MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT
AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI FARG‘ONA
FILIALI
ALGORITMLARNI LOYIHALASH FANI BO’YICHA
P va NP sinflar, NP-to‘liq masalalalar tushunchasi
mavzusida tayyorlagan
MUSTAQIL ISHI
Guruh:
660-22
Tayyorladi:
Tangirberganova S.
Qabul qildi:
Xalilov D.
1
FARG‘ONA – 2024
2
MUNDARIJA
Kirish ………………………………..……………………….…………..……. 3
§1. P sinflar………….…………………………………………………....4
§2. NP sinflar………………………………………...……….…………..6
§3. NP-to’liq masalalar tushunchasi......................................…….............9
Xulosa……………………………………………………………………... ......12
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati……………………………………...……13
Eyler diagrammasi uchun P, NP, NP- to'liq va NP- qattiq muammolar
to'plami (tegishli bo'lgan bo'sh til va uning qo'shimchasi bundan mustasno) P lekin
yo'q NPto'liq)
Asosiy maqola: NP to'liqligi
Hujum qilish P = NP savol, tushunchasi NP- to'liqlik juda foydali. NP-tugallangan
masalalar - bu har birining oldiga qo'yadigan muammolar to'plamidir NPmuammo polinom vaqtida kamaytirilishi mumkin va uning yechimi hali ham
3
polinom vaqtida tasdiqlanishi mumkin. Ya'ni, har qanday NP muammoni har
qanday biriga aylantirish mumkin NP- to'liq muammolar. Norasmiy ravishda NPto'liq muammo NP hech bo'lmaganda boshqa har qanday muammo kabi "qattiq"
bo'lgan muammo NP.
NP-
qattiq
muammolar,
hech
bo'lmaganda
qiyin
bo'lgan
narsalar NP muammolar, ya'ni barchasi NP muammolarni ularga kamaytirish
mumkin (polinom vaqtida). NP- qattiq muammolar bo'lishi shart emas NP, ya'ni
ular polinom vaqtida tekshirilishi mumkin bo'lgan echimlarga ega bo'lishlari shart
emas.
Masalan,
Mantiqiy
ma'qullik
muammosi
bu
NPtomonidan
to'ldirilgan Kuk-Levin teoremasi, shuning uchun har qanday ning misoli har
qanday muammo NP mexanik ravishda polinom vaqtidagi mantiqiy to'yinganlik
muammosining misoliga aylantirilishi mumkin. Mantiqiy mantiqiylik muammosi
ana shunday muammolardan biridir NP- to'liq muammolar. Agar mavjud
bo'lsa NP- to'liq muammo P, keyin bunga ergashish kerak P = NP. Biroq, ko'plab
muhim muammolar ko'rsatildi NP to'liq va hech birining tezkor algoritmi ma'lum
emas.
Faqatgina ta'rifga asoslanib, bu aniq emas NP- to'liq muammolar mavjud;
ammo, ahamiyatsiz va o'ylab topilgan NP-tamomli masalani quyidagicha
shakllantirish mumkin: a tavsifi berilgan Turing mashinasi M polinom vaqtida
to'xtatilishi
kafolatlangan,
polinom
kattaligi
mavjudmi?
M
qabul
qilasizmi?[12] Bu ichida NP chunki (kirish berilgan) yoki yo'qligini tekshirish
oson M taqlid qilish orqali kirishni qabul qiladi M; bu NP- to'liq, chunki
muammoning har qanday aniq namunasi uchun tekshiruvchi NP polinom-vaqt
mashinasi sifatida kodlanishi mumkin M bu yechim kirish sifatida tekshirilishi
kerak. Keyin misol ha yoki yo'qligi masalasi haqiqiy kirish mavjudligi bilan
belgilanadi.
Birinchi tabiiy muammo NPSAT deb ham ataladigan mantiqiy qoniqish
muammosi to'liq edi. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, bu Kuk-Levin teoremasi;
4
uning qoniqarli ekanligining isboti NPKomplektda Turing mashinalari haqidagi
texnik ma'lumotlar mavjud, chunki ular ta'rifiga tegishli NP. Ammo, bu muammo
isbotlanganidan keyin NP- to'liq, kamaytirish orqali isbotlash ko'plab boshqa
muammolar ham borligini ko'rsatishning sodda usulini taqdim etdi NP- to'liq, shu
jumladan ilgari muhokama qilingan Sudoku o'yini. Bunday holda, dalil shuni
ko'rsatadiki, Sudoku polinom vaqtidagi echimini bajarish uchun ham foydalanish
mumkin Lotin kvadratlari polinom vaqtida. Bu o'z navbatida bo'linish
muammosiga echim beradi uch qismli grafikalar uchburchak shaklida, undan
keyin 3-SAT deb nomlanuvchi SAT maxsus ishi uchun echimlarni topish uchun
foydalanish mumkin, keyin bu mantiqiy umumiy qoniqish uchun echim beradi.
Shunday qilib, Sudoku uchun polinom vaqt echimi, bir qator mexanik
transformatsiyalar bilan, qoniquvchanlik polinom vaqt echimiga olib keladi, bu
esa o'z navbatida har qanday boshqa narsani hal qilish uchun ishlatilishi
mumkin NP- polinom vaqtidagi muammo. Bunday o'zgarishlardan foydalangan
holda, bir-biriga bog'liq bo'lmagan kabi ko'rinadigan muammolarning katta klassi
bir-biriga kamaytirilishi mumkin va ma'lum ma'noda "bir xil muammo" dir.
Garchi noma'lum bo'lsa-da P = NP, tashqaridagi muammolar P ma'lum.
Xuddi
sinf
kabi
P
polinomning
ish
vaqti,
klassi
bo'yicha
aniqlanadi MAQSAD mavjud bo'lgan barcha qarorlar to'plami eksponent ish vaqti.
Boshqacha qilib aytganda, har qanday muammo MAQSAD a tomonidan hal
etiladi deterministik Turing mashinasi yilda O (2p(n)) vaqt, qaerda p(n) ning
polinom
funktsiyasi
n.
Qaror
muammosi
MAQSAD-
to'liq
agar
u
bo'lsa MAQSADva har qanday muammo MAQSAD bor polinom-vaqtning ko'p
sonli kamayishi unga. Bir qator muammolar ma'lum MAQSAD- to'liq. Chunki
buni ko'rsatish mumkin P ≠ MAQSAD, bu muammolar tashqarida Pva shuning
uchun polinom vaqtidan ko'proq vaqt talab etiladi. Aslida, tomonidan vaqt
ierarxiyasi teoremasi, ularni eksponent vaqtdan sezilarli darajada kamroq hal qilish
mumkin emas. Bunga mukammal strategiyani topish kiradi shaxmat pozitsiyalar
an N × N taxta va boshqa stol o'yinlari uchun shunga o'xshash muammolar.
5
In bayonotining haqiqatini hal qilish muammosi Presburger arifmetikasi ko'proq
vaqt talab qiladi. Demak, muammo eksponentli ish vaqtidan ko'proq narsani talab
qilishi
ma'lum.
Bundan
ham
qiyinroq
hal
qilinmaydigan
muammolar kabi muammoni to'xtatish. Ularni biron bir algoritm bilan to'liq echib
bo'lmaydi, chunki ma'lum bir algoritm uchun hech bo'lmaganda bitta kirish
mavjud bo'lib, u uchun algoritm to'g'ri javob bermaydi; u noto'g'ri javob beradi,
aniq javob bermasdan tugatadi yoki umuman hech qanday javob bermasdan
abadiy ishlaydi.
Qaror bilan bog'liq muammolardan tashqari boshqa savollarni ham ko'rib
chiqish mumkin. Hisoblash masalalaridan iborat shunday sinflardan biri
deyiladi
#P:
holbuki
NP
muammo
"tegishli
echimlar
bormi?"
deb
so'raydi #P muammo "Qancha echim bor?" Shubhasiz, a #P muammo kamida mos
keladigan darajada qiyin bo'lishi kerak NP muammo, chunki echimlar soni darhol
noldan katta bo'lsa, kamida bitta echim borligini aytadi. Ajablanarlisi shundaki,
ba'zilari #P qiyin deb hisoblangan muammolar osonga to'g'ri keladi (masalan,
chiziqli vaqt) P muammolar. Ushbu muammolar uchun echimlar mavjudligini
aniqlash juda oson, ammo ularning sonini aytish juda qiyin deb o'ylardim. Ushbu
muammolarning aksariyati #P- to'liq va shuning uchun eng qiyin muammolar
qatoriga kiradi #P, chunki ularning birortasiga ko'p polinomli vaqt echimi
boshqalarga polinom vaqtini echishga imkon beradi #P muammolar.
1975-yilda, Richard E. Ladner buni ko'rsatdi P ≠ NP unda muammolar
mavjud NP ular yo'q P na NP- to'liq. Bunday muammolar deyiladi NP- oraliq
muammolar.
The
grafik
izomorfizm
muammosi,
diskret
logarifma
muammosi va butun sonni faktorizatsiya qilish muammosi ishonilgan muammolar
misollari NP- oraliq. Ular juda oz sonli kishilardir NP ma'lum bo'lmagan
muammolar P yoki bo'lish NP- to'liq.
Grafik izomorfizm muammosi - bu ikkita chekli yoki yo'qligini
aniqlashning hisoblash muammosi grafikalar bor izomorfik. Murakkablik
nazariyasida hal qilinmagan muhim muammo - bu grafik izomorfizm muammosi
6
mavjudmi P, NP- to'liq yoki NP- oraliq. Javob ma'lum emas, ammo muammo hech
bo'lmaganda emas deb ishoniladi NP- to'liq.[20] Agar grafik izomorfizm
bo'lsa
NP-
to'liq,
polinom
vaqt
ierarxiyasi
uning
ikkinchi
darajasiga
qulaydi.[21] Ko'p polinom iyerarxiyasi har qanday cheklangan darajaga tushmaydi
degan fikr keng tarqalganligi sababli, grafik izomorfizm emas NP- to'liq. Ushbu
muammo uchun eng yaxshi algoritm Laszlo Babai va Evgeniy Lyuks, ish vaqti 2O
(√n jurnal n) bilan grafikalar uchun n tepaliklar.
Eng yaxshi tanilgan kvant algoritmi ushbu muammo uchun, Shor algoritmi,
polinom vaqtida ishlaydi, ammo bu muammoning noaniqlarga nisbatan
qaerdaligini ko'rsatmaydi.kvant murakkabligi sinflari.
Grafada eng zamonaviy ixtisoslashtirilgan algoritm uchun yukxalta muammolari
uchun vaqt (o'rtacha 933 MGts Pentium III dan foydalangan holda 100 ta misol)
va muammolar hajmi ko'rsatilgan. Kvadratik moslik shuni ko'rsatadiki, 50–10,000
o'zgaruvchiga ega bo'lgan misollar uchun empirik algoritmik murakkablik O ((log
(n))2).
Yuqoridagi barcha munozaralar buni taxmin qildi P "oson" va "ichkarida
emas"
degan
ma'noni
anglatadi
P
qattiq
degan
ma'noni
anglatadi,
taxmin Kobxemning tezisi. Bu murakkablik nazariyasida keng tarqalgan va
oqilona to'g'ri taxmin; ammo, ba'zi ogohlantirishlarga ega.
Birinchidan, bu amalda har doim ham to'g'ri kelavermaydi. Nazariy polinom
7
algoritmi juda katta doimiy omillarga yoki ko'rsatkichlarga ega bo'lishi mumkin,
shuning uchun uni amaliy emas. Masalan, muammo hal qilish grafik
bo'ladimi G o'z ichiga oladi H kabi voyaga etmagan, qayerda H belgilangan vaqt
ichida hal qilinishi mumkin O(n2),[24] qayerda n - bu tepaliklar soni G.
Biroq, katta O yozuvlari superexponsional ravishda bog'liq bo'lgan doimiylikni
yashiradi H. Doimiy kattaroq (foydalanib Knutning yuqoriga qarab o'qi ) va
qaerda h - bu tepaliklar soni H.
Boshqa tomondan, muammo ko'rsatilsa ham NPto'liq va hatto bo'lsa
ham P ≠ NP, amalda muammoni hal qilishda hali ham samarali yondashuvlar
bo'lishi
mumkin.
Ko'pchilik
uchun
algoritmlar
mavjud
NPkabi
to'liq
muammolar xalta muammosi, sotuvchi muammosi va Mantiqiy ma'qullik
muammosi, bu maqbul vaqt ichida ko'plab real vaziyatlarni maqbullikka hal qilishi
mumkin. Ampirik o'rtacha holatdagi murakkablik (vaqt va muammo kattaligi)
bunday algoritmlarning hayratlanarli darajada past bo'lishi mumkin. Bunga
misol oddiy algoritm yilda chiziqli dasturlash, bu amalda hayratlanarli darajada
yaxshi ishlaydi; eksponentli eng yomon holatga ega bo'lishiga qaramay vaqtning
murakkabligi u eng yaxshi ma'lum bo'lgan polinom-vaqt algoritmlari bilan teng
ravishda ishlaydi.
Va nihoyat, Turing mashinasi modeliga mos kelmaydigan hisoblash turlari
mavjud P va NP kabi belgilanadi kvant hisoblash va tasodifiy algoritmlar.
Ovoz
berish
natijalariga
ko'ra
aksariyat
kompyuter
olimlari
bunga
ishonishadi P ≠ NP. Ushbu e'tiqodning asosiy sababi shundan iboratki, o'nlab
yillar davomida ushbu muammolarni o'rganib chiqqandan so'ng, hech kim ma'lum
bo'lmagan 3000 dan ortiq muhim uchun polinom vaqt algoritmini topa
olmadi. NP- to'liq muammolar (qarang Ro'yxati NP- to'liq muammolar ). Ushbu
algoritmlar kontseptsiyasidan ancha oldin qidirilgan NPto'liqlik hatto aniqlandi
(Karpning 21 NP- to'liq muammolar, birinchi topilganlar orasida, ularning
barchasini namoyish etish paytida taniqli mavjud bo'lgan muammolar mavjud
edi NP- to'liq). Bundan tashqari, natija P = NP kabi noto'g'ri deb hisoblangan
8
boshqa ko'plab hayratlanarli natijalarni nazarda tutadi NP = hamkorlikdagi
NP va P = PH.
Bundan tashqari, intuitiv ravishda ta'kidlanishicha, hal qilish qiyin bo'lgan,
ammo yechimini tekshirish oson bo'lgan muammolarning mavjudligi dunyo
tajribasiga mos keladi.
Agar P = NP, shunda dunyo biz taxmin qilganimizdan tubdan boshqacha joy
bo'lar edi. "Ijodiy sakrashlar" da alohida ahamiyatga ega bo'lmaydi, muammoni
hal qilish va echim topilgandan so'ng uni tan olish o'rtasida asosiy bo'shliq
bo'lmaydi.
— Skott Aaronson, UT Ostin
Boshqa tomondan, ba'zi tadqiqotchilar ishonishga haddan tashqari ishonch
bor deb hisoblashadi P ≠ NP va tadqiqotchilar buning dalillarini o'rganishlari
kerak P = NP shuningdek. Masalan, 2002 yilda quyidagi so'zlar qilingan:
Foydasiga asosiy argument P ≠ NP to'liq izlash sohasida tub yutuqlarning
umuman etishmasligi. Bu, mening fikrimcha, juda zaif dalil. Algoritmlarning
maydoni juda katta va biz uni tadqiq qilishning boshida turibmiz. [...] ning
qarori Fermaning so'nggi teoremasi juda oddiy savollarni faqat juda chuqur
nazariyalar hal qilishi mumkinligini ko'rsatadi.
— Moshe Y. Vardi, Rays universiteti
Spekulyatsiyaga
qo'shilish tadqiqotlarni
rejalashtirish
uchun
yaxshi
qo'llanma emas. Har doim har qanday muammoning ikkala yo'nalishini sinab
ko'rish kerak. Xurofot taniqli matematiklarning talab qilinadigan barcha usullarni
ishlab chiqqan bo'lishiga qaramay, ularning echimi kutganlariga qarama-qarshi
bo'lgan mashhur muammolarni hal qila olmasliklariga olib keldi.
— Anil Nerode, Kornell universiteti
Hech kim uchun algoritm yo'q NP-tamomli masala polinom vaqtida
bajarilishi ma'lum. Biroq, ma'lum bo'lgan algoritmlar mavjud NP- agar kerak
bo'lsa, mulk bilan bog'liq to'liq muammolar P = NP, keyin algoritm polinom
vaqtida ishlarni qabul qilishda ishlaydi (garchi juda katta konstantalar bo'lsa ham,
9
algoritmni amaliy emas). Biroq, ushbu algoritmlar polinom vaqtiga to'g'ri
kelmaydi, chunki ularning rad etish holatlarida ishlash vaqti polinom emas.
Quyidagi algoritm, tufayli Levin (hech qanday ko'rsatmalarsiz), quyida shunday
misol keltirilgan. Bu to'g'ri qabul qiladi NP- to'liq til SUBSET-SUM. U polinom
vaqtida SUBSET-SUM-dagi kirishlarda ishlaydi va agar shunday bo'lsa P = NP:
// qabul qiladigan algoritm NP- to'liq til SUBSET-SUM. //// bu polinom vaqt
algoritmi va agar shunday bo'lsa P = NP.//// "Polinom-vaqt" degani, qachon
polinom vaqtida "ha" ni qaytarishini anglatadi // javob "ha" bo'lishi kerak va
"yo'q" bo'lganda abadiy ishlaydi. //// Kirish: S = cheklangan butun sonlar
to'plami// Chiqish: agar "S" ning biron bir to'plami 0 ga qo'shilsa "ha".// Aks holda
natijasiz abadiy ishlaydi. // Izoh: "Dastur raqami M" - tomonidan olingan dastur //
ikkilikda M butun sonini yozish, keyin// bu bitlar qatorini a deb hisoblasak //
dastur. Mumkin bo'lgan har qanday dastur bo'lishi mumkin // shu tarzda yaratilgan,
ammo ko'pchilik hech narsa qilmaydi // sintaksis xatolari tufayli. FOR K = 1 ... ∞
FOR M = 1 ... K dasturiy ta'minot raqamini K qadamlar bilan S kirish bilan
bajaring, agar dastur aniq tamsayılar ro'yxatini chiqaradigan bo'lsa VA butun
sonlar S VA butun sonlar 0 ga OLADI "ha" va HALT
Agar va faqat P = NP, keyin bu an qabul qiladigan polinom-vaqt
algoritmi NP- to'liq til. "Qabul qilish" degani, u polinom vaqtida "ha" javobini
beradi, ammo javob "yo'q" bo'lganda (shuningdek, yarim algoritm).
Ushbu algoritm juda ham amaliy emas, hatto bo'lsa ham P = NP. Agar SUBSETSUM ni polinom vaqtida hal qila oladigan eng qisqa dastur bo'lsa b bit uzunlikda,
yuqoridagi algoritm hech bo'lmaganda sinab ko'radi 2b − 1 birinchi navbatda
boshqa dasturlar.
P = NP Muammoni mantiqiy bayonlarning aniq sinflari nuqtai nazaridan
qayta ishlash mumkin, chunki ishlash natijasida tavsiflovchi murakkablik.
Belgilangan cheklangan tuzilmalarning barcha tillarini ko'rib chiqing imzo shu
jumladan a chiziqli tartib munosabat. Keyin, bunday tillarning barchasi P bilan
ifodalanishi mumkin birinchi darajali mantiq tegishli kamida qo'shilishi bilan sobit
10
nuqtali kombinator. Effektiv ravishda, bu buyurtma bilan birgalikda rekursiv
funktsiyalarni aniqlashga imkon beradi. Imzo, aniq tartibli munosabatlarga
qo'shimcha ravishda kamida bitta predikat yoki funktsiyani o'z ichiga oladigan
bo'lsa, shuning uchun bunday cheklangan tuzilmalarni saqlash uchun bo'sh joy
miqdori aslida tarkibidagi elementlar sonida polinomga teng bo'lsa, bu aniq
tavsiflanadi P.
Xuddi
shunday,
NP
ekzistensial
jihatdan
ifodalanadigan
tillar
to'plamidir ikkinchi darajali mantiq - ya'ni ikkinchi darajali mantiqni istisno qilish
cheklangan universal miqdoriy miqdor munosabatlar, funktsiyalar va pastki
to'plamlar ustidan. Tilidagi tillar polinomlar ierarxiyasi, PH, ikkinchi darajali
barcha mantiqqa mos keladi. Shunday qilib, savol "bo'ladi P ning to'g'ri
to'plami NP "rezolyutsiya qilinishi mumkin" - ekzistensial ikkinchi darajali mantiq
tillarni tavsiflashga qodir (noan'anaviy imzo bilan cheklangan chiziqli tartiblangan
tuzilmalar), birinchi darajali mantiq minimal nuqtaga ega emasmi? "Ekzistensial"
so'zini hatto avvalgi tavsifdan olib tashlash mumkin, chunki P = NP agar va faqat
agar P = PH (birinchisi buni o'rnatganidek NP = hamkorlikdagi NP, bu o'z
navbatida shuni anglatadi NP = PH).
Shubhasiz, berilganmi yoki yo'qmi degan savol x a kompozit degan
savolga tengdir x COMPOSITE a'zosi. Bu KOMPOSITE shown ekanligini
ko'rsatish mumkin NP yuqoridagi ta'rifni qondirishini tekshirish orqali (agar biz
tabiiy sonlarni ularning ikkilik tasvirlari bilan aniqlasak).
KOMPOSITE ham bo'ladi P, ixtiro tomonidan ko'rsatilgan haqiqat AKS dastlabki
sinovi.
NP to'liqligi
Asosiy maqola: NP to'liqligi
Ta'riflashning ko'plab teng usullari mavjud NP- to'liqlik.
Ruxsat bering L cheklangan alifbo ustida til bo'ling Σ.
L bu NP- quyidagi ikkita shart bajarilgan taqdirda va bajarilgan taqdirda:
L ∈ NP; va
11
har qanday L ' yilda NP uchun polinom-vaqt qisqartirilishi mumkin L (sifatida
yozilgan), qaerda agar va faqat shu holda quyidagi ikkita shart bajarilsa:
U yerda mavjud f : Σ * → Σ * hamma uchun shunday w Σ * da bizda; va
u yerda to'xtaydigan polinom vaqtli Turing mashinasi mavjud f(w) har qanday
kirishda uning lentasida w.
Shu bilan bir qatorda, agar L ∈ NPva yana biri bor NPvaqtni polinomga
aylantirish mumkin bo'lgan to'liq muammo L, keyin L bu NP- to'liq. Bu yangi
muammolarni isbotlashning odatiy usuli NP- to'liq.
C++
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
class MyClass {
public:
int p;
string n;
};
int main() {
MyClass my;
my.p = 15;
my.n = "Some text";
cout << my.p << "\n";
cout << my.n;
return 0;
}
12
html
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<style>
.city {
background-color: tomato;
color: white;
border: 2px solid black;
margin: 20px;
padding: 20px;
}
</style>
</head>
<body
<div class="city">
<h2>London</h2>
<p>London is the capital of England.</p>
</div>
<div class="city">
13
<h2>Paris</h2>
<p>Paris is the capital of France.</p>
</div>
<div class="city">
<h2>Tokyo</h2>
<p>Tokyo is the capital of Japan.</p>
</div>
</body>
</html>
Java
public class Main {
int n = 15;
public static void main(String[] args) {
Main myObj = new Main();
System.out.println(myObj.n);
}
}
14
Python
class MyClass:
p = 125
p1 = MyClass()
print(p1.p)
Xulosa
Men bu mustaqil ishimda p va m sinflarni ko’rib chiqdim va misollar yordamida
amallarni bajarib ko’rdim P nima haqida ekanligini o’rgandim va misol orqali
yozdim. N ga ham yozdim va misollarni ko’rib chiqdim. P va N to’liq sinflar
ko’rib chiqdim ularga ham misollar yozdim. NP - tamomli masala polinom vaqtida
15
bajarilishi ma’lum. Biroq, ma’lum bo’lgan algoritmlar mavjud NP- agar kerak
bo’lsa, mulk bilan bog’liq to’liq muammolar P=NP, keyin algoritm polinom
vaqtida ishlarni qabul qilishda ishlashi ma’lum bo’ldi. P=NP muammoni mantiqiy
bayonlarning aniq sinflarni nuqtayi nazaridan qayta ishlash mumkin bo’ladi
chunki ishlash natijasida tavsiflovchi murakkablikga bog’liq bo’ladi
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. R. E. Ladner "On the structure of polynomial time reducibility," ACM
jurnali 22, pp. 151–171, 1975. Corollary 1.1. ACM site.
Fortnow, Lance (2013). The Golden Ticket: P, NP, and the Search for the
Impossible. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 9780691156491.
Kuk,
Stiven
(1971).
"The
complexity
of
theorem
proving
procedures". Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of
Computing. 151-158 betlar.
2. L. A. Levin (1973). "Универсальные задачи перебора" (rus tilida). 9 (3)
(Problems of Information Transmission ed.): 115–116.
3. Fortnov, Lans (2009). "The status of the P ga qarshi NP muammo "(PDF).ACM
aloqalari. 52 (9):78–86. CiteSeerX 10.1.1.156.767. doi:10.1145/1562164.1562186.
Arxivlandi asl nusxasi (PDF) 2011 yil 24 fevralda. Olingan 26 yanvar 2010.
4. NSA (2012). "Letters from John Nash" (PDF).
Hartmanis, Juris. "Gödel, von Neumann, and the P = NP muammo
" (PDF). Nazariy kompyuter fanlari bo'yicha Evropa assotsiatsiyasining
Axborotnomasi. 38: 101–107.
5. Sipser, Michael: Introduction to the Theory of Computation, Second Edition,
International Edition, page 270. Thomson Course Technology, 2006. Definition
7.19 and Theorem 7.20.
6. William I. Gasarch (Iyun 2002). " P=?NP poll" (PDF). SIGACT
yangiliklari.33(2):34–7. CiteSeerX 10.1.1.172.1005. doi:10.1145/564585.564599.
16
7. William I. Gasarch. "The Second P=?NP poll" (PDF). SIGACT yangiliklari. 74.
8. "Guest Column: The Third P =? NP Poll1" (PDF). Olingan 25 may 2020.
9. Scott Aaronson. "PHYS771 Lecture 6: P, NP, and Friends". Olingan 27
avgust 2007.
10. "MSc course: Foundations of Computer Science". www.cs.ox.ac.uk.
Olingan 25 may 2020.
11. Colbourn, Charles J. (1984). "The complexity of completing partial Latin
squares". Diskret amaliy matematika. 8 (1): 25–30. doi:10.1016 / 0166-218X (84)
90075-1.
12. I. Holyer (1981). " NP-completeness of some edge-partition problems". SIAM
J. Comput. 10 (4): 713–717. doi:10.1137/0210054.
Foydanilgan saytlar:
1. https://fayllar.org/men-hissiyotlar-muammosi-men-muammo-bitta.html
2. https://arxiv.uz
3. https://uz.zahn-info-portal.de/wiki/P_versus_NP_problem
17