Reja
1. Vektor maydon rotori va uning xossalari
2. Solenoidal maydonga kirish
3. Vektor maydon sirkulyatsiyasi va Stoks teoremasi.
4. Xulosa
5. Foydalanilgan adabiyotlar
1. Vektor maydon rotori va uning xossalari
Vektor maydon — har bir nuqtasi Rp" a(R) vektor berilgan soha. V. m. s
tushunchasi koʻpgina fizik hodisalar va jarayonlarga xos (mas., harakatlanayotgan
suyuqlik zarralari tezliklarning vektorlari har bir paytda V. m. hosil qiladi).
Matematik jihatdan V. m. G sohadagi oʻzgaruvchan R nuqtaning a{R) vektorfunksiyasi yordamida aniqlanishi mumkin (qarang Vektor hisob). V. m. nazariyasi
tabiatshunoslikning turli sohalarida qoʻllaniladi.
Bizga а=ах(x,y,z) + ау(x,y,z) + аz(x,y,z)
vektor maydon berilgan bo‘lsin.
Bunda ах, ау, аz lar uzliksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin deb faraz qilamiz. a
vektor maydonning rotori (uyurmasi) deb koordinata o‘qlariga bo‘lgan
proyeksiyalari
bo‘lgan vektorga aytiladi va
simvol bilan belgilanadi.
Ta’rifga asosan
(1)
Vektormaydonrotorini operatori yordamida quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin.
operatori yordamida quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin.
Agar biror sohaning har bir nuqtasida a, b vektor maydon rotori va j(x,y,z)
skalyar maydon gradiyenti aniqlangan bo‘lsa, quyidagi formulalar o‘rinli bo‘ladi.
1) a o‘zgarmas vektor bo‘lsa
bo’lado
bundagi A,B lar o‘zgarmas vektorlar.
2)
3)
4)
а=ахi + ауj + аzk vektor maydonning barcha nuqtalarida
(2)
bo‘lsa bu maydon uyurmasiz (beuyurma) maydon deyiladi.
(2) dan
(3)
kelib chiqadi. (3) shart a vektor maydonning potensial maydon bo‘lishligining
zaruriy va yetarli sharti edi (o‘tgan darsdan). Demak, har qanday potensial maydon
beuyurma maydon bo‘ladi va aksincha a vektor maydon bo‘lishligidan a vektor
maydon potensial maydon bo‘ladi.
Misollar: 1) а = xyz i + x2z j + y2х k vektor maydon rotorini toping.
ax=xyz, ay=x2z, az=y2x
2)
3)
vektor maydonning potensial maydon ekanligini ko‘rsating va uning potensialini
toping.
bo‘ladi,
formuladan
4)
bundan
a
topiladi.
potensial
maydondir.
х0=0,
Potensial
у0=0,
funksiya
z0=0desak,
sferik vektor maydon rotorini toping.
Faraz qilaylik, a vektor maydonda yopiq L cheksiz berilgan bo‘lsin. а=а(аx,аy,аz)
векторнинг циркуляцияси деб қуйидаги
Ц
(4)
Integralga aytiladi.
Umumiy holda yuqoridagi integral a vektorning egri chiziqli integrali deyiladi va U
harfi bilan belgilanadi, ya’ni
bunda A va V lar berilgan egri chiziqning bosh va oxirgi nuqtalari.
Bu integralni vektor formada ham yozish mumkin.
(5)
АВ egri chiziq bo‘ylab harakat qiluvchi nuqta radius-vektorining
differensialidir.
(5) ni
Ц
(6)
бўлса, у ҳолда
Ц
2. Solenoidal maydonga kirish
1–
nuqtadan chiquvchi
bitta X(M) vektor berilgan bo‘lsa, u holda Ω to‘plamda X vektor maydon berilgan
deyiladi.
Agar G to‘plamga tegishli har bir p nuqtaga bitta X(p) vektor mos qo‘yilsa,
bu moslik vektor maydon deb ataladi. Agar X1 (x, y, z), X2 (x, y, z), X3 (x, y, z)
funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa:
X: (x, y, z) —> {X1 (x, y, z), X2 (x, y, z), X3 (x, y, z)}
vektor maydon silliq (yoki differensiallanuvchi) vektor maydon deyiladi.
2 – Ta`rif[2]. Birorta 𝐺 ∈ 𝑅3 sohada X vektor maydon berilgan bo‘lib va shu sohada
𝜌 = 𝜌(𝑡)
Agar har bir t uchun 𝜌 (𝑡) = 𝑋(𝛾(𝑡))
maydonning integral chizig‘i deyiladi.
Teorema. Silliq vektor maydon berilgan sohaning har bir nuqtasidan shu vektor
maydonning yagona integral chizig‘i o‘tadi.
3 – Ta’rif[3]. Agar X vektor maydon uchun shunday Y vektor maydon topilib X
potiensiali deyiladi. Solenoidal maydon quyidagi xossalarga ega:
1) solenoidal maydonning maxsus nuqtalarini o‘z ichiga olmagan yopiq sirt
bo‘yicha oqimi nolga teng;
2) solenoidal maydonda barcha maxsus nuqtalari o‘z ichiga olgan barcha yopiq
sirtlardan olingan oqim o‘zaro teng bo‘ladi;
3) solenoidal maydonda vektor naychasining ixtiyoriy kesimidan olingan oqim
o‘zgarmasdir.
qaraylik.
i kerak.
Berilgan U vektor maydon uchun
𝜕𝑈
𝜕𝑈𝑦
𝜕𝑈𝑧
𝑑𝑖𝑣𝑈 = 𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 =0
bo`lish shartini tekshiraylik.
𝑑𝑖𝑣𝑈 =
𝜕(𝑦𝑧) 𝜕(𝑥𝑧) 𝜕(𝑥𝑦)
+
+
=0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
munosabat o‘rinli. Demak berilgan maydonimiz solenoidal ekan
Xulosa: Silliq vektor maydon berilgan sohaning har bir nuqtasidan shu vektor
maydonning yagona integral chizig‘i mavjudligi haqidagi teoremalar tatbiqlari
o`rganildi. Solenoidal maydonning maxsus nuqtalarini o‘z ichiga olmagan yopiq sirt
bo‘yicha oqimi nolga tengligi bo`yicha misollar keltirib o`tilgan. Vektor
maydonlarning solenoidal bo`lishlig shartlari tekshirib, tahlil qilindi.
3. Vektor maydon sirkulyatsiyasi va Stoks teoremasi
Yopiq L kontur bo'ylab vektor maydoni A aniqlansin. L kontur bo‘yicha
ikkinchi turdagi A vektorining egri chiziqli integrali A vektor maydonining
sirkulyatsiyasi deyiladi va ramziy ifoda bilan belgilanadi.
𝐴
∮ 𝑑𝑟
𝐿
Agar kontur bo'ylab harakatlanayotganda u bilan chegaralangan maydon chap
tomonda qolsa, konturni kesib o'tish yo'nalishi musbat hisoblanadi.
E'tibor bering, vektor L va dr = dl
chiziqqa tangens yo'naltiriladi . Shuning
uchun skalyar ko'paytmani ko'rinishda yozish mumkin, bu erda A vektorning
tangens vektor yo'nalishiga proyeksiyasi l . Shu sababli, ramziy ifoda aylanmani
ko'rsatish uchun ham ishlatiladi . Shuni hisobga olgan holda va , shuningdek
vektorlarning skalyar ko‘paytmasi xossasidan foydalangan holda, muhokama
qilinayotgan integral belgisi ostidagi ifodani ko‘rinishda ifodalash mumkin.
𝐴𝑑𝑟𝐴𝑙 𝑑𝑙𝐴𝑙 ∮ 𝐴 𝑑𝑙
𝐿𝑙
Shunday qilib, A
vektor maydonining aylanishi quyidagi ko'rinishlardan
birida yoziladi:
Vektor maydonining aylanishi oddiy jismoniy talqinga ega. Agar F zarrachaga
ta'sir etuvchi kuch bo'lsa, F vektor maydonining aylanishi bu kuchning zarrachani L
yopiq kontur bo'ylab harakatlantirish uchun ishini ifodalaydi .
Vektor maydon aylanish xususiyatlari
1. Konturni kesib o'tish yo'nalishi o'zgarganda vektor maydonining aylanishi o'z
belgisini teskari tomonga o'zgartiradi: Ikkinchi turdagi barcha egri chiziqli
integrallar,
shu
jumladan
yopiq
kontur
bo'ylab
integrallar,
bu xususiyatga ega , chunki tangens vektorining yo'nalishi l o'zgaradi.
qarama-qarshi tomonga A vektorning l yo'nalishiga proyeksiyasi belgisini
o'zgartirishga olib keladi .
2. Agar L kontur bilan chegaralangan oddiy bog‘langan hudud chegaralari L 1
va L 2 konturlari bo‘lgan ikki qismga bo‘linsa , u holda A vektor maydonining
L kontur bo‘ylab sirkulyatsiyasi kontur bo‘ylab aylanmalar yig‘indisiga teng
bo‘ladi. L 1 va L 2 konturlari :
Yopiq halqa Lni ikkita halqaga bo'lish
Haqiqatan ham, L 1 kontur L konturining bir qismini (arc ACB ) va BA
chizig'ini o'z ichiga oladi, L2 kontur esa L konturining qolgan qismidan (arc BDA )
va AB chizig'idan iborat . Bu shuni anglatadiki , L1 va L2 konturlari bo'ylab
aylanishlar yig'indisiga nolga teng bo'lmagan hissa faqat ushbu konturlarning L
konturini tashkil etadigan qismlari tomonidan beriladi , A va B nuqtalarini
bog'laydigan chiziq ikki marta o'tadi - o'zaro qarama-qarshi yo'nalishlarda va
shuning uchun yig'indidagi tegishli integrallar bir-birini bekor qiladi (1-xususiyatga
ko'ra). Yuqoridagi argumentlar L konturi yana ko'p sonli halqalarga bo'linganda ham
o'z kuchini saqlab qoladi, chunki barcha hosil qilingan konturlar bo'ylab
aylanishlarni yig'ishda qo'shni chiziqlar bo'ylab integrallar bir-birini bekor qiladi,
shuning uchun bunday aylanishlarning yig'indisi bo'ladi. asl kontur bo'ylab
aylanishga kamayadi. Bunday fikrlash natijalarini quyidagi umumiy shaklda
keltirish mumkin. Natija. Agar L yopiq kontur bilan chegaralangan maydon
o'zboshimchalik bilan konturlar bilan chegaralangan n ta elementga bo'lingan bo'lsa,
u holda A vektorining tashqi kontur L bo'ylab aylanishi bo'linishning barcha
konturlari bo'ylab aylanishlar yig'indisiga teng bo'ladi:
Shunday qilib, L kontur bo'ylab vektor maydonining aylanishini hisoblash
uchun siz kontur bilan cheklangan maydonni kichik elementlarga (masalan,
to'rtburchaklar)
bo'lishingiz
va
elementar
maydonlar
chegaralari
bo'ylab
aylanishlarni hisoblash natijalarini umumlashtirishingiz mumkin.
Stoks teoremasi
Stokes teoremasi differensial geometriya va matematik tahlilning differensial
shakllarning integrasiyasi bo'yicha asosiy teoremalaridan biri bo'lib , tahlilning bir
qancha teoremalarini umumlashtiradi . J. G. Stokes nomi bilan atalgan .
F vektorning ixtiyoriy G kontur bo'ylab aylanishi vektor oqimiga teng rotF
chirigan⁡berilgan kontur bilan chegaralangan ixtiyoriy S sirt orqali .
Bu yerda
Agar kontur tekis bo'lsa, masalan, OXY tekisligida yotsa, Grin teoremasi
to'g'ri keladi.
- kontur bilan chegaralangan tekislik
Xulosa
Solenoidal maydon vektor maydonining bir turi bo'lib, har qanday nuqtadan
aniq oqim nolga teng, ya'ni manbalar yoki cho'kmalar mavjud emas. Misollar magnit
monopollari mavjud bo'lmagan magnit maydonlarni o'z ichiga oladi. Vektor
maydonining rotori (yoki jingalak) maydonning istalgan nuqtasida aylanish miqdori
va yo'nalishini ifodalaydi. Agar siz dalaga qo'yilgan kichkina eshkakli g'ildirakni
tasavvur qilsangiz, rotor g'ildirak qanday va qaysi yo'nalishda aylanishini ko'rsatadi.
Stokes teoremasi vektor hisobidagi kuchli vosita bo'lib, yopiq aylana atrofidagi
maydonning aylanishini halqa bilan o'ralgan sirt ustidagi aylanishlar (jingalak)
yig'indisiga bog'laydi. Ushbu teorema murakkab 3D aylanish harakatlarini
boshqariladigan sirt integraliga aylantirishga yordam beradi va maydon xattiharakatlarining mahalliy va global istiqbollari o'rtasida ko'prik bo'ladi.
Aslini olganda, bu tushunchalar, ayniqsa, suyuqlik dinamikasi va
elektromagnetizmda, murakkab o'zaro ta'sirlarni tushunarliroq tarkibiy qismlarga
ajratish orqali maydonlar qanday harakat qilishini tushunishga yordam beradi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. A.Ya.Narmanov “Differensial geometriya”. Toshkent. “Universitet” 2003.
2. Olver P. Application of Lie Groups to Differential Equations. Second edition.
Springer 1993.
3. A.Ya.Narmanov, J.Aslonov. Geometry of orbit of Killing vector fields. Uzbek
mathematical journal. N 2,2012, pp 77-85.
4. A.Ya.Narmanov, S. Saitova. On geometry of vector fields. Journal of
Mathematical Sciences (United States).245(3) 2020, pp 347-352.