GIẢI TÍCH II
§5: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC
THAM SỐ
Pham Thanh Tung-3I-SEE
1
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Bùi Xuân Diệu, Bài giảng Giải tích II
[2] Nguyễn Đức Trung, Bài giảng Toán cao cấp A3 - Giải tích 2
[3] Trần Bình, Bài tập giải sẵn Giải tích II, NXB Khoa học và Kỹ thuật
[4] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Trần Việt Dũng, Trần Xuân Hiển,
Nguyễn Xuân Thảo, Toán học cao cấp tập 2: Giải tích, NXB Giáo dục
VN, 2015.
[5] James Stewart, Complete Solutions Manual for Multivariable
Calculus, Seven edition
[6] Đề cương và bài tập tham khảo – Giải tích 2, ĐH Bách khoa Hà Nội
http://sami.hust.edu.vn/de-cuong/page/2/
[7] Đề thi Giải tích II các kỳ trước Đại học Bách khoa Hà Nội
Pham Thanh Tung-3I-SEE
2
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
IV. Tích phân Euler
Pham Thanh Tung-3I-SEE
3
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
1. Khái niệm
2. Tính chất
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
IV. Tích phân Euler
Pham Thanh Tung-3I-SEE
4
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
1. Khái niệm
2. Tính chất
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
IV. Tích phân Euler
Pham Thanh Tung-3I-SEE
5
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
1. Khái niệm
• Giả sử hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 xác định trên miền 𝑎, 𝑏 × 𝛼, 𝛽 (hay 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
và 𝑦 ∈ 𝛼, 𝛽 ) với 𝑎, 𝑏 ⊆ ℝ, 𝛼, 𝛽 ⊆ ℝ. Khi đó cố định biến 𝑦 (coi 𝑦 là
tham số), hàm 𝑓 khả tích theo 𝑥 (hiểu “nôm na” là tồn tại nguyên hàm
của hàm 𝑓 đối với biến 𝑥) thì tích phân:
𝑏
𝐼 𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑎
là một hàm số theo biến 𝑦, gọi là tích phân phụ thuộc tham số với tham
số 𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
6
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
1. Khái niệm
2. Tính chất
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
IV. Tích phân Euler
Pham Thanh Tung-3I-SEE
7
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
2. Tính chất
➢ Tính liên tục:
• Nếu 𝑓 𝑥, 𝑦 là hàm số liên tục trên 𝑎, 𝑏 × 𝛼, 𝛽 thì 𝐼 𝑦 là hàm số liên
tục trên 𝛼, 𝛽 . Ta có:
𝑏
lim 𝐼 𝑦 = 𝐼 𝑦0
𝑦→𝑦0
⇔
𝑏
lim න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥, 𝑦0 𝑑𝑥
𝑦→𝑦0
𝑎
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
8
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
2. Tính chất: Tính liên tục
➢ Dạng bài tập: Tính giới hạn của tích phân phụ thuộc tham số:
𝑏
• Bài toán: Tính giới hạn sau: lim න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑦→𝑦0
𝑎
• Phương pháp giải:
✓ B1: Chọn một khoảng bất kì 𝛼, 𝛽 ⊆ ℝ có chứa điểm 𝑦 = 𝑦0 mà hàm
số 𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục với 𝑦 ∈ 𝛼, 𝛽 , 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ⇒ 𝐼 𝑦 liên tục trên 𝛼, 𝛽
𝑏
𝑏
✓ B2: Áp dụng công thức lim න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥, 𝑦0 𝑑𝑥
𝑦→𝑦0
𝑎
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
9
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
1
Bài 1: Tính giới hạn sau: lim න 𝑥 3 + 𝑦 3 𝑑𝑥
𝑦→0
Phân tích:
0
• Chọn 𝑦 ∈ 𝛼, 𝛽 sao cho thỏa mãn điều kiện xác định của hàm 𝑓 𝑥, 𝑦
• Hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥 3 + 𝑦 3 ⇒ ĐKXĐ: 𝑥 3 + 𝑦 3 ≥ 0
• Với 𝑥 ∈ 0,1 ⇒ 0 ≤ 𝑥 3 ≤ 1 ⇒ 𝑦 3 ≤ 𝑥 3 + 𝑦 3 ≤ 1 + 𝑦 3
• Để thỏa mãn điều kiện: 𝑥 3 + 𝑦 3 ≥ 0 ⇔ 𝑦 3 ≥ 0 ⇔ 𝑦 ≥ 0
⇒ Chọn 𝛼, 𝛽 = 0,1 chứa 𝑦 = 0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
10
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
1
Bài 1: Tính giới hạn sau: lim න 𝑥 3 + 𝑦 3 𝑑𝑥
𝑦→0
0
Giải:
• Ta có: 𝑓 =
𝑥 3 + 𝑦 3 liên tục trên 0,1 × 0,1
1
⇒ 𝐼 𝑦 = න 𝑥 3 + 𝑦 3 𝑑𝑥 liên tục trên 0,1
0
1
1
5 1
2
2
3
3
3
⇒ lim න 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 = 𝐼 0 = න 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 ቮ =
𝑦→0
5
5
0
0
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
11
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
1
𝑥 2015 cos 𝑥𝑦
Bài 2: Tính giới hạn sau: lim න
𝑑𝑥
2
2
𝑦→0
1+𝑥 +𝑦
−1
Giải:
𝑥 2015 cos 𝑥𝑦
liên tục trên −1,1 × ℝ
• Ta có: 𝑓 𝑥, 𝑦 =
2
2
1+𝑥 +𝑦
1
𝑥 2015 cos 𝑥𝑦
⇒𝐼 𝑦 = න
𝑑𝑥 liên tục trên ℝ
2
2
1+𝑥 +𝑦
−1
1
1
−1
−1
𝑥 2015 cos 𝑥𝑦
𝑥 2015
2
⇒ lim න
𝑑𝑥 = 𝐼 0 = න
𝑑𝑥 =
2
2
2
𝑦→0
1+𝑥 +𝑦
1+𝑥
3
Pham Thanh Tung-3I-SEE
12
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
2. Tính chất
➢ Tính khả vi:
• Với mỗi 𝑦 ∈ 𝛼, 𝛽 , 𝑓 𝑥, 𝑦 là hàm số liên tục theo 𝑥 trên 𝑎, 𝑏 và
𝑓 ′ 𝑦 𝑥, 𝑦 là hàm liên tục trên 𝑎, 𝑏 × 𝛼, 𝛽 thì 𝐼 𝑦 là hàm khả vi trên
𝛼, 𝛽 . Ta có:
𝑏
𝐼′ 𝑦 = න 𝑓 ′ 𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑎
• Hay nói cách khác chúng ta có thể đưa dấu đạo hàm vào trong tích
phân.
Pham Thanh Tung-3I-SEE
13
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
2. Tính chất
➢ Dạng bài tập: Tính đạo hàm của tích phân xác định phụ thuộc tham số
tại 𝑦 = 𝑦0
𝑏
• Bài toán: Cho 𝐼 𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 → Tính 𝐼′ 𝑦0
𝑎
• Phương pháp giải:
✓ B1: Chọn một miền 𝑎, 𝑏 × 𝛼, 𝛽 thỏa mãn điều kiện 𝐼 𝑦 khả vi trên
𝛼, 𝛽 và 𝑦0 ∈ 𝛼, 𝛽
𝑏
✓ B2: Áp dụng công thức
𝐼′ 𝑦 = න 𝑓 ′ 𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
14
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
Bài 1: Cho 𝐼 𝑦 = න ln 𝑦 2 sin2 𝑥 + cos2 𝑥 𝑑𝑥 . Tính 𝐼′ 1
Phân Tích:
0
• Chọn 𝛼, 𝛽 sao cho 𝑦 = 1 ∈ 𝛼, 𝛽 và không để miền 𝛼, 𝛽 chứa điểm
𝑦 = 𝑦0 làm cho hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 bị gián đoạn.
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑦 2 sin2 𝑥 + cos2 𝑥 bị gián đoạn tại 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝜋/2
⇒ Tránh để điểm 𝑦 = 0 nằm trong 𝛼, 𝛽
⇒ Chọn một cách bất kì khoảng 1,2 chứa 𝑦 = 1
Pham Thanh Tung-3I-SEE
15
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
Bài 1: Cho 𝐼 𝑦 = න ln 𝑦 2 sin2 𝑥 + cos2 𝑥 𝑑𝑥 . Tính 𝐼′ 1
Giải:
0
2
2𝑦
sin
𝑥
′
2
2
2
• Đặt 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑦 sin 𝑥 + cos 𝑥 ⇒ 𝑓𝑦 = 2 2
𝑦 sin 𝑥 + cos2 𝑥
Với mỗi 𝑦 ∈ 1,2 , 𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục theo 𝑥 trên 0, 𝜋/2
𝑓𝑦′ liên tục trên 0, 𝜋/2 × 1,2
𝐼 𝑦 khả vi trên 1,2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
16
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
Bài 1: Cho 𝐼 𝑦 = න ln 𝑦 2 sin2 𝑥 + cos2 𝑥 𝑑𝑥 . Tính 𝐼′ 1
0
Giải: (Tiếp)
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
0
0
0
2𝑥
2
sin
𝜋
′
′
2
⇒ 𝐼 1 = න 𝑓𝑦 𝑥, 1 𝑑𝑥 = න 2
𝑑𝑥 = න 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 =
2
sin 𝑥 + cos 𝑥
2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
17
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
2. Tính chất: Tính khả vi
➢ Dạng bài tập: Tính tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝑏
• Bài toán: Tính 𝐼 𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑎
• Phương pháp giải:
✓ B1: Kiểm tra điều kiện khả vi của 𝐼 𝑦
✓ B2: Tính 𝐼′ 𝑦 theo công thức đưa dấu đạo hàm vào trong tích phân
✓ B3: Khôi phục 𝐼 𝑦 = න 𝐼′ 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐹 𝑦 + 𝐶
✓ B4: Tính một giá trị cụ thể 𝐼 𝑦0 để tìm ra hằng số 𝐶 (thường tính 𝐼 0 ).
Pham Thanh Tung-3I-SEE
18
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
Bài 1: Tính න ln 1 + 𝑦 sin2 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑦 > 1
0
Giải:
Đặt 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 1 + 𝑦 sin2 𝑥 ⇒ 𝑓𝑦′ =
sin2 𝑥
1 + 𝑦 sin2 𝑥
Với mỗi 𝑦 > 1, 𝑓 𝑥, 𝑦 là hàm số liên tục với 𝑥 trên 0, 𝜋/2
2𝑥
sin
liên tục trên 0, 𝜋/2 × 1, +∞
𝑓𝑦′ =
2
1 + 𝑦 sin 𝑥
𝜋
2
⇒ 𝐼 𝑦 = න ln 1 + 𝑦 sin2 𝑥 𝑑𝑥 liên tục trên 0, 𝜋/2 × 1, +∞
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
19
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
Bài 1: Tính න ln 1 + 𝑦 sin2 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑦 > 1
Giải: (Tiếp)
0
𝜋
2
𝜋
2
2𝑥
sin
1
′
⇒𝐼 𝑦 =න
𝑑𝑥 = න
𝑑𝑥
2
1
1 + 𝑦 sin 𝑥
0
0 𝑦 + sin2 𝑥
1
2
Đặt 𝑡 = tan 𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑥
=
1
+
tan
𝑥 𝑑𝑥
2
cos 𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑡
⇒ 𝑑𝑥 =
=
2
1 + tan 𝑥 1 + 𝑡 2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
20
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
Bài 1: Tính න ln 1 + 𝑦 sin2 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑦 > 1
Giải: (Tiếp)
𝜋
2
′
𝐼 𝑦 =න
0
+∞
1
1
0 𝑦 + sin2 𝑥
+∞
1
1
𝑑𝑡
𝑑𝑥 = න
𝑦 + 1 + cot 2 𝑥 1 + 𝑡 2
0
+∞
𝑑𝑡
1
𝑑𝑡
=න
=න
2
1
1 1 + 𝑡2
1
+
𝑡
0 𝑦 + 1 + tan2 𝑥
0 𝑦 + 1 + 𝑡2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
21
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
Bài 1: Tính න ln 1 + 𝑦 sin2 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑦 > 1
Giải: (Tiếp)
0
+∞
+∞
2
𝑑𝑡
𝑡
𝑑𝑡
′
𝐼 𝑦 =⋯=න
=න
2
2 + 𝑦𝑡 2 1 + 𝑡 2
1 1+𝑡
1
+
𝑡
0 𝑦 + 1 + 𝑡2
0
1
+∞
1
1
1
= න 2
−
𝑑𝑡
2
𝑦
𝑡 +1 1+ 1+𝑦 𝑡
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
22
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
Bài 1: Tính න ln 1 + 𝑦 sin2 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑦 > 1
Giải: (Tiếp)
0
+∞
+∞
0
0
2
1
1
1
𝑡
𝑑𝑡
′
𝐼 𝑦 =⋯= න 2
−
𝑑𝑡 = න
2
𝑦
𝑡 +1 1+ 1+𝑦 𝑡
1 + 𝑡 2 + 𝑦𝑡 2 1 + 𝑡 2
+∞
+∞
1
1
= arctan 𝑡 ቮ
−
arctan 𝑡 𝑦 + 1 ቮ
𝑦
𝑦+1
0
0
𝜋
1
𝜋
1
=
1−
=
∙
2𝑦
1+𝑦
2 1+𝑦 1+ 1+𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
23
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
Bài 1: Tính න ln 1 + 𝑦 sin2 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑦 > 1
Giải: (Tiếp)
⇒𝐼 𝑦
0
= න 𝐼′ 𝑦 𝑑𝑦
=𝜋න
=𝜋න
1
1+ 1+𝑦
𝑑
1
∙
1
2 1+𝑦 1+ 1+𝑦
𝑑𝑦
1 + 𝑦 = 𝜋 ln 1 + 1 + 𝑦 + 𝐶
Pham Thanh Tung-3I-SEE
24
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
Bài 1: Tính න ln 1 + 𝑦 sin2 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑦 > 1
Giải: (Tiếp)
0
𝜋
2
𝐼 0 = න ln 1 + 0 sin2 𝑥 𝑑𝑥 = 0 ⇒ 𝜋 ln 1 + 1 + 0 + 𝐶 = 0
0
⇒ 𝐶 = −𝜋 ln 2
Vậy 𝐼 𝑦 = 𝜋 ln 1 + 1 + 𝑦 − 𝜋 ln 2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
25
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
1 + 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑥
Bài 2: Tính 𝐼 𝑦 = න ln
∙
−1 < 𝑦 < 1
1 − 𝑦 cos 𝑥 cos 𝑥
0
Giải:
1 + 𝑦 cos 𝑥
1
Đặt 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln
∙
1 − 𝑦 cos 𝑥 cos 𝑥
Nhận xét: Với mỗi −1 < 𝑦 < 1 thì 𝑓 𝑥, 𝑦 không xác định tại 𝑥 = 𝜋/2
Tuy nhiên, 𝑥 = 𝜋/2 là điểm gián đoạn bỏ qua được của 𝑓 𝑥, 𝑦 theo biến
𝑥
Vậy 𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục với biến 𝑥 tại 𝑥 = 𝜋/2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
26
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
1 + 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑥
Bài 2: Tính 𝐼 𝑦 = න ln
∙
−1 < 𝑦 < 1
1 − 𝑦 cos 𝑥 cos 𝑥
0
Giải: (Tiếp)
Với mỗi −1 < 𝑦 < 1, 𝑓 𝑥, 𝑦 là hàm số liên tục với biến 𝑥 trên 0, 𝜋/2
𝑓𝑦′ =
2
liên tục trên 0, 𝜋/2 × −1,1
2
2
1 − 𝑦 cos 𝑥
𝜋
2
1 + 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑥
là hàm số khả vi trên −1,1
⇒ 𝐼 𝑦 = න ln
∙
1 − 𝑦 cos 𝑥 cos 𝑥
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
27
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
1 + 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑥
Bài 2: Tính 𝐼 𝑦 = න ln
∙
−1 < 𝑦 < 1
1 − 𝑦 cos 𝑥 cos 𝑥
0
Giải: (Tiếp)
𝜋
2
𝜋
2
2
2
𝑑𝑥
𝐼 𝑦 =න
𝑑𝑥 = න
2
2
1
1 − 𝑦 cos 𝑥
2
0 1 − 𝑦 ∙ 1 + tan2 𝑥
0
1
Đặt 𝑡 = tan 𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑥
2
cos 𝑥
1
1
2
⇒ 𝑑𝑥 = cos 𝑥 𝑑𝑡 =
𝑑𝑡 =
𝑑𝑡
2
2
1 + tan 𝑥
1+𝑡
′
Pham Thanh Tung-3I-SEE
28
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
1 + 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑥
Bài 2: Tính 𝐼 𝑦 = න ln
∙
−1 < 𝑦 < 1
1 − 𝑦 cos 𝑥 cos 𝑥
0
Giải: (Tiếp)
𝜋
2
2
𝐼 𝑦 =න
0
1 − 𝑦2 ∙
+∞
1
1 + tan2 𝑥
2
=න
𝑑𝑡 =
2
2
1−𝑦 +𝑡
0
+∞
𝑑𝑥 = න
0
2
1 − 𝑦2
2
1 − 𝑦2.
1
1 + 𝑡2
1
.
𝑑𝑡
2
1+𝑡
+∞
arctan 𝑡 ቮ
=
0
𝜋
1 − 𝑦2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
29
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝜋
2
1 + 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑥
Bài 2: Tính 𝐼 𝑦 = න ln
∙
−1 < 𝑦 < 1
1 − 𝑦 cos 𝑥 cos 𝑥
0
Giải: (Tiếp)
⇒𝐼 𝑦
= න 𝐼′ 𝑦 𝑑𝑦 = න
𝜋
1 − 𝑦2
𝜋
2
𝜋
2
0
0
𝑑𝑦 = 𝜋 arcsin 𝑦 + 𝐶
1 + 0. cos 𝑥 𝑑𝑥
𝐼 0 = න ln
∙
= න 0. 𝑑𝑥 = 0 ⇒ 𝜋 arcsin 0 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝐶 = 0
1 − 0. cos 𝑥 cos 𝑥
Vậy 𝐼 𝑦 = 𝜋 arcsin 𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
30
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
2. Tính chất
➢ Tính khả tích:
• Nếu 𝑓 𝑥, 𝑦 là hàm số liên tục trên 𝑎, 𝑏 × 𝛼, 𝛽 thì 𝐼 𝑦 là hàm số khả
tích trên 𝛼, 𝛽
𝛽
𝛽
𝑏
𝑏
𝛽
න 𝐼 𝑦 𝑑𝑦 = න න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = න න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝛼
𝛼
𝑎
𝑎
𝛼
• Hay nói cách khác chúng ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân.
Pham Thanh Tung-3I-SEE
31
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
2. Tính chất: Tính khả tích
➢ Dạng bài tập: Tính tích phân xác định phụ thuộc tham số
𝑏
𝑏
• Bài toán: Tính 𝐼 𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = න 𝐹 𝑥, 𝛼, 𝛽 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
32
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
2. Tính chất: Tính khả tích
➢ Dạng bài tập: Tính tích phân xác định phụ thuộc tham số
• Phương pháp giải:
✓ B1: Biểu diễn 𝐹 𝑥, 𝛼, 𝛽 = 𝐹 𝑥, 𝛽 − 𝐹 𝑥, 𝛽 dưới dạng tích phân
phụ thuộc tham số thông qua công thức
𝛽
𝛽
𝐹 𝑥, 𝛽 − 𝐹 𝑥, 𝛽 = න 𝐹𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
𝛼
𝛼
✓ B2: Sử dụng công thức đổi thứ tự lấy tích phân để tính toán
✓ B3: Kiểm tra điều kiện thay đổi thứ tự lấy tích phân
Pham Thanh Tung-3I-SEE
33
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
1
𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
Bài tập: Tính න
𝑑𝑥 𝑏 > 𝑎 > 0
ln 𝑥
0
Giải:
𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
ln 𝑥
1
𝑏
𝑏
= 𝐹 𝑥, 𝑎 − 𝐹 𝑥, 𝑏 = න 𝐹𝑦′ 𝑑𝑦 = න 𝑥 𝑦 𝑑𝑦
1
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
1
𝑏
𝑦+1 1
𝑥 −𝑥
𝑥
න
𝑑𝑥 = න න 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = න න 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = න
ቮ
ln 𝑥
𝑦+1
0
0
0
𝑎
𝑎
𝑎
0
𝑏
𝑎
𝑑𝑦
𝑏
1
𝑏+1
=න
𝑑𝑦 = ln
𝑦+1
𝑎+1
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
34
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
1
𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
Bài tập: Tính න
𝑑𝑥 𝑏 > 𝑎 > 0
ln 𝑥
0
Giải: (Tiếp)
Kiểm tra điều kiện
Ta có: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 liên tục trên 0,1 × (0; +∞)
⇒ Thỏa mãn điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân.
Pham Thanh Tung-3I-SEE
35
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
1. Khái niệm
2. Tính chất
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
IV. Tích phân Euler
Pham Thanh Tung-3I-SEE
36
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
1. Khái niệm
2. Tính chất
III. Tích phân mặt suy rộng phụ thuộc tham số
IV. Tích phân Euler
Pham Thanh Tung-3I-SEE
37
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
1. Khái niệm
• Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi là tích phân có dạng
𝑦2 𝑦
𝐼 𝑦 =
න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 với 𝑦 ∈ 𝛼, 𝛽
𝑦1 𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
38
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
1. Khái niệm
2. Tính chất
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
IV. Tích phân Euler
Pham Thanh Tung-3I-SEE
39
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
2. Tính chất
➢ Tính liên tục
• Giả sử hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục trên 𝑎, 𝑏 × 𝛼; 𝛽 , 𝑦1 𝑦 và 𝑦2 𝑦 liên
tục trên 𝛼, 𝛽 . Khi đó, 𝐼 𝑦 liên tục trên 𝛼, 𝛽
• Nếu 𝐼 𝑦 liên tục trên 𝛼, 𝛽 , với 𝑦 = 𝑦0 ∈ 𝛼, 𝛽 ta có:
𝑦2 𝑦0
lim 𝐼 𝑦 = 𝐼 𝑦0 =
𝑦→𝑦0
න
𝑓 𝑥, 𝑦0 𝑑𝑥
𝑦1 𝑦0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
40
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
2. Tính chất: Tính liên tục
➢ Dạng bài tập: Tìm giới hạn của tích phân phụ thuộc tham số có cận
biến đổi:
𝑦2 𝑦
• Bài toán: Tính lim
𝑦→𝑦0
න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑦1 𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
41
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
2. Tính chất: Tính liên tục
➢ Dạng bài tập: Tìm giới hạn của tích phân phụ thuộc tham số có cận
biến đổi:
𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục 𝑎, 𝑏 × 𝛼, 𝛽
• Phương pháp giải:
✓ B1: Tìm miền 𝑎, 𝑏 × 𝛼, 𝛽 thỏa mãn
𝑦0 ∈ 𝛼, 𝛽
𝑦2 𝑦
⇒𝐼 𝑦 =
𝑦1 𝑦 , 𝑦2 𝑦 liên tục trên 𝛼, 𝛽
න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 liên tục trên 𝛼, 𝛽
𝑦1 𝑦
✓ B2: Áp dụng tính chất liên tục lim 𝐼 𝑦 = 𝐼 𝑦0
𝑦→𝑦0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
42
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
𝑦+1
𝑥2
Bài 1: Tính lim න
𝑑𝑥
8
2
6
𝑦→0
2+𝑥 𝑦 +𝑦
𝑦
Giải:
𝑥2
2
Hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 =
liên
tục
trên
ℝ
2 + 𝑥 8𝑦2 + 𝑦6
𝑦1 = 𝑦, 𝑦2 = 𝑦 + 1 liên tục trên ℝ
𝑦+1
𝑥2
⇒𝐼 𝑦 = න
𝑑𝑥 liên tục trên ℝ
8
2
6
2+𝑥 𝑦 +𝑦
𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
43
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
𝑦+1
𝑥2
Bài 1: Tính lim න
𝑑𝑥
8
2
6
𝑦→0
2+𝑥 𝑦 +𝑦
Giải: (Tiếp)
𝑦
𝑦+1
1
𝑦
0
𝑥2
𝑥2
1
⇒ lim න
𝑑𝑥 = 𝐼 0 = න 𝑑𝑥 =
8
2
6
𝑦→0
2+𝑥 𝑦 +𝑦
2
6
Pham Thanh Tung-3I-SEE
44
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
sin 𝑦
arccot 𝑥 + 𝑦
Bài 2: Tính lim න
𝑑𝑥
2
2
𝑦→0
1+𝑥 +𝑦
cos 𝑦
Giải:
arccot 𝑥 + 𝑦
2
liên
tục
trên
ℝ
Hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 =
1 + 𝑥2 + 𝑦2
𝑦1 = cos 𝑦 , 𝑦2 = sin 𝑦 liên tục trên ℝ
cos 𝑦
arccot 𝑥 + 𝑦
⇒𝐼 𝑦 = න
𝑑𝑥 liên tục trên ℝ
2
2
1+𝑥 +𝑦
sin 𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
45
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
sin 𝑦
arccot 𝑥 + 𝑦
Bài 2: Tính lim න
𝑑𝑥
2
2
𝑦→0
1+𝑥 +𝑦
cos 𝑦
Giải: (Tiếp)
cos 𝑦
1
sin 𝑦
0
arccot 𝑥 + 𝑦
⇒ lim න
𝑑𝑥 = 𝐼 0 = න arccot 𝑥 𝑑𝑥
2
2
𝑦→0
1+𝑥 +𝑦
−1
𝑢 = arccot 𝑥
Đặt ൜
⇒ ቐ𝑑𝑢 = 1 + 𝑥 2 𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 𝑑𝑣
𝑣=𝑥
1
1
1
𝑥
𝜋 ln 2
⇒ න arccot 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. arccot 𝑥 ቮ + න
𝑑𝑥 = +
2
1+𝑥
4
2
0 0
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
46
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
2. Tính chất
➢ Tính khả vi
• Giả sử hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục, có đạo hàm riêng và 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 liên tục trên
𝑎, 𝑏 × 𝛼, 𝛽 , các hàm 𝑦1 𝑦 , 𝑦2 𝑦 khả vi trên 𝛼, 𝛽 . Khi đó hàm
𝐼 𝑦 khả vi trên 𝛼, 𝛽 và:
𝑦2 𝑦
𝐼′ 𝑦 = 𝑓 𝑦2 𝑦 , 𝑦 . 𝑦2′ 𝑦 − 𝑓 𝑦1 , 𝑦 . 𝑦1′ 𝑦 + න 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑦1 𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
47
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
2. Tính chất: Tính khả vi
➢ Dạng bài tập: Tính đạo hàm của tích phân phụ thuộc tham số có
cận biến đổi tại 𝑦 = 𝑦0
𝑦2 𝑦
• Bài toán: Cho 𝐼 𝑦 =
න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 → Tính 𝐼′ 𝑦0
𝑦1 𝑦
• Phương pháp giải:
✓ B1: Chọn một miền 𝑎, 𝑏 × 𝛼, 𝛽 thỏa mãn điều kiện 𝐼 𝑦 khả vi trên
𝛼, 𝛽 và 𝑦0 ∈ 𝛼, 𝛽
✓ B2: Áp dụng công thức đạo hàm 𝐼′ 𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
48
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
1
Bài tập: Cho 𝐼 𝑦 = න sin 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑑𝑥 . Tính 𝐼′ 0
Giải:
𝑦
Đặt 𝑓 𝑥, 𝑦 = sin 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ⇒ 𝑓𝑦′ = 𝑥 + 2𝑦 cos 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2
𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục, khả vi trên −1,1 × −1,1
𝑎 𝑦 = 𝑦, 𝑏 𝑦 = 1 liên tục, khả vi trên −1,1
𝐼 𝑦 khả vi trên −1,1
𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 liên tục trên −1,1 × −1,1
Pham Thanh Tung-3I-SEE
49
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
1
Bài tập: Cho 𝐼 𝑦 = න sin 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑑𝑥 . Tính 𝐼′ 0
Giải:
𝑦
𝑏 𝑦
𝐼′ 𝑦 = 𝑓 𝑏 𝑦 , 𝑦 . 𝑏𝑦′ 𝑦 − 𝑓 𝑎 𝑦 , 𝑦 . 𝑎𝑦′ 𝑦 + න 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
1
𝑎 𝑦
⇒ 𝐼′ 𝑦 = 𝑓 1, 𝑦 . 0 − 𝑓 𝑦, 𝑦 . 1 + න 𝑥 + 2𝑦 cos 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑑𝑥
𝑦
1
⇒ 𝐼′ 0
= 𝑓 1,0 . 0 − 𝑓 0,0 . 1 + න 𝑥 cos 𝑥 2
0
sin 1
𝑑𝑥 =
2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
50
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
IV. Tích phân Euler
Pham Thanh Tung-3I-SEE
51
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
1. Khái niệm
2. Tính chất
IV. Tích phân Euler
Pham Thanh Tung-3I-SEE
52
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
1. Khái niệm
2. Tính chất
IV. Tích phân Euler
Pham Thanh Tung-3I-SEE
53
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
1. Khái niệm
• Giả sử hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 xác định trên miền 𝑎, +∞ × 𝛼, 𝛽 , với mỗi 𝑦 ∈ 𝛼, 𝛽
hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 khả tích theo 𝑥 trên 𝑎, 𝑏 với ∀𝑏 > 𝑎. Tích phân:
+∞
𝐼 𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑎
được gọi là tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
Pham Thanh Tung-3I-SEE
54
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
1. Khái niệm
➢ Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
• Hội tụ tại 𝑦 = 𝑦0 nếu න 𝑓 𝑥, 𝑦0 𝑑𝑥 hội tụ
𝑎
+∞
• Hội tụ trên 𝛼, 𝛽 nếu න 𝑓 𝑥, 𝑦0 𝑑𝑥 hội tụ trên 𝛼, 𝛽
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
55
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
1. Khái niệm
➢ Tiêu chuẩn hội tụ đều Weierstrass:
• Giả sử tồn tại hàm 𝐹 𝑥, 𝑦 ≥ 0 khả tích thỏa mãn:
𝑓 𝑥, 𝑦
≤ 𝐹 𝑥, 𝑦 với 𝑦 ∈ 𝛼, 𝛽 , 𝑥 ≥ 𝑏 ≥ 𝑎
+∞
න 𝐹 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 hội tụ với 𝑦 ∈ 𝛼, 𝛽 , 𝑥 ≥ 𝑏 ≥ 𝑎
𝑎
+∞
⇒ න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 hội tụ đều trên 𝛼, 𝛽
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
56
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
cos 𝑦𝑥
Bài 1: Chứng minh rằng 𝐼 𝑦 = න
𝑑𝑥 hội tụ đều trên ℝ
2
1+𝑥
0
Giải:
cos 𝑦𝑥
1
≤
, 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑥 ≥ 0
2
2
1+𝑥
1+𝑥
+∞
+∞ 𝜋
cos 𝑦𝑥
න
𝑑𝑥 = arctan 𝑥 ቮ
=
hội tụ
2
1+𝑥
2
0
0
+∞
cos 𝑦𝑥
⇒න
𝑑𝑥 hội tụ đều trên ℝ (Weierstrass)
2
1+𝑥
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
57
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
Bài 2: Chứng minh rằng 𝐼 𝑦 = න
Giải:
2
−𝑦𝑥
hội tụ đều trên với 𝑦 > 0
𝑥𝑒
0
2
−𝑦𝑥
𝑥𝑒
2
−𝑦
𝑥
0
≤ 𝑥𝑒
, 𝑦 ≥ 𝑦0 > 0, 𝑥 ≥ 0
+∞
න
0
2
−𝑦
𝑥
0
𝑥𝑒
𝑑𝑥 =
1
hội tụ
2𝑦0
+∞
⇒න
2
−𝑦𝑥
𝑥𝑒
𝑑𝑥 hội tụ đều với 𝑦 > 0 (Weierstrass)
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
58
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
1. Khái niệm
2. Tính chất
IV. Tích phân Euler
Pham Thanh Tung-3I-SEE
59
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
2. Tính chất
➢ Tính liên tục
• Nếu hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục trên 𝑎, +∞ × 𝛼, 𝛽 và nếu
+∞
𝐼 𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 hội tụ đều với 𝑦 ∈ 𝛼, 𝛽 thì 𝐼 𝑦 liên tục trên 𝛼, 𝛽
𝑎
+∞
lim 𝐼 𝑦 = 𝐼 𝑦0 = න 𝑓 𝑥, 𝑦0 𝑑𝑥
𝑦→𝑦0
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
60
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
2. Tính chất: Tính liên tục
➢ Dạng bài tập: Tính giới hạn của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
• Bài toán: Tính giới hạn sau: lim න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑦→𝑦0
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
61
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
2. Tính chất: Tính liên tục
➢ Dạng bài tập: Tính giới hạn của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
• Phương pháp giải:
✓ B1: Chỉ ra một khoảng bất kì 𝛼, 𝛽 có chứa điểm 𝑦 = 𝑦0 mà hàm số
𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục trên 𝑎, 𝑏 × 𝛼, 𝛽 ⇒ 𝐼 𝑦 liên tục trên 𝛼, 𝛽
+∞
✓ B2: Áp dụng công thức
lim 𝐼 𝑦 = 𝐼 𝑦0 = න 𝑓 𝑥, 𝑦0 𝑑𝑥
𝑦→𝑦0
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
62
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
cos 𝑦𝑥
𝑑𝑥
Bài tập: Tính lim න
2
𝑦→0
1+𝑥
0
Giải:
cos 𝑦𝑥
1
≤
, 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑥 ≥ 0
2
2
1+𝑥
1+𝑥
+∞
+∞ 𝜋
cos 𝑦𝑥
න
𝑑𝑥 = arctan 𝑥 ቮ
= hội tụ
2
1+𝑥
2
0
0
+∞
cos 𝑦𝑥
⇒𝐼 𝑦 =න
𝑑𝑥 hội tụ đều trên ℝ (Weierstrass)
2
1+𝑥
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
63
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
cos 𝑦𝑥
𝑑𝑥
Bài tập: Tính lim න
2
𝑦→0
1+𝑥
0
Giải: (Tiếp)
cos 𝑦𝑥
liên tục trên 0, +∞ × ℝ ⇒ 𝐼 𝑦 liên tục trên ℝ
Hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 =
2
1+𝑥
+∞
+∞
+∞
𝜋
cos 𝑦𝑥
1
=
⇒ lim න
𝑑𝑥 = න
𝑑𝑥 = arctan 𝑥 ቮ
2
2
4
𝑦→0
1+𝑥
1+𝑥
0
0
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
64
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
2. Tính chất
➢ Tính khả vi
• 𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục trên 𝑎, +∞ × 𝛼, 𝛽
• 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 và 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 liên tục trên 𝑎, +∞ × 𝛼, 𝛽
𝐼 𝑦 khả vi trên 𝛼, 𝛽
+∞
• 𝐼 𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 hội tụ
+∞
𝑎
• න 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 hội tụ tụ đều với 𝑦 ∈ 𝛼, 𝛽
+∞
𝐼′ 𝑦 = න 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
65
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
2. Tính chất: Tính khả vi
➢ Dạng bài: Tính đạo hàm của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số tại
𝑦 = 𝑦0
+∞
• Bài toán: Cho 𝐼 𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 → 𝐼′ 𝑦0
• Phương pháp giải
𝑎
✓ B1: Chọn một miền 𝑎, 𝑏 × 𝛼, 𝛽 thỏa mãn 𝐼 𝑦 khả vi trên 𝛼, 𝛽
và 𝑦0 ∈ 𝛼, 𝛽
+∞
✓ B2: Áp dụng công thức 𝐼′ 𝑦 = න 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
66
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
arctan 𝑥 + 𝑦
′ 0
Bài tập: Cho 𝐼 𝑦 = න
𝑑𝑥
.
Tính
𝐼
1 + 𝑥2
0
Giải:
arctan 𝑥 + 𝑦
liên tục trên 0, +∞ × ℝ
𝑓 𝑥, 𝑦 =
2
1+𝑥
𝑓𝑦′ =
1 + 𝑥2
1
liên tục trên 0, +∞ × ℝ
1+ 𝑥+𝑦 2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
67
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
arctan 𝑥 + 𝑦
′ 0
Bài tập: Cho 𝐼 𝑦 = න
𝑑𝑥
.
Tính
𝐼
1 + 𝑥2
0
Giải: (Tiếp)
arctan 𝑥 + 𝑦
1 + 𝑥2
+∞
𝜋
1
≤ ∙
, 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑥 ≥ 0
2
2 1+𝑥
𝐼 𝑦 hội tụ trên ℝ
𝜋
1
𝜋2
hội tụ
න
𝑑𝑥
=
2
1 + 𝑥2
4
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
68
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
arctan 𝑥 + 𝑦
′ 0
Bài tập: Cho 𝐼 𝑦 = න
𝑑𝑥
.
Tính
𝐼
1 + 𝑥2
0
Giải: (Tiếp)
1 + 𝑥2
1
1+ 𝑥+𝑦 2
+∞
1
≤
, 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑥 ≥ 0
2
1+𝑥
1
𝜋
hội tụ
න
𝑑𝑥
=
1 + 𝑥2
2
𝑓 ′ 𝑦 hội tụ đều trên ℝ
(Weierstrass)
0
Vậy 𝐼 𝑅 khả vi trên ℝ
Pham Thanh Tung-3I-SEE
69
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
arctan 𝑥 + 𝑦
′ 0
Bài tập: Cho 𝐼 𝑦 = න
𝑑𝑥
.
Tính
𝐼
1 + 𝑥2
0
Giải: (Tiếp)
+∞
+∞
⇒𝐼 𝑦 =න
𝑓𝑦′ 𝑑𝑥 = න
0
+∞
0
′
⇒ 𝐼′ 1
=න
0
+∞
=න
0
1 + 𝑥2
1 + 𝑥2
1
𝑑𝑥
2
1+ 𝑥+𝑦
1
𝑑𝑥
2
𝑥 + 2𝑥 + 2
𝐼′ 1
3𝜋 ln 2
=
−
20
5
−2
𝑥
1
1
2
𝑥
3
1
.
+ .
+ . 2
+ . 2
𝑑𝑥
2
2
5 1+𝑥
5 1+𝑥
5 𝑥 + 2𝑥 + 2 5 𝑥 + 2𝑥 + 2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
70
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
2. Tính chất: Tính khả vi
➢ Dạng bài: Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
• Bài toán: Tính 𝐼 𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
71
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
2. Tính chất: Tính khả vi
➢ Dạng bài: Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
• Phương pháp giải
+∞
✓ B1: Tính
𝐼′ 𝑦 = න 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑎
✓ B2: Khôi phục 𝐼 𝑦 = න 𝐼′ 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐹 𝑦 + 𝐶
✓ B3: Tính một giá trị cụ thể 𝐼 𝑦0 để tìm ra hằng số 𝐶 (thường tính 𝐼 0 )
✓ B4: Kiểm tra điều kiện khả vi của 𝐼 𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
72
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
arctan 𝑥 + 𝑦
𝑑𝑥
Bài tập: Tính 𝐼 𝑦 = න
2
1+𝑥
0
Giải:
1
arctan 𝑥 + 𝑦
′
⇒ 𝑓𝑦 =
𝑓 𝑥, 𝑦 =
2
1 + 𝑥2 1 + 𝑥 + 𝑦 2
1+𝑥
𝐼′ 𝑦
+∞
+∞
=න
𝑓𝑦′ 𝑑𝑥 = න
0
0
1 + 𝑥2
1
𝑑𝑥
2
1+ 𝑥+𝑦
+∞
1
−2𝑥 + 𝑦
2𝑥 + 3𝑦
න
= 2
+
𝑑𝑥
2
2
𝑦 +4
1+𝑥
1+ 𝑥+𝑦
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
73
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
arctan 𝑥 + 𝑦
𝑑𝑥
Bài tập: Tính 𝐼 𝑦 = න
2
1+𝑥
0
Giải: (Tiếp)
+∞
1
= 2
− ln 1 + 𝑥 2 + 𝑦 arctan 𝑥 + ln 1 + 𝑥 + 𝑦 2 + 𝑦 arctan 𝑥 + 𝑦 ቮ
𝑦 +4
0
2𝜋
′
𝐼 𝑦 = 2
𝑦 +𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
74
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
arctan 𝑥 + 𝑦
𝑑𝑥
Bài tập: Tính 𝐼 𝑦 = න
2
1+𝑥
0
Giải: (Tiếp) Kiểm tra điều kiện khả vi
arctan 𝑥 + 𝑦
liên tục trên 0, +∞ × ℝ
𝑓 𝑥, 𝑦 =
1 + 𝑥2
𝑓𝑦′ =
1 + 𝑥2
1
1+ 𝑥+𝑦 2
liên tục trên 0, +∞ × ℝ
Pham Thanh Tung-3I-SEE
75
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
arctan 𝑥 + 𝑦
𝑑𝑥
Bài tập: Tính 𝐼 𝑦 = න
2
1+𝑥
0
Giải: (Tiếp) Kiểm tra điều kiện khả vi
arctan 𝑥 + 𝑦
1 + 𝑥2
+∞
𝜋
1
≤ .
, 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑥 ≥ 0
2
2 1+𝑥
𝜋2
𝜋
1
න
𝑑𝑥 =
hội tụ
2
2
1+𝑥
4
⇒ 𝐼 𝑦 hội tụ trên ℝ
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
76
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
arctan 𝑥 + 𝑦
𝑑𝑥
Bài tập: Tính 𝐼 𝑦 = න
2
1+𝑥
0
Giải: (Tiếp) Kiểm tra điều kiện khả vi
1 + 𝑥2
1
1+ 𝑥+𝑦 2
1
≤
, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 ≥ 0
2
1+𝑥
+∞
1
𝜋
න
𝑑𝑥 = hội tụ
2
1+𝑥
2
𝐼 𝑦 khả vi trên ℝ
0
+∞
⇒න
0
1 + 𝑥2
1
𝑑𝑥 hội tụ đều trên ℝ
2
1+ 𝑥+𝑦
Pham Thanh Tung-3I-SEE
77
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
2. Tính chất
➢ Tính khả tích
• Giả sử 𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục trên 𝑎, +∞ × 𝛼, 𝛽 nếu tích phân suy rộng 𝐼 𝑦
hôi tụ đều đối với 𝑦 ∈ 𝛼, 𝛽 thì 𝐼 𝑦 là hàm khả tích trên 𝛼, 𝛽 và ta có
thể đổi thứ tự lấy tích phân
𝛽
𝛽
+∞
+∞
𝛽
න 𝐼 𝑦 𝑑𝑦 = න න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = න
න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝛼
𝛼
𝛼
𝑎
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
78
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
2. Tính chất: Tính khả tích
➢ Dạng bài: Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
+∞
• Bài toán: Tính 𝐼 𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = න 𝐹 𝑥, 𝛼, 𝛽 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
79
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
2. Tính chất: Tính khả tích
➢ Dạng bài: Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
• Phương pháp giải:
✓ B1: Biểu diễn 𝐹 𝑥, 𝛼, 𝛽 dưới dạng tích phân phụ thuộc tham số
thông qua công thức
𝛽
𝛽
𝐹 𝑥, 𝛼, 𝛽 = න 𝐹𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
𝛼
𝛼
✓ B2: Sử dụng công thức thay đổi thứ tự lấy tích phân
✓ B3: Kiểm tra điều kiện khả tích
Pham Thanh Tung-3I-SEE
80
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −𝑏𝑥
Bài 1: Tính න
𝑑𝑥
𝑥
Giải:
0
𝑒 −𝑦𝑥
𝐹 𝑥, 𝑦 =
⇒ 𝐹𝑦′ 𝑥, 𝑦 = −𝑒 −𝑦𝑥
𝑥
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑏
𝑎
𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −𝑏𝑥
= 𝐹 𝑥, 𝑎 − 𝐹 𝑥, 𝑏 = න 𝐹𝑦′ 𝑑𝑦 = න −𝑒 −𝑦𝑥 𝑑𝑦 = න 𝑒 −𝑦𝑥 𝑑𝑦
𝑥
Pham Thanh Tung-3I-SEE
81
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −𝑏𝑥
Bài 1: Tính න
𝑑𝑥
𝑥
Giải: (Tiếp)
+∞
න
0
𝑒
−𝑎𝑥
0
−𝑒
𝑥
−𝑏𝑥
+∞
𝑑𝑥 = න
0
𝑏
𝑏
+∞
න 𝑒 −𝑦𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = න න 𝑒 −𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑎
𝑎
0
𝑏
𝑏
+∞
−1 −𝑦𝑥
1
𝑏
=න
𝑒
ቮ
𝑑𝑦 = න 𝑑𝑦 = ln
𝑦
𝑦
𝑎
0
𝑎
𝑎
Pham Thanh Tung-3I-SEE
82
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −𝑏𝑥
Bài 1: Tính න
𝑑𝑥
𝑥
0
Giải: (Tiếp) Kiểm tra điều kiện khả tích
• Hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒 −𝑦𝑥 liên tục trên miền 0; +∞ × 𝑏; 𝑎
+∞
• 𝐼 𝑦 = න 𝑒 −𝑦𝑥 𝑑𝑥
𝑒
0
−𝑦𝑥
+∞
Do
hội tụ đều trên 𝑏, 𝑎
≤ 𝑒 −𝑦0 𝑥 với 𝑦 > 𝑦0 ≥ 𝑏 > 0
1
−𝑦
𝑥
න 𝑒 0 0 𝑑𝑥 =
hội tụ
2𝑦0
0
𝑎, 𝑏 > 0
+∞
⇒ න 𝑒 −𝑦𝑥 𝑑𝑥 hội tụ đều trên 𝑏, 𝑎
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
83
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
Bài 2: Tính න
𝑒 −2𝑥
0
Giải:
sin 𝑏𝑥 − sin 𝑐𝑥
𝑑𝑥 𝑏 > 𝑐 > 0
𝑥
sin 𝑦𝑥
𝐹 𝑥, 𝑦
⇒ 𝐹𝑦′ 𝑥, 𝑦 = 𝑒 −2𝑥 cos 𝑦𝑥
𝑥
𝑏
𝑏
sin 𝑏𝑥 − sin 𝑐𝑥
−2𝑥
𝑒
= 𝐹 𝑥, 𝑏 − 𝐹 𝑥, 𝑐 = න 𝐹𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = න 𝑒 −2𝑥 cos 𝑦𝑥 𝑑𝑦
𝑥
= 𝑒 −2𝑥
𝑐
+∞
න 𝑒
0
+∞
−2𝑥
sin 𝑏𝑥 − sin 𝑐𝑥
𝑑𝑥 = න
𝑥
0
𝑐
𝑏
න 𝑒 −2𝑥 cos 𝑦𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑐
Pham Thanh Tung-3I-SEE
84
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
Bài 2: Tính න
Giải: (Tiếp)
+∞
න
0
𝑒 −2𝑥
sin 𝑏𝑥 − sin 𝑐𝑥
𝑑𝑥 𝑏 > 𝑐 > 0
𝑥
+∞
𝑒 −2𝑥
0
𝑏
sin 𝑏𝑥 − sin 𝑐𝑥
𝑑𝑥 = න
𝑥
න 𝑒 −2𝑥 cos 𝑦𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0
𝑏
+∞
=න න
𝑐
0
𝑐
𝑏
𝑒 −2𝑥 cos 𝑦𝑥 𝑑𝑥
2
𝑏
𝑐
𝑑𝑦 = න
𝑑𝑦 = arctan − arctan
2
4+𝑦
2
2
𝑐
Pham Thanh Tung-3I-SEE
85
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
+∞
Bài 2: Tính න
0
𝑒 −2𝑥
sin 𝑏𝑥 − sin 𝑐𝑥
𝑑𝑥 𝑏 > 𝑐 > 0
𝑥
Giải: (Tiếp) Kiểm tra điều kiện khả tích
• Hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒 −2𝑥 cos 𝑦𝑥 liên tục trên miền 0; +∞ × 𝑐; 𝑏
+∞
• 𝐼 𝑦 = න 𝑒 −2𝑥 cos 𝑦𝑥 𝑑𝑥 hội tụ đều trên 𝑐, 𝑏
𝑒
Do
0
−2𝑥
cos 𝑦𝑥 ≤ 𝑒 −2𝑥 với 𝑦 ∈ 𝑐, 𝑏
+∞
න 𝑒
0
−2𝑥
1
𝑑𝑥 = hội tụ
2
𝑏>𝑐>0
Điều kiện đổi thứ tự
lấy tích phân thỏa mãn
Pham Thanh Tung-3I-SEE
86
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
Một số giá trị tích phân
+∞
• Tích phân Dirichlet:
sin 𝑥
𝜋
න
𝑑𝑥 =
𝑥
2
0
+∞
• Tích phân Gauss:
න 𝑒
−𝑥 2
0
𝜋
𝑑𝑥 =
2
+∞
• Tích phân Fresnel:
න
0
+∞
sin 𝑥 2
𝑑𝑥 = න
0
cos 𝑥 2
1 𝜋
𝑑𝑥 =
2 2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
87
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
IV. Tích phân Euler
1. Hàm Gamma
2. Hàm Beta
Pham Thanh Tung-3I-SEE
88
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
IV. Tích phân Euler
1. Hàm Gamma
2. Hàm Beta
Pham Thanh Tung-3I-SEE
89
IV. Tích phân Euler
1. Hàm Gamma
+∞
➢ Dạng tổng quát: Γ 𝑝 = න 𝑢𝑝−1 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢
với 𝑢 là hàm số hợp
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
90
IV. Tích phân Euler
1. Hàm Gamma
➢ Các công thức cần nhớ
• Hạ bậc: Γ 𝑝 + 1 = 𝑝Γ 𝑝
Đặc biệt với 𝑝 ∈ 𝑁 thì:
Γ 𝑝 = 𝑝 − 1 ! ,Γ 1 = 1
1
2𝑝 − 1 ‼
1
Γ 𝑝+
=
𝜋, Γ
= 𝜋
𝑛
2
2
2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
91
IV. Tích phân Euler
1. Hàm Gamma
➢ Các công thức cần nhớ
• Phần bù: Với ∀0 < 𝑝 < 1
𝜋
Γ 𝑝 ∙Γ 1−𝑝 =
sin 𝑝𝜋
Pham Thanh Tung-3I-SEE
92
IV. Tích phân Euler
+∞
2 −𝑥 6
Bài 1: Tính න 𝑥 𝑒
Giải:
𝑑𝑥
0
−5
1
5 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
6 𝑑𝑢
⇒
𝑑𝑥
=
𝑢
6𝑥
6
⇒൞
Đặt 𝑥 6 = 𝑢 ⇒ ൝
𝑡
𝑡
𝑥 = 𝑢6
𝑥 = 𝑢6
+∞
⇒ න 𝑥 2𝑒
0
−𝑥 6
+∞
+∞
0
0
1
−1
1 1
1
1
𝜋
−1 −𝑢
−𝑢
𝑑𝑥 = න 𝑢 2 𝑒 𝑑𝑢 = න 𝑢2 𝑒 𝑑𝑢 = Γ
=
6 2
6
6
6
Pham Thanh Tung-3I-SEE
93
IV. Tích phân Euler
+∞
6 −𝑥 2
Bài 2: Tính න 𝑥 3
0
Giải:
+∞
+∞
6 −𝑥 2
න 𝑥 3
0
𝑑𝑥
6
𝑑𝑥 = න 𝑥 𝑒
0
ln 3 ∙ −𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑𝑢
2 ln 3 𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
𝑑𝑥 =
2 𝑢 ln 3
𝑢
Đặt (ln 3)𝑥 2 = 𝑢 ⇒ ൞
⇒
𝑥=
𝑢
ln 3
𝑥=
ln 3
𝜋
=
6
Pham Thanh Tung-3I-SEE
94
IV. Tích phân Euler
+∞
6 −𝑥 2
Bài 2: Tính න 𝑥 3
Giải: (Tiếp)
𝑑𝑥
0
+∞
⇒ න 𝑥 6𝑒
+∞
ln 3 . −𝑥 2
𝑑𝑥 = න
0
0
+∞
−7 5
𝑢 3 −𝑢 𝑑𝑢
1
𝑒
= න ln 3 2 𝑢2 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢
ln 3
2 𝑢 ln 3 2
0
+∞
1 1
7
−7 7
1
−1
= න ln 3 2 𝑢2 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = 2
7Γ 2
2
ln 3 2
0
=
15
7
16 ln 3 2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
95
IV. Tích phân Euler
+∞
ln 𝑥 3/2
𝑑𝑥
Bài 3: Tính න
4
𝑥
1
Giải:
𝑑𝑥
𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑢
=
⇒
𝑑𝑥
=
𝑒
Đặt 𝑢 = ln 𝑥 ⇒ ቐ
𝑥
𝑥 = 𝑒𝑢
Đổi cận: 𝑥 = 1 ⇒ ln 𝑥 = 0, 𝑥 → +∞ ⇒ ln 𝑥 → +∞
+∞
ln 𝑥
න
𝑥4
0
3/2
+∞
𝑑𝑥 = න
0
3
𝑢2
𝑒
+∞
𝑢 𝑑𝑢
𝑒
=න
4𝑢
3
𝑢2 ∙ 𝑒 −3𝑢 𝑑𝑢
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
96
IV. Tích phân Euler
+∞
ln 𝑥 3/2
𝑑𝑥
Bài 3: Tính න
4
𝑥
1
Giải: (Tiếp)
𝑑𝑡
𝑑𝑢 =
3
Đặt 𝑡 = 3𝑢 ⇒
𝑡
𝑢=
3
+∞
ln 𝑥
න
𝑥4
0
3/2
+∞
𝑑𝑥 = න
0
1
=
3
𝑡
3
3/2
5/2
−𝑡
𝑒
1
∙
𝑑𝑡 =
3
3
5/2 +∞
න
0
5
𝑡 2−1 ∙ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡
1
=
3
5/2
5
Γ
2
3
∙
𝜋
4
Pham Thanh Tung-3I-SEE
97
IV. Tích phân Euler
1
Bài 4: Tính න 𝑥 5 ln 𝑥 10 𝑑𝑥
Giải:
0
𝑑𝑥
𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑢
=
⇒
𝑑𝑥
=
𝑒
Đặt 𝑢 = ln 𝑥 ⇒ ቐ
𝑥
𝑥 = 𝑒𝑢
Đổi cận: 𝑥 = 1 ⇒ ln 𝑥 = 0, 𝑥 → +∞ ⇒ ln 𝑥 → +∞
1
0
0
⇒ න 𝑥 5 ∙ ln 𝑥 10 𝑑𝑥 = න 𝑒 5𝑢 ∙ 𝑢10 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = න 𝑒 6𝑢 . 𝑢10 𝑑𝑢
0
−∞
−∞
Pham Thanh Tung-3I-SEE
98
IV. Tích phân Euler
1
Bài 4: Tính න 𝑥 5 ln 𝑥 10 𝑑𝑥
Giải: (Tiếp)
0
−𝑑𝑡
Đặt 6𝑢 = −𝑡 ⇒ 𝑑𝑢 =
6
Đổi cận: 𝑢 = 0 ⇒ −𝑡 = 0, 𝑢 → −∞ ⇒ −𝑡 → +∞
0
0
+∞
−∞
+∞
0
10
1
−𝑡
−𝑑𝑡
6𝑢
10
−𝑡
= 11 න 𝑡 10 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡
⇒ න 𝑒 ∙ 𝑢 𝑑𝑢 = න 𝑒 ∙
6
6
6
10!
1
= 11 Γ 11 = 11
6
6
Pham Thanh Tung-3I-SEE
99
NỘI DUNG CHÍNH
I. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
II. Tích phân phụ thuộc tham số có cận biến đổi
III. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
IV. Tích phân Euler
1. Hàm Gamma
2. Hàm Beta
Pham Thanh Tung-3I-SEE
100
IV. Tích phân Euler
2. Hàm Beta
1
➢ Dạng 1: 𝐵 𝑝, 𝑞 = න 𝑢𝑝−1 1 − 𝑢 𝑞−1 𝑑𝑢
0
+∞
➢ Dạng 2:
𝑢𝑝−1
𝐵 𝑝, 𝑞 = න
𝑑𝑢
𝑝+𝑞
1+𝑢
0
𝜋
2
➢ Dạng 3:
𝐵 𝑝, 𝑞 = 2 න sin 𝑢 2𝑝−1 cos 𝑢 2𝑞−1 𝑑𝑢
0
Pham Thanh Tung-3I-SEE
101
IV. Tích phân Euler
2. Hàm Beta
➢ Phương pháp tính:
• Sử dụng công thức liên hệ giữa hàm Gamma và hàm Beta
Γ(p)Γ(q)
𝐵 𝑝, 𝑞 =
Γ(p + q)
• Đặc biệt: Với 0 < 𝑝, 𝑞 < 1
𝜋
𝐵 𝑝, 1 − 𝑝 = Γ p Γ 1 − p =
sin 𝑝𝜋
Pham Thanh Tung-3I-SEE
102
IV. Tích phân Euler
+∞
𝑥2
𝑑𝑥
Bài 1: Tính 𝐼 = න
4
4
1+𝑥
0
Giải:
3
Đặt 𝑢 = 𝑥 4 ⇒ ൞
𝑑𝑢 = 4𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 =
1
𝑥 = 𝑢4
𝑑𝑢
3
4𝑢4
3 13
3
13
B ,
Γ
Γ
1
1
𝑑𝑢
4 4
4
4
=
= න
𝑑𝑢 =
⇒𝐼=න
3
4
4
4
4
Γ(4)
4
1
+
𝑢
1+𝑢
4𝑢4
0
0
+∞
2
𝑢4
+∞
−1
𝑢4
Pham Thanh Tung-3I-SEE
103
IV. Tích phân Euler
+∞
𝑥2
𝑑𝑥
Bài 1: Tính 𝐼 = න
4
4
1+𝑥
0
Giải: (Tiếp)
13
9
9 9
9 5 5
9 5 1 1
45 1
Γ
=Γ 1+
= Γ
= ∙ Γ
= ∙ ∙ Γ
=
Γ
4
4
4 4
4 4 4
4 4 4 4
64 4
3
1
𝑑𝑢
1 45 Γ 4 Γ 4
𝐼=න
= ∙
∙
3
4
1+𝑢
4 64
Γ(4)
4
4𝑢
0
+∞
2
𝑢4
2
𝜋
15𝜋
45 2
=
=
256 3!
256 2
Pham Thanh Tung-3I-SEE
104
IV. Tích phân Euler
𝜋/2
Bài 2: Tính 𝐼 = න
sin7 𝑥 cos 5 𝑥 𝑑𝑥
0
Giải:
Đặt 𝑢 = 𝑥 30 ⇒ ൞
1
⇒𝐼=න
𝑑𝑢 = 30𝑥 29 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 =
−29
𝑢 30
1
𝑥 = 𝑢30
1
1 𝑑𝑢 = න
0 30 1 − 𝑢 30
0
𝑑𝑢
30𝑢29/30
1
29
−1
𝑢30 1 − 𝑢 30−1 𝑑𝑢
30
1 29
𝐵
,
𝜋
30 30
=
=
𝜋
30
30 sin
30
Pham Thanh Tung-3I-SEE
105
IV. Tích phân Euler
0
Bài 3: Tính 𝐼 = න 𝑒
2𝑥
∙
3
1 − 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
−∞
Giải:
−1 𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑢
Đặt 𝑢 = 𝑒 3𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 3𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 = 3𝑥 =
3𝑒
3
Với 𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 = 1, 𝑥 → −∞ ⇒ 𝑢 → 0
1
⇒𝐼=න
0
2
1
𝑢3 1 − 𝑢 3 𝑢−1
3
1
𝑑𝑢 = න
0
−1
1
𝑢 3 1−𝑢 3
3
2
4
2 4
Γ
Γ
𝐵 ,
3
3
3 3
=
𝑑𝑢 =
3Γ(2)
3
Pham Thanh Tung-3I-SEE
106
IV. Tích phân Euler
0
Bài 3: Tính 𝐼 = න 𝑒
Giải: (Tiếp)
2
4
Γ
Γ
3
3
𝐼=
3Γ(2)
4
1 1
Γ
= Γ
3
3 3
2𝑥
∙
3
1 − 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
−∞
2
2
1
𝜋
Γ
Γ
2
1 3
1 3
3
=
𝜋
𝐼=
=
9
Γ(2)
9 1!
9 3
Pham Thanh Tung-3I-SEE
107
IV. Tích phân Euler
1
Bài 4: Tính 𝐼 = න 30
0
Giải:
1
1 − 𝑥 30
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑢 = 30𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 =
30
30𝑢29/30
Đặt 𝑢 = 𝑥 ⇒ ൞
29
1
𝑥 = 𝑢30
1 29
𝐵
,
1
29
𝑑𝑢
𝜋
𝑑𝑢
30 30
−1
−1
30
=
⇒𝐼=න
=
1 − 𝑢 30
1 30 = න 𝑢
𝜋
30
30
30
sin
0 1 − 𝑢 30
0
30
1
−29
𝑢 30
1
Pham Thanh Tung-3I-SEE
108
LỜI KẾT
• Slide được biên soạn theo kinh nghiệm cá nhân, dù đã rất cố gắng nhưng
do những hạn chế nhất định về kiến thức và kỹ năng nên chắc chắn vẫn
sẽ tồn tại những lỗi sai tính toán, lỗi đánh máy, … trong tài liệu. Mọi ý
kiến đóng góp bạn đọc vui lòng gửi qua facebook “fb.com/tungg810”
hoặc e-mail phamthanhtung3i.hust@gmail.com để mình có thể kiểm tra,
hoàn thành bộ tài liệu hơn. Xin chân thành cảm ơn!
• Slide mang tính chất tham khảo, không hoàn toàn thay thế được các
giáo trình, sách giáo khoa chính thống.
Pham Thanh Tung-3I-SEE
109
HAVE A GOOD
UNDERSTANDING!
110
THANK YOU !
111