dr Krzysztof ›yjewski
Repetytorium mat. elementarnej; S-I 0 .in».
7 stycznia 2019
Funkcje trygonometryczne
Informacje pomocnicze
Funkcje trygonometryczne
Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :
y
sin α = ,
r
y
tg α = ,
x
x
,
r
x
ctg α = ,
y
cos α =
gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r =
Wªasno±ci funkcji sinus
y = sin x:
• Df = R, Wf =< −1, 1 >;
• okresowa o okresie podstawowym 2π, sin(x + 2π) = sin x;
• ograniczon¡, −1 ≤ sin x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;
• nieparzysta, sin(−x) = − sin x.
1
p
x2 + y 2 .
dr Krzysztof ›yjewski
Repetytorium mat. elementarnej; S-I 0 .in».
Rysunek 1: Wykres funkcji f (x) = sin x
Wªasno±ci funkcji kosinus
y = cos x :
• Df = R, Wf =< −1, 1 >;
• okresowa o okresie podstawowym 2π, cos(x + 2π) = cos x;
• ograniczon¡, −1 ≤ cos x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;
• parzysta, cos(−x) = cos x.
Rysunek 2: Wykres funkcji f (x) = cos x
Wªasno±ci funkcji tanges
y = tg x:
• Df = R \ { π2 + kπ : k ∈ Z}, Wf = R;
• okresowa o okresie podstawowym π, tg(x + π) = tg x;
2
7 stycznia 2019
dr Krzysztof ›yjewski
Repetytorium mat. elementarnej; S-I 0 .in».
• nieograniczon¡;
• nieparzysta, tg(−x) = − tg x.
Rysunek 3: Wykres funkcji f (x) = tg x
Wªasno±ci funkcji kotanges
y = ctg x:
• Df = R \ πk : k ∈ Z}, Wf = R;
• okresowa o okresie podstawowym π, ctg(x + π) = ctg x;
• nieograniczon¡;
• nieparzysta, ctg(−x) = − ctg x.
Rysunek 4: Wykres funkcji f (x) = ctg x
3
7 stycznia 2019
dr Krzysztof ›yjewski
Repetytorium mat. elementarnej; S-I 0 .in».
7 stycznia 2019
Funkcje cyklometryczne
Funkcje cyklometryczne(koªowe) s¡ to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji sinus obci¦tej do przedziaªu [− π2 , π2 ] nazywamy funkcj¡ arcsin (czyt.
arkus sinus). Mamy zatem
arcsin x = y ⇔ sin y = x
dla
− 1 ≤ x ≤ 1,
−
π
π
≤y≤ .
2
2
St¡d Darcsin x = [−1; 1], Warcsin x = [− π2 ; π2 ].
Rysunek 5: Wykres funkcji f (x) = arcsin x
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji kosinus obci¦tej do przedziaªu [0, π] nazywamy funkcj¡ arccos
(czyt. arkus kosinus). Mamy zatem
arccos x = y ⇔ cos y = x
dla
St¡d Darccos x = [−1; 1], Warccos x = [0; π].
4
− 1 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ π.
dr Krzysztof ›yjewski
Repetytorium mat. elementarnej; S-I 0 .in».
7 stycznia 2019
Rysunek 6: Wykres funkcji f (x) = arccos x
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji tanges obci¦tej do przedziaªu (− π2 , π2 ) nazywamy funkcj¡ arctg
(czyt. arkus tanges). Mamy zatem
arctg x = y ⇔ tg y = x
dla x ∈ R,
−
π
π
≤y≤ .
2
2
St¡d Darctg x = R, Warctg x = [− π2 ; π2 ].
Rysunek 7: Wykres funkcji f (x) = arctg x
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji kotanges obci¦tej do przedziaªu (0, π) nazywamy funkcj¡ arcctg
(czyt. arkus kotanges). Mamy zatem
dla x ∈ R,
arcctg x = y ⇔ ctg y = x
5
−
π
π
≤y≤ .
2
2
dr Krzysztof ›yjewski
Repetytorium mat. elementarnej; S-I 0 .in».
7 stycznia 2019
St¡d Darcctg x = R, Warcctgx = [− π2 ; π2 ].
Rysunek 8: Wykres funkcji f (x) = arcctg x
Znaki funkcji trygonometrycznych w ¢wiartkach
ϕ
sin ϕ
cos ϕ
tg ϕ
ctg ϕ
I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.
+
+
−
−
+
−
−
+
+
−
+
−
+
−
+
−
Mo»na nauczy¢ si¦ wierszyka, który obrazuje powy»sz¡ tabel¦: w pierwszej ¢wiartce same plusy,
w drugiej tylko sinus(jest dodatni), w trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus.
Wzory redukcyjne
ϕ
sin ϕ
cos ϕ
tg ϕ
ctg ϕ
π
−α
2
π
+α
2
cos α
sin α
ctg α
tg α
cos α
− sin α
− ctg α
− tg α
π−α
sin α
− cos α
− tg α
− ctg α
π+α
− sin α
− cos α
tg α
ctg α
3π
−α
2
3π
+α
2
− cos α
− sin α
ctg α
tg α
− cos α
sin α
− ctg α
− tg α
2π − α
− sin α
cos α
− tg α
− ctg α
Pewne wªasno±ci funkcji trygonometrycznych:
• funkcje sinus, tangens, kotangens s¡ funkcjami nieparzystymi tzn.
sin(−x) = − sin x,
tg(−x) = − tg x,
• funkcja kosinus jest parzysta tzn.
cos(−x) = cos x;
6
ctg(−x) = − ctg x;
dr Krzysztof ›yjewski
Repetytorium mat. elementarnej; S-I 0 .in».
7 stycznia 2019
• funkcje sinus i kosinus s¡ okresowe o okresie podstawowym 2π tzn.
∀k∈Z ,
sin(x + 2π · k) = sin x,
cos(x + 2π · k) = cos x;
• funkcje tangens i kotangens s¡ okresowe o okresie podstawowym π tzn.
∀k∈Z ,
Przykªad 1.
tg(x + π · k) = tg x,
ctg(x + π · k) = ctg x.
Wykorzystuj¡c wªasno±ci (równie» wzory redukcyjne) funkcji trygonometrycznych
mamy:
√
a) sin 45 π = sin(π + π4 ) = − sin π4 = − 22 ;
b) cos(−23 31 π) = cos 23 13 π = cos 1 13 π = cos(π + π3 ) = − cos π3 = − 12 ;
c) tg 3 43 π = tg 34 π = tg( π2 + π4 ) = − ctg π4 = −1;
√
d) ctg(− 253 π) = − ctg 8 13 π = − ctg 13 = − 33 .
Przydatne wzory trygonometryczne
:
(a)
sin2 x + cos2 x = 1,
(b)
sin x
tg x = cos
,
x
(c)
ctg x = tg1x ,
(d)
tg x · ctg x = 1,
(e)
sin 2x = 2 sin x cos x,
(f )
cos 2x = cos2 x − sin2 x,
(g)
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y,
(h)
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y,
(i)
tg x±tg y
,
tg(x ± y) = 1∓tg
x tg y
(j)
x ctg y∓1
ctg(x ± y) = ctg
,
ctg x±ctg y
(k)
cos x−y
,
sin x + sin y = 2 sin x+y
2
2
(l)
sin x − sin y = 2 cos x+y
sin x−y
,
2
2
(m)
cos x + cos y = 2 cos x+y
cos x−y
,
2
2
(n)
cos x − cos y = −2 sin x+y
sin x−y
,
2
2
(o)
cos x cos y = 12 cos(x + y) + cos(x − y) ,
(p)
sin x sin y = 12 cos(x + y) − cos(x − y) ,
(q)
sin x cos y = 21 sin(x + y) + sin(x − y) ,
(r)
sin2 x = 1−cos(2x)
,
2
(s)
cos2 x = 1+cos(2x)
,
2
(t)
sin x = 1+tg22 x ,
(u)
2 tg x
2
1−tg2 x
cos x = 1+tg2 x2 ,
(v)
2
2 tg x
tg x = 1−tg22 x ,
2
7
dr Krzysztof ›yjewski
Repetytorium mat. elementarnej; S-I 0 .in».
7 stycznia 2019
Zadania
1. Sprawd¹, czy podane równo±ci s¡ to»samo±ciami:
(a) (sin x + cos x)2 + (sin x − cos x)2 = 2,
tg x
(c) tg x+ctg
= sin2 x,
x
(b)
(d)
cos 2x
x−sin x
= cos
,
1+sin 2x
cos x+sin x
sin(x+y)−sin(x−y)
= − tg x.
cos(x+y)−cos(x−y)
(b)
(d)
(f )
(h)
(j)
(l)
(n)
cos x = − 23 , √
ctg(2x + π2 ) = 3,
|2 sin 3x − 3| = 4,
√
√
3 cos 2x + 9 cos√ x + 4 3 = 0,
tg x + ctg x = 4 3 3 ,
|2 sin 3x − 3| = 4,
sin x + cos x + 2 sin x cos x = 1.
2. Rozwi¡» równania trygonometryczne:
√
(a) sin x = 12 ,
(c) sin(2x − π3 ) = −1,
(e) sin(2x − π4 ) cos(3x − 1) = 0,
(g) 2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0,
(i) cos( 45 π + x) − cos( 34 π − x) = 0,
(k) sin
√ 4x − cos 4x = sin
√x − cos x,
(m)
3 cos x + sin x = 2,
3. Rozwi¡» nierówno±ci trygonometryczne wiedz¡c, »e:
4. Wyznacz dziedzin¦ funkcji f (x) =
√
(b) sin x < 23 ,
(d) sin x tg x ≤ 0,√
(f ) sin x cos x < 43 ,
(a) cos x ≥ 21 ,
(c) 3 tg2 x − 1 > 0,
(e) cos2 x + cos x ≥ 2,
q
√
sin2 x − cos2 x + 23 .
11
π
5. Wyznacz cos 60
π wiedz¡c, »e sin 15
π = a.
6. Dla jakich warto±ci parametru m równanie ma rozwi¡zanie:
(a)
sin x = 2m−1
,
3m
(b)
cos 2x − cos x + m = 0.
7. Dla jakiej warto±ci parametru m ∈ [0, π] równanie (2 cos m − 1)x2 − 2x + cos m = 0 ma dwa
pierwiastki.
8. Oblicz (o ile jest
to mo»liwe):
√
√
(a) arcsin −2 3 ,
(c) arctg 1,
(e) arcsin 12 ,
(g) arcsin(sin π3 ),
1
(i) sin(arcsin
),
2
√
(k) sin arctg 3 + arccos(− 12 ) ,
(b) arccos 22 √
,
(d) arcctg(−√ 3),
(f ) arcsin −3 3 ,
(h) arcsin(sin 2π
),
3
3
(j) sin(arcsin
),
2
√ (l) cos 2 arctg(−1) + 3 arcsin 22 .
9. Rowi¡» równania:
(a)
(c)
(e)
arcsin x = π3 ,
arctg x = − π6 ,
arcsin x − arccos x = π6 .
(b)
(d)
8
arccos x = − π6 ,
tg(arcsin x) = 2,