O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI BUXORO DAVLAT UNIVERSITETI
Qo‘lyozma huquqida
UDK 517.984
BAHRONOV BEKZOD ISLOM O‘G‘LI
PANJARADAGI IKKI VA UCH ZARRACHALI SISTEMALARGA MOS
MODEL OPERATORLARNING SPEKTRAL XOSSALARI
01.01.01- Matematik analiz ixtisosligidan fizika-matematika fanlari bo‘yicha
falsafa doktori (PhD) ilmiy darajasini olish uchun tayyorlagan
DISSERTATSIYASI
Ilmiy rahbar:
f.-m.f.d. (DSc), prof. T.Н. Rasulov
BUXORO - 2023
1
MUNDARIJA
KIRISH ...................................................................................................................... 3
I bob. Dastlabki ma’lumotlar. ................................................................................ 9
1.1. Chegaralangan o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar spektral nazariyasi elementlari.
.................................................................................................................................. 10
1.2. Chiziqli operatorning sonli tasviri va uning asosiy xossalari .......................... 16
1.3. Panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga mos model operatorlar uchun
olingan ayrim natijalar tahlili. ................................................................................. 22
I bob xulosasi ........................................................................................................... 28
II bob. Fridrixs modelining muhim va diskret spektrlari tadqiqi .................... 29
2.1. Fridrixs modelining xos qiymatlari mavjudlik shartlari ................................... 29
2.2. Fridrixs modelining bo‘sag‘aviy xos qiymatlari .............................................. 41
2.3. Fridrixs modelining sonli tasviri ...................................................................... 45
II bob xulosasi.......................................................................................................... 56
III bob. Panjaradagi uch zarrachali sistemaga mos model operatorning
spektral xossalari ................................................................................................... 57
3.1. Panjaradagi uchta zarrachali sistemaga mos model operatorning muhim spektri
.................................................................................................................................. 57
3.2. Tenzor yig‘indisining muhim spektri tuzilishi va joylashuv o‘rni ................... 71
III bob xulosasi ........................................................................................................ 81
Umumiy xulosa....................................................................................................... 82
Foydalanigan adabiyotlar ..................................................................................... 83
2
KIRISH (falsafa doktori (PhD) dissertatsiyasi annotatsiyasi).
Dissertatsiya mavzusining dolzarbligi va zarurati. Jahonda olib borilayotgan
aksariyat izlanishlar panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga mos model
operatorlarning spektral xossalarini aniqlashga olib kelinadi. Bunda ikki zarrachali
sistemaga mos model operator spektri haqidagi natijalardan foydalanib uch zarrachali
sistemaga mos model operator muhim va diskret spektrlarini tadqiq qilish muhim
ahamiyat kasb etadi. Uch zarrachali sistemaga mos model operatorning muhim spektri
va xos qiymatlarining mavjudligi bilan bog‘liq masalalar qattiq jismlar fizikasi [1],
kvant maydon nazariyasi [2] va boshqa ko‘plab sohalardagi dolzarb masalalardan
hisoblanadi. Shuning uchun panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga mos model
operatorlarga oid tadqiqotlarni rivojlantirish muhim hisoblanadi.
Dunyoda panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga mos model
operatorlarning muhim spektri va xos qiymatlarining mavjudligini o‘rganishga doir
ko‘plab ilmiy izlanishlar olib borilmoqda. Bu borada, ikki zarrachali sistemaga mos
Fridrixs modeli uchun bo‘sag‘aviy hodisalarni tahlil qilish, ulardan foydalanib sonli
tasvirni tadqiq qilish, uch zarrachali sistemaga mos model operator muhim spektrining
tuzilishini aniqlash [3], xos qiymatlar sonining chekli yoki cheksiz bo‘lish shartlarini
topish, muhim spektr ichida joylashgan xos qiymatlarni aniqlashga alohida e’tibor
berilmoqda [4, 5, 6].
Mamlakatimizda panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga mos model
operatorlarning xossalarini o‘rganishga alohida e’tibor qaratilmoqda. Ikki va uch
zarrachali sistemalarga mos model operatorlarning muhim spektrini aniqlash va xos
qiymatlarining mavjudligiga oid salmoqli natijalarga erishildi. “Matematika, fizika,
amaliy matematika fanlarining ustuvor yo‘nalishlari bo‘yicha xalqaro standartlar
darajasida ilmiy tadqiqotlar olib borish asosiy vazifalar va faoliyat yo‘nalishlari”
etib
belgilandi. Bu borada panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga mos model
operatorlarning spektral nazariyasini rivojlantirish, uch zarrachali sistemasiga mos
model operatorning muhim spektri joylashuv o‘rni va tuzilishini topish hamda uning
3
xos qiymatlari mavjudligini ko‘rsatish muhim ilmiy ahamiyatga ega hisoblanadi.
O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2017-yil 7-fevraldagi “O‘zbekiston
Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha Harakatlar strategiyasi to‘g‘risida”
PF-
4947-son Farmoni, 2017-yil 17-fevraldagi “Fanlar akademiyasi faoliyati, ilmiy
tadqiqot
ishlarini
tashkil
etish,
boshqarish
va
moliyalashtirishni
yanada
takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” PQ-2789-son, 2019-yil 9-iyuldagi
“Matematika ta’limi va fanlarini yanada rivojlantirishni davlat tomonidan qo‘llabquvvatlash,
shuningdek,
O‘zbekiston
Respublikasi
Fanlar
akademiyasining
V.I.Romanovskiy nomidagi Matematika instituti faoliyatini tubdan takomillashtirish
chora-tadbirlari
to‘g‘risida”
PQ-4387-son,
2020-yil
7-maydagi
“Matematika
sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari
to‘g‘risida” PQ-4708-son qarorlari hamda mazkur faoliyatga tegishli boshqa normativhuquqiy hujjatlarda belgilangan vazifalarni amalga oshirishda ushbu dissertatsiya
tadqiqoti muayyan darajada xizmat qiladi.
Tadqiqotning Respublika fan va texnologiyalari rivojlanishining ustuvor
yo‘nalishlariga mosligi. Mazkur tadqiqot O‘zbekiston Respublikasi fan va
texnologiyalar rivojlanishining IV. “Matematika, mexanika va informatika”
ustuvor
yo‘nalishi doirasida bajarilgan.
Muammoning o‘rganilganlik darajasi. Panjaradagi ikki va uch zarrachali
sistemalarga mos model operatorlar spektral nazariyasiga oid tadqiqotlar S.Albeverio,
G.F.Dell’Antonio, S.N.Laqayev, Z.E.Mo‘minov, T.H.Rasulov, Yu.X.Eshqobilov va
boshqa ko‘plab olimlar tomonidan olib borilgan. Hozirgi kunda panjaradagi uch
zarrachali sistemaga mos model operator xos qiymatlari sonini tadqiq qilish masalasi
diskret Shryodinger operatori tipidagi model operatorlar spektral nazariyasining chuqur
o‘rganilayotgan obyektlaridan biri hisoblanadi. Bunday turdagi operatorlar spektral
tahlilidagi asosiy masalalardan biri uning muhim spektridan tashqarida yotuvchi
kamida bitta yoki cheksiz sondagi xos qiymatlar mavjudligini o‘rganish masalasidir.
Cheksiz sondagi xos qiymatlarning mavjudligi dastlab uchta zarrachalar
4
sistemasi uchun V.N.Yefimov tomonidan o‘rganilgan hamda keyinchalik Yefimov
hodisasi deb atalgan. Ushbu hodisa mavjudligining qat’iy matematik isboti dastlab
D.R.Yafayev tomonidan keltirilgan. Keyinchalik Yu.N.Ovchinnikov, I.M.Sigal,
H.Tamura, A.V.Sobolev va boshqa olimlar tomonidan uch zarrachali uzluksiz
Shryodinger operatori uchun Yefimov hodisasining mavjudligi o‘rganilgan.
Qattiq jismlar fizikasi, shuningdek, panjaraviy maydon nazariyasida Rd
Yevklid fazosidagi uch zarrachali Shryodinger operatorining panjaraviy analogi
bo‘lgan diskret Shryodinger operatori deb ataluvchi operatorlar paydo bo‘ladi. Dastlab
S.N.Laqayev tomonidan uch o‘lchamli panjaradagi o‘zaro juft-jufti bilan kontakt
ta’sirlashuvchi uchta ixtiyoriy va uchta bir xil zarrachali sistemalar uchun Yefimov
hodisasining mavjudligi matematik nuqtai nazardan qat’iy isbotlangan.
M.E.Mo‘minovning ishida panjaradagi uchta ixtiyoriy zarrachalar sistemasiga
mos gamiltonian muhim spektrining bo‘shlig‘ida cheksiz sondagi xos qiymatlar
mavjudligi isbotlangan.
Yu.X.Eshqobilovning ishida Xabbard modelida vujudga keluvchi, uch zarrachali
model diskret Shryodinger operatori uchun cheksiz sondagi xos qiymatlar mavjudligi
o‘rganilgan. Bunda o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan operatorlar uchun minimaks
prinsipi usullari va musbat integral operatorlar xossalaridan foydalanilgan.
Ushbu dissertatsiya ishi panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos model
operatorlar uchun oldin o‘rganilmagan muhim spektrdan tashqarida yoki ichida
joylashgan xos qiymatlarning mavjudligini o‘rganishga bag‘ishlangan.
Dissertatsiya tadqiqotining dissertatsiya bajarilgan oliy ta’lim muassasining
ilmiy-tadqiqot ishlari rejalari bilan bog‘liqligi. Dissertatsiya tadqiqoti Buxoro davlat
universiteti ilmiy-tadqiqot ishlari rejasining 2017-2026 yillarga mo‘ljallangan
M.01.2017-raqamli “Chiziqli operatorlarning spektral nazariyasi” ilmiy-tadqiqot
yo‘nalishi doirasida bajarilgan.
Tadqiqotning maqsadi Fridrixs modeli sonli tasviri va spektri ustma-ust tushish
5
shartlarini ko‘rsatish, panjaradagi uch zarrachali sistemaga mos model operator muhim
spektrining tuzilishini aniqlash va uning xos qiymatlari mavjud bo‘ladigan shartlarni
topishdan iborat.
Tadqiqotning vazifalari:
panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos Fridrixs modelining xos qiymatlari soni
va joylashuv o‘rnini, bo‘sag‘aviy xos qiymat va virtual sathlar mavjud bo‘lish
shartlarini aniqlash;
Fridrixs modelining sonli tasviri tuzilishini ko‘rsatish, sonli tasvir yopiq to‘plam
bo‘ladigan hamda spektr bilan ustma-ust tushish shartlarini topish;
panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos model operator muhim
spektrining ikki va uch zarrachali tarmoqlari joylashuv o‘rnini kanal operator spektri
yordamida aniqlash;
ikki o‘lchamli qo‘zg‘alishga ega Fridrixs modellari tenzor yig‘indisi
ko‘rinishidagi model operator muhim spektri tarmoqlarining tuzilishi tavsiflash va xos
qiymatlarining mavjudligini ko‘rsatish.
Tadqiqotning obyekti sifatida panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga
mos model operatorlar olingan.
Tadqiqotning predmetini panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga mos
model operatorlarning spektral xossalari tashkil etgan.
Tadqiqotning usullari. Dissertatsiya ishida matematik analiz, funksional analiz,
o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlarning spektral nazariyasi va zamonaviy matematik fizika
usullaridan foydalanilgan.
Tadqiqotning ilmiy yangiligi quyidagilardan iborat:
panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos Fridrixs modeli uchun odatdagi xos
qiymat, bo‘sag‘aviy xos qiymat va virtual sathlarning parametr funksiyalar hamda
ta’sirlashish parametrlariga nisbatan mavjudlik shartlari topilgan;
panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos Fridrixs modeli sonli tasvirining
tuzilishi aniqlangan, hamda uning spektri va sonli tasviri ustma-ust tushadigan shartlar
6
bo‘sag‘aviy hodisalar nazariyasi metodlaridan foydalanib topilgan;
panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos model operator muhim
spektrining joylashuv o‘rni hamda ikki va uch zarrachali tarmoqlari kanal operator
spektri yordamida aniqlangan, muhim spektrni tashkil qiluvchi kesmalarning maksimal
soni topilgan;
ikki o‘lchamli qo‘zg‘alishga ega Fridrixs modellari tenzor yig‘indisi ko‘rinishdagi
model operator muhim spektri tarmoqlarining tuzilishi tavsiflangan va uning muhim
spektridan tashqarida yoki ichida joylashgan xos qiymatlar mavjudligi Fridrixs modeli
xos qiymatlari yordamida isbotlangan.
Tadqiqotning amaliy natijalari quyidagilardan iborat: panjaradagi ikki va
uch zarrachali sistemalarga mos model operatorning spektral xossalari haqidagi
xulosalar atom fizikasida, kvant mexanikasida eksperimental tadqiqotlarning sifat
ko‘rsatkichini aniqlash hamda sonli hisoblashlarda foydalanilgan.
Tadqiqot natijalarining ishonchliligi matematik analiz, funksional analiz,
zamonaviy matematik fizika va o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlarning spektral nazariyasi
metodlaridan foydalangan holda aniq matematik tahlillar va isbotlashlar bilan
izohlangan.
Tadqiqotning ilmiy va amaliy ahamiyati. Tadqiqotda olingan natijalarning
ilmiy ahamiyati ulardan o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar nazariyasining kvant
maydonlar nazariyasi va qattiq jismlar fizikasi paydo bo‘ladigan, xususan, ikki va uch
zarrachali sistemalarga mos model operatorlar bilan bog‘liq masalalarda foydalanish
mumkinligi bilan izohlanadi.
Dissertatsiya natijalarining amaliy ahamiyati shundan iboratki, Fridrixs
modellarining xos qiymatlari soni va joylashuv o‘rni yordamida qattiq jismlar fizikasi
va kvant mexanikasining panjaradagi uch zarrachali sistemalarga mos model
operatorlarning xos qiymatlari mavjudligini ko‘rsatish mumkinligi bilan izohlanadi.
Tadqiqot natijalarining joriy qilinishi. Panjaradagi ikki va uch zarrachali
sistemalarga mos model operatorlar uchun olingan ilmiy natijalar asosida:
7
panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos Fridrixs modeli uchun xos qiymat,
bo‘sag‘aviy xos qiymat va virtual sathlarning mavjudlik shartlari hamda Fridrixs
modeli sonli tasvirining tuzilishi, uning spektri va sonli tasviri ustma-ust tushish
shartlarini topishda qo‘llanilgan metodlardan Samarqand davlat universitetining 20172020 yillarda bajarilgan OT-F4-69 “Garmonik analiz, darajali geometriya va uning
matematik fizika masalalariga tadbiqlari” mavzusidagi fundamental loyihada
foydalanilgan (Samarqand davlat universitetining 2023-yil 5-sentabrdagi 10-4386-son
ma’lumotnomasi). Ilmiy natijalarning qo‘llanilishi ayrim qavariq bo‘lmagan
gipersirtlarda
aniqlangan
o‘lchovlarning
Furye
transformatsiyasi
uchun
integrallanuvchanlik muammosini hal qilish imkonini bergan.
Ikki o‘lchamli qo‘zg‘alishga ega Fridrixs modeli spektri yordamida panjaradagi
uchta zarrachalar sistemasiga mos model operator muhim spektrining joylashuv o‘rni
va tuzilishi aniqlashda qo‘llanilgan metodlardan Rossiya Federatsiyasi Qozon Federal
Universitetining RFFI 20-01-00535 raqamli fundamental loyihasida foydalanilgan
(Qozon
Federal
Universitetining
2023-yil
22-sentabrdagi
ma’lumotnomasi).
Panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos model operator muhim va diskret
spektrlari xossalaridan foydalanib chiziqli bo‘lmagan sistemani barqarorlashtirish
masalasining yechimini tavsiflash imkonini bergan.
Tadqiqot natijalarining aprobatsiyasi. Dissertatsiyaning asosiy natijalari 9 ta
xalqaro va 3 ta Respublika ilmiy-amaliy anjumanlarida, jami 12 ta ilmiy-amaliy
anjumanlarda muhokamadan o‘tgan.
Tadqiqot natijalarining e’lon qilinganligi. Dissertatsiya mavzusi bo‘yicha
jami 18 ta ilmiy ish chop etilgan, shulardan O‘zbekiston Respublikasi Oliy Attestatsiya
komissiyasining dissertatsiyalar asosiy ilmiy natijalarini chop etish tavsiya etilgan
ilmiy nashrlarda 6 ta, jumladan, 3 tasi xorijiy va 3 tasi Respublika jurnallarida nashr
etilgan.
Dissertatsiyaning hajmi va tuzilishi. Dissertatsiya kirish qismi, uchta bob,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat bo‘lib, 88 betni tashkil etgan.
8
I bob Dastlabki ma’lumotlar
Mazkur bobda doktorlik dissertatsiya ishining asosiy natijalarini bayon qilishda
va isbotlashda foydalanilgan muhim tushunchalar, tasdiqlar va teoremalar keltirilgan
[7-11]. Bundan tashqari, panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga mos model
operatorlarning spektral xossalariga bag‘ishlangan ayrim maqolalarning qiyosiy tahlili
keltirilgan.
Dissertatsiya ishida C , R , Z va N to‘plamlar orqali mos ravishda barcha
kompleks, haqiqiy, butun va natural sonlar to‘plamini belgilangan.
1.1 Chegaralangan o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar spektral nazariyasi
elementlari
Faraz qilaylik, T1 = ( ,  ] bo‘lsin. T1 da qo‘shish va songa ko‘paytirish
amallarini haqiqiy sonlarni 2 modul bo‘yicha qo‘shish va songa ko‘paytirish sifatida
kiritamiz, masalan
3
7

 =
=  (mod2 );
4
4
4
8

5
= 2 
2
2
=  (mod2 ).
5
5
Ushbu to‘plamga bir o‘lchamli tor deyiladi. Td bilan d o‘lchamli torni, ya’ni
Td = T1  T1 
 T1
d marta
ni belgilaymiz.
Operatorlar nazariyasida spektr tushunchasi eng muhim tushunchalardan biridir.
Chiziqli operator spektrini o‘rganish matematik fizika uchun muhimdir.
Faraz qilaylik, X cheksiz o‘lchamli Hilbert fazo va A : X  X chiziqli
operator bo‘lsin. Agar biror  son uchun
Ax =  x
tenglama nolmas ( x  0 ) yechimga ega bo‘lsa, u holda  soni A operatorning xos
qiymati deyiladi, unga mos keluvchi nolmas x yechimga esa xos vektor deyiladi. A
9
operatorning barcha xos qiymatlari to‘plamiga uning nuqtali spektri deyiladi va  p ( A)
kabi belgilanadi. Agar  soni A operator uchun xos qiymat bo‘lsa, u holda A   I
operatorga teskari operator mavjud bo‘lmaydi, bu yerda I orqali X fazodagi birlik
operator belgilangan.
Agar  soni A operator uchun xos qiymat bo‘lmasa va Im( A   I )  X ,
ya’ni A   I operatorning qiymatlar sohasi X ning hamma yerida zich bo‘lmasa,
bunday  lar to‘plami A operatorning qoldiq spektri deyiladi va  qol ( A) bilan
belgilanadi.
Agar  soni uchun A   I operatorga teskari operator mavjud bo‘lib, u X
fazoning hamma yerida aniqlangan bo‘lsa,  soni A operatorning regulyar nuqtasi
deyiladi,
R ( A) = ( A   I )1
operator esa A operatorning  nuqtadagi rezolventasi deyiladi. Barcha regulyar
nuqtalar to‘plami  ( A) orqali belgilanadi. A operatorning regulyar bo‘lmagan
barcha nuqtalari to‘plami A operatorning spektri deyiladi va  ( A) orqali belgilanadi
[7].
Chiziqli chegaralangan A : X  X operatorning spektri yopiq to‘plam bo‘lib, u
markazi koordinatalar boshida va radiusi P A P ga teng yopiq doirada saqlanadi.
Agar A : X  X chiziqli chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lsa,
u holda quyidagi tasdiqlar o‘rinli:
A)  qol ( A) bo‘sh to‘plam;
B)  ( A) to‘plam R ning qism to‘plami, ya’ni  ( A)  R ;
C ) A operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o‘zaro
ortogonaldir.
Endi o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar uchun muhim spektr ta’rifini keltiramiz:
Agar biror   ( A) son uchun nolga kuchsiz yaqinlashuvchi { f n }  X birlik
10
vektorlar ketma-ketligi mavjud bo‘lib,
lim P( A   I ) f n P= 0
n
bo‘lsa, u holda  soni A = A* operatorning muhim spektriga qarashli deyiladi. A
operatorning muhim spektri  ess ( A) bilan belgilanadi.
Operatorning nuqtali va qoldiq spektrlari o‘zaro kesishmaydi. Nuqtali va muhim
spektrlar o‘zaro kesishishi mumkin.
Faraz qilaylik, A operator H Hilbert fazosidagi chegaralangan, o‘z-o‘ziga
qo‘shma operator,  esa R dagi biror Borel to‘plami bo‘lsin. P    ( A)
operatorga A operatorning spektral proyektori deyiladi.
Ta’rifiga ko‘ra P proyeksiyalovchi operator bo‘ladi. {( P |  istlgan Borel
to‘plami )} Proyektorlar oilasining xossasini bayon qilamiz.
1.1-tasdiq. Chegaralangan, o‘z-o‘ziga qo‘shma A operatorning P spektral
proyektorlar oilasi quyidagi xossalarga ega:
A) P -ortogonal proyektor;
B) P = 0 , biror a > 0 uchun P(  a;a ) = I ;
C ) agar  =

 n bo‘lib, barcha n  m lar uchun  n   m =  bo‘lsa, u
n =1
holda
 N

P = s  lim  P  ;
n
N   n =1

D) P P = P  .
1
2
1
2
1.2-tasdiq.   ( A) munosabat o‘rinli bo‘lishi uchun istalgan  > 0 soni
uchun
P(   ;  ) ( A)  0
bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Bu tasdiq spektrning quyidagi ikkita turini farqlash imkonini beradi:
11
 soni A operatorning muhim spektriga tegishli bo‘lishi uchun barcha  > 0
larda P(   ;  ) ( A) proyektor cheksiz o‘lchamli bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Agar   ( A), biror  > 0 soni uchun P(   ;  ) ( A) chekli o‘lchamli operator
bo‘lsa, u holda  soni A operatorning diskret spektriga tegishli deyiladi.
Shunday qilib,  ( A) spektrning yana bir bo‘linishini hosil qildik. Birinchi
bo‘linishdan farqli o‘laroq, bunda ikki o‘zaro kesishmaydigan qism to‘plamlar hosil
bo‘ladi. Ta’kidlash joizki,  disc ( A) hamisha ham yopiq to‘plam bo‘lavermaydi, biroq
 ess ( A) hamisha yopiq to‘plam bo‘ladi.
Quyidagi uchta teoremalarda  ess ( A) va  disc ( A) to‘plamlarning boshqa tavsifi
keltirilgan:
1.1-teorema.    disc ( A) munosabat o‘rinli bo‘lishi uchun quyidagi shartlar
bir vaqtda bajarilishi zarur va yetarlidir:
A)  soni  ( A) to‘plamning yakkalangan nuqtasi, ya’ni biror  > 0 soni
uchun (   ;    )   ( A) = {} ;
B)  soni chekli karrali xos qiymat, ya’ni { : A =  } chekli o‘lchamli
qism fazo.
1.2-teorema.
   ess ( A)
munosabat o‘rinli bo‘lishi uchun quyidagi
shartlardan kamida bittasi bajarilishi zarur va yetarlidir:
A)    cont ( A);
B)  soni  p ( A) to‘plamning limitik nuqtasi;
C )  soni cheksiz karrali xos qiymat.
1.3-teorema ( Veyl mezoni ). Faraz qilaylik, A chegaralangan o‘z-o‘ziga
qo‘shma operator bo‘lsin. U holda    ess ( A) munosabat o‘rinli bo‘lishi uchun
shunday { n }n=1 ketma-ketlik topilib, || n ||= 1 va
lim P( A   I ) n P= 0
n
12
shart bajarilishi zarur va yetarlidir. Bundan tashqari,    ess ( A) munosabat o‘rinli
bo‘lishi uchun { n } ketma-ketlik ortogonal bo‘lishi zarur va yetarlidir.
1.4-teorema ( Muhim spektr haqidagi Veyl teoremasi ). Faraz qilaylik, H
Hilbert
A: H  H
fazosi,
o‘z-o‘ziga
qo‘shma
operator,
B:H H
esa
chegaralangan operator bo‘lib,
z   ( A)   ( B) soni uchun ( A  zI )1  ( B  zI )1
A) biror ( barcha )
kompakt operator va yo
B)  ( A)  R va  ( B)  
yoki
B1 )  ( B) to‘plamning nuqtalari ham yuqori ham quyi yarim tekisliklarda
yotsin.
U holda  ess ( A) =  ess ( B) tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Endi qo‘zg‘alishlar nazaryasining umumiy natijalaridan birini bayon qilamiz.
1.5-teorema
( Veylning klassik teoremasi ). Agar H
Hilbert fazosi
A : H  H o‘z-o‘ziga qo‘shma operator, C : H  H esa kompakt operator bo‘lsa, u
holda  ess ( A) =  ess ( A  C ) tenglik o‘rinlidir.
Muhim
spektrning
joylashuv
o‘rnini
aniqlashda
tadbiq
qilinadigan
teoremalardan birini keltiramiz.
1.6-teorema ( Fredgolmning analitik teoremasi ). Faraz qilaylik, H Hilbert
fazosi D to‘plam C ning ochiq bog‘lamli qism to‘plami bo‘lsin. f : D  L(H )
analitik operator qiymatli funksiya bo‘lib, har bir z  D uchun f ( z ) kompakt
operator bo‘lsin. U holda
A) biror bir z  D soni uchun ( I  f ( z ))1 mavjud emas;
yoki
B) barcha z  D lar uchun ( I  f ( z ))1 mavjud, bu yerda S to‘plam D
13
dagi diskret to‘plam ( ya’ni D da limitik nuqtalarga ega bo‘lmagan to‘plam ) .
Mazkur holda ( I  f ( z ))1 funksiya D to‘plamda meromorf, D to‘plamda
analitik, uning qutb nuqtalaridagi qoldiqlari chekli rangga ega operator bo‘ladi va agar
z  S bo‘lsa, u holda f ( z ) =  tenglama H Hilbert fazosida nolmas yechimga ega
bo‘ladi.
Bu teorema to‘rtta muhim natijaga ega.
1.7-teorema ( Fredgolm alternativasi ). Agar A operator H
Hilbert
fazosidagi kompakt operator bo‘lsa, u holda ( I  A)1 operator mavjud, yoki A = 
operatorli tenglama yechimga ega.
1.8-teorema ( Riss-Shauder teoremasi ). Agar A operator H
Hilbert
fazosidagi kompakt operator bo‘lsa, u holda  ( A) diskret to‘plam bo‘lib, faqat  = 0
nuqtagina uning limitik nuqtasi bo‘lishi mumkin. Bundan tashqari, ixtiyoriy nol
bo‘lmagan   ( A) nuqta chekli karrali xos qiymat bo‘ladi ( ya’ni xos vektorlar
qism fazosi chekli o‘lchamli ) .
1.9-teorema ( Gilbert-Shmidt teoremasi ). Faraz qilaylik, A operator H
Hilbert fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma kompakt operator bo‘lsin. U holda H fazoda
{n } to‘la ortonormal bazis mavjud bo‘lib, An = nn va n   da n  0
bo‘ladi.
1.10-teorema ( Kompakt operatorning kanonik shakli ). Faraz qilaylik, A
operator H Hilbert fazodagi kompakt operator bo‘lsin. U holda to‘la bo‘lishi shart
bo‘lmagan { n }nN=1 va {n }nN=1 ortonormal to‘plamlar hamda {n }nN=1 musbat haqiqiy
sonlar chekli to‘plami topilib,
N
A = n ( n , )n
n =1
tasvir o‘rinli bo‘ladi.
Oxirgi yig‘indi chekli ham cheksiz ham bo‘lishi mumkin. {n } sonlariga A
14
operatorning singulyar sonlari deyiladi.
H1 va H 2 fazolar cheksiz o‘lchamli Hilbert fazolari va H := H1  H 2 ularning
tenzor ko‘paytmasi bo‘lsin [7, 9]. Mos ravishda H1 va H 2 fazolarda ta’sir qiluvchi
chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma A va B operatorlarni qaraymiz.
A  B orqali A va B operatorlarning tenzor ko‘paymasini [7] belgilaymiz. Bu holda
A  B operator ham H fazoda ta’sir qiluvchi chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga
qo‘shma operator bo‘ladi. T = A  E1  E2  B kabi belgilash olamiz, bu yerda E1 va
E 2 orqali mos ravishda H1 va H 2 fazolardagi birlik operatorlar belgilangan. T
operatorga A va B operatorlarning tenzor yig‘indisi deyiladi va A  B kabi
belgilanadi. Xuddi A  B operator kabi A  B operator ham H fazoda ta’sir
qiluvchi chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘ladi. A  B va
A  B operatorlarning spektrlari uchun quyidagi tengliklar o‘rinlidir:
 ( A  B) =  ( A)   ( B) = { :    ,   ( A),   ( B)};
 ( A  B) =  ( A)   ( B) = { :    ,   ( A),   ( B)}.
Ma’lumki, agar   p ( A) va   p ( B) bo‘lsa, u holda
 =      p ( A  B)
va
 =      p ( A  B)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Istalgan fiksirlangan   p ( A),   p ( B),   p ( A  B) va   p ( A  B)
xos qiymatlar uchun M  , N  , L ,  qism fazolar orqali mos ravishda  ,  ,  ,
 xos qiymatlarga mos xos qism fazolarni belgilaymiz. U holda
M   N   L , M   N   
munosabatlar o‘rinli bo‘ladi, bu yerda  =    va  =    .
A va B chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar uchun
15
1, 2  p ( A),
1  2
va
   p ( B)
ekanligidan
M   N  H
va
1
M   N  H munosabatlar kelib chiqadi. Xuddi shuningdek,   p ( A) va
2
1, 2  p ( B),
1  2
ekanligidan
M   N  H
1
va
M   N  H
2
munosabatlar kelib chiqadi.
Endi [12] maqoladan mavzuga oid ayrim ma’lumotlarni isbotsiz keltiramiz. H1
va H 2 fazolar cheksiz o‘lchamli separabel Hilbert fazolari, A va B operatorlar esa
mos ravishda H1 va H 2 fazolarda ta’sir qiluvchi chiziqli, o‘z-o‘ziga qo‘shma
kompakt operatorlar bo‘lsin. U holda T1 = A  E1 va T2 = E2  B operatorlarning
spektrlari uchun  (T1 ) =  ( A) va  (T2 ) =  ( B) tengliklar o‘rinlidir.
H1 va H 2 fazolarning cheksiz o‘lchamli ekanligidan hamda A va B
operatorlarning kompakt ekanligidan 0  ( A) va 0  ( B) munosabatlar kelib
chiqadi. Bundan esa o‘z navbatida  ( A)   ( B)   ( A  B) munosabatga ega
bo‘lamiz.
Har bir fiksirlangan   ( A  B) soni uchun
 := {( ,  ) :    =  ,   ( A),   ( B)}
to‘plamni aniqlaymiz. Quyidagi
DAB := { :  =     ( A)   ( B),   p ( A),   p ( B)}
to‘plamni qaraymiz. Agar   DA B bo‘lsa, u holda   chekli to‘plam bo‘ladi.
1.2 Chiziqli operatorning sonli tasviri va uning asosiy xossalari
Hilbert fazosida ta’sir qiluvchi chiziqli operatorlarning spektrini tadqiq qilishda
muhim bo‘lgan sonli tasvir tushunchasiga va uning asosiy xossalarini bayon qilamiz.
Faraz qilaylik, H kompleks Hilbert fazosi, A : H  H chiziqli operator
bo‘lib, D( A)  H uning aniqlanish sohasi bo‘lsin.
1.1-ta’rif. Quyidagi
W ( A) := {( Ax, x) : x  D( A), || x ||= 1}
16
tenglik yordamida aniqlangan to‘plamga A chiziqli operatorning sonli tasviri
deyiladi, bunda (, ) orqali H kompleks Hilbert fazosidagi skalyar ko‘paytma
belgilangan.
Umumiy holda, hatto A operator yopiq bo‘lgan holda ham W ( A) to‘plam
ochiq ham, yopiq ham bo‘lmaydi. Ta’rifdan ko‘rinib turibdiki, W ( A) to‘plam
kompleks tekislikning qism to‘plami bo‘ladi va W ( A) to‘plamning geometrik
xossalari A operator haqida ayrim ma’lumotlarni olish imkonini beradi [13].
Sonli tasvir tushunchasi birinchi marotaba matritsalar uchun Tyoplitz tomonidan
kiritilgan va o‘rganilgan [14]. Tyoplitz matritsaning sonli tasviri uning barcha xos
qiymatlarini o‘zida saqlashi va sonli tasvir chegarasi qavariq chiziq bo‘lishini
isbotlagan. Xausdorfning [15] ishida esa W ( A) to‘plamning qavariq to‘plam bo‘lishi
isbotlangan. Keyinchalik bu xossalar nafaqat matritsalar uchun balki istalgan chiziqli
chegaralangan operatorlar uchun o‘rinli bo‘lib, bunday operatorlarning spektri W ( A)
to‘plamning yopig‘ida yotishi isbotlangan [16].
Qulaylik uchun A : H  H chiziqli operator sonli tasvirining ayrim xossalarini
sanab o‘tamiz [13].
1.1-xossa. Agar A chiziqli chegaralangan operator bo‘lsa, u holda
W ( A)  {  C :|  ||| A ||}
munosabat o‘rinli bo‘ladi, ya’ni A chiziqli chegaralangan operatorning sonli tasviri
markazi 0 nuqtada, radiusi || A || ga teng yopiq doirada yotadi.
1.2-xossa. A* va A operatorlarning sonli tasvirlari
W ( A* ) = { :  W ( A)}
tenglik yordamida bog‘langan.
1.3-xossa. H
Hilbert fazosidagi I birlik operator sonli tasviri uchun
W ( I ) = {1} tenglik o‘rinlidir. Agar  va  ixtiyoriy kompleks sonlar bo‘lsa, u holda
W ( A   ) = W ( A)  
17
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
1.4-xossa. A o‘z-o‘ziga qo‘shma operator sonli tasviri haqiqiy sonlar
to‘plamining qism to‘plami bo‘ladi, ya’ni W ( A)  R.
1.5-xossa. Agar H chekli o‘lchamli bo‘lsa, u holda A chiziqli operatorning
W ( A) sonli tasviri kompakt to‘plam bo‘ladi.
1.6-xossa. Ikkita A, B : H  H unitar ekvivalent operatorlar uchun ularning
sonli tasvirlari ustma-ust tushadi, ya’ni W ( A) = W ( B).
1.7-xossa. A  L(H ) operator uchun spektral munosabatlar deb ataluvchi
quyidagi
 p ( A)  W ( A),  ( A)  W ( A)
munosabatlar o‘rinlidir. Boshqacha qilib aytganda, A operatorning nuqtali spektri
uning sonli tasvirida, spektri esa sonli tasvirning yopig‘ida yotadi.
1.7-xossaga ko‘ra A chiziqli operatorning barcha xos qiymatlari uning sonli
tasviri bo‘lgan W ( A) to‘plamda yotadi. Tabiiy savol paydo bo‘ladi: A chiziqli
operator spektrining qolgan qismi haqida nima deyish mumkin. Yaxshi ma’lumki,
chiziqli chegaralangan operator spektri yopiq bo‘ladi. 1.5-xossaga ko‘ra, agar H
chekli o‘lchamli fazo bo‘lsa, u holda W ( A) sonli tasvir yopiq to‘plam bo‘ladi. Agar
H cheksiz o‘lchamli bo‘lsa, u holda W ( A) sonli tasvir umuman olganda yopiq
to‘plam bo‘lmasligi ham mumkin.
Ta’kidlash joizki, hatto H Hilbert fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma B operator
uchun  ( B)  W ( B) yoki W ( B)   ( B) munosabatlar o‘rinli bo‘lishi haqidagi
tasdiqni aytib bo‘lmaydi. Bunga quyidagi misol orqali ishonch hosil qilish mumkin.
Faraz qilaylik, B operator
1
B : l2  l2 , Bx = ( x1 , x2 ,
2
1
, xn , ), x = ( x1, x2 ,
n
kabi aniqlangan bo‘lsin. U holda oson tekshirish mumkinki,
18
, xn , )  l2
1
2
1
n
1
2
1
n
 ( B) = {1, , , , } = {0,1, , , , }, W ( B) = (0,1].
0  W ( B) tasdiqning bajarilishiga izoh beramiz. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni
0 W ( B) bo‘lsin. U holda shunday x = ( x1 , x2 , , xn , )  l2 element topilib, P x P= 1
va ( Bx, x) = 0 tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Ushbu

1
( Bx, x) =  | xn |2 = 0
k =1 n
tengliklar bajariladi. Bundan esa x  0 ekanligi kelib chiqadi. Bu munosabat P x P= 1
tenglikga ziddir. Demak 0  W ( B) ekan. Shunday qilib, mazkur holda
 ( B)  W ( B), W ( B)   ( B)
bo‘ladi.
Faraz qilaylik, A chiziqli operator H Hilbert fazosidagi yopiq to‘plam va
r ( A) := {  C : C > 0, P ( A   ) P C P P,   D( A)}
bo‘lsin. U holda A chiziqli operator uchun uning  app ( A) approksimativ nuqtali
spektrini
 app ( A) := C \ r ( A)
tenglik yordamida aniqlaymiz.
Bunda “approksimativ nuqtali spektr” termini tanlanganligiga sabab shundaki,
agar   app ( A) bo‘lsa, u holda shunday {xn }1  D( A), P xn P= 1, ketma-ketlik
topilib,
( A   ) xn  0
munosabat o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib,
 app ( A) := {  C : {xn}1  D( A), P xn P=1, ( A   ) xn  0, n  }.
Eslatib o‘tamizki,
 r ( A) :=  ( A) \  app ( A)
to‘plam A chiziqli operator qoldiq spektrining qism to‘plami bo‘ladi.
19
Quyidagi xossa  app ( A)
va W ( A)
to‘plamlar orasidagi bog‘lanishni
ifodalaydi.
1.8-xossa. Ushbu
 app ( A)  W ( A)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
1.9-xossa. Faraz qilaylik, H Hilbert fazosi va A : H  H ixtiyoriy chiziqli
chegaralangan o‘z-o‘ziga qo‘shma operator berilgan bo‘lib,
mA := inf ( Ax, x), M A := sup ( Ax, x)
PxP=1
PxP=1
bo‘lsin. Agar  ess ( A)  (mA , M A ) bo‘lsa, u holda A operatorning sonli tasviri uchun
W ( A) = [mA , M A ] tenglik o‘rinlidir.
Endi kvant mexanikasi, statistik mexanika va gidrodinamika kabi sohalarda
uchraydigan umumlashgan Fridrixs modellari oilasining sonli tasviri bilan bog‘liq
ma’lumotlarni keltiramiz.
H
orqali
H0 := C
va
H1 := L2 (T3 )
belgilaymiz, ya’ni H := H0  H1. Odatda H
fazolarning
to‘g‘ri
yig‘indisini
Hilbert fazosiga Fok fazosining
qirqilgan ikki zarrachali qism fazosi deyiladi.
[17] maqolada H
Hilbert fazosida ta’sir qiluvchi va A (k ),
k T3
umumlashgan Fridrixs modellari oilasi deb ataluvchi
A01 
 A (k )
A (k ) :=  00 *
A11 (k ) 
 A01
operatorli matritsa qaralgan. Uning
Aii (k ) : Hi  Hi ,
i = 0,1,
k T3
va
Aij : H j  Hi , i, j = 0,1, i  j elementlari
A00 (k ) f0 = u(k ) f0 , A01 f1 =  3v(t ) f1 (t )dt ,
T
(A11 (k ) f1 )( p) = w(k , p) f1 ( p)
tengliklar yordamida aniqlanadi. Bu yerda fi  Hi , i = 0,1, u (), v() va w(, )
20
funksiyalar mos ravishda T3 va (T3 ) 2 to‘plamlarda aniqlangan haqiqiy qiymatli
uzluksiz funksiyalar.
Quyidagicha belgilashlar kiritamiz:
wmin (k ) := min w(k , p), wmax (k ) := max w(k , p).
pT3
pT3
Har bir fiksirlangan k T3 uchun C \ [ wmin (k ), wmax (k )] sohada regulyar
bo‘lgan
v 2 (t )dt
(k ; z ) := u (k )  z   3
T w( k , t )  z
funksiyani qaraymiz.
Faraz qilaylik, w(, ) funksiya yagona (k0 , p0 )  (T3 )2 nuqtada aynimagan
minimumga va yagona (k1 , p1 )  (T3 )2 nuqtada aynimagan maksimumga ega hamda
m := w(k0 , p0 ), M := w(k1 , p1 )
bo‘lsin.
[17] maqolada A (k ) umumlashgan Fridrixs modelining W (A (k )) sonli tasviri
haqidagi quyidagi natija isbotlangan.
1.11-teorema. Agar
max (k ; m) < 0, min (k ; M ) > 0
kT3
kT3
shartlar bajarilsa, u holda istalgan k T3 uchun A (k )) operator e(k ) va E (k )
xos qiymatlarga ega hamda W (A (k )) = [e(k ), E (k )] tenglik o‘rinlidir.
[18] maqolada va E.B.Dilmurodovning falsafa doktori (PhD) dissertatsiya [19]
ishida d o‘lchamli panjaradagi soni saqlanmaydigan va ikkitadan oshmaydigan
zarrachalar sistemasiga mos hamda ikkinchi tartibli operatorli matritsa ko‘rinishidagi
A umumlashgan Fridrixs modeli qaralgan. A operator W (A ) sonli tasviri
yopig‘ining tuzilishi uning matritsaviy elementlari yordamida Td torning barcha
21
o‘lchamlarida tadqiq qilingan. W (A ) sonli tasvir yopiq to‘plam bo‘ladigan hollar
ajratilgan. Bo‘sag‘aviy hodisalar metodidan foydalanib, A umumlashgan Fridrixs
modeli spektri va sonli tasviri ustma-ust tushish shartlari topilgan.
1.3. Panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga mos model
operatorlar uchun olingan ayrim natijalar tahlili
Bu bo‘limda turli ko‘rinishda Fridrixs modellari uchun olingan natijalar va
ularning panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos model operatorlar spektral
xossalarini tadqiq qilishdagi ahamiyatiga bag‘ishlangan ilmiy adabiyotlar tahlilini
keltiramiz.
L2 [ 1,1] Hilbert fazosida
1
H  f ( x) = xf ( x)    K ( x, y) f ( y)dy
1
tenglik yordamida aniqlangan operator birinchi marta Fridrixs [20] tomonidan uzluksiz
spektr qo‘zg‘alishlari nazariyasi modeli sifatida qaralgan. Bunda K (, ) funksiya o‘z
o‘zgaruvchilarining uzluksiz funksiyasi bo‘lib, Gyolder shartlarini, shu bilan bir
qatorda
K ( x, 1) = K ( x,1) = K (1, y) = K (1, y) = 0, x, y [1,1]
shartlarni qanoatlantirishi talab qilingan. Fridrixs mazkur holda  R parametrning
yetarlicha kichik barcha qiymatlarida H  va H 0 operatorlarning unitar ekvivalent
ekanligini, ya’ni H  operator [1,1] to‘plamga teng oddiy Lebeg spektriga ega
bo‘lishini isbotlagan.
1948 yilda [21] maqolada Fridrixs o‘z modelini quyidagicha umumlashtirish
masalasini taklif qilgan: birinchidan, [1,1] kesmaning o‘rniga haqiqiy sonlar
o‘qidagi ixtiyoriy chekli yoki cheksiz bo‘lgan l intervalni qarash, ikkinchidan, f
funksiyanining qiymatlari biror  abstrakt Hilbert fazodan bo‘lgan holni qarash. l
cheksiz interval bo‘lgan holda K (, ) yadroga cheksizlikda kamayish talabini qo‘ygan
holda, Fridrixs tomonidan H  va H 0 operatorlar bu umumiy holda ham unitar
22
ekvivalent bo‘lishini isbotlagan.
Keyinchalik
Fridrixsning
[20,
21]
natijalari
O.A.Ladijenskaya,
L.D.Faddeyevlarning [22] maqolasida va L.D.Faddeyevning [23] maqolasida
rivojlantirildi. K ( x, y ) yadroli integral operator  Hilbert fazosida kompakt operator
bo‘lsa hamda bu yadro  >1/ 2 ko‘rsatkich bilan Gyolder shartini qanoatlantirsa, u
holda [22] va [23] maqolalarda Fridrixs modelida qo‘zg‘alishning yetarlicha kichiklik
shartini olib tashlash mumkinligi ko‘rsatilgan. Bu holda istalgan  R uchun H 
operator l intervalga teng absolyut uzluksiz spektrga ega bo‘lishi va chekli sondagi
chekli karrali xos qiymatlarga ega bo‘lishi isbotlangan. Biroq Gyolder ko‘rsatkichi
uchun  <1/ 2 bo‘lsa, u holda singulyar uzluksiz spektr paydo bo‘lishi va
quyuqlashish nuqtaga ega cheksiz sondagi xos qiymatlarning mavjud bo‘lishi
isbotlangan.
Faraz qilaylik, C bir o‘lchamli kompleks fazo, L2 (Td ) esa Td da aniqlangan
kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar Hilbert fazosi va  := C  L2 (Td ) bo‘lsin.
 Hilbert fazosida
H
H =  00
*
 H 01
H 01 
H11 ( K ) 
(1.1)
kabi aniqlangan ikkinchi tartibli operatorli matritsani qaraymiz. Uning matritsaviy
elementlari quyidagicha aniqlangan:
H 00 f0 = a f0 , H 01 f1 =  db( y) f ( y)dy;
T
( H11 ( K ) f )( x) = u( x) f ( x)   d K ( x, y) f ( y)dy.
T
Bu yerda a  R fiksirlangan haqiqiy son; b() va u () funksiyalar Td da
aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyalar, K ( x, y) = K ( y, x) esa (Td )2 da
aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiya.
Umumlashgan Fridrixs modeli deb ataluvchi va (1.1) tenglik orqali ta’sir
23
qiluvchi operator akademik S.N.Laqayev tomonidan [24] ishda kiritilgan. u () va
K (, ) funksiyalarga qo‘yilgan ba’zi shartlarda xos qiymatlar sonining chekli bo‘lishi,
rezonanslari hamda xos qiymatlar bilan rezonanslarning bog‘liqligi o‘rganilgan.
I.A.Ikromov va F.Sharipovlarning [25] maqolasida analitik bo‘lmagan holda H 
operator diskret spektri chekli to‘plam bo‘lishi isbotlangan.
[6] maqolada Z3 uch o‘lchamli panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos 1
o‘lchamli qo‘zg‘alishga ega h ( p) , p T3 ,  > 0 Fridrixs modellari oilasi qaralgan.
Agar h (0) operator bo‘sag‘a energiyali rezonansga (virtual sathga) yoki bo‘sag‘aviy
xos qiymatga ega bo‘lsa, u holda p parametrning barcha nolmas qiymatlarida h ( p)
operator muhim spektrdan chapda yotuvchi yagona xos qiymatga ega bo‘lishi
isbotlangan. Bundan tashqari, Fridrixs modellari oilasiga mos Fredgolm determinanti
uchun asimptotik formula olingan.
Rd Yevklid fazosidagi va Zd panjaradagi uch zarrachali Shryodinger
operatorlarining spektral nazariyasida bunday operatorlar chekli yoki cheksiz sondagi
xos qiymatlarning mavjudligini o‘rganish masalasi dolzarb hisoblanadi. Rd Yevklid
fazosidagi uch zarrachali Shryodinger operatori uchun potensialga qo‘yilgan ma’lum
shartlarda muhim spektrdan chapda cheksiz sondagi xos qiymatlar paydo bo‘lish
hodisasi dastlab V.N.Yefimov [26] tomonidan aniqlangan. Uning qat’iy matematik
isboti birinchi bo‘lib D.R.Yafayev [27] tomonidan berilgan. Keyinchalik esa
Yu.Ovchinnikov va I.M.Sigal [28], H.Tamuralar [29], A.V.Sobolev [30] tomonidan
isbotlangan.
Birinchi bo‘lib [31] maqolada akademik S.N.Laqayev tomonidan sistema to‘la
kvaziimpulsining fiksirlangan qiymatida panjaradagi juft-jufti bilan kontakt
ta’sirlashuvchi uchta ixtiyoriy zarrachalar sistemasiga mos Shryodinger operatori
uchun Yefimov hodisasi isbotlangan.
S.N.Laqayevning [32] maqolasida esa panjaradagi juft-jufti bilan kontakt
24
ta’sirlashuvchi uchta bir xil zarrachalar sistemasiga mos Shryodinger operatori alohida
bozon energiyasi bo‘lgan  () funksiyaga qo‘yilgan umumiy farazlarda o‘rganilgan.
K  M  T3 to‘la kvaziimpulsning faqat aniq qiymatlaridagina Yefimov hodisasi
mavjud bo‘lishi mumkinligi ko‘rsatilgan, bu yerda M  T 3 dagi koo‘lchami 1 ga teng
ko‘pxillik.
[33] maqolada panjaradagi juft-jufti bilan kontakt ta’sirlashuvchi uchta bir xil
zarrachalar sistemasiga mos H  ( K ) operator o‘rganilgan. K  M  T3 to‘la
kvaziimpuls K  0 va z  0 bo‘lganda, H 0 ( K ) operatorning 0 dan chapda
joylashgan xos qiymatlar soni N ( K , z ) uchun asimptotika topilgan
[34] maqolada Fridrixs modeli dispersiya funksiyasi maxsus ko‘rinishga ega
bo‘lgan hol uchun tahlil qilingan. Bunda dispersiya funksiyasi bir nechta nuqtalarda
aynimagan minimumga ega bo‘lishi ko‘rsatilgan.  () parametr funksiyaning bu
nuqtalardagi qiymati 0 ga teng bo‘lishi yoki nolmas qiymatga ega bo‘lishidan bog‘liq
ravishda Fridrixs modeli nol energiyali rezonansga yoki z = 0 nuqtada bo‘sag‘aviy
xos qiymatga ega bo‘lishi isbotlangan. Mos Fredgolm determinanti uchun asimptotik
yoyilma topilgan. Agar Fridrixs modeli nol energiyali rezonansga yoki z = 0 nuqtada
bo‘sag‘aviy xos qiymatga ega bo‘lsa, o‘zining muhim spektridan tashqarida yotuvchi
xos qiymatlarga ega emasligi isbotlangan. Fridrixs modeli uchun olingan natijalar
yordamida panjaradagi uch zarrachali sistemaga mos model operator uchun Yefimov
hodisasining mavjudligi isbotlangan hamda xos qiymatlar soni uchun asimptotik
formula topilgan.
[35] maqolada kompakt qo‘zg‘alishli Fridrixs modelining spektral xossalari
o‘rganilgan. Xususan, uning muhim spektri topilgan, muhim spektr absolyut uzluksiz
spektr bo‘la olmasligini ko‘rsatuvchi u (, ) parametr funksiyaga misol keltirilgan.
Qo‘zg‘alish operatorining musbat operator ekanligi isbotlangan va uning musbat
kvadrat ildizi topilgan. Nollari to‘plami qaralayotgan Fridrixs modelining diskret
25
spektri bilan ustma-ust tushuvchi Fredgolm determinanti umumiy holda qurilgan.
Fridrixs modeli uchun olingan natijalar panjaradagi uch zarrachali model operator
muhim spektrining joylashuv o‘rnini aniqlashda qo‘llanilgan.
[3] maqolada qo‘zg‘alish operatori ikki o‘lchamli Fredgolm operatori bo‘lgan
Fridrixs modeli tadqiq qilingan. Uning Fredgolm determinanti qurilgan va monoton
emasligi isbotlangan. Fridrixs modeli xos qiymatlarining soni, joylashuv o‘rni va
mavjudlik shartlari topilgan. Bu natijalar panjaradagi lokal bo‘lmagan potensialga ega
uch zarrachali model operator muhim spektrining ikki va uch zarrachali tarmoqlarining
joylashuv o‘rni, tuzilishi va uni tashkil qiluvchi kesmalar sonini aniqlash imkonini
bergan.
[5] maqolada uch o‘lchamli panjaradagi ikkita bir xil zarrachalar sistemasiga
mos keluvchi ikkita chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lgan bir
o‘lchamli qo‘zg‘alishga ega Fridrixs modellari oilasi o‘rganilgan. Muhim spektrdan
chapda yotuvchi xos qiymatlarning mavjudlik shartlari topilgan. Fridrixs modellari
oilasi uchun bo‘sag‘aviy xos qiymat va nol energiyali rezonansning mavjudlik shartlari
tahlil qilingan. Fredgolm determinanti uchun asimptotik yoyilma topilgan. Olingan
natijalar panjaradagi uchta bir xil zarrachalar sistemasiga mos model operator xos
qiymatlari sonining chekli yoki cheksiz ekanligini ko‘rsatishda hamda xos qiymatlar
soni uchun asimptotik formula topishda qo‘llanilgan.
[6] maqolada esa [5] maqoladan farqli o‘laroq uch o‘lchamli panjaradagi ikkita
har xil zarrachali sistemaga mos Fridrixs modellari oilasi tadqiq qilingan. Bu holda
Fridrixs modeli uchun quyidagi natijalar olingan:
– Veyl teoremasi yordamida muhim spektri o‘rganilgan;
– muhim spektrdan chapda joylashgan xos qiymatlar soni haqida ma’lumot
berilgan;
– Fredgolm determinanti uchun asimptotik yoyilma olingan;
– bo‘sag‘aviy xos qiymat va virtual sathning mavjudlik shartlari topilgan.
Olingan natijalar panjaradagi uchta har xil zarrachalar sistemasiga mos model
26
operator xos qiymatlari sonining chekli yoki cheksiz ekanligini ko‘rsatishda hamda xos
qiymatlar soni uchun asimptotik formula topishda qo‘llanilgan.
[36] ishida panjaradagi uchta ixtiyoriy zarrachalar sistemasiga mos gamiltonian
muhim spektrining bo‘shlig‘ida cheksiz sondagi xos qiymatlar mavjudligi isbotlangan.
[12] maqolada cheksiz separabel Hilbert fazosida aniqlangan o‘z-o‘ziga qo‘shma
kompakt operatorlar tenzor yig‘indisining muhim va diskret spektrlari o‘rganilgan. [37]
maqolada uch zarrachali model operator muhim spektrining tuzilishi tadqiq qilingan.
Manfiy xos qiymatlarning mavjudligi isbotlangan va manfiy xos qiymatlar soni uchun
baholash olingan. [38] maqolada uch zarrachali model Shryodinger operatori uchun
cheksiz sondagi xos qiymatlarning mavjudligi masalasi o‘rganilgan. Model operator
muhim spektridan chapda yotuvchi cheksiz sondagi xos qiymatlar mavjud bo‘lishining
zaruriy va yetarlilik shartlari topilgan.
27
I bob xulosasi
Dissertatsiya ishining I bobida operatorlar spektral nazariyasidan yaxshi ma’lum
bo‘lgan dastlabki ma‘lumotlar va muhim faktlar, chiziqli operatorning sonli tasviri
tushunchasi va uning asosiy xossalari hamda panjaradagi ikki va uch zarrachali
sistemalarga mos model operatorlarning spektral xossalari bilan bog‘liq natijalar tahlil
qilingan.
Ishning 1.1-paragrafida keyingi boblarning asosiy natijalarini bayon qilishda va
isbotlashda zarur bo‘ladigan asosiy ta’riflar, tushunchalar, tasdiqlar va teoremalar
keltirilgan. Xususan, Hilbert fazosidagi chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma
operatorning spektri hamda uning ikki turdagi klassifikatsiyasi yoritilgan. Kompakt
qo‘zg‘alishlarda muhim spektrning o‘zgarmasligi haqidagi Veyl teoremasi, Veyl
mezoni, Fredgolmning analitik teoremasi kabi klassik natijalar o‘z aksini topgan.
Bundan tashqari, operatorlarning tenzor ko‘paytmasi va tenzor yig‘indisi tushunchalari
keltirilgan hamda ularning spektrlari haqida qisqacha ma’lumotlar bayon qilingan.
Dissertatsiyaning 1.2-paragrafida chiziqli operatorlar uchun sonli tasvir
tushunchasi keltirilgan hamda uning asosiy xossalari yoritilgan. Xususan, chiziqli
chegaralangan operatorning sonli tasviri markazi koordinata boshida va radiusi
operator normasiga teng yopiq doirada yotishi; o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning sonli
tasviri haqiqiy sonlar o‘qida yotishi, ikkita unitar ekvivalent operatorlarning sonli
tasvirlari teng bo‘lishi, chiziqli operatorning nuqtali spektri uning sonli tasvirida yotishi
kabi ajoyib xossalarga ega bo‘lishi qayd qilingan.
1.3-paragrafda panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga mos model
operatorlarning muhim va diskret spektri bilan hamda ular uchun xos qiymatning
mavjudligi bilan bog‘liq ilmiy natijalar tahlili keltirilgan.
28
II bob. Fridrixs modelini muhim va diskret spektrlari tadqiqi
Dissertatsiya ishining ikkinchi bobida panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos
model operator (Fridrixs modeli) xos qiymatlarining soni va joylashuv o‘rni hamda
ularning mavjudlik shartlari; bo‘sag‘aviy xos qiymat yoki virtual sath mavjud
bo‘lishining zaruriy va yetarlilik shartlari; sonli tasvirning tuzilishi tadqiq qilingan.
2.1 Fridrixs modeli xos qiymatlarining mavjudlik shartlari
Td = ( ; ]d orqali d (d  N)  o‘lchamli torni, L2 (Td ) orqali Td torda
aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatli)
funksiyalarning Hilbert fazosini belgilaymiz.
L2 (Td ) Hilbert fazosida
h , := h0,0   k1   k2
tenglik yordamida ta’sir qiluvchi operatorni qaraymiz. Bunda  ,  > 0 haqiqiy sonlar
ta’sirlashish parametrlari, h0,0 operator u () funksiyaga ko‘paytirish operatori bo‘lib,
L2 (Td ) Hilbert fazosida
(h0,0 g )( p) = u( p) g ( p)
kabi aniqlangan. k ,  =1,2 potensial operatorlari deb ataladi hamda L2 (Td )
Hilbert fazosida
(k ) g ( p) = v ( p)  dv (t ) g (t )dt ,  =1,2
T
kabi aniqlangan. Bu yerda u () va v (),  =1,2 funksiyalar Td torda aniqlangan
haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyalar bo‘lib, v1 () va v2 () funksiyalar chiziqli
bog‘lanmagan elementlar.
2.1-lemma. L2 (Td ) Hilbert fazosida aniqlangan h , Fridrixs modeli chiziqli,
chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘ladi.
Isbot. Dastlab
h ,
Fridrixs modelining chiziqli operator ekanligini
ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyоriy  ,  C kоmpleks sоnlari va ixtiyоriy
29
f , g  L2 (Td ) elementlar uchun
h , ( f   g ) =  h , f   h , g
tenglik bajarilishini kо‘rsatish yetarlidir.
Haqiqatan ham,
 h ( f   g )  ( p) = u( p)  f ( p)   g ( p)   v ( p) v (t )  f (t )   g (t )  dt 
 ,
1
Td 1
v2 ( p) dv2 (t )  f (t )   g (t )  dt = u( p) f ( p)   u( p) g ( p) 
T
v1 ( p) dv1 (t ) f (t )dt  v1 ( p)  dv1 (t ) g (t )dt 
T
T
 v2 ( p) dv2 (t ) f (t )dt  v2 ( p)  dv2 (t ) g (t )dt =  h , f ( p)   h , g ( p).
T
T
Demak, h , Fridrixs modeli chiziqli оperatоr ekan.
Endi h , Fridrixs modelining chegaralangan operator ekanligini isbоtlaymiz.
Buning uchun shunday C > 0 sоni tоpilib, ixtiyоriy f  L2 (Td ) element uchun
|| h , f || C || f ||
tengsizlik bajarilishini kо‘rsatish yetarli. Bu yerda f  L2 (Td ) elementning normasi

|| f ||  d | f ( p) |2dp
T

1/2
tenglik orqali hisoblanadi.
h , Fridrixs modelining chegaralangan ekanligini kо‘rsatish uchun || h , f ||2
ifodani qaraymiz va uni quyidagicha bahоlaymiz:
|| h , f ||2 =  d | (h , f )( p) |2 dp =
T
2
=  d u( p) f ( p)  v1 ( p)  dv1 (t ) f (t )dt  v2 ( p)  dv2 (t ) f (t )dt dp 
T
T
T
2
 3 d | u( p) f ( p) |2 dp  3  d v1 ( p)  dv1 (t ) f (t )dt dp 
T
T
30
T
2
3  d v2 ( p)  dv2 (t ) f (t )dt dp 
T
T


 3  max | u ( p) |2   || v1 ||4  || v2 ||4   d | f (t ) |2 dt =
 pTd
 T


= 3  max | u ( p) |2   || v1 ||4  || v2 ||4  || f ||2 .
 pTd

Oxirgi tengsizlikni hosil qilishda istalgan a, b, cR sonlari uchun o‘rinli
bo‘lgan
a  b  c  3(a 2  b2  c 2 )
2
elementar tengsizlikdan foydalanildi.
Shunday qilib,


|| h , f || C || f ||, C  3 max | u ( p) |2   || v1 ||4  || v2 ||4 .
 pTd

Demak, h , Fridrixs modeli chegaralangan оperatоr ekan.
h , Fridrixs modeli о‘z-о‘ziga qо‘shma оperatоr ekanligini, ya’ni istalgan
f , g  L2 (Td ) elementlar uchun (h , f , g ) = ( f , h , g ) tenglik o‘rinli bo‘lishini
tekshiramiz. Dastlab f , g  L2 (Td ) elementlar uchun ularning skalyar ko‘paytmasi
( f , g )   d f ( p) g ( p)dp
T
tenglik yordamida aniqlanishini ta’kidlab o‘tamiz.

(h , f , g ) =  d (h , f )( p) g ( p)dp =  d u( p) f ( p)  v1( p)  dv1(t ) f (t )dt 
T
T
T

 v2 ( p) dv2 (t ) f (t )dt g ( p)dp =  du( p) f ( p) g ( p)dp 
T

T



  d v1 ( p) dv1 (t ) f (t )dt g ( p)dp    d v2 ( p)  dv2 (t ) f (t )dt g ( p)dp =
T
T
T
T
=  d f ( p)u( p) g ( p)dp    d f ( p)v1 ( p)  dv1(t ) g (t )dtdp 
T
T
31
T
  d f ( p)v2 ( p) dv2 (t ) g (t )dtdp =  d f ( p)h , g ( p)dp = ( f , h , g ).
T
T
T
Oxirgi tengliklarni hosil qilishda u () va v (),   1,2 funksiyalarning
haqiqiy qiymatli ekanligidan foydalanildi.
Shunday qilib, h , Fridrixs modeli о‘z-о‘ziga qо‘shma оperatоr ekan. Lemma
to‘liq isbotlandi.
h , Fridrixs modelining muhim spektrini topish maqsadida   k1   k2
qo‘zg‘alish operatorining 2 o‘lchamli ekanligini ko‘rsatamiz. Dastlab bu operatorning
qiymatlar sohasini topamiz.   k1   k2 operatorning aniqlanishiga ko‘ra
Im( k1   k2 ) = {g  L2 (Td ) : g ( p) = v1 ( p)C1  v2 ( p)C2 ; C1, C2  C}.
v1 () va v2 () funksiyalar chiziqli bog‘lanmagan funksiyalar bo‘lganligi bois
dim(Im(  k1   k2 )) = 2 tenglik o‘rinlidir, ya’ni   k1   k2 qo‘zg‘alish operatori 2
o‘lchamli operator ekan.
Chekli o‘lchamli qo‘zg‘alishlarga muhim spektrning o‘zgarmasligi haqidagi
mashhur Veyl teoremasiga ko‘ra [8], h , Fridrixs modelining muhim spektri h0,0
ko‘paytirish operatorining muhim spektri bilan ustma-ust tushadi. Bizga yaxshi
ma’lumki, h0,0 ko‘paytirish operatori sof muhim spektrga ega va
 ess (h0,0 ) = [ E1; E2 ]
tenglik o‘rinlidir. Bu yerda E1 va E 2 sonlari
E1 = min u ( p),
pTd
E2 = max u ( p)
pTd
tengliklar yordamida aniqlanadi.
Oxirgi ikkita mulohazalardan h , Fridrixs modelining muhim spektri uchun
 ess (h , ) = [ E1; E2 ]
tenglikni hosil qilamiz.
Har bir  ,  > 0 sonlari uchun C \ [ E1; E2 ] sohada regulyar bo‘lgan
32
(2)
2
 , ( z) := (1)
 ( z ) ( z )   I12 ( z )
funksiyani qaraymiz, bunda (1)
 (),
va I (),  ,  = 1,2 funksiyalar
 (2)
 ()
C \ [ E1; E2 ] sohada
(1)
(2) ( z) :=1   I 22 ( z),
 ( z ) :=1   I11 ( z ),
v (t )v (t )
I ( z ) :=  d 
dt ,  ,  = 1,2
T
u (t )  z
kabi aniqlangan. Odatda   , () funksiyaga h , Fridrixs modeliga mos Fredgolm
determinanti deyiladi hamda bu funksiya h , Fridrixs modelining diskret spektrini
tadqiq qilishda muhim ahamiyat kasb etadi.
Quyida h , Fridrixs modeli xos qiymatlari va   , () Fredgolm determinanti
nollari orasidagi bog‘lanishni ifodalovchi lemmani keltiramiz.
2.2-lemma. z C \ [ E1; E2 ] soni h , Fridrixs modelining xos qiymati bo‘lishi
uchun   , ( z ) = 0 bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik,
z C \ [ E1; E2 ]
soni
h ,
Fridrixs
modelining xos qiymati, f  L2 (Td ) esa unga mos xos funksiya bo‘lsin. U holda f
funksiya
h , f ( p) = zf ( p)
tenglamani, ya’ni,
u( p) f ( p)  v1 ( p)  dv1 (t ) f (t )dt  v2 ( p)  dv2 (t ) f (t )dt = zf ( p)
T
T
(2.1)
tenglikni qanoatlantiradi.
Quyidagicha belgilash kiritamiz:
d :=  dv (t ) f (t )dt ,  =1,2.
T
(2.2)
(2.1) tenglikdan f ( p ) funksiyani (2.2) belgilashni inobatga olgan holda quyidagi
33
f ( p) =
v1 ( p)d1  v2 ( p)d 2
(2.3)
u ( p)  z
ko‘rinishda aniqlaymiz.
(2.3) tenglik yordamida aniqlangan f ( p ) funksiyani (2.2) belgilashga qo‘yib
d1 =  dv1 (t )
v1 (t )d1  v2 (t )d2
d2 =  dv2 (t )
T
dt;
(2.4)
dt
(2.5)
u(t )  z
T
v1 (t )d1  v2 (t )d2
u(t )  z
tengliklarni hosil qilamiz. (2.4) va (2.5) tengliklarni ushbu



v12 (t )
v1 (t )v2 (t ) 
1


dt
d


dt  d 2 = 0


1

d
d


T u (t )  z
T u (t )  z







v1 (t )v2 (t ) 
v22 (t )


dt
d

1


dt
 Td
 1 
Td u (t )  z  d2 = 0
u (t )  z 


(2.6)
tenglamalar sistemasi ko‘rinishida yozib olamiz. (2.6) tenglamalar sistemasi noldan
farqli yechimga ega bo‘lishi uchun uning asosiy determinanti nolga teng bo‘lishi, ya’ni
(2)
2
 , ( z) = (1)
 ( z ) ( z )   I12 ( z ) = 0
bo‘lishi lozim. Lemma tasdig‘ining zaruriylik qismi isbotlandi.
Yetarliligi. Faraz qilaylik, biror z C \ [ E1; E2 ] soni uchun   , ( z ) = 0 tenglik
o‘rinli bo‘lsin. U holda (2.3) tenglik yordamida aniqlangan
f ( p) funksiya
h , f ( p) = zf ( p) tenglamani qanoatlantiradi va f  L2 (Td ) munosabat bajariladi.
Shu sababli z C \ [ E1; E2 ] soni h , Fridrixs modelining xos qiymati bo‘ladi.
Lemma to‘liq isbotlandi.
2.2-lemmadan h , Fridrixs modelining diskret spektri uchun
 disc (h , ) = {z  C \ [ E1; E2 ]:   , ( z) = 0}
tenglik kelib chiqadi.
Ikki o‘lchamli qo‘zg‘alishga ega h , Fridrixs modeli bilan birgalikda
34
chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lgan ikkita h(1) , h(2) Fridrixs modellarini
qaraymiz. Ular L2 (Td ) Hilbert fazosida
h(1) := h0,0  k1, h(2) := h0,0  k2
kabi aniqlangan operatorlardir. Ta’rifga binoan k ,   1,2 integral operatorlar bir
o‘lchamli bo‘ladi. Bundan tashqari ular musbat operatorlardir. Haqiqatdan ham,
istalgan g  L2 (Td ) element uchun


(k g , g )   d (k g )( p) g ( p)dp   d v ( p)  d v (t ) g (t )dt g ( p)dp 
T
T
T
2
  d v (t ) g (t )dt  d v (t ) g (t )dt   d v (t ) g (t )dt  0
T
T
T
munosabatlar o‘rinlidir. Bu esa k  0,   1, 2 ekanligini bildiradi.
(1)
(2)
(2)
Ta’kidlash joizki, (1)
Fridrixs modellarga
 (),   () funksiyalar h , h
mos keluvchi Fredgolim determinanti deyiladi va sodda mulohazalarga ko‘ra
 disc (h(1) ) = {z  C \ [ E1; E2 ]: (1)
 ( z) = 0};
(2.7)
 disc (h(2) ) = {z  C \ [ E1; E2 ]: (2)
 ( z ) = 0};
(2.8)
 (h(1) ) = [ E1; E2 ] {z  C \ [ E1; E2 ]: (1)
 ( z) = 0};
(2.9)
 (h(2) ) = [ E1; E2 ]  {z  C \ [ E1; E2 ]: (2)
 ( z ) = 0}
(2.10)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Faraz qilaylik, a  R bo‘lsin. L Hilbert fazosida ta’sir qiluvchi har qanday
chegaralangan o‘z-o‘ziga qo‘shma
A operator uchun LA ( a ) orqali istalgan
f  LA (a ) uchun ( Af , f )  a || f ||2 tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalar qism
fazosini belgilaymiz va
N (a, A) := sup dimLA (a )
LA ( a )
kabi belgilash olamiz.
Agar a  min  ess ( A) bo‘lsa, u holda N (a, A) soni cheksizga teng bo‘ladi, agar
35
N (a, A) soni chekli bo‘lsa, u holda bu son A operatorning a dan kichik (karraligi
bilan hisoblaganda) xos qiymatlari soniga teng bo‘ladi.
supp v()
orqali
v()
funksiya tashuvchisini,
mes()
orqali
  Td
to‘plamning Lebeg o‘lchovini belgilaymiz.
2.1-teorema. A) h , Fridrixs modeli E1 dan chapda va E 2 dan o‘ngda
joylashgan ko‘pi bilan bittadan sodda xos qiymatga ega.
B) Agar
mes(supp{v1 ()}  supp{v2 ()})  0
(2.11)
bo‘lsa, u holda z C \ [ E1; E2 ] soni h , Fridrixs modelining xos qiymati bo‘lishi
uchun z C \ [ E1; E2 ] soni h(1) va h(2) Fridrixs modellardan birining xos qiymati
bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. A) k1 , k 2 operatorlar nomanfiy bo‘lganligi uchun h ,  h(1) ekanligini
oson ko‘rsatish mumkin va shu sababli
Lh
 ,
(a)  L (1) (a), a  E1
h
munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa
N (a, h , )  N (a, h(1) ), a  E1
(2.12)
ekanligi kelib chiqadi.
h(1) Fridrixs modeliga mos (1)
 () Fredgolm determinanti ( ; E1 ) oraliqda
monoton kamayuvchi bo‘lganligi uchun N ( E1, h(1) )  1 bo‘ladi. Demak, (2.12)
tengsizlikga ko‘ra N ( E1 , h , )  1 . Belgilanishiga ko‘ra, h , Fridrixs modeli E1 dan
chapda yotuvchi ko‘pi bilan bitta oddiy xos qiymatga ega bo‘ladi. Xuddi shu kabi
N ( E2 , h , )  1 ekanligini isbotlash mumkin. 2.1-teoremaning
A)
tasdig‘i
isbotlandi.
B) Faraz qilaylik, z C \ [ E1; E2 ] soni h , Fridrixs modeli uchun xos qiymat
36
va f  L2 (Td ) esa unga mos xos funksiya bo‘lsin. U holda f funksiya h , f = zf
tenglamani, ya’ni (2.1) tenglikni qanoatlantiradi.
f uchun topilgan (2.3) ifodani (2.2) tenglikga qo‘yib va (2.11) shartni inobatga
olib, (2.1) tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun
 (1)
 ( z ) d1 = 0
(2.13)
 (2)
 ( z )d 2 = 0
tenglamalar sistemasi nolmas (d1, d2 ) C2 yechimga ega bo‘lishi, ya’ni
(2)
(1)
 ( z )   ( z ) = 0
bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini hosil qilamiz.
2.1-eslatma. h(1) va h(2) Fridrixs modellarning aniqlanishidan ko‘rinib
turibdiki, ular h , Fridrixs modeliga nisbatan sodda ko‘rinishga ega. Shu sababli, 2.1teorema h , Fridrixs modelining odatdagi va bo‘sag‘aviy xos qiymatlarini, virtual
sathlarini hamda sonli tasvirini o‘rganishga muhim ahamiyat kasb etadi.
2.1-teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
2.1-natija. Agar (2.11) shart bajarilsa, u holda h , Fridrixs modeli diskret
spektri uchun
 disc (h , ) =  disc (h(1) )   disc (h(2) )
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
I (),  =1,2 funksiya (; E1 ) va ( E2 ; ) oraliqlarda monoton o‘suvchi
bo‘lganligi uchun Lebeg integrali ostida limitga o‘tish haqidagi teoremaga ko‘ra
I11 ( E1 ) = lim I11 ( z), I 22 ( E2 ) = lim I 22 ( z)
z E10
z E2 0
chekli yoki cheksiz limitlar mavjud bo‘ladi.
Ushbu
| I ( E ) |< ,  = 1,2
shart bajarilganda quyidagicha
37
0 = ( I11 ( E1 ))1, 0 = ( I 22 ( E2 ))1
belgilash kiritamiz.
Quyidagi teorema h(1) Fridrixs modeli xos qiymatlari to‘plamini ifodalaydi.
2.2-teorema. A) Agar I11 ( E1 ) =  bo‘lsa, u holda  > 0 parametrning
barcha qiymatlarida h(1) Fridrixs modeli E1 dan chapda yotuvchi yagona xos
qiymatga ega bo‘ladi.
B) Faraz qilaylik, I11 ( E1 ) <  bo‘lsin.
B1 ) Agar 0 <   0 bo‘lsa, u holda h(1) Fridrixs modeli (; E1 ) oraliqda
xos qiymatlarga ega emas;
B2 ) agar  > 0 bo‘lsa, u holda h(1) Fridrixs modeli E1 dan chapda yotuvchi
yagona xos qiymatga ega.
C )  > 0 parametrning barcha qiymatlarida h(1) Fridrixs modeli ( E2 ; )
oraliqda yotuvchi xos qiymatlarga ega emas.
Isbot. A) Faraz qilaylik, I11 ( E1 ) =  bo‘lsin. U holda har bir  > 0 soni
uchun
lim   ( z ) = 
(1)
z  E1 0
tenglik o‘rinli.
(1)
 () uzluksiz funksiyaning ( ; E1 ) oraliqda monotonligiga va
lim   ( z ) = 1
(1)
z 
(2.14)
tenglikka ko‘ra shunday yagona E1 (  )  (; E1 ) soni topilib, (1)
 ( E1 (  )) = 0 tenglik
bajariladi. Shu sababli, (2.7) tenglikka ko‘ra E1 (  ) < E1 soni h(1) Fridrixs modeli
uchun xos qiymat bo‘ladi.
B) Faraz qilaylik, I11 ( E1 ) <  bo‘lsin.
38
B1 ) 0 <   0 shart bajarilsin. (1)
 () funksiya ( ; E1 ) oraliqda monoton
kamayuvchi bo‘lganligi uchun har bir z < E1 uchun
(1)
(1)
1
 (1)
 ( z ) >   ( E1 )    ( E1 ) = 1  0 ( I11 ( E1 )) = 0
0
munosabatlar o‘rinli bo‘ladi.
Shunday qilib, (2.7) tenglikka ko‘ra h(1) Fridrixs modeli (; E1 ) oraliqda xos
qiymatlarga ega emas.
B2 ) Faraz qilaylik,   0 bo‘lsin. (1)
oraliqda
 () funksiya ( ; E1 )
uzluksiz
va
monoton
kamayuvchidir.
Shu
sababli
(1)
(1)
1
 (1)
 ( E1 )    ( E1 ) = 1  0 ( I11 ( E1 )) = 0 munosabat o‘rinli.   ( E1 )  0 va (2.14)
0
tenglikka ko‘ra shunday yagona E1 (  )  (; E1 ) soni topilib, (1)
 ( E1 (  )) = 0
tenglik o‘rinli bo‘ladi. (2.7) tenglikka ko‘ra E1 (  ) < E1 soni h(1) Fridrixs modeli
uchun xos qiymat bo‘ladi.
C ) Ixtiyoriy  > 0 va z > E2 sonlari uchun (1)
 ( z ) > 1 tengsizlik o‘rinlidir.
Bundan (2.7) tenglikni inobatga olib ixtiyoriy  > 0 soni uchun h(1) Fridrixs modeli
( E2 ; ) oraliqda xos qiymatlarga ega bo‘lmasligini hosil qilamiz. 2.2-teorema to‘liq
isbotlandi.
Quyidagi teorema h(2) Fridrixs modelining xos qiymatlar to‘plamini tavsiflaydi.
2.3-teorema. A) Agar I 22 ( E2 ) =  bo‘lsa, u holda  > 0 parametrning
barcha qiymatlarida h(2) Fridrixs modeli E 2 dan o‘ngda yotuvchi yagona xos
qiymatga ega bo‘ladi.
B) Faraz qilaylik, | I 22 ( E2 ) |<  bo‘lsin.
B1 ) Agar 0 <   0 bo‘lsa, u holda h(2) Fridrixs modeli ( E2 ; ) oraliqda
xos qiymatlarga ega emas;
39
B2 ) agar  > 0 bo‘lsa, u holda h(2) Fridrixs modeli E 2 dan o‘ngda yotuvchi
yagona xos qiymatga ega.
C )  > 0 parametrning barcha qiymatlarida h(2) Fridrixs modeli (; E1 )
oraliqda yotuvchi xos qiymatlarga ega emas.
Isbot. A) Faraz qilaylik, I 22 ( E2 ) =  bo‘lsin. U holda har bir  > 0 soni
uchun
lim   ( z ) = 
(2)
z  E2  0
tenglik o‘rinli.
(2)
 ( z)
uzluksiz
funksiyaning
( E2 ;   )
oraliqda
monotonligiga
(2)
lim   ( z ) = 1 tenglikka ko‘ra shunday yagona E2 ( )  ( E2 ;  )
z 
va
soni topilib,
(2)
 ( E2 ( )) = 0 tenglik bajariladi. Shu sababli, (2.8) tenglikka ko‘ra E2 ( )  E2 soni
h(2) Fridrixs modeli uchun xos qiymat bo‘ladi.
B) Faraz qilaylik, | I 22 ( E2 ) |<  bo‘lsin.
B1 ) 0 <   0 shart bajarilsin.  (2)
 () funksiya ( E2 ;   ) oraliqda monoton
o‘suvchi bo‘lganligi uchun har bir z  E2 uchun
(2)
(2)
1
(2)
 ( z ) >  ( E2 )  0 ( E2 ) =1  0 ( I 22 ( E2 )) = 0
munosabatlar o‘rinli bo‘ladi.
Shunday qilib, (2.8) tenglikka ko‘ra h(2) Fridrixs modeli ( E2 ;  ) oraliqda xos
qiymatlarga ega emas.
B2 ) Faraz qilaylik,   0 bo‘lsin.  (2)
funksiya ( E2 ;  ) oraliqda
 ()
uzluksiz
va
monoton
(2)
1
(2)
 ( E2 )  0 ( E2 )  1  0 ( I 22 ( E2 )) = 0
o‘suvchi
munosabat
bo‘lganligi
o‘rinli.
sababli
 (2)
 ( E2 )  0
va
(2)
lim   ( z ) = 1 tenglikka ko‘ra shunday yagona E2 ( )  ( E2 ;  ) soni topilib,
z 
40
(2)
(2)
 ( E2 ( )) = 0 tenglik o‘rinli bo‘ladi. (2.8) tenglikka ko‘ra E2 ( )  E2 soni h
Fridrixs modeli uchun xos qiymat bo‘ladi.
C ) Ixtiyoriy  > 0 va z  E1 sonlari uchun (2)
 ( z )  1 tengsizlik o‘rinlidir.
Bundan (2.8) tenglikni inobatga olib ixtiyoriy  > 0 soni uchun h(2) Fridrixs modeli
(; E1 ) oraliqda xos qiymatlarga ega bo‘lmasligini hosil qilamiz. 2.3-teorema to‘liq
isbotlandi.
2.2-2.3-teoremalardan h ,
Fridrixs modelining xos qiymatlari haqidagi
quyidagi tasdiqni hosil qilamiz.
2.2-natija. A) Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, I ( E )  ,  = 1,2
bo‘lsin, u holda   0 va  > 0 parametrning barcha qiymatlarida h , Fridrixs
modeli E1 dan chapda, E 2 dan o‘nda yotuvchi bittadan oddiy xos qiymatlari mavjud.
B) Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, I ( E )  ,  = 1,2 bo‘lsin.
B1 ) Agar 0 <   0 va 0 <   0 bo‘lsa, u holda h , Fridrixs modeli
o‘zining muhim spektridan tashqarida yotuvchi xos qiymatlarga ega emas;
B2 ) agar 0 <   0 va   0 bo‘lsa, u holda h , Fridrixs modeli E 2 dan
o‘ngda yotuvchi bitta oddiy xos qiymati mavjud;
B3 ) agar   0 va 0 <   0 bo‘lsa, u holda h , Fridrixs modeli E1 dan
chapda yotuvchi bitta oddiy xos qiymati mavjud;
B4 ) agar  > 0 va  > 0 bo‘lsa, u holda h , Fridrixs modeli E1 dan
chapda, E 2 dan o‘ngda yotuvchi bittadan oddiy xos qiymatlari mavjud.
2.2 Fridrixs modelining bo‘sag‘aviy xos qiymatlari va virtual sathlari
Ushbu bo‘limda d  3 hol qaralib, u () funksiya p1 T3 nuqtada yagona
aynimagan minimumga va p2 T3 nuqtada esa yagona aynimagan maksimumga ega
bo‘lsin deb faraz qilinadi. Bundan tashqari, v () funksiya p T3 ,  =1,2 nuqta
41
atrofida 3-tartibligacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lishini talab qilamiz.
C (T3 ) va L1 (T3 ) orqali mos ravishda T3 torda aniqlangan uzluksiz va
integrallanuvchi funksiyalar Banax fazosini belgilaymiz.
2.1-ta’rif. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilsin. Agar 1 soni
(G  )( p) =  3
 v1 ( p)v1 (t )  v2 ( p)v2 (t )
T
u (t )  E
  (t )dt ,    C (T3 ),   1,2
integral operatorning xos qiymati bo‘lib, hech bo‘lmaganda bitta   () mos xos
funksiya   ( p )  0 shartni qanoatlantirsa, u holda h , Fridrixs modeli z = E
nuqtada virtual sathga ( E energiyali rezonansga) ega deyiladi.
Ta’kidlash joizki, agar h , Fridrixs modeli z = E nuqtada virtual sathga ega
bo‘lsa, u holda G  =   tenglamaning yechimi o‘zgarmas son aniqligida v ()
funksiyaga teng bo‘ladi. 2.1-ta’rifdagi G operatorning 1 ga teng xos qiymatining
mavjudligi
h , f = E f
tenglama
yechimining
mavjudligiga
mos
keladi,
  ( p )  0 shartdan esa bu tenglamaning f yechimi L2 (T3 ) fazoda tegishli
bo‘lmasligi kelib chiqadi. Aniqroq qilib aytganda, agar h , Fridrixs modeli z = E
nuqtada virtual sathga ega bo‘lsa, u holda
f ( p) = (1) 1
v ( p)
u ( p)  E
(2.15)
funksiya
h , f = E f
tenglamani qanoatlantiradi va
f  L1 (T3 ) \ L2 (T3 ) .
Agar z = E soni h , Fridrixs modelining xos qiymati bo‘lsa, u holda (2.15)
formula bilan aniqlangan f funksiya
h , f = E f
42
tenglamani qanoatlantiradi va f  L2 (T3 ) .
Quyidagi teorema z = E soni h , Fridrixs modeli uchun bo‘sag‘aviy xos
qiymat yoki virtual sath bo‘lishining zaruriy va yetarlilik shartlarini ifodalaydi.
2.4-teorema. A) Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilsin va   0 ixtiyoriy
bo‘lsin.
A1 ) z = E1 soni h , Fridrixs modelining xos qiymati bo‘lishi uchun  = 0
va v1 ( p1 ) = 0 bo‘lishi zarur va yetarlidir;
A2 ) h , Fridrixs modeli z = E1 nuqtada virtual sathga ega bo‘lishi uchun
 = 0 va v1 ( p1 )  0 bo‘lishi zarur va yetarlidir.
B) Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilsin va   0 ixtiyoriy bo‘lsin.
B1 ) z = E2 soni h , Fridrixs modelining xos qiymati bo‘lishi uchun  = 0
va v2 ( p2 ) = 0 bo‘lishi zarur va yetarlidir;
B2 ) h , Fridrixs modeli z = E2 nuqtada virtual sathga ega bo‘lishi uchun
 = 0 va v2 ( p2 )  0 bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. A1 ) Zaruriyligi. Faraz qilaylik, z = E1 soni h , Fridrixs modelining
xos qiymati va f1  L2 (T3 ) mos xos funksiya bo‘lsin. U holda f1 funksiya
h , f1 = E1 f1
tenglamani, ya’ni
u( p) f1 ( p)  v1 ( p)  3v1 (t ) f1 (t )dt  v2 ( p)  3v2 (t ) f1(t )dt = E1 f1( p)
T
T
(2.16)
tenglamani qanoatlantiradi.
(2.16) tenglikdan va (2.11) shartdan foydalanib, sodda mulohazalar yordamida
f1 funksiya (2.15) ko‘rinishga ega bo‘lishini va  = 0 bo‘lishini hosil qilamiz.
Bunda   0 ixtiyoriy fiksirlangan son.
Endi f1  L2 (T3 ) bo‘lishi uchun v1 ( p1 ) = 0 bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini
43
isbotlaymiz.
Haqiqatdan ham, agar v1 ( p1 ) = 0 va v1 ( p1 )  0 bo‘lsa, u holda shunday
C1 , C2 , C3 > 0,  > 0 va  {1,2,3} sonlari topilib, mos ravishda
C1 | p  p1 | | v1 ( p) | C2 | p  p1 | ,
| v1 ( p )| C3 ,
p U (1p ) : U 1 (p ): T
=p3{
p U ( p1 ),
 p: |1  p  | <
(2.17)
, (2.18)
> 0}
bo‘ladi.
u () funksiya p1 T3 nuqtada yagona aynimagan minimumga ega bo‘lganligi
uchun shunday C1 , C2 , C3 > 0 va  > 0 sonlari topilib,
C1 | p  p1 |2 | u ( p)  E1 | C2 | p  p1 |2 ,
p U ( p1 );
| u( p)  E1 | C3 , p T3 \ U ( p1 )
(2.19)
(2.20)
tengsizliklar bajarilishini hosil qilamiz.
Quyidagi tenglik o‘rinli:
v12 (t )dt
v12 (t )dt
T3 | f1 (t ) | dt = U ( p1) (u(t )  E1)2  T3 \U ( p1) (u(t )  E1)2 .
2
(2.21)
(2.17)-(2.20) tengsizliklarni hisobga olib, (2.21) tenglikning o‘ng tomonidagi
birinchi qo‘shiluvchi chekli bo‘lishi uchun v1 ( p1 ) = 0 bo‘lishi zarur va yetarli
ekanligini hosil qilamiz. v1 ( p1 ) = 0 bo‘lganda,
| t  p1 |2
dt  C2 < 
U ( p1 ) | t  p |4
1
2
 3 | f1 (t ) | dt  C1 
T
munosabatga ega bo‘lamiz.
Agar v1 ( p1 )  0 bo‘lsa, u holda (2.17)-(2.20) tengsizliklarni inobatga olib
| t  p1 |
dt  C2 < ;
U ( p1 ) | t  p |2
1
 3 | f1(t ) | dt  C1 
T
 | f (t ) | dt  C  
2
T3
1
1 U (p )
1
tasdiqlarni hosil qilamiz.
44
1
= 
| t  p1 |4
Shunday qilib,
f1  L2 (T3 ) bo‘lishi uchun v1 ( p1 ) = 0 bo‘lishi zarur va
yetarlidir. Agar v1 ( p1 )  0 bo‘lsa, u holda f1  L1 (T3 ) \ L2 (T3 ) bo‘ladi.
Yetarliligi. Faraz qilaylik,  = 0 va v1 ( p1 ) = 0 bo‘lsin. U holda (2.15)
formula bilan aniqlangan f1 funksiya h , f1 = E1 f1 tenglamani qanoatlantirishini
oson ko‘rsatish mumkin. Yuqorida isbotlaganimizga ko‘ra, agar v1 ( p1 ) = 0 bo‘lsa, u
holda f1  L2 (T3 ) bo‘ladi. 2.4-teoremaning A1 ) tasdig‘i isbotlandi.
A2 ) Zaruriyligi. Faraz qilaylik, h , operator z = E1 nuqtada virtual sathga
ega bo‘lsin. U holda 2.1-ta’rifga ko‘ra
(G1 1 )( p) =  3
T
 v1 ( p)v1 (t )  v2 ( p)v2 (t )
u (t )  E1
 1 (t )dt =  1 ( p)
(2.22)
tenglama nol bo‘lmagan  1  C (T3 ) yechimga ega bo‘lib, bu yechim  1 ( p1 )  0
shartni qanoatlantiradi. (2.11) shartga ko‘ra, bu yechim o‘zgarmas son aniqligida v1 ()
funksiyaga teng bo‘ladi va shu sababli  = 0 bo‘ladi.
Yetarliligi. Faraz qilaylik,  = 0 va v1 ( p1 )  0 bo‘lsin. U holda v1  C (T3 )
funksiya (2.22) tenglamaning yechimi bo‘ladi va shu sababli 2.1-ta’rifga ko‘ra h ,
operator z = E1 nuqtada virtual sathga ega bo‘ladi. 2.4-teoremaning A2 ) tasdig‘i
isbotlandi.
2.4-teoremaning B1 ) va B2 ) tasdiqlari ham A1 ) va A2 ) tasdiqlar kabi
isbotlanadi.
2.3 Fridrixs modelining sonli tasviri
h(1) va h(2) Fridrixs modellarining xos qiymatlari mavjud bo‘lgan holda ularni
mos ravishda E1 (  ) va E2 ( ) orqali belgilaymiz. Bunda E1 (  ) < E1 va E2 ( ) > E2 .
u () funksiya
p1 Td nuqtada yagona aynimagan minimumga
p2 Td
nuqtada yagona aynimagan maksimumga ega bo‘lganligi uchun, shunday
45
C1 , C2 , C3 > 0 va  > 0 sonlari topilib,
C1 | p  p |2 | u( p)  E | C2 | p  p |2 ,
u ( p)  E  C3
p U ( p ),
p  T : Td \ U  ( p )
(2.23)
(2.24)
tengsizliklar o‘rinlidir.
I hol. d  1,2 bo‘lsin.
2.5-teorema. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, v ( p )  0,
  1,2
bo‘lsin. U holda ixtiyoriy  > 0 va  > 0 lar uchun h , Fridrixs modelining sonli
tasviri uchun
W (h , ) = [ E1 (  ); E2 ( )]
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. Agar v ( p )  0,   1,2 shart bajarilsa, u holda shunday C1 > 0 va
 > 0 sonlari topilib,
| v1 ( p) | C1 ,
p U  ( p1 );
(2.25)
| v2 ( p) | C1 ,
p U  ( p2 )
(2.26)
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. (2.23) va (2.25) baholashlardan hamda Lebeg integralining
additivlik va monotonlik xossalaridan foydalanib,
v12 (t )dt
dt

C
1
Td u(t )  E1 U (0) | t |2 ;
v22 (t )dt
dt

C
1
Td E2  u(t ) U (0) | t |2
munosabatlarni hosil qilamiz.
Agar d  1 bo‘lsa, u holda
 dt
dt
=
U (0) | t |2  | t |2
tenglik o‘rinli. Bundan ko‘rinib turibdiki, (2.27) integral uzoqlashuvchidir.
Agar d  2 bo‘lsa, u holda
46
(2.27)
dt


dt1dt2
2


2
1
  |t | =    t t
U (0)
2
2
(2.28)
tenglik o‘rinli. Qutb koordinatalar sistemasiga o‘tib (2.28) integralni ham
uzoqlashuvchi bo‘lishi oson ko‘rsatiladi. Xuddi shuningdek, d  1 va d  2 hollarda
v22 (t )dt
Td E2  u(t )
integralni ham uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Yuqoridagi munosabatlardan ko‘rinadiki I ( E )  ,  = 1,2 bo‘ladi. Agar
(2.11) shart bajarilsa, u holda 2.2-natijaning A) tasdig‘iga ko‘ra h , Fridrixs modeli
E1 (  ) < E1
ikkita
va
E2 ( ) > E2
xos qiymatlarga ega bo‘ladi. Unga mos
normalangan xos funksiyalarni f1 ( p) va f 2 ( p ) orqali belgilaymiz. U holda
inf (h , f , f ) = (h , f1, f1 ) = E1 (  )( f1, f1 ) = E1 (  )
|| f ||=1
sup(h , f , f ) = (h , f 2 , f 2 ) = E2 ( )( f 2 , f 2 ) = E2 ( )
|| f ||=1
tengliklar o‘rinli. Ta’rifga ko‘ra, h , Fridrixs modelining sonli tasviri uchun
W (h , ) = [ E1 (  ); E2 ( )]
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Quyidagi teorema h , Fridrixs modelining sonli tasviri yopig‘ining tuzilishini
tavsiflaydi.
2.6-teorema. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, v ( p )  0,
bo‘lsin.
A) Agar 0 <   0 va 0 <   0 bo‘lsa, u holda
W (h , ) = [ E1; E2 ]
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
B) Agar 0 <   0 va  > 0 bo‘lsa, u holda
47
  1,2
W (h , ) = [ E1; E2 ( )], E2 ( )  E2
tenglik bajariladi.
C ) Agar  > 0 va 0 <   0 bo‘lsa, u holda
W (h , ) = [ E1 (  ); E2 ], E1 (  )  E1
tenglik o‘rinli bo‘ladi;
D) Agar  > 0 va  > 0 bo‘lsa, u holda
W (h , ) = [ E1 (  ); E2 ( )], E1 (  )  E1, E2 ( )  E2
tenglik bajariladi.
Isboti. Agar v ( p )  0,   1,2 bo‘lsa, u holda shunday C1 , C2 > 0,  , N
va  > 0 sonlar topilib,
C1 | p  p1 | | v1 ( p) | C2 | p  p1 | , p U ( p1 );
(2.29)
C1 | p  p2 | | v2 ( p) | C2 | p  p2 | , p U ( p2 )
(2.30)
qo‘shtengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. Endi (2.23), (2.24), (2.29) va (2.30) baholashlarni
hamda v () funksiyalarning Td torda uzluksizligidan foydalanib,
v12 (t )dt
v12 (t )dt
v12 (t )dt
Td u(t )  E1 = U ( p1) u(t )  E1  Td \U ( p1) u(t )  E1 
 C1 
U (0)
| t |2 2 dt  C2 < 
ekanligini hosil qilamiz. Xuddi shuningdek,
v22 (t )dt
v22 (t )dt
v22 (t )dt
=

Td E2  u(t ) U ( p2 ) E2  u(t ) Td \U ( p2 ) E2  u(t ) 
 C1 
U (0)
| t |2 2 dt  C2 < 
munosabatni hosil qilish mumkin.
A) Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, 0 <   0 va 0 <   0 bo‘lsin. U
holda 2.2-natijaning B1 ) tasdig‘iga ko‘ra h , Fridrixs modeli muhim spektridan
48
tashqarida yotuvchi xos qiymatlarga ega bo‘lmaydi, ya’ni
 (h , ) =  ess (h , ) = [ E1; E2 ].
Shu sababli
min  (h , ) = E1, max  (h , ) = E2 .
Aniqlanishiga ko‘ra
W (h , ) = [ E1; E2 ]
bo‘ladi. Teoremaning A) tasdig‘i to‘liq isbotlandi.
B) Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, 0 <   0 va  > 0 bo‘lsin. U holda
2.2-natijaning B2 ) tasdig‘iga ko‘ra h , Fridrixs modeli E 2 dan o‘ngda yotuvchi
yagona E2 ( ) xos qiymatga ega bo‘lib, E1 dan chapda yotuvchi xos qiymatlarga ega
emas. Demak, h , Fridrixs modelining spektri uchun
 (h , ) = [ E1; E2 ]  {E2 ( )}, E2 ( )  E2
tenglik o‘rinli ekan. W (h , ) sonli tasviri qavariq to‘plam va h , Fridrixs modeli
o‘z-o‘ziga qo‘shma operator ekanligidan
W (h , ) = [min  (h , );max  (h , )] = [ E1; E2 ( )]
munosabatlar kelib chiqadi.
C ) Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib,  > 0 va 0 <   0 bo‘lsin. U holda
2.2-natijaning B3 ) tasdig‘iga ko‘ra h , Fridrixs modeli E1 dan chapda yotuvchi
yagona E1 (  ) xos qiymatga ega bo‘lib, E 2 dan o‘ngda yotuvchi xos qiymatlarga ega
emas. Bu esa o‘z navbatida
 (h , ) = {E1 (  )}  [ E1; E2 ]
ekanligini bildiradi. B) tasdiq isbotidagi kabi
W (h , ) = [min  (h , );max  (h , )] = [ E1 (  ); E2 ]
tenglikni hosil qilamiz.
49
D) Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib,  > 0 va  > 0 bo‘lsin. U holda
2.2-natijaning B4 ) tasdig‘iga ko‘ra h , Fridrixs modeli ikkita E1 (  ) va E2 ( ) xos
qiymatlarga ega bo‘lib, E1 (  ) < E1 hamda E2 ( ) > E2 tengsizliklar o‘rinlidir. Shu
sababli
 (h , ) = {E1 (  )}  [ E1; E2 ]  {E2 ( )}.
Yuqoridagi kabi mulohazalarga ko‘ra
W (h , ) = [min  (h , );max  (h , )] = [ E1 (  ); E2 ( )]
tengliklar bajariladi. f  L2 (Td ),  = 1,2 orqali h , Fridrixs modelining E1 (  ) va
E2 ( ) xos qiymatlariga mos normalangan xos funksiyalarni belgilaymiz. Bunda
|| f ||= 1.
U holda f1 va f 2 funksiyalar mos ravishda
h , f1 = E1 (  ) f1, h , f 2 = E2 (  ) f 2
tenglamalarni qanoatlantiradi. Ko‘rinib turibdiki,
E1 (  ) = E1 (  )( f1, f1 ) = ( E1 (  ) f1, f1 ) = (h , f1, f1 ),
E2 ( ) = E2 ( )( f 2 , f 2 ) = ( E2 ( ) f 2 , f 2 ) = (h , f 2 , f 2 ).
Demak,
E1 (  ), E2 ( ) W (h , )
munosabat o‘rinli ekan. Shu sababli
W (h , ) = W (h , ) = [ E1 (  ); E2 ( )]
tenglik o‘rinli. Teorema to‘liq isbotlandi.
2.3-natija. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, v1 ( p1 )  0 va v2 ( p2 ) = 0
bo‘lsin.
A) Agar 0 <   0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy  > 0 uchun
W (h , ) = [ E1 (  ); E2 ]
bo‘ladi.
50
B) Agar  > 0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy  > 0 uchun
W (h , ) = [ E1 (  ); E2 ( )]
bo‘ladi.
2.4-natija. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, v1 ( p1 ) = 0 va v2 ( p2 )  0
bo‘lsin.
A) Agar 0 <   0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy  > 0 uchun
W (h , ) = [ E1; E2 ( )]
bo‘ladi.
B) Agar  > 0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy  > 0 uchun
W (h , ) = [ E1 (  ); E2 ( )]
bo‘ladi.
II hol. d  3 bo‘lgan holda h , Fridrixs modelining sonli tasvirini tadqiq
qilamiz. Lebeg integralining additivlik xossasiga ko‘ra ushbu
v12 (t )dt
v12 (t )dt
v12 (t )dt
=

Td u(t )  E1 U ( p ) u(t )  E1 T u(t )  E1
(2.31)
tenglik o‘rinlidir. (2.23) tengsizlikni va v1 () funksiyaning Td torda uzluksiz
funksiya ekanligini inobatga olib, (2.31) tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi
qo‘shiluvchi
v12 (t )dt
dt
dt (1) dt (2) dt (3)
d 3
U ( p1) u(t )  E1  C1 U (0) | t |2  C1 (2 ) { pT3:| p|< } | t (1) |2  | t (2) |2  | t (3) |2 (2.32)
kabi baholanadi. Sferik koordinatalar sistemasiga o‘tib, (2.32) integral chekli ekanligini
hosil qilamiz. (2.31) tenglikning o‘ng tomonidagi oxirgi qo‘shiluvchining chekliligi,
ya’ni T bo‘yicha integralning chekliligi v1 () funksiyaning uzluksizligidan va (2.24)
tengsizlikdan kelib chiqadi.
v22 (t )dt
Td E2  u(t )
51
integralning chekli ekanligi shunga o‘xshash isbotlanadi.
2.7-teorema. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilsin.
A) Agar 0 <   0 va 0 <   0 bo‘lsa, u holda
W (h , ) = [ E1; E2 ]
bo‘ladi.
B) Agar 0 <   0 va  > 0 bo‘lsa, u holda
W (h , ) = [ E1; E2 ( )]
bo‘ladi.
C ) Agar  > 0 va 0 <   0 bo‘lsa, u holda
W (h , ) = [ E1 (  ); E2 ]
bo‘ladi.
D) Agar  > 0 va  > 0 bo‘lsa, u holda
W (h , ) = [ E1 (  ); E2 ( )]
bo‘ladi.
2.7-teoremaning isboti 2.6-teoremaning isboti kabi amalga oshiriladi.
2.3.1. Bo‘sag‘aviy hodisa mavjud bo‘lgan holda sonli tasvir tadqiqi
Ushbu bo‘limda d  3 bo‘lgan holda h , Fridrixs modeli uchun bo‘sag‘aviy
hodisa sodir bo‘lganda, ya’ni  = 0 ,  = 0 va v ( p ) = 0 yoki v ( p )  0,
 =1,2 bo‘lsa, u holda h , Fridrixs modelining sonli tasviri W (h , ) uchun qanday
munosabatlar o‘rinli bo‘lishini o‘rganamiz.
2.8-teorema. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib,  = 0 ,  = 0 bo‘lsin.
A) v ( p ) = 0,  =1,2 bo‘lsa, u holda
W (h , ) = [ E1; E2 ]
tenglik o‘rinli.
B) Agar v1 ( p1 ) = 0 va v2 ( p2 )  0 bo‘lsa, u holda
W (h , ) = [ E1; E2 )
52
bo‘ladi.
C ) Agar v1 ( p1 )  0 va v2 ( p2 ) = 0 bo‘lsa, u holda
W (h , ) = ( E1; E2 ]
bo‘ladi.
D) Agar v ( p )  0,  =1,2 bo‘lsa, u holda
W (h , ) = ( E1; E2 )
tenglik o‘rinli.
Isboti. Avvalo shuni eslatib o‘tamizki, agar (2.11) shart bajarilib,  = 0 va
 = 0 bo‘lsa, u holda
 (h , ) =  ess (h , ) = [ E1; E2 ]
bo‘ladi.
A)
h , Fridrixs modeli chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator
bo‘lganligi bois uning spektri va sonli tasviri orasida
W (h , ) = [ E1; E2 ]
kabi bog‘lanish mavjud. Agar qo‘shimcha ravishda v ( p ) = 0,
 =1,2 shart
bajarilsa,
W (h , ) = [ E1; E2 ]
bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun E W (h , ),  =1,2 ekanligini ko‘rsatish
yetarli. (2.15) ko‘rinishdagi f funksiyani qaraymiz. Avvalo bu funksiya
h , f = E f
tenglamani qanoatlantirishini ko‘rsatamiz.
Haqiqatan ham,
(h ,  E ) f = (u ( p)  E )(1) 1
v ( p)
v (t )v (t )
 0v1 ( p)(1) 1  3 1  dt 
T u (t )  E
u ( p)  E

v (t )v (t )
0v2 ( p)(1) 1  3 2  dt
T u (t )  E

tenglik o‘rinlidir. (2.33) ifodadan
53
(2.33)
v12 (t )dt
(h ,  E1 ) f1 = v1 ( p)  0v1 ( p)  3
;
0 0
T u (t )  E
1
v22 (t )dt
(h ,  E2 ) f 2 = v2 ( p)  0v2 ( p)  3
0 0
T u (t )  E
2
tengliklar kelib chiqadi.
v (),  =1,2 funksiya p T3 nuqtaning biror atrofida uchinchi darajagacha
bo‘lgan uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lganligi uchun shunday C1 , C2 , C3 > 0,
n N va  > 0 sonlari topilib,
C1 | p  p |  | v ( p) | C2 | p  p |  , p U ( p )
n
n
qo‘shtengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
u () funksiya p1 T3 , nuqtada aynimagan minimumga va p2 T3 , nuqtada
esa aynimagan maksimumga ega bo‘lganligi uchun
C1 | p  p1 |2 | u( p)  E1 | C2 | p  p1 |2 , p U ( p1 ),
| u ( p)  E1 | C3 , p T3 \ U ( p1 ),
(2.34)
(2.35)
baholashlar o‘rinli bo‘ladi.
Integralning additivlik xossasiga ko‘ra
v12 (t )dt
v12 (t )dt
T3 | f1 (t ) | dt = U ( p1) (u(t )  E1)2  T3 \U ( p1) (u(t )  E1)2
2
(2.36)
tasvir o‘rinli bo‘ladi. U holda (2.33) va (2.34) munosabatlarga ko‘ra (2.36) ning o‘ng
tomonidagi birinchi qo‘shiluvchi uchun
v12 (t )dt
| t  p1 | 1 dt

C
U ( p1) (u(t )  E1 )2 1 U ( p1) | t  p1 |4 < 
2n
baholashlarni
hosil
qilamiz.
v1 ()
funksiyaning
T3
uzluksizligidan va (2.36) tengsizlikdan
v12 (t )dt
T3 \U ( p1) (u(t )  E1)2  C1 T3 \U ( p1)dt < 
54
kompakt
to‘plamda
ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday
 | f (t ) | dt < 
2
T3
2
munosabatni ham ko‘rsatish mumkin. Shunday qilib, agar v ( p ) = 0 bo‘lsa, u holda
f  L2 (T3 ) bo‘ladi. Demak, E W (h , ) , ya’ni W (h , ) = [ E1; E2 ] ekan.
D) Agar  =1,2 uchun v ( p )  0 bo‘lsa, u holda
E W (h , ),  = 1,2
ekanligini ko‘rsatamiz.
Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni
E W (h , ),  = 1,2
bo‘lsin. U holda shunday f  L2 (T3 ) funksiya topilib, || f ||= 1 va E = (h , f , f )
tenglik o‘rinli bo‘ladi. v (),
 =1,2 funksiya p T3 nuqtada uzluksiz va
v ( p )  0 bo‘lganligi uchun shunday C1 > 0 va  > 0 sonlari topilib,
| v ( p) | C1 ,
p U  ( p )
(2.37)
o‘rinli bo‘ladi. So‘ngra (2.34) va (2.37) baholashlardan
dt
= ,
U ( p1 ) | t  p |4
1
2
 3 | f1 (t ) | dt  
T
 | f (t ) | dt  
2
T3
2
munosabatlarni hosil qilamiz. Bundan esa o‘z navbatida f  L2 (T 3 ) bo‘lishi kelib
chiqadi. Ikkinchi tomondan, (2.34), (2.35), (2.36) va v1 () funksiya p1 T3 va v2 ()
funksiya p2 T3 nuqtada uzluksizliklaridan foydalanib,
 | f (t ) | dt < 
T3
munosabatni,
ya’ni
f  L2 (T3 )
ekanligini
hosil
qilish
mumkin.
f  L1 (T3 ) \ L2 (T3 ) ekan. Bu f  L2 (T3 ) ekanligiga ziddir. Shunday qilib,
E W (h , ),  = 1,2
ekan. Teoremaning B) va C ) tasdiqlari D) tasdiq kabi isbotlanadi.
55
Demak,
Shuni ta’kidlash joizki, agar  = 0 ,  = 0 va v ( p ) = 0,  =1,2 bo‘lsa, u
holda z = E soni h , Fridrixs modeli uchun bo‘sag‘aviy xos qiymat bo‘ladi. Agar
 = 0 ,  = 0 va v ( p )  0,  =1,2 bo‘lsa, u holda z = E soni h , Fridrixs
modeli uchun virtual sath bo‘ladi.
56
II bob xulosasi
Dissertatsiya ishining ikkinchi bobida panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos
h , model operator, ya’ni Fridrixs modelining spektral xossalari o‘rganilgan. Mazkur
bob uchta bo‘limdan tashkil topgan.
2.1-bo‘limda h , Fridrixs modeli xos qiymatlarining soni va joylashuv o‘rni
aniqlangan.  va  ta’sirlashish parametrlariga nisbatan h , Fridrixs modeli xos
qiymatlarining mavjudlik shartlari topilgan.
2.2-bo‘limda h , Fridrixs modeli muhim spektrining quyi va yuqori chegaralari
bo‘sag‘aviy xos qiymat yoki virtual sath bo‘lishining zaruriylik va yetarlilik shartlari
aniqlangan.
2.3-bo‘limda h , Fridrixs modeli sonli tasvirini tadqiq qilishga bag‘ishlangan.
W (h , ) sonli tasvirning tuzilishi  va  parametrlarga nisbatan o‘rganilgan. Uning
yopiq to‘plam bo‘ladigan hamda spektr bilan ustma-ust tushadigan hollar alohida
ajratib ko‘rsatilgan.
57
III bob Panjaradagi uchta zarrachali sistemaga mos model
operatorning spektral xossalari
Ushbu bobda panjaradagi uchta zarrachali sistemaga mos H  , model
operatorning muhim spektri va xos qiymatlarining mavjudlik shartlari tadqiq qilingan.
3.1 Panjaradagi uchta zarrachali sistemaga mos model operatorning
muhim spektri
Ls2 ((Td )2 ) orqali (Td )2 to‘plamda aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi
(umuman olganda kompleks qiymatlarni qabul qiluvchi) simmetrik funksiyalarning
Hilbert fazosini belgilaymiz.
Ls2 ((Td )2 ) Hilbert fazosida ta’sir qiluvchi va
H  , := H 0,0   (V11  V12 )   (V21  V22 ),  ,  > 0
(3.1)
tenglik orqali aniqlanuvchi model operatorni qaraymiz. Bunda  ,  > 0 ta’sirlashish
parametrlari,
H 0,0
operator
Ls2 ((Td )2 )
Hilbert fazosidagi  (, )
funksiyaga
ko‘paytirish operatori:
( H0,0 f )( p, q) =  ( p, q) f ( p, q),
Vij , i, j = 1,2 operatorlar esa L2 ((Td )2 ) Hilbert fazosidagi lokal bo‘lmagan potensial
operatorlar:
(Vi1 f )( p, q) = vi ( p)  dvi (t ) f (t , q)dt ,
T
(Vi 2 f )( p, q) = vi (q)  dvi (t ) f ( p, t )dt.
T
 (, ) funksiya (Td )2 da aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz, simmetrik
funksiya, vi (),
i =1,2 funksiyalar esa Td torda aniqlangan haqiqiy qiymatli
uzluksiz funksiyalar.
3.1-lemma. (3.1) tenglik yordamida ta’sir qiluvchi H  , model operator
Ls2 ((Td )2 ) Hilbert fazosida chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘ladi.
58
Bu lemmaning isboti 2.1-lemmaning isboti kabi ko‘rsatiladi.
3.1.1 Fridrixs modellari oilasining spektri
Mazkur bobning asosiy natijalarini bayon qilish maqsadida H  , model
operator bilan bir qatorda L2 (Td ) Hilbert fazosida
h , ( p) := h0,0 ( p)   k1   k2 ,
kabi ta’sir qiluvchi va Fridrixs modellari oilasi deb ataluvchi operatorni qaraymiz. Bu
yerda
(h0,0 ( p) f )(q) =  ( p, q) f (q),
(ki f )(q) = vi (q)  dvi (t ) f (t )dt , i =1,2
T
kabi aniqlangan.
Kiritilgan h , ( p) operator L2 (Td ) Hilbert fazosida chiziqli, chegaralangan va
o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligini 2.1-lemmaning isboti kabi oson ko‘rsatish mumkin.
Chekli o‘lchamli qo‘zg‘alishlarda muhim spektrning o‘zgarmasligi haqidagi
Veyl teoremasiga ko‘ra [8] h , ( p) operatorning muhim spektri uchun
 ess (h , ( p)) = [m( p); M ( p)]
tenglik o‘rinli bo‘lib, bu yerda m( p) va M ( p) sonlari
m( p) := min  ( p, q), M ( p) := max  ( p, q)
qTd
qTd
tengliklar yordamida aniqlanadi.
Har
bir
fiksirlangan
,  > 0
sonlari
va
p Td
C \ [m( p); M ( p)] sohada regulyar bo‘lgan
(2)
2
 , ( p, z) = (1)
 ( p, z ) ( p, z )    I12 ( p, z )
funksiyani qaraymiz. Bu yerda
(1)
(2)
 ( p, z ) :=1   I11 ( p, z ),
 ( p, z ) :=1   I 22 ( p, z),
59
element
uchun
I ij ( p, z ) :=  d
T
vi (t )v j (t )
 ( p, t )  z
dt , i, j = 1,2
kabi aniqlangan.
Quyidagi lemma h , ( p) Fridrixs modellari oilasining xos qiymatlari va
  , ( p, z ) funksiyaning nollari orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi.
3.2-lemma. Har bir fiksirlangan p Td element uchun z C \ [m( p); M ( p)]
soni h , ( p) Fridrixs modellari oilasining xos qiymati bo‘lishi uchun   , ( p, z ) = 0
bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Faraz qilaylik, z C \ [m( p); M ( p)] soni h , ( p) operatorning xos
qiymati, f  L2 (Td ) esa unga mos xos funksiya bo‘lsin. U holda
h , ( p) f (q) = zf (q)
tenglik o‘rinli, ya’ni,
 ( p, q) f (q)  v1 (q) dv1 (t ) f (t )dt  v2 (q)  dv2 (t ) f (t )dt = zf (q).
T
T
(3.2)
(3.2) tenglikdan f (q) funksiyani quyidagi ko‘rinishda aniqlaymiz:
f (q) =
v1 (q)d1  v2 (q)d2
,
 ( p, q)  z
(3.3)
bu yerda d ,  =1,2 sonlari (2.2) tenglik yordamida aniqlangan. (3.3) tenglik
yordamida aniqlangan f (q) funksiyani (2.2) belgilashga qo‘yamiz. Natijada



v12 (t )
v (t )v2 (t ) 
dt  d1     d 1
dt  d 2 = 0,
1   Td
T  ( p, t )  z

(
p
,
t
)

z







v1 (t )v2 (t ) 
v22 (t )


dt
d

1


dt
 Td
Td  (t )  z  d2 = 0
 (t )  z  1 

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. (3.2) tenglama (3.3) ko‘rinishdagi nolmas
f  L2 (Td )
yechimga ega bo‘lishi uchun yuqoridagi sistema noldan farqli
(d1, d2 ) C2 yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli, ya’ni   , ( p, z ) = 0 . Lemma
60
isbotlandi.
3.2-lemmadan ushbu natija kelib chiqadi.
3.1-natija. Ushbu
 (h , ( p)) =  disc (h , ( p))  [m( p); M ( p)],
 disc (h , ( p)) = {z  C \ [m( p); M ( p)]:   , ( p, z) = 0}
tengliklar o‘rinli.
3.3-lemma. Har bir fiksirlangan p Td element uchun h , ( p) Fridrixs
modellari oilasi m( p) dan chapda va M ( p) dan o‘ngda ko‘pi bilan bittadan sodda
xos qiymatga ega.
Isboti 2.1-teorema isboti kabi ko‘rsatiladi.
3.1.2 H  , operatorga mos kanal operator va uning spektri
Bu bo‘limda H  , operatorga mos H ch, kanal operator ajratiladi va uning
spektri h , ( p), p Td Fridrixs modellari oilasining spektri orqali tavsiflanadi.
H  , operatorga mos kanal operator deb ataluvchi hamda L2 ((Td )2 ) Hilbert
fazosida
H ch, := H0,0   V11   V21
(3.4)
kabi ta’sir qiluvchi H ch, operatorni qaraymiz.
Yuqoridagi kabi aniqlangan H ch, kanal operator L2 ((Td )2 ) Hilbert fazosidagi
chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘ladi. Bu tasdiqning isboti
2.1-lemmaning isboti kabi amalga oshiriladi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
m := min  ( p, q), M := max  ( p, q);
p ,qTd
  , :=
p ,qTd
 disc (h , ( p));
pTd
61
 , :=   ,  [m; M ].
H ch, kanal operatorning spektri h , ( p) Fridrixs modellari oilasining spektri
orqali ifodalashga oid tasdiqni keltiramiz.
3.1-teorema. H ch, kanal operator sof muhim spektrga ega bo‘lib, quyidagi
 ( H ch, ) =  ess ( H ch, ) =  ,
tenglik o‘rinlidir.
Isboti. Aniqlanishiga ko‘ra, H ch, kanal operator L2 (Td )2 Hilbert fazosidagi
T = w(q) f ( p, q)
operatori bilan o‘rin almashinish xossasiga ega. Bu yerda w()  Td to‘plamda
aniqlanga uzluksiz funksiya.
Shu sababli L2 (Td )2 fazoning
L2 (Td )2 =  d  L2 (Td )dp
T
(3.5)
kabi to‘g‘ri integralga yoyilmasidan ushbu
H ch, :=  d  h , ( p)dp
T
(3.6)
yoyilma kelib chiqadi. U holda to‘g‘ri integralga yoyiluvchi operatorlarning spektri
haqidagi teoremadan
 ( H ch, ) =  ess ( H ch, ) =
 (h , ( p))
pTd
tenglikni hosil qilamiz.
  , to‘plamning aniqlanishiga ko‘ra
 (h , ( p)) =  ,
pTd
tenglik o‘rinli. Bu esa teoremani isbotlaydi.
H  , operatorning xos vektor funksiyalari uchun Faddeyev tenglamasi
d
d
L(2)
2 (T ) := {( f1 , f 2 ) : f  L2 (T ),  = 1,2} Hilbert fazosini qaraylik.
62
d
L(2)
2 (T ) Hilbert fazosida har bir fiksirlangan  ,  > 0 va z  C \   , sonlari
uchun
 A ( , z)
A , ( z ) :=  11
 A21 (  , z )
A12 ( , z ) 
,
A22 ( , z ) 
 K (  , z ) K12 ( , z ) 
K , ( z ) :=  11

 K 21 (  , z ) K 22 ( , z ) 
kabi aniqlanuvchi 2-tartibli operatorli matritsalarni qaraymiz. A , ( z ) operatorli
matritsaning Aij elementlari aij ( p, z ) , i, j = 1,2 funksiyaga ko‘paytirish operatorlari:
a11 ( p, z ) = 1   I11 ( p, z ), a12 ( p, z ) =  I12 ( p, z ),
a21 ( p, z ) =   I12 ( p, z ), a22 ( p, z ) = 1   I 22 ( p, z ).
K , ( z )
operatorli
matritsaning
elementlari
Kij
esa
L2 (Td )
fazoda
quyidagicha aniqlangan integral operatorlar:
v1 (t )1 (t )
dt ,
T  ( p, t )  z
( K11 (  , z )1 )( p) = v1 ( p)  d
v2 (t )2 (t )
dt ,
T  ( p, t )  z
( K12 ( , z )2 )( p) = v2 ( p)  d
v1 (t )1 (t )
dt ,
T  ( p, t )  z
( K21 (  , z )1 )(t ) = v1 ( p)  d
v2 (t )2 (t )
dt.
T  ( p, t )  z
( K22 ( , z )2 )(t ) = v2 ( p)  d
3.4-lemma. Har bir fiksirlangan  ,  > 0 va z  C \  , sonlari uchun
A , ( z ) teskarilanuvchan operatorli matritsa bo‘lib, uning A,1 ( z ) teskari operatori
 B ( , z ) B12 ( , z ) 
A,1 ( z ) :=  11

 B21 (  , z ) B22 (  , z ) 
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda Bij elementlar bij ( p, z ),
ko‘paytirish operatorlari:
63
i, j = 1,2 funksiyalarga
b11 =
a22 ( p, z )
a ( p, z )
, b12 =  12
,
  , ( p, z )
  , ( p, z )
b21 = 
a21 ( p, z )
a ( p, z )
, b22 = 11
.
  ,  ( p, z )
  , ( p, z )
Isboti. Aniqlanishiga ko‘ra A , ( z ) operatorli matritsa
 a ( p, z ) a12 ( p, z ) 
A , ( p, z ) :=  11
,
a
(
p
,
z
)
a
(
p
,
z
)
 21
22

matritsaga ko‘paytirish operatori bo‘ladi. Ma’lumki A , ( p, z ) matritsa elementlari
Td to‘plamda uzluksiz funksiyalardir. Bundan A , ( z ) operatorli matritsaning
chegaralanganligi kelib chiqadi.   , to‘plamning aniqlanishi va 3.2-lemma ko‘ra
z  C \  , soni uchun   , ( p, z )  0 bo‘ladi. Bundan esa
det( A , ( p, z )) =   , ( p, z)  0
munosabatni hosil qilamiz. Demak, har bir p Td element uchun A , ( p, z ) matritsa
teskarilanuvchan bo‘lib, teskari matritsasi
 a22 ( p, z )
  ( p, z )
 ,
1
A  , ( p, z ) := 
 a21 ( p, z )

   , ( p , z )
a12 ( p, z ) 
  , ( p , z ) 

a11 ( p, z ) 

  , ( p , z ) 

kabi aniqlanadi. Bu yerda A,1 ( p, z ) matritsaning elementlari Td to‘plamda uzluksiz
funksiyalardir. Demak A , ( z ) teskarilanuvchan operatorli matritsa bo‘lib, teskari
operatori A,1 ( z ) kabi bo‘ladi. Lemma isbotlandi.
d
Endi har bir fiksirlangan  ,  > 0 va z  C \  , sonlari uchun L(2)
2 (T )
Hilbert fazosida
T , ( z) := A1, ( z) K , ( z)
operatorli matritsani qaraymiz.
64
Quyidagi teorema H  , va T , ( z ) operatorlarning xos qiymatlari orasidagi
bog‘lanishni ifodalaydi.
3.5-lemma. z  C \  , soni H  , operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun 1
soni T , ( z ) operatorli matritsaning xos qiymati bo‘lishi zarur va yetarli. Bundan
tashqari, z va 1 sonlarining karraligi ustma-ust tushadi.
Isboti. Faraz qilaylik, z  C \  , soni H  , operatorning xos qiymati,
f  Ls2 ((Td )2 ) esa unga mos xos funksiya bo‘lsin. U holda f funksiya
H  , f = zf
tenglamani, yoki
 ( p, q) f ( p, q)  v1 ( p)  dv1 (t ) f (t , q)dt  v1(q)  dv1(t ) f ( p, t )dt 
T
T
v2 ( p) dv2 (t ) f (t , q)dt  v2 (q)  dv2 (t ) f ( p, t )dt = zf ( p, q)
T
T
(3.7)
tenglamani qanoatlantiradi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
1 ( p) =  dv1 (t ) f ( p, t )dt , 2 ( p) =  dv2 (t ) f ( p, t )dt.
T
T
(3.8)
(3.8) munosabatlarni inobatga olib, f funksiya uchun
f ( p, q ) 
v1 ( p)1 (q)  v1 (q)1 ( p)  v2 ( p)2 (q)  v2 (q)2 ( p)
 ( p, q )  z
(3.9)
ifodani hosil qilamiz. Endi f funksiya uchun topilgan (3.9) ifodani (3.8) munosabatga
qo‘yamiz:
v (t )  v1 ( p)1 (t )  v1 (t )1 ( p)  v2 ( p)2 (t )  v2 (t )2 ( p)  dt
,
T
 ( p, t )  z
1 ( p) =  d 1
v (t )  v1 ( p)1 (t )  v1 (t )1 ( p)  v2 ( p)2 (t )  v2 (t )2 ( p)  dt
.
T
 ( p, t )  z
2 ( p ) =  d 2
Hosil bo‘lgan tengliklarni soddalashtirib,


v12 (t )dt 
v1 (t )v2 (t )dt 
1



(
p
)


 ( p) =

 Td
Td  ( p, t )  z  1
 ( p, t )  z  2


65
v (t )1 (t )dt
v (t )2 (t )dt
= v1 ( p)  d 1
 v2 ( p)  d 1
,
T  ( p, t )  z
T  ( p, t )  z


v1 (t )v2 (t )dt 
v22 (t )dt 



(
p
)

1


 ( p) =

 Td
 1

Td  ( p, t )  z  2

(
p
,
t
)

z




v (t )1 (t )dt
v (t )2 (t )dt
= v1 ( p)  d 2
 v2 ( p)  d 2
T  ( p, t )  z
T  ( p, t )  z
munosabatlarga ega bo‘lamiz. Bundan ko‘rinadiki, (3.7) tenglama nolmas yechimga
ega bo‘lishi uchun yuqoridagi tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega bo‘lishi
zarur va yetarlidir. Yoki
T , ( z ) = 
operatorli tenglama nolmas yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarlidir. Bundan
ko‘rinadiki, z  C \  , soni H  , operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun 1 soni
T , ( z ) operatorning xos qiymati bo‘lishi zarur va yetarli.
Endi teoremani ikkinchi qismini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, 1 soni T , ( z )
operatorning n1 karrali xos qiymati, z  C \  , soni esa H  , operatorning n2
karrali xos qiymati bo‘lsin.
Agar n1 > n2 bo‘lsa, u holda T , ( z ) operatorning xos qiymati 1 ga mos
d
 (i ) = (1(i ) ,2(i ) )  L(2)
2 (T ), i = 1, n1 chiziqli erkli vektor funksiyalari mavjud bo‘ladi.
Har bir i = 1, n2
uchun (3.9) tenglik yordamida hosil qilingan
fi funksiya
H  , fi = zfi tenglikni qanoatlantiradi. n1 > n2 bo‘lganligi uchun shunday nolmas
c = (c1 , c2 ,..., cn ) C 1 vektor topilib,
n
1
n1
n1
c    , c f
(i )
i
i
i =1
(i )
=
i =1
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Ushbu
1(i ) ( p) =  dv1 (t ) f (i ) ( p, t )dt , 2(i ) ( p) =  dv2 (t ) f (i ) ( p, t )dt
T
T
66
tengliklarni inobatga olib,
 n1

(i )
c
v
(
t
)
f
(
p
,
t
)
dt



i
1
n1
n1
d
 ci1(i )   i =1 T
(i )
 =
  ci =   (i )  = n
 1

i =1
i =1  ci 2 
 ci  dv2 (t ) f (i ) ( p, t )dt 
 i =1 T

munosabatni hosil qilamiz. Demak, n1 > n2 bo‘lmaydi.
Agar n1 < n2 bo‘lsa, u holda shunday noldan farqli c = (c1, c2 ,..., cn ) C 2
n
2
element topilib,
n2
n2
c  =  , c f
(i )
i
i
i =1
(i )

i =1
bo‘ladi. Ushbu
v1 ( p)1(i ) (q)  v1 (q)1(i ) ( p)  v2 ( p)2(i ) (q)  v2 (q)2(i ) ( p)
f ( p, q) =
 ( p, q)  z
(i )
tengliklarni inobatga olib,
n2
  ci f
i =1
(i )
n2
= ci
i =1
v1 ( p)1(i ) (q)  v1 (q)1(i ) ( p)  v2 ( p)2(i ) (q)  v2 (q)2(i ) ( p)
=
 ( p, q )  z
munosabatni hosil qilamiz. Demak, n1 < n2 bo‘lishi mumkin emas ekanligi kelib
chiqadi. Yuqoridagi munosabatlardan n1 = n2 ekanligini hosil qilamiz. Odatda
T , ( z ) =  operatorli tenglamaga H  , model operator xos funksiyalariga mos
Faddeyev tenglamasi deyiladi.
H  , operatorning muhim spektrining joylashuv o‘rni
Bu bo‘limda avvalgi bo‘limlar natijalari hamda Veyl mezoni yordamida H  ,
model operator muhim spektrining joylashuv o‘rni tadqiq qilinadi. Dastlab Veyl
mezonining [8] H  , model operatorga moslashtirilgan holini bayon qilamiz. z = z0
soni H  , model operatorning spektriga tegishli bo‘lishi uchun Ls2 ((Td )2 ) fazoda
shunday { f n } ketma-ketlik topilib, || f n ||= 1 va
67
lim ||  H  ,  z0 I  f n ||= 0
(3.10)
n
tengliklar bajarilishi zarur va yetarlidir. Bu yerda I orqali Ls2 ((Td )2 ) Hilbert
fazosidagi birlik operator belgilangan. Bundan tashqari, agar yuqoridagi shartni
qanoatlantiruvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lmagan qismiy ketma-ketlikni
saqlasa (masalan, { f n } ortonormal ketma-ketlik bo‘lsa), u holda z = z0 soni H  ,
model operatorning muhim spektriga tegishli bo‘ladi.
H  ,
model operatorning muhim spektri quyidagi teorema yordamida
tavsiflanadi.
3.2-teorema.
model
H  ,
operatorning
muhim
spektri
H ch,
kanal
operatorning spektri bilan ustma-ust tushadi, ya’ni
 ess ( H  , ) =  ( H ch, )
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bundan tashqari,  ess ( H  , ) to‘plam ko‘pi bilan uchta
kesmalar birlashmasidan iborat.
Isboti. 3.1-teoremaga ko‘ra  ( H ch, ) =  , tenglik o‘rinlidir. Shu sababli
 ess ( H  , ) =   , ekanligini ko‘rsatamiz. Dastlab   ,   ess ( H  , ) munosabatni
isbotlaymiz.   , to‘plamni  , =   ,  [m; M ] ko‘rinishda tasvirlab olamiz hamda
[m; M ]   ess ( H  , )
munosabat o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik,
z0  [ m; M ] ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. z0  ess ( H  , ) ekanligini ko‘rsatamiz. Buning
uchun (3.10) shartni qanoatlantiruvchi { f n }  Ls2 ((Td )2 ) ortonormal funksiyalar
ketma-ketligini qurish yetarli.
 (, ) funksiya (Td )2 kompakt to‘plamda uzluksiz bo‘lganligi bois shunday
( p0 , q0 )  (Td )2 nuqta topilib, z0 =  ( p0 , q0 ) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ixtiyoriy nN
natural soni uchun ( p0 , q0 )  (Td )2 nuqtaning quyidagi atrofini qaraymiz:
Wn ( p0 , q0 ) := Vn ( p0 )  Vn (q0 ),
68
bu yerda
Vn ( p0 ) := { p  Td :
1
1
<| p  p0 |< }
n 1
n
to‘plam p0 Td nuqtaning o‘yilgan atrofi va p0  q0 bo‘lganda barcha nN larda
Vn ( p0 )  Vn (q0 ) = 
shart bajariladigan qilib tanlangan.
  () 
orqali

to‘plamning xarakteristik funksiyasini belgilaymiz.
{ f n }  Ls2 ((Td )2 ) ortonormal funksiyalar ketma-ketligini quyidagicha tanlaymiz:
f n ( p, q ) =
W ( p, q)
n
mes(Vn ( p0 ))mes(Vn (q0 ))
Istalgan nN soni uchun
H
 ,
.
 z0 I  f n elementni qaraymiz va uning
normasini baholaymiz:
||  H  ,  z0 I  f n ||2  5 sup ( ( p, q)  z0 )  5 2 max | v1 ( p) |4 mes(Vn ( p0 ))mes(Td ) 
( p ,q )Wn
pTd
5 2 max | v1 ( p) |4 mes(Vn (q0 ))mes(Td )  5 2 max | v2 ( p) |4 mes(Vn ( p0 ))mes(Td ) 
pTd
pTd
5 2 max | v2 ( p) |4 mes(Vn (q0 ))mes(Td ).
pTd
Vn ( p0 ),
Vn ( q0 )
to‘plamlarning
aniqlanishidan
va
 ( p, q)
funksiyaning
uzluksizligidan n   bo‘lganda P ( H  ,  z0 I ) f n P 0 ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
z0  ess ( H  , )
munosabat
o‘rinli.
z0
ixtiyoriy
nuqta
bo‘lganligi
bois
[m; M ]   ess ( H  , ) munosabatga ega bo‘lamiz.
Endi   ,   ess ( H  , ) ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy z1   , nuqtani olib,
z1  ess ( H  , ) munosabat bajarilishini isbotlaymiz. Ikkita hol bo‘lishi mumkin:
69
z1  [m; M ] yoki z1  [m; M ]. Agar z1  [m; M ] bo‘lsa, u holda z1  ess ( H  , )
ekanligi yuqorida ko‘rsatildi. Faraz qilaylik,
z1   , \ [m; M ]
bo‘lsin.   ,
to‘plamning aniqlanishidan va 3.2-lemmaga ko‘ra shunday p0 Td nuqta topilib,
  , ( p0 , z1 ) = 0
tenglik bajariladi. Demak, ushbu
a11 ( p, z )l1  a12 ( p, z )l2 = 0, a21 ( p, z )l1  a22 ( p, z )l2 = 0
(3.11)
bir jinsli tenlamalar sistemasi C2 to‘plamda cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. (3.11)
sistemani quyidagicha ham yozish mumkin:
A , ( p0 , z1 )l = 0, (l1; l2 ) C2 .
(3.12)
{n }  Ls2 ((Td )2 ) ortogonal funksiyalar ketma-ketligini quyidagicha tanlaymiz:
v1 ( p) 1( n ) (q)  v1 (q) 1( n ) ( p)  v2 ( p) 2( n ) (q)  v2 (q) 2( n ) ( p)
n ( p, q) =
,
 ( p, q)  z
bu yerda
 i( n ) ( p) = li cn ( p) V ( p)(mesVn ( p1 )) 1/2 , i = 1,2.
n
Bu yerda {cn }  L2 (Td ) ortonormal sistema {n } ketma-ketlikning ortogonallik
shartidan, ya’ni
(n ;m ) = 0, n  m
(3.13)
shartdan tanlanadi. {cn ()} ketma-ketlikning mavjudligi quyidagi tasdiqda o‘z aksini
topgan.
3.1-tasdiq.
Shunday
{cn }  L2 (Td )
ortonormal
sistema
topilib,
supp cn ()  Vn ( p1 ) munosabat va (3.12) shart bajariladi.
Ma’lumki quyidagi
A
||  || 
,
mes(Vn ( p1 ))
2
|| l1v1  l2v2 ||2
A=
, nN
2
max |  ( p, q)  z1 |
p ,qTd
70
(3.14)
munosabat o‘rinli.  n = n / || n || s
bo‘lsin. Budan ko‘rinib turibdiki, { n }
L2 (( Td )2 )
ortonormal sistema.
Istalgan nN soni uchun
H
 ,
 z1I   n elementni qaraymiz va uning
normasini baholaymiz:
||  H  ,  z1I   n || s
L2 (( Td )2 )
|| A , ( z1 ) ( n ) || (2)
L2 ( Td )
 || K , ( z1 ) ( n ) || (2)
L2 ( Td )
,
bu yerda

(n)


 1( n )
 2( n )


=
,
 ||  n || s d 2 ||  n || s d 2 
L2 (( T ) )
L2 (( T ) ) 

 ( n) aniqlanishidan va (3.14) tengsizlikdan ushbu
|| ( n ) || (2)
L2 ( Td )

1
|| l ||2 2
C
A
(3.15)
tengsizlik hosil qilamiz.
Har qanday n  m uchun  ( n) funksiyaning tashuvchilari kesishmaganligi
d
sababli hamda (3.15) tengsizlik { ( n ) }  L(2)
2 (T ) chegaralangan ortogonal sistema
ekanligini bildiradi.
K , ( z1 ) operatorli matritsa kompakt operator qiymatli funksiyaligidan n  
bo‘lganda
P K , ( z1 ) ( n) P (2) d  0
L2 ( T )
bajarilishi kelib chiqadi.
Endi
|| A , ( z1 ) ( n ) || (2) d
L2 ( T )
normani
qaraymiz.
Shvarts
tengsizligidan
foydalansak, shunday C > 0 soni topilib,
|| A , ( z1 ) ( n ) || (2)
L2 ( Td )
 C sup || A , ( p, z1 )l ||2 2
pVn ( p1 )
C
tengsizlik bajariladi. A , (, z1 ) funksiya Td to‘plamda uzluksizligidan va (3.12)
71
tenglikdan n   bo‘lganda
sup || A , ( p, z1 )l ||C2  0
pVn ( p1 )
bajarilishi kelib chiqadi.
Demak, n   bo‘lganda
H
 ,
 z1I   n || s
L2 (( Td )2 )
0
bo‘ladi. z1 nuqtaning ixtiyoriy ekanligidan   ,   ess ( H  , ) munosabatni hosil
qilamiz. Shunday qilib,   ,   ess ( H  , ) munosabat isbotlandi.
Endi teskari tasdiqni, ya’ni  ess ( H  , )   , ekanligini isbotlaymiz. Har bir
z  C \  , uchun T ( z ) operator C \   , dagi kompakt operator qiymatli funksiya
bo‘ladi. H  , operatorli matritsaning o‘z-o‘ziga qo‘shmaligidan va 3.3-lemmadan z
haqiqiy bo‘lib, absolyut qiymati katta bo‘lsa, u holda ( I  T ( z ))1 operatorning
mavjudligi kelib chiqadi. Fredgolmning analitik teoremasiga ko‘ra [8] shunday
S ,  C \  , diskret to‘plam topilib, ( I  T ( z ))1 operator qiymatli funksiya mavjud
va C \ ( S ,    , ) sohada analitik hamda C \   , sohada meromorf bo‘lib, rangi
chekli qoldiqqa ega bo‘ladi. Bundan  ( H  , ) \   , to‘plamning yakkalangan
nuqtadan iboratligi va   , to‘plam nuqtalarining quyuqlashish nuqtalari faqatgina shu
to‘plamning chegarasi bo‘lishi mumkinligi kelib chiqadi. Shunday qilib,
 ( H  , ) \  ,   disc ( H  , ) =  ( H  , ) \  ess ( H  , ).
Demak,  ess ( H  , )   ,
munosabat o‘rinli ekan. Nihoyat  ess ( H  , ) =   ,
tenglikni hosil qilamiz.
3.2-lemmaga ko‘ra har bir fiksirlangan p Td element uchun h , ( p) Fridrixs
modellari oilasi m( p) dan chapda va M ( p) dan o‘ngda yotuvchi ko‘pi bilan bitta
oddiy xos qiymatga ega bo‘ladi. Yoyiluvchi operatorning spektri haqidagi teorema [8]
72
va   , to‘plamning ta’rifidan uning ko‘pi bilan ikkita kesmalar birlashmasidan
iboratligini hosil qilamiz. Shunday qilib,   , to‘plam ko‘pi bilan uchta kesmalar
birlashmasidan iborat ekan.
3.2 Tenzor yig‘indisining muhim spektri tuzilishi va joylashuv o‘rni
Keyingi izlanishlarda  ( p, q) funksiyaning ushbu
 ( p, q) = u( p)  u(q)
ko‘rinishda bo‘lgan holi tadqiq qilinadi. Bu holda H 0,0 operator quyidagicha
( H0,0 f )( p, q) = (u( p)  u(q)) f ( p, q)
ko‘rinishda aniqlanadi.
3.3-teorema. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, I ( E ) = ,  = 1,2
bo‘lsin.
A) Agar  ,  > 0 bo‘lsa, u holda H  , model operator 2 ta 2 E1 (  ) va
2 E2 ( ) oddiy xos qiymatlarga ega bo‘lib,
 ess ( H  , ) = [ E1 ( )  E1; E1 ( )  E2 ]  [2E1;2 E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ],
 pp ( H  , ) = {2E1 ( ); E1 ( )  E2 ( );2 E2 ( )}
tengliklar o‘rinli;
B) ixtiyoriy a < E1 va b > E2 , sonlari uchun shunday  0 =  0 (a) > 0 va
 0 =  0 (b) > 0 parametrlar topilib, 2a, a  b va 2b
sonlari
H  0 , 0
model
va
* > 0
operatorning xos qiymatlari bo‘ladi;
C)
ixtiyoriy
c  [2 E1;2 E2 ]
soni uchun shunday
* > 0
parametrlar topilib c soni H  *,* model operatorning xos qiymati bo‘ladi.
Isboti. H  , model operator va h , Fridrixs modeli uchun ushbu
H  , = h ,  I  I  h ,
munosabat o‘rinli. Bu yerda I operator L2 (Td ) Hilbert fazosidagi birlik operator.
Spektral analizdagi tenzor yig‘indisi haqidagi teoremaga asosan
73
 ( H  , ) =  (h , )   (h , )
(3.16)
tenglik o‘rinli.
A) Agar (2.11) shart bajarilib, I ( E ) = ,  = 1,2 bo‘lsa, u holda 2.2natijaning A) tasdig‘iga ko‘ra ixtiyoriy  ,  > 0 lar uchun h , Fridrixs modeli
E1 (  )  (; E1 ) va E2 ( )  ( E2 ; ) xos qiymatlarga ega bo‘lib, h , Fridrixs
modelining spektri uchun
 (h , ) = {E1 (  )}  [ E1; E2 ]  {E2 ( )}
tenglik o‘rinli bo‘ladi. (3.16) munosabatga ko‘ra 2 E1 (  ) va 2 E2 ( ) sonlari H  ,
model operatorning oddiy xos qiymatlari bo‘ladi. Bundan tashqari to‘plamlar ustida
arifmetik yig‘indi amalini inobatga olib, quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
 ess ( H  , ) = [ E1 ( )  E1; E1 (  )  E2 ]  [2E1;2E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ],
 pp ( H  , ) = {2E1 ( ); E1 ( )  E2 ( );2 E2 ( )};
B) agar I ( E ) = ,  = 1,2 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy a < E1 va b > E2
sonlari uchun shunday  0 =  0 (a) = ( I11 (a)) 1 ,  0 =  0 (b) = ( I 22 (b))1 parametrlar
(a ) = 0 va (2)
topilib  (1)
(b) = 0 tengliklar bajariladi. (2.7) va (2.8) tengliklarga
0
0
ko‘ra a va b sonlari mos ravishda h 0 ,
( > 0) va h ,
0
( > 0) Fridrixs
modellarining xos qiymati bo‘ladi. (2.11) shart bajarilsa, u holda 2.1-teoremaning B)
tasdig‘iga ko‘ra a va b sonlari h 0 , 0 Fridrixs modelining xos qiymatlari bo‘ladi.
(3.16) tenglikdan 2a, a  b, 2b sonlari H  0 , 0 model operator uchun xos qiymatlar
bo‘lishi kelib chiqadi.
C ) Faraz qilaylik, c  [2 E1;2 E2 ] ixtiyoriy nuqta bo‘lsin, u holda har qanday
b > 2 E2  E1 soni uchun c  b < E1 bo‘ladi. Agar I ( E ) = ,  = 1,2 bo‘lsa, u
holda
shunday
* = ( I11 (c  b))1
va
74
* = ( I 22 (b))1
parametrlar
topilib,
(2)
(1)
* (c  b) = 0 va  * (b) = 0 tengliklar o‘rinli bo‘ladi. (2.7) va (2.8) tengliklarga
ko‘ra c  b va b sonlari h *, ( > 0) va h , * ( > 0) Fridrixs modellarining xos
qiymati bo‘ladi. (2.11) shart bajarilsa, u holda 2.1-teoremaning B) tasdig‘iga ko‘ra
c  b va b sonlari h *,* Fridrixs modelining xos qiymatlari bo‘lishi kelib chiqadi.
(3.16) tenglikdan c soni H  *,* model operator uchun xos qiymat bo‘ladi. Teorema
isbot bo‘ldi.
3.4-teorema. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, I ( E )  ,  = 1,2
bo‘lsin.
A) Agar 0 <   0 va 0 <   0 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [2E1;2E2 ],  pp ( H  , ) = 
tengliklar o‘rinli;
B) agar  > 0 va 0 <   0 bo‘lsa, H  , model operator 1 ta 2 E1 (  )
oddiy xos qiymatga ega bo‘lib,
 ess ( H  , ) = [ E1 ( )  E1; E1 (  )  E2 ]  [2 E1;2 E2 ],
 pp ( H  , ) = {2 E1 (  )}
tengliklar o‘rinli;
C ) agar 0 <   0 va  > 0 bo‘lsa, H  , model operator 1 ta 2 E2 ( )
oddiy xos qiymatga ega bo‘lib,
 ess ( H  , ) = [2E1;2E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ],
 pp ( H  , ) = {2 E2 ( )}
tengliklar o‘rinli;
D) agar  > 0 va  > 0 bo‘lsa, u holda H  , model operator 2 ta
2 E1 (  ) va 2 E2 ( ) oddiy xos qiymatlarga ega bo‘lib,
 ess ( H  , ) = [ E1 ( )  E1; E1 ( )  E2 ]  [2E1;2 E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ],
75
 pp ( H  , ) = {2E1 ( ); E1 ( )  E2 ( );2 E2 ( )}
tengliklar o‘rinli.
Isboti. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilsin.
A) Agar 0 <   0 va 0 <   0 bo‘lsa, U holda 2.2-natijaning B1 )
tasdig‘iga ko‘ra h , Fridrixs modeli o‘zining muhim spektridan tashqarida yotuvchi
xos qiymatlarga ega bo‘lmaydi va h , Fridrixs modelining spektri uchun
 (h , ) =  ess (h , )  [ E1; E2 ]
tenglik o‘rinli bo‘ladi. (3.16) munosabatga ko‘ra quyidagi tengliklarni hosil qilamiz
 ess ( H  , ) = [2E1;2E2 ];  pp ( H  , ) = .
B) Faraz qilaylik,  > 0 va 0 <   0 bo‘lsin. U holda 2.2-natijaning B3 )
tasdig‘iga ko‘ra h , Fridrixs modeli E1 dan chapda yotuvchi bitta oddiy xos qiymati
mavjud bo‘lib, uning spektri va diskret spektri uchun
 (h , ) = {E1 (  )}  [ E1; E2 ];  disc (h , ) = {E1 (  )}
tengliklar o‘rinlidir. (3.16) munosabatga ko‘ra quyidagi tengliklarni hosil qilamiz
 ess ( H  , ) = [ E1 (  )  E1; E1 (  )  E2 ]  [2E1;2E2 ];
 pp ( H  , ) = {2 E1 (  )}.
C ) Faraz qilaylik, 0 <   0 va  > 0 bo‘lsin. U holda 2.2-natijaning B2 )
tasdig‘iga ko‘ra h , Fridrixs modeli E 2 dan o‘ngda yotuvchi bitta oddiy xos qiymati
mavjud bo‘lib, spektri va diskret spektri uchun
 (h , ) = [ E1; E2 ]  {E2 ( )};  disc (h , ) = {E2 ( )}
munosabatlar o‘rinli. (3.16) munosabatga ko‘ra quyidagi tengliklarni hosil qilamiz
 ess ( H  , ) = [2 E1;2 E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ];
 pp ( H  , ) = {2 E2 ( )}.
D) Faraz qilaylik,  > 0 va  > 0 bo‘lsin. U holda 2.2-natijaning B4 )
tasdig‘iga ko‘ra h , Fridrixs modeli E1 dan chapda E 2 dan o‘ngda yotuvchi
76
bittadan oddiy xos qiymatlari mavjud. Bundan esa h , Fridrixs modelining spektri va
diskret spektri
 (h , ) = {E1 ( )}  [ E1; E2 ]  {E2 ( )};
 disc (h , ) = {E1 (  )}  {E2 ( )}
tengliklarni qanoatlantirishi kelib chiqadi. (3.16) munosabatga ko‘ra quyidagi
tengliklarni hosil qilamiz
 ess ( H  , ) = [ E1 (  )  E1; E1 (  )  E2 ]  [2E1;2E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ];
 pp ( H  , ) = {2 E1 (  ); E1 (  )  E2 ( );2 E2 ( )}.
Ushbu belgilashlarni kiritamiz:
1 := ( I11 (2 E1  E2 ))1, 0 := ( I 22 (2 E2  E1 )) 1.
3.5-teorema. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, I ( E ) = ,  = 1,2
bo‘lsin.
A) Agar 0 <   1 va 0 <   1 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [ E1 (  )  E1; E2 ( )  E2 ]
tenglik o‘rinli;
B) agar  > 1 va 0 <   1 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [ E1 (  )  E1; E1 (  )  E2 ]  [2 E1; E2 ( )  E2 ]
tenglik o‘rinli bo‘lib, E1 (  )  E2 < 2 E1 bo‘ladi;
C ) agar 0 <   1 va  > 1 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [ E1 ( )  E1;2E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ]
tenglik o‘rinli bo‘lib, 2 E2 < E2 ( )  E1 bo‘ladi;
D) agar  > 1 va  > 1 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [ E1 ( )  E1; E1 ( )  E2 ]  [2 E1;2 E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ]
tenglik o‘rinli bo‘lib, E1 (  )  E2 < 2 E1 va 2 E2 < E2 ( )  E1 bo‘lad.
Isboti. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, I ( E ) = ,  = 1,2 bo‘lsin. U
77
holda 2.2-natijaning A) tasdig‘iga ko‘ra h , Fridrixs modeli E1 dan chapda yagona
E1 (  ) va E 2 dan o‘ngda yotuvchi yagona E2 ( ) oddiy xos qiymatlari mavjud
(2)
bo‘lib, 2.2-lemmaga ko‘ra (1)
 ( E1 (  )) = 0 va   ( E2 ( )) = 0 bo‘ladi. Hamda 3.3-
teoremaning A) tasdig‘iga ko‘ra H  , model operatorning muhim spektri uchun
 ess ( H  , ) = [ E1 ( )  E1; E1 ( )  E2 ]  [2 E1;2 E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ]
tenglik o‘rinli.
A)
Agar
0 <   1
bo‘lsa, u holda
(1)
 (1)
 (2 E1  E2 )    (2 E1  E2 ) = 0
1
(1)
bo‘ladi, ya’ni (1)
 (2 E1  E2 )  0. Ushbu   ( E1 (  )) = 0 tenglikni inobatga olib,
(1)
(1)
(1)
 (2 E1  E2 )    ( E1 (  )) tengsizlikni hosil qilamiz.   () funksiya ( ; E1 )
oraliqda uzluksiz va kamayuvchi bo‘lganligi uchun E1 (  )  E2  2 E1 tengsizlik o‘rinli
(2)
bo‘ladi. Agar 0 <   1 bo‘lsa, u holda  (2)
 (2 E2  E1 )    (2 E2  E1 ) = 0 bo‘ladi,
1
ya’ni
(2)
 (2 E2  E1 )  0.
Ushbu
(2)
 ( E2 ( )) = 0
tenglikni
inobatga
olib,
(2)
(2)
(2)
 (2 E2  E1 )    ( E2 ( )) tengsizlikni hosil qilamiz.   () funksiya ( E2 ;  )
oraliqda uzluksiz va o‘suvchi bo‘lganligi uchun 2 E2  E2 ( )  E1 tengsizlik o‘rinli
bo‘ladi. Yuqoridagi munosabatlardan
 ess ( H  , ) = [ E1 (  )  E1; E2 ( )  E2 ]
tenglik kelib chiqadi. Bu esa teoremaning A) tasdig‘ini isbotlaydi.
(1)
D) Faraz qilaylik,  > 1 bo‘lsin. U holda  (1)
 (2 E1  E2 ) <   (2 E1  E2 ) = 0
1
(1)
munosabat o‘rinlidir, ya’ni (1)
 (2 E1  E2 ) < 0. Ushbu   ( E1 (  )) = 0 tenglikni
(1)
(1)
inobatga olib, (1)
 (2 E1  E2 ) <   ( E1 (  )) tengsizlikni hosil qilamiz.   () funksiya
(; E1 ) oraliqda uzluksiz va kamayuvchi bo‘lganligi uchun E1 (  )  E2 < 2 E1
(2)
tengsizlik bajariladi. Agar  > 1 bo‘lsa, u holda  (2)
 (2 E2  E1 ) <   (2 E2  E1 ) = 0
1
(2)
bo‘ladi, ya’ni (2)
 (2 E2  E1 )  0. Ushbu   ( E2 ( )) = 0 tenglikni inobatga olib,
78
(2)
(2)
(2)
 (2 E2  E1 ) <   ( E2 ( )) tengsizlikni hosil qilamiz.   () funksiya ( E2 ;  )
oraliqda uzluksiz va o‘suvchi bo‘lganligi uchun 2 E2 < E2 ( )  E1 tengsizlik o‘rinli
bo‘ladi va shu orqali teoremaning D) tasdig‘ini isbotlanadi. Teoremaning B) va C )
tasdiqlari ham yuqoridagi kabi isbotlanadi.
3.1-eslatma. Ushbu 0 < 1 va 0 < 1 tengsizliklar o‘rinli.
3.6-teorema. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, I ( E )  ,  = 1,2
bo‘lsin.
A1 ) Agar 0 <   0 va 0 <   0 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [2 E1;2 E2 ]
tenglik o‘rinli;
A2 ) agar 0 <   1 va 0 <   0 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [ E1 (  )  E1;2 E2 ]
tenglik o‘rinli;
A3 ) agar  > 1 va 0 <   0 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [ E1 ( )  E1; E1 (  )  E2 ]  [2 E1;2 E2 ]
kabi bo‘lib, E1 (  )  E2 < 2 E1 tengsizlik o‘rinli;
B1 ) agar 0 <   0 va 0 <   1 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [2 E1; E2 ( )  E2 ]
tenglik o‘rinli;
B2 ) agar 0 <   1 va 0 <   1 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [ E1 (  )  E1; E2 ( )  E2 ]
tengliklar o‘rinli;
B3 ) agar  > 1 va 0 <   1 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [ E1 (  )  E1; E1 (  )  E2 ]  [2 E1; E2 ( )  E2 ]
kabi bo‘lib, E1 (  )  E2 < 2 E1 tengsizlik o‘rinli;
79
C1 ) agar 0 <   0 va  > 1 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [2E1;2E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ]
kabi bo‘lib, 2 E2 < E2 ( )  E1 tengsizlik o‘rinli;
C2 ) agar 0 <   1 va  > 1 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [ E1 ( )  E1;2E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ]
kabi bo‘lib, 2 E2 < E2 ( )  E1 tengsizlik o‘rinli;
C3 ) agar  > 1 va  > 1 bo‘lsa, u holda
 ess ( H  , ) = [ E1 ( )  E1; E1 ( )  E2 ]  [2 E1;2 E2 ]  [ E2 ( )  E1; E2 ( )  E2 ]
tenglik o‘rinli bo‘lib, E1 (  )  E2 < 2 E1 va 2 E2 < E2 ( )  E1 bo‘ladi.
Isboti. Faraz qilaylik, (2.11) shart bajarilib, I ( E )  ,  = 1,2 bo‘lsin.
A1 ) Faraz qilaylik, 0 <   0 va 0 <   0 bo‘lsin, u holda 3.4-teoremaning
A) tasdig‘iga ko‘ra H  , model operatorning muhim spektri uchun
 ess ( H  , ) = [2 E1;2 E2 ]
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
A2 ) Faraz qilaylik, 0 <   1 va 0 <   0 bo‘lsin, u holda 3.4-teoremaning
B) tasdig‘iga ko‘ra H  , model operatorning muhim spektri uchun
 ess ( H  , ) = [ E1 ( )  E1; E1 (  )  E2 ]  [2 E1;2 E2 ],
tenglik o‘rinli bo‘lib, 2.2-natijaning B3 ) tasdig‘iga ko‘ra h , Fridrixs modeli E1 dan
chapda yotuvchi yagona E1 (  ) oddiy xos qiymati mavjud. 2.2-lemmaga ko‘ra
(1)
 ( E1 (  )) = 0
bo‘ladi.
(1)
 ()
(1)
 (1)
 (2 E1  E2 )    (2 E1  E2 ) = 0
1
Ushbu
(1)
 ( E1 (  )) = 0
funksiyaning
aniqlanishiga
munosabatni o‘rinli, ya’ni
tenglikni
inobatga
olib,
ko‘ra
(1)
 (2 E1  E2 )  0.
(1)
(1)
 (2 E1  E2 )    ( E1 (  ))
tengsizlikni hosil qilamiz. (1)
 () funksiya ( ; E1 ) oraliqda uzluksiz va kamayuvchi
80
bo‘lganligi
uchun
E1 (  )  E2  2 E1
tengsizlik
o‘rinli
bo‘ladi.
Yuqoridagi
munosabatlardan
 ess ( H  , ) = [ E1 (  )  E1; E2 ( )  E2 ]
tenglik kelib chiqadi. Bu esa teoremaning A2 ) tasdig‘ini isbotlaydi. Teoremaning
qolgan tasdiqlari ham A1 ) va A2 ) tasdiqlar kabi isbotlanadi.
81
III bob xulosasi
Dissertatsiya ishining III bobida panjaradagi uch zarrachali sistemaga mos H  ,
model operator, spektral xossalari o‘rganilgan. Mazkur bob ikkita bo‘limdan tashkil
topgan.
3.1-bo‘limda H  , model operatorga mos H ch, kanal operator qaralgan, H  ,
model operatorning muhim spektri H ch, kanal operatorning spektri bilan ustma-ust
tushishi isbotlangan.
3.2-bo‘limda ikki o‘lchamli qo‘zg‘alishga ega Fridrixs modellari tenzor
yig‘indisi ko‘rinishidagi model operator muhim spektri tarmoqlarining tuzilishi
tavsiflangan hamda muhim spektr bitta, ikkita, uchta kesmalarning birlashmasidan
iborat bo‘lish shartlari aniqlangan. Mazkur holda H  , operatorning yakkalangan va
muhim spektr ichida joylashgan xos qiymatlarining mavjudlik shartlari tadqiq qilingan.
82
UMUMIY XULOSA
Ushbu dissertatsiya ishida panjaradagi ikki va uch zarrachali sistemalarga mos
model operatorlarning muhim va diskret spektrlari tadqiq qilingan. Bunda
o‘rganilayotgan H  , model operator panjaradagi uchta bir xil zarrachalar sistemasi
gamiltonianiga mos keladi.
Ishning birinchi bobida operatorlar spektral nazariyasidan yaxshi ma’lum
bo‘lgan dastlabki ma’lumotlar va muhim faktlar, chiziqli operatorning sonli tasviri
tushunchasi va uning asosiy xossalari hamda panjaradagi ikki va uch zarrachali
sistemalarga mos model operatorlarning spektral xossalari bilan bog‘liq ayrim natijalar
tahlil qilingan.
Ikkinchi bobda h , Fridrixs modeli xos qiymatlarining soni va joylashuv o‘rni
aniqlangan.  va  ta’sirlashish parametrlariga nisbatan h , Fridrixs modeli xos
qiymatlarining mavjudlik shartlari topilgan. h , Fridrixs modeli muhim spektrining
quyi va yuqori chegaralari bo‘sag‘aviy xos qiymat yoki virtual sath bo‘lishining
zaruriylik va yetarlilik shartlari aniqlangan. Fridrixs modeli uchun W (h , ) sonli
tasvirning tuzilishi  va  parametrlarga nisbatan o‘rganilgan. Uning yopiq to‘plam
bo‘ladigan hamda spektr bilan ustma-ust tushadigan hollar alohida ajratib ko‘rsatilgan.
Uchinchi bobida H  , model operatorga mos H ch, kanal operator ajratilgan.
H  , model operatorning muhim spektri H ch, kanal operatorning spektri bilan ustma-
ust tushishi isbotlangan. Ikki o‘lchamli qo‘zg‘alishga ega Fridrixs modellari tenzor
yig‘indisi ko‘rinishidagi model operator muhim spektri tarmoqlarining tuzilishi
tavsiflangan hamda muhim spektr bitta, ikkita, uchta kesmalarning birlashmasidan
iborat bo‘lish shartlari aniqlangan. Mazkur holda H  , operatorning yakkalangan va
muhim spektr ichida joylashgan xos qiymatlarining mavjudlik shartlari tadqiq qilingan.
83
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Faria da Veiga P.A., Ioriatti L., O’Caroll M. Energy-momentum spectrum of
some two-particle lattice Schrödinger Hamiltonians. Phys. Rev. E. 66:3 (2002),
016130.
2. Malyshev V.A., Minlos R.A. Linear infinite-particle operators. Translations
of Mathematical Monographs. 143, AMS, Providence, RI, 1995.
3. Расулов Т.Х. О существенном спектре одного модельного оператора,
ассоции- рованного с системой трех частиц на решётке. Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2011, выпуск 3 (24), С. 42–51.
4. Albeverio S., Lakaev S.N., Muminov Z.I. The threshold effects for a family of
Friedrichs models under rank one perturbations. J. Math. Anal. Appl., 330 (2007), pp.
1152–1168.
5. Albeverio S., Lakaev S.N., Djumanova R.Kh. The essential and discrete
spectrum of a model operator associated to a system of three identical particles. Reports
on Mathematical Physics. 63:3 (2009), pp. 359–380.
6. Albeverio S., Lakaev S.N., Muminov Z.I. On the Number of Eigenvalues of a
Model Operator Associated to a System of Three-Particles on Lattices. Russian Journal
of Mathematical Physics, Vol. 14, № 4, 2007, pp. 377–387.
7. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1.
Функциональный анализ. М.: Мир, Москва, 1977, 366 с.
8. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 4.
Анализ операторов. М.: Мир, Москва, 1982, 428 с.
9. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУ,
1983, 392 с.
10. Kato T. Perturbation theory for linear operators. Classics Math., Springer,
Berlin, 1995, reprint of the 1980 edition.
11. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. Мир, М., 1970.
12. Эшкабилов Ю.Х. О спектре тензорной суммы компактных операторов.
84
Uzbek Mathematical Journal, 2005, № 3, pp. 104–112.
13. Gustafson K.E., Rao D.K.M. Numerical range. The field of values of linear
operators and matrices. Universitext. Springer, New York, 1997.
14. Toeplitz O. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer. Math. Z.,
2:1-2 (1918), pp. 187–197.
15. Hausdorff F. Der Wertvorrat einer Bilinearform. Math. Z., 3:1 (1919), 314–
316.
16. Wintner A. Zur Theorie der beschrankten Bilinearformen. Math. Z., 30:1
(1929), pp. 228–281.
17. Расулов Т.Х., Ботиров Г.И. Численный диапазон обобщенной модели
Фридрихса. Узбекский математический журнал. № 2 (2013), С. 72–81.
18. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. Исследование числовой области
значений одной операторной матрицы. Вестник Самарского государственного
технического университета, Серия физ.-мат. науки, 35:2 (2014), C. 50–63.
19. Dilmurodov E.B. Ikkinchi tartibli operatorli matritsalarning spektral
xossalari. Falsafa doktorlik dissertatsiyasi, Qarshi, 2021.
20. Friedrichs K.O. Uber die Spectralzerlegung einee Integral operators. Math.
Ann. 1938. V.115. pp. 249–272.
21. Friedrichs K.O. On the perturbation of continuous spectra. Comm. Pure.
Appl. Math. 1948. V.1. pp. 361–406.
22. Ладыженская О.А.,Фаддеев Л.Д. К теории возмущений непрерывного
спектра. ДАН СССР. 1962. Т.145. № 2. С. 301–304.
23. Фаддеев Л.Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного
спектра. В кн.: Труды математического института АН СССР. Т.73. М.:
Наука.1964. С. 292–313.
24. Лакаев С.Н. Некоторые спектральные свойства модели Фридрихса,
Труды сем. им. И.Г. Петровского, 11 (1986), С. 210–238.
25. Икромов И.А., Шарипов Ф.Ш. О дискретном спектре неаналитической
85
матричнозначной
модели
Фридрихса.
Функциональный
анализ
и
его
приложения. 1998, Т.32, № 1, С. 63–65.
26. Efimov V.N. Energy levels arising from resonances two-body forces in a
three-body system. Phys. Lett. 1970. B.33. №. 8. pp. 563–564.
27. Яфаев Д.Р. К теоpии дискpетного спектpа тpехчастичного опеpатоpа
Шpедингеpа. Математический сборник. 1974. Т.9(136). №. 4(8), С. 567–592.
28. Ovchinnikov Yu.N., Sigal I.M. Number of bound states of tree-body systems
and Efimov’s effect. Ann. Fhysics. 1989. V.123. pp. 274–295.
29. Tamura H. The Efimov effect of three-body Schrödinger opetators. J. Funct.
Anal. 1991. V.95. pp. 433–459.
30. Sobolev A.V. The Efimov effect. Discrete spectrum asymptotics. Comm.
Math. Phys., 156 (1993), pp. 101–126.
31. Лакаев С.Н. О бесконечном числе тpехчастичных связанных состояний
системы тpех квантовых pешетчатых частиц. Теор. и мат. физ., 89:1 (1991), pp.
94–104.
32. Лакаев С.Н. Об эффекте Ефимова в системе тpех одинаковых квантовых
частиц. Функ. анализ и его пpил., 27:3 (1993). С. 15–28.
33. Абдуллаев Ж.И., Лакаев С.Н. Асимптотика дискретного спектра
разностного трехчастичного оператора Шредингера на решетке. Теор. и мат.
физ., 136:2, (2003), С. 231–245.
34. Расулов Т.Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного
оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Теоретическая
и математическая физика. 163:1 (2010), С. 34–44.
35. Расулов Т.Х., Рахмонов А.А. Уравнение Фаддеева и местоположение
существенного спектра одного трёхчастичного модельного оператора. Вестн.
Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011, выпуск 2(23), C. 170–180.
36. Муминов М.Э. О бесконечности числа собственных значений на лакуне
существенного спектра оператора Шредингера трех частиц на решетке. ТМФ,
86
159:2 (2009), C. 299–317.
37. Арзикулов Г.П., Эшкабилов Ю.Х. О спектральных свойствах одного
трехчастичного модельного оператора. Известия вузов. Математика. № 5 (2020),
С. 3–10.
38. Эшкабилов Ю.Х. Эффект Ефимова для одного «трехчастичного»
дискретного оператора Шредингера. Теор. и матем. физика, 164:1 (2010), С. 78–
87.
39. Rasulov T.H., Bahronov B.I. Existence of the eigenvalues of a tensor sum of
the Friedrichs models with rank 2 perturbation. Nanosystems: Phys. Chem. Math., 14:2
(2023), pp. 151–157 (Scopus).
40. Rasulov T.H., Bahronov B.I. On the numerical range of a Friedrichs model
with rank two perturbation: Threshold analysis technique. AIP Conference
Proceedings. 2764 (2023), pp. 03007: 1–10 (Scopus)
41. Бахронов Б.И., Расулов Т.Х., Рехман M. Условия существования
собственных значений трехчастичного решетчатого модельного гамильтониана.
Известия вузов. Математика. (2023), С. 3–12 (Scopus).
42. Bahronov B.I. Panjaradagi uch zarrachali sistemaga mos model operator xos
funksiyalari uchun Faddeyev tenglamasi va uning xarakteristik xossalari. Ilm
sarchashmalari. № 9 (2022), 11–16 b.
43. Rasulov T.H., Bahronov B.I. Structure of the numerical range of Friedrichs
model: 1D case with rank two perturbation. Bulletin of the Institute of Mathematics, №
4 (2020), pp. 21–28.
44. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. Пороговые собственные значение и
резонансы модели фридрихса с двумерным возмущением. Научный вестник
БухГУ, № 3 (2019), C. 31–38.
45. Bahronov B.I. Lokal bo‘lmagan qo‘zg‘alishga ega panjaradagi uch zarrachali
model operator muhim spektrining tavsifi. “Operator algebralar, noassotsiativ
tuzilmalar va turdosh masalalar” Respublika ilmiy-amaliy anjumani materiallari
87
to‘plami. Toshkent, 2022, 154–156 b.
46. Bahronov B.I. Panjaradagi uch zarrachali sistemaga mos model operatorning
xos funksiyalari uchun Faddeyev tenglamasi. “Zamonaviy matematikaning nazariy
asoslari va amaliy masalalari” Respublika ilmiy-amaliy anjumani materiallari to‘plami.
Andijon, 2022, 24–26 b.
47. Bahronov B.I., Rasulov T.H. Existence of the eigenvalues of a tensor sum of
the Friedrichs models with rank 2 perturbation. “Amaliy matematika va axborot
texnologiyalarining
zamonaviy
muammolari”
xalqaro
ilmiy-amaliy
anjuman
materiallari. Buxoro, 2022, 14–16 b.
48. Bakhronov B.I., On the spectrum of a tensor sum of the Friedrichs models
with rank 2 perturbations. International scientific and practical conference
“Mathematical analysis and its applications in modern mathematical physics”,
Samarkand, 2022, pp. 36–37.
49. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. Условия существования виртуальных
уровней модели Фридрихса с двумерным возмущением. Международная
конференция «Комплексный анализ и теория аппроксимаций», Уфа, Россия,
2019, С. 40–41.
50. Бахронов Б.И. Полное исследование числовой области значений модели
Фридрихса с двумерным возмущением. Международной конференции КРОМШ2019, Симферополь, Россия, С. 49–50.
51. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. О числовой области значений модели
Фридрихса
с
двумерным
возмущением.
Международная
конференция
«Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования»,
Россия, С. 61–63.
52. Бахронов Б.И. Число и местонахождение собственных значений модели
Фридрихса с двумерным возмущением. Международная научная конференция
«Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения», Уфа,
Россия, 2019, С. 20–21.
88
53. Rasulov T.H., Bahronov B.I. Numerical range of a Friedrich’s model with
rank two perturbation. International Conference “Science Technology Education
Mathematics Medicine”. Bukhara-Samarkand-Tashkent, 2019. pp. 22–23.
54. Бахронов Б.И. Число и местонахождения собственных чисел модели
фридрихса с двумерным возмущением. “Fundamental matematika muammolari va
ularning tatbiqlari”. Respublika ilmiy-amaliy konferensiyasi materiallari to‘plami,
Navoiy, 2019, 121–122 b.
89