11-amaliy mashg’ulot. Normalangan fazolar va ularning xossalari. Banax
fazolari. Normallangan va Banax fazolarining faktor fazolari. L1 (X, ,  )
fazo (2 soat)
Darsning rejasi:
1. Mavzuga doir ta’riflarni keltirish.
2. Mavzuga doir misollar ishlab ko’rsatish.
3. Mavzu doirasida talabalar bilimini baholash.
Adabiyotlar: [1],[2], [3], [6]
Endi bir nechta namunaviy misollar yechib ko‘rsatamiz.
11.1. Ushbu p( x)  arctgx funksiya R da norma shartlarini qanoatlan-tiradimi?
Yechish. Bu funksiya normaning musbat bir jinslilik shartini
qanoatlantirmaydi, chunki norma ta’rifidagi 2-shart p(x)   p( x) bajarilmaydi.
1
Masalan, x  3,   sonlari uchun
3
p(x)  arctgx  arctg
1


3 6
1
3
 p( x)  arctg 3 
va

9
bo‘lganligi sababli p(x)   p( x) tenglik o‘rinli emas.
11.2. C[1;1] fazoda x n (t ) t n (n  N ) ketma-ketlikni fundamentallikka tekshiring.
Yechish. C[1;1] fazo to‘la normalangan fazo bo‘lganligi uchun {x n } ketmaketlikning fundamentalligidan uning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. C[1;1]
fazodagi yaqinlashish tekis yaqinlashishni ifodalaganligi uchun {x n } ketmaketlikning limiti ham uzluksiz bo‘lishi kerak. Qaralayotgan ketma-ketlikning limiti
uzluksiz emas. Shuning uchun qaralayotgan ketma-ketlikning fundamental
emasligini ko‘rsatishga harakat qilamiz. Buning uchun shunday  0 0 soni mavjud
bo‘lib, istalgan n  N uchun undan katta n 0  n va shunday p 0  N sonlari mavjud
1
bo‘lib, x n0  p0  x n0  0 tengsizlik o‘rinli ekanligini ko‘rsatish kerak.  0 va har
5
bir n  N dan katta biror n 0  n natural son uchun p 0  n 0 deb olamiz. Ixtiyoriy
t 0  [0;1] uchun
x 2 n0  x n0  max t 2 n0 t n0  t n0  t 2 n0
1t 1
tengsizlikga ega bo‘lamiz. Bu tengsizlikdan t 0  n
x 2 n0  x n0 
1
0
2
bo‘lganida ushbu
1 1 1 1
  
2 4 4 5
220
tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa x n  ketma-ketlikning fundamental emasligini
ko‘rsatadi.
11.3-11.10-misollarda keltirilgan to‘plamlar С[1;1] fazoning qism fazosi
bo‘ladimi?
11.1. Monoton funksiyalar to‘plami.
11.2. Toq funksiyalar to‘plami.
11.3. Juft funksiyalar to‘plami.
11.4. Darajasi n n  1 dan oshmaydigan ko‘phadlar to‘plami.
11.5. x(1)  a shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami.
11.6. [1;1] kesmada aniqlangan barcha ko‘phadlar to‘plami.
11.7. Qisman chiziqli uzluksiz funksiyalar to‘plami.
1
11.8.  x (t ) dt  0 shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami.
1
11.9. R n fazoda V  {x  ( x1 ,..., xn ) : x1  x2 } to‘plam qism fazo tashkil qilishini
isbotlang, uning o‘lchamini toping.
11.10.  2 fazoda M  {x  ( x1 ,..., x n ,...) : x1  x 2  x3  0} to‘plam qism fazo tashkil
qilishini isbotlang, qism fazoning koo‘lchamini toping.
11.11. c  m ekanligini isbotlang.
11.12.  2  c0 ekanligini isbotlang.
Quyidagi akslantirishlar norma shartlarini qanoatlantiradimi?
11.13. p : Pn  R, p  x   max {| a1 |,...,| an |} , bu yerda P n - darajasi n dan
oshmaydigan ko‘phadlar fazosi.
11.14. p : C (1) [a; b]  R, px   xb  xa   max xt  .
at b
1
2
2
b

p x     xt  dt  .
a

n
11.16. p : R  R, px   x1  x2    xn .
11.17. p : M [a, b]  R, p ( x)  max | x(t ) | .
11.15. p : C[a; b]  R,
a t b
11.18. p : C[a; b]  R,
11.19. p : C
(1)
a, b  R,
11.20. p :  C ( R)  R,
b
p ( x)   x(t ) dt .
a
p( x)  max x(t ) .
a t b
p(x)  max x(t ) . Bu yerda  C (R ) - sonlar o‘qida
  t  
aniqlangan uzluksiz va finit funksiyalar to‘plami.
( 2)
11.21. p :C a, b  R, p(x)  x(a)  x(a)  max x(t ) .
11.22. p :C
( 2)
a, b  R,
at b
p(x)  x(a)  x(b)  max x(t ) .
at b
Laboratoriya ishlari uchun topshiriqlar. Quyidagi funksiyalar ketmaketligi x(t )  0 funksiyaga ko‘rsatilgan fazoda yaqinlashuvchimi?
221
nt
, C[0;1].
1  n2  t 2
11.24. xn t   te  nt , C1[0;10].
sin nt
11.25. xn t  
, C1[ ; ].
n
11.26. xn (t )  t n  t 2n , C2 [0,1].
11.23.
11.27.
11.28.
11.29.
11.30.
xn t  
t n1
t 2 n
xn (t ) 

, C[0,1].
n 1 2  n
t
xn (t ) 
; C1 0;1 .
1  n 2t 2
1
xn (t )  t n  2  t ; C1 0;1 .
n
xn (t ) t n t n1 ; C2 0;1
11.31. xn (t )  n

1
2
2nt e
1
 nt
2
;
C2 0;1
11.32. xn (t )  2n  t ent ; C1 0;1.
11.33. X normalangan fazo va xn , x, y n , y  X bo‘lsin. Quyidagiarni isbotlang:
a) agar xn  x bo‘lsa, u holda x n chegaralangan ketma-ketlik;
b) agar xn  x, n   , n  C bo‘lsa, u holda n  xn    x ;
c) agar xn  x bo‘lsa, u holda || xn |||| x || ;
d) agar xn  x va || xn  yn || 0 bo‘lsa, u holda y n  x ;
e) agar xn  x bo‘lsa, u holda || xn  y |||| x  y || ;
f) agar xn  x, y n  y bo‘lsa, u holda || xn  y n |||| x  y || .
11.34. Har qanday normalangan fazoda ochiq shar ochiq to‘plam, yopiq shar yopiq
to‘plam bo‘lishini isbotlang.
11.35. [ B( x0 , r )]  B[ x0 , r ] tenglikni isbotlang.
11.36. Ixtiyoriy x, y  X lar uchun || x || max{|| x  y ||, || x  y ||} tengsizlik o‘rinli.
Isbotlang.
11.37. Chegaralangan to‘plamlarning birlashmasi yana chegaralangan to‘plam
bo‘lishini isbotlang.
11.38. Chegaralangan to‘plamlarning arifmetik yig‘indisi yana chegaralangan
to‘plam bo‘lishini isbotlang.
11.39. M  X to‘plam chegaralangan bo‘lishi uchun diam M   tengsizlikning
bajarilishi zarur va yetarli. Isbotlang.
11.40. M  X chegaralangan to‘plam bo‘lsin. U holda [M ] ham chegaralangan
to‘plam hamda diam M  diam [M ] tenglik o‘rinli. Isbotlang.
11.41. Har qanday M  X to‘plam uchun M  yopiq to‘plam bo‘lishini isbotlang.
11.42. Har qanday M  X to‘plam uchun ( M )  M  munosabatni isbotlang.
M  \ ( M )   bo‘lishi mumkinmi?
2
222
11.43. [ A]  [ B] ekanligidan A  B munosabat kelib chiqadimi?
11.44. M  X yopiq to‘plam bo‘lsin.  ( x, M )  0 bo‘lishi uchun x  M bo‘lishi
zarur va yetarli. Isbotlang.
11.45. A, B  X ixtiyoriy to‘plamlar bo‘lsin.  ( A, B)   ( A, B )   ( A, B) =
  ( A, B ) tengliklarni isbotlang.
11.46. M  X ixtiyoriy to‘plam bo‘lsin. M to‘plamning chegarasi -  M shunday
x  X nuqtalardan iboratki, markazi x da bo‘lgan har qanday shar ham M
to‘plamdan ham X \ M dan hech bo‘lmaganda bittadan elementni o‘zida
saqlaydi.  M yopiq to‘plam hamda  M  ( X \ M ) tenglikni isbotlang.
11.47. Shunday x ( n )  ( x1( n ) , x2( n ) ,, xk( n ) ,) ketma-ketlikka misol keltiringki, u:
a) m da yaqinlashuvchi,  1 da uzoqlashuvchi bo‘lsin;
b) m da yaqinlashuvchi,  2 da uzoqlashuvchi bo‘lsin;
c)  2 da yaqinlashuvchi,  1 da uzoqlashuvchi bo‘lsin;
d) c 0 da yaqinlashuvchi,  1 da uzoqlashuvchi bo‘lsin;
e) c 0 da yaqinlashuvchi,  2 da uzoqlashuvchi bo‘lsin.
11.48. x  (1,1/ ln 2,1/ ln 3,, ,1/ ln n,) elementni c 0 da yotishini ko‘rsating va
birorta ham p  N da x  p ekanligini isbotlang.
11.49. Barcha ko‘phadlar to‘plami C[a; b] fazoda ochiq to‘plam bo‘ladimi?
11.50. Barcha ko‘phadlar to‘plami C[a; b] fazoda yopiq to‘plam bo‘ladimi?
11.51. Qisman chiziqli uzluksiz funksiyalar to‘plami C[a; b] fazoning hamma yerida
zich ekanligini isbotlang.
11.52. Barcha ko‘phadlar to‘plami C[a; b] fazoning hamma yerida zich ekanligini
isbotlang.
11.53.  2 fazoda {x  ( x1 , x2 ,)   2 : | xn | 1}
parallelepiped ochiq to‘plam
bo‘lishini isbotlang.
11.54. Agar || x  y |||| x ||  || y || tenglik faqat y   x,   0 ko‘rinishdagi
elementlar uchun o‘rinli bo‘lsa, u holda X normalangan fazo qat’iy
normalangan deyiladi. Quyidagilarning qaysilari qat’iy normalangan fazo
bo‘ladi?
a) R 2 ; b)  1 ; c)  2 ; d) m ; e) C[a; b] ; f) C2 [a; b] .
11.55. A, B  X qavariq to‘plamlar. A  B, A  B, A  B to‘plamlardan qaysilari
qavariq to‘plam bo‘ladi?
11.56. Agar A, B  X to‘plamlardan birortasi ochiq bo‘lsa, u holda A  B to‘plam
ham ochiq bo‘ladi. Isbotlang.
11.57. Normalangan fazoda qavariq to‘plamning yopig‘i qavariq bo‘ladimi?
11.58. A, B  X lar hamma yerda zich to‘plamlar bo‘lsin. A  B   bo‘lishi
mumkinmi?
223
11.59. C[1;1] fazoni ikkita cheksiz o‘lchamli qism fazolarning to‘g‘ri yig‘indisi
shaklida yozing.
11.60. Normalangan fazoda fundamental ketma-ketlikning chegaralangan ekanligini
isbotlang.
11.61. {xn }  X fundamental ketma-ketlik va uning biror xnk qismiy ketma-ketligi
yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda x n ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Isbotlang.

11.62. {xn }  X va || xn1  xn || qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda x n
n1
fundamental ketma-ketlik bo‘ladi. Isbotlang. Teskari tasdiq o‘rinlimi?
11.63. Har qanday chekli o‘lchamli normalangan fazo to‘ladir. Isbotlang.
11.64. Ixtiyoriy x, y  X lar uchun || x ||  || y || || x  y || tengsizlikni isbotlang.
11.65. R   (0,) to‘plamda x va y sonlar yig‘indisi deganda ularning
ko‘paytmasini, x elementni  - haqiqiy songa ko‘paytirish deganda x  ni
tushunamiz. U holda R  to‘plam unda kiritilgan amallarga nisbatan chiziqli
fazo tashkil qilishini isbotlang. Bu fazoning nol elementini toping.
11.66.  ( X ) orqali X chiziqli fazoning barcha qism to‘plamlari to‘plamini
belgilaymiz. Ixtiyoriy M , N   ( X ) lar uchun
M  N  {x  y : x  M , y  N}, M  {x : x  M }
kabi amallarni kiritamiz. Bu amallar chiziqli fazo aksiomalarini
qanoatlantiradimi?
11.67. J ( x)  ln x, x  (0,) akslantirish R   (0,) va R  (,) lar
orasida izomorfizm bo‘lishini ko‘rsating.
224