Цилиндр және оның элементтері. Цилиндрдің жазбасы, бүйір және толық бетінің
аудандары.
«Цилиндр» сөзі гректің kylindros сөзінен алынған, ол «валик»-«оқтау» мағынасын
білдіреді. Біз цилиндрді айналу денесі ретінде қарастыратынымыз тақырыптың аталуынан-ақ
байқалып тұр.
Тіктөртбұрышты оның бір қабырғасын қамтитын
1)
осьтен айналдыру арқылы цилиндрді алуға болады.
2)
134.1-суретте F тіктөртбұрышы және оның бір
қабырғасын қамтитын l осі берілген.
Егер осы F тіктөртбұрышын l
осінен
айналдырсақ, онда біз айналу денесі (фигурасы)цилиндрді аламыз (134.2-сурет).
Анықтама. Цилиндр деп тіктөртбұрышты оның
қабырғаларының бірінен айналдырғанда шығатын
134-сурет
фигураны (денені) атайды.
Бізді қоршаған ортада, тұрмыста цилиндр пішіндес заттар, объектілер жиі кездеседі:
металдан жасалған бөшкелер, консерві банкалары, хоккейдің шайбасы және т. б.
135-суретте АОО1В тіктөртбұрышын оның ОО1, қабырғасын
қамтитын l осінен айналдырғанда шыққан цилиндр бейнеленген.
АОО1B тіктөртбұрышының ОО1 осіне параллель АВ қабырғасы
цилиндрдің бүйір беті деп аталатын қисық бетті жасайды және ол
цилиндрдің жасаушысы деп аталады. АО және
O1B кесінділерінің
айналуынан цилиндрдің табандары деп аталатын өзара тең екі дөңгелек
аламыз. Сонымен, цилиндрдің беті цилиндрдің табандары
135-сурет
деп аталатын екі дөңгелектен және цилиндрдің бүйір
бетінен тұрады.
Жасаушының ұзындығы цилиндрге биіктік болып табылады. Ол
табан жазықтықтарының арақашықтығына, яғни ОО1 кесіндісінің
ұзындығына тең.
136- сурет
Егер цилиндрдің жасаушысы оның табанына перпендикуляр, яғни
цилиндрдің биіктігіне тең болса, онда цилиндр тік дөңгелек цилиндр деп аталады.
Дегенмен геометрияда және бізді қоршаған ортада цилиндрдің басқа түрлері де
кездеседі (136-сурет).
1)
Цилиндрдің қимасы
Цилиндрдің
жазықтықтармен
әр
түрлі
қималарын қарастырайық.
Цилиндрдің жазықтықпен қимасы деп жалғыз
нүктеден, цилиндрдің жасаушысынан немесе табанынан
өзгеше фигураны, яғни аталғандардан өзге цилиндр мен
2)
жазықтықтың ортақ бөлігін атайды.
137- сурет
Қиманы цилиндрдің осі арқылы жүргізуге
болады (137-сурет). Мұндай қималар остік қималар деп аталады.
Остік қиманың қабырғалары табандарының диаметрлерінен және
екі жасаушыдан тұрады.
138.1-суреттегі АА 1 В 1 В және CC1
D1D
қималары-остік қималар.
138- сурет
Егер цилиндрдің остік қимасы квадрат болса,
ондай цилиндр теңқабырғалы деп аталады.
Қиманы цилиндрдің осіне параллель жүргізуге болады (138.2сурет). Суретте ММ 1 К 1 К қимасы ОО 1 осіне параллель өтіп тұр. Бұл
қима цилиндр мен екі жасаушыдан өтетін жазықтықтың қиылысуынан
139- сурет
алынып тұр.
Цилиндрді оның осіне перпендикуляр жазықтығымен қиюға да болады (139-сурет).
Егер цилиндрдің бүйір бетін оның табандарын қимайтын және цилиндр осіне
перпендикуляр емес жазықтығымен қисақ, онда
1)
2)
қимада эллипс аламыз.
(140.1-сурет).
Су
құйылған
стақанды
еңкейткенде,
су
бетінің
қабылдайтын эллипс пішіні
қарастырылып
отырған
қимаға көрнекті мысал
болады (140.2-сурет).
141-сурет
Цилиндрдің
140-сурет
жасаушысы арқылы өтетін және онымен басқа
ортақ нүктелері жоқ жазықтық цилиндрге жанама жазықтық деп аталады (141-сурет).
Цилиндрдің жазбасы мен бетінің ауданы
Егер цилиндрдің бетін табан шеңберлері бойымен және қайсыбір
жасаушысының бойымен қиып алып жазып жіберсек, цилиндрдің
жазбасын
аламыз
(142-сурет).
Цилиндр
бетінің
жазбасы
тіктөртбұрыштан және өзара тең екі дөңгелектен тұрады.
Егер цилиндрдің радиусы R, ал биіктігі H болса, онда оның бүйір
беті қабырғаларының ұзындығы 2 мен Н болатын тіктөртбұрышқа
жазылады. Осы жазбаның ауданы 2
цилиндрдің бүйір бетінің
ауданы ретінде алынады.
Сонымен, біз мына теореманы дәлелдедік.
Теорема.Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы табан шеңберінің
ұзындығын оның биіктігіне көбейткенге тең, яғни
142-сурет
Цилиндрдің толық бетінің ауданын
бетінің ауданына табандарының аудандарын қосу керек:
немесе
табу үшін оның бүйір
Тапсырмалар:
1. Цилиндрдің осьтік қимасы - квадрат. Оның ауданы 196см2-ге тең. Цилиндрдің
табанының ауданын табыңдар.
2. Цилиндрдің радиусы 6см, осьтік қимасының диагоналі 13см. а) Цилиндрдің
биіктігін; ә) осьтік қимасының ауданын; б) бүйір бетінінң ауданын; в) цилиндрдің толық
бетінің ауданын табыңдар.
3. Тіктөртбұрыштың қабырғалары 4см және 5см. Тіктөртбұрыштың кіші
қабырғасынан айналғанда шыққан дененің толық бетінің ауданын табыңдар.
4. Цилиндрдің ауданы және бүйір бетінің ауданы сәйкесінше 50см2 және 30см2.
Цилиндрдің радиусы мен биіктігін табыңдар.