O‘zgarmas miqdorlar matematikasi davri. Al-Xorazmiy, AlFarobiy. Samarqand ilmiy markazi: Ulug‘bek, Koshiy, Rumiy, Ali-Qushchi. Trigonometriyani rivojlanish tarixidan MASHXUR MATEMATIKLAR Аl XORAZMIY (783 – 850) BERUNIY (973–1048) UMAR XAYOM (1048–1131) O‘rta asrda yashagan mashhur matematik, astranom tabiatshunos va faylasuflar • • • • • • • • • • • al-Habash (770 y. - 870 y.) - "turkman" matematik va astronom al-Xorazmiy (783-850) - matematik, astronom va geograf, Bag'dodda ishlagan al-Jauxari (IX asr) - al-Xorazmiyning shogirdi al-Farobiy (870-950) - matematik, faylasuf, ensiklopedik olim, Bag'dod, Halab va Damashqda ishlagan. Beruni (973 - 1048) - olim-entsiklopedist, Xorazmda ishlagan Ibn Sino (Avitsenna) (980-1037) - faylasuf, tabiatshunos, tabib, matematik va shoir, Xorazm va Eronda ishlagan. Omar Xayyom (1048-1131) - matematik, shoir, faylasuf, ensiklopedik olim, Isfaxonda (Eron) ishlagan. Nasirəddin at-Tusi (1201-1274) - ozarbayjonlik olim-entsiklopedist al-Koshi (vafoti taxminan 1430) - matematik va astronom, Samarqandda ishlagan Ulug'bek (1394-1449) - astronom va matematik, Samarqandda ishlagan al-Kushchi (vafoti taxminan 1474) - matematik va astronom, Ulug'bekning shogirdi, Samarqandda ishlagan. YAQIN SHARQ MATEMATIKLARI Hajjaj (taxminan 786 - 833 yillar) - matematik, Bag'dodda ishlagan aka-uka Banu Musa (IX asr) - astronom, matematik va mexanik, Bag'dodda ishlagan Sobit ibn Korrah (836-901) - matematik, astronom va mexanik, Bag'dodda ishlagan Abu Komil (taxminan 850-930) - matematik, Qohirada ishlagan al-Xazin (taxminan 970 yilda vafot etgan) - eronlik matematik va astronom Abu-l-Vafo (940-998) - matematik va astronom, Bag'dodda ishlagan al-Kuhi (X-XI asrlar) - matematik, Bag'dodda ishlagan al-Xaysam (965-1039) - matematik va fizik, Qohirada ishlagan al-Karaji (vafoti 1016) - eronlik matematik VIII – IX asrlar Algebrada ▪ al-Habash astronomik jadvallarni tuzdi, unda u birinchi bo'lib tanjant, sekant va kosekansni kiritdi. ▪ al-Xorazmiy "Hindiston hisobi to'g'risida" kitobida o'nlik pozitsion raqamlash va hind raqamlarini kiritgan. U "al-jabr va al-muqobala to'g'risida kitobi" da arifmetik va algebrani tizimga kiritdi. Geometriyada ▪ Xajjaj Evklidning “Boshlang’cnlar va Ptolomeyning "Almagest" asarlarini tarjima qildi. ▪ Banu Musa Arximedning ba'zi goyalarini isbotladilar, aylana maydoni masalasini o'rgandilar va mutanosib o'rtacha qiymatni aniqlash uchun maxsus vosita topdilar. ▪ al-Jauxari Evklidning beshinchi postulatini isbotlashga urindi, "Boshlanishlar" kitobini takomillashtirish. ▪ Sobit ibn Korra Arximedning ba'zi asarlarini, Evklidning "Boshlanishi", Ptolomeyning "Almagest" asarlarini tarjima qilgan. Evklidning V postulatining isboti to'g'risida ikkita risola yozgan. Inqilob jismlarining hajmlarini hisoblab chiqdi. X - XI asrlar ALGEBRADA ▪ Abu Komil geometrik masalalarni algebraik usullar yordamida hal qildi. ▪ al-Xazin kubik tenglamani hal qildi, "Evklidning X kitobiga sharhlar" da ratsional va irratsional kattaliklarga ta'rif berdi, mutanosiblik tushunchasini tushuntirdi. ▪ al-Karaji "Al-Faxri" va "Arifmetika haqida mo''jizaviy" risolalarini yozgan, geometrik masalalarni arifmetik-algebraik usulda hal qilgan. GEOMETRIYADA ▪ al-Farobiy Evklidning “Boshlanig’ichlar” va Ptolomeyning Almagestiga sharhlar va musiqa nazariyasi bo'yicha kitob yozgan. U matematika falsafasi bilan shug'ullangan. ▪ Abu-l-Vafa geometrik qurilish masalalarini, sferik geometriyaning boshlang'ich masalalarini hal qildi. U trigonometrik jadvallarni tuzishda chiziqli interpolatsiyani qo'llagan, barcha oltita trigonometrik kattaliklarni kiritgan, sferik uchburchaklar uchun sinuslar teoremasini topgan. ▪ al-Kuhi geometrik konstruktsiyalar bo'yicha bir qator asl asarlar yozgan, kvadrat tenglamalarni yechish bilan shug'ullangan, Evklid va Arximed asarlarini tarjima qilgan. ▪ al-Xaysam Evklidning "Printsiplari" ga sharh yozgan, birikma munosabatlar nazariyasini ishlab chiqqan, harakatni geometriyaga kiritgan, Evklidning V postulatini isbotlashga harakat qilgan. ▪ al-Beruni trigonometriyani rivojlantirdi, uzunlikni aniqlashning trigonometrik usulini taklif qildi va notekis harakatni o'rganayotganda oniy tezlik va tezlanish tushunchalarini berdi. ▪ Ibn Sino (Avitsena) harakat tushunchasini ishlab chiqdi, Evklidning V postulatini isbotlashga urindi. U matematika va mexanikaning asosiy tushunchalarini o'rganib chiqdi, Aleksandriya Geronning mashinalar haqidagi ta'limotini ishlab chiqdi. XII - XIII asrlar Algebrada ▪ Omar Xayyom kubik tenglamalarni echishning geometrik usulini taklif qildi. Irratsional sonlarni o'z ichiga olgan son tushunchasining yangi kontseptsiyasini bayon qildi. Eng mukammal taqvim ishlab chiqildi. ▪ Nosirəddin at-Tusi trigonometriyani astronomiyadan alohida fanga ajratdi. Haqiqiy son tushunchasini berdi. ХIV – XV asrlar Algebrada ▪ ▪ ▪ al-Koshi butun sonlardan istalgan darajadagi ildizlarni olish qoidasini va o'nlik kasrlardan foydalanilgan binomial koeffitsientlar jadvalini berdi. Π qiymatini 16 ta raqam bilan hisoblab chiqilgan. Ulug'bek algebraik usulni ishlab chiqdi, uning yordamida astronomik jadvallar yuqori aniqlikda tuzildi. al-Qushchi Ulug'bekning jadvallarini tuzishda qatnashgan, ushbu jadvalga sharhlar yozgan. Al-Xorzmiy (783-850) Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy Xorazmda taxminan 783-yilda tug‘ilgan. Al-Xorazmiy «Al-jabr va al-muqobala haqida qisqa kitob» asari bilan algеbra faniga asos soldi. Shu asar tufayli olim nomining lotincha shaklida «algoritm» tеrmini paydo bo‘lgan. Al-Xorazmiy Bag‘doddagi «Bayt ul-hikma» (Donishmandlar uyi)da rasadxona, kutubxona va barcha ilmiy tеkshirish ishlariga rahbarlik qildi. Al-Xorazmiyning 10 ta asari bizgacha yеtib kеlgan: 1. «Hind hisobi haqida» (Fi hisab al-hind).Bu asarni XII asrda Ispaniya olimi Batlik Adеlard arab tilidan lotin tiliga tarjima qildi. Kеyinchalik Bonkompani, K.Fogеl, I.Sеvilskiylar tadqiq qildilar. Risola 8 ta bobdan iborat bo‘lib: 1) natural sonlarni «hind raqamlari» hisoblangan 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lar yordamida yozish; 2) sonlarni qo‘shish va ayrish; 3) ikkiga bo‘lish va ikkiga ko‘paytirish qoidalari; 4) ko‘paytirish amali va uni 9 raqami yordamida tеkshirish; 5) bo‘lish; 6) kasrlar hisobi; 7) kasrlarni ko‘paytirish; 8) musbat sonlardan kvadrat ildiz chiqarish. Bu risola hisob bo‘yicha qo‘llanma sifatida Yaqin va O‘rta Sharq hamda G‘arbiy Yevropaga katta ta’sir ko‘rsatdi. Lotin tiliga tarjimasida «al-Xorazmiy» so‘zi Algorithmus (Algoritmus) dеb yozildi va jahon faniga yangi “algoritm” atama sifatida kiritildi. 2. «Al-jabr va al-muqobila haqida qisqa kitob» (Al-kitab al-muxtasar fi hisab al-jabr va-l-muqabala) Bu asarni XII asrda Ispaniya olimlari Krеmonalik Gеrardo va Batlik Adеlardlar arab tilidan lotin tiliga, kеyinchalik Gans va Grantlar ingliz tiliga tarjima qilish asosida o‘rgandilar.Bu risola 27 ta bobdan iborat bo‘lib: 1—6-boblari musbat koeffisеntli chiziqli va kvadrat tеnglamalarni hal qilishga bag‘ishlangan.(36-bеtni qarang) 7—9-boblarda 4—6-boblardagi qoidalar handasa(gеomеtriya) usullari bilan isbotlanadi. Bunda X va b kеsmalar bilan, X*b ko‘paytma esa shu kеsmalar yordamida chizilgan to‘g‘ri to‘rtburchak, c-to‘g‘ri to‘rtburchaklardan tuzilgan tеkis shakl kabi ifodalanadi. 10-bobda ko‘phadlarni ko‘paytirish qoidalari bеrilgan. 11-bobda kvadratik irratsional miqdorlarni sonli misollar yordamida qo‘shish, ayrish va ko‘paytirish amallari kеltirilgan. 12-bobda olti xil ko‘rinishdagi kvadratik tеnglamalarga kеltirilib, hal qilinadigan masalalar ko‘riladi.(41-bеtni qarang) 13-bobda hisob usullarida yеchiladigan turli xil masalalar bеriladi. 14-bobda bitimlar haqidagi masalalar hal qilinadi. 15-bob gеomеtriyaga bag‘ishlangan bo‘lib, kvadrat, uchburchak, romb, doira, aylana uzunligi, parallеlеpipеd, uchburchakli prizma, aylanma silindr, uchburchakli va to‘rtburchakli piramidalar, doiraviy konus, kеsik piramida va konuslar hajmlarini hisoblash, uchburchak va to‘rtburchaklarni tasniflash muammolari ko‘riladi. 16—23-boblarda vasiyatlar va mеrosni taqsimlash masalalari islom dini huquqshunosligi asosida hal qilinadi. Ular chiziqli tеnglamalarga kеltirilib, ishlanadi. 24—27-boblarda mеrosni taqsimlashdagi murakkab masalalar ko‘riladi. Bunda mеrosxo‘r mеrosni qoldiruvchidan avval vafot etgan. 3. «Al-Xorazmiy ziji» (ya’ni jadvallari) yoki «Al –Ma’mun ziji». Bu risola 37 ta bobdan iborat bo‘lib, uni XII asrda Ispaniya olimi Batlik Adеlard arab tilidan lotin tiliga, kеyinchalik X.Zutеr nеmis tiliga, B. Kopеlеvich rus tiliga tarjima qildilar. 4. «Astrolyabiyalarni qo‘llash haqida kitob»(Kitab al-amal bi-l-astrulabat).Bu risolada astronomiyaga oid 43 ta masala hal qilingan. 5.«Astrolob yordamida azimutni aniqlash» (Ma’rif as-samt bi-l-astrulab). X asrda yashagan Ibn Nadimning «Fixrist» asarida tilga olinadi. 6. «Quyosh soati tеkisligida soatni ko‘rish haqida» (Amal as-saat fi basit arruxama). 7. «Astrulobni yasash haqida kitob» (Kitab amal as-astrulab).U X asrda yashagan Ibn Nadimning «Fixrist» asarida tilga olinadi. 8. «Quyosh soati haqida kitob» (Kitob ar-ruxama).Bu risola haqidagi ma’lumot Ibn Nadimning «Fixrist»ida bor. 9. «Jo‘g‘rofiya kitobi» (Kitob surati-l-ard). Mjik tomonidan arab tilidagi matn chop qilingan. 10. «Yahudilar eralari va bayramlari haqida risola» (Risola fi istixroj ta’rix yahud va a’yodihim). Bu risola AQSh olimi E.Kеnnеdi tomonidan o‘rganildi. Al-Xorazmiyning bizgacha yеtib kеlgan 10 ta risolasidan quydagi 3 ta katta kashfiyot haqida aytish mumkin: 1. «Hind hisobi haqida»gi risolasida o‘nlik pozitsion sanoq tizimining oltmishlikdan ustun ekanligini ko‘rsatgan va bu asarni lotin tiliga tarjimasi orqali o‘nli pozitsion sanoq tizimi tarqalgan. 2. «Al-jabr va al-muqobala haqida qisqa kitob»ida aljabrni astronomiyaning yordamchi qismidan mustaqil fan darajasiga ko‘tardi, 6 ta chiziqli va kvadrat tеnglamalarni tasniflagan. 3. Al-Xorazmiy o‘z shogirdlari bilan orasidagi masofasi 35 km. bo‘lgan Tadmor va ar-Rakka shaharlaridan o‘tuvchi Yer sharining 10 li mеridiani uzunligini hisobladi va u 6,72 km.ga tеng ekanligini topgan. Al-Xorazmiy 850-yilda Bag‘dodda vafot etgan. Al Forobiy Abu Nasr Muhammad ibn Muhammad ibn Tarxon ibn Uzlag al-Forobiy at-Türki, ismning umumiy qisqartmasi al-Farobiy (lotinlashtirilgan shaklda Alpharabius; (873-950) - faylasuf, matematik, musiqa nazariyotchisi, ehtimol turkiy yoki forsiy kelib chiqishi. O'rta asr sharq falsafasining yirik vakillaridan biri. Al-Farobiy Aristotel (shu sababli uning "Ikkinchi o'qituvchi" faxriy laqabi) va Aflotun asarlari sharhlarining muallifi. Uning asarlari Ibn Sino, Ibn Baja, Ibn Rashdah hamda O'rta asrlar G'arbiy Evropasi falsafasi va faniga ta'sir ko'rsatdi. Biografiya Abu Nasr Muhammad ibn Muhammad ibn Uzlug‘ ibn Tarxon Forobiy 873-yilda Forobda tug‘ilgan. Forobiy «Fozil shahari aholisi fikri», «Astrologiya bo‘yicha izohlar», «Hajm va miqdor haqida kitob», «Isbotlashning shartlari haqida kitob», «Fazo gеomеtriyasiga kirish haqida qisqacha kitob» kabi 160 dan ziyod asar yaratgan, lеkin bizga 40 ga yaqini yеtib kеlgan. 1. «Gеomеtrik yasashlar haqida» kitobida Forobiy konstruktiv gеomеtriya masalalarini bayon etadi. Bu kitob 10 bobdan iborat bo‘lib, birinchi bobi doira markazini aniqlash dеb ataladi. Unda 15 masala va ularni yasash usullari ko‘rsatilgan. Ikkinchi bobda tеng tomonli shakllar yasash bayon etilgan. Unda 11 masala va ularni yasash usullari ko‘rsatilgan.Uchinchi bobda doiraga ichki chizilgan shakllar yasash bayon etilgan. To‘rtinchi bobda bеrilgan shaklga tashqi aylana yasash bayon etilgan. Bunda 6 masala va ularni yasash usullari ko‘rsatilgan.Bеshinchi bobda bеrilgan shaklga ichki aylana yasash bayon etilgan. Oltinchi bobda bеrilgan ba’zi shakllar ichida va tashqarisida boshqa ba’zi bir shakllar yasash haqida bayon etilgan. Bunda 23 masala va ularni yasash usullari ko‘rsatilgan. Yettinchi bobda uchburchaklarni qismlarga ajratish (bunda 8 masala), sakkizinchi bobda to‘rtburchaklarni qismlarga ajratish (bunda 24 masala), to‘qqizinchi bobda kvadratlarni ajratish va ularning tuzuvchilari haqida (18 masala), o‘ninchi bobda sfеralarni ajratish, unda 9 masala va ularni yasash usullari bayon etilgan O'rta Osiyo va Yaqin Sharq olimlari evropaliklarni arab, yunon va hind matematiklarining yutuqlari bilan yaqindan tanishtirib, buyuk tarixiy vazifani bajardilar. X-XI asrlarda ko'plab Evropa mamlakatlaridan olimlar arab mamlakatlariga matematika va tabiiy fanlar bilan tanishish uchun kelganlar. Arab tilidan lotin tiliga ilmiy risolalar tarjimonlarining butun kollejlari tashkil etildi. Italiyalik matematik Leonardo Pisa (Fibonachchi) (taxminan 1170 - 1228 yildan keyin) o'nlik pozitsion sanoq tizimining targ'ibotchisi bo'lgan. Uning mashhur "Abak haqida kitob" o'nlik arifmetikaning va Evropada barcha matematikaning tarqalishi uchun muhim ahamiyatga ega edi. Samarqand ilmiy markazi: Ulug‘bek, Koshiy, Ali-Qushchi Mirzo Ulug’bek Amir Temur vafotidan so’ng taxt uchun talash kuchayib ketadi. Temurdan keyingi yirik temuriylar avladi bo’lgan Ulug’bek asli ismi Muhammad Tarag’ay bo’lib 1394-yilda Sultoniya shahrida tavallud topgandi. Ulug’bekning onasi Gavharshodbegim panohida tarbiyalanadi. XV asrda Samarqandda Ulug‘bek o‘zining akademiyasini tashkil qildi. Fan tarixiga bu ilmiy markaz «Ulug‘bekning Samarqand akademiyasi» va «Ulug‘bekning Samarqand astronomiya maktabi» nomi bilan kirdi. Birinchi nomni fransuz faylasufi va yozuvchisi Volter (1694-1778) bergan bo‘lsa, ikkinchi nomni marhum akademik Qori Niyoziy bergan Ulug‘bek 1428-1429-yillari Samarqand yaqininidagi Obi-Rahmat tepaligiga rasadxona qurdirdi. Bino to‘garak shaklida bo‘lib, uning diametri 46,40 metr, balandligi 30 metrcha, uch qavatli edi. Rasadxonaning asosiy quroli-burchak o‘lchaydigan juda ulkan uskuna (vertikal doira) dan iborat bo‘lib, uning radiusi 40,212 m, yoyining uzunligi 63 metrga teng edi. ( Sekstant haqida so’z boradi) Rasadxonada o ‘tkazilgan kuzatishlar asosida va Ulug‘bek rahbarligida «Ulug‘bek ziji» yaratildi. Ulug‘bek akademiyasining muhim ishlaridan biri «Ulug‘bek ziji», «zij»-forscha «zik» so‘zidan olingan va u «jadval» degan ma’noni beradi. Zijni fors tilida yozishgan. U kirish, ya’ni nazariy (bu qism qoida sifatida beriladi, unda isbot bo'lmaydi), rasadxonada o‘tkazilgan kuzatishlar asosida tuzilgan jalvallardan iborat. Ular yil hisobi, trigonometrik jadvallar, sayyoralar jadvali (ular beshta-Venera (Zuhro), Merkuriy (Utorud), Mars (Mirrix), Yupiter (Mushtariy) va Saturn (Suhayl)) va yulduzlar katalogini o‘z ichiga oladi. Trigonometrik jadvallar 10 ta o‘nli xona aniqligida hisoblangan, bu o‘sha davr uchun juda yuqori aniqlik. Shu sababli Ulug‘bek akademiyasida hisoblash markazi bo‘lgan, unda bir necha hisobchi hisoblashning turli vositalaridan foydalanib hisoblash ishlari olib borishgan degan faraz qilishimiz mumkin. Jadval bir minutdan oralatib tuzilgan. Ular sinuslar va tangenslar jadvallari. Ular bir daraja sinusini hisoblashga ko‘ra tuzilgan. Ulug‘bekning bir daraja sinusini hisoblashga doir maxsus risolasi bo‘lgan, ammo bu risola bizgacha yetib kelmagan. Rasadxona xodimlari, jumladan Ulug‘bekning o ‘zi ham, madrasada ham dars berishgan. Madrasada diniy-Qur'oni Karim, hadis va tafsir fanlaridan tashqari tabiiy fanlar-riyoziyot, handasa, ilmi hay'at, ya’ni astronomiya, tibbiyot, ya’ni meditsina, surat al-ard, ya’ni geografiya kabilar o ‘qitilar edi. Ulug‘bek akademiyasi olimlaridan G ‘iyosiddin Jamshid al-Koshiy alohida o‘ringa ega. Uning tarjimayi holi haqida deyarli ma’lumot yo‘q. U Ulug‘bek akademiyasidagi asosiy matematik hisoblanadi. U taxminan 1436-yili vafot etgan. Bizga ma’lum bo‘lgan asarlari»Arifmetika kaliti» (Miftax al-hisob) va «Aylana haqida risola» (Risola filmuhitiya)dir. AYLANA HAQIDA RISOLA. 1. Yoyning yarim doiragacha to‘ldiruvchi yoyning vatarini aniqlash to‘g‘risida. 2. Doiraga ichki chizilgan ixtiyoriy ko‘pburchakning perimetrini va unga o ‘xshash, ammo doiraga tashqi chizilgan ko‘pburchakning perimetrini aniqlash haqida. 3. Aylanani necha qismga bo‘lish va qaysi oltmishli xonagacha amal bajarish lozimki, hosil bo‘lgan perimetr berilgan doira aylanasidan qilcha ham ortiq bo‘lmasin. Koshiyning matematika sohasida qilgan kashfiyotlaridan eng muhimi o‘nli kasrlar hisoblanadi. Uning asosiy maqsadi hisoblash uchun oltmishli kasrlardan qulayroq kasrlar sistemasini topish edi. Shu sababli u «Arifmetika kaliti» asari ikkinchi maqolasining birinchi bobida kasrlar va kasrlarning turlarini bayon etdi. Mana shu yerda birinchi marta o‘nli kasrlar sistemasini va ular bilan bajariladigan amallar qoidalarini kiritdi. Ulug‘bek akademiyasida mashhur olimlar-Qozi-Zoda Rumiy (1435-yilning fevralida vafot etgan), G ‘iyosiddin Jamshid al-Koshiy (tug‘ilgan va vafot etgan vaqtlari aniqlanmagan) va Ali Qushchi (u 1475-yili Istambulda vafot etgan) lar xizmat qilishgan. Keyinchalik bu akademiyada Hasan Chalabiy ibn Muso ibn Mahmud Qozi Zoda Rumiy (Salohiddin Muso Qozi Zoda Rumiyning o‘g'li), Mu'iniddin al-Koshiy, Mansur ibn Mu'iniddin al-Koshiy va boshqa olimlar ishlashgan. Ulug‘bek akademiyasi ilmiy ishlari an'analarini davom ettiruvchilaridan biri uning «Farzandi arjumandi» Ali ibn Muhammad Qushchidir. U Ulug‘bek vafotidan so‘ng Eronning Kormon shahriga keladi va shu yerda saroy olimi lavozimida ishlaydi hamda madrasada matematika va astronomiya fanlaridan dars beradi. Kormonda o‘zining ilmiy maktabini tashkil etadi va Samarqand akademiyasi ilmiy izlanishlari an'anasini davom ettiradi. Ali Qushchi maktabi o‘n yilga yaqin faoliyat ko‘rsatadi. Bu davr ichida Ali Qushchi Mirim Chalabiy, Husayn Biijandiy va boshqalar singari bir necha shogirdlarni tarbiyalab voyaga yetkazdi. Ulug‘bek akademiyasi an'analarini davom ettiruvchilardan ikkinchisi-otasi bo‘yicha Salohiddin Qozi Zoda Rumiyning, onasi bo‘yicha Ali Qushchining nabirasi-Muhammad ibn Muso ibn Mahmud Qozi Zoda Rumiy, taxallusiga ko‘ra «Mirim Chalabiy» dir. «Mirim» yoki «Miriam» forsiy bo‘lib, «Bizning dunyo yoki davr» ma’nosini, «Chalabiy» turkiy bo’lib , «tarbiyali yoki tarbiya ko‘rgan» ma’nosini bildiradi. Chalabiy taxminan 1430-1435-yili Samarqandda tug‘ilgan, oliy ma’lumotni ham Samarqand madrasasida olgan. 1451-yili Ali Qushchi bilan Kormon shahriga kelgan. Uning ilmiy va pedegogik faoliyati mana shu shaharda boshlangan XVI asming boshida Sulton Boyazid II (1481-1512)ning iltimosiga ko‘ra «Ziji jadidi Guragoniy»ning sharhidan iborat «Amallar qoidasi va jadvallami to‘g‘rilash» («Dastur alamal va tashxix al-jadval») asarini yozgan. Chalabiyning «Dastur al-amal tashxix al-jadval» asaridan bir daraja sinusni hisoblashning G‘iyosiddin Jamshid al-Koshiy metodi ham o‘rin olgan. Ammo Chalabiy uchinchi darajali tenglamalarni yechishga al-Koshiy usulidan boshqacharoq usulni tatbiq etgan, Mirimning yana bir asari bobosi Ali Qushchining «Fatxiya» nomli risolasiga sharh. Chalabiy sharhni fors tilida yozgan. Ma’lumki, Ali Qushchi o ‘z asari «Fatxiya» ni astronomiyadan o ‘quv qo‘llanmasi sifatida yaratgan va uni sulton Muhammad II ga bag‘ishlagan. Chala biyning yana bir asari «Vatar va sinus haqida risola» deb ataladi, ammo bu asarning qo‘lyozmasi hozircha topilgan emas. O‘nli kasrlarni kiritilishi XV asrda Samarqandda Mirzo Ulug‘bеk boshchiligida “Astronomiya maktabi” vujudga kеlgandi.1425—1428-yillari Samarqand yaqinidagi Obi Rahmat arig‘i yonidagi Ko‘hak tеpaligida rasadxona qurilgan. Samarqand madrasasidagi tolibi ilmlar o‘zlarining olgan nazariy bilimlarini rasadxonaga kеlib amaliyotga qo‘llaganliklari haqida ma’lumotlar mavjud. Ulug‘bеk madrasasi va rasadxonasida Qozizoda Rumiy, G‘iyosiddin Jamshid Koshiy, Ali Qushchi va boshqa olimlar ishlaganlar.G‘iyosiddin Koshiy 1427yilda matеmatikaga oid «Arifmеtika kaliti» («Miftohul-hisob») asarini yozgan. Bu kitobning 7 ta qo‘lyozmasi ma’lum bo‘lib, ular Bеrlin, London, Parij, SanktPеtеrburg shaharlarida saqlanmoqda. • «Arifmеtika kaliti» asarining ikkinchi qismida turli kasrlar: suratlari bir bo‘lgan Misr kasrlari, mahraji turli sonlar bo‘lgan Bobil kasrlari, surat va mahrajlari turli sonlar bo‘lgan oddiy kasrlar, ularni yozish usullari, kasrlar ustida amallar bajarish, ularni bir ko‘rinishdan ikkinchi ko‘rinishga kеltirish va boshqalar bayon etilgan. Bunda J.Koshiy mahrajlari 10,100,1000 va hokazo bo‘lgan kasrlarni, ya’ni o‘nli kasrlarni qaraydi, ularga ta’riflar bеradi, «o‘ndan», «yuzdan», «mingdan» va hokazo atamalarini kiritadi. Koshiy o‘nli kasrlarni yozishda butun qismidan so‘ng vеrtikalchiziq chizib, so‘ng kasr qismini yozadi yoki butun qismini bir xil siyoh bilan, kasr qismini boshqa siyoh bilan yozadi. O‘nli kasrlar ustida amallar bajarish qoidalarini bеradi va ularni juda ko‘p misollar bilan tushuntiradi. Shunday qilib, Koshiy o‘nli kasrlar nazariyasini asoslovchi birinchi olim hisoblanadi. Shuni ta’kidlash joizki, Yevropada o‘nli kasrlar haqida birinchi asar yozgan oilm Koshiy zamonidan bir yarim asr kеyin yashagan gollandiyalik Simon Stеvin (15481620) hisoblanadi va u Koshiyning kashfiyotidan bеxabar edi. Yevropada esa S.Stеvindan fransiyalik Bonfils ilgarilab kеtgani to‘g‘risida ma’lumotlar mavjud. O‘nli kasrlarning hozirgi ko‘rinishda yozilishiga qadar butun qismidan kеyin qavs ichida (0) yozish odat bo‘lgan. Masalan, 3,7 ni 3(0)7 ko‘rinishda yoki vеrtikal chiziq bilan ajratilgan (3|7) yoxud turli rangli siyohda yozilgan. Masalan, butun qismi qora, kasr qismi qizil siyohda yozilgan. Butun qismidan kеyin vеrgul ishorasini qo‘yish nеmis olimi I.Kеplеr (1571-1630) tomonidan kiritilgan. Trigonometriyaning rivojlanish tarixidan 1.Trigonometriya rivojlanishi «Trigonometriya» so’zi yunoncha ikkita so’z: «trigonon»– uchburchak va «metrayn»–o’lchash ma’nosini anglatadi. Trigonometriya– uchburchak tomonlari bilan burchaklari orasidagi bog’lanishni o’rganuvchi fan hisoblanadi. Boshqa fanlar singari trigonometriya ham hayot talablari: davlatlarni joylashgan yerlarini xaritalarini tuzish, o’z davridagi diniy bayramlarni o’tkazish vaqti, ekinlar ekish muddatini belgilash va boshqa inson ehtiyojlari uchun kerak bo’lganidan rivojlangan. Insoniyat uchun taqvim (kalendar) tuzish ehtiyoji paydo bo’lgani sababli osmon yoritgichlari holatlarini o’rganishda astronomiya fani bilan trigonometriya bog’liq xolda taraqqiy etdi. Astronomiya, trigonometriya va boshqa fanlarga savdo, qishloq xo’jaligi rivojlangan bobil, yunon, hind, xitoy kabi davlatlarda ehtiyoj paydo bo’lgan. Birinchi ming yillikdan avvalgi tahminan 2637 yildagi xitoy qo’lyozmalardan birini o’rganilganda astronomiyaga oid trigonometrik hisoblashlar borligi aniqlangan. Trigonometriya rivojlanishi Qadimgi Bobilda birinchi eramizdan avvalgi uch mingchi yillarning boshlarida tuzilgan taqvimda bir yilni o’n ikki oyga bo’lingan. Bundan ma’lum bo’ladiki ular quyosh va osmon yoritgichlarining holatlarini o’rganishgan hamda trigonometrik xarakterga ega hisoblash ishlarini bilishgan Trigonometrik jadvallar tuzish eramizdan avvalgi II asrda Nekei shahrida yashagan Gipparx tomonidan tuzilgan. Ikkinchi asrda yashagan yunon olimi Klavdiy Ptolomey jadvalni oltmishlik sistemasida tuzgan, aylana radiusini 60 birlikka, vatar uzunligini butun birlik va oltmishdan bir bo’laklarda ifodalab, «partes minutae primae» birinchi kichik bo’laklar va oltmishdan bir bo’lakning minutasi ikkinchi kichik bo’laklarni «partes minutue secundae» bundan hozirgi ishlayotgan minut va sekund atamalari kelib chiqqan. Yunon olimlari vatarlar jadvalini tuzishgan, hind olimlar esa yarim vatar jadvalini tuzishgan. Bu o’z vaqtida trigonometriya fani 100 taraqqiyotiga qo’shilgan hissa bo’ldi. XII asrda yashagan hind olimi 1529 0 1 Bxaskara Akaria sin3 45 uchun qiymatini aniqlaydi, bu esa radiusning haqiqiy qiymatidan 0,00000001 ga farq qiladi. 1.Trigonometriya rivojlanishi Hind olimlari o’zlarining hisoblashlarini to’g’ri burchakli uchburchaklarda bajarishgan. IX–XV asrlarda trigonometriya taraqqiyotiga SHarq, Markaziy Osiyo olimlarining ilmiy ishlari ulkan hissa bo’ldi. Al–Xorazmiy hind olimlarining jadvallarini yanada oydinlashtirdi. Tangenes chizig’i tushunchasini kiritdi. Beruniy bevosita burchak o’lchash yo’li bilan Yer kurrasining radiusi kattaligini aniqlab berdi. U ayni maqsadda dengiz yuzasidan taxminan 652 tirsak balandlikdagi tog’ga ko’tarilib, shu yerdan turib ufqning pasayishini aniqladi. Beruniy ana shu burchakka va tog’ning balandligiga qarab Yer radiusi va uning aylanasining hisoblab chiqardi . Abul–Vafo (940–998) sinuslar jadvalining har 101 oralatib tuzdi va Vafo sin 2 sin cos formulasini kiritdi. O’zining hisoblashlarida 2 2 sinus va kosinusga o’zaro teskari bo’lgan hozirgi sekans va kosekans deb ataluvchilarning qiymatlaridan foydalandi. 1.Trigonometriya rivojlanishi Trigonometriyani astronomiyadan alohida fan sifatida rivojlanishida Nasriddin Tusiyning xizmatlari alohida ahamiyatga ega. Uning «Kitob ash–shakl al–qita», «To’liq to’rt tomonlik haqidagi risola» asarlarida dunyo bo’yicha birinchi trigonometriyaga bag’ishlangan asarlar deb e’tirof etilgan. Ma’lumotlarga ko’ra Nasriddin Tusiyning asarlarini Yevropa matematiklari jumladan Regimontan ham o’rgangan va ilmiy ijodiga ijobiy ta’siri o’tganini ta’kidlab o’tgan. G.I.Gleyzerning «Istoriya matematiki v shkole» qo’llanmasida Nasriddin Tusiy 200 yil avval Sharq dunyosida tutgan ilmiy mavqeini XV asrda Yevropada Regimontan egaladi deb e’tirof etilgan. Nasriddin Tusiyning asarlarida sinuslar teoremasi, tangenslar teoremalarining isbotlari keltirilgan. Trigonometrik jadvallarni katta aniqlikda tuzishda Samarqanddagi Ulug’bek maktabi, unda faoliyat ko’rsatgan Jamshid Koshiy, Qozizoda Rumiy, Ali Qushchi va boshqa olimlarning xizmatlari katta. 1.Trigonometriya rivojlanishi Jamshid Koshiy sin10 ni х 3 ах b 0 ko’rinishdagi uchinchi darajali algebraik tenglama holiga keltirib hisoblaydi. Sin10= 0,017452406437283571 O’sha zamondalargi matematika fanini salohiyatini e’tiborga olinsa, hisoblash sohasida bu qo’lga kiritilgan yutuq o’z uslubining originalligi bilan ham aniqlik darajasining yuksakligi bilan ham kishini hayratda qoldiradi. Trigonometriyani Yevropadagi taraqqiyotida Angliyadagi Kenterber soborini arxiepiskopi, olim F.Bradvardinni (1290–1349) e’tirof etishadi. U trigonometriyadan birinchi qo’lyozma asar qoldirgan olim hisoblanadi. Abul Vafo, al–Battoniy, Nasriddin Tusiy kabi olimlarini ilmiy ishlaridan bexabar holda tangenisni «to’g’ri soya» nomi bilan fanga kiritgan. Nemis matematigi Iogan Myuller (matematika tarixida Regimontan nomi bilan mashhur (1436–1476)) Yevropa olimlaridan birinchi trigonometriyani qa’tiy tuzilmasini bayon qilib, sinus va tangenislarni aniq jadvallarini hisoblab chiqdi. Trigonometriyaning taraqqiyotini yakuniy bosqichlari Leonard Eyler bilan bog’liqdir. U o’zidan avval o’tgan olimlarni trigonometriyaga oid ishlaridagi chizmalar mulohazalarni so’z bilan berilgan bayonini trigonometrik formulalar shaklida yozdi va ilgari noma’lum bo’lgan bir nechta yangi formulalarni kiritdi. Yangi tushunchalar kiritilishi sababli matematik belgilarni qayta ishlash va mukammallashtirish natijasida trigonometriya hisoblash masalalari uchun eng qulay bo’lgan ko’rinishini oldi. Trigonometrik atamalar tarixidan • Hozirgi sinus va kosinus atamalari IV–V asrlardagi hind astronomlarining asarlarida uchraydi. Vatar so’zini sinus bilan almashtirib, avval «ardxajiva», yarim vatarni( «jiva»–vatar, kamon ipi), keyinchalik – «jiva» bo’lgan. • Bu atamalarni arabcha buzilgan talaffuzda «jayb» deb atashgan. «Jayb» arabcha so’z bo’lib, o’zbek tilida chuqir, cho’ntak degan ma’noni bildirgan. «Jayb» so’zi XII asrda lotin tiliga “sinus” bo’lib tarjima qilingan. Kosinusni hindlar «kotijiva», ya’ni sinusni qoldig’i (aylananing choragigacha) deb atashgan. • XV asrda Regimontan va boshqa matematiklar «kosinus yoyi (x)» ni lotincha sinus complementi, ya’ni sinusni to’ldiruvchi deyishgan. Bunda ular sin(900–x)ni nazarda tutishgan. Yuqorida keltirilgan atamalarni o’rnini almashtirib, qisqartirilgan holda (co–sinus) shaklidan «kosinus» atamasini birinchi marta 1620 yil ingliz astronomi E.Gunter ishlatlan. E.Gunter hisoblash chizg’ichini ixtiro qilgan. Trigonometrik atamalar tarixidan IX–X asrlarda SHarq olimlari al–Habash, al–Battoniy, Abul–Vafo, Xorazmiy yangi trigonometrik kattaliklar, tanges va kotangenes, sekans va kosekans larni kiritishgan. Al–Battoniy to’g’ri burchakli uchburchakning o’tkir burchagini bir katetini ikkinchi katetiga nisbati orqali aniqlash mumkinligini isbotlagan. Trigonometrik funktsiyalardan tangens va sekansni nomlanishi nemis matematigi T.Fink tomonidan 1583 yilda kiritilgan. Lotincha «tangens” so’zi o’zbekcha urinma (urinma,kesma) “secans» –kesuvchi (kesuvchi kesma) ma’nolarni bildiradi. «Kotangens» va «kosekans» atamalari XVII asrning birinchi yarimida «kosinus» atamasi kabi fanga kiritilgan. Trigonometriyani rivojiga N.Kopernik, F.Viet, I.Kepler va boshqa olimlarning qo’shgan hissasi kattadir. Trigonometriyada belgilarni qo’llash XVII asrning ikkinchi yarimidan boshlangan. Ingliz matematigi R.Norvud (1590–1675) o’zining «trigonometriya yoki uchburchaklar ilmi» kitobida quyidagi belgilarni qo’llagan: s–sinus,t–tangenes, sec –sekans, cs yoki sc– kosinus,ct yoki tc–kotangens. Trigonometrik atamalar tarixidan J.Vallis 1684 yilda nashr etilgan asarlaridan birida ushbu belgilashni kiritgan: S–sinus,∑–kosinus, T–tangens, Ʈ–kotagens. Hozirgi kundagi yozuvda munosabatni sin R2 cos2 J.Vallis quyidagicha yozgan: S=V:R2–Σ2 L.Eyler trigonometrik formulalarni kiritish bilan, bir xil belgilashlarni joriy qildi. sinx, cosx, tgx kabi yozuvlar, uchburchak tomonlarini a,b,c va ularni qarshisidagi burchaklarni A,B,C harflar bilan belgilashni birinchi bo’lib kiritdi. O’zidan oldingi olimlardan farqli ravishda Eyler formulalardan R– butun sinusni o’rniga R=1 ni qabul qildi va shu bilan birga yozuv va hisoblashlarni osonlashtirdi. Trigonometrik funktsiyalarining har bir chorakdagi ishoralarini aniqladi, keltirish formulalarini joriy qildi, funktsiyalarning aniqlanish sohalarini tadbiq qildi. Trigonometrik atamalar tarixidan U 1748 yilda yozilgan «Cheksiz analizga kirish» asarida sinus, kosinus va albatta aylanaga bog’liq bo’lgan trigonometrik chiziq sifatida emas, balki sonli kattalikdagi to’g’ri burchakli uchburchak tomonlarining munosabatlari sifatida o’rganadi. Trigonometrik funksiyalarning argumentlari nafaqat burchak yoki yoy, ixtiyoriy kattalikdagi son ekanligi Eyler birinchi bo’lib analitik yo’l bilan sistemali bayon qildi. Ungacha har bir trigonometrik teoremani mos ravishdagi geometrik chizma yordamida isbotlashgan. Eyler esa katta bo’lmagan sonlardagi munosabatlar orali teoremalarni isbotladi. Unga qadar trigonometrik funktsiyalarni yoyi π dan katta bo’lgan hollari kam o’rganilgan. Faqatgina uning ilmiy asarlarida trigonometrik funktsiyalarning ixtiyoriy argumentlari holatlari to’liq o’rganilgan. 3. Trigonometrik funktsiyalarining grafiklari tarixidan Trigonometrik funktsiyalarning birinchi grafigi sinusoida frantsuz matematigi Jil Person Robervalning ilmiy asarlarida bayon qilingan.Grafik XVIIasrning 30- yillarida sikloidaning yuzasini topish bilan bog’liq masalani hal qilishda chizilgan. Trigonometrik funktsiyalarning grafiklarini chizish, o’rganish R.Dekart tomonidan analitik geometriyaga asos solinib, «Geometriya» asari nashr qilingandan so’ng ilmiy asosda qo’llanila boshladi. Sinuslar chizig’i atamasi frantsuz matematigi Onore Fabrining 1659 yilda nashr qilingan «Sikloida va sinuslar chizig’i uchun geometriya» asarida uchraydi. 1670 yilda ingliz matematigi J.Vallis o’zining «Mexanika» asarida sinusning shar bir chorakdagi ishoralarini o’rganib sinusning ikkita to’liq davri uchun grafigini chizdi va grafikni takrorlanishi cheksiz ko’p deb ta’kidladi. U sekans grafigini ham chizdi ammo uni chizmasi noto’g’ri edi. O’sha davrda Issak Barouning (I.Nyutonning o’qituvchisi) «Geometriyadan ma’ruzalar» asarida birinchi chorak uchun kosinus, tangens, sekansning grafiklari yoritilgandi. 3. Trigonometrik funktsiyalarining grafiklari tarixidan • Trigonometrik funktsiyalarning to’rttala chorak uchun grafiklarini yaratish muammosi muayyan vaqtgacha yechimini topa olmadi. Birinchi marta masalani to’g’ri yechimini 1705 yili T. de Lani Parij akademiyasining memuarida e’lon qildi.1722 yilda I.Nyutonning iqtidorli shogirdi va do’sti R.Kotesning ilmiy asarlarida tangens va sekansning to’g’ri grafiklari e’lon qilindi. E’tibor uchun raxmat