PROFESSEUR :
SERIE :
2ème SCIENCES
ANIS BEN ALI
ARITHMETIQUE
2014
AL
I
EXERCICE 1 :
a/ Soit n un entier naturel pair .Quel est le reste de la division euclidienne de n2 par 4.
b/ Soit n un entier naturel impair .Quel est le reste de la division euclidienne de n2 par 4.
c/ Sans faire de calcul, donner le reste de la division euclidienne par 4 de (2013)2et (2014)2.
EXERCICE 2:
Soient a et b deux entiers impairs .Montrer que a2+b2 est divisible par 2 et non par 4.
EXERCICE 3 :
Dans cet exercice, on se propose de déterminer 3 entiers x,y et z impairs et consécutifs tels
que la somme de leurs carrés est 5555.
BE
N
a/ On pose x= 2k-1 où k est un entier naturel.
Ecrire x ,y et z en fonction de k puis x2+y2+z2 en fonction de k.
b/ En déduire que 12k2+12k-5544=0.
c/ Conclure ( déterminer x ,y et z )
EXERCICE 4 :
a /Soit l’entier n=x359y.Déterminer x et y pour que n soit divisible par 5 et 11 en même temps
b/ Soit l’entier N=4a3b5 Déterminer a et b pour que n soit divisible par 25 et 3 en même temps
EXERCICE 5 :
Déterminer les entiers naturels a et b tel que 0<a<b, a+b =396 et PGCD (a,b)=33.
EXERCICE 6 :
On pose x=3n-5 et y= 2n-7 avec n est entier naturel non nul et d un diviseur commun de x et y.
IS
a/ Monter que d divise 2x-3y.
b/ En déduire que d divise 11 .
EXERCICE 7 :
1/ Déterminer le reste de la division euclidienne de l’entier 2912270124936 par 11.
AN
2/ Trouver les chiffres a et b pour que 36a271b soit divisible par 4 et 11.
EXERCICE 8 :
Soient a et b deux entiers impairs.
Montrer que a2-1est divisible par 8 et que (a+b)2est divisible par 4
EXERCICE 9 :
1/ Soit n un entier naturel .Montrer que 2n+3-2n est divisible par 7
2/ Déterminer les entiers naturels a et b vérifiant a2-b2=65 (donner tous les solutions)
3/ Déterminer les entiers naturels x et y vérifiant x2-y2=65 (donner tous les solutions)
EXERCICE 10 :
AL
I
1/ Déterminer le reste de la division euclidienne par 25 ; 8 et 11 de chacun des nombres suivants :
173565 ; 924 ; 91725 ; 9182 et 7250.
2/ Déterminer les chiffres x et y pour que l’entier 92y52x soit divisible par 4 et 9.
3/ Déterminer le chiffre a pour que l’entier 9237a soit divisible par 11.
4/ a/ Déterminer les chiffres a et b pour que l’entier 7b53a soit divisible par 4 et 11.
b/ Déterminer le chiffre x pour que l’entier 4x2x295777..........7
soit divisible par 11.
1001fois
EXERCICE 11 : Soit n un entier naturel
1/ Déterminer les valeurs de n pour que
n2 + 3n + 12
soit un entier naturel.
n+3
2/ a/ Déterminer les diviseurs de 175.
175
soit entier naturel.
2n + 3
c/ Déterminer les entiers n tel que
2n + 181
soit entier naturel.
n+3
BE
N
b/ Déterminer les entiers n tel que
EXERCICE 12 : Soit n un entier naturel non nul.
1/ a/ Montrer que pour tout n on a : (x-1) (1+x+x2+x3+……….+xn-1).
b/ En déduire que x4-1est divisible par x-1.
c/ Montrer 212-1 est divisible par 7.
2/ a/ Montrer que pour tout n 23n-1 est divisible par 7.
b/ Déduire les restes de la division par 7 des puissances de 2.
IS
3/ Montrer que pour tout n, 4n-1 est divisible par 3.
EXERCICE 13 :
Soit n un entier naturel
1/ Montrer que n2+5n+6 et n2+7n+10 sont divisibles par n+2.
AN
2/ Déterminer l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n2+21n+55 soit divisible par n+2.
EXERCICE 14 :
Soient a , b , c et d des entiers naturels (chiffres).
On pose x=abcd et y= dcba et (y<x).
1/ Montrer que x-y est divisible par 9.
2/ Montrer que x+y est divisible par 11.