ESERCITAZIONE DI LABORATORIO
TELECOMUNICAZIONI
N.
Data 02/04/2024
I.I.S. G.B. Pentasuglia
Allievo
Voto o Giudizio
Classe 4Bi
Salatti Carmine Gabriele
....................................................................
Esercitazione N. 3
Scopo della prova: Attenuare un segnale di disturbo attraverso un filtro
elettronico.
Schemi e grafici
Schema circuitale del filtro passa basso realizzato con Multisim
Spettro in frequenza del segnale v(t)=12sen(70t)+4sen(8000t)
1
Diagramma di Bode qualitativo
Grafico nel dominio del tempo del segnale v(t)=12sen(70t). In verde quello non filtrato; in azzurro
quello filtrato.
2
Grafico nel dominio del tempo del segnale v(t)=4sen(8000t). In verde quello non filtrato; in azzurro
quello filtrato.
Strumento
Tipo
Multisim
Resistenza
Software di
simulazion
e
Software di
disegno
tecnico
di tensione
alternata
di tensione
alternata
Simulata
1kΩ
Condensatore
Simulato
2,27µF
Ground
Simulato
Cavi
Simulati
Autocad
Generatore
Generatore
Costruzione
Mod.
N.
Scala
Portata
/
Capacità
Divisioni
12V
4V
3
PRINCIPI TEORICI
Teorema di Fourier
Il teorema di Fourier afferma che una funzione periodica, sotto condizioni
tanto apie da essere soddisfatte in tutti i casi di interessa pratico, può essere
considerata come somma di più sinusoidi con caratteristiche diverse.
Una funzione periodica può essere quindi espressa tramite la seguente
formula:
∞
𝑓(𝑡) = 𝐶0 + ∑ 𝐶𝑘 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝜔𝑡 + 𝜑𝑘 )
𝑘=1
Dove C0 è una costante che rappresenta il valore medio, Ck rappresenta il
valore della sinusoide, ωt rappresenta la pulsazione fondamentale e φ indica
la fase.
Tale formula è detta “trasformata di Fourier”, e permette di trasformare un
segnale dal dominio del tempo al dominio della frequenza. Viceversa si usa
l’”anti-trasformata di Fourier”.
Un qualunque segnale infatti, può essere visualizzato nel dominio del tempo
o nel dominio della frequenza. Quando sono presenti più segnali, nel dominio
del tempo viene visualizzato un segnale dato dalla somma di tutti i segnali
presenti, il che risulta difficile da comprendere e da modificare.
Nel dominio della frequenza invece, attraverso un analizzatore di spettro,
ogni segnale viene distinto, ed è possibile apportarvi modifiche.
Modi di visualizzare un segnale. A sinistra è rappresentato nel dominio del tempo; a destra nel
dominio della frequenza.
Per questo motivo, visualizzare i segnali nel dominio della frequenza risulta
vantaggioso nel caso in cui si desidera eliminare, o per lo meno attenuare,
un segnale di disturbo. È possibile fare ciò attraverso i filtri.
Filtri
I filtri sono circuiti elettronici che consentono di eliminare, o per lo meno
attenuare, segnali. Sono detti attivi se utilizzano componenti elettronici attivi
(come alimentatori); passivi se utilizzano componenti elettronici passivi
(come resistori, condensatori e induttori).
4
I due filtri fondamentali sono il passa basso (PB) e il passa alto (PA).
Il passa basso permette di far passare solamente i segnali al di sotto di una
pulsazione (o frequenza) di taglio (ωT). Si può realizzare mettendo in serie
un resistore con un condensatore. La sua funzione di trasferimento (fdt) è:
1
𝐺(𝑠) =
𝑆𝑅𝐶 + 1
dove S rappresenta la pulsazione di taglio (ωT), espressa in rad/s, mentre R
e C rappresentano rispettivamente i valori della resistenza e del
condensatore, espressi in Ω.
Il passa alto permette di far passare solamente i
segnali al di sopra una pulsazione (o frequenza)
di taglio (ωT). Si può realizzare mettendo in serie
un condensatore con un resistore. La sua fdt è:
𝑆𝑅𝐶
𝐺(𝑠) = 𝑆𝑅𝐶+1
Dall’unione di questi due filtri si può
realizzare un passa banda, che permette di
far passare solamente i segnali che si
trovano all’interno di una banda di
pulsazione (o frequenza) delimitata dalla
pulsazione di taglio di un passa basso (ωT1)
e dalla pulsazione di taglio di un passa alto
(ωT2), con ωT1 > ωT2.
Banda = ωT1 − ωT1
Più la banda diminuisce e la pendenza
aumenta, più il filtro diventa selettivo,
fino ad arrivare al “filtro a spillo”.
Filtro a spillo
5
È dimostrato che alla pulsazione di taglio di qualsiasi filtro, un segnale
subisce un’attenuazione del 30%, ovvero di -3dB.
La pulsazione di taglio si calcola in questo modo:
1
𝜔𝑇 =
𝑅𝐶
Se si desidera trasformare una qualsiasi pulsazione (espressa in rad/s) in
frequenza (espressa in Hz), bisogna dividerla per 2π. Viceversa, per passare
da frequenza a pulsazione, bisogna moltiplicare per 2π.
Ad esempio una pulsazione di 12000 rad/s equivale ad una frequenza di circa
1910 Hz, dato che
12000
= 1909,86
2𝜋
Diagrammi di Bode
Il diagramma di Bode è un modo di rappresentare lo spettro in frequenza di
una funzione di trasferimento, utile per comprendere come si comporta il
circuito in funzione della frequenza.
Sull’asse delle ascisse si riportano o la pulsazione, espressa in rad/s, o la
frequenza, espressa in Hz, in scala logaritmica. Invece, sull’asse delle
ordinate si riporta il guadagno espresso in dB.
La scala logaritmica si distingue da quella lineare per il fatto che invece di
incrementare linearmente di decade in decade (1, 2, 3, 4…), aumenta
esponenzialmente (10, 100, 1000, 10000…).
Zeri e poli
Per poter aumentare la pendenza di un filtro bisogna comprendere il
contributo che hanno gli zeri e i poli.
Sono detti zeri le radici dei polinomi del numeratore delle funzioni di
trasferimento. Sono detti poli le radici dei polinomi del denumeratore delle
funzioni di trasferimento.
Ad esempio, la fdt del passa basso ha un polo.
Il contributo di uno zero è di 0dB fino alla pulsazione di taglio e di
+20db/decade dalla pulsazione di taglio in poi per il modulo; per la fase
invece è di +45° alla pulsazione di taglio, di 0° una decade prima della
pulsazione di taglio e di +90° una decade dopo la pulsazione di taglio.
Il contributo di uno polo è di 0dB fino alla pulsazione di taglio e di
-20db/decade dalla pulsazione di taglio in poi per il modulo; per la fase
invece è di -45° alla pulsazione di taglio, di 0° una decade prima della
pulsazione di taglio e di -90° una decade dopo la pulsazione di taglio.
È possibile studiare e sommare gli effetti degli zeri e dei poli attraverso
grafici di questo tipo:
6
1 zero a frequenza di taglio ω1.
2 poli a frequenze di taglio diverse.
Sapendo ciò, è possibile aumentare l’effetto di attenuazione di un filtro
aumentando il grado della funzione di trasferimento. È detto del primo ordine
un filtro la cui fdt è di primo grado; del secondo ordine un filtro la cui fdt è di
secondo grado, e così via…
1
1
1
𝐺(𝑠) =
𝐺(𝑠) =
𝐺(𝑠) =
2
𝑆𝑅𝐶 + 1
(𝑆𝑅𝐶 + 1)
(𝑆𝑅𝐶 + 1)3
P.B. di I ordine
P.B. di II ordine
P.B. di III ordine
Tuttavia, in una fdt il grado del numeratore dev’essere al più pari a quello del
denominatore.
Filtri passivi con induttori
È anche possibile realizzare filtri passivi usando gli induttori al posto dei
condensatori. Mantengono le stesse caratteristiche, con l’unica differenza che
la pulsazione di taglio si calcola attraverso la seguente formula:
𝑅
𝜔𝑇 =
𝐿
dove L è l’induttanza, espressa in henry.
CALCOLI
Segnale utile: v(t)=12sen(70t)
A = 12V
𝜔
70
ω = 70rad/s
𝑓 = 2𝜋 = 2𝜋 = 11,14𝐻𝑧
Segnale di disturbo: v(t)=4sen(8000t)
A = 4V
𝜔
8000
ω = 8000rad/s
𝑓 = 2𝜋 = 2𝜋 = 1273,24𝐻𝑧
R = 1kΩ (scelta a piacere)
fT = 70Hz
ωT = 70*2π = 439,82rad/s (scelta a piacere)
1
𝐶=
= 2,27𝜇𝐹
1000 ∗ 439,82
7
PROCEDIMENTO
Il primo passo da compiere è stato identificare la tipologia di filtro da
utilizzare per eliminare, o quantomeno attenuare, il segnale di disturbo.
Sapendo che il segnale informativo ha una pulsazione di 70ω e quello di
disturbo di 8000ω, è stato scelto un filtro passa basso.
Il passo successivo è stato quello di scegliere la pulsazione di taglio, in
modo tale da attenuare il più possibile il segnale di disturbo, ma allo stesso
tempo il meno possibile quello che trasmette l’informazione utile, che
vogliamo far passare. Per questo motivo sono state fatte diverse prove per
poter trovare la pulsazione di taglio che permetta di avere il giusto equilibrio.
Alla fine è stata scelta una pulsazione di taglio di 439,82rad/s, che
corrisponde ad una frequenza di 70Hz.
In seguito sono stati ricavati i parametri del filtro. Nello specifico abbiamo
scelto a piacere una resistenza (1kΩ), in base alla quale abbiamo calcolato la
capacità necessaria che il condensatore dovesse avere (2,27µF) per ottenere
la pulsazione di taglio stabilita in precedenza, applicando la formula riportata
sopra tra i calcoli.
Successivamente è stato disegnato lo spettro del segnale sul software
Autocad, disegnando un piano cartesiano alle cui ascisse è riportata la
pulsazione, espressa in rad/s, e alle cui ordinate è riportata l’ampiezza, dove
vengono visualizzate due linee verticali: la prima (colorata di verde), di
ampiezza 12 e di pulsazione 70rad/s, rappresenta il segnale che si vuole far
passare; la seconda (di colore rosso), di ampiezza 4 e di pulsazione
8000rad/s, è il segnale di disturbo che si vuole eliminare. Per l’asse
orizzontale del piano cartesiano è stata qualitativamente usata la scala
logaritmica.
Dopo, usando lo stesso software, è stato disegnato il diagramma
qualitativo del modulo del diagramma di Bode, disegnando un piano
cartesiano le cui ascisse rappresentano la pulsazione in scala logaritmica e le
cui ordinate rappresentano l’ampiezza espressa in dB, dove viene visualizzata
una linea che, dalla pulsazione minima alla pulsazione di taglio è a 0dB, e
che dalla pulsazione di taglio in poi scende di -20dB/decade.
Fatto ciò è stato realizzato il circuito tramite il software Multisim,
inserendo nel giusto ordine un generatore di tensione alternata, una
resistenza, un condensatore e la messa a terra, come si vede nello schema
sopra. Dopo aver assegnato i valori indicati prima alla resistenza e al
condensatore, si è proseguiti verificando il comportamento del circuito con
diversi segnali di ingresso. Per fare ciò è stato necessario aggiungere al
circuito 2 misuratori di tensione, ciascuna ad un capo della resistenza (quello
a sinistra della resistenza serve a visualizzare i valori del segnale non filtrato;
8
quello a destra i valori del segnale filtrato), ricordando di spuntare ad
entrambi la casella “Periodic” che viene mostrata nel pannello a destra
quando il misuratore è selezionato.
Per verificare l’attenuazione che subisce il segnale che si vuole far
passare, sono stati assegnati il valore della sua tensione (12V) e della sua
frequenza (11,14Hz) al generatore. Dopo aver avviato la simulazione, sono
stati confrontati i valori picco-picco della tensione (Vpp) mostrati dai
misuratori.
Parametri del segnale v(t)=12sen(70t). A sinistra quelli del segnale non filtrato; a destra quelli del
segnale filtrato.
Facendo un rapporto tra quello filtrato e quello non filtrato, notiamo che il
segnale subisce un’attenuazione di circa l’1%. In aggiunta, è mostrato sopra
un grafico che raffigura l’andamento nel dominio del tempo dei due segnali.
Dopo è stata effettuata la stessa procedura con il segnale di disturbo. È
stata perciò assegnata una tensione di 4V e una frequenza di 1273,24Hz al
generatore, ed è stata calcolata l’attenuazione, che risulta essere di circa il
95%.
Parametri del segnale v(t)=4sen(8000t). A sinistra quelli del segnale non filtrato; a destra quelli del
segnale filtrato.
9
OSSERVAZIONI E CONCLUSIONI
Si può notare che il segnale informativo (che si vuole far passare) subisce
un’attenuazione quasi nulla, mentre quello di disturbo un’attenuazione quasi
totale. Ovviamente, per quanto si possa aumentare l’attenuazione e la
selettività del filtro, non si potrà mai eliminare completamente il segnale di
disturbo e non attenuare affatto il segnale da far passare, anche se ci si può
avvicinare di molto. In questo caso i risultati ottenuti sono più che sufficienti.
Per tale motivo si può affermare che l’esperimento si è concluso con
successo.
10