Regionalni centar za talente Beograd 1 – Zemun
ТЕМА: DIOFANTOVE JEDNAČINE
DIOPHANTINE EQUATIONS
Аutori: 1. Sara Rajić- učenik 7. razreda OŠ „Branko Radičević“ - Zemun
2. Natalija Ekmedžić- učenik 7. razreda OŠ „Branko Radičević“ - Zemun
Mentor : Ivan Veljković, ОŠ “Boško Palkovljević Pinki“ - Batajnica
Beograd , 2018
REZIME
Cilj ovog rada je upoznavanje teme Diofantovih linearnih jednačina, koja je jedna od
najstarijih, najznačajnijih i i oblasti algebre u matematici. Sadržaj rada smo podelili na više
celina. Opisujemo Diofantov život i rad kroz zanimljive primere.
Ovaj Starogrčki matematičar i filozof, najpoznatiji po svom delu “Aritmetika”, posebno je
obradio problem rešavanja algebarskih jednačina u skupu celih brojeva. To je razlog zbog
kojeg ćemo takve jednačine nazvati Diofantske ili Diofantove.
Do njihovih rešenja možemo doći pomoću metoda razlikovanja slučajeva, korišćenjem
proizvoda, količnika, zbira ili razlike, Ojlerovom metodom, korišćenjem osobina deljivosti i
korišćenjem Euklidovog algoritma.
SUMARRY
The aim of this paper is to get acquainted with the theme of Diophantine linear equations,
one of the oldest, most important, and algebraic fields in mathematics. The content of the
work is divided into several parts. We describe Diofant's life and work through interesting
examples.
This Ancient Greek Mathematician and philosopher, best known for his part of
"Arithmetic," has specifically addressed the problem of solving algebraic equations in a set
of integer numbers. This is why we will call such equations to Diophantine.
Their solutions can be obtained by means of case differentiation methods, using products,
quantities, sum, or differences, using the Euler method, using the traits of divisibility and
using Euklid's algorithm.
KLJUČNE REČI
Diofant, linearna jednačina, Euklidov algoritam, jednačina sa dve nepoznate
KEY WORDS
Diophant, linear equation, Euclid algorithm, equation with two unknowns
UVOD
Diofant iz Aleksandrije je bio grčki matematičar koji je živeo između 150AD i 350AD,
verovatno oko 250AD. Mada je bio istaknuti matematičar svog vremena, vrlo malo se zna o
Diofantovom životu. Njegov rad je sačuvan u šest poglavlja Aritmetike koja su dospela do
nas (sedam poglavlja je izgubljeno), koja je bila verovatno najstarija spisa o algebri.Diofant
se prvenstveno interesovao za teoriju brojeva i rešavanje jednačina i mnogo doprineo
napretku algebre upotrebom simbola za veličine, matematičke operacije i odnose, pre toga
su ove veličine opisivane rečima.Možda je najpoznatiji po svom otkriću Diofantovih
jednačina, neodređenih jednačina s racionalnim koeficijentima za koje se traži racionalno
rešenje. Na njegovom grobu stoji zadatak čijim se rešavanjem dobija broj njegovih godina,
zadatak glasi:
Šestinu veka svog kao dete se igrao,
i još polovinu šestine s bradom momačkom je dočekao.
Usreći se ženom kad prevali još sedminu,
s kojom posle leta pet obradova se sinu.
Voljeni sin poživi pola očevog veka samo,
i bi strgnut ocu sudbom koja ga uze rano.
Dva puta dva leta oplakivaše roditelj tugu i očaj
kad i on ugleda tegobnom životu svome kraj.
𝑥=
x
x
x
x
+
+ +5+ +4
6 12 7
2
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
− −
− − =9
6 12 7 2
−
2𝑥 𝑥 6𝑥 𝑥
−
−
− =9
12 12 12 7
3𝑥 𝑥
− =9
12 7
21𝑥 12𝑥
−
=9
84
84
3𝑥
=9
28
3𝑥 = 252
𝑥 = 84
Odatle dobijamo da je živeo 84 godina.
POJAM DIOFANTOVE JEDNAČINE
Diofantova jednačina je jednačina sva dve ili više nepoznatih u kojoj se traže celobrojna ili
racionalna rešenja. Ona se razlikuje od drugih jednačina jer sesamo traže celobrojna rešenja.
Ako su a, b i c celi brojevi i a,b ≠ 0 linearna jednačima oblika
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
pri čemu su x i y iz skupa celih brojeva naziva se linearna Diofantova jednačina.
„U jednoj zemlji Dalekog istoka živeo je nekad jedan kralj, koji je svake noći uzimao novu
ženu i sledećeg jutra narđivao da je pogube. Posle nekog vremena ljudi su postali smrtno
uplašeni, jer je dolazio red i na njihove kćeri da po jednu noć budu kraljice. Tada Šeherezada,
kćer kraljevog savetnika, koja je bila mudra kao i njen otac, zamoli oca da i ona postane
kraljeva žena i da sa sobom kao pratilju povede svoju sestru. Njen otac je bio zapanjen
takvom molbom, ali je znao da je njegova kćer toliko mudra da bi mogla učiniti kraj tom
strašnom kraljevom ponašanju. I tako se njegova kćer Šeherezada venčala sa kraljem.
Posle večere Šeherezada je zamolila kralja da se oprosti sa svojom sestrom. Kada je
Šeherezadina sestra ušla, zatražila je da joj Šeherezada ispriča jednu od njenih prelepih
bajki. Šeherezada je počela da priča jednu bajku, a kada je završila kralj je bio toliko ushićen,
da je hteo da čuje još jednu priču. Tako je Šeherezada iz noći u noć – 1001 noć pričala kralju
po tri ili pet bajki. U međuvremenu je kralj zavoleo Šeherezadu, poštedeo joj život, a ona mu
je podarila tri sina.“
PRIMER 1. Koliko bi noći bilo potrebno Šeherezadi da ispriča 100 bajki, ako bi u toku nekih
noći pričala po 5 bajki, a u toku ostalih noći po 3 bajke?
PRIMER 2. Koliko najviše, a koliko najmanje noći je bilo potrebno Šeherezadi da ispriča 3000
bajki, pričajući po 3, odnosno 5 bajki za jednu noć?
PRIMER 3. Na koliko različitih načina je Šeherezada mogla da ispriča 1000 bajki, uz uslov da
nekih dana priča po 3, a nekih dana po 5 bajki?
Ako se broj dana u kojima je Šeherezada pričala po 3 bajke označi sa x,a broj dana u
kojima je Šeherezada pričala po 5 bajki sa y, onda se primeri 1, 2. i 3. mogu modelirati
jednačinom
3𝑥 + 5𝑦 = 100
Jasno je da su brojevi x i y pozitivni celi brojevi, jer predstavljaju broj dana.
Rešenje problema 1, 2, i 3. se tada svodi na sledeća pitanja:



Da li je uopšte moguće rešiti datu jednačinu i ako jeste kako to uraditi, a ako nije,
kako dokazati da jednačina nema rešenja?
Odrediti “najmanje”, odnosno “najveće” rešenje date jednačine?
Koliko ukupno rešenja ima data jednačina?
Na osnovu prethodnih primera i razmatranja očigledno je da su osnovna pitanja vezana za
Diofantove jednačine :
1. Dokazati ili opovrgnuti postojanje rešenja;
2. Da li jednačna ima konačno ili beskonačno rešenje?
3. Ako jednačina ima konačno rešenje, koliko je to?
4. Ako jednačina ima konačna rešenja, odrediti sva njena rešenja;
5. Ako jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, odrediti formule koje daju sva
rešenja ( ako je to moguće);
6. Od svih mogućih rešenja izdvojiti ona koja zadovoljavaju posebne uslove ( ako se t
traži ).
REZULTATI ISTRAŽIVANJA I DISKUSIJA
LINEARNE JEDNAČINE SA DVE NEPOZNATE
PRIMER 4. Odrediti sve uređene parove (p,q) prostih brojeva p i q, tako da je 𝑝2 + 𝑞 = 101
REŠENJE : Razlikuju se dva slučaja :
1) Ako je p=2, onda je 𝑞 = 101 − 4 = 97 𝜖 𝑃
2) Ako je 𝑝 ≥ 3, onda je p neparan broj, pa je 𝑞 = 101 − 𝑝2 paran broj, što znači da je
q=2 , jer je jedini paran prost broj 2. Tada je 𝑝2 = 99, pa u ovom slučaju nema
rešenja.
Dakle jedino rešenje je da je p=2 , q=97.
PRIMER 5. Odrediti sve uređene ( x, y ) prirodnih brojeva x i y tako da važi jednakost
𝑥𝑦 2 + 4 = 2006 𝑦
REŠENJE: Razlikuju se dva slučaja:
1. Ako je y=0, onda je 4=2006, pa y=0 nije rešenje date jednačine;
4
4
2. Ako je 𝑦 ≠ 0, onda je 𝑥𝑦 + 𝑦 = 2006 ili 2006 − 𝑥𝑦 = 𝑦.
4
Kako su x i y prirodni brojevi, to je 2006-xy ceo broj, pa je i 𝑦 ceo broj. Zaključak je da y
mora biti delilac broja 4 i zato su mogući jedino slučajevi:
2.1) Ako je y=1, onda je x=2002;
2.2) Ako je y=2, onda je x=1002;
2.3) Ako je y=4, onda je 4x=2005 i jednačina nema rešenje, jer paran broj 4x nikada nije
jednak neparnom broju 2005.
Prema tome jedina rešenja su parovi: x=2002 i y=1, x=1002 I y=2
PRIMER 6. Odrediti sve cele brojeve x i y koji zadovoljavaju jednakost xy+3y-5x=18.
REŠENJE: Jednačina xy+3y-5x=18 podudarna je sa jednačinom xy+3y-5x-15=3, odnosno
(x+3)(y-5)=3. Kako je broj 3 prost broj, razlikuju se sledeće mogućnosti:
1.
2.
3.
4.
X + 3 = 1, y – 5 = 3, odnosno, x = -2. y = 8;
X + 3 = -1, y – 5 = -3, odnosno, x = -4, y = 2;
X + 3 = 3, y – 5 = 1, odnosno, x = 0, y = 6;
X + 3 = -3, y – 5 = -1, odnosno, x = -6, y = 4.
PRIMENA EUKLIDOVOG ALGORITMA U DIOFANTOVIM JEDNAČINAMA
Euklidov algoritam je efikasan način za određivanje najvećeg zajedničkog delioca dva
prirodna broja. To je najstariji netrivijalni algoritam koji je preživeo do danas. Prvi put se u
pisanom obliku pojavljuje u Euklidovim “Elementima”, iako se veruje da algoritam nije
njegovo delo, već da je bio poznat više od 200 godina ranije.
Algoritam je zasnovan na činjenici da se najveći zajednički delilac dva prirodna broja neće
promeniti ako se od većeg broja oduzme manji, pa se zatim posmatra najveći zajednički
delilac novodobijenog broja i manjeg od dva prethodno posmatrana.
PRIMER 7. Odrediti d=NZD(196,154)
REŠENJE: Primenjujemo Euklidov algoritam.
196 = 154 ∗ 1 + 42
154 = 42 ∗ 3 + 28
42 = 28 ∗ 1 + 14
28 = 14 ∗ 2
Dobili smo da je d=NZD (196, 154)= 14
PRIMER 8. Odredimo d=NZD(222,102) i nađemocele brojeve x i y takve da je
222x + 102 y = d
REŠENJE :
222 = 102*2 + 18
102 = 18*5 + 12
18 = 12*1 + 6
12 = 6*2
i
𝑞𝑖
𝑥𝑖
𝑦𝑖
-1
0
1
0
0
1
1
2
1
-2
2
5
-5
11
3
1
6
-13
4
2
Dobili smo da je d = NZD (222,102) = 6, ted a je 222*6 + 102*(-13) = 6
ZAKLJUČAK
Uviđamo da su jednačine kompleksna oblast,i da proces njihovog rešavanja nije uvek
jednostavan, takođe uviđamo da se prilikom rešavanja matematičkih problema moramo
osloniti na logiku, a ne samo na formule, metode i algoritme.
ZAHVALNOST
Veoma smo zahvalni našem mentor Ivanu Veljkoviću na podršci i pomoći, kao i Regionalnom
centru za talente koji nam je omogućio da naše interesovanje za matemtiku iskažemo kroz
ovaj rad.
LITERATURA



Veljko Nestorović, Brojevne kongruencije
Vojislav Andrić, Diofantove jednačine u nastavi matemtike
Bernadin Ibrahimpašić i Arif Zolić, Euklidov algoritam i njegova primjena