SURXONDARYO VILOYAT
PEDAGOGLARNI YANGI METODIKALARGA O’RGATISH MILLIY
MARKAZI
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli
determinantni hisoblash.
Hatamov Ma’ruf
January 16, 2024
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Minor
Determinant biror elementining minori deb, shu determinantdan bu element
turgan satr va ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan determinantga aytiladi.
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Minor
Determinant biror elementining minori deb, shu determinantdan bu element
turgan satr va ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan determinantga aytiladi.
a11
...
A = ai1
...
an1
a12
...
ai2
...
an2
...
...
...
...
...
Hatamov Ma’ruf
a1j
...
aij
...
anj
...
...
...
...
...
a1n
...
ain
...
ann
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Minorl
M12 , M23 minorlarini toping.
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Minorl
M12 , M23 minorlarini toping.
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
M12 =
Hatamov Ma’ruf
a21 a23
a31 a33
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Minorl
M12 , M23 minorlarini toping.
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
M12 =
a21 a23
a31 a33
M23 =
a11 a12
a31 a32
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Minorl
M12 , M23 minorlarini toping.
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
M12 =
a21 a23
a31 a33
M23 =
a11 a12
a31 a32
M22 =
a11 a13
a31 a33
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Misol
M13 , M21 , M32 minorlarini toping
2
6 −5
A = 9 −1 2
−7 −3 4
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Misol
M13 , M21 , M32 minorlarini toping
2
6 −5
A = 9 −1 2
−7 −3 4
M13 =
9 −1
= 9 ∗ (−3) − (−1) ∗ (−7) = −27 − 7 = −34
−7 −3
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Misol
M13 , M21 , M32 minorlarini toping
2
6 −5
A = 9 −1 2
−7 −3 4
M13 =
9 −1
= 9 ∗ (−3) − (−1) ∗ (−7) = −27 − 7 = −34
−7 −3
M32 =
2 −5
= 2 ∗ 2 − (−5) ∗ 9 = 4 − (−45) = 4 + 45 = 49
9 2
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Misol
M13 , M21 , M32 minorlarini toping
2
6 −5
A = 9 −1 2
−7 −3 4
M13 =
9 −1
= 9 ∗ (−3) − (−1) ∗ (−7) = −27 − 7 = −34
−7 −3
M32 =
2 −5
= 2 ∗ 2 − (−5) ∗ 9 = 4 − (−45) = 4 + 45 = 49
9 2
M21 =
6 −5
= 6 ∗ 4 − (−5) ∗ (−3) = 24 − 15 = 9
−3 4
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Algebraik to’ldiruvchi
Determinant biror elementining algebraik to’ldiruvchisi deb musbat yoki
manfiy ishora bilan olingan minoriga aytiladi. aij elementning algebraik
to’ldiruvchisi Aij bilan belgilanadi, bunda
Aij = (−1)i+j Mij
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Algebraik to’ldiruvchi
Determinant biror elementining algebraik to’ldiruvchisi deb musbat yoki
manfiy ishora bilan olingan minoriga aytiladi. aij elementning algebraik
to’ldiruvchisi Aij bilan belgilanadi, bunda
Aij = (−1)i+j Mij
A21 , A13 algebraik to’ldiruvchilarini toping.
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Algebraik to’ldiruvchi
Determinant biror elementining algebraik to’ldiruvchisi deb musbat yoki
manfiy ishora bilan olingan minoriga aytiladi. aij elementning algebraik
to’ldiruvchisi Aij bilan belgilanadi, bunda
Aij = (−1)i+j Mij
A21 , A13 algebraik to’ldiruvchilarini toping.
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
A21 = (−1)2+1 M21 = −
a12 a13
a32 a33
Hatamov Ma’ruf
A13 = (−1)1+3 M13 =
a21 a22
a31 a32
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Misol
A11 , A32 algebraik to’ldiruvchilarini toping.
2 −3 5
6 −2
A= 5
−2 4
3
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Misol
A11 , A32 algebraik to’ldiruvchilarini toping.
2 −3 5
6 −2
A= 5
−2 4
3
A11 = (−1)1+1 M11 = (−1)2
6 −2
= 6∗3−(−2)∗4 = 18−(−8) = 18+8 = 2
4 3
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Misol
A11 , A32 algebraik to’ldiruvchilarini toping.
2 −3 5
6 −2
A= 5
−2 4
3
A11 = (−1)1+1 M11 = (−1)2
6 −2
= 6∗3−(−2)∗4 = 18−(−8) = 18+8 = 2
4 3
A32 = (−1)3+2 M32 = (−1)5
2 5
= −1(2∗(−2)−5∗5) = −(−29) = 29
5 −2
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Determinantni hisoblash
Determinantqiymati biror satr (ustun) elementlari bilan ularning algebraik
to’ldiruvchilariga ko’paytmalari yig’indisiga teng. Shunday qilib, ushbu tenglik o’rinli:
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Determinantni hisoblash
Determinantqiymati biror satr (ustun) elementlari bilan ularning algebraik
to’ldiruvchilariga ko’paytmalari yig’indisiga teng. Shunday qilib, ushbu tenglik o’rinli:
a11
a
A = 21
...
an1
...
...
...
...
a1k
a2k
...
ank
...
...
...
...
a1n
a2n
= a1k A1k + a2k A2k + ... + ank Ank
...
ann
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Determinantni hisoblash
Determinantqiymati biror satr (ustun) elementlari bilan ularning algebraik
to’ldiruvchilariga ko’paytmalari yig’indisiga teng. Shunday qilib, ushbu tenglik o’rinli:
a11
a
A = 21
...
an1
...
...
...
...
a1k
a2k
...
ank
...
...
...
...
a1n
a2n
= a1k A1k + a2k A2k + ... + ank Ank
...
ann
a11
...
A = ai1
...
an1
a12
...
ai2
...
an2
a13
...
ai3
...
an3
...
...
...
...
...
a1n
...
ain = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain
...
ann
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Determinantni hisoblash
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Determinantni hisoblash
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
a31 a32 a33
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Determinantni hisoblash
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
a31 a32 a33
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33
a31 a32 a33
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Determinantni hisoblash
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
a31 a32 a33
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33
a31 a32 a33
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23
a31 a32 a33
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Misol
Quyidagi determinant qiymatini toping
2 −3 5
3 −2 =
A= 5
−2 4
3
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Misol
Quyidagi determinant qiymatini toping
2 −3 5
3 −2 =
A= 5
−2 4
3
= 2 ∗ (−1)1+1
3 −2
5 −2
5 3
+ (−3) ∗ (−1)1+2
+ 5 ∗ (−1)1+3
=
4 3
−2 3
−2 4
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Misol
Quyidagi determinant qiymatini toping
2 −3 5
3 −2 =
A= 5
−2 4
3
= 2 ∗ (−1)1+1
3 −2
5 −2
5 3
+ (−3) ∗ (−1)1+2
+ 5 ∗ (−1)1+3
=
4 3
−2 3
−2 4
2 ∗ (−1)2 (9 − (−8)) + (−3) ∗ (−1)3 (15 − 4) + 5 ∗ (−1)4 (20 − (−6)) =
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Misol
Quyidagi determinant qiymatini toping
2 −3 5
3 −2 =
A= 5
−2 4
3
= 2 ∗ (−1)1+1
3 −2
5 −2
5 3
+ (−3) ∗ (−1)1+2
+ 5 ∗ (−1)1+3
=
4 3
−2 3
−2 4
2 ∗ (−1)2 (9 − (−8)) + (−3) ∗ (−1)3 (15 − 4) + 5 ∗ (−1)4 (20 − (−6)) =
= 2 ∗ 1 ∗ 17 + (−3) ∗ (−1) ∗ 11 + 5 ∗ 1 ∗ 26 = 34 + 33 + 130 = 197
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Quyidagi determinantni qiymatini hisoblaymiz
1
1
A=
2
5
Hatamov Ma’ruf
3
5
4
6
4
3
2
3
2
2
1
4
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Quyidagi determinantni qiymatini hisoblaymiz
1
1
A=
2
5
1
1
A=
2
5
3
5
4
6
4
3
2
3
3
5
4
6
4
3
2
3
2
2
1
4
2
2
= 5 ∗ A41 + 6 ∗ A42 + 3 ∗ A43 + 4 ∗ A44 =
1
4
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
Quyidagi determinantni qiymatini hisoblaymiz
1
1
A=
2
5
1
1
A=
2
5
3
5
4
6
4
3
2
3
3
5
4
6
4
3
2
3
2
2
1
4
2
2
= 5 ∗ A41 + 6 ∗ A42 + 3 ∗ A43 + 4 ∗ A44 =
1
4
= 5 ∗ (−1)4+1 M41 + 6 ∗ (−1)4+2 M42 + 3 ∗ (−1)4+3 M43 + 4 ∗ (−1)4+4 M44
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
1
1
A=
2
5
Hatamov Ma’ruf
3
5
4
6
4
3
2
3
2
2
1
4
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
1
1
A=
2
5
3
5
4
6
4
3
2
3
2
2
1
4
1 4 2
3 4 2
M41 5 3 2 M42 = 1 3 2
2 2 1
4 2 1
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
1
1
A=
2
5
3
5
4
6
4
3
2
3
2
2
1
4
1 4 2
3 4 2
M41 5 3 2 M42 = 1 3 2
2 2 1
4 2 1
1 3 2
1 3 4
M43 1 5 2 M44 = 1 5 3
2 4 1
2 4 2
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
3 4 2 3 4
5 3 2 5 3 = (9 + 32 + 20) − (20 + 12 + 24) = 61 − 56 = 5
4 2 1 4 2
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
3 4 2 3 4
5 3 2 5 3 = (9 + 32 + 20) − (20 + 12 + 24) = 61 − 56 = 5
4 2 1 4 2
1 4 2 1 4
1 3 2 1 3 = (3 + 16 + 4) − (4 + 4 + 12) = 23 − 20 = 3
2 2 1 2 2
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
3 4 2 3 4
5 3 2 5 3 = (9 + 32 + 20) − (20 + 12 + 24) = 61 − 56 = 5
4 2 1 4 2
1 4 2 1 4
1 3 2 1 3 = (3 + 16 + 4) − (4 + 4 + 12) = 23 − 20 = 3
2 2 1 2 2
1 3 2 1 3
1 5 2 1 5 = (5 + 12 + 8) − (3 + 8 + 20) = 25 − 31 = −6
2 4 1 2 4
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
3 4 2 3 4
5 3 2 5 3 = (9 + 32 + 20) − (20 + 12 + 24) = 61 − 56 = 5
4 2 1 4 2
1 4 2 1 4
1 3 2 1 3 = (3 + 16 + 4) − (4 + 4 + 12) = 23 − 20 = 3
2 2 1 2 2
1 3 2 1 3
1 5 2 1 5 = (5 + 12 + 8) − (3 + 8 + 20) = 25 − 31 = −6
2 4 1 2 4
1 3 4 1 3
1 5 3 1 5 = (10 + 18 + 16) − (6 + 12 + 40) = 44 − 58 = −14
2 4 2 2 4
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
1
1
A=
2
5
3
5
4
6
4
3
2
3
2
2
= 5 ∗ A41 + 6 ∗ A42 + 3 ∗ A43 + 4 ∗ A44 =
1
4
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
1
1
A=
2
5
3
5
4
6
4
3
2
3
2
2
= 5 ∗ A41 + 6 ∗ A42 + 3 ∗ A43 + 4 ∗ A44 =
1
4
= 5 ∗ (−1)4+1 M41 + 6 ∗ (−1)4+2 M42 + 3 ∗ (−1)4+3 M43 + 4 ∗ (−1)4+4 M44 =
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
1
1
A=
2
5
3
5
4
6
4
3
2
3
2
2
= 5 ∗ A41 + 6 ∗ A42 + 3 ∗ A43 + 4 ∗ A44 =
1
4
= 5 ∗ (−1)4+1 M41 + 6 ∗ (−1)4+2 M42 + 3 ∗ (−1)4+3 M43 + 4 ∗ (−1)4+4 M44 =
3 4 2
1 4 2
1 3 2
1 3 4
= −5 ∗ 5 3 2 + 6 ∗ 1 3 2 − 3 ∗ 1 5 2 + 4 ∗ 1 5 3 =
4 2 1
2 2 1
2 4 1
2 4 2
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
1
1
A=
2
5
3
5
4
6
4
3
2
3
2
2
= 5 ∗ A41 + 6 ∗ A42 + 3 ∗ A43 + 4 ∗ A44 =
1
4
= 5 ∗ (−1)4+1 M41 + 6 ∗ (−1)4+2 M42 + 3 ∗ (−1)4+3 M43 + 4 ∗ (−1)4+4 M44 =
3 4 2
1 4 2
1 3 2
1 3 4
= −5 ∗ 5 3 2 + 6 ∗ 1 3 2 − 3 ∗ 1 5 2 + 4 ∗ 1 5 3 =
4 2 1
2 2 1
2 4 1
2 4 2
= −5 · 5 + 6 · 3 − 3 · (−6) + 4 · (−14) = −25 + 18 + 18 − 56 = −45
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan
E’TIBORINGIZ UCHUN RAHMAT!!!
Hatamov Ma’ruf
Minor va algebraik to’ldiruvchilar.Yuqori tartibli determinan