cardinal number)라고 부른다.
이 기수들을 임의로 모아놓은 클래스는 항상 최소원소를 가진다.
∙  의 원소 , 에 대하여  ≈ 이면   이다.
즉 ⟨ ≤⟩는 정렬클래스이다.
유한집합의 기수를 유한기수라고 부르고 무한집합의 기수를 무
한기수 또는 초한기수라고 부른다. 집합  의 기수를  또는
11. 서수
 또는 card   로 나타낸다. 유한집합의 기수를 정수로 나타
두 정렬집합의 기수가 동일할 지라도 정렬 상태에 따라서 두 집
내기 위하여  ⊆  인 것으로 약속한다. 이로써 모든 유한집
합이 서로 순서동형이 아닐 수도 있다. 이 경우 한 집합은 다른
합의 기수는 우리가 일반적으로 사용하는 원소의 개수와 동일한
한 집합의 진절편과 순서동형이 된다. 이렇게 정렬집합들의 모임
의미를 갖게 되었다.
에서 정렬 상태에 따라 집합들의 순서를 부여하고 그것을 표기
가장 작은 무한집합, 즉 가부번집합의 기수를 ℵ 으로 나타낸다.
할 수 있는 방법이 존재하면 편리할 것이다. 이를 위하여 다음과
같은 서수 공리를 받아들인다.
또한   ℵ 일 때 ℵ   ℘  로 정의한다. 자연수 집합
의 멱집합은 실수 집합과 대등하므로 ℝ  ℵ 이다.
다음 두 조건을 모두 만족시키는 클래스  가 존재한다.
이제 다음과 같은 집합들의 크기를 기호로 나타낼 수 있다.
∙ 임의의 정렬집합  에 대하여  ≅ 인 ∈ 가 존재한다.
∙ 유한집합 : ∅,      ⋯   , ⋯
이때 를  의 서수(ordinal number)라고 부른다.
∙  의 원소 , 에 대하여  ≅ 이면   이다.
∙ 가부번집합 : ℕ, ℤ, ℚ, ⋯
∙ 실수집합과 복소수집합 : ℝ, ℂ
∙ 여러 가지 공간 : ℝ , ℂ , ⋯
정렬집합  의 서수를 ⊘ 로 나타낸다. 기수의 합과 곱을 단순
∙ 가부번집합에 멱집합을 거듭 취하여 얻어진 집합
히 합집합과 카르테시안 곱을 이용하여 정의한 것과는 달리 서
수의 합과 곱은 복잡하다.
즉 해석학, 대수학, 위상수학 등 일반적인 방법으로 만들어지는
대부분의 집합의 크기를 기호로 나타낼 수 있다. 여기서 한 가지
서로소인 두 정렬집합 ⟨ ≤ ⟩, ⟨  ≤ ⟩가 주어졌다고
의문이 생긴다. 자연수 집합보다 크고 실수 집합보다 작은 집합
하자. 그리고 ∪ 에서의 정렬 ≤를
은 존재하는가? 더욱 일반적으로
 ≤  ⇔ ∈ ∧ ∈  ∨  ≤   ∨  ≤  
무한집합  에 대하여  ≺  ≺ ℘   인  가 존재하는가
로 정의하자. 이때  와  의 정렬합 ⊕ 를 ⟨∪  ≤⟩로
라는 의문이 생긴다. 20세기 초 많은 수학자들은 위의 조건을
정의한다.
만족시키는 집합  가 존재하지 않을 것이라고 추측하였는데, 이
또한 정렬곱 ⊙ 는 ⟨ ×   ≤⟩로 정의한다. 여기서 ≤는
러한 추측을 연속체 가설이라고 부른다.
   ≤    ⇔  ≤    ∨   ∧  ≤   
1938년 Kurt Gödel은 연속체 가설이 집합론의 공리에 모순이
되지 않는다는 것을 증명하였으며, 1963년 Paul Cohen은 연속
로 정의된 사전식 순서이다.
체 가설이 집합론의 다른 공리와 독립적임을 증명하였다.
서수 , 에 대하여   ⊘ ,   ⊘ 인 서로소인 두 정렬집
서로소인 두 유한집합  ,  에 대하여
합  ,  가 존재한다. 이때 와 의 서수합과 서수곱을 각각
    ⊘ ⊕  ,   ⊘ ⊙ 
 ∪         ,   ×       ×   
가 성립한다. 초한기수에서도 이러한 법칙이 성립하도록 기수의
로 정의한다.
합과 곱을 정의할 수 있다.
임의의 서수 , , 에 대하여 다음이 성립한다.
두 기수 , 에 대하여    ,    인 서로소인 두 집합  ,
∙           
 가 존재한다. 이때 두 기수 , 의 기수합을     ∪ 
∙   
로 정의한다. 또한 두 기수 , 의 기수곱을     ×   로
∙       
정의한다. 그리고 두 기수 , 에 대한 거듭제곱을     
그러나 교환법칙과 우분배법칙은 성립하지 않는다.
로 정의한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
6
∙ ∙ ∙ 명제와 집합
두 서수 , 에 대하여 순서관계 ≤를
 ≤  ⇔ (가 의 절편과 순서동형이다)
로 정의한다. 이때 ⟨ ≤⟩는 정렬집합이 된다.
순서집합  의 두 원소 , 에 대하여   이지만,     인
∈ 가 존재하지 않을 때 를 의 직전자라고 부르고, 를 
의 직후자라고 부른다. 서수 중에서 직전자를 갖지 않는 것을 극
서수라고 부른다.
모든 무한기수들의 모임을  라고 했을 때  와  의 동형사
상    →  가 존재한다. 이때 무한기수 에 대하여 대응
되는 서수 를 의 서수계수(ordinal rank)라고 부른다. 는
동형사상이므로 가 가장 작은 무한기수이면   이다. 
가 그 다음으로 작은 무한기수이면   이다.
가 무한기수이고   일 때 보통   ℵ 로 나타낸다. 우
리는 연속체 가설을 참인 공리로 받아들이기로 한다. 따라서 가
부번집합의 기수는 ℵ , 실수집합의 기수는 ℵ 이 된다.
집합을 이용하여 서수 클래스  를 만들 수 있다 ― 두 집합
, 에 대하여    ∨ ∈를  ∈로 나타내자. 이러한 순서

관계 ∈ 가 주어진 집합  를 ∈-순서가 주어졌다고 말한다. 그

리고 ∈-순서가 주어져 있고, 모든 원소 에 대하여  ∉ 인
순서집합을 ∈-정렬되었다고 말한다. 또한 ∈ ⇒  ⊆  인
집합  를 추이적 집합이라고 부른다. 추이적이고 ∈-정렬된 집
합을 서수라고 부른다. 이제 모든 서수들의 모임에 ∈ -순서가

주어진 클래스를  로 표기하자. 그러면  는 서수 공리의
두 조건을 모두 만족시키는 클래스가 된다.
기수가 동일한 정렬집합 중 정렬 순서로 비교했을 때 가장 작은
정렬집합의 서수를 시서수(initial ordinal)라고 부른다. 모든 시서수
들의 모임을  라고 하면,  는 기수 공리의 두 조건을 모두
만족시킨다. 따라서 기수를 시서수로서 정의할 수도 있다.
앞서 수학적 귀납법의 원리를 이용하여 정의역이 자연수 집합인
함수를 정의한 것처럼, 초한 귀납법의 원리를 이용하면 정의역이
정렬클래스인 함수를 정의할 수 있다. 이러한 방법을 이용하여
서수의 합, 곱, 거듭제곱을 정의할 수 있으며 이들의 성질을 증
명할 수 있다.
참고문헌
∙ Charles C. Pinter, Set Theory, Addison-Wesley, 1971.
∙ You-Feng Lin & Shwu-Yeng T. Lin, Set Theory: An
Intuitive Approach, Houghton Mifflin Harcourt, 1974.
강의노트 ∙ ∙ ∙
7
∙ ∙ ∙ 명제와 집합
기초 해석학 강의노트
Sooji Shin ∙ soojishin@live.com
1. 순서체의 성질
정리 1.3 체  의 원소 , 에 대하여 다음이 성립한다.
집합  에 대하여,  ×  로부터  로의 함수를  에서의 이항연
(1)   
(2)    
산이라고 부른다. 즉 이항연산이란 두 값의 연산 결과를 한 값에
(3)     
(4)     
대응시키는 함수이다.
증명 (1)            
                  
정의 1.1 집합  에서의 이항연산 ⋅이 세 조건
 .
(2)                    
G1. ∀  ∈  ⋅⋅  ⋅⋅  ,
                  .
G2. ∃∈ ∀∈  ⋅  ⋅  ,
(3)                  
G3. ∀∈ ∃∈  ⋅  ⋅  
              ⋅ 
를 모두 만족시킬 때, 집합 를 연산 ⋅에 대한 군(group)이라
                 .
고 부른다. 이때 군 를 집합 와 연산 ⋅를 묶어 ⟨ ⋅⟩이
(4)           
라고 표기하기도 하고, 연산을 혼동할 염려가 없을 때에는 그냥
            
라고 표기하기도 한다. 조건 G1을 결합법칙이라고 부른다. 조
   .
건 G2에서 를 ⋅에 대한 항등원이라고 부른다. G3에서 를 
의 ⋅에 대한 역원이라고 부른다. 연산 ⋅에 대한 군 가 교환
□
정의 1.4 체 ⟨  ⋅⟩에서의 관계 ≤가 세 조건
법칙이라고 불리는 조건
OF1. ⟨ ≤⟩는 선형순서집합이다,
G4. ∀ ∈  ⋅  ⋅
OF2. ∀     ≤  →    ≤   ,
를 추가로 만족시킬 때 를 가환군 또는 아벨군이라고 부른다.
OF3. ∀     ≤  ∧  ≤  →  ≤ 
가환이 아닌 군을 비가환군이라고 부른다.
를 모두 만족시킬 때  를 순서체라고 부른다.
군에서 항등원은 유일하다. 즉  와 ′ 이 의 항등원이라고 하
순서체에서  ≤  ∧  ≠ 인 것을   로 표기한다. 그리고
면, 항등원의 정의에 의하여   ⋅′  ′ 이므로   ′ 이다.
 ≤ 와  ≥ 는 동일한 의미이며   와   는 동일한
의미이다.   를 ‘보다 가 크다’ 또는 ‘가 보다 작다’라
마찬가지로 군에서 한 원소에 대한 역원은 유일하다. 즉 에 대
고 읽는다. 보다 큰 원소를 양수라고 부르고 보다 작은 원소
하여 그 역원 , ′ 이 있다고 하자. 그러면
를 음수라고 부른다. 체  의 양수들의 모임을   으로 나타내고
  ⋅  ⋅⋅′   ⋅⋅′  ⋅′  ′
음수들의 모임을   로 나타낸다.
이므로   ′ 이다.
정리 1.5 순서체의 원소 , 에 대하여 다음이 성립한다.
정의 1.2 집합  에서의 두 이항연산  와 ⋅가 세 조건
F1. ⟨ ⟩는 가환군이고  에 대한 항등원은 이다,
(2)   
(3) ⋅ ≥ 
(4)    ⇔     
증명 (1)    ⇒        ⇒   .
F2. ⟨∖ ⋅⟩은 가환군이고 ⋅에 대한 항등원은 이다,
역으로     ⇒        ⇒   .
F3. ∀  ∈  ⋅     ⋅  ⋅ 
(2) 체의 조건 F2에 의하여  ≠ 이다. 만약   이면    
를 모두 만족시킬 때  를  와 ⋅에 대한 체(field)라고 부른다.
이므로    ⋅   ⋅   , 즉    이 된다.
이때  와 두 연산을 묶어 ⟨  ⋅⟩이라고 표기하기도 하고,
이것은 모순이므로   일 수밖에 없다.
연산을 혼동할 염려가 없을 때에는 그냥  라고 표기하기도 한
(3)   이면 ⋅  이다.
다. 조건 F3을 분배법칙이라고 부른다. 집합 ∖을   로
  이면 ⋅  ⋅  이다.
표기한다.
  이면    이므로 ⋅      이다.
체  의 원소의 연산을 표기할 때 보통 ⋅을 생략하여 쓴다. 예
(4)    ⇒        ⇒     .
를 들어 분배법칙은        로 나타낼 수 있다.
역으로      ⇒          ⇒   .
체에서 의 덧셈에 대한 역원을  로 나타내고 곱셈에 대한

역원을  또는 로 나타낸다.    를   로 나타내



고 ⋅  을  로 나타낸다.


강의노트 ∙ ∙ ∙
(1)    ⇔    
정리 1.6 순서체의 원소 , , 에 대하여 다음이 성립한다.
   ∧    ⇒   
증명     ,    이므로           . □
8
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정리 1.7 순서체의 원소 , 에 대하여 다음이 성립한다.
2. 실수계의 완비성

(1)    ⇔   

이제 실수계를 정의하고 그 성질을 살펴보자.


(2)      ⇒   


  
     

 
증명 (1)  ≠ 이므로    이다.

 
 
 

따라서    ⇒        ⇒   .
 
 



역으로    ⇒  ⋅⋅  ⋅⋅ ⇒   .


 

(2)     ,   이므로       ⋅   .
 

정의 2.1 순서집합  의 부분집합  에 대하여 다음과 같이 정
의한다.
(1) ∃∈ ∀∈   ≤ 일 때  는 위로 유계라고 말하고
를  의 상계라고 부른다.
(2) ∃∈ ∀∈   ≤ 일 때  는 아래로 유계라고 말하고
□
를  의 하계라고 부른다.
(3) 위로 유계인 집합  의 상계 중 가장 작은 것을  의 상한이
라고 부른다.
정리 1.8 양수 , 에 대하여 다음이 성립한다.
(4) 아래로 유계인 집합  의 하계 중 가장 큰 것을  의 하한이
   ⇔    
라고 부른다.
증명    ⇒      ⇒         
⇒       ⇒     .
위로 유계이면서 동시에 아래로 유계인 집합은 유계라고 말한다.
역으로    ⇒      ⇒       


⇒  ⋅       ⋅
 

⇒      ⇒   .
집합의 상한이 존재하면 그것은 유일하다. 또한 집합의 하한이
존재하면 그것은 유일하다. 집합  의 상한을 sup 또는 lub
로 나타내고, 하한을 in f 또는 glb 로 나타낸다.
□
공집합의 상한은  ∞로 정의하고 하한은  ∞로 정의한다. 위
순서체의 원소 에 대하여 의 절댓값은
 
로 유계가 아닌 집합의 상한은  ∞로 정의하고 하한은  ∞로

if  ≥ 
정의한다.

if   
순서체  의 부분집합  가 공집합이 아니고 위로 유계일 때마다

 의 상한이  의 원소로서 존재하면  를 완비인 순서체라고 부
으로 정의된다. 이때 절댓값은 다음과 같은 성질을 가진다.
른다. 완비인 순서체는 유일하게 존재함이 밝혀져 있다. 즉  와
∙ ∀∈      
 ′ 이 완비인 순서체이면  와  ′ 사이에 모든 성질을 보존하는
∙ ∀ ∈     
동형사상이 존재한다. 따라서 실수계를 다음과 같이 정의한다.


∙ ∀ ∈     


 
정의 2.2 완비인 순서체를 실수계라고 부르고 ℝ로 표기한다.
이들 각각은 , 가 양수인 경우, 음수인 경우, 인 경우로 나
누어 생각하면 쉽게 증명된다.
공집합이 아니고 위로 유계인 모든 부분집합이 상한을 가진다는
성질을 실수계의 상한 공리 또는 완비성 공리라고 부른다.
정리 1.9 순서체의 원소 , 에 대하여 다음이 성립한다.
   ≤   
정리 2.3 실수 집합의 부분집합  가 공집합이 아니고 위로 유
계이며 가  의 상계라고 하자. 이때 가  의 상한이 될 필요
증명    ≤    ⇔    ≤   
충분조건은 ∀   ∃∈       ≤ 이다.
⇔      ≤      
⇔  ≤  ⇔  ≤  .
마지막 부등식이 참이므로 처음 부등식도 참이다.
증명 가  의 상한이라고 하자. 만약 적당한 양수 이 존재하
□
여 임의의 ∈ 에 대하여  ≤   이라면   이  의 상계
가 되므로 가  의 상계 중 가장 작은 값이 될 수 없다. 이것은
순서체  의 원소 , 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
모순이므로 ∀   ∃∈       ≤ 가 성립한다.
∙    ∈     
역으로 ∀   ∃∈       ≤ 가 성립한다고 하자. 만
∙    ∈   ≤  ≤ 
약 ′  이면     ′ 에 대하여 주어진 한정명제를 만족시
∙    ∈   ≤   
키는 ∈ 가 존재하므로 ′ 은  의 상계가 될 수 없다. 즉 는
∙    ∈     ≤ 
 의 상계 중 가장 작은 값이므로  의 상한이다.
□
∙  ∞   ∈    
∙  ∞  ∈    
체  의 부분집합  ,  에 대하여 다음과 같이 정의한다.
∙  ∞   ∈   ≤ 
∙       ∈ ∈ ∈ 
∙  ∞  ∈   ≤ 
∙   ∈  ∈ ∈ 
∙  ∞ ∞  
∙     
구간 중에서    꼴을 열린구간,    꼴을 닫힌구간이라고 부르
∙         
며    와    꼴을 반열린구간 또는 반닫힌구간이라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
9
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정리 2.4 실수 집합의 부분집합  가 공집합이 아닐 때, 가 
예제 3.3 자연수와 자연수의 합은 자연수이다.
의 상한일 필요충분조건은  가   의 하한인 것이다.
증명
증명 가  의 상한이면 는  의 상계이므로  의 임의의 원
납적이므로   ∈ℕ이다. 따라서   일 때   ∈ℕ이
소 에 대하여  ≤ 이다. 이때   ≤ 이므로  는  
성립한다. 또한   ∈ℕ이면           ∈ℕ
의 하계이다.
이므로     일 때에도   ∈ℕ이 성립한다. 따라서 수
학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 대하여   ∈ℕ이
한편 ′ 이   의 하계이면   의 임의의 원소 에 대하여
성립한다.
′ ≤ 이므로   ≤ ′ 이다. 즉  ′ 은  의 상계가 된다. 그
런데  는  의 원소이고 는  의 상계 중 가장 작은 것이므
□
수학적 귀납법은 명제 함수가 모든 자연수에 대하여 참임을 증
로  ≤ ′ 즉 ′ ≤ 가 성립한다. 이것은  가   의 하
명할 때에만 사용하는 것이 아니라, 정의역이 자연수 집합인 함
계 중 가장 큰 값임을 의미하므로  는   의 하한이다.
끝으로     ,       이므로 역도 성립한다.
이 임의로 주어진 자연수라고 하자. 자연수 집합은 귀
수를 정의할 때에도 사용된다. 즉 정의역이 자연수 집합인 함수
□
를 정의할 때 다음과 같이 할 수 있다.
∙ 의 값을 정의하고,
정리 2.4는 다음 두 정리에서와 같이 하한이 상한과 동일한 성
∙   을 에 관한 식으로 정의한다.
질을 가지고 있음을 증명할 때에 사용된다.
정리 2.5 실수 집합의 부분집합  가 공집합이 아니고 아래로
보기 3.4 다음은 귀납적으로 정의하는 예이다. 여기서 ,  ,
유계이면  의 하한이 실수로서 존재한다.
은 모두 자연수를 의미한다.
증명   는 공집합이 아니고 위로 유계이므로   의 상한 가
(1) 거듭제곱 :   ,    ⋅
존재한다. 이때  는  의 하한이 된다.
(2) 계승 :   ,   ,     ⋅  
□
(3) 합 :
정리 2.6 실수 집합의 부분집합  가 공집합이 아니고 아래로
유계이며 가  의 하계라고 하자. 이때 가  의 하한이 될 필
(4) 곱 :
요충분조건은 ∀   ∃∈   ≤     이다.
 
   



 

   



    ,      ⋅  
(5) 이항계수 : C   , C   , C    C    C    .
증명  가   의 상계이므로
  in f ⇔    sup  
예제 3.5 실수 , 와 임의의 자연수  , 에 대하여 다음이
⇔ ∀   ∃∈          ≤ 
⇔ ∀   ∃∈   ≤     

    ,         
성립함을 증명하여라.
□
(1)    ⋅
(2)    
3. 정수와 유리수
증명 (1) 이 임의의 자연수라고 하고 에 수학적 귀납법을 적
실수 집합의 부분집합들에 대하여 살펴보자. 실수 집합의 부분집
용하자. 먼저    ⋅이므로   일 때에는 (1)이 성립
합  가 두 조건
한다. 다음으로   일 때 (1)이 성립한다고 가정하면
∈ , ∈ ⇔   ∈
              
를 모두 만족시킬 때,  를 귀납적 집합이라고 부른다.
이므로     일 때에도 (1)이 성립한다.
(2)      이므로   일 때에는 (2)가 성립한다. 이
정의 3.1 귀납적 집합 중 가장 작은 것을 자연수 집합이라고
제   일 때 (2)가 성립한다고 가정하면
부르고 ℕ으로 나타낸다. 즉 자연수 집합은 모든 귀납적 집합의
               
교집합이다.
이므로     일 때에도 (2)가 성립한다.
□
정리 3.2 자연수 에 대한 명제함수 이 두 조건
∙ 
정리 3.6  ≥ 이고 이 자연수일 때     ≥   가
∙  ⇒   
성립한다. 이 식을 Bernoulli의 부등식이라고 부른다.
  일 때에는     ≥   이므로 정리의 부등식
을 모두 만족시키면, 임의의 자연수 에 대하여 은 참이다.
증명
증명
의 진리집합을  라고 하자. 그러면 두 조건에 의하여
이 참이다.   일 때 성립한다고 가정하면
∈ 그리고 ∈ ⇒   ∈ 이므로  는 귀납적 집합이다.
          
≥     
자연수 집합은 귀납적 집합 중 가장 작은 집합이므로 ℕ ⊆  가
된다. 그런데 의 정의역이 ℕ이므로  ⊆ ℕ이 성립한다. 따라
서   ℕ이다.
≥       
≥     
□
이므로     일 때에도 성립한다.
위 정리를 수학적 귀납법이라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
10
□
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정리 3.12 실수 , 에 대하여   이면     인 무리수
정의 3.7 정수 집합과 유리수 집합을 다음과 같이 정의한다.
가 존재한다. 이 명제를 무리수의 조밀성이라고 부른다.
∙ 정수 집합 : ℤ  ℕ∪∪ℕ
 
 
      
  이고 이 아닌 유리수 가
  라고 하면 된다.
□
존재한다.   


∙ 유리수 집합 : ℚ   ∈ℤ ∈ℤ

증명
그리고 유리수가 아닌 실수를 무리수라고 부른다.
유리수의 조밀성과 무리수의 조밀성을 통틀어 실수의 조밀성이
정리 3.8 자연수 집합의 공집합이 아닌 부분집합은 최소원소를
라고 부른다. 참고로 실수의 조밀성에 의해 실수 , 에 대하여
가진다. 이것을 자연수의 정렬성이라고 부른다.
다음이 성립한다.
증명 먼저 다음 세 명제를 증명한다.
∙  ≤  ⇔ ∀        
∙ ∀∈ℕ       ∨   ∈ℕ
∙    ⇔ ∀      
∙ ∀ ∈ℕ     →   ∈ℕ
∙ ∀∈ℕ ∀∈ℝ         →  ∉ ℕ
정의 3.13
이 아닌 실수 와 자연수 에 대하여

  ,    

이제  가 자연수 집합의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자.
을 ‘∈ 이면  는 최소원소를 가진다’라고 정의하자.
로 정의한다.
∈ 이면 이  의 최소원소이므로 은 참이다. 다음으로
가 참이라고 하자. 만약   ∈ 이면 ∪ 의 최소원소
정의 3.14
또는    중 하나는  의 최소원소가 되므로   도 참이


만족시키는 음이 아닌 실수 를 의 제곱근이라고 부르고  

또는 
 로 표기한다. 음이 아닌 실수 와 자연수 , 에 대
다. 따라서 임의의 자연수 에 대하여 은 참이다.
 는 공집합이 아니므로 결과를 얻는다.
음이 아닌 실수 와 자연수 에 대하여    을
□
하여 유리수 지수를 다음과 같이 정의한다.


정리 3.9 자연수 집합은 위로 유계가 아니다.
 

  ,
   








증명 자연수 집합이 위로 유계라면 상한 를 가진다. 은 양수
이므로 상한의 성질에 의하여      ≤ 인 자연수  이 존
재한다. 그러면   도 자연수이고     이 되므로 가
위와 같은 정의가 타당하려면    을 만족시키는 가 존재해
상계라는 데에 모순이다.
야 한다.
□
정리 3.15
정리 3.10 양수 , 에 대하여   인 자연수 이 존재한다.
양수 와 자연수 에 대하여   를 만족시키
는 양수 가 유일하게 존재한다.

증명 자연수 집합은 위로 유계가 아니므로   인 자연수 

이 존재한다.
□
증명   ∈ℝ      라고 하면  는 공집합이 아니
고 위로 유계이다.   sup 라고 하자.
  라고 가정하면
정리 3.11 실수 , 에 대하여   이면     인 유리수

가 존재한다. 이 명제를 유리수의 조밀성이라고 부른다.
증명
  
 
  min 
     
  인 경우를 증명하자.     이므로     

인 자연수 이 존재한다. 또한  ≤ 인 자연수 가 존재한다.
을 만족시키는 양수 가 존재한다. 그러면      가 되므
그러한 자연수  중 가장 작은 값을  이라고 하자. 그러면
로   ∈ 이다. 이것은 가  의 상한이라는 데에 모순이다.


 ≤  그리고   


  라고 가정하고
  
 
  
이므로
 

              



 
이다. 따라서    은 와  사이에 있는 유리수이다.

라고 하면     이다. 또한      이고    ∉  이
된다. 이것은   가  의 상계가 되므로 가  의 상한이라는
데에 모순이다.
 ≤ 인 경우     인 자연수 를 택한다. 그러면 앞의 논
따라서   가 된다. 또한  ≤    이면     가 성립하
의에 의해     ′    인 유리수 ′ 이 존재한다.   ′  
므로   를 만족시키는 는 유일하다.
는 유리수이고     가 된다.
□
□
정의 3.16 양수 와 무리수 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
참고 유리수 집합이 조밀하긴 하지만 완비는 아니다. 왜냐하면
∙  ≥ 일 때   sup   ≤  ∈ℚ로 정의한다.
∈ℚ   
    

∙   일 때         로 정의한다.
는 공집합이 아니고 유계이지만 ℚ에서 상한을 갖지 않는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
11
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
4. 열린집합과 닫힌집합
증명 가 열린집합임을 증명하자.   ∅이면 는 열린집합
열린집합과 닫힌집합의 개념은 해석학에서 집합의 성질을 정하
이다.  ≠ ∅이고 ∈라고 하자. ∈ 인  가 존재한다.
는 중요한 성질이다.
 가 열린집합이므로    ⊆  ⊆ 인 양수 가 존재한
공간  의 점 와 양수 에 대하여, 중심이 이고 반지름이 
다. 따라서 는 열린집합이다.
인 열린구를
다음으로  에 대하여 증명하자.   ∅이면  는 열린집합이
다.  ≠ ∅이고 ∈ 라고 하자. 그러면 각 ∈ 에 대하여
    ∈      
∈ 이므로     ⊆  인 양수  가 존재한다. 각  중
로 정의한다. 또한 중심이 이고 반지름이 인 닫힌구를
에서 가장 작은 값   min   ∈를 택하자. 그러면 임의

    ∈     ≤ 
의 에 대하여    ⊆     ⊆  이므로    ⊆ 
이다. 따라서  는 열린집합이다.
로 정의한다. 여기서 공간이라는 것은 열린구와 닫힌구를 정의할
□
수 있는 적절한 구조를 가진 집합으로서 실수계일 수도 있고 벡
참고 선형순서집합에서 공집합이 아닌 임의의 유한집합은 최댓
터공간일 수도 있으며 실수집합의 부분집합일 수도 있다.
값과 최솟값을 가진다. [수학적 귀납법으로 증명하면 된다.]
정의 4.1 공간  의 부분집합  와 점 ∈ 이 주어졌다고 하
정의 4.5 집합  과  ⊆ ℘  에 대하여,  가 세 조건
자. 만약    ⊆  인 양수 가 존재하면 를  의 내점이라

고 부른다. 만약    ⊆  인 양수 가 존재하면 를  의
∙ ∅∈ 이고 ∈ 이다,
외점이라고 부른다. 만약 가  의 내점도 아니고 외점도 아니
∙  의 임의 개수의 원소의 합집합은  에 속한다
면 를  의 경계점이라고 부른다. 내점의 모임을 내부라고 부
∙  의 유한 개의 원소의 교집합은  에 속한다
르고 외점의 모임을 외부라고 부르며 경계점의 모임을 경계라고
를 모두 만족시키면  를  의 위상(topology)이라고 부른다.
부른다.
따라서 정리 4.4와 정의 4.5에 의하여, 공간  에서 열린집합들
 의 내부를 int 또는  ◦ 로 나타낸다.  의 외부를 ext 로
을 모두 모은 집합은  의 위상이 된다.
나타낸다.  의 경계를 bd 또는  로 나타낸다.
참고 정리 4.4의 내용에서 합집합을 교집합으로 바꾸고, 교집합
정의 4.2 공간  의 부분집합  ,  가 주어졌다고 하자. 만약
을 합집합으로 바꾸면 닫힌집합에 관한 성질이 된다. 즉 공간 
의 모든 원소가 의 내점이면 를  에서의 열린집합이라고
에서 닫힌집합들의 모임을  ∈라고 하자. 그리고  가  의
부른다. 만약    ∖ 가  에서의 열린집합이면  를  에
임의의 부분집합이고  가  의 유한부분집합이라고 하자. 이때
서의 닫힌집합이라고 부른다. 공간을 혼동할 염려가 없을 때에는
다음 두 집합은 모두 닫힌집합이다.
‘  에서의 열린집합’을 줄여서 ‘열린집합’이라고 부르고, ‘  에서

의 닫힌집합’을 줄여서 ‘닫힌집합’이라고 부른다.
 ,    
∈
보기 4.3 다음은 열린집합과 닫힌집합의 예이다.

∈

점 와 양수 에 대하여  ′      ∖를 구멍뚫
 ′    
  ∖는 구멍뚫린
린 열린구라고 부른다. 
(1) 공간 ℝ에서 열린구간  는 열린집합이고 닫힌구간
 는 닫힌집합이다.   일 때 반열린구간  은 열린
닫힌구라고 부른다.
집합도 아니고 닫힌집합도 아니다. ∅과 ℝ 자신은 공간 ℝ
에서 열린집합인 동시에 닫힌집합이다.
정의 4.6 공간  의 부분집합  와 점 ∈ 에 대하여
(2) 공간이 ℝ일 때 집합   ∈ℚ     는 열린집합
∀     ′  ∩ ≠ ∅
도 아니고 닫힌집합도 아니다. 그러나 공간이 ℚ이면  는 열
이면 를  의 집적점이라고 부른다.  의 집적점들을 모두 모
린집합이다.
은 집합을  에서  의 도집합이라고 부르고  ′ 으로 나타낸다.
(3) 공간 ℝ에서 유한집합은 닫힌집합이다.
(4) 공간    ∪ 에서    은 열린집합인 동
정의 4.7  를 포함하는 닫힌집합들 중 가장 작은 것을  의 폐
시에 닫힌집합이다.
 로 나타낸다.
포라고 부르고 
정리 4.4 공간  에서 열린집합들의 모임을  ∈라고 하
참고  를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이  의 폐포가 된다.
자. 그리고  가  의 임의의 부분집합이고  가  의 유한부분집
합이라고 하자. 이때 다음 두 집합은 모두 열린집합이다.

정리 4.8 공간  의 부분집합  에 대하여 
   ∪ ′ 이다.
 ,    
∈

∈

 가 서로 필요
먼저 ∀      ∩ ≠ ∅와 ∈ 
즉 임의의 열린집합들의 합집합은 열린집합이며, 유한 개의 열린
증명
집합들의 교집합은 열린집합이다.
충분조건임을 증명한다. 그리고 이 명제를 중간 역할로 하여 명
 ⇔ ∈ ∪ ′ 을 증명한다.
제 ∈ 
□
강의노트 ∙ ∙ ∙
12
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정리 4.9 공간 ℝ에서 유계인 무한집합은 집적점을 가진다. 이
의 원소에 의해 덮이지 않게 되는데, 그것을   이라고 하자.
명제를 Bolzano-Weierstrass 정리라고 부른다.
이로써 임의의 자연수 에 대하여  이 귀납적으로 정의되었다.
증명  가 유계인 무한집합이라고 하자.  가 유계이므로 양수
구간  의 왼쪽 끝점을  , 오른쪽 끝점을  라고 하자. 그러면
가 존재하여  ⊆   를 만족시킨다.     라고 하
두 집합  ∈ℕ와  ∈ℕ는 각각 상한과 하한을 갖는
자.  가 무한집합이므로   과   중 하나 이상은  와
데 그것을 순서대로 , ′ 이라고 하자. 이때 임의의 양수 에
교집합했을 때 무한집합이다. 그것을  라고 하자. 같은 방법으
대하여     인 자연수 을 택하면 ′   ≤     이
로  을 두 개의 닫힌구간으로 등분했을 때 둘 중 하나 이상은
므로   ′ 이다. 더욱이 Bolzano-Weierstrass 정리의 증명에
 와 교집합했을 때 무한집합이 되는데 그것을  이라고 하자.
일반적으로 닫힌구간  가  와 교집합했을 때 무한집합이면, 
서와 같은 논법에 의해 는  의 집적점이 된다.  는 닫힌집합
   이다. 즉 ∈ 이므로 를 포
이므로 ∈ ′ ⊆ ∪ ′  
를 두 개의 닫힌구간으로 등분했을 때 둘 중 하나 이상은  와
함하는  이 존재한다.  은 열린집합이므로    ⊆ 
교집합했을 때 무한집합이 되는데, 그것을   이라고 하자. 이
인 양수
로서 임의의 자연수 에 대하여  이 귀납적으로 정의되었다.
   ⊆  이므로  은  의 한 원소에 의하여 덮인다. 이것
  in f  이라고 하면 집합  ∈ℕ은 위로 유계이므로 상
은 모순이므로  는  의 유한부분덮개에 의하여 덮인다.
가 존재한다.
   인
을 택하면
 ⊆
□
한 를 가진다. 임의의 양수 에 대하여    인 자연수 
정리 4.12 긴밀집합의 닫힌부분집합은 긴밀집합이다.
을 택하면  ⊆   이므로   는  의 원소를 무한히
많이 포함한다. 즉  ′  ∩ ≠ ∅이다. 따라서 는  의 집
증명 공간  에서  가 긴밀집합이고  가  의 닫힌부분집합
적점이다.
이라고 하자.    ∈가  의 열린덮개라고 하자. 그러면
□
 ′  ∪ 는  의 열린덮개이므로  를 덮는 유한부분덮개
집합  와 집합족    ∈에 대하여  ⊆
 가 성립
∈
′ 을 가진다. 이때    ′∖ 는  를 덮는  의 유한부분

덮개가 된다.
하면  를  의 덮개라고 부른다. 만약 모든  가 열린집합이면
 를  의 열린덮개라고 부르고, 모든  가 닫힌집합이면  를
□
정리 4.13  ∈의 모든 원소가 긴밀집합이고,  의 임의의
 의 닫힌덮개라고 부른다.  ′   ∈가  의 부분집합이
유한부분집합  에 대하여
고  의 덮개가 되면  ′ 을  를 덮는  의 부분덮개라고 부른다.
 ≠ ∅이면   ≠ ∅이다.
∈
증명
정의 4.10 공간  의 부분집합  가 주어졌다고 하자. 만약 

∈

의 한 원소  을 택하자. 그리고   라고 하
를 덮는 임의의 열린덮개가  를 덮는 유한부분덮개를 가지면 
자.  의 원소 중 모든  에 속하는 것이 존재하지 않는다고
를 긴밀집합(compact)이라고 부른다.
가정하자. 그러면  들의 모임은  의 열린덮개가 된다.  은
긴밀집합이므로  ⊆ ∪∪ ⋯ ∪ 인 유한 개의  가
정리 4.11 공간 ℝ의 부분집합  가 긴밀집합일 필요충분조건
존재한다. 이것은 ∩∩∩ ⋯ ∩  ∅임을 의미하므
은 유계이면서 닫힌집합인 것이다. 이 명제를 Heine-Borel 정
로 모순이다. 따라서 그러한  은 존재하지 않는다.
리라고 부른다.
□
 가 긴밀집합이라고 하자.        은 열린집
참고 위 정리를 유한교차성질이라고 부른다. 위 정리의 결과로
합이고   ∈ℕ은  의 열린덮개이므로  는 유한 개의 
서 다음을 얻는다: 즉  ∈ℕ의 모든 원소가 공집합이 아
에 의하여 덮인다. 따라서  는 유계이다.  가 닫힌집합이 아니
 이므로 ∈ ′∖ 인 가 존재한다. 이때
라면  ≠ 
닌 긴밀집합이고  ⊇   이면 ∩ ≠ ∅이다.
증명






  ℝ∖       
정리 4.14 공간 ℝ에서 집합  가 긴밀집합일 필요충분조건은
 의 임의의 무한부분집합이  의 원소인 집적점을 갖는 것이다.
이라고 하면  ∈ℕ은  의 열린덮개이지만  를 덮는 유한
증명
부분덮개를 갖지 않는다. 이것은 모순이므로  는 닫힌집합이다.
 가  의 부분집합이라고 하자. 만약  가 무한집합이면
서 집적점을 갖지 않는다면 Bolzano-Weierstrass 정리에 의하
이제 역을 증명하기 위해  가 유계이고 닫힌집합이라고 하자.
여  는 유계가 아니므로  도 유계가 아니고 따라서  는 긴밀
그리고    ∈가  를 덮는 열린덮개라고 하자.  는
집합이 아니다.
유계이므로  ⊆   인 양수 가 존재한다. 만약  가  의
역으로  가 긴밀집합이 아니라고 가정하자. 그러면  는 유계가
유한 개의 원소에 의해 덮이지 않는다면     를 두 개의
아니거나 닫힌집합이 아니다.  가 유계가 아니라면 ∈ ∩
닫힌구간으로 등분한 것 중 적어도 하나 이상은  와 교집합했
 ∞를 모은 집합 은 집적점을 갖지 않는 무한부분집합
을 때  의 유한 개의 원소에 의해 덮이지 않는데, 그것을  라
이 된다.  가 닫힌집합이 아니라면 ∈ ′∖ 가 존재한다. 이
고 하자. 일반적으로 닫힌구간  가  와 교집합했을 때  의 유
때 ∈     ∩ 를 모은 집합 은 만을 집적점으로
한 개의 원소에 의해 덮이지 않는다면,  를 두 개의 닫힌구간으
갖는  의 무한부분집합이다.
로 등분했을 때 하나 이상은  와 교집합했을 때  의 유한 개
강의노트 ∙ ∙ ∙
13
□
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
5. 수열의 극한
참고 수렴하는 수열은 유계이다.  → 라고 하자.   에 대
적당한 정수  에 대하여 ∈ℤ  ≥  꼴로 나타나는 집합
하여   에 속하지 않는 항의 개수는 유한이므로 그러한
을 정의역으로 하는 함수를 수열이라고 부른다. 가 위와 같은
항들의 절댓값 중 가장 큰 값  를 택할 수 있다. 이때  와
집합을 정의역으로 갖는 수열일 때 을  으로 나타낸다.
   중 더 큰 값을  이라고 하면 임의의  에 대하여
이때  을 첫째항이라고 부른다. 수열은 보통의 함수와 구분되
 ≤  이므로 ⟨⟩은 유계이다.
도록  또는 ⟨⟩으로 나타낸다.
정의 5.3 수열 ⟨⟩의 정의역이  이고, ⟨⟩가 공역이  인
경우에 따라서는 수열의 정의역이 위로 유계인 경우도 있는데
증가수열일 때 합성함수 ⟨⟩를 부분수열이라고 부른다.
그러한 수열은 유한수열이라고 부른다. 그러나 일반적으로 수열
이라 함은 유한수열이 아닌 수열을 의미한다.
정리 5.4 수열 ⟨⟩이 에 수렴하면 부분수열
수열의 이름은 치역에 따라 달라진다. 치역이 실수 집합의 부분
⟨ ⟩도 동일

한 값 에 수렴한다.
집합이면 실수열, 치역이 유리수 집합의 부분집합이면 유리수열
증명 가 를 포함하는 열린집합이라고 하자. 그러면 에 속
이라고 부른다. 다른 경우도 마찬가지로 정의한다.
하지 않는  의 개수는 유한이므로, 에 속하지 않는  의 개
정의 5.1 실수열 ⟨⟩과 실수 에 대하여
수도 유한이다. 따라서  → 이다.
□
∀   ∃∈ℕ ∀      →     
함수 에 대하여    ⇒   ≤  이면 를 단조증가
이 성립하면 은 에 수렴한다고 말하고 를 의 극한
함수라고 부르고    ⇒   ≥  이면 를 단조감소
이라고 부른다. 이것을  → 로 나타낸다.
함수라고 부른다. 단조증가함수와 단조감소함수를 통틀어 단조
함수라고 부른다.    ⇒     이면 를 순증가함
수렴하는 수열의 극한은 유일하다. 즉 와 ′ 이 ⟨⟩의 극한
수라고 부르고    ⇒     이면 를 순감소함수
이라고 하자. 그러면 임의의 양수 에 대하여
라고 부른다.
∃     →     
∃     →   ′  
정리 5.5 단조이고 유계인 실수열은 수렴한다. 이 명제를 수열
의 단조수렴정리라고 부른다.
이므로   max 일 때
⟨⟩이 단조증가이고 유계인 수열이라고 하자. 그러면
집합 의 상한 가 존재한다. 양수 에 대하여     
증명
  ′        ′  
이다. 따라서   ′ 이다.
인  이 존재한다.    이라고 하면      ≤ 이므로
유일성이 증명되었으므로 수열 ⟨⟩의 극한이 라는 것을 등
 → 이다. 단조감소인 경우도 같은 방법으로 증명된다.
호를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.
lim  
정리 5.6 실수열 ⟨⟩이  에 수렴하고 실수열 ⟨⟩이  에
→∞
수렴할 때 다음이 성립한다.
(1) lim       
정리 5.2 실수열 ⟨⟩이 에 수렴할 필요충분조건은 를 포
→∞
함하는 임의의 열린집합 에 대하여  ∉ 인  의 개수가 유
(2) lim       
한인 것이다.
→∞
(3) lim⋅   
증명 먼저  → 라고 하고 가 를 포함하는 열린집합이라
→∞
연수  이 존재하여    일 때마다 ∈  을 만족시키
 
(4) lim    (단,  ≠ 이고  ≠ )

→∞ 
므로  이 에 속하지 않는 것은  ≤  일 때뿐이다.
(5) lim      (단, 는 자연수)
역으로 임의의 열린집합 에 대하여  ∉ 인  의 개수가 유
(6)  ≥  ⇒  ≤  인  가 존재하면  ≤  이다.
한이라고 하자. 임의의 양수 에 대하여   도 를 포함하
증명 (1)   이면
고 하자. 그러면    ⊆ 인 양수 이 존재한다. 그러면 자
→∞
는 열린집합이므로  ∉   인  의 개수는 유한이다. 그


∃     →      ,


러한  들의 첨자 중 가장 큰 것을  이라고 하면    일 때
마다 ∈  이므로     이다.
□


∃     →      


□
이므로   max 라고 하면    일 때


  .
        ≤        
 

강의노트 ∙ ∙ ∙
14
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
(3)   이라고 하자. ⟨⟩은 유계이므로 ∀    인
6. 발산하는 수열
양수  이 존재한다. 또한
수렴하지 않는 수열은 발산한다고 말한다. 발산도 몇 가지 종류

 
∃     →       ,

 
로 나눌 수 있다.



∃     →      .

    
정의 6.1 실수열 ⟨⟩에 대하여 다음과 같이 정의한다.
(1) ∀   ∃ ∈ℕ ∀∈ℕ      →     이면
따라서   max 라고 하면    일 때
⟨⟩은 양의 무한대에 발산한다고 말한다. 이것을 기호로는
 →  ∞ 또는 lim   ∞로 나타낸다.
                
→∞
≤        


      

   
 
≤     
 
(2) ∀   ∃ ∈ℕ ∀∈ℕ      →     이면
⟨⟩은 음의 무한대에 발산한다고 말한다. 이것을 기호로는
 →  ∞ 또는 lim   ∞로 나타낸다.
→∞
(3) 양의 무한대에 발산하지 않고 음의 무한대에 발산하지 않으
(2)   이라고 하면  →  이므로
면서 수렴하지 않는 수열은 진동한다고 말한다.
lim     lim    
→∞
→∞
 lim  lim
→∞

→∞
ℝ ℝ∪ ∞  ∞라고 하고 ∈ℝ에 대하여
참고 만약 
 lim 
→∞

         
∙    ∞  ∞,    ∞  ∞,
∙   일 때 ⋅ ∞  ∞, ⋅ ∞  ∞,
(4)   이라고 하자.

∙   일 때 ⋅ ∞  ∞, ⋅ ∞  ∞,

  

∃     →     min     


 

∙  ∞   ∞  ∞,  ∞   ∞  ∞,
∙  ∞⋅ ∞  ∞,  ∞⋅ ∞  ∞,
이므로    일 때

∙  ∞⋅ ∞  ∞,  ∞⋅ ∞  ∞
     



      ⋅   

  
 

 

라고 정의하면 정리 5.6의 (1), (2), (3)은  ± ∞,  ± ∞


이다. 즉 lim    이므로


→∞ 




 ⋅    .
lim   lim 

 
→∞ 
→∞
의 경우를 포함하여 우변이 정의되는 한 성립하게 된다. 이러한
ℝ를 확장실수계라고 부른다.
집합 
(5)   일 때에는 명백히 등식이 성립한다.   일 때 등식이
분수열이 존재하면 를 ⟨⟩의 집적점이라고 부른다.
정의 6.2 수열 ⟨⟩과 에 대하여 에 수렴하는 ⟨⟩의 부
성립한다고 가정하면
lim    lim   
→∞
정리 6.3 유계인 실수열은 집적점을 가진다. 이것을 Bolzano-
→∞

 lim 
→∞
 lim 
Weierstrass 정리라고 부른다.

→∞

이므로     일 때에도 등식이 성립한다. 따라서 수학적 귀
⟨⟩이 유계인 실수열이라고 하자. 그러면 임의의 에
대하여   인 양수  이 존재한다.      을 두
납법에 의하여 정리가 증명되었다.
개의 닫힌구간으로 등분하면 두 구간 중 적어도 하나는 ⟨⟩의
(6)    라면          는 양수이다. 이때
항을 무한히 많이 포함하는데 그것을  라고 하자. 일반적으로
증명
  ⋅    
∃      →     
닫힌구간  가 ⟨⟩의 항을 무한히 많이 포함한다면,  를 두
∃      →      
개의 닫힌구간으로 등분했을 때 적어도 하나는 ⟨⟩의 항을 무
한히 많이 포함하는데 그것을   이라고 하자. 이로써 임의의
이므로   max 에 대하여    일 때
자연수 에 대하여  가 귀납적으로 정의되었다.
          
이다. 이것은  ≥  일 때  ≤  이라는 사실에 모순이다.
∈ 인  이 존재한다.  는 ⟨⟩의 항을 무한히 많이 포함
□
하므로    이면서 ∈ 인  가 존재한다. 일반적으로 자
위 정리의 (6)의 증명 과정으로부터 다음 결과를 얻는다.
연수 와  ≤ 인 임의의 에 대하여  가 정의되었을 때
    이면서   ∈  인   이 존재한다. 이로써 임의
정리 5.7 세 실수열 ⟨⟩, ⟨⟩, ⟨⟩에 대하여
의 자연수 에 대하여  가 정의되었다.
 ≥  ⇒  ≤  ≤ 
이때   in f  ,   sup  라고 하면 ⟨⟩과 ⟨⟩은 동일
인  가 존재하고, ⟨⟩과 ⟨⟩이 동일한 값 에 수렴하면
한 값 에 수렴하고,  ≤  ≤  이므로 ⟨⟩는 에 수렴
⟨⟩도 에 수렴한다. 이 명제를 조임정리라고 부른다.
한다. 따라서 는 ⟨⟩의 집적점이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
15
□
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정리 6.4 점 가 수열 ⟨⟩의 집적점일 필요충분조건은 를
정리 6.7 유계인 실수열 ⟨⟩이 수렴할 필요충분조건은 ⟨⟩
포함하는 임의의 열린집합이 ⟨⟩의 항을 무한히 많이 포함하
의 상극한과 하극한이 동일한 것이다.
는 것이다.
⟨⟩이 수렴한다면 하나의 집적점을 가지므로 ⟨⟩의
상극한과 하극한이 동일하다. 역으로 ⟨⟩의 상극한과 하극한
증명
증명
를 포함하는 임의의 열린집합이 ⟨⟩의 항을 무한히
이 로서 동일하다면 임의의 양수 에 대하여
많이 포함한다고 하자.         는 를 포함하는 열린집
합이므로 ⟨⟩의 항을 무한히 많이 포함한다. 따라서 정리 6.3
∃ ∈ℕ ∀      →      
의 증명과 같은 논법으로 ∈  가 되도록 증가수열 ⟨⟩를
∃∈ℕ ∀      →      
이므로   max 이고    일 때    이다.
구성할 수 있다. 이때 ⟨⟩는 에 수렴하는 부분수열이 된다.
즉  → 이다.
역으로 가 수열 ⟨⟩의 집적점이라고 하자. 그러면 에 수렴
하는 부분수열 ⟨⟩가 존재하므로 를 포함하는 임의의 열린
정리 6.8 유계인 실수열 ⟨⟩에 대하여 다음이 성립한다.
집합은 ⟨⟩의 항을 무한히 많이 포함하게 된다. ⟨⟩의 항
은 ⟨⟩의 항이기도 하므로 정리가 성립한다.
□
(1) 
lim   in f sup   ≥  limsup   ≥ 
→∞
□
→∞
(2) lim   sup in f   ≥  lim in f   ≥ 
→∞
정의 6.5 실수열 ⟨⟩이 하나 이상의 집적점을 가질 때, 집적
증명 (1)   sup   ≥ 이라고 하면 ⟨⟩은 단조감소
점 중에서 가장 큰 값을 ⟨⟩의 상극한이라고 부르고 집적점
이다. 또한  ≥ in f이므로 ⟨⟩은 아래로 유계이다. 따
중에서 가장 작은 값을 ⟨⟩의 하극한이라고 부른다. 단, 위로
라서 ⟨⟩은 수렴한다. 극 극한을 라고 하자. 극한의 정의에
유계가 아닌 수열의 상극한은  ∞로 정의하고 아래로 유계가
의하여   에 대하여    인  이 존재한다.    이
아닌 수열의 하극한은  ∞로 정의한다. 또한 음의 무한대에 발
면     이므로     이다. 즉 정리 6.6의 (1)이 성립
산하는 수열의 상극한은  ∞로 정의하고, 양의 무한대에 발산
한다. 이제  가 임의로 주어졌다고 하고   max 라고
하는 수열의 하극한은  ∞로 정의한다. 수열 ⟨⟩의 상극한을
  으로 나타내고 하극한을
lim 
→∞
→∞

하면    이므로     인  이 존재한다. 즉 정리
lim  으로 나타낸다.
6.6의 (2)가 성립한다. 따라서 는 ⟨⟩의 상극한이다.
→∞

한편 ⟨⟩은 단조감소이므로 lim  in f이다.
→∞
정리 6.6 실수열 ⟨⟩의 상극한이 일 필요충분조건은
따라서 (1)의 두 등식이 증명되었다.
(1) ∀   ∃ ∈ℕ ∀      →      
(2)도 동일한 방법으로 증명된다.
(2) ∀   ∀ ∈ℕ ∃      ∧      
□
이 모두 성립하는 것이다.
7. Cauchy 수열
증명 [⇒] (1)을 부정하면
극한의 정의를 이용하여 수열이 수렴함을 증명하려면 극한값을
∃   ∀ ∈ℕ ∃      ∧  ≥    
알아야 한다. 그러나 극한값을 알지 못한 상태에서도 수렴성을
이므로  ≥   인  의 개수가 무한이 된다. 즉    이상
논할 수 있는 방법이 있다.
의 값에 수렴하는 부분수열이 존재하게 되므로 모순이다.
(2)를 부정하면
정의 7.1 수열 ⟨⟩에 대하여
∃   ∃ ∈ℕ ∀      →  ≤    
∀   ∃∈ℕ ∀  
    ∧     →     
이므로 유한 개를 제외한  에 대하여  ≤   이 성립한다.
즉 ⟨⟩의 부분수열이 수렴한다면 모두    이하의 값에 수
이 성립하면 ⟨⟩을 Cauchy 수열이라고 부른다.
렴하게 되므로 모순이다.
[⇐] (1)에 의하여 ⟨⟩의 부분수열이 수렴한다면 보다 큰
정리 7.2 실수열 ⟨⟩이 수렴할 필요충분조건은 Cauchy 수열
값에 수렴할 수 없다. 또한 (2)에 의하여 를 포함하는 열린집
인 것이다.
합은 항상 ⟨⟩의 항을 무한히 많이 포함하므로 는 가장 큰
증명
집적점이 된다.
주어졌다고 하자. 그러면    ⇒     인  이 존
□
⟨⟩이 에 수렴한다고 하자. 그리고 양수 이 임의로
재한다. 이때    이고    이면   ≤   
참고 같은 논법에 의하여 실수열 ⟨⟩의 하극한이 일 필요
   이므로 ⟨⟩은 Cauchy 수열이다.
충분조건은
∙ ∀   ∃ ∈ℕ ∀      →      
역으로 ⟨⟩이 Cauchy 수열이라고 하자. ⟨⟩은 유계이다.
∙ ∀   ∀ ∈ℕ ∃      ∧      
이때 Bolzano-Weierstrass 정리에 의하여 ⟨⟩은 집적점 를
가진다. 이때 Cauchy 수열의 정의에 의하여 ⟨⟩의 임의의 부
을 모두 만족시키는 것임을 알 수 있다.
분수열은 에 수렴하므로 ⟨⟩는 에 수렴한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
16
□
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정의 7.3 공간  에서 정의된 임의의 Cauchy 수열이  의 점
정리 8.2 가 에서 수렴하면 는 의 근방에서 유계이다.
에 수렴할 때  을 완비 공간이라고 부른다.
증명 에서 의 극한이 라고 하자. 양수   에 대하여 양
수 가 존재하여        →     이다. 가 
정리 7.4  가 완비 공간  의 닫힌부분집합이고 ⟨⟩이 모든
의 정의역에 속하는 경우   max  이라고 하고,
항이  에 속하는 수열이며 가 ⟨⟩의 집적점이면 ∈ 이다.
그렇지 않은 경우     이라고 하자. 그러면 ∈  
증명 만약  ∉  라면,  는 열린집합이므로,    ⊆  인
일 때마다    이다.
양수 이 존재한다. 이때   은 를 포함하는 열린집합이
정리 8.3 함수    → ℝ와 두 점 ∈ ′ , ∈ℝ가 주어졌
므로 ⟨⟩의 무한히 많은 항을 포함한다. 이것은 ∈ 라는
데에 모순이다.
□
다고 하자. 에서 가 에 수렴할 필요충분조건은  → 이
□
고 ⊆ ∖인 임의의 수열 ⟨⟩에 대하여   → 
정리 7.5  가 완비 공간  의 부분집합이라고 하자.  가 닫힌
가 성립하는 것이다. 이 명제를 수열판정법이라고 부른다.
집합일 필요충분조건은 모든 항이  에 속하고 수렴하는 임의의
증명
수열 ⟨⟩의 극한이  의 원소인 것이다.
수 에 대하여 함수의 극한의 정의를 만족시키는 양수 가 존재
증명  가 닫힌집합이면 ⊆  인 수열 ⟨⟩의 극한이  의
한다. 그리고    ⇒    를 만족시키는 자연수  이
원소가 됨은 이미 정리 7.4에서 증명하였다. 역으로  가 닫힌집
존재한다. 이때    일 때마다     이 성립하므로
합이 아니라고 하자. 그러면 ∈ ′∖ 에 수렴하고 모든 항이
  → 이다.
 에 속하는 수열이 존재하게 된다.
□
 → 이고 ⊆ ∖,  → 라고 하자. 양
역으로 가 에서 에 수렴하지 않는다고 가정하자. 그러면 적
당한 양수 이 존재하여 임의의 자연수 에 대하여
정리 7.6 완비 공간  의 부분공간  가 완비일 필요충분조건

      ∧     ≥ 

은  가 닫힌집합인 것이다.
증명  가 닫힌집합이 아니면 모든 항이  에 속하고 수렴하지
인 ∈ 가 존재한다. 이때 ⟨⟩은 에 수렴하지만 ⟨ ⟩
만 극한은  에 속하지 않는 수열 ⟨⟩이 존재한다.  이 완비
은 에 수렴하지 않는다.
□
이므로 ⟨⟩은 Cauchy 수열이다. 따라서  는 완비가 아니다.
정리 8.4 정의역이  인 두 함수 , 가 ∈ ′ 에서 각각  ,
역으로  가 완비가 아니면 ∈ 에 수렴하고 모든 항이  에
 에 수렴한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
속하는 Cauchy 수열 ⟨⟩이 존재한다. 이때 ∈ ′ 이므로 
는 닫힌집합이 아니다.
(1) lim      
□
→
(2) lim  
참고 위 정리에서 볼 수 있다시피 닫힌집합이라는 용어는 경계
→
 
(3) lim    (단,  ≠ )

→ 
를 포함하여 닫혀있다는 뜻이기도 하지만, 극한이 밖으로 나가지
않고 안에 있도록 닫혀있다는 뜻이기도 하다.
(4) lim    (단, ∈ℕ)
→
8. 함수의 극한
증명
함수의 극한에는 점극한과 무한대 극한이 있으며 그 성질은 수
⊆ ∖,  → 인 수열 ⟨⟩이 주어졌다고 하
자. 그러면 수열의 극한의 성질에 의하여 다음을 얻는다.
열의 극한의 성질과 비슷하다.
lim    lim    
→
→∞
정의 8.1 함수    → ℝ와 두 점 ∈ ′ , ∈ℝ가 주어졌
 lim   lim 
다고 하자. 만약
 lim  lim     
→∞
→∞
→
∀   ∃   ∀∈         →      
→
lim  lim  
→
이 성립하면 는 에서 에 수렴한다 또는 는 에서 극한 
→∞
 lim 

 lim 
 lim lim     



를 가진다고 말한다.
→∞
→∞
→
→

lim  lim
  →∞


→



lim 
lim      
→ 
→∞  
lim  lim 
참고 수렴하는 함수의 극한은 유일하다. 그것을 기호로 다음과
같이 나타낸다.
→∞
lim   또는  → 
→


→
lim  lim    lim 
→
→∞

→∞

 lim    

참고 점 의 근방에서 조건 가 성립한다는 것은
∃    ∈   → 
→

따라서 수열판정법에 의하여 정리의 등식이 성립한다.
□
인 것을 의미한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
17
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정의 8.5 함수    → ℝ와 점 ∈ ′ 가 주어졌다고 하자.
정리 8.8 함수    → ℝ에 대하여 가  의 좌집적점인 동
만약
시에 우집적점이라고 하자. 이때 lim  일 필요충분조건
→
∀   ∃   ∀∈         →    
은        인 것이다. 여기서 는 실수이거나 양의
무한대 또는 음의 무한대이다.
가 성립하면 는 에서 양의 무한대에 발산한다고 말하고
증명 (1) ∈ℝ인 경우.  → 라고 하자. 그러면   에
lim  ∞ 또는  →  ∞
→
대하여        ⇒     인   이 존재한다.
로 나타낸다. 만약
동일한 에 대하여        또는       일 때 모두
∀   ∃   ∀∈         →    
    이므로    ,    이다.
가 성립하면 는 에서 음의 무한대에 발산한다고 말하고
역으로    ,    라고 하자.   에 대하여
좌극한 : ∃           →     
lim  ∞ 또는  →  ∞
→
우극한 : ∃           →     
로 나타낸다.
이므로   min  에 대하여       일 때마다
    이 성립한다. 따라서  → 이다.
정의 8.6 실수집합의 부분집합  에 대하여 실수 가  의 좌집
적점이라는 것은 가  ∩ ∞ 의 집적점인 것을 의미한다.
(2)   ∞인 경우. (1)의 증명에서 를  ∞로 바꾸고, 을
또한 가  의 우집적점이라는 것은 가  ∩ ∞의 집적점
 로 바꾸고,     을    로 바꾸면 된다.
인 것을 의미한다.
(3)   ∞인 경우. (1)의 증명에서 를  ∞로 바꾸고,   
을   으로 바꾸고,     을    로 바꾸면 된
정의 8.7 함수    → ℝ에 대하여 가  의 좌집적점이고,
다.
□
가  의 우짐적점이라고 하자. 만약 축소함수 ∩ ∞  가 
에서 에 수렴하면 는 에서 좌극한 를 가진다고 말한다. 또
정리 8.9 정의역이  인 두 함수 , 가 ∈ ′ 에서 각각  ,
한 축소함수 ∩ ∞ 가 에서 에 수렴하면 는 에서 우극
 에 수렴하고, 의 구멍뚫린 근방에서  ≤ 라고 하자. 그러면
한 를 가진다고 말한다.
 ≤  이다.
증명
참고 좌극한과 우극한도 각각 유일하다. 따라서 에서 의 좌
조건에 의해 ∈ ′   ⇒  ≤ 인 가 존재
한다. ⊆ ∖,  → 인 수열 ⟨⟩이 주어졌다고 하
극한이 인 것을
자. 그러면    ⇒ ∈ ′  인  이 존재한다. 따라서
lim    또는    
   일 때   ≤  이므로
→
  lim  lim  ≤ lim   lim  
로 나타내고, 에서 의 우극한이 인 것을
→
→∞
→∞
→
가 성립한다.
lim    또는    
□
→
참고 무한대에 발산하는 함수의 극한에 대해서도 위와 비슷한
로 나타낸다.
명제가 성립한다. 즉 정의역이  인 두 함수 , 가 ∈ ′ 의
참고 무한대에 발산하는 좌극한, 우극한도 같은 방법으로 정의
구멍뚫린 근방에서  ≤ 라고 하자.
된다. 만약 ∩ ∞  가 에서 양의 무한대에 발산하면 에서
∙ 만약 에서  →  ∞이면  →  ∞이다.
의 좌극한이 양의 무한대에 발산한다고 말하고
∙ 만약 에서  →  ∞이면  →  ∞이다.
lim   ∞ 또는    ∞
→
정리 8.10 실함수 , , 의 정의역이  이고 ∈ ′ 이라고
으로 나타낸다. ∩ ∞  가 에서 음의 무한대에 발산하면 
하자. 의 구멍뚫린 근방에서  ≤  ≤ 이고 와 가 에서
에서 의 좌극한이 음의 무한대에 발산한다고 말하고
에 수렴하면 도 에서 에 수렴한다. 이 명제를 조임정리라
lim   ∞ 또는    ∞
고 부른다.
→
으로 나타낸다. 만약 ∩ ∞ 가 에서 양의 무한대에 발산하면
증명   에 대하여
에서 의 우극한이 양의 무한대에 발산한다고 말하고
∃   ∀∈         →     
lim   ∞ 또는    ∞
∃   ∀∈         →     
→
으로 나타낸다. ∩ ∞ 가 에서 음의 무한대에 발산하면 에
이므로   min  에 대하여       일 때마다
서 의 우극한이 음의 무한대에 발산한다고 말하고
      ≤    ≤     
lim   ∞ 또는    ∞
→
이다. 따라서 에서 가 에 수렴한다.
으로 나타낸다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
18
□
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정리 8.11 함수    → ℝ에 대하여 가  의 좌집적점이라
9. 연속함수
고 하자. ∩ ∞  가 의 근방에서 단조이면 에서 의 좌극
함수의 연속성을 논리적으로 정의하고 그 성질을 살펴보자.
한이 존재한다. 이 명제를 단조수렴정리라고 부른다.
정의 9.1 함수 의 정의역이  이고 ∈ 라고 하자. 만약
증명 가정에 의하여      ∩ 에서 가 단조가 되는
양수 가 존재한다. 일반성을 잃지 않고 가  에서 단조증가
∀   ∃   ∀∈       →     
라고 하자. 그러면   sup ∈가 존재한다. 이때
이 성립하면 는 에서 연속이라고 말한다.  ⊆  이고 임의의
   가 된다.
□
∈ 에서 가 연속이면 는  에서 연속이라고 말한다. 가 정
의역의 모든 점에서 연속이면 를 연속함수라고 부른다.
따름정리
함수    → ℝ에 대하여 가  의 우집적점이라
고 하자. ∩ ∞ 가 의 근방에서 단조이면 에서 의 우극한
참고 ∈ 이지만  ∉  ′ 일 때 를  의 고립점이라고 부른다.
이 존재한다.
정리 9.2 정의역이  인 함수 가 ∈ 에서 연속일 필요충분
끝으로 양의 무한대에서의 극한과 음의 무한대에서의 극한을 정
조건은, 가  의 집적점인 경우 에서 의 극한이 에 수
의한다.
렴하거나 가  의 집적점이 아닌 것이다.
증명 [⇒] 가 에서 연속이고 가  의 고립점이 아니라고
정의 8.12 함수 의 정의역이  이고 ∈ℝ라고 하자. 만약
하자. 그러면 ∈ ′ 이다.   에 대하여   이 존재하여
 가 위로 유계가 아니고
    일 때마다     이므로       일
때에도 당연히     이다.
∀   ∃   ∀∈     →     
이 성립하면 는 양의 무한대에서 에 수렴한다고 말한다. 만약
[⇐] 가  의 고립점이면  ′  ∩  ∅인 양수 가 존재
 가 아래로 유계가 아니고
한다. 임의의   에 대하여     이면   이므로 당연
히       이다.
∀   ∃   ∀∈     →     
이제 ∈ ′ 이고 에서  → 라고 하자. 그리고   
이 성립하면 는 음의 무한대에서 에 수렴한다고 말한다. 이것
이라고 하자. 그러면        ⇒     인 양
을 기호로 각각
lim    그리고
→ ∞
수 가 존재한다. 만약   이면 당연히     이므
lim   
로     일 때마다     이다.
→  ∞
로 나타낸다.
□
정리 9.3 함수    → ℝ가 연속함수일 필요충분조건은 ℝ
에서의 임의의 열린집합 에 대하여      가  에서의 열린
정리 8.13 함수 의 정의역이  라고 하자.
집합인 것이다.
(1)  가 위로 유계가 아니라고 하자. 만약
증명 [⇒] 가  에서 연속이고 가 ℝ에서의 열린집합이라
∀   ∃   ∀∈     →    
고 하자. ∈    라고 하면 ∈이므로 양수 이 존재
가 성립하면 는 양의 무한대에서 양의 무한대에 발산한다고 말
하여    ⊆ 를 만족시킨다. 가 연속이므로 양수 가
하고
존재하여
lim   ∞로 나타낸다. 만약
→ ∞

[⇐] 임의의 열린집합 에 대하여      가  에서의 열린집
가 성립하면 는 음의 무한대에서 음의 무한대에 발산한다고 말
합이라고 하자. 가  의 고립점이 아니라고 하고   이라고
lim   ∞로 나타낸다.
하자.   은 열린집합이므로      도 열린집
→ ∞
(2)  가 아래로 유계가 아니라고 하자. 만약
합이다. 따라서    ⊆      인 양수 가 존재
한다. 이때     일 때마다     이 성립하므로
∀   ∃   ∀∈     →    
는 연속함수이다.
가 성립하면 는 음의 무한대에서 양의 무한대에 발산한다고 말
하고
즉

   ⊆    이므로 는    의 내점이다.
∀   ∃   ∀∈     →    
하고
     ⇒     을 만족시킨다.
lim   ∞로 나타낸다. 만약
□
→  ∞
정리 9.4    →  와    →  가 연속이면  ∘ 도 연속
∀   ∃   ∀∈     →    
이다.
가 성립하면 는 음의 무한대에서 음의 무한대에 발산한다고 말
증명
하고
lim   ∞로 나타낸다.
가  에서의 열린집합이면     는  에서의 열린집
합이다. 따라서  ∘              는  에서의 열린
→  ∞
집합이다. 따라서 정리 9.3에 의해  ∘ 는 연속함수이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
19
□
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
9.5 두 함수    → ℝ와    → ℝ가 연속이면
정리 9.11 함수     → ℝ가 연속이고   라고 하자.
  와 도 연속이다. 만약 ∈ 이고  ≠ 이면 는 
그러면 와  사이에 놓인 임의의  에 대하여   
에서 연속이다.
인 ∈ 가 존재한다. 이 명제를 연속함수의 중간값 정리라
정리
증명 정리 8.4와 정리 9.2에 의하여 성립한다.
고 부른다.
□
증명
일반성을 잃지 않고     라고 하자. 그러면
정리 9.6 함수    → ℝ가 연속이고  의 부분집합  가 긴
  sup∈     가 존재한다. 이때    가
밀집합이면   도 긴밀집합이다.
된다.
증명     ∈가    의 열린덮개라고 하면     는
참고 집합  에 대하여 서로소인 두 열린집합  ,  가 존재하
 의 열린덮개이다. 이때  가 긴밀이므로  의 유한부분집합 
여  ∩ 와 ∩ 가 공집합이 아니고  ⊆ ∪ 이면  는 분
가 존재하여     ∈는  의 유한부분덮개가 된다. 따
할되었다고 말한다. 분할되지 않은 집합을 연결집합이라고 부른
라서   ∈는   를 덮는  의 유한부분덮개가 된다. □
다. 연결집합은 다음과 같은 성질을 가졌다.
∙  가 연결집합이고    → ℝ가 연속이면    도 연결집합
정리 9.7 함수    → ℝ가 연속이고  의 부분집합  가 긴
이다.
밀집합이면 는  에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
증명
∙ 실수집합의 부분집합이 연결집합일 필요충분조건은 구간인 것
  가 긴밀집합이므로 닫힌집합이다. 따라서    의
최댓값  과 최솟값  은   의 원소이다.
이다.
□
이와 같은 성질을 이용하여 정리 9.11을 증명할 수도 있다.
정리 9.8 함수    →  가 연속이고 일대일 대응이며  가
10. 실함수의 미분
긴밀집합이면 의 역함수는  에서 연속이다.
함수의 미분은 함수의 그래프를 국소적으로 직선에 근사시키는
증명  의 부분집합 가  에서의 열린집합이면   는  에
서의 열린집합이 된다.
□
것이다.
□
정의 10.1 함수    → ℝ와 점 ∈∩ ′ 에 대하여 극한
정의 9.9 함수    → ℝ에 대하여  ⊆  라고 하자. 만약
    
lim 

∀   ∃   ∀ ∈       →      
→
가 존재할 때 는 에서 미분 가능하다고 말한다. 이때 위 극한
이 성립하면 는  에서 균등연속(uniformly continuity)이라고 말
을 에서 의 미분계수라고 부르고
한다.


 ′  또는  또는  

 
함수의 연속성은 한 점에서의 연속과 집합 위에서의 연속이 있
로 나타낸다.  의 부분집합  의 임의의 점에서 가 미분 가능
지만 균등연속성은 집합 위에서의 연속만 정의된다.
하면 는  에서 미분 가능하다라고 말한다. 또한  의 미분 가
능한 점 에 대하여
정리 9.10 함수    → ℝ가  의 부분집합  에서 연속이
    
 ↦ lim 

→
고  가 긴밀집합이면 는  에서 균등연속이다.
증명

를 의 미분 또는 도함수라고 부르며  ′ 또는  로 나타낸다.

가  에서 균등연속이 아니라고 가정하자. 그러면 적당
한   이 존재하여 임의의 ∈ℕ에 대하여

      ∧       ≥ 

참고 함수 를 번 미분한 함수를 계 도함수라고 부르며

 또는  
  또는 

인   과  이  에 존재한다. ⟨ ⟩과 ⟨⟩은 모두 유계이므로
각각 수렴하는 부분수열 ⟨ ⟩, ⟨⟩를 가진다. 더욱이
로 나타낸다. 특히 에서 번 미분한 계 미분계수는

     


 또는   
   또는 

이므로 두 부분수열은 동일한 값에 수렴한다. 그 값을 라고 하
로 나타낸다.
자.  는 닫힌집합이므로 ∈ 이다. 는 연속이므로  → ∞일
때    → ,   → 이다. 그러나
정의 10.2 함수    → ℝ와 ∈ 에 대하여
      ≥ 

    
∙ 에서의 좌미분계수 : ′   lim 

→

   
∙ 에서의 우미분계수 : ′   lim 

→ 

이므로 두 부분수열은 동일한 값에 수렴할 수 없다. 이것은 모순
이므로 는  에서 균등연속이다.
□
로 정의한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
20
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
이때 가 에서 연속이므로 다음을 얻는다.
정리 10.3 가 에서 미분 가능하면 는 에서 연속이다.
증명

  
    
lim  lim 

→
→
  
 lim 

→

  
 ∘ ′   lim 

→

  
   
 lim ′      






→


 
 
 ′  lim    lim 


→
→

lim   
→
  ′ ⋅    .
□
 ′   ′  .
□
정리 10.4 두 함수 , 가 미분 가능하면   , 도 미분 가
능하며  ≠ 인 점에서 도 미분 가능하다. 또한 다음이 성립
한편 미분을 다른 방법으로 정의할 수도 있다.
한다.

(1)       ′    ′  .


(2)     ′   ′  .

     ′   ′ 
.
(3)  ≠ 일 때     
   

정리 10.7 함수 가 에서 미분 가능할 필요충분조건은
       

lim 

→
을 만족시키는 선형사상  가 존재하는 것이다.
증명     ′  .
증명 극한의 성질에 의해 다음을 얻는다.
          

   lim



→
□
참고 체  위의 벡터공간  에서의 함수  가 두 조건
    
    
 lim   lim 


→
→
∙ ∀∈ ∀∈       ,
∙ ∀ ∈        
  ′   ′  .
를 모두 만족시킬 때  를 선형사상이라고 부른다. 정의역과 공

      
  lim 



→
역이 ℝ인 선형사상은 모두     꼴의 정비례 함수이다.

  
     
 lim       




→
참고 다변함수의 미분은 정리 10.7에서와 비슷한 꼴로 정의된
  ′   ′  .
다. 즉  ⊆ ℝ 이고 a ∈ int 일 때, 함수 f   → ℝ 이 a에
서 미분 가능하다는 것은
   


 
   


lim


 


fa h  fa  Th

lim 
h
→
h →


        
         
 lim 
         
→        


 ′    ′ 

.


인 선형사상 T  ℝ → ℝ 이 존재하는 것이다.
□
11. 평균값 정리
평균값 정리는 미분을 응용한 대표적인 예이다. 미분에 관련된
위 정리의 (2)를 일반화하면 다음과 같다.
수많은 정리는 평균값 정리에서 시작되는 경우가 많다.
정리 10.5 두 함수 , 의 계 도함수가 존재하면
정의 11.1 함수    → ℝ와 ∈ 에 대하여 만약


   
 
.
C   





∈  ∩ ⇒  ≤ 
를 만족시키는 양수 가 존재하면 는 에서 극댓값 를 가
단,   ,   이다. 이 법칙을 Leibniz 법칙이라고 부른다.
증명 수학적 귀납법을 이용한다.
진다고 말한다. 만약
□
∈  ∩ ⇒  ≥ 
정리 10.6 함수    →  ,    →  에 대하여 가 에서
를 만족시키는 양수 가 존재하면 는 에서 극솟값 를 가
미분 가능하고   이며 가 에서 미분 가능하면  ∘ 는
진다고 말한다.
에서 미분 가능하고  ∘ ′   ′  ′  이다.
증명 함수 를 다음과 같이 정의하자.
   

 ′ 
   



정리 11.2 함수    → ℝ가 ∈int 에서 극값을 갖고 미
if ≠
분 가능하면  ′   이다.
if  
증명 일반성을 잃지 않고 가 에서 극댓값을 가진다고 하자.
그러면 는 에서 연속이다. 이제   라고 하면
그러면 ′  ≥ , ′  ≤ 이다. 그런데 는 에서 미분 가
 ∘    ∘         
능하므로  ′   ′   ′ 이다. 따라서  ′   이다. □
 ′       .
강의노트 ∙ ∙ ∙
21
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
참고 도함수가 항상 연속인 것은 아니다. 예컨대
정리 11.3 함수 가  에서 미분 가능하고  에서 연
속이며   이면  ′   인 ∈ 가 존재한다. 이

명제를 Rolle의 정리라고 부른다.
  
if ≠
if  
인 함수 는 ℝ에서 미분 가능하지만  ′ 은 에서 불연속이다.
증명 가  에서 상수가 아니라고 하자. 는  에서 최
그러나 도함수는 중간값 성질을 가진다. 즉 가  에서 미분
댓값  과 최솟값 을 가진다. 만약   라면   
가능하고  ′      ′  라고 하자. 그러면  ′    인
인 점 를 택하고,   라면    인 점 를 택한다.
그러면 는 에서 극값을 가지므로  ′   이다.

   sin

∈ 가 존재한다.
□
증명
     라고 하면  ′   ,  ′   이므
정리 11.4 함수 가  에서 미분 가능하고  에서 연
로    ,    인  과  가  에 존재한
속이면  ′       인 ∈ 가 존재한다. 이
다. 따라서 는  에서 최솟값을 가진다. 최솟값은 극값이므
명제를 평균값 정리라고 부른다.
로  ′   인 가 존재한다.
증명 함수 를
정리 11.7 두 함수 , 가  에서 미분 가능하고  에
  
         

라고 하고  에서 에 Rolle의 정리를 적용한다.
□
서 연속이면
   ′      ′ 
□
인 ∈ 가 존재한다. 이 명제를 Cauchy의 평균값 정리 또
따름정리 함수 가  에서 미분 가능하고  에서 연속이
는 일반화된 평균값 정리라고 부른다.
며 ∀∈    ′   이면 는  에서 상수함수이다.
증명
증명 ∀∈  ∃∈          ′ 
정리를 적용한다.
⇒ ∀∈     .
        에 평균값
□
□
정리 11.8 이 자연수이고 , 가 
ℝ의 원소이며   라고
따름정리 두 함수 , 가  에서 미분 가능하고  에서
하자. 함수     → ℝ가  에서   번 미분 가능하
연속이며 ∀∈    ′    ′  이면     인 상수
면  의 원소 ,  에 대하여 와  사이에 가 존재하여
가 존재한다.
  
  
           

  



증명   ′  이므로   가 상수함수가 된다.
    
□

을 만족시킨다. 이 명제를 Taylor의 정리라고 부른다. 또한 위
정리 11.5 함수 가  에서 미분 가능하다고 하자.
등식의 우변의 처음 두 항을 차 전개식, 마지막 항을 나머지항
(1) ∀∈   ′  ≥ 이면 는  에서 단조증가한다.
이라고 부른다.
(2) ∀∈   ′   이면 는  에서 증가한다.
증명   라고 하자. 각 ∈ 에 대하여
(3) ∀∈   ′  ≤ 이면 는  에서 단조감소한다.
   
  
(4) ∀∈   ′   이면 는  에서 감소한다.
    ,
증명       라고 하면
      

 

          ′ 
이라고 정의하자. 이제       ⋅  인 가 존재
인 ∈  가 존재한다.
함을 증명하면 된다. ∈ 와 ∈ℕ에 대하여
미분계수  ′  의 부호에 따라서     의 부호도 달라
지므로 정리의 결과를 얻는다.
 
  




 
  
  
                


  



□
이므로
정리 11.6 함수 가  에서 연속이고 미분 가능하며 일대
  

 ′      
일 함수라고 하자. 그리고 를 의 역함수라고 하자. 그러면 임
의의 ∈ 에 대하여 가 에서 미분 가능하고
을 얻는다. 한편 연쇄법칙에 의하여 ∈ℝ에 대하여

 ′   
 ′ 
   

 ′   
이 성립한다. 이 정리를 역함수 정리라고 부른다.
을 얻는다.  , 가  에서 미분 가능하고  에서 연
증명 는  에서 순증가 또는 순감소인 함수가 된다. 가
속이며,  ≠ 일 때  ′       ′  이므로 일반화된 평
순증가함수라고 하자. 에 수렴하고  ≠ 인 임의의 수
균값 정리에 의하여
열 ⟨⟩에 대하여    이라고 하면  → 이고
      ′         ′ 
   
  

 ′  lim   lim   
  
 ′
→ ∞
→ ∞    
이므로 정리의 결과를 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
인 ∈ 가 존재한다.       이고  ≠ 이므로
    ′       ′ 
□
이다. 즉         ′  ′  이다.
22
□
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정리 11.9 ∈
ℝ이고  가 열린구간이며 ∈  라고 하자. 그리
는   ,    일 때 앞의 두 경우의 조건을 만족시킨
고 두 함수 , 가 ∖에서 미분 가능하며  ≠ ,  ′ ≠ 이
다. 따라서
 ′ 
라고 하자. 또한  → , ∈ 일 때 와 가 동일한 값
′ 


 lim   lim  .
lim   lim 
′ 


→∞  ′ 
 에 수렴하며    또는   ∞라고 하자. 만약  → 일 때
 ′  ′  →  ∈
ℝ이면
→ 
→ 
→∞
끝으로  ± ∞인 경우는  → 일 때  → ± ∞이
므로  → 가 된다는 것을 이용하면 증명된다.
 ′ 

□
 lim 
lim 

 ′ 
→
→
12. Riemann 적분
가 성립한다. 이 명제를 l’Hôpital의 정리라고 부른다.
증명
길이가 양수인 닫힌구간    에 대하여
⊆ ,  → 이며, ∀     또는 ∀    
       ⋯   
라고 하자. 이제    →  임을 보이자.  ∈ℝ인 경우
를 증명하자.  에서  ′  ≠ 이므로  ∈ ,  ≠ 이고 , 
일 때      ≤  ≤ 을  의 분할이라고 부른다.  ,  ′ 이
가 모두 보다 크거나 보다 작을 때    ≠ 이다. 따
 의 분할이고  ⊆  ′ 일 때  ′ 을  의 세련분할이라고 부른다.
라서   는 분모에 놓일 수 있다.
함수    → ℝ가 유계이고
  , ∈ℝ인 경우.     이라고 정의하면  와
∙   sup    ,    in f    ,
   사이에  가 존재하여
∙       
     ′  


    
 ′  
이라고 하자. 이때 구간  에서  에 대응되는 의 상합과 하합
을 각각
를 만족시킨다.     이므로

    
       ′  



  
    
 ′  

  ,      
 


 


로 정의한다. 정의에 의하여 임의의 분할  에 대하여
이다.  → ∞인 극한을 취하면 조임정리에 의하여  → 이므
    ≤    
로    →  를 얻는다.
이다. 구간을 더 작게 나눌수록 하합은 커지고 상합은 작아지므
 ± ∞, ∈ℝ인 경우. 일반성을 잃지 않고   ∞라고 하
로  ⊆ ′일 때
자. 자연수 , 에 대하여 평균값 정리에 의하여  ,  사이에
    ≤    ′  ≤    ′  ≤    
 이 존재하여
가 성립한다. 또한  와  ′ 이  의 분할일 때  ″   ∪ ′ 은 두
      ′  


     
 ′  
분할의 공통세련분할이므로
을 만족시킨다. 따라서
    ≤    ″  ≤    ″  ≤    ′ 
   
    


   
 
이다. 즉 임의의 상합은 임의의 하합보다 크거나 같다. 따라서
상적분과 하적분을 순서대로 다음과 같이 정의한다.
      ′  
 
 
′  

   in f     는  의 분할,

    ′  
     
   ′  



   sup    는  의 분할.

이므로

 
 
 
 ′    ′  
  ⋅ 

     
′    ′  
정의 12.1 만약  에서 유계인 의 상적분과 하적분이 같으
이다.   ∞이므로  → 일 때   → 이며, 조임정리
면 는  에서 Riemann 적분 가능하다고 말하며, 적분값을
에 의하여  → ∞일 때  → 이다. 따라서  → ∞일





       
때    →  이다.
 ± ∞인 경우. 일반성을 잃지 않고   ∞라고 하자.  ⊇


로 정의한다.
 ∞가 되는   를 택하고 각 ∈ 에 대하여
   그리고   
정리 12.2 함수 가  에서 유계일 때,  에서 가 리
라고 정의하면 연쇄법칙에 의하여
만 적분 가능할 필요충분조건은
′ 
 ′     ′ 



′   ′    
′ 
∀   ∃            
이다. 이 명제를 Riemann 판정법이라고 부른다.
이다.   ∈ ∞이므로  ′  ′   ′ ′  이
다.  → ∞일 필요충분조건은    →   인 것이므로 와
강의노트 ∙ ∙ ∙
23
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
증명
이때   ∪ 는  의 분할이고
가  에서 Riemann 적분 가능하다고 하자. 그리고
  이라고 하자. 그러면
   ′  
                  


   ,    ″  





  



          
이므로 는  에서 적분 가능하다. 또한
인  ′ ,  ″ 이 존재한다.    ′∪ ″ 라고 하면

          
  ≤             
(12a)


이 성립한다. 역으로 이 임의의 양수라고 하자. (12a)를 만족시
키는 분할  에 대하여

 
≤

≤









  ≥       


이 성립한다. 은 임의의 양수이므로 결과를 얻는다.

      
이고 같은 방법으로

  ≤         


           
□
이므로 정리의 등식을 얻는다.
□
분할      ≤  ≤ 에 대하여  의 노름을
정리 12.6 함수 , 가  에서 적분 가능하다고 하자.
   max   ≤  ≤ 
으로 정의한다.
(1) 상수  에 대하여




     .
(2)   는  에서 적분 가능하고
정리 12.3 함수 가    에서 유계라고 하자.

(1) 가  에서 단조이면 는  에서 Riemann 적분 가능하다.

(2) 가  에서 연속이면 는  에서 Riemann 적분 가능하다.
증명 (1) 가 단조증가라고 하자.   에 대하여
   


    

 


(2)   에 대하여  의 분할  과  가 존재하여


           ,            .


  ∪ 라고 하면
      
(2)   이 주어졌다고 하자. 는  에서 균등연속이므로

 
∃         →        

 
      ≤          ,
이다.    인 분할      ≤  ≤ 을 택하면


      ≥         


이므로


     
 
 

          
 
인 분할  를 택하면           이다.


≤  

 
            


      .

≤                     
□
이다. 따라서   는  에서 적분 가능하다. 한편


   
  

정리 12.4 가  에서 적분 가능하고       이면 

≤       


       

는  에서 적분 가능하다.

증명   에 대하여  의 분할  가 존재하여
          
이다. 이때  ′   ∩ ∪ 는  의 분할이고
   ′      ′  ≤           .
□


증명



 













이므로 정리의 등식을 얻는다.
(3)  의 임의의 분할      ≤  ≤ 에 대하여




      


   ≥
 
  에 대하여  의 분할  과  의 분할  가
  
 

이므로
존재하여






          ≥ .


           ,            .


강의노트 ∙ ∙ ∙

    ≥       
적분 가능하면 는  에서 적분 가능하고 다음이 성립한다.
 

이고 같은 방법으로
정리 12.5 함수 가 길이가 양수인 두 구간  ,  에서





         


대하여
인 분할      ≤  ≤ 을 택하면
 

증명 (1)   이면 당연히 성립한다.  ≠ 인 경우   에
     
         

         .
(3)  ≤ 이면   ≤  .
24
□
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정의 12.7 함수 가  에서 적분 가능하고 ∈ 일 때
정의 12.10 함수 가  에서 유계라고 하자. 만약 임의의
다음과 같이 정의한다.
양수 에 대하여  의 분할  이 존재하여  ⊆  인 임의의



분할  와  의 각 성분구간에서 한 점씩 택하여 구성한 유한수



열   ⟨⟩에 대하여         을 만족시키는 실수
    ,    .
 이 존재하면  에서 의 Riemann 합이  에 수렴한다고
정리 12.8 함수 가    에서 적분 가능하면    의 원소
말하고 이것을
, , 에 대하여 다음이 성립한다.


lim      

       .


   → 

로 나타낸다.
증명 정리 12.6과 정의 12.7에 의하여 성립한다.
□
정리 12.11 함수 가  에서 유계라고 하자. 가  에
서 Riemann 적분 가능하고 그 적분값이  일 필요충분조건은
정리 12.9 함수 가  에서 적분 가능하고 함수 가  
lim      
에서 연속이며   ⊆  이면  ∘ 는  에서 적분
   → 
가능하다.
인 것이다.
증명    ∘ 라고 하고   이라고 하자. 는  에서 균
가  에서 적분 가능하다고 하고   이라고 하자.
증명
등연속이므로      ⇒     인   이 존재
그러면
한다.   min  이라고 하자.

    
함수 가 적분 가능하므로  의 분할      ≤  ≤ 

   ,         



이 존재하여            을 만족시킨다.
을 만족시키는 분할  이 존재한다.      ≤  ≤ ⊇ 
  sup    ,    in f     ,
이라고 하면 위 부등식은  을  로 바꾸어도 성립한다. 그런데
 sup    ,    in f      ,
∈    일 때   ≤   ≤  이므로

  ∈ℕ   ≤       ≥ ,


 
    ≤ 이 성
이다. 따라서  ⊇  이고 ∈    일 때마다
∈ 이면     ≤  이므로
     

  ≤      ≤ 


∈

∈

∈



∈


이다. 즉 의 Riemann 합이 의 적분값에 수렴한다.
          




 

이다. 따라서
         


이라고 하자. ∈ 이면 의 정의에 의하여



  sup   ≤  ≤ 
립한다.

        ≤  
≤     ≤    
  ∈ℕ   ≤       ,




역으로 의 Riemann 합이  에 수렴한다고 하자.   이라고

하고 각 ∈    일 때
≤            
이므로 는  에서 적분 가능하다.
    

□


 

을 만족시키는 분할  를 택하자. 는  에서 유계이므로 
따름정리 함수 가  에서 적분 가능하면  도  에서
의 성분구간에서 점 하나씩을 택하여 만든 유한수열 ⟨⟩,
적분 가능하고 다음이 성립한다.



 
⟨⟩가 존재하여

 ≤


           
  

증명   라고 두고 정리 12.9를 적용한다.
□
을 만족시킨다. 따라서

         
세련분할을 이용하는 것 대신 분할의 노름을 이용하여 적분을
 

정의할 수 있다.



 
   


 
 




 
 

를 만족시키는 유한수열을   ⟨⟩라고 하자. 이때


      
≤
    



      라고 하자. 그리고 각 에 대하여       



      
   
 
구간  에 대하여 분할      ≤  ≤ 의 성분구간을
   




   






이므로 는  에서 적분 가능하고 적분값은  이다.

□
를  와 에 대한 의 Riemann 합이라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
25
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
13. 미적분의 기본정리

   

≤     
  


 

적분의 정의를 이용하여 적분값을 계산하는 것은 쉽지 않다. 그


러나 부정적분을 갖는 연속함수의 적분은 쉽게 계산할 수 있다.

함수 에 대하여  ′  를 만족시키는 함수  를 의 부정적분

      
  
또는 역도함수라고 부른다.
이므로  ′   이다.
□
정리 13.1 가  에서 연속이고  에서 미분 가능하며
정리 13.3 함수 가  에서 연속이고  가 의 부정적분이
 ′ 이  에서 적분 가능하면 다음이 성립한다.
면 다음이 성립한다.

  ′     .

        .

증명

 의 분할      ≤  ≤ 이 주어졌다고 하자.
이 명제를 미적분의 기본정리라고 부른다.
각 에 대하여     에서 평균값 정리를 이용하면
증명 함수 를
         ′       

  
을 만족시키는 ∈    가 존재한다. 따라서

   
   

 


    
 ′    

 

라고 정의하면 는 의 부정적분이므로  ′     ′ 이다. 따
   .
라서 ∀        인 상수 가 존재한다.    
구간     에서  ′ 의 상한을 ′ , 하한을  ′ 이라고 하면

  ′   
 

≤
이므로     이다. 즉         이다. 이 식에

 ′ ≤  ′  



 
  를 대입하면 정리의 등식을 얻는다.

□

 ′    ′  
 
 
위 공식에서      를 보통

   또는
이므로   ′   ≤    ≤   ′   이다.  가  
의 임의의 분할이므로
 



으로 나타낸다. 즉


  ′  ≤    ≤   ′ 

       




이다. 그런데  ′ 이  에서 적분 가능하므로




이다.

  ′     .
정리 13.4 두 함수 , 가  에서 미분 가능하고  ′ ,  ′ 가

 에서 적분 가능하면 다음이 성립한다.
정리 13.2 함수 가  에서 적분 가능하면
  




  ′        ′ 

 
이 명제를 부분적분법이라고 부른다.

로 정의된 함수  는  에서 연속이다. 만약 가 연속이면 
증명 미분의 Leibniz의 법칙에 의하여
는  에서 미분 가능하고  ′  이다.
′  ′   ′ 
증명 가  에서 유계이므로  ≤  인 양수  이 존재한
이므로 양변을  에서 적분하면 정리의 등식을 얻는다.
□
다.   에 대하여   인 를 택하면     이고   
일 때마다
함수 의 도함수가 연속일 때 는 연속적으로 미분 가능하다고
     







 
≤   ≤   

말한다.
 





정리 13.5 함수 가  에서 연속적으로 미분 가능하고 가
 에서 연속이면 다음이 성립한다.
        




    ′ 
이므로  는  에서 균등연속이다.
이제 가 연속이고 ∈ 라고 하자. 그러면   에 대하여
이 명제를 적분의 변수변환 공식이라고 부른다.
  이 존재하여      ⇒     을 만족시킨
증명 ∈ 와 ∈ 에 대하여
다. 따라서       일 때

 


 

강의노트 ∙ ∙ ∙

     
 
    


 
    





  
 ′ ,


   

  
 


26
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
라고 정의하자.   in f  이면


  
   


   lim  

→



로 정의한다. 만약 가 의 근방에서 유계가 아니면 를 특이

점이라고 부른다.
이다. 미적분의 기본정리에 의해  ′   ′  이고
 ′   이므로 연쇄법칙에 의하여 ∈ 에 대하여
(3) 함수 가  에서 정의되었다고 하자.  가 쌍마다 서로소인

      


유한 개의 부분구간  ,  , ⋯,  으로 분할되고 각  의 길이가
이다. 따라서    ∘ 는 상수함수이고,   를 대입해보면
양수이며 가 각 구간  에서 (1) 또는 (2)의 방법으로 적분 가
      임을 알 수 있다. 따라서     
능하다고 하자. 이때  의 왼쪽 끝점  와 오른쪽 끝점  에 대
이므로      이다.
하여
□
14. 특이적분





로 정의한다.
이 장에서는 더 다양한 함수들의 적분을 살펴보자.
실수 집합의 부분집합  가 주어졌다고 하자. 만약 임의의   
집합  가 여러 개의 구간의 합집합일 때 각 구간에서의 의 적
에 대하여 열린구간들의 유한집합       ∈가 존재
분값의 합을
하여 두 조건
⊆
 
    그리고      

∈

∈



로 나타낸다. 예컨대    ∪ 이면
을 모두 만족시키면  는 컨텐츠 제로라고 말한다. 여기서  가




       
유한집합이라는 조건을 가산집합으로 바꾸면  는 측도 제로라
고 말한다.

이다.
정리 14.1 함수 가    에서 유계라고 하자.  에서 가
정의 14.3 유계가 아닌 구간에서의 특이적분을 다음과 같이 정
불연속인 점들의 모임  가 컨텐츠 제로이면 는  에서 적분 가
의한다.
능하다.
(1) 함수 가  에서 정의되었고  가 아래로 유계이지만 위로 유계
증명 가  에서 유계이므로 ∀∈     인 양수  이
가 아니며 임의의 ∈ 에 대하여 가  ∞ ∩ 에서 적분 가
존재한다.   이 주어졌다고 하자.  가 컨텐츠 제로이므로
⊆

     

∈
   그리고
능할 때,  에서 의 특이적분을

    

∈

   lim
을 만족시키는 유한집합       ∈ 가 존재한다. 한편

 ∞ ∩
로 정의한다.
가 ∖∪ 에서는 연속이고 ∖∪ 는 닫힌구간들의 합집합이
(2) 함수 가  에서 정의되었고  가 위로 유계이지만 아래로 유계
므로 ∖∪ 의 분할  가 존재하여 ∖∪ 에서
가 아니며 임의의 ∈ 에 대하여 가  ∞∩ 에서 적분 가능


          
할 때,  에서 의 특이적분을
   lim 
을 만족시킨다.  ′  ∪   ∈라고 하면  ′ 은  의 분
할이 되고  에서    ′      ′   이다.
→∞

→  ∞

□

 ∞∩
로 정의한다.
참고 함수 가    에서 유계라고 하자.  에서 가 적분
(3) 함수 가  에서 정의되었고  가 위로 유계가 아니고 아래로
가능할 필요충분조건은 가 불연속인 점들의 모임  가 측도 제
도 유계가 아닐 때,  에서 의 특이적분을
   
로인 것이다. 이것을 Lebesgue의 정리라고 부른다. 증명이 다소

복잡하므로 여기서는 생략한다.
 ∞ ∩
 


 ∞∩
로 정의한다.
정의 14.2 구간의 끝점에서의 특이적분을 다음과 같이 정의한다.
특이적분은 적분에 대한 극한으로 정의되기 때문에 수렴할 수도
(1) 함수 가  에서 정의되었고 임의의 ∈ 에 대하
있고 발산할 수도 있다. 특이적분의 극한이 수렴할 때 특이적분
여 가  에서 적분 가능할 때  에서 의 특이적분을
이 수렴한다고 말하고, 특이적분의 극한이 발산할 때 특이적분이


발산한다고 말한다. 만약 의 특이적분이 수렴하면 의 특이적

분이 절대수렴한다고 말한다. 수렴하지만 절대수렴하지 않는 경
   lim 

→
로 정의한다. 만약 가 의 근방에서 유계가 아니면 를 특이점
우 조건수렴한다고 말한다.
이라고 부른다.
특이적분이 수렴하는지 판단하는 공식을 판정법이라고 부른다.
(2) 함수 가  에서 정의되었고 임의의 ∈ 에 대하
여 가  에서 적분 가능할 때  에서 의 특이적분을
강의노트 ∙ ∙ ∙
27
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정리 14.4 두 함수 , 가  에서 정의되었고 ∈ 
무한급수의 부분합도 수열로 볼 수 있으므로 급수의 수렴 조건
에 대하여  ≤  ≤ 이며  에서 의 특이적분이
으로서 Cauchy 조건을 사용할 수 있다. 즉 급수
수렴하면  에서 의 특이적분이 수렴하고


 ≤

∞






가 수렴할 필요충분조건은 임의의 양수 에 대하여  이 존재하

이다. 이 명제를 비교 판정법이라고 부른다.
여      일 때마다

    

이 성립하는 것이다.     으로 쓰면 급수가 수렴할 필요충

증명 ∈ 에 대하여
↦
   
 

는 단조함수이고, 정리의 조건에 의하여 유계이므로 단조수렴정
분조건은 임의의 양수 에 대하여  이 존재하여      일
리에 의하여 수렴한다.
때마다
□
 
 
  
정리 14.5 구간  에서 의 특이적분이 절대수렴하면 의
   
특이적분이 수렴하고 다음이 성립한다.

 


 ≤

이 성립하는 것이 된다.

정리 15.3 절대수렴하는 무한급수는 수렴한다.

증명  ≤    ≤ 이므로 비교 판정법에 의하여
정리의 결과를 얻는다.
증명 수열 ⟨⟩의 급수가 절대수렴한다고 하자. 그러면
□
   


 ≤
   
정리 14.6 두 함수 , 가  에서 정의되었고 음이 아닌
   

이므로 Cauchy 조건에 의하여 ⟨⟩의 급수는 수렴한다.
값을 취하며 극한

  lim 
→ 
□
모든 항이  이상인 수열을 양항수열이라고 부른다. 또한 양항
수열의 무한급수를 양항급수라고 부른다.
가 수렴하고     ∞라고 하자. 이때  에서 의 특이적
분이 수렴할 필요충분조건은 의 특이적분이 수렴하는 것이다.
정리
이 명제를 극한 비교 판정법이라고 부른다.
15.4 양항급수가 수렴할 필요충분조건은 부분합 수열이
유계인 것이다.
증명 의 근방에서
증명



 

 

양항수열 ⟨⟩의 무한급수의 부분합을   이라고 하자.
그러면          ≥ 이므로 ⟨ ⟩은 단조증가수열이다.
이므로     이다. 따라서 비교 판정법에
따라서 단조수렴정리에 의하여 ⟨ ⟩의 극한이 수렴할 필요충분
의하여 정리의 결과를 얻는다.
조건은 ⟨ ⟩이 유계인 것이다.
□
15. 무한급수
□
정리 15.5 양항수열 ⟨⟩, ⟨⟩에 대하여  ≤  이고 수열
이 장에서는 무한급수의 개념과 기본성질을 살펴보자.
⟨⟩의 무한급수가 수렴하면 ⟨⟩의 무한급수도 수렴한다. 이
명제를 비교 판정법이라고 부른다.
정의 15.1 수열 ⟨⟩의 첫 항이  일 때,
⟨⟩의 무한급수가 수렴하면 ⟨⟩의 무한급수의 부분합
이 유계이므로 정리 15.4에 의하여 ⟨⟩의 무한급수는 수렴한
증명
   lim   
∞



→∞   

을 ⟨⟩의 무한급수라고 부른다. 이때
다.
□

 



정리 15.6 두 양항수열 ⟨⟩, ⟨⟩이 주어졌다고 하자.
를 무한급수의 부분합이라고 부른다.
∞
∞

 ∞이고
 이 수렴하면
 도 수렴한다.
(1) 
lim 
→∞ 
 

∞
∞

 이 수렴하면
 도 수렴한다.
(2) lim   이고
→∞ 
 
 

정리 15.2 수열 ⟨⟩의 무한급수가 수렴하면  → 이다.
증명 무한급수가 에 수렴한다고 하면

  



lim  lim           .
→∞
→∞   






(1) 상극한의 값을 라고 하면  이 존재하여    일

때마다     이 성립한다. 즉      이므로 비교

증명
□
판정법에 의하여 정리의 결과를 얻는다.

 ∞이므로 (1)에 의하여 정리의 결과를 얻는다. □
(2) 
lim 

→∞ 
수열 ⟨⟩에 대하여 ⟨⟩의 무한급수가 수렴하면 ⟨⟩의
무한급수는 절대수렴한다고 말한다. 수렴하지만 절대수렴하지
않는 경우 조건수렴한다고 말한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
28
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정리 15.7 함수 가  ∞에서 정의되었고  ≥ 이며 단조
증명 (1) 상극한의 값을 라고 하자.         이므로
감소라고 하자. 이때   인 수열 ⟨⟩의 무한급수가 수
 이 존재하여  ≥  일 때마다
렴할 필요충분조건은 특이적분
 
 


∞
 
이 성립한다. 따라서    일 때

이 수렴하는 것이다. 이 명제를 적분 판정법이라고 부른다.

  
 
   ⋅  ⋯  ⋅       
     

증명  ≤  ≤   일 때
이므로
   ≥  ≥      

∞
 
   ≤ 
≤
   
  
 

 
 



  ≤

 


∞
   


 
   

수렴한다. 따라서 비교 판정법에 의하여 주어진 급수도 수렴한다.

(2)  ↛ 이므로 주어진 급수는 발산한다.
이다. 각 변의 합을 구하면


이다.     이므로 기하급수 판정법에 의하여 마지막 급수는

 


∞
        ≤       
이므로

□

 
 ≤



 
정리 15.12 양항수열 ⟨⟩에 대하여   
 이라고 하자.
lim 

→∞
∞
이므로 비교 판정법에 의하여 결과를 얻는다.
□
(1)   이면

 은 수렴한다.

∞
(2)   이면
∞

 은   일 때 수렴하고     일
 

정리 15.8 급수
  은 발산한다.


이 명제를 근 판정법이라고 부른다.
때 발산한다. 이 명제를 -급수 판정법이라고 부른다.
  인 경우         이므로  이 존재하여
 
  일 때 
    이 성립한다. 즉       이므로
증명
증명 구간  ∞에서 함수 를
기하급수 판정법과 비교 판정법에 의하여 주어진 급수는 수렴한
라고 하고 적분 판정법을 이용하면 정리의 결과를 얻는다.
다.   인 경우는  ↛ 이므로 주어진 급수는 발산한다. □
□
임의의 에 대하여     을 만족시키는 수열 ⟨⟩을 교
∞
정리 15.9 감소하는 양항수열 ⟨⟩에 대하여
∞

필요충분조건은



  

  이 수렴할
 
대수열이라고 부른다. 그리고 교대수열의 무한급수를 교대급수

 이 수렴하는 것이다.
라고 부른다.
 
증명 두 부등식
정리 15.13 감소하는 양항수열 ⟨⟩에 대하여 교대급수





   ≥   ,   






 

   ≤

∞


  

에 비교 판정법을 적용하면 정리의 결과를 얻는다.
 

□

이 수렴할 필요충분조건은  → 인 것이다. 이 명제를 교대급
수 판정법이라고 부른다.
∞
정리 15.10 급수
  이 수렴할 필요충분조건은   이다.

증명  → 이라고 하고 주어진 급수의 부분합을   이라고 하
 
자. 그러면              ≤     이므로 ⟨ ⟩
이 명제를 기하급수 판정법이라고 부른다.
은 증가수열이다. 또한 임의의 에 대하여
증명   이면  ↛ 이므로 급수가 발산한다.
          ⋯ 
 ≠ 일 때 부분합은
            ⋯  ≤ 

   
 
 




이므로   일 때에만 급수가 수렴한다.
이므로 ⟨ ⟩은 유계이다. 따라서 수렴한다. 더욱이
        
□
이므로 ⟨   ⟩과 ⟨ ⟩은 동일한 값에 수렴한다.
□
정리 15.11 수열 ⟨⟩에 대하여   이라고 하자.
∞
 
 이면
 은 수렴한다.
(1) 
lim 
→∞ 

∞
 
 은 발산한다.
(2) lim   이면

→∞



이 명제를 비 판정법이라고 부른다.

참고 위 증명 과정에서 급수의 합을 라고 하면

이므로 다음과 같은 오차의 한계 공식을 얻는다.
                     ⋯≤  
  
∞

강의노트 ∙ ∙ ∙
29
 

    ≤   .
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
16. 무한급수의 성질
함수 에 대하여
i f  ≥ 


i f   

i f  ≥ 
   
  i f   
이 장에서는 무한급수의 합과 곱, 재정렬, Dirichlet 판정법에 대
  
하여 살펴보자.

정리 16.1 두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩의 급수가 각각 수렴하면
∞
∞
으로 정의한다.
∞
          

 

 



정리 16.4 수열 ⟨⟩에 대하여 다음이 성립한다.
이다.
∞
(1)
증명 극한의 성질에 의하여 자명하다.
□

∞
(2)



 


을


 과
 



∞
 
∞
∞

 이 절대수렴

 

          
    

  
∞
∞



 


 

∞
   ,


∞





∞
∞
 


∞



∞
 
 




다.
∞




정리 16.6 수열 ⟨⟩의 급수가 절대수렴하면 재배열된 급수도

 
 ,     .




동일한 값에 수렴한다.
그러면 다음을 얻는다.
증명
        ⋯      ⋯  
⟨⟩이 ⟨⟩의 재배열된 수열이라고 하자.
먼저 ⟨⟩이 양항수열인 경우를 살펴보자. ⟨⟩의 급수  의
        ⋯  
부분합을  이라고 하고, ⟨⟩의 급수  의 부분합을   이라
               ⋯     
고 하자. 그러면  ≤  ,   ≤  이므로 단조수렴정리에 의하
      ⋯  .
여 결과를 얻는다.
이제        ⋯  이라고 하자.  →  이
다음으로 ⟨⟩이 양항수열이 아닌 경우에는 두 등식
므로  → 임을 보이면   →  임이 증명된다.



  
   ,     
∞

  
 
과 양항수열에 대한 결과를 이용하여 결론을 얻는다.

이라고 하자. 그리고   이라고 하자. ⟨⟩의 급수가  에 수
에 대하여  에 수렴하는 ⟨⟩의 재배열 급수가 존재한다.
립한다.   max  ⋯  은 양수이므로  가 존
⟨⟩의 항들을 계속 더하여  보다 커지게 한다. 그 뒤
이어서 ⟨
⟩의 항들을 계속 빼어서 다시  보다 작아지게 한
다. 다시 ⟨
⟩의 남은 항들을 계속 더하여  보다 커지게 한다.

그리고 ⟨⟩의 남은 항들을 계속 빼어서 다시  보다 작아지게
증명
재하여  ≥  일 때           이 성립한다. 따
라서  ≥   max 일 때
≤  ⋯         ⋯ 
≤     ⋯                 ⋯    

≤   ⋯         ⋯ 
  


 
≤              
      
 
이므로  → 이다.
□
정리 16.7 수열 ⟨⟩의 급수가 조건수렴하면 임의의 실수 
렴하므로  이 존재하여  ≥  일 때       이 성
강의노트 ∙ ∙ ∙



이라고 부르며 재배열된 수열의 급수를 재배열된 급수라고 부른
 ,    ,    ,    ,



일대일대응이라고 하자. 이때 ⟨ ⟩을 ⟨⟩의 재배열된 수열
증명 다음과 같이 정의하자.


∞
정의 16.5 수열 ⟨⟩의 정의역이  이고 함수    →  가
이 성립한다.
 


∞
 
 이 수렴하면 두 급수의 Cauchy 곱이 수렴하고
∞  
 


  와   가 모두 수렴하면   이 절대수렴하
게 되어 모순이다. 만약   또는   중 하나만 수렴
하면   이 발산하게 되어 모순이다.
□
(2) 만약
정리 16.3 두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩에 대하여



이므로 유계 판정법과 비교 판정법에 의하여 결과를 얻는다.
 의 Cauchy 곱이라고 부른다.

하고


  ≤   ,   ≤   
∞
∞
  는 수렴한다.

∞
증명 (1) 임의의 에 대하여
라고 하자. 이때
∞

∞
∞
산한다.
 



와
  이 조건수렴하면   와   는 양의 무한대에 발

정의 16.2 두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩에 대하여
 

∞
 이 절대수렴하면
한다.  → 이므로 이 과정을 반복하면  에 수렴하는 재배열
급수를 얻는다.
□
□
30
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
17. 함수열의 균등수렴
정리 16.8 두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩에 대하여  ≥  ≥ 일 때

 
공역이 함수의 집합인 수열을 함수열이라고 부른다. 특히  위



에서의 함수열이라는 것은 정의역이  인 함수들의 수열을 의미
한다.
라고 정의하자. 그러면    ≥ 일 때
 

  
 

  
  
    


정의 17.1  위에서의 함수열 ⟨⟩에 대하여
가 성립한다. 이 등식을 Abel의 부분합 공식이라고 부른다.
∀∈ 
 lim    
→∞
증명    일 때        이므로

를 만족시키는 함수 가 존재할 때 ⟨⟩은 에 점별수렴한다

또는 간단히 수렴한다고 말하고 를 ⟨⟩의 점별극한함수 또
        

 
 
     
   
  
는 간단히 극한함수라고 부른다. 만약


     
 
   

  
 


   
 



    
∀∈   lim
→∞   

  

   

  
 
        
∞
를 만족시키는 함수 가 존재하면 함수급수
 
         

한다고 말한다.
     
  이 에 수렴


   
 
  
  


정의 17.2  위에서의 함수열 ⟨⟩에 대하여
□
    .
∀   ∃ ∀∈ℕ ∀∈     →       
Abel의 부분합 공식은 두 수열을 곱한 수열의 급수가 수렴하기
을 만족시키는 함수 가 존재하면 ⟨⟩은 에 균등수렴한다고
위한 필요충분조건을 제공한다. Dirichlet 판정법과 Abel 판정법
말한다. 함수급수의 균등수렴에 대해서도 마찬가지로 정의한다.
이 그 대표적인 예이다.
함수    → ℝ에 대하여   sup  ∈를  에
정리 16.9 두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩에 대하여 ⟨⟩의 급수의 부
서 의 상한노름이라고 부른다. 혼동할 염려가 없을 때에는 
분합 수열 ⟨ ⟩이 유계이고 ⟨⟩이 단조감소이며 에 수렴하
를 생략하고 간단히 로 나타낸다. 상한노름을 이용하여 함수
열의 균등수렴의 정의를 쓰면 다음과 같다.
면 ⟨⟩의 급수는 수렴한다. 이 명제를 Dirichlet 판정법이라
∀   ∃ ∀∈ℕ      →      
고 부른다.
또한 수열의 극한을 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.
증명 ∀    ≤  인 양수  을 택하면     일 때
 

 


lim    
         ≤     


→∞

이다.   에 대하여  ≥  ⇒    인  을 택하자. 그러
함수열 ⟨⟩이 에 균등수렴하는 것을  ⇉ 로 나타낸다.
면    ≥ 일 때
 


  ≤  

정리 17.3 집합  위에서의 함수열 ⟨⟩이 균등수렴할 필요
    


  

충분조건은 임의의   에 대하여  이 존재하여  보다 큰 임
≤           
이므로 Cauchy 판정법에 의해 ⟨⟩의 급수는 수렴한다.
의의  , 에 대하여     을 만족시키는 것이다. 이 명
□
제를 Cauchy의 조건이라고 부른다.
증명  ⇉ 라고 하고   이라고 하자. 그러면
정리 16.10 수열 ⟨⟩의 급수가 수렴하고 수열 ⟨⟩이 단조


∃     →      


이고 유계이면 ⟨ ⟩의 급수는 수렴한다. 이 명제를 Abel 판
정법이라고 부른다.
이다. 이때    ,    이면

   
증명

      이므로

 
   ≤             
 
∞
   


 은 수렴한
이므로 ⟨⟩은 Cauchy의 조건을 만족시킨다.
다. 또한 ⟨⟩의 급수의 부분합 수열 ⟨ ⟩은 유계이므로
∞
역으로 ⟨⟩이 Cauchy의 조건을 만족시킨다고 하자. 각 ∈
    
 


  은 절대수렴한다. 그리고 단조수렴정리에 의하
에 대하여 ⟨ ⟩은 Cauchy 수열이므로 ⟨⟩이 점별수렴하
여 ⟨⟩이 수렴하므로 ⟨   ⟩은 수렴하다. 따라서 Abel의
는 함수 가 존재한다.
∞
부분합 공식에 의하여
   도 수렴한다.
 
 
이제   이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면  이 존재하여 그
□
보다 더 큰 임의의  , 에 대하여 다음을 만족시킨다.

     .

강의노트 ∙ ∙ ∙
31
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
이제    이라고 하면 ∈ 와    에 대하여
이제 ∫ → ∫임을 증명하자. 다시   이라고 하면

     

자연수  이 존재하여  ≥  이고 ∈ 일 때

     

이 성립한다. 이때
    ≤          
 
≤              
 
이다. 는  의 임의의 원소이므로    ≤ 이다.
을 만족시킨다. 이때



□
  
       
≤     

≤     








정리 17.4  위에서의 연속함수열 ⟨⟩이 에 균등수렴하면



도 연속이다.
이므로 정리의 등식을 얻는다.
□
증명 ∈ 이고   이라고 하자. 자연수  이 존재하여 임의
의 ∈ 에 대하여
따름정리

     

 에서 적분 가능한 함수열 ⟨⟩의 급수가 에
균등수렴하면 는  에서 적분 가능하고 다음이 성립한다.

∞


 

      
을 만족시킨다.  은 에서 연속이므로   가 존재하여

     ⇒       

증명
을 만족시킨다. 따라서     일 때

⟨⟩의 급수의 부분합이 정리 17.5에서의 가정을 만족시
키므로 정리의 결과를 얻는다.
□
  
≤               
정리
  
    
  
⟨′⟩이 연속인 함수 에 균등수렴하고 각 ′ 이 적분 가능하
며, 적당한 ∈ 에 대하여 ⟨ ⟩가 수렴한다고 하자. 그
이므로 는 에서 연속이다.
□
17.6  에서 미분 가능한 함수열 ⟨⟩에 대하여,
러면 ⟨⟩은 미분 가능한 함수에 균등수렴하며  ′  이다.
정리 17.5  에서 적분 가능한 함수열 ⟨⟩이 에 균등수
증명   이라고 하자. ′ 이 적분 가능하므로 ∈ 일 때
렴하면 는  에서 균등수렴하고 다음이 성립한다.


  

   lim  
→∞



라고 하자. 각 에 대하여


    ≤   ≤  ≤   
  
  
이므로
이제  ′  임을 보이자.

 


 




⟨⟩의 극한함수를 라고 하자.

  ′   lim 
  lim ′        
  lim   lim
→∞


        



(17a)의 양변에  → ∞인 극한을 취하면





을 알 수 있다. 따라서 ⟨⟩은 균등수렴한다.

 





≤
         
   
   
  
  


이다. 같은 방법으로 이 부등식이 ∈ 에 대해서도 성립함


  ′    ′       


     ≤        
  
  
  sup      ,    in f      


이다. 따라서
  sup    ,    in f     ,
 



   ′    ,    ′   
  
  
인 분할      ≤  ≤ 가 존재한다.


이다. ⟨′⟩이 균등수렴하므로  이 존재하여      일 때






          
    
  ′    ′       
     ≤
을 만족시킨다.  은  에서 적분 가능하므로
 
(17a)

이므로

     
  
         


     
임의의 ∈ 에 대하여


이다. 따라서
  이라고 하자.  ⇉ 이므로 자연수 이 존재하여
증명
  ′    
 →∞

→∞


→∞




이다. 가 연속이므로 양변을 에 대하여 미분하면  ′  를

 
                   .

 
얻는다.
□
따라서 는  에서 적분 가능하다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
32
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
 에서 미분 가능한 함수열 ⟨⟩에 대하여,
정리 18.4  위에서의 함수열 ⟨⟩이 에 균등수렴하고 임
⟨′⟩의 급수가 연속인 함수 에 균등수렴하고 각 ′ 이 적분
의의 에 대하여  ≤   ≤  을 만족시키면 ⟨  ⟩의
가능하며, 적당한 ∈ 에 대하여 ⟨ ⟩의 급수가 수렴한
급수는  에서 균등수렴한다. 이 명제를 교대급수 판정법이라고
다고 하자. 그러면 ⟨⟩의 급수는 미분 가능한 함수에 균등수
부른다.
렴하며  ′  이다. 즉 다음 등식이 성립한다.
증명
따름정리
∞
 ∞
 
′ .

   


  이라고 하자.  ⇉ 이므로 자연수  이 존재하여
   일 때   을 만족시킨다. 따라서      일 때

               ≤ 





18. 균등수렴의 판정
증명
Weierstrass의 M-판정법이라고 부른다.

이라고 하면 는 연속이므로   
  ∞ ∩ 는  에

  
서 열린집합이다. 따라서   ∖ 은  에서 닫힌집합이다.

또한  ≥   이므로  ⊇   이다.
을 만족시킨다. 따라서      이고 ∈ 일 때

  

이제 ∈ 라고 하자.   → 이므로 충분히 큰 자연수 에


대하여  ∉  이다. 즉  ∉ ∩ 이다. 따라서 ∩ 은 공집합
  
모든  이 공집합이 아니라면 ∩ 은 공집합이 아니다. 이것은
 
   

≤
  



이다. 그런데  ⊇   이고 각  이 닫힌집합이므로, 만약

   
모순이므로   ∅인  이 존재한다.
이므로 Cauchy 조건에 의하여 ⟨ ⟩은  에서 균등수렴한다. □
따라서  ≥  일 때   ∅이므로 임의의 ∈ 에 대하여
 ≤    이다. 이것은  ⇉ 을 의미한다.
정리 18.2  위에서의 함수열 ⟨⟩에 대하여 ⟨⟩의 급수
가 균등수렴하면 ⟨⟩의 급수도 균등수렴한다. 이 명제를 절대
따름정리
수렴 판정법이라고 부른다.
증명


  ≤
   
□
긴밀집합  위에서 연속이고 음이 아닌 값을 갖는
함수열 ⟨⟩의 급수가 연속함수 에 수렴하면 이 수렴은 균등
⟨⟩의 급수가 균등수렴한다는 사실과 부등식

일반성을 잃지 않고 ∀   ≥   이라고 하자. 그리
  ∈    ≥ 
이라고 하자. Cauchy 조건에 의하여 자연수  이 존재하여


□
고     라고 하자.   이 임의로 주어졌다고 하고
⟨⟩의 급수의 부분합 수열을 ⟨⟩이라고 하자.   
       
    
이라고 부른다.
을 만족시키면 ⟨⟩의 급수는  에서 균등수렴한다. 이 명제를


에 단조수렴하면 ⟨⟩은 균등수렴한다. 이 명제를 Dini의 조건
는 양항수열 ⟨⟩이 존재하여 임의의 에 대하여  ≤ 
   
   
정리 18.5 긴밀집합  위에서의 함수열 ⟨⟩이 연속함수 
정리 18.1  위에서의 함수열 ⟨⟩에 대하여 급수가 수렴하
 ⇒


이므로 ⟨  ⟩의 급수는 Cauchy 조건을 만족시킨다.
이제 균등수렴을 판정하는 공식을 살펴보자.
증명


수렴이다.

  

   
따름정리
를 이용하면 ⟨⟩의 급수가 Cauchy의 조건을 만족시킴을 보일
수 있다.
긴밀집합  위에서 연속이고 임의의 ∈ 와 에
대하여  ≤    ≤  이며 ⟨ ⟩의 급수가 연속
□
인 함수 에 수렴하면 이 수렴은 균등수렴이다.
정리 18.3  위에서의 함수열 ⟨⟩의 급수가 균등수렴하면
정리 18.6  위에서의 함수열 ⟨⟩의 급수가 균등수렴하고,
⟨⟩은 에 균등수렴한다. 이 명제를 일반항 판정법이라고 부
 위에서의 함수열 ⟨⟩이 단조이며 ∀   ≤  인  이
른다.
존재하면 ⟨ ⟩의 급수는 균등수렴한다. 이 명제를 Abel 판정
증명 결론에 반하여 ⟨⟩이 에 균등수렴하지 않는다고 가정
법이라고 부른다.
하자. 그러면

증명   
∃   ∀ ∃   ∃∈    ≥ 

이다.     이라고 해도 일반성을 잃지 않는다. 따라서

  

     ≥ 


   

강의노트 ∙ ∙ ∙

 

   
               
이 성립한다.   이고 ∈ 라고 하자. 그러면 자연수  이
존재하여      일 때 다음을 만족시킨다.
이므로 ⟨⟩의 급수는 Cauchy 조건의 부정을 만족시킨다. 이
것은 모순이므로 ⟨⟩은 에 균등수렴한다.

    


  이라고 하자. Abel의 부분합 공식에 의하여




    .


   
□
33
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
따라서    ≥  일 때
  



   
   

 

   

             
   

≤
  에 비 판정법을 적용하면
증명     ∞인 경우



lim 


 
→∞
            
이므로    이면 급수가 발산하고    이면 급수가 수렴한

다. 한편   ∞인 경우에는 임의의 에 대하여 (19b)가 에
   


      ⋅
≤
     



         




         



수렴하므로 급수가 수렴한다.
  에 대하여

정리 19.4 거듭제곱급수
이므로 ⟨ ⟩의 급수는 Cauchy의 조건을 만족시킨다.
□

 

 
lim 
□
→∞
이라고 하자. 그리고  를
if ∞


  

∞
19. 거듭제곱급수


우리가 알고 있는 함수 중 그 성질을 가장 잘 알고 있는 것은
다항함수이다. 따라서 다항함수와 비슷한 성질을 가지고 있는 함
if 
  의 수렴반경은  이다. 이 명제

라고 정의하자. 그러면
수는 극한, 미분, 적분 등의 도구를 이용하여 분석하기 쉽다.
if    ∞

를 Cauchy-Hadamard 공식이라고 부른다.
정의 19.1 수열 ⟨⟩과 실수 , 자연수 에 대하여
증명 급수

     ,     
    





참고 거듭제곱급수
라고 하자. 이때 lim  을 중심이 이고 계수가 ⟨⟩인 거듭제


  이   에서 균등수렴함을 알 수 있다.

∞
    
  의 수렴반경이  이고      이
라고 하자.   이라고 두고  -판정법을 이용하면 급수
→∞
곱급수 또는 멱급수 또는 간단히 급수라고 부르고

  에 근 판정법을 적용하면 결과를 얻는다. □

(19a)

으로 나타낸다. 단, 위와 같은 표현에서   인 것으로 약속한다.
정리 19.5 거듭제곱급수
  은 수렴영역의 닫힌부분구간


에서 연속이다.
참고 만약     라고 하면 (19a)는
증명 주어진 급수가 수렴영역의 닫힌부분구간에서 균등수렴하
∞
 

므로 결과를 얻는다.


이 되므로, 거듭제곱급수의 성질을 살펴볼 때에는 중심이 인
정리
경우만 다루어도 충분하다.
참고 앞의 (19a)를 간단히
□
19.6 거듭제곱급수
  의 수렴반경이  이고  가


양수이며         이면 다음이 성립한다.
           

    으로 나타내기도 한다.


∞

 


  



증명 거듭제곱급수의 부분합 수열이 연속함수열이고  에서
    에 대하여 집합
  ∈ℝ      이 수렴한다

정의 19.2 거듭제곱급수
∞

균등수렴하므로 극한함수는  에서 적분 가능하고 정리의 등


식이 성립한다.
□
를 수렴구간이라고 부른다. 이때 수렴구간의 내부를 수렴영역이
라고 부르며
정리
  sup    ∈
19.7 거듭제곱급수


양수이며 ∈    이면 다음이 성립한다.
를 수렴반경이라고 부른다.
  
∞
 ∞


  

  
   
   
참고 정의 19.2에서 수렴반경의 정의는 적절하다. 왜냐하면 거
듭제곱급수
  의 수렴반경이  이고  가
    의 수렴반경이  일 때,      이
증명



∈    이면      인 양수 가 존재한다.
    라고 하면  ≤   이므로  이 존재하여    일 때
면 급수가 수렴하고      이면 급수가 발산하기 때문이다.
마다    ≤ 이 성립한다. 따라서    일 때
정리 19.3 거듭제곱급수
                ≤   
  에 대하여 극한


 

lim 

→∞
이 수렴하고 극한이  이면
이므로 비교 판정법에 의하여
(19b)


의 수렴반경은  이
상이 된다. 이제 ∈    에 대하여 다음과 같이 정의하자.
 
  의 수렴반경은  이다. 만약
∞


 
위 극한이 양의 무한대에 발산하면 수렴반경은 무한대이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
 
∞


34

   ,       ,     








.
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
그리고           인 , 를 택하자. 그러면  에
20. 해석적 함수
서  ⇉ , ′ ⇉ 이고 ′ 은 연속이므로 ′  이다.
거듭제곱급수
□
    의 수렴 영역의 점 에 대하여
      


∞
정리 19.8 급수

  의 수렴반경이  이고, 급수


 
의 수렴반경이  이라고 하자. 이때   min  인 에
이라고 하자. 양변을 번 미분한 후   를 대입하면
대하여 다음이 성립한다.
∞
(1)
∞
을 얻는다. 따라서
             .





 



       
∞
(2)
   
∞

∞

 
∞
 
 
 
  



    
  
∞
이다. 한편 만약  
에 의하여 성립한다.
이므로 ⟨⟩과 ⟨⟩은 동일한 수열이다. 따라서 함수를 거듭
  의 수렴반경이   이고   이라


제곱급수로 나타낼 수 있다면 그 표현은 유일하다.
고 하자. 그리고 ⟨⟩을 귀납적으로

  ,  
 

정의 20.1 가 실수이고  가 양수이며 함수 가     에
 
서 임의 횟수로 미분 가능하다고 하자.     에서 의 차
라고 정의하자. 이때 적당한 구간에서
Taylor 전개의 나머지항   이 에 수렴하면 는     에
∞


 

∞


 


서 다음과 같은 거듭제곱급수로 표현된다.
∞
 

 

이 급수를 중심이 인 Taylor 급수라고 부른다. 한편 중심이 
  이라고 하자.     이므로 의


 
  


 
이 성립하고, 우변의 급수의 수렴반경은 양수가 된다.
증명


 
    

□

     이면 동일한 방법으로

증명 (1)은 극한의 성질에 의해 자명하다. (2)는 Cauchy의 곱
정리 19.9 급수


인 Taylor 급수를 Maclaurin 급수라고 부른다.

근방에서  ≠ 이다. 따라서 는 의 근방에서 정의된다. 이
제 Cauchy-Hadamard 공식을 이용하여
  의 수렴반경이
정리 20.2 함수 와 의 정의역의 내점 에 대하여 양수  와


양수임을 증명하자.      라고 하면  → 이다. 따라서
수열 ⟨⟩이 존재하여     에서 가 Taylor 급수
⟨⟩은 유계이므로, ∀   ≤  인 양수  이 존재한
 
∞
 
 


다. 즉 임의의 에 대하여  ≤   이 성립한다. 이것을 이
으로 표현되면 는 에서 해석적이다고 말한다. 또한 정의역의
용하면    ≤  ,      ≤   이고 에 수학적
모든 점에서 해석적인 함수를 해석적 함수라고 부른다.
귀납법을 적용하면
참고 해석적인 함수는 임의 횟수로 미분 가능하다. 그러나 임의
 ≤   
횟수로 미분 가능하다고 해서 해석적인 것은 아니다. 예를 들어
을 얻는다. 따라서
  
 

  


 ≤ 



이므로 양변에  → ∞인 극한을 취하면 결과를 얻는다.
□
if ≠
if  
이라고 하면   ℝ → ℝ는 ℝ에서 임의 횟수로 미분 가능하지


   에서 균등수렴한다.      이 수렴하면    은
  이 수렴하면 급수
정리 19.10   이고
 은

만    이므로
    ≠ 이다.





  에서 균등수렴한다. 이 명제를 Abel의 정리라고 부른다.
집합  위에서 번 미분 가능한 함수들의 모임을     로 나타
증명 균등수렴에 대한 Abel의 판정법에 의하여 성립한다.
낸다.  위에서 번 연속적으로 미분 가능한 함수, 즉 계도함
□
수가 연속인 함수들의 모임을     로 나타낸다. 그리고  위에
서 해석적인 함수들의 모임을    로 나타낸다.
  의 수렴반경이  이고   이
수렴하면 는    에서 연속이다.      이 수렴하면 
만약  가 실수 집합의 부분영역이면     의 원소를 실해석적
는   에서 연속이다.
함수라고 부르며  가 허수를 포함하는 복소수 집합의 부분영역
증명 정리 19.10에 의하여 는 주어진 구간에서 균등수렴한다.
이면    의 원소를 복소해석적 함수라고 부른다. 실해석적
정리 19.11  






함수의 성질에 의하여 다음이 성립한다.
거듭제곱급수의 부분합이 연속이므로 정리의 결과를 얻는다. □
  ⊋ ⋯ ⊋  ⊋   ⊋ ⋯ ⊋ ∞ ⊋  
강의노트 ∙ ∙ ∙
35
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
임의 횟수로 미분 가능한 것에 조건을 추가하면 해석성을 이끌
정리 20.5 중심이 인 열린구간  위에서
어낼 수 있다.
∞
    
 



정리 20.3 함수 가  에서 임의 횟수로 연속적으로 미분
가 성립하고,  과   에 대하여         ⊆  이면
가능하다고 하자. 만약 양수  이 존재하여 임의의 자연수 과
 위에서
∈ 에 대하여   ≤   을 만족시키면 는  
에서 해석적이다.
증명
  
∞
 
   


가 성립한다.
∈ 이고   max       라고 하자.
그러면 Taylor의 정리에 의하여 ∈ℕ에 대하여
증명
일반성을 잃지 않고   이고       라고 하자.
 


       ≤     ≤ 



정리의 가정과 이항정리에 의하여
인 가 존재한다.  → ∞일 때 마지막 식이 에 수렴하므로 나
 
∞
머지항이 에 수렴한다.
∞
            


∞
□

   C 
미분 가능하고, 양수 와  가 존재하여 임의의 과   인
임의의 에 대하여 다음을 만족시키는 것이다.
∞






  로 표현되고 이 등식이



∞
 
  
  


 







∞







          ∞





  C 


 
∞  ∞


   

  C  
    
∞  ∞

 


    


    

     
 
  





 
∞   


   




□
정리 20.6 함수 가  에서 연속인 계 도함수를 가지면
임의의 , ∈ 에 대하여 나머지항이 다음과 같다.
   

 ≤
   
 

  



≤

    


    
 


   
  
증명


  일 때에는 미적분의 기본정리에 의하여 성립한다.
 
           ,


   


    

   


를 만족시키는 양수 ,  가 존재한다고 하자. 그러면 Taylor의
정리에 의하여
이므로
        

    
  
인 차 Taylor 다항식   과 나머지항   이 존재한다. 이제
   를 만족시키는 에 대하여     인 가 존재하여

   

       

를 얻는다.        ,        라고 하고 부
 

분적분법으로 우변을 적분하면   ,   이므로
lim    lim 
  
→∞


′ 
    
   


      

 

 
   
≤ lim 
⋅

 
  
→∞   
 


 lim  

→∞      

   

이제 ∈ℕ에 대하여 등식이 성립한다고 가정하면
[⇐] 함수 가 의 근방에서 임의 횟수로 미분 가능하고 (20a)
 

   
이 명제를 Lagrange의 정리라고 부른다.
이므로 정리의 부등식을 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
∞



∞
이므로 는   에서 해석적이다.


이므로 정리의 등식이 성립한다.
  가 수렴하므로 양수 
다. 따라서   일 때
→∞
  가 절대수렴하므로
    ≤    C      


가 존재하여 임의의 자연수 에 대하여     를 만족시킨



∞
 
    에서 성립한다고 가정하자. 의 계 도함수를 구하면



이다. 따라서
능하다. 이제 (20a)를 만족시키는 ,  의 존재성을 증명하자.



방에서 거듭제곱급수로 표현되므로 당연히 임의 횟수로 미분 가



   
 


증명 [⇒] 가 에서 해석적이라고 하자. 그러면 는 의 근
이다. 이제      라고 하면


(20a)
  


이다.          일 때
에서 해석적일 필요충분조건은 가 의 근방에서 임의 횟수로
함수 가 거듭제곱급수  


  C 

정리 20.4 함수 가 의 근방에서 정의되었다고 하자. 가 

 ≤ 
 





이다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 대하
□
여 정리의 등식이 성립한다.
36
□
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
정리 20.7 가  에서 임의 횟수로 미분 가능하고 임의의
에 대하여 

임의의 ∈     에 대하여   가 성립한다.
≥ 이면 는  에서 해석적이다. 즉 ∈
 이고 임의의 자연수 과 ∈ 에 대하여 

이것은 모순이므로   이다. 즉 임의의 ∈ 에 대하여
 ≥ 
  이다. 비슷한 방법으로 임의의 ∈ 에 대하여
이면 임의의 ∈ 에 대하여 다음이 성립한다.
∞
 
  가 성립함을 증명할 수 있다.
 
  



우리가 익숙하게 사용하는 초월함수의 해석적 정의는 다음과 같다.

∞
이 명제를 Bernstein의 정리라고 부른다.
증명
∙  
∞
하면 Lagrange의 정리에 의하여
∙ sin 

   
   

∞
∙ cos 
이다.  ≥ 이므로   ≥ 이다. 한편 가정에 의하여
 
    

  

    

    




    이고 ∈ℕ이라고 하자.       라고
  
   
  
□

 
   



거듭제곱급수의 성질을 이용하면 이들 함수가 미적분학에서 살
   ≤ 



펴봤던 성질들을 모두 가지고 있음을 증명할 수 있다.

이므로 ∈ 에 대하여  ≤   ≤ 이다.
∈ 라고 하자. 그러면  ≤    인 에 대해서 정리의
참고문헌
등식이 성립함을 보이면 된다.    이므로 각 ∈  
∙ John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra
에 대하여  → ∞일 때   → 임을 보이면 된다.
(7ed), Addison-Wesley, 2002.
∙ James R. Munkres, Topology (2ed), Prentice Hall, 2000.
각 ∈  에 대하여    ≥ 이므로  은  에서
∙ Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3ed),
단조증가한다.     이므로
McGraw-Hill, 1976.

   
          
 ≤    
   

  
         
≤
   
 
    
  



∙ William R. Parzynski & Philip W. Zipse, Introduction to
Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1987.
∙ William R. Wade, An introduction to Analysis (4ed),
Pearson Prentice Hall, 2010.

∙ 앨리스, 맛있는 해석학 (3판 4쇄), 디자이너앨리스, 2010.
∙ 정동명, 조승제, 실해석학 개론(2판 6쇄), 경문사, 2009.
이다. 그런데       이므로    ≤  이다. 따라서
조임정리에 의하여  → ∞일 때   → 이다.
□
정리 20.8 두 함수 , 가  에서 해석적이고 ∈ 
라고 하자. 만약   에서   이면  의 적당한 근방
     에서도   이다.
증명 양수 가 존재하여 ∈     일 때
∞    
  






    
,









∞
 


이다. 가정에 의하여 , 는  에서 연속이고
   lim  lim   
→ 
→ 
이다. 마찬가지로 임의의 ∈ℕ에 대하여       이
다. 따라서 ∈     에 대하여   이다. □
정리 20.9 함수 가 열린구간  에서 해석적이고, 함수 가 열린
구간  에서 해석적이며   ,   ⊆  ∩ 라고 하자. 만약 임
의의 ∈ 에 대하여   이면 임의의 ∈ ∩ 에
대하여   이다. 이 명제를 해석적 확장이라고 부른다.
증명 일반성을 잃지 않고  ∩   ,   라고 가정하자.
  ∈   ∀∈     라고하면 ∈ 이
다.   sup 라고 하자. 만약   이면   이 존재하여
강의노트 ∙ ∙ ∙
37
∙ ∙ ∙ 기초 해석학
선형대수학 강의노트
Sooji Shin ∙ soojishin@live.com
이 노트는 해석학, 추상대수학, 미분기하, 공업수학 등 학부 수
벡터 v , v , ⋯, v  과 스칼라  ,  , ⋯,  에 대하여 결합
준 수학의 여러 분야를 공부하는 데에 필요한 선형대수학의 필
v  v ⋯ v 
수적인 내용을 제공합니다.
을 v , v , ⋯, v  의 일차결합(linear combination)이라고 부른다.
이러한 관점에서 보면 v , v , ⋯, v  에 의하여 생성된 공간은
1. 벡터공간
v , v , ⋯, v  의 일차결합에 의하여 표현되는 벡터들의 모임이
정의 1.1 체  와 공 아닌 집합  가 주어졌다고 하자. 또한
다.
∈F 와 u v∈ 에 대하여 두 함수
벡터공간 ℝ 의 세 원소
 u  ↦ u , u v ↦ u  v
가 주어졌다고 하자. 만약 집합  와 위의 두 연산이 다음 여덟
v   , v   , v    
개의 조건
를 생각하자. 이들은 두 벡터를 결합하여 다른 벡터를 만들 수
(1) ∀ u v w∈  u  v  w  u  v w
있다. 즉,
(2) ∃ ∈ ∀ u∈   u  u

v  v  v , v   v  v  , v  v  v

(3) ∀ u∈ ∃  u ∈  u   u   
(4) ∀ u v∈  u  v  v u
(1e)
이다. 따라서
(5) ∀ ∈ ∀ u v∈  u  v   u   v
(1a)
(6) ∀  ∈ ∀ u∈    u  u  u
(1b)
(7) ∀  ∈ ∀ u∈  u  u 
(1c)
(8) ∀ u∈  u  u
(1d)
span v v v   span v v   span v v 
 span v v 
이다. 즉 공간 span v v v 를 만드는 데에 v , v , v 중에
서 개만 필요하다. 이렇게 여러 개의 벡터가 있을 때, 몇 개를
를 모두 만족시키면  를 이들 두 연산과 함께 묶어 체  위에
일차결합하여 다른 벡터를 만들어낼 수 있을 때 이 벡터들을 일
서의 벡터공간(vector space)이라고 부른다. 또한  의 원소를 스
차종속(linearly dependent)이라고 부른다.
칼라(scalar), 벡터공간의 원소를 벡터(vector)라고 부른다.
벡터공간 ℝ 의 또 다른 세 원소
만약 체가   ℝ이면 주어진 벡터공간을 실벡터공간이라고 부
u     , u     , u     
르고, 체가   ℂ이면 주어진 벡터공간을 복소벡터공간이라고
을 생각하자. 이들 세 벡터는 각각 다른 두 벡터를 결합하여 만
부른다. 예컨대 ℝ 은 실벡터공간이고 ℂ 은 복소벡터공간이다.
들 수 없다. 만약 두 벡터를 결합하여 다른 벡터를 만들 수 있다
참고로 ∈F 와 u v∈  에 대하여
면
u    ⋯  , v    ⋯  
u   u   u   
일 때 스칼라 곱과 벡터 합을
이면서 모두 은 아닌 세 스칼라  ,  ,  이 존재해야 한다.
u    ⋯  ,
그러나 위 방정식을 풀어보면       이 된다. 한편
u  v       ⋯    
(1e)의 첫 번째 등식을 변형하면
으로 정의한다. 이러한 관점에서   은 체  위에서의 벡터공간
v  v  v  
이다.
을 만족시키지만 모두 은 아닌 세 스칼라  ,  ,  이 존재함
벡터공간  의 부분집합  가  와 동일한 연산에 대하여 벡터
을 알 수 있다. 이렇게 여러 개의 벡터가 있을 때, 몇 개를 벡터
공간이 될 때  를  의 부분공간(subspace)이라고 부른다.  가
를 결합하여 다른 벡터를 마들어낼 수 없을 때 이 벡터들을 일
 의 부분공간일 필요충분조건은 임의의  ∈F 와 u v∈
차독립(linearly independent)이라고 부른다. 일차종속과 일차독립의
에 대하여 u  v∈ 가 성립하는 것이다.
논리적 정의는 다음과 같다.
정의 1.2 만약 v v ⋯ v이 벡터공간  의 부분집합이면
정의 1.3 v v ⋯ v이 벡터공간  의 부분집합이라고 하
 

span v v ⋯ v  
 v  ∈
 

자. 만약

 v   ⇒    ⋯   
로 정의한다. 위 집합은  의 부분공간이 되는데, 이러한 부분공
 
 



간을 v v ⋯ v에 의하여 생성된 공간(spanned space)이라
이 성립하면 v v ⋯ v을 일차독립이라고 부른다. 그리고
고 부른다. 편의상 이 공간을 v , v , ⋯, v  에 의하여 생성된
일차독립이 아닌 벡터 집합을 일차종속이라고 부른다. 만약 v
공간이라고 부르기도 한다.
v ⋯ v이  를 생성하고 일차독립이면 이 집합을  의 기
저(basis)라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
38
∙ ∙ ∙ 선형대수학
벡터들의 모임 v v ⋯ v을 일차독립이라고 부르는 대신
벡터공간  의 기저가 무한집합인 경우 그것이 가산인지 또는
편의상 ‘벡터 v , v , ⋯, v 은 일차독립이다’라고 말하기도 한다.
비가산인지의 여부를 생각할 수 있다. 또 연속체가설의 적용 여
부에 따라서 무한차원을 ℵ , ℵ , ℵ , ⋯ 등으로 표기할 수도
벡터들의 모임 u  u  ⋯ u 이 일차종속이면
있다. 그러나 이 노트에서는 별다른 언급이 없는 한 벡터공간은
span  u  u  ⋯ u 
유한차원인 것으로 생각한다.
은 개 이하의 벡터들로는 생성될 수 없으며, 또한 보다 많은
개수의 일차독립인 벡터들로는 이 벡터공간보다 더 큰 공간을
정리 1.7   span u  u  ⋯ u  이라고 하자.
생성하게 될 것이라고 추측할 수 있다. 만약 이러한 추측이 맞는
(1) u  u  ⋯ u 의 적당한 부분집합이  의 기저가 된다.
다면 공간 span u  u  ⋯ u  의 차원을 이라고 정의할 수
(2) 만약 u  u  ⋯ u ⊆  가 일차독립이고  의 차원이 유
있게 된다. 이제 두 개의 정리를 통하여 이 사실을 확인하고 차
한이면 u  u  ⋯ u 의 적당한 초집합이  의 기저가 된
원을 정의하자.
다.
증명
1.4 만약 span u  u  ⋯ u  span v v ⋯ v  
정리
자. 그리고  의 원소의 개수를  로 나타내자.
이고 u  , u  , ⋯, u 이 일차독립이면  ≤ 이다.
  min  ∈
증명   span v v ⋯ v  이라고 하자. 그러면 모두 은
라고 하자. 그러면 최소원의 성질에 의하여 u  u  ⋯ u 의
아닌 스칼라  들이 존재하여
부분집합   v v ⋯ v 이 존재하여  를 생성한다. 여

u 
(1)    ⊆ u  u  ⋯ u  span    라고 하
 v
기서  은 주어진 조건을 만족시키는 최소원이므로 기저의 정의
 
 
에 의하여 는  의 기저가 된다.
를 만족시킨다. 일반성을 잃지 않고  ≠ 이라고 하자. 위 등식
(2) 만약 span u  u  ⋯ u     이면 증명이 끝난다. 만약
을 v 에 대하여 풀면 v∈span u  v ⋯ v  임을 알 수 있
span u  u  ⋯ u   ≠  라면 u   ∉ span u  u  ⋯ u  
다. 즉
인 u   가 존재한다. 이때 u  u  ⋯ u  u  은 일차독립
  span u  v v ⋯ v  
이다.  의 차원이 유한이므로 이와 같은 방법을 계속하여  의
이다. 따라서 스칼라  ,  , ⋯,  이 존재하여
기저를 얻을 수 있다.

u   u  

□
v 

참고로 임의 차원의 벡터공간이 기저를 가진다는 사실은 Zorn의
를 만족시킨다. u  , u  , ⋯, u 이 일차독립이므로  ≠ 인
보조정리를 이용하여 증명할 수 있다.
 ≥ 가 존재한다. 일반성을 잃지 않고 그러한 스칼라를  라고
하자. 그러면 앞의 논의와 마찬가지로
보조정리 1.8
v∈span u  u  c ⋯ v  
 가 순서집합이고  의 임의의 전순서 부분집합
이 상계를 가지면  는 최대원소를 가진다. 이 명제를 Zorn의 보
임을 알 수 있다. 즉
조정리라고 부른다.
  span u  u  v ⋯ v  
이다. 이제   이라고 하자. 그러면 이 과정을 계속하여
정리 1.9 영공간이 아닌 임의의 벡터공간  는 기저를 가진다.
  span u  u  ⋯ u    span u  u  ⋯ u  
증명  는 적어도 하나의 영 아닌 원소를 가진다. 영 아닌 원소
을 얻는다. 따라서 스칼라  ,  , ⋯,  이 존재하여
하나를 갖는 집합을  이라고 하자. 그리고  을 포함하는  의

u 
 u
 

부분집합들 중 일차독립인 것들의 집합을 라고 하자. 이 집합

에 집합의 포함관계로서 순서가 주어졌다고 하자. 그러면 의
를 만족시킨다. 이것은 u  , u  , ⋯, u 이 일차독립이라는 데
에 모순이다. 따라서  ≤ 이다.
임의의 전순서 부분집합은 최대원소를 가진다. 따라서 Zorn의
□
보조정리에 의하여 는 최대원소  를 가진다.  에 속하지 않
는 임의의 벡터 x에 대하여  ∪x는 일차종속이며  의 진초
따름정리 1.5 만약 u  , u  , ⋯, u 과 v , v , ⋯, v 이
집합(proper superset)이다. 따라서  의 원소  ,  , ⋯,  과 모
각각 벡터공간  의 기저이면   이다.
두 은 아닌 스칼라  ,  , ⋯,  이 존재하여
증명  ≤ 이고  ≤  이므로   이다.
     ⋯   
□
을 만족시킨다.  는 일차독립이므로  ≠ 이다. 따라서 는
이제 비로소 벡터공간의 차원을 정의할 수 있게 되었다.
 ,  , ⋯,  의 일차결합에 의하여 표현된다. 즉  는  를 생
성한다.
□
정의 1.6 벡터공간  의 기저가 유한집합이고 원소의 개수가 
이면  의 차원(dimension)은 이라고 한다.  의 차원을 기호로
참고 위 정리에서  의 차원은 무한일 수도 있다.
dim  로 나타낸다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
39
∙ ∙ ∙ 선형대수학
2. 선형변환
명확하게 언급하고 싶을 때에는  의 표현행렬을      로 표
직관적으로 두 벡터공간  ,  에 대하여 함수    →  가
기한다.    이고 두 공간에서 사용하는 기저가 로서 동일
선형사상이라는 것은  의 임의의 부분공간  에 대하여   
할 때에는  의 표현행렬을   로 표기한다.
가  의 부분공간이 되도록 함을 의미한다. 벡터공간에는 벡터
위 정의에서  의 표현행렬은 유일하게 결정된다. 따라서 표현행
합과 스칼라 곱에 의한 두 개의 구조가 주어져 있으므로,  이
렬을 이용하여 u   v를 표기하면 u    v 가 된다. 따라서
이러한 조건을 만족시키려면 스칼라 곱과 벡터 합을 보존해야
다음과 같은 선형대수학의 중요한 개념을 얻게 된다.
한다.
유한차원 벡터공간 사이의 선형변환의 성질을 연구하는 것은 곧
정의 2.1  와  가 벡터공간이라고 하자. 만약 임의의 스칼라
행렬의 성질을 연구하는 것으로 환원된다.
, 와 벡터 v, w에 대하여  v w   v   w 가
한편 표현행렬의 정의를 도식으로 표현하면 다음과 같다.
성립하면  을  로부터  에로의 선형변환(linear transformation)
span w w ⋯ w  
∥
span v v ⋯ v  
∥
이라고 부른다.



 로부터  에로의 선형변환들의 모임을 ℒ   로 표기한

다. 혼동할 염려가 없을 때에는 함숫값  v 를  v로 표기한다.

∘
선형변환의 대표적인 예로 행렬의 곱을 들 수 있다.    가

 ×  행렬이라고 하자. 이때 선형변환     →   을

  v 
 
여기서  와 는 각각 기저 v v ⋯ v 과 w w ⋯
 



w 을 대응시키는 사상이다.
를 성분으로 갖는 벡터 함수로 정의할 수 있다. 여기서 v는
벡터 b∈  에 대하여
 
v ⋮
  
  w   v   v
 


 




을 의미한다. 만약  가 차원 벡터공간이고 v v ⋯ v 
이다. w w ⋯ w 이  의 기저이므로 스칼라  들이 존
이  의 기저이면, 임의의
재하여

a
 e
 

 v

 v
 
로 정의된 선형사상   

(2a)

  w    w    w



를 만족시킨다. 따라서
에 대하여
a
 w

 i
가 성립한다.
→  를 얻을 수 있다. 여기서 e  는
 







 

w w ⋯ w 이 일차독립이므로 임의의
b∈  와 (2a)에서 정의된  들에 대하여

번째 행의 성분만 이고 나머지 행의 성분은 모두 인  의
     ,
표준기저원소

 

 
즉    임을 알 수 있다. (2a)를    ,    에 대

⋮
e  
⋮

하여
 v  v ⋯  v    w w ⋯ w  
 w w ⋯ w  
을 의미한다. 명백히 이와 같이 정의된 사상 는 일대일대응이
(2b)
로 표기하면 이 사실은 더욱 확실해진다.
며 선형이다.
보기 2.3 차수가  이하인 다항식들의 모임을  , 차수가  이
정의 2.2  이  로부터  에로의 선형변환이고 v v ⋯
하인 다항식들의 모임을  라고 하자. 이들 두 공간은 당연히
 이  의 기저이며 w w ⋯ w 이  의 기저라고 하
상수도 포함하는 것으로 생각한다. 미분연산자  에 대하여
자. 그리고 벡터 u 를 열인 행렬로 바꾼 것을 u  로 표기하자.
   라고 하면  은  로부터  에로의 선형변환이 된다. 여
이때 임의의 v∈ 에 대하여  v   v를 만족시키는  × 
기서  의 기저는    이고  의 기저는   
행렬    를  의 표현행렬이라고 부르며     로 표기
이다.
한다.
위의 보기 2.3에서 주어진 기저에 대한  의 표현행렬을 구해보
위 정의에서 벡터 u를 열인 행렬로 바꾼 u  를 u 의 표현행렬
자. (2b)를 이용하면
이라고 부른다. 만약 u 가 속해있는 벡터공간의 기저 를 명확
          
하게 언급하고 싶을 때에는 u 의 표현행렬을 u 로 표기한다.
이다. 따라서 다음을 얻는다.
비슷하게  ∈ℒ    이고  의 기저  와  의 기저 를
강의노트 ∙ ∙ ∙
40
∙ ∙ ∙ 선형대수학
기저가 v v ⋯ v 이라고 하자.    ,    라고
    
         .
    

하고, 사상  ∈ℒ    를
 v 
이제     ,     인 경우를 살펴보자. 이 두 벡터공간의
기저는 표준기저  가 주어졌다고 하자.  이   으로부터  
v  
 , 는 항등사상이 된다. 임의의 벡터를 그 벡터의 번째 좌
임을 보이자. 벡터   ⋯  에 대하여

 
(2c)
 
  v

 

라고 정의하자. 그러면 (2c)에 의하여
 e
  v        v

 

라고 하자. 그러면 다음을 얻는다.
   b   b 
    v

w 
   b   b


를 얻는다.
표를 대응시키는 사영함수를  라고 하자. 이제
b   ⋯   


라고 정의하자.     가      로 주어진 유사변환이면
에로의 선형변환이고     이라고 하자. 그러면 좌표변환사상

 v









이므로
  .
w  
 

 와  의 기저를 다른 것으로 선택할 때 이 상황이 어떻게 바
 w



이다. 따라서 정리의 결과를 얻는다.
□
뀌는지 살펴보자.


3. 내적공간

정의 3.1 벡터공간  와 함수    →  ∞가 주어졌다고


∘



하자. 만약 가 세 조건
(1)    ⇔   

(2) ∀ ∈ ∀ ∈    
(3) ∀  ∈     ≤   

∘
를 모두 만족시키면 를  위에서의 노름(norm)이라고 부른다.




노름이 주어진 벡터공간을 노름선형공간(normed linear space)이라

고 부른다.
위 다이어그램에서  와  는 각각 앞서 언급했던 좌표사상이다.
이 다이어그램에서
노름의 정의에서 (3)의 부등식을 삼각부등식이라고 부른다.



    
보통 벡터 의 노름의 함숫값을  대신  또는 로 표


임을 알 수 있다. 여기서 
  과   는 각각 일대일대응이고
기한다. 공간이  임을 명확하게 언급하고 싶을 때에는  또
선형사상이다. 두 벡터공간  ,  가 동일한 공간이고 동일한 기
는  로 표기하기도 한다. 노름을 절댓값과 비슷하게 나타내는
저를 사용하면 위 등식은
이유는 노름이 절댓값을 일반화한 개념이기 때문이다. 즉 절댓값



    
이 된다. 

은 노름의 한 예가 된다. 그러나 하나의 벡터공간에 하나의 노름

의 표준기저에 대하여   
   이라고 하면
만 정의될 수 있는 것은 아니다. 예컨대 ℝ 에서 서로 다른 두
   과       를 생각할
노름     
    


수 있다.
을 얻는다. 이때  은  과 유사하다고 말하며 사상
 ↦   
정의 3.2 벡터공간  와 함수    ×  →  ∞가 주어졌
를 유사변환(similarity transformation)이라고 부른다.
다고 하자. 가 세 조건
정리 2.4 벡터공간  가  ×  행렬들의 모임이라고 하자. 만
약   ∈ 에 대하여 가역행렬  가 존재하여   
 
(1) ∀  ∈     

 를
(2)     ⇔   
만족시키면  와  는 서로 유사행렬이라고 하고  ∼  로 표기
(3) ∀  ∈F ∀   ∈ 
한다. 이때 다음이 성립한다.
            
(1) ∼는  위에서의 동치관계이다.
를 만족시키면 를  위에서의 내적(inner product)이라고 부른
(2)  ∼  일 필요충분조건은 선형변환  ∈ℒ   가 존재
다. 내적이 주어진 공간을 내적공간이라고 부른다.
하여 기저 v 와 w 에 대하여,    v ,    w 인
것이다.
보통 벡터 , 의 내적을 ⋅ 또는 ⟨ ⟩로 표기한다. 공간
증명 관계 ∼가 동치관계임은 자명하다. 이제  ∼  일 필요충
이  임을 명확하게 언급하고 싶을 때에는 ⟨ ⟩ 로 표기하기
분조건을 증명하자.  가 차원 벡터공간이고  ∼  이며  의
도 한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
41
∙ ∙ ∙ 선형대수학
모든 내적공간은 노름공간이 될 수 있다. 왜냐하면
⟨ ⟩
  
⟨ ⟩
내적공간  에서 정의된 노름   
따름정리 3.7
에 대하여
는 내적이 되기 때문이다.
          
내적의 정의의 (2)와 (3)에 의하여 임의의  ∈ 와  ∈
이 성립한다. 이 등식을 평행사변형 법칙이라고 부른다.
에 대하여
증명 두 등식
⟨   ⟩ 
⟨ ⟩ 
⟨ ⟩
      Re⟨ ⟩  ,
가 성립함을 알 수 있다.
      Re⟨ ⟩ 
을 변변 더하면 결과를 얻는다.
정의
□
3.3 임의의 Cauchy 수열이 수렴하는 공간을 완비공간
(complete space)이라고 부른다. 완비인 내적공간을 Hilbert 공간
정의 3.8  가 내적공간이고     ⋯ 이  의 기
이라고 부른다.
저라고 하자. 만약 임의의  , ∈에 대하여  ≠ 일 때마다
⟨ ⟩ 이 성립하면 를  의 직교기저(orthogonal basis)라
보기 3.4   ℂ 위에 내적을 x  , y  에 대하여


⟨x y⟩
고 부른다. 만약 가  의 직교기저이고 의 임의의 원소의 노
 

름이 이면, 즉

 i f   
⟨ ⟩    i f  ≠ 
로 정의하면  는 Hilbert 복소공간이 된다. 만약   ℝ 이면
가 성립하면 를  의 정규직교기저(orthonormal basis)라고 부른다.
위의 내적은

⟨x y⟩

     

 

 
참고로  의 부분집합     ⋯ 이  를 생성하고
이 된다. 이때  는 Hilbert 실공간이 된다.
조건
 i f   
⟨ ⟩    i f  ≠ 
정리 3.5 내적공간  의 임의의 두 점 , 에 대하여
를 만족시키면 는 저절로 일차독립이 된다. 왜냐하면
⟨ ⟩ ≤  

가 성립한다. 여기서   ⟨
 ⟩이다. 이 명제를 Cauchy-

   

Schwartz 부등식이라고 부른다.


이라고 가정하면
증명
∈ℂ,   , 
⟨ ⟩ ⟨ ⟩  Re⟨ ⟩라고


하자. 그리고


⟨ ⟩

  ⟨     ⟩
   

 

가 성립하기 때문이다.
라고 정의하자. 만약   이면 증명이 끝난다. 따라서  ≠ 이
라고 하자. 그러면 내적의 정의에 의하여 임의의 에 대하여
정리 3.9
     Re⟨ ⟩  ≥ 
 가 차원 내적공간이라고 하자. 그러면  의 정
규직교기저가 존재한다.
이다. 따라서
증명
  ⟨ ⟩   ≥ 
  ⋯ 이  의 기저라고 하자. 먼저

  

을 얻는다. 이 부등식은 임의의 실수 에 대하여 성립하므로, 
에 관한 이차식의 성질에 의하여
이라고 하자. 그리고 적당한   에 대하여  ,  , ⋯,  가
⟨ ⟩    ≤ 
을 얻는다. 이 식을 변형하면 정리의 부등식을 얻는다.
     를 만족시키도록 선택되었다고 하자. 이제
□

⟨
  ⟩

   

   ⟨  ⟩
  
⟨ ⟩ 으로 정의된 노름 가 노름의 조건을
이제   

모두 만족시킴을 보이자.



라고 하자. 그러면  ≤ 일 때
정리 3.6 내적공간에서   
⟨ ⟩ 로 정의된 함수  는

⟨


⟨  ⟩  ⟨  ⟩ ⟨  ⟩⟨ ⟩
노름이다.
증명  가 노름의 정의에서 (1)과 (2)를 만족시킴은 자명하다.

또한
  ⟩


⟨


⟩
  
   ⟨     ⟩     Re⟨ ⟩
  ⟨  ⟩⟨  ⟩  
≤     ⟨ ⟩≤      
이므로   ≤  ≤ 는 정규직교기저가 된다. 이와 같은 방
    
법으로, 임의로 주어진 기저로부터 정규직교기저를 구성하는 방
이므로  는 삼각부등식을 만족시킨다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
법을 Gramm-Schmidt 직교화 과정이라고 부른다.
□
42
□
∙ ∙ ∙ 선형대수학
정리 3.10  가 내적공간이고   ≤  ≤ 이  의 정규직


교기저라고 하자. 그러면 임의의 ∈ 에 대하여

⟨  ⟩




⟨  ⟩
⟨ ⟩ 

⟨ ⟩ 
가 성립한다. 이 급수를 기저 에 대한 의 정규직교전개라


   

 ⟨ ⟩


고 부른다.
증명

라고 하자. 그러면 보조정리에 의하여


  



가 정규직교기저이므로
를 얻는다. 다음으로 의 유일성을 보이자.   ,   가 주어진 조

⟨  ⟩⟨   ⟩ ⟨  ⟩




    

건을 만족시키는 벡터라고 하자. 그러면 임의의 ∈ 에 대하여
      ⟨     ⟩
이다.
이므로      를 얻는다.


⟨  ⟩


□

라고 하자. 그러면 임의의 에 대하여 ⟨   ⟩ 을 얻는
따름정리 3.13
다. 따라서 임의의 스칼라  ,  , ⋯,  에 대하여
ℒ   라고 하자. 그러면  ∈ℒ   가 존재하여 임의
⟨
의 ∈ 와 ∈ 에 대하여
  ⟩ 

  


 와  가 유한차원 내적공간이고 ∈

⟨ ⟩  ⟨  ⟩
이므로, 임의의 ∈ 에 대하여 ⟨   ⟩ 이 성립한다. 이
등식은     일 때에도 성립한다. 따라서   이고 정리의
를 만족시킨다.
결과를 얻는다.
증명 ∈ℒ  를
□
  ⟨ ⟩
보기 3.11 닫힌구간  에서 Riemann 적분 가능한 함수들의
로 정의하자. 그러면 Riesz의 표현정리에 의하여  ∈ 가
모임을 ℜ 로 표기하자. 이때 ℜ 는 무한차원 벡터공
존재하여
간이 된다. 특히 임의의  ∈ℜ 에 대하여

⟨ ⟩ 

⟨ ⟩  ⟨  ⟩

 

 
를 만족시킨다. 이제   이 선형임을 보이자. , 가 스칼라라고

하자. 그러면 임의의 ∈ 에 대하여
라고 하면 ⟨ ⟩는 ℜ  ℜ  위에서의 내적이 된다. 즉
⟨     ⟩  ⟨ ⟩ ⟨ ⟩,
ℜ 는 내적공간이다. 자연수 에 대하여

cos
sin
    ,       ,    






⟨   ⟩ ⟨   ⟩ ⟨       ⟩




가 성립한다.   의 유일성에 의하여
라고 하면      ⋯는 ℜ 의 정규직교기저가
된다. 참고로 무한차원 벡터공간의 정규직교기저에 대하여 공간
            
에 속하는 임의의 벡터가 직교전개 가능하면 이 기저를 완비라
가 성립한다. 따라서   는 선형이다.
고 부른다. Fourier 급수의 이론에 의하면 는 ℜ의 완비인 정
□
규직교기저가 된다. 즉  에서 리만 적분 가능한 임의의 함
위 정리에서 ⟨ ⟩  ⟨  ⟩ 를 만족시키는 선형사상
수 에 대하여
∞


  를  의 수반사상(adjoint)이라고 부른다. 또한    →  이

고     일 때  를 자기수반(self adjoint)사상이라고 부른다.

⟨  ⟩  
 
 


 ∞

 


  coscos  sinsin

정리 3.14  가   의 부분공간이고 차원이라고 하자. 그러면
가 된다. 이에 관련된 자세한 내용은 함수해석학에서 다룬다. □
∈ℒ     이 존재하여  ⊆   이고 임의의 x에 대하여
 x ≤ x 를 만족시킨다. 또한
다음 정리는 내적공간의 성질 중에서 매우 중요한 정리이다.
       
정리 3.12  가 유한차원 내적공간이고 ∈ℒ   라고 하
가 성립한다.
자. 그러면 ∈ 가 유일하게 존재하여 임의의 ∈ 에 대하여
증명 보조정리에 의하여  의 정규직교기저 v   ≤  ≤ 가
 ⟨ ⟩를 만족시킨다. 이 명제를 Riesz 표현 정리라고
존재한다. 이 기저를 확장하여   의 기저
부른다.
v v ⋯ v  v   ⋯ v 
증명 먼저 의 존재성을 보이자. 보조정리에 의하여  의 정규
을 얻을 수 있다. 이제 ∈ℒ      을  v  e  로 정의
    이 존재한다.
직교기저 
강의노트 ∙ ∙ ∙

하고,  의 선형성을 이용하여 확장하자.
43
∙ ∙ ∙ 선형대수학

먼저  이 유한값이고, ∈ 가 존재하여


  v  가  의 임의의 원소이면


  v    e       v 




  , ⟨ ⟩ 



 
 
 
 
 

 
 
을 만족시킴을 보이자.    이  의 정규직교기저이고,
이 성립한다. 이제         임을 보이자. x y∈  라고
    ⋯  ∈
하자. 그러면
라고 하자. 그러면
⟨ x  y x  y⟩⟨x  y x  y⟩


이다. 따라서

 





 x   y  Re⟨ x  y⟩ x  y  Re⟨x y⟩
이다. 정규직교기저의 성질에 의하여
이고,  가 노름을 보존하므로 임의의 x y∈  에 대하여

 
Re⟨ x  y⟩ Re⟨x  y⟩ Re⟨x y⟩



이다. 따라서

⟨     ⟩  ⟨   ⟩

 y  y이고, 따라서     이다. 또한
⟨ ⟩
         
이고  는 일대일대응이므로     이다.
 

가 성립한다. 이 등식은 임의의 x에 대하여 성립하므로









 



는   ⋯  의 연속함수가 된다. 연속함수의 성질에 의
□
하여 위 함수는   의 긴밀부분집합
위 정리에서와 같은 자기수반 사상은 여러 분야에 응용된다. 특

히 위와 같은 자기수반 사상의 고윳값과 고유벡터는 쉽게 구할
   

  ⋯  ∈ 



수 있다. ∈ℒ   에 대하여 고윳값과 고유벡터를 다음과
에서 최솟값을 가진다. 그러면 ⟨ ⟩가 최솟값을 갖는 점
같이 정의한다.
  ⋯  에서

정의
 
3.15 ∈ℒ   이고 가 이 아닌 벡터라고 하자.
만약 스칼라 가 존재하여   를 만족시키면 를  의 고
 

 
이다. 따라서 ⟨ ⟩  이 성립한다. 다음으로   ⊥
유벡터(eigenvector)이라고 하고, 를 에 따른 고윳값(eigen-
이고
vector)이라고 부른다.
  in f⟨ ⟩   ∈
고윳값과 관련하여 기억해야할 중요한 점은 고윳값은 절대로 
라고 하자. 같은 방법으로 ∈ 가 존재하여 ⟨ ⟩ 
이 아니라는 점이다. 다음 정리는 자기수반 작용소의 고유벡터와
를 만족시킨다. 이와 같은 방법을 계속하여 증가하는 유한수열
고윳값에 관한 정리이다. 이 정리의 증명은 Hilbert 공간에서 긴
   과 정규직교벡터  ,  , ⋯, 을 얻는다.
밀 자기수반 작용소의 경우에까지 확장될 수 있다. 또한 이 정리
이제 들이 고유벡터이고 들이 고윳값임을 보이자. 이들 벡
의 증명은 대수학의 기본정리를 사용하지 않는 단순한 방법이며,
터들 중에서 첫 번째 것을 생각하자. ∈   라고 하면
고윳값을 찾는 방법을 제공한다. 먼저 다음과 같은 몇 가지 정의
⟨       ⟩
  
  

⟨ ⟩  Re⟨ ⟩  ⟨ ⟩

  Re⟨ ⟩ 
를 한다.
정의 3.16  가 내적공간이고  ⊆  라고 하자. 이때  의 직
교공간을
로 정의된 실함수 는   에서 최솟값을 가진다. 따라서
 ⊥  ∈ ⟨ ⟩  for all ∈
′   이다. 이 등식을 구체적으로 써보면
로 정의한다.
Re⟨ ⟩ Re⟨ ⟩⟨ ⟩
참고로  가  의 부분공간이 아닐지라도  ⊥ 는  의 부분공간이
 Re⟨ ⟩ Re⟨ ⟩ 
된다.
을 얻는다. 따라서 임의의 ∈ 에 대하여
Re⟨      
정리 3.17 ∈ℒ    가 자기수반 작용소라고 하자. 그러면
이다. 이것은    을 함의한다. 이것을 증명하기 위해
 의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저    이 존재한다.
∈ 이고 가   인 복소수이며
증명  가 자기수반이므로 임의의 에 대하여

⟨
 ⟩⟨ ⟩ ⟨  ⟩⟨ ⟩
⟨   ⟩  ⟨   ⟩
라고 하자. 그러면
이고, 따라서 ⟨ ⟩의 값은 항상 실수이다. 이제
⟨   ⟩  Re⟨   ⟩ 
  in f⟨ ⟩    ∈  
이다. 위 등식은 임의의 에 대하여 성립하므로    을
라고 정의하자.
강의노트 ∙ ∙ ∙
얻는다.
44
∙ ∙ ∙ 선형대수학
이제    인 임의의 에 대하여    라고 하자. 그리
만약  x   x 이면  x  x   이고
고    →  을 생각하자. 만약 ∈ 이고    이면
  ⟨   x  x  x  x⟩  x  x 
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ 
이므로  는 잘 정의된 함수이다. 또한
이므로 ∈  ⋯   ⊥ ≡  을 얻는다. 따라서 위와
 x   x ⟨ x  x⟩ ⟨   x x⟩
같은 논법으로 ∈ , 즉
⟨   ⟩ 
 ⟨  x x⟩⟨ x  x⟩  x
(3a)
이므로  x   x 이다. x x ⋯ x 가
을 얻는다. 임의의 ∈ 에 대하여

⟨  ⟩  ⟨  ⟩ ≡   

  
 ℝ ⊥  x∈ℝ  ⟨x z⟩  for all z∈ ℝ 








⊥
의 정규직교기저이고 y y ⋯ y 가  ℝ ⊥ 의 정규직교기

이고 괄호 안의 항은   ⋯   ⊥ ≡  에 속하며, 다른
저라고 하자. 만약  z      이  ℝ  의 정규직교기저이면
항은 span  ,  , ⋯,    에 속한다. 따라서 (3a)에 의하여
⟨ z   z ⟩ ⟨ z  z ⟩ ⟨  z  z ⟩ ⟨ z   z ⟩

⟨   ⟩ ⟨    ⊥   ⟩
 ⟨    ⟩ 

이므로  z     는  ℝ  에 속하는 정규직교기저이다. 따
라서  ≥ 이고,
을 얻는다. 왜냐하면
     ≥     dim  ℝ  ≥   
⊥
   →  ≡   ⋯   
이다. 이제 ∈ℒℝ ℝ  을     ⋯ 에 대하여
이고  ∈ span  ,  , ⋯,    이기 때문이다. 따라서 임의
의  에 대하여    이다.
 x   y
□
로 정의하자. 그러면


  x   v   y   v      v


참고     를 만족시키는 선형 작용소  를 정규(normal)

 


 

라고 부른다.




 

   v 
 
이제 기하 측도론과 연속체 메커니즘 이론에서 중요한 역할을









 x    v
 
이고  z  z이다. 즉 임의의 x y에 대하여
하는 다음 정리를 소개하고자 한다.
x  y  ⟨x y⟩ x  y   x  y
 x  y  ⟨ x  y⟩
정리 3.18 ∈ℒℝ ℝ  이고  ≥ 이라고 하자. 그러면
이 성립한다. 따라서 임의의 x y에 대하여
∈ℒℝ ℝ  과 ∈ℒℝ ℝ  이 존재하여
⟨x y⟩ ⟨   x y⟩
   ,    
이고     가 성립한다.
를 만족시키고  의 모든 고윳값이 음이 아니며
□
     ,     
를 만족시키고  x  x를 만족시킨다. 이 명제를 극분해(polar
4. 행렬식과 역행렬
decomposition)라고 부른다.
이 장에서는 행렬식과 역행렬에 관한 중요한 성질들을 살펴본다.
증명        이므로 고유벡터들로 이루어진 정규직교기
행렬식과 역행렬에 관한 성질을 다루는 방법은 여러 가지가 있
저 v v ⋯ v 이 존재하여    v    v  를 만족시킨다.
으나 여기서는 여러 가지 결과를 가장 빠르게 유도하는 방법으



로 접근할 것이다.
또한
⟨v  v ⟩ ⟨   v  v ⟩ ⟨ v   v ⟩≥ 
이므로
u v∈ℝ 에
이제
 ≥ 이다.
대하여
정의 4.1    ⋯  이 개의 정수의 순서쌍이라고 하자.
텐서곱
이때
u⊗v∈ℒℝ ℝ  을
  ⋯   
u⊗vw ⟨w v⟩u
    



로 정의한다. 그러면   와  를 기저 v v ⋯ v 으로 표
로 정의한다. 즉  가  보다 뒤에 오는 경우의    들의
현함으로써
곱으로 정의한다. 또한
  i f   ⋯    

sgn  ⋯      i f   ⋯    

  i f   ⋯    

  
 v ⊗v
 
 i

가 성립함을 알 수 있다. 따라서       ,     이고  의
으로 정의한다. 위의 순서쌍의 모든 성분이 서로 다르고


고윳값 
 ,  , ⋯,  가 모두 음이 아님을 알 수 있다.
  ⋯    ⋯ 인 경우 위 값을 치환
이제  를  ℝ  위에서
  ⋯⋯  
 x   x

로 정의하자.
강의노트 ∙ ∙ ∙


의 부호(sign)라고 부른다.
45
∙ ∙ ∙ 선형대수학
정리 4.2  ⋯  ⋯  ⋯  이 정수의 순서쌍이라고
따름정리 4.6
하자. 그러면
의 행렬식은
 ⋯  ⋯  ⋯  
   가  ×  행렬이라고 하자. 그러면 

det    
  ⋯   ⋯  

  ⋯  ⋯  ⋯  

sgn ⋯  sgn ⋯   ⋯  
이고
sgn ⋯  ⋯  ⋯  
으로 계산된다.    로 정의된  의 전치행렬     의
 sgn ⋯  ⋯  ⋯  
행렬식은  의 행렬식과 동일하다. 즉 det     det   이다.
이다.
증명 정리 4.5에 의해 서로 다른  들에 대하여
    인 경우에는 정의에 의하여 명백히 성립한다.
증명
det   
     이라고 하고  에 대한 수학적 귀납법을 이용하면 정
리의 결과를 얻는다.

 ⋯  
□
sgn ⋯  sgn ⋯   ⋯  
을 얻는다.  들이 모두 다른 모든   ⋯  에 대하여 위
따름정리 4.3 순서쌍   ⋯ 의 성분을 한 쌍씩 번 자
등식을 변변 더하면
리 바꾼 순서쌍을  ,  , ⋯,  이라고 하면
det   
   sgn  ⋯  


  ⋯    ⋯  
sgn ⋯  sgn ⋯   ⋯  
이 성립한다.
증명 에 대한 수학적 귀납법을 이용한다.
을 얻는다.
□
따름정리 4.7 행렬  의 두 행을 서로 바꾸거나 두 열을 서로
정의 4.4    가  ×  행렬이라고 하자. 이때  의 행렬
바꾼 행렬을  라고 하면 det   det  이다. 행렬  의 두
식(determinant)을

det   
□
행이 서로 같거나 두 열이 서로 같으면  의 행렬식은
sgn  ⋯   ⋯ 
det   이다.
  ⋯  
으로 정의한다. 여기서   ⋯  은 각 성분이 부터 
증명  의 두 열을 서로 바꾼 경우는 따름정리 4.3과 정리 4.5
까지의 자연수로 이루어진 순서쌍이다.
에 의하여 결과를 얻는다.  의 두 행을 서로 바꾼 행렬을  라
고 하면   는   의 두 열을 서로 바꾼 것이므로
   가  ×  행렬이고   ⋯  이 부터 까지의
det   det   det    det 
자연수를 성분으로 갖는 순서쌍이라고 하자.  의 번째 열 
가 성립한다. 이제  의 두 행이 서로 같거나 또는  의 두 열이
를 번째 성분으로 갖는 순서쌍을
서로 같다고 하자. 그러면 서로 같은 두 행을 서로 바꾸어도 또
   ⋯  
는 서로 같은 두 열을 서로 바꾸어도 그 행렬은  와 동일하므
로 앞의 논의에 의하여
으로 표기하자. 그러면 이 순서쌍의 행렬식은
det    det  
det   ⋯  


즉 det   이다.
sgn  ⋯   ⋯ 
□
  ⋯  
이고    ⋯    이다.
정의 4.8    가  ×  행렬이고    가  ×  행
렬일 때, 두 행렬  ,  의 곱    를
정리 4.5    가  ×  행렬이고   ⋯  이 부

 
터 까지의 자연수를 성분으로 갖는 순서쌍이라고 하자. 그러면
다음이 성립한다.
 

 
의 성분을 갖는 행렬로 정의한다.
sgn  ⋯  det 


행렬식의 중요한 성질 중 하나는 두 행렬의 곱의 행렬식은 각
sgn  ⋯   ⋯  
  ⋯  
행렬식의 곱과 동일하다는 것이다.
 det   ⋯  
정리 4.9  가  ×  행렬이고  가  ×  행렬일 때
증명 보조정리와 따름정리, 행렬식의 정의를 이용하여 계산하면
결과를 얻는다.
det   det  det 
□
가 성립한다.
증명 행렬의 곱의 정의와 행렬식의 성질을 이용하여 계산하면
결과를 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
46
□
∙ ∙ ∙ 선형대수학
행렬식 이론에서, 행과 열에 관한 Laplace 전개를 가장 중요한
증명의 시작부분에서 계산했던 det   의 등식과 위 식을 결합
아이디어로 꼽을 수 있다.
하면

정의 4.10    가  × 
 
 sgn  ⋯ 
 
det   
행렬이라고 하자. 이 행렬의 


번째 열과 번째 행을 제거한    ×    행렬식에
   를 곱한 값을  라고 하자. 이때 행렬  를  의 여

 ⋯    

    ⋯       

인자행렬이라고 부르고 cof     로 나타낸다.

 cof 



를 얻는다. 다음으로  의 전치행렬      에 대하여
다음 정리는 여인자행렬과 행렬식의 관계를 설명한다.
det    det  



 






 cof    cof 
det  


정리 4.11  가  ×  행렬이라고 하자. 그러면


 cof 

 cof    cof 






 

이므로 정리의 두 번째 결과를 얻는다.
□
가 성립한다. 두 번째 식은 번째 행을 임의로 하나 선택하여 그
성분을 따라 더한 것이며, 세 번째 식은 번째 열을 임의로 하
정의 4.12  ×  단위행렬    를
나 선택하여 그 성분을 따라 더한 것이다.
 
증명 정의를 이용하여 계산하면 등식을 얻는다.
인 성분을 갖는 행렬로 정의한다. 혼동할 염려가 없을 때에는 

det  
을 그냥  로 표기한다.  ×  행렬  에 대하여     
 ⋯  
를 만족시키는 행렬  가 존재할 때,  를  의 역행렬(inverse
sgn ⋯  ⋯   ⋯  ⋯   



 ii ff  ≠ 

matrix)이라고 부르며 
sgn ⋯  ⋯  

  로 표기한다. 즉
        
    ⋯   ⋯  
이다.

 ⋯           


 

 
 
정리 4.13  가  ×  행렬이라고 하자. 이때  의 역행렬이
sgn  ⋯     
존재할 필요충분조건은
 ⋯  ⋯  

⋯   ⋯            .
det  ≠ 이면 


 
 는,
모든 성분이 서로 다르다고 하자.   ⋯     을 다음과 같이

  det   det det   


 
의 순서쌍은 모든 항이    이하의 자연수로 이루어진 성분마
이다. 이제  ≠ 일 때

다 다른 순서쌍   ⋯     에 대응된다.  를
  det 
 


if   
  i f    ≥   
개하면
  det   det    
에서 보다 작은 들은   개 존재한다. 따라서
sgn ⋯      ⋯    

  det 
 



이다. 즉

 sgn  ⋯      ⋯  
  det   
 
이다. 그런데 sgn 의 정의에 의하면




이다. 비슷한 방법으로
sgn ⋯      ⋯    sgn  ⋯     

  det   
이다. 따라서 다음을 얻는다.

sgn  ⋯      ⋯  
 sgn  ⋯ 





를 얻는다. 따라서 det  ≠ 일 때  의 역행렬이 존재하며,
      일 때    det   를 얻는다. 역으로   
⋯          
이 존재한다고 가정하자. 그러면
    ⋯      
  det   det     det  det  
이므로 det   ≠ 이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙


인 행렬   를 구성한다. 그러나 이 행렬을 번째 열을 따라 전
  ⋯      ⋯  
 ⋯   

의 값을 생각하자. 번째 행과 번째 행을 교환하여 행렬식이 
라고 정의하자. 그러면  는    ×    행렬이 된다.
   


면      로 정의한다. 이로써  ⋯  ⋯  인 임의

 의  여인자  에 대하여
증명     이고 det  ≠ 이라고 하면
정의하자; 만약   이면     로 정의한다. 만약   이
 ⋯  ⋯  
또한 만약



  det     로 정의된 값을 성분으로 갖는 행렬이다.
일반성을 잃지 않고 위 식에서 순서쌍  ⋯  ⋯  의
 
det   ≠ 인 것이다.
47
□
∙ ∙ ∙ 선형대수학
행렬식의 정의에 의하여, 위와 같은 식들의 합은
위 정리에 의하면  의 역행렬을 찾을 때에는  의 여인자행렬
    
∗∗∗∗∗
    
∗∗∗∗∗
    
의 전치행렬을  의 행렬식으로 나누면 된다는 것을 알 수 있다.
x에 대한 연립방정식
x  y
를 풀 때, 만약 

이 존재하면
와 같은 행렬의 행렬식이다. 여기서 별 표시된 부분은  의 본래
x     x     x    y
행들이다. 기본행연산을 이용하면 성분이 인 부분의 위와 아래

로 계산할 수 있다.     
  라고 하면

 



  

가 모두 이 되도록 변형하여 동일한 행렬식의 값을 갖는 행렬


cof  

det


 

    
 ∗  ∗ 
    
 ∗  ∗ 
    
를 얻는다. 위 식을 풀어서 쓰면
∗ ⋯  ⋯ ∗


  det ⋮
⋮
⋮
det  
∗ ⋯  ⋯ ∗
을 얻는다.
여기서 (5a)의 합은
 ⋯ 의 부분집합
  ⋯  에 의한 위 행렬의 주소행렬식의 값이 된다. 그러
이 된다. 위 식에서 마지막 행렬은  의 번째 열벡터를
한 부분집합은 C  개가 있으며, 이러한 각 부분집합에 대하여
 ⋯    로 바꾼 것이다. 연립방정식의 이러한 해 공식을
이러한 방법으로 얻어지는 주소행렬식과 동일한 항이 존재하므
Cramer의 공식이라고 부른다.
로, 그러한 항들의 합은  의 항의 계수와 동일하게 된다. 따라
서  의 계수는         가 된다. 즉
정의 4.14 행렬    에 대하여,   일 때마다   이

면  를 위삼각행렬(upper triangular)이라고 부른다. 행렬  에 대
  
하여   가 위삼각행렬이면  을 아래삼각행렬(lower triangular)이
   

 
 
    
                ⋯
라고 부른다.
        
삼각행렬의 정의에 의하여 다음을 얻는다.
정리
이다.
4.15  가 위삼각행렬이거나 또는 아래삼각행렬이면
정의 5.3    의 해를  의 고윳값(eigenvalue)이라고 부른다.
det  는  의 대각성분을 모두 곱한 값과 같다.
우리는,  들이    의 해일 때,
5. 특성다항식

  
정의 5.1  가  ×  행렬이라고 하자. 이때  의 특성다항식
    


임을 알고 있다. 따라서 위 다항식을 풀어쓰면
(characteristic polynomial)을    det   로 정의한다.
      ⋯  
정의 5.2  가  ×  행렬이라고 하자.  의 동일한 위치의 행
을 얻는다. 여기서   ⋯  는  ⋯ 의 개 원소
과 열을 제거한  × 행렬을  의  ×  주부분행렬(principal
를 택하는 모든 경우에 대하여 그 원소들의 곱의 합으로 정의되
submatrix)이라고 부른다. 또한 주부분행렬의 행렬식을 주소행렬
는데, 이 다항식    ⋯  을  , ⋯,  의 번째 기본대
식(principal minor)이라고 부른다.  의  ×  주소행렬식을 더한
칭함수(elementary symmetric function)라고 부른다. 따라서
       ⋯         ⋯     ⋯
값을    로 표기한다.
±    ⋯  
참고  ×  행렬  의  ×  주부분행렬의 개수는 C  이다.
이다.
 의 특성다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
보조정리 5.4 충분히 큰 모든 와  ×  행렬  들에 대하여
  
 sgn   ⋯  

 ⋯  
   ⋯   

 ⋯    ⋯     







이면, 모든 에 대하여   이다.
   
증명   을 곱하면
 이 곱해진 항들을 생각해 보자. 그러한 항들은
    
 sgn   ⋯  
 ⋯  

 ⋯    ⋯     





      ⋯        
(5a)



을 얻는다.  → ∞인 극한을 취하면   을 얻는다. 여기에
를 곱하면
   
이다. 여기서   ⋯     ⋯      ⋯ 이다.
       ⋯     
을 얻는다. 다시  → ∞인 극한을 취하면     을 얻는다.
이것을 반복하면 임의의 에 대하여   을 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
48
□
∙ ∙ ∙ 선형대수학
 의 마지막 행의 원소를 따라 전개하여 det  를 나타내면 
보조정리 5.5 충분히 큰 모든 와  ×  행렬  ,   에 대하여

의 여인자  에 대하여

   ⋯        ⋯  
 
증명 모두 좌변으로 이항하고 보조정리를 이용하면 결과를 얻
는다.


이 성립하면, 임의의 에 대하여     이다.


det 

 
를 얻는다. 여기서   는 에 독립적이다. 따라서 위 합은
□

 
정리 5.6  가  ×  행렬이고   det    가 특성다
 
 
 
의 꼴이다. 즉 번째 행벡터는  의 처음 개 행벡터의 일차결
항식이라고 하자. 그러면    이다. 이 명제를 Cayley-
합으로 나타난다. 즉  의 처음 개 행벡터는 일차독립이며 행
Hamilton 정리라고 부른다.
공간을 생성하므로, 행공간의 차원은 이다. 즉  의 행차수는 
증명 충분히 큰  에 대하여,   가     의 여인자 행렬
이다. 또한  의 행차수,   의 열차수,   의 행렬식차수,  의
의 전치행렬과 동일하다고 하자.  의 고윳값의 개수는 유한이므
행렬식차수,  의 열차수가 모두 동일하므로 정리의 결과를 얻는
로 를 충분히 크게 설정하여 이들 모든 고윳값들보다 커지도
다.
록 할 수 있다. 즉      이 존재한다. 따라서
□
       
로 쓸 수 있다.   의 각 성분은 차수가    이하인 에 대
참고문헌
한 다항식이다. 따라서 이들 항을 모으면 적당한  ×  행렬  
∙ Serge Lang, Linear Algebra (3ed), Springer 1989.
들에 대하여
∙ Howard Anton, Elementary Linear Algebra (8ed), Wiley,
      ⋯     
2000.
로 쓸 수 있다. 이로써 충분히 큰 모든  에 대하여
 
        ⋯   
∙ Kenneth Kuttler, Basic Analysis, Rinton Press, 2001.
  
를 얻는다. 보조정리에 의하여 위 식의 양변은 동일한 차수의 
에 대하여 그 계수가 서로 동일하다.    를 대입하면
          ⋯              
이므로 정리의 결과를 얻는다.
□
정의 5.7  가  ×  행렬이라고 하자. 이때  의 행벡터가 생
성하는 공간의 차원을  의 행차수(row rank),  의 열벡터가 생
성하는 공간의 차원을  의 열차수(column rank)라고 부른다. 
의 행렬식차수(determinant rank)란, 행렬식이 이 아닌  의 부분
정방행렬 중 가장 열의 개수가 많은 것의 열의 개수이다.
정리 5.8  ×  행렬  의 행차수, 열차수, 행렬식차수는 동일
하다.
증명
   의 행렬식차수가 이라고 하자. 두 행 또는 두
열이 서로 교환되어도 행차수와 열차수는 변하지 않는다. 따라서
일반성을 잃지 않고  의 왼쪽 위에 행렬식이 이 아닌 가장 큰
부분정방행렬,  ×  행렬이 존재한다고 하자.
  ⋯
⋮
 
 ⋯
  ⋯
 
⋮ ⋮
 
  
이라고 하고,  의 왼쪽 위에 행렬식이 이 아닌 가장 큰 부분
정방  ×  행렬을  로 표기하자.
만약   이면  의 행렬식차수가 이므로  의 행렬식은 이
다. 만약   이면  의 행 중에서 동일한 두 행이 존재하므로
 의 행렬식은 이다. 즉 두 가지 경우 모두 det   이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
49
∙ ∙ ∙ 선형대수학
Fourier 급수 강의노트
Sooji Shin ∙ soojishin@live.com
   이므로
가 실함수인 경우에는 
이 노트는 기초 해석학과 복소해석학의 내용에 이어지는 것으로서
Fourier 급수에 관한 학부 수준의 내용을 담고 있습니다.


   
1. Fourier 급수의 개념
∞






이다.  ≡    라고 하면
다음과 같은 급수
  ∞

    Re  

  





≔ lim
 → ∞  



 



   
할 수도 있고 발산할 수도 있다. 만약 함수가 위와 같은 급수로
정의된다면, 그러한 함수는 당연히 주기가 인 함수가 된다.




     cos   sin

  

지만, 주기가  인 임의의 함수 에 대하여
 

라고 정의된 함수 는 주기가 인 함수가 되므로, 주기가 

  

정의 1.1 주기가 이고   에서 적분 가능한 실함수 



 sin 



 cos,     sin 



이고
에 대하여 의 Fourier 급수를



    
∞
(1a)


임을 알 수 있다.    ,    라고 하면
인 함수의 Fourier 급수만 살펴보아도 일반성을 잃지 않는다.


 cos,

  

   

  cos   sin



(1d)
를 얻는다. 경우에 따라서는 실함수의 Fourier 급수에 대하여 논
로 정의한다. 여기서 계수  는
할 때 위와 같은 꼴로 쓰기도 한다.


  


이다. 따라서
Fourier 급수 이론에서 주기가 인 함수만 다루는 것은 아니
  ∞

 cos   sin
에 대하여
를 Fourier 급수라고 부른다. 이 급수는 의 값에 따라서 수렴


  

 
 
 
(1b)

이제 Fourier 급수의 부분합을 더 간략하게 나타내보자.


로 정의된 수열이다. 의 Fourier 급수의 번째 부분합을
  

  ≔

  

(1c)


  




    


 

 

  

로 나타낸다.
(1e)

 
  

     
 
≕    


참고 이 노트에서 별다른 언급 없이 적분이라고 하면 Riemann
적분을 의미하는 것으로 약속한다.


위 등식에서 함수
  

   
Fourier 급수의 계수가 어떻게 (1c)로 되었는지 살펴보자.
   
∞
 

  
를 Dirichlet 핵이라고 부른다.
  ∞
라고 하고 양변에 

 
 
를 곱한 뒤   에서 적분하면
∞

 
 

  
  
    ∞

정리 1.2 함수  에 대하여 다음이 성립한다.


(1)

 
∞
 


   

  ∞
  
 sin   ½
(3)      .

sin½

   


증명 (1) 다음 등식에 의하여 자명하다.
을 얻는다. 왜냐하면  ≠  일 때

  
  

(2)  은 주기가 인 주기함수이다.


 
    .

가 된다. 우변의 적분과 급수를 교환하면
 


 
  

 
 
 ii ff  ≠ 

(2) 함수  ↦   의 주기가 이므로  의 주기도 이다.
이기 때문이다. 따라서 의 Fourier 급수가 에 수렴한다면 그
계수는 (1c)와 같아야 함을 알 수 있다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
50
∙ ∙ ∙ Fourier 급수
(3) 덧셈정리 cossin  sin     sin   와 등식

  
그러면


  
       cos

  
를 이용하면
≤




 sin   sin    sin  cos




      



 
 
 sin      sin     sin      



 
 

 
 sin     

 

    
  



  
   
  

    
    
             


  
 
가 성립한다. 위 식이 보다 작아지도록 충분히 작은 양수
를 택하자.     ⋯ 에 대하여 이와 같은 방법으로 
□
를 택하면
 
 
2. Riemann-Lebesgue의 보조정리
    
 
         
   
Fourier 급수의 점별수렴에 관련된 성질을 밝히는 데에 중요한

   

 

역할을 하는 Riemann-Lebesgue의 보조정리를 살펴보자.
   
   

          



   × 
 

이 성립한다. 이제
임의의 양수 에 대하여    에서 적분 가능하고  에

서의 특이적분
lim

 
 →
   
 



라고 하자. 그러면

        
가 수렴하는 함수들의 모임을 ℜ 로 나타내자.



정리 2.1 ∈ℜ ,  ≥ ,   이라고 하자. 그러면 구간





≤
   ⊆  와 연속적으로 미분 가능한 함수 가 존재하여,
 
    


 ≤  ≤ 이고    밖에서는   ′  이며





     


          
 
       


   

이므로 가 원하는 함수임이 증명되었다.

을 만족시킨다.
이제 가 닫힌구간 ′ ′  ⊆  의 밖에서 인 함수라고 하고
증명  ≤ 이고
′     ′
  min   





    




   

여기서 위 부등식의 좌변은
lim
      


  

 
가 된다. ∈    라고 하고 가 앞에서 주어진 것이라고
하자.   라고 하자. 그러면 이 반열린구간에서  ≥ 


  



이고  ≤  이므로   ≤ 가 성립한다. 는 균등연
속이므로 충분히 작은 양수 에 대하여
이라고 하자.   ⋯ 이  의 분할이라고 하고
    






이 하합이며


 
    









을 만족시킨다고 하자. 이 하합은
 
  
   

 


         
 
  
    

  
≤  




  
  


   



(2b)

 

함수 의 존재성을 증명하기 위해 먼저   이고

 
라고 정의하자. 그러면  는 연속적으로 미분 가능하며 도함수는
로 정의된 특이적분이다.



   
 → 

인 충분히 작은   에 대하여
이며 와 의 근방에서 이 되는 함수 가 존재함을 증명하자.

            
≤         

를 얻는다.
             




 


 


 
 


 
 

 

이 성립한다. 가 (2b)를 만족시키므로  와 ′ 는 적당한 닫힌
       
구간    ⊆  의 바깥에서 의 값을 가진다.
와 동일하다.  가        에 근사하고     의 끝점
의 근방에서 의 값을 갖는 연속함수라고 하자.
강의노트 ∙ ∙ ∙
51
∙ ∙ ∙ Fourier 급수
함수  는 와  사이에서 의 값을 가지므로, 동일한 에 대
가 복소함수인 경우 앞에서와 마찬가지로 연속함수  ,  가
하여
존재하여 적당한 닫힌구간    ⊆  의 바깥에서는 의
           







 

값을 가지며





 Re   Im      








이므로 정리의 결과를 얻는다.
  


 Re      Im         
≤

 


 




을 만족시킨다. 따라서

 


  


 Re      ,  Im       





 

≤ 


 





≤

□

정리 2.3 함수 에 대하여 ∈ℜ 라고 하자. 그러면
  
    
  
이 성립한다.    라고 하면 정리의 결과를 얻는다.
lim
□

 sin     
→∞
(2d)

이 성립한다. 여기서 적분은
참고 위 정리는 가 복소수 값을 갖는 함수인 경우로 확장할
lim

 sin   
 →
수 있다. 이 경우







로 정의된 특이적분이다. 이 명제를 Riemann-Lebesgue의 보
    Re   Im
조정리라고 부른다.
이며, ∈ℜ 는 Re와 Im가 각각 ℜ 에 속한다는
증명   이 임의로 주어졌다고 하자. 정리 2.2를 적용하여 함
것을 의미한다.
수 를 구한다. 그러면 와  ′ 은 적당한 닫힌구간    ⊆
 의 바깥에서 의 값을 가지며
정리 2.2 함수 에 대하여 ∈ℜ 이고   이라고 하

     
자. 그러면 닫힌구간    ⊆  와 연속적으로 미분 가능
한 함수 가 존재하여,    바깥에서 와 ′ 은 의 값을
을 만족시킨다. 이때 부등식
갖고



    
(2c)
sin   




≤
을 만족시킨다.
  sin   

증명 가 유계인 실함수일 때
      sin   

≤



 

여  와  를 얻는다. 이때 두 함수는 적당한 구간    ⊆
 의 바깥에서 의 값을 가지며




sin   

를 얻는다. 마지막 항을 부분적분법으로 적분하면


      



sin   

로 정의하자. 가 실함수인 경우  와  에 정리 2.1을 적용하

       ,





  
  
    ,    








(2e)


cos  
   



cos  
 ′ 
 

을 만족시키도록 택한다.

를 얻는다.  ′ 이 유계이므로 위 식은 에 수렴하며, 가  과
     라고 하자. 그러면  ≥ 일 때    이고
 에서 의 값을 가지므로
                  ≥ 

cos  
    



이 성립한다. 또한   일 때에는    ,    
이 성립한다. 충분히 큰 를 택하면
이고



 
sin         



                ≥ 
이 성립한다. 따라서
이 성립한다.
   ≤           
□
이므로 다음을 얻는다.



    ≤              

강의노트 ∙ ∙ ∙






52
∙ ∙ ∙ Fourier 급수
여기서 함수
3. 수렴에 관한 Dini의 정리
각 점에서 의 Fourier 급수가 어떤 값에 수렴하는지를 밝히는
정리를 살펴보자. 표기의 편의상 에서 의 좌극한과 우극한을
먼저 분자는 ℜ 의 원소이다. 따라서 (3f)의 함수는   
일 때마다 ℜ 의 원소가 된다.    일 때
정리 3.1 함수 가 -주기함수이고 ∈ℜ  이며 점 

      
       sin½

에서 좌극한과 우극한을 가진다고 하자. 또한

               (3a)


로 정의된 함수 가 ℜ 에 속한다고 하자. 즉
lim
 

(3b)

    
lim    

 →∞
≤


    




이다.   를 로 바꾸고 와  의 주기성을 이용하면
가 성립한다. 따라서 가 에 수렴하는 양항수열이라고 하면


      

       sin½



          


               

     

               


  


는 Cauchy 수열이 되어 수렴한다. 그런데



        

 ↦


      
       sin½


는 단조감소함수이므로 수렴하고, 그 극한은 앞의 수열의 극한과

 sin   ½         






sin½




               

증명 정의에 의하여


            


 


sin½

(3c)
가 성립한다. 이 명제를 Dini의 정리라고 부른다.


      
       sin½



가 수렴한다고 하자. 그러면
  
      
       sin½



→ 
(3d)
동일하다. 따라서 (3f)의 함수는 (3b)의 조건을 만족시킨다.
를 얻는다. 함수
Riemann-Lebesgue의 보조정리에 의하여  → ∞일 때 (3e)는
 sin   ½
 ↦ 

sin½
에 수렴한다.
는 에서 정의되지는 않지만 의 구멍뚫린 근방에서 유계이며
□
위 정리를 조금 수정하면 다음 정리를 얻는다.
 sin   ½   

lim 

sin½

→ 
따름정리 3.2
이 성립한다. 따라서 에서 이 함수의 값을 위 값으로 정의하면
함수 가 -주기함수이고 ∈ℜ  라고
하자. 또한 점 에서 함수
이 함수는 연속함수로서 적분 가능한 함수가 된다. 정리 1.2-(1)
에 의하여
 ↦

      
       
 sin   ½
        

sin½
     




lim    
우극한의 평균값에 수렴할 조건을 제공한다.
정리 3.3 함수 가 -주기함수이고 ∈ℜ  라고 하자.


(3h)
다음 정리는 의 Fourier 급수가 단순불연속인 점에서 좌극한과
    
   



(3g)
→∞

가 성립하고

        



가 ℜ 의 원소가 된다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.



(3f)
를 생각하자. 이 함수가 조건 (3b)를 만족시킴을 보일 것이다.
각각   ,   로 나타내자.
 
      
      sin½

 ↦
점 에서 의 좌극한과 우극한이 모두 존재하고, 양수  와 
 sin   ½

 
sin½
              




가 존재하여     인 임의의 와 ∈ 에 대하여

      ≤  ,         (3i)
(3e)
를 만족시킨다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
가 성립한다.
    
.
lim    

(3j)
→∞
강의노트 ∙ ∙ ∙
53
∙ ∙ ∙ Fourier 급수
증명 Dini의 정리의 조건 (3a)에 의하여 (3i)가 성립한다. 왜냐
따라서
하면     일 때


  
              ≤ 

  


 
에 대하여, 정리 3.3에 의하여
그리고
∞

  



            




≤
  ∞
 


             lim

             
이제  ≠ 인 정수 에 대하여

이기 때문이다. 이제






  

 
     

 

가 성립하는데,  → 일 때 위 식은     에 수렴한다. 따라

  
     
 








               



  

    




가 수렴하고, 극한값은
sup

라고 정의하자. 그러면

lim
 

서 극한
→  
   . (4b)
 → ∞    ≠ 


(4a)
가 성립한다. 여기서 Fourier 급수의 정의에 의하여 다음을 얻는다.
  





  
            
   






    
 



   


이다.  의 정의에 의하여

과 같아진다.
      
□


이므로
4. Fourier 급수의 적분과 미분


  
이 장에서는 Fourier 급수로 정의된 함수의 적분과 미분을 살펴
보자. 함수 가

  ∞

  

 


  




 → ∞    ≠ 
    ≠  
 →∞  





 

     lim        

     lim     
  


   
   


 → ∞    ≠ 






가 될 것이라고 기대할 수 있다. 함수 의 주기가 이고 ∈

ℜ  라고 하자. 그리고
    


 →∞    ≠ 


 →∞    ≠ 







정리 4.1 가 -주기함수이고   에서 연속이라고 하자.
라고 하자. 그러면    또는   일 때    이다. 따
그리고 의 Fourier 계수를  라고 하자. 그러면 의 적분은
라서 의 주기적 확장 함수는 연속이다. 또한   의 상

계  에 대하여



       lim     

 


  ≤    


 →∞    ≠ 



가 된다. 즉 연속함수의 Fourier 급수의 적분은 급수의 항별적분
과 동일하다.
이 성립한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙


가 성립한다. 따라서 다음 정리를 얻는다.

  ≡        
      ≤

이고

      lim

        lim
   lim     



  



로 정의되어 있을 때, 의 적분은

 

이다. (4a)와 (4b)에 의하여
∞
 

    
54
∙ ∙ ∙ Fourier 급수
함수 가  에서 유한 개의 불연속점을 가질 때 는  
만약 함수열 ⟨⟩에 대하여    → 이면 ⟨⟩은 에
에서 조각마다 연속(piecewise continuous)이라고 말한다.
균등수렴한다고 말한다.
한편 의 평균제곱노름(mean square norm)을
따름정리 4.2 가 -주기함수이고   에서 조각마다 연

  

속이라고 하자. 그리고 의 Fourier 계수를  라고 하자. 그러
면 의 적분은






 → ∞    ≠ 




로 정의한다. 그리고    → 이면 ⟨⟩은 에 평균제곱
       lim     


  

수렴한다고 말한다. [만약 이 적분이 Lebesgue 적분이면 이 상

황을   -수렴한다고 말한다.]
가 된다.
정의 5.1 Fourier 급수의 부분합   의 평균값을 Fejer 평
다음으로 Fourier 급수로 정의된 함수의 미분을 살펴보자.
균이라고 부르고  로 나타낸다. 즉


    
 
  

 




   

       
정리 4.3 ∈  이고


 
  ′    


이며  ′  가 조각마다 연속이라고 가정하자. 만약
이다. 또한 Fejer 핵을
∞
 

  


 
  
    
  ∞
이면  ′ 의 Fourier 급수는
  
  ∞


정리 5.2 Fejer 핵은 다음과 같은 성질을 가진다.
가 된다.
증명

로 정의한다.
∞
 ′  

(1)         
 ′ 이 조각마다 연속이므로 주기가 인 주기함수이다.

 ′ 의 Fourier 계수를  라고 하면 따름정리 4.2에 의하여
(2)



 ′   
  
  


 
       
  
 




 

   
  

 

     

  


  cos  
,    ≥ ,
(4)     
  sin ½
     
(5)   일 때 
lim      ≥  ≥  이다.
를 얻는다. 가 -주기함수이므로
→∞
∞
  
  ∞



 ′  
    
(3) ∃ 


이다.
또한  ≥ 일 때    ≤ 
  sin ½


으로서 정리의 결과를 얻는다.
□
증명
 의 성질에 의하여 (1), (2), (3)을 얻는다. 이제 (4)를
증명하자.   이 우함수임은 자명하다. 또한 다음이 성립한다.
이 정리는  ′ 의 Fourier 급수가 수렴한다는 것을 말하지는 않는



sin    
  sin½   



sin    sin 



 

  sin ½   
다. 그러나  ′ 이 Dini의 조건을 만족시킨다면  ′ 은 수렴하므로
    
를 미분할 때 위와 같은 공식을 사용할 수 있게 된다. 예를 들


어  ′ 이 유계이면 평균값 정리에 의하여




공식 sinsin  cos    cos  에     ½,  
 ′    ′  ≤    
½를 대입하여 위 식에 적용하면
인 양수  가 존재하므로 정리 3.3에 의하여 의 미분을 Fourier


cos  cos  
  sin ½   
  cos  

  sin ½
급수의 항별 미분으로 계산할 수 있게 된다.
    

5. 여러 가지 수렴에 관한 Fourier 급수

를 얻는다. 다음으로 (5)를 증명하자.   이 우함수이므로
지금까지 Fourier 급수의 점별수렴에 관한 성질을 살펴보았다.
 
이 장에서는 Fourier 급수의 상한노름수렴과 평균제곱수렴에 관
lim       ≥  ≥  
→∞
한 성질을 살펴보자. 구간  에서 정의된 실함수 에 대하여
임을 보이면 충분하다. 그런데
상한노름을
  cos  
  sin ½

  sin ½
≤
   ≤ 


  sup  ∈ 
이므로 정리의 결과를 얻는다.
로 정의한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
 
55
□
∙ ∙ ∙ Fourier 급수
정리 5.3 가 연속인 -주기함수이면 lim       .


 →∞



 
   

    


       

     

     


  



  



  


   


    ≥

      

     
  




      
 
   
  
  


  


    


  

 

  








      
    






 
  



 

  

 

  
        
 

  

 
 



 



≤


강의노트 ∙ ∙ ∙

 

   




   


         
이 성립한다. 정리 5.3에 의하여 마지막 등식은 에 수렴한다.

 



      



      ≤    



증명 먼저 가 연속인 경우를 증명하자. (5a)에 의하여
 

(5b)
이 명제를 Fourier 급수의 수렴에 관한 기본정리라고 부른다.
  




      
→∞

        


lim
    
 



고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
        



정리 5.4 함수 가   에서 적분 가능한 -주기함수라
   




   ≤     ≤    



  


가 성립한다. 이제 다음 정리를 증명하자.




  



        
   
  



       
  

이므로












정의에 의하여
  



다음으로 Fourier 급수의 평균제곱수렴에 관한 성질을 살펴보자.
 
  

□
 

 
   
      
       
      
  
      
≤


     ≤   

   sin ½


을 얻는다. 따라서
가 성립한다. 정리 5.2에 의하여 충분히 큰 모든 에 대하여
 


  
이 성립한다.

  
을 얻는다. 이것을 계산하면
에 대하여
  

       
 
속이고 주기함수이므로 ℝ에서 균등연속이다. 따라서 임의의 

 

이고, 같은 방법으로
이 성립하도록 하는 양수 를 택하자. 는   에서 균등연

 

  

      


     ≤   

(5a)

 
가 성립한다. 임의의 와   인 에 대하여




이다. 또한





다. 특히
적당한 양수  에 의하여 유계이다. 또한


가 성립한다. 이것을 Fourier 급수의 최적근사성질이라고 부른
가 성립한다.   이 우함수이고 는 연속인 주기함수이므로






  







  
     
   ≤



         ≥       



는 것이다. 달리 말하면 임의의 ⟨⟩에 대하여
  
     

의 값이 가장 작아지는 것은    로서 Fourier 계수를 택하



        



이 성립한다. 따라서

≤


          








    
 


증명   이 주어졌다고 하자. 정리 5.2의 (2)에 의하여

            

56
∙ ∙ ∙ Fourier 급수
다음으로 ∈ℜ  이고    인 경우를 증명하자. 정리
참고문헌
2.2의 방법을 이용하여 연속인 함수 를 구성하되,   에
∙ Kenneth Kuttler, One Variable Advanced Calculus, Depart
포함되는 적당한 닫힌구간 바깥에서는 의 값을 가지면서

 



   ≥ 




of Mathematics in Brigham University, 2011.
    
∙ Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3ed),


McGraw-Hill, 1976.
∙ William R. Wade, An introduction to Analysis (4ed),
를 만족시키도록 하자. 만약 주기가 인 함수로서 의 정의역
Pearson Prentice Hall, 2010.
을 ℝ로 확장시키면 ℝ에서 연속인 함수가 된다. 따라서 부등식
      ≤      
을 이용하면

     





               




≤


               







를 얻으며 (5b)와 (5c)에 의하여 위 식은 다음 식 이하의 값을
갖게 된다.



           







    

     

  



     .



여기서  → ∞인 극한을 취하면 마지막 항은 에 수렴한다. 그
런데 은 임의의 양수이므로

      → 



이 성립한다.
□
벡터공간  의 차원이 이고
  ⋯ 
이  의 정규직교기저일 때, 임의의  ∈ 는
  ⟨  ⟩  ⟨  ⟩  ⋯⟨  ⟩ 
으로서 나타낼 수 있다. 여기서  에서 정의된 ⟨ ⟩는 내적을
의미한다. 이러한 표현을 정규직교전개 또는 유한차원 Fourier
전개라고 부른다.
무한차원 벡터공간에서도 이와 같은 전개를 할 수 있다. 차원이
유한인 경우 의 정규직교전개가 와 동일하다는 것은 선형대
수학의 이론에 의하여 자명하지만 차원이 무한인 경우에는 그렇
지 않다. 특히 공간에 어떠한 내적과 노름이 주어져 있느냐에 따
라서 수렴 조건이 달라진다.
본 노트에서는 벡터공간 ℜ  에서의 정규직교기저
    ≥  ∈ℤ
에 대한 정규직교전개, 즉 Fourier 급수의 성질을 살펴보았다.
특히 점별수렴, 균등수렴, 평균제곱수렴의 성질을 살펴보았다.
이들 수렴 이외에도 거의 모든 점에서의 수렴,   수렴 등을 생
각할 수 있다. 이러한 내용은 측도론과 함수해석학에서 다룬다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
57
∙ ∙ ∙ Fourier 급수
다변수 해석학 강의노트
Sooji Shin ∙ soojishin@live.com
이 노트의 내용은 ‘기초 해석학 강의 노트’의 내용에 이어지는 것
정의 1.1 벡터  ∈ℝ 과 스칼라 ∈ℝ에 대하여 다음과 같
입니다. 기초 해석학에서 다룬 내용과 비슷한 내용은 간단하게
이 정의한다.
다루었습니다.
∙ 합 :           ⋯    
∙ 스칼라곱 :     ⋯  
1. Euclid 벡터공간
∙ 내적 : ⋅       ⋯  
직교 좌표가 주어진 평면 위의 점은 순서쌍  로 나타낼 수
있다. 또한 3차원 공간의 점은 순서쌍     로 나타낼 수 있
특히  를  로 표기한다. 즉
다. 같은 방법으로 차원 공간의 점 는 -순서쌍
         ⋯   .
   ⋯ 
두 벡터 , 의 내적을 ⋅로 쓰는 대신 ⟨ ⟩ 또는
으로 나타낼 수 있다. 이 순서쌍을 의 좌표라고 부르고  ,
⟨  ⟩로 나타내기도 한다. 벡터의 합, 스칼라곱의 결과는 벡터
 ,  , ⋯,  을 차례대로 의 첫 번째, 두 번째, 세 번째, …,
이지만 내적의 결과는 스칼라이다.
번째 성분이라고 부른다. 번째 성분을 번째 좌표라고 부르
기도 한다. 모든 성분이 실수인 차원 공간의 점들의 모임을
벡터합, 스칼라곱, 내적이 주어진 공간 ℝ 을 차원 Euclid 벡
ℝ 으로 나타낸다.
터공간이라고 부른다.
ℝ 의 원소, 즉 차원 공간의 점을 벡터라고 부른다. 그리고 ℝ
정리 1.2 벡터의 내적과 관련하여 다음이 성립한다.
의 원소를 스칼라라고 부른다.   일 때에는 ∈ℝ 와
(1) 벡터 에 대하여 ⋅ ≥ .
∈ℝ를 동일한 것으로 생각한다. 즉 ℝ 의 점은 벡터이기도
(2) 벡터 에 대하여 ⋅  일 필요충분조건은   .
하고 스칼라이기도 하다.
(3) 벡터 , 에 대하여 ⋅  ⋅.
벡터를 표시할 때에는 스칼라와 구분하기 위하여 기울이지 않은
(4) 스칼라 와 벡터 , 에 대하여 ⋅  ⋅ .
굵은 글꼴을 사용하여
(5) 벡터 , ,  에 대하여   ⋅  ⋅   ⋅  .
x, y
내적이 주어진 벡터공간을 내적공간이라고 부른다.
와 같이 나타내기도 하고, 화살표를 이용하여
벡터 는 ℝ 의 원점에서 출발하여 점 까지 잇는 화살표 또는

, 
선분으로 생각할 수 있다. 이때 가 나타내는 선분의 길이는

로 나타내기도 한다. 그러나 여기서는 ℝ과 ℝ 의 공통적인 성
     ⋯ 

질을 주로 살펴볼 것이므로 벡터를 스칼라와 같은 방법으로 나
타낸다. 대신 스칼라와 혼동될 염려가 있는 경우는 스칼라와 벡
이 된다. 이 값을 벡터 의 크기, 노름 또는 절댓값이라고 부르
터를 구분할 수 있도록 설명할 것이다.
고  또는 로 나타낸다. 벡터 의 크기는 내적을 이용하여
다음과 같이 정의할 수도 있다.
ℝ 의 점 중에서 모든 좌표가 인 점을 원점 또는 영벡터라고

  ⟨
 ⟩.
부르고 으로 표기한다. 즉 ∈ℝ 은
      ⋯ 


 times
정리 1.3 벡터의 크기에 관련하여 다음이 성립한다.
으로 정의된 벡터이다.
(1) 임의의 에 대하여  ≥ 이다.
차원 공간의 점 를 순서쌍으로 나타낼 때에는
(2)   일 필요충분조건은   인 것이다.
(3) 임의의 에 대하여     이다.
     ⋯ 
(4) 임의의 , 에 대하여 ⋅ ≤  이다.
로 표기하는 대신 간단하게
(5) 임의의 , 에 대하여    ≤   이다.
      
노름이 주어진 벡터공간을 노름선형공간이라고 부른다.
로 표기하기도 한다. 또 차원이 혼동될 염려가 없을 때에는 이것
   또는   이라고 하자. 그리고 와 가 나타내는 선분
을 더 간단히
사이의 각을 라고 하자. 그러면
   
⋅  cos
로 나타낸다. 별다른 언급이 없는 한 벡터의 좌표는 그 벡터와
가 성립한다.
동일한 문자에 첨자를 붙여 나타내는 것으로 약속한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
58
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
행렬식을 절댓값과 같은 기호로 나타내면 다음과 같다.
 ≥ 인 경우에는 두 벡터 , 가 나타내는 선분 사이의 각을
기하학적으로 정의할 수가 없다. 대신 내적을 이용하여 다음과

⋅
cos  
 

i j k
i  
 ×        j  
  
k  

같이 정의한다.


또한 삼중적은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[여기서 cos  은 cos의 정의역을  로 축소한 함수의 역함

    
     
  
수이다.] 이 값을 와 가 이루는 각이라고 부르고 ∠로 나
타낸다. 임의의 벡터 , 에 대하여
⋅
  ≤ ≤ 
 

행렬식의 성질로부터
이므로 ∠는 잘 정의된 값이다.
⋅ ×   ⋅ ×   ⋅ × 
두 벡터 , 에 대하여 ⋅  일 때 와 는 직교한다 또는
 ⋅ ×    ⋅ ×   ⋅ × 
수직이다고 말한다. 정의에 의하면 영벡터는 임의의 벡터와 수직
임을 알 수 있다. 즉
이다.
            
두 벡터 , 에 대하여 영 아닌 스칼라 가 존재하여   
이다. 한편
또는   를 만족시킬 때 와 는 평행하다고 말한다. 여기
서 만약 가 양수이면 와 는 같은 방향을 가진다고 말하고 
 ×  ×  ≠  ×  ×  
가 음수이면 와 는 반대 방향을 가진다고 말한다.
이다.
정의에 의하여 두 벡터 , 과 평행할 필요충분조건은
정의 1.5 세 벡터 , , 가 일차독립이고
⋅   

인 것이 된다. 또한 영벡터는 임의의 벡터와 평행하다.

    
    
  
정의 1.4 벡터  ∈ℝ 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
이라고 하자.   이면     는 우수계(right-handed system)
∙ 외적 :  ×                   
를 이룬다고 말한다.   이면     는 좌수계(left-handed
∙ 삼중적 :    ⋅ × 
system)를 이룬다고 말한다.
위와 같은 외적과 삼중적은 3차원 벡터에 대해서만 정의된다.
행렬의 두 행을 서로 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀌므로 세 벡터
삼중적 ⋅ × 는 반드시 외적부터 계산해야 한다. 왜냐하면
가 우수계를 이루는지 좌수계를 이루는지의 여부를 따질 때에는
스칼라와 벡터의 외적은 정의되지 않기 때문이다.
벡터의 순서가 중요하다.
  는 번째 성분만 이고 다른 성분은 모두 인 벡터로 정의한
다. 즉
정리 1.6 와 가 평행하지 않은 벡터라고 하자.    × 라고
      ⋯    ⋯  
 



  times
     times
하면 ⊥이고 ⊥이다. 이때     는 우수계를 이룬다.
이다. ℝ 의 모든 점 는
2. Euclid 거리공간
    ⋯         ⋯  
거리의 개념은 해석학의 이론 전개를 위한 기본적인 개념이다.
과 같이   들의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 또한 임의의 에
대하여   들의 일차결합으로 나타냈을 때 계수  들은 유일하게
정의 2.1 집합  와 함수    ×  → ℝ가 네 조건
결정된다. 즉  는 ℝ 의 기저가 된다. 이때  를 ℝ 의 표
∙ ∀ ∈    ≥ 
준 기저라고 부른다. 특히 ℝ 의 표준 기저는
∙ ∀ ∈      ↔   
i    , j    , k    
∙ ∀ ∈      
∙ ∀  ∈     ≤      
로 표기하기도 한다.
를 모두 만족시키면 를  의 거리함수라고 부른다. 거리함수가
기저와 행렬식을 이용하여 벡터의 외적을 나타내면 다음과 같다.
주어진 집합  를 거리공간이라고 부르고 ⟨ ⟩로 나타내며,
 i  
 i j k
 ×   det     det j  
    
 k  

 

혼동할 염려가 없을 때에는 간단히  로 나타낸다.
노름선형공간에서      로 정의된 함수 는 거리함
수의 조건을 모두 만족시킨다. 이러한 의미에서 노름선형공간은
모두 거리공간이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
59
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
정의 2.2 집합의 유계와 거리를 다음과 같이 정의한다.
정의 2.6 집합  와 점 가 있다고 하자. 임의의 양수 에 대
하여  ′  ∩ ≠ ∅이면 를  의 집적점이라고 부른다.
(1) 집합  가 유계라는 것은 ∃   ∀∈   ≤  를 만족
시키는 것이다.
정리 2.7  가 ℝ 의 부분집합이고 유계이며 무한집합이면  는
(2) 함수    →  가  ⊆  에서 유계라는 것은  의 상
집적점을 가진다. 이 명제를 Bolzano-Weierstrass 정리라고 부
  가 유계인 것이다.
른다.
(3) 집합  의 지름을
증명
diam        sup    ∈ ∧  ∈ 
 가 유계이므로 양수  이 존재하여  ⊆     을
만족시킨다.       이라고 하자.  은 직사각형 모양의
로 정의한다.
닫힌집합이다.  의 각 모서리를 반으로 잘라 만든  개의 직사
(4) 두 집합  ,  의 거리를
각형 모양의 닫힌집합 중에서  의 원소를 무한히 많이 포함하는
     in f    ∈ ∧ ∈ 
것이 적어도 하나 이상 존재한다. 그 집합을  이라고 하자. 그
로 정의한다.
러면  은 각 모서리의 길이는 모두  이다. 같은 방법으로  의
(5) 점 와 집합  의 거리를        로 정의한다.
각 모서리를 반으로 잘라 만든  개의 직사각형 모양의 닫힌집
합 중에서  의 원소를 무한히 많이 포함하는 것을  라고 하자.
참고 두 집합 사이의 거리     는 거리 함수가 아니다. 왜냐
이러한 방법으로 계속하여 귀납적으로 직사각형 모양의 닫힌집
하면      일 지라도  ≠  일 수 있기 때문이다.
합들의 모임  ∈ℕ을 구성할 수 있다.
∞
정의 2.3 점 와 실수 에 대하여 다음과 같이 정의한다.



(1) 열린구 :     ∈ℝ      
(2) 닫힌구 : 
    ∈ℝ     ≤ 
라고 하면  는 단 하나의 원소만 포함하는 집합이 된다.  의 원
(3) 구멍뚫린 열린구 :  ′    ∈ℝ      ∖
(4) 구멍뚫린 닫힌구 : 
 ′    ∈ℝ     ≤ ∖
포함하는 임의의 열린구는 적당한  를 포함한다. 그런데  는 
 
소를 라고 하자.  의 모서리의 길이는 에 수렴하므로 를
의 원소를 포함하므로 를 포함하는 임의의 열린구는  의 원소
를 포함한다. 따라서 는  의 집적점이 된다.
정의 2.4 집합  에 대하여 다음과 같이 정의한다.
(1) 가  의 내점이라는 것은 ∃       ⊆  를 만족
□
정의 2.8  의 집적점들의 모임을  의 도집합이라고 부르며  ′
시키는 것이다.
으로 표기한다.  를 덮는 모든 닫힌집합들의 교집합을  의 폐
 로 표기한다.
포라고 부르고 
(2) 가  의 외점이라는 것은 가  의 내점인 것이다.
(3) 가  의 내점도 아니고 외점도 아닐 때 를  의 경계점이
라고 부른다.
정리 2.9 집합  에 대하여 
  ∪ ′ 이다.
(4) 집합  의 내점들의 모임을  의 내부라고 부르고 int  로
표기한다.
(5) 집합  의 외점들의 모임을  의 외부라고 부르고 ext   로
3. 수열의 극한
표기한다.
벡터 수열의 극한은 실수열의 극한과 비슷한 성질을 가진다.
(6) 집합  의 경계점들의 모임을  의 경계라고 부르고  로 표
기한다.
정의 3.1 ⟨⟩이 벡터수열이고  이 벡터라고 하자. 만약 임
(7)   int   일 때 를 열린집합이라고 부른다.
의의 양수 에 대하여 자연수  이 존재하여    인 모든 자
(8)    ℝ∖ 가 열린집합일 때  를 닫힌집합이라고 부른다.
연수 에 대하여      이 성립하면 ⟨⟩은  에 수렴한
(9) 집합  ⊆  가  에서의 상대적 열린집합이라는 것은 ℝ 에
다고 말하고  을 ⟨⟩의 극한이라고 부른다.
서의 열린집합  이 존재하여   ∩ 을 만족시키는 것이다.
(10) 집합  ⊆  가  에서의 상대적 닫힌집합이라는 것은   
참고 수렴하는 수열의 극한은 유일하다. 그것을 기호로
∖ 가  에서의 상대적 열린집합인 것이다.
lim  
→∞
로 표기한다. 실수열과 마찬가지로 수렴하는 벡터수열은 유계이다.
정리 2.5 열린집합과 닫힌집합은 다음과 같은 성질을 가진다.
(1) 임의 개수의 열린집합의 합집합은 열린집합이다.
정리 3.2 벡터수열의 수렴은 성분별 수렴과 필요충분조건이다.
(2) 유한 개의 열린집합의 교집합은 열린집합이다.
즉       이고       일 때  →  일 필요
(3) 임의 개수의 닫힌집합의 교집합은 닫힌집합이다.
충분조건은  → ,  → ,   → 인 것이다.
(4) 유한 개의 닫힌집합의 합집합은 닫힌집합이다.
증명 기초 해석학 정리 4.4와 동일하다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
□
60
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
증명 3차원 벡터수열에 대하여 증명하자.
따라서 정리 3.2에 의하여
lim⋅   lim′  ′  ′ 
[⇒] 먼저      →    이라고 가정하자. 그리고
→∞
양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 자연수  이 존재하

→∞
 lim  lim ′  lim  lim ′  lim  lim ′
→ ∞
여    일 때마다
→ ∞

→ ∞

→ ∞

→ ∞

 lim ⋅ lim ,

이 성립한다. 따라서    일 때마다
→∞
 
→∞

lim ×  
   ≤            ,
→∞
   ≤            ,
 lim ′   ′  ′   ′ ′  ′ 
→∞
    ≤            

이 성립하므로  → ,  → ,   →  이다.
 lim  ′    ′  lim  ′    ′ 
lim  ′    ′ 
→∞
[⇐] 다음으로  → ,  → ,   →  이라고 가정하자. 그
→∞
 
 
 
 
 
→∞
 
 ′  ′ ′  ′ ′  ′ 
러면 자연수  ,  ,  이 존재하여
     × ′ ′ ′ 

     ,

⇒

→ ∞
 ′  ′  ′     ⋅′ ′ ′ 
           
  

  
⇒

     ,

  
⇒

     

 lim × lim ,

→∞
 
→∞

lim  lim   
→∞
→∞
 lim lim lim 

→∞
→∞
→∞

           lim
이 성립한다.   max  이라고 하자. 그러면   
→∞
일 때마다
이 성립한다.
□
          ≤              
이 성립한다. 따라서      →    이다.
정의 3.4 ⟨⟩이 정의역  를 갖는 수열이고 ⟨⟩가  로부
□
터  로의 순증가수열이라고 하자. 이때 두 수열을 합성하여 얻
은 수열 ⟨⟩를 ⟨⟩의 부분수열이라고 부른다.
위 정리는 수열의 극한을 계산할 때 좌표별로 계산할 수 있음을
의미한다. 즉
lim    lim lim lim
정의 3.5 수열 ⟨⟩과 점  이 있다고 하자. 만약 ⟨⟩의 적
이 성립한다. 위 정리는 3차원 벡터수열뿐만 아니라 일반적인
당한 부분수열 ⟨⟩가 존재하여  에 수렴하면  을 ⟨⟩의
벡터수열에 대해서도 성립한다. 이 장에서는 논의를 간단히 하기
집적점이라고 부른다.
→∞

→∞
→∞
→∞

위하여 ℝ 대신 ℝ 에서의 수열에 대하여 논의하자.
정리 3.6 Euclid 벡터공간에서 유계인 수열은 집적점을 가진다.
이 명제를 Bolzano-Weierstrass 정리라고 부른다.
정리 3.3 두 벡터수열 ⟨⟩과 ⟨⟩이 수렴하면
lim   lim  lim ,
증명 일반성을 잃지 않고 ⟨⟩이 ℝ 의 수열이라고 하자. 그
lim⋅  lim⋅ lim ,
리고 ⟨⟩이 유계인 수열이라고 하자.       이라고
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
하자. 그러면 ⟨⟩은 유계인 실수열이므로 수렴하는 부분수열
lim ×   lim×  lim ,
을 가진다. ⟨⟩의 수렴하는 부분수열을 ⟨⟩라고 하자. 표
lim  lim
기의 편의를 위하여 부분수열 ⟨⟩를 ⟨⟩로 표기하겠다.
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
이 성립한다.
이때 ⟨⟩는 ⟨⟩의 부분수열이고 유계인 실수열이므로 수
증명 일반성을 잃지 않고 ⟨⟩과 ⟨⟩이 ℝ 의 수열이라고
렴하는 부분수열 ⟨⟩를 가진다. 다시 ⟨ ⟩는 ⟨ ⟩의
부분수열이고 유계인 실수열이므로 수렴하는 부분수열 ⟨ ⟩
하자.
를 가진다. 이때 부분수열의 첨수   는 합성
      ,   ′ ′  ′ 
함수이고 , , 는 각각 순증가하는 수열이므로
이라고 하자. 그리고
   ↦ 
 →    ,  → ′ ′ ′ 
도 순증가하는 수열이다. 그리고
이라고 하자. 그러면 정리 3.2에 의하여
 → ,  → ,   → ,
⟨ ⟩, ⟨ ⟩, ⟨ ⟩
′ → ′ , ′ → ′ ,  ′ → ′
는 각각 ⟨⟩, ⟨⟩, ⟨ ⟩의 수렴하는 부분수열이다. 따라서

정리 3.2에 의하여 ⟨⟩는 수렴한다.
가 성립한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙

61

□
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
정의 3.7 수열 ⟨⟩이 Cauchy 수열이라는 것은 임의의 양수
4. 긴밀 집합
에 대하여 자연수  이 존재하여    ,    일 때마다
Euclid 거리공간에서의 긴밀집합은 ℝ에서의 긴밀집합과 동일한
    이 성립하는 것이다.
성질을 가진다.
정리 3.8 수열 ⟨⟩에 대하여        일 때, ⟨⟩
정의 4.1 집합  와 열린집합들의 모임    ∈에 대하
이 Cauchy 수열일 필요충분조건은 ⟨⟩, ⟨⟩, ⟨ ⟩이 모두
여 ⊆
Cauchy 수열인 것이다.
합    ∈에 대하여  이  의 열린덮개이면   을 
증명 [⇒] ⟨⟩이 Cauchy 수열이라고 하자. 그리고 양수 이
의 부분덮개라고 부른다.
 이면  를  의 열린덮개라고 부른다.  의 부분집
∈

임의로 주어졌다고 하자. 그러면 자연수  이 존재하여    ,
정리 4.2 집합  가 주어졌다고 하자.  를 덮는 임의의 열린덮
   일 때마다    이 성립한다. 이때
개가 유한인 부분덮개를 가지면  를 긴밀집합이라고 부른다.
  ≤    ,
  ≤    ,
정리 4.3 ℝ 에서 집합  가 긴밀집합일 필요충분조건은 유계
  ≤    
이고 닫힌집합인 것이다. 이 명제를 Heine-Borel 정리라고 부
이므로 ⟨⟩, ⟨⟩, ⟨ ⟩도 모두 Cauchy 수열이다.
른다.
[⇐] ⟨⟩, ⟨⟩, ⟨ ⟩이 모두 Cauchy 수열이라고 하자. 그
증명 [⇒]  가 긴밀집합이라고 하자.     라고 하면
리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 자연수  ,  ,
   ∈ℕ은 ℝ 의 열린덮개이고  ⊆ ℝ 이므로  는 
 이 존재하여 다음이 성립한다.
   ∧     ⇒
의 열린덮개이다.  는 긴밀집합이므로  는  를 덮는 유한부분

,
   

덮개     ∈를 가진다. 이때
  는 유계이므로 도
∈


유계이다.

다음으로  가 닫힌집합임을 보이자. 결론에 반하여  가 닫힌집
   ∧     ⇒
,
   

   ∧     ⇒
.
   

합이 아니라고 가정하자. 그러면 ∈ ′∖ 인 점 가 존재한
  max  이라고 하자. 그러면    ,    일
다.  는 유계이므로  ⊆   인 양수 가 존재한다. 자연
때마다
수 에 대하여
  
  ≤           
이 성립한다. 따라서 ⟨⟩은 Cauchy 수열이다.
    ∖ 
  
□
이라고 하면    ∈ℕ은  를 덮는 열린덮개가 된다. 
는
정리 3.9 ℝ 에서 수열이 수렴할 필요충분조건은 Cauchy 수열
긴밀집합이므로
 를 덮는 유한부분덮개
 
 ∈을 가진다.   max 라고 하자.  의 정의에 의하
인 것이다.
여
증명       이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
    이다. 그런데 는 의 집적점이므로
∈






   ∩ ≠ ∅

⟨⟩이 Cauchy 수열이다.
⇔ ⟨⟩, ⟨⟩, ⟨ ⟩이 모두 Cauchy 수열이다.

이다. 즉    ∩ ≠ ∅이므로  ⊈  
⇔ ⟨⟩, ⟨⟩, ⟨ ⟩이 모두 수렴한다.
⇔ ⟨⟩이 수렴한다.
는
  이다.
∈

이것은  ′ 이  의 열린덮개라는 데에 모순이다. 따라서  는
□
닫힌집합이다.
3.10 임의의 양수  에 대하여 자연수  이 존재하여
[⇐]  가 유계인 닫힌집합이라고 하자. 그리고 결론에 반하여
   일 때마다    이 성립하면 ⟨⟩은 무한대에 발산한
 가 긴밀집합이 아니라고 하자. 그러면 유한인 부분덮개를 갖지
다고 말하고
않는  의 열린덮개  가 존재한다.
정의
는
lim  ∞
유계이므로
 ⊆     인
양수
가
존재한다.

      라고 하자.  는 직사각형 모양의 닫힌집합이다.
→∞
로 표기한다. 혼동할 염려가 없는 경우에는 이것을 간단히
 의 각 모서리를 반으로 잘라 만든  개의 직사각형 모양의 닫
lim  ∞
힌집합 중에서  와 교집합 했을 때  의 유한 부분덮개에 의해
로 표기한다. 이때 ∞는 양의 무한대의 의미가 아니라 원점으로
덮이지 않는 것이 적어도 하나 이상 존재한다. 그것을  이라고
부터 한없이 멀리 떨어져 있는 무한대의 의미이다.
하자. 그러면  의 각 모서리의 길이는 모두 이다. 같은 방법으
→∞
로  의 각 모서리를 반으로 잘라 만든  개의 직사각형 모양의
닫힌집합 중에서  와 교집합 했을 때  의 유한 부분덮개에 의
해 덮이지 않는 것을  라고 하자. 이러한 방법으로 계속하여 귀
강의노트 ∙ ∙ ∙
62
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
납적으로 직사각형 모양의 닫힌집합들의 모임  ∈ℕ을 구
정의 5.5    →  의 정의역이 유계가 아니라고 하자. 가
성할 수 있다.
무한대에서  에 수렴한다는 것은 임의의 양수 에 대하여 양수
 가 존재하여    일 때마다      이 성립하는 것
∞



이다.

이라고 하면  는 단 하나의 원소만 포함하는 집합이 된다.  의
정의 5.6    →  의 정의역이 유계가 아니라고 하자. 가
원소를 라고 하자.  의 모서리의 길이는 에 수렴하므로 를
무한대에서 무한대에 발산한다는 것은 임의의 양수  에 대하여
포함하는 임의의 열린구는 적당한  를 포함한다. 그런데  는
양수  가 존재하여    일 때마다    가 성립하는
닫힌집합이므로 ∈ 이다.  는  의 열린덮개이므로  의 적
것이다.
당한 원소  가 존재하여 ∈ 이다.  는 열린집합이므로
∈   ⊆  인 열린구   가 존재한다. 이때   
는 적당한  를 포함한다. 따라서  는 적당한  를 포함한다. 즉
6. 연속함수
 와  의 교집합이  에 의하여 덮인다. 이것은  와  의 교집
연속인 벡터함수의 성질은 연속인 실함수의 성질과 비슷하다.
합이  의 유한 부분덮개에 의하여 덮이지 않는다는 것에 모순
이다. 따라서  는 긴밀집합이다.
정의 6.1    →  에 대하여 ∈ 라고 하자. 가 에서 연
□
속이라는 것은 임의의 양수 에 대하여 양수 가 존재하여
    일 때마다     이 성립하는 것이다.
5. 함수의 극한
벡터함수의 극한은 좌극한, 우극한, 양의 무한대, 음의 무한대에
정리 6.2    →  가 연속함수일 필요충분조건은  에서의
관련된 개념을 제외하고는 실함수의 극한과 성질이 유사하다.
임의의 열린집합 에 대하여      가  에서의 열린집합이
되는 것이다.
정의 5.1    →  가 함수이고 가  의 집적점이라고 하
증명 기초 해석학 정리 9.3의 증명과 동일하다.
자. 가 에서  에 수렴한다는 것은 임의의 양수 에 대하여
□
양수 가 존재하여       일 때마다      이
정리 6.3 함수    →  와    →  가 연속이면  ∘ 도
성립하는 것이다. 이것을 기호로 lim   로 표기한다.
→
연속이다.
증명 기초 해석학 정리 9.4의 증명과 동일하다.
정리 5.2 함수    → ℝ와  의 집적점 가 주어졌다고 하
자. 가 에서  에 수렴할 필요충분조건은, 에 수렴하고
정리 6.4 함수    → ℝ 이        
∈∖인 임의의 수열 ⟨⟩에 대하여 수열 ⟨ ⟩이
으로 정의되었다고 하자. 이때 가 연속일 필요충분조건은  ,
 에 수렴하는 것이다. 이 명제를 수열판정법이라고 부른다.
증명 기초 해석학 정리 8.3의 증명과 동일하다.
□
 ,  이 모두 연속인 것이다.
□
증명 [⇒] 가 연속이라고 가정하자. ∈ 라고 하자. 그리고
양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 양수 가 존재하여
정리 5.3 함수 , 가 에서 각각 수렴할 때 다음이 성립한다.
    일 때마다     이 성립한다.
(1) lim    lim  lim.
→
→
→
이때     이고  ≤  ≤ 일 때
(2) lim⋅  lim ⋅ lim .

→
→
 
→

     ≤     
(3) lim   lim.
→
이므로  ,  ,  은 에서 연속이다.
→
(4) 의 공역이 실수 집합이고  ≠ ,  →  ≠ 일 때
[⇐]  ,  ,  이 모두  에서 연속이라고 하자. ∈ 라고 하
lim   .
자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.
→
(4) , 의 공역이 ℝ 의 부분일 때
그러면  ≤  ≤ 일 때   이 존재하여
lim ×   lim× lim .
→
→

     ⇒       

→
증명 수열판정법과 정리 3.3을 이용한다.
□
을 만족시킨다. 이제   min   이라고 하자.
그러면     일 때마다
정의 5.4    →  가 함수이고 가  의 집적점이라고 하

자. 가 에서 무한대에 발산한다는 것은 임의의 양수  에 대
  ≤
이므로 는 에서 연속이다.
성립하는 것이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
      
 
하여 양수 가 존재하여       일 때마다    가
63


□
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
증명 결론에 반하여   가 연결집합이 아니라고 가정하자. 그
정리 6.5 연속함수는 긴밀성을 보존한다.
증명 기초 해석학 정리 9.6의 증명과 동일하다.
러면   에서의 열린집합  ,  가 존재하여 서로소이고 공집
□
합이 아니면서     ∪ 를 만족시킨다. 이때      와
     는 서로소이고 공집합이 아니며  에서의 열린집합이고
정리 6.6 긴밀집합 위에서 연속이면 유계이다.
증명
     ∪      이다. 즉  는 연결집합이 아니다. 이것은
모순이므로    는 연결집합이다.
□
   → ℝ 이  위에서 연속이고  가 긴밀집합이라
고 하자. 그러면   는 긴밀집합이므로 유계이다.
□
참고 열린연결집합을 영역이라고 부른다.
정리
6.7 긴밀집합 위에서 연속이고 일대일대응인 함수는 그
역함수도 연속이다.
증명 기초 해석학 정리 9.8의 증명과 동일하다.
정의
7.4 집합  의 임의의 두 점 , 에 대하여 연속함수
    →  가 존재하여   ,   를 만족시키면 
□
를 호상연결집합이라고 부른다.
정의 6.8 함수    →  가 균등연속이라는 것은
정리 7.5 호상연결집합은 연결집합이다.
∀   ∃   ∀ ∈       →      
증명
 가 호상연결집합이라고 하자. 그리고 결론에 반하여 
가 연결집합이 아니라고 가정하자. 그러면  에서의 열린집합이
면서 서로소이고 공집합이 아닌 두 집합  ,  가 존재하여
  ∪ 를 만족시킨다. ∈ 와 ∈ 를 택하자.  는 호상연
결집합이므로 연속함수     →  가 존재하여   ,
을 만족시키는 것이다.
정리 6.9 긴밀집합 위에서 연속인 함수는 균등연속이다.
증명 기초 해석학 정리 9.10의 증명과 동일하다.
□
  를 만족시킨다.
      ∩ ,        ∩ 
7. 연결집합
실수 집합의 부분집합이 연결된 집합일 필요충분조건은 구간인
이라고 하자. 는 연속이므로  ,   은  에서 열린집합이
것이다. 그러나 차원이 높아지면 연결된 집합의 정의는 실수 집
다. 또한  ,   은 공집합이 아니고 서로소이다. 더욱이  
합에서처럼 단순하지 않다.
∪ 이므로    ∪  이다. 이것은  이 연결집합이
라는 데에 모순이다. 따라서  는 연결집합이다.
□
정의 7.1 집합  에 대하여 서로소이고 공집합이 아닌 두 열린
일반적으로 위 정리의 역은 성립하지 않는다. ℝ 의 두
집합  ,  가 존재하여 ∩ ≠ ∅,  ∩ ≠ ∅이면  는 분할
참고
되었다고 말한다. 분할되지 않은 집합을 연결집합이라고 부른다.
부분집합





      sin      ,     ∈ℝ
정리 7.2  가 연결집합일 필요충분조건은  에서의 여닫힌집합
를 생각하자.   ∪ 라고 하면  는 연결집합이지만 호상연
이 ∅과  자신밖에 없는 것이다. [열린집합이면서 동시에 닫
결집합이 아니다.
힌집합을 여닫힌집합이라고 부른다.]
그러나  가 열린집합이라는 조건을 추가하면 역이 성립한다.
증명 [⇒]  가 연결집합이라고 가정하자. 그리고 결론에 반하
여  의 부분집합  가 존재하여 ∅ ≠  ≠  이면서  는  에서
정리 7.6
의 여닫힌집합이라고 하자. 그러면 ∖ 도  에서의 열린집합
ℝ 의 부분집합 가 열린집합이라고 하자. 이때 
가 연결집합일 필요충분조건은 호상연결집합인 것이다.
이다.    ,   ∖ 라고 하면  ,  는 공집합이 아니고 서
로소이며 모두  에서의 열린집합이고   ∪ 이다. 이것은 
증명
가 연결집합이라는 데에 모순이다. 따라서 그러한 여닫힌집합 
에서 증명하였다. 이제 역을 증명하기 위하여 가 연결집합이라
가 호상연결집합이면 연결집합이 된다는 것은 이미 앞
고 하자. 가 공집합인 경우에는 는 명백히 호상연결집합이
는 존재하지 않는다.
다. 따라서 가 공집합이 아니라고 하자. 이제 의 두 점 , 
[⇐]  에서의 여닫힌집합이 ∅과  자신밖에 없다고 가정하자.
에 대하여 연속인 함수     → 가 존재하여   ,
그리고 결론에 반하여  가 연결집합이 아니라고 가정하자. 그러
  일 때 인 것으로 표기하자. 즉 와 를 연속인 선
면  에서의 열린집합이면서 서로소이고 공집합이 아닌 집합  ,
으로 연결할 수 있을 때 인 것으로 약속하자. 그러면  는
 가 존재하여   ∪ 를 만족시킨다. 그러면   ∖ 이므
 위에서의 동치관계가 된다.  에 의한 의 상집합을
    이라고 하자. 그러면  의 모든 원소는 열린집합이다.
또한  는 의 분할이다. 따라서  는 의 열린덮개이다. 명백
히  는 공집합이 아니다. 만약  의 원소가 2개 이상이라면 
가 연결집합이라는 데에 모순이다. 따라서  의 원소는 1개이다.
  의 원소가 1개라는 것은 의 점 가 존재하여 의 임의
의 점 에 대하여 이라는 것을 의미한다. 즉 의 모든 점은
와 연결된다. 따라서 는 호상연결집합이다.
□
로  는  에서의 여닫힌집합이다. 이때 ∅ ≠  ≠  이므로 여닫
힌집합이 ∅과  밖에 없다는 가정에 모순이다. 따라서  는 연
결집합이다.
정리 7.3
□
함수 가 연속이고  가 연결집합이면   도 연결
집합이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
64
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
두 점 , 에 대하여 선분  를
모든 성분이 실수인  ×  행렬들의 모임을 Mat  × ℝ 라고
        ≤  ≤ 
하자. 그러면 Mat  × ℝ 에 행렬 합과 실수 곱이 주어졌을 때
로 정의한다. 또한 열린선분  를
이 공간은 ℝ 과 동형인 벡터공간이 된다. ℝ 으로부터 ℝ 에
            
로의 선형사상들의 모임을 ℒ  ℒℝ ℝ  이라고 하면 대응
로 정의한다. 유한 개의 점  ,  , ⋯,  을 이은 다각선을
 ↦  
   ⋯      ∪  ∪ ⋯ ∪    
로 정의한다.
에 의하여 ℒ은 Mat  × ℝ 과 동형인 벡터공간이 된다.
노름이 주어진 벡터공간을 노름선형공간이라고 부른다.  와 
정리 7.7  가 영역이면  의 임의의 두 점은  에 포함되는 다
가 노름선형공간이라고 하자. 이때 함수    →  에 대하여
각선으로 연결될 수 있다.
증명
작용소 노름(operator norm)을 다음과 같이 정의한다.
 가 영역이고 ∈ , ∈ 라고 하자.   인 경우에는
 
   sup  ∈  ≠ 


자명하므로  ≠ 라고 하자.
 가 호상연결이므로 연속함수     →  가 존재하여


여기서 ⋅는  에서의 노름을 의미하고 ⋅ 는  에서의 노
  ,   를 만족시킨다.    이라고 하자.
름을 의미한다.
그리고 ∈ 에 대하여   라고 하자.  는 열린집합이
므로 각 ∈ 에 대하여     ⊆ 를 만족시키는 양수
 의 작용소 노름은  가  에서 벡터를 얼마나 멀리까지 떨어
 가 존재한다. 이때       ∈ 는  의 열린덮
뜨려 놓는지를 의미한다.
개가 된다.  은 긴밀집합이고 는 연속이므로  는 긴밀집
정리 8.1  와  가 노름선형공간이고    →  가 선형사
합이다. 따라서  는  를 덮는 유한부분덮개을 가진다. 즉
상이라고 하자. 이때 다음은 서로 동치이다.
 의 유한부분집합  가 존재하여       ∈가
(1)    ∞
 의 열린덮개가 된다. 여기서  의 원소들은  들의 순서와 동
(2)  는 균등연속이다.
일한 순서를 갖는 것으로 정의하자. 그리고 그 순서대로  의
(3)  는 연속이다.
원소들을 다음과 같이 나열하자.
(4)  는 원점에서 연속이다.
  ,   ,   , ⋯,   .
증명    ∞라고 하자. 그러면  의 선형성에 의하여 임의의
  의 중심을  이라고 하고   의 중심을  이라고 하자. 그리
, ′ 에 대하여
고   인 자연수 에 대하여 ∈ ∩  ∩ 를 택하자. 그
    ′  ≤     ′
러면 모든 점  는  위의 점이고   ,   이다. 또한
이 성립한다. 따라서 (1)⇒(2)가 성립한다. 또한 (2)⇒(3)⇒(4)
 ≤ 인 임의의 자연수 에 대하여      ⊆   이다. 따라서
가 성립함은 자명하다. 이제  가 원점에서 연속이라고 가정하
   ⋯   ⊆  ∪ ∪ ∪ ⋯ ∪  ⊆ 
자. 그러면   에 대하여 양수 가 존재하여 임의의 ∈ 에
이므로 와 는  에 포함되는 다각선으로 연결된다.
대하여   일 때마다    이 성립한다. 이 아닌
□
∈ 에
하자.
그러면
   


   



 
정의역이 ℝ 이고 공역이 ℝ 인 임의의 선형사상   는 다음과
같이 표현된다.
가 성립한다. 따라서 (4)⇒(1)이 성립한다.
      .

  
  
 
(8a)

함수    →  가 위상동형사상이라는 것은 가 일대일대응이
고 와    이 모두 연속인 것을 의미한다.
  는 ℝ 의 원소이고  ,  , ⋯,  은 표준


 



기저이다. 이때   는 다음과 같은 행렬로 나타낼 수 있다.
  


    ⋮ ⋮
 

□


정리 8.2  가 노름선형공간일 때 ℝ 으로부터  에로의 임의
의 선형사상   ℝ →  는 연속이다. 또한 만약  가 벡터공
⋯  
⋯ 
⋱ ⋮
⋯ 

간의 동형사상이면  는 위상동형사상(homeomorphism)이다.
증명 ℝ 에서의 노름은 Euclid 노름
  
   ⋯ 

이 행렬을   의 표현행렬이라고 부른다. 만약 와  를 열


이고  에서의 노름은 ⋅ 이다.
벡터  와  로 나타낸다면 (8a)는 다음과 같은 행렬 곱
  max     ≤  ≤ 
으로 나타낼 수 있다.
라고 하자. 그리고 ∈ℝ 을 
     
강의노트 ∙ ∙ ∙
  라고
    이므로
8. 선형변환
여기서  
  ,
대하여
65
  로 나타내자.
 
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
그러면  ≤ 이고
9. 미분의 개념

  ≤

실함수   가 에서 미분계수 ′  를 가진다는 것은 극한
          ≤ 
  


 

    
 ′ 
lim 

이므로   ≤   ∞이다. 따라서  는 연속이다.
(9a)
→
가 성립하는 것을 의미한다. 그러나 벡터변수 함수에 대해서는
 가 동형사상이라고 가정하자.  는 연속이므로 단위구면의 상
이러한 극한이 의미가 없다. 왜냐하면 가 벡터인 경우 로 나
     은  에서 긴밀집합이다.  는 단사이므로  의 중심
누는 것이 정의되지 않기 때문이다. 벡터변수 함수의 미분을 정
은       에 속하지 않는다. 따라서 상수   가 존재하여
의하기 위하여 (9a)와 동치인 명제를 살펴보자. (9a)를 변형하면
   ⇒  ∉       ⇒     ≠ 
      ′ 
이 성립한다. 이제        임을 증명하자. 결론에 반하

lim 

여     이라고 가정하자. 그러면        이므
을 얻는다. 고정된 에 대하여 ′  는 고정된 실수이다.
로   라는 사실에 모순이다. 즉     ≤ 이므로   
  ′  라고 하면 위 식은
→
      
은 연속이다. 따라서  는 양방향 연속이고 전단사이므로 위상동
형사상이다.

lim 

→
□
으로 쓸 수 있다. 여기서 는 를 에 대응시키는 선형사상
으로 생각할 수 있다. 이러한 개념을 바탕으로 벡터변수 함수의
따름정리 유한차원 벡터공간에서 모든 선형사상은 연속이다. 또
미분을 다음과 같이 정의한다.
한 유한차원 벡터공간에서 연속인 모든 선형사상은 위상동형사
상이다.
정의
증명
 가 차원 벡터공간이라고 하자. 그러면 동형사상  
9.1    → ℝ 의 정의역이 ℝ 에서의 열린집합이고
∈ 라고 하자. 만약 선형사상   ℝ → ℝ 이 존재하여
ℝ →  가 존재한다. 임의의 선형변환    →  에 대하여
       
   ∘   ∘    가 성립한다.  ∘  는 ℝ 에서 정의된 선

lim 

→
형사상이므로 연속이며  는 위상동형사상이다. 따라서  는 연
속이다. 만약  가동형사상이면  와    의 연속성에 의하여 
을 만족시키면 는 에서 미분 가능하다고 말하며  를 에서
는 위상동형사상이 된다.
의 미분이라고 부르고  또는   로 표기한다.
□
정리 8.3 임의의 선형사상    →  ,
벡터변수 함수의 미분은 다른 방법으로 정의할 수도 있다. (9a)
   →  에 대하
에서 함수  가
여  ∘   ≤    이다.
      ′    
증명 임의의 ∈ 에 대하여
를 만족시키도록 정의되었다고 하자. 그러면 미분의 정의에 의하여
  ∘        ≤     ≤     
이므로  ∘  의 노름은     보다 크지 않다.
 

lim 

→
□
이 성립한다는 것을 알 수 있다.
유한차원 벡터공간 사이의 선형사상은 행렬로 나타낼 수 있다.
9.2    → ℝ 의 정의역이 ℝ 에서의 열린집합이고
따라서 두 선형사상의 합성은 행렬의 곱으로 나타낼 수 있다. 
정의
가  ×  행렬이고  가  ×  행렬이면 행렬의 곱    는
∈ 라고 하자. 만약 선형사상   ℝ → ℝ 이 존재하고 
 ×  행렬이고, -성분은 다음과 같이 표현된다.
의 적당한 근방에서 정의된 함수  이 존재하여

    ⋯   
 
 
           ,
 
(9b)
→
을 만족시키면 는 에서 미분 가능하다고 말하며  를 에서
정리 8.4   ∘     .

 

lim 

의 미분이라고 부르고  또는   로 표기한다.

증명 각  ∈ℝ 와  ∈ℝ 에 대하여

    
참고 정의 9.2에서  를 Taylor 나머지 항이라고 부른다. 또한

  ,       
 

 

 
 → 일 때   가 보다 더 빨리 에 다가가기 때문에  을
 
부분선형(sublinear)함수라고 부른다.
이 성립한다. 따라서
   

      



   
 



 
  
앞의 정의 9.2에서     일 때 다변수 함수의 미분의 정의
 
는 실수 함수의 미분의 정의와 일치한다. 왜냐하면 ℝ로부터 ℝ
        
   
  


로의 선형사상은 변수에 단순히 ′  를 곱한 것으로 생각하면
되기 때문이다.
가 성립한다. 기저의 값을 동일하게 변환시키는 두 선형사상은
동일하므로 정리의 결과를 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
□
66
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
에서 의 미분계수는 선형사상으로 생각할 수도 있고 하나의
앞서 공역이 ℝ인 함수의 편미분을 정의하였다. 이제 일반적인
행렬로 생각할 수도 있다. 에서 의 미분계수를 하나의 값, 즉
다변수 벡터함수의 편미분을 정의하자.
행렬로 생각하는 경우에는 주로 로 표기하고, 에서 의
미분계수를 선형사상으로 생각하는 경우에는 주로   로 표
정의 9.5    ⋯  의 -편미분(partial derivative)을 다
기한다.
음과 같이 정의한다.
  로 표기하는 것은 실수 함수의 미분계수를 ′  와 같이
 

        

→
      lim 
표기하여 ′ 을 에 대한 함수로 생각하는 것과 비슷하게 다룰
수 있게 해준다. 는 에 대한 함수이지만 는 그 자체
편미분과 구분하기 위하여 를 의 전미분(total derivative)이라
로서 또 하나의 선형사상이므로 와 같이 표기해야 하
고 부르기도 한다.
는
경우가
발생한다.
이때에는
변수가
혼동되지
않도록
정리 9.6 힘수    → ℝ ,  ⊆ ℝ 이 ∈ 에서 미분 가
  로 표기하기도 한다.
능하면 는 에서 편미분 가능하다. 또한 에서 의 미분은 
일관성을 위하여 이 노트에서는 에서 의 미분을 로 표
의 편미분들을 성분으로 가진 행렬
기하고 혼동될 염려가 있는 경우에만   로 표기하겠다.
  
 
 
⋮
⋮
 

정리 9.3 함수 가 에서 미분 가능하면 임의의 ∈ℝ∖
에 대하여 다음 극한이 존재한다.
    

→
  lim 
증명 가 미분 가능하다고 하자.    ⋯  이라고 하고
(9c)에     를 대입하면 미분의 정의에 의해
 가 미분의 정의를 만족시키는 선형사상이라고 하자.
                  
∈ℝ 이 임의로 주어졌다고 하고   라고 하자. 그러면
이다. 여기에  → 인 극한을 취하면     → 이고
         
 
       




는 선형이므로
      
를 얻는다.  → 인 극한을 취하면 마지막 항은 에 수렴한다.
   
lim 

→
따라서 등식 (9c)를 얻는다. 이제   가 에서 의 미분이고
가 성립한다. 따라서 의 -편미분이 존재하고 그것은 의
(9b)를 만족시킨다고 하자. 그러면 위 등식에 의하여 임의의 
표현행렬의 -성분이 된다.
에 대하여      가 성립한다. 따라서     이므로 
에서 의 미분은 유일하다.

이 된다.
(9c)
여기서 는 실수이다. 또한 에서 의 미분은 유일하다.
증명
⋯  
⋯ 
⋱
⋮
⋯ 
□
참고
□
일반적으로 위 정리의 역은 성립하지 않는다. 즉 에서
함수 의 모든 편미분이 존재할지라도 는 에서 미분 가능하
참고 위 정리에서 의 공역이 ℝ이고 가 단위벡터일 때 함수
지 않을 수도 있다. 예컨대 함수   ℝ → ℝ를
 ↦  를 에서 방향으로의 의 방향도함수라고 부른
다. 특히 가 기저의 한 원소     일 때  를 에서 

i f   

i f  ≠ 

  ,



  


  
의   에 대한 편미분계수라고 부르고

으로 정의하면    에서


 또는  

 

로 표기한다. 예를 들면      에서   ℝ → ℝ의
이지만 는 에서 미분 가능하지 않다. 그러나 적절한 조건이 더
 에 대한 편미분계수는 다음과 같다.
해지면 의 편미분 가능성이 의 미분 가능성을 함의하게 된다.


     
정리 9.7 함수    → ℝ 의 모든 편미분이 존재하고 그 편
      
 lim 

→
          
 lim 

미분이 모두 연속이면 는 미분 가능하다.
증명
가 에서 편미분 가능하다고 하자. 그리고 에서 의
편미분들의 행렬을  라고 하자. 또한 행렬  에 의해 표현되는
→
선형사상을   ℝ → ℝ 이라고 하자. 이제     임
정리 9.4 가 에서 미분 가능하면 는 에서 연속이다.
을 보일 것이다. 즉 Taylor 나머지항
          
증명 가 에서 미분 가능하므로
가 부분선형임을 보일 것이다.  가 열린집합이므로 가 에 충
          ≤     
분히 가까우면 점 로부터     까지 유한 개의 점  들을
가 성립한다. 이때  → 인 극한을 취하면 다음을 얻는다.
     → 
강의노트 ∙ ∙ ∙
이어서 만든 다각선    ⋯  으로 연결할 수 있다.
□
67
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
따라서  
  이고
(4) 의 오차 함수  를 의 Taylor 나머지항  에 대하여 다
 
음과 같이 정의하자.
         ( ≤  ≤ )
은     
  

if ≠
    


 
if  
   로부터   

 

      까지 잇는 선분이
된다.
 도 같은 방법으로 정의한다. 그러면  → 일 때   → 임
함수    ∘  에 일변수 함수의 연쇄 법칙과 평균값 정
을 알 수 있다.
리를 적용하면 ∈ 이 존재하여     에 대하여
이제 에서 의 Taylor 전개식과   에서 의 Taylor 전
  
             ′     

개식은 다음과 같다.
         ,
를 만족시킨다.       를 를 따라 움직이면
           .
            
여기서 행렬  ,  는 각각   ,   이다. 그러
 

          



    

  








면 합성함수는
 ∘          
          

를 얻는다. 편도함수가 연속이므로  → 인 극한을 취하면 마
이다. 여기서      이다. 이제 나머지항이 에 대하
지막 합은 에 수렴한다. 따라서  는 부분선형이고 는 에서
여 부분선형임을 보여야 한다. 먼저
미분 가능하다.
  ≤    
□
는 부분선형이다. 다음으로
      ≤     
10. 미분의 성질
이다. 따라서
다변함수와 벡터함수의 미분은 선형사상이 되기 때문에 실함수
   ≤    ≤      
의 미분과는 다른 성질을 가진다.
이다.  → 일 때    → 이고,  → 일 때  ↛ 이므로
  는 에 대하여 부분선형이다. 따라서   ∘   
정리 10.1 두 함수 와 가 미분 가능하면 다음이 성립한다.
이다.
(1) 가 실수일 때        .
(2) 임의의 실수 에 대하여   .
□
미분 가능한 함수 , 에 대하여 다음과 같은 Leibniz 법칙을
(3) 선형사상  에 대하여       .
증명하려고 한다.
(4) 연쇄법칙 :   ∘    ∘ .
 ⋅  ⋅  ⋅
증명 (1) , 와   에 대한 Taylor 근사식을 쓰면 다음과
이것을 위하여 먼저 ⋅의 의미를 명확하게 해야 한다. ℝ에
같다.
서 ⋅는 단순히 와 의 곱이다. 하지만 차원이 높아지면
         ,
두 벡터의 곱은 여러 가지가 존재한다.
         ,
 ,  ,  가 벡터공간이고    ×  →  가 함수라고 하자.
    
임의의 ∈ 에 대하여 에 대한 함수  ⋅   → 가
선형이고,
            .
또 임의의
∈ 에 대하여
에 대한 함수
⋅     →  가 선형이면 를 쌍선형(bilinear)사상이라고
여기서    는 부분선형이므로   는 에서
부른다. 이로써 라이프니츠 법칙은 다음과 같이 진술할 수 있다.
  의 미분이다.
(2)   ℝ → ℝ 이 상수함수   라고 하자. 그리고 영
정리 10.2    → ℝ 와    → ℝ 이 에서 미분 가능하
변환을   ℝ → ℝ 으로 표기하자. 그러면 Taylor 나머지항
고   ℝ × ℝ → ℝ 이 쌍선형이면 함수
           는 항등적으로 이다. 따라서
 ↦  
는 에서 미분 가능하고 다음 등식이 성립한다.
   이다.
 
(3)     라고 하면            는
      .
항등적으로 이다. 따라서    이다. 특히     일
때에는 선형사상은   의 꼴이고 이때 ′   이다.
증명 는 쌍선형이므로 그 노름
  
  sup   ≠   ≠ 




은 유한이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
68
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
  ,   라고 하면
정리 10.5 함수    → ℝ 이 연속적으로 미분 가능하고 선
분  가  에 포함되면
                  

         

 

          
   
에 대하여
        
       
이다. 그런데
(10a)
가 성립한다. 역으로 위 등식을 만족시키는 연속 선형사상들
∈ℒ이 존재하면 는 연속적으로 미분 가능하며  
  ≤   ,
 가 성립한다. 이 명제를   -평균값 정리라고 부른다.
     ≤       ,
        ≤        
증명 주어진 적분의 피적분함수는 노름공간  ℝ ℝ  에서
값을 취하므로 에 관하여 연속이다. 적분은 Riemann 합의 극
이므로 마지막 세 항은 부분선형이다. 따라서  는 미분
한
가능하고
     
       
가 성립한다.


□

로 계산되는데, 그 값은  에 놓인다. 적분이  의 원소이므로 벡
터   에 작용할 수 있다. 교대로 만약 를 나타내는 행렬의
정리 10.3    → ℝ ,    가 ∈ 에서 미분 가능할
각 성분을 선분 위에서 적분하면 그 값은  를 나타내는 행렬의
필요충분조건은 모든  가 에서 미분 가능한 것이다. 더욱이 
각 성분이 된다. 첨수 를 고정시키고 일변수 함수
의 미분의 번째 성분은 의 번째 성분의 미분이다.
   ∘ 
증명 가 에서 미분 가능하다고 하자. 그리고  를 번째 좌
에 미적분의 기본정리를 적용하자. 여기서       는
표를 사영시키는 사영사상이라고 하자. 그러면 의 번째 성분
선분  를 나타내는 함수이다. 그러면
은    ∘ 가 된다.  는 선형이므로 미분 가능하다. 연쇄법
        

 ′ 
 
       

 
       

칙에 의하여  는 에서 미분 가능하고


 
     ∘    ∘ 
 


이다. 역이 성립하는 것 또한 이 등식에 의하여 자명하게 증명된
다.
□










를 얻는데, 이것은    의 번째 성분이 된다.
정리 10.4    → ℝ 이  에서 미분 가능하고 선분  
이제 역을 증명하자. 연속 선형함수들  에 대하여 (10a)가 성
가  에 포함되면   sup  ∈에 대하여
립한다고 가정하자.     라고 하자. 그러면 에서 일차
   ≤    
Taylor 나머지항은
가 성립한다. 이 명제를 평균값 정리라고 부른다.
               
증명 ∈ℝ 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면
이다. 이 항은 에 대하여 부분선형이므로    이다. □
 ⟨     ⟩
는 미분 가능하다. 따라서 일변수 함수의 평균값 정리에 의하여
참고 위 정리에서  를 선분   위에서 의 평균변화율 또
∈ 이 존재하여
는 평균미분(average derivative)이라고 부른다.
    ′  
따름정리  가 연결열린집합이고    → ℒ 이 미분 가능하
를 만족시킨다. 즉
며 임의의 ∈ 에 대하여   이면 는  에서 상수함
⟨   ⟩ ′  
수이다.
⟨       ⟩≤    
가 성립한다. 즉 임의의 단위벡터와 내적한 결과가     이
증명 한 점 ∈ 를 택하자.  가 연결열린집합이므로 임의의
하이므로 그러한 벡터의 노름은     이하가 된다.
∈ 에 대하여 에서 까지 유한 개의 점  들을 이어서 만든
□
다각선
   ⋯  으로
이을
수
있다.
이때
선분
     위에 평균값 정리를 적용하면       를 얻
일변수 함수의 평균값 정리는 부등식이 아니라 등식
    ′    
는다. 따라서
이다. 그러나 다변수 함수에 대해서는 항상 등식이 성립하는 것
         ⋯    
은 아니다. 단 몇 가지 조건이 추가되면 다음 정리에서처럼 비슷
이므로 는 상수함수이다.
□
한 결과를 얻을 수 있다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
69
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
다음은 적절한 조건 하에서 미분과 적분의 순서를 바꿀 수 있다
미분 가능하며 이때
는 정리이다.
     
로 정의한다. 이계 편미분계수도 일계 편미분계수와 마찬가지로
정리 10.6     ×   → ℝ가 연속이고
정의한다.
 


정리 11.2 만약  가 존재하면 에서의 이계 편도함수
가 존재하며 연속이라고 하자. 그러면
   가 존재하며

  
  
  
 
        

는 연속적으로 미분 가능하며




를 만족시킨다. 역으로 의 한 근방에서 의 모든 이계 편도함

 



(10b)
수가 존재하고 연속이면 에서 의 이계도함수  가 존재

가 성립한다. 이 명제를 Leibniz의 정리라고 부른다.
한다.
증명 가 충분히 작으면   평균값 정리에 의하여
증명
       




  에서 미분 가능하므로 행렬
   
  
  





 가 존재한다고 가정하자. 그러면  ↦ 은
 


가 성립한다. 안쪽에 있는 적분은 로부터   까지 잇는 선분
 
위에서 에 대한 의 평균 편미분이다. 가 연속이므로  → 
일 때 평균 편미분은
 



⋯

⋮
⋱

⋯


 


⋮


 

에 의해 표현되는 함수  ↦  도   에서 미분 가능하다.
행렬  는 벡터 함수로서 모든 성분이   에서 미분 가능하
에 수렴한다. 따라서 등식 (10b)를 얻는다.
또한  가 연속이므로 도 연속이다.
고 이계도함수가 존재한다. 또한  의 번째 행은   에서
□
미분 가능한 에 대한 함수이며
              
11. 고계도함수
            
 lim 

→
이 장에서는 다변수 함수의 고계도함수를 정의하고 그 성질을
살펴보자.    → ℝ 이  에서 미분 가능하다고 하자. 이때
이 성립한다. 마지막 식의 분자의 미분은 각각     와 에서
각 에 대하여 가 존재하므로 대응  ↦ 는
 의 번째 편미분이다. 따라서
   →  ℝ ℝ 
  
       

 
인 함수가 된다. 즉 는 열린집합으로부터 차원 벡터공간
에로의 함수이다. 따라서 점 ∈ 에서 의 미분
가 성립한다.
 
를 생각할 수 있다. 이것을 에서 의 이계도함수라고 부르고
역으로 의 한 근방에서 연속인 이계도함수가 존재한다고 하자.
 로 표기한다.
그러면  의 성분들은 의 근방에 있는 에서 편미분을 가지
며 에서 연속이다. 따라서  ↦  는   에서 미분 가능하
정의 11.1 에서 의 이계 도함수를
다. 즉 는 에서 두 번 미분 가능하다.
    
로 정의한다.
정리
□
11.3 이계도함수  가 존재하면 그것은 대칭이다.
즉 임의의  ∈ℝ 에 대하여
참고 에서 가 미분 가능할 때 는 에서 두 번 미분 가능
       
하다고 말한다. 각 ∈ℝ 에 대하여  는  에 속하므
가 성립한다. 이 명제를 Clairaut의 정리라고 부른다.
로 ℝ 로부터 ℝ 에로의 선형사상이다. 따라서   
증명    ⋯  이라고 하자. 각  에 대하여
는 쌍선형이고 이것을
   
         
로 표기한다. 삼계 도함수와 사계 도함수도 마찬가지로 정의한
가 성립함을 보이면 된다. 따라서 일반성을 잃지 않고 의 공역




을 ℝ라고 하고
다.  이 ℝ × ℝ 으로부터 ℝ 에로의 선형사상들의 모임이라
       
고 하자. 만약 가  에서 두 번 미분 가능하면 대응  ↦
 는 함수
가 성립함을 보이겠다. ∈ 이라고 하고 네 점 ,   ,

  →
  ,     를 꼭짓점으로 하는 평행사변형  를 생각하

자. 그리고 두 점   와   에는 음의 부호를 이름으로 붙

가 된다. 만약  가 에서 미분 가능하면 는 에서 세 번
강의노트 ∙ ∙ ∙
70
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
이고 나머지 두 점에는 양의 부호를 이름으로 붙인다. 그러면
앞의 따름정리의 역은 성립하지 않는다. 즉 가 에서 순서를
바꾸어도 동일한 값을 갖는 이계 편도함수를 가질지라도 는 
     
에서 두 번 미분 가능하지 않을 수 있다.
                 
이제 고계도함수에 대하여 간단히 논의해 보자.
는  의 꼭짓점에서의 부호 붙은 변화율이다. 명백히 는 , 
함수 , 가 번 미분 가능할 때 상수 에 대하여   의 미
에 대하여 대칭이다. 즉
분이     이 됨은 자명하다. 또한 가 -선형이고
       
  이면    ⋯ 의 계 미분은    이다 한
이다. 이제
   

     lim 

→
편   이면    symm이다. 여기서 symm는
(11a)
의 대칭화(symmetrization)로서   ⋯ 의 치환들의 모임
가 성립함을 보이자. 그러면  의 대칭성이 증명된다. , , 
  에 대하여
를 고정시키고

  ⋯    
symm ⋯    
 ∈ 

             
로 정의된 함수이다.
로 정의된 에 대하여     이라고 하자. 가 미분
계 도함수의 연쇄법칙은 약간 복잡하다.
가능하므로 도 미분 가능하다. 일변수 함수에 대한 평균값 정
리에 의하여 ∈ 이 존재하여   ′   를 만족시킨다.
 ∘     ∘  
연쇄법칙에 의하여 ′   는 의 항들로 표현되며
를 미분하면
  ′                
   ∘      ∘   
를 얻는다.   에서  ↦ 의 Taylor 근사식을 구하면
가 된다. 이것을 미분하는 과정을 거듭하면
       ⋅   ⋅

  ∘  


 
이다. 여기서  ⋅∈ ℝ ℝ  은 에 대하여 부분선형
이다.
   ∘  
를 얻는다. 여기서 의 합은  ⋯ 를 개의 성분으로 분
  의 근사식에     를 대입한 것과
할하는 모든 분할에 대하여 취해진 것이다.
  를 대입한 것을 비교하면
 
              



12. Taylor의 정리
일반적으로 계 전미분은

            

    →  ℝ × ℝ ×⋯× ℝ ℝ 


 times
         
        


임을 알 수 있다. 여기서
    ℝ × ℝ ×⋯× ℝ → ℝ
를 얻는다. 여기서 두 이계도함수의 항을 결합할 때 쌍선형성이


 times
이용되었다.     가 에 대하여 부분선형이므로  → 일
때 마지막 두 항은 에 수렴한다. 따라서 (11a)가 증명되었다.
는 각  에 대하여 다중선형이다. 따라서 각  ,  , ⋯,
 는 대칭인 두 함수 , 의 극한이므로  도 대칭
∈ℝ 에 대하여
이다.
□
    ⋯       ⋯  ∈ℝ
위 정리에서 보다시피 다변수 함수의 경우  는 하나의 극한
이다.   일 때 고계도함수에 관하여 생각하자.  ≥ ,  는
으로 표현될 수 있다. 그러나 이것은 일변수 함수에 대해서는 참
ℝ 에서의 열린집합,    → ℝ라고 하자. 의   계 편도
이 아니다. 왜냐하면 일반적으로
함수가  에서 존재하고 에서 미분 가능이면 와  ,  , ⋯,
∈ℝ 에서의 계 전미분은
        
″  ≠ lim 

→
    ⋯   
이기 때문이다.

  
  
 




이다.   에 대하여
따름정리 가 에서 두 번 미분 가능하면 이계 편도함수의 미
    ⋯          ⋯     
분 순서를 바꾸어도 그 값은 동일하다. 즉 다음이 성립한다.
     


 
 






   
    
   
⋯    ⋯ 

 
 ⋯ 

증명 다음 등식에 의하여 자명하다.


 ⋯ 
⋯  
 ⋯ 

  


    
이다.

  
  
                  □

 
 
강의노트 ∙ ∙ ∙
71
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
  일 때 정의에 의하여

Taylor 정리에서 사용된   를 보다 간단하게 나타내기
위해 다음 기호를 도입하자.

  ∇⋅  


   



   ⋯  ∈ℝ ,
이므로 의 첫 번째 전미분은 의 전도함수와 밀접한 관계가
   ⋯  ∈ℤ
있다. 만약   이면
이고  ≥ 일 때
          

임을 알 수 있다. 여기서  는 열벡터이고


    ⋯  ,

 
  ×
   

      ⋯   ,

   ⋯ ,
 
 




   ⋯ 
은  ×  행렬이다. 이 행렬을 헤세 행렬(Hessian)이라고 부른다.
으로 표기하자. 그러면
정리
12.1 가 자연수이고  가 ℝ 에서의 열린집합이며
   
 ∈ 이고    → ℝ의   계 편도함수가  에서 존재한








     

      

   
   ⋯        ⋯  







 ≤    

를 만족시킨다. 여기서   ,     ⋯ 이다. 이 명제를

  
다변함수에 대한 Taylor의 정리라고 부른다.
증명

로 쓸 수 있다. 따라서 Taylor의 정리는
부분집합이면 ∈ 이 존재하여     에 대하여


  
다고 하자. 만약 ∈ , ∈ 를 잇는 선분    이  의
 

 


로 쓸 수 있다.
충분히 작은 양수 가 존재하여 임의의 ∈    
  에 대하여    ⊆  가 성립한다.      라고
13. 함수급수의 미분
하면  는 실수 함수이다. 연쇄법칙을 이용하면
함수 가 번 미분 가능하고 의 계 도함수가 연속이면 는


  
 ′      




  급이라고 말한다. 만약 임의의 에 대하여 가   급이면 

는  ∞ 급이다고 말한다.
이며 수학적 귀납법을 이용하면     ⋯ 에 대하여
  


 
   ⋯ 
⋯ 
 ⋯ 
  
  



정의

13.1 ⟨⟩가   급 함수    → ℝ 의 수열이라고
하자.
임을 보일 수 있다. 따라서  는  위에서 미분 가능하다.
(1) 만약   급 함수    → ℝ 가 존재하여  ⇉ 이고 
이로써     ⋯ 와 ∈ 에 대하여
이하인 임의의 자연수 에 대하여   ⇉  이면 ⟨⟩는
에   급으로 균등수렴한다고 말한다.
      ⋯   ,
        ⋯  
(2) 임의의 양수 에 대하여 자연수  이 존재하여  ≥  ,
 ≥  일 때마다 임의의 ∈ 와 보다 작은 임의의 자연수
가 성립한다. 여기서   이다. 기호를 간단하게 하기 위해
에 대하여       ,           을
  ,     ⋯ 일 때    ⋯   를   
만족시키면 ⟨⟩를   급 동정도 Cauchy 수열 또는 간단히
로 나타내자. 함수    → ℝ는  위의 모든 점에서 계 도
  급 Cauchy 수열이라고 부른다.
함수를 가짐을 보였다. 따라서 만약  ⊇  이면 일변수 함
수의 Taylor 정리에 의하여 ∈ 이 존재하여
정리 13.2   급 균등수렴과   급 Cauchy 수열인 것은 서로
        
동치이다.

 


     









증명
Cauchy 수열인 수열이   급으로 균등수렴함을 증명하자. 먼저
    
      



  인 경우를 증명하자.  는 연속인 함수 에 균등수렴하고,

를 만족시킨다.     로 두면 정리의 결과를 얻는다.
수렴하는 수열은 당연히 Cauchy 수열이다. 이제   급
도함수열  도 연속함수 에 균등수렴함을 알고 있다.
□
  임을 보이자. ∈ 라고 하고 의 볼록 근방의 점 를
택하자.
강의노트 ∙ ∙ ∙
72
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
  평균값 정리와 균등수렴성에 의하여  → ∞일 때
정리 14.1 함수 가   급( ≤  ≤ ∞)이면   의 한 근

방과   급 함수 가 존재하여 근방에서 의 그래프가 의 그
     


       
⇊
⇊
   
       
래프와 일치하며 또한   를 만족시킨다. 이 명제를 음함
수 정리라고 부른다.

증명 일반성을 잃지 않고   가 ℝ × ℝ 의 원점  

이라고 하자. 그리고   가 ℝ 의 원점 이라고 하자.
가 성립한다. 의 적분은 에 대한 연속함수이며   일 때 이
     
  
적분은   가 된다.   평균값 정리의 역에 의하여 는 미분

가능하고   이다. 따라서 는   급이고  → ∞일 때 


로 정의된  ×  행렬  와 부분선형  가 존재하여 의
는 에   급으로 균등수렴한다. 이로써   일 때 증명이 끝
Taylor 전개가
났다.
        
이제  ≥ 라고 하자. 대응    →  들은 균등     급
로 표현된다. 따라서    을 풀어서   의 꼴로 나타
Cauchy 수열을 형성한다. 그 극한은, 수학적 귀납법에 의하여,
내는 것은

 
         
급으로 균등수렴한다. 즉  → ∞일 때 임의의  ≤   
에 대하여
(14b)
를 푸는 것과 동치이다. (2)에서 만약  가 에 영향을 받지 않

   ⇉  
는다면 (14b)는 에 대해 양적으로 정의된다. 그러나  가 
이다. 따라서  → ∞일 때  는 에   급으로 균등수렴한다.
에 완전히 영향을 받지 않을 수는 없다. 따라서 이 증명에서는
이로써 수학적 귀납법에 의하여 정리가 증명되었다.
 가 에 매우 적은 영향을 받음을 보일 것이다.
□
(14b)에서 를 에 대한 함수로 나타내는 것은
   ↦        
참고   급 함수    → ℝ 에 대하여   -노름을
  maxsup ∈  ⋯ sup ∈    
의 부동점을 찾는 것과 같다.  가 축약 사상임을 보이면 이것
로 정의한다.   ∞인 함수 들의 모임을   ℝ  으로
이 증명된다. 나머지  은   급 함수이고     이다.
따라서 충분히 작은 양수 이 존재하여 와 의 값이  이하
표기한다.
일 때마다
‖
즉 Banach 공간이다.
이 성립한다. 평균값 정리에 의하여 , , 의 값이  이하
일 때마다
 가 수렴하는 양항 실급수이고 임의의 에 대하
여   ≤  이면   ℝ  에서   는 적당한 함수 에
따름정리


 
       ≤            

‖ ‖

≤       


≤    



수렴한다. 이때 는 차 이하의 항별 미분을 할 수 있다. 즉

 
   이다. 이 명제를  급  -판정법이라고 부른



‖
  

    ≤ 


따름정리 노름 ⋅ 이 주어진 공간   ℝ  은 완비이다.

다.
가 성립한다. 가 원점에서 연속이므로 보다 작은 양수 가 존
재하여  ≤ 일 때마다
14. 음함수 정리와 역함수 정리



  ≤ 


   → ℝ 의 정의역  가 ℝ × ℝ 에서의 열린집합이라고
이 성립한다. 따라서     가 ℝ 에서의 열린구이고
하자. 한 점   ∈ 에 대하여       라고 하자. 우
    가 ℝ 에서의 열린구일 때, 임의의 ∈ 에 대하
리의 목표는   의 한 근방에서 에 대한 방정식
여  는  를 그 위에 대응시키는 축약사상이 된다. 부동점 정
(14a)
    
리에 의하여  는  에서 부동점 를 가진다. 따라서 원점
을 푸는 것이다. 더욱 정확히 말하면,   의 한 근방이 존
근처에서 의 그래프와   의 그래프는 일치하게 된다.
재하여 그 근방 내에서      의 그래프가   의 그
이제 가   급임을 보여야 한다. 먼저 가 원점에서 Lipschitz
래프와 일치하도록 하는 를 구하는 것이다.
조건을 만족시킴을 보이자.       이고 가 충분히 작
적당한 조건이 주어지면 그러한 함수 가 존재하며 는 미분
을 때 다음이 성립한다.
가능하고, 또한 유일함을 보일 수 있다. 이 절이 끝날 때까지
         
 ×  행렬
≤ Lip      

≤           


≤     

     
  



은 가역인 것으로 가정하겠다. 즉  는 ℝ 으로부터 ℝ 에로의
동형사상이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
73
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
따라서 는 Lipschitz 조건
증명
 ≤  
      라고 하자. 명백히  는   급이고
    이며  에서 에 대한  의 미분은 이
를 만족시킨다. 즉 는   에서 연속이다.
다. 는 동형사상이므로 와 의 역할을 바꾸어 음함수
만약
정리를 적용하면 의 근방  와 의 근방  , 그리고   급
가 원점에서 미분 가능하다면 연쇄법칙에 의하여
     을 만족시켜야 하므로 우리는
  
음함수    →  가 존재하여     을 만족시킴을

알 수 있다. 따라서   이므로  ∘   id  이고 는 

의 우역원이 된다.
가 성립함을 보여야 한다. 는  의 부동점이므로
이제 가   ∈ ∈로부터  에로의 일대일대응이
        
고 그 역함수는 이며 는   급인 함수임을 보이자. 이것을
를 만족시킨다. 원점에서 의 Taylor 근사식은 원점에서 에
세 단계로 증명하자.
수렴하는 함수 가 존재하여
는 연속이고  은 열린집합이다. ∈ 이고 ∈ 이므로
            
∈ 이다. 따라서  은 의 근방이다.
≤     ≤       
∈ 가 임의로 주어졌다고 하자. ∈ 이고   이므
≤        
로 ∈ 이다.
가 된다.  → 일 때  → 이므로    → 이다. 즉
따라서  ∘ 는 잘 정의된 함수이고
나머지 항은 에 대하여 부분선형이며 는 에서 미분 가능하
 ∘    ∘   를 만족시킨다. 즉 는  의 우역
고      를 만족시킨다.
원이다.
같은 방법으로
∈ 가 임의로 주어졌다고 하자.  의 정의에 의하여 ∈
 

이며  의점 가 유일하게 존재하여     을
 

   ,    
만족시킨다. 그런데 가 바로 그러한 조건을 만족시키는 점이다.
일 때 원점 근처의 임의의 점  에 대하여
는  에 속하므로  에 속하며,       이므로
     ∘ 
    을 만족시킨다. 따라서 의 유일성에 의하여
  이다. 즉 는  의 좌역원이다.
가 성립함을 보일 수 있다. 이로써 는 미분 가능하므로 연속
이고 는   급이며  와   는 에 대하여 연속인 함수가 된
□
참고 위 정리의 의미는   가 동형사상이면 는 에서 국소
다. Cramer의 법칙을 이용하면   의 역함수    를 양함수로
적으로 미분동형사상이라는 것이다.
서 구할 수 있으며, 이때    도 에 대한 연속함수이다. 따라
서 는   급이다.
15. 차수 정리

 급임을 보이자. 수학적 귀납법을 이용하자.
선형 변환   ℝ → ℝ 의 치역의 차원을  의 차수라고 부
 ≤   ∞라고 하고, 가     급이라고 가정하자. 가   급
른다. 또한  의 핵(kernel)의 차원을  의 퇴화 차수(nullity)라고
일 때 는     급이다.  와   는 이들을 결합하여 얻은 함
부른다.  가 위에로의 함수이면 차수는  이다.  가 일대일 함
이제
가
 
수이므로 마찬가지로 
급이다.
   의
수이면 차수는 이다. 일반적으로
행렬성분들은   의
rank  nullity  
행렬성분들에 대수적인 종속변수이므로    또한     급이다.
이 성립한다.
따라서 는     급이고 이것은 가   급임을 의미한다.
만약 가  ∞ 급이면 는 임의의 유한값 에 대하여   급이므
미분 가능한 함수    → ℝ 이 임의의 ∈ 에 대하여
로 는  ∞ 이 된다.
  의 차수가 이면 는 상수 차수 를 가진다고 말한다.
□
차수의 중요한 성질 중 하나는 만약  의 차수가 이고    
함수 가 일대일 대응이고 와   이 모두   급일 때 를  
가 충분히 작으면  의 차수는  이상이라는 것이다.  의 차수
급 미분동형사상(diffeomorphism)이라고 부른다. 미분 가능한 함수
는 증가할 수는 있지만 감소할 수는 없다. 따라서 만약 가  
는 연속이므로 임의의 미분동형사상은 위상동형사상이다.
급이고   의 차수가 이면 저절로 의 근방의 모든 에 대
정리
하여   의 차수는  이상이 된다.
14.2   이고    → ℝ 이   급( ≤  ≤ ∞)이
차수 정리는 상수 차수를 갖는 사상에 대하여 설명한다. 즉 상수
며, 적당한 점 ∈ 가 존재하여   가 동형사상이 된다고
차수를 갖는 사상은 국소적으로 선형인 사영사상이 된다는 것이
하자. 그러면 는 의 한 근방으로부터 의 근방에로의  
다.
급 미분동형사상이다. 이 명제를 역함수 정리라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
74
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
약간의 대수학적 개념을 도입하자. 두 사상    →  ,
1단계 ℝ 과 ℝ 의 변환을 다음과 같이 정의한다.
   →  에 대하여 두 일대일대응    →  ,    → 
가 존재하여    ∘  ∘ 

  ℝ → ℝ  ↦   ,
을 만족시킬 때 와 를 서로 동
′  ℝ → ℝ ′ ↦ ′  .
치라고 부르자. 참고로 임의의 ∈ 에 대하여
이들 변환은 각각 ℝ 과 ℝ 에서의 미분동형사상이다. 는
′ ∘  ∘ 와   급 동치이며 ′ ∘  ∘ 은 을 에 대응시키고
  
상수 차수 를 가진다. 따라서 가 ℝ 의 원점이고 가 ℝ
가 성립하는 것을 다이어그램

의 원점이라고 가정하여도 일반성을 잃지 않는다.



2단계   ℝ → ℝ 이 × ℝ   를 의 핵에 대응시
키는 동형사상이라고 하자. 의 핵의 차원이   이므로


그러한 사상  의 존재성이 보장된다.

 ′ ℝ → ℝ 이
의 상을 ℝ × 에 대응시키는 동형사상이라고 하자.

의 차원이 이므로 그러한 사상  ′ 의 존재성이 보장된
이 교환적이다(commuative)라고 말한다. 또 와 는 변수 변환
다. 그러면  ≈   ′ ∘  ∘  이다. 이 사상은 ℝ 의 원점을
이라고 부른다. 만약 와 가   급이고 , 가   급 미분동
ℝ 의 원점에 대응시키며, 원점에서의 미분의 핵은 × ℝ  
형사상이며  ≤  ≤ ∞이면 와 는   급 동치이다라고 말하
이 되고 상은 ℝ × 이 된다. 따라서 도 그러한 성질을 가
며 이것을  ≈  로 표기한다. 즉   급 사상으로서 와 를
지고 있다고 가정해도 일반성을 잃지 않는다.
구별하지 않고 같은 것으로 여긴다는 뜻이다.
3단계  ∈ℝ × ℝ   에 대하여
보조정리
        ∈ℝ × ℝ  
  급 동치성은 동치관계이며 차수에 영향을 미치지
않는다.
라고 쓰자. 이제  ≈  이면서     을 만족시키는
증명 관계 ≈  가 동치관계임은 정의에 의하여 자명하다.
함수 가 존재함을 보일 것이다. 의 행렬은
 
  
이제    ∘  ∘   이라고 하자. 그러면 연쇄법칙에 의하여
   ∘  ∘  
인데, 이 행렬은 가역인  ×  행렬이다. 따라서 역함수 정리에
이다. 와   은 동형사상이므로 와 는 동일한 차수
를 가진다.
의하여 함수
□
   ↦   

은 ℝ 의 원점의 한 근방  로부터  ′ 에로의 미분동형사상이다.
선형 사영사상   ℝ → ℝ 이
′∈ ′ 에 대하여
   ⋯      ⋯   ⋯ 
′      ′  

로 정의되었을 때,  의 차수는 이다.  는 ℝ 을 차원 부분
이라고 정의하자. 그러면 는  ′ 으로부터 ℝ   에로의   급

벡터공간 ℝ × 에 대응시킨다.  의 표현행렬은
함수이며     을 만족시킨다.
 × 
 
  ×     ∈

       ∈
이다.
    ′      ′   ′∈ ′ 
정리 15.1 상수차수 를 갖는   급 사상은 국소적으로 차원
 ′ ′  ′∈ ′
부분공간 위에로의 선형 사영사상과 동치이다. 이 명제를 차수
이므로 에 의한  × 의 상은 의 그래프이다.
정리라고 부른다.
′ ′ ∈ ′ × ℝ   에 대하여
′ ′     ′  ′  ′ 
예를 들어 다음과 같이 정의된 근기 사영사상   ℝ∖ →
  을 생각하자.
이라고 정의하자. 는   급 미분동형사상들의 합성이므로

  

′ ′  ↦ ′ ′  ′  ↦   ′  ′  ′ 
이 함수는 상수 차수 2를 가지며 국소적으로 ℝ 로부터 -평
도   급 미분동형사상이다. (원점에서 도함수를 직접 계산한 뒤
면에로의 선형 사영사상과 구분되지 않는다.
역함수 정리를 적용할 수도 있다.) 함수 를    ∘ 라고 정
의하면  ≈  이고 다음이 성립한다.
차수정리의 증명    → ℝ 이 상수 차수 를 가지며 ∈
    ∘      
라고 하자. 이제 의 적당한 근방에서  ≈   임을 보일 것이
   ∘             .
다. 네 단계로 나누어 증명한다.
따라서     이라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
75
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
4단계 앞의 세 단계에서 언급했던 모든 가정을 전제로 증명을
따름정리
계속하자. ℝ 의 원점 근방에서 정의된 국소적 미분동형사상 
의 한 근방에서 수준 집합들(level sets) ∈   이
가 존재하여  ∘ 가     으로 정의된 사영사상 
  차원인 비선형 원판   의 층(stack)을 형성한다.
와 일치함을 증명할 것이다. 방정식
   → ℝ 이   급이고 의 차수가 이면
증명 의 근방에서 차수가 감소하지 않으므로 는  근방에서
      
상수차수 을 가진다. ℝ 으로부터 ℝ에로의 사영사상들의 수
은 원점 근방에서    를 음적으로 정의한다. 는 ℝ 으
준 집합들은 평면들의 층을 형성하며 차수 정리에서의 미분동형
로부터 ℝ 로의   급 일대일 함수이며    을 만족시킨
아래에서 의 수준 집합들은 이러한 평면들의 상이다.
□
다. 왜냐하면 원점에서 에 대한     의 미분의 표현행
렬은 가역행렬  × 가 되기 때문이다.
따름정리 만약    → ℝ 가 에서 차수 을 가지면  의
     
상   는 국소적으로 차원 원판과 미분동형이다.

가 ℝ 의 국소적 미분동형사상이고    ∘ 가  와 일치함을
증명 의 근방에서 차수가 감소하지 않으므로 의 근방에서 
보이자.
는 상수 차수 을 가진다. 차수 정리에 의하여 는 국소적으로
원점에서 에 대한  의 미분은 연쇄법칙에 의하여 계산
 ↦  과   급 동치이다. (사실   이므로 이 사영사상
될 수 있으며
의 좌표는 필요하지 않다.) 따라서  의 국소 상은 ℝ × 
       

          ×    ×

  

의 원점 근방인 차원 원판과 미분동형이다.
□
를 만족시킨다. 즉 원점에서 의 표현행렬은 항등행렬이다.
따라서
16. Lagrange 승수

    ×
 
⋆


미적분학에서는 조건       아래에서 함수    
   ×  
의 최댓값을 찾는 문제를 만난다. 의 기울기(gradient)와 의 기
는 ⋆이 무엇인지에 상관없이 가역이다. 명백히   이다.
울기가 평행하게 되는 점 에서만 는 조건    아래에서 최
역함수 정리에 의하여 는 원점 근방에서 국소적으로   급 미
댓값을 갖게 된다. 즉

분동형사상이며 는 와  급으로 동치이다. 따라서 보조정리
grad    grad  
에 의하여 는 상수차수 를 가진다.
인 점 에서만 는 조건    아래에서 최댓값을 갖게 된다.
이때 를 Lagrange 승수(multiplier)라고 부른다. 이 절에서는 최
     ∘      
댓값을 갖는 점에서 (16a)의 조건을 만족시키는 이유를 논리적
           
으로 설명한다.
이므로     이고 다음을 얻는다.
 
 ×
 
⋆


 


(16a)
먼저 다음과 같이 가정한다.

(ⅰ) 와 는 영역  ⊆ ℝ 에서 정의된   급 실함수이다.
(ⅱ) 적당한 상수 에 대하여      는 긴밀집합이고 공
끝으로 가 상수차수 를 가진다는 가정을 사용하자. 이러한
집합이 아니며 임의의 ∈ 에 대하여 grad  ≠ 이다.
꼴의 행렬이 차수 를 가지려면
(ⅲ) 는 최댓값  을 가지며, 만약 ∈ 에 대하여   

≡


이면 가 존재하여 grad   grad 를 만족시킨다.
이 되어야 한다. 도함수가 인 함수는 상수함수이므로 원점의
이제 가정에서와 같은 , 가 주어져 있고 가 최댓값을 갖는
근방에서  는 에 독립적인 함수이다. 따라서
∈ 를 찾는 문제를 해결해보자.  는 긴밀집합이므로 그러한
           
최댓값은 반드시 존재한다. 먼저 와 의 기울기가 일차 종속이
이다. 그런데 ℝ × 에서   이므로 위 식의 값은 이다.
되는 모든 점 ∈ 를 찾아야 한다. 즉 한 함수의 기울기가 다른
따라서  ≈  ,      이다. 즉    이다.
함수의 기울기의 스칼라 배가 되는 점을 찾아야 한다. 그러한 점
이상의 4단계에 보조정리를 결합하면 상수 차수를 갖는 함수 
들은 최댓값을 갖는 점이 될 후보들이다. 그 후에 그러한 점들
와 선형 사영사상  가   급 동치라는 결론을 얻는다.
위에서 의 값을 계산한 뒤 의 값이 가장 크게 되는 점을 찾
□
는다. 그러면 문제 해결이 완료된다.
따름정리    → ℝ 이 에서 차수 를 가지면,   급 함수
물론 최솟값을 갖는 점도 같은 방법으로 찾을 수 있다. 즉 최솟
  ℝ → ℝ   와 ∈ℝ 에 대하여       
값을 갖는 점이 될 후보들을 찾은 뒤 그러한 점 위에서 함숫값
꼴의 함수 가 존재하여 국소적으로 는 와 동치이다.
을 계산하여 실제로 최솟값을 갖는 점을 찾는다. 사실 후보가 되
는 그러한 점들은 의 임계점(critical point)이다. 여기서 ∈
증명 차수 정리의 증명 과정의 앞부분에서 이미 증명하였다. □
가 의 임계점이라는 것은
  

lim 

→
을 만족시킴을 의미한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
76
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
이제 라그랑주 승수의 방법이 어떻게 유효하게 되는지 설명해보
이 ℝ 의 기저가 된다.    ≤  ≤ 인 에 대하여
자. ∈ 에서     의 기울기(gradient)는

    ⋅
로 정의하자. 여기서  ⋅는   와 의 내적이다. 함수

  
grad        ∈ℝ



   ↦     ⋯  
로 정의된 벡터이다. (ⅰ)과 (ⅱ)를 가정하고 가 ∈ 에서 최
       ⋯  
댓값  을 가진다고 하자. 이제 (ⅲ)을 증명해야 한다. 즉 에서
의 기울기는 에서 의 기울기의 스칼라 배가 됨을 증명해야
는 국소적으로 ℝ 으로부터 그 자신에로의 미분동형사상이다.
한다. 만약 grad   이면 grad   ⋅grad 이므로 증명이
원점에서  의 미분은  ×  행렬
    grad  grad 
끝난다. 따라서 grad  ≠ 이라고 가정하자.
⋯
grad 
차수 정리에 의하여 의 기울기가 이 되지 않는 점의 근방에
grad       
서 의 수준 곡면은 얇은 막이 겹겹이 쌓여 있는 것과 같은 모
이고 이 행렬의 열벡터들은 일차독립이다. 함수    를
습이 된다. 겹겹이 쌓여 있는 양파 껍질이나 투명 호일로 생각할
ℝ 의 원점의 근방 위에서의 새로운 좌표로서 생각하자. 이러한
수도 있다.
⋯
 
좌표에서 곡면  는 좌표평면 × ℝ   가 되는데, 그러한 좌표
결론에 반하여 grad 가 grad 의 스칼라 배가 되지 않는다고
평면 위에서 좌표  ,  , ⋯,  는 이고 는   번째 좌표
가정하자. 그러면 두 기울기 사이의 각은 이 아니다. 작은 양수
함수   이 된다. 좌표 함수는 좌표 평면 × ℝ   위에서
에 대하여 -수준의 곡면    ± 을 생각하자. -수준 곡면
최댓값을 갖지 않으므로 는 에서 최댓값을 갖지 않는다.
 는 세 곡면    과    ± 를 통과하여 지나간다. -수준
곡면  의 방향은 grad 에 수직이고 -수준의 곡면들은
17. 곡선과 곡면
grad 에 수직이다.  는 의 근처에서 -수준의 각 곡면들을
정의역이 닫힌구간  이고 공역이 ℝ 인 연속함수를 곡선이
통과하여 지나가며,  와     의 교집합은 교선이 된다. 교
라고 부른다. 여기서 당연히   인 것으로 약속한다. 곡선은
선 위에서 의 값은   이 되는데 이것은 가 에서 최댓
함수이므로 미분가능성에 대하여 논할 수 있다.
값을 가진다는 가정에 모순이다. 따라서 grad 는 grad 의 스
만약 ∈ 에서 극한
칼라 배가 된다. 즉 (ⅲ)이 증명되었다.
    
더 높은 차원에서 라그랑주 승수의 방법을 사용할 수 있다.
lim 

 ⊆ ℝ 이 열린집합이고    → ℝ가   급 함수이며 연립
가 존재하면 는 에서 미분 가능하다고 말한다. 가  에서
방정식
미분 가능하고 그 도함수가 연속이면 를 매끄러운 곡선이라고
→
부른다.
   ⋯    
     ⋯    
    ⋮ ⋯    









그러나 곡선에 대한 이러한 정의는 부정확한 면이 있다. 우리는
곡선이라는 용어를 사용할 때 곡선을 나타내는 함수를 이르기도

하고 그 함수의 상(image)을 이르기도 한다. 그런데 서로 다른 함
에 의하여 정의된 긴밀곡면  ⊆  에 의해 제한되었다고 하자.
수일지라도 그 상은 같을 수 있다. 따라서 동일한 상을 갖는 함
여기서 함수  들은   급이고 그들의 기울기는 일차 독립인 것으
수를 서로 같은 것으로 취급할 수 있는 정의가 필요하다. 단순히
로 가정한다. 이때 라그랑주 승수 방법은 다음과 같이 진술된다.
동일한 상을 가진다고 해서 같은 함수로 취급하는 것이 아니라
동일한 상을 가지고 있으면서 동시에 미분이나 적분과 관련된
성질들을 공유할 수 있는 두 함수를 서로 같은 것으로 취급해야
가 에서 최댓값을 가지면 grad 는
한다.
grad  , grad  , ⋯, grad 
  급인 두 함수     → ℝ 과     → ℝ 에 대하
의 일차결합이 된다.
여   급인 일대일 대응     →  가 존재하여 임의의
∈ 에 대하여     를 만족시킬 때 두 함수 
이것이 성립하는 이유를 생각해보자. 일반성을 잃지 않고 가
과  를 서로 동치인 것으로 간주한다.

ℝ 의 원점이고  ,  , ⋯,  , 가 이라고 가정하자. 또
한 grad  ≠ 이라고 가정하자.
동치인 두 함수  과  는 동일한 상을 가진다. 그 상  를 매끄
결론에 반하여 grad 가 grad  , grad  , ⋯, grad  의 일
러운 곡선 또는 간단히 곡선이라고 부르고  과  를 각각  의
차결합이 되지 않는다고 가정하자. 그러면 벡터    ,    ,
매개변수 표현이라고 부른다. 가 증가함수이면  과  는 동일
⋯,   이 존재하여
한 방향을 갖는 매개변수 표현이라고 부르고, 가 감소함수이면
 과  는 반대의 방향을 갖는 매개변수 표현이라고 부른다.
grad  , grad  , ⋯, grad  , grad ,
   ,    , ⋯,  
강의노트 ∙ ∙ ∙
77
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
18. 중적분
비록 구분적으로   급인 함수의 상을 곡선이라고 부르지만 곡

선은 단순히 ℝ 에서의 점집합을 의미하는 것이 아니다. 왜냐하
이 장부터 21장까지 적분에 대하여 논할 때 적분 영역이라 함은
면 동일한 상을 가지면서도 서로 동치가 아닌 매개변수 표현이
열린연결집합을 의미하지 않고 적분 범위가 되는 집합을 의미하
존재할 수 있기 때문이다. 따라서  를 곡선이라고 부를 때에는
는 것으로 약속한다.
항상  에 대응되는 매개변수 표현이 주어진 것으로 생각한다.
    ×  이고  의 분할을     ≤  ≤  ,
사실 엄밀히 말하면 곡선이란 서로 동치인 매개변수 표현들의
 의 분할을     ≤  ≤ 이라고 하자. 이때
동치류로서 정의된다.
곡면도 비슷한 방법으로 생각할 수 있다. 곡선에서는 매끄러운
   ×        ×    
성질을 정의할 때   급이라는 조건만 있었다. 그러나 곡면에서
들의 모임을  의 분할 또는 그물이라고 부르고    ⊗ 로
는 조건이 더 필요하다.
표기한다.  의 원소를 성분이라고 부른다.
  에서 정의된   급 함수     ↦     의 그래
       ,       에 대하여
프로 표현되는 곡면을 생각해보자. 이때 고정된 에 대하여
    
 ↦       
로 정의한다. 분할  의 성분들의 지름 중에서 가장 큰 값을 
는 에 대한 함수이므로 매끄러운 곡선을 나타내는 함수이다.
의 노름이라고 부르며  로 표기한다.  는 유한집합이므로
따라서 각 점에서 이 곡선에 접하는 벡터  를 생각할 수 있다.
   maxdiam     ≤  ≤   ≤  ≤ 
또 고정된 에 대하여
은 양수이다. 각 , 에 대하여
 ↦       
  sup ,    in f 
는 에 대한 함수이므로 매끄러운 곡선을 나타내는 함수이다.
따라서 각 점에서 이 곡선에 접하는 벡터  를 생각할 수 있다.
라고 하자. 이때  에서  에 의한 의 하합과 상합을 각각
이때  와  가 평행하지 않으면  ×  는 점  에서 이

    
곡면에 수직인 방향을 갖는 벡터가 된다. 그러나  와  가 평행




    

로 정의한다. 두 개의 합 기호를 합쳐서 간단하게
산할 수 없다. 따라서 함수     ↦     로 표현되는




       ,        
곡면에 대하여 논할 때에는  ×  ≠ 이라는 조건이 필요하다


는 것을 알 수 있다. 이러한 조건을 정칙이라고 부른다. 즉

    





    


로 쓴다.
    ↦     가 임의의  에 대하여
명백히  의 임의의 분할  에 대하여     ≤     가
 ×  ≠ 
성립한다.
일 때 를 정칙 함수라고 부른다.
  ⊗ 와 ′  ′⊗′ 가 각각  의 분할이라고 하자. 만
  급 정칙 함수     → ℝ ,     → ℝ 에 대하


    
한 점  에서는 이 곡면에 수직인 방향을 갖는 벡터를 계


   ,        
약  ⊆ ′ ,  ⊆ ′ 이 성립하면 ′ 을  의 세련분할이라고

여  급인 일대일 대응     →   가 존재하여 임의
부른다.

의  ∈  에 대하여       를 만족시
′ 이  의 세련분할이면
키면서  ∘ 도 정칙이면 두 함수  과  를 서로 동치인 것으
  ′  ≥     ,   ′  ≤    
로 간주한다.
가 성립한다. 또한  와  가  의 분할일 때
동치인 두 함수  과  는 동일한 상을 가진다. 그 상  를 매끄
    ≤    
러운 곡면 또는 간단히 곡면이라고 부르고  과  를 각각  의
매개변수 표현이라고 부른다. 임의의  ∈  에 대하여
가 성립한다.
두 벡터    ×   와  ∘   ×  ∘   는
집합  에서 의 상적분과 하적분을 각각
모두 곡면에 수직인 벡터이다. 이 두 벡터의 방향이 같으면  과

    in f     is a partition of 
    sup      is a partition of 
 는 동일한 방향을 갖는 매개변수 표현이라고 부르고, 두 벡터

의 방향이 반대이면  과  는 반대의 방향을 갖는 매개변수 표
현이라고 부른다.


로 정의한다. 그러면 명백히
   ≤ 
  

가 성립한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
78


∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
정의 18.1  에서 의 상적분의 값과 하적분의 값이 같을 때
  ⊗ 와  ′  ⊗′ 가 각각  의 분할이라고 하자. 만약 각
는  에서 중적분 가능하다고 말하고
에 대하여  ⊆ ′ 가 성립하면  ′ 을  의 세련분할이라고
부른다.  ′ 이  의 세련분할이면
    
      



   ′  ≥     ,    ′  ≤    

로 정의한다.
가 성립한다. 또한  와  가  의 분할일 때
    ≤    
참고 혼동할 염려가 없을 때에는 상적분, 하적분, 적분을 간단히

  ,
  ,
 




가 성립한다.


집합  에서 의 상적분과 하적분을 각각

로 표기한다. 이것을 더욱 간단히  를 생략하여

,
,





   in f      is a partition of 
   sup     is a partition of 



로 표기하기도 한다.




으로 정의한다. 그러면 명백히
이중적분의 개념을 확장하여 다중적분을 정의할 수 있다. 직사각
형 집합
 ≤



          ×     ×⋯×    









가 성립한다.
이 주어졌다고 하자. 각   의 분할을
    ≤  ≤ 
정의 18.2  에서 의 상적분의 값과 하적분의 값이 같을 때
라고 하고,  의 성분 구간을
는  에서 중적분 가능하다고 말하고



      

라고 하자. 이때

 
  is an element interval of 






로 정의한다. 이 적분을   인 경우 이중 적분,   인 경우






삼중 적분이라고 부른다.
를  의 그물 또는  의 분할이라고 부르고

  ⊗⊗ ⋯ ⊗ 
⊗

19. 중적분의 성질

이제 중적분의 중요한 성질들을 살펴보자.
로 표기한다.
   ∈ 
정리 19.1 정리. 가  에서 Riemann 적분 가능할 필요충분조
건은 임의의 양수 에 대하여
라고 표기하자. 여기서 는 개의 성분을 갖는 다중 첨자이다.
          
이때  의 노름을
인 분할  가 존재하는 것이다. 이 명제를 Riemann 판정법이라
   maxdiam   ∈
고 부른다.
로 정의한다.
증명 기초 해석학 정리 12.2의 증명과 동일하다.
     ×    ×⋯×    
□
각  에서 점 ∈ 를 하나씩 택하여 구성한 집합을 라고
일때
하자. 이때 함수    → ℝ의 Riemann 합을
    ⋯ 
    
        ⋯    
   
∈


로 정의한다.
으로 정의한다. 각 에 대하여
  sup ,    in f 
정의 19.2  가 실수라고 하자. 만약 임의의 양수 에 대하여
라고 하자. 이때  에서  에 의한 의 하합과 상합을 각각
    
그물  가 존재하여  의 세련그물  에 대하여 의 선택 여부
   ,         
∈


∈


에 관계없이         이 성립하면
로 정의한다.
lim      
  →
ℝ 의 부분집합에서와 마찬가지로  의 임의의 분할  에 대하
로 표기한다.
여     ≤     가 성립한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
79
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
정리 19.3 직사각영역  에서 가 Riemann 적분 가능하고 그
여 노름이 보다 작은 임의의 분할  에 대하여     
적분값이  일 필요충분조건은
     이 성립한다.  의 각 성분  에 대하여 생각하자.
lim      
만약  가  의 점을 내부에 포함하면     ≥ 가 성립
  →
한다. 어떠한  의 내부에도 포함되지 않는  의 점들은  의
인 것이다.
증명 기초 해석학 정리 12.11의 증명과 비슷하다.
경계에 놓이게 된다. 그런데     이므로 변동이  이상인
□
점들을 포함하는 성분들의 넓이의 합은  이하가 된다. 는
고정된 양수이고 은 임의의 양수이므로  의 측도는 이다.
정리 19.4  위에서 Riemann 적분 가능한 함수들의 모임을
측도가 인 집합의 가산 합집합의 측도는 이므로   으로
ℜ  이라고 하자. 이때 적분은 ℜ   로부터 ℝ에로의 선형
두면   ∪ 의 측도도 임을 알 수 있다.
사상이다.
증명 기초 해석학 정리 12.6-(1), (2)의 증명과 비슷하다.
역으로 가  에서 유계이고  의 측도가 이라고 가정하자.
□
  을 고정시킨다. 각 ∈∖ 에 대하여 근방    가
존재하여
정리 19.5 함수 가   인 상수함수이면
sup    in f   
    

를 만족시킨다.  의 측도가 이므로 임의의 양수 에 대하여
이다.
가산 개의 열린 사각형들의 집합  가 존재하여  ⊆ ∪ 
증명 적분의 정의에 의하여 자명하다.
□
이면서


수 가 존재하여  의 부분인 열린구 중에서 반지름이  이하
 ≤ 
인 것들은 모두  의 하나의 원소에 의하여 덮이게 된다. 노름이

보다 작은 분할  를 택하자. 이제
이다.
         
증명 기초 해석학 정리 12.6-(3)의 증명과 비슷하다.
□
∈



함되는  들에 대해서 위 합을 계산하면   미만이다. 적당
한 ∈ 에 포함되는  들에 대한 합을 계산하여 더하면 그
린 직사각형들의 가산집합    ∈ 가 존재하여

    
의 값을 두 가지 경우로 나누어 생각한다. 적당한 ∈ 에 포
집합  ⊆ ℝ 의 측도가 이라 함은 임의의 양수 에 대하여 열
⊆

로 이루어진  의 덮개를  라고 하자.  가 긴밀집합이므로 양
정리 19.6 집합  위에서  ≤ 이고 와 가 적분 가능하면

   를 만족시킨다. 근방  와 열린 사각형  들
값은  미만이다. 따라서 와 가 충분히 작으면 상합과 하

합의 차는 원하는 만큼 충분히 작아지도록 할 수 있다.
□
이면서
   
이제 일반적인 집합 위에서 중적분을 정의하자.  가 유계인 집

∈
합이라고 하자. 그러면 유계인 직사각형 집합  가 존재하여
을 만족시키는 것이다.
 ⊆  를 만족시킨다.
가  위에서 정의된 함수라고 하자. 그리고    → ℝ를
정리 19.7  가 유계인 사각형 집합이고 가  에서 유계라고
하자. 가  에서 적분 가능할 필요충분조건은  에서 가 불연
   i f ∈

if ∉

속인 점들의 집합의 측도가 인 것이다. 이 명제를 Lebesgue의
정리라고 부른다.
로 정의하자.  의 경계의 측도가 일 때  위에서 의 적분을
증명 점 ∈ 에서 의 변동(oscillation)을
    

osc    lim diam   
→ 

로 정의한다.
로 정의하자. 그리고 음이 아닌 실수 에 대하여
  ∈ osc   ≥ 
20. 반복적분
를
함수    → ℝ가 유계이고,  와 



  
  
 , 
 




 는 각 ∈ 에 대하여 함수
라고 정의하자. 즉  와 

    로 정의된 함수     → ℝ의 하적분과
라고 하자. 그러면 임의의  는 긴밀집합이 된다. 또한





는 가 불연속인 점들을 모두 모은 집합이 된다.
먼저 가  에서 적분 가능하다고 하자.   을 고정시키자.
상적분이다.
그리고   도 임의로 주어졌다고 하자 그러면   이 존재하
강의노트 ∙ ∙ ∙

80
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
정리 20.1 함수 가  에서 Riemann 적분 가능하면  와 

21. 중적분의 변수변환
도 Riemann 적분 가능하다. 또한
함수    →  가 ℝ 의 열린집합 사이의   급 미분동형사



상이고  ⊆  라고 하자. 또한    → ℝ가 적분 가능하다고


하자. ∈ 에서의 의 야코비안(Jacobian)은
         

가 성립한다. 이 명제를 Fubini의 정리라고 부른다.
증명
Jac   det  
    ×  라고 하자. 그리고   ⊗ 가  의
로 정의된다.
분할이라고 하자.  의 한 성분구간  를 택하자. 만약 ∈ 이면
   in f    ∈
정리 21.1
가 성립한다. 따라서

  ≤          ≤ 


 
만약  가 ℝ 의 부분집합이고  가 Riemann 적분 가능하면 

 
  ∘  Jac   

≤ in f  ∈    

 


는 Riemann 가측이라고 말하고 그 적분 값을  의 넓이로 정의

한다.  가 Riemann 가측일 필요충분조건은  의 경계의 측도가
0인 것이다. Riemann 가측인 집합  의 부피를
이므로

  ≤   

 

   vol   

를 얻는다. 다시 양변의 에 대한 합을 구하면




로 표기한다.   인 경우에는 area  로 표기하기도 한다.

    ≤         

    





이 절에서는   인 경우를 증명하겠다. 변수변환 정리를 증명

하기 위해서는 몇 가지 보조정리가 필요하다.
이다. 따라서
먼저 다음 정리는 변수변환 정리의 특수한 경우이다. 즉    ,
    ≤      
   ,   인 경우이다.

가 성립한다. 같은 방법으로
    ≥   
   
보조정리
  ℝ → ℝ 가 동형사상이면 Riemann 가측인 임
임을 보일 수 있다. 이로써
의의 집합  ⊆ ℝ 에 대하여     는 Riemann 가측이며
    ≤       ≤       ≤   
    ≤    
     det  가 성립한다.


가 성립한다.  는  의 임의의 분할이므로




증명  의 표현행렬  는 기본행렬들의 곱
    ⋯ 
  ≤   ≤   ≤ 




의 꼴로 나타난다. 여기서 각  는

        
,
,
,
         
를 얻는다. 그런데 가  에서 적분 가능하므로

중 하나의 꼴이다. 단 여기서   이다. 처음 세 행렬은   을

각각  ×  ,  ×  ,   으로 변환시킨다. 각 경우에 넓이는 행렬
    

의 행렬식에 비례하여 변한다. 네 번째 행렬은   을 평행사변형
가 성립한다. 같은 방법으로

   ∈ℝ  ≤  ≤    and  ≤  ≤ 
    


로 변환시킨다. 의 경계의 측도가 이므로 는 Riemann 가
가 성립함을 보일 수 있다.
□
측이다. Fubini의 정리에 의하여
 
즉 Fubini의 정리에 따르면 의 중적분을 계산할 때에는 반복적

   

  
   

분으로 그 값을 구할 수 있다는 것이다. 뿐만 아니라 다음 정리
     det
를 얻는다. 같은 방법으로  가 기본행렬일 때 임의의 사각형 
가 성립한다.
에 대하여
따름정리 가 Riemann 적분 가능하면 적분 순서에 관계 없이
    det  
그 값은 같다. 즉




가 성립함을 알 수 있다. 이제 Riemann 가측인 임의의 집합 






        
에 대하여     가 Riemann 가측이고
    det  
가 성립한다.
증명 양변이 모두 중적분의 값과 동일하다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
(21a)
(21b)
가 성립함을 보일 것이다.
□
81
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
  이 임의로 주어졌다고 하자.  ⊇  의 분할  를 택하되
   ≤    ≤    
    ≤
⊇
증명   평균값 정리에 의하여
(21c)
    
∩ ≠ ∅

 
     Id  
을 만족시키는 것을 택한다. 안쪽의 사각형들의 내부는 서로소이

므로 각 ∈ℝ 에 대하여

⊆


int   ≤    

가 성립한다. 마찬가지로  에 대해서도

⊆
가 성립한다. 따라서  ≤ 일 때  ≤   가 성립한
다. 즉
int    ≤    
    ⊆     
가 성립한다.    는 Riemann 가측이므로 적분의 선형성과 단
이다.
조성에 의하여
       
  
⊆
⊆
⊆
보조정리    → ℝ 가 Lipschitz 함수이고  가 측도 인 집
(21d)
int 
int  ≤


□
합이면    도 측도 인 집합이다.

증명

가 Lipschitz 함수이므로 양수  이 존재하여 임의의
 ∈ 에 대하여
가 성립한다. 비슷하게
    ≤
 
∩ ≠ ∅
   ≤    
   
가 성립한다. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.  의 측도가 
이므로
이므로  를 덮는 가산 개의 열린 사각형들의 집합  ∈가



 
  
 ≤
∩ ≠ ∅
  
∩ ≠ ∅
존재하여
(21e)
 
   
   
∈
∩ ≠ ∅
을 만족시킨다. 각 에 대하여 diam ∩  ≤ diam  이므로
가 성립한다. (21a), (21c), (21d), (21e)에 의하여
det     ≤ det 
≤

  ≤

≤ det 
diam ∩   ≤  diam  
이다. 따라서 각  ∩ 는 각 변의 길이가  diam  인 열린
  
⊆




사각형 ′ 에 의해 덮인다. 이때  ′ 는    를 덮으며
 
 ′ ≤  diam       ≤  

  ≤ det    
∈
∩ ≠ ∅


∈



∈

을 만족시킨다.   은 양수이고 은 임의의 양수이므로    의
을 얻는다. 상적분과 하적분은 에 대하여 독립적이고 은 임의
측도는 이다.
□
의 양수이므로   는 적분 가능하고 그 값은 det   와 동일
변수변환 정리의 증명    →  는   급 미분동형사상이고
하다. 따라서 (21b)가 증명되었다.
   → ℝ는 Riemann 적분 가능하며  는  에서의 직사각
행렬의 곱의 행렬식은 각 행렬식의 곱과 동일하다.  의 표현행
형 집합일 때
렬은 기본형렬들의 곱이므로,  가 Riemann 가측이면 (21b)에
  ∘  Jac   
의하여    도 Riemann 가측이고

      ⋯    detdet ⋯ det 
(21f)
 
가 성립함을 증명하자.
 det  
가 성립한다.
먼저 (21f)의 좌변이 잘 정의된 식임을 보이자. 가 불연속인 점
□
들의 집합을 ′ 이라고 하자. 그러면 ′ 의 측도는 이다. 이때
    ′  은  ∘ 가 불연속인 점들의 집합이다.   평균
두 개의 보조정리를 더 증명하자.
값 정리에 의하여   은 Lipschitz 함수이므로  의 측도는 
보조정리
이다. 따라서  ∘ 는 Riemann 적분 가능하다. Jac는 연속
   → ℝ 가   급 함수이고 ∈ ,   이
이므로  ∘  Jac는 Riemann 적분 가능하다. 요컨대 (21f)의
며 양수 이 존재하여 임의의 ∈ 에 대하여
좌변은 잘 정의된 식이다.
  Id ≤ 
가 미분동형사상이므로 위상동형사상이며  의 경계를   
이라고 하자. 만약    ⊆  이면
의 경계에 대응시킨다.  의 경계의 측도가 이므로   의 경
    ⊆     
계의 측도도 이다. 따라서    는 Riemann 적분 가능하다.
  를 포함하는 사각형 집합 ′ 을 택하자.
가 성립한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
82
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
그러면 (21f)의 우변은
그러면 임의의 ∈  에 대하여
    ⋅
 
′
 
 

int
  ≤   ≤
   



가 성립한다. 따라서
로 쓸 수 있다.
   ≤ 
이제 (21f)의 등식이 성립함을 보이는 일이 남았다. ℝ 와




 ℝ  ℝ  에 각각


  



가 성립한다. 를  로 바꾸어도 (21i)에 의하여 그 오
 max  max ,
차는  를 초과하지 않는다. 따라서   sup일 때
   max max  max ≤ 
        ≤  
≤         
로 정의된 노름이 주어졌다고 하자.

양수 이 임의로 주어졌다고 하자.  의 분할을   라고
 

 
 

하고    라고 하자. 가 얼마나 작아야 하는지에 대해서 논

이다. 좌변과 우변은 각각  ∘  Jac 의 하합과 상합이다. 그
의하자. 각  의 중심을   라고 하고
런데  ∘  Jac는 적분 가능하므로 위 식으로부터
    ,      ,    
  ∘ Jac     ≤  
≤   ∘  Jac    
라고 하자.  에서 의 Taylor 근사는

            
 


이다. 합성함수   
 ∘ 는   를 그 자신에 대응시키며,  
를 얻는다. 여기서 은 임의의 양수이고   는 고정된 양수
에서 의 미분은 항등변환이다.  에서   는 균등연속이므
이므로
로, 충분히 작은 양수 가 존재하여 임의의 에 대하여 ∈
  ∘  Jac   
일 때마다    Id  이 성립한다.

 를   를 중심으로 하여   배 팽창시킨 집합을   
 
가 성립한다.
로 표기하자. 보조정리에 의하여


 ∘    ⊆    
≤
 
□
(21g)
22. 벡터장의 개념
가 성립한다.
3차원 공간에 공기가 가득 차 있다고 상상해 보자. 각 점
같은 방법으로 보조정리를   ∘  에 적용시키고 반지름을 
    에서 공기의 온도를     라고 하면 는 ℝ 으
대신   으로 두면
로부터 ℝ로의 함수가 된다. 즉 는 공역이 스칼라 집합인 함수
  ∘        ⊆ 
(21h)
가 된다.
를 얻는다. 따라서 (21g)와 (21h)에 의하여
이번에는 3차원 공간에서 공기가 가득 차 흘러가고 있다고 상상
       ⊆      ⊆     
해 보자. 물체의 움직임은 속도, 즉 속력과 방향을 가지고 있으
를 얻는다.   Jac일 때 위 식에 의하여  의 넓이는
므로 벡터로 나타낼 수 있다. 각 점     에서 공기의 속도
를     라고 하면 는 ℝ 으로부터 ℝ 에로의 함수가 된
 
≤  ≤     

  
다. 즉 는 공역이 벡터 공간인 함수가 된다. 특히 의 정의역
은 벡터공간의 일부이며, 정의역을 포함한 공간의 차원과 공역의
의 범위에 놓인다. 즉


≤  ≤   


 
  
차원이 동일하다.
(21i)
정의 22.1 ℝ 의 부분집합으로부터 ℝ 에로의 함수를 ℝ 위
이다. 양수 , 와  ≤  ≤ 인 실수 에 대하여
에서의 벡터장 또는 차원 벡터장이라고 부른다. 또한 ℝ 의 부


≤  ≤    


   
분집합으로부터 ℝ에로의 함수를 ℝ 위에서의 스칼라장이라고
부른다.
이면
   ≤ 
즉 벡터장이란 평면이나 공간에 있는 한 영역의 각 점에 벡터를
가 성립한다. 이 식에 (21i)를 대입하면
    ≤  
대응시키는 함수이다. 예를 들어 3차원 벡터들로 이루어진 벡터
장은 세 성분함수의 합
(21j)
         i      j      k
를 얻는다. 여기서   supJac  ∈이다.
으로 나타낼 수 있다.
 에서  ∘ 의 상한과 하한을 각각  ,   라고 하자.
강의노트 ∙ ∙ ∙
83
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
하자. 만약 Riemann 합의 극한
편평한 지표면 위에 -좌표를 설정하고 각 지점에서의 높이를
lim  
 로 나타내면 는 스칼라장이다. 이때 각 점  에서
   →  
세로 방향과 가로 방향으로의 기울기를 생각할 수 있다. 가로 방
가 수렴하면, 이 값을  위에서 의 곡선 길이에 대한 선적분
향의 기울기와 세로 방향의 기울기는 각각
이라고 부르고
 
,

 

  

가 된다. 가로 방향의 기울기를 좌표로 두고 세로 방향의 기울
로 표기한다.
기를 좌표로 둔 함수를 ∇라고 하고 ℝ 의 표준 기저를
i j 라고 하면
정의에 의하면  위에서 의 곡선 길이에 대한 선적분은  의

f
∇   i   j

y
모양과 에 의해서만 결정되며  의 매개변수표현 에 의해서는
변하지 않는다.
가 된다. 즉 ∇는 ℝ 이 부분영역으로부터 ℝ 에로의 함수인
벡터장이 된다. 이때 ∇를 의 기울기장이라고 부른다.
참고 곡선  의 매개변수표현이 , ∈ 일 때 곡선  
는 매개변수표현        , ∈ 을 갖는 곡선이
정의 22.2 ℝ 위에서의 스칼라장 에 대하여 ∇는
다. 즉   는  와 모양이 같고 방향이 반대인 곡선이다. 곡선

∇ 






 

길이에 대한 선적분의 정의에 의하여
      
로 정의된 벡터장이다. 이때 ∇를 기울기장이라고 부른다.


이다.
함수 에 대하여   ′ 일 때 를 의 도함수라고 불렀다. 이와
비슷하게 스칼라장 와 벡터장  에 대하여   ∇인 관계가
있을 때 를  의 퍼텐셜 함수(potential function)라고 부른다. 또
정리 23.2 만약 가 연속인 스칼라장이고  가    ,
한 벡터장  에 대하여  의 퍼텐셜 함수 가 존재할 때  를 보
∈ 로 정의된 매끄러운 곡선이면  위에서 의 곡선 길이
존적 벡터장(conservative vector field)이라고 부른다.
에 대한 선적분은

23. 선적분
  







 
 
   
  
이다.
지금까지는 구간 위에서의 적분, 직사각형 영역에서의 적분을 살
펴보았다. 그러나 그런 단순한 영역뿐만 아니라 조금 더 복잡한
예를 들어 가 ℝ 위에서의 스칼라장이고  가
영역 위에서 적분을 해야 하는 경우가 있다. 이 절에서는 평면
또는 공간에 놓인 매끄러운 곡선 위에서의 적분을 살펴보자.
   , ∈ 
실함수의 Riemann 적분
로 정의된 매끄러운 곡선이면




 




       
   
 
에서 구간  는 의 정의역에 포함된다. 마찬가지로 곡선 
이다. 곡선  위에서 로부터 까지의 길이를   라고
위에서 함수 를 적분할 때 곡선  는 의 정의역에 놓여 있어
하면




야 한다.




만약 가 스칼라장이라면 곡선  를 반듯하게 펴서 선분으로 만

 
 
   ′ 



   
산할 수 있다. 그러나 가 벡터장인 경우에는 실함수의
이다. 표기를 간단하게 하기 위하여

 
 
  
 



Riemann 적분과는 다른 적분의 개념이 필요하다.
라고 하자. 그러면
들고 하나의 축 위에 올려놓은 뒤 그 위에서 를 적분하면 된
   
다. 이 경우에는 단순한 실함수의 Riemann 적분과 동일하게 계
즉 선적분을 정의할 때에는 가 스칼라장인 경우와 벡터장인 경




     ′     
우로 나누어 생각해야 한다.

로 쓸 수 있다. 만약  가    , ∈ 로 정의된
정의 23.1 가 ℝ 위에서의 스칼라장이고  가 매개변수
선분이면

 
  , ∈ 
 


      

로 표현되는 매끄러운 곡선이라고 하자.

 의 분할을

로서 일변수 함수의 Riemann 적분과 동일하게 된다.
  로 표기하고  의 각 성분구간에서 한 점씩 택하여 구성
한 수열을  로 표기하자. 또한          이라고
강의노트 ∙ ∙ ∙
84
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
여기서
23.3   ℝ → ℝ의 선적분의 정의에서    
정의
r
 r′ 


   라고 하자. 이때  위에서 의 에 대한 선적분을
    lim  
   →  



이므로 r′  를 간단하게 r로 표기하자. 그러면


 Fr⋅r′    F⋅r
로 정의한다. 또한        이라고 하자. 이때  위에서


의 에 대한 선적분을
    lim  
   → 



로 나타낼 수 있다. 즉 다음을 얻는다.

23.6 F 가 연속인 벡터장이고  가 매개변수표현 r,
로 정의한다. 일반적으로   ℝ → ℝ의 각 좌표에 대한 선적
정리
분도 같은 방법으로 정의한다.
∈ 를 갖는 매끄러운 곡선이면

 F⋅T    Fr⋅r′    F⋅r

참고 에 대한 선적분과 에 대한 선적분은 다음과 같이 계산


이 성립한다.
된다.

∙
      ′ 

참고 곡선의 방향이 반대가 되면 접벡터의 방향도 반대가 되므로


∙
 F⋅r    F⋅r
      ′ 




가 성립한다.
정의 23.4 서로 다른 좌표에 대한 두 개의 선적분의 합
참고 3차원 벡터장 F   i  j   k에 대하여
      



 F⋅r   Fr⋅r′ 
를 간단하게

     




  i  j    k

로 나타낸다. 세 개 이상의 선적분의 합도 같은 방법으로 간단하
⋅′ i ′ j  ′ k
게 표기한다.


    ′ 

     ′ 
이번에는 벡터장의 선적분을 살펴보자.
     ′ 
정의 23.5 F 가 차원 벡터장이고  가 매개변수표현
r 


 e , ∈ 

        

이다. 따라서
를 갖는 매끄러운 곡선이라고 하자.  의 분할을   로
 F⋅r          
표기하고  의 각 성분구간에서 한 점씩 택하여 구성한 수열을


를 얻는다. 일반적으로 F 가 차원 벡터장이고
 로 표기하자. 또 각 점 r 에서  방향으로의 단위접벡터

를 Tti  로 표기하고    r   r   이라고 하자. 만약
F
 
 
극한


일 때 다음이 성립한다.
lim Fr ⋅T 

 F⋅r    
   →  
가 수렴하면, 이 값을  위에서 F 의 방향선적분이라고 부르고

 F⋅T 
  


정리 23.7 벡터장 와 매끄러운 곡선  에 대하여

로 표기한다. 여기서 F⋅T는 F 와 T의 내적을 의미한다.
 ∇⋅r  r  r

가 성립한다. 이 명제를 선적분의 기본정리라고 부른다.
방향접벡터의 정의에 의하여
r′ 
T  
r′ 

증명

이므로  위에서 F 의 방향선적분은 다음과 같이 계산된다.






Fr⋅ r′ r′

r′ 

 F⋅T   
  Fr⋅r′ 

 ∇⋅r   ∇r⋅r′ 
     



 
 
 
 
 
 
 


  r


 r  r.
강의노트 ∙ ∙ ∙
85
□
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
경로   에서 는 상수이므로   이다.  ≤  ≤ 인 매개
정의 23.8 선적분
 F⋅r
변수 를 사용하면 미적분의 기본정리에 의하여



   



     

         

가  에서 경로에 독립이라는 것은  와 시점, 종점이 일치하고
 에 포함되는 임의의 곡선  에 대하여

 F⋅r   F⋅r




이다. 비슷한 방법으로
가 성립하는 것이다.


   



     

         



정리 23.9 벡터장 F 의 선적분이  에서 경로에 독립일 필요충
분조건은  에서의 임의의 닫힌곡선  에 대하여

를 얻는다. 따라서
 F⋅r  


F   i   j   i   j  ∇



인 것이다.
이므로 F 는 보존적이다.
증명 F 의 선적분이  에서 경로에 독립이라고 하자. 그리고 
역으로 F ∇라고 하자.  에 포함되는 점  ,  를 택하고 곡
가  에서의 닫힌곡선이라고 하자.  위의 두 점 , 를 잡아
선  가  와  를 연결하며  에 포함되고 매개변수
 를 에서 출발하여 에서 끝나는 두 단순곡선  ,  로 나눌
r  i  j ,  ≤  ≤ 
수 있다. 이때
 F⋅r   F⋅r   F⋅r
  F⋅r   F⋅r  


 


로 표현된다고 하자. 그러면

   
    


   



 ∇⋅  i   j   k



r
r
 ∇⋅   F⋅ 



이다. 역으로  에서의 임의의 닫힌곡선  에 대하여 정리의 등
식이 성립한다고 가정하면 위 등식을 거꾸로 이용하여 F 의 선
적분이  에서 경로에 독립이라는 것을 증명할 수 있다.
□

이다. 따라서
정리 23.10 F 가 벡터장이고 영역  에서 연속이라고 하자.





r

            
 F⋅r   F⋅ 


F⋅r


가  에서 경로에 독립일 필요충분조건은 F 가  위에서 보존적
이다. 즉 적분값이     와   에 의해서 결정되므로 경로에
인 것이다.
독립이다.
□
증명 논의를 간단히 하기 위해 2차원에 대해서 증명하자.
 에서 F 의 선적분이 경로에 독립이라고 하자. 먼저  의 한 점
24. 면적분
 를 택하고
면적분도 선적분과 마찬가지로 스칼라장의 면적분과 벡터장의
    

 
면적분을 구분하여 정의한다.
F⋅r
 
라고 정의하자.  가 열린집합이므로     ⊆  인 양수
정의 24.1 가 ℝ 위에서의 스칼라장이고  가  위에서의
가 존재한다.   인 점  ∈   를 택하자.
함수  로 정의된 매끄러운 곡면이라고 하자.  의 분할을
그리고  로부터  까지 잇는 경로   과,  로부
  ,        ×     라고 하자. 각  에서
터  까지 잇는 경로   를 연결한 경로를  라고 하자. 그
한 점씩 택하여 구성한 수열을 라고 하자.
         
  
러면
 F⋅r   F⋅r

F⋅r   F⋅r
라고 하자. 만약 극한
  

lim  

 
   →  
가 수렴하면, 이 값을  위에서 의 넓이에 대한 면적분이라고

 
부르고
이다. 이 적분은 의 선택에 독립적이므로


     



  
 F⋅r


로 표기한다.
이다. F  i  j 라고 하면 다음이 성립한다.
 F⋅r       .

강의노트 ∙ ∙ ∙

86
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
그러면 면적분의 정의에 의하여
참고 만약 곡면  가    로 표현된다면 면적분의 정의
에 의하여
 F⋅S   F⋅n 
     



            


S








  i  j  k


  i  j   k⋅   



이다. 따라서 다음을 얻는다.
이다. 한편 면적소   는


     
 F⋅S     


   × 


이므로
           ×  



참고 곡면  가  위에서의 함수  에 의하여 정의되었

다고 하자. 그리고 F 가 3차원 벡터장이라고 하자. 그러면
이다.
 × 

 F⋅S   F⋅ 
 ×  

 × 
  F ⋅   ×  
 ×   

S

3차원에 놓인 매끄러운 곡면  가  위에서의 함수  에
의하여 정의되었을 때


 × 
n 
 × 







이므로 다음을 얻는다.
 F⋅S   F⋅ ×  
를  의 단위법선벡터라고 부른다. 그리고 n의 방향을 곡면  의

방향이라고 부른다.



 가 매끄러운 폐곡면이고  위의 모든 점에서 방향이  에 의
25. 미분형식의 개념
해 둘러싸인 영역의 바깥쪽을 향할 때  는 양의 방향을 가졌다
앞서 구간   위에서 다음이 성립함을 살펴보았다.
고 말한다. 만약  위의 모든 점에서 방향이  에 의해 둘러싸인






         
영약의 안쪽을 향할 때  는 음의 방향을 가졌다고 말한다. 매끄
러운 곡면 위에서  ×  ≠ 이므로  는 양의 방향만 가지거나
여기서 적분 구간이 고정되어 있으므로 적분 기호를 생략하기로
음의 방향만 가진다.
약속한다면 위 식은
정의 24.2 F 가 3차원 벡터장이고  가 함수  에 의해
        
정의된 3차원에 놓인 매끄러운 곡면이라고 하자. F 와 n 의 내적
라고 나타낼 수 있다. 프랑스의 수학자 Élie Joseph Cartan은
 × 
F⋅n  F ⋅ 
 × 
적분 기호와 구간을 생략한 표현으로도 미적분과 관련된 여러
가지 성질을 증명할 수 있음을 밝혔다. 이렇게 적분에서 적분 기
는 각 점  에 대하여 정의된 스칼라 함수가 된다. 이때 
호와 구간을 제외한 것을 미분형식(differential form)이라고 부른
위에서 F 의 면적분을
다. 이 장에서는 미분형식의 여러 가지 성질을 직관적으로 살펴
 F⋅n 
보자. 미분 형식의 논리적 정의는 다음 장에서 살펴볼 것이다.

로 정의한다.
실수 구간에서의 Riemann 적분

참고 방향 면적소 n  를 간단하게 S로 나타내면 면적분은
 
 F⋅n    F⋅S
는 점 에서 를 잇는 선분 위에서의 선적분으로 생각할 수 있



다. 마찬가지로 중적분
로 쓸 수 있다.
   

참고 곡면  가  위에서의 함수  에 의하여 정의되었
는  평면에 놓인 방향이 주어진 곡면  위에서의 면적분으로
다고 하자. 그리고 F 가
생각할 수 있다. 만약  가 -평면에서의 본래 방향을 유
F         i     j      k
지하는 미분이라면  는 그 방향이 반대가 되도록 하는 미분
로 정의된 3차원 벡터장이라고 하자. 표기의 편의를 위해

으로 생각할 수 있다. 따라서
          

 
 
  



   

이다.
이라고 하자.
강의노트 ∙ ∙ ∙

87
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
삼중적분에 대해서도 마찬가지로
   ,    ,    라고 하면 앞의 미분형식은
               ⋯

          

로 나타낼 수 있다. 더욱이   ,   ,   라고 하면 위
와 같이 생각할 수 있다. 일반적으로 중적분에 대해서는
미분형식은
 ⋯      ⋯    ⋯  ±  ⋯   









  
≤ ≤
로 생각할 수 있다. 여기서 부호는   ⋯  이 차원 영
로 나타낼 수 있다. 이 방법을 이용하여 두 미분형식의 합을 자
역  의 방향을 보존하는 경우 양이 되고  의 방향을 보존하지
연스럽게 정의할 수 있다. 3차원 공간에서의 두 미분 2-형식 
않는 경우 음이 된다.
와 가
이와 같은 성질을 미분형식에 적용해보면
         ,
      ,
        
              ⋯
로 주어졌다고 하자. 이때 미분형식의 합은
임을 알 수 있다. 더욱 일반화시켜 생각해보면
                     
   ⋯   ±    ⋯ 
                   
               
이다. 여기서 부호는   ⋯  이   ⋯  의 우치환
인 경우 양이 되며 기치환인 경우 음이 된다. 즉 두 개의 미분을
이 된다. 미분 형식의 합은 반드시 두 미분형식의 차수가 같아야
한 번씩 교환할 때마다 부호가 반대가 된다. 이러한 법칙을 반교
한다.
환 법칙이라고 부른다.
미분형식의 곱을 살펴보자. 5차원 공간에서의 두 미분형식 와
반복적분이 아닌 중적분에서
가
    
       ,         

로 주어졌다고 하자. 이때 미분형식의 곱은 분배법칙을 이용하는
와 같은 표현은 의미가 없다. 따라서
것과 같이
    
∧               
이다. 일반적으로  ,  , ⋯,  중 서로 같은 것이 존재할 때
              
    
   ⋯   
              
이 성립한다.
로 계산한다. 여기서 는 1차이고 는 2차이며  ∧ 는 3차이
미분형식은 미분이 몇 개 붙어 있느냐에 따라 이름이 달라진다.
다. 즉  -형식과 -형식의 곱의 결과는   -형식이 된다.
가 개의 변수  ,  , ⋯,  에 대한 함수일 때
 ∧ 를 와 의 쐐기곱이라고 부른다.
   ⋯ 
일반적으로 미분형식 , , 에 대하여 의 차수를  , 의
차수를 이라고 할 때 다음이 성립함을 알 수 있다.
을 미분  -형식 또는  차 미분형식이라고 부른다. 물론 위
식에서 각  는  이하인 자연수이다.   인 경우, 즉 만
∙     
혼자 있는 경우를 특별히 -형식이라고 부른다.
∙           
두 개의 미분 형식에 대하여 한 미분 형식을 반교환법칙에 따라
∙  ∧       ∧ 
변형하여 다른 미분형식과 동일한 꼴로 만들 수 있을 때 두 미
∙  ∧  ∧    ∧  ∧ 
분형식은 서로 같은 것으로 간주한다. 따라서 모든 미분형식은
∙  ∧      ∧    ∧ 
다음과 같은 유일한 꼴로 쓸 수 있다.

 ≤  ⋯  ≤ 
이제 미분형식을 미분해보자. 가 차원 공간에서
  ⋯    ⋯ 
     ⋯ 
으로 정의된  -형식일 때 의 외미분 는
예를 들면 3차원 공간에서의 면적분의 미분형식

가 주어졌다고 하자.
강의노트 ∙ ∙ ∙




       ⋯     ⋯ 



          
으로 정의된다. 단 이러한 외미분은   일 때에만 정의된다.
88
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
 
  이고    인 스칼라 함수일 때의 외미분은




       ⋯  



라고 쓸 수 있다. 고정된  에 대하여 위 적분은 에 대한 함수
로 생각할 수 있다. 그러나 반대로 고정된 에 대하여 위 적분
이 된다.
은  에 대한 함수로 생각할 수도 있다.
일반적으로 가  -형식이고 가 -형식일 때 다음이 성립한다.
마찬가지로 매끄러운 실함수 , 에 대하여 선적분
∙       



          


     

∙  ∧    ∧      ∧ 



∙   

물론   는   일 때에만 정의된다.
는  에 대한 함수로 생각할 수 있다.
예를 들어 3차원 공간에서 정의된 1-형식
이렇게 적분을 적분 영역에 대한 함수로 생각한 것을 미분 형식
         
이라고 부른다.
의 외미분은

정의




          






         






         





있는 함수를 미분 1형식이라고 부른다. 1-형식의 이름을   
 로 정의한다.





즉 1-형식     는 곡선  를
     

 
 
           




 
     



26.1 곡선을 실수에 대응시키는, 선적분으로 표현될 수

에 대응시키는 함수이다.

여기서 어떠한 곡선  에 대하여 1-형식     가 정의되는
지에 대한 의문이 생긴다.
이다. 이것은 v i j  k의 회전미분형식 v⋅와 동일
먼저    ,    인 경우를 살펴보자. 이때
하다.


    
    

다른 예를 살펴보자. 3차원 공간에서 정의된 2-형식

            

가 된다. 이것을 곡선  의 부호 -변동(net  -variation)이라고
의 외미분은
부른다. 따라서 미분형식 는





           






          






          






   ↦   
인 함수가 된다. 마찬가지로 는


   ↦   
인 부호 -변동이 된다. 여기서 부호(net)라는 용어는 중요하다.
음의 -변동이 양의 -변동과 만나면 상쇄된다. 마찬가지로 음

  
        



의 -변동이 양의 -변동과 만나면 상쇄된다.
미분형식  는 에 만큼의 가중치가 부여된 가중 -변동
이다. 이것은 v i j  k의 발산미분형식 div v  
이다. 만약 곡선  가 의 값이 큰 부분을 지나면 그것의 -변
와 동일하다.
동은 그만큼 큰 값을 갖게 되고 적분
  
26. 미분형식의 성질

앞 절에서는 적분에서 적분 기호와 적분 구간을 제외한 부분을
는 부호 -가중 -변동(net  -weighed  -variation)이 된다. 즉
미분 형식이라고 하였다. 이 절에서는 미분형식을 함수로서 엄밀
미분형식  는
하게 정의하고 그 성질을 논리적으로 살펴보자.
    ↦ net   weighed  variation of  
Riemann 적분

인 함수가 된다. 같은 방법으로  도 생각할 수 있다. 또한 1

형식     는 각 곡선  를 두 변동의 합에 대응시키는 함
 
수가 된다.
은    에 대하여
강의노트 ∙ ∙ ∙
89
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
1-형식은 공간의 곡선을 적분값에 대응시키는 함수이다. 곡선들
즉 가  를  에 대응시키는 순환이면
의 모임 위에서 정의된 함수 중에서는 미분형식인 것도 있고 그
   sgn
렇지 않은 것도 있다. 예를 들어 각 곡선을 그 길이에 대응시키
는 함수는 미분형식이 아니다. 왜냐하면 곡선의 길이는 곡선의
가 성립한다. 특히      이다. 행렬에서 서로 같은
방향에 영향을 받지 않지만 미분형식은 곡선의 방향에 따라 부
행이 존재하면 행렬식의 값은 이 되므로  의 성분 중 같은 것
호가 달라지기 때문이다.
이 있으면   이 된다. 특히    이다.
 ≥ 일 때 -형식을 정의하기 위해서는 야코비안(Jacobian)을
평면에서의 선적분에서 곡선은 1-세포이고   ,   이
도입해야 한다.
며  -면적은 부호 -변동이고  -면적은 부호 -변동이
다. 마찬가지로 면적분은 2-세포 위에서의 2-형식의 적분이다.
    ⋯  와     ⋯  가 정수들의 -순서

  -면적은 -사영의 부호 면적이다. 또     

쌍이고   ℝ → ℝ 이 매끄러운 함수라고 하자. 이때
 



⋯

  ⋯  
   det ⋮


 ⋯  


 
을 통해서 -면적의 부호는 -면적의 부호와 반대임을 알
 



⋱
⋮



⋯

수 있다.
문맥에 따라서 -세포는 함수를 의미하기도 하고 함수의 상을
의미하기도 한다.
 
정리 26.3 -세포 위에서 -형식을 적분하면 그 값들은 서로
로 정의한다. 만약   ,    ,    이면   는
동일하거나 부호만 반대가 된다. 여기서 부호는 -세포를 정의
  가 된다.
정의
한 함수가 방향을 보존하는지 그렇지 않은지에 따라서 결정된다.
증명 만약  가   로부터 그 자신에로의 미분동형사상이고 방
26.2 -사각집합      에 대하여 매끄러운 함수
    → ℝ 를
ℝ 에서의
-세포( -cell)라고
향을 보존하며     이면 야코비안   는 양수이다. 행
부른다.
렬식의 곱의 성질과 변수 변환 공식에 의하여
    ⋯  가   ⋯ 에서의 -순서쌍이면 
는 각 -세포 를 그것의  -체적




    


















를 얻는다. 합을 구하면 임의의 ∈ 에 대하여

를 간단하게 나타낸 것이다. 가 ℝ 에서의 매끄러운 함수이면

∘
  는
    ↦

 
     
   
  


⋯  
  ⋯ 
  ⋯ 
    ⋯  

  ∘   
 

에 대응시키는 함수이다. 여기서 적분은
 ∘  

  ∘   


∘

 
 

   ↦



가 성립함을 알 수 있다. 만약  가 방향을 보존하지 않는다면

  




야코비안의 값은 음수이다. 그런데 변수변환 공식에서 야코비안
의 절댓값을 사용하므로 이 경우 위 적분값의 부호는 반대가 됨
인 함수가 된다. 함수 는  -체적에 가중치를 부여한다. 범함
을 알 수 있다.
□
수  를 기본 -형식이라고 부르며   를 단순 -형식이라
위 정리의 특별한 경우로서 선적분의 예를 들 수 있다. 곡선 
고 부른다. 또한 단순 -형식들의 합

위에서 1-형식의 적분은  를 어떻게 매개변수화했는지에 영향
    ↦   






을 받지 않는다. 만약 변수 ∈ 을 이용하여  를 매개변수
화하고 변수 ∈   를 이용하여  의 길이를 매개변수화했다
를 일반 -형식, 또는 간단히 -형식이라고 부른다.
면  의 방향은 그대로 유지된다. 이때 1-형식의 적분은 다음과
같이 동일하다.
참고 ℝ 에서의 모든 -세포들의 모임을   ℝ  으로 나타낸






        ,
   


다.   ℝ  위에서의 모든 범함수들의 모임을  ℝ  으로
나타낸다. ℝ 위에서의 모든 -형식들의 모임을  ℝ  으로


    



나타낸다.

 
.
     


행렬에서 행교환을 하면 행렬식의 부호가 바뀌기 때문에 -형
식은 가부호교환법칙(signed commutativity)을 만족시킨다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
90
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
정의
로 정의된다. 여기서    ⋯  ,    ⋯   그리고
26.4    ⋯  이면 -순서쌍     ⋯  
이 상승한다(ascend)라고 말하며 상승하는 -순서쌍을 표준 -
   ⋯   ⋯  
순서쌍이라고 부른다.
이며 합은 모든 표준 순서쌍  ,  에 대하여 취해진 것이다.
보조정리 임의의 -형식은 표준 -순서쌍의 단순 -형식들의 합

 

보기 예를 들어  ∧     이다.

로 유일하게 표현된다. 더욱이 이러한 의 표준 표현의 계수
정리 26.6 쐐기 곱 ∧   ×  →  은 다음을 만족시킨다.
 는 에서의 작은 -세포들 위에서의 의 값에 의해 결
(1) 분배법칙 :    ∧   ∧  ∧,
정된다.
 ∧     ∧  ∧.
증명 가부호교환법칙을 이용하여 주어진 미분형식의 순서를 바
꾸어 표준 -순서쌍의 단순 -형식들의 합  
(2) 둔감표현법칙 : 일반표현  
  로 표

대하여 ∧ 


 

 ∧      ∧ . 특히  ∧    ∧ .
로 정의하자. 여기서  은 ℝ 를  -평면에 대응시키는 선형 포
증명을 위해 다음 보조정리가 필요하다.
함사상이다. 에서 는   를  -평면의 직사각형 집합에 대응
시킨다.  → 인 극한을 취하면 직사각형 집합은 한 점 에 수
보조정리 기본 형식들의 쐐기 곱은  ∧    를 만족시
렴한다. 만약  가 표준 -순서쌍이면 의 야코비안은
킨다.


if  
 


 if ≠

증명 만약  와  가 상승하는 순서쌍이면 정의에 의하여 당연히
 ∧    가 성립한다. 이제 와 가 치환이고  와 
가 된다. 따라서  ≠  일 때     이고
가 감소하지 않는 순서쌍이라고 하자.  의 처음 개의 항을 
  


(4) 부호교환법칙. 가 -형식이고 가  -형식일 때,
   ↦    
      

(3) 결합법칙.  ∧  ∧    ∧  ∧ 
  에 대하여 포함세포(inclusion cell)    를


    .
 
현할 수 있다. 표준 -순서쌍  와 점 ∈ℝ 을 고정시키자.
  ,     에
로 치환하고 다시 나중 개의 항을 로 치환하는 치환을 라고

하자. 그러면 의 부호는 sgnsgn이고
가 성립한다.  는 연속이므로
 ∧   sgnsgn  ∧ 
 sgn    

   lim  
→ 
를 얻는다.
□
이다. 이것은 에서의 작은 -세포 위에서 의 값이 계수
 를 결정함을 의미한다. 따라서 계수  는 유일하게 결정
정리 26.6의 증명 (1)  
된다.
이고  
□
  와     가 -형식




  가 -형식이며 세 형식이 모두 표준 표현이라


고 하자. 그러면


따름정리   이면  ℝ   ∅이다.
   

증명   이면   ⋯ 의 원소들로 이루어진 표준 순서쌍은 존재하지 않는다.

는   의 표준 표현이고
□
    
            ∧    ∧ 
   ∧  

 
미분형식은 여러 가지 이름을 가지고 있을 수 있다. 그러나 표준
표현에 의한 이름은 유일하다. 따라서 미분형식에 관련된 정의나
 
 
성질에 대하여 논의할 때 미분형식의 표준 표현에 의한 이름을



 
 


가 성립한다. 따라서 좌분배법칙이 성립한다. 우분배법칙도 같은
사용하면 유용하다.
방법으로 증명된다.
이제 미분형식의 쐐기곱을 살펴보자.
(2)
그들을 표준 표현

  ,    





  
 
 




   ∧       ∧     






 
 


 
 


를 얻는다.
로 나타내자. 이때 이들의 쐐기 곱(wedge product)은     -형식
∧
  와   가 , 의 일반적인 표현이라고 하자.
분배법칙과 보조정리에 의하여
정의 26.5 가 -형식이고 가  -형식이라고 하자. 그리고
강의노트 ∙ ∙ ∙


91
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
(3) 비표준 표현에 대한 결합법칙만 증명하면 충분하다.

  ,     ,    





정의 27.1  ≥ 이고

 

  ∧ 

 ∧  ∧  
   ∧    



 
 
  


이다. 여기서 합은 모든 표준 -순서쌍  에 대하여 취해졌다.

       ∧  ∧ 
  

고 하자. 의 외미분(exterior derivative)은   -형식
라고 하면

   가 -형식 의 표준 표현이라

표준 표현을 사용하는 것은 정의를 모호하지 않게 만든다.
를 얻는다.
참고  가 -형식이고  는 -형식이기 때문에 는 실제
(4) 결합법칙에 의하여  와  를 다음과 같이 쓸 수 있다.
로   -형식이 된다. 예를 들어
   ∧  ∧ ⋯ ∧ 
          ∧ 
   ∧  ∧ ⋯ ∧ 
이다.
따라서
정리 27.2 외미분    →   은 다음 네 조건을 만족시킨다.
 ∧    ∧  ∧ ⋯ ∧  ∧  ∧  ∧ ⋯ ∧ 
이다. 이것은 각  와 의 순서를  번 순환 치환한 것이다.
(1) 선형성 :        .
따라서
(2) 둔감표현성 :
 
 ∧       ∧ 


   ∧  .


(3) 곱법칙 : 가 -형식이고 가 -형식이면
가 성립한다. 또한 분배법칙을 이용하면 일반적인 , 에 대해
서도 등식이 성립함을 증명할 수 있다.
   가 의 일반 표현이면
 ∧     ∧       ∧ .
□
(4)   . 즉 임의의 ∈ 에 대하여   .
증명 (1) 외미분의 정의에 의하여 자명하다.
27. 미분형식의 미분
(2) 가 치환이고  가 표준 순서쌍이라고 하자. 는 선형이고
미분형식을 미분해보자. 기본 아이디어는 다른 미분과 마찬가지
쐐기곱은 결합법칙을 만족시키므로
로 한 점의 근처에서 점이 움직임에 따라 미분형식의 값이 얼마
    sgn    sgn  ∧ 
나 변화하는지를 생각해보는 것이다.
   ∧ 
-형식은 매끄러운 함수 이다. 그것의 외미분은 곡선
가 성립한다. 의 선형성을 이용하면 단순 형식이 아닌 일반적
    → ℝ
인 미분 형식에 대해서도 등식이 성립함을 알 수 있다.
에 대한 범함수
(3) Leibniz 법칙을 2변수 함수에 적용시키면
   ↦   


                      


로 정의된다.
     
보조정리 는 -형식이며,   일 때 이것은
를 얻는다. 따라서 ℝ 에서의 0-형식에 대하여 정리의 결과를


      


얻는다. 더 높은 차원에서의 미분형식에 대해서도 비슷한 방법으
로 증명된다. 이제     와     가 단순 형식이라고 하
로 표현된다. 특히   이다.
자. 그러면
증명 편미분을 간단하게  ,  로 표기하자. 미분형식
 ∧            ∧ 
  ∧   ∧         ∧  ∧  
      
  ∧      ∧ 
에 를 대입하면
를 얻는다. 분배법칙을 이용하면 일반적인 , 에 대해서도 등

 


    
   




식이 성립함을 알 수 있다.

를 얻는다. 피적분함수는  ∘ 의 미분이므로 미적분의 기본
(4) 먼저 0-형식인 에 대하여 증명하자. 보조정리에 의하여 
정리에 의하여
의 외미분은 이고 의 외미분은 이다.   ,   
이므로 정의에 의하여 다음이 성립한다.
    
이다. 따라서   를 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
   ∧   .
□
92
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
다음으로   ℝ → ℝ가 매끄러운 함수라고 하자.
      ↦    ∘ 
    

  ∘ 

  ∘  


이므로

          ∧     ∧ 


   ∘  
 

      ∧        ∧   



     

가 된다. 따라서

이다. 따라서    을 얻는다. 더 높은 차원에 대해서도 비슷
한 방법으로 증명된다.
    
□
 

  





는 -형식이 된다. 당김이 선형이라는 사실을 이용하면 이 등식
정리 27.2에 의하면 미분 형식은 오른쪽 결합에 대하여 작용한
이 일반적인 미분 형식에 대해서도 성립함을 알 수 있다.
다. 그렇다면 왼쪽에 결합하는 것에 대해서는 어떨까?
  ℝ → ℝ 이 매끄러운 변환이라고 하자. 그러면 자연스럽
이제      가 성립함을 증명해야 한다. 쐐기곱의 분배
게 두 사상
법칙과 외미분의 정의를 이용하면     ⋯  에 대하여
    ∧   ∧ ⋯ ∧ 
   ℝ  →  ℝ  ,    ↦  ∘ 

와



 





    
  
    ℝ  →  ℝ  ,    ↦  ∘ 



 ∧    ∧ ⋯ ∧   





 





  


  


  
 
⋯   ∧  ∧ ⋯ ∧ 



  ⋯     


를 얻을 수 있다. 이때  를  의 밀림(pushforward)이라고 부르
며   를  의 당김(pullback)이라고 부른다.

를 얻는다. 첨수  ,  , ⋯,  는 고정되어 있다. 또   ,   , ⋯,
즉 ∈ ℝ  의 당김은  ℝ  위에서의 범함수
  중에서 동일한 것이 존재하는 항의 값은 이므로, 합은 동일
한 성분이 존재하지 않는 순서쌍     ⋯  에 대해서만 취
     ↦   ∘  
해진다. 그런데 임의의     ⋯   에 대하여 치환 와 표
이다. 밀림  는  와 같은 방향, 즉 ℝ 으로부터 ℝ 에로의
준 순서쌍     ⋯  가 존재하여
대응인 반면 당김   는  와 반대 방향의 대응이다.
    ⋯     
밀림과 당김의 쌍대성은 다음과 같은 공식으로 요약된다.
그리고
      .
 ∧  ∧ ⋯   sgn
정리 27.3 당김은 다음을 만족시킨다.


를 만족시킨다. 따라서

(1) 당김은 선형이며   ∘     ∘  이다.

(2) 미분형식의 당김은 미분형식이다. 즉
 
   ∧ ⋯ ∧




에 대하여       이고        이다.



 
  
  
 





(3) 당김은 쐐기곱을 보존한다. 즉  ∧    ∧  .
 
⋯  
sgn 







이므로       를 얻는다.
(4) 당김은 외미분과 교환가능이다. 즉     .
  


(3) 0-형식에 대해서는 곱의 당김이 당김의 곱과 같다는 것이
증명 (1) 정의에 의하여 자명하다.
자명하다. 즉
(2) 선형대수학의 Cauchy-Binet 정리를 이용해서 증명하겠다.
     
함수   ℝ → ℝ 와   ℝ → ℝ 가 매끄러운 함수라고 하
이다.     와     가 단순 형식이면  ∧     이
자.    ∘ 의 야코비안에 Cauchy-Binet 정리를 적용하면
고 (2)에 의하여

 





  

  ∧    
를 얻는다. 여기서  는 각 성분이  이하의 자연수인 임의의 표
      ∧     ∧  
준 -순서쌍을 의미하며 야코비안   는   에서 계
이다. 당김은 분배법칙을 만족시키고 선형이므로 (ⅲ)이 증명된
산된 것이다.
다.
그러면 ℝ 위에서의 단순 -형식의 당김은  ℝ 에서의 범
함수
강의노트 ∙ ∙ ∙
93
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
를 간단하게
(4) 가 0차의 형식이면, 즉   ∈ ℝ  이면
 

 





   
     







 
 




 



    

째 이중극(dipole)이라고 부른다.




    
 

    이라고 하자. 만약 ∈ ℝ  이고
28.3
정리
    → ℝ 이 ℝ 에서 항등-포함사상(identity-inclusion)인 -
이다. 그런데  ∘      에 연쇄법칙을 적용하면
 ∘   

로 표기하기도 한다. 여기서    ∘     ∘   을 의 번

 
 
 





      
 

 
 
 


세포이면
    
  






가 성립한다. 이 명제를 직사각형 집합에 대한 Stokes의 정리라

이다. 따라서 0-형식에 대해서는     가 성립한다.
고 부른다.
다음으로  ≥ 일 때의 단순 -형식     에 대하여 생각
증명 미분형식 를 다음과 같이 쓰자.

하자. (ⅱ)와 쐐기곱 미분 공식에 의하여


 ∧ ⋯ ∧  .
  ∧  ∧ ⋯ ∧
 

      




 는 항  가 삭제되었다는 것을 의미하는 기호로 약
여기서 
   ∧      ∧  
속한다. 의 외미분은
   ∧     ∧     
를 얻는다. 따라서 외미분의 선형성에 의하여 (4)를 얻는다.



□
 ∧ ⋯ ∧ 
 ∧  ∧  ∧ ⋯ ∧

 


 




 ∧  ∧ ⋯ ∧ 

 
 
 
28. 미분형식의 적분

이다. 따라서
이 절에서는 Stokes의 정리, 즉 ∈ ℝ  과 ∈  ℝ 

 

 

    



      

에 대하여


가 성립한다. 번째 뒷면   의 번째 성분을 삭제하면 -

이 성립함을 살펴볼 것이다.
순서쌍   ⋯  를 얻으며, 다른 성분을 삭제하면 에
먼저 스토크스의 정리가 직사각형 집합에서 성립함을 보이고, 이
대하여 상수인 성분만 남게 된다. 번째 앞면   에 대해서
어서 당김을 이용하여 일반적인 영역에서도 성립함을 보일 것이
도 마찬가지로 성립한다. 따라서 야코비안은
다.
  or  
 i f     ⋯ 
 ⋯ 



 otherwise

정의 28.1 실수인 상수  , ⋯,  에 대하여 -세포들의 일차
가 된다.  ≠ 인 경우 의 번째 이중극 적분은 이며,   인
결합
경우 의 번째 이중극 적분은


 







    ⋯     ⋯      ⋯  
    ⋯       ⋯     ⋯ 
로 표현되는 를 -쇄( -chain)라고 부른다.  위에서 -형식

의 적분은 다음과 같이 정의된다.





 








     .



이다. 미적분의 기본정리를 이용하면  의 차의 미분과 적분을

교환할 수 있다. 그리고 Fubini의 정리를 이용하면 적분의 순서
를 바꿀 수 있다. 즉
정의 28.2 -세포 의 경계(boundary)를 -쇄
 
 
 



으로 정의한다. 여기서  과  은 각각

  







이다. 따라서 교대 이중극 합
   ⋯   ↦  ⋯     ⋯   ,


  ⋯ 
  ⋯ 

 ∘    ∘  
      


  ⋯   ↦  ⋯     ⋯  
이다.
로 정의된 함수로서, 순서대로    의 후포함 -세포(rear

□
inclusion  -cell), 전포함 -세포(front inclusion  -cell)라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
94
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
참고 벡터장     의 회전(curl)은 벡터장
따름정리 ∈ ℝ  이고 ∈  ℝ 이면
          
    


이다. 미분형식          에 Stokes의 정리를 적용
가 성립한다. 이 명제는 일반적인 -세포에서의 Stokes의 정리
하면
이다.
     ∧       ∧        ∧ 
         
       → ℝ 과      → ℝ  이 항등 포함
증명
사상이라고 하자. 당김의 정의, 그리고 당김이 외미분과 교환 가




가 된다. 여기서  는 닫힌곡선  에 의해 둘러싸인 평면의 영역
                   

∘


능하다는 성질을 이용하면








이다. 좌변의 적분은  를 지나는 전회전(total curl)이고 두 번째

를 얻는다.
적분은 경계에서의  의 순환(circulation)이다. 이 정리를 Stokes
□
의 회전 정리라고 부른다.
참고 Stokes의 정리
외미분이 인 형식을 닫힌 형식(closed form)이라고 부른다. 다른
형식의 외미분이 되는 형식을 완전 형식(exact form)이라고 부른
    

다.   이므로 임의의 완전 형식은 닫힌 형식이다. 즉

에서     ⊆ ℝ ,   라고 두자. -쇄     에서
  
의 적분은   이다. 이것은  위에서 의 적분이
⇒
    
이 성립한다. 이 명제의 역이 성립하는 것은 언제인가? 즉 닫힌

형식 에 대하여 미분의 역연산을 할 수 있는 것은 언제인가?

Poincare의 보조정리에 의하면 ℝ 에서 정의된 임의의 형식에
 ′ 
대해서는 미분의 역연산이 항상 가능하다. 그러나 만약 미분 형
인 것과 상통한다.
식이 ℝ 의 부분집합  에서 정의되었고 ℝ 전체에서 매끄러
참고 Stokes의 정리에서       라고 두고  의 경계가
운 미분형식으로 확장될 수 없다면 그러한 연산이 항상 가능한
곡선  이면
것은 아니며  의 위상적 구조에 따라 달라진다.
미적분에서의 친숙한 예를 살펴보자.  가 평면에서의 영역이고
            



경계가 단순닫힌곡선이며       가  위에서 정의된

닫힌 1-형식이라고 하자. 그러면 는 완전 형식이다. 왜냐하면
를 얻는다. 이것을 Green의 정리라고 부른다.
경로  ⊆  를 따라 를 적분한 값은  의 끝점에 의해서 완전
히 결정되기 때문이다. 즉  에서 의 적분은 경로에 독립이다.
참고     가  ⊆ ℝ 에서 정의된 매끄러운 벡터장일 때
∈ 를 고정시키고, 에서 ∈ 까지 잇는 경로  에 대하여
 div   flux

 



를 얻는다. 이 정리를 Gauss의 발산정리라고 부른다.  의 발산
라고 정의하자. 그러면 이 적분은 경로의 끝점에 의해서 결정되
(divergence)은 스칼라 함수
므로
는 잘 정의된 함수이다.
한편 등식
  ,
  ,   를 이용하여 가 완전 형식이 됨을 확인할
div      
수도 있다.
이다. 가  에서의 -세포이면 적분
만약  ⊆ ℝ 가 연결되지 않은 영역이면  위에서의 1-형식
   ∧     ∧     ∧ 
중에서 닫혀있지만 완전이 아닌 형식이 존재한다. 그러한 미분

형식의 예로
는 를 통과하는  의 유출(flux)이다.  가 -세포들의 긴밀다양
    
 
   
체라고 하자.  를 지나는 전유출은 그것의 -세포들을 지나는
유출들의 합이다.  가 영역  ⊆  를 감쌀 때
를 들 수 있다.
    ∧     ∧     ∧ ,
  ℝ∖에서의 미분형식
  div  ∧  ∧ 
  ∧     ∧     ∧ 
 
       
에 대한 Stokes의 정리는 곧 발산정리가 된다.
도 그러한 예가 된다.  는 안쪽 반지름이 이고 바깥쪽 반지름
이 ∞인 구 모양의 껍데기로 생각할 수 있다.  가 단순연결 영
역임에도 불구하고 는  위에서 닫혀있으면서 완전이 아닌 형
식이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
95
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
이제 함수   ℝ  → ℝ 을
정리 28.4 가 ℝ 에서의 닫힌 -형식이면 는 완전 형식이
다. 이 명제를 Poincare의 보조정리라고 부른다.
   
증명     이 항등함수가 되는 적분연산자
로 정의하고    ∘  라고 하자. 당김과 외미분은 가환이므로
    ℝ  →    ℝ 
            
이 존재함을 보이자. 즉   가 존재하여 임의의 ∈ ℝ  에
이다. 여기서   의 값을 계산하자. 가 단순 형식
대하여
   ∈ ℝ 
          
이라고 하자.      ⋯  이므로
를 만족시킴을 보이겠다. 이것을 증명하고 나면 Poincare의 보
         
조정리는 자연스럽게 증명된다. 왜냐하면   인 경우
   ∧   ∧ ⋯ ∧  
         

로서 가 완전 형식이 되기 때문이다.



  






∧   
먼저 ℝ  에서의 -형식 를 생각하자. 는


     ∧     ∧ ⋯
     
(28a)
 ∧ 
이다. 여기서   는 를 포함하는 항들을 줄여서 간단히 나
타낸 것이다. 따라서 (28b)에 의하여
의 유일한 형태로 표현된다. 여기서
    ∘          
    ,     ,  ∈ℝ   ℝ × ℝ
이다. (28a)의 첫 번째 합은 각 성분이  이하의 자연수인 모든
가 성립한다.  과 가 선형이므로 등식
표준 -순서쌍  에 대하여 취해진 것이며, 두 번째 합은 각 성
      
분이  이하의 자연수인 모든 표준   -순서쌍  에 대하여
은 일반적인 -형식에 대해서도 성립한다. 따라서  의 존재성
취해진 것이다. 이제 사상    ℝ   →    ℝ  을
   
을 증명하였다.
□

  




 가 ℝ 의 부분집합이라고 하자. 만약  의 점 가 존재하여 임
로 정의하자. 임의의 ∈ ℝ   에 대하여
   
의의 ∈ 에 대하여 와 를 잇는 선분이 ℝ 에 포함되면  를
      



별모양 집합(star-shaped set)이라고 부른다.
(28b)

가 성립함을 보이자. 여기서 계수  는 (28b)와 동일한 것이다.
따름정리 완전형식에 관련된 다음 명제가 성립한다.
Leibniz의 정리에 의하여 미분과 적분의 순서를 바꿀 수 있다. 즉
(1)  가 ℝ 과 미분동형이면  위에서의 닫힌 형식은 완전 형
 

 





완전 형식이다.



(3) 별모양 열린집합  ⊆ ℝ 위에서 정의된 닫힌 형식은 완전
         ∧  
  
 

 

  
(2) 열린집합  ⊆ ℝ 위에서 정의된 국소적으로 닫힌 형식은

 ∧ ∧  


 
  
식이다.

∧     ∧ 






 
  ∧ 
  
 
 
 




 



형식이다.


증명 (1)    → ℝ 이 미분동형사상이고 가  위에서의
닫힌 -형식이라고 하자.       라고 하자. 당김은 와

교환 가능하므로 는 ℝ 에서 닫혀있고 ℝ 위에서의 적당한
이다. 따라서
  -형식 가 존재하여   를 만족시킨다. 그러면
 
  
 
        
 
   
 


           




이므로 는 완전 형식이다.

(2) 열린집합  는 국소적으로 ℝ 과 미분동형이다.
이므로 (28b)가 성립한다.
(3)  는 ℝ 과 미분동형이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
96
□
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
따름정리 ℝ 또는 그와 미분동형인 열린집합  위에서 정의
된 매끄러운 벡터장이 스칼라 함수의 기울기장이 될 필요충분조
건은 그것의 회전이 모든 점에서 0이 되는 것이다.
증명   ∇이면
      
⇒
curl              
이다. 역으로     이면
curl   
⇒
         
는 닫힌 형식이므로 완전 형식이다. 따라서   인 함수 는
기울기장  를 가진다.
□
따름정리 ℝ 또는 그와 미분동형인 열린집합  위에서 정의
된 매끄러운 벡터장의 발산이 모든 점에서 0이 될 필요충분조건
은 그 벡터장이 다른 적당한 벡터장의 회전인 것이다.
증명     이고   curl  이면
            
이므로 의 발산은 0이다. 역으로        의 발산이 0
이면 형식
    ∧     ∧     ∧ 
는 닫힌 형식이고 따라서 완전 형식이다. 만약 형식
         
에 대하여   이면     에 대하여 curl   가
성립한다.
□
참고문헌
∙ Charles C. Pugh, Real Mathematical Analysis, Springer,
2001.
∙ Wilfred Kaplan, Advanced Calculus (5ed), Addison
Wesley, 2002.
∙ Martin Lipschutz, Schaum’s Outline of Differential
Geometry, McGraw-Hill, 1969.
∙ James R. Munkres, Topology (2ed), Prentice Hall, 2000.
∙ Murray Spiegel & Seymour Lipschutz, Schaum’s Outline
of Vector Analysis (2ed), McGraw-Hill, 2009.
∙ William R. Parzynski & Philip W. Zipse, Introduction to
Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1987.
∙ Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3ed),
McGraw-Hill, 1976.
∙ Michael Spivak, Calculus on Manifolds, Westview Press,
1971
∙ William R. Wade, An introduction to Analysis (4ed),
Pearson Prentice Hall, 2010.
∙ 김락중 외 3인, 해석학 입문 (2판), 경문사, 2004.
강의노트 ∙ ∙ ∙
97
∙ ∙ ∙ 다변수 해석학
복소해석학 강의노트
Sooji Shin ∙ soojishin@live.com
이 노트의 내용은 기초 해석학과 다변수 해석학의 내용에 이어지
함수  ↦ cos sin  는 실직선으로부터 ℝ 의 단위원에로
는 것입니다.
의 주기 인 함수가 된다. 복소수 표기법으로 이 함수는
 ↦ cis ≔ cos   sin
1. 복소수 체계
로 표기한다. 영이 아닌 임의의 복소수 에 대하여, 양수 와
실수들의 집합 ℝ는 덧셈과 곱셈에 대하여 체(field)이다.   
법 에 대하여 합동인 실수 가 각각 유일하게 존재하여
일 때 ℝ 은 ℝ 위에서의 벡터공간으로서, 덧셈연산에 대하여
  cis로 표현된다.   cis로 표현되는데, 이때 는 임의
군(group)이지만 곱셈연산은 가지고 있지 않다. 그러나   인
의 실수이다. 관계   cis에서 대응  ↦ 는    인 함수
경우, 즉 ℝ 에서는 적절한 곱셈을 정의할 수 있다.
이다. 그리고 대응  ↦ 는   arg로 나타낸다. 참고로
 ≠ 일 때 arg는 법 에 대하여 합동인 값들이다. [arg은

임의의 실수이다.] arg의 값들 중   에 속하는 것을 택
정의 1.1 벡터공간 ℝ 에서
함으로써 arg를 정의할 수 있다. 참고로
         
   cis  ,    cis 
로서 곱셈을 정의할 수 있다. 이러한 곱셈이 주어진 공간 ℝ 는
일때
체가 된다. 이 공간을 ℂ로 표기하고 그 원소를 복소수라고 부
른다.
       cis     
가 된다. 또한
참고로  의 곱셈에 대한 역원은



 





 
  
arg      arg   arg 

이다. 특히

이다. [  인 경우에는 ℝ 이 체가 되도록 곱셈을 정의할 수


cis  cis   

없음이 알려져 있다.]  을 로 표기하고 ∈ℝ와  
을 동일시하면 ℝ ⊂ ℂ가 된다. 따라서 임의의 복소수  에

이므로 를 곱하는 것은 복소평면의 점을 원점을 중심으로 
대하여 실수 , 가 각각 유일하게 존재하여
만큼 회전시키는 변환이 된다. 복소수 cis를 곱하는 것은 원
     
점을 중심으로 만큼 회전시키고 배 확대시키는 변환이다. 더
로 쓸 수 있다. 또한    이다. ℂ는 ℝ∪를 포함하고
욱이    cis  이다. 영이 아닌 임의의 복소수 는 개의
덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀 있는 가장 작은 체계이다. 를 도입
제곱근을 가진다. 즉 cis의 제곱근은
함으로써 방정식     을 풀 수 있게 되며, 그뿐만 아니라
   
 

 cis  ,      ⋯ 
모든 다항방정식의 해의 존재를 보장할 수 있게 된다.
와 가 실수일 때     에 대하여 의 실수부를 Re  
이다.
로 정의하며 의 허수부를 Im  로 정의한다. 또한  의 켤
  
레복소수를    로 정의하며 의 절댓값을   
이번에는 복소평면에서의 원과 직선에 대하여 살펴보자. 중심이
∈ℂ이고 반지름이   인 원의 방정식은     이다.
 ≠ ∈ℂ이면 원점을 지나고 방향이 인 직선은 , ∈ℝ인
로 정의한다. 절댓값은 모듈러스 또는 크기라고 불리기도 한다.
꼴의 점들로 구성된다. 그러한 직선의 방정식을
 

Im   

정리 1.2 복소수의 실수부, 허수부, 절댓값에 대하여 다음이 성
립한다.
  
(1) Re   .

    
,
(5) 
  
(2) Im   ,



(4)    ,
 
    
,
(6) 
  
,
(7) 
(8)
(3)     ,
으로 나타낼 수도 있다. ∈ℝ이고   이면
      
는 직선 의 왼쪽 반평면 위의 점들을 나타내게 된다. 그러한
반평면은



 ,




 
∈ℂ Im    
(9)    ≤   .
으로 나타낼 수 있다.
증명 (1)~(8)은 정의에 의하여 자명하다. 또한 (9)는 ℝ 에서의
삼각부등식에 의하여 성립한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
□
98
∙ ∙ ∙ 복소해석학
정의 2.2 가 ℂ의 열린부분집합  위에서 정의되었다고 하
비슷하게
자. 만약 가 에서 미분 가능하고  ′ 이 에서 연속이면, 는

 
∈ℂ Im  
 
 위에서 해석적이라고 말한다.  가 ℂ의 부분집합이고 가
 를 포함하는 한 열린집합 위에서 해석적일 때 는  위에서
은 앞의 반평면을 만큼 평행이동한 반평면이 된다. 즉 점 를
해석적이라고 말한다. ∈ℂ이고 가 를 포함하는 한 열린집
지나고 와 평행한 직선의 왼쪽에 있는 점들로 이루어진 반평면
합 위에서 해석적일 때 는 점 에서 해석적이라고 말한다.
이다.
ℝ 의 단위구면에서 북극점을 뺀 곡면과 복소평면 사이이 일대
참고 가 열린집합이고 가 의 모든 점에서 미분 가능하면 
일 대응을 다음과 같이 정의할 수 있다.
는 의 각 점에서 거듭제곱급수로 나타낼 수 있다. 이것은 복소
함수와 실함수의 큰 차이이다. 이 내용은 뒤에서 증명할 것이다.
  
  
Re
Im
 ↔  ,    ,    ,    .
  
  
  
  
정리
2.3 복소함수의 멱급수는 수렴영역 내에서 항별로 미분
확장복소평면을 ℂ∞  ℂ∪∞로 정의하면 위 대응은 ℝ 의
가능하다.
단위구면  와 ℂ∞ 사이의 일대일 대응이 된다. 이때 ℂ∞ 에서
증명 급수
의 거리함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.
∞
    
    

      
,  ∞  
.




  
        





이 수렴반경  를 가진다고 가정하자. 그러면 이 급수의 형식적

미분은
∞
    
2. 복소함수의 미분
 


∞

   
    


이다. 이때
함수    → ℂ의 정의역 또는 치역이 허수를 포함할 때 를

복소함수라고 부른다.
  
 

 

    

      





복소수 집합 ℂ는 ℝ 와 거리동형이다. 따라서 ℂ에서 수열의
이므로  → ∞일 때 양변의 수렴 여부는 일치한다. 즉 복소 멱
극한, 함수의 극한, 연속성은 ℝ 에서와 동일하게 정의된다. 예
급수와 그 형식적 미분은 동일한 수렴반경을 가진다. 따라서 멱
를 들면 복소함수    → ℝ가 에서 연속이라는 것은
급수는 수렴반경 내에서 임의 횟수로 미분 가능하다.
∀   ∃   ∀∈       →      
이제 논의를 단순하게 하기 위해 중심이 원점인 멱급수
∞
을 만족시키는 것을 의미한다.
  
 
복소수는 나눗셈이 정의되기 때문에 복소함수의 미분의 정의는


 
을 생각하자. 수렴반경이  이고    라고 하자.   이 임
벡터함수의 미분의 정의보다는 실함수의 미분의 정의와 비슷하다.
의로 주어졌다고 하자.
∞
  
정의 2.1 즉 복소함수 가 점 의 근방에서 정의되어 있고 극한

    ,     

    
 ′   lim 

→


∞
  ,    

 
   


이라고 하자. 그러면

가 존재하면 는 에서 미분 가능하다고 말하고  ′  를 에서
     
         
    ≤    ′   

  
  
 
 

의 미분계수라고 부른다. 또한  ′ 을 의 도함수라고 부른다.
       
  ′          ≕        
  
한 점에서의 미분을 논할 때에는 항상 함수가 그 점의 한 근방
이다. 여기서  ′   은   의 부분합이므로 충분히 큰  과
에서 정의되어 있다고 가정한다.

임의의 에 대하여  ≤  이 성립한다. 또한
미분의 응용 결과는 실함수의 미분과 복소함수의 미분의 성질이
∞
       
    




  
  
   

다른 경우가 많다. 그러나 미분의 계산에 관한 기본 성질은 동일
하다. 먼저 미분 가능성은 연속성을 함의한다. 또한 와 가 
이다.      인 에 대하여   라고 하면
에서 미분 가능하면   ,   , 도 에서 미분 가능하며,

 ≠ 이면 도 에서 미분 가능하고, 이들 함수의 미분
공식은 실함수의 경우와 동일하다. 가 에서 미분 가능하고 
가 에서 미분 가능하면  ∘ 는 에서 미분 가능하며 연쇄
이 성립한다.
법칙이 성립한다. 가 에서 연속이고 가 에서 연속이며

    
                    ⋯    
  
≤     
  
 

이 수렴하므로 충분히 큰  과   
의 한 근방에서    가 성립하고 ′  가 존재하면
인 모든  에 대하여    이 성립한다. 두 조건을 모두 만
 ′  가 존재하고 그 값은 ′  와 같다.
족시키는 자연수  을 택하자.   이 미분 가능하므로   에 충분
히 가까운 모든 점  에 대하여   ≤  이 성립한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
99
□
∙ ∙ ∙ 복소해석학
이 식을 이용하면 다시
복소함수 가
∞
  
    

    Re cosIm    sin Im   


를 얻는다.
으로 표현될 때, 수렴영역 내부에서
∞
 ′   
     
이제 로그함수를 정의하자.  ≠ 일 때 exp  의 가장 일반


 
적인 해는   ln    arg  , ∈ℤ이다.    의 해
이 성립한다. 수학적 귀납법을 이용하면
   
∞
      ⋯       
는 없다.
 
정의 3.1  가 열린집합이고    → ℂ가 연속이며    

를 얻는다. 따라서   

 이라고 하면
∞
  
를 만족시키면 를  위에서의 로그의 분지(branch)라고 부른다.
 


참고
 
  ℂ∖ℝ 일 때를 주분지(principal branch)라고 부르고
  ℂ∖ℝ 일 때를 나선분지(spiral strip)라고 부른다. 별도의
로서 의 거듭제곱급수는 Taylor 급수와 동일함을 알 수 있다.
언급이 없으면 로그함수는 주분지를 의미하는 것으로 약속한다.
3. 기본 함수
역함수의 미분 공식에 의하여 로그의 분지는 해석적이며
거듭제곱급수를 이용하여 지수함수를 정의할 수 있다. 즉


ln  



∞
exp  


   

이다. 로그의 분지는   ≔ ln 의 분지를 제공한다.
으로 정의한다. Cauchy-Hadamard 공식을 이용하면 이 급수는
임의의 복소수  에 대하여 수렴한다는 것을 알 수 있다. 이제
로그의 분지를 다른 것으로 택하면 ln 의 값은 만큼 달라
위 함수를   로 나타내기로 하자.
진다. 따라서  의 분지를 어느 것으로 택하느냐에 따라서 그 값
은     만큼 달라진다. 만약 가 정수이면 모든 값이 동일하
다. 가 유리수이고 분모가 인 기약분수이면  는 개의 값을
보조정리 영역에서 도함수가 인 복소함수는 상수함수이다.
가진다.
증명 가 영역 에서 미분 가능하고  ′  이라고 하자. 그리
고 ∈라고 하자. 영역은 연결집합이므로 임의의 ∈는 와
다각선으로 연결된다. 각 선분 위에서 평균값 정리를 적용하면
4. 등각사상
가 상수함수가 됨을 알 수 있다. 따라서     이므로 
복소평면에서 두 직선이 이루는 각이 복소함수에 의해 어떻게
는 상수함수이다.
변환되는지 살펴보자. 교차하는 두 직선의 상은 한 점을 공유하
□
는 매끄러운 두 선이 되므로, 먼저 매끄러운 두 선이 이루는 각
이 사실을 이용하여 항등식         를 유도할 수 있다.
을 정의해야 한다.
이번에는 삼각함수를 정의해보자.      일 때  ″   
복소평면에서 경로(path)를 연속함수     → ℂ로 정의하

자. 만약 어떤 점에서 ′ ∈ℂ 이고 영이 아니면 ′  는 
      이므로
에서의 접벡터이므로 ′  의 편각은 에서 곡선과 수평선이
  
 
 → ℂ가 매끄
이루는 각이 된다.     → ℂ와 
 ″       
이다. 그리고   ,  ′   이다. 이 초기 조건을 만족시

  이며 ′  ≠ , 
′ 
 ≠ 이라
러운 곡선이고   
키는 미분방정식의 해는
′ 
  arg′ 는 두 곡선 사이의 각이
고 하자. 그러면 arg
   cos   sin
된다. 이제 에 의한 상, 즉   를 생각하자. 그러면
′    ′   ′  , 
 ′ 
   ′   
 ′ 
이다. 따라서
이다. 또 다른 해를   라고 하고     라고 하면
arg
′ 
  arg ′   arg
 ′ 
  arg ′  
″       ,     ′ 
 arg ′   arg ′  
이므로 의 실수부와 허수부가 모두 이 된다. 따라서 미분방정
식의 해가 유일하므로
이므로 각은 크기와 부호 모두 변하지 않는다. 즉 해석적 함수는
미분계수가 영이 아닌 점에서 등각사상이 된다. [미분계수가 영

  cos   sin
이면 각을 보존하지 않을 수도 있다. 예컨대  ↦   은 원점에
이다. 이 식의 를   로 바꾸고 이 식과 연립하면
서 각을 두 배로 변환시킨다.]
     
     
sin   , cos  


해석적 함수의 등각성은 해석적 함수가   의 근처에서  ′   을
곱한 일차함수처럼 행동하기 때문에 나타난다. 즉  ′      
를 얻는다.
이므로   근처에서 는 만큼 회전시키는 변환처럼 행동한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
100
∙ ∙ ∙ 복소해석학
반면에 ℝ 로부터 ℝ 로의 매끄러운 함수는 한 점의 근방에서
만약 실함수 , 에 대하여     이면 위 방정식은 다음과
선형변환처럼 행동한다.
같은 연립방정식으로 표현할 수 있다.
 



 
,

 
 


두 영역  ,  에 대하여 일대일대응    →  가 존재하여 

와  이 모두 등각사상이 될 때,  와  를 등각동치라고 부른
이것을 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
다.


경계로의 확장 단순연결영역  의 경계가 닫힌단순곡선이면 이
영역으로부터 열린원판  로의 등각사상    →  는 
 로부

이러한 표기법을 이용하면 Cauchy-Riemann 방정식은
 로의 동위사상으로 확장될 수 있다.
터 




등각사상의 구성 해석적 함수나 조화 함수에 관련된 해를 찾기
과 동치이며, 또한
위한 방법으로 등각사상이 사용되기도 한다. 예컨대 Joukowski
는 두 함수




 


 
     ,    

 



 

  


  ,     .

 

 
 



등각사상의 몇 가지 성질을 간단히 살펴보자.

와도 동치이다. 따라서 가  위에서 해석적이면 의 편미분이
의 합성함수  ∘ 에  을 지나고 을 내부에 포함하는 원을
존재하고 편도함수는 연속이며 Cauchy-Riemann 방정식을 만족
대입하였다. 그 상은 날개의 횡단면과 같은 모양인 ‘Joukowski
시킨다. 또한 그 역도 성립한다.
프로펠러’가 되었다. 원판 위에서의 Laplace 변환의 해를 찾기
위한 방법으로 이 함수가 사용된다.
정리 5.2  위에서 가 Cauchy-Riemann 방정식을 만족시키
다각형으로 둘러싸인 영역도 많이 사용되는 중요한 영역이다.
는 연속인 편도함수를 가지면 는  위에서 해석적이다.
Schwarz-Christoffel 변환은 다각형으로 둘러싸인 영역을 원판
증명     ∈라고 하자.  ′   가 존재함을 증명해야 한
에 대응시키는 등각사상으로서, 다각형의 꼭짓점들의 좌표를 이
다.    ⊆ 인 양수 를 택하고       를 만족시
용하여 사상을 정의할 수 있다.
키는     를 택하자. 그러면 평균값 정리에 의하여 두 조건
다중연결영역 하나 이상의 단순연결영역을 합집합한 것의 여집
 ,  를 만족시키는  ,  가 존재하여
합을 다중연결영역(multiply connected region)이라고 부른다. 특히
              



  
Riemann 구면에서 서로소인 두 단순연결영역의 합집합의 여집
합으로 나타나는 영역을 이중연결영역(doubly connected region)이
           
 

  
라고 부른다. 임의의 이중연결영역 에 대하여   인  가
       


  
존재하여 와 고리      가 등각동치가 된다. 또한 각 영
역 에 대하여  가 유일하게 결정된다. 특히 바깥반지름이 다




                 

   
  
른 두 고리영역은 서로 등각동치가 아니다.
를 만족시킨다.  → 일 때
5. Cauchy-Riemann 방정식


           → 



복소함수    → ℂ의 정의역이 열린집합이라고 하자. 실수
, 에 대하여   의 함숫값
   를  로 표기
이며, 이계편도함수에 대해서도 마찬가지로 성립한다. 더욱이
하자.      ∈에 대하여  ′   가 존재하면 ∈ℝ일 때

≤

   
     
 ′    lim 

 →
      

 lim    


 →
이다. 따라서  → 일 때   → 인 함수  가 존재하여
     




            



   
  
     
 ′    lim 

 →
        

 lim      



 → 
를 만족시킨다. Cauchy-Riemann 방정식을 이용하면 우변의 첫
두 항이  에 수렴함을 알 수 있다. 특히 이것은 
이다. 따라서 다음을 얻는다.
에 독립적이므로
     
→
다음과 같은 Cauchy-Riemann 방정식을 만족시킨다.
를 얻는다.


≡   .



강의노트 ∙ ∙ ∙

   
lim 


정리 5.1  에서 가 해석적이면  에서 의 편미분이 존재하고
101
□
∙ ∙ ∙ 복소해석학
정의 6.1에서와 같이 정의된 변환  의 계수행렬을
참고로 위 정리에서 가정을 가 연속이고 Cauchy-Riemann 방
정식을 만족시키는 편도함수를 가진다는 것으로 바꾸어도 동일
  
  
한 결론을 얻을 수 있다. [이것은 Looman-Menchoff 정리이다. 증명은
Narasimhan의 Complex Analysis in One Variable을 참고하기 바란다.]
로 쓴다. 만약  와  가 일차분수변환이면  ∘  도 일차분수변
Cauchy-Riemann 방정식을 이용하면 다음 등식을 얻는다.
환이 되며,  ∘  의 계수행렬은  의 계수행렬과  의 계수행렬
 

 
     .



 




을 곱한 것과 같다. 또한 일차분수변환의 역변환도 일차분수변환
이것은 임의의 해석적 함수가 조화적(harmonic)이라는 것을 의미
같다.  ∞  ,     ∞라고 하자.   인 경우에는
한다. 즉 실수부와 허수부가 서로 조화함수가 된다는 것을 의미
 ∞  ∞라고 하자. 그러면 일차분수변환  는 ℂ∞ 로부터 그
한다. 또한 이것은 해석적 함수의 켤레함수가 (해석적아 아닐지
위에로의 일대일대응이다. 이것은 역변환
이 되며, 역변환의 계수행렬은 본래 변환의 계수행렬의 역행렬과
라도) 조화적이라는 것을 보여준다.
  
   
      
만약    Re  이면 는 조화적이다. 역으로 가
영역  위에서 조화적이면 의 조화공액(harmonic conjugate)이
가 존재한다는 사실에 의하여 당연하다. 더욱이 일차분수변환의
존재할까? 즉     가 해석적 함수가 되게 하는 함수 가
합성은 일차분수변환이므로, 일차분수변환들의 집합은 합성연산
존재하는가? 만약 그러한 가 존재한다면 는 실상수를 제외하
에 대한 군(group)이 된다. 만약  가 선형이 아닌 일차분수변환
고 유일하게 결정된다. 이것을 증명해보자.
이면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
먼저 정의역이 단순연결영역이라는 가정이 필요하다. 즉 영역 
  
  
  

 
 
에 포함되는 임의의 매끄러운 닫힌단순곡선 에 대하여 의 적
당한 부분집합이 존재하여 가 그 부분집합의 경계가 된다고 하
이것은 임의의 일차분수변환이 평행이동, 회전, 확대, 축소, 뒤집
자. 그러면    → ℝ 가   급 벡터장일 때 보존적 벡터장의
기 변환의 합성임을 의미한다. 여기서 평행이동, 회전, 확대, 축
성질에 의하여   ∇를 만족시키는    → ℝ가 존재할 필
소 변환에 대해서는 잘 알고 있으므로 뒤집기 변환의 성질을 살
 에 대응시킨다는 것을
펴보자. 뒤집기라는 것은  를 ℂ ∖ 
요충분조건은
∞
 


 

의미한다. 뒤집기 변환이 직선과 원을 직선 또는 원에 대응시킨
다는 것을 밝히자.
이 된다. 이 등식으로부터 원하는 결과를 얻는다.
상수   , ∈ℂ, ∈ℂ에 대하여 도형의 방정식
정리 5.3 단순연결영역에서 조화적인 함수는 조화공액을 가진다.
참고
      
를 생각하자. 이것을     로 나타내면
단순연결이 아닌 영역에서는 조화공액이 존재하지 않을
수도 있다. ℂ∖ 위에서   ln라고 하면    arg는
                 
ℂ∖∈ℝ  ≤  위에서 해석적이지만 ℂ∖ 위에서의
이다. 이 방정식은  ≠ 일 때에는 원의 방정식이고   일 때
해석적 함수로 확장되지 못한다.
에는 직선의 방정식이다. 두 경우 모두 도형은 Riemann 구면
위에서의 원이 된다. 그 원을   이라고 하자. 를 로 치환
6. 일차분수변환
하고 식을 변형하면
이 장에서는 여러 가지 유용한 성질을 가지고 있는 일차분수변
         
환을 살펴보자.
이 되는데, 이 식도 원의 방정식이다. 그 원을  라고 하자. 이
정의 6.1 , , , 가 복소수이고  ≠ 라고 하자. 이때 함수
로써 ∈  ⇔ ∈  이므로, 뒤집기 변환은 Riemann 구면
  

 ↦      , ∈ℂ,  ≠ 
  

위의 원을 원에 대응시킨다는 것을 알 수 있다. 같은 성질이 평
를 일차분수변환 또는 Möbius 변환이라고 부른다.
행이동, 회전, 확대, 축소 변환에도 있으므로, 일차분수변환은
Riemann 구면에서의 원을 원에 대응시키는 성질을 가지고 있음
을 알 수 있다.
참고 (1) 위 정의에서   이면  는 상수함수가 된다.
(2) 계수 , , , 가 유일하게 결정되지는 않는다. 그러나 상
참고 여기서 증명을 하진 않겠지만, 일차분수변환은 다음과 같
수배 차이를 제외하고는 유일하게 결정된다.
(3) 상수가 아닌 선형 다항식은   인 일차분수변환이다.
은 두 가지 성질을 가지고 있다. (1) 일차분수변환은 회전방향
(4)  ≠ 이면   ∈ℂ 이고  ′        
(orientation)을 보존한다. 즉 세 점   ,   ,   을 지나는 원이 일
차분수변환에 의하여 대응된 원은   ,   ,   의 상을 지나며 방
≠ 이다.
(5)     ∞이고  ∞  라고 정의할 수도 있다. 그
향이 동일하다. (2) 일차분수변환에 의하여 대응된 두 점은 한
러면  는 ℂ∞ 에서 그 위로의 일대일대응이 된다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
원에 대하여 대칭이다. 즉 원의 중심에서 시작된 반직선 위의 점
102
∙ ∙ ∙ 복소해석학
과 그 점이 대응된 점의 중심으로부터의 거리의 기하평균은 원
 가 의 근방에서 해석적인 함수이고   ,   일
의 반지름과 같다.
때 미적분의 기본정리에 의하여
  ′         
  ,   ,   가 ℂ의 서로 다른 세 점이라고 하자. 이 점들을 순서

대로 , , ∞에 대응시키는 뫼비우스 변환은
가 성립한다. 가 닫힌곡선이면 이 적분값은 이다. 결과적으로
     
   
     
    이면, ∈ℤ이고  ≠ 일 때
    

로서 유일하다. 특별한 경우로서   들 중 하나가 ∞인 경우도

생각할 수 있다. 이 경우 ℂ∞ 의 서로 다른 세 점을 ℂ∞ 의 서로
이다. 한편   일 때에는
다른 세 점에 대응시키는 일차분수변환을 생각하게 된다.
    
만약 두 개의 원판, 두 개의 반평면 또는 원판 하나와 반평면 하

나가 주어져 있을 때, 하나를 다른 하나에 대응시키는 일차분수
이다.
변환이 존재한다. 이때 각 집합의 경계점을 세 개씩 정하여 일차
더욱 일반적인 경우로서    일 때  위에서       의
분수변환을 구할 수 있다.
적분을 계산해보자.  ±
 가 원       위의 점이고
  ,   ,   를 , , ∞에 대응시키는 일차분수변환에 의하여  
arg ±
     ±   
이 대응되는 점을           로 나타내면
을 만족시킨다고 하자. 명백히  → 일 때  ±
 →   이다. 여기
     
       
  
 



서   은   과 동일한 허수부를 갖고 원 위에 있는 점이다. 원

가 된다. 이 표기법에 따르면 임의의 일차분수변환  에 대하여

위에  
 에서 시작하여   까지 잇는 경로를  이라고 하자.  의
                    이다.
근방에서 ln     은        의 원시함수이다. 따라서
예를 들어  ↦        는 복소평면에서 오른쪽 반평면

 ln      ln    

 
을 단위원판에 대응시킨다.








 ln      ln    
이다. 여기에  ↘ 인 극한을 취하면
7. 복소함수의 적분

  


복소함수의 미분은 실함수의 미분과 동일하게 정의되었다. 그러

나 복소함수의 적분은 2차원 영역을 적분 영역으로 하기 때문에

를 얻는다.
실함수의 적분과 많이 다르다.
정의 7.1     → ℂ가 구분적으로 매끄러운 곡선이고 
8. 원판에서의 Cauchy의 정리
가 의 상 위에서 정의된 연속인 복소함수라고 하자. 이때 에
앞서       의 적분을 살펴보았다. 이 식의 분자가 이 아닌
서의 의 복소선적분을
해석적 함수일 때의 적분을 살펴보자.

     ′ 

정리 8.1 가 경로 에 의하여 둘러싸인 원판 위에서 해석적

이면 원판의 임의의 내점  에 대하여 다음이 성립한다.
로 정의한다.
참고 위 적분은

   

 ∘     


   에 극한을 취한
 
.



이 명제를 원판 위에서의 Cauchy 적분 공식이라고 부른다.
Riemann 적분, 즉 에 대한  ∘ 의 Riemann-Stieltjes 적분
증명 함수 를 다음과 같이 정의하자.
으로 정의할 수도 있으며, 그러한 정의를 이용하면 가 구장 가
능한 곡선인 경우의 적분도 생각할 수 있다.
 
     
.

 

그러면
가  로부터  로의 구분적으로 매끄러운 증가함수이고
 ′  
   ∘ 이면, 즉 가 와 상이 같지만 재매개변수화된 곡선이
  ′      

면 다음을 얻는다.
이다.           가  ′       의 원시함
       .

수이므로  ′  ≡ 이다. 따라서 다음을 얻는다.

 

             . □




강의노트 ∙ ∙ ∙
103

∙ ∙ ∙ 복소해석학
따름정리로서 다음 정리를 얻는다.
다. 또한 가 연속이므로 최대절댓값을 갖는 점들의 모임은 한
점의 역사상으로서 닫힌집합이다. 따라서 는 영역의 전체에서
정리 8.2 가 경로 에 의하여 둘러싸인 원판 위에서 해석적
최대절댓값을 가진다. 즉 가 상수함수이다. Cauchy-Riemann
이면 다음이 성립한다.
방정식에 의하여 도 상수함수가 된다.
    .
□
참고 복소평면 전체에서 해석적인 함수를 정함수라고 부른다.

이 명제를 원판 위에서의 Cauchy의 정리라고 부른다.
증명 원판의 내점 를 고정시키고 함수  ↦      에
따름정리 유계인 정함수는 상수함수이다. 이 명제를 Liouville의
Cauchy 적분 공식을 적용하면 결과를 얻는다.
정리라고 부른다.
□
증명 Cauchy 부등식에서   일 때  ′ ≡ 을 얻는다.
□
이제 해석적 함수는 정의역의 각 점의 근방에서 거듭제곱급수로
나타낼 수 있음을 증명하자.
따름정리 상수가 아닌 다항식은 ℂ에서 영점을 가진다.
정리 8.3 가     에서 해석적이면 복소수열 ⟨⟩이 존
정리 8.4 복소함수 가 영역  에서 해석적이고 항등적으로 영
재하여      인  에 대하여 다음을 만족시킨다.
이 아니면 모든 에 대하여    인 는 그 영역에 존재
∞
  



증명
하지 않는다.
     .
증명 그러한 점 들의 모임은 닫힌집합이다. Taylor 급수를 이
를 고정시키고     인    를 택한다. 가 원
용하면 그러한 집합은 열린집합이다.
□
    를 둘러싸는 경로라고 하자.       이
므로  -판정법에 의하여     인 에 대하여 급수
∞

따름정리 가 영역 에서 해석적이고 항등적 영이 아니면, 각
∈에 대하여 유일한 자연수 와, 의 근방에서 해석적이고

      


     
 
에서 영이 아닌 함수 가 존재하여         를 만
은 절대수렴하고 균등수렴한다. 가 원 위에서 유계이므로 급수
족시킨다.
∞
 
 
     

 

     

증명
   이라고 하면   
    이다.


의 수렴에 대해서도 마찬가지로 성립한다. 따라서 합과 적분을
앞의 정리에 의하여  ≠ 인 정수 가 존재하는데, 그러한 정
교환하여
수 중 가장 작은 것을 택하자.

   

∞
∞


 
 
        

 
  





  

 
 
 
 


  
 

라고 하면 원하는 결론을 얻는다.
따름정리

    

□
≤ 
따름정리 영역에서 해석적인 함수는 집적점을 갖는 집합 위에

는 항등정리라고 부른다.
9. 단순연결영역에서의 Cauchy의 정리
max   ∈   
두 함수     → 와     → 가 영역  ⊆ ℂ에
서의 닫힌경로라고 하자. 만약 연속함수     → 가 존
이 부등식을 Cauchy의 부등식이라고 부른다.
재하여 각 에 대하여 ⋅   가 닫힌경로이고
증명  를  보다 작은 값 로 바꾸면 명백히 성립한다. 그 후
에  ↗  인 극한을 취하면 정리의 부등식을 얻는다.
⋅    , ⋅   
□
이면  과  은 에서 동위(homotopy)라고 말한다. 직관적으로
따름정리 영역에서 해석적인 함수가 그 영역의 내점에서 최대
동위란 한 곡선을 자르거나 꼬이지 않게 옮겨서 다른 곡선이 되
절댓값을 가지면 그 함수는 그 영역에서 상수함수이다. 이 명제
도록 변환할 수 있는 것을 의미한다.
를 최대절댓값 정리라고 부른다.
증명
가 영역에서 해석적이고 항등적 영이 아니면 의
서의 함숫값에 의하여 완전히 결정된다. 이 명제를 일치정리 또
 
.

 
   
따름정리 가     에서 해석적이면 다음이 성립한다.

□
근들은 고립되어 있다.
따름정리 동일한 조건 아래에서 다음 등식이 성립한다.



라고 하면 결론을 얻는다.
을 얻는다. 여기서

    
동위는 동치관계이다. 따라서 이것을 에서  ∼  이라고 나
  인 경우의 Cauchy 부등식에 의하여, 한 점에서 최
타내기도 한다.
대절댓값을 갖는 함수 는 그 점을 포함하는 원판 위에서 상수
함수이다. 따라서 최대절댓값을 갖는 점들의 모임은 열린집합이
강의노트 ∙ ∙ ∙
104
∙ ∙ ∙ 복소해석학
정리 9.1  과  이 동위이고 구분적으로 매끄러운  에서의
10. Cauchy 적분 공식
곡선이라고 하자. 가 에서 해석적이면 다음이 성립한다.
복소평면의 점 에 막대(pole, 극)가 세워져 있고 를 지나지 않
      .
는 닫힌곡선이 있다고 하자. 막대를 지나지 않도록 곡선을 끌어
증명 만약  과  사이의 동형사상 가   급이면 증명은 쉽
이다. 만약 그것이 불가능하고, 곡선을 끌어당겨 점 로 모이게


당겨서 한 점으로 모을 수 있으면 에 대한 곡선의 회전수는 
했을 때, 곡선이 막대를 휘감는 횟수가 회전수이다. 부호는 감는
다. 즉
방향에 의해 결정된다.

  

  
   


정의 10.1 가 복소평면상에서 조각마다 매끄러운 닫힌곡선이
라고 하면
고 ∈ℂ∖라고 하자. 이때 에 대한 의 지수(index) 또는 


 

     


 


 

           

 

 ′  
에서 의 회전수(winding number)를 다음과 같이 정의한다.



    



.

 

이다 이것은 두 피적분함수가
 
 
 ′        
 

참고 점 에서 시작되는 반직선을 그린 뒤 닫힌곡선이 반직선
을 완전히 통과하여 지나가는 횟수를 세면 회전수와 같다.
와 동일하기 때문에 얻어진 등식이다.
가   급이라는 가정 없이 증명하려면 원판에서의 Cauchy의
보조정리 회전수   는 임의의 ∈ℂ∖에 대하여 정수이
정리와 다각선 근사 원리를 이용한다.
다. 또한 ℂ∖의 연결성분 위에서   는 에 관한 상수함
수이다.
가   에서 연속이므로 는 그 집합 이에서 균등연속이다.
증명 가  에서 매개변수화 되었다고 하고 를
또한 충분히 작은   이 존재하여 의 치역의 임의의 점에 대

하여 그 점의 -근방이 에 포함되도록 할 수 있다. 따라서 적
 

당한 자연수 이 존재하여 에 의한 각 사각형
로 정의하면
      ×       

exp     



 
  
 
 
이  의 -근방에 포함된다.     ⋯ 일 때의
이므로 초기조건   을 이용하면
점  을 이어서 만든 다각선을  라고 하자. 원판에
exp       
서의 Cauchy의 정리에 의하여
를 얻는다. 즉 exp     이므로   는 우리가
      

원하는 적분값이다.
  
명백히   는 연속함수이고 정숫값을 가지며 연결성분 위에
이며 또한 다음이 성립한다.
      ,       .


′  


   

서 상수이다. 또한  → ∞일 때    → 이므로, 유계가 아
□
닌 연결성분 위에서는 의 값을 가진다.

□
영역 에서의 닫힌경로가 상수인 경로와 동위이면  동위(null
보조정리  과  이 ℂ∖에서 동위인 두 경로이고 ∈ ℂ
homotopic)이라고 말한다.
이면       이다.
증명
따름정리 가 조각마다 매끄러운 경로이고 에서  동위이며,
동위인 두 경로 위에서의 해석적 함수의 선적분의 값은
서로 같다.
가 에서 해석적이면 다음이 성립한다.
    .
□
정리 10.2 가 영역  위에서 조각마다 매끄러운 경로이고 

동위이며 가 에서 해석적인 함수라고 하자. 그러면 ∈∖
에 대하여 다음이 성립한다.
영역 에 포함된 모든 닫힌경로가  동위이면 를 단순연결영

    

역이라고 부른다. 정리 9.1의 결과로 다음 정리를 얻는다.
 
.

 

정리 9.3  가 복소평면에서 단순연결영역이면  에서 해석적
이 명제를 Cauchy의 적분 공식이라고 부른다.
인 임의의 함수 와 에서 조각마다 매끄러운 임의의 닫힌경로
증명 고정된 ∈∖에 대하여 다음과 같이 정의하자.
에 대하여 다음이 성립한다.
    
    

 ′ 
    .

if  
그러면 는  위에서 연속이다. Cauchy의 정리를 에 적용하
이 명제를 Cauchy의 정리라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
i f ∈∖
면 원하는 결론을 얻는다.
105
□
∙ ∙ ∙ 복소해석학
가정에 의하여
11. Cauchy 적분 공식의 응용
       



  
  
이 장에서는 Cauchy 적분 공식에 관련된 몇 가지 정리를 살펴
본다.

 
  



이다. 연속성에 의하여  ′       이 성립하므로 는 원시
석적인 함수이며  ,  , ⋯,  이 에서 의 영점이라고 하
함수를 가지며, 따라서 는 해석적이다.
자. [중복도가  이상인 영점은 중복도 만큼 나열했다고 하자.]
그러면 다음이 성립한다.
정리

 ′  
 
   .

  




정리 11.1 가 영역  에서  동위인 곡선이고 가 에서 해



      

□
11.5 가 영역이고    → ℂ가 연속함수라고 하자.
이때 가 에서 원시함수를 가질 필요충분조건은 에서 조각
마다 매끄러운 임의의 폐곡선 에 대하여
증명 에서 영이 아니고 해석적인 함수 가 존재하여
    

          ⋯     
이 성립하는 것이다.
를 만족시킨다. 이때
증명 필요조건임은 확실하므로 충분조건이 됨을 증명하자. ∈
 ′  
 ′  



    ⋯   

 
     
  
 
이므로 정리의 결론을 얻는다.
를 고정시키고
   

 
 
□
라고 하자. 여기서    는 에서 출발하여  를 잇는 조각마
다 매끄러운 곡선이다. 그러면 Morera의 정리의 증명에서와 같
방정식    의 해를  라고 하면



은 논법에 의하여  ′  를 얻는다.

 ′  

   


    



만약 가 단순연결영역이면 정리 11.5에 의하여 에서 해석적
인 함수는 항상 원시함수를 가진다. 만약  ∉ 이면    은 
가 성립한다. 이 적분은 또한 다음과 같이 나타낼 수도 있다.



□
에서 원시함수를 가진다. 그 원시함수에 적절한 상수를 더함으로

 .
∘   

써 적당한 점   에서   의 로그가 된다고 할 수 있다. 그러고
나서 미분을 이용하면 exp     이 됨을 유도할 수 있
다. 따라서 다음 정리를 얻는다.
정리 11.2 가 에서 해석적이고   이며 중복도가 유
한값  ≥ 이라고 하자. 그러면 양수 과 가 존재하여 임의의
정리 11.6  가 단순연결인 정의역이고 ∈ 이면  에서 로그
∈ ′   에 대하여 방정식    는   에서 정확히
의 분지가 정의될 수 있다. [흥미로운 예로서 나선   의 여집
 개의 중복도 인 근을 가진다.
합을 생각할 수 있다.]
증명 근의 개수가  이라는 것은 가 ℂ∖ ∘ 에서 와 같
은 연결성분에 놓여 있다는 것과 그 값이 정수라는 것에 기인한
이제 영역에서 미분 가능한 함수가 해석적임을 증명할 수 있게
다. 양수 을 충분히 작게 하여  ′ 의 근을 피하면    의
근은 모두 중복도가 인 근, 즉 단근이 된다.
되었다. [도함수가 연속이라는 가정이 필요하지 않다.]
□
정리 11.7  가 영역이고    → ℂ가  에서 미분 가능하면
정리 11.3 상수가 아닌 해석적 함수는 열린사상, 즉 열린집합을
는 에서 해석적이다. 이 명제를 Goursat의 정리라고 부른다.
열린집합에 대응시킨다. 이 명제를 열린사상 정리라고 부른다.
증명 정리 11.1과 11.2로부터 바로 나온다.
증명 임의의 삼각형 경로에서 의 적분이 임을 보일 것이다.
□
 이 경계  을 갖는 닫힌 삼각형 집합이라고 하자. 삼각형의
세 변의 중점을 연결하는 방법으로 계속 등분하여  ,  ,
이제 복소함수가 해석적이기 위한 몇 가지 충분조건을 살펴보자.
 , ⋯을 얻을 수 있다.  의 경계를   라고 하자.  를 개
로 나눈 조각 중 하나인   를 택할 때
정리 11.4  가 영역이고    → ℂ가 연속이며  에서의
임의의 삼각형 경로  에 대하여
    이면 는 해석적이
  ≤    



다. 이 정리를 Morera의 정리라고 부른다.
증명

를 만족시키도록 할 수 있다.   diam   ,   perim  이라고
가 원판들 위에서 해석적임을 보이면 충분하므로 를
원판이라고 하자. 원판의 중심을 라고 하고
하자. 그러면 diam    , perim    이다. 긴밀성에
  
의하여 ∩ 은 공집합이 아니며 원소를 하나 가진 집합이다.
   
 
그 원소를   이라고 하자.
라고 하자.
강의노트 ∙ ∙ ∙
106
∙ ∙ ∙ 복소해석학
의 진성특이점(essential singularity)이다.
  에서 가 미분 가능하므로, 양수 에 대하여   을 중심으로
하는 원판이 존재하여 원판 내의 모든 점  에 대하여
가 에서 극을 가지면 는 의 제거 가능한 특이점이며 
        ′        ≤     
에서 의 함숫값을 으로 정의하여 제거할 수 있다. 이 사실
을 이용하면, 가 에서 극을 가질 필요충분조건은 적당한 자연
이 성립한다. 따라서 적당한 이 존재하여 임의의 ∈ 에 대
수  과 의 근방에서 해석적인 함수 가 존재하여   
하여 동일한 부등식이 성립한다.
     인 것임을 알 수 있다. 따라서 의 구멍뚫린 근
        

방에서 를

∞
  
이므로
    
  
           ′     






으로 나타낼 수 있다.

이다. 따라서
정리 12.3 가 에서 진성특이점을 가지면 임의의 양수 에
대하여   ′  는 ℂ에서 조밀하다. 이 명제를 Casorati-
  ≤   
Weierstrass 정리라고 부른다.

증명 일반성을 잃지 않고   이라고 하자. 결론에 반하여 
이고, 여기서 이 임의의 양수이므로
의 구멍뚫린 원판이 존재하여 그 위에서   의 값이 적당한 값
    
∈ℂ로부터 항상 고정된 양수  이상 떨어져 있다고 가정하자.

이다.
함수       는  → 일 때 ∞에 발산하므로 에
□
서 극을 가진다. 따라서 충분히 큰  에 대하여  → 일 때
      → 이다. 즉     → 이 되는데 이것은 모순
12. 특이점
이다.
□
이 장에서는 복소함수가 영역의 일부에서 해석적이지 않은 경우
를 살펴본다.
13. Laurent 급수
이 장에서는 고리 영역에서 해석적인 함수를 급수로 나타내는
정의 12.1 ∈ℂ라고 하자.   이 존재하여 가  ′   
방법을 살펴본다.
에서는 해석적이지만     에서는 해석적이 아니면, 를 의
고립특이점이라고 부른다. 만약 에서 의 함숫값을 바꾸어 
정의 13.1 적당한  가 존재하여 가 ∈ℂ    에서 해
가     에서 해석적이 되도록 할 수 있으면 를 의 제거
석저이라고 하자. 그러면 는 ∞에서 고립특이점을 가진다고 말
가능한 특이점이라고 부른다.
한다. 만약 이   의 제거 가능한 특이점이면 ∞를 의
제거 가능한 특이점이라고 부른다.
정리 12.2 가 의 고립특이점이라고 하자. 가 제거 가능할
필요충분조건은 lim     인 것이다.
정의에 의하면 다음 세 명제가 동치임을 알 수 있다.
→
증명 필요조건임은 자명하므로 충분조건임을 증명하자.
  
∙ 는 ∞에서 제거 가능한 특이점을 가진다.
∙ lim ∈ℂ
 if ≠
  

if  
→∞
∙ 가 무한대의 근방에서 유계이다.
라고 하자. Morera의 정리를 가 삼각형의 안에 있는 경우, 경
계에 있는 경우, 내부에 있는 경우로 나누어 적용하면 가 해석
가 ∞에서 제거 가능한 특이점을 가지면 는  에 대한 거
적임을 알 수 있다. 따라서 해석적 함수 가 존재하여   
듭제곱급수로 표현 가능하며 그 급수는    인 영역에서 수렴
    이고 는 우리가 원하는 의 확대함수가 된다.
하고  ≥    인 영역에서 균등절대수렴한다. 두 급수
□
∞
∞
     ,     
따름정리 가 의 특이점이라고 하자. 만약  → 일 때  
가 수렴하거나,   가 의 구멍뚫린 근방에서 유계이거나, 적
 
당한 양수 과  에 대하여   ≤        을 만족시키
이 모두 수렴할 때
면 는 제거 가능하다.


 


∞
    
  ∞
점 에서 의 극한에 따라 가 의 어떠한 특이점인지 분류할


수 있다. 그 값이 유한 실숫값으로서 존재하면 는 의 제거 가
이 수렴한다고 말하고, 처음 두 급수의 합을 위 급수의 값으로
능한 특이점이다. 극한이  ∞에 발산하면 는 에서 극(pole)을
정의한다.
가진다. 극한이 무한대에 발산하지 않고 수렴하지도 않으면 는
강의노트 ∙ ∙ ∙
107
∙ ∙ ∙ 복소해석학
보조정리 가 조각마다 매끄러운 곡선이고 가  위에서 연속
가 의 고립특이점이면 는 의 구멍뚤린 원판에서 다음과 같
인 복소함수라고 하자.
은 Laurent 급수로 표현된다.
  
 
,  ∉ 

 
∞
  

     ,       

  ∞

라고 정의하면 는 ℂ∖ 위에서 해석적이다.
이때  ≥ 인 부분을 양의 급수 또는 해석부라고 부르며   
증명  ∉ 를 고정시키자. 그러면  → 일 때 ∈에 대하여
인 부분을 음의 급수 또는 주부(principal part)라고 부른다.
여기서
   


 
 

 
  →  

      

   
ord  in f∈ℤ    ≠ 
으로 정의한다. 따라서 다음 두 명제는 서로 동치이다.
으로서 균등수렴한다. 따라서 는 임의의 ∈ℂ∖에서 미분
가능하다.
∙ 는 의 제거 가능한 특이점이다.
□
∙ ord ≥ 이고   으로서 특이점이 제거되거나,
ord  이고, 의 위수가 ord 와 같다.
함수 가 고리      에서 해석적이라고 하자.
그리고     일 때

    

또한 ord  ∞일 필요충분조건은 의 근방에서  ≡ 인 것
 




  

이다. 그리고 ord  ∞일 필요충분조건은 가 의 진성특
라고 정의하자. [Cauchy 정리에 의하여 위 적분값은 의 선택
이점인 것이다. 한편  ∞  ord  일 필요충분조건은 가
에 독립적이다.] 그러면  는    인 영역에서 해석적이므로
에서 극을 갖는 것이며, 이때  ord가 극의 위수가 된다.
다음과 같은 거듭제곱급수로 표현된다.
의 Laurent 급수에서   을 에서 의 유수(residue)라고 부르
∞
   
 


며 res 로 나타낸다. 가 의 고립특이점이면 충분히 작은

양수 에 대하여 다음이 성립한다.
다음으로     에 대하여

    


res   

 




  

 , ⋯,  을 제외한 영역 위에서 해석적이며 가  들을 포함
수렴한다. 따라서
하여 감싸는 닫힌단순곡선이면
∞
 






이며, 이 급수는 절대수렴하고 고리의 긴밀부분집합에서 균등수
할 수 있다. 즉 ∈   일 때


  

 

   
 

에서의 조각마다 매끄러운 닫힌곡선이고 0 동위이며  를 지
∖ 에서 해석적인 함수 에 대하여



정리 13.2  ≤    ≤ ∞라고 하자. 가 고리 영역
       res 
∈

가 성립한다. 이 명제를 유수 정리라고 부른다.
  ann     ∈ℂ      
증명     → 가 로부터 상수로의 동위사상이라고 하
에서 해석적이면 는 고리 위에서 급수
자.  의 상  는 긴밀집합이므로  와 유한 개의 점에서 만난다.
∞
 

나지 않는다고 하자. 그러면 ∈    ≠ 은 유한이며,
립적이다. 이상의 내용을 요약하면 다음과 같다.
  ∞


정리 13.3  가 열린집합이고  가  의 이산부분집합이며 가
 
.

 
   
고리 안의 임의의 두 원은 동위이므로  의 값은 의 선택에 독
  

    res  
이다. 정확히 말하면 다음과 같다.
렴한다. 이러한 급수의 표현은 유일하므로  은 다음과 같이 구

  

 ∈ℤ 
  .
    
가 단순연결영역이고 는 에서 유한 개의 고립특이점  ,
라고 하자. 그러면  은    에서 해석적이며 ∞에서 에
   


만약 ∈ 가 그 교집합에 속하지 않으면 동위사상은 의 밖에

서 값을 취하므로    이 된다.
으로 표현된다. 이 급수는 고리의 긴밀부분집합에서 절대수렴하
고 균등수렴한다. 또한 계수  은 에 따라 유일하게 결정되며
교집합 ∩ 의 원소를  ,  , ⋯,  이라고 하고  에서 의
     인 에 대하여
특이부분(singular part)을  라고 하자. 그러면  

  

 ∈ℤ 


  

 

   
 

 는  에서


제거 가능한 특이점을 모두 제거했을 때  위에서 해석적이며
 


 
          
   

로 계산된다. 이와 같은 계수를 갖는 급수를 Laurent 급수라고

이다. 따라서 정리의 결론을 얻는다.
□
부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
108
∙ ∙ ∙ 복소해석학
14. 유수 적분
예제 14.4 다음 적분을 계산하여라.
∞
sin

 

유수의 정의와 Laurent 급수의 정리만을 이용하여 유수를 계산
하는 것은 복잡하다. 그러나 특이점이 극인 경우에는 유수를 쉽

게 계산하는 방법이 있다. 가 에서 단순극을 가지면 에서
풀이 먼저 다음 극한을 구하자.
해석적인 함수 가 존재하여       이며 따라서







  

lim
res   이다. [Cauchy의 정리는 가 단순극을 갖는
 → ∞ ↘
특별한 경우의 유수 정리로 생각할 수 있다.] 만약 가 에서
극한 내부의 값의 허수부는
위수 2인 극을 가지면

sin




 

′ 
        ⋯

  
  
와 같다. 극한을 취할 때 반드시 원점에 대하여 대칭인 구간을
이므로 res   ′  이다. 비슷하게 가 에서 위수  인
잡아야 한다. [   는 원점 근방에서 적분 불가능한 특이점을


극을 가지고        이면 를 중심으로 의
가지므로 sin 의 허수부가 적분 가능할지라도 sin 는
Taylor 급수를 전개하여
적분 불가능해지기 때문이다.] 반면에 피적분함수를 반드시 대칭

res       
  
인 점   와  로 잘라낼 필요는 없다. [  과  를 사용하
고 두 점을 각각 으로 보내는 극한을 사용할 수 있다.]
가 됨을 알 수 있다. [공식을 기억하는 것보다 원리를 기억하는
것이 더 중요하다.] 이제 유수를 이용하여 적분을 계산하는 예를
비교적 단순한 경로를 사용하여 적분하자.   에서 출발하여 실
살펴보자.
수축을 따라  까지, 상반원을 지나 까지, 실수축을 따라  까
지, 그리고 순서대로    ,     ,   를 다각선으로 잇
는다. 피적분함수   는 이 경로의 내부에서 극을 갖지 않으므
예제 14.1     일 때 다음 적분을 계산하여라.


 
      
로 이 경로를 따른 선적분은 이다. 수직인 선분 위에서 이 적
풀이 원점을 중심으로 하는 상반원을 적분영역으로 하고 반지
의하여 유계이다. 한편   는 와 해석적 함수의 합으로 표
름을 양의 무한대로 하는 극한을 취하면 적분값이
현되며, 반원 위에서 의 적분(시계방향)은  이다. 따라서
∞

∞



분은  에 의하여 유계이며, 수평인 선분 위에서는    에
위 극한은 에 수렴하므로 다음을 얻는다.


  
∞
sin

  
 


임을 알 수 있다. 차수가   이하인 임의의 유리함수에 대하여
같은 방법을 사용할 수 있다.
□

□
예제 14.5 ∈ℝ∖ℤ일 때 다음 급수를 계산하여라.
예제 14.2 다음 적분을 계산하여라.

∞


  
 sin  

  ∞


풀이 자연수 에 대하여 ±    ± 를 네 꼭짓점으로 하
풀이 단위원 에 대하여
는 사각형 경로에서 적분
 
 

   
 
cot
,  ∉ ℤ

  
를 계산하면 를 얻는다. 이 방법은 sin과 cos의 유리함수
를 계산하자. 피적분함수의 극은 와 정수점 위에 있고, 그 유수
에 대하여 사용할 수 있다.
는 각각
□


, 

sin     
예제 14.3 다음 적분을 계산하여라.
이다. 두 등식
∞


 
 



풀이 양의 실수축을 분지로 한 함수 
 
sin     sin cosh   cos sinh,
cos    cos cosh   sin sinh
를 생각하자. 분지 둘
레와 원점을 중심으로 한 큰 원 위에서 적분을 하고 작은 원을
을 이용하면 다음을 얻는다.
이용하여 중심을 피한다. 그러면 를 얻는다. ∈ 이고
cos  sinh 
cot    
sin   sinh 
가 차수  인 유리함수이며 에서 단순극을 갖거나 극을
갖지 않는 경우의 적분
따라서 cot는 수직인 선 위에서는 의 값을 가지며, 이 충분
∞
히 크면 수평인 선에서는 에 의하여 유계이다. 그러므로 위 적
  

분은  → ∞일 때 에 수렴하고, 다음을 얻는다.

에 이 방법을 사용할 수 있다.
□
∞




  
sin 
  ∞
강의노트 ∙ ∙ ∙



109


□
∙ ∙ ∙ 복소해석학
Rouché의 정리는 본래 다음과 같은 형태로 진술되었다.
15. 편각 원리
이 장에서는 유수정리를 응용한 정리를 살펴보자.
따름정리 와 가 단순연결영역 에서 해석적이고 가 조각
정의 15.1 극 이외의 특이점을 갖지 않는 함수를 유리형 함수
마다 매끄러운 의 닫힌단순곡선이라고 하자. 만약  위에서
(meromorphic function)라고 부른다.
  이면 로 둘러싸인 영역에서   는 와 동일한 영점
을 가진다.
참고 유리형 함수의 극의 개수는 무한히 많을 수도 있으나 반
증명           ≤       .
□
드시 이산적이다. 만약 ℂ∞ 에서 생각하면 유리형 함수는 연속함
수이다.
보기 15.4   일 때 방정식      은 단위원판 위에서
단 하나의 해를 가진다.        ,    로 두고 따름
함수 가 에서 유리형이라고 하자. 즉 의 한 근방에서 가
정리의 결과를 이용하면 된다.
유리형 함수가 된다고 하자. 그러면 res ′   ord 이
다. 실제로   ord,  ≠ 일 때       
16. 해석적 함수의 성질
이고  ′       ′이다. 따라서 유수 정리에 의하여
복소평면의 한 영역에서 연속인 함수들을 모은 집합에 긴밀부분
다음을 얻는다.
집합 위에서의 균등수렴 위상이 주어진 공간을 생각해보자. 이
장에서 살펴볼 Weierstrass 정리는 해석적 함수들의 모임이 그
정리 15.2  가 열린집합이고 가  에서 유리형 함수이며, 
러한 공간의 닫힌부분집합이며 미분 연산이 연속임을 보여준다.
가 0 동위이고 조각마다 매끄러운 닫힌곡선이며 의 영점집합
또한 Montel의 정리는 해석적 함수들이 모인 공간의 예비긴밀
 와 극집합  를 지나지 않는다고 하자. 그러면



부분집합이 어떠한 특징을 갖는지 설명한다.
 ′  
     ord 

 



정리 16.1  가 열린집합이고    → ℂ가 해석적 복소함
이다. 여기서 합은  ∪ 위에서 취해졌고 유한 개의 항만을 포
수이며 의 긴밀부분집합 위에서 에 균등수렴한다고 하자. 그
함한다. 이 명제를 편각 원리(argument principle)라고 부른다.
러면 는 해석적이며, 의 긴밀부분집합 위에서 ′ 은 에 균
참고
등수렴한다. 이 명제를 Weierstrass의 정리라고 부른다.
위 등식의 좌변은  ∘   으로서 곡선을 횡단할 때
편각이 얼마나 변하는 지를 나타낸다. 위 명제의 이름이 편각 원
증명  가 삼각형 경로이면
리인 이유이기도 하다.
    lim     

→∞


우리는 이미 앞에서 위와 비슷한 정리로서 가 해석적인 경우
이므로 Morera의 정리에 의하여 는 해석적이다. 가 를 중
적분이 의 영점의 개수를 나타내는 것을 살펴보았다. 유리형
심으로 하고 에 포함되는 원판의 둘레이면
함수 의 경우 극점의 개수를 영점의 개수에 상쇄시키는 것으로

생각할 수 있다.
→∞
정리 15.3  가 열린집합이고 와 가  위에서의 유리형 함
을  , 극점의 집합을  라고 하자. 가  동위이고 조각마다
 
   ′  

   


□
합에서  이 에 균등수렴한다고 하자. 만약 각  이 어떤 점에
고 하자. 만약 임의의 ∈에 대하여
서도 영의 값을 갖지 않으면 는 어떤 점에서도 영의 값을 갖지
          
않거나 또는 모든 점에서 영의 값을 가진다. 이 명제를 Hurwitz
의 정리라고 부른다.
이면 다음이 성립한다.
    ord      ord 

∈ ∪
증명 가 상수함수가 아니고   이라고 하자. 그러면 양
   ⊆ 이고 가 
  에서 만을 영점
수 를 택하되 

이 명제를 Rouché의 정리라고 부른다.
으로 갖도록 할 수 있다. 가 이 원판의 경계라고 하자. 그러면
증명 정리의 가정에 의하여  위에서    는 영이 아닌
편각 원리에 의하여
실숫값을 가진다. ℂ∖ ∞에서의 로그의 분지를  이라고 하
′  
 ′  
   그러나      ord  ≠ 

 
 
자. 그러면   는 ′  ′  ′의 원시함수가

되는데, 이 함수는 의 근방에서 해석적이다. 따라서
 ′  
 

  


이 된다. Weierstrass 정리에 의하여  위에서 ′ 은  ′
 ′  


  

이므로 편각원리에 의하여 정리의 결론을 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙





정리 16.2  과 가 영역  에서 해석적이고  의 긴밀부분집
매끄러운 의 닫힌곡선이며 ∪∪∪ 를 지나지 않는다

→∞
를 얻는다.
수이며, 의 영점 집합을  , 극점의 집합을  , 의 영점 집합
∈ ∪
  


   
lim ′    lim 

에 균등수렴하므로 이것은 모순이다.
□
□
110
∙ ∙ ∙ 복소해석학
이제 에서의 가산개의 점 를 택하되
따름정리  과 가 영역  위에서 해석적이고 의 긴밀부분
집합에서  이 에 균등수렴한다고 하자. 각  이 일대일함수이
∞

면 는 일대일함수거나 상수함수이다.
증명
      
 



가 되도록 한다. [예를 들면 의 점 중에서 실수부와 허수부가
가 상수함수가 아니지만   인 서로 다른 두
모두 유리수인 점들을 택하면 된다.] 주어진 함수열  은 긴밀
점 , 가 있다고 하자. 그러면
집합 위에서 균등유계이므로     에서 균등수렴하
  ∪   ⊆ ,   ∩    ∅
는 부분수열   가 존재한다. 마찬가지로 이 수열의 부분수열
이 되는 양수 가 존재한다.   의 긴밀부분집합 위에서
중에서      에서 균등수렴하는 부분수열을 택할 수
    는    에 균등수렴하며    는 그
위에서 영점을 갖지만 상수함수는 아니다. 따라서 충분히 큰 모
있다. 그리고 대각법으로      에서 균등수렴하는 부
든 에 대하여 ∈  일 때마다     이며, 마찬
분수열  를 택할 수 있다.
가지로 적당한 ∈  에 대해서도     이다. 이것
의 임의의 긴밀부분집합은     들의 유한합집합으
은  이 일대일함수라는 데에 모순이다.
로 표현되므로  는 의 긴밀부분집합에서 균등수렴한다.
□
□
정리 16.3 가 열린집합이고  가  에서 해석적인 함수들의
해석적 함수 가 중심이 이고 반지름이 인 원판을 중심이
모임이며 이 의 임의의 긴밀부분집합 위에서 균등유계인
이고 반지름이 인 원판에 대응시킨다고 하자. 이것을 이용
함수열이라고 하자. 그러면 의 임의의 긴밀부분집합에서 균등
하여  ′  의 값과     의 범위를 추정할 수 있
수렴하는 의 부분수열이 존재한다. 이 명제를 Montel의 정
다. 일반성을 잃지 않고     ,     이라고 하면 다
리라고 부른다.
음 정리를 얻는다.
증명 ∈이고    dist   라고 하자. 먼저 열린구
정리 16.4 가 열린단위원판을 열린단위원판에 대응시키고 원
   에서 균등수렴하는 부분수열을 찾을 수 있음을
점을 원점에 대응시킨다고 하자. 그러면 원판 위의 임의의 점 
  에 대하여
보이자. ∈ 
   
에서   ≤ 가 성립한다. 만약 영이 아닌 점에서 등호가 성

 
∞
  


립하지 않는다면 크기가 인 복소수 가 존재하여    를

만족시킨다. 또는  ′  ≤ 이고 적당한 점에서 등호가 성립하

여도 크기가 인 복소수 가 존재하여     를 만족시킨다.
  에서  의 균등상계를  이라고
이라고 정의하자. 
이 명제를 Schwarz의 보조정리라고 부른다.
하자. Cauchy 부등식에 의하여
증명


 

≤ 
함수      는 원점에서 제거 가능한 특이점을
가지며    ′  으로 정의하면 원판에서 해석적인 함수가

된다. 반지름이    미만인 원판 위에서   ≤ 를 만족

이 성립한다. 특히 각 에 대하여 sup 
 
 ∞이다.
시키므로 최대절댓값 정리에 의하여 반지름이 인 원판 위에서
도 동일한 부등식을 만족시킨다. ↗ 인 극한을 취하면 정리의
따라서  → ∞일 때 수렴하는 부분수열   가 존재한다. 그리
결과를 얻는다.
□
고 다시 수렴하는 부분수열  ′ 가 존재한다. 대각법을 이
용하여 임의의 에 대하여 수렴하는 부분수열
열린단위원판을 그 위에 대응시키는 가장 일반적인 일차분수변
환은
    
 
를 찾을 수 있다. 이제 가    에서 균등수렴함을

 ↦ 
  
증명하자. 자연수  과 ∈   에 대하여, , 가 
이다. 여기서 는 원판 안의 점이고   이다. Schwarz의 보
보다 클 때
조정리를 이용하여 이 사상이 열린단위원판을 그 위에 대응시키

는 가장 일반적인 일대일 해석적 함수임을 보일 수 있다.
      

≤



≤




     
∞
  


  





   


     
   




먼저   인 경우를 살펴보자. 그러면 Schwarz의 보조정리

에 의하여  ′  ≤ 이고 등호는   인 적당한 에 대하여
    일 때 성립한다. Schwarz의 보조정리를   에 적용하
면  ′      ′  ≤ 을 얻는다. 따라서 등호가 성립
이 성립한다. 따라서   에 대하여  을 택하되  ≤  ≤  에
한다.
대하여 와 가  보다 클 때 다음 부등식을 만족하도록 한다.
일반적인 경우를 위해   이라고 하자. 그러면  ∘   에

    
같은 논법을 적용하여       또는      를


      ≤ 


얻는다.
따라서  는    에서 균등수렴한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
111
∙ ∙ ∙ 복소해석학
17. Riemann 사상 정리
수이다.  ∈에 대하여          이라고 하
단순연결성에 관련된 성질을 살펴보자.
자. 이 함수는 로부터 을 포함하는 영역 ⊊ 로의 해석적
단순연결영역에서 해석적인 함수는 원시함수를 가진다. 함수 
동형사상이다.
가 단순연결영역 위에서 이 되지 않는 해석적 함수이면 그 영
  을 만족시키는 해석적 일대일함수    →  들의 모
역 위에서   exp  가 되는 해석적 함수  가 존재한다. 즉
임을  라고 하자.  ≠  ∈ 이고   sup∈   이라고
 exp   는 상수함수이므로 덧셈에 대한 역원으로서  ′의
하자. 그러면 ∈ 이다. ∈ ,      → 라고 가정
원시함수 를 더하면  exp   를 얻는다.
하자.  은 균등유계이므로 Montel의 정리에 의하여  의 긴밀
또 다른 성질로는 제곱근 성질이 있다. 즉 가 주어진 영역의 어
부분집합에서 해석적 함수 에 균등수렴하는 부분수열  가 존
느 점에서도 영이 되지 않는 해석적 함수이면      가
재한다. 명백히   이고       이므로 는 상수
되는 해석적 함수 가 존재한다. 사실   exp 를 택하면
함수가 아니고,  이 일대일함수이므로 도 일대일함수이다. 또
된다. 따라서 두 영역  과  가 미분동형일 때  이 제곱근
한  위에서  ≤ 이고, 최대절댓값 정리에 의하여   이
성질을 가질 필요충분조건은  가 제곱근 성질을 갖는 것이다.
다. 따라서 ∈ 이므로  는 상한을 최댓값으로서 가진다.
보조정리     이고  ⊊ 가 워점을 포함하며 제곱근
가  으로부터  위에로의 동형사상임을 보이자. [그러면 함
성질을 갖는 영역이라고 하자. 그러면 로부터  로의 해석적인
수  ∘  은 우리가 원하는 로부터  로의 해석적 동형사상이
일대일함수 가 존재하여   , ∀∈∖     
된다.] 가 해석적이고 일대일함수라는 것은 이미 밝혔으므로 
를 만족시킨다. 이 명제를 Koebe의 보조정리라고 부른다.
가  위에로의 함수임을 보이면 된다.     ⊊ 라고 가
증명 ∈∖이고 가  의 제곱근 중 하나라고 하자.
정하면 ( 은  으로부터, 그리고  은 로부터 제곱근 성질
을 이어받았으므로) Koebe의 보조정리에 의하여   이고

     ,          
 

 ≠ 일 때    를 만족시키는 해석적 함수    → 
가 존재한다. 따라서  ∘ ∈ 이지만       이므
이라고 정의하자. 명백히   이고 는 단순한 상수의 곱이
로 모순이다.
아니다. [사실 는  에서 일대일함수가 아니다.] Schwarz의 보
조정리에 의하여  ≠ ∈ 일 때     가 성립한다.
□
참고 제곱근 성질은 단순연결성과 동치이다. 이미 앞서 단순연
다음으로  는 로부터  로의 일대일인 해석적 함수이며 함숫
결영역이 제곱근 성질을 가진다는 것을 밝혔다. 역으로 가 제
값이 영이 되지 않으므로 제곱근   를 갖는데,   라는
곱근 성질을 가진다고 하면   ℂ로서 단순연결영역이거나, 
조건에 의하여 그러한 는 유일하게 결정된다.    ∘ 라고
는 원판과 동형이므로 단순연결영역이 된다.
정의하면   ,   ≡ 이다. 따라서  ≠ ∈이면
  ≠ 이고       이다.
참고  ⊊ℂ가 단순연결영역이고  ∈가 임의의 점일 때, 
□
로부터 원판 위에로의 해석적 동형사상을 택하고 일차분수변환
두 영역 사이에 해석적인 일대일대응이 존재하면 두 영역을 해

 ↦   ,   ,   
  
석적 동형 또는 등각동치(comformally equivalent)라고 한다.
을 이용하여     ,  ′     을 만족시키는, 로부터 
정리 17.1  ⊊ℂ가 단순연결집합이면  는 단위원판과 등각
위에로의 해석적 동형사상을 만들 수 있다. 만약  과  가 그
동치이다. 이 명제를 Riemann 사상 정리라고 부른다.

러한 동형사상이면    ∘ 
 은 원판으로부터 그 위에로의
증명 가 제곱근 성질을 가진다는 것을 이용하자.
해석적 동형사상이며   ,  ′   을 만족시키고, 항등
증명은 다음과 같은 과정으로 이루어진다 ― 로부터  위에
함수가 된다. 따라서    이다.
로 해석적이면서 Koebe의 보조정리의 조건을 만족시키는 일대
일함수  을 구성한다. 다음으로  으로부터 원판에 포함되는
18. 조화함수
영역  에로의 해석적인 일대일함수를 구성한다. 만약  이 원
복소평면의 부분영역에서 Laplace 방정식을 만족시키는   급
판 전체라면 여기서 증명이 끝난다. 그렇지 않으면  은 Koebe
실함수를 조화함수라고 부른다. 즉 가 ℂ의 부분영역이고 실
의 보조정리의 조건을 만족시키므로 보조정리를 이용하여 의
수 , 에 대하여     일 때 함수    → ℝ가 조화함
극값 성질에 관련된 모순을 이끌어낼 수 있다.
수라는 것은 방정식
∈ℂ∖이고 가   의 해석적 제곱근이라고 하자. 는 일
대일함수이며, ∈   일 때   ∉    이다. 열린사상 정리
 
 



 

에 의하여  ∈ 와   가 존재하여     ⊆  를
을 만족시키는 것이다. 이것을 간단하게 ∇    또는   
만족시킨다. 따라서     ∩   ∅이다.     
으로 나타내기도 한다. 앞에서 해석적 함수의 실수부는 조화적이
    이라고 하면    → 
  는 해석적인 일대일함
라는 것을 밝혔으며, 정의역이 단순연결영역인 경우 조화적 실함

강의노트 ∙ ∙ ∙
112
∙ ∙ ∙ 복소해석학
수는 조화공액을 가진다는 것을 밝혔다. 특히 임의의 모든 조화
 ≤   , ∈ℝ일 때 Poisson 핵을

∞
함수가  급인 것을 보았다.
실함수 가 에서 조화적이고 ∈라고 하자. 만약   이고

   ⊆ 이면 
   ⊆  ⊆ 인 원판  를 찾을 수 있

  
  cos  
 

   

       


∞
 
 

  ∞
가 성립한다.
    

보조정리  ≤   일 때  는 매끄럽고 양의 값을 가지며

우함수이고 주기가 이며 평균값이 이다. 더욱이   일 때
이고, 이 식의 실수부를 취하면 다음 정리를 얻는다.
lim    , ∈ℝ∖ℤ
정리 18.1 실함수 가  에서 조화적이고 
   ⊆ 이면

      
∞
   Re   
존재하여   Re를 만족시킨다. Cauchy의 적분공식에 의하면

  


으로 정의한다. 참고로
으며,  는 단순연결집합이므로  위에서의 해석적 함수 가

  

   
  
 
    Re 

 ↗
이며, 만약   이면 이 극한의 수렴은    ≥ , ∈ℤ인
    

∈ℝ에 대하여 균등수렴이다.

증명 적분의 급수표현과 극한에 등식
가 성립한다. 이 명제를 조화함수의 평균값 정리라고 부른다.
  
      cos 
   

참고 조화함수는 최댓값 성질을 가진다. 즉 상수함수가 아닌 조
를 이용하면 증명된다.
화함수는 영역의 내부에서 최댓값을 갖지 않는다. 사실 평균값
성질을 갖는 모든 연속함수는 최댓값 성질을 가지며, 심지어는
□
이제  가 열린단위원판이고  그 그 경계라고 하자. 다음 정리
부등식
는  위에서 Poisson 핵을 이용하여 Dirichlet 문제를 해결하는

 ≤ 


방법을 보여준다.
    


를 만족시키는 연속함수는 최댓값 성질을 가진다. [이 부등식에
정리 18.2 연속함수    → ℝ에 대하여 함수 를 ∈
의하면 최댓값을 갖는 점들의 모임이 여닫힌집합이 되기 때문이
일 때에는      로 정의하고,     ,  ≤   ,  ∈
다.] 부등호의 방향이 반대인 부등식을 만족시키는 함수는 최솟
ℝ일 때에는

   

값 성질을 가진다.

     



 에서 연속이고  에서 조화적이다.
로 정의하자. 그러면 는 
참고 유계인 영역 와 함수    → ℝ에 대하여 에서 조
 에서 연속이며 에서   인 함수   
→ℝ
화적이고 
증명 정의에 의하여
를 찾는 문제를 Dirichlet 문제라고 부른다. 만약 Dirichlet 문제
의 해가 존재한다면 최댓값 성질과 최솟값 성질에 의해 그 해는
유일하다.  과  가 그 해라면    는 조화적이고 의 경
계에서 인 함숫값을 가진다. 따라서 의 내부에서도 인 함숫

 
    Re 
 
 
 Re 
 
  

   

  

  

   

  
 
   Re 
 


   

  








이고
값을 갖게 된다.
참고 경계에서 연속인 함수로 확장되는지 알지 못하는 함수에


  
 , ∈
   
  



이다. 피적분함수가 와 에 관하여 연속이고  에 대하여 해석
최댓값 성질을 적용할 때에는 다음과 같은 방법을 사용하면 유
적이므로 위 적분은 에 대한 연속함수이다. 따라서 는 해석적
용하다. ― 가 유계인 영역에서 최댓값 성질을 갖고   에서
함수의 실수부로서 조화함수가 된다.
  의 상극한이  이하라면  위에서  ≤  이다. [에서


의 상한을  이라고 하고    →  이 되도록  ∈를 택
이제  →   이고 ∈ , ∈ℝ일 때   →   이 됨을
하자.
보여야 한다.


        


  →  ∈ 

 
  

         
인 부분수열을 택하자. 만약  ∈이면 는 그 점에서 최댓값
이므로 가  에 충분히 가깝고   이 에 충분히 가까울 때
을 가지므로  ≤  가 되어 는 상수함수가 된다. 그렇지 않은
위 등식의 우변의 적분이 충분히 작아질 수 있음을 보여야 한다.
경우  ∈이므로
임의로 주어진   에 대하여     일 때마다    

   ≤ 을 만족시키는 를 택하자. 적분 구간 ∪ 를
 ≥
lim  ≥ lim   
→
→∞

       ≤ ,      ≤    ≤ 
이다.]
강의노트 ∙ ∙ ∙
113
∙ ∙ ∙ 복소해석학
로 분할하자.  에서 피적분함수는    에 의하여 유계이
정리 18.4     에서 가 조화적이고 음이 아닌 값을 가지
므로 적분은
면  ≤    에 대하여







    ≤ 



 ≤      ≤  

 



    ≤ 
가 성립한다. 이 부등식을 Harnack의 부등식이라고 부른다.

으로서 유계이다. 이제    ≤  로서 가  에 충분히 가
깝다고 하자. 그러면 ∈ 에 대하여
예를 들어 가     에서 조화적이고 음이 아니면
 

 ∈     for ∈     
 

   ≥        ≥  ,
   ≤        ≤    
이다.
가 성립한다. 따라서 ↗ 이고 ∈ 일 때     ⇉ 이다.
정리 18.5  이  ≤  ≤   이고  에서 조화적인 함수열
가 유계이므로 전체 피적분함수도 에 균등수렴한다. 따라서
이라고 하자. 그러면 의 긴밀부분집합에서  → ∞일 때 균등
만약    ≤  일 때 를 에 충분히 가깝게 하여  에서의
적분이 보다 작아지도록 할 수 있다.
하게    →  ∞이거나, 또는  은 의 긴밀부분집합에서
□
적당한 조화함수 에 균등수렴한다. 이 명제를 Harnack의 정리
라고 부른다.
이제 평균값 성질을 가진 함수가 조화함수가 됨을 밝히자.
증명 점 ∈에 대하여  를 중심이 이고 에 포함되는 원
판이라고 하자. 그러면 상수   이 존재하여 ∈ 에 대하여
정리 18.3    → ℝ가 평균값 성질을 갖는 연속함수이면 
는 조화함수이다.
증명
   ≤   ,   ≤    
경계가 의 내부에 포함되는 원판에서 가 조화적임을
를 만족시킨다. 따라서  → ∞일 때  가 유계일 필요충분
밝히면 충분하다. Poisson 핵의 구성 과정에서, 원판의 경계에서
조건은 임의의 ∈ 에 대하여   가 유계인 것이다. 이로써
와 동일한 값을 갖는 조화함수  을 구성할 수 있다. 이때
 의 함숫값이 이 되는 점들의 집합은 여닫힌집합이므로 공집
   은 원판에서 평균값 성질을 가지며 원판의 경계에서 인
함숫값을 가지므로 원판에서    이다.
따름정리
합이거나  자신이 된다. 공집합인 경우    →  ∞이고
□
이 극한은 원판들에 의하여 덮인 집합 위에서 균등하므로 의
임의의 긴밀부분집합 위에서 균등하다.  자신인 경우 임의의
긴밀집합 위에서 조화함수열이 균등수렴하면 극한함
에 대하여 lim ∈ℂ이고,  ≥  , ∈ 일 때
수도 조화함수이다.
→∞
       ≤      
Poisson의 핵
이므로 이 수열은  위에서 균등적으로 Cauchy 수열이다. 따라
  
  

   


      cos        cos
서  위에서 균등수렴한다. 다시 앞에서와 같은 논법으로 이것
은 긴밀부분집합에서 성립한다.
□
로부터 다음을 얻는다.


≤    ≤  .



19. Dirichlet 문제의 해
앞장에서 언급한 것처럼 유계인 영역 와 함수    → ℝ에
 에서 연속이며 에서   인 함
대하여 에서 조화적이고 
이제     에서 가 조화적이고  ≥ 이며  ∈   
라고 하자.     인 충분히 작은   윽 택하고    
  의 근방에서 조화적이므로
    라고 하자.  는 




         





 → ℝ를 찾는 문제를 Dirichlet 문제라고 부른다. 이 장
수 
에서는 부분조화함수의 개념과 Dirichlet 문제의 해를 살펴보자.
       


정의 19.1 가 영역  에서 연속인 실함수라고 하자. 만약

   ⊆ 일 때마다
이다.  ≥ 이므로 평균값 정리와  의 상계를 이용하면

 


   ≤  

 


 ≤ 


    


가 성립하면, 를 부분조화함수(subharmonic)라고 부른다.
을 얻는다.  ↘ 인 극한을 취하면
앞서 언급한 것처럼 부분조화함수는 최댓값 성질을 가진다. 또한
 
   ≤  

다음과 같은 성질을 가진다.
을 얻는다. 비슷한 방법으로 하계도 구할 수 있다. 물론 평행이
∙ 조화함수는 부분조화함수이다.
동하여 중심이 인 경우도 생각할 수 있다. 따라서 다음 정리를
∙ 두 부분조화함수의 합은 부분조화함수이다.
얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
∙ , 가 부분조화함수이면 max 도 부분조화함수이다.
114
∙ ∙ ∙ 복소해석학
보조정리 Perron 함수는 조화함수이다.
다음 보조정리는 부분조화성이 국소적 성질임을 밝힌다.
 ⊆ 이고, ∈ 가 임의로 주어졌다
증명 원판  에 대하여 
보조정리 영역 의 각 점 의 근방에서 가 부분조화적이면
고 하자.   → 인 ∈   를 택하자.  ,  , ⋯,
는 에서 부분조화적이다.
증명
 을 정의하되  에서 
 중 가장 큰 값을  이라고 하고 

 
   ⊆ 이고 
가 
 에서 연속이며  에서 
 에서 연속이 되도록 하자.
을 넘지 않고  에서 조화적이며 


 과  은 부분조화적이고, 명백히  은 단조증가하므로 
와 동일한 값을 갖고  위에서 조화적이라고 하자. Poisson 핵

의 표현에 의하여




도 단조증가한다. 이들 모두는     에 속하므로 에 의하여
 이다. 따라서 
  ↗ 이다.
유계이지만,  ≤  ≤
가  의 각 점의 근방에서 부분조화적이고, 연결성에
이다.   
 은 적당한 조화함수  에
Harnack의 정리에 의하여  에서 
가 최댓값을 갖는 점들의 집합은 공집합이
의하여  에서   
 에서   
가 최댓값을 갖는 점
거나  자신이 된다. 따라서 
수렴한다. 여기서    가 된다. 이제 가  의 다른 점
일 때    임을 보임으로써 가  에서 조화적임을 보
이다.
은 경계에 있으므로  ≤ 
일 것이다.


  


    






□
함수열 ∈   를 택하되   → 가 되도록 하고,
 
   ⊆ 
보조정리 가 영역 에서 부분조화적이고 



 이고
라고 하자.  에서 를 정의하되  와 ∖  에서 
 을 정의했던
   max  ∈   라고 하자.  과 
 을 정의하자. 그러
것과 같은 방법으로,   으로부터  과 
 에서 조화적인 함수로 정의하자. 그러면 
는 에서 부분조화
≥
 이고  은  ≥  인 적당
면   ≥  ,  ≥  , 
적이다.
한 조화함수  에 수렴하며    이다. 또한   
는  와 ∖ 
 에서 연속이고 부분조화적이다.
명백히 
    이므로    는  에서 음이 아닌 조화함수이고
가 를 중심으로 하는 원 위의 평균값에 의하
각 ∈ 에서 
에서 최댓값을 가진다. 따라서  에서    이고   
는  와 에서 부분조화적이므
여 유계임을 보여야 한다.   
이다.
증명
□
이고 따라서  위에서도 성립한다. 이로써
로  위에서  ≤ 


   ≤ 


≤


이제 Perron 함수가 경계에서 연속임을 보이자.
    
    



정의 19.2  가 유계인 영역이고  ∈ 라고 하자.  에서 조

∖ 에서 양의 값을 가
 에서 연속인 함수 가 
화적이고 

가 성립한다.
지며   에서 영의 값을 가질 때 를   에서 의 경계함수(barr
□
ier function)라고 부른다.
가 유계인 영역이라고 하자. 만약 가 에서 조화적이고 
의 경계에서 연속이며 가 의 경계에서 보다 작은 값을 갖
∖ 가 직선에 의해 분할된 한 열린
예를 들어   를 지나고 
는 부분조화함수라고 하자. 그러면 최댓값 성질에 의하여 에서
반평면에 포함된다고 하자. 반평면을 적당한 ∈ℂ에 대하여 부
 ≤ 가 성립한다. 따라서 Dirichlet 문제의 답을 구할 때, 경계
등식 Im      의 꼴로 나타낼 수 있다고 해도 일반성
에서 주어진 함수를 넘지 않는 가장 큰 함수를 구하는 것이 바
을 잃지 않는다. 그러면 Im    는   에서 의 경계함수
람직하다. O. Perron의 방법에 따라 해를 구해보자.
가 된다.
가 에서 유계인 실함수라고 하자. 임의의 ∈에 대하여
   ≤ 
다음으로 제곱근의 분지를 사용할 때 ℂ∖ ∞ 에서 정의된
   를 생각하자. 이 함수는 ℂ∖ 에서 해석적
함수 
lim
→
이고 에서 의 값을 갖는 함수로 확장되며 실수부는 ℂ∖
를 만족시키고 에서 부분조화적인 함수 들의 모임을 Perron
 에서 양수이다. 따라서 만약    이 에 속하고  
집합이라고 부르고     로 나타내자.     는 min를
과 가 만나는 유일한 점이면 Re
   를   에서 의 경
넘지 않는 모든 상수를 포함하므로 공집합이 아니다.
와
계함수로 사용할 수 있다. 비슷하게 경계점   에 대하여, 
  에서만 만나는 선분이 존재할 때,   에서 의 경계함수가 존
보조정리 ∈    이면 에서  ≤ sup이다.
재한다. 따라서 매끄러운 영역이나 다각형 영역, 원판에서 선분
이제 Perron 함수를 다음과 같이 정의하자.
  
을 제외한 영역 등 다양한 영역의 모든 경계점에서 경계함수가
sup   ∈   
i f ∈
 
i f ∈

존재한다. 경계함수를 갖지 않는 영역의 대표적인 예로서는 구멍
뚫린 원판을 들 수 있다.
먼저 Perron 함수가 에서 조화적임을 보인 후,  위에서 적
 로 확장시킬 것이다.
절한 조건 하에 이 함수를 
강의노트 ∙ ∙ ∙
115
∙ ∙ ∙ 복소해석학
정리 19.3 가 유계인 영역이고 가  에서 유계이며 가
20. 반사원리
그에 대응하는 Perron 함수라고 하자. 만약  ∈가 경계함수
이 장에서는 조화함수의 반사원리와 해석적 함수의 반사원리를
를 갖고 가   에서 연속이면 lim      이다.
살펴보자. 반사원리를 설명하기 위하여 다음과 같은 용어를 사용
→
증명
하자. ― 영역 에 대하여 ∈일 때마다 ∈이면 를 대
 에서
먼저 임의의   에 대하여 에서 조화적이고 
칭영역이라고 부른다.
연속이며 에서   이고          을 만족시키는
함수 가 존재함을 보이자.  가   를 중심으로 하고 ∈ ∩
정리 20.1  가 실수축에 대하여 대칭인 영역이라고 하자. 
 일 때마다        이 성립하게 하는 원판이라고 하
와 상반평면의 교집합을  , 하반평면과의 교집합을  , 실수
자. 에서  의 최댓값을  이라고 하고 ∖ 에서 경계함수
축과의 교집합을  이라고 하자. 가 ∪ 에서 연속인 실함
의 최솟값을 이라고 하자. 그러면   이다.
수이고  에서 조화적이며  에서 영의 값을 가진다고 하자.
그러면 는 에서 조화적인 함수로 확장될 수 있으며, 확대함
 
               


  

           
 

수는 유일하게 결정되고, ∈ 에 대하여     이다.
이 명제를 조화함수에 대한 반사원리라고 부른다.
증명 그러한 확대함수가 존재한다면 유일성은 자명하므로, 여기
이라고 하자. 그러면 ∈∩ 에 대해서는
서는 주어진 함수가 에서 조화적인 함수를 결정함을 보이자.
   ≥        
이 함수가  ∈ 의 근방에서 조화적임을 보이면 충분하다.
이고, ∈∖ 에 대해서는
평행이동과 확대를 이용하면 일반성을 잃지 않고    이고 
     ≥  
 를 포함한다고 할 수 있다. 
 에서  에
가 닫힌단위원판 
가 성립한다. 따라서 경계에서   이고,          이
관한 Dirichlet의 해를  라고 하자. Poisson 핵의 표현에 의해
실수 구간   에서   임을 알 수 있다. 따라서 상반원
성립한다.
의 경계 전체와 하반원의 경계 전체에서   이다. 두 반원에
∈    이면 에서  ≤ 가 성립한다. 이것은 임의의 
서  와 는 조화적이므로 그들은 일치한다. 따라서  와 마찬
에 대하여 성립하므로 에서  ≤ 가 성립하며,
가지로 는 원판 전체에서 조화적이다.
□
   ≤        
lim

→

정리
이 성립한다. 은 임의의 양수이므로
하자. 가 ∪ 에서 연속인 복소함수이고  에서 해석적이
   ≤  
lim
→
20.2 ,  ,  가 정리 20.1에서와 동일한 것이라고
며  에서 실숫값을 가진다고 하자. 그러면 는  전체에서 조

화적인 함수로 확장될 수 있으며, 확대함수는 유일하게 결정되고

∈ 에 대하여      이다. 이 명제를 해석적 함수에
이 성립한다. 다음으로
 
              


  
            

 
대한 반사원리라고 부른다.
증명
Im와 조화공액함수에 정리 20.1의 증명법을 적용하면
결과를 얻는다. 또는 Morera의 정리를 이용하여 직접 증명해도
이라고 하자. 그러면  위에서   이며,         
된다.
□
참고
위 정리에서 대칭축은 실수축이 아닌 임의의 직선이 될
이다. ∈    이고  위에서  ≥ 이므로
lim  ≥    
→
수 있다. 따라서 가 적당한 직선에 대하여 대칭이고, 잘린 한

이 성립한다. 은 임의의 양수이므로
쪽 반평면과 직선 위에서 해석적인 함수는  전체에서 해석적
lim  ≥  
인 함수로 확장될 수 있다.
→
을 얻는다.

평행이동과 회전을 이용하면, 가 대칭축 위에서 실숫값을 가진
□
다는 조건을 에 의하여 직선이 다른 직선에 대응된다는 것으로
바꾸어도 동일한 결과를 얻는다.
이로써 Dirichlet 문제의 해가 완성되었다.
반사원리를 응용한 대표적인 예로서 해석적 확장(analytic conti따름정리 가 복소평면의 유계인 영역이고 경계의 각 점에서
nuation)을 들 수 있다. 예를 들어 가 사각형 영역을 자기 자신
경계함수를 가지며 가 에서 연속인 함수라고 하자. 그러면
에 해석적으로 대응시키며 경계를 경계에 대응시키면 반사 원리
에서의 경계함수는 Dirichlet 문제의 해가 된다.
를 반복 적용하여 를 정함수로 확장할 수 있다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
116
∙ ∙ ∙ 복소해석학
반사원리는 직선에 대하여 대칭인 경우뿐만 아니라 원에 대하여
참고문헌
대칭인 경우에도 적용할 수 있다.
∙ Douglas N. Arnold, Complex Analysis Lecture Note,
정리 20.3 가 단위원판에서 해석적이고 그 폐포에서 연속이
∙ James R. Munkres, Topology (2ed), Prentice Hall, 2000.
며 경계에서 실숫값을 가진다고 하자. 그러면 는 정함수로 확
∙ John B. Conway, Functions of One Complex Variable,
Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
장되며 확대함수는 에 따라 유일하게 결정된다. 그리고 확대함

 이다.
수는   에 대하여     
Springer-Verlag, 1978.
∙ Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966.
∙ Raghavan Narasimhan, Complex Analysis in One Variable,
증명 함수 를
Birkhäuser, 1985.
  
    
  


∙ Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3ed),
McGraw-Hill, 1976.
라고 정의하자. 그러면 는 상반평면을 ℂ에 대응시키고 실수축
∙ Walter Rudin, Real and Complex Analysis (3ed),
을 실수축에 대응시키는 일대일함수이다. 에 반사원리를 적용
McGraw-Hill, 1987.
하면 하반평면의 점 에 대하여
∙ Wilfred Kaplan, Advanced Calculus (5ed), Addison

  
   
   
  
   

 
Wesley, 2002.

를 얻는다. 즉 원판 외부의 점 에 대하여
 
   
를 얻는다.
□
반사원리를 응용하는 예로서 단위원판에서 해석적인 함수 를
원판의 경계인 원을 원에 대응시키도록 연속적으로 확장하는 경
우를 생각할 수 있다.   에 대하여

   

 
이라고 하면 는 ℂ∞ 에서의 함수가 된다.
  
   
  
에 대하여     ∘  ∘ 에 반사원리를 적용하면 위와 같은
함수를 얻는다. 구한 확대함수는 의 영점의 대칭점에서만 극을
가지고 그 외에서는 해석적이다. 에서 의 함숫값이 인지 아
닌지에 따라 무한대점 ∞도 확대함수의 제거 가능한 특이점이거
나 극이 된다. 따라서 확대함수는 ℂ∞ 에서 유한 개의 극을 갖는
유리형 함수이다. 즉 는 유리함수이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
117
∙ ∙ ∙ 복소해석학
거리공간 강의노트
Sooji Shin ∙ soojishin@live.com
정의 1.6 ⟨ ⟩가 위상공간이고  ⊆  라고 하자. 이때
이 노트는 고급 해석학을 공부하기 위해 필수적으로 필요한 거
리공간과 위상공간의 개념을 간략히 다루고 있습니다.
  ∩  ∈
는  위에서의 위상이 된다. 이때  를 ⟨ ⟩로부터 유도
1. 위상공간
된  의 상대위상(relative topology)이라고 부르며 ⟨  ⟩를
공간 ℝ에서 열린집합들의 모임을  라고 하면
⟨ ⟩의 부분공간(subspace)이라고 부른다.
∙  의 원소들의 합집합은  의 원소가 된다,
정의 1.7  가 위상공간  의 부분집합이라고 하자. 만약 ∈
∙  의 유한 개의 원소들의 교집합은  의 원소가 된다
에 대하여 ∈ ⊆  인 열린집합 가 존재하면 를  의 내점
는 것을 기초해석학에서 살펴보았다. 이것을 일반화하여 위상의
(inner point)이라고
개념을 도입한다.
(interior)라고 부르고 int 로 표기한다.
고 부르며 ext 로 표기한다.  의 내점도 아니고 외점도 아닌
 가 두 조건
점을  의 경계점이라고 부르고,  의 경계점들의 모임을  의 경
 ∈
계(border)라고 부르며 bd 로 표기한다.
∈
T2.  ⊆  ∧   ℕ ⇒
 의 내점을  의 외점
(exterior point)이라고 부르고,  의 외점들의 모임을  의 외부라
정의 1.1 집합  가 주어졌다고 하자. 만약 ℘  의 부분집합
T1.  ⊆  ⇒
부른다.  의 내점들의 모임을  의 내부
 ∈
∈
정의 1.8  가 위상공간이고  가  의 부분집합이며 ∈ 라
를 모두 만족시키면  를  위에서의 위상(topology)이라고 부른
고 하자. 만약 의 모든 구멍뚫린근방이  와 만나면, 즉 를 포
다. 그리고 구조  가 주어진 공간  를 위상공간(topological
함하는 임의의 열린집합 에 대하여 ∖∩ ≠ ∅이면 
space)이라고 부르며 ⟨ ⟩로 표기한다. 혼동할 염려가 없을
를  의 집적점(cluster point)이라고 부른다.  의 집적점들의 모임
때에는 ⟨ ⟩를 간단히  로 표기한다.
을  의 도집합(derived set)이라고 부르며  ′ 으로 표기한다.
참고  가  위에서의 위상이면  는 ∅과  를 원소로서 가진
정의 1.9 집합  를 포함하는 가장 작은 닫힌집합을  의 폐포
다. 왜냐하면 ∅ ⊆  이므로   ∩∅∈ 이고 ∅  ∪∅∈ 이
(closure)라고 부르고 
 로 표기한다. 즉  의 폐포는  를 포함하
기 때문이다.
는 모든 닫힌집합들의 교집합이다.
정의 1.2  가  위에서의 위상이면  의 원소  를  에서의
보조정리 집합  와 점 에 대하여, ∈ 
 일 필요충분조건은 
열린집합(open set) 또는 간단히 열린집합이라고 부른다. 그리고
의 임의의 근방이  와 만나는 것이다.
   ∖ 가  에서의 열린집합일 때  를  에서의 닫힌집합
 라고 하자. 그러면  를 덮는 닫힌
증명 대우를 증명하자.  ∉ 
(closed set) 또는 간단히 닫힌집합이라고 부른다.
집합  가 존재하여 ∈ 이다.  는 열린집합이므로 ∈ ⊆
정리 1.3  가 위상공간이고 가  에서의 닫힌집합들의 모임
 인 열린집합 가 존재한다. 이때 는  와 만나지 않는 근방
이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
이 된다. 이 내용을 역순으로 진술하면 반대 방향도 증명된다. □
(1)  ⊆  ⇒
 ∈
∈
(2)  ⊆  ∧   ℕ ⇒
정리 1.10 집합  에 대하여 
   ∪ ′ 가 성립한다.
 ∈
∈
 라고 하자. 만약  ∉  라면 보조정리에 의하여 의
증명 ∈ 
⊆
구멍뚫린 임의의 근방은  와 만나므로 ∈ ′ 이다. 따라서 
증명 정의 1.1과 De Morgan의 법칙을 사용하면 증명된다. □
 ∪ ′ 이다. 반대로 ∈ ∪ ′ 이라고 하자. 만약  ∈ 이면 당
정의 1.4  가 위상공간이고 ∈ 일 때, 를 포함하는 열린집
를 제외한 집합을 의 구멍뚫린근방(deleted neighborhood)이라고
 이다. 만약  ∉  이고 ∈ ′ 이면 의 임의의 근방
연히 ∈ 
 이다. 따라서 
⊇
은  와 만나므로 보조정리에 의하여 ∈ 
부른다.
∪ ′ 이다.
정의 1.5  가  위에서의 위상이고 가  의 부분집합이라고
정리 1.11 다음 세 명제는 서로 동치이다.
하자. 만약  의 임의의 원소  가 의 원소들의 교집합으로 표
현될 수 있으면 를  의 기저(basis) 또는 ⟨ ⟩의 기저라고
(1)  는 닫힌집합이다.
   이다.
(2) 
부른다.
(3)  ′ ⊆  이다.
합을 의 근방(neighborhood)이라고 부른다. 또한 의 근방에서 
증명 정리 1.10에 의하여 자명하다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
118
□
□
∙ ∙ ∙ 거리공간
정의 1.12 집합  의 부분집합  에 대하여 
 ⊇  이면  는
정리 2.5 위상공간  의 그물 ⟨⟩의 정의역이  이고 임의의
 에서 조밀하다(dense)라고 말하고  를  의 조밀부분집합이라
∈ 에 대하여    ≳이라고 하자. 이때 가 ⟨⟩
고 부른다.
의 집적점이 되기 위한 필요충분조건은

∈


정의 1.13 위상공간  에 대하여  ⊆  ⊆ 
 인 가산집합  가
∈
(*)

인 것이다.
존재하면  를 가분공간(separable space)이라고 부른다.
증명 가 ⟨⟩의 집적점이면 의 임의의 근방  와 ∈ 에
보기 1.14 공간 ℝ는 가분공간이다. 왜냐하면 ℚ ⊆ ℝ  
ℚ이
대하여 ≳인 가 존재하여 ∈ 이고, 또한 ∈ 이므로
기 때문이다.
는  의 집적점이다. 은  의 임의의 원소이므로 (*)이 성립
한다. 역을 증명하기 위해 가 ⟨⟩의 집적점이 아니라고 가정
2. 수열과 함수의 극한
하자. 의 근방  와 ∈ 가 존재하여 ≳일 때  ∉  이
이 장에서는 수열을 일반화한 그물을 정의하고, 그물과 함수의
 이므로 모순이다.
다. 즉 ∩  ∅이다. 따라서  ∉ 
극한을 살펴보자.
□
하나의 그물이 두 개 이상의 극한을 가질 수도 있다. 예를 들어
정의 2.1 집합  에서의 관계 ≲가 세 조건
집합     에 위상   ∅ 가 주어졌다고 하자.
∙ ∀∈  ≲
그리고   로 정의된 그물 ⟨⟩이 주어졌다고 하자. 이때
∙ ∀ ∈  ≲ ∧ ≲  ⇒ ≲
⟨⟩은 , ,  모두에 수렴한다.
∙ ∀ ∈ ∃∈  ≲ ∧ ≲ 
를 모두 만족시키면 ⟨ ≲⟩를 유향집합(directed set)이라고 부
그물의 극한의 유일성(uniqueness)을 보장하려면 위상에 추가적인
른다. 여느 때와 마찬가지로 혼동할 염려가 없으면 ⟨ ≲⟩를
조건이 필요하다.
간단히  로 표기한다.
정의 2.6  가 위상공간이라고 하자. 만약  의 서로 다른 임의
정의 2.2 정의역이 유향집합  인 함수 를 그물(net)이라고 부
의 두 점  ,  에 대하여 ∈ , ∈ 이면서 서로소인 열
르고 ⟨  ⟩ 또는 간단히 ⟨⟩으로 표기한다. 특히 정의역이
린집합  ,  가 존재하면  를 Hausdorff 공간 또는  -공간
자연수 집합과 순서동형인 그물을 수열(sequence)이라고 부른다.
이라고 부른다.
별다른 언급이 없으면 수열의 정의역은  이상의 정수의 집합,
또는 자연수 집합인 것으로 약속한다.
정리 2.7 Hausdorff 공간에서 수렴하는 그물의 극한은 유일하
다. 즉  가 Hausdorff 공간이고 ⟨⟩이  의 점들로 이루어진
그물의 개념에 익숙하지 않으면, 지금부터 설명하는 내용에서 그
그물이며  →  ,  →  이면    이다.
물을 수열로 바꾸어 생각하여도 좋다.
증명 결론에 반하여  ≠  라고 하자. 그러면
∈ 그리고 ∈
정의 2.3  가 위상공간이고  ⊆  이며 ⟨⟩이  의 점으로
이면서 서로소인 열린집합  과  가 존재한다.  →  이므
이루어진 그물이라고 하자. 만약
≳ → ∈
로 ≳ → ∈ 을 만족시키는  이 존재한다. 마찬가지로
가 참이 되게 하는  이 존재하면 ⟨⟩은 궁극적으로  안에
 →  이므로 ≳ → ∈ 를 만족시키는  가 존재한
있다(eventually in E)라고 말한다. 또, 만약 임의의  에 대하여
다. ≲ 이고 ≲ 인  을 택하자. 그러면 ∈ 이고
≳ ∧ ∈
동시에 ∈ 이다. 이것은  과  가 서로소라는 데에 모순
를 만족시키는 이 존재하면 ⟨⟩은 빈번히  안에 있다(fre-
이다.
□
quently in E)라고 말한다.
 가 Hausdorff 공간이면 수렴하는 그물의 극한은 유일하므로
공간 ℝ에서 수열 ⟨⟩이 에 수렴할 필요충분조건은 임의의
 → 라고 쓰는 대신
  에 대하여  ∉   인  의 개수가 유한인 것임을
lim   
→ ∞
기초해석학에서 살펴보았다. 이것을 일반화하여 다음과 같이 정
로 표기한다.
의한다.
정의 2.8  와  가 위상공간이고  ⊆  ,
정의 2.4 가  의 점이라고 하자. 만약 의 임의의 근방  에
 ⊆  라고 하자.
그리고 함수    →  와  의 집적점 ,  의 점 가 주어졌
대하여 ⟨⟩이 궁극적으로  안에 있으면 를 ⟨⟩의 극한
다고 하자. 만약 의 임의의 근방  에 대하여 의 삭제된 근방
이라고 부르고  → 로 표기한다. 만약 의 임의의 근방 
 가 존재하여 ∈∩ → ∈ 를 만족시키면 에서 
에 대하여 ⟨⟩이 빈번히  안에 있으면 를 ⟨⟩의 집적점
는 에 수렴한다고 말하고 를 에서 의 극한이라고 부른다.
(cluster point)이라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
119
∙ ∙ ∙ 거리공간
이것을 기호로
정리 2.13 함수    →  와    →  가 연속이면  ∘ 
는 연속함수이다.
 →
  
증명 가  에서의 열린집합이라고 하자. 그러면      는 
로 표기한다. 만약  가 Hausdorff 공간이면 수렴하는 함수의
에서의 열린집합이다. 따라서
극한은 유일하므로 이것을 기호로
 ∘             
lim   
는  에서의 열린집합이다.
 →
□
로 표기한다.
정의 2.9  와  가 위상공간이고  ⊆  ,
3. 거리공간
 ⊆  라고 하자.
수직선에서 두 점 ,  사이의 거리는   가 된다. 이것을
그리고 함수    →  와  의 점 가 주어졌다고 하자. 만약
일반화한 개념이 거리이다.
의 임의의 근방  에 대하여 가      의 내점이 되면 
는 에서 연속이다(continuous at p)라고 말한다.  ⊆  라고 하
정의 3.1  가 집합이고 가  ×  로부터   ∞에로의 함
자. 만약 가  의 모든 점에서 연속이면 는  에서 연속이다라
수라고 하자. 만약 가 임의의   ∈ 에 대하여 세 조건
고 말한다. 정의역의 모든 점에서 연속인 함수를 연속함수라고
D1.     ,
부른다.
D2.    ,
정의 2.10 위상공간  ,
D3.    ≤      
 에 대하여 일대일대응    → 
를 모두 만족시키면 를  에서의 준거리(semimetric)라고 부른
가 존재하여 와   이 모두 연속이면 를 위상동형사상
다. 만약 가  에서의 준거리이고 임의의  ∈ 에 대하여
(homeomorphism) 또는 간단히 동형사상이라고 부르고  와  는
조건
위상동형이다 또는 간단히 동형이다라고 말한다.
 ≠  →   ≠ 
을 만족시키면 를  에서의 거리(metric)라고 부른다. 준거리 함
정리 2.11 함수    →  가 연속함수일 필요충분조건은 
수가 주어진 공간을 준거리공간(semimetric space)이라고 부르고
에서의 임의의 열린집합 에 대하여     가  에서의 열린
거리 함수가 주어진 공간을 거리공간(metric space)이라고 부른다.
집합이 되는 것이다.
증명
참고 거리공간의 조건 중에서 D3을 삼각부등식이라고 부른다.
가 연속함수이고 가  에서의 열린집합이라고 하자.
만약 가 공집합이라면 

   는 당연히 열린집합이다. 이제
보기 3.2 실수집합 ℝ에서      로 정의된 거리함

가 공집합이 아니고 ∈   라고 하자. 는 의 근방
수 를 보통거리(usual metric)라고 부른다.
이므로      는 를 내점으로 갖는 집합이다. 는      의
집합 ℝ 또는 ℂ 의 원소
임의의 점이므로      는 열린집합이다. 이제 역을 증명하기
    ⋯  ,     ⋯  
위해  에서의 임의의 열린집합 에 대하여      가  에서
에 대하여
의 열린집합이 된다고 가정하자. 가  의 임의의 점이라고 하
자. 그러면 를 포함하는 임의의 열린집합 에 대하여
  
     는 를 포함하는 열린집합이 되므로 는 에서 연속이
다.


  

 
으로 정의된 거리함수 를 보통거리(usual metric) 또는 Euclid 거
□
리라고 부른다.
정리 2.12 함수    →  가 ∈ 에서 연속일 필요충분조건
보기 3.3 임의의 집합  위에서
은  → 인 임의의 그물 ⟨⟩에 대하여   → 인
  
것이다.
로 정의된 거리함수 를 이산거리(discrete metric)라고 부른다.
증명 함수    →  가 ∈ 에서 연속이라고 하자. 그리고
 → 라고 하자. 가 의 근방이면 
이다. 따라서 ⟨⟩은 궁극적으로 


  는 의 근방
보기 3.4 임의의 집합  위에서    으로 정의된 거리
   안에 있다. 이것은
함수 를 비이산거리(indiscrete metric)라고 부른다.
 이 궁극적으로 에 있음을 함의한다. 따라서   →
이다. 이제 역을 증명하기 위해 가 에서 연속이 아니라
보기 3.5 집합  를 정의역으로 하는 실함수들의 모임을 ℝ 라
고 가정하자. 그러면 의 근방 가 존재하여     는 
고 하자. 이때 두 실함수 , 에 대하여
의 근방이 아니다. 따라서 의 임의의 근방  에 대하여
   sup    ∈
  ⊈ 이다. 이때 ∈ 이면서   ∉ 인  를 택할
로 정의된 거리함수 를 상한거리(supremum metric)라고 부른다.
수 있다. 이때  들의 모임은 포함관계에 의한 유향집합이므로
⟨⟩는 그물이며   ↛ 이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
 ii ff  ≠ 
□
120
∙ ∙ ∙ 거리공간
참고 모든 준거리함수가 거리함수가 되는 것은 아니다. 예컨대
정리

ℝ 의 두 원소      ,      에 대하여
3.7 거리공간 ⟨ ⟩, ⟨ ⟩에 대하여  ⊆  ,
 ⊆  라고 하자. 함수    →  가 ∈ 에서 연속일 필요충
             
분조건은 임의의 양수 에 대하여 양수 가 존재하여 ∈ 에
대하여       일 때마다     이 성립
으로 정의된 함수 는 ℝ 에서 준거리이지만 거리는 아니다.
하는 것이다.
거리함수를 이용하여 위상공간을 만들 수 있다. 거리공간  에서
증명 가 에서 연속이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주
중심이 이고 반지름이 인 열린공(open ball)을
어졌다고 하자.
    ∈     

로 정의한다.  에서의 모든 열린 공들의 집합

그러면
    은 열린집합이므로
   는 의 근방이 된다. 따라서    ⊆     인 양수
가 존재한다. 이 에 대하여 주어진    조건이 성립하게 된
    ∈  ≥ 
다. 이제 역을 증명하기 위하여    조건이 성립한다고 가정하
을 기저로 하는 위상을 에 의해 유도된 거리위상(metric topo-
자.
logy)이라고 부른다. 즉 거리위상  의 부분집합  가 열린집합일
그리고
가
의
근방이라고
하자.
그러면
   ⊆  인 양수 이 존재한다. 이때    조건을 만족
필요충분조건은 임의의 ∈에 대하여    ⊆ 인 양수 
시키는 에 대하여 ∈   ⊆     이므로      는 
이 존재하는 것이다.
를 내점으로 가진다. 따라서 는 에서 연속이다.
□
임의의 거리공간은 위상공간이 되지만, 임의의 위상공간이 적당
한 거리공간의 거리위상공간이 되는 것은 아니다. 참고로 위상공
정리
3.8 거리공간 ⟨ ⟩, ⟨ ⟩에 대하여  ⊆  ,
간 ⟨ ⟩에 대하여 적당한 거리함수 가 존재하여 에 의하
 ⊆  라고 하자. 함수    →  가 ∈′ 에서 에 수렴할
여 유도된  의 거리위상이  가 되도록 할 수 있을 때
필요충분조건은 임의의 양수 에 대하여 양수 가 존재하여
⟨ ⟩는 거리화 가능(metrizable)이라고 말한다.
∈ 에 대하여       일 때마다     이
 가 거리 에 의해 유도된 거리위상공간이면  는 Hausdorff
성립하는 것이다.
공간이다. 왜냐하면  의 서로 다른 두 점 , 에 대하여
증명 정리 3.7의 증명과 비슷하다.
□
    
라고 하면 두 열린집합
4. 긴밀집합
    ,     
긴밀성은 국소적인 성질을 전역적 성질로 환원시켜주는 중요한
은 서로소이고 ∈ , ∈ 가 성립하기 때문이다.
구조이다.
두 위상공간 사이의 동형의 개념이 있는 것처럼 거리공간에서도
동형의 개념이 있다. 두 거리공간 ⟨ ⟩, ⟨ ⟩가 주어졌
정의
다고 하자. 만약 함수    →  가 일대일 대응이고, 임의의
 ∈의 모든 원소가  의 부분집합이라고 하자. 만약  의
 ∈ 에 대하여       가 성립하면 
원소들의 합집합이  를 덮으면, 즉
를 거리동형사상이라고 부르며  와  는 거리동형이다라고 말
4.1  가 위상공간이고  가  의 부분집합이며  
⊆

∈
한다. 별다른 언급 없이 두 거리공간이 동형이라고 말할 때에는

거리동형인 것을 의미한다. 두 거리공간  와  가 거리동형이면
이면  를  의 덮개(cover)라고 부른다. 덮개  의 모든 원소가
그들의 거리에 의해 유도된 위상은 서로 위상동형이다.
열린집합이면  를 열린덮개라고 부른다. 덮개  의 모든 원소가
닫힌집합이면  를 닫힌덮개라고 부른다.
정리 3.6 거리공간  에서의 수열 ⟨⟩이 점 에 수렴할 필
정의
요충분조건은 임의의 양수 에 대하여  이 존재하여    일
가지면  를 긴밀집합(compact set)이라고 부른다.
4.2  의 임의의 열린덮개가  를 덮는 유한부분덮개를
때마다    이 성립하는 것이다.
증명
정리 4.3 Hausdorff 공간에서 긴밀집합은 닫힌집합이다.
 → 라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고
하자. 그러면   은 열린집합이므로 ⟨⟩은 궁극적으로
증명  가 긴밀집합이라고 하자. 그리고 ∈ 라고 하자. 각
   안에 있다.    안에 있지 않은 항  들의 첨수
∈ 에 대하여 ∈ , ∈ 인 서로소인 두 열린집합  ,
중에서 가장 큰 값을  이라고 하면    인 임의의 에 대하
 가 존재한다.  들의 모임은  의 열린덮개이므로
여 ∈   즉    이다. 역을 증명하기 위해
 ⊆   ∪∪ ⋯ ∪
⟨⟩과 에 대하여    조건이 성립한다고 가정하자. 그리
인 유한 개의 점  들이 존재한다. 이때  와
고  가 의 근방이라고 하자. 그러면 는  의 내점이므로
  ∩∩ ⋯ ∩
   ⊆  인 양수 이 존재한다. 이때    조건에 의하여
은 서로소이고,  는  의 근방이다. 여기서  는  와 서로소이
   일 때마다 ∈  을 만족시키는  이 존재한다. 즉
므로  는  의 내점이다.  는  의 임의의 점이므로  는
   일 때마다 ∈ 이므로 ⟨⟩은 궁극적으로  안에 있
다. 따라서  → 이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
열린집합이고, 따라서  는 닫힌집합이다.
□
121
□
∙ ∙ ∙ 거리공간
정리 4.4 거리공간  에서 긴밀집합은 유계이다.
증명
포함순서관계에 의한 유향집합 를 정의역으로 하는 그물이 된
다. 이때 ⟨⟩의 부분그물 ⟨ ⟩이 존재하여  의 한 점에 수
 가 긴밀집합이라고 하자. 점 와 자연수 에 대하여
렴한다.
  ∈     이라고 하면 은  를 덮는다.
 가 긴밀집합이므로 유한 개의 집합  ,  , ⋯,  에 의하
따름정리 4.8
여  가 덮인다. 이때  ,  , ⋯,  의 합집합은 유계이므
로  도 유계이다.
□
   →  가 연속이고  의 부분집합  가 긴
밀집합이면    는  의 긴밀부분집합이다.
□
증명
⟨⟩이   의 점들로 이루어진 그물이라고 하자. 그러
면       으로 정의된 그물 ⟨⟩은 긴밀집합  의 점들
정리 4.5 긴밀집합의 닫힌부분집합은 긴밀집합이다.
 가 긴밀집합이고  가  의 닫힌부분집합이라고 하자.
로 이루어져 있다. 따라서 ⟨⟩은  의 한 점 에 수렴하는 부
그리고    ∈가  의 열린덮개라고 하자. 그러면 ∪
분그물 ⟨⟩를 가진다. 이때 ⟨⟩는 에 수렴하는 그물
 는  의 열린덮개이므로 부분덮개  을 가진다. 이때 
이 되고 ∈  이므로    는 긴밀집합이다.
증명
□

의 원소 중에서  를 제외한 것들만 모은 집합은  를 덮는 
의 유한부분덮개가 된다. 따라서  는 긴밀집합이다.
연속함수에 의해 전달되는 성질을 위상적 성질(topological proper-
□
ty)이라고 부른다. 위 정리에 의하면 긴밀성은 위상적 성질이다.
긴밀집합은 그물을 이용하여 정의할 수도 있다. 먼저 부분그물을
정리 4.9 위상공간  의 부분집합족  ∈의 모든 항이 긴
정의하자.
밀집합이고, 이 집합족의 1개 이상의 유한 개의 원소의 교집합이
정의 4.6  와  가 유향집합이라고 하자. 이때 함수    →
공집합이 아니라고 가정하자. 그러면 이 집합의 모든 원소  들
 가 두 조건
의 교집합도 공집합이 아니다. 이 명제를 유한교차성질(finite
∙  ≲  ⇒   ≲  
inter- section property)이라고 부른다.
∙ ∀∈ ∃∈  ≲ 
증명 ∩  ∅이라고 가정하자. 그러면 ∪   이고  는
을 모두 만족시키면 를 공종함수(cofinal function)라고 부른다.
열린집합이다. 따라서 의 유한부분집합 가 존재하여
그리고 그물 ⟨⟩과 공종함수 에 대하여 ⟨⟩을 ⟨⟩의
∪  ⊇  가 된다. 즉 ∩  ∅이 되는데, 이것은 모순이
부분그물(subnet)이라고 부른다. ⟨⟩을 ⟨⟩으로 표기하
다.
기도 한다.
□
참고 수열의 부분그물이 항상 부분수열인 것은 아니다. 그러나
따름정리 4.10 수열 ⟨⟩의 모든 항이 긴밀집합이고 공집합
수열의 부분수열은 항상 부분그물이 된다.
이 아니며 감소하면, 즉  ⊇   이면, 모든  들의 교집합
은 공집합이 아니다.
정리 4.7  가 긴밀집합일 필요충분조건은 모든 항이  에 속
증명
은 유한교차성의 조건을 만족시킨다.
□
하는 임의의 그물이  의 한 점에 수렴하는 부분그물을 갖는 것
이다. 이것을 점열긴밀성(sequentially compact)이라고 부른다.
정리 4.11  가 긴밀집합일 필요충분조건은 모든 항이  에 속
증명  가 긴밀집합이라고 하자. 그리고 모든 항이  에 속하면
하는 임의의 그물이 집적점을 갖는 것이다.
서  의 원소에 수렴하는 부분그물을 갖지 않는 그물 ⟨⟩이
증명  가 긴밀집합이라고 하고 ⟨⟩이  를 정의역으로 하는
존재한다고 가정하자. 그러면 임의의 ∈ 에 대하여 의 근방
그물이라고 하자.   
 ≳이라고 하면 은 유한교
이 궁극적으로 
 가 존재하여 ⟨⟩
안에 있게 된다. [만약
차성을 가진  의 부분긴밀집합들의 모임이다.  가 긴밀집합이
그렇지 않다면 에 수렴하는 ⟨⟩의 부분그물이 존재하기 때
므로 ∩ ≠ ∅이다. 따라서 ∈∩ 은 ⟨⟩의 집적점이다.
문이다.] 이때  ∈는  의 열린덮개가 된다.  가 긴밀
이번에는  가 긴밀집합이 아니라고 가정하자. 그러면  를 덮지
이므로  ∈는 유한부분덮개를 가진다. 그런데 각 에
만 유한부분덮개를 갖지 않는 열린덮개  ∈ 가 존재한
대하여  가 가지고 있는 ⟨⟩의 항의 개수는 유한이다.  는
다.  의 유한부분집합들의 모임을  라고 하자. 그리고  가 포
유한 개  에 의하여 덮이므로  가 가지고 있는 ⟨⟩의 항의
함관계에 의한 유향집합이라고 하자. 임의의 ∈ 에 대하여
 
개수도 유한이 된다. 이것은 모순이다.
∈
이제  가 긴밀집합이 아니라고 가정하자. 그리고 모든 항이 
∈


를 택하자. 그러면 ⟨⟩는 어떤 항도 의 집적점이 아닌
에 속하는 임의의 그물 ⟨⟩이  의 한 점에 수렴하는 부분수
그물이다. [임의의 ∈ 에 대하여, ∈ 일 때 ∈∈ 이면
열을 가진다고 하자.  가 긴밀이 아니므로  를 덮지만 유한부
 ∉  이기 때문이다.]
분덮개를 갖지 않는 열린덮개  가 존재한다.  의 원소 중 공집
□
합이 아니고 유한인 것들을 모아서 라고 하자. 그러면 각
∈에 대하여  ∉ ∪인  ∈ 가 존재한다. 이때 ⟨⟩는
강의노트 ∙ ∙ ∙
122
∙ ∙ ∙ 거리공간
정리 4.12 연속함수는 긴밀성을 전달한다. 즉 함수    → 
정리 4.16 닫힌구간들의 카르테시안곱은 긴밀집합이다.
가 연속이고  가  의 긴밀부분집합이면    는  의 긴밀부
증명  ,  , ⋯,  가 닫힌구간이라고 하자.
분집합이 된다.
증명
   ×  ×⋯× 
   ∈가   의 열린덮개라고 하자. 그러면
라고 하고 ⟨⟩이  의 점들로 이루어진 그물이라고 하자.  의
      ∈는  의 열린덮개가 된다.  가 긴밀집합
번째 좌표를  라고 하자. 즉
이므로  를 덮는  의 유한부분덮개      ∈가 존재
    ⋯  
한다. 이때  ∈는    를 덮는  의 유한부분덮개가 된
다.
라고 하자. 그러면 각 에 대하여 ⟨⟩의 부분그물
□
⟨ ⟩가

존재하여 ∈ 에 수렴한다. 이때 ⟨⟩는

정의
    ⋯  ∈
4.13 거리공간 ⟨ ⟩, ⟨ ⟩에 대하여  ⊆  ,
에 수렴한다. 따라서  는 긴밀집합이다.
 ⊆  라고 하자. 그리고 함수    →  가 주어졌다고 하자.
□
만약 양수 가 존재하여 임의의 양수 에 대하여
따름정리 4.17
       →     
보통거리공간 ℝ 과 ℂ 의 부분집합이 긴밀집
이 성립하면 는  에서 균등연속(uniformly continuous)이라고 말
합일 필요충분조건은 유계이고 닫힌집합인 것이다. 이 명제를
한다.
Heine-Borel 정리라고 부른다.
증명
균등연속인 함수는 연속이다. 그러나 연속함수가 모두 균등연속
계이므로 적당한 닫힌구간들의 카르테시안곱의 부분이 된다. 즉
이 되는 것은 아니다. 연속함수가 균등연속이 되려면 추가 조건
 는 긴밀집합의 닫힌부분집합이다. 따라서  는 긴밀집합이다.
이 필요하다.
한편 ℂ 은 ℝ 과 동형이므로 동일한 성질을 가진다.
정리 4.14    →  가 연속이고  의 부분집합  가 긴밀집
□
따름정리 4.18 보통거리공간 ℝ 과 ℂ 의 부분집합  가 유계
합이면 는  위에서 균등연속이다.
이고 무한이면  는 집적점을 가진다. 이 명제를 Bolzano-
증명  가 긴밀집합이지만 가  위에서 균등연속이 아니라고
Weierstrass 정리라고 부른다.
가정하자. 그러면 적당한 양수 이 존재하여 임의의 자연수 에
증명
대하여
 는 유계이므로 적당한 긴밀집합  의 부분집합이다. 
는 무한집합이므로  의 점들로 이루어진 단사인 수열 ⟨⟩이

      ∧      ≥ 

존재한다. 이때 ⟨⟩은  의 점들로 이루어져 있으므로 수렴하
는 부분그물을 가지며 그 극한은  의 집적점이 된다.
을 만족시키는  ,  이  에 존재한다.  는 긴밀집합이므로
두 수열
 가 ℝ 의 유계이고 닫힌부분집합이라고 하자.  가 유
⟨⟩, ⟨⟩은 각각 수렴하는 부분그물 ⟨ ⟩,

□
정리 4.19  가 거리공간  의 긴밀부분집합이고    → ℝ
⟨ ⟩를 가진다. 또한  →  ∞일 때
가  위에서 연속이면 는  위에서 최댓값과 최솟값을 가진

    → 
다. 이 명제를 실함수의 최대 최소 정리라고 부른다.
이므로 ⟨⟩와 ⟨⟩는 동일한 점 ∈ 에 수렴한다. 는 
증명
에서 연속이므로 두 그물 ⟨ ⟩, ⟨ ⟩는 동일한 값에
최댓값과 최솟값을 포함한다.
  는 긴밀집합이므로 닫힌집합이다. 따라서   는
□
수렴한다. 그러나      ≥ 이고 은 고정된 양수
이므로 이것은 모순이다.
□
5. 연결성
두 열린집합으로 쪼갤 수 없는 집합을 연결집합이라고 부른다.
정리 4.15 보통거리공간 ℝ에서 닫힌구간은 긴밀집합이다.
논리적 정의는 다음과 같다.
증명    에 대하여   라고 하자. 그리고 ⟨  ⟩가 
정의 5.1 위상공간  의 부분집합  에 대하여
의 원소들로 이루어진 그물이라고 하자.
∩ ≠ ∅, ∩ ≠ ∅, ∩  ∅
  in f sup 
을 만족시키는  의 열린덮개  가 존재하면  는 분할되
∈ ≳
었다(separated)라고 말한다. 그리고 분할되지 않은 집합을 연결
이라고 하고 ∈ℕ가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면
집합(connected set)이라고 부른다.


     ≤ sup  ≳   


을 만족시키는 ∈ 가 존재한다. 이때 ⟨⟩는 에 수렴한다.
참고 두 연결집합의 합집합은 열린집합이다. 그러나 두 연결집
또한  ≤  ≤ 이므로  는 긴밀집합이다.
합의 교집합은 연결집합이 아닐 수도 있다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
□
123
∙ ∙ ∙ 거리공간
따름정리 5.6 보통거리공간 ℝ의 부분집합  가 연결집합일 필
정리 5.2 연결성은 위상적 성질이다.
요충분조건은  가 구간인 것이다.
증명  의 부분집합  가 연결집합이고 함수    →  가 연
증명  가 구간이라고 하자. 그러면 ∈ , ∈ ,   일 때마
속이라고 하자. 만약  가 연결집합이 아니라면
다   ⊆  가 성립한다. 따라서  는 연결집합이다. 역을 증명
 ∩ ≠ ∅,  ∩ ≠ ∅,    ⊆ ∪
하기 위해  가 구간이 아니라고 가정하자. 그러면 ∈ , ∈ ,
이고 서로소인 두 열린집합  ,  가 존재한다. 이때
    이지만  ∉  인 , ,  가 존재한다. 따라서  는 연결
     ,      
집합이 아니다.
라고 하면  과  은  에서의 서로소인 열린집합이고
□
∩ ≠ ∅, ∩ ≠ ∅,  ⊆ ∪
을 만족시킨다. 이것은  가 연결집합이라는 데에 모순이다.
6. 완비공간
□
직관적으로 극한을 마음 놓고 사용할 수 있는 공간을 완비공간
정리 5.3 거리공간  가 연결공간일 필요충분조건은  에서 열
이라고 부른다.
린집합이면서 동시에 닫힌집합이 ∅과  밖에 없는 것이다.
6.1 거리공간에서 정의된 그물 ⟨  ⟩가 주어졌다고
증명  가 연결집합이 아니라고 가정하자. 그러면 공집합이 아
정의
니고  에서의 열린 두 집합  ,  가 존재하여   ∪ 이다.
하자. 임의의 양수 에 대하여 ∈ 가 존재하여 ≳ ,
이때     는 열린집합이므로  는 열린집합인 동시에 닫힌집
≳ 일 때마다     이 성립하면 ⟨⟩을 Cauchy
합이다.
그물 또는 기본그물(fundamental net)이라고 부른다.
역을 증명하기 위해 열린집합이면서 동시에 닫힌집합이 ∅과 
정리 6.2 수렴하는 그물은 Cauchy 그물이다.
외에  가 존재한다고 가정하자. 그러면    ,    는 모두
열린집합이고   ∪ 이므로  는 분리된 집합이다.
증명
□
⟨⟩가 에 수렴하는 그물이라고 하자. 그리고 양수 
이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면  이 존재하여

≳ ⇒    

정리 5.4 거리공간  가 분리된 집합일 필요충분조건은 공집합
와 
 ∩ 가 모두
이 아닌 두 부분집합  ,  가 존재하여 ∩ 
을 만족시킨다. 따라서 ≳ , ≳ 이면
공집합인 것이다.
   ≤        
증명  가 분리된 집합이라면 열린집합이면서 동시에 닫힌집합
이 성립하므로 ⟨⟩은 Cauchy 그물이다.
인 공 아닌 집합  가 존재하여  ≠  이다. 이때    ,
   라고 하면 정리의 조건을 만족시키는 집합이 된다. 역을
참고 Cauchy 그물이 항상 수렴하는 것은 아니다. 예컨대 보통
증명하기 위하여 정리의 조건을 만족시키는 두 집합  ,  가 존
  ,    
 는 각각 열린집
재한다고 가정하자. 그러면    
거리공간    에서   으로 정의된 그물 ⟨⟩은
Cauchy 그물이지만  에서 수렴하지 않는다.
합이고 공집합이 아니며 서로소이고   ∪ 이다. 따라서 
는 분리된 집합이다.
□
□
정의 6.3 만약  가 거리공간이고  에서의 모든 Cauchy수열
이  에서 수렴하면  는 완비이다(complete)라고 말한다. 완비인
이제 보통거리공간 ℝ에서의 연결집합들을 특성화하자.
공간을 완비공간이라고 부른다.
정리 5.5 보통거리공간 ℝ의 부분집합  가 연결집합일 필요충
정리 6.4 보통거리공간 ℝ는 완비이다.
분조건은 ∈ , ∈ ,   일 때마다   ⊆  가 성립하는
것이다.
증명
증명
∈ , ∈ 가 존재하여   이지만   ⊈  라고 가
⟨⟩이 ℝ에서의 Cauchy 그물이라고 하자. 은 양수이
므로  이 존재하여 ≳ , ≳ 일 때마다     이
정하자. 그러면     이지만  ∉  인 가 존재한다.
다. 즉 ≳ 일 때마다     이므로 ⟨⟩은 궁극적으
  ∩ ∞   ,   ∩  ∞
로   의 안에 있다. 따라서 ⟨⟩은 유계인 그물이다.
라고 하면  ,  는  에서의 열린집합이고 공집합이 아니며 합집
유계인 그물은 적당한 긴밀집합 안에 놓이게 되므로 ⟨⟩은 적
합했을 때  가 된다. 즉  는 분리된 집합이다.
당한 실수 에 수렴하는 부분그물 ⟨⟩를 가진다.
역을 증명하기 위하여  가 분리된 집합이라고 가정하자. 그러면
서로소인 두 열린집합  ,  가 존재하여 ∩ , ∩ 가 공집합
이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면  이 존재하여
이 아니고  ⊆ ∪ 이다. 두 집합 ∩ , ∩ 에서 각각 원소
≳ 일 때마다
하나씩을 택하여 그중 작은 것을 , 큰 것을 라고 하자.

   

  sup ∩∩ 라고 하자. 그러면  ∉ ∩ 이다. 만약
이 성립한다. 또한 Cauchy 조건에 의하여  가 존재하여
 ∉ ∩ 이면     이고  ∉  이다. 만약 ∈∩ 이면
∩ 이므로     이고  ∉ ∩ 인  이 존재한다.
∉

즉      이고   ∉  이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙

≳ , ≳ 일 때마다

□
124
∙ ∙ ∙ 거리공간
정리 6.9 거리공간 ⟨ ⟩가 긴밀공간일 필요충분조건은 완

    

비이면서 완전유계인 것이다.
이 성립한다. ≳ , ≳ 인  을 택하면 ≳ 일 때마다
증명 [⇒] ⟨⟩이 Cauchy 그물이라고 하자.  는 점열긴밀공
 
  ≤            
 
이므로 ⟨⟩은 에 수렴한다.
간이므로 ⟨⟩은  의 적당한 점 에 수렴하는 부분수열을 가
진다. 그러면 Cauchy 그물의 성질에 의하여 ⟨⟩은 에 수렴
□
한다. 따라서  는 완비이다.
따름정리 6.5 보통거리공간 ℝ , ℂ 은 완비이다.
증명
이제  가 완전유계가 아니라고 가정하자. 그러면   이 존재
하여  의 -그물이 존재하지 않게 된다. 이때  ≠ 일 때마다

⟨⟩이 ℝ 에서의 Cauchy 그물이라고 하자.  의 번
   ≥ 을 만족시키는 수열 ⟨⟩이 존재하게 된다. 이
째 좌표를  라고 하면 ⟨⟩은 ℝ에서의 Cauchy 그물이므로
것은 ⟨⟩이  의 어느 점에도 수렴하지 않는다는 것을 의미하
적당한 실수  에 수렴한다. 이때 ⟨⟩은   ⋯  에
므로  가 점열긴밀공간이라는 데에 모순이다.
수렴하게 된다. 따라서 ℝ 은 완비이다. ℂ 은 ℝ 과 거리동형
이므로 동일한 성질을 가진다.
   ≤  ≤  이
[⇐] ⟨⟩이 임의로 주어진 그물이고
□
  -그물이라고 하자. 그리고          이 무한히 많
모든 거리공간이 완비공간인 것은 아니다. 그러나 완비가 아닌
은  를 포함하고  ∩   ≠ ∅을 만족시키는 집합이라고 하
거리공간에 적절히 원소를 추가하여 기존의 구조를 유지하면서
자. 그러면   과 서로소가 아닌 집합   들 중 적어도 하나는
완비가 되도록 할 수 있다.
 를 무한히 많이 포함해야 한다. 따라서 순증가하는 그물  가
존재하여 ∈  를 만족시킨다.  ≥  일 때
정의 6.6 거리공간  에 대하여,  를 조밀부분공간으로 가지면
 를  의 완비화(completion)라고 부른다.
서 완비인 거리공간 

   ≤
 
  

   

   
   
 
이므로 ⟨⟩는 Cauchy 그물이다.  가 완비공간이므로 이 부
정리 6.7 임의의 거리공간은 완비화를 가진다.
증명

분수열은 수렴한다. 따라서  는 점열긴밀공간이므로 긴밀공간이
⟨ ⟩가 거리공간이고 완비가 아니라고 가정하자. 
다.
□
에서의 모든 Cauchy 그물들의 모임을  라고 하자.  에서의 두
그물 ⟨⟩, ⟨⟩에 대하여
따름정리 6.9 보통거리공간 ℝ 과 ℂ 에서 집합  가 완전유계
∀   ∃  ≳ →      
일 필요충분조건은 유계인 것이다.
일 때마다 ⟨⟩과 ⟨⟩이  -관계를 가진다고 정의하자. 그러
증명  가 유계일 필요충분조건은  를 포함하는 긴밀집합  가
면  는  에서의 동치관계가 된다.
존재하는 것이다. ℝ 과 ℂ 의 부분집합이 긴밀집합일 필요충분
 에서의 거리 를 
 의 두 원소  
⟨ ⟩, ⟨⟩에 대하여
⟨⟩ ⟨⟩  lim    
조건은 유계이고 닫힌집합인 것이다. 또한 ℝ 과 ℂ 의 부분집
합이 완비일 필요충분조건은 닫힌집합인 것이다. 이 명제들을 결
→ ∞
합하면 정리의 명제를 얻는다.
으로 정의한다. 그러면   는 거리  에 대하여 완비인 거리공
□
간이 된다.
 로부터  로의 함수 를, 각 ∈ 에 대하여   로 정
참고문헌
의된 수열 ⟨⟩이 존재하는데, 이때   ⟨⟩인 것으로
∙ James R. Munkres, Topology (2ed), Prentice Hall, 2000.
정의한다. 그러면 는  로부터    로의 거리동형사상이 된다.
    가 된다.
더욱이 
∙ Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3ed),
   는  의 완비화이다.
따라서 
∙ Albert Wilansky, Topology for Analysis, Dover, 2008.
McGraw-Hill, 1976.
□
정의 6.8  가 거리공간의 부분집합이라고 하자. 만약 임의의
  에 대하여 유한집합   ⋯ 이 존재하여

⊆
    
 

을 만족시키면  를 완전유계(totally bounded) 집합이라고 부른다.
이때   ⋯ 을 -그물이라고 부른다.
참고 수열을 일반화한 그물과 -그물은 서로 완전히 다른 개념
이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
125
∙ ∙ ∙ 거리공간
측도와 적분 강의노트
Sooji Shin ∙ soojishin@live.com
이 노트는 측도론과 Lebesgue 적분의 기초적인 내용을 다룹니
정리 1.3 ⟨ ℳ ⟩가 측도공간이라고 하자.
다. 이 내용을 공부하기 위해 기초 해석학의 내용을 선행 지식으
(1) 는 단조이다. 즉  ⊆  이면    ≤   이다.
로 필요로 합니다. 이 내용을 공부한 다음 후속 과목으로 함수해
(2) 는 가산부분가법적(countably subadditive)이다. 즉 가산 개의
석학을 공부할 수 있습니다.
∈ 에 대하여
    
∞
∞
 ≤

1. 넓이와 측도

가 성립한다.
가산개의 집합들의 모임 에 대하여 다음과 같이 정의한다.

 
lim  
→∞

∞  ∞
(3) 는 아래연속(continuous from below)이다. 즉  가 가측집합



    ,   lim     
    
∞
 
→∞

∞
    
이고  ⊆  인 단조수열이면

   lim  
∞

    
∞
∞
 
 
 

실함수 가 쌍마다 서로소인 집합들  에 대하여

 

 
→ ∞
가 성립한다.
 
(4) 는 위연속(continuous from above)이다. 즉  가  ⊇ 
 
를 만족시킬 때 는 가산가법적(countably additive)이라고 말한다.
인 집합수열이고   ∞이면
    lim 
∞

정의 1.1  가 집합이고 ℳ ⊆ ℘   라고 하자. ℳ에서 정의


된 함수 가 음이 아니고 가산가법적일 때 를 측도(measure)라

→ ∞
가 성립한다.
고 부른다.
증명 (1)  ⊆  이면   ∪ ∖ 이므로
        ∖  ≥   
참고 집합  에 대하여 ℳ  ℘  에서 원하는 측도 를 정의
하지 못할 수도 있다. 예를 들어 ℳ   일 때 ℳ의 모든 부
이다.
분집합들의 모임에 대한 함수 는 Lebesgue 측도와 같은 평행
(2) 가 교집합이 공집합이 아닌 집합수열이면
이동에 대하여 불변인 측도가 될 수 없음이 알려져 있다.
 

   ,   ∖
정의 1.2 집합족 ℳ이 가산합집합과 여집합에 대하여 닫혀있을


일 때 임의의 에 대하여
때  을 -대수라고 부른다.
    


  


참고 위 정의에서 가산합집합이라는 조건을 서로소인 집합들의

 


  ≤

 


가 성립한다. 따라서  들은 서로소이고  ⊆  이다. 여기서
가산합집합으로 바꾸어도 동치인 명제이다.
 → ∞인 극한을 취하면 결과를 얻는다.
(3)   ∅이라고 하자.
-대수들의 교집합도 -대수가 된다. ℰ ⊆ ℘  일 때 ℰ를
포함하는 가장 작은 -대수를 만들 수 있다. 그러한 -대수를
   
∞

ℰ에 의하여 생성된 -대수라고 부른다. 대표적인 예로서  가
∞
 

위상공간이면  의 열린집합들의 모임에 의하여 생성된 -대수

 ∖
 ∖  lim
 → ∞  



 
 lim 
→∞
를 Borel -대수라고 부르고   로 나타낸다.
을 이용하면 정리의 결과를 얻는다.
 가 점집합이고 ℳ이 가측집합들의 -대수이며 가 ℳ에서
(4)   ∖ 라고 하자. 그러면 는 증가수열이고
정의된 측도일 때 측도공간을 ⟨ ℳ ⟩로 나타낸다. 위상공
   
∞
간에 Borel -대수 ℬ 가 주어져 있을 때의 측도를 Borel 측도
 

라고 부른다. Borel 측도는 ℝ 에서의 측도론에 관련된 중요한
∞
 ∪



이다. 따라서 (3)에 의하여
역할을 한다.
      lim     
lim       
∞
  
실직선에서의 Borel 측도는 열린구간이나 반열린구간의 길이를
이용하여 정의될 수 있다. 만약   가 단조증가하고 우연속인

실함수이면 구간  의 길이는         로
∞
  

∞
 

      
→∞
   
→ ∞
∞




를 얻는다.   ∞이므로
정의될 수 있다. 그리고  을 ℬℝ 로 확장할 수 있다.
    lim 
∞


를 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
126

→ ∞

□
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
측도공간 ⟨ ℳ ⟩에서 집합  의 측도가 일 때  을 영측
정의 2.2  가  위에서의 외측도라고 하자.  ⊆  가 임의의
도 집합(null set)이라고 부른다. 부분가법성에 의하여, 가산 개의
 에 대하여
영측도 집합의 합집합은 영측도 집합이 됨을 알 수 있다.  의
      ∩     ∩ 
점들 중에서 어떠한 성질 가 성립하지 않는 점들의 집합이 영
를 만족시킬 때  를  -가측 집합이라고 부른다.
측도일 때 는  의 거의 모든 점에서 성립한다고 말한다. 이것
을 기호로는 간단히 a.e. 라고 쓴다. 만약 -대수 ℳ이 모든 영
부분가법성에 의하여 임의의  와  에 대하여
측도 집합을 포함하면 를 완비 측도라고 부른다. 임의의 측도
    ≤   ∩     ∩ 
는 완비 측도로 확장될 수 있다.
이다. 따라서  가 가측일 필요충분조건은  ⊆  에 대하여
    ≥   ∩     ∩ 
2. Carathéodory의 정리
를 만족시키는 것이다.
이 장에서는 완비 측도를 구성하는 일반적인 방법을 살펴보자.
원의 넓이는 원에 외접하는 다각형의 넓이의 하한으로서 정의될
정리 2.3  가  위에서의 외측도이면 가측집합들의 모임 ℳ
수 있다. 이러한 발상이 곧 외측도의 개념으로 이어진다.
은 -대수가 되며,  의 정의역을 ℳ으로 축소한 함수는 완비
측도가 된다. 이 명제를 Carathéodory의 정리라고 부른다.
정의 2.1  가 공집합이 아니라고 하자. 멱집합 ℘   에서 정
증명 가측성의 정의는  와  에 대하여 대칭이므로 ℳ은 여
의된 함수  가 음이 아닌 값을 갖고 단조이며 가산가법적일 때
집합에 대하여 닫혀있다.
 를  에서의 외측도(outer measure)라고 부른다.
  ∈ℳ이고  ⊆  이면
       ∩     ∩ 
집합족 ℰ ⊆ ℘   가 여집합과 유한합집합에 대하여 닫혀있을
   ∩∩    ∩∩ 
때 ℰ를 대수(algebra)라고 부른다. 대수 위에서 정의된 측도를
   ∩ ∩    ∩ ∩ 
예비측도라고 부른다. 보통 외측도는 예비측도를 정의한 뒤 그것
을 확장하여 얻는 경우가 많다.
이다. ∪  ∩ ∪∩ ∪ ∩  이므로 부분가법
성에 의하여
보조정리 ℰ ⊆ ℘  가 집합대수이고 가 ℰ에서 정의된 음아
  ∩∩    ∩∩     ∩ ∩ 
닌 함수이며 ∅  을 만족시킨다고 하자.  ⊆  에 대하여
   
∞
     in f
 
≥   ∩ ∪ 
    ∈ℰ
∞
⊆



를 얻는다. 따라서

   ≥  ∩∪    ∩∪  
라고 하면,  는 외측도가 된다.
증명
이고 ∪ ∈ℳ이다. 이로써 ℳ이 대수임이 밝혀졌다.
정의에 의하여  ∅  이다. 만약  ⊆  이면  의
 와  가 ℳ의 서로소인 집합이면
덮개는  의 덮개가 된다. 따라서  에 대한 하한은 더 큰 덮개
  ∪    ∪ ∩     ∪ ∩ 

들의 모임 위에서 취해지며, 따라서 더 작은 값을 가진다. 즉 
         
는 단조이다. 이제 가산가법성을 보여야 한다.
이므로  는 ℳ 위에서 유한가법적이다.
∞

 ⊆ 
이제 가 쌍마다 서로소인 가측집합들의 수열이라고 하고


∞
라고 하고   이 주어졌다고 하자. 각 에 대하여  의 덮개

∈ℰ가 존재하여

∞








라고 하자. 그러면  ⊆  에 대하여
       
  ∩     ∩ ∩    ∩ ∩ 

  ∩    ∩     ⋯
을 만족시키므로
∞


 ,   
   

∞

      

  



     ∩     ∩  
   




가 성립한다.

이므로
∞
   ≤


이 성립한다. 은 임의로 주어진 양수이므로

 ∩ 
≥
 ∩    ∩ 


□



이다.  → ∞인 극한을 취하고  의 가산부분가법성을 이용하면
∞
외측도를 가측집합이라고 불리는 집합들의 모임 위에서의 함수
    ≥
로 축소시킴으로써 측도를 얻을 수 있다.
 ∩    ∩ 






≥  ∩    ∩  ≥    
를 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
127
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
따라서  ∈ℳ이고,    라고 하면  가 ℳ에서 가산가법적
정리 3.1 가 Lebesgue-Stieltjes 측도이고, ℳ 가 이 함수의
이라는 결론을 얻는다.
가측집합 정의역이라고 하자. 그러면 ∈ℳ 에 대하여
   in f     ⊆   is open
끝으로      이면
그리고
   ≤  ∩    ∩    ∩  ≤    
   sup     ⊆   is compact
이므로  는 가측이고,  의 정의역을 ℳ으로 축소하면 완비 측
도가 된다.
가 성립한다.
□
참고
참고 Carathéodory의 확대 정리는 측도를 구성하는 기본적인
방법이다. 보통 보조정리의 함수 는 예비측도, 즉 음이 아니고
들의 모임의 부분족이다. Borel 집합의 이론에서 𝔉 는 닫힌집
공집합의 함숫값이 이며 대수 ℰ 위에서
합들의 가산합집합으로 나타낼 수 있는 집합들의 모임을 의미하
  ∈ℰ ⇒      
∞

∞

∞



실직선상에서의 Lebesgue 측도  은    에 대한
예비측도  의 확장함수이다. Borel 대수는 Lebesgue 가측집합
며, 𝔅 는 열린집합의 가산교집합으로 나타낼 수 있는 집합들의

모임을 의미한다. 임의의 Lebesgue 가측집합  는
를 만족시키는 가산가법적인 함수로서 설정된다.
  ∖ , ∈𝔅 ,    
예를 들어 실직선상에서의 Lebesgue 측도는      
그리고
로 정의된 예비측도의 확장인데, 이때 ℰ는   꼴의 서로소
  ∪ , ∈𝔉 ,    
인 반열린구간들의 집합이다.
의 꼴로 나타낼 수 있다.
정리 2.4 가 대수 ℰ에서 정의된 예비측도 의 Carathéodory
참고 또 다른 흥미로운 Lebesgue-Stieltjes 측도는 Cantor 함
확대함수이면, 임의의 ∈ℰ에 대하여        가 성립한
수 에 의하여 생성된 것을 들 수 있다. Cantor 함수 
다. 만약 가 -유한이면 그러한 확대함수는 유일하게 결정된다.
는, 열린구간  에서는 의 값을 가지며,  
에서는 의 값을 갖고,  에서는 의 값을 가지
ℝ 에서의 Lebesgue 측도의 경우, 대수 ℰ는 직사각형 집합
며, 이와 같은 과정을 무한히 반복한 뒤 연속성을 이용하여 구간
    ⋯    ∀   ≤  ≤ 
 로 확장한 함수이다. Cantor 함수는 연속인 단조증가함수
의 예비측도
이다. 를 에 의하여 생성된 Lebesgue-Stieltjes 측도라고 하

  
    


자. Cantor 집합  의 Cantor 측도는 이고, 여집합   

 ∖ 의 Lebesgue 측도도 이다. 따라서 Cantor 측도와
의 확장함수이다.
Lebesgue 측도는 상호특이측도의 예가 된다.
3. Borel 측도
4. 가측함수
 가 거리함수 를 가진 거리공간이라고 하자.  의 두 부분집
임의의 열린집합  에 대하여       가 Lebesgue 가측집합이
합  ,  사이의 거리를
     in f   ∈ ∈ 
되는 함수   ℝ → ℝ를 Lebesgue 가측함수라고 부른다. 일
로 정의한다.  가 거리공간  의 두 부분집합  ,  에 대하여
반적으로, ℳ이 -가측집합들의 -대수일 때, 임의의 열린집합
    일 때마다  ∪            를 만족시
 에 대하여     ∈ℳ 이 되는 함수 를 에 대한 가측함수
키면  를  위에서의 거리외측도(metric outer measure)라고 부
라고 부른다. 혼동할 염려가 없을 때에는 에 대한 가측함수를
간단히 가측함수라고 부른다. 가 복소함수일 때에는 실수부와
른다. 이때  의 Borel 집합들은  -가측이 된다.
허수부가 각각 가측일 때 를 가측함수라고 부른다.
Borel 측도 중에서 중요한 것 중 하나가 Lebesgue-Stieltjes
가 거리공간  로부터 거리공간  로의 함수라고 하자. 임의의
측도이다. 이 측도는, 실직선 또는 구간에서 단조증가이고 우연
열린집합  에 대하여      가  의 Borel 부분집합이 되면 
속인 함수  에 대하여         로 주어진 예
를 Borel 가측함수라고 부른다.
비측도를 확장하여 얻어진다.
정의에 의하여 연속함수는 Borel 가측이다. 또한 가 Borel 가
다음 정리에서 ℰ는 공집합이 아니고 쌍마다 서로소인 반열린구
측일 필요충분조건은  ∈ℬ 일 때마다     ∈ℬ 가 성립하
간   들의 합집합으로 나타낼 수 있는 집합들의 대수를 나
는 것이다. 더욱이 Borel 가측인 두 실함수의 합성함수는 Borel
타낸다.
가측이다.
반면에 Lebesgue 가측집합의 역상이 Lebesgue 가측집합이 되
보조정리 집합함수  는 ℰ 위에서의 예비측도이다.
증명
는 함수가 항상 Lebesgue 가측함수가 되는 것은 아니며,
반열린구간을 서로소인 반열린구간의 합집합으로 나타내
Lebesgue 가측함수의 합성함수가 Lebesgue 가측이 되지 않을
는 표현이 유일하지 않은 탓에 이 증명은 꽤 까다롭다. 증명은
Folland의 책을 참고하라.
강의노트 ∙ ∙ ∙
수도 있다.
□
128
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
라고 부른다. 단순함수 는 특성함수의 선형 결합
두 실함수 , 에 대하여 다음과 같이 정의한다.

 ∨   max ,  ∧   min ,



   ∨ ,      ∨ .



로 나타낼 수 있다. 이 단순함수가 가측일 필요충분조건은 집합
 들이 가측인 것이다. 더욱이 단순함수들의 집합은 합과 곱에

정리 4.1 와 가 가측함수이면   , ,  ∨ ,  ∧ ,  ,
대하여 닫혀있다.
 , 도 모두 가측함수이다.
증명 , 가 가측이라고 하자. 실수 에 대하여
      
  ,        
정리 5.1 가 공간  에서의 가측인 실함수라고 하자. 그러면
가 유계가 되는 집합 위에서 에 균등수렴하는 단순함수열 
     ∩      
∈ℚ
이 존재한다.
이므로   는 가측이다. 한편 가측함수의 실수배 함수도 가측
증명 함수 는 두 함수   max ,   max  
함수이므로   도 가측함수이다.
에 대하여      로 분해된다. 따라서  ≥ 이라고 해도
이제   을 생각하자. 만약   이면       이고,
일반성을 잃지 않는다.  ≥ 과  ≤  ≤   인 에 대하여
 ≥ 이면
          ,      ∞
         
 ∪    

라고 하자. 그러면


이다. 따라서  은 가측이다. 여기에 항등식




      
  


  
 



    
 
은 단순함수열이고
을 이용하면 도 가측이다.
 ≤⋯≤  ≤   ≤⋯≤ ,  ≤    ≤   , ∈
집합      는,   일 때에는  가 되고  ≥ 일 때

를 만족시킨다. 또한 가 유계가 되는 집합 위에서 이 함수열은
에는     가 된다. 따라서   는 가측이다. 같은 방법
에 균등수렴한다.
으로   도 가측이라는 결론을 얻는다. 그리고      에
의하여 도 가측이 된다.
□
정의 5.2 ⟨ ℳ ⟩가 측도공간이라고 하자. 가측인 단순함
끝으로 두 등식
수 의 적분을
      
      
∨   , ∧  


에 의하여  ∨ 와  ∧ 도 가측이다.

      

□


로 정의한다. 이때 ⋅∞  인 것으로 약속한다.
정리 4.2 가 가측함수열이면 
lim와 lim도 가측이다.
정의에 의하여 음이 아닌 단순함수의 적분은 음이 아니다. 또한,

증명    sup    ≥ 라고 하자. 그러면
단순함수의 유한 선형 결합과 유한 곱은 단순함수이므로, 적분은
단순함수들의 모임인 벡터공간에서 선형범함수이다.
            
≥
보조정리
이므로 는 가측함수열이다.   in f  라고 하면
가 음이 아니고 가측인 단순함수이며 ∈ℳ라고
하자. 그리고
∞
       
           
이므로   
lim  도 가측이다.
같은 방법으로 lim 도 가측임을 보일 수 있다.




라고 정의하자. 그러면
   
□
  

로 정의된 집합함수 는 가산가법적인 측도이다.
따름정리
가 가측함수열이고 lim가 존재하면 극한함수
증명  가 ℳ의 가산 개의 서로소인 집합들의 합집합이면
도 가측이다.

          
   
     ∩ 
  


5. 음아닌 함수의 적분

갖는 함수  를  에 대한 특성함수(characteristic function)라고

대하여  ∩      ,  ∪       가 성립한다. 한편 확
를 얻는다.
129




∞
∩








∞
     

장실수계에서 유한치역을 갖는 함수를 단순함수(simple function)

   ∩     ∩ 
    
∞
부른다. 특성함수의 정의에 의하여 서로소인 두 집합  ,  에



 ∞
집합  의 원소에 대해서만 의 값을 갖고 그 외에는 의 값을
강의노트 ∙ ∙ ∙




□
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
    lim  
       
정의 5.3 음이 아닌 가측함수 의 적분을
 lim

→∞
    sup     ≤   is simple
로 정의한다.

→∞
가 성립한다. 같은 방법으로 임의의 상수 에 대하여
       
정의에 의하여 적분은 순서를 보존한다. 즉  ≤ 이면
가 성립함을 보일 수 있다.
   ≤   
이다.
□
음이 아닌 함수의 부분합에 단조수렴정리를 적용하면 다음 정리
를 얻는다.
정리 5.4 이 음이 아닌 가측함수들의 증가수열이면
따름정리  ≥ 이면
 lim   lim  
→∞


→∞
∞
증명
∞
        
가 성립한다. 이 명제를 단조수렴정리라고 부른다.
 
이 가측함수들의 증가수열이므로 극한함수 가 존재



가 성립한다. 여기서 양변 모두 무한대일 수도 있다.
하고 는 가측이다. 여기서 는 무한대의 값을 가질 수도 있다.
정리 5.6 음이 아닌 함수 에 대하여
더욱이 적분 ∫ 는 증가수열이 되며,  ≤ 이므로
    
   ≤   

일 필요충분조건은 거의 모든 점에서   인 것이다.
이다. 따라서
lim
   ≤   
증명

→∞
가 단순함수인 경우에는 자명하게 성립한다. 또한 일반
적인 함수 에 대하여, 거의 모든 점에서   이고  ≤ 인
를 얻는다. 이제 부등호가 반대로 성립함을 보이자.     
함수 가 단순함수이면   이다. 따라서
인 실수 가 임의로 주어졌다고 하자. 단순함수 에 대하여
    sup   ≤  
      ≥ 
이다. 역으로
라고 하자. 그러면
   ≥    ≥       



   


  ,       

≥


이 성립한다. 보조정리에 의하여 는 가산가법적인 측도가 된다.
이라고 하자. 만약 양의 측도를 갖는 집합 위에서   이면 적
이 증가하는 집합수열이고 합집합이  가 되므로,
당한 에 대하여     이다. 따라서
lim     
→∞
   ≥     
  

이 성립한다.
이다. 따라서
lim
   ≥   

→∞
□
따름정리 음이 아닌 가측함수열 에 대하여
가 성립한다.  ≤ 인 를 대상으로 상한을 취하면

 lim   ≤ lim   
     sup   ≤ ≤ lim  
→∞

→∞
를 얻는다.
□
따름정리
가 음이 아닌 가측함수이고  이 가측함수들의 단

증명  ≥ 일 때 in f   ≥ ≤  이므로  ≥ 일 때
 in f   ≤   

    lim  



가 성립하며  ≥ ,  ≥ 일 때
가 성립한다.
 in f   ≤ in f   

정리 5.5 적분 ∫는 음이 아닌 가측함수들에 대하여 유한가



가 성립한다. 양변 모두 에 대하여 증가하므로  → ∞인 극한
법적이다.
을 취하면
 in f   ≤ lim in f     sup in f   
 lim   
증명 와 가 음이 아닌 가측함수이고 , 이 음이 아
lim
→∞
닌 단순함수열이며  ↗ ,  ↗ 라고 하자. 그러면
       lim   
→∞
강의노트 ∙ ∙ ∙

→∞
가 성립한다. 이 명제를 Fatou의 보조정리라고 부른다.
조증가열이며 에 수렴한다고 하자. 그러면
→∞



≥
→∞


→∞  ≥ 

≥ ≥



를 얻는다.
130
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
수열 in f ≥  은 음이 아니고 에 대하여 증가하는 함수열
따름정리
이므로 단조수렴정리에 의하여
    ∞
가 성립한다고 하자. 그러면   는 거의 모든 점에서 적당한
∞
 lim     sup in f     lim in f  

 lim in f  
→∞

→∞

≥ ≥
→∞  ≥ 





함수 ∈ 에 수렴하고

≥
가 적분 가능한 함수열이고
를 얻는다.
∞
∞
      
□




가 성립한다.
6. 지배수렴 정리
증명 단조수렴정리에 의하여
이 장에서는 일반적인 가측함수의 적분을 살펴보자.
∞


정의 6.1 ⟨ ℳ ⟩가 측도공간이라고 하자. 실함수 에 대


 는  의 함수이다. 따라서 는 거의 모든 점
에서 유한값을 가지며, 가 유한인 에 대하여   는
이므로  
하여, 가 에 대하여 가측이고
   ∞



절대수렴한다. 이 급수의 부분합은 에 의하여 유계이므로 지배
수렴정리에 의하여 결론을 얻는다.
이면 는 적분 가능하다고 말한다. 이때 의 적분을
          

∞
        ∞

□
정리 6.3 단순함수들의 집합은   에서 조밀하다. 또한 가 ℝ
위에서의 Borel 측도일 때  ℝ는  ℝ ℬℝ 에서 조밀
로 정의한다.
하다.

⟨ ℳ ⟩ 위에서 적분 가능한 함수들의 모임을    
증명 정리 5.1과 지배수렴정리에 의하여 단순함수들의 모임은
또는 간단히   로 나타낸다. 공간   은 덧셈과 스칼라 곱에 대
  에서 조밀하다. 연속함수들의 모임이  ℝ ℬℝ  에서
하여 닫혀 있는 벡터공간이다. 더욱이 ℳ이 양의 측도를 갖는
조밀함을 보이기 위해서는 임의의 단순함수가   노름에 대하

집합을 무한히 많이 포함하면,    는 무한차원 벡터공간
여 연속함수에 의하여 근사될 수 있음을 보이면 된다.    
이 된다. 이 벡터공간에서의 노름은
 
가 열린구간이면  에서 의 값을 갖고
 
 ∞     ∪     ∞
로 정의된다. 또한       은 거리함수가 된다. 더욱
에서 의 값을 갖는, 연속이면서 조각마다 선형인 함수들 
이 이 공간은 완비공간이 된다. 이 결과는   에서 연속인 함수
을 이용하여 특성함수   에 근사시킬 수 있다. 즉
        
들의 공간의 완비화(completion)를 구하는 과정에서 가측함수를
포함하는 것으로써 보여질 수 있다. 먼저 다음 정리를 증명한다.
이 성립한다. 다음으로  가 ℝ에서의 Borel 가측집합이고
       ∞
정리 6.2 이   의 함수열이고 거의 모든 점에서 에 수
라고 하자. 그리고   이 주어졌다고 하자. 열린구간들의 유한

렴하며, 함수 ∈ 이 존재하여 임의의 과 거의 모든 점 에
합집합  가 존재하여
대하여   ≤ 가 성립한다고 하자. 그러면 ∈  이고
         
    lim  
이 성립함을 보이자. [여기서 는 대칭차집합이다.] 이것을 보
→∞


이기 위해서 ℝ에서의 Borel 측도 에 대하여
가 성립한다. 이 명제를 Lebesgue의 지배수렴 정리라고 부른다.
증명    ≥ 이므로   에 Fatou의 보조정리를 적용하
→∞

→∞

   ≤ lim
→∞
   ≤ lim 
를 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙


이 존재하여

    
lim
  ≤ 


∞

 ∖    ,  






가 성립한다. 두 부등식을 결합하면


인 성질을 이용한다. 따라서 서로소인 열린구간     들
         lim   ≤     lim   .
→∞
    
∞
   ⊆

면 다음을 얻는다.

 
∞
   in f
따라서

lim
→∞
→∞

∞
를 만족시킨다. 이제
 

     인  을 택하고     ,
 






  ∖ 라고 하면 ∖  ∩ ⊆ ∪ ∩ ⊆  이다.
따라서 ∖       이고
   ≤   

    ∖   ∖   ∖       
□
을 얻는다.
131
□
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
지배수렴정리에 의하여
7. Riemann 적분
lim
지배수렴정리는 적분의 성질을 밝히는 주요한 도구이다. 예를 들
          
 lim  
→∞
어 Lebesgue 적분이 Riemann 적분을 일반화한 것이라는 사실
을 증명하는 데에 지배수렴정리가 사용된다.  가 유계인 구

 
 
→∞
간이라고 하자.
 
 

을 얻는다.  ≥ 이므로 위 부등식에 의하여 거의 모든 점에서
       ⋯   
   를 얻는다. 즉 거의 모든 점에서     이다. 따라서
는 Lebesgue 가측이며
일 때 집합   를  의 분할이라고 부른다. 이때 닫힌

         
구간    를  의 성분구간이라고 부르며 이 구간의 길이
 
를  로 나타낸다.  에서 유계인 실함수 가 주어졌다고
역으로 가 Riemann 적분 가능하고 의 불연속점들의 집합 
함수 의  에 대한 상합과 하합을 각각



가 성립한다.
하자.    에서 의 상한을  , 하한을   로 나타내자.
    
 
의 측도가 이 아니라고 가정하자. ∈ 에 대하여

  ,     


  
   lim  sup     ∈     

↘
로 정의한다. 분할  의 성분구간의 길이 중 가장 긴 것을  의
라고 정의하자. 그러면
노름이라고 부르며  로 나타낸다.




  ∈     ≥ 

정의 7.1 유계인 구간  에서 유계인 실함수 에 대하여,
이 영측도 집합이 되지 않는 자연수  이 존재한다.
 에서 의 상적분과 하적분을 각각

  in f      is a partition of  
만약  ∈ℕ이  를 덮는 구간들의 모임이면

∞
   ≥ 



   sup     is a partition of  


을 만족시키는 양수  이 존재한다.   가  의 분할이라

고 하자.     ∩ ≠ ∅이면     ≥  이다. 따라서



로 정의한다. 만약  에서 의 상적분과 하적분이 같으면 

는  에서 Riemann 적분 가능하다고 말하며, 상적분의 값을
    
≥
    
         


의 Riemann 적분이라고 부르고

 

      ∩ ≠ ∅





≥

      ∩ ≠ ∅ 


로 나타낸다.
이다. 그런데
정리 7.2 가  에서 유계인 실함수라고 하자. 가  에
          ∩ ≠ ∅은  를 덮는
구간들의 모임이므로
서 Riemann 적분 가능하면 는  에서 가측이고 적분 가능


         ≥   
하다. 더욱이 그 적분값은 Lebesgue 적분의 값과 동일하다. 그
리고 가  에서 Riemann 적분 가능할 필요충분조건은 가
이다. 따라서 는  에서 Riemann 적분 불가능하다.
□
 의 거의 모든 점에서 연속인 것이다. 이 명제를 Lebesgue
의 정리라고 부른다.
정리
증명  ⊆   이고,  → 인 분할들의 수열 을 선택
위에서의 함수라고 하자. 가 에 대하여 미분 가능하고 ∈
하자. 그러면    은 에 대한 증가수열이며    은
  가 존재하여 각 ∈ 와  ≤  ≤ 에 대하여
7.3 ⟨ ℳ ⟩가 측도공간이고  가  ×  
   ≤ 가 성립한다고 하자.
에 대한 감소수열이다. 가 Riemann 적분 가능할 필요충분조
건은 두 수열이 동일한 값에 수렴하는 것이다.
  
  

의 하합과 상합은 단순함수
라고 하면  는     인 에 대하여 미분 가능하며

    
 



      ,
   
 


 ′  
     

의 Lebesgue 적분이다.      ,     이라고
가 성립한다.
하자. 그러면  ≤  ≤  이다. 따라서  → ,  →  라고
증명 ∈ 일 때, 수열
하면  ≤  ≤  가 성립한다.
수렴한다. 따라서 다음 등식을 얻는다.
lim
에 지배수렴정리를 적용하자. 평균값 정리에 의하여  은 함수

        lim  .
강의노트 ∙ ∙ ∙
 



     
    ,  → 
  
가 Riemann 적분 가능하면 상합과 하합의 수열은 동일한 값에
→∞
   
→∞
 
  sup   에 의하여 유계이므로 정리의 결과를 얻는

다.
132
□
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
8. 수렴 정리
이고  위에서는   이라고 정의하자. 그러면 는 가측이고,
다음 수열들은 모두 에 수렴하고, 

거의 모든 점에서  → 이다.  → ∞라고 하면 (8a)에 의하여
적분값은 이다.


,     ,      .

  
    ≤    , ∈ ,  ≥ 
이들은 각각 균등수렴, 점별수렴, 거의 모든 점에서 수렴한다.
이다. 따라서  ≥ 일 때          ⊆  가 성
그리고 이들 모두 고정된 함수 에 의한 유계가 아니다.
립한다.  → ∞일 때    → 이므로 는 에 측도수렴한
반면에 

다. 이때 양수 에 대하여,   → ∞일 때
노름에 대하여 에 수렴하지만 에 점별수렴하지 않
는 수열이 존재한다. 예를 들어
      ≥  ≤       ≥ 
        ≥  → 
     ,      ,      ,
     ,      , ⋯
이 성립한다.
□
으로 정의된 수열은  → 이지만  는 어떠한 값에도 수
렴하지 않는다. 따라서 노름수렴과 점별수렴은 서로 필요충분조
따름정리   에서  → 이면 거의 모든 점에서 에 수렴하는
건이 아님을 알 수 있다.
부분수열 가 존재한다.
우리는    → 일 때, 거의 모든 점에서 에 수렴하는 부
분수열이 존재함을 증명할 것이다. 이를 위해 측도수렴을 도입한
수열    은 모든 점에서 에 수렴하지만, 0에 측도수렴
다.
하지는 않는다. 그러나 유한측도공간에서는 점별수렴하는 함수
는 거의 균등수렴(almost uniform convergence)한다.     ∞이
정의 8.1 함수열 이 임의의 양수 에 대하여
고 이 수열이라고 하자. 만약 임의의 양수 에 대하여 집합
lim      ≥   
 가 존재하여    이고,   위에서  이 적당한 함수 에
→∞
균등수렴하면, 은 에 거의 균등수렴한다고 말한다. 거의
을 만족시키면 은 에 측도수렴한다고 말한다. 만약 임의의
균등수렴하는 함수는 측도수렴한다.
양수 에 대하여
lim        ≥   
정리 8.3 유한측도를 갖는 집합 위에서, 거의 모든 점에서 수렴
  → ∞
하는 함수는 거의 균등수렴한다. 이 명제를 Egorov의 정리라고
을 만족시키면 을 측도 Cauchy 수열이라고 부른다.
부른다.
참고 노름수렴하는 수열은 측도수렴한다.   노름에 대하여 
증명
에 수렴하는 함수열에 대하여 증명해보자.  → 이고   
  에 대하여 부분집합  ⊆  가 존재하여 ∖   이고
이라고 하자.         에 대하여
 위에서  → 임을 보이면 된다.
 의 모든 점에서  → 이고    ∞일 때 임의의
   ≥    ≥   → 

  

          ≥  
 
이므로 은 에 측도수렴한다.
이라고 하자. 고정된 에 대하여 은 증가수열이고
□
∞

이다. 따라서 아래연속성에 의하여
함수 에 측도수렴한다. 또한 거의 모든 점에서 에 수렴하는
lim     
부분수열 가 존재한다. 더욱이 는 거의 모든 점에서 유일
→∞
이다. 그러므로   과 ∈ℕ에 대하여 정수   이 존재하여
하게 결정된다.
 ∖     
   ≤   ,           ≥  를 만
족시키는 부분수열    를 택하자.  
∞
  ≤
을 만족시킨다.
  라고 하면
≥


  



 
      
 
이라고 하자. ∈ 이면 임의의 ∈ℕ에 대하여   이 존재하
≥
 
 

≥
여  ≥   인 모든 에 대하여      이 성립한다. 따라
가 성립하며,  ≥  ≥ 와 ∈ 에 대하여
     ≤


정리 8.2 이 측도 Cauchy 수열이면 은 적당한 가측
증명

 ≤ 


서  위에서  → 으로 균등수렴한다. 한편
(8a)
∞
  ∖ ≤  ∖

 ∖   
가 성립한다. 따라서 각 ∈ 에 대하여 수열     ≥ 
≥
이 성립한다.
는 Cauchy 수열이다.   ∩∞
    라고 하면     이고
 

    
□
 는   위에서 Cauchy 수열이다.   위에서   lim
강의노트 ∙ ∙ ∙
133
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
9. 곱측도공간
정리 9.2 ∈ℳ이면 각 ∈ 에 대하여  는 ℳ 에 속하며,
⟨ ℳ ⟩과 ⟨ ℳ ⟩가 측도공간이라고 하자. 그리
각 ∈ 에 대하여   는 ℳ 에 속한다. 만약 가 곱대수
고 ∈ℳ 에 대하여  ×  꼴로 나타낼 수 있는 사각형들에
ℳ⊗ℳ 에 대하여 가측이면 단면  와  는 각각 순서대로
의해 생성된 -대수 ℳ을 생각하자. ℳ은    ×  의 부분
ℳ 와 ℳ 에 대하여 가측이다.
집합들의 모임이 된다. 이때 ℳ을 곱대수(product algebra)라고 부
증명
르고 ℳ  ℳ⊗ℳ 로 나타낸다. 편의상  과  의 원소를 각
임의의 ∈ 에 대하여 ∈ℳ 를 만족시키고 임의의
∈ 에 대하여  ∈ℳ 을 만족시키는  ⊆  들의 집합을 ℜ
각 , 로 나타내자.
라고 하자. 그러면
이제  에서의 곱측도를 정의해보자. 서로소인 사각형들의 합집
 ×   
합들에 의해 생성된 집합들의 대수를 𝒜 로 나타내자. 사각형들
에 대하여  ′  ×         로 정의하자. 그러면

∅ ii ff ∈
∈

가 성립하며   ×    에 대해서도 비슷하게 성립한다. 따라서
 ′ 은 𝒜 에서의 예비측도가 된다.  ′ 을 이용하여  에서의 외측
ℜ는 모든 사각형을 포함한다. 더욱이
도  를 구성한다. Carathèodory의 정리에 의하여  에서의 완
비 측도 를 얻는데, 여기서  의 가측 집합들의 -대수는 곱
        ,     
대수 ℳ  ℳ⊗ℳ 를 포함한다. 들이 -유한 측도이면 도
이고, -단면에 대해서도 비슷한 명제가 성립하므로 ℜ는 모든
∞
∞


-유한 측도가 된다.



 



사각형을 포함한다. 따라서 ℜ ⊇ ℳ⊗ℳ 이다. 또한
이러한 방법으로 곱대수와 곱측도를 구성하는 것은 개 이상의
            ,             
측도공간에 대하여 적용할 수 있다. 더욱이 곱대수와 곱측도의
이므로  와   는 가측이다.
정의는 결합적이다.
□
이제 다음과 같은 정리를 증명해보자.
공간  의 부분집합들의 모임 𝒞 가 증가하는 집합열의 가산합집
정리 9.1 ⟨ ℳ ⟩가 -유한 측도공간이고 이들의 곱측
단조클래스(monotone class)라고 부른다. 모든  대수는 단조클래
도공간을 ⟨ ℳ ⟩라고 하자.
스이며, 단조클래스들의 교집합도 단조클래스이다. 따라서  의
합과 감소하는 집합열의 가산교집합에 대하여 닫혀있으면 𝒞 를
집합들의 모임 ℰ에 대하여, ℰ를 포함하는 가장 작은 단조클래
(1) ∈  라고 하자. 그러면 두 함수
 
스가 유일하게 존재하는데, 그것을 ℰ에 의하여 생성된 단조클
   ,      


래스라고 부른다.


는 각각 순서대로   과   에 속하며
정리 9.3 𝒜 가  의 부분집합들의 대수이면 𝒜 에 의하여 생성
             
          





된 단조클래스는 𝒜 에 의하여 생성된  대수와 동일하다.
측도 에 대하여 음이 아닌 값을 갖고 -가측인 함수들의 모임
가 성립한다. 이 명제를 Tonelli의 정리라고 부른다.
을   로 나타낸다.
(2) ∈  라고 하자. 그러면

 ,


정리 9.4 ⟨ ℳ ⟩가 -유한 측도공간이고, 이들의 곱공
 
간    ×  의 곱대수와 곱측도를 각각 ℳ, 라고 하자. 그

는 각각 순서대로    과    에 속하며 (1)에서와 같
러면 ∈ℳ에 대하여 단면    와    는 각각 순서대로
은 등식이 성립한다. 이 명제를 Fubini의 정리라고 부른다.
   ,    에 속하며
  
        




       


  

먼저 사각형들의 특성함수에 대하여 증명하고, 다음으로 단순함
수에 대하여 증명하며, 이것을  에서 정의된 일반적인 가측함수
로 확장하자.
집합  ⊆  의 -단면과 -단면을 각각




 






가 성립한다.
  ∈   ∈  for ∈
증명  가 유한 측도인 경우에 대하여 증명하자. 𝒞 가 ℳ의 원
   ∈   ∈  for ∈
소인 집합들의 모임 중 정리의 가정을 만족시키는 집합이라고
하자.  가 사각형    ×  일 때            
로 정의한다. 같은 방법으로    → ℝ에 대하여 의 -단면

    가 성립하며, 정리의 세 적분은        와 동일
   → ℝ와 -단면    → ℝ를 각각
    ,      
하다. 따라서  ⊆ 𝒞 이다. 적분의 유한가법성에 의하여 𝒞 는
서로소인 사각형들의 합집합으로 표현되는 집합들을 포함한다.
로 정의한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙

134
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
따라서 𝒞 가 단조클래스임을 보이면 된다.
정리 10.2  가 구간  ⊆ ℝ들의 카르테시안 곱

이 집합들의 증가열이고   ∪ 이라고 하자. 그러면 함
 
수   으로 이루어진 수열은  에 단조증가 수렴하며, 그들의


일 때의 단순함수
단면들은  의 단면에 단조증가 수렴한다. 따라서 단조수렴정리

에 의하여 정리의 등식을 얻으며 ∈𝒞 가 성립한다.
 

 
들의 모임은  ℝ  에서 조밀하다. 또한 ℝ 에서 긴밀 받침
마찬가지로 을 𝒞 에서의 집합들의 감소열이라고 하고  


(compact support)을 갖는 연속함수들의 모임은  ℝ  에서 조
∩ 이라고 하자. 그러면 특성함수   은  에 점별수렴하며,
밀하다.
그들의 단면은  의 단면에 각각 점별수렴한다.    ∞이
증명 정리 6.3의 증명과 동일하다.
므로 지배수렴정리에 의하여 정리의 결론을 얻는다. 따라서 𝒞
는 단조클래스이므로 -대수 ℳ과 동일하다.

□
□
정리 10.3 ℝ 에서의 Lebesgue 측도는 평행이동과 회전이동
에 대하여 불변이다.
정리 9.1의 증명 정리 9.4에 의하여 특성함수에 대하여 정리의
등식이 성립함을 알 수 있다. 가법성에 의하여 이 정리의 등식을
이제  ∈    이고 det ≠ 이라고 하자. Lebesgue 가
단순함수에 확장시킬 수 있다.
측함수 ∈ℒℝ  에 대하여 가역 변환 작용을    ∘   
함수 ∈   에 대하여 를 아래에서 접근하는 단순함수
로 정의한다. 차원 Lebesgue 측도 위에서의     의 작
열로 근사시킨 후 단조수렴정리를 이용하여 극한과 적분의 순서
나, 모두 무한대가 된다. 따라서 (1)이 성립한다.
Lebesgue 가측부분집합이며  는  에 의한  의 상이다. 사
각형 ∈ℝ 에 대해서는     det     가 성립한다.
함수 ∈  에 대하여      로 분해한 후 각 성분에
(1)을 적용하면 (2)를 얻는다.
여기서
ℝ 의
용을
         로
정의한다.
는
를 바꾸어 주면 정리의 세 적분은 모두 유한 값으로서 동일하거
□
정리
10.4 함수 ∈ ℝ  과 가역선형변환 ∈   
에 대하여
10. Euclid 공간에서의 Lebesgue 측도
      det  


곱측도공간의 대표적인 예로서 ℝ 에서의 Lebesgue 측도를 들
이 성립한다.
수 있다. 구간 실수 구간     들의 카르테시안 곱
증명 특성함수에 대하여 증명하면 충분하다. 이를 위하여 단순





함수에 대하여 증명한 뒤 가법성과 지배수렴 정리를 이용하면
일반적인 경우로 확장된다.
들의 모임 위에서 정의된 예비 측도
  

    

사각형에 대해서는     det    이므로, 사각형 위에서

 


   
는           det    이다. 연속성에 의하여 이
에 Carathèodory의 정리를 적용하면 ℝ 에서의 Lebesgue 측
등식은 임의의 Lebesgue 가측집합  에도 적용된다. 다음으로
도  을 얻는다.
임의의 집합  에 대하여               가 성립
한다. 따라서
ℝ에서와 Lebesgue 측도와 마찬가지로 ℝ 에서의 Lebesgue
       
측도도 비슷한 성질을 가진다.
 

 det   
정리 10.1 ∈ℒ 이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
 det
(1)     in f      ⊆   is open
가 성립한다.
(2)     sup      ⊆   is compact
(3) 영측도 집합  ,  와 ∈ , ∈ 가 존재하여
    



□
집합  ⊆ ℝ 의 체적     는 기본적으로 직사각 집합 위에서
  ∪  ∖
정의되며, 평행이동과 대칭이동에 대하여 불변인 성질을 이용하
를 만족시킨다. 여기서  는 닫힌집합들의 가산 합집합으로
여 임의의 다각형 또는 다면체 위에서의 체적으로 확장된다. 착
나타낼 수 있는 집합들의 모임이며  는 열린집합의 가산교
출법(exhaustion 또는 실진법이라고도 부른다)을 이용하면 이것을 확장
집합으로 나타낼 수 있는 집합들의 모임이다.
하여 ℝ 의 유계인 부분집합에 대한 체적을 정의할 수 있다.
(4)     ∞이면 임의의   에 대하여 서로소인 직사각
ℝ 에서 각 꼭짓점이  ℤ 의 점이고 각 변의 길이가   인
집합들의 합집합으로 나타낼 수 있는 집합  가 존재하여
직사각 집합들의 모임을 𝒬 라고 하자. 그러면 𝒬 에서의 각 사
    을 만족시킨다.
각형 집합들의 체적은   이며, 𝒬  의 원소는 𝒬 의 각 원
소를 잘라서 만들 수 있다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
135
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
명백히    는 에 대하여 단조증가인 함수이다.    
 ⊆ ℝ 에 대해서 내부사각근사와 외부사각근사를
가 유한일 때 를  에서의 유계변동이라고 부른다.  에
𝓘     ∪∈𝒬   ⊆ ,
서의 유계변동들의 모임을   로 나타낸다.
𝓞     ∪∈𝒬  ∩ ≠ ∅
으로 정의한다. 각 에 대하여
𝓘    ⊆  ⊆ 𝓞   이다.
정리 11.2      는    위에서의 완비인 노
𝓘   는 열린집합들의 증가열이 되며 𝓞   는 열린집합들의
름이다.
감소열이 된다. 더욱이  가 유계이면 이들 체적들은 유한이다.
  로
따라서 이들은 수렴하는데, 그 값을 순서대로   , 

나타내자. 그러면
정리
11.3 유계변동은 단조증가인 두 함수의 차로 표현된다.
이 명제를 Jordan 분해라고 부른다.
    lim  𝓘   ≤ lim 𝓞     
  

→∞
→∞
증명      라고 하면  는 에 대하여 단조증가하
는 함수이다. 이때       이고   는 단조증가하는
   이면 그 값은  의 체적   
가 성립한다. 만약    

와 동일해진다. 이러한 방법으로 체적을 정의하는 것을 Jordan
  를 각각 내체적(inner
의 방법이라고 부른다. 이때   와 

content), 외체적(outer content)이라고 부른다.
함수이다.
□
따름정리
가  에서의 유계변동이면 는  의 모든
점에서 좌극한과 우극한을 가지며, 에서 우극한, 에서 좌극한
을 가진다. 또한 는  의 거의 모든 점에서 연속이며, 모든
정리 10.5 집합  ⊆ ℝ 의 체적이 Jordan의 방법으로 정의될
불연속점은 단순불연속이다. 더욱이 는  의 거의 모든 점
때,  는 Lebesgue 가측이며,  의 Lebesgue 측도는 체적과 동
에서 미분 가능하다.
일하다.
Cantor 함수는 연속이고 단조증가하며 거의 모든 점에서 미분계
   를
증명 두 집합   와 

∞
   


𝓘   , 
   

수가 인 함수이다. 그러한 함수를 특이함수(singular function)라
∞

𝓞   
고 부른다. 즉 Cantor 함수는 자기 자신의 도함수의 적분으로

표현되지 않는다. 따라서 Cantor 함수는 부정적분이 아니다.
   가 성립하며,   와 
  
라고 정의하면    ⊆  ⊆ 


는 Borel 집합이다. Lebesgue 측도는 연속이므로
    
 
       ,   


가 성립한다.
□
정의 11.4  가  에서 정의된 함수라고 하자. 만약 임의의
  과 가산 개의 서로소인 열린구간들    ⊆  에 대
하여   이 존재하여
      ⇒        


11. 함수의 미분



을 만족시키면  는  에서 절대연속이라고 말한다.
측도의 분해와 미분에 대하여 살펴보기 전에 실함수의 미분에
대하여 간단히 살펴보자. Lebesgue는 1904년 다음과 같은 성질
정리 11.5 함수  가  에서 절대연속일 필요충분조건은, 
을 발견하였다.
가  의 거의 모든 점에서 미분 가능하고 그 도함수의 부정
적분과 동일한 것이다.
정리 11.1 단조인 실함수는 거의 모든 점에서 미분 가능하다.
충분조건의 증명 가  에서 유계인 경우


       ≤   ≤   
본래 Lebesgue가 발표한 정리에는 연속이라는 조건이 있었다.

그러나 단조인 실함수는 거의 모든 점에서 연속이므로 이 조건




을 빼더라도 동일한 결과를 얻게 된다.





     
증명은 각 점 에서의 네 값
이므로 결론을 얻는다. 가 적분 가능하지만 적분 가능하지만 유
    
    
±  lim  ,  ±  
lim 


 →±
 → ±

가 같아지는 점을 찾는 과정을 통해 증명된다. 자세한 증명은
계가 아닌 경우   일 때, 를 유계변동 와 ∫   
을 만족시키는 함수 의 합으로 분해한다. 그러면

       ≤    
Charles C. Pugh의 Real Mathematical Analysis 6.8장을 참고

하기 바란다.





≤


위 정리는 유계 변동이라고 불리는 함수에 적용할 수 있다. 실구

간  에서 정의된 실함수 가 주어졌다고 하자.  에서


          

의 전변동을  의 분할      ≤  ≤ 에 대하여

    


을 얻는다.     인   을 택하면 결과를 얻는다.
□

    sup
   


  

필요조건의 증명은 Radon-Nikodym 정리의 따름정리로서 살펴
볼 것이다.
로 정의한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
136
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
정리 11.6 연속인 유계변동 함수는 단조인 절대연속함수와 단
가부호 측도는 공집합 위에서 의 값을 가지며, 가산가법성
조인 특이함수의 합으로 분해된다.

   


증명
연속인 단조함수에 대하여 증명하면 충분하다. 왜냐하면


를 가진다. ∪  가 유한값을 가질 때 위 급수는 절대수렴한다.
Jordan 분해에 의하여 임의의 단조함수는 단조증가인 두 함수의
차로 표현되기 때문이다. 가 연속인 단조증가함수라고 하자. 그
가측집합  에 대하여   ∪  를 만족시키는 서로소인 가산집
러면 거의 모든 점에서  ′ 이 존재한다.
합 를  의 분할(partition)이라고 부른다.  의 유한분할들의
모임을 𝒫   로 나타낸다. 가 가부호측도 또는 복소측도일 때,
    
≥


의 전변동(total variation)을
  ∈𝒫

이고,  → 일 때 거의 모든 점에서 위 식의 좌변은  ′  에
    sup
수렴한다. 한편  에서 위 식의 좌변의 적분은







  





로 정의한다.



와 동일하다. 따라서 는 연속이고  → 일 때 이 식의 극한은
정리 12.1 가 가부호측도 또는 복소측도일 때 의 전변동은
  에 수렴한다. Fatou의 보조정리에 의하여
가산가법적인 양의 측도이다.

  ′  ≤   
증명 정의에 의하여 당연히 ∅  이 성립하고,  가 단조

이고 유한가법적이다. 가  의 가산분할이라고 하자. 는
를 얻는다.  ′ ≥ 이므로  ′∈   이다.
 


유한가법적이므로 임의의 에 대하여
  

 ′ 
  

  가 발산하면    ∞이다. 한
가 성립한다. 급수
 ′   이다. 더욱이   일 때


편 급수가 수렴하면

  ′  ≥ 
∞

이므로 는 단조증가하는 특이함수이다.
 

이고     라고 정의하면 거의 모든 점에서
       

  ≥ 

 
  ≥
□


가 성립한다. 이제 부등호가 반대로 성립함을 보이자.   이
주어졌고 ′ 가  의 유한분할이며
위 정리의 결과를 일반적인 유계변동함수에 적용할 수 있다. 가

산개의 점 에서만 단순불연속이고 다른 곳에서는 연속인 함
  
수를 급변함수(saltus function)라고 부른다. 가 급변함수이면
 
 
 ≤ 


을 만족시킨다고 하자. 그러면
  는 절대수렴하는 두 급수의 합
 
 ′   
  
∞
′  

로 나타낼 수 있다.  와  가 양수일 때 함수 는 단조증가하
 ,    ′∩





이므로
며, Fubini의 정리에 의하여 거의 모든 점에서 의 미분계수가

이 된다.
 
∞ 
임의의 단조함수 는 단조인 연속함수와 단조인 급변함수의 합

≤

    
∞

         
    
으로 분해된다. 이로써 다음 정리를 얻는다.
∞
 ′         
  



이 성립한다. 은 임의의 양수이므로 반대 방향의 부등식이 성
립한다. 즉 는 가산가법적이다.
정리 11.7 임의의 유계변동함수 는 절대연속함수와 급변함수
 가 Borel 측도임을 증명하려면  가 긴밀집합일 때   가
그리고 특이함수의 합으로 분해된다.
유한임을 보여야 한다. 그런데    ≤        이므로
 가 긴밀집합일 때   와   는 유한이고   도 유한
12. 가부호 측도
이다.
지금까지는  이상의 값만 갖는 측도를 살펴봤지만 지금부터는
음의 값, 그리고 허수의 값도 가질 수 있는 측도를 살펴보자. 위
□
가 가부호 실측도일 때
상공간  의 Borel 부분집합들 위에서 정의된 실함수 에 대하
여 양의 Borel 측도  ,  가 존재하여      이고, 두 측
  
  
   ,   


도 중 하나 이상이 유한값을 가지면, 를 가부호측도(signed
는 양의 측도이다. 두 측도를 각각 의 양의 변동, 음의 변동이
measure)라고 부른다. 또한 두 가부호측도  ,  에 대하여  
라고 부른다. 이때 와 를
  의 꼴로 쓸 수 있는 측도를 복소측도라고 부른다.
     ,     
으로 분해할 수 있다. 첫 번째 등식을 의 Jordan 분해라고 부
른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
137
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
13. Lebesgue-Radon-Nikodym 정리
측도 의 Jordan 분해가 유일한 것은 아니다. 왜냐하면 ± 가 
±
의 Jordan 분해를 형성하면, 유한 양측도 ′ 에 대하여   ′
Hann 분해의 두 측도 ±
 는 상호특이측도이며, 의 Jordan 분
도 Jordan 분해를 형성하기 때문이다. 그러나  과  에 대하여
해의 두 성분 ± 도 상호특이측도이다. 또한 Cantor 함수에 의
순서관계
해 생성된 Borel 측도와 Lebesgue 측도도 상호특이측도이다.
 ≤  ⇔ ∀∈     ≤    
측도  에 대하여,    일 때마다      이 성립하면
를 부여하면 가장 작은 Jordan 분해는 유일하게 결정된다.
측도  는 에 대하여 절대연속이라고 말하며  ≪ 로 표기한
다. 정리 11.6을 측도론에 적용하면 Lebesgue의 분해 정리를
정리 12.2 가 가부호측도이고      가 Jordan 분해이면
얻는다.
 ≤  이고  ≤  이다.
정리 13.1 ⟨ ℳ⟩ 위에서 가 -유한 가부호 측도이고 
증명 ∈ℳ에 대하여
가 -유한 양의 측도라고 하자. 그러면 -유한인 두 측도 , 
  ≤         ≤     
가 존재하여     ,  ≪ , ⊥의 유일한 형태로 분해된
이므로  ≤    가 성립한다. 따라서
다. 더욱이   를 만족시키는 함수 ∈  가 존재
        
  
   ≤   




이 성립한다. 같은 방법으로  ≤  가 성립한다.
한다. 이 명제를 Lebesgue 분해 정리라고 부른다.
□
  일 때 밀도함수 를 에 대한 의 Radon-Nikodym
미분계수라고 부르며 로 나타낸다. 이제 정리 13.1을 여
와 가  의 측도라고 하자. 만약  ∈ℳ이 존재하여  
러 개의 보조정리를 이용하여 증명하자.
∪ , ∩  ∅,    ,    을 만족시키면 와 
를 상호특이(mutually singular)측도라고 부른다. 이것을 ⊥로
보조정리 13.2
나타낸다.
⟨ ℳ⟩ 위에서 가 유한측도이고 가 에
대한 양의 측도라고 하자. 이때  ≪ 일 필요충분조건은 임의의
  에 대하여   이 존재하여    일 때마다   


정리 12.3 가부호측도 에 대하여      가 Jordan 분해
을 만족시키는 것이다.
라고 하자. 그러면 ⊥ 이고, 가측집합  ,  이 존재하여
∪   , ∩  ∅,         
증명 Jordan 분해 정리에 의하여 가 양의 측도일 때에만 증명
을 만족시킨다. 더욱이 는  의 임의의 부분집합에 대하여 음
하면 충분하다.  ≪ 이지만    조건이 성립하지 않는다고
의 값을 가지며  의 임의의 부분집합에 대하여 양의 값을 가진
가정하자. 그러면   과 집합열 가 존재하여     
이지만     을 만족시킨다.     라고 하자. Fatou의
다. 이 명제를 Hahn 분해 정리라고 부른다.
보조정리에 의하여   ≥ 
lim  ≥ 이다. 한편
     ∞이고 가           를 만족시
증명
     lim   
   
키는 집합들의 수열이라고 하자. ± 는 단조이고,  ⊆ 에 대하여
   ≤ 

lim 

≥≥
∞
         
≤ lim

≤       ≤ 

→ ∞
≥
  ≤ lim


→ ∞  




→∞
이므로    이고     이다. 따라서 는 에 대하여
을 얻는다. 따라서   ≤   를 얻는다. Jordan 분해 정리에
절대연속이 아닌 것이 되어 모순이다.
의하여
역은 자명하게 성립한다.

             ≥         ≥ 

따름정리 13.3
이다. 따라서    ≤   가 성립한다. 이제
  에 대하여   이 존재하여    일 때마다
→ ∞

라고 하면
  


 ≤      lim    ≤ lim   
→ ∞
→∞ 


이므로 각 에 대하여

∞
   ≤ 
 ≤     ≤ 
≥

이 성립한다.
보조정리 13.4  ≪ 이고, 는 양의 측도이고 유한이며, 항상
∞

   ≤



  




 

은 아니고, 가 양의 측도라고 하자. 그러면   과 가측집합
 가 존재하여 임의의  ′ ⊆  에 대하여    ,  ′  ≥
이 성립한다. 따라서      이다.


 ′  을 만족시킨다.

 ⊆  이면                이므로 는
증명
 의 임의의 부분집합에 대하여 음의 값을 가진다. 같은 방법으
로 는  의 임의의 부분집합에 대하여 양의 값을 가진다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
적분 가능한 함수의 부정적분은 절대연속이다.
일반적으로 가 양의 측도이고 ∈   일 때, 임의의

lim ,      lim 
→ ∞
□
     라고 하고, 와  를  에 대한 Hahn 분

해라고 하자. 즉 
     ,      이라고 하자. 측도의
□
138
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
수열 은 증가수열이므로  는 증가수열이고, 그 여집합은
참고 위 정리에 의하여 정리 11.5의 필요조건이 증명된다.  가
단조증가하는 실함수이면  에 의하여 생성된 Lebesgue-

감소수열이다.   ∪  ,   ∩  라고 하면    를 얻는
다.  가  위에서 음의 값을 가지므로  → ∞일 때
Stieltjes 측도  는 예비측도         에 의하


 ≤   ≤    ≤    → 


여 생성된 Borel 측도와 동일하다.  가 절대연속인 함수이면 
이고, 따라서    을 얻는다. 가 영이 아니므로 적당한 
 의 Radon-Nikodym 미분 에 대하여   이 성립한다.
에 대하여    이다.    ,     이라고 하면 정리의
그러므로 구간  에서
결론을 얻는다.
는 Lebesgue 측도에 대하여 절대연속이다. 따라서 에 대한
□

         
보조정리 13.5 가 유한인 양의 측도이고
𝔉
     
 

가 성립한다. 가 연속인 점에서는  ′  가 성립한다.
∈  ≥    ∈ℳ


가 단조이면  는 양의 측도이다.  가 유계변동이면  는 실
이라고 하자. 그러면 거의 모든 점에서 유한이고
구간  에서의 전변동          를 갖는 가부호측도이다.
    sup   
𝔉

한편 Cantor 함수에 의해 생성된 Borel 측도인 Cantor 측도는

Lebesgue 측도에 대하여 특이측도이다. 일반적으로 특이함수는
를 만족시키는 함수 ∈𝔉 가 유일하게 존재한다.
Lebesgue 측도에 대하여 특이측도인 Borel 측도를 생성한다.
증명 정리의 등식에서 우변, 즉 적분의 상한값을  으로 나타
내자. 그리고 를 ∫  →  을 만족시키는 𝔉 의 함수열이
따름정리 13.7 와 가 Radon-Nikodym 정리의 가정을 만족
라고 하자. 수열   max  ⋯ 은 단조증가하는 함
시키는 함수라고 하자. ∈ℳ이고 ∈  이면 ∈
수열이므로 단조수렴정리에 의하여
  lim
  이고
     lim  

→ ∞
→ ∞
      


를 얻는다. 이제 임의의 에 대하여 ∈𝔉 이다. 특히
  ∈      
증명
라고 하면


  





     
며, ∈  에 대해서는 단순함수로 근사시킨 뒤 극한을 이

용하면 결론을 얻는다.
이다. 단조수렴정리에 의하여 𝔉 는 단조수렴에 대하여 닫혀있으
므로   lim∈ 이고, 따라서
    lim     
→∞
□
보조정리 13.8 와 가 양의 측도이고 가 ∈ℳ에 대하여
→∞

    일 때 Radon-Nikodym 정리에 의하여 결론을 얻
는다. 가법성을 이용하면 이 결과를 단순함수에 확장할 수 있으

  ≤

가 성립한다.

   ≤ 

을 얻는다.

□
를 만족시키는 함수라고 하자. 그러면 를 기준으로 거의 모든
점에서   이다. 또한 ⊥이다.
정리 13.6 와 가  위에서의 -유한 측도이고  ≪ 라고
증명   의 전변동을   라고 하고
하자. 그러면    가 유한인 임의의 ∈ℳ 위에서
  
      
∧

라고 하자. ∈ℳ에 대하여      ≥      이므로
  


를 만족시키는 함수 ∈   ℳ 가 유일하게 존재한다.
            
 ∧    ≤ 

 min   ≤  
이 명제를 Radon-Nikodym 정리라고 부른다.
증명
와 가 유한인 양의 실측도인 경우를 증명하면 충분하
이다. 그러므로  ∧  ≪ 이며, Radon-Nikodym 정리에 의하
다. 가 보조정리 13.5에서 얻어진 극대함수라고 하자. 그러면
여 함수 가 존재하여  ∧    가 유한인  에 대하여
        ∫  에 대하여  ≥ ,  ≪ 가 성립한
 ∧   
다.  이 항상 영이 아니면 보조정리 13.4에 의하여   과

를 만족시킨다. 이제  ≥  ∧ 이므로 정리의 가정에 의하여
 ′ 이 존재하여  ″ ⊆  ′ 일 때마다
  을 얻는다. 따라서  ∧   이고
 ′   ,    ″    ″ 
                
을 만족시킨다. 따라서 ∈ℳ에 대하여
  ≥
    

  
가 성립한다.   ∪ 이   에 대한 Hahn 분해라고 하면
′
인데, 이것은 가 극대라는 데에 모순이다.
            ≤    ,
□
            ≤  
이므로         을 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
139
□
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
  이고 가 연속이면 는 극한
Lebesgue 분해 정리의 증명 와 가 유한이라고 가정해도 일
반성을 잃지 않는다. 가 보조정리 13.5에서 주어진 𝔉 의 극대
    
 →
  
  ≥
이다. 만약 거의 모든 점에서   이면 ⊥이고 Lebesgue
   
 

ℝ  인 일반적인 경우
된다. 이 장에서는 이 결과를 ∈ 
분해는   ,   이다. 그렇지 않은 경우
로 확장해보자. 중심이 ∈ℝ 이고 반지름이 인 열린구를
  

ℝ   에 대하여 ℝ 에서의
  로 나타내고, ∈ 

Borel 측도  를 생각하자.
라고 정의하고, ∈  가 임의의 ∈ℳ에 대하여
    ≥
 →
 

로 얻을 수 있다. 여기서   는 열린구간      가

       

 lim 
lim 
    

원소라고 하자. 그러면 ∈ℳ에 대하여
  


    lim 
 →      



    
   
를 만족시키는 함수라고 하자. 그러면 의 극대성에 의하여
으로 정의된 Lebesgue 집합에 속하는 점 ∈ℝ 에 대하여
  이므로 ⊥이다. 따라서 의 Lebesgue 분해는
  
  ,       

    
  lim 
 →     

가 된다. 만약 ′ , ′ 이 두 번째 Lebesgue 분해이면
(14a)
가 성립한다. 또한   는 가 연속인 점을 모두 포함한다.
  ′ ′  
이다. 그런데 이 등식의 좌변은 절대연속인 반면 우변은 에 대
하여 특이측도이므로 양변 모두 이 되어야 한다.

정리 14.1 ∈ 
이라고 하자. 만약 ∈  이면  의 Radon-
□
Nikodym 도함수는 (14a)가 된다. 또한 의 Lebesgue 집합은
단위계단함수(heaviside step function)는 Dirac 델타 함수의 부정적
가 연속인 점을 모두 포함하며 그 여집합은  측도이다. 이 명
분으로서, 음수에 대해서는 , 에 대해서는 , 양수에 대해
제를 Lebesgue의 미분 정리라고 부른다.
서는 의 값을 갖는 함수이다. 단위계단함수에 의해 생성된
Borel 측도를 Dirac 측도라고 부른다. 이 측도는 에 대해서는
집합   의 여집합이 영측도라는 것의 증명은 몇 개의 보조정리
의 값을 가지며, 을 포함하지 않는 집합에 대해서는 의 값
를 이용하여 완성하자.
을 가진다. Dirac 측도는 Lebesgue 측도에 대하여 특이측도이
며, 따라서 Lebesgue 측도에 대하여 Radon-Nikodym 도함수를
보조정리 14.2  가 ℝ 에서의 열린구들의 모임이고   ∪
갖지 않는다. 이것은 유계변동인 실함수의 분해에서 급변함수의
라고 하자. 그러면       인 임의의 에 대하여 유한 개의
측도론적 결과에 의한 것이다.
서로소인 집합들  ∈ ,     ⋯ 가 존재하여

Lebesgue 분해 정리는 실직선에서의 Borel 측도와 비슷한 확장
  
성을 가진다. 측도 에 대하여  ≠  ⇔ ∈ 를 만족시키
   


는 점 를 의 원자(atom)라고 부른다. 원자를 갖지 않는 측도를
를 만족시킨다.
비원자적(nonatomic) 측도라고 부른다. 절대연속인 측도는 원자를
증명
갖지 않는다. 그리고 만약  가 유계변동이면 원자들의 집합 
    인 긴밀집합  ⊆  를 택한다.  가 긴밀이므
로  를 덮는 유한 개의 열린구  ,  , ⋯,  이 존재한다.
는  의 단순불연속점이므로 가산이다.  를 유한 전변동을 갖
이들의 반지름이  ≥  ≥⋯≥  순이라고 해도 일반성을 잃
는  에 의하여 생성된 Borel 측도라고 하자. 정리 11.7에 의하
지 않는다.     이라고 하고,  중   과 서로소가 아닌 것
여  를 절대연속인 함수  , 특이함수  , 급변함수  의 합으
들은 없앤다. 남은  중 가장 반지름이 큰 것을   라고 하고
로 분해하여        으로 나타낼 수 있다. 따라서 
남아 있는  중   와 서로소가 아닌 것들을 없앤다. 이것을
는  ≪  인  과 ⊥ 인  그리고 원자를 갖는 측도  의
반복하여   ,   , ⋯,   를 얻는다.
합        으로 나타낼 수 있다.
만약  가 서로소인 열린구들의 합집합으로 표현된다면    
이고 정리의 결론을 얻는다. 그렇지 않은 경우  ′ 에 포함되지
14. Euclid 공간에서의 미분
않는  가 존재하므로, 그러한 각  에 대하여 ∩  ≠ ∅인
ℝ 에서 Borel 가측이고, 유계인 집합 위에서 Lebesgue 적분
가장 작은 가 존재한다.  의 반지름은   의 반지름 이하이므


ℝ   또는 간단히  
가능한 함수들의 모임을  
로 나
로,   의 반지름을 배로 만든 구   에 대하여  ⊆   가 성
타낸다. 측도
    
립한다. 따라서
  


⊆
은 ℝ 에서의 Lebesgue 측도에 대하여 절대연속이며, Radon-

가 성립한다.
Nikodym 도함수는 이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
140


  ,      ≤          








□
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
이로써

함수 ∈ 
에 대하여

  sup 
        

      
lim

 →
   

lim            
로 정의된 함수  를 Hardy-Littlewood 함수라고 부른다.
 →
   
≤        
정리 14.3 ∈ ℝ   과   에 대하여

      ≤  

가 성립한다.
   
lim        ,

이 성립한다. 이 명제를 Hardy-Littlewood 극대 정리라고 부른
다.

 →
        
증명       ,     라고 하자. 각 ∈
라고 하자. 그러면 앞의 부등식에 의하여
에 대하여 반지름  가 존재하여
       ≤



    
을 만족시킨다.    들이  를 덮으므로, 이들의 유한집합
  



    ≤ 
 




 ≤ 







    ≤




     ,

                




ℝ




을 만족시킨다. 이 부등식은     인 임의의 에 대하여
성립하므로    일 때에도 성립한다.

가 성립한다. Tchebyshev 부등식과 극대 정리에 의하여
 가 존재하여


 ⊆   ∪       

이므로
□

    ≤    

참고 함수 ∈ ℝ   과   에 대하여
이 성립한다. 여기서 은 임의의 양수이므로, 임의의   에

   ≤   ,      ≥ 

대하여     을 얻는다. ∪  의 여집합 위에서
가 성립한다. 이 부등식을 Tschebyshev 부등식이라고 부른다.
lim     
 →
보조정리 14.4 ∈ℝ 과   에 대하여

     
   
이므로 정리의 결론을 얻는다.

 
□
Lebesgue 미분 정리의 증명 집합  를
   

이라고 정의하자. 그러면 ∈ 
에 대하여, 거의 모든 점에서
   lim         
lim     
라고 정의하자. 그러면 보조정리 14.4에 의하여     을

 →

 →
얻는다.  가 ℂ의 조밀한 가산부분집합이고
가 성립한다.

증명
가 연속인 경우는 미적분의 기본정리에 의하여 당연히

∈

성립한다. 일반적인 함수 에 대해서는, 연속함수 를 이용하여
라고 하자. 그러면      이고, 임의의 ∈ 와   에 대
에 근사시킨다. 또한 이 명제는 긴밀집합  위에서 증명하여
하여 ∈ 가 존재하여      을 만족시킨다. 따라서
도 충분하다. 따라서  밖에서 의 값이 이라고 가정해도 일
lim     
반성을 잃지 않는다.
 →
≤ lim            
임의로 주어진   에 대하여 받침  를 갖는 연속함수 가 존
 →
재하여

 lim       

 →
     


       

을 만족시킨다.  가 긴밀집합이므로 는  에서 균등연속이다.
따라서   에 대하여   가 존재하여     인 임의의
이 성립한다. 여기서 은 임의의 양수이므로 ∈ 에 대하여
 ∈ 에 대하여     를 만족시킨다.
lim       
 →
그러므로        이고
이 성립한다.
lim     
□
 →
가 성립한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
141
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
p
15. L 공간
정리 15.3  ≤   ∞일 때   는 Banach 공간이다.
⟨ ℳ ⟩가 측도공간이고  ≤   ∞일 때
        ∞,  
증명
    


가   의 Cauchy 수열이라고 하자.
      
로 정의한다.   를 간단히   로 나타내기도 한다.  
를 만족시키는 부분수열첨수  를 택하자.
에서 두 함수가 다른 점들의 모임이  측도일 때, 두 함수를 동

 
일한 것으로 간주한다.
 

 
 
라고 하면
벡터공간  에서의 노름 ⋅은 세 조건
∞
∙  ≥ 이고,   일 필요충분조건은   이다,
 
∙     ,
을 얻는다.
∙    ≤   
  


이 단조증가하는 수열이므로 단조수렴정리에
의하여
를 모두 만족시키는 실함수이다.      는 노름선형공
     lim     

간의 거리함수가 된다. 이 거리함수에 대하여  가 완비일 때 노


 →∞
름선형공간  를 Banach 공간이라고 부른다.
을 얻는다. 따라서 거의 모든 점에서
∞



정리 15.1     ∞이고       일 때, 임의의 ∈ 
 

 
 
  ∞
와 ∈  에 대하여  ≤   가 성립한다. 등호가 성립
이며, 급수
할 필요충분조건은 와 가 평행한 것이다. 이 부등식을 Hölder
그러므로 거의 모든 점에서 극한   lim 가 유한값으로 존재
의 부등식이라고 부른다.
 
  는 거의 모든 점에서 점별수렴한다.
한다. 더욱이
증명  또는 가 인 경우거나,  또는  가 무한인 경우
∥  
∞
   
는 자명하다. 따라서 그렇지 않다고 가정하자. 일반성을 잃지 않
고     이라고 하자. 그러면 로그 함수의 볼록성에 의
≤
하여
   
∞
 
   



 
ln      ln   ln ≤ ln   


 
 
 
∥

 
    
이다. 따라서   노름에 대하여  → 이며 ∈  이다. 또한

   일 때
를 얻는다. 양변에 지수함수를 취하고    ,    라고 하면
   ≤                  
 
 ≤   




이므로 본래 수열은  → 로서 수렴한다.
□
를 얻는다.  위에서 양변을 적분하면 다음을 얻는다.


 ≤          


이제   ∞인 경우를 살펴보자.
□
∞  in f   ≥      
으로 정의한다. 공간  ∞   ∞ ℳ 는 모든 가측함수들의
위 정리에서 두 지수 , 를 켤레지수라고 부른다. 지금부터 다
모임인 공간이 된다. 집합       ∞의 측도는 이다.
른 언급이 없는 한 와 는 켤레지수인 것으로 약속한다.
   라고 하면 거의 모든 점에서   이고 ∞  sup를
얻는다. 따라서 ⋅∞ 는 노름이 된다. 더욱이 이 노름에 대한
정리 15.2  ≤   ∞이고  ∈  이면
Cauchy 수열은 균등 Cauchy 수열이 되므로 거의 모든 점에서
   ≤   
점별수렴한다. 따라서  ∞ 는 Banach 공간이다.
가 성립한다. 이 명제를 Minkowski의 부등식이라고 부른다.
증명
  이거나 거의 모든 점에서     이면 자명하다.
정리 15.4        ≤ ∞이면  ∩  ⊆   이고
따라서 그렇지 않다고 가정하자. 부등식
  
 ≤     ,      ,     



   ≤       
의 양변을  위에서 적분하면 다음을 얻는다.
이 성립한다.
     ≤       
≤             
 
≤         
≤           


   


  

,   에 대하여 Hölder의 부등식을 사용하면
      



        
양변을      로 나누면 정리의 부등식을 얻는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
  ∞일 때  ≤ ∞   이므로   에 대하여
  
    이다.   ∞일 때 켤레지수
 ≤ 
 ∞




증명

   
   
 ≤ 
 
를 얻는다. 양변에 제곱근을 취하면 정리의 부등식을 얻는다. □
□
142
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
참고 위 정리의 결과는 여러 개의 합수에 대해서 적용할 수 있
양의 -측도를 가진 임의의 집합  가 유한인 -측도를 가질
때 를 반유한(semi-finite)측도라고 부른다.

다. 즉  ≤  ,  ≤ ∞라고 하고 ∈ ,  ≤  ≤ 이라고 가
정하자. 그러면


    

정리

16.2  ≤   ∞일 때  ↦  로 대응   ↪    는
  로부터   로의 일대일대응이고    를 만족시키는
    
준동형사상이다. 가 반유한측도이면   ∞일 때에도 성립한다.
에 대하여

  ⋯  ≤
증명 등식
  

 
    
  sup
가 성립한다.
(16a)

이 성립함을 보여야 한다.
    ∞일 때에는 Hölder의 부등식에 의하여  ≤  가
16. 쌍대공간
성립한다.  ≠ 일 때
복소체 위에서의 벡터공간  가 Banach 공간이고 ⋅가  에
   sgn
 
  
서의 노름이라고 하자. 만약 함수    → ℂ가 선형사상이고
상수  가 존재하여 임의의 ∈ 에 대하여   ≤   를
라고 하자. 그러면   이고
만족시키면  를  위에서의 유계선형범함수(bounded linear functional)라고 부른다.  위에서의 유계선형범함수들의 모임을  의
  
쌍대공간(dual space)이라고 부르고   로 나타낸다. 이때   에는

  



 




  
  
이므로 (16a)가 성립한다.
 
   sup   in f    ≤ 
∈ 
  일 때에는   sgn라고 하자. 그러면 ∞  이고
로 정의된 노름 ⋅ 이 주어진 것으로 약속한다.
  
       

이므로  ≤ sup    가 성립한다. 한편
정리 16.1  가 Banach 공간이면   도 Banach 공간이다.
 ∞  
이   의 Cauchy 수열이라고 하자. 각 ∈ 에 대
하여   도 Cauchy 수열이 되고, 따라서 수렴한다. 그 극
증명
  ≤
  ≤   ≤  

∞
이므로  ≤  이다.
한을   라고 하자. 극한은 선형 변환이고   는 에 대하
이제 가 반유한측도이고   ∞라고 하자.   에 대하여
여 선형이므로  는 선형범함수이다. 더욱이
      ∞  이라고 정의하자.    이면 유
  ≤ lim   ≤ lim  
→∞
 →∞
한측도를 가진 부분집합  ⊆  을 택하고       sgn
이므로
라고 하자. 그러면   이고
 ≤ lim 
 →∞
 ≥   
이다. 양수 에 대하여     일 때마다     이 성

 ≥   
    
 
∞

이 성립한다. 여기서 은 임의의 양수이므로 ∞ ≤ 를 얻
립하게 하는 자연수  을 택하자. 그러면  ≥  일 때마다
는다. 한편
      lim     
→∞
≤ lim       
  ≤
→∞
  ≤  
∞

이므로  ≤ ∞ 이다. 따라서   ∞ 이다.
이므로     이다. 따라서
□
lim     
 →∞
정리 16.3  ≤   ∞이고 가 의 켤레지수라고 하자. 그리
이다. 즉  →  이다.
□
고 가 -유한측도라고 하자. 그러면  ↦  는   로부터
  위에로의 매장사상(embedding)이다.
측도공간  위에서 가측인 함수 가 주어졌다고 하고
  
증명
  
   라고 정의하자. 그러면  는 가산가법적인 -유한측도이
로 주어진 범함수  를 생각하자. 그러면 Hölder의 부등식에 의
며 에 대하여 절대연속이다. Radon-Nikodym 정리에 의하여
하여   ≤   가 성립한다. 따라서 반약 ∈  이면
 는 

주어진 ∈   와 가측집합  에 대하여     
가측함수 ∈  가 존재하여     ∫ 를 만족시키

위에서의 선형범함수가 된다. 즉 임의의 ∈ 는 대
며, 선형성에 의하여 이것은 임의의 단순함수     
응  ↦  에 의하여    의 원소에 대응된다. 이러한 대응은
  ∫ 에 적용된다. 단순함수들의 집합은   에서 조

 
일대일함수  ↪    가 된다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
밀하므로 이 결과는 임의의 가측함수 ∈  에 적용된다.
143
□
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
17. 분포 함수
적분작용소의 흥미로운 예로서 합성곱(convolution)을 들 수 있다.
측도공간 ⟨ ℳ ⟩ 위에서 주어진 실함수 의 분포함수를
실직선상에서 두 함수 , 의 합성곱은
       
 ∗  
로 정의한다.
     
로 정의된다. Fubini의 정리에 의하여
     
≤                
       
 ∗  
정리 17.1 분포함수는 에 대하여 감소함수이고 우연속이며,
 에 대하여 증가함수이다.  ↗ 이면  ↗  이다. 또한

   


   ≤     



가 성립한다.


이 성립한다. 따라서      ∗ 로 정의된 함수   는  ℝ
로부터 그 위에로의 유계선형작용소이며   ≤  을 만족시킴
참고 만약 임의의   에 대하여   가 유한이면 ℝ 위
을 알 수 있다. 마찬가지로  ∗ ∞ ≤  ∞ 가 성립한다.
에서의 예비측도         에 의하여 생성된
측도는 ℝ 위에서의 음의 Borel 측도가 된다.
이것을 일반화시키면 다음 정리를 얻는다.
정리 17.2 ℝ 위에서 정의된 임의의 Borel 가측함수 에 대
정리 18.1 ∈ ℝ , ∈ ℝ 이면
 

 ∗  ≤   ,       
 

하여
∞
       
이 성립한다. 이 부등식을 일반화된 Young의 부등식이라고 부


른다.
가 성립한다. 여기서 우변은 측도  에 대한 Lebesgue-Stieltjes
적분이다. 또한

 

∞

위 정리는 보간법 정리를 이용하여 증명한다.
   
참고 위 정리에 의하여 합성곱 작용소   는   로부터   에로
가 성립한다.
증명
(18b)
의 유계선형변환이 된다. 또한   ≤  가 성립한다.
    ∞ 일 때에는 당연히 성립한다. 이 결과는 Borel
집합에 대한 특성함수로 확장되며, 다시 단순함수로 확장되고,
단조수렴정리를 이용하면 적분 가능한 함수로 확장된다.
정리
□
18.2 ⟨ ℳ ⟩와 ⟨ ℳ ⟩가 측도공간이고  ,
 ,  ,  이  ∞의 점이라고 하자.    에 대하여  가


 로부터  에로의 유계선형변환이고 각각
18. 선형변환
  ≤   ,   ≤  




두 공간  ,  ′ 가 Banach 공간일 때,  이  로부터  ′ 에로의
유계선형작용소라는 것은 상수  가 존재하여 임의의 ∈ 에
로서 노름  ,  을 가진다고 하자. 그리고
대하여   ′ ≤   를 만족시키는 것이다. 그러한 상수 




 

  ,    ,     

 

 


를 찾는 방법 중 가장 적절한 방법은
  ′
   sup 
∈ 


이라고 하자. 그러면  는   로부터   로의 유계선형변환이
며   ≤      를 만족시킨다. 이 명제를 Riesz-
로 정의된  의 노름  을  로 택하는 것이다.
Thorin의 보간법(interpolation)이라고 부른다.
  가 곱공간 ⟨ ×  ℳ × ℳ⟩에서의 가측함수일 때
  
  
정리 18.1의 증명 두 단계에 걸쳐 보간법을 이용하자.
(18a)
로 정의된 함수  는 공간    로부터   에로의
먼저   인 경우 (18b)를 증명하자.   는   로부터   에로,
선형작용소, 즉 Banach 공간으로부터 Banach 공간으로의 선형
그리고  ∞ 로부터  ∞ 에로의 유계선형작용소이고, 두 경우 모
변환이 된다. 이때  를 이 변환의 핵(kernel)이라고 부른다.
두 노름  을 가진다.
  로부터   로의 적분작용소가 유계선형작용소가 될 조건을
    ,     ∞,
찾는 것은 해석학자들의 오랜 관심사였다. 예컨대 Fourier 변환

     ,     


  



 
에 보간법을 적용하면

   ≤   ,  ≤  ≤ ∞
는  ℝ 로부터 그 위에로의 동형사상이 된다.
(18c)
를 얻는다. (    ∞인 경우에는    라고 정의한다.) 이
부등식이 곧 Young의 부등식이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
144
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
    
≤
  
다음으로   이고 ∈  라고 하고 선형변환      ∗ 를
≤  
생각하자.   ,   일 때에는 Young의 부등식에 의하여

  
   ≤   을 얻으며,   ∞,     일 때에는

가 성립한다. 이로써 부등식의 좌변은 유한값이며, 제곱근을 취
Hölder의 부등식에 의하여   ∞ ≤   를 얻는다. 따라서
하면  ≤  를 얻는다.
   ≤   ,   ,   ,

   ≤   ,    ,   ∞

□
정리 18.4   가 ℝ × ℝ 에서 Lebesgue 가측이고 임
의의   에 대하여        가 성립한다고
그리고      를 얻는다.
하자. 또한






  ,  

 

 

∞
  
일 때 정리 18.2에 의하여
 
    ∞,  ≤   ∞

라고 가정하자. 두 양수 와 가 켤레지수이고 ∈ ℝ  ,
 ∗       ≤  



∈  ℝ  이며
를 얻는다. 여기에 항등식



   

 


 
을 이용하면 정리의 결과를 얻는다.
∞
∞


  ,     
라고 하자. 그러면  와  는 유계선형변환이며 노름은 각각
□
 ℝ  ,  ℝ  에서  이하이다.
만약 가 Banach 공간의 벡터들의 모임이면 삼각부등식
증명     일 때
∥ ∥≤  




가 성립한다. 이것을 벡터들의 모임 의 적분에 확장하면
∥  ∥≤  
(18d)



∞

이다.       이므로 (18d)에 의하여
  

∞

를 얻는다. 이 부등식은 각 적분을 벡터값을 갖는 단순함수
  
∞
        
     
∞
     
     
   
  ≤

의 적분으로 근사시킨 뒤 일반적인 벡터에 대한 삼각부등식을
 

∞

이용하여 얻을 수 있다.
 


가 성립한다.   에서 작용소  가 유계라는 사실은 등식
정리 18.3 두 공간 ⟨ ℳ ⟩, ⟨ ℳ ⟩가 측도공간
∞
  
이고   가 ℳ⊗ℳ 에 대하여 가측이라고 하자. 그리고

상수  가 존재하여  ⋅  ≤  와   ⋅ ≤  를
 
∞
  
    
 

∞
   
 

  

만족시킨다고 하자. [고정된 에 대하여  에서   
를 이용하면 비슷하게 증명된다.
□
의   노름을  ⋅  로 나타내고, 고정된 에 대하여
  에서   의   노름을   ⋅ 로 나타낸다.]
그러면 (18a)와 같이 정의된 적분작용소  는   로부터
참고문헌

  에로의 유계선형변환이며,  이하의 노름을 가진다.
∙ D. H. Sattinger, Measure Theory & Integration,
Department of Mathematics in Yale University, 2004.
증명   인 경우는   ⋅ ≤  라는 조건만으로 증명되
∙ Carathéodory C., Vorlesungen über Reele Funktionen,
며   ∞인 경우는  ⋅  ≤  라는 조건만으로도 자명하
Teubner, 1918.
게 증명된다.
∙ Folland G., Real Analysis: Modern Techniques and Their
    ∞라고 하고, 를 의 켤레지수라고 하자. Hölder의 부
Applications (2ed), Wiley-Interscience, 1999.
등식을 적용하면 거의 모든 점에서
∙ Monroe M. E., Introduction to Measure Theory and
  
≤              
≤         



Integration, Addison-Wesley, 1953.



가 성립한다. 따라서 Tonelli-Fubini의 정리에 의하여

        

강의노트 ∙ ∙ ∙
145
∙ ∙ ∙ 측도와 적분
함수해석학 강의노트
Sooji Shin ∙ soojishin@live.com
이 노트는 기초 해석학, 다변수 해석학, 복소해석학, 측도론, 선
내적공간에서의 내적을 노름을 이용하여 다음과 같이 표현할 수
형대수학, 추상대수학, 위상수학의 내용에 이어지는 것으로서,
있다.
함수해석학의 기본적인 내용을 간략히 다루고 있습니다.

⟨ ⟩           

위 등식을 극항등식(polarization identity)이라고 부른다. 복소 공간
1. 내적공간과 노름공간
에서의 극항등식은
함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형

⟨ ⟩                         

작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 함수해석학의 내용
을 살펴보기에 앞서 먼저 노름과 내적을 정의하자.
정의
이다. 또한 내적 공간에서는 다음과 같은 등식이 성립한다.
                
1.1  가 체  위에서의 벡터 공간이라고 하자. 함수
   →  ∞ 가 두 조건
이 등식을 평행사변형 법칙(parallelogram law)이라고 부른다. 내적
(1) 임의의   ∈ 에 대하여      ≤       ,
에 의하여 유도된 노름은 항상 평행사변형 법칙을 만족시킨다.
(2) 임의의  ∈ 와  ∈ 에 대하여          
역으로 만약 노름이 평행사변형 법칙을 만족시키면 그러한 노름
를 모두 만족시키면  를  위에서의 반노름(semi-norm)이라고
공간은 극항등식에 의하여 내적공간이 될 수 있다.
부른다. 만약  가
벡터공간  에 주어진 위상  가 Hausdorff이고 이 위상에 의하
(3)      이면    이다
여  에서의 벡터합, 스칼라곱이 연속일 때 ⟨ ⟩를 위상벡터
도 만족시키면  를  위에서의 노름(norm)이라고 부른다. 공간
공간(topological vector space)이라고 부른다. 위상벡터 공간을 줄
 위에서의 노름을 ⋅ 로 표기하며 혼동할 염려가 없을 때에
여서 TVS로 표기한다. TVS에서의 수열  이  의 임의의 근
는 그냥 ⋅ 로 표기한다.
방  에 대하여 자연수  이 존재하여  ≥  ,  ≥  일 때마
벡터공간  에 노름 ⋅ 가 주어졌을 때, 임의의   ∈ 에 대
다    ∈  를 만족시키면  을 Cauchy 수열 또는 기본
하여
수열(fundamental sequence)이라고 부른다.
        
라고 하면  는  위에서의 거리함수가 된다. 이러한 거리  에
임의의 노름선형공간은 TVS이다. 벡터 공간에서의 대수적 연산
의하여 유도된 위상은  위에서의 Hausdorff 위상이 되며, 이
이 연속 함수가 되도록 하는 위상을 부여하는 방법은 노름과 내
러한 위상에 의하여 벡터공간  에서 벡터 합, 스칼라 곱은 연속
적뿐만 아니라 여러 가지 방법이 있다.  가 벡터 공간이고
인 함수가 된다. 이러한 공간  를 노름선형공간이라고 부른다.
⋅  ∈ 가  에서 반노름들의 모임이며
       
또한 완비인 노름선형공간을 Banach 공간이라고 부른다.

∈
정의
을 만족시킨다고 하자. 이때
1.2  가 체  위에서의 벡터 공간이라고 하자. 함수
        ∈   
   ×  →  ∞ 가 임의의 스칼라 , 와 임의의 벡터
, , 에 대하여 네 조건
에 의하여 생성된 위상은  를 TVS가 되게 한다. 수열 또는 그
(1)                   ,
물  이  에 수렴할 필요충분조건은 임의의  에 대하여
(2)        
      
     ,
    → 
(3)     ≧  ,
(4)      
   
인 것이다. 명백히       →  이므로 각 반노름은 연속
를 모두 만족시키면  를  위에서의 반내적(semi-inner product)
이다.
이라고 부른다. 만약  가
만약 반노름의 개수가 유한이면 단순히 그들을 더함으로써 동일
(5)       이면    이다
한 위상을 구성할 수 있다. 만약 반노름의 개수가 가부번이면,
도 만족시키면  를  위에서의 내적(inner product)이라고 부른
함수  를
다. 공간  위에서의 내적을 ⟨ ⟩      또는 혼동할
∞
염려가 없을 때에는 그냥 ⟨ ⟩로 표기한다. 내적이 주어진
    
 
공간을 내적공간이라고 부른다.

   


      


으로 정의함으로써 거리함수  를 얻을 수 있다. 따라서  에 의

 ⟩ 로 정의된 함수 
만약 ⟨ ⟩가 반내적이면     ⟨

는 반노름이 된다. 만약 ⟨ ⟩가 내적이면     ⟨
 ⟩ 로
하여 생성된 위상 공간은 거리화 가능(metrizable) 공간이다.
정의된 함수  는 노름이 된다. 완비인 내적 공간을 Hilbert 공간
이라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
146
∙ ∙ ∙ 함수해석학
이제 위상벡터공간과 Banach 공간의 여러 가지 예를 살펴보자.
보기 1.9  가 ℝ 에서의 열린집합이고  가  의 긴밀 부분집
합이라고 하자.  ∈  의 노름이      ∞  로 주어졌
보기 1.3 ℝ 이나 ℂ 의 원소  에 대하여   노름을 다음
다고 하자. 이것은 긴밀 부분집합에서의 균등수렴으로써 위상을
과 같이 정의한다.
유도한다. 다음과 같이 가산 개의 긴밀 집합을 이용하여 동일한

    

  
 
위상을 유도할 수 있다.

   ∈    ≤  distx  ≥ n
여기서  ≤  ≤ ∞ 이다. 이들 노름은 모두 동치로서 동일한 위
이러한 위상에 의한 공간   는 TVS이다.
상을 유도한다. 그러나    일 때에만 Hilbert 공간이 된다.
보기 1.10 앞의 예에서  가 ℂ 의 부분영역이면   의 부
1.4  가 Hausdorff 공간의 부분집합이고    가 
분공간으로서 복소해석적인 함수들의 모임   를 생각할 수
위에서 정의된 유계 연속 실함수들의 모임이라고 하자.   
있다. Weierstrass 정리에 의하여   는 닫힌부분공간이며
의 원소  에 대하여 상한 노름을
따라서   는 TVS이다.
보기
  sup   ∈ 
보기 1.11   ∈   ,     이라고 하자. 임의 횟수로
로 정의한다. 이때    는 Banach 공간이 된다.
미분 가능하고 받침(support)이  에 있는 함수  에 대하여
보기 1.5 집합   위에서 연속인  계 도함수를 갖는 실함




         ′  
수들의 모임을     로 표기한다.     의 원소  에
라고 하자. 이때  는 약미분 가능(weakly differentiable)이라고 말
대하여
하며  ′   로 표기한다. 집합
  sup  sup     ∈  
      ∈    ′ ∈  
로 정의한다. 이때     는 Banach 공간이 된다.
에 노름

      


보기 1.6  ≤   ∞ 이고  가 ℝ 의  -유한 가측 부분공간
이며,  에서  제곱이 적분 가능한 가측함수들의 모임을  

야 한다는 조건이 필요하다.    인 경우 특히 Hilbert 공간에
소  에 대하여



 ′  



간은     보다 더 넓은 공간이지만 여전히  가 미분 가능해
로 유계인 함수들의 모임인 것으로 정의한다. 이때   의 원
   
   
가 주어졌을 때      를 Sobolev 공간이라고 부른다. 이 공
라고 하자. 만약   ∞ 인 경우에는   를  에서 본질적으
  



서의 미분을 연구하는 도구가 되므로 매우 유용하다. 소볼레프

공간에서 미분 가능성의 조건은  번 미분 가능하다는 것으로 강

화할 수 있으며, ℝ 의 임의의 영역에서 정의될 수 있다.
로 정의한다.     ∞ 인 경우 다음과 같은 Mincowski 부등
식이 성립한다.


      ≦         








2. 부분공간과 상공간

 가 벡터공간이고  가 부분공간이면 잉여류들의 모임으로서 상
  에서는 측도 제로인 집합 위에서 두 함수 값이 다른 경우
공간  를 정의한다.  가 노름공간이면  에서의 반노름을
두 함수는 서로 같은 것으로 간주한다. 이러한 관점에서  
   in f    ∈ 
는 노름선형공간이다. 또한 Riesz-Fischer의 정리에 의하면
또는 동치 조건으로서
  는 Banach 공간이고   는 Hilbert 공간이다. 만약  가

   in f      ∈ 
유한 측도를 갖고  ≤  ≤  ≤ ∞ 이면   ⊆   가 성
로 정의한다. 이렇게 정의된 반노름이 노름일 필요충분조건은 
립한다.
가  에서 닫힌집합인 것이다.
보기 1.7 ℕ 에 셈측도(counting measure)가 주어졌을 때 수열 공
정리 2.1  가 Banach 공간이고  가 닫힌부분공간이면  는
간   는 Banach 공간이고   는 Hilbert 공간이다.  ≤  ≤
Banach 공간이고  도 Banach 공간이다.
 ≤ ∞이면   ⊆   가 성립한다. (앞의 예제에서와  ,  의 부등
  이
 이  위에서 정의된 수열이고 잉여류열 
식이 다름에 유의하라.)  에 수렴하는 수열들의 모임  는  ∞ 의
증명
닫힌부분공간이다.
Cauchy 수열이라고 하자. 각 자연수  에 대하여

 ≤    
 


보기
1.8  가 Hausdorff 공간이고  ∈ 라고 하자.  에서
연속인
실함수들의
모임
   의
원소
에
이 되도록 부분수열을 택한다.     이라고 하고
노름이

       ≤ 



      로 정의되었을 때    는 노름선형공간이고
이 되도록   를 택한다.
TVS가 된다. 그러나 완비는 아니다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
   
147
∙ ∙ ∙ 함수해석학
또한
3. Hilbert 공간의 기본 성질

           ≤ 

Hilbert 공간의 중요한 성질 중 하나는 닫힌 볼록집합 위의 점들
중 그 밖에 있는 한 점과 가장 가까운 점이 존재한다는 것이다.
이 되도록   을 택한다. 이러한 방법을 계속하여   를 구성하
면     는  에서 Cauchy 수열이 된다.  가 완비이므로
정리 3.1  가 Hilbert 공간이고  가 볼록 닫힌부분집합이며
    →  인  ∈ 가 존재한다. 함수  ↦    는 연속이
 ∈ 라고 하자. 그러면 
 ∈ 가 유일하게 존재하여   
  
            →    이다.
므로 
in f     ∈ 를 만족시킨다. 이 명제를 사영 정리라고
  이 Cauchy 수열이므로 
  →  이다.

부른다.
□
증명 일반성을 잃지 않고    이라고 가정하자. 이제  의 원
소 중에서 가장 작은 노름을 갖는 원소가 존재함을 보이자.
위 정리의 역도 성립한다.
정리
  in f   ∈  라고 하자. 하한의 성질에 의하여  위에
서의 수열  이 존재하여   →  를 만족시킨다. 볼록성에
2.2  가 노름선형공간이고  가 닫힌완비부분공간이며
의하여     ∈ 이므로 평행사변형 법칙에 의하여
 가 Banach 공간이라고 하자. 그러면  는 Banach 공간이다.
‖
유한차원 부분공간은 항상 닫힌부분 공간이다. 더욱 일반적으로
   


‖

다음이 성립한다.
‖
이 성립한다. 따라서  은 Cauchy 수열이고  가 닫힌집합이
정리 2.3  가 Banach 공간의 닫힌부분공간이고  가 유한차
므로 적당한 
 ∈ 에 수렴한다. 노름은 연속이므로 
 
원 부분공간이면    는 닫힌집합이다.
증명
‖
   


         














≤ 



 
lim  가 성립한다.
 의 차원이  이고  ∩   인 경우는 쉽게 증명된
→∞
다. 또한  와  의 대수적 직합을    로 표기할 때,
이제 유일성을 증명하자.  
        이면  
     
   ↦  와    ↦  가 연속이다. (왜냐하면    에서
이므로 평행사변형 법칙에 의하여

   
    
         
의 Cauchy 수열은  와  에서의 Cauchy 수열에 대응되며 각
공간에서 수렴하기 때문이다.) 사영사상    →  의 제한
 에로의 동형사상이 된다.
사상  는  로부터 그 상 
이 성립한다.
 
 →  가 연속인 역함수라고 하자.     ⊆ 
 이므로
참고 볼록닫힌집합  의 원소 중  에 가장 가까운 것을   로
연속인 합성함수  ∘         →  를 구성할 수 있다.
표기하고  로부터  에로의 사영(projection)이라고 부른다. 정의에
그런데 이 함수는  위에로의 함수이다.  위에로의 사영사상
의하여  ∘    이다.  가 공간  의 닫힌부분공간인 경우
은 항등함수인  ∘  이므로 또한 당연히 연속이다.
 를 선형사영작용소(linear projection operator)라고 부른다.
□

□
Banach 공간의 닫힌부분공간들의 합이 항상 닫힌집합인 것은
 가 Hilbert공간  의 부분집합이고
아니다. 그 반례를 가분 Hilbert 공간에서 찾을 수 있다.   이
 ⊥  ∈ ⟨ ⟩  for all  ∈
홀수 항이 모두  인 실수열  들의 모임이라고 하자. 그리고
라고 하자. 그러면  ⊥ 는  의 닫힌부분공간이 된다. 명백히
 가      을 만족시키는 실수열  들의 모임이라고
 ∩ ⊥   이고  ⊆  ⊥⊥ 이다.
하자. 명백히     ∩ 과     ∩ 는   의 닫힌부분공간
이다. 명백히 임의의 실수열은   과   의 원소의 합에 의하여
정리 3.2  가 Hilbert 공간  의 닫힌부분공간이고  ∈ 이면
다음과 같이 유일하게 표현된다.
    ∈ ⊥ 이다.
  ⋯              ⋯
증명  가  의 임의의 원소이고 ∈ℝ 이라고 하자. 그러면
       ⋯
    ≤      
만약 수열  의 항들 중 유한 개를 제외한 것들이  이면 우
       ⟨    ⟩    
변의 두 합도 마찬가지가 된다. 따라서 그러한 수열들은 모두
이 성립한다. 위 부등식의 우변은 이차식이며    일 때 최솟값
   의 원소이고 이것은    가   에서 조밀하다는 것을
을 가진다. 따라서    일 때 미분계수가  이 되도록 하면
의미한다. 이제 다음과 같은 수열을 생각하자.
⟨    ⟩ 을 얻는다.
      ⋯           ⋯
       ⋯
따라서  의 임의의 원소  는  ∈ 와  ⊥ ∈ ⊥ 의 합인
이 수열은   의 원소이고   과   의 원소의 합으로 위와 같이
     ⊥ 로 나타낼 수 있다. 여기서     ,  ⊥     
유일하게 표현되지만    의 원소가 아니다. 따라서   
이다. 이러한 분해는 유일하다. 왜냐하면     ⊥ 가 또 다른
는   에서 닫힌집합이 아니다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
□
분해라고 하면      ⊥  ⊥ ∈ ∩ ⊥   이기 때문이다.
148
∙ ∙ ∙ 함수해석학
집합     ∈  의 급수가 수렴하는 경우 임의의 양수  에
또한 일반화된 피타고라스의 정리에 의하여


대하여 유한집합  가 존재하여  를 포함하는 임의의 유한집
⊥ 
       
을 얻는다.
합  과  에 대하여
‖
 가 닫힌부분공간이면 위 정리를 이용하여  ⊥⊥   임을 보일
수 있다. 즉, 만약  ∈
⊥⊥
   
 ∈
이면      ⊥ 로 분해할 수 있고
이 성립한다. 이때 ∈    ≥ 은 유한이다. 따라서
 ⊥ ∈ ⊥ ∩ ⊥⊥   이므로  ∈ 를 얻는다. 따라서
    이 아닌 ∈ 의 개수는 가산이다.
         
는  를  ⊥ 와  ⊥⊥ 의 원소로 표현 유일한 분해이다. 즉
정리
 ⊥     이다. 이로써  의 임의의 부분집합  에 대하여
3.3  가 Hilbert 공간  의 정규직교 부분집합이고
 ∈ 이면 급수
 ⊥⊥ 은  를 포함하는 가장 작은 닫힌부분공간이 된다.
⟨ ⟩
∈
  ,   , ⋯ ,   이 Hilbert 공간  에서의 정규직교원소이고 이
는 수렴한다.
들에 의하여 생성된 공간을  라고 하자. 그러면
증명  의 원소를   ,   ,   , ⋯ 으로 표기하자. Bessel의 부
⟨  ⟩ ∈ 그리고   ⟨  ⟩ ⊥ 






등식에 의하여
이므로
‖


⟨ ⟩   

    

⟨ ⟩



 ⟨  ⟩ ≤  



 




 
⟨  ⟩


 
⟨  ⟩



이 Cauchy 수열임을 의미하므로 급수
이므로
∞

⟨  ⟩
⟨  ⟩ ≤  


 




은  의 적당한 점에 수렴한다. 이제 위 합이 정리의 급수의 합
을 얻는다. 이 부등식을 유한 항에 대한 Bessel의 부등식이라고
과 동일함을 증명하자. 양수  이 임의로 주어졌다고 하자. 그러
부른다.
면 자연수  이 존재하여
이제  가 정규직교원들의 모임이고 임의 기수를 갖는다고 하자.
∞
 ⟨  ⟩  

유한 항에 대한 Bessel의 부등식에 의하여 양수  과  ∈ 에
   
대하여  ∈ ⟨ ⟩≥   은 유한 집합이므로
을 포함하면
은 가산 집합이다. 따라서 Bessel의 부등식을 다음과 같이 임의

‖ ⟨  ⟩  ⟨ ⟩ ‖ ≤ 

개수의 항에 대하여 확장할 수 있다.
 
⟨ ⟩ ≤  


을 만족시킨다. 만약    이고  ⊆  이며  가   , ⋯ ,  
 ∈ ⟨ ⟩  



 ∈
이 성립한다.  →  ∞ 인 극한을 취하면
 ∈
‖
여기서 합은 가산 개의 양수들의 합이다.
합 기호
‖

이 성립한다. 이것은 부분합
이다. 그런데 피타고라스의 정리에 의하여
‖ ⟨ ⟩ ‖
‖
    ≤ 
 ∈
∞
 을 임의 개수의 합으로 확장하면 편리하다.  가 임
⟨ ⟩ 
 

⟨ ⟩
 ∈
‖

≤
을 얻는다.
의의 집합이고  가 노름선형공간이며    →  가 임의의 함
수라고 하자. 만약  의 유한부분집합  에 대한 합
□
선형대수학의 정리에 의하면 임의의 벡터공간은 기저를 가진다.
   
즉 주어진 벡터공간의 일차독립 부분집합들의 모임에 포함 관계
 ∈
로서의 순서관계가 주어졌다고 하자. 이때 Hausdorff의 극대 원
가  에 수렴하면 기호로
리에 의하여 그러한 일차독립 부분집합들 중 극대원이 존재한다.
     
그 극대원이 곧 기저가 된다. 내적공간에서도 동일한 방법으로
 ∈
로 나타낸다. 즉,  의 임의의 근방  에 대하여 유한부분집합
정규직교기저가 존재함을 증명할 수 있다.
 ⊆  가 존재하여  을 포함하고  에 포함되는 임의의  에
이렇게 임의의 벡터공간에 기저가 존재하긴 하지만 차원이 무한
대하여


인 경우에는 기저를 실제로 구성하는 것이 매우 어렵거나 불가
   ∈
능한 경우가 많다.
 ∈
가 성립하면     ∈  의 급수가  에 수렴한다고 말한다.
위 정리와 같이 노름선형공간에서는 무한히 많은 원소의 일차
  ℕ 인 경우 이것은 절대수렴과 동치이다.
결합을 생각하는 경우가 많다. 이렇게 무한 기저와 유한 기저를
구분하기 위하여 유한 기저를 Hamel 기저라고 부를 것이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
149
∙ ∙ ∙ 함수해석학
이제 Hilbert 공간에서의 정규직교기저에 대하여 논의하자. 정의
임의의   함수  에 대하여
에 의하여 극대인 정규직교집합이 존재한다. 또한 Zorn의 보조

   
정리에 의하여 그러한 집합은 기저로 확장될 수 있으므로 정규

  ≔⟨  ⟩
직교기저가 존재한다.  가 그러한 정규직교기저이며  ∈ 이면
라고 정의하면  는   -수렴하는 Fourier 급수

 


∞
⟨ ⟩
   
 ∈
   

  ∞
가 성립한다. 이때  와   ∈ 와의 내적은 ⟨  ⟩가 된다. 따
로 표현된다. Hilbert 공간의 관점에서 보았을 때 Fourier 급수
라서
이론은 상당히 단순해진다. 만약 점별수렴, 균등수렴, ae 수렴,
 ≔
  ,   등 여러 가지 위상에서의 수렴을 생각할 때 더욱 복잡
⟨ ⟩
 ∈
한 내용이 등장하게 된다.
는  와 직교하고, 만약  가  이 아니면   를  에 포함시켜
 가 Banach 공간  의 부분집합이라고 하자. 만약 임의의
더 큰 정규직교집합을 얻을 수 있다.
 ∈ 에 대하여

우리는 임의의  ∈ 에 대하여  이 아닌 원소의 개수가 가산인
 ∈ℝ 들이 존재하여  
  가 됨을 증명하였다. 이때 각



를 만족시키는 함수    → ℝ 가 유일하게 존재할 때  를 
 는  ⟨ ⟩로서 유일하게 결정되며, 또한 등식
  
 
 ∈
의 Schauder 기저라고 부른다. Hilbert 공간의 정규직교기저는
Schauder 기저의 한 예가 된다. Schauder는    의


Schauder 기저를 구성하였으며, 그 외에도 많은 가분 Banach
이 성립한다.
공간들의 Schauder 기저가 발견되었다. Schauder 기저를 갖는
정규직교기저의 개념은 Hilbert 공간의 차원을 정규직교기저의
Banach 공간은 반드시 가분이며 근사 성질을 가짐이 알려져 있
기수로서 정의할 수 있게 해준다. 이것이 잘 정의된 것이려면 동
다. 그러나 1973년 Per Enflo에 의하여 가분이지만 Schauder
일한 Hilbert 공간의 임의의 서로 다른 두 기저의 기수가 같음을
기저를 갖지 않는 공간이 존재함이 밝혀졌다.
보여야 한다. Hilbert 공간의 차원이 유한인 경우 이것은 자명하
다. 이제  가 무한 차원 Hilbert 공간이고  와  가 정규직교
4. 선형작용소
기저라고 하자.  이 아닌 임의의  ∈ 에 대하여 ⟨ ⟩≠ 
정의역과 공역이 노름선형공간인 함수를 작용소(operator)라고 부
인  ∈ 가 적어도 하나 이상 존재한다. 따라서
⊆
른다. 노름선형공간  로부터  로의 유계선형작용소들의 모임
  ∈ ⟨ ⟩≠ 
을     로 표기한다. 또한 작용소    →  가 단위구
 ∈
     ∈    에서 유계일 때  를 유계(bounded)라
이 성립한다. 즉  는  의 기수(cardinal number)와 같은 개수만큼
고 부른다. 정의에 의하여  가 유계일 필요충분조건은 양수  가
의 가산 집합의 합집합이다. 따라서  ≤ ℵ    가 성립
존재하여 임의의  ∈ 에 대하여
한다. 동일한 방법으로  ≤  가 성립함을 보일 수 있다.
    ≤   
(4a)
 가 임의로 주어진 집합이라고 하자. 이때 많아야 가산인 원소
를 만족시키는 것이며, 또한 이 조건의 필요충분조건은  가 임
들에 대하여  이 아니고 부등식
의의 유계구(bounded ball)에서 유계인 것이다. 더욱이 다음이 성

 ∈
립한다.
   ∞
정리 4.1 작용소    →  에 대하여 다음은 서로 동치이다.
을 만족시키는 함수    → ℝ 들의 모임     를 Hilbert 공
(1)  는  위에서 연속이다.
간으로 생각할 수 있다. 이로써 기저를 통해 임의의 Hilbert 공
(2)  는  에서 연속이다.
간에 대하여 그 공간과      를 대응시키는 노름 보존 동형사
(3)  는  의 적당한 점에서 연속이다.
상이 존재한다. 따라서 각 기수에 대하여 그 기수를 차원으로 갖
(4)  는 유계이다.
는 Hilbert 공간은 유일하게 결정된다. 특히 무한차원 가분
증명 명백히 (1)⇒ (2)⇒ (3), (4)⇒ (2)가 성립한다.
Hilbert 공간은 유일하게 존재한다.
이제 (3)⇒ (1)이 성립함을 보이자.  가  에서 연속이고  ∈
무한차원 Hilbert 공간의 정규직교기저로서 가장 잘 알려진 예는
라고 하자. 만약  →  이면       →  이다. 따라서
함수
    lim        lim          
    exp
→∞
→∞
 lim          
들의 모임일 것이다. 이 함수들의 모임은 복소체 위에서
→∞
이다. 즉 lim       이므로  는  에서 연속이다.

   의 기저가 된다.   들의 모임이 정규직교임은 자명하
→∞
며, Weierstrass 근사 정리에 의하여 극대인 정규직교 집합이
끝으로 (2)⇒ (4)가 성립함을 보이자.  가  에서 연속이므로 적
된다.
당한 양수  가 존재하여     일 때마다       이 성
립한다. 이제  ∈ 이고    이라고 하자.
강의노트 ∙ ∙ ∙
150
∙ ∙ ∙ 함수해석학
5. Hahn-Banach의 정리
그러면           이다. 따라서
‖ 

  
   

   
‖  
   
쌍대공간의 성질을 밝히는 데에 중요한 도구 중 하나가
Hahn-Banach의 정리이다. 이 정리는 비자명 노름선형공간의
이므로
쌍대공간은 비자명임을 말해준다. [이때 노름은 매우 중요한 역

          

할을 한다. 예를 들어      일 때   공간 위에서는 영이
아닌 연속 선형범함수가 존재하지 않는다.]
이 성립한다. 여기서  →  인 극한을 취하면     에 대하여
부등식 (4a)를 얻는다. 따라서  는 유계이다.
□
정리 5.1  가 노름선형공간의 부분공간에서 정의된 유계 선형
범함수이면  는 그 노름을 유지한 채 전체 공간으로 확장될 수
노름선형공간  ,  에 대하여     도 벡터 공간으로 생각
있다. 이 명제를 Hahn-Banach 정리라고 부른다.
할 수 있다. 특히      위에서는 함수의 합성으로서 곱을
정의할 수도 있다. 또한      위에 적절한 노름을 정의할
보통 노름의 존재성과 선형성 사이에 관련이 있는 경우는 많지
수 있다.
않다. 대신 선형성을 조금 약화시키면 노름과 연관하여 유용하게
사용할 수 있다. 벡터 공간  에 대하여 함수    → ℝ 가 주
정리 4.2  가 노름선형공간이고  가 Banach 공간이라고 하
어졌다고 하자. 만약 임의의   ∈ 와  ≥  에 대하여
자. 이때  ∈    의 노름을
      sup      ∈  ≠ 
   ≤   
(4b)
그리고    
가 성립하면  는 부분선형(sublinear)이라고 말한다.
으로 정의하면      는 Banach 공간이다.
증명      가 완비임을 증명하자.   이     에서
정리
5.2  가 벡터 공간이고  가  의 부분공간이며 함수
의 Cauchy 수열이라고 하자. 그러면 각  ∈ 에 대하여
   → ℝ 가 선형사상이라고 하자. 만약 부분선형 범함수
  는  에서의 Cauchy 수열이다. 따라서 적당한 점  에
   → ℝ 가 존재하여 임의의  ∈ 에 대하여  ≤ 
수렴한다. 이때 명백히  는 선형이다. 실수열
를 만족시키면  는 동일한 부등식을 만족시키면서  전체에 확
 은
장될 수 있다. 이 명제를 일반화된 Hahn-Banach 정리라고 부
Cauchy 수열이므로 유계이다.   ≤  라고 하자. 그러면
른다.
  ≤  가 성립하므로  는 유계이다.
증명  를  의 생성 ⟨⟩로 확장한 후 한 점  ∈ ∖ 에서
이제     →  임을 보이자. 부등식
     sup       sup
 ≤ 
 ≤  가 성립함을 보이면 충분하다. 그 후엔 Zorn의 보
lim     
조정리를 이용하여  전체 공간으로 확장할 수 있기 때문이다.
 ≤   → ∞
임의의 ∈ℝ 와  ∈ 에 대하여     ≤     가 성
 sup 
lim      ≤ 
lim   
 ≤   → ∞
→∞
이 성립하므로         을 얻는다.
lim
→∞

립하도록    을 정의해야 한다.    인 경우는 자명하다. 일
□
반성을 잃지 않고  ±  이라고 하자. 이제 임의의  ∈ 에 대
하여 부등식
참고로      의 노름 (2)는 다음과 같이 정의될 수도 있다.
          ≤    ≤         
      in f ∈ℝ  ∀ ∈      ≤   
를 만족시키도록    ∈ℝ 를 정하면 된다. 그런데 임의의
이 노름은 (4b)와 동일한 노름이다.
    ∈ 에 대하여
 ∈    이고  ∈    이면
            ≤           
 ≔  ∘  ∈   
가 성립하므로 그러한    가 존재하게 된다.
이고
     ≤          
□
따름정리 5.3  가 노름선형공간이고  ∈ 이면  ∈  가 존
재하여     이면서       를 만족시킨다.
이다. 특히    ≔      는 Banach 대수이다. 이때의 곱
연산은 함수의 합성이며 비가환이고 연속인 연산이다.
따름정리 5.4
정의역이 벡터공간  이고 공역이 체인 함수를 범함수(functional)
 가 노름선형공간이고  가 닫힌부분공간이며
 ∈ 이면 노름이 1인 범함수 ∈  가 존재하여   
 
라고 부른다. 또한 정의역이 노름선형공간  인 유계 범함수들의
를 만족시킨다.
모임     를  의 쌍대공간(dual space)라고 부르며   로
표기한다. 여기서  는 ℝ 또는 ℂ 가 될 수 있다. 이때 노름선
형공간  가 완비인지의 여부에 상관없이 그 쌍대공간   는 항
상 완비가 된다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
151
∙ ∙ ∙ 함수해석학
6. 쌍대공간
뒤에서   위에서의 범약위상(weak*-topology)을 도입한 후 위와
 와  가 노름선형공간이고  가  로부터  로의 함수라고 하
같은 결과를 그대로 사용할 것이다. 특히    는   의 부분공
이때 자연스럽게 임의의  ∈  와  ∈ 에 대하여
간  의 범약 폐포이며,  가 일대일함수일 필요충분조건은  
자.
가 범약 조밀한 치역을 갖는 것이 된다.
         로 대응시키는 사상      →   를 생각



할 수 있다. 특히  ∈    이면  ∈     이다.
더욱이
7. 여러 가지 쌍대공간
             
(6a)
이제 여러 가지 공간의 쌍대공간을 살펴보자.
가 성립한다. 이것을 증명해보자. 먼저
           ≤      

보기 7.1 부분공간의 쌍대공간
 가  의 닫힌부분공간이고 
가 포함함수    →  인 경우가 매우 중요하다. 그러면

이므로    ≤     가 성립한다. 따라서  는 유계이고
     →  
   ≤   를 얻는다. 이번엔  ∈ 라고 하자. 그러면  ∈ 
이것을
는 바로      로 정의된 제한사상이 된다. Hahn-
   에 적용하자. 여기서  는  의 임의의 원소이다. 그러면
Banach 정리에 의하면  는 위에로의 함수이다. 또한 명백히
가 존재하여        ,
    을 만족시킨다.
      이다. 따라서 자연스러운 동형사상
            ≤             
     →  
를 얻는다. 따라서   ≤    가 성립한다.
를 얻는다. 사실 Hahn-Banach 정리 자체가 두 공간이 동형임
참고로  ∈     ,  ∈    이면        이
을 보이는 정리이다. 즉  의 쌍대공간   는    와 같다고
다.
할 수 있다.
 가 Banach 공간이고  가 부분집합일 때  의 소멸자(annihilator)를
보기
    ∈       for all  ∈ 
7.2 상공간의 쌍대공간
 가  의 닫힌부분공간이고
   →   가 사영사상이라고 하자. 이때 7.1에서와 같은 방
로 정의한다.  가   의 부분집합일 때
법으로       →   를 얻는다.  는 위에로의 함수이므

   ∈      for all  ∈ 
로   는 일대일이며 치역은   에 포함된다. 사실 우리는 이미
로 정의한다.   는   의 부분집합이고  는   의 부분집합
  가     로부터   위에로의 함수임을 밝혔으며 따라서
이다. 소멸자는 모두 닫힌부분공간이 된다.
  와   는 동형이다.  ∈  이면  ∈   가 존재하
 ⊆
여    ∘  가 성립한다. 여기서  는 잉여류  의 한 원소  에
 가 성립한다. 또한  ⊆  일 때  ⊆     가 성립하며
대하여        로 정의된 함수이다. 따라서     는  
 ⊆  ⊆  이면   ⊆   이며,  ⊆  ⊆   이면


의 치역 안에 놓이게 된다. 이러한 대응 역시 동형사상이 된다.
 ⊆   일 때  ⊆   가 성립한다. Hahn-Banach의 정리
에 의하면  가  의 닫힌부분공간일 때        가 성립한다.
보기 7.3 Hilbert 공간의 쌍대공간
그러나  가   의 닫힌부분공간일지라도  ⊊  일 수 있다.
쌍대공간의 형태를 밝히는
과정은 다소 까다로운 경우가 많다. 그러나 Hilbert 공간의 쌍대
 ⊆  에 대하여     는  를 포함하는 가장 작은  의 닫힌
공간의 형태를 밝히는 것은 비교적 쉽다.
부분공간이 된다. 그러한 닫힌부분공간을  의 생성(span)의 폐포
(closure)라고 부른다.
정리 7.4  가 Hilbert 공간이고 함수    →   가   

   →  가 유계선형 작용소이고  ∈ 라고 하자. 그러면
⟨ ⟩로 정의되었다고 하자. 만약 체가 실수집합이면  는 
임의의  ∈ 에 대하여       일 필요충분조건은 임의의
로부터   위에로의 선형 동형사상이다. 만약 체가 복소수 집합
 ∈ 에 대하여        인 것이며, 또한 그러할 필요충분
이면  는  로부터  

  가 성립한다. 이 명제를 Riesz 표현 정리라고 부른다.
  
조건은     인 것이다. 즉


       
증명  가  로부터   에로의 동형사상임은 쉽게 증명된다. 이
이다. 또한  ∈ 에 대하여     일 필요충분조건은 임의의
제 임의의  ∈  에 대하여  가 존재하여    임을 보이자.
 ∈  에 대하여       인 것이며, 그러할 필요충분조건은
 이고 따라서   가  의 진부분 닫
일반성을 잃지 않고 
임의의  ∈  에 대하여       인 것이다. 즉

위에로의 복소선형 동형사상이며
힌집합이라고 가정하자.  ∈ ⊥ 의 노름이 1이고  
         
이다. 한편 소멸자에 관한 다음과 같은 또 다른 등식을 얻을 수
   이라고 하자. 임의의  ∈ 에 대하여    ∈
있다.
  이므로

    ⊆   
       , 
   ⟨   ⟩ ⟨   ⟩ ⟨ ⟩ 
특히   가 일대일함수일 필요충분조건은  가 조밀한 치역을
가 성립한다.
□
갖는 것이며,  가 일대일함수일 충분조건은   가 조밀한 치역
을 갖는 것이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
152
∙ ∙ ∙ 함수해석학
사상  를 통하여   위에 내적을 정의할 수 있으며,   는
보기 7.8  의 쌍대공간 앞서 살펴본 방법으로 수열 공간   의
Hilbert 공간이 된다.
쌍대공간을 밝힐 수 있다. 이제  의 쌍대공간이   임을 밝히자.
참고로  가  의 닫힌부분공간이면  ∈ ⊥ 일 필요충분조건은
임의의    ∈ 와    ∈  에 대하여
   
 ∈  인 것이다. Riesz 사상  는 종종  와   를 동일시하는
⊥
 
 
으로 정의하자. 명백히

데에 사용된다. 이러한 사상의 관점에서  와  는 동일한 공
       
    ≤ sup 
간이라고 할 수 있다.



이 성립하므로   ≤   을 얻는다. 여기서

보기 7.5    의 쌍대공간 Riesz 표현 정리는 두 가지 종류
 
가 있는데 앞서 소개한 것은 그 중 더 단순한 것이다. 더 복잡한
Riesz 표현 정리는  가 ℝ 의 긴밀 부분집합일 때   의
 if  ≤ 
sign

if   

일 때에 등식이 성립함을 알 수 있다. 따라서     →  은 일

쌍대공간에 대하여 설명한다. 즉   와  에 유한 가부호 측
대일 준동형사상이다. 이제 이 사상이 위에로의 함수임을 밝히
도가 주어진 공간과 서로 동형이다. 여기서 유한 가부호 측도란,
자.  ∈ 에 대하여       으로 정의하자. 여기서   은
유한측도  에 대하여      의 형태로 정의된 측도  를

 
   으로 정의된 수열    을 의미한다.    sign 
의미한다. 이때    에서는
↦

  


이라고 하자. 그러면          이므로
 
               ≤ 


와 같은 범함수들을 생각할 수 있다. 이것은 실수공간의 경우이

 




 



며 복소공간의 경우에는  에 유한 가부호 측도  와  에 대하
가 성립한다.  → ∞ 인 극한을 취하면  ∈  이 성립함을 알
여     로 정의된 측도가 주어진 공간과 서로 동형이다.
수 있다. 이제  는 유한 개의 항만이 0인 임의의 수열에 대하
여  와 동일하게 정의되었다. 그런데 그러한 수열들의 모임은
보기 7.6   의 쌍대공간 쌍대공간의 임의 원소의 표현(representation)을 밝히는 것은 어렵지 않다.
 에서 조밀하므로    이다.
    에서 해보자.
사상  ↦   ′  은   로부터  ×  의 닫힌부분공간 위에로
보기 7.9 제 2 쌍대공간
의 동형사상이 된다. Hahn-Banach 정리에 의하여      의 임
 ∈ 와  ∈ 에 대하여
의의 원소는  ×  위에서 정의된 범함수로 확장될 수 있다.
    
즉 이것은,  와  가 가부호 측도일 때
   ↦
 가 노름선형공간이면 자연스럽게

로 정의되는 사상    →   를 얻는다. 명백히   ≤   이
      
며, Hahn-Banach 정리에 의하여 등식이 성립한다. 따라서  는

  의 적당한 부분공간과 동형이다.   에서    의 폐포를
의 꼴로 나타난다. 따라서 
위에서의 임의의 연속 선형범함수

 로 표기하면,  는 Banach 공간 
 의 조밀한 부분공간과 동형
는
↦
      ′ 
 는  의 완비화(completion)와 동형이 된다. 즉 임
이다. 이로써 
의의 노름선형공간은 완비화를 가진다.
의 꼴이 된다. 이러한 표현에서 측도  와  가 유일하게 결정되
만약  가 위에로의 함수라면, 즉 이 사상에 의하여  가   가
는 것은 아니다.
동형이 되면,  는 반사적(reflexive)이라고 말한다.  가 완비일

때에만 반사적일 수 있다.
보기 7.7  의 쌍대공간 Hölder의 부등식에 의하면  ,  가 
 
이상인 실수이고      일 때 임의의  ∈  ,  ∈  에 대
 
하여



Riesz 동형사상이면     ∘  이고 따라서  가 반사적이 됨을
알 수 있다.

비슷한 방법으로,   로부터      에로의 동형사상과   로부터
가 성립한다. 따라서 함수  ↦  가
  

공간이고
   →  가 Riesz 동형사상이며    →  가   의
   ≤    

특히  가 Hilbert
   에로의 동형사상을 결합하여   로부터    에로의 동형
 
사상을 구성할 수 있다. 따라서     ∞ 일 때   와   는 반
에 대응시킬 때,  는   를    에     ≤    로써 대응
사적임을 알 수 있다. 반면   ,   ,  ∞ ,  ∞ ,  ,    는 모
시키는 선형사상이 된다. 원소   sign     에 의하여 이
두 비반사적이다.
부등식에 등식이 성립하는 경우가 존재함이 밝혀진다. 실제로
 가 반사적이면  ⊆   에 대하여       이다. 즉  와
  ∞ 인 경우  는   와    사이의 동형사상이다.   ∞
  를 동일시하면 두 종류의 소멸자는 서로 구분할 필요가 없
인 경우  는 일대일인 준동형사상이다. 따라서  가 유한인 경

어진다. 특히 Banach 공간에서는         이며  가 일
우   의 쌍대공간은   이다.  ∞ 의 쌍대공간은   보다도 큰
대일함수일 필요충분조건은   가 조밀한 치역을 갖는 것이다.
공간이 되는데 거의 사용되지 않는다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
153
∙ ∙ ∙ 함수해석학
8. Baire의 범주 정리
정리 9.2
 가 거리공간  의 부분집합이고 
   이면  는  에서 조밀
유계 선형작용소이면  는 열린사상이다. 이 명제를 열린사상 정
 ,  가 Banach 공간이고    →  가 위에로인
리라고 부른다.
하다고 말한다. 또한  의 폐포의 여집합의 폐포가  과 같으면
 는  의 어느 곳에서도 조밀하지 않다고 말한다.
증명  을 중심으로 한 열린구의  에 관한 이미지가  을 포함
하는 적당한 열린구를 포함함을 증명하면 충분하다. 집합
 가 거리공간  의 부분집합이라고 하자. 만약  가 어디서도
      ∈ℕ이  를 덮으므로 그중 적어도 한 원소
조밀하지 않은 집합들의 가산합집합이면  를  에서 제 1 범주
의 폐포는 열린구를 포함한다. 보조정리에 의하여 그 원소의 폐
(first category) 집합이라고 부른다.  가  에서 제 1 범주의 집
포가 열린구의 폐포를 포함한다. 이때  의 선형성에 의하여 정
합이 아니면  를 제 2 범주(second category) 집합이라고 부른다.
리가 증명된다.
□
정리 8.1  이 완비인 거리공간이면  은  에서 제 2 범주의
열린사상 정리의 따름 정리로서 서로 동치인 다음 두 명제가 있
집합이다. 즉 완비인 거리공간은 어떤 곳에서도 조밀하지 않은
다.
집합들의 가산 합으로 표현될 수 없다. 이 명제를 Baire의 범주
정리라고 부른다.
따름정리 9.3 Banach 공간 사이의 유계 선형작용소가 가역이
증명 결론에 반하여 어떠한 열린집합도 포함하지 않는 가산 개
면 그 역함수도 연속이다. 이 명제를 역함수 정리 또는 Banach
의 닫힌집합들  이 존재하여 그들의 합이  과 같다고 하자.
의 정리라고 부른다.
 는  의 진부분 닫힌집합이므로  ∈ 과  ∈  이 존
증명 유계 선형작용소는 열린사상이므로 그 역함수는 연속이다.
재하여     ⊆ ∖ 을 만족시킨다. 어떠한 열린구도
 에 포함되지 않으므로  ∈   과  ∈  가
따름정리 9.4 Banach 공간 사이의 선형 작용소가 연속일 필요
존재하여     ⊆ ∖ 을 만족시킨다. 동일한 방법으로
충분조건은 그 그래프가 닫힌집합인 것이다. 이 명제를 닫힌 그
축소열린구열을 구성하여  번째 항의 반지름이   이하이고
래프 정리라고 부른다.
 과 서로소가 되도록 할 수 있다. 그러한 열린구들의 중심은
Cauchy 수열을 이루며  이 완비이므로 적당한 점  에 수렴한
두 위상공간 사이의 사상이 닫힌사상이라 함은 그 그래프가 닫
다. 그러나  는 어떠한  의 원소도 아니므로 모순이다.
힌집합임을 의미한다. Hausdorff 공간에서 이 조건은 연속성보
□
다 약한 조건이지만, 위 정리는 Banach 공간에서 두 조건이 서
로 동치임을 말하고 있다. 보통 함수  가 연속임을 보이기 위해
9. 열린사상 정리
서는  에 수렴하는 임의의 수열  에 대하여  이  
범주 정리를 이용하여 열린사상 정리를 이끌어낼 수 있다. 먼저
에 수렴함을 보여야 한다. 이때 닫힌 그래프 정리를 이용하면
다음 보조정리가 필요하다.
 이 수렴성을 가정한 채 그 극한을  라고 하고    만
보이면 된다.
보조정리 9.1    →  가 유계 선형작용소라고 하자. 만약
     을 만족
적당한    가 존재하여      ⊆ 
따름정리 9.4의 증명  ,  가 Banach 공간이고    →  가


시키면     ⊆       가 성립한다.
증명
선형 작용소이며 그 그래프를       ∈  라고 하자.
이때  ⊆  ×  로부터  에로의 사영사상     ↦  를
       ,  ∈ ,     라고 하자. 그러면
생각할 수 있는데, 이 사상은 유계인 선형작용소가 된다. 이 사상
 ∈ 가 존재하여
은 특히 일대일 대응이므로 Banach의 정리에 의하여 그 역함수

    ≤ 

도 연속이다. 그런데 그 역함수와  ×  로부터  로의 연속 사
영사상과의 합성은  이므로  는 연속이다.
를 만족시킨다. 같은 방법으로  ∈  가 존재하여

      ≤ 

Banach의 정리를 응용하면 Banach

        ≤ 

정리 9.5 정리 6
   을 만족시키는  ∈  를 택하고  


수  가 존재하여 임의의  ∈ 에 대하여   ≤      를 만족
  ∈
시키는 것이다.
   가 성립한다. □
증명 만약 그러한 부등식이 성립한다면  는 당연히 일대일 대
응이다. 이때   이     에서의 Cauchy 수열이면  도
위 정리에서  를  보다 큰 어떠한 수로 바꾸든 위 명제는 참이
Cauchy 수열이고 적당한  ∈ 에 수렴한다. 따라서  도
다. 또한 적당한 조건을 추가하면  를  로 바꾼 명제를 증명할
 에 수렴하므로    는 닫힌집합이다.
수도 있다. 그러나 여기서는 위와 같은 정리만으로 충분하다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
   →  가 유계 선형작용소라고 하자.
이때  가 일대일 대응이고 닫힌치역을 가질 필요충분조건은 양
 을 구성할 수 있다.
라고 하자. 그러면   ≤  이고  
공간의 폐매입(closed
imbedding)의 특성에 관한 유용한 정리를 이끌어낼 수 있다.
를 만족시키며,  ∈  가 존재하여
를 만족시킨다. 같은 방법으로
□
154
∙ ∙ ∙ 함수해석학
특히  에서  의 Fourier 급수의  번째 부분합의 값은
역을 증명하기 위하여  가 일대일 대응이고 닫힌치역을 가진다
고 하자. 그러면 역함수 


    →  는 유계인 동형사상
  ≔   
의 역함수이므로 연속이다. 따라서  를    의 노름으로 택하면
정리의 부등식이 성립한다.
    


이다. 이때   을 1-주기 연속함수들의 모임에 상한 노름이 주
□
어진 Banach 공간 위에서의 선형범함수로서 생각할 수 있다. 명
백히
Banach 정리의 또 다른 따름정리는, Banach 공간은 서로 동치

인 약한 노름(weaker norm)과 강한 노름(stronger norm)을 가질 수
  
 ≤  ≔
있으며 그러한 노름 위에서도 Banach 공간이 되는 것이다. 이것
성립한다.
만약


  sign   이면
sup   이고
은 Banach의 정리를 항등함수에 적용함으로써 곧바로 얻을 수
가
있다.
    이다.  는 연속이 아니지만 연속함수열로 충분히 근사
시킬 수 있다. 그러한 연속함수열을 이용하면     이 성립
함이 증명된다. 적분을 계산하면
10. 균등유계 원리

    ∞
Banach-Steinhaus의 정리라고도 불리는 균등유계 원리는 Baire
lim
의 범주 정리로부터 얻어진다.
→∞


임을 알 수 있다. 따라서 균등유계 원리에 의하여    에서
Fourier 급수가 발산하는 연속 주기함수가 존재한다.
정리 10.1  ,  가 Banach 공간이고  ⊆     라고 하
자. 만약 임의의  ∈ 에 대하여
sup   ∞
11. 닫힌치역 정리
∈
이제 열린사상 정리를 이용하여  와   의 관계를 설명해보자.
이면
Banach 공간 사이의 작용소가 닫힌치역(closed range)을 갖는지
sup    ∞
의 여부는 그 작용소의 구조를 밝히는 데에 깊이 연관된 성질이
∈
다. 만약    →  가 닫힌치역  를 가지면,  는 그 자체로
가 성립한다. 이 명제를 균등유계 원리라고 부른다.
서 Banach 공간이 되며,  는  로부터     에로의 사영
증명 닫힌집합       ≤  for all   들 중 적어도 하나
사상으로써,     로부터  에로의 동형사상이 되며  ⊆ 
에 대하여 적당한  ∈ 와    이 존재하여 그 닫힌집합이
가 성립한다. 닫힌치역 정리에 의하면  가 닫힌치역을 가질 필
    를 포함한다. 따라서     이면
요충분조건은   가 닫힌치역을 갖는 것이다.
    ≤          ≤   sup    
이며 여기서  은  에 독립적이다. 따라서   은   에 의
정리 11.1    →  가 유계 선형 작용소라고 하자. 이때 
하여 균등 유계이다.
가 가역일 필요충분조건은   가 가역인 것이다.
□
증명
위 정리를 한 줄로 요약하면 다음과 같다: Banach 공간 사이의
       →  가 존재하면    이고    이
선형 작용소들의 집합이 점별 유계이면 노름 유계이다.
므로       이고       이다. 따라서   는 가역이다.
균등유계 원리는 종종 반례를 만드는 데에 사용된다. Fourier 급
이제 역을 증명하자. 만약   가 가역이라면 열린사상이므로 양
수에서의 예를 살펴보자. 연속이고 주기가 1인 함수   ℝ →
수  가 존재하여        이       에 포함된다. 따라
ℂ의 Fourier 급수의  번째 부분합은
서  ∈ 에 대하여


  


  
  
  
     sup       ∈    
  
 sup      ∈    
    



≥ sup      ∈          
이다. 여기서
가 성립한다. 임의의  ∈ 에 대하여

   

 
   ≥   
  
이다. 정의에 의하여

를 만족시키는 양수  의 존재성은  가 닫힌치역을 갖는 일대일


   
  



  
        
sin   


 

sin
 


 
함수인 것과 동치이다. 그런데   가 일대일이므로  는 조밀한
를 얻는다. 따라서  은  ∞ 급인 주기함수가 되는데, 이 함수
□
보조정리 11.2
   →  가 Banach 공간 사이의 선형사상

이고  가 일대일이며 닫힌치역을 가진다고 하자. 그러면  는
 을 Dirichlet 핵이라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
치역을 가진다.
전사이다.
155
∙ ∙ ∙ 함수해석학
 라고 하자.  가 원점
증명  가  의 단위닫힌구이고   
특히 수열  이 임의의  ∈  에 대하여    →   를
을 포함하는 구를 포함함을 증명하기만 하면 보조정리 9.1에 의
만족시킬 때  은  에 약수렴한다고 말하며
하여  는 전사가 된다.

  
양수  가 존재하여 임의의  ∈  에 대하여    ≥    를
로 표기한다. 따라서 약위상은 일반적인 노름 위상보다 더 약하
만족시킨다. 이제  의 중심을 포함하고 반지름이  인 구를 
가 포함함을 보이자. 만약 그렇지 않다고 가정하면  ∈ 가 존
지만,  에 약위상이 주어졌을 때   의 원소들은 모두 연속성
재하여   ≤  이지만  ∉  이다.  가 닫힌볼록집합이므로
을 유지한다. [사실 약위상의 정의는   의 원소들의 모두 연속
 ∈  가 존재하여 임의의  ∈ 와      에 대하여
이 되게 하는 가장 작은 위상이다.]
     ≤  를 만족시킨다. 따라서     이지만
반면에 약위상 공간의 열린집합은 더 크다.  가 무한차원공간
   sup  ∈ sup   ∈≤ 


이므로 모순이다.
Banach 공간에서  의 약근방이면, 정의에 의하여, 양수  과 무
□
한히 많은 범함수  ∈  가 존재하여 집합       이
 에 포함된다. 따라서  는 무한차원 닫힌부분공간   ∩
정리 11.3    →  가 유계 선형 작용소라고 하자.  가 닫
⋯ ∩  ∩ ⋯ 을 포함하게 된다.
힌치역을 가질 필요충분조건은   가 닫힌치역을 갖는 것이다.
이 명제를 닫힌치역 정리라고 부른다.
정리 12.1 Banach 공간 위에서 약수렴하는 수열은 노름 유계
증명       가 닫힌집합이라고 하자. 역함수 정리에 의하
      →  는 동형사상이다. 이때 다이어그램
여


이다.
역으로  의 노름이 충분히 작으면  의 약극한도 작아진다.


정리
∪
12.2 만약 Banach 공간에서  이  에 약수렴하면
 ≤ lim  이 성립한다.
≅


  
→∞

증명 1-노름에 대하여    인  ∈  를 택한다. 그러면

은 교환(commute)한다. 여기서 각 공간의 쌍대공간과 각 선형사
  ≤  이다. 부등식의 양변에 극한을 취하면 정리의 결과
상의 수반사상(adjoint)을 취함으로써
를 얻는다.




볼록집합(특히 부분공간)에 대해서는 약폐포와 폐포는 서로 동일
하다.

∪
≅


  
□
정리 12.3 볼록집합은 다음과 같은 성질을 가진다.
  
(1) 볼록집합의 약폐포는 노름폐포와 동일하다.
을 얻는다. 따라서          가 성립하므로     는
(2) 볼록집합이 약닫힌집합일 필요충분조건은 노름닫힌집합인
닫힌집합이다.
것이다.
이제 역을 증명하기 위하여     가 닫힌집합이라고 하자.

   라고 하자. 그러면         이다. 또한  의 치

(3) 볼록집합이 약조밀할 필요충분조건은 노름조밀한 것이다.
역제한사상을    →  라고 하자. 그러면  의 수반사상은
명백히 약폐포는 노름폐포를 포함한다. 이제 노름폐포가 약폐포








증명 (2)와 (3)은 (1)로부터 추론된다. 따라서 (1)만 증명한다.
를 포함함을 증명하자.  가  의 노름폐포에 속하지 않는다고

    →  이며,  는  가   위에서 정의되도록
한다. 이제         는 닫힌집합이고  는 일대일이다.
하자. 그러면 볼록분리정리(convex separation)에 의하여  의 약근
또한 보조정리에 의하여  는  위에로의 전사함수이다. 따라서
방이 존재하여  와 만나지 않는다.



   는 닫힌집합이다.
□
□
위 정리의 증명에서 사용된 볼록분리정리는 다음과 같은 정리이다.
12. 약위상
정리 12.4  가 공집합이 아니고 Banach 공간  의 닫힌부분
 가 Banach 공간이라고 하자. 각  ∈  에 대하여 사상
볼록집합이며  가  밖의 한 점이라고 하자. 그러면  ∈  가

 ↦    는  위에서의 노름이며,  ∈ 에 따른 그러한
존재하여
모든 노름들의 모임은 Hahn-Banach 정리의 조건을 만족시킨다.
  in f 
 ∈
따라서 그러한 노름들의 모임을 이용하여  를 TVS가 되도록
를 만족시킨다.
새로운 구조를 줄 수 있다. 이것을  위에서의 약위상(weak
topology)이라고 부른다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
156
∙ ∙ ∙ 함수해석학
여기서는 더 강력한 다음 정리를 증명하겠다.
약수렴과 범약수렴의 예는 다음과 같은 것들이 있다.
정리 12.5 Banach 공간  위에서  와  가 공집합이 아니고
보기 13.1 ℝ 의 유계 부분집합  에 대하여   에서의 약
서로소인 볼록집합이고  가 열린집합이라고 하자. 그러면
수렴을 생각하자.   의 쌍대공간의 특성화로부터  ≤  ≤  
 ∈  가 존재하여 임의의  ∈ 에 대하여
∞일 때
  in f 


를 만족시킨다.
증명

  ∈ ∞ ⇒    weak in  
 ∈

⇒    weak in  
일반화된 Hahn-Banach 정리를 이용하여 증명한다.
를 얻는다. 특히  → ∞ 일 때  ∞  에서
 ∈ ,  ∈ 를 택하고       ,         라고


   
하자. 그러면  는 볼록집합이고  을 포함하지만   는 포함하지
이 성립한다. 간단히 말하면 임의의 ∈   에 대하여
않는다. 여기서  의 볼록성은  와  의 성질로부터 곧바로 얻
어진다.  가 열린집합이라는 사실은   ∪ ∈     
lim

 
→∞
가 열린집합들의 합집합이라는 사실로부터 얻어진다. 또한  와

  

이다. 즉   에서의 Fourier 계수가  에 수렴하는 것이다. 이것
 가 서로소이므로 명백히         ∈ 이고   ∉  가
은 Riemann-Lebesgue의 보조정리로 알려져 있다. 이것의 증명
성립한다.
은 다음과 같다. 만약  가 삼각 다항식이면 당연히 성립한다. 한
 가 볼록열린집합이고  을 포함하므로 각  ∈ 에 대하여
편 Weierstrass 근사 정리에 의하여 삼각다항식들의 집합은
       ∈ 는 공집합이 아니며 반무한인 열린구간이다.
   에서 조밀하고    은    에서 조밀하므
 ∈ ∞ 를 이 구간의 왼쪽 끝점으로 정의하자.  의 정의
로 정리의 결과를 얻는다. 이것이 노름 수렴하지 않는 약 수렴의
는 양의 동차적(positively homogeneous)이다.  가 볼록이므로
첫 번째 예로서, 진동에 의한 약소멸(weak vanishing by oscillation)
   ∈ ,    ∈ 라는 사실로부터
이라고 불린다.
  



             ∈
 
 
□
보기 13.2 두 번째 예는 무한대에 약소멸하는 경우를 들 수 있
를 얻는다. 여기서  는 부분가법적이다. 따라서  는 부분선형인
다. 간단한 예로서     ∞ 일 때   에 속하는 단위벡터들이
범함수이다. 더욱이    ∈   이다.
 에 약수렴함을 알 수 있다. [참고로 이 단위벡터들은  ∞ 에서
≔ℝ  위에서의 선형범함수  를      로 정의한다. 그
범약수렴하지만   에서 약수렴하지는 않는다.]
러면  ≥  에 대하여      ≤        가 성립한다.
더 흥미로운 예가 있다. ∈  ℝ 가   에서 균등유계인 함
따라서  는  위에서  ≤  를 만족시키는 선형범함수
수들의 열이고     ≡  을 만족시킨다고 하자. 이제  
이다. Hahn-Banach 정리에 의하여  는 동일한 부등식을 유지
  ∞일 때   에서  이  에 약수렴함을 보이자. 즉 임의의
한 채  전체로 확장될 수 있다. 따라서  는 열린집합  위에
∈  에 대하여
서  에 의하여 유계이므로  는   에 속한다.
lim
 ∈ 이고  ∈ 이면       ∈ 이므로
ℝ

임을 보여야 한다.    ∈ℝ    ≥ 이라고 하자. 그러면
              
지배수렴 정리에 의하여
즉    이다. 따라서 sup  ∈  ≤ in f  ∈  이다
  가 열린구간이므로 임의의 
 ∈ 에 대하여
lim
    
→∞

  sup 


이 성립한다. 따라서
 ∈
가 성립한다. 따라서 정리의 결과를 얻는다.
     
→∞
      ≤   
□
ℝ



 
  
≤     → 

13. 범약위상
을 얻는다. 동일한 방법으로  ∞ 에서  들이 균등유계이면  에
쌍대공간   위에서 두 가지의 새로운 위상을 정의할 수 있다.
범약수렴함을 보일 수 있다. 참고로 특성함수     은   에
  에 속한 범함수들의 모두 연속이 되는 것 중에서 가장 약한
서  에 약수렴하지 않는다.
약위상을 부여할 수도 있고, 모든 반노름  ↦  , ∈ 에
의하여 생성되는 위상을 부여할 수도 있다. 이 두 번째 위상을
□
보기 13.3 측도       를 생각하자. 형식적으로
범약위상(weak* topology, weak-star topology)이라고 부르는데, 이
위상은 약위상보다 더 약한 위상이다. 만약  가 반사적이면 약
 → ∞ 일 때  은 델타 함수  에 수렴한다.     에서
위상과 범약위상은 서로 동일한 위상이 된다.
범약위상을 이용하면 이 수렴은    로서 더 명확해진다.
강의노트 ∙ ∙ ∙

157

∙ ∙ ∙ 함수해석학
정리
13.4   에서의 단위 구는 범약 긴밀이다. 이 명제를
 가   에서  의 생성(span)이라고 하자.  의 차원이 유한이기
Alaoglu의 정리라고 부른다.
때문에 표준사상(canonical map)  →   는 전사이다. [이것은,
증명 ∈ 에 대하여   ∈ℝ   ≤ 라고 하고,
선형범함수  의 영공간이 유한 개의 선형범함수  들의 영공간

의 교집합을 포함하면  는  들의 일차결합으로 표현된다는 것

∈

과 동치인 명제이다. 증명은 다음과 같다. 사상  ⋯   
라고 하자. 이 카르테시안 곱은 임의의  에 대하여 ∈ 를
 → ℝ 들의 영공간이  의 영공간에 포함되므로 적당한 선형
만족시키는  위에서의 함수들의 모임이다. 이 집합에는 최대약
사상   ℝ → ℝ 이 존재하여    ∘  ⋯   을 만족
위상(weakest topology)라고 불리는 카르테시안 위상이 주어져 있
시킨다.] 따라서  는  와 동형이다.
다. 즉 임의의 ∈ 에 대하여,  로부터  에로의 함수
 는
∈ 에
적당한
   와
대하여
동일하다.
 ↦  는 연속이다. Tychonoff의 정리에 의하여  는 이
특히
위상에 대하여 긴밀이다.
  ≤  이므로  ≤    이면서 정리의 결론을 만족시키는
이제  가   에서의 단위구라고 하자. 그러면  ⊆  이고  에
잉여류 표현  를 택할 수 있다.
□
의하여 유도된 위상은 범약위상이 된다. 각  ∈ 와 ∈ 에
따름정리 13.7 Banach 공간  에서 폐단위구가 약긴밀일 필요
대하여
충분조건은  가 반사적인 것이다.
          ,     
증명  에서의 폐단위구  가 약긴밀이면   의 부분집합에 대
라고 정의하자. 이 함수들은  위에서 연속이고




∩

∈
하여 증명한 것과 마찬가지로  는 범약긴밀이다. 따라서  는



범약 닫힌집합이고 정리 8에 의하여  의 매입(embedding)은
∈ ∈ℝ
을 만족시킨다. 따라서  는 긴밀집합의 닫힌부분집합이고  자
  에서의 폐단위구를 포함한다. 따라서  의 매입은   전체
체는 긴밀집합 된다.
가 된다. 역은 Alaoglu의 정리에 의하여 성립한다.
□

□
14. Hilbert-Schimidt 작용소

따름정리 13.5 만약   에서    이면
이 장에서는 Hilbert-Schimidt 작용소의 성질을 살펴보자.
 ≤ lim  
→∞

이 성립한다.
보조정리 14.1
규직교벡터이고 ∈    라고 하자. 그러면
증명   lim 이고    이 임의로 주어졌다고 하자. 그러

면  ≤    을 만족시키는 부분수열이 존재한다. 반지름이
⟨   ⟩  ⟨  ⟩



   인 구는 범약긴밀집합이고 범약 닫힌집합이며     
이다.  은 임의의 양수이므로 정리의 결과를 얻는다.
   가 각각 가분 Hilbert공간  의 정
 와 





이 성립한다.
□
 ⟨  ⟩   이므로
⟨   ⟩       

증명 임의의 ∈ 에 대하여
  위에서 범약위상은   에서의 범함수들에 의하여 유도된다.














이 성립한다. 그런데
정리 13.6  에서의 단위구는   에서의 단위구 안에서 범약

    ⟨   ⟩   

조밀하다.










이므로 두 등식을 결합하면 정리의 결과를 얻는다.
증명  가   에서의 단위구에 속한다고 하자. 노름이  인 임
의의  ⋯ ∈  와    에 대하여 집합
□
정의 14.2  ∈   와  에서의 정규직교기저   에 대하여
∈             ⋯ 
노름 ⋅ 를
이  에서의 단위구의 원소를 포함함을 보여야 한다. 왜냐하면
  
 의 임의의 열린근방이 이러한 꼴의 집합을 포함하기 때문이다.
∈ 가 존재하여      을 만족시키고 각  에 대하여
⟨   ⟩   







       임을 보이면 충분하다. 그러면    은  의
으로 정의한다.    ∞ 인 경우  를 Hilbert-Schimidt 작용
닫힌단위구에 속하게 되고
소라고 부르며   를  의 Hilbert-Schimidt 노름이라고 부른


             
 




≤ ‖    ‖     



다.

우리는 앞에서,  가 Hilbert-Schimidt 작용소인 경우   도
Hilbert-Schimidt 작용소가 되며 그 둘의 노름이 서로 동일함을
이 되기 때문이다.
보았다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
158
∙ ∙ ∙ 함수해석학
정리 14.3   ≤   .
증명  
정리 15.3  와  가 Banach 공간이고      가  로부터
  가  의 임의의 원소라고 하자. 그러면
     ⟨   ⟩


 에로의 긴밀 선형 작용소들의 모임이라고 하자. 그러면
 
     는     의 닫힌부분집합이다.







증명  ∈      , ∈     ,      →  이라고 하
이다. Cauchy-Schwarz 부등식에 의하여
 ⟨   ⟩ ≤  ⋅⟨   ⟩









⟨   ⟩
 


자.  가 긴밀임을 보여야 한다. 즉  에서의 단위구  에 대하


여     가  에서 예비긴밀임을 보여야 한다. 이것은 임의의

   에 대하여  에서 지름이  이하인 유한 개의 구  들이

이므로  에 대하여 이 식을 변변 더하면 결과를 얻는다.
존재하여
□
   ⊆




정리 14.4  가 ℝ 의 열린부분집합이고 ∈  ×  라고
임을 보이면 충분하다.    ≤  를 만족시키는 충분히 큰
하자. ∈ 에 대하여
  


 을 택하고  ,  , ⋯ ,  이 지름이  이며  를 덮는
   
유한 개의 구라고 하자. 각  에 대하여  가  와 동일한 중심

라고 정의하자. 그러면  는  
을 갖고 반지름이  인 구라고 하면  는 우리가 찾던 유한 개
위에서의 Hilbert-
의 구가 된다.
Schimidt 작용소이고      이 성립한다.
□
임의의 ∈ 에 대하여       라고 하자.
위 정리로부터,      에서 유한 차수를 갖는 작용소들의 폐
Fubini의 정리에 의하여 거의 모든 ∈ 에 대하여  ∈ 
포는      에 포함된다는 것을 알 수 있다. 일반적으로 이
이고
것은 진부분집합이지만  가 Hilbert 공간인 경우 두 집합은 동
증명

   
   
일하다. 이를 증명하기 위해  의 정규직교기저를 택하고,  로


부터 유한 기저로 생성된 공간 위에로의 직교 사영  에 대하여
가 성립한다. 이로써    ⟨ ⟩이고, 따라서 정규직교
 꼴인 유한 차수 작용소를 생각한다.  에서의 단위구  에
기저   에 대하여
  

        
 




대하여  가 긴밀이라는 사실과     이라는 사실로부터 임



 
의의    에 대하여 이러한 꼴의 작용소  가 존재하여
sup      ≤ 
∈
⟨ ⟩
을 만족시킨다.
 ⟨   ⟩         






을 얻는다.


정리 15.4  와  가 Banach 공간이고 ∈      라고 하
□
자. 만약  가 또 다른 Banach 공간이고  ∈    이면 
는 긴밀이다. 만약 ∈     이면  는 긴밀이다. 만약
15. 긴밀 작용소
   이면    ≔     는    에서 양방향 아이디얼
이 장에서는 긴밀 작용소의 성질을 살펴보자.
이다.
정의 15.1 Banach 공간 사이에서의 유계 선형 작용소가 임의
정리 15.5  와  가 Banach 공간이고 ∈     라고 하
의 단위구를 예비긴밀(precompact) 집합에 대응시킬 때 그러한 작
자. 이때  가 긴밀일 필요충분조건은   가 긴밀인 것이다.
용소를 긴밀 작용소라고 부른다.
증명  가  에서의 단위구이고  가   에서의 단위구라고 하
예를 들어,  가 유한 차수(rank)를 가지면, 즉 dim     ∞
자.  가 긴밀이라고 가정하자. 주어진    에 대하여 지름이 
이면  는 긴밀이다.
이하이고   를 덮는 유한 개의 집합을 구성해야 한다. 먼저
지름이  이하이고  를 덮는  개의 집합을 구성하고 
정리 15.2  이 거리공간이라고 하자. 그러면 다음 세 명제는
가  번째 집합의 원소라고 하자.  , ⋯ ,  이 길이가  인 구
서로 동치이다.
간들이고      를 덮는다고 하자.  ≤  ≤  인 정수 
(1)  은 예비긴밀이다.
와 순서쌍  ⋯   에 대하여 집합
(2) 임의의    에 대하여 지름이  보다 작으면서  을 덮는
 ∈  ∈    ⋯  
유한 덮개가 존재한다.
을 생각하자. 이 집합들은 명백히  를 덮으며 이들에 의한  
(3) 임의의 수열이 Cauchy 부분수열을 포함한다.
의 상은   를 덮는다. 따라서 이 상들의 반지름이  이하임을
증명 (1)⇒ (2)와 (3)⇒ (1)의 증명은 간단하다. (2)⇒ (3)의 증명
보이면 된다.  와  가 위 집합에 속하고  가  의 임의의 원소
은 Cantor의 대각 논법을 이용하여 Cauchy 부분수열을 추출하
면 된다.
라고 하자.     ≤  인  를 택하자. 그러면
□
       ≤ 
강의노트 ∙ ∙ ∙
159
∙ ∙ ∙ 함수해석학
을 만족시킨다. 따라서

정리 15.8  가 정의역과 공역이 동일한 긴밀 Banach 공간인
긴밀 작용소이고  가 영 아닌 복소수이며  이 양의 정수이면

          
      은 유한 차원이고       은 닫힌집합이다.
≤             
      ≤ 
증명

이 성립한다. 이로써  의 긴밀성이  의 긴밀성을 함의함을

     를 만족시킨다. 여기에 정리 15.6을 이용하면 결과를

증명하였다. 역으로    →  가 긴밀이라고 하자. 그러면


 를 확장한 긴밀 작용소  가 존재하여     
얻는다.
□

 는  의 단위구를  의 예비긴밀 집합에 대응시킨다. 그
  위에서의 행렬 작용소(matrix operator) 중에서 각 성분들의 제
러나  에서의 단위구는 단위구 자신 자체의 양방향쌍대(bidual)
부분집합으로서 생각될 수 있으며, 

의 정의역을  의 단위구
곱의 합을 구할 수 있는 것들의 예를 들겠다.
로서 축소한 사상은 그 집합 위에서 정의된  와 동일하다. 따라
서  는  의 단위구를 예비긴밀 집합에 대응시킨다.
□
정리 15.9 가분 Hilbert 공간 위에서의 Hilbert-Schimidt 작용
소는 긴밀이다.
정리 15.6  가 정의역과 공역이 동일한 긴밀 Banach 공간인
증명
긴밀 작용소이면      는 유한 차원을 갖고      는 닫
 가 정규직교기저라고 하자.  가 임의로 주어진
Hilbert-Schimidt 작용소라고 하자. 즉
힌집합이다.
   ∞

증명  는      를 항등원만 가진 단원집합에 대응시킨다.


라고 하자.  을
따라서 폐단위구      는 긴밀이고      의 차원은 유
한이다.
   
이제 임의의 유한차원 부분공간은 적당한 공간의 여공간이고 따
f ≤
  iotherwise

로 정의하자. 그러면
라서  의 닫힌부분공간  이 존재하여          이고
∞
   ≤    
    ∩   을 만족시킨다.       라고 하자. 그러
면  는 일대일이고          이다. 적당한    이 존
   → 

   

이 성립한다.
□
재하여 임의의 ∈ 에 대하여    ≥  를 만족함을 보임으
로써    가 닫힌집합임을 증명할 것이다. 만약 임의의   
에 대하여 이 부등식이 성립하지 않는다면 노름이  인 적당한
16. 긴밀 자기수반 작용소의 스펙트럼
∈ 이 존재하여  →  을 만족시킨다. 이 수열의 적당한
이 절에서  는 항상 완비인 Hilbert 공간을 나타내는 것으로 약
부분수열이 존재하여 그 부분수열의 재정렬에 대하여  가
속한다.    →  가 유계 선형범함수이면  와   사이의
Riesz 동형성(Reisz isometry)을 통해   을  로부터  로의 사상
적당한 ∈ 에 수렴하도록 할 수 있다. 따라서  →  이므
으로서 생각할 수 있다. 즉   가
로 ∈ 이고     이다. 이것은    을 함의하는데
   이라는 데에 모순이다.
⟨  ⟩⟨ ⟩
□
로 정의된 것으로 생각할 수 있다. 유한차원 복소 Hilbert 공간
의 경우  는 복소사각행렬로 표현될 수 있으며   는 에르미트
위 정리의 증명 과정에서 다음 보조정리의 처음 부분을 사용하
(Hermitian) 전치행렬로 표현된다.
였다.  의 닫힌부분공간  에 대하여 또다른 닫힌부분공간 
이 존재하여 ⊕   를 만족시키면  은 여공간화 된다
독자는 에르미트 전치행렬이 실고윳값을 갖고 고유벡터의 정규
(complemented)고 말한다.
직교기저를 갖는다는 사실을 알고 있을 것이다. Hilbert 공간 위
에서의 자기수반 작용소에 대해서는, 임의의 고윳값이 실수이고
정리 15.7 Banach 공간의 유한차원 또는 여유한차원 닫힌부분
각 고윳값에 대응되는 고유벡터들이 직교임을 보이는 것은 어렵
공간은 여공간화 된다.
지 않다. 그러나 고유벡터들의 정규직교기저가 존재하지 않을 수
도 있으며 심지어는 영 아닌 고유벡터들이 아예 존재하지 않을
증명  이 유한차원 부분공간이라고 하자. 기저  , ⋯ ,  을
수도 있다. 예를 들어      이라고 하고 ∈  에 대
택하고 선형범함수    → ℝ 를      로 정의한다. 
하여    라고 하자. 명백히  는 유계이고 자기수
를  위에서의 유계 선형범함수로 확장한다. 그리고  
반 작용소이다. 그러나  는 고윳값을 갖지 않는다.
  ∩ ⋯ ∩   으로 정한다.
만약  이 여유한차원 공간이면 영아닌 잉여류 표현 집합들의
정리 16.1  가 Hilbert 공간  위에서의 긴밀 자기수반 작용
생성을  으로 택하면 된다.
소라고 하자. 그러면  의 고유벡터들에 대응되는 정규직교기저
□
가 존재한다. 이 명제를 긴밀자기수반작용소의 스펙트럼이라고
긴밀 작용소의 스펙트럼의 성질을 살펴볼 때 정리 15.6의 일반
부른다.
화된 정리가 유용하다.
위 정리의 증명을 위하여 다음 보조정리를 도입한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
160
∙ ∙ ∙ 함수해석학
보조정리 16.2  가 Hilbert 공간 위에서의 자기수반 작용소이
참고로 위 정리에서  은 고윳값이 될 수도 있고 되지 않을 수도
면    sup⟨  ⟩   ≤ 이 성립한다.
있으며, 그 고유공간은 유한일 수도 있고 아닐 수도 있다.
증명   sup⟨  ⟩   ≤ 이라고 하자. 임의의  , 
정리 16.3의 증명   가 고유벡터들의 정규직교기저이고   
에 대하여
⟨  ⟩ ≤   
  를 만족시킨다고 하자.  들의 집합을  라고 하자. 임의의 양
임을 보이면 충분하다. 일반성을 잃지 않고  와  가  이 아니
수  에 대하여   ∈   ≥  이 유한임을 보여야 한다. 그
라고 할 수 있다. 더욱이 일반성을 잃지 않고  에 적절한 복소
러면  ∈ 에 대하여
수를 곱하여 ⟨  ⟩≥  이라고 할 수 있다. 따라서
               
⟨      ⟩⟨      ⟩ Re⟨ ⟩
이므로       ≥  이기 때문이다.  가 무한이라고 가정
 ⟨  ⟩
하자. 그러면  의 단위원들을 택하여  에 의한 그 상이 수렴하
이므로
지 않는 수열을 구성할 수 있다. 이것은  가 긴밀이라는 사실에


⟨ ⟩ ≤               


  로,  를 
  로 교체하면
이다. 여기서  를 
정리의 결과를 얻는다.
모순이다.
□
 가 무한차원 가분 Hilbert 공간이고  ∈ℕ 이 정규직교 기
□
저이며  위에서의 긴밀 자기수반 작용소  에 대응되는 것이
정리 16.1의 증명 먼저  가 영 아닌 고유벡터를 가짐을 보이
라고 하자. 그러면
자. 만약    이면 이것은 자명하다. 따라서  ≠  이라고 가

         ⋯

정하자.    인 수열 ∈ 을 택하되 이 수열이
 



로 정의된 사상    →   는 동형사상이다. 더욱이  의 작용
⟨ ⟩ →  
을   에 전달할 때 이 사상을 사용하면, 즉   위에서의 작용소
를 만족시키도록 하자.  가 자기수반이고 ⟨  ⟩∈ ℝ 이므
   을 생각하면, 이 작용소는 단순히 유계인 수열
로  의 부분수열이 존재하여 ⟨  ⟩ →  ±   를 만족
  ⋯∈ ∞
시킨다. [부분수열도  으로 표기하였다.]  는 긴밀이므로 다
의 곱인 것으로 생각할 수 있다. 따라서 스펙트럼 정리는 임의의
시 이 부분수열의 부분수열이 존재하여  → ∈ 를 만족시
긴밀 자기수반 작용소  는   위에서의 곱 작용소와 유니타리
킨다. 또한  ≥    이 성립한다.
한(unitarily) 동치임을 의미한다. Hilbert 공간 사이에서의 동형사
 가 자기수반이고  가 실수이므로
상을 유니타리 작용소라고 부르기도 한다. 참고로 이 작용소는
      을 만족시킨다.
      ⟨  ⟩ 
≤    ⟨ ⟩ →      
다음 정리는 한편 교환(commute)하는 자기수반 긴밀 작용소의 스
펙트럼 정리이다.
이 성립한다.   →  이므로  →  즉  →  ≠  을
얻는다. 이 값을  에 대응시키면    이므로  는 영 아닌
정리 16.4  와  가 Hilbert 공간  위에서의 자기수반 긴밀
고윳값이다.
작용소이고    이면  의 정규직교기저가 존재하여 그 기
증명을 완성하기 위하여  의 고유벡터들로 구성된  의 정규직
저원소들이  와  모두의 고유벡터가 된다.
교 부분집합을 생각하자. Zorn의 보조정리에 의하여 이 집합은
극대원  를 가진다.  가  의 생성의 폐포라고 하자. 명백히
증명  의 고윳값  에 대하여 그에 대응되는  의 고유공간을
 ⊆  이고,  는 자기수반이므로  ⊥ ⊆  ⊥ 가 성립한
 로 나타내자. 만약 ∈ 이면      이므로
다. 따라서  는  ⊥ 위에서 자기수반 작용소와 동일하며
∈ 이다. 따라서  는  위에서 자기수반 작용소와 동일
 ⊥   인 경우만 제외하면  는  ⊥ 에서 고유벡터를 가진다.
하며,  에 대한  -고유벡터들의 정규직교기저가 존재한다. 이
그러나 이것은  가 극대원이라는 사실에 모순이다. 왜냐하면 이
정규직교기저는  -고유벡터이다. 그러한  의 고윳값  들의 모
원소를  에 첨가하여 고유벡터의 더 큰 정규직교 집합을 얻을
임을 모두 합집합하면 정리의 결론을 얻는다.
□
수 있기 때문이다.
따라서  ⊥   이고  는 정규직교 기저이다.
 과  가 자기수반 작용소이고      라고 하자. 그러
□
면        이고        이다. 역으로 만약
고윳값의 집합에 대한 다음 정리도 스펙트럼 정리의 부분으로서
 가    의 원소이면 이러한 꼴의 두 자기수반 작용소를 정
생각된다.
의할 수 있고 이들은      를 만족시킨다. 이제  가 긴
밀이고 정규라고 가정하자. 즉  와   가 모두 교환한다고 하
정리 16.3  가 Hilbert 공간 위에서의 긴밀 자기수반 작용소
자. 그러면   과  는 모두 긴밀이고 교환이며 따라서 적당한
이면  의 영 아닌 고윳값들의 집합은 유한이거나 또는  에 수
정규직교기저가 존재하여 그 원소들이  과   모두의 고유벡
렴하고 대응되는 고유공간이 모두 유한 차원인 수열이 된다.
터가 되고 따라서  의 고유벡터가 된다. 그러한 고윳값들의 실
부와 허부는 각각   과  의 고윳값이므로, 다시 그러한 고윳
강의노트 ∙ ∙ ∙
161
∙ ∙ ∙ 함수해석학
값들은  에 수렴하는 수열을 이루며 모두 유한차원 고유공간을
두 개의 보조정리를 통해 긴밀 작용소의 스펙트럼의 구조를 설
가진다.
명하려고 한다. 첫 번째 정리는 순수한 대수적 결과이다. 이 정
이로써 긴밀 정규 작용소로부터 고유벡터들의 정규직교기저를
리를 진술하기 위해 먼저 몇 가지 용어를 정의하겠다.  가 벡터
공간  로부터 그 자신에로의 선형작용소라고 하고 부분공간들
구성할 수 있음을 증명하였다. 역으로 만약   가  의 고유벡
의쇄
터들의 정규직교기저이면  ≠  일 때 ⟨    ⟩  이고 이것
    ⊆     ⊆     ⊆    ⊆⋯

은 각   가 또한  의 고유벡터임을 의미한다. 따라서 임의의 
가 주어졌다고 하자. 이 쇄는 무한히 순증가이거나 또는
에 대하여         이고  는 정규가 된다. 이상의 내용
        인 적당한 자연수  이 존재하는데 두 번째
을 정리하면 다음과 같다.
경우 처음  개의 공간만 서로 다르고 나머지 공간은 서로 모두
같다. 이때  의 핵쇄(kernel chain)는  에서 안정된다고 말한다.
정리 16.5  가 Hilbert 공간  위에서의 긴밀 작용소라고 하
특히 핵쇄가  에서 안정될 필요충분조건은  가 일대일인 것이
자. 이때  의 고유벡터들로 구성된  의 정규직교기저가 존재할
다. 비슷하게 다음과 같은 치역쇄
필요충분조건은  가 정규인 것이다. 이 경우, 영 아닌 고윳값들
    ⊇    ⊇    ⊇    ⊇⋯
의 집합은 유한이거나 또는  에 수렴하는 수열을 이루며, 영 아
에 대하여    에서 안정된다는 것을 정의할 수 있다. 이때 치
닌 고윳값들에 대응되는 고유공간들은 유한 차원을 가진다. 이
역쇄가  에서 안정될 필요충분조건은  가 전사인 것이다. 이
고윳값들이 모두 실수일 필요충분조건은  가 자기수반인 것이
두 쇄 중 하나만 안정될 수도 있다. 그러나 다음 정리가 성립한
다. 이 명제를 긴밀정규작용소의 스펙트럼이라고 부른다.
다.
17. 일반 긴밀 작용소의 스펙트럼
보조정리 17.1  가 벡터공간  에서  로의 선형 작용소라고
이 절에서는 복소 Banach 공간  위에서의 긴밀 작용소의 스
하자. 만약 핵쇄가  에서 안정되고 치역쇄가  에서 안정되면
펙트럼의 구조에 대하여 살펴본다.
   이고  는     과    으로 분해된다.
복소 Banach 공간 위에서의 임의의 작용소  에 대하여  의
증명    이라고 가정하자. 치역쇄가  에서 안정되므로  가
분해 집합    는    이 가역인 ∈ℂ 들로 구성되어 있으
존재하여
며 스펙트럼   는 그 여공간이다. 만약 ∈  이면

 
   가 가역이 아닌 경우가 몇 가지 존재한다.
쇄가  에서 안정되므로           이다. 즉     
(1)      ≠  일 수 있다. 즉  가  의 고윳값일 수 있다.
  가 되어 모순이다. 따라서  ≥  이다. 같은 방법으로
    ∉    을
만족시키고
가

존재하여

    를 만족시킨다. 따라서    ∈     이고, 핵
이 경우  는  의 점 스펙트럼(point spectrum)에 속한다고 하
   이라고 해도 모순이 발생하므로    이다.
며     로 표기한다.
만약  ∈    이면     이고     이다. 따라서
(2)    이 일대일인 경우 그 치역이  에서 조밀하지만 닫힌
  ∩     이다. 주어진  에 대하여      라고
집합이 아닐 수 있다. 이 경우  는  의 연속 스펙트럼
하자. 그러면  는  ∈    과    ∈     으로 분
(continuous spectrum)에 속한다고 하며     로 표기한다.
해된다.
(3)    이 일대일이지만 그 치역이  에서 조밀하지 않을 수
□
두 번째 정리는 긴밀 작용소의 위상에 관한 것이다.
있다. 이 경우 잉여 스펙트럼(residual spectrtum)이라고 부르며
   로 표기한다. 명백히 ℂ 는 서로소인 집합들   ,
보조정리 17.2    →  가 Banach 공간 위에서의 긴밀 작
   ,     ,     로 분해된다. 연속 스펙트럼의 한 예로
용소이고  ,  , ⋯ 가 복소수열이며 in f   을 만족시킨다
서 작용소       을 생각하자. 여기서   은 Hilbert 공
고 하자. 그러면 임의의  에 대하여     ⊆    을 만
간의 정규직교기저이며  은  에 수렴하는 양의 수열이다. 그
족시키는 순증가 닫힌부분공간쇄  ⊂  ⊂  ⊂⋯ 는 존재하
러면 ∈   이다. 만약       이면 ∈    이다.
지 않는다.
만약  가 긴밀이고  의 차원이 무한이면 ∈  이다. 왜냐
증명
하면, 만약  가 비가역이라면 단위구의 상은 열린집합을 포함하
그러한 쇄가 존재한다고 가정하자. 각  에 대하여
 ⊆  이다.    은 노름이 1인 원소를 포함하므로
여 예비긴밀이 되지 못하기 때문이다. 이 예로부터  은 점 스펙
∈  이 존재하여  ≤  이고 dist        을 만족시
트럼에 속할 수도 있고, 연속 스펙트럼에 속할 수도 있고, 잉여
킨다. 만약    이면
스펙트럼에 속할 수도 있음을 알 수 있다. 그러나 스펙트럼의 다
    
≔  ∈   

른 모든 원소가 고윳값이라는 것을 증명하지 않겠다. 즉
       ∪인 경우나, 유한 개의 집합 또는  에 수렴
이고
하는 열로 구성된 집합인 경우에 대해서는 증명하지 않겠다.
           
이 성립한다. 이것은    이 Cauchy 부분수열을 포함하지 않
음을 의미하므로  가 긴밀이라는 사실에 모순이다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
162
□
∙ ∙ ∙ 함수해석학
이제 이 장의 주제가 되는 정리들을 소개한다.
∈    에 대하여  는    로부터 ℝ 위에로의 동형사
상을 유도한다. 따라서    위에서의 적당한 유계 선형 작용
정리 17.3  가 Banach 공간  위에서의 긴밀 작용소라고 하
소  가 존재하여    를 만족시키며, Hahn-Banach의 정리
자. 그러면  의 스펙트럼의 영 아닌 원소는 고윳값이다. 더욱이
에 의하여  를 확장하여   의 원소가 되도록 할 수 있다. 그러
   는 유한이거나  에 수렴하는 수열로 이루어진 집합이다.
나    는     를 의미하므로     ⊆     를 얻는다.
증명 부분공간쇄      과      을 생각하자. 보
따라서          가 성립한다. 즉
   ≅         
조정리에 의하여 이 두 공간은 모두 폐공간이다. 명백히  
는       으로부터        에로의 일대일이고, 보
이므로 codim      dim      dim     가 성립한다.
조정리에 의하여 적당한  이 존재하여 핵쇄는  에서 안정된다.
이제 dim     ≤ codim     와 dim    ≤ codim     가
치역이 닫힌집합이므로              이고 이들
성립함을 보임으로써 증명을 마치자.    는 닫힌집합이고 유
은 안정되므로 치역쇄도 안정된다. 따라서        ⊕
한인 여차원을 가지므로 적당한 유한차원 공간  이 존재하여
     을 얻는다. 따라서
 은    의 여공간이 된다.    의 차원이 유한이므로 공간
    ≠  ⇒     ≠ 
 의 여공간이 된다.  가  로부터    위에로의 사영사상이
⇒      ≠  ⇒     ≠ 
고     위에서는 항등함수이며  위에서는 영의 값을 갖는다
고 하자. 만약 codim     dim    이면    로부터  위
인 관계가 성립한다. 이제 마지막 명제를 증명하자. 결론에 반하
여   가 유한도 아니고  에 수렴하는 수열로 이루어져 있지
에로의 전사이면서 일대일이 아닌 선형사상이 존재한다. 그러면
도 않다고 가정하자. 그러면 고윳값  이 존재하여 in f  
   는 긴밀 작용소가 되고     는 전사가 된다. 정
을 만족시킨다.  ,  , ⋯ 를 대응되는 영 아닌 고유벡터라고
리 22에 의하여 이 사상은 일대일이 된다. 즉  가 일대일이 되
하면 이들은 일차 독립이고     ⊆    이 성립하는데,
므로 모순이다. 따라서 dim    ≤ codim    가 성립한다.
이것은 모순이다.
  가 긴밀이므로 같은 방법으로 dim    ≤ codim    가
□
성립함이 증명된다.
□
정리 17.4  가 Banach 공간  위에서의 긴밀 작용소이고 
가 영 아닌 복소수라고 하자. 그러면 다음 두 가지 중 하나가 성
18. Banach 대수에서의 스펙트럼과 분해
립한다.
 가 항등원  을 가진 Banach 공간이라고 하자.  에서의 노름
(1)   는 동형사상이다.
이 정규화되었고    이라고 하자. 두 가지 예를 염두에 두면
(2)   는 일대일도 아니고 위에로의 함수도 아니다.
좋다. (1)     , 여기서  는 Banach 공간이다. (2) 상한 노름
이 주어진    , 여기서  는 긴밀 위상 공간이고 곱은 함수의
이 명제를 Fredholm Alternative라고 부른다.
점별 곱으로 정의되며  은 상수함수를 의미한다.
증명     의 핵쇄와 치역쇄는 안정되므로  가 일대일대
이러한 설정 하에서 분해(resolvent)와 스펙트럼은 전처럼
응인 경우 두 쇄는  에서 안정된다. 더욱이 이때  가 위에로의
함수인 것과 일대일함수인 것은 필요충분조건이므로 정리의 결
  ∈ ℂ    is invertible,
과를 얻는다.
  ℂ∖ .
□
으로 정의된다.
Fredholm 작용소에 관한 기본정리를 소개하며 이 절을 마친다.
스펙트럼 반경(spectral radius)은   sup 로 정의된다.
∈ 에 대하여 분해는         로 정의된다.
정리 17.5  가 Banach 공간  위에서의 긴밀 작용소이고 
가 영 아닌 복소수라고 하자. 그러면
보조정리 18.1  ∈ 이고  가 가역이며     이면
dim      dim      codim    
   는 가역이고
 codim    
가 성립한다.
     

 

증명     라고 하자.    가 닫힌집합이므로
이며      ≤      이다.
   ≅         
증명 노름의 성질에 의하여
이다. 따라서    는 유한 차원이고    는 유한 차
‖     ‖ ≤     ≤     
∞
원이며 이 두 공간은 동일한 차원을 가진다. 따라서

codim      dim    

 
 
이다.

∞




 
이므로 좌변의 합은 절대수렴하고 노름유계이다. 또한

일반적인 작용소  에 대해서는    ⊆     가 성립한다. 이
∞
∞
∞
              
제     가 닫힌집합인 경우          임을 보이자.  는


 
 
이므로 정리의 등식을 얻는다.
   로부터    위에로의 동형사상을 유도하며, 임의의
강의노트 ∙ ∙ ∙
∞
   
163



 


□
∙ ∙ ∙ 함수해석학
위 정리에 의하여    이면   가 가역, 즉 ∈ 임
이제 ∈  라고 하자. 그러면
을 알 수 있다.

 
따름정리 18.2  ≤ 
 
  

에 대하여
∞
  
또한 앞의 보조정리에 의하여 lim    임을 알 수 있다.
    

  
 
가 성립한다.  ≤    이므로


 
 
    

  



∞
만약 ∈ 이고      이면   ∈ 이고
∞

 
→∞
∞
           

∞
   은 적당한 ∈
 에서 수렴한다. 따라서
이다.
       
이다. 만약   가 가역이면   도 가역이 되는데
정리 18.3 분해  는 항상 열린집합이고 ℂ 에서 ∞ 의 근방
∈ 이므로 모순이다. 따라서   는 가역이 아니
을 포함하며 그 스펙트럼은 항상 공집합이 아니고 긴밀이다.
다. 이로써 임의의 ∈ 에 대하여 ∈  임을 증
증명 앞의 논의에 의하여 분해는 열린집합이고, 따라서 그 스펙
명하였다.
트럼은 닫힌집합이다. 이것은 또한 유계이므로 긴밀이다.
정리 18.5   lim  in f   .
스펙트럼이 공집합이 아님을 보이기 위하여 ∈  가 주어졌다
→∞
고 하고     로 정의하자. 그러면  는  로부터
증명 ∈ 이면 ∈  이므로  ≤  이다. 따라서
ℂ 에로의 일대일함수이며 해석적(holomorphic)이다. 왜냐하면 
 ≤ in f  이다. 이제 ∈  에 대하여
가 충분히 작을 때
∞
   
  
 
        


∞


 

 
을 생각하자.  는 명백히    에 대하여 해석적이다. 그런데
으로 나타낼 수 있기 때문이다. 만약   ∅ 이면  는 정함
 는    인 범위에서 해석적인 함수로 확장되며  → ∞
수이다. 이 함수는 무한대에서  에 수렴하므로 유계이다. 따라서
일 때  에 수렴한다.    라고 하자. 그러면  는 원
Liouville의 정리에 의하여  는  의 값을 갖는 상수 함수이다.
점에서  의 값을 갖고, 중심이  이고 반지름이  인 열린
따라서 임의의 ∈  에 대하여       이다. 이것은
     을 의미하는데 이는 모순이다.
구 위에서 해석적인 함수가 된다. 따라서
□
∞
 
 

따름정리 18.4  가 복소 Banach 나눗셈 대수이면  는 ℂ 와
이다. 이것은    인  와 ∈  에 대하여   이
등거리 동형이다. 이 명제를 Gelfand-Mazur의 정리라고 부른다.
유계임을 의미한다. 균등유계원리에 의하여  들의 모임  는
증명 ∈∖에 대하여 ∈ 라고 하자. 그러면   
 에서 유계이다. 따라서  ≤   →  이다. 이것
은 비가역이고,  는 나눗셈 대수이며 이것은    을 의미한
다. 따라서   ℂ 이다.
   
은    인 임의의  에 대하여 참이므로 
lim ≤
□
가 성립한다.
□
이제 잠시 함수미적분학(functional calculus)에 대하여 생각해보자.
따름정리 18.6  가 Hilbert 공간이고 ∈    가 정규 작용
∈ 이고  가 복소함수이며 중심이 원점이고 반지름이  인
폐원판 위에서 해석적이라고 하자. 그러면 두 가지를 생각할 수
소이면       이다.
있다.
증명   가 자기수반이므로
   sup⟨   ⟩ sup⟨  ⟩   
(1)  에 대한  의 멱급수를 전개하여 ∈ 를 정의하거나
이다. 여기서 상한은  ≤  인 범위에서 취해졌다.  가 정규이
(2) 복소함수  는  의 스펙트럼을  의 스펙트럼에 대응시
므로
키는 일대일이다. (사실  는 전사이기도 하다. 이것은  가 다
    sup⟨   ⟩ sup⟨  ⟩
항식인 경우에 이것이 성립함을 뒤에서 살펴볼 것이다.)
 sup⟨   ⟩ sup⟨   ⟩  
이것을 증명해보자.  의 멱급수가 중심이 원점이고 수렴반경이
 를 초과한다고 가정하자. 그러면
이다.
    ∞ 이고



 
으로 나타낼 수 있다. 따라서 급수    은 Banach 공간 
를
  으로
바꾸면

모든 경우에 대하여 성립함이 증명된다. 따라서 정리 18.5에 의


     이다.
     를 얻으며 같은 방법으로 지수가  의 거듭제곱인
∞
  
따라서

하여 결과를 얻는다.
□


에서 절대수렴한다.
강의노트 ∙ ∙ ∙
164
∙ ∙ ∙ 함수해석학
앞서 언급한 것처럼  가 다항식인 경우  는  로부터
    라고 하면  는 실직선의 긴밀 부분집합이 된다. 
 위에로의 전사임을 증명하겠다.
위에서의 연속 실함수들의 공간을     ℝ 이라고 하자.
Weierstrass 근사 정리에 의하여 다항함수공간은  에서 조밀하
정리 18.7  가 항등원을 갖는 복소 Banach 대수이고 ∈
다. 다항함수  에 대하여   ⟨   ⟩∈ ℝ 이라고 정의하
이며  가 복소계수를 갖는 일변수 다항식이라고 하자. 그러면
자. 명백히  은 선형이다. 또한 Hilbert 공간에서 자기수반 작용
   이다. 이 명제를 스펙트럼 사상 정리라고 부
소의 스펙트럼 반지름 정리의 특수한 형태에 의하여
른다.
증명
  ≤       
이 성립한다.      이므로      ∞
 ⊆  가 성립함은 이미 증명하였다. 이제
  가 성립하고 따라서
∈ 라고 하자. 대수학의 기본정리에 의하여    를 분
해하여, 영 아닌 ∈ℂ 와 근 ∈ℂ 들에 대하여
  ≤  

를 얻는다. 이것은  이  의 조밀한 부분집합 위에서 유계 선형
    
   

 
범함수라는 것을 의미하므로  은  전체에서 연속인 선형범함
로 나타낼 수 있다.    은 가역이 아니므로    이 가
수로 유일하게 확장된다.
역이 아닌  가 존재한다. 즉 ∈ 이므로
이제  이 양의 함수임을 보이자. 즉 음이 아닌 임의의 함수
   ∈
∈ 에 대하여   ≥  임을 보이자. 만약 적당한 다항식  에
이다.
□
대하여    이면
   ⟨  ⟩⟨   ⟩≥ 
19. Hilbert 공간에서의 스펙트럼
이다. 음이 아닌 임의의  에 대하여 다항식열  이 존재하여
이제 Hilbert 공간에서의 자기수반 작용소의 스펙트럼에 대하여

 에 균등수렴하므로   lim 이고    lim  ≥  이다.
살펴보자. 먼저 자기수반 작용소가 실스펙트럼을 가짐을 보이자.
 위에서의 선형범함수  의 표현에 Riesz 표현 정리를 적용하
면,  위에서의 유한측도가 존재하여 ∈ℂ 에 대하여
정리 19.1  가 Hilbert 공간이고 ∈    가 자기수반이면
 
   ⊆ ℝ 이다.
 
를 만족시킨다. ( 이 양의 선형범함수이므로 이 측도 또한 양의
증명
⟨   ⟩ ≥ Im⟨   ⟩  Im  이
측도이다.) 특히 임의의 ∈ℙℝ 에 대하여
므로 Im ≠  일 때   는 일대일이고 닫힌치역을 가진다.
⟨  ⟩
  는 일대일이므로    
같은 방법으로     
는 조밀하다. 따라서 ∈  이다.
 
이다.
□
이제  위에서 측도  에 대하여 제곱 적분 가능한 복소함수들
정리 19.2  가 복소 Hilbert 공간이고  ∈   가 자기수반
의 공간   를 생각하자. 복소다항식의 공간은   에서 조밀하
이면 측도  를 가진 측도공간  와 유계가측함수    → ℝ ,
다. 왜냐하면   에 주어진 측도는 유한 측도이고,   노름은
그리고 거리동형사상     →  가 존재하여
상한 노름에 의하여 결정되기 때문이다. 복소다항식  에 대하여
    

    라고 정의하자. 그러면
    ⟨    ⟩

를 만족시킨다. 여기서    →  은  를 곱하는 작용소이
 ⟨   ⟩
고      ℂ 를 의미한다. 이 명제를 자기수반작용소의
스펙트럼이라고 부른다.
    



이 성립한다. 따라서  는   의 조밀부분집합으로부터  에로의
증명의 개요  가  의 영 아닌 원소라고 하자.  의 부분집합
일대일인 거리동형사상이며   로부터  의 닫힌부분공간 위에
중에서, 음이 아닌 정수  에 대하여   를 포함하는 닫힌부분
공간   
  ∈ℙ  를 생각하자. 여기서 ℙ 는 복소
로의 거리동형사상이기도 하다. 사실  는  위에로의 함수이
계수를 갖는 일변수 다항식 공간이다.  는 자기수반이므로 
문이다.
과 그 직교 여공간은 모두  아래에서 평행이동에 대하여 불변
끝으로    → ℝ 를    라고 정의하자.  가 복소다항식
이다. Zorn의 보조정리에 의하여  는  아래에서 평행이동에
이면
ℂ
다. 왜냐하면  가  의 순환 벡터이고  의 치역이 조밀하기 때
ℂ
대하여 불변인 이러한 꼴의 Hilbert 공간들의 직합으로 표현된
   
다. 분해된 각 부분공간에 대하여 정리가 성립함을 증명하면 그
이고 이 다항식 역시 복소다항식이다. 따라서
들의 직곱을 이용하여  전체에서도 성립함을 유도할 수 있다.
따라서 적당한  에 대하여   
  ∈ℙ  에 대하여 먼
              
ℂ
이다. 따라서 유계 작용소    와  는   의 조밀부분집합
저 살펴보자. (이때  는 순환 벡터  를 가진다고 말한다.)
강의노트 ∙ ∙ ∙
위에서 서로 일치하며 따라서   위에서 일치한다.
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∙ ∙ ∙ 함수해석학
참고문헌
∙ Douglas N. Arnold, Functional Analysis, Department of
Mathematics, Penn State University, 1997.
∙ John B. Conway, A Course in Functional Analysis (2ed),
Springer-Verlag, 1990.
∙ Gert K. Pedersen, Analysis Now, Springer-Verlag, 1989.
∙ Walter Rudin, Functional Analysis, 2ed, McGraw Hill,
1991.
∙ Robert J. Zimmer, Essential Results of Functional
Analysis, University of Chicago Press, 1990.
강의노트 ∙ ∙ ∙
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∙ ∙ ∙ 함수해석학