TOÁN CAO CẤP
Trang 1
TÀI LIỆU ÔN TẬP
FB: https://www.facebook.com/hungnguyen1040
Gmail: phuochung26010401@gmail.com
Link group UEH_Toán Cao Cấp: https://www.facebook.com/groups/162942677661100/
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501
Phuochung26010401@gmail.com
TOÁN CAO CẤP
Trang 2
CHƯƠNG 1: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC_HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH_INPUT-OUTPUT
MA TRẬN ĐỊNH THỨC
1. Ma trận
Ma trận A có cấp (hay còn gọi là kích thước) m×n là một bảng số các số thực, xếp thành m dòng và n
cột.
1 2
A= (4 5
7 8
3
6) a12=
9
a23=
a33=
2. Ma trận đơn vị
Ma trận đường chéo là ma trận vuông (n×n) mà các phần tử không thuộc đường chéo chính đều bằng
0.
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo mà các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 1.
1
I2=(
0
1
I3=(0
0
0
)
1
0 0
1 0)
0 1
3. Ma trận chuyển vị
Ma trận chuyển vị của A= (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 là 𝐴𝑇 = (𝑎𝑗𝑖 )𝑛×𝑚
1 2
A=(
4 5
3
)
6
1
AT= (2
3
4
5)
6
4. Ma trận bậc thang
2 0
A=(0 0
0 0
5 1
2 3)
0 2
0 2
B=(
0 0
1 0
)
7 1
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501
Phuochung26010401@gmail.com
TOÁN CAO CẤP
Trang 3
→A, B là ma trận bậc thang.
2 0
C=(0 0
0 0
0 1
D=(0 2
0 0
5
0)
2
0
0)
3
→C, D không phải là ma trận bậc thang.
5. Hạng của ma trận
Để xác định hạng của một ma trận, ta cần thực hiện một số phép biến đổi sơ cấp, quy về ma trận bậc
thang, khi đó số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận ban đầu.
1 2 1
A=(−1 3 0
3 1 2
1 2
B=(2 3
3 5
5
7)
9
3
4)
7
Hãy tính hạng của ma trận A và B ?
1 −1 2
3
2 3
1 −2
Ví dụ: tính hạng của ma trận A= [
]
1 4 −1 −5
3 2
3
1
A.
B.
C.
D.
6.
Rank (A)= 1
Rank (A)= 2
Rank (A)= 3
Rank (A)= 4
Cộng hai ma trận
1 2
2 1
A=(
) B=(
)
2 1
1 2
Vậy A+B = (
)
7. Nhân hai ma trận
1 2
A=(2 1
3 1
−2
−3)
1
Ví dụ: giả sử [
1 2
B=(2 −1). Vậy A.B=(
1 1
0 −8
𝑐
1 −2 3
] [6 9 ]= [
4 𝑎 5
35
7 𝑏
)
4
]. Chọn đáp án đúng
𝑑
A. a=0, b=9, c=9, d=18
B. a=0, b=9, c=10, d=18
C. a=0, b=10, c=18, d=10
D. Một đáp án khác
Phương pháp nhân hai ma trận bằng CASIO ?
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501
Phuochung26010401@gmail.com
TOÁN CAO CẤP
Trang 4
8. Định thức?
Bậc 2
Bậc 3
1 4
A=(
).
1 5
1 2 −2
B=( 2 3 1 )
−1 3 2
Vậy |𝐴| =
Vậy |𝐵| =
Lưu ý: Khi tính định thức bậc 4 ta sẽ có hai cách tính là khai triển theo dòng hoặc khai triển theo cột.
Khi đề cho hãy tính định thức cấp 4, ta đừng nên làm vội mà hãy dùng một số phép biến đổi sơ cấp
làm cho một dòng hay một cột xuất hiện “nhiều số 0” nhất có thể, khi đó ta có thể tính định thức một
cách dễ dàng.
Bậc 4
1
1
C=(
2
1
3
4
5
5
3
5
4
7
2
3
)
1
6
Vậy |𝐶| =
Tìm m để định thức dưới đây có giá trị bằng 0
𝑚
1 2
A=(−1 3 1)
2 −1 1
Tìm m để định thức dưới đây có giá trị bằng 0
1 2
1
2
2 1 −1 1
B=(
)
2 1
1 −1
1 −1 2
𝑚
Với giá trị nào của m thì ma trận C không suy biến
1 2
2 1
C= (
3 𝑚
3 3
−1 0
0
3
)
−5 −3
−1 1
9. Ma trận nghịch đảo
Cho A= (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑛 , làm thế nào để tìm được ma trận nghịch đảo của A nếu có, kí hiệu là A-1.
𝟏
A-1=|𝑨|.A* với A* là ma trận phụ hợp
Chú ý:
𝐴𝑛×𝑛 có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi |𝐴|≠ 0
(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 . 𝐴−1
|𝐴∗ | = |𝐴|𝑛−1 với n cấp của ma trận vu
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501
Phuochung26010401@gmail.com
TOÁN CAO CẤP
Trang 5
Ví dụ
1. Tìm ma trận nghịch đảo ma trận dưới đây
1 2
A=(
)
−1 1
1 −2 2
B=(2 −3 6)
1 1 7
Ví dụ: cho ma trận M= [
𝑎
𝑐
𝑎11
𝑏
] khả nghịch với 𝑀−1 = [𝑎
𝑑
21
𝑎12
𝑎22 ]. Chọn khẳng định đúng
A. 𝑎11 = d/detM và 𝑎21 = c/detM
B. 𝑎12 = -b/detM và 𝑎22 = a/detM
C. 𝑎11 = a/detM và 𝑎21 = -c/detM
D. 𝑎12 = -b/detM và 𝑎22 = d/detM
2. Tìm X biết
2 1
2 5
a. (
).X=(
)
3 4
5 2
1 2 −3
1 −3 0
b. (3 2 −4).X=(10 2 7)
2 −1 0
10 7 8
1
1 
m −5


1
m − 5  . A không khả đảo khi và chỉ khi:
3. Cho ma trận A=  1
 1
m−5
1 

B.m≠3  m≠6
A. m=3
C.m=3  m=6
D. m=6
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Có hai thuật toán thường được sử dụng ở chương này. Trong từng trường hợp cụ thể, ta sẽ linh hoạt sử
dụng 2 thuật toán trên sao cho phù hợp
−
−
Thuật toán Gauss: thường được dùng để giải hệ phương trình đơn giản (có thể hiểu là không có
chứa ẩn m yêu cầu biện luận).
Hệ Cramer: đề bài yêu cầu sinh viên biện luận nghiệm của hệ phương trình theo m.
+ Bước 1: tính định thức D của ma trận hệ số.
+
+
𝐷𝑗
Bước 2: nếu định thức D≠0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 𝑥𝑗 = 𝐷 trong đó 𝐷𝑗 =
̅̅̅̅̅
1,
𝑛 là định thức của ma trận có được bằng cách thay cột j của ma trận A bởi ma trận B (sẽ
giải thích cụ thể ở bài tập).
Bước 3: nếu định thức D=0 có hai trường hợp xảy ra (vô nghiệm hoặc vô số nghiệm). Bạn
có thể hiểu như sau
Vô nghiệm khi 0X=3 (*)
Vô số nghiệm khi 0X=0 (**)
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501
Phuochung26010401@gmail.com
TOÁN CAO CẤP
Trang 6
Để làm được điều này ta cần giải D≠0 (giả sử ra hai nghiệm m≠1; m≠2), ta thay từng trường hợp m=1
và m=2 vào ma trận ban đầu rồi biến đổi chúng thành ma trận bậc thang, giá trị m nào sẽ cho phương
trình vô nghiệm hay vô số nghiệm như (*) và (**)
Ví dụ
1. Giải hệ phương trình sau
𝑥−𝑦+𝑧 =6
{2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5
𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑚
A={2𝑥 + (𝑚 + 1)𝑦 + (𝑚 + 1)𝑧 = 𝑚 + 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 1
a. Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất?
b. Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có vô số nghiệm?
c. Với giá trị nào của m thì hệ đã cho vô nghiệm?
2. Cho hệ phương trình tuyến tính sau
x + y − z = 1

3. Cho hệ phương trình tuyến tính: 2 x + 3 y + z = 2
2 x + y + mz = 2

Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Tồn tại m để hệ có nghiệm duy nhất
B.Tồn tại m để hệ có vô số nghiệm
C. Tồn tại m để hệ có nghiêm
D. Tồn tại m để hệ vô nghiệm
1 2
4. Cho ma trận A= (3 6
2 3
A. m=1
B.m=2
2
3 ). Với giá trị nào của m thì A suy biến
𝑚
C.m≠1
D.m≠2
−𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 3
5. Cho hệ phương trình sau {−2𝑥 + (𝑚 − 3)𝑦 + 10𝑧 = 𝑚 + 7
𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 2
Với giá trị nào của m hệ đã cho vô nghiệm.
A. m=-1
B. m=-2
C. m=0
D. Không tồn tại giá trị m để hệ vô nghiệm
𝑥+𝑦+𝑧 =𝑎
2𝑥
6. Tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm ⟨ + 3𝑦 + 4𝑧 = 𝑏
3𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 𝑐
A. a,b,c ϵ R
B. a+2b-c= 0
C. a-2b+c= 0
D. -2a+b+c= 0
𝑥 − 𝑦 − 𝑚𝑧 = 2
7. Cho hệ phương trình { 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 𝑚
𝑚𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = −1
a. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501
Phuochung26010401@gmail.com
TOÁN CAO CẤP
Trang 7
b. Tìm m để hệ có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát trong trường hợp đó.
−2 1 3
8. Cho ma trận A = ( 2
𝑚 4). Với giá trị nào của M thì ma trận 𝐴3 . 𝐴𝑇 có hạng bé hơn 3?
−1 −3 1
A. 48
B.38
C.46
D.Không tồn tại m
INPUT_OUTPUT
Mô hình này nhằm xác định đầu ra của mỗi ngành trong n ngành sao cho vừa đủ để thỏa mãn toàn bộ
nhu cầu của cả nền kinh tế.
Yêu cầu chương này
−
−
Bạn phải giải thích được ý nghĩa kinh tế của một hệ số nào đó trong ma trận đề cho (nhớ câu
‘vào hàng ra cột’).
Ghi nhớ công thức X= (In-A)-1.D (trong đó X thường là mức sản lượng đầu ra của các ngành;
D là yêu cầu cuối cùng của ngành mở).
Ví dụ
a.
b.
c.
d.
0.3 0.1 0.1
A=(0.1 0.2 0.3)
0.2 0.3 0.2
Giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số a12; a13; a01 trong ma trận A.
Biết sản lượng của ngành 2 là 150, hãy tính giá trị của sản lượng nguyên liệu mà các ngành cung
cấp cho nó.
Hệ số a03 bằng bao nhiêu? Từ đó hãy tính ngành mở phải đóng góp bao nhiêu cho ngành 3 khi giá
trị sản lượng ngành 3 là 1000.
70
Tìm mức sản lượng của 3 ngành nếu ngành mở D=(100)
30
Chú ý: Trong trường hợp dưới đây, khi đề bài chưa cho ta mô hình Input-Output, ta phải tự thiết lập
mô hình I-O, vì dưới đây là dữ kiện thực tế, trong khi đó các hệ số 𝑎𝑖𝑗 trong mô hình là những hệ số
bé hơn 1.
21. Xét mô hình Input – Output Leontief có ma trận đầu vào – đầu ra
Ngành 1
Ngành 2
Ngành 3
Ngành 1
300
140
360
Ngành 2
150
420
480
Ngành 3
300
280
120
Yếu tố khác
750
560
240
Nhu cầu cuối
700
350
500
Giả sử ba ngành cần tạo ra sản lượng trị giá lần lượt là 100, 120 và 150. Giá trị nguyên liệu mà
ngành 2 cần cung cấp cho cả hai ngành 1 và 3 là
A. 70
B. 75
C. 80
D. 85
BÀI TẬP TỔNG HỢP:
1. Cho A là ma trận vuông cấp 6 với det(A)=3 và B=2A.Tính det(B)
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501
Phuochung26010401@gmail.com
TOÁN CAO CẤP
A.180
Trang 8
B.192 C.190
D.196
2. Cho A là ma trận vuông cấp 3 có det(A)=2. Tính det(3AT)
A.27
B.54
C.63
D.72
7
9
3. Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch, giả sử C= ( 𝐴)(
10 𝑇
𝐵 ). 𝐾ℎ𝑖 đó
7
10
9
A.C-1= A-1(B-1)T
10
B.C-1= 9 (B-1)TA-1
9
C.C-1=10 (B-1)T A-1
9
10
D.C-1= A-1(B-1)T
4. Cho A là ma trận vuông cấp 4 khả nghịch với định thức của ma trận phụ hợp -216.Khi đó
A.det(A)=6
B.det(A)=-6
C.det(A)=36
D.det(A)=-36
5. Cho A là ma trận vuông cấp 5 khả nghịch với det(A)=5. Khi đó định thức của ma trận phụ hợp là:
A.125
B.625
C.3125
D.25
6. Cho A, B là các ma trận vuông cấp 4 có det(A)=2, det(B)=2 và
1
(𝐴𝐵)−1 =
. 𝐶. 𝑇í𝑛ℎ det(𝐶)
det(𝐴𝐵)
A.32
B.64
C.128
1 2
7. Cho các ma trận A=(
)
4 9
AX=C. Khi đó 2X1+3X2 là
180
A.(
)
90
D.256
4
6
B=( ) C=( )Gọi X1, X2 lần lượt là nghiệm của hệ AX=B và
5
3
−90
B.(
)
180
−85
C.(
)
196
1 2
2 1
8. Với giá trị nào của m thì A suy biến với A=(
3 𝑚
3 3
A.m=9
B.m≠ 9
1
1
9. Cho ma trận C=(
2
1
A.0
B.1
1
2
10. Cho ma trận A=(
3
𝑑
3
4
5
5
C.m=3
3
5
4
7
196
D.(
)
−85
−1 0
0
3
)
−5 −3
−1 1
D.m≠ 3
2
3
) Vậy |𝐶| = ?
1
6
C.2
D.3
0 2 𝑎
0 𝑏 0
). Khi đó:
𝑐 4 5
0 0 0
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501
Phuochung26010401@gmail.com
TOÁN CAO CẤP
Trang 9
A.det(A)=abcd B.det(A)=2abcd
C.det(A)=1
D.det(A)=0
𝑚
1 2
11. Tìm m để định thức sau có giá trị bằng 0: A=(−1 3 1)
2 −1 1
7
9
11
13
A. 4
B.4
C. 4
D. 4
12. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp 5. Giả sử dòng 2 của A bằng 0 và cột 3 của B bằng 0, Đặt
C=AB, khi đó ta có:
A. dòng 2 và cột 2 của C bằng 0
B. dòng 3 và cột 3 của C bằng 0
C. dòng 2 và cột 3 của C bằng 0
D. dòng 3 và cột 2 của C bằng 0
13. Trong mô hình mở input-output gồm hai ngành kinh tế, biết ma trận hệ số đầu vào là:
0.1 0.2
A=(
) khi yêu cầu của đầu cuối với hai ngành là (60,60) thì mức sản lượng đầu ra của hai
0.3 0.4
ngành là:
A. (100,150)
B.(120,150)
C.(150,120)
D.(100,100)
14. Trong mô hình mở input-output gồm ba ngành kinh tế (ngành 1,2,3), biết ma trận hệ số đầu vào là
0.3 0.1 0.1
A=(0.1 0.2 0.3)
0.2 0.3 0.2
Biết sản lượng của ngành 2 là 150, hãy tính tổng sản lượng nguyên liệu mà ngành 1 và ngành 3
cung cấp cho ngành 2:
A.45
B.60
C.80
D.100
17. Cho A=(aij)n*n là ma trận có aij=0 với ∀i>j và thỏa mãn AT+2A=In.Phát biểu nào sau đây sai
A.AT=A
B.det(A)=3n
C.A+2AT=In
1
3
D.det(A)= 𝑛
18. Cho ma trận 𝐴4∗6 có một định thức con cấp 3 khác 0. Mệnh đề nào sau đây là sai. Nếu sai hãy cho
một phản ví dụ
A. R(A)<3
B. R(A)=3
C. R(A)=4
D. R(A)≥3
19. Cho 𝐴3∗4 có một định thức con cấp 3 khác 0. Mệnh đề nào sau đây là sai. Nếu sai, hãy cho một
phản ví dụ
A. R(αA) = 3, αϵR
B. R(2A) = 3
C. R(αA) > 3, αϵR
D. R(𝐴𝑇 ) = 4
20. Cho A là ma trận vuông cấp 3 có |𝐴|= -2. Ký hiệu 𝑃𝐴 𝑣𝑎̀ 𝑃−2𝐴 lần lượt là ma trận phụ hợp của ma
trận A và ma trận -2A. Chọn kết quả đúng
A. 𝑃−2𝐴 = −2𝑃𝐴
B. 𝑃−2𝐴 = 4𝑃𝐴
C. |𝑃−2𝐴 | = −2
D. |𝑃−2𝐴 | = 4
21. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n không suy biến và A.B = B.A. Chọn câu sai
A. (𝐴. 𝐵)2 = 𝐴2 . 𝐵2
B. A.𝐵3 = 𝐵2 . 𝐴
C. 𝐴. 𝐵−1 = 𝐵−1 . 𝐴
D. 𝐴𝑇 . 𝐵 = 𝐵. 𝐴𝑇
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501
Phuochung26010401@gmail.com