MBOU "Pervomaiskaya o'rta maktabi" Matematikdan sinfdan tashqari mashg‘ulot Muallif : Demchenkova S.V. matematika o'qituvchisi 2016 yil Tarkib 1 Kirish 1. Vazifa 2. “Sofizm” va “paradoks” nima? 3.Tarixga ekskursiya 4. Matematik kutilmagan hodisalarning tasnifi 4.1.Algebraik sofizmlar 4.2.Geometrik sofizmlar 4.3 Arifmetik sofizmlar 4.4.Mantiqiy sofizmlar 5. Paradokslarning xilma-xilligi 5.1.Kvadratlar ayirmasining paradoksi 5.2.Sartarosh paradoksi 5.3 Geometrik paradokslarning asosiy turlari 5.3.1 "Mumkin bo'lmagan uchburchak" 5.3.2 "Cheksiz zinapoya". 5.3.3 "Kosmik vilka" 5.3.4 "Aqldan ozgan quti". 6.Imp-Art - paradoksal rasmlar san'ati 7. Xulosalar 8. Amaliy ahamiyati Adabiyotlar ro'yxati Kirish 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 7 8 9 9 9 o'n bir o'n bir o'n bir Matematika darslarida sofizm va paradokslardan foydalanish, menimcha, matematika darslarini rang-baranglashtirib, o‘quvchilarda bu fanga qiziqish uyg‘otishi mumkin edi. Maqsad: paradokslarga olib keladigan matematik muammolarni toping, ushbu muammolarni hal qilish yo'llarini o'rganing, xatolar qaerda yashiringanini toping. Vazifalar: • “sofizm” va “paradoks” tushunchalarini aniqlang, bilib oling ularning farqi nimada; • matematik kutilmagan hodisalarni tasniflash; • matematik masalalarning tayyor yechimlarida xatolarni topishni o'rganish; 1. Vazifa. " Gugurt telegraf ustunidan ikki baravar uzunroq!!! " Tasavvur qilaylik, a dm o'yin uzunligi, b dm esa postning uzunligi. b va a o'rtasidagi farq c bo'lsin. Bizda ... bor : b-a=c,b=a+c. Ushbu tengliklarning chap va o'ng tomonlarini ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz: b 2 - ab = ca + c 2 . Ikki tomondan bc ayirish. Biz olamiz: 2 b - ab - bc = ca + c 2 - miloddan avvalgi yoki b(b-a-c)=-c(b-a-c) Buni qayerda kuzatib boradi b = - c, lekin c = b – a Shunung uchun b = a - b yoki a = 2b. Xato qayerda??? Javob: b(bac )= -c(bac) ifodasi ga bo'linadi (bac), lekin buni amalga oshirish mumkin emas, chunki bac = 0 va siz nolga bo'linmaysiz. Bu shuni anglatadiki, gugurt telegraf ustunidan ikki barobar uzun bo'lishi mumkin emas. 3 2. " Sofizm " va " paradoks " nima ? Matematika tarixi qiziqarli va kutilmagan sofizmlarga boy. Va ko'pincha ularning qarorlari yangi kashfiyotlar uchun turtki bo'lib xizmat qildi, bu esa o'z navbatida yangi sofizm va paradokslarni keltirib chiqardi. Paradokslar va sofizmlarni farqlash kerak. Sofistika (yunoncha sophisma hiyla, ixtiro, jumboq, ayyorlik, ixtiro) - bu noto'g'ri xulosa, ammo yuzaki tekshirishda to'g'ri ko'rinadi. Sofistika - bu boshlang'ich nuqtalarni ataylab noto'g'ri tanlashga asoslangan rasman to'g'ri ko'rinadigan, ammo aslida noto'g'ri xulosa (Ozhegov lug'ati). Paradoks (yunoncha "para" - "qarshi", "doxa" - "fikr") - odatiy kutishlardan, sog'lom fikrdan va hayotiy tajribadan ajralib turadigan g'ayrioddiy va hayratlanarli narsa. Paradoks sofizmga yaqin. Ularni sofizmdan ajratib turadigan narsa shundaki, paradoks ataylab olingan qarama-qarshi natija emas. Paradoks - bu umumiy qabul qilingan fikrdan ajralib turadigan g'alati bayonot, shuningdek, (ba'zan faqat birinchi qarashda) aqlga zid bo'lgan fikr. Matematik paradoks - bu haqiqat yoki noto'g'ri ekanligini isbotlash mumkin bo'lgan bayonot. 3. Tarixga ekskursiya Sofistlar — eramizdan avvalgi 4—5-asrlarda mantiq boʻyicha katta mahoratga ega boʻlgan qadimgi yunon faylasuflari guruhi. Biroq, Gretsiyada oddiy ma'ruzachilarni sofistlar - faylasuf o'qituvchilar deb ham atashgan, ular o'z o'quvchilarini "fikrlash, gapirish va bajarish" ga o'rgatish vazifasini qo'ygan. Og'zaki duelda g'alaba qozonish uchun sofistlar ko'pincha dushmanning ko'rib chiqilayotgan mavzuni juda chuqur bilmasligi, etarlicha e'tiborli va kuzatuvchan emasligi, shuning uchun yolg'onni haqiqatdan ajrata olmasligidan foydalangan. Bunday duel natijasida dushman sofistlar bilan kelishib, mag'lubiyatni tan olishga majbur bo'ldi, garchi haqiqat uning tomonida bo'lsa ham. Ammo sofistlar olimlar emas edilar. Ularning yordami bilan erishilishi kerak bo'lgan mahorat shundan iboratki, odam bir nechta nuqtai nazarni yodda tutishni o'rgangan. 4. Matematik kutilmagan hodisalarning tasnifi Turli matematik muammolarni, ayniqsa nostandart masalalarni tahlil qilish va yechish mantiqiylik va zukkolikni rivojlantirishga yordam beradi. Matematik sofizmlar 4 aynan shunday muammolar bilan bog'liq. Ishning ushbu qismida men matematik sofizmlarning to'rt turini ko'rib chiqaman: algebraik, geometrik, arifmetik va mantiqiy. 4.1. Algebraik sofizmlar Algebra matematikaning yirik bo'limlaridan biri bo'lib, arifmetika va geometriya bilan birga ushbu fanning eng qadimgi tarmoqlaridan biriga kiradi. Uni matematikaning boshqa sohalaridan ajratib turuvchi masalalar ham, metodlar ham antik davrlardan boshlab bosqichma-bosqich yaratilgan. Algebra ijtimoiy amaliyot ehtiyojlari ta'sirida, shunga o'xshash arifmetik muammolarni hal qilishning umumiy usullarini izlash natijasida paydo bo'lgan. Bu usullar odatda tenglamalarni tuzish va yechishni o'z ichiga oladi. Bular. algebraik sofizmlar tenglamalar va sonli ifodalardagi ataylab yashirin xatolardir. Algebraik sofizmlardan biri allaqachon men tomonidan muhokama qilingan. 4.2. Geometrik sofizmlar Geometrik sofizmlar - bu geometrik figuralar va ulardagi harakatlar bilan bog'liq ataylab qilingan absurdlik, absurdlik yoki paradoksal bayonotni asoslaydigan xulosalar yoki mulohazalar. "Sirli g'oyib bo'lish" Bizda ixtiyoriy to'rtburchaklar mavjud (1-ilova), uning ustiga bir-biridan teng masofada 13 ta bir xil chiziqlar chizilgan. Endi MN to'g'ri chiziqning birinchi yuqori uchidan va oxirgi chiziqning pastki uchidan o'tuvchi to'rtburchakni "kesib" olamiz. Biz ikkala yarmini ham shu chiziq bo'ylab harakatlantiramiz va 13 ta chiziq o'rniga 12 ta chiziq borligini ko'ramiz. Bitta chiziq izsiz g'oyib bo'ldi. 13-qator qayerga ketdi? Sofizmni tahlil qilish. 13-qator qolganlarning har birini uzunligining 1/12 qismiga uzaytirdi. 4.3. Arifmetik sofizmlar Arifmetika - (yunoncha arifmetika, arifmys - son), sonlar haqidagi fan, birinchi navbatda natural (musbat butun) sonlar va (ratsional) kasrlar hamda ular ustida amallar. Arifmetik sofizmlar - bu birinchi qarashda sezilmaydigan noaniqlik yoki xatolikka ega bo'lgan sonli ifodalar. 5 " Ikki marta ikki - besh! " Dastlabki nisbat sifatida quyidagi aniq tenglikni ko'rib chiqing: 4:4= 5:5 (1) Keling, tenglikning har bir qismidan qavs ichidan umumiy omilni chiqaramiz va biz quyidagilarni olamiz: 4∙(1:1)=5∙(1:1) (2) yoki (2∙2)(1:1)=5(1:1) (3) 1:1=1 ekanligini bilib, (2) munosabatdan o'rnatamiz: 2∙2=5 Xato qayerda? Tenglikda (2), 4 va 5 omillar emas, biz ularni qavs ichidan olib tashladik. " 5 tiyin 50 tiyinga teng " 4.4. Mantiqiy sofizmlar " O'rganish sofistikasi " (ingliz talabalari tomonidan yaratilgan qo'shiq) Qancha ko'p o'qisangiz, shuncha ko'p bilasiz. Qanchalik ko'p bilsangiz, shuncha ko'p unutasiz. Qanchalik ko'p unutsangiz, shuncha kam bilasiz. Qanchalik kam bilsangiz, shunchalik kam unutasiz. Ammo qancha kam unutsangiz, shuncha ko'p bilasiz. Xo'sh, nima uchun o'qish kerak? " Kratilning sofizmi " Dialektik Geraklit tezisni "hamma narsa oqadi" deb e'lon qildi va bitta daryoga (tabiat tasviri) ikki marta kirish mumkin emasligini tushuntirdi, chunki keyingi safar kirganda, unga boshqa suv oqadi. Va uning shogirdi Kratil, o'qituvchisining so'zlaridan quyidagi xulosaga keldi: siz bir daryoga bir marta ham kira olmaysiz, chunki siz kirganingizda u allaqachon o'zgaradi. Shuning uchun Kratil narsalarni nomlashni emas, balki ularga ishora qilishni taklif qildi: siz nomni talaffuz qilganingizda, narsa allaqachon boshqacha bo'ladi. 6 5. Paradokslarning xilma-xilligi 5.1. Kvadrat farq paradoks 1) Bizda a² - a² = a² - a² tengligi bor; 2) Chap tomonda qavs ichidan umumiy koeffitsientni chiqaramiz, o'ngda esa a(a - a) = (a + a)(a - a) kvadratlar ayirmasi formulasidan foydalanamiz; 3) Ikkala qismni (a - a) ga ajratamiz, biz a = a + a olamiz; 4) a = 2a. 5.2. Sartaroshning paradoksi Bir qishloqda yagona erkak sartarosh yashar edi. Bu erda farmon chiqarildi: "Sartarosh faqat o'zini qilmagan qishloq aholisining soqolini olish huquqiga ega". Savol shundaki, sartarosh o'zini soqolini oladimi? Aftidan, bu mumkin emas, chunki bu farmon bilan taqiqlangan. Ammo shu bilan birga, agar u o'zini o'zi soqol qilmasa, demak u o'zini o'zi soqol qo'ymaydigan fuqarolardan biridir va sartarosh bunday odamlarning sochini olish huquqiga ega. 5.3. Geometrik paradokslarning asosiy turlari 5.3.1. "Imkonsiz uchburchak" • Birinchi imkonsiz figurani 1934 yilda shved rassomi Oskar Reutersvard tasvirlagan. • rassomning uchta rasmini pochta markalarida abadiylashtirishga qaror qildi, ulardan biri " mumkin bo'lmagan uchburchak " edi . 7 5.3.2. "Cheksiz zinapoya" • Bu raqam, shuningdek, "Penrose zinapoyasi" (uning yaratuvchisi nomi bilan atalgan), shuningdek, "Abadiy zinapoya" yoki "Doimiy ravishda ko'tariladigan va tushuvchi yo'l" deb ataladi. • Oldimizda bir zinapoya paydo bo'ladi, go'yo yuqoriga yoki pastga chiqadi, lekin u bo'ylab yurgan odam ko'tarilmaydi yoki tushmaydi. Vizual marshrutini tugatgandan so'ng, u o'zini yo'lning boshida topadi. 8 5.3.3. "Kosmik vilka" • Va 1964 yilda uchta (yoki ikkita?) tishli bu imkonsiz ob'ekt muhandislar va jumboq sevuvchilar orasida mashhur bo'ldi. 5.3.4. " Aqldan ozgan quti " • "Aqldan ozgan quti" ichkariga aylantirilgan kubning ramkasidir. Shaklni ikki shaklda qabul qilish mumkin. • Crazy Box, boshqa ko'plab mumkin bo'lmagan ob'ektlar singari, chizish paytida noto'g'ri ulanishlarga asoslanadi. 6. Imp-Art - paradoksal rasmlar san'ati Ko'pgina taniqli rassomlar geometrik paradokslarga asoslangan asarlar yaratdilar. Ushbu asarlar tasviriy san'atning alohida yo'nalishi - "imp art", inglizcha "imkonsiz" ("mumkin emas") va "art" ("art") so'zlaridan iborat. Tomoshabinni o‘z asarida hajm, istiqbol borligiga ishontirish, makon illyuziyasini yaratish uchun rassomdan ma’lum mahorat talab etiladi. M.K.ning so'zlari. Escherning "Chizish - aldash" asari chuqur ma'noga to'la. Bu yolg'onning ko'lamini his qiladigan "mumkin bo'lmagan raqamlar". 9 • M.Esherning “Sharshara” toshbosma asari “imkonsiz uchburchak” figurasiga asoslangan. Bu erda ikkita "mumkin bo'lmagan uchburchak" bitta imkonsiz raqamga bog'langan. Ko'rinishidan, sharshara yopiq tizim bo'lib, u abadiy harakatlanuvchi mashina kabi ishlaydi va energiya saqlanish qonuni buziladi. • Rassom M. Escher 1960 yilda o'zining "Ko'tarilish va tushish" toshbosmasida "Endless Staircase" dan muvaffaqiyatli foydalangan. • Monastirning tomiga “Cheksiz zinapoya” chiroyli tarzda yozilgan. Rohiblar zinapoyalar bo'ylab soat yo'nalishi bo'yicha va soat miliga teskari yo'nalishda doimiy ravishda harakat qilishadi. Ular bir-birlariga imkonsiz yo'ldan borishadi. Ular hech qachon yuqoriga yoki pastga tusha olmaydilar. • M.Esherning mashhur "Belvedere" gravyurasida (1958) o'tirgan bola "aqldan ozgan quti" ning bevosita salafi bo'lgan "imkonsiz quti" ni ushlab turadi. Escherning imkonsiz qutisining salafi, o'z navbatida, Necker kubi edi. 7. Xulosa Shunday qilib, jarayonda: 10 • Men "sofizm" va "paradoks" deb ataladigan narsalarni va ularning farqlari nimada ekanligini bilib oldim; • sofizmlarni matematikaning o‘zlari mansub bo‘lgan sohalariga mos ravishda tasniflash; • Men geometrik paradokslarning to'rtta asosiy turini ko'rib chiqdim, ular mening alohida qiziqishimni uyg'otdi, chunki ular imp-art - paradoksal rasmlar san'atida o'z aksini topdi. 8. Amaliy ahamiyati Sofizmlar ustida ishlayotganda, men noto'g'ri qarorlarda xatolarni topishni o'rgandim, masalan, ifodani bo'lishdan ehtiyot bo'laman (u nolga tengmi?). Geometrik masalalarda, birinchi navbatda, chizmaning to'g'ri tuzilganligiga e'tibor beraman. Bilaman, matematika bo'yicha olimpiadalarda va OGEda biz mantiqiy muammolarga duch kelamiz. Men to‘plagan materiallardan tanlov darslarida va matematika to‘garagi darslarida foydalanish mumkin. Matematika o‘qituvchilari undan o‘z darslarida o‘quvchilarning fanga qiziqishini oshirish uchun foydalanishlari mumkin. Matematikani oddiy o‘quvchidan ko‘ra ko‘proq bilmoqchi bo‘lgan tengdoshlarimga ham mening ishim bilan tanishishlarini tavsiya qilaman. Adabiyotlar ro'yxati 1. А. Г. Мадера, Д. А. Мадера " Математик софизмлар " , Москва, " Маърифат " , 2003 йил. 2. Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati. 3. Bradis V.M., Minkovskiy V.L., Xarcheva L.K. " Matematik fikrlashdagi xatolar " . 4. Perelman Ya. I. " Ko'ngilochar matematika " . 5. Amenitsky N. " Matematik o'yin-kulgi va qiziquvchan fikrlash texnikasi " . M., 1912 yil 6. Bogolov S. A. “ Haqiqiy cheksizlik ” M.; L., 1934 yil 7. Goryachev D.N., Voronets A.N. " Matematikani sevuvchilar uchun muammolar, savollar va sofizmlar " , M., 1903 yil. 8. Лямин А. А. " Математик парадокслар ва қизиқарли муаммолар " , М. 1911 йил. 9. Obreimov V.I. " Matematik sofizmlar " , 2-nashr, Sankt-Peterburg, 1889 yil. 11