(หนา 55)
d=0
r=1
r = −1
d=1
r=−
𝟏𝟏
𝟑𝟑
r = 𝟐𝟐−𝟏𝟏 =
d=0
r=1
𝟏𝟏
𝟐𝟐
(หนา 55)
𝟐𝟐𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝟓𝟓
𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝟓𝟓
𝟏𝟏
+
𝟑𝟑
𝟔𝟔
𝟏𝟏
+
𝟑𝟑
𝟕𝟕
𝟏𝟏
+
𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟖𝟖
𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝟑𝟑 −𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 −𝟏𝟏 𝟑𝟑 + 𝟑𝟑 −𝟏𝟏 𝟒𝟒
𝟑𝟑 − 𝟑𝟑 + 𝟑𝟑 = 𝟑𝟑
−𝟏𝟏
𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟑𝟑
𝟐𝟐(𝟗𝟗) + 𝟐𝟐(𝟐𝟐𝟕𝟕)
𝟏𝟏
𝟓𝟓
𝟑𝟑
𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝟑𝟑
𝟏𝟏
𝟏𝟏
+ 𝟓𝟓
+ 𝟓𝟓
𝟑𝟑
𝟑𝟑
𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟓𝟓
+ 𝟓𝟓
+ 𝟓𝟓
𝟗𝟗
𝟐𝟐𝟕𝟕
𝟖𝟖𝟏𝟏
𝟒𝟒
𝟏𝟏
𝟑𝟑
(หนา 56)
𝟔𝟔
= 𝟑𝟑
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟓𝟓
𝒂𝒂𝟏𝟏 (𝒓𝒓𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)
𝒓𝒓 − 𝟏𝟏
𝟐𝟐(𝟏𝟏 − 𝟑𝟑𝟓𝟓 )
𝟏𝟏 − 𝟑𝟑
𝟓𝟓(𝟐𝟐𝟔𝟔 − 𝟏𝟏)
=
𝟐𝟐 − 𝟏𝟏
𝟐𝟐(𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟑𝟑)
=
−𝟐𝟐
= 𝟓𝟓(𝟔𝟔𝟒𝟒 − 𝟏𝟏)
= 𝟑𝟑𝟏𝟏𝟓𝟓
= 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟐𝟐
𝟓𝟓
(หนา 56)
−𝟐𝟐
𝒂𝒂𝟏𝟏 (𝒓𝒓𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)
𝒓𝒓 − 𝟏𝟏
−𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟓𝟓
−𝟐𝟐
(−𝟐𝟐)(𝟓𝟓𝟔𝟔 − 𝟏𝟏)
=
𝟓𝟓 − 𝟏𝟏
(−𝟐𝟐)(𝟏𝟏𝟓𝟓𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓 − 𝟏𝟏)
=
𝟒𝟒
−𝟏𝟏𝟐𝟐
−𝟑𝟑𝟔𝟔
= 𝟑𝟑
−𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒂𝒂𝟏𝟏 (𝒓𝒓𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)
𝒓𝒓 − 𝟏𝟏
(−𝟏𝟏𝟐𝟐)(𝟑𝟑𝟓𝟓 − 𝟏𝟏)
=
𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
= (−𝟔𝟔)(𝟐𝟐𝟒𝟒𝟐𝟐)
= −𝟏𝟏𝟒𝟒𝟓𝟓𝟐𝟐
= −𝟕𝟕𝟖𝟖𝟏𝟏𝟐𝟐
(หนา 56)
𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟕𝟕
𝟏𝟏
�
= 𝟑𝟑
𝟗𝟗 𝟏𝟏
𝟐𝟐𝟕𝟕 𝒂𝒂 (𝒓𝒓𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)
𝟏𝟏
𝒓𝒓 − 𝟏𝟏
𝟏𝟏 (𝟑𝟑𝟖𝟖 − 𝟏𝟏)
𝟐𝟐𝟕𝟕
𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
𝟏𝟏 (𝟔𝟔𝟓𝟓𝟔𝟔𝟏𝟏 − 𝟏𝟏)
𝟐𝟐𝟕𝟕
𝟐𝟐
𝟑𝟑, 𝟐𝟐𝟖𝟖𝟏𝟏
=
𝟐𝟐𝟕𝟕
=
𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏
=
𝟔𝟔𝟒𝟒 𝟒𝟒
𝟔𝟔𝟒𝟒
𝒂𝒂𝟏𝟏 (𝟏𝟏 − 𝒓𝒓𝒏𝒏 )
𝟏𝟏 − 𝒓𝒓
𝟏𝟏
𝟔𝟔𝟒𝟒(𝟏𝟏 −
)
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒
=
𝟑𝟑
𝟒𝟒
= 𝟔𝟔𝟒𝟒
𝟒𝟒
𝟑𝟑
𝟏𝟏 𝟓𝟓
𝟔𝟔𝟒𝟒(𝟏𝟏 − 𝟒𝟒 )
𝟏𝟏
𝟏𝟏 − 𝟒𝟒
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒𝟒𝟒
๏
𝟑𝟑𝟒𝟒𝟏𝟏
=
𝟒𝟒
งํ
(หนา 56)
𝟒𝟒(𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏)
𝑺𝑺𝟏𝟏𝟏𝟏 =
𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
= 𝟐𝟐 𝟓𝟓𝟗𝟗, 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟗𝟗 − 𝟏𝟏
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖, 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟔𝟔
𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒓𝒓 =
= 𝟑𝟑
𝟒𝟒
}
=
𝟓𝟓(𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏)
𝑺𝑺𝟏𝟏𝟏𝟏 =
𝟐𝟐 − 𝟏𝟏
59,049
= 𝟓𝟓 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑
= 𝟓𝟓, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒓𝒓 =
= 𝟐𝟐
𝟓𝟓
(หนา 57)
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟔𝟔(𝟏𝟏 −
)
𝟐𝟐
𝑺𝑺𝟏𝟏𝟏𝟏 =
𝟏𝟏
𝟏𝟏 − 𝟐𝟐
𝟏𝟏
𝟔𝟔(𝟏𝟏 −
)
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟐𝟐
𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑
𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒
𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟗𝟗
=
𝟐𝟐𝟓𝟓𝟔𝟔
𝟑𝟑 𝟏𝟏
𝒓𝒓 = =
𝟔𝟔 𝟐𝟐
G
r
𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟓𝟓(𝟏𝟏 −
)
𝟐𝟐
𝑺𝑺𝟏𝟏𝟏𝟏 =
𝟏𝟏
𝟏𝟏 − 𝟐𝟐
𝟏𝟏
𝟓𝟓(𝟏𝟏 −
)
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑
= 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒
=
𝟓𝟓, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓
𝟓𝟓𝟏𝟏𝟐𝟐
=
=
5
§
=
#
(หนา 57)
r
aiajfntbygy
𝟑𝟑
𝟏𝟏
𝒓𝒓 =
𝒂𝒂𝟒𝟒 = ,
หา 𝑺𝑺𝟖𝟖
𝟐𝟐
𝟐𝟐
หา 𝒂𝒂𝟏𝟏 จาก 𝒂𝒂𝟒𝟒 = 𝒂𝒂𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟑𝟑
𝟑𝟑
𝟏𝟏
= 𝒂𝒂𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟑𝟑
น
𝟑𝟑
= 𝒂𝒂𝟏𝟏
𝟖𝟖
𝟐𝟐
𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐
จะได้ 𝑆𝑆8 =
𝟏𝟏 𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟐𝟐(𝟏𝟏− 𝟐𝟐 )
𝟏𝟏
𝟏𝟏−𝟐𝟐
=
𝟏𝟏𝟐𝟐(𝟏𝟏 −
= 𝟐𝟐𝟒𝟒
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝟏𝟏
)
𝟐𝟐𝟓𝟓𝟔𝟔
𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟐𝟐𝟓𝟓𝟔𝟔
=
𝟔𝟔, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏
𝟕𝟕𝟔𝟔𝟓𝟓
=
𝟐𝟐𝟓𝟓𝟔𝟔
𝟑𝟑𝟐𝟐
.
.
.
G = 12
(หนา 58)
𝑺𝑺𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏,
𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝟒𝟒,
𝒓𝒓 =
𝟏𝟏𝟐𝟐
= 𝟑𝟑
𝟒𝟒
หา 𝒏𝒏
𝟒𝟒(𝟑𝟑𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)
หา 𝑛𝑛 จาก 13,120 =
𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
6,560 = 𝟑𝟑𝒏𝒏 − 𝟏𝟏
6,561 = 𝟑𝟑𝒏𝒏
𝟑𝟑𝟖𝟖 = 𝟑𝟑𝒏𝒏
ดังนัน้ 𝑛𝑛 = 8
(หนา 58)
𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,
𝑺𝑺𝟏𝟏𝟏𝟏 =
=
𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,
𝒓𝒓 = 𝟑𝟑
หา 𝑺𝑺𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏(( 𝟑𝟑)𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝟏𝟏)
𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
(
𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏
− 𝟏𝟏)( 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏)
𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
(𝟐𝟐𝟒𝟒𝟑𝟑 − 𝟏𝟏)( 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏)
=
𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏( 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏)
=
121 ง +121
(หนา 58)
𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟏𝟏 = ,
𝟐𝟐
𝟏𝟏
𝒓𝒓 =
𝟐𝟐
หา 𝑺𝑺𝒏𝒏
𝟏𝟏 𝒏𝒏
(𝟏𝟏− 𝟐𝟐 )
𝟐𝟐
𝟏𝟏
𝟏𝟏−𝟐𝟐
𝟏𝟏
จะได้ 𝑆𝑆𝑛𝑛 =
𝟏𝟏
= 𝟏𝟏 −
𝟐𝟐
𝒏𝒏
นำ
(หนา 58)
จาก 𝑺𝑺𝟔𝟔 = 𝟗𝟗𝑺𝑺𝟑𝟑
𝑺𝑺𝟔𝟔
= 𝟗𝟗
𝑺𝑺𝟑𝟑
Sn
=
)
9
ข -1
𝒂𝒂𝟏𝟏 (𝒓𝒓𝟔𝟔 − 𝟏𝟏)
𝒓𝒓 − 𝟏𝟏
�
= 𝟗𝟗
𝒂𝒂𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
𝒓𝒓 − 𝟏𝟏
(𝒓𝒓𝟔𝟔 − 𝟏𝟏)
= 𝟗𝟗
𝒓𝒓𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
(𝒓𝒓𝟑𝟑 − 𝟏𝟏) 𝒓𝒓𝟑𝟑 + 𝟏𝟏
= 𝟗𝟗
นั่นคือ
𝒓𝒓𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
𝒓𝒓𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 = 𝟗𝟗
𝒓𝒓𝟑𝟑 = 𝟖𝟖 = 𝟐𝟐𝟑𝟑
ดังนั้น 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐
(หนา 59)
𝑺𝑺𝟑𝟑 = 𝟗𝟗,
𝑺𝑺𝟔𝟔 = −𝟔𝟔𝟑𝟑 หา 𝑺𝑺𝟐𝟐𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝒂𝒂
(𝒓𝒓
− 𝟏𝟏)
𝟏𝟏
หา 𝒓𝒓 จาก 𝑺𝑺 = 𝟗𝟗 =
𝟑𝟑
𝒓𝒓 − 𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟏𝟏 (𝒓𝒓𝟔𝟔 − 𝟏𝟏)
𝑺𝑺𝟔𝟔 = −𝟔𝟔𝟑𝟑 =
𝒓𝒓 − 𝟏𝟏
𝑺𝑺𝟔𝟔
𝟔𝟔
= −𝟔𝟔𝟑𝟑 = 𝒓𝒓 − 𝟏𝟏
𝑺𝑺𝟑𝟑
𝟗𝟗
𝒓𝒓𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
(𝒓𝒓𝟑𝟑 − 𝟏𝟏) 𝒓𝒓𝟑𝟑 + 𝟏𝟏
−𝟕𝟕 =
𝒓𝒓𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
−𝟕𝟕 = 𝒓𝒓𝟑𝟑 + 𝟏𝟏
หา 𝒂𝒂𝟏𝟏 จาก
𝒂𝒂𝟏𝟏 ((−𝟐𝟐)𝟑𝟑 −𝟏𝟏)
𝑺𝑺𝟑𝟑 = 𝟗𝟗 =
−𝟐𝟐 − 𝟏𝟏
𝟗𝟗 = 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝟑𝟑
𝟑𝟑((−𝟐𝟐)𝟐𝟐𝟏𝟏 −𝟏𝟏)
จะได้ 𝑺𝑺𝟐𝟐𝟏𝟏 = −𝟐𝟐−𝟏𝟏
= 𝟏𝟏 − (−𝟐𝟐)𝟐𝟐𝟏𝟏
𝒓𝒓𝟑𝟑 = −𝟖𝟖 = (−𝟐𝟐)𝟑𝟑
= 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟖𝟖, 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟔𝟔
ดังนั้น 𝒓𝒓 = −𝟐𝟐
= −𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟖𝟖, 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟓𝟓
(หนา 59)
𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝟑𝟑,
𝑺𝑺𝟖𝟖 = 𝟓𝟓𝑺𝑺𝟒𝟒 หา 𝒂𝒂𝟑𝟑
หา r จาก 𝑺𝑺𝟖𝟖 = 𝟓𝟓𝑺𝑺𝟒𝟒
𝑺𝑺𝟖𝟖
𝒓𝒓𝟖𝟖 − 𝟏𝟏
= 𝟓𝟓 = 𝟒𝟒
𝒓𝒓 − 𝟏𝟏 (𝒓𝒓𝟒𝟒 − 𝟏𝟏) 𝒓𝒓𝟒𝟒 + 𝟏𝟏
𝑺𝑺𝟒𝟒
𝟓𝟓 =
𝒓𝒓𝟒𝟒 − 𝟏𝟏
𝟒𝟒
= 𝒓𝒓𝟒𝟒 +𝟏𝟏
𝒓𝒓𝟒𝟒 = 𝟒𝟒 = (± 𝟒𝟒)𝟒𝟒 = (± 𝟐𝟐)𝟒𝟒
𝟒𝟒
ดังนั้น 𝒓𝒓 = ± 𝟒𝟒 = ± 𝟐𝟐
จะได้ 𝒂𝒂𝟑𝟑 = 𝒂𝒂𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐
= 𝟑𝟑(± 𝟐𝟐)𝟐𝟐
= 𝟔𝟔
(หนา 59)
𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝟗𝟗,
𝒂𝒂𝒏𝒏 = 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟔𝟔,
𝑺𝑺𝒏𝒏 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟑𝟑 หา 𝒓𝒓
𝒂𝒂𝟏𝟏 −𝒂𝒂𝒏𝒏 𝒓𝒓
จาก 𝑺𝑺𝒏𝒏 = 𝟏𝟏−𝒓𝒓
𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟑𝟑 =
𝟗𝟗−𝟓𝟓𝟕𝟕𝟔𝟔𝒓𝒓
𝟏𝟏−𝒓𝒓
𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟑𝟑 − 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟑𝟑𝒓𝒓 = 𝟗𝟗 − 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟔𝟔𝒓𝒓
𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟑𝟑 − 𝟗𝟗 = −𝟓𝟓𝟕𝟕𝟔𝟔𝒓𝒓 + 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟑𝟑𝒓𝒓
ดังนั้น 𝐫𝐫 =
𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟑𝟑𝟒𝟒
= 𝟐𝟐
𝟓𝟓𝟔𝟔𝟕𝟕
(หนา 60)
การประยุกต์ ของลําดับและอนุกรม
- ดอกเบีย้
- คงต้ น
- ทบต้ น
- มูลค่ าปัจจุบนั /มูลค่ าอนาคต
- ค่ างวด
(เพิ่มเติม หนา 60)
การประยุกต์ ของลําดับและอนุกรม
- ดอกเบีย้
- คงต้ น S = P( 1 + nr )
𝒓𝒓 𝒌𝒌𝒏𝒏
S = P( 1 + )
𝒌𝒌
- ทบต้ น
- มูลค่ าปัจจุบนั /มูลค่ าอนาคต
- ค่ างวด
- รับ/จ่ ายต้ นงวด
- รับ/จ่ ายสิ้นงวด
(เพิ่มเติม หนา 60)
สูตรหาเงินรวมที่ไดจากการรับ/จายคางวดตอนตนงวด
𝑟𝑟
𝑟𝑟 𝑘𝑘𝑛𝑛
𝑅𝑅 1 + [ 1 +
− 1]
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑆𝑆 =
𝑟𝑟
−1
1+
𝑘𝑘
S = เงินรวมที่ไดจากการรับหรือจายคางวดตอนตนงวด
R = เงินที่รับหรือจายแตละงวด (เงินคางวด)
i = อัตราดอกเบี้ย % ตอป โดย 𝒓𝒓 = 𝒊𝒊
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
n = จํานวนป
k = จํานวนครั้งที่คิดดอกเบี้ยทบตนตอป
t
(หนา 60)
4%
วิธีทํา ในที่นี้ P = 100,000 , k = 1, n = 10 และ r = 0.04
1(10)
𝑟𝑟 𝑘𝑘𝑛𝑛
0.04
1.1) จํานวนเงินรวม 𝑆𝑆 = 𝑃𝑃 1 + 𝑘𝑘
= 100,000 1 +
1
=
%
=
0.04
= 100,000 1.04 10
≈ 148,024.43 บาท
ดังนั้น เมื่อฝากเงินครบ 10 ป จะมีเงินรวมประมาณ 148,024.43 บาท
1.2) จํานวนเงินรวมเพิ่มขึ้นเปน 3 เทาของจํานวนเงินตน นั่นคือ S = 3(100,000)
จะไดวา
300,000 = 100,000 1 + 0.04 𝑛𝑛
3 = 1.04 𝑛𝑛
เนื่องจาก 1.04 28 ≈ 2.9987 และ 1.04 29 ≈ 3.1187
จะไดวาตองฝากครบ 29 ป จึงจะทําใหมีเงินเพิ่มขึ้นเปนอยางนอย 3 เทาของเงินตน
(หนา 60)
to
%
=
0.03
3
เปนการคิดแบบคงตน มี P = 100,000 , 𝑟𝑟 = 100 = 0.03
2.1) ถาคิดดอกเบี้ยใหครั้งสุดทายครั้งเดียว
จะได จํานวนเงินในบัญชี เมื่อครบปที่ n คือ S = P + Pnr =Lnlso
P( 1+nr )
/ S =P+ Prt
= 100,000 + 100,000 0.03 𝑛𝑛
หรือ 𝑆𝑆 = 100,000 1 + 0.03𝑛𝑛
= 100,000 + 3,000𝑛𝑛
2.2) ถานําดอกเบี้ยเขาบัญชีเงินฝากทุก ๆ ป เปนการคิดดอกเบี้ยทบตน มี P = 100,000 , k = 1 ,
𝑟𝑟 𝑘𝑘𝑛𝑛
จะได จํานวนเงินในบัญชี เมื่อครบปที่ n คือ 𝑆𝑆 = 𝑃𝑃 1 + 𝑘𝑘
= 100,000 1 + 0.03 𝑛𝑛
= 100,000 1.03 𝑛𝑛 บาท
𝑟𝑟 =
3
= 0.03
100
ชื่
(หนา 61)
วิธีทํา ในที่นี้ P = 100,000, k = 4, n = 10 และ r = 0.04 nee
จํานวนเงินรวม เทากับ
𝑟𝑟 𝑘𝑘𝑛𝑛
𝑆𝑆 = 𝑃𝑃 1 +
𝑘𝑘
0.04
= 100,000 1 +
4
≈ 148,886.37 บาท
4(10)
4%
±
อ
=
0.04
(หนา 61)
วิธีทํา ในที่นี้ P = 100,000, k = 1 , n = 10 และ S = 141,060
𝑟𝑟 𝑘𝑘𝑛𝑛
จาก 𝑆𝑆 = 𝑃𝑃 1 +
𝑘𝑘
จะไดวา 141,060 = 100,000 1 + 𝑟𝑟 10
1.4106 = 1 + 𝑟𝑟 10
1 + 𝑟𝑟 =
𝑟𝑟 =
10
10
1.4106
1.4106 − 1
≈ 0.035
ดังนั้น ธนาคารแหงนี้ใหอัตราสวนดอกเบี้ยประมาณ 3.5% ตอป
(หนา 62)
วิธีทํา ยอดที่ 1 ในที่นี้ S = 12,682.42, k = 4, n = 3 และ r = 0.08
−12
0.08
จะไดมูลคาปจจุบันของเงิน 12,682.42 คือ P = 12,682.42 1 +
4
≈ 10,000 บาท
ยอดที่ 2 ในที่นี้ S = 26,115.36, k = 4, n = 7 และ r = 0.08
−28
0.08
จะไดมูลคาปจจุบันของเงิน 26,115.36 คือ 𝑃𝑃 = 26,115.36 1 +
4
≈ 15,000 บาท
ดังนั้น อนันตกูเงินจากวิเชียรประมาณ 10,000 + 15,000 = 25,000 บาท
(เพิ่มเติม หนา 60)
การประยุกต์ ของลําดับและอนุกรม
- ดอกเบีย้
- คงต้ น S = P( 1 + nr )
𝒓𝒓 𝒌𝒌𝒏𝒏
S = P( 1 + )
𝒌𝒌
- ทบต้ น
- มูลค่ าปัจจุบนั /มูลค่ าอนาคต 𝒓𝒓 −𝒌𝒌𝒏𝒏
P = S( 1 + )
𝒌𝒌
- ค่ างวด
- รับ/จ่ ายต้ นงวด - รับ/จ่ ายสิ้นงวด - การผ่ อนส่ ง
(หนา 62)
วิธีทํา ในที่นี้ S = 1,000,000, k = 1, n = 20 และ r = 0.04
6.1) จะไดมูลคาปจจุบันของเงินรวม 1,000,000 บาท คือ 𝑃𝑃 = 1,000,000 1 + 0.04 −20
= 456,386.95 บาท
ดังนั้น ราตรีตองฝากเงินตนไวอยางนอย 456,386.95 บาท
(หนา 62)
วิธีทํา ในที่นี้ S = 1,000,000, k = 1, n = 20 และ r = 0.04
6.2) ให P เปนเงินฝาก เมื่อครบ 1 ป จะมีเงินรวม P + P(0.04) = P(1.04) บาท
และฝากเพิ่ม 2,000 บาท มีเงินรวม 2,000 + P(1.04) บาท
เมื่อครบ 2 ป จะมีเงินรวม 2,000+P(1.04) + (2,000+P(1.04))(0.04) =[2000+P(1.04)][1+0.04]= 2,000 1.04 + 𝑃𝑃 1.04 2
และเมื่อฝากเพิ่มอีก 2,000 บาท จะมีเงินรวม 2,000 +2,000 1.04 + 𝑃𝑃 1.04 2 บาท
เมื่อครบ 3 ป จะมีเงินรวม 2000 + 2,000 1.04 + 𝑃𝑃 1.04 2+ [2000 + 2,000 1.04 + 𝑃𝑃 1.04 2]0.04
=[2000 + 2,000 1.04 + 𝑃𝑃 1.04 2][1+0.04] = 2,000 1.04 + 2,000 1.04 2 + 𝑃𝑃 1.04 3 บาท
นั่นคือ เมื่อสิ้นปที่ 20 จะมีเงินรวม 2,000 1.04 + 2,000 1.04 2 + ⋯ + 2,000 1.04 19 + 𝑃𝑃 1.04 20 บาท
(หนา 62)
0
P
1
2000
2
2000
…
19
2000
20
2000(1 + 0.04)
2000 1 + 0.04 18
2000 1 + 0.04 19
𝑃𝑃 1 + 0.04 20
นั่นคือ เมื่อสิ้นปที่ 20 จะมีเงินรวม 2,000 1.04 + 2,000 1.04 2 + ⋯ + 2,000 1.04 19 + 𝑃𝑃 1.04 20 บาท
(หนา 62)
พิจารณาอนุกรม 2,000 1.04 + 2,000 1.04 2 + ⋯ + 2,000 1.04 19 ซึ่งเปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี 19 พจน
มี 𝑎𝑎1 = 2,000 1.04 และ r = 1.04
2,000 1.04 1.04 19 −1
จะไดผลบวกของอนุกรมนี้ คือ 𝑆𝑆𝑛𝑛 =
1.04−1
นั่นคือ เมื่อสิ้นปที่ 20 มีเงินรวม
2,000 1.04
จะได 1,000,000 =
2,000 1.04
1.04 19 −1
1.04−1
1.04 19 −1
1.04−1
P ≈ 430,119. 07บาท
ดังนั้น ราตรีตองฝากเงินตนไวอยางนอย 430,119.07 บาท
+ 𝑃𝑃 1.04 20 บาท
+ 𝑃𝑃 1.04 20 บาท
(เพิ่มเติม หนา 60)
การประยุกต์ ของลําดับและอนุกรม
- ดอกเบีย้
- คงต้ น S = P( 1 + nr )
𝒓𝒓 𝒌𝒌𝒏𝒏
S = P( 1 + )
𝒌𝒌
- ทบต้ น
- มูลค่ าปัจจุบนั /มูลค่ าอนาคต 𝒓𝒓 −𝒌𝒌𝒏𝒏
P = S( 1 + )
𝒌𝒌
- ค่ างวด
- รับ/จ่ ายต้ นงวด - รับ/จ่ ายสิ้นงวด Åหามูลค่ าอนาคต S
- การผ่ อนส่ ง Åหามูลค่ าปัจจุบัน P
(หนา 61)
3
𝑟𝑟
0.03
วิธีทํา ในที่นี้ R = 100,000 , k = 1, n = 15 และ r = 100
= 0.03 นั่นคือ 𝑘𝑘 = 1 = 0.03
13
(หนา 61)
วิธีทํา
เงินฝากในครั้งแรก จะไดดอกเบี้ยครบ 15 ป มีมูลคาในอนาคต เทากับ 100,000 1.03 15 บาท
เงินฝากในครั้งที่ 2 จะไดดอกเบี้ย 14 ปที่เหลือ มีมูลคาในอนาคต เทากับ 100,000 1.03 14 บาท
⋮
⋮
เงินฝากในครั้งสุดทาย จะไดดอกเบี้ย 1 ปที่เหลือ มีมูลคาในอนาคต เทากับ 100,000(1.03) บาท
ดังนั้น เมื่อสิ้นปที่ 15 จะไดรับเงินรวม 100,000 1.03 15 + 100,000 1.03 14 + ⋯ + 100,000(1.03) หรือเรียงกลับกัน
เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี 15 พจน โดย 𝑎𝑎1 = 100,000 1.03 และ อัตราส่วนร่วม คือ 1.03
100,000 1.03 1.03 15 −1
จะไดเงินรวม
𝑆𝑆15 =
1.03−1
≈ 1,915,688.13 บาท
ดังนั้น เมื่อฝากเงินครบ 15 ป จะมีเงินรวมประมาณ 1,915,688.13 บาท
(หนา 62)
วิธีทํา สุดาฝากเงินตอนตนงวดทุกเดือนเปนเวลา 5 ป
3
𝑟𝑟
0.03
= 0.03 นั่นคือ 𝑘𝑘 = 12 = 0.0025
ในที่นี้ R = 2,000 , k =12 , n = 5 และ r = 100
ดังนั้น เมื่อสิ้นปที่ 5 เงินรวมของสุดา คือ 2,000 1.0025 + 2,000 1.0025 2 + ⋯ +2,000 1.0025 60
เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี 60 พจน มี 𝑎𝑎1 = 2,000 1.0025 และ อัตราสวนรวม คือ 1.0025
จะไดเงินรวม คือ
𝑆𝑆 =
2,000 1.0025
1.0025 60 −1
1.0025−1
≈ 129,616. 66 บาท
ดังนั้น เมื่อสิ้นปที่ 5 สุดาจะไดเงินรวมประมาณ 129,616. 66 บาท
(หนา 63)
วิธีทํา วัชระฝากเงินตอนตนงวดทุกเดือนเปนเวลา 4 ป
3.6
𝑟𝑟
0.036
ในที่นี้ R = 10,000, k = 12 , n = 4 และ r = 100 = 0.036 นั่นคือ 𝑘𝑘 = 12 = 0.003
ดังนั้น เมื่อสิ้นปที่ 4 เงินรวมของวัชระ คือ 10,000 1.003 + 10,000 1.003 2 + ⋯ +10,000 1.003 48
เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี 48 พจน มี 𝑎𝑎1 = 10,000(1.003) และ อัตราสวนรวม คือ 1.003
จะไดเงินรวม คือ
S=
10,000(1.003) 1.003 48 −1
1.003−1
≈ 516,996. 95 บาท
ดังนั้น เมื่อสิ้นปที่ 4 วัชระจะไดเงินรวมประมาณ 516,996. 95 บาท