#separator:tab
#html:true
PredikátumOlyan változóktól függő kijelentések, amelyhez a változóik értékétől függően<br>valamilyen igazságérték (igaz/hamis) tartozik.
"
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".1562"" data-top="".3358"" data-width="".0943"" data-height="".1716"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".4274"" data-top="".3754"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".762"" data-top="".382"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze"" data-ordinal=""4"" data-shape=""rect"" data-left="".675"" data-top="".7946"" data-width="".087"" data-height="".1518"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""5"" data-shape=""rect"" data-left="".3346"" data-top="".8375"" data-width="".0781"" data-height="".1353"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-2cc2e19c87f1c80d6077f23c28c0fded22fff545.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
""
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".1562"" data-top="".3358"" data-width="".0943"" data-height="".1716"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".4274"" data-top="".3754"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".762"" data-top="".382"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""5"" data-shape=""rect"" data-left="".3346"" data-top="".8375"" data-width="".0781"" data-height="".1353"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-2cc2e19c87f1c80d6077f23c28c0fded22fff545.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
<div><button id=""toggle"">Toggle Masks</button></div>
"
"
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".1562"" data-top="".3358"" data-width="".0943"" data-height="".1716"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".4274"" data-top="".3754"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".762"" data-top="".382"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""4"" data-shape=""rect"" data-left="".675"" data-top="".7946"" data-width="".087"" data-height="".1518"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze"" data-ordinal=""5"" data-shape=""rect"" data-left="".3346"" data-top="".8375"" data-width="".0781"" data-height="".1353"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-2cc2e19c87f1c80d6077f23c28c0fded22fff545.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
""
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".1562"" data-top="".3358"" data-width="".0943"" data-height="".1716"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".4274"" data-top="".3754"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".762"" data-top="".382"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""4"" data-shape=""rect"" data-left="".675"" data-top="".7946"" data-width="".087"" data-height="".1518"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-2cc2e19c87f1c80d6077f23c28c0fded22fff545.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
<div><button id=""toggle"">Toggle Masks</button></div>
"
"
<div style=""display: none""><div class=""cloze"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".1562"" data-top="".3358"" data-width="".0943"" data-height="".1716"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".4274"" data-top="".3754"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".762"" data-top="".382"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""4"" data-shape=""rect"" data-left="".675"" data-top="".7946"" data-width="".087"" data-height="".1518"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""5"" data-shape=""rect"" data-left="".3346"" data-top="".8375"" data-width="".0781"" data-height="".1353"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-2cc2e19c87f1c80d6077f23c28c0fded22fff545.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
""
<div style=""display: none""><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".4274"" data-top="".3754"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".762"" data-top="".382"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""4"" data-shape=""rect"" data-left="".675"" data-top="".7946"" data-width="".087"" data-height="".1518"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""5"" data-shape=""rect"" data-left="".3346"" data-top="".8375"" data-width="".0781"" data-height="".1353"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-2cc2e19c87f1c80d6077f23c28c0fded22fff545.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
<div><button id=""toggle"">Toggle Masks</button></div>
"
"
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".1562"" data-top="".3358"" data-width="".0943"" data-height="".1716"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".4274"" data-top="".3754"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".762"" data-top="".382"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""4"" data-shape=""rect"" data-left="".675"" data-top="".7946"" data-width="".087"" data-height="".1518"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""5"" data-shape=""rect"" data-left="".3346"" data-top="".8375"" data-width="".0781"" data-height="".1353"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-2cc2e19c87f1c80d6077f23c28c0fded22fff545.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
""
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".1562"" data-top="".3358"" data-width="".0943"" data-height="".1716"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".4274"" data-top="".3754"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""4"" data-shape=""rect"" data-left="".675"" data-top="".7946"" data-width="".087"" data-height="".1518"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""5"" data-shape=""rect"" data-left="".3346"" data-top="".8375"" data-width="".0781"" data-height="".1353"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-2cc2e19c87f1c80d6077f23c28c0fded22fff545.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
<div><button id=""toggle"">Toggle Masks</button></div>
"
"
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".1562"" data-top="".3358"" data-width="".0943"" data-height="".1716"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".4274"" data-top="".3754"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".762"" data-top="".382"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""4"" data-shape=""rect"" data-left="".675"" data-top="".7946"" data-width="".087"" data-height="".1518"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""5"" data-shape=""rect"" data-left="".3346"" data-top="".8375"" data-width="".0781"" data-height="".1353"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-2cc2e19c87f1c80d6077f23c28c0fded22fff545.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
""
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".1562"" data-top="".3358"" data-width="".0943"" data-height="".1716"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".762"" data-top="".382"" data-width="".0855"" data-height="".1452"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""4"" data-shape=""rect"" data-left="".675"" data-top="".7946"" data-width="".087"" data-height="".1518"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""5"" data-shape=""rect"" data-left="".3346"" data-top="".8375"" data-width="".0781"" data-height="".1353"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-2cc2e19c87f1c80d6077f23c28c0fded22fff545.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
<div><button id=""toggle"">Toggle Masks</button></div>
"
Formulák"Predikátumokból és logikai jelekből alkotott ""mondatok""."
(A =&gt; B)(¬A ∨ B)
Definiálja a predikátum fogalmát!Olyan változóktól függő kijelentések, amelyhez a változóik értékétől függően<br>valamilyen igazságérték (igaz/hamis) tartozik
Írja fel az 'és' és 'vagy' igazságtábláját!"<img src=""paste-438f19c3ddac6f96d13722a8029307005d4033c3.jpg"">"
Írja fel a 'tagadás' és 'implikáció' igazságtábláját! Mi lesz (A=&gt;B) tagadása?"<img src=""paste-71d117ff76af37ef27ad7fe06218316b04072f12.jpg""><br>[H,I,H,H]"
Mik az egzisztenciális és univerzális kvantorok? Mutasson példát olyan H(x, y) kétváltozós predikátumra, melyre <br>∀x∃yH(x, y) != ∃y∀xH(x, y)"A kvantorokkal a változókból ""lokális változókat"" képezhetünk.<br>egzisztenciális kvantor: ∃ ,,létezik”, ,,van olyan”<br>univerzális kvantor: ∀ ,,minden”<br>H(x,y) = x házastársa y-nak<br>∀x∃yH(x, y) = Mindenkinek van házastársa<br>∃y∀xH(x, y) = Valaki mindenkinek a házastársa"
Definiálja logikai jelek segítségével halmazok metszetét és unióját! Mutasson egy-egy példát olyan A, B, C halmazokra melyekre (A ∪ B) ∩ C megegyezik, ill. nem egyezik meg A ∪ (B ∩ C) halmazzal!Metszet:<br>\[x\in (A\cap B) \Leftrightarrow (x \in A) \wedge (x \in B)\]<br>Unió: <br>\[x\in (A\cup B) \Leftrightarrow (x \in A) \vee (x \in B)\]<br>Megegyezik: A={1} B={2,3} C={1,2}<br>Nem egyezik meg: A={1} B={2} C={2,3}
Definiálja halmazok szimmetrikus differenciáját!"<img src=""paste-7ac5981cd2d8538be659a3890f417544a3e04190.jpg"">"
Definiálja a binér reláció fogalmát!"<img src=""paste-4240d91fd2c4a4f114cd04a5e7d612d606253c99.jpg"">"
"
<div style=""display: none""><div class=""cloze"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".0195"" data-top="".1879"" data-width="".8509"" data-height="".1656"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".3473"" data-top="".4959"" data-width="".6058"" data-height="".1821"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".3367"" data-top="".7939"" data-width="".5938"" data-height="".1589"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-97979e2da2dca0da80c5999746d3a9a75fb787cb.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
""
<div style=""display: none""><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".3473"" data-top="".4959"" data-width="".6058"" data-height="".1821"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".3367"" data-top="".7939"" data-width="".5938"" data-height="".1589"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-97979e2da2dca0da80c5999746d3a9a75fb787cb.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
<div><button id=""toggle"">Toggle Masks</button></div>
"
"
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".0195"" data-top="".1879"" data-width="".8509"" data-height="".1656"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".3473"" data-top="".4959"" data-width="".6058"" data-height="".1821"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".3367"" data-top="".7939"" data-width="".5938"" data-height="".1589"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-97979e2da2dca0da80c5999746d3a9a75fb787cb.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
""
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".0195"" data-top="".1879"" data-width="".8509"" data-height="".1656"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".3367"" data-top="".7939"" data-width="".5938"" data-height="".1589"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-97979e2da2dca0da80c5999746d3a9a75fb787cb.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
<div><button id=""toggle"">Toggle Masks</button></div>
"
"
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".0195"" data-top="".1879"" data-width="".8509"" data-height="".1656"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".3473"" data-top="".4959"" data-width="".6058"" data-height="".1821"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze"" data-ordinal=""3"" data-shape=""rect"" data-left="".3367"" data-top="".7939"" data-width="".5938"" data-height="".1589"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-97979e2da2dca0da80c5999746d3a9a75fb787cb.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
""
<div style=""display: none""><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""1"" data-shape=""rect"" data-left="".0195"" data-top="".1879"" data-width="".8509"" data-height="".1656"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><div class=""cloze-inactive"" data-ordinal=""2"" data-shape=""rect"" data-left="".3473"" data-top="".4959"" data-width="".6058"" data-height="".1821"" data-occludeInactive=""1"" ></div><br><br></div>
<div id=""err""></div>
<div id=""image-occlusion-container"">
<img src=""paste-97979e2da2dca0da80c5999746d3a9a75fb787cb.jpg"">
<canvas id=""image-occlusion-canvas""></canvas>
</div>
<script>
try {
anki.imageOcclusion.setup();
} catch (exc) {
document.getElementById(""err"").innerHTML = `Error loading image occlusion. Is your Anki version up to date?<br><br>${exc}`;
}
</script>
<div><button id=""toggle"">Toggle Masks</button></div>
"
Definiálja a reláció kompozícióját!\( S\circ R = \{ (a,c) | \exists b \in B\; úgy, hogy \;(a,b) \in R\; és\; (b,c) \in S \}\)
Definiálja a szimmetrikus relációkat!R reláció szimmetrikus, hogyha: \[ \forall (x,y)\in R \Rightarrow (y,x)\in R\]
Definiálja a reflexív relációkat!\(R \subseteq A \times B\) reflexív, hogyha \(\forall a \in A : (a,a)\in R\)
Definiálja a tranzitív relációkat!\(R \subseteq A\times B\) reláció tranzitív, hogyha \((a,b)\in R \wedge (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R\)
Definiálja az ekvivalencia reláció fogalmát! Adjon két különböző példát ekvivalencia relációra az X={1,2,3} halmazon!R reláció ekvivalencia reláció, hogyha reflexív, tranzitív, és szimmetrikus.<br>\[R​=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\]<br>\[R=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}\]
Definiálja az osztályozás fogalmát! Adjon két különböző példát osztályozásra az X={1,2,3} halmazon!Egy X halmaz részhalmazainak O rendszerét osztályozásnak nevezzük, ha O<br>elemei páronként diszjunkt nemüres halmazok és ∪O = X.<br>1.:{{1},{2},{3}}<br>2.:{{1,2,3}}
Definiálja a komplex szám trigonometrikus alakját! Mi lesz a z=1+i trigonometrikus alakja?z = r(cos φ + isin φ)<br>a = Re(z) = r cos φ <br>b = Im(z) = r sin φ<br>z = 1+i = √2 (cos(π/4) + i sin(π/4))
Mondja ki a szorzásra vonatkozó Moivre-azonosságot!\[z_1​=r_1​(cosθ_1​+i\cdot sinθ_1​)\]<br>\[z_2=r_2(cos⁡θ_2+i\cdot sin⁡θ_2)\]<br>\[z_1​\cdot z_2​=r_1​\cdot r_2​(cos(θ_1​+θ_2​)+i\cdot sin(θ_1​+θ_2​))\]
Mondja ki a osztásra vonatkozó Moivre-azonosságot!\[z_1​=r_1​(cosθ_1​+i\cdot sinθ_1​)\]<br>\[z_2=r_2(cos⁡θ_2+i\cdot sin⁡θ_2)\]<br>\[\frac{z_1​}{z_2​}=\frac{r_1​}{r_2​}(cos(θ_1​-θ_2​)+i\cdot sin(θ_1​-θ_2​))\]
Mondja ki a hatványozásra vonatkozó Moivre-azonosságot!\[z=r(cos(θ)+i\cdot sin(θ))\]<br>\[z^n=r^n(cos(n\cdot θ)+i\cdot sin(n\cdot θ))\]
Adott w≠0 komplex szám és n≥1 egész esetén, mik lesznek a z^n=w komplex egyenlet megoldásai? Mondja ki a megfelelő tételt!"<img src=""paste-b84d77c221b38c006867acc969929426724a8783.jpg"">"
Hányféleképpen lehet n különböző elemet sorba állítani?<div>Ez az ismétlés nélküli permutáció. Az n különböző elem sorba állításának száma n! (n faktoriális), ahol:</div><div>\[&nbsp; n!=n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dotsc \cdot 2 \cdot 1 \]</div>
Hányféleképpen lehet n, nem feltétlenül különböző elemet sorba állítani?Ez ismétléses permutáció. Az n elem sorbaállításának száma, ha az elemek közül egyesek azonosak, a következő képlettel számítható:<br>[latex]&nbsp;\[\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdots n_k!}\] [/latex]
Hányféleképpen lehet k elemet kiválasztani egy n elemű halmazból, ha a kiválasztás sorrendje számít és egy elemet csak egyszer választhatunk?Ez variáció.<br>[latex] \[P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}\] [/latex]
Hányféleképpen lehet k elemet kiválasztani egy n elemű halmazból, ha a kiválasztás sorrendje nem számít és egy elemet csak egyszer választhatunk?Ez kombináció.<br><br>\[ {n \choose k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \]<br>
Hányféleképpen lehet k elemet kiválasztani egy n elemű halmazból, ha a kiválasztás sorrendje nem számít és egy elemet többször is választhatunk?Ez az ismétléses kombináció.<br><br>[latex]<br>\[ {n+k-1 \choose k} = \frac{(n+k-1)!} {k!\cdot (n-1)!} \]<br>[/latex]
Mondja ki a gráf csúcsainak és a gráf élszáma közötti összefüggést.Egy egyszerű gráfban a csúcsok fokszámainak összege kétszerese az élek számának.&nbsp;Matematikailag ezt a következőképpen írhatjuk fel:<br>\[\sum_{v\in V} deg(v) = 2|E|\]<br>ahol deg⁡(v)&nbsp;a 'v' csúcs foka, 'V'&nbsp;a gráf csúcsainak halmaza, és 'E' a gráf éleinek halmaza.
Definiálja a gráfok izomorfiáját! Mutasson példát két gráfra melyek izomorfak és adja meg a közöttük lévő izomorfiát.Két \(G=(V,E) \; és \; H=(U,F) \) gráf izomorf, ha léteznek olyan \(f: V\rightarrow U\) és \(g: E \rightarrow F\) bijekciók, hogy: \(\forall v \in V \wedge e\in E: v\in e \Leftrightarrow f(v) \in g(e)\)
Definiálja a részgráf és feszített részgráf fogalmát! Mutasson példát két G ill. H gráfra, melyekre H részgráfja, de nem feszített részgráfja G-nek!"<div style=""text-align: justify;"">Részgráf: A gráf </div>\(H=(U,F)\) részgráfja a \(G=(V,E)\) gráfnak, ha \( U \subset V \) és \(F \subset E\)<br><br>Feszített részgráf: A gráf \(H=(U,F)\) feszített részgráfja a \(G=(V,E)\) gráfnak, ha részgráfja: \( U \subset V , F\subset E\)&nbsp;és<br>feszített:\(u_1,u_2 \in U \wedge \{u_1,u_2\}\in E \Rightarrow \{u_1,u_2\}\in F \)&nbsp;<br><br>"
Definiálja a séta fogalmát gráfokra!Egy séta egy gráfban egy olyan csúcssorozat, ahol minden egymás követő csúcs össze van kötve egy éllel.<br>Formálisan: egy séta egy \(v_0,v_1,\dotsc,v_k\) csúcssorozat, ahol \((v_i,v_{i+1}) \in E\) minden \( 0 \leq i &lt; k\)-re.
Definiálja az út fogalmát gráfokra!Egy út egy olyan séta egy gráfban, amelyben minden csúcs csak egyszer szerepel.<br>Formálisan: egy út egy \(v_0,v_1,\dotsc,v_k\) csúcssorozat, ahol \(\{v_i,v_{i+1}\} \in E\) minden \( 0 \leq i &lt; k\)-re, és \( v_i \neq v_j\) minden \( i \neq j\)-re.
Definiálja az összefüggő gráfok fogalmát!"Egy gráf összefüggő, ha bármely két csúcs között létezik út. Egy gráf nem összefüggő, ha van olyan csúcspár, amely között nem létezik út."
Definiálja a fa fogalmát gráfok körében!Egy fa egy összefüggő gráf, amely nem tartalmaz kört.<br>Formálisan: egy fa egy olyan összefüggő gráf, amelyben \(|E| = |V| - 1\)
Definiálja az Euler-séta fogalmát!Egy \(G\) gráfban a \(v_0,e_1,v_1,\dotsc, v_{k-1},e_k,v_k\) séta egy Euler-séta ha <br>1. \(e_i \neq e_j (i\neq j)\)<br>2. a séta \(G\) minden élét tartalmazza<br>3. zárt Euler-séta: \(v_0=v_k\)
Definiálja a Hamilton-út fogalmát!"Egy Hamilton-út egy olyan út egy gráfban, amely minden csúcsot pontosan egyszer látogat meg. Ha a Hamilton-út ugyanabban a csúcsban kezdődik és végződik, akkor ezt Hamilton-körnek nevezzük."
Meghatározottsági axiómaEgy halmazt az elemei egyértelműen meghatároznak.
Részhalmaz\(A\) halmaz részhalmaza \(B\) halmaznak \( (A \subset B)\)&nbsp;ha \( \forall x( x \in A \Rightarrow x \in B)\).
Valódi részhalmazHa \( A \subset B \)-nek, de \(A \neq B\), akkor \(A\) valódi részhalmaza \(B\)-nek. Jelölése: \(A \subseteq B\)
Unió\(A,B\) két halmaz, \(A\) és \(B\) uniója: \(A \cup B = \{ x: (x \in A) \vee (x \in B)\}\)
Metszet\(A,B\) két halmaz, \(A\) és \(B\)&nbsp;metszete: \(A \cap B = \{x: (x \in A) \wedge (x \in B) \}\)
Diszjunkt\(A,B\) halmazok diszjunktak, ha \(A \cap B = \varnothing\)
Két halmaz különbsége\(A,B\) halmaz különbsége: \(A \setminus B = \{a \in A : a \notin B \} \)
KomplementerLegyen x egy rögzített alaphalmaz. Ekkor \(A\) halmaz komplementere: \(\overline A = X \setminus A = \{a \in X : a \notin A \} \)
Szimmetrikus differencia\(A,B\) halmaz szimmetrikus differenciája: \(A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{a: (a \in A) \oplus (b \in B)\}\)<br>Két halmaz uniója, a metszetük nélkül.
HatványhalmazEgy \(A\) halmaz hatványhalmaza \(P(A) = 2^A = \{B:B \subset A \}\)<br>\(A\) összes részhalmazának a halmaza.
Reflexivitás\(\forall A : A \subset A\)
Tranzitivitás halmazokra\(\forall A,B,C: (A \subset B) \wedge (B\subset C) \Rightarrow (A \subset C)\)
Antiszimmetria halmazokra\(\forall A,B: (A \subset B) \wedge (B \subset A) \Rightarrow (A=B)\)
Unió tulajdonságai\[ A\cup \varnothing = A \]<br>\[ A \cup B = B \cup A (kommutativitás)\]<br>\[ A \cup (B \cup C) = (A\cup B) \cup C (asszociativitás)\]<br>\[ A \cup A = A\]<br>\[ A \subset B \Leftrightarrow A \cup B = B\]
Metszet tulajdonságai<br>\[ A \cap \varnothing = \varnothing\]<br>\[ A \cap B = B \cap A \quad(kommutativitás)\]<br>\[ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \quad(asszociativitás)\]<br>\[ A \cap A = A\]<br>\[ A \subset B \Leftrightarrow A \cap B = A\]
Unió és metszet disztributivitásaLegyenek \( A,B,C\) tetszőleges halmazok. Ekkor:<br>\[ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\]<br>\[ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\]
Különbség állítások<br>\[A \subset B \Leftrightarrow \overline B \subset \overline A\]<br>\[1. de\; Morgan\; szabály: \qquad \overline{A\cap B} = \overline A \cup \overline B \]<br>\[2. de\; Morgan\; szabály: \qquad \overline{A\cup B} = \overline A \cap \overline B\]
Hatványhalmaz állításLegyen \(A\) egy véges halmaz. Ekkor \( |P(A)| = |2^A| = 2^{|A|}\)
Komplex számok halmaza\[\mathbb{C} = \{ a+ b\cdot i :a,b \in \mathbb{R}\}\]
Konjugált\(z=a+b\cdot i \in \mathbb{C}\) konjugáljta: \(\overline z = a - b\cdot i\)
Komplex szám argumentuma\(\phi=arg(z) \in [0,2\pi[\)&nbsp;az&nbsp;\( (a,b)\) vektor irányszöge
Trigonometrikus alak\[z=r\cdot (cos\phi + i\cdot sin\phi) \]<br>\[a=Re(z)=r\cdot cos\phi \;; b=Im(z)=r\cdot sin\phi\]
Egységgyök\(z\in \mathbb{C} \) komplex számot egységgyöknek hívjuk, ha \(\exists\ n\in \mathbb{N} : n \geq 1\ \wedge\; z^n=1\)
Moivre-azonosságokLegyen \(z,w \in \mathbb{C} \setminus \{0\}\) nem-nulla komplex számok:<br>\(z=|z|(cos\phi + i\cdot sin\phi), w=|w|(cos\psi + i\cdot sin\psi)\) és legyen \(n \in \mathbb{N}\). Ekkor:<br>\[zw=|z||w| (cos(\phi + \psi) + i\cdot sin(\phi + \psi)) \]<br>\[\frac{z}{w} = \frac{|z|}{|w|}(cos(\phi - \psi) + i\cdot sin(\phi - \psi)) \]<br>\[ z^n = |z|^n(cos(n\cdot \phi) + i\cdot sin(n\cdot \phi)) \]
Komplex gyökvonásLegyen \(w \in \mathbb{C} \setminus \{0\}\) komplex szám \(w=|w|(cos\psi + i\cdot sin\psi)\) trigonometrikus alakkal. Ekkor a \(z^n=w, z\in \mathbb{C}\) egyenlet megoldásai:<br>\[ z_k = |w|^{\frac{1}{n}} (cos\phi_k + i\cdot sin\phi_k): \phi_k=\frac{\psi}{n}+\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\dotsc,n-1\]
n-edik egységgyökökLegyen \(n\geq 1\). Ekkor az \(n\)-edik egységgyökök a következők:<br>\( \mathcal{E}_n = \left\{cos\left(k\cdot \frac{2\pi}{n}\right) + i\cdot sin\left(k\cdot \frac{2\pi}{n}\right) : k = 0,1,\dotsc,n-1 \right\} \)
Primitív egységgyökLegyen \(z\in \mathcal{E}_n\) egy primitív \(n\)-edik egységgyök. Ekkor \(\mathcal{E}_n = \left\{ z^k \ :\ k=0,1,\dotsc,n-1 \right\}\).
Relációadat+köztük lévő kapcsolat
Descartes szorzatAdott \(A,B\) halmazok Descartes-szorzata: \(A \times B = \left\{ (a,b) : a \in A, b \in B\right\} \)
Reláció inverzeEgy \(R \subset X \times Y\) reláció inverze az \(R^{-1} = \left\{ (y,x) \in Y \times X : (x,y) \in R \right\}\)
Kép,ősképLegyen \(R\) egy binér reláció, az \(A \) halmaz képe az \(R(A) = \left\{y: \exists x\in A : (x,y) \in R \right\}\).<br>Adott \(B\) halmaz inverz képe vagy teljes ősképe az \(R^{-1}(B)\), a \(B\) halmaz képe az \(R^{-1}\) reláció esetén.
KompozícióLegyenek \(R\) és \(S\) binér relációk. Ekkor az \(R \circ S\) kompozíció reláció: \( R \circ S = \left\{ (a,b): \exists c : (a,c) \in S, (c,b) \in R \right\}\)
Reláció szimmetrikus\(R\) reláció szimmetrikus, ha \( \forall x, y \in X : xRy \Rightarrow yRx \)
Reláció antiszimmetrikus\(R\) reláció antiszimmetrikus ha \( \forall x, y \in X : (xRy \wedge yRx) \implies x = y\)
Reláció szigorúan antiszimmetrikusR reláció szigorúan antiszimmetrikus ha \(\forall x, y \in X : xRy \implies \neg(yRx)\)
Reláció reflexívR reláció reflexív, ha \( \forall x \in X : xRx\)
Reláció irreflexívR reláció irreflexív, ha \( \forall x \in X: \neg{(xRx)} \)
Reláció tranzitívR reláció tranzitív, ha \( \forall x,y,z \in X : (xRy) \wedge (yRz) \Rightarrow (xRz)\)
Reláció dichotómR reláció dichotóm, ha \( \forall x,y \in X \) esetén \( xRy \vee yRx \)
Reláció trichotómR reláció trichotóm, ha \( \forall x,y \in X \) esetén \( (x=y,\; xRy,\; yRx)\)&nbsp;közül pontosan egy teljesül.
EkvivalenciarelációR reláció ekvivalencia reláció, ha reflexív, tranzitív és szimmetrikus
OsztályozásEgy \(X\) halmaz részhalmazainak \(O\) rendszerét osztályozásnak nevezzük, ha \(O\) elemei páronként diszjunkt nemüres halmazok és \(\cup O = X \)
RészbenrendezésEgy R reláció részbenrendezés, ha reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus
Kompozíció asszociatívLegyenek \(R,S,T\) relációk, ekkor \((R\circ S)\circ T = R\circ (S\circ T)\)
TehénszabályAdott lehetőségeket szeretnénk megszámolni. Ehelyett más eseteket számolunk meg. Egy lehetőséget L-szer számolunk. Összesen N esetet számoltunk le. Összesen N/L lehetőség van.
KivonásszabályAdott események számát szeretnénk leszámlálni, ekkor<br>Események száma = összes eset - rossz esetek
Binomiális együtthatóLegyenek \(n,k \in \mathbb{N}\). Ekkor a&nbsp;<br>\[{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]<br>értéket binomiális együtthatónak nevezzük.
Ismétléses variáció\(n\) elemből \(k\)-t választunk (sorrend számít, egy elem legfeljebb egyszer):<br>\[n^k\]
Binomiális tétel\[(a+b)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} a^{n-i}b^i\]
Két random tételAdott \(n,i\) nemnegatív egészek esetén:<br>\[{n \choose i}+{n \choose i+1}={n+1 \choose i+1} \]<br>Minden \(n,m\) nemnegatív egészre:<br>\[{n \choose n}+{n+1 \choose n}+\dots+{n+m-1 \choose n}={n+m \choose n+1}\]
Egyszerű gráfEgy \(G = (V,E)\) egy egyszerű gráf, ha \(V\) a gráf pontjainak halmaza, és \(E\) a gráf éleinek a halmaza, ahol \(E\) a \(V\)-ből alkotott rendezetlen párok egy halmaza.
Véges gráfEgy \(G=(V,E)\) gráf véges, ha véges sok pontja van. (\(V\) halmaz véges.)
IlleszkedésA \(v \in V\) csúcs és az \(e \in E\) él illeszkednek, ha \(v\in e\).
FokszámA \(v\in V\)&nbsp;csúcs fokszáma a rá illeszkedő élek száma: \(d(v) = |\left\{ e\in E : v\in e\right\}|\)
Izolált csúcsA \(v\in V\) csúcs izolált csúcs, ha \(d(v)=0\)
Csúcsok szomszédosságaAz \(u,v \in V\) csúcsok szomszédosak, ha \((u \neq v) \wedge (e\in E): u,v\in E \; \)azaz \(\{u,v\}\in E\)
Gráfok izomorfiájaKét \(G=(V,E)\) és \(H=(U,F)\) gráf izomorf, ha léteznek olyan \(f: V \rightarrow U\) és \(g:E \rightarrow F\) bijekciók (egyértelmű hozzárendelések), hogy \(\forall v\in V \wedge e\in E : (v\in e) \Leftrightarrow (f(v) \in g(e))\)
RészgráfEgy \(G=(V,E)\) gráfnak a \(H = (U,F)\) gráf részgráfja, ha \(V \subset U \wedge E\subset F\)
Feszített részgráfEgy \(H = (U,F)\) egy feszített részgráfja \(G=(V,E)\)-nek, ha részgráfja és feszített: \((u_1,u_2 \in U) \wedge \left\{u_1,u_2 \right\}\in E \Rightarrow \left\{u_1,u_2 \right\}\in F\)
SétaLegyen \(G=(V,E)\) egy gráf. Egy \(v_0,e_1,v_1,\dotsc,v_{k-1},e_k,v_k\) sorozatot k-hosszú sétának nevezünk, ha \(v_i\in V (0\leq i \leq k), e_i \in E (1\leq i \leq k)\ és \ e_i=\left\{v_{i-1},v_i \right\} (1\leq i \leq k)\)
ÚtLegyen \(G=(V,E)\) egy gráf. Egy \(v_0,e_1,v_1,\dotsc,v_{k-1},e_k,v_k\) sorozatot k-hosszú útnak nevezünk, ha ez egy séta, és \(v_i\neq v_j\quad (i\neq j)\)
KörLegyen \(G=(V,E)\) egy gráf. Egy \(v_0,e_1,v_1,\dotsc,v_{k-1},e_k,v_k\) sorozatot k-hosszú körnek nevezünk, ha ez egy zárt (azaz \(v_k = v_0\)) séta és \(v_i \neq v_j \quad(i\neq j)\)
ÖsszefüggőségEgy \(G=(V,E)\) gráf összefüggő, ha \(\forall u,v \in V, \; u\neq v\) van \(u\) és \(v\) között séta.
FaEgy \(G=(V,E)\) gráfot fának hívunk, ha összefüggő és körmentes.
Euler-sétaLegyen \(G=(V,E)\) egy gráf. Egy \(v_0,e_1,v_1,\dotsc,v_{k-1},e_k,v_k\) séta, egy Euler-séta, ha \(e_i\neq e_j \quad (i\neq j)\), a séta \(G\) minden élét (pontosan egyszer) tartalmazza.
Zárt Euler-séta\(v_k = v_0\)
Hamilton-út(kör)A \(G\) véges, egyszerű gráfban egy út(kör) Hamilton-út(kör), ha minden csúcsot<br>pontosan egyszer tartalmaz.
Fokszám tételMinden \(G=(V,E)\) gráfra \(\sum_{v\in V} {d(v) = 2|E|}\).
Gráfra ekvivalens kijelentések-\(G\) fa<br>-\(G\) összefüggő, de bármely él elhagyásával kapott részgráf már nem<br>-Ha \(v\) és \(v'\) a \(G\) különböző csúcsai akkor \(v\)-ből \(v'\)-be pontosan egy út vezet<br>-\(G\)-nek nincs köre, de bármely él hozzáadásával kapott gráfban már van
Minden fának van leveleLegyen \(G=(V,E)\) egy körmentes nem-üres \(E\neq \varnothing\) véges gráf. Ekkor \(\exists v \in V \ : d(v) = 1 \)
Euler-séta tételEgy véges gráfban pontosan akkor van zárt Euler-séta, ha&nbsp;<br>1. izolált csúcsoktól eltekintve összefüggő;<br>2. minden csúcs foka páros.
Dirac-tételLegyen \(G=(V,E)\) egy véges, egyszerű gráf \(n=|V| \geq 3\) csúccsal. Ha minden \(v\in V\) csúcsra \(d(v) \geq \frac{V}{2}\), akkor \(G\)-ben létezik Hamilton-kör.
Egyszerű gráfokra ekvivalens állításokLegyen \(G\) egyszerű \(n\) csúcsú gráf. Ekkor a következőek ekvivalensek:<br>1. \(G\) fa<br>2. \(G\) körmentes és \(n-1\) éle van<br>3. \(G\) összefüggő és \(n-1\) éle van