MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT
AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI FARG‘ONA
FILIALI
ALGORITMLARNI LOYIHALASH FANI BO’YICHA
P va NP sinflar, NP-to‘liq masalalalar tushunchasi
mavzusida tayyorlagan
MUSTAQIL ISHI
Guruh:
660-22
Tayyorladi:
Tangirberganova
S.
1
Qabul qildi:
Xalilov
D.
FARG‘ONA – 2024
2
MUNDARIJA
Kirish ………………………………..……………………….…………..……. 3
§1. P sinflar………….…………………………………………………....4
§2. NP sinflar………………………………………...……….…………..6
§3. NP-to’liq masalalar tushunchasi......................................…….............9
Xulosa……………………………………………………………………... ......12
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati……………………………………...……13
Eyler diagrammasi uchun P, NP, NP- to'liq va NP- qattiq muammolar
to'plami (tegishli bo'lgan bo'sh til va uning qo'shimchasi bundan mustasno) P lekin
yo'q NPto'liq)
Asosiy maqola: NP to'liqligi
Hujum qilish P = NP savol, tushunchasi NP- to'liqlik juda foydali. NP-tugallangan
masalalar - bu har birining oldiga qo'yadigan muammolar to'plamidir NP- muammo
polinom vaqtida kamaytirilishi mumkin va uning yechimi hali ham polinom vaqtida
3
tasdiqlanishi mumkin. Ya'ni, har qanday NP muammoni har qanday biriga
aylantirish mumkin NP- to'liq muammolar. Norasmiy ravishda NP- to'liq
muammo NP hech bo'lmaganda boshqa har qanday muammo kabi "qattiq" bo'lgan
muammo NP.
NP-
qattiq muammolar,
hech
bo'lmaganda
qiyin
bo'lgan
narsalar NP muammolar, ya'ni barchasi NP muammolarni ularga kamaytirish
mumkin (polinom vaqtida). NP- qattiq muammolar bo'lishi shart emas NP, ya'ni
ular polinom vaqtida tekshirilishi mumkin bo'lgan echimlarga ega bo'lishlari shart
emas.
Masalan, Mantiqiy
ma'qullik
muammosi bu NPtomonidan
to'ldirilgan Kuk-Levin teoremasi, shuning uchun har qanday ning misoli har
qanday muammo NP mexanik ravishda polinom vaqtidagi mantiqiy to'yinganlik
muammosining misoliga aylantirilishi mumkin. Mantiqiy mantiqiylik muammosi
ana shunday muammolardan biridir NP- to'liq muammolar. Agar mavjud bo'lsa NPto'liq muammo P, keyin bunga ergashish kerak P = NP. Biroq, ko'plab muhim
muammolar ko'rsatildi NP to'liq va hech birining tezkor algoritmi ma'lum emas.
Faqatgina ta'rifga asoslanib, bu aniq emas NP- to'liq muammolar mavjud;
ammo, ahamiyatsiz va o'ylab topilgan NP-tamomli masalani quyidagicha
shakllantirish mumkin: a tavsifi berilgan Turing mashinasi M polinom vaqtida
to'xtatilishi kafolatlangan, polinom kattaligi mavjudmi? M qabul qilasizmi?[12] Bu
ichida NP chunki (kirish berilgan) yoki yo'qligini tekshirish oson M taqlid qilish
orqali kirishni qabul qiladi M; bu NP- to'liq, chunki muammoning har qanday aniq
namunasi uchun tekshiruvchi NP polinom-vaqt mashinasi sifatida kodlanishi
mumkin M bu yechim kirish sifatida tekshirilishi kerak. Keyin misol ha yoki
yo'qligi masalasi haqiqiy kirish mavjudligi bilan belgilanadi.
Birinchi tabiiy muammo NPSAT deb ham ataladigan mantiqiy qoniqish
muammosi to'liq edi. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, bu Kuk-Levin teoremasi;
uning qoniqarli ekanligining isboti NPKomplektda Turing mashinalari haqidagi
texnik ma'lumotlar mavjud, chunki ular ta'rifiga tegishli NP. Ammo, bu muammo
4
isbotlanganidan keyin NP- to'liq, kamaytirish orqali isbotlash ko'plab boshqa
muammolar ham borligini ko'rsatishning sodda usulini taqdim etdi NP- to'liq, shu
jumladan ilgari muhokama qilingan Sudoku o'yini. Bunday holda, dalil shuni
ko'rsatadiki, Sudoku polinom vaqtidagi echimini bajarish uchun ham foydalanish
mumkin Lotin kvadratlari polinom vaqtida. Bu o'z navbatida bo'linish muammosiga
echim beradi uch qismli grafikalar uchburchak shaklida, undan keyin 3-SAT deb
nomlanuvchi SAT maxsus ishi uchun echimlarni topish uchun foydalanish
mumkin, keyin bu mantiqiy umumiy qoniqish uchun echim beradi. Shunday qilib,
Sudoku uchun polinom vaqt echimi, bir qator mexanik transformatsiyalar bilan,
qoniquvchanlik polinom vaqt echimiga olib keladi, bu esa o'z navbatida har qanday
boshqa narsani hal qilish uchun ishlatilishi mumkin NP- polinom vaqtidagi
muammo. Bunday o'zgarishlardan foydalangan holda, bir-biriga bog'liq bo'lmagan
kabi ko'rinadigan muammolarning katta klassi bir-biriga kamaytirilishi mumkin va
ma'lum ma'noda "bir xil muammo" dir.
Garchi noma'lum bo'lsa-da P = NP, tashqaridagi muammolar P ma'lum.
Xuddi
sinf
kabi P polinomning
ish
vaqti,
klassi
bo'yicha
aniqlanadi MAQSAD mavjud bo'lgan barcha qarorlar to'plami eksponent ish vaqti.
Boshqacha qilib aytganda, har qanday muammo MAQSAD a tomonidan hal
etiladi deterministik Turing mashinasi yilda O (2p(n)) vaqt, qaerda p(n) ning
polinom
funktsiyasi n.
Qaror
muammosi MAQSAD-
to'liq agar
u
bo'lsa MAQSADva har qanday muammo MAQSAD bor polinom-vaqtning ko'p
sonli kamayishi unga. Bir qator muammolar ma'lum MAQSAD- to'liq. Chunki buni
ko'rsatish mumkin P ≠ MAQSAD, bu muammolar tashqarida Pva shuning uchun
polinom vaqtidan ko'proq vaqt talab etiladi. Aslida, tomonidan vaqt ierarxiyasi
teoremasi, ularni eksponent vaqtdan sezilarli darajada kamroq hal qilish mumkin
emas.
Bunga
mukammal
strategiyani
topish
kiradi shaxmat pozitsiyalar
an N × N taxta va boshqa stol o'yinlari uchun shunga o'xshash muammolar.
In bayonotining haqiqatini hal qilish muammosi Presburger arifmetikasi ko'proq
vaqt talab qiladi. Demak, muammo eksponentli ish vaqtidan ko'proq narsani talab
5
qilishi
ma'lum.
Bundan
ham
qiyinroq hal
qilinmaydigan
muammolar kabi muammoni to'xtatish. Ularni biron bir algoritm bilan to'liq echib
bo'lmaydi, chunki ma'lum bir algoritm uchun hech bo'lmaganda bitta kirish mavjud
bo'lib, u uchun algoritm to'g'ri javob bermaydi; u noto'g'ri javob beradi, aniq javob
bermasdan tugatadi yoki umuman hech qanday javob bermasdan abadiy ishlaydi.
Qaror bilan bog'liq muammolardan tashqari boshqa savollarni ham ko'rib
chiqish mumkin. Hisoblash masalalaridan iborat shunday sinflardan biri
deyiladi #P:
holbuki NP muammo
"tegishli
echimlar
bormi?"
deb
so'raydi #P muammo "Qancha echim bor?" Shubhasiz, a #P muammo kamida mos
keladigan darajada qiyin bo'lishi kerak NP muammo, chunki echimlar soni darhol
noldan katta bo'lsa, kamida bitta echim borligini aytadi. Ajablanarlisi shundaki,
ba'zilari #P qiyin deb hisoblangan muammolar osonga to'g'ri keladi (masalan,
chiziqli vaqt) P muammolar. Ushbu muammolar uchun echimlar mavjudligini
aniqlash juda oson, ammo ularning sonini aytish juda qiyin deb o'ylardim. Ushbu
muammolarning aksariyati #P- to'liq va shuning uchun eng qiyin muammolar
qatoriga kiradi #P, chunki ularning birortasiga ko'p polinomli vaqt echimi
boshqalarga polinom vaqtini echishga imkon beradi #P muammolar.
1975-yilda, Richard E. Ladner buni ko'rsatdi P ≠ NP unda muammolar
mavjud NP ular yo'q P na NP- to'liq. Bunday muammolar deyiladi NP- oraliq
muammolar.
The grafik
izomorfizm
muammosi, diskret
logarifma
muammosi va butun sonni faktorizatsiya qilish muammosi ishonilgan muammolar
misollari NP- oraliq. Ular juda oz sonli kishilardir NP ma'lum bo'lmagan
muammolar P yoki bo'lish NP- to'liq.
Grafik izomorfizm muammosi - bu ikkita chekli yoki yo'qligini
aniqlashning
hisoblash
muammosi grafikalar bor izomorfik.
Murakkablik
nazariyasida hal qilinmagan muhim muammo - bu grafik izomorfizm muammosi
mavjudmi P, NP- to'liq yoki NP- oraliq. Javob ma'lum emas, ammo muammo hech
bo'lmaganda emas deb ishoniladi NP- to'liq.[20] Agar grafik izomorfizm bo'lsa NPto'liq, polinom vaqt ierarxiyasi uning ikkinchi darajasiga qulaydi.[21] Ko'p polinom
6
iyerarxiyasi har qanday cheklangan darajaga tushmaydi degan fikr keng
tarqalganligi sababli, grafik izomorfizm emas NP- to'liq. Ushbu muammo uchun
eng
yaxshi
algoritm Laszlo
Babai va Evgeniy
Lyuks,
ish
vaqti
2O
(√n jurnal n) bilan grafikalar uchun n tepaliklar.
Eng yaxshi tanilgan kvant algoritmi ushbu muammo uchun, Shor algoritmi,
polinom vaqtida ishlaydi, ammo bu muammoning noaniqlarga nisbatan qaerdaligini
ko'rsatmaydi.kvant murakkabligi sinflari.
Grafada eng zamonaviy ixtisoslashtirilgan algoritm uchun yukxalta muammolari
uchun vaqt (o'rtacha 933 MGts Pentium III dan foydalangan holda 100 ta misol) va
muammolar hajmi ko'rsatilgan. Kvadratik moslik shuni ko'rsatadiki, 50–10,000
o'zgaruvchiga ega bo'lgan misollar uchun empirik algoritmik murakkablik O ((log
(n))2).
Yuqoridagi barcha munozaralar buni taxmin qildi P "oson" va "ichkarida
emas"
degan
ma'noni
anglatadi P
qattiq
degan
ma'noni
anglatadi,
taxmin Kobxemning tezisi. Bu murakkablik nazariyasida keng tarqalgan va oqilona
to'g'ri taxmin; ammo, ba'zi ogohlantirishlarga ega.
Birinchidan, bu amalda har doim ham to'g'ri kelavermaydi. Nazariy polinom
algoritmi juda katta doimiy omillarga yoki ko'rsatkichlarga ega bo'lishi mumkin,
shuning
uchun
uni
amaliy
emas.
Masalan,
muammo hal
qilish grafik
bo'ladimi G o'z ichiga oladi H kabi voyaga etmagan, qayerda H belgilangan vaqt
7
ichida hal qilinishi mumkin O(n2),[24] qayerda n - bu tepaliklar soni G.
Biroq, katta O yozuvlari superexponsional ravishda bog'liq bo'lgan doimiylikni
yashiradi H. Doimiy kattaroq (foydalanib Knutning yuqoriga qarab o'qi ) va
qaerda h - bu tepaliklar soni H.
Boshqa tomondan, muammo ko'rsatilsa ham NPto'liq va hatto bo'lsa
ham P ≠ NP, amalda muammoni hal qilishda hali ham samarali yondashuvlar
bo'lishi
mumkin.
muammolar xalta
Ko'pchilik
uchun
muammosi, sotuvchi
algoritmlar
mavjud NPkabi
muammosi va Mantiqiy
to'liq
ma'qullik
muammosi, bu maqbul vaqt ichida ko'plab real vaziyatlarni maqbullikka hal qilishi
mumkin. Ampirik o'rtacha holatdagi murakkablik (vaqt va muammo kattaligi)
bunday algoritmlarning hayratlanarli darajada past bo'lishi mumkin. Bunga
misol oddiy algoritm yilda chiziqli dasturlash, bu amalda hayratlanarli darajada
yaxshi ishlaydi; eksponentli eng yomon holatga ega bo'lishiga qaramay vaqtning
murakkabligi u eng yaxshi ma'lum bo'lgan polinom-vaqt algoritmlari bilan teng
ravishda ishlaydi.
Va nihoyat, Turing mashinasi modeliga mos kelmaydigan hisoblash turlari
mavjud P va NP kabi belgilanadi kvant hisoblash va tasodifiy algoritmlar.
Ovoz
berish
natijalariga
ko'ra aksariyat
kompyuter
olimlari
bunga
ishonishadi P ≠ NP. Ushbu e'tiqodning asosiy sababi shundan iboratki, o'nlab yillar
davomida ushbu muammolarni o'rganib chiqqandan so'ng, hech kim ma'lum
bo'lmagan 3000 dan ortiq muhim uchun polinom vaqt algoritmini topa olmadi. NPto'liq muammolar (qarang Ro'yxati NP- to'liq muammolar ). Ushbu algoritmlar
kontseptsiyasidan ancha oldin qidirilgan NPto'liqlik hatto aniqlandi (Karpning
21 NP- to'liq muammolar, birinchi topilganlar orasida, ularning barchasini
namoyish etish paytida taniqli mavjud bo'lgan muammolar mavjud edi NP- to'liq).
Bundan tashqari, natija P = NP kabi noto'g'ri deb hisoblangan boshqa ko'plab
hayratlanarli natijalarni nazarda tutadi NP = hamkorlikdagi NP va P = PH.
Bundan tashqari, intuitiv ravishda ta'kidlanishicha, hal qilish qiyin bo'lgan,
ammo yechimini tekshirish oson bo'lgan muammolarning mavjudligi dunyo
8
tajribasiga mos keladi.
Agar P = NP, shunda dunyo biz taxmin qilganimizdan tubdan boshqacha joy
bo'lar edi. "Ijodiy sakrashlar" da alohida ahamiyatga ega bo'lmaydi, muammoni hal
qilish va echim topilgandan so'ng uni tan olish o'rtasida asosiy bo'shliq bo'lmaydi.
— Skott Aaronson, UT Ostin
Boshqa tomondan, ba'zi tadqiqotchilar ishonishga haddan tashqari ishonch
bor deb hisoblashadi P ≠ NP va tadqiqotchilar buning dalillarini o'rganishlari
kerak P = NP shuningdek. Masalan, 2002 yilda quyidagi so'zlar qilingan:
Foydasiga asosiy argument P ≠ NP to'liq izlash sohasida tub yutuqlarning
umuman etishmasligi. Bu, mening fikrimcha, juda zaif dalil. Algoritmlarning
maydoni juda katta va biz uni tadqiq qilishning boshida turibmiz. [...] ning
qarori Fermaning so'nggi teoremasi juda oddiy savollarni faqat juda chuqur
nazariyalar hal qilishi mumkinligini ko'rsatadi.
— Moshe Y. Vardi, Rays universiteti
Spekulyatsiyaga qo'shilish tadqiqotlarni rejalashtirish uchun yaxshi qo'llanma
emas. Har doim har qanday muammoning ikkala yo'nalishini sinab ko'rish kerak.
Xurofot taniqli matematiklarning talab qilinadigan barcha usullarni ishlab chiqqan
bo'lishiga qaramay, ularning echimi kutganlariga qarama-qarshi bo'lgan mashhur
muammolarni hal qila olmasliklariga olib keldi.
— Anil Nerode, Kornell universiteti
Hech kim uchun algoritm yo'q NP-tamomli masala polinom vaqtida
bajarilishi ma'lum. Biroq, ma'lum bo'lgan algoritmlar mavjud NP- agar kerak bo'lsa,
mulk bilan bog'liq to'liq muammolar P = NP, keyin algoritm polinom vaqtida
ishlarni qabul qilishda ishlaydi (garchi juda katta konstantalar bo'lsa ham,
algoritmni amaliy emas). Biroq, ushbu algoritmlar polinom vaqtiga to'g'ri kelmaydi,
chunki ularning rad etish holatlarida ishlash vaqti polinom emas. Quyidagi algoritm,
tufayli Levin (hech qanday ko'rsatmalarsiz), quyida shunday misol keltirilgan. Bu
to'g'ri qabul qiladi NP- to'liq til SUBSET-SUM. U polinom vaqtida SUBSETSUM-dagi kirishlarda ishlaydi va agar shunday bo'lsa P = NP:
9
// qabul qiladigan algoritm NP- to'liq til SUBSET-SUM. //// bu polinom vaqt
algoritmi va agar shunday bo'lsa P = NP.//// "Polinom-vaqt" degani, qachon polinom
vaqtida "ha" ni qaytarishini anglatadi // javob "ha" bo'lishi kerak va "yo'q" bo'lganda
abadiy ishlaydi. //// Kirish: S = cheklangan butun sonlar to'plami// Chiqish: agar "S"
ning biron bir to'plami 0 ga qo'shilsa "ha".// Aks holda natijasiz abadiy ishlaydi. //
Izoh: "Dastur raqami M" - tomonidan olingan dastur // ikkilikda M butun sonini
yozish, keyin// bu bitlar qatorini a deb hisoblasak // dastur. Mumkin bo'lgan har
qanday dastur bo'lishi mumkin // shu tarzda yaratilgan, ammo ko'pchilik hech narsa
qilmaydi // sintaksis xatolari tufayli. FOR K = 1 ... ∞ FOR M = 1 ... K dasturiy
ta'minot raqamini K qadamlar bilan S kirish bilan bajaring, agar dastur aniq
tamsayılar ro'yxatini chiqaradigan bo'lsa VA butun sonlar S VA butun sonlar 0 ga
OLADI "ha" va HALT
Agar va faqat P = NP, keyin bu an qabul qiladigan polinom-vaqt
algoritmi NP- to'liq til. "Qabul qilish" degani, u polinom vaqtida "ha" javobini
beradi, ammo javob "yo'q" bo'lganda (shuningdek, yarim algoritm).
Ushbu algoritm juda ham amaliy emas, hatto bo'lsa ham P = NP. Agar SUBSETSUM ni polinom vaqtida hal qila oladigan eng qisqa dastur bo'lsa b bit uzunlikda,
yuqoridagi algoritm hech bo'lmaganda sinab ko'radi 2b − 1 birinchi navbatda
boshqa dasturlar.
P = NP Muammoni mantiqiy bayonlarning aniq sinflari nuqtai nazaridan
qayta ishlash mumkin, chunki ishlash natijasida tavsiflovchi murakkablik.
Belgilangan cheklangan tuzilmalarning barcha tillarini ko'rib chiqing imzo shu
jumladan a chiziqli tartib munosabat. Keyin, bunday tillarning barchasi P bilan
ifodalanishi mumkin birinchi darajali mantiq tegishli kamida qo'shilishi bilan sobit
nuqtali kombinator. Effektiv ravishda, bu buyurtma bilan birgalikda rekursiv
funktsiyalarni aniqlashga imkon beradi. Imzo, aniq tartibli munosabatlarga
qo'shimcha ravishda kamida bitta predikat yoki funktsiyani o'z ichiga oladigan
bo'lsa, shuning uchun bunday cheklangan tuzilmalarni saqlash uchun bo'sh joy
miqdori aslida tarkibidagi elementlar sonida polinomga teng bo'lsa, bu aniq
10
tavsiflanadi P.
Xuddi
shunday, NP ekzistensial
jihatdan
ifodalanadigan
tillar
to'plamidir ikkinchi darajali mantiq - ya'ni ikkinchi darajali mantiqni istisno qilish
cheklangan universal miqdoriy miqdor munosabatlar, funktsiyalar va pastki
to'plamlar ustidan. Tilidagi tillar polinomlar ierarxiyasi, PH, ikkinchi darajali
barcha mantiqqa mos keladi. Shunday qilib, savol "bo'ladi P ning to'g'ri to'plami NP
"rezolyutsiya qilinishi mumkin" - ekzistensial ikkinchi darajali mantiq tillarni
tavsiflashga qodir (noan'anaviy imzo bilan cheklangan chiziqli tartiblangan
tuzilmalar), birinchi darajali mantiq minimal nuqtaga ega emasmi? "Ekzistensial"
so'zini hatto avvalgi tavsifdan olib tashlash mumkin, chunki P = NP agar va faqat
agar P = PH (birinchisi buni o'rnatganidek NP = hamkorlikdagi NP, bu o'z
navbatida shuni anglatadi NP = PH).
Shubhasiz, berilganmi yoki yo'qmi degan savol x a kompozit degan savolga
tengdir x COMPOSITE a'zosi. Bu KOMPOSITE shown ekanligini ko'rsatish
mumkin NP yuqoridagi ta'rifni qondirishini tekshirish orqali (agar biz tabiiy
sonlarni ularning ikkilik tasvirlari bilan aniqlasak).
KOMPOSITE ham bo'ladi P, ixtiro tomonidan ko'rsatilgan haqiqat AKS dastlabki
sinovi.
NP to'liqligi
Asosiy maqola: NP to'liqligi
Ta'riflashning ko'plab teng usullari mavjud NP- to'liqlik.
Ruxsat bering L cheklangan alifbo ustida til bo'ling Σ.
L bu NP- quyidagi ikkita shart bajarilgan taqdirda va bajarilgan taqdirda:
L ∈ NP; va
har qanday L ' yilda NP uchun polinom-vaqt qisqartirilishi mumkin L (sifatida
yozilgan), qaerda agar va faqat shu holda quyidagi ikkita shart bajarilsa:
U yerda mavjud f : Σ * → Σ * hamma uchun shunday w Σ * da bizda; va
u yerda to'xtaydigan polinom vaqtli Turing mashinasi mavjud f(w) har qanday
kirishda uning lentasida w.
11
Shu bilan bir qatorda, agar L ∈ NPva yana biri bor NPvaqtni polinomga
aylantirish mumkin bo'lgan to'liq muammo L, keyin L bu NP- to'liq. Bu yangi
muammolarni isbotlashning odatiy usuli NP- to'liq.
C++
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
class MyClass {
public:
int p;
string n;
};
int main() {
MyClass my;
my.p = 15;
my.n = "Some text";
cout << my.p << "\n";
cout << my.n;
return 0;
}
12
html
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<style>
.city {
background-color: tomato;
color: white;
border: 2px solid black;
margin: 20px;
padding: 20px;
}
</style>
</head>
<body
<div class="city">
<h2>London</h2>
<p>London is the capital of England.</p>
</div>
<div class="city">
<h2>Paris</h2>
<p>Paris is the capital of France.</p>
</div>
<div class="city">
<h2>Tokyo</h2>
<p>Tokyo is the capital of Japan.</p>
</div>
</body>
</html>
13
Java
public class Main {
int n = 15;
public static void main(String[] args) {
Main myObj = new Main();
System.out.println(myObj.n);
}
}
Python
14
class MyClass:
p = 125
p1 = MyClass()
print(p1.p)
Xulosa
Men bu mustaqil ishimda p va m sinflarni ko’rib chiqdim va misollar yordamida
amallarni bajarib ko’rdim P nima haqida ekanligini o’rgandim va misol orqali
yozdim. N ga ham yozdim va misollarni ko’rib chiqdim. P va N to’liq sinflar ko’rib
chiqdim ularga ham misollar yozdim. NP - tamomli masala polinom vaqtida
bajarilishi ma’lum. Biroq, ma’lum bo’lgan algoritmlar mavjud NP- agar kerak
bo’lsa, mulk bilan bog’liq to’liq muammolar P=NP, keyin algoritm polinom vaqtida
ishlarni qabul qilishda ishlashi ma’lum bo’ldi. P=NP muammoni mantiqiy
bayonlarning aniq sinflarni nuqtayi nazaridan qayta ishlash mumkin bo’ladi chunki
ishlash natijasida tavsiflovchi murakkablikga bog’liq bo’ladi
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. R. E. Ladner "On the structure of polynomial time reducibility," ACM jurnali 22,
pp. 151–171, 1975. Corollary 1.1. ACM site.
Fortnow, Lance (2013). The Golden Ticket: P, NP, and the Search for the
15
Impossible. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 9780691156491.
Kuk, Stiven (1971). "The complexity of theorem proving procedures". Proceedings
of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing. 151-158 betlar.
2. L. A. Levin (1973). "Универсальные задачи перебора" (rus tilida). 9 (3)
(Problems of Information Transmission ed.): 115–116.
3. Fortnov, Lans (2009). "The status of the P ga qarshi NP muammo "(PDF).ACM
aloqalari. 52 (9):78–
86. CiteSeerX 10.1.1.156.767. doi:10.1145/1562164.1562186.
Arxivlandi asl
nusxasi (PDF) 2011 yil 24 fevralda. Olingan 26 yanvar 2010.
4. NSA (2012). "Letters from John Nash" (PDF).
Juris. "Gödel,
Hartmanis,
" (PDF). Nazariy
kompyuter
von
Neumann,
fanlari
bo'yicha
and
the P = NP muammo
Evropa
assotsiatsiyasining
Axborotnomasi. 38: 101–107.
5. Sipser, Michael: Introduction to the Theory of Computation, Second Edition,
International Edition, page 270. Thomson Course Technology, 2006. Definition
7.19 and Theorem 7.20.
6. William
I.
Gasarch (Iyun
2002). " P=?NP poll" (PDF). SIGACT
yangiliklari.33(2):34–7. CiteSeerX 10.1.1.172.1005. doi:10.1145/564585.564599.
7. William I. Gasarch. "The Second P=?NP poll" (PDF). SIGACT yangiliklari. 74.
8. "Guest Column: The Third P =? NP Poll1" (PDF). Olingan 25 may 2020.
9. Scott Aaronson. "PHYS771 Lecture 6: P, NP, and Friends". Olingan 27
avgust 2007.
10. "MSc
course:
Foundations
of
Computer
Science". www.cs.ox.ac.uk.
Olingan 25 may 2020.
11. Colbourn, Charles J. (1984). "The complexity of completing partial Latin
squares". Diskret amaliy matematika. 8 (1): 25–30. doi:10.1016 / 0166-218X (84)
90075-1.
12. I. Holyer (1981). " NP-completeness of some edge-partition problems". SIAM
J. Comput. 10 (4): 713–717. doi:10.1137/0210054.
16
Foydanilgan saytlar:
1. https://fayllar.org/men-hissiyotlar-muammosi-men-muammo-bitta.html
2. https://arxiv.uz
3. https://uz.zahn-info-portal.de/wiki/P_versus_NP_problem
17