Furye qatorlari’’
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ZAHIRIDDIN MUHAMMAD BOBUR NOMIDAGI ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA KAFEDRASI
Matematika yo’nalishining
3-kurs 3M16-guruh talabasi
Usmonov Shoyatbekning
,,Furye qatorlari’’
mavzusidagi
KURS ISHI
Qabul qildi: S.G’ulomov
Bajardi : Sh.Usmonov
Reja.
I.Kirish
II. Trigonometrik funktsiyalar sistemasining ortogonalligi.
III. Eyler-Furye formulalari.
IV. Ixtiyoriy davrli trigonometrik qator.
V.Furye qatori.
VI. Uzluksiz funktsiya uchun Furye qatori.
VII. Juft va toq funktsiyalar uchun Furye qatori.
VIII.Xulosa
Kirish
Ushbu maqolada matematikaning eng muhim mavzularidan biri bo’lgan Furye qatori. Funksiyani
Furye qatoriga yoyish tog’risida malumot keltirildi va mavjud muanmolar xal etildi. Agar f (x)
funksiya [a;b]kesmada monoton bo‘lsa yoki [a;b] kesmani chekli sondagi qismiy kesmalarga
bo‘lish mumkin bo‘lsa va bu kesmalarning har birida f (x) funksiya monoton (faqat o‘ssa yoki
faqat kamaysa) yoki o‘zgarmas bo‘lsa, f (x) funksiyaga [a;b] kesmada bo‘laklimonoton funksiya
deyiladi. Agar f (x) funksiya [a;b] kesmada chekli sondagi birinchi tur uzilish nuqtalariga ega
bo‘lsa, f (x) funksiyaga [a;b] kesmada bo‘lakli-uzluksiz funksiya deyiladi. Agar f (x) funksiya
[a;b] kesmada uzluksiz yoki bo‘lakli-uzluksiz bo‘lib, bo‘lakli-monoton bo‘lsa f (x) funksiya [a;b]
kesmada Dirixle shartlarini qanoatlantiradi deyiladi.
1. Toq va juft funksiyalarni Furye qatori
Bizga davri T = 2π bo'lgan funksiya berilgan bo`lsin, ya'ni f (x + 2π) f (x). Berilgan funksiyaning
Furye qatori va koeffitsiyentlari quyidagicha edi:
Quyida biz juft va toq funksiyalarning Furye qatori
Agar f (x) funksiya [–a; a] da integrallanuvchi bo`lsa, u holda
Ikkinchi integralda x ni -x ga almashtirish bajarib, (5) ga qo`yamiz:
,
f(x) funksiya toq bo’lsa,
f (x) funksiya juft bolsa, ya'ni
Ikkita juft funksiyalarning yoki ikkita toq funksiyalarning ko`paytmasi juft funksiya, juft va toq
funksiyalarning ko`paytmasi toq funksiya ekanligini va (7) ni e'tiborga olgan holda juft va toq
funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblaymiz.
1.
f (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan juft
funksiya bo lsin.
Juft funksiya uchun Furye qatori faqat kosinuslardan iborat, bk = 0.
2.
f (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan toq
funksiya bo lsin.
2. Ixtiyoriy davrli funksiya uchun Furye qatori.
Endi ixtiyoriy 2l davrli, Dirixle shartlarini qanoatlantiruvchi f(x) funksiyani qaraymiz.
o'rniga qo'yish bizni funksiyaga olib keladi, bu funksiyani Furye qatoriga yoyamiz:
bu yerda
,
,
Qatorda va Furye koeffitsentlari formulalarida yangi t o'zgaruvchidan eski x
o'zgaruvchiga qaytib va , ekanini hisobga olib, quyidagiga ega bo'lamiz:
(1)
bu yerda
(2)
Koeffitsentlari (2) formulalari bilan aniqlanadigan (1) gator ixtiyoriy 2l davrli f(x) funksiya
uchun Furye qatori deyiladi.
2l davrli juft funksiya uchun hamma bk = 0 bo'ladi, demak Furye qatori faqat kosinuslarni o'z
ichiga oladi:
bu yerda
2l davrli toq funksiya uchun esa hamma ak = 0 va a0 = 0 bo'ladi, demak, Furye qatori faqat
sinuslarni o'z ichiga oladi:
bu yerda
Ko'pincha [0,l] kesmada (yarim davrda) berilgan f(x) funksiyani sinuslar bo'yicha yoki
kosinuslar bo'yicha yoyish masalasi talab etiladi.
f(x) funksiyani kosinuslar. bo'yicha qatorga yoyish uchun funksiya juftligicha
kesmadan [-1,0] kesmaga davom ettiriladi. U holda «davom ettirilgan» juft funksiya uchun
Furye qatori faqat kosinuslarni o'z ichiga oladi. Agar f(x) funksiyani qatoriga sinuslar bo'yicha
yoyishni istasak, u holda funksiyani toqligicha [0,l] kesmadan [-l,0] kesmagacha davom
ettiramiz, bunda f (x) = 0 deb olishimiz kerak. «Davom ettirilgan» toq funksiya uchun Furye
qatori faqat sinuslarni o'z ichiga oladi.
Aslida kesmadan-kesmaga davom ettirishni amalga oshirmasa ham bo'ladi, chunki Furye
koeffisentlarini hisoblash formulalaridan juft yoki toq funksiya holida f (x) funksiyaning [0,l]
kesmadagi qiymatlari qatnashadi.
Furye yaqinida(-p; p) oraliqdagi f (x) funksiyalar quyidagi ko‘rinishdagi trigonometrik qator
deyiladi: , qayerda . f (x) funksiyaning (-l; l) oraliqdagi Furye qatori quyidagi ko‘rinishdagi
trigonometrik qator deyiladi: , qayerda . Uchrashuv. Onlayn kalkulyator Furye qatoridagi f(x)
funksiyani kengaytirish uchun mo‘ljallangan. Modul funktsiyalari uchun (masalan, |x|)
foydalaning kosinus kengayishi. Funktsiyani kiritish qoidalari: Modul funktsiyalari uchun
kosinus kengayishidan foydalaning. Masalan, |x| uchun modulsiz funktsiyani kiritish kerak, ya'ni.
x. Furye seriyasi bo'lak-uzluksiz, parcha-parcha-monoton va intervalda chegaralangan (- l;l)
funktsiya butun real o'q bo'ylab yaqinlashadi. Furye seriyasining yig'indisi S(x): davriy funktsiya
2 davrga ega l. Agar u(x) funksiya R sohasining barcha x uchun u(x+T)=u(x) davri T (yoki Tdavriy) bilan davriy deyiladi. intervalda (- l;l) funksiya bilan mos keladi f(x), uzilish nuqtalaridan
tashqari funksiyaning uzilish nuqtalarida (birinchi turdagi, chunki funksiya cheklangan). f(x) va
interval oxirida o'rtacha qiymatlarni oladi: . Aytishlaricha, funktsiya oraliqda Furye qatoriga
kengayadi (- l;l): . Agar f(x) juft funksiya bo‘lsa, uning kengayishida faqat juft funksiyalar
ishtirok etadi, ya’ni b n=0. Agar f(x) toq funksiya bo‘lsa, uning kengayishida faqat toq
funksiyalar ishtirok etadi, ya’ni, a n=0 Furye yaqinida funktsiyalari f(x) oraliqda (0; l) bir nechta
yoylarning kosinuslari bilan qator deyiladi: , qayerda . Furye yaqinida funktsiyalari f(x) oraliqda
(0; l) bir nechta yoylarning sinuslari bilan qator deyiladi: , qayerda . Ko'p yoylarning kosinuslari
bo'yicha Furye qatorining yig'indisi 2-davrli teng davriy funktsiyadir. l, bilan mos keladi f(x)
oraliqda (0; l) uzluksizlik nuqtalarida. Ko‘p yoylarning sinuslari bo‘yicha Furye qatorining
yig‘indisi davri 2 bo‘lgan toq davriy funksiyadir. l, bilan mos keladi f(x) oraliqda (0; l)
uzluksizlik nuqtalarida. Berilgan oraliqda berilgan funktsiya uchun Furye seriyasi o'ziga xoslik
xususiyatiga ega, ya'ni agar kengayish formulalardan foydalanishdan boshqa yo'l bilan, masalan,
koeffitsientlarni tanlash orqali olingan bo'lsa, u holda bu koeffitsientlar formulalar bilan
hisoblanganlarga to'g'ri keladi. . №1 misol. f funksiyasini kengaytiring(x)=1: a) interval bo'yicha
to'liq Furye qatorida(-π ;π); b) intervalda bir nechta yoylarning sinuslari bo'ylab ketmaketlikda(0;π); hosil bo'lgan Furye seriyasini chizing Yechim: a) Furye qatoridagi (-p; p) oraliqda
kengayish quyidagi ko'rinishga ega: , va barcha koeffitsientlar b n=0, chunki bu funksiya juft;
Shunday qilib, Ochilsa, tenglik qanoatlantirilishi aniq lekin 0 =2, lekin 1 =lekin 2 =lekin 3
=…=0 O'ziga xoslik xususiyatiga ko'ra, bu kerakli koeffitsientlardir. Shunday qilib, kerakli
kengayish: yoki faqat 1=1. Bunda qator funksiyasi bilan bir xil mos tushsa, Furye qatorining
grafigi butun real chiziqdagi funksiya grafigi bilan mos tushadi. b) Ko'p yoylarning sinuslari
bo'yicha (0;p) oraliqda kengayish quyidagi ko'rinishga ega: Shubhasiz, tenglik bir xil bo'lishi
uchun koeffitsientlarni tanlash mumkin emas. Koeffitsientlarni hisoblash uchun formuladan
foydalanamiz: Shunday qilib, hatto uchun n (n=2k) bizda ... bor b n=0, g'alati uchun ( n=2k-1) Nihoyat, . Hosil bo‘lgan Furye qatorini uning xossalaridan foydalanib chizamiz (yuqoriga
qarang). Avvalo, biz ushbu funktsiyaning grafigini quramiz berilgan interval. Bundan tashqari,
qatorlar yig'indisining g'alatiligidan foydalanib, biz grafikni nosimmetrik ravishda
boshlang'ichga davom ettiramiz:
String tebranish muammosi Uzunlikdagi ip muvozanatda cho'zilgan bo'lsin l uchrashish x= 0 va
x=l. Faraz qilaylik, ip muvozanatdan chiqariladi va hosil qiladi erkin tebranishlar. Vertikal
tekislikda yuzaga keladigan ipning kichik tebranishlarini ko'rib chiqamiz. Yuqoridagi
taxminlarga ko'ra, funktsiyani ko'rsatish mumkin u(x,t) vaqtning har bir momentidagi satrning
holatini tavsiflovchi t, tenglamani qanoatlantiradi , bu yerda a musbat son. Bizning vazifamiz
funktsiyani topishdir u(x,t), uning grafigi istalgan vaqtda satr shaklini beradi t, ya'ni chegarada
tenglamaning yechimini toping: va dastlabki shartlar: Birinchidan, tenglamaning chegara
shartlarini qanoatlantiradigan yechimlarini izlaymiz. Buni ko'rish oson u(x,t) 0 - (1)
tenglamaning chegara shartlarini qanoatlantiradigan yechimi. Biz 0 ga teng bo'lmagan, mahsulot
sifatida ifodalanadigan yechimlarni qidiramiz u(x,t)=X(x)T(t),
Fourier tahlili ma'lum bir intervalda cheksiz ko'p portlashlarni o'z ichiga olgan iboralarga
taalluqli emas. Umuman olganda, Furye seriyasi, agar asl funktsiya haqiqiy jismoniy o'lchov
natijasi bilan ifodalangan bo'lsa, har doim birlashadi. Ushbu jarayonning aniq funktsiyalar
sinflari uchun yaqinlashishi masalalari matematikada yangi tarmoqlarning paydo bo'lishiga olib
keldi, masalan, umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasi. Bu L. Shvarts, J. Mikusinskiy va J.
Temple kabi ismlar bilan bog'liq. Ushbu nazariya doirasida Dirac delta funktsiyasi (u nuqtaning
cheksiz kichik mahallasida jamlangan bitta maydon maydonini tavsiflaydi) va Heaviside
"qadam" kabi iboralar uchun aniq va aniq nazariy asos yaratildi. Ushbu ish tufayli Furye seriyasi
intuitiv tushunchalar paydo bo'ladigan tenglamalar va masalalarni echishda qo'llanila boshlandi:
nuqta zaryadi, nuqta massasi, magnit dipollar, shuningdek nur ustiga konsentratsiyalangan yuk.
1.
TRIGONOMETRIK FUNKTSIYALAR SISTEMASINING ORTOGONALLIGI
Mаtеmаtik аnаlizning ko’p mаsаlаlаrini yеchishdа qo’shiluvchilаr sоni chеkli yoki chеksiz
bo’lgаn yig’indilаr bilаn ish ko’rishgа to’g’ri kеlаdi.
Bu chеksiz qo’shiluvchilаr hаqiqiy sоnlаrdаn tаshqаri funksiyalаrdаn yoki vеktоrlаrdаn yoki
mаtrisаlаrdаn (yoki mа’lum bir chеkli yoki chеksiz оb’еktlаrdаn) ibоrаt bo’lgаn hоllаrdа
ulаrning yig’indisini tоpish аnchа murаkkаb bo’lаdi. Bu hоllаrdа qo’yilgаn mаsаlаlаrni
yеchishdа quyidа biz o’rgаnаdigаn qаtоrlаr nаzаriyasi kаttа аhаmiyatgа egа.
1-Tа’rif. Аgаr chеksiz hаqiqiy sоnlаr kеtmа-kеtligi bеrilgаn bo’lsа, ulаrdаn tuzilgаn ushbu
ifоdаgа chеksiz qаtоr ( qisqаchа-qаtоr ) dеyilаdi.
Qаtоr qisqаchа ko’rinishdа hаm yozilаdi.
-lаrgа qаtоrning hаdlаri dеyilаdi. gа qаtоrning umumiy hаdi yoki hаdi dеyilаdi. Umumiy hаd
yordаmidа qаtоrning iхtiyoriy hаdini yozish mumkin.
Mаsаlаn, аgаr bo’lsа, u hоldа qаtоr
ko’rinishdа bo’lаdi.
Endi quyidаgi yig’indilаrni tuzаylik:
yig’indilаrgа qаtоrning хususiy (yoki qismiy) yig’indilаri dеyilаdi.
2-Tа’rif. Аgаr (1) qаtоrning хususiy yig’indisi , dа chеkli limitgа egа bo’lsа, u hоldа (1) qаtоrgа
yaqinlаshuvchi qаtоr dеyilib s gа esа uning yig’indisi dеyilаdi vа s= ko’rinishdа yozilаdi.
3-Tа’rif. Аgаr dа (1) qаtоrning хususiy yig’indisi ning limiti chеksiz bo’lsа yoki mаvjud
bo’lmаsа, u hоldа (1) qаtоr uzоqlаshuvchi dеyilаdi.
Chеksiz qаtоrgа misоl sifаtidа kеlаjаkdа ko’p fоydаlаnilаdigаn vа o’rtа mаktаb dаsturidаn
mа’lum bo’lgаn gеоmеtrik prоgrеssiyani ko’rib o’tаylik.
(3)
gеоmеtrik prоgrеssiyaning (gеоmеtrik qаtоrning) birinchi hаdi, -hаdi, esа mаhrаji bo’lib, birinchi
tа hаdining yig’indisi bo’lgаndа
bo’lаdi.
1.
bo’lsа dа bo’lib
bo’lаdi.
Demak (3) qator yaqinlashuvchi bo’lib yig’indisi bo’ladi.
2.
bo’lsа dа bo’lib, (3) qаtоr uzоqlаshuvchi bo’lаdi.
3.
bo’lsа, (3) qаtоr ko’rinishdа bo’lib
= = bo’lаdi.
.
Dеmаk, qаtоr uzоqlаshuvchi.
4.
bo’lsа, (3) qаtоr ko’rinishdа bo’lib,
juft sоn bo’lgаndа =0 vа tоq sоn bo’lgаndа = bo’lаdi. Dеmаk, mаvjud emаs vа qаtоr
uzоqlаshаdi.
Shundаy qilib gеоmеtrik prоgrеssiya ya’ni (3) qаtоr fаqаt bo’lgаndа yaqinlаshuvchi bo’lib,
bo’lgаndа uzоqlаshuvchi bo’lаr ekаn.
Sоnli qаtоrlаrning bа’zi хоssаlаri
Qаtоrning birinchi chеkli tа hаdini tаshlаb yubоrsаk, nаtijаdа
qаtоr hоsil bo’lаdi.
1-tеоrеmа. Аgаr (1) qаtоr yaqinlаshuvchi (uzоqlаshuvchi) bo’lsа, uning istаlgаn chеkli sоndаgi
hаdlаrini tаshlаb yubоrishdаn hоsil bo’lgаn (4) qаtоr hаm yaqinlаshuvchi (uzоqlаshuvchi)
bo’lаdi vа аksinchа (4) qаtоr yaqinlаshuvchi (uzоqlаshuvchi) bo’lsа, u hоldа (1) qаtоr hаm
yaqinlаshuvchi (uzоqlаshuvchi) bo’lаdi.
Isbоt. (1) qаtоrning хususiy yig’indisi
=
(4) qаtоrning хususiy yig’indisi
bo’lgаni uchun = dаn ko’rinаdiki:
а) Аgаr mаvjud bo’lsа, hаm mаvjud bo’lаdi, bu esа (1) qаtоr yaqinlаshuvchi bo’lsа, (4)
qаtоrning hаm yaqinlаshuvchi ekаnini ko’rsаtаdi -chеkli sоn gа bоg’liq emаs).
b) Аgаr mаvjud bo’lmаsа yoki chеksiz bo’lsа hаm mаvjud emаs yoki chеksiz bo’lаdi. Bu esа (1)
qаtоr uzоqlаshuvchi bo’lsа, (4) qаtоr hаm uzоqlаshuvchi ekаnini ko’rsаtаdi.
Tеоrеmаning ikkinchi qismi hаm хuddi shuningdеk isbоtlаnаdi.
2-tеоrеmа. Qаtоr hаdlаrigа chеkli sоndаgi hаdlаr qo’shgаndа hаm o’rinli bo’lаdi.
Biz quyida va funktsiyalar sistemasining ortogonalligini qaraymiz.
Tarif: Agar ikkita f(x) va funktsiyalar ko`paytmasining chegaralari a va b dan iborat bo`lgan
integrali nolga teng bo`lsa, bu funktsiyalar (a, b) oraliqda ortogonal deyiladi.
Teorema. Quyidagi
1, cos x , cos 2x, cos 3x,…, sin x, sin 2x, sin 3x,… (1)
sistemadan olingan ixtiyoriy ikkita har xil funktsiyalar (- ) oraliqda ortogonal bo`ladi, ya`ni:
(2)
(3)
. (4)
Shuningdek, . (5)
Bunda m va n lar ixtiyoriy natural sonlar bo`lib, m ≠ n dir.
Agar (1) sistemadagi ikkita har xil funktsiyalar o`rniga bir xil funktsiyalar olinsa, u holda,
birinchi funktsiyadan tashqari barcha funktsiyalarning – va oraliqda olingan integrali dan iborat
bo`ladi. Birinchi funktsiyaning integrali esa 2 dir, ya`ni:
, (6)
(7)
(8)
Bunda n = 1, 2, 3,… dir.
(7) va (8) formulalar
va
almashtirishlar yordamida hosil qilinadi. Yuqoridagi (2)-(8) formulalar o`zunligi 2 dan iborat
bo`lgan ixtiyoriy oraliqlar uchun o`rinlidir.
Agar berilgan biror funktsiyalar sistemasida har bir juft funktsiya ortogonal bo`lsa, u holda, shu
sistemaning o`zi ham ortogonal sistema bo`ladi.
1-misol. (- , ) oraliqda f(x)=sin5x va (x)=cos2x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi: Berilgan funktsiyalar ko`paytmasini (- , ) oraliqda integrallaymiz:
Bunda cos x funktsiyaning juft ekanligi hisobga olindi.
2-misol. (- , ) oraliqda f (x) =sin2x va f (x) =sin4x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi:
Demak, berilgan funktsiyalar ortogonal.
3-misol. oraliqda f(x)=sin2x va (x)=sin4x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi:
4-misol. (-2 , 0) oraliqda ikkita bir xil funktsiyalar ko`paytmasi cos23x ning ortogonalligini
tekshiring.
Yechilishi:
2. Eyler – Furye formulalari
Faraz qilaylik, f(x) funktsiya davriy bo`lib, uning davri 2 bo`lsin.
Teorema. Quyidagi
(1)
trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar f(x) funktsiya
uchun
integral mavjud bo`lsa, u holda, (1) qatorning koeffisiyentlari uchun quyidagi Eyler – Furye
formulalari o`rinli bo`ladi:
(2)
Isboti: Ma`lumki,
. (3)
Ushbu tenglikni – va oraliqda integrallaymiz:
(4)
Oldingi paragrafdagi (2) formulaga asosan (4) tenglikning o`ng tomonidagi integralning
birinchisidan tashqari, barcha integrallar nolga teng. U holda, quyidagiga ega bo`lamiz:
ya`ni
Demak, n=0 bo`lganda (2)–Eyler–Furye formulalarining birinchisini hosil qildik. Qolganlari
ham shu yo`l bilan topiladi. Bunda (3) tenglik cosnx yoki sinnx ga ko`paytiriladi, so`ngra,
integrallanadi. (3) tenglikni cos2x ga hadma – had ko`paytirib, integrallash natijasida quyidagini
hosil qilamiz:
(5)
Buning o`ng tomonidagi, to`rtinchisidan tashqari barcha integrallar oldingi paragrafdagi (2), (3)
va (4) larga asosan nolga teng. (6) formulaga asosan beshinchi integral ga teng. U holda,
3. Ixtiyoriy davrli trigonometrik qator
Davri 2 dan iborat bo`lgan quyidagi
(6)
trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar integral
mavjud bo`lsa, u holda, (6) qatorning koeffisentlari uchun quyidagi Eyler–Furye formulalari
o`rinli bo`ladi:
(bunda n=0,1,2,3,…)
(bunda n=1,2,3,…) (7)
Oldingi paragrafdagi (2) formulalar = bo`lganda (7) dan kelib chiqadi.
4. FURYE QATORI
Davri 2 dan iborat bo`lgan f(x) funktsiya berilgan bo`lsin. Yig`indisi f(x) bo`lgan quyidagi
yaqinlashuvchi trigonometrik qatorni topish talab qilinsin:
(1)
Agar bu masalaning yechimi mavjud bo`lsa, bu yechim yagona bo`lib, (1) qatorning
koeffisiyenti Eyler – Furye formulalari yordamida topiladi:
va (2)
Hosil bo`lgan (2) qatorga f (x) funktsiya uchun Furye qatori deyiladi.
5. UZLUKSIZ FUNKTSIYa UChUN FURYE QATORI
f(x) funktsiya (- , ) yopiq oraliqda uzluksiz va shu oraliqda ekstremumga ega bo`lmasin. U holda,
f(x) funktsiya uchun Furye qatori oraliqning barcha nuqtalarida uzluksiz va x ning (- , )
oraliqdagi barcha qiymatlari uchun qator yig`indisi f(x) dan iborat bo`ladi.
Oraliqning chetki ikkala nuqtalarida yig`indi
,
ya`ni f (- ) va f (+ ) larning o`rta arifmetigiga teng bo`ladi.
Misol. f (x)= x funktsiya berilgan bo`lsin. Bu funktsiya (- , ) yopiq oraliqda uzluksiz va
ekstremumlarga ega bo`lmasin.
Yechilishi:
Funktsiyaning Furye qatordagi koeffisiyentlar nollardan iboratdir. Xakikatdan ham
(1)
Bundagi birinchi qo`shiluvchi x=-x* almashtirishdan so`ng ko`rinishga kelib, ikkinchi
qo`shiluvchi bilan yig`indisi nolga teng bo`ladi, ya`ni: an=0 (bunda n=0,1,2,…). (2)
bn koeffitsiyentlar bo`laklab integrallash yordamida topiladi:
(3)
yoki (4)
U holda, x uchun Furye qatori quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
5)
Teoremaga asosan oxirgi qator uzluksizdir. - < x < da uning yig`indisi quyidagiga teng bo`ladi:
(6)
x=± da yig`indi . Qatorning barcha hadlari nolga aylanadi.
da (6) formula Leybnits qatoridan iborat bo`ladi, ya`ni:
(7)
6. JUFT VA TOQ FUNKTSIYaLAR UChUN FURYE QATORI[[[[[[[[
f(x) funktsiya biror (- , ) oraliqda aniqlangan bo`lsin. Bu funktsiya argument ishorasining
o`zgarishi bilan o`z ishorasini o`zgartirmasa, ya`ni:
(1)
bo`lsa, f (x) toq funktsiya; agar o`z ishorasini o`zgartirsa, ya`ni bo`lsa, juft funktsiya deb
nomlanadi.
Quyidagi va integrallar juft funktsiyalar bo`lganda o`zaro teng, toq bo`lganda esa ishoralari bilan
farqlanadi. Shuning uchun juft funktsiyalar uchun (3)
toq funktsiyalar uchun esa (4)
interallar o`rinlidir.
Juft funktsiyalar uchun Furye qatorida sinuslar ishtirok etmaydi. U holda, Furye koeffisiyenti
quyidagicha bo`ladi:
(5)
Toq funktsiyalar uchun Furye qatorida kosinuslar va ozod hadlar ishtirok etmaydi. U holda,
Furye koeffisiyenti
(6)
ko`rinishga ega bo`ladi.
1-misol. f(x)=x funktsiya toqdir. Uning Furye qatorida kosinus va ozod had ishtirok etmaydi. bn
koeffisiyentlari quyidagicha bo`ladi:
2-misol. f (x)=‫׀‬x ‫׀‬funktsiya juft. U holda, uning Furye qatorida sinuslar ishtirok etmaydi. a0
koeffisiyent quyidagiga teng bo`ladi:
(7)
n≠0 bo`lganda an koeffisiyent quyidagidan iborat bo`ladi:
(8)
ya`ni (bunda k=1,2,3,…). (9)
funktsiya uchun Furye qatori quyidagidan iborat:
(10)
http://hozir.org