MBOU "Pervomaiskaya o'rta maktabi"
Matematikdan sinfdan tashqari mashg‘ulot
Muallif : Demchenkova S.V.
matematika o'qituvchisi
2016 yil
Tarkib
1
Kirish
1. Vazifa
2. “Sofizm” va “paradoks” nima?
3.Tarixga ekskursiya
4. Matematik kutilmagan hodisalarning tasnifi
4.1.Algebraik sofizmlar
4.2.Geometrik sofizmlar
4.3 Arifmetik sofizmlar
4.4.Mantiqiy sofizmlar
5. Paradokslarning xilma-xilligi
5.1.Kvadratlar ayirmasining paradoksi
5.2.Sartarosh paradoksi
5.3 Geometrik paradokslarning asosiy turlari
5.3.1 "Mumkin bo'lmagan uchburchak"
5.3.2 "Cheksiz zinapoya".
5.3.3 "Kosmik vilka"
5.3.4 "Aqldan ozgan quti".
6.Imp-Art - paradoksal rasmlar san'ati
7. Xulosalar
8. Amaliy ahamiyati
Adabiyotlar ro'yxati
Kirish
2
3
3
4
4
5
5
5
6
6
7
7
7
7
7
8
9
9
9
o'n bir
o'n bir
o'n bir
Matematika darslarida sofizm va paradokslardan foydalanish, menimcha,
matematika darslarini rang-baranglashtirib, o‘quvchilarda bu fanga qiziqish uyg‘otishi
mumkin edi.
Maqsad: paradokslarga olib keladigan matematik muammolarni toping, ushbu
muammolarni hal qilish yo'llarini o'rganing, xatolar qaerda yashiringanini toping.
Vazifalar:
• “sofizm” va “paradoks” tushunchalarini aniqlang, bilib oling
ularning farqi nimada;
• matematik kutilmagan hodisalarni tasniflash;
• matematik masalalarning tayyor yechimlarida xatolarni topishni
o'rganish;
1. Vazifa.
" Gugurt telegraf ustunidan ikki baravar uzunroq!!! "
Tasavvur qilaylik, a dm o'yin uzunligi, b dm esa postning uzunligi. b va a
o'rtasidagi farq c bo'lsin.
Bizda ... bor :
b-a=c,b=a+c.
Ushbu tengliklarning chap va o'ng tomonlarini ko'paytirsak, biz quyidagilarni
olamiz:
b 2 - ab = ca + c 2 .
Ikki tomondan bc ayirish. Biz olamiz:
2
b - ab - bc = ca + c 2 - miloddan avvalgi
yoki
b(b-a-c)=-c(b-a-c)
Buni qayerda kuzatib boradi
b = - c, lekin c = b – a
Shunung uchun
b = a - b yoki a = 2b.
Xato qayerda???
Javob: b(bac )= -c(bac) ifodasi ga bo'linadi
(bac), lekin buni amalga oshirish mumkin emas, chunki bac = 0 va siz nolga
bo'linmaysiz. Bu shuni anglatadiki, gugurt telegraf ustunidan ikki barobar uzun bo'lishi
mumkin emas.
3
2. " Sofizm " va " paradoks " nima ?
Matematika tarixi qiziqarli va kutilmagan sofizmlarga boy. Va ko'pincha
ularning qarorlari yangi kashfiyotlar uchun turtki bo'lib xizmat qildi, bu esa o'z
navbatida yangi sofizm va paradokslarni keltirib chiqardi.
Paradokslar va sofizmlarni farqlash kerak. Sofistika (yunoncha sophisma hiyla, ixtiro, jumboq, ayyorlik, ixtiro) - bu noto'g'ri xulosa, ammo yuzaki tekshirishda
to'g'ri ko'rinadi. Sofistika - bu boshlang'ich nuqtalarni ataylab noto'g'ri tanlashga
asoslangan rasman to'g'ri ko'rinadigan, ammo aslida noto'g'ri xulosa (Ozhegov lug'ati).
Paradoks (yunoncha "para" - "qarshi", "doxa" - "fikr") - odatiy kutishlardan,
sog'lom fikrdan va hayotiy tajribadan ajralib turadigan g'ayrioddiy va hayratlanarli
narsa.
Paradoks sofizmga yaqin. Ularni sofizmdan ajratib turadigan narsa shundaki,
paradoks ataylab olingan qarama-qarshi natija emas. Paradoks - bu umumiy qabul
qilingan fikrdan ajralib turadigan g'alati bayonot, shuningdek, (ba'zan faqat birinchi
qarashda) aqlga zid bo'lgan fikr. Matematik paradoks - bu haqiqat yoki noto'g'ri
ekanligini isbotlash mumkin bo'lgan bayonot.
3. Tarixga ekskursiya
Sofistlar — eramizdan avvalgi 4—5-asrlarda mantiq boʻyicha katta mahoratga ega
boʻlgan qadimgi yunon faylasuflari guruhi.
Biroq, Gretsiyada oddiy ma'ruzachilarni sofistlar - faylasuf o'qituvchilar deb
ham atashgan, ular o'z o'quvchilarini "fikrlash, gapirish va bajarish" ga o'rgatish
vazifasini qo'ygan. Og'zaki duelda g'alaba qozonish uchun sofistlar ko'pincha
dushmanning ko'rib chiqilayotgan mavzuni juda chuqur bilmasligi, etarlicha e'tiborli
va kuzatuvchan emasligi, shuning uchun yolg'onni haqiqatdan ajrata olmasligidan
foydalangan. Bunday duel natijasida dushman sofistlar bilan kelishib, mag'lubiyatni
tan olishga majbur bo'ldi, garchi haqiqat uning tomonida bo'lsa ham. Ammo sofistlar
olimlar emas edilar. Ularning yordami bilan erishilishi kerak bo'lgan mahorat shundan
iboratki, odam bir nechta nuqtai nazarni yodda tutishni o'rgangan.
4. Matematik kutilmagan hodisalarning tasnifi
Turli matematik muammolarni, ayniqsa nostandart masalalarni tahlil qilish va
yechish mantiqiylik va zukkolikni rivojlantirishga yordam beradi. Matematik sofizmlar
4
aynan shunday muammolar bilan bog'liq. Ishning ushbu qismida men matematik
sofizmlarning to'rt turini ko'rib chiqaman: algebraik, geometrik, arifmetik va mantiqiy.
4.1. Algebraik sofizmlar
Algebra matematikaning yirik bo'limlaridan biri bo'lib, arifmetika va geometriya
bilan birga ushbu fanning eng qadimgi tarmoqlaridan biriga kiradi. Uni
matematikaning boshqa sohalaridan ajratib turuvchi masalalar ham, metodlar ham
antik davrlardan boshlab bosqichma-bosqich yaratilgan. Algebra ijtimoiy amaliyot
ehtiyojlari ta'sirida, shunga o'xshash arifmetik muammolarni hal qilishning umumiy
usullarini izlash natijasida paydo bo'lgan. Bu usullar odatda tenglamalarni tuzish va
yechishni o'z ichiga oladi. Bular. algebraik sofizmlar tenglamalar va sonli ifodalardagi
ataylab yashirin xatolardir.
Algebraik sofizmlardan biri allaqachon men tomonidan muhokama qilingan.
4.2.
Geometrik sofizmlar
Geometrik sofizmlar - bu geometrik figuralar va ulardagi harakatlar bilan bog'liq
ataylab qilingan absurdlik, absurdlik yoki paradoksal bayonotni asoslaydigan xulosalar
yoki mulohazalar.
"Sirli g'oyib bo'lish"
Bizda ixtiyoriy to'rtburchaklar mavjud (1-ilova), uning ustiga bir-biridan teng
masofada 13 ta bir xil chiziqlar chizilgan. Endi MN to'g'ri chiziqning birinchi yuqori
uchidan va oxirgi chiziqning pastki uchidan o'tuvchi to'rtburchakni "kesib" olamiz. Biz
ikkala yarmini ham shu chiziq bo'ylab harakatlantiramiz va 13 ta chiziq o'rniga 12 ta
chiziq borligini ko'ramiz. Bitta chiziq izsiz g'oyib bo'ldi. 13-qator qayerga ketdi?
Sofizmni tahlil qilish. 13-qator qolganlarning har birini uzunligining 1/12
qismiga uzaytirdi.
4.3.
Arifmetik sofizmlar
Arifmetika - (yunoncha arifmetika, arifmys - son), sonlar haqidagi fan, birinchi
navbatda natural (musbat butun) sonlar va (ratsional) kasrlar hamda ular ustida amallar.
Arifmetik sofizmlar - bu birinchi qarashda sezilmaydigan noaniqlik yoki
xatolikka ega bo'lgan sonli ifodalar.
5
" Ikki marta ikki - besh! "
Dastlabki nisbat sifatida quyidagi aniq tenglikni ko'rib chiqing: 4:4= 5:5 (1)
Keling, tenglikning har bir qismidan qavs ichidan umumiy omilni chiqaramiz va
biz quyidagilarni olamiz:
4∙(1:1)=5∙(1:1) (2)
yoki
(2∙2)(1:1)=5(1:1) (3)
1:1=1 ekanligini bilib, (2) munosabatdan o'rnatamiz:
2∙2=5
Xato qayerda?
Tenglikda (2), 4 va 5 omillar emas, biz ularni qavs ichidan olib tashladik.
" 5 tiyin 50 tiyinga teng "
4.4.
Mantiqiy sofizmlar
" O'rganish sofistikasi "
(ingliz talabalari tomonidan yaratilgan qo'shiq)
Qancha ko'p o'qisangiz, shuncha ko'p bilasiz.
Qanchalik ko'p bilsangiz, shuncha ko'p unutasiz.
Qanchalik ko'p unutsangiz, shuncha kam bilasiz.
Qanchalik kam bilsangiz, shunchalik kam unutasiz.
Ammo qancha kam unutsangiz, shuncha ko'p bilasiz.
Xo'sh, nima uchun o'qish kerak?
" Kratilning sofizmi "
Dialektik Geraklit tezisni "hamma narsa oqadi" deb e'lon qildi va bitta daryoga
(tabiat tasviri) ikki marta kirish mumkin emasligini tushuntirdi, chunki keyingi safar
kirganda, unga boshqa suv oqadi. Va uning shogirdi Kratil, o'qituvchisining so'zlaridan
quyidagi xulosaga keldi: siz bir daryoga bir marta ham kira olmaysiz, chunki siz
kirganingizda u allaqachon o'zgaradi. Shuning uchun Kratil narsalarni nomlashni emas,
balki ularga ishora qilishni taklif qildi: siz nomni talaffuz qilganingizda, narsa
allaqachon boshqacha bo'ladi.
6
5. Paradokslarning xilma-xilligi
5.1. Kvadrat farq paradoks
1) Bizda a² - a² = a² - a² tengligi bor;
2) Chap tomonda qavs ichidan umumiy koeffitsientni chiqaramiz, o'ngda esa a(a - a) =
(a + a)(a - a) kvadratlar ayirmasi formulasidan foydalanamiz;
3) Ikkala qismni (a - a) ga ajratamiz, biz a = a + a olamiz;
4) a = 2a.
5.2.
Sartaroshning paradoksi
Bir qishloqda yagona erkak sartarosh yashar edi. Bu erda farmon chiqarildi:
"Sartarosh faqat o'zini qilmagan qishloq aholisining soqolini olish huquqiga ega".
Savol shundaki, sartarosh o'zini soqolini oladimi?
Aftidan, bu mumkin emas, chunki bu farmon bilan taqiqlangan.
Ammo shu bilan birga, agar u o'zini o'zi soqol qilmasa, demak u o'zini o'zi soqol
qo'ymaydigan fuqarolardan biridir va sartarosh bunday odamlarning sochini olish
huquqiga ega.
5.3.
Geometrik paradokslarning asosiy turlari
5.3.1. "Imkonsiz uchburchak"
• Birinchi imkonsiz
figurani 1934 yilda
shved rassomi Oskar
Reutersvard
tasvirlagan.
• rassomning uchta
rasmini pochta
markalarida
abadiylashtirishga
qaror qildi, ulardan
biri " mumkin
bo'lmagan
uchburchak " edi .
7
5.3.2. "Cheksiz zinapoya"
• Bu raqam, shuningdek, "Penrose
zinapoyasi" (uning yaratuvchisi nomi
bilan atalgan), shuningdek, "Abadiy
zinapoya" yoki "Doimiy ravishda
ko'tariladigan va tushuvchi yo'l" deb
ataladi.
• Oldimizda bir zinapoya paydo bo'ladi,
go'yo yuqoriga yoki pastga chiqadi,
lekin u bo'ylab yurgan odam
ko'tarilmaydi yoki tushmaydi. Vizual
marshrutini tugatgandan so'ng, u o'zini
yo'lning boshida topadi.
8
5.3.3. "Kosmik vilka"
• Va 1964 yilda uchta (yoki ikkita?)
tishli bu imkonsiz ob'ekt
muhandislar va jumboq
sevuvchilar orasida mashhur bo'ldi.
5.3.4. " Aqldan ozgan quti "
• "Aqldan ozgan quti" ichkariga
aylantirilgan kubning ramkasidir.
Shaklni ikki shaklda qabul qilish
mumkin.
• Crazy Box, boshqa ko'plab
mumkin bo'lmagan ob'ektlar
singari, chizish paytida noto'g'ri
ulanishlarga asoslanadi.
6. Imp-Art - paradoksal rasmlar san'ati
Ko'pgina taniqli rassomlar geometrik paradokslarga asoslangan asarlar
yaratdilar. Ushbu asarlar tasviriy san'atning alohida yo'nalishi - "imp art", inglizcha
"imkonsiz" ("mumkin emas") va "art" ("art") so'zlaridan iborat.
Tomoshabinni o‘z asarida hajm, istiqbol borligiga ishontirish, makon
illyuziyasini yaratish uchun rassomdan ma’lum mahorat talab etiladi. M.K.ning
so'zlari. Escherning "Chizish - aldash" asari chuqur ma'noga to'la. Bu yolg'onning
ko'lamini his qiladigan "mumkin bo'lmagan raqamlar".
9
• M.Esherning “Sharshara”
toshbosma asari “imkonsiz
uchburchak” figurasiga
asoslangan. Bu erda ikkita
"mumkin bo'lmagan uchburchak"
bitta imkonsiz raqamga
bog'langan. Ko'rinishidan,
sharshara yopiq tizim bo'lib, u
abadiy harakatlanuvchi mashina
kabi ishlaydi va energiya
saqlanish qonuni buziladi.
• Rassom M. Escher 1960 yilda
o'zining "Ko'tarilish va tushish"
toshbosmasida "Endless Staircase"
dan muvaffaqiyatli foydalangan.
• Monastirning tomiga “Cheksiz
zinapoya” chiroyli tarzda yozilgan.
Rohiblar zinapoyalar bo'ylab soat
yo'nalishi bo'yicha va soat miliga
teskari yo'nalishda doimiy ravishda
harakat qilishadi. Ular bir-birlariga
imkonsiz yo'ldan borishadi. Ular
hech qachon yuqoriga yoki pastga
tusha olmaydilar.
• M.Esherning mashhur "Belvedere"
gravyurasida (1958) o'tirgan bola
"aqldan ozgan quti" ning bevosita
salafi bo'lgan "imkonsiz quti" ni
ushlab turadi. Escherning imkonsiz
qutisining salafi, o'z navbatida,
Necker kubi edi.
7. Xulosa
Shunday qilib, jarayonda:
10
• Men "sofizm" va "paradoks" deb ataladigan narsalarni va ularning farqlari
nimada ekanligini bilib oldim;
• sofizmlarni matematikaning o‘zlari mansub bo‘lgan sohalariga mos ravishda
tasniflash;
• Men geometrik paradokslarning to'rtta asosiy turini ko'rib chiqdim, ular mening
alohida qiziqishimni uyg'otdi, chunki ular imp-art - paradoksal rasmlar san'atida
o'z aksini topdi.
8. Amaliy ahamiyati
Sofizmlar ustida ishlayotganda, men noto'g'ri qarorlarda xatolarni topishni
o'rgandim, masalan, ifodani bo'lishdan ehtiyot bo'laman (u nolga tengmi?). Geometrik
masalalarda, birinchi navbatda, chizmaning to'g'ri tuzilganligiga e'tibor beraman.
Bilaman, matematika bo'yicha olimpiadalarda va OGEda biz mantiqiy muammolarga
duch kelamiz.
Men to‘plagan materiallardan tanlov darslarida va matematika to‘garagi
darslarida foydalanish mumkin. Matematika o‘qituvchilari undan o‘z darslarida
o‘quvchilarning fanga qiziqishini oshirish uchun foydalanishlari mumkin.
Matematikani oddiy o‘quvchidan ko‘ra ko‘proq bilmoqchi bo‘lgan tengdoshlarimga
ham mening ishim bilan tanishishlarini tavsiya qilaman.
Adabiyotlar ro'yxati
1. А. Г. Мадера, Д. А. Мадера " Математик софизмлар " , Москва, "
Маърифат " , 2003 йил.
2. Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati.
3. Bradis V.M., Minkovskiy V.L., Xarcheva L.K. " Matematik fikrlashdagi
xatolar " .
4. Perelman Ya. I. " Ko'ngilochar matematika " .
5. Amenitsky N. " Matematik o'yin-kulgi va qiziquvchan fikrlash texnikasi " . M.,
1912 yil
6. Bogolov S. A. “ Haqiqiy cheksizlik ” M.; L., 1934 yil
7. Goryachev D.N., Voronets A.N. " Matematikani sevuvchilar uchun
muammolar, savollar va sofizmlar " , M., 1903 yil.
8. Лямин А. А. " Математик парадокслар ва қизиқарли муаммолар " , М.
1911 йил.
9. Obreimov V.I. " Matematik sofizmlar " , 2-nashr, Sankt-Peterburg, 1889 yil.
11