INEQUATIONS
Quadratic Inequation နှစ်ထပ်မညီမျှခြင််း
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
Algebraic Method
် ိန််းခြစ်သည် ဆိတ
ို ာကိို b < 0 လိိုို့ပ ်းတယ်။
a သည် အပပေါင််းကိန််းခြစ်သည် ဆိတ
ို ာကိို a > 0 လိိုို့ပ ်းတယ်။ b သည် အနှုတက
ို ာ ကိန််းနှစ်လို်း x နို့ y ပခမာက်တာ အပပေါင််းကိန််းလိိုို့ဆိိုလတ
ိို ာ။
ဒေါဆိုိ xy > 0 စဉ််းစာ်းကကည်မယ်။ xy > 0 ဆိတ
x နို့ y ပခမာက်ခြင််း အပပေါင််းကိန််း ခြစ်ပစတာ နည််းလမ််း (၂) မ ိ ်း တ
ှိ ယ်။ x ကပပေါင််းကိန််းခြစ်တာ နို့ y ကအပပေါင််းကိန််း ခြစ်တာ။
x ကအနှုတ်ကိန််းခြစ်တာ နို့ y ကအနှုတ်ကိန်း် ခြစ်တာ။ ဥပမာခပ
င် 6 = (2)(3)= (-2)(-3) > 0
အဒေါကိို[ x > 0 and y > 0 ] or [x < 0 and y < 0] ပ ်းတယ်။
ဒေါပကကာင် If x y > 0 , then [x > 0 and y > 0 ] or [x < 0 and y < 0] ပ ်း တယ်။
ဒေါမ ိ ်း စဉ််းစာ်းနည််းပတွေကိို Algebric Mthod လိိုို့ပြေါ်တယ်။
Algebraic Method
For x , y , a , b  R and a > b ,
(1)
If x y > 0 , then (x > 0 and y > 0) or (x < 0 and y < 0)
(2)
If x y ≥ 0 , then (x ≥ 0 and y ≥ 0) or (x ≤ 0 and y ≤ 0)
(3)
If x y < 0 , then (x > 0 and y < 0) or (x < 0 and y >0)
(4)
If x y ≤ 0 , then (x ≥ 0 and y ≤ 0) or (x ≤ 0 and y ≥ 0)
(5)
If x > a and x > b , then x > a
(6)
If x ≥ a and x ≥ b , then x ≥ a
(7)
If x < a and x < b , then x < b
(8)
If x ≤ a and x ≤ b , then x ≤ b
(9)
If x < a and x > b , then b < x < a
(10)
If x ≤ a and x ≥ b , then b ≤ x ≤ a
(11)
If x > a and x < b , then it is impossible.
(12)
If x ≥ a and x ≤ b , then it is impossible.
Eg.(1)
Find the solution set of the inequation x 2 + 2x − 3 > 0.
x 2 + 2x − 3 > 0
(x + 3)(x − 1) > 0
xy>0
[ x + 3 > 0 and x − 1 > 0 ] or [ x + 3 < 0 and x − 1 < 0 ]
[ x > -3 and x > 1]
x > a and x > b , then x > a
or
or
x>1
(x > 0 and y > 0) or (x < 0 and y < 0)
[ x < -3 and x < 1]
x < -3
x < a and x < b , then x < b
the solution set = { x < -3 or x > 1}
Eg.(2)
Find the solution set of the inequation 2x 2 − 3x − 2 < 0.
2x 2 − 3x − 2 < 0.
2x + 1 x − 2 < 0
xy<0
[ 2x + 1 > 0 and x − 2 < 0 ] or [ 2x + 1 < 0 and x − 2 > 0 ]
(x > 0 and y < 0) or (x < 0 and y > 0)
1
[ x > − 2 and x < 2 ] or [ x < − 1 and x > 2]
2
x > a and x < b , then b<x < a
1
[− 2 < x < 2]
1
the solution set = {− 2 < x < 2}
or
It is impossible.
x < a and x > b , then it is impossible.
1.
Find the solution set of (i) x2+4x  0 (ii) x2+4x  0 (iii) x2+4x  0
2.
Find the solution set in R for the inequation x2 ̶ 4x + 4  0.
3.
Find the solution set in R for the inequation 2x2 ̶ 25x +12 > 0.
4.
Find the solution set in R for the inequation (1+x)(3 – x) ≥ 0.
5.
Find the solution set in R for the inequation 2 – 3x ≥ 5x2 .
6.
Find the solution set in R for the inequation x2 ≥ 3(x+5) .
7.
Find the solution set in R for the inequation (4 – 7x)(7 – 4x)≤ 0 .
8.
Find the solution set in R for the inequation x2 – 6x > 0.
(iv) x2+4x  0
4
9. The function f and g are f : x ↦ 2x2 +4x+5 , x ϵ R and g : x ↦ x+4 , x ϵ R.
Find the set of values of x for which f(x)  g(x).
10. If k is a constant and k > -1, Find the solution set in R of the inequation x2+(1 – k)x – k ≥ 0.