Kondition: f R-IR
Lemmas
:
Pirotsuche
notwendig
und
·)
pos def
Symmetrische
keine
A hatLU Zerlegne
.
stetig
K(f, 2) =
.
2) inverterbare zeilen bzw
spalten dominanten Matrizen
i
.
Ist A inverterbar >
=
DA
:
A(k 1)
>
-
Xk PKA)
=
mit
PKi
"On
O
=
At /RUx"
.
#
7
1
.
-
mit det (A) + 0
Zerlegung A QR
mit QQ
U Xn-. Pro Xnez Pa-z" XP-A
=
2
XBX = AXI o
=
=
=
~ ur
L'ATA . T Ich
=:
=
,
Q
R
=:
Vorzeichen der diag Eintrage von R
Zeilen
>
-
P Rechts- > Spalten
sind
festgelegt
· ATA-RTQT Q R
.
-
=
.
=
.
RP R & D mitdii-sign
.
(vii)
Kz(ATA) (k2(R)
2
T
ATA RTDDR R &
④ Reind bestimmt und R DReindeutig
D K
=
IR 112 11 QAllz
=
=
,
.
/Allz
Falls Ao eine
.
~
.:
=
=
=
sind alle weiteren Ak
so
-
.
>
-
-
sup 11AXII Amax (ATA)
XIk sup Kylei
UR"1/12
11 Ryllz 1
1
sup Hy 112
=
=
=
SURIIR"
=
·
AER mmell
: =
A max (ATA)
②
Interpolation :
:
=
:
p-qt/P" hat Gran abern+1 Nullitellen.
p 9 and dim (Ker()
=
Surjektivitat
·
n+ 1 = n+ 1
=
=
>
-
·
im
dim
:
:
=
0
dim (IPP) dim (14
=
*1)
gilt
.
WFO
,
di
=
,
,
)
(Ker() + dim (in)
dim Cim &)
E IRU +
=
=.
-
(x xi 1)3
-
+ Me
n
-
=
Wahle X -(1 , 1] mit-n =0((nx) /
,
=
=
Fo
12
(i)
-hi (mi-Mili
T
=
=
,
,
=
=
Eto((n(Xx)) In
=
MTd)" IpIAAllp
x
IITPL) /IT Ip
-
=
o
,...,
I
=
*
p elP" beste poly App anf
11
F-Mn fl 61 1] <(1+*-n]Ilf-p / -1 7]
1 F-Tnfl(1
11 f p +π(p f) Il (1 B =
,1)
f) (161 1] E
1F p4lIG1 , 1] +I/Tn(p
:
FtC (1 , 1)
,
Po
fo
....
....,
...
CX* + k(X)
K
X
+q0 K(X) CKX"+
=
Aus 1
(
:
2
=
o
wrthoti*
k()
=
,...,
,
X-Xi
Li(X) & XiNX) Poly
o
=
=
...
K
,...,
&
EEC([alb]) undptIP"
De laVallee
Punkte inCalb] : No ,..., An +1 mit
n+ 2
*
,
=
*
-
-
,
All
*
-
·
+
= -
-
qE/P"
,
a <XolK <..
An+1 Eb
Punkte
:
F(Xi) P(xi) und F(Xi 1) P(Xit1)
-
-
+
-
verschiedene Vorzeichen haben
inf 11 f-q/caib] = min(f(xi) -p(xi)/
:
,
↑
qElPh
1 =0
..,
+1
,
,
"
=0
71/-Xi
n Ilf-p /161 / 17
-(111n) If p /16 1 17
*
-
,
Kompatibilitat
Se SA ,3 = SESy 2
und)"ESA ,
,
Dann" (X) &MiN A
L
2
=
↳ Momente
i
*
If-p / 6117]
,
*
,
i
mit Basisfktnen Niz
Ni2(X)
.
nehmen an das es nt2
-
Nach Satz von De La Vallee
StSA 3
vollstndig/natrlich/periodisch
=> I s"ll 22(a
b]) < If "II(<a bi)
Poussin
i
=
=
feC([aib])
E-C([a b]) undptP" Wir
.
F(xi) p(xi) F(Xi 1) p(Xit1)
If(X0) p/X0)1 If- pl) caibt
(Min-Max Dolynom]
E inf 11 f-qull (a b) 1 F q1caib]
·
o
Tn(X) = it
Ostillationstheorem
=
)
.
.
,
& To ti/X-xi
Tn(X) & to FiLi(X) [ "o fit
=
....
With
Li(X) 7 We
V
Pio /k Fio ik + &10 Fin (X)
Ci
Mitts an
g (xi) sign(Li(Xx) /gl) 6 1 1) 1
(Ting)(Xx) 2 osign(Li(x)) Li(x)
und
-
=
-
-
=
IWIp
Baryzentrische Darstellungn
i
&(Ai/-xi
Af
(x)
Mn (X)
1
:
Ci-fi-1 - (mitmi-1)
*
P
Ej π(Xj) = ci +(Xj Xk) j 0...
=>
+
Bijektivitat: (fo fn) eindeutig
Mn (Xj)
=E Fili(Xj) =I fidiy Fj
O
sind Momente mi bekannt
fur se SA , 3 Dann
S(x)/Ii
Citi (X-
:
11 T (D-mIa) + 1) Ip 1 Allp =
IIT (plIT "(p /I (D-MId)"p IAAlp
=
-
i
-
=>
11 (A
=
Newtonsche Interpolationsformel
IPEIR*
:
·
weniger
( (em)
:
=
=
IVIp
-
↑
.
: =
=
-
-
ist durch
<
-
(p(X0), ..., p(n))
Injektivitat (p) E(q)
& (p)
O(m3)
.
,
=
+
↳ Givens Rotation mit ein Schritt
=
f dann mit Linearitat von Mn
E
ninigll(1 1 = EgiLill
/1961 1 Killer 1 /191) -1 1] An
(A-Id) (Id (A-mFd)"DA) w o
= Ip I(A-mId)"DAVlIp =
1
=
=
EoFiLi(X)
Lineare Ab .:
*
=
=
.
=
To(X) 1 , T)() X
Tn(X) 2x Tn 1(X) Tu 2(X)
Interpolations polynom
Tn(Xi) Fi
.
Sei (A+ AA) v MU mit
> ((AMId) +AA)v
.
=Qu , Sodast As obere Hesseb
·
Tschebyscheff polynome
F!
=
G(X) /
=
=
.
.
QTAo Q1
A V Vi M
=
c
=> F Vortho .:
.
g
-
Isignt1)"sign Bev (12 G( ) 2
Gegeben Xi und fi F(Xi)
=
MoCAtA)((A)
N
:
.
.
,
,
:
.
④ I"11l =
=
Th (X)
Az
0
B1 U, X1# Dann gilt
Amin(ATA)
AmaXCATA)
=> KR
KzCATA)
llAy112 1
diag
Beweis 0 B d A
=
A eRMXRsymm
>
-
In 11f-Ell(1 1]
=
=
=
>
-
,
DAIRMXM
=
=
,
An gegeben
Insb
. Ilinf Mull(1 1
In-quKIITIlp IIT Ip)lD Allp mit
A TDT D Diagonal undp beliebig
I
[e 1(Rn)(Q1)1j 0 , isjt1
. Fir X(0) :
<ViS ; ONB von EV
=
=
=>
j+1
.
Zerlegung
-
.
.
Sij
② Sim/CRK)ijl dij/il
③ lim/(AK)ijl bij fi
④ Falls RieR Qi-Id
=> AisR und
dj(Ai) EW
Qi Ai-1 Qi
Kabs
mit
=
.
QR
T
IEll2tArI
=
.
=
=
.
⑦ lim/(Q) ,j)
RiQi Qi QiRiQi
T
Fir 8 (DA + A) 7 xMtO(A)
.
Hessenberg
(An) i - (R1) il (Q)ej
AetRuxmsym mit Aml /G
,
auch
=
...
=
=
Ap Q R1 = X
Veltoiteration
=
11X12 1
Hessenberg-M
Asymm Ank... /m
⑭ 1 mit Y Q V besitz
nicht .
gleiche EigenWert
=
.
=
=
Ai
Stringen
,
QR-Iteration
-
-
Ai ahnlich zu A undjomit
.
haben
Eilsgn(6fx )ei Bauer tike
=x + 2 ,
,
DD Id
③Ri DR das Fil 0 und
-
r
=
setze E Sx+ H 5) E s + [0, 1]
IrII2/IllIz
x * ist
=
EE r und
kil
:
Stabilitat der
QR-Iteration
=HrI IEIIz
w(x)
Mit E
sup
wenn die
.
P Links
- IIE112 =
=>
IIL"Ilo = 24-1
,
=
=
i
Cholesty-Zerlegung
LV-terlegung
IIr IIz llE EllzFllEllzIIXIIz
/Xil
Sei Lnormierte mit Hijk1
Ex P
.
.
-eimorie
.
Zerlegung eindeutig
.
emfC
.
22 B LLT und A ALTLP
=> Bhat
-
=
:
·
und
symm
=
(K+ 1 1) te
10
...
Zeile
gilt
=
Beweit
- Bi ATA
Ke Zeile
Dann
.
==,Ill
zz
Aus Stabilitat der
folgt
W()
-
=
,
LU - SPS
=
Relativer Ruckwartsfehler
k(f X) eim [F() F(X)Dre
PX KE-XBrel
-
+
/Flaxi) /Xi)
=
.
1
W
mit ri
| f(x))
.
7 P
Rigal-Gaches
b-A und
diff mit F(X).#0
Ii
: =
,
sup
X
All"-IR" Xt
,
① KCA X)
,
:
·,
[xix Xi]
K(A , X)
:
=
>
↑
K(A)
Ax
KAF-AxDel
=him sup DX-XD rel
-linup FA . AllIIAI
=
.
.
XI
-KALAXlEllAll Al
x) llAll-Up IA
②
sup
.
K(A ,
=H All
.
=
IIIIA
Sup Iyll= Ak(A)
Alorithmen
S
una Definitionen
.
↑
Givens-Rotation
*
(2)
Q(1 2. not f)
,
=
Komponentenweise
-
=
-
=
c 1 5 0
Sin In
l
=
② (Snel = /Sne+ 1)
Ortho
=
,
-
A=
.
-t=Get Funds
.
b
1 + +2
Sa-l
(n9ymm rgCA)a
=
(b)
11 AX-bl(z
statte.
rg(A)
Falls
m so ist min F(X)
eindeutig
=
n m m/3
telR , XiteRM
=
fi
·X-Xio) Pie
=
=
(Ax b Ax b) + t(Az, Ax b)
t(Ax b , Az) + t2 (Az Az)
P
Cn
,
fir K
=
.
Lsg der Normalengl Log Ausgl
Fir
y beliebig t 1 z y -X
F(y) F(X)+2 <z, 0)+ VAzl4= F(x)
=> X
Lsung Ausgleichtproblem
② Log Ausgl Pr => Lig Norm Gleic
,
Stutzstellen No
:
Li(X)
=
:=
=
ti(xi)
.
.
.
ware X keine
Lsg der Norm Gleic
.
gilt r ATAX-Atbt0
=
Mit t
=
:
+
-
IArl2
Widerspruch
<
tion
Xn xitxj
,
auf (1 , 13
=#(xi
*
Beste polynomielle ApproximaL-Norm
p ElP"bige der
.
:
.
.
&
Regularitat
dij
Algorithmus
(vi)
-
↑
- "
=
=
-
-
=
Fir
xi
=
<i
=
h - 1(- 1)n-
=
-
K=i + 1
K =0
:/i)(n 2) !
-
Tschebyscheffpunkte
, ...,
C05((2i+ 1)+/2n+ 2) fir I 0
Gian (2
+(H)
Sin Tiis
(1)
.
bzw
sin
.
SA 0
zur Aus
,
1
.
2
.
sign Brillz
=
1f(X)
f(x) B 0(Em)
1/with (xi) 1/2 Th 1(X)
=
+
.
2
=
Es
gilt
Ergebnis)
auch
-
n
-
1)
,
② natrlich
K= 1
I
-
=
.
-
=
-
symmetrisch positiv definit Cholesty
[
= -sign (an) /allz
VK A-27
g :F Li(X)
sei
(k)
=
.
Q
=
QK
:= m
Id-Er
=
: =
Mr
-
=1
.
=
1
EXER
Nach Theorem VI 1
.
existiert
Polynom Th (Xi) fi
Schrift
(Quo1, ... Q2Q1)
genau ein
In-GroFiLin XER(X) T Li()
=
und
.
=
/F OK) 3 K
=
Q
.
K
A(k) QA
&
A
Interpolation nicht eindeutig
losbar
k
Fir inverse Vektoriteration mitShift
=
=
S"(X0) S"/Xn)
n + K
for K 1 ...., n 1 :
#(x) f(x)D (f(Y) f(x)D CK(fX) Em
=
"(Xo) 0 S"(xn) 0
=
=
-
:
periodisch S'(X0) S'(Xn)
...
=
=
=
4/(xXi + 1] eP° , 0, n-1
:
=
s'(Xn) f G'(n)
:
,
...,
:
=
:
Householder Spiegelun
f(x) reckwrtsstabil
E(X)
(Korrekte
=
FeCO([abT) St SDB
①vollstndig S'(Xo) f F'(X0)
-
=
-
oder
C2()
OEm)
[x- * I
=>
by
:
dim SA , K
>
-
=
<n
K maximaler
,
vonf in X
wertung
heipt Stabil falls e5 ein zerstortes gibt
Ein
Fehlerreduktion pro schritt
, ....
,
.
Ai
....
VISXi Xit] tIP = 0,
,
,
171C/AMi
:
Ai =
-1 - bzw. ( 1)
h "(n-2) ! il
-i 1/ i-K) h N /* K)Y(k )( 1)
Ke
[vt(a b)
:
If-p 161 13 min 11 f-ql i
Spline
St Sa , K
SA , K =
=
,
sign 1) "X"
.
=
=
=
↳
%
+ (X) &
Optimalit
=
,
gitt1/[k ) / 2i
=
Fly) F(X) - 2"
fe( (1 17)
=
I #0 Undy Attz gilt
=
%
Veltoviteration Konvergenz
fir X(0) mit
p V X+ 0
.
IIArl
=>
xW(i)
-
Poly O(n)
.
Fr quidistante Stutzstellen
z
M
Xi - 1 tih k = fir i 0
T
Wht(X)
2
wenn
1i bekannt sind , Inter
Gewichte
0 .
=
:
.
10 .
T
xi-XK
=
,
WateFXX
:
F(y) F(x) 2tHrll2 flArk
=
, ...,
K(f X)
1-X/
E
-
n
=
gestellt
Schlecht
=
Fir gropen nicht stabil.
=
.
:=
Mit z - r
*-> X
-n-maxy (E (Li(X)
Lagrange Polynom Aunt1
.
K(fix) 1
-
=
=
schlecht
:
eimsup((f(x) f(x) /
ike
=
,
K O
1-1 , ..., 0 :
Lebesgue Konstante
↑
K(f X) 0(1)
=
D La = Xoc
t llAzIz
④
,
..
f(X)
-
2
=
K(f(X)
xi
p p (X Xn) + CK
o(l(mn + u2))
=
M
I 0,..., K
=
polynoms
:
F(X) + 2t(z ATAX Alb)
+
X(
::
1
,
,
f
Baryzentrische
-
=
Kondition einer Abbildung
xix-Xio
Wert der Interpolations
ik(X) (X-Xik) Pio , ....k1(X)
,
-
Horner-Schema (Ci bekannt)
=
Pio,... ik /Xie)
-
,
=
Gut
,
Fini fil-Fio
=
Y
.
-2
Bewes durch Betrachtung
,
-
,
Folk
...
2nm2
Xik-Xio
-
-
,
....
=
.
-
,
0
Differenzen
/IQRx bI/z
lQ(Rx G Tb) Iz
11 RX-QTb11z
-
...
.
F(y) (A(+tz) b A(x+tz) b)
+
=
=
=
Ausgleicht
-
gilt Rx by
i
xi(ne1) 205(2i+ 1) +/2n + 2) it do,
Newtonsche dividierte
=
11AX b11z
=
Pio.... Ik()
Voruberlegung Sei y xttz fir
:
=
des
(B)
=
Rx (Q T b)
=
Rekursion Aitken-Neville
Pi(X)
cos(narcot (X)
:=
Tschebyscheff-Knoten (0-stellen)
QR-Zerlegung O(m2)
OCm)
symmetrisch
KonstrulCron
durch Givens-Rotationen
:
:
:
.
-
> problems
-
,
Inverterbarkeit von ATA mit
m
Lsung
.
....
Eindeutigkeit ergibt sich auf
Rang
=
Pio i ElP" bezeichne
das Interpolationspolynom
durch (Xio fio) (Xik Fik)
(Normalengleichung)
ATAX A b
·
Th (x)
Wegen
allgemeine A nutzen
A Q R mit R
/I AX-bllz Iballz
=> Fir Min
erfillt
losbar und die Losung
=
/( &) x-bl) ?
=
IAX-blie fir A eRxm
=
b2tR"-m
&
Householder/ Givens um
.
2
IIRX-bill + Ilbzll2 Illbalke
Normalengleichungsmethode
F(X)
1
in
min verm
:=
Fr
F
=C T
,
onalisierung
Matrix
+
:
Tschebyscheff-Polynom
+IP"
*Fi
Hessenberg
inf [12 (A E)E e
:=
Kil
....
:
=
w()
N
Teilschritte=1:No1 is it
④
Relativer Rickwartsfehler
relative Fehlermap
(i
X
-I
# xBrel i max
1 in
RAC)
,